AULA 05 - PARTE 2- ESTIMAÇÃO IC MÉDIA POP - DISTRIB NORMAL E T-STUDENT - AULA

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Professor(a) Dra Deiby Santos Gouveia
ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 05: ESTIMAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL
Distribuição Normal e Distribuição t-Student
Tema: ESTIMAÇÃO: INTERVALO DE CONFIANÇA 
PARA MÉDIA POPULACIONAL ((µ)
- Distribuição Normal e Distribuição t-Student
 
Inferência Estatística
Intervalo de Confiança
Intervalo de Confiança para n ≥ 30 e n > 30
Uso da Tabela de Distribuição Normal Reduzida
 Uso da Tabela de Distribuição T- STUDENT
Cálculo do erro com ou sem Fator de Correção
Cálculo do Tamanho da Amostra com ou sem Fator de Correção
Exercícios de Fixação
Objetivo
IC para Média Populacional
n ≥ 30
OU
n < 30
Inferência Estatística
Intenção de votos
Pesquisa Amostral
Amostragem
Inferência
	Parâmetro	População	Amostra
	Média	µ	
	Desvio Padrão	σ	S
Processo de extrair informações sobre uma população a partir dos resultados observados numa amostra: n ≥ 30 ou n < 30.
Intervalo de Confiança (IC): É uma faixa de possíveis valores em torno da média amostral e a probabilidade de que esta faixa realmente contenha o valor real da média da população.
Nível de confiança (): Número que exprime o grau de confiança (ou porcentagem) associado a um intervalo de confiança
Inferência Estatística
IC=
Nível de Confiança: 
Zc Zc 
Nível de Significância: 
Parâmetros que influenciam na determinação do IC
Tamanho da Amostra – n
Desvio Padrão (S ou σ)
Intervalo de Confiança
n ≥ 30
σ conhecido
 σ desconhecido
Tabela Normal Reduzida
n < 30
σ desconhecido
σ conhecido
Tabela t-Student
Tabela Normal Reduzida
Tabela de Distribuição Normal Reduzida
Tabela de t-Student
Exemplo 1: Identifique a Tabela que melhor se ajusta para o cálculo do IC
a) n = 40 S = 2 
b) n= 48 σ=3 
c) n= 28 S =1,5
d) n= 12 σ = 2
Intervalo de Confiança
Intervalo de Confiança
Zc
Zc
IC=
Desvio padrão Amostral
Quando: n ≥ 30
Desvio padrão Populacional
IC=
Tabela de Distribuição Normal Reduzida
Tabela de Distribuição Normal Reduzida
Resposta
Determinando o valor de Zc
Exemplo 2: Com base no NC determinar o Zc
	Nível de confiança
 (%)	Nível de significância
		Valor crítico
Zc
	80%	20%	0,4	1,28
	90%	10%	0,45	1,64
	94%	6%	0,47	1,88
	95%	5%	0,475	1,96
	99%	1%	0,495	2,57
x
Z
x média x
Zc 0 Zc
Exemplo 4: Determine o intervalo de confiança para um estudo realizado na comunidade Estudo é Vida situada no estado da Paraíba, as quais possuem, em uma amostra de 35 indivíduos com idade inferior a 30 anos, peso médio de 60kg com desvio padrão de 3kg. Supor nível de confiança igual a 94%.
x
Z
IC=
... as quais possuem, em uma amostra de 35 indivíduos com idade inferior a 30 anos, peso médio de 60kg com desvio padrão de 3kg. Supor nível de confiança igual a 94%.
Resposta
1º passo: definir qual tabela usar 
n ≥ 30 
DP amostral 
Tabela Normal
x
Z
x 60 x
Zc 0 Zc
NC=94% 
2º passo: Determinar o Zc para o NC = 94% 
Dado:
n = 35
 = 60
DP = 3
NC () = 94%
IC=
Resposta
3º passo: determinar o e 
Dado:
n = 35
= 60
DP = 3
NC () = 94% (Zc = 1,88)
e 
IC=
4º passo: IC 
IC=%
IC=94%
IC=
1- Para estudar a situação salarial em uma empresa, um consultor levantou uma amostra aleatória de 50 salários recebidos na empresa. Sabe-se, por experiência com empresas similares, que o desvio padrão para os salários é aproximadamente constante com valor de 40 u.m. O salário médio amostral foi calculado em 245 u.m. Determine um intervalo de confiança de 95% para o salário médio pago por esta empresa. Interprete o resultado.
x
Z
IC=
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
... aleatória de 50 salários recebidos na empresa. Sabe-se, por experiência com empresas similares, que o desvio padrão para os salários é aproximadamente constante com valor de 40 u.m. O salário médio amostral foi calculado em 245 u.m. Determine um intervalo de confiança de 95% para o salário médio pago por esta empresa. Interprete o resultado.
Resposta
1º passo: definir qual tabela usar 
n ≥ 30 
DP populacional 
Tabela Normal
x
Z
x 245 x
Zc 0 Zc
NC=95% 
2º passo: Determinar o Zc para o NC = 95% 
96
Dado:
n =50
= 245
σ = 40
NC () = 95%
IC=
Resposta
3º passo: determinar o e 
Dado:
n =50
= 245
σ = 40
NC () = 95% (Zc = 1,96)
e 
IC=
4º passo: IC 
IC=%
IC=
Estima-se que o salário médio esta empresa tenha um valor médio entre R$ 233,91 e R$ 256,09 com Nível de Confiança de 95%
IC=
n ≥ 30
σ conhecido
 σ desconhecido
Tabela Normal
n < 30
σ desconhecido
σ conhecido
Tabela t-Student
Tabela Normal
REVISANDO
Identifique o tipo de tabela a ser utilizado:
Situação I: Amostra composta de 15 elementos com média 110 e desvio padrão populacional igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%
Situação II: Amostra composta de 15 elementos com média 110 e desvio padrão amostral igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%.
n < 30 
DP populacional 
Tabela Normal
n < 30 
DP amostral 
Tabela t-student
REVISANDO
Intervalo de Confiança 
Distribuição t-Student
Quando: n < 30
 σ é desconhecido 
Características:
É bem parecida com a Distribuição Normal
A distribuição t é mais achatada que a Normal 
Varia com os graus de liberdade, isto é, com o tamanho da amostra
 GL = n -1
A medida que o número de graus de liberdade aumenta, a distribuição se aproxima da Normal.
Distribuições T para alguns tamanhos de amostra:
n = 31, n = 6 e n = 3
Intervalo de Confiança – Distribuição t-Student
Intervalo de Confiança – Distribuição t-Student
IMPORTANTE: n < 30
 σ desconhecido
Distribuição t-Student
IC=
Determinação do tc
GL = n-1
ɤ = (1-α)
x
t
α
2
α
2
ɤ = 1- α
tc
tc
IC=
TABELA - Distribuição t-Student
Determinação do tc
GL = n-1
Nível de confiança: ɤ = (1-α)
x
t
α
2
α
2
ɤ = 1- α
tc
tc
Exemplo 5: Determinar o tc quando
n = 10 NC = 80%
b) n = 15 NC = 95%
c) n = 26 NC = 99%
Exemplo 6: Sabendo-se uma amostra tem 25 elementos que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%
...Sabendo-se uma amostra tem 25 elementos que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%
Resposta
1º passo: definir qual tabela usar 
n < 30 
DP amostral 
Tabela t-student
x
Z
x x
tc 0 tc
NC=90% 
2º passo: Determinar o tc para o NC = 90% 
GL = 25 - 1 
GL = 24
NC = 90%
t
Dado:
n = 25
 = 150
DP = 10
NC () = 90%
IC=
Resposta
3º passo: determinar o e 
Dado:
n = 25
= 150
DP = 10
NC ()= 90% (tc = 1,711)
e 
IC=
4º passo: IC 
IC=%
IC=90%
IC=
Intervalo de Confiança: Sem e Com Fator de Correção
O fator de correção deve ser usado sempre que tivermos:
Para populações INFINITAS
Para populações FINITAS
OU
OU
Exemplo 7: Um analista de mercados obtém dados de uma empresa de 100 consumidores de um total de 400 que adquiriram uma “oferta especial”. As 100 pessoas gastaram, na loja, uma média de com um desvio padrão de S = R$ 6,60. Usando um intervalo de confiança de 95%, estimar: 
O valor médio das compras para todos os 400 clientes. 
O valor total das compras dos 400 clientes. 
x
Z
.... obtém dados de uma empresa de 100 consumidores de um total de 400 que adquiriram uma “oferta especial”. As 100 pessoas gastaram, na loja, uma média de com um desvio padrão de S = R$ 6,60. Usando um intervalo de confiança de 95%, estimar: 
O valor médio das compras para todos os 400 clientes. 
IC=
1º passo: definir qual tabela usar 
n ≥ 30 
DP amostral 
Tabela Normal
2º passo: Determinar o Zc para o NC = 95% 
96
Dado:
N= 400
n = 100
 = 24,57
DP = 6,60
NC ( )= 95%
Resposta
Resposta
4º passo: determinar o e com Fator de Correção 
e 
IC=
4º passo: IC 
IC=%
IC=
3º passo: Verificar se irá utilizar ou nãoo Fator de correção
Exigência: 
Dado:
N= 400
n = 100
 = 24,57
DP = 6,60
NC ( )= 95% (Zc = 1,96)
IC=
.... obtém dados de uma empresa de 100 consumidores de um total de 400 que adquiriram uma “oferta especial”. As 100 pessoas gastaram, na loja, uma média de com um desvio padrão de S = R$ 6,60. Usando um intervalo de confiança de 95%, estimar: 
b) O valor total das compras dos 400 clientes. 
IC=
Dado:
N= 400
n = 100
 = 24,57
DP = 6,60
NC ( )= 95%
Resposta
IC=
400 consumidores x R$ 23,45 = R$ 9,380,00
400 consumidores x R$ 25,69 = R$ 10.276,00
Cálculo Tamanho da amostra: Sem e Com Fator de Correção
O fator de correção deve ser usado sempre que tivermos:
OU
OU
Para populações INFINITAS
Para populações FINITAS
Exemplo 8: Qual o tamanho da amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 99% de confiança e erro de 0,5? Considere méda amostral 24,57.
Dado:
n = ?
 = 24,57
σ = 4
NC ( )= 99%
e = 0,5
População infinita
Obs.: como o DP é populacional utiliza-se a Tabela Normal para achar o (Zc)
Para NC = 99% → Zc = 2,57
População finita
Vamos praticar!
1. Para estudar a situação salarial em uma empresa, um consultor levantou uma amostra aleatória de 50 salários recebidos na empresa. Sabe-se, por experiência com empresas similares, que o desvio padrão para os salários é aproximadamente constante com valor de 40 u.m. O salário médio amostral foi calculado em 245 u.m. Determine um intervalo de confiança de 95% para o salário médio pago por esta empresa. Interprete o resultado.				 IC = (233,91 <  < 256,09) = 95%
Exercícios de fixação
2. Em uma cidade há 30 supermercados que comercializam determinado produto, cujo preço de venda admite distribuição normal de probabilidade. Uma amostra aleatória de preços deste produto, levantados em seis supermercados, revelou os valores de u.m/kg: 6,4 ; 7,3 ; 5,8 ; 6,5 ; 7,0 ; 6,0. Sabe-se que o desvio padrão para os preços deste produto nestes seis supermercados corresponde a 0,573 u.m/kg. Construa um intervalo de confiança de 90% para o preço médio deste produto nestes supermercados. 
							 
R. IC = (6,071 <  < 9,929) = 90%
Exercícios de fixação
3. Determine o intervalo de confiança para as pessoas de uma localidade, as quais possuem, em uma amostra de 40 pessoas, peso médio de 60kg com desvio padrão de 3kg. Interprete os resultados.
Supor nível de confiança igual a 95%.		 
Supor nível de confiança igual a 99%			
 
a) IC = (59,07 <  < 60,93) = 95% b) IC = (58,78 <  < 61,22) = 99%
Exercícios de fixação
4. Determine o intervalo de confiança para um estudo realizado com 28 amostras de um tipo de maquinário para usinagem, as quais possuem peso médio de 60kg e desvio padrão de 3kg. Supor nível de confiança igual a 90%.
 
IC = (59,03 <  < 60,97) = 90%
Exercícios de fixação
5. Um exportador de papel higiênico está preocupado com a metragem do seu produto. Sabemos que tal metragem tem uma distribuição aproximadamente normal, com desvio padrão de 1 metro ( =1). Vamos fazer um teste em um lote de 100 rolos de papel higiênico, cuja média é de 50 metros por rolo.
Determine o intervalo de confiança para um nível de confiança igual a 95,44% 	
b) Qual tamanho a amostra deve ter para que, com uma probabilidade de 98%, sua estimativa não esteja errada em mais de 0,15 metros?	 						
c) Qual tamanho a amostra deve ter para que, com um intervalo de confiança de apenas 70%, sua estimativa não esteja errada em mais de 0,15 metros? 							
a) IC = (49,72 <  < 50,28) = 95,44% b) 240 rolos c) 48 rolos 
Exercícios de fixação
6. Em uma cidade há 30 supermercados que comercializam determinado produto, cujo preço de venda admite distribuição normal de probabilidade. Uma amostra aleatória de preços deste produto, levantados em seis supermercados, revelou os valores de u.m/kg: 6,4 ; 7,3 ; 5,8 ; 6,5 ; 7,0 ; 6,0. Sabe-se que o desvio padrão para os preços deste produto nestes seis supermercados corresponde a 0,573 u.m/kg. Construa um intervalo de confiança de 90% para o preço médio deste produtos. 
							 
R. IC = (6,07 <  < 9,93) = 90%
Exercícios de fixação
7. O diâmetro médio de uma amostra de n = 100 bastões incluídos em um carregamento é de 2,350 mm, com desvio padrão de 0,050 mm. Estimar o diâmetro médio de todos os bastões incluídos no carregamento usando um intervalo de confiança de 99%, dado que o carregamento contém 500 bastões.
										
R: O diâmetro médio varia de 2,3385 a 2,3615 mm.
Exercícios de fixação
8. Pesquisadores de mercado usam o número de frases por propaganda como maneira de medir a legibilidade dos anúncios em revistas. Os dados a seguir representam uma amostra aleatória do número de sentenças encontradas em 54 anúncios.
Obtenha uma estimativa pontual da média populacional .	 
Construa o intervalo de confiança de 95% para o número médio de sentenças em todos os anúncios em revistas sabendo que o desvio padrão amostral é igual a 5,0.
Quantos anúncios devem ser incluídos na amostra se você quer ter 95% de confiança de que a média amostral esteja dentro do intervalo de uma sentença da média populacional? (considere o erro máximo de estimativa igual a um).		 
Exercícios de fixação
	9	20	18	16	9	16	16	9	11	13	22	16	5	18
	25	17	23	7	10	9	10	10	5	11	18	18	9	9
	14	6	11	12	11	15	6	12	14	11	4	9	18	12
	6	17	12	6	13	17	5	11	11	12	7	24	 	 
Bibliografia Digital
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015.
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia 		Profª Maria Laura Brito 
Profº Júlia Petta 	 			Profº Raul Messias Neto
Referências
Até a próxima Aula!
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