MATEMATICA BÁSICA-47

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III - POLINÔMIOS, MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
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MATEMÁTICA BÁSICA
MBAutor: Rodrigo Nogueira de Codes
UN 03
As equações quadráticas ou do 2º grau são do tipo 
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0
Essa equação possui duas raízes, nomeadas r1 e r2. Tal equação pode ser reescrita da seguinte forma
ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2) 
A partir dessa igualdade, pode-se verificar que
Tais igualdades são conhecidas como relações de Girard para uma equação quadrática. Elas expressam 
uma relação entre coeficientes e raízes de uma equação do 2º grau.
Exemplo:
Considerando r1 e r2 as raízes da equação do 2º grau X2 – 7X + 12, calcule:
a) b) 
Para um polinômio do terceiro grau do tipo P(X) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), o mesmo procedimento 
pode ser usado e este pode ser fatorado da seguinte forma:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – r1) (x – r2) (x – r3)
A partir dessa igualdade, tem-se que o primeiro membro da expressão pode ser reescrito como
E o segundo membro pode ser reescrito da seguinte forma
a(x – r1) (x – r2) (x – r3) = a[x3 – (r1 + r2 + r3) x2 + (r1 r2 + r1 r3 + r2 r3) x + (r1 r2 r3)]
Igualando as duas novas expressões, obtém-se o seguinte:
Um polinômio de grau n tem relações análogas aos de grau 2 e 3, ou seja, para
P(x) = an Xn + an-1 Xn-1 + … + a1 X + a0 (an=0)
an Xn + an-1 Xn-1 + … + a1 X + a0 = an .(X – r1).(X – r2) … (X – rn)
Relações entre coeficientes e raízes
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III - POLINÔMIOS, MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
MATEMÁTICA BÁSICAMB Autor: Rodrigo Nogueira de Codes
Além do mais
Essas são as relações de Girard para um polinômio de grau n.
EXERCÍCIO PROPOSTO
1. Sejam P(X) = 4X4 – 3X2 + 1 e Q(X) = 2X3 – 4X – 7, calcule: 
a) P(X) + Q(X) b) P(X) – Q(X) c) 2P(X).3Q(X) d) P(X).Q(X) 
e) gr(PQ) f)[P(X)]2 + [Q(X)]2
2. Determinar os valores de m e n para que os polinômios P(x) = (m² – 3m)x² + 4x – 1 e Q(x) = –2x² 
+ (n + 3)x – 1 sejam idênticos.
3. Determine o quociente Q(X) e o resto R(X) dos seguintes polinômios:
a) P(X) = 6X5 = 12X4 – 3X2 – 15 E D(X) = X2 + 2
b) P(X) = X4 – 5X2 – 3X E D(X) = X3 + 5X2 – 1
c) P(X) = 2X3 – 7X + 35 E D(X) = X – 1
4. Aplicando as relações de Girard:
a) Encontre um polinômio do grau 3 cujas raízes são 1, 3 e 5.
b) Encontre um polinômio de grau 4 com coeficiente líder 3 e cujas raízes sejam –2, –1, 1, 2.