Teoria dos Conjuntos Matemáticos

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TEORIA DOS CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Prof. Wellington Nishio 
A = {x  U | x tem a propriedade p} 
INTRODUÇÃO 
A noção matemática de conjunto é praticamente a 
mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo 
que agrupamento, classe, coleção, sistema. 
Cada membro ou objeto que entra na formação do 
conjunto é chamado elemento. 
Um conjunto com um determinado número de 
elementos é um conjunto finito. 
Um conjunto com um número indeterminado de 
elementos é um conjunto infinito. 
OBS: Um conjunto pode ser elemento de outro 
conjunto. 
 
REPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS 
1) Utilizando chaves: 
a) Forma analítica ou tabular ou por enumeração: 
explicita elementos do conjunto, podendo ser todos ou 
alguns, nesse último caso sendo possível notar 
diretamente quais são os elementos subentendidos. 
Exemplo: 
A = {0, 1,2,3}; B = {a, b, c, d} 
 
b) Forma sintética (caracterização por meio de 
propriedade): quando queremos descrever um conjunto 
A por meio de uma propriedade característica P de seus 
elementos x, escrevemos 
A = {x | x tem a propriedade P} 
e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem 
a propriedade P". 
 
2) Utilizando diagramas: 
Consiste no uso de uma linha simples e fechada 
qualquer (em geral, uma circunferência) contornando 
os elementos do conjunto. Comumente os elementos 
são indicados por pontos do interior da linha. Tais 
diagramas são frequentemente chamados de 
diagramas de Venn - Euler. 
Exemplo: 
 
CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO 
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um 
único elemento. 
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui 
elemento algum, O símbolo usual para o conjunto vazio 
é  . 
 
CONJUNTO UNIVERSO 
Quando vamos desenvolver um certo assunto de 
Matemática, admitimos a existência de um conjunto U 
ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal 
assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto 
universo. 
Quando vamos descrever um conjunto A propriedade 
P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U 
trabalhando, escrevendo através de uma em que 
estamos 
 
 
 
 
CONJUNTOS IGUAIS 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento 
de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de 
B pertence a A. Em símbolos: 
( )( )A B x x A x B=      
 
SUBCONJUNTO 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e 
somente se, todo elemento de A pertence também a B. 
Em símbolos, a definição fica assim: 
( )( )A B x x A x B      
 
OBS: Conjunto das Partes 
Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de 
A - notação P(A) - aquele que é formado por todos os 
subconjuntos de A. Em símbolos: 
( )  P A x | x A=  
Se A é um conjunto finito com n elementos, então P(A) 
tem 2n elementos. 
 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
REUNIÃO DE CONJUNTOS 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e 
B o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A ou a B. 
 
 A B x | x A ou x B =   
 
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de 
A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e a B. 
 
 A B x | x A e x B =   
 
OBS: Coniuntos djsjuntos 
Quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, 
A e B são denominados conjuntos disjuntos. 
 
A B =  
 
 
 
 
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n(A); #A 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre 
A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não 
pertencem a B. 
 
 A B x | x A e x B− =   
 
COMPLEMENTAR DE B EM A 
Dados dois conjuntos A e B, tais que B  A, chama-se 
complementar de B em relação a A o conjunto A - B, 
isto é, o conjunto dos elementos de A que não 
pertencem a B. 
 
B
A
A BC = − 
 
DIFERENÇA SIMÉTRICA 
Dados os conjuntos A e B quaisquer, denomina-se 
diferença simétrica entre eles o conjunto A  B, definido 
por: 
( ) ( )A B A B B A = −  − 
 
CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO FINITO 
Chama-se cardinalidade de um conjunto finito A o 
número de elementos desse conjunto, sendo 
representada usualmente por um dos símbolos a 
seguir. 
 
 
OBS: Cardinalidade da união de conjuntos 
( )n A B n(A) n(B) n(A B) = + −  
( )n A B C n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C)
n(B C) n(A B C)
  = + + −  −  −
 +  
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 
 Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo ℕ- 
o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... 
ℕ = {0, 1,2,3, ...} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo ℤ - 
o seguinte conjunto: 
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo ℚ 
- o conjunto dos pares ordenados (ou frações) 
b
a
, onde 
a  Z e b  Z* 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Dízimas não periódicas ou raízes não exatas. 
Símbolo: 𝕀 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Chama-se conjunto dos números reais ℝ - aquele 
formado por todos os números com representação 
decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que 
são números racionais) e as decimais não exatas e não 
periódicas (chamadas números irracionais). 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
Resolve definitivamente o problema de dar significado 
ao símbolo a , para todo número a. 
Símbolo: ℂ 
 
OBS: Subconjuntos Numéricos Notáveis 
X*: o símbolo *(asterisco) representa a exclusão do 
zero no conjunto. 
X+: representa que há somente números positivos. 
X_: representa que há somente os números negativos. 
Os símbolos podem ser utilizados de maneira 
concomitante. 
*X− : somente os números negativos e exclui o zero. 
*X+ : somente os números positivos e exclui o zero. 
 
INTERVALOS 
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: 
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto 
]a, b[ = {x  R I a < x < b} 
 
b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto 
[a, b] = {x  R | a ≤ x ≤ b} 
 
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de 
extremos a e b é o conjunto 
[a, b[ = {x  R | a ≤ x < b} 
 
d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de 
extremos a e b é o conjunto 
]a, b] = {x  R | a < x ≤ b} 
 
Também consideramos intervalos lineares os 
"intervalos infinitos" assim definidos: 
]-, a [ = {x  R | x < a} 
 
]-, a] = {x  R | x ≤ a} 
 
]a, +[ = {x  R I x > a} 
 
[a, +[ = {x  R I x ≥ a} 
 
]-, +[ = R 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2001) Numa cidade “X”, é consumido leite 
dos tipos: A e B. Dos consumidores consultados, 30 
consomem dos tipos A e B, 100 somente do tipo A, 200 
somente do tipo B e 40 nenhum dos dois tipos. Quantas 
pessoas foram consultadas? 
a) 300 
b) 310 
c) 330 
d) 370 
 
2. (EEAr – 2001) Considere os conjuntos 
A = [1, 2]  [3, 4]; B = ]1, 4] – {3}; C = [2, 3[  {4} e 
X = (A – B)  (A  C). Assinale a alternativa correta: 
a) X  A = B 
b) X  C = X 
c) X  A = X 
d) X  B = C 
 
3. (EEAr - 2001) Sejam os conjuntos A = [-1, 2], 
B = [-2, 4] e C = [-5, 0[. 
É falso afirmar que: 
a) (B - C) - A = ]2, 4] 
b) (A ∩ B) ∩ (B - C) = [0, 2] 
c) (B - A)  (A ∩ B) = ]-2, 4] 
d) (B  C) - (A ∩ B) = [-5, -1[  ]2, 4] 
 
4. (EEAr – 2001) Uma escola de ensino médio tem 250 
alunos que estão matriculados na 1ª, 2ª e 3ª séries. Dos 
alunos matriculados, 32% são homens e 40% dos 
homens estão na 1ª série; 20% dos alunos matriculados 
estão na 3ª série, sendo 10 alunos homens; e na 2ª 
série, o número de mulheres é igual ao número de 
homens. O número de mulheres na 1ª série é 
a) 10 b) 48 c) 92 d) 102 
 
5. (EEAr – 2001) Os conjuntos S, T e P são tais que 
todo elemento de S é elemento de T ou P. O diagrama 
que pode representar esses conjuntos é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (EEAr – 2002) Numa pesquisa de mercado sobre o 
consumo de cerveja, obteve-se o seguinte resultado: 
230 pessoas consomema marca A; 200 pessoas, a 
marca B; 150, ambas as marcas; e 40 não consomem 
cerveja. 
O número de pessoas pesquisadas foi 
a) 620 
b) 470 
c) 320 
d) 280 
 
 
7. (EEAr – 2002) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, 
B = {3, 4, 5} e C = {1, 2, 5}. Ao determinar o conjunto M, 
tal que: 
A  M = {1, 2, 3, 4}, B  M = {3, 4, 5}, C  M = A  B, 
podemos concluir que M é um conjunto 
a) vazio. 
b) unitário. 
c) que possui dois elementos. 
d) que possui três elementos. 
 
8. (EEAr – 2002) Quaisquer que sejam o racional x e o 
irracional y, pode-se dizer que 
a) x.y é irracional 
b) y.y é racional 
c) x – y + 2 é irracional 
d) x + 2y é irracional 
 
9. (EEAr – 2002) Classifique em Verdadeiro(V) ou 
Falso(F): 
( ) Z+  N 
( ) Z+ ≠ N 
( ) Z – Z- = *Z+ 
( ) (Z+  Z-)  N* = N 
( ) Z – Z+ = Z- 
Assinale a sequência correta: 
a) F – F – V – V- F 
b) F – F – V - V – V 
c) V – F – V- F – F 
d) V – F – V – V – F 
 
10. (EEAr – 2003) ”N” é o conjunto dos números 
naturais, K = {3x | x  N}, L = {5x | x  N} e 
M = {15x | x  N}. A afirmativa correta é 
a) K  L = M 
b) K  L 
c) K – L = M 
d) K  L = M 
 
11. (EEAr – 2003) Sejam os conjuntos 
A = {x  N / x é múltiplo de 2}, B = {x  Z / -2 < x ≤ 9} e 
C = {x  R / x ≥ 5}. A soma dos elementos que formam 
o conjunto (A  B) – C é 
a) 9 
b) 6 
c) 3 
d) 1 
 
12. (EEAr – 2003) Seja n  N* / n < 312. A fração 
irredutível 
312
n
, escrita na forma decimal, é um(a) 
a) decimal exato 
b) número inteiro 
c) dízima periódica simples 
d) dízima periódica composta 
 
13. (EEAr – 2003) Os elementos de um conjunto A são 
tais que 10 deles, são múltiplos de 4; 9 são múltiplos de 
6; 8 são múltiplos de 12; e 4 são números ímpares. Se 
A  N (N = conjunto dos números naturais), então o 
número de elementos de A é 
a) 31 b) 25 c) 21 d) 15 
 
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14. (EEAr – 2003) Seja P o conjunto dos retângulos, Q 
o conjunto dos quadrados e L o conjunto dos losangos. 
É correto afirmar que 
a) L  P = L – P 
b) L  Q = L – Q 
c) L  Q = P 
d) L  P = Q 
 
15. (EEAr – 2004) Um número racional maior que 0,4 e 
menor que 0,75 é 
a) 
2
1
 b) 
7
2
 c) 
10
1
 d) 
5
6
 
 
16. (EEAr – 2004) A região assinalada no diagrama 
corresponde a 
 
a) (B ∪ C) ∩ A. 
b) (B ∩ C) ∪ A. 
c) (A – B) ∩ C. 
d) C – (A ∩ B). 
 
17. (EEAr – 2004) No diagrama, o hachurado é o 
conjunto 
 
a) complementar de (M ∪ N) em relação a U. 
b) complementar de (M – N) em relação a U. 
c) complementar de (M ∩ N) em relação a U. 
d) (M – N) ∪ (N – M). 
 
18. (EsSA – 2010) Em uma escola com 500 alunos, foi 
realizada uma pesquisa para determinar a tipagem 
sanguínea destes. Observou-se que 115 tinham o 
antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não 
possuíam nenhum dos dois. Escolhendo ao acaso um 
destes alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo 
AB, isto é, possua os dois antígenos, é 
a) 15% 
b) 23% 
c) 30% 
d) 45% 
e) 47% 
 
19. (EsSA – 2013) Os números naturais eram 
inicialmente utilizados para facilitar a contagem. 
Identifique a alternativa que apresenta um número 
natural. 
a) -4 
b) 8 
c) 7− 
d) 
8
3
− 
e) 5 
20. (EsSA – 2018) Em uma escola com 180 estudantes, 
sabe-se que todos os estudantes leem pelo menos um 
livro. Foi feita uma pesquisa e ficou apurado que: 
50 alunos leem somente o livro A. 
30 alunos leem somente o livro B. 
40 alunos leem somente o livro C. 
25 alunos leem os livros A e C. 
40 alunos leem os livros A e B. 
25 alunos leem livros B e C. 
Logo, a quantidade de alunos que leem os livros, A, B 
e C é: 
a) 20 
b) 15 
c) 30 
d) 25 
e) 10 
 
21. (EsPCEx – 1996) Sendo: 
R+, o conjunto dos números reais não negativos, 
Q, o conjunto dos números racionais, 
Z, o conjunto dos números inteiros, 
N, o conjunto dos números naturais 
A intersecção dos conjuntos R+, Q )QN(Q  e 
N)QZ(  é igual a: 
a)  
b) R*
+ 
c) Q* 
d) N 
e) Z - 
 
22. (EsPCEx – 1996) Sejam os conjuntos A com 2 
elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos. 
O número de elementos do conjunto ( ) CBAC − 
pode variar entre: 
a) 2 e 4 
b) 2 e 3 
c) 0 e 4 
d) 0 e 3 
e) 0 e 2 
 
23. (EsPCEx – 1996) Numa pesquisa feita junto a 200 
universitários sobre o hábito de leitura de dois jornais 
(A e B), chegou-se às seguintes conclusões: 
(1) 80 universitários leem apenas um jornal; 
(2) o número dos que não leem nenhum dos jornais é o 
dobro do número dos que leem ambos os jornais. 
(3) o número dos que leem o jornal A é o mesmo dos 
que leem apenas o jornal B. 
Com base nesses dados, podemos afirmar que o 
número de universitários que leem o jornal B é: 
a) 160 b) 140 c) 120 d) 100 e) 80 
 
24. (EsPCEx – 1998) Considerando-se que: 
 10n1|NnCBA = ;  8,3,2BA = ;
 7,2CA = ; 
 6,5,2CB = ;  8n1|NnBA = 
Pode-se afirmar que o conjunto C é: 
a) {9, 10} 
b) {5, 6, 9, 10} 
c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} 
d) {2, 5, 6, 7} 
e) BA  
 
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25. (EsPCEx – 1998) Para todo n  Z e k  Z, com 
n < k, é sempre verdadeira a sentença: 
a) 
1 1
n k
 
b) 
n k
,
n.k
+
é um número inteiro 
c) n k 
d) 1 – n < 1 – k 
e)
n k
1 1
2 2
 
26. (EsPCEx - 2000) Se A = [-5, 1[ e B = 








− 5,
3
2
, 
então os conjuntos A - B e A  B são, respectivamente, 
a) 








−








−− 1,
3
2
e
3
2
,5 
b) 








−








−− 5,
3
2
e
3
2
,5 
c) 








−








− 5,
3
2
e1,
3
2
 
d)  








−−
3
2
,5e5,1 
e) 








−








− 1,
3
2
e1,
3
2
 
 
27. (EsPCEx – 2000) É correto afirmar que: 
a) a soma e a diferença de dois números naturais é 
sempre um número natural. 
b) O produto e o quociente de dois números inteiros é 
sempre um número inteiro. 
c) A soma de dois números racionais é sempre um 
número racional. 
d) A soma de dois números irracionais é sempre um 
número irracional. 
e) O produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional. 
 
28. (EsPCEx – 2001) Dados os conjuntos: 
R = {x / x é um número real} 
Q = {x / x é um número racional} 
N = {x / x é um número natural} 
P = {x / x é um número primo} 
E considerando as afirmações: 
(I) P  Q 
(II) R  Q 
(III) P  Q 
(IV) 6  (R  Q  N  P) 
(V) 5  (Q  P) 
Estão corretas as afirmações: 
a) I e III 
b) II e V 
c) III e IV 
d) IV e V 
e) I e V 
 
 
 
29. (EsPCEx – 2003) Quaisquer que seja o número 
irracional a e o número racional b, pode-se afirmar que, 
sempre 
a) a.a é irracional 
b) a2 + b é racional 
c) a.b é racional 
d) b – a + √2 é irracional 
e) b + 2a é irracional 
 
30. (EsPCEx – 2013) Uma determinada empresa de 
biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de 
seus consumidores em relação a seus três produtos: 
biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os 
resultados indicaram que: 
• 65 pessoas compram cream crackers 
• 85 pessoas compram wafers 
• 170 pessoas compram biscoitos recheados 
• 20 pessoas compram wafers cream crackers e 
recheados 
• 50 pessoas compram cream crackers e recheados 
• 30 pessoas compram cream crackers e wafers 
• 60 pessoas compram wafers e recheados 
• 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa 
Determine quantas pessoas responderam essa 
pesquisa 
a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530 
 
31. (AFA - 98) Em um grupo de n cadetes da 
Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 
jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam 
e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 
fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se 
que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos 
um desses esportes? 
a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 
 
32. (AFA - 98) Entrevistando 100 oficiais da AFA, 
descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave 
TUCANO, 40pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não 
são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam 
o TUCANO e o ESQUILO? 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 
 
33. (AFA - 2011) Se 
 222.222.22.2 +−+++= , então 
a) α  (R – N) 
b) α pode ser escrito na forma α = 2k, k  Z 
c) α  [(Q – Z)  (R – Q)] 
d) [(Z  Q)  (R – N)]  α 
 
34. (AFA - 2013) Considere os seguintes numéricos N, 
Z, Q, R, e I = R - Q considere também os conjuntos: 
( ) ( )ZRINA −= 
( )NZQB −−= 
( ) ( )NQIND −= 
Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos 
que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é 
a) -3; 0,5 e 
2
5
 b) 5e10;20 
c) 31,2e3;
2
3
 d) 2e5;10 −− 
 
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35. (AFA – 2017) Sejam os números reais 
𝑎 = 
√(−1)2. 0,1222 …
(1,2)−1
 
 
b = comprimento de uma circunferência de raio 1. 
𝑐 = √12. √90. √160. √147 
Sendo N, Z, Q e R os conjuntos numéricos, assinale a 
alternativa FALSA. 
a) {a, c}  Q 
b) (R – Q)  {b, c} 
c) c  (Z  N) 
d) {a, c}  (R  Q) 
 
36. (AFA – 2018) Na reta dos números reais abaixo, 
estão representados os números m, n e p. 
Analise as proposições a seguir e classifique-as em 
V(VERDADEIRA) ou F(FALSA). 
 
( ) 
m n
p
−
não é um número real. 
( ) (p + m) pode ser um número inteiro. 
( ) 
p
n
é, necessariamente, um número racional. 
A sequência correta é: 
a) V – V – F b) F – V – V c) F – F – F d) V – F - V 
 
37. (AFA – 2020) Uma pesquisa foi realizada com um 
grupo de Cadetes da AFA. Esses Cadetes afirmaram 
que praticam, pelo menos uma, dentre as modalidades 
esportivas: voleibol, natação e atletismo. 
Obteve-se, após a pesquisa, os seguintes resultados: 
I) Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 não 
praticam outra modalidade esportiva; 
II) Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 não 
praticam outra modalidade esportiva; 
III) Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 26 não 
praticam outra modalidade esportiva e 
IV) 6 Cadetes praticam as três modalidades esportivas. 
 
Marque a alternativa FALSA. 
A quantidade de Cadetes que 
a) pratica pelo menos duas modalidades esportivas 
citadas é 59. 
b) foram pesquisados é superior a 150. 
c) pratica voleibol ou natação é 113. 
d) pratica exatamente duas das modalidades esportivas 
citadas é um número primo. 
 
38. (EFOMM - 2004) Em uma universidade, 80% dos 
alunos leem o jornal x e 60% o jornal y. Sabendo-se 
que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual é o 
percentual de alunos que leem ambos os jornais? 
a) 10% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 40% 
 
 
39. (EFOMM – 2006) Sejam os conjuntos U = {1,2,3,4} 
e A = {1,2}. O conjunto B tal que B  A = {1} e 
B  A = U é 
a) 0 
b) {1} 
c) {1,2} 
d) {1,3,4} 
e) U 
 
40. (EFOMM - 2007) Numa companhia de 496 alunos, 
210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão 
impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o 
número de alunos que fazem só natação é: 
a) 116 
b) 142 
c) 166 
d) 176 
e) 194 
 
41. (EFOMM – 2011) Se 4a 3,=
61
b ,
50
= 
c = 1, 22222..., assinale a opção correta. 
a) a < c < b 
b) a < b < c 
c) c < a < b 
d) b < a < c 
e) b < c < a 
 
42. (EFOMM - 2012) Considere-se o conjunto universo 
U, formado por uma turma de cálculo da Escola de 
Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) e 
composta por alunos e alunas. São dados os 
subconjuntos de U: 
A: Conjunto formado pelos alunos; e 
B: Conjunto formado por todos os alunos e alunas 
aprovados. 
Pode-se concluir que )BA(CB
U −− é a quantidade de 
a) alunos aprovados. 
b) alunos reprovados. 
c) todos os alunos e alunas aprovados. 
d) alunas aprovadas. 
e) alunas reprovadas. 
 
43. (EFOMM - 2013) Denotaremos por n(X) o número 
de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B, C 
conjuntos tais que ( ) 14BAn = , ( ) 14CAn = e 
( ) 15CBn = , ( ) 17CBAn = e ( ) 3CBAn = . Então 
n(A) + n(B) + n(C) é igual a 
a) 18 
b) 20 
c) 25 
d) 29 
e) 32 
 
44. (EFOMM – 2017) Na Escola de Marinha Mercante, 
há alunos de ambos os sexos (130 mulheres e 370 
homens), divididos entre os Cursos Básico, de 
Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 
alunos do Curso de Máquinas, 20 são mulheres. O 
Curso de Náutica tem 270 alunos no total e o Curso 
Básico tem o mesmo número de homens e mulheres. 
Quantas mulheres há no Curso de Náutica? 
a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TEORIA DOS CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Prof. Wellington Nishio 
45. (EFOMM – 2019) Sendo Z o conjunto dos números 
inteiros e Q o conjunto dos números racionais, qual dos 
números seguintes não pertence ao conjunto 
(Z  Q) – (Z  Q)? 
a) 2,0123 
b)
5
3
 
c) 0 
d) -0,888... 
e)
2
3
− 
 
46. (EFOMM – 2021) Em uma turma de 50 alunos, 26 
estão estudando Arquitetura Naval, 19 Inglês e 17 
Cálculo. Sabe-se que dos alunos que estão estudando 
Arquitetura Naval, 6 estudam Inglês e 7 estudam 
Cálculo; e dos alunos que estão estudando Inglês, 9 
estudam Cálculo. Além disso, há 6 alunos que não 
estão estudando essas três disciplinas. Quantos 
desses alunos que estão estudando Arquitetura Naval 
também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo 
tempo? 
a) 0 b) 4 c) 7 d) 9 e) 10 
 
47. (EN – 2009) Os 36 melhores alunos do Colégio 
Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para 
estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre 
esses alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só 
acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 
acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a 
primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira 
e 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o 
número de alunos que não acertaram todas as 3 
questões é: 
a) 6 b) 8 c) 26 d) 30 e) 32 
 
48. (ITA – 2004) Considere as seguintes afirmações 
sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: 
I.   U e n(U) = 10. 
II.   U e n(U) = 10. 
III. 5  U e {5}  U. 
IV. {0, 1, 2, 5}  {5} = 5 
Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I e III. 
b) apenas II e IV. 
c) apenas II e III. 
d) apenas IV. 
e) todas as afirmações 
 
49. (ITA – 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N 
tais que (X – Y)  Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z  Y = , 
W  (X – Z) = {7, 8}, X  W  Z = {2, 4}. Então o 
conjunto [X  (Z  W)] – [W  (Y  Z)] é igual a: 
a) {1, 2, 3, 4, 5} 
b) {1, 2, 3, 4, 7} 
c) {1, 3, 7, 8} 
d) {1, 3} 
e) {7, 8} 
 
 
 
 
50. (ITA – 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto 
universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que 
(BC  A)C = {f, g, h}, BC  A = {a, b} e AC \ B = {d, e}, 
então, n(P(A  B)) é igual a 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 
 
Notações: 
AC : complementar do conjunto A 
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A 
A\B = {x : x  A e x  B} 
 
 
 
GABARITO 
A) 15, 18, 22, 26, 36 
B) 11, 17, 19, 20, 30, 32, 33, 35, 37, 40, 46 
C) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 24, 27, 31, 34, 44, 45, 48, 49, 50 
D) 1, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 21, 23, 39, 43, 47 
E) 25, 28, 29, 38, 41, 42