7 -Probabilidad-y-estadistica-descriptiva-PPT-2

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Medidas de tendencia central
Medidas de Posición: son aquellos valores numéricos que nos permiten o bien dar alguna medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. Las más usuales son la media, la mediana, la moda, los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles. 
.
Medidas de tendencia central 
	medias de los diferentes conjuntos. 3) Es posible hallar la media de La idea de media o promedio (también llamada media aritmética) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. Es decir, es el punto medio del recorrido de la variable según la cantidad de valores obtenidos.
	Ese valor tiene varias propiedades importantes. 1) Si se suma la distancia de todos los valores respecto de la media, esa suma da cero. 2) Si se toman una cantidad cualesquiera de conjuntos de valores, cada uno con su respectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las un conjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable) 4) si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operación matemática usando un valor constante, entonces la media del nuevo grupo de valores así obtenidos es igual a la aplicación de la misma operación matemática usando ese valor constante sobre la media original.
La Media
El cálculo de la Media 
Dado un conjunto de observaciones 
la media se representa mediante y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el número de ellos, es decir: 
 
La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones 
 
de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que 
 
La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y el número de estos. 
Ejemplo: las notas de Juan en escala universitaria el año pasado fueron:
50, 60, 40, 70, 80, 40, 60 
La nota media de Juan es: 
Nota media = 
que suman 400
Hay 7 datos
Media aritmética (I)
5
PROPIEDADES DE LA MEDIA
Si a cada uno de los datos se aumenta o disminuye en una constante K, la media aumenta o disminuye en K unidades.
Si a cada uno de los datos se multiplica o se divide por una constante K, la media se multiplica o divide por k unidades.
Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten. 
Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:
Datos por frecuencias
Total de datos
1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.
2º. El resultado se divide por el total de datos. 
Media aritmética (II)
7
Mediana
La mediana, es el dato que divide a los datos en dos partes iguales.
Debemos considerar cuando los datos son pares o impares.
 
en caso que N sea impar
En caso en que N es par, promediamos el dato obtenido y el siguiente.
La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él. 
Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:
Ejemplo:
72, 65, 71, 56, 59, 63, 72
1º. Ordenamos los datos:
56, 59, 63, 65, 71, 72, 72
2º. El dato que queda en el centro es 65.
La mediana vale 65.
 Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.
Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 
Caso: 
La mediana
9
Moda
La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.
La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.
Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla:
Ejemplo.
La moda es 41. 
El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41.
Lo compran 35 personas
La moda
11
MEDIDAS DE POSICION
Cuartil, Quintiles, Deciles, Percentiles
Los cuartiles, deciles, percentiles son los números que dividen un numero de datos en partes iguales.
Por esta razón los cuartiles (Q) dividen los datos en 4 partes iguales, los quintiles (quintil) dividen los datos en 5 partes iguales, los deciles (D) lo dividen en 10 partes iguales y los percentiles (P) en 100.
En datos no agrupados para calcular cada uno de ellos utilizados las siguientes expresiones.
 
 
PROMEDIOS
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA 
DATOS AGRUPADOS.
JUAN JOSÉ VENEGAS MORENO
Diferenciar los diversos tipos de medidas de resumen que se pueden aplicar a un conjunto de datos agrupados.
Calcular e interpretar las principales medidas de tendencia central para datos agrupados.
Al finalizar la Tema, el alumno será capaz de:
OBJETIVOS
CONTENIDO
 Principales medidas de tendencia central para datos agrupados.
	 Medias
	 Mediana
	 Moda
	
La Media aritmética
Cálculo a partir de datos agrupados.
	El cálculo de la media aritmética, cuando los 	datos disponibles se encuentran en tablas de 	distribución de frecuencias, se realiza 	utilizando la formula 	siguiente
		
	donde:		:media
				 	:frecuencia absoluta de la clase i
				 :marca de la clase i
Ejemplo: 
La distribución de frecuencias siguiente, representa los puntajes obtenidos en una evaluación del desempeño, aplicado al personal técnico de un Centro de Salud. El puntaje máximo en la prueba es 50. Calcule e interprete en media.
Primero se calcularán las marcas de clase ( );
es decir, el valor intermedio de cada clase
				Marca de 		Frecuencia
	 clase ( ) 	absoluta(fi)
	12 - 16			14			4
	17 - 21			19			8
	22 - 26			24			15
	27 - 31 			29			23
	32 - 36 34 10
					Total			60
 14(4) + 19 (8) + 24 (15) + 29 (23) + 34 (10)
		 	4 + 8 + 15 + 23 + 10
			
clase
1575
 60	
26.25
Interpretación: Si se elige al azar a un trabajador técnico de este hospital, se espera que tenga un puntaje de 26,25 en su evaluación de desempeño.
Para realizar cálculos de Mediana, Moda, se deben considerar limites reales de los intervalos. Estos limites están dados por el promedio entre el limite aparente superior de un intervalo y el limite aparente inferior del intervalo superior.
En este caso el limite real superior del primer intervalo seria el promedio entre 16 y 17, lo que nos da un valor de 16,5. El limite inferior se considera 11,5 ya que en este intervalo van valores que pueden partir desde 11,5 hasta el 16,5.
El limite real superior del segundo intervalo es el promedio entre 21 y 22 , lo que da el valor de 21,5.
d) Cálculo de la Mediana a partir de datos agrupados.
	donde:
		: 
		 mediana
		: limite real (o frontera) inferior de la clase 
		 mediana.(Intervalo donde la frecuencia acumulada es mayor o igual que n/2)
		: número total de datos.
		: Frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana.
		: frecuencia absoluta de la clase mediana
		: amplitud de clase
Ejemplo: La tabla siguiente muestra la experiencia laboral (años) del personal de seguridad que labora en un gran hospital. Calcule e interprete la mediana.
Lugar de la mediana:
Mediana = 10,5 años
Interpretación:
La mitad del personal de seguridad que labora en este hospital tienen una experiencia laboral igual o menor a 10 años 6 meses. La otra mitad de este personal tiene una experiencia laboral igual o mayor a 10 años y 6 meses.
 Ventajas y desventajas
	Ventajas:
Los valores extremos no afectan a la mediana como en el caso de la media aritmética.
Es fácil de calcular, interpretar y entender.
Se puede determinar para datos cualitativos, registrados bajo una escala ordinal.Desventajas:
Como valor central, se debe ordenar primero la serie de datos.
 La Moda
 Cálculo a partir de datos agrupados
	donde:
		: moda
		: limite real (o frontera) inferior de la clase
		 modal (Intervalo que posee la mayor frecuencia)
		: frecuencia de la clase modal menos la
		 frecuencia de la clase anterior
		: frecuencia de la clase modal menos la
		 frecuencia de la clase siguiente
		: amplitud de clase
Las clases mediana y modal pueden coincidir pero conceptualmente son diferentes.
Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores de facturación durante un mes, en una Clínica. Calcule e interprete la moda.
Interpretación: Durante un mes, el número más frecuente de errores de facturación en esta clínica es 6.
Clase moda : (4 - 7)
 Mo = 5,9
 Ventajas y desventajas de la moda.
	
 Ventajas:
Se puede utilizar tanto para datos cualitativos como cuantitativos.
No se ve afectada por los valores extremos.
Se puede calcular, a pesar de que existan una o más clases abiertas.
	Desventajas:
No tiene un uso tan frecuente como la media.
Muchas veces no existe moda (distribución amodal).
En otros casos la distribución tiene varias modas, lo que dificulta su interpretación.
Medidas de Posición. Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles.
Recordemos que estas medidas de posición separan los datos en partes iguales,
Cuartil es la división de los en 4 partes iguales (1 cuartil es percentil 25%)
Quintil es la división de los datos en 5 partes iguales.(primer quintil es el percentil 20% y así sucesivamente)
Decil es la división de los datos en 10 partes iguales. 
Percentil es la división de los datos en 100 partes iguales.
Para calcular las distintas medidas de posición se utiliza la expresión
)
[a,b[ : intervalo que tiene la frecuencia acumulada F, de al menos datos.
	Puntaje	Frecuencia Absoluta	Frecuencia acumulada
	350----------399	4	
	400----------449	6	
	450-----------499	9	
	500-----------549	20	
	550-----------599	31	
	600------------649	80	
	650------------699	42	
	700-----------749	10	
	750------------799	8	
	800-----------849	2	
a) Determine media, mediana y moda de los datos del puntaje de PSU obtenidos en una generación de un Colegio.
b) Determina el cuartil 3 de los datos e interprétalo.
c) Determina el decil 9 de los datos e interpreta su valor.
d) Determina el cuartil 2
	Intervalo	 frecuencia
	1,65-----1,69	6
	1,70-----1,74	12
	1,75-----1,79	33
	1,80------1,84	22
	1,85------1,89	8
	1,90------1,94	2
a) Determine media, mediana y moda de los datos del puntaje de PSU obtenidos en una generación de un Colegio.
b) Determina el cuartil 2 de los datos e interprétalo.
c) Determina el decil 8 de los datos e interpreta su valor.
	Cantidad de abdominales	Cantidad de estudiantes
	[20, 28[	3
	[28, 36[	9
	[36, 44[	15
	[44, 52[	18
	[52, 60[	8
	[60, 68[	5
¿Cuantos abdominales como máximo logro hacer el 25% del total de los estudiantes con rendimiento mas bajo?
¿Cuantos abdominales como mínimo realizaron el 50% de los estudiantes con mejor rendimiento?
¿Cuantos abdominales como mínimo hicieron los estudiantes que se encuentran en el 10% con mejor rendimiento?
	Masa corporal	f	F
	[50-60[	18	18
	[60,70[	32	50
	[70, 80[	45	95
	[80, 90[	17	112
	[90, 100[	8	120
a) Calcular 
image5.jpeg
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image10.png
image11.wmf
57
7
400
7
60
40
80
70
40
60
50
=
=
+
+
+
+
+
+
audio1.wav
audio2.wav
audio3.wav
oleObject1.bin
image12.wmf
Notas
Frecuencia
absoluta
Notas x
F. absoluta
3
5
15
5
8
40
6
10
60
7
2
14
Total
25
129
image13.wmf
1
,
5
25
129
 
 
Media
=
=
oleObject2.bin
Notas
Frecuencia
absoluta
Notas x 
F. absoluta
3
5
15
5
8
40
6
10
60
7
2
14
Total
25
129
oleObject3.bin
image14.png
image15.png
image16.wmf
64
2
65
63
=
+
audio4.wav
oleObject4.bin
image17.jpeg
image18.wmf
Nº de calzado
38
39
40
41
42
43
44
45
Nº de personas
16
21
30
35
29
18
10
7
oleObject5.bin
Nº de calzado
38
39
40
41
42
43
44
45
Nº de personas
16
21
30
35
29
18
10
7
image150.png
audio5.wav
image19.wmf
å
å
=
=
=
n
f
n
f
i
i
i
i
i
x
1
1
X
image20.wmf
x
image21.wmf
i
f
image22.wmf
i
X
oleObject6.bin
oleObject7.bin
oleObject8.bin
oleObject9.bin
image23.emf
DesempeñoNúmero de
(puntos)técnicos
 12 - 164
 17 - 218
 22 - 2615
 27 - 3123
 32 - 3610
TOTAL60
oleObject10.bin
Sheet: 潈慪�
4.0
8.0
15.0
23.0
10.0
60.0
image24.wmf
i
X
image25.wmf
i
x
image26.wmf
=
x
oleObject15.bin
oleObject11.bin
oleObject12.bin
oleObject13.bin
oleObject14.bin
oleObject16.bin
Sheet: 潈慪�
4.0
8.0
15.0
23.0
10.0
60.0
image27.wmf
(
)
c
Md
f
F
n
Md
i
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
+
=
2
L
image28.wmf
Md
image29.wmf
i
L
image30.wmf
n
image31.wmf
F
image32.wmf
Md
f
image33.wmf
c
oleObject21.bin
oleObject22.bin
oleObject23.bin
oleObject17.bin
oleObject18.bin
oleObject19.bin
oleObject20.bin
image34.emf
ExperienciaNúmero de
laboraltrabajadores
(años)de seguridad
 0 - 34
 4 - 712
Clase 
Mediana
 8 - 1124
 12 - 1516
 16 - 1910
 20 - 233
69
image35.wmf
4
24
)
16
(
2
69
5
,
7
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
+
=
d
M
image36.wmf
4
24
16
5
,
34
5
,
7
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
=
image37.wmf
5
,
34
2
69
2
=
=
n
oleObject24.bin
Hoja1
				Experiencia		Número de
				laboral		trabajadores
				(años)		de seguridad
				0 - 3		4
				4 - 7		12
		Clase Mediana		8 - 11		24
				12 - 15		16
				16 - 19		10
				20 - 23		3
						69
oleObject25.bin
oleObject26.bin
oleObject27.bin
image38.png
image39.wmf
c
i
ú
û
ù
ê
ë
é
D
+
D
D
+
=
2
1
1
L
o
M
image40.wmf
o
M
image41.wmf
i
L
image42.wmf
1
D
image43.wmf
2
D
image44.wmf
c
oleObject32.bin
oleObject33.bin
oleObject28.bin
oleObject29.bin
oleObject30.bin
oleObject31.bin
image45.emf
Errores de
facturaciónDías
 0 - 36
 4 - 712
Clase 
Modal
 8 - 118
 12 - 153
 16 - 191
Total30
image46.wmf
6
1
=
D
image47.wmf
4
2
=
D
image48.wmf
4
 
4
6
6
5
.
3
 
Mo
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
oleObject34.bin
Hoja1
		Errores de
		facturación		Días
		0 - 3		6
		4 - 7		12		Clase Modal
		8 - 11		8
		12 - 15		3
		16 - 19		1
		Total		30
oleObject35.bin
oleObject36.bin
oleObject37.bin
image49.png
image50.png
image3.jpeg
image51.png