MATEMÁTICA APLICADA

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Autor: Prof. Antonio Eduardo Batista
Colaboradores: Prof. Santiago Valverde
Prof. Jean Carlos Cavaleiro
Prof. Mauricio Martins do Fanno
Prof. Luiz Carlos Felix
Matemática Aplicada
Professor conteudista: Antonio Eduardo Batista
Natural de São Paulo (SP), é graduado em Matemática pelo Centro Universitário Fundação Santo André 
(1976) e graduado (1985) e mestre (2005) em Administração pela Universidade Cidade de São Paulo. Desenvolveu 
suas principais atividades na carreira empresarial como analista de processos administrativos, programador de 
sistemas de informação e analista de sistemas. Atuou posteriormente em cargos de supervisor de sistemas de 
informação e gerente de desenvolvimento de sistemas. Atua na carreira docente desde 2005 como professor dos 
cursos de Administração e Marketing. Atuou também como professor de cursos de pós-graduação nas áreas de 
Marketing e Logística na Universidade Anhanguera e Faculdade Unida de Suzano. Atualmente é professor mestre 
da Universidade Paulista – UNIP, da Faculdade Unida de Suzano e da Faculdade Sumaré, além de consultor de 
empresas na área de reestruturação organizacional da Savenet Ltda. Atua principalmente nos temas: Sistemas 
de Informação, Processos Administrativos, Plano de Negócios, Planejamento de Marketing.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
B333 Batista, Antonio Eduardo
Matemática Aplicada. / Antonio Eduardo Batista - São Paulo: 
Editora Sol.
116 p. il.
Notas: este volume está publicado nos Cadernos de 
Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-023/11, 
ISSN 1517-9230.
1.Matemática aplicada 2.Matemática básica 3.Conceitos de 
matemática I.Título
CDU 572
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Elaine Fares
Sumário
Matemática Aplicada
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
Unidade I
1 REVISÃO .................................................................................................................................................................9
1.1 Números reais ...........................................................................................................................................9
1.2 Expressões algébricas .......................................................................................................................... 12
1.3 Razão e proporção ............................................................................................................................... 16
1.4 Porcentagem .......................................................................................................................................... 18
1.5 Regra de três .......................................................................................................................................... 23
1.5.1 Regra de três simples ............................................................................................................................ 25
1.5.2 Regra de três composta ....................................................................................................................... 29
2 CONJUNTOS ....................................................................................................................................................... 31
2.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além da matemática ............................................... 31
2.2 Conceitos básicos ................................................................................................................................. 33
2.3 Definições matemáticas .................................................................................................................... 34
2.3.1 Representação ordinária ...................................................................................................................... 35
2.3.2 Representação abstrata ........................................................................................................................ 35
2.3.3 Representação por diagramas de Venn ......................................................................................... 36
2.4 Pertinência e inclusão ........................................................................................................................ 36
2.5 Operações entre conjuntos .............................................................................................................. 38
2.5.1 Interseção ................................................................................................................................................... 38
2.5.2 União ............................................................................................................................................................ 39
2.5.3 Diferença ou complemento relativo ............................................................................................... 41
2.5.4 Cardinalidade de um conjunto .......................................................................................................... 42
2.5.5 Representação de conjuntos usando o diagrama de Venn ................................................... 43
3 RELAÇÕES ........................................................................................................................................................... 44
3.1 Plano cartesiano ................................................................................................................................... 44
3.2 Produto cartesiano .............................................................................................................................. 46
3.3 Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem ........................................ 47
3.4 Gráfico cartesiano ............................................................................................................................... 48
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................................................................ 50
4.1 Números naturais ................................................................................................................................. 51
4.2 Números inteiros .................................................................................................................................. 52
4.3 Números racionais ............................................................................................................................... 53
4.4 Números irracionais ............................................................................................................................ 55
4.5 Números reais ........................................................................................................................................ 57
4.6 Aplicação................................................................................................................................................../1
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Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes (ou equivalentes, ou possuindo a mesma cardinalidade), 
e denotados por A ~ B, se e somente se existir uma correspondência de um para um entre os elementos 
de A e os elementos de B.
Podemos, por exemplo, mostrar que os números naturais N e os números naturais pares P têm a 
mesma cardinalidade:
Para cada elemento n de N corresponderá o elemento 2x dos números pares. Assim, podemos 
estabelecer a correspondência de um para um entre os dois conjuntos e, portanto, N ~ P. 
Um conjunto A é dito finito se ele tem n elementos distintos onde n ∈ N. O número n chama-se 
número cardinal de A e escreve-se:
n(A) = n ou |A| = n
Exemplo: seja o conjunto dos inteiros positivos ímpares menores do que 10.
|A|=5 ou n(A) = 5
Diz-se que um conjunto é infinito se ele for equivalente a um subconjunto próprio.
Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos números naturais é chamado de enumerável.
Propriedades:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
2.5.5 Representação de conjuntos usando o diagrama de Venn
Representação de conjunto único
Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6) 
N
1
 3 2
 4
 5 6
Relação entre dois conjuntos: A e B. 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} 
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Símbolos 
∪ = união
∩ = interseção 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B = {5, 6} 
A
 1 7
 3 
 2 
5 8
 4 6 9
 10
B
Relação entre três conjuntos: A, B e C. 
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8} 
B = {4, 6, 8, 10, 12} 
C = {1, 2, 3, 4, 6, 10} 
A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12} 
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} 
A ∩ B = {4, 6, 8} 
A ∩ C = {3, 4, 6} 
C ∩ B = {4, 6, 10} 
 Saiba mais
Você poderá ver vários exemplos de operações com conjuntos no site:
. Acesso em: 13 nov. 2017.
3 RELAÇÕES
3.1 Plano cartesiano
Os nomes plano cartesiano e produto cartesiano são homenagens ao seu criador, o filósofo e 
matemático francês René Descartes (1596-1650). O nome de Descartes em latim era Cartesius, daí o 
adjetivo cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si, que se 
cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das 
ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se 
o plano cartesiano ortogonal.
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11Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre 
parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Esse par ordenado representa as coordenadas de 
um ponto.
O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) 
ou para a esquerda (se negativo).
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo 
(se negativo). Observe no desenho que: 
(a,b) ≠ (b,a) se a ≠ b.
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Dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, sendo que tais eixos são 
retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes 
são indicados no sentido anti-horário na quadro a seguir.
Quadrante sinal de x sinal de y Ponto
Segundo 
quadrante
Primeiro 
quadrante
não tem não tem (0,0)
Primeiro + + (2,3)
Terceiro 
quadrante
Quarto
quadrante 
Segundo - + (-3,1)
Terceiro - - (-1,5,-2,5)
Quarto + - (2,-2)
Quadro 3: quadrantes
3.2 Produto cartesiano
Denominamos produto cartesiano o conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e 
y pertence a B, indicado pela expressão A x B. Simbolicamente representamos da seguinte maneira: 
A x B = {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B} 
Podemos representar o produto cartesiano por outros meios. Veja os seguintes modelos: 
 Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 5, 7}. 
Conjunto de flechas
Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte do 1º elemento e atinge o 2º elemento, estabelecendo 
a relação entre eles. 
Conjunto de pares A x B = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7)} 
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3.3 Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem
Qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamado de relação de A em B.
As relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e 
a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada de relação 
binária.
Então, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados, em que o primeiro elemento pertence a 
A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação 
binária por R: A → B. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de 
contradomínio da relação.
Então o domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado 
que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos.
Suponha que R seja uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados, em 
que cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B, isto é, para cada 
par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. 
Por exemplo, com os conjuntos A={2, 4, 8} e B={1, 3, 4, 6, 7, 10} vamos criar a função f: A → B 
definida por f(x) = x + 2. Note que a função também pode ser representada por y = x + 2. Usando a 
teoria dos conjuntos podemos representar essa função assim: 
O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (note que nem todos os elementos 
do conjunto B recebem as setas da relação). 
Domínio é o conjunto de saída, ou seja, para esta função, o domínio é o próprio conjunto A = {2, 4, 8}.
Contradomínio é o conjunto de chegada, B = {1, ,3, 4, 6, 7, 10}.
Conjunto imagem é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento 
chegam, ou seja, C = {4, 6, 10}.
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3.4 Gráfico cartesiano 
Representamos os elementos de A no eixo x e os elementos de B no eixo y. O gráfico de A x B é 
constituído pelos pontos pertencentes ao produto A x B. 
Considerando os conjuntos A e B, podemos ter as seguintes situações: 
B x A = {(3,1), (5,1),(7,1), (3,2), (5,2), (7,2)} 
A x A = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)} 
B x B = {(3,3), (3,5), (3,7), (5,5), (5,3), (5,7), (7,7), (7,3), (7,5)} 
Outros exemplos: sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 5, 6}, então:
AXB =
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( ,
11 12 15 16
2 1 2 2 2 5 2 6
3 1 3 2 3 5)) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
3 6
4 1 4 2 4 5 4 6












4 Disponível em: . Acesso em: 14 abr. 2011. 
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No diagrama4 abaixo, no plano cartesiano é apresentado o produto cartesiano entre números reais:
O plano cartesiano é formado pelo conjunto 
R X R = {(x, y); x ∈ R, y ∈ R}.
É importante observar que o conjunto resultante do produto cartesiano entre dois conjuntos 
corresponde a uma coleção de pares ordenados, ou seja, cada elemento do produto cartesiano toma a 
forma (x, y). Assim, as sentenças {x, y} e (x, y) correspondem a objetos inteiramente distintos. O primeiro 
é o conjunto formado pelos elementos x e y, e o segundo o par ordenado (x, y). Desse modo, é imediato 
concluir que {x, y} = {y, x}, mas (x, y) ≠ (y, x).
Podemos relacionar os pontos cartesianos tabelados a seguir em um gráfico cartesiano dividido nos 
quatro quadrantes.
Ponto Coordenadas (x,y)
A (2,2)
B (0,3)
C (-2,2)
D (-3,0)
E (-3,-3)
F (-1,-2)
G (0,-1)
H (3,0)
Figura 1 - Silva et al. (2002).
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Observando a figura, vamos fazer alguns exercícios. Procure resolvê-los antes de checar as respostas, 
que estão na sequência.
1) Há algum ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares? Em caso afirmativo, transcreva 
as coordenadas desses pontos.
2) Sempre, nesse caso, é possível identificar uma característica comum às coordenadas 
dos pontos que pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares? Em caso afirmativo, 
transcreva-a.
3) Pode-se identificar qual é a característica comum às coordenadas dos pontos que 
pertencem ao eixo x das abscissas? E as coordenadas dos pontos que pertencem ao eixo y 
das ordenadas?
Resolução 
1) Sim, bissetriz é a reta que divide os quadrantes considerados exatamente ao meio, portanto, os 
pontos A (2; 2) e E (-3; -3) pertencem a ela.
2) A abscissa é igual à ordenada.
3) Os pontos que pertencem ao eixo x têm ordenada zero: P (x; 0). Os pontos que pertencem ao eixo 
y têm abscissa zero: P (0; y).
Nos tempos mais antigos já se podia 
perceber que o homem tinha necessidade 
de contar. Interessados na origem dos 
números, alguns estudiosos pesquisaram e 
acabaram percebendo que não os números, 
mas a necessidade de contar já existia há 
cerca de 30 mil anos. Nessa época, para 
se alimentarem, os homens caçavam e 
coletavam raízes e folhas. Normalmente 
viviam em grutas, buscando proteger-se de 
animais ferozes e do frio.
Figura 2: Pontos: contando na caverna (2011). 
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Em grutas como a de Lascaux, na França, foram encontrados desenhos de homens desse período. 
Foram observadas imagens de animais e outros sinais como pontos e riscos. Desde que foram descobertos, 
esses sinais estão sendo investigados. Há indícios de que os homens primitivos já contavam usando 
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marcas, não somente desenhando nas paredes de grutas, mas também fazendo riscos em ossos de 
animais ou pedaços de madeira. 
Os povos, durante o desenvolvimento da civilização humana, procuraram criar técnicas matemáticas 
que permitissem resolver seus problemas cotidianos. Muitos deles, como os maias, os incas, os astecas, 
os sumérios, os egípcios, os gregos, os romanos, os povos da região mesopotâmica, os chineses e outros, 
contribuíram para esse desenvolvimento.
A partir desses estudos foram criados sistemas de numeração, técnicas de contagem, símbolos numéricos, 
calendários baseados no sistema solar, objetos de contagem como o ábaco e outras descobertas. 
Séculos depois surgiu o sistema de base decimal, ao qual nos referimos anteriormente. A 
partir desse momento, vários gênios da matemática passaram a desenvolver novas técnicas que 
permitiram o surgimento de importantes relações caracterizadas por números constantes, como o 
π (pi) e o φ (número de ouro), que constituíram importantes passos para a ciência dos números. 
4.1 Números naturais
O conjunto dos números naturais foi o primeiro conjunto gerado pelos homens. Ele tinha como 
função apontar quantidades.
Por exemplo, quantos animais pertenciam a um grupo. Inicialmente, o zero não estava incluso 
nesse conjunto, porém, a necessidade de representação de quantias nulas concedeu ao número zero 
a condição de pertencente ao conjunto dos naturais. Assim, pertencem ao conjunto dos naturais os 
números inteiros positivos incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os 
elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. 
Representação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
Quando for representar o conjunto dos naturais não nulos (excluindo o zero), devemos colocar * ao 
lado do N.
Representado assim: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... } 
As reticências indicam que sempre é possível acrescentar mais um elemento. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, há sempre um sucessor. Como todo elemento de N tem um 
sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito. 
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4.2 Números inteiros
Os números inteiros bastaram à sociedade por algum tempo. O passar do tempo e a ampliação das 
“trocas” de mercadorias entre os homens tornaram iminente a criação de uma representação numérica 
para as dívidas. Por exemplo, se eu “emprestei” um saco de trigo para outro grupo de pessoas e não 
o recebi de volta, acabei com minhas reservas. Como indicar esse “empréstimo”? Com isso, nasceram 
os conhecidos números negativos e, com eles, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, 
representado pela letra Z.
O conjunto dos números inteiros é composto pelos números naturais e todos os seus representantes 
negativos. Observe que esse conjunto não possui começo nem término. Note que os números negativos 
são sempre acompanhados pelo sinal negativo (-) à sua frente e os positivos são acompanhados pelo 
sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O zero não é positivo nem negativo. 
Representação:
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Inteiros não nulos: são os números inteiros, menos o zero.
Na sua representação, devemos colocar * ao lado do Z. 
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
Inteiros não positivos: são os números negativos incluindo o zero. 
Na sua representação, deve ser colocado – ao lado do Z. 
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0}
Inteiros não positivos e não nulos: são os números inteiros do conjunto Z_ excluindo o zero. 
Na sua representação devemos colocar o sinal _ e o * ao lado do Z.
Z*_ = {..., -3, -2, -1}
Inteiros não negativos: são os números positivos incluindo o zero. Na sua representação, devemos 
colocaro + ao lado do Z. 
Z + = { 0, 1, 2, 3, 4,...}
O conjunto Z + é igual ao conjunto dos N.
Inteiros não negativos e não nulos: são os números do conjunto Z+, excluindo o zero. 
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Na sua representação, devemos colocar o + e o * ao lado do Z. 
Z* + = {1, 2, 3, 4,...} 
O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N* 
Todo número natural é inteiro, ou seja, N é um subconjunto de Z.
Como você representaria que N é subconjunto de Z? 
4.3 Números racionais
Esses números surgem da necessidade de partilhar os bens dos indivíduos. Como dividir corretamente 
um lote de terras? 
Quando você divide números inteiros é comum surgirem resultados fracionários. 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma de fração:
a
b
onde a e b são números inteiros, sendo que b deve ser não nulo, isto é, b deve ser diferente de zero. 
Frequentemente usamos a/b para significar a divisão de a por b. Quando não existe possibilidade 
de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que esse número é um número 
racional.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos por meio da razão (em latim: ratio 
= razão = divisão = quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual o conjunto de todos os 
números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0}.
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ 
o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
Os numerais que representam números racionais não negativos são chamados frações e os números 
inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha 
horizontal ou traço de fração.
Numerador
Denominador
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O numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito 
sobre o traço de fração, e o denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que esse 
número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. Para facilitar a escrita de frações, por vezes 
utilizamos a barra “/” ou o sinal “÷“ em lugar do traço horizontal para denotar a divisão de dois números. 
Por exemplo, a/b ou a fração 1/4, que pode ser escrita como:
Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas da forma exemplificada acima ou assim: 
1/4, que é considerada mais comum.
Então, de acordo com o exemplo, podemos citar o –1/2, 1, 2,5...
Podemos afirmar que números decimais exatos são racionais porque:
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10...
Também são racionais os números decimais periódicos:
0,1111... = 1/9
0,3232... = 32/99
Observe que outra representação do número 1 é exibida por toda dízima periódica 0,9999... 9.
Essa representação é de grande utilidade quando trabalhamos com estatística, avaliações de 
qualidade e produtividade e até financeiramente (imagine o arredondamento do número 1 trabalhando 
em prol de um negócio!).
Propriedades
Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número 
natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
Se for possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número 
natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
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Representação:
Q ={ ∀ a/b / a ∈Z e b ∈ Z*}
Subconjuntos de Q:
 
Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero. 
Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero. 
Q- é o conjunto dos números racionais negativos e o zero. 
Q*
+ é o conjunto dos números racionais positivos. 
Q*
- é o conjunto dos números racionais negativos.
4.4 Números irracionais
Quando um número real não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser 
escrito na forma de uma dízima periódica, ele é chamado de número irracional.
São assim nomeados porque não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente 
de 0. São formados por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo:
π = 3,141592654... ou √3 = 1,73205...
Outro exemplo: o número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:
X = 0,3030030003000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 3 aumenta a cada passo. Existem infinitos números 
reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes. São:
e = 2,718281828459045...,
Pi = 3,141592653589793238462643...
Eles são utilizados nas mais diversas aplicações práticas, como: cálculos de áreas, volumes, centros 
de gravidade, previsão populacional etc. 
Os números irracionais foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas matemáticas. Um dos 
primeiros irracionais está diretamente ligado ao teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de 
dois), ele surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 
(uma) unidade.
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Antes de os números irracionais serem criados, só era possível extrair a raiz de números que possuíam 
quadrados inteiros, por exemplo, 42 = 16, portanto,√16 = 4; no caso de √2 não existia um número que, 
elevado ao quadrado, resultasse em 2.
Um outro número irracional surgiu da relação entre o comprimento da circunferência e o seu 
diâmetro, resultando em um número constante igual a 3,141592....., representado pela letra grega π 
(lê-se pi). 
John Napier, matemático que intensificou os estudos sobre logaritmos, desenvolveu uma expressão 
que, ao ser calculada, resulta em um número irracional: 
O número de Neper é uma constante que surge em várias aplicações científicas. O seu valor 
encontra-se, por exemplo, ao calcular o limite da sucessão 
n
. O valor desse limite é um número 
irracional (além disso, também é transcendente, uma vez que não é solução de qualquer equação 
algébrica de coeficientes racionais). 
Representa-se por e, sendo e = 2,7182818284590452353602874...
Obs.: as informações que apresentamos sobre os diferentes tipos de números estão disponíveis em 
.
Como dissemos anteriormente, o número irracional não admite representação na forma de fração (contrário 
dos números racionais). Quando escrito na forma de decimal, ele é um número infinito e não periódico. 
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Exemplos: 
π = 3,141592653589793238462... no número pi, após a vírgula, não existe formação de períodos, 
por isso é considerado irracional. 
0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não 
formam períodos), então é irracional. 
2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica. 
Se utilizarmos umacalculadora, veremos que √2, √3, √5, √7, entre outros, são valores que representam 
números irracionais. 
A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula. 
Exemplo de aplicação:
Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é 
um número irracional e pode ser obtido por meio da relação de Pitágoras.
Resolução:
O resultado é a raiz quadrada de 2.
4.5 Números reais
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, 
indicado por R.
O conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e 
Números Inteiros. Os conjuntos que unidos formam os números reais são: 
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16... 
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... 
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4...
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498..., 3,141592... 
Portanto, como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e como todo 
número racional é real, podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes 
conjuntos: 
N ∪ Z ∪ Q ∪ I = R ou Q ∪ I = R 
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E também que:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Todos os conjuntos numéricos exibidos podem ser sintetizados em um gráfico, conforme 
mostramos a seguir:
 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
 Figura 3: Silva et al. (2002).
Intervalo: nome dado a outro conceito fundamental da comunicação das relações. Também muito 
utilizado em estatística.
Sendo a e b dois números reais, com a a}
e) Intervalo aberto:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
f) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao 
conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
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4.6 Aplicação
Ainda que fundamental e generalista, a teoria dos conjuntos conduz a poucas aplicações práticas 
diretas. É mais utilizada para desenvolver a álgebra de grupos, anéis e campos, em engenharia e em 
outras áreas de exatas, assim como para desenvolver uma base lógica para o cálculo, a geometria e a 
topologia. Todos esses desenvolvimentos são aplicados extensivamente nos campos da física, da química, 
da biologia, da engenharia elétrica e da ciência da computação.
Na área de ciências humanas, seus conceitos servem de base à estatística; esta, por sua vez, é 
direcionada a pesquisas de mercado, avaliação e desempenho de funcionários, cálculos de riscos em 
investimentos etc.
Exemplo:
Em uma pesquisa de mercado, mil pessoas foram entrevistadas em todo o território nacional sobre 
a preferência por marcas de refrigerante. O gráfico abaixo mostra como a pesquisa foi distribuída entre 
as regiões brasileiras.
Três marcas de refrigerante foram pesquisadas, a A, a B e a C. Na pesquisa, verificou-se que 40% dos 
entrevistados preferem a marca A, 25% a marca B e 35% a marca C. Também foi constatado que entre 
aqueles que preferem a marca B, 70% são da região Nordeste, 8% da região Sul, 2% da região Centro-
Oeste, 10% da região Norte e 10% da região Sudeste. A empresa que encomendou a pesquisa deseja 
saber o seguinte:
a) Quantas pessoas pertencem ao conjunto dos sulistas que preferem a marca B?
b) Dentro do conjunto de pessoas que preferem a marca B, quantas são da região Norte ou da região 
Nordeste?
Resolução:
a) Pelos dados do gráfico, o número de pessoas que consomem a marca B é 25% de mil pessoas 
= 250 pessoas. Dessas 250 pessoas, 8% são sulistas, portanto, 8% de 250 = 20 sulistas.
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b) Conforme o enunciado, dos que preferem a marca B, 10% são da região Norte, logo, 10% de 250 
= 25 pessoas, e 70% são da região Nordeste, logo, 70% de 250 = 175 pessoas. Serão representadas 
pelo conjunto A as pessoas da região Norte e pelo conjunto B as pessoas da região Nordeste. O 
número de pessoas que são da região Norte ou Nordeste é dado por n(A ∪ B), com n(A ∩ B) = 0, 
pois não há pessoas em comum das regiões Norte e Nordeste que preferem a marca B, portanto,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 175 – 0
n(A ∪ B) = 200 pessoas.
Logo, 200 pessoas da região Norte ou Nordeste preferem a marca B.
 Saiba mais
Os números que utilizamos no dia a dia podem ser agrupados em 
conjuntos, como vimos neste item. Veja no site abaixo comentários 
interessantes sobre os conjuntos numéricos: . Acesso em: 13 nov. 2017.
 Resumo
Nesta unidade, você pode recordar conceitos de matemática estudados 
em seus cursos de formação básica. Ao rememorar, vimos que as expressões 
algébricas são aquelas que envolvem números, letras e operações 
indicadas entre eles – você ficou mais bem preparado para efetuar os 
cálculos apresentados na continuação.
Quanto às razões e proporções, ficou constatado que são úteis em muitos 
cálculos comuns do nosso cotidiano, inclusive para entender conceitos de 
administraçãoe economia, por isso devem fazer parte de sua formação. 
Quanto à revisão de porcentagem e de regra de três, certamente você 
percebeu que é fundamental estar afiado nesse tipo de cálculo, uma vez que 
são utilizados em muitas análises de situações (administração, economia, 
cálculos financeiros) que você poderá vir a fazer profissionalmente.
Demos uma pincelada rápida na história do progresso humano, o que nos 
levou ao nosso velho conhecido sistema de numeração decimal. Estudamos ainda 
que os números reais fazem parte de um conjunto numérico e que quando você 
estuda o comportamento das funções percebe que ele depende dos elementos 
que as compõem, ou seja, do domínio, do contradomínio e da lei de definição.
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Com relação à teoria axiomática – a qual é formada por termos 
indefinidos, relações indefinidas, axiomas relacionando termos indefinidos 
e relações indefinidas, definições e teoremas baseados em axiomas e 
definições –, você pôde constatar que ela simplesmente fundamenta toda 
a matemática.
Tivemos a oportunidade de rever também, entre outros, temas como razão 
e proporção, conjuntos, plano cartesiano e gráfico cartesiano, não apenas na 
teoria, mas de forma prática, por meio de vários exemplos e exercícios aplicados 
à administração para que você pudesse aliar a teoria à prática.
Dedique-se ao estudo da matemática, porque ela irá auxiliá-lo em 
questões referentes a pesquisas de mercado, na hora de calcular riscos em 
investimentos e muito mais.
 Exercícios
Questão 1. O gráfico abaixo representa a evolução dos estoques de um determinado item de 
almoxarifado ao longo do tempo. A evolução dos estoques está desenhada num plano cartesiano no 
qual o eixo horizontal representa o tempo em semanas e o eixo vertical as quantidades estocadas no 
início de cada semana. 
A política de estocagem da empresa obriga que, cada vez que o estoque atingir 2350 unidades, 
seja emitido um novo pedido. Nestas condições podemos afirmar que, considerando que estejamos na 
semana zero, o próximo pedido deverá ser emitido:
a) Na semana 3.
b) Na semana 4.
c) Na semana 5.
d) Na semana 6.
e) Na semana 7.
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Resposta correta: alternativa d.
Análise das alternativas: esta questão deve ser resolvida utilizando-se os conceitos básicos 
de plano cartesiano e de regra de três. Do gráfico, retiramos a informação que na semana zero o 
estoque é de 9400 unidades. O estoque vai sendo consumido ao longo das semanas até chegar 
a zero unidades em 8 semanas. No início de cada semana existirá no estoque uma quantidade 
diferente e numa delas o estoque será de 2350 unidades (ou muito próximo disso). Assim, podemos 
montar a seguinte regra de três: 9400 (estoque inicial menos estoque final, ou seja, 9400 – 0) está 
para 8 semanas, assim como o estoque consumido até sobrarem 2350 unidades (9400 – 2350) está 
para X, ou seja,
Portanto, após seis semanas, o estoque remanescente será de 2350 unidades, logo deverá ser feito 
um novo pedido de unidades.
Questão 2. Entre as muitas aplicações do plano cartesiano, encontram-se as coordenadas terrestres. 
Cada localidade dentro do planeta pode ser situada a partir do seu ponto coordenado correspondente. 
É a informação básica que o sistema conhecido como GPS utiliza para operar. Normalmente, essas 
coordenadas são dadas em graus, minutos e segundos que a referida localidade está afastada do ponto 
zero do planeta, que é o cruzamento da linha do Equador e do meridiano que passa pela cidade e pelo 
observatório de Greenwich. Assim, por exemplo, a cidade de São Paulo tem as coordenadas 21º 40’ sul e 
49º 12’ oeste, ou seja, dista do Equador 21º e 40’ na direção sul e do meridiano de Greenwich 49º 12’ na 
direção oeste. De modo análogo, qualquer localidade tem sua localização.
Apesar de normalmente as distâncias serem dadas em graus, nada impediria que fossem 
dadas em quilômetros, com distâncias positivas ou negativas de acordo com sua relação 
com o ponto zero. O gráfico a seguir esboça essa possibilidade, para duas cidades: São 
Paulo e Lisboa.
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Com essas informações e lembrando que o conhecido teorema de Pitágoras nos informa que o 
quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, podemos dizer que a distância entre 
essas cidades em linha reta é de aproximadamente:
a) 9800 km
b) 8900 km
c) 7800 km
d) 8067 km
e) 6700 km
Resolução desta questão na Plataforma.
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Unidade II
5 EQUAÇÕES
Introdução
A resolução de problemas matemáticos está sempre associada à lógica. Isso quer dizer que você tem 
que usar raciocínio lógico quando analisa os problemas a serem resolvidos. Para que a matemática possa 
ajudá-lo a solucioná-los, você deve construir o que chamamos de uma sentença matemática. O primeiro 
passo para resolver um problema é construir a sentença matemática em que aparece pelo menos um 
elemento que você desconhece: o resultado. Na linguagem matemática temos uma maneira de escrever 
por meio de símbolos.
Linguagem e matemática
Sentença em português: Sentença matemática:
cinco somado a 8 5 + 8
três vezes cinco 3 x 5 
o dobro de um número 2 x X
Note que quando desconhecemos o valor do elemento utilizamos uma letra para representá-lo; no 
exemplo acima, usamos o x para representar esse elemento. Esse elemento desconhecido recebe, na 
linguagem matemática, o nome de variável ou incógnita.
Utilizando essa linguagem, qualquer pessoa que a conheça, no Brasil, Japão, China etc. pode resolver 
o problema.
Uma equação pode ser comparada a uma balança de dois pratos, isto é, deve manter o equilíbrio. O 
conteúdo de cada lado deve ser equivalente. Assim, o símbolo de igualdade “=” é usado para separar os 
dois lados da equação que se assemelham aos pratos da balança. Outro elemento importante em uma 
equação é a resposta ao problema representado na equação. Para representar o valor desconhecido 
usamos uma letra qualquer, por exemplo, x. Assim, você pode escrever uma equação desta forma:
4x + 4 = 28
Note que a sentença matemática diz: quatro vezes x mais quatro é igual a vinte e oito. A letra x 
representa a variável ou incógnita. 
Podemos notar que toda equação tem:
• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos que são denominadas variáveis ou incógnitas.
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• Um sinal de igualdade, denotado por =.
• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda.
• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
4 x + 4 = 28
1º membro sinal de igualdade 2º membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.
Pararesolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
4x + 4 = 28 Equação original
4x + 4 - 4 = 28 - 4 Subtraímos 4 dos dois membros
4x = 24 Dividimos por 4 os dois membros
x = 6 Solução
Muito importante: quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os 
membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou 
dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em 
equilíbrio. Esse processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes 
da equação.
5.1 Equações do 1º grau
Definição
Uma equação é definida como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para 
alguns valores que estejam agregados em seus domínios.
Resolução de uma equação do 1º grau
Resolver uma equação do 1º grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que 
satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da 
equação.
 
Na forma simples de entender a solução de equação do 1º grau, basta separar as incógnitas dos 
números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Dessa forma, os números ficam de um lado da 
igualdade e do outro lado as constantes.
 
Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:
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 a) Determine o valor do X:
 4x – 12 = 8
 4x = 8 + 12
 4x = 20
 x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}
 
b) Qual o valor da incógnita x?
2 – 3.(2 - 4x) = 8
2 – 6 + 12x = 8
12x = 8 - 2 + 6
12x = 6 + 6
x = 12/12 
x = 1
V = {1}
 
Outros exemplos de equações de 1º grau:
 
x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4
2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x + 8)
 
Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do 
1º grau, sempre colocamos de um lado as incógnitas e de outros os números para que se tenha assim a 
solução da equação. Ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.
 Lembrete
Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores 
que estejam agregados na sentença.
A constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)
 
Observe:
Para a ≠ 0 e b ≠ 0, temos:
 x = -b/a
 S = {-b/a}
Para a ≠ 0 e b = 0, temos:
 x = 0/a
 S = {0}
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Agora, se a constante “a” for igual = 0 (a = 0), temos: 
b ≠ 0 e x = -b/0
V = ∅
 
Assim é possível notar que quando a constante “a” for igual a zero (a = 0), temos o conjunto “V”, 
chamado de conjunto Verdade, igual a vazio.
V = ∅, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é 
denominada de “impossível” ou “sem solução”.
 
Ainda se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:
b = 0
0x = 0
V = R
 
Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x se 
torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.
Incógnita com valor negativo
Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer de o coeficiente que estiver 
acompanhando a variável ser um número negativo (-).
Caso isso ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), eliminando 
assim o sinal negativo.
 
Veja alguns exemplos:
 
a) 4x – 2 = 6x + 8
 Reduzindo os termos:
 4x – 6x = 8 + 2
 -2x = 10
 
Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), e então 
multiplicam-se os termos da equação por (-1).
 
Assim, temos aos valores:
 
-2x = 10 (-1)
 2x = - 10
 
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Verifique, então, que após multiplicar os termos por (-1) temos o coeficiente da incógnita “x” na 
forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.
 
x = -10/2 >> x = -5
Como o valor de x = -5, então V = {-5}
 
Observação:
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual se colocam os valores de um lado do sinal 
(=) e as incógnitas do outro, é apenas uma forma prática. Veja o que realmente ocorre:
 
Repare:
2x + 4 = 8
Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x “separado”.
Veja o que acontece:
 2x + 4 - 4 = 8 - 4
 2x = 4
 x = 2
 V={2}
 Saiba mais
As equações do 1º grau que vimos neste item permitem resolver muitos 
problemas apresentados na vida cotidiana. Veja definições e exemplos em:
. 
.
. Acesso em: 13 nov. 2017.
5.2 Equações do 2º grau
As equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas 
como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
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Denominamos equação do 2º grau toda equação do tipo ax²+bx+c com coeficientes numéricos a, 
b e c com a ≠ 0. 
Exemplos:
Equação a b c
x²+4x+1 1 4 1
-2x²+3x-2 -2 3 -2
Observe a equação e os coeficientes a, b e c separados. 
As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. São chamadas de incompletas se um 
dos coeficientes (b ou c) for nulo.
Resolução da equação do 2º grau incompleta:
Caso 1: b=0
A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução:
x²-9=0 ⇒ x²=9 ⇒ x= + 9 ⇒ x= +3
Note que o coeficiente b não está presente.
Caso 2: c=0
A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução:
x²-9x=0 basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 ⇒ x=0,9
Note que o coeficiente c não está presente.
Caso 3: b=c=0
2x²=0 ⇒ x=0
Note que os coeficientes b e c não estão presentes.
Resolução da equação do 2º grau completa:
As equações do 2º grau completas são do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de 
Bhaskara.
A fórmula quadrática de Bhaskara, Sridhara
O fundamento usado para obter essa fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do 2º 
grau.
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Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bhaskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquerdo e substituímos o lado direito (b²-4ac) por ∆(delta), temos então:
(2ax+b)² = ∆
2ax+b = ± ∆
2ax=-b ± ∆
Temos então a fórmula de Bhaskara:
x
b
a
= − ± ∆
2
x
b b ac
a
= − ± −2 4
2
Vamos agora usar a fórmula de Bhaskara para resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
∆ = b² - 4ac = (-7)²-4.3.2 = 49-24= 25 
Substituindo na fórmula:
 = 
 e 
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Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
∆ = b2 - 4ac = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
 » x=2 
 
Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais (∆ = 0). 
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
∆ = b2 - 4ac = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 
Note que ∆ 0, parábola com a concavidade voltada para cima.
Coeficiente a 0
A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas 
raízes reais e distintas. A parábola intercepta o eixo das abscissas (x) em dois pontos, como 
podemos ver abaixo:
Quando ∆ = 0
A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz 
real. A parábola irá interceptar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.
Quando ∆ . 
Acesso em: 13 nov. 2017.
6 FUNÇÕES
6.1 Conceito
Em matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares ordenados. Se utilizamos { } como o 
símbolo para o “conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre pares ordenados:
• {(0, 1), (55, 22), (3, - 50)}
• {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}
• {(- 1,7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}
Por vezes podemos identificar, em várias situações práticas, variáveis que estão em relação 
de dependência. Aqui, buscamos explicitar situações que envolvam essa relação de dependência, 
determinando, assim, suas variáveis.
Essa identificação será baseada em parte da teoria de conjuntos vista na unidade I. Lá, verificamos 
que podemos relacionar números por meio de relações gráficas em um plano cartesiano, números que, 
de maneira geral, são chamados de x e y pelos matemáticos.
Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos de nosso dia a dia empregamos o conceito 
de função, até sem perceber.
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Exibiremos a seguir algumas situações do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relações 
funcionais.
Quando completamos rapidamente o cálculo do valor de um lanche em que pedimos dois salgados 
e um refrigerante, não sabemos imediatamente quanto iremos gastar?
Ao completarmosuma previsão de gastos residenciais e compará-los com a renda familiar, saberemos 
se teremos condições de adquirir um bem?
Ao finalizarmos um crediário e verificarmos que o valor final terá um acréscimo de determinada 
soma, poderemos aceitar ou não os juros propostos pela empresa.
Ao calcularmos a quantidade de material necessária para uma reforma, poderemos estimar os gastos 
iniciais?
É fato que o conceito de função, juntamente com sua representação gráfica, é a ferramenta matemática 
mais potente na formatação de problemas empresariais, motivo que nos levará a estudá-lo de modo amplo. 
Além disso, deve-se exercitar continuamente, pois o gestor precisa tomar decisões constantemente, amparado 
por ferramentas matemáticas, para obter o sucesso pretendido. Claramente, em uma relação entre pares 
ordenados, não há absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça, isto é, qualquer conjunto de 
números é uma relação, contanto que esses números sejam pares ordenados.
Já para uma função temos condições precisas que definem sua existência. Ainda assim, funções são 
um tipo especial da relação.
Vejamos:
Uma relação f: A → B é chamada de função se:
(I) não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” elementos de A);
(II) qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A 
“associado” a mais de um elemento de B).
Observação: no entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de 
B e podem “sobrar” elementos de B.
Outra representação, mais conveniente e muito mais utilizada, é: uma função é uma relação entre 
duas variáveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribuído e a cada valor x seja 
associado um e somente um único valor para y, como y = f(x).
Nesse caso:
O conjunto de valores de x é nomeado o domínio da função. 
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As variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, independente e dependente.
A relação entre as variáveis x e y tem uma significação de grande apelo visual, que destaca as 
propriedades da função. 
Pode-se, por meio da descrição gráfica da função, observar diretamente, por exemplo, se as variáveis 
estão em relação crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variação de y é 
dependente quadrática da variação de x, etc.
6.2 Definição 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada 
por f : A → B ; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A um único 
elemento de B.
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja 
associado um único y ∈ B, podendo, entretanto, existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum 
elemento pertencente ao conjunto A. 
Observação: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está 
associado a x por meio da função f. 
Exemplos: 
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e, portanto, 11 é imagem de 2 pela função f ; 
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto, 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3 etc. 
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (domínio e contradomínio ) e de uma 
fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e, somente, um elemento do 
contradomínio.
Quando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f) (contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, 
dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma 
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função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores 
possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto 
imagem da função. Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é 
D(f) = R, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se de que não existe divisão por zero), 
e o seu conjunto imagem é também R, já que se y = 1/x, então x = 1/y e, portanto, y também não pode 
ser zero.
Lembre-se: o símbolo ⊂ significa “contido em”. 
Dada uma função f: A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y) ∈ f onde:
 x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o da função f.
Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que: 
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x nos dá o domínio da função.
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y nos dá o conjunto imagem da função.
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função intercepta o gráfico da função 
em, no máximo, um ponto. 
Veja a figura abaixo, relativa aos itens acima: 
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6.3 Tipos de funções 
6.3.1 Função sobrejetora 
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio. 
Exemplo: 
6.3.2 Função injetora 
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens 
distintas, isto é: 
x1 ≠ x2 ⇒f(x1) ≠ f(x2) 
Exemplo: 
6.3.3 Função bijetora 
Uma função é dita bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
Exemplo: 
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Exemplos de aplicação
1) Considere três funções f, g e h, tais que: 
A função f atribui a cada pessoa do mundo a sua idade.
A função g atribui a cada país a sua capital.
A função h atribui a cada número natural o seu dobro. 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: 
a) f, g e h 
b) f e h 
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma das alternativas anteriores 
Resolução: 
Sabemos que numa função injetora elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, ou seja: 
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) 
Logo, podemos concluir que: 
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. 
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital. 
h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus dobros também distintos.
Assim, concluímos que a alternativa correta é a letra C. 
2) Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais tal que f(x - 5) = 4x. Nessas 
condições, pede-se determinar f(x + 5). 
Resolução: 
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u → x = u + 5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) 
f(u) = 4u + 20 
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Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: 
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 
f(x+5) = 4x + 40
3) (UEFS 2005) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, para todo 
x ∈ R, pode-se afirmar que b/a é igual a:
a) 2 
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3
Resolução:
Ora, se f(x) = ax + b,então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem igualando:
a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro fica:
2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Então, poderemos escrever: 2a = -2 ∴ a = -2/2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: 
(-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1/3, o que nos leva tranquilamente à alternativa d.
Agora resolva este:
A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resposta: 9x + 5.
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6.4 Funções usuais 
6.4.1 Função par
A função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f) , f(-x) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu 
domínio, f(x) = f (-x). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. 
Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em 
relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. 
Lembre-se, o símbolo ∀ lê-se “qualquer que seja”. 
Exemplo: 
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e 
f(-2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo é de uma função par. 
6.4.2 Função ímpar 
A função y = f(x) é ímpar, quando ∀ x ∈ D(f), f(-x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do seu 
domínio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. 
Uma consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares são curvas simétricas 
em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos. 
Exemplo: 
y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x teremos f(-x) = - f(x). Por exemplo, f(-2) = (-2)3 = - 8 e 
- f(x) = - (23) = - 8. 
O gráfico abaixo é de uma função ímpar: 
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Entenda mais: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade. 
Exemplo: 
O gráfico abaixo representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em 
relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem. 
6.4.3 Função constante
É toda função f(x) = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma 
reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k. O gráfico de uma função constante é uma reta 
paralela ao eixo dos x. Veja o gráfico abaixo: 
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11 Exemplos: 
a) f(x) = 7
b) f(x) = -2 
6.4.4 Função linear
Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma 
função f: A → B, com f (x) = a.x é uma função linear.
O gráfico de uma função linear é um conjunto de pontos sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0), 
ou a origem do gráfico cartesiano:
f(x) = ax (a ∈ R)
Você pode dizer também: o gráfico da função linear é uma reta não perpendicular ao eixo Ox e que 
cruza a origem do plano cartesiano.
6.5 Função do 1º grau
Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas 
muito complexos podem ser representados, em primeira aproximação, por esse tipo de função, daí seu 
uso frequente em economia, gestão de recursos humanos, descrições de mercado etc.
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Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por y = a.x 
+ b, sendo a e b constantes reais com a ≠ 0.
Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por 
meio de dois pontos distintos.
1. A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de 
interseção da reta com o eixo y.
MATEMÁTICA APLICADA
2. A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a 
um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da 
reta; quando a > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando a 0, então f é crescente. 
7. Se abem é a quantidade desse bem que os consumidores 
pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros). Podemos entender a demanda 
como a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir em diversos níveis de 
preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa entre preço e quantidade (lei geral da demanda). 
O que isso significa?
Quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, ou seja: 
“Se o preço estiver subindo, eu vou comprar menos”.
A demanda de um bem se dá por causa de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda 
do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis 
mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto (p), verifica-se que o preço p 
relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se função de demanda a relação entre p e 
x, indicada por p = f(x).
O que regula a demanda de consumo? Fatores como:
• preço;
• renda;
• preço de produtos similares;
• gosto;
• expectativa;
• número de consumidores;
• marca;
• atendimento;
• localização;
• forma de pagamento;
• qualidade;
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• propaganda;
• status;
• etc.
Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores 
(nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, em um nível de preço p). Em geral, 
quando nos referirmos à função de demanda, estamos nos referindo a um grupo de consumidores que 
chamaremos de função de demanda de mercado.
Qd = -a.P + b
Onde:
• Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo;
• P é o preço do bem.
Essa função de 1º grau é representada por uma reta decrescente, já que a . Acesso em: 14 abr. 2011.
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Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como 
aluguel, seguros e outros. A soma desses custos que não depende da 
quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF. A parcela 
do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por 
CV. Assim, podemos escrever:
C = CF + CV
Verificamos também que para x variando dentro de certos limites 
(normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a 
uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada 
de custo variável por unidade.
6.6.5 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento
O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).
6.6.6 Função lucro
É definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. Assim, indicando a função 
lucro por L, teremos:
L(x) = R(x) − C(x)
 APLICADA
6.6.7 Margem de contribuição
É a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.
Vamos, agora, resolver alguns exercícios repetindo e exemplificando essas definições administrativas 
de grande importância em atividades empresariais.
Exercícios aplicados à administração
1. Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é $ 100,00, nenhuma é vendida; 
quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1º grau 
ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de $ 30,00.
Resolução
Sejam: p = preço de venda e D = demanda.
Do enunciado, temos: 1º) p = 100 ⇒ D = 0 e 2º) p = 0 ⇒ D = 50.
Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, fazendo x = p e y = D, temos: 
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D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da função.
Substituindo p = 100 e D = 0 ⇒ 0 = a . 100 + b (Equação I).
Substituindo p = 0 e D = 50 ⇒ 50 = a . 0 + b ⇒ b = 50.
Voltando à equação I, temos:
0 = a . 100 + 50 ⇒ a = - 0,5, e daí, D = - 0,5p + 50.
A equação de demanda ou função demanda é:
D = - 0,5p + 50.
Substituindo p = 30 na equação D = - 0,5p + 50, temos:
D = - 0,5 . 30 + 50 = 65.
Assim, para o preço de $ 30,00 a demanda é de 35 unidades.
2. Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que:
D(p) = 34 - 5p
S(p) = -8 + 2p
Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?
Resolução
De acordo com a definição dada, o equilíbrio de mercado é um par (p,y) tal que y = D(p) = S(p), ou seja:
34 - 5p = -8 +2p
34 + 8 = 2p + 5p
42 = 7p
p = 6
Logo, o preço do equilíbrio é R$ 6,00.
Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p = 6,00 em umas das funções. Utilizando a 
função oferta; temos:
S = -8 + 2.6 = 4.
6 Disponível em: . Acesso em: 1460
Unidade II
5 EQUAÇÕES ......................................................................................................................................................... 65
5.1 Equações do 1º grau............................................................................................................................ 66
5.2 Equações do 2º grau............................................................................................................................ 69
6 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 77
6.1 Conceito ................................................................................................................................................... 77
6.2 Definição ................................................................................................................................................. 79
6.3 Tipos de funções .................................................................................................................................. 81
6.3.1 Função sobrejetora ................................................................................................................................ 81
6.3.2 Função injetora ....................................................................................................................................... 81
6.3.3 Função bijetora ....................................................................................................................................... 81
6.4 Funções usuais ..................................................................................................................................... 84
6.4.1 Função par ................................................................................................................................................. 84
6.4.2 Função ímpa ............................................................................................................................................ 84
6.4.3 Função constante ................................................................................................................................... 85
6.4.4 Função linear ............................................................................................................................................ 86
6.5 Função do 1º grau ................................................................................................................................ 86
6.6 Aplicações ................................................................................................................................................ 88
6.6.1 Demanda e oferta de mercado ......................................................................................................... 89
6.6.2 Preço e quantidade de equilíbrio ..................................................................................................... 91
6.6.3 Receita total .............................................................................................................................................. 91
6.6.4 Custo total ................................................................................................................................................. 91
6.6.5 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento .................................................. 92
6.6.6 Função lucro ............................................................................................................................................. 92
6.6.7 Margem de contribuição ..................................................................................................................... 92
7 AJUSTE DE CURVAS ........................................................................................................................................ 94
7.1 Introdução à regressão linear .......................................................................................................... 95
7.2 Regressão linear .................................................................................................................................... 97
7.3 Regressão quadrática ......................................................................................................................... 99
8 MATEMÁTICA FINANCEIRA ........................................................................................................................103
8.1 Conceitos de juros e taxas ..............................................................................................................103
8.2 Fluxo de caixa ......................................................................................................................................104
8.3 Capitalização ........................................................................................................................................105
8.4 Capitalização simples........................................................................................................................106
8.5 Capitalização composta ...................................................................................................................106
7
APRESENTAÇÃO
Prezado aluno,
Esta disciplina, Matemática Aplicada, voltada para o curso de Gestão, está dividida em duas 
Unidades.
Na primeira, inicialmente faremos uma breve recapitulação de alguns tópicos de matemática 
elementar – que você já estudou em outra fase de sua vida escolar – para que possa relembrá-los. 
O objetivo dessa revisão é simples. Esses conhecimentos básicos são importantes para fazer outros 
cálculos mais complexos que você precisará realizar ao exercer sua atividade profissional. 
Na sequência abordaremos outros conteúdos matemáticos que você deverá aplicar quando questões 
pertinentes à área administrativa surgirem em seu dia a dia. Na Unidade II aprofundamos a matéria com 
o propósito de que você desenvolva o raciocínio lógico e a habilidade para solucionar problemas com a 
ajuda de ferramentas como formulações e modelos matemáticos. 
As despesas de uma empresa com energia elétrica, telefone, água etc. podem ser avaliadas medindo-
se o consumo durante um determinado período. O tempo de viagem que levam os caminhões de uma 
indústria para entregar as mercadorias nos pontos de venda depende da velocidade média desenvolvida 
pelos veículos durante o percurso. O preço de venda de um produto que está sendo lançado no mercado 
resulta de uma avaliação criteriosa dos custos que envolvem sua produção. Esses são exemplos de 
cálculos que rotineiramente são efetuados nas empresas, e para realizá-los nos servimos da linguagem 
matemática.
Os tópicos desta disciplina são apresentados de forma didática e são ilustrados por diversos 
exemplos para facilitar sua assimilação. Para exercitar-se, você encontrará uma boa gama de questões 
e problemas. 
Bons estudos.
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Unidade I
1 REVISÃO
1.1 Números reais
Sistemas de numeração 
A história da humanidade nos conta que os números, a exemplo das palavras, também passaram por diversas 
mudanças em sua representação escrita ao longo dos séculos. A representação gráfica do número “9”, por 
exemplo, passou por diversas formas, entre elas, a repetição de três sequências de três traços verticais, ficando 
uma embaixo da outra; a repetição de uma sequência de nove traços verticais numa mesma linha, a combinação 
das letras “I” e “X” (maiúsculas) utilizada pelos romanos, que resultou no “IX”. Na atualidade, além de escrevermos 
esse número por meio do símbolo “9”, também podemos representá-lo por extenso, ou seja, assim: “nove”.abr. 2011.
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Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades.
3. Considere a função RT = 20,5.q, em que o preço é fixo (R$ 20,50) e q é a quantidade de produtos 
vendidos (0 ≤ q ≤ 120 unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge 
o valor de R$ 1.025,00?6
Resolução
RT = 1025
20,5.q = 1025
q = 1025
20,5
q = 50 unidades vendidas.
Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas 50 unidades do produto.
 Saiba mais
Veja outras considerações e também gráficos de uma função nos sites:
. 
. 
Acesso em: 08 maio 2011.
7 AJUSTE DE CURVAS
 
Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações em que conhecemos uma tabela 
de pontos (x; y). Nessa tabela, os valores de y são obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma 
expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos.
Por exemplo, no departamento de uma empresa podemos obter uma tabela com valores do custo 
total (CT) de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo:
Quantidade (q) Custo total (CT)
1 164
2 272
3 348
4 416
5 500
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Fazendo a representação gráfica dos pontos da tabela abaixo, temos:
Custo total x Quantidade
Observamos que no gráfico acima não passa uma reta por todos os pontos. Com base nisso, podemos 
fazer as seguintes perguntas:
1) Qual é a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual é a expressão analítica 
ou a função que melhor se ajusta para os pontos (x; y)?
2) Qual é a previsão do custo total para dez unidades do produto?
Observação: As respostas destas duas questões você encontrará mais à frente, no item 7.2.
7.1 Introdução à regressão linear
A título de exemplo, utilizaremos pares ordenados resultantes de algum experimento, como:
x x1 x2 x3 x4 x5 ... xn-1 xn
y y1 y2 y3 y4 y5 ... yn-1 yn
A ordenação desses pares em uma distribuição cartesiana será influenciada pelos valores de xi e yi, (i 
= 1...n), logo, podemos obter, por exemplo, o seguinte gráfico: 
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Figura 4: Fonseca; Martins; Toledo (2009).
Podemos constatar a possibilidade de obtenção de uma função real que passe nos pontos ou pelo 
menos passe próxima dos pontos (xi,yi) dados.
A teoria de interpolação é a área matemática destinada a estudar tais processos para obter funções 
que passem exatamente pelos pontos dados, enquanto que a teoria de aproximação estuda processos 
resultantes de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados. Lógico que se pudermos gerar 
funções que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manuseada 
teremos gerado algo positivo e de valor científico.
Existem vários processos matemáticos para a solução do problema; podemos destacar o método dos 
mínimos quadrados, que tem por finalidade gerar o que se chama em estatística de regressão linear 
ou ajuste linear.
Entre as curvas mais comuns aplicadas, estão:
 
Ordem Função Nome
1 y = ao+a1 x Reta
2 y = ao+a1 x+a2 x² Parábola
A proposta de qualquer uma das funções é encontrar quais são os valores dos coeficientes 
a0, a1 e a2, de forma que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida 
curva y = f(x) a cada um dos pontos dados (yi) seja a praticável, daí o nome método dos 
mínimos quadrados. Isso pode ser feito através de cálculos avançados que consideram todas 
as variáveis utilizadas ou simplificado pelo chamado método dos mínimos quadrados que 
estudaremos a seguir.
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Método dos mínimos quadrados (MMQ)
Consiste em um dos mais simples e eficazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando 
temos uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados.
7.2 Regressão linear
Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função linear, muito frequente nos casos 
empresariais. Na verdade, pela necessidade de agilidade nas respostas e tomadas de decisões, problemas 
mais complexos podem ser aproximados pelo caso linear, considerando as duas variáveis mais 
significativas para cada caso.
Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo gráfico é uma reta.
A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por:
y = Ax + B
Onde: n = número de pontos observados;
Σx= soma dos valores de x (abscissas);
Σy= soma dos valores de y (ordenadas);
Σx.y = soma dos produtos entre x e y;
Σx2 = soma dos quadrados dos valores de x;
(médias aritméticas).
Aplicaremos o modelo para responder às duas perguntas do problema inicialmente proposto no item 7. 
Para facilitar os cálculos, construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do método dos 
mínimos quadrados, onde y representa o custo total (CT) e x representa a quantidade q.
x y x.y x2
1 164 164 1
2 272 544 4
3 348 1044 9
4 416 1664 16
5 500 2500 25
Soma = ∑ 15 1700 5916 55
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11 B = 340 - 81,6 . 3 = 95,20
Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é:
y = 81,6x + 95,20
Isto é, CT = 81,6q + 95,20, e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por:
q = 10 ⇒ CT = 81,6. 10 + 95,20 = 911,20.
Assim, o custo total para dez unidades é de $ 911,20.
Graficamente:
Custo total x Quantidade
y = 81,6x + 95,20
Lembramos aqui que o símbolo Σ é a representação de um somatório e corresponde à letra grega 
sigma maiúscula.
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7.3 Regressão quadrática
Em muitos problemas de matemática aplicada também é comum ocorrerem situações em que a 
curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráfico é uma 
função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é 
uma função quadrática: y = ax2 + b.x + c.
O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por y = Ax + Bx + C, onde A, B e C são uma 
solução do sistema de equações lineares abaixo:
Exemplo:
A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda 
correspondentes em determinado período:
 
Quantidade vendida 150 185 210 173 145
Preço de venda 15 38 59 80 100
Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de 
venda igual a R$ 120,00. 
Solução- gráfico
Quantidade X preço de venda
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Preço de venda em R$
Para facilitar os cálculos, construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste da 
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parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda, e, na última linha, os somatórios das colunas.
x y x.y x2 x3 x4 x2. y
15 150 2250 225 3375 50625 33750
38 185 7030 1444 54872 2085136 267140
59 210 12390 3481 205379 12117361 731010
80 173 13840 6400 512000 40960000 1107200
100 145 14500 10000 1000000 100000000 1450000
292 863 50010 21550 1775626 155213122 3589100
Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos:
A = -0,0298 B = 3,3416 e C = 105,95.
A equação que aproxima os pontos da tabela é: 
y = -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95.
Isto é, q = - 0,0298 p2 + 3,3416 p + 105,95,
onde q representa a quantidade demandada e p o preço de venda.
Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 120,00, temos:
p = 120 ⇒ q = -0,0298. (120)2 + 3,3416. 120 + 105,95 = 77,82.
Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 120,00 é de 77,82 unidades. Note que quando 
tratamos de unidades vendidas o resultado pode ser aproximado, no caso, podemos aproximar para 78 
unidades.
Graficamente:
Quantidade X preço de venda
y = -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95
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O estudo das regressões é muito aplicado em problemas de estatística. Se estamos interessados em 
aprender o “processo” (isto é, fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos observar as mudanças 
que ocorreram quando passamos da reta para a parábola. Não construiremos o processo para função 
cúbica ou até mesmo quártica, mas a analogia entre os casos permanece.
Obviamente, quando necessitamos desse tipo de análise empresarialmente, buscamos soluções 
rápidas para os casos de interesse. A grande aliada desse tipo de cálculo é a informática, que nos 
possibilita ter à disposição programas domésticos, pacotes e até sistemas dedicados a cada nova situação 
a ser simulada.
O método de regressão linear consta, por exemplo, no tutorial do Microsoft Excel, que faz parte do 
pacote Office da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos profissionais.
É fácil utilizá-lo para ajustar curvas ou equações de múltiplas variáveis. O programa possui duas 
ferramentas para desenvolver regressões.
A primeira é a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser mais automatizada. Essa opção precisa 
ser instalada por meio do menu Ferramentas/Suplementos/Análise de dados, escolhendo-se depois a 
opção Ferramentas/Análise de dados/Regressão.
Nesse caso, o MS-Excel pode calcular os resíduos e gerar os gráficos automaticamente, porém, cada 
nova equação precisa ser gerada desde o início.
No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente às alterações nos dados e o programa 
aceita até 16 variáveis independentes, reconhecendo automaticamente os dados em uma planilha a 
partir do formato da variável dependente (y), como descrito a seguir:
A ferramenta de análise Regressão realiza uma análise de regressão linear usando o método de 
“quadrados mínimos” para encaixar uma linha em um conjunto de observações. Podemos analisar como 
uma única variável dependente é afetada pelos valores de uma ou mais variáveis independentes.
Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um atleta é afetado por fatores como idade, altura 
e peso. Podemos distribuir partes da medição de desempenho para cada um desses três fatores, com base 
em um conjunto de dados de desempenho e, em seguida, usar os resultados para prever o desempenho 
de um novo atleta não testado. A ferramenta Regressão usa a função de planilha LINEST.
Sistemática de cálculo
Para uma função linear, com o aspecto formal tipo Y = a
0 + a1*X1+ a2*X2+... +ak*Xk, o ajustamento 
da equação de regressão pode ser realizado com a função estatística PROJ.LIN (na versão em inglês, 
LINEST), da seguinte forma:
1) Selecionar (com mouse ou teclas de movimentação) um grupo de células: 5 linhas x número de 
colunas igual ao número de parâmetros a estimar (variáveis independentes mais a constante);
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2) Entrar a fórmula, indicando primeiro a coluna da variável dependente, em seguida a faixa de 
colunas das variáveis independentes, depois a existência ou não da constante no modelo (default 
= sim, 0 = não) e o desejo de receber o conjunto de informações completo (default = não, 
verdadeiro = sim), adquirindo o seguinte aspecto:
=PROJ.LIN (A2:A13; B2:D13; verdadeiro).
Nem sempre se usará ” e “. Conforme opções de instalação do programa, em vez de “verdadeiro”, 
sendo que também é possível que o correto (para um dado sistema) seja: =LINEST (A2:A13, B2:
D13,,true).
3) Inserir esta função como matriz, pressionando simultaneamente CTRL+SHIFT+ENTER. Qualquer 
alteração na fórmula somente terá efeito se a matriz resposta for selecionada inteiramente e a nova 
fórmula for inserida igualmente com CTRL+SHIFT+ENTER.
Como resultado dos cálculos efetuados pelo programa, será exibida uma matriz sempre com o 
seguinte formato:
ak ak-1 ... a2 a1 a0
epk epk-1 ... ep2 ep1 ep0
r2 epy #N/D #N/D #N/D #N/D
F GL #N/D #N/D #N/D #N/D
SQRegres SQResid #N/D #N/D #N/D #N/D
Onde a0 é a constante, a1.ak são os coeficientes das variáveis, ep0...epk são os erros padrão de 
cada estimativa destas, R2 é o coeficiente de determinação, epy é o erro padrão da estimativa, F 
é o parâmetro de teste de Fischer-Snedecor, GL é o número de graus de liberdade, SQRegres é a 
soma dos quadrados da regressão e SQResid é a soma dos quadrados dos resíduos. Os elementos 
marcados como “#N/D” são espaços sem resultado, normais, decorrentes do desenho da função 
(na versão em inglês vem “#N/A”).
É importante verificar que a posição dos elementos no quadro de resultados é sempre a mesma, 
independentemente da posição dos dados da amostra na planilha, indicados na fórmula.
Os testes t podem ser determinados pela razão entre os dados da primeira e da segunda linha, 
(tai=ai/epi). Os erros serão calculados utilizando os coeficientes determinados (atenção à posição 
deles: a constante está na última coluna, o coeficiente da primeira variável na penúltima e assim 
por diante).
Mais esclarecimentos podem ser encontrados no item “regressão” (“regression”), no menu “Ajuda” 
do programa.
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8 MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Conceitos de juros e taxas
A maioria das questões financeiras é construída por algumas fórmulas-padrão e estratégias 
de negócio. Por exemplo, os investimentos tendem a crescer quando os bancos ou empresas 
oferecem juros compostos para seus clientes. Estamos em um momento financeiro mundial em 
que as chamadas taxas de juros devem baixar para que não tenhamos um colapso da estrutura 
econômica (desemprego, repercussões sociais etc.). Assim, a matemática financeiradestina-se a 
fornecer subsídios para a análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de 
bens de consumo.
De modo geral, podemos afirmar que esta disciplina é a divisão da matemática aplicada que estuda o 
comportamento do dinheiro ao longo do tempo, quantificando as transações que ocorrem no universo 
financeiro, levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo (time value 
money, como se diz usualmente no mercado financeiro). As principais variáveis tratadas no processo de 
quantificação financeira são taxa de juros, capital e tempo.
Os conceitos de matemática financeira são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa 
sem inflação, expressos em moeda estável “forte”, quanto nos fluxos de caixa com inflação, 
expressos em moeda “fraca”, que perdeu seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência 
da inflação.
Iniciaremos nossos estudos considerando a hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a 
moeda utilizada no fluxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo.
A seguir, veremos os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa, segundo os modelos pré-
fixado e pós-fixado.
A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor percentual da taxa de juros a 
ser adotada em cada caso. É evidente que nenhum conceito de matemática financeira sofre qualquer 
alteração pela mera variação do valor da taxa de juros.
Consideremos um breve estudo dos conceitos mais utilizados:
Juros
Juro é a remuneração gerada por um capital aplicado ou emprestado. O valor é obtido pela diferença 
entre dois pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem equivalentes.
Podemos, então, dizer que juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada 
previamente durante um determinado prazo. Resumindo: é o valor recebido pela utilização de dinheiro 
emprestado.
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Logo,
Juros (J) = preço do crédito.
A incidência de juros é resultado de vários fatores, entre os quais podemos destacar:
• inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo;
• risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento;
• fatores próprios da natureza humana, lembrando que a relação entre o homem e o dinheiro é uma 
das mais complexas de descrever, tanto social quanto psicologicamente.
Taxa de juros
É a forma de se estipular o montante de juros, ou seja, o valor percentual a ser pago pelo uso do 
capital emprestado durante um tempo pré-estipulado (anual, trimestral, semestral, mensal etc.). Assim, 
a taxa de juros é o valor produzido numa unidade de tempo e é simbolizada pela letra i.
Exemplo:
10% ao mês; sua representação poderá ser feita na forma decimal, isto é, 0,10.
Podemos observar também na tabela abaixo:
Forma percentual Transformação Forma unitária
20% a.m.
 20 
100 0,20 a.m.
3% a.a.
 3 
100 0,03 a.a.
13,5% a.m.
 13,5 
100 0,135 a.m.
5% a.d.
 5 
100 0,05 a.d.
A modalidade em que a taxa de juros é aplicada ao capital inicial ao longo de determinado período 
denomina-se sistema de capitalização simples (juros simples). Já quando a taxa de juros é aplicada sobre 
o capital atualizado com os juros do período (montante), temos um sistema de capitalização composta 
(juros compostos). Em geral, e por razões óbvias, o mercado financeiro trabalha apenas a modalidade de 
juros compostos, em que temos maior rentabilidade.
8.2 Fluxo de caixa
Diagrama de fluxo de caixa
Um diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas 
monetárias, identificado temporalmente (isto é, em razão do tempo). É fundamental para que se 
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compreendam as operações de matemática financeira, demonstrando de forma clara o que ocorre com 
o capital durante o período estipulado.
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto 
zero indica o instante inicial e os demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas).
Exemplo:
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 
800, pagamento de 200 no terceiro ano e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 
700 no quarto e 200 no quinto ano.
Convenção
Dinheiro recebido ⇒ flecha para cima ⇒ valor positivo
Dinheiro pago ⇒ flecha para baixo ⇒ valor negativo
 
8.3 Capitalização
Regras básicas
Nas fórmulas da matemática financeira, o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar 
expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo ou da 
taxa para a mesma unidade de tempo dependem do regime de capitalização definido para a operação. 
Para juros simples, podemos observar os seguintes exemplos:
24% a.a. = 24/12 = 2% ao mês.
24% a.a. = 24/6 = 4% ao bimestre.
7 Disponível em: . Acesso em: 14 
abr. 2011.
8 Disponível em: . Acesso em: 14 
abr. 2011.
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24% a.a. = 24/4 = 6% ao trimestre.
24% a.a. = 24/2 = 12% ao semestre.
Critérios de capitalização
8.4 Capitalização simples7
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente 
sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. A 
taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter 
a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por trinta; se 
desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por 
doze, e assim por diante.
Portanto, consiste na apuração de juros aplicando-se a taxa contratada 
sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo várias adições 
consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas têm 
a mesma dimensão, significando isso que as parcelas de juros geradas 
anteriormente não se incorporam ao capital como base para a geração 
de novos juros. O montante de capital e juros se comporta como uma 
progressão aritmética.
Juros simples i = 10% ao período
Ano Saldo do início
do período
Juros apurados
a cada período Saldo ao final do período
1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00
2 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00
3 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00
4 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00
* Crescimento de 40% em 4 períodos
8.5 Capitalização composta8
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o 
principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse 
regime de capitalização, a taxa varia exponencialmente em função do 
tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização 
simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos 
juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. 
9 MARQUES, Paulo. Disponível em: . Acesso em: 14 abr. 2011.
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Consiste na apuração periódica de juros com sua imediata incorporação ao 
capital gerador de novos juros. Dessa forma, o montante ao final do período 
“x” passa a ser o capital inicial para o período “x+1”. Os juros abonados em 
cada período tornam-se geradores de novos juros, e o montante de capital 
e juros se comporta como uma progressão geométrica.
Juros compostos i = 10% ao período
Ano Saldo do início
do período
Juros apurados
a cada período
Saldo ao final
do período
1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00
2 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00
3 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00
4 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,00
* Crescimento de 46,41% em 4 períodos
Juros simples
Os juros simples, diante de suas restrições técnicas, têm aplicações práticas bastante limitadas. 
São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros 
segundo o regime de capitalização linear. O uso de juros simples restringe-se, principalmente, às 
operações praticadas no âmbito de curto prazo.
No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente prazos 
reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime. Os juros 
simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação, mas não para apuração do 
efetivo resultado percentual (taxa interna de retorno).
Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas do sistema financeiro estão referenciadas a juros simples, 
porém, a formação dos montantes das operações processa-se exponencialmente. Um exemplo disso é 
a caderneta de poupança com juros de 6% ao ano, juros mensais de 0,5% ao mês, com capitalizações 
mensais a juros compostos.
 
Vejamos outro exemplo:9
Considere que R$ 100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao 
mês, durante três meses; teríamos, nesse caso:
• juros produzidos ao final do primeiro mês: J = 100.(1%).1
= 100.(1/100) . 1 = R$ 1,00;
• juros produzidos ao final do segundo mês: J = 100.(1%).2
= 100.(1/100) . 2 = R$ 2,00;
10 MARQUES, Paulo. Disponível em: . Acesso em: 14 abr. 
2011.
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• juros produzidos ao final do terceiro mês: J = 100.(1%).3 =
100.(1/100) . 3 = R$ 3,00.
Note que:
(a) Os juros – nesse caso, simples – são calculados sempre em relação ao capital 
inicial de R$ 100,00.
(b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.
Fórmulas de juros simples10
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão 
novos juros. Valor principal ou simplesmente principal é o valor inicial 
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em 
fórmula, temos:
J = C i n
Onde:
J = juros
C = principal (capital)
 
i = taxa de juros
n = número de períodos
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante.
• Montante = Principal + Juros
• Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos)
M = C (1 + i n)
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 Saiba mais
Você pode assistir a um interessante filme sobre matemática, 
envolvendo lógica e teoria dos jogos. O filme Uma mente brilhante conta 
a história de John Nash, um gênio da matemática que, aos 21 anos, 
formulou um teorema que provou sua genialidade e o tornou aclamado 
no meio onde atuava. John Nash ganhou um Prêmio Nobel.
 Resumo
Nesta unidade começamos nossos estudos com as equações, 
lembrando que é preciso utilizar o raciocínio lógico para resolver problemas 
matemáticos.
Uma equação pode ser comparada a uma balança de dois pratos, ela 
deve manter o equilíbrio. O conteúdo de cada lado deve ser equivalente. 
Assim, o símbolo de igualdade “=” é usado para separar os dois lados da 
equação, “os pratos da balança”.
Para solucionar um problema construímos uma sentença matemática, 
na qual o valor desconhecido – a resposta – é representado na equação 
por uma letra qualquer. Essa representação se dá usualmente por x, y 
e z. Quando o valor desconhecido tem expoente igual a 1, a equação é 
classificada como do 1º grau, e quando o expoente é igual a 2, a equação é 
classificada como do 2º grau.
Com relação ao tópico funções, você viu que considerados dois conjuntos 
A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada 
por f: A → B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada 
elemento de A um único elemento de B. Assim, para que uma relação de A 
em B seja uma função, é necessário que a cada x ∈ A esteja associado um 
único y ∈ B, podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado a 
nenhum elemento pertencente ao conjunto A. Existem diversos tipos de 
funções, mas as mais utilizadas são as funções do 1º grau (expoente igual a 
1) e 2º grau (expoente igual a 2).
Vários segmentos utilizam as funções como ferramentas para a solução 
de problemas. De acordo com a relação entre os conjuntos, podemos obter 
inúmeras leis de formação. Nesses estudos utilizamos diversos tipos de funções, 
que podem ser: do 1º e do 2º grau, exponenciais, modulares, trigonométricas, 
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logarítmicas, polinomiais. Cada função possui uma propriedade e é definida 
por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no 
plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema 
importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos 
demonstra de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso 
de relações de dependência, especificadamente, as funções. As funções 
possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem 
da função; no plano cartesiano, o eixo x representa o domínio da função, 
enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo 
a imagem da função.
Ajuste de curvas – em matemática e estatística aplicada existem muitas 
situações em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). Nessa tabela, os 
valores de y são obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma expressão 
analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de 
pontos. Existem vários processos matemáticos para a solução do problema. 
Destacamos o método dos mínimos quadrados, que tem por finalidade 
gerar o que se chama em estatística de regressão linear ou ajuste linear. 
São dois os métodos básicos: o primeiro método dos mínimos quadrados é 
usado quando a curva procurada ajusta-se a uma reta, o segundo, quando 
a curva procurada apresenta outras semelhanças.
O método dos mínimos quadrados consiste em um dos mais simples 
e eficazes métodos da análise de regressão. Ele é utilizado quando temos 
uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse 
conjunto de dados.
Outras curvas. Em muitos problemas de matemática aplicada também 
é comum ocorrerem situações em que a curva de ajuste não é uma reta, 
podendo os pontos se aproximar de uma curva cujo gráfico é uma função 
quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Como uma das curvas 
comuns é a quadrática, estudamos o ajuste a umafunção quadrática: y = 
ax2 + b.x + c.
O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por y = Ax + Bx + 
C, onde A, B e C são uma solução do sistema de equações lineares que é 
obtido do problema a ser estudado.
 Exercícios
Questão 1. (Provão 2002) A Pedroso Ltda. está realizando um estudo de viabilidade econômica para 
Aloha Surf Ltda., uma pequena fábrica de pranchas de surf. Para tal, determinou o custo fixo anual de 
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operação da fábrica em R$1.500.000,00 e um custo unitário variável de R$100,00. A Aloha pretende 
vender suas pranchas a um preço unitário de R$200,00. De quantas unidades deve ser o ponto de 
equilíbrio (produção em que a receita total é igual ao custo total) anual da fábrica?
a) 100.000
b) 75.000
c) 50.000
d) 20.000
e) 15.000
Resposta correta: alternativa e.
Análise das alternativas:
Ponto de equilíbrio é o valor de unidades que devem ser vendidas para que a receita total seja igual 
ao custo total, ou seja, o ponto no qual o lucro é igual a zero. Desta forma, temos:
• Função do custo total (C):
Onde C é o custo total; CF é o custo fixo; Cv é o custo variável; Cu é o custo unitário e Q a quantidade 
vendida.
• Função da receita total (RT);
Onde RT é a receita total e p é o preço unitário da prancha.
Por definição, no ponto de equilíbrio C = RT, logo:
Questão 2. Considere o seguinte Diagrama de Fluxo de Caixa, relativo a uma operação de desconto 
de duplicatas realizada por uma empresa em um banco. Os títulos negociados foram resgatados na data 
de vencimento, sem atraso.
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Nas condições em que foi realizado o desconto, a taxa efetiva de juros pagos pela empresa foi de:
a) 3,00% a.m.
b) 3,29% a.m.
c) 3,49% a.m.
d) 3,69% a.m.
e) 3,19% a.m.
Resolução desta questão na Plataforma. 
113
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
Figura 2 
Pontos: contando na caverna. Foto: Alek Baptista/Muhpan. Disponível em: . Acesso em: 14 abr. 2011. 
Figura 3
SILVA, S. M. da; SILVA, É. M. ; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
Figura 4
Adaptado de FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; TOLEDO, G. L Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 2009.
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
UMA MENTE brilhante. Direção: Ron Roward. Produção: Brian Grazer e Ron Howard. Los Angeles: 
Imagine Entertainment, 2001. 
Textuais
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade; TOLEDO, Geraldo Luciano. Estatística 
aplicada. São Paulo: Atlas, 2009.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções. vol.1, 8. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2004.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
JUER, Milton. Matemática financeira: praticando e aplicando. São Paulo: Qualitymark, 2003.
MORETTIN, Pedro Alberto; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Cálculo: funções de uma e de várias 
variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giacomo. Matemática aplicada à administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Thomson Learning, 2004.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática para os 
cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999.
114
___. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1986.
Exercícios
Unidade II - Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Provão 2002. Disponível em: . Acesso em: 18 mai. 2011.
Sites
http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacaosimples.html 
http://www.brasilescola.uol.com.br 
http://www.emersonmatematica.blogspot.com.br 
http://www.geocities.com/paulomarques_math/arq9-2.htm 
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/conjuntos---operacoes-relacoes-de-
pertinencia-e-inclusao.htm
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/conjuntos-numericos-respostas-aos-
problemas-da-realidade.htm
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacao-de-1-grau-1-definicao.htm
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacao-de-1-grau-2-resolucao.htm
http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/equacao-de-1-grau-3-problemas.htm
http://www.brasilescola.uol.com/matematica/equacao-2-grau.htm
http://www.brasilescola.uol.com/matematica/funcao.htm 
http://www.brasilescola.uol.com/matematica/grafico-funcao.htm
http://www.brasilescola.uol.com/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
http://www.infopedia.pt/
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000A vida do homem, há milhares de anos, era muito diferente da atual. Ele não tinha necessidade de 
contar, uma vez que não comprava, não vendia, não usava dinheiro.
Com o passar dos anos, os costumes foram mudando, o homem passou a cultivar a terra, a criar 
animais, a construir casas e a comercializar. Foi então que surgiu a necessidade de contar.
Conforme a vida foi se tornando mais complexa, surgiram as primeiras povoações. Estas foram 
crescendo, tornando-se cidades, se desenvolveram e deram origem às grandes civilizações. Com o 
progresso e o alto grau de organização dessas civilizações apareceu a necessidade de aprimorar os 
processos de contagem e de registrá-los. 
Foram criados então símbolos e regras que resultaram nos diferentes sistemas de numeração.
Sistema de numeração decimal
Faremos agora uma breve recapitulação sobre o sistema de numeração decimal, que é o que 
normalmente utilizamos. 
Conhecido como indo-arábico, porque foi criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, esse 
sistema utiliza dez símbolos diferentes – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – para expressar os algarismos com os 
quais contamos unidades, dezenas, centenas, milhares e demais quantidades e, obviamente, com que 
realizamos todo tipo de cálculo.
Diz-se que é um sistema posicional porque um mesmo símbolo representa um valor diferente, 
dependendo da posição que ocupa na escrita do número. Por exemplo, no número 4.545 (lendo da 
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direita para a esquerda), o algarismo 5 representa 5 unidades, o algarismo seguinte, o 4, representa 
40 unidades, o algarismo à frente dele, o 5, representa 500 unidades, e o algarismo 4, que antecede 
todos os outros, representa 4.000 unidades. E é um sistema decimal porque 10 unidades de uma ordem 
formam uma unidade da ordem imediatamente superior. Por exemplo: 10 unidades formam 1 dezena, 
10 dezenas formam 1 centena, 10 centenas formam 1 milhar e assim por diante.
Sistemas de numeração anteriores ao decimal apresentavam dificuldades para escrever números 
muito grandes e também era muito trabalhoso fazer cálculos com eles. Esses obstáculos foram 
solucionados com a criação do sistema de numeração decimal. De que maneira? Ao desenvolvê-
lo, os hindus reuniram três características – já falamos de duas delas – fundamentais que faziam 
parte, separadamente, de outros sistemas de numeração: é um sistema decimal; o sistema decimal é 
posicional; e entre seus símbolos consta o zero, que representa o nada. Foram essas três características 
que fizeram desse sistema o mais prático de todos, motivo pelo qual ele é usado hoje em dia em quase 
todo o mundo. 
Com os algarismos formamos os números e aos números damos nomes. A palavra que designa esses 
nomes chamamos de numeral. 
Numeral é o nome dado a qualquer representação de um número. Os numerais cardinais 
indicam uma quantidade exata. Por exemplo: dois, trinta e quatro, trezentos, mil. Os numerais ordinais 
indicam ordem de sucessão ou posição exata de um elemento em uma determinada série. Por exemplo: 
primeiro, oitavo, vigésimo. Os numerais multiplicativos indicam um aumento exatamente proporcional. 
Por exemplo: dobro, sêxtuplo, cêntuplo. Os numerais fracionários indicam divisão, uma parte de um 
todo que é exatamente proporcional. Por exemplo: metade, um quinto, um centésimo, três décimos.
Para ficar bem claro: número e numeral são coisas diferentes. Exemplos de numerais: sete, terceiro, 
triplo, um quinto. Exemplos de números: 6, 4º, 1/8.
Os números reais
Os números reais fazem parte de um conjunto numérico que veremos mais adiante, entretanto, 
faremos um breve estudo dos números reais para entender sua utilização.
Quando estudamos o comportamento das funções, podemos notar que ele depende dos três 
elementos importantes que as compõem: o domínio, o contradomínio e a lei de definição. 
Daí se conclui que é importante ter clareza sobre as propriedades dos números reais para compreender 
as funções de uma variável real. Essa compreensão dos números reais, no entanto, não é tão simples como 
parece. O problema começa pelo método de introdução dos números reais: se pelo método construtivo 
ou se pelo método axiomático.
O interessante é que na ponta inicial do método construtivo também está o método axiomático. 
Na realidade, o método axiomático fundamenta toda teoria matemática. Por isso, vamos falar um 
pouco dele. 
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A construção dos números reais
Em uma teoria axiomática temos:
1. Termos indefinidos.
2. Relações indefinidas.
3. Axiomas relacionando termos indefinidos e relações indefinidas.
4. Definições.
5. Teoremas baseados em axiomas e definições.
Os termos e as relações indefinidas também são denominados conceitos primitivos. Axiomas são 
propriedades aceitas como verdadeiras, sem questionamento e sem demonstração.
Exemplo: a teoria dos conjuntos é um exemplo simples de teoria axiomática. 
1. Conjunto e elemento de um conjunto são termos indefinidos.
2. Um elemento pertence a um conjunto é uma relação não definida.
A teoria dos conjuntos tem dois axiomas fundamentais (que não são os únicos):
Axioma da extensão: Dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, cada elemento de A 
pertence a B e cada elemento de B pertence a A.
Axioma da especificação: Se P(x) é uma proposição qualquer e A é um conjunto qualquer, então 
existe um único conjunto B, tal que:
B = {a: a pertence a A, P(a) é verdadeiro}
Com os elementos disponíveis, podemos definir novos objetos, como, por exemplo, a reunião de dois 
conjuntos:
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, o que, 
em símbolos matemáticos, pode ser escrito:
AB = { x : x pertence a A ou x pertence a B }
Agora, com base na definição anterior e no axioma da extensão, podemos enunciar a propriedade 
associativa para a reunião:
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Teorema: Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C)
Observamos que uma das consequências do axioma da especificação é a existência do conjunto 
vazio, geralmente tão mal compreendido. Por exemplo, consideremos no conjunto dos números naturais 
a seguinte proposição:
P(x): x+4 = 1
Se considerarmos o universo de trabalho como o conjunto dos números naturais, o conjunto B 
acima definido será vazio, isto é:
B = { x pertence a N: P(x) é verdadeiro } = { } = ∅
1.2 Expressões algébricas
Expressões numéricas
As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de operações fundamentais. 
Uma expressão numérica é uma sequência de números associados por operações. As operações que 
podemos encontrar em uma expressão numérica são: potenciação, radiciação, multiplicação, divisão, 
adição e subtração. Como uma expressão numérica é formada por várias operações, você deve saber que 
existe uma ordem obrigatória para sua resolução. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se 
a seguinte ordem:
1. Potenciações e radiciações.
2. Multiplicações e divisões.
3. Adições e subtrações.
Exemplo:
 102 ÷ 52 + 51 . 23 -50 =
=100 ÷ 25 + 5.8 -1 =
= 4 + 40 - 1 =
= 44 - 1 = 43
Outra regra importante é que em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, 
colchetes e chaves), inicialmentedevem ser efetuadas as operações dentro dos parênteses, depois as 
que estão dentro dos colchetes e, por último, as que estão dentro das chaves, respeitando-se, ainda, a 
prioridade das operações.
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Exemplos:
37 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =
= 37 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} =
= 37 + 2.{25 + [18 – 9]} =
= 37 + 2.{25 + 9} =
= 37 +2.34 =
= 37 + 68 = 105
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 =
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 =
=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =
= [1.3 + 12] : 5 = 
= [3 + 12 ] : 5 =
= 15 : 5 = 3
Agora que você já está familiarizado com as expressões, experimente calcular algumas:
11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 =
11 + 32 + 36 – 5 = 74
109 – 15.4 + 26 : 13 =
109 – 60 + 2 = 51
10 + 3502 : 17 – 100 : 25 =
10 + 206 – 4 = 212
25 + 25 : 25 – 25.1 =
25 + 1 – 25 = 1
Exemplos de aplicação
Faça os exercícios a seguir. Como cada uma das expressões já traz a resposta, cabe a você desenvolver 
o cálculo para chegar aos resultados dados. 
1) Calcule o valor das expressões:
a) 10-1+8-4 = 13
b) 12-8+9-3 = 10
c) 25-1-4-7 = 13
d) 45-18+3+1-2 = 29
e) 75-10-8+5-1 = 61
f) 10+5-6-3-3+1 = 4
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2) Calcule o valor das expressões:
a) 30-(5+3) = 22
b) 15+(8+2) = 25
c) 15-(10-1-3) = 9
d) 23-(2+8)-7 = 6
e) (10+5)-(1+6) = 8
f) 7-(8-3)+1 = 3
3) Calcule o valor das expressões:
a) 25-[10+(7-4)] = 12
b) 32+[10-(9-4)+8] = 45
c) 45-[12-4+(2+1)] = 34
d) 70-{20-[10-(5-1)]} = 56
e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = 37
f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = 45
g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = 52
h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = 1
i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = 42
j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = 11
k){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = 40
4) Calcule o valor das expressões:
a) 7-(1+3) = 3
b) 9-(5-1+2) = 3
c) 10-(2+5)+4 = 7
d) (13-7)+8-1 = 13
e) 15-(3+2)-6 = 4
f) (10-4)-(9-8)+3 = 8
g) 50-[37-(15-8)] = 20
h) 28+[50-(24-2)-10] = 46
i) 20+[13+(10-6)+4] = 41
j) 52-{12+[15-(8-4)]} = 29
Expressões algébricas
Ao analisarmos a expressão (4+8-2)-4+3, observamos que ela possui uma sequência de números 
separados por operações, sendo assim, podemos chamá-la de expressão numérica. 
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A partir da definição de expressão numérica podemos chegar à definição de expressões 
algébricas: 
Chamamos de expressões algébricas aquelas que envolvem números, letras e operações indicadas 
entre eles.
As letras em uma expressão algébrica representam qualquer número real. Elas são chamadas de 
incógnitas. 
Por exemplo: 
Y + 10
Y é a incógnita, um número qualquer (valor desconhecido). 
A soma de um número qualquer mais 10. 
10 unidades a mais do que um número representado por Y. 
Outro exemplo:
5 . K
K é a incógnita, um número qualquer (valor desconhecido). 
O produto de 5 por um número qualquer. 
Simplificação de expressões algébricas 
y + y = 2y => pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes 
também). 
m – 7m = -6m => pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes 
também). 
5 . (x + 2) – 8 . x => utilizando a propriedade distributiva 
5x + 10 – 8x => 5x e 8x são monômios semelhantes 
-3x + 10 => como -3x e 10 não são semelhantes, então você não pode somar. 
Concluímos que: 
5 . (x + 2) – 8 . x = -3x + 10
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1.3 Razão e proporção
Razão 
Chama-se razão qualquer relação numérica entre grandezas feita através de uma divisão. 
Especificando: dá-se o nome de razão, entre os dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente 
entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou por a : b. 
Exemplo: 
Na sala de aula de uma faculdade há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de 
rapazes e o número de moças (lembrando que razão é divisão): 
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Agora vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 5:
 (indica que para cada 4 rapazes existem 5 moças)
Utilizando o mesmo exercício, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. Note 
que invertemos a pergunta.
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Agora vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 5:
 (indica que para cada 5 moças existem 4 rapazes)
Lendo razões:
 (lê-se 4 está para 10 ou 4 para 10)
 (lê-se 7 está para 8 ou 7 para 8) 
Termos de uma razão:
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Proporção
É a igualdade entre razões.
Exemplo: meu carro faz 13 km por litro de combustível, então, para 26 km preciso de 2L, para 39 km 
preciso de 3L e assim por diante.
Portanto 
Propriedades
Grandezas diretamente proporcionais
– O aumento de uma implica o aumento da outra.
– A redução de uma implica a redução da outra.
– Ex.: número de biscoitos e quantidade de trigo.
Grandezas inversamente proporcionais
– O aumento de uma implica a redução da outra.
– A redução de uma implica o aumento da outra.
– Ex.: velocidade média de um automóvel e tempo de viagem.
Grandezas especiais
Escala é a razão entre a medida especificada no desenho e a medida real correspondente. 
Exemplo: 
Em um mapa, a distância entre Piracaia e Rio de Janeiro é representada por um segmento de 4,7 cm. 
A distância real entre essas cidades é de 470 km. Vamos calcular a escala desse mapa. Para poder realizar 
o cálculo, os números devem estar na mesma unidade de medida, logo 470 km = 47 000 000 cm
Velocidade média é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto (note que no exemplo 
a seguir as unidades são diferentes).
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Exemplo: 
Um carro percorre 400 km em 5h. Determine a velocidade média desse carro. Velocidade = 400/5 = 80 
Densidade demográfica
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área onde eles ficam. 
Exemplo: 
O município de São Paulo tem uma área de 1523 km2 e uma população de 11.037.593 habitantes. 
Calcule a densidade demográfica do município. 
Razões inversas 
Vamos observar as seguintes razões: 
Observe que o antecessor (4) da primeira é o consequente (4) da segunda.
Observe que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da segunda. 
O produto das duas razões é igual a 1, isto é 4/8 x 8/4 =1 
Dizemos, então, que as razões são inversas quando o antecedente de uma é o consequente da outra 
e vice-versa. Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isso porque 
uma é o inverso multiplicativo da outra. 
Exemplo: 
A razão inversa de 
1.4 Porcentagem
A porcentagem é utilizada em muitas situações do seu dia a dia. Veja, a seguir, algumas notícias 
corriqueirasnos meios de comunicação:
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O sindicato dos operadores de... pediu 8% de reajuste.
Foi estimado o crescimento do PIB em 4,5% para o próximo ano.
A taxa Selic foi alterada para 10,75%.
Os cálculos envolvendo porcentagens são comuns em nosso cotidiano, motivo pelo qual 
devemos entender seu uso e as operações necessárias em cada situação. Por exemplo:
Determinado shopping resolve fazer uma liquidação e estabelece que todas suas lojas deverão 
oferecer um desconto de 10% no preço de seus produtos. Se um produto custa R$ 120,00, quanto será 
seu novo preço?
Note que o desconto será de 10% do valor de R$ 120,00. Portanto:
Feito o cálculo, obtivemos o valor de R$ 12,00, que é a quantia (10%) a ser descontada. Subtraindo 
esse valor do preço atual, que é R$ 120,00, temos: 120 - 12 = 108. Portanto, o novo preço do produto 
será de R$108,00.
Razão centesimal:
Toda razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão centesimal. Por 
exemplo:
Uma razão centesimal também pode ser representada de outras formas. Veja os exemplos a 
seguir:
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Definição de taxa porcentual ou porcentagem:
Agora vamos ver uma definição: 
Taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0, à
razão tal que 
Indica-se por x%.
Porcentagem é o valor que obtemos quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado 
valor. 
Vejamos os seguintes exemplos:
1) 20% de 1200:
A razão centesimal é: 
Portanto, 
2) 20% de 800:
A razão centesimal é: 
Portanto, 
3) 25% de 200: 
Portanto, 
4) Para saber a taxa porcentual de 3 sobre 5, devemos calcular x%.
Portanto:
A taxa é de 60%
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5) E a taxa porcentual de 10 sobre 20?
Portanto:
A taxa é de 50%
 Observação
Como se calcula porcentagem em uma calculadora? Veja o exemplo:
Calcular 25% de 1000:
1. Digite 1000
2. Aperte a tecla de multiplicação: X
3. Digite: 25
4. Aperte a tecla de porcentagem: %
Neste caso, o resultado é 250.
Exemplos de aplicação:
1. Em visita a uma loja, um consumidor efetuou uma compra no valor de R$ 2.000,00. Como o 
consumidor já era cliente, conseguiu um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?
2. Um automóvel foi comprado por R$ 18.000,00; após uma reforma e inclusão de vários acessórios 
teve uma valorização (acréscimo no valor) de 10% em seu preço. Quanto ficou o novo valor do 
automóvel?
3. Em uma loja de móveis, um conjunto de estofados custa R$ 2.200,00. Ele foi vendido com um 
lucro de R$ 330,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda?
4. Em uma pequena loja, um novo comerciante comprou uma mercadoria por R$ 400,00. Acresceu 
a esse valor 50%, que seria seu lucro. Um consumidor pediu um desconto e o comerciante 
ofereceu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que assim teria um lucro de 10%. O 
comerciante teve lucro ou prejuízo? 
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Qual foi esse valor?
Como você resolveria o problema? 
Resolução 
1. Cálculo do desconto: 
Valor final da compra, já subtraído o desconto: 2000 - 400 = R$ 1.600,00.
2. O acréscimo será de: 
Portanto, o novo valor do automóvel será de: 18.000 + 1.800 = R$ 19.800,00.
3.
 
 
 
Portanto, o lucro foi de15%.
4. Vamos calcular: 
O comerciante comprou a mercadoria por R$ 400,00 e acresceu 50% sobre esse valor.
 
Calculado o lucro de R$ 200,00 (50% de R$ 400), o valor da venda ficaria sendo de R$ 400,00 de 
custo mais R$ 200,00 do lucro pretendido, ou seja, a mercadoria teria o preço de venda de R$ 600,00.
No momento da venda, entretanto, o comerciante deu um desconto de 40% sobre o preço de 
venda:
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Os 40% de desconto representam R$ 240,00. Descontando esse valor do preço de venda (R$ 600,00) 
temos R$ 360,00, o preço de venda após desconto.
Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$ 400,00 e vendeu por R$ 360,00, teve 
um prejuízo de R$ 40,00.
1.5 Regra de três
Vamos entender agora o que significa regra de três. Suponhamos que seu gerente informe que 
precisa cortar 20% dos gastos do departamento. Quanto representa isso? O valor é alto ou baixo? Você 
descobrirá ao calcular porcentagens e ao entender como funciona esse tipo de dado numérico. Veja as 
definições e exemplos a seguir.
Porcentagem nada mais é que uma razão, isto é, a relação entre dois números. É uma razão “fixa”, 
uma fração em que o número 100 está sempre no denominador. No caso da redução de 20% dos gastos 
do departamento:
A porcentagem é representada também pelo símbolo %:
Como é uma razão (relação entre números), a porcentagem varia segundo o número a que está 
relacionada. No caso em questão, reduzir 20% das despesas pode ser muito ou pouco dinheiro, 
dependendo do valor total das despesas do departamento. 
Vamos supor que seu gerente informe que as despesas do departamento são de R$ 2.000,00. Para 
determinar quanto é 20% de 2.000, vamos fazer uma regra de três. R$ 2.000,00 é o total, ou seja, é 
100%. Você deseja saber quanto vale 20% (x). Alinhe de um lado as porcentagens (100% e 20%) e do 
outro os valores em “números reais” (R$ 2.000,00 e o valor a ser reduzido, isto é, quanto vale 20%).
 Logo: 
O departamento deverá reduzir suas despesas em R$ 400,00, portanto, as despesas totais passarão 
dos atuais R$ 2.000,00 para R$ 1.600,00.
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Utilizamos com frequência as razões em nosso dia a dia. Por exemplo, podemos dirigir nosso carro 
a 60 quilômetros por hora ou podemos ver um mapa que está em uma escala cartográfica de 1 por 
1.000 – a escala estabelece uma relação de proporcionalidade entre as distâncias lineares no mapa e as 
distâncias correspondentes na realidade.
 
No primeiro caso dizemos que em 1 hora percorremos 60 quilômetros. No segundo dizemos que 
cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1.000 centímetros da região representada. Também podemos 
usar unidades de medida diferentes, por exemplo, cada 1 centímetro no mapa pode corresponder a 10 
quilômetros na vida real. 
Veja os seguintes exemplos:
1. Em um concurso concorreram 1.000 candidatos para 100 vagas. Qual a razão entre candidatos e 
vagas?
Usando a simplificação, você pode reduzir esse número e entender melhor a relação entre candidatos 
e vagas:
Dizemos que para cada 1 vaga concorreram 10 candidatos. 
2. Um usuário de cartão de crédito tem desconto de 50% em teatros, cinemas e outros espetáculos. 
Se a entrada em uma peça custa R$ 42,50, quantoele vai pagar usando o cartão de crédito?
Logo:
Ele pagará R$ 21,25
Se o desconto fosse de apenas 20%, teríamos:
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Como R$ 8,50 é o valor do desconto, fazemos: 
42,50 – 8,50 = 34,00
Portanto, o valor do ingresso seria de R$ 34,00 no caso de o desconto ser de apenas 20%. 
Siga o seguinte método para não errar na hora de calcular: os números que estão “na mesma 
linha do x” (ao lado e acima) ficam na parte de cima da fração (denominador), multiplicando 
(ou seja, 42,50 vezes 50), e o que estiver na diagonal (ou seja, o que sobrar) fica embaixo, no 
denominador, dividindo:
Para calcular acréscimos e diminuições de porcentagens também pode-se utilizar o fator 
multiplicativo.
1.5.1 Regra de três simples
Grandezas diretamente proporcionais
Você pode perceber que algumas equações são simples de calcular, já que relacionam grandezas 
(tempo, comprimento, quantidades etc.) que envolvem proporcionalidades, facilmente resolvidas por 
regra de três. Veja os seguintes exemplos:
No rótulo de um suco concentrado, observam-se as seguintes instruções:
Misture 1 parte do produto a 4 partes de água. Adoce a gosto. Neste caso, temos a proporção de 
suco concentrado para a de água, ou seja: 
 Isso é uma razão
Logo, se forem colocados 2 copos de suco concentrado, deverão ser acrescidos 8 de água. Então: 
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Vamos ver agora outro exemplo para você lembrar do conceito. 
Numa receita de macarrão caseiro, lê-se: misturar 110g de farinha de trigo para cada ovo. Relembrando 
o conceito, temos a proporção: 
Portanto, uma igualdade entre razões é uma proporção.
As proporções possuem uma propriedade importante, que você precisa lembrar sempre: multiplicando 
seus termos em cruz, obtém-se o mesmo resultado:
 
É o princípio da regra de três.
Aproveitando os dados apresentados no exemplo da receita de macarrão caseiro, pergunta-se: 
quantos ovos devemos adicionar à massa para 550g de farinha de trigo?
Vimos que a proporção é de 1 ovo para 110g de farinha de trigo. Para facilitar, vamos aprender 
a organizar os dados para a resolução da proporcionalidade através da regra de três. Assim, vamos 
organizar as grandezas em colunas. Neste caso, as grandezas são os ovos e a farinha. Como já dissemos 
anteriormente, colocam-se as grandezas iguais na mesma coluna:
Note que na coluna dos ovos a resposta que procuramos é representada por um “x”, o qual exprime 
a quantidade de ovos necessária para 550g de farinha. 
Agora vamos multiplicar em cruz:
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Então fica assim: 
 Lembrete
O ponto na expressão representa a multiplicação e nessa operação 
matemática a ordem dos fatores não altera o produto.
Portanto, resolvendo a expressão:
Resposta: deverão ser usados 5 ovos para 550g de farinha de trigo.
Você deve usar esse raciocínio para grandezas diretamente proporcionais (quanto mais farinha, 
mais ovos; assim como quanto menos água, menos suco). Para a proporção de grandezas inversamente 
proporcionais, o modo de calcular é diferente.
Grandezas proporcionais e inversamente proporcionais – Na aplicação que acabamos de 
aprender, utilizando a regra de três simples, observamos que quando se aumenta uma das 
grandezas, ovos em nosso exemplo, aumenta-se também a de farinha. Quando acontece uma 
situação dessas, dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais. 
Observe que algumas proporções (relação entre grandezas) se apresentam de forma diferente, isto 
é, as proporções são grandezas inversamente proporcionais, de forma que para resolver a questão não 
basta aplicar a regra de três simples. 
O que significa inversamente proporcional? Simplesmente que enquanto uma grandeza cresce, a 
outra diminui. Daí seu nome. 
Observe este exemplo: em uma obra de construção, se 6 operários levantam um muro em 10 dias, 
quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 4 dias?
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Note que as grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto mais operários forem 
contratados, menor será o tempo necessário para a conclusão do trabalho. Vejamos como podemos 
calcular essa questão. 
Para começar, vamos utilizar o que aprendemos na regra de três simples. Primeiramente organizamos 
as grandezas em colunas; neste caso elas são os dias e os operários. 
 
Fica assim:
 
Dias Operários
10 → 6
 4 → x
Agora vamos fazer o cálculo. 
Atenção: como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas:
Dias Operários
10 → x
 4 → 6
Depois de inverter a coluna da grandeza operários, vamos multiplicar em cruz:
Dias Operários
10 → x
 4 → 6
O novo cálculo fica assim: →
Resposta: será necessário aumentar de 6 para 15 o número de operários a fim de diminuir o tempo 
de 10 para 4 dias. Perceba que uma grandeza diminuiu (dias) e a outra aumentou (operários), portanto 
trata-se de grandezas inversamente proporcionais.
Agora você já sabe que antes de calcular uma regra de três devemos verificar a proporcionalidade 
das grandezas, se são diretas (caso dos ovos e da farinha) ou indiretas (caso dos dias e operários).
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E agora que você relembrou como calcular a proporção entre duas grandezas, sejam diretas ou 
indiretas, vamos a novos desafios. Existem também problemas em que mais de duas grandezas estão 
envolvidas. Para esses casos usa-se a chamada regra de três composta.
1.5.2 Regra de três composta
As regras de três são usadas quando há uma relação de dados que guardam entre si razão de 
proporcionalidade. São regras de três simples, quando há apenas duas grandezas (quantidade de farinha 
e número de ovos para um bolo, número de operários e de dias para terminar uma obra), ou compostas, 
quando há mais de duas grandezas envolvidas no problema. Para entender melhor, vamos ver um 
exemplo passo a passo. 
Problema: 12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com jornada de 8 horas diárias, produzem 36m de 
tecido. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12m de tecido com o dobro da largura, trabalhando 
6 horas por dia?
Vamos utilizar a mesma técnica de cálculo dos exemplos anteriores. Iniciamos colocando as 
variáveis em colunas. A incógnita, ou seja, o dado que você quer descobrir, é o número de dias, que 
será representado por x. Como temos 4 variáveis, colocamos os dados fornecidos no problema em 4 
colunas. 
Assim:
 
Operários Dias Horas/Dia Metros
12 90 8 36
15 x 6 24
Note que o problema pede 12 metros de tecido e não 24. Para facilitar o cálculo, foi dobrado o 
comprimento. Assim, não se acrescentou uma nova grandeza, a largura. Afinal, dobrar uma das dimensões 
do tapete é o mesmo que dobrar a outra, concorda?
Determinação da proporcionalidadedireta e inversa
A primeira providência é o estabelecimento de direção de proporcionalidade entre cada grandeza e 
a grandeza a ser determinada. 
Começando com a dos operários: 
Operários Dias Horas/Dia Metros
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Com o aumento do número de operários, a quantidade de dias deve diminuir: logo, trata-se de uma relação 
inversamente proporcional. Portanto, você deve inverter a coluna dos operários. Temos, assim, provisoriamente: 
Operários Dias Horas/Dia Metros
15 90 8 36
12 x 6 24
 ⇑
Agora, a coluna das Horas/Dia: 
Operários Dias Horas/Dia Metros
15 90 8 36
12 x 6 24
 ⇑
Quanto mais horas trabalhadas por dia, menos dias serão necessários. Logo, você deve inverter a 
coluna das horas/dia. Temos, assim, provisoriamente: 
Operários Dias Horas/Dia Metros
15 90 6 36
12 x 8 24
 ⇑
Agora a última coluna: 
Operários Dias Horas/Dia Metros
15 90 6 36
12 x 8 24
 ⇑
Quanto mais dias trabalhados, mais metros serão produzidos. Ou seja, as duas grandezas são 
diretamente proporcionais. Portanto, você não deve mexer na última coluna: 
Operários Dias Horas/Dia Metros
15 90 6 36
12 x 8 24
Agora, ao analisar coluna por coluna, teremos:
Operários Dias Horas/Dia Metros Multiplicando em cruz:
15 90 6 36
12 x 8 24
 ⇑ ⇑
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Operários Dias Horas/Dia Metros Multiplicando em cruz:
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12 x 8 24
 ⇑ ⇑
Operários Dias Horas/Dia Metros Multiplicando em cruz:
15 90 6 36
12 x 8 24
 ⇑ ⇑
Você deve agora verificar quais os números que pertencem ao numerador. Nas equações que 
acabamos de ver podemos identificar que são 12, 90, 8 e 24. Também verificamos os números que fazem 
parte do denominador, que são 15, 6 e 36. Dessa forma montamos a expressão:
Resposta: os trabalhadores precisarão de 64 dias de trabalho para fazer a quantidade de tecido 
solicitada.
2 CONJUNTOS
2.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além da matemática
Todos sabem que a precisão é premissa da matemática. Não é suficiente saber o que é 
um objeto ou conjunto de objetos, mais que isso, faz-se necessária a aplicação concreta de 
conceitos que nos permitam estudar com maior profundidade o que são objetos, conjuntos 
e suas relações. A teoria dos conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Philipp 
Cantor (1845-1918).
 Lembrete
Conjunto 
Para Cantor, o conceito rudimentar (primitivo) de conjunto não tem 
necessidade de definição. Essa ideia pode ser deduzida intuitivamente e 
através de exemplos. O homem, quando deixa de ser nômade e começa 
a se fixar, em grupos (coletividade), em determinados locais, percebe a 
necessidade de conhecer seu espaço e suas posses, fazendo surgir esses 
conceitos sociais primários.
O que é um conjunto? Vamos entender através de uma definição simples: é qualquer coleção, 
dentro de um todo, de objetos definidos e distinguíveis de nossa intuição ou pensamento, chamados de 
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elementos. Essa definição intuitiva de um conjunto foi dada primeiramente por Cantor. Para entender 
esse conceito na prática, vejamos estes exemplos: 
• O conjunto de todas as cadeiras de uma sala de aula.
• O conjunto de todos os estudantes da universidade.
• O conjunto das letras a, b, c e d.
Objeto: é correto afirmar que um conjunto é composto de objetos. Esse conceito de objeto também 
é primitivo, logo, aceito intuitivamente, não é preciso provar.
Neste ponto você já tem uma ideia sobre o que é um conjunto, mas vamos examinar mais alguns exemplos. 
Podemos, através da intuição, considerar alguns conjuntos dentro do contexto moderno de civilização:
• o conjunto dos funcionários de uma empresa;
• o conjunto dos números naturais;
• o conjunto dos números reais;
• o conjunto dos países da América Latina que participam da Organização das Nações Unidas (ONU);
• o conjunto dos números racionais;
• o conjunto dos números pares;
• o conjunto dos alunos da Universidade Paulista (UNIP);
• o conjunto dos números ímpares;
• o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4;
• o conjunto dos números reais que são solução da equação: x4 + x = 0.
Até o momento possuímos dois conceitos primitivos: conjunto e objeto. Mesmo diante de um 
objeto e de um conjunto, necessitamos ainda determinar a representação do objeto pertencendo a um 
conjunto. Aqui surge um terceiro conceito: pertencer.
Assim como os anteriores, este também é um conceito primitivo, portanto, básico, da natureza e 
do desenvolvimento cognitivo humano. Pertencer significa fazer parte de, logo, quando dizemos que 
determinado objeto pertence a um conjunto, estamos dizendo que o objeto faz parte do conjunto.
Exemplos:
• Piracaia pertence ao conjunto das cidades do Brasil.
• Katmandu não pertence ao conjunto das cidades do Brasil.
• 57 pertence ao conjunto dos números naturais. 
• 57 não pertence ao conjunto dos números primos.
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• √2 pertence ao conjunto dos números reais.
• √2 não pertence ao conjunto dos números racionais.
• Vermelho pertence ao conjunto das cores primárias.
• A letra e pertence ao conjunto das vogais.
• A letra j pertence ao conjunto das consoantes.
Depois de entender as colocações acima, estamos prontos para esclarecer a teoria fundamentada 
nos três conceitos primitivos – conjunto, objeto e pertencer: estamos falando da teoria intuitiva dos 
conjuntos.
Podemos notar que essa teoria tem início no desenvolvimento lógico do ser humano, em 
suas necessidades de descrever áreas, animais, valores, propriedades, relações interpessoais e até 
empresariais.
A teoria dos conjuntos e suas ferramentas são amplamente vistas em nossa formação escolar básica, 
cabendo aqui apenas uma breve revisão para recordá-las.
2.2 Conceitos básicos
Vamos agora aprender mais dois conceitos que fazem parte dessa teoria.
Dizemos que um conjunto é finito quando ele contém um número finito de elementos, isto é, 
quando podemos identificar a quantidade de elementos do conjunto.
Dizemos que um conjunto é infinito quando não podemos identificar a quantidade de 
elementos contidos no conjunto. Por exemplo, o conjunto das vogais é finito, pois podemos 
identificar cinco elementos. Já o conjunto dos números naturais é infinito, pois a quantidade de 
elementos é infinita. 
Vejamos exemplos dos dois tipos de conjuntos:
Conjuntos finitos:
• O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos Conjuntos.
• O conjunto de todos os estudantes desta universidade.
• O conjunto das letras a, b, c, d e f.
• O conjunto das regras de uso do laboratório de informática.
Conjuntos infinitos:
• O conjunto de todos os números naturais.
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• O conjunto de todos os números reais entre 0 e 1.
Na matemática, e particularmente na teoria dos conjuntos, temos uma maneira de representar 
conjuntos para facilitar suas operações. Frequentemente usamos chaves “{“ “}” e símbolos que 
representam os elementos, quando possível, para demonstrar um conjunto. 
Por exemplo, o conjunto das letras a, b, c, d, e, f pode ser denotado como: 
{ a, b, c, d, e, f }
O conjunto dos números 1, 2, 3, 4, 5 pode ser denotado como: { 1, 2, 3, 4, 5 }
O conjunto de todos os números naturais pode ser denotado como: { 1, 2, 3, ... }
Com relação ao conjunto de todos os números racionais cujo quadrado é 2, ocorre o seguinte: esse 
conjunto não tem elementos, pois a √2 é um número irracional. Nesse caso chamamos o conjunto de 
vazio. Denotamos o conjunto vazio pelo símbolo ∅.
Usaremos letras maiúsculas para denotar conjuntos e letras minúsculas para denotar elementos. Por 
exemplo, podemos denotar o conjunto das letras a, b, c assim:
A = { a, b, c }
Dessa forma, quando precisamos nos referir ao conjunto das letras a, b e c simplesmente colocamos 
conjunto A.
A ordem em que aparecem os elementos num conjunto não tem importância. Assim, o conjunto {a; 
b; c } é o mesmo que {b; c; a} etc. Outra coisa, como os elementos de um conjunto são distintos, se, por 
exemplo, escrevemos {a; a; b}, essa não é uma notação apropriada de um conjunto, deveria ser substituída 
por {a; b}. Se a é um elemento de um conjunto, a e { a } são considerados diferentes, isto é, a ≠ { a }.
Pois { a } denota o conjunto constituído somente do elemento a, enquanto a é apenas o elemento 
do conjunto { a }.
2.3 Definições matemáticas
Na representação dos conjuntos utilizamos vários símbolos. Veja a lista a seguir, com suas 
designações, e acompanhe nos tópicos seguintes suas utilizações.
Símbolos matemáticos utilizados na teoria dos conjuntos:
∈: pertence ∃: existe
∉: não pertence ∄ : não existe 
⊂: está contido ∀ : para todo (ou qualquer que seja) 
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⊄: não está contido ∅ : conjunto vazio
⊃: contém N: conjunto dos números naturais 
⊄: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais 
⇒ : implica que 
→
I: conjunto dos números irracionais
⇔ : se, e somente se 
↔
R: conjunto dos números reais
≡ : equivalente a
C significa: {a + bi : a,b ∈ R} 
i = √(−1) ∈ C
Quadro 1: símbolos matemáticos
Fique atento e represente com esses símbolos quando solicitado. 
Vamos estudar agora como podemos representar os conjuntos através de notações matemáticas. 
Designa-se conjunto uma coleção de objetos. Sua representação pode ser feita de três modos:
2.3.1 Representação ordinária
Na representação ordinária, os elementos do conjunto são explicitamente listados. Exemplos:
Conjunto das faces de um dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Conjunto de regiões do Brasil A = {SU, SE, CO, NE, NO}
Conjunto das notas musicais A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}
Conjunto de cores primárias A = {vermelho, amarelo, azul}
2.3.2 Representação abstrata
Neste modo, os elementos do conjunto são representados através de uma caracterização que é 
previamente definida. Em termos gerais, se os elementos de um conjunto A são caracterizados por uma 
propriedade P, que é uma característica comum aos objetos do conjunto, então o conjunto A pode ser 
enunciado assim: 
A = {x tal que x satisfaz a propriedade P};
ou, ainda, utilizando símbolos: 
A = {x/x satisfaz P} (como você viu no quadro, o símbolo / representa “tal que”; às vezes, a barra 
é substituída por ponto e vírgula). A representação abstrata é amplamente utilizada em matemática 
porque permite que se expressem quaisquer tipos de conjuntos, bastando definir a propriedade que 
caracteriza os elementos do conjunto. 
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Por exemplo, se definirmos a propriedade P como “P: regiões do Brasil”, então o conjunto das regiões 
do Brasil pode ser reescrito como:
A = {x/x satisfaz P}. 
Outro exemplo: se definirmos a propriedade J como “J: letras do alfabeto latino”, 
B = {y/y satisfaz J}. 
Veremos, a seguir, várias representações de conjuntos. Tente representar aqui dois conjuntos 
que você conhece usando a notação acima (definindo uma propriedade e reescrevendo o 
conjunto).
2.3.3 Representação por diagramas de Venn
A forma gráfica de representar um conjunto, utilizando círculos que tornam seu entendimento 
intuitivo e prático, chamamos de diagrama de Venn. A vantagem na utilização dos diagramas de Venn 
como representação de conjuntos é seu apelo visual, muito útil para mostrar operações entre conjuntos; 
entretanto, é importante salientar que o poder analítico desse tipo de dispositivo é extremamente 
limitado. O conjunto de números ímpares menores ou iguais a 13 pode ser representado como:
A
7 9 13 1
3 5 11
2.4 Pertinência e inclusão
Quando um elemento a está num conjunto A, dizemos que ele pertence ao conjunto A e representamos 
esse fato simbolicamente como:
a ∈ A
Se, ao contrário, o elemento não está no conjunto A, então dizemos que ele não pertence ao conjunto 
A e representamos o fato como:
a ∉ A
Essas são as chamadas relações de pertinência que conectam os conjuntos aos seus elementos. 
Quando o conjunto A não possui elemento algum, dizemos que ele é um conjunto vazio, e, nesse caso, 
representamos tal conjunto pelo símbolo ∅.
Se tomarmos como exemplo o conjunto utilizado em nosso exemplo anterior:
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A = { a, b, c }, podemos afirmar que:
a ∈ A (estamos afirmando “a pertence a A”)
e também que:
f ∉ A (estamos afirmando “f não pertence a A”)
Dados dois conjuntos A e B, quando todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que 
o conjunto A está incluso em B ou que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B; tal fato é 
simbolicamente representado como:
A ⊂ B (estamos afirmando “A está contido em B”)
Portanto, podemos definir:
Definição: sejam A e B conjuntos; se todo elemento de A é elemento de B, então A é chamado um 
subconjunto de B. Podemos agora escrever em símbolos:
A ⊂ B (estamos afirmando “A está contido em B”) ou
B ⊃ A (estamos afirmando “B contém A”)
Se A é subconjunto de B, então B é chamado um superconjunto de A.
Assim, escrevendo logicamente,
A ⊂ B ≡ (∀) [(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)]
Estamos afirmando que A está contido em B, que é equivalente a (cada x que pertence a A implica 
que x pertence a B). 
Quando, por outro lado, existe ao menos um elemento que pertence ao conjunto A e não pertence 
ao conjunto B, então A não está incluso em B ou o conjunto A não é subconjunto do conjunto B. Esse 
fato é simbolicamente representado como:
A ⊄ B (estamos afirmando “A não está contido em B”)
Essas são as chamadas relações de inclusão e conectam conjuntos a outros conjuntos. É importante 
ter em mente a distinção entre pertinência e inclusão. No primeiro caso, a relação é entre elemento e 
conjunto, e no segundo, entre dois conjuntos quaisquer. Por exemplo, as sentenças a seguir possuem 
significados totalmente diferentes, embora pareçam dizer a mesma coisa:
a ∈ A e {a} ∈ A
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A primeira sentença diz que o elemento a pertence ao conjunto A.
A segunda sentença diz que o conjunto unitário {a} está incluso ou é subconjunto do conjunto A.
A relação de inclusão é frequentemente utilizada para determinar a igualdade entre conjuntos. Dois 
conjuntos A e B são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos, fato que pode ser estabelecido 
mostrando-se que:
A ⊂ B e B ⊂ A
Definição: dois conjuntos A e B são iguais ou idênticos quando contêm os mesmos elementos. 
Isto é: 
A = B significa (∀x) [(x ∈ A) ↔ (x ∈ B)] 
Estamos afirmando que A igual a B significa qualquer que seja x (x pertence a A se e somente se x 
pertence a B).
2.5 Operações entre conjuntos
Com base nessas definições e conceitos, foi formulada a teoria algébrica dos conjuntos – estudo da 
criação de novos conjuntos partindo-se de conjuntos já definidos, através das operações de interseção, 
união, diferença e complemento.
Símbolos das operações:
A ∩ B A interseção B
A ∪ B A união B
a - b diferença de a com b 
a b a maior que b
a ≥ b a maior ou igual a b
a ∧ b a e b
a ∨ b a ou b
Quadro 2: símbolos das operações
2.5.1 Interseção
Os elementos que compõem o conjunto interseção são aqueles comuns aos conjuntos relacionados, 
ou seja, os elementos que aparecem nos dois conjuntos. 
Interseção de conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos 
A e B o conjunto representado por A ∩ B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, 
simultaneamente, ou seja: A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
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Propriedades: 
a) A ∩ A = A
b) A ∩ ∅ = ∅ 
c) A ∩ B = B ∩ A (a interseção é uma operação comutativa)
d) A ∩ U = A onde U é o conjunto universo
Exemplo 1: dados dois conjuntos A = {5, 6, 9, 8} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, se pedirmos a interseção 
deles, teremos:
A ∩ B = {5}, dizemos que A “interseção” B é igual a 5.
O elemento 5 aparece nos dois conjuntos.
Exemplo 2: dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção 
deles, teremos:
B ∩ C = {∩} ou B ∩ C = ∅; então, A e C são conjuntos distintos1.
Não existem elementos comuns aos dois conjuntos, portanto o resultado da operação é o conjunto 
vazio.
Exemplo 3: dados os conjuntos D = {11, 12, 13, 14, 15} e E = {13, 14, 15}. 
A interseção dos conjuntos ficaria assim:
E ∩ D = {13, 14,15} ou E ∩ D = E; pode ser concluído também que E ⊂ D.
2.5.2 União
Gerados dois conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto delimitado:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B} 
(estamos afirmando que A união B é igual a x tal que x pertence a A ou x pertence a B).
1 Exemplos 1 e 2. Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em: . Acesso em: 14 abr. 2011.
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Dessa forma, o conjunto união é composto por todos os elementos dos conjuntos referidos.
União de conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B o 
conjunto representado por A ∪ B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 
 A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
A ∪ B
Propriedades:
a) A ∪ A = A
b) A ∪ ∅ = A
c) A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A ∪ U = U, onde U é o conjunto universo
São importantes também as seguintes propriedades: 
P1. A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) U ( A ∩ C) (propriedade distributiva)
P2. A ∪ ( B ∪ C ) = (A ∪ B ) U ( A ∪ C) (propriedade distributiva)
P3. A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção)
P4. A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção)
Obs.: Se A ∩ B = ∅, então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.
Exemplo 1: gerados os conjuntos A = {x / x é inteiro e -1. Acesso em: 14 abr. 2011.
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Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
2.5.3 Diferença ou complemento relativo
Gerados dois conjuntos, A e B, a diferença ou complemento relativo de A e B é o conjunto definido como:
A | B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
Gerados dois conjuntos, A e B, é denominado conjunto diferença ou de diferença entre A e B o conjunto 
formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B.
Exemplo 1: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = {1, 2}
Exemplo 2: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo 3: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = ∅
Exemplo 4: gerados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}; o conjunto diferença ou a 
diferença é:
A – B = {1, 2, 3, 4}. Como B ⊂ A, podemos escrever em forma de complementar:
A – B = C B
A = {1, 2, 3, 4}.
Outros exemplos
Diferença entre conjuntos
Gerados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é demonstrada 
em outro conjunto, designado de conjunto diferença.
Logo, A – B serão os elementos do conjunto A, subtraídos os elementos que pertencerem ao conjunto 
B. Portanto, 
A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
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Conjunto complementar
Definição: Se A e B são conjuntos, o complemento relativo de B em A é o conjunto.
A - B, definido por:
A - B = {x ∈ A | x ∉ B}
Nesta definição, não é assumido que B ⊂ A.
Conjunto complementar está relacionado à diferença de conjunto. Encontramos um conjunto 
complementar quando é gerado um conjunto A e B e o conjunto B ⊂ A, então o conjunto A - B é 
chamado complementar de B em relação ao A. 
Por exemplo:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {6, 8}
Como B ⊂ A, então o conjunto complementar será C B
A = A – B = {2, 3, 5} 3
C B
A Complemento de B em relação a A.
2.5.4 Cardinalidade de um conjunto
Definição de cardinalidade – Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de 
elementos que pertencem ao conjunto A.
Denotamos a cardinalidade de um conjunto A por card(A) ou n(A), e se lê “cardinalidade de A” ou 
“número de elementos de A”.
Exemplos:
Seja o conjunto A = {1; 0; 3}, então n(A) = 3
Seja B = {-1; 0; 1; 3; 8} então n(B) = 5
Seja A = { }, então n(A) = 0
Seja A = {1; 2; 3; 4; 5; 6;...}, então n(A) = n
Seja A = { 1 }, então n(A) = 1
3 Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em: . Acesso em: 14 abr. 2011.
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MATEMÁTICA APLICADA
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