MATEMÁTICA BÁSICA

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MATEMÁTICA BÁSICA 
BELO HORIZONTE / MG 
MATEMÁTICA BÁSICA 
2 
SUMÁRIO 
1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E 
POLINÔMIOS ................................................................................................................... 5 
1.1 Conjunto dos Números Reais: IR .............................................................. 5 
2 CONJUNTOS NUMERICOS ............................................................................ 7 
2.1 O ponto de vista Geométrico ..................................................................... 9 
2.2 O Conjunto de números reais .................................................................. 14 
2.3 Desigualdades e intervalos ..................................................................... 17 
2.4 Intervalos limitados e ilimitados de números reais .................................. 18 
3 TEORIA DOS CONJUNTOS .......................................................................... 19 
3.1 Conjunto finito e infinitos ......................................................................... 20 
3.2 Especificação de Conjuntos .................................................................... 24 
3.3 Diagramas de Venn ................................................................................. 25 
4 FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ............................................... 27 
4.1 Introdução ao conceito de Fração ........................................................... 28 
4.2 Elementos Gerais para a construção de Fração ..................................... 29 
4.3 Definição de Fração ................................................................................ 29 
4.4 Leitura de Frações .................................................................................. 30 
4.5 Tipos de Frações ..................................................................................... 31 
4.6 Propriedades fundamentais ..................................................................... 33 
4.7 A fração como uma classe de equivalência ............................................ 33 
4.8 Número Misto .......................................................................................... 34 
4.9 Simplificação de fração ........................................................................... 34 
4.10 Comparação de duas Frações ............................................................. 35 
4.11 Divisão de Fração ................................................................................ 36 
4.12 Operações com Frações ...................................................................... 37 
5 POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 42 
5.1 Potenciação ............................................................................................. 42 
5.2 Potências de mesma base ...................................................................... 44 
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3 
5.3 Potências de mesmo expoente ............................................................... 45 
5.4 Potência de potência ............................................................................... 46 
5.5 Notação cientifica .................................................................................... 46 
6 RADICIAÇÃO ................................................................................................. 47 
6.1 Generalização ......................................................................................... 48 
6.2 Definição ................................................................................................. 49 
6.3 Propriedades dos radicais ....................................................................... 50 
6.4 Redução de radicais ao mesmo índice.................................................... 50 
6.5 Racionalização de denominadores ......................................................... 51 
6.6 Potência de expoente racional ................................................................ 51 
6.7 Radicando negativo ................................................................................. 52 
6.8 Simplificação de expressões com radicais .............................................. 52 
6.9 Racionalização ........................................................................................ 52 
7 PRODUTOS NOTÁVEIS ................................................................................ 53 
7.1 Quadrado da soma de dois termos ......................................................... 54 
7.2 Quadrado da diferença de dois termos ................................................... 55 
7.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos ........................................ 56 
8 POLINOMIOS ................................................................................................ 57 
8.2 Fatoração de Polinômio........................................................................... 59 
8.3 Expressões numéricas, expressões algébricas e operações com 
polinômios .................................................................................................................61 
9 EXPRESSÕES COM NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS .................. 65 
10 VALOR NUMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA ........................ 68 
11 EQUAÇÃO DO 1° ....................................................................................... 74 
11.1 Definição de equação do 1° grau ......................................................... 76 
11.2 Raiz de uma equação .......................................................................... 77 
11.3 Como resolver uma equação do 1° grau com uma incógnita ............... 77 
12 EQUAÇÃO DO 2° GRAU ............................................................................ 79 
12.1 Resolução das Equações quadráticas ................................................. 81 
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4 
13 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU ...................................................................... 83 
13.1 Relação de Ordem ℝ ........................................................................... 83 
13.2 Propriedades das desigualdades ......................................................... 84 
14 FUNÇÕES .................................................................................................. 86 
14.1 Conceito de Função ............................................................................. 86 
14.2 Ampliando o conceito de Função ......................................................... 89 
15 GRÁFICOS DE FUNÇÕES ........................................................................ 95 
16 TEMÁTICA - SISTEMAS LINEARES .......................................................... 98 
17 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS E PROBLEMAS ....................................... 105 
18 OBTENÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMAIL DO 
PRIMEIRO GRAU ........................................................................................................ 110 
19 APLICANDO O CONCEITO DE DOMINIO, CONTRADOMINIO E 
IMAGEM........................................................................................................................117 
20 APLICAÇÃO DA IDEIA DE FUNÇÃO ....................................................... 128 
21 AS FUNÇÕES DE OFERTA E DEMANDA ............................................... 131 
22 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ........................................................................... 136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 
A teoria dos conjuntos criada por Georg Cantor perto do século XIX, logo despertou 
um interesse generalizado muito grande. Praticamente, não há hoje nenhum campo da 
matemática que não tenha recebido o seu impacto. O conceito de funções, por exemplo, 
passou por evoluções acentuadas. 
O estudante de matemática perceberá bem esse fato ao atentar para osvários 
refinamentos desse processo evolutivo, que acompanham seus progressos escolares 
desde os cursos mais elementares (ensino fundamental e médio) até os mais avançados 
e sofisticados em nível de pós-graduação. 
1.1 Conjunto dos Números Reais: IR 
Inicialmente, vamos recordar os diferentes tipos de números com os quais você 
certamente já adquiriu familiaridade no curso fundamental. 
Temos primeiro, os números naturais (0, 1, 2, 3, etc.). 
Juntando a eles os inteiros negativos (- 1, -2, -3, etc.), obtemos os conjuntos dos 
números inteiros. Se ao conjunto dos números inteiros acrescentarmos as frações, 
obteremos o chamado conjunto dos números racionais. 
Número racional é, então, todo número que possa ser representado na forma 
Onde p e q são números inteiros, sendo q diferente de zero. Sabemos que as 
frações podem ser representadas na forma decimal, dando origem a decimais finitos 
(2,034; 0,005) ou decimais periódicos (0,222...; 1,3434...). 
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais 
(números inteiros e os fracionários, positivos e negativos) com os números irracionais 
(números na forma decimal com infinitas casas decimais e não periódicos). 
 
 
Vamos relembrar alguns exemplos de números irracionais: 
 
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6 
π = 3,1415926 (razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência) e 
= 2,7182818284 (conhecido como número de Euler – Leonhard Euler/1707-1783). 
 
Coordenadas da reta 
Os números reais têm uma representação simples e muito útil, por meio dos pontos 
de uma reta. Para isso, tomamos um ponto qualquer de uma reta e a ele associamos o 
número zero; esse ponto que denotamos como 0 é chamado origem. Escolhemos, em 
seguida uma unidade de comprimento e marcamos cada ponto P da reta com um número 
real. Esta reta é chamada de reta numérica. Ela fica orientada, pois nela podemos 
distinguir dois sentidos de percurso: sentido positivo e sentido negativo. 
 
 
 
Acabamos de rever o conjunto dos números reais. Participe do espaço interativo 
e esclareça possíveis dúvidas. 
Vamos ampliar os nossos conhecimentos trabalhando um pouco com monômios, 
polinômios e expressões algébricas. 
Um pouco de história. Vamos lá! 
Estranha e intrigante é a origem da palavra álgebra. Ela não se sujeita a uma 
etimologia nítida como, por exemplo, a palavra aritmética que deriva do grego arithmos 
(número). 
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o 
retórico 
(ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o 
simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até 
tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton (1700). Mas as contribuições 
mais significativas de Viète estavam em sua De aequationum recognitione et 
emendatione, publicada postumamente, em 1615. Nesse trabalho ele: 
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a) Forneceu transformações para aumentar ou multiplicar as raízes de 
uma equação por uma constante; 
b) Demonstrou consciência das relações entre raízes e coeficientes de 
uma equação polinomial; 
c) Formulou uma transformação que desembaraça um polinômio de 
seu termo vizinho ao de maior grau. 
 
2 CONJUNTOS NUMERICOS 
Uma exposição sistemática dos conjuntos numéricos, utilizados na Matemática, 
pode ser feita a partir dos números usados para contar, chamados de números naturais. 
Estes números são conhecidos há tantos milênios que o famoso matemático Kronecker 
disse: “Deus criou os números naturais, todo o resto é obra do homem. ” 
A ideia do número zero só apareceu mais tarde, tendo sido introduzido pelos 
hindus. Uma notação para o mesmo surgiu a partir do século XI quando foi difundido e 
adotado o sistema de numeração decimal hindu. Este fato foi extremamente importante 
para a universalização da Matemática na sua forma escrita, uma vez que os seus 
símbolos são hoje lidos e compreendidos em quase toda parte do mundo. Apesar de 
historicamente o zero não ser um número “natural” (no sentido de usados para contar), 
incluir ou não o zero como número natural é uma questão de preferência pessoal ou 
então, de conveniência. Faremos, portanto, a nossa escolha. Usando a simbologia 
moderna de conjunto: 
 
Da ampliação de N para um conjunto “maior”, onde fosse possível a solução de 
equações do tipo x + 3 = 2, por exemplo, surgiram os números negativos, posteriormente 
incorporados ao conjunto dos números inteiros. Dessa forma, temos: 
 
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8 
Vale a pena ressaltar que os números negativos já foram chamados de “numeri 
absurdi” e “numeri ficti” e só a partir do século XVI foram incorporados à condição de 
números por algebristas italianos e, mais tarde, no século XIX, agrupados para formar o 
conjunto Z. 
Os números negativos tiveram uma aceitação relativamente recente. No entanto, 
problemas envolvendo frações já eram resolvidos pelos babilônios e egípcios, levados 
pelas necessidades básicas do dia a dia, muitos séculos antes de Cristo. O papiro egípcio 
Ahmes (ou Rhind) data de 1700 AC e contém, dentre outros, problemas envolvendo 
frações. 
Ampliando então o conjunto dos inteiros para que fosse possível a resolução de 
equações do tipo 3x = 4, por exemplo, surgiram os números racionais que são definidos 
𝑝 𝑞 
como: “números que podem ser escritos na forma 
𝑝
𝑞
, sendo p,q ∈ Z e 0 q ≠ ”. 
Considerando Q o conjunto dos números racionais temos: 
 
Algumas observações a respeito da definição de números racionais são 
necessárias. 
1) A definição de número racional diz: “Um número que pode ser escrito na forma 
𝑝
𝑞
, ...”. A expressão “pode ser” está sendo utilizado aí porque existem infinitas maneiras 
de escrever um dado número racional. Por exemplo, usando o fato que 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
↔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, 
temos que 
2
3
=
4
6
=
6
9
=
2𝜋
3𝜋
=
2√3
2√3
, etc... É desejável que a definição não dependa da 
maneira particular escolhida para representar um número. Assim, numa primeira 
observação de uma expressão nem sempre podemos dizer se ela representa, ou não, 
um número racional. 
 
Podemos classificar um número de acordo com os seguintes conjuntos: 
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Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Um asterisco colocado 
junto à letra que simboliza um conjunto significa que o zero foi excluído de tal conjunto. 
Desse modo, N* = {1, 2, 3, . . .}. 
Conjunto dos números inteiros1: Z = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Alguns 
subconjuntos de Z bastante úteis são: 
Z* = {. . . , –3, –2, –1, 1, 2, 3, . . .} = Z – {0}, o conjunto dos números inteiros não 
nulos. 
Z* + = {1, 2, 3, . . .}, o conjunto dos números inteiros positivos. 
Z*– = {. . . , –3, –2, –1}, o conjunto dos números inteiros negativos. 
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}, o conjunto dos números inteiros não negativos. 
Z– = {. . . , –3, –2, –1, 0}, o conjunto dos números inteiros não positivos. 
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. 
Simbolicamente: N ⊂ Z. 
Conjunto dos números racionais: conjunto de números que podem ser 
representados por uma razão entre dois números inteiros Q = {x | x = , com m, n ∈ Z e n 
≠ 0}. Exemplos de números racionais são os números e O conjunto dos números inteiros 
está contido no conjunto dos números racionais. Simbolicamente: Z ⊂ Q. 
Conjunto dos números irracionais: conjunto de números que não podem ser 
representados na forma racional. Números tais como = 1,7321 . . ., o número de Euler, e 
= 2,7183 . . ., e o número pi, π = 3,1416 . . . pertencem ao conjunto dos números 
irracionais. Esse conjunto é representado por Q'. 
Conjunto dos números reais: representado por R, consiste de todos os números 
positivos e negativos racionais e irracionais, e também do zero. Assim, são subconjuntos 
dos números reais o conjunto dos números naturais, o conjunto dos númerosinteiros, o 
conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. 
2.1 O ponto de vista Geométrico 
A correspondência entre pontos de uma reta e números é um fato bastante natural 
e útil. Fazemos isso escolhendo dois pontos quaisquer e distintos de uma reta, 
determinando as posições do 0 e do 1, e considerando a distância entre estes dois pontos 
como unidade. Convenciona-se escolher o ponto 1 à direita do ponto 0 (chamado origem) 
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de modo que os pontos à esquerda do 0 fiquem associados a números negativos. Assim, 
a cada ponto fica associado um número, distância do ponto à origem, juntamente com 
um sinal +, se o ponto estiver à direita do 0, e −, se o ponto estiver à esquerda. É fácil 
constatar que todo número racional pode ser representado na reta. 
 
 
Surge então uma pergunta: Será que os racionais cobrem toda a reta? Ou seja, 
existem pontos da reta que não representam números racionais? 
A descoberta de que existem números que não são racionais foi feita pelos gregos 
há mais de 2500 anos. Pitágoras e seus discípulos observaram, para sua surpresa, que 
o comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário (que, de acordo com o 
Teorema de Pitágoras, corresponde ao número não pode ser expresso como 
um número racional. Para os gregos esta descoberta foi responsável por uma grande 
crise na Matemática. De fato, em muitas de suas demonstrações eles supunham que dois 
segmentos AB e CD quaisquer sempre admitiam uma unidade de comprimento comum. 
Este fato é equivalente a dizer que a razão dos seus comprimentos é uma fração. 
No caso do quadrado de lado unitário e sua diagonal tem-se que 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
1
= 𝑑 não 
é um número racional. 
 
 
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11 
 
A demonstração de que d não é um número racional é clássica, bastante intuitiva 
e de fácil compreensão. 
Suponhamos, por absurdo, que: 
 
 
E, suponhamos que p e q são primos entre si. Pelo Teorema de Pitágoras, d 2 =+= 
11 2 ou seja, 
𝑝2
𝑞2
= 2. Logo, 2 = 𝑝
2
𝑞2
↔ 𝑝2 = 2𝑞2 
 
Temos assim que p 2 é inteiro par; logo p é também par (estamos usando o 
fato que: p p² par → p par) consideremos, portanto, 2 = 𝑝1, 𝑝1 = 𝑍 
Substituindo na igualdade 𝑝2 = 2𝑞2, obtemos: 
4𝑝1
2 = 2𝑞2 ↔ 2𝑝1
2 = 𝑞2 
 
Usando o mesmo raciocínio anterior concluímos que q é par. Chegamos assim à 
conclusão que p e q são pares, o que contradiz a hipótese inicial de que p e q são primos 
entre si. Esta contradição mostra que nossa suposição inicial, de que d era uma fração, 
é falsa. 
O número d, que identificamos como d = não é um número racional, no entanto 
pode ser representado na reta! 
 
A nossa pergunta inicial fica então respondida: existem pontos da reta que não 
correspondem a números racionais. 
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12 
Existem outros números (na verdade uma infinidade) que não são racionais e 
podem ser representados na reta. Por exemplos, etc. (A prova de que π não é 
racional foi dada por Lambert em 1701). 
Podemos fazer a representação de π na reta considerando uma 
semicircunferência de raio unitário e “retificando-a”. O comprimento do segmento 
correspondente é π. 
 
 
 
 
Estamos prontos, portanto, para definir dentro do nosso ponto de vista “intuitivo” 
um dos mais importantes conjuntos para a Matemática. 
Por números reais entendemos a coleção de todos os números associados a todos 
os pontos da reta. A reta, ou eixo, com um número associado a cada um dos seus pontos 
é chamada de reta real. Qualquer número real que não é racional diz-se irracional, ou 
seja, não pode ser escrito como a razão entre dois inteiros. Usaremos Q' para representar 
o conjunto dos números irracionais. Temos que: 
 
Além disso: 
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13 
 
 
1- O conjunto dos números irracionais é infinito. Podemos mostrar, por 
exemplo, que , ... são números irracionais. Pode ser provado 
também que na realidade, o conjunto dos números racionais é muito “pequeno” 
comparado com o conjunto dos números irracionais. 
2- De uma certa forma a construção dos conjuntos numéricos pode ser vista 
levando em conta a necessidade de resolver equações que aparecem 
naturalmente em problemas aplicados. Observemos, por exemplo, que se 
conhecemos apenas o conjunto dos racionais, como podemos resolver uma 
equação do tipo 𝑥2 − 2 = 0 ? Assim, podemos pensar no conjunto dos reais como 
uma ampliação de Q. (Devemos lembrar, entretanto, que os números que 
satisfazem a certos tipos de equações como a citada anteriormente ainda não 
cobrem R como comentaremos adiante). Desta maneira, partindo de N, os 
conjuntos são ampliados na ordem N, Z, Q e R. No entanto, historicamente, como 
vimos, o aparecimento dos números, hoje elementos de tais conjuntos, não 
respeita esta cronologia. 
3- Na linguagem diária, a palavra irracional significa algo desprovido de bom 
senso, contrário à razão. O significado matemático da palavra racional se refere 
à razão, o quociente de números inteiros; irracional, portanto, se refere à ausência 
de tal razão. O termo números reais é uma outra herança do passado e também 
não consideramos irreais números que não são reais. 
Existe uma outra divisão dos números reais, muito mais recente, em duas 
categorias: algébricos e transcendentes. 
Um número real diz-se algébrico se satisfaz alguma equação do tipo: 
 
Com coeficientes inteiros. Se um número não for algébrico é chamado de 
transcendente. 
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2.2 O Conjunto de números reais 
R é um corpo 
Estamos tão acostumados a operar com números reais que usamos vários 
resultados muitas vezes sem nos preocuparmos com o porquê. Por exemplo, 
 
As justificativas para as afirmações anteriores (e para muitas outras) seguem do 
fato do conjunto dos números reais ser um corpo, isto é, no conjunto dos números reais 
estão definidas duas operações, a de adição e a de multiplicação que satisfazem os 
seguintes axiomas: 
Dados x, y, € R 
C1) Comutatividade 
 
 
C2) Associatividade 
 
 
 
 
C3) Distributividade 
 
 
C4) Existência de elementos neutros 
 
 
C5) Existência de elementos inversos 
 
 
(− x é chamado de inverso aditivo ou simétrico de x) 
e 
 e 
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15 
 
 
 ( 
1
𝑥
 é chamado de inverso multiplicativo de x). 
Devido à propriedade associativa, é conveniente denotar por x+y+z (sem 
parêntesis) a soma (x+y) +z ou x +(y+z) e por x.y.z o produto (x.y).z ou x. (y+z). 
Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os 
números reais. 
 
R é ordenado 
Dados dois números reais a e b, quando dizemos que a é menor que b e usamos 
o símbolo a < b, imaginamos logo que, na representação na reta, a e b ocupam posições 
tais que a está à esquerda de b. Para quaisquer dois números reais a e b é sempre 
possível decidir qual é representado na reta à esquerda (ou à direita) do outro. Isto 
decorre do fato que R é um corpo ordenado. 
Vamos assumir que todo número que está à direita do zero é dito positivo, isto é, 
existe um subconjunto que indicaremos por R+ * chamado de conjunto dos números reais 
positivos. Podemos então, introduzir o conceito de ordem em R: R+ * satisfaz aos 
seguintes axiomas (ou postulados) chamados de axiomas de ordem: 
O1: A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja, 
 
O2: Dado x R , exatamente uma das alternativas seguintes ocorre: 
 
 
Indiquemos: 
 
 O axioma O2 diz que: 
 
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16 
 
Consequência: para todo x , com x ≠ 0, temos que x2 Com efeito, 
 
O símbolos < (menor que); ≤ (menor ou igual a); > (maior que); ≥ (maior ou igual 
a) são definidos como segue: 
 
 
Expressões do tipo são chamadas de desigualdades 
 
 
 
 
Em particular, 
 
 
 
Os números x ∈ R* são chamados de números negativos. 
 
 
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2.3 Desigualdadese intervalos1 
O conjunto dos números reais é ordenado. Isso significa que podemos comparar 
a magnitude de quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades. 
As desigualdades também podem ser usadas para descrever intervalos de números 
reais. Os símbolos <, >, ≥ e ≤ são símbolos de desigualdade, e seu uso segue a notação 
mostrada na tabela a seguir, onde a e b são números reais. 
 
 
 
O eixo, ou reta real, é uma reta horizontal usada para representar números reais, 
onde o número zero define a origem e os números reais positivos ficam à direita da 
origem, enquanto os números reais negativos ficam à esquerda da origem, como mostra 
a figura abaixo. Geometricamente: 
• a > b significa que a está à direita de b ou que b está à esquerda de 
a no eixo real. 
• a < b significa que a está à esquerda de b ou que b está à direita de 
a no eixo real. 
 
 
1 Texto extraído de www.srvd.grupoa.com.br 
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18 
2.4 Intervalos limitados e ilimitados de números reais 
Nesta seção, definiremos a notação e os tipos de intervalos usados quando 
trabalhamos com intervalos limitados de números reais. A Tabela 1.1 apresenta os tipos 
de intervalo numéricos limitados e a Tabela 1.2 lista os tipos de intervalo numérico não 
limitados. O intervalo (–∞, +∞) representa o conjunto dos números reais; isto é, (– 
∞, +∞) = R. 
 
Tabela 1.1 intervalos numericos limtados na reta real 
 
 
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19 
 
Tabela 1.2 intervalos numericos não limitados na reta real 
 
 
3 TEORIA DOS CONJUNTOS2 
“O que é um conjunto" é uma questão muito difícil de se responder. Neste tratado 
elementar, não entraremos em nenhuma abordagem axiomática complicada da Teoria 
dos Conjuntos, e conter-nos-emos em aceitar o seguinte: um conjunto é qualquer 
coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, chamados elementos, de 
nossa intuição ou pensamento. Esta definição intuitiva de um conjunto foi dada 
primeiramente por Georg Cantor (1845{1918), que criou a teoria dos conjuntos em 1895. 
Exemplos: 
a) O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos 
Conjuntos. 
b) O conjunto de todos os estudantes desta universidade. 
c) O conjunto das letras a, b, c e d. 
d) O conjunto das regras de uso do laboratório de informática. 
 
2 Texto extraído de galdino.catalao.ufg.br 
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e) O conjunto de todos os números racionais cujo quadrado ¶e 2. (f) O 
conjunto de todos os números naturais. (g) O conjunto de todos os 
números reais entre 0 e 1. 
 
Um conjunto que contém apenas um número finito de elementos é chamado um 
conjunto finito; um conjunto infinito é um conjunto que não é finito. Exemplos de (a) a (e) 
acima são todos de conjuntos finitos, e Exemplos (f) e (g) são de conjuntos infinitos. 
Conjuntos são frequentemente designados fechando-se entre chaves os símbolos 
que representam seus elementos, quando for possível faze-lo. Assim, o conjunto no 
Exemplo (c) é {a; b; c; d} e o conjunto no Exemplo (f) pode ser denotado por {1; 2; 3;:::}. 
O conjunto do Exemplo (e) não tem elementos; um tal conjunto é chamado o 
conjunto vazio, sendo denotado pelo símbolo Ø. 
3.1 Conjunto finito e infinitos 
Na teoria intuitiva de conjuntos que temos estado a desenvolver começamos por 
introduzir três conceitos primitivos: o de objeto, o de conjunto e o de pertença. O símbolo 
designado para este último é, como sabemos, . Chamamos a atenção para o fato de, 
ao escrevermos o símbolo , à esquerda dele ter de estar um objeto e à direita dele ter 
de estar um conjunto. 
Para que a expressão: 
α 
 θ tenha sentido é necessário que α seja um objeto 
e que θ seja um conjunto. Também quando escrevemos um conjunto extensivamente é 
necessário que os entes que aparecem entre as chavetas sejam objetos. Por exemplo, 
ao escrevermos {α, θ, δ} cada um dos entes α, θ, δ tem de ser um objeto. 
Claro que um conjunto pode também ele próprio ser um objeto. 
Por exemplo o conjunto: 
A = {1, α,{1, 2}} 
É constituído por três objetos: o número “1”, a letra grega “α” e o conjunto “{1, 2}”. 
Um dos objetos do conjunto A é ele próprio um conjunto, nomeadamente o conjunto 
constituído pelos números naturais 1 e 2. 
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Proposição 
1 A 
 
É verdadeira, porque o objeto 1 pertence ao conjunto A., Mas a proposição 
2 A 
 
É falsa, porque o objeto 2 não pertence ao conjunto A. Claro que a proposição 
{1, 2} A 
 
É verdadeira porque {1, 2} é um objeto que pertence a A (o fato de {1, 2} ser ele 
próprio um conjunto é irrelevante para a matéria em questão). Nesta ordem de ideias, e 
sendo a um objeto qualquer, é essencial distinguir os dois entes a e {a}. Enquanto a é um 
objeto, {a} é um conjunto que tem um único elemento, nomeadamente o objeto a. 
Podemos complicar ainda mais a questão, considerando o conjunto 
B = {a, {a}}. 
 
Trata-se de um conjunto com dois objetos, nomeadamente a e {a}. Quer dizer que 
o conjunto B tem dois objetos que são: 1) a; 2) o conjunto cujo único objeto é o elemento 
a. Assim são verdadeiras as seguintes proposições: 
a ∈ B 
{a} ∈ B 
 
O conjunto {a} é um objeto do conjunto B mas também é um subconjunto de B 
porque o único elemento de {a}, que é o objeto a, também é elemento de B. Podemos 
por isso afirmar que: 
{a} ⊂ B. 
 
Repare-se que o símbolo de inclusão ⊂ exige que, tanto à sua direita como à sua 
esquerda estejam conjuntos. 
A expressão: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
22 
α ⊂ β 
 
Só tem sentido se tanto α como β forem conjuntos. O mesmo se passa para os 
símbolos de reunião ∪, intersecção ∩ e diferença \. 
 
Consideremos o conjunto N dos números naturais e o seguinte conjunto A: 
A = {a, b, c, d} 
 
Há uma diferença fundamental entre estes dois conjuntos; enquanto A tem apenas 
quatro elementos, N tem infinitos elementos. Por outras palavras, há apenas quatro 
objetos que são elementos do conjunto A, enquanto há uma infinidade de objetos que 
são elementos do conjunto N. 
Diremos por isso que o conjunto A é finito e que o conjunto N é infinito. Diremos 
que um conjunto qualquer A é finito esse for vazio ou tiver um número finito de elementos; 
diremos que um conjunto é infinito esse não for finito, o que significa que tem um número 
infinito de elementos. 
Frequentes vezes, para exprimir que A é finito, diremos que A tem cardinal finito. 
No caso de A ser infinito, diremos também que A tem cardinal infinito. 
 
Exemplos de conjuntos finitos 
• O conjunto das cidades de Portugal. 
• O conjunto das letras do alfabeto português. 
• O conjunto de “pixel” de um écran de cristais líquidos. 
• O conjunto de cidadãos da República Portuguesa. 
• O conjunto de soluções da equação x100 − 24x3 − 127 = 0. 
• O conjunto vazio. 
• O conjunto dos números complexos z tais que z2 + 127 = 0. 
• O conjunto dos números reais x tais que x2 − 127 = 0. 
• O conjunto dos números reais x tais que x2 + 127 = 0. 
• O conjunto dos números naturais menores do que mil biliões de biliões. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
23 
Exemplos de conjuntos 
infinitos • O conjunto N dos 
números naturais. 
• O conjunto Z dos números inteiros. 
• O conjunto Q dos números racionais. 
• O conjunto R dos números reais. 
• O conjunto C dos números complexos. 
• O conjunto dos números primos. 
• O conjunto de números reais maiores ou iguais a zero e menores ou 
iguais a 1 
• O conjunto dos números reais x da forma x = 1/n, com n inteiro positivo. 
 
No caso de um conjunto finito não vazio é fácil entender o que é o seu número 
de elementos. 
Por exemplo o conjunto {a, b, c, d} 
 
Tem quatro elementos, enquanto o conjunto {n ∈ N: 1 ≤ n ≤ 100} 
tem 
100 elementos. Por definição diremos que o número de elementos do 
conjunto vazio é 0. Ao número de elementos de um conjuntofinito A chamaremos 
também cardinal desse conjunto; esse número será designado usualmente por 
#A. Assim, por exemplo, tem-se 
 
#{a, e, i, o, u} = 5, 
#{n ∈ N : 1 ≤ n ≤ 700} = 
700, #∅ = 0. 
 
Claro que o cardinal do conjunto vazio é, por definição, zero. E o cardinal do 
conjunto {∅}? Este conjunto tem um único elemento, nomeadamente o objeto ∅; logo o 
seu cardinal é igual a 1. Outros exemplos do mesmo tipo: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
24 
 
#{{∅}} = 1, #{∅, {∅}} 
= 2. 
 
Repare-se que {∅} é um conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio, pelo que 
são verdadeiras as proposições: 
∅ ∈ {∅} ∅ ⊂ {∅}. 
 
O conjunto {{∅}} é diferente: tem um único elemento que é o conjunto {∅} (ou seja, 
o conjunto constituído pelo conjunto vazio). São verdadeiras as proposições 
{∅} ∈ {{∅}}, ∅ ⊂ 
{{∅}}, {∅} ⊄ {{∅}}, ∅ 
∉ {{∅}}. 
3.2 Especificação de Conjuntos 
Um modo de construir um novo conjunto, a partir de um conjunto dado, é 
especificar aqueles elementos, do conjunto dado, que satisfazem uma propriedade 
particular. Por exemplo, seja A o conjunto de todos os estudantes desta universidade. A 
proposição “x é paulista" é verdadeira para alguns elementos x de A e falsa para outros. 
Empregaremos a notação {x ∈ A | x é paulista} para especificar o conjunto de todas 
os estudantes paulistas desta universidade. Similarmente, {x ∈ A | x não é paulista} 
especifica o conjunto de estudantes não paulistas desta universidade. 
Como regra, a todo conjunto A e a toda proposição p(x) sobre x ∈ A, existe um 
conjunto {x ∈ A | p(x)}, cujos elementos são precisamente aqueles elementos x ∈ A para 
os quais a afirmação p(x) é verdadeira. Numa abordagem axiomática da teoria dos 
conjuntos, esta regra é habitualmente postulada como um axioma, chamado o Axioma 
da Especificação. O símbolo {x ∈ A | p(x)} é lido: o conjunto de todos os x em A tais que 
MATEMÁTICA BÁSICA 
25 
p(x) é verdadeira. A notação da forma {x ∈ A | p(x)}, que descreve um conjunto é chamada 
a notação de construção do conjunto. 
3.3 Diagramas de Venn 
Como auxilio na visualização de operações de conjuntos, introduziremos 
diagramas, chamados diagramas de Venn, que representam conjuntos 
geometricamente. Representaremos o conjunto universal relativo U por um retângulo, e 
os subconjuntos de U por círculos desenhados dentro do retângulo. Por exemplo, na 
Figura 1, representamos dois conjuntos A e B como dois círculos sombreados; a parte 
duplamente hachurada é a interseção A U B, e a área sombreada total e a união A U B. 
 
 
Figura 1. 
 
A Figura 2 mostra dois conjuntos A e B que são disjuntos. A área sombreada na 
Figura 3 representa o complemento A` do conjunto A. O conjunto A--B, o complemento 
relativo de B em A, é representado pela parte sombreada na Figura 4. 
 
 
Figura 2 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
26 
 
Figura 3 
 
 
Figura 4 
 
 
Figura 5 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
27 
 
Figura 6 
 
Um diagrama de Venn típico de três conjuntos A, B, e C pode ser desenhado como 
na Figura 5. Esses três conjuntos dividem o conjunto universal U em 8 partes, tal como 
indicado na figura 6. 
Usando os diagramas acima, podemos dar argumentos heurísticos simples para a 
validade de, por exemplo, a lei distributiva A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C), como segue: 
Da Figura 6, A ∩ (B U C) consiste das áreas 2, 3 e 7. Por outro lado, (A ∩ B) U (A ∩ C) é 
representada pela união das áreas 2 e 7, e áreas 3 e 7. Portanto, a igualdade A ∩ (B U 
C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) parece plausível. Entretanto, em matemática, um argumento 
heurístico não pode ser aceito como uma demonstração. 
4 FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES3 
Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação 
das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período 
de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo 
os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam 
uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores 
de cordas. 
 
3 Texto extraído de www.uel.br 
MATEMÁTICA BÁSICA 
28 
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes 
aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida 
dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do 
terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o 
número fracionário, onde eles utilizavam as frações. 
4.1 Introdução ao conceito de Fração 
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a 
cortamos em partes que não são do mesmo tamanho: 
 
 
Fracionamento de uma pizza 
 
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou 
quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo. Pensemos neste 
exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de 
chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas 
melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual 
deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão: 
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate 
para a amiga. 1. Você concorda com esta divisão? Por quê? 2. Como você poderia 
resolver esta situação para que todos comessem partes iguais? 3. O que você acha desta 
frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
29 
4.2 Elementos Gerais para a construção de Fração 
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de 
alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominada fração. 
O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, 
tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse 
momento o conjunto N será representado por: N = {1,2,3,4,5,6,7,...} 
Logo, todos os números naturais representam partes inteiras. 
Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, 
constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde está 
letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais. Q+ = {0,..., 
1/4,..., 1/2,..., 1,..., 2,...} 
 
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número. 
Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade. 
4.3 Definição de Fração 
Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados 
frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e 
denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração. 
 
Onde numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número 
inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes 
dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de 
zero. 
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como: 1 4 Em 
linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou 
mesmo como 1/4, considerada mais comum. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
30 
 
Frações multiplas de um quarto 
 
A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada 
através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes. 
4.4 Leitura de Frações 
O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1 < d < 10 
A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 
10 é feita como: 
 
 
O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d > 10 
Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador 
e acrescentamos a palavra avos. 
Avos é um substantivo masculino usados na leitura das frações, designa cada uma 
daspartes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que 
dez. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
31 
 
 
O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10 Se o denominador for 
múltiplo de 10, lemos: 
 
Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e 
noventa e sete avos. 
4.5 Tipos de Frações 
A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é 
um número natural menor do que o denominador. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
32 
 
Três quartos 
 
A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada 
dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o 
denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é 
chamado fração imprópria. 
 
4: 3/3 + 2/3 = 5/3 
 
Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e 
aparenta ser uma fração, mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso 
particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são 
aparentes, pois representam o número inteiro zero. 
 
Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se 
multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente 
pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um 
conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
33 
 
Equivalência com a fração ½ 
4.6 Propriedades fundamentais 
1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração 
por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à 
fração dada: 
 
2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma 
fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração 
equivalente à fração dada: 
 
4.7 A fração como uma classe de equivalência 
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações 
equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto 
infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a 
representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando 
a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, 
como: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
34 
C(1/3) = {1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18,...} 
4.8 Número Misto 
Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar 
uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte 
fracionária e o resultado é denominado número misto. 
Transformação de uma fração imprópria em um número misto: 
 
Transformação de um número misto em uma fração imprópria: 
 
4.9 Simplificação de fração 
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para 
que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada. 
O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma 
fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 
1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação 
pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração. 
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo 
número (fator comum) até que ela se torne irredutível. 
 
 
Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
35 
Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor 
Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse 
valor. 
Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. 
Como MDC (54, 72) = 18, então 54: 18 = 3 e 72: 18 = 4, logo: 
 
 
4.10 Comparação de duas Frações 
Por redução ao mesmo denominador 
Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui 
maior numerador. Por exemplo: 
 
 
Os numeradores e denominadores das frações diferentes 
Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo 
depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será 
o denominador comum às duas frações. Na sequência, divide-se o denominador comum 
pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo 
numerador. 
Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 
5, temos que MMC (3,5) =15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador 
comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada 
fração e na sequência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
36 
 
 
Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da 
segunda fração por 3, obteremos: 
 
 
Temos então os mesmos denominadores, logo: 
 
 
E podemos garantir que 
 
4.11 Divisão de Fração 
Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por: 
 
Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo 
denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é: 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
37 
Pois 1/2 equivale a 3/6 e 2/3 equivale a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 
1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6. 
Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que 
procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 
estão ocupadas pela fração 3/6? 
No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 
partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão 
corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas. 
Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira 
fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste 
caso: 
 
Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão 
de um número real 
𝑎
𝑏
 pelo número real 
𝑐
𝑑
 é, por definição, a multiplicação do número 
𝑎
𝑏
 pelo 
inverso de 
𝑐
𝑑
 que é a fração 
𝑑
𝑐
 ,assim: 
 
4.12 Operações com Frações4 
ADIÇÃO 
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o 
mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador 
comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este 
denominador comum. 
Vejamos o seguinte exemplo: 
 1 2 3 
 
4 Texto extraído de www2.fsanet.com.br 
MATEMÁTICA BÁSICA 
38 
 + + 
 7 7 7 
 
Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração 
final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo 
denominador 7: 
 1 + 2 + 3 6 
 = 
 7 7 
 
Vejamos agora este outro exemplo: 
 1 2 3 
 + + 
 3 5 13 
 
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. 
Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O 
denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Será o MMC 
(3, 5, 13): 
Como sabemos, o MMC (3, 5, 13) = 195. Logo todas as frações terão o 
denominador comum 195. 
O novo numerador de cada uma delas será apurado, simplesmente dividindo-se 
195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado 
pelo numerador original: 
• Para 1/3 temos que: 195: 3. 1 = 65, logo: 1/3 = 65/195 
• Para 2/5 temos que: 195: 5. 2 = 78, logo: 2/5 = 78/195 
• Para 3/13 temos que: 195: 13. 3 = 45, logo: 3/13 = 45/195 
 
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas 
contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: 
 65 78 45 65 + 78 + 45 188+ + = = 
 195 195 195 195 195 
 
SUBTRAÇÃO 
MATEMÁTICA BÁSICA 
39 
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que 
todas as frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um 
mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se 
este denominador comum. 
Vejamos o exemplo: 
8
9
−
1
9
−
2
9
 
Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração 
final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o 
denominador 9: 
8 − 1 − 2
9
=
5
9
 
 
Observamos este outro exemplo: 
 
8
9
−
1
3
−
2
7
 
 
Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente 
devemos a apurar o MMC (9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum. 
Sabemos que o MMC (9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador 
comum. 
Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que 
possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu 
denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador: 
• Para 8/9 temos que: 63: 9. 8 = 56, logo: 8/9 = 56/63 
• Para 1/3 temos que: 63: 3. 1 = 21, logo: 1/3 = 21/63 
• Para 2/7 temos que: 63: 7. 2 = 18, logo: 2/7 = 18/63 
 
Finalmente podemos realizar a subtração: 
 56 21 18 56 − 21 − 18 17 
 − − = = 
 63 63 63 63 63 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
40 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a 
mais simples das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e 
da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. Para 
realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, 
fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores. 
Vejamos o exemplo abaixo: 
1
3
∙
2
5
∙
4
7
 
 
Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou não, iremos 
realizar a multiplicação conforme mostrado abaixo: 
 
1
3
∙
2
5
∙
4
7
=
8
105
 
 
DIVISÃO 
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o 
seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas 
frações. Vejamos como realizar a divisão abaixo: 
 
Realizando-se a inversão das divisoras e mudando-se de divisão para 
multiplicação teremos: 
 
 
Realizando-se a multiplicação teremos: 
 
 
MULTIPLAS OPERAÇÕES 
MATEMÁTICA BÁSICA 
41 
Assim como nas operações aritméticas com números naturais, nas operações 
aritméticas com frações, a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a 
subtração, por isto em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, 
devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último as 
operações de soma e subtração. 
Vejamos a expressão a seguir: 
 
 
A sequência para a sua resolução é a seguinte: 
Primeiramente executamos a multiplicação: 
 
 
Em seguida executamos a divisão, invertendo a fração e transformando a divisão 
em uma multiplicação: 
 
Agora podemos utilizar o MMC (3, 35, 77) = 1155 como o denominador 
comum das frações e realizarmos a soma e a subtração: 
 = 
 
Finalmente obtemos o resultado da expressão: 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
42 
5 POTENCIAÇÃO 
A humanidade precisou de vários anos de estudo para evoluir da contagem 
simples até cálculos mais elaborados. Uma etapa fundamental desses estudos foi feita 
por Arquimedes, na Grécia Antiga. Esse cientista viveu no século III a.C. e fez importantes 
contribuições no campo teórico e prático da Matemática. Em uma de suas pesquisas, 
Arquimedes resolveu descobrir e calcular quantos grãos de areia seriam necessários 
para encher o Universo. Essa questão nos parece um pouco estranha, mas na época em 
que ele viveu, o Universo era considerado um sistema de esferas com o mesmo centro: 
o Sol. Os planetas estavam fixados na superfície de cada esfera. 
Nos cálculos de Arquimedes, apareciam contas de multiplicar em que o número 
10 era usado repetidas vezes. Fazer contas com esses números era extremamente difícil, 
pois eles eram muito grandes. Com isso, ele resolveu criar um método para escrever 
esses números grandes, utilizando algarismos especiais. 
5.1 Potenciação5 
Uma potência é um produto (multiplicação) de fatores (números) iguais. Potência 
é o resultado da operação chamada potenciação. 
Agora, vamos começar com as definições de potências de números reais. O que 
são os números reais? O conjunto dos números reais (R) é uma expansão do conjunto 
dos números racionais (Q), que engloba não só os números naturais, os inteiros e os 
fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os 
números irracionais são aqueles que não podem ser expressos por uma fração, como, 
por exemplo, um número decimal infinito: 3,141592 (...). O objetivo mais imediato dessas 
definições é simplificar a notação e fornecer um método para trabalhar com grandes 
números. No entanto, com o aprofundamento do estudo, mais adiante neste curso, você 
perceberá que a potenciação está na base das definições das funções logaritmo e 
exponencial. Esta última função é uma das mais importantes da Matemática. A seguir 
estão as duas definições para potenciação: 
 
5 Texto extraído de www.proedu.rnp.br 
MATEMÁTICA BÁSICA 
43 
Definição 1 
Seja a um número real e n um número natural, com n ≥ 2. A potência de expoente 
n de a, denotada por an, é o número: 
 
 
Onde se estabeleceu a notação (ou representação simbólica) an para indicar, de 
forma simplificada (e, diga-se, criativa), esse produto, denominando-se a a base da 
potência e n o expoente ou grau da potência. Lê-se a representação simbólica an como 
“potência n de a” ou “potência enésima de a” ou, simplesmente, “a elevado a n”. 
 
 
Potencia de base a elevada ao exponte n 
 
 
Definição 2 
Seja a um número real, diferente de zero, e n um número natural, com n ≥ 2. A 
potência de expoente – n de a, denotada por a–n, é o número: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
44 
 
Por meio dessas duas definições, podemos dizer que potência de grau n de a é o 
produto de n fatores iguais a a. Assim: 
• a0 é a potência de grau zero de a ou potência de expoente zero, a 
um número real diferente de zero. Assumimos que a0 = 1. 
• a1 é a potência de grau 1 de a, sendo igual ao próprio a. Neste caso, 
pode ser dispensável escrever o expoente, e temos a1 = a. 
• a2 é a potência de grau 2 de a, conhecida como quadrado de a ou a 
ao quadrado. 
• a3 é a potência de grau 3 de a, conhecida como o cubo de a ou a ao 
cubo; 
• a−n 
𝐴 
 
As potências de 0 são as potências de base 0, dados por 0n, n > 0. A Matemática 
julga ser indeterminado o valor da potência 00, mas as outras potências, cuja base é 0 e 
cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. 
Exemplo: 02 = 0 × 0 = 0 
 
5.2 Potências de mesma base 
Para multiplicar, mantém-se a base e somam-se os expoentes, isto é: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
45 
am x na = am+n 
 
Exemplo: a2 × a3 = (a × a) × (a × a × a) = a × a × a × a × a = a5 Usando a 
propriedade, temos que a2 × a3 = a2+3 = a5. 
Para dividir, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes, isto é: am/an = 
am-n, a ≠ 0 
 
Exemplo: a6 /a2 = (a × a × a × a × a × a)/(a × a) 
Simplificando, temos que a × a × a × a = a4 
Usando a propriedade, temos que a6 /a2 = a6−2 = a4 
5.3 Potências de mesmo expoente 
Para multiplicar, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases, isto é: 
an × bn = (a × b)n 
Exemplo: a3 × b3 = (a × a × a) × (b × b × b). 
 
Usando a propriedade, temos que 
 a3 × b3 = (a × b) × (a × b)×(a × b) = (a × b)3 
 
Para dividir, mantém-se o expoente e dividem-se as bases, isto é: an /bn = (a/b)n , 
b ≠ 0. 
Exemplo: a4 /b4 = (a × a × a × a) / (b × b × b × b) 
 
Usando a propriedade, temosque 
a4 /b4 = (a/b) × (a/b) × (a/b) × (a/b) = (a/b)4. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
46 
5.4 Potência de potência 
Para calcular a potência de outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se os 
expoentes, isto é: 
(am)n = amxn 
 
Exemplo: (a2 )3 = a2 × a2 × a2 
 
Usando a propriedade, temos que (a2 )3 = a2+2+2 = a6. 
• Nas propriedades enunciadas, a base deve ser não-nula nas 
seguintes situações: o expoente é negativo ou a potência está no 
denominador. 
• As propriedades têm a finalidade de facilitar o cálculo. Seu uso não 
é obrigatório. Devemos usá-las quando for conveniente. 
• As propriedades enunciadas podem ser provadas a partir das 
definições. 
Por uma questão de objetividade, partimos diretamente para os exemplos. 
5.5 Notação cientifica 
Todo número N, não nulo, pode ser representado numa das formas: 
N = a.10m ou N = -a.10m 
(1 ≤ a ≤10 ) e (m ∈ ℤ) 
Conforme N seja positivo ou negativo, respectivamente. Essa forma de se escrever 
um número é chamada de notação científica e é bastante utilizada na Química, física, 
matemática, etc. 
Por exemplo, os números 3 ⋅ 107 e -3 ⋅ 107 estão em notação científica. 
Para se escrever um número em notação científica, devem-se observar as 
seguintes propriedades: 
1) Multiplicar um número por p10, p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula 
para a direita de p “casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se a 
vírgula para a esquerda. Assim: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
47 
a) 4 0,00037∙104 = 3,7 
b) 2500∙10-3 = 2,5 
 
2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10p 10−p. 
De fato: 
10p . 10-p = 100 = 1. 
 
As duas propriedades acima permitem escrever um número em sua notação 
científica. 
Exemplo 
a) 5000000 = 5000000.10-6 .106 = 5.106 
b) 170000=170000.10-5.105=1,7.105 
c) -60200= -60200.10-4.104= -6,02.104 
6 RADICIAÇÃO 
Quando se fala sobre a origem do símbolo √ (radical), as opiniões são bastantes 
controvérsias. Alguns atribuem essa descoberta aos árabes e o seu primeiro uso a 
AlQalasadi, matemático do século XIV. Porém, os primeiros registros do uso de radicais 
para solução de problemas vieram dos Hindus. Eles utilizaram, a princípio, as regras de 
extração de raízes quadradas e cúbicas, dando passos gigantescos nos meios 
resolutivos da matemática. 
Os árabes, aprendizes dos Hindus, utilizavam uma palavra (gird) advinda de uma 
linguagem árabe para designar radicais. Esta palavra tinha em sua definição o significado 
de raiz quadrada. Paralelo a isso, o conhecimento sobre uma raiz particularmente 
curiosa, por se tratar de um número irracional, foi descoberto pelos pitagóricos na Grécia 
por volta do século V a.C. ao fazerem uma relação entre a medida da diagonal com o 
lado de um quadrado de lado unitário. 
A origem da palavra radical vem do latim radix ou radicis e significa raiz. Já o 
símbolo √ só foi inserido no ano de 1525 pelo matemático Chistoff Rusolff, em seu livro 
sobre álgebra Die coss. Por analogia, chegamos ao entendimento que o símbolo √ tenha 
surgido devido a sua semelhança com a letra r, letra inicial da palavra radical. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
48 
Para compreendermos o significado real da palavra radical é necessário que 
saibamos também o que significa raiz. Em termos de um dicionário convencional, raiz é 
o número que é elevado a certa potência. Da mesma forma encontramos que radical é o 
símbolo precedente a certa quantidade quando se quer extrair alguma raiz. Sendo assim, 
diremos que radical se refere à raiz, e que raiz é a extração feita de certa quantidade com 
a ajuda do radical. 
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela 
é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente 
fracionário. 
6.1 Generalização 
Suponhamos a sentença xn=a onde n ∈ ℕ* e a 0 ≥. O valor não negativo que 
satisfaz tal igualdade será indicado por e deve ser lido: “raiz enésima de a”. 
Adotaremos a seguinte nomenclatura para o novo símbolo apresentado: 
 é o radical 
n é o índice do radical a é o radicando 
 
 
Devido à raiz quadrada de um número não negativo a isto é, , ser utilizada com 
muita frequência, é comum denotá-la simplesmente, por , suprimindo-se por 
comodidade, o índice 2. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
49 
6.2 Definição 
Sendo a 0 ≥ e n ∈ ℕ*, tem-se: 
 
 
Onde b é um número real chamado raiz enésima de a. 
 
 
Exemplo 2 
O volume de um cubo de aresta x é dado por x3. 
 
 
 
Calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm3. 
 
Solução 
Sendo x a medida da aresta do cubo, devemos ter: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
50 
Pela definição de raiz, temos: 
 
Portanto a aresta do cubo mede 4 cm. 
6.3 Propriedades dos radicais 
Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não 
nulos, temos: 
 
 
6.4 Redução de radicais ao mesmo índice 
Em algumas situações, é necessário transformar dois ou mais radicais de índices 
diferentes em outros equivalentes e que possuam um índice comum. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
51 
 
 
6.5 Racionalização de denominadores 
Vejamos agora como, em algumas situações, podemos evitar a divisão por 
números irracionais, minimizando assim os possíveis erros propagados pelos cálculos. 
 
 
6.6 Potência de expoente racional 
Já sabemos calcular potências do tipo 52, 86, 4-2, isto é, potências com expoentes 
inteiros. 
Vejamos agora como interpretar uma potência do tipo 7 . 
Chamando essa potência de x, temos x = 7 . 
Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
52 
 
Daí, x5 = 73 e, por definição de raiz, temos x= . 
Assim, 
Isso sugere a seguinte definição: 
𝑎
𝑚
𝑛 = , com a > 0, m e n inteiros e n > 0. 
6.7 Radicando negativo 
 
6.8 Simplificação de expressões com radicais 
Muitas técnicas de simplificação de raízes de números reais não são mais usadas, 
devido à utilização das calculadoras. No entanto, vamos mostrar com exemplos o que 
podemos fazer em casos sem o uso delas. 
Exemplo: 
 
6.9 Racionalização 
Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração, 
situação que a torna irracional. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é 
MATEMÁTICA BÁSICA 
53 
conveniente que você elimine essas raízes do denominador, por meio de um processo 
chamado racionalização. 
Denominamos fração irracional toda fração constituída por um radical em pelo 
menos um de seus termos: numerador ou denominador. 
 
Racionalizar uma fração é reescrevê-la sem raízes no denominador, é transformar 
um denominador irracional em racional. E, para tal, a dica é multiplicar tanto o numerador 
(parte de cima) quanto o denominador (parte de baixo) por um mesmo número diferente 
de zero. 
Qualquer número a ≠ 0 multiplicado por 1 é igual ao número a, ou seja, a x 1 = a, 
por exemplo: 
 
 
E toda fração 
𝑎
𝑏
 , com a ≠ 0, b ≠ 0 e a=b, é igual a 1, por exemplo: 
7 PRODUTOS NOTÁVEIS6 
Os produtos notáveis são as operações mais famosas da Matemática e seu uso 
simplifica cálculos, diminui o tempo de resolução dos problemas e otimiza aprendizados. 
Por isso, são realmente notáveis! Em muitas expressões matemáticas é comum 
chegarmos a algo como (x + 5)2 e, então, precisarmos calcular o produto (x + 5)⋅(x + 5). 
Esses produtos são denominados produtos notáveis. 
Certas expressões aparecem com bastante frequência no cálculo numérico ou 
algébrico, em diversas áreas em que a matemática está aplicada. O Produto Notável é 
um desses casos. Analisando o significado, como o próprio nome já diz: 
produto → nome que se dá ao resultado da multiplicação notável → digno de 
atenção, que se destaca 
 
6 Texto extraído de www.joinville.ifsc.edu.b 
MATEMÁTICA BÁSICA 
54 
O único problema é que, às vezes, esses produtos notáveis aparecem e a gente 
nem nota! Existem muitos“modelos” de Produtos Notáveis, entretanto nosso estudo será 
concentrado em produtos oriundos de três modelos básicos. São eles: 
 
(a + b)2 (a − b)2 (a + b).(a − b)2 
 
Das expressões acima, poderemos calcular tais produtos, usando-se a 
propriedade distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então, de forma mais direta, 
utilizando-se de algumas regras [fórmulas]. 
Daí vem o sentido do nome PRODUTO NOTÁVEL, pois poderemos, com um 
pouco de prática, encontrar o produto das expressões dadas, diretamente através de uma 
regra [fórmula] sem que se necessite fazer todos os cálculos. E isso, em algumas 
situações de cálculo, fará grande diferença. 
7.1 Quadrado da soma de dois termos 
 
 
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: 
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais 
duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 
 
Exemplos 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
55 
 
7.2 Quadrado da diferença de dois termos 
 
 
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: 
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 
 
 
Exemplos 
MATEMÁTICA BÁSICA 
56 
 
7.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos 
O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue um raciocínio “parecido” 
com os casos anteriores. Entretanto é importante notar a diferença deste em relação aos 
anteriores. 
 
 
Portanto: (a+b).(a-b) = a2 - b2 
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: 
“O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo menos o quadrado do segundo termo”. 
 
Exemplos 
 
 
Esses produtos são chamados de produtos notáveis em razão da importância que 
têm para o cálculo algébrico. Além deles, outros produtos também são utilizados em 
Matemática. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
57 
8 POLINOMIOS 
Expressões algébricas que possuem monômios são consideradas polinômios. O 
estudo sobre essas expressões está diretamente relacionado com as operações 
aritméticas. 
Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores 
aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) 
em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação 
e potenciação. 
8.1.1.1 8.1 Operações com polinômios 
Um polinómio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na 
forma: 
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎1 
 
Onde n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números na-1, ..., a1 a0 são números 
reais chamados coeficientes. O grau do polinómio é n e o coeficiente principal é o número 
real an. Polinómios com um, dois, três termos são monômios, binómios e trinômios, 
respectivamente. Um polinómio escrito com as potências de x na ordem decrescente está 
na forma padrão. 
Para adicionar ou subtrair polinómios, nós adicionamos ou subtraímos termos 
semelhantes usando a propriedade distributiva. Termos dos polinómios que têm a mesma 
variável, cada uma elevada à mesma potência, são termos semelhantes. 
Adição 
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando 
o jogo de sinal 
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes 
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a 
potência –3x³ – 2x² + 7x – 3 
 
Subtração 
MATEMÁTICA BÁSICA 
58 
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando 
o jogo de sinal 
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes 
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a 
potência 3x³ – 2x² + 3x – 1 
 
Multiplicação7 
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio, devemos 
utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo: 
 (x – 1) . (x2 + 2x – 6) 
 x.x2 + x.2x – x.6 + (-1).x2 + (-1).2x – (-
1).6 x³ +2x² – 6x – x² – 2x + 6 
Reduzindo os termos semelhantes. x³ + x² – 8x +6 
 
Divisão 
 
 
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o 
processo operatório. Observe: 
 
 
7 Texto extraído de www.blogdoenem.com.br 
MATEMÁTICA BÁSICA 
59 
8.2 Fatoração de Polinômio 
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. 
Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 
* 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre 
outros polinômios. 
As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, 
diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto. 
 
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA. 
A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos 
algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas. Na fatoração 
por fator comum em evidência, utilizamos a ideia de fazer grupos de polinômios, ao 
fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples. 
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja: 
x² + 2x.: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos 
colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x Temos: x 
(x+ 2) 
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x. 
 
Para termos certeza dos cálculos, podemos aplicar a distribuição na expressão: 
x (x + 2) voltando ao polinômio x² + 2x. 
Exemplo 01 
8𝑥3 − 2𝑥2 = 6𝑥 (fator comum: 2x) 
2𝑥 (4𝑥2 − 𝑥 + 3 
 
AGRUPAMENTO 
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, 
agrupando os termos semelhantes (termos em comum). 
Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: 
termo comum em evidência. 
Observe no exemplo a seguir: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
60 
4𝑥2 + 8𝑥 + 6𝑥𝑦 − 12𝑦 
Termo comum me evidencia em cada agrupamento: 4𝑥2 + 8𝑥 𝑒 6𝑥𝑦 − 12𝑦 
4𝑥(𝑥 + 2) + 6𝑦(𝑥 + 2 
Colocamos novamente em evidencia, pois os termos 4x e 6y possuem termos em 
comum (4𝑥 + 6𝑦) (𝑥 + 2) 
 
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS (PRODUTOS DA SOMA PELA 
DIFERENÇA) 
Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que 
saibamos que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é 
elevar um número, letra ou termos ao quadrado. 
A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando: 
• Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). 
• Os dois monômios sejam quadrados. 
• A operação entre eles for de subtração. 
Exemplo 
A expressão algébrica x2 – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes 
quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8) (x + 8). 
 
TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO 
Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio 
com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito. 
Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja 
exemplos: 
3x2 + 2x + 1 
20x3 + 5x – 2x2 
2ab +5b + 3c 
 
Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito. 
O que é um quadrado perfeito: 
Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
61 
Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse 
número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um 
quadrado perfeito, pois 52 = 25. 
Como identificar um trinômio de quadrado perfeito? 
Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado 
perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado 
perfeito ou não? 
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características: 
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes 
quadradas dos dois outros 
 
Veja o trinômio 162 +8x+1 é um quadrado perfeito, para isso sigas regras acima: 
 
 
 
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do 
meio, então o trinômio 16x2+ 8x + 1 é quadrado perfeito. 
Então, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das 
raízes ao quadrado. 
8.3 Expressões numéricas, expressões algébricas e operações com 
polinômios 
A adição de dois números reais talvez deva ser apresentada da seguinte forma: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
62 
a) – 3 + 7: onde se lê; devo 3 e tenho 7, cujo resultado é tenho 4, ou 
em linguagem simbólica + 4 
b) – 8 – 11: onde se lê; devo 8 e devo 11, cujo resultado é devo 19, ou 
em linguagem simbólica – 19 
c) + 5 + 4: onde se lê; tenho 5 e tenho 4; cujo resultado é tenho 9, ou 
em linguagem simbólica + 9 
 
Por sua vez a multiplicação de números reais pode ser tratada como uma extensão 
da soma, ou da forma como é descrita abaixo: 
a) + 2 multiplicado por + 3: onde se lê; tenho 2 créditos de 3, cujo 
resultado é um crédito de 6, ou em linguagem simbólica + 6 
b) + 5 multiplicado por – 2: onde se lê; tenho 5 dívidas de 2, cujo 
resultado é uma dívida de 10, ou em linguagem simbólica – 10 
c) – 3 multiplicado por – 7: onde se lê; o oposto de 3 dívidas de 7, cujo 
resultado é um crédito de 21, ou em linguagem simbólica + 21. 
 
Abaixo vemos algumas expressões numéricas; 
vamos a elas: 
a) - 2 – 3 – 7 + 20 – 13 – 6 + 4 
Podemos primeiro juntar todas as nossas dívidas, o que daria - 31 e 
depois juntar todos nossos créditos que daria + 24; e isso nos conduziria a – 
31 + 24 ou seja – 7 
 
b) – 3 + 7 – 8. + 2 – 5 + 14 – 11 + 31 + 6. – 2 + 15 
Devemos reparar que nessa expressão temos duas multiplicações para serem 
feitas, então vamos dar prioridade a elas. 
- 8. + 2 cujo resultado é – 16 e + 6. – 2 cujo resultado é – 12 
 
Dessa forma nossa expressão fica: 
- 3 + 7 – 16 – 5 + 14 – 11 + 31 – 12 + 15 
 
E agora juntando nossas dívidas e nossos créditos obtemos: 
47 + 60 o que nos leva a + 13 
MATEMÁTICA BÁSICA 
63 
 
Agora vamos trabalhar com algumas expressões que envolvem alguns obstáculos, 
como os parênteses por exemplo. 
Sabemos que toda vez que uma expressão possuir obstáculos; devemos dar 
prioridade a eles; vejamos alguns exercícios. a) – 5 – 3 – (+ 7 – 3. – 2) – 5. ( -4 + 6) – 11 
 
Vamos resolver primeiro dentro de cada parêntese. 
Devemos reparar que os primeiros parênteses possuem uma multiplicação, então 
devemos dar prioridade a ela; vejamos: 
+7 + 6 que resulta em + 13 
Por sua vez no segundo parênteses ficamos com +2 
O que nos leva a expressão simplificada 
5 – 3 – (+13) – 5. + 2 – 11 
Repare que ainda temos um parêntese, que deve ser lido como – (+13) ou seja o 
oposto de tenho 13; que é – 13 que nos leva a - 5 – 3 – 13 – 10 – 11 
O que nos leva a finalizar o exercício em – 42 
Vamos propor um outro exemplo: 
(+ 7 – 11) – (- 3 – 5 + 1) – 2. (- 12 + 8) + 14 – 3. (- 5. -4 – 17) 
Vamos trabalhar primeiro dentro de cada um dos parênteses, o 
que nos leva a: - (- 4) – ( -7) – 2. – 4 + 14 – 3. (+20 – 17) O que nos 
leva a: + 4 + 7 + 8 + 14 -3. +3 
+ 4 + 7 + 8 + 14 - 9 
O que nos leva a + 24 
 
Vejamos agora algumas expressões algébricas. 
Para iniciar devemos lembrar de algumas operações mais simples, vejamos: b) x 
+ x + x = 3x 
c) x. x = x² 
 
Como os valores da expressão “c” são administráveis podemos dizer que o valor 
dessa expressão é 16. 81 ou seja 1296 
MATEMÁTICA BÁSICA 
64 
Porém poderíamos ter escrito esse resultado na forma de potência o que nos 
levaria a: 24 . 34 
Os alunos em si não gostam muito desse tipo de escrita como resposta; para eles, 
é muito mais confortável escrever 1296 do que 24 . 34 
Acreditamos que o que deve ser dito nesse momento para os educandos, é que a 
potência é um recurso, ou melhor, as propriedades da potência são um recurso muito 
utilizado em matemática. 
Vamos continuar com nossos exemplos: d)11.15.11.11.15.11.15 = 
Nesse exemplo podemos notar que escrever o resultado dessa operação se 
utilizando da notação 114 . 153 é muito mais conveniente do que fazer todas as 
multiplicações exigidas para expressar o resultado de uma forma mais convencional, se 
assim podemos dizer. 
Dessa forma a operação: 
e) x . x . 2x . 2 . 2 . x = 
Poderia ser escrita da seguinte forma 8 x4 
O que nos parece mais conveniente do que escrever 23 . x4 
 
No entanto a operação 
 
Que poderia ser escrita da seguinte forma: 
 
Vamos agora resolver algumas expressões algébricas. 
 
Primeiro devemos realizar a multiplicação 
 
Agora vamos somar os termos semelhantes 
 
Primero temos que fazer a multiplicação o que nos leva a: 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
65 
O que nos leva a: 
 
9 EXPRESSÕES COM NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS 
Temática – Expressões com racionais e irracionais 
Iremos trabalhar agora algumas expressões numéricas envolvendo o conceito de 
número real. 
Vejamos alguns exemplos, começando pelas expressões com os irracionais: 
 
 
O valor acima é chamado de valor exato da expressão. 
Poderíamos também fornecer um valor aproximado para essa expressão; para 
isso bastaria trocar: 
 
 
O que nos levaria a: 
 
 
 
O valor acima é chamado de valor exato da expressão. 
Poderíamos também fornecer um valor aproximado para essa expressão; para 
isso bastaria trocar: 
 
O que nos levaria a: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
66 
 
 
Uma outra forma de abordar as expressões com os irracionais, é mostrar ao 
educando algumas raízes como as que se encontram abaixo; vejamos: 
 
 
Pois ao fatorar o 72, conseguimos 22.32.2, e tanto o 22 como o 32 podem sair da 
raiz, como 2.3 ou seja, sair como 6, pois possuem expoente igual ao índice da raiz. 
Vejamos outro exemplo: 
Pois ao fatorar o 150, conseguimos pode sair da raiz como 5, 
pois possui expoente igual ao índice da raiz. 
 
Vejamos um outro exemplo: 
Pois ao fatorar o 16, conseguimos pode sair da raiz, como 2, 
pois possui expoente igual ao índice da raiz. 
 
Agora vamos fazer outras expressões com números irracionais. 
 
O que nos leva a: 
 
Esse valor encontrado acima é chamado de valor exato. 
Podemos também escrever a resposta essa expressão de forma aproximada; o 
que nos levaria a: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
67 
 
 
Vejamos um outro exemplo: 
 
 
Que é o valor exato da expressão acima. 
Fica a cargo do leitor obter o valor aproximado dessa expressão. 
Agora vamos falar um pouco sobre as expressões com números racionais. 
 
Vamos iniciar por aquelas que possuem racionais escritos na forma fracionária. 
 
Iniciamos calculando o m.m.c. (3,6,4) que é 12. 
 
Então temos: 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
Existem expressões com frações que envolvem operações de multiplicação ou de 
divisão. 
Vejamos um exemplo: 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
68 
 
Iniciamos resolvendo o parêntese 
 
 
Agora temos: 
 
 
Devemos agora resolver primeiro a multiplicação e a divisão; o que nos leva a: 
 
Ou seja: 
 
 
Que equivale a: 
 
10 VALOR NUMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
Em alguns momentos da matemática, faz-se necessário obter o valor numérico de 
uma expressão algébrica. 
Essa postura de certa forma começa a preparar o educando a trabalhar com 
fórmulas da Matemática e da Física que serão apresentadas durante o ensino 
fundamental; para depois serem trabalhadas de forma mais complexa no ensino médio. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 1) Calcular o valor numérico de cada expressão abaixo para: 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
69 
 
 
Vamos iniciar somando os termos semelhantes o que nos leva a: 
 
 
Então fica: 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
Cujo resultado é: 
 
Vamos agora propor um novo exemplo; vejamos:O que nos leva a: 
 
 
E calculando o m.m.c. teríamos: 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
70 
Os casos de fatoração constantemente aparecem como um excelente recurso às 
simplificações de frações algébricas, vejamos alguns exemplos: 
1). Calcule o valor de cada expressão abaixo sabendo que: 
 
 
O numerador dessa fração representa o quadrado da diferença de dois termos, e 
por sua vez o denominador dessa fração algébrica possui o 2 como um fator comum aos 
dois termos, então temos: 
 
O que nos leva a: 
 
 
Ou ainda; 
 
Cujo resultado é 
 
Vejamos um outro exemplo: 
 
 
Como vemos, o numerador da fração possui um outro caso de fatoração conhecido 
como agrupamento; por sua vez no denominador da fração temos o quadrado da soma 
de dois termos. 
 
Então fica: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
71 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
O que nos conduz a: 
 
Calculando o valor numérico da expressão obtemos: 
 
 
Devemos agora racionalizar o denominador, o que nos leva a: 
 
O que nos leva a: 
 
 
Vamos agora para mais um exemplo: 
Vamos lá .... 
 
Agora estamos vendo no numerador da fração um caso de fatoração chamado 
diferença de quadrados, e no numerador da fração, mais uma vez vemos um fato comum 
entre os dois termos, no caso o 3. 
Vejamos então: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
72 
 
 
E simplificando a fração algébrica obtemos: 
 
O que nos leva a: 
 
 
Cujo resultado é: 
 
 
Vamos aproveitar o momento para falar um pouco sobre Juros Simples e Juros 
Compostos; um tema que de certa forma pode ser apresentado junto ao assunto valor 
numérico de uma expressão algébrica. 
 
Vejamos: 
A palavra Juros pode ser expressa através da seguinte frase; ela é a remuneração 
em dinheiro pelo empréstimo de um certo capital. 
As fórmulas de Juros Simples e Juros Compostos estão apresentadas abaixo 
 
Vejamos: 
Onde; chamamos os Juros de J; o capital é representado pela letra C; o i é a letra 
que representará o índice ou taxa; e o t representará o tempo. 
Um detalhe importante é que o tempo e a taxa (índice) devem ser expressos 
sempre na mesma unidade, ou seja, ambos expressos em meses, em dias, em anos. Por 
sua vez a fórmula de Juros Compostos; de certo modo nos é mostrada abaixo Vamos 
adaptá-la. 
Ou ainda 
MATEMÁTICA BÁSICA 
73 
Onde: Chamamos de Montante, ou o capital atualizado de M; O Capital Inicial de 
C; o índice ou taxa será representado por i; e o tempo por t. 
Mais uma vez ressaltamos que a taxa e o tempo devem ser expressos na mesma 
unidade. 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Certo capital de R$ 400 é aplicado por 3 meses a uma taxa de 5% ao mês; taxa 
essa, expressa em Juros Simples, o valor dos juros obtidos e do capital final é de: 
Resolução: 
 
Resposta: A aplicação renderá R$ 60 de juros e o capital final será de 
R$ 460 
 
2). Certo capital de R$ 400 é aplicado por 3 meses a uma taxa de 5% ao mês, 
taxa essa expressa em Juros Compostos, o valor dos juros obtidos e do capital 
final é de: 
Resolução: 
 
Resposta: O Capital final atualizado é de R$ 463,05; ou seja, a aplicação rendeu 
de juros compostos o valor de R$ 63,05 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
74 
3) A qual taxa de Juros Simples deve ser aplicada o capital de R$ 700 para 
que a mesma renda de juros o valor de R$ 84 em 6 meses. 
 Resolução: 
 
Resposta: O capital foi aplicado a taxa de 2% ao mês. 
 
11 EQUAÇÃO DO 1°8 
Equação é uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade 
envolvendo expressões matemáticas. Uma equação é composta por incógnitas e 
coeficientes (esses são conhecidos). O prefixo equa vem do latim é significa igual. 
A equação geral do primeiro grau 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, onde 𝑎 e 𝑏 são números conhecidos 
𝑎 ≠ 0 , se resolve de maneira simples: subtraindo 𝑏 dos dois lados, obtemos 𝑎𝑥 = −𝑏 
e dividindo por 𝑎 (dos dois lados), temos 𝑥=
𝑏
𝑎
 . Os casos em que 𝑎 = 0 
No entanto, vale à pena deixar claro que o que deve ser feito é isolar o ”x” de um 
dos lados da equação e deixar os demais valores do lado oposto, o que nos leva à 
solução do problema. 
Devemos esclarecer que há equações que não vão aparecer da exata maneira 
como no exemplo acima. Na verdade, a maior parte terá de sofrer uma pequena mudança 
na posição de seus termos para que fique com o aspecto de “ax + b = 0”. 
 
Exemplos 
a) 4x – 10 = 0, onde x é a incógnita e 4 é –10 são os coeficientes. 
 
8 Texto extraído de www.comunidades.net.com.br 
MATEMÁTICA BÁSICA 
75 
b) x + 3 = 4x + 8 
 
Obs.: Não são equações: 
a) 4x + 20 > 0 (é uma inequação) 
b) 6 + 5 = 10 + 1 (não é uma sentença aberta) 
 
Em razão dos objetivos, podemos distinguir três tipos de equações: 
• A equação de definição estabelece uma identidade entre duas 
expressões alternativas que possuem exatamente o mesmo 
significado. Por exemplo, o lucro total (LT) é definido como o 
excesso da receita total 
(RT) sobre o custo total (CT), e essa equação pode ser escrita assim: 
LT = RT – CT 
 
• A equação de comportamento especifica a maneira como uma 
variável se comporta em resposta a mudanças em outras 
variáveis. Isso pode envolver comportamento humano (o padrão 
de consumo em relação à renda), aspectos tecnológicos (a 
função de produção) e legais (carga tributária). Por exemplo, seja 
o custo total dado por CT = 200 + 10x, onde x denota a 
quantidade de determinado produto. O custo fixo, o valor de CT 
quando x = 0, é 200. À medida que x aumenta, CT aumenta. 
 
• A equação de condições de equilíbrio é um modelo matemático 
econômico que envolve a noção de equilíbrio. Duas das mais 
frequentes condições de equilíbrio em economia são: 
Qp = Qo (quantidade procurada = quantidade 
ofertada); e S = I (poupança planejada = investimento 
planejado). 
O conjunto universo, indicado pela letra (U), contém todos 
os valores possíveis para as incógnitas. E o conjunto solução, ou 
conjunto verdade (V), de uma equação é formado por todos os 
MATEMÁTICA BÁSICA 
76 
elementos do conjunto universo dado que tornam verdadeira a 
equação. 
 
Por exemplo: na equação 3x – 4 = 2x + 1, sendo U = ℚ, temos: 
Para x = 5 ∈ ℚ, a expressão reduz-se a: 3 x (5) – 4 = 2 x (5) + 1 ⇔ 15 – 4 = 10 + 
1 ⇔ 11 = 11, que é verdadeiro. 
Portanto, x = 5 é solução, ou raiz, da equação 3x – 4 = 2x + 1, e o conjunto solução, 
ou conjunto verdade, é V = {5} 
 
Para x = 8 ∈ ℚ, a expressão reduz-se a: 3 x (8) – 4 = 2 x (8) + 1 ⇔ 24 – 4 = 16 + 
1 ⇔ 20 = 17, que é falso. 
Portanto, x = 8 não é solução, ou raiz, da equação 3x – 4 = 2x + 1 
11.1 Definição de equação do 1° grau 
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita 
na forma: 
 
 
onde a 0 e b são reais e x é a incógnita. a) x + 5 = 0 
b) 2x – 10 = 3 
c) 3 + 3x = 0 
 
Toda equação possui: 
→ Uma ou mais letras (geralmente x, y ou z) indicando valores desconhecidos, 
que são denominadas incógnitas; 
→ Um sinal de igualdade, denotado por =. 
→ Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro: 
→ Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro. 
Vejamos o exemplo: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
77 
 
11.2 Raiz de uma equação 
Consideremos a sentença fechada e verdadeira: 5 x 3 = 10 + 5 Se substituirmos o 
algarismo 3 pela letra x, teremos uma sentença aberta 5x = 10 + 5 5x = 15, que se 
tornará uma sentença fechada e verdadeira para o valor x = 3 Dizemos, nesse caso, que 
3 é a raiz da equação 5x = 15. 
Raiz de uma equação é o valor da incógnita que a transforma numa sentença 
matemática fechada e verdadeira. Resolver uma equação é encontra sua raiz. 
11.3 Como resolver uma equação do 1° grau com uma incógnita 
Resolver uma equação do 1º grau é encontrar o valor da incógnita que satisfaz à 
equação. Este valor é a raiz ou solução da equação. É muitosimples encontrar a raiz, 
como se faz a seguir: 
 
Exemplo 02 
MATEMÁTICA BÁSICA 
78 
 
 
 
 
Observando a equação proposta notamos que ela é, evidentemente, mais 
complicada que aquela do exemplo anterior. Em casos como este devemos operar 
procurando simplificar os termos presentes até que consigamos isolar a raiz. Desta 
maneira temos os seguintes passos: 
1°) (𝑥2 − 3)2 é uma diferença de dois termos elevados ao quadrado que lembramos 
ser igual ao “quadrado do primeiro menos o duplo produto do primeiro pelo segundo mais 
o quadrado do segundo”, assim: (𝑥 − 3)2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 
2°) (𝑥 + 5)2 é uma soma de dois termos elevada ao quadrado, que igualmente 
lembramos ser o “quadrado do primeiro mais o duplo produto do primeiro pelo segundo 
mais o quadrado do segundo”, logo: (𝑥 + 5)2 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 
3°) 2(𝑥2 + 23) apresenta-se fatorado, então devemos multiplicar o número pelos 
termos que estão no interior dos parênteses: 2(𝑥2 + 23) = 2𝑥2 + 46 
Agora a equação original se transforma em: 
 
Transpondo os termos que contém x para a esquerda do sinal de igualdade e 
os que não contém para a direita: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
79 
 
Efetuando as reduções entre termos semelhantes: 
E finalmente 
 
 
É muito importante, principalmente em equações complicadas, verificar a 
correção do resultado, isto se faz substituindo o valor achado na equação 
proposta, assim: 
 
 
O que nos mostra que termos encontrados a solução correta. 
A raiz da equação é 3. 
12 EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
As equações de 2° grau são abordadas em matemática desde a época dos 
egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. Na Índia, as equações polinomiais de 2° 
grau eram resolvidas completando quadrados. Essa forma de resolução foi apresentada 
geometricamente por Al-Khowârizmi, no século IX. Os egípcios, babilônicos, gregos e 
hindus descartavam as raízes negativas, por serem inadequadas, aceitavam as raízes 
irracionais e tinham uma receita para a solução das equações de forma puramente 
algébrica. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
80 
Chamamos equação de 2° grau na variável x qualquer expressão algébrica que 
possa ser reduzida à forma y = ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c, números reais, e a ≠ 0 
são os coeficientes da equação. Se b = 0 ou c = 0, a equação está na forma incompleta. 
Veja alguns exemplos: 
• y = x2 – 7x + 10 = 0, em que a = 1, b = – 7 e c = 10. 
• y = – x2 + 2x + 3, em que a = – 1, b = 2 e c = 3. 
• y = 4x2 – 100 = 0, em que a = 4, b = 0 e c = 100. 
• y = 3x2 = 0, em que a = 3, b = 0 e c = 0. 
 
O gráfico de y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é uma curva, chamada parábola, que passa por 
um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são: 
 
No gráfico de y = ax2 + bx + c, 0 a ≠ tem concavidade voltada para cima se a > 0, 
e a abscissa do vértice é ponto de mínimo de y = ax2 + bx + c. 
Por exemplo, no gráfico de y = x² – 7x + 10, a = 1 > 0 tem concavidade voltada 
 
 para cima e é ponto de mínimo de y = x² – 7x + 
10. 
 
No gráfico de y = ax² + bx + c, a ≠ 0 tem concavidade voltada para baixo se a < 0, 
e a abscissa do vértice é ponto de máximo de y = ax² + bx + c. Por exemplo, no gráfico 
de y = -x2 + 2x + 3, a = 1 < 0 tem concavidade voltada para baixo e 
 
 É ponto de máximo de y = –x2 + 2x 
+ 3. 
 
As raízes de y = ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, podem ser calculadas pela conhecida 
fórmula de Bhaskara: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
81 
 
12.1 Resolução das Equações quadráticas 
As raízes da equação de 2° grau são os valores de x que satisfazem a equação y 
= ax² + bx + c = 0, e a ≠ 0. Por exemplo, as raízes da equação y = x2 – 10x + 21 = 0, para 
a = 1, b = –10 e c = 21, são os números x = 3 e x = 7. 
Desse modo: 
• Para x = 3, temos 3² – 10 x 3 + 21 = 9 – 30 + 21 = 0; e 
• Para x = 7, temos 7² – 10 x 7 + 21 = 49 – 70 + 21 = 0. 
 
Portanto, os números x = 3 e x = 7 são raízes da equação x² – 10x +21 = 0. 
Na equação y = ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 tem duas raízes reais se b² – 4ac > 0, tem 
apenas uma raiz real se b² – 4ac = 0 e não tem raízes reais se b² – 4ac < 0. 
Exemplo: Obtenha o conjunto solução, ou conjunto verdade, das equações de 2° 
grau, a seguir, sendo U = ℝ. 
4x² – 6x – 4 = 0 
Na equação 4x² – 6x – 4 = 0, a = 4, b = –6 e c = –4; e aplicando a fórmula de 
Bhaskara, temos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
82 
 
 
 a) – 6x² + 24x = 0 
Na equação 4x² – 6x – 4 = 0, a = 4, b = –6 e c = –4; e aplicando a fórmula de 
Bhaskara, temos: 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
83 
 
 
13 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU 
Os matemáticos, a partir do século XVI, passaram a representar sentenças 
matemáticas usando letras de diversos alfabetos conhecidos. Surgiram, então, sentenças 
matemáticas escritas com o sinal (=) para indicar uma igualdade, que, se apresentasse 
um ou mais elementos desconhecidos, passava a ser chamada equação. Surgiram, 
também, sentenças matemáticas escritas com os sinais > ou < para indicar uma 
desigualdade. 
Se a ≠ b (leia a diferente de b), poderá ocorrer a > b ou 
a < b. Assim: 
 
 
Na desigualdade 3 + 4 < 10, temos 3 + 4 como primeiro membro, e 10 como 
segundo membro. 
13.1 Relação de Ordem ℝ 
A relação de ordem (maior ou menor) no conjunto dos números reais é definida 
por: 
• f a > b ⇔ a – b > 0, para todo a, b ∈ ℝ, ou seja; a é maior que b 
se e somente se a – b for positivo. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
84 
• a < b ⇔ a – b < 0, para todo a, b ∈ ℝ, ou seja; a é menor que b 
se e somente se a – b for negativo. 
 
O significado geométrico da desigualdade a < b é simplesmente que a está à 
esquerda de b; e a desigualdade equivalente b > a significa que b está à direta de a. Um 
número à é positivo ou negativo conforme a > 0 ou a < 0. Se você quer dizer que a é 
positivo ou igual a zero, escreva a ≥ 0 e leia a maior ou igual a zero. Do mesmo modo, a 
≥ b significa que a > b ou a = b. Assim, 5 ≥ 3 e 5 ≥ 5 são desigualdades verdadeiras. 
 
13.2 Propriedades das desigualdades 
Para quaisquer números reais a, b, c e d, valem as propriedades: 
• P1 – a < b ⇒ a + c < b + c, para qualquer real c. Por exemplo: 3 
< 5 ⇒ 3 + 4 < 5 + 4. 
• P2 – a < b e c < d ⇒ a + c < b + d. Por exemplo: 6 < 8 e 5 < 7 ⇒6 
+ 5 < 8 + 7. 
• P3 – a < b e b < c ⇒ a < c. Por exemplo: 5 < 9 e 9 < 11 ⇒ 5 < 11. 
• P4 – a < b e c > 0 ⇒ a x c < b x c. Por exemplo: 4 < 6 e 3 > 0 ⇒ 
4 x 3 < 6 x 3. 
• P5 – a < b e c < 0 ⇒ a x c > b x c. Por exemplo: 4 < 6 e – 3 < 0 
⇒ 4 x (– 3) > 6 x (– 3). 
• P6 – 0 < a < b e 0 < c < d ⇒ a x c < b x d. Por exemplo: 0 < 4 < 
7 e 0 < 5 < 8 ⇒ 4 x 5 < 7 x 8. 
 
Toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e 
representa uma desigualdade é denominada inequação. 
 
Por exemplo: 
• 3x + 12 > 18 é uma inequação. 
• 
MATEMÁTICA BÁSICA 
85 
 
Duas questões importantes a serem lembradas: 
• Como nas equações, na inequação 3x + 12 > 18, 3 + 12 é o 
primeiro membro, e 18 é o segundo membro; e 
• A desigualdade 5² + 5 > 3³ – 2 não é uma inequação, pois não 
possui elemento desconhecido. 
 
Denominamos inequação de 1° grau na incógnita ou variável x toda expressão que 
pode ser reduzida a uma destas formas: a x < b ou a x ≤ b ou a x > b ou a x ≥ b em 
que a e b são números reais quaisquer com a ≠ 0. 
Para resolver uma inequação, o procedimento é análogo ao das equações do 1o 
grau; porém, vale lembrar que, quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros 
da inequação por um número negativo, o sentido da desigualdade muda. Quando 
multiplicamos ou dividimos os membros por um número positivo, o sentido da 
desigualdade não se altera (propriedades P4 e P5 das desigualdades). Observe os 
exemplos: 
• 10 > 8, multiplicando ambos os membros por 3, o sentido da 
desigualdade não se altera, assim: 3 10 > 3 8 ou 30 > 24 
 
• 10 > 8, multiplicando ambos os membros por – 3, o sentido da 
desigualdade muda de > para <, assim: (– 3) 10 >(– 3) 8 ou – 
30 < – 24 
 
Exemplo 
4x + 7 ≥ 3x + 8, sendo U = ℝ. 
4x + 7 ≥ 3x + 8 ⇔ 
4x ≥ 3x + 8 – 7 ⇔ 
4x ≥ 3x + 1 ⇔ 
4
x – 3x ≥ 
1 ⇔ x ≥ 
1. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
86 
 
Todos os números reais maiores ou iguais a 1 fazem parte do conjunto solução, 
ou conjunto verdade, da inequação dada, ou seja: V = {x ℝ| x ≥ 1} = [1, ∞). 
 
Graficamente, temos a solução: 
 
 
 
14 FUNÇÕES 
A palavra função, na sua forma latina equivalente, foi introduzida por Gottfried W. 
Leibniz em 1694. Mas o conceito de função que a maioria dos alunos dos cursos 
elementares de matemática conhece, foi introduzida por Euler depois do conceito dado 
por Johann Bernoulli por volta de 1718. 
O conceito de função permeia grande parte da matemática e muitos matemáticos 
vêm advogando seu uso como princípio central e unificador na organização dos cursos 
elementares de matemática. O conceito parece representar um guia natural e efetivo para 
a seleção e desenvolvimento do material de textos de matemática. Enfim, é 
inquestionável que, quanto antes um estudante se familiarizar com o conceito de função, 
melhor será para a sua formação matemática. 
14.1 Conceito de Função 
Pensemos em exemplos de relação que podemos estabelecer entre duas 
quantidades. Exemplos do nosso dia a dia. Pronto, já pensou? 
O conceito de função surge, de maneira natural e espontânea, toda vez que 
consideramos duas grandezas que estejam relacionadas entre si de maneira que a cada 
valor de uma delas corresponde um valor da outra. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
87 
I. Suponhamos que uma certa mercadoria seja vendida a R$1,50 o 
quilo, então x quilos dessa mercadoria custarão 1,5. x reais. 
Denotando como p o preço desses x quilos, é claro que p = 1,5x. 
Temos aqui duas grandezas x e p, que estão relacionadas entre si. 
 
II. Comparação dos valores em graus Celsius e graus Fahrenheit da 
temperatura. 
 
Uma função é uma relação entre dois conjuntos, de modo que a cada número do 
primeiro conjunto corresponda exatamente um número no segundo conjunto. 
Podemos representar uma função através de uma tabela, escrevendo uma fórmula 
ou construindo um gráfico. 
Exemplo: Um operário ganha R$ 1000,00 fixos mais R$15,00 por hora extra. 
Sabese que o número de horas extras varia todo mês. Observando os dados, estabeleça 
a relação entre o salário (S) e o número de horas trabalhadas (h). Inicialmente vamos 
expressar essa relação sob forma de uma tabela, usando valores de 1 a 5. 
 
 
Agora vamos representar os valores que estão representados na tabela em um 
plano cartesiano. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
88 
 
 
Representando os dados na tabela e no plano cartesiano, você percebeu que para 
cada valor de h existe um único correspondente em S? Se você respondeu sim, então 
está percebendo que esta relação representa uma função? Se, sim, está na hora de 
escrever uma lei de formação para esta função. A lei de formação é uma expressão 
algébrica que expressa o salário do operário em relação à hora trabalhada. Vamos tentar 
montar esta lei de formação? 
A resposta deste exercício será colocada a seguir. Olhe o resultado apenas 
depois que tiver feito a atividade. Só assim construirá o conceito de função. 
Definição: Chama-se função do conjunto A no conjunto B uma relação f entre os 
elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B que faz corresponder a cada 
elemento do conjunto A um único elemento de B. “f” é uma função de variável real se 
tanto o conjunto A como o conjunto B forem subconjuntos de IR. 
Recordando: 
Vamos recordar para responder esta questão. Uma função é uma regra que 
associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de um conjunto B. O 
conjunto A é chamado de domínio da função, o conjunto B é o contradomínio da função 
e os elementos que estão associados aos elementos do domínio formam o conjunto 
imagem. 
Considerando que os elementos do conjunto A são representados pela variável x 
e os elementos do conjunto B pela variável Y, chamaremos a variável x de variável 
independente e a variável y de variável dependente. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
89 
Para determinarmos o domínio de uma função, precisamos encontrar quais 
restrições devem ser colocadas sobre a variável independente (x), caso existam. 
 
Resolução do Exemplo: 
 
 
 
Agora tente responder: 
1) O que é domínio de uma função? Dê exemplo. 
 Domínio de uma função é o conjunto formado pelos elementos que devem 
ser atribuídos a x; colocados no lugar de x. 
2) O que é contradomínio de uma função? Dê exemplo. 
Contradomínio de uma função é o conjunto formado pelos elementos que 
podem estar associados aos elementos de domínio de uma função. 
3) O que é conjunto imagem de uma função? Dê exemplo. 
Imagem de uma função é o conjunto formado pelos elementos que estão 
associados aos elementos do domínio de uma função. 
14.2 Ampliando o conceito de Função 
Sem tomar cuidado com formalizações podemos dizer que a grosso modo a 
palavra função indica uma relação de dependência entre algumas variáveis. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
90 
Continuamos nosso estudo sobre funções de uma forma contextualizada com a 
intenção de que esse conhecimento seja ampliado, construído aos poucos. 
 Vejamos alguns exemplos: 
 1) Suponha que um vendedor de automóveis receba de salário R$ 300,00 
fixos por mês, mais uma comissão de R$ 200,00 por carro vendido. Neste 
exemplo podemos notar que existe uma relação de dependência entre o salário 
do vendedor e o número de carros vendidos por ele. Devemos reparar também 
que a quantidade de carros vendida deve ser um número natural maior ou igual a 
zero; e que ao comercializar 1 carro o vendedor de automóveis receberia R$ 
200,00 pelo carro vendido, mais os R$ 300,00 fixos. 
Ao comercializar 2 carros o vendedor de automóveis receberia R$ 400,00 pelos 
carros vendidos, mais os R$ 300,00 fixos. 
Ao comercializar 3 carros o vendedor de automóveis receberia R$ 600,00 pelos 
carros vendidos, mais os R$ 300,00 fixos. 
Essas afirmações irão nos gerar o gráfico abaixo; representado por um conjunto 
de pontos alinhados partindo do 300. 
 
 
Cabe agora a seguinte pergunta: podemos relacionar a quantidade de carros 
vendida com o salário do vendedor de automóveis? 
Iremos responder a essa questão em breve no nosso vídeo aula; fica a 
formalização dela a cargo do leitor. 
 
Vejamos um segundo exemplo: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
91 
2) Em um açougue o quilo de um tipo de carne custa R$ 12,00. Sabendo que 
o açougue dispõe de 30 quilos deste determinado tipo de carne; nos mostre: 
a) uma função que represente essa situação problema f(x) = 12x 
 
b) Uma tabela e o gráfico que ilustre essa situação 
 
 
 
c) Representando a situação descrita através de um diagrama de flechas 
 
 
d) Os conjuntos domínio e imagem 
 
 
O que podemos perceber neste exemplo é que podemos relacionar a quantidade 
de carne vendida com a receita gerada para o açougue. 
 Algumas “coisas“ a mais devem ser ditas tais como a quantidade de carne não 
necessariamente é um número inteiro, mas deve ser um número compreendido entre 0 
e 30 pois atende as limitações do açougue. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
92 
Essas limitações irão impedir que a receita do açougue na comercialização desse 
tipo de carne não seja superior a R$ 360,00. 
Acreditamos que com esses dois exemplos esteja de certa forma esboçada a ideia 
de função de uma forma contextualizada. 
 Outras denominações serão introduzidas no futuro. 
 O leitor deve notar que nem sempre a matemática vive de objetos 
contextualizados. 
 O exemplo abaixo nos mostra uma função do primeiro grau na qual desejamos 
conhecer o gráfico da mesma: 
 
Devemos reparar que apesar de não termos uma história como pano de fundo 
para contextualizar o objeto; o mesmo pode e deve ser estudado, de modo que se possa 
criar algumas generalizaçõesacerca do mesmo. 
Vamos discuti-las: 
 Primeira: queremos construir o gráfico da função que está definida nos números 
reais. 
 Isto significa dizer que podemos atribuir a “x” qualquer valor que se queira, desde 
que ele seja um número real. 
 Segundo: Toda função do primeiro grau é do tipo f (x) = ax + b. 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
93 
 
 
O fato do “a” ser negativo como no exemplo dado faz com que o gráfico tenha a 
característica mostrada acima, a de uma função decrescente. 
Caso o “a” seja um número positivo teríamos como gráfico uma reta, esboçando 
função crescente. 
E caso o “a” seja nulo, teríamos como gráfico uma reta paralela ao eixo “x” 
indicando uma função constante. 
De posse dessas informações observe o gráfico de cada uma das funções abaixo: 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
94 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
95 
15 GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
Um gráfico pode ser uma maneira útil de exibir informação. Pode ajudar a resolver 
problemas e fazer previsões. 
Daí vem a necessidade de construir um gráfico com escala adequada. Um 
problema na construção da escala pode trazer uma informação falsa dos dados que estão 
sendo analisados. 
Construção de um gráfico - Definição 
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy tal 
que x está no domínio de f e y = f (x). 
 
 
 
 
 
 
 
Plano cartesiano 
 
 
 
Escolhendo uma escala 
A ideia é escolher escalas fáceis de trabalhar. Usualmente é melhor trabalhar com 
grupos de 1, 5 ou 10, isto é, cada 1cm vale 1 unidade ou cada 1cm vale 5 unidades ou 
cada 1cm vale 10 unidades. Estas escalas são mais fáceis de contar e ajuda a trabalhar 
com número decimal. Você deve identificar sua escala em cada eixo cartesiano e 
identificar cada eixo. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
96 
O eixo x é chamado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Na 
intersecção dos dois eixos está o número zero. No eixo x, à esquerda do zero vêm os 
números negativos, e à direita os números positivos. No eixo y abaixo do zero estão os 
números negativos, e acima os números positivos. 
De acordo com essas informações podemos fazer os gráficos abaixo: 
1-Complete a tabela abaixo e escreva uma fórmula (função) que relacione as 
variáveis. 
 
 
2-Dê uma fórmula para a função representada em cada uma das 
tabelas abaixo. 
 
 
 
Na letra “a” devemos perceber que o “y“ vale o dobro do “x” o que nos leva a crer 
que a função definida de R em R seja y = 2x 
Na letra “b” devemos perceber que o “y” equivale a raiz quadrada do “x” o que nos 
leva a crer que a função cujo domínio é formado pelos reais positivos e o contradomínio 
pode ser definido pelos reais; é 
MATEMÁTICA BÁSICA 
97 
Na letra “c” devemos perceber que o “y” vale “x” + 8; o que nos leva a crer que a 
função definida de R em R deva ser representada por y = x + 8 
Na letra “d” devemos perceber que o “y“ vale onze vezes o valor do “x” o que nos 
leva a crer que a função definida de R em R seja y = 11x 
 
3- Construa uma tabela e escreva uma função que descreve o seguinte fato e a 
represente em um gráfico: 
Salário mensal y de um operário que ganha $ 830,00 fixos mais $12,00 por hora 
extra, sabendo que o número x de horas extras varia todo mês. 
Y = 830 + 12x 
 
 
X = 0 Y = 830 + 12.0 ou seja y = 830 
X = 1 Y = 830 + 12.1 ou seja y = 842 
X = 2 Y = 830 + 12.2 ou seja y = 854 
X = 3 Y = 830 + 12.3 ou seja y = 866 
X = 4 Y = 830 + 12.4 ou seja y = 878 
 
 
4-Em uma empresa, em um certo período foram observados os custos totais de 
produção e as respectivas quantidades produzidas: 
 
 
 
C (x) = 2x 
C (50) = 2. 50 
C (50) = 100 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
98 
16 TEMÁTICA - SISTEMAS LINEARES 
Para tentar obter o gráfico de uma função polinomial do primeiro grau, talvez seja 
interessante começar falando nos métodos de resolução dos sistemas lineares. 
 
 Vamos a aula: 
Chamamos de equação linear nas incógnitas x0, x1, 
x2, ........xn A toda equação do tipo 
 
 
Onde os “a “ índice “ i “ são os coeficientes das variáveis “ x “ índice “ i “ ; e “ b “ é 
um número qualquer , chamado termo independente. 
Abaixo vemos um exemplo de sistema linear nas incógnitas x; y 
Vejamos 
1) Resolva o sistema abaixo 
 
 
Existem várias formas de se resolver um sistema com duas equações e duas 
incógnitas. 
Iremos preferir inicialmente o método da comparação e o método gráfico. 
Nessa aula, assim como em todas as outras desse caderno; daremos preferência 
aos sistemas SPD; ou seja, aos sistemas possíveis e determinados. 
Chamamos de SPD a todo sistema que possui apenas uma solução. 
Voltemos então ao nosso exercício proposto resolvendo pelo método da 
comparação. 
Vamos isolar o y na primeira equação; então temos: 
 
 
Agora vamos isolar o y na segunda equação 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
99 
Vamos multiplicar os dois lados da equação por menos 1; para que o y fique 
positivo, então temos: 
 
Agora é só igualar as duas sentenças 
 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 
 
 
Temos que encontrar o valor de y, para isso é só substituir o x pelo valor 
encontrado. 
 
 
A solução do sistema é o par ordenado (2,1) 
 
O mesmo sistema pode ser resolvido graficamente; para tanto basta imaginar que 
cada sentença também representa uma função do primeiro grau, que é um objeto que já 
sabemos lidar com ele. 
 
Vejamos então: 
Vamos construir a reta cuja equação é definida por 
MATEMÁTICA BÁSICA 
100 
 
 
 
E agora no mesmo plano cartesiano vamos construir a reta cuja equação é definida 
por: y = 2 x – 3 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
101 
 
 
Repare que os dois gráficos se interceptam no ponto de coordenadas (2, 1) 
 
 
 
Vamos agora a um novo exemplo: 
 1) Resolva o sistema de equações 
MATEMÁTICA BÁSICA 
102 
 
 
Resolução pelo método da comparação. 
Vamos isolar o y na primeira equação; então temos: 
 
 
Agora vamos isolar o y na segunda equação 
 
Vamos multiplicar os dois lados da equação por menos 1; para que o y fique 
positivo, então temos: 
 
O que nos leva a ... 
 
 
Agora é só igualar as duas sentenças 
 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
103 
 
 
Temos que encontrar o valor de y, para isso é só substituir o x pelo valor 
encontrado. 
 
 
A solução do sistema é o par ordenado (3,2) 
O mesmo sistema pode ser resolvido graficamente; para tanto basta imaginar que 
cada sentença também representa uma função do primeiro grau, que é um objeto que já 
sabemos lidar com ele. 
Vejamos então: 
Vamos construir a reta cuja equação é definida por 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
104 
 
 
E agora no mesmo plano cartesiano vamos construir a reta cuja equação é definida 
por 
 
 
Repare que os dois gráficos se interceptam no ponto de coordenadas (3,2) 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
105 
 
 
17 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS E PROBLEMAS 
Nessa aula iremos fixar a resolução de sistemas lineares pelo método da 
comparação e aplicar esse conhecimento em alguns problemas. 
 
Vamos a aula: 
1) Resolva o sistema de equações 
 
 
Resolução pelo método da comparação. 
Vamos isolar o y na primeira equação; então temos: 
 
 
Agora vamos isolar o y na segunda equação 
 
O que nos leva a ... 
MATEMÁTICA BÁSICA 
106 
 
 
Agora é só igualar as duas sentenças 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 
 
 
Temos que encontrar o valor de y, para isso é só substituir o x pelo valor 
encontrado. 
 
A solução do sistema é o par ordenado (1,1) 
 
2) . Resolva o sistema de equações 
 
 
Resolução pelo método da comparação. 
 
Vamos isolar o y na primeira equação; então temos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
107 
 
Agora vamos isolar o y na segunda equação: 
 
 
Agora é só igualar as duas sentenças 
 
 
Multiplicando em cruz, obtemos:Temos que encontrar o valor de y, para isso é só substituir o x pelo valor 
encontrado. 
 
 
A solução do sistema é o par ordenado (1,2) 
 
3) Em um estacionamento existem motos e carros. Ao todo temos 23 
veículos e 66 rodas (sem contar o estepe). Calcule o número de carros e motos 
que estão estacionados nesse local. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
108 
 
Resolução: 
Iremos chamar os carros de x e as motos de y; então temos: 
 
 
Resolução pelo método da comparação. 
Vamos isolar o y na primeira equação; então temos: 
 
 
Agora vamos isolar o y na segunda equação 
 
O que nos leva a ... 
 
Agora é só igualar as duas sentenças 
 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 
 
Temos que encontrar o valor de y, para isso é só substituir o x pelo valor 
encontrado. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
109 
 
 
A solução do sistema é: existem 10 carros e 13 motos. 
 
4) Os números de selos raros de João adicionados ao dobro de selos raros 
de Maria perfazem um total de 13 selos. Por sua vez os dobros de selos raros de 
João adicionados com os de Maria perfazem um total de 14 selos. De acordo com 
essas informações determine o número de selos raros de cada um. 
Resolução: 
Iremos chamar os selos raros de João de x; e os selos raros de Maria de y; então 
temos: 
 
Resolução pelo método da comparação. 
Vamos isolar o y na primeira equação; então temos: 
 
 
O que nos leva a .... 
 
 
O que nos leva a .... 
 
 
Agora vamos isolar o y na segunda equação 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
110 
 
Agora é só igualar as duas sentenças 
 
 
Multiplicando em cruz, obtemos: 
 
Temos que encontrar o valor de y, para isso é só substituir o x pelo valor 
encontrado. 
 
A solução do sistema é: João tem 5 selos raros e Maria tem 4 selos 
raros. 
18 OBTENÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMAIL DO PRIMEIRO 
GRAU 
O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau pode ser obtido de várias 
formas. 
Iremos mostrar algumas delas; supondo que elas estejam definidas dentro dos 
reais, ou seja, o domínio e o contradomínio da função são os números reais. 
 
Vejamos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
111 
Obter a função que passa pelos pontos A = (1,2) e B = (3,6) 
Sabemos que dizer que o ponto A tem coordenadas (1,2) é o mesmo que dizer que f 
(1) = 2 e dizer que o ponto B tem coordenadas (3,6) é o mesmo que dizer que f (3) 
= 6. 
 
Vamos aproveitar e trabalhar em um sistema com 2 equações e 2 incógnitas. 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
E subtraindo a Linha 2 da linha 1, obtemos: 
 
 
E substituindo na primeira sentença; obtemos o valor de b 
 
O que nos leva a função: 
 
 
Essa mesma função poderia ter sido obtida através de um recurso chamado 
determinante. 
Vejamos como obter essa função através de um determinante que irá nos fornece 
a equação de uma reta. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
112 
 
 
Ou caso queiram; 
Cujo gráfico é: 
 
 
Vejamos um outro exemplo. 
Obter a função que passa pelos pontos A = (1, 5) e B = (3, - 7) 
Sabemos que dizer que o ponto A tem coordenadas (1,5) é o mesmo que dizer 
que f(1) = 5 e dizer que o ponto B tem coordenadas (3, -7) é o mesmo que dizer que f(3) 
= -7 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
113 
Vamos aproveitar e trabalhar em um sistema com 2 equações e 2 incógnitas. 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
E subtraindo a Linha 2 da linha 1, obtemos: 
 
E substituindo na primeira sentença; obtemos o valor de b 
 
O que nos leva a função: 
 
 
Essa mesma função poderia ter sido obtida através de um recurso chamado 
determinante. 
Vejamos como obter essa função através de um determinante que irá nos fornece 
a equação de uma reta. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
114 
 
 
Ou caso queiram 
Cujo gráfico é: 
 
 
Vejamos um outro exemplo. 
Obter a função que passa pelos pontos A = (-1,3) e B = (3,4) 
MATEMÁTICA BÁSICA 
115 
Sabemos que dizer que o ponto A tem coordenadas (-1,3) é o mesmo que dizer 
que f (-1) = 3 e dizer que o ponto B tem coordenadas (3,4) é o mesmo que dizer que f(3) 
= 4. 
 
Vamos aproveitar e trabalhar em um sistema com 2 equações e 2 incógnitas. 
 
 
O que nos leva a: 
 
 
E subtraindo a Linha 2 da linha 1, obtemos: 
 
 
E substituindo na primeira sentença; obtemos o valor de b 
 
E calculando o m.m.c. obtemos: 
 
 
O que nos leva a função: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
116 
 
 
Essa mesma função poderia ter sido obtida através de um recurso chamado 
determinante. 
Vejamos como obter essa função através de um determinante que irá nos fornece 
a equação de uma reta. 
 
 
 
Ou caso queiram 
 
Cujo gráfico é: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
117 
 
19 APLICANDO O CONCEITO DE DOMINIO, CONTRADOMINIO E IMAGEM 
Vejamos as funções abaixo; vamos discutir o conjunto domínio de cada uma delas. 
Vamos admitir que o conjunto Contradomínio seja conhecido. 
Digamos que o contradomínio seja o conjunto dos números reais, ou seja, CD = 
R. 
Vamos às questões: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
118 
Vamos agora verificar, discutir quais valores podemos atribuir; “jogar”; substituir, 
no lugar do x em cada um dos itens acima. 
Iniciaremos pelas duas primeiras questões: 
Nas letras “a” e “b” podemos colocar (atribuir) no lugar do x qualquer número real 
que a gente queira. 
Podemos por exemplo, substituir o x por 5, podemos substituir o x por 1,7 ou ainda 
por qualquer número irracional. 
Com a intenção de aumentar nossos conhecimentos vamos calcular 
 em cada um dos itens "a" e "b". 
Façamos essas contas: 
 
Temos que: 
 
 
 
 
Já na letra “b” teríamos: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
119 
 
 
 
 
Que pode ser escrito como: 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
120 
O que gostaríamos que o leitor entendesse é que o simples fato de poder colocar 
no lugar do “x” qualquer número real que se queira nos indica que o conjunto domínio 
nos itens “a” e “b” seja o conjunto dos números reais. 
Em matemática costumamos indicar por D = R. 
 Por outro lado, os valores obtidos nas “contas” realizadas digamos assim; são 
elementos de um subconjunto do conjunto contradomínio. 
Assim no item “a” os valores 17; 7,1 e 12,02 são elementos do conjunto imagem. 
Não podemos nos esquecer que a Imagem é um subconjunto do contradomínio. 
O mesmo ocorre com os valores 8; - 0,91; e 0,64 todos do item “b”. 
Todos esses valores são elementos do conjunto Imagem que é um subconjunto 
do conjunto Contradomínio. 
 
Vamos agora discutir os itens “c” e “d”. 
 
 
 
Para saber o conjunto domínio do item “c” devemos estar atentos ao seguinte 
detalhe: O radicando de toda raiz de índice para tem que ser necessariamente 
um número positivo, pois estamos trabalhando nos reais, ou seja, em R. 
Então temos que: 
 x − 3 ≥ 0 
E isolando o x temos que: 
 x ≥ 3 
E o que isto significa? 
Significa que no lugar do x do item “c” só podemos colocar os números maiores 
ou igual a 3. 
Essa frase dita em português é escrita em matemática da seguinte forma: 
MATEMÁTICA BÁSICA 
121 
 
Repare que não tem sentido calcular em R f (2) no item “c”. Vejamos por que: 
 
Que não é um número real. 
Vamos agora discutir o item “d” 
 
 
Será que podemos colocar no lugar do x qualquer número real? 
A resposta é simples; só não podemos colocar o número 2. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
122 
E por quê? 
Vejamos: 
 
 
O que é impossível de ser feito? Então o domínio daquela função é: = {x R ⁄ ≠ 
2} 
Pois sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero; ou seja x− 2 ≠ 0 
isolando o x temos x ≠ 2 
Todos os outros números reais podem ser colocados no lugar do x. Como por 
exemplo, o 6. 
Então teríamos: 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
Determine qual o conjunto domínio de cada função abaixo: 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
123 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Para cada função abaixo calcula-se possível valores:MATEMÁTICA BÁSICA 
124 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
125 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
126 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
127 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
128 
 
20 APLICAÇÃO DA IDEIA DE FUNÇÃO 
Nos cursos de Economia e Administração as funções custo, receita e lucro são 
muito explorados, neste momento iremos discutir um pouco sobre isso. Vejamos alguns 
exemplos: 
1) Uma empresa opera com as funções e C (x) = 3x + 1440 e R (x) = 6x; obter: a) 
O ponto de nivelamento 
b) A receita gerada ao serem vendidas 608 unidades 
c) O lucro obtido ao serem vendidas 1320 unidades 
d) Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja $ 1200 
 
Vamos tentar comentar cada uma das terminologias apresentadas. O custo no 
caso explorado é uma função do primeiro grau. É uma função do tipo f (x) = ax + b. Nesse 
caso é uma função do tipo C (x) = ax + b. 
A função custo geralmente é formada por uma soma de parcelas. No nosso 
exemplo ela é formada pelo custo fixo e pelo custo variável. O custo fixo é representado 
pela letra “b” digamos assim. 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
129 
Estamos chamando de custo fixo, aos custos do tipo água, luz, telefone, secretaria, 
vendedores, contador, aluguel; tudo aquilo que é inerente a uma empresa independente 
dos produtos que ela comercializa. O custo variável do produto é representado pela letra 
“a” por exemplo. 
Vamos supor que a empresa comercialize bolas de tênis e que cada unidade de 
bola de tênis custe 3 reais. 
Assim o custo variável é do tipo 3x; já que uma bola tem o custo de 3.1; cinco bolas 
custam 3.5 e assim sucessivamente. Por outro lado, a função receita também é uma 
função do primeiro grau, onde o “b” vale zero. A receita é obtida pela fórmula. 
Receita é igual a preço do produto vezes (multiplicado) pela quantidade vendida; 
que em linguagem matemática seria R (x) = p. x. O preço geralmente é chamado de “p”. 
O “p” faz o papel do “a” da nossa função do primeiro grau. Assim se vendermos 
cada bola de tênis por 6 reais; teríamos uma receita de 180 reais ao vender 30 bolas; 
pois 6.30 é igual a 180. 
Conhecido as denominações custo e receita vamos tentar responder as questões 
propostas: 
a) O ponto de nivelamento 
Chamamos de ponto de nivelamento aquele no qual a receita é igual ao custo. 
6 x = 3x + 1440 
6 x − 3x = 1440 
3 x = 1440 
x=480 
A interpretação que deve ser dada a essa resposta é: São necessárias 
comercializar 480 unidades de bolas de tênis para que todas as despesas da empresa 
sejam pagas. 
b) A receita gerada ao serem vendidas 608 unidades 
R (x) = 6x 
R (608) = 6 .608 
R (608) = 3648 
c) O lucro obtido ao serem vendidas 1320 unidades. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
130 
Sabemos que a grosso modo o lucro de uma empresa é o que entra (receita) 
menos o que Sai (custo). 
L (x) = R (x) − C (x) 
L (x) = 6x − (3 x+ 1440) 
L (x) = 6x − 3 x - 1440 
L (x) = 3x − 1440 
L (x) = 3960 − 1440 
L (x) = 2520 
 
d) Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja $ 1200 
L (x) = 3 − 1440 
3x − 1440 = 1200 
3x = 2640 
x = 880 
 
2) Uma empresa opera com as funções 
; obter: 
a) O ponto de nivelamento 
b) A receita gerada ao serem vendidas 600 unidades 
c) O lucro obtido ao serem vendidas 500 unidades 
d) Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja $ 5000 
 
O ponto de nivelamento 
Chamamos de ponto de nivelamento aquele no qual a receita é igual ao custo. 
 
 
A interpretação que deve ser dada a essa resposta é: São necessárias 
comercializar 1000 unidades de bolas de tênis para que todas as despesas da empresa 
sejam pagas. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
131 
 
A receita gerada ao serem vendidas 608 unidades 
 
 
 
O lucro obtido ao serem vendidas 4200 unidades. 
Sabemos que a grosso modo o lucro de uma empresa é o que entra (receita) 
menos o que sai (custo). 
 
Em outras palavras a empresa teria um prejuízo de 1000 reais 
Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja $ 
5000 
 
 
21 AS FUNÇÕES DE OFERTA E DEMANDA 
Chamamos de demanda de um determinado produto; a quantidade desse produto 
que alguns consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo. 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
132 
E chamamos de oferta de um determinado produto; a quantidade desse produto 
que alguns empresários, comerciantes, vendedores, pretendem colocar à disposição, 
oferecer, ao mercado em um certo intervalo de tempo. 
Veremos agora como obter funções de oferta e demanda do primeiro grau, através 
de situações problemas. 
Vamos a alguns exemplos: 
1) Uma pizzaria vende 200 unidades da pizza “ A moda da casa “ por mês se o 
preço do produto for R$ 30,00. A pizzaria acredita que se passar o preço dessa pizza 
para R$ 25,00 a unidade; ela venderá 300 unidades por mês. Determine a função da 
demanda admitindo-a como do primeiro grau. 
Resolução: 
Para obter a equação ou função da demanda iremos nos utilizar de uma 
ferramenta muito importante na matemática; o determinante. 
 
Nesse contexto a variável “ p ” indica o preço praticado, ou que deve vir a ser 
praticado na pizza, e a variável “ x “ indica a quantidade produzida do produto. 
O que nos leva a …. 
 
 
E isolando o “p“ temos: 
 
Que é a nossa equação da demanda. 
Um detalhe importante: Na equação da demanda, assim que isolamos o “ p “; o “ 
x “ é sempre negativo; pois quantidade e preço caminham em direções contrárias se 
assim podemos dizer; pois quanto maior o preço, menor a quantidade vendida, e vice-
versa. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
133 
2) Em um estacionamento para motocicletas; o preço por dia de estacionamento 
é R$ 5,00. Por essa quantia estacionam 100 motos ao dia. O proprietário do 
estabelecimento acredita que se cobrar R$ 3,00 por motocicleta por dia; 300 motos serão 
estacionadas diariamente. 
Obtenha a função da demanda supondo-a como do primeiro grau. 
 
Resolução: 
 
 
 
O que nos leva a …. 
 
E isolando o “ p “ temos: 
 
 
Que é a nossa equação da demanda. 
 Um detalhe importante: Repare novamente que na equação da demanda, assim 
que isolamos o “ p “; o “ x “ é sempre negativo; pois quantidade e preço caminham em 
direções contrárias se assim podemos dizer; pois quanto maior o preço, menor a 
quantidade vendida, e vice-versa. 
 
 3) Um fabricante de micro-ondas produz 300 unidades por mês quando o 
preço de venda por unidade é R$ 600,00. Se o mercado de certo modo “exigir “ 
que o preço de venda seja R$ 400,00; ele produzirá apenas 100 unidades do 
produto para coloca-las a venda. De acordo com essas informações obtenha a 
função de oferta do micro-ondas. 
MATEMÁTICA BÁSICA 
134 
 
Resolução: 
 
 
O que nos leva a …. 
 
 
E isolando o “ p “ temos: 
 
 
1 os dois lados da equação obtemos: 
 
 
Um detalhe importante: Na equação da oferta, assim que isolamos o “ p “; o “ x “ é 
sempre positivo; pois quantidade e preço caminham na mesma direção, se assim 
podemos dizer; pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada pelo produtor; 
pois o produtor tem interesse em vender mais por mais. 
 
4) Se o preço de uma camisa puder ser comercializado por R$ 30,00 serão 
produzidas 100 unidades desse tipo de camisa; mas se a mesma puder ser 
ofertada por R$ 40,00; 200 unidades serão produzidas para serem ofertadas. 
Determine de acordo com essas informações a equação da oferta desse produto. 
 
Resolução: 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
135 
 
O que nos leva a …. 
 
 
 
E isolando o “p “ temos: 
 
 
Que é a nossa equação da oferta. 
Um detalhe importante: Repare que na equação da oferta, assim que isolamos a 
variável “ p “; o “ x “ é sempre positivo; pois quantidade e preço caminham na mesma 
direção, se assim podemos dizer; pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada 
pelo produtor; pois o produtortem interesse em vender mais por mais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
136 
22 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JUNIOR, J. R. Matemática 
fundamental 2º grau: volume único. São Paulo: FTD, 1994. 
 
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática: uma nova abordagem. Vol.3. São 
Paulo: FTD, 2001. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. Traduzido por Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Atual, 1994.