Ondas Estacionárias e Acústica

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IME 
2024 
AULA 09 
Ondas estacionárias e acústica 
Prof. Toni Burgatto 
 
 
 
 
 
2 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Sumário 
Introdução 3 
1. Ondas estacionárias 4 
1.1. Nós 5 
1.2. Anti-nós 5 
1.3. Energia 6 
1.4. Modos normais de vibração 7 
2. Introdução para as ondas sonoras 9 
2.1. Velocidade das ondas sonoras 10 
2.2. Intensidade das ondas sonoras 13 
2.3. Interferência de ondas sonoras 14 
2.4. Ondas sonoras em tubos fechados em uma das extremidades 17 
2.5. Ondas sonoras em tubos abertos nas duas extremidades 18 
2.6. Batimentos 19 
3. Efeito Doppler 20 
3.1. Fonte em repouso, observador se movendo 20 
3.2. Fonte se movendo, observador em repouso 21 
3.3. Combinação dos resultados 22 
4. Lista de questões nível 1 23 
5. Gabarito sem comentários nível 1 27 
6. Lista de questões nível 1 comentada 28 
7. Lista de questões nível 2 35 
8. Gabarito sem comentários nível 2 50 
9. Lista de questões nível 2 comentada 51 
10. Lista de questões nível 3 94 
 
 
 
 
 
3 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
11. Gabarito sem comentários nível 3 98 
12. Lista de questões nível 3 comentada 99 
13. Referências bibliográficas 116 
14. Considerações finais 116 
 
 
 
 
Introdução 
Nesta aula iniciaremos o estudo de ondulatória. Partiremos dos princípios matemáticos das ondas 
e deduziremos todas as equações que envolvem os fenômenos ondulatórios. Algumas deduções são 
apenas de caráter ilustrativo e não precisam ser memorizadas pelo estudante. 
 Em geral, o assunto de ondulatória é muito cobrado nos concursos militares. O maior enfoque está 
vinculado ao efeito Doppler, equação da onda e acústica. 
Conte comigo nessa jornada. Quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões entre em contato pelo 
fórum de dúvidas do Estratégia ou se preferir: 
 
 @proftoniburgatto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
1. Ondas estacionárias 
 Estudaremos o que acontece quando duas ondas harmônicas de mesma frequência e mesma 
amplitude se propagam através do mesmo meio (corda) em sentidos opostos. Suponha que as equações 
de onda são: 
𝑦1 = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑦1 = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) 
 Essas ondas podem representar ondas em uma corda com as duas extremidades presas. Pelo 
princípio da superposição das ondas: 
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 
𝑦 = 𝐴 ⋅ [𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)] 
Aplicando prostaférese (𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+𝑦
2
) cos (
𝑥−𝑦
2
)), temos: 
𝑦 = 𝐴 ⋅ 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡
2
) cos (
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
2
) 
𝑦 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) cos(−𝜔𝑡) 
 Como cosseno é uma função par, então: 
𝑦 = 2𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) ⋅ cos⁡(𝜔𝑡) 
 
Figura 1: Ondas estacionárias formadas em uma corda presa nas duas extremidades. 
 A equação acima é chamada de equação da onda estacionária. A expressão é diferente da 
representação de onda que vimos até agora. Essa expressão não possui a propriedade 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡) e, 
portanto, não descreve uma onda progressiva. 
 A equação da onda estacionária pode ser reescrita da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
5 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑦 = 𝐴(𝑥) ⋅ cos⁡(𝜔𝑡) 
𝐴(𝑥) = 2𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) 
 A equação da onda estacionária é uma equação de movimento harmônico simples, em que a 
amplitude é uma função da posição. 
1.1. Nós 
 São pontos da onda estacionária em que não deslocamento da posição de equilíbrio. Podemos 
encontrar as posições dos nós fazendo 𝐴(𝑥) = 0. Logo: 
 
Figura 2: Ondas estacionárias formadas em uma corda presa nas duas extremidades. 
2𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) = 0 
𝑘𝑥 = 𝑚𝜋,𝑚⁡𝜖⁡ℤ 
2𝜋
𝜆
𝑥 = 𝑚𝜋 
𝑥 =
𝑚
2
𝜆,𝑚⁡𝜖⁡ℤ 
Como 𝑚 = 0, 1, 2, 3, …, então: 
𝑥 = 0,
𝜆
2
, 𝜆,
3𝜆
2
,… . . ,
𝑛𝜆
2
 
Para esses valores de 𝑥, então teremos nós. Repare que a distância entre dois nós consecutivos 
sempre vale 
𝜆
2
. 
1.2. Anti-nós 
 São pontos da onda estacionária em que deslocamento da posição de equilíbrio é máximo. 
Podemos encontrar as posições dos anti-nós fazendo 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) = ±1. 
 
 
 
 
 
6 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Figura 3: Ondas estacionárias formadas em uma corda presa nas duas extremidades. 
𝑘𝑥 =
𝜋
2
+𝑚𝜋,𝑚⁡𝜖⁡ℤ 
2𝜋
𝜆
𝑥 =
𝜋
2
+𝑚𝜋 
𝑥
𝜆
=
1
4
+
𝑚
2
 
𝑥
𝜆
=
1
4
+
2𝑚
4
 
𝑥 = (2𝑚 + 1)
𝜆
4
,𝑚⁡𝜖⁡ℤ 
 Dizemos que os anti-nós serão números ímpares de 
𝜆
4
: 
𝑥 =
𝜆
4
,
3𝜆
4
, … . . , (2𝑚 + 1)
𝜆
4
 
 A distância entre dois anti-nós consecutivos sempre vale 
𝜆
2
. Basta fazer 
3𝜆
4
−
𝜆
4
=
𝜆
2
. 
1.3. Energia 
 A energia em uma onda estacionária não se propaga entre nós. A energia fica confinada entre os 
nós da onda estacionária. Podemos encontrar a energia confinada entre dois nós da onda estacionária. Já 
deduzimos anteriormente o valor da densidade de energia: 
𝑢 =
1
2
⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝜔2 
 A onda estacionária é formada por duas ondas de mesma amplitude 𝐴 e mesma frequência angular 
𝜔. A corda em que as ondas se propagam tem seção 𝑆. Podemos associar uma energia para cada uma 
das ondas que forma a estacionária. 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝐸1 =
1
2
⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝜔2 ⋅ (𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎⁡𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒⁡𝑛ó𝑠⁡𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠) 
𝐸2 =
1
2
⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝜔2 ⋅ (𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒⁡𝑑𝑒⁡𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎⁡𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒⁡𝑛ó𝑠⁡𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠) 
 Note que 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸. 
𝐸 =
1
2
⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝜔2 ⋅ (𝑆 ⋅
𝜆
2
) 
 Como 𝜆 =
2𝜋
𝑘
: 
𝐸 =
𝜋
2𝑘
⋅ 𝜌 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝜔2 ⋅ 𝑆 
1.4. Modos normais de vibração 
 Em um meio contínuo e ilimitado, não há restrição nas frequências ou comprimentos de onda das 
ondas estacionárias. 
No entanto, se as ondas estiverem confinadas no espaço - por exemplo, quando uma corda é 
amarrada em ambas as extremidades, as ondas podem ser configuradas para um conjunto discreto de 
frequências ou comprimentos de onda. 
Considere uma corda de comprimento fixo L, rigidamente presa nas duas extremidades. Quando 
montamos uma onda senoidal na corda, ela é refletida pelas extremidades fixas. Pela superposição de 
duas ondas idênticas viajando em direções opostas, ondas estacionárias são estabelecidas na corda. 
 O único requisito que precisamos satisfazer é que os pontos nas extremidades fixas sejam nós, 
pois esses pontos não podem oscilar. Eles estão permanentemente em repouso. Pode haver qualquer 
número de nós entre eles ou nenhum, de modo que a comprimento de onda associada às ondas 
estacionárias possa assumir valores muito diferentes. 
 Como distância entre dóis nós adjacentes é de 
𝜆
2
 e se a corda tem comprimento 𝐿, temos que: 
𝑁 ⋅
𝜆
2
= 𝐿 
⇒ 𝜆 =
2𝐿
𝑁
 
 Da equação fundamental da ondulatória: 
𝜆 =
𝑣
𝑓
=
√
𝑇
𝜇
𝑓
 
 
 
 
 
 
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⇒ 𝑓 =
𝑁
2𝐿
⋅ √
𝑇
𝜇
⁡⁡⁡⁡⁡𝑁 = 1, 2, 3, … . 
 A imagem abaixo representa os quatro primeiros harmônicos de um modo de vibração. 
 
Figura 4: Modos normais de vibração na corda com extremidades fixas. 
 O primeiro modo de vibração (𝑛 = 1) é chamado de fundamental. Os demais são chamados de 
segundo harmônico (primeiro sobretom), terceiro harmônico (segundo sobretom) e assim por diante. 
 A nomenclatura modo normal é devido ao movimento das partículas. Toda vez que as partículas 
oscilarem em um movimento senoidal, todas com a mesma frequência, teremos um modo normal. 
 
01. 
Uma corda que tem as extremidades fixas tem modos normais de vibração consecutivos para distância 
entre nós consecutivos de 18 cm e 16 cm, respectivamente. 
 
 
 
 
 
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a) Qual é o menor comprimento possível para a corda? 
b) Se a tração na corda é de 10 N e a sua densidade linear é de 4⁡𝑔/𝑚, qual é a sua frequência 
fundamental? 
Comentário: 
 
a) Pela figura, podemos escrever: 
18𝑛 = 𝐿 
16(𝑛 + 1) = 𝐿 
Assim, temos: 
𝐿 = 144⁡𝑐𝑚 
b) Para a frequência fundamental: 
𝑓 =
1
2𝐿
⋅√
𝑇
𝜇
 
𝑓 =
1
2 ⋅ 1,44
⋅ √
10
0,004
 
𝑓 = 17,36⁡𝐻𝑧 
 
2. Introdução para as ondas sonoras 
 De todas as ondas mecânicas que ocorrem na natureza, as mais importantes em nossa vida 
cotidiana são as ondas longitudinais chamadas ondas sonoras. A razão é que o ouvido humano é 
tremendamente sensível e pode detectar ondas sonoras mesmo com intensidade muito baixa. 
 O ouvido humano é sensível a ondas na faixa de frequências de cerca de 20 a 20000 Hz, chamada 
de faixa audível. 
 Usamos o termo som para ondas com frequências acima (ultrassônica) e abaixo (infra-sonora) do 
alcance da audição humana. Nossa principal preocupação neste capítulo é com as ondas sonoras no ar, 
mas o som pode viajar através de qualquer gás, líquido ou sólido. 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
2.1. Velocidade das ondas sonoras 
 O som pode se propagar através de qualquer meio. Para cada meio é possível determinar a 
velocidade do som. 
2.1.1. Sons em líquidos 
 A velocidade do som em líquidos é guiada pelo módulo de compressibilidade 𝐵. O módulo de 
compressibilidade é a propriedade que a matéria apresenta quando sofre a ação de forças uniformemente 
distribuídas, produzindo uma diminuição de volume. 
 A velocidade do som em um líquido de densidade 𝜌 e módulo de compressibilidade 𝐵 é dada por: 
𝑣𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = √
𝐵
𝜌
 
 Essa fórmula também é válida para os gases. Entretanto, para sistemas gasosos iremos refinar 
ainda mais a expressão. 
2.1.2. Sons em sólidos 
 Ao contrário dos fluidos, a velocidade do som nos sólidos é guiada pelo módulo de Young (Υ) do 
material. 
 Considere uma barra de densidade 𝜌 e módulo de Young Υ, a velocidade do som nessa barra é 
dada por: 
𝑣𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 = √
Υ
𝜌
 
2.1.3. Sons em gases 
 Como visto anteriormente, a velocidade do som em gases é a mesma que nos líquidos. 
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 = √
𝐵
𝜌
 
 Para sistemas gasosos, cabe uma importante pergunta: Quando uma onda viaja através de um gás, 
as compressões e expansões são adiabáticas ou há condução de calor suficiente entre as camadas 
adjacentes de gás para manter uma temperatura quase constante durante todo o processo? 
 
 
 
 
 
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 Como as condutividades térmicas dos gases são muito pequenas, verifica-se que, para frequências 
de som comuns (20 Hz a 20000 Hz), a propagação do som é quase adiabática. Assim, na equação acima, 
usamos o módulo adiabático 𝐵𝑆, que é dado por: 
𝐵𝑆 = 𝛾 ⋅ 𝑃 
 Em que 𝛾 é o coeficiente de Poisson do gás e P é a pressão do gás. Então, temos: 
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 = √
𝛾 ⋅ 𝑃
𝜌
 
 A densidade de um gás pode ser escrita da seguinte maneira: 
𝜌 =
𝑃𝑀
𝑅𝑇
 
⇒ 𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 = √
𝛾𝑅𝑇
𝑀
 
2.1.4. Efeito da temperatura, pressão e humidade na 
velocidade do som no ar 
(A) Efeito da temperatura: 
Para a equação da velocidade 
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 = √
𝛾𝑅𝑇
𝑀
 
Temos: 
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 ∝ √𝑇 
Portanto: 
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠,𝑇1
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠,𝑇2
= √
𝑇1
𝑇2
 
 
 Considere agora a CNTP, temperatura de 0°C ou 273 K e pressão de 1 bar. Se a velocidade do som 
a 273 K é 𝑣0, encontraremos a velocidade do som a 𝑇⁡°𝐶. 
 
 
 
 
 
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𝑣0
𝑣𝑇
= √
273
273 + 𝑇
 
𝑣𝑇 = 𝑣0 (1 +
𝑇
273
)
1/2
 
 Para as condições encontradas no planeta Terra, a temperatura T, que está em graus Celsius, oscila 
entre −60°𝐶 𝑒 + 60⁡°𝐶. Assim, é uma boa aproximar fazer: 
(1 +
𝑇
273
)
1/2
≈ (1 +
1
2
⋅
𝑇
273
) 
 Portanto, considerando que a velocidade do som no ar a 0 °C é de aproximadamente 332 m/s, 
temos: 
𝑣𝑇 = 332 (1 +
𝑇
546
) ⁡𝑚/𝑠 
(B) Efeito da pressão: 
 Considerando a fórmula: 
𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 = √
𝛾 ⋅ 𝑃
𝜌
 
Podemos inferir que 𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 ∝ √𝑃. Entretanto, isso não ocorre. Isso porque, temos: 
 
𝑃
𝜌
=
𝑅𝑇
𝑀
= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑢𝑚𝑎⁡𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 
 Dessa maneira, para uma temperatura constante se P muda de valor a densidade do gás também 
muda, de tal forma que a razão fique constante. Assim, se a temperatura for constante, a pressão não 
exerce nenhuma influência sobre a velocidade do som no gás. 
(C) Efeito da umidade: 
 A densidade do ar úmido é menor que a densidade do ar seco. Isso ocorre porque as partículas de 
poeira pesada do ar úmido se acalmam devido à condensação. Portanto, a densidade do ar diminui, 
aumentando a velocidade do som. Portanto, assumindo o valor de 𝛾 para o ar úmido igual ao do ar seco, 
resulta da fórmula 𝑣𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 = √
𝛾⋅𝑃
𝜌
 que a velocidade do som no ar úmido é ligeiramente maior que no ar 
seco. 
 
 
 
 
 
 
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2.2. Intensidade das ondas sonoras 
 A sensação fisiológica do som está intimamente relacionada à intensidade da onda que produz o 
som. Com uma frequência de 1 kHz, as pessoas são capazes de detectar sons com intensidades tão baixas 
quanto 10−12 W / m². 
 Por outro lado, uma intensidade de 1 W / m² pode causar dor e a exposição prolongada ao som 
nesse nível danificará os ouvidos de uma pessoa. Como o intervalo de intensidade sobre o qual as pessoas 
ouvem é tão grande, é conveniente usar uma escala logarítmica para especificar intensidades. Essa escala 
é definida da seguinte maneira. 
 Se a intensidade do som for 𝐼, o níve de intensidade 𝛽 em decibeis (𝑑𝐵) é dada por: 
𝛽 = 10 ⋅ log (
𝐼
𝐼0
) 
 Em que a 𝐼0 = 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑎𝑟⁡𝑑𝑎⁡𝑑𝑜𝑟 = 10
−12⁡𝑊/𝑚². 
 Podemos montar uma tabela para as algumas intensidades encontradas em nosso cotidiano. 
Som Nível de intensidade (dB) 
Sussurrar 20 
Sala silenciosa 30 
Fala normal 65 
Barulho dos carros nas ruas 80 
Ferramenta de rebite 100 
Trovão 110 
Show de Rock 120 
 
02. 
Uma fonte pontual emite uma potência constante. Em quantos decibéis cairá a intensidade sonora se 
caminharmos no ponto P1 para o ponto P2? A distância de P2 até a fonte é o dobro da distância de P1 até 
a fonte. 
Comentário: 
𝛽2 − 𝛽1 = 10 ⋅ (𝑙𝑜𝑔 (
𝐼2
𝐼0
) − 𝑙𝑜𝑔 (
𝐼1
𝐼0
)) 
𝛽2 − 𝛽1 = 10 ⋅ 𝑙𝑜𝑔 (
𝐼2
𝐼1
) 
Para fontes pontuais: 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝐼 ∝
1
𝑟²
 
𝐼1
𝐼2
=
(2𝑅)2
𝑅²
= 4 
Substituindo na primeira expressão: 
𝛽2 − 𝛽1 = 10 ⋅ log (
1
4
) 
𝛽2 − 𝛽1 = −6⁡𝑑𝐵 
 
2.3. Interferência de ondas sonoras 
 O princípio da superposição também é válido para as ondas sonoras. Quando duas ou mais ondas 
se encontram em algum momento em um meio, a perturbação resultante é igual à soma das perturbações 
produzidas por ondas individuais. Dependendo da diferença de fase, as ondas podem interferir 
construtivamente, levando a um aumento ou diminuição correspondente na intensidade resultante. 
 Antes de estudar a interferência das ondas sonoras, vamos primeiro discutir os dois termos: 
 Diferença de fase. 
 Fontes coerentes. 
2.3.1. Diferença de fase 
 A diferença de fase entre dois pontos diferentes 𝑃1 e 𝑃2, que tem ∆𝑥 como diferença de caminho 
ou diferenças de tempo ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1, é: 
Φ
2𝜋
=
∆𝑥
𝜆
=
∆𝑡
𝑇
 
 
Figura 5: Diferença de caminho. 
 
 
 
 
 
15 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Figura 6: Diferença de tempo. 
2.3.2. Fontes coerentes 
 Duas fontes que estão em fase ou têm uma diferença de fase constante são chamadas fontes 
coerentes. Para que as duas fontes sejam coerentes, suas frequências devem ser as mesmas. Mas o 
inverso nem sempre é verdadeiro, ou seja, duas fontes diferentes com a mesma frequência nem sempre 
são coerentes. 
 Se a diferença de fase das fontes muda aleatoriamente com o tempo, mesmo que tenham a 
mesma frequência, como as fontes são compostas por um grande número do de átomos, não há como 
ser coerente. Como existem muitos átomos envolvidos em cada fonte e eles não oscilam na fase, elas são 
incoerentes. Assim, duas fontes de luz diferentes não podem ser coerentes. 
2.3.3. Interferência 
 Considere duas fontes coerentes 𝑆1 e 𝑆2 que oscilam em fase com mesma frequência angular 𝜔. 
Um pontoP está situado a uma distância 𝑥 de 𝑆1 e 𝑥 + ∆𝑥 de 𝑆2, de tal maneira que a diferença de 
caminho é ∆𝑥. 
 
Figura 7: Fontes S1 e S2 
 Podemos modelar as equações de onda da seguinte maneira: 
𝑦1 = 𝐴1 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝑦2 = 𝐴2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + Φ) 
 Com: 
 
 
 
 
 
16 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Φ =
2π
λ
∆𝑥 
 Desta maneira, a onda resultante no ponto P é dada por: 
𝑦 = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + θ) 
 Em que a amplitude é dada pela soma fasorial, vista nos tópicos anteriores: 
𝐴2 = 𝐴1
2 + 𝐴2
2 + 2𝐴1𝐴2𝑐𝑜𝑠Φ 
 Como 𝐼 ∝ 𝐴², temos a que a intensidade resultante em P é dada por: 
𝐼𝑃,𝑐𝑜𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2√𝐼1𝐼2𝑐𝑜𝑠Φ 
 A partir da expressão acima, podemos montar a seguinte tabela: 
 Diferença de fase Diferença de caminho Intensidade 
Interferência 
construtiva 
Φ = 2kπ, k⁡ϵ⁡ℤ ∆x = kλ, k⁡ϵ⁡ℤ 𝐼 = (√𝐼1 + √𝐼2)
2
 
Interferência 
destrutiva 
Φ = (2k + 1)π, k⁡ϵ⁡ℤ ∆x = (k + 1)λ, k⁡ϵ⁡ℤ 𝐼 = (√𝐼1 − √𝐼2)
2
 
 Se as fontes são incoerentes, a diferença de fase entre as fontes muda continuamente. Em 
qualquer ponto P, algumas vezes há interferências construtivas e outras vezes há destrutivas. Se a 
intensidade devida a cada fonte for 𝐼, a intensidade resultante varia rápida e aleatoriamente entre 4𝐼 e 
zero, de modo que a intensidade média observável é 2𝐼. Se as intensidades devidas a fontes individuais 
são 𝐼1 e 𝐼2, a intensidade resultante é: 
𝐼𝑃,𝑖𝑛𝑐𝑜𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐼1 + 𝐼2 
 Portanto, nenhum efeito de interferência é observado. Para a interferência ser observável, as 
fontes devem ser coerentes. Uma maneira de obter um par de fontes coerentes é obter duas ondas 
sonoras da mesma fonte, dividindo a onda original por dois caminhos diferentes e combinando-as. As 
duas ondas diferem na fase apenas por causa dos diferentes caminhos percorridos. 
 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
2.4. Ondas sonoras em tubos fechados em uma das extremidades 
 Para ressonar em um tubo de órgão fechado, as ondas sonoras são enviadas por uma fonte 
(normalmente um garfo de afinação) perto da extremidade aberta. A ressonância corresponde a um anti-
nó de pressão na extremidade fechada e um nó de pressão na extremidade aberta. 
 Desta maneira, sempre deverá existir um múltiplo ímpar de 𝜆/4 confinado no interior do tubo. Se 
o tubo tem comprimento 𝐿, temos: 
 
Figura 8: Tubo fechado em uma das extremidades 
𝐿 = 𝑁 ⋅
𝜆
4
,⁡⁡⁡𝑁⁡⁡𝜖⁡⁡{1,3,5,7, … , 2𝑘 + 1} 
𝐿 = 𝑁 ⋅
𝑣
4 ⋅ 𝑓
,⁡⁡⁡𝑁⁡⁡⁡𝜖⁡⁡{1,3,5,7, … , 2𝑘 + 1} 
𝑓 =
𝑁 ⋅ 𝑣
4 ⋅ 𝐿
, 𝑁⁡⁡⁡𝜖⁡⁡{1,3,5,7, … , 2𝑘 + 1} 
 Em que 𝑣 é a velocidade do som no interior do tubo. Então, os harmônicos são: 
 𝑓1 =
𝑣
4⋅𝐿
= 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙⁡𝑑𝑜⁡𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜⁡ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑜 
 𝑓3 =
3𝑣
4⋅𝐿
= 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜⁡𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑡𝑜𝑚⁡𝑜𝑢⁡𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑜⁡ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑜 
 𝑓5 =
5𝑣
4⋅𝐿
= 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜⁡𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑡𝑜𝑚⁡𝑜𝑢⁡𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜⁡ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑜 
 Assim, essa sequência se expande indefinidamente. 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
2.5. Ondas sonoras em tubos abertos nas duas extremidades 
 Como as duas extremidades do tubo estão abertas, existem nós de pressão nas duas 
extremidades. 
 Considere um tubo que tenha comprimento L. Uma vez que a distância entre os nós de pressão é 
𝜆/4, a condição de ressonância é: 
 
 
Figura 9: Tubo com duas extremidades abertas. 
𝐿 = 𝑁 ⋅
𝜆
2
,⁡⁡⁡𝑁⁡⁡𝜖⁡⁡{1,2,3,4, … , 𝑛} 
𝐿 = 𝑁 ⋅
𝑣
2 ⋅ 𝑓
, 𝑁⁡⁡𝜖⁡⁡{1,2,3,4, … , 𝑛} 
𝑓 =
𝑁 ⋅ 𝑣
2 ⋅ 𝐿
, 𝑁⁡⁡𝜖⁡⁡{1,2,3,4, … , 𝑛} 
 Em que 𝑣 é a velocidade do som no interior do tubo. 
 𝑓1 =
𝑣
2⋅𝐿
= 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙⁡𝑑𝑜⁡𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜⁡ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑜 
 𝑓2 =
𝑣
𝐿
= 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜⁡𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑡𝑜𝑚⁡𝑜𝑢⁡𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜⁡ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑜 
 𝑓3 =
3𝑣
2⋅𝐿
= 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜⁡𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑡𝑜𝑚⁡𝑜𝑢⁡𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑖𝑟𝑜⁡ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑜 
 Assim, essa sequência se expande indefinidamente. 
 
 
 
 
 
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AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
2.6. Batimentos 
 Quando duas de onda da mesma frequência viajam ao longo da mesma linha em direções opostas, 
ondas estacionárias são formadas de acordo com o princípio da superposição. Nas ondas estacionárias, a 
amplitude é uma função da distância. Isso ilustra um tipo de interferência que podemos chamar de 
interferência no espaço. 
 O mesmo princípio de superposição nos leva a outro tipo de interferência, que podemos chamar 
de interferência no tempo. Ocorre quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes viajam 
pela mesma região. Se as ondas estiverem em fase em algum momento, a interferência será construtiva 
e a amplitude resultante nesse momento será 𝐴1 + 𝐴2, em que 𝐴1 e 𝐴2 são as amplitudes deonda 
individuais. 
 Porém, em algum momento posterior (𝑡 = 𝑡0), como as frequências são diferentes, as ondas 
ficarão fora de fase ou a interferência será destrutiva e a amplitude resultante será 𝐴1 − 𝐴2. 
 
Figura 10: Variação de amplitude e batimento. 
 Deste modo, a amplitude resultante oscila entre 𝐴1 + 𝐴2 e 𝐴1 − 𝐴2 com um período: 
𝑇 = 2𝑡0 =
1
𝑓1 − 𝑓2
 
 Ou com frequência: 
𝑓 = 𝑓1 − 𝑓2 
 A frequência encontrada acima é chamada de frequência de batimento. 
𝑓𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑓1 − 𝑓2 
2.6.1. Cálculo da frequência de batimento 
 Considere duas ondas de frequências 𝑓1 e 𝑓2 se encontrando em um mesmo ponto do espaço. Os 
períodos correspondentes são 𝑇1 e 𝑇2. Se as duas ondas estão em fase em t =0, elas estarão novamente 
 
 
 
 
 
20 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
em fase quando a primeria tiver executado exatamente um ciclo a mais que a segunda. Isso ocorre no 
tempo 𝑡 = 𝑇, que é o período de batimento. 
𝑇 = 𝑛 ⋅ 𝑇1 → 𝑓1 =
𝑛
𝑇
 
𝑇 = (𝑛 − 1) ⋅ 𝑇2 → 𝑓2 =
𝑛 − 1
𝑇
 
 Subtraindo a primeira da segunda, temos: 
𝑓1 − 𝑓2 =
1
𝑇
⇒ 𝑇 =
1
𝑓1 − 𝑓2
 
𝑓 =
1
𝑇
= 𝑓1 − 𝑓2 
 
3. Efeito Doppler 
 Se a fonte de onda e um receptor estiverem se movendo um em relação ao outro, a frequência 
observada pelo receptor (𝑓′) será diferente da frequência real da fonte (𝑓). Esse fenômeno é chamado 
efeito Doppler. 
 Consideramos o caso especial em que a fonte e o observador se movem ao longo da linha que os 
une. Usaremos os seguintes símbolos: 
𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒⁡𝑑𝑜⁡𝑠𝑜𝑚 
𝑣𝑠 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒⁡𝑑𝑎⁡𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 
𝑣0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒⁡𝑑𝑜⁡𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 
3.1. Fonte em repouso, observador se movendo 
 Considere um observador O se aproximando da fonte S com uma velocidade 𝑣0. A velocidade do 
som relativa à O é dada por: 
𝑣𝑟 = 𝑣 + 𝑣0 
 Entretanto, o comprimento de onda tem seu valor normal 𝜆 = 𝑣/𝑓. Então, a frequência ouvida 
pelo observador é: 
 
 
 
 
 
21 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Figura 11: Observador se aproximando da fonte 
𝑓′ =
𝑣𝑟
𝜆
 
𝑓′ =
𝑣 + 𝑣0
𝑣/𝑓
 
𝑓′ =
𝑣 + 𝑣0
𝑣
⋅ 𝑓 
 Se o observador está se afastando da fonte, temos: 
𝑓′ =
𝑣 − 𝑣0
𝑣
⋅ 𝑓 
 Combinando as duas expressões, temos: 
𝑓′ =
𝑣 ± 𝑣0
𝑣
⋅ 𝑓 
{
⁡⁡⁡⁡⁡⁡(+) ↔ 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜⁡𝑑𝑎⁡𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
(−) ↔ 𝐴𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜⁡𝑑𝑎⁡𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
 
3.2. Fonte se movendo, observador em repouso 
 Suponha que a fonte S está se movendo em direção à O, como mostra a figura (32). Se S estivesse 
em repouso, a distância entre dois consecutivos pulsos de onda e teria sido 𝜆 =
𝑣
𝑓
= 𝑣𝑇. 
 Entretanto, em um período, a fonte moveu-se uma distância 𝑣𝑠𝑇 antes de emitir o próximo pulso. 
O resultado desse deslocamento é a mudança no comprimento de onda. 
 
 
 
 
 
22 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Figura 12: Fonte se movendo 
𝜆′ = 𝑣𝑇 − 𝑣𝑠𝑇 
𝜆′ =
𝑣 − 𝑣𝑠
𝑓
 
 A velocidade do som relativa à O é simplesmente 𝑣. Deste modo, a frequência observada é dada 
por: 
𝑓′ =
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑠
⋅ 𝑓 
 Se a fonte estivesse se afastando do observador, teríamos: 
𝑓′ =
𝑣
𝑣 + 𝑣𝑠
⋅ 𝑓 
 Combinando as duasexpressões, temos: 
𝑓′ =
𝑣
𝑣 ± 𝑣𝑠
⋅ 𝑓 
{
⁡⁡⁡⁡⁡⁡(−) ↔ 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜⁡𝑑𝑎⁡𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
(+) ↔ 𝐴𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜⁡𝑑𝑎⁡𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
 
 
3.3. Combinação dos resultados 
 Se a fonte e observador estão se movendo, podemos unir as duas expressões acima. 
 
 
 
 
 
23 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑓
𝑣 ± 𝑣𝑠
=
𝑓′
𝑣 ± 𝑣0
 
 A convenção de sinal é feita seguindo os seguintes passos: 
 1° - Faça um segmento orientado do observador até a fonte. O observador é a origem do segmento 
e a fonte é a extremidade. 
 
Figura 13: Segmento orientado do observador para a fonte 
 2° - As velocidades que possuírem o mesmo sentido que o segmento orientado usamos o sinal 
positivo. As velocidades com sentido contrário recebem sinal negativo. 
 Como exemplo, se no caso da figura (33) o observador estiver aproximando da fonte e a fonte 
estiver se aproximando do observador, usamos: 
𝑓
𝑣 − 𝑣𝑠
=
𝑓′
𝑣 + 𝑣0
 
 Entretanto, se no caso da figura (33) o observador estiver se aproximando da fonte e a fonte 
estiver se afastando do observador, usa-se: 
𝑓
𝑣 + 𝑣𝑠
=
𝑓′
𝑣 + 𝑣0
 
 
4. Lista de questões nível 1 
 (EEAR – 2019) 
 
 
 
 
 
24 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Um adolescente de 12 anos, percebendo alterações em sua voz, comunicou à sua mãe a situação 
observada com certa regularidade. Em determinados momentos apresentava tom de voz fina em 
outros momentos tom de voz grossa. A questão relatada pelo adolescente refere-se a uma 
qualidade do som denominada: 
[A] altura. [B] timbre. [C] velocidade. [D] intensidade. 
 (EEAR – 2018) 
Ao caminhar por uma calçada, um pedestre ouve o som da buzina de um ônibus, que passa na via 
ao lado e se afasta rapidamente. O pedestre observou nitidamente que quando o ônibus se afastou 
houve uma brusca variação na altura do som. Este efeito está relacionado ao fato de que houve 
variação: 
[A] no timbre das ondas. [B] na amplitude das ondas. 
[C] na frequência do som. [D] na intensidade do som. 
 (EEAR – 2016) 
Um tubo sonoro aberto em suas duas extremidades, tem 80 cm de comprimento e está vibrando 
no segundo harmônico. Considerando a velocidade de propagação do som no tubo igual a 360 m/s, 
a sua frequência de vibração, em hertz, será 
[A] 150 [B] 250 [C] 350 [D] 450 
 (EEAR – 2011) 
O valor mínimo da escala de intensidade sonora corresponde a 10⁻¹² W/m². Assinale a alternativa 
que indica corretamente o valor, em decibéis, para uma intensidade de 1,0 W/m². 
[A] 1 dB. [B] 10 dB. [C] 12 dB. [D] 120 dB. 
 (EEAR – 2010) 
As figuras abaixo representam ondas sonoras emitidas por 3 dispositivos diferentes. 
 
A qualidade do som que permite ao ouvinte identificar a diferença entre os sons gerados pelos 
dispositivos é 
[A] a altura. 
[B] o timbre. 
[C] a intensidade. 
[D] o comprimento de onda. 
 (EsPCEx – 2000) 
A figura representa uma onda estacionária que se forma em um tubo sonoro fechado. Considerando 
a velocidade do som no ar de 340 m/s, a frequência, em Hz, do som emitido pelo tubo é de 
 
 
 
 
 
25 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
[A] 200,0 [B] 200,5 [C] 212,5 [D] 220,5 [E] 225,0 
 (EN-2016) 
O motorista de um carro entra numa estrada reta, no sentido norte-sul, a 100km/h e dá um toque 
na buzina de seu carro que emite som isotropicamente na frequência de 1200Hz. Um segundo após, 
ele percebe um eco numa frequência de 840Hz. Sendo assim, o motorista NÃO pode incluir como 
hipótese válida, que há algum obstáculo 
a) em movimento à frente. b) que ficou para trás. 
c) parado à frente. d) com velocidade menor que a dele. 
e) com velocidade maior que a dele. 
 (EN-2019) 
Assinale a opção que completa corretamente as lacunas da sentença abaixo. 
Uma fonte sonora emitindo um som de frequência 𝑓 move-se em relação a um observador fixo. 
Sabendo-se que o observador percebe uma frequência 𝑓/2, é correto afirmar que a fonte se 
______________ do observador com ______________. 
a) Aproxima / o dobro da velocidade do som 
b) aproxima / metade da velocidade do som 
c) afasta / metade da velocidade do som 
d) aproxima / velocidade igual à velocidade do som 
e) afasta / velocidade igual à velocidade do som 
 (EFOMM-2018) 
Uma fonte de 1020 Hz, posicionada na boca de um tubo de ensaio vazio, provoca ressonância no 
harmônico fundamental. Sabendo que o volume do tubo é 100 mL e que a velocidade do som no ar 
é 340 m/s, determine o intervalo que contém o raio R do tubo, em cm. 
(Dados: considere o tubo cilíndrico e 𝜋 = 3) 
a) 1,3 < R < 1,5 b) 1,6 < R < 1,8 c) 1,9 < R < 2,1 
d) 2,2 < R < 2,4 e) 2,5 < R < 2,7 
 (EFOMM-2016) 
Um diapasão com frequência natural de 400 Hz é percutido na proximidade da borda de uma 
proveta graduada, perfeitamente cilíndrica, inicialmente cheia de água, mas que está sendo 
vagarosamente esvaziada por meio de uma pequena torneira na sua parte inferior. Observa-se que 
o volume do som do diapasão torna-se mais alto pela primeira vez quando a coluna de ar formada 
acima d’água atinge uma certa altura h. O valor de h, em centímetros, vale 
Dado: velocidade do som no ar vSom = 320 m/s 
 
 
 
 
 
26 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
a) 45 b) 36 c) 28 d) 20 e) 18 
 (EFOMM-2011) 
Uma fonte sonora emite som uniformemente em todas as direções, com uma potência em watts de 
40. Qual a leitura do nível de intensidade sonora, em decibéis, efetuada por um detector 
posicionado a 10 metros de distância da fonte? 
Dado: Io = 10-12W/m2 
a) 150 b) 140 c) 130 d) 120 e) 110 
 (EFOMM-2010) 
O apito de um trem emite ondas sonoras de frequência f e comprimento de onda 𝜆. O trem se 
aproxima de um observador que se desloca sobre uma plataforma, de modo a se afastar do trem 
com velocidade inferior à do trem. As velocidades do trem e do observador são medidas em relação 
à plataforma. Se ambos estão em movimento numa mesma direção, pode-se concluir que a 
frequência 𝑓𝐴 e o comprimento de onda 𝜆𝐴 do apito do trem, que o observador deve perceber, são 
a) fA < f e 𝜆𝐴 > 𝜆 b) fA > f e 𝜆𝐴 > 𝜆 c) fA > f e 𝜆𝐴 < 𝜆 
d) fA < f e 𝜆𝐴 < 𝜆 e) fA = f e 𝜆𝐴 > 𝜆 
 (EFOMM-2008) 
Seja um rádio VHF de bordo operando com frequência portadora de 75 MHz. Ao visualizar este sinal 
estacionário, projetado sobre o convés de 400m do futuro navio ULOC (seiscentas mil toneladas), 
quantos dos seus picos positivos podem-se contar? 
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250 
 (EFOMM-2007) 
 
A figura acima representa uma onda sonora estacionária que se forma dentro de um tubo de 
escapamento de gases de combustão de um navio. Sabe-se que o comprimento do tubo é de 6,0 m 
e que a velocidade do som no ar é de 340 m/s. Desta forma, o comprimento de onda formado e a 
frequência do som emitido são, respectivamente, 
a) 2,0⁡𝑚; ⁡170⁡𝐻𝑧 b) 4,0⁡𝑚; ⁡85⁡𝐻𝑧 c) 5,0⁡𝑚; ⁡68⁡𝐻𝑧 
d) 6,0⁡𝑚; ⁡57⁡𝐻𝑧 e) 8,0⁡𝑚; ⁡42,5⁡𝐻𝑧 
 (Simulado AFA) 
Um observador verifica que a distância horizontal entre um vale e uma crista adjacente de ondas 
superficiais em um lago é de 3 m. A partir de certo instante (𝑡 = 0), ele notou que em intervalos de 
tempo uniformes, passaram 36 cristas em 40 segundos, sendo observada a última crista exatamente 
no instante 𝑡 = 40⁡𝑠. Dessa forma, a velocidade de propagação das ondas superficiais, em m/s, é 
de: 
(A) 5,0 (B) 5,2 (C) 5,4 (D) 5,6 
 
 
 
 
 
 
27 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
5. Gabarito sem comentários nível 1 
1) A 
2) C 
3) D 
4) D 
5) B 
6) C 
7) C 
8) E 
9) C 
10) D 
11) E 
12) D 
13) B 
14) S/A 
15) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
6. Lista de questões nível 1 comentada 
 (EEAR – 2019) 
 Um adolescente de 12 anos, percebendo alterações em sua voz, comunicou à sua mãe a situação 
observada com certa regularidade. Em determinados momentos apresentavatom de voz fina em 
outros momentos tom de voz grossa. A questão relatada pelo adolescente refere-se a uma 
qualidade do som denominada: 
[A] altura. [B] timbre. [C] velocidade. [D] intensidade. 
Comentários: 
A altura do som está relacionada com a sua frequência. Sons de altas frequências são mais agudos 
(finos), ao passo que os tons de menor frequência são mais graves (grossos). A audição de um humano 
saudável é capaz detectar frequências de, aproximadamente, 20𝐻𝑧a 20𝑘𝐻𝑧. 
Gabarito: A 
 (EEAR – 2018) 
Ao caminhar por uma calçada, um pedestre ouve o som da buzina de um ônibus, que passa na via 
ao lado e se afasta rapidamente. O pedestre observou nitidamente que quando o ônibus se afastou 
houve uma brusca variação na altura do som. Este efeito está relacionado ao fato de que houve 
variação: 
[A] no timbre das ondas. [B] na amplitude das ondas. 
[C] na frequência do som. [D] na intensidade do som. 
Comentários: 
O efeito descrito no enunciado se chama “Efeito Doppler”. Tal efeito consiste em uma variação na 
frequência percebida pelo observador quando a fonte está se aproximando ou afastando do objeto! 
Gabarito: C 
 (EEAR – 2016) 
Um tubo sonoro aberto em suas duas extremidades, tem 80 cm de comprimento e está vibrando 
no segundo harmônico. Considerando a velocidade de propagação do som no tubo igual a 360 m/s, 
a sua frequência de vibração, em hertz, será 
[A] 150 [B] 250 [C] 350 [D] 450 
Comentários: 
 Para um tubo sonoro aberto nas duas extremidades, a frequência dos harmônicos é dada por: 
 
 
 
 
 
29 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑓 =
𝑁𝑣
2𝐿
 
 Em que 𝑁 = 1, 2, 3, 4⁡... Para o segundo harmônico (𝑁 = 2), temos: 
𝑓 =
2 ⋅ 360
2 ⋅ 0,8
 
𝑓 = 450⁡𝐻𝑧 
Gabarito: D 
 (EEAR – 2011) 
O valor mínimo da escala de intensidade sonora corresponde a 10⁻¹² W/m². Assinale a alternativa 
que indica corretamente o valor, em decibéis, para uma intensidade de 1,0 W/m². 
[A] 1 dB. [B] 10 dB. [C] 12 dB. [D] 120 dB. 
Comentários: 
 Para a escala em decibéis, temos: 
𝑁 = 10 log (
𝐼
𝐼0
) 
𝑁 = 10 log (
1
10−12
) 
𝑁 = 10 log(1012) 
𝑁 = 12 ⋅ 10 log(10) 
𝑁 = 120⁡𝑑𝐵 
Gabarito: D 
 (EEAR – 2010) 
As figuras abaixo representam ondas sonoras emitidas por 3 dispositivos diferentes. 
 
A qualidade do som que permite ao ouvinte identificar a diferença entre os sons gerados pelos 
dispositivos é 
[A] a altura. 
[B] o timbre. 
[C] a intensidade. 
 
 
 
 
 
30 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
[D] o comprimento de onda. 
Comentários: 
[A] INCORRETA. As alturas das três ondas são iguais tendo em vista que a altura está relacionada com a 
frequência e, consequentemente, com o período que é igual nos três gráficos. Sendo assim, não é possível 
identificar a diferença entre os sons gerados pelos dispositivos. 
[B] CORRETA. Timbre é o formato da onda sonora e cada instrumento possui seu próprio modo de 
vibração que resulta na produção de um som característico e, com isso, podemos identificar a diferença 
entre os sons gerados pelos dispositivos. 
[C] INCORRETA. No gráfico podemos observar que todas as ondas possuem o mesmo valor de intensidade 
máxima. Sendo assim, não é possível identificar a diferença entre os sons gerados pelos dispositivos. 
[D] INCORRETA. Como a velocidade de propagação do som é o mesmo e, do gráfico, temos que a 
frequência delas é a mesma podemos concluir que as ondas terão o mesmo comprimento de onda. Sendo 
assim, não é possível identificar a diferença entre os sons gerados pelos dispositivos. 
Gabarito: B 
 (EsPCEx – 2000) 
A figura representa uma onda estacionária que se forma em um tubo sonoro fechado. Considerando 
a velocidade do som no ar de 340 m/s, a frequência, em Hz, do som emitido pelo tubo é de 
 
[A] 200,0 [B] 200,5 [C] 212,5 [D] 220,5 [E] 225,0 
Comentários: 
Pela figura apresentada, o comprimento de 2 metros do tubo comporta 5𝜆/4. 
5𝜆/4=2 
𝜆 = 1,6 𝑚 
Utilizando a equação fundamental da ondulatória, temos: 
𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑓 
340 = 1,6 ⋅ 𝑓 
𝑓 = 212,5 𝐻z 
Gabarito: C 
 (EN-2016) 
 
 
 
 
 
31 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
O motorista de um carro entra numa estrada reta, no sentido norte-sul, a 100km/h e dá um toque 
na buzina de seu carro que emite som isotropicamente na frequência de 1200Hz. Um segundo após, 
ele percebe um eco numa frequência de 840Hz. Sendo assim, o motorista NÃO pode incluir como 
hipótese válida, que há algum obstáculo 
a) em movimento à frente. b) que ficou para trás. 
c) parado à frente. d) com velocidade menor que a dele. 
e) com velocidade maior que a dele. 
Comentários: 
Como a frequência diminuiu, o carro deve estar se distanciando do obstáculo, a única alternativa 
que obrigatoriamente contempla uma aproximação é a C 
Gabarito: C 
 (EN-2019) 
Assinale a opção que completa corretamente as lacunas da sentença abaixo. 
Uma fonte sonora emitindo um som de frequência 𝑓 move-se em relação a um observador fixo. 
Sabendo-se que o observador percebe uma frequência 𝑓/2, é correto afirmar que a fonte se 
______________ do observador com ______________. 
a) Aproxima / o dobro da velocidade do som 
b) aproxima / metade da velocidade do som 
c) afasta / metade da velocidade do som 
d) aproxima / velocidade igual à velocidade do som 
e) afasta / velocidade igual à velocidade do som 
Comentários: 
Como a frequência diminui, a fonte está se distanciando. 
𝑓
2
= 𝑓 ⋅ (
𝑉𝑠
𝑉𝑠 + 𝑉𝑓
) 
𝑉𝑓 = 𝑉𝑠 
Gabarito: E 
 (EFOMM-2018) 
Uma fonte de 1020 Hz, posicionada na boca de um tubo de ensaio vazio, provoca ressonância no 
harmônico fundamental. Sabendo que o volume do tubo é 100 mL e que a velocidade do som no ar 
é 340 m/s, determine o intervalo que contém o raio R do tubo, em cm. 
(Dados: considere o tubo cilíndrico e 𝜋 = 3) 
a) 1,3 < R < 1,5 b) 1,6 < R < 1,8 c) 1,9 < R < 2,1 
d) 2,2 < R < 2,4 e) 2,5 < R < 2,7 
 
 
 
 
 
32 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Comentários: 
O primeiro harmônico de um tubo com uma extremidade aberta e uma fechada ocorre com: 
𝐿 =
𝜆
4
→ 𝜆 = 4𝐿 
Pela equação de onda: 
𝑣 = 𝜆𝑓 
340 = 4𝐿 ⋅ 1020 → 𝐿 =
1
12
𝑚 
Pelo volume do tubo: 
𝑉 = 𝜋𝑟2𝐿 
100 ⋅ 10−6 =
𝜋𝑟2
12
→ 𝑟 = 2⁡𝑐𝑚 
Gabarito: C 
 (EFOMM-2016) 
Um diapasão com frequência natural de 400 Hz é percutido na proximidade da borda de uma 
proveta graduada, perfeitamente cilíndrica, inicialmente cheia de água, mas que está sendo 
vagarosamente esvaziada por meio de uma pequena torneira na sua parte inferior. Observa-se que 
o volume do som do diapasão torna-se mais alto pela primeira vez quando a coluna de ar formada 
acima d’água atinge uma certa altura h. O valor de h, em centímetros, vale 
Dado: velocidade do som no ar vSom = 320 m/s 
a) 45 b) 36 c) 28 d) 20 e) 18 
Comentários: 
Para o primeiro harmônico para um tubo com uma extremidade aberta e uma fechada: 
ℎ =
𝜆
4
→ 𝜆 = 4ℎ 
Pela equação de onda: 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 320 = 4ℎ ⋅ 400 → ℎ = 20𝑐𝑚 
Gabarito: D 
 (EFOMM-2011) 
Uma fonte sonora emite som uniformemente em todas as direções, com uma potência em watts de 
40. Qual a leitura do nível de intensidade sonora, em decibéis, efetuada por um detector 
posicionado a 10 metros de distância da fonte? 
 
 
 
 
 
33 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Dado: Io = 10-12W/m2 
a) 150 b) 140 c) 130 d) 120 e) 110 
Comentários: 
A intensidade nessa posição vale: 
𝐼 =
𝑃
4𝜋𝑅2
=
40𝜋
(4𝜋 ⋅ 100)
= 10−1𝑊/𝑚2 
A intensidade em decibéis vale: 
𝑁 = 10 log (
𝐼
𝐼0
) = 10 ⋅ log(1011) = 110⁡𝑑𝐵 
Gabarito: E 
 (EFOMM-2010) 
O apito de um trem emite ondas sonoras de frequência f e comprimento de onda 𝜆. O trem se 
aproxima de um observador que se desloca sobre uma plataforma, de modo a se afastar do trem 
com velocidade inferior à do trem. As velocidades do trem e do observador são medidas em relação 
à plataforma. Se ambos estão em movimentonuma mesma direção, pode-se concluir que a 
frequência 𝑓𝐴 e o comprimento de onda 𝜆𝐴 do apito do trem, que o observador deve perceber, são 
a) fA < f e 𝜆𝐴 > 𝜆 b) fA > f e 𝜆𝐴 > 𝜆 c) fA > f e 𝜆𝐴 < 𝜆 
d) fA < f e 𝜆𝐴 < 𝜆 e) fA = f e 𝜆𝐴 > 𝜆 
Comentários: 
Como o observador se afasta, por efeito Doppler a frequência diminui e o comprimento de onda 
aumenta. 
Gabarito: D 
 (EFOMM-2008) 
Seja um rádio VHF de bordo operando com frequência portadora de 75 MHz. Ao visualizar este sinal 
estacionário, projetado sobre o convés de 400m do futuro navio ULOC (seiscentas mil toneladas), 
quantos dos seus picos positivos podem-se contar? 
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250 
Comentários: 
Pela equação de onda: 
𝑣 = 𝜆𝑓 
3 ⋅ 108 = 𝜆 ⋅ 75 ⋅ 106 → 𝜆 = 4𝑚 
A quantidade de picos positivos vale: 
 
 
 
 
 
34 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑛 =
400
4
= 100 
Gabarito: B 
 (EFOMM-2007) 
 
A figura acima representa uma onda sonora estacionária que se forma dentro de um tubo de 
escapamento de gases de combustão de um navio. Sabe-se que o comprimento do tubo é de 6,0 m 
e que a velocidade do som no ar é de 340 m/s. Desta forma, o comprimento de onda formado e a 
frequência do som emitido são, respectivamente, 
a) 2,0⁡𝑚; ⁡170⁡𝐻𝑧 b) 4,0⁡𝑚; ⁡85⁡𝐻𝑧 c) 5,0⁡𝑚; ⁡68⁡𝐻𝑧 
d) 6,0⁡𝑚; ⁡57⁡𝐻𝑧 e) 8,0⁡𝑚; ⁡42,5⁡𝐻𝑧 
Comentários: 
Pela figura: 
𝐿 = 2𝜆 → 𝜆 = 3𝑚 
Pela equação de onda: 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 340 = 3𝑓 → 𝑓 = 113⁡𝐻𝑧 
Gabarito: S/A 
 (Simulado AFA) 
Um observador verifica que a distância horizontal entre um vale e uma crista adjacente de ondas 
superficiais em um lago é de 3 m. A partir de certo instante (𝑡 = 0), ele notou que em intervalos de 
tempo uniformes, passaram 36 cristas em 40 segundos, sendo observada a última crista exatamente 
no instante 𝑡 = 40⁡𝑠. Dessa forma, a velocidade de propagação das ondas superficiais, em m/s, é 
de: 
(A) 5,0 (B) 5,2 (C) 5,4 (D) 5,6 
Comentários: 
 A distância entre um vale e uma crista corresponde a meio comprimento de onda. Portanto: 
𝜆
2
= 3 
𝜆 = 6⁡𝑚 
 Se são observadas 36 cristas em 40 s, então a distância total percorrida por nossas ondas é de: 
𝑑 = 36𝜆 = 36 ⋅ 6⁡𝑚 
 
 
 
 
 
35 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Para o intervalo de 40 s, então: 
𝑣 =
𝑑
Δ𝑡
=
36 ⋅ 6
40
 
∴ 𝑣 = 5,4⁡𝑚/𝑠 
Gabarito: C 
 
 
 
 
7. Lista de questões nível 2 
 (AFA – 2023) 
Uma cuba de ondas de profundidade constante, contém água até a altura 20 cm. A partir de 
determinado instante, dois estiletes, 𝐸1 e 𝐸2, que funcionam como fontes de ondas circulares, 
vibrando em oposição de fase com frequência de 5 Hz, produzem ondas de amplitudes de 2 cm com 
velocidade de superfície da água, que se propagam com velocidade de 10 cm/s. 
 
No ponto P, indicado na figura acima, uma rolha de cortiça ao ser atingida pelas duas ondas poderá 
ter sua posição vertical y, em função do tempo t, descrita pela equação 
(A) 𝑦 = 20, ∀𝑡 
(B) 𝑦 = 2 cos (10𝜋𝑡 +
𝜋
2
)⁡ 
(C) 𝑦 = 4 cos(10𝜋𝑡) 
(D) 𝑦 = 4 cos [2𝜋(5𝑡 + 35) +
3𝜋
2
] 
 (AFA-2019) 
 
 
 
 
 
36 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
A figura abaixo representa dois harmônicos A e B, de frequências, respectivamente, iguais a 𝑓𝐴 e 𝑓𝐵, 
que podem ser estabelecidos em uma mesma corda, fixa em suas extremidades, e tracionada por 
uma força de módulo F. 
 
Nessas condições, a mesma razão, entre as frequências 
𝑓𝐴
𝑓𝐵
, pode ser obtida entre as frequências das 
ondas estacionárias representadas nos tubos sonoros abertos e idênticos A’ e B’, indicados na opção 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
 (AFA-2018) 
Uma fonte sonora A, em repouso, emite um sinal sonoro de frequência constante 𝑓𝐴 = 100 Hz. Um 
sensor S desloca-se com velocidade constante 𝑉𝑆 = 80 m/s, em relação à Terra, sobre um plano 
perfeitamente retilíneo, em direção à fonte sonora, como mostra a Figura 1. 
O sensor registra a frequência aparente devido à sua movimentação em relação à fonte sonora e a 
reenvia para um laboratório onde um sistema de caixas sonoras, acopladas a três tubos sonoros, de 
comprimentos 𝐿1, 𝐿2e 𝐿3 , reproduz essa frequência aparente fazendo com que as colunas de ar 
desses tubos vibrem produzindo os harmônicos apresentados na Figura 2. 
 
Considere que o sensor se movimenta em um local onde a velocidade do som é constante e igual a 
320 m/s, que os tubos sonoros possuam diâmetros muito menores do que seus respectivos 
comprimentos e que a velocidade do som no interior desses tubos seja também constante e igual a 
320 m/s. Considere também que a fonte A e o ar estejam em repouso em relação à Terra. Nessas 
condições, é correto afirmar que os comprimentos 𝐿1, 𝐿2 e 𝐿3 , respectivamente, em metros, são 
 
 
 
 
 
37 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
a) 
16
25
,
48
25
,
16
5
 b) 
5
31
,
15
31
,
25
8
 
c) 
16
27
,
48
27
,
16
7
 d) 
16
27
,
48
27
,
19
9
 
 (AFA-2017) 
Duas fontes sonoras 1 e 2, de massas desprezíveis, que emitem sons, respectivamente, de 
frequências 𝑓1 = 570⁡𝐻𝑧 e 𝑓2 = 390⁡𝐻𝑧, são colocadas em um sistema, em repouso, constituído 
por dois blocos, A e B, unidos por um fio ideal e inextensível, de tal forma que uma mola ideal se 
encontra comprimida entre eles, como mostra a figura abaixo. 
 
A fonte sonora 1 está acoplada ao bloco A, de massa 2m, e a fonte sonora 2 ao bloco B, de massa 
m. Um observador O, estacionário em relação ao solo, dispara um mecanismo que rompe o fio. Os 
blocos passam, então, a se mover, separados da mola, com velocidades constantes em relação ao 
solo, sendo que a velocidade do bloco B é de 80 m/s. Considere que não existam forças dissipativas, 
que a velocidade do som no local é constante e igual a 340 m/s, que o ar se encontra em repouso 
em relação ao solo. Nessas condições, a razão entre as frequências sonoras percebidas pelo 
observador, devido ao movimento das fontes 2 e 1, respectivamente, é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 (AFA-2015) 
Um caminhão de 20 m de comprimento se movimenta ao longo de uma estrada retilínea e o registro 
de sua posição 𝑥, em quilômetros, em função do tempo 𝑡, em segundos, é apresentado no gráfico 
abaixo. 
 
Do instante inicial do movimento, 𝑡 = 0 até o tempo 𝑡1 , o caminhão, partindo do repouso, desloca-
se em movimento retilíneo uniformemente variado. A partir desse tempo 𝑡1 , no entanto, o 
caminhão inicia a travessia de uma ponte retilínea de 380 metros de extensão mantendo velocidade 
constante até que a atravesse completamente no tempo 𝑡2 = 120𝑠 . Considere que, durante a 
travessia, o caminhão emita um sinal sonoro de frequência constante igual a 160⁡𝐻𝑧⁡e que esse 
sinal se propague com velocidade de 340⁡𝑚/𝑠 pelo ar, o qual se encontra em repouso em relação 
à terra. Nessas condições, um observador parado no final da ponte ouvirá o sinal sonoro emitido 
pelo caminhão que se aproxima com uma frequência, em hertz, dada por 
 
 
 
 
 
38 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
a) 170 b) 180 c) 190 d) 200 
 (AFA-2013) 
Ondas sonoras são produzidas por duas cordas 𝐴 e 𝐵 próximas, vibrando em seus modos 
fundamentais, de tal forma que se percebe 𝑥 batimentos sonoros por segundo como resultado da 
superposição dessas ondas. As cordas possuem iguais comprimentos e densidades lineares sempre 
constantes, mas são submetidas a diferentes tensões. Aumentando-se lentamente a tensão na 
corda 𝐴, chega-se a uma condição onde a frequência de batimento é nula e ouve-se apenas uma 
única onda sonora de frequência 𝑓. Nessas condições, a razão entre a maior e a menor tensão na 
corda 𝐴 é 
a) 
𝑓
𝑓+𝑥
 b) 
𝑓
𝑓−𝑥
 c) (
𝑓
𝑓−𝑥
)
2
 d) (
𝑓
𝑓−𝑥
)
1
2
 
 (AFA-2011) 
Um diapasão de frequência conhecida igual a 340⁡𝐻𝑧 é posto a vibrar continuamente próximo à 
boca de um tubo, de 1⁡𝑚 de comprimento, que possui em sua base um dispositivo que permite a 
entrada lenta e gradativade água como mostra o desenho abaixo 
Quando a água no interior do tubo atinge uma determinada altura ℎ a partir da base, o som emitido 
pelo tubo é muito reforçado. Considerando a velocidade do som no local de 340⁡𝑚/𝑠, a opção que 
melhor representa as ondas estacionárias que se formam no interior do tubo no momento do 
reforço é 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
 (EN – 2021) 
Um atleta de triátlon treina pedalando em uma via com velocidade constante, quando uma viatura 
da polícia rodoviária, em perseguição a outro veículo, aproxima-se com a sirene ligada. Quando a 
viatura ultrapassa o ciclista afastando-se dele, este passa a ouvir a sirene com uma frequência de 
valor 5/6 da frequência que ele ouvia antes, com a viatura se aproximando. Sabendo que o atleta e 
a viatura estavam no mesmo sentido e a viatura estava a uma velocidade constante de 144 km/h, 
qual era a velocidade aproximada do ciclista? (Dado: velocidade do som = 340 m/s) 
(A) 3,2 m/s (B) 6,4 m/s (C) 8,4 m/s 
(D) 9,2 m/s (E) 10 m/s 
 
 
 
 
 
39 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 (EN-2018) 
Analise a figura abaixo. 
 
A figura acima mostra um tubo de 1,0 m de comprimento, aberto nas extremidades e em repouso. 
Considere que o terceiro harmônico é produzido no tubo e parte do som que escapa é captado no 
detector D, que se afasta em linha reta. Qual é a razão, 𝑣𝐷/𝑣𝑠, entre a velocidade do detector, 𝑣𝐷, 
e a velocidade do som, 𝑣𝑠, para que a frequência do som captado seja igual à frequência 
fundamental do tubo? 
a) 1/3 b) 1/2 c) 3/5 d) 3/4 e) 2/3 
 (EN-2017) 
Analise a figura abaixo. 
 
A figura acima ilustra quatro fontes sonoras pontuais (F1, F2, F3, e F4). isotrópicas, uniformemente 
espaçadas de d⁡ = ⁡0,2⁡m, ao longo do eixo x. Um ponto P também é mostrado sobre o eixo x. As 
fontes estão em fase e emitem ondas sonoras na frequência de 825⁡Hz, com mesma amplitude A e 
mesma velocidade de propagação, 330⁡m/s. Suponha que, quando as ondas se propagam até P, 
suas amplitudes se mantêm praticamente constantes. Sendo assim a amplitude da onda resultante 
no ponto P é 
a) zero b) A/4 c) A/2 d) A e) 2A 
 (EN-2014) 
Dois fios de mesmo comprimento e mesma seção reta estão soldados por uma de suas extremidades 
(ponto P) , formando um fio composto. A massa específica do primeiro trecho de fio é ρ1 =
2,7g/cm3 e do segundo trecho é ρ2 = 7,5g/cm
3. O fio composto, bem esticado e fixo nas duas 
extremidades, é submetido a uma fonte externa de frequência variável. Observa-se assim, que 
ondas estacionárias são excitadas no fio. Algumas fotos foram tiradas durante a oscilação de 
algumas dessas ondas. 
Analise os perfis de ondas estacionárias abaixo. 
 
 
 
 
 
40 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Dos perfis exibidos acima, quais podem pertencer à coleção de fotos a que se refere o parágrafo 
acima? 
a) Somente o perfil I. b) Somente o perfil II. c) Somente o perfil III. 
d) Os perfis I e IV. e) Os perfis I, II e IV. 
 (EN-2013) 
Uma fonte sonora, emitindo um ruído de frequência f = 450Hz, move-se em um círculo de raio igual 
a 50,0 cm, com uma velocidade angular de 20,0 rad/s. Considere o módulo da velocidade do som 
igual a 340 m/s em relação ao ar parado. A razão entre a menor e a maior frequência 
(fmenor/f maior) percebida por um ouvinte posicionado a uma grande distância e, em repouso, em 
relação ao centro do círculo, é 
A. 33/35 B. 35/33 C. 1 D. 9/7 E. 15/11 
 (EN-2011) 
Uma fonte sonora F emite ondas na frequência de 600⁡Hz. A fonte e dois detectores A e B, em seus 
veículos, movem-se no plano XY. Num certo instante, temos: a fonte F na posição (0; 60m) e com 
velocidade V⃗⃗ F = 40. î⁡ + ⁡20. ĵ(m/s); o detector A na posição (70m; 60m) e com velocidade V⃗⃗ A = 
−10. î ⁡+ ⁡30. ĵ(m/s) e o detector B na posição (0; 90 m) e com velocidadeV⃗⃗ B =⁡20. î + ⁡20. ĵ(m/⁡s)⁡. 
Considere o módulo da velocidade do som igual a 340m/s, em relação ao ar parado. A razão entre 
as frequências recebidas pelos detectores A e B (fA/⁡fB⁡), no instante considerado, é 
a) 7/ 6 b) 3/ 4 c) 5/ 4 d) 6/ 7 e) 4/ 5 
 (EN-2011) 
Uma onda estacionária é formada em um segmento horizontal, de comprimento igual a 30⁡cm, de 
uma corda tracionada por um contrapeso de massa igual a 5,0.102 gramas. A equação da onda 
estacionária é dada pela expressão: y(x, t) = ⁡5,0. sen(⁡(80π/⁡3). x). cos(⁡(200π/⁡3). t) ( onde x 
está medido em metros, y em centímetros e t em segundos) . O número de nós (ou nodos) na corda 
e a sua densidade linear (em g/cm) , respectivamente, são 𝐃𝐚𝐝𝐨:⁡|⁡𝐠⁡| ⁡= ⁡𝟏𝟎𝐦/⁡𝐬². 
a) 8 e 8,0 b) 7 e 6,2 c) 10 e 7,0 d) 11 e 7,0 e) 9 e 8,0 
 
 
 
 
 
41 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 (EN-2011) 
Uma corda isolante de massa 𝐦 e comprimento 𝐋 está esticada, com as extremidades presas a um 
diapasão e à placa (2) de um capacitor plano de placas paralelas, a vácuo. A área de cada placa do 
capacitor é A e, inicialmente, ele está carregado com carga elétrica de valor absoluto igual a 400⁡µC. 
A placa (1) do capacitor está fixa e a placa (2) pode se mover somente na direção horizontal, entre 
duas guias não representadas na figura. Despreze os atritos. A frequência de vibração do diapasão 
é igual a 300 Hz e a corda está oscilando no 3° harmônico (conforme a figura abaixo). Para que a 
corda oscile no 2° harmônico, o valor absoluto da nova carga elétrica (em µC) que o capacitor deve 
possuir é 
 
a) 600 b) 570 c) 550 d) 520 e) 500 
 (EN-2010) 
Na figura abaixo, uma corda inextensível ABC (densidade linear igual a 20,0⁡g/m) tem uma 
extremidade presa na parede e, depois de passar por uma polia ideal, é tracionada por uma pequena 
esfera metálica (1) , que possui massa m1 =
0,700
√3
⁡kg e carga elétrica q1 =⁡+⁡2,50⁡µC. Outra 
pequena esfera metálica (2), de mesmo raio, está presa na base do plano inclinado, possuindo massa 
m2 = ⁡0,500⁡kg e carga elétrica q2 =⁡−⁡2,00⁡µC. Sabe-se que: a distância entre os centros das 
esferas é de 10,0 cm, o meio entre as esferas possui constante eletrostática K⁡ = ⁡9,0.109 N.m2/
C2 e o trecho AB da corda, de comprimento igual a 50,0 cm, vibra num padrão de onda estacionária 
de frequência igual a 100 Hz. O harmônico correspondente é o Dado: | g | ⁡= ⁡10,0⁡m/⁡s 2⁡ 
 
a) Primeiro. b) segundo. c) terceiro. 
d) quinto. e) sexto. 
 (EN-2010) 
Um detector de ondas sonoras D passa pelo ponto A, localizado no eixo x, em direção ao ponto B, 
localizado no eixo y, com velocidade v constante, como indicado na figura abaixo. O vetor 
velocidade faz um ângulo a acima da horizontal. Uma fonte sonora F, em repouso, localizada na 
origem do sistema de eixos, emite ondas sonoras que se propagam no ar parado com velocidade 
constante vs. Sabendo que as frequências captadas pelo detector ao passar por A e B são, 
respectivamente, fA e fB, a razão entre a diferença de frequências, fA −⁡fB, e a frequência da onda 
emitida pela fonte é 
 
 
 
 
 
42 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
a) (⁡v⁡/⁡vs⁡ ) . (⁡senα⁡ + ⁡cosα⁡) b) (v⁡/⁡vs) . (cosα⁡ − ⁡senα) 
c) (⁡v⁡/⁡vs ) . 2senα⁡ d) 2. (⁡v⁡/⁡vs ) 
e) (⁡v⁡/⁡vs )⁡. 2. cosα 
 (EN-2009) 
Na figura, um fio de densidade linear µ2 e comprimento está soldado nas suas extremidades a dois 
fios de mesma densidade linear µ𝑖 e de comprimentos - O fio composto está preso em uma de suas 
extremidades (ponto P) a um oscilador senoidal de freqüência variável e na outra extremidade a um 
ponto fixo Q. Verifica-se que, para uma certa freqüência do oscilador, forma-se uma onda 
estacionária com 7 nós, tendo os pontos de solda e o ponto Q como nós . No ponto P, a amplitude 
de oscilação é suficientemente pequena para que este ponto também seja um nó. Considere que 
𝐿3 = ⁡3𝐿1 = ⁡2𝐿2. Qual a razão 
𝜇2
𝜇1
? 
 
a) 9/2 b) 7/3 c) 16/9 d) 17/11 e) 13/7 
 (EN-2008) 
Uma pessoa está parada na beira de uma rodovia quando percebe que a frequência do som emitido 
pela buzina de um veículovaria de 360⁡𝐻𝑧 para 300⁡𝐻𝑧, à medida que o veiculo passa por ele. 
Considerando o ar parado (sem vento), os movimentos na mesma reta e a velocidade do som no ar 
de módulo igual a 330⁡𝑚/𝑠, o módulo da velocidade do veículo, em 𝑘𝑚/ℎ, é 
(A) 100 (B) 108 (C) 110 (D) 112 (E) 115 
 (EFOMM – 2021) 
Uma fonte de ondas sonoras emite uma onda com 440 Hz de frequência em direção a um objeto 
que dela se afasta. A onda, após ser refletida pelo objeto, retorna à fonte. que mede o novo valor 
de 272 Hz para sua frequência. Considere que o objeto e a fonte estão sempre em uma mesma reta 
e que a velocidade do som no ar vale 340 m/s. Quanto vale, em m/s, o módulo da velocidade do 
 
 
 
 
 
43 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
objeto? 
(A) 60 (B) 64 (C) 72 (D) 80 (E) 88 
 (EFOMM-2020) 
Ana brinca em um balanço, enquanto segura um diapasão vibrando a 520 Hz. O ponto mais alto de 
sua trajetória pendular está a 1,25 metros de altura em relação ao ponto mais baixo. Enquanto isso, 
Beatriz, de altura semelhante a Ana e localizada em um ponto distante à frente do brinquedo, corre 
em direção à amiga com velocidade constante de 2 m/s. Supondo que o movimento oscilatório de 
Ana ocorre sem perda de energia, qual valor mais se aproxima da maior frequência que Beatriz irá 
ouvir durante sua trajetória? Considere g = 10 m/s2 e vsom=343 m/s. 
a) 531 Hz b) 533 Hz c) 535 Hz d) 536 Hz e) 538 Hz 
 (EFOMM-2017) 
Uma corda ideal está atada a um diapasão que vibra com frequência f1 e presa a um corpo de massa 
m = 2,5 kg, conforme a figura 1. A onda estacionária que se forma possui 6 ventres que formam 3,0 
m de comprimento. 
 
Um diapasão de frequência f2 é posto a vibrar na borda de um tubo com água, conforme a figura 2. 
 
O nível da água vai diminuindo e, na altura de 42,5 cm, ocorre o primeiro aumento da intensidade 
sonora. Desprezando os atritos e considerando a roldana ideal, a razão entre as frequências f2 e f1 
é de aproximadamente: 
Dado: densidade linear da corda = 250 g/m. 
A. 2,0 B. 4,0 C. 20,0 D. 40,0 E. 60,0 
 (EFOMM-2012) 
Um fio de nylon de comprimento L = 2,00 m sustenta verticalmente uma bola de metal que tem 
densidade absoluta de 4,00.103 kg/m3. A frequência fundamental das ondas estacionárias que se 
formam no fio é 300 Hz. Se então, a bola for totalmente imersa em água, a nova frequência 
fundamental, em hertz é: Dado: massa específica da água = 1,00.103 kg/m3 
 
 
 
 
 
44 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Dado: massa específica da água = 1,00.103 kg/m3 
a) 75,0 b) 75,0 √2 c) 150 √3 d) 175 √2 e) 200 √2 
 (EFOMM-2012) 
Um atleta parado em um cruzamento ouve o som, de frequência igual a 650 Hz, proveniente da 
sirene de uma ambulância que se aproxima. Imediatamente após a passagem da ambulância pelo 
cruzamento, o atleta ouve o som da mesma sirene na frequência de 550 Hz. Considerando o ar sem 
vento e todos os movimentos na mesma direção, a velocidade da ambulância, em km/h é 
Dado: velocidade do som no ar = 340 m/s 
a) 80,0 b) 90,0 c) 93,0 d) 102 e) 110 
 (ITA 2011) 
O tubo mais curto de um órgão típico de tubos tem um comprimento de aproximadamente 7 cm. 
Qual é o harmônico mais alto na faixa audível, considerada como estando entre 20 Hz e 20.000 Hz, 
de um tubo deste comprimento aberto nas duas extremidades? 
 (ITA-2007) 
Numa planície, um balão meteorológico com um emissor e receptor de som é arrastado por um 
vento forte de 40 m/s contra a base de uma montanha. A frequência do som emitido pelo balão é 
de 570 Hz e a velocidade de propagação do som no ar é de 340 m/s. Assinale a opção que indica a 
frequência refletida pela montanha e registrada no receptor do balão. 
a) 450 Hz b) 510 Hz c) 646 Hz d) 722 Hz e) 1292 Hz 
 (ITA-2007) 
A figura mostra dois alto-falantes alinhados em fase por um amplificador de áudio na frequência de 
170 Hz. Considere que seja desprezível a variação da intensidade do som de cada um dos alto-
falantes com a distância e que a velocidade do som é de 340 m/s. A maior distância entre dois 
máximos de intensidade da onda sonora formada entre os alto-falantes é igual a 
 
a) 2 m b) 3 m c) 4 m d) 5 m e) 6 m 
 (ITA-2006) 
Considere duas ondas que se propagam com frequências 𝑓1 e 𝑓2, ligeiramente diferentes entre si, e 
mesma amplitude A, cujas equações são respectivamente 𝑦1(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓1𝑡) e 𝑦2(𝑡) =
𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓2𝑡). Assinale a opção que indica corretamente: 
 Amplitude máxima da 
onda resultante 
Frequência da 
onda resultante 
Frequência 
de batimento 
a) 
𝐴√2 𝑓1 + 𝑓2 
⁡⁡𝑓1 − 𝑓2
2
 
b) 
2𝐴 
⁡𝑓1 + 𝑓2
2
 
⁡⁡𝑓1 − 𝑓2
2
 
 
 
 
 
 
45 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
c) 
2𝐴 
⁡𝑓1 + 𝑓2
2
 𝑓1 − 𝑓2 
d) 𝐴√2 𝑓1 + 𝑓2 𝑓1 − 𝑓2 
e) 
𝐴 
⁡𝑓1 + 𝑓2
2
 𝑓1 − 𝑓2 
 (ITA-2005) 
São de 100 Hz e 125 Hz, respectivamente, as frequências de duas harmônicas adjacentes de uma 
onda estacionária no trecho horizontal de um cabo esticado, de comprimento 𝑙 = 2⁡𝑚 e densidade 
linear de massa igual a 10 g/m (veja a figura). Considerando a aceleração da gravidade 𝑔 = 10⁡𝑚/𝑠², 
a massa do bloco suspenso deve ser de: 
a) 10 kg 
b) 16 kg 
c) 60 kg 
d) 100 kg 
e) 10000 kg 
 (ITA – 2020) 
Um violão é um instrumento sonoro de seis cordas de diferentes propriedades, fixas em ambas as 
extremidades, acompanhadas de uma caixa de ressonância. Diferentes notas musicais são 
produzidas tangendo uma das cordas, podendo-se ou não alterar o seu comprimento efetivo, 
pressionando-a com os dedos em diferentes pontos do braço do violão. A respeito da geração de 
sons por esse instrumento são feitas quatro afirmações: 
I. Cordas mais finas, mantidas as demais propriedades constantes, são capazes de produzir notas 
mais agudas. 
II. O aumento de 1,00% na tensão aplicada sobre uma corda acarreta um aumento de 1,00% na 
frequência fundamental gerada. 
III. Uma corda de nylon e uma de aço afinadas na mesma frequência fundamental, geram sons de 
timbres distintos. 
IV. Ao pressionar uma corda do violão, o musicista gera um som de frequência maior e comprimento 
de onda menor em comparação ao som produzido pela corda tocada livremente. 
Considerando V como verdadeira e F como falsa, as afirmações I, II, III e IV são, respectivamente: 
A) 𝑉⁡𝑉⁡𝑉⁡𝑉 B) 𝐹⁡𝑉⁡𝑉⁡𝑉 C) 𝑉⁡𝐹⁡𝑉⁡𝑉 D) 𝑉⁡𝑉⁡𝐹⁡𝑉 E) 𝑉⁡𝑉⁡𝑉⁡𝐹 
 (ITA – 2022) 
Muitos instrumentos musicais, como o piano, geram sons a partir da excitação de cordas com 
extremidades fixas. Ao pressionar uma tecla do piano, um dispositivo mecânico percute uma corda 
tensionada, produzindo uma onda sonora. O som produzido pelo piano em um determinado 
instante de tempo é captado e a sua decomposição espectral é fornecida no gráfico a seguir, à 
respeito do qual são feitas três sentenças. 
I. Para gerar um espectro sonoro dessa natureza é necessário acionar 5 teclas do piano. 
II. A velocidade de propagação de cada nota no ar é proporcional à sua frequência característica. 
 
 
 
 
 
46 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
III. A frequência fundamental da corda, sujeita a uma tensão T é inversamente proporcional à sua 
densidade linear de massa. 
 
Assinale a alternativa correta. 
A ( ) As sentenças I, II e III são falsas. 
B ( ) Apenas a sentença I é verdadeira. 
C ( ) Apenas a sentença II é verdadeira. 
D ( ) Apenas sentença II é verdadeira. 
E ( ) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. 
 (IME – 2021) 
 
A tabela mostra a velocidade 𝑣 do som, a 20 °C e 1 atm, em seis gases diferentes. Quando um tubo 
aberto em uma das extremidades é enchido com oxigênio, a frequência do primeiro harmônico do 
som produzido pelo tubo é 163 Hz. Quando o oxigênio é substituído por um dos cinco gases 
restantes, a frequência do quinto harmônico do som produzido pelo tubo é 2517,5 Hz. Isso significa 
que o gás escolhido para o segundo experimento foi o: 
(A) argônio (B) criptônio (C) hélio (D) hidrogênio (E)xenônio 
 (IME – 2022) 
Para determinar a temperatura de um gás ideal, este foi inserido num tubo de comprimento 𝐿 com 
uma extremidade aberta e a outra fechada. Na extremidade fechada, foi colocado um pequeno alto-
falante, que emite uma frequência 𝑓0 no estado fundamental. 
Dados: 
Massa mola do gás: 𝑀; 
 
 
 
 
 
47 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Coeficiente de Poisson: 𝛾: 
Número pertencente ao conjunto dos números naturais: 𝑛; e 
Constante universal dos gases perfeitos: 𝑅. 
Diante do exposto, determine: 
a) a temperatura absoluta do gás; e 
b) a razão entre a temperatura do gás original e de um novo gás, cuja massa molar �̅� é maior que a 
massa molar 𝑀 do gás original, mantendo a mesma razão entre a pressão e a massa específica do 
gás anterior (considere que todo o gás do item a) foi retirado). 
 (Simulado AFA) 
Uma corda é presa entre duas paredes verticais. Quando a tração na corda é aumentada em 2,5 N, 
a frequência fundamental é alterada na razão 3/2. Assim, a tração inicial na corda, em N, é de: 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 
 (Simulado EFOMM) 
Um trem e um automóvel viajam em vias paralelas, em mesma direção e sentido, estando o trem 
logo atrás do automóvel. Sabe-se que as velocidades do trem e do carro valem, respectivamente, 
60 m/s e 40 m/s. Em um dado instante, o máquina do trem toca o sino da locomotiva, que emite 
um som com um comprimento de onde de 15 m. Se a velocidade do som no ar é de 340 m/s, então 
o comprimento de onda percebido pelo motorista no automóvel é de: 
(A) 12 m (B) 14 m (C) 15 m (D) 16 m (E) 18 m 
 (Simulado EN) 
Uma fonte emite ondas sonoras com comprimento de onda de 17⁡𝑚. Se essa fonte é colocada para 
se movimentar com velocidade de 68⁡
𝑚
𝑠
 entre duas paredes paralelas, surgem batimentos entre os 
ecos. Assinale a opção que contém a frequência desses batimentos. 
Obs.: 𝑣𝑠𝑜𝑚 = 340⁡
𝑚
𝑠
 
(A) 4⁡𝐻𝑧 (B) 8⁡𝐻𝑧 (C) 8,3⁡𝐻𝑧 (D) 5⁡𝐻𝑧 (E) 3,3⁡𝐻𝑧 
 (Simulado EN) 
Um instrumento de sopro (semelhante a um tubo sonoro aberto), numa nota específica, forma uma 
onda estacionária no 4°⁡harmônico. Se o comprimento do tubo é de 17⁡𝑐𝑚 e a velocidade do som 
é de 340⁡
𝑚
𝑠
, assinale a opção que apresenta corretamente a frequência emitida pelo referido 
instrumento. 
(A) 2000⁡𝐻𝑧 (B) 500⁡𝐻𝑧 (C) 1000⁡𝐻𝑧 (D) 4000⁡𝐻𝑧 (E) 8000⁡𝐻𝑧 
 (Simulado EN) 
Dois diapasões produzem um batimento de 4⁡𝐻𝑧, quando eles são colocados para vibrar juntos. Por 
outro lado, quando eles estão se movendo, com velocidade 𝑢, em direção a um observador, a 
frequência de batimentos é de 5 Hz. Se o observador se move também com velocidade 𝑢 também 
se mover com velocidade 𝑢 em direção aos diapasões, então o batimento por ele observada agora, 
em hertz, será de: 
(A) 4,5 (B) 7,5 (C) 6,0 (D) 5,5 (E) 8,0 
 
 
 
 
 
48 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 (Simulado EN) 
Um carro se move com velocidade de 𝑣. Quando ele toca a buzina entre dois ouvintes A e B, o 
módulo da diferença entre os comprimentos de onda percebidos pelos ouvintes, em metros, é de: 
Adote: o comprimento de onda próprio da buzina é de 𝜆0, os observadores estão em repouso em 
relação a Terra e a velocidade do som no ar é de 𝑣𝑠. 
 
(A) 
𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 (B) 
2𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 (C) 
𝑣𝑠
𝑣
𝜆0 (D) 
𝑣𝑠
2𝑣
𝜆0 (E) 
4𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 
 (Simulado EN) 
Analise a figura abaixo. 
 
Na figura em questão, existem duas cordas, AB e BC, tal que a relação entre as massas das cordas 
são 
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐶
=
1
8
. Quando o diapasão oscila com uma frequência constante, a relação entre os 
comprimentos de onda 𝜆𝐴𝐵/𝜆𝐵𝐶 é igual a: 
(A) 1/2 (B) 2 (C) 1 (D) 1/3 (E) 1/4 
 (Simulado EN) 
Próximo a uma coluna de ar sobre um líquido é colocado um diapasão, de frequência 100 Hz, a 
oscilar, conforme mostra a figura abaixo. 
 
Se a velocidade do som no ar é de 340 m/s, então a diferença entre os comprimentos das duas 
primeiras colunas ar que estão em ressonância com o diapasão, em m, é de: 
(A) 0,8 (B) 1,2 (C) 1,7 (D) 2,8 (E) 3,4 
 (Simulado EN) 
 
 
 
 
 
49 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Uma corda de violino tem 50 cm de comprimento entre seus extremos fixos e sua massa é de 1 g. 
Quando toca a corda, a nota pura lá (440 Hz) é notada. A que distância, em m, de uma das 
extremidades deve-se posicionar o dedo para que a nota gerada seja um dó puro (528 Hz)? 
(A) 1/12 (B) 1/8 (C) 2/7 (D) 3/10 (E) 2/9 
 (Simulado EN) 
Duas cordas, 1 e 2, unidas no ponto B e com extremidades fixas em A e C, possuem densidades 
lineares de massa iguais a 𝜇 e 4𝜇, respectivamente. Em um dado instante, origina em A um pulso 
que chega em B após 1 s. Quanto tempo levará o pulso para ir de A até C? 
 
(A) 3 s (B) 4 s (C) 5 s (D) 6 s (E) 7 s 
 (Simulado EN) 
Uma fonte sonora emite ondas de frequência iguais a 1200 Hz. A fonte está viajando com velocidade 
de 30 m/s em direção a leste. Existe uma grande superfície refletora logo a frente da fonte, que está 
viajando a uma velocidade de 60 m/s em direção a oeste. Sabe-se que a velocidade do som no ar é 
de 330 m/s. o número de ondas que chegam a superfície refletora por segundo é igual a: 
(A) 1320 (B) 1360 (C) 1480 (D) 1560 (E) 1620 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
8. Gabarito sem comentários nível 2 
1) A 
2) D 
3) A 
4) A 
5) A 
6) C 
7) D 
8) D 
9) E 
10) A 
11) E 
12) A 
13) A 
14) E 
15) A 
16) D 
17) A 
18) C 
19) B 
20) D 
21) A 
22) C 
23) C 
24) D 
25) N = 8 
26) D 
27) E 
28) C 
29) A 
30) C 
31) A 
32) C 
33) a) 𝑇 = (
4𝐿
2𝑛+1
⋅ 𝑓0)
2
⋅
𝑀
𝛾⋅𝑅
 b) 
𝑇1
𝑇2
=
𝑀
�̅�
 
34) B 
35) B 
36) C 
37) D 
38) C 
39) B 
40) B 
41) C 
42) A 
43) C 
44) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
9. Lista de questões nível 2 comentada 
 (AFA – 2023) 
Uma cuba de ondas de profundidade constante, contém água até a altura 20 cm. A partir de 
determinado instante, dois estiletes, 𝐸1 e 𝐸2, que funcionam como fontes de ondas circulares, 
vibrando em oposição de fase com frequência de 5 Hz, produzem ondas de amplitudes de 2 cm com 
velocidade de superfície da água, que se propagam com velocidade de 10 cm/s. 
 
No ponto P, indicado na figura acima, uma rolha de cortiça ao ser atingida pelas duas ondas poderá 
ter sua posição vertical y, em função do tempo t, descrita pela equação 
(A) 𝑦 = 20, ∀𝑡 
(B) 𝑦 = 2 cos (10𝜋𝑡 +
𝜋
2
)⁡ 
(C) 𝑦 = 4 cos(10𝜋𝑡) 
(D) 𝑦 = 4 cos [2𝜋(5𝑡 + 35) +
3𝜋
2
] 
Comentários: 
 De acordo com o enunciado, temos que o comprimento de onda é dado por: 
𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑓 
10
𝑐𝑚
𝑠
= 𝜆 ⋅ 5⁡𝐻𝑧 
𝜆 = 2⁡𝑐𝑚 
 Dessa maneira, olhando para a diferença de caminhos para as ondas provenientes de 𝐸1, vemos 
que ela percorre 70 cm. Para 𝐸2, a diferença de caminhos é de 40 cm. Assim, a diferença de caminhos é 
de 30 cm e quando dividido por metade do comprimento de onda (
𝜆
2
= 1), então encontramos um número 
par. Assim, como as fontes estão em oposição de fase, então em P sempre teremos interferência 
destrutiva. Portanto, a posição de P é y = 20 cm, para qualquer instante de tempo t. 
 
 
 
 
 
52 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Gabarito: A 
 (AFA-2019) 
A figura abaixo representa dois harmônicos A e B, de frequências, respectivamente, iguais a 𝑓𝐴 e 𝑓𝐵, 
que podem ser estabelecidos em uma mesma corda, fixa em suas extremidades, e tracionada por 
uma força de módulo F. 
 
Nessas condições, a mesma razão, entre as frequências 
𝑓𝐴
𝑓𝐵
, pode ser obtida entre as frequências das 
ondas estacionárias representadas nos tubos sonoros abertos e idênticos A’ e B’, indicados na opção 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
Comentários: 
Em A, temos que 
𝜆𝐴 = 𝐿 
Em B temos que: 
3
2
𝜆𝐵 = 𝐿 
Logo: 
𝜆𝐴
𝜆𝐵
=
3
2
 
Como a calcular o sistema com a mesma razão entrefrequências é o mesmo que calcular o sistema 
com a mesma razão entre comprimentos de onda, seguir desse modo: 
Para a alternativa A): 
𝜆𝐴′ = 𝐿 
 
 
 
 
 
53 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝜆𝐵′ =
𝐿
2
 
𝜆𝐴′
𝜆𝐵′
= 2 
Para a alternativa B): 
𝜆𝐴′ = 2𝐿 
𝜆𝐵′ = 𝐿 
𝜆𝐴′
𝜆𝐵′
= 2 
Para a alternativa C): 
𝜆𝐴′ = 2𝐿 
𝜆𝐵′ =
2𝐿
3
 
𝜆𝐴′
𝜆𝐵′
= 3 
Para a alternativa D): 
𝜆𝐴′ = 𝐿 
𝜆𝐵′ =
2𝐿
3
 
𝜆𝐴′
𝜆𝐵′
=
3
2
 
A única alternativa plausível é D. 
Gabarito: D 
 (AFA-2018) 
Uma fonte sonora A, em repouso, emite um sinal sonoro de frequência constante 𝑓𝐴 = 100 Hz. Um 
sensor S desloca-se com velocidade constante 𝑉𝑆 = 80 m/s, em relação à Terra, sobre um plano 
perfeitamente retilíneo, em direção à fonte sonora, como mostra a Figura 1. 
O sensor registra a frequência aparente devido à sua movimentação em relação à fonte sonora e a 
reenvia para um laboratório onde um sistema de caixas sonoras, acopladas a três tubos sonoros, de 
comprimentos 𝐿1, 𝐿2e 𝐿3 , reproduz essa frequência aparente fazendo com que as colunas de ar 
desses tubos vibrem produzindo os harmônicos apresentados na Figura 2. 
 
 
 
 
 
54 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Considere que o sensor se movimenta em um local onde a velocidade do som é constante e igual a 
320 m/s, que os tubos sonoros possuam diâmetros muito menores do que seus respectivos 
comprimentos e que a velocidade do som no interior desses tubos seja também constante e igual a 
320 m/s. Considere também que a fonte A e o ar estejam em repouso em relação à Terra. Nessas 
condições, é correto afirmar que os comprimentos 𝐿1, 𝐿2 e 𝐿3 , respectivamente, em metros, são 
a) 
16
25
,
48
25
,
16
5
 b) 
5
31
,
15
31
,
25
8
 
c) 
16
27
,
48
27
,
16
7
 d) 
16
27
,
48
27
,
19
9
 
Comentários: 
Pela figura, vemos que os comprimentos dos tubos estão na razão 1:3:5, o que exclui 
imediatamente as alternativas C e D. 
O sensor sonoro nesse caso age como observador Doppler: 
𝑓′ =
𝑣𝑠𝑜𝑚 ± 𝑣𝑜
𝑣𝑠𝑜𝑚 ± 𝑣𝑓
⋅ 𝑓 
Como a aproximação do observador aumenta a frequência percebida, temos o sinal positivo na 
parte de cima 
𝑓′ =
80 + 320
320
⋅ 100 = 125⁡𝐻𝑧 
𝜆′ =
𝑣𝑠𝑜𝑚
𝑓′
=
320
125
=
64
25
𝑚 
𝐿1 =
𝜆′
4
=
16
25
𝑚 
𝐿2 =
3𝜆′
4
=
48
25
𝑚 
𝐿3 =
5𝜆′
4
=
16
5
𝑚 
Gabarito: A 
 (AFA-2017) 
 
 
 
 
 
55 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Duas fontes sonoras 1 e 2, de massas desprezíveis, que emitem sons, respectivamente, de 
frequências 𝑓1 = 570⁡𝐻𝑧 e 𝑓2 = 390⁡𝐻𝑧, são colocadas em um sistema, em repouso, constituído 
por dois blocos, A e B, unidos por um fio ideal e inextensível, de tal forma que uma mola ideal se 
encontra comprimida entre eles, como mostra a figura abaixo. 
 
A fonte sonora 1 está acoplada ao bloco A, de massa 2m, e a fonte sonora 2 ao bloco B, de massa 
m. Um observador O, estacionário em relação ao solo, dispara um mecanismo que rompe o fio. Os 
blocos passam, então, a se mover, separados da mola, com velocidades constantes em relação ao 
solo, sendo que a velocidade do bloco B é de 80 m/s. Considere que não existam forças dissipativas, 
que a velocidade do som no local é constante e igual a 340 m/s, que o ar se encontra em repouso 
em relação ao solo. Nessas condições, a razão entre as frequências sonoras percebidas pelo 
observador, devido ao movimento das fontes 2 e 1, respectivamente, é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
Comentários: 
Como não existe força externa agindo no sistema, temos conservação da quantidade de 
movimento: 
𝑚𝑎𝑣𝑎 = 𝑚𝑏𝑣𝑏 
2𝑚𝑣𝑎 = 𝑚 ⋅ 80 
𝑣𝑎 = 40
𝑚
𝑠
 
Pelo efeito Doppler para A: 
𝑓𝑎
′ =
𝑣𝑠
𝑣𝑠 + 𝑣𝑎
𝑓𝑎 =
340 ⋅ 570
380
 
O sinal negativo é porque o bloco de massa A se distancia do observador 
Para o bloco B 
𝑓𝑏
′ =
𝑣𝑠
𝑣𝑠 − 𝑣𝑏
𝑓𝑎 =
340 ⋅ 390
260
 
Note que o sinal é positivo pois B está se aproximando do observador 
𝑓2
′
𝑓1
′ =
390 ⋅ 380
260 ⋅ 570
= 1 
 
 
 
 
 
56 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Gabarito: A 
 (AFA-2015) 
Um caminhão de 20 m de comprimento se movimenta ao longo de uma estrada retilínea e o registro 
de sua posição 𝑥, em quilômetros, em função do tempo 𝑡, em segundos, é apresentado no gráfico 
abaixo. 
 
Do instante inicial do movimento, 𝑡 = 0 até o tempo 𝑡1 , o caminhão, partindo do repouso, desloca-
se em movimento retilíneo uniformemente variado. A partir desse tempo 𝑡1 , no entanto, o 
caminhão inicia a travessia de uma ponte retilínea de 380 metros de extensão mantendo velocidade 
constante até que a atravesse completamente no tempo 𝑡2 = 120𝑠 . Considere que, durante a 
travessia, o caminhão emita um sinal sonoro de frequência constante igual a 160⁡𝐻𝑧⁡e que esse 
sinal se propague com velocidade de 340⁡𝑚/𝑠 pelo ar, o qual se encontra em repouso em relação 
à terra. Nessas condições, um observador parado no final da ponte ouvirá o sinal sonoro emitido 
pelo caminhão que se aproxima com uma frequência, em hertz, dada por 
a) 170 b) 180 c) 190 d) 200 
Comentários: 
Considerando a aceleração do caminhão como 𝑎, a velocidade do caminhão ao chegar na ponte é: 
𝑣 = 𝑎𝑡1 
Como o caminhão já havia percorrido 1km: 
𝑎𝑡1
2
2
= 1000 → 𝑎𝑡1
2 = 2000 
Além disso, no trecho da ponte: 
𝑣(120 − 𝑡1) = 𝑑𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒 + 𝑑𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 
𝑎𝑡1(120 − 𝑡1) = 400 
120𝑎𝑡1 − 𝑎𝑡1
2 = 400 
120𝑎𝑡1 − 2000 = 400 
𝑎𝑡1 = 20 
 
 
 
 
 
57 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑡1 =
2000
20
= 100𝑠 
𝑎 =
20
100
= 0,2𝑚/𝑠2 
A velocidade do caminhão na ponte vale: 
𝑣 = 𝑎𝑡1 = 20𝑚/𝑠 
Por efeito Doppler: 
𝑓′ =
𝑉𝑠
𝑉𝑠 − 𝑉𝑓
𝑓 =
340
320
⋅ 160 = 170𝐻𝑧 
Gabarito: A 
 (AFA-2013) 
Ondas sonoras são produzidas por duas cordas 𝐴 e 𝐵 próximas, vibrando em seus modos 
fundamentais, de tal forma que se percebe 𝑥 batimentos sonoros por segundo como resultado da 
superposição dessas ondas. As cordas possuem iguais comprimentos e densidades lineares sempre 
constantes, mas são submetidas a diferentes tensões. Aumentando-se lentamente a tensão na 
corda 𝐴, chega-se a uma condição onde a frequência de batimento é nula e ouve-se apenas uma 
única onda sonora de frequência 𝑓. Nessas condições, a razão entre a maior e a menor tensão na 
corda 𝐴 é 
a) 
𝑓
𝑓+𝑥
 b) 
𝑓
𝑓−𝑥
 c) (
𝑓
𝑓−𝑥
)
2
 d) (
𝑓
𝑓−𝑥
)
1
2
 
Comentários: 
No instante inicial: 
𝑓𝑏𝑎𝑡 = 𝑓𝐵 − 𝑓𝐴 = 𝑥 
No instante final: 
𝑓𝐴′ = 𝑓𝐵 = 𝑓 
Dessa forma: 
𝑓𝐴 = 𝑓 − 𝑥 
𝑓𝐴
′ = 𝑓 
Como as ondas vibram em seus estados fundamentais: 
𝑣 = 𝜆𝑓 =
𝐿
2
𝑓 = √
𝑇
𝜇
→ 𝑇 =
𝐿2𝑓2𝜇
4
 
 
 
 
 
 
58 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑇′
𝑇
= (
𝑓
𝑓 − 𝑥
)
2
 
Gabarito: C 
 (AFA-2011) 
Um diapasão de frequência conhecida igual a 340⁡𝐻𝑧 é posto a vibrar continuamente próximo à 
boca de um tubo, de 1⁡𝑚 de comprimento, que possui em sua base um dispositivo que permite a 
entrada lenta e gradativa de água como mostra o desenho abaixo 
Quando a água no interior do tubo atinge uma determinada altura ℎ a partir da base, o som emitido 
pelo tubo é muito reforçado. Considerando a velocidade do som no local de 340⁡𝑚/𝑠, a opção que 
melhor representa as ondas estacionárias que se formam no interior do tubo no momento do 
reforço é 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
Comentários: 
A ressonância ocorre na coluna de ar formada no interior do tubo. Na extremidade aberta do tubo 
forma-se um ventre e na extremidade fechado (interface com líquido) forma-se um nó. Dessa forma, a 
altura da coluna de ar é um múltiplo inteiro (𝑛 ímpar) de quartos de comprimento de onda: 
ℎ = 𝑛 ⋅
𝜆
4
 
O comprimento de onda utilizado é igual a: 
𝑣𝑠𝑜𝑚 = 𝜆 ⋅ 𝑓 
340 = 𝜆 ⋅ 340 
𝜆 = 1⁡𝑚 
Logo: 
 
 
 
 
 
59 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
ℎ = 𝑛 ⋅
1
4
 
ℎ = 0,25 ⋅ 𝑛 
Para o primeiro harmônico, 𝑛 = 1, temos: 
ℎ = 0,25 ⋅ 1 
ℎ = 0,25⁡𝑚 
Então, aaltura da coluna de água é de 0,75 m, conforme a letra D. 
 
Como a questão diz no enunciado que ao chegar na altura h a partir da base, o som emitido pelo 
tubo é muito reforçado, então devemos tomar o primeiro harmônico, pois é quando a coluna de ar no 
interior da região entra em ressonância com o som emitido pelo diapasão e, consequentemente, há um 
aumento na intensidade do som que sai do tubo (reforçado). 
Gabarito: D 
 (EN – 2021) 
Um atleta de triátlon treina pedalando em uma via com velocidade constante, quando uma viatura 
da polícia rodoviária, em perseguição a outro veículo, aproxima-se com a sirene ligada. Quando a 
viatura ultrapassa o ciclista afastando-se dele, este passa a ouvir a sirene com uma frequência de 
valor 5/6 da frequência que ele ouvia antes, com a viatura se aproximando. Sabendo que o atleta e 
a viatura estavam no mesmo sentido e a viatura estava a uma velocidade constante de 144 km/h, 
qual era a velocidade aproximada do ciclista? (Dado: velocidade do som = 340 m/s) 
(A) 3,2 m/s (B) 6,4 m/s (C) 8,4 m/s 
(D) 9,2 m/s (E) 10 m/s 
Comentários: 
 Quando a ambulância está se aproximando e o atleta se afastando, tomando o referencial do 
observador para a fonte, temos: 
𝑓1 = 𝑓0 ⋅ (
𝑣𝑆 − 𝑣𝑜𝑏𝑠
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
) 
𝑓1 = 𝑓0 ⋅ (
340 − 𝑣0
340 − 40
) 
 
 
 
 
 
60 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Quando a ambulância está se afastando e o atleta se aproximando, tomando o referencial do 
observador para a fonte, temos: 
𝑓2 = 𝑓0 (
𝑣𝑠 + 𝑣𝑜𝑏𝑠
𝑣𝑠 + 𝑣𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
) 
𝑓2 = 𝑓0 (
340 + 𝑣𝑜
340 + 40
) 
 De acordo com o enunciado, 𝑓2 =
5
6
𝑓1, então: 
𝑓0 (
340 + 𝑣𝑜
340 + 40
) =
5
6
⋅ 𝑓0 ⋅ (
340 − 𝑣0
340 − 40
) 
6 ⋅ (340 + 𝑣0) = 5 ⋅ 380 ⋅
340 − 𝑣0
300
⁡ 
𝑣0 = 9,2⁡𝑚/𝑠 
Gabarito: D 
 (EN-2018) 
Analise a figura abaixo. 
 
A figura acima mostra um tubo de 1,0 m de comprimento, aberto nas extremidades e em repouso. 
Considere que o terceiro harmônico é produzido no tubo e parte do som que escapa é captado no 
detector D, que se afasta em linha reta. Qual é a razão, 𝑣𝐷/𝑣𝑠, entre a velocidade do detector, 𝑣𝐷, 
e a velocidade do som, 𝑣𝑠, para que a frequência do som captado seja igual à frequência 
fundamental do tubo? 
a) 1/3 b) 1/2 c) 3/5 d) 3/4 e) 2/3 
Comentários: 
Como o tubo encontra-se em terceiro harmônico: 
𝜆 =
2𝐿
3
=
2
3
𝑚 
𝑣𝑠 = 𝜆𝑓 → 𝑓 =
3
2
𝑣𝑠 
Em relação ao primeiro nível harmônico: 
𝜆 = 2𝐿 = 2𝑚 
 
 
 
 
 
61 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
⁡𝑣𝑠 = 𝜆𝑓
′ → 𝑓′ =
𝑣𝑠
2
 
Efeito Doppler: 
𝑣𝑠
2
=
3
2
𝑣𝑠
(𝑣𝑠 − 𝑣𝑑)
𝑣𝑠
 
Realizando as contas: 
𝑣𝑑 =
2
3
𝑣𝑠 
Gabarito: E 
 (EN-2017) 
Analise a figura abaixo. 
 
A figura acima ilustra quatro fontes sonoras pontuais (F1, F2, F3, e F4). isotrópicas, uniformemente 
espaçadas de d⁡ = ⁡0,2⁡m, ao longo do eixo x. Um ponto P também é mostrado sobre o eixo x. As 
fontes estão em fase e emitem ondas sonoras na frequência de 825⁡Hz, com mesma amplitude A e 
mesma velocidade de propagação, 330⁡m/s. Suponha que, quando as ondas se propagam até P, 
suas amplitudes se mantêm praticamente constantes. Sendo assim a amplitude da onda resultante 
no ponto P é 
a) zero b) A/4 c) A/2 d) A e) 2A 
Comentários: 
 Pela equação fundamental da ondulatória, temos: 
𝑣 = 𝜆𝑓 
330 = 𝜆 ⋅ 825 
𝜆 = 0,4𝑚 
Como a distância entre as fontes é de 0,2m, fontes adjacentes interferem destrutivamente. Dessa 
forma a primeira interfere destrutivamente na segunda e a terceira destrutivamente na quarta. 
Gabarito: A 
 (EN-2014) 
Dois fios de mesmo comprimento e mesma seção reta estão soldados por uma de suas extremidades 
(ponto P) , formando um fio composto. A massa específica do primeiro trecho de fio é ρ1 =
2,7g/cm3 e do segundo trecho é ρ2 = 7,5g/cm
3. O fio composto, bem esticado e fixo nas duas 
extremidades, é submetido a uma fonte externa de frequência variável. Observa-se assim, que 
 
 
 
 
 
62 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
ondas estacionárias são excitadas no fio. Algumas fotos foram tiradas durante a oscilação de 
algumas dessas ondas. 
Analise os perfis de ondas estacionárias abaixo. 
 
Dos perfis exibidos acima, quais podem pertencer à coleção de fotos a que se refere o parágrafo 
acima? 
a) Somente o perfil I. b) Somente o perfil II. c) Somente o perfil III. 
d) Os perfis I e IV. e) Os perfis I, II e IV. 
Comentários: 
 Pela equação de Taylor, temos: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= √
𝑇
𝜌𝐴
= 𝜆𝑓 
𝜆 =
1
𝑓
√
𝑇
𝜌𝐴
 
Como a tensão, a área e a frequência deve ser a mesma para ambos os fios, temos que o 
comprimento de onda é inversamente proporcional à densidade, logo: 
𝜆2
𝜆1
= √
2,7
7,5
=
3
5
 
Dessa forma, o número de comprimentos de onda em cada corda vale: 
𝐿 = 𝑛𝜆 
 
 
 
 
 
63 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑛2
𝑛1
=
5
3
 
Somente as figuras I, II e IV seguem a fórmula acima, com a figura 4 resultando em interferência 
destrutiva. 
Gabarito: E 
 (EN-2013) 
Uma fonte sonora, emitindo um ruído de frequência f = 450Hz, move-se em um círculo de raio igual 
a 50,0 cm, com uma velocidade angular de 20,0 rad/s. Considere o módulo da velocidade do som 
igual a 340 m/s em relação ao ar parado. A razão entre a menor e a maior frequência 
(fmenor/f maior) percebida por um ouvinte posicionado a uma grande distância e, em repouso, em 
relação ao centro do círculo, é 
A. 33/35 B. 35/33 C. 1 D. 9/7 E. 15/11 
Comentários: 
A velocidade de rotação dessa fonte é: 
𝑣𝑓 = 𝜔𝑅 = 20 ⋅ 0,5 = 10⁡𝑚/𝑠 
A menor frequência ocorre quando a fonte está se distanciando do ouvinte, e a maior quando a 
fonte está se aproximando: 
𝑓𝑀 = 𝑓0 ⋅ (
𝑣𝑠
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓
) = 450 ⋅
340
340 − 10
 
𝑓𝑚 = 𝑓0 ⋅ (
𝑣𝑠
𝑣𝑠 + 𝑣𝑓
) = 450 ⋅
340
340 + 10
 
𝑓𝑚⁡
𝑓𝑀
=
330
350
 
Gabarito: A 
 (EN-2011) 
Uma fonte sonora F emite ondas na frequência de 600⁡Hz. A fonte e dois detectores A e B, em seus 
veículos, movem-se no plano XY. Num certo instante, temos: a fonte F na posição (0; 60m) e com 
velocidade V⃗⃗ F = 40. î⁡ + ⁡20. ĵ(m/s); o detector A na posição (70m; 60m) e com velocidade V⃗⃗ A = 
−10. î ⁡+ ⁡30. ĵ(m/s) e o detector B na posição (0; 90 m) e com velocidadeV⃗⃗ B =⁡20. î + ⁡20. ĵ(m/⁡s)⁡. 
Considere o módulo da velocidade do som igual a 340m/s, em relação ao ar parado. A razão entre 
as frequências recebidas pelos detectores A e B (fA/⁡fB⁡), no instante considerado, é 
a) 7/ 6 b) 3/ 4 c) 5/ 4 d) 6/ 7 e) 4/ 5 
Comentários: 
Questão extremamente difícil. 
 
 
 
 
 
64 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
O vetor que une a fonte ao detector A: 
𝑟 𝐴 = (70, 0) 
A velocidade da fonte projetada nesse vetor: 
𝑣𝑓𝐴 =
< 𝑣 𝑓 , 𝑟 𝐴 >
𝑟𝐴
=
2800
70
= 40⁡𝑚/𝑠 
A velocidade do receptor projetada nesse vetor: 
𝑣𝐴𝐴 =
< 𝑣 𝐴, 𝑟 𝐴 >
𝑟𝐴
= −
700
70
= −10𝑚/𝑠 
O vetor que une a fonte ao detector B: 
𝑟 𝐵 = (0, 20) 
A velocidade da fonte projetada nesse vetor: 
𝑣𝑓𝐵 =
< 𝑣 𝑓 , 𝑟 𝐵 >
𝑟𝐵
=
400
20
= 20⁡𝑚/𝑠 
A velocidade do receptor projetada nesse vetor: 
𝑣𝐴𝐵 =
< 𝑣 𝐵, 𝑟 𝐵 >
𝑟𝐵
=
400
20
= 20𝑚/𝑠 
𝑓𝐴 = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠 − 𝑣𝐴𝐴
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓𝐴
= 600 ⋅ (
350
300
) = 700⁡𝐻𝑧 
𝑓𝐵 = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠 − 𝑣𝐵𝐵 ⁡
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓𝐵
= 600 ⋅ (
320
320
) = 600⁡𝐻𝑧⁡ 
Gabarito: A 
 (EN-2011) 
Uma onda estacionária é formada em um segmento horizontal, de comprimento igual a 30⁡cm, de 
uma corda tracionada por um contrapeso de massa igual a 5,0.102 gramas. A equação da onda 
estacionária é dada pela expressão: y(x, t) = ⁡5,0. sen(⁡(80π/⁡3). x). cos(⁡(200π/⁡3). t) ( onde x 
está medido em metros, y em centímetros e t em segundos) . O número de nós (ou nodos) na corda 
e a sua densidade linear (em g/cm) , respectivamente, são 𝐃𝐚𝐝𝐨:⁡|⁡𝐠⁡| ⁡= ⁡𝟏𝟎𝐦/⁡𝐬². 
a) 8 e 8,0 b) 7 e 6,2 c) 10 e 7,0 d) 11 e 7,0 e) 9 e 8,0 
Comentários: 
A velocidade de propagação dessa onda é igual ao coeficiente de t divididopelo coeficiente de x: 
 
 
 
 
 
65 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑣 =
200𝜋
3
80𝜋
3
= 2,5⁡𝑚/𝑠 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
→ 𝜇 =
𝑇
𝑣2
=
𝑚𝑔
𝑣2
=
0,5 ⋅ 10
2,52
= 0,8⁡𝑘𝑔/𝑚⁡𝑜𝑢⁡8𝑔⁡/𝑐𝑚 
Um nó ocorre a cada 𝜋⁡𝑟𝑎𝑑⁡: 
80𝜋
3
𝑥 = 𝑘𝜋 
Para 𝑥 = 0 → 𝑘 = 0 → 𝑥 = 0,3 → 𝑘 = 8. Portanto, teremos 9 nós! 
Gabarito: E 
 (EN-2011) 
Uma corda isolante de massa 𝐦 e comprimento 𝐋 está esticada, com as extremidades presas a um 
diapasão e à placa (2) de um capacitor plano de placas paralelas, a vácuo. A área de cada placa do 
capacitor é A e, inicialmente, ele está carregado com carga elétrica de valor absoluto igual a 400⁡µC. 
A placa (1) do capacitor está fixa e a placa (2) pode se mover somente na direção horizontal, entre 
duas guias não representadas na figura. Despreze os atritos. A frequência de vibração do diapasão 
é igual a 300 Hz e a corda está oscilando no 3° harmônico (conforme a figura abaixo). Para que a 
corda oscile no 2° harmônico, o valor absoluto da nova carga elétrica (em µC) que o capacitor deve 
possuir é 
 
a) 600 b) 570 c) 550 d) 520 e) 500 
Comentários: 
A capacitância desse capacitor vale: 
𝐶 =
𝜖𝐴
𝑑
 
A ddp entre as placas do capacitor vale: 
𝑄 = 𝐶𝑈 
𝑈 =
𝑄𝑑
𝜖𝐴
 
O campo elétrico entre as placas do capacitor vale: 
 
 
 
 
 
66 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝐸 =
𝑈
𝑑
=
𝑄
𝜖𝐴
 
O campo elétrico de uma das placas é: 
𝐸𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
𝑄
2𝜖𝐴
 
A força de atração entre as placas do capacitor vale: 
𝐹 = 𝐸𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎⁡𝑄 =
𝑄2
2𝜖𝐴
 
Dessa forma a força de atração em cada placa é diretamente proporcional a carga no capacitor 
elevada ao quadrado: 
𝑣 = √
𝐹
𝜇
= 𝜆𝑓 
No terceiro harmônico: 
𝜆3 =
2𝐿
3
 
𝐹 = 𝜇𝜆2𝑓2 
𝐹3 = 𝜇 (
2𝐿
3
)
2
𝑓2 =
𝑄3
2
2𝜖𝐴
 
No segundo: 
𝜆2 = 𝐿 
𝐹3 = 𝜇(𝐿)
2𝑓2 =
𝑄2
2
2𝜖𝐴
 
Dividindo: 
𝑄2 =
3
2
𝑄3 = 600𝜇𝐶 
Gabarito: A 
 (EN-2010) 
Na figura abaixo, uma corda inextensível ABC (densidade linear igual a 20,0⁡g/m) tem uma 
extremidade presa na parede e, depois de passar por uma polia ideal, é tracionada por uma pequena 
esfera metálica (1) , que possui massa m1 =
0,700
√3
⁡kg e carga elétrica q1 =⁡+⁡2,50⁡µC. Outra 
pequena esfera metálica (2), de mesmo raio, está presa na base do plano inclinado, possuindo massa 
m2 = ⁡0,500⁡kg e carga elétrica q2 =⁡−⁡2,00⁡µC. Sabe-se que: a distância entre os centros das 
 
 
 
 
 
67 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
esferas é de 10,0 cm, o meio entre as esferas possui constante eletrostática K⁡ = ⁡9,0.109 N.m2/
C2 e o trecho AB da corda, de comprimento igual a 50,0 cm, vibra num padrão de onda estacionária 
de frequência igual a 100 Hz. O harmônico correspondente é o Dado: | g | ⁡= ⁡10,0⁡m/⁡s 2⁡ 
 
a) Primeiro. b) segundo. c) terceiro. 
d) quinto. e) sexto. 
Comentários: 
A força de tração vale: 
𝑇 = 𝐹𝑒 +𝑚1𝑔 sin 𝜃 =
𝑘𝑞1𝑞2
𝑑2
+𝑚1𝑔 sin 𝜃 
𝑇⁡ =
9 ⋅ 109 ⋅ 2,5 ⋅ 10−6 ⋅ 2 ⋅ 10−6
10−2
+
0,7
√3
⋅ 10 ⋅
√3
2
 
𝑇 = 8⁡𝑁 
A velocidade de propagação da onda nessa corda é: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= √
8
20 ⋅ 10−3
= 20⁡𝑚/𝑠 
O comprimento de onda vale: 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 20 = 𝜆 ⋅ 100 → 𝜆 = 0,2𝑚⁡ 
𝜆 =
2𝐿
𝑘
→ 𝑘 =
2𝐿
⁡𝜆
=
1
0,2
= 5 
Gabarito: D 
 (EN-2010) 
Um detector de ondas sonoras D passa pelo ponto A, localizado no eixo x, em direção ao ponto B, 
localizado no eixo y, com velocidade v constante, como indicado na figura abaixo. O vetor 
velocidade faz um ângulo a acima da horizontal. Uma fonte sonora F, em repouso, localizada na 
origem do sistema de eixos, emite ondas sonoras que se propagam no ar parado com velocidade 
constante vs. Sabendo que as frequências captadas pelo detector ao passar por A e B são, 
respectivamente, fA e fB, a razão entre a diferença de frequências, fA −⁡fB, e a frequência da onda 
emitida pela fonte é 
 
 
 
 
 
68 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
a) (⁡v⁡/⁡vs⁡ ) . (⁡senα⁡ + ⁡cosα⁡) b) (v⁡/⁡vs) . (cosα⁡ − ⁡senα) 
c) (⁡v⁡/⁡vs ) . 2senα⁡ d) 2. (⁡v⁡/⁡vs ) 
e) (⁡v⁡/⁡vs )⁡. 2. cosα 
Comentários: 
A velocidade radial do receptor em A vale (aproximação): 
𝑣𝐴 = 𝑣 cos𝛼 
A velocidade radial do receptor em B vale (afastamento): 
𝑣𝐵 = 𝑣 sin 𝛼⁡ 
Efeito Doppler: 
𝑓𝐴 = 𝑓0
𝑣𝑠 + 𝑣𝐴
𝑣𝑠
=
𝑓0(𝑣𝑠 + 𝑣 cos 𝛼)
𝑣𝑠
 
𝑓𝐵 = 𝑓0
𝑣𝑠 − 𝑣𝐵
𝑣𝑠
=
𝑓0(𝑣𝑠 − 𝑣 sin 𝛼)
𝑣𝑠
 
𝑓𝐴 − 𝑓𝐵 = 𝑓0 ⋅
𝑣
𝑣𝑠
(cos 𝛼 + sin 𝛼) 
Gabarito: A 
 (EN-2009) 
Na figura, um fio de densidade linear µ2 e comprimento está soldado nas suas extremidades a dois 
fios de mesma densidade linear µ𝑖 e de comprimentos - O fio composto está preso em uma de suas 
extremidades (ponto P) a um oscilador senoidal de freqüência variável e na outra extremidade a um 
ponto fixo Q. Verifica-se que, para uma certa freqüência do oscilador, forma-se uma onda 
estacionária com 7 nós, tendo os pontos de solda e o ponto Q como nós . No ponto P, a amplitude 
de oscilação é suficientemente pequena para que este ponto também seja um nó. Considere que 
𝐿3 = ⁡3𝐿1 = ⁡2𝐿2. Qual a razão 
𝜇2
𝜇1
? 
 
 
 
 
 
69 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
a) 9/2 b) 7/3 c) 16/9 d) 17/11 e) 13/7 
Comentários: 
 Pela lei de Taylor, temos: 
𝜆 =
2𝐿
⁡𝑛
 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= 𝜆𝑓 =
2𝐿
𝑛
𝑓 
𝑛 =
2𝐿𝑓√𝜇
√𝑇
 
Dessa forma, fazendo 𝐿3 = 6𝑙, 𝐿2 = 3𝑙, 𝐿1 = 2𝑙: 
𝑛1 = 2𝐾√𝜇1 
𝑛2 = 3𝐾√𝜇2 
𝑛3 = 6𝐾√𝜇1 
𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 𝐾(8√𝜇1 + 3√𝜇2) = 6 → 𝐾 =
6
8√𝜇1 + 3√𝜇2
 
𝑛1
𝑛3
=
1
3
 
Temos então: 
𝑛1 = 1 
𝑛3 = 3 
𝑛2 = 2 
𝑛1
𝑛2
=
1
2
=
2√𝜇1
3√𝜇2
 
𝜇2
𝜇1
=
16
9
 
 
 
 
 
 
70 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Gabarito: C 
 (EN-2008) 
Uma pessoa está parada na beira de uma rodovia quando percebe que a frequência do som emitido 
pela buzina de um veículo varia de 360⁡𝐻𝑧 para 300⁡𝐻𝑧, à medida que o veiculo passa por ele. 
Considerando o ar parado (sem vento), os movimentos na mesma reta e a velocidade do som no ar 
de módulo igual a 330⁡𝑚/𝑠, o módulo da velocidade do veículo, em 𝑘𝑚/ℎ, é 
(A) 100 (B) 108 (C) 110 (D) 112 (E) 115 
Comentários: 
Na aproximação: 
𝑓⁡𝐴⁡ = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠
𝑣𝑠 − 𝑣
 
No afastamento: 
𝑓𝐵 = 𝑓0
𝑣𝑠
𝑣𝑠 + 𝑣
 
𝑓𝐴
𝑓𝐵
=
𝑣𝑠 + 𝑣
𝑣𝑠 − 𝑣
=
360
300
→ 𝑣 =
𝑣𝑠
11
= 30⁡𝑚/𝑠 = 108⁡𝑘𝑚/ℎ 
Gabarito: B 
 (EFOMM – 2021) 
Uma fonte de ondas sonoras emite uma onda com 440 Hz de frequência em direção a um objeto 
que dela se afasta. A onda, após ser refletida pelo objeto, retorna à fonte. que mede o novo valor 
de 272 Hz para sua frequência. Considere que o objeto e a fonte estão sempre em uma mesma reta 
e que a velocidade do som no ar vale 340 m/s. Quanto vale, em m/s, o módulo da velocidade do 
objeto? 
(A) 60 (B) 64 (C) 72 (D) 80 (E) 88 
Comentários: 
 Denotando por 𝐹 a fonte e por 𝑂 o objeto, temos as duas situações: 
 1) ocorre o primeiro efeito Doppler, com 𝐹 tendo papel de fonte. Além disso, 𝑂 funciona a um 
observador se afastando com velocidade 𝑣. Logo: 
𝑓1 = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠 − 𝑣
𝑣𝑠
 
 2) para o segundo efeito Doppler, 𝐹 tem papel de observador e 𝑂 tem função de fonte se afastando 
com velocidade 𝑣. Logo: 
𝑓2 = 𝑓0 ⋅ (
𝑣𝑠 − 𝑣
𝑣𝑠 + 𝑣
) 
 
 
 
 
 
71 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Juntando as duas informações, temos: 
272 = 440 ⋅
340 − 𝑣
340 + 𝑣
 
𝑣 = 80⁡𝑚/𝑠 
Gabarito: D 
 (EFOMM-2020) 
Ana brinca em um balanço, enquanto segura um diapasão vibrando a 520 Hz. O ponto mais alto de 
sua trajetória pendular está a 1,25 metros de altura em relação ao ponto mais baixo. Enquanto isso, 
Beatriz, de altura semelhante a Ana e localizada em um ponto distante à frente do brinquedo, corre 
em direção à amiga com velocidade constante de 2 m/s. Supondo que o movimento oscilatório de 
Ana ocorre sem perda de energia, qual valor mais se aproxima da maior frequência que Beatriz irá 
ouvir durante sua trajetória? Considere g = 10 m/s2 e vsom=343 m/s. 
a) 531 Hz b) 533 Hz c) 535 Hzd) 536 Hz e) 538 Hz 
Comentários: 
Quanto maior a velocidade de aproximação das duas, maior a frequência ouvida, logo o ponto de 
maior frequência será quando Ana está na base (com velocidade paralela ao chão máxima). Nesse ponto: 
𝑉𝐴𝑛𝑎 = √2𝑔ℎ = 5𝑚/𝑠 
𝑓 =
𝑉𝑠𝑜𝑚 + 𝑉𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧
𝑉𝑠𝑜𝑚 − 𝑉𝐴𝑛𝑎
𝑓0 =
343 + 2
343 − 5
⋅ 520 = 531⁡𝐻𝑧 
Gabarito: A 
 (EFOMM-2017) 
Uma corda ideal está atada a um diapasão que vibra com frequência f1 e presa a um corpo de massa 
m = 2,5 kg, conforme a figura 1. A onda estacionária que se forma possui 6 ventres que formam 3,0 
m de comprimento. 
 
Um diapasão de frequência f2 é posto a vibrar na borda de um tubo com água, conforme a figura 2. 
 
 
 
 
 
72 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
O nível da água vai diminuindo e, na altura de 42,5 cm, ocorre o primeiro aumento da intensidade 
sonora. Desprezando os atritos e considerando a roldana ideal, a razão entre as frequências f2 e f1 
é de aproximadamente: 
Dado: densidade linear da corda = 250 g/m. 
A. 2,0 B. 4,0 C. 20,0 D. 40,0 E. 60,0 
Comentários: 
No primeiro caso: 
𝑇 = 𝑚𝑔 = 25𝑁 
A velocidade da onda vale: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= 10𝑚/𝑠 
Pela figura: 
𝐿 = 3𝜆 → 𝜆 = 1𝑚 
Finalmente: 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝑓 = 10𝐻𝑧 
No segundo caso, no primeiro harmônico de um tubo com uma extremidade aberta e uma 
fechada: 
𝐿 =
𝜆
4
→ 𝜆 = 1,7𝑚 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 340 = 1,4𝑓 → 𝑓 = 200⁡𝐻𝑧 
Finalmente: 
𝑓2
𝑓1
= 20 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
73 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 (EFOMM-2012) 
Um fio de nylon de comprimento L = 2,00 m sustenta verticalmente uma bola de metal que tem 
densidade absoluta de 4,00.103 kg/m3. A frequência fundamental das ondas estacionárias que se 
formam no fio é 300 Hz. Se então, a bola for totalmente imersa em água, a nova frequência 
fundamental, em hertz é: Dado: massa específica da água = 1,00.103 kg/m3 
Dado: massa específica da água = 1,00.103 kg/m3 
a) 75,0 b) 75,0 √2 c) 150 √3 d) 175 √2 e) 200 √2 
Comentários: 
No primeiro caso a tensão na corda vale: 
𝑇1 = 𝑚𝑔 = 𝑉𝜌𝑏𝑜𝑙𝑎𝑔 
A velocidade de propagação da onda vale: 
𝑣1 = √
𝑇1
𝜇
 
Pela equação de onda: 
𝑣1 = 𝜆1𝑓1 
No primeiro harmônico em uma corda com as duas extremidades presas: 
𝜆1 = 2𝐿 
Juntando tudo: 
√
𝑉𝜌𝑏𝑜𝑙𝑎𝑔
𝜇
= 2𝐿𝑓1 
No segundo caso: 
√
𝑉(𝜌𝑏𝑜𝑙𝑎 − 𝜌á𝑔𝑢𝑎)𝑔
𝜇
= 2𝐿𝑓2 
𝑓2 = 𝑓1√
𝜌𝑏𝑜𝑙𝑎 − 𝜌á𝑔𝑢𝑎
𝜌𝑏𝑜𝑙𝑎
= 150√3⁡𝐻𝑧 
Gabarito: C 
 (EFOMM-2012) 
Um atleta parado em um cruzamento ouve o som, de frequência igual a 650 Hz, proveniente da 
sirene de uma ambulância que se aproxima. Imediatamente após a passagem da ambulância pelo 
 
 
 
 
 
74 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
cruzamento, o atleta ouve o som da mesma sirene na frequência de 550 Hz. Considerando o ar sem 
vento e todos os movimentos na mesma direção, a velocidade da ambulância, em km/h é 
Dado: velocidade do som no ar = 340 m/s 
a) 80,0 b) 90,0 c) 93,0 d) 102 e) 110 
Comentários: 
No primeiro caso: 
𝑓1 =
𝑉𝑠
𝑉𝑠 − 𝑉𝑎
𝑓0 
No segundo caso: 
𝑓2 =
𝑉𝑠
𝑉𝑠 + 𝑉𝑎
𝑓0 
Dessa forma: 
𝑓1
𝑓2
=
𝑉𝑠 + 𝑉𝑎
𝑉𝑠 − 𝑉𝑎
=
650
550
→ 𝑉𝑎 =
𝑉𝑠
12
= 28,3⁡𝑚/𝑠 = 102⁡𝑘𝑚/ℎ⁡⁡ 
Gabarito: D 
 (ITA 2011) 
O tubo mais curto de um órgão típico de tubos tem um comprimento de aproximadamente 7 cm. 
Qual é o harmônico mais alto na faixa audível, considerada como estando entre 20 Hz e 20.000 Hz, 
de um tubo deste comprimento aberto nas duas extremidades? 
Comentários: 
O tubo de um órgão sendo tratado como aberto em ambas as extremidades: 
𝑓𝑛 = 𝑛 ⋅
𝑣𝑠
2 ⋅ 𝑙
 
Em que: 
- 𝑓𝑛 é a frequência do harmônico; 
- 𝑛 é o número do harmônico; 
- 𝑣𝑠 é a velocidade do som; 
- 𝑙 é o comprimento do tubo. 
Substituindo: 
𝑛 ⋅
𝑣𝑠
2 ⋅ 𝑙
≤ 20000 
 
 
 
 
 
75 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑛 ≤ 20000 ⋅ 2 ⋅
0,07
340
 
𝑛 ≤ 8,23 
Logo, o harmônico mais alto é o oitavo (𝑛 = 8). 
Gabarito: N = 8 
 (ITA-2007) 
Numa planície, um balão meteorológico com um emissor e receptor de som é arrastado por um 
vento forte de 40 m/s contra a base de uma montanha. A frequência do som emitido pelo balão é 
de 570 Hz e a velocidade de propagação do som no ar é de 340 m/s. Assinale a opção que indica a 
frequência refletida pela montanha e registrada no receptor do balão. 
a) 450 Hz b) 510 Hz c) 646 Hz d) 722 Hz e) 1292 Hz 
Comentários: 
A onda recebida pela montanha é refletida e retorna ao balão. Portanto ocorre efeito Doppler para 
a frequência que chega à montanha (balão é uma fonte móvel) e em seguida efeito Doppler para a 
frequência que chega a balão (balão é um observador móvel). 
𝑓1 = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠
𝑣𝑠 − 40
 
𝑓2 = 𝑓1 ⋅
𝑣𝑠 + 40
𝑣𝑠
 
𝑓2 = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠 + 40
𝑣𝑠 − 40
= 570 ⋅
380
300
= 722⁡𝐻𝑧 
Gabarito: D 
 (ITA-2007) 
A figura mostra dois alto-falantes alinhados em fase por um amplificador de áudio na frequência de 
170 Hz. Considere que seja desprezível a variação da intensidade do som de cada um dos alto-
falantes com a distância e que a velocidade do som é de 340 m/s. A maior distância entre dois 
máximos de intensidade da onda sonora formada entre os alto-falantes é igual a 
 
a) 2 m b) 3 m c) 4 m d) 5 m e) 6 m 
Comentários: 
Para que ocorra um máximo de intensidade, a diferença de fase entre as ondas deve ser um 
número inteiro de comprimentos de onda. Assim: 
 
 
 
 
 
76 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Δ𝑥 = 𝑛 ⋅ 𝜆 = 𝑛 ⋅
𝑣
𝑓
= 2 ⋅ 𝑛 
Portanto, a diferença de caminho entre os máximos é de 2 ⋅ 𝑛 metros, onde 𝑛 pertence aos 
naturais. 
2 ⋅ 𝑛 ≤ 7 
𝑛 ≤ 3,5 
𝑛 = 3 
Δ𝑥 = 6⁡𝑚 
Gabarito: E 
 (ITA-2006) 
Considere duas ondas que se propagam com frequências 𝑓1 e 𝑓2, ligeiramente diferentes entre si, e 
mesma amplitude A, cujas equações são respectivamente 𝑦1(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓1𝑡) e 𝑦2(𝑡) =
𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓2𝑡). Assinale a opção que indica corretamente: 
 Amplitude máxima da 
onda resultante 
Frequência da 
onda resultante 
Frequência 
de batimento 
a) 
𝐴√2 𝑓1 + 𝑓2 
⁡⁡𝑓1 − 𝑓2
2
 
b) 
2𝐴 
⁡𝑓1 + 𝑓2
2
 
⁡⁡𝑓1 − 𝑓2
2
 
c) 
2𝐴 
⁡𝑓1 + 𝑓2
2
 𝑓1 − 𝑓2 
d) 𝐴√2 𝑓1 + 𝑓2 𝑓1 − 𝑓2 
e) 
𝐴 
⁡𝑓1 + 𝑓2
2
 𝑓1 − 𝑓2 
Comentários: 
𝑦(𝑡) = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) = 𝐴 ⋅ cos(2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑓1 ⋅ 𝑡) + 𝐴 ⋅ cos(2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑓2 ⋅ 𝑡) 
Utilizando a transformação de soma em produto: 
𝑦(𝑡) = 𝐴 ⋅ 2 ⋅ cos(𝜋 ⋅ 𝑡 ⋅ (𝑓1 + 𝑓2)) ⋅ cos(𝜋 ⋅ 𝑡 ⋅ (𝑓1 − 𝑓2)) 
A amplitude portanto é 2 ⋅ 𝐴. A frequência da função que envolve a onda é: 
𝑓1 + 𝑓2
2
= 𝑓 
A frequência de batimento é: 
𝑓′ = 𝑓1 − 𝑓2 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
77 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 (ITA-2005) 
São de 100 Hz e 125 Hz, respectivamente, as frequências de duas harmônicas adjacentes de uma 
onda estacionária no trecho horizontal de um cabo esticado, de comprimento 𝑙 = 2⁡𝑚 e densidade 
linear de massa igual a 10 g/m (veja a figura). Considerando a aceleração da gravidade 𝑔 = 10⁡𝑚/𝑠², 
a massa do bloco suspenso deve ser de: 
a) 10 kg 
b) 16 kg 
c) 60 kg 
d) 100 kg 
e) 10000 kg 
Comentários: 
A frequência das ondas estacionárias com extremidades presas é de: 
𝑓𝑛 = 𝑛 ⋅
𝑣
2 ⋅ 𝐿
 
Pelo enunciado: 
𝑓𝑛 = 100 = 𝑛 ⋅
𝑣
2 ⋅ 2
=
𝑛 ⋅ 𝑣
4
→ 𝑛 ⋅ 𝑣 = 400 
𝑓𝑛+1 = 125 = (𝑛 + 1) ⋅
𝑣
2 ⋅ 2
→ (𝑛 + 1) ⋅ 𝑣 = 500 
Logo, 𝑣 = 100⁡𝑚/𝑠. 
A velocidade da onda nessa corda é dada por: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= √
10 ⋅ 𝑚
10−2
 
Substituindo: 
104 = 103 ⋅ 𝑚 
𝑚 = 10⁡𝑘𝑔 
Gabarito: A 
 (ITA – 2020) 
Um violão é um instrumento sonoro de seis cordas de diferentes propriedades, fixas em ambas as 
extremidades, acompanhadas de uma caixa de ressonância. Diferentes notas musicais são 
produzidas tangendo uma das cordas, podendo-se ou não alterar o seu comprimento efetivo, 
pressionando-a com os dedos em diferentes pontos do braço do violão. A respeito da geração de 
sons por esse instrumento são feitas quatro afirmações: 
 
 
 
 
 
78 
AULA 09– Ondas estacionárias e acústica 
 
I. Cordas mais finas, mantidas as demais propriedades constantes, são capazes de produzir notas 
mais agudas. 
II. O aumento de 1,00% na tensão aplicada sobre uma corda acarreta um aumento de 1,00% na 
frequência fundamental gerada. 
III. Uma corda de nylon e uma de aço afinadas na mesma frequência fundamental, geram sons de 
timbres distintos. 
IV. Ao pressionar uma corda do violão, o musicista gera um som de frequência maior e comprimento 
de onda menor em comparação ao som produzido pela corda tocada livremente. 
Considerando V como verdadeira e F como falsa, as afirmações I, II, III e IV são, respectivamente: 
A) 𝑉⁡𝑉⁡𝑉⁡𝑉 B) 𝐹⁡𝑉⁡𝑉⁡𝑉 C) 𝑉⁡𝐹⁡𝑉⁡𝑉 D) 𝑉⁡𝑉⁡𝐹⁡𝑉 E) 𝑉⁡𝑉⁡𝑉⁡𝐹 
Comentários: 
 Lembrando da lei de Taylor: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= 𝜆𝑓 
I. Verdadeira. Cordas mais finas tem um 𝜇 menor, logo um 𝑓 maior (som agudo) 
II. Falso. Da fórmula acima, de aumentarmos 1% T, iremos aumentar √1,01 − 1 ≈ 0,5% o valor da 
frequência. 
III. Verdadeira. Instrumentos e cordas distintas produzem padrões de som (timbres) distintos. 
IV. Verdadeira. Ao pressionar a corda do violão estamos efetivamente diminuindo o comprimento de 
onda. Como a tração e a densidade da corda são constantes, a frequência aumenta. 
Gabarito: C 
 (ITA – 2022) 
Muitos instrumentos musicais, como o piano, geram sons a partir da excitação de cordas com 
extremidades fixas. Ao pressionar uma tecla do piano, um dispositivo mecânico percute uma corda 
tensionada, produzindo uma onda sonora. O som produzido pelo piano em um determinado 
instante de tempo é captado e a sua decomposição espectral é fornecida no gráfico a seguir, à 
respeito do qual são feitas três sentenças. 
I. Para gerar um espectro sonoro dessa natureza é necessário acionar 5 teclas do piano. 
II. A velocidade de propagação de cada nota no ar é proporcional à sua frequência característica. 
III. A frequência fundamental da corda, sujeita a uma tensão T é inversamente proporcional à sua 
densidade linear de massa. 
 
 
 
 
 
79 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
A ( ) As sentenças I, II e III são falsas. 
B ( ) Apenas a sentença I é verdadeira. 
C ( ) Apenas a sentença II é verdadeira. 
D ( ) Apenas sentença II é verdadeira. 
E ( ) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. 
Comentários: 
I. INCORRETA. Quando tocamos uma nota em um instrumento, nós teremos a frequência fundamental 
produzida, assim como outros harmônicos de frequências maiores, mas a frequência fundamental menor 
definirá a nota tocada naquele instrumento (timbre). Então, não há necessidade de se acionar 5 teclas. 
II. INCORRETA. A velocidade do som no ar é igual para qualquer frequência, pois a velocidade de uma 
onda é função do meio. 
III. INCORRETA. A frequência fundamental é inversamente proporcional à raiz quadrada da densidade 
linear de massa. 
Gabarito: A 
 (IME – 2021) 
 
A tabela mostra a velocidade 𝑣 do som, a 20 °C e 1 atm, em seis gases diferentes. Quando um tubo 
aberto em uma das extremidades é enchido com oxigênio, a frequência do primeiro harmônico do 
som produzido pelo tubo é 163 Hz. Quando o oxigênio é substituído por um dos cinco gases 
 
 
 
 
 
80 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
restantes, a frequência do quinto harmônico do som produzido pelo tubo é 2517,5 Hz. Isso significa 
que o gás escolhido para o segundo experimento foi o: 
(A) argônio (B) criptônio (C) hélio (D) hidrogênio (E) xenônio 
Comentários: 
 Para tubos sonoros abertos em uma extremidade, temos: 
𝑓𝑁 =
𝑁í𝑚𝑝𝑎𝑟
4𝐿
⋅ 𝑣 
 Para o primeiro harmônico com oxigênio, temos: 
163 =
1
4𝐿
⋅ 326 
𝐿 = 0,5⁡𝑚 
 Para o quinto harmônico do gás desconhecido, temos: 
2517,5 =
5
4 ⋅ 0,5
⋅ 𝑣 
𝑣 = 1007⁡𝑚/𝑠 
 Pela tabela fornecida, o gás desconhecido é o hélio. 
Gabarito: C 
 (IME – 2022) 
Para determinar a temperatura de um gás ideal, este foi inserido num tubo de comprimento 𝐿 com 
uma extremidade aberta e a outra fechada. Na extremidade fechada, foi colocado um pequeno alto-
falante, que emite uma frequência 𝑓0 no estado fundamental. 
Dados: 
Massa mola do gás: 𝑀; 
Coeficiente de Poisson: 𝛾: 
Número pertencente ao conjunto dos números naturais: 𝑛; e 
Constante universal dos gases perfeitos: 𝑅. 
Diante do exposto, determine: 
a) a temperatura absoluta do gás; e 
b) a razão entre a temperatura do gás original e de um novo gás, cuja massa molar �̅� é maior que a 
massa molar 𝑀 do gás original, mantendo a mesma razão entre a pressão e a massa específica do 
gás anterior (considere que todo o gás do item a) foi retirado). 
Comentários: 
 
 
 
 
 
81 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
a) Para os possíveis modos de ressonância em um tubo com uma extremidade aberta, temos: 
 
 Temos apenas os modos ímpares e escrevemos a relação entre o comprimento do tubo e o 
comprimento do tubo por: 
𝑛í𝑚𝑝𝑎𝑟 ⋅
𝜆
4
= 𝐿 
 Como ele menciona um número 𝑛 natural no enunciado, temos: 
(2𝑛 + 1) ⋅
𝜆
4
= 𝐿 
∴ 𝜆 =
4𝐿
2𝑛 + 1
 
 Pela equação fundamental da ondulatória, temos: 
𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑓0 
 Note que a frequência 𝑓0 emitida pelo alto-falante não é a frequência do primeiro harmônico, ele 
apenas menciona que é a frequência do alto-falante, possivelmente para falar que é a frequência real 
emitida pelo alto-falante, para não ter problema com efeito Doppler, por exemplo, caso o tubo estivesse 
se movendo. 
 Para a propagação do som no gás, sabemos que a velocidade é dada por: 
𝑣 = √
𝛾𝑅𝑇
𝑀
 
 Logo: 
 
 
 
 
 
82 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
√
𝛾𝑅𝑇
𝑀
=
4𝐿
2𝑛 + 1
⋅ 𝑓0 
∴ 𝑇 = (
4𝐿
2𝑛 + 1
⋅ 𝑓0)
2
⋅
𝑀
𝛾 ⋅ 𝑅
 
b) Pela equação de Clapeyron podemos deduzir a massa específica de um gás: 
𝑃 ⋅ 𝑉 = 𝑛 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑇 
𝑃 ⋅ 𝑉 =
𝑚
𝑀
⋅ 𝑅 ⋅ 𝑇 
𝑃 ⋅ 𝑀
𝑅 ⋅ 𝑇
=
𝑀
𝑉
= 𝜌 
 No enunciado da letra b), a questão diz que a relação entre a pressão e a massa específica 
permanecerá constante, após trocar o gás. Portanto: 
𝑃
𝜌
=
𝑅 ⋅ 𝑇
𝑀
 
 Assim: 
𝑅 ⋅ 𝑇1
𝑀
=
𝑅 ⋅ 𝑇2
�̅�
 
𝑇1
𝑇2
=
𝑀
�̅�
 
Gabarito: a) 𝑻 = (
𝟒𝑳
𝟐𝒏+𝟏
⋅ 𝒇𝟎)
𝟐
⋅
𝑴
𝜸⋅𝑹
 b) 
𝑻𝟏
𝑻𝟐
=
𝑴
�̅�
 
 (Simulado AFA) 
Uma corda é presa entre duas paredes verticais. Quando a tração na corda é aumentada em 2,5 N, 
a frequência fundamental é alterada na razão 3/2. Assim, a tração inicial na corda, em N, é de: 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 
Comentários: 
 Para uma corda presa nas extremidades, a frequência fundamental é dada por: 
𝑓0 =
1
2𝐿
⋅ √
𝑇
𝜇
 
 Quando aumentamos a tração, temos: 
 
 
 
 
 
83 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑓0
′ =
1
2𝐿
⋅ √
𝑇 + 2,5
𝜇
 
 Como a razão das frequências fundamentais é de 3/2, então: 
𝑓0
′
𝑓0
=
3
2
 
1
2𝐿 ⋅
√
𝑇 + 2,5
𝜇
1
2𝐿 ⋅
√
𝑇
𝜇
=
3
2
 
√𝑇 + 2,5
√𝑇
=
3
2
 
𝑇 + 2,5
𝑇
=
9
4
 
4𝑇 + 10 = 9𝑇 
5𝑇 = 10 
∴ 𝑇 = 2⁡𝑁 
Gabarito: B 
 (Simulado EFOMM) 
Um trem e um automóvel viajam em vias paralelas, em mesma direção e sentido, estando o trem 
logo atrás do automóvel. Sabe-se que as velocidades do trem e do carro valem, respectivamente, 
60 m/s e 40 m/s. Em um dado instante, o máquina do trem toca o sino da locomotiva, que emite 
um som com um comprimento de onde de 15 m. Se a velocidade do som no ar é de 340 m/s, então 
o comprimento de onda percebido pelo motorista no automóvel é de: 
(A) 12 m (B) 14 m (C) 15 m (D) 16 m (E) 18 m 
Comentários: 
 Colocando o referencial do observador para a fonte, aplicando a equação do efeito Doppler, 
temos: 
𝑓𝑎𝑝
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑜𝑏𝑠
=
𝑓
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑓
 
𝑓𝑎𝑝
340 − 40
=
𝑓
340 − 60
 
𝑓𝑎𝑝 =
300
280
⋅ 𝑓 
 
 
 
 
 
84 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑣𝑠
𝜆𝑎𝑝
=
30
28
⋅
𝑣𝑠
𝜆
 
𝜆𝑎𝑝 =
28
30
⋅ 15 
𝜆𝑎𝑝 = 14⁡𝑚 
Gabarito: B 
 (Simulado EN) 
Uma fonte emite ondas sonoras com comprimento de onda de 17⁡𝑚. Se essa fonte é colocada para 
se movimentar com velocidadede 68⁡
𝑚
𝑠
 entre duas paredes paralelas, surgem batimentos entre os 
ecos. Assinale a opção que contém a frequência desses batimentos. 
Obs.: 𝑣𝑠𝑜𝑚 = 340⁡
𝑚
𝑠
 
(A) 4⁡𝐻𝑧 (B) 8⁡𝐻𝑧 (C) 8,3⁡𝐻𝑧 (D) 5⁡𝐻𝑧 (E) 3,3⁡𝐻𝑧 
Comentários: 
Pela equação fundamental da ondulatória, temos: 
𝑓0 =
𝑣𝑠𝑜𝑚
𝜆
=
340
17
= 20⁡𝐻𝑧 
1) Efeito Doppler para a parede cuja fonte está se aproximando: 
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 𝑓0
340
340 − 68
=
5
4
𝑓0 = 𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 25⁡𝐻𝑧 
2) Efeito Doppler para a parede cuja fonte está se afastando: 
𝑓𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 𝑓0
340
340 + 68
=
5
6
𝑓0 = 𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 
𝑓𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 ≅ 16,7⁡𝐻𝑧 
Portanto: 
𝑓𝑏𝑎𝑡 ≅ 25 − 16,7 ≅ 8,3⁡𝐻𝑧 
Gabarito: C 
 (Simulado EN) 
Um instrumento de sopro (semelhante a um tubo sonoro aberto), numa nota específica, forma uma 
onda estacionária no 4°⁡harmônico. Se o comprimento do tubo é de 17⁡𝑐𝑚 e a velocidade do som 
 
 
 
 
 
85 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
é de 340⁡
𝑚
𝑠
, assinale a opção que apresenta corretamente a frequência emitida pelo referido 
instrumento. 
(A) 2000⁡𝐻𝑧 (B) 500⁡𝐻𝑧 (C) 1000⁡𝐻𝑧 (D) 4000⁡𝐻𝑧 (E) 8000⁡𝐻𝑧 
Comentários: 
 Para tubos sonoros abertos, temos: 
 
𝐿 = 4.
𝜆
2
= 2𝜆 
𝜆 =
𝐿
2
= 8,5𝑐𝑚 
Assim, temos: 
𝑓 =
𝑣𝑠𝑜𝑚
𝜆
=
340
8,5.10−2
= 4000⁡𝐻𝑧 
Gabarito: D 
 (Simulado EN) 
Dois diapasões produzem um batimento de 4⁡𝐻𝑧, quando eles são colocados para vibrar juntos. Por 
outro lado, quando eles estão se movendo, com velocidade 𝑢, em direção a um observador, a 
frequência de batimentos é de 5 Hz. Se o observador se move também com velocidade 𝑢 também 
se mover com velocidade 𝑢 em direção aos diapasões, então o batimento por ele observada agora, 
em hertz, será de: 
(A) 4,5 (B) 7,5 (C) 6,0 (D) 5,5 (E) 8,0 
Comentários: 
 Dado que o batimento é de 4 Hz, com os diapasões em repouso, então vamos dizer que suas 
frequências são 𝑓 e 𝑓 + 4. Quando eles estão aproximando, mas o observador em repouso, temos: 
𝑓1 = 𝑓 (
𝑣
𝑣 − 𝑢
) ⁡𝑒⁡𝑓2 = (𝑓 + 4) (
𝑣
𝑣 − 𝑢
) 
 Logo: 
 
 
 
 
 
86 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Δ𝑓 = 𝑓2 − 𝑓1 = 4(
𝑣
𝑣 − 𝑢
) 
Δ𝑓 = 5 = 4 (
𝑣
𝑣 − 𝑢
) 
𝑢 =
𝑣
5
 
 Quando o observador começa a se mover, temos: 
𝑓1
′ = 𝑓 (
𝑣 + 𝑢
𝑣 − 𝑢
) ⁡𝑒⁡𝑓2
′ = (𝑓 + 4) (
𝑣 + 𝑢
𝑣 − 𝑢
) 
Δ𝑓′ = 𝑓2
′ − 𝑓1
′ 
Δ𝑓′ = 4(
𝑣 + 𝑢
𝑣 − 𝑢
) 
Δ𝑓′ = 4(
𝑣 +
𝑣
5
𝑣 −
𝑣
5
) 
Δ𝑓′ = 4 ⋅ (
6
5
4
5
) 
Δ𝑓′ = 6⁡𝐻𝑧 
Gabarito: C 
 (Simulado EN) 
Um carro se move com velocidade de 𝑣. Quando ele toca a buzina entre dois ouvintes A e B, o 
módulo da diferença entre os comprimentos de onda percebidos pelos ouvintes, em metros, é de: 
Adote: o comprimento de onda próprio da buzina é de 𝜆0, os observadores estão em repouso em 
relação a Terra e a velocidade do som no ar é de 𝑣𝑠. 
 
(A) 
𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 (B) 
2𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 (C) 
𝑣𝑠
𝑣
𝜆0 (D) 
𝑣𝑠
2𝑣
𝜆0 (E) 
4𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 
Comentários: 
 Lembrando que o referencial do efeito Doppler é do observador para a fonte. Para o observador 
A, temos: 
 
 
 
 
 
87 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑓𝑎𝑝
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑜𝑏𝑠
=
𝑓0
𝑣𝑆 ± 𝑣𝑓
 
𝑓𝐴
𝑣𝑠
=
𝑓0
𝑣𝑠 + 𝑣𝑓
 
𝑓𝐴 =
𝑣𝑆
𝑣𝑆 + 𝑣𝑓
⋅ 𝑓0 
 Como 𝑣 = 𝜆𝑓, então o comprimento de onda percebido por A é de: 
𝜆𝐴 =
𝑣𝑠
𝑓𝐴
=
𝑣𝑆
𝑣𝑆
𝑣𝑆 + 𝑣𝑓
⋅ 𝑓0
 
𝜆𝐴 =
𝑣𝑠
𝑓0⏟
𝜆0
⋅ (
𝑣𝑆 + 𝑣𝑓
𝑣𝑠
) 
𝜆𝐴 = 𝜆0 (
𝑣𝑆 + 𝑣𝑓
𝑣𝑠
)⁡(𝑒𝑞. 1) 
 Para o observador B, fonte se aproximando, temos: 
𝑓𝐵
𝑣𝑠
=
𝑓0
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓
 
𝑓𝐵 =
𝑣𝑆
𝑣𝑆 − 𝑣𝑓
⋅ 𝑓0 
𝜆𝐵 =
𝑣𝑆
𝑓𝐵
=
𝑣𝑠
𝑣𝑆
𝑣𝑆 − 𝑣𝑓
⋅ 𝑓0
 
𝜆𝐵 =
𝑣𝑆
𝑓0⏟
𝜆0
(
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓
𝑣𝑠
) 
𝜆𝐵 = 𝜆0 (
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓
𝑣𝑠
) 
 Logo, a diferença entre os comprimentos de onda é de: 
⁡Δ𝜆 = 𝜆𝐴 − 𝜆𝐵 
Δ𝜆 = 𝜆0 (
𝑣𝑆 + 𝑣𝑓
𝑣𝑠
) − 𝜆0 (
𝑣𝑆 − 𝑣𝑓
𝑣𝑠
) 
∴ Δ𝜆 =
2𝑣
𝑣𝑠
𝜆0 
 
 
 
 
 
88 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Gabarito: B 
 (Simulado EN) 
Analise a figura abaixo. 
 
Na figura em questão, existem duas cordas, AB e BC, tal que a relação entre as massas das cordas 
são 
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐶
=
1
8
. Quando o diapasão oscila com uma frequência constante, a relação entre os 
comprimentos de onda 𝜆𝐴𝐵/𝜆𝐵𝐶 é igual a: 
(A) 1/2 (B) 2 (C) 1 (D) 1/3 (E) 1/4 
Comentários: 
 Esquematicamente, podemos representar as ondas nas cordas como: 
 
 De acordo com o enunciado, queremos 𝜆1/𝜆2. Pela lei de Taylor, temos: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= 𝜆𝑓 
𝜆 =
1
𝑓
√
𝑇
𝜇
=
1
𝑓
√
𝑇
𝑚/𝐿
 
𝜆 =
1
𝑓
√
𝑇𝐿
𝑚
 
 Para cada uma das cordas, temos: 
𝜆1 =
1
𝑓
√
𝑇𝐿
𝑀
 
 
 
 
 
 
89 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝜆2 =
1
𝑓
√
𝑇(2𝐿)
8𝑀
=
1
2
[
 
 
 
 
1
𝑓
√
𝑇𝐿
𝑀⏟ 
=𝜆1 ]
 
 
 
 
 
𝜆2 =
1
2
𝜆1 
∴
𝜆1
𝜆2
= 2 
Gabarito: B 
 (Simulado EN) 
Próximo a uma coluna de ar sobre um líquido é colocado um diapasão, de frequência 100 Hz, a 
oscilar, conforme mostra a figura abaixo. 
 
Se a velocidade do som no ar é de 340 m/s, então a diferença entre os comprimentos das duas 
primeiras colunas ar que estão em ressonância com o diapasão, em m, é de: 
(A) 0,8 (B) 1,2 (C) 1,7 (D) 2,8 (E) 3,4 
Comentários: 
 Para um tubo aberto em uma das extremidades, temos: 
𝜆 =
4𝐿
2𝑛 + 1
, 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … 
 Logo, para o primeiro modo de vibração, temos: 
 
 
 
 
 
90 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
𝐿1 =
𝜆
4
 
 Para o segundo: 
𝐿2 =
3𝜆
4
 
 Como 𝜆 = 𝑣/𝑓, então 𝜆 =
340
100
= 3,4⁡𝑚. Dessa forma, a diferença é dada por: 
Δ𝐿 = 𝐿2 − 𝐿1 =
3𝜆
4
−
𝜆
4
=
2𝜆
4
=
𝜆
2
 
∴ Δ𝐿 = 1,7⁡𝑚 
Gabarito: C 
 (Simulado EN) 
Uma corda de violino tem 50 cm de comprimento entre seus extremos fixos e sua massa é de 1 g. 
Quando toca a corda, a nota pura lá (440 Hz) é notada. A que distância, em m, de uma das 
extremidades deve-se posicionar o dedo para que a nota gerada seja um dó puro (528 Hz)? 
(A) 1/12 (B) 1/8 (C) 2/7 (D) 3/10 (E) 2/9 
Comentários: 
 Pela lei de Taylor para a corda presa entre as extremidades, temos: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
= 𝜆 ⋅ 𝑓 
 Para o primeiro harmônico, temos: 
 
 
 
 
 
91 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
𝐿0 =
𝜆
2
 
 Então: 
2𝐿0 ⋅ 𝑓0 = √
𝑇
𝜇
 
2 ⋅ 0,5 ⋅ 440 = ⁡√
𝑇
𝜇
 
√
𝑇
𝜇
= 440 
 Pressionando a corda a uma distância 𝑥 de uma das extremidades, temos: 
 
 Note que a densidade linear de massa da corda e a tração na corda não se alteram. Então √
𝑇
𝜇
=
440. Para o dó 528 Hz, temos: 
𝑓 =
1
2𝐿
⋅ √
𝑇
𝜇
 
528 =
1
2𝐿
⋅ 440 
 
 
 
 
 
92 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝐿 =
5
12
⁡𝑚 
 Então, o valor de 𝑥 é igual a: 
𝑥 =
1
2
−
5
12
=
1
12
⁡𝑚 
∴ 𝑥 =
1
12
⁡𝑚 
Gabarito: A 
 (Simulado EN) 
Duas cordas, 1 e 2, unidas no ponto B e com extremidades fixas em A e C, possuem densidades 
lineares de massa iguais a 𝜇 e 4𝜇, respectivamente. Em um dado instante, origina em A um pulso 
que chega em B após 1 s. Quanto tempo levará o pulso para ir de A até C? 
 
(A) 3 s (B) 4 s (C) 5 s (D) 6 s (E) 7 s 
Comentários: 
 Quando o pulso vai da corda 1 para a corda 2, o pulso refletido sofre inversão de fase, pois a 
densidade linear de 2 é maior que de 1. Porém, o pulso refratado em 2 seguirá sem inversão de fase. 
Como as densidades lineares de massa são diferentes, as velocidades de propagação serão diferentes 
também. Entretanto, as trações nas cordas podem ser consideradas iguais. Portanto: 
 
 O tempo total desejado é 𝑡 = 𝑡𝐴𝐵 + 𝑡𝐵𝐶. Para a corda 1, temos: 
 
 
 
 
 
93 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑡𝐴𝐵 =
𝑑𝐴𝐵
𝑣1
=
𝐿
√𝑇/𝜇
 
 Para a corda 2, temos: 
𝑡𝐵𝐶 =
𝑑𝐵𝐶
𝑣2
=
2𝐿
√
𝑇
4𝜇
=
2
1
2
⋅
𝐿
√𝑇/𝜇⏟ 
=𝑡𝐴𝐵
 
𝑡𝐵𝐶 = 4𝑡𝐴𝐵 
𝑡𝐵𝐶 = 4⁡𝑠 
 Portanto: 
𝑡 = 𝑡𝐴𝐵 + 𝑡𝐵𝐶 = 1 + 4 
∴ 𝑡 = 5⁡𝑠Gabarito: C 
 (Simulado EN) 
Uma fonte sonora emite ondas de frequência iguais a 1200 Hz. A fonte está viajando com velocidade 
de 30 m/s em direção a leste. Existe uma grande superfície refletora logo a frente da fonte, que está 
viajando a uma velocidade de 60 m/s em direção a oeste. Sabe-se que a velocidade do som no ar é 
de 330 m/s. o número de ondas que chegam a superfície refletora por segundo é igual a: 
(A) 1320 (B) 1360 (C) 1480 (D) 1560 (E) 1620 
Comentários: 
 De acordo com o enunciado, para a nossa superfície refletora fazendo o papel de observador, 
temos: 
𝑓𝑎𝑝
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑜𝑏𝑠
=
𝑓0
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑓
 
𝑓𝑎𝑝
𝑣𝑠 + 60
=
𝑓0
𝑣𝑠 − 30
 
𝑓𝑎𝑝
330 + 60
=
1200
330 − 30
 
𝑓𝑎𝑝 = 4 ⋅ 390 
∴ 𝑓𝑎𝑝 = 1560⁡𝐻𝑧 
 
 
 
 
 
94 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Gabarito: D 
 
 
 
 
10. Lista de questões nível 3 
 (Simulado AFA) 
Um apito de frequência 540 Hz está girando em um círculo de raio igual a 2 m, com velocidade linear 
de 30 m/s. Sabe-se que a velocidade do som no local é de 330 m/s. Um observador é colocado em 
𝑂, bem afastado do centro do círculo, como mostra a figura. 
 
Sobre a frequência tomada pelo observador, pode-se afirmar que: 
(A) a frequência observada quando o apito está em M é maior que a frequência observada quando 
o apito está em K. 
(B) a razão entre a máxima frequência observada pela mínima frequência observa é de 6/5. 
(C) não existe um ponto durante o giro do apito que a frequência observada seja de 540 Hz. 
(D) a razão entre a máxima frequência observada pela mínima frequência observa é de 4/3. 
 (ITA-2011) 
Uma pessoa de 80,00 kg deixa-se cair verticalmente de uma ponte amarrada a uma corda elástica 
de “bungee jumping” com 16,0 m de comprimento. Considere que a corda se esticará até 20,0 m de 
comprimento sob a ação do peso. Suponha que, em todo o trajeto, a pessoa toque continuamente 
uma vuvuzela, cuja frequência natural é de 235 Hz. Qual(is) é(são) a(s) distância(s) abaixo da ponte 
 
 
 
 
 
95 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
em que a pessoa se encontra para que um som de 225 Hz seja percebido por alguém parado sobre 
a ponte? 
a) 11,4 m b) 11,4 m e 14,4 m c) 11,4 m e 18,4 m 
d) 14,4 m e 18,4 m e) 11,4 m, 14,4 m e 18,4 m 
 (ITA 2010) 
Uma jovem encontra-se no assento de um carrossel circular que gira a uma velocidade angular 
constante com período T. Uma sirene posicionada fora do carrossel emite um som de frequência 𝑓0 
em direção ao centro de rotação. No instante 𝑡 = 0, a jovem está à menor distância em relação à 
sirene. Nesta situação, assinale a melhor representação da frequência f ouvida pela jovem. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
 (ITA-2004) 
Na figura F1 e F2 são fontes sonoras idênticas que emitem, em fase, ondas de frequência f e 
comprimento de onda 𝜆. A distância d entre as fontes é igual a 3𝜆. Pode-se então afirmar que a 
menor distância não nula, tomada a partir de F2, ao longo do eixo x, para a qual ocorre interferência 
construtiva, é igual a 
a) 4𝜆/5 
b) 5𝜆/4 
c) 3𝜆/2 
d) 2𝜆 
 
 
 
 
 
96 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
e) 4𝜆 
 (ITA – 2020) 
Dois aviões de combate, A e B, viajam a uma mesma altitude com velocidades constante 𝑣 𝐴 =
(100⁡𝑚/𝑠)𝑖 ̂ e 𝑣 𝐵 = (200⁡𝑚/𝑠)𝑗,̂ respectivamente. A figura ilustra as posições dos aviões no 
instante 𝑡 = 0⁡𝑠, que estão separadas por uma distância 𝐷 = 100⁡𝑚. Devido ao funcionamento de 
sua turbina, o avião A emite um som de frequência característica de 1000 Hz. A velocidade do som 
na região onde se encontram os aviões é de 300 m/s. Com base nessas informações, calcule: 
(a) a distância mínima entre os dois aviões ao longo do movimento; 
(b) a frequência percebida no instante 𝑡 = 0⁡𝑠, pelo piloto do avião B, devido ao som da turbina do 
avião A. 
 
 (ITA – 2022) 
As fontes 𝐹1 e 𝐹2 contém duas buzinas que geram ruídos de frequências próprias 𝑓1 e 𝑓2 (𝑓2 > 𝑓1), 
respectivamente. A fonte 𝐹1 mantém-se em repouso, enquanto a fonte 𝐹2 realiza um movimento 
harmônico simples de frequência 𝑓𝑚 e amplitude 𝐴 ao longo da reta que une os dois corpos. Um 
observador vizinha a 𝐹1 registra um intervalo acústico entre os dois sons captados que varia de 5/4 
até 3/2. Considere o tempo de propagação do som desprezível. Com base nas informações 
fornecidas, determine: 
a) o intervalo acústico entre 𝑓1 e 𝑓2; 
b) a relação entre 𝑓𝑚, 𝐴 e a velocidade do som 𝑣0. 
 (IME – 2021) 
Uma fonte sonora A, que emite um som de frequência constante, e um observador B estão próximos 
um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equações temporais no Plano XY mostradas 
abaixo: 
𝑋𝐴 = cos(𝑡) + log⁡(1 + 𝑡) 
𝑌𝐴 = 2𝑡 + 3 
𝑋𝐵 = log(1 + 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
𝑌𝐵 = 2𝑡 − 1 
Considerando que a fonte sonora emita um som de frequência constante, a frequência percebida 
pelo observador, dentre as opções, é desprovida de efeito Doppler quando o instante 𝑡 for: 
 
 
 
 
 
97 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
(A) 0 (B) 𝜋/6 (C) 𝜋/2 (D) 3𝜋/4 (E) 𝜋 
 (IME – 2022) 
 
Um fio de comprimento 𝐿1 e densidade linear 𝜇1 está ligado a outro fio com comprimento 𝐿2 =
14𝐿1 e densidade 𝜇2 = 𝜇1/64. O conjunto está preso pelas suas extremidades a duas paredes fixas 
e submetido a uma tensão T. Uma onda estacionária se forma no conjunto com a menor frequência 
possível, com um nó na junção dos dois fios. Incluindo os nós das extremidades, determine o 
número de nós que serão observados ao longo do conjunto. 
 (IME – 2020) 
 
Um recipiente de vidro contendo gás tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um 
suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto 
(D), forma imagens reais nítidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferença de tempo Δt, 
sendo que, entre a formação dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma 
duração) no detector (F) e n − 1 bips são emitidos pela fonte sonora. Considerando que o 
comprimento do recipiente é L e a distância focal da lente é f, determine a velocidade do som no 
gás. 
 (Simulado EFOMM) 
Um objeto de massa específica 𝜌 é pendurado por uma fina corda ideal. Sabe-se que a frequência 
fundamental de oscilação de uma onda transversal na corda é de 𝑓0. Em um certo instante, o objeto 
 
 
 
 
 
98 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
é parcialmente imerso em um líquido de densidade 𝜌0, com metade do volume submerso. Dessa 
forma, a nova frequência fundamental no fio é de: 
(A) (
2𝜌+𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 (B) (
2𝜌−𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 (C) (
𝜌+𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 
(D) (
𝜌+𝜌0
2𝜌0
)
1/2
𝑓0 (E) (
𝜌−𝜌0
𝜌
)
1/2
𝑓0 
 (Simulado EN) 
Em um experimento de ressonância em tubo, um diapasão possui frequência de 400 Hz e é colocado 
na abertura do tubo, conforme mostra figura abaixo. 
 
O reservatório pode ser elevado ou abaixado para ajustar o nível da água e, assim, ajustar o 
comprimento da coluna de ar no tubo. Sabe-se que a área de secção transversal do reservatório é 6 
vezes maior que o cano. Inicialmente, o reservatório é mantido de forma que o tubo está cheio até 
a borda. Em um dado instante, o diapasão soa e o reservatório é abaixado. Quando o reservatório 
é abaixado em 21 cm, a primeira ressonância é observada. Quando o reservatório é abaixado ainda 
mais em 49 cm, a segunda ressonância é ouvida. Dessa forma, a velocidade do som ar, em m/s, é 
de: 
(A) 330 (B) 332 (C) 334 (D) 336 (E) 338 
 
11. Gabarito sem comentários nível 3 
1) B 
2) C 
3) A 
4) B 
5) a) 20√5𝑚 e b) 1832 Hz 
6) 
𝑓1
𝑓2
=
11
15
 e 
2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑣0
=
1
11
 
7) D 
8) 12 nós 
9) 𝑣 =
𝑛√𝐿2−4𝑓𝐿
Δ𝑡
 
10) B 
11) D 
 
 
 
 
 
 
99 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
12. Lista de questões nível 3 comentada 
 (Simulado AFA) 
Um apito de frequência 540 Hz está girando em um círculo de raio igual a 2 m, com velocidade linearde 30 m/s. Sabe-se que a velocidade do som no local é de 330 m/s. Um observador é colocado em 
𝑂, bem afastado do centro do círculo, como mostra a figura. 
 
Sobre a frequência tomada pelo observador, pode-se afirmar que: 
(A) a frequência observada quando o apito está em M é maior que a frequência observada quando 
o apito está em K. 
(B) a razão entre a máxima frequência observada pela mínima frequência observa é de 6/5. 
(C) não existe um ponto durante o giro do apito que a frequência observada seja de 540 Hz. 
(D) a razão entre a máxima frequência observada pela mínima frequência observa é de 4/3. 
Comentários: 
 Como observador está muito longe do centro, a frequência observada será mínima quando a fonte 
(apito) está se afastando do observador em 𝑂, justamente em N. Portanto: 
𝑓𝑚í𝑛 = (
𝑣𝑠𝑜𝑚
𝑣𝑠𝑜𝑚 + 𝑣
) ⋅ 𝑓0 
𝑓𝑚í𝑛 = (
330
360
) ⋅ 540⁡𝐻𝑧 
 Para a máxima frequência observada, devemos tomar o ponto L, quando a fonte está se 
aproximando do observador. Portanto: 
𝑓𝑚á𝑥 = (
𝑣𝑠𝑜𝑚
𝑣𝑠𝑜𝑚 − 𝑣
) ⋅ 𝑓0 
𝑓𝑚á𝑥 = (
330
330 − 30
) ⋅ 540 
𝑓𝑚á𝑥 = (
330
300
) ⋅ 540⁡𝐻𝑧 
 
 
 
 
 
100 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Fazendo a razão das frequências, temos: 
𝑓𝑚á𝑥
𝑓𝑚í𝑛
=
(
330
300) ⋅ 540⁡
(
330
360) ⋅ 540
=
360
300
=
36
30
 
𝑓𝑚á𝑥
𝑓𝑚í𝑛
=
6
5
 
 Note que em 𝑀 e em 𝐾 a velocidade da fonte (apito) é perpendicular à linha que une fonte a 
observador, então não é esperado efeito Doppler, ou seja, 𝑓𝑀 = 𝑓𝐾 = 540⁡𝐻𝑧. 
Gabarito: B 
 (ITA-2011) 
Uma pessoa de 80,00 kg deixa-se cair verticalmente de uma ponte amarrada a uma corda elástica 
de “bungee jumping” com 16,0 m de comprimento. Considere que a corda se esticará até 20,0 m de 
comprimento sob a ação do peso. Suponha que, em todo o trajeto, a pessoa toque continuamente 
uma vuvuzela, cuja frequência natural é de 235 Hz. Qual(is) é(são) a(s) distância(s) abaixo da ponte 
em que a pessoa se encontra para que um som de 225 Hz seja percebido por alguém parado sobre 
a ponte? 
a) 11,4 m b) 11,4 m e 14,4 m c) 11,4 m e 18,4 m 
d) 14,4 m e 18,4 m e) 11,4 m, 14,4 m e 18,4 m 
Comentários: 
Para que a frequência percebida pelo observador sobre a ponte seja menor do que a frequência 
emitida, considerando que o observador está parado, é deduzido que a pessoa que pulou de da ponte 
está com velocidade para baixo. 
A pessoa acelera até em que a força elástica se iguala ao peso, passando então a desacelerar até 
atingir velocidade nula no ponto mais baixo de sua trajetória. 
Portanto, todos os possíveis valores de velocidade são percorridos duas vezes com exceção da 
velocidade no ponto em que a força resultante é nula. 
Assim, calculando a velocidade necessária para que a frequência percebida seja igual a 225⁡ℎ𝑧 e a 
velocidade quando a força resultante é nula: 
𝑓𝑎𝑝 = 𝑓 ⋅
𝑣𝑠
𝑣𝑠 + 𝑣𝑓
 
225 = 235 ⋅
340
340 + 𝑣𝑓
 
340 ⋅ 10 = 225 ⋅ 𝑣𝑓 
𝑣𝑓 ≅ 15,1⁡𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
101 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Calculando o 𝑘 por energia para o caso do ponto mais baixo da trajetória: 
𝑘 ⋅ 𝑥2
2
= 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ 
𝑘
2
⋅ 16 = 800 ⋅ 20 
𝑘 = 2 ⋅ 103⁡𝑁/𝑚 
Verificando primeiramente se há ocorrência dessa velocidade durante o movimento de queda 
livre: 
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ = 𝑚 ⋅
𝑣2
2
 
10 ⋅ ℎ =
15,12
2
 
ℎ =
15,12
20
= 11,4⁡𝑚 
Agora, verifica-se quando ocorre essa velocidade para o caso em que o elástico está esticado. 
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ = 𝑚 ⋅
𝑣2
2
+ 𝑘 ⋅
𝑥2
2
 
800 ⋅ ℎ = 80 ⋅
15,12
2
+ 2 ⋅ 103 ⋅
(ℎ − 16)2
2
 
ℎ2 − 32 ⋅ ℎ + 256 − 0,8 ⋅ ℎ + 9,12 = 0 
ℎ2 − 32,8 ⋅ ℎ + 265,12 = 0 
ℎ1 = 18,4⁡𝑚 
ℎ2 = 14,4⁡𝑚 
Como a suposição era de que o elástico estava esticado, ℎ ≥ 16 era condição. Portanto, somente 
ℎ1 é válido. Assim as respostas são ℎ = 11,4⁡𝑚 e ℎ = 18,4⁡𝑚. 
Gabarito: C 
 (ITA 2010) 
Uma jovem encontra-se no assento de um carrossel circular que gira a uma velocidade angular 
constante com período T. Uma sirene posicionada fora do carrossel emite um som de frequência 𝑓0 
em direção ao centro de rotação. No instante 𝑡 = 0, a jovem está à menor distância em relação à 
sirene. Nesta situação, assinale a melhor representação da frequência f ouvida pela jovem. 
 
 
 
 
 
102 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
Comentários: 
Para o efeito Doppler: 
𝑓 = 𝑓0 ⋅
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑜
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑓
 
Em que: 𝑣𝑠 é a velocidade do som; 𝑣𝑓 é a velocidade da fonte; 𝑣𝑜 é a velocidade do observador; e 
𝑓 é a frequência percebida. 
Para este caso, 𝑣𝑓 = 0: 
𝑓
𝑓0
=
𝑣𝑠 ± 𝑣𝑜
𝑣𝑠
⇒
𝑓
𝑓0
= 1 ±
𝑣𝑜
𝑣𝑠
 
Analisando a cinética da jovem: 
𝜔 =
2 ⋅ 𝜋
𝑇
 
Analisando a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
103 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
𝛼 = 𝜔 ⋅ 𝑡 
𝑣𝑜 = 𝑣 ⋅ 𝑠𝑒𝑛⁡𝛼 
𝑣𝑜 = 𝑣 ⋅ 𝑠𝑒𝑛⁡(𝜔 ⋅ 𝑡) 
𝑣𝑜 = 𝑣 ⋅ 𝑠𝑒𝑛⁡ (
2 ⋅ 𝜋
𝑇
⋅ 𝑡) 
Assim, ajustando o sinal: 
𝑓
𝑓0
= 1 −
𝑣
𝑣𝑠
⋅ 𝑠𝑒𝑛⁡ (
2 ⋅ 𝜋
𝑇
⋅ 𝑡) 
Dessa forma, a melhor representação está na alternativa A. 
Gabarito: A 
 (ITA-2004) 
Na figura F1 e F2 são fontes sonoras idênticas que emitem, em fase, ondas de frequência f e 
comprimento de onda 𝜆. A distância d entre as fontes é igual a 3𝜆. Pode-se então afirmar que a 
menor distância não nula, tomada a partir de F2, ao longo do eixo x, para a qual ocorre interferência 
construtiva, é igual a 
a) 4𝜆/5 
b) 5𝜆/4 
c) 3𝜆/2 
d) 2𝜆 
e) 4𝜆 
Comentários: 
 
 
 
 
 
104 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Para que ocorra interferência construtiva, a diferença da distância percorrida deve ser um número 
inteiro de comprimentos de onda. 
𝑑1 − 𝑑2 = 𝑛 ⋅ 𝜆 
√𝑥2 + 𝑑2 − 𝑥 = 𝑛 ⋅ 𝜆 
𝑥2 + 𝑑2 = 𝑛2 ⋅ 𝜆2 + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝜆 + 𝑥2 
𝑑2 = 𝑛2 ⋅ 𝜆2 + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝜆 
Substituindo 𝑑 = 3 ⋅ 𝜆 e rearranjando: 
𝑥 =
(9 − 𝑛2) ⋅ 𝜆
2 ⋅ 𝑛
 
𝑛 = 0 → 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
𝑛 = 1 → 𝑥 = 4 ⋅ 𝜆 
𝑛 = 2 → 𝑥 =
5
4
⋅ 𝜆 
𝑛 = 3 → 𝑥 = 0 
𝑛 ≥ 4 → 𝑥 < 0⁡(𝑛ã𝑜⁡𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
Logo, a menor distância é 𝑥 =
5
4
⋅ 𝜆 
Gabarito: B 
 (ITA – 2020) 
Dois aviões de combate, A e B, viajam a uma mesma altitude com velocidades constante 𝑣 𝐴 =
(100⁡𝑚/𝑠)𝑖 ̂ e 𝑣 𝐵 = (200⁡𝑚/𝑠)𝑗,̂ respectivamente. A figura ilustra as posições dos aviões no 
instante 𝑡 = 0⁡𝑠, que estão separadas por uma distância 𝐷 = 100⁡𝑚. Devido ao funcionamento de 
sua turbina, o avião A emite um som de frequência característica de 1000 Hz. A velocidade do som 
na região onde se encontram os aviões é de 300 m/s. Com base nessas informações, calcule: 
(a) a distância mínima entre os dois aviões ao longo do movimento; 
(b) a frequência percebida no instante 𝑡 = 0⁡𝑠, pelo piloto do avião B, devido ao som da turbina do 
avião A. 
 
 
 
 
 
105 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
Comentários: 
a) Após um instante de tempo 𝑡, o avião A terá deslocado 𝑣𝐴𝑡 na direção 𝑥 e o avião B terá deslocado 𝑣𝐵𝑡 
na direção 𝑦. Dessa forma a distância entre os aviões é dada utilizando o teorema de Pitágoras: 
 
𝑑2 = (𝑣𝐴𝑡)
2 + (𝐷 − 𝑣𝐵𝑡)
2 
𝑑 = √(100𝑡)2 + (100 − 200𝑡)2 
𝑑 = 100√𝑡2 + (1 − 2𝑡)2 
𝑑 = 100√𝑡2 + 1 − 4𝑡 + 4𝑡2 
𝑑 = 100√5𝑡2 − 4𝑡 + 1 
 O valor de 𝑑 será mínimo quando o termo dentro da raiz quadrada for mínimo, já que a raiz 
quadrada é uma função crescente. Portanto, o termo que leva ao valor de mínimo na função 𝑓(𝑡) = 5𝑡2 −
4𝑡 + 1 é igual a: 
𝑡′ = −
𝑏
2𝑎
= −
(−4)
2 ⋅ 5
=
4
10
=
2
5
⁡𝑠 
 Por, 𝑑𝑚𝑖𝑛 é dado por: 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 100√5 ⋅ (
2
5
)
2
− 4 ⋅
2
5
+ 1 
 
 
 
 
 
106 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 20√5𝑚 
b) Em 𝑡 = 0 a distância entre os aviões A e B é de 100 m e a velocidade do som no ar é de 300 m/s, então 
no instante 𝑡 = 0, o som que chega em B não é som que partiu de A quando ele estava no eixo 𝑦. Devemos 
pensar na trajetória do som partindo de A e chegando até B no momento em que B está na origem do 
sistema cartesiano. 
 
 Portanto, o cosseno de 𝛼 é dado por:𝑐𝑜𝑠(𝛼) =
100𝑡
300𝑡
=
1
3
 
 Como 𝛼 e 𝛽 são complementares, então 𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) e o 𝑠𝑒𝑛(𝛼) nós encontramos a partir 
da relação fundamental da trigonometria, sabendo que 𝛽 é um angulo agudo (seno positivo). 
𝑠𝑒𝑛2(𝛼) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) = 1 
𝑠𝑒𝑛2(𝛼) + (
1
3
)
2
= 1 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
2√2
3
= 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 
 Dessa forma, as velocidades que importam para o efeito Doppler são aquelas na direção 
observador-fonte. Por isso, a velocidade da fonte na direção do observador 𝑣𝐴
′ = 𝑣𝐴𝑐𝑜𝑠(𝛼) e a velocidade 
do observador na direção da fonte é 𝑣𝐵
′ = 𝑣𝐵𝑐𝑜𝑠(𝛽). Portanto, a equação do efeito Doppler, orientando 
do observador para a fonte, fica: 
𝑓𝑎𝑝
𝑣𝑠 + 𝑣𝑜𝑏𝑠
=
𝑓0
𝑣𝑠 − 𝑣𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
 
 
 
 
 
 
107 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝑓𝑎𝑝
300 + 200 ⋅
2√2
3
=
1000
300 − 100 ⋅
1
3
 
𝑓𝐴𝑝 ≅ 1832⁡𝐻𝑧 
Gabarito: a) 𝟐𝟎√𝟓𝒎 e b) 1832 Hz 
 (ITA – 2022) 
As fontes 𝐹1 e 𝐹2 contém duas buzinas que geram ruídos de frequências próprias 𝑓1 e 𝑓2 (𝑓2 > 𝑓1), 
respectivamente. A fonte 𝐹1 mantém-se em repouso, enquanto a fonte 𝐹2 realiza um movimento 
harmônico simples de frequência 𝑓𝑚 e amplitude 𝐴 ao longo da reta que une os dois corpos. Um 
observador vizinha a 𝐹1 registra um intervalo acústico entre os dois sons captados que varia de 5/4 
até 3/2. Considere o tempo de propagação do som desprezível. Com base nas informações 
fornecidas, determine: 
a) o intervalo acústico entre 𝑓1 e 𝑓2; 
b) a relação entre 𝑓𝑚, 𝐴 e a velocidade do som 𝑣0. 
Comentários: 
 Inicialmente, vamos encontrar a velocidade máxima em módulo da fonte 𝐹2 em MHS: 
|𝑣𝑚á𝑥| = 𝜔𝐴 = 2𝜋𝑓𝑚𝐴 
Assim, pelo efeito Doppler, temos: 
𝑓2
′
𝑚á𝑥
= 𝑓2.
𝑣0
𝑣0 − 2𝜋𝑓𝑚𝐴
;⁡⁡𝑓2
′
𝑚í𝑛
= 𝑓2.
𝑣0
𝑣0 + 2𝜋𝑓𝑚𝐴
 
Daí, pelo conceito de intervalo acústico, temos: 
𝑓2
′
𝑚á𝑥
𝑓1
=
3
2
=
𝑓2.
𝑣0
𝑣0 − 2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑓1
⁡(𝑒𝑞. 1) 
⁡⁡
𝑓2
′
𝑚í𝑛
𝑓1
=
5
4
=
𝑓2.
𝑣0
𝑣0 + 2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑓1
⁡(𝑒𝑞. 2) 
 Dividindo 2 por 1, temos: 
5
4
3
2
=
𝑓2.
𝑣0
𝑣0 + 2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑓1
𝑓2.
𝑣0
𝑣0 − 2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑓1
 
2 ⋅ 5
3 ⋅ 4
=
𝑣0 − 2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑣0 + 2𝜋𝑓𝑚𝐴
 
 
 
 
 
 
108 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
∴
2𝜋𝑓𝑚𝐴
𝑣0
=
1
11
 
Portanto, substituindo em 1, temos: 
3
2
=
𝑓2.
𝑣0
𝑣0 −
𝑣0
11
𝑓1
 
∴
𝑓1
𝑓2
=
11
15
⁡ 
 Gabarito: 
𝒇𝟏
𝒇𝟐
=
𝟏𝟏
𝟏𝟓
 e 
𝟐𝝅𝒇𝒎𝑨
𝒗𝟎
=
𝟏
𝟏𝟏
 
 (IME – 2021) 
Uma fonte sonora A, que emite um som de frequência constante, e um observador B estão próximos 
um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equações temporais no Plano XY mostradas 
abaixo: 
𝑋𝐴 = cos(𝑡) + log⁡(1 + 𝑡) 
𝑌𝐴 = 2𝑡 + 3 
𝑋𝐵 = log(1 + 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
𝑌𝐵 = 2𝑡 − 1 
Considerando que a fonte sonora emita um som de frequência constante, a frequência percebida 
pelo observador, dentre as opções, é desprovida de efeito Doppler quando o instante 𝑡 for: 
(A) 0 (B) 𝜋/6 (C) 𝜋/2 (D) 3𝜋/4 (E) 𝜋 
Comentários: 
 Para calcular a frequência aparente no efeito Doppler devemos tomar o vetor posição relativa 
entre os corpos e a velocidade relativa entre eles. De acordo com as equações de posição de A e de B, 
então o vetor posição da fonte em relação ao objeto é dado por: 
𝑟 = (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵, 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) 
𝑟 = (cos(𝑡) + log⁡(1 + 𝑡) − (log(1 + 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 2𝑡 + 3 − (2𝑡 − 1)) 
𝑟 = (cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡),4) 
 Assim, a velocidade relativa entre observador e fonte é dada por: 
𝑣 =
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
 
𝑣 = (−𝑠𝑒𝑛(𝑡) + cos(𝑡) , 0) 
 
 
 
 
 
109 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Para que não haja efeito Doppler, ou seja, mudança na frequência percebida pelo observador, 
então temos duas possibilidades: 
 i) velocidade relativa nula entre observador e fonte: 
𝑣 = (−𝑠𝑒𝑛(𝑡) + cos(𝑡) , 0) = (0,0) 
−𝑠𝑒𝑛(𝑡) + cos(𝑡) = 0 
𝑡 =
𝜋
4
⁡𝑠 
 Considerando o intervalo de tempo de 0 a 𝜋, pois nas alternativas esse é o intervalo apresentado. 
 ii) velocidade relativa perpendicular à posição: 
𝑟 ⋅ 𝑣 = 0 
(cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡))(cos(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡)) + 4 ⋅ 0 = 0 
cos2(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑡) = 0 
cos2 𝑡 − (1 − cos2 𝑡) = 0 
cos 𝑡 = ±
√2
2
 
 No intervalo então das alternativas, temos 𝑡 =
𝜋
4
𝑠 e 𝑡 =
3𝜋
4
𝑠. Dentro das alternativas 
apresentadas, então o gabarito é alternativa D. 
Gabarito: D 
 (IME – 2022) 
 
Um fio de comprimento 𝐿1 e densidade linear 𝜇1 está ligado a outro fio com comprimento 𝐿2 =
14𝐿1 e densidade 𝜇2 = 𝜇1/64. O conjunto está preso pelas suas extremidades a duas paredes fixas 
e submetido a uma tensão T. Uma onda estacionária se forma no conjunto com a menor frequência 
possível, com um nó na junção dos dois fios. Incluindo os nós das extremidades, determine o 
número de nós que serão observados ao longo do conjunto. 
Comentários: 
Para a primeira corda, temos: 
 
 
 
 
 
110 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
𝐿1 = 𝑁 ⋅
𝜆
2
 
𝐿1 = 𝑁 ⋅
𝑣1
𝑓
2
 
𝐿1 = 𝑁 ⋅
√
𝑇
𝜇1
2𝑓
 
𝑁 = 2 ⋅
𝑓𝐿1√𝜇1
√𝑇
 
Analogamente, para a segunda corda, temos: 
𝑀 =
2𝑓𝐿2√𝜇2
√𝑇
 
Substituindo os valores do enunciado, temos: 
𝑀 =
2𝑓(14𝐿1)√
𝜇1
64
√𝑇
 
𝑀 =
7
2
𝑓𝐿1√𝜇1
√𝑇
 
Podemos chamar o termo 
𝑓𝐿1√𝜇1
√𝑇
⁡𝑑𝑒⁡𝑘. Assim, temos: 
𝑁 = 2 ⋅ 𝑘 
𝑀 =
7
2
𝑘 
Como os valores de M e N são naturais, pois representam os harmônicos, o menor valor de k para 
que M seja natural é 2. 
Desta maneira, temos: 
𝑘 = 2 
𝑁 = 4⁡⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑀 = 7 
Portanto, o total de nós é: 
𝑥 = 12 
Gabarito: 12 nós 
 
 
 
 
 
111 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 (IME – 2020) 
 
Um recipiente de vidro contendo gás tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um 
suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto 
(D), forma imagens reais nítidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferença de tempo Δt, 
sendo que, entre a formação dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma 
duração) no detector (F) e n − 1 bips são emitidos pela fonte sonora. Considerando que o 
comprimento do recipiente é L e a distância focal da lente é f, determine a velocidade do som no 
gás. 
Comentários: 
A diferença entre o número de bips recebidos pelo detector (F) e os emitidos pela fonte sonora se 
devem ao Efeito Doppler causado pela aproximação entre a fonte (que é transportada pelo carrinho). Seja 
𝑣 a velocidade do som no gás, temos que a frequência aparente percebida no detector é: 
𝑓𝑎𝑝 =
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑓
⋅ 𝑓𝑟𝑒𝑎𝑙 
𝑓𝑎𝑝
𝑓𝑟𝑒𝑎𝑙
=
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑓
 
𝑛
𝑛 − 1
=
𝑣
𝑣 − 𝑣𝑓
 
 Usando as propriedades de razão e proporção, temos que: 
𝑛 =
𝑣
𝑣𝑓
∴ 𝑣 = 𝑛𝑣𝑓 
 
 
 
 
 
112 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 O carrinho também transporta uma lente convergente. 
 
 Usando a equação das lentes, temos: 
1
𝑓
=
1
𝑝
+
1
𝑝′
 
1
𝑓
=
1
𝑝
+
1
𝐿 − 𝑝
=
(𝐿 − 𝑝) + 𝑝
𝑝(𝐿 − 𝑝)
=
𝐿
𝑝(𝐿 − 𝑝)
 
Usando a propriedade de meios pelos extremos, temos: 
∴ 𝑝(𝐿 − 𝑝) = 𝑓𝐿 
𝑝𝐿 − 𝑝2 = 𝑓𝐿 
∴ 𝑝2 − 𝑝𝐿 + 𝑓𝐿 = 0 
 Temos, portanto, uma equação do segundo grau em p, cujas soluções são dadas pela Fórmula de 
Bhaskara. 
𝑝 =
𝐿 ± √𝐿2 − 4𝑓𝐿
2.1
=
𝐿 ± √𝐿2 − 4𝑓𝐿
2
 
 A diferença entre as duas raízes é, portanto: 
Δ𝑝 = √𝐿2 − 4𝑓𝐿 
 
 
 
 
 
113 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
Como sabemos o tempo necessário para que o carrinho percorresse exatamente a distância Δ𝑡, 
podemos calcular a velocidade do carrinho. 
𝑣𝑓 =
Δ𝑝
Δ𝑡
=
√𝐿2 − 4𝑓𝐿
Δ𝑡
 
A partir da velocidade do carrinho, podemos calcular a velocidade do som no gás, pois já havíamos 
determinado a relação entre elas no início da resolução. 
𝑣 = 𝑛𝑣𝑓 =
𝑛√𝐿2 − 4𝑓𝐿
Δ𝑡
 
∴ 𝑣 =
𝑛√𝐿2 − 4𝑓𝐿
Δ𝑡
 
Gabarito: 𝒗 =
𝒏√𝑳𝟐−𝟒𝒇𝑳
𝚫𝒕
 
 (Simulado EFOMM) 
Um objeto de massa específica 𝜌 é pendurado por uma fina corda ideal. Sabe-se que a frequência 
fundamental de oscilação de uma onda transversal na corda é de 𝑓0.Em um certo instante, o objeto 
é parcialmente imerso em um líquido de densidade 𝜌0, com metade do volume submerso. Dessa 
forma, a nova frequência fundamental no fio é de: 
(A) (
2𝜌+𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 (B) (
2𝜌−𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 (C) (
𝜌+𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 
(D) (
𝜌+𝜌0
2𝜌0
)
1/2
𝑓0 (E) (
𝜌−𝜌0
𝜌
)
1/2
𝑓0 
Comentários: 
 Inicialmente, quando apenas temos o objeto pendurado pelo fio, temos: 
 
𝑇 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔 
 Logo, a frequência fundamental é dada por: 
𝑓 =
𝑁
2𝐿
⋅ √
𝑇
𝜇
 
𝑓0 =
1
2𝐿
⋅ √
𝜌𝑉𝑔
𝜇
⁡(𝑒𝑞. 1) 
 
 
 
 
 
114 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 Quando o objeto fica parcialmente submerso, temos: 
 
 Assim, a nova tração no fio é dada por: 
𝑇′ = 𝑚𝑔 − 𝐸 
𝑇′ = 𝜌𝑉𝑔 − 𝜌0 ⋅
𝑉
2
⋅ 𝑔 
𝑇′ =
𝑉
2
𝑔(2𝜌 − 𝜌0) 
 Logo, a nova frequência fundamental é dada por: 
𝑓′ =
1
2𝐿
√
𝑇′
𝜇
 
𝑓′ =
1
2𝐿
√
𝑉
2 𝑔
(2𝜌 − 𝜌0)
𝜇
⁡⁡(𝑒𝑞. 2) 
 Dividindo 2 por 1, temos: 
𝑓′
𝑓0
=
1
2𝐿
√
𝑉
2 𝑔
(2𝜌 − 𝜌0)
𝜇
1
2𝐿 ⋅
√
𝜌𝑉𝑔
𝜇
 
𝑓′
𝑓0
= √
2𝜌 − 𝜌0
2𝜌
 
∴ 𝑓′ = (
2𝜌 − 𝜌0
2𝜌
)
1/2
𝑓0 
Gabarito: B 
 (Simulado EN) 
Em um experimento de ressonância em tubo, um diapasão possui frequência de 400 Hz e é colocado 
na abertura do tubo, conforme mostra figura abaixo. 
 
 
 
 
 
115 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
 
O reservatório pode ser elevado ou abaixado para ajustar o nível da água e, assim, ajustar o 
comprimento da coluna de ar no tubo. Sabe-se que a área de secção transversal do reservatório é 6 
vezes maior que o cano. Inicialmente, o reservatório é mantido de forma que o tubo está cheio até 
a borda. Em um dado instante, o diapasão soa e o reservatório é abaixado. Quando o reservatório 
é abaixado em 21 cm, a primeira ressonância é observada. Quando o reservatório é abaixado ainda 
mais em 49 cm, a segunda ressonância é ouvida. Dessa forma, a velocidade do som ar, em m/s, é 
de: 
(A) 330 (B) 332 (C) 334 (D) 336 (E) 338 
Comentários: 
 Quando o reservatório é abaixado de 𝑥, vamos dizer que o nível de água irá cair de 𝑦, tal que: 
𝑥 −
𝑦
6
= 𝑦 
𝑦 =
6
7
𝑥 
 Lembre-se que a área do tubo é 6 vezes a área do cano. Como 𝑥 = 21⁡𝑐𝑚, então 𝑦 = 18⁡𝑐𝑚. 
 Quando é abaixo de mais 49, então 𝑥 = 21 + 49 = 70⁡𝑐𝑚, então 𝑦 = 60⁡𝑐𝑚. Para as observações 
dos harmônicos consecutivos, temos: 
𝜆
4
+ 𝑒 = 18 
3
4
𝜆 + 𝑒 = 60 
 Subtraindo as equações, vem: 
𝜆
2
= 42 
𝜆 = 84⁡𝑐𝑚 = 0,84⁡𝑚 
 Pela equação fundamental da ondulatória, temos: 
𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑓 
𝑣 = 0,84 ⋅ 400 
 
 
 
 
 
116 
AULA 09 – Ondas estacionárias e acústica 
 
∴ 𝑣 = 336⁡𝑚/𝑠 
Gabarito: D 
13. Referências bibliográficas 
[1] Pandey, DC. Understanding Physics. 
[2] Sharma, B.M. Physics for IIT-JEE – Waves and Thermodinamic. 1. Ed. Cengage Learning’s. 
14. Considerações finais 
Chegamos ao final da nossa aula. Relembre os principais conceitos estudados nessa aula e tenha 
no sangue todos os conceitos vistos até agora. 
Estude com calma e muita atenção o fenômeno do efeito Doppler. Nossos concursos adoram esse 
tema e costumam colocar questões difíceis na prova. Às vezes, as questões referentes a este assunto são 
apenas teóricas. 
Estude com calma os conceitos de ondas estacionárias. Estas ondas são de extrema importância 
para a Física e possuem poucas abordagens nos livros de ensino médio comum. 
Conte comigo nessa jornada. Quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões entre em contato pelo 
fórum de dúvidas do Estratégia ou se preferir: 
 
 @proftoniburgatto