livro Psicopedagogia Construção lógico-matemática

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Indaial – 2021
PsicoPedagogia: 
construção 
Lógico-MateMática
Profª. Ana Clarisse Alencar Barbosa
Profª. Graciele Alice Carvalho Adriano
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Profª. Ana Clarisse Alencar Barbosa
Profª. Graciele Alice Carvalho Adriano
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
B238p
 Barbosa, Ana Clarisse Alencar
 
 Psicopedagogia: Construção lógico-matemática. / Ana Clarisse 
Alencar Barbosa; Graciele Alice Carvalho Adriano. – Indaial: 
UNIASSELVI, 2021.
 
 201 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-642-9
 ISBN Digital 978-65-5663-641-2
 
 1. Dificuldades de aprendizagem. - Brasil. I. Adriano, Graciele 
Alice Carvalho. II. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
 
 CDD 370
aPresentação
Prezado acadêmico! Os estudos que envolvem as intervenções 
psicopedagógicas, relacionadas às dificuldades e transtornos de 
aprendizagem, sobre os conteúdos lógico-matemáticos, requerem 
alguns saberes da área de conhecimento. Dessa forma, o psicopedagogo 
necessita conhecer os assuntos que envolvem o ensino da matemática, o 
desenvolvimento das atividades de ensino e aprendizagem, inclusive, sua 
aplicação nas intervenções psicopedagógicas para o desenvolvimento da 
construção lógico-matemática nos alunos.
Na Unidade 1, conheceremos sobre os números naturais e as 
operações matemáticas, com atenção para a gênese da criação dos números 
e das operações. Assim, saber como foi o processo de elaboração dos 
números incide em analisar a necessidade do uso dos números ao longo 
da história do desenvolvimento social. Apresentamos o uso do ábaco como 
uma metodologia de ensino e aprendizagem, para favorecer o entendimento 
sobre a construção das operações matemáticas. Estudaremos sobre o 
contexto histórico do ensino da matemática e as abordagens didáticas sobre 
os números naturais e as operações, contemplando a implantação da BNCC 
na Educação Básica. Por fim, nesta unidade, incluímos os conceitos sobre 
os números e as operações, referentes a adição, subtração, multiplicação 
e divisão, com exemplos práticos de ensino e aprendizagem, para serem 
trabalhados com as turmas dos anos iniciais do Ensino Fundamental. 
Na Unidade 2, entenderemos a construção do número na criança 
segundo as teorias de Piaget e Vygotsky. A teoria segundo Piaget revela a 
construção do número pela criança pautado em testes operatórios, aplicados 
em crianças, com análises registradas sobre o desenvolvimento de sua 
aprendizagem. Vygotsky contribui, com seus estudos, no processo de 
intervenção psicopedagógica, relacionado à mediatização, desenvolvimento 
e formação de conceitos pela criança, e os aspectos que envolvem a Zona 
de Desenvolvimento Proximal (ZDP). Apresentamos o jogo como recurso 
de aprendizado, em que favorece a resolução de problemas na intervenção 
psicopedagógica, o que incide no desenvolvimento integral do indivíduo. 
Para tanto, destacamos algumas possibilidades de jogos matemáticos, para 
serem utilizados nos atendimentos, que desenvolvem os saberes relacionados 
aos assuntos da matemática, como inclusive, o relacionamento interpessoal. 
 
Na Unidade 3, destacamos os estudos que englobam as dificuldades 
e os transtornos de aprendizagem da matemática, como o baixo rendimento 
aritmético, a acalculia e a discalculia. Para auxiliar no diagnóstico psicope-
dagógico, apresentamos o uso da ananmese e dos testes psicopedagógicos. 
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Com especial atenção na intervenção psicopedagógica nos casos de discal-
culia, destacamos algumas atividades para utilizar nos atendimentos. Em 
suma, disponibilizamos a aplicação do método das provas Piagetianas na 
intervenção psicopedagógica, e uma entrevista, que contou com o relato da 
atuação de uma psicopedagoga nos espaços educacionais. 
Bons estudos!
Profª. Ana Clarisse Alencar Barbosa
Profª. Graciele Alice Carvalho Adriano
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
suMário
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS ...................... 1
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES ............... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 PERCURSO HISTÓRICO DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS .............................................. 3
2.1 ANTIGO EGITO ......................................................................................................................... 4
2.2 CIVILIZAÇÃO MESOPOTÂMICA ...................................................................................... 5
2.3 CIVILIZAÇÃO PRÉ-COLOMBIANA .................................................................................. 6
2.4 IMPÉRIO ROMANO ................................................................................................................. 7
2.5 NUMERAÇÃO NA ÍNDIA ...................................................................................................... 7
2.6 O ZERO NOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO ........................................................................... 9
3 HISTÓRIA DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS ..............................................10
3.1 SURGIMENTO DO ÁBACO ................................................................................................. 12
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 20
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 21
TÓPICO 2 — CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO DA MATEMÁTICA ................... 23
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 23
2 ABORDAGENS DIDÁTICAS DOS NÚMEROS NATURAIS
 E DAS OPERAÇÕES ...................................................................................................................... 23
3 FUNDAMENTOS GERAIS DA BNCC ........................................................................................ 26
3.1 A ÁREA DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL .................................... 29
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 33
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 34
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS
 E AS OPERAÇÕES ..................................................................................................... 37
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 37
2 OS NÚMEROS NATURAIS E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL ........................ 37
3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS .............................................................................. 40
3.1 ADIÇÃO ....................................................................................................................................... 40
3.2 SUBTRAÇÃO .............................................................................................................................. 43
3.3 MULTIPLICAÇÃO ................................................................................................................... 46
3.4 DIVISÃO ...................................................................................................................................... 48
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 51
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 61
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 63
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 65
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA .......................... 67
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET ...................... 69
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 69
2 CONSTRUÇÃO DO NÚMERO PELA CRIANÇA ...................................................................... 69
2.1 A CONSERVAÇÃO DAS QUANTIDADES E A INVARIÂNCIA
 DOS CONJUNTOS .................................................................................................................... 71
2.2 CORRESPONDÊNCIA PROVOCADA E A EQUIVALÊNCIA DAS
 COLEÇÕES CORRESPONDENTES .......................................................................................... 73
2.3 CORRESPONDÊNCIA ESPONTÂNEA E A DETERMINAÇÃO DO
 VALOR CARDINAL DOS CONJUNTOS.................................................................................. 77
2.4 SERIAÇÃO, SEMILITUDE QUALITATIVA E A CORRESPONDÊNCIA CARDINAL .......... 78
2.5 ORDENAÇÃO E CARDINAÇÃO.............................................................................................. 80
2.6 COMPOSIÇÃO ADITIVA DAS CLASSES E AS RELAÇÕES DA CLASSE
 E DO NÚMERO ............................................................................................................................ 83
2.7 COMPOSIÇÃO ADITIVA DOS NÚMEROS E AS RELAÇÕES ARITMÉTICAS
 DE PARTE PARA TODO ............................................................................................................. 84
2.8 COORDENAÇÃO DAS RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E A COMPOSIÇÃO 
MULTIPLICATIVA DOS NÚMEROS......................................................................................... 85
2.9 COMPOSIÇÕES ADITIVAS E MULTIPLICATIVAS DAS RELAÇÕES E O 
IGUALAMENTO DAS DIFERENÇAS ...................................................................................... 86
3 A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO PARA PIAGET ..................................................... 86
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 95
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 97
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY
 NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA ......................................................... 99
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 99
2 OS PRESSUPOSTOS DA MEDIATIZAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
 ENQUANTO AÇÃO SOCIOCULTURAL ................................................................................ 100
3 O DESENVOLVIMENTO INFANTIL E A FORMAÇÃO DE CONCEITOS ................... 102
4 O DESENVOLVIMENTO DOS CONCEITOS COTIDIANOS
 E CIENTÍFICOS NA CRIANÇA ................................................................................................. 108
5 ZONA DE DESENVOLVIMENTO PROXIMAL (ZDP) ..................................................... 110
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 112
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 114
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO ............................................. 117
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 117
2 CONCEITO DE JOGO NA EDUCAÇÃO ................................................................................ 117
3 O JOGO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .......................................................................... 119
4 O USO DO JOGO NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA .......................................... 120
5 JOGOS MATEMÁTICOS ............................................................................................................... 122
5.1 CORRIDA DOS NÚMEROS ...................................................................................................... 122
5.2 PEGA MAIS UM ......................................................................................................................... 123
5.3 TROCA DE LUGAR ................................................................................................................... 123
5.4 MONTE FORMAS GEOMÉTRICAS ........................................................................................ 123
5.5 JOGO DO PIM ............................................................................................................................. 124
5.6 JOGO DAS FORMAS GEOMÉTRICAS ................................................................................... 124
LEITURA COMPLEMENTAR ..........................................................................................................126
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 130
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 132
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 134
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
 E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA .................... 135
TÓPICO 1 — CLASSIFICAÇÃO DAS DIFICULDADES E TRANSTORNOS
 DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA ......................................................... 137
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 137
2 CONCEITUALIZAÇÃO DAS DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM ............................ 137
3 BAIXO RENDIMENTO ARITMÉTICO ...................................................................................... 140
4 ACALCULIA ..................................................................................................................................... 141
5 DISCALCULIA ................................................................................................................................. 142
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 146
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 147
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO 
PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA .................................................................................. 149
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 149
2 DIAGNÓSTICO PSICOPEDAGÓGICO EM TRANSTORNOS
 DA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA .............................................................................. 149
2.1 ANANMESE ................................................................................................................................ 150
2.2 ESCALA DE INTELIGÊNCIA WESCHLER PARA CRIANÇAS
 - TESTE - WISC-III (2002) ........................................................................................................... 155
2.3 TESTE DE TRANSCODIFICAÇÃO ......................................................................................... 156
2.4 SUBTESTE DE ARITMÉTICA ................................................................................................... 160
2.5 BATERIA PARA AVALIAÇÃO DO TRATAMENTO DOS NÚMEROS
 E DO CÁLCULO PARA CRIANÇAS PRÉ-ESCOLARES – ZAREKI-R .............................. 162
2.6 PROVA DE ARITMÉTICA ......................................................................................................... 163
3 INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA EM CASOS DE DISCALCULIA ......................... 164
4 ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
 EM CASOS DE DISCALCULIA ................................................................................................... 166
4.1 CENTOPEIA DAS QUANTIDADES ....................................................................................... 166
4.2 BRINCANDO COM O TREM ................................................................................................... 167
4.3 ENCAÇAPANDO BOLINHAS ................................................................................................. 168
4.4 BOLICHE DA SOMA ................................................................................................................. 169
 4.5 SUBTRAINDO COM OS CORAÇÕES .................................................................................... 169
4.6 MARCANDO TRÊS COM AS FLORES ................................................................................... 170
4.7 JOGO DAS BOTAS ..................................................................................................................... 170
4.8 DISTRIBUINDO PEIXES............................................................................................................ 171
4.9 DIVIDINDO PIRULITOS ........................................................................................................... 171
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 173
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 175
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO
 LÓGICO-MATEMÁTICA ........................................................................................ 177
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 177
2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS PROVAS PIAGETIANAS NA
 INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA .................................................................................... 177
2.1 ASPECTOS COMUNS A TODAS AS PROVAS ...................................................................... 178
2.2 ASPECTOS PARTICULARES DAS PROVAS ......................................................................... 179
2.3 PROVAS DE CLASSIFICAÇÃO ............................................................................................... 181
2.3.1 Mudança de critério .......................................................................................................... 182
2.3.2 Quantificação da inclusão de classes .............................................................................. 184
2.3.3 Intersecção de classes ........................................................................................................ 184
2.4 PROVA DE SERIAÇÃO ........................................................................................................... 185
2.5 PROVAS DE ESPAÇO ................................................................................................................ 185
3 ENTREVISTA COM UMA PSICOPEDAGOGA PARA INTERVENÇÃO
 NAS DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA .................................... 186
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 190
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 196
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 198
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 200
1
UNIDADE 1 — 
NÚMEROS NATURAIS 
E AS OPERAÇÕES 
MATEMÁTICAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• conhecer o processo histórico da formação do número e das operações; 
• perceber a criação e uso do ábaco para o aprendizado da matemática; 
•	 identificar	as	abordagens	educacionais	sobre	o	ensino	da	matemática	ao	
longo	dos	tempos;
• discutir os pressupostos que embasam a BNCC;
•	 refletir	 sobre	 os	 conceitos	 de	 matemática	 nos	 atendimentos	
psicopedagógicos	na	escola;
• elencar os conceitos matemáticos referentes ao número e operações com 
números naturais.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS
 OPERAÇÕES
TÓPICO 2 – CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
TÓPICO 3 – CONCEITOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
2
Preparado para ampliar seus conhecimentos?Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS 
E DAS OPERAÇÕES
1 INTRODUÇÃO
Prezado	acadêmico,	o	trabalho	desenvolvido	pelo	psicopedagogo	requer	
conhecimentos especializados, que possam auxiliar no atendimento dos conceitos 
a serem desenvolvidos com os alunos. Dessa forma, quando pensamos no ensino 
da	matemática,	ou	em	 jogos	e	atividades	que	abordam	seus	conceitos,	 surge	a	
necessidade	de	alguns	conhecimentos	essenciais	para	a	compreensão	dessa	área	
do conhecimento. 
Nesse	 sentido,	 organizamos	 o	 início	 de	 seus	 estudos	 com	 alguns	
conhecimentos que poderão auxiliar no desenvolvimento de futuras ações com 
os	alunos.	Por	exemplo,	na	explicação	de	como	os	números	surgiram,	que	poderá	
ser trabalhado para que percebam a necessidade social de sua correta utilização. 
Este tópico abordará assuntos relacionados a uma breve história dos 
números e das operações com números naturais, com ilustrações que poderão 
ser	utilizadas	nas	práticas	psicopedagógicas.	Ainda,	incluímos	uma	breve	estudo	
sobre o contexto histórico da utilização do zero pela humanidade.
2 PERCURSO HISTÓRICO DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS
A	 origem	 dos	 números	 naturais	 interliga-se	 as	 necessidades	 humanas	
referentes	às	atividades	de	contar	e	medir.	Há	 indícios	de	seu	uso	nos	 tempos	
pré-históricos	por	meio	de	marcas	em	ossos	e	desenhos	gravados	nas	paredes	de	
cavernas,	que	contam	como	os	primeiros	registros	numéricos	(PIRES,	2013).	
No	 osso	 de	 Ishango,	 por	 exemplo,	 que	 data	 do	 período	 Paleolítico	
Superior,	aproximadamente	entre	18000	e	20000	a.C.,	encontrado	no	continente	
africano	e	atualmente	no	acervo	do	Real	Instituto	Belga	de	Ciências	Naturais,	em	
Bruxelas,	na	Bélgica,	há	uma	série	de	traços	talhados,	divididos	em	três	colunas,	
abrangendo	 todo	o	comprimento	do	osso.	Para	alguns	cientistas,	 essas	marcas	
indicam	uma	compreensão	matemática	que	iria	além	da	mera	contagem	(PIRES,	
2013,	s.p.).
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
4
Assim como esse fato, outras descobertas de ferramentas utilizadas para 
contagem,	em	paus	e	ossos	com	vários	cortes,	foram	encontrados	pelo	mundo.	
Um	exemplo	seria	o	Osso	de	Lebombo	com	35	mil	anos	e	uma	tíbia	de	lobo	de	
32	mil	anos,	com	57	traços	agrupados	em	cinco	grupos,	encontrados	na	região	da	
antiga	Tchecoslováquia	em	1937	(PIRES,	2013).
2.1 ANTIGO EGITO
A	 antiga	 civilização	 egípcia	 utilizava	 cálculos	 com	 grandes	 números,	
representado	por	um	cedro	real	de	mais	de	5	mil	anos	que	apresenta	um	registro	
de	120	mil	prisioneiros	e	1.422.000	cabras	capturadas.	Os	egípcios	elaboraram	um	
sistema	de	numeração	complexo,	com	os	números	de	1	a	9	sendo	representados	por	
bastões,	na	representação	do	10	utilizaram	um	símbolo	especial:	⋂ – simbolizava 
um	calcanhar	invertido	que	substituía	dez	bastões.	
FIGURA 1 – NÚMEROS DE 1 A 9 NO SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO
/ // /// //// ///// ////// /////// //////// /////////
FONTE: Pires (2013, s.p.)
Para	representar	os	números	até	99	os	egípcios	usaram	adição	de	valores	
com	os	bastões	o	símbolo	que	identifica	o	10.	
FIGURA 2 – NÚMEROS 11, 12, 23, 38 E 99 NO SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO
FONTE: Pires (2013, s.p.)
Os	 egípcios	 também	 atribuíram	 desenhos	 para	 representar	 outros	
números,	como	o	100	com	um	pedaço	de	corda	enrolada,	o	1000	por	uma	flor	de	
lótus,	10000	por	um	dedo,	100.000	com	a	gravura	de	um	peixe	e	para	um	milhão	
utilizaram	a	figura	humana,	que	indicava	um	deus	do	infinito	(PIRES,	2013).
FIGURA 3 – NÚMEROS 100, 1000, 10000, 100.000 E UM MILHÃO NO SISTEMA DE 
NUMERAÇÃO EGÍPCIO
100
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
5
FONTE: Pires (2013, s.p.)
1000
10000
100.000
1 milhão
FONTE: Adaptada de Pires (2013)
Segundo	Pires	(2013),	atualmente	no	Museu	de	Louvre	há	uma	pedra	da-
tada	de	1500	a.C.,	encontrada	em	Karnak,	que	representa	os	números	276	e	4622.
FIGURA 4 – GRAVAÇÃO EM PEDRA ENCONTRADA EM KARNAK/EGITO
2.2 CIVILIZAÇÃO MESOPOTÂMICA
Nos	 anos	 4000	 a.C.	 além	 do	 Egito,	 o	 vale	 mesopotâmico	 apresentava	
civilizações	 com	 significativo	 desenvolvimento,	 principalmente	 no	 âmbito	
cultural,	no	uso	da	escrita,	da	 roda	e	dos	metais.	A	civilização	mesopotâmica,	
denominada também como babilônica, elaborou uma escrita cuneiforme, no uso 
de	cunhas	para	fazer	as	marcas	em	placas	de	argila.	Visto	que,	conforme	a	posição	
da	cunha	os	babilônios	identificavam	as	marcas	do	1	ao	10.	A	repetição	dessas	
marcas	juntamente	com	o	processo	aditivo,	conseguiam	representar	os	números	
de	1	a	59	(PIRES,	2013).
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
6
FIGURA 5 – NUMERAIS DO POVO BABILÔNICO
FONTE: Pires (2013, s.p.)
FONTE: Pires (2013, s.p.)
2.3 CIVILIZAÇÃO PRÉ-COLOMBIANA
A	 civilização	 maia	 que	 habitava	 a	 península	 de	 Yucatán	 no	 México	
elaboraram um sistema de numeração com pontos e barras horizontais. 
FIGURA 6 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO DOS MAIAS DO YUCATÁN, MÉXICO
Na representação de números maiores os maias usavam uma escrita 
vertical,	elaborada	especificamente	para	os	números	de	20	a	25.
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
7
FIGURA 7 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO DE 20 A 25
FONTE: Pires (2013, s.p.)
FONTE: Pires (2013, s.p.)
2.4 IMPÉRIO ROMANO
O sistema de numeração romano utilizava letras latinas na representação 
dos	 números	 com	 regras	 para	 sua	 combinação.	 Esse	 sistema	 de	 numeração	 é	
ensinado	nas	 escolas	 regulares,	 e	dessa	 forma,	 conhecido	 atualmente	 com	 seu	
uso	em	casos	específicos.
FIGURA 8 – SÍMBOLOS BÁSICOS DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO
Os	romanos	utilizavam	os	registros	numéricos	para	representar	o	final	de	
contagens	e	operações,	de	forma	escrita.	Isso	quer	dizer	que	não	multiplicavam,	
por	 exemplo,	 MMMDCCCLXXXIII	 por	 CCCLXVI.	 Dessa	 forma	 somente	
realizavam	o	registro	escrito	dos	resultados	finais,	para	os	cálculos	matemáticos	
utilizavam	o	ábaco	(PIRES,	2013).
2.5 NUMERAÇÃO NA ÍNDIA
Leonardo Fibonacci nascido na cidade de Pisa, na Itália por volta de 1175, 
ficou	conhecido	como	Leonardo	de	Pisa,	visitou	o	Oriente	e	o	norte	da	África	
e	 conheceu	 o	 sistema	 de	 numeração	 indiano.	 No	 percurso	 de	 suas	 viagens,	
Leonardo de Pisa apreciou a obra de Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa 
Alkhwarizmi	 (778(?)-846),	 e	 aprendeu	 informações	 aritméticas	 e	 algébricas,	
que foram transcritas em sua obra Liber abaci	 (O	livro	do	ábaco).	A	obra	surtiu	
repercussão	na	Europa	com	a	introdução	do	sistema	de	numeração	indo-arábico,	
e	 sua	 denominação	 deve-se	 a	 sua	 criação	 por	 indianos	 e	 disseminação	 pelos	
árabes	nas	viagens	comerciais.
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
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FIGURA 9 – PÁGINA MANUSCRITA DO LIBER ABACI (O LIVRO DO ÁBACO
FONTE: Pires (2013, s.p.)
De	acordo	com	Pires	(2013),	o	sistema	indo-arábico	acabou	substituindo	os	
demais	sistemas	numéricos	devido	sua	eficiência	e	funcionalidade.	Os	algarismos	
que	compõem	o	sistema	indo-arábico	foram	desenvolvidos	na	civilização	do	vale	
do	Indo,	região	atual	do	Paquistão,	e	trazidos	para	o	ocidente.	No	século	XII,	a	
notação posicional decimal nos números indianos foi traduzida para o latim na 
obra	de	Al-Khwarizmi,	que	difundiu	no	mundo	ocidental.	
O	sistema	numérico	decimal	dos	indianos	possui	dez	símbolos	distintos	
(1,	 2,	 3,	 4,	 5,	 6,	 7,	 8,	 9	 e	 0),	denominados	de	 algarismos	 em	homenagem	a	Al-
Khwarizmi.	 Em	 outros	 sistemas	 de	 numeração	 a	 representação	 de	 números	
maiores	que	1,	 como,	por	exemplo	o	2,	ocorria	a	 repetição	do	mesmo	símbolo	
e	 assim	 sucessivamente	para	 representar	 o	 3,	 4	 e	 os	demais.	Os	hindus	 foram	
pioneiros	na	criação	de	um	símbolo	diferente	para	cada	um	dos	números	de	1	a	
9,	ainda	com	outro	a	parte	para	representar	a	ausência	de	quantidades	que	seria	
o	zero	-	0.
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
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Segundo	 Pires	 (2013),	 a	 necessidadede	 representar	 o	 10	 e	 os	 demais	
números	surgiu	do	procedimento	de	contagem	indiano,	que	a	princípio	usava	
sulcos	 na	 terra,	 inseridos	 um	 a	 um,	 gravetos,	 pedras	 ou	 outro	material,	 para	
representar	a	contagem	dos	animais	e	outros	elementos.	Assim	que	chegavam	a	
dez	gravetos	nesse	sulco	cavavam	outro	sulco	a	esquerda	do	primeiro,	retiravam	
os	dez	sulcos	e	colocavam	somente	um	no	segundo	sulco,	que	representava	o	dez.	
Dessa	forma,	prosseguiam	a	contagem	adicionando	novos	gravetos	no	primeiro	
sulco,	o	que	originou	as	escritas	dos	números	10,	11,	12	e	assim	por	diante.	
FIGURA 10 – PRINCÍPIO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
FONTE: Pires (2013, s.p.)
FONTE: Pires (2013, s.p.)
No	 sistema	 indo-arábico,	 os	 algarismos	 possuem	 um	 valor	 que	 varia	
conforme sua posição na escrita numérica. Por exemplo: a escrita do 111, o 
algarismo	1	vale	100,	vale	10	e	1,	o	que	depende	de	sua	posição	na	escrita.	
FIGURA 11 – NÚMERO 111 NO SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
Dessa	 forma,	 os	 indianos	 conseguiram	 escrever	 qualquer	 número	
utilizando	apenas	10	algarismos,	o	que	provocou	uma	revolução	na	aritmética,	
pelo	fato	de	facilitarem	os	cálculos	numéricos.	Esse	meio	de	registro	passou	a	ser	
denominada	de	sistema	de	numeração	decimal,	por	trabalhar	com	agrupamentos	
de	10	(PIRES,	2013).
2.6 O ZERO NOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Os	povos	egípcios	e	romanos	não	utilizavam	um	símbolo	para	represen-
tar	o	zero.	Os	babilônios	a	princípio	não	tinham	uma	forma	precisa	de	indicar	
uma	posição	vazia,	pois	não	possuíam	o	 símbolo	zero,	de	modo	que	algumas	
vezes	deixavam	um	espaço	vazio	para	representá-lo.	No	período	de	Alexandre	
o	Grande,	um	símbolo	especial	foi	atribuído	para	marcar	o	lugar	na	falta	de	um	
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
10
numeral,	eram	duas	pequenas	cunhas	colocadas	obliquamente.	Pires	(2013,	s.p.)	
afirma	que	“[...]	o	símbolo	babilônico	para	o	zero	aparentemente	não	terminou	
de	todo	com	a	ambiguidade,	pois	parece	ter	sido	usado	somente	para	posições	
intermediárias”.
A história da matemática apresenta uma ideia dúbia referente ao uso do 
zero,	com	registro	de	seu	uso	na	Índia	numa	inscrição	de	876	anos	atrás,	mais	
de	dois	séculos	depois	da	primeira	referência	no	uso	dos	outros	nove	símbolos.	
Todavia,	a	possibilidade	de	que	o	zero	seja	originário	do	mundo	grego,	talvez	de	
Alexandria,	e	que	tenha	sido	trazido	a	Índia	após	o	estabelecimento	do	sistema	
decimal.	A	ideia	central	seria	de	que	apesar	dos	gregos	já	dominarem	o	conceito	
do	nada,	nunca	haviam	representado	com	um	número,	como	fizeram	os	indianos	
(PIRES,	2013).
No continente americano, os maias usavam intervalos de tempos entre 
as	 datas	 no	 calendário	 como	 numeração	 posicional.	 Utilizavam	 um	 símbolo	
semelhante a um olho semiaberto que indicava várias posições vazias.
FIGURA 12 – ESCRITA DO NÚMERO 40
FONTE: Pires (2013, s.p.)
3 HISTÓRIA DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
No	 Egito	 antigo,	 a	 operação	 aritmética	 principal	 era	 a	 adição,	 sendo	
que as operações de multiplicação e divisão ocorriam por meio de sucessivas 
duplicações.	Uma	vez	que	a	multiplicação	de	69	por	19,	por	exemplo,	seria	a	soma	
de	69	com	ele	mesmo	(138),	com	a	adição	de	138	por	ele	mesmo	(276),	novamente	
pela	duplicação	do	resultado,	552,	depois	1.104	(resultado	de	16	x	69).	Assim,	o	
19	=	16	+	2	+	1,	o	resultado	da	multiplicação	de	69	por	19	seria	1.104	+	138	+	69,	ou	
seja,	1.	311	(PIRES,	2013).
Os babilônios entendiam as operações aritméticas semelhante aos 
utilizados	atualmente,	isto	é,	entre	os	algoritmos	elaborados	pela	humanidade,	
existem particularidades semelhantes. Como o que ocorre na multiplicação 
realizada	 pelo	método	 da	 gelosia,	 com	 indícios	 de	 seu	 surgimento	 na	 Índia	 e	
socializado	pelos	árabes	até	seu	conhecimento	na	Europa	Ocidental	(PIRES,	2013).
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
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FIGURA 13 – MÉTODO DA GELOSIA
185 x 14 = 2.590
FONTE: Pires (2013, s.p.)
FONTE: Pires (2013, s.p.)
A	divisão	era	conhecida	como	“galeão”	denominação	relacionada	a	sua	
semelhança	com	o	perfil	das	embarcações	típicas	da	era	das	Grandes	Navegações	
(PIRES,	2013).
FIGURA 14 – EXEMPLO DA DIVISÃO CONHECIDA COMO “GALEÃO”, MANUSCRITO DA 
SEGUNDA METADE DO SÉCULO XVI
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
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O	 manuscrito	 identificado	 da	 segunda	 metade	 do	 século	 XVI,	 “Opus	
arithmetica D. Honorati veneti Monachj coenobij S. Lauretij”, produzido por 
Honorato,	 um	 monge	 veneziano.	 O	 manuscrito	 foi	 copiado	 por	 um	 aluno,	
possivelmente	 outro	 monge,	 que	 produziu	 as	 ilustrações	 de	 uma	 operação	
composta para resolver um problema. A operação consistia na multiplicação de 
16.299	por	613,	que	resultou	no	produto	9.991.287,	visualizado	na	figura	central,	
e	no	canto	inferior	esquerdo	a	divisão	(PIRES,	2013).
No	século	XVIII,	vários	autores	auxiliaram	no	processo	de	popularização	
do	algorismo,	com	especial	atenção	a	Leonardo	de	Pisa	(Fibonacci),	com	a	obra	
Liber abaci (O	livro	do	ábaco),	que	apresentou	um	título	equivocado.	O	livro	não	
aborda considerações sobre o ábaco, mas um tratado completo sobre os métodos 
e	problemas	algébricos,	com	o	uso	de	símbolos	numéricos	indo-arábicos.	
3.1 SURGIMENTO DO ÁBACO
Desde	a	antiguidade,	o	ábaco	foi	conhecido	como	instrumento	de	registro	
e cálculos matemáticos. Na sua forma mais primitiva considerava uma bandeja 
de	areia	marcada,	de	onde	 surgiu	o	nome	do	grego	“abax”,	para	 “bandeja	de	
areia”.	De	modo	geral,	os	antigos	egípcios,	gregos,	romanos,	hindus	e	do	oriente	
utilizavam	formas	peculiares	do	ábaco.	O	ábaco	constituía	como	um	elemento	de	
cálculo para diversas culturas, sendo reinventado conforme as necessidades de 
cada	momento	histórico	social	(ALBUQUERQUE;	PEREIRA;	ALVES,	2018).
Para	Oliveira	(2011),	os	primeiros	registros	da	utilização	do	ábaco	ocorre-
ram	por	volta	de	500	a.C.	pelos	chineses,	com	alguns	historiadores	que	afirmam	
ser	a	primeira	versão	originária	na	Mesopotâmia	há	dois	mil	anos	atrás.	Na	épo-
ca,	o	instrumento	consistia	em	uma	tábua	de	argila	sobre	a	qual	era	espalhada	
um	pouco	de	areia,	serragem	o	cal	e	com	um	bastão	se	realizavam	os	desenhos.	
O ábaco romano foi criado antes da era cristã e foi utilizado como calcula-
dora de bolso, composto por uma placa de metal com várias rachaduras paralelas 
que deslizavam botões móveis do mesmo tamanho. As ranhuras correspondiam 
a uma ordem decimal, com exceção das duas primeiras que estavam à direita. 
Assim, da direita para a esquerda, a terceira ranhura correspondia as unidades 
simples,	a	segunda	as	dezenas,	a	quinta	as	centenas,	a	sexta	aos	milhares	e	assim	
sucessivamente.
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
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FIGURA 15 – ÁBACO ROMANO
FONTE: Silva (2011, p. 44)
Gerbert	de	Aurilac,	nascido	entre	940	a	945	d.C.,	se	tornou	Silvester	II	Papa	
da	Igreja	Católica	(999	d.C.	a	1003	d.C.).	Antes	de	se	tornar	Papa,	Gerbert	viveu	em	
Aurilac	(França)	local	considerado	como	centro	dos	conhecimentos	matemáticos,	
com	estudiosos	da	aritmética,	geometria,	astronomia	e	música	que	contribuíam	
para a construção de novos conhecimentos. Nesse meio, Gerbert escreveu obras 
matemáticas intituladas De ábaco Comuti, De numerundivivione, Geometria, uma 
carta	a	Adebold	sobre	o	cálculo	da	área	de	triângulos,	outra	a	Constantin	sobre	a	
esfera	e	diversas	outras	cartas	(ALBUQUERQUE;	PEREIRA;	ALVES,	2018).
Gerbert	e	seus	seguidores	elaboraram	métodos	de	multiplicação	e	divisão	
para	o	sistema	posicional	do	ábaco.	Como	utilizavam	uma	simbologia	própria	
para	 cada	 quantidade,	 os	 algarismos	 hindu-arábicos	 e	 sua	 representação	 no	
ábaco, na época não foram compreendidos por utilizarem formas abstratas no 
sistema concreto e manipulável do ábaco. 
Hoje se tem como certo que foi Gerbert que introduziu na Europa 
o sistema de numeração arábico, quando escreveu seu tratado – 
muito confuso para a época – do uso do ábaco. Todavia, é a partir do 
início	do	século	XIII,	graças	àinfluência	determinante	de	um	grande	
matemático	italiano,	Leonardo	de	Pisa	(por	volta	de	1170	–	1250),	mais	
conhecido	como	Fibonacci,	e	do	seu	livro	Liber	Abaci	 (1202),	que	se	
tornou conhecido em toda a Europa cristã e o sistema numérico que 
utilizamos	 até	hoje.	Mesmo	 tendo	no	 título	 a	palavra	 ábaco,	 não	 se	
assemelhava aos tratados de aritmética da tradição de Gerbert e seus 
discípulos,	pois	Fibonacci	explicava	as	regras	do	cálculo	escrito	usando	
o	zero	e	as	nove	cifras	arábicas,	usando	a	regra	posicional	(FERREIRA,	
2008,	p.	45).
 
Dessa	forma,	Gerbert	não	utilizava	um	símbolo	para	representar	o	zero,	
em seu ábaco deixava um espaço vazio. Séculos mais tarde, com os estudos de 
Leonardo Fibonacci, a escrita do cálculo no papel ou outro material, considerou 
a	 representação	 do	 zero	 na	 forma	 de	 algarismo,	 o	 que	 sofisticou	 os	 registros	
matemáticos na época. Gerbert viveu em meio a uma hostilidade da Idade 
Média e as limitações impostas ao desenvolvimento da ciência, incluindo a área 
da matemática. 
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
14
Na obra Enciclopédia Marguerita Philosophica de Reisch'(1503),	há	o	registro	
por	 imagem	que	 representa	 o	 duelo	 entre	 os	matemáticos	 Pitágoras	 e	 Boécio.	
Sendo	que	Pitagóras	manipula	o	ábaco	e	o	matemático	Boécio	realiza	as	operações	
matemáticas	utilizando	algarismos.	
FIGURA 16 – MARGARITA PHILOSOPHICA, FREIBURG, 1503
FONTE: Pires (2013, s.p.)
Atualmente,	 o	 uso	 do	 ábaco	 no	 processo	 de	 ensino	 e	 aprendizagem	
dos alunos contribui na construção de conhecimentos aritméticos, sendo que 
por meio de sua manipulação a criança opera com material sensorial para a 
realização	de	seus	cálculos.	De	modo	geral,	o	uso	do	ábaco	permite	que	os	alunos	
compreendam	 operações	matemáticas	 que	 ainda	 não	 foram	 abstraídas,	 o	 que	
auxilia na compreensão de seu processo. 
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
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A	base	psicológica	necessária	para	uma	correta	formação	dos	conceitos	
é uma assimilação tal que permita criar condições entre os componen-
tes	abstratos	e	concretos	do	pensamento,	entre	a	palavra	e	a	imagem.	
Por isso, o professor tem que recorrer ao material visual como base 
para	a	formação	de	conceitos,	caso	contrário,	dar-se-á	uma	assimilação	
puramente	formal	das	noções	(KALMYKOVA,	1991,	p.	12).	
Ou seja, o uso do material sensorial permite a compreensão no aluno 
dos	 processos	 de	 abstração	 e	 generalização,	 quando	 opera	 no	 campo	 visual	 e	
tátil a realização das operações. Mais tarde, com o entendimento do processo 
matemático,	conseguirá	abstrair	a	resolução	dos	cálculos	para	então	utilizar	do	
registro	escrito	para	realizar	as	operações.
JOGO COM ÁBACO
Por:	Eliane	Barreto	Maia	Santos	/	31	de	março	de	2018
Código:	MAT2_02NUM02
Sobre o Plano:	Este	plano	de	aula	foi	elaborado	pelo	Time	de	Autores	NOVA	
ESCOLA
Autor: Eliane Barreto Maia Santos
Mentor:	Carina	Espírito	Santo
Especialista de área: Luciana Maria Tenuda de Freitas
 
Habilidade da BNCC:	 (EF02MA01)	Comparar	e	ordenar	números	naturais	
(até	a	ordem	de	centenas)	pela	compreensão	de	características	do	sistema	de	
numeração	decimal	(valor	posicional	e	função	do	zero).
 
Objetivos específicos:	Compreender	os	princípios	do	sistema	de	numeração	
decimal:	formação	da	centena	(10	dezenas)	e	o	valor	posicional	dos	algarismos	
no número, relação entre as ordens que compõem o número.
Conceito-chave:	Sistema	de	numeração	decimal	-	ordens	e	classes	
Recursos necessários: Lápis, borracha, folha com atividades, ábacos e dados
Objetivo:	 Compreender	 a	 organização	 do	 sistema	 de	 numeração	 decimal:	
formação	da	centena	(10	dezenas)	e	a	relação	entre	as	ordens	que	compõem	o	
número.
Orientação: Deixar que as crianças utilizem o material livremente, no primeiro 
momento,	 para	 familiarização.	 O(a)	 professor(a)	 apresenta	 o	 instrumento,	
explicando	como	se	dá	a	utilização:	Cada	haste	 representa	uma	ordem	(da	
direita para a esquerda: ordem das unidades simples, ordem das dezenas 
simples,	 ordem	 das	 centenas	 simples);	 Em	 cada	 haste	 são	 colocadas	 as		
argolas	(no	máximo	9	por	haste);	Quando	completar	10	argolas	na	haste	das 
unidades,	por	exemplo,	deve-se	trocar	por	uma	argola	na	haste	das	dezenas	
(10	unidades	,	10	argolas	na	haste	das	dezenas	corresponde	a	uma	argola	na	
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
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haste	das	centenas	e	assim	por	diante…	Recomenda-se	não	relacionar	as	cores	
das	argolas	com	as	ordens,	pois	pode	faltar	argolas	em	uma	ação	ou	os	alunos	
podem vincular a cor à cada haste e, muitas vezes, os ábacos comercializados 
vêm com cores diferentes. 
Propósitos:	 Perceber	 o	 uso	 do	 ábaco	 como	 ferramenta	 de	 aprendizagem.		
Perceber que os valores podem ser representados de diferentes maneiras, com 
diversos	símbolos.
Orientação:	Instruções	do	jogo:	Alunos	organizados	em	grupos	de	4	alunos,	
dev					em	definir	quem	começará	o	jogo;	O	grupo	jogará	com	apenas	um	ábaco,	
assim	a	disputa	será	entre	os	grupos.	Dessa	forma,	fica	mais	fácil	chegar	à	haste	
das	centenas;	O(a)	professor(a)	deve	acompanhar	as	estratégias	de	cálculo	dos	
alunos, durante as trocas, questionando sobre os caminhos que facilitam os 
cálculos.	Por	exemplo:	para	somar	3	+	4	perguntar	se	saber	quanto	são	3	+	3	
ajuda	(3	+	3	+	1)	ou	para	5	+	6	usar	5	+	5	facilita	(5	+	5	+	1).	Para	socializar	com	os	
demais	grupos	a	quantidade	total	obtida	no	ábaco,	convidar	um	integrante	de	
cada	grupo	para	registrar	no	quadro	o	total	obtido	pelo	grupo,	organizar	uma	
tabela	para	o	registro	com	uma	coluna	para	o	nome	do	grupo	e			outra	para	a	
pontuação;	conversar	com	a	turma	sobre	qual	grupo	obteve	maior	pontuação,	
se	algum	grupo	obteve	mesma	pontuação…	analisar	o	quadro	com	os	alunos,	
perguntando	o	que	percebem.	
Propósitos:	 Perceber	 o	 uso	 do	 ábaco	 como	 ferramenta	 de	 aprendizagem.	
Perceber que os valores podem ser representados de diferentes maneiras, com 
diversos	símbolos.
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
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Orientação:	Com	essa	 atividade	 será	possível	 trabalhar	 com	a	 comparação	
de	números	de	 até	 3	 ordens.	Questioná-los	 sobre	 o	 que	devemos	 observar	
para saber qual número representa a maior quantidade. Na questão B, a 
criança poderá utilizar desenhos para representar e calcular. Para somar a 
pontuação	total	dos	grupos,	incentivá-los	a	encontrar	estratégias	que	facilite	
somar	os	4	ou	5	valores	(conforme	a	quantidade	de	grupos	da	turma).	Podem	
definir	que	cada	dupla	deve	somar	dois	valores	e	depois	juntar	os	resultados	
parciais, por exemplo. Explicar que utilizar a decomposição dos números 
ajuda	muito,	exemplo:	134	+	154	100	+	30	+	4	+	100	+	50	+	4200	+	80	+	8	=	288	
Ou	ainda	134	+	100	=	234	234	+	50	=	284	284	+	4	=	288.	Para	trabalhar	com	o	
valor	posicional	do	algarismo	no	número,	retomar	o	trabalho	com	o	ábaco,	o	
valor	de	cada	argola	nas	diferentes	hastes.	Convidar	um	aluno	de	cada	grupo	
para	registrar	a	pontuação	de	seu	grupo	na	lousa,	assim	podem	acompanhar	
o	processo	na	folha	(individualmente)	e	no	quadro	(coletivamente).	Definir	
com	os	alunos,	qual	foi	o	grupo	que	obteve	maior	pontuação	e	destacar	essa			
informação	com	giz	colorido	(questão	A).	Pedir	que	resolvam	as	questões	B,	C	
e	D	individualmente,	em	seguida	confrontar	com	os	resultados	de	um	colega	
do	grupo	ou	do	grupo	todo	para	ver	quem	fez	diferente,	qual	o	motivo	e	o	
grupo	terá	que	validar	uma	resposta	comum.
 
Propósito:	Compreender	como	se	dá	a	composição	de	números	e	compará-los.
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
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Orientações para o professor: Após resolverem as questões B, C e D 
individualmente,	confrontar	com	os	resultados	de	um	colega	do	grupo	ou	do	
grupo	todo,	ver	quem	fez	diferente,	qual	o	motivo	e	o	grupo	terá	que	validar	
uma	 resposta	 comum.	Na	 sequência,	um	aluno	de	 cada	grupo,	 registra	no	
quadro	 a	 resposta	 e	 compara	 com	 as	 respostas	 e	 estratégias	 dos	 demais	
grupos.	Ver	no	guia	de	intervenções,	itemsobre	o	erro.	Pedir	que	registrem	
no caderno uma resposta apresentada, que seja diferente da sua e que tenha 
achado	 interessante.	 Conversar	 sobre	 as	 possíveis	 formações	 dos	 valores,	
utilizando soma de diferentes parcelas, isso contribui para o desenvolvimento 
do cálculo mental. 
Propósito:	Compreender	como	se	dá	a	composição	de	números	e	compará-
los.
Discuta com a turma:	Que	 estratégia	 ajudou	 na	 hora	 de	 somar	 os	 valores	
parciais?	 (Perguntar	 quem	 quer	mostrar,	 anotar	 no	 quadro	 a	 fala	 desse(a)	
aluno(a)	ou	pedir	que	ele	mesmo	anote.)	
Propósito: Sistematizar o conceito matemático de composição de números.
O trabalho com o ábaco é muito importante para promover compreensão acer-
ca	do	Sistema	de	Numeração	Decimal.	Nele	é	possível	perceber	as	relações	
entre as ordens e classes e a formação do número. Esse instrumento é uma 
TÓPICO 1 — A GÊNESE DA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES
19
ferramenta	muito	útil	para	 trabalhar	com	adição	e	 subtração	com	reagru-
pamentos,	pois	fica	claro	para	o	aluno	os	agrupamentos	(ação	de	colocar	a	
dezena	sobre	os	algarismos	da	dezena,	por	exemplo);	no	caso	da	subtração,	
os	reagrupamentos	(conhecido	por	empréstimos)	são	mais	facilmente	com-
preendidos. Existem diferentes modelos, porém o ábaco de pinos permite 
tirar as peças e fazer as trocas de maneira mais concreta, possibilitando ao 
aluno	compreender	a	formação	dos	números,	uma	vez	que	ao	completar	10	
unidades,	deve	trocar	por	uma	peça	e	colocá-la	na	haste	subsequentemente	
à esquerda. Esse instrumento pode ser confeccionado com reaproveitamen-
to de materiais, como caixa de ovo e palitos ou canudos para as hastes, com 
caixa de sapatos, pedaços de madeira ou qualquer outro material que a ima-
ginação	e	criatividade	da	criança	permitir.	Os	alunos	podem	ser	desafiados	
a construir seu próprio ábaco, com antecedência a aula, isso pode valorizar 
a aula ainda mais.
Para	saber	mais	sobre	a	atividade,	acesse:	https://bit.ly/3wWdmlM,	conheça	
o	material	 na	 íntegra.	 Essa	 atividade	 pode	 ser	 utilizada	 no	 atendimento	
psicopedagógico	 com	 as	 crianças	 que	 utilizarão	 do	 material	 concreto	
na	 perspectiva	 do	 jogo,	 para	 compreender	 a	 organização	 do	 sistema	 de	
numeração decimal. Aproveite e conte a história de como os números 
surgiram!
20
Neste tópico, você aprendeu que:
RESUMO DO TÓPICO 1
•	 A	origem	dos	números	naturais	interliga-se	as	necessidades	humanas	referentes	
as atividades de contar e medir.
•	 Os	egípcios	elaboraram	um	sistema	de	numeração	complexo,	com	os	números	
de	1	a	9	sendo	representados	por	bastões,	na	representação	do	10	utilizaram	
um	símbolo	especial:	⋂	–	simbolizava	um	calcanhar	invertido	que	substituía	
dez bastões. 
•	 A	civilização	mesopotâmica	denominada	também	como	babilônica,	elaborou	
uma escrita cuneiforme, no uso de cunhas para fazer as marcas em placas de 
argila.
•	 A	civilização	maia	que	habitava	a	península	de	Yucatán	no	México	elaboraram	
um sistema de numeração com pontos e barras horizontais. 
• O sistema de numeração romano utilizava letras latinas na representação dos 
números	com	regras	para	sua	combinação.
•	 Os	 algarismos	 que	 compõem	 o	 sistema	 indo-arábico	 foram	 desenvolvidos	
na	 civilização	do	vale	do	 Indo,	 região	 atual	do	Paquistão,	 e	 trazidos	para	o	
ocidente.
•	 O	sistema	numérico	decimal	dos	indianos	possui	dez	símbolos	distintos	(1,	2,	3,	
4,	5,	6,	7,	8,	9	e	0),	denominados	de	algarismos	em	homenagem	a	Al-Khwarizmi.
• A história da matemática apresenta uma ideia dúbia referente ao uso do zero, 
com	registro	de	seu	uso	na	Índia	numa	inscrição	de	876	anos	atrás,	mais	de	dois	
séculos	depois	da	primeira	referência	no	uso	dos	outros	nove	símbolos.
•	 No	século	XVIII,	vários	autores	auxiliaram	no	processo	de	popularização	do	
algorismo,	com	especial	atenção	a	Leonardo	de	Pisa	(Fibonacci),	com	a	obra	
Liber abaci	(O	livro	do	ábaco),	que	apresentou	um	título	equivocado.
21
1	 A	 origem	 dos	 números	 naturais	 advém	 das	 necessidades	 humanas	
relacionadas as atividades de contar e medir, que vivenciavam em seu 
cotidiano.	 Faça	um	quadro-resumo	 sobre	 as	principais	 características	do	
uso	dos	números	nas	seguintes	civilizações:
AUTOATIVIDADE
EGITO MESOPOTÂMICA PRÉ-COLOMBIANA
IMPÉRIO ROMANO ÍNDIA
2	 O	sistema	hindu-arábico	consiste	no	atual	sistema	de	numeração	decimal	
utilizada,	formada	pelos	algarismos	0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8	e	9.	Nesse	sistema,	
o	 símbolo	 0	 (zero)	 representa	 uma	 quantidade	 nula,	 enquanto	 que	 os	
outros apontam sobre uma determinada quantidade como o 1 sobre uma 
quantidade. Analise os pressupostos que inferem sobre a história da 
utilização	 do	 número	 zero	 pelos	 diversos	 povos	 e	 classifique	 V	 para	 as	
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
(			)	 Os	povos	dos	 antigo	Egito	 e	Roma	 foram	os	pioneiros	 no	uso	de	um	
símbolo	para	representar	o	zero.
(			)	 Os	 babilônios	 não	 tinham	 uma	 forma	 de	 representação	 defina	 para	
indicar o zero, e desta forma deixavam um espaço vazio.
(			)	 Os	 gregos	 entendiam	 o	 conceito	 do	 nada	 mas	 nunca	 atribuíram	 um	
símbolo	para	representar	o	número	zero.
(			)	 Os	maias	usavam	intervalos	de	tempos	entre	as	datas	do	calendário	como	
numeração posicional.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a)	(			)	 F	-	F	-	V	-	V.
b)	(			)	 F	-	V	-	V	-	V.
c)	(			)	 V	-	V	-	F	-	F.
d)	(			)	 V	-	F	-	F	-	V.
22
3	 No	século	XVIII,	alguns	estudiosos	investiram	seus	esforços	no	processo	de	
popularização	do	algorismo.	Leonardo	de	Pisa,	ou	Fibonacci,	em	especial,	
apresentou destaque com a publicação da obra Liber abaci	(O	livro	do	ábaco).	
Com	 base	 nas	 características	 da	 obra	 Liber abaci, assinale a alternativa 
CORRETA:
a)	(			)	 O	 livro	 apresenta	 o	 título	 equivocado	 pois	 apresenta	 um	 tratado	
completo	 sobre	 os	 métodos	 e	 problemas	 algébricos	 com	 o	 uso	 de	
símbolos	numéricos	indo-arábicos.
b)	(			)	 O	livro	aborda	sobre	as	diversas	formas	de	uso	do	ábaco	inclusive	com	
as noções de uso para resolução das operações com números naturais, 
adição, subtração, multiplicação e divisão.
c)	(			)	 O	livro	reporta	de	forma	incompleta	o	uso	do	ábaco	sendo	que	indica	
somente seu percurso histórico e não considera sua utilização na 
resolução das operações com números naturais.
d)	(			)	 O	 livro	 indica	 formas	 de	 utilizar	 o	 ábaco	 na	 resolução	 de	 cálculos	
matemáticos com números naturais e apresenta ainda formas de 
utilização com os números racionais. 
23
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO 
DA MATEMÁTICA
1 INTRODUÇÃO
Prezado acadêmico, neste tópico abordaremos sobre o contexto histórico 
das	abordagens	didáticas	no	Brasil,	que	envolveram	o	ensino	da	matemática.	O	
Psicopedagogo	Institucional	terá	sua	atuação	nos	espaços	escolares,	juntamente	
a	 outros	 profissionais	 da	 educação,	 mais	 precisamente,	 muito	 próximo	 aos	
professores. Assim, conhecer o percurso do ensino da matemática possibilitará 
a	compreensão	dos	fazeres	pedagógico,	sobre	o	porquê	do	desenvolvimento	de	
determinadas atividades em sala de aula. O entendimento da situação atual de 
um	determinado	contexto	requer,	principalmente,	a	compreensão	da	gênese	de	
sua criação. 
Outro	aspecto	que	 será	abordado	 conta	 com	os	 fundamentos	gerais	da	
BNCC,	sobre	como	foi	organizada	e	um	breve	relato	das	principais	informações	
sobre	o	documento.	Incluímos	ainda	as	competências	específicas	para	o	ensino	da	
Matemática no Ensino Fundamental, na intenção de auxiliar o desenvolvimento 
das	intervenções	psicopedagógicas.	O	Psicopedagogo	Institucional	desenvolverá	
seu	trabalho	nos	espaços	escolares,	onde	suas	ações	subjetivas	serão	influenciadas	
pelas	competências	sugeridas	na	BNCC.	Para	tanto,	há	necessidade	de	conhecer	
o documento e principalmente se debruçar nas dez competências preconizadas 
pela BNCC.
2 ABORDAGENS DIDÁTICAS DOS NÚMEROS NATURAIS 
E DAS OPERAÇÕES
O	 processo	 de	 ensino	 e	 aprendizagem	 dos	 números	 naturais	 e	 das	
operações	constitui	no	principalobjetivo,	do	processo	de	ensino	e	aprendizagem	
na matemática, dos professores dos anos iniciais. Assim, a forma de ensinar os 
conteúdos sofreu alterações conforme o desenvolvimento da sociedade, conforme 
os estudos e os resultados das práticas em sala de aula. 
Segundo	Pires	(2013),	na	primeira	metade	do	século	XX,	mais	precisamen-
te	entre	os	anos	de	1940	e	1950,	nessa	época	a	escola	primária	destacava	a	prepara-
ção da criança para a vida, onde as disciplinas deveriam se relacionar com os fatos 
e situações da vida. A didática da matemática apontava um trabalho ativo, com a 
simplificação	do	ensino	de	acordo	com	o	desenvolvimento	mental	do	aluno.	
24
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
O ensino se voltava para a utilidade dos conhecimentos nas situações 
que o aluno vivenciaria assim que deixasse a escola. Inclusive, o aluno deveria 
ter	 noção	 de	 quantidade,	 conseguisse	 praticar	 com	 exatidão	 e	 velocidade	 as	
operações aritméticas e resolver os problemas matemáticos. Dessa forma, a escola 
deveria	proporcionar	o	desenvolvimento	do	raciocínio,	por	meio	da	experiência	
com	 os	 fatos,	 das	 ideias	 e	 princípios	 relacionados	 aos	 conteúdos	matemáticos	
(PIRES,	2013).
O ensino da matemática era dividido em duas partes, na primeira seria a 
noção	dos	valores	com	práticas	de	exercícios	de	cálculo	mental,	concreto	e	abstrato.	
A	segunda	parte	contou	com	a	aplicabilidade	na	resolução	dos	problemas	das	
noções apreendidas na primeira parte. Aos alunos seriam apresentados problemas 
que deveriam raciocinar de modo racional e útil em condições semelhantes a 
situações	cotidianas.	Por	exemplo:	pagamento	de	contas,	impostos,	taxas,	receitas	
e despesas domésticas, salários e outros.
Desse modo, os problemas deveriam apresentar determinadas caracte-
rísticas	para	ser	considerado	como	um	“problema	interessante”.	Os	problemas	
deveriam	apresentar	a	clareza	de	linguagem,	escolha	de	dados	sobre	a	vida	coti-
diana e a utilização de situações vivenciadas pelos alunos. Ainda, os problemas 
foram divididos em problemas práticos, os sem número, em série, incompletos, 
mecânicos,	logicidade,	simples	e	os	compostos	(PIRES,	2013).
A apresentação dos problemas poderia ser de modo escrito quanto oral, 
o	professor	poderia	também,	organizar	uma	seleção	de	problemas	que	iniciaria	
dos	 mais	 simples,	 aumentando	 gradativamente	 aos	 complexos.	 De	 acordo	
com	 Pires	 (2013),	 o	 ensino	 dos	 problemas	 simples	 deveria	 ocorrer	 nas	 duas	
primeiras	 séries.	 Na	 segunda	 série,	 os	 alunos	 adiantados	 poderiam	 resolver	
os	 problemas	 complexos,	 a	 partir	 do	 segundo	 semestre.	 Na	 terceira	 série,	 a	
resolução dos problemas complexos somente seria apresentada aos alunos, 
quando	conseguissem	resolver	os	problemas	simples,	segundo	as	operações	que	
deveriam ser resolvidas: adição, subtração, divisão e multiplicação.
Os	anos	de	1960	e	1970	trouxeram	transformações	no	modo	de	conceber	
o	 ensino	 matemático,	 como	 reflexo	 do	 movimento	 da	 matemática	 moderna.	
As	 ideias	 de	 Jean	 Piaget	 chegavam	 no	 Brasil	 e	 abordavam	 a	 necessidade	
de	 trabalhar	 as	 chamadas	 atividades	 pré-numéricas,	 que	 possibilitavam	 a	
construção	do	 conceito	de	número	pela	 criança.	 Segundo	Pires	 (2013,	 s.p.),	 “o	
trabalho	pedagógico	com	números	enfatizava	o	papel	das	atividades	de	seriação,	
classificação	e	correspondência	termo	a	termo	para	a	construção	desse	conceito”.
Nesse	 sentido,	 eram	 utilizados	materiais	 como	 os	 blocos	 lógicos	 como	
recurso	 em	 atividades	 de	 desenvolvimento	 do	 raciocínio	 lógico,	 juntamente	
a outros materiais denominados concretos. A criança deveria transcender a 
simples	associação	de	um	símbolo	à	quantidade,	para	perceber	que	cada	número	
apresenta uma coleção de coleções com a mesma quantidade de elementos, no 
trabalho	de	aprender	as	noções	de	conjunto,	pertinência	e	inclusão	(PIRES,	2013).
TÓPICO 2 — CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
25
Para	 a	 aprendizagem	 do	 sistema	 de	 numeração	 decimal	 utilizavam	
atividades com uso do Material Dourado Montessori, onde as crianças por meio da 
manipulação	desse	material,	aprenderiam	as	características	do	sistema	decimal.	
Uma	das	atividades	chamada	“Nunca	Dez”	o	aluno	lançava	um	dado,	na	sua	vez	
de	jogar,	e	retirava	da	caixa	de	material	dourado	a	quantidade	de	cubinhos.	Assim	
que	conseguisse	mais	de	dez	cubinhos,	trocava-os	por	uma	barra	que	compunha	
o	Material	Dourado.	Quando	conseguisse	mais	de	dez	barras,	trocava	por	uma	
placa.	O	jogador	vencia	quando	conseguisse	atingir	primeiro	as	dez	placas	ou	o	
número de placas combinado.
Pires	 (2013)	afirma	que	o	ensino	era	 linear,	primeiramente	apresentado	
as	crianças	os	números	até	o	10,	depois	de	11	a	20,	e	assim	por	diante	até	chegar	
no	99,	sequência	trabalhada	no	primeiro	ano	de	escolaridade.	Os	livros	didáticos	
apresentavam as operações com visualização de conjuntos. 
O	ensino	após	a	década	de	1980	se	formalizou	fundamentado	nas	críticas	
ao	movimento	da	matemática	moderna,	onde	documentos	salientavam	críticas	
referentes	ao	trabalho	apoiado	na	linguagem	simbólica	dos	conjuntos.	Na	década	
de	1990,	 com	a	Lei	de	Diretrizes	e	Bases	da	Educação	Nacional	 (LDB	9394/96)	
ocorreu uma ampla discussão curricular no sistema educacional brasileiro. Diante 
disso,	houve	a	publicação	de	diretrizes	gerais	para	a	organização	dos	currículos	
escolares,	e	específicas	com	a	elaboração	dos	Parâmetros	Curriculares	Nacionais	
(PCNs)	(PIRES,	2013).
O	documento	apresentava	orientações	de	sugestões	das	atividades	a	serem	
desenvolvidas em sala de aula, relacionadas ao uso que as crianças já faziam dos 
números. Uma vez que as atividades de leitura, escrita, comparação e ordenação 
de notações numéricas deveriam considerar o conhecimento de número das 
crianças.	O	texto	apresentava	o	trabalho	com	números	em	situações-problemas	
em	diferentes	 funções.	Os	procedimentos	elementares	de	 cálculo	 contribuíram	
para o desenvolvimento da concepção de número, quando os alunos precisaram 
indicar a quantidade de elemento de coleções que juntaram, separaram ou 
repartiram	(PIRES,	2013).
Sobre as operações os PCNs de matemática enfatizam orientações didática 
e destacam:
[...]	os	diversos	significados	a	serem	trabalhados	nos	campos	aditivo	e	
multiplicativo.	Destacam	que	a	justificativa	par	ao	trabalho	conjunto	
dos	 problemas	 aditivos	 e	 subtrativos	 baseia-se	 no	 fato	 de	 que	 eles	
compõem	 uma	mesma	 família,	 ou	 seja,	 há	 estreitas	 conexões	 entre	
situações	aditivas	e	 subtrativas.	 [...]	os	problemas	não	se	classificam	
em função unicamente das operações a eles relacionadas a priori, e 
sim em função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona 
(PIRES,	2013,	s.p.).
O documento abordava outro fator importante na resolução dos problemas, 
que	diz	 respeito	 a	 sua	dificuldade.	Essa	 situação	não	 se	 relaciona	diretamente	
com a operação requisitada para sua solução. Com relação ao cálculo, os PCNs 
26
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
afirmam	 que	 uma	 boa	 habilidade	 na	 resolução	 dos	 cálculos	 dependeria	 do	
domínio	da	contagem	e	das	combinações	aritméticas,	conhecidas	como	tabuadas,	
listas de fatos fundamentais, leis, repertório básico e outros, baseadas numa 
memorização	compreensiva	(PIRES,	2013).
3 FUNDAMENTOS GERAIS DA BNCC 
No	período	de	 19	 a	 23	de	 novembro	de	 2014	 ocorreu	 a	 2ª	Conferência	
Nacional	pela	Educação	(Conae)	organizada	pelo	Fórum	Nacional	de	Educação	
(FNE).	 Nesse	 evento,	 ocorreu	 o	 início	 do	 processo	 de	 mobilização	 para	 a	
organização	 da	 Base	 Nacional	 Comum	 Curricular,	 com	 a	 formulação	 de	 um	
documento	que	apresentava	as	propostas	e	reflexões	para	a	educação	brasileira.	
Em	2015,	entre	17	e	19	de	junho	aconteceu	o	I	Seminário	Interinstitucional	
para elaboração da BNC, com a participação de assessores e especialistas 
envolvidos	na	sua	organização.	A	Portaria	n°	592,	de	17	de	junho	de	2015,	Institui	
Comissão de Especialistas para a Elaboraçãode Proposta da Base Nacional 
Comum	Curricular.	A	1ª	versão	da	BNCC	foi	disponibilizada	em	16	de	setembro,	
de 2 a 15 de dezembro todas as escolas se mobilizaram para a discussão do 
documento preliminar da BNCC.
No	ano	de	2016,	em	3	de	maio	foi	disponibilizada	a	segunda	versão	do	
documento,	e	entre	23	de	junho	a	10	de	agosto	ocorreram	27	Seminários	Estaduais	
com	a	participação	de	professores,	gestores	e	especialistas	no	debate	para	análise	
da	segunda	versão.	Após	esse	movimento,	em	agosto	inicia	a	redação	da	terceira	
versão,	enquanto	processo	colaborativo	de	produção	com	base	na	segunda	versão.
O	MEC	encaminhou	a	versão	final	da	BNCC	em	abril	de	2017,	ao	Conselho	
Nacional	de	Educação	(CNE),	para	que	elabore	o	parecer	e	projeto	de	resolução	
sobre	 o	 documento.	A	 partir	 da	 homologação	 da	 BNCC	 inicia	 o	 processo	 de	
formação e capacitação dos professores, bem como o apoio aos sistemas de 
Educação	estaduais	e	municipais	para	elaboração	e	adequação	dos	currículos.	
Em	 6	 de	 março	 de	 2018,	 profissionais	 da	 educação	 do	 Brasil	 foram	
mobilizados	para	analisarem	e	debaterem	o	contexto	teórico,	da	parte	homologada	
do documento referente às etapas da Educação Infantil e Ensino Fundamental. O 
objetivo principal seria a compreensão sobre sua implementação e os impactos 
que	 iria	gerar	na	educação	básica	brasileira.	No	dia	2	de	abril,	o	Ministério	da	
Educação	entregou	ao	CNE	a	terceira	versão	da	BNCC	do	Ensino	Médio,	para	
iniciarem as audiências públicas para seu debate. 
No	dia	2	de	agosto	de	2018,	as	escolas	foram	mobilizadas	para	o	estudo	da	
BNCC	da	etapa	do	Ensino	Médio,	onde	os	profissionais	da	educação	preencheram	
um	 formulário	 online	 com	 sugestões	 de	melhorias.	A	 BNCC	 para	 a	 etapa	 do	
Ensino	Médio	foi	homologada	no	dia	14	de	dezembro	pelo	ministro	da	Educação,	
concluindo	o	documento	que	abrange	a	Educação	Básica	no	país.
TÓPICO 2 — CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
27
A	Base	(BRASIL,	2018)	aponta	conhecimentos,	competências	e	habilida-
des	esperados	no	desenvolvimento	dos	alunos	ao	longo	da	Educação	Básica,	com	
principal	foco	na	formação	integral	para	a	construção	de	uma	sociedade	justa,	de-
mocrática e inclusiva. O documento infere sobre a necessidade dos alunos aplica-
rem nas ações do seu cotidiano, na resolução dos seus problemas, os conhecimen-
tos compreendidos no processo educativo que permeia a escolaridade básica. 
A	Base	Nacional	Comum	Curricular	(BNCC)	consiste	no	documento:
[...]	de	caráter	normativo	que	define	o	conjunto	orgânico	e	progressivo	
de	aprendizagens	essenciais	que	todos	os	alunos	devem	desenvolver	
ao	longo	das	etapas	e	modalidades	da	Educação	Básica,	de	modo	a	que	
tenham	assegurados	seus	direitos	de	aprendizagem	e	desenvolvimento,	
em conformidade com o que preceitua o Plano Nacional de Educação 
(PNE)	(BRASIL,	2018,	p.	7).
A	 promulgação	 da	 BNCC	 norteará	 a	 organização	 dos	 currículos	 na	
Educação Básica nas diversas redes de ensino a considerar o público e o privado. 
Apresenta	dez	competências	gerais	que	preconizam	os	direitos	a	aprendizagem	e	
desenvolvimento, sendo que o documento refere competência com o sentido de:
[...]	 mobilização	 de	 conhecimentos	 (conceitos	 e	 procedimentos),	
habilidades	(práticas,	cognitivas	e	socioemocionais),	atitudes	e	valores	
para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno 
exercício	da	cidadania	e	do	mundo	do	trabalho	(BRASIL,	2018,	p.	9).
De	modo	geral,	competência	significa	colocar	em	prática	algo	que	se	sabe,	
uma	compreensão	sobre	algo.	Sobretudo,	desenvolver	nos	alunos	as	competências	
gerais	necessárias	para	que	consigam	aplicar	nas	situações	cotidianas,	os	saberes	
que aprendeu na escola.
FIGURA 17 – COMPETÊNCIAS GERAIS DA BNCC
28
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
FONTE: <http://inep80anos.inep.gov.br/inep80anos/futuro/novas-competencias-da-base-
nacional-comum-curricular-bncc/79>. Acesso em: 10 ago. 2020.
Para	a	BNCC	(BRASIL,	2018),	as	competências	gerais	estão	organizadas	
em dez proposições que se relacionam e desdobram nas três etapas da Educação 
Básica, considerando a Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. 
Competências	gerais	que	buscam	a	formação	integral	do	indivíduo	por	meio	de	
uma	educação	integral,	com	prioridade	no	desenvolvimento	humano	de	forma	
globalizada,	 que	 entende	 a	 complexidade	 humana	 para	 além	 da	 dimensão	
cognitiva,	numa	perspectiva	cognitiva-afetiva.	
A	 estrutura	 geral	 da	 BNCC	 se	 encontra	 organizada	 em	 códigos	
alfanuméricos que apontam para cada etapa de escolaridade sobre os direitos de 
aprendizagem	e	desenvolvimento.	Dessa	 forma,	 a	Educação	 Infantil	 enquanto	
primeira	 etapa	 da	 Educação	 Básica,	 apresenta	 seis	 direitos	 de	 aprendizagem	
e	 desenvolvimento	 necessários,	 para	 que	 as	 crianças	 consigam	 aprender	 e	 se	
desenvolver.	 Os	 direitos	 de	 aprendizagem	 e	 desenvolvimento	 constam	 em:	
conviver,	brincar,	participar,	explorar,	expressar	e	conhecer-se.
Com	 base	 nos	 direitos	 de	 aprendizagem	 e	 desenvolvimento	 a	 BNCC	
(2018)	 estabelece	 cinco	 campos	de	 experiências	para	que	as	 crianças	 consigam	
aprender e se desenvolver. Consistem em:
• O eu, o outro e o nós
• Corpo,	gestos	e	movimentos
• Traços, sons, cores e formas
• Escuta,	fala,	pensamento	e	imaginação
• Espaços, tempos, quantidades, relações e transformações. 
Para	 cada	 campo	 de	 experiências	 foram	 definidos	 objetivos	 de	
aprendizagem	e	desenvolvimento	organizados	em	três	grupos	por	faixa	etária.	
Assim,	 considera	 como	 o	 primeiro	 grupo	 os	 bebês	 (zero	 a	 1	 ano	 e	 6	 meses),	
segundo	grupo	as	crianças	bem	pequenas	(1	ano	e	7	meses	a	3	anos	e	11	meses),	e	
o	terceiro	grupo	(4	anos	a	5	anos	e	11	meses).	
O	Ensino	Fundamental	possui	uma	organização	composta	de	cinco	áreas	
do conhecimento, que propiciam a comunicação entre os conhecimentos e saberes 
dos componentes curriculares. As áreas dos conhecimentos apresentam em seu 
contexto	a	formação	integral	dos	alunos	e	destaca	as	particularidades	dos	Anos	
Iniciais e dos Anos Finais de forma distinta.
TÓPICO 2 — CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
29
Então,	 cada	 área	 do	 conhecimento	 “[...]	 estabelece	 competências	
específicas	de	área,	cujo	desenvolvimento	deve	ser	promovido	ao	longo	dos	nove	
anos”	(BRASIL,	2018,	p.	28).	Tais	competências	amalgamam	nas	dez	competências	
gerais	 que	 se	 expressam	nas	 cinco	 áreas	 do	 conhecimento;	 linguagens	 (língua	
portuguesa,	 arte,	 educação	 física	 e	 língua	 inglesa),	 matemática,	 ciências	 da	
natureza	(ciências),	ciências	sociais	(história,	geografia),	e	ensino	religioso.	
Essas	 áreas	 apresentam	 competências	 específicas	 que	 devem	 ser	
desenvolvidas no decorrer dos nove anos de estudos. 
Para	garantir	o	desenvolvimento	das	competências	específicas,	 cada	
componente curricular apresenta um conjunto de habilidades. Essas 
habilidades, estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento 
– aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos – que, por 
sua	vez,	são	organizados	em	unidades	temáticas	(BRASIL,	2018,	p.	28).
As	 unidades	 temáticas	 consistem	numa	 organização	 de	 conhecimentos	
em quantidade diferenciada, relacionado às habilidades. As habilidades seriam 
as	aprendizagens	essenciais	que	todos	os	alunos	deverão	ter	o	direito	assegurado	
nos	 diversos	 níveis	 escolares.	 Em	 suma,	 as	 unidades	 temáticas,	 os	 objetos	 de	
conhecimento	e	as	habilidades	para	cada	ano	são	 identificadas	por	um	código	
alfanumérico. 
Para o Ensino Médio há quatro áreas do conhecimento ciências da 
natureza	 e	 suas	 tecnologias	 (biologia,	 física	 e	 química),	 ciências	 humanas	 e	
sociais	 aplicadas	 (história,	 geografia,	 sociologia	 e	 filosofia),	matemática	 e	 suas	
tecnologias	(matemática)	e	linguagens	e	suas	tecnologias	(arte,	educação	física,	
língua	inglesa	e	língua	portuguesa).	A	estrutura	do	Ensino	Médio	segue	a	mesma	
adotada	para	o	Ensino	Fundamental,	identificada	por	códigos	alfanuméricos	que	
expressam as unidadestemáticas, objetos do conhecimento e as habilidades para 
cada	área	do	conhecimento	(BRASIL,	2018).
A	 BNCC	 define	 um	 conjunto	 de	 aprendizagens	 que	 são	 essenciais	 ao	
desenvolvimento das crianças, jovens e adultos durante as etapas da Educação 
Básica. Apresenta como principal objetivo o aprender, em destaque no texto 
com	o	direcionamento	do	trabalho	pedagógico	para	o	“aprender	a	aprender”,	de	
modo	que	o	estudante	consiga	colocar	em	prática,	na	resolução	dos	problemas	do	
seu cotidiano, os conhecimentos aprendidos na escola.
3.1 A ÁREA DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO 
FUNDAMENTAL
A BNCC prevê para o ensino de matemática no Ensino Fundamental 
a	 articulação	 de	 diversos	 campos	 como	 a	 aritmética,	 álgebra,	 geometria,	
estatística	 e	 probabilidade.	 Objetiva	 garantir	 que	 os	 alunos	 façam	 a	 relação	
entre	 as	 observações	 empíricas,	 situações	 do	 cotidiano,	 com	 as	 representações	
30
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
(tabelas,	 figuras	 e	 esquemas),	 e	 consigam	 ainda	 associar	 essas	 representações	
a	uma	atividade	matemática	 (conceitos	e	propriedades),	 realizando	 induções	e	
conjecturas	(BNCC,	2018).
Nesse	 sentido,	 estima-se	 que	 os	 alunos	 desenvolvam	 a	 capacidade	 de	
identificação	 das	 oportunidades	 no	 cotidiano,	 para	 utilizarem	 da	 matemática	
para	 resolverem	 seus	 problemas.	 Que	 saibam	 como	 aplicar	 os	 conceitos,	
procedimentos	e	resultados	na	sua	resolução,	interpretando	segundo	os	contextos	
de	cada	situação	(BNCC,	2018).
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento 
do	letramento	matemático,	definido	como	as	competências	e	habilidades	
de	raciocinar,	representar,	comunicar	e	argumentar	matematicamente,	
de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e 
a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando 
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também 
o	letramento	matemático	que			assegura	aos	alunos	reconhecer	que	os	
conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a 
atuação	no	mundo	e	perceber	o	caráter	de	jogo	intelectual	da	matemática,	
como	aspecto	que	 favorece	o	desenvolvimento	do	 raciocínio	 lógico	 e	
crítico,	estimula	a	investigação	e	pode	ser	prazeroso	(fruição)	(BNCC,	
2018,	p.	266).
O desenvolvimento das habilidades se relaciona a determinadas 
formas	 de	 organização	 da	 aprendizagem	 matemática,	 baseadas	 na	 análise	
da	vida	 cotidiana,	 com	as	outras	 áreas	do	 conhecimento	 e	das	 especificidades	
da Matemática. Os processos matemáticos para a resolução de problemas, 
investigação,	desenvolvimento	de	projetos	e	modelagem	constituem	atividades	
de	matemática	enquanto	objeto	e	estratégia	para	aprendizagem	no	decorrer	do	
Ensino Fundamental. Tais processos são necessários para o desenvolvimento 
das	 competências	 fundamentais	 para	 o	 letramento	 matemático	 (raciocínio,	
comunicação	e	argumentação),	o	que	inclui	o	desenvolvimento	do	pensamento	
computacional	(BNCC,	2018).
FIGURA 18 – COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
TÓPICO 2 — CONTEXTO HISTÓRICO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
31
FONTE: BNCC (2018, p. 267)
A	 formação	 do	 Psicopedagogo	 Institucional	 prevê	 intervenções	 no	
rendimento	escolar	dos	alunos.	Desse	modo,	sua	atuação	impacta	nos	desafios	
do	processo	de	ensino	e	aprendizagem	nos	alunos	que	apresentam	déficits	de	
aprendizagem	causados	por	dificuldade	ou	transtornos.	Para	tanto,	há	necessidade	
do	psicopedagogo	conhecer	os	documentos	que	norteiam	o	trabalho	pedagógico	
desenvolvido pelos professores. Principalmente em conhecer as competências 
preconizadas pela BNCC e conectar sua intervenção, possibilitando ações que 
interligue	as	atividades	com	a	vida	cotidiana	dos	alunos.
No	 processo	 do	 desenvolvimento	 da	 Construção	 Lógico-Matemática,	
o	 Psicopedagogo	 Institucional	 poderá	 observar	 as	 competências	 específicas	
do	 ensino	de	matemática,	 e	 auxiliar	 no	desenvolvimento	 integral	 do	 aluno.	A	
formação	 humana	 ocorre	 de	 forma	 integral	 ao	 longo	 da	 existência	 humana,	
pressupõe uma trajetória social e individual precedida de valores, formas de 
pensar,	escolhas,	preferências	e	habilidades.	Segundo	Weffort,	Andrade	e	Costa	
(2019,	 p.	 16),	 a	 Educação	 Integral	 pretende	 “[...]	 garantir	 o	 desenvolvimento	
humano	em	todas	as	suas	dimensões:	intelectual,	física,	afetiva,	social	e	cultural”.
A	Educação	Integral	intenciona	o	desenvolvimento	integral	das	pessoas	
nas diversas etapas de sua vida, nas propostas educativas o aluno passa a ser o 
centro,	e	aprendizagem	entendida	como	resultado	das	relações	do	aluno	com	
o meio em que vive, com os outros e os objetos do conhecimento. Além disso, 
pretende	desenvolver	um	enfoque	multidimensional	e	integrador,	que	estimule	
32
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
os	alunos	a	pensarem,	sentirem,	comunicarem-se,	experimentarem	e	a	desco-
brirem o meio em que vivem, as conexões e os sistemas a partir dos métodos, 
códigos	e	linguagens	das	diferentes	áreas	do	conhecimento	(WEFFORT;	AN-
DRADE; COSTA ,	2019).
A BNCC consiste no documento que norteará os trabalhos pedagógicos 
desenvolvidos na escola. Dessa forma, os planejamentos dos professores, reorganização 
do PPP e formação continuada serão embasadas nas dez competências e áreas do 
conhecimento no documento. Para saber mais, acesse: http://basenacionalcomum.mec.
gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf> e leia a Base na íntegra.
DICAS
33
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 Na	primeira	metade	do	século	XX,	mais	precisamente	entre	os	anos	de	1940	e	
1950,	nessa	época	a	escola	primária	destacava	a	preparação	da	criança	para	a	
vida, onde as disciplinas deveriam se relacionar com os fatos e situações da vida.
•	 Os	 anos	 de	 1960	 e	 1970	 trouxeram	 transformações	 no	modo	 de	 conceber	 o	
ensino	matemático,	como	reflexo	do	movimento	da	matemática	moderna.	
•	 O	ensino	após	a	década	de	1980	se	formalizou	fundamentado	nas	críticas	ao	
movimento	 da	matemática	moderna,	 onde	documentos	 salientavam	 críticas	
referentes	ao	trabalho	apoiado	na	linguagem	simbólica	dos	conjuntos.	
•	 Na	 década	 de	 1990	 com	 a	 Lei	 de	Diretrizes	 e	 Bases	 da	 Educação	Nacional	
(LDB	9394/96)	ocorreu	uma	ampla	discussão	curricular	no	sistema	educacional	
brasileiro.
•	 A	 Base	 (BRASIL,	 2018)	 aponta	 conhecimentos,	 competências	 e	 habilidades	
esperados	no	desenvolvimento	dos	alunos	ao	longo	da	Educação	Básica,	com	
principal	foco	na	formação	integral	para	a	construção	de	uma	sociedade	justa,	
democrática e inclusiva.
•	 A	promulgação	da	BNCC	norteará	a	organização	dos	currículos	na	Educação	
Básica nas diversas redes de ensino a considerar o público e o privado. 
Apresenta	dez	competências	gerais	que	preconizam	os	direitos	a	aprendizagem	
e desenvolvimento.
•	 As	 competências	 gerais	 estão	 organizadas	 em	 dez	 proposições	 que	 se	
relacionam e desdobram nas três etapas da Educação Básica, considerando a 
Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio.
• A BNCC prevê para o ensino de matemática no Ensino Fundamental a articu-
lação	de	diversos	campos	como	a	aritmética,	álgebra,	geometria,	estatística	e	
probabilidade. 
•	 Há	necessidade	do	psicopedagogo	conhecer	os	documentos	que	norteiam	o	tra-
balho	pedagógico	desenvolvido	pelos	professores.	Principalmente	em	conhecer	
as competências preconizadas pela BNCC e conectar sua intervenção, possibili-
tando	ações	que	interligue	as	atividades	com	a	vida	cotidiana	dos	alunos.
•	 O	Psicopedagogo	Institucional	poderá	observar	as	competências	específicas	do	
ensino	de	matemática,	e	auxiliar	no	desenvolvimento	integral	do	aluno.
34
1	 Ao	 longo	 dos	 anos	 o	 processo	 de	 ensino	 e	 aprendizagem	 dos	 números	
naturais e das operações sofreu alterações conforme o desenvolvimento da 
sociedade, estudos e os resultados das práticas em sala de aula. Faça um 
quadro-resumo	sobre	as	principais	características	do	processo	de	ensinoe	
aprendizagem	da	matemática	em	cada	período.
AUTOATIVIDADE
1940 e 1950 1960 e 1970 Após a década de 1980
2 A BNCC destaca conhecimentos, competências e habilidades esperados no 
desenvolvimento dos alunos no decorrer da Educação Básica, com objetivo 
na	formação	 integral	na	construção	de	uma	sociedade	 justa,	democrática	
e inclusiva. Desta forma, em relação ao ensino de matemática no Ensino 
Fundamental prevê a articulação de diversos campos como a aritmética, 
álgebra,	geometria,	estatística	e	probabilidade.	Analise	sobre	as	característi-
cas	do	ensino	de	matemática	para	o	Ensino	Fundamental	segundo	a	BNCC	
e	classifique	V	para	as	sentenças	verdadeiras	e	F	para	as	falsas:
(			)	 O	 documento	 pretende	 desenvolver	 as	 habilidades	 relacionadas	 as	
formas	de	organização	da	aprendizagem	matemática	fundamentadas	na	
análise da vida cotidiana.
(			)	 O	documento	prevê	o	uso	dos	conhecimentos	científicos	no	cotidiano	dos	
alunos,	para	que	 consigam	resolver	 seus	problemas	 isentos	das	outras	
áreas do conhecimento.
(			)	 O	 documento	 aponta	 os	 processos	 matemáticos	 para	 resolução	 de	
problemas,	investigação,	desenvolvimento	de	projetos	e	modelagem	no	
decorrer do Ensino Fundamental.
(			)	 O	 documento	 associa	 os	 processos	 matemáticos	 ao	 desenvolvimento	
das competências fundamentais para o letramento matemático e o 
pensamento computacional.
35
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a)	(			)	 F	-	F	-	V	-	V.
b)	(			)	 F	-	V	-	V	-	V.
c)	(			)	 V	-	V	-	F	-	F.
d)	(			)	 V	-	F	-	V	-	V.
3	 No	trabalho	docente,	entendido	como	atividade	pedagógica	do	professor,	
buscam-se	 os	 seguinte	 objetivos	 primordiais:	 assegurar	 aos	 alunos	 o	
domínio	mais	seguro	e	duradouro	possível	dos	conhecimentos	científicos;	
criar as condições e os meios para que os alunos desenvolvam capacidades 
e habilidades intelectuais de modo que dominem métodos de estudo e de 
trabalho	intelectual,	visando	à	sua	autonomia	no	processo	de	aprendizagem	
e independência de pensamento; orientar as tarefas de ensino para 
objetivos educativos de formação da personalidade, isto é, ajudar os alunos 
a escolherem um caminho na vida, a terem atitudes e convicções que 
norteiem suas opções diante dos problemas e das situações da vida real. 
FONTE: LIBÂNEO, J. C. Didatica. 2 ed. São Paulo: Cortez, 2013, p. 75 (adaptado).
Com	base	no	texto,	avalie	entre	as	afirmações	a	seguir,	as	que	se	referem	a	
concepções que devem pautar o trabalho docente na Educação Infantil, e nos 
anos iniciais do Ensino Fundamental.
I-	 Os	métodos	e	procedimentos	didáticos	são	técnicas	de	ensino	que	devem	
ser	aplicadas	com	o	mínimo	de	alterações	durante	a	trajetória	profissional	
do	professor,	para	que	se	assegure	o	domínio	dos	conhecimentos	científicos	
pelos alunos.
II-	 Na	 atividade	 pedagógica,	 o	 professor	 deve	 relacionar	 a	 aprendizagem	
de conhecimentos e o desenvolvimento de habilidades pelos alunos às 
convicções e ações deles frente à realidade, o que evidencia a dimensão 
educativa no processo do ensino escolar.
III-	As	preocupações	 com	métodos	de	 estudo	 e	de	 aprendizagem	estão	no	
âmbito	das	 responsabilidades	dos	alunos,	ao	passo	que	as	 formulações	
sobre métodos de ensino e de avaliação são incumbências do professor.
IV-	O	 trabalho	 docente	 compreende	 ensino,	 aprendizagem	 ativa	 de	
conhecimentos e desenvolvimento de habilidades e competências por 
parte	 dos	 alunos,	 o	 que	 demonstra	 a	 relação	 dinâmica	 e	 indissociável	
entre professor, aluno e conteúdo. 
Assinale a alternativa CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
b)	(			)	 As	sentenças	II	e	IV	estão	corretas.
c)	(			)	 As	sentenças	I,	III	e	IV	estão	corretas.	
d)	(			)	 Somente	a	sentença	II	está	correta.	
36
37
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS 
NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
1 INTRODUÇÃO
Prezado	acadêmico,	neste	tópico	estudaremos	alguns	conceitos	matemá-
ticos	relacionados	aos	números	e	às	operações.	Você	pode	questionar	sobre	a	uti-
lidade	desses	estudos	para	sua	atuação	como	Psicopedagogo	Institucional,	e	com	
certeza	a	resposta	será,	de	modo	imprescindível	para	o	atendimento	das	crianças.	
Pense	bem!	Para	que	possamos	atuar	com	coerência	numa	determinada	área,	há	a	
necessidade de conhecermos bem seus pressupostos. Somente dessa forma con-
seguiremos	compreender	a	situação	e	elaborar	estratégias	de	ação.	
Nesse	 sentido	 apresentaremos	 os	 princípios	 dos	 números	 naturais	
e do sistema decimal, enquanto saberes relevantes para a compreensão dos 
aprendizados	escolares	desenvolvidos	com	as	crianças.	Em	seguida,	estudaremos	
as operações com números naturais, a adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Apresentamos,	segundo	a	autora	Smole	(2013)	sugestões	de	trabalho	na	versão	
passo a passo, para que as crianças compreendam as estruturas de cada operação. 
Visto	que,	muitas	vezes,	os	professores	acabam	por	trabalhar	de	forma	automática	
e memorizada, saltando as etapas para a devida compreensão dos processos de 
cada situação matemática.
2 OS NÚMEROS NATURAIS E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
DECIMAL
O linguista	 e	matemático	 alemão	Hermann	Grassmann	 (1809-1877)	 na	
década	de	 1860,	 apresentou	que	 “[...]	muitos	 fatos	da	 aritmética	poderiam	 ser	
derivados	de	fatos	mais	básicos	sobre	operação	de	sucessor	e	indução”	(PIRES,	
2013,	s.p.).	Em	1881,	o	norte-americano	Charles	Sanders	Peirce	(1839-1914)	sugeriu	
uma forma de axiomatização da aritmética de números naturais. O alemão Richar 
Dedekind	 (1831-1916)	 em	 1888,	 indicou	 uma	 coleção	 de	 axiomas	 referentes	
aos	 números,	 e	 no	 ano	 seguinte	 o	matemático	 italiano	Giuseppe	Peano	 (1858-
1932)	publicou	uma	versão	reformulada	das	anteriores,	na	obra	Os princípios da 
aritmética apresentadas por um novo método.
38
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Segundo	Pires	(2013),	os	axiomas	de	Peano	conceituam	as	propriedades	
aritméticas de números naturais, representadas como o conjunto N. Indicam que 
Zero	é	um	número	natural.	Que	se	n é um número natural, então o sucessor de n 
também será um número natural. Zero não será o sucessor de nenhum número 
natural.	 Quando	 existem	 dois	 números	 naturais	 n e m são o mesmo número 
natural. O Zero pertence a um conjunto, dado um número natural qualquer, o 
sucessor desse número também pertencerá a esse conjunto, e todos os números 
naturais pertencem a esse conjunto. 
Há	outras	definições	dos	números	naturais	que	precisam	ser	estudadas	
como, todo número natural dado apresenta um sucesso, que seria o número 
após o número dado, incluindo o Zero. Dessa forma, com base nesses axiomas 
podemos considerar que, se m é um número natural, seu sucessor seria m +	1.	O	
sucessor	de	0	é	1,	o	sucessor	de	1	é	2.	1	e	2	constituem	números	consecutivos,	e	se	
o número natural m é diferente de Zero,o antecessor de m é m -	1.
O	sistema	de	numeração	decimal	“[...]	é	um	conjunto	de	princípios	que	
constitui	o	artifício	lógico	de	classificação	em	grupos	e	subgrupos	das	unidades	
que	formam	os	números”	(PIRES,	2013,	s.p.).	A	base	de	um	sistema	de	numeração	
seria uma certa quantidade de unidades que formam uma unidade de ordem 
imediatamente superior. Os sistemas de numeração apresentam sua denominação 
derivada da sua base, como o sistema binário possui base 2, o sistema septimal a 
base	7	e	o	sistema	decimal	a	base	10.	
De	acordo	com	Pires	(2013),	o	princípio	fundamental	do	sistema	decimal	
consiste nas dez unidades de uma ordem qualquer que formam uma unidade 
de ordem imediatamente superior. Após as ordens, as unidades constitutivas 
dos	números	formam	grupos	em	classes,	e	cada	classe	possui	três	ordens.	Cada	
ordem apresenta uma denominação especial, idêntica à denominação das mesmas 
ordens em outras classes.
FIGURA 19 – ORDENS E CLASSES
FONTE: <https://www.todamateria.com.br/sistema-de-numeracao-decimal/>. Acesso em: 10 
dez. 2020.
A primeira classe das unidades possui as ordens das centenas, dezenas 
e unidades. A primeira ordem da primeira classe, a ordemdas unidades, 
corresponde	aos	números	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8	e	9.	A	segunda	ordem	da	primeira	
classe,	 ordem	 das	 dezenas,	 considera	 os	 números	 10	 (uma	 dezena),	 20	 (duas	
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
39
dezenas),	 30	 (três	 dezenas),	 40	 (quatro	 dezenas),	 50	 (cinco	 dezenas),	 60	 (seis	
dezenas),	 70	 (sete	 dezenas),	 80	 (oito	 dezenas)	 e	 90	 (nove	 dezenas),	 cada	 um	
desses números possui dez vezes o número correspondente na ordem anterior. A 
terceira ordem da primeira classe, a ordem das centenas diz respeito aos números 
que	 correspondem	 de	 uma	 centena	 a	 nove	 centenas,	 100,	 200,	 300,	 400,	 500,	
600,	700,	800	e	900,	cada	um	desses	números	representam	dez	vezes	o	número	
correspondente na ordem anterior.
A	segunda	classe,	a	classe	dos	milhares,	abrange	a	quarta,	quinta	e	sexta	
ordens, respectivamente representam a ordem das unidades de milhar, das 
dezenas de milhar e das centenas de milhar. As denominações advêm de nomes 
dos	 números	 da	 primeira	 classe,	 seguidos	 de	milhares.	Desta	 forma,	 a	 quarta	
ordem	(unidades	de	milhar)	corresponde	a	1.000	(ou	um	milhar),	até	o	9.000;	a	
quinta	ordem	(dezenas	de	milhar)	inicia	em	10.000	e	prossegue	a	90.000;	a	sexta	
ordem	(centenas	de	milhar)	de	100.000	a	900.000.	A	terceira	classe	seria	a	classe	
dos milhões, a quarta classe dos bilhões, a quinta classe dos trilhões, a sexta dos 
quatrilhões	e	assim	prossegue.	
FIGURA 20 – DECOMPOSIÇÃO DO NÚMERO 359.285
FONTE: <https://giareta.blogspot.com/2011/06/matematica-conteudo-ordens-e-classes.html>. 
Acesso em: 10 dez. 2020.
Na	leitura	de	um	número	com	muitos	algarismos,	os	agrupamos	de	3	em	
3,	a	partir	da	direita,	para	identificar	as	classes	e	ordens	que	o	compõem.	Observe	
o	exemplo:	359.285,	lemos	trezentos	e	cinquenta	e	nove	mil	e	2	duzentos	e	oitenta	
e cinco. 
40
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
As	práticas	que	envolvem	o	processo	de	ensino	e	aprendizagem	de	nú-
meros	e	operações,	assim	como	suas	intervenções	psicopedagógicas	inferem	na	
busca	de	um	equilíbrio	entre	os	alunos	realizarem	as	contas	e	a	compreensão	
dos	procedimentos	utilizados.	De	acordo	com	Smole	(2013),	“para	que	isso	ocor-
ra, é necessário partir dos conhecimentos prévios das crianças, pois elas conhe-
cem	os	rudimentos	das	operações	antes	mesmo	de	entrar	na	escola”	(SMOLE,	
2013,	p.	20).	Ou	seja,	no	cotidiano	as	crianças	dividem	balas,	brinquedos	e	ou-
tros materiais entre si, demonstrando que já sabem juntar quantidades e dividir 
em	partes	iguais.	
A criança memoriza a sequência dos primeiros números naturais, 
excluindo	o	zero.	A	partir	dessa	premissa,	percebe-se	que	a	criança	possui	um	certo	
conhecimento e cabe a escola sistematizar esses saberes em busca da construção 
do pensamento matemático. Nesse sentido, o trabalho relacionado a matemática 
desenvolvido	na	escola	precisa	transcender	a	ênfase	no	ensino	dos	algoritmos	e	
as	propriedades	das	operações,	mas	enfatizar	sua	compreensão	(SMOLE,	2013).
[...]	é	importante	que	seja	estimulada	a	criar	suas	técnicas	e	discuti-las	
com	o	grupo,	trabalhando	assim	sua	capacidade	de	comunicação	e	de	
ouvir o outro, além de estimular sua criatividade, o que é fundamental 
para	o	pensamento	matemático	(SMOLE,	2013,	p.	22).
Apresentaremos	 uma	 análise	 de	 técnicas	 e	 tecnologias	 referentes	 às	
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão utilizadas no ensino da 
matemática.	Destacamos	que	o	estudo	buscou	em	Smole	(2013)	seus	fundamentos,	
em	que	revela	de	modo	ascendente	o	desenvolvimento	nos	livros	didáticos	antigos	
e	atuais,	de	atividades	sugeridas	para	o	ensino	da	matemática.	Nos	atendimentos,	
é	importante	o	Psicopedagogo	Institucional	conhecer	as	sugestões	de	ensino	para	
os alunos nas escolas, e assim nas próximas unidades pensar sobre sua atuação 
nas	intervenções	psicopedagógicas	relacionadas	a	construção	lógico-matemática.
3.1 ADIÇÃO
A adição consiste na principal entre as quatro operações básicas, sendo 
que as demais decorrem dela, em particular a subtração com sutil conexão entre 
seus conceitos, que formam um campo denominado de campo conceitual aditivo. 
Dessa forma, o trabalho desenvolvido deve considerar esses dois elementos, para 
que o aluno compreenda seu conceito. 
Na	 década	 de	 1980,	 o	 ensino	 para	 os	 alunos	 do	 2º	 ano	 do	 Ensino	
Fundamental, considerava a apresentação da adição de números de dois 
algarismos,	com	a	apresentação	de	um	modelo.	Depois,	o	livro	trazia	exercícios	
semelhantes	ao	modelo,	para	que	os	alunos	o	reproduzissem,	segundo	as	etapas	
demonstradas que deveriam ser efetuadas.
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
41
FIGURA 21 – MODELO QUE REPRESENTA A TÉCNICA EMPREGADA NA RESOLUÇÃO DA 
ADIÇÃO
FONTE: Smole (2013, p. 23)
Os	 livros	 didáticos	 da	 época	 apresentavam	 uma	 hierarquia	 de	 níveis	
de	 dificuldades,	 que	 objetivavam	 facilitar	 a	 progressão	 do	 aprendizado	 nos	
alunos	por	meio	de	pequenos	passos.	Nessa	organização	didática	ainda	haveria	
atividades complementares, para que o aluno exercite o trabalho com a técnica, 
seguida	de	alguns	problemas	de	adição.
FIGURA 22 – 'VAI UM'
FONTE: Smole (2013, p. 26)
Outra	forma	encontrada	diz	respeito	ao	“vai	um”,	quando	o	aluno	para	
efetuar	as	adições	 transporta	para	os	pequenos	círculos	as	centenas	e	dezenas.	
Esse	 tipo	 de	 abordagem	 caracteriza-se	 numa	 organização	 didática	 tecnicista,	
com ênfase no trabalho com a técnica, sustentada por meio de passos isentas da 
experimentação e teorização. 
Há outras formas de abordar o ensino da adição de números de dois ou 
mais	algarismo,	com	o	uso	do	quadro	de	valor	de	 lugar,	material	dourado	e	o	
ábaco	de	pinos.	Todavia,	 alguns	utilizavam	desprezando	a	 articulação	 entre	o	
material e a sistematização do conteúdo, para que os alunos compreendessem 
seu	processo	de	forma	integrada.
Os alunos necessitam compreender o sistema de numeração decimal, 
o	 que	 inicia	 com	 o	 entendimento	 do	 valor	 posicional	 dos	 algarismos	 para	 a	
materialização de uma operação. 
42
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Ao se trabalhar a adição de números com duas ou mais ordens, é 
necessário um retorno à discussão sobre o valor posicional, ou seja, 
realiza-se	 um	 trabalho	 em	 espiral	 que	 permite	 a	 apreensão	 desse	
conceito. Assim, um conceito já visto é retomado, não como repetição 
do	que	já	foi	falado,	mas	ampliando-se	o	campo	de	estudo.	Retoma-se,	
dessa	forma,	a	discussão	sobre	o	valor	posicional,	agora	trabalhando	
um	número	com	dois	ou	mais	algarismo	e	realizando	uma	operação	
entre	eles	(SMOLE,	2013,	p.	27).
Na realização das atividades de matemática, podem ser utilizados 
materiais variados para contribuir na aquisição dos conceitos pelas crianças, 
como	 tampas	 de	 garrafas	 ou	 pedrinhas,	material	 dourado,	 quadro	 de	 valor	 e	
lugar	 até	 o	 ábaco.	 Sendo	 que	 esses	 dois	 últimos	materiais	 são	 indicados	 para	
construir	com	os	alunos	o	algoritmo	de	adição.	O	uso	do	quadro	de	valor	e	lugar,	
também	chamado	de	sapateira,	auxilia	na	compreensão	do	significado	“vai	um”.	
Para	o	trabalho	com	o	sistema	de	numeração	decimal	pode-se	utilizar	da	seguinte	
atividade,	indicada	por	Smole	(2013,	p.	28-29):
O aluno recebe uma quantidade de material, canudos, por exemplo, a ser 
colocado	na	“sapateira”,	de	acordo	com	a	seguinte	regra:	inicia-se	colocando	
material	na	posição	das	unidades,	 e	 coloca-se	no	máximo	9	 canudos	nessa	
posição.	Se	ainda	sobrou	material,	entra	aí	a	regra	de	nunca	10.	Ao	se	colocar	
mais	um	canudo	na	posição	das	unidades,	obtém-se	10,	o	que	não	é	permitido,	
e	então	junta-se	esses	10	canudos,	amarrando-os	com	um	elástico,	e	passa-se	
esse	“amarradinho”	para	a	posição	das	dezenas.	Em	seguida,	 continuamos	
colocando	canudos	na	posição	das	unidades,	até	obter	10	canudos	e	repetimos	
o	procedimento.	A	mesma	regra	é	válida	para	as	outras	posições:	ao	se	obter	10	
amarradinhos na posiçãodas dezenas, eles são novamente reunidos, usando 
um elástico, e colocados na posição das centenas, e assim por diante. Esse 
procedimento,	de	deixar	amarrados	os	montes	de	10,	é	interessante	pelo	fato	de	
as	crianças,	ao	olharem	a	“sapateira”,	perceberem	que,	se	temos	7	amarradinhos	
na	posição	das	dezenas,	eles	representam	7	grupos	de	10,	ou	seja,	70	unidades.	
O	 trabalho	 com	 a	 sapateira	 oportuniza	 evoluir	 gradativamente	 até	 chegar	
ao	quadro	valor	de	lugar	feito	no	quadro	negro.	Esse	mesmo	procedimento	
será	útil	 ao	 se	efetuar	uma	adição,	por	exemplo,	17	+	15.	Cada	quantidade	
é	 representada	 em	uma	fileira	no	quadro	valor	de	 lugar;	 ao	 se	 adicionar	 7	
com	5,	obtém-se	12	canudos	e,	então	podemos	deixar	somente	2	na	posição	
das	 unidades	 e	 passar	 10	 canudos	 amarrados	 para	 a	 posição	 das	 dezenas.	
Eis	o	famoso	“vai	um”!	É	importante	observar	que,	nesse	momento,	mesmo	
se a criança não começar somando pela posição das unidades, o resultado 
será o mesmo, pois ela somará 1 dezena com 1 dezena e obterá 2 dezenas, a 
serem	colocadas	na	posição	das	dezenas;	em	seguida,	passará	às	unidades	e	
então	procederá	como	já	explicado.	O	professor	não	deve	obrigar	a	criança	a	
começar	pela	direita,	ou	seja,	aceitar	a	regra	sem	sequer	ter	experimentado	a	
dificuldade	de	outros	procedimentos;	 é	 interessante,	 ao	 contrário,	 oferecer,	
pouco a pouco, situações em que a própria criança perceba que, começando 
pela posição das unidades, seu trabalho diminuirá e será mais prático, pois 
não precisa ir e vir entre as posições das unidades, dezenas e centenas, como 
seria	o	caso	se	a	operação	proposta	fosse	67	+	95,	ou	ainda,	265	+	378.
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
43
A decomposição de um número em unidades, dezenas e centenas serve de 
para calcular o resultado de uma adição. Por exemplo, para encontrar o resultado 
da	seguinte	adição	45	+	32	se	utiliza	o	material	dourado.	Assim,	a	criança	poderá	
colocar as unidades com unidades e dezenas com dezenas. Para pronunciar o 
resultado, observará que tem 7 dezenas e 7 unidades, que infere no resultado 
de	77.	Quando	alteramos	as	parcelas	para	45	+	38,	a	criança	ao	 juntar	unidade	
com unidade, dezena com dezena, obterá 7 dezenas e 13 unidades. Assim como 
não	poderá	ter	um	grupo	com	dez	ou	mais	elementos	na	mesma	posição	(regra	
“nunca	dez”),	será	obrigada	a	efetuar	uma	troca:	as	dez	unidades	(dez	cubinho	
pequenos)	 por	 uma	 dezena	 (uma	 barra).	 Dessa	 forma,	 a	 criança	 conseguirá	 8	
dezenas e 3 unidades, o resultado da operação será 83. 
Atividades	desse	tipo	realizadas	repetidamente	com	grau	de	dificuldade	
sendo	avançado	sistematicamente,	favorece	na	criança,	a	construção	do	algoritmo,	
pois são adicionadas unidades com unidades, dezenas com dezenas, e assim por 
diante.	Cada	vez	que	a	criança	possui	um	grupo	de	dez	terá	que	trocar	por	um	
elemento	da	ordem	imediatamente	superior,	 instigando	o	desenvolvimento	do	
cálculo mental.
3.2 SUBTRAÇÃO
Na	operação	de	subtração	a	dificuldade	aparece	no	momento	de	efetuar	
a adição com reserva, em como preparar o minuendo da subtração, conhecida 
como	“empresta	um”.	Diante	disso,	os	livros	didáticos	apresentam	a	subtração	
sem	reservas	e	depois	a	com	reservas.	Houve	um	período	em	que	os	livros	traziam	
pontinhos	para	escrever	o	minuendo	“preparado”	para	a	subtração,	conhecido	
como	“empresta	um”,	ou	algoritmo	de	compensação.	Como	no	exemplo	de	35	-17	
com a técnica dos pontinhos. 
44
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
FIGURA 23 – 'EMPRESTA UM' COM A TÉCNICA DOS PONTINHOS
FONTE: Smole (2013, p. 31)
No	exemplo,	o	ponto	colocado	ao	lado	do	algarismo	5	passou	a	valer	15	
unidades	e	o	ponto	colocado	ao	lado	do	algarismo	1	valeu	2	dezenas.	Tal	técnica	
se fundamenta na propriedade do acréscimo a mesma quantidade ao minuendo e 
ao subtraendo o resultado da subtração não sofrerá alteração. Assim, ao invés de 
efetuar	35	-	17,	a	operação	passou	a	ser	calculada	como	45	(35	+	10)	-	27	(17	+	10).
Para	Smole	(2013,	p.	32),	“o	algoritmo	mais	conhecido	para	se	efetuar	a	
subtração	é	aquele	em	que	são	feitas	trocas”.	Dessa	forma,	a	expressão	“empresta	
um” passa a ser inadequada, sendo que quando efetuamos a operação não ocorrem 
empréstimos, e sim uma decomposição de dezenas em unidades, centenas em 
dezenas e assim por diante. Para subtrair 13 de 21 necessitamos retirar 3 unidades 
de	 1	unidade,	 o	 que	não	 será	possível,	 então	 afirmamos	que	o	minuendo	não	
estava	'preparado'	para	a	subtração,	havendo	a	necessidade	de	“prepará-lo”.	Tal	
preparação ocorre com a tomada de uma dezena entre as duas que compõem o 
21,	trocando	por	10	unidades.	
Com o uso do material dourado essa operação seria representada da 
seguinte	forma,	o	21	com	duas	barras	que	representam	a	dezena	e	um	cubinho	que	
representa a unidade. Desse total se retira uma barra de dezena e três cubinhos 
de	unidade,	 e	 como	não	há	 cubinhos	 suficientes,	 faz-se	 necessário	 a	 troca	 (ou	
decomposição)	de	uma	barra	por	dez	cubinhos	(uma	dezena	transformada	em	
dez	 unidades).	Após	 esse	 processo,	 inicia-se	 a	 subtração	 e	 com	 o	 resultado	 a	
percepção de que não ocorreram empréstimos, mas sim trocas. 
O trabalho de subtração inicia com o material dourado, depois transposto 
para	 a	 sapateira,	mais	 tarde	 para	 o	 quadro	de	 valor	 e	 lugar	 e,	 por	 último,	 ao	
algoritmo.	Sempre	que	for	utilizado	material	sensorial	para	realizar	as	operações,	
recomenda-se	 transpor	para	 o	papel,	 escrevendo	os	procedimentos	 que	 foram	
efetuados.	Dessa	forma,	o	aprendizado	sobre	os	algoritmos	será	construído	pelas	
crianças,	na	compreensão	do	fazer	com	o	registro	das	operações.	
Aconselhamos,	segundo	Smole	(2013),	a	utilizar	o	material	sensorial	como	
o	material	dourado	e	a	sapateira,	na	construção	do	algoritmo.	Mais	especifica-
mente,	iniciar	o	processo	com	problemas	em	que	surge	a	necessidade	de	se	efetu-
ar	trocas	(subtração	sem	reservas).	Depois,	gradativamente	se	avança	para	outros	
casos,	como	25	-	9,	no	uso	do	material	dourado	a	criança	terá	duas	barras	de	10	
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
45
unidades cada uma e cinco cubinho de uma unidade, que será retirado as nove 
unidades,	para	 isso	é	necessário	 trocar	uma	barra	de	10	unidades	por	10	cubi-
nhos,	somente	então	conclui-se	o	cálculo.	Observe	o	exemplo	desenvolvido	por	
Smole	(2013,	p.	34):
Colocam-se	na	sapateira	dois	grupos	de	10	canudos	amarrados	no	lugar	da	
dezena,	e	cinco	canudos	na	posição	das	unidades.	Na	fila	de	baixo,	colocam-
se nove canudos na posição das unidades. Para se efetuar a subtração, será 
necessário	soltar	um	amarradinho	de	10	canudos	e	colocá-lo	na	posição	das	
unidades.	 Assim,	 após	 repetir	 esses	 procedimentos,	 o	 algoritmo	 poderá,	
pouco a pouco, ser introduzido, sem que seja uma construção arbitrária e 
sem	sentido	para	os	alunos.	O	trabalho	com	a	sapateira	deve	ser	seguido	do	
trabalho	no	quadro-negro,	com	o	quadro	valor	de	lugar.	Vejamos	como	fica,	
no	exemplo	acima,	a	representação	no	quadro	valor	de	lugar	do	procedimento	
efetuado:
O	Princípio	Fundamental	da	Subtração	se	 fundamenta	na	validação	do	
problema	resolvido,	assim,	em	uma	subtração	de	dois	números	naturais,	soma-se	
a	diferença	ao	subtraendo	para	obter-se	o	minuendo.
FIGURA 24 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA SUBTRAÇÃO
FONTE: Smole (2013, p. 35)
46
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Enfim,	 para	 que	 a	 criança	 entenda	 o	 sistema	 de	 numeração	 decimal,	
há necessidade de se apresentar problemas variados que envolvam adição e 
subtração.	 Esses	 problemas	 conhecidos	 como	 “problemas	 do	 campo	 aditivo”	
auxiliam na compreensão dos alunos sobre a utilidade prática das operações.
3.3 MULTIPLICAÇÃO
Com relação à multiplicação há duas ideias principais que envolvem seus 
processos, a tabuada e a soma de parcelas repetidas. Sendo que a noção de adição 
de	parcelas	iguais	e	a	multiplicação	estão	associadas	ao	raciocínio	combinatório.	
Ambos	 interagemna	 compreensão	dos	 alunos	das	 operações	 que	 envolvem	a	
multiplicação, para que diante de um problema saibam como utilizar seus 
conhecimentos	(SMOLE,	2013).
Naturalmente,	as	técnicas	e	os	algoritmo	da	multiplicação,	assim	como	nas	
operações anteriores, necessitam que os alunos construam com a manipulação de 
material concreto, como o material dourado, a sapateira e o quadro de valor e 
lugar.	Para	tanto,	precisam	ser	consideradas	situações	elaboradas	que	permitam	
aos	alunos,	a	descoberta	de	regularidades,	como	em	3	x	4	o	mesmo	que	4	+	4	+	4.	O	
algoritmo	da	multiplicação	e	as	técnicas	de	cálculo	serão	construídas	a	partir	do	
conhecimento	do	aluno	sobre	os	algoritmos	e	as	técnicas	de	adição,	que	precisam	
ser retomadas nesse momento de aprendizado. 
De	acordo	com	Smole	(2013),	a	construção	do	algoritmo	da	multiplicação	
necessita desenvolver um passo a passo com a criança, para que compreenda 
a	operação	 em	 sua	 constituição.	Uma	 ideia	de	 construção	do	algoritmo,	 como	
exemplo, seria o cálculo de 12 x 8 na decomposição do 12 unidades e dezenas, ou 
seja,	10	+	2.
FIGURA 25 – CONSTRUÇÃO DO ALGORITMO POR DECOMPOSIÇÃO
FONTE: Smole (2013, p. 40)
A resolução ocorre a partir da análise do resultado obtido a cada 
multiplicação.	Inicia-se	com	a	cálculo	de	8	x	2,	com	o	resultado	16	que	significa	
uma	dezena	e	seis	unidades,	sendo	que	8	x	10	significa	oito	dezenas.	Ao	somarmos	
as dezenas com dezenas e unidades com unidades, obtém nove dezenas e seis 
unidades. Esse tipo de procedimento repetido com outros números, permite que 
a criança compreenda que essa operação poderá ser resolvida também utilizando 
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
47
de	8	x	2	=	16,	que	representa	uma	dezena	e	seis	unidades,	onde	o	6	na	posição	das	
unidades	e	a	dezena	será	guardada	para	adicionar	ao	resultado	de	8	x	1	dezena	
(ou	8	x	10)	(SMOLE,	2013).
FIGURA 26 – RESOLUÇÃO DA OPERAÇÃO DE MULTIPLICAÇÃO
FONTE: Smole (2013, p. 40)
FONTE: Smole (2013, p. 41)
Smole	(2013)	afirma	que	essa	técnica	difere	da	anterior	porque	obedece	
a uma posição em que os números deverão ser colocados, como ao efetuar 8 x 
1 ocorre 8 vezes uma dezena, e o resultado será em dezena. Tal procedimento 
permite	que	a	criança	compreenda	o	significado	do	“vai	um”.
FIGURA 27 – RESOLUÇÃO DA MULTIPLICAÇÃO COM SIGNIFICADO “VAI UM”
No	exemplo	da	Figura	27,	o	segundo	procedimento	considerado	rápido	
deverá	ser	usado	somente	quando	a	criança	já	compreendeu	o	significado	do	“vai	
um”	e	o	seu	por	quê.	Ou	seja,	após	multiplicar	o	2	por	125,	passa-se	a	linha	de	
baixo	e	ao	multiplicar	3	dezenas	por	5,	tem-se	15	dezenas,	que	consistem	em	5	
dezenas	e	1	centena.	Por	isso	utiliza-se	o	“zero”	na	posição	das	unidades,	5	na	
posição das dezenas, e a centena que resta deverá ser somada ao resultado de 3 x 
2	(produto	de	dezenas	que	resulta	em	centena).	
Para que as crianças compreendam todas as etapas do cálculo, há 
necessidade de se realizar várias vezes com outros exemplos de números, para 
que	 consigam	 entender	 o	 algoritmo.	 No	 cotidiano	 da	 sala	 de	 aula,	 os	 alunos	
48
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
aprendem,	de	modo	geral,	o	algoritmo	de	forma	automática,	 limitado	a	seguir	
regras,	 como,	 por	 exemplo:	 quando	 passamos	 para	 a	 linha	 de	 baixo,	 sempre	
pulamos	uma	posição.	Quando	a	criança	é	questiona	por	essa	ação,	muitas	vezes	
não sabe explicar o motivo do procedimento. Assim, é necessário explorar com 
os alunos situações onde o número multiplicado por dezena resultará em uma 
dezena	inteira,	sem	aparecer	unidades	menores	do	que	10	nesse	produto,	para	
que o resultado termine sempre em zero. 
Para	Smole	(2013),	desenvolver	o	algoritmo	utilizando	as	regras	favorece	
que contas sejam resolvidas rapidamente, fato importante e necessário futura-
mente	para	a	resolução	de	operações	mais	complexas.	Contudo,	“[...]	por	meio	da	
construção	do	processo,	obriga	o	aluno	a	pensar	mais”	(SMOLE,	2013,	p.	42).	E	de	
acordo	com	a	situação,	o	algoritmo	poderá	ser	uma	ferramenta	para	resolver	os	
problemas, como também um recurso para objeto de estudo. 
3.4 DIVISÃO
A divisão por muito tempo foi apresentada como a última operação a 
aparecer nos livros didáticos, mesmo que as crianças, no cotidiano já efetuam 
divisões	de	objetos	entre	sim,	antes	de	ingressarem	na	escola.	
A escola deve, portanto, partir desse conhecimento prévio da criança 
e	então	construir	o	conceito	de	divisão.	Na	operação	de	divisão,	surge	
um	problema	relacionado	à	língua	natural,	ou	à	língua	falada.	Usamos	
a palavra divisão para dizer, por exemplo, que os seres humanos se 
dividem em homens e mulheres, porém sabemos perfeitamente que o 
número	de	homens	não	é	igual	ao	número	de	mulheres.	Assim,	dividir	
pode	 significar,	 na	 linguagem	 comum,	 classificar,	 separar,	 marcar	
limites	 e	 repartir	 em	 partes	 iguais	 (o	 que	 nem	 sempre	 é	 possível)	
(SMOLE,	2013,	p.	42).
Na	matemática,	a	divisão	aborda	a	ideia	de	dividir	em	partes	iguais,	como	
também	 a	 de	medir.	Na	 escola	 as	 crianças,	 geralmente,	 aprendem	 o	 processo	
sintetizado	da	divisão,	como	por	exemplo:	para	dividir	8	por	4	busca-se	o	número	
que	multiplicado	por	4	apresentará	o	resultado	8	ou	o	mais	próximo	possível	de	8.	
Essa forma de raciocinar não respeita o conhecimento prévio do aluno do modo 
em	que	está	acostumado	a	dividir	os	objetos,	dificultando	sua	compreensão	no	
aprendizado da matemática. 
De	modo	geral,	há	necessidade	de	 se	 construir	os	 resultados	desejados	
a	partir	do	conhecimento	dos	alunos,	 e	no	exemplo	citado,	ao	dividir	8	por	4,	
distribui-se	 igualmente	 um	 para	 cada	 um	 e	 verifica-se	 o	 que	 sobrou.	 Depois,	
dividi-se	esse	resto	novamente	por	quatro	e	assim	por	diante.	Ao	final	do	processo	
quando	o	resto	é	menor	que	o	dividendo,	soma-se	o	que	se	obteve	no	quociente.
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
49
FIGURA 28 – EXEMPLO DE DIVISÃO A PARTIR DO CONHECIMENTO DOS ALUNOS
FONTE: Smole (2013, p. 44)
O exemplo aponta uma técnica utilizada por crianças na divisão de 
quantidades,	 antes	 de	 ingressarem	 na	 escola,	 quando	 dividem	 objetos	 entre	
si. Nesse sentido, o trabalho escolar deveria iniciar o processo de divisão por 
meio desse tipo de atividade, no uso do conhecimento prévio dos alunos, que 
favorecerá	a	construção	do	algoritmo.	
Outro	ponto	a	ser	destacado,	segundo	Smole	(2015),	seria	em	iniciar	os	
trabalhos	com	números	pequenos	e	gradativamente	aumentar	seus	valores,	o	que	
permite aos alunos a construção da técnica de divisão. Ou seja, caso solicite a 
divisão	de	62	por	6,	os	alunos	iniciam	distribuindo	unidade	por	unidade	e	notam	
que	o	processo	fica	lento,	sendo	que	poderiam	dar	mais	do	que	uma	unidade	em	
cada etapa da divisão.
FIGURA 29 – EXEMPLO DE DIVISÃO COM VALORES MAIORES
FONTE: Smole (2013, p. 45)
Após	 algumas	 experimentações	 com	 exemplos	 de	 números	 variados,	
os	alunos	percebem	o	sentido	do	princípio	fundamental	da	divisão.	Aprendem	
a	 observar	 as	 vantagens	 de	 se	 distribuir	 o	 máximo	 de	 centenas	 e	 dezenas	
quando	 houver	 possibilidade.	 Compreendem,	 ainda,	 alguns	 fatos	 que	 devem	
ser observados na divisão de dois números naturais: que o quociente deve ser 
50
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
sempre	menor	ou	igual	ao	dividendo,	não	se	divide	3	por	9,	por	exemplo;	e	que	o	
dividendo	é	igual	ao	produto	do	quociente	pelo	divisor,	e	o	resto	é	zero,	a	divisão	
será exata, como ocorre na divisão de 12 por 3; ainda se a divisão não for exata, o 
resto for diferente de zero, esse deve ser sempre menor que o divisor, por exemplo 
7	dividido	por	2,	dará	3	e	tem	o	resto	1	que	é	menor	do	que	o	2	(SMOLE,	2013).
No trabalho com a divisão, assim como nas outras operações, se faz 
necessário permitir que os alunos elaborem seus conhecimentos, utilizando dos 
seus saberes. Desse modo, eles perceberão que após efetuarem uma divisão, o 
resto	será	maior	ou	igual	ao	dividendo,	e	que	ainda	há	como	continuardividindo.	
A	utilização	do	processo	longo	ou	curto	para	efetuar	as	divisões	são	necessários	
para o aprendizado das crianças. Em suma, o método curto consiste no recurso 
útil	para	fazer	mais	rápido	os	cálculos,	e	o	longo	crucial	para	o	raciocínio	e	sua	
compreensão	(SMOLE,	2013).
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
51
LEITURA COMPLEMENTAR
O USO DO MATERIAL DOURADO NAS OPERAÇÕES ADITIVAS
Autora:	Vaneide	Correa	Dornellas
1ª Atividade – Aproximadamente 60 minutos.
INTRODUZINDO O TEMA: CONHECENDO O MATERIAL DOURADO
 
O	professor	deve	conhecer	a	importância	dos	jogos	e	das	brincadeiras	na	
alfabetização e diante disso, elaborar propostas de trabalho que incorporem o 
máximo	possível	de	atividades	lúdicas.	Porque	brincar	é	essencial	na	aquisição	
de conhecimentos, no desenvolvimento da sociabilidade e na construção de 
sua identidade, nessa faixa etária. É fundamental, pois exerce um papel que vai 
além	da	diversão.	 Por	meio	dos	 jogos	 e	 brincadeiras	 as	 crianças	desenvolvem	
habilidades e enriquecem o seu desenvolvimento intelectual.
O Material Dourado é um recurso usado para explorar a estrutura do 
sistema	de	numeração	 e	 os	 algoritmos	 associados	 às	 quatro	 operações	 básicas	
com	ênfase	no	processo	de	agrupamento,	entre	outros.	Com	o	Material	Dourado	
as	 relações	 numéricas	 abstratas	 têm	 uma	 imagem	 concreta,	 o	 que	 facilita	 a	
compreensão e o aluno pode ter um melhor entendimento da compreensão dos 
algoritmos	e	melhor	desenvolvimento	do	raciocínio.	Quando	a	criança	trabalha	
com o material concreto envolve mais com a situação didática, pois entende o que 
está	fazendo.	Isso	aprimora	a	sua	atenção	e	o	seu	maior	interesse	é	visível.	Dessa	
forma,	aguça	sua	capacidade	de	análise	e	de	síntese	e	de	construção	de	conceitos.
Enquanto a turma trabalha com o Material Dourado, o professor pode 
andar pela classe e perceber como o aluno está entendendo e raciocinando, pode 
acompanhar	seu	raciocínio	e	questioná-lo,	para	que	possa	chegar	à	compreensão	
de um conceito necessário para entender os processos. O professor tem a 
oportunidade de acompanhar as hipóteses dos alunos.
Para essa aula é necessário que tenham o Material Dourado para trabalhar 
em	grupo	de	2	alunos.
Divida	a	turma	em	grupos	e	apresente	o	material	para	os	alunos.
52
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Deixe que os alunos façam o primeiro contato com o material de forma 
lúdica,	explorando-o	de	maneira	livre.	Permita	que	olhem,	peguem,	verifiquem,	
reconheçam,	elaborem	hipóteses	de	agrupamento.	Pergunte	a	eles	como	acham	
que se chamam as diferentes peças. Deixe que atribuam nomes. Observe como 
se relacionam com o material. Nesses momentos de manipulação exploratória 
você pode perceber como o aluno se relaciona e atribui valor às peças, pois, 
normalmente, vão juntando as peças menores para que a peça montada tenha o 
mesmo tamanho da peça maior.
Depois dessa exploração, atribua nomes às peças:
Atribua quantidades às peças:
Se	 em	 sua	 escola	 não	 tiver	 esse	material,	 é	 possível	 produzi-lo,	 apesar	
de que a visão tridimensional da peça dá uma noção melhor ao aluno. Utilize a 
imagem	a	seguir.
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
53
Você	poderá	fazer	em	papel	cartão	ou	papelão	para	durar	mais.	Imprima	
pelo	menos	5	cópias	para	cada	grupo.	Você	mesmo	pode	construir	o	material	ou	
pedir aos alunos que façam.
Peça	aos	alunos	que	façam	os	agrupamentos	dos	cubinhos	formando	as	
barras	(dezenas)	e	das	barras	formando	uma	placa	(centena).
Depois	 que	 eles	 perceberam,	 verbalize	 que	 10	 cubinhos	 formam	 uma	
barra	e	que	10	barras	formam	uma	placa.	Você	não	precisa	dizer,	pergunte	a	eles	
e	os	estimulem	a	chegar	a	conclusões.
• Quantos	cubinhos	eu	preciso	para	formar	uma	barra?
• Quantas	barras	eu	preciso	para	formar	uma	placa?
• Quantos	cubinhos	eu	preciso	para	formar	uma	placa?
• Quantas	unidades	têm	três	barras?
54
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
• Quantas	barras	têm	5	placas?
• Quantas	unidades	têm	2	placas?
• Dentre outras.
 
Professor, explique aos alunos, que há muitos anos atrás, as pessoas 
contavam	 seus	 objetos	 de	 uma	maneira	muito	 simples	 porque	 elas	 possuíam	
poucas	 coisas:	 algumas	 ovelhas	 ou	 bois,	 poucas	 moedas,	 poucos	 objetos.	
Conforme foram evoluindo essas quantidades foram aumentando. Então os 
homens	passaram	a	necessitar	escrever	de	alguma	forma	o	que	tinham	contado.	
Surgiram	as	primeiras	 formas	de	contagem	e	os	Sistemas	de	Numeração.	Para	
ficar	mais	fácil	a	contagem,	convencionou-se	contar	de	dez	em	dez.	Atualmente	
nosso	Sistema	de	Numeração	se	chama	“Decimal”	porque	contamos	de	10	em	
10.	A	cada	objeto	que	contamos	damos	o	nome	de	unidade.	E	a	cada	grupo	de	10	
unidades contadas chamamos 1 dezena.
Explique que é dessa mesma forma que trabalhamos com o Material 
Dourado.	Diga	que	contamos	sempre	de	dez	em	dez	e	isso	significa	que	toda	vez	
que	houver	10	unidades	em	uma	contagem,	fazemos	uma	troca	por	uma	dezena.
Mostre	a	troca	de	dez	cubinhos	por	uma	barra,	faça	o	agrupamento.
E	diga	que	você	precisa	fazer	essa	troca	toda	vez	que	isso	acontecer.
 
2ª Atividade – Aproximadamente 60 minutos.
Jogando e Aprendendo
 
Professor, essa atividade tem como objetivo fazer com que o aluno 
compreenda	o	agrupamento	de	valores.
Para	essa	atividade	é	necessário	que	a	turma	seja	dividida	em	grupos,	de	
no	máximo	4	alunos	e	que	cada	grupo	tenha	uma	caixa	com	o	Material	Dourado.	
É	necessário	também	dois	dados	para	cada	grupo.
 
Diga	aos	alunos	a	regra	principal	do	jogo:	Toda	vez	que	juntar	10	cubinhos	
é	preciso	fazer	a	troca	por	uma	barra	e	quando	completar	10	barras	faz	a	troca	por	
uma placa.
 
1. Os	 alunos	 deverão	 cada	 um	 na	 sua	 vez,	 jogar	 os	 dois	 dados,	 observar	 os	
números	e	somar	o	valor	obtido	na	jogada.
2. O aluno retira da caixa do Material Dourado a quantidade de cubinhos 
correspondentes	à	soma	da	jogada	dos	dois	dados.
3. Toda	vez	que	o	aluno	juntar	10	cubinhos	(unidades)	deve	troca-los	por	uma	
barra	(dezena).	Da	mesma	maneira,	quando	juntar	10	barras	deve	trocar	pela	
placa	(centena).
4.	 Depois	 da	 primeira	 jogada	 dos	 dados,	 os	 alunos	 continuam	 jogando	 e	
somando	os	dados	e	pegando	os	cubinhos,	cada	um	em	sua	vez.
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
55
5. Nas	 jogadas	 os	 alunos	 vão	 juntando	 os	 cubinhos,	 trocando	 por	 barras,	
aumentando	o	número	de	barras	obtidas	até	conseguir	trocar	10	barras	por	
uma placa.
Vence	o	jogo	quem	conseguir	trocar	10	barras	por	uma	placa	ou	quantas	
placas	forem	combinadas	no	início	do	jogo.
Sugestão:	 os	 dois	 dados	 servirão	 para	 fazer	 as	 jogadas.	 Por	 que	 dois?	
Para	que	não	demore	muito	tempo	para	completar	a	centena.	Se	jogar	de	seis	em	
seis	(apenas	um	dado)	demoraria	muito.	E	também	os	alunos	podem	melhorar	o	
raciocínio	automatizando	as	somas	de	1	a	6.	Mas,	mesmo	assim,	pode	demorar	
um	determinado	tempo	considerando	que	pode	haver	jogadas	de	2	ou	3	pontos	
apenas	(um	dado	cair	em	1	e	outro	em	1	também,	ou	dois).	Por	isso,	sugiro	usar	
um	dado	com	12	lados.	Assim,	o	jogo	correrá	mais	rápido.	Veja	o	molde	abaixo	
para	que	possa	confeccioná-lo:
Você	pode	montar	esse	dado	em	um	papel	mais	grosso,	como	papel	cartão	
ou	cartolina	e	depois	plastificá-lo	antes	de	montar.
56
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Peça	 aos	 alunos	 que	 não	 juntem	 suas	 peças	 quando	 alguém	do	 grupo	
ganhar	o	jogo.
Quando	o	grupo	disser	que	alguém	ganhou,	distribua	uma	tabela	e	peça	
que	eles	completem	com	os	dados	finais.
Faça	 perguntas	 aos	 alunos	 sobre	 o	 jogo,	 que	 podem	 ser	 respondidas	
oralmente	ou	registradas	no	caderno.	Tais	como:
 
• Quem	foi	o	vencedor	do	seu	grupo?
• Quem	foi	o	segundo	colocado?	
• Quem	foi	o	terceiro	colocado?
• Outras	perguntas	que	você	achar	importante	para	estimular	o	raciocínio.
 
Esse	jogo	desenvolve	a	habilidade	de	resolver	cálculo	mental,	pois	o	aluno	
tenta calcular quantaspeças faltam para ela trocar. O cálculo mental também é 
estimulado	quando	os	alunos	precisam	somar	os	números	obtidos	nas	 jogadas	
com os dados.
O aluno também tem a oportunidade de comparar os números para saber 
quem	ficou	em	segundo,	 terceiro	ou	quarto	 lugar	devendo	se	situar	dentro	de	
uma sequência numérica e ordenar os números.
 
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
57
3ª Atividade – Aproximadamente 60 minutos.
Aprofundando o tema: Representação dos números e operações
 
Professor,	 elabore	 uma	 lista	 de	 perguntas	 desafiadoras	 para	 os	 alunos	
propondo	reflexões	sobre	as	possibilidades	de	representação	dos	números	com	
o	Material	Dourado.	Entregue	aos	alunos	um	quadro	escrito:	centena,	dezena	e	
unidade para que possam representar os números.
 
• Representação de números:
 
Proponha que representem um número. A intenção é que tenham 
compreensão	do	valor	posicional	dos	algarismos,	para	que	depois	possam	fazer	
operações	com	mais	segurança.
 
Por	exemplo:	126
Depois, mostre a eles a representação:
Proponha a representação de outros números.
 
• Operação:
Proponha	desafios	aos	alunos.
Deixe	que	façam	operações	simples	e	depois	vá	dificultando.	As	primeiras	
operações	 não	 devem	 ter	 agrupamentos,	 depois	 deixe	 que	 elas	 apareçam	 nas	
propostas.	Apresente	desafios:
 
1º desafio:	126	+	232	=	?
 
Inicie a operação pedindo que os alunos representem no seu quadro o 
número	126:
1	placa,	duas	barras	e	6	cubinhos.
Depois peça que representem o número 232:
58
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
2 placas, três barras e 2 cubinhos.
Peça	que	façam	a	contagem	e	represente	no	quadro	a	soma.
+
=
Represente a operação armada na lousa, para que os alunos possam 
relacionar as duas situações.
 
126
+232 _____
358
 
2º desafio:	Proponha	uma	operação	com	agrupamento.
Exemplo:	348	+	274	=	?
 
TÓPICO 3 — CONCEITOS MATEMÁTICOS SOBRE OS NÚMEROS E AS OPERAÇÕES
59
Lembre	 novamente	 os	 alunos	 da	 regra	 do	 trabalho	 com	 o	 Material	
Dourado:	 Não	 é	 permitido	 mais	 de	 9	 cubinhos	 nas	 unidades,	 ou	 mais	 de	 9	
barrinhas nas dezenas.
Ao	tentar	representar	o	número	274,	mostre	que	é	necessário	fazer	duas	
trocas,	pois	8	+	4	são	12	e	não	se	pode	ter	mais	de	9	cubinhos,	então	é	necessário	
trocar	10	cubinhos	por	uma	barra,	que	deve	ser	colocada	na	casa	das	dezenas.		E	
a	segunda	 troca	deve	ser	 realizada	na	casa	das	dezenas,	porque	7	dezenas	+	4	
dezenas	 +	 1	 dezena	 são	 12	dezenas:	 que	devem	 ser	 trocadas	por	 uma	placa	 e	
deixar duas barras na dezena.
Deixe	que	os	alunos	façam	os	agrupamentos	e	as	trocas	em	seus	quadros.
Registre	a	operação	na	lousa	para	que	os	alunos	possam	fazer	relação	da	
representação do Material Dourado com a representação na lousa. Mostre que 
o	“vai	um”	é	a	representação	da	troca	de	10	unidades	por	uma	dezena	e	de	10	
dezenas por uma centena.
Continue	 propondo	 os	 desafios,	 peça	 a	 eles	 que	 também	 sugiram	 as	
contas. Faça uma lista de operações e peça que eles façam representem e somem.
Sugira	que	disputem	com	os	colegas,	quem	consegue	montar	as	operações	
mais	rápido.	Separe	a	turma	em	grupos.
 
Problematizando
Discuta	com	os	alunos	que	a	adição	está	sempre	ligada	à	ideia	de	juntar/
acrescentar.
Proponha vários problemas e peça que representem com o Material 
Dourado.
Exemplo: João	e	Carlos	colecionam	selos.	Eles	sempre	trocam	figurinhas	
e brincam juntos. Então resolveram contar quantos selos eles têm. João tem 138 
selos	e	Carlos	tem	349.	Quantos	selos	eles	têm	juntos?
=
60
UNIDADE 1 — NÚMEROS NATURAIS E AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Para	 saber	 mais	 sobre	 a	 atividade	 acesse	 http://portaldoprofessor.mec.
gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=55764,	 conheça	 o	 material	 na	 íntegra.	 Essa	
atividade	pode	ser	utilizada	no	atendimento	psicopedagógico	com	as	crianças,	
para que compreendam as etapas da resolução das operações. Há situações que 
envolvem	o	 trabalho	psicopedagógico	decorrentes	de	dúvidas	ou	 situações	de	
aprendizagem	que	não	foram	corretamente	trabalhadas	nas	aulas	de	matemática.	
Desta	 forma,	deixamos	 algumas	 sugestões	de	 trabalho	que	poderão	 facilitar	 o	
atendimento	psicopedagógico!
61
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• O Zero pertence a um conjunto, dado um número natural qualquer, o sucessor 
desse número também pertencerá a esse conjunto, e todos os números naturais 
pertencem a esse conjunto.
•	 Na	leitura	de	um	número	com	muitos	algarismos,	os	agrupamos	de	3	em	3,	a	
partir	da	direita,	para	identificar	as	classes	e	ordens	que	o	compõem.
•	 As	práticas	que	envolvem	o	processo	de	ensino	e	aprendizagem	de	números	e	
operações,	assim	como	suas	intervenções	psicopedagógicas	inferem	na	busca	
de	um	equilíbrio	 entre	os	 alunos	 realizarem	as	 contas	 e	 a	 compreensão	dos	
procedimentos utilizados.
• O trabalho relacionado a matemática desenvolvido na escola precisa 
transcender	a	ênfase	no	ensino	dos	algoritmos	e	as	propriedades	das	operações,	
mas enfatizar sua compreensão.
• A adição consiste na principal entre as quatro operações básicas, sendo que as 
demais decorrem dela, em particular a subtração com sutil conexão entre seus 
conceitos, que formam um campo denominado de campo conceitual aditivo.
• Na realização das atividades de matemática podem ser utilizados materiais 
variados para contribuir na aquisição dos conceitos pelas crianças, como 
tampas	de	garrafas	ou	pedrinhas,	material	dourado,	quadro	de	valor	e	lugar	
até o ábaco.
•	 Na	 operação	 de	 subtração	 a	 dificuldade	 aparece	 no	momento	 de	 efetuar	 a	
adição com reserva, em como preparar o minuendo da subtração, conhecida 
como	“empresta	um”.
 
• Com relação a multiplicação há duas ideias principais que envolvem seus 
processos, a tabuada e a soma de parcelas repetidas. Sendo que, a noção de 
adição	 de	 parcelas	 iguais	 e	 a	 multiplicação	 estão	 associadas	 ao	 raciocínio	
combinatório.
62
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
• A divisão por muito tempo foi apresentada como a última operação a aparecer 
nos livros didáticos, mesmo que as crianças, no cotidiano já efetuam divisões 
de	objetos	entre	sim,	antes	de	ingressarem	na	escola.	
• No trabalho com a divisão, assim como nas outras operações, se faz necessário 
permitir que os alunos elaborem seus conhecimentos, utilizando dos seus 
saberes.
63
1 A base de um sistema de numeração seria uma certa quantidade de 
unidades que formam uma unidade de ordem imediatamente superior. 
Nesse sentido, os sistemas de numeração apresentam sua denominação de 
acordo com a derivação da sua base, como o sistema binário que possui base 
2.	Reflita	sobre	o	princípio	fundamental	do	sistema	decimal	e	classifique	V	
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
(			)	 Consiste	 nas	 dez	 dezenas	 de	 uma	 ordem	 qualquer	 que	 formam	 uma	
unidade de ordem imediatamente superior.
(			)	 Após	as	ordens,	as	unidades	constitutivas	dos	números	formam	grupos	
em classes, e cada classe possui três ordens.
(			)	 Cada	ordem	apresenta	uma	denominação	especial,	idêntica	à	denominação	
das mesmas ordens em outras classes.
(			)	 Exclusivamente	 a	 primeira	 classe	 das	 unidades	 possui	 as	 ordens	 das	
centenas, dezenas e unidades.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a)	(			)	 V	-	F	-	F	-	V.
b)	(			)	 V	-	V	-	V	-	F.
c)	(			)	 F	-	V	-	V	-	F.
d)	(			)	 F	-	F	-	V	-	V.
2	 Com	base	 na	 visão	 sociocultural	 de	 inteligência,	 propõe-se	 que	 a	 escola	
participe	 do	 processo	 de	 desenvolvimento	 da	 inteligência	 da	 criança	 ao	
lhe oferecer acesso a instrumentos e objetos simbólicos, como sistemas 
de	numeraçao,	que	amplificam	sua	capacidade	de	 registrar	quantidades,	
lembrar e solucionar problemas. Essa perspectiva está vinculada à Teoria 
dos	Campos	Conceituais	(VERGNAUD,	1988),	segundo	a	qualos	conceitos	
são	desenvolvidos	num	longo	período	de	tempo	por	meio	da	experiência,	
maturação	e	aprendizagem,	expressas	por	esquemas.
NUNES, T. et al. Educação Matemática: números e operações matemáticas. São Paulo: 
Cortez, 2005 (adaptado).
A	partir	do	texto	acima,	avalie	as	afirmações	a	seguir.
I-	 Os	conceitos	de	adição	e	subtração	têm	origem	nos	esquemas	de	ação	de	
juntar,	separar	e	colocar	em	correspondência	um-a-um.
II-	 Os	conceitos	de	multiplicação	e	divisão	têm	origem	nos	esquemas	de	ação	
de	correspondência	um-a-muitos	e	de	distribuir.
AUTOATIVIDADE
64
III-	O	raciocínio	aditivo	implica	a	existência	de	uma	relação	fixa	entre	duas	
variáveis,	e	o	raciocínio	multiplicativo,	da	relação	parte-todo.
IV-	A	criança	consegue	coordenar	sua	atividade	teórica	com	a	contagem,	quan-
do se torna capaz de resolver problemas simples de adição e subtração. 
Assinale a alternativa CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	I	e	II	estão	corretas.	
b)	(			)	 As	sentenças	III	e	IV	estão	corretas.	
c)	(			)	 As	sentenças	II	e	IV	estão	corretas.	
d)	(			)	 As	sentenças	II,	III	e	IV	estão	corretas.
65
REFERÊNCIAS
ALBUQUERQUE,	S.	M.;	PEREIRA	A.	C.	C.;	ALVES,	V.	B.	Um	estudo	preliminar	
sobre o ábaco de Gervert do século X como recurso didático para o ensino das 
operações aritméticas. Revista ESPACIOS,	v.	39,	nº	52,	2018.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Educação é 
a	base.	Brasília:	MEC,	2018.	Disponível	em:	http://basenacionalcomum.mec.gov.
br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.	Acesso	em:	10	dez.	2020.
FERREIRA, E. S. O ábaco de Silvester II. RBHM.	São	Paulo:	Alcar,	2008.	
KALMYKOVA,	Z.	Pressupostos	psicológicos	para	uma	melhor	aprendizagem	da	
resolução de problemas aritméticos. In:	LURIA,	A;	LEONTIEV,	A;	VYGOTSKY,	
L. S et al. Psicologia e pedagogia: II – implicações experimentais sobre problemas 
didáticos	 específicos.	 Trad.	 Maria	 Flor	 Marques	 Simões.	 Lisboa:	 Editorial	
Estampa,	1991.
OLIVEIRA,	E.	 F.	A calculadora como ferramenta de aprendizagem. Trabalho 
de	 Graduação	 em	 Licenciatura	 em	 Matemática.	 Guaratinguetá:	 Universidade	
Estadual	Paulista,	2011.
PIRES, C. M. C. Números naturais e operações.	Melhoramentos:	São	Paulo,	2013.
SILVA,	J.	B.	R.	Formação continuada de professores que ensinam matemática: 
o	papel	 do	 ábaco	na	 ressignificação	da	prática	 pedagógica.	 178	p.	Dissertação	
de	Mestrado.	 Programa	 de	 Pós-Graduação	 em	 Ensino	 de	 Ciências	Naturais	 e	
Matemática,	UFRN	-	RN.	Natal,	2011.
SMOLE,	K.	S.	Entre	o	pessoal	e	o	 formal:	as	 crianças	e	 suas	muitas	 formas	de	
resolver	problemas.	In:	SMOLE,	K.	S.;	MUNIZ,	C.	A.	(Org.).	A matemática em 
sala de aula:	reflexões	e	propostas	para	os	anos	iniciais	do	ensino	fundamental.	
Porto	Alegre:	Penso,	2013.	
WEFFORT,	H.	F.;	ANDRADE,	J.	P.;	COSTA,	N.	G.	Currículo e educação integral 
na prática: uma	 referência	 para	 estados	 e	 municípios.	 São	 Paulo:	 Associação	
Cidade	Escola	Aprendiz,	2019.
66
67
UNIDADE 2 — 
CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 
NA CRIANÇA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• analisar sobre o processo de construção do conhecimento matemático na 
criança segundo Piaget; 
• conhecer os testes operatórios; 
• discutir os pressupostos que embasam a teoria de Vygotsky;
•	 refletir	 sobre	 a	 utilização	 da	 teoria	 de	 Vygotsky	 as	 intervenções	
psicopedagógicas;
•	 identificar	o	conceito	de	jogo	na	educação;
• refletir	sobre	o	uso	do	jogo	nas	intervenções	psicopedagógicas.
Esta	unidade	está	dividida	em	três	tópicos.	No	decorrer	da	unidade,	
você	 encontrará	 autoatividades	 com	 o	 objetivo	 de	 reforçar	 o	 conteúdo	
apresentado.
TÓPICO	1	–	A	GÊNESE	DO	NÚMERO	NA	CRIANÇA	SEGUNDO	PIAGET
TÓPICO	2	–	A	CONTRIBUIÇÃO	DOS	ESTUDOS	DE	VYGOTSKY	NA		 	
	 								INTERVENÇÃO	PSICOPEDAGÓGICA
TÓPICO	3	–	O	JOGO	COMO	RECURSO	DE	APRENDIZADO
68
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
69
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Prezado	acadêmico,	este	tópico	inicia	os	estudos	da	segunda	unidade	sobre	
a	construção	do	conhecimento	na	criança.	De	primeiro	momento,	estudaremos	a	
teoria	de	Piaget	 sobre	a	gênese	da	 construção	do	número.	Piaget	desenvolveu	
em	 seus	 experimentos,	 várias	 técnicas	 que	 buscam	 analisar	 como	 a	 criança	
compreende	e	constrói	 seu	conhecimento	de	número.	Dessa	 forma,	as	 técnicas	
aplicadas	com	materiais	concretos	abrangeram	a	participação	de	crianças	na	faixa	
etária	de	4	a	7	anos.	Você	notará	que	ao	longo	das	fases	as	crianças	apresentaram	
uma	evolução	no	seu	pensamento	conceitual,	partindo	da	percepção	intuitiva	até	
conseguirem	compreender	as	relações	apresentadas.	
Por	fim,	apresentaremos	segundo	os	estudos	de	Kamii	(2012)	os	três	tipos	
de	conhecimentos	identificados	por	Piaget;	o	conhecimento	físico,	conhecimento	
lógico-matemático	 e	 conhecimento	 social	 ou	 convencional.	 Para	 a	 atuação	 do	
Psicopedagogo	Institucional	nos	atendimentos	voltados	à	demanda	escolar,	há	
necessidade	de	conhecer	o	desenvolvimento	do	campo	conceitual	pela	criança,	
relacionado	 ao	 aprendizado	da	matemática.	Ou,	mais	 precisamente,	 em	 como	
a	criança	constrói	o	conhecimento	de	número,	para	analisar	e	conseguir	propor	
alternativas	para	o	desenvolvimento	do	processo	de	ensino	e	aprendizagem	em	
seus	atendimentos.
TÓPICO 1 — 
A GÊNESE DO NÚMERO 
NA CRIANÇA SEGUNDO 
PIAGET
2 CONSTRUÇÃO DO NÚMERO PELA CRIANÇA
O conhecimento	 científico	 tanto	 como	o	prévio	pressupõe	um	 sistema,	
sendo	que	o	conhecimento	prévio	consiste	naquele	que	a	criança	aprende	desde	
o	nascimento	no	seu	convívio.	Esse	sistema	implícito	ou	explícito	contém	prin-
cípios	de	conservação.	Ou	seja,	mesmo	no	conhecimento	prévio	o	pensamento	
busca	organizar	um	sistema	de	ideias,	introduzindo	uma	permanência	em	suas	
definições.	
[...]	dizemos	simplesmente	que	a	conservação	constitui	uma	condição	
necessária	 de	 toda	 atividade	 racional,	 sem	 preocupar-nos	 em	 saber	
se	 essa	 condição	 é	 suficiente	 para	 explicar	 essa	 atividade	 ou	 para	
exprimir	a	natureza	da	realidade	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	23).
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
70
Dessa	 forma,	 o	 pensamento	 aritmético	 segue	 a	 mesma	 regra,	 onde	 um	
conjunto	ou	coleção	não	serão	compreendidos	sem	que	seu	valor	total	permaneça	
inalterado.	Isso,	ainda,	independente	dos	tipos	de	alterações	introduzidas	nas	rela-
ções	dos	elementos.	Por	exemplo:	um	número	somente	será	percebido	quando	per-
manece	idêntico	a	si	mesmo,	de	modo	autônomo	da	disposição	das	unidades	que	
compõe,	o	que	define	a	“invariância”	do	número	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981),	a	necessidade	de	conservação,	a	nível	
psicológico,	surge	enquanto	forma	funcional	do	pensamento.	De	modo	geral,	ocor-
re	durante	seu	desenvolvimento	ou	nas	interações	que	estabelece	com	os	fatores	
internos	do	seu	amadurecimento,	bem	como	as	condições	externas	da	experiência.	
Piaget	utilizou	algumas	técnicas	em	crianças	na	faixa	etária	de	4	a	7	anos	e	
investigou	sob	a	análise	psicogenética,	como	as	noções	aritméticas	se	estruturam	
progressivamente.	O	desenvolvimento	desse	 experimento	 buscou	 responder	 o	
seguinte	questionamento:	as	noções	aritméticas	se	constituem	progressivamente	
segundo	as	exigências	da	conservação,	ou	a	conservação	anterior	a	organização	
numerativa	e	quantificante	supõe	uma	estrutura	anterior,	uma	ideia	inata	que	se	
impõe	na	primeira	tomada	de	consciência	durante	uma	experiência?	Pois	bem,	
apresentaremos	os	tipos	de	técnicas	utilizadas	e	os	resultados	obtidos	por	Piaget,	
segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981).
Ao longo do texto você encontrará algumas palavras que remetem a conceitos 
importantes para seus estudos. Confira antes de prosseguir com sua leitura!
CARDINAÇÃO: é a aquisição fundamental: isto é, a noção de que o último elemento 
contado indica a quantidade total de elementos da coleção,desde que respeitadas a 
produção da sequência verbal numérica em uma ordem estável e a correspondência 
termo-a-termo. Evidentemente que a noção de cardinação é mais complexa e envolve a 
inclusão de classes numéricas. Assim, o número três, por exemplo, representa uma classe 
numérica que envolve a classe do “dois” e a classe do “um”. 
ESTABELECIMENTO DE TERMO-A-TERMO: para ser emitida essa correspondência termo-a-
termo é necessário que a produção da cadeia verbal siga uma ordem estável, sem repetição 
dos nomes dos números e sem repetição do elemento relacionado à palavra-número. 
Produzir a sequência numérica verbal, relacionando cada elemento a um e somente um 
objeto, no entanto, não esgotam a habilidade de contar.
FONTE: <https://www.scielo.br/pdf/epsic/v18n3/04.pdf>. Acesso em: 10 jan. 2021.
NOTA
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
71
2.1 A CONSERVAÇÃO DAS QUANTIDADES E A 
INVARIÂNCIA DOS CONJUNTOS
A	técnica	consistiu	em	apresentar	as	crianças	dois	recipientes	cilíndricos	
das	 mesmas	 dimensões,	 denominados	 A1	 e	 A2,	 com	 a	 mesma	 quantidade	
de	 líquido,	 reconhecíveis	 pela	 igualdade	nos	 seus	níveis.	Depois,	 despeja-se	 o	
conteúdo	do	A2	em	dois	recipientes	menores	e	semelhantes	entre	si,	constituindo	
o	B1	e	B2.	Questiona-se	a	criança	se	a	quantidade	transvasada	de	A2	para	B1	e	B2	
permaneceu	igual	a	A1.	Caso	seja	necessário,	pode-se	despejar	o	líquido	contido	
em	B1	em	outros	dois	recipientes	menores	e	 iguais	entre	si,	originando	o	C1	e	
C2,	e	o	mesmo	fazer	com	o	líquido	em	B2,	despejando	em	outros	recipientes	e	
formando	C3	e	C4.	Nessa	etapa,	apresenta-se	a	criança	a	noção	de	igualdade	entre	
C1	+	C2	e	B2,	ou	entre	C1	+	C2	+	C3	+	C4	e	A1	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Com	 base	 nesse	 exemplo,	 pode-se	 submeter	 os	 líquidos	 a	 todas	 as	
deformações	possíveis,	apresentando	a	cada	faceta	o	problema	da	conservação	
sob	 o	 questionamento	 de	 igualdade	 ou	 não	 igualdade	 com	 os	 recipientes.	
Inversamente,	 consegue-se	 por	 meio	 das	 respostas	 obtidas	 encher	 um	 vidro	
de	 um	 formato	 qualquer	 e	 solicitar	 que	 a	 criança	 reflita,	 na	 possibilidade	 de	
constituir	 uma	 quantidade	 semelhante	 utilizando	 um	 recipiente	 de	 forma	
diferente	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Os	resultados	obtidos	expressam	que	as	quantidades	contínuas	não	são	
consideradas	inicialmente	como	constantes,	que	sua	conservação	será	construída	
progressivamente,	 de	 acordo	 com	 o	mecanismo	 intelectual	 da	 criança.	 Piaget	
justifica	relatando	o	desenvolvimento	da	criança	segundo	as	fases	de	aplicação	
da	técnica	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
FIGURA 1 – RESULTADO DA TÉCNICA COM LÍQUIDOS
FONTE: Adaptada de Piaget e Szeninska (1981, p. 25-26)
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
72
Piaget	 ao	final	 da	 aplicação	de	 todas	 as	 fases	 que	 compõe	 sua	 técnica,	
conclui	 “[...]	 quão	 simples	 é	 no	 fundo	 o	 processo	 de	 quantificação	 de	 que	
dá	 testemunho	 a	 descoberta	 da	 conservação	 das	 quantidades	 pela	 criança”	
(PIAGET;	 SZEMINSKA,	 1981,	 p.	 50).	 Em	 suma,	 a	 criança	 inicia	 e	 permanece	
na	 primeira	 fase	 durante	 um	 determinado	 tempo,	 porque	 não	 considera	 as	
relações	perceptivas	não	coordenadas	entre	a	igualdade	o	a	diferença	qualitativa,	
considerando	 respectivamente	 as	 qualidades	 e	 quantidades	 brutas,	 isentas	 de	
novas	composições.	
 
Durante	 a	 segunda	 fase,	 a	 criança	 inicia	 um	 processo	 de	 coordenação	
lógica	que	se	conclui	na	terceira	fase,	o	que	resulta	na	classificação	das	igualdades	
e	 na	 seriação	 das	 diferenças,	 na	 forma	 aditiva	 e	 multiplicativa,	 que	 origina	
a	 constituição	 das	 quantidades.	 Por	 fim,	 na	 terceira	 fase	 surge	 a	 construção	
das	 quantidades	 extensivas,	 a	 percepção	 da	 igualdade	 entre	 as	 diferenças	
apresentadas,	o	que	infere	na	aritmetização	dos	grupos	lógicos.	A	criança	percebe	
que	a	quantidade	líquida	contida	inicialmente	em	um	reciente,	será	a	mesma	se	
utilizada	de	forma	íntegra	na	divisão	em	outros	recientes	menores	e	iguais.	
Piaget	realizou	outra	experiência	com	coleção	de	contas,	que	colocadas	em	
recipientes	repercutem	as	mesmas	avaliações	que	os	líquidos,	na	percepção	das	
crianças.	Então,	apresentou	outra	técnica	que	infere	o	comprimento	de	colares,	
constituídos	por	 sua	 justaposição.	Ou	 seja,	 a	 criança	 enche	um	recipiente	 com	
as	contas,	onde	deposita	uma	a	uma,	seguida	do	experimentador,	que	também	
adiciona	uma	unidade	em	outro	recipiente.	Depois,	formula-se	questionamentos	
sobre	a	igualdade	das	duas	quantidades	totais	obtidas,	na	forma	dos	recipientes	
e	outros	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
FIGURA 2 – RESULTADO DA TÉCNICA COM CONTAS
FONTE: Adaptada de Piaget e Szeninska (1981, p. 52-61)
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
73
De	acordo	 com	Piaget	 e	Szeninska	 (1981),	para	apreenderem	o	alcance	
real	dessa	etapa	de	 investigação,	na	descoberta	da	 invariância	das	 totalidades,	
a	quantificação,	o	experimento	sofreu	alterações.	Nesse	sentido,	apresenta-se	a	
criança	duas	 coleções	de	 forma	diferente,	 sem	que	consiga	 se	 certificar	de	 sua	
igualdade,	e	questiona-se	sobre	sua	opinião.	Depois	de	uma	hipótese	formulada,	
se	procede	por	correspondência	termo	a	termo.		
De	modo	geral,	ao	final	dessa	etapa	percebeu-se	que	em	todos	os	níveis	e	
desde	a	primeira	fase,	a	criança	acredita	que	as	duas	coleções	que	se	correspondem	
termo	a	termo	são	equivalentes	entre	si.	Contudo,	quando	se	altera	a	forma	de	
uma	das	duas,	com	um	recipiente	diferente,	a	aparência	perceptiva	será	abalada	
por	um	julgamento	contrário.	Na	primeira	fase	não	existem	os	conflitos,	pois	a	
criança	acredita	que	a	relação	perceptiva	gera	a	equivalência.	
Na	segunda	fase,	as	crianças	agem	de	forma	semelhante	a	primeira,	com	
alteração	 em	 seu	 julgamento	 na	 terceira	 fase.	Nesse	momento,	 a	 equivalência	
antecede	 as	 relações	perceptivas,	duas	 coleções	 colocadas	 em	correspondência	
termo	a	termo,	serão	concebidas	como	equivalentes,	independente	das	mudanças	
de	 forma.	 Piaget	 e	 Szeniska	 (1981)	 afirmam	 que	 a	 fase	 intermediária	 consiste	
numa	fase	de	organização	da	própria	correspondência.
2.2 CORRESPONDÊNCIA PROVOCADA E A EQUIVALÊNCIA 
DAS COLEÇÕES CORRESPONDENTES
Segunda	Piaget	e	Szeniska	(1981,	p.	71),	“comparar	duas	quantidades,	com	
efeito,	 é	ou	pôr	em	proporção	 suas	dimensões	ou	colocar	em	correspondência	
termo	a	termo	os	seus	elementos”.	Desse	modo,	a	correspondência	termo	a	termo	
surge	para	decompor	as	totalidades	a	serem	comparadas	entre	si.	
O	 estudioso	 Piaget	 desenvolveu	 técnicas	 para	 investigar	 no	 campo	
psicológico,	como	a	criança	descobre	ou	realiza	a	correspondência	termo	a	termo.	
A	 investigação	 priorizou	 a	 correspondência	 entre	 objetos	 heterogêneos,	 mas	
qualitativamente	complementares,	de	acordo	com	os	fatores	externos.	
A	primeira	técnica	consiste	em	dispor	na	mesa	seis	garrafinhas	alinhadas	
e	um	prato	com	uma	coleção	de	copos.	Depois,	solicitar	que	a	criança	pegue	no	
prato	um	copo	para	cada	garrafa	enfileirada	na	mesa.	Assim	que	a	criança	concluir	
essa	fase,	agrupar	os	seis	copos	para	que	fiquem	amontoados	e	questionar	se	há	
a	mesma	quantidade	de	copos	e	garrafas.	Então,	coloca-se	novamente	os	copos	
ao	lado	e	cada	garrafa	em	fileira,	junta-se	as	garrafas	também	as	amontoando,	e	
pergunta-se	para	a	criança	se	há	a	mesma	quantidade.	
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
74
FIGURA 3 – RESULTADO DA TÉCNICA COM COPOS E GARRAFAS
FONTE: Adaptada de Piaget e Szeninska (1981, p. 73-78)
Os	resultados	apresentaram	respostas	das	crianças	como	“há	mais”	para	
um	agrupamento	em	detrimento	de	outro,	revelam	uma	crença	que	o	número	dos	
objetos	varia	sendo	que	ainda	não	possuem	a	noção	de	número	formada.	Assim,	
há	a	percepção	de	uma	indiferenciação	entre	o	número	e	o	espaço	ocupado,	visto	
que	a	avaliação	prosseguiu	um	parâmetro	global	e	não	analítico,	resultando	em	
uma	percepção	visual	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Outra	 técnica	utilizada	 sobre	 a	 correspondênciaentre	flores	 e	 as	 jarras	
ou	entre	os	ovos	e	oveiros,	Piaget	solicitou	que	as	crianças	que	colocassem	uma	
flor	em	cada	jarra,	ou	um	ovo	em	cada	oveiro.	Com	efeito,	a	criança	ao	observar	
que	 uma	 flor	 seria	 atribuída	 a	 uma	 jarra	 formaria	 uma	 ideia	 entre	 os	 termos	
correlativos,	 em	 relação	 ao	 experimento	 anterior,	 onde	 deveria	 adicionar	 um	
copo	em	 frente	a	uma	garrafa.	O	estudioso	pensou	que	dessa	 forma	a	 criança	
teria	menos	dificuldade	em	compreender	que	a	quantidade	de	flores	ou	de	ovos	
permaneceria	equivalente	à	das	jarras	e	oveiros,	assim	que	os	retirar	para	agrupá-
los	conforme	sua	espécie	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
FIGURA 4 – RESULTADO DA TÉCNICA COM AS FLORES E JARRAS OU OVOS E OVEIROS
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
75
FONTE: Adaptada de Piaget e Szeninska (1981, p. 81-87).
Piaget	 conclui,	 ao	final	dessa	 etapa	de	 investigação,	que	as	 crianças	na	
terceira	fase	descobrem	que	as	transformações	espaciais	atribuídas	as	disposições	
dos	elementos,	são	corrigidas	por	uma	operação	inversa.	
Segundo	Piaget	e	Szeniska	(1981,	p.	88),	“estas	razões,	que	não	possuem	
nenhum	valor	para	as	crianças	das	fases	anteriores,	só	adquirem,	com	efeito,	sua	
significação	se	a	reversibilidade	é	compreendida	e	compreendida	como	fonte	da	
equivalência”.	Ou	seja,	a	intuição	perceptiva	resulta	da	reversibilidade	progressiva	
do	 pensamento.	 A	 percepção	 é	 irreversível,	 mas	 quando	 envolve	 juízos	 de	
relação,	as	operações	reversíveis	contribuem	na	substituição	da	correspondência	
intuitiva	por	uma	correspondência	operatória	e	quantificante.	Por	fim,	assegura	a	
equivalência	necessária	das	coleções	correspondentes.	
No	 experimento	 sobre	 “a	 troca	 um	 contra	 uma	 das	 moedas	 e	 das	
mercadorias”,	explica-se	a	criança	que	a	brincadeira	será	de	comerciante	e	entrega-
se	algumas	moedas,	para	que	ao	comprar	as	mercadorias,	entregue	uma	moeda	
a	 cada	 objeto.	 Inicialmente	 indaga-se	 sobre	 quantos	 objetos	 a	 crianças	 poderá	
adquirir,	para	depois	ao	realizar	as	trocas	de	um	contra	um,	investigar	se	existe	
ou	não	para	a	criança,	a	equivalência	das	moedas	e	dos	objetos	adquiridos.	Com	
esse	método,	Piaget,	pretendeu	investigar	a	comparação	global,	correspondência	
termo	a	termo	e	a	possibilidade	de	numeração	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
FIGURA 5 – RESULTADO DA TÉCNICA UM CONTRA UMA DAS MOEDAS E MERCADORIAS
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
76
FONTE: Adaptada de Piaget e Szeninska (1981, p. 89-93)
Em	síntese,	a	prova	da	“troca	de	um	contra	um”	apresentou	os	mesmos	
resultados	que	o	da	correspondência	visível	dos	objetos.	Piaget	e	Szeniska	(1981,	
p.	94)	inferem	sobre:
[...]	um	resultado	precioso	para	a	inteligência	da	noção	da	correspon-
dência:	por	si	só,	o	famoso	procedimento	da	troca	de	um	contra	um,	
no	qual	tantos	autores	procuraram	o	início	da	cardinação,	nao	conduz,	
como	tal,	à	equivalência	necessária	das	coleções	permutadas.
Os	autores	afirmam	que	para	chegar	a	esse	resultado,	referente	à	troca	de	
um	contra	um,	segundo	a	correspondência	intuitiva,	há	necessidade	de	se	tornar	
operatória.	De	ser	compreendida	como	um	sistema	reversível	de	deslocamentos,	
considerando	suas	relações	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
O	último	experimento	 relacionado	a	 essa	 etapa	de	 investigação	 contou	
com	 as	 mesmas	 características	 do	 anterior,	 mas	 com	 numeração	 falada.	 O	
experimento	 inicia	solicitando	que	a	criança	conte	até	onde	sentir	dificuldades	
em	prosseguir	com	a	contagem.	Em	seguida,	realiza-se	a	experiência	anterior	de	
troca	um	contra	um,	escolhendo	um	número	de	pares	de	objetos	inferior	ao	limite	
da	numeração	falada	pela	criança.	Solicita-se	que	conte	os	objetos	que	acaba	de	
receber,	 e	 esconde-se	 sob	 a	mão	 as	moedas	 que	 foram	dadas	 na	 troca.	 Então,	
solicita-se	que	adivinhe	quantos	objetos	estão	escondidos.	
O	resultado	dessa	etapa	da	investigação	sem	a	numeração	falada,	alte-
rando	as	situações,	as	mesmas	interpretações	das	fases	encontradas	nas	técnicas	
anteriores.	Por	conseguinte,	o	fator	verbal	não	incidiu	no	progresso	da	corres-
pondência	e	equivalência.	Ao	passo	que,	no	momento	em	que	a	correspondência	
apresenta	 caráter	 quantificante,	 inicia	 a	 equivalência.	 Em	 suma,	 a	 numeração	
falada	propicia	o	processo	de	evolução	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
77
2.3 CORRESPONDÊNCIA ESPONTÂNEA E A DETERMINAÇÃO 
DO VALOR CARDINAL DOS CONJUNTOS
Nos	 experimentos	 anteriores,	 as	 crianças	 demonstraram	 diferentes	
tipos	de	correspondência,	que	se	distinguiam	nas	 relações	com	sua	noção	de	
equivalência.	
Enquanto	que	o	tipo	superior	pode	ser	qualificado	de	“correspondên-
cia	quantificante”,	porque	vem	a	dar	na	noção	da	equivalência	neces-
sária	e	durável	dos	conjuntos	correspondentes,	os	tipos	inferiores	são	
de	ordem	intuitiva,	porque	a	equivalência	das	coleções	só	é	reconheci-
da	se	a	sua	correspondência	for	percebida	por	contato	óptico	(ou	acús-
tico	etc.)	e	cessa	assim	que	ela	não	é	mais	fornecida	no	mesmo	campo	
de	percepção	(PIAGET;	SZENISKA,	1981,	p.	99).
Nesse	 sentido,	 Piaget	 prossegue	 com	 sua	 investigação	 a	 fim	 de	
analisar	o	 sistema	da	 correspondência	 em	 si,	 a	partir	de	 seu	desenvolvimento	
espontâneo.	Em	determinadas	situações	em	que	a	criança	será	obrigada	a	criar	
uma	 correspondência	 e	 utilizar	 da	 forma	 como	 julgar	 necessário.	 De	 modo	
geral,	o	estudioso	pretende	investigar	em	como	a	criança	apreende	um	esforço	
para	avaliar	o	valor	cardinal	de	uma	coleção,	sobre	os	tipos	de	correspondência	
empregados,	os	métodos	que	precedem	a	correspondência	termo	a	termo	ou	a	
sucederam	imediatamente	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Nessa	etapa	da	investigação,	Piaget	utilizou	de	objetos	homogêneos	para	
que	as	crianças	conseguissem	descobrir	a	quantidade	ideal,	a	partir	de	um	exemplo	
de	conjunto	qualquer.	Assim,	foi	apresentado	as	crianças	um	tanto	de	objetos	e	
solicitado	que	pegassem	outro	tanto.	O	diferencial	nessa	etapa	dos	experimentos	
consiste	no	problema	de	avaliação	ou	de	medida	de	quantidade	 isento	de	um	
método	pronto,	ao	contrário	dos	anteriores	que	suscitavam	a	correspondência	de	
um	termo	ao	outro.
A	experiência	contou	com	a	apresentação	para	a	criança	de	várias	figuras,	
e	 teriam	 que	 pegar	 a	 quantidade	 de	 fichas	 que	 julgarem	 compreendidas	 e	
relacionadas	aos	grupos	de	figuras.	Logo	após,	foi	apresentado	cinco	tipos	das	
fases	que	as	crianças	participaram,	de	acordo	com	Piaget	e	Szeminska	(1981):
1.	 Formas	de	conjuntos	mau	estruturados,	como,	por	exemplo,	uma	aglomera-
ção	de	15	fichas	dispostas	ao	acaso,	mas	não	justapostas.
2.	 Séries,	sendo	figuras	de	conjunto	estruturadas,	mas	não	fechadas,	como,	por	
exemplo,	uma	sucessão	oblíqua	de	pares	de	fichas.
3.	 Figuras	em	forma	de	conjunto	fechado,	mas	não	dependendo	tampouco	do	
número	dos	elementos,	com	por	exemplo,	um	círculo	de	9	fichas	ou	uma	casa	
de	19	fichas	ou,	ainda,	duas	linhas	se	cortando	em	ângulo	reto,	formadas	uma	
por	3	fichas	e	a	outra	por	4.
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
78
4.	 Figuras	 de	 forma	 fechada	 e	 conhecidas	 pelas	 crianças	 determinada	 pelo	
número	de	fichas,	como	por	exemplo	um	quadrado	de	9	fichas,	sendo	3	para	
cada	lado	e	um	ao	centro,	ou	uma	cruz	de	4	fichas,	um	triângulo	retângulo	de	
6	fichas,	com	3	por	lado.
5.	 Figuras	 determinadas	 também	 pelo	 número	 de	 fichas,	 mas	 com	 forma	
complexa	e	desconhecida	pela	criança,	como	por	exemplo	um	losango	de	13	
fichas	e	outros.	
Depois,	apresenta-se	à	criança	uma	fileira	de	seis	grãos	de	feijão	dispostos	
em	linha	reta	e	espaçados	de	1	a	2	cm	de	distância	uns	dos	outros.	Explica-se	a	
criança	que	simbolizam	bombons	ou	moedas	entregues	ao	seu	irmão,	e	que	deve	
pegar	exatamente	a	mesma	coisa	para	si	mesma	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Os	resultados	encontrados	nessa	etapa	da	investigação,	por	meio	dos	dois	
tipos	de	experimentos,	 inferem	a	existência	de	três	fases,	que	correspondem	as	
já	 identificadas	 nas	 possibilidadesanteriores.	No	 decorrer	 da	 primeira	 fase,	 a	
criança	 se	 limita	 a	 uma	 comparação	 global	 que	 busca,	 isenta	da	 quantificação	
exata,	seguir	a	forma	de	conjunto	do	modelo	utilizado.	Bem	como	na	situação	das	
fileiras	lineares,	a	criança	reproduz	uma	fileira	do	mesmo	comprimento,	contudo	
com	 densidade	 diferente.	 Na	 segunda	 fase,	 inicia	 a	 correspondência	 termo	 a	
termo,	mas	 isento	de	 conservação	 representado	na	deformação	das	figuras.	 E,	
por	 fim,	 na	 terceira	 fase,	 surge	 a	 correspondência	 referida	 a	 sua	 equivalência	
(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Piaget	discorre	 sobre	 a	 construção	do	número	pela	 criança	associado	a	
igualdade	das	diferenças,	ou	seja,	quando	se	reuni	em	um	só	operatório	a	classe	
e	sua	relação	assimétrica.		
[...]	os	termos	enumerados	são	então,	ao	mesmo	tempo,	equivalentes	
entre	si,	e	nisso,	participam	da	classe,	e	diferentes	uns	dos	outros	por	
sua	ordem	de	enumeração,	nisso	participando	da	relação	assimétrica	
(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	145).
De	 modo	 geral,	 tais	 diferenças	 encontradas	 apenas	 na	 sucessão	 são	
equivalentes	 entre	 si.	 Numa	 série	 qualitativa	 qualquer,	 como	 a	 das	 fichas	
separadas	 por	 intervalos,	 somente	 se	 considera	 cada	 relação	 elementar	 como	
equivalente	 às	 outras,	 para	 assim,	 conferir	 a	 essa	 série	 um	 caráter	 numérico	
(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
2.4 SERIAÇÃO, SEMILITUDE QUALITATIVA E A 
CORRESPONDÊNCIA CARDINAL
Nessa	 etapa	 dos	 experimentos,	 objetivou-se	 investigar	 a	 seriação	
qualitativa	 simples,	 a	 correspondência	 qualitativa	 entre	 duas	 seriações	
(similitude)	e	a	correspondência	numérica,	ordinal	entre	as	duas	séries.	Para	tanto,	
apresentou-se	as	crianças	dez	bonecas	de	madeira,	cortadas	e	fixadas	de	pé	em	
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
79
uma	prancha,	de	modo	que	cada	uma	apresente	alteração	no	comprimento	que	
sua	antecessora.	Ainda,	dez	bengalas	de	igual	tamanho,	com	progressão	menor,	
mas	correspondendo	as	dez	bonecas.	Por	último,	a	técnica	requer	dez	bolas	de	
massa	de	modelar,	de	volumes	graduados,	representando	sacos	de	montanhas	
em	relação	ao	tamanho	dos	bonecos	de	madeira	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
O	 experimento	 contém	 cinco	 questões	 apresentadas	 às	 crianças	 que	
mesclam	 os	materiais	 boneca,	 bengalas	 e	 bolas	 de	massa	 de	modelar.	A	 cada	
questão as crianças precisam dispor os materiais segundo seu entendimento 
sobre	a	situação,	segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981):
 
• PRIMEIRA	QUESTÃO:	inicia	com	a	intenção	de	descobrir	a	correspondência	
entre	os	bonecos	e	as	bengalas	ou	os	sacos,	com	as	diversas	coleções	apresentadas	
em	desordem.	Conta-se	a	criança	uma	história	de	passeio,	para	que	se	sinta	
motivada	a	correspondência,	mas	sem	citar	a	relação	dos	tamanhos.	Insiste-se	
até	que	a	criança	compreenda	o	princípio	da	correspondência	serial.
• SEGUNDA	QUESTÃO:	 após	 construir	 as	 duas	 fileiras,	 em	 correspondência	
uma	com	a	outra,	altera-se	algo	de	modo	que	a	criança	perceba	a	mudança,	dei-
xando	as	duas	fileiras	paralelas.	Então,	se	aproxima	os	bonecos	uns	dos	outros,	
espaçando	as	bolas	ou	as	bengalas,	para	que	os	termos	correspondentes	da	série	
dos	bonecos	e	das	bengalas	não	se	encontrem,	mas	em	frente	uns	dos	outros.	
Pega-se	as	bonecas	e	as	bengalas	em	sua	ordem	sucessiva,	ou	saltando	de	um	
objeto	a	outro,	e	questiona-se	sobre	a	correspondência	de	um	termo	a	outro.	
• TERCEIRA	QUESTÃO:	após	realizar	alguns	exercícios	deste	gênero,	inverte-se	
uma	das	duas	fileiras,	para	que	permaneça	em	paralelo	com	a	outra,	sendo	o	
menor	termo	de	uma	em	frente	ao	maior	termo	da	outra.	Então	faz-se	o	mesmo	
questionamento	sobre	a	correspondência	de	um	pelo	outro.	
• QUARTA	QUESTÃO:	desarruma-se	os	termos	de	uma	fileira,	enquanto	que	a	
outra	permanece	bem	seriada,	ou	de	acordo	com	o	nível	da	criança,	desarruma-
se	as	duas	séries	ao	mesmo	tempo,	e	solicita-se	para	que	descubra	que	bola	ou	
bengala	corresponde	a	um	dos	bonecos.	
• QUINTA	QUESTÃO:	os	elementos	das	duas	fileiras	são	misturados,	e	depois	se	
escolhe	um	certo	boneco.	Solicita-se	a	criança	que	busque	somente	os	bonecos	
maiores	que	o	escolhido,	a	seguir	as	bengalas	correspondentes.	
Por	 meio	 dessas	 cinco	 questões	 há	 como	 destacar	 três	 problemas	
referentes	à	sistematização	dos	resultados	obtidos,	o	primeiro	sobre	a	construção	
da	 correspondência	 serial	 ou	 similitude	 com	a	 questão	 1;	 de	determinação	da	
correspondência	serial	quando	não	for	diretamente	percebida,	e	da	sua	passagem	
a	 correspondência	 ordinal,	 questões	 2	 e	 3;	 e	 por	 fim,	 da	 reconstituição	 da	
correspondência	ordinal	quando	as	séries	intuitivas	são	substituídas,	nas	questões	
4	e	5.	A	solução	de	cada	um	dos	problema	passa	por	três	fases	sincrônicas	com	
as	 fases	da	 correspondência	 cardinal,	 e,	 a	partir	desse	pressuposto,	 surgem	as	
relações	da	ordenação	e	cardinação	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
80
Na	primeira	etapa	da	investigação,	questões	2	e	3,	no	decorrer	da	primei-
ra	fase	a	criança	não	descobre	a	correspondência	entre	um	boneco	e	sua	bengala	
ou	saco,	a	partir	do	momento	em	que	ambos	não	estejam	em	frente	um	do	outro.	
Na	segunda	fase,	a	criança	procura	contar	ou	recorre	a	correspondência	termo	a	
termo,	de	modo	intuitiva	das	fileiras,	e	os	compara.	Contudo,	nas	duas	situações	
comete	 erros	 sistemáticos,	 sendo	o	mais	 corriqueiro	na	 categoria	procurada	 e	
a	do	 termo	precedente.	Na	 terceira	e	última	 fase,	a	criança	descobre	a	corres-
pondência	por	meio	das	combinações	das	noções	ordinais	e	cardinais	(PIAGET;	
SZEMINSKA,	1981).
Na	 segunda	 tentativa	 da	 experiência,	 quando	 um	 ou	 as	 duas	 fileiras	
são	desfeitas,	referentes	às	questões	4	e	5,	 também	há	três	fases	evolutivas	que	
necessitam	ser	analisadas.	A	primeira	fase,	a	criança	não	consegue	reconstruir	a	
série	ou	as	séries	e	opta	na	correspondência	arbitrariamente.	Na	segunda	fase,	
a	 criança	 conta	desconsiderando	 a	 ordem,	 ou	 confunde	 a	 categoria	procurada	
com	 a	 do	 termo	 anterior.	 Por	 fim,	 na	 terceira	 fase,	 já	 consegue	 encontrar	 a	
correspondência	 correta,	 coordenando	 a	 seriação	 com	 a	 cardinação	 (PIAGET;	
SZEMINSKA,	1981).
2.5 ORDENAÇÃO E CARDINAÇÃO
As	investigações	relacionadas	à	correspondência	serial	e	correspondência	
ordinal	sobre	a	sucessão	de	unidades,	sugere	que	a	ordenação	supõe	sempre	a	
cardinação.	No	caso	da	correspondência	com	equivalência	necessária	entre	duas	
coleções,	a	criança	atribui	a	potência	cardinal	a	tais	conjuntos,	mesmo	sem	saber	
nominar	os	números.	 Isso	ocorre	por	meio	da	ordenação	dos	 termos	em	duas	
fileiras	correspondentes,	ou	seja,	da	seriação	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Outro	ponto	a	destacar	diz	respeito	sobre	a	distinção	que	a	criança	faz	em	
relação	às	unidades	“uma	após	outra”,	com	base	na	observação	de	que	a	segunda	
estabelece	com	a	primeira	uma	coleção	maior	que	a	primeira	sozinha,	sendo	que	
a	terceira	igualmente	o	fará	com	as	duas	anteriores,	uma	coleção	maior	ainda,	e	
assim	segue.	Assim,	segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981,	p.	178),	“[...]	é	a	reunião	
de	cada	elemento	aos	precedentes	que,	somente	ela,	permite	definir	as	categorias,	
do	mesmo	modo	que	são	somente	as	categorias	que	diferenciam	as	unidades,	por	
outro	lado	inteiramente	equivalentes”.
O	 estudo	 dos	 diversos	 tipos	 de	 correspondência	 engloba	 a	 numeração	
falada,	 com	o	 apoio	 do	material	 concreto	 utilizado	 para	 a	 seriação	 e	 avaliado	
cardinalmente.	Nesse	sentido,	o	processo	investigativo	considerou	três	espécies	
de	experiências,	afim	de	observar	o	entendimento	sobre	a	ordenação	e	cardinação	
pelas	crianças.	
	A	primeira	técnica	infere	sobre	o	fazer	seriar	bastões	como	degraus	de	
uma	 escada,	 e	 avaliar	 o	 número	 de	 degraus	 já	 subidos.	 Ou	 seja,	 entrega-se	 a	
criança	dez	bastõezinhos	de	comprimentos	diferentes	e	solicita-se	para	seriá-la	
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
81
do	menor	ao	maior.	Depois	se	solicita	a	criança	que	avalie	um	ou	outrodegrau	
inserido	na	série,	para	verificar	seu	valor	posicional	e	quantidade	relacionada	ao	
número	falado	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
A	segunda	técnica	consiste	em	apresentar	cartões	dispostos	de	forma	que	
o	segundo	seja	igual	a	duas	vezes	o	primeiro,	o	terceiro	a	três	vezes	o	primeiro	
e	 assim	por	diante.	Após,	mistura-se	 todos	os	 cartões	 e	questiona-se	 a	 criança	
sobre	 quantas	 unidades	 se	 pode	 conseguir	 com	 um	 dentre	 eles.	 E	 a	 terceira	
técnica	prevê	a	seriação	de	barreiras	de	diferentes	alturas,	separadas	por	tapetes,	
de	forma	que	se	tenha	n	+	1	tapetes	para	que	n	barreiras.	Depois,	questiona-se	
após	misturar	o	material,	quantos	tapetes	correspondentes	a	uma	determinada	
barreira	ultrapassada	por	um	ginasta,	corresponde	a	um	número	determinado	de	
tapetes	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Os	resultados	dos	experimentos,	segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981),	em	
relação	aos	bastões,	demonstra	três	níveis	sucessivos	de	evolução	a	respeito	da	
seriação:	 seriação	global	 sem	 sucessão	 regular	de	pormenor;	 seriação	 intuitiva	
com	 indícios	 de	 construção	 e	 dificuldades	 em	 intercalar	 os	 elementos	 novos	
na	série	construída	e	 formar	um	bloco	rígido,	e,	por	fim,	a	seriação	operatória	
sustentada	por	uma	coordenação	sistemática	das	relações	em	jogo.	
No	caso	do	uso	dos	cartões,	a	lei	de	sucessão	sobre	a	seriação	igualmente	
foi	encontrada,	mesmo	sendo	mais	fácil	comparada	a	dos	bastões.	Mesmo	porque	
os	 elementos	 apresentam	 diferenças	 entre	 si	 e	 constituem	 uma	 escala	 regular	
por	adição	de	uma	unidade	a	cada	novo	elemento.	A	mesma	percepção,	ao	final	
dessa	técnica,	percebe-se	com	as	barreiras,	as	bonecas,	bolas	e	bengalas	outrora	
já	utilizados.	
De	modo	geral,	as	 fases	da	coordenação	entre	os	valores	cardinais	e	os	
valores	ordinais	são	correspondentes	as	fases	da	seriação,	que	indicam	igualmente	
as	 fases	da	 cardinação	 e	da	 correspondência	 cardinal.	Assim,	 a	 não	 existência	
da	ordenação	e	cardinação	na	primeira	fase	resulta	de	sua	própria	inexistência	
conceitual.	
A	avaliação	cardinal,	com	efeito,	não	consiste,	durante	esta	fase,	em	
mais	que	uma	apreciação	global	sem	conservação	ou	mesmo	corres-
pondência	termo	a	termo,	e	fundada	simplesmente	na	figura	de	con-
junto	da	 coleção	no	espaço	que	ela	ocupa	e	na	densidade	maior	ou	
menor	de	seus	elementos.	Mas	a	seriação,	por	seu	lado,	só	consiste	em	
justapor	um	termo	a	outro	numa	sucessão	desprovida	de	lei	de	suces-
são e aplicar-se a todos os termos e não conseguindo mais que opor os 
elementos	 'grandes'	 aos	 'pequenos',	por	pares	ou	 séries	 elementares	
não	ligadas	umas	às	outras	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	213-214).
Em	analogia,	entre	esses	dois	processos	não	poderia	haver	conexão,	são	
antagônicos	pela	ordem	lógica	ou	qualitativa	ao	qual	correspondem.	A	saber,	a	
ordenação	não	se	encontra	dissociada	da	seriação	qualitativa,	nem	a	cardinação	
da	construção	de	totalidades	qualificadas,	ou	das	coleções	segundo	a	natureza	
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
82
das	 classes.	 Em	 suma,	 seriar	 significa	 distinguir	 cada	 elemento	 enquanto	 não	
equivalente	aos	outros,	 ao	passo	que	classificar	aponta	 sobre	 reunir	num	 todo	
uma	certa	quantidade	de	elementos	de	modo	equivalente.	
De	acordo	com	Piaget	e	Szeminska	(1981),	na	primeira	fase	a	criança	ao	
seriar	 renuncia	 as	 totalidades	 que	 constrói,	 à	medida	 que	 procura	 avaliar	 por	
totalidades	globais,	não	consegue	estabelecer	nenhuma	ordem.	No	decorrer	da	
segunda	 fase,	 a	 situação	 começa	a	mudar,	quando	a	 criança	 consegue	 realizar	
a	 seriação	 correta	 por	meio	 de	 tentativas	 empíricas.	Nesse	 sentido,	 aprende	 a	
construir	coleções	equivalentes	por	correspondências	termo	a	termo	qualitativas,	
o	que	sugere	uma	ordenação.
Por	 último,	 na	 terceira	 fase	 a	 coordenação	 de	 conjunto	 se	 concretiza	
quando	 a	 operação	 sobrepõe	 a	 intuição	 perceptiva.	 Nessa	 fase,	 surgem	
algumas	características	relacionadas	à	generalização	das	operações	qualitativas;	
diferenciação	das	operações	numéricas,	e	a	interação	do	ordinal	com	o	cardinal.	
Estudaremos	cada	ponto	e	descobriremos	o	início	da	construção	do	número	pela	
criança	segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981).
O	primeiro	ponto	referente	à	generalização das operações qualitativas,	a	
seriação	intuitiva	desaparece	assim	que	se	desconstrói	a	apresentação	perceptiva.	
Ou	seja,	a	seriação	operatória	infere	na	abstração	de	suas	diferenças,	para	depois	
reter	suas	qualidades	comuns,	evidenciado	na	equivalência	dos	elementos	que	
possibilita	a	construção	de	conceitos	relacionados	as	classes	lógicas.	
O	 segundo	 ponto	 a	 ser	 destacada	 diz	 respeito	 à	diferenciação das 
operações numéricas,	quando	a	criança	consegue	formular	composi-
ções	numéricas	correspondentes	e	diferenciá-las	entre	sim.	Nesse	mo-
mento,	o	conceito	de	número	surge	na	medida	em	que	os	elementos	
A,	A',	B',	 ...	 são	percebidos	simplesmente	como	equivalentes	ou	não	
equivalentes,	mas	associados	simultaneamente	enquanto	equivalentes	
ou	não	equivalentes.	Ou	seja,	[...]	o	número	não	é	somente	classe	to-
tatlizante	nem	apenas	relação	seriante,	mas,	ao	mesmo	tempo,	classe	
hierárquica	e	série	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	218,	grifo	nosso).
Por	último,	o	 terceiro	ponto	direcionado	a	 interação do ordinal com o 
cardinal,	surge	com	a	percepção	dos	seguintes	termos,	de	acordo	com	Piaget	e	
Szeminska	(1981):
• Número	cardinal:	classe	onde	seus	elementos	são	concebidos	como	“unidades”	
equivalentes	entre	si,	no	entanto	distintas,	com	suas	diferenças	de	tal	modo	que	
se	consegue	seriar	e	ordená-las.	Resultam	de	uma	abstração	da	relação	que	não	
altera	a	natureza	de	suas	operações.	Portanto,	as	ordens	possíveis	atribuídas	a	
n	termos	resultam	na	mesma	soma	cardinal	n.
• Números	ordinais:	consistem	na	série	onde	os	termos	são	atribuídos	por	suas	
posições	respectivas,	formam	igualmente	unidades	equivalentes	entre	si,	e	são	
suscetíveis	 a	 serem	 agrupadas	 cardinalmente.	 Resultam	 numa	 abstração	 de	
classe,	onde	um	termo	finito	corresponderá	sempre	a	um	conjunto	cardinal	de	n.
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
83
• Números	finitos:	são	ao	mesmo	tempo	cardinais	e	ordinais,	segundo	a	própria	
natureza	do	número,	 sendo	sistema	de	classes	e	de	 relações	assimétricas	no	
mesmo	todo	operatório.
2.6 COMPOSIÇÃO ADITIVA DAS CLASSES E AS 
RELAÇÕES DA CLASSE E DO NÚMERO
Piaget	em	suas	 investigações	prossegue	nessa	etapa,	busca	examinar	se	
a	 construção	 do	 número	 inteiro	 positivo	 apresenta	 relação	 com	 as	 operações	
aditivas	e	multiplicativas.	Os	experimentos	não	incluem	o	conhecimento	verbal	
das	crianças	sobre	as	tabuadas	escolares,	as	resoluções	das	operações	matemáticas.	
Todavia,	 busca	 a	 compreensão	 da	 construção	 do	 próprio	 número	 segundo	 a	
numeração	falada.	
[...]	as	operações	aditivas	e	multiplicativas	 já	se	acham	implícitas	do	
número	como	tal,	pois	um	número	é	uma	reunião	aditiva	de	unidades	
e	a	correspondência	termo	a	termo	entre	duas	coleções	envolve	uma	
multiplicação.	O	verdadeiro	problema,	portanto,	se	se	quer	atingir	as	
raízes	dessas	operações,	é	saber	como	a	criança	toma	consciência	de	
sua	necessidade,	descobrindo-as	no	próprio	interior	das	composições	
numéricas	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	223).
O	conceito	de	número	se	associa	a	uma	classe	seriada,	como	um	produto	
da	classe	e	da	relação	assimétrica.	Nessa	etapa	da	investigação,	Piaget	
pretendeu	 ao	 invés	 de	 derivar	 o	 número	 da	 classe,	 ou	 seu	 inverso,	
abordar	como	complementares	e	recíproco,	mesmo	em	duas	direções	
diferentes	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	218).
No	 estudo	 da	 composição	 aditiva	 das	 classes,	 houve	 a	 necessidade	
de	 analisar	 a	 ligação	 da	 extensão	 lógica	 entre	 os	 termos	 “alguns”	 e	 “todos”,	
evidenciando	o	elemento	de	quantificação	isenta	da	adição,	tanto	das	classes	como	
dos	números.	Para	tanto,	uma	série	de	provas	foram	elaboradas	sustentadas	nas	
seguintes	premissas,	seja	B	uma	coleção	de	objetos	individuais	que	constituem	
uma	classe	lógicadefinível	em	termos	qualitativos,	e	A	uma	parte	dessa	coleção,	
a	constituir	uma	subclasse	definível,	em	termos	qualitativos,	o	problema	se	baseia	
em	saber	se	existe	mais	elementos	na	classe	total	B	que	na	classe	inclusa	A.
Segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981),	os	resultados	foram	apresentados	em	
três	 fases,	que	correspondem	as	 três	etapas	distinguidas	até	o	momento,	 sobre	
a	 evolução	da	 conservação	das	 quantidades	 e	da	 correspondência	 cardinal	 ou	
ordinal.	No	decorrer	da	primeira	 fase,	 a	 criança	não	 entende	que	 as	 classes	B	
abrangerão	sempre	mais	elementos	que	as	classes	de	ordem	A.	Isso	deve-se	ao	
fato	de	não	conseguir	psicologicamente,	pensar	no	todo	B	e	nas	partes	A	e	A',	ou	
seja,	não	concebe	logicamente,	a	classe	B	enquanto	resultado	da	adição	B	=	A	+	A',	
nem	a	classe	A	como	resultado	da	subtração	A	=	B	-	A'.	
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
84
No	 processo	 da	 segunda	 fase,	 a	 criança	 consegue	 paulatinamente	
estabelecer	 que	 as	 classes	 de	 ordem	 B	 contêm	mais	 elementos	 que	
as	 classes	 inclusas	 de	 ordem	 A.	 Contudo,	 realiza	 essa	 descoberta	
intuitivamente,	 sem	 proceder	 de	 modo	 dedutiva	 ou	 operatória,	 ao	
descobrir	a	relação	que	B	>	A.	A	criança	descobre	a	relação	B	>	A	no	
momento	em	que	pensa	no	número	preciso	dos	elementos	da	classe	A'.	
Na	última	fase,	a	criança	compreende	que	a	classe	B	é	mais	numerosa	
que	a	classe	A,	e	concebe	a	composição	aditiva	em	que	B	=	A	+	A'	e	A	=	
B	-	A'	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	218).
A	hierarquia	aditiva	das	classes,	a	seriação	das	relações	e	a	generalização	
operatória	do	número	se	constituem	de	forma	sincrônica	nas	crianças,	
por	volta	dos	6	a	7	anos.	De	 forma	mais	 implícita,	 [...]	no	momento	
em	que	o	raciocínio	da	criança	começa	a	ultrapassar	o	nível	pré-lógico	
inicial	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	253).	
A	 classe,	 a	 relação	 assimétrica	 e	 o	 número	 constituem	 formas	
complementares	 de	 uma	 mesma	 construção	 operatória	 aplicada,	
tanto	para	as	equivalências	com	o	as	diferenças	unidas.	Nessa	fase,	a	
criança	atinge	o	nível	da	operação	reversível	capaz	de	incluir,	seriar	e	
enumerar	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	218).
2.7 COMPOSIÇÃO ADITIVA DOS NÚMEROS E AS 
RELAÇÕES ARITMÉTICAS DE PARTE PARA TODO
Nos	 estudos	 anteriores,	 Piaget	 reconheceu	 que	 a	 inclusão	 lógica	 de	
uma	classe	em	outra	ocorre	na	criança,	no	decorrer	das	duas	primeiras	fases	de	
construção	do	número.	Constatou	uma	certa	dificuldade	sistemática	decorrente	da	
ausência	de	composição	aditiva,	por	não	conseguir	considerar	simultaneamente	
as	partes	e	o	todo.		
Um	problema	assim	encontra	naturalmente	seu	equivalente	no	domínio	
das	 coleções	 numéricas,	 na	 qual	 a	 reunião	 aritmética	 das	 partes	 de	
um	 mesmo	 todo	 constitui	 uma	 das	 operações	 fundamentais	 que	
engendram	o	próprio	número:	a	adição.	Com	efeito,	diferentemente	
da	adição	das	classes,	que	ignora	a	interação	(A	+	A	=	A),	um	número	
adicionado	 a	 si	 mesmo	 engendra	 um	 novo	 número	 (A	 +	A	 =	 2	A)	
(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	254).	
A	busca	por	novas	respostas	advém	do	questionamento	sobre	a	origem	da	
composição	aditiva	das	partes	num	todo,	infere	no	caso	do	número,	dificuldades	
as	 da	 inclusão	 das	 classes	 componentes	 numa	 classe	 total.	 Ou,	 ainda,	 se	 as	
dificuldades	 encontradas	 nesse	 último	 ponto	 são	 de	 ordem	 exclusivamente	
lógica.	Para	os	estudos	sobre	a	construção	do	número,	Piaget	buscou	estudar	a	
função	do	mecanismo	operatório	aditivo,	com	base	em	três	métodos	paralelos.	
 
O	primeiro	objetiva	observar	se	a	criança	compreende	a	identidade	de	um	
todo	por	meio	das	diferentes	composições	aditivas	de	suas	partes.	Assim,	com	
materiais	como	feijão,	a	criança	precisa	analisar	situações	como	(4	+	4)	=	(1	+	7)	=	
(2	+	6)	=	(3	+	5).	O	segundo	método	inclui	em	apresentar	duas	coleções	iguais	de	8	
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
85
e	14	fichas,	e	que	a	criança	organize	em	dois	montes	iguais.	No	terceiro	momento,	
que	complementa	os	demais,	consiste	na	repartição,	onde	a	criança	recebe	uma	
certa	quantidade	de	fichas	e	precisa	dividir	em	dois	montes.	
 
Os	 resultados	 dos	 métodos	 utilizados	 sobre	 a	 composição	 aditiva	
implicaram	em	uma	fase	inicial	de	não	composição.	Uma	fase	intermediária	de	
composição	intuitiva	e	uma	fase	final	de	composição	composta	pela	invariância	
do	 total	 e	 reversabilidade	 das	 operações	 que	 a	 constituem.	 De	modo	 geral,	 a	
composição	aditiva	“[...]	supõe	[...]	as	condutas	espontâneas,	a	síntese	da	coligação	
e	da	enumeração	é	necessária	para	chegar	aquele	nível	operatório	que	define	o	
número	propriamente	dito”	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	272).
 
Portanto,	 no	 decorrer	 da	 primeira	 fase	 o	 pensamento	 da	 criança	
permanece	 de	 modo	 irreversível,	 fixado	 na	 percepção	 de	 sua	
experiência,	 isento	 de	 operações	 que	 permitiriam	 compor	 uma	 por	
meio	 das	 outras.	Durante	 a	 segunda	 fase,	 a	 coordenação	 ocorre	 no	
interior	do	campo	das	percepções,	na	correspondência	termo	a	termo,	
a	enumeração	surge	e	desaparece	assim	que	os	objetos	são	retirados.	
Na	 última	 fase,	 as	 operações	 transpassam	 o	 campo	 da	 percepção	 e	
atingem	 a	 reversabilidade	 em	 suas	 composições.	 Ou	 seja,	 ocorre	 a	
passagem	 da	 percepção	 a	 dedução,	 coordenação	 progressiva	 das	
operações	e	reversabilidade	gradual,	o	que	define	a	evolução	da	razão	
(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	272).
2.8 COORDENAÇÃO DAS RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
E A COMPOSIÇÃO MULTIPLICATIVA DOS NÚMEROS
As	experiências	anteriormente	realizadas	com	as	flores	e	 jarras,	os	ovos	
e	oveiros	podem	ser	ampliadas	para	futuras	descobertas,	nessa	fase	da	investi-
gação.	No	primeiro	momento,	recapitulando,	as	crianças	deveriam	estabelecer	a	
equivalência	entre	uma	coleção	de	flores	e	uma	de	jarras,	correspondendo	termo	
a	termo.	Amplia-se	essa	ação	para	uma	repetição	entre	a	mesma	coleção	de	jarras	
e	uma	nova	coleção	flores.	Assim,	questiona-se	a	criança	se	acaso	F1	=	J1	e	J1	=	F2,	
seria	então	F1	=	F2?	Outras	questões	podem	surgir	no	agrupamento	das	flores	e	
depois	a	criança	precisa	separar	novamente,	essa	quantia,	nas	jarras	com	o	resul-
tado	de	duas	flores	em	cada	jarra.	
Nas	 operações	 multiplicativas	 como	 o	 das	 adições,	 a	 composição	
qualitativa	das	classes	não	ocorre	no	plano	operatório	anterior	a	dos	números,	
mas	 simultaneamente.	 Em	 suma,	 não	 existe	 uma	 fase	 da	multiplicação	 lógica	
e	 uma	 da	 multiplicação	 aritmética,	 sendo	 que	 no	 decorrer	 da	 primeira	 fase	
nenhuma	 dessas	 composições	 aparecem.	 Na	 segunda	 fase,	 ambas	 surgem	 no	
plano	intuitivo,	isentas	de	conclusão	operatória,	somente	na	terceira	fase	ambas	
se	constituem	enquanto	operações	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
86
2.9 COMPOSIÇÕES ADITIVAS E MULTIPLICATIVAS DAS 
RELAÇÕES E O IGUALAMENTO DAS DIFERENÇAS
Piaget	por	meio	de	seus	experimentos,	decifrou	a	composição	aditiva	e	
multiplicativa	das	classes	e	dos	números,	sendo	que	nessa	fase	se	debruçou	em	
descobrir	as	relações	assimétricas	em	relação	ao	número.	Para	isso,	utilizou	da	
técnica	 com	os	 líquidos	que	permite	 estabelecer	 as	 relações	 entre	 quantidades	
contínuas,	 o	 quanto	 os	 líquidos	 são	 suscetíveis	 de	 transvasamentos	 concretos.	
O	 experimento	 em	 si	 conta	 com	 dois	 conjuntos	 de	 dois	 comprimentos	 que	
transmitem	uma	ideia	diferente	dos	seus	componentes,	enquanto	que	despejados	
um	líquido	de	um	recipiente	em	outro,	ou	adicionando	duas	unidades	num	vidro	
único,	surgem	outra	identificação	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
Como	resultados	há	três	fases	evolutivas,	sendo	a	primeira	caracterizada	
pelo	desconhecimento	da	conservação	e	composição	pela	criança.	A	relações	que	
foram	percebidas	permeiam	conceitos	como	alto,	baixo,	mais	ou	menos,	grande	
ou	 pequeno,	 e	 outros,	 que	 se	 alteram	 conforme	 o	 transvasamento,	 isentos	 de	
qualquer	coordenação.	
Entretanto,	 graças	 aos	 progressos	 da	 intuição,	 essas	 relações	
perceptivas	começammais	cedo	ou	mais	tarde	as	coordenar	entre	si,	
no	decurso	das	transformações	pouco	amplas	e	não	mais	apenas	em	
suas	totalidades	globais	atuais:	é	este	começo	da	coordenação	intuitiva	
que	caracteriza	a	segunda	fase	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981,	p.	325).
Nessa	segunda	fase,	surgem	a	conservação,	a	coordenação	das	relações	
inversas	e	das	relações	diretas,	onde	uma	se	sustenta	na	outra.	E,	devido	a	isso,	se	
evidencia	certas	igualdades	numéricas,	onde	os	termos	equivalentes	são	contados	
e	postos	em	correspondência	com	outros.	Nessa	fase	ainda,	a	criança	deposita	sua	
confiança	na	percepção	atual	em	relação	a	regra	de	composição.	Por	isso,	essa	fase	
mantém	a	concepção	intuitiva	construída	por	percepções	interiorizadas	e	fixas,	o	
que	impede	atingir	o	nível	de	operação	(PIAGET;	SZEMINSKA,	1981).
A	 última	 fase	 surge	 por	 meio	 da	 constituição	 do	 agrupamento	 das	
multiplicações	 de	 relações	 e	 o	 grupo	 das	 multiplicações	 numéricas,	 em	 que	
ambos	coordenam	as	operações	no	plano	qualitativo	e	outro	nos	dos	números.	
Segundo	Piaget	e	Szeminska	(1981),	a	noção	de	número	surge	com	a	síntese	da	
classe	e	da	relação	assimétrica,	igualmente	sobre	a	relação	simétrica	(igualdade)	e	
das	diferenças	(relações	assimétricas).	
3 A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO PARA PIAGET
Piaget,	 em	 seus	 estudos,	 apontou	 a	 distinção	 entre	 três	 tipos	 de	
conhecimento	 a	 partir	 de	 suas	 fontes	 básicas	 e	 estrutura.	 Dessa	 forma	 cita	 o	
conhecimento	físico,	conhecimento	lógico-matemático	e	conhecimento	social	ou	
convencional	(KAMII,	2012).
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
87
Os	primeiros	dois	conhecimentos,	Piaget	os	concebeu	em	polos	opostos,	
que	 seriam	 o	 conhecimento	 físico	 em	 um	 e	 o	 lógico-matemático	 em	 outro.	 O	
conhecimento	 físico	consiste	nos	 saberes	dos	objetos	da	 realidade	externa.	Por	
exemplo,	segundo	Kamii	(2012),	o	peso	e	a	cor	de	uma	plaqueta,	que	formam	as	
propriedades	 físicas	que	se	encontram	nos	objetos	na	realidade	externa,	sendo	
conhecidas	por	meio	da	observação.
Agora,	na	apresentação	de	uma	plaqueta	vermelha	e	uma	azul,	se	nota	
a	 diferença	 entre	 ambas,	 um	 exemplo	 do	 conhecimento	 lógico-matemático.	
A	 diferença	 simboliza	 uma	 relação	 criada	mentalmente	 que	 relaciona	 os	 dois	
objetos	entre	si.	Acaso	ambos	não	estivessem	sendo	relacionados,	a	diferença	não	
existiria	(KAMII,	2012).
Em	suma,	as	duas	plaquetas	são	diferentes	em	um	sentido,	mas	parecidas	
em	outro.	Caso	alguém	compare	o	peso	das	duas	plaquetas,	 será	 igual,	numa	
análise	 numérica	 dirá	 que	 são	 “dois”,	 contudo	 sua	 natureza	 observável	 as	
diferencia.	
Nesse	 sentido,	 “o	 número	 é	 a	 relação	 criada	 mentalmente	 por	 cada	
indivíduo”	(KAMII,	2012,	p.	18).	A	criança	avança	na	construção	do	conhecimento	
lógico-matemático,	por	meio	da	coordenação	das	relações	simples	que	elaborou	
entre	os	objetos.	Assim,	pode-se	afirmar	que	o	conhecimento	lógico-matemático	
seria	a	coordenação	de	relações,	sejam	as	relações	de	igualdade,	diferença	e	mais,	
ou	na	relação	em	que	a	criança	coordena	entre	“dois”	e	“dois”	que	deduz	2	+	2	=	
4	e	que	2	x	2	=	4.
Na	concepção	de	Piaget	sobre	a	natureza	lógico-matemática	do	número	
difere	conceitualmente	da	encontrada	nos	 livros	de	matemática.	Nos	 textos	há	
exemplos	de	conjuntos	de	objetos,	pede-se	que	a	criança	encontre	os	conjuntos	
que	contenham	a	mesma	propriedade	de	número.	Esse	tipo	de	atividade	supõe	
que	a	criança	aprende	conceitos	sobre	ao	número	abstraindo	a	propriedade	do	
número,	 juntamente	 com	a	 abstração	da	 cor	 e	 outras	propriedades	 físicas	dos	
objetos	(KAMII,	2012).
Os	estudos	de	Piaget	revelam	que	a	abstração	da	cor	nos	objetos	provém	de	
natureza	diferente	da	abstração	do	número.	“Para	a	abstração	das	propriedades	
a	partir	dos	objetos,	Piaget	usou	o	termo	abstração	empírica	(ou	simples).	Para	a	
abstração	do	número,	ele	usou	o	termo	abstração	reflexiva”	(KAMII,	2012,	p.	20).
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
88
FIGURA 6 – ABSTRAÇÃO DO NÚMERO
FONTE: Adaptada de Kamii (2012, p. 20)
Nos	termos	de	Piaget,	a	distinção	entre	a	abstração	empírica	e	reflexiva	
não	ocorre	na	realidade	psicológica	da	criança,	pois	ambas	coexistem.	Ou	seja,	
um	sistema	de	 referência	 lógico-matemática	 construído	por	meio	da	abstração	
reflexiva,	será	necessária	para	a	abstração	empírica.	Não	há	 fato	que	possa	ser	
isolado,	 em	sua	 contemplação,	da	 realidade	 externa	 como	 se	 fosse	 apenas	um	
conhecimento,	isento	da	relação	com	o	conhecimento	já	construído	numa	forma	
organizada	(KAMII,	2012).	
O	número	na	concepção	de	Piaget	resulta	de	dois	tipos	de	relações	que	
a	criança	elabora	entre	os	objetos,	uma	é	a	ordem	e	a	outra	inclusão	hierárquica.	
Segundo	Kamii	(2012),	as	crianças	pequenas	contam	objetos	saltando	alguns,	ou	
o	mesmo	objeto	mais	de	uma	vez.	Essa	situação	demonstra	“[...]	que	a	criança	não	
sente	a	necessidade	lógica	de	colocar	os	objetos	numa	determinada	ordem	para	
assegurar-se	de	que	não	salta	nenhum	nem	conta	o	mesmo	objeto	duas	vezes”	
(KAMII,	2012,	p.	22).	Nesse	sentido,	a	criança	quantifica	os	objetos	apenas	uma	
de	cada	vez,	de	um	grupo	de	muitos	ao	mesmo	tempo,	mesmo	não	realizando	a	
ordenação	como	operação	mental.	
As	 crianças	 pequenas	 sentem	 dificuldade	 em	 construir	 a	 estrutura	
hierárquica,	 do	mesmo	modo	que	 reagem	a	 tarefa	de	 inclusão	de	 classes.	 Por	
exemplo,	quando	uma	criança	recebe	seis	cachorros	em	miniatura	e	dois	gatos	do	
mesmo	tamanho,	e	o	adulto	questiona	se	existe	mais	cachorros	ou	gatos,	a	criança	
responde	corretamente,	“mais	cachorros”.	Contudo,	assim	que	se	questiona	se	
existe	mais	cachorros	ou	animais,	a	criança	ainda	entende	no	sentido	de	“existe	
mais	cachorros	ou	gatos?”.
As	crianças	pequenas	ouvem	uma	pergunta	diferente	daquela	que	o	
adulto	vez	porque,	uma	vez	que	elas	seccionaram	mentalmente	o	todo	
(animais)	em	duas	partes	 (gatos	e	cachorros),	a	única	coisa	sobre	as	
quais	podem	pensar	são	as	duas	partes.	Para	elas,	naquele	momento,	
o	todo	não	existe	mais.	Elas	conseguem	pensar	sobre	o	todo,	mas	não	
quando	estão	pensando	sobre	as	partes	(KAMII,	2012,	p.	24).
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
89
De	fato,	para	que	as	crianças	comparem	o	todo	com	uma	parte	precisam	
realizar	duas	operações	mentais	simultaneamente,	cortar	o	todo	em	duas	partes	e	
recolocar	as	partes	unindo	para	formar	um	todo.	Ação	que	para	Piaget,	as	crianças	
de	quatro	anos	não	conseguem	realizar.	Somente	entre	seus	sete	e	oito	anos	de	
idade,	a	maior	parte	do	seu	pensamento	se	flexibiliza	o	suficiente	para	entender	a	
reversabilidade	(KAMII,	2012).
“A	reversibilidade	se	refere	à	habilidade	de	realizar	mentalmente	ações	
opostas	simultaneamente	–	neste	caso,	cortar	todo	em	suas	partes	e	reunir	as	partes	
num	todo”	(KAMII,	2012,	p.	25).	Na	ação	física,	essa	situação	é	impossível	de	se	
concretizar,	mas	no	âmbito	psicológico	o	pensamento	organiza	a	reversibilidade.	
Assim,	somente	quando	a	mente	da	criança	conseguir	 reunir	as	partes	em	um	
todo,	 conseguirá	 perceber	 que	 há	 mais	 animais	 que	 cachorros,	 no	 exemplo	
utilizado.	
Segundo	Kamii	(2012,	p.	25),	“[...]	Piaget	explica	a	obtenção	da	estrutura	
hierárquica da inclusão de classes pela mobilidade crescente do pensamento 
da	 criança”.	 Por	 isso,	 a	 necessidade	 das	 crianças	 colocarem	 todos	 os	 tipos	 de	
conteúdos:	objetos,	eventos	e	ações,	inseridos	em	todos	os	tipos	de	relações.	Dessa	
forma,	 seu	 pensamento	 fica	 com	maior	mobilidade	 o	 que	 infere	 na	 estrutura	
lógico-matemática	de	número.	
A	 teoria	 sobre	 o	 número	 de	 Piaget	 contraria	 o	 pressuposto	 de	 que	 os	
conceitos	 numéricos	 podem	 ser	 ensinados	 pela	 transmissão	 social,	 como	 o	
conhecimento	social,	principalmente	no	ensino	da	contagem	pelas	crianças.	Para	
o	estudioso,	a	origem	do	conhecimento	social	seriam	as	convenções	construídas	
pelas	pessoas	em	uma	determinada	sociedade.	O	mesmo	objeto	poderá	apresentar	
nomes	em	várias	línguas,	mesmo	porque	não	há	relação	física	ou	lógica,entre	um	
objeto	e	o	seu	nome.	Então,	“[...]	para	que	a	criança	adquira	o	conhecimento	social	
é	indispensável	a	interferência	de	outras	pessoas”	(KAMII,	2012,	p.	26).
De	modo	geral,	o	conhecimento	social	assim	como	o	conhecimento	físico	
requer	 uma	 estrutura	 lógico-matemática	 para	 sua	 assimilação	 e	 organização.	
Da	mesma	forma	em	que	a	criança	precisa	da	estrutura	lógico-matemática	para	
reconhecer	um	peixe	vermelho,	conhecimento	físico,	necessitará	também	da	mesma	
estrutura	 para	 compreender	 o	 significado	 da	 palavra	 “peixe”,	 conhecimento	
social.	“As	palavras	um,	dois,	três,	quatro	são	exemplos	de	conhecimento	social	
[...].	Contudo,	 a	 ideia	 subjacente	de	número	pertence	 ao	 conhecimento	 lógico-
matemático,	o	qual	é	universal”	(KAMII,	2012,	p.	27).
De	acordo	com	Kamii	(2012),	Piaget,	em	seus	experimentos,	provou	que	
os	 conceitos	 numéricos	 não	 são	 adquiridos	 por	meio	 da	 linguagem.	 Todavia,	
o	número	consiste	em	algo	que	cada	 indivíduo	constrói	por	meio	da	criação	e	
coordenação	de	relações.	
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
90
OS PRIMEIROS ANOS DO ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTUDO 
PSICOPEDAGÓGICO SOBRE AS ORIGENS DAS DIFICULDADES DE 
APRENEDER MATEMÁTICA
Euzane	Maria	Cordeiro
Guilherme	Saramago	de	Oliveira
No	modelo	de	prática	pedagógica	predominante,	de	maneira	geral,	
os	 professores	 se	 limitam	 a	 vigiar,	 controlar,	 indicar,	 ordenar,	 aconselhar,	
corrigir,	ensinar	transmitindo	verbalmente	a	matéria,	enquanto	o	aluno	presta	
atenção,	 copia	 e	 reproduz	 os	 saberes	 recebidos.	 O	 trabalho	 mecanizado,	
repetido,	desprovido	de	significado	efetivo	para	o	aluno,	pouco	contribui	para	
ajudá-lo	a	resolver	problemas	da	vida	cotidiana	e	principalmente	desenvolver	
suas	competências	lógico-matemáticas.	Para	Fraga	(1988),
[...]	 alunos,	 pais	 e	 professores	 demonstram	 insatisfação	 com	
relação	 à	 Matemática	 elementar,	 encarando-a	 como	 difícil,	
admitindo	 o	 fracasso	 até	 como	natural	 e	 recorrendo	 a	 apoios	 e	
recuperações	 pedagógicas	 no	 sentido	 de	 amenizar	 o	 estado	 de	
coisas,	considerado	em	muitos	casos	como	fato	consumado	e	até	
irreversível	(FRAGA,	1988,	p.	1).
Se	 os	 alunos	 não	 conseguem	 aprender	 um	 determinado	 conteúdo,	
em	geral,	muitos	docentes	afirmam	que	eles	têm	problemas	inerentes	a	eles	
mesmos	e/ou	ocasionados	pela	situação	familiar	ou	social,	sem	que	se	discuta,	
com	a	mesma	veemência,	 a	 forma	como	está	 sendo	desenvolvida	a	prática	
pedagógica	em	Matemática.	
Uma	suposta	responsabilidade	pela	não	aprendizagem	dos	conteúdos	
de	Matemática	alocada	no	aluno,	muitas	vezes	acaba	por	ser	assimilada	por	
ele,	 quando	 revela,	 por	 exemplo,	 que	 “não	 sou	 capaz”,	 “é	 muito	 difícil”,	
“tenho	muitas	dificuldades	com	cálculos”.	Declarações	como	essas	dos	alunos,	
poderiam	 também	 ser	 assumidas	 por	 vários	 profissionais	 da	 educação,	 cuja	
prática	de	ensino	encobre,	possivelmente,	suas	reais	dificuldades	em	lidar	com	
o	 conhecimento	matemático.	 “Em	 consequência	do	desgosto	manifesto	 e	da	
suposta	 incapacidade	 para	Matemática,	 tem-se	 um	professor	 que	 julgará	 os	
seus	alunos,	na	maioria,	incapazes	de	aprendê-la”	(CARVALHO,	1991,	p.	17).
Se	por	um	lado	temos	quem	não	aprende,	por	outro,	temos	também	
quem	provavelmente	não	ensina	bem.	O	professor	é	considerado	um	elemento	
fundamental	na	aprendizagem	do	aluno	e	como	tal,	deveria	receber	uma	boa	
formação	inicial	e	no	exercício	profissional	ter	a	oportunidade	de	participar	
de	 cursos,	palestras	 e	 similares	 com	vistas	 à	 sua	permanente	 atualização	 e	
aperfeiçoamento.
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
91
A	esse	respeito	Carvalho	(1991)	realiza	a	seguinte	reflexão:
Por que uma porcentagem tão pequena de alunos aprende 
Matemática?	 Por	 que	 a	 maior	 parte	 dos	 alunos	 afirma	 não	
entender	 Matemática?	 Como	 propor	 um	 trabalho	 de	 sala	 de	
aula	que	capacite	os	futuros	professores	a	atuar	de	tal	modo	que	
promovam	 o	 aprendizado	 da	 Matemática	 nas	 classes	 de	 pré-
escola	e	de	1ª	a	4ª	série?	São	questões	fundamentais	na	reflexão	
sobre	o	ensino	da	Matemática	(CARVALHO,	1991,	p.	15).
Na	verdade,	é	necessário	que	o	ensino	de	Matemática	atual	tenha	reno-
vação	dos	métodos	utilizados	e	dos	objetivos	estabelecidos,	de	tal	modo	que	
sejam	implementadas	estratégias	e	procedimentos	que	produzam	resultados	
positivos,	capazes	de	preparar	os	alunos	para	raciocinarem	em	qualquer	situ-
ação	de	suas	vidas,	com	espírito	crítico,	com	objetividade,	coerência	de	pen-
samento	e	criatividade.	“A	Matemática	deverá	ser	vista	pelo	aluno	como	um	
conhecimento	que	pode	 favorecer	o	desenvolvimento	do	seu	raciocínio,	de	
sua	capacidade	expressiva,	de	sua	sensibilidade	estética	e	de	sua	imaginação”	
(BRASIL,	1997,	p.	31).	
As	deficiências	ocorridas	na	formação	do	aluno	no	Ensino	Fundamental	
acarretam	inúmeros	problemas.	A	falta	de	alicerces,	de	uma	sólida	preparação	
é	 de	 difícil	 solução,	 e	 produz	 efeitos	 até	 o	 nível	 superior.	 É	 fundamental,	
portanto,	 buscar	 possíveis	 alternativas	 no	 sentido	 de	 tomar	 decisões	 a	
respeito	de	como	ensinar	de	forma	criadora,	estimulante,	tornando	o	aprender	
Matemática	um	procedimento	de	interesse	da	maioria	dos	discentes.
[...]
A	não	aprendizagem	da	Matemática,	por	muitos	alunos,	decorre	muitas	
vezes	de	determinadas	concepções	que	entendem	que	a	aprendizagem	se	limita	
a	 respostas	 padronizadas	 dadas	 pelos	 estudantes	 e	 seguidas	 de	 estímulos,	
muitas	 vezes	 sem	 a	 devida	 compreensão.	 O	 professor	 pretende	 com	 aulas	
expositivas,	emitir	estímulos	onde	a	resposta	seja	a	aprendizagem,	concebendo	
o	aprender	como	sendo	um	ato	de	consumo,	estímulo,	reforço,	memorização,	
simples	reprodução.	
Dessa	forma,	a	Matemática	torna-se	estranha	ao	mundo	do	aluno,	que	
a	recusa	por	lhe	ser	imposta	e	por	não	perceber	um	sentido	na	sua	aquisição.	
Alguns	 alunos	 até	 emitem	 algumas	 respostas	 esperadas	 pelo	 professor	 de	
Matemática,	 para	 satisfazer	 a	 Escola.	 	Mas	 essas	 respostas	 são	descartadas	
logo	em	seguida	de	seu	universo	simbólico.	Uma	rápida	aprendizagem	segue-
se	de	um	quase	 imediato	esquecimento.	Outros	alunos	se	dispõem	à	 tarefa	
de	 aprender;	mas	 boa	 parte	 dos	 alunos	 engana	 a	 escola	 da	mesma	 forma	
que	são	enganados	por	ela:	assumem	a	farsa.	Muitos,	por	não	suportarem	a	
convivência	com	uma	Matemática	não	compreendida,	afastam-se	da	escola.	
Esses	 alunos	 	 	 sentem	 seus	 pensamentos	 invadidos	 por	 ideias	 alheias,	 de	
quem	fala	sem	estar	disposto	a	ouvir.
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
92
O	ensino	da	Matemática	deve	ser	visto	como	um	projeto,	um	lançar-
se	 para	 o	 futuro,	 para	 que	 os	 resultados	 desse	 ensino	 não	 sejam	 apenas	
um	 aprendizado	 de	 procedimentos	 a	 serem	 rigorosamente	 seguidos,	 mas	
sejam	 também,	para	o	 sujeito,	 apreensão/compreensão	do	mundo	e	de	 seu	
estar	nele,	ora	como	ator	principal,	ora	como	ator	coadjuvante,	mas	sempre 
como	partícipe,	com	todas	as	suas	competências	e	habilidades	potenciais	e	em	
constante	e	permanente	desenvolvimento.
[...]
Procedimentos Metodológicos
Neste	 estudo	 foi	 adotado	 o	método	 descritivo	 qualitativo	 na	 busca	
de	compreender	os	significados,	motivos,	concepções,	valores	e	atitudes	que	
impactam	diretamente	na	temática	estudada.
Esse	método	foi	implementado	por	meio	da	realização	de	entrevistas,	
de	observações	diversas	 realizadas	no	 espaço	 escolar	 e	na	 sala	de	 aula,	da		
aplicação	 de	 questionários	 junto	 aos	 pais,	 professores	 e	 estudante,	 e	 por	
outras	estratégias	de	investigação	complementares,	dentre	elas:	avaliação	de	
leitura	 e	 escrita;	 entrevista	 operativa	 centrada	na	 aprendizagem	 (E.O.C.A.) 
realizada	de	acordo	com	Visca	(1998),	a	fim	de	conhecer	os	vínculos	do	sujeito	
com	a	aprendizagem;	verificação	do	conhecimento	Matemático,	por	meio	de	
atividades	 com	 jogos	Matemáticos	 e	pré-testes	de	Matemática.	As	diversas	
observações	realizadas	no	ambiente	escolar	durante	o	processo	de	diagnósticopsicopedagógico	permitiram	a	constatação	de	que	o	estudante	apresentava	
adequado	 relacionamento	 com	 os	 colegas	 e	 profissionais	 da	 escola,	 sendo	
bastante	atencioso	e	educado.
As	 atividades	 de	 leitura	 e	 escrita	 desenvolvidas	 pelo	 pesquisador	
indicaram	 que	 o	 aluno	 pesquisado	 não	 possui	 dificuldades	 complexas	 em	
relação	à	escrita,	leitura	e	interpretação	de	textos,	podendo	ser	considerado	
um	bom	leitor.	
No	desenvolvimento	da	entrevista	operativa	centrada	na	aprendizagem	
(E.O.C.A.),	 foi	possível	perceber	que	a	prática	de	ensino	desenvolvida	pelo	
professor,	sobretudo	nas	aulas	de	Matemática,	é	marcada	pela	exposição	oral,	
pelo	uso	constante	da	lousa	e	pela	realização	de	exercícios	padronizados	em	
um	ambiente	pedagógico	pouco	estimulador.	
Na	 realização	 das	 diferentes	 atividades	 de	 Matemática	 propostas	
pelo	 pesquisador,	 o	 aluno	 demonstrou	 pleno	 interesse	 e	 envolvimento	 e	
obteve	resultados	satisfatórios.	De	modo	geral,	as	atividades	de	diagnóstico	
desenvolvidas	em	relação	aos	saberes	matemáticos	foram:	jogos	Matemáticos	
de	adição,	subtração	e	multiplicação,	 jogo	da	memória	com	letras	e	figuras;	
dominó	 de	 Matemática,	 interpretação	 de	 texto	 e	 por	 fim	 um	 teste	 de	
Matemática.	
TÓPICO 1 — A GÊNESE DO NÚMERO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET
93
Pelas	entrevistas	desenvolvidas	foi	possível	detectar	as	concepções	de	
ensino	e	de	aprendizagem	apresentadas	pelo	professor,	a	relação	do	estudante	
com	o	processo	de	ensino	instituído	na	sala	de	aula	e	com	os	estudos	fora	do	
contexto	escolar	e	também	algumas	prováveis	explicações	para	compreender	
o	seu	desenvolvimento	escolar. 
Discutindo e Analisando os Resultados
A	partir	do	entendimento	resultante	da	referenciação	teórica	adotada	
e	de	acordo	com	as	observações	realizadas	e	do	diagnóstico	psicopedagógico,	
foi	possível	concluir	que	os	motivos	do	(não)	aprender,	ou	das	dificuldades	
de	aprendizagem	do	estudante	são,	em	grande	parte,	de	origem	pedagógica,	
tendo	como	“falha”	o	processo	didático-metodológico.	
Numa	mesma	turma,	cada	estudante	apresenta	dificuldades	diferen-
tes,	e	o	professor	deve	estar	apto	a	compreender	e	identificar	as	dúvidas	de	
cada	aluno	seja	na	leitura	ou	na	escrita	ou	na	Matemática	propriamente	dita,	e	
esse	olhar	poderá	ocorrer	quando	são	desenvolvidos	jogos,	atividades	recre-
ativas	e	em	observações	assistemáticas	em	sala	de	aula.	Essa	vivência	em	um	
contexto	mais	dinâmico	na	sala	de	aula	permite	ao	estudante	adquirir	noções	
básicas	de	Matemática,	como	a	linguagem	numérica,	as	relações	quantitati-
vas,	a	contagem	etc.
 
É	preciso	que	o	professor	atente	para	as	diferentes	formas	de	ensinar,	
pois,	há	muitas	maneiras	de	aprender.	O	professor	deve	 ter	consciência	da	
importância	 de	 criar	 vínculos	 com	 os	 seus	 alunos	 através	 das	 atividades	
cotidianas,	construindo	e	reconstruindo	sempre	novos	vínculos,	mais	fortes	
e	positivos.	
[...]
Concluindo
Este	 estudo	 possibilitou	 várias	 reflexões	 sobre	 o	 desenvolvimento	
da	 prática	 pedagógica	 em	 Matemática	 e	 das	 abordagens	 realizadas	 pelo	
professor	diante	das	dificuldades	apresentadas	pelo	estudante	do	5º	Ano	do	
Ensino	Fundamental	que	foi	pesquisado.	
No	ensino	de	Matemática	é	essencial	que	o	estudante	esteja	ativamente	
envolvido	no	processo	educativo,	por	isso,	situações	diversificadas	de	ensino	
e	 de	 aprendizagem	 que	 estimulem	 e	 despertem	 o	 interesse	 pelos	 saberes	
matemáticos	 dos	 alunos	 com	 dificuldades	 de	 aprendizagem,	 é	 o	 primeiro	
passo	para	modificar	uma	situação	de	atraso	ou	de	aprendizagem	lenta.	
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
94
É	importante	também	esclarecer,	que	na	sala	de	aula,	ao	interagir	com	
cada	aluno	em	particular	e	se	relacionar	com	a	classe	como	um	todo,	o	professor	
não	 apenas	 transmite	 conhecimentos,	 em	 forma	 de	 informações,	 conceitos	
e	 ideias,	 mas	 também	 facilita	 a	 veiculação	 de	 ideais,	 valores	 e	 diferentes	
princípios	 de	 vida,	 ajudando	 a	 formar	 a	 personalidade	 do	 educando.	 Por	
isso,	o	professor	deve	ter	bem	claro	que,	antes	de	ser	um	professor,	ele	é	um	
educador.	
Sabemos	 que	 um	 professor	 sozinho	 pouco	 pode	 fazer	 diante	 da	
complexidade	de	questões	que	seus	alunos	apresentam	ao	longo	do	processo	
de	 ensinar	 e	 aprender.	 Por	 este	 motivo,	 a	 constituição	 de	 uma	 equipe	
multidisciplinar,	que	permita	pensar	o	trabalho	educativo	desde	os	diversos	
campos	do	conhecimento,	é	fundamental	para	compor	uma	prática	educativa	
junto	ao	professor.
Para	saber	mais	sobre	o	assunto,	acesse:	http://www.revistas.uniube.br/index.
php/anais/article/view/792,	conheça	o	material	na	íntegra.	Aproveite	e	amplie	
seus conhecimentos!
95
Neste tópico, você aprendeu que:
RESUMO DO TÓPICO 1
• O conhecimento	 científico	 tanto	 o	 prévio,	 esse	 último	 como	 aquele	 que	 a	
criança	aprende	desde	o	nascimento	no	seu	convívio,	pressupõe	um	sistema.	
Esse	sistema	implícito	ou	explícito	contém	princípios	de	conservação.
•	 O	pensamento	aritmético	segue	a	mesma	regra,	onde	um	conjunto	ou	coleção	
não	serão	compreendidos	sem	que	seu	valor	total	permaneça	inalterado.
•	 Piaget	utilizou	algumas	 técnicas	 em	crianças	na	 faixa	etária	de	4	a	7	anos	e	
investigou	sob	a	análise	psicogenética,	como	as	noções	aritméticas	se	estruturam	
progressivamente.
•	 Os	resultados	obtidos	expressam	que	as	quantidades	contínuas	não	são	con-
sideradas	inicialmente	como	constantes,	que	sua	conservação	será	construída	
progressivamente,	de	acordo	com	o	mecanismo	intelectual	da	criança.
 
•	 O	estudioso	Piaget	desenvolveu	técnicas	para	investigar	no	campo	psicológico,	
como	a	criança	descobre	ou	realiza	a	correspondência	termo	a	termo.
•	 O	estudioso	pretende	investigar	em	como	a	criança	apreende	um	esforço	para	
avaliar	 o	 valor	 cardinal	 de	 uma	 coleção,	 sobre	 os	 tipos	 de	 correspondência	
empregados,	os	métodos	que	precedem	a	correspondência	termo	a	termo	ou	a	
sucederam	imediatamente.
•	 Nessa	 etapa	 dos	 experimentos	 objetivou-se	 investigar	 a	 seriação	 qualitativa	
simples,	 a	 correspondência	 qualitativa	 entre	 duas	 seriações	 (similitude)	 e	 a	
correspondência	numérica,	ordinal	entre	as	duas	séries.
•	 As	 investigações	 relacionadas	 a	 correspondência	 serial	 e	 correspondência	
ordinal	sobre	a	sucessão	de	unidades,	sugere	que	a	ordenação	supõe	sempre	a	
cardinação.
•	 Piaget	 em	 suas	 investigações	 prossegue	 nessa	 etapa,	 busca	 examinar	 se	 a	
construção	 do	 número	 inteiro	 positivo	 apresenta	 relação	 com	 as	 operações	
aditivas	e	multiplicativas.
•	 O	conceito	de	número	se	associa	a	uma	classe	seriada,	como	um	produto	da	
classe	e	da	relação	assimétrica.
96
•	 A	 busca	 por	 novas	 respostas	 advém	do	 questionamento	 sobre	 a	 origem	da	
composição	aditiva	das	partes	num	todo,	infere	no	caso	do	número,	dificuldades	
as	da	inclusão	das	classes	componentes	numa	classe	total.
•	 Nas	operações	multiplicativas	como	o	das	adições,	a	composição	qualitativa	
das	 classes	 não	 ocorre	 no	 plano	 operatório	 anterior	 a	 dos	 números,	 mas	
simultaneamente.
 
•	 Piaget	em	seus	estudos	apontou	a	distinção	entre	três	tipos	de	conhecimento	a	
partir	de	suas	fontes	básicas	e	estrutura.	Dessa	forma,	cita	o	conhecimento	físico,	
conhecimento	lógico-matemático	e	conhecimento	social	ou	convencional.
97
1	 O	 conhecimento	 prévio	 e	 o	 científico	 consistem	 em	 sistemas	 implícitos	
ou	explícitos	com	princípios	de	conservação.	Assim,	ambas	as	 formas	de	
conhecimento	buscam	organizar	um	sistema	de	ideias,	que	introduz	uma	
permanência	em	suas	definições.	Com	base	na	necessidade	de	conservação	
a	nível	psicológico,	analise	as	sentenças	a	seguir:	
I-	 Surge	como	uma	forma	funcional	do	pensamento.	
II-	 Ocorre	somente	em	meio	ao	seu	desenvolvimento	biológico.
III-	Acontece	nas	interações	que	estabelece	com	o	meio	interno	e	externo.
IV-	Resulta	exclusivamente	das	interações	sociais	com	o	outro.	
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	II	e	IV	estão	corretas.	
b)	(			)As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
c)	(			)	 As	sentenças	I	e	II	estão	corretas.
d)	(			)	 As	sentenças	III	e	IV	estão	corretas.	
2	 Observe	o	seguinte	estudo	de	caso:	a	professora	do	primeiro	ano	do	Ensino	
Fundamental,	no	primeiro	mês	de	aula,	apresentou	uma	dúvida	sobre	o	
desenvolvimento	das	crianças	a	respeito	da	aprendizagem	matemática.	A	
psicopedagoga	propôs	a	realização	do	Diagnóstico	Operatório,	segundo	os	
pressupostos	de	Piaget	e	Szeniska.	Assim,	 foram	agendados	em	horários	
individualizados	 com	 as	 crianças	 a	 intervenção	 psicopedagógica	 para	
investigar	a	Conservação	das	Quantidades	e	a	Invariância	dos	Conjuntos.	
Descreva	como	você,	acadêmico,	procederia	nessa	situação	e	utilize	a	prova	
com	os	líquidos	sugerida	por	Piaget	e	Szeniska	para	investigar	a	Conservação	
das	Quantidades,	apresente	os	resultados	que	poderão	ser	obtidos.
AUTOATIVIDADE
98
99
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Prezado	acadêmico,	neste	tópico	estudaremos	os	pressupostos	da	teoria	
sociocultural	 idealizada	 por	 Vygotsky,	 mais	 precisamente	 na	 construção	 do	
conhecimento	na	 criança.	A	 atuação	do	Psicopedagogo	 Institucional	 incide	no	
processo	de	ensino	e	aprendizagem	das	crianças,	nas	relações	que	esta	estabelece	
com	o	conhecimento.	Com	base	nessa	prerrogativa,	salientamos	a	importância	do	
profissional	conhecer	como	ocorre	no	 indivíduo,	o	processo	da	construção	dos	
conceitos,	muito	bem	explicitado	por	Vygotsky.
A	 teoria	 de	 Vygotsky	 não	 aborda	 especificamente	 o	 ensino	 restrito	
de	 uma	 determinada	 área	 do	 conhecimento,	 como	 a	 matemática.	 Entretanto,	
traz	 fundamentos	 que	 são	 aplicados	 amplamente	 no	 processo	 de	 ensino	 e	
aprendizagem,	 bem	 como	 nas	 intervenções	 psicopedagógicas,	 que	 também	
atuam	no	processo	de	construção	do	conhecimento	na	criança.	
Dessa	forma,	abordaremos	conceitos	referentes	à	mediatização	psicope-
dagógica	na	educabilidade	cognitiva.	Na	relação	de	interação	e	cooperação	que	
incide	no	desenvolvimento	das	intervenções,	de	acordo	com	o	processo	cognitivo	
e	da	neurodiversidade	da	criança.	
Incluímos	nos	estudos	aspectos	relacionados	ao	desenvolvimento	infan-
til	 e	à	consequente	 formação	de	conceitos.	Para	Vygotsky,	o	desenvolvimento	
humano	se	estrutura	em	dois	aspectos:	biológico	e	social.	Ainda,	define	quatro	
períodos	com	fases,	segundo	a	 faixa	etária,	os	 fatores	biológicos	e	sua	relação	
com	o	meio.	
Os	 estudos	 contemplam	 o	 desenvolvimento	 dos	 conceitos	 cotidianos	 e	
científicos,	por	meio	das	alterações	do	significado	da	palavra	(signo)	que	formula	
o	conceito.	E,	por	fim,	os	princípios	da	Zona	de	Desenvolvimento	Proximal	(ZDP)	
onde	a	criança	passa	por	níveis	de	aprendizagem.
TÓPICO 2 — 
A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS 
DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO 
PSICOPEDAGÓGICA
100
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
2 OS PRESSUPOSTOS DA MEDIATIZAÇÃO PSICOPEDAGÓGICA 
ENQUANTO AÇÃO SOCIOCULTURAL
Vygotsky	desenvolveu	uma	teoria	fundamentada	na	interação	social,	no	
modo	de	como	a	criança	aprende	na	observação	e	imitação	do	outro.	Com	relação	
ao	desenvolvimento	cognitivo,	Fonseca	(2019,	s.p.)	afirma	que	“[...]	corresponde	
à	construção	da	realidade	com	base	na	interação	da	criança	com	adultos	mais	ex-
perientes,	reforçando	a	natureza	interacional	e	social	da	aprendizagem	humana”.	
Assim,	nesse	convívio	a	criança	 internaliza	a	dinâmica	do	discurso	que	
auxilia	no	desenvolvimento	do	processo	de	pensamento	dialógico.	Ou	seja,	“[...]	
a	cognição	da	criança	tem	origem	na	interação	social	e	é	influenciada	por	fatores	
sociais,	históricos	e	culturais,	reforçando	o	papel	da	linguagem	como	instrumento	
de	comunicação	cultural”	(FONSECA,	2019,	s.p.).	
Para	Vygostky,	a	exposição	da	criança	a	natureza	e	aos	objetos,	bem	como	
as	tarefas	de	aprendizagem	ou	qualquer	conteúdo,	não	atinge	o	desenvolvimento	
das	funções	psicológicas	superiores.	Para	que	a	criança	aprenda,	há	necessidade	
de	observar	o	modo	como	os	outros	utilizam	os	artefatos	 e	 as	práticas	de	 sua	
cultura,	e	somente	assim	compreendem	a	sua	utilidade	pessoal	e	social.	
Por	meio	do	enriquecimento	cognitivo	microgenético,	ou	seja,	aquele	que	
ocorre	por	pequenas	compreensões	no	estilo	passo	a	passo	de	aprendizagem,	as	
crianças	conseguem	criar	e	utilizar	os	objetos,	ao	mesmo	tempo	em	que	entendem	
seu	valor	social.	Vygotsky	sustenta	sua	teoria	de	aprendizagem	cultural	baseado	
em	três	fundamentos;	na	linguagem,	praxia	e	na	cognição	(FONSECA,	2019).
A	linguagem,	na	concepção	de	Vygotsky,	
[...]	 transforma	 os	 processos	 de	 aprendizagem,	 de	 compreensão	 e	
de	pensamento	da	criança;	é	o	instrumento	prioritário	da	sua	socia-
bilização,	e	concomitantemente,	da	sua	cognição,	podendo	com	ela	
iniciar	a	construção	de	representações	cognitivas	dialógicas	e	múlti-
plas	para	além	da	sua	própria	subjetividade	(FONSECA,	2019,	s	p.).
Com	 base	 nessa	 construção	 do	 desenvolvimento	 cognitivo,	 a	 criança	
consegue	analisar	seu	pensamento	a	partir	da	perspectiva	dos	outros	com	quem	
interagem.	Nesse	sentido,	por	meio	da	incorporação	desses	modos,	a	criança	é	
capaz	 de	 automonitorizar,	 autorregular,	 sistematizar	 e	 compreender,	 tornar	
metacognitivo	o	seu	processo	de	aprendizagem	(FONSECA,	2019).
Na	transformação	e	transição	da	linguagem	exterior	na	linguagem	interior	
é	que	Vygotsky	concebe	o	desenvolvimento	cognitivo	da	criança.	A	linguagem	
passa	a	ser	construída	baseada	em	duas	propriedades,	segundo	Fonseca	(2019):
1.	 Estilo	 interior,	 ou	 egocêntrica,	 onde	 a	 criança	 refere-se	 a	 sua	 dimensão	
experiencial	e	que	desenvolve	posteriormente.
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
101
2.	 Estilo	exterior,	enquanto	instrumento	de	pensamento	lógico	e	que	acontece	
em	meio	as	interações	com	os	outros	mais	experientes.	Desenvolve-se	do	pri-
meiro	sistema	simbólico,	a	linguagem	falada,	em	direção	ao	segundo	sistema	
simbólico,	a	linguagem	escrita,	enquanto	evolução	da	linguagem	social.	
A	 criança	 se	desenvolve	da	 ação	 ao	pensamento,	do	gesto	 à	palavra,	 e	
assim	também	ocorre	com	a	 linguagem,	que	se	desenvolve	do	exterior	 (social)	
para	o	interior	(individual).	Isso	infere	na	criança	uma	interiorização	cognitiva,	
“os	circuitos	neuronais	no	cérebro	pré-estruturado	da	criança	são	desencadeados	
e	 mediatizados	 pelas	 interações	 linguísticas	 dos	 entes	 sociais	 mais	 próximos,	
afetivos	e	maduros	que	a	rodeiam”	(FONSECA,	2019,	s.p.).
O	processo	de	aprendizagem	na	criança	ocorre	por	meio	de	três	tipos	de	
aprendizagem	cultural,	inicia	com	a	imitação,	passa	pelo	processo	de	mediatização,	
e	finaliza	 com	a	 colaboração.	Assim,	 a	 relação	que	o	professor	 estabelece	 com	
o	 aluno,	 ou	 o	 Psicopedagogo	 com	 a	 criança	 na	 educabilidade	 cognitiva,	 não	
assumem	unicamente	um	caráter	terapêutico	ou	reeducativo.	Todavia,	amálgama	
uma	relação	de	vinculação,	interação,	cooperação	e	mediatização	cognitiva	que	
busca	atribuir	sentidos	e	identificar	intervenções	segundo	o	processo	cognitivo	e	
da	neurodiversidade	da	criança	(FONSECA,	2019).
Se	a	criança	ou	o	jovem	não	conseguem	resolver	as	situações-proble-
ma	ou	as	tarefas	propostas	com	os	seus	próprios	recursos	cognitivos	
ou	de	forma	totalmente	independente	ou	sozinha,	as	tarefas	ou	ati-
vidades	de	aprendizagem	podem	ser	interiorizadas	por	eles	através	
da	 mediatização	 do	 professor	 ou	 do	 reeducador,	 mobilizando	 as	
funções	cognitivas	que	integram	e	organizam	as	repostas	adaptati-
vas,	como	a	atenção	tônico-postural	envolvimental,	o	processamen-
to	de	dados	e	a	planificação	e	a	antecipação	verbal	ou	simbólica	das	
suas	 respostas,	 também	 consideradas	 em	 termos	 cognitivos	 como	
praxias	(FONSECA,	2019,	s.p.).
Fonseca	 (2019)	 define	 o	 termo	 “praxia”,	 de	 origem	 grega,	 como	 uma	
ação	reveladora	da	cognição	que	a	sente,	controla	e	regula,	ou	seja,	na	atividade	
humana	 criativa	 inerente	 aos	 processos	 de	 aprendizagem.	 Consiste	 também	
numa	resposta	adaptativa	a	uma	determinada	situação-problema,	que	envolve	a	
habilidade,	competência,ou	a	própria	aprendizagem	do	indivíduo.	
De	modo	geral,	a	intervenção	psicopedagógica	segundo	os	pressupostos	
da	teoria	de	Vygotsky,	em	relação	à	educabilidade	cognitiva,	será	composta	pela	
interação	do	psicopedagogo	e	as	descobertas	e	respostas	adaptativas	das	crianças	
na	resolução	das	tarefas.	Assim,	por	meio	da	descoberta	guiada,	as	crianças	serão	
motivadas	por	perguntas	ou	simbolizações	(mediatização)	de	acordo	com	suas	
necessidades	cognitivas	(FONSECA,	2019).
Segundo	 Fonseca	 (2019),	 o	 processo	 da	 mediatização	 permite	 que	
os	 indivíduos	 experientes	 transmitam	 a	 cultura	 por	 meio	 das	 interações	 e	
demonstrações	intencionais,	em	reforços	diretos	e	imediatos	e	nos	processos	de	
instrução.	Também,	por	meio	do	incentivo	a	atenção,	análise,	comparação,	que	
102
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
desencadeiam	 funções	 cognitivas	 nas	 crianças,	 com	o	 objetivo	 de	 desenvolver	
processos	 de	 internalização,	 que	 permitam	 que	 o	 indivíduo	 opere	 na	 sua	
reprodução,	enquanto	cultura	transmitida.	
Aprender	 reclama,	 desse	 modo,	 muitas	 horas	 de	 investimento	
psicomotor	individual	do	ser	inexperiente,	em	termos	de	autocontrole	
e	motivação	pelo	esforço	necessário	para	dominar	uma	determinada	
competência,	 seja	 cinestésica,	 linguística	 ou	 cognitiva,	mas	 reclama,	
igualmente,	investimento	relacional	e	socioemocional	de	outros	mais	
experientes	par	 que	 estes	 expliquem	as	finas	nuanças	 estratégicas	 e	
táticas	que	permitem	aquele	atingir	a	perfeição	(FONSECA,	2019,	s.p.).
Inclusive,	 os	 indivíduos	 experientes	 transmitem	 cultura	 por	 meio	
de	 atividades	 colaborativas	 e	 interativas	 com	 outros	 menos	 experientes.	
O	 conhecimento	 e	 a	 cultura	 são	 transmitidos	 as	 próximas	 gerações,	 numa	
reeducação	 cognitiva,	 onde	 o	 conhecimento	 será	 transmitido	 a	 uma	 geração	
diferente	(FONSECA,	2019).
A	 atuação	 do	 psicopedagogo	 nessa	 abordagem	 teórica,	 parte	 das	
habilidades	cognitivas	prévias	das	crianças,	e	busca	organizar	um	programa	de	
intervenção	cognitivo	individualizado.	Ademais,	deve	também,	buscar	os	pontos	
fortes	 e	 fracos	da	 criança,	numa	avaliação	 cognitiva	dinâmica.	Na	busca	pelas	
áreas	da	ZDP	e	na	promoção	de	atividades	que	favoreçam	seu	desenvolvimento,	
com	base	em	suportes	e	apoios	inovadores	(FONSECA,	2019).
As	tarefas	propostas	fundamentadas	em	situações-problema	devem	ser	es-
truturadas	para	que	a	criança	seja	encorajada	a	experimentar	estratégias	cognitivas	
próprias.	Desse	modo,	o	psicopedagogo	consegue	analisar	possibilidades	e	inter-
venções	para	alterar	e	flexibilizar,	o	processo	de	aprendizagem	nas	crianças,	para	
que	alcancem	de	forma	processual	e	procedimental	a	resolução	por	si	mesmas.
3 O DESENVOLVIMENTO INFANTIL E A FORMAÇÃO 
DE CONCEITOS
A	 concepção	 vygotsyiana	 de	 sujeito	 aponta	 para	 o	 desenvolvimento	
humano	fundamentado	em	dois	aspectos:	o	biológico	e	social.	O	biológico	presente	
no	indivíduo	como	as	reações	inatas	da	espécie,	a	base	da	constituição	humana.	
O	social	baseado	no	comportamento	enquanto	resultado	da	interação	das	reações	
do	 indivíduo	 com	 o	meio,	 que	 desenvolverá	 seu	 organismo	 (biologicamente)	
(VYGOTSKY,	2009a).	
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
103
FIGURA 7 – PERÍODOS DO DESENVOLVIMENTO HUMANO SEGUNDO VYGOTSKY
FONTE: Adaptada de Vygotsky (2009a)
Assim,	há	quatro	períodos	 com	 fases	 etárias	que	apontam	para	 fatores	
biológicos	e	sua	relação	com	o	meio:	tenra	infância;	infância	tardia;	adolescência	
e	juventude.	A	tenra infância	compõe	o	período	do	nascimento	aos	seis	ou	sete	
anos,	caracterizado	pelas	funções	biológicas	determinadas	sobretudo	na	alimen-
tação,	que	incide	no	comportamento.	A	criança	reage	as	interações	estimuladas	
pela	 família,	 como	nas	 brincadeiras	 e,	 dessa	 forma,	 se	 familiariza	 como	meio.	
Na	brincadeira,	a	criança	exercita	e	aprende	a	orientar	os	principais	órgãos	de	
percepção	e	movimento.	De	modo	geral,	os	familiares	e	o	meio	influenciam	no	
comportamento	da	criança,	sendo	que	ela	própria	começa	a	agir	sobre	si	mesma.	
Um	salto	brusco	nesta	fase	seria	a	perda	dos	dentes	de	leite,	em	que	a	criança	ao	
modificar	a	alimentação,	altera	a	sua	relação	com	o	meio.		
A infância tardia	dos	sete	aos	treze	ou	quatorze	anos,	a	criança	se	encontra	
numa	relação	direta	com	o	meio,	adquire	as	habilidades	observadas	dos	adultos,	
que	permite	um	estreitamento	na	relação	com	o	meio.	Essa	fase	termina	com	a	
maturação	do	corpo,	na	transformação	dos	corpos	com	características	próprias	
de	cada	sexo.	A	criança	deixa	o	corpo	infantil	e	inicia	o	processo	de	se	acostumar	
com	o	novo	corpo.	Tais	transformações	apontam	para	o	primeiro	conflito	com	o	
meio,	desencadeado	pelas	explosões	hormonais	no	corpo	que	são	reprimidos,	o	
que	causa	conflitos	interiores	na	criança.	
Este	período,	igualmente	cunhado	de	“idade	crítica”	estabelece	as	formas	
básicas	de	sublimação	“[...]	transformação	de	modalidades	inferiores	de	energia	
psíquica,	que	não	foram	utilizadas	nem	encontraram	vasão	na	atividade	normal	
do	organismo,	em	modalidades	superiores”	(VYGOTSKY,	2009a,	p.	337).	Nesse	
caso,	a	energia	sexual	que	será	reprimida	e	não	utilizada,	sublima	em	atividades	
dirigidas	a	aprendizagem.	
104
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
A	 fase	 da	 adolescência	 dos	 13	 aos	 18	 anos,	 compõe	 uma	 época	 que	 o	
indivíduo	estabelece	relações	com	o	meio,	e	ocorre	inclusive,	o	desenvolvimento	
total	 do	 peso	 no	 cérebro.	 O	 adolescente	 inicia	 o	 processo	 de	 formação	 de	
conceitos,	a	uma	forma	nova	e	superior	de	atividade	intelectual.	E	por	fim,	na	fase	
da juventude que	corresponde	após	os	dezoito	anos,	o	indivíduo	se	familiariza	
definitivamente	com	o	meio	(VYGOTSKY,	2009a).
A	 teoria	 histórico	 cultural	 leva	 em	 conta	 a	 aproximação	 do	 meio	 no	
desenvolvimento	biológico,	no	decorrer	da	vida	do	indivíduo,	ou	seja,	a	criança	
desde	seu	nascimento	terá	acesso	aos	fatores	sociais,	estimulado	pelos	familiares.	
Na	interação	da	criança	com	o	meio,	por	meio	da	mediação,	a	criança	reage	em	
atividade	com	o	outro	e	também	consigo	mesma.	
Na	 medida	 que	 cresce,	 receberá	 outros	 estímulos	 que	 incidirão	 na	
mudança	das	 reações,	 baseadas	 no	 que	 já	 conhece.	Quando	 a	 criança	 percebe	
a	mudança	 em	 seu	 corpo,	 sente	 que	 um	não	pertencimento	 tanto	 a	 si	mesma	
quanto	ao	meio,	 sublima	 toda	a	energia	contida	em	si	mesma	na	atividade	de	
aprendizagem.	Nesse	momento,	sua	atenção	inconsciente	se	volta	para	a	energia	
sexual,	que	será	reprimida	e	reelaborado	como	vontade	de	aprender.	
O	meio	nada	mais	significa	que	as	relações	que	ocorrem	entre	os	indivíduos,	
não	como	algo	exterior,	mas	impulsionado	e	conduzido	por	si	mesmo,	na	relação	
com	o	outro.	Em	suma,	o	desenvolvimento	do	comportamento	humano	depende	
das	condições	históricas	e	sociais	da	sociedade	em	que	o	indivíduo	se	encontra.	O	
mesmo	se	dá	para	o	desenvolvimento	da	criança,	submetida	aos	meios	sociais	de	
pensamento,	da	linguagem	de	um	determinado	grupo	social.	
Vygostky	 (2009a)	 explica	 que	 o	 pensamento	 de	 forma	 semelhante	
ao	 desenvolvimento	 biológico,	 passa	 por	 determinadas	 fases	 influenciadas	
pelo	meio,	 na	mediação	 simbólica,	 que	 incide	no	desenvolvimento	 conceitual.	
Porquanto,	o	processo	de	 formação	de	conceitos	não	se	 reduz	ao	pensamento,	
mas	 no	 emprego	 funcional	 do	 signo,	 a	 palavra,	 onde	 o	 indivíduo	 se	 expressa	
através	das	suas	funções	psicológicas	e	resolve	as	situações	do	cotidiano.
O	desenvolvimento	dos	processos	que	resultam	na	formação	conceitual	
surge	no	início	da	infância,	no	uso	do	signo	–	palavra.	Com	o	passar	do	tempo	
as	funções	intelectuais	se	combinam,	formam	a	base	psicológica	do	processo	de	
formação	dos	conceitos,	na	interação	com	o	meio,	amadurecem	e	se	desenvolvem	
somente	na	puberdade.	Na	adolescência,	o	indivíduo	tem	domínio	sobre	o	com-
portamento,	faz	uso	do	signo	–	palavra	de	forma	consciente	e	autorregulada,	que	
apontam	indíciospara	o	processo	de	formação	de	conceitos	(VYGOTSKY,	2009b).	
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
105
FIGURA 8 – DESENVOLVIMENTO DE CONCEITOS
FONTE: Adaptada de Vygotsky (2009b)
O	desenvolvimento	de	 conceitos	 institui	 três	 estágios	 com	divisões	 em	
várias	fases.	O	primeiro	estágio	compreende	o	período	pré-escolar,	denominado	
“sincretismo”	 que	 caracteriza	 um	 amontoado	 de	 informações	 sobre	 um	
determinado	 assunto	 ou	 objeto,	 no	 qual	 a	 criança	 associa	 de	 forma	 subjetiva,	
vários	elementos	independentes	no	significado,	unindo-os	sob	seu	ponto	de	vista.	
Uma	palavra	apresenta	o	mesmo	significado	 tanto	para	o	adulto,	quan-
to	para	a	criança.	Contudo,	no	pensamento	sincrético,	para	compreender	algo,	a	
criança	atribui	significados	a	mais	no	uso	da	palavra,	associado	a	sua	formação	
eidética.	A	explicação	que	a	criança	faz	utiliza	de	propriedades	e	impressões	que	
se	relacionam	a	uma	determinada	 imagem,	porém	atribui	palavras	e	as	une	de	
acordo	com	suas	ideias.	No	exemplo	da	questão:	“por	que	o	sol	não	cai?”,	a	criança	
atribui	palavras	subjetivas	como	–	porque	é	amarelo,	está	no	alto	e	é	quente.	Em	
suma,	não	responde	de	forma	objetiva	a	questão	e	atribui	um	aglomerado	de	pala-
vras,	que	subjetivamente	explicam	o	que	lhe	foi	perguntado	(VYGOTSKY,	2009b).	
O	primeiro	estágio,	de	acordo	com	Vygotsky	(2009b),	divide-se	em	três	
fases,	 a	primeira	 fase	 corresponde	a	 formação	da	“imagem	sincrética”,	onde	a	
criança	ao	passar	por	provas,	investe	na	tentativa	e	erros	em	atribuir	palavras	nas	
explicações.	Todavia,	quando	erra,	substitui	ao	acaso	as	palavras	empregadas	por	
outras	para	apresentar	novos	argumentos	às	provas.	
Na	segunda	 fase,	a	criança	continua	priorizando	os	aspectos	subjetivos	
destinados	aos	objetos	ao	invés	dos	objetivos.	Aproxima	os	objetos	e	atribui	um	
significado	comum,	de	acordo	com	as	semelhanças	que	apresentam	na	percepção	
da	criança.	E,	por	fim,	a	terceira	fase	marca	a	passagem	para	o	segundo	estágio,	a	
imagem	sincrética	que	equivale	ao	conceito	da	criança	sobre	algo,	sistematizado	
em	um	significado	da	sua	percepção.	Esse	significado	mantém	um	conjunto	de	
elementos	sem	relação	entre	si,	que	representam	o	mesmo	aglomerado	desconexo	
equivalente	as	duas	fases	anteriores	(VYGOTSKY,	2009b).	
106
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
O	segundo	estágio	aponta	para	a	“formação de complexos”	no	período	
de	 maturação	 sexual,	 a	 criança	 continua	 estabelecendo	 vínculos	 e	 relações	
entre	diferentes	 impressões	concretas,	generalizando	os	objetos	de	acordo	com	
sua	 experiência.	 Os	 objetos	 não	 são	mais	 agrupados	 pela	 percepção	 subjetiva	
identificada	pela	criança,	mas	na	objetividade	concreta	que	existem	nos	objetos	
e	no	seu	entendimento,	formam	vínculos	de	agrupamento.	Quando	a	criança	se	
encontra	neste	 estágio	de	pensamento,	 conseguiu	 superar	 o	 egocentrismo	que	
sustentava	o	pensamento	sincrético.	As	impressões	antes	baseadas	nas	percepções	
subjetivas	dos	objetos,	 são	substituídas	pela	 identificação	das	relações	entre	os	
objetos	de	forma	concreta	(VYGOTSKY,	2009b).	
Neste	estágio,	a	criança	ainda	não	consegue	pensar	conceitualmente,	a	per-
cepção	une	os	objetos	de	forma	heterogênea	considerando	aspectos	físicos.	A	prin-
cipal	diferença	na	caracterização	do	pensamento	por	complexos	e	conceito	seria	
que,	no	pensar	por	complexos	ocorre	a	união	de	diversos	vínculos	objetivos,	isen-
tos	de	relação	entre	si.	Na	medida	que,	o	pensamento	por	conceitos,	os	elementos	
atribuídos	apresentam	vínculos	do	mesmo	tipo.	Existe	uma	ligação	lógica	entre	si,	
uma	certa	homogeneidade	de	significados	para	um	objeto	ou	representação.
O	sistema	por	complexos	dividi-se	em	cinco	fases	presentes	na	formação	
do	 pensamento.	 A	 primeira	 fase	 de	 “tipo	 associativo”	 a	 criança	 baseia	 seu	
julgamento	 em	 qualquer	 vínculo	 associativo	 observado	 no	 objeto.	 Ou	 seja,	
qualquer	descoberta	incide	na	ligação	associativa	entre	o	objeto	atual	a	um	outro	
que	 já	 conhece,	 nomeando	 a	 ambos	 pela	 palavra	 que	 os	 designa	 em	 comum.	
Nessa	 fase,	a	criança	não	percebe	nomes	 isolados,	atribui	um	nome	de	 família	
para	tudo	que	se	pareça	na	forma	concreta,	como	no	caso	das	formigas,	todas	as	
espécies	e	seres	que	assim	se	pareçam,	serão	formigas	(VYGOTSKY,	2009b).	
A	 segunda	 fase	 o	 complexo	 “coleção”	 corresponde	 ao	 período	 onde	 a	
criança	combina	os	objetos	e	 impressões	em	grupos	que	 lembram	coleções.	Os	
objetos	são	organizados	de	acordo	com	um	propósito	ou	traço	em	comum,	formam	
um	 todo	 constituído	 de	 elementos	 heterogênios	 com	 alguma	 ligação.	Alguns	
exemplos	como	o	vestuário,	material	escolar,	brinquedos,	objetos	presentes	no	
cotidiano	da	 criança	 que	 são	 organizados	pelo	pensamento	 em	agrupamentos	
por	coleções	(VYGOTSKY,	2009b).
Vygotsky	(2009b)	denomina	a	terceira	fase	do	pensamento	por	complexos	
como	 “complexo	 em	 cadeia”,	 a	 criança	 combina	 os	 objetos	 de	 acordo	 com	
vínculos	 independentes	 entre	 os	 elos,	 em	 uma	 única	 cadeia.	 Ou	 seja,	 escolhe	
um	determinado	objeto	e	associa	vários	outros	ao	primeiro	de	acordo	com	a	cor,	
forma	ou	outro	traço	concreto	que	faça	sentido.	No	momento	de	sua	escolha	se	
algum	aspecto	do	último	objeto	da	série	lhe	chamar	a	atenção,	altera	a	escolha	
dos	próximos	formando	um	elo	com	o	que	despertou	interesse.	Assim	prossegue	
formando	uma	cadeia,	uma	fila	de	objetos	que	apresentam	uma	sequência	de	elos	
que	une	um	ao	outro.	O	final	da	cadeia	pode	apresentar	traços	bem	diferentes	do	
primeiro,	a	ordenação	dos	objetos,	o	motivo	da	escolha	se	desvincula	do	modelo	
original,	estabelecendo	elos	entre	o	antecessor	e	sucessor.	
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
107
A	quarta	fase	o	“complexo	difuso”,	apresenta	combinações	associativas	
de	 elementos	 concretos	de	 forma	difusa,	 confusa	 e	 indefinida	no	olhar	 rápido	
de	um	adulto,	porém	com	significado	a	criança	que	o	organizou.	A	seleção	dos	
objetos	que	formam	a	cadeia	projetada	segue	as	generalizações	do	pensamento	
da	criança,	que	neste	momento	 incide	não	somente	pela	 forma	concreta	em	si,	
mas	 nas	 aproximações	 que	 estabelecem	 entre	 si.	A	 criança	 agrupa	 triângulos,	
trapézios,	 quadrados,	 hexágonos,	 semicírculos	 e	 círculos,	 pelas	 minuciosas	
características	 que	 percebe	 entre	 as	 figuras,	 algumas	 generalizações	 expressas	
pelo	pensamento	com	base	na	experiência	que	possui.	
	 A	 quinta	 e	 última	 fase	 da	 formação	 do	 pensamento	 por	 complexos,	
estabelece	 vínculo	 com	 o	 novo	 estágio	 –	 formação	 de	 conceito.	 Para	 tanto,	
o	 complexo	 por	 “pseudoconceito”	 aponta	 generalizações	 realizadas	 pelo	
pensamento	infantil,	semelhantes	aos	empregados	pelos	adultos,	mas	diferente	
na	essência	e	natureza	psicológica	conceitual.	A	criança	agrupa	elementos	com	
vínculos	 idênticos,	 por	 exemplo	 todos	 os	 triângulos	 existentes	 em	 uma	 caixa,	
o	 que	 aparentemente	 incide	 sobre	 o	 pensamento	 por	 conceitos.	 Os	 vínculos	
utilizados	pela	criança	ainda	estão	subordinados	ao	pensamento	por	complexos.
O	desenvolvimento	dos	significados	das	palavras	que	recebe	dos	adultos	
é	 isento	 do	 modo	 de	 pensar	 adulto,	 que	 aponta	 o	 como	 fazer,	 o	 caminho	 a	
ser	 seguido,	 que	 não	 interfere	 no	modo	 de	 pensar	 da	 criança.	 O	 pensamento	
compreende	as	determinações	dos	adultos,	o	significado	das	palavras	utilizadas,	
mas	 o	 entendimento	 ocorre	 de	 outra	 forma,	 que	 aparentemente	 em	 suas	
respostas,	 permanece	 no	 estado	 de	 complexos.	 Como	 ambos	 se	 coincidem	de	
forma	geral,	o	pensamento	por	complexos	infantil	ao	por	conceitos	dos	adultos,	
surge	o	pseudoconceito,	uma	 forma	 semelhante	de	apresentar	uma	 resposta	a	
mesma	questão,	porém	intimamente	diferente	na	percepção	do	adulto	e	criança	
(VYGOTSKY,	2009b).
A elaboração do conceito pela criança implica não somente na combinação 
e	generalização	de	vínculos	que	estabelece	entre	os	elementos	concretosde	acor-
do	com	sua	experiência.	Todavia,	também,	na	abstração	e	isolamento	de	alguns	
elementos,	 juntamente	com	a	habilidade	de	examiná-los,	e	o	contexto	concreto	
que	aparecem	na	experiência.	“A	decomposição	e	a	vinculação	são	 igualmente	
momentos	 interiores	 necessários	 na	 construção	do	 conceito”,	 afirma	Vygotsky	
(2009b,	p.	220).	
O	 terceiro	e	último	estágio	da	“formação de conceitos”	destaca	quatro	
fases,	sendo	que	a	primeira	se	assemelha	ao	pseudoconceito,	que	se	completa	na	
adolescência.	A	criança	atribui	valores	a	um	objeto	de	forma	complexa,	o	insere	
na	generalização	que	 escolhe	 conforme	 sua	 experiência,	 embora	 ignore	outros	
atributos	que	pertencem	ao	complexo.	Dessa	forma,	a	generalização	que	a	criança	
cria	de	acordo	com	seu	pensamento,	torna-se	empobrecido	quando	comparado	
ao	 pseudoconceito	 porque	 os	 vínculos	 que	 estabelece	 esgotam-se	 ao	 serem	
analisados	 em	 relação	 a	 identidade	 ou	 semelhança.	 Todavia,	 mais	 elaborado	
que	o	pseudoconceito,	em	relação	a	sua	percepção	que	considera	características	
perceptíveis	no	grupo	geral	(VYGOTSKY,	2009b).
108
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
A	 segunda	 fase	 caracterizada	 de	 “estágio	 de	 conceitos	 potenciais”,	
ocorre	quando	a	criança	organiza	um	grupo	de	objetos	e	generaliza	segundo	um	
vínculo	comum	a	todos.	Consiste	na	formação	pré-intelectual,	que	a	auxilia	na	
desvinculação	de	generalizações	relacionadas	ao	objeto	concreto,	criando	novos	
vínculos	combinados	de	forma	abstrata.		O	domínio	da	abstração	e	da	organização	
por	complexos	desenvolve	o	pensamento	conceitual	infantil.
Vygotsky	(2009b,	p.	226)	afirma	que:
 
[...]	o	conceito	surge	quando	uma	série	de	atributos	abstraídos	torna	
a	 sintetizar-se,	 e	 quando	 a	 síntese	 abstrata	 assim	 obtida	 se	 torna	
forma	 basilar	 de	 pensamento	 com	 o	 qual	 a	 criança	 percebe	 e	 toma	
conhecimento	da	realidade	que	a	cerca.	
O	período	da	adolescência	não	encerra	o	desenvolvimento	do	pensamento,	
contudo	 situa	 um	 percurso	 de	 crise	 e	 amadurecimento.	 Alguns	 adultos	 e	
adolescentes	baseados	na	experiência	cotidiana,	restringem	seu	pensar	em	noções	
gerais,	 por	 complexos,	 semelhantes	 ao	 pseudoconceito.	 Ou	 seja,	 conseguem	
aplicar	com	êxito,	um	conceito	em	uma	situação	concreta,	no	uso	de	uma	palavra,	
porém	 ao	 ser	 questionado	 o	 uso	 verbal	 do	 conceito,	 sentem	 dificuldades	 e	
atribuem	respostas	baseadas	em	complexos.
A	 dificuldade	 se	 encontra	 no	 ponto	 de	 transferir	 o	 conceito	 concreto	
formado	de	algo,	para	uma	situação	abstrata	nova,	que	deveria	ser	superada	ao	
final	da	idade	de	transição	com	a	experiência	e	desenvolvimento	do	pensamento.	
O	estímulo	para	a	formação	de	conceitos,	no	adolescente	incidi	na	necessidade	
em	 solucionar	 algum	 problema	 novo.	 No	 uso	 da	 palavra	 como	 um	 atributo	
significativo	de	algo,	atribuem	em	si	um	conceito,	que	ao	serem	transferidos	para	
outras	situações	concretas,	serão	assimilados.	O	uso	das	formas	por	complexos	
com	 os	 conceitos	 potenciais	 determina	 o	 desenvolvimento	 de	 conceitos,	 onde	
o	 indivíduo	 atribui	 vínculos	 que	 combinam	 elementos	 a	 um	 conjunto,	 além	
de	 qualificar	 características	 que	 lhes	 são	 comuns,	 por	 meio	 da	 palavra,	 com	
entendimento	do	seu	significado.
4 O DESENVOLVIMENTO DOS CONCEITOS COTIDIANOS 
E CIENTÍFICOS NA CRIANÇA
O	 desenvolvimento	 do	 pensamento	 como	 um	 processo	 interno,	 incide	
na	 mudança	 do	 significado	 da	 palavra,	 que	 formula	 o	 conceito,	 em	 geral,	 o	
significado	 da	 palavra	 consiste	 no	 resultado	 do	 pensamento,	 articulado	 em	
conceito.	O	pensamento	se	realiza	de	forma	que	vincula	os	conceitos	entre	si	e	
as	relações	de	generalização	que	determinam	o	trânsito	de	um	conceito	a	outro.	
O	desenvolvimento	da	criança	inicia	juntamente	à	formação	de	conceitos,	
que	acompanha	o	desenvolvimento	do	pensamento	infantil.	Dessa	forma,	quando	
chega	na	escola,	 traz	 consigo	certos	 conceitos	provenientes	do	convívio	 social,	
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
109
chamados	conceitos	espontâneos.	Os	conceitos	espontâneos	se	desenvolvem	com	
a	ajuda	dos	adultos,	na	medida	que	a	criança	aprende	sobre	o	meio	que	a	cerca.	
Para	 chegar	 relativamente	 à	 estrutura	 final	 de	 um	 conceito,	 no	momento	 que	
consiga	verbalizar	 com	seu	entendimento,	 essa	ação	de	 conscientização	verbal	
acontece	somente	na	adolescência.	Até	esta	 fase,	o	desenvolvimento	mental	da	
criança	permite	que	explique	por	meio	de	sincretismo	e	complexos.
O	 conceito	 científico	 apresentado	 a	 criança	 a	 partir	 do	 momento	 que	
ingressa	na	escola,	caracteriza	os	conhecimentos	das	áreas	como	ciências	naturais,	
matemática,	ciências	sociais	e	outras	disciplinas	que	compõem	o	imenso	mundo	
dos	saberes	escolares.	O	desenvolvimento	dos	conceitos	científicos	se	desenvolve	
de	 forma	 oposta	 aos	 conceitos	 espontâneos.	 Enquanto	 que	 os	 conhecimentos	
espontâneos	fazem	parte	da	primeira	infância	até	a	entrada	no	pré-escolar,	período	
em	que	o	pensamento	atua	sobre	as	generalizações	dos	objetos	de	forma	subjetiva	
de	forma	sincrética	e	por	complexos.	Os	conceitos	científicos	se	organizam	a	partir	
da	definição	verbal	vinculadas	a	definição	dos	conceitos.	
No	 espaço	 escolar,	 por	meio	das	 aulas	 a	 criança	 aprende	 a	 estabelecer	
relações	 lógicas	 entre	 os	 conceitos.	 Porquanto,	 os	 conceitos	 espontâneos	 e	
científicos	 se	 encontram	 no	 seu	 pensamento	 de	 tal	 forma,	 que	 não	 consegue	
dissociar	 um	 do	 outro.	 O	 desenvolvimento	 dos	 conceitos	 espontâneos	 atinge	
um	nível	 de	 sofisticação	do	pensamento,	 que	 assimila	 os	 conceitos	 científicos,	
vinculados	ao	anterior	pela	experiência	vivida.
De	 acordo	 com	Friedrich	 (2012,	 p.	 100),	 “[...]	 1)	 os	 conceitos	 científicos	
sempre	 se	 apoiam	nos	 conceitos	 cotidianos,	não	podendo	existir	 sem	eles	 e	 2)	
um	conceito	científico	existe	sempre	no	interior	de	um	sistema	de	conceitos”.	Os	
conceitos	espontâneos	estão	relacionados	as	situações	corriqueiras	que	acontecem	
no	cotidiano	que	a	criança	aprende	no	convívio	com	os	outros.	
Os	conceitos	científicos	se	realizam	com	base	em	algum	outro	conceito,	
“[...]	passa	à	generalização	de	um	tipo	mais	elevado	no	aspecto	funcional	e	revela	a	
possibilidade	das	operações,	dos	signos	que	caracterizam	a	atividade	do	conceito	
científico”	(VYGOTSKY,	2009a,	p.	539-540).	Como	são	mais	elaborados,	consistem	
na	verbalização	do	significado	da	palavra	de	forma	sofisticada,	atribuída	a	outros	
elementos	em	comparação	ao	primeiro	vínculo	apresentado	anteriormente	pelos	
familiares.	
Entretanto,	 há	 algumas	 diferenças	 entre	 os	 conceitos	 espontâneos	 e	
científicos,	acima	de	tudo,	quando	a	criança	elabora	os	conceitos	espontâneos	de	
forma	súbita	com	os	objetos	vivos	e	reais	que	fazem	parte	do	meio.	No	decorrer	do	
desenvolvimento	a	criança	toma	consciência	sobre	o	objeto,	do	conceito	que	lhe	
foi	atribuído	e	consegue	abstrair	seu	significado.	De	forma	contrária,	os	conceitos	
científicos	não	chegam	de	forma	colocada,	mas	mediada	com	os	objetos,	realiza	o	
caminho	do	conceito	ao	objeto.	
110
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
Ambos	os	conceitos	fazem	parte	do	pensamento	infantil,	na	medida	que	
não há a possibilidade em separar os conhecimentos que a criança aprende no 
convívio	social	do	escolar.	Dessa	forma,	a	elaboração	dos	conceitos	científicos	pela	
criança	necessita	no	desenvolvimento	dos	conceitos	espontâneos,	para	a	tomada	
de	consciência,	na	possibilidade	de	abstração	e	verbalização	oral	do	significado	
de	uma	palavra.	Essa	ação	se	manifesta	na	zona	de	desenvolvimento	proximal,	
quando	os	conceitos	científicos	se	elevam	a	um	nível	superior	de	compreensão	
dos	espontâneos.
5 ZONA DE DESENVOLVIMENTO PROXIMAL (ZDP)
A	 aprendizagem	 da	 criança	 inicia	 antes	 de	 frequentar	 a	 escola,	 como	
já	 visto	 pelo	 desenvolvimento	 dos	 conceitos	 espontâneos,	 tanto	 que	 passa	 a	
compreender	os	conceitos	científicosdas	áreas	do	conhecimento.	A	criança	passa	
por	dois	níveis	de	aprendizagem:	nível	de	desenvolvimento	real	e	proximal.	
FIGURA 9 – NÍVEIS DE APRENDIZAGEM
FONTE: <https://educandooamanha.blogspot.com/search/label/ZDP>. Acesso em: 10 jan. 2021.
O	 nível	 de	 desenvolvimento	 real	 refere	 ao	 “[...]	 desenvolvimento	 das	
funções	mentais	da	criança,	que	se	formou	como	resultado	de	determinados	ciclos	
já	concluídos	do	seu	desenvolvimento”	(VYGOTSKY,	2009a,	p.	478).	Sobretudo,	
quando	questionamos	uma	criança	sobre	algo,	essa	apresenta	uma	resposta	que	
representa	o	nível	do	desenvolvimento	real	de	seu	pensamento.	Como	se	constitui	
em	algo	móvel	e	fluídico,	o	pensamento	pode	modificar	logo	após	uma	explicação	
ou	atividade,	acompanhada	por	um	adulto	ou	alguém	mais	experiente,	alterando	
a	sua	forma	de	pensar.	
O	nível	de	desenvolvimento	proximal	consiste	na	possibilidade	da	criança	
em	realizar	algo	imitando	um	adulto	e	depois	ao	fazer	sozinha,	passa	ao	nível	
de	desenvolvimento	potencial.	A	criança	em	frente	a	um	novo	desafio,	com	na	
aprendizagem	de	algo	novo	ou	para	acrescentar	algum	item	ao	conhecimento	já	
TÓPICO 2 — A CONTRIBUIÇÃO DOS ESTUDOS DE VYGOTSKY NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
111
compreendido,	se	encontra	no	nível	de	desenvolvimento	real	do	que	já	conhece.	
Um	 novo	 trajeto	 necessita	 ser	 percorrido,	 novas	 aprendizagens	 por	 meio	 da	
imitação	e	orientação	do	professor	que	irão	incidir	na	zona	de	desenvolvimento	
proximal,	finalizando	esta	etapa	quando	a	criança	consegue	realizar	sozinha.
Vygotsky	 (2009b)	 argumenta	 que	 a	 criança	 consegue	 imitar	 apenas	
o	 que	 está	 próximo	 das	 suas	 potencialidades	 intelectuais,	 para	 tanto	 se	 faz	
necessário	 a	 oportunidade	de	 interação	 com	o	 outro,	 para	 tentar	 realizar	 algo	
que	ainda	não	domina.	Assim,	no	processo	de	colaboração	com	o	outro,	a	criança	
sente	autoconfiança	em	 lançar	 tentativas	 e	 respostas	próximas	ao	 seu	nível	de	
desenvolvimento.	Essa	etapa	em	que	a	criança	consegue	com	maior	ou	menor	êxito	
realizar	algo	sozinha	para	em	colaboração,	determina	o	seu	desenvolvimento.	
O	período	que	a	criança	necessita	da	ajuda	e	imitação	constituirá	o	nível	
de	desenvolvimento	proximal.	Em	 suma,	nas	palavras	de	Vygotsky	 (2009a,	p.	
448),	“[...]	o	próprio	aluno	se	educa”,	nas	atividades	sentindo	a	frustração	em	não	
realizar	o	proposto,	tenta	por	meio	da	imitação	e	do	trabalho	colaborativo	com	os	
colegas,	apresentar	algum	resultado.	Dessa	forma,	a	atuação	do	Psicopedagogo	
Institucional	assume	um	papel	mediador	das	ações	desenvolvidas	com	foco	não	
nos	conhecimentos	que	a	criança	já	possui,	no	nível	de	desenvolvimento	real,	mas	
com	a	proposta	de	instigar	o	desenvolvimento	de	novas	aprendizagens	por	meio	
da	zona	de	desenvolvimento	proximal.
Para saber mais sobre a teoria histórico-cultural e os conceitos referentes à ZDP 
e processos de aprendizagem conceitual, confiram a obra Contribuições da concepção 
histórico-cultural para a educação. A obra aborda a investigação microgenética, uma 
abordagem de pesquisa desenvolvida por Vygotsky, utilizada atualmente nos trabalhos de 
pesquisa científica. 
Leia e amplie seus conhecimentos!
DICAS
112
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 Vygotsky	desenvolveu	uma	teoria	fundamentada	na	interação	social,	no	modo	
de	como	a	criança	aprende	na	observação	e	imitação	do	outro.
•	 A	criança	aprende	quando	observa	o	modo	dos	outros	utilizarem	os	artefatos	e	
as	práticas	de	sua	cultura,	e	somente	assim	compreendem	a	utilidade	pessoal	e	
social.	
•	 A	criança	se	desenvolve	da	ação	ao	pensamento,	do	gesto	à	palavra,	e	assim	
também	ocorre	com	a	linguagem,	que	se	desenvolve	do	exterior	(social)	para	o	
interior	(individual).
•	 A	 intervenção	 psicopedagógica	 segundo	 os	 pressupostos	 da	 teoria	 de	
Vygotsky,	em	relação	a	educabilidade	cognitiva	será	composta	pela	interação	
do	 psicopedagogo	 e	 as	 descobertas	 e	 respostas	 adaptativas	 oriundas	 do	
psicopedagogo	na	resolução	das	tarefas.
•	 As	 tarefas	 propostas	 fundamentadas	 em	 situações-problema	 devem	 ser	
estruturadas	 para	 que	 a	 criança	 seja	 encorajada	 a	 experimentar	 estratégias	
cognitivas	próprias.
•	 Há	quatro	períodos	com	fases	etárias	que	apontam	para	fatores	biológicos	e	sua	
relação	com	o	meio:	tenra	infância;	infância	tardia;	adolescência	e	juventude.
• A tenra infância	 compõe	 o	 período	 do	 nascimento	 aos	 seis	 ou	 sete	 anos,	
caracterizado	pelas	funções	biológicas	determinadas	sobretudo	na	alimentação,	
que	incide	no	comportamento.
• A infância tardia	dos	sete	aos	 treze	ou	quatorze	anos,	a	criança	se	encontra	
numa	 relação	 direta	 com	 o	 meio,	 adquire	 as	 habilidades	 observadas	 dos	
adultos,	que	permite	um	estreitamento	na	relação	com	o	meio.
•	 A	fase	da	adolescência	dos	treze	aos	dezoito	anos,	compõe	uma	época	que	o	
indivíduo	estabelece	relações	com	o	meio,	e	ocorre	inclusive,	o	desenvolvimento	
total	do	peso	no	cérebro.	
•	 Na	fase	da	juventude, que	corresponde	após	os	dezoito	anos,	o	indivíduo	se	
familiariza	definitivamente	com	o	meio.
•	 O	desenvolvimento	de	conceitos	institui	três	estágios	com	divisões	em	várias	
fases.
113
•	 Os	conceitos	espontâneos	se	desenvolvem	com	a	ajuda	dos	adultos,	na	medida	
que	a	criança	aprende	sobre	o	meio	que	a	cerca.	
•	 O	conceito	científico	apresentado	a	criança	a	partir	do	momento	que	ingressa	
na	 escola,	 caracteriza	 os	 conhecimentos	 das	 áreas	 como	 ciências	 naturais,	
matemática,	 ciências	 sociais	 e	 outras	 disciplinas	 que	 compõem	 o	 imenso	
mundo	dos	saberes	escolares.	
•	 O	nível	de	desenvolvimento	proximal	consiste	na	possibilidade	da	criança	em	
realizar	algo	imitando	um	adulto	e	depois	ao	fazer	sozinha,	passa	ao	nível	de	
desenvolvimento	potencial.	
•	 O	período	que	a	criança	necessita	da	ajuda	e	 imitação	constituirá	o	nível	de	
desenvolvimento	proximal.
114
1	 Lev	Semenoitch	Vygotsky,	psicólogo	russo,	elaborou	sua	teoria	tendo	por	
base	 o	 desenvolvimento	 do	 indivíduo	 como	 resultado	 de	 um	 processo	
sócio-histórico,	 enfatizando	 o	 papel	 da	 linguagem	 e	 da	 aprendizagem	
nesse	desenvolvimento.	Esse	pressuposto	teórico,	conhecido	como	Teoria	
Histórico-Cultural,	 apresenta	 como	 questão	 central	 a	 apropriação	 de	
conhecimentos	pela	interação	do	sujeito	como	o	contexto	social.	Com	base	
nos	pressupostos	da	teoria	vygotskyana,	analise	as	sentenças	a	seguir:
I-	 O	desenvolvimento	cognitivo	é	produzido	no	processo	de	internalização	
da	interação	social	com	a	cultura.
II-	 Ao	acessar	a	língua	escrita,	o	indivíduo	se	apropria	das	técnicas	inerentes	
a	este	instrumento	cultural,	modificando	suas	funções	mentais	superiores.
III-	A	apropriação	da	linguagem	específica	do	meio	sociocultural	transforma	
os	rumos	do	desenvolvimento	individual.
IV-	O	desenvolvimento	das	funções	psíquicas	superiores	decorre	de	funções	
existentes	no	indivíduo.
V-	 A	educação	sistemática	e	organizada	pode	contribuir	com	o	processo	de	
aquisição	dos	sistemas	de	conceitos	científicos,	o	que	modifica	a	estrutura	
do	pensamento	do	indivíduo.	
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	I	e	IV	estão	corretas.
b)	(			)	 Somente	a	sentença	I	está	correta.
c)	(			)	 Somente	a	sentença	IV	está	correta.
d)	(			)	 As	sentenças	I,	II,	III	e	V	estão	corretas.	
2	 Observe	 o	 seguinte	 estudo	 de	 caso:	 a	 professora	 busca	 auxílio	 com	 a	
psicopedagoga	sobre	as	dificuldades	de	aprendizagem	de	seus	alunos.	A	
professora	relata	que	da	turma	de	30	alunos,	18	apresentam	dificuldades	
em	 aprender	 a	matemática.	Os	 alunos	matriculados	 no	 segundo	 ano	do	
Ensino	Fundamental	 não	 conseguem	 compreender	 as	 operações	 simples	
de	multiplicação	e	divisão,	 sendo	que	se	encontram	no	 terceiro	bimestre	
de	 aula.	Em	 seu	 relato	 explica	que	no	primeiro	 ano	 essa	 turma	 estudou	
as	 operações	 matemática	 da	 adição	 e	 subtração,	 com	 maior	 ênfase	 no	
processo	 de	 alfabetização.	A	 professora	 justificou	 que	 nas	 aulas	 sempre	
explica	os	passos	para	resolução	dos	cálculos,que	entregou	a	tabuada	para	
ser	decorada	do	zero	ao	cinco	para	os	alunos	e	que	todos	os	exercícios	são	
explicados	e	resolvidos	no	quadro.	
AUTOATIVIDADE
115
A	 psicopedagoga	 após	 ouvir	 o	 relato	 da	 professora	 organiza	 o	 plano	 de	
intervenção	com	a	turma.	Contudo,	alguns	questionamentos	surgem	após	a	
conversa	com	a	professora.	Qual	a	metodologia	que	a	professora	utiliza	para	
o	ensino	da	matemática	com	a	turma?	A	professora	valoriza	os	conhecimentos	
prévios	dos	alunos	a	respeito	do	uso	das	operações	de	multiplicação	e	divisão	
em	 seu	 cotidiano?	 Como	 a	 professora	 poderia	 trabalhar	 para	 conseguir	
desenvolver	nos	alunos	o	aprendizado	significativo	da	matemática?
Descreva	como	você,	acadêmico,	procederia	nessa	situação	segundo	a	Teoria	
Histórico-Cultural	na	intervenção	Psicopedagógica	com	a	turma.
116
117
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Prezado	 acadêmico,	 neste	último	 tópico	da	Unidade	 2,	 reservamos	um	
espaço	para	 apresentar	 alguns	princípios	 relacionados	 ao	 jogo,	 bem	como	 sua	
utilização	 como	 instrumento	 no	 processo	 de	 intervenção	 psicopedagógica	
institucional.	Assim,	primeiramente	definimos	o	conceito	de	 jogo	e	o	seu	valor	
para	o	processo	de	ensino	e	aprendizagem	das	crianças.	
Outro ponto que destacamos ao longo dos estudos deste tópico seria no 
uso	 dos	 jogos	 nas	 intervenções	 psicopedagógicas,	 relacionado	 a	 resolução	 de	
situação-problema.	 Em	 conformidade	 com	a	BNCC	 (BRASIL,	 2018)	 que	 infere	
sobre	 o	 aprendizado	 significativo	 e	 orientado	 para	 que	 o	 indivíduo	 consiga	
aplicar	no	seu	cotidiano	os	conhecimentos	aprendidos.	
Dessa	forma,	pontuamos	também	o	uso	dos	jogos	para	o	desenvolvimento	
das	 habilidades	 matemáticas	 e	 das	 funções	 executivas.	 O	 que	 inclui	 sua	
proximidade	 com	a	 construção	de	princípios	 e	 valores,	 que	 afetam	na	 criança	
sua	atuação	moral	e	social.	E,	por	fim,	incluímos	algumas	sugestões	de	jogos	e	
brincadeiras	de	matemática,	que	poderão	ser	utilizados	nos	atendimentos	com	as	
turmas	dos	anos	iniciais	do	Ensino	Fundamental.
TÓPICO 3 — 
O JOGO COMO RECURSO DE 
APRENDIZADO
2 CONCEITO DE JOGO NA EDUCAÇÃO 
A	palavra	“jogo”	na	concepção	educacional	não	se	encontra	relacionado	
a	competição,	como	ocorre	no	sentido	popular,	que	o	relaciona	as	competições	
esportivas.	No	campo	da	educação,	o	sentido	da	palavra	advém	da	origem	latina,	
gracejo,	que	significa	divertimento,	brincadeira	ou	passatempo.	Nesse	sentido,	os	
jogos	infantis	podem	até	incidir	um	caráter	de	competição,	mas	essencialmente,	
objetivam	“[...]	estimular	o	crescimento	e	aprendizagens	e	[...]	representam	relação	
interpessoal	entre	dois	ou	mais	sujeitos	realizada	dentro	de	determinadas	regras”	
(ANTUNES,	2017,	s.p.).
Dessa	 forma,	 consegue-se	 estabelecer	 uma	diferença	 entre	 brinquedo	 e	
jogo,	o	brinquedo	como	um	objeto	que	na	relação	com	a	criança	não	apresenta	
regras	fixas.	O	jogo	ao	contrário,	traz	em	sua	essência	a	presença	de	regras,	inclui	
118
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
intenções	lúdicas,	estimula	a	flexibilidade	do	pensamento	em	consonância	com	
um	controle	entre	os	jogadores.	O	que	incide	inclusive	numa	relação	interpessoal	
em	meio	a	determinadas	regras.
“O	 jogo	 possui	 implicações	 importantíssimas	 em	 todas	 as	 etapas	 da	
vida	psicológica	de	uma	criança	e	representa	erro	inaceitável	considerá-lo	com	
atividade	 trivial	 ou	 perda	 de	 tempo”	 (ANTUNES,	 2017,	 s.p.).	 Sendo	 assim,	 o	
jogo	 apresenta	 inclusive,	 um	 caráter	 educativo,	 voltado	 a	 aprendizagem.	 Ou	
seja,	 na	 atividade	 do	 jogo	 a	 criança	 demonstra	 sua	 experiência,	 por	 meio	 da	
relação	interpessoal	com	as	regras,	aprende	e	se	diverte,	o	que	atribui	um	caráter	
educativo	a	atividade.	
De	 modo	 geral,	 segundo	 Antunes	 (2017),	 jogos	 bem	 organizados	
favorecem	na	criança	a	construção	de	novas	descobertas,	do	desenvolvimento	de	
sua	personalidade,	quando	necessita	se	relacionar	com	as	regras.	“As	regras	de	
um	jogo	definem	seu	caráter,	da	mesma	forma	que	as	regras	que	se	usa	para	viver	
definem	nosso	traço	distintivo”	(ANTUNES,	2017,	s.p.).
O	 jogo	utilizado	 como	 caráter	 educativo	 favorece	 a	 aprendizagem	e	 o	
desenvolvimento	cognitivo	e	social	da	criança.	O	jogo	pedagógico	para	assumir	
um	caráter	de	desenvolvimento	cognitivo	e	aperfeiçoamento	de	relações	inter-
pessoais,	necessita	estar	imerso	em	um	projeto,	com	etapas	definidas	conforme	
os	objetivos	educativos.	
De	acordo	com	Antunes	(2017),	a	prática	pedagógica	conduzida	no	em-
prego	dos	jogos	enquanto	atividade	educativa,	favorece	na	criança	o	desenvolvi-
mento	de	sua	formação	conforme:
• Na	construção	da	historicidade,	ampliação	do	vocabulário	e	propiciando	meios	
para	que	a	criança	pense	em	termos	de	passado,	presente	e	futuro.
• Desenvolvimento	dos	pensamentos	lógicos,	onde	a	criança	necessita	associar	
quantidades	a	números	e	evoluir	no	domínio	de	conceitos	como	muito,	pouco,	
grande,	pequeno.
• Na	ampliação	de	suas	linguagens	quando	a	criança	necessita	buscar	alternativas	
para	expor	seus	pensamentos.
• No	 desafio	 do	 pensamento	 por	meio	 de	 questões	 interrogativas	 que	 façam	
a	 criança	 falar	 sobre	 coisas	 reais	 e	 imaginárias,	 e	 assim,	 associar	 ao	 seu	
aprendizado.
• No	 estímulo	 da	 capacidade	 de	 associação,	 quando	 a	 criança	 necessita	 ligar	
figuras	a	sons,	imagens	a	textos,	músicas	a	palavras.
• Aprimoramento	do	seu	domínio	motor	em	atividades	que	simulam	amarrar	
sapatos,	martelar,	encaixar,	pescar	em	tabuleiros	e	outros.
• Na	 libertação	 de	 estereótipos,	 como	 na	 segregação	 de	 coisas	 de	meninos	 e	
meninas,	demonstrando	nas	diferenças	a	diversidade	cultural.
• Ajudando	 a	 criança	 em	 fazer	 amigos,	 em	 meio	 as	 relações	 presentes	 em	
histórias,	no	aprendizado	de	aceitar	a	ganhar	ou	perder	nos	jogos.	
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO
119
Na	 teoria	 piagetiana,	 os	 jogos	 são	 divididos	 em	 jogos	 de	 exercícios,	
simbólicos	e	de	regras.	
FIGURA 10 – TIPOS DE JOGOS SEGUNDO A TEORIA PIAGETIANA
FONTE: Adaptada de Antunes (2017)
As	 crianças	 até	 os	 três	 anos	 de	 idade,	 segundo	 os	 estudos	 de	 Piaget,	
vivenciam	 a	 fase	 denominada	 anomia,	 ou	 seja,	 que	 não	 compreendem	 regras	
quando	 jogam.	Assim,	 ao	 realizarem	ações	 semelhantes	 à	dos	 adultos	buscam	
por	interesse	ou	diversão.	Após	os	quatro	ou	cinco	anos	a	criança	encontra	nos	
jogos	algum	benefício,	que	pode	ser	 inclusive	um	elogio.	A	partir	dessa	idade,	
Piaget	sugere	que	o	jogo	poderá	contribuir	no	desenvolvimento	de	formas	mais	
complexas	 do	 pensamento,	 quando	 as	 crianças	 são	 levadas	 a	 refletirem	 sobre	
suas	ações	(ANTUNES,	2017).	
3 O JOGO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O	uso	de	 jogos	na	intervenção	psicopedagógica	baseado	na	perspectiva	
de	resolução	de	problemas,	permite	se	pensar	no	trabalho	com	a	matemática	para	
além	da	metodologia	didática.	Todavia,	que	considere	proposições	voltadas	para	
situações-problemas,	seguindo	os	preceitos	da	BNCC	(BRASIL,	2018),	que	propõe	
o	aprendizado	voltado	na	resolução	dos	conflitos	no	cotidiano.	
[...]	ampliando	o	conceito	de	problema,	devemos	considerar	que	nossa	
perspectiva	trata	de	situações	que	não	possuem	solução	evidente	e	que	
exigem	que	o	resolvedor	combine	seus	conhecimentos	e	decida-se	pela	
maneira	de	usá-los	em	busca	da	solução	(SMOLE;	DINIZ;	CÂNDIDO,	
2007,	p.	14).
120
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
A	 primeira	 característica	 a	 ser	 considerada	 seria	 o	 entendimento	 das	
situações	 como	problemas	que	permitam	alguma	problematização.	A	 segunda	
característica	pressupõe	que	para	sua	solução	não	significa	somente	compreender	
o	que	é	solicitado,	a	aplicação	das	técnicas	ou	fórmulas.	Todavia,	em	assumir	uma	
postura	investigativa	em	relação	ao	proposto	para	encontrar	a	resposta	esperada.
E,	por	fim,	a	terceira	característica	aponta	que	encontrar	a	resposta	não	
será	 tão	 mais	 importante,	 quanto	 ao	 seu	 processo	 de	 resolução.	 Onde	 nesse	
ínterim	 surgem	diferentes	 soluções,	 queprecisam	 ser	 comparadas	 e	 refletidas	
pelos	resolvedores,	que	expressarão	suas	hipóteses,	argumentando	até	chegarem	
nas	conclusões	e	respostas	(SMOLE;	DINIZ;	CANDIDO,	2007).
Dessa	forma,	pensar	nas	intervenções	baseadas	na	resolução	de	problemas:
[...]	caracteriza-se	ainda	por	uma	postura	de	inconformismo	frente	aos	
obstáculos	 e	 ao	 que	 foi	 estabelecido	 por	 outros,	 sendo	 um	 exercício	
contínuo	de	desenvolvimento	do	senso	crítico	e	da	criatividade,	carac-
terísticas	primordiais	daqueles	que	fazem	ciência	e	estabelecem	objeti-
vos	do	ensino	de	matemática	(SMOLE;	DINIZ;	CÂNDIDO,	2007,	p.	15).
Assim,	 o	 pressuposto	 principal	 está	 em	 saber	 problematizar,	 diferente	
de	 se	 elaborar	 questionamentos	 pelo	 simples	 fato	 de	 perguntar.	 Todavia,	 ao	
contrário,	 em	 ter	 clareza	 sobre	 o	 que	 se	 pretende	 perguntar.	 O	 processo	 de	
problematizar	inclui	a	metacognição,	ou	seja,	em	pensar	sobre	o	que	se	pensou	ou	
se	fez.	Essa	ação	de	voltar	e	analisar	os	pensamentos	exige	uma	forma	elaborada	
de	 raciocínio,	 onde	 se	 consegue	estabelecer	 relações	 a	 respeito	do	que	 se	 sabe	
sobre	o	que	se	está	aprendendo	(SMOLE;	DINIZ;	CANDIDO,	2007).
4 O USO DO JOGO NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
O	uso	dos	jogos	na	intervenção	psicopedagógica	institucional	se	associa	
ao	desenvolvimento	das	habilidades	matemáticas	e	das	 funções	executivas.	As	
funções	executivas	consistem:
[...]	num	conjunto	de	habilidades	que,	de	 forma	 integrada,	permitem	
ao	 indivíduo	direcionar	comportamentos	e	metas,	avaliar	a	eficiência	
desses	comportamentos,	abandonar	estratégias	 ineficientes	a	favor	de	
outras	mais	eficientes	e	solucionar	problemas	(BARRERA,	2020,	p.	266).
As	funções	executivas	como	processos	de	controle	que	permite	a	integração	
entre	o	físico	e	o	cognitivo,	por	meio	de	outros	processos	como	o	autocontrole,	
autorregulação	e	flexibilidade	mental.	Tais	funções	se	associam	às	habilidades	que	
são	necessárias	para	se	formular	um	objetivo,	antecipar	e	planejar,	na	definição	
de	metas	e	execução	de	planos	(BARRERA,	2020).
A	 utilização	 dos	 jogos	 nos	 atendimentos	 psicopedagógicos,	 de	 acordo	
com	Macedo	(1992,	p.	123)	busca	desenvolver	um	“[...]	 trabalho	complementar	
ao	da	escola,	 [...]	que	visa	ao	aprofundamento	das	condições	psicológicas	para	
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO
121
a	produção	ou	 construção	de	 conhecimentos”.	Dessa	 forma,	 a	psicopedagogia	
objetiva	não	somente	as	questões	educativas,	mas	nas	características	psicológicas	
do	indivíduo	que	aprende.	
As crianças encaminhadas para os atendimentos nem sempre apresentam 
somente	dificuldades	de	ordem	cognitiva.	Há	um	expressivo	número	daqueles	
com	problemas	emocionais	ou	comportamentais,	sendo	que	ainda	muitos,	estão	
relacionados	ao	desenvolvimento	das	tarefas	escolares	(BARRERA,	2020).
Reações	emocionais	de	medo	e	ansiedade,	bem	como	de	pouco	envol-
vimento	(motivação)	e	baixa	tolerância	à	frustração,	são	frequentes	nas	
crianças	com	queixas	de	aprendizagem	escolar,	configurando	um	ciclo	
vicioso	em	que	a	falta	de	motivação	leva	à	pouca	dedicação	ao	estudo,	
o	que	acaba	aumentando	a	defasagem	na	aprendizagem	(BARRERA,	
2020,	p.	68).
Outro	fator	imperativo	seria	a	crença	de	que	os	alunos	com	dificuldades	
de	 aprendizagem	 detêm	menos	 desenvolvimento	 escolar.	 Esse	 fato	 absorvido	
pelas	crianças	impacta	em	percepções	de	que	possuem	menor	grau	do	que	seus	
colegas,	de	habilidades	e	competências	para	conseguirem	alcançar	os	objetivos	
escolares.	
Essas	crenças	advêm,	muitas	vezes,	de	resultados	negativos	em	relação	ao	
desempenho	escolar,	vivenciado	pelas	crianças,	e	interpretados	pelos	professores.	
Segundo	 Barrera	 (2020,	 p.	 68),	 os	 entendimentos	 relacionados	 as	 crenças	 “[...]	
são	interpretados	pelos	professores	e	pais,	sendo	resignificados	e	interiorizados	
pela	criança	de	forma	a	comprometer	sua	autoimagem,	independentemente	do	
grau	de	limitação	cognitiva	desta”.	Ainda,	quando	as	habilidades	e	competências	
necessárias	para	que	a	criança	tenha	êxito	numa	atividade,	são	desconsideradas	
pelos	adultos,	reforça	os	sentimentos	de	ansiedade,	pessimismo	e	a	desmotiva.	
O	 uso	 do	 jogo	 surge	 como	 um	 instrumento	 norteador	 da	 intervenção	
psicopedagógica,	mais	precisamente	o	 jogo	de	 regras.	Dessa	 forma,	 incide	nas	
reclamações	 de	 aprendizagem	 e	 nos	 elementos	 fundamentais	 que	 desenvolve;	
objetivo,	 resultado	e	as	 regras.	Ao	passo	que	oferece	uma	situação	para	que	a	
criança	aprenda	conhecimentos,	estratégias	e	atitudes	(BARRERA,	2020).
O	jogo	de	regras	apresenta	como	objetivo	a	resolução	de	uma	situação-
problema,	 que	 deverá	 ser	 atendida	 pelo	 jogador	 respeitando	 um	 conjunto	 de	
normas	pré-definidas,	para	que	alcance	o	resultado,	vencer	o	jogo.	Uma	vez	que	
o	interesse	do	psicopedagogo	não	estará	exclusivamente	na	análise	da	forma	que	
a	criança	utilizou	para	vencer	o	jogo,	mas	nas	atitudes	e	emoções	na	vivencia	do	
desafio.	
Desse	 modo,	 cabe	 ao	 psicopedagogo	 auxiliar	 a	 criança	 a	 analisar	
suas	 jogadas	 e	 seus	 respectivos	 resultados,	 bem	 como	 planejar	 suas	 ações	
antecipadamente.	“O	objetivo	é	de	que	esse	controle	de	ordem	‘metacognitiva’,	
construído	 no	 decorrer	 do	 uso	 do	 jogo,	 possa	 ser	 generalizado	 para	 outros	
122
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
contextos	e	situações,	como	a	situação	escolar”	(BARRERA,	2020,	p.	69).	Os	jogos	
também	propiciam	um	clima	positivo	de	aprendizagem,	por	estarem	libertos	de	
pressões	e	avaliações.	Em	suma,	são	facilitadores	de	reflexão	que	impulsionam	
a	 autoestima	 e	 favorecem	 a	 motivação	 da	 criança	 na	 resolução	 de	 situações-
problemas,	que	contribuem	no	desenvolvimento	de	seu	aprendizado.	
As	crianças	quando	jogam	necessitam	seguir	a	determinadas	regras	em	
conjunto	 com	 seus	 colegas,	 o	 que	 propicia	 o	 desenvolvimento	moral	 e	 social.	
O	 desenvolvimento	 moral	 como	 uma	 construção	 de	 princípios	 e	 valores	 que	
norteiam	as	formas	de	agir	em	relação	aos	outros.	Porquanto,	no	jogo	de	regras	a	
criança	necessita	trabalhar	com	seus	limites,	respeito	e	disciplina,	parque	consiga	
estabelecer	uma	relação	social.	Ou	seja,	a	criança	precisa	supervisionar	suas	ações	
enquanto	joga,	o	que	reflete	no	seu	modo	de	viver,	no	comportamento	perante	
aos	outros,	para	além	das	situações	de	jogo,	estendendo	para	sua	vivência	social	
(BARRERA,	2020).
5 JOGOS MATEMÁTICOS
Prezado	acadêmico,	deixaremos	algumas	sugestões	de	jogos	para	serem	
utilizados	em	atividades	de	 intervenção	psicopedagógica,	em	turmas	dos	anos	
iniciais	do	Ensino	Fundamental.	A	ideia	seria	em	apresentar	algumas	ideias	com	
a	finalidade	de	enriquecer	seus	estudos,	e	oferecer	suporte	prático	após	o	contexto	
teórico	referente	ao	uso	dos	jogos,	apresentado	nesse	tópico.	As	sugestões	foram	
retiradas da obra Jogos e brincadeiras para sala de aula	de	Shana	Conzatti	(2019).	
5.1 CORRIDA DOS NÚMEROS
Objetivos:	 atenção	 auditiva,	 agilidade,	 rapidez,	 sequência	 numérica,	
raciocínio	rápido.
Material:	bolas	ou	pedaços	de	tecidos.
Coloque	as	crianças	em	uma	fila.	Nomeie	as	crianças	com	números,	que	
pode	ser	até	10	ou	menos.	Coloque	distante	da	fila	as	bolas	ou	tecidos	de	acordo	
com	a	quantidade	de	vezes	em	que	um	mesmo	número	se	repeita.	Por	exemplo:	
se	você	nomeou	3	crianças	com	o	número	1,	coloque	três	bolas	no	chão.	O	adulto	
fala	um	número,	 todas	as	 crianças	que	 são	aquele	número	devem	correr	até	a	
bola	ou	o	tecido,	tocá-lo	e	voltar	ao	seu	lugar.	Assim,	o	adulto	continua	a	falar	os	
números	e	a	brincadeira	se	repete.	
 
Pode-se	 também	alterar	o	 jogo	e	ao	 invés	de	 falar	o	número,	citar	uma	
operação,	como	2	+	5,	e	as	crianças	que	correspondem	ao	número	do	resultado	
devem	correr	até	a	bola	ou	tecido.	
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO
123
5.2 PEGA MAIS UM
Objetivos:	 noção	 de	 par,	 ímpar,	 duplas,	 trios,	 quartetos,	 motricidade,	
agilidade,	resolução	de	conflitos,	atenção	auditiva.
Material:	nenhum.	
Inicie a brincadeira deixando que as crianças brinqueme corram 
livremente.	Quando	 o	 adulto	 der	 o	 sinal,	 bater	 palmas,	 assobiar,	 ou	 outro,	 as	
crianças	devem	encontrar	um	par	 formando	duplas.	A	brincadeira	 segue	 com	
trocas	para	que	formem	trios,	quartetos,	quintetos	e	outros.	Auxilie	as	crianças	a	
resolverem	os	problemas	quando	sobrarem	crianças.	Uma	sugestão	seria	deixá-
las	sozinhas	ou	colocá-las	no	centro	da	roda.	
5.3 TROCA DE LUGAR
Objetivos:	 sequência	 numérica,	 agilidade,	 atenção	 auditiva,	 lidar	 com	
frustração.
Material:	cadeiras	para	as	crianças.
Nomeie	 as	 crianças	 com	números	 até	 10	 ou	menos.	Elas	 sentam-se	 em	
círculo.	Uma	criança	fica	no	meio	e	deve	falar	um	número.	As	crianças	nomeadas	
com	o	número	dito	devem	levantar-se	e	procurar	outro	lugar.	Essa	é	a	chance	do	
que	estava	no	meio	encontrar	um	lugar	para	sentar.	O	que	ficou	sem	cadeira	deve	
reiniciar	a	brincadeira.	
Pode-se	desafiar	 a	 criança	no	meio	 a	 criar	 operações	matemáticas	para	
que	 aqueles	 que	 possuem	 o	 número	 do	 resultado	 levantar.	Assim,	 trabalha	 o	
raciocínio	rápido	e	a	capacidade	de	criar	equações	matemáticas.	
5.4 MONTE FORMAS GEOMÉTRICAS
Objetivos:	percepção	das	 características	das	 formas	geométricas,	motri-
cidade	fina,	atenção	visual	e	auditiva,	agilidade,	nome	das	formas	geométricas.
Material:	pedaços	de	cordões	para	cada	criança.
Distribua	as	crianças	em	círculo	e	entregue	um	cordão	para	cada	uma.	A	
professora	fala	o	nome	de	formas	geométricas.	As	crianças	têm	que	construir	essa	
forma	com	o	seu	cordão	no	chão.	Pode-se	aumentar	gradativamente	a	velocidade	
para	dificultar.	
124
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
Outra	variação	 seria	 entregar	um	cordão	maior	para	 cada	dupla.	Cada	
criança	tem	que	segurar	em	uma	ponta,	e	devem	construir	a	forma	geométrica	
solicitada	 em	 conjunto	 sem	 soltarem	 as	 pontas.	 Dessa	 forma,	 trabalham	 a	
cooperação,	capacidade	de	comunicação	e	estratégia	de	execução.
5.5 JOGO DO PIM
Objetivos:	 atenção,	 raciocínio	 rápido,	 trabalhar	 a	 tabuada,	par	 e	 ímpar,	
desenvoltura.
Material:	nenhum.
Desafie	 uma	 criança	 por	 vez	 a	 falar	 uma	 sequência	 de	 números	 sem	
cometer	erros.	Cada	vez	que	o	número	a	ser	falado	é	o	resultado	do	multiplicador	
do	 número	 combinado	 a	 criança	 deve	 dizer	 “PIM”	 ao	 invés	 do	 número.	 Por	
exemplo:	se	o	combinado	é	a	tabuada	do	3,	a	criança	dizer:	1,	2,	PIM,	4,	5,	PIM,	e	
assim	por	diante.	
5.6 JOGO DAS FORMAS GEOMÉTRICAS
Objetivos:	matemática	e	motricidade
Material:	tira	larga	de	TNT	ou	qualquer	outro	tecido;	formas	geométricas	
recortadas	em	EVA,	papel	ou	tecido;	cola	quente	e	durex;	1	dado	grande.
FIGURA 11 – JOGO DAS FORMAS GEOMÉTRICAS
FONTE: Conzatti (2009, s.p.)
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO
125
Como	montar:	 cole	 as	 formas	geométricas	no	 tecido	 formando	 colunas	
como	na	imagem.	Cuide	para	alternar	as	formas	geométricas	para	que	a	criança	
possa	avançar	no	jogo.	cole	também	formas	geométricas	em	um	Dado.
FIGURA 12 – MODELO DE DADO
FONTE: <https://educacrianca.com.br/confeccao-de-dados/>. Acesso em: 10 jan. 2021.
A	criança	inicia	o	jogo	fora	do	tecido,	ao	jogar	o	dado	deve	pular	para	a	
forma	geométrica	indicada	no	dado.	Assim,	avança	no	tecido	conforme	as	formas	
geométricas	que	aparecem	no	dado	após	ser	lançado,	até	chegar	ao	final.	Cada	
vez	que	a	criança	jogar	o	dado	o	adulto	reforça	o	nome	daquela	forma	geométrica	
e	as	cores,	caso	tenha	feito	colorido.
126
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
LEITURA COMPLEMENTAR
AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO EM MATEMÁTICA DE CRIANÇAS DO 
5° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL. ESTUDO PRELIMINAR POR MEIO 
DO TESTE DE HABILIDADE MATEMÁTICA (THM)
Sônia	das	Dores	Rodrigues
Adriana	Regina	Gussi
Sylvia	Maria	Ciasca
INTRODUÇÃO
A	matemática	está	presente	no	nosso	cotidiano.	Sem	nos	darmos	conta,	
lidamos	 o	 tempo	 todo	 com	 números	 e	 cálculos,	 como,	 por	 exemplo,	 quando	
compramos	e	comparamos	preços	no	supermercado,	controlamos	a	velocidade	
do	 carro,	 estimamos	 o	 tempo	 necessário	 para	 chegar	 a	 determinados	 lugares,	
controlamos	nossos	pagamentos	e	saldo	nos	caixas	eletrônicos	e	diversas	situações	
em	 que	 a	 habilidade	 matemática	 se	 faz	 necessária.	 Assim,	 para	 sobreviver	
dignamente	na	sociedade	atual,	o	indivíduo	deve	dominar	conceitos	matemáticos	
elementares.	
À	escola	tem	sido	atribuído	o	papel	de	propiciar,	ao	longo	do	processo	
de	 alfabetização,	 o	 aprendizado	 pleno	 da	 matemática.	 Nesse	 sentido,	 os	
conceitos	 são	 gradativamente	 introduzidos,	 de	 modo	 que	 ao	 final	 do	 ciclo	 II	
atual	 5º	 ano	 do	 ensino	 fundamental)	 o	 aluno	 tenha	 conhecimentos	 sólidos	
sobre	 números	 naturais,	 sistema	 de	 numeração	 decimal	 e	 números	 racionais, 
operações	 com	 números	 naturais	 e	 racionais,	 espaço	 e	 forma,	 grandezas	 e	
medidas,	tratamento	da	informação,	além	de	conteúdos	atitudinais.	
Mas,	 será	 que	 esses	 objetivos	 têm	 sido	 atingidos?	Dados	de	 avaliações	
oficiais	mostram	que	boa	parte	de	nossas	crianças	concluem	o	ensino	fundamental	
com	conhecimentos	matemáticos	aquém	do	esperado	e,	ainda,	que	tem	havido	
decréscimo	na	média	de	proficiência	em	matemática	com	o	passar	dos	anos.	
Apesar	disso,	 pode-se	dizer	 que	há	pouca	discussão	 sobre	 esse	 tema	 e	
raramente	 há	 a	 preocupação	 de	 encaminhar	 crianças	 com	 dificuldades	 para	
avaliação	e	intervenção	especializada.	No	Laboratório	de	Distúrbio,	Dificuldade	
de	 Aprendizagem	 e	 Transtornos	 da	 Atenção	 (DISAPRE)	 da	 Faculdade	 de	
Ciências	Médicas	(FCM)	da	Universidade	Estadual	de	Campinas,	por	exemplo,	
dificilmente	chegam	crianças	com	queixa	específica	de	dificuldade	de	matemática,	
já	as	relacionadas	à	leitura	e	escrita	são	frequentes.	Depreende-se,	então,	que	é	
mais	aceitável	ter	dificuldade	na	matemática	do	que	na	leitura	e	escrita.
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO
127
Entretanto,	 estudos	 mostram	 que	 o	 domínio	 da	 matemática	 inter-
fere	 diretamente	 na	 vida	 do	 indivíduo.	 Hartzell	 e	 Compton,	 por	 exem-
plo,	 investigaram	 o	 impacto	 da	 matemática	 na	 qualificação	 profissional	 e	
concluíram	que	as	crianças	com	bom	desempenho	nessa	área	tiveram	melhor	qua-
lificação	quando	adultas,	enquanto	que	o	baixo	desempenho	foi	fator	preditivo	de 
pobre	desempenho	nas	áreas	acadêmica	e	profissional,	assim	como	na	esfera	social.
O	profissional	(clínico	ou	institucional)	que	lida	com	a	aprendizagem	da	
criança	deve	então	valorizar	os	aspectos	relacionados	à	habilidade	matemática	e,	
nesse	sentido,	é	importante	que	introduza	na	sua	prática	a	avaliação	do	raciocínio	
lógico-matemático	e	dos	 conceitos	elementares	próprios	da	 série	 escolar	que	a	
criança	 frequenta.	 Para	 a	 avaliação	 do	 raciocínio	 lógico-matemático,	 não	 há	
dúvidas	de	que	 as	provas	operatórias	 são	um	excelente	meio	de	 investigação,	
entretanto	há	que	se	ter	clareza	de	que	a	sua	utilização	requer	não	só	o	domínio	
da	teoria	do	desenvolvimento	cognitivo	de	Jean	Piaget,	como	também	do	método	
clínico	proposto	pelo	mesmo.
Em	relação	à	análise	dos	conceitos	elementares,	são	raros	os	instrumentos	
disponíveis	para	esse	fim	e,	geralmente,	os	existentes	contemplam	basicamente	a	
capacidade	de	a	criança	efetuar	contas	que	envolvem,	principalmente,	as	quatro	
operações	 básicas	 (adição,	 subtração,	multiplicação,	 divisão).	Como	 a priori os 
sistemas	de	ensino	elaboram	o	seu	projeto	pedagógico	baseado	nos	PCN1,	pode-
se	 dizer	 que	 o	 psicopedagogo	 carece	 de	 testes	 de	 avaliação	 matemática	 que	
contemplem	os	conteúdos	de	fato	trabalhados	pela	escola.	
Nesse	sentido,	o	presente	estudo	teve	como	objetivos:	1)	a	elaboração	de	
um	Teste	de	Habilidade	Matemática	(THM)	para	crianças	das	séries	iniciais	do	
ensino	fundamental;	2)	a	aplicação	do	THM	em	uma	turma	do	5º	ano	do	ensino	
fundamental,	para	avaliar	os	resultados	preliminares	do	teste.
MÉTODO
Após	 aprovação	 do	 Comitê	 de	 Ética	 em	 Pesquisa	 da	 FCM/Unicamp	
(Parecer	 nº	 829/2009),	 foi	 elaborado	o	THM	 (Rodrigues	 e	Ciasca).	 Partindo	do	
pressupostode	 que	deve	 ser	 avaliado	 o	 que	de	 fato	 é	 trabalhado	no	 contexto	
escolar,	 foram	 introduzidas	 questões	 que	 tivessem	 relação	 com	 os	 principais	
conteúdos	 propostos	 pelo	 PCN1	 (Quadro	 1).	 A	 descrição	 dos	 conteúdos 
avaliados	no	THM	e	a	pontuação	de	cada	uma	das	14	questões	são	presentadas	
no	Quadro	2.
Quadro 1 – Habilidades	matemáticas	esperadas	para	as	crianças	que	
concluem	o	II	Ciclo	(atual	5º	ano	do	ensino	fundamental),	segundo	os	PCN	
(2001).
• Resolver	 situações-problema	 que	 envolvam	 contagem,	 medidas,	 os	
significados	 das	 operações,	 utilizando	 estratégias	 pessoais	 de	 resolução	 e	
selecionando	procedimentos	de	cálculos.
128
UNIDADE 2 — CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO NA CRIANÇA
• Ler,	 escrever	 números	 naturais	 e	 racionais,	 ordenar	 números	 naturais	 e	
racionais	na	forma	decimal,	pela	interpretação	do	valor	posicional	de	cada	
uma	das	ordens.
• Realizar	cálculos,	mentalmente	e	por	escrito,	envolvendo	números	naturais	e	
racionais	(apenas	na	representação	decimal)	e	comprovar	os	resultados,	por	
meio	de	estratégias	de	verificação.
• Medir	e	fazer	estimativas	sobre	medidas,	utilizando	unidades	e	instrumentos	
de	 medida	 mais	 usuais	 que	 melhor	 se	 ajustem	 à	 natureza	 da	 medição	
realizada.
• Interpretar	e	construir	representações	espaciais	(croquis,	itinerário,	maquetes),	
utilizando-se	de	elementos	de	referência	e	estabelecendo	relações	entre	eles.
• Recolher	 dados	 sobre	 fatos	 e	 fenômenos	 do	 cotidiano,	 utilizando	
procedimentos	de	organização,	e	expressar	o	resultado	utilizando	tabelas	e	
gráficos.
Após	 essa	 primeira	 etapa,	 uma	 das	 autoras	 entrou	 em	 contato	 com	
uma	escola	 estadual	da	Região	Metropolitana	de	Campinas/SP	e	 solicitou	que	
o	 THM	 fosse	 aplicado	 em	 uma	 das	 salas	 do	 5º	 ano	 do	 ensino	 fundamental.	
Uma	 vez	 aprovado	 e	 indicada	 uma	 sala	 de	 aula,	 os	 pais	 foram	 contatados,	
informados	 sobre	 o	 teor	 da	 pesquisa	 e	 aqueles	 que	 autorizaram	 seus	 filhos 
a	fazer	o	THM	assinaram	o	termo	de	consentimento	livre	e	esclarecido.	
Em	seguida,	 foi	 feito	o	 levantamento	de	dados	das	crianças	que	seriam	
avaliadas,	 por	meio	 da	 Ficha	 Escolar	 do	Aluno,	 com	 o	 intuito	 de	 se	 verificar	
os	 seus	 antecedentes	 e	 a	 existência	 (ou	 não)	 de	 problemas	 orgânicos	 (déficits	
sensoriais,	intelectuais	e	motores)	que	pudessem	justificar	pobre	desempenho	em	
matemática.	
O	 THM	 foi	 aplicado	 na	 própria	 escola,	 por	 uma	 das	 autoras,	 em	
sala	 livre	 de	 ruídos	 e	 sem	 tempo	 previamente	 definido	 para	 a	 conclusão	 do	
teste.	 Partindo-se	 do	 pressuposto	 de	 que	 a	 leitura	 e	 a	 escrita	 são	 essenciais	
para	 a	 realização	 de	 qualquer	 teste,	 inclusive	 os	 de	 matemática,	 foi	 aplicado	
também	o	Teste	de	Desempenho	Escolar	 (TDE),	para	 se	avaliar	 as	habilidades 
descritas	(leitura	e	escrita).	
Os	 dados	 foram	 avaliados	 quantitativamente	 e	 qualitativamente.	 A	
análise	estatística	foi	feita	por	meio	do	programa	SAS System for Windows (versão	
8.02)	e	SPSS for Windows (versão	10.0.5)	e	a	escolha	do	teste	para	a	avaliação	dos	
resultados	 foi	 realizada	segundo	o	 tipo	de	variável	analisada.	Foi	 considerado	
significativo	valor	de	p	>0,05.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O	baixo	rendimento	escolar	em	matemática	no	Brasil	vem	se	mantendo	
inalterado	com	o	passar	dos	anos.	Possivelmente,	isso	ocorre	porque	a	matemática	
ensinada	na	escola	geralmente	é	destituída	de	significado,	havendo	uma	espécie	
de	isolamento	entre	essa	e	a	realidade	que	ela	representa.
TÓPICO 3 — O JOGO COMO RECURSO DE APRENDIZADO
129
Por	 conta	 disso,	 tende-se	 a	 culpar	 os	 professores	 pelo	 fato	 de	 parte	
das	 crianças	 não	 atingir	 os	 conhecimentos	 mínimos	 exigidos,	 após	 anos	 de	
escolarização.	Entretanto,	há	que	se	ter	consciência	de	que	não	existe	uma	única	
explicação	 para	 o	 mau	 rendimento	 acadêmico	 dos	 alunos,	 já	 que	 o	 sistema	
educacional	 que	 temos	 hoje	 é	 resultado	 de	 uma	 série	 de	 fatores	 históricos	
associados.	 Além	 disso,	 mais	 importante	 do	 que	 apontar	 culpados	 é	 buscar	
soluções	(a	curto	e	médio	prazo)	que	minimizem	os	efeitos	da	não	aprendizagem.
O	aprofundamento	da	discussão	é	uma	das	medidas	a	ser	colocada	em	
prática,	porém,	essa	não	pode	se	restringir	a	métodos	de	ensino.	A	compreensão	da	
complexidade	do	desenvolvimento	da	criança,	bem	como	os	fatores	indicativos	de	
que	a	mesma	apresenta	dificuldade	na	matemática,	é	essencial	para	o	diagnóstico	
e	intervenção	precoces.	
Em	 geral,	 o	 profissional	 que	 lida	 com	 o	 diagnóstico	 da	 dificuldade	 de	
matemática	 carece	 de	 instrumentos	 validados	 e	 padronizados	 para	 a	 nossa	
população.	 Embora	 haja	 testes	 disponíveis,	 geralmente	 esses	 se	 prendem	 à	
capacidade	 de	 a	 criança	 efetuar	 contas	 aritméticas,	 que	 envolvem	 as	 quatro	
operações	básicas,	 e/ou	atividades	mnemônicas.	Não	 se	 leva	em	consideração,	
então,	os	conteúdos	de	fato	trabalhados	pela	escola.	
No	Brasil,	os	projetos	pedagógicos	para	o	ensino	da	matemática	obedecem,	
a priori,	 o	 que	 preconiza	 os	 PCN.	 Nesse	 sentido,	 no	 presente	 estudo	 a	 ideia	
foi	 desenvolver	 um	 teste	 para	 avaliar	 as	 habilidades	matemáticas	 de	 crianças	
matriculadas	 nas	 séries	 iniciais	 do	 ensino	 fundamental,	 embasado	no	 referido	
PCN.	Optou-se,	inicialmente,	pela	aplicação	do	mesmo	em	uma	classe	do	5º	ano	
do	 ensino	 fundamental	 e	 os	 resultados	preliminares	 foram	aqui	 apresentados.	
Para	o	futuro	pretende-se	padronizar	e	validar	o	THM	e,	adicionalmente,	criar	
um	protocolo	básico	de	identificação	de	discalculia	do	desenvolvimento.	
Para	 saber	 mais	 sobre	 o	 texto,	 acesse:	 http://pepsic.bvsalud.org/pdf/
psicoped/v27n83/04.pdf.	Leia	o	artigo	na	íntegra	e	acompanhe	a	explicação	sobre	
os	resultados	obtidos	detalhadamente.	Confira e amplie seus conhecimentos!
130
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 No	campo	da	educação,	o	sentido	da	palavra	advém	da	origem	latina,	gracejo,	
que	significa	divertimento,	brincadeira	ou	passatempo.
•	 Na	atividade	do	jogo	a	criança	demonstra	sua	experiência,	por	meio	da	relação	
interpessoal	 com	 as	 regras,	 aprende	 e	 se	 diverte,	 o	 que	 atribui	 um	 caráter	
educativo	a	atividade.
•	 O	 jogo	 pedagógico	 para	 assumir	 um	 caráter	 de	 desenvolvimento	 cognitivo	
e	 aperfeiçoamento	 de	 relações	 interpessoais,	 necessita	 estar	 imerso	 em	 um	
projeto,	com	etapas	definidas	conforme	os	objetivos	educativos.	
•	 Na	teoria	piagetiana,	os	jogos	são	divididos	em	jogos	de	exercícios,	simbólicos	
e	de	regras.	
•	 O	 uso	 de	 jogos	 na	 intervenção	 psicopedagógica	 baseado	 na	 perspectiva	 de	
resolução	de	problemas,	permite	se	pensar	no	trabalho	com	a	matemática	para	
além	da	metodologia	didática.
•	 O	processo	de	problematizar	inclui	a	metacognição,	ou	seja,	em	pensar	sobre	o	
que	se	pensou	ou	se	fez.
•	 O	uso	 dos	 jogos	 na	 intervenção	 psicopedagógica	 institucional	 se	 associa	 ao	
desenvolvimento	das	habilidades	matemáticas	e	das	funções	executivas.
• As crianças encaminhadas para os atendimentos nem sempre apresentam 
somente	dificuldades	de	ordem	cognitiva.
131
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
•	 O	 jogo	 de	 regras	 apresenta	 como	 objetivo	 a	 resolução	 de	 uma	 situação-
problema,	que	deverá	ser	atendida	pelo	jogador	respeitando	um	conjunto	de	
normas	pré-definidas,	para	que	alcance	o	resultado,	vencer	o	jogo.
•	 As	 crianças	 quando	 jogam	 necessitam	 seguir	 a	 determinadas	 regras	 em	
conjunto	com	seus	colegas,	o	que	propicia	o	desenvolvimento	moral	e	social.
132
1	 O	 termo	 jogo	 no	 campo	 educacional	 não	 apresenta	 relação	 com	 a	
competição,	como	ocorre	no	sentido	popular,	onde	se	encontra	associado	
as	competições	esportivas.	Com	base	no	conceito	da	palavra	“jogo”	para	a	
educação,	assinale	a	alternativa	CORRETA:	
a)	(			)O	sentido	da	palavra	significa	divertimento,	brincadeira	ou	passatempo.
b)	(			)	 A	palavra	significa	uma	atividade	lúdica	de	aprendizagem	escolar.
c)	(			)	 O	termo	aponta	para	situações	de	faz	de	conta	e	brincadeiras.
d)	(			)	 A	palavra	indica	formas	da	criança	se	ocupar	livremente.	
2	 O	 uso	 de	 jogos	 na	 intervenção	 psicopedagógica	 propõe	 a	 resolução	 de	
problemas	 como	 uma	 alternativa	 metodológica	 para	 o	 trabalho	 com	 a	
matemática.	Com	base	nas	 características	 que	 compõem	a	 resolução	das	
situações-problemas,	analise	as	sentenças	a	seguir:		
I- O primeiro ponto a ser considerado será o entendimento da situação no 
processo	de	problematização.	
II-	 Uma	 das	 características	 aponta	 sobre	 a	 importância	 do	 processo	 de	
resolução.	
III-	Outro	fator	principal	a	ser	considerado	será	na	compreensão	do	que	foi	
solicitado	para	depois	buscar	sua	resolução.
IV-	Uma	das	importantes	características	é	a	definição	das	regras,	técnicas	ou	
fórmulas	para	sua	resolução.	
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	I,	II	e	III	estão	corretas.
b)	(			)	 As	sentenças	III	e	IV	estão	corretas.	
c)	(			)	 As	sentenças	II	e	IV	estão	corretas.	
d)	(			)	 Somente	a	sentença	II	está	correta.	
3	 Observe	 o	 seguinte	 estudo	 de	 caso:	 a	 professora	 do	 quarto	 ano	 do	
Ensino	 Fundamental	 procura	 a	 psicopedagoga	 para	 conversar	 sobre	 o	
desenvolvimento	 de	 alguns	 alunos	 da	 sua	 turma.	 Explica	 que	 há	 seis	
alunos	 que	 apresentam	dificuldades	no	 seu	desempenho	 escolar	 e	 alega	
sobre	a	possibilidade	de	apresentarem	dificuldades	de	aprendizagem.	Os	
alunos	apresentam	dificuldades	em	realizar	os	exercícios	e	apresentam	um	
comportamento	indisciplinado	nas	aulas.	A	psicopedagoga	agenda	horário	
para	observar	as	aulas	da	professora	e	observa	que	as	aulas	são	expositivas	
com	 atividades	 variadas	 registradas	 no	 caderno.	 Observa,	 inclusive,	 a	
AUTOATIVIDADE
133
atuação	dos	seis	alunos	em	sala	de	aula	que	apresentam	dificuldades	na	
resolução	das	atividades.	Como	não	conseguem	realizar	adequadamente	
os	 exercícios	 ocupam	 seu	 tempo	 com	 conversas	 paralelas	 e	 brincadeiras	
desconectadas	com	o	assunto,	o	que	resulta	em	tumulto	na	turma.
Descreva	 como	você,	 acadêmico,	 procederia	 nessa	 situação	 com	o	 uso	dos	
jogos	 na	 intervenção	 psicopedagógica	 com	 os	 seis	 alunos	 indicados	 pela	
professora.
134
REFERÊNCIAS
ANTUNES,	C.	O jogo e a educação infantil: falar	e	dizer,	olhar	e	ver,	educar	e	
ouvir.	Petrópolis:	Vozes,	2017.
BARRERA,	 S.	 D.	 O	 uso	 de	 jogos	 no	 contexto	 psicopedagógico.	 Revista 
Psicopedagogia,	 v.	 37,	 n.	 112,	 p.	 64-73,	 2020.	 Disponível	 em:	 http://pepsic.
bvsalud.org/pdf/psicoped/v37n112/07.pdf.	Acesso	em:	10	jan.	2021.
CONZATTI,	S.	Jogos e brincadeiras para sala de aula. Brasil:	e-book	Kindle,	2019.
FONSECA,	V.	Desenvolvimento cognitivo e processo de ensino-aprendizagem: 
abordagem	psicopedagógica	à	luz	de	Vygotsky.	Petrópolis:	Vozes,	2019.
FRIEDRICH,	J.	Lev Vitotski: mediação,	aprendizagem	e	desenvolvimento:	uma	
leitura	filosófica	e	epistemológica.	São	Paulo:	Mercado	de	Letras,	2012.
KAMII,	C.	A criança e o número: implicações	educacionais	da	teoria	de	PIaget	
para	a	atuação	com	escolares	de	4	a	6	anos.	39.	ed.	Campinas:	Papirus,	2012.
MACEDO	 L.	 Para	 uma	 psicopedagogia	 construtivista.	 In:	 ALENCAR,	 E.	 S.	
Novas contribuições da psicologia aos processos de ensino e aprendizagem.	
São	Paulo:	Cortez;	1992.	p.	119-40.
PIAGET,	 J;	 SZEMINSKA,	 A.	 A gênese do número na criança.	 3.	 ed.	 Zahar	
Editores:	Rio	de	Janeiro,	1981.
SMOLE,	 K.	 S.;	 DINIZ,	 M.	 I.;	 CANDIDO,	 P.	 Cadernos do Mathema: Ensino 
Fundamental.	São	Paulo:	Artmed,	2007.
VIGOTSKI,	L.	S.	A construção do pensamento e da linguagem.	São	Paulo:	WMF	
Martins	Fontes,	2009a.
VIGOTSKI,	L.	S.	Imaginação e criação na infância.	São	Paulo:	Ática,	2009b.
135
UNIDADE 3 — 
TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM 
DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE 
INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 conhecer	 sobre	 a	 classificação	 das	 dificuldades	 e	 transtornos	 de	
aprendizagem;	
•	 diferenciar	as	dificuldades	dos	transtornos	de	aprendizagem;
•	 organizar	o	diagnóstico	para	aplicar	nas	intervenções	psicopedagógicas;
•	 identificar	as	atividades	a	serem	trabalhadas	nas	intervenções;
•	 conhecer	 as	 possibilidades	 de	 intervenções	 psicopedagógicas	 no	
aprendizado	da	matemática.
Esta	unidade	está	dividida	em	três	tópicos.	No	decorrer	da	unidade,	
você	 encontrará	 autoatividades	 com	 o	 objetivo	 de	 reforçar	 o	 conteúdo	
apresentado.
TÓPICO	1	–	CLASSIFICAÇÃO	DAS	DIFICULDADES	E	TRANSTORNOS		
	 								DE	APRENDIZAGEM	EM	MATEMÁTICA
TÓPICO	2	–	DIAGNÓSTICO	E	ATIVIDADES	PARA	INTERVENÇÃO		 	
	 								PSICOPEDAGÓGICA	DA	DISCALCULIA
TÓPICO		3	–	INTERVENÇÕES		PSICOPEDAGÓGICAS		NA		 	 	
																							CONSTRUÇÃO	LÓGICO	MATEMÁTICA
136
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
137
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Prezado	acadêmico,	estudaremos	sobre	aspectos	diretamente	interligados	
na	ação	do	psicopedagogo	nas	intervenções	que	realizará	em	seus	atendimentos.	
Dessa	 forma,	os	assuntos	permeiam	 instrumentos,	 sugestões	de	atividades	e	a	
conceitualização	de	termos	necessários	para	o	desenvolvimento	de	sua	profissão.	
A	 princípio,	 apresentaremos	 a	 conceitualização	 das	 dificuldades	 de	
aprendizagem,	 com	 um	 breve	 histórico	 sobre	 seu	 processo	 de	 construção.	
Desse	modo,	o	texto	destaca	desde	a	utilização	dos	primeiros	termos,	até	o	uso	
caracterizado	e	 aceito	pela	Classificação	Estatística	 Internacional	de	Doenças	 e	
Problemas	Relacionados	à	Saúde.
Neste	 tópico,	 discutiremos	 sobre	 a	 diferença	 entre	 as	 dificuldades	 e	 os	
transtornos	 de	 aprendizagem,	 evidenciando	 o	 baixo	 rendimento	 aritmético,	
acalculia	e	a	discalculia.	Ao	longo	dos	estudos,	você	perceberá	que	a	discalculia	
apresenta	subtipos	caracterizados	conforme	o	entendimento	de	alguns	autores.	
Assim,	destacaremos	a	classificação	da	discalculia	apresentada	por	Kosc	(1974)	
em	 seis	 subtipos,	 e	 a	 de	Kaufmann	 et	 al.	 (2013)	 que	 as	 divide	 em	 duas,	 uma	
primária	e	outra	secundária.
TÓPICO 1 — 
CLASSIFICAÇÃO DAS DIFICULDADES E 
TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM EM 
MATEMÁTICA
2 CONCEITUALIZAÇÃO DAS DIFICULDADES DE 
APRENDIZAGEM
Os	 primeiros	 estudos	 para	 descobrir	 as	 razões	 das	 ocorrências	 de	
dificuldades	 de	 aprendizagem	 iniciaram	 em	 1800.	 Os	 pesquisadores	 da	 área	
médica	neurológica	buscaram	identificar	as	lesões	em	vítimas	de	acidentes,	que	
resultaram	na	privação	de	habilidades	da	fala.	Na	época,	os	estudiosos	associaram	
essa	privação	às	dificuldades	de	aprendizagem,	mesmo	alguns	dos	pacientes	já	
terem	aprendido	o	código	escrito	(FARIAS,	2019).
Os	 estudos	 sobre	 as	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 foram	 oficializados	
como	 campo	 de	 estudo	 no	 ano	 de	 1963,	 na	 cidade	 de	 Chicago.	 O	 propósito	
partiu	da	associação	de	pais	 e	profissionais	que	estudavam	as	dificuldades	de	
aprendizagem,	em	descobrirem	o	porquê	de	seus	filhos	apresentarem	dificuldades	
de	aprendizagem	na	escola,	apesar	de	não	aparentarem	problemas	mentais.	
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
138
Segundo	Farias	 (2019),	o	 termo	“dificuldades	de	aprendizagem”	surgiu	
na	Conference	on	Exploration	 into	Problems	of	 the	Perceptually	Handicapped	
Child,	 por	 intermédio	 do	 psicólogo	 Samuel	 Kirk	 (1904-1996).	 Samuel	 Kirk	
caracterizou	as	crianças	com	desordens	no	desenvolvimento	da	linguagem,	fala,	
leitura	e	habilidades	associadas	a	comunicação,	em	como	as	que	apresentavam	
um	atraso	mental	generalizado.	
Dessa	forma,	Kirk	estabeleceu	a	relação	entre	aprendizagem	e	inteligência	
e	 classificou	 as	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 em	 categorias	 associadasao	
coeficiente	de	inteligência	(Q.I.),	ao	comportamento	e	ao	desempenho	acadêmico.	
De	acordo	com	Farias	(2019),	a	classificação	ficou	definida	como:	
• Aprendizes	lentos	(Q.I.	entre	75	a	90).
• Retardos	mentais	(Q.I.	inferior	a	75).
• Transtornados	emocionais	e	não	adaptados	socialmente.
• Privados	culturalmente	ou	ambientalmente.
• Portadores	de	dificuldades	de	aprendizagem.
Os	estudos	de	Kirk	incentivaram	a	fundação	da	Association	for	Children	
with	 Learning	 Disabilities	 (ACLD),	 que	 afirmou	 a	 diferenciação	 entre	 as	
dificuldades	de	aprendizagem	acadêmica	em	relação	às	deficiências,	na	mudança	
da	 perspectiva	 médica	 para	 a	 pedagógica.	 A	 partir	 desse	 fato,	 iniciaram	 as	
discussões	sobre	propostas	educativas	enriquecidas	com	soluções	instrucionais	e	
na	adaptação	dos	instrumentos	avaliativos	(FARIAS,	2019).
Segundo	 Farias	 (2019),	 desde	 a	 década	 de	 1980	 houve	 avanços	 nos	
estudos	sobre	as	dificuldades	de	aprendizagem,	em	relação	tanto	ao	diagnóstico	
como	 também	 nas	 intervenções.	 Assim	 como	 na	 superação	 da	 concepção	 de	
homogeneidade	dos	casos,	o	que	passou	a	considerar	os	diferentes	contextos	e	
aspectos	que	envolvem	o	processo	de	aprendizagem	na	sua	heterogeneidade.	
 
O	conceito	de	dificuldades	de	aprendizagem	apresenta	condições	internas	
(neurobiológicas)	 e	 externas	 (psicoemocionais).	 Conforme	 a	 Classificação	
Estatística	Internacional	de	Doenças	e	Problemas	Relacionados	à	Saúde	(CID-10),	
de	acordo	com	Farias	(2019,	p.	28),
[...]	as	dificuldades	de	aprendizagem	se	enquadram	entre	os	"trans-
tornos	 específicos	 do	 desenvolvimento	 das	 habilidades	 escolares"	
(código	F81),	parte	de	uma	categoria	mais	abrangente	de	transtornos	
do	desenvolvimento	psicológico	(códigos	F80	a	F89).
De	 modo	 geral,	 as	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 se	 caracterizam	 no	
grupo	 variado	 de	 transtornos	 que	 envolvem	 a	 atenção,	 memória,	 raciocínio,	
coordenação,	 adaptação	 social	 e	 problemas	 emocionais.	 As	 dificuldades	 de	
aprendizagem	ao	contrário	do	que	afirmado	em	outros	tempos,	não	caracterizam	
o	Q.I.	baixo	(FARIAS,	2019).
TÓPICO 1 — CLASSIFICAÇÃO DAS DIFICULDADES E TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
139
Para	Santos	(2017),	as	dificuldades	em	aprender	ou	realizar	as	atividades	
de	matemática	 são	 frequentes	desde	os	primeiros	 anos	 escolares.	Assim,	pode	
haver	 dificuldades	 leves	 ou	 graves,	 transitórias	 ou	 permanentes.	Há,	 ainda,	 o	
rendimento	inferior	ao	esperado	que	pode	estar	associado	a	relação	a	fatores	am-
bientais	como	a	forma	de	ensinar,	experiência,	prática,	motivação,	encorajamento	
e	idade.	A	ausência	de	uma	avaliação	por	especialista	acarreta	a	confusão	de	jul-
gamento,	onde	a	criança	passa	a	ser	apontada	como	preguiçosa	e	incapaz.
A	 capacidade	de	quantificar	ou	de	 identificar	os	números	de	unidades	
de	 um	 conjunto	 para	 discriminar	 quantidades	 numéricas	 constitui-se	 em	dois	
sistemas	quantitativos,	o	aproximado	e	o	exato.	O	sistema	aproximado	representa	
grandes	 quantidades,	 sendo	 que	 o	 exato	 determina	 as	 pequenas	 quantidades.	
Ambos	 os	 sistemas	 são	 aplicados	 aos	 objetos,	 cenas	 e	 eventos	 nos	 diversos	
contextos	da	vida	cotidiana,	seu	uso	varai	conforme	a	natureza	quantitativa	da	
informação	e	do	conhecimento	numérico	do	indivíduo	(SANTOS,	2017).
As	dificuldades	de	aprendizagem	relacionadas	a	capacidade	de	quantificar	
os	números	se	encontram	relacionados,	segundo	Santos	(2017):
• nas	representações	numéricas	de	magnitudes;
• nas	formas	numéricas	visoespaciais	e	nos	dedos;
• na	representação	verbal;
• no	conhecimento	de	fatos	aritméticos;
• na	ordinalidade;
• no	uso	do	sistema	decimal.	
A	atuação	de	um	profissional	ao	diagnosticar	uma	criança	com	dificuldade	
de	aprendizagem	relacionada	a	matemática	necessita	identificar	fatores	endógenos	
e/ou	 exógenos.	Com	a	prioridade	 em	distinguir	 o	desenvolvimento	 típico	das	
competências	do	aprendizado	numérico,	ou	do	desenvolvimento	atípico.	Dessa	
forma,	o	diagnóstico	requer	a	avaliação	de	um	profissional	qualificado,	ou	ainda	
de	 uma	 equipe	 multidisciplinar	 que	 se	 concentrem	 na	 análise	 complementar	
dos	exames.	Assim,	conseguirão	dados	suficientes	para	apontar	se	a	dificuldade	
se	 encontra	 relacionada	 ao	 baixo	 rendimento	 aritmético,	 acalculia,	 discalculia	
primária	e	discalculia	secundária.	Ou	ainda,	se	há	evidências	de	sinais	clínicos	que	
apresentam	condições	que	justifiquem	uma	capacidade	reduzida	de	quantificar	
os	números,	relacionada	a	uma	deficiência	intelectual	(SANTOS,	2017).
O	 baixo	 rendimento	 aritmético	 consiste	 na	 primeira	 categoria	 das	
disfunções	da	matemática,	sendo	a	mais	comum	e	denominado	como	dificuldade	
de	aprendizagem	da	disciplina	de	matemática.	Contudo,	os	outros	três	tipos	de	
condições	 estão	 associados	 a	 critérios	 clínicos	 descritos	 nos	manuais	médicos	
e	 classificados	 como	 transtornos	de	 aprendizagem.	A	 acalculia	 apresenta	uma	
etiologia	decorrente	de	lesões	encefálicas.	A	discalculia	consiste	numa	condição	
complexa	 onde	há	 necessidade	de	 se	 distinguir	 a	 sua	 condição	primária,	 com	
características	próprias	da	discalculia,	da	secundária	com	outros	prejuízos	não	
relacionados	a	cognição	numérica.	A	discalculia	secundária	corresponde	a	quarta	
categoria	e	apresenta	as	comorbidades	(SANTOS,	2017).
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
140
3 BAIXO RENDIMENTO ARITMÉTICO
O	 termo	 “baixo	 rendimento”	 aritmético	 em	 outros	 tempos	 assumiu	 a	
denominação	 de	 pseudodiscalculia,	 atualmente	 conhecido	 internacionalmente	
pelos	acrônimos	LA	(low	achievement	ou	low	attainment),	MLD	(mathematical	
learning	 disabilites/disorders	 ou	 mathematical	 learning	 dificulties)	 ou	 AD	
(arithmetical	 difficulties).	 De	 modo	 geral,	 todos	 esses	 termos	 apresentam	 o	
significado	relacionado	à	obtenção	de	notas	baixas	na	disciplina	de	matemática,	
mesmo	com	práticas	orientadas	por	motivação	e	oportunidades	adequadas	para	
sua	aprendizagem	(SANTOS,	2017).
O	baixo	rendimento	aritmético	diferencia	do	transtorno	de	aprendizagem	
nas	características	que	apresenta	nos	fatores	extrínsecos	ou	intrínsecos.	A	saber,	o	
baixo	rendimento	aritmético	consiste	na	incapacidade	do	indivíduo	em	demonstrar	
habilidades	potenciais	ou	conhecimentos	adquiridos	adequadamente,	em	função	
de	um	ensino	inadequado,	uma	doença	ou	fadiga,	com	características	de	caráter	
extrínseco.	Ao	passo	que	o	transtorno	de	aprendizagem,	uma	condição	intrínseca	
que	origina	prejuízos	significativos	na	capacidade	de	aprender	a	matemática,	o	
indivíduo	 apresenta	 um	 desempenho	 significativamente	 reduzido	 devido	 aos	
fatores	ambientais	desfavoráveis	a	aprendizagem	(SANTOS,	2017).
A	avaliação	inicial	do	baixo	rendimento	aritmético	pode	ser	realizada	por	
meio	da	observação	dos	professores	e	familiares,	em	relação	ao	comportamento	
e	notas	da	 criança	na	disciplina.	Ainda,	 a	 aplicação	de	uma	avaliação	objetiva	
de	habilidades	 aritméticas	 com	operações	 simples	para	 serem	 resolvidas.	Essa	
avaliação	inicial	permite	identificar	déficits,	mas	não	como	forma	de	constatar	um	
diagnóstico	da	criança	(SANTOS,	2017).
Assim,	 quando	 uma	 criança	 passa	 por	 uma	 avaliação	 neurocognitiva	
completa	 e	 suas	 pontuações	 mesmo	 sendo	 baixa,	 contudo,	 não	 graves	 para	
configurar	um	 transtorno	de	aprendizagem,	podem	ser	 justificadas	por	outros	
fatores	como	a	pobreza,	um	ensino	carente	e	outros.	Segundo	Santos	 (2017,	p.	
46),	“[...]	 a	 conclusão	é	que	esta	criança	não	preenche	os	critérios	previstos	no	
CID-10	 (OMS,	 2004)	 para	 acalculia	 e	 Transtorno	 Específico	 de	Aprendizagem	
da	Aritmética,	nem	para	Transtorno	Misto	de	Aprendizagem”.	Dessa	 forma,	a	
condição	da	 criança	passa	 a	 ser	 classificada	na	 categoria	de	baixo	 rendimento	
aritmético.		
A	 criança	 que	 apresenta	 baixo	 rendimento	 aritmético	 possui	 sintomas	
mais	 leves,	 sendo,	 na	maioria	dos	 casos,	 reversíveis	 por	meio	de	 intervenções	
pedagógicas	 adequadas.Mesmo	 que	 o	 baixo	 rendimento	 aritmético	 não	 se	
classifica	 como	 um	 transtorno	 específico	 de	 aprendizagem,	 atua	 de	 modo	
negativo	na	vida	das	crianças.	Ou	seja,	mesmo	que	ocorra	de	forma	transitória	
poderá	desencadear	algumas	sequelas	que	perduram	na	vida	do	indivíduo,	como	
a	baixa	autoestima,	 insegurança,	ansiedade	em	estudar	matemática,	em	alguns	
casos	até	a	evasão	escolar.	
TÓPICO 1 — CLASSIFICAÇÃO DAS DIFICULDADES E TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
141
De	modo	 geral,	 o	 diagnóstico	 do	 baixo	 rendimento	 aritmético	 permite	
o	desenvolvimento	de	 ações	necessárias	para	 seu	 controle	 e	prevenção	de	um	
transtorno	de	 aprendizagem.	Visto	 que	 em	 alguns	 casos	 de	 baixo	 rendimento	
aritmético	constituem	um	estágio	de	transição	para	um	transtorno	de	aprendiza-
gem.	Essa	situação	demarca	que	nem	sempre	se	consegue	concluir	um	diagnósti-
co	na	primeira	avaliação,	sendo	necessário	o	acompanhamento	por,	pelo	menos,	
seis	meses	perante	as	respostas	de	remediação	da	situação	(SANTOS,	2017).	
4 ACALCULIA
A	primeira	descrição	de	 acalculia	 foi	 no	 início	do	 século	XX,	 em	1908.	
Anos	mais	tarde,	o	neurologista	sueco	Salomon	Eberhard	Henschen	apresentou	
termo	acalculia	na	comunidade	científica,	com	base	em	estudos	de	305	casos.	O	
estudioso	Cohn	em	1961	 também	descreveu	uma	sequência	de	oito	 casos	 com	
variadas	etiologias,	como	tumor	cerebral,	alergia	a	um	anestésico,	perfuração	por	
arma	de	fogo,	acidente	cerebral	e	outros.	Em	suma,	todos	os	casos	apresentavam	
pessoas	 com	 capacidade	 de	 aprender	 conhecimentos	 matemáticos.	 Contudo,	
após	as	lesões	cerebrais	passaram	a	apresentar	a	acalculia.	
Uma	vez	que	nem	sempre	a	pessoa	perde	completamente	a	habilidade	
para	 calcular,	 alguns	 autores	 preferem	 os	 termos	 discalculia	 pós-
lesional	[...]	ou	discalculia	adquirida	para	ser	referirem	aos	casos	de	
acalculia	e	para	diferenciá-los	das	discalculias	por	 lesões	congênitas	
(SANTOS,	2017,	p.	51).
Os	primeiros	estudos	apontaram	a	acalculia	como	uma	manifestação	de	
afasia.	Todavia,	 a	dissociação	nos	 estudos	de	 caso	 indicou	a	 independência	 e	
comorbidade	 relacionada	 às	disfunções	do	 aprendizado	da	matemática	 e	dos	
transtornos	 da	 linguagem.	Os	 estudos	 neuropsicológicos	 indicam	 que	 a	 acal-
culia	decorre	de	 lesões	parietais,	mais	precisamente	 junto	 ao	 giro	 angular	do	
hemisfério	esquerdo.	
As	imagens	por	ressonância	magnética	funcional	(IRMF)	apontam	que	as	
principais	conexões	afetadas	são	frontoparietais.	No	entanto,	atualmente	sabe-se	
que	a	morfologia	cerebral	não	se	constitui	de	modo	estática.	Todavia,	 sim,	em	
uma	rede	neural	em	constante	conexão	com	outras	áreas	cerebrais	que	permitem	
a	interpretação	das	habilidades	cognitivas	gerais	necessárias	para	a	realização	de	
um	cálculo.	
As	 habilidades	 como	 o	 raciocínio	 e	 o	 processamento	 de	 informações	
auditivas	e	visuais	ativam	respectivamente	porções	dos	lobos	frontal,	temporal	
e	occipital.	Com	base	nessa	variedade	de	componentes	relacionados	à	resolução	
dos	cálculos	matemáticos,	as	lesões	corticais	e	subcorticais,	nos	quatro	lobos,	uni	
ou	bilaterais	podem	gerar	formas	particulares	de	acalculia	(SANTOS,	2017).
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
142
Segundo	Santos	 (2017),	a	acalculia	pode	advir	de	outros	sinais	clínicos,	
como	 no	 caso	 da	 síndrome	 de	 Gerstmann.	 Essa	 síndrome	 se	 apresenta	 na	
combinação	da	agnosia	digital,	desorientação	direita-esquerda,	agrafia	e	acalculia.	
Há	estudos	que	revelam	pacientes	com	síndrome	de	Gerstmann	que	são	capazes	
de	ler	algarismos	e	escrever	por	meio	do	ditado,	mas	apresentam	déficits	graves	
na	realização	dos	cálculos.	Esses	pacientes	apresentam	lesões	profundas	no	sulco	
intraparietal,	mais	precisamente	no	hemisfério	esquerdo,	numa	região	decisiva	
para	 a	 representação	 dos	 cálculos	 que	 envolvem	 a	 matemática.	 A	 acalculia	
relacionada	aos	fatores	etiológicos	se	encontra	associada	as	isquemias,	sendo	que	
pode	também	surgir	como	um	sinal	de	processos	degenerativos,	como	na	doença	
de	Alzheimer.	
5 DISCALCULIA
Os	 primeiros	 estudiosos	 que	 utilizaram	 o	 termo	 discalculia	 do	
desenvolvimento	foram	Robert	Cohn	e	Ladislav	Kose,	em	publicações	nos	anos	
de	 1978	 em	 Bethesda,	 e	 em	 1974	 em	 Bratislava.	 Atualmente,	 nas	 publicações	
internacionais	 predomina	 a	 expressão	 “transtorno	 de	 aprendizagem	 da	
matemática”.	No	Brasil,	é	adotado	nos	laudos	médicos	a	nomenclatura	indicada	
no	CID-10,	como	referencial	oficial	para	esta	finalidade:	Transtorno	Específico	da	
Habilidade	em	Aritmética	-	F81.2.	De	acordo	com	Santos	(2017),
No	caso	específico	de	associação	da	discalculia	às	disfunções	graves	
em	leitura	e	escrita,	seria	mais	apropriado	adotar	no	laudo	a	expressão	
Transtorno	 de	 Aprendizagem	 Misto	 -	 F81.3	 (OMS,	 2004).	 Alguns	
autores	 preferem	 indicar	 ambos	 os	 transtornos	 quando	 presentes:	
"dislexia	combinada	com	discalculia"	(SANTOS,	2017,	p.	57).
Há	 dois	 termos	 recomendados	 pelo	 Consenso	 Internacional,	 segundo	
Santos	 (2017),	 denominados	 de	 Discalculia	 do	 Desenvolvimento	 Primária	 e	
Discalculia	do	Desenvolvimento	Secundária.	A	discalculia	segundo	o	informado	
no	CID-10	se	manifesta	como	um	prejuízo	específico	em	habilidades	matemáticas,	
álgebra,	trigonometria,	geometria	e	cálculo.	Esse	déficit	não	se	encontra	associado	
a	um	ensino	inadequado	ou	a	deficiências	intelectuais,	sensoriais,	emocionais	ou	
pedagógicas.	Portanto,	esse	prejuízo	pode	ser	observado	em	situações	cotidianas,	
que	excluí	a	possibilidade	dos	casos	de	acalculia	e	outras	comorbidades.	A	situação	
deve	ser	confirmada	por	medidas	psicométricas	especializadas	e	padronizadas,	
incluindo	o	nível	intelectual	e	o	aprendizado	da	matemática.	
A	caracterização	do	DSM-V	(APA,	2013)	adota	uma	entidade	única,	
o	TEA	ou	Transtorno	Específico	de	Aprendizagem	(em	inglês,	SLD	–	
Specific	Learning	Disorder),	acompanhada	de	descritores	específicos,	
neste	caso,	em	aritmética	(SANTOS,	2017,	p.	61).
Dessa	forma,	o	TEA	em	aritmética	apresenta	déficits	na	aprendizagem	da	
quantificação	e	identificação	dos	números	que	não	são	justificados	por	transtornos	
intelectuais	 ou	 sensoriais,	 segundo	 Santos	 (2017),	 com	base	 na	persistência	de	
sintomas	por	no	mínimo	seis	meses;	na	discrepância	entre	idade	e	o	rendimento	
TÓPICO 1 — CLASSIFICAÇÃO DAS DIFICULDADES E TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
143
escolar	 conforme	 medidas	 psicometricamente	 quantificáveis;	 no	 surgimento	
precoce	e	acentuado	nos	primeiros	anos	escolares;	e,	por	fim,	na	ausência	de	outros	
transtornos	 mentais	 ou	 neurológicos,	 adversidade	 psicossocial	 e	 ausência	 da	
compreensão	dos	termos		escolares.	Essa	proposição	consiste	em	objeto	de	críticas	
por	parte	da	 comunidade	 científica,	 em	decorrência	de	 complexas	 implicações	
que	abrangem	distintos	transtornos	em	uma	única	condição	com	subtipos.	
A	comunidade	científica	se	preocupa	em	responder	a	três	questões	concei-
tuais	em	relação	à	gravidade	comorbidade	e	ao	substrato	neural.	A	primeira	ques-
tão	refere-se	à	dúvida	se	a	discalculia	se	distingue	de	outras	disfunções	do	apren-
dizado	da	matemática	pela	gravidade,	ou	se	apresenta	características	próprias.	
A	 segunda	 questão	 que	 justifica	 a	 anterior	 pretende	 descobrir	 se	 a	
discalculia	seria	uma	continuação	da	dislexia.	Tal	consideração	advém	da	premissa	
de	que	metade	das	crianças	que	apresentam	prejuízos	na	leitura,	também	exibem	
na	matemática.	O	 que	 supõe	 a	 existência	 de	 déficits	 hereditários	 na	memória	
semântica	que	são	comuns	a	ambos	os	transtornos,	condizente	com	a	indicação	
da	DSM-V.	Logo,	 o	último	questionamento	destaca	o	 interesse	 em	 saber	 se	 as	
quantidades	são	representadas	por	meio	de	uma	única	base	neural,	mas	baseado	
nos	estudos	recentes,	se	tem	a	informação	da	confluência	de	múltiplos	sistemas	
(SANTOS,	2017).
Contudo,	o	Consenso	Internacional	define	a	discalculia	como:	
[...]	um	transtorno	heterogêneo	que	decorrede	diferenças	individuais	
tanto	no	desenvolvimento	quanto	no	funcionamento	da	cognição	nu-
mérica,	nos	níveis	neuroanatômico,	neuropsicológico	e	comportamen-
tal,	bem	como	em	suas	interações	(KAUFMANN,	2013	apud	SANTOS,	
2017,	p.	62).
As	 principais	 características	 comportamentais	 das	 crianças	 que	
apresentam	discalculia	 são	percebíveis	 como	na	 contagem	 com	os	dedos	para	
resolver	 problemas	 ou,	 ainda,	 em	 desenhar	 elementos	 não	 simbólicos	 no	
caderno	para	servir	de	apoio	na	contagem.	Essas	ações	apontam	um	problema	
fundamental	 na	 resolução	 das	 atividades	 que	 necessitam	 da	 compreensão	 de	
conceitos	 numéricos	 básicos,	 com	 sua	 quantificação	 e,	 por	 fim,	 de	 aprender	 e	
lembrar	os	fatos	aritméticos	(SANTOS,	2017).
Santos	(2017)	apresenta	algumas	queixas	que	caracterizam	uma	possível	
discalculia	nas	crianças:
• Prejuízo	do	sendo	numérico.
• Dificuldades	para	estimar	quantidades.
• Reduzida	capacidade	de	subitização.
• Dificuldade	com	a	transcodificação	de	representações	simbólicas.
• Dificuldade	para	contar	em	ordem	inversa.
• Incompreensão	do	sistema	decimal.
• Prejuízo	no	desenvolvimento	da	linha	numérica	mental.
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
144
• Capacidade	limitada	de	recuperação	de	fatos	aritméticos.
• Dificuldade	para	decompor	um	problema	em	partes.
• Incompreensão	dos	procedimentos	de	cálculo	e	seus	conceitos.
• Estratégias	imaturas	de	contagem.
No	 âmbito	 clínico,	 a	 primeira	 característica	 a	 ser	 considerada	 consiste	
na	 precocidade	 do	 surgimento	 dos	 déficits	 na	 aprendizagem	 da	 matemática.	
Para	 Santos	 (2017,	 p.	 64),	 “é	 importante	 compreender	 que	 a	 criança	 é	 dotada	
de	uma	habilidade	 inerente	para	 aprender	 aritmética,	mas	diversos	 elementos	
desta	 habilidade	 se	 ampliam	 essencialmente	 por	 meio	 de	 escolarização”.	 Ou	
seja,	a	criança	com	discalculia	apresenta	desde	o	início	do	seu	desenvolvimento	
um	 atraso	 no	 aprendizado	 da	matemática,	mais	 precisamente	 na	 percepção	 e	
resolução	dos	cálculos	numéricos.	
O	padrão	de	prejuízo	na	cognição	numérica	poderá	alterar	ao	longo	dos	
anos,	independente	se	a	criança	possui	baixo	rendimento	aritmético	ou	discalculia.	
Entretanto,	o	rendimento	da	aprendizagem	permanece	o	mesmo,	porque	não	se	
trata	de	um	processo	degenerativo	progressivo,	mas	em	disfunções	que	não	se	
alteram	com	o	tratamento.	Assim,	as	mudanças	podem	ser	decorrentes	tanto	do	
desenvolvimento	neurocognitivo	como	também	da	estimulação	ambiental,	por	
meio	da	aprendizagem	escolar	ou	de	outras	atividades	(SANTOS,	2017).
Santos	(2017)	organizou	algumas	classificações	de	autores	que	identifica-
ram	subtipos	da	discalculia,	onde	os	termos	DD	refere-se	à	Discalculia	do	Desen-
volvimento	e	TDAH	o	Transtorno	de	Déficit	de	Atenção/Hiperatividade.
QUADRO 1 – EXEMPLOS DE CLASSIFICAÇÕES FENOTÍPICAS DA DISCALCULIA
Nº DE SUBTIPOS FENÓTIPOS AUTORES
Seis
Verbal,	Practognóstica,	
Lexical,	Gráfica,	Ideognóstica,	
Operacional
Kosc	(1974)
Três Verbal,	Arábico,	DD+TDAH von	Aster	(2000)
Três DD	primária,	DD+TDAH,	
DD+dislexia Rubinsten	&	Henik	(2009)
Dois DD	e	DD+dislexia Jordan	(2007)
Dois Primárias	e	Secundárias Kaufmann	et al.	(2013)
FONTE: Adaptado de Santos (2017)
Farias	 (2019)	 apresenta	 a	 subdivisão	 para	 a	 discalculia	 organizada	 por	
Kosc	(1974)	em	seis	subtipos:
TÓPICO 1 — CLASSIFICAÇÃO DAS DIFICULDADES E TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
145
• Discalculia	verbal:	o	indivíduo	apresenta	dificuldades	em	nomear	quantidades,	
números,	termos	e	símbolos.
• Discalculia	léxica:	envolve	confusão	no	aprendizado	dos	símbolos	matemáticos.
• Discalculia	gráfica:	também	conhecida	por	agrafia,	indica	as	dificuldades	em	
escrever	símbolos	e	dígitos	na	resolução	dos	cálculos.
• Discalculia	practognóstica:	o	indivíduo	não	consegue	aplicar	os	conhecimentos	
matemáticos,	 como	 na	 incapacidade	 de	 organizar	 objetos	 por	 ordem	 de	
tamanho	ou	em	identificar	semelhanças	entre	dois	objetos.
• Discalculia	ideognóstica:	consiste	na	dificuldade	em	fazer	operações	mentais	e	
na	compreensão	dos	conceitos	matemáticos.
• Discalculia	operacional:	seria	a	dificuldade	na	execução	de	operações	e	cálculos	
numéricos.	
Segundo	Farias	(2019),	Kosc	(1974)	apresentou	alguns	tipos	de	discalculia	
que	se	encontram	relacionados	a	dislexia,	como	a	léxica	e	a	gráfica.	Entretanto,	
em	todos	os	casos	a	discalculia	necessita	ser	considerada	como	um	distúrbio	de	
aprendizagem	 independente	no	processo	de	diagnóstico.	Para	Santos	 (2017),	o	
Consenso	Internacional	recomenda	a	classificação	segundo	o	autor	Kaufmann	et 
al.	(2013),	que	simplifica	a	compreensão	das	caracerísticas	gerais	da	discalculia	em	
primárias	e	secundárias.	Assim,	estudaremos	a	discalculia	primária	e	secundária	
para	compreender	seu	conceito	e	caracterização.	
A	discalculia	do	desenvolvimento	primária	ou	DD	primária	ou	 isolada	
consiste	 na	 minoria	 dos	 casos	 de	 discalculia	 entre	 1%	 e	 2%	 das	 crianças	 em	
idade	 escolar.	 Essas	 crianças	 apresentam	 déficits	 exclusivos	 nos	 sistemas	 da	
aprendizagem	 numérica,	 em	 relação	 ao	 nível	 intelectual	 global	 e	 do	 ensino	
apropriado	para	sua	idade	(SANTOS,	2017).
A	 discalculia	 do	 desenvolvimento	 secundária	 seriam	 as	 disfunções	 no	
aprendizado	da	matemática	graves	o	suficiente	para	constituir	um	diagnóstico	
de	discalculia.	Além	disso,	com	a	presença	de	déficits	cognitivos	não	associados	
à	 matemática	 graves	 ou	 outros	 Transtornos	 do	 Desenvolvimento	 Psicológico	
(SANTOS,	2017).
146
Neste tópico, você aprendeu que:
RESUMO DO TÓPICO 1
•	 Os	primeiros	estudos	para	descobrir	as	razões	das	ocorrências	de	dificuldades	
de	aprendizagem	iniciaram	em	1800.
•	 Os	estudos	sobre	as	dificuldades	de	aprendizagem	foram	oficializados	como	
campo	de	estudo	no	ano	de	1963,	na	cidade	de	Chicago.
•	 O	 conceito	 de	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 apresenta	 condições	 internas	
(neurobiológicas)	e	externas	(psicoemocionais).
•	 As	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 se	 caracterizam	 no	 grupo	 variado	 de	
transtornos	 que	 envolvem	 a	 atenção,	 memória,	 raciocínio,	 coordenação,	
adaptação	social	e	problemas	emocionais.
•	 O	diagnóstico	requer	a	avaliação	de	um	profissional	qualificado,	ou	ainda	de	uma	
equipe	multidisciplinar	que	se	concentrem	na	análise	complementar	dos	exames.
•	 O	 baixo	 rendimento	 aritmético	 consiste	 na	 incapacidade	 do	 indivíduo	
em	 demonstrar	 habilidades	 potenciais	 ou	 conhecimentos	 adquiridos	
adequadamente,	em	função	de	um	ensino	inadequado,	uma	doença	ou	fadiga,	
com	características	de	caráter	extrínseco.
•	 A	acalculia	apresenta	uma	etiologia	decorrente	de	lesões	encefálicas.	
•	 A	 discalculia	 consiste	 numa	 condição	 complexa	 onde	 há	 necessidade	 de	 se	
distinguir	a	sua	condição	primária,	com	características	próprias	da	discalculia,	
da	secundária	com	outros	prejuízos	não	relacionados	a	cognição	numérica.	
•	 A	 discalculia	 secundária	 corresponde	 a	 quarta	 categoria	 e	 apresenta	 as	
comorbidades.
•	 A	discalculia	segundo	o	informado	no	CID-10	se	manifesta	como	um	prejuízo	
específico	 em	 habilidades	matemáticas,	 álgebra,	 trigonometria,	 geometria	 e	
cálculo.
•	 As	 principais	 características	 comportamentais	 das	 crianças	 que	 apresentam	
discalculia	 são	 percebíveis	 como	 na	 contagem	 com	 os	 dedos	 para	 resolver	
problemas,	ou	ainda,	em	desenhar	elementos	não	simbólicos	no	caderno	para	
servir	de	apoio	na	contagem.
•	 No	 âmbito	 clínico	 a	 primeira	 característica	 a	 ser	 considerada	 consiste	 na	
precocidade	do	surgimento	dos	déficits	na	aprendizagem	da	matemática.
147
1	 A	partir	dos	anos	1980	houve	avanços	nos	estudos	sobre	as	dificuldades	
de	 aprendizagem,	 com	 um	 significativo	 desenvolvimento	 em	 relação	
ao	 diagnóstico	 e	 às	 intervenções.	 Igualmente,	 a	 respeito	 da	 concepção	
de	 homogeneidade	 dos	 casos,	 que	 passou	 a	 considerar	 as	 singulares	 no	
processo	de	aprendizagem.	Com	base	nas	características	queconceituam	
as	dificuldades	de	aprendizagem,	analise	as	sentenças	a	seguir:	
I-	 O	 conceito	 de	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 depende	 somente	 das	
condições	neurobiológicas.
II-	 As	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 se	 enquadram	 entre	 os	 transtornos	
específicos	do	desenvolvimento	das	habilidades	escolares.
III-	 De	acordo	com	o	CID-10	consistem	partem	de	uma	categoria	abrangente	
de	transtornos	do	desenvolvimento	psicológico.
IV-	 As	dificuldades	de	aprendizagem	variam	conforme	as	condições	internas	
e	externas	no	indivíduo.	
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
b)	(			)	 As	sentenças	II,	III	e	IV	estão	corretas.
c)	(			)	 Somente	a	sentença	II	está	correta.
d)	(			)	 Somente	a	sentença	III	está	correta.
2	 O	termo	“baixo	rendimento	aritmético”	significa	a	obtenção	de	notas	baixas	
na	 disciplina	 de	 matemática,	 mesmo	 com	 que	 as	 práticas	 educacionais	
estejam	 orientadas	 por	 motivação	 e	 oportunidades	 adequadas	 para	 a	
aprendizagem.	 De	 acordo	 com	 as	 diferenças	 entre	 o	 baixo	 rendimento	
aritmético	e	os	transtornos	de	aprendizagem,	classifique	V	para	as	sentenças	
verdadeiras	e	F	para	as	falsas:
(			)	 Diferencia-se	 nas	 características	 que	 apresenta	 por	 meio	 dos	 fatores	
extrínsecos	e	intrínsecos.
(			)	 O	baixo	rendimento	seria	a	incapacidade	do	indivíduo	em	demonstrar	
habilidades	 potenciais	 influenciados	 por	 características	 de	 caráter	
intrínseco.
(			)	 O	 transtorno	 de	 aprendizagem	 de	 condição	 essencialmente	 intrínseca	
origina	prejuízos	na	capacidade	de	aprender	matemática.
(			)	 O	 baixo	 rendimento	 aritmético	 consiste	 no	 subtipo	 de	 transtorno	 de	
aprendizagem	que	incide	no	aprendizado	da	matemática.	
Assinale	a	alternativa	que	apresenta	a	sequência	CORRETA:
AUTOATIVIDADE
148
a)	(			)	 V	-	V	-	V	-	F.
b)	(			)	 F	-	V	-	F	-	V.
c)	(			)	 V	-	F	-	V	-	F.
d)	(			)	 F	-	F	-	V	-	V.
3	 Os	 primeiros	 estudos	 apontaram	 a	 acalculia	 como	 uma	 manifestação	
de	 afasia,	 entretanto,	 os	 estudos	 de	 caso	 indicaram	 a	 independência	 e	
comorbidade	relacionada	às	disfunções	do	aprendizado	da	matemática	e	
dos	transtornos	da	linguagem.	Sobre	a	decorrência	da	acalculia,	assinale	a	
alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 Os	 estudos	 neuropsicológicos	 apontam	 a	 acalculia	 decorrente	 de	
lesões	parietais,	mais	precisamente	junto	ao	giro	angular	do	hemisfério	
esquerdo.
b)	(			)	 Os	estudos	neurológicos	indicam	a	acalculia	como	uma	lesão	frontal	
decorrente	da	má	formação	congênita.
c)	(			)	 Os	 estudos	 médicos	 citam	 a	 acalculia	 associada	 ao	 TDAH	 –	 o	
Transtorno	de	Déficit	de	Atenção/Hiperatividade.
d)	(			)	 Os	 estudos	 comportamentais	 indicam	 a	 acalculia	 como	 uma	 fobia	
relacionada	ao	aprendizado	da	matemática.	
4	 O	Consenso	Internacional	recomenda	a	classificação	da	discalculia	segundo	
o	autor	Kaufmann	et al.	 (2013),	que	a	divide	segundo	suas	características	
gerais	 da	 discalculia	 em	 primárias	 e	 secundárias.	 Disserte	 sobre	 as	
características	da	discalculia	primária	e	a	discalculia	secundária.
5	 Observe	 o	 seguinte	 estudo	 de	 caso:	 a	 professora	 encaminha	 um	 aluno	
do	 terceiro	 ano	 do	 Ensino	 Fundamental,	 para	 a	 psicopedagoga	 com	 a	
afirmação	 de	 que	 possui	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 em	matemática.	
A	psicopedagoga	realiza	o	diagnóstico	e	percebe	que	a	criança	apresenta	
discalculia	 verbal,	 gráfica	 e	 operacional.	Disserte	 sobre	 as	 características	
dos	subtipos	de	discalculias	encontradas	pela	psicopedagoga.
149
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Prezado	 acadêmico,	 neste	 tópico,	 estudaremos	 sobre	 os	 elementos	
que	 compõem	 os	 fazeres	 psicopedagógicos	 no	 processo	 das	 intervenções	
psicopedagógicas.	Dessa	forma,	conheceremos	o	primeiro	elemento	primordial	
para	a	organização	do	atendimento	psicopedagógico,	o	diagnóstico.	O	diagnóstico	
como	uma	ação	investigativa	que	pretende	verificar	a	situação	de	aprendizagem	
da	criança.	
Para	 a	 organização	 do	 diagnóstico,	 o	 psicopedagogo	 pode	 utilizar	 de	
algumas	 ferramentas	que	 investigam	o	desenvolvimento	e	a	aprendizagem	da	
criança.	Como	no	caso	da	anamnese	que	pesquisa	as	aprendizagens	do	indivíduo,	
em	todo	seu	percurso	de	vida,	o	que	inclui	sua	vivência	pessoal	e	escolar.	
Neste	tópico,	conheceremos	alguns	testes	que	podem	ser	utilizados	para	
organizar	o	diagnóstico	da	criança,	como	a	Escala	de	Inteligência	Weschler	para	
crianças	(WISC-III),	teste	de	transcodificação,	subteste	de	aritmética,	bateria	para	
avaliação	do	 tratamento	dos	números	 e	do	 cálculo	para	 crianças	pré-escolares	
(ZAREKI-R)	e	a	prova	de	aritmética.	O	texto	revela	que	alguns	desses	textos	se	
encontram	adaptados	a	realidade	brasileira,	adaptados	por	estudiosos	da	área,	
em	pesquisas	sobre	seu	uso	nas	intervenções	psicopedagógicas.
Por	 fim,	 apresentaremos	 algumas	 sugestões	 de	 como	 organizar	 as	
intervenções	psicopedagógicas	para	o	atendimento	das	crianças	com	discalculia.	
Nesta	 etapa,	 evidenciamos	 o	 uso	 dos	 jogos	 e	 destacamos	 algumas	 ideias	 que	
poderão	servir	de	base,	para	inspiração	e	elaboração	de	outras	formas	de	trabalhar	
com	as	crianças.
TÓPICO 2 — 
DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA 
INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA 
DA DISCALCULIA
2 DIAGNÓSTICO PSICOPEDAGÓGICO EM TRANSTORNOS 
DA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
Para	Weiss	(2004),	a	anamnese	consiste	no	principal	fator,	para	a	elaboração	
do	diagnóstico	psicopedagógico,	porque	permite	a	compreensão	dos	elementos	
que	 interferem	 na	 aprendizagem	 do	 indivíduo.	 Por	 meio	 desse	 instrumento,	
consegue-se	 realizar	 um	parâmetro	 da	 história	 de	 vida	 com	 fatos	 e	 investigar	
150
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
o	 desenvolvimento	 das	 áreas	 do	 conhecimento.	 Dessa	 forma,	 possibilita	 ao	
psicopedagogo,	 no	 caso	da	matemática,	 a	 análise	 de	 questões	 relacionadas	 ao	
raciocínio	lógico,	resolução	de	operações	e	problemas.
O	 diagnóstico	 pode	 ser	 entendido	 como	 um	 processo	 de	 investigação	
da	não	aprendizagem	do	indivíduo,	que	possibilita	ao	psicopedagogo	levantar	
algumas	hipóteses	provisórias,	que	podem	ou	não	serem	confirmadas	no	decorrer	
do	processo	de	intervenção.	Para	o	ensejo	o	profissional	utiliza	de	instrumentos	
específicos	que	permite	investigar,	analisar	e	diagnosticar.	Os	instrumentos	mais	
utilizados	consistem	na	anamnese	e	os	testes	padronizados.	Contudo,	segundo	
Avila	(2017),	há	necessidade	inclusive,	de	uma	avaliação	multidisciplinar,	testes	
de	Q.I.,	e	para	alguns	casos,	a	avaliação	neurológica.
2.1 ANANMESE
A	 principal	 característica	 da	 anamnese	 seria	 em	 investigar	 como	 as	
aprendizagens	 do	 indivíduo	 ocorreram,	 isso	 engloba	 desde	 as	 aprendizagens	
primitivas	como	o	controle	dos	esfíncteres	até	as	aprendizagens	formais	escolares.	
Dessa	 forma,	 a	 anamnese	pode	ocorrer	 em	um	único	 encontro,	 como	 também	
necessitar	de	outros	agendamentos,	conforme	a	necessidade	(AVILA,	2017).
Nessa	etapa	do	diagnóstico	são	investigados	além	da	história	das	primei-
ras	aprendizagens	no	indivíduo,	a	sua	história	clínica,	familiar	e	escolar.	De	modo	
geral,	cabe	ao	psicopedagogo	a	pesquisa	sobre	a	história	a	partir	dos	aspectos	que	
antecedem	o	seu	nascimento,	o	desenvolvimento	das	etapas	de	aprendizagem,	ao	
processo	de	socialização,	existência	de	traumas	e	o	relacionamento	com	os	fami-
liares.	Em	suma,	a	anamnese	consiste	no	instrumento	de	resgate	da	história	de	
vida	do	indivíduo	(AVILA,	2017).
FIGURA 1 – MODELO DE ANAMNESE
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
151
152
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
153
154
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA155
FONTE: <https://blog.psiqueasy.com.br/2017/09/12/links-de-testes-psicopedagogicos-
diversificados/>. Acesso em: 10 fev. 2021.
2.2 ESCALA DE INTELIGÊNCIA WESCHLER PARA CRIANÇAS 
- TESTE - WISC-III (2002)
As	 Escalas	 Wechsler	 de	 Inteligência	 (WISC-III),	 segundo	 Avila	 (2017,	
p.	52),	“[...]	verificam	o	desempenho	 intelectual	global	do	estudante,	por	meio	
da	avaliação	exclusiva	do	psicólogo,	em	que	o	objetivo	é	analisar	a	história	das	
DA”.	Dessa	forma,	o	WISC-III	consiste	em	13	subtestes	como	objetivo	de	medir	
diversas	 habilidades	 da	 inteligência	 agrupadas	 em	 escalas	 organizadas	 por	
conjunto	verbal	(informação,	semelhanças,	vocabulário,	compreensão,	aritmética,	
dígitos)	e	no	conjunto	de	execução	(completar	figuras,	arranjo	de	figuras,	armar	
objetos,	códigos,	cubos,	procurar	símbolos,	labirinto),	que	define	os	QI	verbal,	QI	
de	Execução	e	QI	total.	
156
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
A	escala	do	WISC-III	requer	tempo	para	sua	devida	execução,	em	média	
de	duas	horas,	e	por	isso,	foram	organizadas	formas	reduzidas	de	sua	aplicação,	
com	um	número	 reduzido	de	 subtestes.	 Portanto,	 em	 1999	 foi	 elaborado	 pela	
Psychological	 Corporation	 a	 Escala	 de	 Inteligência	Weschler	 (WASI).	 O	WASI	
considera	 quatro	 subtestes	 baseados	 em	 cubos,	 vocabulário,	 semelhanças	 e	
raciocínio	matricial.	
A WASI é um instrumento breve de avaliação da inteligência, aplicável a 
crianças de seis anos a idosos de 89 anos de idade. Fornece informações sobre os QIs 
Total, de Execução e Verbal a partir de quatro subtestes (Vocabulário, Cubos, Semelhanças e 
Raciocínio Matricial), em um curto espaço de tempo. A escala ainda fornece a possibilidade 
de avaliação do QI Total com apenas dois subtestes (Vocabulário e Raciocínio Matricial). 
A escala é também associada à Escala de Inteligência Wechsler para Crianças – Terceira 
Edição e à Escala de Inteligência Wechsler para Adultos – Terceira Edição e fornece tabelas 
para estimativa de faixas de escore de QIT nas escalas WISC-III e WAIS-III.
FONTE: <https://www.pearsonclinical.com.br/escala-wechsler-abreviada-de-inteligencia-
wasi-manual.html>. Acesso em: 10 fev. 2021.
DICAS
2.3 TESTE DE TRANSCODIFICAÇÃO
A	transcodificação	numérica	(TN)	abrange	as	habilidades	de	transcodifi-
car	as	representações	dos	numerais,	da	representação	verbal	para	a	arábica.	Ou	
seja,	o	ditado	de	numerais	da	leitura	verbal	dos	números	é	considerado	uma	ati-
vidade	primordial	no	processamento	numérico	(AVILA,	2017).
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
157
FIGURA 3 – MODELOS SOBRE COGNIÇÃO MATEMÁTICA
FONTE: Adaptado de Freitas, Ferreira e Haase (2010)
O	 modelo	 do	 Código	 Triplo	 aponta	 os	 códigos	 internos	 que	 são	
utilizados	para	a	realização	das	operações	numéricas.	Isso	indica	que	as	mesmas	
representações	são	utilizadas	para	uma	determinada	atividade,	a	cada	vez	que	
fosse	apresentado	o	formato	de	um	numeral.	Nesse	sentido,	o	código	verbal	serve	
para	contagem	e	recuperação	de	fatos	aritméticos,	sendo	o	código	arábico	para	
a	 realização	de	 cálculos	 com	vários	dígitos.	O	 código	de	magnitude	analógico	
representado	 pela	 semântica	 numérica,	 por	 meio	 da	 noção	 de	 quantidades	
empregada	na	comparação	de	magnitudes,	estimações	e	cálculos	de	quantidade	
aproximada	(FREITAS;	FERREIRA;	HAASE,	2010).
No	modelo	de	Código	Triplo	há,	portanto,	o	assentimento	de	um	código	
verbal,	ou	seja,	uma	representação	verbal	entre	as	representações	de	
base	para	a	aritmética.	Uma	representação	de	funcionamento	verbal	
dos	números	implica	a	aquisição	do	sistema	de	números	sob	a	forma	
de	palavras	de	uma	determinada	língua,	e	do	estabelecimento	de	uma	
ligação	entre	a	palavra	que	designa	o	número	e	um	sistema	de	número	
simbólico,	 como,	 por	 exemplo,	 o	 sistema	 indo-arábico	 (FREITAS;	
FERREIRA;	HAASE,	20010,	p.	114).
De	 modo	 geral,	 a	 transformação	 de	 um	 código	 numérico	 para	 outro	
seria	a	transcodificação.	A	leitura	em	voz	alta	de	um	número	na	representação	
arábica,	 seria	a	 transcodificação	do	número	de	código	arábico	para	o	verbal,	 e	
o	 contrário	 também	o	 representa,	 na	 escrita	 de	 números	 ditados,	 onde	 ocorre	
a	 transcodificação	 de	 um	 código	 verbal	 para	 um	 número	 arábico	 (FREITAS;	
FERREIRA;	HAASE,	2010).
Alguns	modelos	de	 transcodificação	 foram	propostos	 e	de	 acordo	 com	
Freitas,	Ferreira	e	Haase	(2010)	foram	divididos	em:
158
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
1.	Modelos	semânticos:	são	modelos	que	consideram	a	representação	semântica,	
como	os	propostos	por	McCloskey	(1992),	Power	e	Dal	Martello	(1990).
2.	Modelos	 Assemânticos:	 consistem	 em	 modelos	 que	 não	 consideram	 a	
representação	semântica	como	os	de	Barrouillet	e	seus	colaboradores	(2004)	e	
Deloche	e	Seron	(1987).
O	modelo	semântico	mais	aceito	consiste	no	Semântico-lexical	de	Power	e	
Dal	Martello	(1990),	o	qual	propõe	a	representação	semântica	baseada	no	código	e	
entrada	verbal.	Visto	que	a	compreensão	de	um	processo	ocorre	quando	o	número	
verbalmente	percebido	será	transformado	em	uma	representação	semântica.	
Com	 relação	 ao	 modelo	 assemântico,	 há	 o	 modelo	 Assemântico	 de	
Desenvolvimento	 Processual	 da	 Transcodificação	 (ADAPT),	 desenvolvido	 por	
Barrouilet,	Camos,	Perruchet	e	Seron	(2004).	Esse	modelo	apresenta	a	aprendizagem	
dos	números	por	meio	das	regras	para	 transcodificação	de	numerais	com	dois	
dígitos,	da	adição	de	novas	 regras	de	 transcodificação	que	envolvam	números	
maiores,	e,	por	fim,	do	abandono	dos	processos	anteriores	para	a	recuperação	da	
memória	do	trabalho	(FREITAS;	FERREIRA;	HAASE,	2010).
Com	relação	ao	uso	do	ADAPT	sobre	a	sequência	verbal	correspondente	
ao	numeral,	Freitas,	Ferreira	e	Haase	(2012,	p.	4)	explicam	que:
[...]	é	armazenada	temporariamente	no	buffer fonológico.	Um	proces-
so	de	análise	compara	com	essa	sequência	de	representação	unidades	
armazenadas	na	memória	de	longo	prazo.	Caso	não	seja	possível	toda	
a	 cadeia	 ser	processada	de	uma	só	vez	 [...]	um	processo	de	análise	
isola	 as	unidades	que	podem	ser	processadas	pelo	 sistema	de	pro-
dução.	Separadores	(mil	e	cem)	são	usados	para	identificar	o	número	
de	dígitos	necessários	para	a	 forma	digital	da	 sequência	verbal	 [...]	
O	processo	de	 análise	 de	determinada	parte	 da	 sequência	 verbal	 é	
interrompido	logo	que	a	forma	digital	de	um	segmento	está	disponí-
vel	na	memória	de	longo	prazo	e	sua	forma	digital	é	armazenada	na	
memória	de	trabalho	[...].
O	Teste	de	Transcodificação	permite	a	avaliação	das	habilidades	de	leitura	
e	 escrita	 de	 28	 numerais	 de	 um	 a	 quatro	 dígitos,	 com	 atenção	 na	 leitura	 dos	
numerais,	nas	habilidades	de	representação	numérica	para	o	código	verbal.	Em	
seguida,	se	propõe	a	escrita	dos	numerais	da	representação	numérica	do	código	
verbal	oral	para	a	escrita	arábica	(FREITAS;	FERREIRA;	HAASE,	2012).
De	acordo	com	Freitas,	Ferreira	e	Haase	(2010),	os	erros	na	transcodificação	
são	classificados	em:
•	 Erros	 léxicos:	quando	um	elemento	 léxico	 será	 substituído	por	outro.	 Surge	
relacionada	a	déficits	no	léxico	numérico	ou	no	acesso	a	eles.	Exemplo:	número	
19	a	criança	escreve	15,	ou	número	246	a	criança	lê	245.	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
159
•	 Erros	 sintáticos:	 os	 elementos	 léxicos	 são	 usados	 corretamente,	 mas	 são	
colocados	de	modo	 errado	na	 sequência	do	numeral.	Mais	 precisamente	 os	
erros	 sintáticos	 apontam	 a	 extensão	 do	 numeral,	 onde	 há	 necessidade	 de	
codificação	de	lugar.	Exemplo:	número	3791,	a	criança	lê	trezentos,	setecentos	
e	noventa	e	um	ou	3	mil,	novecentos	e	setenta	e	um.	
As	 crianças	 com	 Dificuldades	 de	 Aprendizagem	 na	 Matemática	 nos	
primeiros	 anos	 escolares	 apresentam	problemas	 com	 as	 propriedades	 lexicais,	
que	podem	estar	 envolvidos	 com	a	 escassez	no	 contato	 com	os	numerais.Em	
relação	as	propriedades	sintáticas	as	crianças	que	não	apresentam	Dificuldades	
de	Aprendizagem	na	Matemática	sentem	dificuldades.	Com	o	avanço	nos	anos	
escolares,	“[...]	o	domínio	das	propriedades	lexicais	se	assemelha	aos	controles	
e	restam	apenas	dificuldades	no	domínio	das	propriedades	sintáticas”	(AVILA,	
2017,	p.	55).
FIGURA 3 – EXEMPLOS DE TESTE DE TRANSCODIFICAÇÃO
160
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
FONTE: Avila (2017, p. 242-243)
2.4 SUBTESTE DE ARITMÉTICA
O	subteste	de	Aritmética	compõe	o	Teste	Desempenho	Escolar	(TDE)	do	
estudioso	Stein	(1994).	Dessa	forma,	o	TDE	possui	como	objetivo	a	avaliação	do	
desempenho	escolar	em	relação	à	 leitura,	 escrita	e	matemática.	A	 investigação	
dos	conhecimentos	matemáticos	ocorre	por	uma	avaliação	inicial	com	a	resolução	
de	três	problemas	e	35	operações.	Segundo	Avila	(2017),	Stein	(1994)	indica	a	sua	
utilização	em	crianças	de	1º	ao	6º	ano	do	Ensino	Fundamental,	mas	pode	também	
ser	utilizado	para	alguns	casos	em	alunos	do	7º	ao	9º	ano.	
 
O	TED	é	amplamente	utilizado	no	Brasil	como	instrumento	psicopeda-
gógico	para	avaliar	o	desempenho	escolar	dos	alunos	nas	áreas	de	leitura,	escrita	
e	aritmética.	Contudo,	após	muitos	anos	de	sua	criação	e	sem	atualizações,	esse	
instrumento	se	encontra	desatualizado	e	não	condiz	com	a	realidade	do	ensino	
atual	no	país	(AVILA,	2017).	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
161
FIGURA 4 – EXEMPLO DE SUBTESTE DE ARITMÉTICA
FONTE: Avila (2017, p. 244)
FIGURA 5 – TABELA DE CLASSIFICAÇÃO DE ESCORES BRUTOS SEGUNDO ANOS ESCOLARES 
DE ACORDO COM STEIN (1994)
162
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
FONTE: Avila (2017, p. 249)
2.5 BATERIA PARA AVALIAÇÃO DO TRATAMENTO DOS 
NÚMEROS E DO CÁLCULO PARA CRIANÇAS PRÉ-
ESCOLARES – ZAREKI-R
A	Bateria	Neuropsicológica	para	Avaliação	do	Tratamento	dos	Números	
e	do	Cálculo	para	Crianças	pré-escolares	(ZAREKI-R)	foi	proposta	por	Zulauf	et 
al.	(2003),	com	base	nos	dois	modelos:	Modelo	de	Desenvolvimento	da	Cognição	
Numérica	 e	 Modelo	 do	 Código	 Triplo.	 A	 aplicação	 da	 ZEREKI-R	 objetiva	
avaliar	as	habilidades	matemáticas	em	relação	aos	cálculos	e	aritmética.	O	teste	
é	composto	por	nove	subtestes	que	pretendem	avaliar	a	cognição	numérica	de	
habilidades	primárias	 e	 secundárias,	 com	atividades	destinas	para	 crianças	de	
cinco	e	seis	anos.	(AVILA,	2017).
De	 acordo	 com	Avila	 (2017),	 os	 subtestes	 foram	adaptados	por	Molina	
(2015)	no	percurso	de	suas	 investigações	com	crianças	brasileiras	e	dividem-se	
em	atividades	que	buscam	avaliar:
• Contar:	crianças	no	processo	numérico.
• Problemas	matemáticos:	capacidade	das	crianças	em	realizarem	cálculos.
• Memorização	 de	 dígitos:	 avaliar	 a	 memória	 de	 trabalho	 quando	 a	 criança	
repete	uma	série	de	numerais	em	ordem	crescente.
• Adição/Subtração:	propor	a	realização	de	cálculos	de	adição	e	subtração.
• Ordenar	 números	 em	 uma	 escala:	 avaliar	 se	 a	 criança	 consegue	 construir	
noções	numéricas	mentalmente.
• Noção	de	quantidade:	capacidade	da	criança	em	relação	ao	senso	numérico.	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
163
• Transcodificação:	 a	 atividade	envolve	a	 leitura	 e	 escrita	dos	numerais	 e	 sua	
ordenação	para	verificar	a	compreensão	numérica.
• Noção	 de	 quantidade:	 avaliar	 as	 habilidades	 para	 atribuir	 determinadas	
quantidades	relacionadas	a	compreensão	numérica.	
• Comparação	de	quantidade:	avaliar	a	compreensão	numérica.	
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DICAS
2.6 PROVA DE ARITMÉTICA
Os	 autores	 Seabra,	 Dias	 e	 Macedo	 (2010),	 segundo	 Avila	 (2017),	
organizaram	a	Prova	de	Aritmética,	composta	por	seis	subtestes	que	avaliam:
• Competência	aritmética.
• Escrita	por	extenso	de	números	apresentados	algebricamente	e	a	sua	escrita	
após	ditado	verbalizado.
• Escrita	de	sequências	numéricas	crescente	e	descrescente.
• Comparação	de	grandeza	numérica.
• Cálculo	de	operações	apresentadas	por	escrito	e	oralmente.
• Resolução	de	problemas	matemáticos.	
O	primeiro	 subteste	busca	examinar	a	 leitura	e	escrita	dos	numerais;	o	
segundo	envolve	a	contagem	numérica;	o	terceiro	avalia	a	relação	de	grandeza	
entre	os	numerais;	o	quarto	busca	verificar	as	habilidades	em	relação	às	operações	
de	 adição,	 subtração,	 multiplicação	 e	 divisão.	 O	 quinto	 subteste	 envolve	 a	
apresentação	 das	 quatro	 operações	 básicas	 oralmente,	 onde	 a	 criança	 deverá	
mentalmente	armar	o	algoritmo;	e,	por	fim,	o	sexto	subteste	objetiva	avaliar	as	
habilidades	em	relação	a	resolução	de	problemas	baseados	nas	quatro	operações.	
(AVILA,	2017).
De	acordo	com	Avila	(2017),	a	Prova	Aritmética	pode	ser	aplicada	indivi-
dualmente	ou	em	uma	turma	com	crianças	de	6	a	11	anos	de	idade,	e	com	base	na	
análise	do	escore	com	total	de	58	pontos	e	os	tipos	de	erros,	permite	a	avaliação	
sobre	quais	habilidades	matemáticas	podem	estar	prejudicadas.	
164
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
Mais detalhes sobre a Prova Aritmética, você encontra na obra Teoria e Pesquisa 
em Avaliação Neuropsicológica. Acesse e amplie seus conhecimentos!
FONTE: <https://memnon.com.br/produto/teoria-e-pesquisa-em-avaliacao-
neuropsicologica/>. Acesso em: 10 fev. 2021.
DICAS
3 INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA EM CASOS 
DE DISCALCULIA
O	aluno	com	diagnóstico	de	Discalculia	apresenta	algumas	particula-
ridades	 que	 necessitam	do	 apoio	 integrado	dos	 responsáveis,	 professores	 e	
psicopedagogos.	Dessa	forma,	há	necessidade	de	que	todos	apresentem	uma	
mesma	 linguagem	 e	 recursos	 pedagógicos	 de	 acordo	 com	 as	 necessidades	
desse	indivíduo.
 
As	orientações	da	Associação	Brasileira	de	Discalculia	 (ABD),	 segundo	
Pisani,	 Ventavoli	 e	 Nassim	 (2018),	 indicam	 o	 atendimento	 dos	 alunos	 com	
Discalculia	 por	 meio	 de	 uma	 equipe	 multidisciplinar,	 com	 destaque	 para	
o	 psicopedagogo.	 Assim,	 cabe	 a	 esse	 profissional	 trabalhar	 a	 autoestima,	
com	 atividades	 desenvolvidas	 pelo	 indivíduo	 e	 que	 permitam	 descobrir	 seu	
processo	de	aprendizagem	com	atividades	adequadas.	De	modo	geral,	cabe	ao	
psicopedagogo	a	orientação	para	que	os	sintomas	sejam	amenizados,	na	correção	
dos	fatores	que	incidem	na	dificuldade,	bem	como,	no	resgate	da	qualidade	de	
vida	e	sua	autonomia.	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
165
Segundo	Pisani,	Ventavoli	e	Nassim	(2018),	destacam	a	convivência	e	a	
aprendizagem	em	grupo	como	uma	forma	de	benefício	a	 todos	os	envolvidos,	
não	somente	as	crianças	que	apresentam	dificuldades	de	aprendizagem.	Por	meio	
do	diálogo,	um	reconhece	o	outro	por	meio	da	interação	baseada	no	respeito	a	
sua	dignidade.	
Ao	 privilegiar	 a	 interação	 social,	 a	 aprendizagem	 em	 grupo	 e	 a	
contextualização	do	conhecimento	a	partir	das	experiências	pessoais,	
a	 educação	 visará	 a	 formação	 integral	 do	 aluno.	 O	 psicopedagogo,	
nesse	sentido,	pode	contribuir	para	a	construção	de	bases	sólidas	que	
deem	sustentação	para	se	construir	todo	o	conhecimento	matemático	
do	 estudante,	 evitando	 assim,	 complicações	 e	 dificuldades	 na	
aprendizagem	futura	(PISANI;	VENTAVOLI;	NASSIM,	2018,	s.p.).	
A	 atuação	 do	 Psicopedagogo	 Institucional	 auxilia	 na	 elaboração	 das	
ações	 pedagógicas	 que	 despertem	 a	 curiosidade	 e	 o	 interesse,	 o	 que	 facilita	 a	
inclusão	 dos	 alunos	 com	 dificuldades	 de	 aprendizagem	 em	matemática.	 Para	
tanto,	o	profissional	necessita	desenvolver	um	trabalho	educativo	que	englobe	os	
diferentes	tipos	de	aprendizagem,	com	atividades	direcionadas	aos	alunos	que	
apresentamdificuldades	sem	isolá-los	da	turma.	
O	trabalho	desenvolvido	para	alunos	com	Discalculia	deve	destacar	suas	
potencialidades	e	habilidades,	em	detrimento	de	ressaltar	suas	dificuldades.	Essa	
atitude	contribui	para	que	o	aluno	não	se	sinta	frustrado	e	ocorra	uma	regressão	
no	tratamento	da	Discalculia.	Dessa	forma,	será	desaconselhável	o	profissional	
agir	 com	 impaciência,	 interrompendo	 o	 raciocínio	 do	 aluno	 na	 tentativa	 de	
adivinhar	 o	 seu	 pensamento.	 Igualmente	 as	 correções	 em	 público,	 na	 frente	
de	 seus	 colegas	 da	 turma,	 são	 desnecessárias	 e	 favorecem	 o	 constrangimento	
(PISANI;	VENTAVOLI;	NASSIM,	2018).
Outro	ponto	a	 ser	destacado	 seria	 a	 forma	prática	de	 trabalhar	 com	os	
alunos	que	apresentam	dificuldades	de	aprendizagem	relacionadas	a	Discalculia.	
Sendo	que,	para	favorecer	sua	aprendizagem,	há	necessidade	de	estabelecer	uma	
relação	entre	a	 linguagem	 lógica	e	as	expressões	quantitativas	cotidianas,	bem	
como	no	uso	de	materiais	 concretos.	Outra	 sugestão	 importante	 seria	 em	não	
sobrecarregar	 a	 sua	memória	 com	muitas	 informações,	mas	 sim	 em	 revisar	 o	
conteúdo	constantemente	até	sua	compreensão.	
 
Pisani,	Ventavoli	e	Nassim	(2018)	recomendam	como	atividades	a	serem	
desenvolvidas	 com	 alunos	 que	 apresentam	 Discalculia,	 o	 uso	 de	 desenhos	 e	
imagens	que	o	auxilie	na	visualização	dos	problemas	matemáticos,	e	a	realização	
de	atividades	que	desenvolvam	as	habilidades	psicomotoras	e	espaciais	por	meio	
de	jogos.	Em	relação	à	avaliação	é	recomendado	que	priorizem	o	esforço	sobre	
o	desempenho	final,	com	um	tempo	maior	para	a	realização	das	atividades	com	
consultas	em	materiais,	fórmulas	matemáticas	e	o	uso	da	calculadora.		
O	 lúdico,	 que	 é	 uma	 forma	 de	 desenvolver	 a	 criatividade	 e	 os	
conhecimentos	 através	 de	 jogos,	músicas,	 dança	 etc.,	 e	 considerado	
um	 promotor	 de	 aprendizagem	 e	 construção	 de	 saber.	 Ele	 é	 visto	
166
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
como	um	mecanismo	psicológico	e	pedagógico	que	contribui	para	o	
desenvolvimento	mental	 e,	 portanto,	 como	 um	 aliado	 na	 aquisição	
de	estruturas	psiconeurológicas	essenciais	para	a	cognição	 (PISANI;	
VENTAVOLI;	NASSIM,	2018,	s.p.).	
Por	meio	das	 atividades	 lúdicas	 no	 ensino	da	matemática	 se	 consegue	
desenvolver	estratégias	para	a	solução	de	problemas,	a	compreensão	e	familiari-
zação	da	linguagem	matemática,	mais	precisam	estabelecer	“[...]	ligações	cogni-
tivas	entre	as	linguagens	e	os	conceitos	do	cotidiano	e	a	linguagem	matemática	
formal”	(PISANI;	VENTAVOLI;	NASSIM,	2018,	s.p.).
O	processo	de	intervenção	psicopedagógica	deve	amenizar	os	sintomas	e	
corrigir	os	fatores	que	contribuem	para	o	desenvolvimento	das	dificuldades	de	
aprendizagem	nos	alunos.	No	caso	dos	alunos	com	Discalculia,	há	necessidade	
de	 se	 investir	 em	 estratégias,	 em	 alternativas	 que	 propiciem	o	 seu	 sucesso	 na	
realização	 das	 atividades.	 Assim,	 o	 aluno	 sentirá	 como	 parte	 integrante	 do	
processo	de	ensino	e	aprendizagem,	como	indivíduo	capaz	em	realizar	algo	que	
outrora	parecia	ser	impossível.	
4 ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA 
EM CASOS DE DISCALCULIA
As	atividades	de	 intervenção	psicopedagógicas	devem	 ser	 organizadas	
com	base	no	conhecimento	da	dificuldade	de	aprendizagem	da	criança.	Assim,	
para	o	 trabalho	 relacionado	a	 crianças	 com	Discalculia	 será	 indicado	o	uso	de	
jogos	matemáticos.	Essa	alternativa	de	intervenção	favorece	o	desenvolvimento	
do	 raciocínio	 de	 forma	 lúdica,	 onde	 a	 criança	 vivencia	 situações	 de	 conflito	
e	 necessita	 buscar	 alternativas	 para	 sua	 resolução.	 As	 autoras	 Avila	 e	 Laura	
(2017)	 organizaram	 alguns	 jogos	 específicos,	 para	 desenvolver	 as	 habilidades	
matemáticas	 em	 crianças	 com	 Discalculia.	 A	 apresentação	 dos	 jogos	 objetiva	
exemplificar	o	uso	desse	tipo	de	atividade,	nas	 intervenções	psicopedagógicas,	
que	podem	servir	de	inspiração	para	a	elaboração	de	outras	possibilidades.
4.1 CENTOPEIA DAS QUANTIDADES
Habilidades:	 nomear	 os	 numerais;	 identificar	 as	 quantidades;	 associar	
numerais	e	suas	respectivas	quantidades.
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	estica	no	chão	um	pano	ou	papel	pardo	
com	o	desenho	de	uma	centopeia,	com	a	cabeça	e	o	restante	do	corpo	com	círculos	
vazios.	Depois,	 solicita	que	a	 criança	 retire	de	um	saquinho	ou	uma	caixa	um	
numeral.	 De	 acordo	 com	 o	 numeral	 deverá	 caminhar	 o	 número	 de	 espaços	
e	 depositar	 o	 número	 de	 bolinhas	 correspondente.	 O	 jogo	 termina	 quanto	 a	
centopeia	 estiver	 completa,	 com	 os	 espaços	 preenchidos	 pelas	 quantidades	
referentes	a	cada	um	dos	números.	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
167
Potencialidades	 do	 jogo:	 oportuniza	 a	 avaliação	 das	 habilidades	 da	
Discalculia	practognóstica	e	da	Discalculia	verbal.
 
Discalculia	pratognóstica:	ao	lançar	o	dado	a	criança	reconhece	o	numeral	
correspondente	 e	 posiciona	 o	 número	de	 bolinhas	 na	 centopeia.	Dessa	 forma,	
associa	o	numeral	ao	número.
Discalculia	verbal:	ao	nomear	os	numerais	e	suas	respectivas	quantidades,	
a	criança	realiza	a	leitura	oral	da	representação	escrita	do	numeral.	Para	realizar	
essa	 atividade	 a	 criança	 necessitará	 organizar	 seu	 pensamento	 e	 verbalizar	
oralmente,	igualmente	em	reconhecer	os	numerais	e	os	números.	
Esse jogo pode ser organizado em outro formato. Confira o vídeo que explica 
sua construção e o modo de jogar! Acesse o endereço: https://www.youtube.com/
watch?v=61ytBPUy9fg.
FONTE: <https://www.youtube.com/watch?v=61ytBPUy9fg>. Acesso em: 10 fev. 2021.
DICAS
4.2 BRINCANDO COM O TREM
Habilidades:	 nomear	 os	 numerais;	 construir	 o	 sistema	 das	 unidades,	
dezenas	e	centenas;	manipular	material	concreto	e	observar	a	troca	das	peças.
168
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
Regras	do	 jogo:	 a	psicopedagoga	organiza	um	 trem	com	os	vagões	 em	
ordem	 de	 classes:	 unidade,	 dezena	 e	 centena,	 da	 direita	 para	 a	 esquerda.	As	
crianças	 lançam	 o	 dado	 para	 decidir	 quem	 iniciará	 o	 jogo.	A	 psicopedagoga	
poderá	disponibilizar	a	quantidade	de	dados	conforme	o	nível	de	aprendizado	
das	 crianças,	para	que	o	número	 formado	 corresponda	às	 classes	 trabalhadas.	
Assim,	de	início,	sugere-se	que	trabalhe	com	a	Base	10.	A	primeira	criança	joga	
o	dado	e	de	acordo	com	o	número,	deverá	pegar	a	cartela	com	a	 identificação	
escrita	do	número.	Em	seguida,	a	criança	retira	das	peças	do	material	dourado	
para	 representar	 cada	um	dos	numerais	 e	 organiza	nos	 respectivos	vagões	da	
unidade,	 dezena	 e	 centena.	A	 cada	 jogada,	 as	 crianças	 registram	no	 quadro	 o	
resultado	por	meio	do	desenho	da	 representação	do	material.	O	 jogo	 termina	
quando	não	houver	mais	cartelas	com	numerais.	
Potencialidades	 do	 jogo:	 oportuniza	 a	 avaliação	 das	 habilidades	 da	
Discalculia	practognóstica	e	da	Discalculia	verbal.
Discalculia	practognóstica:	a	criança	retira	as	peças	para	representar	cada	
um	dos	numerais	e	as	organiza	nos	respectivos	vagões,	está	manipulando	objetos	
concretos	matematicamente.
Discalculia	 verbal:	 ao	 nomear	 os	 numerais	 e	 classificá-los,	 a	 criança	
realiza	a	 leitura	de	acordo	com	a	unidade,	dezena	e	centena,	organizando	seu	
pensamento	e	o	verbalizando	oralmente.	
4.3 ENCAÇAPANDO BOLINHAS
Habilidades:	manusear	o	material	concreto	associando	com	a	representa-
ção	numérica	em	relação	ao	valor	posicional	dos	numerais;	demonstrar	o	proces-
so	de	construção	da	unidade,	dezena	e	centena.
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	apresenta	algum	elemento	que	servirá	
de	local	para	encaçapar	as	bolinhas,	que	pode	ser	uma	caixa	com	uma	pequena	
abertura	 em	 círculo,	 que	 ainda	 pode	 estar	 decorada.	Depois,	 combina	 com	 as	
crianças	que	irá	fazer	cinco	rodadas	do	jogo.	Na	primeira	rodada	cada	jogador	
na	sua	vez	lança	13	bolinhas,	na	segunda	16	bolinhas,	na	terceira19	bolinhas,	na	
quarta	22	bolinhas	e	na	quinta	e	última	rodada	25	bolinhas.	Em	cada	rodada,	os	
jogadores	deverão	fazer	a	contagem	das	bolinhas	de	acordo	com	o	valor	posicional,	
representar	no	quadro	dos	numerais	e	nomear	verbalmente	os	numerais.	Assim	
que	o	jogo	terminar,	os	jogadores	calculam	a	soma	total	dos	pontos	obtidos.	
Potencialidades	 do	 jogo:	 potencializar	 e	 reabilitar	 as	 habilidades	 da	
Discalculia	verbal	e	da	Discalculia	gráfica.
Discalculia	verbal:	ao	realizar	a	contagem	das	bolinhas	de	acordo	com	o	
valor	posicional,	representar	no	quadro	de	numerais	e	nomeá-los,	a	criança	esta-
belece	relações	orais	quanto	à	nomeação	das	quantidades,	termos	e	dos	símbolos	
matemáticos.	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
169
Discalculia	 gráfica:	 ao	 representar	 os	 numerais	 no	 quadro	 posicional	 a	
criança	reproduz	a	escrita	dos	símbolos	e	o	seu	valor	posicional.	
4.4 BOLICHE DA SOMA
Habilidades:	 nomear	 verbalmente	 os	 numerais;	 quantificar	 os	 objetos	
associando	 os	 respectivos	 numerais;	 resolver	 operações	 envolvendo	 adições;	
desenvolver	 habilidades	 relacionadas	 à	 grafia	 dos	 símbolos	 e	 os	 valores	
posicionais	dos	numerais.	
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	organiza	o	boliche	em	um	espaço	que	
a	 criança	 consiga	 manter	 uma	 distância	 para	 jogar	 a	 bola	 nas	 garrafas,	 que	
deverão	conter	o	numeral	escrito.	Depois,	 solicita	que	a	criança	 jogue	a	bola	e	
tente	 derrubar	 o	maior	 número	de	 garrafas.	A	 criança	 deverá	 recolher	 as	 que	
foram	derrubadas	e	nomear	verbalmente	cada	um	dos	numerais	das	garrafas,	e	
encontrar	o	número	de	palitos	correspondentes.	Os	palitos	deverão	ser	colocados	
em	um	copo,	que	ao	final	do	jogo,	serão	contados	para	que	a	criança	registre	o	
resultado	no	quadro	valor	de	lugar.	
Potencialidades	 do	 jogo:	 potencializar	 e	 reabilitar	 as	 habilidades	 da	
Discalculia	verbal,	Discalculia	practognóstica	e	Discalculia	operacional.
Discalculia	verbal:	ao	nomear	os	numerais	verbalmente,	a	criança	estará	
desenvolvendo	habilidades.	
Discalculia	 practognóstica:	 ao	 encontrar	 o	 número	 de	 palitos	
correspondentes	 aos	 numerais	 e	 inseri-los	 no	 copo,	 e	 fazer	 a	 sua	 contagem,	 a	
criança	amplia	suas	habilidades	de	enumeração.
Discalculia	 operacional:	 ao	 resolver	 as	 operações,	 por	meio	do	 registro	
do	algoritmo,	a	criança	potencializa	as	habilidades	relacionadas	à	execução	de	
cálculos	numéricos.	
4.5 SUBTRAINDO COM OS CORAÇÕES
Habilidades:	 reconhecer	 operações	 matemáticas	 por	 meio	 da	 leitura;	
resolver	operações	de	subtração;	criar	estratégias	de	resolução.	
Regras	 do	 jogo:	 a	 psicopedagoga	 deverá	 organizar	 sobre	 a	 mesa	 dois	
montes	de	corações,	com	as	operações	e	com	os	resultados.	Posteriormente,	solicita	
que	a	 criança	 retire	dois	 corações	de	 cada	um	dos	montes,	 e	 a	psicopedagoga	
realizará	 o	mesmo	 procedimento.	 Então,	 ambos	 os	 jogadores	 deverão	 jogar	 o	
dado,	quem	obter	o	maior	número	inicia	o	jogo,	retirando	um	coração	de	cada	
monte.	O	jogador	verifica	se	a	carta	formou	par	com	os	corações	das	operações	
170
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
ou	dos	resultados,	caso	não	lhe	sirvam,	deverá	colocá-los	no	final	de	cada	monte.	
Depois,	será	a	vez	do	próximo	jogador	e	assim	sucessivamente.	O	jogo	termina	
quando	um	dos	jogadores	completar	os	pares	de	seus	quatro	corações.	
Potencialidades	 do	 jogo:	 potencializar	 e	 reabilitar	 as	 habilidades	 da	
Discalculia	léxica	e	Discalculia	ideognóstica.	
Discalculia	 léxica:	 ao	 longo	 do	 jogo	 a	 criança	 reconhece	 operações	
matemáticas	por	meio	da	leitura,	depois	verifica	se	formam	par	com	seus	corações,	
e	realiza	a	leitura	dos	símbolos	matemáticos.	
Discalculia	 ideognóstica:	 ao	 realizar	 as	 subtrações,	 para	 descobrir	 se	
formam	par	com	os	seus	corações,	a	criança	realiza	cálculos	mentais,	organizando	
mentalmente	as	operações	de	subtração.
4.6 MARCANDO TRÊS COM AS FLORES
Habilidades:	 desenvolver	 conceitos	 de	 multiplicação;	 criar	 jogadas	
estratégicas.
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	solicita	que	a	criança	retire	do	saquinho	
um	 numeral	 e	 encontre	 o	 envelope	 correspondente,	 para	 depois	 realizar	 a	
operação,	fazendo	o	seu	registro	na	folha.	Acaso	acerte,	a	criança	deverá	colocar	
sua	marca,	ou	se	errar	passará	a	vez	para	outro	jogador	que	colocará	sua	marca	e	
prosseguirá	com	o	jogo.	Os	jogadores	colocam	suas	marcas	em	um	jogo	da	velha,	
onde	o	vencedor	será	o	que	completar	as	três	marcas	em	sequência.	
Potencialidades	 do	 jogo:	 potencializa	 e	 reabilita	 as	 habilidades	 da	
Discalculia	gráfica	e	Discalculia	operacional.
Discalculia	 gráfica	 e	 operacional:	 ao	 resolver	 as	 operações	 de	multipli-
cação	e	no	registro	na	folha,	a	criança	potencializa	as	habilidades	relacionadas	à	
grafia	dos	símbolos	e	o	valor	posicional	dos	números.	
4.7 JOGO DAS BOTAS
Habilidades:	 aprimorar	 habilidades	 relacionadas	 ao	 pensamento	
multiplicativo;	 organizar	 seu	 pensamento	 proporcionalmente;	 compreender	 o	
processo	multiplicativo.	
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	solicita	que	a	criança	retire	do	saquinho	
um	numeral,	 o	 qual	 representará	 o	 número	de	pares	de	 botas.	A	 cada	 jogada	
realizada,	a	psicopedagoga	pedirá	para	criança	 fazer	a	contagem	dos	pares	de	
TÓPICO 2 — DIAGNÓSTICO E ATIVIDADES PARA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA DA DISCALCULIA
171
botas,	de	dois	em	dois,	e	posteriormente	realizar	o	registro	pictórico	e	numérico	no	
quadro.	Em	seguida,	a	psicopedagoga	realizará	o	mesmo	procedimento	e	assim	
sucessivamente.	No	término	do	jogo,	ambos	os	jogadores	contarão	os	pontos	que	
obtiveram	nas	jogadas.
Potencialidades	 do	 jogo:	 potencializar	 e	 reabilitar	 habilidades	 da	
Discalculia	ideognóstica	e	Discalculia	gráfica.
Discalculia	idognóstica:	ao	realizar	a	contagem	de	dois	em	dois	em	cada	
jogada	realizada,	a	criança	desenvolve	habilidades	relacionadas	à	compreensão	
do	processo	multiplicativo.	
Discalculia	gráfica:	ao	 fazer	o	registro	pictórico	e	a	escrita	numérica	do	
número	de	botas	a	cada	rodada,	a	criança	representa	os	símbolos	matemáticos.	
4.8 DISTRIBUINDO PEIXES
Habilidades:	 desenvolver	 habilidades	 relacionadas	 à	 divisão;	 realizar	
divisões	mentalmente;	desenvolver	conceitos	de	adição.
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	solicita	que	a	criança	retire	um	numeral	
do	saquinho	azul,	o	qual	representará	o	número	de	aquários	e	depois,	que	retire	
do	saquinho	lilás,	alguns	peixes,	que	deverão	ser	distribuídos	nos	aquários.	Após,	
será	a	vez	da	psicopedagoga	realizar	o	mesmo	procedimento.	A	cada	rodada	os	
jogadores	deverão	registrar	no	quadro,	e	ao	término	do	jogo,	fazer	a	soma	do	total	
de	cada	uma	das	colunas	do	quadro.	
Potencialidades	 do	 jogo:	 potencializar	 e	 reabilitar	 as	 habilidades	 da	
Discalculia	ideognótica	e	da	Discalculia	gráfica.
Discalculia	 ideognóstica:	ao	realizar	a	distribuição	dos	peixes,	a	criança	
pensa	proporcionalmente	e	organiza	seu	pensamento,	e	desenvolve	o	raciocínio	
lógico.	
Discalculia	gráfica:	ao	término	do	jogo,	quando	a	criança	realiza	a	soma	do	
total	de	cada	uma	das	colunas	do	quadro,	representará	os	algoritmos,	formando	
conceitos	de	adição.
4.9 DIVIDINDO PIRULITOS
Habilidades:	aprimorar	habilidades	relacionadas	ao	pensamento	de	divi-
são	partitiva;	organizar	o	pensamento	proporcional	demonstrando	reversibilidade.
172
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
Regras	do	jogo:	a	psicopedagoga	solicita	que	a	criança	retire	do	saquinho	
rosa	 um	 numeral,	 que	 representará	 o	 número	 de	 crianças	 e,	 depois,	 retire	 a	
quantidade	de	pirulitos	que	desejar,	os	quais	serão	distribuídos	entre	as	crianças.	
Em	seguida,	a	criança	distribui	igualmente	o	número	de	pirulitos	entre	as	crianças	
e	realiza	a	representação	numérica	no	quadro.	Posteriormente,	a	psicopedagoga	
realizará	o	mesmo	procedimento	e	assim	sucessivamente.	
Potencialidadesdo	 jogo:	 potencializar	 e	 reabilitar	 as	 habilidades	 da	
Discalculia	ideognóstica	e	Discalculia	gráfica.	
Discalculia	 ideognóstica:	 ao	 distribuir	 igualmente	 o	 número	 de	 palitos	
entre	as	crianças,	a	criança	desenvolve	habilidades	relacionadas	à	compreensão	
da	divisão	participativa.	
Discalculia	 gráfica:	 ao	 fazer	 a	 representação	 numérica	 do	 número	 de	
crianças,	dos	pirulitos,	do	total	de	pirulitos	por	criança	e	do	número	de	pirulitos	
que	restaram	a	cada	rodada,	a	criança	representa	símbolos	matemáticos.
173
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 A	 anamnese	 consiste	 no	 principal	 fator	 para	 a	 elaboração	 do	 diagnóstico	
psicopedagógico,	porque	permite	a	compreensão	dos	elementos	que	interferem	
na	aprendizagem	do	indivíduo.
•	 A	principal	característica	da	anamnese	seria	em	investigar	como	as	aprendi-
zagens	do	indivíduo	ocorreram,	isso	engloba	desde	as	aprendizagens	primi-
tivas	como	o	controle	dos	esfincteres	até	as	aprendizagens	formais	escolares.
•	 O	 WISC-III	 consiste	 em	 13	 subtestes	 como	 objetivo	 de	 medir	 diversas	
habilidades	 da	 inteligência	 agrupadas	 em	 escalas	 organizadas	 por	 conjunto	
verbal	 (informação,	 semelhanças,	 vocabulário,	 compreensão,	 aritmética,	
dígitos)	e	no	conjunto	de	execução	(completar	figuras,	arranjo	de	figuras,	armar	
objetos,	códigos,	cubos,	procurar	símbolos,	labirinto),	que	define	os	QI	verbal,	
QI	de	Execução	e	QI	total.
•	 A	transcodificação	numérica	(TN)	abrange	as	habilidades	de	transcodificar	as	
representações	dos	numerais,	da	representação	verbal	para	a	arábica.
•	 O	modelo	do	Código	Triplo	aponta	os	códigos	internos	que	são	utilizados	para	
a	realização	das	operações	numéricas.
•	 O	 Teste	 de	 Transcodificação	 permite	 a	 avaliação	 das	 habilidades	 de	 leitura	
e	escrita	de	28	numerais	de	um	a	quatro	dígitos,	com	atenção	na	leitura	dos	
numerais,	nas	habilidades	de	representação	numérica	para	o	código	verbal.
•	 O	 subteste	 de	 Aritmética	 compõe	 o	 Teste	 Desempenho	 Escolar	 (TDE)	 do	
estudioso	Stein	(1994).	Dessa	forma,	o	TDE	possui	como	objetivo	a	avaliação	
do	desempenho	escolar	em	relação	a	leitura,	escrita	e	matemática.
•	 A	Bateria	Neuropsicológica	para	Avaliação	do	Tratamento	dos	Números	e	do	
Cálculo	para	Crianças	pré-escolares	(ZAREKI-R)	foi	proposta	por	Zulauf	et al.	
(2003),	com	base	nos	dois	modelos:	Modelo	de	Desenvolvimento	da	Cognição	
Numérica	e	Modelo	do	Código	Triplo.
•	 As	orientações	da	Associação	Brasileira	de	Discalculia	(ABD),	segundo	Pisani,	
Ventavoli	e	Nassim	(2018),	indica	o	atendimento	dos	alunos	com	Discalculia	
por	meio	de	uma	equipe	multidisciplinar,	com	destaque	para	o	psicopedagogo.
174
•	 A	 atuação	 do	 Psicopedagogo	 Institucional	 auxilia	 na	 elaboração	 das	 ações	
pedagógicas	que	despertem	a	curiosidade	e	o	interesse,	o	que	facilita	a	inclusão	
dos	alunos	com	dificuldades	de	aprendizagem	em	matemática.
•	 Pisani,	 Ventavoli	 e	 Nassim	 (2018)	 recomendam	 como	 atividades	 a	 serem	
desenvolvidas	 com	 alunos	 que	 apresentam	 Discalculia,	 o	 uso	 de	 desenhos	
e	 imagens	 que	 o	 auxilie	 na	 visualização	 dos	 problemas	 matemáticos,	 e	 a	
realização	 de	 atividades	 que	 desenvolvam	 as	 habilidades	 psicomotoras	 e	
espaciais	por	meio	de	jogos.
•	 A	apresentação	dos	jogos	objetiva	exemplificar	o	uso	desse	tipo	de	atividade,	
nas	 intervenções	 psicopedagógicas,	 que	 podem	 servir	 de	 inspiração	 para	 a	
elaboração	de	outras	possibilidades.
175
1	 Para	 realizar	 o	 diagnóstico	 o	 psicopedagogo	 utiliza	 de	 instrumentos	
específicos	 que	 buscam	 investigar,	 analisar	 e	 diagnosticar	 as	 situações	
de	 aprendizagem	 das	 crianças.	 Assim,	 os	 instrumentos	 mais	 utilizados	
consistem	na	anamnese	e	os	testes	padronizados.	Com	base	nas	avaliações	
que	 compõem	 os	 seis	 subtestes,	 que	 pertencem	 a	 Prova	 de	 Aritmética,	
analise	as	sentenças	a	seguir:	
I-	 Competência	aritmética	e	comparação	de	grandeza	numérica.
II-	 Escrita	das	sequências	numéricas	aleatórias.
III-	Escrita	 por	 extenso	 de	 números	 apresentados	 algebricamente	 e	 a	 sua	
escrita	após	ditado	verbalizado.
IV-	Resolução	de	problemas	matemáticos	e	cálculo	de	operações	apresentadas	
por	escrito	e	oralmente.
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
b)	(			)	 As	sentenças	II,	III	e	IV	estão	corretas.
c)	(			)	 As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
d)	(			)	 Somente	a	sentença	III	está	correta.
2	 A	transcodificação	numérica	(TN)	abrange	as	habilidades	de	transcodificar	
as	representações	dos	numerais,	da	representação	verbal	para	a	arábica.	Os	
estudiosos	Dehaene	e	Cohen	(1995)	apresentam	o	modelo	de	Código	Triplo	
no	intuito	de	compreenderem	as	representações	das	habilidades	aritméticas.	
Com	base	nas	características	que	conceituam	o	modelo	de	Código	Triplo,	
classifique	V	para	as	sentenças	Verdadeiras,	e	F	para	as	Falsas.
(			)	 Aponta	 os	 códigos	 internos	 que	 são	 utilizados	 para	 a	 realização	 das	
operações	numéricas.	
(			)	 No	modelo	 do	Código	 Triplo,	 o	 código	 verbal	 serve	 para	 contagem	 e	
recuperação	de	fatos	aritméticos.
(			)	 Nesse	modelo	de	teste,	o	código	arábico	para	a	realização	de	cálculos	com	
vários	dígitos.	
(			)	 No	modelo	de	Código	Triplo	não	ocorre	uma	representação	verbal	entre	
as		representações	de	base	para	a	aritmética.	
Assinale	a	alternativa	que	apresenta	a	sequência	CORRETA:
a)	(			)	 V	-	V	-	V-	F.
b)	(			)	 F	-	V	-	V-	V.
c)	(			)	 V	-	F	-	V-	F.
d)	(			)	 F	-	F	-	V	-	V.
AUTOATIVIDADE
176
3	 O	diagnóstico	pode	ser	entendido	como	um	processo	de	 investigação	da	
não	 aprendizagem	do	 indivíduo,	 sendo	 que	 o	 psicopedagogo	 utiliza	 de	
instrumentos	 específicos	 que	 permite	 investigar,	 analisar	 e	 diagnosticar.	
Com	base	nas	características	da	anamnese,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	(			)	 Constitui	 em	 testes	padronizados	que	buscam	 identificar	 o	nível	de	
Q.I.	do	indivíduo	e	verificar	suas	potencialidades.
b)	(			)	 Consiste	em	investigar	como	as	aprendizagens	do	indivíduo	ocorreram	
desde	o	seu	nascimento	até	as	aprendizagens	escolares.
c)	(			)	 Seria	uma	avaliação	exclusivamente	do	desempenho	escolar	da	criança	
baseada	nos	relatos	da	professora.
d)	(			)	 Apresenta	como	principal	característica	os	encontros	com	os	familiares	
para	discutir	a	vida	pessoal	da	criança.
4	 O	aluno	com	Discalculia	 requer	um	atendimento	educacional	com	apoio	
integrado	dos	responsáveis,	professores	e	psicopedagogos.	Dessa	forma,	há	
necessidade	do	uso	de	recursos	pedagógicos	de	acordo	com	as	necessidades	
desse	indivíduo.	Disserte	sobre	as	orientações	da	Associação	Brasileira	de	
Discalculia	(ABD)	para	o	atendimento	dos	alunos	com	Discalculia.
5	 Observe	 o	 seguinte	 estudo	 de	 caso:	 a	 psicopedagoga	 após	 realizar	 o	
diagnóstico	 com	 um	 aluno,	 que	 apresentava	 dificuldade	 em	 nomear,	
assim	 como	 escrever	 as	 quantidades	 e	 números,	 percebeu	 que	 a	 criança	
apresentava	 discalculia	 verbal	 e	 gráfica.	 Dentre	 os	 jogos	 apresentados,	
disserte	sobre	uma	possibilidade	de	intervenção	psicopedagógica	baseada	
no	jogo,	propício	para	o	quadro	apresentado.
177
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Prezado	 acadêmico,	 neste	 tópico,	 estudaremos	 sobre	 a	 forma	 de	
organização	das	intervenções	psicopedagógicas	relacionadas	a	construção	lógico-
matemática.	 Ou	 seja,	 em	 como	 na	 prática	 o	 psicopedagogo	 se	 organiza	 para	
atender	às	crianças	utilizando	das	provas	desenvolvidas	por	Piaget,	e	estudadas	
na	Unidade	2.
Assim,	conheceremos	os	aspectos	que	permeiam	a	aplicação	do	método	das	
provas	piagetianas	na	intervenção	psicopedagógica.	Em	como	os	procedimentos	
serão	 organizados	 segundo	 o	 contato	 entre	 o	 entrevistador,	 o	 psicopedagogo,	
com	o	entrevistado,	a	criança.
Por	fim,	apresentaremos	uma	entrevista	realizada	com	uma	psicopedagoga	
que	 atuou	 no	 campo	 institucional	 e	 clínico.	A	 entrevistada	 desenvolveu	 uma	
oficina	 com	 materiais	 que	 trabalham	 o	 raciocínio	 lógico,	 para	 crianças	 que	
apresentamdificuldades	em	matemática.	O	relato	destaca	os	fazeres	cotidianos	e	
experiências	vivenciadas	no	atendimento	psicopedagógico.
TÓPICO 3 — 
INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA 
CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS PROVAS PIAGETIANAS 
NA INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
As	dificuldades	de	aprendizagem	podem	advir	de	causa	emocionais,	do	
nível	de	pensamento,	de	diferenças	funcionais	ou	de	alterações	no	desenvolvi-
mento,	segundo	Visca	(2008).	
No	modelo	da	Epistemologia	Convergente,	as	causas	emocionais	são	
denominadas	 obstáculo	 epistemofílico;	 as	 de	 nível	 de	 pensamento,	
obstáculo	 epistêmico;	 e	 as	 produzidas	 por	 diferenças	 funcionais	 e	
alterações	no	desenvolvimento	das	funções,	como	obstáculo	funcional	
(VISCA,	2008,	p.	19).
O	 obstáculo	 epistêmico	 como	o	 funcional	 só	podem	 ser	 estudados	por	
meio	da	utilização	das	provas	piagetianas.	Assim,	para	se	determinar	o	nível	de	
pensamento	 se	 realiza	 uma	 análise	 quantitativa,	 e	 para	 o	 reconhecimento	 das	
178
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
diferenças	 funcionais	 há	 necessidade	 do	 estudo	 qualitativo.	 Com	 base	 nessas	
premissas,	 as	 provas	 piagetianas	 são	 as	 recomendadas	 para	 a	 intervenção	
psicopedagógica.	
O	uso	das	provas	piagetianas	nas	 intervenções	psicopedagógica	deverá	
se	 basear	 no	 contato	 entre	 o	 entrevistador	 (psicopedagogo)	 e	 o	 entrevistado	
(criança).	Dessa	forma,	se	estabelece	o	vínculo	entre	ambos	e	o	levantamento	de	
algumas	hipóteses	pelo	entrevistador.	
FIGURA 6 – O VÍNCULO E AS HIPÓTESES
FONTE: Adaptado de Visca (2008)
Visca	(2008)	aponta	as	“estratégias	do	entrevistador”	com	as	estratégias,	
e	 as	 “condutas	 do	 entrevistado”	 conforme	 o	 interjogo	 dinâmico	 que	 ocorrerá	
nas	 intervenções	 psicopedagógicas.	 “As	 estratégias	 do	 entrevistador	 como	 as	
condutas	 do	 entrevistado,	 têm	 aspectos	 comuns	 a	 todas	 as	 provas	 e	 aspectos	
próprios	de	um	determinado	domínio	ou	ainda,	de	uma	prova	em	particular”	
(VISCA,	2008,	p.	26).
2.1 ASPECTOS COMUNS A TODAS AS PROVAS
Com	relação	aos	aspectos	comuns	a	 todas	as	provas,	há	elementos	que	
pertencem	as	estratégias	do	entrevistador,	que	assinalam	sobre	a	apresentação	
do	material,	 a	 indagação	 do	 vocabulário	 do	 entrevistador	 e	 a	 delimitação	 da	
intencionalidade	 da	 prova.	 Igualmente,	 existem	 ações	 referentes	 as	 condutas	
do	 entrevistado,	 referentes	 ao	 reconhecimento	 do	 material,	 demonstração	 do	
vocabulário	e	sua	intencionalidade	(VISCA,	2008).
Sobre	as	estratégias	do	entrevistador,	a apresentação do material	consiste	
na	demonstração	do	material	que	será	utilizado,	com	a	finalidade	do	entrevistado	
estabelecer	um	contato	e	apreciar	se	o	conhece.	“Os	sujeitos	com	dificuldades	na	
praxia	manual	podem	resistir	às	provas	de	dicotomia	e	seriação,	na	medida	em	
que	têm	que	atuar	manualmente	sobre	objetos”	(VISCA,	2008,	p.	27).
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
179
A indagação de vocabulário	 destaca	 a	 prova	 em	 particular,	 e	 o	
entrevistador	deverá	 considerar	o	vocabulário	utilizado	pelo	entrevistado.	Por	
exemplo,	o	entrevistado	designa	os	círculos	como	bolas,	discos,	rodas	ou	qualquer	
outra	expressão.	O	entrevistador	deve	respeitar,	com	o	cuidado	de	não	induzir	a	
erros,	os	termos	que	são	usados	pelo	entrevistado.	
A delimitação da intencionalidade da prova	 implica	 em	 transmitir	 ao	
entrevistado	que	o	seu	objetivo	consiste	em	avaliar	os	conhecimentos	escolares	
ou	no	jogo.	Assim,	há	provas	que	serão	utilizados	materiais	como	palitos,	fichas	
ou	massinha,	e	a	criança	poderá	querer	manipular	esses	objetivos	por	vontade	
própria.	Nesse	caso,	cabe	ao	entrevistador	não	se	afastar	do	objetivo	da	avaliação	
e	prosseguir	com	a	realização	da	prova.	
As	condutas	do	entrevistado	permeiam	os	aspectos	do	nível	cognitivo	
e	 das	 experiências	 vivenciadas	 anteriormente,	 inclusive	 relacionados	 a	 atitu-
de	do	 entrevistador.	Entretanto	 as	 intervenções	não	 apresentarão	um	caráter	
dominante,	mas	de	condicionador	na	forma	de	participação	dos	entrevistados	
(VISCA,	2008).
2.2 ASPECTOS PARTICULARES DAS PROVAS
As	provas	piagetianas	avaliam	diferentes	noções	e,	por	isso,	há	diversas	
estratégias	do	entrevistador	a	serem	utilizadas,	como	conduta	do	entrevistado,	que	
correspondem	às	conservações,	classificações	ou	às	seriações	e	outras.	As	provas	
de	 conservação	 relacionados	 aos	 pequenos	 conjuntos	 discretos	 de	 elementos,	
superfície,	 líquidos,	 matérias,	 peso,	 volume	 e	 comprimento,	 apresentam	 uma	
estrutura	semelhante,	quanto	a	sua	aplicação	e	as	repostas	possíveis	relacionadas	
a	conduta	do	entrevistado	(VISCA,	2008).
Desse	 modo,	 sobre	 as	 estratégias	 do	 entrevistador	 há,	 segundo	 Visca	
(2008):
• o	pedido	do	estabelecimento	da	igualdade	ou	diferença	inicial,
• a	criação	de	um	argumento,	a	pergunta	de	reasseguramento,	
• a	modificação	do	elemento	experimental,	
• o	aumento	ou	diminuição	da	modificação,	
• a	pergunta	provocadora	de	argumentação,	
• a	contra-argumentação,	
• a	proposta	de	verificação	empírica,
• o	estabelecimento	do	retorno	empírico,	
• o	retorno	empírico,
• a	pergunta	de	quoticidade.	
No	 pedido de estabelecimento da igualdade ou diferença inicial o 
entrevistador	solicita	ao	entrevistado	que	organize	os	conjuntos	de	fichas,	bolas	
de	massa,	quantidades	de	líquido,	ou	ainda,	reconheça	duas	quantidades	iguais	
180
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
ou	diferentes	que	serão	a	base	de	realização	da	prova.	A	criação de um argumento 
consiste	 no	 aspecto	 indispensável	 para	 algumas	 provas	 como	 de	 superfície	 e	
as	 ilhas,	 sendo	conveniente	as	outras	como	as	de	comprimento.	Em	suma,	são	
processos	 que	 permitem	 criar	 uma	 situação	 fictícia,	 para	 apresentar	 algumas	
questões,	que	necessitam	da	 resolução	de	um	conflito	 cognitivo.	Por	 exemplo,	
na	prova	de	superfície,	 em	que	se	apresenta	dois	 campos	 iguais	de	 superfície,	
mas	 com	 disposição	 espacial	 distinta.	 Assim,	 se	 propõe	 ao	 entrevistado	 que	
imagine	 as	 cartolinas	verdes	 como	 campos	de	pasto	que	uma	vaquinha	 irá	 se	
alimentar,	entre	outros.	Outra	situação	seria	no	transcurso	de	algumas	provas,	
questionar	se	as	fichas	do	entrevistador	e	entrevistado	fossem	moedas,	os	dois	
seriam	igualmente	ricos,	ou	se	ambas	as	bolas	de	massa	fossem	chocolate,	e	assim	
por	diante	(VISCA,	2008).
A pergunta de reasseguramento	 poderá	 surgir	 antes	 ou	 depois	 da	
criação	do	argumento,	que	seria	uma	pergunta	com	o	objetivo	de	verificar	se	o	
entrevistado	conseguiu	estabelecer	a	igualdade	ou	diferença	inicial.	Por	exemplo,	
após	fazer	duas	bolas	de	massa	o	entrevistador	questiona	se	há	o	mesmo	tanto	de	
massa	em	ambas	as	partes,	ou	em	uma	tem	mais	que	na	outra.	
A modificação do elemento experimental	 nas	 provas	 que	 utilizam	
fichas,	massa,	líquido,	entre	outros,	a	modificação	sempre	será	neutra	em	relação	
ao	 aspecto	 considerado,	 poderá	 ser	 de	 forma,	massa	 ou	 líquido,	 ou	 ainda	 de	
disposição	espacial,	como	as	fichas,	e	normalmente	será	realizada	de	duas,	a	mais	
formas.	O	aumento ou diminuição da modificação	 seria	 um	 “[...]	 incremento	
ou	 redução	 das	modificações	 neutras	 recém	 comentadas	 e	 tem	 como	 objetivo	
introduzir	 sua	 situação	 experimental	 que	 aumenta	 ou	 diminui	 as	 diferenças	
perceptivas”	(VISCA,	2008,	p.	29).	A	utilidade	dessa	etapa	aponta	sobre	a	situação	
de	quando	a	criança	se	encontra	em	transição,	de	um	nível	não	conservador	para	
um	conservador,	o	que	permite	uma	avaliação	criteriosa.	
 
A pergunta provocadora de argumentação	 consiste	 nas	 repostas	
da	 criança,	 logo	 após	 uma	 modificação,	 que	 pode	 ser	 um	 aumento	 ou	 sua	
diminuição,	ou	inclusive,	uma	contra-argumentação,	sem	argumentar.	Como	por	
exemplo,	o	entrevistador	solicita	de	forma	direta	que	o	entrevistado	explique	por	
que	 comentou	que	há	a	mesma	quantidade.	Na	contra-argumentaçãoconsiste	
em	 revelar	 um	entendimento	 oposto	 ao	 seu,	 por	 exemplo,	 se	 é	 conservador	 o	
entrevistador	 menciona	 a	 diferença	 de	 algo	 ser	 mais	 comprido	 que	 o	 outro,	
contudo,	 caso	 não	 seja	 conservador,	 deverá	 ser	 recordado	 sobre	 a	 igualdade	
inicial	apresentada.	
Na	proposta de verificação empírica,	há	a	possibilidade	de	comprovação	
de	uma	hipótese	do	entrevistado	perante	um	ato	concreto,	como	pesar,	introduzir	
dois	volumes	 iguais	 em	 recipientes	 idênticos	que	 contém	 igual	quantidade	de	
líquido,	e	outros.	O	estabelecimento do retorno empírico	aponta	o	questionamento	
ao	 entrevistado	 em	 seguida	 da	 modificação	 do	 elemento	 experimental,	 mais	
precisamente,	sobre	a	quantidade	se	retornar	à	situação	inicial.	
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
181
O retorno empírico	implica	na	diferença	do	retorno	ao	estado	inicial,	que	
se	 efetua	 antes	de	uma	próxima	modificação	do	 elemento	 experimental,	 e	 em	
casos	que	o	entrevistado	não	consiga	resolver,	 limita-se	ao	verbal.	A	pergunta 
de quoticidade	 relaciona-se	 à	 prova	 de	 conservação	 de	 pequenos	 conjuntos	
discretos,	como,	por	exemplo,	após	cobrir	com	a	mão	uma	das	coleções	de	fichas,	
se	solicita	ao	entrevistado	para	contar	as	fichas	e	apontar	quantas	se	encontram	
escondidas	debaixo	da	mão.	
As	 condutas	 do	 entrevistado,	 segundo	 Visca	 (2008),	 em	 relação	 aos	
aspectos	particulares	da	prova,	dizem	respeito	ao	estabelecimento	da	igualdade	
ou	 diferença	 inicial,	 a	 resposta	 e	 a	 justificativa.	Assim,	 o estabelecimento da 
igualdade ou diferença inicial consiste	em	um	fazer	concreto,	necessário	para	a	
continuidade	da	prova.	Por	exemplo,	na	confecção	de	duas	bolas	com	a	mesma	
quantidade	de	massa,	como	inclusive,	no	reconhecimento	de	uma	igualdade	ou	
diferença	pré-existente,	como	na	prova	de	comprimento.	
A resposta	constitui	numa	consequência	da	modificação	da	forma,	espa-
cial	ou	de	transvasamento,	e	se	apresenta	de	modo	não	conservadora,	conservado-
ra	sem	argumentação,	ou	conservadora	com	argumentação.	A	resposta	não	con-
servadora	ocorre	quando	a	criança	ao	se	deixar	guiar	pela	percepção,	anseia	que	o	
elemento	experimental	transformado,	tenha	mais	ou	menos	que	o	elemento	teste.	
A	resposta	conservadora	com	argumento	aponta	explicações	associadas	
ao	tipo	de	argumento	empregado,	que	pode	ser	por	identidade,	reversibilidade	
ou	 compensação,	 sendo	 que	 ainda,	 pode	 utilizar	 mais	 de	 um	 argumento	 na	
mesma	 resposta.	 Assim,	 o	 argumento	 de	 identidade	 surge	 quando	 a	 criança	
considera	que	a	quantidade	ficou	a	mesma,	em	decorrência	de	não	ser	acrescido	
ou	 reduzido	 nada	 em	 sua	 quantidade.	O	 argumento	de	 reversibilidade	 ou	de	
inversão,	consiste	na	premissa	de	que	se	o	elemento	modificado	voltar	ao	estado	
anterior,	somente	assim,	a	criança	comprovará	que	possui	a	mesma	quantidade.	
O	argumento	de	compensação	explicita	sobre	a	não	existência	da	diferença	por	
existir	uma	equivalência.	Por	fim,	o	argumento	de	compensação	explica	que	não	
há	diferença	porque	existe	a	equivalência.	De	modo	geral,	os	entrevistados	não	
utilizam	sempre	os	argumentos	de	forma	explícita,	muitas	vezes	há	necessidade	
de	se	decifrar	seu	pensamento.		
A justificativa	 consiste	 na	 resposta	 de	 uma	 contra-argumentação	 que	
utiliza	qualquer	dos	três	tipos	de	argumentos,	a	 identidade,	reversibilidade	ou	
compensação.	
2.3 PROVAS DE CLASSIFICAÇÃO
As	provas	de	classificação	apresentam	uma	estrutura	comum,	como	as	de	
conservação,	contudo,	diferem	na	estrutura.	Assim,	as	estratégias	do	entrevistador	
e	as	condutas	do	entrevistado	possuem	características	conforme	o	estilo	de	prova,	
que	pode	variar	em	mudança	de	critério,	quantificação	da	inclusão	de	classes	e	
intersecção	de	classes	(VISCA,	2008).
182
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
A	 primeira	 prova	 seria	 a	 mudança	 de	 critério	 que	 possui	 algumas	
diferenças	 em	 relação	 as	 duas	 últimas,	 a	 quantificação	 da	 inclusão	 de	 classes	
e	a	 intersecção	de	classes.	O	motivo	diz	respeito	ao	fato	de	que	o	entrevistado	
atua	concretamente	sobre	o	material	da	prova,	e	nas	outras	duas,	as	 respostas	
solicitadas	são	exclusivamente	verbais.	
2.3.1 Mudança de critério
As	estratégias	do	entrevistador	englobam:
• o	pedido	de	descrição	do	material,	
• o	pedido	de	classificação	espontânea,	
• o	pedido	de	diminuição	de	grupos,	a	pergunta	indagativa,	
• o	pedido	de	dicotomia,	o	pedido	de	mudança	de	critério,	
• a	insinuação	da	classificação,	a	classificação	do	entrevistador,	
• o	pedido	de	recapitulação,	o	pedido	de	dar	nome	às	subclasses,	
• o	pedido	de	redução	de	palavras,
• o	estabelecimento	de	uma	situação	hipotética.	
No	 pedido de descrição do material, o	 entrevistador	 solicita	 que	
o	 entrevistado	 caracterize	 o	 material	 que	 será	 trabalhado.	 A	 descrição	 dos	
elementos	 influencia	 o	 desenvolvimento	 da	 prova,	 pois,	 nesse	 momento,	 o	
entrevistador	verifica	se	o	entrevistado	conhece	o	material,	identifica	se	reconhece	
as	características	como	forma,	cor	e	tamanho,	e	para	conhecer	o	nome	que	utiliza	
para	 identificar	os	elementos.	“É	 indispensável	que	o	entrevistador	os	respeite	
sem	induzir	ao	sujeito	a	uma	afixação	de	nomes	inadequados,	mas	também	sem	
tentar	corrigir	com	um	espírito	pedagógico”	(VISCA,	2008,	p.	33).
O pedido de classificação espontânea	 consiste	 na	 intervenção,	 como,	
por	exemplo,	onde	o	entrevistador	solicita	que	o	entrevistado	ordene	as	figuras	
geométricas	 conforme	 sua	 aparência.	 Essa	 prova	 permite	 que	 o	 entrevistador	
perceba	 o	 nível	 classificatório	 do	 entrevistado,	 e	 ao	 entrevistado,	 o	 tipo	 de	
operação	com	que	atuará	na	prova.	
O pedido de diminuição de grupos	 consiste	 no	 uso	 que	 se	 faz	 com	 a	
posterior	classificação	espontânea,	associada	à	sugestão	que	o	entrevistador	faz	
de	se	diminua	o	número	de	grupos	em	que	o	entrevistado	classificou	as	figuras.	
As	respostas	expressas	pelo	entrevistado	podem	revelar	o	nível	de	sua	estrutura	
cognitiva,	como	também	decorrente	do	seu	conhecimento	cotidiano.	
A pergunta indagativa	 aponta	 as	 situações	 em	 que	 se	 solicita	 ao	
entrevistado	 a	 explicação	 sobre	 a	 forma	 de	 organização	 dos	 materiais.	 Esse	
questionamento	pode	ser	realizado	depois	da	classificação	espontânea,	depois	da	
diminuição	dos	grupos,	e	posteriormente	a	uma	mudança	de	critério.	
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
183
No	 pedido de dicotomia, o	 entrevistador	 solicita	 que	 o	 entrevistado	
organize	 o	material	 apresentado	 em	dois	 grupos.	No	pedido de mudança de 
critério,	o	entrevistador	pede	par	que	o	entrevistado	após	selecionar	o	material	
baseado	 em	algum	critério,	 forma,	 cor	 ou	 tamanho,	volte	 a	distribuir	 em	dois	
grupos,	contudo,	nessa	etapa,	com	base	em	um	outro	critério.	
A insinuação da classificação	 diz	 respeito	 à	 determinação	 de	 uma	
classificação	sem	que	sejam	apresentados	todos	os	elementos	de	uma	classe.	O	
entrevistador	pode	sugerir	discretamente,	o	uso	de	qualquer	critério	como	forma,	
cor	 e	 tamanho.	A	classificação do entrevistador	 ocorre	quando	o	entrevistado	
não	consegue	concluir	uma	classificação,	mesmo	que	o	começo	seja	apresentado	
pelo	entrevistador.
O pedido de recapitulação	 ocorre	 assim	 que	 o	 entrevistador	 insinuar	
ou	 classificar	 algo,	 e	 depois	 solicita	 que	 o	 entrevistado	 o	 faça.	Nessa	 etapa,	 o	
entrevistador	solicita	que	o	entrevistado	classifique	de	várias	formas,	diferentes	
das	anteriores,	o	material	 apresentado.	O	pedido de dar nomes às subclasses 
consiste	no	recurso	que	o	entrevistador	utiliza	para	investigar	se	o	entrevistado	
integrou	todos	os	elementos	das	subclasses,	e	se	conhece	a	palavra	que	os	designa.	
O	objetivo	da	solicitação	ao	entrevistado	em	nomear	a	subclasse	seria	em	saber	se	
utiliza	o	termo	correto	que	o	caracteriza.	
O pedido de redução de palavras	se	utiliza	após	o	entrevistado	designar	as	
subclasses,de	modo	que	repita	termos	em	sua	fala.	Dessa	forma,	o	entrevistador	
solicita	que	o	entrevistado	se	expresse,	evitando	a	repetição	de	algumas	palavras,	
como	no	exemplo	apresentado	por	Visca	(2008,	p.	35),	“e	como	você	poderia	me	
dizer	o	mesmo	com	menos	palavras?”.	E,	por	fim,	em	relação ao estabelecimento 
de uma situação hipotética,	adota	as	duas	estratégias	anteriormente	estudadas,	
o	 pedido	 de	 dar	 nomes	 às	 subclasses	 e	 o	 pedido	 de	 redução	 e	 palavras.	 O	
estabelecimento	 hipotético	 recorre	 a	 uma	 forma	 de	 facilitar	 o	 solicitado	 ao	
entrevistado,	para	que	compreenda	o	pedido,	 e	 igualmente,	 se	 será	necessário	
pedir	uma	redução	de	palavras	na	sua	explanação.	
Sobre	 as	 condutas	 do	 entrevistado	 podem	 ocorrer	 a	 classificação	
espontânea,	o	reagrupamento,	a	dicotomia,	a	mudança	de	critério,	a	antecipação,	
e	 a	 explicação	verbal	 do	 critério	utilizado.	A	 classificação espontânea	 implica	
na	 resposta	 ao	 pedido	de	 classificação	 realizada	 pelo	 entrevistador,	 em	que	 o	
entrevistado	 classifica	 segundo	 os	 critérios	 de	 forma,	 cor	 e	 tamanho,	 como	
também	pode	questionar	sobre	o	 tipo	de	critério	a	escolher.	O	reagrupamento 
seria	na	redução	dos	grupos	da	classificação	espontânea,	decorrente	do	uso	de	
um	 critério	 inclusivo.	A	dicotomia	 consiste	 na	 primeira	 classificação	 em	duas	
subclasses	 complementares,	 segundo	 os	 critérios	 de	 cor,	 forma	 e	 tamanho.	
A antecipação	 constitui	 a	 capacidade	 de	 antecipar	 verbalmente,	 os	 critérios	
utilizados	na	 classificação	 sem	realizá-la	 efetivamente.	A	explicação verbal do 
critério utilizado	significa	a	utilização	da	expressão	em	palavras,	que	facilita	a	
investigação	da	lógica,	tanto	na	prática	como	na	verbalização.
184
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
2.3.2 Quantificação da inclusão de classes
A	quantificação	da	inclusão	de	classes,	de	acordo	com	Visca	(2008),	abrange	
situações	relacionadas	à	estratégia	do	investigador,	como	a	pergunta	exploratória	
do	 conhecimento	dos	 elementos,	 a	pergunta	 exploratória	do	 conhecimento	do	
termo	da	classe	e	da	hierarquia	de	classe,	a	pergunta	de	comparação	do	número	
de	 elementos	 da	 subclasse	 e	 da	 classe,	 e	 as	 perguntas	 de	 subtração.	Assim,	 a	
pergunta exploratória do conhecimento dos elementos	pretende	 investigar	se	
o	entrevistado	conhece	os	elementos	da	prova	com	perguntas	simples	e	diretas.
A pergunta exploratória do conhecimento do termo da classe e da 
hierarquia de classe	 apresenta	 as	 finalidades	 de	 investigar	 se	 o	 entrevistado	
conhece	o	 termo	que	se	designa	as	classes,	com	por	exemplo,	flores	que	 inclui	
rosas	e	margaridas.	E	igualmente	em	investigar	se	estabelece	hierarquia	entre	as	
classes,	por	exemplo,	a	classe	das	flores	inclui	as	rosas,	e	as	rosas	se	encontram	
incluídas	nas	flores.	
A pergunta de comparação do número de elementos da subclasse e da 
classe	questiona	sobre	a	relação	numérica	entre	parte	e	o	todo,	como	quando	se	
pergunta,	nessa	espécie	que	também	tem	rosas,	se	há	mais	margaridas	ou	mais	
flores.	As	perguntas de subtração	 se	 distinguem	 em	duas	 classes,	 as	 que	 não	
requerem	respostas	com	reversibilidade	de	pensamento	porque	se	fundamentam	
em	uma	operação	direta,	e	as	que	requerem	reversibilidade	do	pensamento,	pois	
necessita	de	uma	operação	direta	e	sua	inversão.	
A	 conduta	 do	 entrevistado	 revela	 respostas	 verbais,	 enunciadas,	
contudo,	não	comentadas	porque	já	foram	abordadas	quando	a	intervenção	foi	
caracterizada.	
2.3.3 Intersecção de classes
As	 estratégias	 do	 entrevistador	 em	 relação	 à	 intersecção	 de	 classes,	
segundo	 Visca	 (2008),	 são	 semelhantes	 às	 estratégias	 de	 mudança	 de	 critério	
e	 de	 quantificação	da	 inclusão.	 Entretanto,	 distinguem	na	finalidade,	 onde	 há	
comparação	entre	as	quantidades	de	elementos	em	função	de	uma	mesma	classe	
de	atributo,	como	na	forma	caso	seja	um	quadrado	ou	redondo,	ou	sobre	a	cor	
relacionado	ao	vermelho	ou	azul.	Inclusive,	pede-se	também,	que	o	entrevistado	
compare	o	número	de	elementos	em	função	de	atributos	que	não	são	da	mesma	
classe,	forma	e	cor.	
Na	 conduta	 do	 entrevistado,	 as	 respostas	 serão	 verbais	 que	 podem	
ser	 corretas	 ou	 erradas,	 que	 indicam	 as	 classes	 não	 relacionadas,	 inclusão	 e	
intersecção.	
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
185
2.4 PROVA DE SERIAÇÃO
A	prova	de	seriação	considera,	como	exemplo:	a	seriação	de	palitos,	por	
ser	 uma	 forma	 que	 permite	 reconhecer	 as	 estratégias	 do	 entrevistador,	 assim	
como,	 as	 respostas	do	 entrevistado.	As	 estratégias	do	 entrevistador	 incluem	a	
insinuação	da	seriação,	proposta	de	incluir	o	palito	da	intercalação,	e	a	proposta	
de	repetir	(VISCA,	2008).
A insinuação da seriação	 seria	 ao	 iniciar	 uma	 seriação,	 se	 solicita	 ao	
entrevistado	que	a	continue.	A	proposta de incluir o palito da intercalação	aponta	
o	seu	lugar	na	série,	segundo	o	seu	anterior	e	o	sucessor.	A	proposta de repetir 
consiste	na	seriação	sem	antecessor,	na	inclusão	e	seriação	com	antecessor.		
A	conduta	do	entrevistado	revela	a	consigna,	ou	seja,	o	cumprimento	da	
ordem	segundo	sua	organização	em	duplas	ou	trios,	sem	respeitar	as	bases,	quatro	
ou	cinco	elementos,	com	tentativas,	sem	tentativas	e	sem	antecessor,	intercalando	
e	com	sucessor.	
2.5 PROVAS DE ESPAÇO
As	 provas	 de	 espaço	 se	 relacionam	 com	 o	 espaço	 unidimensional,	
bidimensional	e	tridimensional.	De	modo	geral,	são	provas	que	se	diferenciam	
por	sua	estrutura	em	relação	à	conservação,	classificação,	estrutura	comum	entre	
si,	e	permitem	uma	regularidade,	tanto	nas	estratégias	do	entrevistador	como	nas	
condutas	do	entrevistado.	
As	 estratégias	 do	 entrevistador	 incluem	 a	 construção	 de	 modelo,	
consigna,	pergunta	e	o	estabelecimento	de	uma	nova	situação	complexa.	Assim,	a	
construção do modelo	consiste	em	atividades	segundo	o	espaço	unidimensional	
(armar	uma	torre),	espaço	bidimensional	(desenhar	um	ponto	em	uma	folha),	ou	
no	espaço	tridimensional	(pegar	uma	conta	dentro	de	uma	caixa	e	inserir	em	um	
arame).	De	modo	geral,	serão	modelos	que	o	entrevistado	deverá	reproduzir.	
A consigna	diz	respeito	à	ordem	das	tentativas	de	reprodução	do	modelo.	
A pergunta	 refere-se	 ao	 sentido	 de	 comprovação	 da	 opinião	 ou	 pensamento	
do	 entrevistado,	 realizada	 por	 meio	 de	 questionamentos	 argumentativos.	 O	
estabelecimento de uma nova situação complexa	seria	quando	o	entrevistador	
resolve	uma	situação	em	um	determinado	nível,	e	o	entrevistador	investiga	se	esse	
nível	será	o	melhor,	podendo	estabelecer	uma	outra	situação	em	nível	seguinte.	
A	 conduta	 do	 entrevistado	 apresenta	 as	 características	 relacionadas	
a	 execução	 da	 consigna	 e	 as	 respostas.	 Desse	modo,	 a	 execução da consigna 
aponta	 sobre	 o	 que	 o	 entrevistado	 poderá	 realizar	 em	 distintos	 níveis	 em	
cada	 prova,	 no	 sentido	 unidimensional	 por	 apreciação	 global	 e	 visual,	
transferência	visual	e	manual,	por	comparação	com	o	próprio	corpo,	utilização	
do	princípio	de	 transitividade	com	um	objeto	de	maior	altura	e	por	 interação.	
186
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
A	respeito	da	bidimensionalidade,	engloba	o	cálculo	visual	a	partir	de	uma	só	
dimensão,	quando	utiliza	duas	dimensões	e	consegue	 justificar.	Com	relação	à	
tridimensionalidade	 constitui	 o	 cálculo	 visual,	 quando	 considera	 um	 ou	 duas	
medidas	 sem	precisão	métrica,	por	 tentativas	até	 considerar	as	 três	dimensões	
e	atingir	a	tridimensionalidade.	As	respostas que	podem	conter	argumentos	ou	
não	por	parte	do	entrevistado.
Para aplicar as provas piagetianas você precisará ter o material correto para sua 
aplicação. Há disponível para a venda as maletas com os materiais que servem para a sua 
aplicação, ou poderá confeccionar com base nos estudos realizados na Unidade 2.
FONTE: <https://bit.ly/3ggK4by>. Acesso em: 10 mar. 2021.DICAS
3 ENTREVISTA COM UMA PSICOPEDAGOGA PARA 
INTERVENÇÃO NAS DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM
EM MATEMÁTICA
A	 atuação	 do	 psicopedagogo	 institucional	 requer	 uma	 prática	 que	
considere	 os	 fazeres	 da	 escola	 e	 as	 relações	 sociais	 e	 afetivas	 que	 o	 aluno	
estabelece	com	seus	colegas	e	professores.	Entretanto,	o	aluno	consiste	no	sujeito,	
que	igualmente	interage	no	seu	cotidiano	com	familiares	e	amigos,	estabelecendo	
diversas	interações.	Desse	modo,	o	trabalho	do	psicopedagogo	deverá	considerar	a	
criança	em	seu	desenvolvimento	integral,	observando	as	situações	que	permeiam	
seu	cotidiano,	tanto	na	escola	como	em	sua	vida	particular.	
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
187
Para	auxiliar	nos	estudos,	conheceremos	uma	experiência	profissional	da	
psicopedagoga	que	atuou	na	Psicopedagogia	Institucional	por	um	determinado	
tempo.	Assim,	as	questões	e	respostas	apontam	sobre	sua	formação,	campo	de	
atuação	e	exemplos	de	como	agir	nas	intervenções	psicopedagógicas.	
1 Qual a sua formação acadêmica?
R.:	Formada	em	Pedagogia,	com	Pós-Graduação	em	Psicopedagogia	Clínica	e	
Institucional	e	Gestão	Escolar
2 Qual o lugar onde você realiza os atendimentos psicopedagógicos? Conte 
como foi o processo de sua organização.
R.:	Faço	 meus	 atendimentos	 na	 clínica	 desde	 2015.	 Como	 trabalhava	 com	
atendimentos	institucionais,	desde	2008,	já	tinha	vários	jogos	e	materiais	
que	foram	para	a	clínica.	De	acordo	com	as	necessidades	dos	pacientes,	fui	
adquirindo	novos	materiais.
3 Como você organiza as intervenções psicopedagógicas?
R.:	O	 tempo	de	 intervenção	é	de	50	a	60	minutos.	 Inicialmente	é	 feito	uma	
conversa	 para	 saber	 como	 o	 paciente	 está,	 alegre,	 triste,	 preocupado,	
ansioso...	 Esse	 momento	 também	 é	 muito	 importante	 para	 verificar/
estimular	 a	memória.	 Infelizmente,	 tenho	pacientes	que	não	 lembram	o	
que	fizeram	no	dia	anterior	ou	no	fim	de	semana.	Depois,	vamos	para	a	
intervenção	de	acordo	com	a	necessidade	principal.	E,	para	finalizar,	em	
torno	de	5	a	10	minutos,	um	momento	para	descontrair,	em	que	o	paciente	
escolhe	 algo	 que	 deseja	 fazer.	 Como	 já	 conhece	 os	 jogos	 e	 brinquedos	
do	ambiente,	 geralmente	 escolhe	o	que	mais	gosta.	Esse	momento	 é	de	
interação	com	o	psicopedagogo.
4 Quais são os tipos de atendimentos que a psicopedagoga institucional 
realiza na escola? 
R.:	O	 psicopedagogo	 institucional	 é	 um	 profissional	muito	 importante	 na	
escola.	Ele	avalia	os	processos	de	aprendizagem	e	como	pode	modificar	
as	 dinâmicas	 da	 escola	 para	 melhorar	 esses	 processos.	 É	 um	 trabalho	
muito	 amplo.	 O	 psicopedagogo	 precisa	 estar	 próximo	 ao	 coordenador	
para	 acompanhar	 os	 professores	 e	 verificar	 suas	 potencialidades	 e	
dificuldades	diante	dos	alunos.	O	psicopedagogo	pode	sugerir	mudança	
na	 organização	 da	 sala,	 na	 ordem	 das	 atividades	 do	 planejamento,	
atividades	diferenciadas	etc.	O	psicopedagogo	institucional	também	pode	
acompanhar	os	alunos	para	verificar	suas	dificuldades	e	encaminhar	para	
os	 serviços	 necessários	 (oftalmologista,	 neuropediatra,	 psicólogo	 etc.).	
O	 psicopedagogo	 pode	 avaliar	 a	 escola	 como	 um	 todo,	 pode	 sugerir	
mudanças	 para	 que	 o	 horário	 do	 recreio	 tenha	 jogos,	 para	 diminuir	
a	 correria.	 Pode	 sugerir	 melhor	 acolhimento	 das	 crianças	 na	 entrada,	
sugerir	ambiente	mais	agradável.	O	psicopedagogo	na	escola	tem	muitos	
aspectos	para	observar,	avaliar	e	intervir.
188
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
5 Você já realizou esse algum tipo de intervenção em escola? Conte como 
aconteceu. 
R.:	Trabalhei	 10	 anos	 como	psicopedagoga	 institucional	na	 rede	pública.	A	
psicopedagoga	dentro	da	escola	consegue	realizar	o	seu	trabalho	se	tiver	
a	 coordenação	 e	 direção	 como	 parceiros,	 assim,	 seu	 trabalho	 se	 torna	
mais	fácil	e	as	coisas	acontecem...	Ele	consegue	atingir	a	escola	como	um	
todo.	Quando	 trabalha	sozinho,	 seu	alcance	é	menor,	e	quem	perde	é	a	
escola.	Eu	tive	sorte	de	trabalhar	com	excelentes	profissionais	e	pude	ver	
muitas	 mudanças	 acontecerem.	 Como	 somos	 profissionais	 que	 vemos	
coisas/situações	 que	 são	 comuns	 dentro	 da	 escola	 e	 que	 todos	 acham	
normais,	mudar	essas	situações	se	torna	muito	difícil,	se	não	tiver	apoio	
da	 coordenação	 e	direção.	Conversar	 com	um	professor,	 acompanhar	 a	
turma,	 dar	 sugestões	 para	melhorar	 o	 processo	 de	 ensino	 é	 delicado,	 é	
preciso	saber	o	momento	certo	para	 intervir.	São	muitas	 funções	dentro	
da	escola,	são	muitos	olhares,	são	muitos	desafios.	Tudo	para	melhorar	o	
processo	de	aprendizagem	dos	alunos.
6 Você atende casos de crianças com dificuldades em matemática? Conte 
um pouco da sua experiência e as principais dificuldades atendidas.
R.:	Muitas	 crianças	 que	 atendo	 apresentam	 dificuldade	 em	 matemática.	
Muitas	 crianças	 sabem	o	processo	de	 resolução	das	operações,	mas	não	
sabem	 fazer	 cálculo	 mental,	 contam	 nos	 dedos.	 Não	 desenvolveram	
o	 raciocínio	 lógico.	 Então	 é	 preciso	 reconstruir	 a	 matemática	 para	 que	
compreendam	o	que	realmente	estão	calculando	e	desenvolvam	o	cálculo	
mental.	Tudo	é	feito	através	de	jogos	porque	o	processo	é	repetitivo	e	se	
torna	mais	prazeroso.	As	crianças	gostam	tanto	dos	jogos	e	compreendem	
os	processos	da	matemática	que	acabam	gostando	da	disciplina.	A	grande	
maioria	das	crianças	que	atendo,	a	dificuldade	é	de	ensinagem	e	não	um	
transtorno	de	aprendizagem	na	matemática.
7 Você poderia relatar um estudo de caso de uma situação em que uma 
criança apresentou dificuldade de aprendizagem em matemática? Quais 
foram seus procedimentos?
R.:	Uma	menina	de	9	anos	veio	encaminhada	pela	escola	para	avaliação	e	a	
maior	dificuldade	que	apresentava	era	a	defasagem	no	raciocínio	lógico.	
Inicialmente	é	preciso	saber	como	é	a	 lógica	de	pensamento	da	menina.	
Com	as	provas	operatórias	de	Piaget	é	possível	verificar.	Ela	ainda	estava	
no	 nível	 pré-operatório	 em	 algumas	 provas	 e	 outras	 no	 transitivo,	 ou	
seja,	 com	 9	 anos,	 ela	 deveria	 estar	 no	 operatório	 concreto,	 uma	 grande	
defasagem.	Essa	defasagem	não	permite	 a	 criança	 compreender	muitos	
conteúdos	de	sua	série/ano.	O	passo	seguinte	foi	de	estimular	o	raciocínio	
lógico	para	avançar	para	o	estágio	operatório	concreto.	Em	seguida,	fazer	
a	construção	do	10.	Nosso	sistema	é	decimal,	isso	precisa	ser	trabalhado.	
Se	ela	dominar	até	o	dez,	vai	dominar	os	demais	números.	Depois	de	mais	
de	um	ano	de	 trabalho,	conseguimos	sanar	essas	dificuldades	e	 realizar	
cálculo	mental	com	pequenos	números.	Mais	tarde,	fomos	avançando	para	
números	maiores.
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
189
8 Você oferta cursos para professores certo? Qual seria o principal motivo 
dos professores realizarem os cursos na área dos jogos de matemática. 
R.:	O	curso	que	ofereço	é	para	professores,	psicopedagogos,	pais,	psicólogos,	
todos	que	se	interessarem.	Os	profissionais	que	mais	procuram	o	curso	são	
os	psicopedagogos,	pois	o	curso	ensina	a	desenvolver	o	raciocínio	lógico,	o	
cálculo	mental	através	de	jogos.	E	os	psicopedagogos	recebem	muitos	pa-
cientes	com	dificuldade	na	matemática.	O	curso	dá	todos	os	recursos	para	
desenvolver	 as	habilidades	matemáticas.	Os	professores	 que	procuram	o	
curso	querem	aperfeiçoar	suas	aulas	de	matemática,	querem	aprender	a	en-
sinar	a	matemática.	Muitas	vezes	eles	não	gostam	da	matemática	e	apren-
dem	a	gostar,	para	ensinar.
9 Qual seria o principal motivo das crianças apresentarem dificuldades na 
aprendizagem da matemática? 
R.:	Um	dos	motivos	é	o	despreparo	dos	professores,	outro	motivo	é	querer	
acelerar	conteúdos	em	que	a	criança	neurologicamente	não	está	preparada	
para	compreender.	Também	a	falta	de	material	concreto	para	manipular.	
Tudo	isso	contribui	para	as	dificuldades	na	aprendizagem.	A	criança	pre-
cisa	ser	respeitada	quanto	ao	seu	amadurecimento	neurológico,	também	
deveser	respeitada	quanto	ao	seu	funcionamento.	Ela	precisa	do	concreto	
para	compreender.
10 Qual conselho você falaria para os acadêmicos que estão cursando 
Psicopedagogia, em relação aos futuros atendimentos com as intervenções 
psicopedagógicas para as crianças?
R.:	Meu	conselho	é	que	olhem	para	a	criança	com	os	olhos	do	coração.	Toda	
criança	que	vem	para	o	atendimento	está	em	sofrimento.	Ela	precisa	de	
ajuda.	Muitas	vezes	fazer	o	mais	simples,	é	o	mais	importante.	
Olá, acadêmico. Deseja aprofundar-se mais nesse assunto? Acesse a trilha da 
disciplina por meio do QR Code ao lado. Nela, você tem acesso aos áudios 
da entrevista e muito mais!
CHAMADA
190
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
A psicopedagoga entrevistada atua com consultoria e assessoria, no 
desenvolvimento da oficina de raciocínio lógico. Para informações, entre em contato pelo 
Instagram: @jocimarakostetze.
DICAS
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
191
LEITURA COMPLEMENTAR
DISCALCULIA E INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA NO ESPAÇO 
ESCOLAR
Anderson	Oramisio	Santos	 
Graciela	Nunes	da	Silva 
Guilherme	Saramago	de	Oliveira
Propostas de Intervenções com crianças com Discalculia 
Sabe-se	 a	 importância	 à	 contribuição	 da	 intervenção	 psicopedagógica	
movimenta	no	ato	educativo,	como	um	fator	universal,	isto	é,	sua	atuação	busca	um	
olhar	coletivo	no	processo	de	aprendizagem.	O	objetivo	da	ação	psicopedagógica	
em	uma	instituição	educacional	não	será	somente	no	aluno	com	problemas	de	
aprendizagens,	mas,	especialmente	em	todos	os	mecanismos	que	interagem	na	
construção	desse	processo.	
Diante	 disso,	 neste	 contexto	 o	 psicopedagogo	 tem	 papel	 de	 muita	
importância	 no	 cenário	 educacional,	 pois	 ele	 terá	 que	 analisar	 os	 fatores	 que	
influenciam	as	 intervenções	psicopedagógicas	que	podem	ser	feitas	a	partir	de	
um	diagnóstico.	Não	se	pode	esquecer-se	de	agregar	que	a	ação	psicopedagógica	
tem	suas	limitações,	distinguindo-se	de	uma	psicoterapia,	quando	demarca	sua	
extensão	com	o	receio	pedagógico	de	dar	a	criança	a	mais	adequada	aplicação	
da	 expressão	 e	 a	 produção	 	 	 cognitiva	 das	 referências	 discriminantes,	 com	 a	
destinação	de	que	esse	aluno	poderá	materializar	e	atender	as	suas	conveniências,	
agindo	no	universo	em	que	vive.	Por	isso	o	presente	levanta	situações	encaradas	
pelos	psicopedagogos.	
Os	processos	 formativos	de	 intervenção	pedagógica	e	psicopedagógica,	
buscam	motivar	e	resgatar	a	aprendizagem	do	sujeito	que	apresenta	Discalculia,	
procurando	 direções	 para	 estabelecer	 o	 conhecimento	 por	 meio	 de	 recursos	
capazes	de	despertar	o	desejo	de	aprender.	
Desse	modo	a	 intervenção	em	seus	aspectos	pedagógicos,	emocionais	e	
psicopedagógicos	tendem	a	sofrer	alterações	que	a	proporção	de	que	a	Discalcu-
lia	do	Desenvolvimento	é	diagnosticada	como	leve,	intermediária	e	ou	avançada	
através	dos	vários	campos	do	conhecimento	entender	como	se	resgata	a	apren-
dizagem	daquele	sujeito	que	apresenta	dificuldades,	desse	modo,	a	intervenção	
faz-se	necessária	e	eficaz.
192
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
De	acordo	Beauclair	(2011,	p.	31),	“o	psicopedagogo	necessita	deste	cons-
tante	movimento	de	olhar	novos	horizontes	e	caminhos	para	trilhar,	para	abrir	
espaços	não	só	objetivos,	mas	também	subjetivos,	onde	a	autoria,	e	a	autonomia	
de	pensamento	seja	concreta	possibilidade.
[...]	 a	 intervenção	psicopedagógica	 não	 se	 dirige	 ao	 sintoma,	mas	 o	
poder	 para	 mobilizar	 a	 modalidade	 de	 aprendizagem,	 o	 sintoma	
cristaliza	 a	 modalidade	 de	 aprendizagem	 em	 um	 determinado	
momento,	e	é	a	partir	daí	que	vai	 transformando	o	processo	ensino	
aprendizagem	(FERNANDES,	1990,	p.117).
Para	 se	 iniciar	 as	 intervenções	 com	 crianças	 discalcúlicas	 precisa-se	
primeiramente	superar	as	dificuldades	de	percepção	viso-espacial	 trabalhando	
com	a	percepção	de	figuras	e	de	 formas,	observando	os	detalhes,	 semelhanças	
e	diferenças	relacionando-as	com	experiências	e	conceitos	da	vida	real	para	só	
então	iniciar	o	trabalho	com	números,	letras	e	figuras	geométricas.
Há	 vários	 tipos	 de	 intervenções	 que	 podem	 ser	 trabalhados	 junto	 a	
crianças	discalcúlicas,	nesse	ensaio	teórico	iremos	abordar	alguns	instrumentos	
pedagógicos.	Um	plano	 de	 intervenção	 pedagógica	 e	 psicopedagógica	 podem	
contemplar	 alguns	 conteúdos,	 que	 atendam	 a	 crianças	 discalcúlicas	 serão	
enumerados	a	seguir:
 
• Percepção	de	figuras	e	formas:	experiências	graduadas	e	simples,	percebendo	
detalhes,	semelhanças	e	diferenças.
• Espaço:	Localização	de	objetos	–	em	cima,	embaixo,	no	meio,	entre,	primeiro,	
último	etc.
• Ordem	 e	 sequência:	 primeiro,	 segundo	 etc.,	 dias	 da	 semana,	 ordem	 dos	
números,	dos	meses,	das	estações	do	ano.
• Representação	mental:	indicar	com	as	mãos	e	os	dedos	o	tamanho	e	comprimento	
dos	objetos;	preencher	espaços	com	figuras	de	tamanho	específicas	escolhidas	
entre	outras	de	mesma	forma,	porém	com	tamanhos	diferentes.
• Conceito	de	números:	 trabalhar	correspondência	um	a	um,	construir	fileiras	
idênticas	de	objeto,	associar	o	símbolo	e	a	compreensão	auditiva	a	quantidade	
por	meio	de	atividades	rítmicas.
• Operações	 aritméticas:	 trabalhar	 adequadamente	 para	 que	 se	 entenda	 que	
a	adição	se	dá	pelo	acréscimo;	a	 subtração	pela	diminuição;	a	divisão	se	dá	
repartindo;	e	a	multiplicação	é	uma	sucessão	de	somas	de	parcelas	iguais.	
Em	uma	outra	oportunidade	de	intervenção	o	planejamento	de	atividades	
com	coordenação	manual,	que	para	Antunes	(1998),	parece	ser	a	forma	de	como	
o	 cérebro	 busca	materializar	 e	 operacionalizar	 os	 símbolos	matemáticos.	Uma	
criança	em	idade	escolar	se	irá	apropriar	de	conceitos	matemáticos	e	os	funda-
mentos	da	geometria	com	o	uso	e	manipulação	de	material	concreto,	se	puderem	
palpá-los.	
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
193
No	plano	de	intervenção	a	aprendizagem	poderá	ser	estimulada	por	jogos	
na	perspectiva	de	ensino	e	aprendizagem	em	Matemática,	o	uso	de	jogos	de	re-
gras,	atenção	e	jogos	alternativos	recicláveis	de	fácil	acesso:	garrafas	pets,	madeira,	
fitas,	moedas,	pedrinhas,	tampinhas,	conchas,	blocos,	caixas	de	fósforos,	cordas.	
A	 criança	 ao	 manusear	 os	 objetos,	 classificando-os	 em	 conjuntos	 e	
separando-os	perceberá	 a	 simetria	 e	 estará	 construindo	 relações,	 abrindo	para	
o	cérebro	as	percepções	de	grande	e	pequeno,	fino	e	grosso,	largo	e	estreito,	alto	
e	baixo,	fixando	a	conceituação	simbólica	das	relações	numéricas	e	geométricas.
Nos	estudos	de	Smole	e	Diniz	(2001,	p.	16),	apresentam	no	trabalho	com	a	
Matemática,	a	proposta	precisa	ter	significado,	trazer	o	encorajamento	e	explorar	
várias	 ideias	 e	 conceitos	Matemáticos	 “de	 forma	 que	 os	 alunos	 ampliem	 com	
prazer	e	conservem	uma	curiosidade	acerca	da	Matemática,	adquirindo	diferentes	
formas	de	perceber	a	realidade”.
 
A	orientação,	a	linguagem	matemática	do	professor,	pois	o	estabelecimento	
de	 um	diálogo	 entre	 os	 aspectos	 cotidiano,	 escolar	 e	 científico	 da	matemática	
através	dessa	perspectiva	deve	ser	priorizado	nas	atividades	de	sala	de	aula,	pois	
este	se	constitui	no	suporte	teórico	do	modelo	que	se	propõe	e	se	estabelece	na	
incorporação	da	investigação	como	uma	atividade	matemática.	
Vygotsky	 (2001),	 ao	 destacar	 as	 importâncias	 das	 funções	 e	 papeis	 da	
internalização	 das	 formas	 culturais	 de	 comportamento,	 descreve	 o	 papel	 do	
adulto	como	regulador	do	relacionamento	com	a	criança.	Cabendo	ao	professor	a	
tarefa	de	ser	o	mediador,	e	proporcionando	as	crianças	instrumentos	adequados	
para	auxiliá-los	a	adquirir	novos	saberes	a	partir	daqueles	que	já	possui.
Jogos e brincadeiras
Os	jogos	e	as	brincadeiras	consistem	em	uma	atividade	planejada	pra	o	
desenvolvimento	mental	e	aprendizagem	da	linguagem	por	meio	da	exploração,	
atuando	 recursos	 didáticos	 e	 pedagógicos	 naconstrução	 do	 	 	 conhecimento	
matemático.	
Por	meio	da	utilização	de	jogos,	brincadeiras	e	matemática	pode-se	criar	
situações	de	aprendizagem	que	beneficiem	a	criatividade	na	elaboração	de	estra-
tégias	de	resolução	de	problemas	e	busca	de	soluções	impulsionando	à	compre-
ensão	e	à	familiarização	com	a	linguagem	matemática.	Sendo	assim	o	jogo:
Passa	a	ter	o	caráter	de	material	de	ensino	quando	considerado	promo-
tor	de	aprendizagem.	A	criança,	colocada	diante	de	situações	lúdicas,	
apreende	a	estrutura	 lógica	da	brincadeira	e,	deste	modo,	apreende	
também	a	estrutura	matemática	presente	(MOURA,	1996,	p.	80).
194
UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
As	intervenções	pedagógicas	com	jogos	nas	aulas	de	matemática	podem	
ser	realizadas,	nos	escritos	de	(Grando,	2004)	em	sete	momentos	distintos:	
• Familiarização	com	o	material	do	jogo:	contato	com	o	material	construindo	ou	
experimentando-o	por	meio	de	simulações	de	possíveis	jogadas.
• Reconhecimento	 das	 regras:	 podem	 ser	 explicadas,	 lidas	 ou	 identificadas	 a	
partir	de	diversas	jogadas;	
• Jogo	 para	 garantir	 as	 regras:	 é	 o	 momento	 do	 jogo	 não	 espontâneo	 e	 de	
exploração	de	noções	matemáticas	nele	contidas;	
• Intervenção	 pedagógica	 verbal:	 intervenção	 verbal	 do	 professor	 e/ou	
psicopedagogo	por	meio	de	questionamentos	e	observações	para	que	haja	o 
interesse	do	aluno	em	analisar	sua	jogada,	atentando	para	os	procedimentos 
de	resolução	de	problema	de	jogo.
• Registro	do	 jogo:	 é	 o	 registro	dos	pontos,	 dos	procedimentos	 realizados	 ou	
dos	 cálculos	 utilizados	 considerando	 como	 uma	 forma	 de	 sistematização	 e	
formalização	por	meio	de	uma	linguagem	própria:	a	linguagem	matemática.	
• Nesta	etapa	é	importante	que	haja	um	sentido	para	este	registro	e	não	apenas	
uma	exigência	por	meio	de	intervenções	que	criem	a	necessidade	de	registro	
escrito	do	jogo.
• Intervenção	 escrita:	 neste	 momento	 são	 elaboradas	 situações	 problemas	
sobre	o	 jogo	para	serem	resolvidas,	propiciando	uma	análise	mais	específica	
abordando	diferentes	aspectos	não	ocorridos	durante	as	partidas.
• Jogo	com	competência:	é	o	 retorno	à	situação	real	do	 jogo.	Neste	momento,	
o	aluno	retorna	à	ação	do	jogo	executando	estratégias	definidas	e	analisadas	
durante	a	resolução	dos	problemas	propostos.
 
Segundo	 Kishimoto	 (2000),	 “para	 o	 desenvolvimento	 do	 raciocínio	
lógico	matemático,	o	mediador	deve	organizar	jogos	voltados	para	classificação,	
seriação,	 sequência,	 espaço,	 tempo	 e	 medidas”.	 A	 introdução	 de	 jogos	 como	
recurso	didático	nas	aulas	de	matemática	é	tido	como	possibilidade	para	diminuir	
os	bloqueios	apresentados	por	alguns	alunos,	a	respeito	da	matemática.	
O	 professor	 durante	 as	 intervenções	 deve	 provocar	 a	 participação	 e	 o	
desenvolvimento	 da	 criança,	 respeitando	 o	 nível	 de	Discalculia	 e	 o	 tempo	 de	
atividade	para	que	haja	uma	internalização,	ação	e	uma	reelaboração	de	conceitos	
matemáticos.	
Recomenda-se	 ao	professor	 e	 ao	psicopedagogo	que	ao	desenvolver	 as	
atividades	de	intervenção	sejam	de	um	repertório	variado:	
• Oralmente	e	por	escrito.	
• Com	e	sem	papel	de	apoio.	
• Com	objetos	concretos.
• Apresentação	do	problema	e,	em	caso	de	dificuldade	e	ou	erro,	apresentação	
da	conta	armada.
TÓPICO 3 — INTERVENÇÕES PSICOPEDAGÓGICAS NA CONSTRUÇÃO LÓGICO-MATEMÁTICA
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• Apresentação	de	problemas:	 oral	 e	 escrito,	 com	e	 sem	papel,	 com	as	 contas	
armadas.
• Só	as	operações	envolvidas	(procedimento),	alternativas	(pesquisar	estimativa).	
Corroborando	 com	 Moura	 (2007),	 Antunes	 (2002)	 acrescenta	 que	 o	
professor	 deve	 suscitar	 a	 curiosidade	 do	 aluno	 (estimular)	 de	 forma	 que	
este	 busque	 o	 conhecimento.	 Jesus	 e	 Fini	 (2001)	 complementam	 que	 nesse	
processo	 o	 jogo	 se	 apresenta	 como	 um	 gerador	 de	 situações	 problemas	
(conflitos),	 que	 desafiam	 a	 criança	 a	 desencadearem	 sua	 aprendizagem.	 E 
é	através	das	discussões	matemáticas	que	ocorre	o	processo	de	criação	e	construção	
dos	conceitos.
Método Montessoriano
A	médica	e	educadora	italiana	Maria	Montessori	(1870-1952)	defendia	a	
ideia	 de	 que	 a	 criança	 aprende	 em	um	ambiente	 previamente	 preparado.	 Seu	
método	consiste	em	facilitar	o	desenvolvimento	da	independência	e	a	iniciativa	
pessoal	de	cada	criança.	
Os	 materiais	 idealizados	 pela	 educadora	 oferecem	 aos	 alunos	 a	
possibilidade	de	tocar	e	manipular	para	descobrirem	as	diferentes	propriedades	
dos	objetos	como:	cor,	forma,	textura,	espessura,	som,	cheiro,	tamanho	etc.	
Seus	materiais	são	atraentes,	prazerosos	e	buscam	despertar	no	aluno	a	
experiência	direta,	o	raciocínio,	partindo	assim	do	concreto,	rumo	ao	abstrato.
Os	princípios	montessorianos	para	a	criação	de	seus	materiais	são:	
• Desenvolvimento	 da	 independência,	 confiança,	 ordem,	 coordenação 
e	concentração.
• Início	 por	 experiências	 concretas	 para	 gradualmente	 partir	 para 
abstrações.
• Desenvolvimento	 da	 percepção	 dos	 erros	 cometidos	 na	 manipulação 
do	material.
• Trabalho	com	os	sentidos	das	crianças.
O	Material	Dourado	foi	criado,	no	início	do	século	XX,	pela	professora	e	
médica	italiana	Maria	Montessori	(1870-1952),	com	a	intenção	de	ajudar	as	crian-
ças	com	dificuldades	na	aprendizagem	para	melhor	compreender	a	Matemática.
O	 Material	 Dourado	 é	 feito	 em	 madeira,	 dividido	 em	 peças	 que	
representam	a	unidade,	dezena,	 centena	 e	milhar,	 é	possível	 que	o	 educando,	
de	forma	concreta,	assimile	os	conceitos	matemáticos	como:	valor	posicional	dos	
algarismos,	classe	e	ordens,	composição	e	decomposição	dos	números,	contagem,	
comparação	de	quantidades	e	as	operações	fundamentais.
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UNIDADE 3 — TRANSTORNOS DE APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INTERVENÇÃO PSICOPEDAGÓGICA
Segundo	MAIA	 (apus/d)	 o	 primeiro	 contato	 da	 criança	 com	 o	Material	
Dourado	deve	acontecer	de	forma	lúdica	para	que	ela	perceba	a	forma,	a	constitui-
ção,	os	tipos	de	peças	do	material	e	as	relações	que	se	podem	estabelecer	entre	elas.	
Com	 a	 utilização	 do	 Material	 Dourado	 em	 intervenções	 psicopeda-
gógicos	 a	 criança	 Discalculia	 terá	 a	 oportunidade	 manusear	 as	 peças,	 fa-
zer	 descobertas	 e	 estabelecer	 um	 padrão	 de	 relações.	 Manuseou	 as	 pe-
ças,	 fez	 descobertas	 e	 estabeleceu	 relações.	 As	 atividades	 de	 intervenção	
podem	ocorrer	de	maneira	progressiva,	realizando	atividades	 individuais	e	ou 
coletivas	 para	 sistematização	 dos	 conhecimentos:	 agrupamentos	 de	 10	 em	 10,	
contagens,	composição	de	números,	adição.	Dessa	forma	as	relações	numéricas	
abstratas	passam	a	ter	uma	imagem	concreta,	facilitando	a	compreensão.	Obtêm-
-se,	então,	além	da	compreensão	dos	algoritmos,	um	notável	desenvolvimento	do	
raciocínio	e	um	aprendizado	bem	mais	agradável.
O	 método	 montessoriano	 preza	 o	 respeito	 ao	 ritmo	 do	 educando	 e	
considera	 a	 personalidade	 da	 criança.	 Ele	 permite	 que	 o	 professor	 atenda	 à	
criança	em	suas	necessidades	individuais.	Este	sistema	consiste	na	formação	do	
sujeito	em	sua	totalidade,	não	apenas	em	suas	capacidades	intelectuais,	e	sim	em	
uma	educação	para	a	vida.	
Neste	 sentido	 o	método	montessoriano	 tem	muito	 a	 contribuir	 com	 o	
trabalho	do	educador	com	alunos	que	apresentam	Discalculia.	Um	espaço	escolar	
atrativo,	 onde	 a	 criança	 tenha	 autonomia,	 conviva	 com	 colegas	 de	 diferentes	
faixas	etárias,	troque	conhecimentos,	respeite	e	seja	respeitado,	trabalhe	sozinho	
e	 em	grupo	pode	 ser	um	elemento	 facilitador	deste	processo.	Neste	método	a	
educação	baseia-se	em	atitudes.
Para	saber	mais	sobre	o	texto,	acesse:	<https://bit.ly/3x3YPEk>.
Leia	o	artigo	na	íntegra!	Confira	e	amplie	seus	conhecimentos!
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 As	dificuldades	de	aprendizagem	podem	advir	de	causa	emocionais,	do	nível	
de	pensamento,	de	diferenças	funcionais	ou	de	alterações	no	desenvolvimento.
•	 O	 uso	 das	 provas	 piagetianas	 nas	 intervenções