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TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I - TURMA U
 Segundas e quartas das 16:30 às18:10. 
 Sala 203 do Anexo Saúde
 Professoras Ligia e Aline (Sala 361B do Anexo Saúde)
 Email: ligia@enq.ufrgs.br; alinesc@enq.ufrgs.br
 Avaliações:
 Área 1 – Cap. 1, 2 e 3: 10/07/2023
 Área 2 – Cap. 4 e 5: 09/08/2023
 Área 3 – Cap. 6 e 7: 04/09/2023
 Recuperações e Exame: 11/09/2023
Nota mínima 
por prova:
5,5
Recuperação 
de uma única 
prova!
Exame:
1/3 média das 
provas + 2/3 
nota do exame
75% de 
presença
mailto:ligia@enq.ufrgs.br
Fenômenos de Transporte, transporte do quê?
Quantidade de 
Movimento
Energia (Calor) Massa
TQM
TCM I e TCM II
1. Introdução – Mecanismos básicos da Transferência de Calor e 
Massa 
 Por que colocamos uma garrafa de cerveja gelada dentro de um 
isopor?
 Onde uma bebida gela mais rápido, dentro de uma garrafa ou de uma 
lata? Por quê?
 Por que um casaco de lã nos protege do frio?
 Por que o ventilador ligado alivia o calor?
 Por que sentimos vento quando estamos próximos a uma fogueira ou 
em frente a um freezer aberto?
 Por que a massinha de modelar fica seca e dura se não é guardada 
dentro do potinho?
 Por que se derramarmos um líquido (como água, álcool ou acetona) 
sobre uma mesa depois de um tempo a camada de líquido estará 
consumida completamente? 
 Por que em dias frios e úmidos as paredes de superfícies frias ficam 
molhadas?
 Por que uma estufa de flores dever ser feita de vidro?
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I
 O que é Transferência de Calor (TC)?
 Transferência de energia térmica devido a uma diferença de 
temperatura!
 O que é Transferência de Massa?
 Transferência de um determinado componente devido a 
uma diferença de concentração!
Força Motriz
Força Motriz
Alguns conceitos “bem” importantes
Volume de controle (V.C.): é o volume no qual as análises são 
realizadas.
Superfície de controle (S.C.): é a superfície que separa o V.C. do 
restante do meio.
Taxa de transferência: é a quantidade da Propriedade na unidade 
de tempo.
Fluxo de transferência é a quantidade da Propriedade na unidade 
de tempo, na unidade de área.
Estado estacionário x estado transiente: E.E. é o estado no qual 
nada muda com o tempo; E.T. é aquele no qual as grandezas 
mudam com o passar do tempo.
Lei da Conservação
2. Conceitos Fundamentais da Transferência de Calor
Princípio básico da transferência de calor: sempre que houver uma 
diferença de temperatura, haverá transferência de calor.
Principais aplicações da transferência de calor.
Diferença entre transferência de calor e termodinâmica
Condução
2.1 Mecanismos Básicos
Convecção
2.1 Mecanismos Básicos
2.1 Mecanismos Básicos
Radiação
EXEMPLO 2.1
Duas superfícies grandes são mantidas a temperaturas
constantes de 300 e 200 K e estão separadas por uma distância de 1
cm. Assumindo que as superfícies são negras, e que os efeitos de
convecção natural são negligenciáveis, determine a taxa de
transferência de calor entre as duas placas, por unidade de área,
assumindoque o espaço entre as placas está:
a) preenchidocom ar atmosférico ;
b) evacuado;
c) preenchidocom isolante térmico opaco uretana;
d) preenchido com um material superisolante cuja
condutividade térmicaé 0,00002W/m.K.
EXEMPLO 2.2
Uma barra condutora muito longa, de diâmetro D, tem
uma resistência elétrica, por unidade de comprimento da
barra, R’e e está inicialmente em equilíbrio com a
temperatura ambiente. Quando uma corrente elétrica I passa
a percorrer a barra, inicia-se um processo de troca térmica
convectiva entre a barra e o meio que a circunda, que está a
T, e, ainda, um processo de troca de calor radiativa com as
vizinhanças que também está a T . Encontre a equação que
fornece a variação de temperatura na barra com o tempo.
Este sistema pode atingir o estado estacionário? Se sim, qual
é a temperatura associadaa esse estado?
EXEMPLO 2.3
Uma superfície, cuja temperatura é mantida a 400 C, está
separada de uma corrente de ar por uma camada de isolamento
térmico de 25 mm de espessura e condutividade térmica 0,1
W/m.K. Se a temperatura do ar é 35 C e se o coeficiente
convectivo é 500 W/m2.K, determine a temperatura da
superfície externa considerando:
a) desprezível as trocas por radiação térmica;
b) que a troca convectiva ocorre simultaneamente a uma
transferência radiativa com a vizinhança que está a 35 C
(neste caso, assuma a emissividade da superfície igual a
0,8).
Compare criticamente os resultados.
EXEMPLO 2.4
A figura abaixo mostra a variação de temperatura com a
posição no interior de uma parede num certo instante de tempo
t durante um processo transiente. Verifique se a parede está
sendo resfriadaou aquecida.
EXEMPLO 2.5
O coeficiente de transferência de calor por convecção
natural sobre uma chapa fina vertical aquecida, suspensa
no ar em repouso, pode ser determinado através de
observações da mudança na temperatura da chapa em
função do tempo, enquanto ela se resfria. Supondo que a
chapa seja isotérmica e que a troca por radiação com a
vizinhança seja negligenciável, determine o valor do
coeficiente de transferência de calor convectivo da chapa
para o ar no instante em que a temperatura da chapa é
igual a 225 ºC e a sua taxa de variação de temperatura com
o tempo (dT/dt) é de – 0,022 K/s. A temperatura do ar
ambiente é 25 ºC, a chapa mede 0,3 x 0,3 m, possui uma
massa de 3,75 kg e o material da chapa tem calor específico
de 2.770 J/kg.K. Este sistema pode atingir o estado
estacionário? Se a temperatura inicial da placa é igual a
400°C, calcule dT/dt inicial.
2.5 Propriedades difusivas
A condutividade térmica de um material, k, é a propriedade que mede sua 
capacidade de conduzir calor. Em geral: ksólidos > klíquidos > kgases
A condutividade térmica varia com a temperatura, em maior ou
menor escala, dependendo do material. Além disto, pode variar, ou
não, com a direção (meios isotrópicos ou anisotrópicos).
k de sólidos
k de líquidos
k de gases
Em materiais isolantes, os processos
de T.C. ocorrem de forma simultânea.
A condutividade térmica aparente leva
em consideração a condução nas
partes sólidas e a convecção e a
radiação através dos espaços vazios.
Como é possível medir a condutividade térmica ?
DIFUSIVIDADE TÉRMICA
A difusividade térmica, α (m2 /s), é a
propriedade térmica que relaciona a
capacidade do material de conduzir
calor e sua capacidade de armazená-lo.
𝛼 =
𝑘
𝜌𝐶𝑝
EXEMPLO 2.6
Uma maneira comum para se medir condutividade térmica de um 
material consiste de um experimento onde é feito um sandwichdo 
material a ser investigado colocando como recheio um aquecedor 
elétrico, conforme está mostrado na figura. Em um determinado 
experimento, amostras cilíndricas de 5 cm de diâmetro e 10 cm de 
comprimento são usadas, sendo que, em 
cada amostra, dois termopares, separados 
por uma distância de 3 cm, são usados para 
medir a temperatura. Passado o transiente 
inicial, as diferenças de temperatura entre 
os dois termopares é 15 C. Se o aquecedor 
elétrico é 110 V e por ele passa uma corrente 
de 0,4 A, determine a condutividade térmica 
da amostra.
2.6 Equação diferencial da difusão do calor 
a.) Gradiente 
 
Cartesiano: ( ) ( ) ( )
z
T
T
y
T
T
x
T
T zyx


=


=


= ;; 
 
 
Cilíndrico: ( ) ( ) ( )
z
T
T
T
r
T
r
T
T zr


=


=


=  ;
1
; 
 
 
Esférico: ( ) ( ) ( )



=


=

= 
T
r
T
T
r
T
r
T
T r
sen
1
;
1
; 
−𝜵. 𝒒 + ሶ𝑆 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑘𝛻2𝑇 + ሶ𝑆 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
b.) Divergente 
 
Cartesiano: 
z
q
y
q
x
q
q
zyx


+


+


=
"""
". 
 
Cilíndrico: 
( )
z
qq
rr
rq
r
q
zr


+


+


=

"""
" 11. 
 
Esférico: 
( ) ( )



+



+


=

"""2
2
" 111.
q
rsen
qsen
rsenr
qr
r
q
r
 
c.) Laplaciano 
 
Cartesiano: 
2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
T


+


+


= 
 
Cilíndrico: 
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T


+


+









= 
 
Esférico: 
2
2
222
2
2
2 111



+











+









=
T
senr
T
sen
senrr
T
r
rr
T 
EXEMPLO 2.7
Em um dado instante de tempo, a distribuição de
temperatura em um parede com 0,3 m de espessura é
T(x) = a + bx + cx2 onde T é dado em °C, a = 200 °C,
b = -200 °C/m e c = 30 °C/m2. A parede possui uma condu-
tividade térmica de 1 W/m.K.
a) Com base em uma superfície de área unitária,
determine a taxa de transferência de calor para dentro
e para fora da parede, bem como a taxa de variação da
energia acumulada no interior da parede.
b) Se a superfície fria está exposta a um fluido a 100 °C,
qual é o valor do coeficiente de transferência de calor
por convecção entre esta superfície e o fluido.
EXEMPLO 2.8
Uma placa de metal com espessura muito menor do que
os lados é mantida a uma temperatura Ti. Em um
determinado momento, a parte inferior da placa é posta em
contato com um fluido que está a uma temperatura
T∞ (< Ti) enquanto que a superior mantém-se à
temperatura inicial. Neste momento, a placa passa a ser
percorrida por uma corrente elétrica gerando uma energia
ሶ𝑆 (W/m3). Escreva a equação diferencial governante que
deve ser resolvida e as condições de contorno e inicial para
se conhecer a temperatura da placa, em um dado ponto, em
um dado instante de tempo.
c.) Laplaciano 
 
Cartesiano: 
2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
T


+


+


= 
 
Cilíndrico: 
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T


+


+









= 
 
Esférico: 
2
2
222
2
2
2 111



+











+









=
T
senr
T
sen
senrr
T
r
rr
T 
EXEMPLO 2.9
Um cilindro longo de cobre com temperatura uniforme
de 800 K é retirado de um forno e é colocado em um tanque
que contém água a 300 K, e que está muito bem agitado, a
fim de se efetuar um processo de têmpera do metal. Deseja-
se saber qual é a distribuição de temperatura no interior do
cilindro, em função do tempo, a partir do momento que o
mesmo é jogado no tanque. Escreva a equação diferencial
governante do processo e as condições de contorno e inicial
pertinentes. Mostre como seria possível determinar o fluxo
de calor trocado pela superfície do cilindro para um
determinado tempo. O que acontecerá com a peça se o
tempo de espera no tanque for muito grande?
Cilíndrico: 
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T


+


+









= 
EXEMPLO 3.1
Considere uma janela de vidro duplo com 0,8 m de altura
e 1,5 m de largura constituída por duas camadas de vidro
(k = 0,78 W/m.K) de 4 mm de espessura separadas por uma
camada de ar estagnado (k = 0,026 W/m.K) de 10 mm.
Determine a taxa de calor perdida através desta janela, em
estado estacionário, quando as temperaturas interna e
externa são iguais a, respectivamente, 20 e –10 ºC. O
coeficiente de troca de calor convectivo interno é igual a
10 W/m2.K e o externo é igual a 40 W/m2.K. Determine a
seguir o calor perdido por uma janela simples, com as
mesmas dimensões anteriores, com apenas uma camada de
vidro de espessura 4 mm.
Compare criticamente os resultados.
EXEMPLO 3.2
O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela
fixação de um aquecedor em película, fino e transparente, sobre
a sua superfície interna. O seu funcionamento fornece um fluxo
térmico uniforme na superfície interna do vidro. Para um vidro
com 4 mm de espessura, determine a potência elétrica, por
unidade de área, necessária para manter a temperatura na
superfície interna em 15 ºC, quando a temperatura do ar no
interior do carro e o respectivo coeficiente de convecção são de
T,i = 25 ºC e hi = 10 W/m
2.K, respectivamente, e a temperatura
e o coeficiente de convecção no lado externo (ambiente) são de
T,e = -10 ºC e he = 65 W/m
2.K, respectivamente.
EXEMPLO 3.3
Uma parede plana é composta de dois materiais, A e B. A
parede de material A tem uma geração uniforme de calor
igual a 1,5x106 W/m3, kA = 75 W/m.K e espessura LA = 50 mm.
A parede de material B não tem geração de calor, kB
= 150 W/m.K e a espessura é LB = 20 mm. A superfície interna
do material A está bem isolada, enquanto que a superfície
externa do material B está resfriada por uma corrente de
água com T= 30C e h = 1000 W/m
2.K.
a) Faça o gráfico da distribuição de temperatura na parede
composta para a situação de regime permanente.
b) Determine as temperatura T0 da superfície isolada, T1 na
interface entre os dois materiais e T2 na superfície
resfriada.
EXEMPLO 3.4
Uma parede plana de espessura 2L tem fontes internas de
energia cuja intensidade varia de acordo com a seguinte
equação: ሶ𝑆 = ሶ𝑆𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥), onde
ሶ𝑆𝑜 é dado em W/m
3, a é uma
constante e x é variável espacial, medida a partir da linha
central da placa. Se ambos os lados da parede trocam calor
por convecção com um fluido a T através de um coeficiente
de troca de calor h, para a situação de estado estacionário,
encontre:
a) a expressão para o perfil de temperatura na parede;
b) a expressão para a taxa de calor trocado na posição junto
à superfície da esquerda;
c) a expressão para a taxa de calor trocado no centro da
placa.
2.6 Equação diferencial da difusão do calor 
a.) Gradiente 
 
Cartesiano: ( ) ( ) ( )
z
T
T
y
T
T
x
T
T zyx


=


=


= ;; 
 
 
Cilíndrico: ( ) ( ) ( )
z
T
T
T
r
T
r
T
T zr


=


=


=  ;
1
; 
 
 
Esférico: ( ) ( ) ( )



=


=


= 
T
r
T
T
r
T
r
T
T r
sen
1
;
1
; 
−𝜵. 𝒒 + ሶ𝑆 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑘𝛻2𝑇 + ሶ𝑆 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
b.) Divergente 
 
Cartesiano: 
z
q
y
q
x
q
q
zyx


+


+


=
"""
". 
 
Cilíndrico: 
( )
z
qq
rr
rq
r
q
zr


+


+


=

"""
" 11. 
 
Esférico: 
( ) ( )



+



+


=

"""2
2
" 111.
q
rsen
qsen
rsenr
qr
r
q
r
 
c.) Laplaciano 
 
Cartesiano: 
2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
T


+


+


= 
 
Cilíndrico: 
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T


+


+









= 
 
Esférico: 
2
2
222
2
2
2 111



+











+









=
T
senr
T
sen
senrr
T
r
rr
T 
EXEMPLO 3.5
Vapor a T∞,1 = 320 ºC escoa através de um tubo de aço
(k = 80 W/m.K) cujos diâmetros interno e externo são,
respectivamente, 5 e 5,5 cm. O tubo está recoberto por uma
camada de isolamento de fibra de vidro (k = 0,05 W/m.K)
com 3 cm de espessura. Calor está sendo perdido para as
vizinhanças, que está a 5 ºC, por convecção natural e
radiação com um coeficiente de troca de calor combinado de
he = 18 W/m
2.K. Assumindo um coeficiente de troca térmica
interno de 60 W/m2.K, determine a taxa de calor perdida
por comprimento de tubo. Determine também a queda de
temperatura através do tubo e da camada de isolamento.
EXEMPLO 3.6
Um tanque esférico com 3 m de diâmetro interno e com
uma parede de aço inox (k = 15 W/m.K) com 2 cm de
espessura é utilizado para armazenar gelo a T ∞,1 = 0 C. O
tanque está localizado em uma sala cuja temperatura está a
T,2 = 22 C e cujas paredes estão na mesma temperatura. A
superfície de fora do tanque é negra e a transferência de
calor ocorre por radiaçãoe convecção. Os coeficientes de
transferência de calor convectivo externo e interno são,
respectivamente, iguais a 10 e 80 W/m2.K. Determine a
taxa de calor transferida para dentro do tanque e a
quantidade de gelo a 0 C que derrete durante um período
de 24 horas. O calor latente de fusão da água a temperatura
ambiente é 333,7 kJ/kg.
EXEMPLO 3.7
Um iglu tem a forma de um hemisfério, com raio interno 1,8 m
e paredes (de neve compactada), de 60 cm de espessura. Dentro do
iglu, o coeficiente de transferência de calor é 6 W/m2.K; no lado de
fora, o coeficiente de troca convectiva é de 15 W/m2.K. A condu-
tividade térmica da neve compactada é 0,15 W/m.K. A tempertura
do gelo sobre o qual está o iglu é -10 C e a sua condutividade
térmica é a mesma da neve compactada. Com a hipótese de que o
calor dos corpos dentro do iglu proporciona uma fonte contínua de
320 W de calor, calcular a temperatura interna do ar, quando a
temperatura externa do ar for de -30 C. Inicialmente despreze a
perda através do piso e depois considere essa perda.
EXEMPLO 3.8
Uma casca cilíndrica, com raios interno e externo ri e ro,
respectivamente, é feita de um material que gera calor e
proporciona uma taxa volumétrica uniforme de geração
(W/m3) igual a ሶ𝑆. A superfície interna está isolada, enquanto
que a superfície externa está exposta a um fluido a T∞ com o
coeficiente de transferência de calor h. Obtenha uma
expressão para a distribuição de temperatura em regime
permanente T(r), na casca, expressando o resultado em
termos de ri , ro, ሶ𝑆, h, T e da condutividade térmica k do
material da casca. Determine, a seguir, uma expressão para
a taxa de transferência de calor q(ro) na superfície externa
da casca.
EXEMPLO 3.9
Um material radioativo com condutividade k é fundido
com formato de uma esfera de raio ro e é colocado em um
banho líquido onde a temperatura T e o coeficiente de
transferência de calor por convecção h são conhecidos. Calor
é gerado uniformemente no interior da esfera sólida a uma
taxa volumétrica ሶ𝑆 (W/m³). Obtenha a distribuição de
temperatura radial no sólido para o estado estacionário..
	Slide 1: Transferência de Calor e Massa I - Turma U
	Slide 2
	Slide 3: 1. Introdução – Mecanismos básicos da Transferência de Calor e Massa 
	Slide 4
	Slide 5: Transferência de Calor e Massa I
	Slide 6
	Slide 7: 2. Conceitos Fundamentais da Transferência de Calor 
	Slide 8: 2.1 Mecanismos Básicos
	Slide 9
	Slide 10: 2.1 Mecanismos Básicos
	Slide 11: Exemplo 2.1
	Slide 12: Exemplo 2.2
	Slide 13: Exemplo 2.3
	Slide 14: Exemplo 2.4
	Slide 15: Exemplo 2.5
	Slide 16: 2.5 Propriedades difusivas 
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20: Como é possível medir a condutividade térmica ?
	Slide 21: Difusividade Térmica 
	Slide 22: Exemplo 2.6
	Slide 23: 2.6 Equação diferencial da difusão do calor 
	Slide 24
	Slide 25: Exemplo 2.7
	Slide 26: Exemplo 2.8
	Slide 27: Exemplo 2.9
	Slide 28: Exemplo 3.1
	Slide 29: Exemplo 3.2
	Slide 30: Exemplo 3.3
	Slide 31: Exemplo 3.4
	Slide 32: 2.6 Equação diferencial da difusão do calor 
	Slide 33
	Slide 34: Exemplo 3.5
	Slide 35: Exemplo 3.6
	Slide 36: Exemplo 3.7
	Slide 37: Exemplo 3.8
	Slide 38: Exemplo 3.9