Unidade 02 - Flexão Simples e Tensões Normais_R1

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ESFORÇOS INTERNOS E TENSÕES 
ASSOCIADAS
Teoria das Estruturas
Arquitetura e Urbanismo
MULTIVIX Vila Velha
UNIDADE 02
MOTIVAÇÃO
➢ A ação de uma força externa na estrutura, devido ao seu meio ambiente ou ao seu uso, produz nela,
forças internas.
➢ Os estados de forças internas mais comuns são:
1. Tração
2. Compressão
3. Flexão
4. Cisalhamento
5. Torção
A estes estados de forças associam-se 
TENSÕES E DEFORMAÇÕES INTERNAS.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
Deformações causadas pelos diferentes tipos de esforços:
Esforço Normal ou Axial: dilatação ou compressão da barra duas seções adjacentes tenderão a se
afastar (tração) ou se aproximar (compressão):
Esforço Cortante: duas seções adjacentes tenderão a deslizar verticalmente uma em relação a outra
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
Deformações causadas pelos diferentes tipos de esforços:
Momento Fletor: duas seções tendem a girar (em torno de z) uma em relação à outra (flexão).
Momento Torsor: duas seções adjacentes tendem a girar (em torno do eixo x) uma em relação à outra
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
FORÇAS DE TRAÇÃO
➢ É o estado de tensão na qual as partículas do material tendem a se separar, isto é a carga
atuante age segundo a direção do eixo do elemento estrutural analisado.
➢ A resistência de um elemento tracionado depende da área da seção transversal e do material do
qual é constituído.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
Área da seção 
Transversal.
FORÇAS DE TRAÇÃO
➢ Elementos tracionados podem ser muito resistentes,
como atestam os CABOS utilizados nas estruturas de
grande vãos;
➢ A resistência de um elemento tracionado é geralmente
independente de seu comprimento.
➢ As tensões de tração são uniformemente distribuídas
ao longo da seção transversal do elemento.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
FORÇAS DE COMPRESSÃO
➢ Compressão simples é o estado de tensão no qual as
partículas do material se aproximam entre si, isto é a
carga atua na direção do eixo da peça, porém
comprime-o.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
➢A capacidade de carga de um elemento 
longo comprimido tende a diminuir à medida 
que seu comprimento aumenta.
FORÇAS DE COMPRESSÃO
➢ Elementos longos comprimidos podem tornar-se
instáveis e de repente se deformarem sob nível crítico
de cargas;
➢ Esta incapacidade súbita de sustentar uma carga
adicional normalmente ocorre sem aviso prévio.
➢ A este fenômeno se dá o nome de FLAMBAGEM.
Devido a esse fenômeno elementos longos não são
capazes de sustentar cargas muito elevadas.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
➢A capacidade de carga de um elemento 
longo comprimido tende a diminuir à medida 
que seu comprimento aumenta.
FLEXÃO
➢ É um estado de forças complexo, associado a uma
deformação do tipo de uma curvatura num elemento sob
uma carga aplicada transversalmente;
➢ A flexão provoca alongamento numa face do elemento,
portanto traciona essa face;
➢ E provoca encurtamento na face oposta, submetendo-
a à compressão.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
FLEXÃO
➢ Ambas as tensões de tração e compressão se
desenvolvem numa mesma seção transversal;
➢A resistência do elemento à flexão depende do tipo, da
quantidade e da distribuição do material na seção
transversal.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
CISALHAMENTO – FORÇA CORTANTE
➢ É um estado de forças associado à ação de
forças opostas que tendem a fazer com que uma
parte da peça (elemento) deslize em relação a
outra;
➢ Desenvolvem-se estão, tensões que agem
tangencialmente à superfície deslizante.
➢ Tensões de cisalhamento são comuns em vigas;
➢ As forças cortantes são sempre máximas junto
aos apoios.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
TORÇÃO
➢É um empenamento, ou seja, rotação de um
corpo elástico em torno de seu eixo longitudinal,
provocada por dois torques iguais e opostos;
➢ Tensões de tração e compressão se
desenvolvem numa peça submetida à torção.
ESFORÇOS SECCIONAIS OU INTERNOS
TENSÃO
Tensão (σ): como pressão, é um termo usado para descrever a intensidade de uma força (P) – a
quantidade de força que age em uma unidade de área (A).
A força por unidade de área, ou o valor médio da tensão axial, pode ser representado como:
𝜎 =
𝑃
𝐴
A unidade de tensão é a pressão, isto é, força por área, que no SI é o Pascal (Pa).
𝑃𝑎 =
𝑁
𝑚2 e 1000000
N
m2 = 1 MPa = 1000 kN/m²
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A ESFORÇOS AXIAIS 
(TRAÇÃO E COMPRESSÃO)
Tensão normal (σ): tensão causada por uma carga (P) perpendicular a uma superfície que se está analisando.
𝜎 =
𝑃
𝐴
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A ESFORÇOS AXIAIS 
(TRAÇÃO E COMPRESSÃO)
• A tensão normal devido a esforços axiais é uniformemente distribuída. 𝜎 =
𝑃
𝐴
EXERCÍCIO
Qual a tensão na seção transversal de um pilar quadrado (20 x 20 cm) sujeito a uma carga vertical de 400 kN.
1 𝑘𝑁 ≈ 100 𝑘𝑔𝑓 ≈ 0,1 𝑡𝑓
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
400 𝑘𝑁
20 𝑐𝑚 𝑥 20 𝑐𝑚
= 1
𝑘𝑁
𝑐𝑚2 = 100
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
P = 400 𝑘𝑁
EXERCÍCIO
Qual a máxima força axial a ser aplicada em um pilar quadrado de concreto (20 x 20 cm), com resistência a
compressão na ordem de 25 MPa (2,5 kN/cm²).
1 𝑘𝑁 ≈ 100 𝑘𝑔𝑓 ≈ 0,1 𝑡𝑓
𝑃
𝐴
≤ 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑃
20 𝑐𝑚 ∗ 20 𝑐𝑚
≤ 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝑃 ≤ 2,5 ∗ 202 = 1000 𝑘𝑁 = 100 𝑡𝑓
P = ? 𝑘𝑁
𝜎 =
𝑃
𝐴
≤ 𝜎𝑚á𝑥
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
Ocorrem em barras, como consequência da ação de cargas transversais ao eixo longitudinal, que geram
momentos fletores e forças cortantes. As tensões que ocorrem na flexão de barras podem ser:
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
Tensão normal (σ) Tensão de cisalhamento (τ)
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
• Tensão normal devida à flexão: é a tensão normal que atua na seção transversal das barras em razão da ação do
momento fletor. Seu símbolo é a letra grega minúscula sigma (σ).
• Na flexão, as tensões normais não são uniformes ao longo da seção transversal, mas variam de acordo com o ponto
da seção transversal analisado. Além disso, ocorrem tensões de tração e compressão ao mesmo tempo.
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
As tensões normais atuantes na seção transversal de um elemento sujeito a flexão podem ser
calculadas pela seguinte equação:
𝜎 = 
𝑀 . 𝑦
𝐼𝑥
𝜎 = Tensão
M = momento fletor solicitante
𝐼𝑥= momento de inércia centroidal em x.
y = distância, em y, do centroide ao ponto
em questão.
As tensões máximas ocorrem nos bordos extremos da seção 
transversal. Em geral, busca-se as tensões máximas de 
tração e de compressão na seção.
EXERCÍCIOS
1. Seja uma viga de seção transversal retangular de 15 x 70 cm, simplesmente apoiada, conforme as figuras
abaixo. Determine a tensão normal máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção
transversal em que ela ocorre.
15cm
7
0
cm
𝜎 = 
𝑀 𝑥 𝑦
𝐼𝑥
𝜎 = Tensão
M = momento fletor solicitante
𝐼𝑥= momento de inércia centroidal em x.
y = distância, em y, do centroide ao ponto em
questão.
EXERCÍCIO 01
Passo 01
Calcular o Momento 
Máximo (𝑀𝑚𝑎𝑥 )
O Momento máximo de uma carga uniformemente distribuída é 
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞 𝑥 𝑙²
8
q = carga distribuída
L = comprimento da viga
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞 𝑥 𝑙²
8
→
15 𝑥 6²
8
= 67,5 kN.m
EXERCÍCIO 01
Passo 02
Conhecido o centróide, 
calcular o momento de 
Inércia da seção 
Transversal da viga (𝐼𝑥) 
15cm
7
0
cm
𝐼𝑥 = 
𝑏 𝑥 ℎ3
12
𝐼𝑥 = 
𝑏 𝑥 ℎ3
12
→
15 𝑥 703
12
= 428750 cm4
Deve-se transformar a unidade para metro:
𝐼𝑥 = 428750cm4 ∗
1 m4
100000000 cm4
= 0,0042875 𝑚4
1 m = 100 cm
EXERCÍCIO 01
Passo 03
Calcular as Tensões 
Normais Máximas 𝜎 = 
𝑀 𝑥 𝑦
𝐼𝑥
𝜎 = Tensão
M = 625 kN.m
𝐼𝑥= 0,0042875 𝑚4
y = 0,35 m
𝜎 = 
𝑀 𝑥 𝑦
𝐼𝑥
= 
67,5 𝑘𝑁.𝑚 𝑥 0,35 𝑚
0,0042875 𝑚4 = 5510,2 kN/m²= 5,51𝑀𝑃𝑎
1kN/m² = 0,001MPa
EXERCÍCIO01
Passo 04
Distribuição das Tensões
𝜎 = 
𝑀 𝑥 𝑦
𝐼𝑥
(compressão)
(tração)
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
• Tensão de cisalhamento devida à flexão: é a tensão de cisalhamento horizontal, que ocorre nas seções
transversais das barras pelo efeito do esforço cortante. Seu símbolo é a letra grega minúscula tau (τ).
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
• Para seções retangulares e circulares, submetidas a uma força
cortante (V), a tensão de cisalhamento (𝜏) tem distribuição
parabólica, com valor máximo (𝜏𝑚á𝑥) de:
𝜏𝑚á𝑥,𝑅𝐸𝑇= 
1,5 ∗ 𝑉
𝐴
𝜏𝑚á𝑥,𝐶𝐼𝑅𝐶 = 
4
3
∗
𝑉
𝐴
TENSÕES EM ELEMENTOS SUJEITOS A FLEXÃO – VIGAS 
(MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE)
• Para perfis metálicos I, simplificadamente, utiliza-se a equação
abaixo:
𝜏𝑚á𝑥= 
𝑉
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
EXERCÍCIOS
2. Seja uma viga de seção transversal retangular de 15 x 70 cm, simplesmente apoiada, conforme as figuras
abaixo. Determine a tensão cisalhante máxima absoluta na viga.
15cm
7
0
cm
𝜏 = Tensão de cisalhamento
V = esforço cortante solicitante
𝐴 = área da seção transversal.𝜏𝑚á𝑥,𝑅𝐸𝑇= 
1,5 ∗ 𝑉
𝐴
01𝜏𝑚𝑎𝑥 = 
1,5 𝑥 𝑉
𝐴
Passo 1: Calcular a área da seção transversal
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 
1,5 𝑥 𝑉
𝐴
→
1,5 𝑥 45
0,105
= 642,9 kN/m² ≈ 0,642 MPa 
1KNm² = 0,001MPa
15cm
7
0
cm
Passo 2: Determinar o local e o valor do
cortante máximo:
Para o caso em questão, o cortante máximo ocorre
junto aos apoios:
𝑉𝑚á𝑥 =
𝑞𝑙
2
=
15 ∗ 6
2
= 45 𝑘𝑁
𝐴 = 0,15𝑚 ∗ 0,70𝑚 = 0,105 𝑚²
Passo 3: Determinar a tensão de cisalhamento máxima:
EXERCÍCIOS
3. A viga é de aço tem as dimensões mostradas na Figura. Se for submetida a uma força cortante de V = 80kN.
Determine a tensão de cisalhamento que máxima nessa seção.
𝜏 = Tensão de cisalhamento
V = esforço cortante solicitante
𝐴 = área da alma do perfil.
𝜏𝑚á𝑥= 
𝑉
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
01
Passo 1: Calcular a área da alma:
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 
𝑉
𝐴
→
80
0,0036
=22222,22 kN/m² ≈ 22,22 MPa 
1kN/m² = 0,001MPa
Passo 2: Determinar o local e o valor do
cortante máximo:
Para o caso em questão, o cortante já foi dado
𝑉 = 80 𝑘𝑁
𝐴 = ℎ ∗ 𝑡 = 240 𝑚𝑚 ∗ 15 𝑚𝑚 = 3600 𝑚𝑚2
= 36 𝑐𝑚2 = 0,0036 𝑚²
Passo 3: Determinar a tensão de cisalhamento máxima:
200 mm
20 mm
20 mm
15 mm
EXERCÍCIOS
4. Uma viga de seção circular de 20cm de diâmetro, carregada com duas cargas de 10tf, é representada a seguir.
Determinar as tensões normais e de cisalhamento extremas e indicar a variação das tensões ao longo da altura da
viga. As reações de apoio já estão dadas.
Resp: σ = ±381,97 kgf/cm² ou 38,2 MPa; τ = 42,44kgf/cm² ou 4,24 MPa
EXERCÍCIOS
5. A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão
de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal em que ocorre.
EXERCÍCIOS
6. A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um canal. Determine as
tensões de flexão de tração e compressão máximas que ocorrem na viga na seção a–a.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Valores de referência de tensões máximas resistentes de diferentes materiais:
AÇO A36
σmáx, tração ≈ 250 MPa
σmáx, compressão ≈ 250 MPa
MADEIRA
σmáx, tração ≈ 10 MPa
σmáx, compressão ≈ 10 MPa
CONCRETO
σmáx, tração = 25 MPa
σmáx, compressão ≈ 2,5 MPa