AULA - distribuições amostrais e Intervalos de confiança para a média

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Intervalos de confiança para a média com variância conhecida.
PROFª DRª CLAUDETTE MARIA MEDEIROS VENDRAMINI
COMPONENTE CURRICULAR
MÉTODOS QUANTITATIVOS E ANÁLISE DE DADOS
Intervalos de confiança
4.5. Intervalos de confiança 
e erro-padrão
ACERVO VIRTUAL
Dancey, C. P., & Reidy, J. (2019).
Estatística sem matemática para
psicologia. Tradução técnica: Lori Viali,7ª
ed. Porto Alegre: Penso.
Capítulo 4. Probabilidade , amostragem e distribuições pp. 109-117
Métodos quantitativos e análise de dados
ACERVO FÍSICO
Levin, J., Fox, J. A., & Forde, D. R. (2012).
Estatística para ciências humanas. 11. ed.
Trad. Jorge Ritter, Cap. 6, pp. 154-167 São
Paulo: Pearson Education do Brasil.
Capítulo 6. Amostras e populações pp. 154-167
Capítulo 6. Amostras e populações
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A Estatística está subdividida em duas partes: 
✓ Estatística descritiva ou dedutiva 
✓ Estatística indutiva ou inferencial (tomada de decisão) 
• A tomada de decisão é o processo de testar hipóteses por 
meio da análise de dados. 
• A PROBABILIDADE é o que fundamenta e dá suporte a 
essa tomada de decisão sobre os parâmetros (estatísticas 
da população tais como média , desvio padrão ) a partir 
de dados amostrais. 
Introdução
• Usar dados amostrais para tirar conclusões a respeito 
de populações.
• Conceito de probabilidade.
• Probabilidade se refere à chance de um 
determinado evento ocorrer.
No cotidiano o termo probabilidade é utilizado como sinônimo 
de “provavelmente”, “boa chance de”, “muito provável” etc. 
de forma vaga. 
CONCEITO MATEMÁTICO 
Probabilidade é a RAZÃO entre o número de vezes que um 
evento (número de casos favoráveis ao evento) ocorre e o 
número de vezes que qualquer evento ocorra (número total de 
possibilidades) 
Estatística inferencial
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Aplicando probabilidade à análise de dados
➢ A estatística inferencial é uma coleção de técnicas
utilizadas para tirar conclusões a partir de um
conjunto de dados AMOSTRAIS.
➢ Uma pesquisa é geralmente conduzida com o
objetivo de tirar conclusões de observações, isto é,
com o objetivo de fazer inferências.
Estatística inferencial
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Exemplo da literatura (Dancey, 2017, p. 98)
Estágios de psicologia e benefícios para a carreira
Em um estudo publicado por Moores e Reddy (2012) foram
investigados os benefícios potenciais para a carreira de alunos de
psicologia da realização de um ano de estágio.
Em parte do estudo, os pesquisadores contataram ex-alunos de
psicologia e pediram que eles completassem um questionário
mensurando a satisfação e o sucesso na carreira, e se eles fizeram
ou não estágio enquanto estavam na universidade.
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Os pesquisadores usaram técnicas de estatística
inferencial para estabelecer que, para os estudantes de
psicologia, não havia associação entre fazer um estágio e
o tipo de trabalho 6 meses após a graduação.
Eles mostraram que os graduandos que fizeram estágio
relataram níveis mais altos de satisfação com a carreira
do que aqueles que não fizeram.
Esse é um ótimo artigo porque os autores se dispuseram
a explicar ao leitor o que o teste estatístico significava e
isso não é nada comum em artigos publicados.
Reflexão pessoal ARTIGO: “Sem arrependimentos? Mensurando os benefícios 
para a carreira de um ano de estágio em psicologia” 
Dra. Liz Moores e Sr. Peter Reddy, Faculdade das Ciências da Vida e da Saúde, 
Aston University, Birmingham, Reino Unido.
Exemplo da literatura (Dancey, 2017, p. 98)
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Parâmetros de uma população
Estatísticas
População 
(parâmetros)
Amostra 
(estimadores)
Média μ ഥ𝒙
Variância σ2 S2
Desvio padrão σ S
Proporção π p
Tamanho N n
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Erro-padrão da média amostral
𝝈𝑿 = 𝟐𝟎, 𝟏𝟑
De uma mesma população é possível retirar muitas amostras, 
sendo que a média amostral é uma variável que varia em função 
destas amostras, e assim as médias amostrais, diferem entre si, 
e também diferem da média verdadeira da população, portanto 
existe um erro, denominado de erro-padrão da média amostral.
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A distribuição Normal Padrão (Z)
• A distribuição normal padrão (DNP) é uma distribuição com forma
normal, de média zero e desvio-padrão igual a 1.
• Devido a essas e outras características, a DNP é muito útil.
• Essa distribuição nos permite comparar valores de amostras
diferentes, valores de uma mesma amostra e muito mais.
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Aplicando probabilidade à pesquisa
• Na pesquisa, normalmente resultados de amostras são
generalizados a populações.
• Ao utilizar amostras não se sabe se o padrão de resultados
encontrados realmente reflete o que está acontecendo nas
populações ou se é simplesmente devido a um erro de
amostragem.
• A média amostral ( ത𝑋)é uma estimativa pontual da média
populacional (  ).
• A teoria de probabilidades permite decidir se o padrão de
descobertas é provavelmente um efeito genuíno na população
ou simplesmente apareceu devido ao erro amostral.
• Aplicar probabilidade à pesquisa é estimar parâmetros
populacionais a partir de estatística amostral.
A distribuição Normal – Uso de tabela
Tabela da Normal 
Zα/2 = Z0,025 = 1,96
EXEMPLO: Intervalo de confiança para a média 
da população com variância conhecida
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Distribuição Normal 
com média  e desvio-padrão σ
Distribuições amostrais
• A média de uma amostra pode ser usada para estimar a
média da população, porém pode haver um erro de
estimativa.
• Ao escolher várias amostras e depois calcular a média das
médias dessas amostras, têm-se um resultado de estimativa
melhor da média da população do que as médias das
amostras individuais
• Quanto maior o tamanho da amostra, mais provável será que
ela inclua indivíduos que tenham escores acima da média,
bem como aqueles que têm escores abaixo da média da
população, e assim, melhor será a estimativa da média da
população.
Distribuição das médias amostrais ( ത𝑋)
A média da sua amostra pode estar 
acima, abaixo ou ser igual à média 
verdadeira da população
Por exemplo: ത𝑋 < 
• Distribuições amostrais tendem a ter um formato 
normal. 
• A média da distribuição amostral das médias é 
chamado de erro-padrão da média amostral.
σ ҧ𝑥 =
σ(𝑥)
𝑛
População com Distribuição Normal
σ ҧ𝑥 =
σ(𝑥)
𝑛
𝑓( ҧ𝑥)
A média da amostra segue uma 
Distribuição Normal
ത𝑋
Distribuição da média amostral ത𝑋
➢ Intervalo de Confiança: Intervalo que tem a probabilidade igual ao 
nível de confiança de conter o verdadeiro valor do parâmetro da 
população (, σ2 ou ).
➢Se forem produzidos diversos intervalos de confiança provenientes de 
diferentes amostras independentes de mesmo tamanho, pode-se 
esperar que aproximadamente NC% destes intervalos contêm o 
verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Valores mais usados
Nível de 
significância 
(α)
Nível de 
Confiança – NC 
(1-α)
1% 99%
5% 95%
10% 90%
Intervalo de Confiança
Intervalo de confiança
A probabilidade da média 
da população se encontrar 
dentro desse intervalo de 
confiança é igual a (1-α)
𝑃 ( ത𝑋 − 𝑍 Τ𝛼 2 ∗
σ
𝑛
≤ μ ≤ ത𝑋 + 𝑍 Τ𝛼 2 ∗
σ
𝑛
) = 1- α
Intervalo de confiança para a média da 
população com variância conhecida
Intervalo de confiança para a média da 
população com variância conhecida
Sendo : α = 5%=> 0,05 
=> α / 2 = 0,025
Na tabela da distribuição 
Normal => Z = 1,96
Intervalo de confiança para a média da 
população com variância conhecida
O psicólogo tomou uma amostra de 36 indivíduos para verificar o 
tempo médio gasto para responder a um item de um teste psicológico. 
Lembrando que foi verificado que a média da amostra foi de 19,9 
segundos e o desvio padrão da população igual a 5,73 segundos. 
Construir um intervalo de confiança de nível 95% para a média da 
população.
1-α=95%
Τα 2 = Τ5% 2 = 2,5% = 0,025
Τα 2
População
μ Desconhecida ?
σ = 5,73 segundos
Amostra
Média ത𝑋 = 19,9 
seg. n = 36
EXEMPLO: Intervalo de confiança para a 
média da população com variância conhecida
1 – α = 95%
Τα 2 = Τ5% 2 = 2,5% = 0,025
Τα 2
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: ҧ𝑥 − 𝑍 Τ𝛼 2 ∗
σ
𝑛
≤ μ ≤ ҧ𝑥 + 𝑍 Τ𝛼 2 ∗
σ
𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜:19,9 − 1,96 ∗
5,73
36
≤ μ ≤ 19,9 + 1,96 ∗
5,73
36
Resposta IC (μ; 0,95) = ( 18,02; 21,77) segundos
População
μ Desconhecida ?
σ = 5,73 segundos
Amostra
Média ҧ𝑥 = 19,9 s 
n=36
Tabela da Normal 
Zα/2 = Z0,025 = 1,96
EXEMPLO: Intervalo de confiança para a média 
da população com variância conhecida
Muito obrigada