Prova 01

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Universidade de Brasília, Faculdade do Gama - FGA 
Transferência de Calor, Prof. Fábio Alfaia da Cunha. 
Matrícula: ---------- DATA: 07/12/2022. 
Aluno: GABARITO 
 
Q1 Considere um contêiner esférico de raio interno 
1r , raio 
externo 
2r e condutividade térmica k . Expresse a condição de 
contorno na superfície interna do contêiner para condução 
unidimensional permanente nos seguintes casos: (a) temperatura 
especificada de 60ºC , (b) fluxo de calor especificado de 
265 /W m em direção ao centro e (c) convecção para um meio em 
temperatura 
T com coeficiente de transferência de calor h . 
 
Solução da Questão 1: 
A condição de contorno na superfície interna do recipiente para 
condução unidimensional estacionária é expressa a seguir: 
(a) Temperatura especificada de 60°C: T(r1) = 60°C 
(b) Fluxo de calor especificado de 65W/m2 em direção ao centro: 
2
1
direção contráriaposição
ao sist. coord.da C.C.por definição
( ) 65W/m− = −
dT
k r
dr
, 
Simplificando a expressão: 21( )
65W/m=
dT r
k
dr
 
(c) Convecção para um meio em T∞ com coeficiente de 
transferência de calor h: 
1 1
posição definição do fluxo
da C. C.definição do de convecção
fluxo de difusão
( ) [ ( )]− = −
dT
k r h T T r
dr
 
Simplificando a expressão: 
1 1( ) [ ( ) ]= −
dT
k r h T r T
dr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q2 Bolas de aço de 8mm de diâmetro são recozidas por 
aquecimento a 900ºC em um forno e, depois, esfriadas lentamente 
até 100ºC no ar ambiente a 35ºC. Se o coeficiente médio de 
transferência de calor é de 275W/m K , determine o tempo de 
demora do processo de recozimento. Considerando que 2500 
bolas devem ser recozidas por horas, determine a taxa global de 
transferência de calor a partir das bolas para o ar ambiente. 
2
3
kg -6W J m
m K kg Km
Aço: 54 , =7833 , 465 e =1,474 10 
 
= = p s
k c 
 
Solução da Questão 2: 
O comprimento característico das bolas e o número de Biot são: 
3
2
/ 6 8 3
= = =0,0013
6 6


−
= =c
V D D E
L
A D
 
75 (0,0013)
Bi= 0,0018519
54

= =chL
k
 
Como Bi é menor que 0,1 a aproximação de sistema aglomerado 
é aplicável. Assim, o tempo para o processo de recozimento é 
determinado da seguinte forma: 
( ) bt
i
T t T
e
T T
−

−
=
−
, em que 
p
hA
b
Vc
= , 
-1
1/
1 75
0,015443s
7833 465 0,0013 
= = = =
 
c
p p c
L
h A h
b
c V c L
 
0,015443( ) 100 35
900 35
167s, ou 2,8min
− −

− −
=  =
− −
=
bt t
i
T t T
e e
T T
t
 
 
A massa de uma bola é dada por: 
3 30,008
7833 0,0021
6 6
 
 = = = =
D
m V kg 
A quantidade de calor transferido para uma única bola é: 
( ) 0,0021(465)(900 100) 781,2J(por bola)= − = − =p f iQ mc T T 
A taxa total de transferência de calor das bolas para o ar 
ambiente torna-se: 
(2500 / 3600)(781) 542,5W= = =bolasQ n Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q3 Considere uma tubulação de vapor de comprimento 8=L m , 
raio interno 
1 4=r cm , raio externo 
2 5=r cm e condutividade 
térmica 12 /=k W mK . O vapor flui pelo tubo a uma temperatura 
média de 150ºC , e o coeficiente médio de transferência de calor 
por convecção na superfície interna é 275 /=h W m K . 
Considerando que a temperatura média na superfície externa da 
tubulação é 
2 80º=T C , (a) expresse a equação diferencial e as 
condições de contorno para condução de calor unidimensional 
permanente através da tubulação, (b) obtenha a relação para a 
variação da temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial 
e (c) avalie a taxa de perda de calor do vapor através da tubulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da Questão 3: 
(a) A equação diferencial do caso e obtida a partir da 
equação unidimensional de transferência de calor para sistema 
coordenado cilíndrico: 
1

   
+ = 
   
p
T T
rk g c
r r r t
 
Considerando condutividade térmica constante, nenhuma 
geração de calor e regime permanente: 
0
 
= 
 
d dT
r
dr dr
, 
As condições de contorno dadas por: 
Em r1: 1 1( ) [ ( )]− = −
dT
k r h T T r
dr
 
Em r2: 2 2( ) =T r T 
 
(b) Relação para a variação da temperatura no tubo 
resolvendo a equação diferencial: 
Integrando a equação do caso com respeito a r: 
1=
dT
r C
dr
 ou 1=
CdT
dr r
 
Separando as variáveis e integrando: 
1 1=  = 
dr dr
dT C dT C
r r
, resulta em: 
1 2( ) ln( )= +T r C r C 
Em que 1C e 2C são constantes arbitrárias. 
Aplicando as condições de contorno: 
1 1 2
1 1
1 1
1 1 1 1 2
1ln( )
/
( )
Em r : [ ( ) ] { [ ln( ) ]} 
+
− = −  − = − +
C r C
C r
dT r C
k h T T r k h T C r C
dr r
 
2 2 1 2 2Em r : ( ) ln( )= +T r C r C 
Determinando 1C e 2C simultaneamente: 
2
1
2 1 1ln( / ) / ( )
−
=
+
T T
C
r r k r h
 e 2
1 2 2
2 1 1
ln( )
ln( / ) / ( )
−
= −
+
T T
C T r
r r k r h
 
Substituindo as constantes 1C e 2C na equação de T(r): 
2
2 2
2 1 1
( ) ln( / )
ln( / ) / ( )
−
= +
+
T T
T r r r T
r r k r h
 
 
(c) avaliação da taxa de perda de calor do vapor através da 
tubulação: 
1
1
2
2 1 1
(2 ) (2 )
2
ln( / ) / ( )
1,88
 
 
= − = − = −
−
=
+
=
CdT
Q kA k rL k L C
dr r
T T
Q Lk
r r k r h
Q W
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q4 Considere uma janela de vidro de 1,2m de altura e 2,0m de 
largura, cuja espessura é de 3mm e a condutividade térmica é 
0,78W/m K= k , separada por uma camada de 12mm de ar 
estagnado ( 0,026W/m K)= k . Determine a taxa de 
transferência de calor permanente através dessa janela de vidro 
duplo e a temperatura da superfície interna quando o quarto é 
mantido a 24ºC, enquanto a temperatura externa é -5ºC. 
Considere os coeficientes de transferência de calor por 
convecção sobre as superfícies interna e externa da janela iguais 
a 2
1 10W/m K= h e 2
2 25W/m K= h . Ignorar a transferência 
de calor por radiação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução da Questão 4: 
Pode-se admitir transferência de calor unidimensional e regime 
permanente. Pode-se também negligenciar as trocas de calor por 
radiação. 
 
O circuito térmico do problema é o seguinte: 
 
As resistências térmicas são calculadas a seguir: 
2
,1 1
1 3 1 1
2 2 2
,2 2
total ,1 1 2 ,2
t
1,2 2 2,4
1/ ( ) 1/ (10 2,4) 0,0417
/ ( ) 0,003 / (0,78 2,4) 0,0016
/ ( ) 0,012 / (0,026 2,4) 0,192
1/ ( ) 1/ (25 2,4) 0,0167
R = 2 + +
R
=  =
= = =  =
= = = =  =
= = =  =
= = =  =
+
i conv
vidro
ar
o conv
conv conv
A m
R R h A
R R R L k A
R R L k A
R R h A
R R R R
total
otal
R 0,2536
=0,0417 2(0,0016) 0,192 0,0167+ + +
=
 
 
A taxa de transferência de calor permanente é dada por: 
1 2( ) / (24 ( 5)) / 0,2536
114,35
 = − = − −
=
totalQ T T R
Q W
 
 
A temperatura da superfície interna quando o quarto é 
mantido a 24ºC: 
1 1 ,1
1 1 ,1
1
1
( ) / , o que rende: 
24 114,35 0,0417
19,23º


= −
= −
= − 
=
conv
conv
Q T T R
T T QR
T
T C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q5 A resistência de um aquecedor de 2,2kW usado para ferver 
água é um fio com condutividade térmica k=25W/m-K, diâmetro 
D=5mm e comprimento L=1m. Considerando que a temperatura 
da superfície externa do fio da resistência é Ts=230ºC, determine 
a temperatura no centro do fio. 
 
 
Solução da Questão 5: 
Premissas 
1 A transferência de calor é constante, pois não há variação com 
o tempo. 
2 A transferência de calor é unidimensional, pois há simetria 
térmica em torno da linha central e nenhuma mudança na direção 
axial. 
3 A condutividade térmica é constante. 
4 A geração de calor no aquecedor é uniforme. 
 
A taxa de geração de calor por unidade de volume do fio é 
8 3
2 2
2200
1,12×10 W/m
(0.0025 )(1) 
= = = =
gen gen
fio o
Q Q
g
V r L
 
 
A temperatura central do fio é então determinada a partir da 
equação: 
2
0
4
= + o
s
gr
T T
k
, 
O que resulta em: 
8 2
0
1,12 10 (0.0025 )
230 237ºC
4(25)
= + =T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q6 Um eixo cilíndrico longo de aço inoxidável de 40cm de 
diâmetro deixa uma estufa a uma temperatura uniforme de 
400ºC. O eixo é, então, esfriado lentamente em uma câmara a 
150ºC com coeficiente médio de transferência de calor por 
convecção 260W/m K= h . Determine a temperatura no centro 
do eixo 35 minutos após o início do processo de resfriamento. 
Além disso, determine a transferência de calor por unidade de 
comprimento do eixo durante esse período. 
2
3
kg -6W J m
m K kg Km
Aço inox: 15 , =7900 , 477 e =4 10 
 
= = p s
k c 
 
Solução da Questão 6: 
 
Determine a temperatura no centro do eixo 35 minutos após 
o início do processo de resfriamento: 
Admitindo condução de calor unidimensional, simetria da 
distribuição de temperatura em relação ao centro do cilindro e 
propriedades térmicas constantes. 
A primeira medida é a determinação do número de Biot: 
60 0, 2
Bi= 0,8
15

= =ohr
k
 
Assim o sistema não pode ser admitido aglomerado. Deve 
utilizar a abordagem para sistemas termicamente espessos. 
O número de Fourier é dado por 
2 6 2
0/ (4 10 )(3 15 60) / 2 00 ,2,  −= =  = t r 
Para este valor de 0,21 = uma boa precisão de solução é 
obtida com um único termo. A solução baseada em termo único 
é dada como: 
2
10
0, 1
  −

−
= =
−
cil
i
T T
A e
T T
 
Determina-se 1 e 1A a partir do número de Biot com a tabela 
4-2 (cilindro): 1 1,1490 = e 1 1,1724=A . 
Substituindo os valores conhecidos na equação de 
0, cil
: 
( )
20,1490 0,210
0
0
150
1,1724 150 400 150 0.8885
400 150
372,13º
− −
=  = + −
−
=
T
e T
T C
 
 
Determinação da transferência de calor por unidade de 
comprimento do eixo durante esse período. 
0 1 1
max 1
2 2
0
6
max
 calor é calculado com a seguinte equação:
( )
1 2
 : 7900 0,2 (1) 992,743 /
e ( ) 992,74 477 (400 150) 118,4 10


  



 −
= −  
− 
= = = =
= − =   − = 
i
p i
O
T T JQ
Q T T
Em que m V r L kg m
Q mc T T J
 
A função de Bessel foi determinada com a tabela 4-3 em função 
de 1 1,1490 = : 1(1,1490) 0,4846=J . 
Então: 
max
6
372,13 150 0,4846
1 2
400 150 1,1490
0,2505
118,4 10
29,66MJ
− 
= − = 
− 
=

=
Q
Q
Q
Q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q7 A partir do balanço de energia em um elemento de volume 
retangular, derive a equação de condução de calor 
unidimensional transiente para uma parede plana com 
condutividade térmica constante e sem geração de calor. 
 
Solução da Questão 7: 
Na ausência de geração de calor, o balanço de calor em um 
elemento de parede que tem massa específica  , calor específico 
pc , espessura x , área normal a direção da transferência de calor 
A , no intervalo de tempo t pode ser expresso como: 
+

− =

elemento
x x x
E
Q Q
t
 
Onde: 
( ) ( )

+ + + = − = − =  −elemento t t t p t t t p t t t
V V
E E E m c T T A xc T T 
Prosseguindo com as devidas substituições: 
( )
 +
+
−
− = 

t t t
x x x p
T T
Q Q c A x
t
 
Dividindo tudo por A x : 
( )
+ +− −
− =
 
x x x t t t
p
Q Q T T
c
A x t
 
Tomando os limites 0 →x e 0 →t , tem-se: 
1

 
− =
 
p
Q T
c
A x t
, 
pois:
0
lim +
 →
− 
=
 
x x x
x
Q Q Q
x x
 e 
0
lim +
 →
− 
=
 
t t t
t
T T T
t t
 
Da Lei de Fourier sabemos que:

= −

T
Q kA
x
 , o que resulta em: 
1

   
− − = 
   
p
T T
kA c
A x x t
 
 
Como a área “A” e a condutividade térmica “k” constantes, tem-
se a equação procurada: 
2
2
1

 
=

T T
tx
 
com a difusividade térmica dada por

=
p
k
c
.