Matemática Interligada Estatística, Análise e Probabilidade (68)

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35
propriedade 
Em uma mesma linha n, a soma dos elementos é igual a 2 
n
 .
 Linha 0 é ( 0 
0
 ) 5 1 5 2 
0
 
Linha 1 é ( 1 
0
 ) 1 ( 1 
1
 ) 5 1 1 1 5 2 5 2 
1
 
Linha 2 é ( 2 
0
 ) 1 ( 2 
1
 ) 1 ( 2 
2
 ) 5 1 1 2 1 1 5 4 5 2 
2
 
Linha 3 é ( 3 
0
 ) 1 ( 3 
1
 ) 1 ( 3 
2
 ) 1 ( 3 
3
 ) 5 1 1 3 1 3 1 1 5 8 5 2 
3
 
Linha 4 é ( 4 
0
 ) 1 ( 4 
1
 ) 1 ( 4 
2
 ) 1 ( 4 
3
 ) 1 ( 4 
4
 ) 5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 2 
4
 
 ⋮
Linha n é ( 
n
 
0
 ) 1 ( 
n
 
1
 ) 1 ( 
n
 
2
 ) 1 ( 
n
 
3
 ) 1 … 1 ( 
 n
 
n 2 1
 ) 1 ( n 
n
 ) 5 2 
n
 
Podemos escrever a soma dos números binomiais da linha n como:
 � 
i50
 
3
 ( 3 
i
 ) 5 ( 3 
0
 ) 1 ( 3 
1
 ) 1 ( 3 
2
 ) 1 ( 3 
3
 ) 5 8 5 2 
3
 
O símbolo de somatório é indicado pela letra 
grega S (lê-se: “sigma”) e é utilizado para 
representar a adição de uma grande quantidade 
de parcelas com alguma característica comum.
 R17. Determine o valor de x em: 
a ) ( 5 
3
 ) 5 2x ?? ( 8 
5
 ) b ) ( 6 
2
 ) ?? x 5 ( 6 
4
 ) 
Resolução
a ) ( 5 
3
 ) 5 2x ?? ( 8 
5
 ) ä 
5 !
 ― 
3 ! ( 5 2 3 ) !
 5 2x ?? 
8 !
 ― 
5 ! ( 8 2 5 ) !
 ä
ä 
5 ?? 4 ?? 3 ! 
 ― 
 3 ! ?? 2
 5 2x ?? 
8 ?? 7 ?? 6 ?? 5 ! 
 ― 
 5 ! ?? 6 
 ä 10 5 112x ä x 5 
5
 ― 
56
 
 b ) De acordo com a 1ª propriedade, ( 6 
2
 ) 5 ( 6 
4
 ) , pois 2 1 4 5 6 . Portanto:
 ( 6 
2
 ) ?? x 5 ( 6 
4
 ) ä x 5 
 ( 6 
4
 ) 
 ― 
 ( 6 
2
 ) 
 5 1 
 R18. Na equação ( 
10
 y ) 1 ( 10 
 5
 ) 5 ( 11 
 5
 ) , um possível valor para y é 6. Determine o outro valor de y.
Resolução
Note que essa equação equivale à relação de Stifel com p 5 5 e n 5 11 , ou seja, 
 ( 
n 2 1
 
p 2 1
 ) 1 ( 
n 2 1
 p
 ) 5 ( 
n
 p ) .
Como y 5 p 2 1 , temos:
 y 5 p 2 1 5 5 2 1 5 4 
 � 
i50
 
n
 ( 
n
 
i
 ) 5 2 
n
 (lê-se: somatório do binomial n sobre i, com i assumindo valores 
inteiros de 0 a n é igual a 2 
n
 ).
g21_scp_lt_5mat_c1_p024a037.indd 35g21_scp_lt_5mat_c1_p024a037.indd 35 9/15/20 6:26 PM9/15/20 6:26 PM
Não escreva no livro.
36
 64. Calcule.
a ) ( 20
20 ) 1 ( 2
0 ) 1 ( 8
5
 ) 
 b ) ( 7
3 ) 1 ( 7
4 ) 1 ( 3
3 ) 
 c ) ( 6
0 ) 1 ( 6
1
 ) 1 ( 6
2
 ) 1 ( 6
3
 ) 1 ( 6
4
 ) 1 ( 6
5
 ) 1 ( 6
6 ) 
 d ) ( 12
 5
 ) 1 ( 12
 6
 ) 1 ( 13
 6
 ) 1 ( 13
 7
 ) 
 e ) ( 20
 0
 ) 1 ( 20
 1
 ) 1 ( 20
 2
 ) 1 ( 20
 3
 ) 1 …1 ( 20
19
 ) 1 ( 20
20) 
 65. Determine o valor de x em cada uma das equações.
a ) ( 7
2 ) 5 ( 
x
5
 ) 
 b ) ( 29
27
 ) 1 ( 29
x ) 5 ( 30
x ) 
 c ) ( 
x
0 ) 1 ( 
x
1
 ) 1 ( 
x
2
 ) 1 ( 
x
3
 ) 1 …1 ( 
x
x ) 5 2 
10
 d ) ( 8
x ) ?? x 5 ( 15
 3
 ) 2 ( 15
12 ) 
 66. Calcule o valor de k em cada item a seguir.
a ) k 5 ( 9
0 ) 1 ( 9
1
 ) 1 ( 9
2
 ) 1 …1 ( 9
8
 ) 1 ( 9
9 ) 
b ) k 5 ( 15
11
 ) 1 ( 15
12 ) 1 ( 16
12
 ) 1 ( 16
 2
 ) 
 c ) ( 31
 0
 ) 5 ( k
17 ) 
 d ) ( 23
15
 ) 5 ( k
15 ) 1 ( k
14 ) 
 e ) ( k
10 ) 5 ( 17
 7
 ) 
 67. Resolva a equação (n 2 1
 6 ) 2 (n 1 1
 8 ) 5 0 .
Agora, escreva duas expressões utilizando nú-
meros binomiais e peça a um colega que as 
resolva. Depois, verifique se a resolução apre-
sentada está correta.
Utilize as propriedades 
do triângulo de Pascal.
 68. A expressão ( 8
5 ) :: ( 8
3 ) 2 ( 7
7 ) ?? ( 7
1 ) corresponde a:
a ) ( 8
1
 ) .
b ) 2 ( 6
1
 ) .
c ) ( 7
0 ) .
d ) ( 7
2 ) .
 71. Construam um triângulo de Pascal com 10 
linhas.
a ) Qual é a soma dos elementos das 5 primei-
ras linhas?
b ) Escrevam uma sequência formada pela 
soma dos elementos de cada linha.
c ) Qual é a razão entre a soma dos elementos 
de uma linha e a soma dos elementos da 
linha seguinte?
Quando determinados elementos de um 
conjunto são dispostos em certa ordem 
seguindo um padrão, dizemos que esses 
elementos formam uma sequência.
Nesta tarefa, utilize a propriedade dos 
números binomiais complementares.
 69. Determine o valor de x em: 
a ) ( 20
 4
 ) ?? x 2 ( 19
 3
 ) 5 ( 19
 4
 ) 
 b ) ( 15
15 ) 1 ( 5
3 ) ?? x 5 ( 12
 0
 ) ?? x
 70. (Uece) O número 30 aparece n vezes no triângulo 
de Pascal abaixo em que os pontinhos indicam 
que as linhas horizontais seguintes do triângulo 
seguem a lógica construtiva das linhas superiores. 
O número n é:
1
 
1 1
 
1 2 1
 1 3 3 1 
1 4 6 4 1
 
1 5 10 10 5 1
 
?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??
a ) 1 b ) 2 c ) 3 d ) 4
*Resposta 
pessoal. 
Possível 
58
71
64
5 148
1 048 576
7
28
10
0
512
3 760
17
22
17
n 5 7 
b
x 5 1 
x 5 2 
1
―
9
 
b
31
b) ( 2 
0
 , 2 
1
 , 2 
2
 , 2 
3
 , …, 2 
n ) 
1
―
2
resposta: ( 7
2 ) 1 ( 6
1
 ) 1 ( 4
0 ) 1 ( 5
5 ) e ( 6
2
 ) 1 ( 5
1
 ) 1 ( 3
0 ) .
*
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