Prévia do material em texto

PARA O ENEM
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
S U M Á R I O
Expressões numéricas;
Conjuntos numéricos;
As 4 operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão);
Frações;
Porcentagem;
Dízimas periódicas;
Notação Científica;
Múltiplos, Divisores: 
Fatoração;
MDC e MMC;
Potenciação;
Radiciação;
Progressões (PA e PG);
Grandezas e Unidades de Medidas.
Média, moda e mediana:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
DEFINIÇÃO
?
As expressões numéricas são grupos numéricos
calculados por operações matemáticas (adição,
subtração, multiplicação, divisão, etc.) que seguem
determinadas ordens.
As expressões numéricas são grupos numéricos
calculados por operações matemáticas (adição,
subtração, multiplicação, divisão, etc.) que seguem
determinadas ordens.
Ordem de preferência para resolução:
• 1°: solucionar todas as operações dentro
dos parênteses.
• 2°: solucionar todas as operações dentro
dos colchetes.
• 3°: solucionar todas as operações dentro
das chaves.
Ordem das operações:
Devemos resolver as operações que
aparecem em uma expressão numérica, na
seguinte ordem:
1º) Potenciação e Radiciação
2º) Multiplicação e Divisão
3º) Soma e Subtração
Se a expressão apresentar mais de uma
operação com a mesma prioridade, deve-se
começar com a que aparece primeiro (da
esquerda para a direita).
Passo a passo para resolver
expressões numéricas:
{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²
Exemplo:
Para calcular a expressão quando ela possui
símbolos, começamos sempre resolvendo as
operações que estão dentro do parêntese.
{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²
{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²
Agora que não há nenhuma operação entre
parênteses, vamos buscar eliminar os
colchetes. Dentro deles, é importante
respeitar a ordem de prioridade das
operações, começando, então, nesse caso,
pela radiciação.
{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²
{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²
Ainda com o objetivo de eliminar o colchete,
realizaremos agora a divisão, já que ela
possui prioridade em relação à adição e
subtração.
{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²
{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²
Para eliminar o colchete, calcularemos as
adições e a subtração, na ordem em que
essas operações aparecem.
{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²
{[5 – 2 + 9] : 4}²
{[3 + 9] : 4}²
{12 : 4}²
Agora que eliminamos o parêntese, por fim,
vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos
calcular a divisão:
{12 : 4}²
3²
Por fim, só nos resta calcular a potência:
3²
9
Agora que sabemos a ordem dos sinais e
operações, vamos solucionar as expressões
numéricas abaixo:
{[(8 . 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) . 3] . 2 – (19 – 7) ÷ 6} . 2 + 12 = ?
( )
[ ]
{ }
aⁿ √ 
x ÷
+ -
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
J O Ã O G U I
S T U D I E S
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5
Dado a expressão
[(25 – 6.4).3 + 6²: 3]: 5 =
Resolve-se, primeiramente, todas as
operações com parênteses, pois não há
potenciação ou radiação:
{[(32 + 3) ÷ 7 + (3 + 3) . 3] . 2 – 12 ÷ 6} . 2 + 12 =
Repete-se as operações dentro do
parênteses:
{[35 ÷ 7 + 6 . 3] . 2 – 2} . 2 + 12 =
Efetua-se as operações dentro dos colchetes:
{[5 + 18] . 2 – 2} . 2 + 12 =
Primeiro resolve-se as potências e as
operações dentro dos parênteses:
Resolve-se a multiplicação dentro dos
colchetes:
Elimina-se os colchetes e, em seguida,
desenvolve-se as operações dentro das
chaves:
{23 . 2 – 2} . 2 + 12 =
{46 – 2} . 2 + 12 =
Elimina-se as chaves e, em seguida, resolve-
se a multiplicação e soma:
44 . 2 + 12 =
88 + 12 =
Portanto, o resultado final é 100.
Efetua-se a multiplicação dentro dos
parênteses:
[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =
Elimina-se os parênteses e realiza-se a
divisão dentro dos colchetes:
[1.3 + 12] : 5 =
[3 + 12 ] : 5 =
Elimina-se os colchetes e, em seguida, efetua-
se a divisão:
15 : 5 = 3
Rascunho
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
Podemos formar, a partir do conjunto dos
números inteiros, os seguintes subconjuntos:
• Números inteiros diferentes de zero:
conjunto dos números inteiros não nulos, ou
seja, é o conjunto dos números inteiros sem o
zero. Z ∗={…,−3,−2,1,1,2,3,…}
• Números inteiros positivos: conjunto dos
números inteiros e não negativos.
Z += {0,1,2,3,…}
• Números inteiros positivos e diferentes de
zero: conjunto dos números inteiros positivos e
sem o zero. Z*+ = {1,2,3,…}
• Números inteiros negativos: conjunto dos
números inteiros não positivos. 
Z −={…,−3,−2,−1}
• Números inteiros negativos: conjunto dos
números inteiros negativos e sem o zero.
Z *– = {... -5, -4, -3, -2, -1}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os conjuntos numéricos surgiram, no decorrer
da história, com as necessidades do ser
humano.
DEFINIÇÃO
?
• N∗ =1, 2, 3, 4, 5...— conjunto dos números
naturais não nulos, ou seja, é o conjunto dos
números naturais sem o zero.
• Np=0, 2, 4, 6, 8...— conjunto dos números
naturais pares.
• Ni=1, 3, 5, 7, 9...— conjunto dos números
naturais ímpares.
• N5=0, 5, 10, 15, 20...— conjunto dos
números naturais múltiplos de 5.
Conjuntos numéricos fundamentais:
Quando esse conjunto é representado por
extenso, escrevemos os números entre
chaves { }. Se o conjunto for infinito, irá
possuir incontáveis números, então o
representamos com reticências.
Existem cinco conjuntos que são considerados
fundamentais, pois são os mais utilizados em
problemas e questões matemáticas:
• Naturais;
• Inteiros;
• Racionais;
• Irracionais;
• Reais.
Denotamos pôr o conjunto dos números
naturais que são:
N= {1,2,3, 4,...}
Observe que cada elemento desse conjunto
(a partir do 1) é igual à soma do seu
antecessor com 1. Por exemplo, 3=2+1, 4=3+1
e assim por diante.
Subconjuntos dos números naturais
O conjunto dos números inteiros é formado
pelos números naturais e os números
negativos opostos a eles, ou seja, {... -3, -2, -1,
0, 1, 2, 3...}, e surgiu devido à necessidade de
se representar números abaixo de zero, como
para a medição de temperatura ou para as
relações comerciais.
O conjunto dos números inteiros Z é uma
ampliação do conjunto dos números naturais,
ou seja, todos os naturais são inteiros. Além
dos naturais, nesse conjunto, há também os
números opostos a eles.
Conjunto dos números naturais:
Conjunto dos números inteiros:
Subconjuntos dos números inteiros:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-inteiros-.htm
CONJUNTOS NUMÉRICOS
• Q* = conjunto dos números racionais não
nulos.
• Q + = conjunto dos números racionais não
negativos.
• Q – = subconjunto dos números racionais
não positivos.
• Q *+ = subconjunto dos números racionais
positivos.
• Q *– = subconjunto dos números racionais
negativos.
• Números racionais diferentes de zero: Q∗
• Números racionais positivos: Q+
• Números racionais positivos e diferentes de
zero: Q∗
• Números racionais negativos: Q−
Importante 
O conjunto dos números racionais é formado
por todos os números que podem ser escritos
como uma fração e é representado pela
letra Q.
Ele é uma ampliação do conjunto dos inteiros,
ou seja, todo número inteiro é um número
racional, pois os números inteiros podem ser
representados como uma fração.
As dízimas periódicas também são números
racionais, uma vez que elas podem ser
reescritas através de frações de números
inteiros:
Exemplo: 0,333…
De modo geral, temos que:
Q= a ϵ Z e b ϵ Z∗
O conjunto dos números racionais é igual a
uma fração a sobre b, em que a pertence ao
conjunto dos números inteiros e b pertence
ao conjunto dos números inteiros não nulos.
Conjuntos numéricos racionais:
O conjunto dos números irracionais, denotado
por é aquele formado por todos os números que
não podem ser escritos emforma de frações de
números inteiros, ou seja, aqueles que não são
racionais.
O número pi(π) é o mais famoso dos números
irracionais transcendentes. Seu valor é π =
3,14159265358979323846… e representa a
proporção da medida da circunferência e do
seu diâmetro.
Um outro exemplo de irracional transcendente é
o número de Neper, representado por e, sendo
aproximadamente igual a 2,718281.
Além disso, outros exemplos de números
irracionais são todas as raízes quadradas de
números primos:
É evidente que ou um número é racional ou ele é
irracional.
Conjunto dos números irracionais:
Subconjuntos dos números racionais:
Em relação aos subconjuntos que podem ser
formados com o conjunto dos números
racionais, é necessário ressaltar a densidade
dos números irracionais, pois, entre dois
números racionais, existem infinitos números
racionais e irracionais, por exemplo, entre o
0 e o 1, há 0,5; 0,25; 0,02; 0,00000001 etc.
Conjunto dos números reais:
O conjunto dos números reais nada mais é
que a união entre o conjunto dos racionais e
o conjunto dos irracionais. Sabendo que o
conjunto dos números racionais contém
também o conjunto dos números inteiros e o
conjunto dos números naturais, então todo
número natural, inteiro, racional ou irracional
é também um número real. O conjunto dos
números reais é representado por R. Então
temos que R=Q∪ 
Atualmente, utilizamos o conjunto dos números
reais para a maioria das situações do
cotidiano. As medições, os cálculos e os
estudos envolvendo função implicam, na
maioria situações, os números reais. O
conjunto dos números reais é o mais utilizado
no cotidiano, ainda que exista uma
ampliação para ele, o conjunto dos números
complexos.
É bastante comum ilustrarmos R através de
uma reta que chamamos de reta real,
orientada para a direita. Isto é: tomando um
ponto qualquer na reta para indicar o
número 0, então os valores à direita de 0 são
números reais positivos e à esquerda,
negativos:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-racionais.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-reais.htm
Intervalo fechado:
Intervalo aberto:
Números reais diferentes de zero
• R* = conjunto dos números reais não nulos.
Números reais positivos
• R + = conjunto dos números reais não
negativos.
Números reais negativos
• R – = conjunto dos números reais não
positivos.
Números reais positivos e diferentes de zero
• R *+ = conjunto dos números reais positivos.
• R*– = conjunto dos números reais negativos.
 
Um tipo de subconjunto dos números reais muito
trabalhado é o intervalo real, que pode ser dos
seguintes tipos: 
E há suas variações: intervalo semi-aberto (ou
semi-fechado): 
E também aquelas envolvendo infinito: 
Ou, por exemplo, 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
C* = conjunto dos números complexos não nulos.
C + = conjunto dos números complexos não
negativos.
C – = subconjunto dos números complexos não
positivos.
C*+ = subconjunto dos números complexos
positivos.
C*– = subconjunto dos números complexos
negativos.
Subconjuntos dos números reais:
2+3i
·1+2i
− 4i
O conjunto dos números complexos é
representado pela letra C. Nesse conjunto,
representamos por i, e os complexos
correspondem aos números escritos da forma 
 a + bi. O conjunto dos números complexos é
uma ampliação do conjunto dos reais, logo,
todo número real é um número complexo. Além
dos números reais, estão presentes nesse
conjunto as raízes de números negativos, que
são números complexos, por exemplo:
Conjunto dos números complexos:
Subconjuntos dos números complexos:
O conjunto dos números naturais está contido
no conjunto dos números inteiros: N⊂Z.
O conjunto dos números inteiros está contido
no conjunto dos números racionais: Z⊂Q.
O conjunto dos números racionais está
contido no conjunto dos números reais: Q⊂R.
O conjunto dos números reais está contido no
conjunto dos números complexos: R⊂C.
Com base nisso, temos a seguinte relação de
inclusão:
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
Além disso, o conjunto dos números irracionais
está contido no conjunto dos números reais, mas
ele não contém nenhum dos outros conjuntos.
Como sabemos, os números reais estão contidos
no conjunto dos números complexos, então temos
que:
I⊂R⊂C
Então podemos afirmar que o conjunto dos
números complexos contém todos os demais
conjuntos.
Conjunto dos números complexos:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-complexos.htm
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
DEFINIÇÃO
?
O resultado é alterado no caso de
mudança na ordem de apresentação dos
valores, e nesse caso a diferença terá o
sinal trocado. 
Não existe elemento neutro.
A subtração abrange a redução de um número
por outro. Os seus elementos são: minuendo,
subtraendo e diferença ou resto. O (-) é o sinal
utilizado na operação. Veja o exemplo:
8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou
resto)
As propriedades da subtração são:
Ex.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6.
Associatividade: a ordem de mais de
duas parcelas também não altera o
resultado, mas é necessário considerar a
regra do uso dos parênteses, que significa
que deve-se iniciar a adição a partir do
que está dentro deles. 
Números negativos e positivos: os
números positivos e negativos podem ser
somados, mas existem algumas regras que
devem ser consideradas. Quando os
números possuem sinais diferentes
(negativos e positivos) o resultado
acompanhará o sinal do número maior.
Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11.
Ex.: (-3) + 4 = 1
 Já no caso de dois números negativos, o
resultado também será negativo. 
Ex.: (-8) + (-7) = -15.
A subtração é a operação inversa da
adição, e a divisão é a operação inversa
da multiplicação.
O resultado de uma adição é a soma, e o
resultado de uma subtração é a
diferença.
O resultado de uma multiplicação é o
produto, e o resultado de uma divisão é o
quociente.
As operações básicas em Matemática são os
processos mais elementares realizados entre
números: a adição, subtração, multiplicação
e divisão. Cada uma dessas operações possui
propriedades que podem ser exploradas
para facilitar cálculos.
Uma observação importante ao resolver
operações matemáticas é identificar em qual
conjunto estão os elementos trabalhados.
Considere que, ao longo deste texto, todos os
números são reais.
Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer
número somado a zero terá como
resultado ele mesmo. 
Comutatividade: a ordem de duas
parcelas não altera o resultado final. 
Na adição existe o cálculo de adicionar
números naturais a outros. Essa operação
matemática também é conhecida
popularmente como soma. O resultado final
da adição é chamado de total ou soma e os
números utilizados são as parcelas. O
operador aritmético, ou seja, o sinal que
indica o seu cálculo é o (+). Observe o
exemplo:
 
6 (parcela) + 2 (parcela) = 8 (soma ou total)
As propriedades da adição são:
Ex.: 6 + 0 = 6.
Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10.
Adição
Subtração
A Multiplicação está intimamente relacionada
à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma
de um número pela quantidade de vezes que
deverá ser multiplicado. O símbolo mais
conhecido é o (x), mas muitas pessoas utilizam
o (*) ou (.) para representar essa operação. Os
nomes dados aos seus elementos são fatores e
produtos. 
Multiplicação
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
AS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS
A ordem dos elementos altera o resultado final,
pois não é comutativa. 
Não é associativa; na divisão os parênteses
devem ser resolvidos primeiro. 
Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor
dividido por ele terá como resultado ele mesmo.
Números positivos e negativos: os sinais
interferem no resultado final, sendo assim,
quando forem iguais ele fica positivo, mas
quando forem diferentes ele ficará negativo. 
Nessa operação é possível dividir dois números em
partes iguais. Essa operação tem os seguinteselementos: dividendo, divisor, quociente e resto. O
sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os
sinais (/) ou (:). Observe o exemplo:
31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto)
Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato,
sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de resto. 
As propriedades da divisão são as seguintes:
Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 = 0,25.
Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1
 é diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6.
Ex.: +10 ÷ +5 = +2; -10 ÷ -5 = +2; +10 ÷ -5 = -2.
Comutatividade: a ordem dos fatores não
altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8 e 2 x 4 = 8.
Associatividade: quando tem mais de dois
fatores não importa a sua ordem, pois o
resultado será o mesmo. Ex.: (3 x 5) x 2 =
30 ou 3 x (5 x 2) = 30
Distributividade: quando temos que
multiplicar e somar devemos iniciar o
cálculo pela multiplicação, mesmo que a
soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x
(3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12.
Elemento neutro: número 1, sendo que
qualquer número multiplicado por ele
resultará nele mesmo.
4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto)
Observe que o exemplo também poderia ser
representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16.
As propriedades da Multiplicação são:
Divisão
Exemplo:
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
FRAÇÃO
Própria;
Imprópria;
Aparente;
Mista;
Equivalentes;
Irredutível.
A fração é uma representação de uma
divisão. Na parte de cima dela, escrevemos
quantas partes temos, e na parte de baixo,
escrevemos em quantas partes o todo foi
dividido. O número de cima de uma fração é
conhecido como numerador, e o que está
embaixo é o denominador.
É possível realizar várias operações
envolvendo a fração, como adição,
multiplicação, subtração e divisão. Vale
destacar que, de acordo com as
características que as frações possuem, elas
podem ser classificadas em:
Conhecemos como fração a maneira de
representar uma quantidade por meio de
uma razão, ou seja, uma divisão, entre dois
números. Em uma fração, o número de cima é
conhecido como numerador e o número de
baixo como denominador.
Quando o numerador é menor que o
denominador. Exemplos:
Exemplos de fração
Tipos de Fração
(Lê-se 1 sobre 5.)
(Lê-se 12 sobre 35.)
(Lê-se 29 sobre 6.)
Fração própria
Quando o numerador é maior que o
denominador. Exemplos:
Fração imprópria
Quando a divisão entre o numerador e o
denominador for um número inteiro. Exemplos:
Fração aparente
Todas as três frações são aparentes, pois
sabemos que:
Quando dividimos o numerador pelo
denominador, nos três casos, encontramos um
número inteiro como resposta.
Quando representam a mesma parte em
relação ao todo, ou seja, representam a
mesma quantidade.
Fração equivalentes
1
5
12
35
29
6
1
2
5
11
8
5
11
2
20
18
8
8
12
4
15
3
8 : 8 = 1 
12 : 4 = 3 
15 : 3 = 5 
J O Ã O G U I
S T U D I E S
9
1
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/divisao.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/o-conceito-de-razao.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-inteiros-.htm
Note que as frações e representam a
mesma parte de um objeto, logo, dizemos que
elas são equivalentes. É possível perceber
que, ao multiplicar o numerador e o
denominador da fração por 2, 
encontraremos a fração .
Dada uma fração, existem infinitas frações
equivalentes a ela, e para encontrá-las,
basta multiplicar o numerador e o
denominador pelo mesmo número.
FRAÇÃO
Quando não há nenhum número que divide o
numerador e o denominador ao mesmo tempo.
Dada uma fração, quando é possível dividir o
numerador e o denominador por um mesmo
número, o resultado é uma fração equivalente,
logo, para escrevê-la na forma mais simples
possível, dividimos o numerador e o
denominador por um mesmo número, até que
não exista nenhum número que os divida ao
mesmo tempo. Quando isso acontece,
encontramos uma fração irredutível.
Frações irredutíveis
Encontraremos o menor número que divide 16
e 12 ao mesmo tempo, que, no caso, é o 4.
Assim faremos uma simplificação dessa fração
dividindo por 4 tanto o numerador quanto o
denominador.
É feita por um número inteiro seguido de uma
fração, então escrevemos a parte inteira e a
parte fracionária da quantidade. Exemplo:
Fração mista
Essa fração representa 2 inteiros e 
Chamamos de frações decimais aquelas cujo
denominador é uma potência de 10, ou seja, é
igual a 10 ou 100 ou 1000 e assim por diante.
Alguns exemplos de frações decimais são:
Fração decimais
Então a fração é a forma simplificada da
fração anterior. Note que não há nenhum
outro número diferente de 1 que divide tanto o
4 quanto o 3 ao mesmo tempo, então essa
fração é irredutível. 
Como transformar as frações?
Note, primeiramente, que a representação
consiste em um número à esquerda, parte
inteira, e uma fração própria à direita, parte
fracionária.
Em seguida, lembre-se que a fração é uma
representação alternativa à divisão, usaremos
isso para chegar na fração mista.
Por exemplo: na fração
quando dividimos 12 por 9, obtemos quociente
1 e resto 3. Utilizaremos esses resultados para
fazermos nossa fração mista, o resto ficará na
parte da fracionária e o quociente na parte
inteira.
Frações impróprias em mistas e vice-versa
2
4
4
8
2
4
4
8
16
12
16
12
: 4
: 4 =
4
3
4
3
3
52
3
5
3
10
15
100
4
1000
277
10000
12
9
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
FRAÇÃO
Outro exemplo: a fração
Dividindo 45 por 20 obtemos quociente 2 e
resto 5, logo, temos como resultado:
Frações em números decimais e vice-
versa
Para transformar uma fração em número
decimal, basta fazer a divisão que ela
representa. Por exemplo, a fração
Já notou que 20 dividido por 4 tem o mesmo
resultado que 40 dividido por 8?
Isso ocorre porque essas divisões são todas
equivalentes a divisão de 5 por 1.
Representando por frações teremos:
Como reduzir frações?
O processo inverso é mais simples. Para
escrever o número decimal 1,2 em forma de
fração, note que há apenas um número depois
da vírgula, neste caso, teremos como
denominador o número 1 seguido de um zero,
ou seja:
é a representação da divisão de 3 por 5.
Efetuando tal operação, obtemos 0,6 como
resposta. Deste modo,
Nota-se que o numerador é “igual” ao número
decimal inicial sem a vírgula.
Do mesmo modo, 24,35 possui dois números
depois da vírgula, então o denominador da
fração terá dois zeros depois do 1:
Todas essas frações são redutíveis até a última
fração que é a irredutível (não dá para
reduzi-la).
Para chegar na fração irredutível devemos
reduzir a fração dada até não ser
aritmeticamente possível.
Reduzir é achar os fatores comuns ao
numerador e ao denominador e simplificá-los,
como no exemplo:
Verificamos que 8 era o fator em comum e o
simplificamos, sempre indo de acordo com o
conceito de que frações são divisões (8
dividido por 8 é 1). Vejamos outro exemplo:
Calcular o MMC entre os denominadores;
Trocar os denominadores antigos pelo
MMC;
Dividir o denominador atual pelo
denominador anterior e multiplicar cada
numerador pelos respectivos resultados;
Somar ou subtrair os novos numeradores.
Podemos separar a adição e a subtração de
frações em dois casos. O primeiro deles é
quando os denominadores são iguais, e o
segundo é quando eles são diferentes.
Só podemos somar/subtrair se os
denominadores forem iguais, por isso para
realizar tais operações seguimos o seguinte
método:
Soma e subtração de fração
Operações com frações
45
20
5
202
3
5
= 0,6
3
5
1,2 =
12
10
24,35 =
2435
100
20
4
40
8
5
1 = 5= =
40
8
8 x 5
8 x 1 = 5=
24
60
2 x 12
5 x 12=
2
5=
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/soma
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/subtracao
https://www.preparaenem.com/matematica/adicao-subtracao-fracoes.htm
FRAÇÃO
Com denominadoresiguais: Sabendo que o MMC é igual a 4igual a 40,
então multiplicaremos o numerador e o
denominador das duas frações de modo que o
resultado seja igual a 40.
Na primeira fração, sabemos que 40 : 5 = 8,
então é necessário multiplicar o numerador e
o denominador por 8:
Basta realizar a adição/subtração com os
numeradores da fração e conservar o
denominador. Exemplos:
Na segunda fração, sabemos que 40 : 8 = 5,
então multiplicaremos o numerador e o
denominador por 5:
Agora que encontramos as frações
equivalentes, com os mesmos denominadores,
podemos realizar a soma dos numeradores.
Com denominadores diferentes:
1º caso: denominadores iguais
É necessário encontrar frações equivalentes,
de forma que o denominador delas se iguale,
para isso, deve-se encontrar o mínimo múltiplo
comum (MMC) dos denominadores, como no
exemplo a seguir.
Exemplo 1:
2º caso: quando os denominadores são
diferentes
Note que o denominador é diferente, então é
necessário encontrar o MMC entre 5 e 8.
Como os denominadores são diferentes,
calcularemos o MMC:
Exemplo 2:
Como o MMC é 60, na primeira fração temos
que 60 : 20 = 3, logo, multiplicaremos por 3 o
numerador e o denominador da primeira
fração:
2
3 +
5
3 =
7
3
7
5 -
3
5 =
2
5
3
2 + 5
3 =
3 x 3
6 +
5 x 2
6 =
9
6
10
6
19
6+ =
7
15 - 1
5 =
7 x 1
15 -
1 x 3
15 =
7
15
3
15
4
15- =
1
7 + 5
7 =
5 + 1
7
6
7=
1
9 - 5
9 =
4 - 3
9
1
9=
2
5 + 3
8
5, 8
5, 4
5, 2
5, 1
1, 1
2
2
2
5
2 x 5 = 403
20, 12
10, 6
5, 3
5, 1
1, 1
2
2
3
5
2 x 3 x 5 = 602
2 x 8
=
16
405 x 8
3 x 5
=
15
408 x 5
16
40 + 15
40 =
16 + 15
40
31
40=
11
20 +
5
12
11 x 3
=
33
6020 x 3
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/adicao-e-subtracao-de-numeros-inteiros-.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/fracoes-equivalentes.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm
FRAÇÃO
Na segunda fração, temos que 60 : 12 = 5,
então multiplicaremos o denominador e o
numerador por 5:
Agora que reescrevemos as frações com os
mesmos denominadores, é possível realizar a
subtração.
Perceba que essa fração pode ser
simplificada dividindo por 4 o numerador e o
denominador da resposta. Assim ela ficará
irredutível:
Para multiplicar duas frações, calculamos o
produto entre os numeradores e o produto
entre os denominadores, encontrando uma
nova fração. Exemplo:
Multiplicação de frações
Perceba que, nesse caso, é possível simplificar
a fração encontrada:
Para calcular a divisão entre duas frações,
multiplicamos cruzado, ou seja, o numerador
da primeira fração pelo denominador da
segunda, e o denominador da primeira pelo
segundo numerador. Exemplo:
Calcularemos a divisão
Divisão de frações
Rascunho
5 x 5
=
25
6012 x 5
33
60 - 25
60 =
8
60
60
8
=
2
15
: 4
: 4
5
12 x 3
4 =
5 x 3
12 x 4
15
48
=
15
3
=
2
15
: 3
: 3
3
5 : 2
7
3
5 x 2
7 =
3 x 7
5 x 2
21
10
=
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
PORCENTAGEM
Suponha que uma turma de 20 alunos de um
sexto ano possua exatamente 10 alunas do
sexo feminino. O percentual de alunas do
sexo feminino, nesta turma, é de 50%. Existem
diversas formas de determinar essa taxa, uma
delas é escrever a razão entre o número de
alunas e o total de alunos na turma (o número
total sempre será o denominador dessa
fração) e encontrar a fração equivalente a
ela com denominador igual a 100.
Porcentagem é uma razão entre dois números
com base 100. Seu símbolo principal é %.
Podemos representar uma porcentagem ou
uma taxa percentual de três maneiras distintas,
sem qualquer perda de valor. Por exemplo,
dada a porcentagem 10%, podemos realizar
sua leitura como 10 porcento, o que equivale a
10 por cem ou à fração , que, por sua vez, é
equivalente a 0,1, pois, dividindo o numerador
pelo denominador, encontramos o quociente
0,1. Em resumo, podemos afirmar que:
Nas porcentagens, 0% indica nada e 100%
indicam a totalidade. Por exemplo, 100% dos
alunos de uma turma de sexto ano do ensino
fundamental têm mais de cinco anos de
idade. Entretanto, 0% dos alunos dessa
mesma turma têm mais de 20 anos de idade.
O uso correto das porcentagens envolve, de
certa forma, a comparação entre
quantidades. Portanto, para saber qual é a
taxa percentual de determinado número, é
preciso saber dentro de que população esse
número se encontra e qual o total de
elementos dessa população.
Representação percentual
Analogamente, temos outros exemplos de
porcentagens:
Outro método é usar regra de três. Para isso,
lembre-se de que o valor total sempre será
igual a 100%.
Ainda podemos fazer certas associações
para tentar descobrir “de cabeça” algumas
porcentagens mais fáceis. Na porcentagem
acima, note que exatamente metade da
turma é composta por alunas. Assim, metade
dos 100% dessa turma é feminina, o que
corresponde, portanto, a 50%.
A melhor forma de determinar uma
porcentagem, ou de encontrar um número
que foi relacionado a uma porcentagem, é
usando regra de três. Para isso, basta
lembrar-se de que o valor total sempre é
igual a 100%.
Exemplo: queremos descobrir qual é a
porcentagem de pessoas que prefere sorvete
de morango e, em nossa pesquisa, de 250
pessoas entrevistadas, 150 disseram gostar
desse sabor. Para descobrir a porcentagem
de pessoas que responderam gostar do
sorvete com sabor de morango, basta fazer:
Regra de três e porcentagem
10% = 10 = 0,1
 100
50% = 50 = 0,5
 100
22% = 22 = 0,22
 100
30% = 30 = 0,3
 100
0,5% = 0,5 = 0,005
 100
10 x 5 = 50
20 x 5 = 100
150 = x
250 100 
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/fracoes-equivalentes.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/tres-erros-comuns-na-regra-tres.htm
PORCENTAGEM
250x = 150·100 
250x = 15000 
x = 15000
250
x = 60 
20 = x
100 250
100x = 20·250 
100x = 5000 
x = 50 
x é a porcentagem que queremos descobrir e
relaciona-se a 150 pessoas. 250 é o total de
pessoas e está relacionado a 100%. Utilizando
a propriedade fundamental das proporções,
teremos:
A porcentagem ou taxa percentual de
pessoas que gostam de sorvete de morango é
60%.
Por outro lado, suponha que 20% das pessoas
entrevistadas disseram gostar de sorvete de
chocolate. Quantas pessoas preferem esse
sabor?
Também usaremos regra de três para resolver
esse tipo de problema. Lembrando que 250
pessoas são equivalentes a 100% dos
entrevistados dessa pesquisa:
Portanto, 50 pessoas gostam de sorvete de
chocolate.
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DÍZIMAS PERIÓDICAS
DEFINIÇÃO
?
É considerada assim quando possui somente
parte inteira e o período, que vem depois da
vírgula.
2,444…
2→ parte inteira
4 → período
0,14141414…
0 → parte inteira
14 → período
5 → parte inteira
43 → período
As dízimas periódicas são números que têm
parte decimal periódica e infinita. Ao
representar uma dízima periódica na sua
forma decimal, a sua parte decimal é infinita
e sempre possui um período, ou seja, um
número que se repete de forma contínua.
Uma dízima periódica pode ser representada
na forma de uma fração. Quando dividimos o
numerador de uma fração pelo denominador,
encontramos a representação decimal do
número, se essa representação decimal for
uma dízima periódica, a fração é conhecida
como fração geratriz da dízima.
Existem dois tipos de dízimas periódicas, as
simples, quando existe somente o período na
parte decimal, e as compostas, quando a sua
parte decimal tem período e o antiperíodo.
Quando um número tem infintas casas
decimais, existem maneiras diferentes de
representá-lo. Além da representação em
fração, a representação decimal de uma
dízima periódica pode ser feita de duas
maneiras. Em uma delas colocamos
reticências ao final do número, na outra,
colocamos uma barra acima doperíodo da
dízima, ou seja, a barra fica acima dos
números que se repetem no período.
Representação da dízima periódica
Existem dois tipos de dízima periódica, a
simples, quando em sua parte decimal existe
apenas o período, e a composta, quando a
sua parte decimal é composta pelo período
e pelo antiperíodo.
Tipos de dízima periódica
Dízima periódica simples
É considerada assim quando tem um
antiperíodo, ou seja, uma parte não
periódica depois da vírgula.
2,11595959…
2 → parte inteira
11 → antiperíodo
59 → período
12,003333…
12 → parte inteira
00 → antiperíodo
3 → período
0 → parte inteira
43 → antiperíodo
98 → período
 
Dízima periódica composta
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/fracoes.htm
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Utilizando o mesmo exemplo para encontrar
a dízima periódica pelo método prático,
precisamos entender como se encontra o
numerador e o denominador na fração.
Exemplo: 12,333…
Encontraremos a parte inteira e o período:
12 → parte inteira
3 → período
Calculamos a diferença entre o número
composto pela parte inteira com o período e
o número formado só pela parte inteira, ou
seja:
123 – 12 = 111
Esse será o numerador da dízima.
Para encontrar o denominador da dízima,
basta acrescentar um algarismo 9 para cada
número no período. Como só há um número
no período nesse exemplo, então o
denominador será 9.
Tendo, desse modo, como fração geratriz da
dízima a fração:
As dízimas periódicas são consideradas
números racionais, logo, toda dízima
periódica pode ser representada por meio
de uma fração. A fração que representa a
dízima periódica é conhecida como fração
geratriz. Para encontrar a fração geratriz,
podemos utilizar equação ou o método
prático.
Primeiro encontraremos a fração geratriz de
dízimas periódicas simples.
Encontre a fração geratriz da dízima 12,333…
1º passo: identificar parte inteira e parte
periódica.
Parte inteira: 12
Parte periódica: 3
2º passo: igualar a dízima a uma incógnita.
Faremos x = 12,333…
3º passo: multiplicar a dízima por 10 para
que o período apareça na parte inteira.
(Observação: se houver dois números no
período, multiplicamos por 100, se houver três,
por 1000, e assim sucessivamente.)
x = 12,333…
10x = 123,333…
4º passo: agora faremos a diferença entre
10x e x.
Fração geratriz Método prático para encontrar a geratriz
de dízimas periódicas simples
10x - x = 123,333... - 12,333...
9x = 111
x = 111
9
x = 111
9
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-racionais.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/multiplicacao.htm
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Quando o período é composto, encontrar a
fração geratriz é um pouco mais trabalhoso.
Existem também os dois métodos, ou seja,
equação ou método prático.
Vamos encontrar a fração geratriz da dízima
5,23444…
1º passo: identificar parte inteira, período e
antiperíodo.
5 → parte inteira
23→ antiperíodo
4 → período
2º passo: igualar a dízima a uma incógnita.
X = 5,23444...
3º passo: agora vamos multiplicar por 10
para cada número que houver no
antiperíodo e para cada número que houver
no período:
Antiperíodo = 23, há dois números no antiperíodo.
Período = 4, há um número no período.
 
X = 5,23444...
1000x = 5234,44...
4º passo: multiplicar x por 10 para cada
número no antiperíodo.
Como há dois números no antiperíodo, então
multiplicaremos x por 100.
 
x = 5,23444...
100x = 523,444…
Agora é possível calcular a diferença entre
1000x e 100x
Fração geratriz de uma dízima periódica
composta
Encontraremos a fração geratriz da dízima
5,234444… pelo método prático.
Primeiro identificamos a parte inteira, o
antiperíodo e o período:
5 → parte inteira
23 → antiperíodo
4 → período
Para encontrar o numerador, calculamos a
diferença entre o número gerado com parte
inteira, antiperíodo e período, sem a vírgula,
e o número gerado pela parte inteira e o
antiperíodo, ou seja:
5234 – 523 = 4711
Para encontrar o denominador, vamos
analisar primeiro o período; para cada
número no período, acrescentamos um 9 no
denominador. Depois disso, vamos olhar o
antiperíodo; para cada número no
antiperíodo, acrescentamos um 0 antes do 9.
No exemplo há apenas um número no
período (acrescentamos um 9) e dois no
antiperíodo (acrescentamos 00).
Então o denominador será 900, encontrando,
assim, a fração geratriz da dízima:
Método prático para encontrar a geratriz
de uma dízima composta
1000x - 100x = 5234,444... - 523,444...
900x = 4711
x = 4711
900
x = 4711
900
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/equacoes-inequacoes.htm
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
DEFINIÇÃO
?
O expoente será positivo se o número
representava uma quantidade muito
grande e a vírgula foi deslocada da
direita para a esquerda, diminuindo o
valor do número.
O expoente será negativo se o número
representava uma quantidade muito
pequena e a vírgula foi deslocada da
esquerda para direita.
Há dois casos para o expoente: ele pode ser
negativo ou positivo.
5.420.000.000 m
 
Quando a vírgula não aparece, ela está no
final do número, logo, ela será deslocada da
direita para a esquerda, diminuindo o
número. Então, nesse caso, em notação
científica, colocaremos a vírgula entre 5 e 4,
e deslocaremos 9 casas. Assim, esse número
em notação científica será:
5,42 · 10 m
0,000.000.000.000.000.000.012 kg
 
Nesse caso, a vírgula vai ser deslocada da
esquerda para a direita, diminuindo o
número, e ficará entre 1 e 2, deslocando 20
casas. Como o deslocamento foi da esquerda
para a direita, então o expoente será
negativo, assim, a representação desse
número em notação científica será:
1,2 · 10 kg
N um número real igual ou maior que 1 e
menor que 10;
n um número inteiro.
A notação científica é uma forma de escrever
números usando potência de 10. É utilizada
para reduzir a escrita de números que
apresentam muitos algarismos.
Números muito pequenos ou muito grandes
são frequentemente encontrados nas ciências
em geral e escrever em notação científica
facilita fazer comparações e cálculos.
Um número em notação científica apresenta
o seguinte formato:
N . 10n
Sendo,
a) 6 590 000 000 000 000 = 6,59 . 10^15
b) 0, 000000000016 = 1,6 . 10^- 11
1º passo: deslocar a vírgula do número, de
modo que ele se torne um número decimal
com apenas um número diferente de zero
em sua parte inteira.
2º passo: escrever o produto entre o
número encontrado anteriormente e uma
potência de base 10.
3º passo: contar a quantidade de casas
que a vírgula deslocou para definir o
expoente da potência de base 10.
Para a representação de um número em
notação científica, é necessário seguir alguns
passos:
Como colocar um número em notação
científica?
Observação
ax10b
Exemplo:
Exemplo:
9
-20
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Para fazer operações entre números escritos
em notação científica é importante revisar as
operações com potenciação.
A multiplicação de números na forma de
notação científica é feita multiplicando os
números, repetindo a base 10 e somando os
expoentes.
Para dividir números na forma de notação
científica devemos dividir os números, repetir
a base 10 e subtrair os expoentes.
Para efetuar a soma ou a subtração com
números em notação científica devemos
somar ou subtrair os números e repetir a
potência de 10. Por isso, para fazer essas
operações, é necessário que as potências de
10 apresentem o mesmo expoente.
Operações com notação científica
ax10b
Multiplicação
Divisão
Soma e subtração
Rascunho
a) 1,4 . 10 x 3,1 . 10 = (1,4 x 3,1) . 10 = 4,34 . 10
b) 2,5 . 10 x 2,3 . 10 = (2,5 x 2,3) . 10 = 5,75 . 10
3 2 (3 + 2) 5
-8 6 ( - 8 + 6)-2
a) 9,42 x 10 : 1,2 x 10 = (9,42 : 1,2) x 10 = 7,85 x 10
b) 8,64 x 10 : 3,2 x 10 = (8,64 : 3,2) x 10 = 2,7 x 10
5 2 (5 - 2) 3
-3 6 ( - 3 - 6) -9
a) 3,3 . 10 + 4,8 . 10 = (3,3 + 4,8) . 10 = 8,1 . 10
b) 6,4 . 10 - 8,3 . 10 = (6,4 - 8,3) . 10 = - 1,9 . 10
8 8 8 8
3 3 3 3
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos
quociente q = 65 e resto r = 5. Assim, temos o
dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que
as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5
+ 8) = 528 é divisível por 8 e: 
528 = 8 · 66
 Os conceitos de múltiplos e divisores de um
número natural estendem-se para o conjunto
dos números inteiros. Quando tratamos do
assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a
conjuntos numéricos que satisfazem algumas
condições. Os múltiplos são encontrados após
a multiplicação por números inteiros, e os
divisores são números divisíveis por um certo
número. 
 Devido a isso, encontraremos subconjuntos
dos números inteiros, pois os elementos dos
conjuntos dos múltiplos e divisores são
elementos do conjunto dos números inteiros.
Para entender o que são números primos, é
necessário compreender o conceito de
divisores. 
Propriedade 1: A diferença entre o
dividendo e o resto (N – r) é múltipla do
divisor, ou o número d é divisor de (N – r). 
Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo
de d, ou seja, o número d é um divisor de
(N – r + d). 
Essas propriedades estão relacionadas à
divisão entre dois inteiros. Observe que
quando um inteiro é múltiplo de outro, é
também divisível por esse outro número. 
Considere o algoritmo da divisão para que
possamos melhor compreender as
propriedades. 
N = d · q + r, em que q e r são números
inteiros. 
Lembre-se de que N é chamado de
dividendo; d, de divisor; q, de quociente; e r,
de resto. 
Propriedade dos múltiplos e divisores
Verifique quais são os números primos
entre 2 e 20. Para isso, vamos fazer a lista
dos divisores de todos esses números entre
2 e 20. 
Os números primos são aqueles que possuem
como divisor em sua listagem somente o
número 1 e o próprio número. Para verificar se
um número é primo ou não, um dos métodos
mais triviais é fazer a listagem dos divisores
desse número. Caso apareça números a mais
que 1 e o número em questão, este não é
primo. 
Números Primos
Exemplo:
D(2) = {1, 2} 
D(3) = {1, 3} 
D(4) = {1, 2, 4} 
D(5) = {1, 5} 
D(6) = {1, 2, 3, 6} 
D(7) = {1, 7} 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
D(9) = {1, 3, 9} 
D(10) = {1, 2, 5, 10} 
D(11) = {1, 11} 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(13) = {1, 13} 
D(14) = {1, 2, 7, 14} 
D(15) = {1, 3, 5, 15} 
D(16) = {1, 2, 4, 16} 
D(17) = {1, 17} 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
D(19) = {1, 19} 
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para saber se um número é múltiplo de outro
devemos dividir o múltiplo pelo número e a
divisão deve ser exata (resto igual a zero).
Assim, os números primos entre 2 e 20 são: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19} 
Observe que o conjunto é de alguns dos
primeiros primos, essa lista continua. Veja que
quanto maior é o número, mais difícil torna-se
dizer se ele é primo ou não." 
Os múltiplos de um número são obtidos
multiplicando o número por um fator. Este
fator, por sua vez, é também divisor do
múltiplo encontrado. 
6 é um múltiplo de 2, pois 2 x 3 = 6 
2 é um divisor de 6, pois 62 = 3 
Quando um número é múltiplo de outro é o
mesmo que dizer que o primeiro é divisível
pelo último. No nosso exemplo 6 é múltiplo de
2 e, portanto, é divisível por 2, ou seja, 2 é
divisor de 6. 
Sendo assim, os múltiplos de um número
podem ser obtidos multiplicando-o por 1, 2, 3,
4, 5… Logo, os múltiplos de um número são
infinitos. 
Já os divisores de um número são aqueles
cuja divisão tem como resultado um número
inteiro, ou seja, a divisão é exata.
Múltiplos de 2
Exemplo:
Múltiplos de um número
b é o múltiplo
a é um número natural
k é um número natural qualquer
Podemos representar a fórmula geral para
encontrar o múltiplo de um número como:
Onde,
Observe a seguir o conjunto dos múltiplos de
alguns números quando k varia de 0 a 10.
Como saber se um número é múltiplo de outro?
A divisão é a operação inversa da
multiplicação. Se 72 é divisível por 6, então
72 é múltiplo de 6.
Divisores de um número
Um número é divisor do outro quando não há
resto na divisão. Observe os exemplos.
Veja que na divisão de 40 por 5 não há resto,
ou seja, a divisão é exata e, portanto, 5 é
divisor de 40. No outro exemplo restam 5
unidades após a divisão, então 7 não é
divisor de 40.
Confira alguns exemplos de divisores de
números naturais.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
O conjunto dos divisores de um número é
finito e vai do 1 ao próprio número, ao
contrário dos múltiplos que são infinitos.
Observe que alguns números só possuem dois
divisores: 1 e o próprio número. Esses números
são chamados de números primos. São
exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17 e 19.
Para ajudar a reconhecer se um número é
divisor de outro existem os critérios de
divisibilidade. Conheça alguns a seguir.
Divisibilidade por 2
20 : 2 = 10
32 : 2 = 16
44 : 2 = 22
56 : 2 = 28
68 : 2 = 34
Todo número par, ou seja, terminados em 0, 2,
4, 6 e 8 possuem o 2 como divisor.
Exemplo:
Divisibilidade por 3
120 : 3 = 40 ( 1+2+0 = 3, que é divisível
por 3)
2451 : 3 = 817 (2+4+5+1 = 12, que é
divisível por 3)
65283 : 3 = 21761 (6+5+2+8+3 = 24, que
é divisível por 3)
Se a soma dos algarismos de um número é
divisível por 3, então 3 é divisor do número.
Exemplo:
Divisibilidade por 5
Os números que apresentam 0 ou 5 no
algarismo das unidades possuem o 5 como
divisor.
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
FATORAÇÃO
Uma maneira muito fácil de se visualizar
operações algébricas, principalmente a
fatoração, é transformando os números em
comprimentos e áreas. Essa técnica foi muito
utilizada pelos gregos. Um exemplo simples é
o seguinte:
Visualização do quadrado perfeito
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2
Área do quadrado vermelho: b2
Área do quadrado rosa: a⋅b
Área do quadrado verde: a⋅b
Área do quadrado marrom: a2
Área do quadrado grande: (a+b)⋅(a+b)=
(a+b)2. 
Perceba que área do quadrado grande
(vermelho) pode ser vista como a soma das
várias áreas menores.
Portanto, temos facilmente a fórmula do
quadrado perfeito:
 
 ( a+b )2=a2+2 ⋅a ⋅b+b2
a • x + a • y = a • (x + y) 
Propriedades Distribuitivas
(a + b) = a + 2 • a • b + b
Quadrado da Soma
2 2 2
(a - b) = a - 2 • a • b + b
Quadrado da Diferença
2 2 2
a - b = (a + b) • (a - b)
Diferença de Quadrados
2 2
(a + b) = a + 3 • a • b + 3 • a • b + b
Cubo da Soma
3 3 2 2 3
(a - b) = a - 3 • a • b + 3 • a • b - b
Cubo da Diferença
3 3 2 2 3
a + b = (a + b) • (a - a • b + b)
Soma de Cubos
3 2 23
a - b = (a - b) • (a + a • b + b)
Diferença de Cubos
3 2 23
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/quadrado
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/soma
DEFINIÇÃO
?
MDC
O máximo divisor comum, mais conhecido
como MDC, é o maior número que divide dois
ou mais números. Encontrar o MDC ajuda a
resolver algumas situações-problema do
nosso cotidiano. Para calculá-lo, podemos
escrever a lista de divisores de cada um dos
números e comparar ou podemos usar o
método de decomposição desses números em
fatores primos, também conhecido como
decomposição simultânea.
O máximo divisor comum entre dois ou mais
números, como o nome sugere, é o maior
divisor que divide simultaneamente esses
números. Para calcular o MDC, é bastantecomum que se recorra à fatoração, que
facilita o processo, mas podemos
simplesmente comparar os divisores dos
números envolvidos.
Como calcular o MDC?
2º passo: conhecendo as fatorações, vamos
encontrar cada um dos fatores em comum
desses números.
36 = 2 · 2 · 3 · 3
45 = 3 · 3 · 5
3º passo: determinar o MDC, que é o produto
(multiplicação) dos fatores que eles possuem
em comum.
MDC (36, 45) = 3 · 3
MDC (36, 45) = 9
Isso significa que o maior número que é
divisor de 36 e de 45 ao mesmo tempo é o 9.
Método da comparação
Encontre o MDC de 18 e 12.
Por comparação, vamos escrever os divisores
de 18 e os divisores de 12.
D( 18 ) = { 1 , 2 , 3 ,6 ,9 , 18}
D ( 12 )= { 1 , 2 , 3 ,4 ,6 , 12}
 
Existem alguns divisores em comum, que são
os números {1,2,3,6}. O MDC é o maior deles.
MDC (12,18) = 6
Acontece que escrever os divisores dos
números pode tornar-se uma tarefa bastante
trabalhosa, por isso uma alternativa é usar a
decomposição em fatores primos.
Encontre o MDC entre 45 e 36.
1º passo: decompor cada um dos números.
Exemplo:
Exemplo:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
2 X 2 X 3 X 3 = 45
45
15
5
1
3
3
5
3 X 3 X 5 = 45
Decomposição simultânea
O caminho mais rápido para encontrar o
MDC entre dois números é a decomposição
simultânea, conhecida também como
fatoração simultânea. Diferentemente do que
fizemos na decomposição anterior, vamos
decompor ao mesmo tempo os números para
os quais desejamos calcular o MDC.
Calcule o MDC de (48, 84).
 
1º passo: realizar a decomposição de ambos
os números e encontrar os fatores que os
dividem simultaneamente.
Exemplo:
48, 84
24, 42
12, 21
6, 21
3, 21
1, 7
1, 1
2
2
2
2
3
7
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://escolakids.uol.com.br/matematica/operacao-da-divisao.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/fatorando-um-numero-natural.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/fatoracao-simultanea-para-encontrar-o-mdc-e-o-mmc.htm
MDC
2º passo: realizar a multiplicação entre os
fatores em comum.
MDC (48,84) = 2 · 2 · 3 = 12
No cálculo do MDC, existem alguns casos em
que não há necessidade de se realizar a
decomposição, pois, se conhecermos a
propriedade, já sabemos qual é o MDC.
Propriedades do MDC
1ª propriedade
Exemplo:
O MDC entre dois números consecutivos é
sempre igual a 1.
MDC (102, 103) = 1
Quando isso acontece, dizemos que os
números são primos entre si, pois eles não
possuem nenhum fator em comum.
2ª propriedade
Quando temos dois ou mais números e um
deles é divisor dos demais, então ele será o
MDC.
 
MDC (4,12,16 )
Sabemos que o 4 é divisor de 12 e de 16,
então:
MDC(4,12,16) = 4
Exemplo:
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
MMC
O mínimo múltiplo comum, conhecido também
como MMC, é o menor número inteiro
diferente de zero que é múltiplo de dois ou
mais números ao mesmo tempo. Para calculá-
lo, podemos fazer a lista dos múltiplos de
cada um dos números até encontrar o
primeiro múltiplo em comum, ou realizar as
divisões sucessivas dos dois números
simultaneamente e multiplicar os quocientes.
Quando temos dois ou mais números inteiros
positivos, é possível listar os múltiplos desses
números. Ao realizarmos essa listagem, vamos
perceber que existem mais de um múltiplo em
comum, ou seja, múltiplos que aparecem ao
mesmo tempo em todas as listas desses
números dados. Veja o exemplo.
Múltiplo comum
MMC (12, 15)
Vamos escrever a lista de múltiplos de cada
um dos números até encontrar o primeiro
múltiplo em comum entre eles que seja
diferente de zero.
M (12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60…}
M(15) = {0,15, 30, 45, 60….}
Perceba que o 60 é múltiplo tanto de 12
quanto de 15, sendo, portanto, um múltiplo em
comum. Existem mais múltiplos em comum
entre 12 e 15, mas nosso interesse é encontrar
o menor deles, que no caso é o 60. Desse
modo, temos que:
MMC (12,15) = 60
O outro método é a fatoração.
Primeiramente realizamos divisões sucessivas
para encontrar os fatores desses números e,
em seguida, multiplicamos esses fatores.
Listagem dos 10 primeiros múltiplos dos
números 2, 8, 10.
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Podemos ver mais de um múltiplo comum
entre os números. Perceba que, entre os M (2)
e M (8), temos em comum os números 8, 16,
24...; entre M (2) e M (10), temos os números
10, 20, 30, ...; entre M (8) e M (10), temos os
números 40, 80, ... 
Esses números são chamados de múltiplos
comuns.
Exemplo:
15, 12
15, 6
15, 3
5, 1
1, 1
2
2
3
5
Para encontrar o MMC de dois números, há
vários métodos, mas dois são mais usuais. O
primeiro deles é a comparação dos múltiplos
de cada um dos números. Escrevemos a lista
de múltiplos de cada um deles até encontrar
um que seja comum aos dois números. Esse
processo pode ser interessante para números
pequenos, mas se torna cada vez mais
trabalhoso quando o número é maior.
Como calcular o MMC
2 X 2 X 3 X 3 = 45
Exemplo:
Exemplo:
Método 1:
Método 2:
MMC (48, 84)
M(48) = {0, 48, 96, 144, 192, 240, 288, 336 ...}
M(84)= {0, 84, 169, 252, 336...}
 
Então, o MMC (48, 84) = 336.
48, 84
24, 42
12, 21
6, 21
3, 21
1, 7
1, 1
2
2
2
2
3
7
2 X 2 X 2 X 2 x 3 x 7 = 336
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/divisao.htm
MMC
Existem algumas propriedades importantes
do MMC que podem facilitar, quando
aplicadas, as operações.
Propriedades do MMC
Quando dois números são primos entre si, ou
seja, não possuem nenhum número diferente
de 1 que divida os dois ao mesmo tempo, o
MMC desses números é o produto entre eles.
MMC (14, 9)
Note que os divisores de 14 são D(14) ={1,2,7},
e os divisores de 9 são {1,3}. Sendo assim, não
existe nenhum divisor em comum entre esses
números, logo:
MMC (14,9) = 14 × 9
Exemplo:
1ª propriedade
Quando o maior número é divisível pelo
menor, então o MMC é o maior deles.
MMC (6, 18)
M (6) = {0, 6, 12 , 18...}
M(18) = {0, 18 ….}
MMC (6, 18) = 18
 
Exemplo:
2ª propriedade
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-primos-.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/multiplicacao.htm
DEFINIÇÃO
?
POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma operação matemática
que representa a multiplicação sucessiva de
um número por ele mesmo. Ao multiplicar o 3
por ele mesmo 4 vezes, isso pode ser
representado pela potência 3 elevada a 4:
34.
Essa operação possui propriedades
importantes que facilitam o cálculo das
potências. Assim como a multiplicação possui
a divisão como operação inversa, a
potenciação possui a radiciação como
operação inversa.
Cada elemento da potenciação recebe um
nome específico:
Saber ler uma potência é uma tarefa
importante. A leitura é sempre feita
começando pelo número que está na base
elevado ao número que está no expoente,
como nos exemplos a seguir:
a) 4³ → Quatro elevado a três, ou quatro
elevado à terceira potência, ou quatro
elevado ao cubo.
b) 3^4 → Três elevado a quatro, ou três
elevado à quarta potência.
c) (-2)¹ → Menos dois elevado a um, ou menos
dois elevado à primeira potência.
d) 8² → Oito elevado a dois, ou oito elevado
à segunda potência, ou oito elevado ao
quadrado.
As potências de expoente 2 podem ser
chamadas também de potências elevadas ao
quadrado, e as potências de grau 3 podem
ser chamadas de potências elevadas ao
cubo, como nos exemplos anteriores.
Como ler uma potência?
a = bc
a → base
n→ expoente
b→ potência
Para encontrar o valor de uma potência,
precisamos realizar as multiplicações como nos
exemplos a seguir:
a) 3²= 3 · 3 = 9
b) 5³= 5·5·5 = 125
c) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000
Cálculo de potências
1º caso – Quando a base for diferentede
zero, podemos afirmar que todo número
elevado a zero é igual a 1.
2º caso - Todo número elevado a 1 é ele
mesmo.
3º caso - 1 elevado a qualquer potência é
igual a 1.
4º caso - Base de uma potenciação
negativa. Quando a base é negativa,
separamos em dois casos: quando o
expoente for ímpar, a potência será
negativa; quando o expoente for par, a
resposta será positiva.
Note que o expoente 3 é ímpar, logo a
potência é negativa.
Note que o expoente 4 é par, por isso a
potência é positiva.
Existem alguns tipos específicos de potência.
a) 100=1
b) 12930=1
c) (-32)0=1
d) 80=1
a) 9¹ = 9
b) 12¹ = 12
c) (-213)¹= - 213
d) 0¹ = 0
a) 1²¹ = 1
b) 1³ = 1
c) 1500=1
a) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 
b) (-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 
Tipos de potência
an
Exemplo:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://escolakids.uol.com.br/matematica/multiplicacao.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/par-ou-impar.htm
POTENCIAÇÃO
Para calcular a potência com expoente
negativo, escrevemos o inverso da base e
trocamos o sinal do expoente.
Potência com expoente negativo
Para calcular a potência com expoente
negativo, escrevemos o inverso da base e
trocamos o sinal do expoente.
Propriedades da potenciação
Exemplo:
1ª propriedade
Divisão de potências de mesmo base
Quando encontramos uma divisão de
potência de mesma base, conservamos a
base e subtraímos os expoentes.
a) 3 : 3 = 3 = 3
b) 2 : 2 = 2 = 2 
 
Exemplo:
2ª propriedade
Potência de potência
Ao calcular a potência de uma potência,
podemos conservar a base e multiplicar os
expoentes.
 
 
a) (5²)³ = 5 = 5
b) (3 ) = 3 = 3 
Exemplo:
3ª propriedade
Potência de um produto
Quando há uma multiplicação de dois
números elevada a um expoente, podemos
elevar cada um desses números ao expoente.
 
a)(5 · 7)³ = 5³ · 7³
b)( 6·12) = 6 · 12
Exemplo:
4ª propriedade
Potência do quociente
Para calcular potências de um quociente ou
até mesmo de uma fração, o modo de
realizar é muito parecido com a quarta
propriedade. Se há uma divisão elevada a
um expoente, podemos calcular a potência
do dividendo e do divisor separadamente.
 
a) (8:5)³ = 8³ : 5³
Exemplo:
5ª propriedade
an
a) 4 = 
-2 ( 1
4 )
2
b) (-3) = - 
-3 ( )1
3
3
( )5
7
-6 ( )7
5
6
c) = 
Multiplicação de potências de mesma base
Ao realizarmos uma multiplicação de
potências de mesma base, conservamos a
base e somamos os expoentes.
a) 2 · 2 = 2 = 2 
b) 5 · 5 · 5 = 5 = 5 
4 3 4+3 7
3 5 2 3+5+2 10
7 5 27-5
3 6 3-6 -3
2x3 6
5 4 5x4 20
8 8 8
b) (7:6)² = 7² : 6²
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://escolakids.uol.com.br/matematica/potencias-com-expoente-negativo.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/potencias-com-expoente-negativo.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/o-que-e-fracao.htm
DEFINIÇÃO
?
RADICIAÇÃO
A radiciação é uma operação matemática
que possui várias aplicações, dominá-la é
importante para resolver-se problemas
envolvendo potenciação, já que essas
operações são inversas.
Calcular a raiz enésima de um número x é
encontrar qual número que, elevado a n, é
igual a x. A radiciação possui propriedades
importantes que servem para facilitar as
contas e realizar simplificações de radicais.
Para realizar operações com radiciação, é
importante o domínio de cada uma das suas
propriedades e compreender o significado
de cada um dos seus termos.
Para representar a raiz de um número,
utilizamos um símbolo conhecido como
radical (√ ), a raiz de um número qualquer é
representada pela seguinte operação:
√ → radical
a→ radicando
b→ raiz
n→ índice
Observação: quando n = 2, chamamos de
raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o
número 2 no índice torna-se opcional.
Representação de uma radiciação
Radiciação e potenciação
Para calcular-se a raiz de um número, é
fundamental entender que a radiciação é a
operação inversa da potenciação, então
dominar potenciação é essencial para
calcular-se a raiz de um número.
Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar
que ela é igual a b, ou seja:
estamos dizendo que, quando calculamos bn,
encontramos o número representado pela
letra a. Portanto é essencial entender que
quando se fala que um número é raiz enésima
de um outro número, isso significa que a raiz
elevada ao índice é igual ao radicando.
Exemplo:
As propriedades da radiciação são meios
para facilitar-se o cálculo de problemas que
envolvem tal operação. Existe um total de
sete propriedades, e dominar cada uma
delas é de grande importância para
resolução de problemas sobre o tema.
Propriedades da radiciação
A raiz enésima de um número a elevado a n é
igual ao próprio número a, ou seja,
calculando a raiz de um número cujo o índice
da raiz é igual ao expoente do radicando,
encontraremos como resposta o próprio
radicando.
Exemplo:
1ª propriedade
A raiz enésima do produto é igual ao produto
de duas raízes enésimas. Se o radicando for o
produto entre dois números, podemos separar
como a multiplicação da raízes enésimas de
cada uma de suas parcelas.
Exemplo:
2ª propriedade
A raiz enésima de uma divisão é igual ao
quociente entre duas raízes enésimas. Se o
radicando for uma divisão entre dois números,
podemos separar como a raiz enésima do
dividendo, dividido pela raiz enésima do
divisor.
Exemplo:
3ª propriedade
√a = bn
√9 = 32 3 = 92
√16 = 24 2 = 164
√a = an n
√a x b = √a x √bn n n
 a = √an
n
a = √b√ n
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/potenciacao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-dos-radicais.htm
RADICIAÇÃO
Quando estamos trabalhando com um valor
que não possui uma raiz exata, podemos
fazer a simplificação desse radical. Para isso,
é necessário algum método para decompor o
número em fatores primos.
Simplificação de radicais
Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o
índice da raiz, desde que a mesma operação
seja feita com o expoente do radicando.
Exemplo:
4ª propriedade
Quando encontramos a raiz de uma raiz,
podemos multiplicar seus índices e
representar essa operação com um único
radical.
Exemplo:
5ª propriedade
A potência de uma raiz enésima pode ser
reescrita como a raiz enésima do radicando
elevada a essa potência.
Exemplo:
6ª propriedade
A raiz enésima pode ser transformada em
uma potência com expoente racional. O
índice da raiz corresponde ao denominador,
e o expoente da base corresponde ao
numerador:
Exemplo:
7ª propriedade
Exemplo:
360|2→ 2 é o menor número primo que divide
360;
180|2→ 2 é o menor número primo que divide
180;
90|2 → 2 é o menor número primo que divide
90;
45|3 → 3 é o menor número primo que divide
45;
15|3 → 3 é o menor número primo que divide
15;
5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5.
Escreva na forma simplificada a raiz quadrada
de 360.
Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o
método das divisões sucessivas.
 
Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz
quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em
2, logo, podemos reescrever 360 como:
360 = 2² · 2 · 3² · 5
Assim, podemos reescrever a raiz de 360,
utilizaremos a primeira propriedade para
simplificar a raiz quadrada, o que significa que
os termos que estão elevados ao quadrado
sairão do radical, e os que não estão
permanecem dentro do radical:
√a = √bn m nxk mxk
√a = √am nxm√
n
(√a) = √am k n k
√a = an m m/n
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/fatoracao-numerica.htm
RADICIAÇÃO
A adição e a subtração de dois radicais são
operações que, muitas vezes, são feitas de
forma errada. Acontece que não podemos
somar ou subtrair o radicalde uma raiz com
o radical de outra, ainda que o índice seja o
mesmo:
√2 + √3 ≠ √5
 
Na busca por não cometer esse erro, o que
deve ser feito é deixar representada a
adição como no primeiro membro da
equação. Vale lembrar que se trata de raízes.
Realizar a soma ou a subtração de duas
raízes e representá-las de forma mais simples
só é possível se estivermos falando da mesma
raiz, por exemplo:
√2 + √2 = 2√2
 
Nesse caso sempre somaremos os
coeficientes, ou seja, o número que
acompanha a raiz, lembrando que não se
pode somar o radicando de cada uma delas.
Quando necessário, podemos simplificar as
raízes para que elas tenham os mesmos
radicandos, e aí sim realizar a operação:
√72 - √50
Sabemos que
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
72 = 2² · 2 · 3²
 
e também podemos reescrever o 40 como:
50 = 2 · 5 · 5
50 = 2 · 5²
 
Então teremos:
Operações com radicais
Adição e subtração Para realizar a multiplicação, é necessário
que o índice seja o mesmo para todas as
raízes. Quando isso ocorre, acabamos
recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente
nesses casos é possível realizar-se a
operação.
Multiplicação e divisão
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
PROGRESSÕES (PA E PG)
r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
A progressão aritmética – PA é uma
sequência de valores que apresenta uma
diferença constante entre números
consecutivos.
A progressão geométrica – PG apresenta
números com o mesmo quociente na divisão
de dois termos consecutivos.
Enquanto na progressão aritmética os termos
são obtidos somando a diferença comum ao
antecessor, os termos de uma progressão
geométrica são encontrados ao multiplicar a
razão pelo último número da sequência,
obtendo assim o termo sucessor.
Confira a seguir um resumo sobre os dois
tipos de progressões.
Uma progressão aritmética é uma sequência
formada por termos que se diferenciam um
do outro por um valor constante, que recebe
o nome de razão, calculado por:
r = a2 - a1
 
Onde,
Sendo assim, os termos de uma progressão
aritmética podem ser escritos da seguinte
forma:
Note que em uma PA de n termos a fórmula
do termo geral (an) da sequência é:
an = a1 + (n – 1) r
Alguns casos particulares são: uma PA de 3
termos é representada por (x - r, x, x + r) e
uma PA de 5 termos tem seus componentes
representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x +
2r).
Progressão aritmética (PA)
Tipos de PA
Constante: quando a razão for igual a
zero e os termos da PA são iguais.
Crescente: quando a razão for maior que
zero e um termo a partir do segundo é
maior que o anterior;
Decrescente: quando a razão for menor
que zero e um termo a partir do segundo
é menor que o anterior.
De acordo com o valor da razão, as
progressões aritméticas são classificadas em
3 tipos:
Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0
Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2
Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2
As progressões aritméticas ainda podem ser
classificadas em finitas, quando possuem um
determinado número de termos, e infinitas, ou
seja, com infinitos termos.
Soma dos termos de uma PA
A soma dos termos de uma progressão
aritmética é calculada pela fórmula:
Onde, n é o número de termos da sequência,
a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo.
A fórmula é útil para resolver questões em
que é dado o primeiro e o último termo.
Quando um problema apresentar o primeiro
termo e a razão da PA, você pode utilizar a
fórmula:
Essas duas fórmulas são utilizadas para somar
os termos de uma PA finita.
Termo médio da PA
Para determinar o termo médio ou central de
uma PA com um número ímpar de termos
calculamos a média aritmética com o
primeiro e último termo (a1 e an):
(a1 +an) . n
2
s n =
n . [2a1 + (n - 1) r]
2
s n =
a1 + an
2
a m =
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
á o termo médio entre três números
consecutivos de uma PA corresponde a média
aritmética do antecessor e do sucessor.
Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) determine a
razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PA
r = a2 - a1
r= 4 - 2
r = 2
2. Termo médio
3. Soma dos termos
Uma progressão geométrica é formada
quando uma sequência tem um fator
multiplicador resultado da divisão de dois
termos consecutivos, chamada de razão
comum, que é calculada por:
Onde,
q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Uma progressão geométrica de n termos
pode ser representada da seguinte forma:
Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da
PG é calculado por a1.q(n-1).
a1 + a7
2
am =
2 + 14
2
am =
(a1 + an) . n
2
sn =
(2 + 14) . 7
2
sn =
112
2
= = 56
a1
a2q =
A soma dos termos de uma progressão
geométrica é calculada pela fórmula:
Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum
e n o número de termos.
Se a razão da PG for menor que 1, então
utilizaremos a fórmula a seguir para
determinar a soma dos termos.
Essas fórmulas são utilizadas para uma PG
finita. Caso a soma pedida seja de uma PG
infinita com 0 < q < 1 , a fórmula utilizada é:
PROGRESSÕES (PA E PG)
Tipos de PG
Crescente: com a razão q > 1 e termos
positivos ou, 0 < q < 1 e termos negativos;
Decrescente: com a razão q > 1 e termos
negativos ou, 0 < q < 1 e os termos
positivos;
Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os
termos são números negativos e positivos;
Constante: a razão é sempre igual a 1 e
os termos possuem o mesmo valor.
De acordo com o valor da razão (q),
podemos classificar as Progressões
Geométricas em 4 tipos:
Exemplos:
PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.
PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3
Exemplo:
PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3
PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3
Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde
q = - 2
Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1
Soma dos termos de uma PGProgressão geométrica (PG)
am = 8
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
1. Razão da PG
2. Termo médio
3. Soma dos termos
Para determinar o termo médio ou central de
uma PG com um número ímpar de termos
calculamos a média geométrica com o
primeiro e último termo (a1 e an):
Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) determine a
razão, o termo médio e a soma dos termos.
PROGRESSÕES (PA E PG)
Termo médio da PG Resumo das fórmulas de PA e PG
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDAS
As unidades de medidas são formas de
quantificar diferentes grandezas físicas. Por
exemplo: litro (l), mililitro (ml) e decalitro
(dal) são unidades de volume utilizadas nos
cálculos de volume do cone e do cilindro. 
São consideradas grandezas físicas todos os
fenômenos, substâncias ou corpos que
possam ser mensuráveis quantitativamente.
Além das unidades de comprimento, existem
outras unidades de medida que seguem o
padrão estabelecido pelo Sistema
Internacional de Unidades (SI). 
Confira os principais exemplos abaixo:
Grandezas
Unidades
de
medida
básica
Símbolos
Massa Quilogra
ma
kg
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin k
Corrente
elétrica
Ampére A
Substância ou
matéria
Mol mol
Intensidade
luminosa
Candela cd
A necessidade de medir e quantificar é bem
antiga e remete ao surgimento das primeiras
civilizações. Inicialmente, cada povo tinha o
seu sistema de medidas e isso criava alguns
problemas comerciais, pois as unidades de
medida variavam conforme a região.
O cúbito, por exemplo, era uma medida
utilizada pelas egípcios que consistia na
distância do cotovelo até a ponta do dedo
médio da mão. Já o palmo tinha como
referência os quatro dedos da mão abertos e
equivaliam à sétima parte do cúbito.
Com a formação dos Estados Nacionais
europeus, consequentemente, houve a
instituição de um idioma nacional, criação de
um sistema monetário e também
padronização de pesos e medidas, com o
objetivo de facilitar as trocas comerciais.
Paralelamenteao evento da Revolução
Francesa foi proposto novo tipo de
comprimento, baseado em medições do arco
de meridiano compreendido entre
Dunquerque e Barcelona. Em 1798, esse
projeto ficou conhecido como Sistema Métrico
Decimal.
Em 1960 foi consolidado pela 11ª Conferência
Geral de Pesos e Medidas, o Sistema
Internacional de Unidades (SI), um projeto
mais complexo e sofisticado. Na tabela do
início do texto há algumas grandezas bases e
suas respectivas unidades básicas. 
No Sistema Internacional de Unidades, foram
definidas sete principais grandezas, sendo
elas: comprimento (m), massa (kg), tempo (s),
corrente elétrica (A), temperatura
termodinâmica (K), quantidade de substância
(mol[12]), e intensidade luminosa (cd). A partir
dessas unidades, se derivaram as demais.
Grandezas base e unidades de medida
As grandezas derivadas são originadas a
partir das grandezas fundamentais,
estabelecidas pelo SI. Cada grandeza, além
das unidades básica possuem outras unidades
maiores (múltiplos) e unidades menores
(submúltiplos). Confira abaixo alguns grupos:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/volume-do-cone
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/cilindro
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/historia/revolucao-francesa
GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDAS
Unidades de medida de comprimento
Nome Símbolo Valor
Quilômetro km 1.000 m
Hectômetro hm 100 m
Decâmetro dam 10 m
Metro m 1 m
Decímetro dm 0,1 m
Centímetro cm 0,01 m
Mil ímetro mm 0,001 m
Unidades de medida de massa
Nome Símbolo Valor
Quilograma kg 1.000 g
Hectograma hg 100 g
Decagrama dag 10 g
Grama g 1 g
Decigrama dg 0,1 g
Centigrama cg 0,01 g
Mil igrama mg 0,001 g
Unidades de capacidade
Nome Símbolo Valor
Quilolitro kl 1.000 l
Hectolitro hl 100 l
Decalitro dal 10 l
Litro l 1 l
Decilitro dl 0,1 l
Centilitro cl 0,01 l
Mililitro ml 0,001 l
Unidades de medida de área
Nome Símbolo Valor
Quilômetro ² km² 1.000.000 m²
Hectômetro ² hm² 10.000 m²
Decâmetro ² dam² 100 m²
Metro ² m² 1 m²
Decímetro ² dm² 0,01 m²
Centímetro ² cm² 0,0001 m²
Milímetro ² mm² 0,000001 m²
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDAS
Unidades de medida de tempo
O tempo é medido a partir de diferentes unidades, em várias escalas e com diversos propósitos.
Nome Símbolo Equivale a
Mês - 28 a 31 dias
Dia d 24 h
Hora h 60 mim
Minuto min 60 s
Segundo s 1 s
Microssegundo us 0,001 s
Unidades de volume
Nome Símbolo Valor
Quilômetro cúbico km³ 1.000.000.000 m³
Hectômetro cúbico hm³ 1.000.000 m³
Decâmetro cúbico dam³ 1.000 m³
Metro cúbico m³ 1 m³
Decímetro cúbico dm³ 0,001 m³
Centímetro cúbico cm³ 0,000001 m³J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDAS
Regras de conversão
As unidades de medida de capacidade, comprimento, massa podem ser convertidas em
múltiplos e submúltiplos através de um único método. Para fazer a conversão de uma unidade
para outra inferior, basta fazer uma multiplicação por 10, mas se objetivo é converter para outra
superior, basta fazer um divisão por 10. Exemplo:
1 km = 1 x 10 hm = 10 hm
1 mm = 1/10 cm = 0,1 cm
Já as grandezas de área e volume, cada unidade é, respetivamente, 100 (10²) e 1.000 (10³) vezes
maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplo:
1 km² = 1 x 100 hm² = 100 hm²
1 mm³ = 1 / 1000 / 1000 dm³ = 0,000001 dm³
A conversão entre unidades de velocidade mais comum relaciona metros por segundo (m/s) com
quilômetros por hora (km/h). Para realizarmos essa conversão, basta multiplicar a velocidade
por 3,6 para transformá-la de metros por segundo para quilômetros por hora.
Referência Velocidade Normal Velocidade Inglesa Velocidade da Luz
m/s (metro por segundo) 3,6 km/h 2,23693629 mph/h 100° C
Unidades de velocidade
No Brasil, a principal unidade de velocidade é km/h (quilômetros por hora) e na Inglaterra
mp/h (milha por hora). Conheça a proporção entre essas unidades:
Unidades de temperatura
Ponto de fusão da água Ponto de ebulição da água
Celsius 0º C 100º C
Fahrenheit 32 º F 212 º F
Kelvin 273,15 º K 373,15º K
As principais unidades de temperatura em graus são: Celsius, Fahrenheit, Kelvin, Rankine,
Réaumur, Romer, Newton e Delisle. As três primeiras são as mais utilizadas e para fazer o
comparativos entre elas, os pontos de fusão e ebulição da água são a base do cálculo.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
MÉDIA, MODA E MEDIANA
Substituindo na fórmula, teremos:
M = (x1 + x2 + x3 + … + xn) /n
M = (8+11+14+20 +27) / 5
M = 80/5 = 16
Percebe-se que o quociente da média
aritmética não integra os elementos do
conjunto. Isso acontece porque o cálculo
serve para encontrar a medida de
centralidade, que reúne valores baixos e
altos. 
Além disso, a soma da média com os
componentes do conjunto deve resultar em
zero. A comprovação dessa regra é dada
por: 
(x1 – M) + (x2 – M) + (x3 – M) + (x4 – M) +
(x5 – M) = 
( 8 – 16) + (11 – 16 ) + (14 – 16 ) + (20 – 16) +
(27 – 16) = 
( - 8) + ( - 5) + ( - 2) + 4 + 11 =
(- 15) + 15 = 0
Média, moda e mediana são dados da
Estatística usados para simplificar um conjunto
de informações em único elemento, que são
chamados de medidas de tendência central.
Esses números permitem que certos valores
quantitativos sejam representados por um dado
central e encontrados através de conjuntos
finitos e infinitos. 
Conhecida como média aritmética simples, é
a operação em que todos os dados de um
determinado conjunto são somados e
divididos pelo valor total de membros
encontrados, ou seja:
M = (x1 + x2 + x3 + … + xn) /n
Sendo,
• M: média
• x: os valores quantitativos
• n: quantidade de elementos do conjunto
A média entre {8, 11, 14, 20, 27}, por exemplo,
é feita da seguinte maneira:
• x1: 8
• x2: 11
• x3: 14
• x4: 20
• x5: 27
• n: 5, pois são cinco componentes dentro do
conjunto.
Média 
A Moda (Mo) é o valor que mais aparece
dentro de um conjunto quantitativo. Com isso,
para identificá-la, é necessário encontrar a
frequência de determinados dados.
Entre as medidas de centralidade, a moda é
uma das poucas que podem ser aplicadas em
variados conjuntos (estimativas com nomes,
cores, roupas, etc.). Para tal, basta calcular o
termo de maior presença.
Moda
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/media-aritmetica
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/estatistica
MÉDIA, MODA E MEDIANA
Através da média aritmética simples é
possível determinar a média ponderada (Mp)
– método que inclui os pesos dos valores
quantitativos.
O cálculo matemático é dado pela soma dos
produtos da multiplicação de uma medida
com o seu respectivo peso e, em seguida, a
divisão do resultado pela soma dos pesos.
A tabela abaixo mostra uma relação de
notas. Então, a média ponderada será:
Mp = (6.3) + (7,3. 2) + (9.2) / 3+2+2
Mp = 18 + 14,6 + 18 / 7 
Mp = 50,6/ 7 = 7, 23
Notas Pesos
Prova 1 6 3
Prova 2 7,3 2
Prova 3 9 2
Já o conjunto C apresenta 6 membros, ou
seja, um número par. Assim, a mediana será a
razão entre a soma de duas medidas centrais
(3° e 4° elementos):
Md = 11 +14 / 2 
Md = 25/2 = 12,5
Confirma-se que os dois elementos da
esquerda (2 e 5) são realmente menores que
a mediana calculada, e os da direita são
maiores (17 e 20).
Como a sequência acima já apresenta formato
crescente, o próximo passo é identificar a
idade de maior frequência: 2 jogadores têm 19
anos, outros 2 têm 23 anos e 3 deles
apresentam 21 anos.
Portanto, a moda do time de futebol é 21 anos
(Mo = 21).
Os valores quantitativos devem ser
arrumados em ordem crescente.
Quando a quantidade de elementos
forma um conjunto par, a mediana é o
resultado da soma de duas medidas
centraisdivididas por dois, isto, é: (xm +
xn) / 2.
Quando a quantidade de elementos
forma um conjunto ímpar, a mediana é o
valor que separa os lados maiores e
menores do próprio conjunto.
1° passo: colocar os valores em ordem
crescente:
A Mediana (Md) significa a medida central
de um conjunto de dados. O seu cálculo
depende de certas regras. Confira:
Dado os conjuntos:
T = {10, 1, 4, 12, 15, 6, 8}
C = {5, 11, 2, 17,14, 20}
T = {1,4,6,8,10,12,15}
C = {2,5,11,14,17,20}
Observa-se que o conjunto T é formado por 7
componentes, ou seja, um número ímpar. Com
isso, a mediana será o 4° elemento, uma vez
que separa as partes maiores e menores do
conjunto. 
Logo, Md = 8
Mediana
Média, Moda e Mediana: valor ponderado
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
ENEM
G E O M E T R I A 
PARA O
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
S U M Á R I O
Ponto;
Reta;
Plano;
Espaço:
Ângulos notáveis:
Plano Cartesiano;
Sólidos geométricos;
Semelhança de triângulos;
Teorema de pitágoras;
Teorema de Tales;
Perímetro, área e volume;
Quadriláteros Notáveis
Cilindros;
Cones:
Trigonometria no Triângulo Retângulo.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
PONTO
?
RETA
?
PLANO
?
ESPAÇO
?
ÂNGULO
?
GEOMETRIA BÁSICA
O ponto não possui forma nem dimensão. Isso
significa que o ponto é um objeto
adimensional. Um dos usos mais importantes
do ponto refere-se à localização
geográfica. Os pontos são os objetos que
melhor representam as localizações porque
oferecem precisão. Se, no lugar de ponto,
usássemos um quadrado, em que lugar do
quadrado estaria a localização
precisamente?
As retas são conjuntos de pontos que não
fazem curvas. Elas são infinitas para as duas
direções. Como esses pontos não estão no
mesmo lugar, é possível medir a distância
entre eles. Entretanto, como os pontos
continuam não tendo dimensão ou forma,
não é possível medir sua largura. Sendo
assim, dizemos que a reta possui apenas uma
dimensão ou que é unidimensional.
A figura a seguir mostra a tentativa de
desenhar um quadrado sobre uma reta. Note
que a maior parte do quadrado “não cabe”
na reta. Por essa razão, é necessário definir
um novo local onde ele possa ser desenhado.
O plano é um conjunto de retas alinhadas e,
portanto, também é um conjunto de pontos.
O objeto formado por esse alinhamento de
retas é uma superfície plana que não faz
curva e infinita para todas as direções.
Em um plano, é possível desenhar figuras que,
além de comprimento, possuem largura. A
figura abaixo mostra um cubo sobre um
plano. Note que a base do cubo, que é um
quadrado e possui duas dimensões, encaixa-
se perfeitamente no plano. Todavia, a
profundidade desse sólido não é
contemplada.
O espaço é o local onde toda a Geometria
conhecida até o Ensino Médio acontece. É
formado pelo alinhamento de planos, que
são colocados lado a lado até preencher
todo o espaço. Ele é infinito para todas as
direções e contém todas as figuras e formas
geométricas planas e tridimensionais.
Como é formado por planos, o espaço
envolve a terceira dimensão, necessária
para conter todo o cubo da figura anterior. É
na terceira dimensão que são construídas
figuras que possuem largura, comprimento e
profundidade."
Existem duas definições atribuídas à palavra
ângulo: a primeira refere-se a um conjunto
de pontos situado entre duas semirretas de
mesma origem; e a segunda diz respeito à
medida entre esses dois segmentos de reta.
Sendo assim, ângulos são valores numéricos
que representam uma abertura. O mínimo
que essa medida pode assumir é zero e sua
unidade de medida é o grau.
Quando duas semirretas formam um ângulo
de 0° (zero grau), não existe abertura entre
elas e sua representação gráfica coincide
com a de uma única semirreta. Quando duas
semirretas estão em sua abertura máxima,
cuja medida é 360°, a imagem formada
também é uma única semirreta, mas com um
ângulo partindo dessa semirreta e dando a
volta em sua origem.
Para compreender melhor, observe a
imagem abaixo: à esquerda, um ângulo de
0° e, à direita, um ângulo de 360°.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/retas.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/retas.htm
GEOMETRIA BÁSICA
Qualquer ângulo entre 0° e 360° terá uma
forma parecida com o que encontramos na
imagem a seguir:
Nessa figura, observe que a origem das
semirretas é o ponto O.
Para representar ângulos, podemos usar
letras minúsculas, letras gregas minúsculas ou
a mesma letra que representa a origem, mas
que deve ser maiúscula e com acento
circunflexo (Ô).
Como medir ângulos
A régua serve para medir linhas retas que
possuem início e fim. Perceba que os ângulos
não podem ser medidos com réguas ou
qualquer objeto usado para medir
comprimento. Observe na figura a seguir uma
tentativa de medir o ângulo de 60° com uma
régua:
Note que, quanto mais longe da origem a
medida é feita, maior é o resultado
encontrado. Na verdade, ângulos possuem
medidas circulares e, por isso, precisam de
um objeto circular para que sua medida seja
realizada:
Para medir um ângulo, coloque seu vértice (a
origem dos segmentos de reta) no centro do
transferidor de modo que um dos segmentos
de reta aponte para zero. Geralmente, há
um ponto que indica o local onde essa
origem deve ser colocada. Depois disso,
basta observar para onde aponta o outro
segmento de reta no transferidor:
Note que há duas sequências de números no
transferidor: uma no sentido horário e outra
no sentido anti-horário. Para que a medida
fique correta, se o zero escolhido for o do
sentido horário, o ângulo para o qual
apontará a segunda semirreta estará no
mesmo sentido.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Ângulo raso: Assim como o ângulo reto,
também há um valor exclusivo para os
ângulos rasos. Os ângulos rasos possuem
medida igual a 180°, que equivale a meia
volta de círculo.
Ângulo giro: O ângulo giro também possui
valor único, e equivale a 360°.
DEFINIÇÃO
?
Ângulo raso: ângulo que mede 180°, que é
metade da abertura máxima que um
ângulo pode ter. Os ângulos rasos fazem
com que as semirretas formem uma única
reta.
Ângulo reto: ângulo de 90°, que é
metade de um ângulo raso e um quarto
da abertura total que um ângulo pode
ter. O ângulo reto pode ser observado em
encontros de parede com o solo, em
quinas de mesas, janelas etc.
Ângulos de 30°, 45° e 60°. Esses ângulos
não possuem nome especial, mas são
encontrados com frequência na natureza
e nas construções humanas.
São os mais comuns no cotidiano e acabam
facilitando os cálculos matemáticos que os
envolvem. São eles:
Classificação dos ângulos
Ângulo agudo: Os ângulos agudos são
todos aqueles que possuem valor entre 0
e 90°.
Ângulo reto: O ângulo reto possui valor
igual a 90°. Note que, enquanto os
ângulos agudos possuem toda uma faixa
de valores, no caso do ângulo reto o valor
é exclusivo, ou seja, o ângulo será reto se,
e somente se, sua medida seja de 90°.
Ângulo obtuso: Os ângulos obtusos estão
compreendidos na faixa que varia entre
90 e 180° (exclusivamente).
Quanto a classificação dos ângulos, vamos
realiza-las de duas maneiras diferentes: a
primeira acontece para os ângulos
separadamente, enquanto a segunda ocorre
para pares de ângulos.
Isoladamente, podemos classificar os ângulos
em cinco categorias diferentes: agudo, reto,
obtuso, raso e giro.
Classificação dos ângulos
Além da classificação isolada dos
ângulos, podemos classifica-los também
através de seus pares, que ocorrem na
grande maioria das vezes. Podemos
classificar os ângulos em
complementares, suplementares e
replementares.
Ângulos complementares: Os ângulos
complementares são aqueles que
somados resultam em 90° (como 30 e
60°, por exemplo).
Ângulos suplementares: Já os ângulos
suplementaresos ângulos que somados
equivalem a 180° (120 e 60°, por
exemplo).
Ângulos replementares: Por fim, temos os
ângulos replementares, que são aqueles
que somados resultam em 360°.
Desta forma, percebemos que a
classificação e identificação dos ângulos
ocorre de maneira bem simples. No entanto,
realizar esta identificação pode ser a chave
para a resolução de diversos exercícios de
matemática e física no Enem e também em
outros vestibulares.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano é formado por duas retas
reais perpendiculares, ou seja, o ângulo entre
elas é de 90°. Essas retas determinam um
único plano, que é denominado com sistema
ortogonal de coordenadas cartesianas ou
somente plano cartesiano.
No ano de 1637, René Descartes teve a
brilhante ideia de relacionar álgebra e
geometria, dando início à conhecida
geometria analítica, método que possibilita
descrever a geometria utilizando uma menor
quantidade de diagramas e desenhos.
Apesar de os créditos dessa descoberta
serem dados a Descartes, Pierre de Fermat já
conhecia e utilizava alguns conceitos de
geometria analítica, logo o plano cartesiano.
Para que serve um plano cartesiano?
O plano cartesiano é um sistema de
coordenadas desenvolvido por René
Descartes. Esse sistema de coordenadas é
formado por duas retas perpendiculares,
chamadas de eixos cartesianos. Esses eixos
determinam um único plano, assim, é possível
determinar a localização no sistema de
coordenadas de todo os pontos e,
consequentemente, de qualquer objeto
formado por esses pontos que estejam nesse
plano.
Desse modo, perceba que é possível
representar pontos ou objetos utilizando
somente suas coordenadas, isto é, não é
necessário construir um desenho de um
objeto, basta somente expressar suas
coordenadas.
Muitos problemas da Matemática só
puderam ser resolvidos graças a essa
concepção, como para calcular a distância
entre dois pontos ou calcular a área de um
triângulo. Esses assuntos são a base da
geometria analítica, que é, por sua vez, a
base para desenvolver o cálculo diferencial
e integral.
Como se faz um plano cartesiano?
O plano cartesiano é formado por duas retas
reais em que o ângulo entre elas é de 90°, ou
seja, elas são perpendiculares. Essas retas
são chamadas de eixos. Assim, há o eixo
horizontal, que é chamado de eixo das
abscissas, e o eixo vertical, que é o eixo das
ordenadas.
Perceba que as retas perpendiculares
dividem o plano em quatro regiões, que são
chamadas de quadrantes – isso porque as
duas retas perpendiculares dividem o plano
em quatro regiões.
Vamos representar os quadrantes no sentido
anti-horário. Veja:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/o-que-e-plano.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-triangulo-2.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/angulos.htm
PLANO CARTESIANO
Note as relações entre os valores dos eixos x
(abscissas) e y (ordenadas). No 2º
quadrante, o valor da abscissa é sempre
menor que o valor da ordenada, ou seja, x <
y. No 4º quadrante, o valor da abscissa é
sempre maior que o valor da ordenada,
assim, x > y.
Nos quadrantes ímpares, 1º e 3º, já não
podemos afirmar alguma relação, pois neles
podemos ter abscissas maiores, menores ou
iguais aos valores das ordenadas.
Ponto em um plano cartesiano
P (x, y)
x → à Abscissa
y → à Ordenada
Um ponto qualquer do plano cartesiano é
indicado a partir de suas coordenadas, que
são representadas por um par ordenado, ou
seja, um ponto é formado por um conjunto de
dois números que possui uma ordem a ser
seguida (ordenado). A notação do par
ordenado ou ponto P é:
Assim, para localizar um ponto, basta marcar
o valor no eixo das abscissas e, em seguida,
o valor no eixo das ordenadas. Depois trace
uma reta perpendicular aos pontos x e y
encontrados. O local onde essas retas
perpendiculares se encontram é onde ponto
P está.
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/pares-ternos-ordenados.htm
DEFINIÇÃO
?
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais, possuem largura, comprimento e altura, e
podem ser classificados entre poliedros e não poliedros (corpos redondos).
Os elementos principais de um poliedro são: faces, arestas e vértices. Cada poliedro possui sua
representação espacial e sua representação planificada (planificação de sólido geométrico).
Os nomes dos sólidos geométricos são dados, geralmente, a partir de sua característica
determinante. Seja em relação ao número de faces que o compõe, seja como referência a
objetos conhecidos no cotidiano.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Faces - cada um dos lados do sólido.
Arestas - segmentos de reta que unem os lados do sólido.
Vértices - pontos de união das arestas.
Os poliedros são compostos por três elementos fundamentais:
Os poliedros possuem três elementos: arestas, vértices e lados.
A classificação dos sólidos está relacionada ao número de lados e ao polígono de sua base. Os
sólidos mais comuns trabalhados na geometria são os sólidos regulares.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Pirâmides
As pirâmides são poliedros caracterizados por possuir uma base poligonal no plano e apenas um
vértice fora do plano. Seu nome é representado pelo polígono que serve de base, os exemplos
mais comuns são:
V: volume da pirâmide
Ab: Área da base
h: altura
Fórmula do volume da pirâmide:
V = 1/3 Ab x h
Prismas
Os prismas são caracterizados por serem poliedros com duas bases congruentes e paralelas,
além das faces planas laterais. Os exemplos mais comuns são:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/prisma/
Os chamados não-poliedros são sólidos geométricos que apresentam como característica
fundamental ao menos uma superfície curva.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Sólidos Platônicos
Os sólidos platónicos são poliedros regulares em que suas faces são formadas por polígonos
regulares e congruentes.
Não-Poliedros
Dentre os corpos redondos, sólidos
geométricos que possuem uma superfície
curva, os principais exemplos são:
Corpos Redondos
Esfera
Superfície curva contínua equidistante a um
centro.
Cilindro
Bases circulares unidas por uma superfície
circular de mesmo diâmetro.
Volume da Esfera
Volume do Cilindro
Cone
Base circular com um único vértice fora da
base.
Volume do Cone
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Planificação de Sólidos Geométricos
A planificação é a representação de um sólido geométrico (tridimensional) em um plano
(bidimensional). Deve-se pensar no desdobramento de suas arestas e na forma que o objeto
assume no plano. Para isso, deve-se levar em consideração o número de faces e arestas.
Um mesmo sólido pode possuir diversas formas de planificação.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
Os lados a e e, b e g, c e f são homólogos,
sendo assim, temos as seguintes proporções:
Onde k é a razão de proporcionalidade.
=
a
e =
b
g
c
f k=
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando
possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes (mesma medida) e os lados
correspondentes proporcionais. Usamos o
símbolo ~ para indicar que dois triângulos
são semelhantes.
Para saber quais são os ladosproporcionais,
primeiro devemos identificar os ângulos de
mesma medida. Os lados homólogos
(correspondentes) serão os lados opostos a
esses ângulos.
Razão de Proporcionalidade
Como nos triângulos semelhantes os lados
homólogos são proporcionais, o resultado da
divisão desses lados será um valor constante.
Esse valor é chamado de razão de
proporcionalidade.
Considere os triângulos ABC e EFG
semelhantes, representados na figura abaixo:
Casos de Semelhança
1º Caso: Dois triângulos são semelhantes
se dois ângulos de um são congruentes a
dois do outro. Critério AA (Ângulo,
Ângulo).
2º Caso: Dois triângulos são semelhantes
se os três lados de um são proporcionais
aos três lados do outro. Critério LLL (Lado,
Lado, Lado).
3º Caso: Dois triângulos são semelhantes
se possuem um ângulo congruente
compreendido entre lados proporcionais.
Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).
Para identificar se dois triângulos são
semelhantes, basta verificar alguns
elementos.
Teorema Fundamental da Semelhança
Quando uma reta paralela a um lado de um
triângulo intersecta os outros dois lados em
pontos distintos, forma um triângulo que é
semelhante ao primeiro.
Na figura abaixo, representamos o triângulo
ABC e a reta r paralela ao lado de BC.
Observando a figura, notamos que os ângulos
são congruentes, assim como os ângulos , pois
a reta r é paralela ao lado . Assim, pelo
critério AA, os triângulos ABC e ADE são
semelhantes.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Os triângulos que possuem um ângulo igual a
90º são chamados de triângulos retângulos.
O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado
hipotenusa e os outros dois lados são
chamados de catetos.
No triângulo representado abaixo, o lado a
é a hipotenusa e b e c são os catetos.
Ao traçar a altura relativa à hipotenusa,
dividimos o triângulo retângulo em dois
outros triângulos retângulos. Conforme figura
abaixo:
Observando os medidas dos ângulos desses
três triângulos, percebemos que eles são
semelhantes, ou seja:
Usando as proporções entre os lados,
determinamos as seguintes relações:
Essas relações são muito importantes e são
chamadas de relações métricas no triângulo
retângulo.
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/
DEFINIÇÃO
?
TEOREMA DE PITÁGORAS
O Teorema de Pitágoras relaciona o
comprimento dos lados do triângulo
retângulo. Essa figura geométrica é formada
por um ângulo interno de 90°, chamado de
ângulo reto.
O enunciado desse teorema é:
"A soma dos quadrados de seus catetos
corresponde ao quadrado de sua
hipotenusa."
Fórmula do teorema de Pitágoras
Segundo o enunciado do Teorema de
Pitágoras, a fórmula é representada da
seguinte maneira:
a 2 = b 2 + c 2
Sendo,
a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto
Veja a seguir três exemplos de aplicações do
teorema de Pitágoras para as relações
métricas de um triângulo retângulo.
Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4
cm como medidas dos catetos, qual a
hipotenusa desse triângulo?
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo
retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os
outros dois lados são os catetos. O ângulo
formado por esses dois lados tem medida
igual a 90º (ângulo reto).
Identificamos ainda os catetos, de acordo
com um ângulo de referência. Ou seja, o
cateto poderá ser chamado de cateto
adjacente ou cateto oposto.
Quando o cateto está junto ao ângulo de
referência, é chamado de adjacente, por
outro lado, se está contrário a este ângulo, é
chamado de oposto.
a ² = b ² + c ²
a ² = 4 ² + 3 ²
a ² = 1 6 + 9
a ² = 2 5
a = √ 2 5
a = 5
Portanto, os lados do triângulo retângulo são
3 cm, 4 cm e 5 cm.
Exemplo 2: calcular a medida de um dos
catetos
Determine a medida de um cateto que faz
parte de um triângulo retângulo, cuja
hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16
cm.
a ² = b ² + c ² => b ² = a ² - c ²
b ² = 2 0 ² - 1 6 ²
b ² = 4 0 0 - 2 5 6
b ² = 1 4 4
b = √ 1 4 4
b = 1 2
Portanto, as medidas dos lados do triângulo
retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
TEOREMA DE PITÁGORAS
Exemplo 3: comprovar se um triângulo é
retângulo
Um triângulo apresenta os lados com
medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se
é um triângulo retângulo?
Para provar que um triângulo retângulo é
verdadeiro as medidas dos seus lados devem
obedecer ao Teorema de Pitágoras.
Como as medidas dadas satisfazem o
teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado
da hipotenusa é igual a soma do quadrado
dos catetos, então podemos dizer que o
triângulo é retângulo.
5, 12 e 13
7, 24, 25
20, 21 e 29
12, 35 e 37
É interessante notar que, os múltiplos desses
números também formam um terno
pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos
por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12
e 15 que também formam um terno
pitagórico.
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade
de outros ternos. Como exemplo, podemos
citar:
Triângulo Pitagórico
Quando as medidas dos lados de um
triângulo retângulo são números inteiros
positivos, o triângulo é chamado de triângulo
pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são
denominados de “terno pitagórico” ou “trio
pitagórico”. Para verificar se três números
formam um trio pitagórico, usamos a relação
a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é
representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a
hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4
e o cateto menor igual a 3.
Observe que a área dos quadrados
desenhados em cada lado do triângulo
relacionam-se tal como o teorema de
Pitágoras: a área do quadrado no lado
maior corresponde à soma das áreas dos
outros dois quadrados.
Quem foi Pitágoras?
Descoberta dos números irracionais;
Propriedades dos números inteiros;
MMC e MDC.
Segundo a história Pitágoras de Samos (570
a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático
grego que fundou a Escola Pitagórica,
localizada no sul da Itália. Também
chamada de Sociedade Pitagórica, incluía
estudos de Matemática, Astronomia e
Música.
Embora as relações métricas do triângulo
retângulo já fossem conhecidas pelos
babilônicos, que viveram muito antes de
Pitágoras, acredita-se que a primeira
demonstração que esse teorema se aplicava
a qualquer triângulo retângulo tenha sido
feita por Pitágoras.
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas
mais conhecidos, importantes e utilizados na
matemática. Ele é imprescindível na
resolução de problemas da geometria
analítica, geometria plana, geometria
espacial e trigonometria.
Além do teorema, outras importantes
contribuições da Sociedade Pitagórica para
a Matemática foram:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
https://www.todamateria.com.br/pitagoras/
DEFINIÇÃO
?
=
AB
BC
DE
EF
TEOREMA DE TALES
O teorema de Tales é aplicado na
geometria plana e demonstra que há
proporcionalidade em um feixe de retas
paralelas cortadas por retas transversais a
elas. Ele foi demonstrado pelo matemático
Tales de Mileto, que provou essa
proporcionalidade entre os segmentos de
reta formados entre retas paralelas e retas
transversais. A partir dessa relação de
proporção, é possível descobrir o valor
desses segmentos, tornando o teorema de
Tales uma ferramenta importante para o
cálculo de medidas.
De acordo com a semelhança de triângulos
podemos afirmar que: o triângulo ABC é
semelhante ao triângulo AED. É representado
da seguinte forma:
Δ ABC ~ Δ AED
Exemplo: determine a medida x indicada na
imagem.
Fórmula do teorema de Tales
Para compreender melhor o teorema de
tales, observe a figura abaixo:
Na figura acima as retas transversais u e v
interceptam as retas paralelas r, s e t. Os
pontos pertencentes na reta u são:A, B e C;
e na reta v, os pontos: D, E e F. Logo, de
acordo com o Teorema de Tales:
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está
para EF.
Teorema de Tales nos triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em
situações que envolvem triângulos. Veja
abaixo um exemplo em que se aplica o
teorema:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/geometria-plana.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/feixe-retas-paralelas-cortadas-por-uma-transversal.htm
https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/
https://www.todamateria.com.br/retas-paralelas/
DEFINIÇÃO
?
PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME
Perímetro, área e volume são cálculos que
equivalem às medidas das figuras
geométricas. Esse estudo matemático, que
pertence à Geometria, lida com os desenhos
conhecidos do nosso cotidiano, como
triângulos, quadrados, círculos e todas as
formas que englobam as figuras geométricas.
É por meio dessa matéria que conseguimos
projetar e visualizar os formatos e espaços
geométricos que essas figuras ocupam, bem
como entender suas propriedades e realizar
os cálculos necessários para dimensioná-los.
Os tipos de geometria variam conforme o
número de dimensões da figura. Aquelas que
tem duas dimensões (altura e largura), como
uma folha de papel, são estudadas pela
Geometria Plana e chamadas de “figuras
planas”, porque podem facilmente ser
representadas no plano cartesiano.
Áreas e Perímetros de Figuras Planas
Confira abaixo as fórmulas para encontrar a
área e o perímetro das figuras planas.
Triângulo: figura fechada e plana formado
por três lados.
Triângulo
Retângulo: figura fechada e plana formada
por quatro lados. Dois deles são congruentes
e os outros dois também.
Retângulo:
Quadrado: figura fechada e plana formada
por quatro lados congruentes (possuem a
mesma medida).
Quadrado:
 figura plana e fechada limitada
por uma linha curva chamada de
circunferência.
Círculo:
Trapézio: figura plana e fechada que possui
dois lados e bases paralelas, onde uma é
maior e outra menor.
Trapézio:
Atenção!
π: constante de valor 3,14
r: raio (distância entre o centro e a
extremidade)
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.concursosnobrasil.com.br/escola/matematica/nocoes-de-geometria-plana-forma-perimetro-area-volume-e-pitagoras.html
https://www.todamateria.com.br/circunferencia/
PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME
Medidas de Volume
A medida de volume no sistema internacional
de unidades (SI) é o metro cúbico (m3).
Sendo que 1 m3 corresponde ao espaço
ocupado por um cubo de 1 m de aresta.
Neste caso, o volume é encontrado
multiplicando-se o comprimento, a largura e
a altura do cubo.
Losango: figura plana e fechada composta
de quatro lados. Essa figura apresenta lados
e ângulos opostos congruentes e paralelos.
Losango:
Conversão de unidades
As unidades do sistema métrico decimal de
volume são: quilômetro cúbico (km3),
hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico
(dam3), metro cúbico (m3), decímetro cúbico
(dm3), centímetro cúbico (cm3) e milímetro
cúbico (mm3).
As transformações entre os múltiplos e
submúltiplos do m3 são feitas multiplicando-
se ou dividindo-se por 1000.
Para transformar as unidades de volume,
podemos utilizar a tabela abaixo:
1 m3 = 1 000 L
1 L = 1 dm3
As medidas de capacidade representam o
volume interno dos recipientes. Desta forma,
podemos muitas vezes conhecer o volume de
um determinado corpo enchendo-o com um
líquido de volume conhecido.
A unidade de medida padrão de
capacidade é o litro, sendo ainda utilizados
seus múltiplos (kl, hl e dal) e submúltiplos (dl,cl
e ml).
Em algumas situações é necessário
transformar a unidade de medida de
capacidade para uma unidade de medida
de volume ou vice versa. Nestes casos,
podemos utilizar as seguintes relações:
Teorema de Tales nos triângulos
Além do metro cúbico e seus múltiplos,
existem outras unidade de medidas de
volume. Essas unidades são usadas
principalmente em países de língua inglesa.
Polegada cúbica e pé cúbico são unidades
usadas para volumes sólidos. Já a onça
fluida, o pint, o quarto, o galão e o barril são
unidades usadas para volumes líquidos.
Outras unidades de volume
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
De acordo com a geometria plana, os
quadriláteros são polígonos que possuem 4
lados. Essas figuras geométricas são planas
porque pertencem ao plano cartesiano, logo,
elas têm apenas 2 dimensões (altura e
largura).
Ser um polígono significa ser formado por
segmentos de retas (linhas com início e fim)
que não se cruzam. Elas apenas encostam
suas extremidades e acabam formando uma
figura fechada. No caso dos quadriláteros,
há 4 segmentos de retas.
Quando usamos o termo “notável” na
matemática, significa que é algo importante
e principal. Existem muitas figuras com
quatro lados, mas há aquelas que utilizamos
mais no dia a dia e para estudar na
matemática.
Portanto, os quadriláteros notáveis são os
polígonos de 4 lados mais importantes de se
estudar!
Quais são os quadriláteros notáveis?
Trapézios
Paralelogramos
Retângulos
Losangos
Quadrados
Os quadriláteros notáveis são 5:
Elementos de um quadrilátero
Lados: são os segmentos de reta que formam
o contorno do quadrilátero. Costumamos dar
nomes genéricos para eles, como “lado a”.
Mas a forma matemática de representá-los é
escrever os vértices das suas extremidades
juntos, com um traço em cima.
Vértices: são os pontos que marcam o
encontro de dois lados. Essas quinas
também recebem nomes genéricos, como
“vértice A”.
Ângulos internos: são os ângulos que
estão do lado de dentro do polígono,
então são formados por dois lados
seguidos do quadrilátero.
Ângulos externos: são ângulos que estão
do lado de fora do polígono, então são
formados pelo prolongamento de um
lado do quadrilátero. Um ângulo externo
é suplementar ao interno adjacente. Isso
significa que se somarmos o externo e o
interno ao seu lado, eles resultam em
180°.
Diagonais: são segmentos de reta
imaginários que passam por dentro do
polígono, não são lados. Suas
extremidades são 2 vértices não
consecutivos, por ser um quadrilátero,
podemos dizer que são vértices opostos.
Como os quadriláteros podem ser agrupados?
Trapézios: possuem ao menos um par de
lados paralelos.
Paralelogramos: possuem ao menos dois
pares de lados paralelos.
Outros: não possuem nenhum par de
lados paralelos.
Os quadriláteros podem ser agrupados em
três grandes conjuntos, de acordo com a
presença e quantidade de paralelismo:
Parece estranho, mas é isso mesmo! Um
trapézio é uma categoria de quadriláteros,
não uma figura em si. Existem diversos tipos
de trapézios que são figuras próprias. A
mesma coisa acontece com os
paralelogramos.
O paralelismo acontece quando temos dois
lados paralelos entre si, ou seja, duas retas
que são perfeitamente opostas. Assim, elas
nunca se encontrarão, nem mesmo se
prolongarmos sua extensão. Resumindo, são
lados que não tem nenhum ponto em comum.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://beduka.com/blog/materias/matematica/como-aprender-geometria/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/plano-cartesiano/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/o-que-sao-angulos-congruentes/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/o-que-sao-angulos-congruentes/
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Possuem diagonais e, no caso dos
quadriláteros, são apenas 2
A soma dos seus ângulos internos é
sempre igual a 360°
Como qualquer polígono, todos os
quadriláteros também possuem as
características e propriedades básicas: 
Quais são as propriedades dos
quadriláteros?
Propriedades dos Trapézios
Trapézio Escaleno
Trapézio Isósceles
Trapézio Retângulo
b: base menor (paralela menor)
B: base maior (paralela maior)
h: altura (fora ou dentro, o importante é
fazerângulo reto com um dos lados
paralelos)
Os Trapézios são quadriláteros que possuem
ao menos 1 par de lados paralelos. Existem
três tipos de trapézios que variam conforme
a simetria e os ângulos, cada um com suas
propriedades específicas:
A área de qualquer trapézio é sempre dada
pela soma das bases multiplicada pela
altura dividida por 2. Assim:
A = (B+b) .h/2
Sendo
Por fim, para encontrar a base média de um
trapézio, basta fazer (b +B) / 2. Ela será
paralela aos lados paralelos, localizada bem
no meio da figura. Seus vértices são os
pontos médios dos lados não paralelos.
Trapézio Escaleno
É o trapézio em que os lados não paralelos
são diferentes entre si, ou seja, não tem a
mesma medida. Representamos isso com a
presença de risquinhos, como você observa
na imagem. Um risco significa ter uma
medida e dois riscos significa ter outra
medida.
Observe que os ângulos opostos são
suplementares, ou seja, quando somados
resultam em 180°.
Trapézio isósceles
É o trapézio em que os lados não paralelos
são congruentes, ou seja, são iguais.
Representamos isso com a presença dos
mesmos risquinhos em cima desses lados.
É interessante notar que, os lados não
paralelos terem a mesma medida, faz com
que os ângulos também sejam congruentes!
Assim, embora existam 4 ângulos, há apenas
2 valores diferentes.
Novamente, temos que os ângulos opostos
são suplementares.
Trapézio retângulo
É o trapézio em que um dos lados não
paralelos é perpendicular aos lados
paralelos. Isso significa que haverá,
necessariamente, a formação de ângulos
retos (90°). Como temos uma reta
perpendicular a duas retas paralelas, forma-
se 2 ângulos retos.
Este é o único trapézio em que os ângulos
opostos não são suplementares. São os
ângulos internos e seguidos que formam 180°.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/o-que-sao-angulos-congruentes/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/o-que-sao-retas-perpendiculares/
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Quadrados
O ponto médio de cada diagonal divide
as 2 diagonais em 4 segmentos
congruentes;
A divisão da figura pelas diagonais forma
4 triângulos isósceles iguais.
Os quadrados são paralelogramos que
possuem todos os lados congruentes e todos
os ângulos retos. Isso significa que ele é um
caso particular, porque mistura as
características do losango + retângulo. 
Como ele é um polígono quadrilátero, “já
vem” com as propriedades mencionadas
anteriormente, bem como as do losango e as
do retângulo.
O que tem de específico é:
A área de um quadrado é calculada com a
mesma fórmula do retângulo (lado vezes
altura). Como o quadrado é todo igual, lado
e altura possuem o mesmo valor. 
Quando multiplicamos um número por ele
mesmo, estamos fazendo o seu quadrado.
Logo, a fórmula pode ser escrita como:
 A = l²
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://beduka.com/blog/materias/matematica/o-que-e-triangulo-isosceles/
DEFINIÇÃO
?
CILINDRO
O cilindro ou cilindro circular é um sólido
geométrico alongado e arredondado que
possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o
comprimento.
Essa figura geométrica, que faz parte dos
estudos de geometria espacial, apresenta
dois círculos com raios de medidas
equivalentes os quais estão situados em
planos paralelos.
Raio: distância entre o centro do cilindro
e a extremidade.
Base: plano que contém a diretriz e no
caso dos cilindros são duas bases
(superior e inferior).
Geratriz: corresponde à altura (h=g) do
cilindro.
Diretriz: corresponde à curva do plano
da base.
Classificação dos Cilindros
Dependendo da inclinação do eixo, ou seja,
do ângulo formado pela geratriz, os cilindros
são classificados em:
Componentes do Cilindro
Cilindro Reto:
Nos cilindros circulares retos, a geratriz
(altura) está perpendicular ao plano da
base.
Cilindro Oblíquo:
Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz
(altura) está oblíqua ao plano da base.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
CILINDRO
Fórmulas do Cilindro
Dependendo da inclinação do eixo, ou seja,
do ângulo formado pela geratriz, os cilindros
são classificados em:
Áreas do Cilindro
Área da Base: Para calcular a área da
base do cilindro, utiliza-se a seguinte
fórmula:
Área Lateral: Para calcular a área lateral
do cilindro, ou seja, a medida da
superfície lateral, utiliza-se a fórmula:
Área Total: Para calcular a área total do
cilindro, ou seja, a medida total da
superfície da figura, soma-se 2 vezes a
área da base à área lateral, a saber:
 
Ab= π.r2
Onde:
Ab: área da base
π (Pi): 3,14
r: raio
Al= 2 π.r.h
Onde:
Al: área lateral
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura
 
At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h)
 
Onde:
At: área total
Ab: área da base
Al: área lateral
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura
Volume do Cilindro
O volume do cilindro é calculado a partir do
produto da área da base pela altura
(geratriz):
V = Ab.h ou V = π.r2.h
Onde:
V: volume
Ab: área da base
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
DEFINIÇÃO
?
Cone é um sólido geométrico que faz parte
dos estudos da geometria espacial.
Ele possui uma base circular (r) formada por
segmentos de reta que têm uma extremidade
num vértice (V) em comum.
CONE
Fórmulas do Cone
Segue abaixo as fórmulas para encontrar as
áreas e o volume do cone:
Áreas do Cone
Área da Base: Para calcular a área da
base de um cone (circunferência), utiliza-
se a seguinte fórmula:
Área Lateral: formada pela geratriz do
cone, a área lateral é calculada através
da fórmula:
Área Total: para calcular a área total do
cone, soma-se a área da lateral e a área
da base. Para isso utiliza-se a seguinte
expressão:
Ab = п.r2
Onde:
Ab: área da base
п (Pi) = 3,14
r: raio
Al = п.r.g
Onde:
Al: área lateral
п (PI) = 3,14
r: raio
g: geratriz
At = п.r (g+r)
Onde:
At: área total
п = 3,14
r: raio
g: geratriz
Além disso, o cone possui a altura (h),
caracterizada pela distância do vértice do
cone ao plano da base.
Possui também a denominada geratriz, ou
seja, a lateral formada por qualquer
segmento que tenha uma extremidade no
vértice e a outra na base do cone.
Classificação dos Cones
Cone Reto: No cone reto, o eixo é
perpendicular à base, ou seja, a altura e
o centro da base do cone formam um
ângulo de 90º, donde todas as geratrizes
são congruentes entre si e, de acordo
com o Teorema de Pitágoras, tem-se a
relação: g²=h²+r². O cone reto é também
chamado de “cone de revolução” obtido
pela rotação de um triângulo em torno de
um de seus catetos.
Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo
não é perpendicular à base da figura.
Os cones, dependendo da posição do eixo
em relação à base, são classificados em:
Observe que o chamado “cone elíptico”
possui base elíptica e pode ser reto ou
oblíquo.
Para compreender melhor a classificação
dos cones, observe as figuras ao lado:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
CONE
Volume do Cone
O volume do cone corresponde a 1/3 do
produto da área da base pela altura,
calculado pela seguintefórmula:
V = 1/3 п.r2. h
Onde:
V = volume
п = 3,14
r: raio
h: altura
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/volume-do-cone/
DEFINIÇÃO
?
A trigonometria no triângulo retângulo é o
estudo sobre os triângulos que possuem um
ângulo interno de 90°, chamado de ângulo
reto.
Lembre-se que a trigonometria é a ciência
responsável pelas relações estabelecidas
entre os triângulos. Eles são figuras
geométricas planas compostas de três lados
e três ângulos internos.
O triângulo chamado equilátero possui os
lados com medidas iguais. O isósceles possui
dois lados com medidas iguais. Já o escaleno
tem os três lados com medidas diferentes.
No tocante aos ângulos dos triângulos, os
ângulos internos maiores que 90° são
chamados de obtusângulos. Já os ângulos
internos menores que 90° são denominados
de acutângulos.
Além disso, a soma dos ângulos internos de
um triângulo será sempre 180°.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Relações Trigonométricas do Triângulo
Retângulo
As razões trigonométricas são as relações
existentes entre os lados de um triângulo
retângulo. As principais são o seno, o cosseno
e a tangente.
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre o cateto
adjacente.
Composição do Triângulo Retângulo
Catetos: são os lados do triângulo que
formam o ângulo reto. São classificados
em: cateto adjacente e cateto oposto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo
reto, sendo considerado o maior lado do
triângulo retângulo.
O triângulo retângulo é formado:
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma
dos quadrado dos catetos de um triângulo
retângulo é igual ao quadrado de sua
hipotenusa:
h2 = ca2 + co2
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
Relações
Trigonométr
icas
30° 45°
Seno 1/2 √2/2
Cosseno √3/2 √2/2
Tangente √3/3 1
Círculo trigonométrico e as razões
trigonométricas
O círculo trigonométrico é utilizado para
auxiliar nas relações trigonométricas. Acima,
podemos encontrar as principais razões,
sendo que o eixo vertical corresponde ao
seno e o eixo horizontal ao cosseno. Além
delas, temos as razões inversas: secante,
cossecante e cotangente.
Lê-se um sobre o cosseno.
Lê-se um sobre o seno.
Lê-se cosseno sobre o seno.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Os chamados ângulos notáveis são aqueles
que aparecem com mais frequência, a saber:
Ângulos Notáveis
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/angulos-notaveis/
ENEM
Á L G E B R A
PARA O
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
S U M Á R I O
Análise combinatória;
Juros simples e composto;
Interpretação de gráficos; 
Escalas:
Regra de Três (simples e composta):
Fatorial:
Probabilidade: 
Logaritmo:
Raciocínio Lógico;
Equações de 1° e 2° grau;
Funções (1° e 2° grau);
Função: 
Sistemas de Equações; 
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
Fatorial;
Princípio fundamental da contagem;
Arranjos simples;
Permutação simples;
Combinação;
Permutação com elementos repetidos.
A análise combinatória pode ser definida
como sendo um conjunto de técnicas e
métodos que estudam as combinações e
possibilidades das variáveis de um conjunto.
Constituído por elementos finitos, a análise
combinatória se baseia em parâmetros que
possibilitam a contagem.
Além de envolver cálculos matemáticos, a
análise combinatória também abrange
fatores lógicos.
A análise combinatória se resume em 6
procedimentos principais:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
O arranjo simples é o agrupamento dos
elementos de um conjunto que dependem da
ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de p elementos
de um conjunto total n, onde p ≤ n, utiliza-se
a seguinte expressão:
An,p = Arranjo de p elementos de um total n
n = elementos totais do espaço amostral
p= números de elementos no arranjo
Exemplo:
Considere uma votação para escolher um
representante e um vice-representante de
uma turma, com 20 alunos. O mais votado
será o representante e o segundo mais
votado o vice-representante. Dessa maneira,
de quantas maneiras distintas a escolha
poderá ser feita? Nesse caso a ordem é
importante, visto que altera o resultado final.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Fatorial
Considerando n um número natural maior que
1, o fatorial desse número n, que é
representado por n!, pode ser definido como:
n! = n(n – 1) x (n – 2) x (n – 3)x…x 3 x 2 x 1
Lê-se n! como: n fatorial ou fatorial de n.
Exemplo:
Numa pizzaria há 8 tipos de sabores, 5 tipos
de sucos e 6 tipos de sobremesas. Quantas
são as possíveis combinações de um lanche
nessa pizzaria?
Utilizando o princípio fundamental da
contagem temos:
8 x 5 x 6 = 240 maneiras de se fazer um
lanche.
Princípio Fundamental da Contagem
De acordo com o princípio fundamental da
contagem, se um evento é composto por
duas ou mais etapas sucessivas e
independentes, o número de combinações
será determinado pelo produto entre as
possibilidades de cada conjunto.
Arranjos Simples
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Logo, o arranjo pode ser feito de 380
maneiras diferentes.
Permutações Simples
A permutação simples pode ser considerada
como um caso particular de arranjo, onde os
elementos irão formar agrupamentos que se
diferenciam somente pela ordem. As
permutações simples dos elementos P, Q e R
são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP.
Se chamarmos de Pn a permutação simples
de n elementos distintos, podemos calculá-la
através da seguinte fórmula:
Pn = n!
Onde n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x…..x 3 x 2 x
1
Exemplo: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Cn,p = Combinação de p elementos de um
total n
n = elementos totais do espaço amostral
p= números de elementos no arranjo
Exemplo
Considerando a escolha de 3 membros para
formar uma comissão de formatura, dentre 10
pessoas que se candidataram para fazer
parte. De quantas maneiras distintas essa
comissão poderá ser formada? Note que, ao
contrário dos arranjos, nas combinações a
ordem dos elementos não é relevante. Isso
quer dizer que escolher Guilherme, Rafael e
Juliana é equivalente à escolher Juliana,
Rafael e Guilherme.
Para simplificar os cálculos, transforma-se o
fatorial de 10 em produto, mas conserva-se o
fatorial de 7, pois assim é possível simplificar
com o fatorial de 7 do denominador.
Desta forma, existem 120 maneiras distintas
de formar a comissão.
Combinações Simples
As combinações são agrupamentos em que a
ordem dos elementos não é importante, mas
são caracterizadas pela natureza dos
mesmos. Assim, para calcular uma
combinação simples de n elementos tomados
p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte fórmula:
Permutação de elementos repetidos
Permutação de elementos repetidos deve
seguir uma forma diferente da permutação,
pois elementos repetidos permutam entre si.
A fórmula da permutação simples de n
elementos diferentes é representada por Pn.
Logo, tomemos como exemplo a palavra
CATRACA, que tem 7 elementos:
Pn = n!
P8 = 7! = 504
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
JUROS SIMPLES
 Juros simples é um acréscimo calculado
sobre o valor inicial de uma aplicação
financeira ou de uma compra feita a crédito,
por exemplo.
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou
investimento é chamado de capital. A esse
valor é aplicada uma correção, chamada de
taxa de juros, que é expressa em
porcentagem.
Os juros são calculados considerando o
período de tempo em que o capital ficou
aplicado ou emprestado.
Qual é a fórmula paracalcular os juros
simples?
J → juros
C→ capital
i → taxa de juros
t → tempo
Para calcular os juros simples, utilizamos a
fórmula:
J=C⋅i ⋅t
Em que:
Observação: Quando for substituir os valores
na fórmula, é importante que a taxa de juros
esteja em sua forma decimal ou fracionária,
e que o tempo e a taxa de juros tenham a
mesma unidade de medida de tempo, por
exemplo, se os juros forem ao ano, a taxa
também tem que ser ao ano. Quando as
unidades são diferentes, podemos
transformar anos em meses, bimestres,
semestres, enfim, realizar a conversão para
que as unidades sejam as mesmas.
Além da fórmula dos juros simples, temos
também o montante, que nada mais é que a
soma do capital mais os juros:
M=C+J
Para calcularmos o juros simples, basta
substituir as informações dadas pelo problema
na fórmula já deduzida. Para isso, vamos
conferir algumas situações-problemas.
Exemplo 1
Ao investir R$ 3.000 em uma aplicação
bancária sob o regime de juros simples, a uma
taxa de 10% ao ano durante seis meses, qual o
valor a ser retirado ao fim dessa aplicação?
O primeiro passo é anotar cada um dos dados
do problema:
J = ?; C = 3000,00; i = 10% ao ano; e t = 6
meses
Agora, devemos observar as unidades de
medida da taxa e do tempo. Caso estejam
sendo utilizadas as mesmas unidades, basta
substituí-las na fórmula. Caso contrário, temos
que achar uma maneira de deixá-las iguais.
De modo geral, é mais fácil “transformar” a
unidade de medida do tempo do que a da
taxa, assim, vamos transformar 6 meses em
anos, uma vez que a taxa foi dada em ano.
Sabemos que temos 12 meses em um ano, logo,
em meio ano, temos 6 meses.
0,5 ano → 6 meses
t = 0,5 ano
Passando a taxa de juros para a forma
decimal, temos:
i = 10%
i = 10 ÷ 100
i = 0,1
Substituindo os dados na fórmula, temos:
J = C · i · t
J = 3000 · 0,1 · 0,5
J = 300 · 0,5
J = 150 reais
O juros, ao final da aplicação, é de 150 reais.
Foi pedido o valor a ser retirado da aplicação,
ou seja, o valor aplicado mais o juros
(montante).
M = C + J
M = 3000 + 150
M = 3.150 reais
Logo, o valor a ser retirado da aplicação é de
3.150 reais.
Como calcular juros simples
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-decimais.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/fracoes.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/medidas-de-tempo.htm
https://www.preparaenem.com/fisica/unidades-medida.htm
DEFINIÇÃO
?
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais
utilizado no mercado por oferecer maior
rentabilidade financeira. Essa maior
rentabilidade ocorre pelo fato de esse
regime de capitalização ser calculado
sempre com base no valor do montante do
período anterior, o que faz com que o valor
final cresça de maneira exponencial.
Fórmula do juro composto
M = montante;
C = capital;
i = taxa de juros;
t = tempo.
A fórmula para calcular o valor do juro ao
final de um período de tempo é a seguinte:
Lembre-se de que o montante é sempre a
soma do capital com os juros.
M = C + J
Exemplo 1:
Um capital de R$ 4000 foi aplicado a juros
compostos, com taxa de 10% a.a. Qual será o
montante e os juros gerados após 3 anos?
Dados:
C = 4000
t = 3 anos
i = 10% a.a.
Vamos representar 10% em sua forma decimal
= 0,1.
Temos que:
M = C (1 + i) t
M = 4.000 (1 + 0,1)³
Após a substituição, vamos resolver a equação:
M = 4000 (1,1)³
M = 4000 · 1331
M = 5324
Para encontrar os juros, basta calcular a
diferença J = M – C:
J = M – C = 5324 – 4000 = 1324
Então, temos que:
M = R$ 5324
J = R$ 1324
Cálculo do juro composto
Para realizar o cálculo de juros compostos,
devemos substituir as informações fornecidas
pela situação-problema na fórmula, mas
sempre atentos às unidades de medida da
taxa de juros (i) e do tempo (t).
As unidades de medida da taxa de juros
podem ser ao ano (a.a), ao mês (a.m) ou ao
dia (a.d), e assim por diante. Já as unidades
de medida para representar o tempo são as
já conhecidas: anos, meses, dias ou horas.
O que devemos observar antes de substituir
as informações é a correspondência entre as
unidades de medida da taxa e tempo, ou
seja, se a taxa está em anos, o tempo
também deve estar.
Diferença entre juros simples e juros
compostos
Existem dois regimes de juros, o juros simples
e o juros composto. A diferença entre eles é
que, no juros simples, a taxa de juros (i) é
sempre calculada baseada no capital inicial,
isto é, mesmo depois de 10 meses, por
exemplo, a taxa vai ser calculada com base
no capital inicial.
Já no sistema de juros composto, a taxa é
calculada com base no capital inicial
somente no primeiro mês, pois, nos demais, é
sempre calculada com base no capital do
mês anterior.
Isso faz com que o juros composto renda
muito mais em relação ao juros simples. O
que quer dizer que um capital aplicado
durante o mesmo intervalo de tempo no
regime de juros composto terá maior
rendimento do que se aplicado no regime de
juros simples.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial.htm
DEFINIÇÃO
?
Em geral, a interpretação de gráficos no
Enem tem sido exigida com grande
frequência. Nesse tipo de questão, em geral,
não é necessário o uso de cálculos.
Ao analisar um gráfico, devemos verificar
com que tipo de gráfico estamos lidando e
levar em consideração que ele está fazendo
uso de duas grandezas. Dessa forma, resta-
nos analisá-las para que, junto a uma
cuidadosa leitura do enunciado, consigamos
resolver a questão.
Pesquisas estão sendo feitas constantemente
tendo em vista a tomada de decisões, e elas se
utilizam das ferramentas da estatística desde
os primeiros passos até a representação
gráfica, que pode ser de cunho político,
ambiental ou da saúde.
Um exemplo é o uso dos dados relacionados à
quantidade de casos da doença COVID-19,
que faz com que estados, municípios e o
Ministério da Saúde tomem decisões com base
no que foi coletado. Até mesmo na busca por
uma vacina para uma doença, há a
necessidade da realização de pesquisas para
avaliar-se a eficácia dela, o que demonstra
essa eficácia são os dados coletados e
trabalhados estatisticamente.
A estatística está presente nas decisões simples
até nas mais complexas do nosso cotidiano, e
essas informações não podem ou não
deveriam ser repassadas de qualquer maneira.
Existem regras específicas para a coleta de
dados, para sua análise e até mesmo para a
definição da estimativa de confiabilidade da
pesquisa, enfim, todas essas regras surgem
baseadas em ferramentas desenvolvidas no
estudo da estatística.
A estatística é um ramo de grande importância
da matemática, desenvolvendo técnicas como
a coleta de dados e sua organização,
interpretação, análise e representação. O uso
da matemática para a tomada de decisões
vem acompanhando nossa história desde o
início das grandes civilizações. Com o passar
do tempo, foram criados métodos para
facilitar-se esse processo.
A estatística é dividida entre o estudo da
coleta de dados, em que conhecemos os
princípios da área, como os conceitos de
amostra, população, variável e tipo de
variável; o estudo da análise desses dados, no
qual lidamos com a frequência absoluta e
relativa, as medidas centrais e as medidas de
dispersão; e a representação e interpretação
desses resultados, em que estudamos os tipos
de gráficos, a melhor representação para
cada caso, e, com base nessa interpretação,
gerando-se também as medidas centrais,
como a média, a moda e a mediana.
Estatística
Os resultados de pesquisas estatísticas estão
presentes a todo instante na nossa sociedade,
é bastante comum ver nos noticiários pesquisas
de diversas naturezas que trazem para a
sociedade dados para interpretação e
realização de inferências sobre ela.
Para que serve a estatística?
Para compreender-se o estudo da estatística,
existem conceitos básicos que precisam estar
bem definidos, são eles os conceitos iniciais de
estatística, mais especificamente: definição de
população, amostra, variável, tabela,frequência e gráfico.
Princípios básicos da estatística
População
Chamamos de população ou universo o
conjunto de todos os elementos da pesquisa
a ser realizada. A população é formada por
todos os elementos desse conjunto, podendo
ser qualquer coisa, como pessoas, objetos ou
outros seres vivos, desde que esses elementos
do conjunto possuam as características que
desejamos pesquisar.
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS NO ENEM
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/geografia/tipos-graficos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/doencas/covid-19.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/tipos-graficos-1.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/media-aritmetica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conceitos-iniciais-estatistica.htm
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
Por exemplo, ao pesquisar-se sobre a
intenção de votos na população brasileira,
existem características bem definidas para
população, que, nesse caso, necessariamente
precisa ser brasileira e hábil a votar.
Como citado, a pesquisa pode ser realizada
com objetos também, por exemplo, se a
intenção dela for saber a qualidade da
água que abastece uma determinada
cidade, então a população será o conjunto
de rios que abastecem essa cidade.
Quando essa quantidade é uma medida,
ela é conhecida como quantitativa
contínua, por exemplo, o salário, a altura, o
peso.
Quando essa quantidade é uma simples
contagem, estamos trabalhando com uma
variável quantitativa discreta, por exemplo,
a quantidade de ligações em um SAC.
Quando essa qualidade possui uma ordem,
é conhecida como qualitativa ordinal. Por
exemplo: escolaridade (ensinos
fundamental, médio ou superior) ou nível de
agravamento de uma doença (leve,
intermediário, grave).
Quando essa qualidade é uma
característica qualquer e não possui
ordem, ela é qualitativa nominal. Por
exemplo: a cor de carro preferida ou o
sabor de sorvete mais vendido.
Na variável quantitativa, a pesquisa busca
receber como resposta uma quantidade, ou
seja, um valor numérico, por exemplo, o número
de acidentes de trânsito, o número de casos de
COVID-19, o salário médio ou a altura média
da população. A variável quantitativa pode ser
separada em dois casos:
Na variável qualitativa, a pesquisa busca como
resposta uma característica, por exemplo, uma
cor, ou o grau de escolaridade, de
agravamento de uma doença.
Variável é o meu objeto de pesquisa, é a
pergunta para a qual a minha pesquisa está
procurando resposta. Essa variável pode ser
classificada no estudo de tipos de variáveis.
Uma variável pode ser classificada como
qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa
(discreta ou contínua).
Amostra
Conhecemos como amostra ou espaço
amostral um subconjunto da população.
Acontece que, para realizar-se as pesquisas,
nem sempre é possível ou até mesmo
necessário consultar toda a população
disponível para ter-se resultados confiáveis.
Nesse caso utilizamos uma amostra, que é um
subconjunto da população.
A amostra é o conjunto de indivíduos
consultados na pesquisa. Por exemplo, se em
uma empresa nacional tem como objetivo
pesquisar o nível de satisfação dos seus
colaboradores, ela pode consultar somente
parte desses colaboradores com o objetivo
de conseguir prever o comportamento da
população.
Outra situação é que, para saber-se a
quantidade de açúcar que uma determinada
marca de refrigerante usa, não é necessário
que seja analisada toda sua produção, mas
apenas uma amostra, ou seja, uma porção
desse produto. A maioria das pesquisas é
realizada com amostras, e a intenção é que,
com base nelas, seja possível prever o
comportamento em toda a população.
Variável
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS NO ENEM
Tipos de Variáveis
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/subconjuntos-relacao-inclusao.htm
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS NO ENEM
A tabela de frequência é uma forma de
organização dos valores de variáveis
coletados. Chamamos de frequência
absoluta (FA) o número de vezes que uma
mesma resposta repetiu-se, e de frequência
relativa (FR), a porcentagem que essas
repetições representam em relação ao todo.
Por exemplo, se, em uma pesquisa, das 1000
pessoas consultadas, metade respondeu a
mesma coisa, significa que a frequência
absoluta dessa resposta será 500 e que sua
frequência relativa será 50%.
Representação gráfica e tabela
frequência: são úteis para o estudo dos
dados, os tipos de representação e a
escolha da melhor representação, a
depender do objeto de pesquisa. Além da
representação por tabela simples, há a
possibilidade de representar-se esses
dados por uma tabela com intervalos ou
classes.
Medidas de tendências centrais: são o
estudo da média (aritmética, aritmética
ponderada, geométrica e harmônica),
mediana e moda. Possuem como objetivo
buscar uma representação de todo o
conjunto por um único valor.
Medidas de dispersão: são o estudo da
amplitude, da variância e do desvio
padrão. É com base nas medidas centrais
que construímos a estimativa de erro de
uma pesquisa e analisamos a dispersão
entre seus dados.
A estatística realiza os estudos dos conceitos
básicos apresentados anteriormente. Além
deles, são trabalhados outros tópicos, que são:
Representação por gráfico
A forma de representar-se esses dados
também é muito importante, levando-se em
consideração o tipo de pesquisa a ser feita,
existirá uma forma mais conveniente para
representá-los. As formas mais comuns são o
gráfico de linhas, o de barras, os
histogramas, os pictogramas e o de setores.
Divisão da estatística
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/calculos-percentuais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/busca?sa=Pesquisar&q=medidas+de+tendencias+centrais
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-amplitude-desvio.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/geografia/tipos-graficos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/graficos-setores.htm
DEFINIÇÃO
?
ESCALAS
Quando se constrói uma escala o costume é
primeiro fazer uma planta, que contém o
traçado, o desenho do que será construído. E,
nesta planta devem estar consideradas e
indicadas as medidas no tamanho real do
que você quer representar.
E, na mesma planta, devem constar as
medidas, o tamanho da figura desenhada,
da planta. Estes tamanhos “do desenho na
planta”, e da real dimensão do que será
construído devem estar na mesma unidade
de medida. 
Por exemplo, uma casa que possui um
comprimento de 20 metros pode ser
representada em um desenho em que a
representação do comprimento da casa tem
20 cm. Vemos que as unidades de medida
não são as mesmas.
Temos a casa em 20 metros, e a dimensão
da casa na planta em 20 centímetros. Para
resolver esta discrepância, portanto, vamos
ter que transformar o metro em cm, pois é
nesta unidade que representaremos o
desenho, 20 metros = 2000 centímetros. Esta
relação vai definir a Escala da Planta.
Veja o cálculo de Razão e Proporção
A escala é simplesmente a razão entre o
tamanho do desenho e o tamanho real,
assim, para o nosso exemplo:
Escala = Tamanho no desenho
Tamanho real
Escala = 20 cm
2000 cm
Simplificando por 20 o numerador e o
denominador, e também a unidade de
medida, encontramos a escala:
Escala = 1
100
 Ela significa que cada centímetro no desenho
representa 100 centímetros no real. Você pode
pronunciar que a escala é de “um para cem”.
Ou seja, para cada “um centímetro” na planta,
você tem “cem centímetros” na construção
real.Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
DEFINIÇÃO
?
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
A regra de três é um processo matemático
para a resolução de muitos problemas que
envolvem duas ou mais grandezas
diretamente, ou inversamente proporcionais.
Nesse sentido, na regra de três simples, é
necessário que três valores sejam
apresentados, para que assim, descubra o
quarto valor.
Com a regra de três composta podemos
determinar um valor desconhecido quando
relacionamos três ou mais grandezas.
Em outras palavras, a regra de três permite
descobrir um valor não identificado, por
meio de outros três ou mais valores
conhecidos.
Por último, isola-se o valor desconhecido para
determinar seu valor.
Regra de Três Simples
A regra de três simples é uma proporção
entre duas grandezas, por exemplo:
velocidade e tempo, venda e lucro, mão de
obra e produção…
Para resolver uma regra de três simples,
escrevemos a proporção entre as razões das
grandezas, com uma letra para representar
o valor desconhecido, desta forma:
=
12
6
4
x
Se as grandezas forem diretas (aumentando
uma, a outra também aumenta, e vive e
versa) a proporção é mantida. Se as
grandezas forem indiretas (aumentando uma,
a outra diminui, e vive e versa) inverte-se uma
razão.
Multiplicam-se os meios pelos extremos
(multiplicação cruzada), assim:
12 . x = 4 . 6 
x = =
6 . 4
12
24
12
Regra de Três Composta
A regra de três composta, permite descobrir
um valor a partir de três ou mais valores
conhecidos, analisando a proporção entre
três, ou mais grandezas.
Escrevem-se as razões de cada grandeza,
com uma letra para o valor desconhecido.
15 4 5
x 3 2
=
15
x
4
3
. 5
2
Fazemos a razão com o x igual ao produto
das demais:
Esta razão com o valor desconhecido deve
ser comparada com as outras. Caso a
grandeza seja inversamente proporcional,
invertemos a razão.
Multiplicam-se as razões, isolando o valor
desconhecido e determinando seu valor.
=
15
x
20
6
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Duas grandezas são diretamente
proporcionais quando, o aumento de uma
implica no aumento da outra na mesma
proporção.
Grandezas Diretamente Proporcionais
20 . x = 15 . 6
20x = 90
=x
90
20
=x
9
2
Duas grandezas são inversamente
proporcionais quando, o aumento de uma
implica na redução da outra.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
FATORIAL
O fatorial é uma ferramenta matemática
utilizada na análise combinatória, na
determinação do produto dos antecessores
de um número maior que 1. Por exemplo:
1! = 1
2! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2 *1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800
E assim sucessivamente.
Um exemplo de utilização de fatorial está
presente no cálculo de anagramas de uma
palavra. Lembrando que anagrama é a
quantidade de novas palavras formadas com ou
sem sentido, utilizando as letras de outra palavra.
Por exemplo, vamos determinar os anagramas da
palavra AMOR.
A palavra AMOR é formada por quatro letras,
portanto:
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras
!
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
PROBABILIDADE
Experimento aleatório: a probabilidade
começa com o objetivo de estudar
experimentos aleatórios. Um experimento
aleatório é o que, se for realizado sempre
nas mesmas condições, terá seu resultado
imprevisível, ou seja, é impossível saber
qual será seu resultado exato.
Espaço amostral: o espaço amostral de
um experimento aleatório é o conjunto de
todos os resultados possíveis. Ainda que
não seja possível prever exatamente o
que vai acontecer no experimento, pode-
se prever quais são os resultados
possíveis. Um exemplo clássico é um
lançamento de um dado comum, não é
possível saber qual será o resultado, mas
existe o conjunto de resultados possíveis,
que é o espaço amostral, conhecido
também como universo, que, nesse caso, é
igual ao conjunto U: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento: conhecemos como evento
qualquer subconjunto do espaço
amostral. De forma mais direta, o evento
é o conjunto de resultados que eu
pretendo analisar no meu espaço
amostral. 
A probabilidade é a área da matemática
que realiza o estudo da chance de um
determinado evento aleatório ocorrer. Há
muitos estudos científicos que usam a
probabilidade para conseguir prever
comportamentos e modelar situações sociais
e econômicas. Os estudos da probabilidade
em conjunto com a estatística são
amplamente aplicados em eleições ou até
mesmo para estudo da contaminação de
COVID-19, entre outras situações.
Para se dar bem em probabilidade no Enem,
é importante entender bem os conceitos
iniciais e a forma de calcular-se a
probabilidade. Os conceitos são estes:
Por exemplo, no lançamento de um dado,
um possível evento é ter um número par
como resultado, sendo assim, o conjunto
seria A: {2, 4, 6}. Calcular a probabilidade
é descobrir a chance de que um evento
ocorra.
Fórmula da probabilidade: com o interesse
em calcular a probabilidade de um
determinado evento, dado um experimento
aleatório, calculamo-la pela fórmula:
=P (A) n (A)
n (U)
P(A) → probabilidade do evento A.
n(A) → número de elementos no conjunto A,
tratado também como casos favoráveis, ou
seja, é a quantidade de resultados
favoráveis ao que queremos analisar.
n(U) → número de elementos no conjunto U
(universo), tratado também como casos
possíveis, ou seja, é a quantidade de
resultados possíveis que o experimento
aleatório pode ter.
Onde:
Observações importantes sobre probabilidade
A chance de um evento acontecer é sempre
um número entre 0 e 100%.
Na forma decimal, a probabilidade será
sempre entre 0 e 1.
Probabilidade da intersecção: a
probabilidade de acontecer A e B é
calculada por:
Probabilidade da união: a probabilidade de
acontecer A ou B é calculada por:
O valor da probabilidade pode ser representado
por uma fração, um número decimal ou pela
forma percentual:
Seja A um evento de probabilidade P(A), a
probabilidade de seu evento complementar, ou
seja, a chance do evento A não acontecer é
calculada por: 1 – P(A), na forma decimal, ou
100% – P(A), na forma percentual.
Dados dois eventos, A e B, como eventos
independentes, ou seja, o resultado de um deles
não influência no resultado do outro:
P (A∩B) = P (A) · P (B)
P (AՍB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.preparaenem.com/matematica/probabilidade.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/variaveis-na-estatistica.htm
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.preparaenem.com/matematica/adicao-subtracao-fracoes.htm
DEFINIÇÃO
?
LOGARITMO
O logaritmo é uma operação que nos
permite encontrar o expoente ao qual
devemos elevar uma base para obter uma
certa potência. Em outras palavras, dado um
número real e positivo b e uma base a
diferente de 1, o logaritmo de b na base a
(representado por log_a(b)) é o expoente x
ao qual a base deve ser elevada para
produzir a potência b, ou seja, a^x = b.Para realizar operações com logaritmos, é
fundamental ter conhecimento das
propriedades da potenciação.
Substituindo o 81 por sua forma fatorada, na
equação anterior, temos:
3x = 34
Como as bases são iguais, chegamos a
conclusão que x = 4.
Lê-se logaritmo de b na base a, sendo a > 0
e a ≠ 1 e b > 0.
Quando a base de um logaritmo for omitida,
significa que seu valor é igual a 10. Este tipo
de logaritmo é chamado de logaritmo
decimal.
Como calcular um logaritmo?
O logaritmo é um número e representa um
dado expoente. Podemos calcular um
logaritmo aplicando diretamente a sua
definição.
Qual o valor do log3 81?
 
Neste exemplo, queremos descobrir qual
expoente devemos elevar o 3 para que o
resultado seja igual a 81. Usando a definição,
temos:
log3 81 = x ⇔ 3x = 81
 
Para encontrar esse valor, podemos fatorar o
número 81, conforme indicado:
81
27
9
3
1
3
3
3
3
3 4
O logaritmo de qualquer base, cujo
logaritmando seja igual a 1, o resultado será
igual a 0, ou seja, loga 1 = 0. Por exemplo,
log9 1 = 0, pois 90 =1.
Quando o logaritmando é igual a base, o
logaritmo será igual a 1, assim, loga a = 1.
Por exemplo, log5 5 = 1, pois 51= 5
Quando o logaritmo de a na base a possui
uma potência m, ele será igual ao expoente
m, ou seja loga am = m, pois usando a
definição am = am. Por exemplo, log3 35 =
5.
Quando dois logaritmos com a mesma base
são iguais, os logaritmandos também serão
iguais,ou seja, loga b = loga c ⇔ b = c.
A potência de base a e expoente loga b será
igual a b, ou seja alogab = b.
Propriedades dos Logaritmos
Logaritmo de um produto: O logaritmo de
um produto é igual a soma de seus
logaritmos: Loga (b.c) = Loga b + loga c
Logaritmo de um quociente: O logaritmo
de um quociente é igual a diferença dos
logaritmos: Loga= Loga b - Loga c
Logaritmo de uma potência: O logaritmo
de uma potência é igual ao produto
dessa potência pelo logaritmo: Loga bm
= m . Loga b
Mudança de base: Podemos mudar a
base de um logaritmo usando a seguinte
relação:
=log C log c
log bb
b
b
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
RACIOCÍNIO LÓGICO
O raciocínio lógico é uma das disciplinas mais
temidas pelos estudantes. Isso porque ele é
frequentemente associado a cálculos. Mas,
você sabia que esse tema tem origem
filosófica? Com o desenvolvimento das várias
áreas de conhecimento, a lógica passou a ser
utilizada em questões relacionadas à
existência humana. 
A noção de lógica está ligado a duas
vertentes: o uso de raciocínio na execução
atividades e o estudo filosófico do raciocínio
válido. O primeiro trabalho sobre esse tema foi
realizado por Aristóteles, dando origem a
lógica aristotélica. 
Já o termo raciocínio é caracterizado como
uma operação lógica discursiva e mental, a
qual é necessária para organizar dados
(imagens, palavras ou números) através do uso
de premissas a fim de alcançar uma conclusão. 
Indução: considerado o oposto do método
anterior, uma vez que, inicia-se do
particular e segue para o geral. Nesse caso,
primeiro é realizada uma coleta de casos
particulares até alcançar uma certa
quantidade, em seguida é feita uma
generalização.
Abdução: está na condição de
intermediário entre os métodos anteriores.
Geralmente, esse raciocínio tem início com
observações incompletas e conduz-se para
uma explicação mais possível dentro do
conjunto de observações.
A lógica aristotélica
Segundo Aristóteles, a lógica não é um ciência e
sim o Organon (instrumento) correto para pensar.
Através do silogismo (ponto central da logística
Aristotélica), é possível fazer inferências a partir
de premissas. 
O silogismo, por sua vez, apresenta caráter
dedutivo e é composto por três proposições:
premissa maior (P), premissa menor (p) e
conclusão (c), que relacionam-se com outros três
termos: 
• Termo menor: surge na premissa menor e é o
sujeito da conclusão;
• Termo médio: surge em ambas as premissas
como ligação, mas não aparece na conclusão;
• Termo maior: surge na premissa maior e é o
predicado da conclusão.
Métodos de raciocínio lógico
Das premissas até a conclusão, o processo de
raciocínio lógico pode ser explicado de três
formas:
Dedução: tem o uso de uma premissa geral e
uma premissa particular do processo de
raciocínio lógico para alcançar uma conclusão.
Deste modo, inicialmente é criada uma lei
geral e depois são observados casos
particulares com objetivo de verificar se essa
lei não é falsa.
Como resolver testes de lógica
Os testes de lógica possuem vários níveis. Os
mais simples englobam o raciocínio lógico
matemático (progressão aritmética, equações,
sequências, etc.) e os mais complexos
contemplam o raciocínio lógico crítico
(elaboração, avaliação e construção de planos
de ações sobre problemas variados). 
A melhor forma de aprender sobre raciocínio
lógico é justamente praticando. Que tal tentar
resolver os problemas abaixo?
Resumo sobre raciocínio lógico
• Tem origem filosófica;
• Teve o primeiro estudo desenvolvido por
Aristóteles, com a lógica aristotélica;
• É uma operação lógica discursiva e mental,
necessária para organizar dados;
• Pode ser feito em três métodos: dedução,
indução e abdução.
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/progressao-aritmetica
DEFINIÇÃO
?
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
As equações de primeiro grau são sentenças
matemáticas que estabelecem relações de
igualdade entre termos conhecidos e
desconhecidos, representadas sob a forma:
 
ax+b = 0
 
Donde a e b são números reais, sendo a um
valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa
o valor desconhecido.
O valor desconhecido é chamado de incógnita
que significa "termo a determinar". As
equações do 1º grau podem apresentar uma ou
mais incógnitas.
As incógnitas são expressas por uma letra
qualquer, sendo que as mais utilizadas são x, y,
z. Nas equações do primeiro grau, o expoente
das incógnitas é sempre igual a 1.
As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a
+ b são exemplos de equações do 1º grau. Já
as equações 3x2+5x-3 =0, x3+5y= 9 não são
deste tipo.
O lado esquerdo de uma igualdade é
chamado de 1º membro da equação e o lado
direito é chamado de 2º membro.
Substituindo na equação anterior, temos:
2.(14) + 5y = 14 → 28 +5y = 14
 
Desse modo, basta fazer a operação para
encontrar o y:
28 +5y = 14
5y = 14 - 28
5y = -14
y = -14/5 (14 sobre 5)
 
Pronto, o resultado é: 
x = 14
y = -14/5 (14 sobre 5) 
 
Basicamente, você só precisa isolar a incógnita
mais fácil e substituir o resultado dela na outra
operação. 
Passo a passo para resolver equações
de primeiro grau 
Temos dois métodos de resolver equações de
primeiro grau: substituição e adição.
Vamos aprender como fazer cada um e
escolher o que achar mais fácil:
Consiste em somar duas equações de modo
que uma das incógnitas se anule.
Para isso, os coeficientes precisam ter sinais
opostos. Vamos conferir o exemplo:
3x + 4y = 36
x - 4y = 20
 
Somando as duas equações, temos:
(3x +4y) + (x - 4y) = 36 + 20
Somando +4y com -4y, o resultado fica zero.
Portanto, ficamos com: 
(3x + 4y) + (x - 4y) = 56
3x + x = 56
Agora, basta somar a equação e encontrar o
valor de x: 
3x + x = 56
4x = 56
x = 56/4
x = 14
1°
Substituição 
Consiste em substituir uma equação na outra. 
2x + 5y = 14
x + 2 = 16
Isolando o x na segunda equação, temos:
2x + 5y = 14
x = 16 - 2
Descobrimos assim a primeira variável:
 
x = 14
Adição 
Exemplo:
Exemplo:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Você precisa multiplicar toda operação e
não apenas a incógnita desejada;
Você precisa mudar o sinal de toda
equação.
Encontramos os valores denossas incógnitas:
 
x = 14
y = -3/2
E se os valores das incógnitas não forem
opostos? 
Essa é uma dúvida bem comum quando os
estudantes utilizam métodos de adição para
resolver equações de primeiro e segundo grau.
Caso os valores não sejam opostos, como no
exemplo abaixo: 
2x + 8y = 56
x - 2y = -14
Você pode multiplicar uma das equações de
modo que incógnitas fiquem opostas. Nesse
caso, multiplicaremos a segunda equação por
-2. Confira: 
2x + 8y = 56
x - 2y = -14 (.-2) → - 2x + 4y = +28 
 
Importante: 
1.
2.
Portanto, ficamos: 
2x + 8y = 56
- 2x + 4y = +28
Basta fazer aquele processo que já
conhecemos: 
2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
8y + 4y = 84
 
12y = 84
y = 84/12
y = 7
x - 2y = -14
x - 2.7 = -14
x = 28 
Para quem tem mais prática, o método de
adição pode ser um pouco mais rápido para o
Enem. 
Saber resolver equações de primeiro e segundo
grau serve como base para diversos outros
assuntos não apenas de matemática, mas
também nas demais matérias de exatas.
1°
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://ead.univille.edu.br/blog/materias-enem
DEFINIÇÃO
?
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
A equação do segundo grau recebe esse nome
porque é uma equação polinomial cujo termo
de maior grau está elevado ao quadrado.
Também chamada de equação quadrática, é
representada por:
ax² + bx + c = 0
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e
representa um valor desconhecido. Já as letras
a, b e c são chamadas coeficientes da
equação.
Os coeficientes são números reais e o
coeficiente a tem que ser diferente de zero,
pois do contrário passa a ser uma equação do
1º grau.
bx + c = 0
 
Resolver uma equação de segundo grau,
significa determinar os valores reais de x, que
tornam a equação verdadeira. Esses valores
são denominados raízes da equação.
Uma equação do segundo grau possui no
máximo duas raízes reais.
Vamos começar com a seguinte equação:
2x² + 3y = 37
x² - y = 4
Para começar, pegamos a equação mais fácil
de isolar, que é a primeira nesse caso: 
x² = 4 + y
Substituindo na equação anterior: 
 
2x² + 3y = 37
2.(4 + y)² + 3y = 37
2.(16 + y²) + 3y = 37
32 + 2y² + 3y = 37 
Agora, precisaremos organizar a equação
para utilizar a fórmula de Bháskara:
32 + 2y² + 3y = 37
+ 2y² +3y - 5 = 0 
Primeiro, descobriremos o delta: 
Δ= b2- 4ac
Δ = (3)² - 4.2.-5
Δ = 9 + 40
Δ = 49 
Em seguida, vamos descobrir os dois valores de
y com as duas fórmulas a seguir:
Equações do 2º Grau Completas e
Incompletas
As equações do 2º grau completas são aquelas
que apresentam todos os coeficientes, ou seja
a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
ax² + bx + c = 0
 
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é
completa, pois todos os coeficientes são
diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Uma equação do segundo grau é incompleta
quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.
2°
Substituição
Passo a passo para resolver equações
de segundo grau 
Assim como a equação de primeiro grau, você
também pode fazer pelo modelo de adição ou
substituição. Vamos aprender: 
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Portanto, temos: 
Y’ = (-3 + 49√)/ 2.2
Y’ = (- 3 + 7) / 4
Y’ = 4/4
Y’ = 1
Y’ = -3 - 49√ / 2.2
Y’ = (-3 - 7) / 4
Y’ = -10/4
Y’ = -5/2 
Agora, descobriremos os valores de x,
substituindo em qualquer uma das equações: 
 
x² - y = 4
x² - (1) = 4
x² -1 = 4
x² = 4 +1
x² = 5
x = 5√
x² - y = 4
x² - (-5/2) = 4
x² +5/2 = 4
x² = 4 -5/2
x² = 3/2
x = 32√
-y² = -16 (.-1)
y² = 16
y = 16√
y’= 4
y’’ = -4
Nesse caso, sabemos o valor do y, mas ainda
não sabemos os dois valores de x.
Podemos assim substituir em qualquer uma das
equações para encontrar:
2x² + 3y² = 64
2x² + 3.(4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√
 
Com o segundo Y:
2x² + 3-² = 64
2x² + 3.(-4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√
O processo com adição é bem semelhante ao
modelo anterior da equação de primeiro grau.
Confira:
x² + 2y² = 24
2x² + 3y² = 64
Como as incógnitas não estão opostas,
precisamos multiplicar a primeira por (-2),
ficando:
x² + 2y² = 24 (. -2)
-2x² -4y² = -48
Pronto, agora é só somar as duas equações:
(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= - 48 +64
(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= -16
3y² - 4y² = -16
2°
Adição
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
DEFINIÇÃO
?
A formação de uma função do 1º grau é
expressa da seguinte forma: 
y = ax + b, onde a e b são números reais e a é
diferente de 0.
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma
dependente da outra, isto é, para cada valor
atribuído a x corresponde um valor para y.
Definimos essa dependência como função,
nesse caso, y está em função de x. O conjunto
de valores conferidos a x deve ser chamado
de domínio da função e os valores de y são a
imagem da função.
Toda função é definida por uma lei de
formação, no caso de uma função do 1º grau a
lei de formação será a seguinte: y = ax + b,
onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os
Reais.
A representação gráfica de uma função do 1º
grau é uma reta. Analisando a lei de formação
y = ax + b, notamos a dependência entre x e y,
e identificamos dois números: a e b. Eles são os
coeficientes da função, o valor de a indica se
a função é crescente ou decrescente e o valor
de b indica o ponto de intersecção da função
com o eixo y no plano cartesiano. Observe:
Função crescente: à medida que os valores de
x aumentam, os valores correspondentes em y
também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores
de x aumentam, os valores correspondentes de
y diminuem.
Função Crescente
Função Decrescente
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1 
y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma
função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em
que y assume valor igual a zero, a reta
intersecta o eixo x em um determinado ponto,
determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2
intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10
intersecta o eixo x no seguinte valor: 5 
FUNÇÃO
FUNÇÃO DO 1° GRAU
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
DEFINIÇÃO
?
FUNÇÃO
y = – 7x + 7
y = 0
–7x + 7 = 0
–7x = –7
x = 1
A reta representada pela função y = –7x + 7
intersecta o eixo x no seguinte valor: 1
y = 3x
y = 0
3x = 0
x = 0
A reta representada pela função y = 3x
intersecta o eixo x no seguinte valor: 0
Exemplos de funções do 2º grau
a) 
f(x) = 2x²+3x + 1
a = 2
b = 3
c=1
b) 
g(x) = -x² + 4
a = -1
b = 0
c = 4
c) 
h(x) = x² – x
a = 1
b = -1
c = 0
FUNÇÃO DO 2° GRAU
as raízes da função quadrática, calculadas
pelo x’ e x”;
o vértice da parábola, que pode ser
encontrado a partir de fórmulas
específicas.
Definimos como função do 2º grau, ou função
quadrática, a função R → R, ou seja, uma
função em que o domínio e o contradomínio
são iguais ao conjunto dos números reais, e que
possui a lei de formação f(x) = ax² +bx +c.
O gráfico da função quadrática é sempre uma
parábola e possui elementos importantes, que
são:
Uma função polinomial é conhecida como
função do 2º grau, ou também como função
quadrática, quando em sua lei de formação
ela possui um polinômio de grau dois, ou seja,
f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são númerosreais, e a ≠ 0. Além da lei de formação, essa
função possui domínio e contradomínio no
conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R.
Valor numérico de uma função
Para encontrar o valor numérico de qualquer
função, conhecendo a sua lei de formação,
basta realizarmos a substituição do valor de x
para encontrar a imagem f(x).
Dada a função f(x) = x² + 2x – 3, calcule:
a) f(0)
f(0) = 0² +2·0 – 3 = 0 + 0 – 3 = –3
b) f(1)
f(1) = 1² + 2·1 + 3 = 1+2 – 3 = 0
c) f(2)
f(2) = 2² + 2·2+3 = 4+4–3=5
d) f(-2)
f(-2) = (-2)² + 2·(-2) – 3
f(-2) = 4 - 4 – 3 = –3
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/polinomios.htm
Se a > 0, a concavidade é para cima:
Se a < 0, a concavidade é para baixo:
os zeros da função;
o ponto em que a função intercepta o eixo
y;
o ponto de máximo ou de mínimo da
parábola, que conhecemos como vértice
da parábola.
O gráfico de uma função do 2º grau é
representado sempre por uma parábola.
Existem duas possibilidades, dependendo do
valor do coeficiente “a”: a concavidade da
parábola pode ser para cima ou para baixo.
O ponto V representa o que conhecemos como
vértice da parábola, que, nesse caso, é o ponto
de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode
assumir.
Quando isso ocorre, perceba que, nesse caso, o
vértice é o ponto de máximo da função, ou
seja, maior valor que f(x) pode assumir.
Para fazer o esboço do gráfico, precisamos
encontrar:
FUNÇÃO
Para encontrar as raízes da função quadrática,
conhecidas também como zero da função, é
necessário o domínio das equações do
segundo grau. Para resolver uma equação do
segundo grau, há vários métodos, como a
fórmula de Bhaskara e a soma e produto.
A raízes de uma função quadrática são os
valores de x que fazem com que f(x) = 0.
Sendo assim, para encontrar as raízes de uma
equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.
f(x) = x² +2x – 3
a = 1
b = 2
c = –3
Δ =b² – 4ac
Δ=2² – 4 ·1·(-3)
Δ=4 +12
Δ = 16
Raízes da função de 2º grau
Δ > 0 → a função possui duas raízes reais
distintas;
Δ = 0 → a função possui uma única raiz
real;
Δ < 0 → a função não possui raiz real.
Então, os zeros da função são {1, -3}.
O valor do delta nos permite saber quantos
zeros a função quadrática vai ter. Podemos
separar em três casos:
Exemplo:
Gráfico de uma função do 2º grau
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/parabolas.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
2º passo: encontrar o vértice da parábola.
3º passo: encontrar o ponto de intersecção
da parábola com o eixo y.
4º passo: Agora que temos os pontos, vamos
marcá-los no plano cartesiano e fazer o
esboço do gráfico da parábola.
Então o vértice da parábola é o ponto V(3, -1).
Para isso, basta calcular f(0):
f(x) =x² – 6x + 8
f(0) = 0² -6·0 + 8
f(0) = 8
Por fim, o ponto C (0,8) pertence ao gráfico.
A(4,0)
B(2,0)
V(3,-1)
C(0,8)
FUNÇÃO
1º passo: As raízes da função são os pontos
em que a parábola toca o eixo x, logo
queremos encontrar os pontos (x’, 0) e
(x”,0).
Para realizar o esboço do gráfico de uma
função, é necessário encontrar três elementos:
os zeros ou raízes da função, o vértice e o
ponto em que a função toca o eixo y, conforme
o exemplo a seguir.
f(x) = x² – 6x + 8
Para isso faremos f(x) = 0, então temos que:
x² – 6x + 8=0
a= 1
b= -6
c = 8
Δ = b² -4ac
Δ = (-6)² -4·1·8
Δ = 36 – 32
Δ = 4
Vértice da parábola
Exemplo:
2º passo: encontrar o vértice da parábola.
Já temos dois pontos para o gráfico, o ponto
A(4,0) e o ponto B (2,0).
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
Após substituir o valor de x, na segunda
equação, podemos resolvê-la, da seguinte
maneira:
3 . (12 -y) - y = 20
36 - 3y - y = 20
-4y = 20 - 36
4y = 16
y = 16/4
y = 4
Agora que encontramos o valor do y, podemos
substituir esse valor da primeira equação, para
encontrar o valor do x:
x + 4 = 12
x = 12 - 4
x = 8
Assim, a solução para o sistema dado é o par
ordenado (8, 4). Repare que esse resultado
tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8
+ 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20.
DEFINIÇÃO
?
Resolva o seguinte sistema de equações:
Vamos começar escolhendo a primeira equação
do sistema, que é a equação mais simples, para
isolar o x. Assim temos:
No método da adição buscamos juntar as duas
equações em uma única equação, eliminando
uma das incógnitas.
Para isso, é necessário que os coeficientes de
uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem
ter o mesmo valor e sinais contrários.
Para exemplificar o método da adição, vamos
resolver o mesmo sistema anterior:
Note que nesse sistema a incógnita y possui
coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos
começar a calcular somando as duas equações,
conforme indicamos abaixo:
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Um sistema de equações é constituído por um
conjunto de equações que apresentam mais de
uma incógnita. Para resolver um sistema é
necessário encontrar os valores que satisfaçam
simultaneamente todas as equações.
Um sistema é chamado do 1º grau, quando o
maior expoente das incógnitas, que integram
as equações, é igual a 1 e não existe
multiplicação entre essas incógnitas.
Como resolver um sistema de equações
do 1º grau?
Podemos resolver um sistema de equações do 1º
grau, com duas incógnitas, usando o método da
substituição ou o da soma.
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das
equações e isolarmos uma das incógnitas, para
determinar o seu valor em relação a outra
incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra
equação.
Desta forma, a segunda equação ficará com uma
única incógnita e, assim, poderemos encontrar o
seu valor final. Para finalizar, substituímos na
primeira equação o valor encontrado e, assim,
encontramos também o valor da outra incógnita.
Exemplo:
Método da Adição
Exemplo:
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
Um sistema do 1º grau, com duas incógnitas x e y,
formado pelas equações a1x + b1y = c1 e a2x +
b2y = c2, terá a seguinte classificação: possível e
determinado, possível e indeterminado e
impossível.
O sistema será possível e determinado quando
apresentar uma única solução. Isso acontecerá
quando:
Quando o sistema apresentar infinitas soluções,
será classificado como possível e indeterminado.
A condição para que um sistema seja desse tipo
é:
Já os sistemas impossíveis, não possuem nenhuma
solução. Nesse tipo de sistema temos:
Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x,
portanto agora, podemos resolver a equação:
Para encontrar o valor do y, basta substituir
esse valor em uma das duas equações. Vamos
substituir na mais simples:
Note que o resultado é o mesmo que já
havíamos encontrado, usando o método da
substituição.
Quando as equações de um sistema não
apresentam incógnitas com coeficientes
opostos, podemos multiplicar todos os termos
por um determinado valor, a fim de tornar
possível utilizar esse método.
Por exemplo, no sistema abaixo, os
coeficientes de x e de y não são opostos:
Portanto, não podemos, inicialmente, anular
nenhuma das incógnitas. Neste caso, devemos
multiplicar por algum número que transforme o
coeficiente em um número oposto do
coeficiente da outra equação.
Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira
equação por - 2. Contudo, devemos ter o
cuidado de multiplicarmos todos os termos por
- 2, para não modificarmos a igualdade.
Assim, o sistema equivalente ao que queremos
calcular é:
Agora, é possível resolver o sistema por adição,
conforme apresentado abaixo:
Logo, x = - 12, não podemos esquecer de
substituir esse valor em uma das equações para
encontrar o valor do y. Substituindo na primeira
equação, temos:
Assim, a solução para o sistema é o par
ordenado (- 12, 60)
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Classificaçãodos sistemas de equações
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com
Classifique o sistema abaixo:
Para identificar o tipo de sistema, vamos
calcular a razão entre os coeficientes das
equações:
Como
Então, o sistema é impossível.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Exemplo:
Rascunho
J O Ã O G U I
S T U D I E S
Licenciado para - m
elissa fonseca - 01738106241 - P
rotegido por E
duzz.com