aulas e matematica-CS

Prévia do material em texto

**Resolução:** 
 Encontre as condições sobre \( x \) para que \( f(x) \) seja um número real válido. 
 
30. **Problema 30:** 
 Prove que \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^x = e^3 \). 
 
 **Resolução:** 
 Utilize definições de limite ou técnicas de análise para demonstrar o limite dado. 
 
31. **Problema 31:** 
 Determine a soma dos coeficientes binomiais na expansão de \( (1+x)^{40} \). 
 
 **Resolução:** 
 Utilize o binômio de Newton para expandir \( (1+x)^{40} \) e depois substitua \( x = 1 \) 
para encontrar a soma dos coeficientes. 
 
32. **Problema 32:** 
 Resolva a equação \( \cos(5x) + \cos(4x) = 1 \) para \( x \in [0, 2\pi] \). 
 
 **Resolução:** 
 Utilize identidades trigonométricas para simplificar a equação e encontrar os valores de 
\( x \) que satisfazem a condição. 
 
33. **Problema 33:** 
 Prove que a série \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^5} \) é convergente. 
 
 **Resolução:** 
 Utilize testes de convergência para séries p-test ou outras técnicas apropriadas para 
provar a convergência da série. 
 
34. **Problema 34:** 
 Calcule \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(2x)}{x} \, dx \). 
 
 **Resolução:** 
 Utilize técnicas de integração por partes ou substituição para resolver a integral. 
 
35. **Problema 35:** 
 Se \( f(x) \) é uma função diferenciável tal que \( f'(x) = f(x+1) - f(x) \) para todo \( x \), 
mostre que \( f(x) \) é periódica com período 1. 
 
 **Resolução:** 
 Utilize propriedades das funções exponenciais ou diferenciação para resolver a 
equação diferencial. 
 
36. **Problema 36:** 
 Determine o número de soluções inteiras da equação \( x^2 - y^2 = 2026 \). 
 
 **Resolução:** 
 Utilize técnicas de fatoração ou equações diofantinas para encontrar todas as soluções 
inteiras da equação dada. 
 
37. **Problema 37:** 
 Se \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) tem raízes \( 1, 3, \) e \( 5 \), determine os valores de \( a, 
b, \) e \( c \). 
 
 **Resolução:** 
 Utilize as raízes dadas para formar as equações e determinar os coeficientes da função 
cúbica \( f(x) \). 
 
38. **Problema 38:** 
 Considere a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^6}{5^n} \). Determine a soma da série. 
 
 **Resolução:** 
 Utilize técnicas de séries convergentes para encontrar a soma da série dada.