Projeto de Fundações com Estacas

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PROJETO E EXECUÇÃO DE FUNDAÇÕES 
PROFUNDAS COM ESTACAS 
(Estacas carregadas transversalmente no topo) 
 
PROFESSOR 
Urbano Rodriguez Alonso 
MÊS DE 2016 
 
DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS 
contato@engeduca.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
ESTACAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE NO TOPO 
 
Urbano Rodriguez Alonso 
1- CONCEITOS BÁSICOS (Coeficiente de reação e Módul o de reação) 
 
1.1) Coeficiente de reação horizontal. 
 
 Em 1955, num trabalho clássico sobre o assunto, Terzaghi definiu o coeficiente de reação 
horizontal, kz, de um solo, na profundidade z, como sendo a relação entre a tensão unitária (σz) 
atuante nessa profundidade (z) e o deslocamento (y) sofrido pelo solo (Figura 1). 
 
 
y
k z
z
σ
= 
 
Figura 1: Conceito do coeficiente de reação horizon tal 
 
 A unidade do coeficiente de reação horizontal é [FL-3] ou seja kgf/cm3; tf/m3; kN/m3, etc. 
 
 Cabe lembrar que a utilização do coeficiente de reação horizontal no estudo das estacas 
carregadas transversalmente no topo pressupõe que o solo seja admitido como um meio contínuo. 
 
 É importante ressaltar que o coeficiente de reação horizontal não é uma característica do 
solo dependendo, dentre outros fatores, da largura (ou diâmetro) da estaca, decrescendo com o 
aumento desta, como já alertava Terzaghi em 1955, a seguir resumido (Figura 2). 
 
Figura 2: Deslocamentos horizontais em função da la rgura (diâmetro) da estaca 
 
 Antes da atuação de qualquer carregamento horizontal na estaca, o terreno exerce em 
qualquer ponto da superfície lateral da mesma uma tensão po que é igual ao empuxo no repouso 
(estacas escavadas) ou maior que este (estacas cravadas). 
 
 
 
3 
 Se a estaca é deslocada para um lado, a tensão na face do lado contrário decresce para um 
valor muito pequeno. Pelo efeito de arco que aí se desenvolve, esse valor é menor que o 
correspondente empuxo ativo, podendo ser desprezado. 
 
 Cabe lembrar que esta consideração só é válida para o caso de estacas isoladas ou estacas 
em grupo com espaçamento relativo grande, não se aplicando ao caso de cortinas nem mesmo 
ao caso de estacas com espaçamento pequeno, pois nestes casos não existe o efeito de arco. 
 
 Em função do deslocamento sofrido pela estaca, na face do lado do movimento atuará uma 
tensão pp que será maior que a tensão no repouso. O deslocamento para produzir esta variação 
é tão pequeno que pode ser desprezado. Então, no início do deslocamento, as tensões nas faces 
da estaca a uma profundidade qualquer serão: 
 
 
- face do lado do carregamento: pa =0 
- face do lado contrário ao carregamento: pp = po
´ >po 
 
Ao se completar o deslocamento os valores acima serão, respectivamente: 
pa =0 e pp = po
´+kz*y 
 
 Ainda observando a Figura 2, verifica-se que para uma mesma tensão σz, o deslocamento 
y aumenta com o aumento da largura (ou diâmetro) da estaca pois seu bulbo de tensões aumenta. 
Se admitirmos que para uma largura (diâmetro) da estaca D1 o bulbo de tensões é L1 ao se 
comparar com outra estaca de largura n*D1 teremos um bulbo de tensões n*L1 ou seja, para a 
mesma tensão σz, o deslocamento aumentará de y para n*y. Como o coeficiente de reação é a 
relação entre a tensão e o deslocamento ocorrido, verifica-se que esse coeficiente diminui à 
medida que a largura (diâmetro) da estaca aumenta (efeito de escala). Daí porque o coeficiente 
de reação horizontal não é uma característica do solo pois depende também da largura carregada, 
com mesma tensão σz. 
 
1.2) Módulo de reação horizontal 
 
 Para eliminar o inconveniente acima exposto, em 1956, Matlock e Reese propuseram utilizar 
o módulo de reação K definido como sendo a tensão aplicada ao solo pela estaca, concentrada 
ao longo do seu eixo, dividido pelo deslocamento (Figura 3). 
 
 
y
p
K = 
 
 
 
Figura 3: Transformação da tensão média em carga li near 
 
 
4 
 Verifica-se que o módulo de reação K pode ser correlacionado com o coeficiente de reação 
kz tendo em vista que p = σz*D. Assim pode-se escrever: 
 
 
y
Dz
y
p
K
*σ== ou seja: K = kz*D 
 
 Esta nova maneira de expressar a reação do solo elimina o problema do efeito de escala 
uma vez que a largura (diâmetro) D da estaca já está embutido no valor de p e, portanto, o valor 
de K pode ser tabelado em função do tipo de solo, como se verá adiante. 
 
 A unidade do módulo de reação é [FL-2] ou seja tf/m2; kN/m2, etc, analogamente ao “módulo 
de elasticidade”. 
 
2- Modelo de Winkler (coeficiente de mola horizonta l) 
 
 Uma outra maneira de se estudar as estacas carregadas transversalmente é a utilização do 
modelo proposto por Winkler em 1875. Este modelo é a base da grande maioria dos métodos de 
cálculo empregados no estudo de estacas sujeitas a esforços transversais e consiste na 
substituição do solo por uma série de molas independentes (meio descontínuo) conforme se 
mostra na Figura 4. 
 
 
Figura 4: Modelo de Winkler 
 
 Neste caso define-se coeficiente de mola Km,i a relação entre a força resistida pela mola e 
o deslocamento por ela sofrido. 
 
 
i
z
i
i
mi y
p
y
F
K
∆
==
*
 
 Embora este modelo de Winkler não represente, na totalidade, a realidade física do 
problema, é o que tem sido mais utilizado no estudo de deslocamentos e esforços em estacas 
carregadas transversalmente, ainda mais que hoje em dia o uso de programas de computador 
permite utilizar esse modelo empregando métodos de elementos finitos e método de diferença 
finitas. 
 
 O estudo utilizando elementos finitos ou ainda diferenças finitas foge ao escopo deste 
trabalho e, portanto, nos basearemos em métodos elásticos em meios contínuos. 
 
3- Variação do módulo de reação com a profundidade 
 
 As variações mais simples do módulo de reação K com a profundidade são “constante” 
(Figura 5a) e “crescente linearmente” (Figura 5b). 
 
 
5 
 
 (a) (b) 
Figura 5: Variação do módulo de reação horizontal c om a profundidade 
 
 O primeiro caso corresponderia aos solos que apresentam características de deformação 
mais ou menos independentes da profundidade e, portanto, a reação do solo p pode ser 
considerada uniforme (Figuras 2a e 5a). Os solos que se enquadram neste tipo são argilas pré-
adensadas (argilas rijas a duras). Para esses solos pode-se escrever: 
 
 
y
p
K = = constante 
 O segundo caso corresponde aos solos que apresentam características de deformação 
proporcionais à profundidade, como, por exemplo, os solos de comportamento granular (areias) e 
as argilas normalmente adensadas (Figura 2b e 5b). Para esses solos pode-se escrever: 
 
 K = ηh*z 
 
sendo ηh foi denominado “constantes do módulo de reação horizontal”. 
 
 Os valores de K (constante) e ηh podem ser obtidos, por exemplo, em Davisson (1963) 
transcritos nas Tabelas 1 e 2. 
 
Tabela 1: Valores do módulo de reação horizontal K das argilas pré-adensadas 
Argilas pré -adensadas Valor de K (MPa) 
consistência qu (kPa) ordem de grandeza valor provável 
Média 20 a 40 0,7 a 4,0 0,8 
Rija 100 a 200 3,0 a 6,5 5,0 
Muito rija 200 a 400 6,5 a 13,0 10,0 
Dura >400 >13,0 19,5 
Nota: qu = 2*su = resistência à compressão simples. 1 tf/m2 = 10kPa e 1MPa = 10 kgf/cm2 
 
Tabela 2: Valores da constante ηh do módulo de reação horizontal 
Compacidade da areia ou NSPT Valores de ηh (MN/m3) 
Consistência da argila Seca Submersa 
Areia fofa 4 a 10 2,6 1,5 
Areia mte. Compacta 10 a 30 8,0 5,0 
Areia compacta 30 a 50 20,0 12,5 
Silte muito fofo - - 0,1 a 0,3 
Argila muito mole - - 0,55 
Nota: Para obter ηh em kgf/cm3 dividir os valores da Tabela por 10 e para obter ηh em tf/m3 
multiplicar os valores da Tabela por 100. 
 
 
 
6 
 
 Vários outros valores de ηh podem ser obtidos na Tese de Mestrado de Zammataro (2007). 
Entretanto conforme Terzaghi, os erros na avaliação de K (constante ou variando com a 
profundidade) tem pouca influêncianos cálculos dos momentos e cortantes, pois a equação para 
sua determinação engloba uma raiz quarta (quando K = cte.) ou uma quinta (quando K = ηh.z). A 
influência ocorre nos deslocamentos previstos. 
 
 Um outro aspecto importante é que o comportamento da estaca é muito influenciado pelo 
solo que ocorre nos primeiros metros. Por exemplo, Matlock e Reese concluem que, no caso de 
areias , o comportamento da estaca é comandado pelo solo que ocorre até a profundidade z = T, 
em que: 
 
 5
.
h
IE
T
η
= 
 
 No caso das argilas pré-adensadas , conforme se mostra na Figura 7, o refinamento de K 
deverá ser restrito à profundidade z = 0,4R, em que: 
 
 4
.
K
IE
R = 
 
 Aqueles que quiserem se aprofundar no tema podem recorrer ao trabalho de Zammarato e 
também ao livro de Sherif (1974)que apresenta 13 variações de K com a profundidade (Figura 6), 
nos quais estão englobados os dois acima. 
 
 
 
7 
Figura 6: Variações do módulo de reação horizontal estudados por Sherif 
 Davisson sugere que, mesmo para o caso de argilas pré-adensadas, admita-se uma 
variação de K em degrau conforme mostrado na Figura 7 
 
Figura 7: Redução do módulo de reação horizontal em argilas pré-adensadas 
 
3- CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO 
 
O projeto de estacas carregadas transversalmente no topo deve contemplar dois objetivos 
simultaneamente: 
 
a) cálculo dos esforços nas estacas que permitam seu dimensionamento estrutural e obtenção 
dos deslocamentos sofridos sob a ação dessas cargas. 
 
b) verificação da segurança contra a ruptura do solo que lhe dá suporte. 
 
 Para se atingir o primeiro objetivo, tem que se lançar mão de um esquema estrutural 
conveniente, havendo dois casos extremos conforme se indica na Figura 8. O primeiro 
(denominada estaca longa ou também “flexível”) é o que fornece resistência de ponta nula devido 
apenas aos carregamentos transversais no topo. O segundo (denominada estaca curta ou também 
“rígida”) é aquele em que a resistência do solo sob a ponta da estaca é significativa para o 
equilíbrio dos carregamentos transversais aplicadas no topo da estaca. 
 
Figura 8: Diferenciação entre estacas longas e curt as 
 
 
8 
 Para o caso da estaca curtas a mesma se comporta como corpo rígido, sendo a 
estabilidades da mesma estudada com base nas três equações da estática, após se estabelecer 
uma lei de variação do módulo de reação horizontal do solo. Por outro lado, o diagrama de 
momentos, ao longo do eixo da estaca, neste caso, não será nulo no pé da mesma. 
 
 Entre esses dois casos extremos situam-se as estacas “intermediárias”, porém não 
conhecemos um procedimento de cálculo adequado para as mesmas na literatura disponível. 
Assim sendo, nestas notas sobre o assunto nos dedicaremos apenas as estacas longas e curtas. 
 
A estaca será considerada longa quando o comprimento enterrado da mesma for: 
 
 L ≥ 4T (solos com K = ηh.z) 
 
 L ≥ 4R (solos com K = constante). 
 
 Para se atender ao segundo objetivo (segurança contra a ruptura), torna-se necessário 
comparar o diagrama de tensões aplicadas pela estaca ao solo com o diagrama de tensões de 
ruptura do mesmo. 
 
 Cabe lembrar que tanto na análise do primeiro como do segundo objetivos torna-se 
necessário levar em conta as condições de contorno do topo e do pé da estaca, bem como da 
posição do carregamento transversal sobre a mesma em relação ao nível do terreno. 
 
4- EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE UMA ESTACA LONGA IMERSA E M MEIO ELÁSTICO 
 
 A equação diferencial de uma estaca longa imersa em meio elástico, Figura 9, segundo 
Hetenyi (1946) é: 
 0
2
2
4
4
=++ Ky
dz
yd
P
dz
yd
EI 
 
Que para P = 0 se escreve 
 
 0
4
4
=+ Ky
dz
yd
EI 
 
Figura 9: Estaca longa 
 
 
9 
em que: E = módulo de elasticidade do material da estaca 
 I = momento de inércia da seção transversal da estaca em relação ao eixo baricêntrico, 
 normal ao plano de flexão. 
 
 Para se resolver a equação diferencial acima podem-se usar métodos numéricos ou 
analíticos. 
 
 O método numérico mais empregado é o das diferenças finitas. Este método, abaixo 
exposto, facilita o estudo das estacas longas imersas em solo com qualquer lei de variação do 
coeficiente de reação. 
 
 Já os métodos analíticos têm sido desenvolvidos quase que exclusivamente para os casos 
em que o módulo de reação horizontal é constante ou cresce linearmente com a profundidade. 
 
5- MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS 
 
 Na Figura 10 apresentam-se as correspondências entre as diversas curvas que interessam 
ao problema, expressa em equações diferenciais. 
 
Figura 10: Linhas de estado de estacas longas 
 
 As mesmas equações acima, expressas em diferenças finitas, está apresentado na Figura 
11, onde a estaca é dividida em n segmentos iguais. 
 
Os n segmentos em que foi dividida a estaca fornece n + 1 onde se pretende obter os 
deslocamentos y, a rotação θ, etc. 
 
Figura 11: Divisão da estaca para análise por difer enças finitas 
 
 
10 
 
 
Essa equação aplicada aos nós 1 a (n -1) fornecem (n -1) equações. Por outro lado, existem 
mais quatro equações (duas no topo e duas no pé da estaca) e duas de equilíbrio estático. 
 
 Por exemplo, para o topo livre se escreve (i = 0) 
 
 
 Momento M0 = M � 
2
101 2
.






+−
= −
n
L
yyy
IEM 
 
 Cortante Q0 = H � 
3
2112
2
22
.






−+−
= −−
n
L
yyyy
IEH 
 
 Analogamente podem-se escrever as equações para o topo engastado e para as condições 
de contorno do pé. 
 
 Finalmente existem mais duas equações que devem ser introduzidas para resolver o 
problema que são as do equilíbrio estático (ΣH =0 e ΣM=0), já que P = 0. 
 
Obtém-se ao final um sistema de (n + 5) equações que, resolvido, fornece os (n + 5) 
deslocamentos sendo que nos nós -2, -1, (n +1) e (n + 2) esses deslocamentos são fictícios. 
 
Com base neste procedimento, Sherif (1974) apresentou uma série de Tabelas cobrindo 13 
variações do módulo de reação horizontal conforme mostrado na Figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
6- MÉTODOS ANALÍTICOS 
 
6.1) Solução de Miche (1930) 
 
 Este autor parece ter sido o primeiro a integrar a equação diferencial de uma estaca longa 
(L>4T) imersa em meio elástico com coeficiente de reação horizontal linearmente crescente com 
a profundidade (ainda não existia, àquela época, o conceito de módulo de reação) e sujeita 
apenas a carga horizontal H (M = 0), conforme Figura 12. 
 
Figura 12: Problema resolvido por Miche 
 
 As linhas de estado obtidas por Miche estão apresentadas na Figura 13, obtendo-se: 
 
 Deslocamento horizontal no topo: � 
IE
HT
y
.
.
4,2
3
0 = 
 
 Momento fletor máximo: � THM máx .79,0 na profundidade z= 1,32 T 
 sendo 5
.
h
IE
T
η
= 
 
 
Figura 13: Linhas de estado obtidas por Miche 
 
 
 
12 
6.2) Solução de Hetenyi (1946) 
 
 Este autor estudou o caso de uma viga sobre apoio elástico (apoio de trilhos de trem), 
portanto pode ser aplicado às estacas com coeficiente (ou módulo) de reação horizontal constante 
com a profundidade (Figura 14). Analogamente ao estudo de Miche este autor usa o conceito de 
coeficiente de reação horizontal pois à época de seu estudo ainda não existia o conceito de 
módulo de reação. 
 
Figura 14: Linhas de estacas segundo Hetenyi para e stacas longas com λ.L>4 = 4
4
EI
R = 
 Na Tabela 3 apresentam-se os coeficientes propostos por Hetenyi, seguno os quais se 
verifica que: 
 Deslocamento no topo da estaca: 
K
M
K
H
y
2
0
22 λλ += 
 
 Momento máximo que ocorre em λ.z = 0,7 � M
H
M máx 7,032,0 +=
λ
 
Tabela 3: Coeficientes propostos por Hetenyi 
 
 
 
13 
6.3) Método de Matlock e Reese (1956) 
 
 Estes autores apresentaram uma série de trabalhos sobre estacas carregadas 
transversalmente utilizando o conceito de módulo de reação horizontal trabalhando com curvas 
p-y. Estes autores, em particular Reese em parceria com Cox e outros (1969, 1974, 1975, etc) 
resolveram a equação diferencial usando a técnica da diferenciação com ajuda de computadores 
para qualquervariação das curvas p-y. 
 
 Para o caso particular do módulo de reação crescente linearmente com a profundidade, a 
equação diferencial poderá ser resolvida manualmente, pois neste caso, a equação dos 
deslocamentos toma a seguinte forma: 
 
 
EI
TM
B
EI
TH
Ay o
y
o
y
23
+= 
 
em que Ho e Mo são a força horizontal e o o momento aplicados no topo da estaca, admitido livre. 
 
 Ay e By parâmetros adimensionais conforme Tabela 4 e 5
.
h
IE
T
η
= 
 Por diferenciações sucessivas da equação acima obtém-se: 
 
 
EI
TM
B
EI
TH
A o
θθθ +=
2
0 
 omom MMTHAM += 
 
T
M
BHAQ o
Qoq += 
 
2T
M
B
T
H
Ap o
p
o
p += 
 
6.4) Método de Davison e Robinson 
 
 Estes autores resolveram a equação diferencial que rege o fenômeno das estacas longas 
(L>4T ou 4R) carregadas transversalmente procurando analisar não só o problema dos esforços 
transversais, mas também o problema de flambagem. Para tanto a estaca é substituída por outra 
equivalente (Figura 15), engastada a uma certa profundidade, de tal sorte que se atendam dois 
requisitos: 
 
 a) no estudo da flexão a estaca substituta tenha a mesma flecha. 
 
 b) no estudo da flambagem a estaca substituta tenha a mesma carga crítica. 
 
Figura 15: Estaca equivalente proposta por Davison e Robinson 
 
 
14 
Tabela 4: Coeficientes propostos por Matlock e Rees e (solos com K linearmente crescente) 
 
 
 
 
 
15 
1º Caso: Solo com K = cte 
 
 
R
L
J u
R = 
 
 LS = SR.R 
 
2º Caso: Solo com K = ηh.z 
 
 
T
L
J u
T = 
 
 LS = ST.T 
 
 
 gráficos para flexão gráficos para flambagem 
Figura 16: Coeficientes de S R e ST de Davison e Robinson 
 
 A carga crítica de flambagem Pfl de uma estaca é: 
 
 
fl
fl L
IE
P
..2π
 
 Para o caso mostrado na Figura 15 (topo livre e pé engastado) Lfl = 2*Le onde: 
 
 Le = (SR + JR)R (para K = cte) e Le = (ST + JT)T para K=ηh.z 
 
 Assim, para o caso topo livre e pé engastado tem-se: 
 
22
2
)(4 RR
fl JSR
EI
P
+
= π
 para K=cte e 
22
2
)(4 TT
fl JST
EI
P
+
= π
para K =ηh.z 
 
 Para o caso do topo da estaca ser também engastado permitindo translação, tem-se Lfl =Le 
e, portanto: 
 
 
16 
22
2
)( RR
fl JSR
EI
P
+
= π
 para K = cte e 
22
2
)( TT
fl JST
EI
P
+
= π
 para K = ηh.z 
 
 O procedimento de Davison e Robinson é extremamente útil quando se tem que incorporar 
as estacas à superestrutura para efeito de análise estrutural. É o caso, por exemplo, de pontes, 
cais de portos e estruturas off-shore. 
 
 Cabe finalmente lembrar que o procedimento de Davison e Robinson conduz a 
deslocamentos do topo da estaca com razoável aproximação. Entretanto, por não levar em conta 
a reação do solo na parte enterrada, tende a conduzir a valores do momento fletor muito 
desfavoráveis. Sobre este assunto sugere-se recorrer a tese de mestrado de Diniz (1972). 
 
6.5) Solução para “estaca curta” (comprimento < 4T) 
 
 A solução de estacas curtas imersas em meio elástico é obtida a partir das três equações 
de equilíbrio da estática, uma vez que se admite que as mesmas sofram deslocamentos de corpo 
rígido. 
 
 Tendo em vista que a estaca é curta e o mostrado na Figura 7 o estudo neste caso costuma 
ser feito para solos com K = ηh.z, mesmo em argilas pré-adensadas. 
 
 O método mais difundido entre nós é o chamado método russo, adaptado pelo engenheiro 
Paulo Faria, para o caso de tubulões circulares com a base alargada, conforme Velloso (1973), 
cujo resumo das expressões é apresentado a seguir. Mais recentemente o prof. Dirceu Velloso 
juntamente com Francisco Lopes apresentaram o livro de Fundações (vol 2) que é uma fonte que 
pode ser consultada. 
 
Figura 17: “Estaca curta” 
 
Chamando KV o coeficiente de reação vertical (levando em conta o diâmetro da base) do solo que 
serve de apoio à base do tubulão; Kl=ηhl./Df, o módulo de reação horizontal, na profundidade l e 
Ab a área da base do tubulão, as equações de equilíbrio conduzem às seguintes expressões: 
 
 ϕ..
3
2
..
2
l
DlK
H
y
fl
+=∆ 
 
bv AK
P
z
.
=∆ 
 
23 ..
16
3
..
12
1
3.2
bbpfl DAKDlK
MlH
+
+=ϕ 
 
 
17 
 Tensões ao longo do fuste e sob a base 
 
 ϕσ .. 2z
l
K
yz
l
K ll
z +∆= cujos valores máximo são: 
 
 
l
yK l
máxz ..4
2
, ϕ
σ ∆
−= 
 
 ( )ylK la ∆−= ϕσ .´ 
 
 ϕσ
2
.
,
bv
b
ba
DK
A
V ±= 
 
 Ponto de giro: 
y
y
zo
∆= 
 
 Para se considerar o tubulão estável, basta atender às seguintes condições: 
 
 ( )aPa KKl −< .´ γσ 
 
 s
ba σσσ
≤
+
2
 
em que: γ é peso específico do solo que envolve o tubulão (em termos de tensão efetiva) 
Ka e KP coeficientes de empuxo, ativo e passivo 
σs tensão admissível do solo de apoio da base do tubulão. 
 
7- COEFICIENTES DE SEGURANÇA À RUPTURA 
 
 O cálculo de estacas submetidas a cargas transversais não se pode restringir apenas à 
obtenção dos momentos, cortantes e deslocamentos, que permitem dimensionar a peça. Há 
necessidade de se verificar se o solo que serve de suporte à mesma apresenta satisfatório 
coeficiente de segurança à ruptura. Para esse cálculo é comum se utilizar o método proposto por 
Broms em diversos trabalhos (1964 a 1972). 
 
 Este autor estudou as estacas carregadas transversamente pelo método da ruptura. Para 
tanto, estabeleceu mecanismos possíveis de ruptura apresentados nas Figura 18 e 19, admitindo 
que as estacas longas rompem pela formação de uma ou duas rótulas plásticas e as curtas quando 
a resitência do solo é vencida. 
 
 Este autor usa o conceito de coeficientes parciais: 
 
Cargas permanentes CS = 1,5 
Cargas acidentais CS = 2,0 
Coesão do solo cd = 0,75su sendo su o valor da coesão não drenada 
Ângulo de atrito tgΦd = 0,75.tgΦ 
 
 Na Figura 19 a profundidade f é dada por: 
 Solos coesivos 
ds
H
f
u
R
..9
= e nos solos granulares 
P
R
Kd
H
f
..
82,0
γ
= 
 
em que HR é a carga horizontal de ruptura 
 
 
18 
 
Figura 18: Mecanismos possíveis de ruptura em estac as curtas e “intermediárias” 
 
 
19 
 
Figura 19: Mecanismos de ruptura possíveis para est acas longas 
 
 As cargas de ruptura horizontais são obtidas da Figura 20a e 20b para os solos coesivos e 
Figuras 21a e 21b para os solos granulares, usando-se o seguinte procedimento: 
 
Figura 20 � entra-se na Figura 20a com a relação MR/su.d3 (sendo MR o momento de ruptura 
estrutural da estaca) e a seguir na Figura 20b com a relação L/d. O valor de HR será o obtido nessa 
análise das duas Figuras 20a e 20b. 
 
Figura 21 � Proceder de maneira análoga ao da Figura 20. 
 
Figura 20: Carga de ruptura lateral de estacas em s olo coesivo 
 
 
20 
 
Figura 21: Carga de ruptura lateral de estacas em s olos granulares 
 
8- OBTENÇÃO DE ηh ATRAVÉS DE PROVAS DE CARGA HORIZONTAL 
 
 As provas de carga horizontal podem ser realizadas usando o solo como elemento de reação 
(Foto 1) ou reagindo estaca contra estaca (Foto 2). 
 
Foto 1: Prova de carga horizontal usando o solo com o elemento de reação 
 
 
21 
 
Foto 2: Prova de carga horizontal com o macaco hidr áulico entre duas estacas 
 
 Qualquer que seja o tipo de reação utilizado obtêm-se a curava carga-deslocamento 
horizontal, conforme se mostra na Figura 22. 
 
Figura 22: Curva carga horizontal x deslocamento 
 
 Trabalhando no trecho em que H é proporcional a y, pode-se obter o valor de ηh seguindo-
se o roteiro abaixo: 
 
 Conhecidos Ho e yo correspondente e utilizando-se a Equação de Matlock e Reese pode-se 
escrever: 
 
IE
HT
y o
o .
.
435,2
3
= ou Miche (que praticamente a mesma) 
IE
HT
y o
o .
.
40,2
3
= 
 
e, portanto, obter o valor de T � aí pode-se obter o valor de ηh para esse terreno e tipo de estaca 
empregada por: 
 
5
.
T
IE
h =η 
 
Sobre este assunto recomendo a leitura de Alonso (2000) onde se obteve a constante do 
módulo de reação para estacas hélice contínua longas. Tendo em vista as duas equações acima 
pode-se também obter diretamente o valor de ηh apartir de H e y, ou seja: 
 
( ) 3
2
3
5
3
5
.
42,4
IEy
H
h =η 
 
 
22 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
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Estacas de Concreto Armado” – VIII CBMSEF, Porto Alegre. 
 
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Coeficiente de Reação Crescendo com a Profundidade” – SEFE IV – vol 2, p. 413 a 424. 
 
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– Journl of the School of Engineering, no 4, Giza, Egito. 
 
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23 
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Esforços Horizontais” – Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Civil, 
Arquitetura e Urbanismo.