Reservatorios_Aula9-Eq Cont_e_Difusividade

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Manoel Farias
2018.1
*
*
Princípio da Conservação da Massa/Equação da Continuidade
(Lavoisier, 1785) 
“Na natureza não se destrói, nada se cria, tudo se transforma”
Lei de Darcy (1856)
Estabelece a relação entre a vazão de fluido, a diferença de 
potencial aplicada e as propriedades do meio poroso.
Equação da Difusividade Hidráulica (Richards, 1931)
Estabelece a relação entre a uma variação de pressão e sua
propagação no tempo e no espaço 3D do meio poroso.
*
*Estabelece uma relação entre o diferencial de pressão
aplicado e a vazão de fluido.
𝑞𝑥 𝑞𝑥
x x + Δx
𝑞𝑥 = −
𝐾𝑥.𝐴
𝜇
. 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
→ 𝑣𝑥 = −
𝐾𝑥
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Onde:
𝐾𝑥 – permeabilidade do meio na direção-x;
A – área transversal aberta do fluxo;
μ – viscosidade do fluido;
vx – velocidade de escoamento.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
- gradiente de pressão aplicado na direção-x.
Obs: se os efeitos
gravitacionais não forem
desprezíveis, a Lei de Darcy
deve ser expressa em
termos de potencial.
*
Essa Lei estabelece uma relação linear entre o gradiente de pressão aplicado na 
rocha e a vazão.
𝑄 =
𝐾∗𝐴∗∆𝑃
𝜇∗𝐿
(sistema de Darcy) ou 
𝑄 =
𝐾∗𝐴∗∆𝑃
887,2∗𝜇∗𝐿
=
𝐾∗𝐴
887,2∗𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(Field Units)
*
𝑄 =
0,00708∗𝑘.ℎ.Δ𝑝
𝜇∗ln( ൗ𝑟𝑒
𝑟𝑤)
=
0,00708∗𝑘.ℎ
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑟
(Field Units)
(Sistema de Darcy) 𝑄 =
2𝜋∗𝑘.ℎ.Δ𝑝
𝜇∗ln( ൗ
𝑟𝑒
𝑟𝑤)
= 
2𝜋∗𝑘.ℎ.
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑟
.
*
*
Volume de Controle
𝐽𝑥,𝑖𝑛 𝐽𝑥,𝑜𝑢𝑡
x x + Δx
Balanço de massa: 𝐽𝑥,𝑖𝑛- 𝐽𝑥,𝑜𝑢𝑡 = 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎çã𝑜
𝐽𝑥 = 𝜌. 𝑞𝑥 = 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑜
Representa a quantidade de massa,
que flui a cada unidade de tempo
(unidade: kg/s).
Conservação da massa entre “t” e “t+δt:
[𝜌. 𝑞𝑖𝑛] − [𝜌. 𝑞𝑜𝑢𝑡] = 𝜌. ∅. 𝐴. ∆𝑥 𝑡+𝛿𝑡 − 𝜌. ∅. 𝐴. ∆𝑥 𝑡
Se 𝛿𝑡, Δx  0, a equação da continuidade assume sua forma diferencial:
−
𝜕𝜌𝑞𝑥
𝜕𝑥
= A. 
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑡
*
*
*
• O reservatório é homogêneo e isotrópico;
• O fluido é monofásico e pouco compressível;
• A ação gravitacional é desprezível  caso isso não seja verdade, pode-se
usar o potencial no lugar da pressão para desenvolvimento da equação;
• A Lei de Darcy é válida  na prática diária da Engenharia de
Reservatórios sempre acabamos aplicando a Lei de Darcy…
• As propriedades do meio poroso e dos fluidos existentes são
independentes da pressão (!?)
Apesar das limitações, a equação da difusividade hidráulica é a base para 
todas as análises de testes de formação (PTA = pressure transient analysis).
*
*Essa equação é obtida pela substituição do termo qx na equação da
continuidade pela sua expressão em termos de K, µ e gradiente de
pressão.
−
𝜕𝜌𝑞𝑥
𝜕𝑥
= A. 
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑡
, mas 𝑞𝑥 = −
𝐾𝑥.𝐴
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
:
−
𝜕
𝜕𝑥
−
𝐾𝑥.𝜌.𝐴
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= A. 
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑡
que pode ser simplificada para:
𝐾𝑥.
𝜕
𝜕𝑥
𝜌
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑡
--- Forma geral da eq. da difusividade para 
escoamento de líquidos e gases.
*
O termo
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑡
, será “trabalhado” um pouco mais;
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑡
= 
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑝
.
𝜕𝑝
𝜕𝑡
-- Regra da Cadeia
Mas: 
𝜕(𝜌.∅)
𝜕𝑝
=∅.
𝜕𝜌
𝜕𝑝
+ 𝜌.
𝜕∅
𝜕𝑝
(Derivada do produto)
No lado direito da eq.2, o primeiro termo se correlaciona com a compressibilidade
do fluido e o segundo termo com a compressibilidade da rocha:
𝑐𝑟𝑜𝑐ℎ𝑎 =
1
∅
.
𝜕∅
𝜕𝑝
→
𝜕∅
𝜕𝑝
=𝑐𝑟𝑜𝑐ℎ𝑎 . ∅
𝑐𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 =
1
𝜌
.
𝜕𝜌
𝜕𝑝
→
𝜕𝜌
𝜕𝑝
= 𝜌.𝑐𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
*
* Substituindo as relações anteriores na equação da difusividade, obtém-se:
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝑘𝑥
∅. 𝜌. 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑘 + 𝑐𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
.
𝜕
𝜕𝑥
𝜌
𝜇
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Essa equação requer uma relação PVT entre pressão e a
compressibilidade do fluido. Se, no entanto, considerarmos um
fluido ligeiramente compressível, podemos assumir que a quantidade
ρ/µ é praticamente constante, levando a:
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝑘𝑥
∅. 𝜇. 𝑐𝑡
.
𝜕2𝑝
𝜕𝑥2
− eq. da difusividade hidráulica 1D
*
z
y
x
ሶ𝑚𝑥,𝑖𝑛
ሶ𝑚𝑥,𝑜𝑢𝑡
ሶ𝑚𝑧,𝑜𝑢𝑡
ሶ𝑚𝑧,𝑖𝑛
ሶ𝑚𝑦,𝑜𝑢𝑡
∆𝑥
∆y
∆z
Fluxos mássicos
ሶ𝑚𝑥= Jx
ሶ𝑚𝑦 = 𝐽𝑦
ሶ𝑚𝑧 = 𝐽z
*
As idéias desenvolvidas para o caso 1D podem ser ampliadas para um
escoamento trimensional. Nesse caso, a equação da continuidade assume
a forma:
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝐾
∅.𝜇.𝑐𝑡
.
𝜕2𝑝
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑝
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑝
𝜕𝑧2
=
𝐾
∅.𝜇.𝑐𝑡
𝛻2𝑝
Onde 𝛻2 = 
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
é 𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑖𝑎𝑛𝑜
*
Sistema de Darcy
*Forma Geral: 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝐾
∅.𝜇.𝑐𝑡
𝛻2𝑝, onde 𝛻2𝑝 =
𝜕2𝑝
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑝
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑝
𝜕𝑧2
*Fluxo Radial: 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝐾
∅.𝜇.𝑐𝑡
. 
1
𝑟
.
𝜕
𝜕𝑟
. 𝑟.
𝜕𝑝
𝜕𝑟
*Fluxo linear: 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝑘𝑥
∅.𝜇.𝑐𝑡
.
𝜕2𝑝
𝜕𝑥2
Field Units
*
* O termo
𝐾
∅.𝜇.𝑐𝑡
é denominado difusividade hidráulica e indica a
”rapidez” com que a perturbação de pressão se propaga no meio
poroso;
*O termo K/μ é chamado de mobilidade  a velocidade de propagação
da perturbação de p no meio poroso é proporcional a ele;
*O termo 1/Φ.ct é denominado estocagem (C);
*Em meios com porosidade alta, variação de pressão é
proporcionalmente baixa para grandes massas de fluidos produzidos ou
injetados;
*
*Se a viscosidade do fluido do reservatório é alta, o sistema tem uma
resposta mais lenta à perturbação de pressão;
*Se a compressibilidade do sistema for alta a modificação da pressão
será menor  basicamente reservatórios de alta compressibilidade
podem produzir ou receber grandes quantidades de fluido com pequena
variação de pressão.
*
*
*
Transiente (Transient – TS)  A distribuição de pressões no reservatório varia
no tempo e no espaço  p = f(x,y,z,t)
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
Esse regime ocorre, por exemplo:
a) durante os testes de formação (build-up, falloff, interferência)
b) Na partida ou fechamento de poços;
c) Quando a vazão ou a pressão de fundo de um (ou mais) poço(s) é alterada;
d) Nas paradas dos sistemas de produção (shutdowns ou programadas).
*
*
*
*A distribuição de pressões no reservatório se mantém
constante no tempo, ou seja, cada ponto do reservatório
mantém a pressão constante.
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 0 ∀ 𝑃(𝑥𝑦, 𝑧) e 
𝑝 = 𝑝𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 𝑟𝑒
Esse regime existe se a entrada de massa no sistema
(=reservatório  injeção de fluidos ou influxos) ocorre na
mesma taxa de saída (produção).
*
*
Pseudopermanente (Semi SteadyState - PSS)  a pressão em
todos os pontos do reservatório varia à uma taxa igual e
constante no tempo. Matematicamente:
𝑝 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 𝑘 ∀ 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
Esse tipo de regime ocorre quando um reservatório volumétrico
é produzido com vazão mássica constante.
*
Antes do poço perceber os limites do reservatório  regime transiente;
Quando o raio de drenagem do poço atingir o limite do reservatório  PSS
*
*
*
Unidades Utilizadas em Engenharia de Petróleo
*
Hipóteses assumidas
• Poço vertical canhoneado em 
toda espessura do reservatório;
• Formação homogênea (K e phi 
constantes);
• Fluxo monofásico;
• Poço drenando o reservatório 
com vazão constante
Área
afetada
R
*
* Considerando um poço produzindo com vazão Q em um
reservatório homogêneo e infinito (poço considerado uma
“linha”), calcula-se a pressão a uma distância R do poço no tempo
t por:
Onde Ei é chamada de função exponencial-integral, definida por:
Essa função é tabelada e disponível em diversos textos de
Matemática e Engenharia
O argumento x para cálculo de Ei(x) é calculado por:
*
*
*
*Poço danificado  capacidade de fluxo na interface poço-
reservatório prejudicada por diferentes agentes, tais como: a)
presença de reboco na parede do poço (mudcake); b) canhoneio
insuficiente em termos de densidade de tiros e/ou penetração e
c) invasão do reservatório pelo fluido de perfuração.
* A presença de um dano no poço gera uma perda de carga
adicional entre o poço e a formação;
* O fator de Skin (van Everdingen, 1953) -e um parâmetro
adimensional que caracteriza a condição poço.Para poços
danificados, tem-se S>0, enquanto poços estimulados se
caracterizam por S < 0.
*
rs - raio da zona 
danificada.
Operações “clássicas” de estimulação:
 Acidificação;
 Fraturamento hidráulico;
 Injeção de solventes para remoção 
deposições orgânicas;
 Injeção de soluções de remoção de 
incrustações.
Lei de Darcy para poço com dano
𝑄 =
2𝜋∗𝑘.ℎ.Δ𝑝
𝜇∗ ln ൗ𝑟𝑒
𝑟𝑤 +𝑆
(Sist. Darcy)
𝑄 =
0,00708∗𝑘.ℎ.Δ𝑝
𝜇∗ ln ൗ𝑟𝑒
𝑟𝑤 +𝑆
(Field Units)
*
* Esse foi um primeiro contato que vc tem com as equações da
continuidade e da difusividade.
*Essas equações são a base para a simulação numérica de fluxo e a
interpretação de testes de poços;
*Nos cursos à frente, vc irá trabalhar com elas mais intensamente;
*Quem desejar um aprofundamento “imediato” nas Matemática
empregada e nas soluções, pode consultar o livro do Adalberto Rosa e
textos mais especializados na área de testes (P.ex. “Modern Well Test
Analysis – Roland Horne e artigos SPE).
*
Boas Férias !