ELEMENTOS COMPRIMIDOS

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Belém-PA
Professor Selênio Feio da Silva
Barras Prismáticas Submetidas à Força Axial de Compressão
Dimensionamento Segundo a NBR-8800/2008
Estruturas de Aço
Força Axial de Compressão
3.1 BREVE REVISÃO DE FLAMBAGEM NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
A capacidade de um elemento estrutural em resistir à ruína é chamada de resistência do elemento. A capacidade de um
elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do elemento. A capacidade de uma estrutura em suportar cargas,
sem sofrer mudanças bruscas em sua configuração define sua estabilidade. A seleção de elementos estruturais é,
portanto, baseada em três características: resistência, rigidez e estabilidade. A flambagem corresponde a um
problema de instabilidade, portanto é complexo pelo fato de que diferentes fenômenos contribuem para a capacidade de
resistência, dependendo de seu comprimento.
3.2 DEFINIÇÃO DE CARGA CRÍTICA E TENSÃO DE FLAMBAGEM:
3.2.1 CARGA CRÍTICA:
É o valor da carga axial para a qual a forma reta, de equilíbrio da barra, deixa de ser estável. A partir dessa carga, o eixo da
barra se encurva porque a forma estável de equilíbrio passa a ser uma curva, denominada elástica.
Força Axial de Compressão
 Definição de Índice de Esbeltez de uma Barra Prismática (): É a relação entre o comprimento (L) da barra e o raio
mínimo de giração (i) de sua seção transversal.
A
I
i
i
L
 ;
I  Momento de inércia retangular
A  Área da seção transversal
 Fórmula de Euler para Colunas Esbeltas: Considere uma
barra com uma curvatura inicial, que esteja articulada nas
extremidades e submetida a uma carga axial (P).
 HIPÓTESES:
1- Carga vertical aplicada no centróide da seção;
2- O elemento estrutural é perfeitamente reto;
3- O material é elástico-linear que segue a lei de Hooke.
0.
x
;
.
x
2
2
2
2
2
2
 fK
d
fd
IE
P
K
IE
fP
IE
M
d
fd R
Momento Fletor Atuante na Seção da Peça: 𝐑
Equação Governante: Equação Diferencial da Curva Elástica:
0.
x
2
2
2
 fK
d
fd
Solução da Equação 1:
           
     





xcoskxkx''
xkxcoskx'
xcosxx
22 kBksenAf
ksenBkAf
kBksenAf
Verificação: 
        
00
0xcosxxcoskxk
0.
x
222
2
2
2



kBksenAKkBksenA
fK
d
fd
Solução da Equação 1:      xcosxx kBksenAf 
Condições de Contorno:
 
 




0L
00
f
f
 
     
 
     
 
 
2
2
2
2
2
1.
flambagem.provocaquecargadavalormenorO1
,3,2,1;.0.
.0;
0
.
0.cos.L
0L
000.cos0.0
00
LIE
P
L
k
L
k
Lk
n
nnLkLksen
PeçadaInicialCurvaturaA
A
Lksen
LkBLksenAf
f
BkBksenAf
f















2
2
L
IE
PP crfl


Força Axial de Compressão
3.2.2 TENSÃO DE FLAMBAGEM OU TENSÃO CRÍTICA:
É a relação entre a carga que provoca a flambagem e a área
da secção transversal.
i
L
i
L
E
A
I
i
A
I
i
AL
IE
A
P
fl
fl
crfl






2
2
2
2
2
2
.
2
2

 E
fl 
OBS: A fórmula de Euler é aplicada as colunas com outros 
tipos de condições de vínculos, substituindo o comprimento 
real da coluna por um comprimento fictício denominado: 
Comprimento Efetivo de Flambagem.
i
LE
eLL fl
fl
fl
flflfl  

 ;
2
2
 Limitação da Fórmula de Euler: A fórmula de Euler tem 
sua limitação no regime elástico, ou seja: quando o material 
estiver submetido a uma tensão de flambagem abaixo do 
limite de proporcionalidade (regime elástico). Para se 
determinar o regime de trabalho, calcula-se o índice de 
esbeltez (fl) e compara-o com o índice limite de esbeltez 
(lim) que é constante para cada material.
Força Axial de Compressão

lim
2
2
2
2









P
fl
P
fl
P
fl
Pfl
E
E
E




P
fl
E

  lim
Validade para a
Fórmula de Euler
 O diagrama que fornece a tensão de flambagem em
função do índice de esbeltez é denominado: Diagrama de
Flambagem, e para o regime elástico é dado pela fórmula de
Euler:
Para 𝜆 < 𝜆 não se aplica mais a fórmula de
Euler, sendo necessário encontrar outra função.
Força Axial de Compressão
3.3 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS PRISMÁTICAS SUBMETIDAS À FORÇA AXIAL DE COMPRESSÃO
Força Axial de Compressão
Figura: Comportamento quanto à instabilidade da peça comprimida, (a) 
instabilidade por flexão da barra e (b) instabilidade por flexo torção da barra. Figura: Condições possíveis para a instabilidade local
Exercícios de Aprendizagem
EX.1- Resistência de um elemento comprimido – seção duplamente simétrica. Determine a máxima força de
compressão que pode ser aplicada a uma coluna birotulada com 3000 mm de comprimento entre suas
fixações, sendo dados:
Aço A-36 (MR250): fy= 25 kN/cm2 e fu= 40 kN/cm2. G= 7 000 kN/cm2; E= 20 000 kN/cm2.
Perfil I – 160x17.9 mm: A= 22.80 cm2; d= 160 mm; bf= 74 mm; tf= 9.51 mm;
tw= 6.3 mm; ry= 1.55 cm; Jy= 54.7cm4; rx= 6.40 cm; Jx= 935 cm4.
Figura 1: Perfil I 160x17.9
RESOLUÇÃO:
Cálculo do esforço resistente de cálculo à compressão: Nc,Rd
𝑁 , = 
𝜒 Q 𝐴 𝑓
𝛾
 bf 
tw
tf
y
xd h
Solução do Exercício 1
1- Esbeltez da Peça: 𝛌𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎𝟎; 𝛌 =
𝑲.𝑳
𝒓
λy = . 
.
= 193.55 < λ á  Atende!
λx = . 
.
= 46.88 < λ á  Atende!
2- Cálculo do Coeficiente Q:
2.1- Flambagem Local da Alma (AA):
Tabela F-1 – grupo 2  (b/t)Lim = 1.49 = 1.49 = 42.14
(b/t) = (160 – 2x9.51)/6.3 = 22.38 < 42.14 Atende! → Qa= 1.0.
2.2- Flambagem Local da Mesa (AL):
Tabela F-1 – grupo 4  (b/t)Lim= 0.56 = 0.56 = 15.84
(b/t) = ⁄
.
= 3.89 < 15.84 Atende! → Qs= 1.0.
 Q = Qa x Qs = 1.0
Solução do Exercício 1
3- Cálculo do Coeficiente de Minoração na Compressão: χ
3.1 - Flambagem por flexão em torno do eixo Y:
𝑁 = 
 
( )
= 
 .
( . )
= 119.97 𝑘𝑁
3.2- Flambagem por flexão em torno do eixo X:
𝑁 = 
 
( )
= 
 
( . )
= 2050.68 𝑘𝑁
3.3- Flambagem por flexo-torção:
𝑁 = 
 
( )
+ 𝐺. 𝐽 , onde as constantes Cw e J
(constantes de torção), podem ser obtidas de tabelas
dos fabricantes dos perfis ou através das expressões:
xo = yo = 0, 𝑟 = 𝑟 + 𝑟 = 1.55 + 6.40 = 43.36 𝑐𝑚
h = (160 – 2x9.51) = 140.98 mm.
𝐽 =
1
3
2 𝑏 𝑡 + ℎ 𝑡 =
1
3
2x7.4x0.951 + 14.098x0.63
𝐽 = 5.42 𝑐𝑚
𝐶 = =
. . .
= 3 191.39 cm
𝑁 = 
 
( )
+ 𝐺. 𝐽
𝑁 = 
.
 
 .
( . )
+ 7000 x 5.42
𝑁 = 1036.43 𝑘𝑁
Solução do Exercício 1
4- Determinação de Nc,Rd
𝑁 , = 
 
= 
. . 
.
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟗𝟓. 𝟔𝟔 𝒌𝑵
Resp.: O eixo y definiu a carga máxima de compressão que pode
ser aplicada a essa barra com as condições definidas.
3.4- Índice de Esbeltez Reduzido: 𝜆 = 
.
𝜆 =
.
= . 
.
= 2.1797
𝜆 =
.
= . 
.
= 0.5272
𝜆 =
.
= . 
.
= 0.7416 
𝜆 = 𝜆 = 2.1797 o maior
𝜆 = 2.1797 > 1.5 → 𝜒 = 
.
𝜒 = 
.
.
= 0.1846  𝝌 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟒𝟔
Exercícios de Aprendizagem
EX.2- Verificação de peça à Compressão: Verifique se o perfil laminado HP 360x122,0 de aço ASTM A572
Grau 50, resiste a uma força axial de compressão de 1 600 kN (400 kN de ação permanente e 1 200 kN de
ações variáveis) de acordo com a norma 8800/2008. O elemento terá um comprimento de 6.0 m e ambas as
extremidades são rotuladas nos dois planos de flambagem nas duas extremidades da peça. As
características mecânicas são definidas por E=20000 kN/cm2; G=7000 kN/cm2; fy=34.5 kN/cm2. As
propriedades do perfil são:
 b 
 bf 
tw
tf
b
y
xd
 b 
h
Ag (cm2) bf (cm) tf (cm) h (cm) tw (cm) rx (cm) ry (cm)
155.30 25.7 2.17 28.8 1.30 15.53 6.29
Ix (cm4) Iy (cm4) d (cm) 𝑟 (cm2) J (cm4) CW (cm6)
37455.39 6144.30 33.14 280.745 196.16 1273013
Figura 2: Perfil HP 360x122,0
Solução do Exercício 2
1- Cálculo do esforço solicitante de cálculo à compressão:
N , = γ F + γ F = (1.35x400) + (1.50x1200)
 Nc,Sd = 2 340 kN
2- Cálculo do esforço resistente de cálculo à compressão: NRd
𝑁 , = 
 
2.1- Flambagem Global: 𝛌𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎𝟎
𝜆 =
.
∶ λ =
.
= 95.00 < 200 – Atende!
λ =
.
= 38.60 < 200 – Atende!
2.2- Flambagem Local da Alma (AA):
Tabela F-1 – grupo 2  (b/t)Lim = 1.49 = 1.49.
= 35.87
(b/t) = 28.80/1.30 = 22.15 < 35.87. Atende! → Qa= 1.0.
2.3- Flambagem Local da Mesa (AL):
Tab.F-1 grup 4 (b/t)Lim = 0.56 = 0.56 
.
= 13.48
(b/t) = . ⁄
.
= 5.92 < 13.48. Atende! → Qs= 1.0.
Q = Qa . Qs  Q = 1.0
2.4- Coeficiente de Minoração na Compressão: χ
- Flambagem por flexão em torno do eixo Y:
𝑁 = 
 
( 𝑳 )
= 
 .
( . )
= 3 369 kN
- Flambagem por flexão em torno do eixo X:
𝑁 𝒙 = 
 𝒙
( 𝒙𝑳𝒙)
= 
 .
( . )
= 20 537 kN
Solução do Exercício 2
- Flambagem por flexo-torção: 𝑁 = 
 
( )
+ 𝐺. 𝐽
𝑁 =
.
 
 
( . )
+ 7000 x 196.16 = 7 377 𝑘N
2.5- Índice de Esbeltez Reduzido: 𝜆 = 
.
𝜆 =
.
= . . 
= 1.26
𝜆 =
.
= . . 
= 0.51
𝜆 =
.
= . . 
= 0.85
𝜆 = 𝜆 = 1.26 o maior
𝜆 < 1.50  𝝌 = 0.658 = 0.658 .  𝝌 = 0.5145
2.6- Determinação de Nc,Rd
𝑁 , = 
𝜒 Q 𝐴 𝑓
𝛾
= 
0.5145 x 1 x 155.3 x 34.5
1.10
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐 𝟓𝟎𝟔 𝒌𝑵
𝑵𝒄,𝑹𝒅 > Nc,Sd
Resp.: A resistência da peça é maior que a solicitação 
de projeto. Portanto o Perfil Laminado HP 360x122,0 
pode ser utilizado.
EX.3- Elemento comprimido – seção cantoneira a singelo. Considere a cantoneira de abas iguais L3’’ X ¼’’
com 4.0 m de comprimento engastada nos dois planos de flambagem da peça. Determine a máxima
compressão admissível da cantoneira.
Exercícios de Aprendizagem
Resolução:
Passo 1- Esbeltez da Peça: 𝜆 á = 200
𝜆 =
.
=
. 
.
𝜆 = 133.33 < λ á  Atende!
Passo 2– Flambagem Local da Aba (AL):
Tab.F-1 grupo 3 (b/t)Lim = 0.45 =
0.45 = 12.88
(b/t)= 7.62/0.635 = 12.00 < 12.88
Atende! → Q= 1.0.
Ag (cm2) bf (cm) tf (cm) rx (cm) ry (cm)
9.29 7.62 0.635 2.36 2.36
r (cm) Ix (cm4) Iy (cm4) x (cm)
1.50 50 50 2.13
Dados: fy=25 kN/cm2; E=20500 kN/cm2
Figura 3: Cantoneira
de abas iguais.
Solução do Exercício 3
Passo 3 –Determinar X (Coeficiente de 
flambagem Global)
Determinar carga crítica de 
flambagem elástica
 = 
.
 = 169.49 > 80
𝐾 𝐿 = 32. 𝑟 + 1.25. 𝐿
𝐾 𝐿 = 32x2.36+1.25x400=575.52
𝑁 𝒙 = 
 𝒙
( )
= 
 𝟐𝟎 𝟓𝟎𝟎 
(𝟓𝟕𝟓.𝟓𝟐)
𝑁 𝒙 = 30.54 kN
Determinar λo
𝜆 =
.
= 
 . 
.
= 2.75
Passo 4- Fator de redução: χ
O fator de redução associado à
resistência à compressão é
dado por:
𝜆 = 2.75 > 1.5 → 𝜒 = 
.
𝜒 = 
.
.
= 0.1159
 𝝌 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟑
3- Determinação de Nc,Rd
𝑁 , = 
𝜒 Q 𝐴 𝑓
𝛾
𝑁 , =
0.1153 x 1 x 9.29 x 25
1.10
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐𝟒. 𝟑𝟓 𝒌𝑵
2
x y
4
min
Figura 4: Treliça Cantoneira
Exercícios de Aprendizagem
Solução do Exercício 4
1- Esforço solicitante de cálculo à compressão: NSd
 NSd = 800 kN
2- Cálculo do esforço resistente de cálculo à compressão: NRd
 𝑁 , = 
 
2.1- Flambagem Global: 𝝀𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎𝟎
λ =
.
í
; λ =
𝟏.𝟐𝟎𝟎
𝟑
= 66.67 < 200 – Atende!
2.2- Flambagem Local da Aba (AL):
Tabela F-1 – grupo 3  (b/t)Lim = 0.45
(b/t)Lim = 0.45 
 = 12.73
(b/t) =
.
= 11.97 < 12.73 . 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! → Q = 1.0.
2.3- Coeficiente de Minoração na Compressão: χ
2.3.1- Comprimento Equivalente: (𝑲𝒙𝑳𝒙)
=
.
= 42.37 < 80  (K L ) = 72 𝑟 + 0.75 𝐿
K L = 72 x 4.72 + 0.75 x 200 = 489.84 𝑐𝑚
2.3.2- Força de Flambagem Elástica: Ne
𝑁 = 𝑁 = 
 
( )
=
 
( . )
= 681.16 𝑘𝑁
Nez  Flambagem por flexo-torção: Em perfis compostos, o
fato da inércia torsional ser um valor muito grande, Nez não
precisa ser calculado, pois sempre será um valor maior que as
demais forças axiais elásticas de flambagem.
Solução do Exercício 4
2.3.3- Índice de Esbeltez Reduzido:
𝜆 = 
.
𝜆 =
.
= . 
.
= 1.17  𝜆 < 1.50
𝝌 = 0.658 = 0.658 .  𝝌 = 0.57
2.4- Determinação de Nc,Rd
𝑁 , = 
𝜒 Q 𝐴 𝑓
𝛾
=
0.57 x 1 x 37.1 x 25
1.10
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟒𝟖𝟎. 𝟔𝟏 𝒌𝑵
(I) PERFIL DE SEÇÃO À SINGELO: L
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟒𝟖𝟑. 𝟓𝟔 𝒌𝑵 
(II) PERFIL DUPLO SEM LIGAÇÃO: 2L
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐 𝐱 𝟒𝟖𝟎. 𝟔𝟏 = 𝟗𝟔𝟏. 𝟐𝟑 𝒌𝑵 > NSd = 800 kN.
Resp.: A resistência da peça é maior que a solicitação de
projeto. Portanto: O Perfil Duplo 2L152x152x12,7mm pode
ser utilizado.
Exercícios de Aprendizagem
EX.5- Elemento comprimido – seção cantoneira dupla com ligação: Uma cantoneira dupla de abas iguais 2L3’’ x ¼’’
ASTM A36 de comprimento 4.0 m é engastado nos dois planos de flambagem nas duas extremidades da peça. As
características mecânicas do aço MR-250 são definidas por: E=20 500 kN/cm2; G=7 000 kN/cm2; fy=25 kN/cm2;
fU=40 kN/cm2. As propriedades do perfil simples (Figura 5-a) são descritas a seguir. Determine o esforço resistente
de cálculo à compressão (NC,Rd) para o perfil duplo (Figura 5-b).
Ag (cm2) bf (cm) tf (cm) rx (cm) ry (cm)
9.29 7.62 0.635 2.36 2.36
Figura 5-a
rz (cm) Ix (cm4) Iy (cm4) x (cm)
1.50 50 50 2.13
Figura 5-b
CG
CG
Solução do Exercício 5
1- Cálculo do esforço resistente de cálculo à compressão: Nc,Rd
 𝑁 , = 
 
2.1- Flambagem Global: 𝝀𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎𝟎
λ =
.
í
; λ =
𝟏.𝟒𝟎𝟎
𝟑
= 133.33 < 200 – Atende!
2.2- Flambagem Local da Aba (AL):
Tabela F-1 – grupo 3  (b/t)Lim = 0.45
(b/t)Lim = 0.45 
 = 12.88
(b/t) =
.
.
= 12 < 12.88. 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! → Q = 1.0.
2.3- Coeficiente de Minoração na Compressão: χ
2.3.1- Comprimento Equivalente: (𝑲𝒙𝑳𝒙)
=
.
= 169.49 > 80 (K L ) = 32 𝑟 + 1.25 𝐿
K L = 32 x 2.36 + 1.25 x 400 = 575.52 𝑐𝑚
2.3.2- Força de Flambagem Elástica: Ne
𝑁 = 𝑁 = 
 
( )
=
 𝟓 𝟓𝟎
( . )
= 30.54 𝑘𝑁
Nez  Flambagem por flexo-torção: Em perfis compostos, o
fato da inércia torsional ser um valor muito grande, Nez não
precisa ser calculado, pois sempre será um valor maior que as
demais forças axiais elásticas de flambagem.
Solução do Exercício 5
2.3.3- Índice de Esbeltez Reduzido:
𝜆 = 
.
𝜆 =
.
= . 
.
= 2.76  𝜆 > 1.50
𝝌 = 
.
= 0.1153  𝝌 = 0.1153
2.4- Determinação de Nc,Rd
𝑁 , = 
𝜒 Q 𝐴 𝑓
𝛾
=
0.1153 x 1 x 9.29 x 25
1.10
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐𝟒. 𝟑𝟓 𝒌𝑵
(I) PERFIL DE SEÇÃO À SINGELO: L
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐𝟒. 𝟑𝟓 𝒌𝑵 
(II) PERFIL DUPLO SEM LIGAÇÃO: 2L
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐 𝐱 𝟐𝟒. 𝟑𝟓 = 𝟒𝟖. 𝟕𝟎 𝒌𝑵
Solução do Exercício 5
PERFIL DUPLO COM LIGAÇÃO:
1- Flambagem Global: 𝝀𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎𝟎
λ =
.
í
; λx = λy = . 
.
= 69.82 < λ á  Atende!
2- Cálculo do Coeficiente Q:
2.1- Flambagem Local da Aba (AA):
Tabela F-1 – grupo 2  (b/t)Lim = 1.49 = 42.66
(b/t) = (bf-2.tf)/tf = 10 < 42.66. Atende!
→ Q = 1.0.
3- Coeficiente de Minoração na Compressão: χ
3.1- Flambagem por flexão em torno do eixo x ou y:
𝑁 = 𝑁 = 
 𝑰𝒚
( )
= 771.07 𝑘𝑁
I = 2. I + Ag. d
d = − 𝐱 = 1.68 cm
I = 152.44 cm
r = 
.
 = 2.86 cm
I = 2. I + Ag. d
d = − 𝒚 = 1.68 cm
I = 152.44 cm
r = 
.
 = 2.86 cm
Ix
(cm4)
Iy
(cm4)
rx
(cm)
ry
(cm)


Ix
(cm4)
Iy
(cm4)
rx
(cm)
ry
(cm)
50 50 2.36 2.36 152.44 152.44 2.86 2.86
1- Momentos de Inércia e Raios Mínimos para a forma da 
seção transversal:
Solução do Exercício 5
3.2- Flambagem por flexo-torção
𝑁 = 
 
( )
+ 𝐺. 𝐽  Não precisa,
pois 𝑁 > 𝑁 𝑒 𝑁 > 𝑁
4- Índice de Esbeltez Reduzido:
𝜆 = 
.( )
𝜆 = 𝜆 =
.
= 0.776
𝜆 = 0.776 < 1.5  𝜒 = 0.658 = 0.777
5- Determinação de Nc,Rd
𝑁 , = 
 ( ) 
= 𝟑𝟐𝟖. 𝟏𝟔 𝒌𝑵
Seção Cantoneira
à Singelo
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐𝟒. 𝟒𝟕 𝒌𝑵
Seção Cantoneira
Dupla sem Ligação
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟒𝟖. 𝟗𝟒 𝒌𝑵
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟐 𝐱 𝑵𝒄,𝑹𝒅
Seção Cantoneira
Dupla com Ligação
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟑𝟐𝟖. 𝟏𝟔 𝒌𝑵
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟏𝟑. 𝟒 𝐱 𝑵𝒄,𝑹𝒅
𝑵𝒄,𝑹𝒅 = 𝟔. 𝟕 𝐱 𝑵𝒄,𝑹𝒅
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Façam a Lista de Exercícios!
Exercícios Propostos