Gabarito - Lista 5

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Resolução – Treinamento ENEM 
 Lista 5 – Monitoria Mente Matemática 
 
Item 01 ======================================== 
O custo dos lados paralelos ao rio vai ser o preço da cerca (4 
reais por metro) multiplicado pelo comprimento dos lados (x) 
e temos dois lados, totalizando: 
4 x 2 8x  = 
O raciocínio para os lados não paralelos ao rio será 
exatamente igual, mas o preço das cercas é 2 reais por metro 
e o comprimento dos lados é y: 
2 y 2 4y  = 
E se somarmos o custo de todos esses lados, o resultado tem 
que ser o custo total de 7500 reais: 
( )
8x 4y 7500
4 2x y 7500
+ =
+ =
 
Colocando o 4 como fator em evidência chegamos então na 
Letra A. 
 
Item 02 ======================================== 
A altura h será a diferença entre as ordenadas dos dois 
pontos extremos da função. Para cada um desses dois pontos 
extremos nós temos uma ordenada e uma abscissa 
correspondente. Como o enunciado nos disse que o eixo x 
divide a altura exatamente ao meio, necessariamente a maior 
ordenada da função será h/2 e a menor será -h/2, e essas 
duas medidas são as ordenadas dos pontos extremos, 
conforme a figura: 
 
E a função que rege esse gráfico é y = log (x). Ou seja, se 
substituirmos y por h/2 e -h/2, encontraremos o x, ou 
abscissa, correspondente de cada um desses dois pontos. 
Vamos chamar de P1 o ponto extremo inferior da função e de 
P2 o ponto extremo superior, com seus x1 e x2 
correspondentes: 
1
2
h
logx
2
y logx
h
logx
2

− =
= → 
 =

 
h
2
1
h
2
2
x 10
x 10
−
 =


 =
 
E como vemos no gráfico, a distância n é justamente a 
distância horizontal entre essas duas abscissas, ou seja, n = 
x2 – x1: 
2 1
h h
2 2
n x x
n 10 10
−
= −
= −
 
Entretanto, a questão não quer n em função de h. Ela quer h 
em função de n, ou seja, a inversa dessa, e agora a gente vai 
precisar fazer algumas manipulações algébricas pra 
encontrar isso. A primeira coisa é lembrar que elevar a um 
expoente negativo quer dizer inverter a base daquela 
potência, então já vamos mexer na nossa expressão: 
h h
2 2
h
2
h
2
n 10 10
1
n 10
10
−
= −
= −
 
Agora, pra facilitar o nosso trabalho, vamos trocar nossa 
variável para uma letra z qualquer, de tal forma que z = 10h/2: 
h
2
h
2
1
n 10
10
1
n z
z
= −
= −
 
Agora é a gente encontrar z em função de n e depois desfazer 
a troca: 
( ) ( )
2 2
22 2
2
1
n z nz z 1 z nz 1 0
z
Bhaskara :
b 4ac n 4 1 1 n 4
b n n 4
z z
2a 2
Δ Δ Δ
Δ
= −  = −  − − =
= −  = − −   −  = +
−   +
=  =
 
Nós vamos ficar apenas com a raiz positiva, já que não faz 
sentido um resultado negativo, e já vamos desfazer a troca da 
letra z: 
 
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2
h 2
2
n n 4
z
2
n n 4
10
2
+ +
=
+ +
=
 
Agora, para tirar h do expoente, vamos aplicar log dos dois 
lados: 
h 2
2
2
2
n n 4
log 10 log
2
h n n 4
log10 log
2 2
n n 4
h 2log
2
   
+ +   =
    
  
 
+ +  =
 
 
 
+ + =
 
 
 
E depois de já estar com a mão quase sangrando de fazer 
tanta conta, ficamos com a Letra E. 
 
Item 03 ======================================== 
Vamos olhar as equações uma por uma 
A equação I representa uma circunferência de centro na 
origem do gráfico e raio 3 (note que o 9 na fórmula representa 
o raio ao quadrado). Com isso, podemos descartar as 
alternativas A e B, já que o raio do círculo está representado 
equivocadamente como sendo 9. 
A única diferença entre as alternativas C, D e E é a parábola 
representada pela equação II. Tirando dos parênteses temos 
que a equação dessa parábola é: 
2y x 1= − + 
Essa parábola tem concavidade para baixo (porque o número 
que multiplica x2 é negativo), então descartamos a Letra C. 
Por fim, note que o termo independente da equação é “+1”, 
portanto o ponto de corte da parábola com o eixo y é o ponto 
de altura +1, o que corresponde à Letra D. 
 
 
 
 
 
 
 
Item 04 ======================================== 
Vamos chamar de n o total de alunos da escola, de x o 
número de alunos que compraram apenas um bilhete e de t o 
números de alunos que compraram três bilhetes. 
A gente sabe que se somarmos o número de alunos que 
compraram um bilhete (x), dois bilhetes (45), três bilhetes (t) 
e que não foram à festa (80), o resultado será a quantidade 
de alunos da escola (n): 
n x 45 t 80
n x t 125
= + + +
= + +
 
Também sabemos pelo enunciado que o número de alunos 
que comprou um bilhete (x) foi 20%, ou 1/5, do total de 
bilhetes vendidos. O total de bilhetes vendido vai ser: 
1 x 2 45 3 t
x 3t 90
 +  + 
+ +
 
E isso é igual a 20% disso é igual a x: 
x 3t 90
x
5
+ +
= 
Vamos chamar essa equação de “equação Mente”, ela vai ser 
útil daqui a pouco. Por fim, o enunciado também disse que o 
total de bilhetes vendidos superou o número de alunos da 
escola em 33: 
bilhetes alunos 33
x 3t 90 n 33
= +
+ + = +
 
Substituindo n pela relação que encontramos lá no começo 
da questão teremos: 
( )x 3t 90 x t 125 33
x x 3t t 125 33 90
2t 68
t 34
+ + = + + +
− + − = + −
=
=
 
Agora que sabemos o valor de t, vamos voltar na “equação 
Mente” que marcamos agora a pouco e substituir esse valor, 
e vamos encontrar de cara a resposta: 
x 3t 90
x
5
x 3 34 90 5x
4x 90 102
4x 192
x 48
+ +
=
+  + =
= +
=
=
 
E ficamos com a Letra D. 
 
 
 
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Item 05 ======================================== 
O que precisamos fazer nessa questão é olhar o gráfico e ver 
qual função corresponde perfeitamente. O eixo central tá na 
altura equivalente a 88 metros, logo o termo independente na 
função é 88, e ficamos entre a Letra A e a Letra B. Pra tirar 
essa dúvida, precisamos lembrar da forma da função seno e 
da função cosseno. A função seno começa subindo, depois 
desce e sobe de novo, enquanto a função cosseno começa 
alta, depois só desce e sobe de novo: 
 
E percebemos que a função da questão se parece com a 
função seno, e ficamos com a Letra A. 
 
Item 06 ======================================== 
A partir do texto e da imagem, conseguimos obter os 
seguintes pontos: 
 
Como sabemos que a equação da parábola é da forma 
2y ax bx c= + + e temos três pontos, temos as seguintes 
equações: 
• Equação para as coordenadas do ponto (0,0) 
2
0 0 0
y ax bx c
a b c
= + +
=  +  +
 
• Equação para as coordenadas do ponto (75,25) 
2
225 75 75
y ax bx c
a b c
= + +
=  +  +
 
• Equação para as coordenadas do ponto (150,0) 
2
20 150 150
y ax bx c
a b c
= + +
=  +  +
 
Resolvendo esse sistema de 3 equações e 3 incógnitas, 
temos que os valores de a, b e c são: 
2
2
) 0 0 0
) 25 75 75
) 0 150 150
I a b c
II a b c
III a b c
=  +  +

=  +  +

=  +  +
 
Resolvendo a equação I): 
0 0 0 0a b c c=  +  +  = 
Resolvendo a equação III) e substituindo o valor de c: 
2 2
2
2
0 150 150 0 150 150
150
150 150
150
150
a b c a b
a
b a b
b a
=  +  + → =  + 
− 
 = −  → =
= − 
 
Resolvendo a equação II) e substituindo os valores de c e b: 
( )
( )
2 2
2
25 75 75 25 75 75
25 75 75 25 75 75 75 150
25 75 75 75 75 2 25 75 75 1 2
25 25 1
75 75 1 25 3 75 1 3 75
1
225
a b c a b
a b a a
a a a
a a a
a
=  +  + → =  + 
=  +  → =   +  − 
=   −    → =    −
= → = → = −
  −    
= −
 
Como 
1
225
a = − ,temos que b vale: 
1 150
150 150
225 225
b a b b= −  → = −  − → = 
Assim, a equação da parábola é que representa a trajetória 
descrita pelo projetil é: 
2 21 150
225 1 150
225 225
y x x y x x= −  +  →  = −  +  
Resposta: Letra E. 
Resolvendo de outra forma: 
Uma forma bem mais rápida de resolvermos seria utilizando 
a forma canônica que é ( ) ( )
2
f x a x m n=  − + , onde 
2
b
m
a
−
= 
 
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e 
3 4
4
b a c
n
a
−  
= − ou 
4
n
a

= − ,ou seja, m é o x do vértice e 
n é o y do vértice. 
Assim, a partir da observação do gráfico temos os seguintes 
pontos: (0,0); (75,25); (150,0) e o ponto (75,25) representa os 
valores dos respectivos x do vértice e y do vértice como 
vemos na imagem abaixo. 
 
Assim a forma canônica para a equação dessa parábola 
ficaria sendo ( ) ( )
2
75 25f x a x=  − + . substituindo qualquer 
um dos outros pontos temos que o valor de a é: 
• Ou substituindo o ponto (0,0) 
( ) ( )
( )
2
2 2
2
75 25
0 0 75 25 75 25 0
25
75 25
3 25 75
1
225
f x a x
a a
a a
a
=  − +
=  − + →  + =
 = − → = −
 
= −
 
( ) ( )
( )
2
2 2
2
75 25
0 0 75 25 75 25 0
25
75 25
3 25 75
1
225
f x a x
a a
a a
a
=  − +
=  − + →  + =
 = − → = −
 
= −
 
• Ou substituindo o ponto (150,0) 
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
75 25
0 150 75 25 75 25 0
25
75 25
3 25 75
1
225
f x a x
a a
a a
a
=  − +
=  − + →  + + =
 = − → = −
 
= −
 
Dessa forma, a equação da parábola na forma canônica 
ficaria a seguinte: 
( ) ( )
21
75 25
225
f x x= −  − + 
Reescrevendo a equação conforme o enunciado temos: 
( ) ( )
( )
2
2 2
1
75 25
225
1
2 75 ( 75) 25
225
f x x
y x x
= −  − +
= − +  −  + − +
 
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
2
1
150 75 25 3 25
225
1
150 225 25 25
225
1 1 1
150 225 25 25
225 225 225
150 150
25 25
225 225 225 225
225 150
y x x
y x x
y x x
x x
y x y x
y x x
−
= + −  +   +
−
= + −  +  +
= −  −  −  −   +
− −
= +  − + → = + 
 = − + 
 
Resposta: Letra E. 
 
Item 07 ======================================== 
A partir do enunciado temos a equação abaixo, onde t 
representa quantos intervalos de tempo de 15 minutos temos. 
15 1500 0,99t=  
Resolvendo a equação, obtemos que t vale: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 
 
2 2
2
15 99
15 1.500 0,99
1.500 100
1 3 3 11 1 3 3 11
log log
100 100 100 100
log 10 log 3 3 11 log 10
2 log 3 log 3 log 11 log 10
2 0, 477 0, 477 1,041 2
2 1,995 2 2 0,00
t
t
t t
t
t
t
t t
− −
−
 
=  → =  
 
        
= → =     
     
 =   −
  
 − = + = −
  
− = + + −
− = − → − =  − 5
2 2.000
0,005 5
400
t t
t
−
= → =
−
=
 
Com t representa o número de intervalos de 15 minutos, 
temos que o tempo em horas é de: 
15 º 15
60
15 400 15 400
60 15 4
100
n de intervalos de minutos
tempo em horas
tempo em horas tempo em horas
tempo em horas horas

=
 
= → =

=
 
Resposta: Letra C. 
Resolvendo de outra forma: 
 
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Uma outra forma de resolvermos um pouco mais direta, mas 
também mais complexa e que pode causar confusão se 
devemos colocar 
4
t
 ou 4t para obtermos o tempo em horas. 
Nesse caso devemos usar 4t , por mais que pareça ser 
4
t
. 
Assim, temos a seguinte equação: 
415 1.500 0,99 t=  
Resolvendo, temos que o tempo decorrido em horas é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 
4
4
4 4
2 2
2
15 99
15 1.500 0,99
1.500 100
1 3 3 11 1 3 3 11
log log
100 100 100 100
log 10 4 log 3 3 11 log 10
2 4 log 3 log 3 log 11 log 10
2 4 0, 477 0, 477 1,041 2
2 4 1,995
t
t
t t
t
t
t
t
− −
−
 
=  → =  
 
        
= → =     
     
 =    −
  
 − =  + = −
  
− =  + + −
− =  − 2 2 4 0,005
2 2.000 2.000
4
0,005 4 5 20
100
t
t t t
t
→ − =   −
−
 = → = → =
− 
=
 
Resposta: Letra C. 
 
Item 08 ======================================== 
A figura representa um sistema linear de três equações e 
duas incógnitas, onde cada reta representa uma equação e 
as incógnitas são x e y. Sabemos que quando duas retas se 
encontram isso significa que temos uma solução em comum 
para elas. Assim, a partir da imagem percebemos que não há 
um ponto em comum para essas 3 equações, portanto, não 
existe solução real para esse sistema linear de três equações 
e 2 incógnitas. 
Resposta: Letra D. 
 
Item 09 ======================================== 
Como a viagem entre as cidades A e B tem duração de 6 
horas e a diferença entre os respectivos horários locais é de 
3 horas após o voo, temos que a diferença de fuso entre as 
cidades é de 3 horas. Portanto em uma viagem saindo de A 
para B devemos subtrair 3 horas no tempo da viagem, já uma 
viagem saindo de B para A devemos somar 3 horas ao tempo 
da viagem. 
Dessa forma, para que um voo partindo de A e indo para a 
cidade B, e que deve chegar na cidade A, no máximo, até às 
14 em seu horário local, devemos subtrair 9 horas desse 
horário para sabermos qual é o horário local em B, obtendo: 
9
14 9
5
horário local em B horário local em A horas
horário local em B
horário local em B horas
= −
= −
=
 
Assim, o horário máximo que o avião deve partir de B é às 5 
horas. 
Resposta: Letra D. 
 
Item 10 ======================================== 
Para resolvermos essa questão devemos primeiro identificar 
quais são as coordenadas dos pontos A, B, C, e D a partir da 
imagem, obtendo: 
 
Agora vamos substituir esses pontos na inequação dada na 
questão, caso satisfaçam a inequação o estabelecimento 
consegue ouvir a rádio, caso contrário não consegue ouvir a 
rádio. Assim obtemos: 
• Ponto A 
2 2
2 2
2 4 31 0
5 4 2 5 4 4 31 0
25 16 10 16 31 0
16 0
x y x y+ − − − 
+ −  −  − 
+ − − − 
− 
 
• Ponto B 
( )
2 2
2 2
2 4 31 0
3 1 2 3 4 1 31 0
9 1 6 4 31 0
19 0
x y x y+ − − − 
− + −  − −  − 
+ + − − 
− 
 
• Ponto C 
2 2
2 2
2 4 31 0
4 2 2 4 4 2 31 0
16 4 8 8 31 0
27 0
x y x y+ − − − 
+ −  −  − 
+ − − − 
− 
 
 
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• Ponto D 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 4 31 0
4 3 2 4 4 3 31 0
16 9 8 12 31 0
14 0
x y x y+ − − − 
− + − −  − −  − − 
+ + + − 

 
Assim os pontos que recebem as ondas de rádio são os 
pontos A, B e C. 
Resposta: Letra D. 
Resolvendo de outra forma: 
Uma outra forma de resolvermos é perceber que essa 
inequação é bem parecida com a de uma circunferência, 
escrevendo como uma inequação de circunferência obtemos: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 4 31 0
2 1 4 4 31 1 4
1 2 5 31
1 2 6
x y x y
x x y y
x y
x y
+ − − − 
− + + − + −  +
− + −  +
− + − 
 
Dessa forma, percebemos que a inequação dada é uma 
circunferência com as coordenadas do centro em (1 ; 2) e com 
raio 6, no entanto como é uma inequação temos essa delimita 
toda a área interna dela já que ´temos o sinal de menor ou 
igual. Traçando essa área delimitada por essa inequação 
temos: 
 
Como percebemos pela imagem temos que os pontos que 
conseguem ouvir a rádio são os pontos A, B e C. 
Resposta: Letra D. 
 
 
Item 11 ======================================== 
Função Quadrática 
É bem interessante estudar essas propriedades físicas das 
parábolas, que derivam principalmente do ponto focal, como 
essa da ponte e a da antena parabólica. 
Enfim, agora que temos um contextozinho inicial, vamos para 
a questão. 
i) Colocando os eixos 
Essa é uma das partes mais importantes dessa questão, 
colocar os eixos nos lugares mais adequados, mais profícuos. 
É possível que alguns de vocês tenham colocado o eixo x a 
nível do rio, por exemplo. 
Mas, no nosso caso, como a altura das vigas (dos pilares) é 
relacionada ao leito da ponte (parte retilínea em que os carros 
trafegam), é mais útil colocar o eixo x nessa reta, pois a altura 
dos pilares estará diretamente relacionada ao ponto no eixo 
y. 
Quanto ao posicionamento do eixo y, acho que esse foi mais 
consenso, colocá-lo no centro da ponte. Talvez, alguns 
tenham colocado no pilar A, mas, acredito que seja simples 
ver que colocá-lo no centro da ponte é agradável, visto que a 
questão nos conta de os pilares estãodispostos 
simetricamente em relação ao vértice. Assim, ganhamos o 
vértice como nosso ponto c, e, além disso ganhamos essa 
simetria. 
Nossa ponte fica assim, então: 
 
Bem melhor de enxergar, né? 
ii) Achando a função 
Agora, podemos achar a função que descreve essa parábola 
apenas aplicando a Fórmula Canônica 
Como temos o vértice, aplicar a Fórmula Canônica fica muito 
simples: 
 
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2
v v
2
2
f(x) = a (x - X ) + Y
f(x) = a (x - 0) + (-2)
f(x) = a x - 2



 
Basta aplicar um dos pontos extremos A ou B: 
2
2
f(x) = a x - 2
f(225) = a (225) - 2
-83 = a 50625 - 2
50625a = -81
81
a = -
50625
1
a = -
625



 
Então a função é: 
21
f(x) = - x - 2
625
 
Lembrem-se que a Forma Canônica não é necessária. Como 
a gente tem 3 pontos, daria para fazer um Sistema de 
Equações apenas usando a forma geral. Com outras 
posições do eixo x daria para fazer outros métodos, como a 
forma fatorada, por exemplo. Enfim, não se limitem a uma 
ferramenta. 
iii) Descobrindo as posições x das vigas, para podermos 
aplicar na função e descobrir o comprimento da viga 
Para isso, basta usar a informação do enunciado de que as 
vigas são igualmente espaçadas entre si e dispostas 
simetricamente em relação ao nosso eixo y. 
Então, para descobrir o espaço entre cada viga, basta dividir 
os 450 metros de comprimento da ponte pelos 9 espaços 
iguais delimitados pelas 10 vigas. Isso nos dá 50 metros de 
espaço entre cada viga. 
Desse modo, temos que as posições x das vigas são: 
(0,-225); (0,-175); (0,-125); (0,-75); (0,-25); (0,25); (0,75); 
(0,125); (0,175); (0,225) 
Portanto, como temos de calcular o comprimento dos pilares 
indicados pelas setas, temos de calcular o comprimento dos 
pilares com x = 75 e x = -75. 
iv) Aplicando o x = 75 na função, para descobrir o 
comprimento da viga (poderíamos usar também o x = -75, 
visto que a questão fala que são simétricas, mas, além disso, 
como a nossa função é x^2, o fator negativo não vai 
influenciar o resultado). 
2
2
x
f(x) = - - 2
625
75
f(75) = - - 2
625
5625
f(75) = - - 2
625
f(75) = -9 - 2
f(75) = -11
 
Sendo assim, o comprimento da viga é 11 metros. 
E, como são 2 duas vigas, temos que nossa resposta é 
2.11 = 22 metros. 
Resposta: Letra C 
 
Item 12 ======================================== 
Análise de dados fornecidos por gráfico 
Revisão de Conceitos: 
O que significa um gráfico de eixos x e y? 
Quando temos um gráfico de eixo das ordenadas (y) e eixo 
das abscissas (x), temos um gráfico que assume, para cada 
valor de x, um valor correspondente em y. 
Por isso, dizemos que: 
y = f(x) 
x = x 
Quando os gráficos representam uma função. 
Enfim, vamos a um exemplo básico, vejam o seguinte gráfico: 
 
Esse é um gráfico típico de exercícios de física de Movimento 
Uniforme. 
Temos no Eixo Y a representação do Espaço e no Eixo X a 
representação do Tempo. 
Então, o gráfico representa o movimento de uma partícula 
sobre o tempo. 
 
 Resolução – Treinamento ENEM 
 Lista 5 – Monitoria Mente Matemática 
 
E, o que é um ponto do gráfico? 
Um ponto (a, b) deste gráfico relaciona a posição ao tempo. 
Enfim, acredito que seja suficiente essa breve revisãozinha 
de conceitos pra gente conseguir fazer nossa questão. 
Resolução: 
i) Entendendo a questão 
Bom, a questão nos pede qual das marcas tem a menor 
quantidade de sódio por grama. 
E, se prestarmos atenção, assim como um ponto do gráfico 
de exemplo que eu dei relacionava a posição ao tempo, um 
ponto neste gráfico relaciona a quantidade de sódio (em mg) 
à massa de biscoito (em g). 
E isso é ótimo, pois a questão quer justamente a menor 
relação entre esses valores. 
Então, basta achar o ponto com a menor razão (y/x). 
ii) Analisando os pontos 
Bom, não adianta um ponto ter uma quantidade pequena de 
sódio por porção, se a porção também for muito pequena, 
porque a razão vai ser grande. 
Lembrando que para diminuir o valor de uma razão, temos de 
reduzir o numerador e aumentar o denominador. 
Então, queremos uma quantidade de sódio por porção 
pequena, aliada a uma porção com uma grande massa de 
biscoitos. 
Vamos analisar então o Ponto D, que parece ser um bom 
candidato, e, chamar essa Razão de R: 
• Ponto D 
sódioQtd
R =
porção
100 50
R = R =
80 40
→
 
Legal, agora fica mais fácil analisar os outros pontos. Fica 
quase imediato. 
Vejam como é rápido: 
• Ponto B: 
y
R =
40
 
E, esse y é maior que 50. Então a razão ficará maior 
que 50/40, que era a nossa razão de D. 
• Ponto A: 
Esse ponto possui y maior que o y de B e um x 
menor que o x de B, portanto, sua razão será maior 
que a de B. 
Sendo assim, não é um candidato melhor que D. 
• Ponto C: 
250
R = R = 5
50
→ 
O Ponto D era 50/40, que é muito próximo de 1. Está 
claro que 5 é bem maior que isso. 
Portanto, nosso favorito continua sendo D. 
• Ponto E: 
200
R = R = 2
100
→ 
Por fim, pelo mesmo motivo do anterior, como 2 é 
maior que 50/40, nosso favorito segue sendo o 
Ponto D. 
Resposta: Letra D 
 
Item 13 ======================================== 
Porcentagem e Análise de Dados por Enumeração 
Comentários Iniciais: 
Vamos lá, vocês precisam entender uma coisa pra resolver a 
questão de forma assertiva: a questão não aborda em 
nenhum momento a demissão de funcionários. 
Então, se a empresa contratar mais x funcionários para se 
adequar ao padrão de 5% dos funcionários sendo de tal perfil, 
a quantidade de funcionários desse perfil deve ser 5% da 
quantidade inicial de funcionários mais os x contratados. 
Vejam a seguir: se temos 10.000 funcionários, dos quais 
apenas 100 são do perfil indicado. 
Atualmente, apenas 1% dos funcionários se adequa ao perfil. 
E, sabemos que esse valor deve subir para 5%. 
No entanto, muitos talvez pensem: “Ah, basta contratar mais 
400 funcionários do perfil. Desse modo, teremos os 500 no 
perfil indicado. Ficando com 5%”. 
Não é isso, porque teríamos 500 funcionários no perfil 
indicado, mas teríamos também 10.400 funcionários na 
empresa, afinal, contratamos mais 400 funcionários. 
Então, esse valor mínimo de funcionários deve ser outro. 
Assim, concluímos que vamos ter de estabelecer algum tipo 
de relação. Relação essa que vocês vão ver na resolução. 
Resolução 1 - Certa: 
Como vimos, nosso valor inicial de funcionários no perfil + x 
funcionários no perfil, deve ser 5% da quantidade total de 
funcionários + os x recém contratados. 
 
 Resolução – Treinamento ENEM 
 Lista 5 – Monitoria Mente Matemática 
 
Então, temos: 
10 + x 5
=
1200 + x 100
10 + x 1
=
1200 + x 20
20 (10 + x) = 1200 + x
200 + 20x = 1200 + x
19x = 1000
1000
x =
19
 
E, se fôssemos por uma estimativa, como 1000/20 = 50, 
marcaríamos 53. 
Efetivamente, é isso: 
1000
= -52,6
19
 
Que resulta em um mínimo de 53 funcionários. 
Resolução 2 - “Errada”, ou melhor, que não possui precisão: 
Essa resolução vai nos devolver um valor errado, mas que, 
como as alternativas são bem espaçadas, quando eu fui ver 
qual era a alternativa correta, fiz assim de cabeça. 
Ela está errada, pois considera que foram demitidos os 
funcionários que não se encaixam nesse perfil, na quantidade 
certa para contratar funcionários que se encaixem em seus 
lugares. 
E, não é isso que a questão pede. 
Então, atente-se, essa resolução está, em teoria, “errada” 
apesar de que vamos chegar a conclusões similares à 
anterior. 
i) Calculando a porcentagem inicial 
Temos 1200 funcionários, dos quais 10 estão no perfil. 
Então, a porcentagem seria: 
10
P = 100%
1200
 
No entanto, vocês conseguem ver que essa conta vai ser 
chata demais né? 
Esse seria a forma de fazer seguindo o modelo do Comentário 
Inicial, que funciona muito bem para contas simples. 
Mas, que tal, ao invés de calcularmos essa divisão, nós 
calcularmos quantos funcionários são 5% de 1200? 
ii) Calculandoquantos funcionários correspondem a 5% de 
1200 
5
1200 = 5 12 = 60
100
  
Então, precisar-se-ia de 60 funcionários para se operar na 
legalidade. 
iii) Calculando quantos funcionários a empresa deve contratar 
para operar na legalidade 
A empresa possui 10, e, precisa chegar a 60 funcionários. 
Então, deve contratar 50. 
Mas, como eu havia dito, isso está errado, e, devemos corrigir 
um pouco esse fator para cima, como visto na Resolução 1. 
Como a alternativa razoável é a de 53, a marcaríamos. 
Resposta: Letra E 
 
Item 14 ======================================== 
Geometria Plana 
Comentários iniciais: 
Essa é uma questão que aborda, brevemente, um tópico 
interessante, o dos sinais digitais e analógicos. 
Isso é uma coisa que vocês que querem cursar Engenharia 
de Computação ou Engenharia Elétrica, quase com certeza 
terão aula sobre isso ano que vem. A disciplina de Sistemas 
Digitais tem um papel importantíssimo para essas duas 
engenharias. 
Enfim, depois dessa breve conversa, vamos agora à 
resolução. 
Revisão de conceitos: 
Vamos brincar de adivinhação. 
O que é o que é, que é um ponto equidistante de outros 3 
pontos? É o circuncentro! 
Ou, reescrevendo, é o ponto de um triângulo que equidista 
dos 3 vértices, e, portanto, é o centro da circunferência 
circunscrita. 
Enfim, segue uma imagem para ficar mais claro: 
 
 
 Resolução – Treinamento ENEM 
 Lista 5 – Monitoria Mente Matemática 
 
Chamamos esse ponto de O, que é o ponto que a questão 
quer. 
Resolução: 
Para resolver, basta lembrar de uma propriedade específica 
desse ponto em relação ao triângulo. 
i) O que é o circuncentro do triângulo? 
É o ponto de encontro das Mediatrizes!!! 
ii) E, o que é uma Mediatriz? 
É a reta perpendicular ao lado que o divide em 2 segmentos 
iguais. 
iii) Então, podemos fazer o seguinte desenho: 
 
iv) E, também: 
 
v) Achando as coordenadas de O. 
Bom, por iv, o ponto O terá coordenada x igual à metade do 
segmento AB. 
Então, como estará no meio entre 30 e 70, fica visível afirmar 
que está em 50. 
Agora, para achar sua coordenada y, devemos usar iii e o fato 
de que ele é equidistante a A e C. 
 
 
Então, igualando esses x, temos, por pitágoras: 
( )
( )
22 2
2 2 2
2 2 2 2
x = y - 20 + 20
x = 10 +(50 - y)
y - 20 + 20 = 10 +(50 - y)
 
E, resolvendo essa equação: 
2 2y - 40y + 400 + 400 = 100 + 2500 -100y + y
60y = -800 + 2600
60y = 1800
180
y =
6
y = 30
 
vi) Juntando as coordenadas 
• Coordenada x: 50 
• Coordenada y: 30 
Coordenadas: (50,30). 
Resposta: Letra E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução – Treinamento ENEM 
 Lista 5 – Monitoria Mente Matemática 
 
Item 15 ======================================== 
Análise de Dados por Gráfico 
Resolução: 
A questão pede os intervalos de distâncias nos quais o valor 
de Q é menor que o de P. Para isso, basta olhar o gráfico, da 
seguinte forma: 
 
Ou seja, nossa resposta corresponde aos 2 intervalos azuis: 
• De 0 a 20 
• De 100 a 160 
Resposta: Letra D