Resumo Matemática - Josimar Padilha

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SUMÁRIO
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PDF Sintético - Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Conjuntos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Conjuntos Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Conjuntos Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Conjuntos Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Conjuntos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. MMC e MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1. Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Grandezas e Medidas – Quantidade, Tempo, Comprimento, Superfície,
Capacidade e Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1. Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3. Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4. Superfície - Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5. Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. Equação do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1. Inequação do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6. Equação do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1. Equações do Segundo Grau Completas e Incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2. Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3. Método Soma e Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4. Inequação do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7. Noções de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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7.1. Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2. Função do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3. Função do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.4. Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.5. Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8. Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.1. Razão Centesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2. Fator de Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9. Proporcionalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.1. Regra de Três Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2. Regra de Três Composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10. Linguagem dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.1. Número de Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.2. Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11. Noções de Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.1. População X Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2. Censo X Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.3. Dados Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.4. Distribuição de Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
11.5. Amplitude Amostral (A) - Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
11.6. Representação de Dados em Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
11.7. Medidas de Tendência Central e Separatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12. Geometria Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
12.1. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
12.2. Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
12.3. Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
12.4. Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13. Geometria Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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13.1. Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
13.2. Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
13.3. Pirâmides . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
13.4. Cone Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
14. Matrizes e Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.1. Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15. Sistema Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16. Juros Simples e Compostos – Capitalização e Desconto . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.1. Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
16.2. Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
17. Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
17.1. Princípios de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
17.2. Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
17.3. Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
17.4. Combinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
18. Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
18.1. Evento Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
18.2. Espaço Amostral ou Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
18.3. Conceito de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
18.4. Probabilidade com Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
18.5. Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
18.6. Probabilidade de Ocorrer a União de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19. Geometria Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
19.1. Distância entre dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
19.2. Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
19.3. Condição de Alinhamento entre Três Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
19.4. Retas no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
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19.5. Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
19.6. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
19.7. Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
19.8. Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
20. Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
20.1. Função Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
20.2. Função Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
20.3. Função Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
20.4. Equações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
21. Potenciação e Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
21.1. Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
21.2. Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
22. Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
22.1. Soma Dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
22.2. Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
22.3. Termo Geral do Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
23. Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
23.1. Desvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
23.2. Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
23.3. Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
23.4. Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
23.5. Coeficiente de Variação (Cv ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
24. Leitura e Interpretação de Tabelas e Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
24.1. Gráficos em Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
24.2. Gráficos em Colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
24.3. Gráficos em Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
24.4. Gráficos em Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
24.5. Gráficos em Pictograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
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24.6. Polígono de Frequência – Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Questões de Concurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Gabarito Comentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Referências . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
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APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO
Escrever um livro é algo desafiador. Porém, escrever para o público concurseiro torna 
a tarefa ainda mais árdua.
Afinal, há candidatos com diferentes níveis de conhecimento, estudando para seleções 
de áreas variadas.
No entanto, existe algo em comum entre aqueles que se preparam para um concurso 
público: todos querem a aprovação o mais rápido possível e não têm tempo a perder!
Foi pensando nisso que esta obra nasceu.
Você tem em suas mãos um material sintético!
Isso porque ele não é extenso, para não desperdiçar o seu tempo, que é escasso. De 
igual modo, não foge da batalha, trazendo tudo o que é preciso para fazer uma boa prova 
e garantir a aprovação que tanto busca!
Também identificará alguns sinais visuais, para facilitar a assimilação do conteúdo. Por 
exemplo, afirmações importantes aparecerão grifadas em azul. Já exceções, restrições ou 
proibições surgirão em vermelho. Há ainda destaques em marca-texto. Além disso, abusei 
de quadros esquemáticos para organizar melhor os conteúdos.
Tudo foi feito com muita objetividade, por alguém que foi concurseiro durante 
muito tempo.
Para você me conhecer melhor, comecei a estudar para concursos ainda na adolescência, 
e sempre senti falta de ler um material que fosse direto ao ponto, que me ensinasse de um 
jeito mais fácil, mais didático.
Enfrentei concursos de nível médio e superior. Fiz desde provas simples, como recenseador 
do IBGE, até as mais desafiadoras, sendo aprovado para defensor público, promotor de 
justiça e juiz de direito.
Usei toda essa experiência de 16 anos como concurseiro e de outros tantos ensinando 
centenas de milhares de alunos de todo o país para entregar um material que possa 
efetivamente te atender.
A Coleção PDF Sintético era o material que faltava para a sua aprovação!
Aragonê Fernandes
APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR
Olá, aluno(a), tudo bem?
Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria 
que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo 
com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais 
de 20 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 15 anos em 
aulas online, possuo 03 obras escritas, dentre elas podemos citar: 
 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GUSTAVO GONÇALVES MELO - , vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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Matemática
Josimar Padilha
“RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO -Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm- 
2021- 4ª Edição; “ Mais de 500 QUESTÕES COMENTADAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO – CESPE 
– Cebraspe – 4ª edição- 2021”.
Teremos, nesse material, uma metodologia infalível e estrategista, pois além de 
aprendermos os princípios e os fundamentos dos principais tópicos da Matemática, iremos 
ter a oportunidade de aprender os melhores métodos de resolução, que no decorrer desses 
mais de 20 anos como professor me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus 
sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil.
Preparado para assumir o seu cargo público?
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Matemática
Josimar Padilha
PDF SINTÉTICO - MATEMÁTICAPDF SINTÉTICO - MATEMÁTICA
1 . CONJUNTOS NUMÉRICOS1 . CONJUNTOS NUMÉRICOS
1 .1 . CONJUNTOS NATURAIS1 .1 . CONJUNTOS NATURAIS
O Conjunto dos números naturais é representado pela letra Ν:
Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por 
isso são chamados de números naturais. São aqueles números que aparecem naturalmente 
ao longo de um processo de contagem, são os positivos, incluindo o zero, vejamos:
Ν = {0, 1, 2, 3,...}
Ao falarmos sobre o conjunto dos números naturais, é importante conhecermos um 
pouco sobre o sistema de numeração decimal, que a princípio é de base 10, ou seja, utiliza 
10 algarismos (símbolos) diferentes para representar todos os números.
Esse sistema é formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é um sistema posicional, 
ou seja, a posição do algarismo no número modifica o seu valor.
É o sistema de numeração que nós usamos no dia a dia. Ele foi concebido pelos hindus e 
divulgado no ocidente pelos árabes, por isso, é também chamado de “sistema de numeração 
indo-arábico”.
Vejamos a evolução da sua escrita:
O sistema de numeração decimal possui algumas características, que são importantes, 
quando se trata do processo ensino aprendizagem:
a) Possui símbolos distintos para representar quantidades de 1 a 9 e o símbolo (zero) 
para representar a ausência de quantidade.
b) Por ser um sistema posicional, é possível representar todos os números, mesmo 
tendo poucos símbolos.
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Matemática
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c) As quantidades são agrupadas de 10 em 10, e recebem as seguintes denominações:
• 10 unidades correspondem 1 dezena;
• 10 dezenas correspondem a 1 centena;
• 10 centenas correspondem a 1 unidade de milhar.
Vejamos alguns exemplos com números:
Exemplos
ORDENS E CLASSES
No sistema de numeração decimal, cada algarismo representa uma ordem, começando 
da direita para a esquerda e a cada três ordens temos uma classe.
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Matemática
Josimar Padilha
Para fazermos a leitura de números muito grandes, dividimos os algarismos do número 
em classes (blocos de 3 ordens), colocando um ponto para separar as classes, começando 
da direita para a esquerda.
EXEMPLOS
1) 57283
Primeiro, separamos os blocos de 3 algarismos da direita para a esquerda e colocamos um 
ponto para separar o número: 57.283
No quadro acima vemos que 57 pertence a classe dos milhares e 283 a classe das unidades 
simples. Assim, o número será lido como: cinquenta e sete mil, duzentos e oitenta e três.
2) 12839696
Separando os blocos de 3 algarismos, temos: 12.839.696
O número então será lido como: doze milhões, oitocentos e trinta e nove mil, seiscentos e 
noventa e seis.
1 .2 . CONJUNTOS INTEIROS1 .2 . CONJUNTOS INTEIROS
O Conjunto dos números inteiros é representado pela letra Ζ:
É importante perceber que os números naturais não permitiam que todas as operações, 
logo se tornou necessário resolver essa pendência:Exemplo: a subtração de 7 – 9 era impossível, logo, a ideia do número negativo aparece 
na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. Dessa forma, a ideia do 
número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e por 
seus respectivos opostos, são os positivos, o zero e os negativos.
Ζ = {... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2,3,...}
Ζ* = {... – 3, – 2, – 1, 1, 2,3,...}
1 .3 . CONJUNTOS RACIONAIS1 .3 . CONJUNTOS RACIONAIS
O Conjunto dos números racionais é representado pela letra Q:
Entretanto, surgiu outro tipo de problema: “Como dividir 3 bezerras para 2 fazendeiros?”
Para resolver esse tipo de problema, foram criados os números fracionários. Estes 
números, juntamente com os números inteiros formam os racionais, que são os números 
que podem ser expressos sob a forma de fração de tal forma que:
Q= {x I x = a/b, com a ∈ Ζ e b ∈ Ζ *}
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 Obs.: é importante saber que as dízimas periódicas são números racionais, pois todas 
podem ser representadas por frações em que o numerador pertence aos inteiros 
(Z) e o denominador pertence aos inteiros menos o zero (Ζ*).
Exemplo:
a) 0,33333333 = 3/9
b) 0,34343434= 34/99
c) 0,056565656= 56/990
Vamos aprender de uma maneira prática representar uma dízima periódica por meio de uma 
fração? O que você acha?
Observe:
, certo?
Agora se for 0,33333...? (Dízima periódica)
Basta subtrairmos 01(uma) unidade do denominador:
O denominador será 10, pois repete sempre 01(um) algarismo, o “3”, em seguida, subtraímos 
01 (uma) unidade, devido ser uma dízima periódica.
O que aconteceu? Conseguimos representar a dízima periódica em forma de fração, em que 
o numerador é inteiro e o denominador inteiro diferente de zero.
Outro exemplo:
, certo?
Agora se for 0, 34343434...? (Dízima periódica)
Basta subtrairmos 01(uma) unidade do denominador:
O denominador será 100, pois repete sempre 02(dois) algarismos, o “34”, em seguida subtraímos 
01 (uma) unidade, devido ser uma dízima periódica.
Agora surge uma pergunta:
- E se porventura tivermos a seguinte dízima periódica 0,056565656?
Temos o algarismo 0(zero) antes de começar a se repetir o número “56” várias vezes.
Vamos lá!
Considere os dois algarismos “56” e faça como se não tivéssemos o 0(zero):
Agora para finalizarmos, colocaremos o zero que não participa das repetições no denominador, 
assim:
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Para finalizarmos, vamos fazer com 0,008888...
Colocamos 8 sobre 10, porque repete apenas 01(um) algarismo. Depois subtraímos 1(uma) 
unidade devido ser dízima, e por fim colocamos os dois zeros que estavam antes das repetições 
no final do número que está no denominador.
Que legal!!! Uma maneira prática de representarmos as dízimas periódicas.
Tente com outros números e qualquer dúvida é só acessar nosso fórum que estarei à 
disposição para lhe ajudar.
1 .4 . CONJUNTOS IRRACIONAIS1 .4 . CONJUNTOS IRRACIONAIS
O Conjunto dos números irracionais é representado pela letra I:
É o conjunto composto pelas dízimas aperiódicas, são números com infinitas casas 
decimais, em que não podem ser representados por uma fração, na qual o numerador 
pertence aos inteiros e o denominador pertencente aos inteiros menos o zero.
Exemplos:
O número π = 3,1415926535...
O número =1,4142...
1 .5 . CONJUNTOS REAIS1 .5 . CONJUNTOS REAIS
O Conjunto dos números reais é representado pela letra R:
É o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais.
Para que possamos interpretar a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos, 
vejamos o diagrama abaixo:
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2 . CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE2 . CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles 
é igual a zero. Dessa forma, vamos verificar as principais regras de divisibilidade.
• Divisibilidade por 1: Todo número é divisível por 1.
Exemplo: qualquer número é divisível por 1.
• Divisibilidade por 2: Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números 
terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.
Exemplo: O número 436 é divisível por 2, pois termina em 6, que é um número par.
• Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos 
constitui um número divisível por 3.
Exemplo: Verifique se os números 65283 e 91277 são divisíveis por 3.
COMENTÁRIO:
Somando os algarismos dos números indicados, temos:
6 + 5 + 2 + 8 + 3 = 24
9 + 1 + 2 + 7 + 7 = 26
Como 24 é um número divisível por 3 (8. 3 = 24), então 65283 é divisível por 3. Já o número 
26, não é divisível por 3, portanto, 91277 também não é divisível por 3.
• Divisibilidade por 4: Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 
4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um 
número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os 
números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.
Exemplo: Qual das opções abaixo apresenta um número que não é divisível por 4?
a) 35748
b) 20500
c) 97235
d) 70832
COMENTÁRIO:
Para responder à questão, vamos verificar os dois últimos algarismos de cada opção:
a) 48 é divisível por 4 (12. 4 = 48).
b) 00 é divisível por 4.
c) 35 não é divisível por 4, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por 4 
seja igual a 35.
d) 32 é divisível por 4 (8. 4 = 32)
Portanto, a resposta é a letra c. O número 97235 não é divisível por 4.
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• Divisibilidade por 5: Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.
Exemplo: Comprei um pacote com 378 canetas e quero guardá-las em 5 caixas, de forma 
que em cada caixa tenha o mesmo número de canetas e que não sobre nenhuma caneta. 
Isso será possível?
COMENTÁRIO:
O algarismo da unidade do número 378 é diferente de 0 e 5, logo não será possível dividir as 
canetas em 5 partes iguais sem sobrar resto.
• Divisibilidade por 6: Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.
Exemplo: Verifique se o número 43722 é divisível por 6.
COMENTÁRIO:
O algarismo da unidade do número é par, logo ele é divisível por 2. Temos ainda que verificar 
se também é divisível por 3, para isso vamos somar todos os algarismos:
4 + 3 + 7 + 2 + 2 = 18
Como o número é divisível por 2 e por 3, também será divisível por 6.
• Divisibilidade por 7: Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do restodo número. 
Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7.
Exemplo: Verifique se o número 3625 é divisível por 7.
COMENTÁRIO:
Primeiro, vamos separar o algarismo da unidade, que é 5 e multiplicá-lo por 2. O resultado 
encontrado é 10. O número sem a unidade é 362, subtraindo 10, temos: 362 - 10 = 352.
Contudo, não sabemos se esse número é divisível por 7, então faremos novamente o processo, 
conforme indicado abaixo:
35 - 2.2 = 35 - 4 = 31
Como 31 não é divisível por 7, o número 3625 também não é divisível por 7.
• Divisibilidade por 8: Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou 
os últimos três números forem divisíveis por 8.
Exemplo: O resto da divisão do número 389 823 129 432 por 8 é igual a zero?
COMENTÁRIO:
Se o número for divisível por 8, o resto da divisão será igual a zero, então vamos verificar se 
é divisível.
O número formado pelos seus 3 últimos algarismos é 432 e este número é divisível por 8, pois 
54. 8 = 432. Portanto, o resto da divisão do número por 8, será igual a zero.
• Divisibilidade por 9: É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um 
número múltiplo de 9.
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Exemplo: Verifique se o número 426 513 é divisível por 9.
COMENTÁRIO:
Para verificar, basta somar os algarismos do número, ou seja:
4 + 2 + 6 + 5 + 1 + 3 = 21
Como 21 não é divisível por 9, então o número 426 513 também não será.
• Divisibilidade por 10: Todo número terminado em 0 será divisível por 10.
Exemplo: O resultado da expressão 76 + 2. 7 é um número divisível por 10?
COMENTÁRIO:
Resolvendo a expressão:
76 + 2. 7 = 76 + 14 = 90
90 é divisível por 10, pois termina com 0.
• Divisibilidade por 11: O critério de divisibilidade por 11 necessita de organização e 
maior compreensão do processo que deve ser realizado para sabermos a divisibilidade 
de um número por 11.
Os múltiplos por 11, rapidamente extrapolam as casas das centenas, portanto podemos 
nos deparar com números que possuem diversos algarismos, contudo com o processo de 
verificação da divisibilidade por 11, buscará um meio que utilize uma quantidade menor 
de algarismos para esta verificação.
“Um número é divisível por 11, caso a soma dos algarismos de ordem par subtraídos da 
soma dos algarismos de ordem ímpar, resultar em um número divisível por 11. Caso o resultado 
seja igual a 0, pode-se afirmar também que é divisível por 11.” Devemos compreender o 
que é dito como ordem par e ordem ímpar, pois pode surgir a confusão que o que deve ser 
feito é “somar os números pares e somar os números ímpares”, mas não é isso que é pedido. 
Ordem par e ordem ímpar diz respeito a ordem dos algarismos do número, partindo da 
esquerda para direita. Façamos uma tabela com a ordem dos algarismos do número: 2376.
Número (algarismos separados) 2 3 7 6
Ordem dos algarismos Ordem ímpar Ordem par Ordem ímpar Ordem par
Conforme vimos no critério de divisibilidade, devemos somar os algarismos que 
correspondem a ordem ímpar, e subtrair da soma dos algarismos de ordem par. Façamos 
este processo:
Soma ordem ímpar: 7 +2 = 9
Soma ordem par: 6+ 3 = 9
Faça a subtração da soma dos algarismos de ordem par pela soma dos algarismos 
de ordem ímpar. Caso o resultado seja negativo, inverta essa subtração para: (Soma dos 
algarismos de ordem ímpar subtraídos pela soma dos algarismos de ordem par). Nesta 
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situação, não nos importa o sinal obtido, queremos apenas verificar se este resultado é de 
fato divisível por 11.
Soma ordem ímpar – soma ordem par = 9-9 = 0
Como foi visto anteriormente, caso o resultado seja zero, podemos afirmar que o número 
que está sendo verificada a divisibilidade por 11 é de fato divisível pelo número 11, ou seja, 
2376 é divisível por 11.
Façamos outro exemplo.
Verifique se o número 12574 é divisível por 11.
Número (algarismos separados) 1 2 5 7 4
Ordem dos algarismos Ordem ímpar Ordem par Ordem ímpar Ordem par Ordem impar
Soma ordem ímpar: 1 +5 + 4 = 10
Soma ordem par: 2+ 7 = 9
Soma ordem ímpar – soma ordem par = 10-9 = 1
Como não é possível dividir 1 por 11, temos que o número 12574 não é divisível por 11.
3 . MMC E MDC3 . MMC E MDC
Um assunto muito cobrado em provas de concursos, porém simples de aprender e com 
certeza, questão garantida no dia da prova.
3 .1 . MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM3 .1 . MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Um assunto muito cobrado em provas de concursos, porém simples de aprender e com 
certeza, questão garantida no dia da prova.
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre números inteiros é o menor número inteiro que 
é múltiplo de todos esses números ao mesmo tempo.
Por exemplo, os múltiplos de 12 são: 12, 24, 36, 48, 60....
Os múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...
Observe que temos alguns múltiplos em comum entre os múltiplos de 12 e 8, porém o 
menor deles é 24. Logo o MMC entre 12 e 8 é 24.
Quando tivermos uma questão que relatar sobre tempo de encontro no futuro desde que 
haja o primeiro encontro iremos aplicar MMC (Mínimo múltiplo comum).
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Exemplo
Considere que uma pessoa toma 3 tipos de remédios regularmente, sendo o primeiro remédio 
de 6 horas em 6 horas, o segundo, de 4 horas em 4 horas, e o terceiro, de 3 horas em 3 horas. 
Se ela tomou os 3 remédios juntos hoje às 7 horas da manhã, então, qual será a próxima vez 
que ela tomará novamente os três remédios juntos?
LEMBRE-SE: “Quando tivermos uma questão que relatar sobre tempo de encontro no futuro 
desde que haja o primeiro encontro iremos aplicar MMC (Mínimo múltiplo comum)”.
COMENTÁRIO:
Na questão, uma pessoa deve tomar 3 tipos de remédios regularmente, sendo:
• O primeiro remédio de 6 horas em 6 horas;
• O segundo de 4 horas em 4 horas;
• O terceiro de 3 horas em 3 horas.
Sabemos que os três são tomados juntos (primeiro encontro) às 7 horas, logo, o próximo 
encontro será o MMC (6,4,3).
O próximo horário que a pessoa deverá tomar os três remédios simultaneamente, será às 
19h (7 +12).
Mais um exemplo:
João faz futebol de 5 em 5 dias e faz aulas de francês de 3 em 3 dias.
De quantos em quantos dias, ele pratica as duas atividades no mesmo dia?
COMENTÁRIO:
Vamos calcular o MMC entre 5 e 3. Uma outra dica para você, veja: Se os números forem 
primos, o MMC será a multiplicação entre eles, beleza?
Desta forma, é só multiplicar 3 por 5 que será 15 dias, ou seja, de 15 em 15 dias.
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3 .2 . MÁXIMO DIVISOR COMUM3 .2 . MÁXIMO DIVISORCOMUM
O máximo divisor comum entre números inteiros corresponde ao produto dos divisores 
comuns desses números.
Os divisores de um número são aqueles em que quando é realizada a divisão não existem 
restos, ou seja, a divisão será exata.
Como calcular o MDC?
Uma forma de calcular o MDC entre dois ou mais números é fatorar em números primos 
simultaneamente esses números. Diferente do que ocorre no MMC, o número primo DEVE 
dividir obrigatoriamente todos os números ao mesmo temo.
Por exemplo, vamos calcular o MDC entre os números 24 e 56
Observe que o número 3 e o número 7 não podem ser divididos mais ao mesmo tempo 
por um número, logo a conta termina por aqui e o MDC entre 24 e 56 será.
É importante observar que nas questões que relatarem sobre dividir em grupos, equipes, 
pacotes, envelopes etc., em que a divisão dos agrupamentos exigirem as seguintes restrições:
1. Os elementos de cada agrupamento devem possuir as mesmas características;
2. Todos os agrupamentos devem possuir a mesma quantidade de elementos;
3. Não sobram elementos.
E no final se perguntar o número máximo de elementos em cada agrupamento que leva a 
quantidade mínima de grupos, teremos uma questão de MDC, beleza?
EXEMPLO
Vamos supor que tenhamos dois rolos de barbante, um com 60 metros, e o outro com 108 
metros, e que esses precisem ser totalmente divididos, sem desperdício, em pedaços de 
barbante, todos com o mesmo comprimento, sendo este comprimento o maior possível. 
Qual o número total de pedaços de barbante nessas condições?
COMENTÁRIO:
Questões que envolvem MDC sempre vão vir com palavras chaves como “maior possível”.
Mais uma vez temos as seguintes restrições:
- Os elementos de cada agrupamento devem possuir as mesmas características;
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- Todos os agrupamentos devem possuir a mesma quantidade de elementos;
- Não sobram elementos.
Podemos interpretar que se trata de MDC. Vamos aos cálculos:
Podemos observar que não temos um número primo que divida ao mesmo tempo 5 e 9, então 
podemos parar e fazer a interpretação. Vamos lá.
O MDC será = 2x2x3=12 (tamanho dos barbantes em metros)
Número (quantidade) de pedaços total 5+9=14.
4. GRANDEZAS E MEDIDAS – QUANTIDADE, TEMPO, 4. GRANDEZAS E MEDIDAS – QUANTIDADE, TEMPO, 
COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, CAPACIDADE E MASSACOMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, CAPACIDADE E MASSA
4 .1 . COMPRIMENTO4 .1 . COMPRIMENTO
O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de comprimento 
é o metro, representado pela letra “m”.
Para melhor entendimento, iremos construir uma tabela:
Para realizarmos as transformações, temos que trabalhar com a vírgula, uma vez 
que, a vírgula indica a unidade daquela grandeza.
Por exemplo:
Exemplo 1.
10,3 m (a vírgula está na casa dos metros, logo o número está em metros)
Exemplo 2.
345,87 dm (a virgula está na casa dos decímetros, logo o número está em decímetros).
Vamos aprender agora a realizar as transformações:
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Utilizando a tabela acima mostrada com as unidades de medidas do comprimento, vamos 
seguir 03 passos para realizar as transformações:
1. Coloque a vírgula na unidade respectiva (tabela).
2. Coloque o número, sendo um algarismo em cada casa.
3. Transfira a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.
 
Para cada casa (unidade) iremos colocar somente um algarismo na tabela.
a) Transformar 34,6 m em km.
b) Transformar 5,89 dm em hm.
c) 2,45 m em dam.
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4 .2 . CAPACIDADE4 .2 . CAPACIDADE
O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de capacidade 
é o litro, representado pela letra l.
 Obs.: Para transformações de capacidade e massa, teremos o mesmo raciocínio, mudando 
somente a simbologia.
Vejamos a tabela:
Utilizando os 03 passos que aprendemos nas transformações de comprimento, iremos 
atuar da mesma forma, porém as unidades são as de capacidade.
Vejamos os exemplos:
a) Transformar 324,6 dl em kl.
b) 5,43 hl em ml.
c) 2,9845 dal em cl.
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4 .3 . MASSA4 .3 . MASSA
O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de massa é o 
grama, representado pela letra g.
De forma análoga, temos o mesmo procedimento para a grandeza massa, por exemplo:
Transformar 45,87 g em kg
Neste caso, teremos que 45,87g equivale a 0,04587 Kg.
4.4. SUPERFÍCIE - ÁREA4.4. SUPERFÍCIE - ÁREA
O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de área é o metro 
ao quadrado, representado pela letra m2.
Para melhor entendimento, iremos construir uma tabela:
Para realizarmos as transformações, temos que trabalhar com a vírgula, uma vez que, 
a vírgula indica a unidade daquela grandeza.
Para cada casa (unidade), iremos colocar agora (02) dois algarismos.
Vamos seguir os seguintes passos para realizar as transformações:
• coloque a vírgula na unidade respectiva;
• coloque o número, sendo dois algarismos em cada casa;
• transfira a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.
 
Exemplo:
a) 45,678 m2 em km2
b) 32,8 cm2 em hm2
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COMENTÁRIOS:
a) 45,678 m2 em km2
b) 32,8 cm2 em hm2
4 .5 . VOLUME4 .5 . VOLUME
O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de volume é o 
metro ao cubo representado pela letra m3.
Para melhor entendimento, iremos construir uma tabela:
Para realizarmos as transformações, temos que trabalhar com a vírgula, uma vez que, 
a vírgula indica a unidade daquela grandeza.
Para cada casa (unidade), iremos colocar agora três algarismos.
Vamos seguir os seguintes passos para realizar as transformações:
• coloca a vírgula na unidade respectiva;
• coloca o número, sendo três algarismos em cada casa;
• transferir a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.
Exemplo:
a) 335,978 m3 em dm3
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Temos uma relação muito importante entre volume e capacidade:
• 1 m3 equivale a 1000l.
• 1 dm3 equivale a 1l.
• 1 cm3 equivale a 1 ml.
 
5 . EQUAÇÃO DO 1º GRAU5 . EQUAÇÃO DO 1º GRAU
DEFINIÇÃO
Um tema de matemática que cai bastante provas de concursos é a Equação do 1º Grau, 
que é toda sentença aberta reduzida na forma ax + b = 0 com a diferente de 0.
a ⇒ coeficiente da variável.
b ⇒ termo independente.
x ⇒ valor desconhecido que muitas vezes, pagamos muito caro para descobrirmos, mas 
que nos traz uma sensação de dever cumprido inigualável quando encontramos. Então 
como encontrar esse tal x que está presente no texto acima.
O primeiro passo é entender que uma equação do 1º grau é uma balança com dois 
pratos em equilíbrio em que cada prato representa um membro da mesma, portanto, tudo 
o que fazemos de lado da equação devemos fazer do outro para não alterar tal equilíbrio.
A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim quer dizer “igual”.
Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
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Curiosidade!!!
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
X – 5 < 3 (Não é igualdade)
5≠-2 (Não é sentença aberta, nem igualdade)
Por exemplo, considere a equação 2x - 8 = 3x -10.
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa “desconhecida”. Na 
equação acima, a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º 
membro, e o que sucede, 2º membro.
Temos os termos do 1º membro: 2x e -8; termos do 2º membro: 3x e -10
DISCUSSÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
É importante essa apreciação da variação da natureza das suas raízes à medida que se 
atribuem diferentes valores por particulares às quantidades constantes representadas 
por letras (parâmetros). Em algumas provas de seleção, são cobrados esses conhecimentos 
quanto a um sistema de equações, logo se torna prescindível conhecer cada caso a seguir.
FORMA NORMAL = ax + b = 0.
1º Caso: a ≠ 0; b qualquer, ax = b => a equação será determinada; admite uma única solução.
X = b/a
2º Caso: a = 0; b ≠ 0, então 0x = b => a equação será impossível; não admite solução.
X = b/0
3º Caso: a = 0; b = 0, então 0x = 0 => a equação é indeterminada (identidade); admite 
várias soluções.
X = 0/0 
EXEMPLO
Determine o valor de m na equação (m-5). x = 2013, para que a equação não admita solução.
COMENTÁRIO:
Devemos fazer uma discussão da equação. Como 2013 é diferente de 0, para que a equação 
não possua solução, devemos ter (m-5)=0, logo:
m- 5 =0
m = 5.
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5 .1 . INEQUAÇÃO DO 1º GRAU5 .1 . INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
Agora vamos estudar um pouco sobre inequações. Bem, vamos lá!
Nas equações do 1º grau, vimos que temos uma solução para satisfazer a igualdade, 
agora o raciocínio é um pouco diferente, pois não tratamos mais de uma igualdade entre 
os membros, e sim, uma desigualdade.
Desigualdades:
• Maior: >
• Menor: <
• Maior ou igual: ≥
• Menor ou igual: ≤
A partir dessas desigualdades, teremos um intervalo (conjunto) de resultados e não 
somente um resultado, ok?
A inequação do 1º grau na incógnita x é qualquer expressão do 1º grau que pode ser 
escrita numa das seguintes formas:
1. ax + b > 0;
2. ax + b < 0;
3. ax + b ≥ 0;
4. ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 5 > 0
x - 1 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0
COMO RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU?COMO RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU?
Da mesma forma que fizemos equações do 1º grau, iremos fazer com as inequações, 
na qual isolaremos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1), quando isso ocorre, temos que inverter a desigualdade, ou seja, o 
maior será menor agora.
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2x < 7
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
 Obs.: Podemos resolver qualquer inequação do 1º grau por meio do estudo do sinal de 
uma função do 1º grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 2:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Mais à frente, iremos analisar os gráficos de funções do 1º grau. Porém, vamos relembrar que 
em uma equação do 1º grau quando o coeficiente angular é maior que zero, ou seja, positivo, o 
gráfico é crescente. No caso de o coeficiente angular ser negativo, o gráfico será decrescente.
a) 2x+ 3 = 0. Temos que a = 2 (coeficiente angular positivo)
2x+ 3 = 0
2x = -3
X=-3/2
 CRESCENTE
b) -2x+ 6 = 0. Temos que a = -2 (coeficiente angular negativo)
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-2x + 6 = 0
- 2x = -6 (-1)
2x = 6
X= 6/2 = 3
DECRESCENTE
Exemplo 01. Entre as opções a seguir, qual é a que melhor representa a idade de Maria?
“Ana tem duas vezes a idade que Maria terá daqui a dez anos, entretanto, a idade de Ana não 
supera o quádruplo da idade de Maria”.
a) A idade de Ana é maior que a idade de Maria.
b) A idade de Maria é menor que a idade de Ana.
c) A idade de Ana é maior que 10 anos.
d) A idade de Maria é maior que 10 anos.
e) A idade de Maria é menor que 10 anos.
COMENTÁRIO:
Para solucionar esse problema, basta extrair as informações do texto e escrevê-las em forma 
de inequação. Observe:
Observe que o problema coloca a idade de Ana em função da idade de Maria quando diz que 
a idade de Ana é igual ao dobro da idade de Maria daqui a 10 anos. Assim, só é necessário 
definir uma incógnita para a idade de Maria. Logo:
x = Idade de Maria
Observe que a idade de Maria deve ser somada a 10, e o resultado disso deve ser multiplicado 
por 2 para obtermos a idade de Ana. Matematicamente, podemos escrever:
Idade de Ana = 2(x + 10)
Colocamos parênteses porque 10 deve ser somado antes de multiplicar por 2.
Observe agora que a idade de Ana não supera o quádruplo da idade de Maria, ou seja, é menor 
ou igual ao quádruplo. Logo:
4x ≥ 2(x + 10)
Agora basta resolver a inequação encontrada para solucionar o problema.
4x ≥ 2(x + 10)
4x ≥ 2x + 20
4x – 2x ≥ 20
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2x ≥ 20
x ≥ 20
 2
x ≥ 10
A idade de Maria é maior que 10 anos.
Exemplo 02. Uma empresa que trabalha com cadernos tem gastos fixos de R$400,00 mais o 
custo de R$3,00 por caderno produzido. Sabendo que cada unidade será vendida a R$11,00, 
quantos cadernos deverão ser produzidos para que o valor arrecadado supere os gastos?
a) 50 cadernos
b) 70 cadernos
c) 90 cadernos
d) A arrecadação nunca será superior
e) os gastos nunca serão superiores
COMENTÁRIO:
Primeiramente, monte a inequação que representa a situação acima. Lembre-se de que o 
custo de produção varia de acordo com a quantidade de cadernos produzidos e que o gasto 
fixo deve ser apenas somado a essa variação:
3x + 400
Temos que calcular quantos cadernos devem ser produzidos para que os custos fiquem 
menores que a arrecadação nas vendas. Logo, teremos:
11x > 3x + 400
11x – 3x = 400
8x = 400
x = 400
 8
x = 50
Serão necessários 50 cadernos para que a arrecadação supere as vendas.
6 . EQUAÇÃO DO 2º GRAU6 . EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Nesta parte, iremos aprender a modelar algumas questões e em seguida aplicar os 
melhores métodos. Iremos aplicar a fórmula de Bhaskara, porém muitas questões serão 
resolvidas pelo método da soma e produto, que se torna bem mais eficiente. Neste momento, 
não nos deteremos aos estudos de gráficos e suas interpretações, e sim na parte de álgebra 
para encontrar as soluções das equações do 2º grau.
Como já vimos as equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são 
consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos 
de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e 
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a ≠ 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, sendo possível a sua resolução 
através do Teorema de Bhaskara. A utilização desse teorema requer conhecimento dos 
valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na equação 2x² + 7x + 5 = 0 os coeficientes 
são: a = 2, b = 7 e c = 5.
É importante sabermos que uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes 
(soluções) reais, a condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante.
6 .1 . EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS6 .1 . EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS
Na equação de segundo grau completa, temos todos os coeficientes, assim, se você 
quiser utilizar a fórmula de Bháskara, pode ficar à vontade. Mais à frente, iremos aplicar 
um método bem bacana para encontrarmos as raízes de maneira mais rápida, porém sugiro 
que saibamos das duas formas.
Os coeficientes a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0). Por exemplo:
5 x2 + 2x + 2 = 0
a = 5
b = 2
c = 2
Uma equação é incompleta do segundo grau quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Para 
resolver uma equação deste tipo, pode-se ou não utilizar a fórmula de Bhaskara.
Exemplo 1:
2 x2 = 0
a = 2
b = 0
c = 0
Exemplo 2:
3x2- 6 = 0
a = 3
b = 0
c= -6
Exemplo 3:
4x2+12x = 0
a= 4
b=12
c=0
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6 .2 . DISCRIMINANTE6 .2 . DISCRIMINANTE
Porém, existe uma característica importante na Fórmula de Bhaskara que é o termo 
dentro do radical, chamado de discriminante (∆): ∆= b2- 4ac.
Esse discriminante mostra a quantidade de raízes de uma equação da seguinte forma:
1º caso: se ∆> 0, a equação possui duas raízes reais distintas.
Exemplo: Encontre as raízes da equação: x2 – 4x – 5 = 0.
COMENTÁRIO:
Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = – 4, c = – 5. Agora, basta aplicar esses valores 
na fórmula de Bhaskara:
Δ = (– 4)² – 4.1.(– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36
x = – (– 4) ± √36
 2.1
x = 4 ± 6
 2
x’ = 10 = 5
 2
x’’ = – 2 = – 1
2
Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: – 1 e 5.
2º caso: se ∆= 0, a equação possui uma raiz real.
Exemplo: Resolva a equação: -4x2 + 4x -1.
Comentário:
Os coeficientes da equação são: a = -4, b = 4, c = -1. Substituindo esses valores na fórmula 
de Bhaskara, temos:
Δ = 4² – 4.-4.1
Δ = 16 – 16
Δ = 0
x = – ( 4) ±
 2.-4
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x = -4
 -8
x’ = x’’ = 1
 2
Como Δ =0, a equação possui uma raiz real.
3º caso: se ∆< 0, a equação possui duas raízes imaginárias distintas. Por isso, é conveniente 
calcularmos o valor do discriminante antes de resolvermos a Fórmula de Bhaskara.
Exemplo: Resolva a equação: 4x2 + 8x + 6 = 0.
Comentário:
Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de 
Bhaskara, temos:
Δ = 8² – 4.4.6
Δ = 64 – 96
Δ = – 32
Como Δ < 0, a equação não possui raiz real.
6 .3 . MÉTODO SOMA E PRODUTO6 .3 . MÉTODO SOMA E PRODUTO
Para aplicação do método temos que ter a seguinte condição satisfeita:
O coeficiente “a” tem que ser igual 1, porém fique tranquilo, pois temos uma saída quando 
isso não acontecer, vamos lá:
Exemplos:
Com o coeficiente a=1:
a) x2 + 7x + 10 = 0
Temos os seguintes coeficientes: a= 1, b= 7 e c = 10.
Para encontrarmos as raízes, faremos o seguinte:
_____ + ____ = b (7) (quem são dois números que somados tem como resultado o coeficiente 
“b”? )
______ x ____= c (10) (quem são os mesmos dois números que multiplicados tem como 
resultado o coeficiente “c”?)
A possibilidade que nós temos são os números 2 e 5, pois:
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___2__ + __5__ = b (7)
___2___ x __5__= c (10)
Ao final de tudo, temos que trocar os sinais dos números que encontramos, logo as raízes 
são: { -2, - 5 }
b) x2 - x -6 = 0
Temos os seguintes coeficientes: a= 1, b= -1 e c = -6.
Para encontrarmos as raízes, faremos o seguinte:
_____ + ____ = b (-1) (quem são dois números que somados tem como resultado o coeficiente 
“b”? )
______ x ____= c (-6) (quem são os mesmos dois números que multiplicados tem como 
resultado o coeficiente “c”?)
A possibilidade que nós temos são os números -1 e -6, pois:
__-3___ + __2__ = b (-1)
___-3___ x __2__= c (-6)
Ao final de tudo, temos que trocar os sinais dos números que encontramos, logo as raízes 
são: { -2, -3}
c) x2 - 4x + 3 = 0
Temos os seguintes coeficientes: a= 1, b= -4 e c = 3.
Para encontrarmos as raízes, faremos o seguinte:
_____ + ____ = b (-4) (quem são dois números que somados tem como resultado o coeficiente 
“b”? )
______ x ____= c (3) (quem são os mesmos dois números que multiplicados tem como resultado 
o coeficiente “c”?)
A possibilidadeque nós temos são os números -4 e 3, pois:
__-1___ + __-3__ = b (-4)
__-1____ x __-3__= c (3)
Ao final de tudo, temos que trocar os sinais dos números que encontramos, logo as raízes 
são: {1, 3}
d) x2 - 4x = 0
Temos os seguintes coeficientes: a= 1, b= -4 e c = 0.
Para encontrarmos as raízes, faremos o seguinte:
_____ + ____ = b (-4) (quem são dois números que somados tem como resultado o coeficiente 
“b”? )
______ x ____= c (0) (quem são os mesmos dois números que multiplicados tem como resultado 
o coeficiente “c”?)
A possibilidade que nós temos são os números -4 e 0, pois:
__-4___ + __0__ = b (-4)
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__-4____ x __0__= c (0)
Ao final de tudo, temos que trocar os sinais dos números que encontramos, logo as raízes 
são: {4, 0}
Com o coeficiente a≠1:
Quando o coeficiente “a” for diferente de 1, iremos realizar o seguinte procedimento para 
que ele seja igual a 1, vejamos na prática para melhor entendimento: dada a equação 2x2 + 
7x + 5 = 0, iremos multiplicar o coeficiente “a=2” pelo coeficiente “c=5”, (2 x 5 = 10) ficando 
a nova equação da seguinte forma: x2 + 7x + 10 = 0.
Temos os seguintes coeficientes: a= 1, b= 7 e c = 10.
Para encontrarmos as raízes, faremos o seguinte:
_____ + ____ = b (7) (quem são dois números que somados tem como resultado o coeficiente 
“b”? )
______ x ____= c (10) (quem são os mesmos dois números que multiplicados tem como 
resultado o coeficiente “c”?)
A possibilidade que nós temos são os números 2 e 5, pois:
___2__ + __5__ = b (7)
___2___ x __5__= c (10)
Ao final de tudo, temos que trocar os sinais dos números que encontramos e também 
dividirmos os resultados pelo coeficiente anterior de “a”, ou seja, o número que você multiplicou 
o coeficiente “c”, no caso o número 2, agora dividirá os resultados, vejamos: { -2/2, - 5/2} = 
{ -1, -5/2}.
 Obs.: IMPORTANTE: não pode esquecer de dividir os números encontrados pelo valor que 
o coeficiente “c” foi multiplicado, ok?
 
6 .4 . INEQUAÇÃO DO 2º GRAU6 .4 . INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Como já vimos com as inequações do 1º grau, em que as expressões matemáticas utilizam, 
na sua formatação, os sinais de desigualdades, iremos também aplicar nas inequações do 
2º grau que são resolvidas utilizando a fórmula de Bhaskara ou por Soma e Produto.
É importante observar que o sinal de desigualdade será fundamental para determinar 
o conjunto solução.
 Obs.: IMPORTANTE!
Para determinar o conjunto solução é importante saber interpretar os sinais da 
parábola, então vamos entender de maneira definitiva:
1ª SITUAÇÃO: Parábola com concavidade para cima, ou seja, o coeficiente a > 0 
(positivo), os pontos que interceptam o eixo x (abcissa), são as raízes da equação.
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2ª SITUAÇÃO: Parábola com concavidade para baixo, ou seja, o coeficiente a < 0 
(negativo), os pontos que interceptam o eixo x (abcissa), são as raízes da equação.
Podemos observar os sinais de + (positivo) e - (negativo) que estão nos gráficos, o que 
eles representam?
Quando a desigualdade da inequação for (> maior) ou (≥ maior ou igual), temos como 
resultado a parte positiva, isto é, o intervalo que está representado pelo sinal + (positivo).
Quando a desigualdade da inequação for (< menor) ou (≤ menor ou igual), temos como 
resultado a parte negativa, isto é, o intervalo que está representado pelo sinal - (negativo).
Vamos a alguns exemplos:
1º Exemplo
Dada a inequação 3x² + 10x + 7 < 0, encontre o conjunto solução.
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Podemos observar no gráfico que temos valores positivos no intervalo menor que -7/3 ou 
maiores que -1. Podemos observar também que temos valores negativos entre -7/3 e -1. A 
inequação 3x² + 10x + 7 < 0 quer os resultados que sejam menores (sinal <) que zero, ou seja, 
vamos ter como conjunto solução os valores negativos. Os valores negativos para solução 
serão: S = {x R / –7/3 < x < –1}
 Obs.: As raízes não pertencem ao intervalo.
2º Exemplo
Dada a inequação –2x² – x + 1 ≤ 0, encontre o conjunto solução.
Podemos observar no gráfico que temos valores negativos no intervalo menor que -1 ou 
maiores que 1/2. Podemos observar também que temos valores positivos entre -1 e 1/2. A 
inequação –2x² – x + 1 ≤ 0 quer os resultados que sejam menores ou iguais (sinal ≤) que zero, 
ou seja, vamos ter como conjunto solução os valores negativos. Os valores negativos para 
solução serão: S = {x R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}.
 Obs.: As raízes pertencem ao intervalo.
3º Exemplo
Dada a inequação x² – 4x ≥ 0, encontre o conjunto solução.
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Podemos observar no gráfico que temos valores positivos no intervalo menor que 0 ou maiores 
que 4. Podemos observar também que temos valores negativos entre 0 e 4. A inequação x² 
– 4x ≥ 0 quer os resultados que sejam maiores ou iguais (sinal ≥) que zero, ou seja, vamos ter 
como conjunto solução os valores positivos. Os valores positivos para solução serão: S = {x 
∈ R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}.
 Obs.: As raízes pertencem ao intervalo.
4º Exemplo
Dada a inequação x² – 6x + 9 > 0, encontre o conjunto solução.
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Podemos observar que o discriminante é igual a zero e, desta forma, temos as raízes iguais. No 
gráfico, temos valores positivos antes do número 03 e depois do número 03, não possuindo 
valores negativos.
 Obs.: A raiz não pertence ao intervalo.
A solução da inequação será S = {x ∈ R / x < 3 e x > 3}.
7 . NOÇÕES DE FUNÇÕES7 . NOÇÕES DE FUNÇÕES
Antes de falarmos de funções afim, quadráticas, exponenciais e logarítmicas, é importante 
entendermos que algumas associações entre elementos de dois conjuntos podem não 
representar uma função.
Uma relação nem sempre é uma função, vejamos o porquê:
Dados dois conjuntos A e B, uma relação de A em B é um conjunto de pares ordenados 
(x; y) na qual x A e y B.
Considerando os conjuntos A e B abaixo, podemos considerar as seguintes relações 
de A em B:
Relação R1: {(1,5); (2,7); (3,8); (4, 8)}
Ou podemos representar geometricamente (diagramas de fechas) a Relação R1 por fechas:
O conjunto A é denominado DOMÍNIO.D: {1,2,3,4}
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O conjunto B é denominado CONTRADOMÍNIO
CD: {5,6,7,8,9}
Podemos visualizar que nem todos os elementos do contradomínio estão associados 
com os elementos do domínio, logo, podemos formar um novo conjunto denominado 
imagem (Im).
Im: {5,7,8}
Dessa forma, podemos inferir que uma relação nada mais é do que a associação de um 
elemento do domínio com outro elemento do contradomínio.
Exemplo de uma RELAÇÃO.
R2= {(2,7); (3,8); (4,5)}.
A Pergunta é a seguinte: por que o exemplo dado não é uma Função?
7 .1 . FUNÇÃO7 .1 . FUNÇÃO
Uma relação f de X em Y é chamada de função de X em Y se, e somente se forem 
satisfeitas as condições:
1ª - todos os elementos de X possuem imagem;
2ª - cada elemento de X tem uma única imagem.
Vejamos alguns exemplos:
Consideremos as relações f, g e h representadas pelos diagramas de flechas:
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Conforme as condições, vamos verificar quais das relações são funções:
A relação F (x) não é uma função, pois o elemento 3 do domínio não possui imagem, ou seja, 
não podemos ter elementos sobrando no domínio.
A relação G (x) não é uma função, pois cada elemento do domínio pode ter apenas uma 
imagem, e o elemento 3 possui duas imagens {-1, -2}.
Função H (x) é uma função, pois todos os elementos de X possuem imagem e cada elemento 
de X tem uma única imagem. Não tem problema sobrarem elementos no contradomínio.
DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
Dada uma função de X em Y, o conjunto X é chamado domínio (D (f)) da função. O 
conjunto de todas as imagens é chamado conjunto imagem (Im (f)) da função. Por exemplo, 
para a função f esquematizada a seguir temos:
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D (f): {a, b, c}
Im (f): {e, f}
7 .2 . FUNÇÃO DO 1º GRAU7 .2 . FUNÇÃO DO 1º GRAU
Primeiramente é importante relembrar alguns conceitos a respeito das funções para 
que possamos compreender bem as funções do primeiro grau.
Daí surge a pergunta, o que vem a ser uma função?
Para essa pergunta, podemos dizer que uma função é uma regra matemática que 
relaciona cada elemento x, de um conjunto X, a um único elemento y, de um conjunto Y. 
Os conjuntos X e Y são conhecidos, respectivamente, como domínio D (f) e contradomínio 
CD (f). Já x e y são conhecidos, respectivamente, como variável independente e variável 
dependente, pois o valor de y sempre dependerá do valor de x, isto é, y está em função de x.
Desta forma, as funções do primeiro grau são regras que relacionam cada elemento 
de um conjunto a um único elemento de outro cuja variável independente é uma potência 
de expoente 1. O grau de uma função sempre é dado pelo maior expoente da variável 
independente e, no caso das funções do primeiro grau, o maior expoente é 1.
A função polinomial do 1º grau, ou função afim é uma função f de IR em IR dada por 
uma lei da forma f (x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a≠0.
Na função f (x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é 
chamado termo constante ou coeficiente linear.
a) f (x) = 4x2. Essa função não é do primeiro grau porque a variável independente possui 
grau 2. Nesse caso, ela é uma função do segundo grau.
b) f (x) = 1/x. Essa função não é do primeiro grau porque y = 1/x também pode ser escrito 
como y = x-1 e esse (-1) não é o expoente correto para as funções do primeiro grau.
Vejamos alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 8x - 3, na qual a = 8 e b = - 3
f(x) = -x - 7, na qual a = -1 e b = - 7
f(x) = 11x, na qual a = 11 e b = 0
7 .2 .1 . GRÁFICO DA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
As funções do primeiro grau podem ser representadas geometricamente por uma 
reta. Para construí-la, basta encontrar dois pares ordenados de pontos que pertencem a 
essa reta, colocá-los no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles. Tomando como 
exemplo a função f (x) = 2x – 1, vamos passo a passo para a construção do gráfico:
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Domínio Função Imagem
X f (x) = 2x – 1 f (x)
-2 f (-2) = 2(-2) – 1 -5
-1 f (-1) = 2(-1) – 1 -3
0 f (0) = 2(0) – 1 -1
1 f (1) = 2(1) – 1 1
2 f (2) = 2(2) – 1 3
Construindo o gráfico, teremos:
 Obs.: OBSERVAÇÕES:
Uma maneira simples e rápida para construir um gráfico é determinarmos os pontos 
em que a reta intercepta os eixos “x” e “f(x) ou y”. Vejamos com a função f (x) = 2x 
– 1, do exemplo anterior.
Ponto em que corta o eixo “x”: x = -b/a, quociente negativo entre o coeficiente linear 
e angular; ponto onde corta o eixo “y”: x = -b/a.
Dessa forma, teremos:
x = -b/a
x = - (-1) / 2 = 1/2
y = b = -1 
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7 .2 .2 . FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
a. Função crescente: A função ax + b será do tipo crescente quando o a > 0 (positivo), 
ou seja, o valor de f (x) vai crescendo à medida que o valor de x aumenta.
b. Função decrescente: A função ax + b será do tipo decrescente quando a< 0 (negativo), 
ou seja, quando o valor de x aumenta, o valor de f (x) diminui.
Vamos construir um gráfico crescente:
f (x) = 3x + 2
Ponto que intercepta o eixo x:
X = -b/a = -2/3
Ponto que intercepta o eixo y:
y = b = 2
Vamos construir um gráfico decrescente:
f (x) = -2x -1
Ponto que intercepta o eixo x:
X = -b/a = - (-1) /-2= -1/2
Ponto que intercepta o eixo y:
y = b = -1
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7 .2 .3 . FUNÇÃO CONSTANTE
A função constante apresenta uma particularidade, ou seja, o coeficiente angular é 
sempre igual a zero e o coeficiente linear será positivo ou negativo. O gráfico da função 
constante é sempre uma reta paralela ou coincidente ao eixo x. Vejamos alguns exemplos 
de função constante e seus respectivos gráficos:
Exemplo 1: f (x) = 2
O gráfico da função f (x) = 2 é uma reta paralela ao eixo x que interceptao eixo y no ponto 
(0, 2).
Exemplo 2: f (x) = -2
Portanto, f (x) é uma função constante cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo x que intercepta 
o eixo y no ponto (0, – 2).
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7 .3 . FUNÇÃO DO 2º GRAU7 .3 . FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números 
reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando, temos:
f: R → R tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R.
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em 
situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento 
oblíquo etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração 
e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente 
nas diversas construções.
Devido a sua aplicação no dia a dia, temos muitas questões de concursos públicos, 
independente da banca.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de 
acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
Vejamos:
É importante observarmos que temos 02 raízes que interceptam o eixo das abcissas, 
formando uma parábola, não esquecendo é lógico, que já sabemos que as raízes também 
podem ser iguais.
 Obs.: IMPORTANTE!!
Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau 
basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
XV= - b/a
Yv = - ∆/4a
PONTO MÁXIMO
Quando a função do segundo grau possui a < 0, essa função possui ponto de máximo, 
ou seja, o ponto de máximo somente é possível em funções com a concavidade voltada 
para baixo. Vamos verificar no gráfico abaixo:
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Observe que o gráfico dessa função é crescente até chegar ao ponto de máximo (V), 
depois disso, o gráfico torna-se decrescente. O ponto mais alto dessa função do exemplo 
é seu ponto de máximo. Veja também que não existe nenhum ponto com coordenada y 
superior a V = (3, 6) e que o valor de x atribuído ao ponto de máximo fica no ponto médio do 
segmento, cujas extremidades são as raízes da função (quando elas forem números reais).
O ponto de máximo sempre coincide com o vértice da função com concavidade voltada 
para baixo.
PONTO MÍNIMO
Quando a função do segundo grau possui coeficiente a > 0, essa função possui ponto 
de mínimo, ou seja, o ponto de mínimo somente é possível em funções com concavidade 
voltada para cima. Vamos verificar no gráfico abaixo:
Observe que o gráfico dessa função é decrescente até chegar ao ponto de mínimo, depois 
disso, segue crescente. Além disso, o ponto de mínimo V é o ponto mais baixo dessa função, 
ou seja, não existe outro ponto com coordenada y inferior a – 1. O valor de x relacionado a 
y no ponto mínimo também fica no ponto médio do segmento, cujas extremidades são as 
raízes da função (quando elas forem números reais).
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O ponto de mínimo sempre coincide com o vértice da função com concavidade voltada 
para cima.
7 .4 . FUNÇÃO EXPONENCIAL7 .4 . FUNÇÃO EXPONENCIAL
A lei de formação de uma função exponencial indica: a base elevada ao expoente x 
precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R→R tal que 
y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos 
duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando 
as condições propostas:
Uma função exponencial é muito utilizada no nosso dia a dia, pois representa situações 
em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros 
capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, 
desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras 
situações. Para resolver as questões de funções exponenciais, é importante conhecer as 
propriedades da potenciação e radiciação.
Observe as propriedades:
1) a m x an = am + n (Multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma 
os expoentes).
2) A m: an = am – n ( Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os 
expoentes).
3) (a m ) n = am. n (Potência de potência, multiplicar os expoentes).
4) (Potência com expoente racional: o expoente do radicando se 
transforma no numerador do expoente da base fora da raiz, e o índice da raiz passa a ser 
o denominador).
5) a–n = 1/an, a ≠ 0 (Potência com expoente negativo: inverso da base elevado ao expoente 
positivo).
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6) a0 = 1 (Toda base diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1).
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
1. Tendo em vista que, em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial média diária 
em uma localidade é representada, em mm, pela função P(t) = 25 e –(t-16) ^2, para t de 1 a 31, 
julgue os itens subsequentes.
Nesse mês, a maior precipitação média ocorreu no dia.
COMENTÁRIO
É importante observar que qualquer que seja o valor de t na equação, o expoente -(t-16)² 
sempre será um número negativo devido o sinal que está fora dos parênteses, e reduzirá o 
valor de P(t), segundo a 5ª propriedade vista acima. Portanto para que P(t) tenha um valor 
máximo, o valor do expoente deve ser nulo ( zero). Assim, teremos P (t) = 25.e° = 25 x 1 = 25
Portanto: -(t-16)² = 0, t-16 = 0 Logo, t=16.
2. Tendo em vista que, em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial média diária 
em uma localidade é representada, em mm, pela função P(t) = 25 e –(t-16) ^2, para t de 1 a 31, 
julgue os itens subsequentes.
A precipitação pluvial média no dia 1º foi igual ao dobro da ocorrida no último dia desse mês.
COMENTÁRIO
Para que possamos verificar o que ocorreu no primeiro e último dia do mês. Substituindo, o 
t por 1 e por 31, teremos o mesmo domínio, vejamos:
P (1) = 25. e -(1-16)^2
P (1) = 25. e - 225
---------------------------
P (31) = 25. e -(31-16)^2
P (31) =25. e ^-225
7 .5 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA7 .5 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica de base a é definida como f (x) = logo, x, com a real, positivo e a ≠ 
1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial.
O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a 
para obter o número x, ou seja:
LOGARITMANDOLOGARITMO
BASE
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Exemplos:
DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. No caso da 
função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo.
Desta forma, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e 
diferente de 1.
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
De uma forma geral, o gráfico da função está localizado no I e IV quadrantes, pois a 
função só é definida para x > 0.
Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de 
abscissa igual a 1, pois y = loga1 = 0, para qualquer valor de a.
Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica.
Note que o gráfico representa uma função crescente. Isso ocorrerá toda vez que a base 
� for maior que 1.
Quando a base α for menor que 1, então teremos uma função decrescente.
Olha o exemplo:
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8 . PORCENTAGEM8 . PORCENTAGEM
É comum o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números 
ou quantidades, sempre tomando como referencial 100 unidades.
Exemplos:
• Os alimentos tiveram um aumento de 16%.
• Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 16, 00.
• O freguês recebeu um desconto de 12% em todas as mercadorias.
• Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$12, 00.
• Dos atletas que jogam no Santos, 80% são craques.
• Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 80 são craques.
8 .1 . RAZÃO CENTESIMAL8 .1 . RAZÃO CENTESIMAL
Toda a razão que tem para consequente (denominador), o número 100 denomina-se 
razão centesimal.
Exemplos:
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Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 8%, 34% e 129% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte exemplo:
João pagou uma prestação que corresponde a 50% do seu salário. Sabendo que seu salário 
é de 1.200,00 reais, qual o valor pago?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o seu salário.
PORCENTAGEM: Valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Dada uma razão qualquer denominamos de porcentagem do valor, quando aplicamos 
(multiplicamos) o valor pela razão centesimal, vejamos no exemplo abaixo.
Exemplo 01.
a)
b)
Logo, 75 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exemplo 02:
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 50 faltas, transformando em 
gols 30% dessas faltas.
Quantos gols de falta esse jogador fez?
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Portanto, o jogador fez 15 gols de falta.
DICA:
Em matemática, as preposições “de”, “da” e “do” significam 
multiplicações.
8 .2 . FATOR DE MULTIPLICAÇÃO8 .2 . FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
É importante entendermos sobre os fatores de multiplicações, tanto quanto a acréscimos, 
quanto para descontos, pois em muitas provas de concursos públicos acontecem de a banca 
examinadora exigir o valor referente ao fator, que pode ser expresso de maneira algébrica.
Dessa forma, irei apresentar de maneira prática como se encontrar esse fator que 
também é responsável para calcular o valor desejado, montante, em juros e valor líquido, 
em descontos.
Observe a tabela abaixo referente a juros, acréscimo:
Exemplo 1
a) Aumentando 20% no valor de R$ 15,00, temos:
15 x 1,20 = R$ 18,00.
b) Aumentar 12% no valor de R$ 200,00, temos:
200 x 1,12 = R$ 224,00
c) Majorar 48% em um capital de R$ 1250,00, temos:
1250 x 1,48 = R$ 1850,00
Observe a tabela abaixo referente a descontos, decréscimos:
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No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal).
Exemplo 2
a) Diminuir 20% no valor de R$ 15,00, temos:
15 x 0,8 = R$ 9,00
b) Diminuir 35% no valor de R$ 900,00, temos:
900 x 0,65 = R$ 585,00
c) Diminuir 75% no valor de R$ 340,00, temos:
340,00 x 0,25 = R$ 85,00
9 . PROPORCIONALIDADES9 . PROPORCIONALIDADES
Grandezas são todos os termos pelos quais atribuímos um valor, ou seja, tudo aquilo 
que é susceptível de ser aumentado ou diminuído.
Por exemplo: 10 operários constroem 5 casas, trabalhando 7 horas por dia durante 90 dias.
Encontrar as grandezas é verificar os termos que foram atribuídos valores, nesse exemplo 
temos três grandezas: operários, casas e horas por dia.
Essas grandezas se relacionam entre si, podendo ser de maneira direta ou inversa, logo 
regra de três nada mais é que um processo prático para resolver problemas que envolvam 
grandezas desejando determinar uma outra a partir das já conhecidas.
9 .1 . REGRA DE TRÊS SIMPLES9 .1 . REGRA DE TRÊS SIMPLES
Quando são relacionadas apenas 02 grandezas.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º - determinar as grandezas;
2º - identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
3º - colocar os valores, se as grandezas forem diretas, iremos multiplicar cruzado, caso 
as grandezas sejam inversas, iremos multiplicar reto.
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Veja como se faz no esquema para facilitar as resoluções:
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: são diretamente quando as duas grandezas 
aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esquecer que as grandezas aumentam 
multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração. Ok?
DICA:
Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os 
respectivos valores, multiplicar cruzado.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: são inversamente proporcionais quando 
as duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esquecer que as 
grandezas aumentam multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração.Ok?
DICA:
Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os 
respectivos valores, multiplicar de forma linear .
9 .2 . REGRA DE TRÊS COMPOSTA9 .2 . REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta 
ou inversamente proporcionais.
Para que você entenda de maneira plena essa parte de regra de três composta, vamos 
aprender um método muito bacana, simples e eficiente.
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Nada melhor do que aprender com questões, vejamos:
MÉTODO: CAUSA & CONSEQUÊNCIA
Exemplo:
Determinada construtora emprega 200 empregados na construção de cisternas em cidades 
assoladas por seca prolongada. Esses empregados, trabalhando 8 horas por dia, durante 3 
dias, constroem 60 cisternas.
Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia durante 8 dias, então, nesse período, 
quantas cisternas serão construídas?
Comentário:
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois temos mais 
de 02(duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as grandezas são: empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.
Para resolvermos as questões de regra de três compostas, iremos aplicar um método muito 
eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO - CAUSA –CONSEQUENCIA.
Primeiramente, devemos saber quem são as causas e quem é a consequência e, para isto, 
basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e perguntarmos a ele o que 
ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais grandezas serão as causas.
Segundo a questão temos como sujeito os empregados, o que eles estão fazendo? A resposta 
é “ cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.
As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias)
Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.
Vamos preencher:
Causas Consequência 
Causas Consequência
Empregados H/d Tempo (dias). Cisternas 
200 8 3 60
200 6 8 x
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Ao preencher os valores basta apenas multiplicarmos os números seguindo as retas, da 
seguinte forma:
200. 8. 3. x = 200. 6. 8.60
24x = 2880
x= 2880/24
x= 120
É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grandezas são inversas 
ou diretas, quando utilizamos o método causa-consequência já resolvemos tudo isso. Para 
multiplicar os números, não se esqueça, siga as setas ilustradas no esquema acima.
Ou seja, serão construídas 120 cisternas.
10 . LINGUAGEM DOS CONJUNTOS10 . LINGUAGEM DOS CONJUNTOS
Primeiramente é importante que saibamos que “Teoria de Conjuntos” traz uma 
interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante 
ressaltar que é um conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos.
INTRODUÇÃO
O que é um conjunto? Pois bem, nada mais é que uma coleção de objetos ou elementos 
que possuem características comuns. Um conjunto fica caracterizado por uma regra quando 
se permite decidir se um elemento pertence ou não ao conjunto. Assim, se chamarmos por 
H o conjunto dos seres humanos, podemos dizer, por exemplo, que a José é um elemento 
de H, bem como o uma Orquídea não é elemento de H. Na linguagem de conjuntos, tais 
considerações serão simbolizadas (escritas) da seguinte forma:
• José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H);
• Orquídea ∉ H (lê-se: Orquídea não é elemento do conjunto H).
Como em toda ciência é importante a questão da linguagem, ou seja, sua escrita, isto 
para que evite interpretações errôneas, desta forma vamos ressaltar 02 (duas) relações 
essenciais que serão fundamentais para as futuras operações com conjuntos:
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: essa primeira consiste em relacionar um elemento a um 
determinado conjunto. Se por acaso queiramos relacionar um elemento “t” a um conjunto 
“T”, a relação deverá ser:
O elemento “t” pertence a T (t ∈ T)
Ou
O elemento t não pertence a T (t ∉ T).
É importante ressaltar que os conjuntos são representados por letra maiúsculas e os 
elementos por letras minúsculas.
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Há vários modos para descrever um conjunto, os mais comuns nas provas de concursos 
públicos são:
1) A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento “a” tal que 
“a” é um algarismo arábico.
2) Outra maneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus elementos 
entre chaves. Desse modo, representaríamos o conjunto A da seguinte forma:
A = {1,2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10...}
3) Um conjunto poderá ser representado por diagramas (o mais utilizado nas resoluções 
de questões) da seguinte forma:
Para dar a descrição completa de um conjunto, nem sempre é preciso incluir todos os 
elementos na lista.
Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser indicado da seguinte forma:
A = {0, 1, 2, 3,..., 8}
Nem sempre é possível descrever um conjunto relacionando todos os seus elementos, 
como é o caso do conjunto A formado pelos números naturais. Entretanto, A pode ser 
descrito por uma lista parcial, ou seja,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
RELAÇÃO DE INCLUSÃO: relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto 
e conjunto. Caso se queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser:
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A)
Ex.: no diagrama a seguir temos que A contém o conjunto B. Logo, A é um conjunto e B é 
um subconjunto.
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10 .1 . NÚMERO DE SUBCONJUNTOS10 .1 . NÚMERO DE SUBCONJUNTOS
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto:
A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b},∅; temos, neste caso, 4 subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos.
 Obs.: Importante: O Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e está 
contido em qualquer conjunto.
Representação: ∅ ou { }, nunca {∅}.
Agora vejamos se o conjunto possui 03(três) elementos:
C= {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 23 = 8 subconjuntos.
Exemplo
Um mestre de cozinha dispõe de 06(seis) frutas para preparar uma salada de frutas, sabendo 
que uma salada deve conter pelo menos duas frutas, quantas podem ser preparadas?
Comentário
É uma questão que poderia ser respondida por análise combinatória, em que iriamos calcular 
as combinações de com pelo menos duas frutas.
Uma maneira mais prática e rápida é se calcularmos o número de subconjuntos, ou seja:
2n = 26 = 64 subconjuntos,em que cada elemento é representado por uma fruta. Temos na 
composição dos subconjuntos, subconjuntos com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e nenhum elemento. Sendo 
assim, temos saladas com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e nenhuma fruta, logo temos que subtrair aquilo que 
não é salada, ou seja, os subconjuntos unitários e o subconjunto vazio, uma vez que para ser 
salada deve conter no mínimo duas frutas, ou seja, 64 – 7.
Resposta: 57 saladas
Agora que já sabemos um pouco da linguagem com as relações de pertinência, inclusão 
e número de subconjuntos que são importantíssimos para a matemática e para o estudo da 
lógica, podemos iniciar a operações com conjuntos que proporcionaram uma interpretação 
concreta do desenvolvimento do raciocínio.
10 .2 . OPERAÇÕES COM CONJUNTOS10 .2 . OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
01. UNIÃO OU REUNIÃO
DICA!
Identificaremos uma união entre dois conjuntos quando 
tivermos o termo “OU”.
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Consideremos os dois conjuntos:
A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que 
pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo conjunto é:
C = {1,2,3,4,5,6,7,8}
O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos repetidos 
(os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da 
reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de 
A com B) é usualmente representada por A ∪ B. Com esta notação tem-se:
C: A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Podemos, desta forma, expressar o seguinte conceito: dados dois conjuntos quaisquer, 
A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), 
isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em muitas provas 
de concursos, os conceitos são expressos em símbolos, logo é importante interpretá-los.
A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B}
A definição acima nos diz que se um elemento x pertencer a A ∪ B, é equivalente dizer 
que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato, 
decorre que:
A ⊂ A ∪ B (o conjunto A está contido na união de A com B)
e
B ⊂ A ∪ B ( o conjunto B está contido na união de A com B)
Exemplos:
{x; y} ∪ {z; w} = {x; y; z; w}
{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
02. INTERSECÇÃO
DICA
Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos 
quando tivermos os termos “e”, “simultaneamente” e 
“ao mesmo tempo”.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto 
dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF no primeiro turno 
das eleições de 2018. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos 
dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados a definir um novo conjunto, cujos 
elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto 
nos leva à seguinte definição geral:
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Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A e de B 
(ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B}
Exemplos:
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø
{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t}
Da definição de intersecção resulta que:
(“X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A
(“X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B
Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A
A ∩ B ⊂ B
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e 
B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a 
intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
03. DIFERENÇA
DICA
Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos 
quando tivermos os termos “apenas”, “somente” e 
“exclusivamente”, ligados ao conjunto.
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B o conjunto 
dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF no primeiro turno 
das eleições de 2018. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Josimar, mas não 
votaram em Enny Giuliana.
Isto nos leva ao conjunto dos elementos que pertencem a A que não são elementos que 
pertencem a B.
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre A e B o 
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
A – B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B}
Exemplos:
{a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
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Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn em 
que a diferença corresponde à parte branca de A.
04. COMPLEMENTAR DE B EM A
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de 
B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
= = −B
AC A A B
Exemplos:
A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}.
Complementar: A – B = {c, d, e, f}
A = B = {1}.
Complementar: A – B = Ø
DICA
Verificamos que no diagrama exposto temos o conjunto B 
em relação a A definido como: (B está contido em A).
11 . NOÇÕES DE ESTATÍSTICA11 . NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
11 .1 . POPULAÇÃO X AMOSTRA11 .1 . POPULAÇÃO X AMOSTRA
1. População: Conjunto universo de todos os elementos (pessoas, objetos e outros), 
com uma característica comum, objeto de estudo. Um parâmetro é uma medida numérica 
que descreve alguma característica de uma população.
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2. Amostra: É qualquer subconjunto não vazio de uma população. Uma estatística 
(estimador) é uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra.
Vejamos um exemplo:
No fenômeno coletivo “eleição para síndico”, a população é o conjunto de todos os moradores 
do condomínio. Um parâmetro é quantidade de votos recebidos pelo candidato X. Uma 
amostra poderia ser um grupo de 100 eleitores selecionados aleatoriamente no condomínio. 
Uma estatística seria a proporção de votos recebidos pelo candidato X, na amostra.
11 .2 . CENSO X ESTIMAÇÃO11 .2 . CENSO X ESTIMAÇÃO
Processos estatísticos utilizados no estudo de fenômenos coletivos.
1. Censo: É uma avaliação direta de um parâmetro, através dos dados obtidos de todos 
os componentes da população.
É caro, lento, quase sempre desatualizado, admite erro processual zero e 
confiabilidade 100%.
2. Estimação: É uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um estimador 
atravésdo cálculo de probabilidades.
É barato, rápido, atualizado, admite erro processual positivo e confiabilidade 
menor que 100%.
11 .3 . DADOS ESTATÍSTICOS11 .3 . DADOS ESTATÍSTICOS
Para tomada de decisões, é de suma importância que os dados amostrais devem ser 
coletados de modo apropriado, através de um processo de seleção aleatória. O objetivo da 
estatística é, em grande parte, o uso de dados amostrais para se fazerem inferências (ou 
generalizações) sobre uma população inteira.
Desta forma, se não forem coletados de modo apropriado, podem se tornar inúteis, ou 
induzir a erro o processo decisório.
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Quanto à organização dos dados podemos ter:
1. Dados Brutos: Dados obtidos diretamente da observação, os quais não estão 
numericamente organizados.
2. Rol: São dados brutos numericamente organizados, de forma crescente ou decrescente.
É importantíssimo sabermos quanto ao tipo dos dados, pois dependendo da variável 
ou atributo de estudo, aplicaremos o método adequado. Vejamos:
1. DADOS QUANTITATIVOS: Possuem características numéricas, representando contagens 
ou medidas. Os dados aqui serão chamados de variáveis. Podem ser classificados em:
1.1. discretos: São dados que possuem variáveis que assumem determinados valores 
inteiros, 0 ou 1 ou 2 e assim por diante, em um intervalo de valores.
Exemplos: Quantidade de alunos na sala, quantidade de aparelhos de TV em uma residência etc.
1.2. Contínuos: São dados que possuem variáveis que podem assumir qualquer valor 
em um intervalo de valores.
Exemplos: altura, peso, salário, temperatura etc.
2. DADOS QUALITATIVOS: São dados que possuem características não-numéricas, 
podendo ser separados em diferentes categorias. Os dados aqui serão chamados de 
atributos. Podem ser classificados em:
2.1. Dados nominais: São dados categóricos, que consistem em nomes ou rótulos. 
Possuem característica não-numérica, logo, não podem ser ordenados (tal como do menor 
para o maior).
Exemplos: sexo (masculino ou feminino), cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc.), resposta 
de sondagem de sim, não é indeciso.
Para serem processados estatisticamente, são atribuídos valores numéricos a tais atributos.
2.2 Dados por postos: São dados estatísticos que dependem de uma avaliação subjetiva 
quanto à preferência ou desempenho em um conjunto de observações.
Por exemplo: Concursos de moda, canto etc.
Para que possamos fixar esses conceitos, vamos comentar um exemplo, ok?
EXEMPLO
No questionário socioeconômico que faz parte integrante do ENADE há questões que abordam 
as seguintes informações sobre o aluno:
I – Unidade da Federação em que nasceu;
II – Número de irmãos;
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III – Faixa de renda mensal da família;
IV – Estado civil;
V – Horas por semana de dedicação aos estudos.
Quais são variáveis qualitativas?
Vamos classificar cada uma das variáveis abaixo, conforme os conceitos vistos acima:
I – Unidade da Federação em que nasceu (qualitativa)
II – Número de irmãos (quantitativa)
III – Faixa de renda mensal da família (quantitativa)
IV – Estado civil (qualitativa)
V – Horas por semana de dedicação aos estudos (quantitativa)
Dessa forma temos como dados qualitativos as afirmativas I e IV.
Vejamos outro conceito importantíssimo usado para construção de gráficos, na interpretação 
de situações e na estatística inferencial.
11 .4 . DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA11 .4 . DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
É uma representação tabular dos dados estatísticos, discretos ou contínuos, sendo 
uma forma de resumir grandes conjuntos de dados. Dados representados em uma tabela 
de frequência facilitam a construção de gráficos (tais como histogramas), bem como a 
compreensão sobre a natureza dos dados.
Como podem ser representados os dados discretos?
1. Representação dos dados discretos
Considere a seguinte amostra de valores, relativos às idades de um grupo de 20 
adolescentes: 4, 8, 8, 6, 6, 8, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 6, 6, 7, 5, 5, 7, 5, 5.
Agora vamos representar os dados amostrais acima em tabelas de frequências:
1.1. Frequência simples absoluta (fi)
A frequência simples de um elemento é o número de vezes que o elemento figura 
no conjunto de dados. Para os dados discretos da amostra acima, teremos a seguinte 
distribuição de frequência:
Idade (x i) Frequência (f i)
4 1
5 6
6 5
7 5
8 3
TOTAL
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1.2. Frequência relativa (Fr)
É a razão entre a frequência relativa da variável e o número total (n) de elementos da série.
Idade (x i) Frequência (f i) Frequência Relativa
4 1 1/20=0,05=5%
5 6 6/20= 0,3= 30%
6 5 5/20=0,25=25%
7 5 5/20=0,25= 25%
8 3 3/20=0,15=15%
TOTAL 20/20 = 1 = 100%
1.3. Frequência acumulada (Fac)
É o somatório da frequência simples da variável com as frequências simples dos elementos 
que o antecedem.
Fac = f1 + f2 + f3+ f4 +...+ fi
Idade (x i) Frequência (f i) Frequência acumulada
4 1 1
5 6 7
6 5 12
7 5 17
8 3 20
TOTAL
Vejamos um exemplo que é necessário o conhecimento de frequência acumulada para 
sua resolução:
A tabela abaixo apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 
anos. Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido 
tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais?
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Note que essa é uma questão de probabilidade, porém para que possamos determinar 
o espaço amostral (casos possíveis) e os casos favoráveis, não podemos trabalhar com a 
frequência acumulada e sim com a frequência absoluta. Desta forma, vamos construir mais 
uma coluna com as frequências absolutas, em que teremos os dados discretos relativos a 
variável de estudo (idade).
Idade (anos) Frequência Relativa (fr) Frequência Absoluta (fi)
14 2 = 2
15 4 (4-2) = 2
16 9 (9-4) = 5
17 12 (12-9) =3
18 15 (15-12) =3
19 18 (18-15) =3
20 20 (20-18)=2
A questão trata de probabilidade condicional, uma vez que temos a seguinte pergunta: “Qual 
a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem 
terá 16 anos ou mais?”. Isso significa que o espaço amostral (condição) são os jovens que têm 
16 anos ou mais, ou seja, 16 jovens (5 + 3+ 3+ 3+ 2). Os casos favoráveis (aquilo que serve), 
são os jovens que têm menos de 18 anos, isto é, aqueles que tem menos de 18 anos (5+3) 
dentro dos 16 jovens selecionados.
Vamos agora aplicar a fórmula de probabilidade:
P (n) = Casos favoráveis / Casos possíveis.P (n) = 8 / 16
Vejamos agora um outro conceito importante em nosso estudo por estatística:
11.5. AMPLITUDE AMOSTRAL (A) - RANGE11.5. AMPLITUDE AMOSTRAL (A) - RANGE
É a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
Considere a seguinte amostra de valores, relativos às idades de um grupo de 20 
adolescentes: 4, 8, 8, 6, 6, 8, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 6, 6, 7, 5, 5, 7, 5, 5.
Do exemplo dado acima, A = 8 – 4 = 4.
11 .6 . REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM CLASSES11 .6 . REPRESENTAÇÃO DE DADOS EM CLASSES
Na representação de grandes quantidades de dados, principalmente contínuos, utiliza-
se a forma de intervalos de classe. Pode ser aplicada a dados discretos, quando se tratar 
de grandes amostras.
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1. Classe
É cada um dos intervalos ou grupos obtidos a partir do conjunto de dados. Há diversos 
métodos para se determinar o número de classes. Vamos citar dois:
1.1. Regra do quadrado: K =, onde n é o tamanho da amostra. Utiliza-se o valor mais 
próximo do quadrado perfeito.
1.2. Regra de Sturges: K =
2. Amplitude da classe (c)
Na forma moderna, é a diferença entre os limites superior e inferior da classe.
Ls: Limite superior
Li: Limite inferior
Classe: Ls- li
3. Ponto médio da classe (P
m)
É a média aritmética simples dos limites superior e inferior de cada classe.
P
m= (Ls + Li) / 2
Classes Frequência (f i) Pm (xi) xi. fi
2 │--- 4 3 3 9
4 │--- 6 5 5 25
6 │--- 8 10 7 70
8 │--- 10 5 9 45
10 │--- 12 3 11 33
26 182
11 .7 . MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E SEPARATRIZES11 .7 . MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E SEPARATRIZES
No estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumas medidas que a 
caracterizam. Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informações 
muito valiosas com respeito à série estatística.
Em suma, podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretação fornece-nos uma 
compreensão bastante precisa da série. Um destes valores é a medida de tendência central.
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o 
maior valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da série estão 
distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal.
Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer um número no eixo 
horizontal em torno do qual a série se concentra.
As principais medidas de tendência central são:
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1. MÉDIA;
2. MEDIANA
11 .7 .1 . MÉDIA ARITMÉTICA
A MÉDIA ARITMÉTICA é o somatório de todos os termos dividido pelo número total 
de termos.
Dentre os parâmetros estatísticos mais usados, podemos destacar a média aritmética, 
muitas pessoas de algum modo já utilizaram ou utilizam constantemente os cálculos 
envolvendo médias. Dessa forma, é considerada uma medida de tendência central, pois 
focaliza valores médios dentre os maiores e menores. A efetuação dos cálculos pode ser 
considerada de forma fácil, pois consiste em dividir a soma total dos valores pelo número 
de valores, o resultado dessa divisão será considerado a média aritmética dos termos.
Me: média
S: soma dos termos
n: número de termos
Me= S / n
Podemos representar a média aritmética pela seguinte expressão:
Acredito que não tenha dúvida quanto a média aritmética, porém é de suma importância 
sabermos algumas propriedades, vejamos:
DICA
1ª Propriedade
A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula).
∑di = ∑ (xi - x) = 0 Onde: di são as distâncias ou afastamentos 
da média .
2ª Propriedade
Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os 
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada 
ou diminuída dessa constante .
3ª Propriedade
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma 
variável por uma constante (c), a média do conjunto fica 
multiplicada ou dividida por essa constante.
4ª Propriedade
A média das médias é a média global de 2 ou mais grupos.
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5ª Propriedade
A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir 
da média aritmética é um mínimo .
6ª Propriedade
A média aritmética é atraída pelos valores extremos.
Considere os valores originais
Xi: 2,4,6,8,10 → x=6
Se o primeiro valor xi for alterado para 0:
Xi: 0,4,6,8,10 → x = 5,6
Se o último valor xi for alterado para 12:
Xi: 2,4,6,8,12 → x = 6,4
EXEMPLOS
1. A média das idades dos 45 empregados de uma corporação é de 32 anos. Para os próximos 
meses, estão previstas as aposentadorias de cinco empregados cuja média de idades é de 
62 anos.
Vamos calcular a média das idades da corporação que passará a ser.
A questão afirma que a média era de 32 anos para 45 funcionários. Um detalhe importante 
quanto a média aritmética é com relação ao somatório, isto é, a média aritmética por si só, 
não é uma boa medida para tomada de decisão, pois segundo as propriedades vistas podemos 
afirmar que a mesma sofre influência dos valores extremos. Porém, com a média aritmética, 
podemos calcular o somatório de todos os valores do conjunto.
Vejamos:
Me=X/quantidade de funcionários
X corresponde ao valor da soma das idades de todos os 45 funcionários: 32=X/45
X=1440 (soma de todas as idades)
Se a média era de 62 anos para 5 funcionários, podemos calcular a soma das idades desses 
funcionários:
Me=Y/quantidade de funcionários.
Y corresponde ao valor da soma das idades de todos os 5 funcionários: 62=Y/5
Y=310 (soma da idade dos 5 funcionários)
A diferença das somas das idades (diferença entre X e Y) será a soma das idades dos 40 
funcionários (45-5).
A soma das idades dos 40 funcionários denominada Z, que é X-Y=1440-310=1130 (novo 
somatório dos funcionários da corporação).
Nova média:
Me=Z/40
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Me=1130/40
Me= 28,25
2. A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências.
Não há observações coincidentes com os extremos das classes.
Vamos calcular o peso médio do conjunto de pessoas, em kgf.
Para que possamos calcular a média aritmética em que os valores se encontram em valores 
contínuos, ou seja, em intervalo de classes, temos que encontrar os pontos médios de cada 
intervalo, para que possamos multiplicar pela frequência.
O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médio da 
primeira classe é (40+ 50) /2 = 45.
Para que encontrar a média, iremos somar os valores da coluna xifi e dividir pela quantidade 
de observações.
12 . GEOMETRIA PLANA12 . GEOMETRIA PLANA
12 .1 . POLÍGONOS12.1 . POLÍGONOS
Para que possamos entender melhor as formas das figuras, é preciso saber o que vem 
a ser um polígono, sendo assim, um polígono é uma figura plana formada por três ou mais 
segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados 
lados do polígono. Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono.
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Polígono convexo:
É um polígono formado de modo que os prolongamentos dos lados (segmentos de reta) 
nunca ficarão na região interna da figura. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, 
então todos os segmentos formados por estes dois pontos como extremidades estarão na 
região interna do polígono.
Polígonos N. de lados Polígonos N. de lados
Triângulo 3 Quadrilátero 4
Pentágono 5 Hexágono 6
Heptágono 7 Octógono 8
Eneágono 9 Decágono 10
Undecágono 11 Dodecágono 12
Polígono não convexo: ocorre quando, dados dois pontos do polígono, o segmento 
que tem estes pontos como extremidades possuir pontos que estão na região externa 
do polígono.
Segmentos congruentes: dois ângulos ou segmentos são congruentes quando possuem 
as mesmas medidas.
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PARALELOGRAMO: é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos. Podemos 
observar em um paralelogramo que:
i – os lados opostos são congruentes;
ii – os ângulos opostos são congruentes;
iii – A soma de dois ângulos consecutivos vale 180º;
iv – As diagonais cortam-se ao meio.
LOSANGO: paralelogramo que possui todos os quatro lados congruentes. As diagonais 
desse polígono (losango) formam um ângulo de 90º.
RETÂNGULO: é um paralelogramo com dois pares de lados paralelos e quatro ângulos retos.
QUADRADO: é um paralelogramo que é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. 
O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
TRAPÉZIO: quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos 
distintos, denominados base menor e base maior. O segmento que liga os pontos médios 
dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média 
aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
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TRAPÉZIO ISÓSCELES: trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Existem dois 
ângulos congruentes e dois lados congruentes.
TRAPÉZIO RETÂNGULO: trapézio que tem apenas dois lados paralelos e um ângulo reto.
TRAPÉZIO ESCALENO: trapézio que tem apenas dois lados paralelos e de comprimentos 
diferentes.
12 .2 . TRIÂNGULOS12 .2 . TRIÂNGULOS
TIPOS DE TRIÂNGULOS:
Os triângulos podem ser classificados de acordo com o tamanho relativo de seus lados:
• triângulo equilátero: possui todos os lados congruentes, isto é, iguais. Um triângulo 
equilátero é também equiângulo, pois todos os seus ângulos internos são iguais 
(medem 60º), sendo, portanto, classificado também como um polígono regular;
• triângulo isósceles: possui pelo menos dois lados iguais e dois ângulos congruentes. 
O triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de triângulo 
isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais. Em 
um triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado 
ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são iguais;
• triângulo escaleno: tem as medidas dos três lados diferentes. Os ângulos internos 
de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Os triângulos também podem ser classificados de acordo com seus ângulos internos:
• triângulo retângulo: possui um ângulo reto. Em um triângulo retângulo, denomina-
se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os 
catetos de um triângulo retângulo são complementares.
Observe na figura os três quadrados identificados por 1, 2 e 3. Se a área do quadrado 1 
é 36 cm² e a área do quadrado 2 é 100 cm², logo a área do quadrado 3 será, em centímetros 
quadrados:
A2 = A1 + A3
100 = 36 + A2
A2 = 100 – 36 = 64 cm².
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O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa.
b e c: catetos.
h: altura relativa à hipotenusa.
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Além do triângulo retângulo, é importante conhecermos:
Triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (900 < α < 1800) e dois ângulos agudos 
00 < α < 900.
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos 00 < α < 900 (formando 180º).
Condição de existência de um triângulo
Para construir um triângulo é preciso que a medida de qualquer um dos lados seja menor 
que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto (módulo) da 
diferença entre essas medidas.
| b − c | < a < b + c
 
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12 .2 .1 . TEOREMA DE PITÁGORAS
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Exemplo:
Calcular, no triângulo ABC, os elementos: a, h, m e n.
6 8
A
B C
a
n
h
m
1) Pelo Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10.
2) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa: 
b ⋅ c = a ⋅ h → 8 ⋅ 6 = 10 ⋅ h → h = 48/10 = 4,8.
3) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto 
sobre a hipotenusa: c² = a ⋅ m → 6² = 10 ⋅ m → m = 36/10 = 3,6.
b² = a ⋅ n → 8² = 10 ⋅ n → n = 64/10 = 6,4
12 .3 . QUADRILÁTEROS12 .3 . QUADRILÁTEROS
Classificação de quadriláteros:
Os quadriláteros são considerados Trapézios ou Não Trapézios.
Diagonais: diagonais de um quadrilátero são os segmentos de reta que conectam dois 
vértices opostos. Em alguns quadriláteros, elas têm as mesmas medidas, por exemplo, 
o quadrado.
Exemplo: A figura abaixo é um retângulo.
1 – Trapézios
Se pelo menos dois dos lados de um quadrilátero forem paralelos, este será considerado 
um trapézio.
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Tipos de Trapézios:
• Trapézio Isósceles: os lados opostos são de comprimentos diferentes, os lados 
opostos não são congruentes e apresenta um eixo de simetria;
• Trapézio Retângulo: contém dois ângulos de 90º e não tem um eixo de simetria;
• Trapézio Escaleno: todos os lados são diferentes, e os lados opostos não paralelos 
não são congruentes. Possui dois lados não paralelos com medidas iguais.
2 – Paralelogramos
Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, a figura será um Paralelogramo.
Características de um paralelograma:
• a soma de dois ângulos consecutivos é 180º e a soma dos ângulos internos é 360º;
• as diagonais cortam-se no ponto médio;
• os lados opostos são congruentes;
• os ângulos opostos são congruentes.
Tipos de Paralelogramos:
• Paralelogramo Obliquângulo: os lados opostos são iguais entre si;
• Retângulo: possui quatro ângulos de 90º e os lados opostos são iguais entre si;
• Losango: todos os lados são iguais entre si;
• Quadrado: possui quatro ângulos de 90º e todos os lados são iguais entre si. As 
diagonais cruzam-se no ponto médio.
Os quadriláteros são classificados da seguinte forma, áreas e perímetros:
RESUMO DA ÓPERA
Figuras
Figuras
Geométricas
Definições Propriedades
Não Trapézios
Paralelogramo
Paralelogramo é um 
quadrilátero em que 
os lados opostos são 
paralelos.
• A soma de dois ângulos consecutivos 
é 180º;
• As diagonais cortam–se no ponto médio;
• Os lados opostos são congruentes;
• Os ângulos opostos são congruentes;
• A área é base x altura.
Quadrado
Quadrado é uma 
f i g u r a p l a n a 
limitada por quatro 
s e g m e nto s , d e 
forma que os seus 
lados sejam todos 
iguais entre s i 
(AB.=BD=DC=CA).
• Os ângulos deste quadrilátero são todos 
de 90º;
• As suas diagonais formam entre si 
ângulos de 90º;
• Cada diagonal forma um triângulo 
isóscele;
• A área é o quadrado do comprimento do 
lado (L x L) = L2;
• O perímetro é a soma de todos os seus 
lados (L + L + L + L) = 4L.
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Figuras
Figuras
Geométricas
Definições Propriedades
Retângulo
Retângulo é uma 
f i g u r a p l a n a 
limitada por quatro 
s e g m e nto s , d e 
forma a que os seus 
lados sejam iguais 
dois a dois
(AC = BD e AB = CD).
• Os lados opostos de um retângulo são 
paralelos e iguais entre si;
• As diagonais de um retângulo 
interceptam––se formando pares de 
ângulos opostos e iguais entre si;
• A área é o produto de sua base pela a sua 
altura (base x h);
• O perímetro é a soma de todos os seus 
lados.
Losango
ou
Rombo
L o s a n g o é u m 
q u a d r i l á t e r o 
c o m o s l a d o s 
opostos paralelos 
(paralelogramo), 
com os lados todos 
iguais entre si.
• As suas diagonais são perpendiculares;
• As suas diagonais são bissetrizes dos 
ângulos;
• A área é igual à área do paralelogramo;
• O perímetro é a soma de todos os seus 
lados.
T r a p é z i o 
Isósceles B=base Maior
b= base menor
h= altura
Trapézio isóscele 
é um quadrilátero 
que tem apenas 
dois lados paralelos 
e de comprimentos 
diferentes.
• Tem dois lados iguais;
• Tem um eixo de simetria.
T r a p é z i o 
Retângulo
B=base Maior
b= base menor
h= altura
Trapézio retângulo 
é um quadrilátero 
que tem apenas 
dois lados paralelos 
e que tem um 
ângulo reto.
• Tem um ângulo reto;
• Não possui eixo de simetria.
T r a p é z i o 
Escaleno B=base Maior
b= base menor
h= altura
Trapézio escaleno 
é um quadrilátero 
que tem apenas 
dois lados paralelos, 
cujos lados são 
todos diferentes.
• Tem os lados todos diferentes;
• Não possui eixo de simetria.
12 .4 . CIRCUNFERÊNCIA12 .4 . CIRCUNFERÊNCIA
A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro pode ser calculado por meio 
da equação:
C = 2πr, em que c é a circunferência e r é o raio da circunferência.
A constante π (pi) é o quociente da circunferência pelo diâmetro:
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=
c
r
d
Círculo ou disco é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência.
A área A de um círculo pode ser expressa por: A = πr2,onde r é o raio da circunferência 
e π (pi) uma constante.
O raio é a metade de um diâmetro de uma circunferência: =
2
c
r
O raio de uma circunferência ou círculo é dado pela distância do centro a um ponto 
qualquer da circunferência.
Diâmetro
Diâmetro de uma circunferência ou de um círculo é qualquer corda que passe pelo 
centro dessas figuras.
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Corda
Uma corda é um segmento de reta que possui dois pontos (início e final) de uma 
circunferência.
Se a corda em um círculo coincidir com o seu centro, recebe o nome de diâmetro. Se um 
raio, antes de tocar a circunferência de seu círculo, toca uma corda em seu ponto médio 
recebe o nome particular de apótema. 
Setor Circular
O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de retas que partem 
do centro para a circunferência. Esses segmentos de reta são os raios do círculo, veja a figura:
Para se calcular a área do setor circular, considerando um círculo completo que possui 
360º em que sua área total, é calculada pela fórmula A = π ⋅ r2, assim lançando mão de 
grandezas proporcionais podemos a relação da área do setor circular:
360º πr2
α Área do setor
α ⋅ π r2 = 360 ⋅ Área do setor
Área do setor = α ⋅ π r2
 360 
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13 . GEOMETRIA ESPACIAL13 . GEOMETRIA ESPACIAL
FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS BÁSICA
Em seu edital, temos apenas geometria espacial. Logo, iremos partir do pressuposto 
que todos não possuem um conhecimento profundo de geometria plana, por ser um pré-
requisito para estudo dos sólidos geométricos.
Desta forma, vamos nos concentrar nos principais sólidos.
13 .1 . CILINDROS13 .1 . CILINDROS
Seja Z um plano e nele construiremos um círculo de raio r e tomemos também um 
segmento de reta AC que não seja paralelo ao plano Z e nem esteja contido neste plano Z. 
Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AC com 
uma extremidade no círculo.
Um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas se pode considerar o cilindro como a 
região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido, 
será escrito dentro de aspas, isto é, “cilindro” e quando for à superfície, simplesmente 
escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento AC é denominadageratriz e a curva que fica no plano é 
a diretriz.
Com relação a da inclinação do segmento AC em relação ao plano, o cilindro será chamado 
reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AC for perpendicular ou oblíquo ao plano 
que contém a curva diretriz.
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Vamos identificar os elementos geométricos em um “cilindro”:
1. Em um cilindro, podemos identificar vários elementos, conforme descritos a seguir. 
Base: região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. O cilindro possui duas bases.
2. Eixo: segmento de reta que liga os centros das bases do “cilindro”.
3. Altura: a altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm 
as bases do “cilindro”.
4. Superfície lateral: conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, 
obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
5. Superfície total: conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os 
pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: medida da superfície total do cilindro.
8. Seção meridiana de um cilindro: região poligonal obtida pela interseção de um plano 
vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
Podemos classificar os cilindros em:
1. Cilindro circular oblíquo: apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos 
das bases.
2. Cilindro circular reto: as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este 
tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de 
um retângulo.
3. Cilindro equilátero: é um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.
Volume de um Cilindro
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = A(base) x h
Se a base é um círculo de raio r, e π =3,141593..., então:
V = π ⋅ r² ⋅ h
Área Lateral e Área Total de um Cilindro Reto
Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral) = 2π ⋅ r ⋅ h, onde r é o 
raio da base e h é a altura do cilindro.
A área total é a soma da área lateral com o dobro da área da base.
13 .2 . PRISMA13 .2 . PRISMA
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região, 
chamada secção do prisma.
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do prisma com um plano 
paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes 
(figura 2).
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Áreas
Em um prisma, temos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de 
considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n ⋅ AF (n = número de lados do polígono da base);
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases.
AT = AL + 2AB
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
=
=
=
2
6
3 3
2
F
F
B
A ah
A ah
a
A
13 .2 .1 . PARALELEPÍPEDO
Os prismas cujas bases são paralelogramos recebem o nome de paralelepípedos. 
Podemos ter:
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a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Quando o paralelepípedo reto tem bases retangulares, denomina-se paralelepípedo 
reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo Retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de 
medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da Base e do Paralelepípedo
db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo
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Na base ABFE, temos:
A
a B
F
d
b
b
= +
= +
2 2 2
2 2
b
b
d a b
d a b
No triângulo AFD, temos:
= +
= + +
= + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
p b
p
d d c
a b c
d a b c
Área Lateral
Sendo A
L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
A
L = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc
A
L = 2(ac + bc)
Área Total
Planificando o paralelepípedo, a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT = 2(ab + ac + bc)
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Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um 
paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 ⋅ 2 ⋅ 2 cubos de aresta 1:
O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc
Sendo o produto de duas dimensões resultando sempre na área de uma face e como 
qualquer face pode ser considerada base, o volume do paralelepípedo retângulo é o produto 
da área da base AB pela medida da altura h:
V = A hB
V – = ABh
13 .2 .2 . CUBO
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b = c) recebe o 
nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da Base e do Cubo
Considere a figura a seguir:
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dc = diagonal do cubo
db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
= + = ⇒ =2 2 2 22 2b bd a a a d a
No triângulo ACE:
= + = + = ⇒ =2 2 2 2 2 2 32 3c b cd a d a a a d a a
Área Lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
AL = 4a2
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Área Total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
AT = 6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a 
é dado por:
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
13 .3 . PIRÂMIDES13 .3 . PIRÂMIDES
Um polígono contido em um plano e um ponto V localizado fora desse plano. Pirâmide 
é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra em um ponto 
qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Elementos da pirâmide:
a) Base: é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
b) Vértice: é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
c) Eixo: é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
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d) Altura: distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
e) Faces laterais: são regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide 
e por dois vértices consecutivos da base.
f) Arestas laterais: são segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro 
extremo em um vértice do polígono situado no plano da base.
g) Apótema: é a altura de cada face lateral.
h) Superfície lateral: é a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
i) Aresta da base: é qualquer um dos lados do polígono da base.
1) Tipos de pirâmides: Triangular:
2) Quadrangular:
3) Pentagonal:
4) Hexagonal:
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Pirâmide Regular Reta
Tem a base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base 
coincide com o centro da base.
R raio do círculo circunscrito
r raio do círculo inscrito
l aresta da base
ap apótema de uma face lateral
h altura da pirâmide
al aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles
Área Lateral de uma pirâmide
Para calcularmos as áreas das superfícies que envolvem determinado sólido, torna-se 
viável por meio da planificação desse sólido.
Exemplo de uma planificação:
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
Considerando uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicando por A(face) a 
área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o 
nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
A(lateral) = n(lados) ⋅ A(face)
Exemplo: calcular a área lateral da pirâmide abaixo, sabendo que a aresta da base de uma 
pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm.
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h
r
ap
8
Tomando a aresta a = 8 cm e a altura com h = 10 cm primeiro calcularemos a medida 
do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal.
Como a base da pirâmide é um hexágono regular, temos 6 triângulos equiláteros, logo 
o valor de r é dado por =
3
2
a
r , sendo igual a = =
8 3
4 3
2
r .
Pela relação de Pitágoras, temos que:
(ap)2 = r2 + h2, logo:
= + = + =
=
=
2 2 2
2
( ) (4 3) 10 48 100 148
( ) 148
2 37
ap
ap
ap cm
A área da face e a área lateral são dadas por:
A(face) = 
×
=
8 2 37
8 37
2
A(lateral) = n ⋅ A(face) =
×
× =
8 2 37
6 8 37
2
Área total de uma pirâmide
A área total de uma pirâmide é dada pela soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
Volume da pirâmide:
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base 
pela altura da pirâmide, isto é:
=
1
Volume (base) × altura
3
A
13 .4 . CONE CIRCULAR13 .4 . CONE CIRCULAR
Dado um círculo C, contido em um plano α, e um ponto V (vértice) fora de α, chamamos 
de cone circular o conjunto de todos os segmentos VP, P ∈ C.
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Elementos do cone circular
Dado o cone abaixo, temos os seguintes elementos:
• altura: distância h do vértice V ao plano α;
• raio da base: raio R do círculo;
• eixo de rotação: reta VP determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone;
• geratriz (g): segmento com uma extremidade no ponto V e outra em um ponto da 
circunferência.
Cone reto
Cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base, também chamado cone de revolução. 
Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de 
seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g2 = h2 + R2
Secção meridiana
A secção determinada, em um cone de revolução, por um plano que contém o eixo de 
rotação é chamada secção meridiana.
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Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:
=
=
2
3
g R
h R
Áreas
A superfície lateral de um cone circular reto é obtida por um setor circular de raio g e 
comprimento l = 2πR:
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
⋅
= = = =
2
2 2
p pL L
gl g R
A A Rg
b) área da base (AB): área do circulo do raio R
AB = πR2
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c) área total (AT): soma da área lateral com a área da base
AT = AL + AB = πRg + πR2 ⇒ AT = πR(g + r)
Volume
Para determinar o volume do cone é preciso saber como calcular volumes de sólidos de 
revolução. Sendo assim, temos a figura:
e
dCG
S
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S = área da superfície
Pelo Teorema de Pappus-Guldin, uma superfície gira em torno de um eixo e gera um 
volume tal que:
V = 2πdS
O volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno 
do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância =
3
r
d do eixo de rotação. Logo:
= = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅21
2 2
3 2 3
p p pcone cone
r rh
V dS V r h
14 . MATRIZES E DETERMINANTES14 . MATRIZES E DETERMINANTES
14 .1 . MATRIZES14 .1 . MATRIZES
Primeiramente, vamos entender o que vem a ser uma matriz para que possamos operá-
las e consequentemente calcular seu determinante. Tudo certo?O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GUSTAVO GONÇALVES MELO - , vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
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Matriz ou Malha: é uma estrutura bidimensional em que todos os elementos são do 
mesmo tipo, em que cada elemento está associado a uma posição da matriz; o elemento 
também pode ser denominado como “entrada” e será localizado por um número de linha 
e de coluna situada na malha.
Exemplo:
 
 − 
  
=
2 3 0
3 1 1
2 1
A
0
          
    
        
É uma matriz com três linhas e três colunas, sendo uma matriz de ordem 3x3.
Identificando os elementos da matriz:
 
 
 
 =
 
 
  
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m1 mn
a a a ... a
a a a ... a
A a a a ... a
... ... ... ... ...
a a a ... a
mxn
Representação da Matriz
a) Forma Geométrica: 
 
 − 
  
=
3 2 1
1 1 4
0 3 5
B
   
   
Uma matriz pode ser representada formando uma malha; a matriz é representada 
por letras maiúscula, em que n ≥ 1 e m ≥ 1, isto é, deve possuir pelo menos uma linha e 
uma coluna.
b) Notação Condensada:
Dada a matriz 
 
 =  
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
B
   b b b
  b b b
   b b b , em que
B = (bij)3x3, cada termo possui uma lei de formação, isto é, uma notação condensada.
Exemplo:
A= (aij)2x2, em que cada termo aij é 
+ ≥
 − <
2 ,
,
i j  se i  j
i j  se i  j
Construindo a matriz acima:
A = 
 
 
 
11 12
21 21
a a
a a
, segundo a lei de formação, iremos calcular cada um dos elementos:
a11, temos i ≥ j, logo i + 2j = 1+2.1 = 3
a12, temos i < 2j, logo i – j = 1-2 = -1
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a21, temos i ≥ j, logo i – 2j = 2+2.1 = 4
a22, temos i ≥ j, logo i + 2j = 2+2.2 = 6
− 
=  
 
2x2
3 1
A
4 6
 
   
CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES
As matrizes são classificadas pelo número de linhas e o número de colunas, bem como 
pelos tipos de elementos que elas apresentam e suas disposições.
a) Matrizcoluna: são aquelas que apresentam apenas uma coluna e m linhas, denominadas 
de Matrizcoluna, possuindo sua ordem m X 1.
 
 
 
=  
 
 
  

11
12
13
14
m1
X
X
XX
X
X
b) Matrizlinha: são aquelas que apresentam apenas uma linha e n colunas, denominadas 
de matrizlinha, possuindo sua ordem 1 X n.
X – = [x11 x12 x13... x1n]
c) Matriz Triangular: são aquelas que apresentam todos os elementos acima ou abaixo 
da diagonal principal iguais a zero, ou seja, a i j = 0, para i > j.
c.1) Triangular Superior
 
 
 
 
=  
 
 
 
  




     

11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
m1 m2 m3 m4 mn
a 0 0 0 0
a a 0 0 0
a a
a
a 0 0
A
a a a a 0
a a a a
c.2) Triangular Inferior
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
11 12 13 14 1n
22 23 24 2n
33 34 3n
44 4n
mn
b b b b ... b
0 b b b ... b
0 0 b b ... b
0 0 0 b ... b
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... b
B
d) Matriz Quadrada: são aquelas em que a quantidade de linhas é igual à quantidade 
de colunas, isto é, m = n. Caso a matriz possua o número de linhas diferente do número de 
colunas, a matriz é chamada retangular.
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Quando uma matriz é quadrada, podemos calcular o número de elementos (entradas) 
pela seguinte relação: n2 = número de elementos.
 
 
 
 =
 
 
  
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... a
... ... ... ... ...
a a a ...
A
a
 Obs.: as matrizes quadradas possuem duas características importantes: diagonal principal 
e diagonal secundária.
Exemplo:
11 12 13 1n
21 22 23 2 n
31 32 33 3 n
m1 m 2 m3 m n
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... a
... ... ... ... ...
a a a ... a
A =
 Diagonal secundária Diagonal principal
e) Matriz Escalar: dada uma matriz diagonal, os elementos não nulos são todos iguais, 
é denominada matriz escalar, em que a11 = a 22 = M= anm = C.
f) Matriz Diagonal: uma matriz será diagonal quando tivermos uma triangular superior 
e inferior em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são todos 
iguais a zero.
Exemplo:
 
 
 
 =
 
 
  

11
22
33
x 0 0 0 0
0 x 0 0 0
X 0 0 x 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 xmn
g) Matriz Nula: são aquelas em que todos os elementos são iguais a zero.
Exemplo:
= =
= =
 
=  
 
11 0 12 0
21 0 2x222 0
a a
a a
A
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h) Matriz Identidade: a matriz identidade é uma matriz quadrada em que os elementos 
da diagonal principal são todos iguais e os demais elementos são todos iguais a zero. É 
representada pela letra I.
Exemplo:
 
 
 
 
 
 




1 0 0 0
0 1 0 0
I :
0 0 1 0
0 0 0 1
i) Matriz Transposta: a transposição de uma matriz é dada pela troca da linha e da 
coluna do elemento, ou seja, a linha passa a ser a coluna e a coluna passa a ser a linha.
Exemplo:
Dada a matriz A (aij)
3x2, teremos At(aji)2x3.
 
 =  
  
2 3
A 1 4
7 8
 
=  
 
t 2 1 7
A
3 4 8
j) Matriz Oposta: a matriz oposta é dada quando trocamos os sinais de todos os 
elementos da matriz.
Exemplo:
 
 − − 
3 4
A :
2 7
− − 
−  
 
3 4
A :
2 7
k) Matriz Simétrica: teremos uma matriz simétrica quando A = At ou seja, a matriz e 
sua transposta forem iguais.
Exemplo:
 
 
 
  
1 0 0
I : 0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
t
1 0 0
I : 0 1 0
0 0 1
A Matriz Identidade é uma matriz simétrica.
l) Matriz Antissimétrica: uma matriz será antissimétrica quando tivermos At = –A, a 
matriz transposta igual a matriz oposta.
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14 .1 .1 . OPERAÇÕES COM MATRIZES
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes serão iguais quando possuírem a mesma ordem e seus respectivos 
elementos também forem iguais.
Exemplo:
 
 − 
2 3
I :
1 4
 
 − 
2 3
I :
1 4
Exemplo
1. Determine os valores de x e y, sabendo que as matrizes são iguais:
2x + y
x - 2y =7
0
0
8
7
Comentário:
Sendo as matrizes iguais, temos que os elementos 2x + y = 8 e x – 2y = 6, construindo desta 
forma um sistema de equações:
+ = + = 
 − = − − + = − 
I 2x y 8 2x y 8
II x 2y 6X( 2) 2x 4y 12
Temos:
Multiplicando a equação por 2 teremos uma nova equação:
-2x + y = -12
Aplicando o método da adiçãoteremos:
2x + y = 8
-2x +4 y = -12
0 + 5y= -4
−
=
4
y
5
Substituindo o valor de y na equação II teremos:
x – 2y = 6
− − ⋅ = 
 
4
x 2 6
5
+ =
8
x 6
5
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= −
8
x 6
5
−
= =
30 8 22
x
5 5
=
22
x
5
ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes, é necessário que elas sejam da 
mesma ordem.
−     
     −     
2 3 0 3 5 4
A : B : C :
4 1 7 9 3 2
Exemplo:
−     
+ = + =     −     
2 3 0 3 5 4
A B
4 1 7 9 3 2
−     
− = − =     −     
0 3 5 4 2 3
B C
7 9 3 2 4 1
Propriedades: sabendo que as matrizes possuem a mesma ordem teremos o seguinte:
a) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
b) Comutativa: A + B = B + A.
c) Elemento Neutro: A + 0 = A.
d) Elemento Oposto: A + (-A) = 0.
e) Transposição: (A + B)t = At + Bt.
PRODUTO DE UMA ESCALA POR UMA MATRIZ
O produto de uma escala por uma matriz dáse quando multiplicamos o número (constante) 
por todos os elementos da matriz constituindo desta forma outra matriz.
Exemplo:
3 8 9 12 32 36
X=4. 4 -1 3 16 -4 -12
y 7 2 4y 28 8
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Propriedades: partindo de que X e Y são matrizes da mesma ordem e a e b números 
reais quaisquer, temos que:
• Associativa: a.(bx) = (a.b).x
• Distributiva: a.(x+y) = ax + by
• Elemento Neutro: 1.x = x
Produto de Matriz por Matriz
Para que possamos multiplicar duas matrizes, existe uma condição:
A quantidade de colunas 
da primeira Matriz.
=
A quantidade de linhas 
da segunda matriz.
a x B 
=
m x n r x s
condição
ordem da resultante
De acordo com a condição existente para multiplicarmos duas matrizes, é importante 
observar que o fato de A.B ocorrer não garante que seja possível B.A acontecer. Nesse caso, 
é notável que A.B ≠ B.A, ou seja, não possui a propriedade comutativa.
Exemplo: sejam as matrizes ( )aij m x nA e ( )bij r x sB e ( )pij m x sP a matriz produto.
Sejam:
−
= =
2 5 3 4A e B 8 61 7
e seja P a matriz resultante de A x B
A matriz P será
=
p11 p12
P
p21 p22
Calculando cada elemento da matriz produto:
Elemento p11: será o produto do primeiro elemento da primeira linha de A pelo primeiro 
elemento da 1ª coluna de B, somado ao produto do segundo elemento da primeira linha de 
A pelo segundo elemento da coluna de B.
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 = + =p11 (2x3) (5x8) 46
6 40
Elemento p12: será o produto do primeiro elemento da primeira linha de A pelo primeiro 
elemento da 2ª coluna de B somado pelo produto da 2ª linha de B.
 = + =p12 (2x4) (5x6) 38
8 30
Elemento p21: será o produto do 1º elemento da 2ª linha de A pelo 1º elemento da 1ª 
coluna de B somado ao produto do 2º elemento da 2ª linha de A pelo 2º elemento da 1ª 
coluna de B.
 = + =p21 (1x3) (7x8) 59
3 56
Elemento p22: será o produto do 1º elemento da 2ª linha de A pelo 1º elemento da 2ª 
coluna de B somado ao produto do 2º elemento da 2ª linha de A pelo 2º elemento da 2ª 
coluna de B.
 = + =p22 (1x4) (7x6) 46
4 42
Matriz Produto:
A x B
46 38
59 46
Propriedades:
Associativa: (A.B).C = A (B.C)
Distributiva: A(B+C) = AB + AC
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(A+B).C = AC + BC
Elemento Neutro: A.In = In.A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n.
Matriz Inversa: é dada pela seguinte relação: A. A = I, isto é, o produto da matriz pela 
sua inversa será uma matriz identidade.
É importante ressaltar que para que uma matriz seja inversível, é necessário que 
seja quadrada e seu determinante seja diferente de zero.
Iremos utilizar dois métodos para calcular a matriz inversa, vejamos:
I – Pela relação A. A – 1 = I n
Seja:
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 , logo teremos:
a31 a32 a33
a11 a12 a13
.
y11 y12 y13
=
1 0 0
a21 a22 a23 y21 y22 y23 0 1 0
a31 a32 a33 y31 y32 y33 0 0 1
Exemplo:
Dada a matriz
A=
a11 a12
Teremos o seguinte:
a2 a22
4 1
.
a b
=
1 0
3 0 c d 0 1
Segundo já visto, iremos multiplicar matriz A pela sua inversa:
4a + c
.
4b + d
=
1
3a + 0 3b + 0 0 1
0
Fazendo a igualdade de matrizes, temos
4a + c= 14a + c= 1
4b + d= 04. 0 + c = 1
c = 1
3a + 0 = 03a = 04b + d = 0
3b + 0 = 1a = 04. 
1
3
+ d = 0
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3b = 1d = 
−4
3
b = 1
3
Organizando a matriz inversa:
− =
−
1
1
0
3A
4
1
3
DICA:
Nas questões de concursos públicos, temos a frequência 
de questões de ordem 2, devido à complexibilidade, logo 
vamos agilizar a resolução da seguinte forma:
Passos a serem seguidos:
1º passo: calcular o determinante da matriz A:
A=
4 1
3 0
= (4x0) – (3x1) = -3
det A = -3
2º passo: trocar os elementos da diagonal principal.
4 1
=
0 1
3 0 3 4
3º passo: trocar os sinais dos elementos da diagonal 
secundária .
−
−
0 1
3 4
4º passo: dividir os elementos pelo determinante de A.
− −
−
− −= → =
− −
− −
1 1
0 1 1
0
3 3 3A A
3 4 4
1
3 3 3
14 .2 . DETERMINANTES14 .2 . DETERMINANTES
O determinante de uma matriz é um número que é calculado a partir dos elementos da 
própria matriz. Para calcular o determinante de uma matriz, a própria deve ser quadrada.
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Nas questões de concursos públicos, é notável a presença de matrizes de ordem 2 e 
ordem 3, quando se torna necessário realizar os cálculos, porém quando as matrizes são 
de ordem a ≥ 3, percebe-se a aplicação das propriedades que iremos estudar em seguida.
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
Uma matriz é representada com os seus elementos dentro de colchetes, enquanto no 
determinante de uma matriz os elementos são colocados entre barras verticais:
Exemplo:
= 11 12
21 22
a
X
a
a a
= 11 12
21 22
a a
a
d X
a
et
CALCULANDO O DETERMINANTE DE MATRIZES
I – Determinante de Matriz de Primeira Ordem
Dada uma matriz deprimeira ordem, em que possui apenas um elemento, b11 = [b11, o 
seu determinante é dado por det(b) = |b11| = b11. Isto é, será o próprio elemento.
Exemplo: X11 = [2], det (X) = |2| = 2
II – Determinante de Matriz de Segunda Ordem
Para se calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, deve-se multiplicar os 
elementos da diagonal principal e subtrair pelo produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo: dada a matriz B(bij)2x2 =  
 
 
3 4
5 6
Det B = = (3x6) – (4x5) = 18 – 20 = –2
Det B = 
3 4
5 6
 = (3x6) – (4x5) = 18 – 20 = –2
logo, det B = –2
Diagonal
secundária
Diagonal
principal
III – Determinante de Matriz de terceira ordem:
Para calcularmos o determinante de Matrizes de ordem 3, iremos utilizar uma regra 
prática e fácil, que é a Regra de Sarrus:
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Dada a matriz X = 
 
 
 
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
x x x
x x x
x x x
O determinante é 
 
 
 
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
x x x
x x x
x x x
 e será dado da seguinte forma:
Copia-se novamente a matriz e repete as duas primeiras colunas da Matriz ao lado da 
terceira coluna:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Iremos multiplicar os elementos na direção da seta e soma os produtos:
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

11 22 33 12 23 31 13 21 32x x x x x x x x x
A
[( ) ) ( )] (
Iremos subtrair da soma dos produtos dos elementos indicados nas setas abaixo:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
x x x x x
x x x x x
x x x x x
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

13 21 31 11 23 32 12 21 33x x x x x x x x x
B
[( ) ) ( )] (
Realizando a subtração teremos A-B.
14 .2 .1 . PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Em questões de concursos, quando requerem o determinante de uma matriz, teremos 
a aplicação de uma das propriedades abaixo; logo é importantíssimo guardá-las, uma vez 
que não há cálculos.
Propriedade 1: se todos os elementos de uma fileira (linha ou coluna) de uma matriz 
forem todos iguais a zero, o determinante da matriz é nulo.
det (A) = 
1 2 3
0 0 0
7 8 9
 = 0 det A = 0
det (B) = 
−
1 0 4
2 0 3
7 0 1
 = 0 det B = 0
Propriedade 2: se duas fileiras (linha ou coluna) de uma matriz são iguais, o seu 
determinante será igual a zero.
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det (X) = 
−
−
1 3 1
7 0 4
1 3 1
 = 0
det (Y) = 
− −
7 4 7
8 0 8
1 2 1
 = 0
Propriedade 3: se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares 
dos elementos correspondentes de filas paralelas então seu determinante é igual a zero.
det (A) = 
− − −
3 0 3
6 11 28
2 1 4
 = 0
C
3 = C1 + 2C2 (os elementos da terceira coluna são iguais à soma dos elementos da 
primeira coluna com o dobro dos elementos da segunda coluna).
Propriedade 4: se duas filas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante 
é igual a zero.
det (A) = 
3 4 6
2 3 4
1 2 2
− − = 0
C3 = 2. C1 (os elementos da terceira coluna é igual ao dobro dos elementos da 
primeira coluna).
det (B) = 
2 3 4
1 0 7
4 6 8
− = 0
L3 = 2. L1 (os elementos da terceira linha é o dobro dos elementos da primeira linha).
Propriedade 5: o determinante de uma matriz e o determinante da sua transposta 
são iguais.
det A = det At
Dada a matriz A = 
 
 − 
  
1 2 3
4 1 1
3 0 2
O det A = 
−
1 4 3
2 1 0
3 1 2
 = 0, det At = 
−
1 4 3
2 1 0
3 1 2
 = 0
Propriedade 6: se multiplicarmos por um número real todos os elementos de uma fila 
em uma matriz, o determinante também fica multiplicado por esse número.
Dada a matriz X = 
 
 
 
  
7 8 9
3 4 1
2 1 0
, multiplicando todos os elementos da primeira linha por 2, 
temos: L1 = 2. L1
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Y = 
 
 
 
  
14 16 18
3 4 1
2 1 0
, calculando o det y:
14 16 18 14 16
3 4 1 3 4
2 1 0 2 1
(0 + 32 + 54) – (144 + 14 + 0)
− = −86 158 72
det X = 
7 8 9 7 8
3 4 1 3 4
2 1 0 2 1
(0 + 16 + 27) – (72 + 7 + 0) =
73 – 79 = –36
Logo, podemos concluir que:
dey = 2.det X
Propriedade 7: quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante 
da matriz muda de sinal.
Dada a matriz X = 
 
 
 
 − 
1 2 3
5 0 1
1 4 2
Seja a matriz Y = 
− 
 
 
  
1 4 2
5 0 1
1 2 3
det X = 
− −
1 2 3 1 2
5 0 1 5 0
1 4 2 1 4
(0 + (-2) + 60) – (0 + 4 + 20) =
− =58 24 34
det Y = 
− −
−
1 4 2 1 4
5 0 1 5 0
1 2 3 1 2
(0 + 4 + 20) – (0 - 4 + 60) =
− −
−
1 4 2 1 4
5 0 1 5 0
1 2 3 1 2
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Logo, temos que = −det X det Y .
Propriedade 8: quando todos os elementos que estão abaixo ou acima da diagonal principal 
são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
det C = 
 
 − 
  
3 9 4
0 1 7
0 0 4
 = 3.(–1).4 = –12
Propriedade 9: Teorema de Binet
Para matrizes X e Y quadradas de mesma ordem m, temos que:
det (X.Y) = det X. det Y
X = 
 
 
 
3 4
8 1
 Y = 
 
 
 
0 3
1 2
X – Y = 
   
⋅ =   
   
3 4 0 3
8 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + 
 + + 
3.0 4.1 3.3 4.2
8.0 1.1 8.3 1.2
                  
                 
det 
4 17
1 26
 = (4 x 26) – 1 x 14)
− =104 17 87
 
 
 
=X
3 4
8 1 
 
=  
 
0 3
Y
1 2
= − = −det x 3 32 29 = − = −det y 0 3 3
det X. det Y
− ⋅ − = +29 3 87
Propriedade 10: Teorema de Jacobi
O determinante de uma matriz não se altera quando somamos os elementos de uma 
fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Seja X = 
 
 
 
 − 
1 2 3
5 0 1
1 4 2
det X = =
−
1 2 3
5 0 1 34
1 4 2
Substituindo a 1 coluna de x pela soma dela mesma com o dobro da 2 coluna, temos uma 
matriz Y:
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y11 = y11 + 2. x12 = 1 + 2. 2 = 5
y21 = y21 + 2. x22 = 1 + 2. 0 = 5
y31 = y31 + 2. x23 = 1 + 2. 4 = 7
 
 
 
 
=

5 2 3
5 0 1
7 4 2
Y
=
5 2 3 5 2
5 0 1det
4 2
Y 5 0
7 7 4
(0 + 14 + 60) – (0 + 20 + 20)
− =74 40 34
Logo, podemos concluir que − =74 40 34 .
Propriedade 11: seja K um mínimo real qualquer, então, temos que det (K.B) = kn. det 
(B), onden é a ordem da matriz quadrada B.
Seja B = 
− 
 
 
1 4
3 2
, calculando o det (B);
det 
Sendo n = 2, tomando K = 3, temos a matriz C = 3B
C = (K.B) = 3.B = 
− 
 
 
3 12
9 6
det 3B = 126 , pela propriedade, temos:
kn. det (B)
32. 14 = 9 x 14 = 126
15 . SISTEMA LINEARES15 . SISTEMA LINEARES
Quanto a sistemas lineares, neste módulo, iremos nos atentar apenas para a sua 
análise, ok?
A análise de um sistema de equações lineares consiste em determinar se ele é possível 
ou impossível, e caso seja possível, verificar se é determinado ou indeterminado.
Vamos utilizar a representação matricial do sistema para realizar sua análise (matriz 
incompleta ou matriz de variáveis).
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Seja o sistema:
Neste sistema, temos m equações e n variáveis. Além disso, p e q são as características 
das matrizes incompleta e completa, respectivamente.
Vamos aplicar o Teorema de Rouché-Capelli.
O sistema será possível se, e somente se p=q.
• p ≠ q ↔ sistema impossível ( não admite solução);
• p = q = n ↔ sistema possível e determinado ( solução única);
• p = q < n ↔ sistema possível e indeterminado ( infinitas soluções).
 Obs.: Para que possamos aplicar o Teorema de Rouché-Capelli é necessário aprendermos 
outro Teorema denominado de Kronecker, em que determina a característica de 
uma matriz.
Como já dito, para discutirmos um sistema podemos usar o Teorema Rouché-Capelli, 
que utiliza o conceito de característica de uma matriz que será chamado de determinante 
de ordem p.
Conceito: Uma matriz M não nula é caracterizada pela máxima ordem dos determinantes 
não todos nulos que podem ser retirados de M. Ou seja, a característica de M é o número 
natural p ≥1 somente quando:
a) pelo menos um determinante for de ordem p diferente de zero.
b) todos os determinantes de ordem maior do que p forem nulos.
Vamos realizar uma aplicação para encontrarmos a característica da matriz:
Como encontrar a característica?
É necessário atribuir valores a p (a partir de 1) e, para cada um desses valores, devemos 
encontrar pelo menos um determinante de ordem p diferente de zero.
Vamos lá então:
Para p=1:
Basta tomar uma submatriz de A com um elemento não nulo para termos det. (1) ≠0. 
Para tal pegamos o elemento a11=1, logo p ≥ 1.
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Para p=2:
Agora utilizando a submatriz de segunda ordem S2 = , vemos que det.(2) ≠ 0. 
Portanto p≥2.
Para p=3:
Usando uma submatriz de terceira ordem S3= , onde det.(3) = -5, vemos que 
det.(3) ≠ 0. Portanto, p≥ 3.
Concluindo, temos que todos os menores de quarta ordem não diferentes de zero, 
podemos inferir que a característica da matriz A é p=3.
Agora sim! Após vermos os dois Teoremas, podemos discutir um sistema:
O sistema será possível se, e somente se p=q.
• p ≠ q ↔ sistema impossível (não admite solução);
• p = q = n ↔ sistema possível e determinado (solução única);
• p = q < n ↔ sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).
Exemplos
01. Discuta o sistema abaixo:
2x – y = 5 
Seja o sistema x + y = 7
Comentário:
Sendo a característica da matriz completa q=2, uma vez que existe det (2) ≠ 0 e não existe 
det (3).
Sua característica também é p=2.
Pelo Teorema de Rouché-Capelli, podemos inferir que o sistema é possível e determinado, 
pois p=q =n, em que n é a quantidade de variáveis.
02. Discuta o sistema abaixo:
x + y = 1
2x –y = 1
3x + 2y = 5
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Comentário:
O det (3) ≠ 0, logo q = 3
O det (2) ≠ 0, logo p=2
Pelo Teorema de Rouché-Capelli, se p ≠ q ↔ sistema impossível (não admite solução).
03. Um sistema de equações é chamado “possível” ou “ compatível”, quando admite, 
pelo menos, uma solução; é chamado de “determinado”, quando a solução for única, e de 
“indeterminado”, quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas 
equações X-Y = 2 e 2X +WY= Z, pode-se afirmar que S e W = -2 e Z=4, então o sistema é:
a) Impossível e determinado
b) Impossível ou determinado
c) Impossível e indeterminado
d) Possível e determinado
e) Possível e indeterminado
Comentário:
Seja o sistema: 
X – Y = 2 
2X + WY = Z 
Substituindo W = -2 e Z = 4, teremos:
Seja o sistema: 
X – Y = 2 
2X -2 Y = 4 ( simplificando) 
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Seja o sistema: 
X – Y = 2 
X - Y = 2 ( simplificando) 
 Obs.: Observação importante: Temos um sistema com uma equação e duas variáveis.
{X – Y = 2 
Quando o número de equações é menor do que o número de variáveis teremos um sistema 
possível e indeterminado.
04. Dado o sistema de equações:
Em que a e b são incógnitas, é correto afirmar que:
a) Se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) Se m= 0, o sistema é impossível.
c) Se m=6, o sistema é indeterminado.
d) Se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema
e) Se m≠ 0 e m≠ 6, o sistema é possível e determinado
Comentário:
Podemos também analisar um sistema de equações por determinantes (REGRA DE CRAMER), 
ainda mais se não conhecemos os coeficientes, e as matrizes formadas pelos coeficientes 
são quadradas de segunda ou terceira ordem. Como?
Vamos construir três matrizes e calcular os seus determinantes, e com os valores dos 
determinantes, podemos realizar as inferências, vejamos:
Primeira Matriz: (será construída com os coeficientes das incógnitas que estão no primeiro 
membro), ou seja, antes da igualdade.
Definindo as matrizes:
Det M = 
Segunda Matriz:
Det x = 
Terceira Matriz:
Det y = 
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Com os resultados dos determinantes, podemos agora discutir o sistema:
1. SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD):
Se o det M ≠0, então já é suficiente para inferir que o sistema é possível e determinado.
2. SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI):
Se det M = Det x = Det y = 0, então o sistema será possível e indeterminado.
3. SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI):
Se Det M = 0 e, Det x ou Det y ≠0, então o sistema será impossível.
Calcularemos o determinante:
Det M = = m2 – 6m
Segunda Matriz:
Det x = = - 12m
Terceira Matriz:
Det y = = 4m
Vamos analisar o primeiro caso (SPD) e verificar se existeopção:
Se o det M ≠0, ou seja:
m2 – 6m ≠ 0 ( resolvendo a equação do 2 grau), temos que m ≠ 0 e m≠ 6
Dessa forma, já é suficiente para inferir que o sistema é possível e determinado, caso m ≠ 0 
e m≠ 6.
16. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS – CAPITALIZAÇÃO E 16. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS – CAPITALIZAÇÃO E 
DESCONTODESCONTO
Antes de começarmos, vejamos uma questão para que você venha a entender como é 
importante a matemática financeira para o nosso dia a dia:
Exemplo
Imagine que você chega a um Shopping para comprar a televisão dos seus sonhos e ao entrar 
em uma loja verifica que o televisor é vendido conforme as seguintes opções:
I – R$ 5 000,00, à vista sem desconto.
II – R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um) mês após a 
data da compra.
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Suponhamos que você decide comprá-la, e na hora de efetuar o pagamento, a opção escolhida 
foi a segunda. A pergunta é a seguinte: A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento 
da segunda opção é de:
a) 30% b) 25% c) 20% d) 15% e) 12,5%
Comentário:
Sobre o saldo devedor estamos pagando 500,00 de juros, logo:
4.000 _________ 100%
500 _________ x
DICA
Então fica a dica, ou seja, sempre pagamos juros sobre o 
saldo devedor e quando o período da operação é apenas 
uma unidade de tempo, podemos responder por uma regra 
de três simples. Ok? Valeu!
16 .1 . JUROS SIMPLES16 .1 . JUROS SIMPLES
Primeiramente vamos iniciar com alguns conceitos básicos, ou seja, os parâmetros 
necessários para que possamos interpretar os processos financeiros que serão utilizados:
1. Juro: é a remuneração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso 
do capital aplicado, ou por uma atividade produtiva, durante um certo tempo e à uma 
determinada taxa. Esse intervalo de tempo utilizado na aplicação do capital à uma referida 
taxa, é denominado período financeiro ou período de capitalização.
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2. Tempo: Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se refere 
à uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia etc.
3. Taxa: A taxa de juros mensura o custo da unidade de capital, no período (tempo) a 
que se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais conforme a lei da oferta e procura, 
observando o regime utilizado, isto é, simples ou composto. É a razão entre os juros pagos 
ou recebidos e o capital aplicado, num determinado intervalo de tempo.
Os juros são classificados em simples e compostos, dependendo do processo de cálculo 
utilizado. Juros simples são aqueles calculados somente sobre o capital inicial. É importante 
observar que no regime simples de capitalização, o nosso referencial é o capital, em o que 
o juro é calculado apenas uma vez e adicionado aos montantes, o que nos faz lembrar de 
uma progressão aritmética crescente.
Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também 
chamado de principal ou ainda, valor presente) é diretamente proporcional ao seu valor 
(capital) e ao tempo de aplicação.
As relações entre as grandezas utilizadas são diretamente proporcionais, isto é, quanto 
maior o capital, maior o juro e quanto maior a taxa, também, maior o juro e por fim, quanto 
maior o tempo de aplicação, maior o juro.
O fator de proporcionalidade é a taxa de juros, sendo que varia linearmente ao longo 
do tempo (1% ao dia é igual a 30% ao mês, que é igual a 360% ao ano, etc.). É importante 
ressaltar que o juro simples obedece uma função o 1º grau. 
Podemos observar que a reta representa a capitalização simples, ou seja, o crescimento 
é linear, a cada período é adicionado o mesmo valor ( juro).
Vamos descrever as grandezas utilizadas nos juros simples:
C: Capital (aplicação)
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t: tempo, o número de períodos em que esteve aplicado o capital ou valor presente 
(como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo comercial para os cálculos, ou seja, 
30 dias no mês e 360 dias no ano).
i: taxa
J: juros (rendimento)
M: montante → C + J
Vamos aprender como as grandezas se relacionam, ok?
Quais as fórmulas que temos que guardar?
J = C. i. t
M = C + J
M = C + C. i. t
M = C (1 + i.t)
Exemplos:
1. Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 400,00 que foi quitada em dois 
trimestres, depois de contraída.
Qual a taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança 
de juros de R$ 150,00?
No juro simples, o juro não é capitalizado, dessa forma, calculamos o juro uma só vez e vamos 
adicionando aos montantes anteriores. Podemos aplicar tranquilamente uma regra de três 
simples para encontrar as grandezas, partindo do pressuposto que o capital será sempre 100%.
Para ficar mais claro ainda, iremos resolver de duas formas.
(Forma algébrica). Pela fórmula:
De maneira algébrica, pela fórmula dos juros simples (J = C. i. t) para encontrar a taxa de 
juros, temos:
J = C. i. t, isolando a taxa (i).
i = J/ C. t
i = 150/400 x 6
i = 150/2400
i = 0,0625 ( x100)
i= 6,25%
(Forma prática). Por regra de Três:
Um trimestre corresponde a 3 meses, logo em 2 semestres, teremos 6 meses.
Juros mensal: 150 / 6 meses = 25,00 por mês (taxa linear mensal)
Regra de três, em que o capital sempre vale 100%.
400,00 ---------- 100 %
25,00 ----------- X
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400,00 X = 25,00. 100
X = 25,00.100 / 400,00
X = 6,25%
2. Caso certa dívida não seja paga na data do seu vencimento, sobre ela haverá a incidência 
de juros de 12% a.m. Se essa dívida for quitada com menos de um mês de atraso, o regime 
utilizado será o de juros simples.
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no 
vencimento, para quitá-la com 8 dias de atraso, quanto será preciso desembolsar?
Vamos determinar as grandezas:
C: 3000,00
i: 12% a. m
t: 8 dias
Obs.: é importante que a taxa e o tempo sejam correspondentes, ou seja, a taxa tem que 
estar de acordo com a capitalização. Dessa forma, podemos transformar a taxa ao mês para 
uma taxa ao dia.
Como fazer?
No regime simples, quando mudamos a capitalização, estamos trabalhando com taxas 
proporcionais. Duas taxas são proporcionais por meio das operações matemáticas:
a) Multiplicação: quando queremos aumentar o tempo de capitalização;
b) Divisão: quando queremos diminuir o tempo de capitalização.
Na questão em lide, 12% a. m é proporcional a 12/ 30 = 0,4% a.d.
i: 12% a. m = 0,04% a.d, não esquecer quepara retirar o símbolo de porcentagem, temos que 
dividir por 100. Dessa forma: 0,04% = 0,004 a.d.
ESQUEMA PARA TAXAS PROPORCIONAIS
Pela fórmula, temos:
J = C. i. t
J = 3.000. 0,004. 8
J = 3000.0,032
J = 96
M = C + J
M = 3.000 + 96
M = 3.096
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3. Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível 
resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um 
período mínimo de quanto tempo?
Pela Fórmula do Montante Simples, temos:
Vamos ver mais exemplos:
1. Marcela pagou uma conta vencida com 5% de juros. O valor pago por Marcela foi de R$ 
420,00.
Se Marcela tivesse pagado a conta até o vencimento, quanto ela teria economizado?
Comentário:
Essa questão iremos aplicar regra de três, ok? Porém se você quiser resolver de maneira 
algébrica, fórmula, fique à vontade.
420 ----- 105%
C.(capital) ----------- 100%
105. C=42000
C=400,00
420,00 -400,00 = 20,00.
2. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 12.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao 
mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 9.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao 
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mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for 
igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, qual o total dos juros 
correspondente à aplicação da primeira pessoa?
Pessoa P1: Pessoa P2:
C1=12000 C2=9000
i1=2% i2=4%
t1=t1 t2=(t1-2( meses)): tempo é 2 meses menor do que a aplicação da P1
Aplicando a fórmula do montante, temos:
M1=C1(1+i1.t1) M2=C2(1+i2.t2)
Momento em que os montantes forem iguais M1=M2
M1= M2
C1(1+i1.t1) = C2(1+i2.t2)
Substituindo os valores:
12000(1+0, 02.t1) = 9000[1+0,04(t1-2) ]
12000 + 240 t1 = 9000 + 360. (t1 – 2)
12000 + 240 t1 = 9000 + 360 t1 - 720
240 t1 - 360 t1 = 9000 – 720- 12000
- 120 t1 = -3720
t1 = 31 meses.
16 .2 . JUROS COMPOSTOS16 .2 . JUROS COMPOSTOS
De uma maneira bem simples para começarmos, a diferença entre o regime de juros 
simples e o de juros compostos, pode ser mais facilmente demonstrada por meio de um 
exemplo, vejamos:
Seja um capital de 1.000,00 aplicado à taxa de 20% ao ano, por um período de 4 anos:
A juros simples e compostos, temos:
C = 1.000,00
i = 20% a. a.
t = 4 anos
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No caso dos juros simples, a formação é linear.
No caso dos juros compostos, a formação é exponencial ( juros sobre juros).
No primeiro período de tempo podemos observar tanto nos juros simples quanto nos 
juros compostos, que o montante é o mesmo. É notável no gráfico acima, em que t=1, os 
montantes nos dois regimes são de R$ 1200,00.
Vejamos a fórmula dos juros compostos:
M = C (1 +i)t
M: montante;
C: capital;
i: taxa;
t: tempo.
Vejamos uma aplicação:
Exemplo:
Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, 
apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital 
tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então 
qual será o montante no final deste prazo?
A questão trata do regime simples e composto de capitalização.
Primeiramente, vamos calcular o capital, segundo o regime simples de capitalização.
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17 . ANÁLISE COMBINATÓRIA17 . ANÁLISE COMBINATÓRIA
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; porém, 
quando aumentam o número de elementos dados e o número de elementos em cada 
agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois realizar sua contagem, torna-
se difícil e, muitas vezes, impreciso. Por isso, partindo do concreto, tentar-se-á chegar à 
compreensão de como determinar exatamente quantos são os agrupamentos que se quer 
realizar e quais são eles.
Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agilidade para 
resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise Combinatória, 
com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios básicos: o princípio Aditivo e o 
princípio Multiplicativo.
Arranjos, Permutações ou Combinações são os três tipos principais de agrupamentos, 
podendo ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de 
tais agrupamentos.
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17 .1 . PRINCÍPIOS DE CONTAGEM17 .1 . PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
Os princípios de contagem, na matemática, incluem:
I – PRINCÍPIO DA SOMA: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2, de N2 
maneiras distintas,..., EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem 
ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em
N
1 + N2 +... + Nk maneiras distintas.
II – PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO: considere que E
1, E2,..., Ek são eventos que ocorrem 
sucessivamente; se o evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer 
de N2 maneiras distintas,..., o evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então todos 
esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, em N
1 × N2 ×... × Nk maneiras distintas.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.
III – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: resolveremos algumas questões neste momento para 
que você possa entender o Princípio Multiplicativo.
Exemplo 1: uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1, B2 e B3), 2 sapatos (S1 e S2) e 
2 calças (C
1 e C2). Logo ao chegar em casa, ele se pergunta: “De quantas maneiras distintas 
eu posso me arrumar com as compras realizadas?”.
No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arrumar. O 
raciocínio utilizado é o seguinte:
Quantas possibilidades têm-se para blusas? Nesta situação temos 3.
Quantas possibilidades têm-se para sapatos? Nesta situação temos 2.
Quantas possibilidades têm-se para calças? Nesta situação temos 2.
Logo, podemos concluir que: pelo Princípio Multiplicativo, temos de multiplicar as 
POSSIBILIDADES.
 3 × 2 × 2 = 12 (maneiras distintas) 
Possibilidades Possibilidades Possibilidades
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O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra “Possibilidades”, 
pois ela trará o raciocínio correto.
Nas questões que envolvem a formação de senhas, códigos, números, protocolos etc., 
temos uma observação importante referente à interpretação correta de uma questão.
Exemplo:
1. Com os números (algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7}, quantos códigos (senhas) distintos de 3 dígitos 
podem ser formados?
2. Com os números (algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7 }, quantos códigos (senhas) de 3 dígitos distintos 
podem ser formados?
Qual a diferença entre os dois exemplos?
À primeira vista parecem equivalentes, ainda mais durante a realização de uma prova, em que 
o candidato, às vezes, fica imperceptível a tais detalhes. Vamos interpretar tais situações.
1. Quando a questão solicita que as senhas sejam distintas, precisamos interpretar senhas 
distintas e não dígitos distintos, uma vez que mesmo repetindo dígitos, os códigos (senhas) 
permanecerão distintos. Ex.: os códigos 224 e 222 repetem dígitos entre si, porém permanecem 
códigos (senhas) distintos. Assim, a resolução da questão será:
5×5×5 = 125 (códigos distintos de 3 dígitos).
Mesmo com a repetição de algarismos os códigos permanecem distintos.
2. Quando a questão solicita que as senhas sejam formadas com dígitos distintos, devemos 
interpretar que, além de senhas distintas, teremos dígitos distintos, uma vez que os códigos 
(senhas) permanecerão distintos. Ex.: os códigos 243 e 257 não repetem dígitos entre si, além 
de possuírem códigos (senhas) distintos. Assim, a resolução da questão será:
5×4×3 = 60 (códigos distintos de 3 dígitos).
Sem a repetição de algarismos e os códigos são também distintos.
17 .2 . PERMUTAÇÕES17 .2 . PERMUTAÇÕES
Quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam 
distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: são agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Fórmula: P(n) = n!.
Em que: n = número de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: P(5) = 5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Exemplo: seja C = {A, B, C} e n = 3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 
agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo, mas 
podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
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17 .2 .1 . PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Dentre os m elementos do conjunto C = {x1, x2, x3,..., xn}, faremos a suposição que 
existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3,..., mn iguais a xn, de modo que 
m1+m2+m3+...+mn= m.
Fórmula
Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3)... C(mn,mn)
ANAGRAMA:
É a palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo:
Pr(6)=C(6,4). C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
APLICANDO:
Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT? A letra A ocorre 3 
vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 
3 elementos do conjunto C={A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que 
contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. 
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA,
AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA,
ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR}
Vimos que na permutação com repetição, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS E 
NÃO DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos elementos, em que a ordem 
irá influenciar parcialmente (algumas vezes, isto é, quando não for os elementos repetidos).
Agora é importante ressaltar que alguns elementos são idênticos, o que não trará um 
novo agrupamento. Logo, devemos perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos 
retirar aqueles que se repetem.
“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”
17 .2 .2 . PERMUTAÇÃO CIRCULAR
A permutação circular é uma situação que ocorre quando temos grupos com n elementos 
distintos formando uma circunferência de círculo.
FÓRMULA:
Pc(n)=(n-1)!.
Em que: (n-1) = número total de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: P(5)= 4!= 24
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Exemplo: seja um conjunto com 4 pessoas K={A, B, C, D}. De quantos modos distintos estas 
pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o 
jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 
24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, 
CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}
Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que:
ABCD = BCDA = CDAB = DABC
ABDC = BDCA = DCAB = CABD
ACBD = CBDA = BDAC = DACB
ACDB = CDBA = DBAC = BACD
ADBC = DBCA = BCAD = CADB
ADCB = DCBA = CBAD = BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}
17 .3 . ARRANJOS17 .3 . ARRANJOS
São agrupamentos formados com p elementos (p < n) de forma que os p elementos 
sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou 
com repetições.
ARRANJO SIMPLES: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p 
elementos.
Fórmula:
Em que n= número total de elementos e p= número de elementos a serem arranjados.
Cálculo para exemplo:
Exemplo: seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 
2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento, mas que podem 
aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}
No Arranjo, para formar os agrupamentos, não serão utilizados todos os elementos do conjunto e 
é importante ressaltar que a cada nova ordem dos elementos do agrupamento, será formado um 
novo grupo (arranjo). Sendo assim, a ordem é importante.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS ALTERA A NATUREZA”
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17 .4 . COMBINAÇÕES17 .4 . COMBINAÇÕES
Quando formamos agrupamentos com p elementos (p < m), de forma que os p elementos 
sejam distintos entre si apenas pela espécie.
COMBINAÇÃO SIMPLES: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Fórmula:
Em que m = número total de elementose p = número de elementos a serem combinados.
Cálculo para exemplo:
Exemplo: seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2.
As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem 
ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os 
agrupamentos estão no conjunto:
Cs= {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comissões, 
turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos nos quais a 
ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos um novo agrupamento.
É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez 
que, se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”
18 . PROBABILIDADE18 . PROBABILIDADE
Probabilidade/Chance
“A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar)”.
O conceito de probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um 
número em um experimento aleatório, ou seja, é a chance de ocorrer um evento favorável 
(desejado) em um determinado universo de eventos.
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18 .1 . EVENTO ALEATÓRIO18 .1 . EVENTO ALEATÓRIO
É aquele que quando executado repetidas vezes em iguais condições, fornecem resultados 
diferentes, ou seja, são resultados que estão previstos dentro das possíveis respostas para 
este experimento. Isso ocorre devido ao acaso, pois não podemos ter certeza do resultado 
de cada um desses eventos.
Exemplos:
a) Lançar um dado de seis faces não viciado para cima e observar a face que ficará virada 
para cima.
b) Escolher um aluno dentre 50 em uma sala de aula.
18 .2 . ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO18 .2 . ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que 
representa o espaço amostral pode ser S ou U.
Exemplos:
a) Lançar uma moeda para cima e observar a face que ficará virada para cima após a queda. 
O espaço amostral é {Cara ou Coroa}.
b) De uma urna com 8 bolas vermelhas (v) e 3 bolas brancas (b), retirarmos 2 bolas. O espaço 
amostral é {v, v ou v. b ou b. v ou b, b}.
18 .3 . CONCEITO DE PROBABILIDADE18 .3 . CONCEITO DE PROBABILIDADE
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a 
probabilidade de ocorrer um evento A é:
A probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço amostral) é o número real 
P(A), tal que: (número de casos favoráveis de A/número total de casos).
Obs.: se todos os elementos do Universo têm a mesma chance de acontecer, o espaço amostral 
é chamado de conjunto equiprovável.
Exemplo: em um lançamento de dado (não viciado), a chance de um número par ocorrer é:
Números pares: 2, 4,6, ou seja, 3 números.
Números do dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ou seja, 6 números possíveis:
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Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um 
evento A é sempre:
18 .3 .1 . PROPRIEDADES
Propriedade 1. A probabilidade do evento impossível é nula.
Sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
Exemplo, se em uma urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola 
azul (evento impossível, neste caso) é nula.
Propriedade 2. A probabilidade do evento certo é igual a unidade.
Com efeito,
Exemplo, se em uma urna só existem bolas azuis, a probabilidade de se retirar uma bola azul 
(evento certo, neste caso) é igual a 1.
Propriedade 3. A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no 
intervalo real [0, 1].
P(A) está entre 0 (zero), um evento que não pode acontecer, e 1(um), um evento certo 
de acontecer.
Propriedade 4. A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar 
é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A’. Sabemos que:
) e, portanto,
Dividindo ambos os membros por vem:
Conclui-se: p(A) + p(A’) = 1.
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 Obs.: esta propriedade simples é muito importante, pois facilita a solução de muitos 
problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular 
a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil 
determinar a probabilidade do evento.
Propriedade 5. Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
Observe que, se (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então,
Conforme a Teoria dos Conjuntos, 
18 .4 . PROBABILIDADE COM EVENTOS INDEPENDENTES18 .4 . PROBABILIDADE COM EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de 
ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não ocorrido.
FÓRMULA DA PROBABILIDADE DOS EVENTOS INDEPENDENTES
P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).P(E3)...P(En)
18 .5 . PROBABILIDADE CONDICIONAL18 .5 . PROBABILIDADE CONDICIONAL
A realização de um experimento é condicionada, sendo necessário que já tenha alguma 
informação sobre o evento, isto é, um termo que indica a condição. Nesse caso, o espaço 
amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
FÓRMULA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL
P(E1 e E2 e E3 e...e En-1 e En) é igual a P(E1) ⋅ P(E2/E1) ⋅ P(E3/E1 e E2)... P(En/E1 e E2 e...
En-1).
Temos:
• P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1.
• P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido 
E1 e E2.
• P(Pn/E1 e E2 e...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter 
ocorrido E1 e E2...En-1.
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• Observe que a relação entre os eventos é o “e”, ou seja, P(E1 e
 E
2e E
3e... e E
n-1e E
n).
• O “e”, como visto em análise combinatória, tem a função de multiplicação (X). Sendo 
assim, iremos multiplicar os eventos, da seguinte maneira: “regra do produto” P(E1).P(E2/
E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e...En-1).
18 .6 . PROBABILIDADE DE OCORRER A UNIÃO DE EVENTOS18 .6 . PROBABILIDADE DE OCORRER A UNIÃO DE EVENTOS
FÓRMULA DA PROBABILIDADE DE OCORRER A UNIÃO DE EVENTOS
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 e E2)
Caso exista elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo 
de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2), ou seja, 
devemos retirar a interseção.
Exemplo 1. Um baralho é composto de 52 cartas, distribuídas em quatro naipes: ouros (♦), 
copas (♥), espadas (♠)e paus (♣). De cada naipe, existem treze cartas: A (ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei). Sorteando ao acaso uma carta desse baralho, qual a 
probabilidade de se obter um rei ou uma carta de paus?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere 
os eventos:
R: sair uma carta rei é P(R) = P: sair uma carta paus é P(P) = 
Assim, P(R ou P) =
Note que P(R e P) = , pois uma carta pode ser paus e rei ao mesmo tempo, em que devemos 
subtrair para que não some a mesma carta duas vezes.
P(R∪P) = P(R) + P(P) – P(R∩P).
FÓRMULA DE PROBABILIDADE DE OCORRER A UNIÃO DE EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS
P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En)
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Exemplo 2. Um baralho é composto de 52 cartas, distribuídas em quatro naipes: ouros (♦), 
copas (♥), espadas (♠) e paus (♣). De cada naipe, existem treze cartas: A (ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei). Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 
52 cartas, qual a probabilidade de ser um 9 ou um Valete?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere 
os eventos:
A: sair uma carta 9 é P(A) = 
B: sair uma carta valete é P(B) = 
ser
Assim, P(A ou B) = 0
Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 9 e valete ao mesmo tempo. Quando isso 
ocorre, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
19 . GEOMETRIA ANALÍTICA19 . GEOMETRIA ANALÍTICA
A geometria analítica é a parte da matemática que equaciona a parte da geometria. Ou seja, 
é possível representar pontos, retas, triângulos, círculos por meio de expressões algébricas.
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19 .1 . DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS19 .1 . DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dos pontos quaisquer e B , a distância entre eles será o comprimento 
de segmentos que une eles.
Observe que a imagem forma um triângulo retângulo, sendo assim, usamos a relação 
pitagórica
EXEMPLO
Calcule a distância entre os pontos A(2, 3) e B (0,0)
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19 .2 . PONTO MÉDIO19 .2 . PONTO MÉDIO
O ponto médio é o que divide o segmento em duas partes com a mesma medida.
Sendo o ponto , o ponto médio entre dois pontos, a sua coordenada será 
igual a média aritmética entre as abscissas e as ordenadas:
19 .3 . CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS19 .3 . CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS
Dado três pontos , B e eles estarão alinhados se o determinante 
da seguinte matriz for igual a zero:
EXEMPLO
Verifique se os pontos são colineares:
Vamos calcular o determinante:
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Logo, os pontos A, B e C estão alinhados.
19 .4 . RETAS NO PLANO CARTESIANO19 .4 . RETAS NO PLANO CARTESIANO
As retas no plano cartesiano assumem equações que as diferenciam entre si. A sua 
inclinação é determinada pelo seu coeficiente angular.
19 .4 .1 . COEFICIENTE ANGULAR DA RETA
O coeficiente angular m de uma reta é a tangente de sua inclinação a em relação ao eixo x.
Ou seja,
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Se m > 0 a reta é crescente e se m < 0 a reta será decrescente.
19 .4 .2 . EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Na equação geral da reta temos:
Onde a, b e c são coeficientes reais a e b são não nulos.
A equação reduzida pode ser escrita como:
Onde, , e 
19 .4 .3 . POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
PARALELAS ENTRE SI
Duas retas r e s serão consideradas paralelas se o coeficiente angular das duas forem iguais.
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Sendo assim:
CONCORRENTES ENTRE SI
Duas retas r e s serão consideradas concorrente se o coeficiente angular das duas forem 
diferentes.
Sendo assim:
PERPENDICULARES ENTRE SI
Duas retas r e s serão consideradas perpendiculares quando o produto de seus coeficientes 
angulares for igual a -1.
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Sendo assim:
19 .5 . CIRCUNFERÊNCIA19 .5 . CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o conjunto de todos pontos equidistantes de um ponto que é chamado 
de centro da circunferência.
19 .5 .1 . EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a 
P é o raio dessa circunferência. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, podemos 
chegar a seguinte equação reduzida:
Onde:
R é o raio, a distância entre qualquer ponto de seu arco e o centro C.
a e b são as coordenadas do centro C.
19 .5 .2 . EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
É obtida ao desenvolver os termos elevados ao quadrado da equação reduzida da 
circunferência.
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EXEMPLO
Vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(3, -1) e raio r = 4.
CÔNICAS
As cônicas se referem a curvas obtidas pela secção de um cone circular por vários ângulos 
diferentes. São curvas cônicas a Elipse, a hipérbole e a parábola.
19 .6 . ELIPSE19 .6 . ELIPSE
Em um plano, o conjunto de todos os pontos cuja soma das distâncias a dois pontosfixos internos é constante chamamos essa curva de elipse.
19 .6 .1 . ELEMENTOS DA ELIPSE
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F1 e F2 são os focos da elipse;
2c é distância focal da elipse. É a distância entre F1 e F2;
O ponto O é centro da elipse. É o ponto médio entre F1 e F2;
A1 e A2 são os vértices da elipse;
O segmento eixo maior e igual a 2a.
O segmento eixo menor e igual a 2b.
Excentricidade
onde 0 < e < 1.
19 .6 .2 . EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE
A elipse pode ter o seu eixo maior no eixo x:
Que terá como redação reduzida com centro .:
A elipse pode ter também o seu eixo maior no eixo y:
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Que terá como redação reduzida com centro .:
19 .7 . HIPÉRBOLE19 .7 . HIPÉRBOLE
Hipérbole é um conjunto de pontos em um plano onde a diferença entre dois pontos 
fixos F1 e F2 resulta em um valor constante e positivo.
19 .7 .1 . ELEMENTOS DA HIPÉRBOLE
F1 e F2 são os focos da hipérbole.
2c = é a distância focal.
Centro da hipérbole é o ponto O, médio do segmento F1F2.
A1 e A2 são os vértices.
2a = A1A2 é o eixo real ou transverso.
2b = B1B2 é o eixo imaginário ou conjugado.
é a excentricidade.
19 .7 .2 . EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE
Assim como a elipse, a hipérbole possui duas equações reduzidas:
Com eixo real sobre o eixo x e centro .
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Com eixo real sobre o eixo y e centro ..
19 .8 . PARÁBOLA19 .8 . PARÁBOLA
Podemos definir parábola como o lugar geométrico em que o conjunto de pontos P(x, y) 
estão a mesma distância de um ponto fixo F e de uma reta d.
19 .8 .1 . ELEMENTOS DA PARÁBOLA
F é o foco da parábola;
d é a reta diretriz;
Eixo de simetria é a reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz.
V é vértice da parábola.
p é o segmento de mesmo comprimento entre o foco F e o vértice V e, entre o vértice 
e a diretriz d.
19 .8 .2 . EQUAÇÕES REDUZIDAS DA PARÁBOLA
Com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice .
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Se p>0 concavidade para cima.
Se p<0 concavidade para baixo.
Com eixo de simetria paralelo ao eixo x e vértice .
Se p>0 concavidade para direita.
Se p<0 concavidade para esquerda.
20 . FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS20 . FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para ser uma função trigonométrica, o domínio e o contradomínio devem pertencer 
ao conjunto dos números reais e a lei de formação deve possuir uma razão trigonométrica 
em função de um ângulo x.
As funções trigonométricas estão relacionadas ao ciclo trigonométrico.
Cada número real está associado a um ponto na circunferência
As principais funções são:
• Função seno
• Função cosseno
• Função Tangente
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20 .1 . FUNÇÃO SENO20 .1 . FUNÇÃO SENO
A função seno é uma função periódica com o período igual a 2p. Ela é expressa por:
Sendo x o ângulo em radianos.
DOMÍNIO
Como já vimos o domínio e o contradomínio da função seno pertence aos reais, 
ou seja, 
IMAGEM
A razão trigonométrica seno possui como valor máximo 1 e como valor mínimo -1. Então, 
a imagem da função seno está no intervalo [ -1, 1]: 
Em relação a simetria, a função seno é uma função ímpar, ou seja .
SINAL DA FUNÇÃO SENO:
A função será positiva nos quadrantes I e II no ciclo trigonométrico. E nos quadrantes 
III e IV será negativa.
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EXEMPLO
Dada a função f(x) = 2 + 4sen(x), qual será o conjunto da imagem dessa função?
Vimos que o valor de sen(x) varia entre -1 e 1.
O valor mínimo da função é quando sen(x) = – 1:
O valor máximo da função é quando sen(x) = 1:
Desta forma, a imagem da função está no intervalo [-2, 6].
20 .2 . FUNÇÃO COSSENO20 .2 . FUNÇÃO COSSENO
Chamamos de função cosseno a função de que pode ser expressa por:
Onde x é um ângulo em radianos. O seu período também é igual a 2p.
DOMÍNIO
Como já vimos o domínio e o contradomínio da função cosseno pertence aos reais, 
ou seja, 
IMAGEM
A razão trigonométrica seno possui como valor máximo 1 e como valor mínimo -1. Então, 
a imagem da função cosseno está no intervalo [ -1, 1]: 
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Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
SINAL DA FUNÇÃO SENO:
A função será positiva nos quadrantes I e IV no ciclo trigonométrico. E nos quadrantes 
II e III será negativa.
EXEMPLO
Dada a função , qual será o conjunto da imagem dessa função?
Vimos que o valor de cos(x) varia entre -1 e 1.
O valor mínimo da função é quando cos(x) = – 1:
O valor máximo da função é quando cos(x) = 1:
Desta forma, a imagem da função está no intervalo [-3, 5].
20 .3 . FUNÇÃO TANGENTE20 .3 . FUNÇÃO TANGENTE
A função tangente é um pouco diferente das anteriores. É uma função periódica com 
o período igual a p.
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A função tangente é expressa por:
Onde x é um ângulo em radianos.
DOMÍNIO
O domínio da função tangente é:
Assim, não definimos , se 
IMAGEM
A imagem de uma função tangente está no conjunto dos números reais, ou seja, Im = IR.
Em relação à simetria,a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x).
SINAL DA FUNÇÃO SENO:
A função será positiva nos quadrantes I e III no ciclo trigonométrico. E nos quadrantes 
II e IV será negativa.
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20 .4 . EQUAÇ20 .4 . EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICASÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para que exista qualquer tipo de equação é necessário que exista pelo menos uma 
incógnita e um sinal de igualdade.
Para ser uma equação trigonométrica, além dessas características gerais é necessário 
que a incógnita seja uma função trigonométrica.
EXEMPLO
Vamos resolver alguns exemplos para aprendermos como responder uma equação:
1. Resolva a equação , para n voltas e para o intervalo .
Primeiro devemos procurar um ângulo conhecido em que o seno é igual a 1, ou seja .
Com isso igualamos a variável a esse ângulo:
Uma volta completa no ciclo trigonométrica é igual a 2p, como são n voltas, 
multiplicamos por n:
Logo, o conjunto solução é igual a .
Vamos ver mais um exemplo:
Resolva a equação 
O primeiro passo é descobrir em qual quadrante está o ângulo , para isso convertemos 
de radiano para graus:
Sabemos que o ângulo de 35º está no primeiro quadrante, e que no primeiro quadrante 
tanto o seno, como o cosseno possuem sinais positivos, então não precisamos trocar o sinal.
Para n voltas no ciclo trigonométrico temos:
Logo, o conjunto solução é igual a 
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21 . POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO21 . POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
21 .1 . POTENCIAÇÃO21 .1 . POTENCIAÇÃO
A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que consiste na multiplicação 
de fatores iguais, ou seja, quando o número está sendo multiplicado por ele mesmo quantas 
vezes o expoente indicar.
EXEMPLO
21 .1 .1 . PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
• PRODUTO DE MESMA BASE
Quando existir uma multiplicação de potências com a mesma base, conserva-se a base 
e soma os expoentes.
EXEMPLO
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• QUOCIENTE DE MESMA BASE
Na divisão de potências de bases iguais, conserva-se a base e subtrai os expoentes.
EXEMPLO
• POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA
Quando houver uma potência em que a base é dada por outra potência, mantém a base 
e multiplica-se os expoentes.
EXEMPLO
• POTÊNCIA DE UM PRODUTO.
Em uma potência de uma multiplicação, eleva-se os fatores ao mesmo expoente.
EXEMPLO
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• POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE
Na potência de uma divisão, eleva-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente.
EXEMPLO
21 .1 .2 . CASOS ESPECIAIS
i. Quando a base da potência é igual a 1 o resultado sempre será 1, independente 
do expoente.
EXEMPLO
ii. Quando a base da potência for igual a zero, o resultado sempre será zero, 
independentemente do expoente.
EXEMPLO
iii. Quando o expoente for igual a 1, o resultado sempre será o mesmo número da base.
EXEMPLO
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iv. Quando o expoente for igual a zero, o resultado sempre será igual a 1.
EXEMPLO
21 .2 . RADICIAÇÃO21 .2 . RADICIAÇÃO
É a operação inversa da potenciação, logo todas as propriedades da radiciação são 
derivadas da potenciação.
A radiciação é a operação que busca encontrar o número que multiplicado por ele mesmo 
resulta no número do radicando.
EXEMPLO
 Obs.: Quando o índice não aparece, subentende-se que ele será igual a 2.
EXEMPLO
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21 .2 .1 . PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
Como já mencionado anteriormente, as propriedades da radiciação são bem parecidas 
com as propriedades da potenciação, pois ambas são operações inversas.
• Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice.
Sempre que o índice for igual ao expoente da do radicando, o resultado será a própria base.
EXEMPLO
• Potência de expoente radical
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, toda radiciação pode ser escrita 
na forma de potência.
Observe que o índice da raiz passa a ser o denominador e o expoente passa a ser o 
numerador.
EXEMPLO
• Produto de raízes de índices iguais
O produto entre duas raízes com o mesmo índice será igual a raiz de mesmo índice do 
produto dos radicandos.
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EXEMPLO
• Quociente de raízes de índices iguais
Assim como a propriedade anterior, na divisão de raízes com índices iguais o quociente 
será igual ao da divisão dos radicandos.
EXEMPLO
• Potência de uma raiz
A raiz n-ésima elevada a um expoente m é igual à n-ésima raiz do radicando elevado 
ao expoente.
EXEMPLO
• Raiz de outra raiz
Em casos em que aparecer uma raiz de outra raiz, mantém o radicando e multiplica-se 
os índices das raízes.
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EXEMPLO
• Simplificação de raízes
Se multiplicarmos o expoente do radicando e o índice do radicando por um mesmo valor 
p (diferente de zero), a radiciação será mantida a mesma.
EXEMPLO
22 . BINÔMIO DE NEWTON22 . BINÔMIO DE NEWTON
O binômio de Newton é o estudo para calcular qualquer potência de um polinômio 
elevado a um número natural.
O nome do binômio é dado em homenagema Isacc Newton que percebeu que as 
potências do tipo possuem uma regularidade, tornando possível a criação de um 
método para facilitar o desenvolvimento dos cálculos.
Newton percebeu a relação entre os coeficientes e a combinação, que foi possível chegar 
na seguinte fórmula:
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É importante ressaltar que é o cálculo da combinação, que é calculado por:
É necessário resolver cada combinação para encontrar os coeficientes do polinômio.
EXEMPLO
Calcule 
Então, temos
Logo, teremos:
22 .1 . SOMA DOS COEFICIENTES22 .1 . SOMA DOS COEFICIENTES
Outra propriedade importante que conseguimos observar é que a soma dos coeficientes 
é igual ao resultado de uma potência de base 2.
Observe:
Coeficiente 1 que é o mesmo que 20
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Coeficientes 1 +1 =2 que é o mesmo que 21 = 2
Coeficientes 1 +2+1= 4 que é o mesmo que 22 = 4
Coeficientes 1 + 3 + 3 + 1 = 8 que é o mesmo que 23 = 8
E assim sucessivamente.
Logo, concluímos que a soma dos coeficientes de 
22 .2 . TRIÂNGULO DE PASCAL22 .2 . TRIÂNGULO DE PASCAL
Conhecendo o triângulo de Pascal os cálculos de combinação podem ser evitados, 
facilitando ainda mais o processo.
Acontece que os coeficientes do Binômio de Newton estão diretamente ligados a 
seguinte pirâmide:
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Desta forma teremos:
Note todas as linhas começam com o número 1 e terminam com o número 1 e que os 
coeficientes da próxima linha são sempre a soma dos dois termos da linha anterior
E assim sucessivamente:
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22 .3 . TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON22 .3 . TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON
Em alguns casos precisamos calcular apenas algum termo específico ao invés de 
desenvolver todo o binômio de Newton. Para isso, temos uma fórmula do termo geral do 
binômio de Newton que é dada por:
Onde:
Vamos ver um exemplo para que possamos entender a aplicação da fórmula:
EXEMPLO
O coeficiente do termo a5 no resultado do binômio de Newton (a + 2)8 é igual a:
As informações importantes que temos:
Queremos saber o coeficiente de a5,ou seja:
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Com isso aplicamos a fórmula do termo geral:
Calculando o valor de 
Logo,
23 . MEDIDAS DE DISPERSÃO23 . MEDIDAS DE DISPERSÃO
23 .1 . DESVIO23 .1 . DESVIO
 Obs.: Em um conjunto de valores numéricos, o desvio é a “distância” de cada uma dessas 
informações até a média aritmética delas.
O desvio é obtido subtraindo cada um dos valores de um conjunto de informações 
da média aritmética desse conjunto.
Assim, os desvios devem ser calculados para cada elemento desse conjunto.
Vejamos um exemplo: Quatro alunos de engenharia obtém as seguintes notas na prova 
de Cálculo 3.
N1
 = 6,5, N2 = 6,5, N3 = 6,0 e N4 = 5,0.
Calculando a nota média dos alunos temos: Me= 6,0
Em relação a nota média temos os seguintes desvios:
d1 = 6,5 – 6,0 = 0,5
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d2 = 6,5 – 6,0 = 0,5
d3 = 6,0 – 6,0 = 0
d4
 = 5,0 – 6,0 = – 1,0
 Obs.: O sinal nos desvios é importante, pois determina se a nota tirada é maior ou menor 
que a média.
A soma dos desvios é igual a zero.
23 .2 . AMPLITUDE23 .2 . AMPLITUDE
 Obs.: Em um conjunto de informações numéricas, a primeira medida de tendência central 
é chamada amplitude e é obtida a partir da diferença entre a maior informação da 
lista e a menor.
Usando o mesmo exemplo utilizado acima, das notas dos dois alunos, observe a amplitude 
das notas deles:
Primeiro: Média 6,0; amplitude = 6,5 – 5,5 = 1,0
Segundo: Média 6,0; amplitude = 10,0 – 1,0 = 9,0
Observando apenas esses números, é possível perceber que o primeiro aluno estabilizou 
as notas de suas provas e o segundo, não. Para concluir que o segundo aluno teve melhor 
desenvolvimento, ainda precisamos ver o restante de suas notas.
23 .3 . VARIÂNCIA23 .3 . VARIÂNCIA
 Obs.: A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto 
menos uma, em caso de amostras.
A variância é representada por S2, sendo calculada pela fórmula:
Ou seja,
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 Obs.: Em casos em que o conjunto de valores é uma população teremos a variância 
calculada da seguinte forma:
O denominador “n – 1” da variância é determinado graus de liberdade. O princípio dos 
graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística, uma vez que se é comum 
trabalhar com amostras.
Considerando um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse 
grupo, existe a liberdade de escolher os valores numéricos de n-1 observações, o valor da 
última observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da 
média igual a zero.
Vamos ver um exemplo:
EXEMPLO
A tabela abaixo, representa as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 
20 anos
Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada por
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Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variânciadas idades na população 
formada pelos 20 jovens?
Vamos analisar...
Para que possamos calcular a variância, que é média do quadrado dos desvios vamos encontrar 
primeiramente a média aritmética.
A tabela nos forneceu a frequência acumulada, logo é necessário que encontremos as 
frequências absolutas, vamos lá:
Idade (anos) Frequência Acumulada Frequência absoluta
14 2 2
15 4 4-2=2
16 9 9-4=5
17 12 12-9=3
18 15 15-12=3
19 18 18-15=3
20 20 20-18=2
Me= (2x14) + (2x15) + (5x16) + (3x17)+ (3x18) + (3x19) + (2x20) =
 20
Me= 28 + 30 + 80 + 51+ 54+ 57+ 40 = 340 /20 = 17
 20
S2 = [2(14-17)2 + 2(15-17)2+ 5(16-17)2+ 3(17-17)2+ 3(18-17)2+ 3(19-17)2+ 2(20-17)2]/ 20
S2= [ (2x 9)+ ( 2x 4) + (5X1) + (3 X0 ) + (3 X 1) + (3 X 1) + (3X 4)+ (2X9)]
 20
S2= 18 + 8 + 5 + 0+ 3 + 3 + 12 + 18 = 67/20 = 3,35
 20
Logo, será igual a 3,35.
3,35.
23 .4 . DESVIO PADRÃO23 .4 . DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é uma das mais utilizadas medidas de variação de um grupo de dados. 
A vantagem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da 
variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a 
variável (Kg, cm, atm...). É representado por “s” e calculado por:
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 Obs.: Podemos entender o desvio padrão como uma média dos valores absolutos dos 
desvios, ou seja, dos desvios considerados todos com sinal positivo, média essa 
obtida, porém, por um processo bastante elaborado: calculamos o quadrado de 
cada desvio, obtemos a média desses quadrados e, depois obtemos a raiz quadrada 
da média dos quadrados dos desvios.
É a estatística utilizada quando se deseja comparar a variação de conjuntos de 
observações que diferem na média ou são medidos em grandezas diferentes (unidades 
de medição diferentes). O coeficiente de variação (C.V.) é o desvio padrão expresso como 
uma porcentagem média.
Vamos ver um exemplo:
EXEMPLO
Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: 17 19 19 20 20 20 20 21 22 22
Seja µ a média aritmética das idades e σ seu desvio padrão. Qual será o número de pessoas 
desse grupo cujas idades pertencem ao intervalo [µ - σ, µ + σ]? (Considere √2 = 1,4)
Vamos lá...
Seja µ a média aritmética das idades:
µ= (17+ 19+ 19+ 20+ 20+ 20+ 20+ 21+ 22+ 22)/10
µ = 200/10= 20
σ2 = [(17-20)2 + 2(19-20)2 + 4(20-20)2+ 1(21-20)2+ 2(22-20)2]/10
σ2 = 20/10
σ2 = 2
σ = √2 = 1,4
Substituindo no intervalo, temos:
[µ - σ, µ + σ]
[20 -1,4, 20 + σ]
[18,6; 21,4]
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Quais as idades que se encontram entre 18, 6 e 21,4 das 10 pessoas:
Serão: {19,19, 20, 20,20, 20, 21}. Sete pessoas.
Sete pessoas.
23 .4 .1 . PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO E DA VARIÂNCIA
 Obs.: 1 - Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento uma constante qualquer, o 
Desvio Padrão e a Variância não se alteram.
2 - Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento por uma constante qualquer:
O desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante; A variância fica 
multiplicada (ou dividida) PELO QUADRADO dessa constante.
23.5. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV )23.5. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV )
 Obs.: O coeficiente de variação é uma medida relativa de variabilidade.
Será calculada pelo coeficiente entre o desvio padrão e a média aritmética.
Na estatística descritiva, o desvio-padrão por si apresenta algumas limitações. Assim, 
um desvio-padrão de 3 unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores 
cujo valor médio é 300; no entanto, se a média for igual a 30, por exemplo, o desvio de 
3unidades torna-se representativo.
Sabemos que o desvio-padrão é expresso na mesma unidade dos dados, desta forma 
não é possível aplicá-lo na comparação de duas ou mais séries de valores expressas em 
unidades diferentes.
Para atender essa limitação, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos 
dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada de Coeficiente 
de Variação.
 Obs.: O coeficiente CV é expresso em percentual, pois o desvio padrão e a média possuem 
as mesmas unidades de medidas.
Vejamos uma aplicação:
Considere a tabela abaixo que contém as estaturas e os pesos de um mesmo grupo de 
indivíduos:
Média aritmética Desvio padrão
Estaturas 175 cm 5 cm
Pesos 68 kg 2 Kg
Qual das medidas, estatura ou peso, possui maior variação, ou seja, mais heterogêneo?
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Apenas com o desvio padrão não é possível responder essa pergunta, uma vez que 
estamos realizando uma comparação entre 02 grandezas. O ideal é calcularmos o coeficiente 
de variação da estatura e do peso e realizarmos uma análise. A série que apresentar a maior 
variação, ou seja, o maior valor do coeficiente CV, será a série de maior heterogeneidade.
Vamos aplicar a fórmula em cada grandeza:
CV Estatura:
CV Peso
Logo, nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão que os 
pesos, ou seja, maior heterogeneidade.
24 . LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS24 . LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS
Os gráficos são recursos utilizados para representar um fenômeno que possa ser 
mensurado, quantificado ou ilustrado de forma mais ou menos lógica. Assim como os 
mapas indicam uma representação espacial de um determinado acontecimento ou lugar, 
os gráficos apontam uma dimensão estatística sobre um determinado fato.
Por esse motivo, interpretar corretamente os gráficos disponibilizados em textos, 
notícias, entre outras situações, é de suma importância para compreender determinados 
fenômenos. Eles, geralmente, comparam informações qualitativas e quantitativas, podendo 
envolver também o tempo e o espaço.
Existe uma grande variedade de tipos de gráficos, dentre os quais podemos destacar 
os de coluna, em barras, pizza, área, linha e rede.
É forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no 
investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em 
estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
 Obs.: A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos 
fundamentais para ser realmente útil:
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Simplicidade - o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, 
assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise 
morosa ou com erros;
Clareza- o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valore 
representativosdo fenômeno em estudo;
Veracidade- o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.
DIAGRAMAS:
Os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas dimensões; para sua 
construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.
24 .1 . GRÁFICOS EM LINHAS24 .1 . GRÁFICOS EM LINHAS
O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado 
ao longo do tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em 
sequência para que o comportamento dos fenômenos e suas transformações seja observado.
Distribuição residencial da população brasileira em um exemplo de gráfico em linhas
 Obs.: a. São formados por linhas. No eixo horizontal está a variável tempo.
b. Permite vários tipos de comparações. Permite estudar a variação de uma variável 
com o tempo.
c. Não permite identificar, facilmente, a continuidade da variação.
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O gráfico em linhas constitui uma aplicação do processo de representação das funções 
num sistema de coordenadas cartesianas.
Nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares: as retas são os eixos 
coordenados e o ponto de interseção, a origem.
24 .2 . GRÁFICOS EM COLUNAS24 .2 . GRÁFICOS EM COLUNAS
Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, geralmente, um dado 
quantitativo sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem de proporções. 
Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-
se na posição horizontal.
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Gráfico em colunas apontando as maiores populações do mundo por país
 Obs.: a. A altura das barras mostra a frequência. As barras podem ser verticais ou 
horizontais. Existe um espaço vazio entre as barras.
b. Permite estabelecer facilmente comparações.
c. Tem forte impacto visual. Só pode ser usado para transmitir informações simples
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente 
(em colunas).
Os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os 
dados estatísticos.
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO- 2010-13
ANOS QUANTIDADE PRODUZIDA (1.000 t)
2010 18.196
2011 11.168
2012 10.468
2013 9.241
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Construir o gráfico:
24 .3 . GRÁFICOS EM BARRAS24 .3 . GRÁFICOS EM BARRAS
Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com os dados na 
posição horizontal e as informações e divisões na posição vertical.
Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos 
respectivos dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os 
dados estatísticos.
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EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS – MARÇO 2014
ESTADOS VALOR (US$ milhões)
São Paulo 1.344
Minas Gerais 542
Rio Grande do Sul 332
Espírito Santo 285
Paraná 250
Santa Catarina 202
Sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos, devemos dar preferência ao gráfico 
em barras (séries geográficas e específicas). Porém, se ainda assim preferirmos o gráfico 
em colunas, os dizeres deverão ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrário.
A ordem a ser observada é a CRONOLÓGICA, se a série for histórica, e a DECRESCENTE, 
se for geográfica ou categórica.
A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor 
que a metade nem maior que dois terços da largura (ou altura) dos retângulos.
24 .4 . GRÁFICOS EM SETORES24 .4 . GRÁFICOS EM SETORES
É um tipo de gráfico, também muito utilizado, indicado para expressar uma relação de 
proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de um dado aspecto 
da realidade.
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Gráfico em setores com a distribuição da água e da água doce no mundo
Semelhantes aos gráficos de pizza, existem os gráficos circulares.
A lógica é a mesma, a divisão de uma esfera em várias partes para indicar as diferentes 
partes de um todo em termos proporcionais.
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos 
ressaltar a participação do dado no total.
O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são 
as partes.
Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série.
Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que o 
total a série corresponde a 3600.
Um círculo está dividido em setores. A amplitude de cada setor é proporcional à frequência 
correspondente.
É útil quando a análise das proporções é mais importante do que o valor real. Tem um 
forte impacto visual.
Só deve ser usado quando a variável toma poucos valores. Um só gráfico não permite 
comparar dois grupos de dados.
REBANHO SUÍNO DO SUDESTE DO BRASIL 2000
ESTADOS QUANTIDADE (mil cabeças)
Minas Gerais 3.363,7
Espírito Santo 430,4
Rio de Janeiro 308,5
São Paulo 2.035,9
TOTAL 6.035,9
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Construindo o gráfico teremos:
24 .5 . GRÁFICOS EM PICTOGRAMA24 .5 . GRÁFICOS EM PICTOGRAMA
Distribuição de Alunos numa Turma
O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua 
forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de FIGURAS.
 Obs.: Observação!!!
a. Os dados são representados por símbolos ligados ao objeto em estudo.
b. O gráfico é muito atrativo e de grande impacto visual.
c. Dá pouca informação e pouca precisão.
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24.6. POLÍGONO DE FREQUÊNCIA – HISTOGRAMA24.6. POLÍGONO DE FREQUÊNCIA – HISTOGRAMA
Um polígono de frequência é um gráfico que se realiza através da união dos pontos 
mais altos das colunas num histograma de frequência (que utiliza colunas verticais para 
mostrar as frequências).
Os polígonos de frequência para dados agrupados, por sua vez, constroem-se a partir 
da marca de classe que coincide com o ponto médio de cada coluna do histograma. Quando 
são representadas as frequências acumuladas de uma tabela de dados agrupados, obtém-
se um histograma de frequências acumuladas, que permite dispor em diagrama o seu 
polígono correspondente.
Vejamos abaixo:
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QUESTÕES DE CONCURSOQUESTÕES DE CONCURSO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
001. 001. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA – SP/FONOAUDIÓLOGO) Analise as 
afirmativas abaixo:
I – 14 /18 = 7 / 8 = 0,85
II – 26 / 100 = 13 / 50 = 0,26
III – 18/ 81 = 2/ 3 = 0,6
Está(ão) correta(s) a(s) reduções feitas em:
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e III.
d) I, II e III.
002. 002. (IBFC/2021/MGS/CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL COMPLETO) Paulo gastou 3/5 de 
seu salário e ainda lhe restou R$ 480,00.
Nessas circunstâncias, o valor do salário que Paulo gastou foi:
a) R$ 288,00
b) R$ 720,00
c) R$ 360,00
d) R$ 1.080,00
003. 003. (IBFC/2021/MGS/CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL INCOMPLETO) Marlene foi à feira e 
comprou duas dúzias de laranja e uma dúzia de banana. O preço da dúzia de laranja foi R$ 
6,00 e o preço da dúzia de banana é igual a 2/3 do preço da dúzia de laranja. O valor gasto 
por Marlene por esses dois itens foi:
a) R$ 14,00
b) R$ 15,00
c) R$ 16,00
d) R$ 18,00
004. 004. (IBFC/2021/PREFEITURA DE SÃO GONÇALO DO AMARANTE – RN/AGENTE ADMINISTRATIVO) 
Em uma determinada rede social Joana e Cecília resolvem comparar seu grupo de amigos. 
O número de pessoas dessa rede que são amigas de Joana ou de Cecília são 987. Dado que 
Joana tem 450 amigos e Cecília tem 650 amigos. Assinale a alternativa que indica o valor 
de amigos comuns a Joana e Cecília nesta rede social.
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a) 337
b) 200
c) 113
d) 93
005. 005. (IBFC/2021/Prefeitura de São Gonçalo do Amarante – RN/Administrador)O número 1/3 
(um terço) em representação decimal assume a forma: 0,33333… com uma infinidade de casas 
decimais seguintes (repetitivas) com o algarismo 3. Considere o seguinte procedimento para 
descobrir o par de números que forma uma dízima periódica baseado em uma sequência 
de operações aritméticas rudimentares e no encadeamento lógico sequencial:
N = 0,33333... ⇒ 10N = 3,33333 ⇒ 10N - N = 3 ⇒ 9N = 3 ⇒ N = 3/9 ⇒ N = 1/3
Baseado neste procedimento, analise as afirmativas abaixo e dê valores Verdadeiro (V) ou 
Falso (F).
(  ) � 0,999999… = 1
(  ) � 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1/9
(  ) � Um número que não exibe repetição como: 0,123456789101112131415… (onde se 
encadeiam os inteiros crescentes ao longo de suas casas decimais) pode ter a fração 
determinada da mesma maneira.
Assinale a alternativa que avalia corretamente as afirmações acima em termos da mesma 
lógica apresentada no procedimento.
a) F, F, F
b) F, V, V
c) V, V, F
d) F, V, F
006. 006. (IDECAN/2018/CRF-SP/FARMACÊUTICO FISCAL) Onde investir seu dinheiro? Conheça 
as vantagens dos fundos
Há opções para todos os perfis de investidores, com possibilidade de rendimentos acima 
da poupança.
Um fundo de investimento é formado por um grupo de investidores, chamados de cotistas. 
Imagine como se fosse um condomínio, no qual cada dono de cota seria um condômino. 
Com o dinheiro de todos os cotistas, o fundo investe em ativos do mercado financeiro, 
buscando a melhor rentabilidade. Depois, o resultado ao longo do tempo será dividido 
entre os investidores, proporcionalmente ao que cada um aplicou. Há vários tipos de fundo, 
classificados de acordo com as características dos ativos em que ele investe (renda fixa, 
multimercado, de ações, entre outros). Cada fundo tem suas regras, que definem, por 
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exemplo, em que ativos o dinheiro será aplicado, suas estratégias, suas metas, taxas de 
administração e demais especificações.
(Disponível em: http://g1.globo.com/economia/seu-dinheiro/especial-publicitario/orama/noti-
cia/2017/07/onde-investir-seu-dinheiro-veja-vantagens-dos-fundos.html)
Um cliente de um banco possui certa quantia aplicada em um fundo de investimento. 
Pensando em entrar no financiamento do projeto do Governo Federal, “Minha casa minha 
vida”, ele considera duas possibilidades: resgatar 1/7 ou 1/3 da quantia aplicada. Se optar 
pelo resgate maior, ele terá R$ 12.000,00 a mais para arcar com os custos de escritura e 
impostos. Portanto, em reais, o fundo de investimento deste cliente é:
a) 30.000,00.
b) 43.000,00.
c) 53.000,00.
d) 63.000,00.
007. 007. (IBFC/2011/MPE-SP/OFICIAL DE PROMOTORIA) Somando 2,33.... e 3,111... podemos 
dizer que a terça parte dessa soma vale:
a) 49/ 27
b) 49/ 9
c) 27/ 7
d) 54/ 8
008. 008. (FGV/2016/SEE-PE/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; 
c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o maior desses números e o menor deles é
a) 0,15.
b) 0,21.
c) 0,293.
d) 0,308.
e) 0,31.
009. 009. (FGV/SEDUC PE/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2016) Sete amigas foram a um restaurante 
e dividiram a conta igualmente entre elas.
Entretanto, Mônica esqueceu a carteira em casa e cada uma de suas seis amigas pagou R$ 
7,25 a mais para cobrir a parte dela.
O valor total da conta foi
a) R$ 261,10.
b) R$ 298,20.
c) R$ 304,50.
d) R$ 326,20.
e) R$ 332,50.
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010. 010. (FGV/2016/SEE-PE/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Paula escreveu um número inteiro 
três vezes e um outro número inteiro quatro vezes. A soma dos sete números é 200 e um 
dos números é 36.
O outro número é
a) 56.
b) 42.
c) 32.
d) 26
e) 23.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
011. 011. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE QUADRA/SP/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) No 
número 372n19, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível por 9?
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 5.
012. 012. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/ENGENHEIRO I/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA 
DO TRABALHO) Admita a sequência de números representada a seguir:{1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 e 80}
Essa sequência representa os:
a) Múltiplos de 80
b) Múltiplos de 160
c) Divisores de 20
d) Divisores de 80
013. 013. (IBFC/2021/MGS/CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL COMPLETO) O número 2358 foi 
dividido pelo número x e obteve-se o resultado 98 com resto igual a 6. Nessas circunstâncias, 
assinale a alternativa que apresenta a soma dos algarismos do número x:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
014. 014. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ARTÍFICE/OBRAS E 
SERVIÇOS PÚBLICOS) Ferraz de Vasconcelos tem, aproximadamente, 196500 habitantes 
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distribuídos em 132 bairros (distritos e localidades). Caso essa população fosse distribuída 
igualmente pelos bairros, o número de habitantes em cada bairro, aproximadamente, seria de
a) 1474.
b) 1478.
c) 1488.
d) 1494.
e) 1498.
015. 015. (IBFC/PM SE/2018) Um número é composto por 3 algarismos sendo que o algarismo 
da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena desse 
número de modo que ele seja divisível por 3 é:
a) 15
b) 18
c) 12
d) 9
MMC E MDC
016. 016. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/MOTORISTA) Ana e Bianca trabalham na 
mesma empresa. Ana tira um dia de folga a cada 8 dias de trabalho. Já Bianca tira um dia 
de folga a cada 12 dias de trabalho. Se as duas colegas tiraram folga juntas no dia 1º de 
maio, o próximo dia em que elas irão tirar folga juntas novamente será:
a) 8 de maio
b) 12 de maio
c) 16 de maio
d) 24 de maio
017. 017. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/AGENTE CERIMONIAL) Para 
completar seus ganhos mensais, um trabalhador vende bolo em pedaços, na porta de 
um prédio de escritórios, uma vez por semana. Para isso, ele prepara, em sua casa, cinco 
bolos de sabores variados, usando assadeiras retangulares iguais, de 40 cm por 24 cm, e 
cortando todos os bolos em pedaços quadrados iguais, com o maior lado possível, sem 
que haja qualquer desperdício. Supondo que ele consiga vender, no dia, toda quantidade 
de bolo produzida, e considerando-se que deseja arrecadar pelo menos R$ 300,00 a cada 
dia, o trabalhador deve vender cada pedaço de bolo por, no mínimo,
a) um real.
b) dois reais.
c) três reais.
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d) quatro reais.
e) cinco reais.
018. 018. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) 
Damião tem dois canos de cobre de comprimentos diferentes. Sabe-se que o comprimento 
de um deles é igual a 3/5 do comprimento do outro, e que a soma dos comprimentos de 
ambos é igual a 2,08 m. Damião pretende dividir os dois canos em pedaços de comprimentos 
iguais, sendo esse comprimento o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço. 
Nessas condições, o número de pedaços obtidos por Damião nessa divisão será igual a
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
e) 5.
019. 019. (FUNDEP/2018) Heitor faz judô de 5 em 5 dias e faz aulas de inglês de 3 em 3 dias.
De quantos em quantos dias, ele pratica as duas atividades no mesmo dia?
a) de 34 em 34 dias.
b) de 16 em 16 dias.
c) de 15 em 15 dias.
d) de 8 em 8 dias.
020. 020. (VUNESP/PREFEITURA DE ITANHAÉM – SP/2017) Três seguranças de uma empresa, 
durante a ronda, devem sempre passar por um determinado relógio de controle. O segurança 
A passa pelo relógio a cada 18 minutos, o segurança B a cada 24 minutos e o segurança C 
a cada 42 minutos. Em certo dia, às 22h, os três seguranças estavam, ao mesmo tempo, 
no relógio de controle. O próximo encontro dos três, ao mesmo tempo, nesse relógio, 
aconteceu no dia seguinte às
a) 6h 24min.
b) 6h 40min.
c) 7h 36min.
d) 8h 24min.
e) 8h 40min.
GRANDEZAS E MEDIDAS
021. 021. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE RESENDE/RJ/VETERINÁRIO) O mapa abaixo tem 
de escala 1/400 000. A distância entre as cidades A e B é de 12 cm, logo a distância real 
entre essas duas cidades é:
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a) 30 km.
b) 48 km.
c) 24 km.
d) 40 km.
022. 022. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE QUADRA/SP/SECRETÁRIO ESCOLAR) Uma cozinheira 
começou a fazer o jantar às 16h e 30min. Logo esse tempo em horas é:
a) 16,3 horas.
b) 16,5 horas.
c) 16,7 horas.
d) 16,6 horas.
023. 023. (CONSULPAM/2018/CÂMARA DE JUIZ DE FORA/MG/ASSISTENTE LEGISLATIVO I) Um 
trabalhador demorou 2 horas e 35 minutos para ir de sua casa ao seu trabalho, logo esse 
tempo em segundos é:
a) 9 500.
b) 9 300.
c) 8 700.
d) 8 500.
024. 024. (IUDS/2022/CÂMARA DA ESTÂNCIA DE SOCORRO/SP/OFICIAL ADMINISTRATIVO) A 
atividade física preferida de Carlos é a corrida. Ele costuma correr três vezes por semana 
ao redor de uma lagoa perto de sua casa. Um determinado dia, após percorrer uma volta 
completa nessa lagoa, Carlos notou que o havia dado 32000 passos. Se o passo dado por 
Carlos possui 70cm, a distância que ele percorreu nesse trajeto é igual a:
a) 2240 m
b) 22400 m
c) 224000 m
d) 2240000 m
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025. 025. (CRS - PMMG/2015/PM-MG/SOLDADO/TÉCNICO EM ENFERMAGEM) A soma 101,02 
dm³ + 45.000 litros - 2,5 m³ corresponde a:
a) 142,5 cm3.
b) 142,5 dm3.
c) 42.000 litros.
d) 42,601 m3.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
026. 026. (FCC/2021/TJ-SC/ANALISTA DE SISTEMAS) No período de 9 dias, Marcos caminhou, 
ao todo, 198 km. A cada dia caminhou 1 km a mais do que no dia anterior. O número de 
quilômetros que Marcos caminhou no último dia foi
a) 18.
b) 28.
c) 24.
d) 26.
e) 22.
027. 027. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/TÉCNICO EM RADIOLOGIA) Três 
números inteiros somam 100. Se subtrairmos o mesmo valor desses três números teremos 
7, 13 e 32. A soma do menor dos três números com o maior deles é:
a) 67
b) 69
c) 71
d) 73
e) 75
028. 028. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) Em 
uma caminhada, a distância total percorrida por Giovane foi igual a 4/5 da distância total 
percorrida por Elias. Sabendo-se que Elias percorreu 2/5 da distância total em ritmo mais 
acelerado, e os 1800 m restantes em ritmo mais lento, é correto afirmar que a diferença 
entre as distâncias totais percorridas por Elias e por Giovane foi igual a
a) 0,8 km.
b) 0,7 km.
c) 0,6 km.
d) 0,5 km.
e) 0,4 km.
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029. 029. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) 
Uma obra recebeu 18 caixas de certo azulejo, que foram totalmente divididas entre três 
instaladores. Almeida recebeu o dobro da quantidade de caixas que Luciano recebeu, e Vander 
recebeu duas caixas a menos que a quantidade que Almeida recebeu. Se cada caixa tem 12 
unidades, então a quantidade de azulejos que Luciano recebeu, nessa distribuição, foi igual a
a) 48.
b) 60.
c) 72.
d) 84.
e) 96.
030. 030. (FGV/IBGE/2017) Fernando teve três filhos em três anos seguidos. Quando ele fez 39 
anos reparou que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus três filhos.
Nesse dia, o seu filho mais velho tinha:
a) 12 anos;
b) 13 anos;
c) 14 anos;
d) 15 anos;
e) 16 anos.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
031. 031. (VUNESP/IPSM/2018) Uma pequena fábrica produz pelo menos 4 canetas por dia. O 
custo y (em reais) para a produção de um número x de canetas é dado pela equação y = –x2 
+ 10x + 20. Certo dia, o custo de produção das canetas foi de R$ 36,00. No dia seguinte, o 
custo de produção das canetas foi de R$ 20,00. A diferença, em reais, entre o custo unitário 
da produção dessas canetas, nesses dias, é igual a
a) 1,80.
b) 2,10.
c) 2,50.
d) 2,90.
e) 3,20.
032. 032. (CRS/PMMG/2013/PM-MG/SOLDADO DA POLÍCIA MILITAR) A interseção entre os gráficos 
das funções y = - 2x + 3 e y = x²+ 5x – 6 se localiza:
a) no 1º e 2º quadrantes
b) no 1º quadrante
c) no 1º e 3º quadrantes
d) no 2º e 4º quadrantes
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033. 033. (CRS - PMMG/PM MG/SOLDADO/2016) Na fabricação de certo produto o lucro, em 
reais, de uma microempresa é dado por , sendo x o número 
de peças vendidas no mês. Quantas peças devem ser vendidas no mês para a empresa não 
ter prejuízo?
a) De 20 a 100 peças.
b) Menos de 100 peças.
c) Mais de 100 peças.
d) Mais de 20 peças.
034. 034. (IBFC/2022/MGS/MONITOR EDUCACIONAL) A conhecida fórmula de Bhaskara é um 
método para encontrar raízes reais de uma função quadrática. No processo deste método 
as raízes são encontradas fazendo uso dos coeficientes das equações no formato, y = ax² 
+bx+c com a, b, c ∈ R (números reais) e ainda a ≠ 0. Sendo assim, a função dada por f(x) = 
4x² -4x+1, possui como raízes os números:
a) –1 e 3
b) 4 e – 4
c) 0 e 2
d) 1/2 e 1/2
035. 035. (IDECAN/2019/AGU/ADMINISTRADOR) A soma das idades de Ana, Beatriz e Carlos é 
18 anos. O produto das idades de Ana e Beatriz é igual a duas vezes a soma das idades de 
Ana e Carlos. Sabendo que Carlos tem 8 anos, qual é a razão entre a idade de Ana e Carlos?
a) 2/3.
b) 1,5.
c) 2.
d) 3/4.
e) 0,5.
036. 036. (IDECAN/2018/CRF-SP/AGENTE DE MANUTENÇÃO) Analise as afirmativas a seguir.
I – A soma das raízes da equação 2x² + 12x + 3 = –7 é um número negativo ímpar.
II – 625² – 624² = 1.
III – O número 124.212 é divisível por 3 e 4.
IV – Na equação ax² + bx + c, em que a ǂ 0, se ∆ = b² – 4ac < 0, então a equação não possui 
raízes reais.
Estão corretas as afirmativas
a) I, II, III e IV.
b) I e III, apenas.
c) II e III, apenas.
d) III e IV, apenas.
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037. 037. (FCC) Perguntaram a José quantos anos minha sua filha e ele respondeu: “A idade dela 
é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x2 − 31x − 70 < 0.” É 
correto afirmar que a idade da filha de José é um número
a) menor que 10.
b) divisível por 4.
c) múltiplo de 6.
d) quadrado perfeito.
e) primo.
NOÇÕES DE FUNÇÃO
038. 038. (CRS - PMMG/PM MG/SOLDADO/2016) Na lei , sendo k uma 
constante real, está representada a população que um pequeno município terá daqui a 
t anos, contados a partir de hoje. Sabendo que a população atual do município é de 10.000 
habitantes, podemos afirmar que k vale:
a) 1
b) -2
c) -1
d) 2
039. 039. (CESPE/CPRM/ANALISTA EM GEOCIÊNCIAS/OCEANOGRAFIA/2013) Tendo em vista que, 
em determinado mês de 31 dias, a precipitação pluvial média diária em uma localidade 
é representada, em mm, pela função P(t) = 25 e –(t-16) ^2, para t de 1 a 31, julgue os 
itens subsequentes.
A precipitação pluvial média no dia 1º foi igual ao dobro da ocorrida no último dia desse mês.
040. 040. (PETROBRAS/2014) Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a 
luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade 
em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade 
y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y = i 0. (0,6) x/88, onde i0 representa 
a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade 
da luz corresponde a i0/3
A profundidade desse lago, em cm, está entre.
Dados:
Log 2 = 0,30
Log 3 = 0,48
a) 150 e 160
b) 160 e 170
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c) 170 e 180
d) 180 e 190
e) 190 e 200
041. 041. (IBFC/2022/MGS/MONITOR EDUCACIONAL) Uma caixa d’água com capacidade para 
3000 litros de água está completamente cheia. No fundo da caixa há um ralo por onde 
escoa água a uma razão constante e o volume da caixa varia conforme a função a seguir:
V – = 3000 – 5t, onde V é o volume em litros e t o tempo em horas.
Assinale a alternativa que apresenta o volume de água encontrado na caixa, em litros, após 
30 horas:
a) 2850
b) 2700
c) 2970
d) 2470
042. 042. (IDECAN/2018/CRF-SP/DESENVOLVEDOR WEB) Na figura a seguir, a reta r representa 
o conjunto de todos o pares ordenados (x, y) que são solução da equação do primeiro grau 
y – ax = b. Os pontos A e C de r são dados respectivamente pelos pares ordenados (0, 2) 
e (3, 23).
De posse dessas informações qual das alternativas a seguir fornece corretamente o valor 
de a e de b, respectivamente?
a) 3 e 9.
b) 4 e 2.
c) 5 e 3.
d) 7 e 2.
043. 043. (FAEPESUL) Assinale a alternativa que representa graficamente a função cuja lei de 
formação é dada por f (x) = 3x + 6
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a)
b)
c)
d)
e)
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044. 044. (NC-UFPR) O tacógrafo de um ônibus registrou que o veículo manteve velocidadeconstante por um período, cujo deslocamento é representado pela função y = 2x – 1, sendo 
que y corresponde à posição do ônibus no instante x. Assinale a alternativa que corresponde 
ao gráfico dessa função.
a)
b)
c)
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d)
e)
045. 045. (FAURGS) Um vendedor recebe um salário mensal composto de um valor fixo de R$ 
1.300,00 e de uma parte variável. A parte variável corresponde a uma comissão de 6% do 
valor total de vendas que ele fez durante o mês. O salário mensal desse vendedor pode 
ser descrito por uma expressão algébrica f (x), em função do valor total de vendas mensal, 
representado por x.
A expressão algébrica f (x) que pode representar o salário mensal desse vendedor é
a) f(x) = 0,06x + 1.300.
b) f(x) = 0,6x + 1.300.
c) f(x) = 0,78x + 1.300.
d) f(x) = 6x + 1.300.
e) f(x) = 7,8x + 1.300.
046. 046. (INAZ) Analisando-se o gráfico da função quadrática definida por f (x) =ax2 + bx + c, 
com a, b e c ∈ R e a≠0, representado na figura abaixo, podemos afirmar que:
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a) a > 0; b < 0 e c < 0
b) a < 0; b < 0 e c < 0
c) a < 0; b < 0 e c > 0
d) a > 0; b > 0 e c = 0
e) a < 0; b > 0 e c > 0
PORCENTAGEM
047. 047. (CONSULPAM/2023/PREFEITURA DE JACAREÍ/SP/MOTORISTA) Edson recebe de salário 
R$ 2.400,00, gasta 45% com as suas despesas pessoais e 20% do que sobra, guarda na 
poupança. O valor que Edson guarda na poupança é:
a) R$ 286,00.
b) R$ 275,00.
c) R$ 264,00.
d) R$ 258,00.
048. 048. (CONSULPAM/2022/PREFEITURA DE IRAUÇUBA/CE/AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE) 
Em uma certa loja, uma televisão de 50 polegadas custa R$ 3.800,00. Um cliente deu 25% 
do valor como entrada, e o restante parcelou em 15 parcelas mensais. O valor de cada 
parcela é de:
a) R$ 180,00.
b) R$ 190,00.
c) R$ 200,00.
d) R$ 210,00.
049. 049. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/MOTORISTA) Dona Marta deseja comprar 
uma nova geladeira para sua cozinha. Em uma determinada loja, o preço dessa geladeira é 
de R$ 1200,00 para pagamento à vista ou doze parcelas de R$ 140,00. Se Dona Marta optar 
pela segunda opção de pagamento, qual será o valor de aumento no preço dessa geladeira?
a) 20%
b) 30%
c) 40%
d) 50%
050. 050. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/ANALISTA EM VIGILÂNCIA 
SANITÁRIA/ENFERMEIRO) O gráfico abaixo, extraído de uma matéria do jornal Folha de S.Paulo, 
de 16/08/2019, apresenta dados sobre os principais destinos das exportações brasileiras. 
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A partir desses dados, observa-se que China, Estados Unidos e Argentina respondem por 
quase 50% das exportações brasileiras.
Para que as exportações destinadas a esses três países correspondessem a exatamente 
50% das exportações brasileiras, o total de seus pontos percentuais deveria sofrer um 
aumento de, aproximadamente,
a) 8,9%
b) 5,0%
c) 50,0%
d) 25,2%
e) 17,8%
051. 051. (IDECAN/2021/PEFOCE/CIÊNCIAS CONTÁBEIS) Um contador perito forense em 2020, 
para calcular seus honorários, utiliza o salário-base, que é de 200 reais por hora de trabalho, 
acrescidos de férias anuais de 12% sobre o valor/hora e margem de risco para atividade 
(horas ociosas e excesso de horas aplicadas sobre a estimativa) de 20% sobre o valor/hora. 
Ele deseja calcular o valor de um serviço agora em 2021, que ele estima ser de 40 horas e já 
sabendo que o reajuste da categoria ficou fixado em 4% em cima do salário-base de 2020.
Quanto ele deve cobrar pelo serviço, já atualizando seu valor/hora com o reajuste dado em 
2021?
a) R$ 10.982,40.
b) R$ 13.200,60.
c) R$ 20.800,20.
d) R$ 23.600,10.
e) R$ 27.456,50.
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052. 052. (IDECAN/2019/AGU/ADMINISTRADOR) Após as vendas natalinas, uma loja entrou em 
promoção oferecendo um desconto de 40% em qualquer produto da loja. Após uma semana 
de promoção, o gerente resolveu oferecer mais 30% de desconto nos produtos que ainda não 
haviam sido vendidos. Os dois descontos consecutivos equivalem a um desconto único de
a) 12%.
b) 42%.
c) 58%.
d) 70%.
e) 88%.
PROPORCIONALIDADES
053. 053. (CONSULPAM/2023/PREFEITURA DE JACAREÍ/SP/MOTORISTA) Uma fábrica com 120 
funcionários produz 360 peças, se o número de funcionários dessa fábrica aumentar em 
20% a quantidade de peças que serão produzidas será de:
a) 432.
b) 430.
c) 428.
d) 426.
054. 054. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/ENGENHEIRO I/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA 
DO TRABALHO) Três torneiras enchem completamente um tanque em oito horas. Dessa 
forma, quanto tempo quatro torneiras levarão para encher três tanques?
a) 12 horas.
b) 16 horas
c) 18 horas
d) 24 horas
055. 055. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/ANALISTA EM VIGILÂNCIA 
SANITÁRIA/ENFERMEIRO) Numa região delimitada de um determinado açude, biólogos 
faziam um estudo sobre duas espécies de peixes, A e B, acerca de sua atração ou repelência 
a certas substâncias dissolvidas na água. Num determinado instante t0, para cada 7 peixes 
da espécie A na região delimitada, havia 5 peixes da espécie B. Transcorrido um certo tempo, 
entraram na região mais 27 peixes da espécie A e saíram 18 da espécie B. Com isso, a razão 
entre as quantidades de peixes na região delimitada passou a ser de 10 peixes da espécie 
A para cada 3 peixes da espécie B. Pode-se concluir que o número de peixes da espécie A 
presentes nessa região, no instante t0, era:
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a) 63
b) 14
c) 45
d) 28
e) 7
056. 056. (FCC/2020/AL-AP/ANALISTA LEGISLATIVO/ADMINISTRADOR) Um reservatório de água 
estava completamente cheio quando passou a perder água a um ritmo constante. Após 30 
dias, o volume de água no reservatório correspondia a 2/3 da capacidade máxima. Contando 
a partir do momento em que o reservatório estava cheio, o tempo necessário para que o 
volume de água atinja a marca de 10% da capacidade máxima do reservatório é
a) 81 dias.
b) 60 dias.
c) 270 dias.
d) 45 dias.
e) 171 dias.
057. 057. (FCC/2020/AL-AP/AUXILIAR LEGISLATIVO/AUXILIAR OPERACIONAL) Uma empresa de 
60 funcionários deve entregar uma encomenda em 30 dias. Após 15 dias, apenas 3/10 da 
encomendahavia sido produzida. Considerando que o ritmo de produção de cada funcionário 
é igual e constante, o número adicional de funcionários que a empresa deve contratar para 
entregar a encomenda no prazo é
a) 100
b) 20
c) 40
d) 60
e) 80
058. 058. (IBFC/2022/MGS/MONITOR EDUCACIONAL) São necessários 60 pedreiros para construir 
um pequeno prédio em 40 dias. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de 
pedreiros que uma construtora necessitará para construir o mesmo prédio, em outro local 
e totalmente idêntico, só que em apenas 30 dias.
a) 45
b) 60
c) 80
d) 90
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LINGUAGEM DOS CONJUNTO
059. 059. (IBFC/2021/MGS/ASSISTENTE SOCIAL) Sabendo que o conjunto A tem 12 elementos 
distintos e o conjunto B tem 14 elementos distintos e além disso, A e B são disjuntos, então 
pode-se afirmar que:
a) O conjunto união entre A e B possui menos de 26 elementos
b) O conjunto intersecção entre A e B não possui 2 elementos
c) O conjunto diferença entre A e B, nessa ordem, possui 12 elementos
d) O conjunto diferença entre B e A, nessa ordem, possui exatamente 2 elementos
060. 060. (IBFC/2021/MGS/ASSISTENTE SOCIAL) Numa entrevista com 240 pessoas sobre a 
preferência entre duas sobremesas, o resultado foi o seguinte: 124 gostam de sorvete, 
116 gostam de chocolate e 23 gostam de ambos os sabores. Se cada entrevistado opinou 
uma única vez, então é correto afirmar que:
a) 227 gostam de pelo menos um dos sabores
b) 15 pessoas não gostam de qualquer um dos sabores
c) 93 pessoas gostam somente de chocolate
d) 103 pessoas gostam, somente de pudim
061. 061. (IBFC/2021/PREFEITURA DE SÃO GONÇALO DO AMARANTE/RN/ADMINISTRADOR) A 
figura abaixo representa o diagrama de Venn para os conjuntos A, B, C e D.
Assinale a alternativa que representa a região acinzentada.
a) ( A ⋂ C ) ⋃ (A ⋂ D) ⋃ (B ⋂ C) - (C ⋂ D)
b) ( A ⋃ C ) ⋂ (A ⋃ D) ⋂ (B ⋂ C) - (C ⋂ D)
c) ( A ⋂ B ⋂ C ⋂ D ) - (C ⋃ D)
d) ( B ⋂ C ) ⋃ (A ⋂ C ⋂ D) - (C ⋃ D)
062. 062. (IBFC/2020/PREFEITURA DE VINHEDO/SP/GUARDA MUNICIPAL) As afirmativas a seguir 
referem-se aos conjuntos A = {0, 1, {1}, 2, 3} e B = {1, 3,4}.
I – 1 ϵ A
II – {2} ϵ A
III – A – B = {0, 2}
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IV – B – A = {4}
Estão corretas as afirmativas:
a) I, II e III apenas
b) I e IV apenas
c) I, II, III e IV
d) II e III apenas
063. 063. (MPE-GO/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019) Uma pesquisa realizada entre os 80 
formandos de uma turma de Direito, constatou que 20 deles cursaram a matéria optativa 
de Criminalística; 30 frequentaram a de Medicina Legal e 15 estudaram tanto Criminalística 
quanto Medicina Legal. Quantos alunos não fizeram nenhuma das duas matérias?
a) 30
b) 40
c) 45
d) 50
e) 60
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
064. 064. (AOCP/MJSP/CIENTISTA DE DADOS - BIG DATA/2020) Na estatística, há diferentes tipos 
de medidas. Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta corretamente somente 
as medidas estatísticas de tendência central.
a) Média, mediana e moda.
b) Amplitude, mediana e desvio padrão.
c) Coeficiente de variação, curtose e simetria.
d) Dispersão, desvio médio e escore padrão.
e) interquartil, quartil e amplitude interquartil.
065. 065. (AOCP/PREFEITURA DE NOVO HAMBURGO – RS/ENGENHEIRO QUÍMICO/2020) O controle 
de qualidade é adotado nas empresas para melhoria e padronização de seus processos, 
garantindo, consequentemente, a qualidade de seus produtos por meio de parâmetros 
estatísticos para tomadas de decisões. Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta 
apenas medidas de posição.
a) Média, variância, mediana.
b) Média, moda e mediana.
c) Desvio-padrão, assimetria, mediana.
d) Amplitude, desvio-padrão, variância.
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e) Variância, desvio-padrão, coeficiente de variação.
066. 066. (CONSULPAM/2022/PREFEITURA DE IRAUÇUBA/CE/MOTORISTA/CHN D) Uma empresa 
tem cinco funcionários, cada um recebendo um salário de acordo com a tabela abaixo:
Funcionário Salário (R$)
Ana 1.200,00
João 1.100,00
Marcos 1.400,00
Fátima 1.500,00
Juliana 2.000,00
Se o salário da Juliana aumentar em 20%, a média salarial dessa empresa vai:
a) Aumentar aproximadamente 5,5%.
b) Aumentar R$ 400,00.
c) Aumentar mais de R$ 100,00.
d) Aumentar menos de 5,5%.
067. 067. (CESGRANRIO) A mediana do número de ausentes neste prédio é
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
068. 068. (CESGRANRIO) A tabela abaixo, representa as frequências acumuladas das idades de 
20 jovens entre 14 e 20 anos
Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é calculada por
 Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das 
idades na população formada pelos 20 jovens?
a) 0,15
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b) 0,20
c) 1,78
d) 3,20
e) 3,35
GEOMETRIA PLANA
069. 069. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/MOTORISTA) Fernando possui um terreno 
retangular com medidas de 240 metros de comprimento e 150 metros de largura. Ele deseja 
dividir esse espaço em três novos terrenos de mesma área. Nesse sentido, qual será o valor 
da área desses terrenos após a divisão?
a) 10000 m²
b) 12000 m²
c) 18000 m²
d) 36000 m²
070. 070. (IUDS/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/
MOTORISTA) Arthur deseja cobrir uma determinada região de seu terreno com grama. Para 
isso, ele representou essa área na seguinte malha quadriculada:
Considerando que o lado cada quadrado que compõe esta malha possui 2 metros de 
comprimento, qual será o valor da área encontrada por Arthur?
a) 12 m²
b) 16 m²
c) 32 m²
d) 48 m²
071. 071. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) 
Para revestir totalmente o piso de uma sala retangular, cuja medida do comprimento é 
igual a 8 m, Zacarias gastou um total de R$ 1.280,00, sendo R$ 40,00 por m2. Desse modo, 
é correto afirmar que o perímetro dessa sala mede
a) 20m.
b) 22m.
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c) 24m.
d) 28m.
e) 32m.
072. 072. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) 
Considere uma placa metálica de formato retangular. Sabe-se quea medida de seu 
comprimento e a medida da sua largura têm soma igual a 42 cm e estão na razão 5/2, 
nessa ordem. Nessas condições, a área dessa placa é igual a:
a) 360 cm2
b) 392 cm2
c) 416 cm2
d) 432 cm2
e) 440 cm2
073. 073. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ARTÍFICE/OBRAS E 
SERVIÇOS PÚBLICOS) Um pedreiro precisa pavimentar uma área quadrada de 6 metros de 
lado e outra retangular de 4 metros por 7 metros. Normalmente, ele demora 20 minutos 
para pavimentar cada metro quadrado. Dessa forma, o tempo que ele demorou a mais para 
pavimentar a área quadrada foi de
a) 2h e 30min.
b) 2h e 40min.
c) 2h e 50min.
d) 3h e 10min.
e) 3h e 20min.
074. 074. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ARTÍFICE/OBRAS E 
SERVIÇOS PÚBLICOS) Um jardineiro contornou o perímetro da superfície abaixo com 
margaridas. Ele colocou, conforme a figura, 1/3 em ; 1/4 em ; 1/5 em das 
margaridas e, por fim, colocou 13 margaridas em .
O número de margaridas que o jardineiro colocou em foi
a) 26.
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b) 20.
c) 18.
d) 16.
e) 15.
GEOMETRIA ESPACIAL
075. 075. (IDECAN/2018/CRF-SP/DESENVOLVEDOR WEB) Na barraca de um vendedor de balões 
há um balão em formato esférico que possui um número n de estrelinhas desenhadas 
uniformemente sobre sua superfície. O balão encontra-se preenchido com uma certa 
quantidade de gás que lhe dá um volume V. Uma criança ao comprar esse balão pede para 
que o vendedor o encha um pouco mais, fazendo com que o seu volume seja oito vezes 
maior que o seu volume inicial V. Se inicialmente a densidade de estrelinhas na superfície do 
balão era d = n/s, onde S é a área da superfície do balão, qual é o novo valor dessa densidade 
depois que o balão aumenta de volume?
a) d.
b) 8d.
c) 1/4 d.
d) 1/8 d.
076. 076. (IDECAN/2018/CRF-SP/DESENVOLVEDOR WEB) Nas figuras a seguir, uma esfera 
maciça é circunscrita em cada um dos cubos. Após a colocação das esferas os cubos serão 
completamente cheios com água.
Se o lado do cubo maior mede o dobro do lado do cubo menor, qual é a razão entre o volume 
de água necessário para encher o cubo maior em relação ao volume de água gasto para 
encher o cubo menor?
a) 2.
b) 8.
c) 16.
d) 32.
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077. 077. (IDECAN/2018/CRF-SP/ARQUITETO/2018) Ao analisarmos uma pilha de caixas cúbicas, 
com aresta 4 m (cada caixa), empilhadas conforme a figura, o volume desta pilha, se 
multiplicar a aresta por 10, aumentará
a) 1 vez
b) 10 vezes.
c) 100 vezes.
d) 1.000 vezes.
078. 078. (IF-ES/IF-ES/2016) Uma lata de óleo de soja de 1 litro, com formato cilíndrico, possui 
8 cm de diâmetro interno. Assim, a sua altura é de aproximadamente: (Considere π = 3,14)
a) 20 cm.
b) 25 cm.
c) 201 cm.
d) 200 cm.
e) 24 cm.
079. 079. (MS CONCURSOS/SAP-SP/2017) Qual é o volume de uma lata de óleo perfeitamente 
cilíndrica, cujo diâmetro é 8 cm e a altura é 20 cm? (Use π=3)
a) 3,84 l
b) 96 ml
c) 384 ml
d) 960 ml
MATRIZES E DETERMINANTES
080. 080. (ESAF) Sejam as matrizes:
= =
1 4
1 3 4 5
A 2 6 B
1 2 3 4
3 3
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E seja X in o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz 
transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre X31 e X12 é igual a:
a) 2
b) 1
2
c) 3
d) 
1
3
e) 1
081. 081. (CESGRANRIO) Resolvendo a equação matricial abaixo:
⋅ =
1 2 x 5
4 3 y 10
encontramos para x e y valores respectivamente iguais a:
a) -2 e 1
b) -1 e 2
c) 1 e -2
d) 1 e 2
e) 2 e -1
082. 082. (ESAF) o determinante da matriz B =
 
 
 
 + + 
2 1 0
a b c
4 a 2 b c
 é:
a) 2bc + c – a
b) 2b – c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
e) 0
083. 083. (ESAF) Geralmente qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, 
onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), 
de terceira ordem é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) = 
1
2i e que Yij = (i-j)², 
então a potência dada por 12a
22(a ) e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) – 2 e 1
d) 2 e 0
e) – 2 e 0
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084. 084. (ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz m pode ser representado 
por mij, em que i representa a linha e j representa a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz S(sij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A(aij) 
e B(bij), ou seja, S = A + B. Sabendose que aij = i² + j² e que bij = (i+j)², então a soma dos 
elementos da primeira linha da matriz S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
SISTEMAS LINEARES
085. 085. (CRS-PMMG/2013/PM-MG/SOLDADO DA POLÍCIA MILITAR) Marque a alternativa CORRETA. 
Em um estacionamento existe um total de 50 vagas para carros pequenos e motocicletas. 
Quando este estacionamento está completamente lotado, a quantidade de rodas de veículos 
é igual a 120. Os números de vagas para carros e motos são, respectivamente:
a) 10 e 40
b) 20 e 30
c) 25 e 25
d) 15 e 35
086. 086. (CRS-PMMG/PM MG/SOLDADO/2016) Três latas iguais de massa de tomate mais uma 
lata de milho verde custam R$ 6,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de 
milho verde (todas iguais às anteriores) custam R$ 6,80. Qual é o preço, em reais, de uma 
lata de massa de tomate?
a) R$ 1,60
b) R$ 1,50
c) R$ 1,40
d) R$ 1,30
087. 087. (IDECAN/2020/IF-RR/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Em um fim de semana, 20 amigos 
resolveram se encontrar para fazer um passeio. Alguns foram de moto e outros de quadriciclo, 
de maneira que cada veículo tinha somente 1 pessoa. O total de rodas neste passeio era 
igual a 62. O total de rodas de quadriciclo nesse passeio era de
a) 9.
b) 11.
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c) 18.
d) 44.
e) 50.
088. 088. (IDECAN/2018/CRF-SP/DESENVOLVEDOR WEB) Joaquim é proprietário de três fazendas 
de gado de leite. As vacas de Joaquim são selecionadas de tal maneira que cada uma delas 
produz dez ou quinze litros de leite diariamente. Em todas as três fazendas existem quatro 
unidades a maisde vacas que produzem 15 litros de leite em relação ao número de vacas 
que produz 10 litros. Sabendo-se que em cada fazenda de Joaquim há 40 vacas, qual é a 
produção diária de leite das três fazendas?
a) 1.200 litros.
b) 1.530 litros.
c) 1.650 litros.
d) 1.800 litros.
089. 089. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/TÉCNICO EM RADIOLOGIA) Três 
números inteiros somam 100. Se subtrairmos o mesmo valor desses três números teremos 
7, 13 e 32. A soma do menor dos três números com o maior deles é:
a) 67
b) 69
c) 71
d) 73
e) 75
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
090. 090. (IDECAN/2019/IF-PB/PROFESSOR/MATEMÁTICA 01) Um comerciante aplicou em um 
fundo de investimento que opera no regime de juros simples a quantia de R$ X. Oito meses 
depois o investidor verificou que o montante era um quinto maior. Calcule a taxa de juros 
desse fundo de investimento.
a) 2,5%
b) 3,33%
c) 6,25%
d) 12,5%
e) 20%
091. 091. (IBFC/2020/EBSERH/TÉCNICO EM CONTABILIDADE) O Sr. Zebedeu Sanguessuga Tazinasso 
precisou de um empréstimo de R$ 5.000,00, foi até o Banco Zen para verificar os custos 
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do empréstimo e foi informado pelo atendente que para o pagamento do empréstimo em 
10 vezes mensais e consecutivas, ele pagaria juros simples de 4,5% ao mês. Sr. Zebedeu 
achou o valor muito alto e procurou seu amigo Jaspion Brasileiro da Silva com a seguinte 
proposta: “Você me empresta R$ 5.000,00 e vou pagar a você a partir do próximo mês, 10 
parcelas mensais e consecutivas de R$ 700,00 cada uma”. Com base nas informações dadas 
assinale a alternativa correta.
a) O juro proposto por Zebedeu para pagamento a Jaspion é > o Juros proposto pelo banco
b) O juro proposto por Zebedeu para pagamento a Jaspion é = o Juros proposto pelo banco
c) O juro proposto por Zebedeu para pagamento a Jaspion é 4% ao mês
d) O juro proposto por Zebedeu para pagamento a Jaspion é 5% ao mês
e) O juro proposto por Zebedeu para pagamento a Jaspion é 5,5% ao mês
092. 092. (IBFC/2019/EMDEC/ANALISTA FINANCEIRO JR) A prefeitura de um certo município 
tem disponibilidade de recursos no valor de R$ 1.000.000,00, o gerente do banco de seu 
relacionamento ofereceu à prefeitura duas opções de aplicações financeiras, conforme 
expressa abaixo:
Opção 1: aplicação pós fixada, correção monetária pela TR (taxa Referencial) mais juros de 
0,5% ao mês. A projeção de TR para o próximo mês é de 1% a.m.
Opção 2: aplicação pré-fixada com juros de 1,7% com 15% de Imposto de Renda (I.R.) sobre 
os juros.
Assinale a alternativa correta que representa a melhor opção de investimento para a 
prefeitura.
a) Opção 1, pois rende R$ 15.000 de juros em um mês
b) Opção 1, pois rende R$ 15.050 de juros em um mês
c) Opção 2, pois rende R$ 17.000 de juros em um mês
d) As duas opções são iguais, com rendimento líquido de R$ 15.650 em um mês
093. 093. (IBFC/2019/EMDEC/ANALISTA FINANCEIRO JR) Uma pessoa depositou R$ 100.000,00 
em um tipo de investimento que rende juros compostos de 2,5% a.m. O prazo da operação 
foi de 3 meses. Assinale a alternativa correta que apresenta o valor de resgate desta 
aplicação financeira.
a) R$ 107.986,22
b) R$ 107.865,06
c) R$ 107.689,06
d) R$ 107.500,00
094. 094. (IBFC/2019/EMDEC/ANALISTA FINANCEIRO JR) Um indivíduo fez um empréstimo pessoal 
no banco de seu relacionamento e pagou R$ 14.400,00 de juros. O valor do empréstimo 
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foi R$ 120.000,00 e o prazo da operação foi de 4 meses. Assinale a alternativa correta que 
contenha a taxa mensal de juros simples cobrada pela instituição financeira.
a) 2,5%
b) 3,0%
c) 3,5%
d) 4,0%
095. 095. (IBFC/2019/IDAM/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR/CONTADOR) O Banco Alfa Beta S/A está 
oferendo a seus clientes uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês para aplicações no 
prazo de no mínimo 3 meses e valores superiores a $ 1 milhão. Um determinado cliente, 
resolveu aplicar $ 1.200.000,00 nesta modalidade de aplicação financeira pelo prazo de 6 
meses. Assinale a alternativa correta que corresponde ao valor aproximado dos juros que 
o banco pagará ao cliente.
a) $ 112.132,00
b) $ 89.034,00
c) $ 312.132,00
d) $ 108.000,00
ANÁLISE COMBINATÓRIA
096. 096. (CONSULPAM/2022/PREFEITURA DE IRAUÇUBA/CE/PROFESSOR DE ENSINO 
FUNDAMENTAL/MATEMÁTICA) Uma comissão será formada entre os senadores que compõem 
o senado federal. Espera-se que cada um dos 26 estados, como o Distrito Federal tenham, 
entre seus 3 representantes, 1 ou 2 senadores. De quantos modos essa comissão pode 
ser formada?
a)327
b)427
c)527
d)627
097. 097. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE VIANA/ES/NUTRICIONISTA) Em um hospital temos 
5 médicos e 8 enfermeiras. Será preciso formar uma equipe com 2 médicos e 5 enfermeiras. 
O número de possibilidades para se formar essa equipe é de:
a) 560.
b) 540.
c) 500.
d) 580.
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098. 098. (IDECAN/2019/IF-AM/ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO) Uma determinada prova de 
um concurso público possui 5 questões de raciocínio lógico. Cada uma dessas questões 
possui 5 itens a analisar, que devem ser julgados como corretos ou incorretos. De quantas 
maneiras um candidato pode responder a essas 5 questões, considerando respostas aos 
itens como corretos e incorretos?
a) 5.
b) 625.
c) 1024.
d) 3125.
e) 5000.
099. 099. (IDECAN/2018/IPC/ES/PROCURADOR PREVIDENCIÁRIO I) Para uma excursão ao museu, 
foram selecionados 8 meninos e 10 meninas. A coordenação da escola achou prudente 
formar uma comissão de liderança entre os estudantes selecionados, sendo que seriam 
escolhidos 2 meninos e 3 meninas. Quantas comissões podem ser formadas?
a) A10,3. A8,2
b) A10,3 + A8,2
c) C10,3. C8,2
d) C10,3 + C8,2
100. 100. (IDECAN/2018/AGU/ANALISTA TÉCNICO-ADMINISTRATIVO) Uma equipe mista de vôlei 
de quadra amador conta com um plantei de 15 jogadores, sendo 8 mulheres e 7 homens. 
Considerando que todos os jogadores podem jogar em todas as posições, a quantidade de 
equipes distintas que se pode formar com exatamente 3 homens e 3 mulheres é de
a) 1960.
b) 1920.
c) 1980.
d) 1950.
e) 1990.
PROBABILIDADE
101. 101. (CONSULPAM/2022/PREFEITURA DE IRAUÇUBA/CE/MOTORISTA/CHN D) Uma empresa 
tem cinco funcionários, cada um recebendo um salário de acordo com a tabela abaixo:
Funcionário Salário (R$)
Ana 1.200,00
João 1.100,00
Marcos 1.400,00
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Fátima 1.500,00
Juliana 2.000,00
Se o salário da Juliana aumentar em 20%, a média salarialdessa empresa vai:
a) Aumentar aproximadamente 5,5%.
b) Aumentar R$ 400,00.
c) Aumentar mais de R$ 100,00.
d) Aumentar menos de 5,5%.
102. 102. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE QUADRA/SP/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Uma 
pessoa quer ir na casa de um grande amigo da sua infância, porém ele não está sempre 
em casa, mas a probabilidade de encontrá-lo em casa é de 0,6. Se fizer 4 tentativas a 
probabilidade dessa pessoa encontrar seu grande amigo uma vez em casa é de:
a) 15,36%
b) 14,24%
c) 13,87%
d) 12,52%
103. 103. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE VIANA/ES/NUTRICIONISTA) Numa remessa de 10 
peças, 3 são defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente, uma após a outra sem 
reposição. A probabilidade de todas essas duas peças serem não-defeituosas é:
a) 49/100
b) 7/15
c) 21/50
d) 3/15
104. 104. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/FONOAUDIÓLOGO) Alice, Bruno, Carol e 
Daniel estavam treinando para fazer acertar gols. Alice acertou gols 6 de 9 tentativas, Bruno 
8 de 12, Carol 10 de 12 e Daniel 10 de 15. O amigo que realizou mais gols por tentativa foi:
a) Alice
b) Bruno
c) Carol
d) Daniel
105. 105. (IDECAN/2020/IF-RR/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) O departamento de controle de 
qualidade de uma fábrica fez uma amostragem com 400 peças e percebeu que existiam 6 
peças com defeito. Se uma pessoa retirar uma peça aleatoriamente dessa amostragem, 
qual a probabilidade de a peça não apresentar defeito?
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a) 1,5%.
b) 98,5%.
c) 98,9%.
d) 99%.
e) 99,5%.
GEOMETRIA ANALÍTICA
106. 106. (FUNDATEC/IF FARROUPILHA-RS/PROFESSOR EBTT - MATEMÁTICA/EDUCAÇÃO/2023) 
Considerando o ponto A (8, 4) e B (3, 9), é correto afirmar que o quadrado da distância 
entre os pontos A e B é:
a) 0.
b) 1.
c) 50.
d) √25.
e) √50
107. 107. (INSTITUTO FÊNIX/PREFEITURA DE PRESIDENTE CASTELLO BRANCO-SC/CONTROLADOR 
INTERNO/2023) Dois jovens estão jogando dardos em uma parede, e resolvem determinar 
a distância entre os pontos nos quais ficaram presos os dois últimos dardos lançados. 
Para isso, eles desenham nessa parede um plano cartesiano e determinam os pontos, em 
unidades de comprimento: (2, 3) e (8, 11). Qual das alternativas traz a distância entre esses 
dois pontos, em unidades de comprimento?
a) 
b) 10.
c) 
d) 76.
108. 108. (FGV/SMPOG DE BELO HORIZONTE-MG/ANALISTA DE PLANEJAMENTO E GESTÃO 
GOVERNAMENTAL: ADMINISTRAÇÃO/2023) Os pontos A, B e C estão, nessa ordem, 
sobre uma reta.
A distância entre A e B é de 18m e a distância entre B e C é de 43m. O ponto M é médio do 
segmento AB e o ponto N é médio do segmento MC.
A distância entre os pontos B e N é, em metros,
a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
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109. 109. (IGEDUC/PREFEITURA DE SURUBIM-PE/PROFESSOR II – MATEMÁTICA/2023) Julgue o 
item a seguir.
Por um ponto P fora de uma reta r passa uma única reta s perpendicular a r.
110. 110. (IGEDUC/PREFEITURA DE SURUBIM-PE/PROFESSOR II – MATEMÁTICA/2023) Julgue o 
item a seguir.
A equação da reta y = -2x + 4 é confirmadamente representativa dos pontos (1,2) e (3,-2), 
estabelecendo que ambos os pontos estão situados ao longo dessa reta.
111. 111. (INSTITUTO CONSULPLAN/PREFEITURA DE NOVA FRIBURGO-RJ/AGENTE DE COMBATE 
ÀS ENDEMIAS/2023) As prefeituras de dois municípios estão negociando a criação de uma 
linha de trem para unir as duas cidades. Esta linha contará apenas com duas estações para 
entrada de passageiros, localizadas nos pontos cartesianos dados por A (50 km, 30 km) e B 
(25 km, 45 km). Considerando-se que a linha de trem será construída com a menor distância 
possível entre as estações, pode-se concluir que sua extensão, em quilômetros, pertence 
a qual dos intervalos a seguir?
a) 5 km a 20 km.
b) 20 km a 25 km.
c) 25 km a 30 km.
d) 30 km a 35 km.
112. 112. (CETREDE/PREFEITURA DE GUAIÚBA-CE/PROFESSOR PEB II – MATEMÁTICA/2023) Se o 
ponto A(3, t) pertence à circunferência de centro no ponto C(0,5) e raio 2(10+4) - 25. Qual 
é o valor de t?
a) Um número natural.
b) Um número inteiro não natural.
c) Um número racional não inteiro.
d) Um número real não racional.
e) Um número não real.
113. 113. (FUNDATEC/PREFEITURA DE HARMONIA-RS/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2023) A 
equação da reta s que passa pelo centro da circunferência x2 + y2 – 6x + 6y – 7 = 0 e é 
perpendicular à reta r que possui equação geral –3x + 4y + 21 = 0 é dada por:
a) 3y – 4x – 3 = 0
b) 3y + 4x – 3 = 0
c) 3y + 4x – 1 = 0
d) –3y + 4x – 3 = 0
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
114. 114. (IBFC/SEC-BA/PROFESSOR DA EDUCAÇÃO BÁSICA – MATEMÁTICA/2023) A imagem da 
função ƒ: R → R definida por ƒ(x) = cos(x) é igual a Im(ƒ) = {y ∈ R | -1 ⪯ y ⪯ 1}. Sendo assim a 
imagem da função definida por ƒ(x) = 1 - 2.cos(x) é igual a:
a) [−1, 1]
b) [−1, 3]
c) [−2, 2]
d) [0, 1]
e) [−2, 0]
115. 115. (AGIRH/PREFEITURA DE ROSEIRA-SP/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2022) Em relação 
ao gráfico abaixo, é correto afirmar que se trata de:
a) Uma cossenóide de período 2π
b) Uma cossenóide de período 4π
c) Uma senoide de período 2π
d) Uma senoide de período 4π
116. 116. (CESPE-CEBRASPE/PETROBRAS/ANÁLISE – TRANSPORTE MARÍTIMO/2022) Julgue o 
item seguinte acerca de funções e trigonometria.
Se P(t) = 80 + 3.sen(t) + cos(t – π/2), em que 0 ≤ t ≤ 30, expressar (em dólares) o preço diário 
do barril de petróleo durante 30 dias de um determinado mês, então o valor máximo que 
o barril atingiu, nesse mês, foi igual a 83 dólares.
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117. 117. (FEPESE/PREFEITURA DE XAXIM-SC/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2019)
O maior valor real que a expressão pode assumir, com 0 ≤ x ≤ 4π, é:
a) Menor que 9,25.
b) Maior que 9,25 e menor que 9,75.
c) Maior que 9,75 e menor que 10.
d) Maior que 10 e menor que 10,25.
e) Maior que 10,25.
118. 118. (FUNRIO/PREFEITURA DE ALTA FLORESTA-MT/PROFESSOR – MATEMÁTICA/2019) Na 
função f(x) = tan x, os únicos valores de x que não possuem imagem são:
a) 90º e 330º
b) 90º e 270º
c) 120º e – 120º
d) 270º e 0º
e) 270º e 360º
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
119. 119. (FAU/PREFEITURA DE IMBITUVA-PR/AUXILIAR DE CONSULTÓRIO ODONTOLÓGICO/2023) 
Observe o padrão desta sequência:
Com base neste padrão lógico, o valor de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = corresponde a:
a) 6²
b) 7²
c) 8²
d) 9²
e) 10²
120. 120. (FUNDEP (GESTÃO DE CONCURSOS)/PREFEITURA DE VIÇOSA-MG/AUXILIAR DE SERVIÇO 
ESCOLAR/2023) O número da linha de ônibus que Luiz utiliza para ir ao trabalho pode ser 
representado pelo resultadoda operação 6³ (seis elevado ao cubo).
Qual é o número dessa linha de ônibus?
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a) 18.
b) 36.
c) 108.
d) 216
121. 121. (IVIN/PREFEITURA DE SANTANA DO PIAUÍ-PI/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2023) O 
valor do produto 555556² - 555555² é exatamente:
a) 25253530.
b) 5253530.
c) 5555555.
d) 5555550.
e) 1111111.
122. 122. (PREFEITURA DE BAURU–SP/PREFEITURA DE BAURU-SP - ENGENHEIRO ELETRICISTA/2023) 
Ao simplificarmos a expressão obteremos como resposta:
a) 32x+10
b) 32x
c) 3x
d) 9x2
123. 123. (IGEDUC/PREFEITURA DE TUPANATINGA-PE/PROFESSOR I/2-2023) Julgue o item 
subsequente.
Na operação de potenciação 5², o cálculo necessário para se obter o resultado será feito a 
partir da multiplicação dos fatores iguais, ou seja, 5 elevada à segunda potência, resultando 
em 25.
124. 124. (IESES/IBHASES/AUXILIAR DE LIMPEZA/2023) Assinale a propriedade operatória das 
potências que está INCORRETA:
a) a1 = a
b) an . am = am.n
c) (an)m
d) (a . b)n = an . bn
125. 125. (IVIN/PREFEITURA DE CANTO DO BURITI-PI/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS/2023) Qual 
o valor de ?
a) 1/2
b) 5/6
c) 6/5
d) 2/3
e) 3/2
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BINÔMIO DE NEWTON
126. 126. (IDIB/CRM – PB/AGENTE FISCAL/2022) A seguir, temos o triângulo de Pascal. Os 
seus termos obedecem a uma sequência lógica e podem ser calculados por uma simples 
combinação. Determine o valor que corresponde à posição .
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
127. 127. (QUADRIX/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA – MATEMÁTICA/2022) Considerando 
o desenvolvimento , em que a e b são reais e n é natural, julgue o item.
Se n = 5, então a média dos coeficientes da expansão desse binômio é maior que 5.
128. 128. (QUADRIX/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA – MATEMÁTICA/2022) Considerando 
o desenvolvimento de , em que a e b são reais e n é natural, julgue o item.
Se n = 10, então a soma de todos os coeficientes do desenvolvimento é igual a 1.024.
129. 129. (QUADRIX/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA – MATEMÁTICA/2022) Considerando 
o desenvolvimento de (a + b)n, em que a e b são reais e n é natural, julgue o item.
Se n = 1.234, então o número de termos da expansão é um número primo.
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130. 130. (QUADRIX/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA – MATEMÁTICA/2022) Considerando 
o desenvolvimento de (a + b)n, em que a e b são reais e n é natural, julgue o item.
Se n = 6, então o coeficiente do termo que contém a4b2 é 15.
MEDIDAS DE DISPENSÃO
131. 131. (FUNCAB) Em estatística, existe um conceito que é definido, para um conjunto de 
dados, como “a média dos quadrados das diferenças dos valores em relação à sua média. 
“essa definição conceitua:
a) amplitude.
b) desvio-padrão.
c) coeficiente de variação.
d) variância.
e) estimador
132. 132. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP) Utilize o texto e as tabelas para responder 
à questão.
Duas amostras de 8 pessoas foram escolhidas em duas escolas, A e B, para a realização 
de um estudo sobre a obesidade entre adolescentes. As 16 pessoas foram pesadas, e o 
resultado está expresso nas tabelas a seguir:
 Escola A Escola B
Pessoas Massa (kg) Pessoas Massa (kg)
1 62 1 73
2 63 2 66
3 65 3 70
4 60 4 71
5 64 5 72
6 63 6 71
7 66 7 72
8 61 8 73
A soma das variâncias obtidas em cada um dos grupos é igual a
a) 7.
b) 9.
c) 8.
d) 6.
e) 10.
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133. 133. (VUNESP/DESENVOLVESP) Um casal tem 4 filhos com idades de 1, 6, 8 e 15 anos, 
respectivamente. O desvio padrão das idades dos filhos é de, aproximadamente,
a) 625.
b) 15.
c) 14.
d) 7.
e) 5.
134. 134. (ESAF) Em certa empresa, o salário médio era de R$ 90.000,00 e o desvio padrão dos 
salários era de R$ 10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio 
padrão dos salários passou a ser de:
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.100,00
c) R$ 10.500,00
d) R$ 10.900,00
e) R$ 11.000,00
135. 135. (CESGRARNIO) Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
136. 136. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS) Seja X uma variável com média 3 e coeficiente de variação 
igual a 0,5. Seja Y = -2X + 3. As variâncias de X e Y são dadas, respectivamente, por
a) 1,5 e 6.
b) 2,25 e 9.
c) 1,5 e 3.
d) 2,25 e 5.
e) 2,5 e 6.
137. 137. (ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas, tem média amostral 
5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, 
para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.
a) 16,7%
b) 20,0%
c) 55,0%
d) 50,8%
e) 70,2%
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138. 138. (ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale 
a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7%
d) 31,2%
e) 10,0%
139. 139. (VUNESP/MPE-SP) Na estatística, são considerados medidas de dispersão:
a) média e moda.
b) percentil e coeficiente de variação.
c) amplitude total e percentil.
d) amplitude total e desvio padrão.
e) variância e média.
LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS
140. 140. (FCC/SERGIPE GÁS/ASSISTENTE TÉCNICO ADMINISTRATIVO – RH) Acerca das 
Representações Gráficas, considere:
I – Histograma é um gráfico que apresenta a distribuição de frequências de uma variável 
por meio de retângulos justapostos, feitos sobre as classes dessa variável, sendo que a 
área de cada retângulo é proporcional à frequência observada da correspondente classe.
II – O gráfico de setores não é adequado para representar variáveis quantitativas.
III – O gráfico de colunas contrapostas (ou opostas) não é adequado para representar 
variáveis quantitativas contínuas.
Está correto o que consta APENAS em
a) I.
b) III.
c) I e II.
d)I e III.
e) II e III.
141. 141. (FCC/BANCO DO BRASIL/ESCRITURÁRIO) O supervisor de uma agência bancária obteve 
dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários.
O Gráfico I mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários A e B, durante 
2 horas e meia.
O Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, De E, 
durante 3 horas e meia.
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Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de 
atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por 
hora, que o funcionário B realizou a mais que o funcionário C é
a) 3.
b) 10.
c) 5.
d) 6.
e) 4.
142. 142. (FCC/ESCRITUÁRIO) Preocupado com o horário de maior movimento, que se dá entre 
meio dia e uma e meia da tarde, o supervisor colocou esses cinco funcionários trabalhando 
simultaneamente nesse período. A partir das informações dos gráficos referentes ao 
ritmo de trabalho por hora dos funcionários, o número de atendimentos total que os cinco 
funcionários fariam nesse período é
a) 57.
b) 19.
c) 38.
d) 45.
e) 10.
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143. 143. (FCC/METRÔ-SP/ANALISTA DESENVOLVIMENTO GESTÃO JÚNIOR - MATEMÁTICA/
ESTATÍSTICA) A distribuição das medidas dos comprimentos, em metros (m), dos 400 
cabos, em estoque, de uma empresa, está representada pelo histograma abaixo. No eixo 
das ordenadas constam as respectivas densidades de frequências, em m-1. Densidade de 
frequência de um intervalo de classe é o resultado da divisão da respectiva frequência 
relativa pela correspondente amplitude do intervalo.
Considerando que os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita, então
a) 240 cabos possuem um comprimento de, pelo menos, 3 m e inferior a 6 m.
b) 125 cabos possuem um comprimento inferior a 4 m.
c) 90% dos cabos possuem um comprimento inferior a 7 m.
d) a quantidade de cabos com comprimento de, pelo menos, 3 m e inferior a 7 m é igual 
a 300.
e) a quantidade de cabos com comprimento inferior a 3 m ou comprimento igual ou superior 
a 7 m é igual a 80.
144. 144. (CESGRANRIO/CAPES/ASSISTENTE EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA) As questões de nos 41 a 
43 são referentes ao Exame Nacional de Desempenho de Estudantes (ENADE), aplicado em 
2006 a alunos ingressantes e concluintes de 5.701 cursos, de 1.600 instituições de ensino 
superior do País.
Para responder às questões de nos 42 e 43, considere os gráficos apresentados a seguir, 
referentes às respostas dadas por 120.082 ingressantes e 71.508 concluintes de determinada 
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área à questão que perguntava sobre o meio mais utilizado para se manter atualizado acerca 
dos acontecimentos do mundo contemporâneo
Qual o tipo de mídia MENOS utilizado pelos dois grupos de estudantes?
a) Jornais.
b) Revistas.
c) TV.
d) Rádio.
e) Internet.
145. 145. (CESGRANRIO/CAPES)
A amplitude do número de bolsas de doutorado oferecidas pela Capes nesse período foi
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a) 672.
b) 1.280.
c) 1.298.
d) 2.204.
e) 2.443.
146. 146. (CESGRANRIO/CAPES/ASSISTENTE EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA) Utilize os dados do 
gráfico a seguir, relativos à Avaliação Trienal dos cursos e programas de pós-graduação 
realizada pela Capes em 2007.
O percentual de programas que tiveram conceito mínimo igual a 4,0 é
a) 15,0%.
b) 28,5%.
c) 32,0%.
d) 34,6%.
e) 65,3%.
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GABARITOGABARITO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. b
2. b
3. c
4. c
5. c
6. d
7. a
8. b
9. c
10. e
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
11. d
12. d
13. b
14. c
15. c
MMC E MDC
16. d
17. d
18. b
19. c
20. a
GRANDEZAS E MEDIDAS
21. b
22. b
23. b
24. b
25. d
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
26. d
27. c
28. c
29. a
30. c
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
31. c
32. a
33. a
34. d
35. e
36. d
37. e
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NOÇÕES DE FUNÇÃO
38. c
39. E
40. e
41. a
42. d
43. c
44. c
45. a
46. c
PORCENTAGEM
47. c
48. b
49. c
50. a
51. a
52. c
PROPORCIONALIDADES
53. a
54. c
55. a
56. a
57. e
58. c
LINGUAGEM DOS CONJUNTO
59. c
60. c
61. a
62. b
63. c
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
64. a
65. b
66. a
67. c
68. e
GEOMETRIA PLANA
69. b
70. d
71. c
72. a
73. b
74. b
GEOMETRIA ESPACIAL
75. c
76. b
77. d
78. a
79. d
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MATRIZES E DETERMINANTES
80. a
81. d
82. e
83. d
84. d
SISTEMAS LINEARES
85. a
86. d
87. d
88. b
89. c
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
90. a
91. c
92. b
93. c
94. b
95. a
ANÁLISE COMBINATÓRIA
96. d
97. a
98. d
99. c
100. a
PROBABILIDADE
101. a
102. a
103. b
104. c
105. b
GEOMETRIA ANALÍTICA
106. c
107. b
108. b
109. C
110. C
111. c
112. a
113. b
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
114. b
115. c
116. E
117. a
118. b
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POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
119. c
120. c
121. C
122. b
123. C
124. b
125. c
BINÔMIO DE NEWTON
126. a
127. C
128. C
129. E
130. C
MEDIDAS DE DISPENSÃO
131. d
132. c
133. e
134. e
135. d
136. b
137. a
138. c
139. d
LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS
140. a
141. e
142. a
143. d
144. d
145. a
146. e
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GABARITO COMENTADOGABARITO COMENTADO
CONJUNTOS NUMÉRICOS
001. 001. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA – SP/FONOAUDIÓLOGO) Analise as 
afirmativas abaixo:
I – 14 /18 = 7 / 8 = 0,85
II – 26 / 100 = 13 / 50 = 0,26
III – 18/ 81 = 2/ 3 = 0,6
Está(ão) correta(s) a(s) reduções feitas em:
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e III.
d) I, II e III.
Vamos verificar cada item. Observe que os itens aparecem uma simplificação de uma fração 
é o seu valor em decimais.
Para resolver essa questão, precisamos saber que uma fração equivalente é encontrada 
quando multiplicamos ou quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração 
pelo mesmo número.
O número decimal é encontrado quando dividimos o numerador pelo denominador da fração.
Então temos:
I – 14 /18 = 7 / 8 = 0,85.
Se simplificarmos a primeira fração por 2, teremos:
Logo, o item está errado.
II – 26 / 100 = 13 / 50 = 0,26
Se simplificarmos a primeira fração por 2, teremos:
Dividindo o numerador pelo denominador:
Item certo.
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III – 18/ 81 = 2/ 3 = 0,6
Se simplificarmos a primeira fração por 9, teremos:
O item está errado.
Com isso, podemos concluir que o único item correto é o II.
Letra b.
002. 002. (IBFC/2021/MGS/CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL COMPLETO) Paulo gastou 3/5 de 
seu salário e ainda lhe restou R$ 480,00.
Nessas circunstâncias, o valor do salário que Paulo gastou foi:
a) R$ 288,00
b) R$ 720,00
c) R$ 360,00
d) R$ 1.080,00
O salário completo de Paulo representa o inteiro completo, ou seja, 5/5. Se ele gastou 3/5 
do seu salário, então só sobrou:
Esses 2/5 correspondem aos R$480,00 restantes.
Então basta uma regra de três simples para encontrar o valor do salário que Paulo gastou:
Resolvendo, temos:
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Ou seja, Paulo gastou R$720,00 do seu salário.
Letra b.
003. 003. (IBFC/2021/MGS/CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL INCOMPLETO) Marlene foi à feira e 
comprou duas dúzias de laranja e uma dúzia de banana. O preço da dúzia de laranja foi R$ 
6,00 e o preço da dúzia de banana é igual a 2/3 do preço da dúzia de laranja. O valor gasto 
por Marlene por esses dois itens foi:
a) R$ 14,00
b) R$ 15,00
c) R$ 16,00
d) R$ 18,00
Primeiro vamos descobrir quanto custa o peço da dúzia da banana.
O preço da dúzia de laranja foi R$ 6,00 e o preço da dúzia de banana é igual a 2/3 do preço 
da dúzia de laranja.
Então:
Sabendo que Marlene foi à feira e comprou duas dúzias de laranja e uma dúzia de banana, 
então temos:
Logo, Marlene gastou R$16,00.
Letra c.
004. 004. (IBFC/2021/PREFEITURA DE SÃO GONÇALO DO AMARANTE – RN/AGENTE ADMINISTRATIVO) 
Em uma determinada rede social Joana e Cecília resolvem comparar seu grupo de amigos. 
O número de pessoas dessa rede que são amigas de Joana ou de Cecília são 987. Dado que 
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Joana tem 450 amigos e Cecília tem 650 amigos. Assinale a alternativa que indica o valor 
de amigos comuns a Joana e Cecília nesta rede social.
a) 337
b) 200
c) 113
d) 93
O número de pessoas dessa rede que são amigas de Joana ou de Cecília são 987. Observe 
que a proposição ou serve para informar que essa é a quantidade de pessoas que são amigas 
das duas, sem que uma única pessoa seja contada mais de uma vez.
Se foi dito que Joana tem 450 amigos e Cecília tem 650 amigos, somando essas duas 
quantidades, temos:
Ou seja, um valor superior aos 987 amigos citados antes.
Isso significa que a diferença entre esses números são as pessoas que Joana e Cecília 
possuem em comum nas suas redes.
Então, os amigos em comum serão:
Letra c.
005. 005. (IBFC/2021/Prefeitura de São Gonçalo do Amarante – RN/Administrador)O número 1/3 
(um terço) em representação decimal assume a forma: 0,33333… com uma infinidade de casas 
decimais seguintes (repetitivas) com o algarismo 3. Considere o seguinte procedimento para 
descobrir o par de números que forma uma dízima periódica baseado em uma sequência 
de operações aritméticas rudimentares e no encadeamento lógico sequencial:
N = 0,33333... ⇒ 10N = 3,33333 ⇒ 10N - N = 3 ⇒ 9N = 3 ⇒ N = 3/9 ⇒ N = 1/3
Baseado neste procedimento, analise as afirmativas abaixo e dê valores Verdadeiro (V) ou 
Falso (F).
(  ) � 0,999999… = 1
(  ) � 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1/9
(  ) � Um número que não exibe repetição como: 0,123456789101112131415… (onde se 
encadeiam os inteiros crescentes ao longo de suas casas decimais) pode ter a fração 
determinada da mesma maneira.
Assinale a alternativa que avalia corretamente as afirmações acima em termos da mesma 
lógica apresentada no procedimento.
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a) F, F, F
b) F, V, V
c) V, V, F
d) F, V, F
Para resolver a questão, precisamos aplicar o procedimento que foi imposto no enunciado 
da questão.
Então vamos analisar item por item:
(V) 0,999999… = 1
Vamos chamar de 
Logo, 
Subtraindo N:
Conforme o procedimento. 
(V) 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1/9
Podemos escrever a soma como 
Logo, 
Aplicando o procedimento:
(F) Um número que não exibe repetição como: 0,123456789101112131415… (que se 
encadeiam os inteiros crescentes ao longo de suas casas decimais) pode ter a fração 
determinada da mesma maneira.
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Observe quando multiplicarmos por 10 as casas decimais serão diferentes o que impedirá 
a subtração para obter um resultado inteiro.
Desta forma, podemos concluir que a ordem das sentenças será. 
Letra c.
006. 006. (IDECAN/2018/CRF-SP/FARMACÊUTICO FISCAL) Onde investir seu dinheiro? Conheça 
as vantagens dos fundos
Há opções para todos os perfis de investidores, com possibilidade de rendimentos acima 
da poupança.
Um fundo de investimento é formado por um grupo de investidores, chamados de cotistas. 
Imagine como se fosse um condomínio, no qual cada dono de cota seria um condômino. 
Com o dinheiro de todos os cotistas, o fundo investe em ativos do mercado financeiro, 
buscandoa melhor rentabilidade. Depois, o resultado ao longo do tempo será dividido 
entre os investidores, proporcionalmente ao que cada um aplicou. Há vários tipos de fundo, 
classificados de acordo com as características dos ativos em que ele investe (renda fixa, 
multimercado, de ações, entre outros). Cada fundo tem suas regras, que definem, por 
exemplo, em que ativos o dinheiro será aplicado, suas estratégias, suas metas, taxas de 
administração e demais especificações.
(Disponível em: http://g1.globo.com/economia/seu-dinheiro/especial-publicitario/orama/noti-
cia/2017/07/onde-investir-seu-dinheiro-veja-vantagens-dos-fundos.html)
Um cliente de um banco possui certa quantia aplicada em um fundo de investimento. 
Pensando em entrar no financiamento do projeto do Governo Federal, “Minha casa minha 
vida”, ele considera duas possibilidades: resgatar 1/7 ou 1/3 da quantia aplicada. Se optar 
pelo resgate maior, ele terá R$ 12.000,00 a mais para arcar com os custos de escritura e 
impostos. Portanto, em reais, o fundo de investimento deste cliente é:
a) 30.000,00.
b) 43.000,00.
c) 53.000,00.
d) 63.000,00.
Primeiro precisamos identificar qual das duas frações é a maior. Existem várias formas de 
verificar qual é a maior fração. Uma das formas seria dividir o numerador pelo denominador 
e ver qual o número decimal é o maior.
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Outra forma, seria encontrar frações equivalente com os denominadores iguais, para isso 
usaremos o MMC.
x
Frações equivalentes:
Agora é só comparar os numeradores:
Então identificamos que 1/3 é a fração menor e, portanto, essa fração equivale a R$12.000,00.
Se optar pelo resgate de 1/3, ele terá R$ 12.000,00 a mais que o resgate de para arcar com 
os custos de escritura e impostos.
Como não sabemos o valor do fundo vamos chamar de x. Então podemos formar a equação:
Tirando o MMC (3,7)=21:
Cancelamos os denominadores
Letra d.
007. 007. (IBFC/2011/MPE-SP/OFICIAL DE PROMOTORIA) Somando 2,33.... e 3,111... podemos 
dizer que a terça parte dessa soma vale:
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a) 49/ 27
b) 49/ 9
c) 27/ 7
d) 54/ 8
Devemos primeiro descobrir as funções geratrizes dos dois números, ou seja, fragmentando 
os números e logo após colocando na forma fracionária para que possamos realizar a soma:
2,333...= 2 + 0,3333...= 2 + 3/9 = 21/9
3,111...= 3 + 0,111... = 3 + 1/9 = 28/9
Somando-se as duas frações, temos que 21/9 + 28/9 = 49/9
A terça parte desta soma será: 49/9 x 1/3 = 49/27
Letra a.
008. 008. (FGV/2016/SEE-PE/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; 
c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o maior desses números e o menor deles é
a) 0,15.
b) 0,21.
c) 0,293.
d) 0,308.
e) 0,31.
Uma maneira simples de trabalharmos com números racionais é transformá-los em fração.
Vejamos:
a = 0,34 = 34/100
b = 0,4 = 4/10
c = 0,19 = 19/100
d = 0,312= 312/1000
Vamos fazer com que todos os números possuam os mesmos denominadores, neste 
caso, multiplicamos o numerador e o denominador pelos mesmos números para que o 
denominador seja igual a 1000.
a = 0,34 = 34/100 ( x 10) = 340/1000
b = 0,4 = 4/10 ( x 100) = 400/1000
c = 0,19 = 19/100 ( x 10)= 190/1000
d = 0,312= 312/1000 = (não precisa)
Analisando as frações, temos que o maior número é o “b” e o menor é o “c”.
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Letra b.
009. 009. (FGV/SEDUC PE/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2016) Sete amigas foram a um restaurante 
e dividiram a conta igualmente entre elas.
Entretanto, Mônica esqueceu a carteira em casa e cada uma de suas seis amigas pagou R$ 
7,25 a mais para cobrir a parte dela.
O valor total da conta foi
a) R$ 261,10.
b) R$ 298,20.
c) R$ 304,50.
d) R$ 326,20.
e) R$ 332,50.
Temos uma questão que envolve números racionais, porém é importante entendermos a 
lógica utilizada para que possamos realizar as operações corretas, vamos lá!
A conta seria paga pelas sete amigas, em partes iguais, como uma delas esqueceu a carteira 
e foi atribuída a cada uma das presentes o valor de R$7,25, podemos inferir que a parte 
daquela que não pagou corresponde a 6 x 7,25 que será igual a 43,5. Como no início todas 
pagariam a mesma quantia, a conta total corresponde a 7 x 43,5 que é igual a 304,5.
Letra c.
010. 010. (FGV/2016/SEE-PE/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Paula escreveu um número inteiro 
três vezes e um outro número inteiro quatro vezes. A soma dos sete números é 200 e um 
dos números é 36.
O outro número é
a) 56.
b) 42.
c) 32.
d) 26
e) 23.
Vamos considerar que um dos números é representado pela letra A e o outro pela letra B.
Teremos:
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1ª possibilidade: B +B+B + A + A + A + A = 200
Ou
2ª possibilidade: B +B+B +B +A + A + A = 200
É importante observar que temos 02 possibilidades, porém só será aceita aquela que os 
números sejam inteiros, correto? Sendo assim, iremos verificar.
1ª possibilidade: B +B+B + A + A + A + A = 200
A = 36
B +B+B + A + A + A + A = 200
3B + 4(36) = 200
3B = 200 – 144
3B = 56
B= 18,888 (não pertence ao conjunto dos números inteiros).
2ª possibilidade: B +B+B +B + A + A + A = 200
A = 36
4B + 3 A = 200
4B + 3(36) = 200
4B = 200 – 108
4B = 92
B= 92/4
B = 23 (pertence ao conjunto dos números inteiros)
A segunda possibilidade será a correta, ou seja, A = 36 e B = 23.
Letra e.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
011. 011. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE QUADRA/SP/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) No 
número 372n19, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível por 9?
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 5.
Para que um número seja divisível por 9, a soma relativa dos seus algarismos deverá resultar 
em um número também divisível por 9.
Ou seja, tem que resultar em um número divisível por 9.
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Agora, olhamos para a alternativas e vamos substituir o valor de n:
, porém o número 30 não é divisível por 9, logo, n não poderá ser 8.
. Da mesma forma, 29 não é divisível por 9.
O n também não poderá ser 6, pois 28 não é divisível por 9.
O número 27 é divisível por +9, logo, n será igual a 5.
Letra d.
012. 012. (IUDS/2022/PREFEITURA DEPEDREIRA/SP/ENGENHEIRO I/ESPECIALISTA EM SEGURANÇA 
DO TRABALHO) Admita a sequência de números representada a seguir:
{1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 e 80}
Essa sequência representa os:
a) Múltiplos de 80
b) Múltiplos de 160
c) Divisores de 20
d) Divisores de 80
Para resolver essa questão, precisamos saber os conceitos de divisores e de múltiplos de 
um número.
Divisores: Um número será divisor do outro quando a divisão entre eles for exata, ou seja, 
não deixa resto. É um conjunto finito.
Múltiplos: Os múltiplos de um número são o resultado da multiplicação por todos os outros 
números inteiros. É um conjunto infinito de elementos.
Sabendo desses conceitos, vamos verificar as alternativas:
a) Errada. Os múltiplos de 80 seriam {80, 160, 240,...}.
b) Errada. Os múltiplos de 80 seriam { 160, 320, 480...}.
c) Errada. Os divisores de 20 seriam {1, 2, 4, 5, 10, 20}
d) Certa. O conjunto representa todos os divisores de 80.
Letra d.
013. 013. (IBFC/2021/MGS/CARGOS DE NÍVEL FUNDAMENTAL COMPLETO) O número 2358 foi 
dividido pelo número x e obteve-se o resultado 98 com resto igual a 6. Nessas circunstâncias, 
assinale a alternativa que apresenta a soma dos algarismos do número x:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
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Em uma divisão, o dividendo pode ser escrito como:
Na operação feita, 2358 é o dividendo, o número x é o divisor, o quociente é igual a 98 e o 
resto vale 6.
Substituindo essas informações, temos:
A questão busca a soma dos algarismos de x, ou seja:
Letra b.
014. 014. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ARTÍFICE/OBRAS E 
SERVIÇOS PÚBLICOS) Ferraz de Vasconcelos tem, aproximadamente, 196500 habitantes 
distribuídos em 132 bairros (distritos e localidades). Caso essa população fosse distribuída 
igualmente pelos bairros, o número de habitantes em cada bairro, aproximadamente, seria de
a) 1474.
b) 1478.
c) 1488.
d) 1494.
e) 1498.
Essa é uma questão simples de divisão. Então basta dividirmos a quantidade total de 
habitantes pela quantidade de bairros disponíveis.
Se fizermos o cálculo rápido, temos:
Ou se preferir, fazendo manualmente:
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Ou seja, aproximadamente 1488habitantes em cada bairro.
Letra c.
015. 015. (IBFC/PM SE/2018) Um número é composto por 3 algarismos sendo que o algarismo 
da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena desse 
número de modo que ele seja divisível por 3 é:
a) 15
b) 18
c) 12
d) 9
Os possíveis números que podemos formar com a centena sendo 7 e a unidade sendo 4, 
de tal maneira que eles sejam divisíveis por 3 são:
Para que um número seja divisível por 3, a soma dos algarismos do próprio número deve 
ser divisível por 3. Logo, nesta questão, o número começa com 7 (centena), termina com 
4(unidade) e teremos que encontrar o número “X” da dezena que somado com o 7 e o 4 
seja divisível por 3.
Vamos colocar na posição das dezenas os algarismos de 0 a 9 e verificar quais são os números 
que somados os algarismos é divisível por 3.
7+ 0 + 4 = 11 (a soma não é divisível por 3)
7+ 1 + 4 = 12 (a soma é divisível por 3)
7+ 2 + 4 = 13 (a soma não é divisível por 3)
7+ 3 + 4 = 14 (a soma não é divisível por 3)
7+ 4 + 4 = 15 (a soma é divisível por 3)
7+ 5 + 4 = 16 (a soma não é divisível por 3)
7+ 6 + 4 = 17 (a soma não é divisível por 3)
7+ 7 + 4 = 18 (a soma é divisível por 3)
7+ 8 + 4 = 19 (a soma não é divisível por 3)
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7+ 9 + 4 = 20 (a soma não é divisível por 3)
Logo, 1 + 4 + 7 = 12
Letra c.
MMC E MDC
016. 016. (IUDS/2022/PREFEITURA DE PEDREIRA/SP/MOTORISTA) Ana e Bianca trabalham na 
mesma empresa. Ana tira um dia de folga a cada 8 dias de trabalho. Já Bianca tira um dia 
de folga a cada 12 dias de trabalho. Se as duas colegas tiraram folga juntas no dia 1º de 
maio, o próximo dia em que elas irão tirar folga juntas novamente será:
a) 8 de maio
b) 12 de maio
c) 16 de maio
d) 24 de maio
Para saber qual será o próximo encontro das folgas, é necessário tirar o mínimo múltiplo 
comum entre os períodos de folga de cada.
Logo, o próximo encontro ocorrerá daqui a 24 dias.
Essa questão gerou bastante polêmica, pois o correto seria dia 25 de maio, pois a primeira 
folga ocorreu no dia 1º de maio.
Porém, a banca considerou dia 24 de maio.
Letra d.
017. 017. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/AGENTE CERIMONIAL) Para 
completar seus ganhos mensais, um trabalhador vende bolo em pedaços, na porta de 
um prédio de escritórios, uma vez por semana. Para isso, ele prepara, em sua casa, cinco 
bolos de sabores variados, usando assadeiras retangulares iguais, de 40 cm por 24 cm, e 
cortando todos os bolos em pedaços quadrados iguais, com o maior lado possível, sem 
que haja qualquer desperdício. Supondo que ele consiga vender, no dia, toda quantidade 
de bolo produzida, e considerando-se que deseja arrecadar pelo menos R$ 300,00 a cada 
dia, o trabalhador deve vender cada pedaço de bolo por, no mínimo,
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a) um real.
b) dois reais.
c) três reais.
d) quatro reais.
e) cinco reais.
Primeiro precisamos verificar a quantidade de pedaços que esse trabalhador consegue 
obter em cada assadeira.
Como cada assadeira tem a medida de 40 cm por 24 cm, para cortarem pedaços quadrados 
iguais, com o maior lado possível, sem que haja qualquer desperdício, devemos calcular o 
máximo divisor comum (MDC) entre os números 40 e 24.
Vamos escrever os divisores dos números:
Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Divisores de 24: 1, 2,3, 4, 6, 8, 12, 24
Observe que o MDC entre eles será igual a 8.
Ou seja, cada pedaço será um quadrado de lado igual a 8. Desta forma, cada pedaço terá 
uma área igual a 
Como a área de cada assadeira é calculado como largura x comprimento, temos:
Agora para descobrir a quantidade de pedaços, dividimos o valor da área da assadeira pelo 
valor da área ocupado por cada pedaço:
pedaços
Como serão 5 assadeiras:
pedaços.
Sabendo que ele deseja arrecadar pelo menos R$ 300,00 a cada dia, o trabalhador deve 
vender cada pedaço de bolo por, no mínimo:
Letra d.
018. 018. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) 
Damião tem dois canos de cobre de comprimentos diferentes. Sabe-se que o comprimento 
de um deles é igual a 3/5 do comprimento do outro, e que a soma dos comprimentos de 
ambos é igual a 2,08 m. Damião pretende dividir os dois canos em pedaços de comprimentos 
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iguais, sendo esse comprimento o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço. 
Nessas condições, o número de pedaços obtidos por Damião nessa divisão será igual a
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
e) 5.
Observe que antes de fazer a divisão precisamos primeiro saber qual o tamanho real de 
cada cano.
Como foi mencionado, existe uma relação entre os dois canos, pois um deles é igual a 3/5 
do comprimento do outro.
Então, temos:
Cano A: 
Cano B: 
Outra informação sobre a medida desses canos é que a soma dos comprimentos de ambos 
é igual a 2,08 m:
Lembre-se de que para somar frações devemos ter denominadores iguais. Então, procuramos 
frações equivalentes com denominadores iguais a 5. Esse processo pode ser feito pelo MMC.
Eliminando os denominadores:
Então podemos verificar que os tamanhos dos canos serão:
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Cano A: 
Cano B: 
A segunda parte da questão diz que Damião pretende dividir os dois canos em pedaços de 
comprimentos iguais, sendo esse comprimento o maior possível, de modo que não reste 
nenhum pedaço. A expressão em destaque indica a realização de MDC – Máximo Divisor 
comum ente 1,3m e 0,78m.
Para não trabalharmos com números decimais, vamos transformar as medidas para 
centímetros:
MDC (130, 78) =
Ou seja, cada pedaço terá 26cm de comprimento de forma que:
pedaços
pedaços
Ao total: 
Letra b.
019. 019. (FUNDEP/2018) Heitor faz judô de 5 em 5 dias e faz aulas de inglês de 3 em 3 dias.
De quantos em quantos dias, ele pratica as duas atividades no mesmo dia?
a) de 34 em 34 dias.
b) de 16 em 16 dias.
c) de 15 em 15 dias.
d) de 8 em 8 dias.
Vamos calcular o MMC entre 5 e 3. Uma outra dica para você, veja: Se os números forem 
primos, o MMC será a multiplicação entre eles, beleza?
Desta forma, é só multiplicar 3 por 5 que será 15 dias, ou seja, de 15 em 15 dias.
Letra c.
020. 020. (VUNESP/PREFEITURA DE ITANHAÉM – SP/2017) Três seguranças de uma empresa, 
durante a ronda, devem sempre passar por um determinado relógio de controle. O segurança 
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A passa pelo relógio a cada 18 minutos, o segurança B a cada 24 minutos e o segurança C 
a cada 42 minutos. Em certo dia, às 22h, os três seguranças estavam, ao mesmo tempo, 
no relógio de controle. O próximo encontro dos três, ao mesmo tempo, nesse relógio, 
aconteceu no dia seguinte às
a) 6h 24min.
b) 6h 40min.
c) 7h 36min.
d) 8h 24min.
e) 8h 40min.
Mais uma vez podemos interpretar que se trata de MMC “O Deus dos encontros, Risos”
18, 24, 42 | 2
 9, 12, 21 | 2
 9, 6, 21 | 2
 9, 3, 21 | 3
 3, 1, 7 | 3
 1, 1, 7 | 7
 1, 1, 1
= 23 * 32 * 7 = 504 minutos (dividimos por 60 para saber quantas horas se passaram) = 
8,4 horas.
Podemos pensar que foram 8 horas + 0,4 horas.
A parte decimal 0,4 multiplicamos por 60 para transformar em minutos = 24 minutos.
A questão informa que é contar a partir das 22horas, logo, das 22h somamos 8 horas e 24 
minutos, podemos inferir que o próximo encontro dos três, ao mesmo tempo, nesse relógio, 
aconteceu no dia seguinte às 6horas e 24min.
Letra a.
GRANDEZAS E MEDIDAS
021. 021. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE RESENDE/RJ/VETERINÁRIO) O mapa abaixo tem 
de escala 1/400 000. A distância entre as cidades A e B é de 12 cm, logo a distância real 
entre essas duas cidades é:
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a) 30 km.
b) 48 km.
c) 24 km.
d) 40 km.
A escala é uma razão especial onde o numerador representa o desenho e o denominador 
a imagem real:
O mapa dado tem a escala de 1/400.000. Isso significa que a cada 1cm do desenho, temos 
400.000 cm do tamanho real.
Como são 12 cm entre as cidades A e B, a quantidade de cm do tamanho real será:
Agora devemos transformar essa medida para quilômetros, como apresenta as alternativas.
Ou seja, dividimos 4.800.000 por 100.000= 48km.
Letra b.
022. 022. (CONSULPAM/2019/PREFEITURA DE QUADRA/SP/SECRETÁRIO ESCOLAR) Uma cozinheira 
começou a fazer o jantar às 16h e 30min. Logo esse tempo em horas é:
a) 16,3 horas.
b) 16,5 horas.
c) 16,7 horas.
d) 16,6 horas.
Para transformar esse tempo apenas em medida de horas, precisamos converter os minutos 
em hora.
O sistema de medida de tempo é um sistema sexagesimal, ou seja:
1Hora= 60 minutos
60 minutos= 60 segundos.
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Então para transformar 30 minutos em horas devemos dividir 30 por 60:
Ou seja, 16horas e 30 minutos é igual a 16,5 horas.
Letra b.
023. 023. (CONSULPAM/2018/CÂMARA DE JUIZ DE FORA/MG/ASSISTENTE LEGISLATIVO I) Um 
trabalhador demorou 2 horas e 35 minutos para ir de sua casa ao seu trabalho, logo esse 
tempo em segundos é:
a) 9 500.
b) 9 300.
c) 8 700.
d) 8 500.
Como já vimos, para transformar esse tempo em horas, precisamos fazer a conversão de 
horas e minutos em segundos
O sistema de medida de tempo é um sistema sexagesimal, ou seja:
1Hora= 60 minutos
60 minutos= 60 segundos.
Como foram 2 horas, transformando para segundos, temos:
Transformando os 35 minutos:
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Logo, o valor total, em segundos, foi de:
Letra b.
024. 024. (IUDS/2022/CÂMARA DA ESTÂNCIA DE SOCORRO/SP/OFICIAL ADMINISTRATIVO) A 
atividade física preferida de Carlos é a corrida. Ele costuma correr três vezes por semana 
ao redor de uma lagoa perto de sua casa. Um determinado dia, após percorrer uma volta 
completa nessa lagoa, Carlos notou que o havia dado 32000 passos. Se o passo dado por 
Carlos possui 70cm, a distância que ele percorreu nesse trajeto é igual a:
a) 2240 m
b) 22400 m
c) 224000 m
d) 2240000 m
Carlos contou 32.000 passos. Se cada passo equivale a 70 cm, podemos fazer uma regra 
de três simples para descobrir a quantidade de centímetros dada.
Resolvendo:
Paratransformar para metros, temos que saber Sabendo disso podemos fazer a transformação 
usando uma regra de três simples também:
Resolvendo:
Letra b.
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025. 025. (CRS - PMMG/2015/PM-MG/SOLDADO/TÉCNICO EM ENFERMAGEM) A soma 101,02 
dm³ + 45.000 litros - 2,5 m³ corresponde a:
a) 142,5 cm3.
b) 142,5 dm3.
c) 42.000 litros.
d) 42,601 m3.
Para resolver essa questão, precisamos transformar as medidas em uma única unidade 
para realizar a soma e subtração entre elas.
Então vamos transformar para m³.
Vale lembrar que:
Logo, 101,02 dm³ = 0,10102 m³
Também precisamos saber que:
Desta forma
Agora, transformamos essa quantidade em m³: 
Então somando, temos:
Logo, a alternativa correta é a letra D.
Letra d.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
026. 026. (FCC/2021/TJ-SC/ANALISTA DE SISTEMAS) No período de 9 dias, Marcos caminhou, 
ao todo, 198 km. A cada dia caminhou 1 km a mais do que no dia anterior. O número de 
quilômetros que Marcos caminhou no último dia foi
a) 18.
b) 28.
c) 24.
d) 26.
e) 22.
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Marcos caminhou no total 198km. Como não sabemos quantos quilômetros ele andou no 
primeiro dia, vamos chamar de x.
Observe que a cada dia ele caminha 1km a mais que o dia anterior, ou seja, no segundo dia 
ele andou , no terceiro dia e assim sucessivamente.
Então podemos escrever os nove dias na seguinte expressão:
Juntando os termos semelhantes:
Como a questão quer saber a quilometragem andada por Marcos no último dia, temos:
Letra d.
027. 027. (FCC/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/TÉCNICO EM RADIOLOGIA) Três 
números inteiros somam 100. Se subtrairmos o mesmo valor desses três números teremos 
7, 13 e 32. A soma do menor dos três números com o maior deles é:
a) 67
b) 69
c) 71
d) 73
e) 75
Como não sabemos quais são esses três números vamos chamar de:
Se subtrairmos o mesmo valor desses três números teremos 7, 13 e 32, ou seja:
Ou seja:
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O próximo número:
Então,
E o último número:
Logo:
Agora, substituímos na primeira equação os valores de a, b e c:
Logo, os três números somados foram:
Então, a soma do menor dos três números com o maior deles é:
Letra c.
028. 028. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) Em 
uma caminhada, a distância total percorrida por Giovane foi igual a 4/5 da distância total 
percorrida por Elias. Sabendo-se que Elias percorreu 2/5 da distância total em ritmo mais 
acelerado, e os 1800 m restantes em ritmo mais lento, é correto afirmar que a diferença 
entre as distâncias totais percorridas por Elias e por Giovane foi igual a
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a) 0,8 km.
b) 0,7 km.
c) 0,6 km.
d) 0,5 km.
e) 0,4 km.
Para descobrir a diferença entre as distancias totais percorridas por Elias e por Giovane, 
precisamos descobrir o valor que cada um percorreu.
A distância total percorrida por Giovane foi igual a 4/5 da distância total percorrida por 
Elias, mas como não sabemos quanto Giovane percorreu, chamaremos de x.
Assim, temos:
Giovane: 
Elias: 
Então vamos descobrir a distância de Elias. Elias percorreu 2/5 da distância total em ritmo 
mais acelerado, e os 1800 em ritmo mais lento. Ou seja:
Encontrando as frações equivalente, temos:
Logo, Elias andou 3000 metros, ou seja, 3km.
Então agora calculamos a distância percorrida por Giovane:
Giovane: 
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Ou seja, Giovane percorreu 2,4km.
Logo, a diferença entre as distâncias totais percorridas por Elias e por Giovane foi igual a:
Letra c.
029. 029. (VUNESP/2021/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS/SP/ORIENTADOR SOCIAL) 
Uma obra recebeu 18 caixas de certo azulejo, que foram totalmente divididas entre três 
instaladores. Almeida recebeu o dobro da quantidade de caixas que Luciano recebeu, e 
Vander recebeu duas caixas a menos que a quantidade que Almeida recebeu. Se cada caixa 
tem 12 unidades, então a quantidade de azulejos que Luciano recebeu, nessa distribuição, 
foi igual a
a) 48.
b) 60.
c) 72.
d) 84.
e) 96.
Observe que precisamos primeiro descobrir a quantia recebida por Luciano.
Então vamos chamar essa quantia de x.
Luciano: x
Almeida recebeu o dobro da quantidade de caixas que Luciano recebeu. Então:
Almeida: 2x
Vander recebeu duas caixas a menos que a quantidade que Almeida recebeu.
Vander: 2x - 2
Sabendo que ao todo foram divididas 18 caixas, então podemos concluir que:
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Luciano recebeu 4 caixas. Sabendo que cada caixa tem 12 unidades de azulejos:
Letra a.
030. 030. (FGV/IBGE/2017) Fernando teve três filhos em três anos seguidos. Quando ele fez 39 
anos reparou que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus três filhos.
Nesse dia, o seu filho mais velho tinha:
a) 12 anos;
b) 13 anos;
c) 14 anos;
d) 15 anos;
e) 16 anos.
1º Filho: x anos
2º Filho: x +1 anos
3º Filho: x + 2 anos
Somando as idades dos três filhos, teremos:
x + x +1 + x + 2 = 39 anos
3x + 3 = 39
3x= 36
X = 12
Idades:
1º Filho: x anos = 12 anos
2º Filho: x +1 anos = 13 anos
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3º Filho: x + 2 anos = 14 anos
Letra c.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
031. 031. (VUNESP/IPSM/2018) Uma pequena fábrica produz pelo menos 4 canetas por dia. O 
custo y (em reais) para a produção de um número x de canetas é dado pela equação y = –x2 
+ 10x + 20. Certodia, o custo de produção das canetas foi de R$ 36,00. No dia seguinte, o 
custo de produção das canetas foi de R$ 20,00. A diferença, em reais, entre o custo unitário 
da produção dessas canetas, nesses dias, é igual a
a) 1,80.
b) 2,10.
c) 2,50.
d) 2,90.
e) 3,20.
Vamos dividir em dois momentos:
No primeiro dia: 36 = –x² + 10x + 20
–x² + 10x + 20= 36
–x² + 10x -16 =0 (-1)
x² - 10x + 16 =0
Pelo método já visto (soma e produto), achamos dois valores para x: 8 e 2. Porém, como 
foi dito no comando da questão, a fábrica produz no mínimo 4 canetas por dia. Portanto, 
desprezamos o valor de x = 2.
No segundo dia: 20 = –x² + 10x + 20
–x² + 10x = 0 (-1)
x² - 10x = 0
Pelo método já visto (soma e produto), achamos dois valores para x: 10 e 0. Nesse caso 
tomamos 10 como resultado pelo que foi dito no comando da questão, a fábrica produz 
no mínimo 4 canetas por dia.
Sendo assim, ficamos com x = 8 canetas no primeiro dia, e x = 10 no segundo dia.
Como a questão solicita a diferença do preço unitário das canetas, precisamos resolver:
Primeiro dia:
36/8 = 4,50
Segundo dia:
20/10 = 2,00
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4,50 - 2,00 = 2,50
Letra c.
032. 032. (CRS/PMMG/2013/PM-MG/SOLDADO DA POLÍCIA MILITAR) A interseção entre os gráficos 
das funções y = - 2x + 3 e y = x²+ 5x – 6 se localiza:
a) no 1º e 2º quadrantes
b) no 1º quadrante
c) no 1º e 3º quadrantes
d) no 2º e 4º quadrantes
A interseção é exatamente o ponto em que os gráficos se tocam, ou seja, o ponto em comum.
A função é uma função afim, portanto o seu gráfico é uma reta. Já a função 
é uma função quadrática, então o seu gráfico será uma parábola.
Como vimos, a intersecção é o ponto em comum entre os dois gráficos, portanto é o ponto 
que é igual aos dois gráficos. Para isso, vamos igualar as duas funções:
Para resolver essa equação, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Encontrando o valor de x:
e 
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Agora vamos descobrir o valor de y para os valores de e na função:
Logo, os pontos de intersecção entre as duas retas serão:
1º quadrante.
= 2º quadrante.
Letra a.
033. 033. (CRS - PMMG/PM MG/SOLDADO/2016) Na fabricação de certo produto o lucro, em 
reais, de uma microempresa é dado por , sendo x o número 
de peças vendidas no mês. Quantas peças devem ser vendidas no mês para a empresa não 
ter prejuízo?
a) De 20 a 100 peças.
b) Menos de 100 peças.
c) Mais de 100 peças.
d) Mais de 20 peças.
Temos uma equação de 2º grau, desta forma, o gráfico dessa função é uma parábola com 
a concavidade voltada para baixo.
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Então para encontrar em qual período essa microempresa terá lucro, precisamos encontrar 
o zero da função, ou seja, suas raízes.
Para resolver essa equação, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Encontrando o valor de x:
e 
Ou seja, esse é o intervalo em que o gráfico é positivo, ou seja, é preciso vender entre 20 
e 100 peças.
Letra a.
034. 034. (IBFC/2022/MGS/MONITOR EDUCACIONAL) A conhecida fórmula de Bhaskara é um 
método para encontrar raízes reais de uma função quadrática. No processo deste método 
as raízes são encontradas fazendo uso dos coeficientes das equações no formato, y = ax² 
+bx+c com a, b, c ∈ R (números reais) e ainda a ≠ 0. Sendo assim, a função dada por f(x) = 
4x² -4x+1, possui como raízes os números:
a) –1 e 3
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b) 4 e – 4
c) 0 e 2
d) 1/2 e 1/2
Temos aqui uma função quadrática. As raízes de uma função são dadas quando o seu gráfico 
intercepta o eixo x, ou seja, quando.
Então temos:
Que os coeficientes são:
; e 
A fórmula de Bhaskara é dada por:
e 
Encontramos primeiro o valor do discriminante
Agora encontramos as raízes:
Letra d.
035. 035. (IDECAN/2019/AGU/ADMINISTRADOR) A soma das idades de Ana, Beatriz e Carlos é 
18 anos. O produto das idades de Ana e Beatriz é igual a duas vezes a soma das idades de 
Ana e Carlos. Sabendo que Carlos tem 8 anos, qual é a razão entre a idade de Ana e Carlos?
a) 2/3.
b) 1,5.
c) 2.
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d) 3/4.
e) 0,5.
Como foi dito, a soma das idades de Ana, Beatriz e Carlos é 18 anos, então temos a 
primeira equação:
A segunda equação é dada pela informação: O produto (MULTIPLICAÇÃO) das idades de Ana 
e Beatriz é igual a duas vezes a soma das idades de Ana e Carlos.
Sabendo que Carlos tem 8 anos, vamos substituir o valor de C nas duas equações:
E na segunda:
Substituindo o valor de B da primeira equação na segunda equação, teremos:
Observe que temos uma equação do segundo grau. Então vamos encontrara as raízes 
dessa equação:
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Encontrando a raiz:
Logo, Ana tem 4 anos. Desta forma, a idade de Beatriz será:
Podemos concluir então que a razão entre a idade de Ana e Carlos será:
Simplificando por 4:
Ou seja, a metade que é o mesmo que 0,5.
Letra e.
036. 036. (IDECAN/2018/CRF-SP/AGENTE DE MANUTENÇÃO) Analise as afirmativas a seguir.
I – A soma das raízes da equação 2x² + 12x + 3 = –7 é um número negativo ímpar.
II – 625² – 624² = 1.
III – O número 124.212 é divisível por 3 e 4.
IV – Na equação ax² + bx + c, em que a ǂ 0, se ∆ = b² – 4ac < 0, então a equação não possui 
raízes reais.
Estão corretas as afirmativas
a) I, II, III e IV.
b) I e III, apenas.
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c) II e III, apenas.
d) III e IV, apenas.