Cálculo Diferencial e Integral II

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MA72A (turma S23) - Cálculo Diferencial e Integral II - 1o. sem. 2014
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
2a. PROVA
NOME: DATA:
Todas as respostas nos exercícios abaixo devem ser justificadas.
Respostas sem justificativas não serão aceitas.
Aparelhos eletrônicos de qualquer tipo, incluindo telefones celulares,
devem ser mantidos desligados durante a realização da prova.
1. (7,5 pontos) Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫ 1
0
∫ 3
2
(x2 + 2xy)dydx.
(b)
∫∫
S
xydA, com S = {(x, y)| − 2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}.
(c)
∫ 1
0
∫ 2
2x
sen(y2)dydx.
(d)
∫∫∫
E
2xdV, com S = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ y ≤ 2, −x ≤ z ≤ x}
2. (3 pontos)Escolha dois problemas abaixo para resolver:
(a) Esboce a região cuja área é dada pela integral
∫ 3π/4
π
∫ 2
1
rdrdθ.
(b) Determine a área da superfície da parte do cilindro y2 + z2 = 9 que está acima do
retângulo com vértices (0, 0), (4, 0), (0, 2), (4, 2).
(c) Determine o volume da bola ρ ≤ 2 que está entre os cones φ = π/4 e φ = 2π/3.