Funções e Coordenadas

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Além da teoria
Neste capítulo, você conhecerá o conceito de função e 
poderá resolver problemas como este, que envolvem o 
estudo da lei que representa uma função.
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Refinaria da Petrobras, em 
Paulínia, São Paulo. (2006)
MAT – PAIVA – PNLEM – Vol.1 – Cap. 04 – 2.ª Prova (FORMATO ☎ 2618-1009 • 3569-1878)
Além da teoria
A linguagem das funções
4
CAPÍTULO
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80 Capítulo 4 A linguagem das funções
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Em uma refinaria de petróleo, uma fissura num reservatório de 
gasolina provocou um grande vazamento.
Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram que, a partir 
do instante em que ocorreu a avaria, o volume V de gasolina restan-
te no reservatório (em quilolitro) em função do tempo t (em hora) 
podia ser calculado pela lei: V(t) 5 22t 2 2 8t  120.
 Qual o volume de gasolina no reservatório após 1 hora de 
vazamento?
 Para que sejam salvos 80% da gasolina do reservatório, em 
quanto tempo os técnicos deverão realizar o conserto?
110 kL
2 h2 h
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81A linguagem das funções Capítulo 4 
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MAT – PAIVA – PNLEM – Vol.1 – Cap. 04 – 2.ª Prova (FORMATO ☎ 2618-1009 • 3569-1878)
A linguagem das funções
4
CAPÍTULO
1 Sistemas de coordenadas
Em uma viagem de férias, um automóvel sofre um pequeno 
acidente em uma rodovia. O motorista, imediatamente, liga para 
a companhia de seguros.
O atendente, depois de obter as informações necessárias, per-
gunta:
— Em que ponto da rodovia ocorreu o acidente?
O motorista, olhando para uma marca quilométrica ao lado da 
rodovia, responde:
— Exatamente no quilômetro 9.
Essa informação do motorista fornece a coordenada do pon-
to em que ele se encontra na rodovia.
Em muitas outras situações do cotidiano, necessitamos de um 
sistema de coordenadas. Por exemplo:
• Ao enviar uma carta, devemos escrever no envelope um 
conjunto de informações apropriadas para a localização do destinatário. Essas informa-
ções são as coordenadas do local de destino da carta.
• Um ponto da superfície da Terra é determinado por duas coordenadas: a latitude e a 
longitude.
• Um ponto do espaço aéreo é determinado por três coordenadas: a latitude, a longitude e 
a altitude.
Do mesmo modo, para localizar um ponto em um plano, podemos adotar um sistema de 
coordenadas. O mais usual é o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, que 
apresentaremos a seguir.
 Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
Para localizar um ponto no plano, podemos fixar nesse plano um sistema cartesiano ortogonal 
de coordenadas, que é formado por dois eixos, Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O.
1
1�1�2�3�4�5�6 2 3 4 5 6
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�2
�3
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�5
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2
3
4
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O x
René Descartes (1596-1650), 
gravura do século XIX, autor 
desconhecido. Embora o con-
ceito de sistema de coordena-
das já fosse utilizado por ou-
tros matemáticos, coube a 
Descartes a sua formalização, 
na obra La Géométrie. (1637)
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A palavra ”ortogo-
nal“ tem origem no 
latim (orthogoynius) e 
significa “que forma 
ângulo reto”. Assim, 
esse sistema é orto-
gonal porque os ei-
xos formam entre si 
ângulos retos.
O motorista deve manter 
seu veículo em boas 
condições e respeitar as leis 
de trânsito, para diminuir o 
número de acidentes nas 
estradas. Foto da Rodovia 
José Ermírio de Moraes, 
Sorocaba, SP. (2009)
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82 Capítulo 4 A linguagem das funções
Por exemplo, para determinar as coordenadas do ponto P da figura a seguir, traçamos por 
P as perpendiculares a Ox e Oy, obtendo, nesses eixos, dois números chamados de abscissa e 
ordenada do ponto P, respectivamente.
1
O
(Eixo das ordenadas) y
x (Eixo das abscissas) 
1
�1
�1
2
2
P
�2
�2
3
3
�3
�3
4
4
�4
�4
5 6
No exemplo, as coordenadas do ponto P são 5 e 4. A abscissa é 5, e a ordenada é 4. Indicamos 
esse fato por P (5, 4).
A representação (5, 4) é chamada de “par ordenado de abscissa 5 e ordenada 4”.
Notas:
1. Dois pares ordenados de números reais são iguais se, e somente se, suas abscissas são iguais 
e suas ordenadas são iguais, isto é:
 (a, b) 5 (c, d) ⇔ a 5 c e b 5 d
 Por exemplo:
 (a, 8) 5 (7, y) ⇔ a 5 7 e y 5 8
2. Os eixos Ox e Oy, chamados de eixos coordenados, separam o plano cartesiano em 
quatro regiões denominadas quadrantes, que devem ser enumerados conforme a 
figura:
O
y
I Q
(Primeiro quadrante)
II Q
(Segundo quadrante)
IV Q
(Quarto quadrante)
III Q
(Terceiro quadrante)
x
 P (a, b) [ I Q ⇔ a . 0 e b . 0
 P (a, b) [ II Q ⇔ a , 0 e b . 0
 P (a, b) [ III Q ⇔ a , 0 e b , 0
 P (a, b) [ IV Q ⇔ a . 0 e b , 0
 Por exemplo:
 (4, 2) [ I Q; 2
1
2
9, 




 [ II Q; (23, 25) [ III Q e 
3
4
1, 2




 [ IV Q
 Os pontos dos eixos coordenados não pertencem a nenhum quadrante.
3. Todo ponto de abscissa nula pertence ao eixo Oy, e todo ponto de ordenada nula pertence 
ao eixo Ox.
 Por exemplo:
 (0, 22) [ Oy e (5, 0) [ Ox
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83A linguagem das funções Capítulo 4 
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Resolva a questão 1a do Roteiro de trabalho.
Exercícios propostos
Exercício resolvido
 R.1 Obter os valores reais de m de modo que o ponto P (2m  1, 3m 2 6) pertença ao quar-
to quadrante.
Resolução
O ponto P pertence ao quarto quadrante se, e somente se:
2 1
3 6
m2 1m2 1
m3 6m3 6
2 1   2 1
3 6   3 6
 .2 1 .2 1
2 ,3 62 ,3 6
0
0








 ou seja: m
m
   ( )
    ( )
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,
1
2
I
( )II( )2        














Efetuando a intersecção de (I) e (II), temos:
(I)
(II)
(I) � (II)
m
m
m
2
21
2�
1
2�
Portanto, concluímos que: 2
1
2
 , m , 2
 1 Represente, no plano cartesiano, os seguintes 
pontos:
A (4, 2) F (21, 4) 
B (2, 4) G (26, 0)
C (22, 5) H (0, 26)
D (5, 22) I (0, 0)
E (24, 21)
 2 Para que valores reais de p o ponto A p   ,27  ,7  , 4
5
pp

p

p










pertence ao eixo das ordenadas?
 3 Para que valores reais de k o ponto 
B(5k  15, 4 k2 2 36) pertence ao eixo das abscissas?
 4 Para que valores reais de r o ponto C 2
3
2, r 2






22

2

2




 
pertence ao 1º quadrante?
 5 Para que valores reais de m o ponto C (5m 2 8, m  2) 
pertence ao 2º quadrante?
 6 Determine os números reais a e b de modo que: 
(3a 2 2b, a  b) 5 (10, 11)
2 O conceito de função
Usamos as medidas para indicar o comprimento de uma corda, a velocidade de um automó-
vel, a temperatura de uma região, a profundidade de um rio etc.
Toda característica que pode ser expressa por uma medida é chamada de grandeza.
São exemplos de grandeza: comprimento, área, volume, velocidade, pressão, temperatura, 
profundidade, tempo, massa e vazão.
A variação da medida de uma grandeza associada a um objeto depende da variação das me-
didas de outras grandezas, por exemplo: o crescimento de uma planta depende do tempo; a taxa 
de evaporação das águas de um rio depende da temperatura; a pressão no mar depende da pro-
fundidade. Para estudar essas dependências, podemos recorrer a equações matemáticas que re-
lacionem as grandezas envolvidas.
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��3333��55��66 �2�1
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0 430 4320 4210 41
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a ba b5 55 5a ba b5 5a ba ba ba b5 5a ba b      a ba b   a ba b
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 de modo que: de modo que: 
a ba b
32
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 de modo que: 
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 de modo que: de modo que: 
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84 Capítulo 4 A linguagem das funções
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Para exemplificar, vamos supor que um automóvel percorra um trecho AB de uma estrada à 
velocidade constante de 80 km/h.
Considerando A como ponto de partida, vamos 
associar a ele a marca 0 km. A cada ponto P do tre-
cho AB, vamos associar a marca d km, que indica a 
distância de A até P, medida ao longo da trajetória.
Que distância terá percorrido o automóvel após 
2 horas da partida?
Como a velocidade do automóvel é constante,
80 km/h, a distância d percorrida por ele, em quilô-
metro, após 2 horas será:
d 5 80  2 ⇒ d 5 160
Raciocinando de maneira análoga, podemos construir a tabela abaixo, que expressa a distân-
cia d, percorrida pelo automóvel, após t horas de sua partida.
t (hora) d (quilômetro)
1 80
2 160
3 240
4 320
 
Note que para cada valor de t se associa um único valor de d. Por isso dizemos que a distân-
cia d é dada em função do tempo t. Podemos expressar a distância em função do tempo pela 
seguinte equação: d 5 80t. Essa equação substitui, com vantagens, a tabela anterior.
Se quisermos a distância d, em quilômetro, após 4 horas da partida, basta fazermos t 5 4 e 
teremos:
d 5 80  4 ⇒ d 5 320
Logo, após 4 horas da partida, o automóvel percorreu 320 km.
Conhecendo a distância de B até A, que é 400 km, se quisermos determinar o tempo neces-
sário para o automóvel percorrer o trecho AB, basta fazermos d 5 400 e teremos:
400 5 80t ⇒ t 5 5
Então, o automóvel percorreu o trecho AB em 5 horas.
Do mesmo modo como relacionamos as grandezas d e t, podemos relacionar muitas outras 
grandezas.
Procure outros exemplos em que duas grandezas estejam relacionadas de modo que a cada va-
lor de uma se associa um único valor da outra. Relações como essas são chamadas de funções.
Exemplos
a) Em um termômetro, a temperatura é dada em função 
 do comprimento da coluna (de mercúrio ou de álcool), ou seja,
 para cada comprimento  da coluna está associada uma única
 medida T da temperatura.
b) O preço de uma peça de tecido é dado em função da metragem desse tecido, ou seja, 
para cada metragem de pano associa-se um único preço.
Dizemos que uma variável y é dada em função de uma variável x se, e somente se, a 
cada valor de x corresponde um único valor de y.
A condição que estabelece a correspondência entre os valores de x e y é chamada de lei 
de associação, ou simplesmente lei entre x e y. Quando possível, essa lei é expressa por 
uma equação.
Notas:
1. Podemos abreviar a expressão “y é dada em função de x” por “y é função de x”.
2. No contexto das funções numéricas, define-se variável como um representante genérico 
dos elementos de um conjunto de números. Usualmente indicamos uma variável por uma 
letra. Por exemplo, ao dizer que x é uma variável real, estamos afirmando que x simboliza 
um número real qualquer.
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Exercícios propostos
Exercícios resolvidos
 R.2 Um edif ício tem dois apartamentos por andar, 
inclusive no andar térreo. Os apartamentos são 
numerados do seguinte modo: os do andar térreo 
têm números 01 e 02, os do primeiro andar têm 
números 11 e 12, os do segundo andar têm nú-
meros 21 e 22, e assim por diante.
Considerando a correspondência que associa 
cada número de andar aos números dos aparta-
mentos desse andar, responder às questões.
a) O andar de número 1 está associado a que nú-
meros de apartamento?
b) A numeração dos apartamentos é dada em 
função da numeração dos andares? Por quê?
Resolução
a) O andar de número 1 está associado aos núme-
ros de apartamento 11 e 12.
b) A numeração dos apartamentos não é função da 
numeração dos andares, pois, para cada número 
de andar, estão associados dois números de apar-
tamento. Nesse caso todos os números de andar 
estão associados a mais de um número de aparta-
mento, mas bastaria que houvesse pelo menos 
um número de andar associado a mais de um va-
lor para que a correspondência não fosse função.
 R.3 Ao completar o tanque de seu carro em um posto 
de abastecimento, o motorista olhou para a bom-
ba e observou que havia colocado 26 litros de ga-
solina e que o total a pagar era R$ 72,80.
a) Determinar o valor que o motorista teria pago 
se colocasse apenas 20 litros de gasolina.
b) Considerando o montante de gasolina despe-
jada no tanque até cada instante do abasteci-
mento, o preço a pagar é função desse mon-
tante? Por quê?
c) Indicando por y o preço a pagar por x litros de 
gasolina, formular uma equação que relacione 
x e y.
Resolução
a) O preço, em real, do litro de gasolina é o quo-
ciente de 72,80 por 26, que é 2,80. Logo, por 
20 litros de gasolina, o motorista pagaria, em 
real, 20  2,80, ou seja, R$ 56,00.
b) O preço a pagar é função do montante de gaso-
lina, pois, para cada montante de gasolina des-
pejado no tanque, associa-se um único preço.
c) Como o preço do litro de gasolina é R$ 2,80, o 
preço y de x litros é dado por: y 5 2,80  x
 7 A figura ABCD é um retângulo tal que: BD 5 6 cm, 
AD 5 3 cm, E é um ponto do lado tAB e AE 5 x.
Determine a lei que expressa a área y do triângulo 
BDE em função de x.
 8 (Uenf-RJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser 
exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. 
Através de medições realizadas em um laboratório, obteve-se a função
TE 5 8,5  0,75  TA, com 12 ºC < TA < 30 ºC, em que TE e TA representam, respectiva-
mente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente.
Calcule:
a) a temperatura do ambiente quando TE 5 25 ºC;
b) o maior valor que pode ser obtido para TE.
 9 Um metalúrgico recebe R$ 12,00 por hora trabalhada até o limite de 44 horas semanais, 
sendo acrescidos 30% no salário/hora a cada hora que exceder o limite.
a) Copie a tabela ao lado em seu caderno e complete-a.
b) O ganho pelas horas semanais traba-
lhadas é uma função do número de ho-
ras semanais trabalhadas? Por quê?
c) Indicando por y o ganho por x horas 
de trabalho semanal, com x < 44, 
elabore uma equação que expresse y 
em função de x.
d) Indicando por y o ganho por x horas de trabalho semanal, com x . 44, elabore uma 
equação que expresse y em função de x.
D
EA B
C
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Horas semanais
trabalhadas
Ganho pelas horas
trabalhadas (R$)
20
32
44
46
50
240,00240,00240,00240,00
384,00384,00384,00384,00
528,00528,00528,00528,00
559,20559,20559,20559,20
621,60621,60621,60621,60
yy 55 12 12xx, com 0 , com 0 xx, com 0 xx << xx << 44 44
yy 55 528 528  15,60( 15,60(xx 22 44), com 44), com xx .. 44 44
yy
xx
      
      
55
229 39 39 39 3 33
22
22 °C22 °C
31 °C31 °C
9. b) Sim, pois para cada 
número de horas 
semanais trabalhadas 
associa-se um único 
valor ganho.
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Resolva a questão 1b do Roteiro de trabalho.10 Um consumidor comprou um automóvel por R$ 20.000,00, constatando que, ao final de 
cada ano de uso, o valor de mercado do veículo diminui para 90% do valor de um ano 
atrás. Veja na tabela a seguir os valores do automóvel até o final do 2º ano.
Tempo de uso do 
automóvel (ano)
Valor de mercado (R$)
0 20.000
1 0,9  20.000
2 0,9  0,9  20.000 5 (0,9)2  20.000
a) Determine o valor do automóvel ao final de três anos de uso.
b) Determine o valor do automóvel ao final de x anos de uso.
c) Indicando por y o valor de mercado do automóvel com x anos de uso, obtenha uma 
equação que relacione y e x.
d) O valor de mercado do automóvel é dado em função do tempo de uso? Por quê?
 11 Para encher uma piscina, até então vazia, foi aberta uma torneira cuja vazão é 26 litros por 
minuto.
a) Indicando por y o volume em litro de água despejada pela torneira em x minutos, ob-
tenha uma equação que relacione x e y.
b) O volume de água despejada é função do tempo? Por quê?
 12 Cada ônibus de uma companhia de viação tem 36 lugares, numerados de 1 a 36. Os cin-
quenta ônibus da companhia são numerados de 1.001 a 1.050.
Considere a correspondência que associa cada número de assento a um número de 
ônibus.
a) O número de assento 25 está associado a que número(s)?
b) A numeração dos ônibus é dada em função da numeração dos assentos? Por quê?
3 Formas de representação de uma 
função
Em cada dia de um determinado mês, a temperatura média de uma região, em grau Celsius, 
assumiu um dos valores: 0, 1, 4, 5, 6 e 7. Considerando apenas os dias 6, 7, 8 e 9 desse mês, em 
que as temperaturas médias, em grau Celsius, foram 4, 1, 0 e 1, respectivamente, podemos re-
presentar a associação de cada dia à sua temperatura média, por meio do diagrama:
6
8
4
9
7
1
0
5
6
7
BB
A
Observando que cada dia do conjunto A corresponde a uma única temperatura no conjunto 
B, concluímos que essa correspondência é uma função f do conjunto A no conjunto B. Indicamos 
esse fato por f : A → B (lê-se: “f é uma função de A em B”).
Os conjuntos A e B são chamados, respectivamente, de domínio e contradomínio da fun-
ção f , que indicaremos por D (f ) e CD (f ), respectivamente. O conjunto {4, 1, 0} é chamado de 
conjunto imagem da função f , que indicaremos por Im (f ).
Além do diagrama, a representação da função f pode ser feita de outras maneiras, conforme 
mostram os exemplos a seguir.
fA
u
st
in
o
R$ 14.580,00R$ 14.580,00
(0,9)(0,9)xx  20.000 20.000
yy 55 20.000 20.000  (0,9) (0,9)xx
Sim, pois, para cada tempo de uso (em ano), associa-se um único valor de mercado do automóvel.Sim, pois, para cada tempo de uso (em ano), associa-se um único valor de mercado do automóvel.
yy 55 26 26xx
Sim, pois, para cada tempo decorrido, associa-se um único volume de água despejada.Sim, pois, para cada tempo decorrido, associa-se um único volume de água despejada.
Não, pois a cada número de assento está associado mais de um número de ônibus.Não, pois a cada número de assento está associado mais de um número de ônibus.
 A numeração dos ônibus é dada em função da numeração dos a
Não, pois a cada número de assento está associado mais de um número de ônibus.
 A numeração dos ônibus é dada em função da numeração dos a A numeração dos ônibus é dada em função da numeração dos assentos? Por quê?
Não, pois a cada número de assento está associado mais de um número de ônibus.
ssentos? Por quê?ssentos? Por quê?
1.001, 1.002, 1.003, …, 1.0501.001, 1.002, 1.003, …, 1.050
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Representação de f por uma tabela
Cada linha da tabela associa um dia à temperatura média registrada nesse dia.
Dia Temperatura média
6 4 °C
7 1 °C
8 0 °C
9 1 °C
Representação de f por um gráfico cartesiano
Todos os pontos (x, y), com x [ A e y [ B, tal que x e y estão associados por meio de f , cons-
tituem a representação gráfica de f no plano cartesiano, isto é:
y
x0
4
1
6 87 9
É importante ressaltar que o domínio de f é representado no eixo das abscissas e o conjunto 
imagem de f é representado no eixo das ordenadas.
Representação de f por uma equação
Observando atentamente a relação entre cada dia x, com x [ A, e a temperatura correspon-
dente y, com y [ B, constatamos que essa relação pode ser descrita pela equação:
y 5 (8 2 x)2
pois:
• para x 5 6, temos: y 5 (8 2 6)2 ⇒ y 5 4;
• para x 5 7, temos: y 5 (8 2 7)2 ⇒ y 5 1;
• para x 5 8, temos: y 5 (8 2 8)2 ⇒ y 5 0;
• para x 5 9, temos: y 5 (8 2 9)2 ⇒ y 5 1.
A equação y 5 (8 2 x)2, juntamente com D (f ) e CD (f ), representa a função f . Destacamos, 
porém, que nem sempre é possível representar uma função por meio de uma equação.
Generalizando:
Sendo A e B conjuntos não vazios, chama-se função de A em B toda correspondência f 
que associa cada elemento de A a um único elemento de B.
x
f
y
A B
• Os conjuntos A e B são o domínio e o contradomínio da função f , respectivamente.
• Indica-se que f é uma função de domínio A e contradomínio B por meio do símbolo f : A → B.
• Cada elemento y de B associado, através de f , a um elemento x de A é chamado de imagem 
de x. Esse fato é indicado por y 5 f (x) (lê-se: “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x atra-
vés de f ”).
• O subconjunto de B, formado por todos os elementos que são imagens através de f , é cha-
mado de conjunto imagem de f.
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o
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Exercícios resolvidos
 R.4 Quais das seguintes correspondências, f , g , h ou 
t , representam funções de A em B?
a) 
5
8
7
6
1
2
3
4
56
f
A B
b) 
1
2
3
4
5
7
6
h
A B
c) 
1
5
6
8
3
6
2
1
5
g
A B
d) 
4
3
2
1
9
6
8
t
A B
Resolução
a) f é função de A em B, pois todo elemento de A 
está associado, através de f , a um único elemen-
to de B.
b) h é função de A em B, pois todo elemento de A 
está associado, através de f , a um único elemen-
to de B.
c) g não é função de A em B, pois existe elemento 
em A (o elemento 8) que não está associado, 
através de g, a algum elemento de B.
d) t não é função de A em B, pois existe elemento 
em A (o elemento 4) associado, através de t, a 
mais de um elemento de B.
 R.5 Dados os conjuntos A 5 {0, 21, 1, 23, 3} e 
 B 5 {0, 3, 27, 23, 29, 1}, determine o domínio, o 
contradomínio e o conjunto imagem da função f 
dada pela correspondência y 5 3x2, com x [ A 
e y [ B.
Resolução
Representamos a função por um diagrama:
0
1
�1
�3
3
0
1
3
27
�3
�9
y � 3x2
A B
Assim, temos:
D( f ) 5 A 5 {0, 21, 1, 23, 3}
CD( f ) 5 B 5 {0, 3, 27, 23, 29, 1}
Im( f ) 5 {0, 3, 27}
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Exercícios propostos
Resolva as questões 2(a e b) do Roteiro de trabalho.
 13 Dados os conjuntos A 5 {21, 0, 1, 2} e 
B 5 {21, 0, 1, 2, 3, 5, 8}, quais das correspondências 
apresentadas a seguir são funções de A em B?
a) y 5 
1
x
, em que x [ A e y [ B
b) f (x) 5 x2  1, em que x [ A e f (x) [ B
c) y2 5 x2, em que x [ A e y [ B
d) f (x) 5 x3, em que x [ A e f (x) [ B
 14 Dados os conjuntos A 5 {24, 22, 0, 2, 4} e 
B 5 {21, 0, 1, 2, 3, 5, 8}, construa o gráfico da fun-
ção definida pela correspondência y 5 
x     ,, 2
2
 em 
que x [ A e y [ B.
 15 Em certos limites, a variação do comprimento da 
coluna de mercúrio contido em um determinado 
termômetro é 8 mm, para mais ou para menos, 
conforme a temperatura aumente 5 °C ou diminua 
5 °C, respectivamente. À temperatura 0 °C, o com-
primento da coluna é 40 mm.
a) Construa uma tabela para registrar a tempera-
tura em grau Celsius, variando de 5 °C em 5 °C, 
e o comprimento da coluna, em milímetro, até 
que o termômetro marque 15 °C.b) Indicando por y o comprimento, em milímetro, 
da coluna para cada temperatura x, em grau Cel-
sius, nos limites considerados, obtenha y em 
função de x.
fA
u
st
in
o
Não é função.Não é função.
É função.É função.
Não é função.Não é função.
É função.É função.
11
10�1�2�3
��4444
2 3 4 5 6
�1
�2
22
33
44
55
66
77
88
y y 
x
14.14.
y
x
       5 40
8
5
Temperatura 
(em grau Celsius)
Comprimento da coluna 
(em milímetro)
0 40
5 48
10 56
15 64
15. a)
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4 Imagem de x pela função f
Vimos que, se (x, y) pertence a uma função f, a ordenada y é chamada de imagem de x pela 
função f (ou imagem de x através de f ). E indicaremos esse fato por y 5 f (x).
Vamos estudar algumas particularidades dessa imagem.
 Imagem de um elemento pelo diagrama de flechas
Considere a função f descrita pelo diagrama de flechas:
9
�3
�1
7
0
5
�4
�5
9
1
A f BBA
Se um elemento y de B estiver associado, através de f, a um elemento x de A, então diremos 
que y é a imagem de x através de f.
Assim, temos:
•	 24 5 f (23), ou seja, 24 é imagem de 23 através de f ;
•	 25 5 f (21), ou seja, 25 é imagem de 21 através de f ;
•	 25 5 f (0), ou seja, 25 é imagem de 0 através de f ;
•	 1 5 f (7), ou seja, 1 é imagem de 7 através de f ;
•	 9 5 f (9), ou seja, 9 é imagem de 9 através de f.
 Imagem de um elemento pela lei y 5 f (x)
Vamos considerar a função f : ® → ® em que cada elemento x do domínio ® é associado a 
um único elemento do contradomínio ® através da lei f (x) 5 5x 2 2.
A lei f (x) 5 5x 2 2 informa que a imagem de cada x do domínio é o número 5x 2 2 do con-
tradomínio. Assim temos, por exemplo:
•	 a imagem do elemento 6, através de f, é: f (6) 5 5  6 2 2 ⇒ f (6) 5 28
 Logo, o par ordenado (6, 28) pertence a f;
•	 a imagem do elemento 
3
5
, através de f, é: f f
3
5
5
3
5
2
3
5
1




⇒




                   5 2 5
 Logo, o par ordenado 
3
5
1,      .




pertence a f
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Equivalência entre os símbolos y e f(x)
Como o símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x, em vez de escrever 
f (x) 5 5x 2 2, podemos escrever y 5 5x 2 2, ou seja, o símbolo f (x) pode ser substituído por y, 
e vice-versa.
 Imagem de um elemento pelo gráfico de uma função
A figura ao lado é o gráfico cartesiano de uma função f.
Cada ponto (x, y) do gráfico de f deve ser interpreta-
do como (x, f (x)), ou seja, a ordenada é a imagem da 
abscissa através de f. Por exemplo, o ponto P (24, 23) 
pertence ao gráfico, portanto f (24) 5 23. Analogamen-
te, temos:
•	 (11, 25) pertence ao gráfico; logo, f (11) 5 25;
•	 (8, 0) pertence ao gráfico; logo, f (8) 5 0;
•	 (2, 6) pertence ao gráfico; logo, f (2) 5 6;
•	 (0, 4) pertence ao gráfico; logo, f (0) 5 4;
e assim por diante.
 Estudo do sinal de uma função
Sendo f uma função de domínio D, dizemos que:
• f é positiva para um elemento x, com x [ D, se, e somente se, f (x) . 0;
• f é negativa para um elemento x, com x [ D, se, e somente se, f (x) , 0;
• f se anula para um elemento x, com x [ D, se, e somente se, f (x) 5 0. Nesse caso, dize-
mos que x é raiz (ou zero) da função.
Exemplo
Dada a função f : ® → ® tal que f (x) 5 x2 2 4, temos:
•	 a função é positiva para x 5 23, pois f (23) 5 (23)2 2 4 5 5;
•	 a função é negativa para x 5 21, pois f (21) 5 (21)2 2 4 5 23;
•	 a função se anula para x 5 2, pois f (2) 5 22 2 4 5 0.
 Nesse exemplo, 2 é uma raiz da função f (podemos dizer, também, que 2 é um zero da 
função f ).
Estudo do sinal pelo gráfico da função
A variação de sinal de uma função pode ser estudada por meio de seu gráfico; por exemplo, 
considere o gráfico ao lado de uma função f, temos:
• para todo x com 23 , x , 8, temos f (x) . 0. 
Por isso, dizemos que a função f é positiva para 
23 , x , 8;
• para todo x com 27 < x , 23 ou 8 , x < 11, te-
mos f (x) , 0. Por isso, dizemos que f é negativa 
para 27 < x , 23 ou 8 , x < 11;
• para x 5 23 ou x 5 8 a função se anula, ou seja, 
f (23) 5 f (8) 5 0 (os números 23 e 8 são as raízes 
da função).
Note que as raízes da função são as abscissas dos 
pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox.
Note que o sinal da 
função para um ele-
mento x do domí-
nio é o sinal de f (x), 
e não o sinal de x.
fA
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�4�7
2 8
11
�3
�5
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4
5
6
8
y 
x
� �
�3
�7
2 8
11
�5
�12
4
5
6
8
y 
x
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Exercícios resolvidos
 R.6 O gráfico abaixo representa uma função 
f : [24, 8[ → R.
�4 �3 2 4 6
8
�3
�5
�6
�7
3
5
y 
x
�2
Determinar:
a) f (24)
b) f (22)
c) f (0)
d) f (2)
e) f (4)
f) f (6)
g) os valores de x para os quais f (x) . 0;
h) os valores de x para os quais f (x) , 0;
 i) os valores de x para os quais f (x) 5 0.
Resolução
Lembrando que o símbolo “bolinha vazia” ( ) exclui 
o ponto do gráfico, que o símbolo “bolinha cheia” ( ) 
inclui o ponto no gráfico, e que f (a) é a ordenada do 
ponto do gráfico cuja abscissa é a, temos:
a) f (24) 5 27
b) f (22) 5 25
c) f (0) 5 23
d) f (2) 5 0
e) f (4) 5 3
f) f (6) 5 0
g) Devemos determinar todos os valores do domí-
nio da função cujas imagens, através de f, sejam 
positivas. Esses valores são todos os números 
reais do eixo Ox tais que:
 24 , x , 23 ou 2 , x , 6
h) Devemos determinar todos os valores do domí-
nio da função cujas imagens, através de f, sejam 
negativas. Esses valores são todos os números 
reais do eixo Ox tais que:
 x 5 24 ou 23 , x , 2 ou 6 , x , 8
 i) Devemos determinar todos os valores do domí-
nio da função cujas imagens, através de f, sejam 
iguais a zero. Esses valores, chamados de raízes 
da função, são as abscissas dos pontos de inter-
secção do gráfico com o eixo Ox. Assim, temos:
 x 5 23 ou x 5 2 ou x 5 6
 R.7 O gráfico a seguir descreve o índice f (t) da bolsa 
de valores de um estado, em porcentagem, em fun-
ção do horário t, em hora, desde o início do pregão, 
10 h, até o fechamento, 18 h, de determinado dia.
Índice da bolsa de valores
1816
14
131110
2,5
0,5
�0,7
1,0
f(t)
O t
a) Qual foi o maior valor atingido pelo índice da 
bolsa de valores nesse dia? Em que horário 
esse valor foi atingido?
b) Qual foi o menor valor atingido pelo índice da 
bolsa de valores nesse dia? Em que horário esse 
valor foi atingido?
c) Em que horários desse dia o índice da bolsa de 
valores foi nulo?
d) Durante quanto tempo do pregão o índice da 
bolsa de valores esteve positivo?
e) Em que horários desse dia o índice da bolsa de 
valores esteve negativo?
Resolução
a) Observando que f (11) 5 2,5 e que 2,5 > f (t) 
para qualquer t do domínio de f, concluímos que 
o maior valor do índice da bolsa de valores nesse 
dia foi 2,5% e que esse valor foi atingido às 
11 horas.
b) Observando que f (14) 5 20,7 e que 20,7 < f (t) 
para qualquer t do domínio de f, concluímos que 
o menor valor do índice da bolsa de valores nes-
se dia foi 20,7% e que esse valor foi atingido às 
14 horas.
c) A função f se anula nos pontos de intersecção do 
gráfico com o eixo das abscissas. Logo, o índice da 
bolsa de valores foi nulo às 13 horas e às 16 horas.
d) Cada ponto do gráfico é da forma (t, f (t)) e, por-
tanto, os pontos que têm f (t) . 0 são aqueles 
localizados acima do eixo Ot. Esses pontos têm 
a abscissa t obedecendo à condição 10 < t , 13 
ou16 , t < 18. Logo, no período do pregão, o 
índice da bolsa de valores esteve positivo antes 
das 13 horas e depois das 16 horas.
e) Cada ponto do gráfico é da forma (t, f (t)) e, por-
tanto, os pontos que têm f (t) , 0 são aqueles 
localizados abaixo do eixo Ot. Esses pontos têm 
a abscissa t obedecendo à condição 13 , t , 16. 
Logo, no período do pregão, o índice da bolsa de 
valores esteve negativo entre 13 e 16 horas.
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Dados fictícios
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92 Capítulo 4 A linguagem das funções
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Resolva as questões 2(c e d) e 3 do Roteiro de trabalho.
Exercícios propostos
 16 Dada a função f : R → R tal que f (x) 5 5 2 x, calcule:
a) f (0) b) f (3) c) f (22) d) f 1
2












 17 Considere a função f : R* → R tal que f (x) 5 x
x
2 12   2 .
Que números do domínio de f possuem como imagem o número 4?
 18 Observe o gráfico de uma função f : A → B, em que A 5 {21, 0, 1, 2} e B 5 {23, 21, 0, 1}.
Determine:
a) f (21)
b) f (0)
c) f (1)
d) f (2)
e) 3 1
2 1
f3 1f3 1
f f2 1f f2 1
( )3 1( )3 1
( )f f( )f f2 1f f2 1( )2 1f f2 12 1f f2 1   2 1f f2 1( )2 1( )2 12 1 22 12 1f f2 1 22 1f f2 12 1( )2 1 22 1( )2 1
 19 Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológi-
ca, contou o número de bactérias num determina-
do instante que chamou de instante zero; no final 
de cada uma das seis horas seguintes fez nova 
contagem das bactérias. Os resultados dessa ex-
periência foram descritos pelo gráfico abaixo.
Observando o gráfico, responda:
a) Qual era o número de bactérias 
no início da contagem, isto é, 
no instante zero?
b) De quanto aumentou o número 
de bactérias da quinta para a 
sexta hora?
c) De quanto aumentou o número 
de bactérias da terceira para a 
quinta hora?
d) Estime o número de bactérias no 
instante 5 h 12 min após o início 
da contagem.
 20 Um homem saiu com seu carro, às 8 horas, de uma cidade A e viajou durante o dia todo, 
chegando à noite a uma cidade B, onde participou de uma reunião de negócios. Às 8 horas 
do dia seguinte, o homem partiu da cidade B, percorrendo o mesmo caminho do dia ante-
rior, chegando à noite de volta à cidade A. Pode-se afirmar que, na viagem de volta:
a) O homem chegou à metade do caminho exatamente na metade do tempo da viagem 
desse dia.
b) Se o homem demorou mais tempo na volta, então a velocidade média de seu automó-
vel, em quilômetro por hora, foi maior na volta do que na ida.
c) O gráfico da velocidade do automóvel, em função do tempo, é formado por pontos de 
uma reta.
d) Existe um ponto do caminho por onde o homem passou no mesmo horário do dia 
anterior.
B
Le
n
D
 iM
A
G
es
/D
io
M
eD
iA
fA
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fA
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1
�1
�2
�1
�3
y
x
10
275
132
92
65
47
32
190
2 3 4 5 Tempo (horas) 
Número de
bactérias
6
A contagem de bactérias possibilita avaliar 
o risco de deterioração dos alimentos e a 
qualidade dos processos de conservação 
desses alimentos.
6 e 6 e 2222
32 bactérias32 bactérias
85 bactérias85 bactérias
98 bactérias98 bactérias
aproximadamente, 207 bactériasaproximadamente, 207 bactérias
alternativa alternativa dd
55 7722 99
22
11
00
00
2233
2299
 PNLEM_Mat_Paiva_v1_C04(080a092).indd 92 05.03.10 20:52:13
93A linguagem das funções Capítulo 4 
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 9
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10
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19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
5 Análise gráfica
A linguagem gráfica é cada vez mais utilizada como meio de comunicação. Além de propor-
cionar, de maneira eficaz, uma síntese de informações, ela permite uma rápida leitura. Observe o 
gráfico a seguir:
Uma simples leitura do gráfico nos fornece uma variedade de informações; por exemplo:
• Em 1950 o percentual de mulheres no mercado de trabalho era menor que 20%.
• De 1950 a 2000 o percentual de mulheres no mercado de trabalho aumentou a cada década.
• Se for mantida a tendência de crescimento do percentual de trabalho feminino, em breve 
o número de mulheres será igual ao número de homens no mercado de trabalho.
A correta interpretação dos gráficos do dia a dia depende de fundamentos matemáticos e 
estatísticos, alguns dos quais já estudamos. Apresentaremos mais alguns desses fundamentos.
 Reconhecimento de uma função através da 
análise gráfica
Observe o gráfico que representa a correspondência de A  {2, 4, 5} em B  {1, 3, 4, 6}:
2 4 5
6
4
3
1
y 
O x
Traçando pelos pontos do gráfico as retas paralelas ao eixo Oy, determinamos no eixo Ox as 
abscissas desses pontos, ou seja, {2, 4, 5}.
Traçando pelos pontos do gráfico as retas paralelas ao eixo Ox, determinamos no eixo Oy as or-
denadas desses pontos, ou seja, {1, 3, 4, 6}.
Feito isso, concluímos que há elemento de A que corresponde a dois elementos de B: o ele-
mento 2, visto que (2, 4) e (2, 6) pertencem ao gráfico. Portanto, esse gráfico não representa uma 
função de A em B.
Um gráfico representa uma função de A em B se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo 
Oy, passando por um ponto qualquer de abscissa x, com x  A, intercepta o gráfico em um 
único ponto.
Mulher trabalhando na indústria automobilística, Japão, 2003.
Pela Constituição Federal são proibidas as diferenças de salários, de 
exercício de funções e critérios de admissão por motivo de sexo, idade, 
cor ou estado civil. Apesar disso, muitas empresas ainda pagam salários 
menores às mulheres que exercem os mesmos cargos que os homens.
100
0
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
20
P
o
rc
en
ta
g
em
Participação da mulher no mercado de trabalho 
brasileiro no período de 1940 a 2000
Ano
40
60
80
Homens Mulheres
IBGE. Anuário Estatístico do Brasil. Rio de Janeiro: IBGE, 2001.
TO
SH
IF
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A
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94 Capítulo 4 A linguagem das funções
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98
.
Exercícios propostos
 21 O diagrama abaixo representa uma função f : A → B.
5
3
�2
0
6
�7
�1
A f B
Calcule:
a) f (2) b) f (0) c) f (3)  f (5)
 22 Sendo a função f : R* → R tal que f x
x
x
( )f x( )f x    
    ,
1 2
 
calcule:
a) f (2) c) f 
1
4












b) f (2) d) f 
1
4












 23 Uma função f : R → R é definida por f (x)  ax2  bx,
em que a e b são constantes reais. Determine os 
números reais a e b sabendo que f (2)  16 e
f (1)  7.
Exercícios resolvidos
 R.8 Qual dos gráficos abaixo representa a função de 
A  [2, 6] em B  [1, 5]?
2 6
5
1
y 
g
x
figura 1
2 6
5
1
y 
h
x
figura 2
Resolução
Na figura 1, qualquer reta paralela ao eixo Oy, pas-
sando por um ponto de abscissa x, com x  A, in-
tercepta o gráfico de g em um único ponto. Isso 
significa que qualquer x do conjunto A está asso-
ciado a um único y do conjunto B através de g. 
Logo, g é função de A em B.
Na figura 2, existe pelo menos uma reta paralela ao 
eixo Oy que intercepta o gráfico em mais de um 
ponto, por exemplo, a reta r representada abaixo.
Logo, h não é função de A em B.
2 6
5
1
y 
h
r
x
 R.9 Determinar o domínio e o conjunto imagem da 
função f representada pelo gráfico abaixo.
 
1
2 4 5
�5
3
4
y 
x
f
Resolução
O domínio da função é o conjunto das abscissas de 
todos os pontos do gráfico, isto é, D( f )  [1, 5].
O conjunto imagem da função é o conjunto das or-
denadas de todos os pontos do gráfico, isto é,
Im( f )  [5, 4].
IL
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A
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O
77 aa  5; 5; bb  2211 1212
55
22

55
22
1717
44

1717
44
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95A linguagem das funções Capítulo 4 
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98
.
Resolva a questão 4 do Roteiro de trabalho.
 24 Considerando a função f : R → R tal que 
f x x
x
( )f x( )f x    
   
,
2 1
 classifique no caderno como ver-
dadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo.
a) O ponto 3 3
10
, 











 pertence ao gráfico de f.
b) O ponto (0, 0) pertence ao gráfico de f.
c) O ponto (1, 2) pertence ao gráfico de f.
d) Não existe número a, pertencente ao domínio 
de f, tal que f (a)  2.
e) Existem exatamente dois números reais k, 
pertencentes ao domínio de f, tal que f (k)  
2
5
.
 25 Determine o domínio e o conjunto imagem da 
função f representada a seguir.
�2
5 71
8
2
4
y 
x
 26 O gráfico a seguir representa uma função f . Deter-
mine o domínio e o conjunto imagem dessa fun-
ção.
�2
�1 63
7
5
6
y 
x7
2
7
5
7
2
3
2
 27 Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café, 
em função da quantidade de sacas adquiridas pelo 
comprador, usando a equação P
x
        , 50 50 
200
 em 
que P é o preço em dólares e x é o número de sacas 
vendidas.
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador 
que adquirir cem sacas?
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador 
que adquirir duzentas sacas?
c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares 
por saca, quantas sacas comprou?
 28 O gráfico abaixo representa uma função f de [8, 8] 
em R.
�8 84
f
10
y 
x�7
Classifique no caderno cada afirmação a seguir 
como verdadeira ou falsa.
a) f (8)  f (5)
b) f (0)  0
c) f (7)  0
d) f (4)  0
e) f (2)  0
 29 O Ministério da Economia de certo país divulgou o 
balanço da inflação em determinado ano, apresen-
tando o seguinte gráfico.
10 2
2
3
4
5
6
7
8
9
Ta
xa
 p
er
ce
n
tu
al
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in
fla
çã
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3 4
Mês
Inflação
5 6 7 8 9 10 11 12
1
a) Qual foi a taxa percentual de inflação no mês 4?
b) Qual foi a menor taxa percentual de inflação 
nesse período?
c) De quantos por cento aumentou a inflação do 
mês 1 para o mês 3?
d) Construa uma tabela que apresente os meses de 
1 a 12 e os valores correspondentes das taxas de 
inflação observadas no gráfico acima.
e) A taxa de inflação é função do tempo? Por quê?
IL
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A
G
ES
Segundo a Associação 
Brasileira da Indústria de Café 
(ABIC), o Brasil é o maior 
produtor mundial de café.
Dados fictícios
D((f f ) )  ]1, 7] ]1, 7]
ImIm((f f ) )  [ [2, 8[2, 8[
DD((f f ) )  ] ]1, 6]1, 6]
ImIm((f f ) )  { {2} 2}  [0, 7] [0, 7]
52 dólares52 dólares
51 dólares51 dólares
50 sacas50 sacasverdadeiraverdadeiraverdadeiraverdadeira
5%5%
3%3%
Sim, pois a cada mês está associado um único valor da taxa de inflação.Sim, pois a cada mês está associado um único valor da taxa de inflação.Sim, pois a cada mês está associado um único valor da taxa de inflação.Sim, pois a cada mês está associado um único valor da taxa de inflação.
 A taxa de inflação é função do tempo? Por quê?
Sim, pois a cada mês está associado um único valor da taxa de inflação.
 A taxa de inflação é função do tempo? Por quê? A taxa de inflação é função do tempo? Por quê?
falsafalsa
29. d) 
Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Taxa de inflação (%) 6 8 9 7 6 9 9 9 8 6 5 9
7%7%
verdadeiraverdadeira
verdadeiraverdadeira
verdadeiraverdadeiraverdadeiraverdadeira
falsafalsa
falsafalsa
verdadeiraverdadeira
verdadeiraverdadeira
verdadeiraverdadeira
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96 Capítulo 4 A linguagem das funções
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.
 1 (Enem) O número de indivíduos de certa população é 
representado pelo gráfico seguinte:
1940
N
úm
er
o 
de
 in
di
ví
du
os
 (
x 
1.
00
0)
1
Tempo (anos) 1950 1960 1970 1980 1990
2
5
4
3
8
7
6
9
10
Em 1975, a população tinha um tamanho aproxima-
damente igual ao de:
a) 1960
b) 1963
c) 1967
d) 1970
e) 1980
 2 O gráfico abaixo representa o crescimento de uma plan-
ta em função do tempo.
0
15
25
Altura da
planta (cm)
30
1 2 3 Tempo
 (semanas) 
Analisando o gráfico, responda:
a) Qual era a altura da planta no final da terceira 
semana?
b) Qual foi o crescimento da planta durante a terceira 
semana? 
c) Em qual das três semanas registradas houve o 
maior desenvolvimento da planta?
d) Estime a altura da planta depois de 2,3 semanas.
Exercícios complementares
Roteiro de trabalho 
 1 Formem duplas e façam o que se pede.
a) Dado um par ordenado de números reais (x, y), descrevam como se localiza o ponto do 
plano cartesiano associado a esse par ordenado.
b) Descrevam duas situações diferentes do cotidiano que envolvam o conceito de função.
 2 Reúnam-se em grupos e respondam os itens abaixo com suas palavras.
a) Dados dois conjuntos não vazios, A e B, o que é uma função de A em B?
b) Sejam dois conjuntos não vazios, A e B, e uma função f de A em B. O que são: domínio de f, 
contradomínio de f e conjunto imagem de f ?
c) Por que os símbolos f (x) e y podem ser substituídos um pelo outro na representação de 
uma função através da lei de associação?
d) O que significa a “bolinha vazia” () em um gráfico?
 3 Em duplas, respondam com suas próprias palavras.
a) Quando podemos dizer que uma função f é positiva, negativa ou nula para um determinado 
valor x do domínio?
b) O sinal da função para um elemento x do domínio é o sinal de x? Justifique.
 4 Em duplas, expliquem, com suas próprias palavras, os itens abaixo.
a) A partir do gráfico de uma função f, como se determinam o domínio e o conjunto imagem 
de f ?
b) Em um gráfico representado no plano cartesiano, observa-se pelo menos uma reta parale-
la ao eixo Oy que intercepta o gráfico em mais de um ponto. Esse gráfico pode representar 
uma função? Por quê?
IL
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A
Ç
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A
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O
alternativa b
30 cm
5 cm
primeira semana
Resposta possível: aproximadamente 26,5 cm. O aluno pode 
dar uma resposta somente a partir da visualização do gráfico.
3. b) Não, pois o sinal da função 
para um elemento x do domínio é 
o sinal de f (x), e não o sinal de x. 
Por exemplo, dada a função 
f: ® → ® tal que f (x)  x2, temos 
que a função é positiva para
x  2, pois f (2)  4; veja que 
x tem sinal negativo, enquanto 
f (x) tem sinal positivo.
Ver Suplemento com orientações para o professor.
1. a) Pelo ponto de abscissa x, do 
eixo Ox, traça-se a reta 
perpendicular a esse eixo; e pelo 
ponto de ordenada y, do eixo Oy, 
traça-se a reta perpendicular a 
esse eixo. O ponto comum a essas 
retas é o ponto (x, y).
b) O abastecimento de um carro 
no posto de gasolina e a compra 
de alimentos que precisam ser 
pesados são situações do 
cotidiano que envolvem o 
conceito de função, pois o preço 
da gasolina é função da 
quantidade de litros abastecidos e 
o preço do alimento é função da 
sua massa.
É uma correspondência que associa cada elemento do conjunto A a um único elemento do conjunto B.
2. b) Os conjuntos A e B são, 
respectivamente, o domínio e o 
contradomínio da função f. O 
subconjunto de B cujos elementos 
são os correspondentes dos 
elementos de A, por meio de f, é o 
conjunto imagem da função f.
Porque o símbolo f (x) representa a ordenada do ponto 
de abscissa x, por isso o símbolo f (x) pode ser substituído 
por y e vice-versa.
Significa que o ponto com aquelas coordenadas da “bolinha vazia” não pertence ao gráfico.
O domínio de f é o conjunto das abscissas de todos os pontos do gráfico e o conjunto imagem de f 
é o conjunto das ordenadas de todos os pontos do gráfico.
O gráfico não pode representar uma função, pois, se (a, b) e (a, c), com b  c, são pontos comuns ao gráfico 
e a uma reta paralela ao eixo Oy, então o elemento a possui mais de uma imagem através da correspondência 
representada pelo gráfico, o que contraria uma condição necessária da definição da função.PNLEM_Mat_Paiva_v1_C04(093a99).indd 96 10.03.10 13:28:55
97A linguagem das funções Capítulo 4 
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98
.
 3 Através de um estudo sobre o consumo C de energia 
elétrica de uma fábrica, em quilowatt-hora(kWh),
em função do tempo t, em dia, concluiu-se que
C  400t.
a) Qual é o consumo de energia elétrica dessa fábrica 
em oito dias?
b) Quantos dias são necessários para que o consumo 
atinja 4.800 kWh?
c) Se a empresa adquirir uma máquina que consuma 
200 kWh diários, qual será a equação que descreve 
o consumo total da fábrica em função do tempo?
 4 Um fabricante gasta R$ 8,00 para produzir uma bola 
de futebol. Ele estima que, se vender cada bola por
x reais, conseguirá produzir e vender mensalmente 
(140 – x) unidades desse produto. Sabendo que o lu-
cro mensal desse fabricante é a diferença entre o total 
arrecadado com a venda de toda a produção mensal e 
o custo total dessa produção, determine a função que 
expressa o lucro L(x) em função do preço de venda x 
de cada bola.
 5 (UFRN) Na fabricação de algumas peças, um fabri-
cante contabilizou gastos totais de R$ 100,00 em ma-
téria-prima e R$ 50,00 em mão de obra. O preço de 
venda de cada peça fabricada é R$ 1,50. Consideran-
do que x denota o número de peças vendidas e y o 
lucro que o fabricante tem na venda dessas x peças, 
responda às solicitações abaixo.
a) Calcule quantas peças o fabricante tem de vender 
para obter lucro de 50% sobre o valor investido na 
confecção das peças.
b) Expresse y em função de x para todo x  0.
 6 (Ufal) Para um fabricante, que só produz certo tipo de 
peça, o custo total mensal é representado por um va-
lor fixo de R$ 800,00 e mais o custo de R$ 6,00
por unidade produzida. Ele vende cada unidade por 
R$ 10,00.
Use essas informações para analisar as informações 
que seguem.
a) Se ele produzir e vender x peças em um mês, a 
quantia que receberá por essa venda, em real, será 
R(x)  800 + 6x.
b) Se ele produzir e vender x peças em um mês, seu 
lucro, em real, será dado por L(x)  4x – 800.
c) Em um mês em que produziu e vendeu 500 peças, 
seu lucro foi de R$ 2.700,00.
d) Para ter um lucro de exatamente R$ 2.500,00 em 
um mês, deve produzir e vender no mês um total 
de 400 unidades.
e) Certo mês em que não teve prejuízo, ele produziu 
e vendeu um mínimo de 200 peças.
 7 Em uma refinaria de petróleo, uma fissura num reser-
vatório de gasolina provocou um grande vazamento.
Os técnicos responsáveis pelo conserto estimaram 
que, a partir do instante em que ocorreu a avaria, o 
volume V de gasolina restante no reservatório (em 
quilolitro) em função do tempo t (em hora) podia ser 
calculado pela lei: V (t)  2t 2  8t + 120.
a) Qual era a quantidade de gasolina restante no reser-
vatório três horas depois da ocorrência da avaria?
b) Calcule a capacidade desse reservatório sabendo 
que ele estava completamente cheio no momento 
em que ocorreu a fissura.
c) Qual será o tempo necessário para que o reserva-
tório fique vazio caso os técnicos não consigam 
realizar o conserto?
d) Para que sejam salvos 80% da gasolina do reserva-
tório, em quanto tempo os técnicos deverão reali-
zar o conserto?
 8 Um ônibus de 40 lugares foi fretado sob as seguintes 
condições: cada passageiro deve pagar R$ 50,00 mais 
uma taxa de R$ 2,00 por lugar que ficar vago.
a) Copie a tabela em seu caderno e complete-a com 
uma previsão do custo da viagem em função do nú-
mero de passageiros que forem viajar, admitindo as 
possibilidades apresentadas na primeira coluna.
Número de 
passageiros
Número
de lugares 
vagos
Valor pago
por 
passageiro
Valor do 
frete do 
ônibus
20
30
35
40
b) Escreva a lei que expressa o valor y do frete em fun-
ção do número x de passageiros que forem viajar.
c) Usando a lei obtida no item b, calcule o valor do 
frete no caso em que sejam ocupados apenas 25 
lugares no ônibus.
d) Para que o valor do frete seja R$ 2.088,00, quantos 
passageiros deverão viajar?
 9 (Vunesp) Uma empresa farmacêutica lançou no mer-
cado um analgésico. A concentração do analgésico, 
denotada por C (t), em decigrama por litro de sangue, 
t horas após ter sido administrado a uma pessoa, está 
representada no gráfico esboçado a seguir. Sabe-
-se que esse analgésico só produz efeito se sua concen-
tração for superior a 1 decigrama por litro de sangue.
1
0,8 6
C (t) (decigrama/litro) 
t (hora)
(Observação: o gráfico não está em escala.)
Analisando o gráfico, determine:
a) após ter sido administrado, quantos minutos decor-
rerão para que o analgésico comece a fazer efeito;
b) por quanto tempo a ação do analgésico permanecerá.
W
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O
3.200 kWh
150 peças
L(x)  x2  148x  1.120
doze dias
y  1,5x  150
C  600t
Falsa
Verdadeira
Verdadeira
Falsa
Falsa
78.000 L
120.000 L
y  130x  2x2
6 h
R$ 2.000,00
20 90 1.8001.8001.800
10 70 2.1002.1002.100
5 60 2.1002.1002.100
0 50 2.0002.0002.000
48 min
2 h
36 ou 29 passageiros
5 horas e 12 minutos
 PNLEM_Mat_Paiva_v1_C04(093a99).indd 97 06.03.10 12:54:31
98 Capítulo 4 A linguagem das funções
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19
98
.
 10 O gráfico abaixo apresenta o volume de água, em li-
tro, de um reservatório em função da altura do nível 
da água, em decímetro.
0 5 8 Altura do nível
da água (dm)
Volume (L)
301,44
251,20
a) Qual é o volume de água quando o nível da água 
atinge 5 dm?
b) Qual é o volume de água quando o nível da água 
atinge 8 dm?
c) Qual é a variação do volume de água quando o ní-
vel varia de 5 a 8 dm?
 11 Um edif ício tem só um apartamento por andar, exceto 
o andar térreo, onde se situa apenas a recepção. Os an-
dares são numerados a partir do zero: 0 (térreo), 1 (pri-
meiro andar), 2 (segundo andar) etc., e os apartamen-
tos são numerados a partir do número 1, do primeiro 
ao último andar: 1, 2, 3, ..., respectivamente.
Considere a correspondência que associa cada número 
de andar a um número do apartamento desse andar. 
Desse modo:
a) o número 0 de andar está associado a que número 
de apartamento?
b) o número 2 de andar está associado a que número 
de apartamento?
c) a numeração dos apartamentos é função da nume-
ração dos andares? Por quê?
 12 Determine o conjunto imagem da função f : N → N 
tal que f (x)  2x.
 13 Quando um tanque continha 10 L de água, foi aber-
ta uma torneira com vazão constante. Vinte e qua-
tro segundos depois de aberta a torneira, o tanque 
havia atingido sua capacidade total, que é de 40 L. 
Em cada ponto P(x, y) do segmento de reta represen-
tado no plano cartesiano abaixo, a abscissa x é o tem-
po, em segundo, necessário para que o total de água 
no tanque seja y litros.
10
24
40
y 
x
a) Quanto tempo ficou aberta a torneira para que o 
tanque atingisse 20 L?
b) Obtenha uma equação que relacione x e y.
 14 Em épocas de chuvas, as enchentes de rios e córregos 
causam grandes problemas. A incidência de enchen-
tes pode ser prevista pela análise da vazão de um rio 
em função de sua altura limnimétrica. A altura lim-
nimétrica é medida com o aparelho denominado lim-
nógrafo, que registra continuamente a variação do 
nível de um rio, adotando como nível normal ou ní-
vel 0 (zero) o nível do rio fora da estação de chuvas.
Um engenheiro, estudando a vazão de um rio, em li-
tro por segundo (L/s), construiu o gráfico abaixo, que 
mostra a vazão em função da altura limnimétrica, em 
metro.
0 1
606
628,8
639,2
678,8
685
2 3 4 Altura
limnimétrica (m)
Vazão (L/s)
a) Qual é a vazão do rio para a altura limnimétrica zero?
b) Qual é a vazão do rio se ele estiver 4 m acima do 
nível normal?
c) Se o rio se mantiver, durante 2 horas, 3 m acima do 
nível normal, qual será a vazão total nesse período 
de tempo?
d) Sabendo que ocorre enchente somentese a vazão 
chega a 40.000 litros por minuto, haverá enchente 
se o rio estiver 3 m acima do nível normal?
IL
U
ST
R
A
Ç
Õ
ES
: F
A
U
ST
IN
O
nenhum
606 L/s
8 segundos
Im(f )  {0, 2, 4, 6, 8, ...}
2
685 L/s
sim
4.887.360 L
5x  4y  40  0
Não, pois o número zero de andar não está 
associado a nenhum número de apartamento.
251,20 L
301,44 L
50,24 L
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 1 Supondo que a temperatura média atual da Terra seja de 16 °C, e que a tempe-
ratura aumente, em média, 0,058 °C ao ano, obtenha uma equação que expresse 
a temperatura f (t), em grau Celsius, em função do tempo t, em ano.
 2 Aplicando a equação obtida na atividade anterior, qual seria a temperatura 
do planeta daqui a cem anos?
 3 De acordo com o texto e com informações veiculadas em jornais, revistas e 
na televisão, como podemos ajudar a reduzir a emissão dos gases causadores 
do efeito estufa?
Matemática sem fronteiras
JU
C
A
 M
A
R
TI
N
S/
PU
LS
A
R
 IM
A
G
EN
S
Atividades
Nas décadas de 1970 e 1980, o município de Cubatão (aqui, em foto de 1983), onde se localiza um dos principais polos industriais do Brasil, foi 
considerado um dos mais poluídos do mundo. Após a realização de estudos, foi implantado um plano de recuperação ambiental que vem 
reduzindo ano a ano a emissão de gases poluentes.
99A linguagem das funções Capítulo 4 
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
. 1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
Pe
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l e
 L
ei
 9
.6
10
 d
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19
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e 
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ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
ÉB
ER
 E
VA
N
G
EL
IS
TA
Esquema representando o efeito estufa. 
Os gases formam uma camada ao redor 
da Terra, impedindo que parte do calor 
escape da atmosfera. As figuras não estão 
na mesma proporção.
O efeito estufa
Efeito estufa é o nome dado à retenção de calor na Terra possibilitada pela 
concentração de diversos gases na atmosfera. Graças a esse fenômeno, a tempe-
ratura média na superfície da Terra se mantém em torno dos 16 °C. Sem isso, a 
temperatura média na superfície do planeta seria de 18 °C (dezoito graus abaixo 
de zero). Logo, o efeito estufa é fundamental para a existência de vida na Terra.
Quando se alerta para os riscos do efeito estufa, o que está em discussão é a 
ação do homem na intensificação desse efeito. Estudos têm mostrado que as 
indústrias, as queimadas, os automóveis etc. liberam na atmosfera, anualmente, 
cerca de 23 bilhões de toneladas de gases que aumentam de forma notável o 
efeito estufa. Se as emissões desses gases não diminuírem, a quantidade deles 
presente na atmosfera pode triplicar em cem anos.
De acordo com a Cetesb (Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambien-
tal), há quase consenso entre os cientistas de que o resultado mais direto das 
mudanças climáticas seja o aumento da temperatura do planeta em até 5,8 °C ao 
final desses cem anos.
Essa previsão científica é fundamentada em equações matemáticas que expres-
sam a variação média da temperatura em função do tempo.
f f ((tt) ) tt) tt  0,058 0,058tt  16 16
21,8 °C21,8 °C
Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes Queimar o lixo, diminuir as queimadas das florestas, redução da emissão de gases poluentes 
(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.(carros, indústrias etc.), redução do consumo, reciclagem, entre outras medidas.
Se achar necessário, propor aos alunos Se achar necessário, propor aos alunos Se achar necessário, propor aos alunos Se achar necessário, propor aos alunos 
que façam as atividades em grupo.que façam as atividades em grupo.
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