Progressão Aritmética: Soma e Fórmulas

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34.	Dada a PA (5, 8, »), determine a soma dos 4 primeiros 
termos.
	35.	Uma PA tem a
1
 5 1 e r 5 1. Determine a soma:
	a) dos 10 primeiros termos;
	b) dos 20 primeiros termos.
	36.	Usando a fórmula da soma dos termos de uma PA fini-
ta, deduza a fórmula da soma dos termos de uma PA 
finita constante.
	37.	Calcule o valor de x na igualdade x 1 2x 1 » 1 
1 20x 5 6 300, sabendo que os termos do 1o membro 
da igualdade estão em PA.
	38.	Um ciclista percorre 20 quilômetros na primeira hora, 
17 quilômetros na segunda hora e reduz a medida 
de distância percorrida a cada hora em progressão 
aritmética.
Quantos quilômetros ele percorrerá ao todo em 
5 horas?
38
55
210
36. Para r 5 0, temos a
n
 5 a
1
 e, então, S
n 
5 
( 1 )
5
( 1 )
5
?a a n a a n a n 
2
 
 
2
 
2 
2
n1 1 1 1 5 a
1
 ? n.
x 5 30
70 km
	 4.	Considere a PA formada pelos números naturais ímpares (1, 3, 5, 7, », 2n 2 1, »), n é N*. Calcule a soma dos 
n primeiros números dessa PA.
Resolução
Calcular a soma dos n primeiros números dessa PA corresponde a calcular a soma de todos os termos da PA 
finita formada por eles (1, 3, 5, 7, », 2n 2 1). Assim:
S
n
 5 
2
1 2 1
2
2
2
1
2
a a n n n nn( 1 )
5
( 1 2 )
5 5 n2
Portanto, a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2, ou seja, 1 1 3 1 5 1 » 1 2n 2 1 5 n2.
Atividades resolvidas
Atividades Não escreva no livro.
Formalizando a fórmula da soma dos termos 
de uma progressão aritmética finita
Podemos obter as somas que você calculou na página anterior generalizando os termos e usando a fórmu-
la obtida. Essa fórmula é especialmente útil quando forem muitos os termos da PA finita a serem adicionados.
Acompanhe como obter a fórmula geral da soma de todos os termos de uma PA finita (a
1
, a
2
, a
3
, », 
a
n 2 2
, a
n
 2 
1
, a
n
), de razão r. 
A soma dos n termos dessa PA, denotada por S
n
, pode ser escrita de 2 maneiras.
S
n
 5 a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 » 1 a
n 2 2
 1 a
n 2 1
 1 a
n
 (I)
ou
S
n
 5 a
n
 1 a
n 2 1
 1 a
n 2 2
 1 » 1 a
3
 1 a
2
 1 a
1
 (II)
Adicionando membro a membro as expressões (I) e (II), obtemos:
2S
n
 5 (a
1
 1 a
n
) 1 (a
2
 1 a
n 2 1
) 1 (a
3
 1 a
n 2 2
) 1 » 1 (a
n 2 2
 1 a
3
) 1 (a
n 2 1
 1 a
2
) 1 (a
n
 1 a
1
)
Como, em uma PA finita, a soma de termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos termos extre-
mos, temos na soma acima n parcelas de mesmo valor.
(a
1
 1 a
n
) 5 (a
2
 1 a
n
 2 1
) 5 (a
3
 1 a
n 2 2
) 5 » 5 (a
n 2 2
 1 a
3
) 5 (a
n 2 1
 1 a
2
) 5 (a
n
 1 a
1
)
Portanto, como temos n parcelas, escrevemos:
2S
n
 5 (a
1
 1 a
n
) ? n, ou seja, S
n 
5 
a a nn
2
1( 1 )
.
Assim, essa fórmula nos permite calcular a soma S
n
 dos n termos de uma PA finita 
bastando conhecer o valor de n, o primeiro termo a
1
 e o enésimo termo a
n
.
Aplique essa fórmula 
nas quatro progressões 
aritméticas citadas 
na página anterior e 
confira as somas dos 
termos que foram 
calculadas.
As respostas encontram-se 
nas Orientações específicas 
deste Manual. 
Reflita
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	39.	Uma escada maciça tem 10 degraus. Cada degrau é 
um paralelepípedo cujas dimensões medem 50 centí-
metros, 20 centímetros e 10 centímetros.
Representação 
dos 3 primeiros 
degraus da 
escada.
Qual é a medida de volume dessa escada?
	40.	No planejamento de reforma de um teatro, deseja-se 
colocar 12 poltronas na primeira fileira da plateia e, a 
cada nova fileira, 2 poltronas a mais do que na ante-
rior. Quantas fileiras são necessárias para que o teatro 
tenha um total de 620 poltronas?
Em teatros, é comum o aumento na quantidade de 
poltronas a cada nova fileira da plateia em razão do 
maior ângulo de visão que temos do palco conforme nos 
distanciamos dele.
	41.	Retome a atividade 2 da página 113 sobre números 
triangulares, na qual apresentamos a fórmula do termo 
geral da sequência como a
n
 5 
( 1 )1
2
n n
, com n . 1. 
Deduza essa fórmula.
1 3 6 10 15
...
	42.	Em um triângulo, as medidas de abertura dos ângu-
los internos estão em PA, e o menor desses ângulos 
tem medida de abertura de 40°. Calcule as medidas de 
abertura dos outros dois ângulos internos.
Lembre-se de que a soma das medidas de abertura 
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
Fique atento
	43.	Considere uma PA de 20 termos.
	a) Qual par de termos a seguir é formado por termos 
equidistantes dos termos extremos dessa PA?
•	 a5
 e a
15
•	 a7
 e a
14
•	 a2
 e a
18
•	 a8
 e a
12
•	 a4
 e a
15
	b) Qual é a relação dos índices de termos equidistan-
tes de uma PA?
	44.	Retome a propriedade de PA apresentada na página 
130: Em qualquer PA finita, a soma de termos equi-
distantes dos extremos é igual à soma dos termos 
extremos.
Verifique essa igualdade nas somas a
1
 1 a
n
 e a
2
 1 a
n 2 1
, 
em uma PA finita de razão r.
	45.	Dados 3 termos consecutivos de uma PA, de razão r, 
mostre que o termo intermediário é igual à média arit-
mética dos outros 2 termos.
	46.	Tentando ofertar aos clientes diferentes opções de in-
vestimentos financeiros, uma instituição financeira cria 
uma modalidade de rentabilidade anual: no 1o  mês, 
incidem juros de 0,5% do valor inicialmente aplicado; 
no 2o mês, de 0,6% também sobre o valor inicial; e 
assim por diante, sempre aumentando a rentabilidade 
em 0,1% ao mês, até completar 1 ano.
Qual é a rentabilidade total anual de um investimento 
de R$ 5.000,00 nesse sistema de juros?
	47.	(UFT-TO) Um atleta fez um plano pessoal de treino de 
corrida para treze dias consecutivos. O planejamento 
consiste em, a cada dia, correr meio quilômetro a mais 
do que a distância percorrida no dia anterior. 
Sabendo-se que no primeiro dia ele correu quatro 
quilômetros, é correto afirmar que, ao final do plano 
de treinamento, o atleta correu, em quilômetros, um 
total de:
	a) 10.
	b) 50.
	c) 91.
	d) 182.
	48.	(UEG-GO) Uma imobiliária vende um imóvel finan-
ciado em dez anos, cuja primeira parcela mensal será 
de R$ 500,00, e as demais parcelas mensais terão um 
acréscimo de R$ 10,00 ao mês. Ao final do financia-
mento, esse imóvel terá custado:
	a) R$ 72.000,00.
	b) R$ 65.400,00.
	c) R$ 71.400,00.
	d) R$ 132.000,00.
	e) R$ 131.400,00.
	49.	Escolha um contexto e elabore um problema que seja 
resolvido adicionando os termos de uma PA finita. Em 
seguida, peça a um colega que faça a resolução en-
quanto você resolve o problema que ele criou. Por fim, 
confira a resposta que ele obteve.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
550 dm3
20 fileiras.
1
A
d
e
s
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1
/S
h
u
tt
e
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B
a
n
c
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a
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e
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 d
a
 e
d
it
o
ra
60° e 80°.
a
7
 e a
14
.
43. b) A soma dos índices de termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos índices dos termos extremos (1 1 n).
Professor, se necessário, faça outras perguntas aos estudantes que os levem a perceber a relação dos índices de termos 
equidistantes de uma PA.
As respostas das atividades 41, 44 e 45 encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
44. Professor, essa igualdade pode ser demonstrada para quaisquer somas de termos equidistantes a
1
 1 a
n
 e a
k
 1 a
n 2 k 1 1
 de uma PA finita.
R$ 630,00
Alternativa c.
Alternativa e.
Resposta pessoal.
Não escreva no livro.
deduzam a fórmula: pensem na 
soma da quantidade de pontos 
em cada linha de uma figura 
dessa sequência.
Professor, se necessário, dê uma 
dica aos estudantes para que 
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