Estatística Aplicada à Gestão

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Estatística 
aplicada à GEstão
AUTORES
MARIA SUELENA SANTIAGO
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0112548142014331
Possui graduação em Engenharia Mecânica pela Escola 
Federal de Engenharia de Itajubá (1969), mestrado em 
Análise de Sistemas e Aplicações pelo Instituto Nacional 
de Pesquisas Espaciais (1973) e doutorado em Computa-
ção Aplicada pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espa-
ciais (1986). Possui também graduação em Matemática 
pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Itajubá 
(1969) e em Ciências Biológicas pela Universidade do 
Vale do Paraíba (2000). Atualmente é professor pleno 
do Centro de Desenvolvimento de tecnologia e Recursos 
Humanos (CDT-ETEP), professor sênior do Centro Paula 
Souza, Fatec de São José dos Campos, SP., e professor 
sênior (aposentada) do Instituto Nacional de Pesquisas 
Espaciais (INPE).
CARLOS TAKEO AKAMINE
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/3071111611216618
Possui graduação em Engenharia pela Escola Politécnica 
da USP (1990) e mestrado em Estatistica pelo Instituto 
de Matemática e Estatística da USP (2000). Atualmente é 
Professor Pleno da FATEC-SP, Professor da Universidade 
Presbiteriana Mackenzie. Lecionou no curso de gradua-
ção da PUC-SP e da Fundação Armando Alvares Pente-
ado. Lecionou na pós-graduação do Instituto Mauá de 
Tecnologia, na Fundação Santo André, na Fundação Van-
zolini, no Instituto de Pesquisas e Tecnologia e no Insti-
tuto de Logística da  Aeronáutica.
Estatística Aplicada à Gestão 2
NIZI VOLTARELI MORSELLI
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/8497834776373277
Mestre em Educação, Comunicação e administração pela Universidade 
São Marcos de São Paulo. Professora formada na Fundação Santo André 
em 1980 em Bacharelado em Matemática e Licenciada em Matemática na 
mesma Faculdade em 1990. Trabalhou na Pirelli com estatística durante 
o período da Faculdade ( 1975 - 1978), na área de Cabos na parte de des-
perdício de material. Leciona Estatística desde 1981, em curso Técnico de 
Informática, em escolas particulares e na ETEC Jorge Street em São Cae-
tano durante 15 anos.
Professora universitária desde 2004, lecionando, entre outras discipli-
nas, Estatística. Desde 2005 até hoje é professora concursada na Fatec de 
Mauá na área de Matemática.
Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
medidas de ordenamento
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Calcular e compreender as informações contidas nos 
quartis, decis e percentis.
COmpetênCias 
Separar um conjunto de números (dados) ordenados 
em várias partes com quantidade igual de elementos.
Habilidades 
Extrair informações das medidas de ordenamento.
4
estatística 
aplicada à gestão
medidas de ordenamento
ApresentAção
Nesta UA serão apresentadas medidas separatrizes. 
Será enfatizado como calcular e compreender as infor-
mações contidas nos quartis, decis e percentis. 
pArA ComeçAr
É comum no nosso dia a dia dividirmos. Dividi-se o 
lucro da empresa ou divide-se a conta do restaurante. 
O número de divisão varia conforme a necessidade 
e situação, isto é, se a empresa tem dois sócios com 
a mesma participação, o lucro pode ser dividido em 
dois. Se quatro pessoas comem num restaurante e, 
concordaram em dividir a conta, cada um deve pagar 
um quarto da conta. Outro exemplo muito comum de 
divisão é o corte da pizza em vários pedaços iguais. 
Quando dividimos um conjunto de números (dados) 
ordenados em várias partes e, com quantidade igual 
de elementos tem-se as medidas de ordenamento. A 
quantidade a ser dividida depende da informação que 
é desejada na análise e, normalmente, divide-se em 
duas partes (cada parte com 50% dos dados), quatro 
partes (cada parte com 25% dos dados), dez partes 
Figura 1. Pizza 
dividida em 
vários pedaços 
aproximadamente 
iguais.
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 4
(cada parte com 10% dos dados) ou em cem partes (cada parte com 
1% dos dados).
As medidas que fazem a divisão de um conjunto de dados ordena-
dos em duas partes, em quatro partes, em dez partes e em cem partes 
são chamados de mediana, quartil, decil e percentil, respectivamente.
atEnção
“As medidas de ordenamento têm por objetivo mostrar os valo-
res que dividem um conjunto de dados ordenados em várias 
partes e a porcentagem de dados associada a elas.” 
FundAmentos
QUartil
Um conjunto de números (dados) ordenados pode ser dividido em qua-
tro partes iguais e as medidas que fazem essa divisão são chamados de 
primeiro quartil (Q1), segundo quartil (Q2) e terceiro quartil (Q3). Cada 
parte deve conter 25% dos dados; o segundo quartil, não é costumeira-
mente utilizado uma vez que coincide com a mediana, isto é, ele divide 
o conjunto ordenado de dados ao meio, conforme a ilustração a seguir.
x1
9
x2
10
x3
12
x4
14
x5
16
x6
17
x7
17
x8
19
x9
20
x10
23
25% dos dados 25% dos dados 25% dos dados 25% dos dados
Q1 = 12 Q2 = Md = 16,5 Q3 = 19
50% dos dados
75% dos dados
Do exemplo anterior temos as seguintes informações:
 → Primeiro quartil é igual a 12 (Q1 = 12), isto é, 25% dos dados são
menores ou iguais a 12 e, consequentemente 75% são maiores ou 
iguais a 12; 
 → Segundo quartil (mediana) é igual a 16,5, isto é, 50% dos dados são 
menores ou iguais a 16,5 e, 50% são maiores ou iguais a 16,5; 
Figura 2. Dados 
ordenados.
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 5
 → Terceiro quartil é igual a 19 (Q3 = 19), isto é, 75% dos dados são
menores ou iguais a 19 e, 25% são maiores ou iguais a 19. 
No cálculo do quartil, deve-se primeiramente calcular a posição onde 
ele se encontra e, depois calculá-lo através de uma média ponderada de 
dois valores, caso seja necessário. O quartil pode ser obtida através de:
Qi = x( i × n
4 + 
1
2
)
Com i = 1, 2 e 3 para se obter Q1, Q2 e Q3 para um conjunto com n 
dados. O uso da média ponderada de dois valores é aplicado quando 
o resultado da posição
( 
i × n
4
 +
1
2
 ) não é inteiro. 
O procedimento será demonstrado através de quatro exemplos 
com dados já ordenados.
ExEmplo 1
Para um conjunto com n = 10:
x1
9
x2
10
x3
12
x4
14
x5
16
x6
17
x7
17
x8
19
x9
20
x10
22
O primeiro quartil e o terceiro quartil são: 
Q1 = x( 1 × 10
4
 + 1
2
) = x(3) = 12
e
Q3 = x( 3 × 10
4
 + 1
2
) = x(8) = 19
Como as posições do primeiro quartil e terceiro quartil deram núme-
ros inteiros, os quartis são associados à posição no conjunto ordenado 
de dados.
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 6
ExEmplo 2
Para um conjunto com n = 11 tem-se:
x1
9
x2
10
x3
12
x4
14
x5
16
x7
17
x8
19
x9
20
x10
22
x11
24
x6
17
Q1  =  x(3,25) Q3  =  x(8,75)
O primeiro quartil é: 
Q1 = x( 1 × 11
4
 + 1
2
) = x(3,25)
Nesse caso, a “posição” 3,25 (número não inteiro) indica que o primeiro 
quartil está entre o terceiro e o quarto valor e, as casas decimais, 0,25, 
são interpretadas como proximidade maior ao terceiro do que o quarto 
elemento, conforme a ilustração a linha pontilhada. As casas decimais 
também serão utilizadas como peso no cálculo do Q1 e, quanto maior 
a proximidade maior será o peso para o cálculo de Q1. A média ponde-
rada entre x3 e x4 tem pesos iguais a (1-0,25) para x3e (0,25) para o x4, 
respectivamente. O primeiro quartil será: 
Q1 = x( 1 × 11
4
 + 1
2
) = x(3,25) = ( 1 − 0,25 ) × x3 + ( 0,25 ) × x4
= ( 1 − 0,25 ) × 12 + ( 0,25 ) × 14 
= 12,5
Usando o mesmo procedimento para o terceiro quartil, tem-se:
Q3 = x( 3 × 11
4
 + 1
2
) = x(8,75)
Nesse caso, o terceiro quartil está entre o oitavo e o nono valor e a 
casa decimal (0,75), indica que está mais próximo do nono elemento. 
O terceiro quartil é:
Q3 = x( 3 × 11
4
 + 1
2
) = x(8,75) = ( 1 − 0,75 ) × x8 + ( 0,75 ) × x9
= ( 1 − 0,75 ) × 19 + ( 0,75 ) × 20 
= 19,75
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 7
O procedimento para a obtenção dos quartis é inicialmente calcular: 
Qi = x( i × n
4
 + 1
2
) = x
( j , d )
Representando o resultadopor x(j,d) com j o número inteiro e d a casa 
decimal da expressão, o quartil é dado por:
Qi = x( i × n
4
 + 1
2
) = x
( j , d )
 = ( 1 − d ) × x( j ) + ( d ) × x
( j + 1 )
Para i =1, 2 e 3.
ExEmplo 3
Para um conjunto com n = 12 tem-se:
x1
9
x2
10
x3
12
x4
14
x5
16
x7
17
x8
19
x9
20
x10
22
x11
24
x6
17
Q1  =  x(3,5) Q3  =  x(9,5)
x12
27
O primeiro quartil será: 
Q1 = x( 1 × 12
4
 + 1
2
) = x(3,5)
O resultado da “posição” 3,5 (número não inteiro) indica que o quartil 
está no meio do terceiro e do quarto valor. Os quartis serão:
Q1 = x( 1 × 12
4
 + 1
2
) = x(3,5) = ( 1 − 0,5 ) × x3 + ( 0,5 ) × x4 
= ( 1 − 0,5 ) × 12 + ( 0,5 ) × 14 
= 13
Q3 = x( 3 × 12
4
 + 1
2
) = x(9,5) = ( 1 − 0,5 ) × x9 + ( 0,5 ) × x10 
= ( 1 − 0,5 ) × 20 + ( 0,5 ) × 22 
= 21
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 8
ExEmplo 4
Para um conjunto com n = 13 tem-se:
x1
9
x2
10
x3
12
x4
14
x5
16
x8
19
x9
20
x10
22
x11
24
x6
17
Q1  =  x(3,75) Q3  =  x(10,25)
x12
27
x13
30
x7
17
Os quartis serão:
Q1 = x( 1 × 13
4
 + 1
2
) = x(3,75) = ( 1 − 0,75 ) × x3 + ( 0,75 ) × x4
= ( 1 − 0,75 ) × 12 + ( 0,75 ) × 14 
= 13,5
Q3 = x( 3 × 13
4
 + 1
2
) = x(10,25) = ( 1 − 0,25 ) × x10 + ( 0,25 ) × x11
= ( 1 − 0,5 ) × 22 + ( 0 ,25) × 24 
= 22,5
deCil
Quando um conjunto de números (dados) é dividido em dez partes 
iguais, isto é, cada parte contendo 10% dos dados, tem-se as medidas 
chamadas de decis. As nove medidas que fazem essa divisão são cha-
mados de primeiro decil, segundo decil até o nono decil. Essas medi-
das são representadas por D1, D2, ...., D9 e, a expressão para o cálculo 
dos decis num conjunto ordenado de dados é: 
Di = x( i × n
10
 + 1
2
)
Com i = 1, 2,...e 9. O procedimento para o cálculo é igual ao cálculo dos 
quartis, isto é, substitui-se um determinado i (de 1 a 9) na expressão 
anterior e o resultado pode ser representado por x(j, d) , com j a parte 
inteira e d a parte das casas decimais.
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 9
O cálculo dos decis é dado por:
Di = x( i × n
10
 + 1
2
) = x
( j , d )
 = ( 1 − d ) × x( j ) + ( d) × x( j + 1 )
para i =1, 2, ... , 9.
Os cálculos serão demonstrados através de um conjunto ordenado 
com 20 números ilustrados a seguir:
x1
9
x2
10
x3
12
x4
14
x5
16
x8
19
x9
20
x10
22
x11
24
x6
17
x12
27
x13
30
x7
17
x15
32
x16
34
x17
35
x18
37
x19
38
x20
39
x14
31
ExEmplo
Como exemplo calculemos o primeiro decil, o segundo decil e o nono 
decil.
D1 = x( 1 × 20
10
 + 1
2
) = x
( 2,5 )
 = ( 1 − 0,5 ) × x( 2 ) + ( 0,5 ) × x( 3 )
= ( 1 − 0,5 ) × 10 + ( 0,5 ) × 12 
= 11
Interpretação: 10% dos dados são menores ou iguais a 11 ou 90% são 
maiores ou iguais 11.
D2 = x( 2 × 20
10
 + 1
2
) = x
( 4,5 )
 = ( 1 − 0,5 ) × x( 4 ) + ( 0,5 ) × x( 5 )
= ( 1 − 0,5 ) × 14 + ( 0,5 ) × 16 
= 15
Interpretação: 20% dos dados são menores ou iguais a 15 ou 80% são 
maiores ou iguais a 15.
D9 = x( 9 × 20
10
 + 1
2
) = x
( 18,5 )
 = ( 1 − 0,5 ) × x( 18 ) + ( 0,5 ) × x( 19 )
= ( 1 -0,5 ) × 3 7+ ( 0,5 )x38
= 37,5
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 10
Interpretação: 90% dos dados são menores ou iguais a 37,5 ou 10% 
são maiores ou iguais a 37,5.
perCentil
Quando dividimos um conjunto de dados ordenados em cem partes 
iguais cada parte terá 1% dos dados e, as medidas que fazem essa 
divisão são chamados de percentil. Representa-se por Pi com i = 1, 2, 3, 
..., 99 e, lê-se Pi como o i-ésimo percentil. A mediana, o quartil e o decil 
são casos particulares do percentil, isto é, Q1 = P25; Q2 = Md = P50; Q3 = 
P75; D1 = P10; D2 = P20; …; D9= P90.
O procedimento do cálculo do percentil será semelhante ao cálculo 
do quartil e do decil já explicados anteriormente.
Pi = x( i × n
100
 + 1
2
)
Com i = 1, 2, ... , 99 para obter P1, P2, ... P99 num conjunto com n dados. 
ExEmplo
A demonstração dos cálculos será realizada através do exemplo a se-
guir e para ilustração calcularemos o P5 e P95:
x1
9
x11
24
x2
10
x12
27
x3
12
x13
30
x4
14
x14
31
x5
16
x15
32
x7
17
x17
35
x8
19
x18
37
x6
17
x16
34
x9
20
x19
38
x10
22
x20
39
P5 = x( 5 × 20
100
 + 1
2
) = x( 1,5 ) = ( 1 − 0,5 ) × x( 1 ) + ( 0,5 ) × x( 2 )
= ( 1 − 0,5 ) × 9 + ( 0,5 ) × 10 
= 9,5
Interpretação: 5% dos dados são menores ou iguais a 9,5 ou 95% são 
maiores ou iguais a 9,5.
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 11
P95 = x( 95 × 20
100
 + 1
2
) = x( 19,5 ) = ( 1 − 0,5 ) × x( 1 9 ) + ( 0,5 ) × x( 20 )
= ( 1 − 0,5 ) × 38 + ( 0,5 ) × 39 
= 38,5
Interpretação: 95% dos dados são menores ou iguais a 38,5 ou 5% 
são maiores ou iguais a 38,5.
apliCaçãO 
Claudia é gerente de Marketing da empresa Calça & Moda. Ela gosta-
ria de saber se a promoção de desconto na compra da segunda peça 
aumentou o gasto por cliente. Para isso, ela analisou no banco de 
dados o gasto de 20 clientes antes da promoção e, o gasto de 16 clien-
tes durante a promoção. Os gastos observados são:
gastos antes da promoção
(em reais)
141
113
86
104
90
117
69
168
104
138
129
133
63
59
131
115
96
151
115
84
gastos durante a promoção
(em reais)
108
112
125
158
88
90
130
108
110
123
102
129
79
97
140
119
A gerente gostaria de saber o valor da compra dos 10% e 25% dos 
menores gastos e também dos 5% e 25% dos maiores gastos por com-
pra. Outra informação é a média dos gastos e a mediana dos gastos 
antes e durante a promoção.
As medidas de ordenamento desejadas pela Claudia são:
P10 = D1 : o valor dos 10% que menos gastam por compra;
P25 = Q1 : o valor dos 25% que menos gastam por compra;
P95   : o valor dos 5% que mais gastam por compra;
P75= Q3 : o valor dos 25% que mais gastam por compra.
Além da média e mediana de gastos antes e durante a promoção. 
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 12
Os dados ordenados antes da promoção e as medidas desejadas são: 
x1
59
x11
115
x2
63
x12
115
x3
69
x13
117
x4
84
x14
129
x5
86
x15
131
x7
96
x17
138
x8
104
x18
141
x6
90
x16
133
x9
104
x19
151
x10
113
x20
168
→ D1 = x( 1 × 20
10
 + 1
2
) = x
( 2,5 )
 = ( 1 − 0,5 ) × x( 2 ) + ( 0,5 ) × x( 3 )
= ( 1 − 0,5 ) × 63 + ( 0,5 ) × 69 
= 66
→ Q1 = x( 1 × 20
4
 + 1
2
) = x(5,5) = ( 1 − 0,75 ) × x5 + ( 0,75 ) × x6
= ( 1 − 0,75 ) × 86 + ( 0,75 ) × 90 
= 88
→ P95 = x( 95 × 20
100
 + 1
2
) = x( 19)
= 151
→ x = 59 + 63 + ... + 168
20
= 110,30
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 13
Os dados ordenados durante a promoção e as medidas desejadas são:
x1
79
x9
112
x2
88
x10
119
x3
90
x11
123
x4
97
x12
125
x5
102
x13
129
x7
108
x15
140
x8
110
x16
158
x6
108
x14
130
→ D1 = x( 1 × 16
10
 + 1
2
) = x
( 2,1 )
 = ( 1 − 0,1 ) × x( 2 ) + ( 0,1 ) × x( 3 )
= ( 1 − 0,1 ) × 88 + 0,1 × 90 
= 88,2
→ Q1 = x( 1 × 16
4
 + 1
2
) = x(4,5) = ( 1 − 0,5 ) × x( 4 ) + ( 0,5 ) × x( 5 ) 
= ( 1 − 0,5 ) × 97 + ( 0,5 ) × 102 
= 99,5
→ P95 = x( 95 × 16
100
 + 1
2
) = x( 15,7 ) = ( 1 − 0,7 ) × x( 15 ) + ( 0,3 ) × x( 16 )
= ( 1 − 0,7 ) × 140 + ( 0,3 ) × 158 
= 152,6
→ Q3 = x( 3 × 16
4
 + 1
2
) = x(12,5) = ( 1 − 0,5 ) × x( 12 ) + ( 0,5 ) × x( 13 )
= ( 1 − 0,5 ) × 125 + 0,5 × 129 
= 127
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 14
→ Md = P( 50 ) = x( 50 × 16
100
 + 1
2
) 
= x( 8,5 ) 
= ( 1 − 0,5 ) × x( 8 ) + ( 0,5 ) × x( 9 )
= ( 1 − 0,5 ) × 108 + ( 0,5 ) × 112 
= 111
→ x = 59 + 63 + ... + 168
16
= 113,63
Os resultados obtidos foram:
antes da promoção durante a promoção
D1 66 88,2
Q1 88 99,5
Md 114 111
Q3 132 127
P95 151 152,5
média 110,3 113,63
Percebe-se o aumento do primeiro decil e do primeiro quartil durante 
a promoção, isto é, houve aumento no valor da compra dos clientes 
que menos gastavam. O terceiro quartil e o 95° percentil não sofreram 
alterações significativas, isto é, a promoção não teve efeito no valor das 
comprasdos clientes com maiores gastos nas compras. 
A gerente Claudia concluiu que o tipo de promoção utilizado 
aumentou o valor da compra dos clientes que menos gastavam, mas 
não teve efeito no valor das compras dos clientes que mais gastavam. 
O aumento na média de gastos foi influenciado principalmente pelo 
aumento dos gastos dos menores valores de compras.
dadOs agrUpadOs em intervalOs 
Quando os dados já estiverem agrupados em intervalos (na forma 
de tabela de frequência) e os dados brutos não são disponíveis para 
o cálculo exato das medidas de ordenamento, devemos obter essas
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 15
medidas através de aproximações. Adotaremos um procedimento 
para o cálculo do percentil que valerá para o cálculo do quartil e decil, 
pois essas medidas são casos particulares dos percentil. 
Supondo o cálculo de Pi, com i = 1, 2, 3, ..., 99. O primeiro passo é 
calcular:
( 
i × n
100
 ) 
que identifica a posição onde se encontra o percentil em questão e, 
depois calcular as frequências acumuladas. O primeiro valor da fre-
quência acumulada que ultrapassar ou igualar ao ( 
i × n
100 ) é o intervalo 
que contém o Pi e, depois utilizar a fórmula de Pi dado a seguir. Essa 
expressão é obtida por relação de proporcionalidade (regra de três).
Pi = LimInf + h × 
i × n
100
− Facumulada anterior
 fclasse do i
Onde:
 → LimInf: é o limite inferior do intervalo que contém o percentil i;
 → h: é o tamanho do intervalo que contém o percentil i;
 → n: é o tamanho da amostra;
 → Facumulada anterior: é a frequência acumulada anterior ao intervalo que
contém o percentil i;
 → fclasse do i : é a frequência do intervalo que contém o percentil i.
ExEmplo
Utilizando a tabela de frequência a seguir calcule o P10 como exemplo.
classe
limite inferior limite superior frequência 
10 ⊢ 15 5
15 ⊢ 20 12
20 ⊢ 25 8
25 ⊢ 30 3
total (n) 28
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 16
A posição onde se encontra o P10 é:
10 × 28
100
 = ( 2,8 )
Observando a frequência acumulada, o décimo percentil está contido 
no primeiro intervalo, 10 ⊢ 15 e, os outros componentes da fórmula 
estão ilustrados a seguir: 
classe frequência 
acumuladalimite inferior limite superior frequência
10 ⊢ 15 5 5
15 ⊢ 20 12 17
20 ⊢ 25 8 25
25 ⊢ 30 3 28
total (n) 28
LimInf = 10
h = 15 - 10 = 5 f10 percentil = 5
intervalo do P10
facumulada anterior = 0
Nesse caso, o P10 será: 
Pi = LimInf + h × 
i × n
100
− Facumulada anterior
 fclasse do i
= 10 + 5 × 
10 × 28
100
− 0
 5
= 12,8
Obs.: Se Pi está contido no primeiro intervalo a frequência acumulada 
anterior será igual a zero.
e AgorA, José?
Lembre-se de ordenar os valores no cálculo das medi-
das de ordenamento!
1. Os valores das compras de 18 clientes numa loja de
calçados foram:
45 11391
31
106
69
74
75
29
26
85
41
46
10215 12
65
19
Obter o primeiro e terceiro quartil do valor das com-
pras dessa loja e interprete o resultado.
2. O dono de um curso de língua estrangeira deve clas-
sificar os alunos em A, B e C conforme a nota de um
exame. Para dividir os seus alunos em quantidade apro-
ximadamente iguais ele decidiu que 35% das melhores
notas vão para a sala A (P65) e 30% (D3) das piores notas
vão para a sala C e, o restante deverão ficar na sala B. As
notas de 25 alunos foram:
64
36
51
32
34
53
33
78
61
50
51
58
23
43
50
51
45
65
16
45
38
59
72
83
40
Utilizando a expressão do Percentil e Decil, qual a faixa 
das notas para o aluno ficar na sala A, B e C? 
3. Os salários dos empregados de uma empresa con-
corrente foram informados num anúncio conforme a
tabela a seguir.
faixa salarial (R$) frequência
200 ⊢ 300 20
300 ⊢ 400 25
400 ⊢ 500 35
faixa salarial (R$) frequência
500 ⊢ 600 45
600 ⊢ 700 35
700 ⊢ 800 25
800 ⊢ 900 15
900 ⊢ 1000 10
total 210
a. Obtenha o primeiro e terceiro quartil. Interprete-o.
b. Obtenha o 15° percentil e o 85° percentil. Interprete-o.
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 19
gabaritO
1. Resposta:
Q1 = 29
Q3 = 85
2. Resposta:
P65 = 52,5
D3 = 40
3. Resposta:
a. Q1 = 421,4
Q
3
 = 672
Na empresa concorrente, 25% dos empregados
ganham de R$ 421,40 para baixo e 75% dos empre-
gados ganham de R$ 672,20 para baixo (ou 25% dos 
empregados ganham de R$ 672,20 para cima). 
b. P15 = 346,0
P
85
 = 774,0
Na empresa concorrente, 15% dos empregados
ganham de R$ 346,00 para baixo e 85% dos empre-
gados ganham de R$ 774,00 para baixo (ou 15% dos 
empregados ganham de R$ 774,00 para cima).
Estatística aplicada à gestão / UA 04 Medidas de Ordenamento 20
glossário
Quartil: É a medida que divide um conjunto 
ordenado de valores em quatro iguais. 
Decil: É a medida que divide um conjunto 
ordenado de valores em dez partes iguais.
Percentil: É a medida que divide um conjunto 
ordenado de valores em cem partes iguais.
reFerênCiAs
BRUNI, A.L. Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008.
BUSSAB, W. ; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 
São Paulo: Saraiva, 2009.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 
2009.
MARTINS, G.A.; DONAIRE, D. Princípios de Esta-
tística. São Paulo, Atlas, 2006.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
Estatística: 
concEitos iniciais
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Ser capaz de acompanhar a história da Estatística e 
elaborar gráficos representativos de uma população 
ou amostra.
COmpetênCias 
Entendimento de uma situação e de transformação de 
dados em informações visuais de fácil entendimento.
Habilidades 
Associar a cada tipo de dados um gráfico específico.
1
estatística 
aplicada à gestão
Estatística: 
concEitos iniciais
ApresentAção
Nesta Unidade você verá o que é estatística, suas partes 
e aplicações. Além dos objetivos da disciplina, bibliogra-
fia, formas de avaliação, conceitos iniciais bem como os 
tipos de variáveis e gráficos.
Bons estudos!
pArA ComeçAr
Um pOUCO de História
Não precisamos mencionar os censos muito antigos rea-
lizados na Babilônia, China e Egito por volta de 3000 a.C. 
Nem a Bíblia com instruções a Moisés para um censo, nem 
a viagem de Maria e José ao Egito para outro censo. Vamos 
nos ater aos matemáticos que a partir do século XVI entra-
ram para a história com suas funções matemáticas para 
explicar probabilidades e fenômenos aleatórios. 
Conta-nos o Bruni (2008) que Girolamo Cardamo (1500-
1557), advogado e matemático, utilizou grande parte de 
sua vida ao jogo e que comportamento se tornou um ví-
cio. O seu conhecimento em jogos de dados foi responsá-
vel pelos primeiros estudos em probabilidade.
Vejamos uma lista de matemáticos que influenciaram 
os estudos de probabilidade e a estatística e que serão 
mencionados durante o desenrolar desta disciplina: Pas-
cal (1623–1662), De Moire (1667–1754), Laplace (1749–
1827), Gauss (1777–1855), Chelischev (1811–1894), Pear-
son (1857–1936), Gosset (1876–1936), Fisher (1890–1962) 
e Kolmogorov (1903–19–), entre outros.
Não podemos nos esquecer da família dos Bernoulli, 
que por várias gerações (1623–1863), apresentaram gran-
des contribuições à matemática. Por exemplo, o termo: 
“Integral” foi proposto por Jacque Bernoulli em 1680.
Segundo Bruni (2008) Gottfried Achenwall (1719–
1772), da Universidade de Gottigem publicou uma série 
de estudos com definição sobre o que seria a estatística.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 4
FundAmentos
Com essa introdução, vem a pergunta: o que é Estatística?
Segundo Mann (2006), de modo geral, Estatística refere-se a fatos 
numéricos. Por exemplo, a renda média do brasileiro é de 3 a 5 salá-
rios mínimos.
A maioria dos livros de Estatística, e também Mann (2006), definem Es-
tatística como um conjunto de métodos utilizados para coletar, analisar, 
apresentar dados, bem como tomar decisões.
Costa Neto (1977), justifica que um curso de Estatística deve abordar:
 → Estatística descritiva; 
 → Cálculo de probabilidade;→ Amostragem; 
 → Inferência Estatística ou Estatística indutiva. 
A Figura 1 representa este conceito:
Estatística Descritiva AmostragemProbabilidade
inferência estatística
A estatística descritiva procura organizar, exibir e descrever dados utili-
zando tabelas, gráficos e medidas resumidas (Mann, 2006).
O objetivo da inferência estatística é o de tirar conclusões sobre po-
pulações com base em resultados obtidos de amostras subtraídos de 
uma população.
inferência estatísticaamostra
população
O cálculo de probabilidade é a ponte entre a Estatística descritiva e a amos-
tragem para chegar-se à estatística indutiva (Inferência estatística).
Figura 1. Partes 
de um curso de 
Estatística.
Fonte: Costa 
Neto (1977).
Figura 2. Esquema 
do funcionamento da 
Inferência Estatística.
Fonte: autores, 2010.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 5
atEnção
População é o conjunto de elementos com alguma caracte-
rística em comum.
Exemplos: Todos os brasileiros eleitores. 
Eleitores maiores de 65 anos.
Cada elemento de uma população ou de uma amostra possui uma carac-
terística em comum, por exemplo, os eleitores do Brasil possuem diversas 
características, como idade, renda, local de moradia, etc.
Estas características, de forma geral são chamadas de variáveis, pois 
podem assumir diferentes valores para os diferentes elementos.
definiçãO
Variável é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Uma 
variável é representada genericamente pelas letras x, y, z, etc.
Por exemplo, numa sala de aula, têm-se alunos com diferentes idades.
alunos idadE (anos)
Maria 21
Sueli 24
Selma 18
Soraia 21
um elemento variável
lEmbrE-sE
Aproveitando o exemplo da Figura 3, observe que segundo 
as normas NBR 6024 da ABNT (Associação Brasileira de Nor-
mas Técnicas), uma tabela tem sempre seu título e número 
colocado no topo e nunca é fechada nas laterais.
Continuando, uma variável pode ser:
 → Qualitativa: quando seus valores são designados por atributos.
Exemplos: Sexo: masculino, feminino; Renda: alta, média, baixa.
 → Quantitativa: quando seus valores forem expressos em números.
Exemplos: Idade dos alunos. Tempo de viagem.
Figura 3. Idade 
de alunos.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 6
tabelas
Uma maneira de fornecer informações rápidas a respeito das variáveis 
em estudo é apresentá-las em forma de tabela.
Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações (Cres-
po, 2002).
Uma tabela possui várias partes:
 → Um cabeçalho;
 → Um corpo;
 → Uma coluna indicadora;
 → Linhas;
 → Casas ou células; 
 → Fonte da informação, notas e chamadas que são colocadas no rodapé.
O nome, ou título, da tabela deve ser a primeira informação dada e deve 
ser localizado antes dela; deve conter informações as mais completas pos-
síveis sobre o assunto, respondendo as perguntas: o quê? quando? onde?
As tabelas devem ser numeradas sequencialmente num mesmo capítulo. 
atEnção
Ver normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT), por exemplo, norma NBR 14724:2011.
Exemplo:
Estado númEro dE turistas
São Paulo 123
Minas Gerais 45
Paraná 11
Bahia 7
Outros 13
Tabela 2: Número de turistas que passaram o feriado  
de tiradentes no hotel do viajante, em Campos do 
Jordão, S.P, 2010
título
cabeçalho
corpo
lEmbrE-sE
Séries estatísticas apresentam os dados em função da épo-
ca, do local ou da espécie (Crespo, 2002). 
Figura 4. Relação de 
turistas de diferentes 
estados que 
passaram o feriado 
no mesmo hotel.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 7
Podem ser classificadas em série histórica, geográfica 
e específica. 
Exemplo: 
mês prEço Em rEais por tonElada
Janeiro 2550,00
Fevereiro 2680,00
Março 2440,00
Abril 2580,00
Maio 2750,00
Junho 2490,00
A coleta de dados pode ser resumida através de outra ferramenta mui-
to conhecida e amplamente mostrada em jornais, revistas e livros. São 
os gráficos.
Para uma empresa o uso da estatística pelos gerentes e administrado-
res é ferramenta facilitadora para tomada de decisões.
gráfiCO 
É uma forma de representação dos dados estatísticos que possibilita ao leitor 
uma visualização mais rápida e viva do fenômeno em estudo. É uma figura.
Um gráfico deve apresentar, segundo Crespo (2002), algumas pro-
priedades.
 → Deve ser simples (Evitar excesso de linhas/colunas);
 → Deve ter clareza;
 → Deve fornecer informações verídicas.
Os principais tipos de gráficos são:
 → Diagramas;
 → Cartogramas;
 → Pictogramas.
Os diagramas são gráficos geométricos que na maioria das vezes utilizam 
o sistema cartesiano (dois elementos).
Cartograma é uma representação sobre uma carta geográfica.
Tabela 1. Série mensal 
do preço do produto 
X da indústria 
YXW de Janeiro a 
junho de 2009.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 8
Pictogramas são gráficos muito utilizados em jornais e revistas, pois 
chamam a atenção do leitor para o assunto de uma forma sugestiva atra-
vés de figuras.
Observar a figura indicativa na página inicial desta UA.
tipOs de diagrama
Os gráficos são figuras. Devem ter o seu nome, indicado como figura, co-
locado na parte inferior do desenho e na linha imediatamente a seguir, 
colocar a fonte dos dados.
dica
Não esquecer-se de nomear os eixos.
Sejam os dados apresentados na Tabela 2. Eles serão utilizados como 
exemplo para apresentação de diversos tipos de gráficos.
ano númEro dE funcionários 
1980 400
1990 600
2000 910
2010 1580
1. Gráfico em linha ou curva
n
ú
m
er
o
 d
e 
fu
n
ci
o
n
á
ri
o
s
1980
200
0
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1990 2000 2010
ano
Tabela 2. Número de 
funcionários da XYZ.
Fonte: autores, 2011.
Figura 5. Número de 
funcionários da XYZ.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 9
Aconselha-se ao leitor consultar Crespo (2002, ou outra edição) para de-
talhes de elaboração de gráficos e Bruni (2008) para verificar falhas na 
elaboração de gráficos.
2. Gráfico em coluna
n
ú
m
er
o
 d
e 
fu
n
ci
o
n
á
ri
o
s
ano
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1980 1990 2000 2010
Os dados da Tabela 2 servem de exemplo para outros tipos de gráficos.
3. Gráfico em barras
a
n
o
número de funcionários
500 1000 1500 2000
2010
2000
1990
1980
Figura 6. Número de 
funcionários da XYZ.
Fonte: autores, 2011.
Figura 7. Número de 
funcionários da XYZ.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 10
4. Gráfico de setores
1980
400 funcionários
1990
600 funcionários
2000
910 funcionários
2010
1580 funcionários
5. Gráfico em colunas justapostas
Seja o seguinte exemplo do número de funcionários da ABC por idade e 
sexo em 2010.
idadE masculino fEminino total
20 2 4 6
21 4 6 10
22 7 9 16
23 9 5 14
24 3 6 9
25 2 5 7
total 27 35 62
Desta forma, pode-se apresentar estes dados em um gráfico de colunas 
justapostas segundo a Figura 10.
to
ta
l 
d
e 
fu
n
ci
o
n
á
ri
o
s
idade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20 21 22 23 24 25
masculinofeminino
Figura 8. Número de 
funcionários da XYZ.
Fonte: autores, 2011.
Tabela 3. Número 
de funcionários da 
ABC por idade e 
sexo em 2010.
Fonte: autores, 2011.
Figura 9. Número 
de funcionários da 
ABC por idade e 
sexo em 2010.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 11
No gráfico de colunas justaposta, conforme Figura 10, cada coluna repre-
sentando quantidades de funcionários por sexo masculino e feminino, 
são colocadas lado a lado em relação a cada idade considerada. 
6. Gráficos de barras sobrepostas
to
ta
l 
d
e 
fu
n
ci
o
n
á
ri
o
s
2
4
6
8
10
12
14
16
idade masculinofeminino
20 21 22 23 24 25
No gráfico de colunas sobrepostas, o valor total é também observado 
nas colunas.
No gráfico de colunas sobrepostas, conforme Figura 11,cada coluna 
representa quantidades de funcionários por sexo masculino e femini-
no; observa-se também o número total de funcionários por idade em 
cada coluna. 
Outros tipos de gráficos são conhecidos. Por exemplo: 
 → Gráfico Polar: baseado na representação trigonométrica dos pontos 
num plano. Exemplos destes gráficos são os utilizados em empresas 
de transportes, no tacógrafo, para mostrar a velocidade dos veículos 
no decorrer no dia; 
 → Gráfico de dispersão: são os gráficos de pontos; 
 → Histogramas: são gráficos de colunas para representar distribuições 
de frequências.
Observar que em planilhas eletrônicas estes gráficos são apresentados de 
forma muito elegante, podendo ser mudados de um tipo de gráfico para 
outro com um simples clicar de botão.
Figura 10. Número 
de funcionários da 
ABC por idade e 
sexo em 2010.
Fonte: autores, 2011.
antena 
pArAbóliCA
Segundo Lopes (2009) “gráficos facilitam a visualização 
de valores e são amplamente utilizados na apresenta-
ção de dados estatísticos”. Somente para exemplificar, 
índices de mercado de ações, gráficos comparativos de 
evolução de mercado podem ser encontrados no portal 
“O acionista”. O site apresenta, semanalmente, tabela 
atualizada da evolução do Ibovespa, do volume diário 
de negócio, da cotação do dólar comercial americano e 
do Risco Brasil com breve comentário sobre as variações 
ocorridas no período. 
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, entida-
de da administração pública federal é responsável pela 
realização de censos e da organização de dados colhidos 
nesses censos. Mantém pesquisas nas áreas de Indús-
tria, Comércio, Serviços, entre outras. Tabelas e gráficos 
são ferramentas amplamente utilizadas para visualiza-
ção de informações. 
Um especialista em Gestão Empresarial terá uma 
grande ajuda para apresentação de informações rele-
vantes com a utilização de Tabelas e Gráficos. 
e AgorA, José?
Esta primeira UA trouxe um pequeno resumo da história 
da matemática e onde há ligação com a estatística. Mui-
tos matemáticos famosos são citados. 
A ciência estatística foi divida em quatro grandes par-
tes: Estatística descritiva; Amostragem; Probabilidade e 
Inferência Estatística. 
Tabelas e gráficos apresentados são ferramentas 
úteis para visualização de dados.
Na UA 02 iremos ver como representar dados esta-
tísticos resultantes de variáveis quantitativas quando os 
dados são fornecidos de forma desorganizada.
Desta forma, vamos ver: distribuição de frequências, 
diagrama de galhos e folhas, bem como o histograma.
Estatística aplicada à gestão / UA 01 Estatística: Conceitos Iniciais 13
reFerênCiAs
BOYER, C. B. História da matemática. São Pau-
lo, Edgard Blücher, 1974.
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão 
empresarial. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 2008.
COSTA, N. Estatística. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1974.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 18ª Ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002.
LOPES, P. A. Probabilidade e estatística. Rio 
de Janeiro, Reichmann & Affonso Edito-
res, 1999.
MANN, P. S. Introdução à estatística. Rio de 
Janeiro: LTC, 2006.
 Brasil Escola. Plano Cartesiano. [s.d]. Dispo-
nível em: <http://www.brasilescola.com/
matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso 
em: abril 2012.
 O acionista. Blog. Gráficos comparativos. [s.d]. 
Disponível em: <http://www.acionista.com.
br/graficos_comparativos/indicadores_
mercado.htm>. Acesso em: abr. 2012.
 IBGE. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatís-
tica. Disponível em: <http://www.ibge.gov.
br>. Acesso em: abril 2012.
 História da Estatística. Biografias. Nigthinga-
le. PUC/RS. [s.d.] Disponível em: <http://
www.pucrs.br/famat/statweb/historia/
daestatistica/biografias/Nigthingale.htm>. 
Acesso em: abr. 2012.
http://www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm
http://www.acionista.com.br/graficos_comparativos/indicadores_mercado.htm
http://www.acionista.com.br/graficos_comparativos/indicadores_mercado.htm
http://www.acionista.com.br/graficos_comparativos/indicadores_mercado.htm
http://www.ibge.gov.br
http://www.ibge.gov.br
http://www.pucrs.br/famat/statweb/historia/daestatistica/biografias/Nigthingale.htm
http://www.pucrs.br/famat/statweb/historia/daestatistica/biografias/Nigthingale.htm
http://www.pucrs.br/famat/statweb/historia/daestatistica/biografias/Nigthingale.htm
Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
Tabelas de frequência
HisTogramas
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem
Elaborar tabelas e gráficos de frequências.
COmpetênCias
Entendimento de uma situação e de transformação de 
dados em informações visuais de fácil entendimento.
Habilidades
Representar um conjunto de dados em tabelas 
de frequências.
2
estatística 
aplicada à gestão
Tabelas de frequência 
- HisTogramas
ApresentAção
Nesta Unidade você verá como analisar dados quan-
titativos, verá também como contar a frequência de 
ocorrência de vários dados e apresentá-los em forma 
de tabelas de frequências.
Gráficos de frequências tais como histograma e 
polígono de frequência serão enfatizados e analisados.
Está pronto?
pArA ComeçAr
Na UA 01 foram apresentados diversos tipos de gráfi-
cos: linhas, colunas, barras, setores entre outros.
Nesta Unidade vamos aprender como agrupar e 
apresentar dados quantitativos.
“Quando se estuda uma variável, o maior interesse 
do pesquisador é conhecer o comportamento dessa 
variável, analisando a ocorrência de suas possíveis 
realizações” (BussaB e Morettin, 2002).
Seja um problema típico de salários de funcionários 
num determinado setor de uma empresa.
Observou-se que 12 funcionários apresentavam 
os seguintes valores medidos em salários mínimos 
da época. 
5,7 3,7 7,2 9,3 9,2 9,7
3,1 5,9 9,0 4,0 4,7 3,3
O Setor de Pagamentos está interessado em saber 
quantos funcionários recebem menos de 6 salários. 
Para este conjunto com pequeno número de dados, 
basta contar.
Para facilitar estes valores foram ordenados da 
menor para a maior:
3,1 3,3 3,7 4,0 4,7 5,7 5,9
7,2 9,0 9,2 9,3 9,7
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 4
Ou seja, 7 empregados recebem salários abaixo de seis. Em outras 
palavras, a frequência de empregados com salários abaixo de 6 é 
igual a 7; consequentemente são 5 funcionários com salários maiores 
do que 6.
Procedimentos serão apresentados nesta unidade para representar 
a distribuição de frequências em forma de tabelas e gráficos.
FundAmentos
Segundo Triola (2005), “quando se trabalha com grandes conjun-
tos de dados, muitas vezes é útil organizar e resumir os dados com a 
construção de uma tabela que liste os diferentes possíveis valores dos 
dados (individualmente ou por grupos), juntamente com as frequên-
cias correspondentes, que representam o número de vezes que aqueles 
valores ocorrem”. 
Distribuição de frequências é uma técnica estatística usada para 
apresentar uma coleção de objetos classificados em subconjuntos de 
modo a mostrar o número existente em cada um desses subconjuntos.
lEmbrE-sE
Frequência é o número de vezes em que uma característica de 
uma população ou amostra se repete.
Os procedimentos necessários para construção de uma tabela de dis-
tribuição de frequencias são descritos a seguir, porém estão divididos 
em dois casos: distribuição de frequências para variáveis discretas e 
variáveis contínuas. 
 → Variável discreta é aquela que apresenta valores em pontos da 
reta real. Por exemplo, idade de pessoas. Número de filhos de um casal. 
 → Variável contínua é aquela que pode assumir teoricamente qual-
quer valor dentro de certo intervalo da reta real; por exemplo, peso de 
determinadas peças, pois, teoricamente o peso depende do contexto 
do aparelho de medição. Os dados que possuem esta característica são 
também chamados de dados quantitativos.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 5
elabOraçãO de tabelas de distribUiçãO de freqUênCias.
Para a elaboraçãode uma distribuição de frequências, tem-se dois 
casos a considerar: quando a variável em estudo for discreta, e quando 
a variável for contínua. 
1º CasO: distribUiçãO de freqUênCias para variável disCreta
Para construir uma tabela de distribuição de frequência vamos seguir 
um exemplo numérico e diversos cálculos. 
ExEmplo
Sejam as idades (em anos) de um grupo de funcionários do Setor A da 
firma XYZ:
24 25 21 24 22 26 22 17 18 20
25 24 21 20 23 23 21 19 23 19
24 22 20 21 20 21 
Algumas definições se fazem necessárias:
1. Dados Brutos
As idades, ou valores, conforme foram coletados, constituem dados
brutos. São como apresentados acima.
2. Rol
É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente.
17 18 19 19 20 20 20 20 21 21
21 21 21 22 22 22 23 23 23 24
24 24 24 25 25 26 
3. Amplitude Total ou Range
É a diferença entre o maior e o menor valor. No caso das idades:
Maior valor = 26
Menor valor= 17
Range = 26 – 17 = 9
4. Frequência absoluta
Frequência é o número de vezes em que uma característica de uma
população ou amostra se repete.
Após estas definições, pode-se construir uma tabela que apresenta 
a frequência de ocorrência de cada grupo de interesse dos dados 
em análise.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 6
5. Distribuição de frequências.
É o arranjo dos valores e o número de vezes em que se repetem.
A distribuição das frequências é apresentada geralmente em forma de
tabela.
Para consolidar estes conceitos vamos acompanhar o seguinte 
exemplo:
ExEmplo
Sejam as idades dos funcionários do setor A da firma XYZ, vamos agru-
par os funcionários por idade.
idade (anos) frequência
17 1
18 1
19 2
20 4
21 5
22 3
23 3
24 4
25 2
26 1
soma 26
Pode–se também complementar a informação contida na Tabela 1 com 
a apresentação da Frequência absoluta acumulada e da frequência 
relativa. Estes conceitos são os seguintes:
 → Frequência absoluta acumulada- Facum é a soma das frequên-
cias dos valores inferiores ou iguais ao valor dado.
 → Frequência relativa – é dada por quociente entre a frequência 
absoluta de cada dado e o número total de dados.
Vejamos estas informações na Tabela 2:
Tabela 1. Idades 
dos funcionários do 
setor A da firma XYZ.
Fonte: autores, 2010.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 7
idade frequência 
absoluTa 
frequência 
acumulada
frequência 
relaTiva
17 1 1 0,038
18 1 2 0,038
19 2 4 0,077
20 4 8 0,154
21 5 13 0,192
22 3 16 0,115
23 3 19 0,115
24 4 23 0,154
25 2 25 0,077
26 1 26 0,038
soma 26 1,000
atEnção
Cuidado com o arredondamento de números no cálculo das fre-
quências relativas.
Observe na Figura 1 o gráfico de colunas representando as frequências 
por idade.
5
4
3
1
2
0
17 19 20 21 22 23 24 25 2618
IDADES
N
Ú
M
E
R
O
 D
E
 F
U
N
C
IO
N
Á
R
IO
S
Vejamos outro exemplo:
Tabela 2. Distribuição 
de frequências 
das idades dos 
funcionários do 
setor A da firma XYZ.
Fonte: autores, 2010.
Figura 1. Distribuição 
de frequências das 
idades funcionários do 
setor A da firma XYZ.
 Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 8
ExEmplo
Dado o rol de gastos (em Reais) com idas ao cinema pelo casal ABC em 
vários finais de semana: agrupar os valores e apresentar a tabela de 
distribuição de frequências. 
20 30 25 25 30 30 25 20 25 20 30 35 25 25
Veja na Tabela 3 de distribuição de frequência após contagem dos 
valores.
gasTos frequência
20 3
25 6
30 4
35 1
 soma 14
Segundo Mann, 2006, “uma distribuição de frequências para dados 
quantitativos lista todas as classes e o número de valores que perten-
cem a cada classe. Os dados apresentados no formato de uma distri-
buição de frequências são chamados de dados agrupados”. 
2º CasO: distribUiçãO de freqUênCias para 
variável COntínUa OU dadOs qUantitativOs
Para a apresentação de distribuição de frequências de variáveis contí-
nuas, existem alguns procedimentos além dos já descritos no 1º caso. 
Inicialmente devem-se definir em quantos grupos, categorias ou 
classes, os dados serão agrupados. 
númerO de Classes
Há necessidade de se determinar em quantas classes quer-se organi-
zar os n dados. 
Não há uma regra única para o calculo do número de classes. Pode-
-se citar três delas:
a. Número de classes K = 5 se número de elementos for menor o igual
a 25, e,
Tabela 3. Gastos 
do casal ABC.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 9
K = √ n para n > 25
b. Pela fórmula de Sturges:
K = 1 + 3,322 log n
c. E finalmente, o bom senso: não utilizar número de classes 
nem muito pequeno nem muito grande. 
dica
O número de classes deve ser um número inteiro.
A seguir, deve-se determinar o tamanho, ou amplitude, de cada classe.
amplitUde das Classes- H
Após ser definido em quantos subconjuntos ou classes quer-se dividir 
o conjunto de dados, calcula-se a amplitude das classes (h).
h = Amplitude total / número de classes.
limites das Classes OU intervalOs de Classes
Existem diversas maneiras de representar os limites das classes, 
incluindo ou não incluindo um valor no intervalo considerado.
Vamos considerar que se um valor a está incluído no intervalo e o 
valor b não está incluído no intervalo a representação é feita por:
a |– b
Define-se Ponto médio de cada classe como sendo a média aritmé-
tica entre os limites superior e inferior de cada classe. 
Para acompanhar estes conceitos apresenta-se um exemplo numérico.
ExEmplo
Os salários, em número de salários mínimos, de 34 funcionários são 
as seguintes.
7,5 5,3 6,3 6,6 7,3 7,8 7,3 6,7 6,4 7,6
6,4 6,2 6,8 5,8 5,8 5,3 5,6 5,8 4,0 6,8
5,8 6,5 5,7 5,2 5,9 7,1 5,8 5,0 5,4 6,4
4,6 7,2 5,8 5,2 
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 10
Vamos seguir os passos indicados para obtenção da tabela de distri-
buição de frequências.
a. Determinar o rol. O rol será:
4,0 4,6 5,0 5,2 5,2 5,3 5,3 5,4 5,6 5,7
5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,8 5,9 6,2 6,3 6,4
6,4 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,8 7,1 7,2 7,3
7,3 7,5 7,6 7,8 
b. A amplitude amostral R é dada pela diferença entre o maior e o 
menor valor, ou seja:
R = 7,8 – 4,0 = 3,8
c. O número de classes k definido pela regra de Sturges é dado por: K 
= 1 + 3,322 log (n) → 1 + 3,322 log (34) = 6,09 
 Como o número de classes é sempre um número inteiro, vamos 
utilizar seis classes.
Desta forma, tem-se: que a amplitude das classes h é dada por:
h = (7.8 - 4,0) /6 h = 0,63
Vamos adotar a amplitude das classes igual a 0,7
d. Os limites das classes e os pontos médios das classes (média arit-
mética entre o limite superior e o Limite inferior da classe) estão apre-
sentados na Tabela 4.
Passa-se a partir daí a contagem dos empregados em cada classe, 
obtendo-se as frequências absolutas das classes.
Nessa tabela são apresentadas também as frequências relativas das 
classes, calculadas como já foi explicado.
classe de salários frequência absoluTa frequência relaTiva
4.0 até menos de 4.7 2 0.1
4.7 até menos de 5.4 5 0.1
5.4 até menos de 6.1 10 0.3
6.1 até menos de 6.8 8 0.2
6.8 até menos de 7.5 6 0.2
7.5 até menos de 8.2 3 0.1
soma 34.0 1.0
Tabela 4. Distribuição 
de frequências 
dos salários dos 
funcionários.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 11
Com essa tabela, tem-se a distribuição de frequências dos salários dos 
34 funcionários.
Passemos agora para a apresentação da distribuição de frequências 
para variável contínua em gráfico.
HistOgrama
O gráfico representativo da distribuição de frequências é denominado 
Histograma.
Segundo Mann (2006) “histograma é um gráfico no qual as classes 
são marcadas no eixo horizontal, e as frequências, as frequências rela-
tivas ou as porcentagens são marcadas no eixo vertical”.
Pode-se dizer que histograma é a representação gráfica da distribui-
ção de frequências, ou melhor, é um gráfico de colunas justapostas.
N
Ú
M
E
R
O
 D
E
 F
U
N
C
IO
N
Á
R
IO
S
108
6
2
4
0
CLASSE DE RENDA
4 5.4 6.1 6.8 7.5 8.24.7
pOlígOnO da freqUênCia
Finalmente pode-se apresentar um novo gráfico, denominado gráfico 
do polígono de frequência. “Um polígono de frequência usa segmentos 
de reta ligados a pontos localizados diretamente acima dos valores dos 
pontos médios de classe.” (TRIOLA, 2005)
Observar na figura a seguir um exemplo de polígono de frequências. 
Figura 2. Distribuição 
do número de 
funcionários por 
classe de salários.
Fonte: autores, 2011.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 12
N
Ú
M
E
R
O
 D
E
 F
U
N
C
IO
N
Á
R
IO
S
10
8
6
2
4
0
CLASSE DE RENDA
3,65 4,35 5,05 5,75 6,45 7,15 7,85 8,55
Figura 3. Polígono 
de frequências para 
representar número 
de funcionários por 
classe de renda. 
Fonte: autores, 2011.
antena 
pArAbóliCA
A população de pessoas economicamente ativas no Brasil tem 
crescido conforme apresentado em relatórios fornecidos pelo 
IBGE. A figura a seguir é um exemplo de um histograma contendo 
informações de dois períodos (1999 e 2009) num mesmo gráfico.
COM 11 ANOS DE EStUDO COM MAIS DE 11 ANOS DE EStUDO
20,5%
1999
34,9%
2009
12,8%
1999
21,1%
2009
Dados de 1999: exclusivo a população rural de Rondônia, Acre, Amazonas, Roraima, Pará e Amapá.
Consulte o site do IBGE e veja como os gráficos e distribuição 
de frequências são utilizados em diversos outros indicadores. A 
fonte é confiável e os dados são muito interessantes.
17,9%
muita 
dificuldade
21,4%
dificuldade
35,9%
alguma 
dificuldade
14,3%
alguma 
facilidade
9,5%
facilidade
1%
muita 
facilidade
DIStRIbUIçãO DAS FAMíLIAS SEgUNDO O gRAU DE 
DIFICULDADE DE ChEgAR Até O FIM DO MêS
Figura 4. Proporção 
das pessoas de 25a 
34 anos de idade 
economicamente 
ativas com 11 anos de 
estudo e com mais 
de 11 anos de estudo 
- Brasil - 1999/2009.
Figura 5. Gráfico do 
IBGE a distribuição 
percentual das 
famílias com 
rendimento 
monetário, segundo 
o grau de dificuldade 
de chegar até o 
fim do mês – Brasil 
– 2008/2009.
e AgorA, José?
Nesta Unidade foram apresentados: o conceito de fre-
quências; como elaborar uma tabela de distribuição 
de frequências e como construir um histograma.
Estas ferramentas são muito úteis para análise de 
grande número de dados bem como na análise de 
parâmetros perfeitamente definidos em classes, por 
exemplo, classes de renda, grupo de idade, tipo de 
especialistas num empreendimento, entre outros. 
Na próxima Unidade serão estudadas medidas bas-
tante conhecidas como a média, a variância, o desvio 
padrão, entre outras, também importantes e elucida-
tivas sobre uma população ou amostra.
AtividAde
Veja os exercícios resolvidos.
Estatística aplicada á gestão / UA 02 Tabelas de Frequência - Histogramas 15
glossário
Distribuição de frequências: tabela onde 
aparecem todas as categorias ou classes e 
o número de valores que pertencem a cada 
uma dessas classes.
 Frequência: é o número de vezes em que uma 
característica de uma população ou amostra 
se repete.
Histograma: é a representação gráfica da distri-
buição de frequências, ou melhor, é um grá-
fico de colunas justapostas.
referências
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão 
empresarial. 2ª Ed. São Paulo: Atlas, 2008.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 18ª Ed. São Paulo: 
Saraiva, 2002.
LOPES, P. A. Probabilidade e estatística. Rio de 
Janeiro, Reichmann & Affonso Editores, 1999
MANN, P. S. Introdução à estatística. Rio de 
Janeiro: LTC, 2006.
MINISTéRIO dO PLANEjAMENTO, Orçamento e 
Gestão. Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística – IBGE. Diretoria de Pesquisas. 
Coordenação de População e Indicadores 
Sociais. Estudos e Pesquisas. Informação 
Demográfica e Socioeconômica, n. 27. Síntese 
de Indicadores Sociais. Uma Análise das 
Condições de Vida da População. 2010. 
Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/
home/estatistica/populacao/condicaodevida/
indicadoresminimos/sinteseindicsociais2010/
SIS_2010.pdf>. Acesso em: abr. 2012.
NETO, C. P. Estatística. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1974.
Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
medidas de posição central
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Calcular as principais medidas de tendência central 
como a média, mediana e moda.
COmpetênCias 
Representação de um conjunto de dados em medidas 
resumo.
Habilidades 
Extrair informações das medidas de posição central.
3
estatística 
aplicada à gestão
medidas de 
posição central
ApresentAção
Nesta UA serão apresentadas medidas de tendên-
cia central como a média, mediana e moda. Será 
enfatizado como calculá-las e extrair informações 
destas medidas.
pArA ComeçAr
Você já deve ter ouvido comentário de algum filme 
junto de seus amigos. O seu amigo pode falar sobre as 
partes mais divertidas do filme, as mais aterrorizantes 
ou descrevê-lo numa breve fala.
Quando as pessoas falam sobre algum filme, eles 
sintetizam de tal forma que o ouvinte consiga com-
preender algumas cenas ou características do filme. 
Alguns descrevem rapidamente o filme, outros são 
mais detalhistas; tem pessoas que falam somente se 
gostaram ou não do filme.
Por mais minucioso que seja o comentário, é pouco 
provável que se consiga descrever todos os detalhes 
do filme.
Analogamente, quando deparamos com um con-
junto de dados quantitativos obtidos numa pesquisa, 
existe a necessidade de sintetizarmos em algumas 
medidas que representem o conjunto de dados. Ima-
gine a dificuldade que você teria ao tratar de uma 
amostra com muitos dados. 
Na estatística existem algumas medidas denomi-
nadas de posição central que tem por objetivo resu-
mir e representar um conjunto de dados. As medidas 
mais utilizadas são a moda, a mediana e a média. 
Cada uma dessas medidas tem suas características e, 
as informações contidas são complementares, isto é, 
cada medida tem informações que juntas descrevem 
melhor as características de um conjunto de dados.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 4
atEnção
“As medidas de posição central tem por objetivo resumir e 
representar um conjunto de dados. As medidas de posição cen-
tral mais utilizadas são: moda, mediana e média.”
FundAmentos
mOda (mo)
A moda é o valor que ocorre com a maior frequência, isto é, aquele que 
mais repete num conjunto de dados. Se dois valores ocorrerem com a 
mesma e, maior frequência diz-se que a distribuição é bimodal. No caso 
de três modas a distribuição é trimodal ou para simplificar quando o 
conjunto de dados tem mais de uma moda a distribuição é multimodal. 
Por outro lado, existe a possibilidade de nenhuma repetição dos 
dados, nesse caso, diz-se que a distribuição é amodal (não existe moda).
ExEmplos
a. A  =  { 5  7  9  0  4  7  7  9  8 }
O valor que mais se repetiu é o 7, portanto: moda = 7.
b. B  =  { 10  15  10  10  12  15  18  15  11 }
 Existem dois valores que se repetem mais, portanto, as modas
são 10 e 15.
c. C  =  { 1,5  1,0  1,9  2,0  2,4  1,7  2,7  2,8 }
 Não ocorreu nenhuma repetição dos valores, portanto, não
existe moda.
mediana (md)
A mediana (Md) é o valor que divide um conjunto de dados ordenados 
ao meio, isto é, 50% dos dados deve ser menor ou igual a mediana e, 
os outros 50%, são maiores ou iguais a mediana. O cálculo da mediana 
depende da quantidade de dados ser par ou ímpar.
Representando por xi os dados brutos (sem parêntese no índice) para 
i de 1 até n e, representando por x(i) os dados ordenados (com parênte-
ses no índice). O mínimo do conjunto de dados será representado por 
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 5
x(1), o segundo menor valor será o x(2) e, assim por diante até x(n) que
representará o máximo de um conjunto de dados. 
Dois exemplos serão desenvolvidos para mostrar o procedimento 
do cálculo da mediana.
ExEmplo 1
Numa amostra de tamanho igual a 7:
x1
17
x2
15
x3
19
x4
14
x5
12
x6
17
x7
16
dados brutos
dados ordenados
desordenados
ordenando osdados
x1
12
x2
14
x3
15
x5
17
x6
17
x7
19
x4
16
Para um conjunto com número ímpar de dados haverá um valor nos 
dados ordenados que é a mediana. Neste exemplo, percebe-se visual-
mente que a mediana é igual a 16.
A fórmula geral da mediana com n ímpar é dada pela seguinte 
expressão: 
Md = x( n + 1
2
)
Usando a fórmula acima no exemplo 1, com n = 7, a mediana será:
Md = x( n + 1
2
) = x( 7 + 1
2 ) = x(4) = 16
(x
(4)
 representa o quarto elemento dos dados ordenados)
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 6
Para um conjunto com número par de dados, haverá dois valores no 
centro da distribuição e, a mediana será a média aritmética deles. Veja-
mos o exemplo a seguir:
ExEmplo 2
Numa amostra de tamanho igual a 8:
x1
17
x2
11
x3
19
x4
14
x5
12
x6
17
x7
16
dados brutos
dados ordenados
desordenados
ordenando os dados
x1
11
x2
12
x3
13
x5
16
x6
17
x7
17
x4
14
x8
19
x8
13
50% são ≤ 15 50% são ≥ 15
Observe que a linha do centro passa por dois valores centrais (14 e 16). 
A mediana será a média aritmética desses dois valores centrais, isto é, 
Md = 14 + 16
2
= 15
A expressão geral para a mediana com número par de dados é:
Md = 
x
( n
2
 )
+ x
( n  + 1
2
 )
2
Usando esta fórmula no exemplo 2, com n = 8, o valor da mediana 
será: 
Md = 
x
( 8
2
 )
+ x
( 8  + 1
2
 )
2
= x(4) + x(5)
2
= 14 + 16
2
= 15
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 7
Juntando as duas expressões a mediana será dada por:
Md = 
x
( n  + 1
2
 ) para n ímpar
para n par
x
( n
2
 )
+ x
( n  + 1
2
 )
2
mÉdia
Descreve-se a seguir dois tipos de médias: a média aritmética e a 
média ponderada. Quando referirmos à palavra média subentende-se 
que estamos tratando da média aritmética.
mÉdia aritmÉtiCa (mÉdia) 
A média aritmética é a soma de todos os valores de um conjunto de 
dados dividido pelo número de dados. Existem duas representações 
para a média. Quando o conjunto de dados corresponde a toda a 
população a média é representada pela letra grega μ (leia-se mi) mas, 
quando o conjunto de dados corresponde a uma amostra representa-
-se por x (leia-se x barra).
Média populacional: μ =
∑ 
n
i=1
xi
N
 , onde N é o tamanho da população.
Média amostral : x =
∑ 
n
i=1
xi
n
 , onde n é o tamanho da amostra. 
ExEmplo 1
Os valores abaixo são dados de uma amostra de n = 7:
x1
17
x2
15
x3
19
x4
14
x5
12
x6
17
x7
16
A média será amostral:
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 8
x = 
∑ 
n
i − l
xi
n
= 
∑ 
7
i − l
xi
7
=  17 + 15 + 19 + 14 + 12 + 17 + 16
7
 = 15,7
mÉdia pOnderada (xg) 
A média ponderada é utilizada quando cada valor de um conjunto de 
dados tem importâncias diferentes, isto é, aquelas com a maior impor-
tância (maior peso) devem influenciar mais na média. A média ponde-
rada é:
xG = ∑ 
k
i=1
xi ×  pi
Onde pi é o peso com as seguintes condições: 
 
k
0 < pi < 1 e ∑
i=1
 pi = 1
ExEmplo
Suponha que as quatro avaliações escolares realizadas no ano com-
põem a média anual de uma disciplina. Se os pesos de cada prova fo-
rem de 0,1 (10%) para a primeira prova (P1), 0,2 para a segunda (P2), 0,3 
para a terceira (P3) e 0,4 para a quarta (P4). Para um aluno com notas 
iguais a P1=5,0; P2=4,0; P3=6,5 e P4=5,5. 
A média será: 
xG = ∑ 
4
i=1
xi ×  pi 
= 5,0 × 0,1 + 4,0 × 0,2  + 6,5 × 0,3  + 5,5 × 0,4 
=  5,45
A média ponderada também pode ser aplicada quando um conjunto 
de dados estiver organizado em forma de tabela de frequência (sem 
agrupamento de dados em intervalos).
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 9
ExEmplo
Suponha que o número de erros encontrados em cada nota fiscal (NF) 
emitidas por uma empresa estão sendo investigadas e, após a conta-
gem de 30 notas fiscais, obteve-se a tabela de frequência a seguir. Qual 
é o número médio de erros por nota fiscal dessa empresa? 
erros em notas fiscais frequência
0 20
1 6
2 3
4 1
Total 30
Utilizando a frequência relativa como o peso de cada valor, a média 
será dada por:
xG = ∑ 
k
i=1
xi ×  pi
= 0 × 20
30
+ 1 × 6
30
+ 2 × 3
30
+ 4 × 1
30
= 0,53
O número médio de erro é de 0,53 por nota fiscal.
atEnção
“A moda é o valor com a maior frequência de ocorrência, a 
mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados 
ao meio e a média é a soma de todos os valores dividido pelo 
número de dados.”
apliCaçãO 
A empresa Brinquedos Legal é especializada nas vendas de brinque-
dos de super-heróis e, Thomas é o gerente de vendas de uma loja. 
Atualmente, existe uma preocupação com o pequeno estoque de um 
relógio do super-herói em sua loja. O fornecedor desse brinquedo não 
conseguiu entregar a encomenda prometida antes do final da semana 
e, ele observou que havia um relógio do super-herói no estoque.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 10
Thomas sabe que a falta desse produto pode diminuir o lucro 
da empresa, pois ele é vendido com preço alto e, gera boa margem 
de lucro. Outro problema está associado à insatisfação dos clientes 
que não conseguirem adquirir esse brinquedo e procurarão o seu 
concorrente.
Como não é possível saber a quantidade da demanda para este final 
de semana ele pediu a seu assistente, Lucas, que busque os dados de 
vendas desse produto nos últimos finais de semana. 
Lucas observou os dados do registro e, obteve as seguintes observa-
ções em 14 finais de semana: 
2
x1
3
x2
2
x3
20
x4
3
x5
2
x6
4
x7
3
x8
2
x9
5
x10
2
x11
4
x12
5
x13
1
x14
Devido a dificuldade em analisar todos os valores, Lucas foi calcular a 
moda, mediana e a média do conjunto de dados para apresentar ao 
Thomas e utilizá-las como a previsão de demanda deste final de semana. 
Lucas ordenou os dados e, observou que o valor 20 destoava muito 
em relação aos demais e, deve ter ocorrido algum evento fora da nor-
malidade (promoção, período festivo como Natal ou dia das crianças 
ou mesmo erro de digitação no registro).
x1
1
x2
2
x3
2
x4
2
x5
2
x6
2
x7
3
x8
3
x9
3
x10
3
x11
4
x12
4
x13
5
x14
20
Calculando a moda, mediana e média obtém-se os seguintes resultados: 
Moda: 2
Mediana: para n = 14 (par)
Md = 
x
( 14
2
 )
+ x
( 14  + 1
2
 )
2
= 
x(7) + x(8)
2
= 
3 + 3
2
= 3
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 11
Média: 
x = 
∑ 
n
i=1
xi
n
= 
 1 + 2 + 2 + ... + 5 + 20
14
= 4,0
Como o valor 20 nos dados é atípico, Lucas recalculou as medidas sem 
esse valor e os resultados são:
Moda: 2
Mediana: para n = 13 (ímpar)
Md = x
( 13 + 1
2
)
= x
(7)
 = 3
Média: 
x = 
∑ 
n
ii=1
xi
n
= 
 1 + 2 + 2 + ... + 5 
14
= 2,8
Como o segundo resultado é mais confiável, Lucas levou-os para Tho-
mas analisar e, concluíram que a demanda pelo produto foi 2 em 
várias semanas (Moda = 2), em 50% das semanas a demanda foi maior 
ou igual a 3 (mediana = 3) e, a média da demanda está entre 2 e 3 ( 
média 2,8). Dessa forma, como a quantidade em estoque é de uma 
peça, existe uma grande chance de alguns clientes não conseguirem 
encontrar o produto em sua loja. 
Com essa informação Thomas deve tomar as devidas providências 
para sanar este problema poderá ocorrer no próximo final de semana.
atEnção
Os dados que são muito maiores ou menores do que a maioria 
são denominados de valores discrepantes (“outliers”) e, esses 
números afetam sensivelmente o valor da média, mas afetam 
pouco o valor da moda e a da mediana. Os valores discrepantes 
devem ser analisados à parte.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 12
dadOs agrUpadOs em intervalOs 
Existem situações em que é necessário obter as medidas de posição 
central (média, mediana e moda) através de tabela de frequência com 
os dados já agrupados. Lembre-se que ao agrupar os dados em inter-
valos, ocorre perda de informações contidas nos dados brutos e, con-
sequentemente, os cálculos baseados nesses agrupamentos gerarão 
resultados aproximadose não exatos como ocorre com os dados bru-
tos. As expressões que serão ilustradas a seguir serão úteis quando 
não temos à disposição os dados brutos. 
ExEmplo
O gerente de uma loja que comercializa chocolate está estudando um 
relatório do comportamento de consumidores de chocolate e, nesse 
relatório existe uma tabela de frequência da faixa etária dos consumi-
dores de um tipo de chocolate crocante que a loja irá lançar no pró-
ximo mês. Para uma análise inicial é de interesse o cálculo da média, 
mediana e da moda.
faixa etária frequência
10	 ⊢	 15 5
15	 ⊢	 20 12
20	 ⊢	 25 8
25	 ⊢	 30 3
total 28
Para o cálculo da média utiliza-se a expressão da média ponderada:
k
xG = ∑ xi ×  pi
i=1
Substituindo o valor xi pelo ponto central do intervalo i. Por exemplo, 
o ponto central do intervalo i no primeiro intervalo da tabela o ponto
central é:
xcentro do intervalo 1 = 
10 + 15
2
= 12,5 
(Pela média aritmética dos limites de cada intervalo.) Os pesos pi serão 
substituídos pela frequência relativa de cada classe i. 
Do exemplo temos:
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 13
faixa etária frequência ponto central frequencia relativa
10	 ⊢	 15 5 12,5 5/28=0,179
15	 ⊢	 20 12 17,5 12/28=0,429
20	 ⊢	 25 8 22,5 8/28=0,286
25	 ⊢	 30 3 27,5 3/28=0,107
total	(n) 28
x = ∑ 
k
i=1
xcentro do intervalo i ×  pi 
= 12,5 × 0,179 +  17,5 × 0,429  + 22,5 × 0,286 + 27,5 × 0,107
  =  19,1
No cálculo da mediana deve-se encontrar inicialmente o intervalo que 
contém a mediana e depois utilizar a expressão a seguir:
Md = LimInf + h × 
n
2
 − facumulada anterior
fclasse mediana
Sendo: 
LimInf: menor valor da classe da mediana
h: amplitude da classe mediana
n: número de dados
FAcumulada Anterior : frequência acumulada da classe anterior à mediana
fmediana : frequência da classe mediana 
Essa fórmula é obtida através de uma relação de proporcionalidade 
(regra de três) no intervalo da mediana. 
O cálculo da mediana pode ser obtido utilizando o procedimento e 
os passos a seguir:
1. Calcule a frequência acumulada;
2. Observe o intervalo que contém a mediana analisando a frequência
acumulada e o valor de n/2;
3. Com o intervalo da mediana identificada utilize a fórmula da
mediana.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 14
Do exemplo temos: n/2 = 28/2 = 14 
A frequência acumulada do primeiro intervalo, Facumulada = 5, é menor 
que 14, então esse intervalo não contém a mediana. No segundo inter-
valo, Facumulada = 17, é maior 14, então o segundo intervalo é o intervalo 
da mediana. 
LimInf	=15
h	=	20	-	15	=	5 f mediana = 12 F	acumulada	anterior	=	5
faixa etária frequência frequencia 
acumulada
10	 ⊢	 15 5 5
15	 ⊢	 20 12 17
20	 ⊢	 25 8 25
25	 ⊢	 30 3 28
total	(n) 28
classe da 
mediana
A mediana será: 
Md = LimInf + h × 
n
2
 − facumulada anterior
fclasse mediana
= 15  +  5 × 
28
2
 − 5
12
= 18,75
Para o cálculo da moda para dados agrupados em classe deve-se ini-
cialmente identificar o intervalo que contem a moda (intervalo com a 
maior frequência) e utilizar a expressão.
Mo = LimInf + h × 
∆1
∆1 + ∆2
Onde: 
LimInf: menor valor da classe da moda; h: amplitude do intervalo da moda; 
∆1: fi da classe da moda - fi da classe anterior da classe da moda;
∆2: fi da classe da moda - f i da classe posterior da classe da moda .
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 15
Do exemplo, o intervalo com a maior frequência é 15 ⊢ 20.
LimInf	=15
h	=	20	-	15	=	5
F	anterior	=	5
faixa etária frequência
10	 ⊢	 15 5
15	 ⊢	 20 12
20	 ⊢	 25 8
25	 ⊢	 30 3
total	(n) 28
classe 
da moda
F	posterior	=	8
Mo = LimInf + h × 
∆1
∆1 + ∆2
= 15 + 5 ×  7
7+4
= 18,2
Então : 
∆1 = 12 − 5 = 7 ∆2 = 12 − 8 = 4 
e AgorA, José?
1. Um empreendedor está avaliando a viabilidade de um
restaurante por quilo numa cidade. Como uma das variáveis
a ser analisado é o preço praticado por outros restaurantes
na cidade ele observou os preços em dez restaurantes. Os
dados obtidos (em R$/kg) são:
13,00 13,50 12,00 14,50 17,50 14,00 12,50 11,50 12,80 13,80
Quais são a média, a mediana e a moda dos preços das 
refeições por quilo?
2. O tempo de entrega (em dias) de dois fornecedores foram:
Fornecedor	a 3 5 6 3 7 5 5 6
Fornecedor	b 3 4 4 3 3 4 3 25
Você deve escolher um dos fornecedores usando o critério:
a. da menor média no tempo de entrega.
b. da menor mediana no tempo de entrega.
respOstas
1. x  =  13,51
Md  =  13,25
Não existe moda.
2.
média mediana
Fornecedor	a 5 5
Fornecedor	b 6,12 3,5
a. usando a média seria o fornecedor A.
b. usando a mediana seria o fornecedor B.
Estatística aplicada à gestão / UA 03 Medidas de Posição Central 17
glossário
Moda: é o valor com a maior frequência 
de ocorrência. 
Mediana: é o valor que divide um conjunto de 
dados ordenados ao meio.
Média: é a média aritmética dos dados de 
um conjunto.
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008.
BUSSAB, W. ; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 
São Paulo: Saraiva, 2009.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Esta-
tística. São Paulo, Atlas, 2006.
Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
medidas de dispersão
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Reconhecer e calcular as diversas medidas de disper-
são e como aplicá-las nos variados tipos de variáveis.
COmpetênCias 
Identificar o tipo de dispersão da série ou de amostra 
apresentada. Interpretar os dados apresentados para 
se obter os melhores resultado.
Habilidades 
Utilizar as fórmulas para calcular as medidas disper-
sões e extrair informações importantes sobre as medi-
das apresentadas.
5
estatística 
aplicada À gestão
medidas de dispersão
ApresentAção
Nesta UA serão apresentadas medidas de dispersão, 
tais como desvio padrão, variância e coeficiente de 
variação. Será apresentado como reconhecer e calcu-
lar essas medidas para população e amostra.
pArA ComeçAr
As Medidas de Dispersão também fazem parte da 
Estatística Descritiva, pois elas permitem verificar 
um aspecto importante no estudo descritivo de um 
conjunto de dados, que é variabilidade desses dados, 
relativamente a uma medida central. Supondo ser a 
média essa medida de localização mais importante, 
ela será utilizada para os cálculos de medidas mais 
conhecidas como: a Variância, o Desvio padrão e o 
Coeficiente de variação.
atEnção
“As medidas de dispersão podem ser utiliza-
das para se verificar a representatividade das 
Medidas de Posição (Média, Moda e Mediana), 
pois é muito comum se encontrar séries ou 
amostras, que apesar de terem a mesma 
média, são compostas de maneira diferente.”
FundAmentos
As medidas de dispersão são utilizadas para se veri-
ficar a representatividade das Medidas de Posição 
(Média, Moda e Mediana), pois é muito comum se 
encontrar séries ou amostras, que apesar de terem a 
mesma média, são compostas de maneira diferente. 
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 4
ExEmplos 
Sejam duas turmas de alunos e suas respectivas idades em anos.
a. Turma A: idades 15, 15, 15, 15, 15.
b. Turma B: idades 12, 13, 15, 17, 18.
Se forem calculadas as médias das duas turmas, tem-se: Turma A = 
Turma B = 15 anos. Ou seja, as duas turmas possuem a mesma média 
de idade.
atEnção
“Pode-se observar que as idades da turma A se concentram 
totalmente em torno da média 15, porém para a turma B os ele-
mentos se dispersam em torno da média 15. Ou seja, as idades 
da turma A não apresentam dispersão em torno da média na 
Turma B se vê claramente essa dispersão.”
Para entender melhor como são calculadas as medidas de dispersão 
ou concentração de valores em torno da Média, é necessário conhecer 
como se calculam essas medidas.
1. desviO médiO absOlUtO (dm)
O significado de desvio médio é o mesmo que se tem normalmente em 
relação a esse termo.
Inicialmente, pode-se verificar as quantidades individuais pelas 
quaiscada valor se afasta da média.
Desta maneira, desvio é definido como (xi – x–), isto é, como a dife-
rença entre o valor individual e a média x– .
ExEmplo
Considere o rol: 2, 20, 21, 25, 30, 35, 70, onde tem-se 7 elementos, 
ou seja, n = 7.
x = 2 + 20 + 21 + 25 + 30 + 35 + 70
7
 = 29
x = 29
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 5
Considerando as diferenças entre cada um dos valores e a Média, tem-
-se os desvios (d):
xi xi
2 − 29 = −27
20 − 29 = −9
21 − 29 = −8
25 − 29 = −4
30 − 29 = 1
35 − 29 = 6
70 − 29 = 41
Neste caso a soma dos desvios é zero, pois 
∑d =  −27  +  (−9)  +  (−8)  +  (−4)  + 1 + 6 +  41  = 0
atEnção
Observar que a soma dos desvios é sempre zero para quais-
quer valores.
Para a obtenção de uma estatística que meça a variabilidade dos dados 
é necessário evitar o cancelamento dos números positivos e negativos. 
Pode-se então utilizar o módulo destes desvios ou então elevar ao qua-
drado estes valores.
Vejamos o que acontece quando se trabalha com a função módulo 
com a tabela anterior.
 
xi x
2 − 29 = |27|
20 − 29 = |9|
21 − 29 = |8|
25 − 29 = |4|
30 − 29 = |1|
35 − 29 = |6|
70 − 29 = |41|
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 6
Então:
∑|d| =  27  + 9 +  8  +  4  + 1 + 6 +  41  = 96
Se calcularmos a média da soma dos módulos dos desvios, tem-se o 
desvio médio absoluto dado pela fórmula:
Dm = ∑|d|
n
Para estes exemplos, o desvio médio absoluto será: 
Dm = ∑|d|
n
 = 96
7
 =  13,71
ExEmplo
Considerando o rol de produção de peças em uma semana por um 
funcionário, conforme os dados a seguir, calcule o Dm.
Rol:  30,  45,  45,  50,  50,  50,  65,  65,  70,  80
peças d = | xi + x | |d|
30 30  −  55 25
45 45  −  55 10
45 45  −  55 10
50 50  −  55 5
50 50  −  55 5
50 50  −  55 5
65 65  −  55 10
65 65  −  55 10
70 70  −  55 15
80 80  −  55 25
550 — 120
lEmbrE-sE
“Não esqueça que o resultado da subtração entre o elemento do 
rol e a média dos elementos |d| (é o módulo ou valor absoluto), 
ou seja, não há sinal negativo no resultado da subtração!”
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 7
Então, aplicando-se a fórmula:
Dm = ∑|d|
n
 = 120
10
 ⇒ Dm = 12
Outra maneira de fazer:
peças fi xi × fi | xi − x | |d| × fi
30 1  30 30  −  55  =  25 25
45 2  90 45  −  55  =  10 20
50 3 150 50  −  55  =  5 15
65 2 130 65  −  55  =  10 20
70 1  70 70  −  55  =  15 15
80 1 80 80  −  55  =  25 25
∑ 10 550 120
Dm = ∑|d|
n
 = 120
10
 ⇒ Dm = 12
Nesse sentido, se você tivesse que calcular o Desvio Médio conjuntos 
de números apresentados a seguir, quais seriam as respostas?
a. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
b. 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
c. 25, 25, 25, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 50.
lEmbrE-sE
Série é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto 
de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.
E então? Como se saiu no exercício de Desvio Médio? Conseguiu resol-
ver todos? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê 
de sua dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa 
dúvida e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá... a prática leva ao conhecimento! 
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 8
concEito
“A amplitude total é a diferença entre o maior e menor 
valor observado.”
at = xmáx − xmín
ExEmplo
Para a série: 20, 21, 25, 30, 35, 70
at = 70 − 20 = 50 Então: at = 50
Se AT = 0 (dispersão nula)
concEito
“Quando se diz que a amplitude total dos valores é 50, está-se 
afirmando alguma coisa do grau de concentração. Claro que 
quanto maior a amplitude total, maior a dispersão ou variabili-
dade dos valores da série.”
2. amplitUde tOtal
2.1. DaDos agrupaDos
2.1.1. sem intervalo De classe
ExEmplo
Considerando a tabela a seguir:
xi 0 1 2 3 4
Fi 2 6 12 7 3
At = 4 − 0 = 4 Portanto: At = 4
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 9
2.1.2. com intervalo De classe
Neste caso a Amplitude Total é a diferença entre o limite superior da 
última classe e o limite inferior da primeira classe.
at = Lmáx − Lmín
ExEmplo
salários funcionários
 200 — 350 20
 350 — 500 36
500 — 650 60
650 — 800 40
800 — 950 28
950 — 1.100 16
∑ 200
Neste caso At será:
at = 1.100 − 200 = 900
at = 900 Reais
dica
“Quando se leva em conta os dois valores extremos de uma 
série, desconsiderando os valores intermediários, quase sempre 
invalida a idoneidade do resultado. Ela passa apenas a ser uma 
indicação aproximada da dispersão.”
Agora, calcule a Amplitude Total das séries apresentadas a seguir, 
quais seriam as respostas?
a. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
b. 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
c. 25, 25, 25, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 50.
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 10
E então? Como se saiu no exercício de Amplitude Total? Conseguiu 
fazer todos? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê 
de sua dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa 
dúvida e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá... a prática leva ao conhecimento!
3. variânCia e desviO padrãO
3.1 DaDos agrupaDos sem classe
concEito
A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa 
falha (da Amplitude Total), pois levam em consideração o todos 
os valores da variável em estudo, que faz delas índices de varia-
bilidade bastante estáveis, por isso, os mais empregados.
A Variância se baseia nos desvios em torno da média aritmética, entre-
tanto determinado a média dos quadrados dos desvios médios. 
Dessa maneira, pode-se representar a variância por σ2.
Logo,
σ2 = 
∑ ( xi − x )2 × fi
∑ fi
ou σ2 = 
∑ ( xi − x )2 × fi
n
Onde :
∑ fi  = n
σ2 =  Sigma ao quadrado (letra grega)
x = média da população
ExEmplo
Calcule a Variância do exemplo das peças: 
peças fi xi × fi | xi − x | |d|2 |d|2 × fi
30 1 30 30  −  55  =  25 625 625
45 2 90 45 −  55  =  10 100 200
50 3 150 50  −  55  =  5_ 25 75
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 11
peças fi xi × fi | xi − x | |d|2 |d|2 × fi
65 2 130 65  − 55  =  10 100 200
70 1 70 70  − 55  =  15 225 225
80 1 80 80  − 55  =  25 625 625
∑ 10 550 1950
Aplicando na fórmula da Variância, temos:
σ2 = 
∑ ( di )
2 × fi
n
= 
1950
10 =  195
Portanto a Variância no caso do exemplo das peças é 195 ou σ2 =195 
concEito
As duas fórmulas apresentadas acima são para quando se traba-
lha com a População da variável.
Agora, calcule a Variância das séries apresentadas a seguir, quais 
seriam as respostas?
a. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.
b. 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
c. 25, 25, 25, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 50.
E então? Como se saiu no exercício do cálculo de Variância? Conseguiu 
fazer todos? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê 
de sua dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa 
dúvida e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá... a prática leva ao conhecimento!
Quando for utilizada uma amostra da população a fórmula sofre uma 
pequena alteração, onde n é total da população, para a Variância 
Amostral usa-se o n - 1.
Logo,
S2 = 
∑ ( xi − x )2 × fi
∑ fi − 1
ou S2 = 
∑ ( xi − x )2 × fi
n − 1
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 12
3.2 para DaDos agrupaDos
Sejam n valores agrupados em K classes, com pontos médios Xi e 
frequências Fi. Então a Variância pode ser de Dados Populacionais 
ou Amostrais.
3.2.1 variância populacional
σ2 = 
1
n [ ∑ ( xi
2 × fi )  − ]
3.2.2. variância amostral
S2 = 
1
n − 1 [ ∑ ( xi
2 × fi )  − 
( ∑ xi × fi )
2
n ]
ExEmplo
Calcular a variância para os dados da distribuição de frequências. 
Distribuição de salários dos funcionários de certa empresa.
salários funcionários xi xi × fi xi
2 × fi
200 – 350 20 275 5.500 1.512.500
350 – 500 36 425 15.300 6.502.500
500 – 650 60 575 34.500 19.837.500
650 – 800 40 725 29.000 21.025.000
800 – 950 28 875 24.500 21.437.500
950 – 1.100 16 1.025 16.400 16.810.000
total 200 125.200 87.125.000
Colocando os valores na fórmula, tem-se:
σ2 = 
1
200
[ 87.125.000−  78.375.200 ]  =  43.749
σ2 = 43.749
3.3. Desvio paDrão (ou s)
É a mais conhecida, e utilizada, medida de dispersão. O desvio padrão 
de um conjunto de dados nada mais é que a raiz quadrada da variância 
( ∑ xi × fi )
2
n
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 13
do mesmo. Ou seja, quanto se está afastado da média tanto para a 
direita como para a esquerda.
x − σ x + σx
média
ExEmplo
Calcular o desvio padrão para a distribuição de frequências do exem-
plo anterior dos salários:
Se σ2 = 43.749 , então  σ = 43.749  = 209,16 
Como aplicar o Desvio Padrão? Qual o seu significado para o exemplo 
dado acima?
Sabemos que a média dos salários é:
x = 
125.200
200
= 626 
Então 626 Reais.
Pelo valor obtido no desvio padrão, estarão com os valores mais perto 
da média quem tiver salário equivalente a x– ± σ, ou seja: R$626 –
R$209,16 e R$626 + R$209,16. Assim, os funcionários menos dispersos 
da média de salários da empresa são os que ganham entre R$416,84 
a R$835,16.
concEito
A exemplo dos exercícios envolvendo a variância, todos os exer-
cícios envolvendo o cálculo do desvio padrão devem considerar 
os dados como amostrais, salvo menção em contrário.
Dando continuidade às medidas de dispersão, é necessário estudar o 
Coeficiente de Variação, pois só o desvio padrão as vezes não diz muita 
coisa. Assim, um desvio padrão para 2 unidades diferentes pode ser con-
siderado pequena demais para uma série de 300 de média, enquanto, 
que se a média for 30, não se pode dizer o mesmo. Além disso, se 
for necessário comparar duas série com unidade diferentes, o desvio 
padrão fica muito limitado quanto a dispersão ou a variabilidade.
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 14
Uma maneira de resolver esse tipo de dificuldade e limitação: pode-
-se caracterizar a dispersão ou a variabilidade dos dados em termos
relativos a seu valor médio, com a medida chamada de coeficiente de
variação (CV).
4. coeficiente De variação (cv)
concEito
O coeficiente de variação de um conjunto de dados, denotado 
por CV, é uma medida relativa de sua variabilidade, que compara 
o desvio padrão com a média.
CV = 
σ
x
× 100 Coeficiente de Variação Populacional
CV = 
S
x
× 100 Coeficiente de Variação Amostral
Baixa dispersão: CV ≤ 15%
Média dispersão: 15% < CV < 30%
Alta dispersão: CV ≥ 30%
dica
Notar que o coeficiente de variação não tem dimensão é dado 
em porcentagem.
ExEmplo
Considere os conjuntos de dados, A = {1, 5, 10, 4} e B = {101, 105, 
110, 104}. Calcular os coeficientes de variação.
Solução:
xa = 
1 +  5  + 10 +  4
4
=  5
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 15
xB = 
101 +  105  + 110 +  104
4
 =  105
Sa
2 = 
( 1 − 5 )2 +  ( 5 − 5 )2 + ( 10 − 5 )2 +  ( 4 − 5 )2
3
 =  14
Sa =  3,7
SB
2 = 
( 101 − 105 )2 +  ( 105 − 105 )2 + ( 110 − 105 )2 +  ( 104 − 105 )2
3
 =  14
SB =  3,7
Neste exemplo tem-se que x–A = 5 ≠ x–B = 105 e SA = SB = 3,7.
Qual conjunto é mais homogêneo? A resposta só pode ser obtida 
através da comparação entre os coeficientes de variação. Assim:
CVa = 
Sa
xa
 × 100 = 
3,7
5
 × 100 =  74%
CVB = 
SB
xB
 × 100 = 
3,7
105
 × 100 =  4%
Como CvB < CvA, pode-se afirmar que existe maior variabilidade entre 
os valores do conjunto A (Observe que o maior valor de A é 10 vezes 
maior que o menor). O conjunto B possui uma baixa dispersão, pois 
está abaixo de 15%. 
atEnção
Neste caso a média de A é mais representativa que a média de B, 
visto pelo Coeficiente de Variação.
Agora, calcule a Coeficiente de Variação das séries apresentadas a 
seguir, e diga o grau de dispersão de cada uma delas, quais seriam 
as respostas?
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 16
1. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5. 
2. 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
3. 25, 25, 25, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 50.
E então? Como se saiu no exercício do cálculo de Variância? Conseguiu 
fazer todos? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê 
de sua dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa 
dúvida e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá?... A prática leva ao conhecimento!
e AgorA, José?
Agora que você já sabe como calcular a Variância e o 
Desvio Padrão, procure pela referência bibliográfica 
mais exercícios para resolver, como por exemplo, no 
livro do CRESPO, p. 120, e no livro do MARTINS, p. 169. 
Você encontrará muitos outros exercícios para praticar.
Bons estudos!
AtividAdes
É chegada a hora de praticar tantos conceitos novos! 
Boa sorte.
Estatística aplicada à gestão / UA 05 Medidas de Dispersão 18
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão 
empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de Esta-
tística. São Paulo: Atlas, 2006.
 Bafana Ciência. Blog. Ronald Aylmer Fisher. 
Disponível em: <http://bafanaciencia.blog.
br/bafana-divulga/divulgacao-cientifica/a-
significancia-de-ronaldo-a-fisher>. Acesso 
em: abr. 2012.
BiBliogrAFiA ComplementAr
BUSSAB, W; MORETIN, P. Estatística Básica. São 
Paulo: Saraiva, 2006. 
MANN, P. S. Introdução à estatística. São Paulo: 
LTC, 2006. 
SILVA, E. M. Estatística. São Paulo: Atlas, 2007.
Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
Medidas de assiMetria 
e Medidas de Curtose
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Reconhecer medidas de assimetria diferenciando uma 
da outra e quando e como aplicar Medidas de Curtose. 
COmpetênCias 
Reconhecer o tipo de simetria da distribuição e das 
Medidas de Curtose, bem como foram aplicá-las.
Habilidades 
Utilizar as fórmulas para calcular as medidas de Assi-
metria e Curtose e também interpretá-las.
6
estatística 
aplicada À gestão
Medidas de assiMetria 
e Medidas de Curtose
ApresentAção
Nesta UA serão apresentadas medidas de assimetria 
e curtose: como reconhecer essas medidas; calculá-las 
e interpretá-las.
pArA ComeçAr
Dando continuidade as medidas de dispersão, é neces-
sário estudar Assimetria e Curtose, pois só o desvio 
padrão as vezes não diz muita coisa. Assim, um desvio 
padrão para 2 unidades diferentes pode ser conside-
rado pequena demais para uma série de 300 de média, 
enquanto, que se a média for 30, não se pode dizer o 
mesmo. Além disso, se for necessário compara duas 
série com unidades diferentes o desvio padrão fica 
muito limitado quanto a dispersão ou a variabilidade.
Uma maneira de resolver esse tipo de dificuldade e 
limitação, pode-se caracterizar a dispersão ou a variabi-
lidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, 
com a medida chamada de Medidas de Assimetria.
Vamos rever um conceito visto nos gráficos que 
uma distribuição pode gerar, entre eles temos a Curva 
de frequências: que é um polígono de frequências 
(ou histograma) suavizado. A sua construção é seme-
lhante ao polígono de frequências, logo podemos ter 
a curva de frequências absolutas (fi) e/ ou a curva de 
frequências relativas (fr), quase parecendo um “sino”.
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 4
Uma curva de frequências pode ser classificada quanto a simetria (simé-
trica, assimétrica negativa e assimétrica positiva) e a cursose (platicur-
tica, leptocurtica e mesocurtica), que é o que estudaremos a partir daqui.
1. medidas de assimetria
atEnção
Denomina-se assimetria o grau de afastamento de uma distri-
buição da unidade de simetria. Em uma distribuição simétrica 
tem-se igualdade dos valores da média, mediana e moda.
CV = 
S
x
Baixa dispersão: CV < 15%
Média dispersão: 15% ≤ CV ≤ 30%
Alta dispersão: CV > 30
Simetria
x = Mo = Md
x = Mo = Md
Quando a distribuição apresenta uma deformação, ou seja, ela não se 
parece mais com um “sino”, ela sempre será assimétrica. Entretanto, 
a assimetria pode dar-se na cauda esquerda ou na direita da curva 
de frequências.
Em uma distribuição assimétrica positiva, ou assimetria à direita, 
tem-se:
Assimetria à direita
(ou positiva)
Mo < Md < x
Mo Md x
Estatísticaaplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 5
Em uma distribuição assimétrica negativa, ou assimetria à esquerda, 
predominam valores inferiores à Moda.
Assimetria à esquerda
(ou negativa)
x < Md < Mo
x  Md  Mo
dica
Podemos ver o tipo de assimetria fazendo simplesmente 
x - Mo, onde:
x - Mo = 0 Assimetria nula ou distribuição simétrica
x - Mo < 0 Assimetria Negativa ou à esquerda
x - Mo > 0 Assimetria Positiva ou à direita
ExEmplo
Considerando três distribuições cujas amostras são de pesos de três 
tipos de materiais utilizados na fabricação de um produto da Empresa 
MMNN, material A, B e C:
Material a Material b Material C
peso (kg) fi peso (kg) fi peso (kg) fi
2 ⊢ 6 6 2 ⊢ 6 6 2 ⊢ 6 6
6 ⊢ 10 12 6 ⊢ 10 12 6 ⊢ 10 30
10 ⊢ 14 24 10 ⊢ 14 24 10 ⊢ 14 24
14 ⊢ 18 12 14 ⊢ 18 30 14 ⊢ 18 12
18 ⊢ 22 6 18 ⊢ 22 6 18 ⊢ 22 6
soma 60 soma 78 soma 78
Calculando as médias. Medianas e Desvio padrão de cada um dos ma-
teriais, obtêm-se:
Material a Material b Material C
x = 12 kg x = 12,9 kg x = 11,1 kg
Md = 12 kg Md = 13,5 kg Md = 10,5 kg
Mo = 12 kg Mo = 16 kg Mo = 8 kg
σ  = 4,42 kg σ  = 4,20 kg σ  = 4,20 kg
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 6
Portanto:
Material A: x - Mo = 12 - 12 = 0 →  a distribuição é simétrica.
Material B: x - Mo = 12,9 - 16 = -3,1 → a distribuição é assi-
métrica negativa.
Material C: x - Mo = 11,9 - 8 = 3,1 → a distribuição é assi­
métrica positiva.
Será que o apresentado acima foi entendido como se faz? Vamos veri-
ficar a simetria de algumas tabelas para saber se não ficou dúvida. 
Quais seriam as respostas?
Para as tabelas a seguir calcule a simetria de cada uma delas:
a. despesas (R$) fi
450 ⊢ 550 8
550 ⊢ 650 11
650 ⊢ 750 10
750 ⊢ 850 13
850 ⊢ 950 16
950 ⊢ 1050 5
1050 ⊢ 1150 1
b. peças fi
0 ⊢ 2 5
2 ⊢ 4 8
4 ⊢ 6 14
6 ⊢ 8 10
8 ⊢ 10 7
E então? Como se saiu nos exercícios do cálculo da Simetria? Conse-
guiu fazer os dois? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê de 
sua dúvida. Depois repasse pela parte conceitual novamente. Volte à 
dúvida que você anotou e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá?... A prática leva ao conhecimento!
2. COefiCiente de pearsOn
Se formos só considerar a forma de calcular a assimetria como mos-
trado antes, por ser absoluta, essa medida pode apresentar alguma
mesma deficiência em sua precisão, ou seja, não permite a possibi-
lidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por
essa razão, sempre que possível dar preferência ao Coeficiente
de Pearson.
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 7
Fórmulas para o cálculo Coeficiente de Pearson:
AS = 
x - Mo
S
AS = 
x - Mo
σ
Amostral Populacional
AS = 0 →  diz-se que a distribuição é simétrica
AS < 0 → diz­se que a distribuição é assimétrica negativa (à esquerda)
AS > 0 → diz­se que a distribuição é assimétrica positiva (à direita)
ExEmplo
Se usarmos o mesmo exemplo dos Materiais A, B e C, como amostra:
Material a Material b Material C
x = 12 kg x = 12,9 kg x = 11,1 kg
Md = 12 kg Md = 13,5 kg Md = 10,5 kg
Mo = 12 kg Mo = 16 kg Mo = 8 kg
σ  = 4,42 kg σ  = 4,20 kg σ  = 4,20 kg
dica
Neste caso usaremos a fórmula do Coeficiente de Pearson 
para Amostra.
AS = 
x - Mo
S
Material A
AS = 
12 - 12
4,42
 = 0 → Simétrica
Material B
AS = 
12,9 - 16
4,20
 = -0,73 → Assimétrica Negativa
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 8
Material C
AS = 
11,1 - 8
4,20
 = 0,73 →  Assimétrica Positiva
lEmbrE-sE
“É claro que os tipos de assimetria deveriam dar iguais, não 
importando a fórmula usada, a não ser que os valores trabalha-
dos sejam muito pequenos, isso pode resultar em alguma res-
posta diferente!”
Será que o apresentado acima ficou claro como se faz? Vamos verificar 
a simetria de algumas tabelas usando o Coeficiente de Pearson, para 
saber se não ficou dúvida. Quais seriam as respostas?
Para a tabela a seguir, veja a simetria e calcule o coeficiente 
de Pearson.
a. peso (kg) nº de operários
50 ⊢ 58 10
58 ⊢ 66 15
66 ⊢ 74 25
74 ⊢ 82 24
82 ⊢ 90 16
90 ⊢ 98 10
b. Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguin-
tes medidas: média = 33,18, a Moda = 31,67 e o desvio padrão igual a 
12,45. Calcule o coeficiente de Pearson e classifique o tipo de assimetria.
E então? Como se saiu no exercício de acima? Conseguiu resolver todos? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê 
de sua dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa 
dúvida e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá... a prática leva ao conhecimento!
3. CUrtOse
Agora estaremos estudando um assunto rápido, fácil em estatística: 
a Curtose! O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? 
Significa apenas verificar o “grau de achatamento da curva”. Ou seja, 
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 9
saber se a Curva de Frequência que representa o conjunto é mais “afi-
lada” ou mais “achatada” em relação a uma Curva Padrão, chamada 
de Curva Normal!
Portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, 
as seguintes possibilidades:
Curva LeptoCúrtiCa
É a mais afilada.
MesoCúrtiCa
Ou de curtose média. Será essa a nossa Curva Normal. “Meso” lem-
bra meio! Esta curva está no meio termo: nem muito achatada, nem 
muito afilada;
pLatiCúrtiCa
É a curva mais achatada. Seu desenho lembra o de um prato emborcado, 
estão vendo? Então “prato” lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”.
 
Em UAs anteriores, vimos que existe uma relação estreita entre o 
valor das Medidas de Tendência Central ou de Posição (Média, Moda e 
Mediana) e o comportamento da Assimetria de um conjunto! 
Porém, quando se trata de Curtose, não há como se extrair uma 
conclusão sobre qual será a situação da distribuição – se mesocúrtica, 
platicúrtica ou leptocúrtica – apenas conhecendo os valores da Média, 
Moda e Mediana.
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 10
lEmbrE-sE
Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em 
questões teóricas de situações anteriores, é que não existe uma 
relação entre as situações de Assimetria e as situações de Cur-
tose de um mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são 
medidas independentes e que não se influenciam mutuamente!
Para se calcular o grau de Curtose, usaremos o Coeficiente, que é dado 
pela fórmula:
C = 
Q3 - Q1
2 ( P90 - P10 )
Onde:
Q3 = 3º Quartil
Q1 = 1º Quartil
P90 = 90º percentil
P10 = 10º percentil
Se C < 0,263 → A distribuição é leptocúrtica;
Se C = 0,263 → A distribuição é mesocúrtica;
Se C > 0,263 → A distribuição é platicúrtica.
ExEmplo
Em o estudo da distribuição de balanço financeiro de uma empresa 
(X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço da 
mesma. Esse exercício produziu a tabela de frequência abaixo. A colu-
na Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes.
Classes (R$) p (%)
70 — 90 5
90 — 110 15
110 — 130 40
130 — 150 70
150 — 170 85
170 — 190 95
190 — 210 100
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 11
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento 
em geral medido em relação à distribuição normal. Assinale a opção 
que dá o valor da curtose C para a distribuição de X.
a. 0,263
b. 0,250
c. 0,300
d. 0,242
e. 0,000
No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreen-
são da fórmula do índice percentílico de Curtose. Será utilizado o Índice 
Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos:
C = 
Q3 - Q1
2 ( P90 - P10 )
Obviamente que é fácil de perceber que havia um trabalho preliminar 
a ser realizado, que era exatamente o de chegarmos à coluna da fre-
quência absoluta simples — fi. 
Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar 
oCaminho das Pedras para chegar às frequências desejadas, expomos 
a seguir o resultado destas operações e, finalmente, a coluna da fi.
Classes fac Pi fi
70 ⊢ 90 5% 5% 10
90 ⊢ 110 15% 10% 20
110 ⊢ 130 40% 25% 50
130 ⊢ 150 70% 30% 60
150 ⊢ 170 85% 15% 30
170 ⊢ 190 95% 10% 20
190 ⊢ 210 100% 5% 10
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 12
Cálculo do Primeiro Quartil – Q1
passo 1. Encontraremos n e calcularemos (n/4):
Xi fi
70 ⊢ 90 10
90 ⊢ 110 20
110 ⊢ 130 50
130 ⊢ 150 60
150 ⊢ 170 30
170 ⊢ 190 20
190 ⊢ 210 10
n = 200
Daí, n = 200, portanto, (n/4) = 50.
passo 2. Construir a fac:
Xi fi fac
70 ⊢ 90 10 10
90 ⊢ 110 20 30
110 ⊢ 130 50 80
130 ⊢ 150 60 140
150 ⊢ 170 30 170
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
passo 3. Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo 
a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac↓
70 ⊢ 90 10 10 → 10 é maior ou igual a 50? Não!
90 ⊢ 110 20 30 → 30 é maior ou igual a 50? Não!
110 ⊢ 130 50 80 → 80 é maior ou igual a 50? Sim!
130 ⊢ 150 60 140
150 ⊢ 170 30 170
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 13
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe cor-
respondente (110 ⊢ 130) e dizemos que esta será nossa Classe do 
Primeiro Quartil.
passo 4. Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como 
referência a Classe do Q1. Teremos:
Q1  =  linf + [ 
(
n
4 ) - facant
fi
 ] × h →
Q1  =  110 + [  ( 50 -  30 )
50
 ] × 20 →    E: Q1  =  110 
Cálculo do Terceiro Quartil – Q3
passo 1. Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
Xi fi
70 ⊢ 90 10
90 ⊢ 110 20
110 ⊢ 130 50
130 ⊢ 150 60
150 ⊢ 170 30
170 ⊢ 190 20
190 ⊢ 210 10
n = 200
Daí, achamos que n = 200 e, portanto, (3n/4) = 150
passo 2. Construímos a fac:
Xi fi fac
70 ⊢ 90 10 10
90 ⊢ 110 20 30
110 ⊢ 130 50 80
130 ⊢ 150 60 140
150 ⊢ 170 30 170
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 14
passo 3. Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo 
a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
Xi fi fac
70 ⊢ 90 10 10 → 10 é maior ou igual a 150? Não!
90 ⊢ 110 20 30 → 30 é maior ou igual a 150? Não!
110 ⊢ 130 50 80 → 80 é maior ou igual a 150? Não!
130 ⊢ 150 60 140 → 140 é maior ou igual a 150? Não!
150 ⊢ 170 30 170 → 170 é maior ou igual a 150? Sim!
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
Como a resposta sim surgiu na fac da quinta classe (150 ⊢ 170), dire-
mos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil.
passo 4. Aplicando a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do 
Q3, que foi identificada.
Q3  =  linf + [ 
(
3n
4 ) - Facant
Fi
 ] × h →
Q3  =  150 + [  ( 150 -  140 )
30
 ] × 20 →    E: Q3  =  156,6
Cálculo do Décimo Percentil – P10
passo 1. Encontrar n e calcular (n/100):
Xi fi
70 ⊢ 90 10
90 ⊢ 110 20
110 ⊢ 130 50
130 ⊢ 150 60
150 ⊢ 170 30
170 ⊢ 190 20
190 ⊢ 210 10
n = 200
Daí, achamos que n = 200 e, portanto, (10n/100) = 20
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 15
passo 2. Construir a fac:
Xi fi fac
70 ⊢ 90 10 10
90 ⊢ 110 20 30
110 ⊢ 130 50 80
130 ⊢ 150 60 140
150 ⊢ 170 30 170
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
passo 3. Comparando os valores da fac com o valor de (n/100), fazendo 
a pergunta de praxe, adaptada ao décimo percentil:
Xi fi fac↓
70 ⊢ 90 10 10 → 10 é maior ou igual a 20? Não!
90 ⊢ 110 20 30 → 30 é maior ou igual a 20? Sim!
110 ⊢ 130 50 80
130 ⊢ 150 60 140
150 ⊢ 170 30 170
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
Portanto, que a classe correspondente (90 ⊢ 110) será nossa Classe do 
Décimo Percentil!
passo 4. Aplicamos a fórmula do Décimo Percentil:
P10  =  linf + [ 
(
10n
100 ) - Facant
Fi
 ] × h →
P10  =  90 + [  ( 20 -  10 )
20
 ] × 20 →    P10  =  100
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 16
Finalmente, vamos calcular o Nonagésimo Percentil – P90
passo 1. Encontraremos n e calcularemos (90n/100):
Xi fi
70 ⊢ 90 10
90 ⊢ 110 20
110 ⊢ 130 50
130 ⊢ 150 60
150 ⊢ 170 30
170 ⊢ 190 20
190 ⊢ 210 10
n = 200
Daí, achamos que n = 200 e, portanto, (90n/10) = 180
passo 2. Construímos a fac:
Xi fi fac
70 ⊢ 90 10 10
90 ⊢ 110 20 30
110 ⊢ 130 50 80
130 ⊢ 150 60 140
150 ⊢ 170 30 170
170 ⊢ 190 20 190
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
passo 3. Comparamos os valores da fac com o valor de (90n/10), 
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao Nonagésimo Percentil:
Xi fi fac↓
70 ⊢ 90 10 10 → 10 é maior ou igual a 180? Não!
90 ⊢ 110 20 30 → 30 é maior ou igual a 180? Não!
110 ⊢ 130 50 80 → 80 é maior ou igual a 180? Não!
130 ⊢ 150 60 140 → 140 é maior ou igual a 180? Não!
150 ⊢ 170 30 170 → 170 é maior ou igual a 180? Não!
170 ⊢ 190 20 190 → 190 é maior ou igual a 180? Sim!
190 ⊢ 210 10 200
n = 200
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 17
passo 4. Aplicando a fórmula do Nonagésimo Percentil: 
A classe correspondente (170 ⊢ 190) será nossa Classe do Nonagé-
simo Percentil.
P90  =  linf + [ 
(
9n
100 ) - Facant
fi
 ] × h →
P90  =  170 + [  ( 180 -  170 )
20
 ] × 20 →    P90  =  180
C = 
( Q3 - Q1 )
2 ( P90 - P10 )
 →    C = 
( 156,6 - 118 )
2 ( 180 - 100 )
 →
C = 0,242 → Resposta!
E agora, o que podemos questionar sobre a situação de curtose em 
que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se a distri-
buição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.
Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de Curtose.
No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do resultado 
é a seguinte:
Se C < 0,263 → A distribuição é leptocúrtica;
Se C = 0,263 → A distribuição é mesocúrtica;
Se C > 0,263 → A distribuição é platicúrtica.
Para a questão que foi resolvida acima, por exemplo, tendo encon-
trado C = 0,242, portanto, é uma distribuição do tipo Leptocúrtica.
e AgorA, José?
Agora que você já sabe como calcular a Coeficiente 
de Pearson, Simetria e Curtose, procure pela referên-
cia bibliográfica mais exercícios para resolver, como 
por exemplo, no livro do CRESPO, p. 120, e no livro 
do MARTINS, p. 169. Você encontrará muitos outros 
exercícios para praticar.
Bons estudos!
AtividAdes
Agora é a hora de colocar em prática tudo o que apren-
deu nesta unidade. Vamos lá?
Estatística aplicada à gestão / UA 06 Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose 19
referênCiAs
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão 
empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
CRespo, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MARtINs, G.A; DoNAIRe, D. Princípios De Esta-
tística. São Paulo: Atlas, 2006.
 Bafana Ciência. Blog. Ronald Aylmer Fisher. 
Disponível em: <http://bafanaciencia.blog.
br/bafana-divulga/divulgacao-cientifica/a-
significancia-de-ronaldo-a-fisher>. Acesso 
em: 04/2012.
BiBliogrAfiA ComplementAr
BUssAB, W; MoRetIN, p. Estatística Básica. São 
Paulo: Saraiva, 2006. 
MANN, p. s. Introdução à estatística. São Paulo: 
LTC, 2006. 
sILVA, e. M. Estatística. São Paulo: Atlas, 2007.
Tecnologia em Processos gerenciais
Estatística aplicada à GEstão
Análise BidimensionAl: 
diAgrAmA de dispersão e 
CoefiCiente de CorrelAção lineAr
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Reconhecer um diagrama de dispersão e calcular 
o coeficiente de correlação linear bidimensional e 
como aplicá-los.
COmpetênCias 
Reconhecer o grau de dispersão para dados bidimen-
sionais, compará-los e verificar o coeficiente linear.
Habilidades 
Utilizar e aplicar a análise bidimensional nas diversas 
situações do dia a dia.
7
estatística 
aplicada à gestão
Análise BidimensionAl: 
diAgrAmA de dispersão 
e CoefiCiente de 
CorrelAção lineAr
ApresentAção
Nessa unidade serão apresentados gráficos de duas 
variáveis denominados diagrama de dispersão.
Uma maneira de analisar se existe relação entre 
duas variáveis é estudada através do Coeficientede 
correlação linear. Vamos nessa?
pArA ComeçAr
Muito frequentemente fazemos perguntas do tipo se 
algumas coisa tem relação com outra. Estatisticamen-
te falando, se existe algum tipo de relação entre duas 
ou mais variáveis! É exatamente nesse contexto que a 
análise de correlação e regressão se aplica: a análise 
de correlação e regressão se preocupa com as rela-
ções existentes entre duas ou mais variáveis.
FundAmentos
1. análise bidimensiOnal
Em estatística é comum o interesse em analisar o 
comportamento conjunto de duas ou mais variáveis 
aleatórias. As informações são organizadas na forma 
matricial, com as colunas indicando as variáveis e as 
linhas os indivíduos (ou elementos). 
O principal objetivo desse tipo de análise é explo-
rar relações (ou padrões de comportamento) entre as 
colunas, ou entre as linhas. A representação matricial 
dispõe as p variáveis x1, x2, ..., xn e n indivíduos, totali-
zando “np” informações.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 4
ExEmplo
vAriável
indivíduo x1 x2 ... xn
1 x11 x12 ... x1n
2 x21 x22 ... x2n
3 x31 x32 ... x3n
... ... ... ... ...
n xn1 xn2 ... xnn
Quando consideramos duas variáveis, podemos ter três situações 
distintas:
atEnção
 → Quando as duas variáveis são qualitativas;
 → Quando as duas variáveis são quantitativas;
 → Quando uma variável é qualitativa e outra é quantitativa.
VariáVeis QuaLiTaTiVas
Quando as variáveis são qualitativas, os dados são resumidos em ta-
belas de dupla entrada, onde aparecerão as contagens de indivíduos 
que pertencem simultaneamente a categorias de uma e outra variável 
ou frequências absolutas.
Um dos principais objetivos de se construir uma distribuição conjun-
ta de duas variáveis qualitativas é descrever a associação entre elas, 
isto é, queremos conhecer o grau de dependência entre elas, de modo 
que possamos prever melhor o resultado de uma delas quando conhe-
cemos a realização de outra.
ExEmplo
Distribuição das Frequências de duas variáveis quantitativas conjuntas, 
grau de instrução (Y) e região procedência (X) 
Tabela 1. Adaptado 
de MANN, 2006.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 5
Y
X ensino fundAmentAl ensino médio superior totAl
capital 4 5 2 11
interior 3 7 2 12
outra 5 6 2 13
total 12 18 6 36
Podem observar que cada elemento do corpo da tabela dá a frequên-
cia verificada das realizações de Y e X simultaneamente. Ao olharmos 
para a tabela podemos observar que há quatro indivíduos da capital 
com ensino fundamental, sete do interior com ensino médio e assim 
por diante.
Observe que na linha dos totais aparece a distribuição da Variável X, 
ao passo que a coluna dos totais aparece a distribuição da variável Y. 
As distribuições desse tipo são chamadas tecnicamente de distribuição 
conjunta de Y e X.
O mais interessante com distribuições desse tipo é que em vez de 
trabalharmos com as frequências absolutas, podemos construir outras 
tabelas onde podemos trabalhar com as frequências relativas, se for 
unidirecional.
Porém, existem mais três possibilidades de se expressar a frequên-
cia relativa ou proporção de cada célula.
atEnção
 → em relação ao total geral;
 → em relação ao total de cada linha;
 → em relação ao total de cada coluna.
Claro que vai depender do objetivo que você tiver para o problema que 
lhe foi proposto, uma delas será a mais conveniente.
ExEmplo 1
Distribuição conjunta das frequências relativas, expressa como propor-
ções do total geral.
Tabela 2. Adaptado 
de MANN, 2006.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 6
Y
X ensino fundAmentAl ensino médio superior totAl
capital 11% 14% 6% 31%
interior 8% 19% 6% 33%
outra 14% 17% 5% 36%
total 33% 50% 17% 100%
ExEmplo 2
Outro exemplo é ter a distribuição (em porcentagem) das proporções 
em relação ao total de cada coluna da variável Y.
Y
X ensino fundAmentAl ensino médio superior totAl
capital 33% 28% 33% 31%
interior 25% 39% 33% 33%
outra 42% 33% 34% 36%
total 100% 100% 100% 100%
Agora que tal você fazer a distribuição (em porcentagem) das propor-
ções em relação ao total de cada linha da variável X.
Y
X ensino fundAmentAl ensino médio superior totAl
capital 100%
interior 100%
outra 100%
total 100%
Consegui, que bom!
Tente agora fazer a distribuição das proporções do grau de educa-
ção segundo cada uma das regiões de procedência.
Vamos tentar com uma tabela diferente:
Tabela 3. Adaptado 
de MANN, 2006.
Tabela 4. Adaptado 
de MANN, 2006.
Tabela 5. Adaptado 
de MANN, 2006.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 7
Uma empresa de seguros analisou a frequência com 2.000 segura-
dos, sendo 1.000 mulheres e 1.000 homens, usaram hospitais conve-
niados. Os resultados foram:
homens mulheres
usaram hospitais 100 150
não usaram hospitais 900 850
a. Calcular a proporção de homens entre os indivíduos que usaram 
os hospitais.
b. Usam os hospitais independentemente do sexo do segurado. 
E então? Como se saiu no exercício distribuição? Conseguiu classifi-
car todos os dados? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê de 
sua dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa dúvi-
da e verifique se ela foi sanada.
Vamos lá... a prática leva ao conhecimento!
VariáVeis QuanTiTaTiVas
Quando as duas variáveis são quantitativas, podemos usar os mesmos 
tipos de análise apresentado para as variáveis qualitativas.
Porém, um dispositivo bastante utilizado para verificar a associação 
entre duas variáveis quantitativas, ou entre dois conjuntos de dados, é 
o gráfico de dispersão.
2. gráfiCOs de dispersãO
Para ficar mais fácil de você entender com se trabalha com gráfico de 
dispersão vamos usar exemplos de aplicação.
A tabela a seguir mostra vendedores de uma rede de concessionária 
automobilística, onde X é o número de anos que trabalham na rede e 
Y número de clientes em suas carteira de contatos.
Agente Anos de serviço (X) no de Clientes (Y)
AA 2 48
BB 3 50
CC 4 56
DD 5 52
EE 4 43
FF 6 60
Tabela 6. Adaptado 
de MANN, 2006.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 8
Agente Anos de serviço (X) no de Clientes (Y)
GG 7 62
HH 8 58
II 8 64
JJ 10 72
O gráfico gerado será:
80
n
ú
m
er
o
 d
e 
cl
ie
n
te
s
anos de serviço
0
0
10
20
30
40
50
60
70
2 4 6 8 10 12
FundamenTos do diagrama de dispersão
O diagrama de dispersão é um dos métodos mais usados em Estatís-
tica para a investigação de pares de dados tanto qualitativos quan-
to quantitativos cartesianos (ou seja, os conhecidos diagramas x–y). 
Geometricamente, um diagrama de dispersão é simplesmente uma co-
leção de pontos num plano cujas duas coordenadas Cartesianas são os 
valores de cada membro do par de dados.
E para que fazemos um diagrama de dispersão? Este é o melhor 
método de examinar os dados no que se refere à ocorrência de ten-
dências (lineares ou não), agrupamentos de uma ou mais variáveis, 
mudanças de espalhamento de uma variável em relação à outra. 
Outro exemplo: Um grupo de 10 famílias onde a variável X é a Renda 
Bruta de cada uma e Y a porcentagem da renda bruta gasta em saúde.
fAmíliA rendA mensAl gAsto (sAúde) %
Almeida 12 7,2
Alves 16 6
Barreto 18 3
Damasco 20 5,5
Figura 1. Gráfico 
de dispersão do 
número de clientes 
pelos anos de serviço 
de uma empresa.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 9
fAmíliA rendA mensAl gAsto (sAúde) %
Elias 28 6,6
Franco 30 4
Galhardo 40 3,5
Laranjeira 48 4,5
Oliveira 50 4
Silva 54 5,5
%
 g
a
st
a 
co
m
 s
aú
d
e
renda bruta
0
0
6
1,5
3
4,5
7,5
10 20 30 40 50
Outros tipos de gráficos de Dispersão. Claroque sempre depende 
o resultado das variáveis que estão sendo relacionadas.
y
x
y
x
y
x
y
x
Figura 2. Gráfico de 
dispersão do número 
renda bruta por 
gasto com a saúde.
Figura 3. Exemplos 
de gráficos de 
dispersão.
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 10
y
x
y
x
y
x
y
x
Usando o Excel, crie os gráficos de dispersão para as seguintes tabelas:
a. É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com 
a idade. Para estudar essa relação, uma nutricionista selecionou 18 
mulheres, com idade entre 40 e 79 anos, e observou em cada uma 
delas a idade (X) e a massa muscular (Y).
mAssA musCulAr (Y) idAde (X)
82 71
91 64
100 43
68 67
87 56
73 73
78 68
80 56
65 76
84 65
116 45
76 58
97 45
100 53
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 11
mAssA musCulAr (Y) idAde (X)
105 49
77 78
73 73
78 68
Interprete o gráfico de dispersão com suas palavras e depois co-
mente com seus colegas no fórum.
b. Faça o gráfico de dispersão da tabela a seguir:
pAís Consumo 
de proteínAs
CoefiCiente 
de nAtAlidAde
China 4,7 45,6
Malásia 7,5 39,7
Índia 8,7 33,0
Japão 9,7 27,0
Grécia 11,2 25,9
Bulgária 15,2 23,5
Itália 15,2 23,4
Alemanha 16,8 22,2
Inglaterra 37,3 20,0
Irlanda 46,7 19,1
Austrália 56,1 18,3
Nova Zelândia 59,9 18,0
Estados Unidos 61,4 17,9
Suécia 62,6 15,0
Interprete o gráfico de dispersão com suas palavras e depois comente 
com seus colegas no fórum.
E então? Como se saiu no exercício dispersão? Conseguiu interpretá-lo? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê de sua 
dúvida. Depois que passar pela parte conceitual volte a essa dúvida e 
verifique se ela foi sanada. Vamos lá... a prática leva ao conhecimento!
3. COefiCiente de COrrelaçãO de pearsOn
Muito bem! Porém, as conclusões obtidas através do diagrama de 
dispersão tendem a ser subjetivas como vocês perceberam, por isso 
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 12
necessitamos de métodos que sejam mais precisos e objetivos na de-
tecção (identificação) e na medição do grau de padrões lineares. Uma 
medida bastante adequada para este propósito é o que chamamos de 
coeficiente de correlação Pearson, que é dado por:
r = 
n ∑ xi yi - ( ∑ xi ) ( ∑ yi )
 [ n ∑ xi
2 - ( ∑ xi x)2 ] [ n ∑ yi
2 - ( ∑ yi )
2 
Onde n é o número de observações.
atEnção
Os valores limites de r são -1 e +1, ou seja, o valor de r pertence 
ao intervalo [-1, +1]
Portanto:
a. Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1;
b. Se a correção é perfeita e negativa, então r = -1;
c. Se não há correlação entre as variáveis, então r = 0.
atEnção 
 → se r = +1, há uma correlação perfeita e positiva entre 
as variáveis;
 → se r = -1, há uma correlação perfeita e negativa entre 
as variáveis;
 → se r = 0, ou não há correlação entre as variáveis, ou caso 
haja correlação, ela não é linear. 
ExEmplo
Vamos ver um exemplo para fica mais claro, usando o exemplo Famí-
lia, Renda mensal e Gasto percentual com saúde. Qual o Valor de r?
fAmíliA
rendA 
mensAl (xi)
gAsto (sAúde)
% (yi) xi × yi xi
2 yi
2
Almeida 12 7,2 86,4 144 51,8
Alves 16 6 96 256 36,0
Barreto 18 7 126 324 49,0
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 13
fAmíliA
rendA 
mensAl (xi)
gAsto (sAúde)
% (yi) xi × yi xi
2 yi
2
Damasco 20 5,5 110 400 30,3
Elias 28 6,6 184,8 784 43,6
Franco 30 4 120 900 16,0
Galhardo 40 3,5 140 1.600 12,3
Laranjeira 48 4,5 216 2.304 20,3
Oliveira 50 4 200 2.500 16,0
Silva 54 5,5 297 2.916 30,3
∑ 316 53,8 1.576,2 12.128 305,4
r = 
n ∑ xi yi - ( ∑ xi ) ( ∑ yi )
 [ n ∑ xi
2 - ( ∑ xi )
2 ] [ n ∑ yi
2 - ( ∑ yi )
2 ]
 →
r = 
( 10 × 1.576,2 ) - ( 316 × 53,8 )
 ( 10 × 12.128 - 3162 ) ( 10 × 305,4 - 53,82 )
 →
r = 
15.762 - 17.000,8
 ( 121.280 - 99.856 ) ( 3.054 - 2.894,4 )
 →
r = 
-1.238,8
 21.424 × 159,6
 = 
-1.238,8
1.849,1
 = -0,67
O resultado de r = -0,67 indica uma correlação linear negativa relati-
vamente significativa entre as duas variáveis.
Faça estes dois exercícios: calcule o coeficiente de correlação dos 
exercícios 1 e 2 da página 11 do livro texto. 
E então? Como se saiu no exercício de classificação? Conseguiu clas-
sificar todos os dados? 
Em qual você ficou com dúvida? Escreva em uma folha o porquê de 
sua dúvida. Depois de passar pela parte conceitual volte a essa dúvida 
e verifique se ela foi sanada. Vamos lá... a prática leva ao conhecimento!
e AgorA, José?
Você pode explorar listas de exercícios dos livros 
de referências. 
AtividAdes
É hora de praticar! Releia o material, se for preciso, e 
boa sorte!
Estatística aplicada à gestão / UA 07 Análise Bidimensional: Diagrama de Dispersão e Coeficiente de Correlação Linear 15
glossário
Variável: é um local de memória que conterá um 
determinado valor. Esse valor poderá sofrer 
alterações ao longo da execução de um pro-
grama. Isso é possível utilizando-se coman-
dos simples de atribuição. Ex: idade = 15.
Run Time Error: tipo de erro que ocorre durante 
a execução de um programa. Esse tipo de 
erro provoca a parada imediata da execução 
de um programa.
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão 
empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de Estatís-
tica. São Paulo: Atlas, 2006.
BiBliogrAFiA ComplementAr
BUSSAB, W; MORETIN, P. Estatística Básica. São 
Paulo: Saraiva, 2006. 
MANN, P. S. Introdução à estatística. São Paulo: 
LTC, 2006. 
SILVA, E. M. Estatística. São Paulo: Atlas, 2007.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
CálCulos em planilhas 
eletrôniCas e em CalCuladoras
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Executar cálculos estatísticos em planilhas eletrônicas e 
na calculadora Casio Fx-82ms.
COmpetênCias 
Entendimento de uma situação e de transformação de 
dados em informações visuais de fácil entendimento.
Habilidades 
Associar a cada função da estatística descritiva manei-
ras de obter resultados através do uso de planilhas 
e calculadora.
8
estatística 
aplicada à gestão
CálCulos em 
planilhas eletrôniCas 
e em CalCuladoras
ApresentAção
Nesta Unidade apresenta-se o uso de planilhas eletrôni-
cas, como por exemplo, o Excel, e de calculadora científi-
ca para cálculos estatísticos.
A análise de dados nas planilhas é apresentada pas-
so a passo e é exemplificado o uso de uma calculadora 
científica popular e de baixo custo.
Mãos à obra!
pArA ComeçAr
Nesta Unidade serão apresentadas maneiras de efetuar 
cálculos estatísticos sem o uso das fórmulas vistas nas 
unidades anteriores. 
Este conteúdo está dividido em duas partes:
 → Parte I: Uso de planilha eletrônica (Excel);
 → Parte II: Uso da calculadora científica. Parte-se do 
princípio que o aluno possui uma calculadora cien-
tífica e seu manual.
FundAmentos I
Para utilizar os recursos eletrônicos citados somente é 
necessário lembrar os conceitos de medidas de posição 
e dispersão.
UsO de planilHa eletrôniCa (exCel)
As medidas de tendência central e de dispersão podem 
ser calculadas uma a uma com ajuda de fórmulas no Ex-
cel. Todavia, o Excel possibilita o cálculo de uma vez só 
destas medidas mediante o uso da ferramenta denomi-
nada Estatística descritiva.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 4
UsO de planilHas eletrôniCas
A seguir são apresentados, de forma sucinta, todos os passos para a ob-
tenção destas medidas de uma só vez com o uso da ferramenta Estatís-
tica descritiva.
Para o Excel 2010, inicie pelo Passo 1.
passo 1. Vá para a guia Arquivo.
 → A seguir selecione Opções e a seguir Suplementos (figura 1).
atEnção
Na versão Excel 2007 utilize inicialmente o Botão do Mi-
crosoft Office.passo 2. Selecione (na tela de Opções/Suplementos) Ferramentas de 
Análise e pressione a em cima do quadrado IR. Vai aparecer uma nova 
tela para habilitar o suplemento escolhido. Pressionar OK. 
Figura 1. Opções do 
Excel: Suplementos.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 5
passo 3. Obtenção da ferramenta Estatística descritiva.
 → Na barra de menus, escolher Dados onde aparecerá Análise de da-
dos, conforme figura 3.
 → Escolher então Estatística Descritiva.
 → Após a escolha de Análise de dados, tem-se a tela como na figura 4. 
Escolher Estatística Descritiva. 
 → Tem-se, desta maneira a forma de obtenção das principais medidas 
de posição e dispersão. Basta inserir os dados.
Figura 2. Como 
selecionar Ferramenta 
de Análise.
Figura 3. 
Apresentação da 
tela para escolher 
Análise de dados.
Figura 4. Tela de 
apresentação da 
Estatística descritiva.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 6
lEmbrE-sE
Se você já efetuou os passos 1 e 2 no seu computador não 
será preciso efetuá-los da próxima vez que quiser acessar 
Análise de Dados.
Já com o suplemento instalado, seguir o exemplo 1.
exemplo 1
 → Achar as principais medidas de posição e dispersão para os seguin-
tes dados amostrais:
19.40 17.40 20.50 22.60 22.40 23.50
15.60 19.50 22.20 17.80 18.60 16.60
Como fazer isso rapidamente?
Com o uso do Excel basta colocar esses dados em coluna. 
A figura 5 apresenta na coluna A os dados que se quer analisar, inician-
do na linha A1, indo até a célula A13.
Após a chamada de Análise de Dados vai se abrir uma tela de diálogo 
como a da Figura 6, já preenchida para ajudar na visualização.
 
Figura 5. Dados 
na planilha.
Figura 6. 
Apresentação 
dos resultados da 
Análise estatística.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 7
Para verificar e conferir estes resultados utilizar, por exemplo, as funções 
do Excel ou calcular através das fórmulas já apresentadas. 
 Os resultados apresentados são:
 → Média – Média aritmética;
 → Erro padrão da média;
 → Mediana;
 → Modo – Moda;
 → Desvio padrão – desvio padrão amostral;
 → Variância de amostra;
 → Curtose;
 → Assimetria;
 → Intervalo – Amplitude amostral;
 → Mínimo: Menor valor do conjunto de dados;
 → Máximo; Maior valor do conjunto de dados;
 → Soma: soma de todos os valores inseridos;
 → Contagem: Quantidade de valores inseridos;
 → Nível de confiança: conceito a ser abordado futuramente.
Conferiu os valores? Ótimo. Muito rápido, fácil e útil. Experimente.
dica
Para verificar e conferir estes resultados utilizar, por exem-
plo, as funções do Excel ou fazer os cálculos através das 
fórmulas já apresentadas.
FundAmentos II
UsO da CalCUladOra CientífiCa
É muito importante que você tenha a sua calculadora científica de bolso 
para poder confiar e ser rápido o seu uso. 
Existem calculadoras mais simples e de preço baixo e que possuem a 
ferramenta estatística. Verifique preços na internet e veja quão pequeno 
é o investimento.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 8
atEnção
Procurar o manual de instrução de sua calculadora. É muito 
importante para utilizá-la eficientemente. Se não o encon-
trou, busque-o na internet.
Partindo do princípio que voce já possui uma calculadora científica de bol-
so, por exemplo a Casio Fx-82ms, seguir os passos seguintes:
 → Após limpar a memória utilizando Shift Clear 1 = utilizar a tecla 
MODE para escolher o modo estatístico. Escolher o modo SD. A se-
guir, seguir os seguintes passos:
passo 1. Introduzir os data em uma lista, apertando a tecla M+ após cada 
valor inserido.
exemplo
Encontrar medidas estatísticas para os seguintes dados amostrais: 
70 75 76 80 82 83 90
No modo SD:
Shift clear 1 = 70 M+ 75 M+ 76 M+ 80 M+ 82 M+ 83 M+ 90 M+ 
 → Os dados introduzidos vão gerar os cálculos estatísticos que podem 
ser visualizados da seguinte maneira;
Figura 7. Um modelo 
de calculadora 
cientifica de bolso.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 9
passo 2. Tecle [shift S-VAR] 1. já vai aparecer o valor da média amostral.
passo 3. Tecle [shift S-VAR] 2. já vai aparecer o valor do desvio padrão 
populacional sν.
passo 4. Tecle [shift S-VAR] 3 já vai aparecer o valor do desvio padrão 
amostral sν–1.
Para obtenção de informações adicionais tecle:
 → [shift S-SUM ]1 já vai aparecer o valor de S x2
 → [shift S-SUM ]2 já vai aparecer o valor de S x
 → [shift S-SUM ]3 já vai aparecer o valor de n
O s v a l o r e s e n c o n t r a d o s p a r a o s n ú m e r o s i n t r o d u z i d o s 
[70 75 76 80 82 83 90] serão:
 → [shift S-VAR]1.média amostral = 79,4
 → [shift S-VAR]2 sn = 5,99
 → [shift S-VAR]3 sn –1 = 6,45
Para obtenção de informações adicionais tecle:
 → [shift S-SUM ]1 S x2 = 44414
 → [shift S-SUM ]2 S x=556
 → [shift S-SUM ]3 n.= 7
Conferiu? É necessário que você tenha confiança na sua calculadora e seja 
rápido na sua utilização.
Consulte o manual se a sua calculadora científica de bolso for diferen-
te do modelo apresentado aqui. É muito fácil e proveitoso.
lEmbrE-sE
→→ A→calculadora→do→modelo→apresentado→aqui→tam-
bém→faz→análise→de→ regressão,→assunto→visto→na→
Unidade→anterior.
→→ A→calculadora→fornece→menos→informações→que→a→
planilha.
Algumas respostas obtidas com utilização da calculadora:
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 10
 → Média: 0,59045
 → Desvio padrão da amostra: 0,02115
 → Soma: 2,3618
 → Contagem: 4
atEnção
Para calcular a variância amostral basta elevar ao quadrado 
o valor do desvio padrão amostral.
antena 
pArAbólICA
Conexão com o dia a dia. Calcular seus gastos médios 
com eletricidade, água etc. durante o ano. Fazer rapida-
mente estas contas com a sua calculadora científica de 
bolso. É importante confiar na sua calculadora.
e AgorA, José?
O auxílio oferecido pelas planilhas e pelas calculadoras 
serão de grande valia para as Unidades seguintes. Eco-
nomiza tempo e dá confiança em seu aprendizado.
Estatística aplicada à gestão / UA 08 Cálculos em Planilhas Eletrônicas e em Calculadoras 12
glossárIo
Planilha eletrônica, ou folha de cálculo: tipo 
de programa de computador que utiliza 
tabelas para realização de cálculos ou apre-
sentação de dados. Cada tabela é formada 
por uma grade composta de linhas e colunas. 
O nome eletrônica se deve à sua implemen-
tação por meio de programas de computa-
dor. (Wikipedia, 2011).
reFerênCIAs
Lopes, p. A. �Probabilidade e Estatística. Rio 
de janeiro, Reichmann & Affonso edito-
res, 1999.
exceL. �Help online existente para todas as 
versões: 87/2003; 2007 ou 2010.
 Manual da calculadora Casio fx-82TL.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Programa_de_computador
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dados
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
Probabilidade: esPaço amostral, 
Probabilidade condicional, Árvore 
de decisão e regra de bayes
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Saber o que é probabilidade e calculá-las, como aplicá-
-las. Além de saber sobre árvore de decisão, como aplicá-
-la e usar a regra de Bayes.
COmpetênCias 
Reconhecer o tipo de probabilidade, saber construir uma 
árvore de decisão e quando usar a regra de Bayes. 
Habilidades 
Utilizar as fórmulas para saber calcular os tipos de pro-
babilidade, quando usar uma árvore de decisão e aplicar 
a regra de Bayes quando necessário. 
9
estatística 
aplicada à gestão
Probabilidade: esPaço 
amostral, Probabilidade 
condicional, Árvore de 
decisão e regra de bayes
ApresentAção
Nesta Unidade serão apresentados conceitos de probabi-
lidades de probabilidade condicional, bem como o teore-
ma de Bayes. Será enfatizado como construir uma árvore 
de decisão para cálculo de probabilidades.
pArA ComeçAr
Um breve resUmO HistóriCO
ATeoria das Probabilidades surgiu no século XVI, com o ob-
jetivo de analisar os jogos de azar, como os jogos de cartas 
e o da roleta. O primeiro matemático a conceituar proba-
bilidade e a calculá-la foi Cardano (1501–1576) e, em se-
guida, Galileu Galilei (1564–1642), que analisou e enunciou 
problemas sobre jogos de dados. O real desenvolvimento 
da Teoria das Probabilidades pode, todavia, ser atribuído a 
Fermat (1601-1665) e a Pascal (1623–1662). Um amigo de 
Pascal que, frequentemente, apostava em jogos de azar, 
enviou-lhe um problema: “Jogando um par de dados 24 ve-
zes sucessivas, é vantajoso apostar que em nenhuma das 
24 vezes sairá 6 nos dois dados ou é melhor apostar que 
isto não ocorre, ou seja, pelo menos uma vez sairá 6 nos 
dois dados?”.
Pascal interessou-se e escreveu a Fermat sobre esse tipo 
de problema. Foi, então que da correspondência desses 
dois matemáticos originou-se a Teoria das Probabilidades. 
Na carta de 29 de julho de 1654, Pascal relata a Fermat a 
fórmula da probabilidade de um evento A.
P (A)  =  total de casos favoráveis
total de casos possíveis
Pascal, referindo-se à Probabilidade, denomina-a “Geo-
metria do Acaso”, pois, segundo Platão, “Geometria de-
signa aquilo que eleva o seu raciocínio do mundo sensível 
(a Terra: Geo) ao mundo das ideias, para atingir o conhe-
cimento”. Seguindo essa linha de raciocínio, o acaso, no 
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 4
mundo sensível, estava sendo estudado. Tinha-se, então, uma Geometria 
do acaso.
A partir desses estudos, a teoria foi se ampliando, não mais limitada aos 
jogos de azar. Importantes contribuições foram dadas por matemáticos 
como Huygens (1629-1695) que introduziu a noção de esperança matemá-
tica, Jacques Bernoulli (1654-1705) que, em 1713, forneceu um critério fre-
quentista para a probabilidade e Thomas Bayes (1702-1761) que, em 1763, 
criou uma nova concepção de probabilidade, que depende da análise do 
observador e da hipótese de equiprobabilidade e, com isso, forneceu os 
elementos para o estudo da probabilidade condicional.
A importância da Teoria das Probabilidades não foi logo reconhecida. 
Por volta de 1850, observando o cruzamento de diversos tipos de plantas 
de ervilhas, Mendel verificou que as características hereditárias dos des-
cendentes obedeciam a cálculos probabilísticos e propôs, então, as leis 
da herança, que regulamentam a transmissão de caracteres hereditários 
e que hoje são denominadas Leis de Mendel. Durante 35 anos tais desco-
bertas foram ignoradas pelos cientistas que não acreditavam que cálculos 
matemáticos, no caso, probabilísticos, pudessem ser aplicados no estudo 
da reprodução de seres vivos. 
No século XX, vários matemáticos se dedicaram à Probabilidade tais 
como Lebesgue, Poincaré, Borel e Andrei Kolmogorov (1903-1987). Esse 
último deu um tratamento axiomático à Teoria das Probabilidades, inse-
rindo-a no campo da Teoria dos Conjuntos.
Hoje a Teoria das Probabilidades aparece relacionada com a Estatística 
que tem aplicações nos mais diversos ramos do conhecimento.
FundAmentos
Independente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das 
probabilidades indica que existe um elemento ao acaso, ou de incerte-
za, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Pode-se dizer, em 
muitos casos, ser virtualmente impossível afirmar por antecipação o que 
ocorrerá; mas é possível dizer o que pode ocorrer. Por exemplo, quando 
se joga uma moeda para o ar de uma maneira geral não há como afirmar 
se cairá com a cara ou a coroa para cima. 
A de probabilidade desempenha um papel importante em muitas situ-
ações que envolvam uma tomada de decisão. A teoria da probabilidade 
permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um 
experimento aleatório.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 5
atEnção
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de 
ocorrência de determinado evento.
1. experimentOs aleatóriOs
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem 
fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao aca-
so. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abor-
dagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Por exemplo: pegue um dado honesto e lance-o, você não pode prever 
qual o número que irá cai de face para cima, da mesma forma, quando 
é lançada uma moeda honesta não se pode prever se ocorrerá cara ou 
coroa. Outro exemplo: da afirmação “é provável que meu time ganhe a 
partida de hoje” pode resultar: 
 → Que apesar do favoritismo, ele perca;
 → Que, como pensávamos, ele ganhe;
 → Que empate.
atEnção
Conclusão: O resultado final depende do acaso.
O lançamento de um dado constitui um experimento aleatório, pois esse 
experimento poderá ser repetido quantas vezes você quiser. Antes do 
lançamento não dá antecipar qual será o resultado, porém, os possíveis 
resultados: sair 1, 2 , 3, 4, 5 ou 6.
Ao descrevemos um experimento aleatório podemos especificar não 
somente que operação ou procedimento a ser realizado, mas também o 
que é que você deverá observar.
 → E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior.
 → E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de ca-
ras obtido.
 → E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a sequência de caras 
e coroas.
 → E4: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são reti-
radas uma a uma (sem reposição) até que a última defeituosa seja 
encontrada. Conta-se o número de peças retiradas.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 6
 → E5: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto 
até queimar.
 → E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então 
o número de lançamentos necessários.
 → E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.
 → E8: Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido.
dica
Note-se a diferença entre E2 e E3.
2. espaçO amOstral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento ale-
atório, também pode ser denominado de Conjunto Universo, represen-
tado por S.
Determinar o espaço amostral dos experimentos anteriores. Onde, Si 
refere-se ao experimento Ei.
S1  =  { 1,2,3,4,5,6 }
S2 =  { 0, 1, 2, 3, 4 }
S3 =  { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, 
kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk }
S4 =  { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 }
S5 =  { t ∈ R/ t ≤ 0 }
S6 =  { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
S7 =  { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
S8 =  { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) 
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) 
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) 
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) 
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) 
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
3. eventOs
Qualquer subconjunto de um espaço amostral S é denominado um even-
to. Assim tem-se que: 
S é o evento certo; { a } é o evento elementar 
Ø ( vazio) é o evento impossível.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 7
3.1. Combinação de eventos
Podemos realizar operações entre eventos da mesma forma que elas são 
realizadas entre conjuntos. Antes de definir as operações é conveniente 
conceituar o que se entende por ocorrência de um evento.
Seja E um experimento com um espaço amostra associado S. Seja A um 
evento de S. É dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto 
é, se executado E, o resultado for um elemento de A.
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostra S. Diz-se que 
ocorre o evento: 
a. “A união B” ou “A soma B”, anotado por A∪B, se, e somente se A 
ocorre ou B ocorre.
a b
s
a ∪ b
exemplo
Seja A  =  { 1,2,3,4,5,6 } e B  =  { 4,6,8,10 } 
 Então A ∪ B=  { 1,2,3,4,5,6 } ∪ { 2,4,6 }  =  { 1,2,3,4,5,6, 8,10 } 
Todos os elementos de A mais todos os elementos de B.
b. A produto B ou A interseção B, anotado por A∩B ou AB, se e somente 
se A ocorre e B ocorre.
a b
s
a ∩ b
exemplo
Seja A  =  { 1,2,3,4,5,6 } e B  =  { 4,6, 8,10 } 
 Então A ∩ B  =  { 1,2,3,4,5,6 } ∩ { 2,4,6 }  =  { 4,6 } 
Só os elementos que são comuns em A e em B.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 8
c. A menos B ou A diferença B, anota-se A - B, se e somente se A ocorre 
e B não ocorre.
a
s
a − b
b
exemplo
Seja A  =  { 1,2,3,4,5,6 } e B  =  { 4,6, 8,10 } 
 Então A - B  =  {1,2,3,4,5,6} - { 2,4,6 }  =  { 1,2,3 } 
Só os elementos que não são comuns em A e em B.
d. O complementar de A, anotado por A, AC ou ainda A’ se e somente 
se A não ocorre.
s
a'
a
exemplo
Seja S  =  { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } e A  =  { 1,3,5,7,9 }
Então A’, (complementar de A)  =  { 2,4,6,8,10 }
3.2. eventos mutuamente exClusivos ou exCludentes
Dois eventos A e B, são denominados mutuamente exclusivos ou exclu-
dentes, se eles não puderem ocorrer juntos, isto é, se A ∩ B = Ø. 
exemplo
Qual o espaço amostral de dias que chove em São Pedro durante o mês 
de janeiro?
S = { 0, 1, 2, 3, 4, ....., 30, 31 }
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 9
O número de dias que chove em São Pedro durante o mês de janeiro: 
F  =  { 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 }  é o evento que consiste em haver 
de 18 a 24 dias chuvosos.
G  =  { 20, 21, 22, ..., 30, 31 }  é o evento que consiste em haver ao 
menos 20 dias chuvosos.
exemplo
Relacione os resultados dos eventos a seguir, e expresse os eventos 
em palavras:
a. F ∪ G ; b. F ∩ G ; c. G’ ; d. F’ ∩ G’ 
Solução:
a. Como F ∪ G contém todos os elementos que estão em F, ou em G, 
ou em ambos, tem-se: F ∪ G = { 18,19,20,…,30,31 } e este evento 
haverá ao menos 18 dias chuvosos.
b. Como F ∩ G contém todos os elementos que estão tanto em F como 
G, tem-se: F ∩ G = { 20,21,22,23,24 } e este evento haverá de 20 a 
24 dias chuvosos.
c. Como G’ contém todos os elementos do espaço amostral que não 
estão em G, obtém-se: G’ = { 0,1,2,…,18,19 } e este evento haverá 
no máximo 19 dias chuvosos.
d. Como F’ ∩ G’ contém todos os elementos do espaço amostral que 
não estão nem F nem em, G, obtém-se: F’ ∩ G’ = { 0,1,2,…,1,17 } e 
este evento haverá no máximo 17 dias chuvosos.
3.3. ConCeitos de Probabilidade 
Existem três formas de se definir probabilidade. A definição clássica ou 
método clássico, a definição mais frequente. 
concEito
Definição Clássica de Probabilidade: Seja E um experimento 
aleatório e S um espaço amostral associado formado por “n” 
resultados igualmente prováveis. Seja A ⊆ S um evento com 
“m” elementos. A probabilidade de A, anotada por P(A), lê-
-se pê de A, é definida como sendo: P(A) = m / n.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 10
Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “m” de 
casos favoráveis e o número “n” de casos possíveis.
exemplo
Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado 
obter-se:
a. Um resultado igual a 4.
b. Um resultado ímpar.
Solução:
S  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n  =  6
a. A  =  { 4 }  m  =  1  então P(A)  =  m / n  =  1 / 6  =  16,67%
b. B  =  { 1, 3, 5 }  m  =  3  então P(B)  =  m / n  =  3 / 6  =  50%
3.4. regras do CálCulo das Probabilidades
Para facilitar quando precisamos solucionar problemas de cálculos de 
probabilidades, é necessário aprender as propriedades e as seguin-
tes regras:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1: A probabilidade de um evento A deve ser o número 
maior ou igual a zero e menor ou igual a 1.
2. P (S) = 1: A probabilidade do evento certo é igual a 1.
3. P (Ø) = 0: A probabilidade do evento impossível é igual a zero. 
4. Regra da Soma das Probabilidades. Se A e B forem dois eventos mu-
tuamente exclusivos ( A ∩ B = Ø ), então:
P ( A ∪ B ) = P ( A + B ) = P (A) + P (B)
Nota: 
Esta propriedade pode ser generalizada para um número maior de even-
tos, desde que eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos. Assim se A, B, e C 
forem dois a dois exclusivos:
( A ∩ B = ∅; A ∩ C = ∅; B ∩ C = ∅ )
Então:
P ( A ∪ B ∪ C )  =  P (A) + P (B) + P (C)
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 11
1. Se A e B não forem mutuamente exclusivos, então:
P ( A ∪ B )  =  P (A) + P (B) - P ( A ∩ B ) 
2. Se A’ é o evento complementar de A, então:
P (A')  =  1 - P (A)
exemplo
Aplicando as regras 4, 5 e 6:
Lançar um dado de 6 faces, considere os eventos:
A  =  { sair o número 3 }
B  =  { sair um número par }
C  =  { sair um número impar }.
Avaliar P (A); P (B); P (C); P ( A ∪ B ); P ( A ∩ C ); P ( A ∪ C ); P (Ā’).
N.C.F ao evento A
N.T.C.
N.C.F = Número de Casos Favoráveis ao evento A 
N.T.C = Número Total de Casos
Resolução:
S  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 };  A  =  { 3 };  B  =  {2, 4, 6};  C  =  {1, 3, 5}
P (A)  = 
N.C.F ao evento A
N.T.C.
  = 
1
6
Onde N.C.F = Número de Casos Favoráveis ao evento A e N.T.C = Número 
Total de Casos.
P (B)  = 
N.C.F ao evento B
N.T.C.
  = 
3
6
   = 
1
2
P (C)  = 
N.C.F ao evento C
N.T.C.
 = 
3
6
   = 
1
2
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 12
P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B) observe que A e B são mutuamente exclusivos 
( A ∩ B = Ø ).
P ( A ∪ B ) = 
1
6
 + 
1
2
 = 
2
3
P ( A ∩ C ) = N.C.F ao evento A ∩ C
N.T.C.
 = 
1
6
Observe que A ∩ C = { 3 }.
P ( A ∪ C) = P (A) + P (B) - P (A ∩ C)
Observe que A e C não são mutuamente exclusivos: 
A ∩ C = { 3 }
P ( A ∪ C ) = 
1
6
  + 
1
2
  - 
1
6
  = 
1
2
 
P (A’) = 1 - P ( A ) = 1 - 
1
6
 = 
5
6
 
Observe que Ā  =  { 1,2,4,5,6 }.
3.5. Probabilidade CondiCional e indePendente
Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) ≠ 0, então a pro-
babilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada 
por P ( A | B ) é definida) pela relação:
P ( A | B ) = P ( A ∩ B )
P (B)
atEnção
P (B) é diferente de zero, então a probabilidade condicional 
de A relativa a B, é a probabilidade de A dado B.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 13
Avaliando as probabilidades do numerador e do denominador en-
contra-se uma fórmula mais prática para o cálculo da probabili- 
dade condicional.
P ( A | B ) = 
N.C.F. ao evento A ∩ B 
N.T.C.
N.C.F. ao evento B 
N.T.C.
 = 
N.C.F. ao evento A ∩ B 
N. C. F. ao evento B
Onde: 
N.C.F = Número de Casos Favoráveis ao evento A ∩ B
N.T.C = Número Total de Casos
exemplo
Um número é sorteado ao acaso entre 1, 2, ..., 15. Se o número sorteado 
for par, qual a probabilidade de que seja o número 6?
Resolução:
S  =  { 1,2,3,...,15 }
A  =  { o número ser o 6 }
B  =  { o número ser par }
Observe que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrên-
cia de B, é: 
P (A) = 
1
15
Mas, foi dada a informação que o número sorteado é par, então o espaço 
amostral fica reduzido para: 
S*  =  { 2,4,6,8,10,12,14 }
E a partir deste espaço amostral avalia-se a probabilidade do evento A:
P ( A | B ) = 
N.C.F. ao evento A ∩ B 
N. C. F. ao evento B
 = 
1
7
A ∩ B  =  { 6 }  e B  =  { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 14
P ( A | B ) lê-se: a probabilidade de sair o número 6, dado que o número 
sorteado foi par.
Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três vermelhas (V). Suponha 
que sejam sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. Ou seja, que ao 
sortearmos a primeira bola, verificamos sua cor e não devolvemos para a 
urna. Então misturamosas restantes na urna e retiramos outra.
Pela Árvore de Decisão.
Pelos seus galhos, podemos indicar as probabilidades das ocorrências:
2
5
3
5
sorteio
2
4
2
4
1
4
3
4
v
v b v b
b
Se A for o evento “bola branca na segunda retirada ou extração”, então
P (A) = P ( BB ) + P ( VB ) = 
2
20
 + 6
20
 = 2
5
Se forem colocados os resultados da probabilidade em uma tabe- 
la teremos:
resultados Probabilidades
BB
2
5 
×
 
1
4 
=
 
2
20
BV
2
5 
×
 
3
4 
=
 
6
20
VB
3
5 
×
 
2
4 
=
 
6
20
VV
3
5 
×
 
2
4 
=
 
6
20
Total 1
Tabela 1. Resultados 
x Probabilidades.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 15
Agora, imagine que as duas retiradas ou extrações são feitas da mesma 
urna anterior, porém a primeira bola é reposta, antes da retirada ou extra-
ção da segunda. Neste caso, as extrações são independentes, pois o resul-
tado da uma extração não tem influencia no resultado da outra.
Veja como ficaria a Árvore de Decisão:
2
5
3
5
sorteio
2
5
3
5
2
5
3
5
v
v b v b
b
Se forem colocados os resultados da probabilidade em uma tabe- 
la teremos:
resultados Probabilidades
BB
2
5 
×
 
2
5 
=
 
4
25
BV
2
5 
×
 
3
5 
=
 
6
25
VB
3
5 
×
 
2
5 
=
 
6
25
VV
3
5 
×
 
3
5 
=
 
9
25
Total 1
Veja que interessante aconteceu agora:
 P ( branca na 2ª | branca na 1ª ) = 
2
5
  =  P ( branca na 2ª )
Ou seja, se indicarmos A e B os eventos “bola branca na segunda extração” 
e “bola branca na primeira extração”, respectivamente, portanto: 
P ( A | B )  =  P (A) × P (B)
Tabela 2. Resultados 
x Probabilidades.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 16
Fica claro que se A independe de B, então B independe de A, dizemos que 
A e B são independentes.
Agora tente fazer a Árvores de Decisão com o exemplo da urna ante-
rior, só que faremos 3 extrações sem reposição.
concEito
Chame de Vi ou Bi , onde i = 1,2,3
4. regra dO prOdUtO para dOis eventOs independentes
São Considerados dois eventos independentes quando a ocorrência de 
um deles não depende ou não está vinculada à ocorrência do outro, ou 
seja, P(A|B) = P(A) e P(B|A)= P(B), portanto, a regra do produto para dois 
eventos independentes é: 
P ( A ∩ B ) =  P (A) × P (B)
concEito
Você conhece os naipes de um baralho e como ele é composto? 
Faça uma pesquisa na internet sobre a história do baralho e 
como ele é composto no site Wikipedia.
5. teOrema de bayes 
Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicio-
nais é dada pelo Teorema de Bayes.
A partir da definição do Teorema de Bayes:
P ( A | B ) = P ( A ∩ B )
P (B)  
ouros
espadas
copas
paus
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 17
pode-se explicitar P (A ∩ B) e encontrar a regra do produto para 
dois eventos:
P ( A ∩ B ) = P (B) × P ( A | B )
Ou
P ( A ∩ B ) = P (A) × P ( A | B )
Portanto, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de 
um mesmo espaço amostral é igual à probabilidade de um deles ocorrer, 
pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.
exemplo
Retiram-se sem reposição duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são 
boas. Qual a probabilidade de que ambas seja defeituosas?
Resolução:
Os eventos A  =  { a 1ª peça ser defeituosa }
B  =  { a 2ª peça ser defeituosa }
É necessário, então avaliar P (A ∩ B).
P  ( A ∩ B ) = P (A) × P ( A | B ) 
P  ( A ∩ B ) = 
6
10
 × 
5
9
 = 
1
3
Observe que P (B | A) é probabilidade de a 2ª peça ser defeituosa, dado 
que a 1ª foi defeituosa.
Outro exemplo usando a Regra de Bayes.
exemplo
Agora nós temos 5 urnas, cada uma com seis bolas. Duas urnas (tipo C1) 
têm 3 bolas brancas, duas outras urnas (tipo C2) têm 2 bolas brancas e 
última urna (tipo C3) tem 6 bolas brancas. 
Escolhendo uma urna ao acaso e dela retiramos uma bolas. Qual a pro-
babilidade de a urna escolhida seja do tipo (tipo C3), sabendo que a bola 
sorteada é branca?
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 18
C 1 C 2 C 3
urna 1 urna 2 urna 3 urna 4 urna 5
Ω (espaço amostral)
bolas brancas = B bolas coloridas = BC
Vamos lá! 
Precisamos encontrar P ( C3|B ), sabendo que:
P ( C1 )  = 
2
5 
, P ( B | C1 ) = 
1
2
P ( C2 )  = 
2
5  
, P ( B | C2 ) = 
1
3
P ( C3 )  = 
1
5  
, P ( B | C3 )  =  1
Pela definição da probabilidade condicional:
dica
P ( B | C3 ) = 
P ( C3 ∩ B )
P (B)  
 
= 
P ( C3) P ( C | B )
P (B)   
(fórmula a)
Agora é preciso encontrar o valor de P(B), já que o numerador é conhecido. 
Como C1, C2 e C3, são eventos mutuamente exclusivos, e todas as urnas 
juntas formam o espaço amostral completo, porém, podemos decompor 
o evento B na reunião de três outros, também mutuamente exclusivos:
B = ( C1 ∩ B ) ∪ ( C2 ∩ B ) ∪ ( C3 ∩ B ) , então x
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 19
P ( B ) = P ( C1 ∩ B ) + P ( C2 ∩ B ) + P ( C3 ∩ B )
 = - P ( C1 ) P ( B | C1 ) + P ( C2 ) P ( B | C2 ) + P ( C3 ) P ( B | C3 )
 = 
2
5
 × 
1
2
  + 
2
5
  × 
1
3  
=
 
1
5
  × 1  = 
8
5
Substituindo na Fórmula A:
P ( B | C3 ) = 
1
5 
× 1
8
15
 =
 
3
8
Generalizando o resultado obtido acima do seguinte modo: seja {C1, C2, ... 
Cn} é uma parte do espaço amostral Ω, ou seja:
Ci ∩ Cj = Ø, sempre que i ≠ j,
C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ Cn = Ω
Regra de Bayes
Para simplificar o que foi mostrado acima, podemos generalizar com:
Sejam C1, C2, ... Cn, n eventos mutuamente exclusivos tais que C1 ∪ C2 ∪ ... 
∪ Cn = Ω. Sejam P (Ci) as probabilidades conhecidas de todos os eventos 
de Ci e B um evento qualquer de Ω, tal que conhecemos todas as probabi-
lidades condicionais P (B|Ci). Portanto, para cada “i” teremos:
concEito
P (Ci) × P ( B | Ci )
P (Ci) × P ( B | C1 )  +  P (C2) × ( B | C2 )  +  ...  +  P (Cn) × P ( B | Cn )
A fórmula acima é bastante importante, pois como foi visto, rela-
ciona probabilidades a priori: P(Ci) com probabilidades a posteriori: 
P (Ci|B),probabilidade de Ci depois que ocorrer B.
Um exemplo para ficar mais claro:
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 20
exemplo
cores urna 1 urna 2 urna 3
pretas 3 4 2
brancas 1 3 3
vermelhas 5 2 3
Escolheu uma urna ao acaso e dela se retirou uma bola ao acaso, verifi-
cando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da 
urna 2?
Vamos lá resolver:
 → Probabilidade a priori:
P (U1)  =  1
3
P (U2)  =  1
3
 
P (U3)  =  1
3 
 → Probabilidades condicionais: 
p ( b | u1 ) = 
1
9
p ( b1 | u2 ) = 
1
3
p ( b2 | u3 ) = 
3
8
 → Precisamos calcular p ( u2 | b ). Assim: 
Tabela 3. Relação 
de Probabilidades.
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 21
P ( U2 | B )  = 
P (U2) × P ( B | U2 )
P (U1) × P ( B | U1 )  +  P (U2) × P ( B | U2 )  +  P (U3) × P ( B | U3 )
p ( u2 | b )  = 
1
3  
× 
1
3
1
3  
× 
1
9
  + 
1
3  
× 
1
3
  + 
1
3  
× 
3
8
 = 
24
59
Que é a probabilidade a posteriori, ou seja, a probabilidade de ser escolhi-
da a urna 2 dada a informação de que a bola retirada foi branca.
antena 
pArAbóliCA
Faça uma pesquisa na internet qual a probabilidade de 
você ganhar Loteria Esportiva ou na Mega Sena, ou Lo-
teria Estadual ou ainda na Federal. Será que algum dia 
você será um novo milionário? Se acontecer não me dei-
xe de contar.
Depois, entre no blog do livro e deixe sua contribuição. 
Dúvidas, dicas, feedback são sempre muito bem-vindos.
e AgorA, José?
Há duas caixas pretas, onde a caixa A possui: 5 bolasbran-
cas, 4 bolas pretas e 3 bolas vermelhas e na caixa B pos-
sui: 4 bolas brancas, 3 bolas pretas e 6 bolas vermelhas.
a. Calcular a probabilidade de retirar uma bola branca
da caixa A.
b. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta
da caixa B?
c. Determine a probabilidade de retirarmos uma bola
branca ou vermelha da caixa A.
d. São retiradas duas bolas da caixa B, sem reposição.
Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas?
e. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bo-
las pretas da caixa; A, com reposição?
respostas: 
a. 5
12
b. 3
13
c. 2
3
d. 5
26
e. 1
9
Estatística aplicada à gestão / UA 09 Probabilidade: Espaço Amostral, Probabilidade Condicional, Árvore de Decisão e Regra de Bayes 23
glossário
Probabilidade: é uma das muitas palavras uti-
lizadas para eventos incertos ou conhecidos, 
sendo também substituído por algumas 
palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incer-
teza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. �Estatística aplicada à gestão em-
presarial. Atlas, 2007.
CRESPO, A. I. �Estatística Fácil. São Paulo: Sa-
raiva, 2009.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. �Princípios de Esta-
tística. São Paulo: Atlas, 2006.
VEIGA, M. S; BORGES, A. C. A. �Apostila da mate-
mática. Faculdade de Tecnologia IBTA, Cam-
pinas.
bibliogrAFiA ComplementAr
BUSSAB, W.; MORETIN, P. �Estatística Básica. 
São Paulo: Saraiva, 2006.
MANN, P. S. �Introdução à estatística. São Pau-
lo: LTC, 2006.
SILVA, E. M. �Estatística. São Paulo: Atlas, 2007.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
VariáVeis aleatórias, 
esperança e Variância
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Saber o que são variáveis aleatórias, através da distribui-
ção de frequência ou probabilidade.
COmpetênCias 
Reconhecer o tipo de variáveis aleatórias, resolver 
problemas que envolvam variáveis aleatórias e espe-
rança matemática. 
Habilidades 
Utilizar as fórmulas para saber calcular a probabilidade 
de variáveis aleatórias e esperança matemática para 
suas diversas aplicações.
10
estatística 
aplicada à gestão
VariáVeis aleatórias, 
esperança e Variância
ApresentAção
Nesta Unidade serão apresentados conceitos de variável 
aleatória. Como calcular esperança matemática e variân-
cia de variáveis aleatórias será enfatizado.
pArA ComeçAr
Muitos experimentos aleatórios produzem resultados 
não numéricos. Antes de começarmos trabalhar esses 
resultados, é conveniente transformar os mesmos em 
números, o que é feito através da variável aleatória, que 
é uma regra de associação de um valor numérico a cada 
ponto do espaço amostral.
A incerteza está sempre presente quando, por exem-
plo, envolva o planejamento de uma nova fábrica de 
uma empresa industrial, uma forma melhor de tentar 
realizar alguma coisa diante das incertezas é através das 
variáveis aleatórias, como por exemplo, variação do dó-
lar, variação de produção de petróleo, entre outras. Às 
vezes não fazem parte da criação da empresa em si, mas 
terão influência na decisão de implantá-la ou não.
Portanto, variáveis aleatórias são variáveis numéri-
cas às quais iremos associar modelos probabilísticos. 
Pascal foi um dos matemáticos que mais trabalhou so-
bre o assunto.
FundAmentos
O resultado do lançamento de uma moeda pode ser uti-
lizado para tomar decisões, por exemplo:
O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem 
inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do 
sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe ini-
ciará o jogo. Outras vezes, o resultado da moeda é para 
realizar uma tarefa agradável ou não etc.
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 4
Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finali-
dades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o 
mesmo, mantendo os mesmos resultados. Um experimento é aleatório se 
não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resul-
tados possíveis que definem o espaço amostral do experimento.
Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a 
esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amos-
tral. Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um 
conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores 
de acordo com os resultados de um experimento aleatório. 
1. variável aleatória
Seja E um experimento com um espaço amostra associado S. Uma função 
X que associe a cada elemento de S (s ∈ S) um número real x = X(s) é de-
nominada variável aleatória.
O conjunto formado por todos os valores “x”, isto é, a imagem da variável 
aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X e anotado por X(S).
A cada resultado do experimento aleatório corresponderá apenas um 
único valor numérico da VA (Variável Aleatória). Entretanto, um valor numéri-
co da VA poderá corresponder a um ou mais resultados de um experimento. 
Desta forma:
concEito
X(S) = { x ∈ R | X(S) = x }
exemplo
Seja S o espaço amostral formado pelas sequências obtidas no lançamento 
de 3 moedas equilibradas. Seja X a variável aleatória definida como sendo 
o número de caras da sequência, isto é, X(s) = x = números de caras. O con-
junto de valores da variável X é X(S) = { 0, 1, 2, 3 }, pois, neste caso, tem-se:
X(ccc) = 0
X(ckk) = 1 etc.
Ou então:
s kkk ckk, kck, kkc cck, ckc, kcc ccc
X (s) 0 1 2 3
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 5
concEito
Conforme o conjunto de valores uma variável aleatória po-
derá ser discreta ou contínua.
Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enu-
merável a variável é dita discreta.
Se o conjunto de valores for infinito não enumerável en-
tão a variável é dita contínua.
2. variável aleatória disCreta
Uma variável aleatória X é dita discreta se o seu conjunto de valores X(S) é 
finito ou então infinito contável ou enumerável.
3. a FUnçãO de prObabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta (VAD), isto é, com X(S) finito ou infi-
nito enumerável, definida num espaço amostral S. A cada resultado xi de 
X(S) associa-se um número f(xi) = P(X = xi) denominado probabilidade de 
xi e tal que satisfaz as seguintes propriedades:
atEnção
f(xi) ≥ 0, para todo “i”
∑f(x) = 1
A função “f” assim definida é denominada de função de probabilidade de X.
A coleção dos pares (xi, f(xi)) para i = 1, 2, 3, ... é denominada de distri-
buição de probabilidade da VAD X.
atEnção
f(x) = P( X = x ) = P({ s ∈ S / X(s) = x }) 
Desta forma quando se calcula f(x) está se calculando, na realidade, a pro-
babilidade do evento. 
atEnção
{ s ∈ S / X(s) = x } ⊆ S
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 6
exemplo
Ao se lançar duas moedas observando-se os resultados das faces, 
o espaço amostral é:
E = { KK, KC,CK, CC } 
Não esquecendo que: 
dica
K significa “cara” e  C significa “coroa”.
Uma variável de interessante é: X = {número de caras}. A Cada evento 
simples ou ponto de E, associamos um número, que é o valor assumido 
pela variável aleatória X:
No evento KK temos 2 caras, no evento KC temos 1 cara, no evento CK 
temos 1 cara e no evento CC nenhuma cara ou zero. Colando em forma 
de tabelas teremos:
eVento kk kc ck cc
X 2 1 1 0
Se fossemos considerar C (coroa) seria da mesma forma só que invertido 
( 0, 1, 1, 2).
Então agora precisamos associar VA (variável aleatória) que é X, o valor 
de sua probabilidade, chamada a distribuição de probabilidade. Esta fica 
caracterizada pelos valores VA X e pela regra ou função, que associa a cada 
valor de uma probabilidade, que chamaremos de função de probabilidade, 
representada por f(x). Portanto nossa tabela ficaria:
Valores de x 2 1 0
probabilidade – P (x) 0,25 0,5 0,25
dica
Não podemos esquecer que a soma das probabilidades deve 
ser igual a 1 ou: 
∑ F(x) = 1
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 7
É interessante perceber que onde temos presente a incerteza, e é neces-
sário tomar decisões, teremosque identificar a VA de estamos interessa-
dos, obter sua distribuição de probabilidade e partir daí, tirar os elemen-
tos necessários para a tomada de decisão.
4. esperança matemátiCa (CaraCterizaçãO)
Considere X uma variável aleatória discreta assumindo os valores: x1, x2,
..., xi, ..., com probabilidades f(x1), f(x2), .... , f(xi), ....
dica
Expectativa, esperança, média ou valor esperado de X
Ou E(X) = ∑ xi f(xi), somando todos os valores possíveis de X.
4.1. EspErança para a Média
A média, expectativa (expectância), valor esperado ou esperança mate-
mática da variável aleatória X é representada por μ ou E(X) e calculada por:
dica
μ  = E(X) = x1 f(x1) + x2 f(x2) +... + xn f(xn) + ... = ∑ xi f(xi)
exemplo
Calcular o número esperado de faces caras no lançamento de duas moe-
das equilibradas.
Resolução:
Seja X = Número de caras. Então a distribuição de X é dada por:
x 0 1 2
f(x) 1/4 2/4 1/4
Logo a média ou expectativa (expectância) de X será:
dica
µ = E(x) = x1 f(x1) + x2 f(x2)  + x3 f(x3)
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 8
E(X) = 0 (1/4) + 1 (2/4) + 2 (1/4) = 1/2 + 1/2 = 1 cara
Ou seja: μ = 1 cara 
4.2. EspErança para a variância dE X
Podemos demonstrar que a expressão da variância, através da seguin-
te expressão:
dica
σ2 = V(X) = ∑f(xi)(xi - μ)2 = ∑f(xi)xi
2 - μ2 = E(x)2 - [E(X)]2 = E(X2) - μ2
exemplo 
Calcular a variância da distribuição do exemplo anterior.
Resolução:
Tem-se que:
E(X) = 1, então:
dica
σ2 = V(X) = ∑f(xi) (xi - μ)2
Então: 
σ2 = ( 1/4 ) ( 0 - 1 )2 + ( 2/4 ) ( 1 - 1 )2 + ( 1/4 ) ( 2 - 1 )2
σ2 = 1/2
ou ainda:
E(X2) = ( 1/4 ) × 02 + ( 2/4 ) × 12 + (1/4) × 22 = 3/2
dica
σ2 = V(X) = E(X2) – μ2 = 3/2 - 12= 1/2
Portanto σ2 = 1/2.
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 9
4.3. O dEsviO padrãO
O desvio padrão da variável X, anotado por s, é a raiz quadrada da variância.
exemplo
Um vendedor recebe uma comissão de R$ 50,00 por uma venda. Baseado 
em suas experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabili-
dades das vendas semanais:
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10
a. Qual é o valor esperado de vendas por semana?
b. Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 150,00 por semana?
c. Qual o desvio padrão das vendas semanais?
Resolução:
a. E(x) = 0 × 0,10 + 1 × 0,20 + 2 × 0,40 + 3 × 0,20 + 4 × 0,10 = 2
vendas por semana. Logo, como ele recebe R$ 50,00 por venda a
renda esperada semanal é: R$ 100,00.
b. Para ganhar pelo menos R$ 150,00 por semana ele deve realizar 3 ou
4 vendas por semana. Esta probabilidade é:
P(x≥3) = 0,20 + 0,10 = 0,30 = 30%
c. Deve-se inicialmente avaliar o valor da variância e para tanto se cal-
cula antes a média dos quadrados:
E(x2) = 02 × 0,10 + 12 × 0,20 + 22 × 0,40 + 32 × 0,20 + 42 × 0,10 = 5,20 
A variância é então:
V(x) = E(x) 2 - δ2 = 5,20 - 22 = 5,20 - 4 = 1,20
O desvio padrão será:
σ = 1,20 = 1,10
antena 
pArAbóliCA
Faça uma pesquisa na internet sobre Esperança mate-
mática. Quem foram os principais matemáticos que tra-
balharam com ela. Depois, entre no blog do livro e deixe 
sua contribuição. Dúvidas, dicas, feedback são sempre 
muito bem-vindos.
Estatística aplicada à gestão / UA 10 Variáveis Aleatórias, Esperança e Variância 11
reFerênCiAs
BRUNI, A. L.  Estatística aplicada à gestão em-
presarial. Atlas, 2007.
CRESPO, A. I.  Estatística Fácil. São Paulo: Sa-
raiva, 2009.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D.  Princípios de Esta-
tística. São Paulo: Atlas, 2006.
VEIGA, M. S; BORGES, A. C. A.  Apostila da ma-
temática.  Faculdade  de  Tecnologia  IBTA, 
Campinas.
bibliogrAFiA
BUSSAB, W.; MORETIN, P.   Estatística Básica. 
São Paulo: Saraiva, 2006.
MANN, P. S.  Introdução à estatística. São Pau-
lo: LTC, 2006.
SILVA, E. M.  Estatística. São Paulo: Atlas, 2007.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
Distribuição binomial
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Ao final da Unidade o aluno deverá ser capaz de com-
preender a aplicabilidade da distribuição binomial e os 
cálculos de probabilidade nessa situação.
COmpetênCias 
O aluno deverá realizar cálculos de probabilidade atra-
vés do uso modelo da distribuição binomial.
Habilidades 
O aluno deverá interpretar o valor de probabilidade 
obtida através da distribuição binomial.
11
estatística 
aplicada À gestão
Distribuição binomial
ApresentAção
Nesta Unidade a distribuição de probabilidade Binomial 
será apresentada. Também será destacado o uso de cal-
culadora para funções Fatorial e Potência.
pArA ComeçAr
Se você lançar uma moeda (honesta) a probabilidade de 
ocorrer cara é igual a ½.
Ao lançar, por exemplo, três moedas também hones-
tas, qual é a probabilidade de ocorrer uma cara?
Veja os cálculos a seguir.
1. Lançamento de uma moeda
Probabilidade de uma cara = ½
2. Lançamento de três moedas
 
P(cara coroa coroa) =
(½) (½) (½) =  1/8
ou +
 
P(coroa cara coroa) =
(½) (½) (½) =  1/8
ou +
 
P(coroa coroa cara) =
(½) (½) (½) =  1/8
A probabilidade de ocorrer uma cara em três lançamen-
tos de moedas é P(uma cara) = ⅜.
Alguns problemas práticos são semelhantes ao pro-
blema de lançamento de várias moedas como visto 
Estatística aplicada à gestão / UA 11 Distribuição Binomial 4
anteriormente. Nessas situações, existem expressões teóricas que permi-
tem facilitar os cálculos de probabilidade de alguns eventos.
As técnicas a serem apresentadas a seguir só poderão ser utilizadas se 
o problema pode ser considerado como um ensaio binomial. 
ensaiO binOmial
Se n moedas honestas são lançadas diz-se que ocorreu um experimen-
to binomial. Um experimento é binomial se as seguintes características 
são válidas:
 → Realização de n experimentos idênticos (no lançamento de três mo-
edas, n = 3);
 → Os experimentos são independentes (o resultado do lançamento de 
uma moeda não influencia no resultado da outra moeda);
 → Cada experimento possui dois resultados: sucesso ou fracasso (cara 
ou coroa);
 → A probabilidade de sucesso (p) não altera em cada experimento (su-
pondo cara como sucesso) a probabilidade de dar cara é ½ em qual-
quer moeda lançada.
distribUiçãO binOmial
O modelo de distribuição binomial permite extrair probabilidades de experimentos 
que apresentam apenas dois resultados, representados genericamente por sucesso ou 
fracasso. (BRUNI, 2008)
Se um experimento tem as características apresentadas no tópico anterior 
e, considerando a variável aleatória desse experimento como o número 
de sucessos, a probabilidade dessa variável aleatória poderá ser calculada 
por uma expressão teórica e denominada de distribuição binomial. 
Deste modo a distribuição de probabilidades da variável aleatória X é 
dada por:
P ( X = x ) = Cn, x × px ( 1 - p )n - x , com x = 0, 1, 2, ..., n
Onde:
p é o valor da probabilidade de ocorrência de sucesso em cada ensaio;
X é o número de sucessos que se quer obter e, pode ser igual a 0, 1, 2, ... 
até n;
n é o número de vezes que se realiza o experimento;
Estatística aplicada à gestão / UA 11 Distribuição Binomial 5
O valor Cn,x corresponde a uma combinação (forma de contagem) 
e é dada por:
Cn, x = 
n!
x! ( n - x )! 
, com n! = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) × .... × 1
exemplo
Sabe-se que 30% das compras numa loja são realizadas por cartão de 
crédito. Se uma loja tem cinco pessoas na fila de pagamento, qual é a pro-
babilidade de dois clientes da fila pagar com o cartão de crédito? 
Esse é um exemplo de ensaio binomial, pois existem cinco clientes na fila 
de pagamento (cinco ensaios n = 5) e cada pessoa pode pagar com cartão 
de crédito ou outra forma de pagamento. A probabilidade de cada cliente 
pagar com cartão de crédito é 0,3 (30%) e esse valor pode ser considerado 
como constante. A variável aleatória (X) será o número de pessoas que 
pagam com cartão de crédito (número de sucessos) e os possíveis resul-
tados são: 0, 1, 2, n (n= 5).
A probabilidade de interesse é P(X = 2), isto é, probabilidade de dois 
clientes pagarem com cartão de crédito (dois sucessos).Como n = 5 (cinco clientes na fila) e p = 0,3 (supondo sucesso como pa-
gamento com cartão de crédito).
A probabilidade de dois clientes (x=2) pagarem com cartão de crédito 
é igual a:
P ( X = 2 ) = C5, 2 × 0,32 ( 1 - 0,3 )5 - 2 = 
5!
2! × 3!
 × 0,09 × 0,343 = 0,3087
E se a fila tiver 10 pessoas, qual seria a probabilidade de dois deles pagar 
com cartão de crédito?
Nesse caso, n = 10 e a probabilidade de exatamente dois deles paga-
rem com o cartão de crédito será igual a:
P ( X = 2 ) = C10, 2 × 0,32 ( 1 - 0,3 )10 - 2 = 
10!
2! × 8!
 × 0,09 × 0,058 = 0,233
Experimentos com resultados múltiplos podem ser tratados como binomiais, quan-
do se consideram apenas dois resultados. Por exemplo: jogar um dado e verificar o 
resultado da face que se apoia na superfície não é uma prova binomial, porém se 
Estatística aplicada à gestão / UA 11 Distribuição Binomial 6
considerarmos sucesso sair 6, e fracasso outro resultado diferente do 6, teremos um 
experimento adequado ao modelo binomial. (MARTINS, 2006, p.107)
esperança e variânCia da distribUiçãO binOmial
Demonstra-se que a esperança (média) e a variância de uma variável ale-
atória com distribuição binomial são iguais a: 
Esperança : E ( X ) = n × p
Variância : VAR ( X ) = n × p ( 1 - p )
Dessa forma, a esperança, a variância e o desvio padrão do exemplo an-
terior com n = 5 e p = 0,3 são:
Esperança : E ( X ) = n × p = 5 × 0,3 = 1,5 pessoa
Variância : VAR ( X ) = n × p ( 1 - p ) = 5 × 0,3 ( 1 - 0,3 ) = 1,05
Desvio padrão : DP ( X ) = 1,05 = 1,025
De cinco pessoas na fila, o número médio de pessoas que pagam com car-
tão de crédito é de 1,5 pessoa e o desvio padrão é 1,025 pessoa (medida 
de variabilidade).
atEnção
A distribuição Binomial tem dois parâmetros: n e p que se 
conhecidos permitem o cálculo das probabilidades, esperan-
ça e variância da distribuição. O n é o tamanho da amostra e 
p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
antena 
pArAbóliCA
Os problemas que poderiam utilizar os modelos da distribui-
ção binomial são mais sutis de se encontrar em jornais, revis-
tas e na internet. Veja o artigo a seguir e, observe que a pro-
porção poderia ser o parâmetro p da distribuição binomial. 
Diminui a proporção de jovens e aumenta a de idosos1
A representatividade dos grupos etários no total da popula-
ção em 2010 é menor que a observada em 2.000 para todas 
as faixas com idade até 25 anos, ao passo que os demais 
grupos etários aumentaram suas participações na última 
década. O grupo de crianças de zero a quatro anos do sexo 
masculino, por exemplo, representava 5,7% da população 
total em 1991, enquanto o feminino representava 5,5%. Em 
2000, estes percentuais caíram para 4,9% e 4,7%, chegando 
a 3,7% e 3,6% em 2010. Simultaneamente, o alargamento 
do topo da pirâmide etária pode ser observado pelo cresci-
mento da participação relativa da população com 65 anos 
ou mais, que era de 4,8% em 1991, passando a 5,9% em 
2000 e chegando a 7,4% em 2010. 
O artigo mostra que as proporções de pessoas com 65 anos 
ou mais passou de p = 0,048 em 1991 para p = 0,074 em 
2010.
Essas informações podem ser relevantes para os empre-
endedores que queiram atuar nesse seguinte do mercado. 
Por exemplo, numa região com 10.000 habitantes, a média 
de idosos (esperança de idosos) é:
E(X) = n × p = 10.000 × 0,048 = 480 idosos em 1991 e 
passou para,
E(X) = n × p = 10.000 × 0,074 = 740 idosos em 2010
Faça uma busca na internet e veja alguma situação onde o 
modelo poderia ser utilizado.
Vamos lá! Você consegue!
1. IBGE, 2010.
e AgorA, José?
O modelo da distribuição binomial estudado nesta Uni-
dade serve para as variáveis aleatórias discretas, isto é, 
quando os possíveis resultados da variável mudam aos 
passos. Por exemplo: número de caras em um lança-
mento de três moedas. Os valores da variável podem ser 
0, 1, 2 e 3 caras. 
Para os problemas que utilizam as variáveis aleatórias 
contínuas, os possíveis resultados da variável normal-
mente estão associados a números reais e estão asso-
ciados a intervalos de valores. 
O cálculo de probabilidade para as variáveis aleatórias 
contínuas são diferentes das variáveis discretas e con-
sequentemente os modelos de probabilidade também 
são diferentes. 
A próxima Unidade apresentará uma das distribuições 
mais utilizadas na prática que é a distribuição normal.
Estatística aplicada à gestão / UA 11 Distribuição Binomial 9
glossário
Experimento Binomial: tipo de experimento 
com n ensaios iguais e independentes, cada 
experimento podendo ter dois resultados 
(sucesso e fracasso) e a probabilidade de su-
cesso em cada ensaio é constante. 
Distribuição Binomial: é uma distribuição de 
probabilidade teórica de uma variável alea-
tória discreta com característica de um ex-
perimento Binomial.
referênCiAs bibliográfiCAs
BRUNI, A. L. �Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008.
MARTINS, A. M. �Estatística Geral e Aplicada. 
São Paulo: Atlas, 2006.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
Distribuição Normal
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Conhecer a função de probabilidades denominada nor-
mal ou De Moivre-Laplace-Gauss, bem como suas pro-
priedades, utilidade e utilização. 
COmpetênCias 
Reconhecer nos problemas da vida prática a utilização 
da distribuição normal.
Habilidades 
Utilizar os conceitos, as tabelas e as propriedades da dis-
tribuição normal na resolução de problemas de outras 
unidades de aprendizagem.
12
estatística 
aplicada à gestão
Distribuição Normal
ApresentAção
Nesta Unidade apresenta-se a variável aleatória com dis-
tribuição normal; suas propriedades, usos e aplicações.
Para cálculos estatísticos relacionados à distribuição 
normal faz-se o uso de tabela de probabilidades. São 
apresentados exemplos e exercícios para fixação.
A distribuição normal é uma das distribuições mais 
utilizadas na estatística. Está preparado?
pArA ComeçAr
A distribuição normal também conhecida como distribui-
ção de De Moivre-Laplace-Gauss é uma das mais conhe-
cidas distribuições estatísticas. Basta falar que o gráfico 
desta distribuição tem a forma de sino para que nos ve-
nha a mente esta função estatística.
FundAmentos
A função de densidade de probabilidade de uma variável 
aleatória normal é definida por dois parâmetros:
µ: média
σ: desvio padrão da população.
A função de densidade é dada por:
f (x)  =  1
σ  2π 
e
- 1
2
 (
x - μ 
2
) 
-∞  ≤  x ≤  ∞
A forma aproximada da função é dada na Figura 1.
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 4
100,0%
média
µ
σ
prOpriedades da fUnçãO de densidade 
de prObabilidade nOrmal
A distribuição normal: 
1. É uma função contínua;
2. É simétrica em relação à média;
3. É caracterizada por dois parâmetros: média µ e desvio padrão σ;
4. O desvio padrão caracteriza a dispersão em torno da média;
5. A área sob a curva define probabilidades: como é simétrica 50% dos 
valores estão à esquerda da média e 50% estão à direita;
6. Possui dois pontos de inflexão nas abscissas µ – ∆ e µ + ∆;
15,87%
-1 10
15,87%
68,26%
7. Aproximadamente 68,26% dos pontos estão entre µ – ∆ e µ + ∆;
Figura 1. Função 
de densidade da 
Distribuição Normal.
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 5
8. Aproximadamente 95,44% dos pontos estão entre µ – 2σ e µ + 2σ;
2,28% 2,28%
95,44%
-2 20
9. É assíntota em relação ao eixo das abscissas. Isto é, as duas caudas 
da distribuição se estendem até o infinito ( –∞ ≤ x ≤ ∞ ).
apliCaçãO
Dada a enorme variedade de combinações entre médias e desvio padrão 
é conveniente fazer-se uma mudança de variáveis para o cálculo de pro-
babilidades associadas à distribuição.
Desta forma, pode-se fazer:
z  = 
x - μ
σ
O que torna a função de densidade igual a:
f (z)  =  1
2π
e
- 1
2
 z
2
 
-∞  ≤  x ≤  ∞
Essa nova distribuição possui média igual a zero e desvio padrão igual a 
1 e é denominada normal reduzida, ou normal (zero, um) ou ainda nor-
mal padrão.
Fazendo-se essa mudança de variável tem uma únicatabela para re-
presentar valores calculados de probabilidades ou de áreas sob a curva 
entre os valores de Z.
atEnção
Como utilizar a tabela da distribuição normal padrão.
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 6
A Tabela 1, a seguir, mostra os valores das probabilidades associadas aos 
valores das abscissas Zc as quais representam a área sob a curva entre o 
valor 0 e o valor de Zc até 4,99.
Com essa informação, observe que esta tabela possui 10 colunas adi-
cionais para representar a segunda casa decimal de Zc: são as colunas 
indicadas por 0,01, 0,02 , ..., 0,09.
Observe: 
A área entre 0 e 1,05 (zc = 1,05) é dada por 0,35314.
Assim:
Prob ( 0 ≤ z ≤ 1,05 )  =  0,35314 ou 35,31%
zo 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1,00 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
lEmbrE-sE
Achou?
Esboce a figura! É bem mais fácil enxergar.
14,69%
35,31%
1,050
O problema inverso é descobrir qual o valor da abscissa quando se conhe-
ce o valor da probabilidade.
Vejamos um exemplo: Calcular o valor de zc quando a área sob a curva 
for 0,475. 
Procurando no corpo da tabela o valor 0,475, tem-se Zc = 1,96.
Figura 2. Figura 
indicativa.
Tabela 1. Valores 
das probabilidades 
associadas aos valores 
das abscissas Zc.
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 7
zo 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670
z0 zc
Figura 3. Distribuição 
normal padrão.
seguNDa casa Decimal De zc
zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09  
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,0
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,1
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,2
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,3
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,4
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,5
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,6
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,7
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,8
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 0,9
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,0
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,1
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 1,2
1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41309 0,41466 0,41621 0,41774 1,3
1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 1,4
1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 1,5
1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 1,6
1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 1,7
1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 1,8
1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 1,9
2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 2,0
2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 2,1
2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 2,2
2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 2,3
2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 2,4
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 8
seguNDa casa Decimal De zc
zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09  
2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 2,5
2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 2,6
2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 2,7
2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 2,8
2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 2,9
3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 3,0
3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929 3,1
3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950 3,2
3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965 3,3
3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976 3,4
3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 3,5
3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989 3,6
3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992 3,7
3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995 3,8
3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997 3,9
4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 4,0
4,1 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49999 0,49999 4,1
atEnção
Fazer sempre a figura da distribuição e localizar nos eixos os 
valores a serem analisados.
Um pOUCO mais de teOria
Uso da distribuição normal quando a media for diferente de zero e o des-
vio padrão diferente de UM. Neste caso basta fazer a mudança de variável 
já indicada.
Exemplo: Seja x uma variável aleatória X com média igual a 20 e desvio 
padrão igual a 2.
Calcular Probabilidade (20 < x < 22).
x20 22 z0 z
Figura 4. Distribuição 
normal padrão com 
média diferente 
de zero e padrão 
diferente de um.
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 9
No intervalo de 20 a 22 existe apenas um desvio padrão, ou seja:
z  = 
x - μ
σ
  = 
22 - 20
2
  =  1
Então: Prob ( 20 < x < 22) = Prob (0 <z < 1) = 0,3413.
Veja na tabela!
lEmbrE-sE
Utilize o Excel nas suas aplicações.
antena 
pArAbóliCA
Consultar as seguintes funções:
1. Função padronizar: retorna um valor normalizado 
de uma distribuição normal caracterizada por uma 
média e um desvio padrão dados.
2. Função dist. normp: retorna o valor da probabili-
dade de -∞ a z;
3. Função inv. normp: retorna o inverso da distribui-
ção acumulada da normal padrão;
4. Função inv. norm: retorna o inverso da distribui-
ção cumulativa normal para a média e o desvio pa-
drão especificados. 
e AgorA, José?
A distribuição normal é muito utilizada em cálculos esta-
tísticos, por exemplo em Intervalos de Confiança, testes 
de hipóteses.
Estes assuntos serão tratados em outras Unidades 
de Aprendizagem.
Estatística aplicada à gestão / UA 12 Distribuição Normal 11
glossário
Distribuição normal: função estatística defini-
da pela média e pelo desvio padrão.
Distribuição normal padronizada: função es-
tatística definida pela média igual a zero e 
pelo desvio padrão igual a um. Possui valo-
res tabelados para facilitar os cálculos. 
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. �Estatística aplicada à gestão em-
presarial. Atlas, 2007.
CRESPO, A. I. �Estatística Fácil. São Paulo: Sa-
raiva, 2009.
MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. �Princípios de Es-
tatística. São Paulo: Atlas, 2006.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
Distribuições amostrais
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Entender a distribuição amostral da média aritmética de 
uma amostra em relação à média da população, bem 
como a distribuição amostral das frequências relativas.
COmpetênCias 
Entender como, a partir de uma amostra, tirar conclu-
sões sobre medidas de posição (média) e de proporções 
de uma população.
Habilidades 
Utilizaros conceitos para calcular a média aritmética, e 
também probabilidades de uma população a partir de 
dados amostrais.
13
estatística 
aplicada à gestão
Distribuições amostrais
ApresentAção
O uso de amostragem já foi enfatizado em outras Unida-
des, nesta Unidade aprenderemos como a partir de uma 
amostra levantar informações de distribuição de probabi-
lidades da média bem como de proporção de amostras.
Um dos conceitos decorrentes de teoremas de distri-
buição amostral é o teorema central do limite que tam-
bém tem muita aplicação na estatística e faz parte do 
tema abordado nesta Unidade.
Está pronto?
pArA ComeçAr
Em época de eleição a estatística é citada diariamente 
na televisão e em jornais. Quem nunca ouviu a frase “O 
candidato X tem 38% de preferência do eleitorado, com 
2 pontos percentuais para mais ou para menos”?
Essas informações colhidas de amostras significativas 
da população de eleitores são repetidas muitas vezes até 
o dia da eleição. Você não gostaria de pesquisar como é 
a legislação sobre amostragem nas eleições?
Nesta Unidade apresentam-se conceitos iniciais de in-
ferência estatística, de amostra aleatória, de estimador 
ou de estatística e alguns resultados de Teoremas sobre 
distribuição amostral das médias amostrais e das frequ-
ências relativas. 
O Teorema Central do Limite, muitas vezes chama-
do de Teorema do Limite Central é apresentado nes-
ta Unidade.
No final da Unidade você estará apto a entender e 
explicar o que significa a média amostral em relação à 
média populacional, a frequência amostral em relação 
à proporção.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 4
atEnção
Inferência ou indução estatística: trata-se de um processo de 
obter informações sobre uma população a partir de resulta-
dos observados na amostra.
FundAmentos
A Figura 1 ilustra este conceito.
Inferência ou
indução estatística
população
N elementos
amostra
n elementos
Observe que N é o número de elementos da população e n é o número de 
elementos da amostra.
amOstra aleatória
Seja x uma variável representativa de uma característica da população.
Uma amostra aleatória desta variável x é o conjunto de n variáveis ale-
atórias (x1, x2, ..., xn) tal que xi (i = 1, 2, ..., n) tem a mesma distribuição da 
variável x.
Na Figura 2 apresenta-se um exemplo deste conceito com os símbo-
los conhecidos.
CaraCterístiCa x
população
N elementos
amostra
n elementos
Média populacional: μ
Variância populacional: σ2
Proporção: p
Média amostral: x
Variância amostral: S2
Frequência amostral: f
Figura 1. Esquema da 
inferência estatística.
Figura 2. Exemplos 
de medidas 
estatísticas de 
uma população e 
de uma amostra.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 5
A pergunta que surge é, conhecendo-se as características da amostra (mé-
dia x , variância S2 ou frequência f ), como obter-se as características ver-
dadeiras da população ( μ , σ2 ou p).
concEito
Definição: Estimador ou estatística é qualquer variável ale-
atória, função dos elementos amostrais.
De modo geral, tendo-se um parâmetro θ representativo de uma popula-
ção designa-se por θ̂ (leia-se téta chapéu) o estimador de θ .
O estimador ou estatística para a média populacional μ é dado por x e 
é calculado em:
x = 
∑ xi
n
O estimador da variância populacional σ2 é dado por S2 e é calculado como:
S2 = 
∑ 
i
(xi - x)2 × fi
n - 1 
, onde f é a frequência.
Lembre-se que as fórmulas para cálculo de média aritmética, desvio pa-
drão e variância já foram apresentados na Unidade 5.
O estimador para a proporção ou probabilidade p de um evento popu-
lacional é dado pela frequência relativa e é calculado como:
p̂  = f = 
x
n
 = 
número de casos favoráveis ao evento na amostra
número total de casos amostrais
atEnção
Definição: Estimativa é o valor numérico do estimador.
distribUições amOstrais
O conceito a seguir é muito importante para o entendimento desta Unidade.
Vamos considerar todas as amostras possíveis de tomando n que po-
dem ser extraídos de uma população.
Se para cada uma das amostras for calculado o valor do estimador (por 
exemplo: x, S2, f ), tem uma distribuição amostral do estimador.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 6
Desta forma, como o estimador é uma variável aleatória pode-se calcu-
lar sua média, variância, desvio-padrão etc.
distribUiçãO amOstral das medias
Sabe-se que x = 
∑ xi
n
 é um estimador da média populacional μ.
Qual é a distribuição amostral de x ?
Existem teoremas básicos para responder a esta pergunta.
O Teorema Central do Limite ou segundo outros autores, Teorema do 
Limite Central para x , nos diz que:
Para uma amostra de tamanho grande (n ≥ 30) a distribuição amostral 
de x é aproximadamente normal, independentemente da distribuição 
da população.
Separando em partes este Teorema pode-se dizer que:
a. A média da distribuição amostral das médias amostrais é dada por:
E( x ) =  μ( x ) =  μ
b. Se a população é infinita ou se a amostragem é com reposição, a 
variância da distribuição amostral das médias é dada por:
σ2 ( x ) = 
σ2
n 
c. Se a população é finita ou se a amostragem é sem reposição, então:
σ2 ( x ) = 
σ2
n (
N - n
N - 1 )
Onde ( N - n
N - 1 ) é o fator de correção para população finita.
d. Finalmente, como a distribuição das médias amostrais pode ser con-
siderada uma normal, pode-se escrever resumidamente:
 → x tem distribuição Normal ( μ, 
σ2
n
 ) quando a população é infinita.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 7
 → x tem distribuição Normal (μ, 
σ2
n (
N - n
N - 1 )) para população finita.
As Figuras 3 e 4 resumem este Teorema:
população
N
amostra
n
Média μ: x :  N (μ, 
σ2
n )
Variância  = σ2 x ∴  N (μ, 
σ2
n ( 
N - n
N - 1 ))
σ
μ
μ
σ
 n
Figura 4. População 
e amostra: Teorema 
Central do Limite.
Figura 3. Resumo 
gráfico do Teorema 
Central do Limite.
Figura 5. 
Transformação na 
Normal padronizada.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 8
Como já conhecemos a Normal padronizada podemos fazer a seguinte 
associação:
z = 
σ
 n
x - μ
  ou  z = 
 ( 
N - n
N - 1 )
σ
 n
x - μ
méDia x frequência
2 1
2,5 2
3 3
3,5 2
4 1
O histograma é apresentado na Figura 6:
fr
eq
u
ên
ci
a
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
2 2,5 3 3,5 4
Vê-se que esta distribuição é simétrica em relação à média. Pode ser con-
siderado uma Normal? Discutir esta pergunta em função do Teorema 
Central do Limite.
distribUiçãO amOstral das freqUênCias relativas
Seja uma população infinita e p a proporção ou probabilidade de um 
evento x. Desta forma (1- p) será a probabilidade de o evento ocorrer.
Seja (x1, x2, .., xn) uma amostra aleatória de n elementos da população e 
seja x o número de sucessos na amostra.
Como p = 
x
n
 e p̂ = 
x
n
 onde p̂ é o estimador da verdadeira proporção.
Figura 6. Distribuição 
de frequências de x.
Tabela 1. Distribuição 
de frequência de x.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 9
Sendo x o número de sucessos na amostra, pode-se entender que x tem 
distribuição binominal (sucesso ou fracasso).
Da distribuição binominal:
E =  ( p )  =  np
Var ( p )  =  npq
Pelo Teorema Central do Limite, para a média é:
E( x ) =  μ
Ou seja, para a proporção será dada por:
E( f ) = E[ np
n ] =  p      Var( f )  = Var( x
n ) = 
npq
n2
 = 
pq
n
(Lembre-se das propriedades da variância)
Resumidamente, f tem distribuição normal com a média p e variância 
np
n
 ou seja:
f : Normal (p, 
pq
n ) se n ≤ 0,05 e também 
f :  Normal (p, 
pq
n 
, ( 
N - n
N - 1
 )) se 
n
N
 ≥  0,05.
exemplO de apliCaçãO
Três cachorros são escolhidos aleatoriamente para uma loja de ração 
para verificação do uso de determinado xampu e verificado se possuem 
ou não pelo curto.
nome Do 
cachorro
pelagem 
curta
Teddy sim
Boris sim
Gold não
Tabela 2. Cachorros 
e pelagem.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 10
A probabilidadede cães que possuem pelo curto é: 
p  = 
Número de cães com pelo curto
Total de cães selecionados
 = 
2
3
Na Tabela 3, tem-se TODOS os grupos contendo 2 cães e a probabilidade 
com relação ao tipo de pelagem. 
grupo probabiliDaDe De 
pelo curto
Teddy e Boris 0
Teddy e Gold 1
Boris e Gold 1
Ou seja:
Frequência de grupos com pelo curto  = 
2
3
Ou seja f = p̂ = 
2
3 
, como queríamos ver.
Tabela 3. Todas as 
amostras possíveis 
de tamanho 2 
e a pelagem. 
antena 
pArAbóliCA
Observar em jornais e revistas passadas, resultados 
de pesquisa eleitoral e comparar com resultado real 
de eleição.
e AgorA, José?
Nesta Unidade são apresentados os principais conceitos 
que serão usados nas Unidades seguintes. 
Será visto como fazer inferência estatística, ou seja, 
como obter informação sobre uma população conhecen-
do-se apenas características de amostras.
Você reparou na figura na página de abertura desta 
Unidade? Com base nas amostras das folhas desta plan-
ta (urtiga) é possível determinar o tamanho médio das 
folhas da urtiga na região onde a planta foi encontrada 
e fotografada.
Estatística aplicada à gestão / UA 13 Distribuições Amostrais 12
glossário
Inferência ou indução estatística: trata-se de 
um processo de obter informações sobre uma 
população a partir de resultados observados 
na amostra. A Figura 1 ilustra este conceito.
Estimador ou estatística: é qualquer variável 
aleatória, função dos elementos amostrais.
Estimativa: é o valor numérico do estimador.
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. �Estatística aplicada à gestão em-
presarial. São Paulo: Atlas, 2007.
CRESPO, A. A. �Estatística Fácil. São Paulo: Sa-
raiva, 2002.
MANN, P. S. �Introdução à estatística. São Pau-
lo: LTC, 2006.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. �Princípios de Esta-
tística. São Paulo: Atlas, 2006.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
intervalo de 
confiança da média
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Calcular o intervalo de confiança da média e compreen-
der o conceito de estimação da média populacional.
COmpetênCias 
Conhecer o cálculo da média, variância e desvio padrão 
de uma amostra. Saber a diferença entre média popula-
cional e amostral e também a diferença entre a variância 
populacional e amostral. 
Habilidades 
Estimar a média populacional calculando o intervalo de 
Confiança com sua margem de erro.
14
estatística 
aplicada à gestão
intervalo de 
confiança da média
ApresentAção
Nesta Unidade será apresentado como calcular o inter-
valo de confiança para a média para os casos de variân-
cia conhecida e desconhecida.
pArA ComeçAr
Você já brincou de adivinhar? Imagine que você deva adi-
vinhar o nome de um filme e você tem direito a três in-
formações do filme. Suponha duas situações e verifique 
qual é a melhor para descobrir o nome do filme?
Situação 1
As informações do filme são:
1. O filme foi produzido nos Estados Unidos;
2. O período em que foi produzido é de 1990 a 2005;
3. O filme passou comercialmente no Brasil.
Situação 2
As informações do filme são:
1. O filme ganhou o prêmio Oscar;
2. O ator principal foi o Leonardo DiCaprio;
3. O filme é sobre um fato verídico de naufrágio.
A segunda situação é a melhor, pois na primeira existem 
vários filmes com as características das informações; con-
sequentemente, piores as condições em acertar o nome 
do filme. Na segunda, o número de filmes com as caracte-
rísticas dadas é pequeno; dessa forma a chance de acer-
tar o nome do filme são maiores. 
Na Estatística, existem técnicas que permitem esti-
mar as medidas populacionais (parâmetros) utilizando 
dados obtidos através de uma amostra. Similarmente à 
brincadeira anterior, quanto melhor a amostra, isto é, 
quanto mais representativo a amostra melhores serão 
os resultados.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 4
FundAmentos
inferênCia estatístiCa
O processo de analisar as características (parâmetros) da população (mé-
dia populacional, variância populacional, proporção populacional ou forma 
da distribuição populacional) utilizando dados da amostra é chamado de 
Inferência Estatística. A Figura 1 ilustra o processo de Inferência Estatística.
Por exemplo, se uma empresa precisa contratar um técnico em infor-
mática, é de interesse conhecer a média salarial desta profissão e oferecer 
um salário compatível com o mercado. 
Supondo que não exista nenhuma informação disponível para consul-
ta, existem duas formas de obter essa informação. A primeira é entrevis-
tar todos os técnicos em informática e calcular a média salarial (média po-
pulacional) desses profissionais. Esse procedimento é geralmente inviável 
devido ao tempo e o custo necessário para obtenção de todos os dados.
A segunda é selecionar uma amostra e, através dela, obter uma esti-
mativa da média populacional. A vantagem deste procedimento é o baixo 
custo e rapidez na obtenção dos resultados. 
A desvantagem é a possibilidade de cometer um erro na estimação.
Neste exemplo, a população corresponde a todos os técnicos de in-
formática e a característica populacional de interesse é a média salarial 
(parâmetro representada por μ) de todos os técnicos de informática. Se 
selecionarmos dez técnicos de informática (amostra de tamanho dez) e 
calcularmos a média dessa amostra (representada por x ) tem-se uma 
estimativa da média populacional. Esse é um exemplo simples de inferên-
cia estatística. 
estimação de μ
amostra: n = 10 
População: todos os técnicos 
em Informática
Variável de Interesse: Salário
Parâmetros: Média (μ)
Amostra: Salários de dez técnicos
2.300 2.100 2.500 2.450 2.300
2.000 1.900 1.450 2.100 2.800
 
Estatística : Média: x = 2.190
Figura 1. Processo de 
Inferência Estatística.
Fonte: autores, 2012.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 5
... o objetivo da Inferência Estatística é produzir afirmações sobre cada característica 
da população, na qual estamos interessados, a partir de informações colhidas de uma 
parte da população. (BUSSAB e MORETTIN, 2009) 
A seguir descrevem-se dois tipos de estimadores, o estimador pontual (es-
timativa com um único valor) e o intervalo de confiança (estimativa pontu-
al com margem de erro).
estimadOr pOntUal 
As expressões matemáticas utilizadas para estimar parâmetros popula-
cionais através de dados amostrais são denominadas de estimadores. 
Por exemplo, o estimador da média populacional, μ, é a média amostral 
dado por: 
x  = 
∑ 
n
i = l
xi 
n  
,
já visto na Unidade 3. Ao substituir os dados da amostra nas expressões 
dos estimadores o resultado numérico é denominado de estimativa.
Por exemplo, na Figura 1 o valor da média salarial de R$ 2.190,00 foi 
calculado de uma amostra de tamanho 10 e, ela é uma estimativa pontual 
da média populacional (µ), pois a população é composta de milhares de 
técnicos de informática.
Na Estatística, os parâmetros populacionais e as estatísticas amostrais 
têm representações distintas. O entendimento dessas representações 
é importante uma vez que as fórmulas a serem apresentadas exigem 
tal conhecimento. Apresenta-se a seguir os parâmetros e seus respecti-
vos estimadores:
parâmetro estimador
média μ x  = 
∑ 
n
i = l
xi 
n
variância σ2
S2  = 
∑ 
n
i = l
(xi - μ)2
 
n - 1
desvio padrão σ S = S2
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 6
estimadOr intervalar
Como as estimativas são obtidas a partir de uma amostra, isto é, de uma 
parte da população, o valor obtido na amostra deve diferir do valor po-
pulacional. É de interesse do pesquisador medir a diferença entre o valor 
obtido na amostra com o valor populacional e, a esta diferença denomina-
-se erro amostral. 
Quando junta-se a estimativa pontual e a margem de erro (para mais 
e para menos) obtém-se outro tipo de estimador denominado estimador 
intervalar e, mais conhecido como intervalo de confiança.
...além de uma estimativa pontual sobre o comportamento do que se estuda, costuma-
-se associar uma margem de erro,ou um erro inferencial. O processo de estimação 
costuma apresentar intervalos de confiança para a grandeza analisada. (BRUNI, 2008)
As expressões dos intervalos de confiança são obtidas através da distri-
buição amostral e, neste texto, descreveremos as distribuições a serem 
utilizadas sem detalhar as características das distribuições amostrais.
Se a distribuição amostral da média tem a forma da Figura 2. A região 
delimitada entre l1 e l2 corresponde a um valor de probabilidade de γ, 
isto é:
P ( l1 ≤  x  ≤ l2 )  =  γ
2,5%
γ  =  95%
2,5%
l1 l2
Os valores de l1 e l2 são os limites do intervalo de confiança e γ é chamado 
de coeficiente de confiança do intervalo de confiança. As duas caudas fora 
dos limites serão representadas por alfa (α) e cada cauda por, α /2. 
Nesta unidade, apresentam-se duas expressões de intervalo de con-
fiança para estimar a média populacional, e o uso de cada uma delas de-
pende do conhecimento ou não da variância populacional.
Figura 2. Distribuição 
amostral da média 
com região central 
limitado de l1 a l2 de 
área igual a γ = 0,95.
Fonte: autores.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 7
A primeira expressão é aplicada quando a variância populacional (σ2) é 
conhecida. Nesta condição, a distribuição amostral é associada a uma dis-
tribuição normal e o intervalo de confiança da média é dado por:
x  ±  zγ 
σ
n
estimador pontual margem de erro
O valor zγ da expressão do intervalo de confiança é obtido da tabela da 
normal padrão (dada na Unidade de Aprendizagem 12) e, seu valor de-
pende de γ. Na prática, os valores mais utilizados de γ são 90%, 95% e 99% 
e, seu valor é especificado pelo analista da pesquisa. Consequentemente, 
os valores de α serão 10%, 5% e 1%, respectivamente.
Como exemplo, suponha γ = 95%, isto é, quando a área central vale 
0,95 e, cada metade vale 0,475, conforme mostra a Figura 3. Procure na 
tabela da normal padrão o valor aproximado de 0,475 na parte central da 
tabela, e obtenha o zγ conforme mostra a Figura 3. O valor obtido é zγ = 
1,96.
A seguir mostram-se os valores de z para os coeficientes de confiança 
mais utilizados na prática:
Coeficiente de confiança (γ): 90% 95% 99%
segunda casa decimal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,065 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 : : : : : : : : : :
1,5 : : : : : : : : : :
1,6 : : : : : : : : : :
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4003 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
0,4750,475
0
Figura 3. Modo de 
obter z da tabela 
da normal padrão.
Fonte: autores, 2012.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 8
Valores de zγ: 1,65 1,96 2,58
Obs.: Utilizaremos esses valores em alguns exercícios que se seguem.
exemplo
O tempo para um novo profissional de Telemarketing falar com um clien-
te está sendo analisado e, o chefe do departamento gostaria de saber a 
média do seu tempo de atendimento. Sabe-se que o desvio padrão do 
tempo de atendimento dos telefonistas é de 1,2 minuto (suponha como 
desvio padrão da população). Calcular o intervalo de confiança do tempo 
médio desse novo empregado utilizando os dados de uma amostra com 
12 tempos de atendimento realizado por ele. Utilize o coeficiente de con-
fiança de 90%.
3 5 6 3 4 5 5 6 7 2 4 5
Solução: 
Como o desvio padrão da população é conhecido, σ = 1,2, pode-se utilizar 
a expressão do intervalo de confiança: 
x  ±  zγ 
σ
n
Para γ = 0,90, o valor aproximado de zγ é de 1,65. (na tabela z, o valor fica 
entre 1,64 e 1,65). Com a média amostral de x = 4,58 e, substituindo os 
valores na expressão anterior:
x  ±  zγ 
σ
n  
  →    4,58  ±  1,65 
1,2
12
    →    4,58  ±  0,57
Somando e subtraindo a margem de erro na média tem-se os limites do 
intervalo de confiança da média populacional de 4,01 e 5,15. Estima-se 
que o tempo médio de atendimento está no intervalo de 4,01 ---------- 5,15 
com coeficiente de confiança de 90%. 
interpretaçãO dO intervalO de COnfiança
Se o mesmo procedimento fosse realizado inúmeras vezes, digamos m 
vezes, haverá m intervalos de confianças e, 90% desses intervalos devem 
conter a média populacional (m) e 10% deles não conterão. Dessa forma, 
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 9
diz-se que com confiança de 90% o intervalo 4,01 ------ 5,15 deve conter a 
média populacional. 
A segunda expressão do intervalo de confiança da média é aplicada 
quando a população tem distribuição normal e a variância populacional 
(σ2) é desconhecida. Esta é a situação que ocorre na maioria dos proble-
mas práticos uma vez que é difícil conhecer um parâmetro populacional. 
Se a variância populacional é desconhecida deve-se estimá-la através da 
variância amostral (σ2) e, o intervalo de confiança da média tende a ter 
uma margem de erro maior e, é dado por:
x  ±  tγ  s
n
estimador pontual margem de erro
Lembre-se que s é o desvio padrão da amostra e é igual à raiz quadrada 
da variância. Os cálculos das variâncias e desvio padrão foram apresenta-
dos na Unidade 5.
Esse intervalo de confiança utilizará a distribuição chamada t de Stu-
dent e, o formato dela assemelha-se da distribuição normal padrão mas é 
mais achatada. Existem várias distribuições t de Student e o nível de acha-
tamento da distribuição depende de um parâmetro chamado de grau de 
liberdade (GL), conforme ilustra a Figura 3. Para cada grau de liberdade, 
existe uma distribuição t e, quanto maior o grau de liberdade menos acha-
tada é a distribuição e, ela tende a distribuição normal conforme mostra 
a Figura 4.
Normal ou t-Student: 
com GL muito grande
t-Student:
com GL pequeno
t-Student:
com GL médio
Figura 4. Os gráficos 
das distribuições 
t-Student (achatado) 
tendem a uma 
distribuição Normal 
quando o grau de 
liberdade torna-se 
muito grande.
Fonte: autores.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 10
Como existem muitas distribuições t de Student, desenvolveu-se uma ta-
bela que resume várias dessas distribuições numa única tabela chamada 
Tabela t-Student (a tabela encontra-se no final desta Unidade) e, com o 
propósito de obter o valor de tγ, para um determinado grau de liberdade 
e para os seguintes valores da cauda direita: 0,10; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 
0,001. Veja a Figura 5.
O grau de liberdade no cálculo do intervalo de confiança da média será 
igual a (n-1), isto é, tamanho da amostra menos um.
Como exemplo, suponha que o coeficiente de confiança seja de 95% (γ 
= 95%) e tamanho da amostra seja de 19, n = 19. Como a parte central vale 
0,95, cada cauda (direita e esquerda) valem 0,025. Com 0,025 (2,5%) na li-
nha primeira linha da tabela e com grau de liberdade igual a n-1 = 19-1=18 
(primeira coluna da tabela t-Student) tem-se o valor de tγ. Veja a Figura 5.
O valor de tγ será igual a 2,101 quando o grau de liberdade é de 18 e a 
probabilidade da cauda direita é de 0,025.
Vejamos o mesmo exemplo anterior, mas sem a informação da variân-
cia populacional.
grau de liber-
dade
área da cauda superior  
0,10 0,05 0,025 0,020 0,010 0,005 0,001
1 3,078 6,314 12,706 15,895 31,821 63,657 318,309
2 1,886 2,920 4,303 4,849 6,965 9,925 22,327
: : : : : : : :
: : : : : : : :
18 1,330 1,734 2,101 2,214 2,552 2,878 3,610
19 1,328 1,729 2,093 2,205 2,539 2,861 3,579
20 1,325 1,725 2,086 2,197 2,528 2,845 3,552
: : : : : : : :
: : : : : : : :
50 1,299 1,676 2,009 2,109 2,403 2,678 3,261
500 1,283 1,648 1,965 2,059 2,334 2,586 3,107
∞ 1,282 1,645 1,960 2,054 2,327 2,577 3,092
tc
GL = 18
Figura 5. Modo de 
obtenção do valortγ da distribuição 
t-Student.
Fonte: autores.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 11
exemplo
O tempo para um novo profissional de Telemarketing falar com um clien-
te está sendo analisado, e o chefe do departamento gostaria de saber a 
média do seu tempo de atendimento. Calcular o intervalo de confiança do 
tempo médio desse novo empregado utilizando os dados de uma amos-
tra com 12 tempos de atendimento realizado por ele. Utilize o coeficiente 
de confiança de 90%.
3 5 6 3 4 5 5 6 7 2 4 5
Observação: 
Essa situação é mais realista, uma vez que o desvio padrão populacional 
do candidato pode ser diferente da maioria das pessoas. 
Solução: 
Supondo que a distribuição populacional seja normal e, calculando a média 
e o desvio padrão (amostral) dos dados tem-se: x = 4,58 e s = 1,44.
A variância é calculada por: 
s2  = 
( 3 - 4,58 )2  +  ( 5 - 4,58 )2  +  ( 6 - 4,58 )2  +  ...  +  ( 5 - 4,58 )2
12 - 1
  =  2,08
E o desvio padrão é:
S = 2,08  =  1,44
Como o tamanho da amostra foi de n = 12 o grau de liberdade será GL= 
n – 1 = 11 e, para coeficiente de confiança de 90% a cauda do lado direito 
será de 5% (0,05). O valor de tγ será de 1,796 e o intervalo de confiança 
será de: 
x  ±  tα  s
n
    →    4,58  ±  1,796  1,44
12
    →    4,58  ±  0,75
Somando e subtraindo a margem de erro da média amostral temos os 
limites do intervalo de confiança da média populacional de 3,83 e 5,33. 
Estima-se que o tempo médio de atendimento está no intervalo de 3,83 
-------- 5,33 com coeficiente de confiança de 90%.
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 12
Interpretação: 
Se o mesmo procedimento fosse realizado inúmeras vezes, digamos m 
vezes, haverá m intervalos de confiança e, 90% desses intervalos devem 
conter a média populacional (μ) e 10% deles não conterão. Dessa forma, 
diz-se que o intervalo o intervalo 3,83 ----- 5,33 deve conter a média popu-
lacional com confiança de 90%. 
Situações com tamanho de amostras grandes, isto é, amostras com 
muitos dados. A tabela t não poderá ser utilizada devido a limitação de 
espaço na linha do grau de liberdade. Veja que a tabela t de Student (em 
anexo) tem o maior grau de liberdade limitado em 45. Desta forma, amos-
tras com tamanho acima de 46 (grau de liberdade é de n – 1) não podem 
identificar o valor de tγ.
Nessas situações pode-se aproximar o valor de tγ para zγ pois a distri-
buição t tende a uma normal quanto maior o grau de liberdade. Muitos 
autores consideram essa aproximação para amostras maiores ou iguais 
a 30 (-n ≥ 30). 
Alguns valores de zγ estão disponíveis na tabela t e, elas podem ser ob-
servadas na última linha da coluna do grau de liberdade e indicado pelo 
símbolo do infinito (∞).
x  ±  tα  s
n  
    → 
n ≥ 30
    x  ±  zα  s
n
   
exemplo
Pesquisa de mercado sobre a idade dos consumidores de um produto. 
Numa amostra de tamanho 50 com média igual a 25 anos e desvio pa-
drão de 3 anos. Qual é o intervalo de confiança da idade média de todos 
os consumidores deste produto usando coeficiente de confiança de 95%?
Solução:
Dados da amostra: x = 25 e s = 3.
Apesar do desvio padrão populacional ser desconhecido (σ = ?), como o 
tamanho da amostra é grande ( n ≥ 30) faz-se a aproximação do valor de 
t para z e o intervalo de confiança será:
x  ±  tα  s
n  
    → 
n ≥ 30
    x  ±  zα  s
n
    ⇒
  ⇒  25  ±  1,96  3
50
    ⇒    25  ±  0,83
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 13
Os limites do intervalo de confiança serão 24,17 e 25,83. Estima-se que a 
média dos consumidores esteja no intervalo de 24,17 ------ 25,83 com coe-
ficiente de confiança de 95%.
Interpretação: 
Se várias amostras de tamanho 50 fossem observadas, digamos m ve-
zes, haverá m intervalos de confiança e, 95% desses intervalos devem 
conter a média populacional (µ) e 5% deles não conterão. Dessa forma, 
diz-se que com confiança de 95% o intervalo 24,17 ------- 25,83 deve conter 
a média populacional.
antena 
pArAbóliCA
Internauta tem alto nível de instrução e renda1 
Em São Paulo 
A maioria dos usuários do UOL (62%) tem nível superior 
e vem de famílias (64%) com renda acima de R$ 2.000 
por mês. Na média, o internauta tem 29 anos de idade. O 
público feminino navega cada vez mais, mas os homens 
ainda são maioria: 65%. 
Essas conclusões resultam de levantamento do insti-
tuto de pesquisas Datafolha, cujo trabalho de campo foi 
feito entre 13 e 17 de maio último e ouviu 607 dos usuá-
rios assíduos do UOL. [...] 
Metodologia da pesquisa 
A pesquisa do Datafolha é um levantamento com sorteio 
aleatório dos entrevistados. O conjunto de assinantes 
do UOL é tomado como universo. Nesse levantamento, 
realizado entre os dias 13 e 17 de maio, foram sortea-
das 607 assinaturas residenciais, sendo entrevistada em 
cada uma a pessoa que mais usa o UOL. A margem de 
erro decorrente desse processo de amostragem é de 4 
pontos percentuais para o total da amostra, para mais 
ou para menos, dentro de um intervalo de confiança de 
95%. Isso significa que, se fossem realizados 100 levan-
tamentos com a mesma metodologia, em 95 deles os 
resultados estariam dentro da margem de erro prevista. 
Vejamos na matéria alguns elementos estudados nesta 
Unidade. A população do estudo seria a totalidade dos 
assinantes do provedor da internet, o tamanho da amos-
tra foi de 607, o coeficiente de confiança foi de 95% e 
a afirmação de que a renda é superior a 2000 por mês 
pode ter sido anunciado após o cálculo do intervalo de 
confiança da média (os limites do intervalo devem ser 
maiores que 2000).
1. UOL, 1999.
e AgorA, José?
O intervalo de confiança é uma das técnicas de Inferên-
cia Estatística mais utilizada para a estimação de pa-
râmetros populacionais. Nesta Unidade estudou-se a 
estimativa da média populacional, e de acordo com as 
condições da pesquisa (variância ou desvio padrão po-
pulacional conhecido ou não) escolhia-se as expressões 
para um determinado coeficiente de confiança.
Na próxima Unidade estudaremos o intervalo de con-
fiança para a proporção. Lembre-se de que a proporção 
normalmente está associada a variáveis que apresentam 
dois resultados como sexo (masculino e feminino), fu-
mante (sim e não) e outros tipos de variáveis que podem 
ser associados a sucesso e fracasso. 
Até a próxima Unidade!
Estatística aplicada à gestão / UA 14 Intervalo de Confiaça da Média 16
glossário
Inferência Estatística: é o processo de realizar 
afirmações sobre parâmetros populacionais 
utilizando dados amostrais. 
Estimador: expressão matemática utilizada 
para calcular a estimativa de um parâmetro 
populacional
Intervalo de confiança: é o estimador interva-
lar de um parâmetro populacional
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. �Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008.
BUSSAB, W. ; MORETTIN, P. A. �Estatística Bási-
ca. São Paulo: Saraiva, 2009.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
intervalo de confiança 
para proporção
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Calcular o intervalo de confiança da proporção e inter-
pretá-lo. 
COmpetênCias 
Conhecer os conceitos de frequência relativa (propor-
ção) e variáveis discretas.
Habilidades 
Estimar a proporção populacional através do intervalo 
de confiança.
15
estatística 
aplicada à gestão
intervalo de confiança 
para proporção
ApresentAção
Nesta Unidade será apresentado como calcular o inter-
valo de confiança para a proporção.
pArA ComeçAr
Imagine que uma pessoa deva responder ao seguinte 
questionário:
1. Idade: _____________________
2. Peso: _____________________
3. Sexo: _____________________
4. Fumante? _____________________
Dentre as questões apresentadas, qual delas pode ter 
somente dois resultados possíveis?
A resposta óbvia seria as questões de Sexo (Masculino 
ou Feminino) e Fumante? (Sim ou Não).
As outras variáveis, idade e peso, podem resultar em 
vários números, mas é possível transformá-las em so-
mente dois resultados. Na variávelidade, pode-se estar 
interessado em pessoas idosas; dessa forma, se a idade 
for igual ou acima de 60 anos pode-se rotular como ido-
so e, caso contrário, não idoso. Na variável peso, pode-
-se estar interessado em pessoas com peso superior a 
100 kg ou não. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, analisam-se as va-
riáveis que tenham dois resultados possíveis e, nesse 
caso, estuda-se a proporção ou a porcentagem que pos-
suem determinada característica de interesse. Por exem-
plo: a porcentagem de fumantes ou a porcentagem de 
idosos numa comunidade. 
Estatística aplicada à gestão / UA 15 Intervalo de Confiança para Proporção 4
FundAmentos
A proporção de uma amostra é a fração da quantidade de elementos com 
uma determinada característica sobre o tamanho da amostra. Suponha 
que numa amostra de 200 estudantes de um determinado curso, esteja-
mos interessados em saber a proporção de pessoas do sexo feminino. Se 
135 delas são mulheres, a proporção desta amostra será :
p̂ = 
135
200
  =  0,675
Isto é, 67,5% desta amostra são do sexo feminino.
A notação adotada para a proporção da população será p e a propor-
ção amostral será p̂. A Figura 1 mostra as notações adotadas e o processo 
de inferência estatística para estimar a proporção populacional.
estimadOr pOntUal da prOpOrçãO
A proporção amostral é dada por:
p̂ = 
f
n
Onde f é a frequência de ocorrência de uma característica de interesse e 
n o tamanho da amostra. 
Por exemplo: Numa fábrica, escolheu-se aleatoriamente 50 pessoas 
(amostra de tamanho 50) e, cada uma delas deveria responder se são 
Fumantes (F) ou não (N). Os dados obtidos da pesquisa foram:
n n f n n n n f n f
n n n f n n n n n f
n n n f n n f n f n
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
Como oito pessoas responderam serem fumantes, a proporção de fuman-
tes dessa amostra é:
p̂ = 
f
n
  = 
8
50
  =  0,16
Ou 16% de fumantes.
Estatística aplicada à gestão / UA 15 Intervalo de Confiança para Proporção 5
estimação de p
amostra: n = 50 
População: todos os empregados 
da fábrica
Questão: Fumantes?
Parâmetros: Proporção (p)
Amostra: 50 respostas
n n f n n n n f n f n
n n n f n n n n n f n n n
n n n f n n f n f n n n n
n n n n n n n n n n n n n
 
Estatística : Proporção: 
p̂ = 
8
50
  =  0,16
intervalO de COnfiança para a prOpOrçãO 
Os procedimentos que envolvem a estimativa de proporções populacionais a partir 
de dados amostrais são similares aos procedimentos empregados na estimativa de 
médias populacionais. Para grandes amostras a distribuição amostral das proporções 
é aproximadamente normal. (BRUNI, 2008)
Segundo BUSSAB e MORETTIN (2009) a distribuição amostral da pro-
porção amostral é aproximadamente normal com média p e variância 
p(1-p)/n. 
Sabendo que a distribuição amostral da proporção aproxima-se da 
distribuição normal o intervalo de confiança será dada pela expressão 
a seguir:
p̂  ±  zγ  p̂ × ( 1 - p̂)
n
estimador pontual margem de erro
Onde zγ é o valor z da distribuição normal padrão quando a parte central 
da distribuição tem área de γ.
Obs.: A expressão do intervalo de confiança para a proporção é ade-
quada quando duas condições forem verdadeiras:
n p̂ ≥ 5 e n ( 1 - p̂ ) ≥ 5
Figura 1. 
Representação 
o processo de 
inferência estatística 
da proporção e o 
cálculo da proporção 
amostral.
Estatística aplicada à gestão / UA 15 Intervalo de Confiança para Proporção 6
Do exemplo anterior a proporção de fumantes numa amostra de n = 50 
foi de p̂ = 0,16.
Como as condições para o uso da expressão do intervalo de confiança 
são válidas, isto é, np̂ = 50 × 0,16 = 8 e np̂(1 – p̂) = 50 × (1 – 0,16) = 42, são 
maiores que 5, o intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 
90% será:
p̂  ±  zγ  p̂ × ( 1 - p̂)
n
    ⇒    0,16  ±  1,645  0,16 × ( 1 - 0,16)
50
    ⇒
    ⇒    0,160  ±  0,085
O intervalo de confiança é de ] 0,075; 0,245 [, isto é, a porcentagem de 
fumantes dessa indústria está entre 7,5% a 24,5% com coeficiente de con-
fiança de 90%.
intepretaçãO
Se várias amostras de tamanho 50 forem selecionadas, haverá 90% de in-
tervalos de confiança que conterão a proporção populacional e o restante 
não conterão. Dessa forma, tem-se uma confiança de 90% de que a propor-
ção de fumantes da populacional esteja entre 7,5% a 24,5%.
atEnção
O intervalo de confiança da proporção representa uma esti-
mativa intervalar da proporção populacional com coeficiente 
de confiança de γ%.
antena 
pArAbóliCA
Vamos analisar a matéria já apresentada na Unidade ante-
rior, mas analisando o intervalo de confiança de proporção.
Internauta tem alto nível de instrução e renda1 
Em São Paulo 
A maioria dos usuários do UOL (62%) tem nível superior 
e vem de famílias (64%) com renda acima de R$ 2.000 
por mês. Na média, o internauta tem 29 anos de idade. O 
público feminino navega cada vez mais, mas os homens 
ainda são maioria: 65%. 
Essas conclusões resultam de levantamento do insti-
tuto de pesquisas Datafolha, cujo trabalho de campo foi 
feito entre 13 e 17 de maio último e ouviu 607 dos usuá-
rios assíduos do UOL. [...] 
Metodologia da pesquisa 
A pesquisa do Datafolha é um levantamento com sorteio 
aleatório dos entrevistados. O conjunto de assinantes 
do UOL é tomado como universo. Nesse levantamento, 
realizado entre os dias 13 e 17 de maio, foram sortea-
das 607 assinaturas residenciais, sendo entrevistada em 
cada uma a pessoa que mais usa o UOL. A margem de 
erro decorrente desse processo de amostragem é de 4 
pontos percentuais para o total da amostra, para mais 
ou para menos, dentro de um intervalo de confiança de 
95%. Isso significa que, se fossem realizados 100 levan-
tamentos com a mesma metodologia, em 95 deles os 
resultados estariam dentro da margem de erro prevista. 
Vejam que foram analisadas várias proporções como:
 → Proporção que compram CD ao menos uma vez 
por mês (54%);
 → Proporção que compram roupas ao menos uma 
vez por mês (31%);
1. UOL, 1999.
 → Proporção que compram livros ao menos uma vez 
por mês (27%).
O coeficiente de confiança utilizada foi de 95%, o tama-
nho da amostra foi de 607 e a margem de erro foi de 4%.
Usando a expressão do intervalo de confiança da pro-
porção, onde o segundo termo é a margem de erro e 
substituindo os valores da proporção que compram CD 
ao menos uma vez ao mês, temos:
p̂  ±  zα  p̂ × ( 1 - p̂)
n
   
⇒    1,96  0,54 × ( 1 - 0,54)
607
  =  0,04  =  4% 
Substitua os outros valores e alguns resultados darão 
menores que 4%, indicando que a apresentação do re-
sultado foi conservador, isto é, apresentou o maior erro 
possível nos resultados.
Vamos lá! Você consegue!
e AgorA, José?
O intervalo de confiança é uma das técnicas de inferên-
cia estatísticas mais utilizadas para estimar os parâme-
tros populacionais. Você deve ter percebido na seção 
Antena Parabólica as inúmeras possibilidades de estudo 
usando as proporções. 
Outra técnica muito utilizada na Inferência Estatística 
é o Teste de Hipóteses. Esse procedimento é muito uti-
lizado para verificar se algumas afirmações sobre a po-
pulação podem ser verdadeiras usando dados de amos-
tras. Por exemplo, se renda dos assalariados aumentou, 
se o índice de analfabetismo diminuiu, se o preço de um 
produto diminuiu etc.
Estatística aplicada à gestão / UA 15 Intervalo de Confiança para Proporção 9
glossário
Proporção: é o quociente entre a frequência de 
um mesmo resultado sobre o número total 
da amostra. 
Intervalo de confiança da proporção: é o es-
timador intervalo da proporção populacional.
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. �Estatística Aplicada à Gestão 
Empresarial. São Paulo: Atlas, 2008.
BUSSAB, W. ; MORETTIN, P. A. �Estatística Bási-
ca. São Paulo: Saraiva, 2009.
gestão empresarial
Estatística aplicada à GEstão
teste de hipótese
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Saber o que é um teste de hipótese, ou seja, conhe-
cer a maneira que permita verificar se os dados amos-
trais trazem evidências que apoiem ou não uma hipó-
tese formulada.
COmpetênCias 
Reconhecer quando umahipótese deve ser aplicada ou 
não mediante a um problema formulado. 
Habilidades 
Utilizar as fórmulas para saber calcular os testes de hipó-
tese suas diversas aplicações e tomada de decisão. 
16
estatística 
aplicada à gestão
teste de hipótese
ApresentAção
Nesta Unidade apresenta-se como a partir de dados 
amostrais fazer hipóteses sobre uma população e como 
testar essas hipóteses.
A aceitação ou não de uma hipótese sobre a média 
populacional depende da probabilidade de ocorrência 
de tipos de erros que podem ocorrer.
Veremos também como interpretar os valores de p-
-value para aceitação ou rejeição de uma hipótese.
Vamos nessa?
pArA ComeçAr
Em estimação o objetivo é “estimar” o valor desconhe-
cido de uma determinada característica em uma popu-
lação. Por exemplo, estimar a média μ da população. 
A estimativa é baseada na média de elementos com a 
característica, calculada a partir de uma amostra casual 
simples de tamanho n. 
Entretanto, se o objetivo for saber se o valor observa-
do de nessa amostra, dá ou não suporte a uma conjectu-
ra sobre o valor de μ, trata-se de testar hipóteses.
FundAmentos
1. teste de Hipótese
O teste de Hipótese faz parte da Estatística Inferencial. 
É um procedimento que usa a estatística amostral para 
testar uma alegação sobre um parâmetro populacional. 
Pesquisadores de campo que vão desde a Medicina até a 
política contam com os testes de hipótese para a tomada 
de decisões sobre a colocação de um novo produto no 
mercado ou o resultado das eleições.
O objetivo da decisão estatística é utilizar ferramentas 
para verificar a validade de uma determinada hipótese. 
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 4
Para isso utilizam-se dados da amostra. Geralmente, formulamos uma hi-
pótese inicial de trabalho sobre um determinado parâmetro populacional 
(μ, σ, p etc.) ou sobre o comportamento dos dados (O atributo X segue a 
distribuição normal; o atributo X segue a binomial; etc.)
Hipóteses: De uma maneira geral, uma hipótese estatística é uma 
afirmação ou conjectura sobre um parâmetro da distribuição de uma va-
riável aleatória. 
exemplos
O tratamento A apresenta melhores resultados do que o tratamento B.
A proporção de caras em lançamentos de moedas é de 0,50.
Sempre testamos uma hipótese inicial (chamada na estatística de hipó-
tese nula (H0)) que será uma igualdade, contra uma hipótese alternativa 
(H1) que será uma desigualdade.
 → A hipótese nula H0 contém uma alternativa de igualdade, tal como 
≤ , = ou ≥.
 → A hipótese alternativa Ha contém uma afirmativa de desigualdade, 
tal como < , ≠ ou >.
Dos exemplos acima, podemos ter:
exemplo 1
O tratamento A apresenta melhores resultados do que o tratamento B
 → H0: pA = pB (proporção de curados de A é igual a proporção de cura-
dos de B) 
 → H1: pA > pB (proporção de curados de A é maior que de B)
exemplo 2
A proporção de caras em lançamentos de moedas é de 0,50.
 → H0: p = 0,5 (proporção de caras é de 0,50)
 → H1: p ≠ 0,5 (proporção de caras é diferente de 0,50).
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 5
Afirmativas complementares:
dica
Se eu sou falso, você é verdadeiro ou se eu sou verdadeiro, 
você é falso.
2. estabeleCendO a Hipótese
Estabeleça uma alegação sobre a população. Em seguida, estabeleça 
seu complemento. 
Cada hipótese, tanto a nula quanto a alternativa, pode representar 
a alegação. 
Um hospital alega que o tempo de resposta de sua ambulância é infe-
rior a dez minutos.
Alegação:
H0: μ ≥ 10 min
Ha: μ < 10 min
Uma revista de consumidores alega que a proporção das chamadas te-
lefônicas via celular feitas durante as tardes e os fins de semana é de no 
máximo 60%.
Alegação:
H0: p ≤ 0.60
Ha: p > 0.60
3. tipOs de errOs
Um erro do tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando ela for 
realmente verdadeira.
Um erro do tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada quando 
ela for realmente falsa.
Resultados possíveis de um teste de hipótese:
decisão a verdade real de h0
não rejeitar H0 decisão correta erro do tipo II
rejeitar H0 erro tipo I decisão correta
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 6
3.1. Nível de SigNificâNcia 
Probabilidade máxima de se cometer um erro do tipo I. Ela é denotada 
por α (alfa).
Probabilidade máxima de se cometer um erro do tipo II. Ela é denota-
da por β (Beta).
3.1.1. TipoS de TeSTeS
teste monocaudal direito 
ha : μ > valor
0
Ha é mais provável
teste monocaudal esquerdo 
ha : μ < valor
0
Ha é mais provável
teste bicaudal 
ha : μ ≠ valor
0
Ha é mais provável
atEnção
O valor P é a probabilidade de se obter uma estatística 
amostral com um valor tão ou mais extremo que o determi-
nado pelos dados da amostra.
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 7
valor p = área indicada 
00
área na cauda esquerda
z
área na cauda direita
z
Em um teste monocaudal esquerdo. Em um teste monocaudal direito.
0
Se z é negativo, P é o dobro 
da área da cauda esquerda.
Se z é positivo, P é o dobro 
da área da cauda direita.
Em um teste bicaudal.
zz
exemplo 1
Uma universidade alega que a proporção dos seus estudantes que se gra-
duam em anos é 82%.
Resolução:
H0: P = 0,82 a proporção de estudantes graduados em quadro anos é 
82%.
Ha: P ≠ 0,82 a proporção de estudantes graduados em quadro anos não 
é 82%.
0
1/2 área do valor de P (-z) 1/2 área do valor de P (z)
O fato de Ha contém o símbolo ≠, o teste de hipótese é bicaudal.
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 8
exemplo 2
Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio de um deter-
minado tipo de torneira é menor do que 2,5 gpm.
Resolução:
H0: µ ≥ 2,5 gpm A taxa de fluxo médio de um determinado tipo de torneira 
é maior ou igual 2,5 gpm.
Ha: µ < 2,5 gpm A taxa de fluxo médio de um determinado tipo de torneira 
é menor que 2,5 gpm. 
0
área sombreada do valor de P (z)
exemplo 3
Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso médio do conteúdo 
de suas caixas de 200 gramas é maior que 200 gramas.
Resolução:
H0: µ ≤ 200 g. O peso médio do conteúdo das caixas de cereal é menor ou 
igual a 200 g.
Ha: µ > 200 g. O peso médio do conteúdo das caixas de cereal é maior que 
200 g.
0
área sombreada do valor de P (z)
4. UsandO Os valOres p para Um teste z
O teste z para média é usado em populações para as quais a distribuição 
amostral das médias amostrais é normal. Para usar o teste z, é necessário 
obter o valor padronizado para a estatística teste média.
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 9
concEito
Z = (média amostral) – (média hipotética) 
 	 erro padrão
4.1. TeSTe z para uma média oNde N é maior ou igual a 30
O teste z é um teste estatístico para uma média populacional. O teste z 
pode ser usado quando a população normal e σ conhecido ou então para 
qualquer população quando o tamanho da amostral n for pelo menos 30. 
A estatística teste é a média amostral x e a estatística teste padroni-
zada é z.
atEnção
Z = x – μ 
 σx
Lembrando que:
 σ = erro padrão = σx 
  √ n
Quando n ≥ 30, use s no lugar de σ.
exemplo
Um fabricante de cereais alega que a média de sódio em cada porção de 
seu produto não passa de 230 mg. Você trabalha para um serviço nacional 
de saúde e precisa testar essa alegação. Em uma amostra aleatória de 52 
porções, você encontrou uma média de 232 mg de sódio, com um desvio 
padrão de 10 mg. Sendo α  = 0,05, você tem evidência suficiente para re-
jeitar a alegação do fabricante? 
Resolução:
passo 1. Escreva as hipóteses nula e alternativa
H0 : μ ≤ 230 mg (alegação) Há : μ > 230g
passo 2. Estabeleça o nível de significância α = 0,05
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 10
passo 3. Determine a distribuição amostral (Como o tamanho da 
amostra é maior que 30, a distribuição amostral será normal).
passo 4. Determine a estatística teste e padronize-a.
z  = 
x - μ
σx
σx  =  σ
n
  =  10
52
  =  1,387
z  = 
232 + 230
1,387
  =  1,44
passo 5. Calcule o valor P para a estatísticateste.
 → Como se trata de um teste monocaudal direito, o valor P será a área 
encontrada à direita de z = 1,44 na distribuição normal. A partir da 
tabela, temos que P = 1 – 0,9251. 
p = 0,0 0
área na cauda direita
passo 6. Tome a decisão:
 → Compare o valor P a α.
 → Como 0,0749 > 0,05, não rejeite H0.Interprete a decisão.
Resposta: 
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação do fabricante de que 
a média de sódio em cada porção de cereal não passa de 230 mg.
4.2. valoreS críTicoS
Um valor crítico z0 separa as regiões de rejeição e de não-rejeição. A área 
da região de rejeição é α. 
n = 52
x = 32
s = 10
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 11
exemplo 1
0
região de rejeição
Z0  =  -2,33
0
região de rejeição
Z  =  1,645
Determine z0 para um teste monocaudal esquerdo com α = 0,01.
Determine z0 para um teste monocaudal direito com α = 0,05.
0
região de rejeição
-Z0  =  -2,575
região de rejeição
Z0  =  2,575
Determine –z0 e z0 para um teste bicaudal com α= 0,01.
Passos para usar o valor crítico para tomar decisões:
passo 1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa. Escreva H0 e Ha 
como afirmativas matemáticas. Lembre-se de que H0 sempre contém o 
símbolo =. 
passo 2. Estabeleça o nível de significância. Ele representa a probabi-
lidade máxima de se rejeitar a hipótese nula, caso ela seja a realmente 
verdadeira (ou seja, de se cometer um erro do tipo I). 
passo 3. Identifique a distribuição amostral.
 → A distribuição amostral é a distribuição da estatística teste, supondo-
-se que a condição de igualdade na H0 é verdadeira e que o expe-
rimento foi repetido infinitas vezes. 
passo 4. Determine o valor crítico. 
passo 5. Determine a região de rejeição.
0
região de rejeição
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 12
 → O valor crítico separa as regiões de rejeição e de não rejeição. A área 
da região crítica é igual ao nível de significância do teste 6. Determi-
ne a estatística teste.
 → Faça os cálculos para padronizar sua estatística amostral.
passo 6. Tome a decisão.
 → Se a estatística teste cair na região crítica, rejeite H0. Caso contrário, 
não rejeite H0.
passo 7. Interprete a decisão.
 → Se a alegação for a hipótese nula, você pode rejeitá-la ou determinar 
que não há evidência suficiente para isso. 
 → Se a alegação for a hipótese alternativa, você pode aceitá-la ou de-
terminar que não há evidência suficiente para isso.
exemplo 2
Um fabricante de cereais alega que a média de sódio em cada porção de 
seu produto não passa de 230 mg. Você trabalha para um serviço nacional 
de saúde e precisa testar essa alegação. Em uma amostra aleatória de 52 
porções, você encontrou uma média de 232 mg de sódio, com um desvio 
padrão de 10 mg. Sendo α = 0,05, você tem evidência suficiente para rejei-
tar a alegação do fabricante?
passo 1. Escreva as hipóteses nula e alternativa:
H0 : μ ≤ 230 mg (alegação) Ha : μ > 230g
passo 2. Estabeleça o nível de significância α = 0,05
passo 3. Determine a distribuição amostral (Como o tamanho da 
amostra é maior que 30, a distribuição amostral será normal).
Como Ha contém o símbolo >, trata-se de um teste monocaudal direito.
0
região de rejeição
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 13
passo 4. Determine o valor crítico.
passo 5. Determine a região de rejeição.
passo 6. Determine a estatística teste e padronize-a.
n = 52 x = 232 s = 10
passo 7. Tome a decisão z = 1,44 não cai na região de rejeição, portan-
to não rejeite H0.
passo 8. Interprete a decisão.
Resposta:
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação do fabricante de que 
a média de sódio em cada porção de cereal não passa de 230 mg.
antena 
pArAbóliCA
Faça um pesquisa na internet sobre Testes de Hipótese. 
Quem foram os principais matemáticos que trabalha-
ram com ela? Depois, entre no blog do livro e deixe sua 
contribuição. Dúvidas, dicas, feedback, são sempre muito 
bem-vindos.
Estatística aplicada à gestão / UA 16 Teste de Hipótese 15
reFerênCiAs
BRUNI, A. L. 	Estatística aplicada à gestão em-
presarial. Atlas, 2007.
CRESPO, A. I. 	Estatística Fácil. São Paulo: Sa-
raiva, 2009.
MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. 	Princípios de Es-
tatística. São Paulo: Atlas, 2006.
VEIGA, M. S.; BORGES, A. C. A. 	Apostila da ma-
temática. Faculdade de Tecnologia IBTA, 
Campinas.
bibliogrAFiA
BUSSAB, W.; MORETIN, P. 	Estatística Básica. 
São Paulo: Saraiva, 2006.
MANN, P. S. 	Introdução à estatística. São Pau-
lo: LTC, 2006.
SILVA, E. M. 	Estatística. São Paulo: Atlas, 2007.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 
1- A definição de População e amostra são respectivamente, conjunto de
elementos
a) com alguma característica em comum e uma parte da população com
alguma característica em comum.
b) que não precisa possuir nenhuma as características em comum e a amostra
também na precisa ter.
c) que precisa possuir pelo menos duas características em comum e a
amostra também.
d) que precisa possuir pelo menos três características em comum e a amostra
também.
Resposta a
2) Para cada item abaixo, identifique se é uma população ou uma amostra
a) Altura de todos os alunos de uma sala de aula.
b) Peso de 50 laranjas de uma grande plantação.
c) Marca de 300 automóveis estacionados nas ruas de uma grande cidade.
d) Salário de todos os funcionários de uma empresa.
e) Idade de todos os frequentadores de um clube.
f) Preço de 20 pares de sapatos de uma loja de sapatos.
g) Cor de todas as camisas vendidas na C&A este mês.
h) Sexo de todos os animais participantes de uma exposição agropecuária.
i) Tempo de 8 nadadores na última Olimpíada.
j) Doenças que 100 crianças, de Porto Alegre, já tiveram.
Resposta 
a) População
b) Amostra
c) Amostra
d) População
e) População
f) Amostra
g) População
h) População
i) Amostra
j) Amostra 
3) Complete a tabela com os seus dados e identifique o tipo de variável (qualitativa, ou
quantitativa) em cada item . Se for quantitativa identifique se é discreta ou contínua.
Variável Qualitativa/Quantitativa Discreta/Contínua 
Peso (kg) Quantitativa Contínua 
Cor dos Olhos Qualitativa 
Altura (m) Quantitativa Contínua 
Sexo Qualitativa 
Idade (anos) Quantitativa Discreta 
No.de Irmão Quantitativa Discreta 
Gosto musical Qualitativa 
No. do sapato Quantitativa Discreta 
Cor dos Cabelos Qualitativa 
Raça Qualitativa 
Estatística 
aplicada à GEstão
PALAVRAS DOS AUTORES
O que é Estatística?
A Estatística é a ciência que trata da organização, des-
crição, análise e interpretação de dados experimentais 
ou observacionais.
No conceito popular, muitos relacionam a estatística 
com tabelas, gráficos ou médias. Por exemplo: estatísti-
cas de crescimento populacional, número de vagas de 
empregos num setor da economia, movimento na Bolsa 
de Valores, média salarial,...
Esta descrição dos dados é importante, porém sem a 
parte da análise e interpretação, a Estatística não cum-
pre seus objetivos.
Dessa forma, a Estatística pode ser separada em dois 
grandes ramos:
 → Estatística Descritiva e;
 → Inferência Estatística.
A Inferência Estatística tem como objetivo obter conclu-
sões sobre a população com base nos resultados obser-
vados em amostras extraídas dessa população. O pro-
cesso de indução pode não ser exato, isto é, pode haver 
erros. Então a estatística indutiva permite o cálculo da 
precisão dos resultados e com que probabilidade pode-
-se confiar nas conclusões.
Como esses resultados dependem de amostras, 
quanto maior o tamanho da amostra mais precisas e 
mais confiáveis deverão ser as conclusões sobre po-
pulação. Porém o custo de levantamento de dados e o 
tempo necessário para realizá-lo faz com que o estudo 
Estatística Aplicada à Gestão 2
de processos de amostragem seja muito importante. Muitas vezes erros 
grosseiros na amostragem conduzem a conclusões  incorretas.
Em resumo a disciplina de Estatística envolve quatro assuntos:
 → Estatística Descritiva
 → Cálculo de probabilidade
 → Amostragem
 → Inferência Estatística
Os três primeirosassuntos permitem que análises e conclusões sejam 
feitas na Inferência Estatística.
Os métodos estatísticos podem ser utilizados em várias áreas do co-
nhecimento onde se manipulam dados experimentais ou observacionais. 
Por exemplo: Administração, Economia, Engenharia, Medicina, Ciências 
Sociais, entre outras. Esta disciplina de Estatistica Aplicada à Gestão apre-
senta aulas relacionadas com todos estes quatro assuntos com exemplos, 
exercícios resolvidos e propostos.
Desejamos que esta disciplina seja proveitosa para a o curso de Tecno-
logia em Gestão Empresarial (Processos Gerenciais), pois a Estatistica está 
presente no nosso dia a dia.
Estatística 
aplicada à GEstão
PLAnO DE EnSinO
Área: Gestão Empresarial (formação profissional).
Carga horária: 80 aulas (4 aulas semanais) + 80 aulas de 
Atividade Autônoma de Projeto (AAP).
EMENTA
Fundamentos da estatística. Coleta e Apresentação de 
dados. Medidas de posição e dispersão, população e 
amostra. Séries. Distribuição de freqüência. Aplicações 
da estatística em gestão.
ObjETIVOS GERAIS
Utilizar os métodos estatísticos para tomadas de  decisões.
CONTEúdO pROGRAMáTICO
UA 01 – EstAtísticA: concEitos iniciAis
Ser capaz de acompanhar a história da Estatística e 
elaborar gráficos representativos de uma população ou 
amostra.
UA 02 – tAbElAs dE frEqUênciA - HistogrAmAs 
Elaborar tabelas e gráficos de frequências.
UA 03 – mEdidAs dE Posição cEntrAl
Calcular as principais medidas de tendência central 
como a média, mediana e moda.
Estatística Aplicada à Gestão 2
UA 04 – mEdidAs dE ordEnAmEnto
Calcular e compreender as informações contidas nos quartis, decis e 
percentis.
UA 05 – mEdidAs dE disPErsão
Reconhecer e calcular as diversas medidas de dispersão e como aplicá-
las nos variados tipos de variáveis.
UA 06 – mEdidAs dE AssimEtriA E mEdidAs dE cUrtosE Reconhecer 
medidas de assimetria diferenciando uma da outra e quando e como 
aplicar Medidas de Curtose.
UA 07 – AnálisE bidimEnsionAl: diAgrAmA dE 
disPErsão E coEficiEntE dE corrElAção linEAr 
Reconhecer um diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de 
correlação linear bidimensional e como aplicá-los.
UA 08 – introdUção à rEgrEssão linEAr simPlEs 
método dos mínimos qUAdrAdos
Reconhecer a equação de uma reta para explicar a relação existente 
entre duas variáveis.
UA 09 – EstAtísticA: cálcUlos Em PlAnilHAs 
ElEtrônicAs E Em cAlcUlAdorAs
Executar cálculos estatísticos em planilhas eletrônicas e na calculadora 
Casio Fx-82ms.
AvAliAção PrEsEnciAl 1 (AP1)
Estatística Aplicada à Gestão 3
UA 11 – ProbAbilidAdE: EsPAço AmostrAl ProbAbilidAdE 
condicionAl. árvorE dE dEcisão. rEgrA dE bAyEs
Saber o que é probabilidade e calculá-las, como aplicá-las. Além de saber 
sobre árvore de decisão, como aplicá-la e usar a regra de Bayes.
UA 12 – vAriávEis AlEAtóriAs. EsPErAnçA E vAriânciA
Saber o que variáveis aleatórias, através da distribuição de frequência ou 
 probabilidade.
UA 13 – distribUição binomiAl
Ao final da UA o aluno deverá ser capaz de compreender a aplicabilidade 
da distribuição binomial e os cálculos de probabilidade nessa situação.
UA 14 – distribUição normAl
Conhecer a função de probabilidades denominada normal ou De 
Moivre-Laplace-Gauss, bem como suas propriedades, utilidade e 
utilização. 
UA 15 – distribUiçõEs AmostrAis 
Entender a distribuição amostral da média aritmética de uma amostra 
em relação à média da população, bem como a distribuição amostral 
das frequências relativas.
UA 16 – intErvAlo dE confiAnçA dA médiA
Calcular o intervalo de confiança da média e compreender o conceito de 
estimação da média populacional.
UA 17 – intErvAlo dE confiAnçA PArA ProPorção
Calcular o intervalo de confiança da proporção e interpretá-lo.
UA 18 – tEstE dE HiPótEsE
Saber o que é um teste de hipótese, ou seja, conhecer a maneira que 
permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiem 
ou não uma hipótese formulada.
UA 19 – tEstE dE HiPótEsE PArA ProPorção
Desenvolver teste de hipótese sobre a proporção e compreender os 
riscos assumidos numa decisão. 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2 (AP2)
Estatística Aplicada à Gestão 4
METOdO LOGIA
As aulas consistirão de uma combinação adequada de exposições concei-
tuais, situações-problema (exercícios e estudos de caso), debates (chats e 
fóruns) individuais, em grupos e com o professor e pesquisa.
bIbLIOGRAfIA báSICA (TíTULOS, pERIódICOS, ETC.)
BRUNI, AdRIANo LeAL. Estatística aplicada à gestão empresarial. 
Atlas, 2007.
CReSPo, ANtôNIo ARNot. Estatística Fácil. Saraiva, 2009.
MARtINS, GILBeRto de ANdRAde e doNAIRe, deNIS. Princípios de Estatística. 
Atlas, 2006.
bIbLIOGRAfIA COMpLEMENTAR (TíTULOS, pERIódICOS, ETC.)
BUSSAB, WILtoN e MoRetIN, PedRo. Estatística Básica. Saraiva, 2006.
MANN, PReM S. Introdução à estatística. LTC, 2006.
SILVA, eRMeS MedeIRoS dA, Estatística. Atlas, 2007.
COMpOSIçãO dA NOTA
A Média Final (MF) é obtida assim:
MF = AAP×0,3 + AP1×0,25 + AP2×0,25 + AA×0,2
A nota da Atividade Autônoma de Projeto (AAP) representa 30% da Média 
Final (MF). Trata-se de avaliação individual que varia de 0 (zero) a 10 (dez) 
e acontece ao longo do curso.
A nota da Avaliação Presencial 1 (AP1) representa 25% da Média Final 
(MF). Trata-se de avaliação individual que varia de 0 (zero) a 10 (dez) e 
acontece presencialmente na 10ª semana.
A nota da Avaliação Presencial 2 (AP2) representa 25% da Média Final 
(MF). Trata-se de avaliação individual que varia de 0 (zero) a 10 (dez) e 
acontece presencialmente na 20ª semana.
A nota final de Atividades Avaliativas (AA) corresponde a 20% da Mé-
dia Final (MF). A nota de Atividades Avaliativas (AA) se constitui de qual-
quer tipo de Avaliação Formativa que o professor julgar importante para 
avaliar o conhecimento do estudante no decorrer do curso, tais como: 
exercícios, estudos de caso, pequenas avaliações, trabalhos, seminários, 
projetos, apresentações, debates etc. Haverá quantas AAs o professor 
Estatística Aplicada à Gestão 5
julgar necessário para acompanhar o aprendizado. São exemplos de AAs 
as atividades desenvolvidas nas seções “Vamos praticar?” e “Momento da 
Verdade!” e também as autoavaliações, participações em fóruns, em chats 
e na elaboração das wikis etc. Cada instrumento será pontuado de 0 (zero) 
a 10 (dez). A nota final de AA será a média aritmética simples.
	Breve Currículo
	ESTATISTICA UA 04 2017-2
	Estatistica_UA1_v2017
	ESTATISTICA_UA02 -V2.1
	ESTATISTICA_UA03 v3
	ESTATISTICA_UA05 V2
	ESTATISTICA_UA06 v1
	ESTATISTICA_UA07
	Estatistica_UA8_v2017
	Estatistica_UA9_v2018
	Estatistica_UA10_v2018 v2
	Estatistica_UA11_v2017
	Estatistica_UA12_v2017
	Estatistica_UA13_v2017
	Estatistica_UA14_v2017
	Estatistica_UA15_v2017
	Estatistica_UA16_v2017
	Exercicios resolvidos-01
	Palavras do Professor
	PlanodeEnsino