Cálculo Avançado com Números Complexos

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CALCULO AVANÇADO COM NUMEROS COMPLEXOS
ATIVIDADE 5 – PROVA N2
1. No âmbito matemático, entende-se que o teorema dos resíduos é de suma importância em análise complexa, por se tratar de um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre resíduo, calcule a integral ..
· .
· 2.
· .
· .
· .
2. Ao trabalharmos com as funções, temos que considerar a importância de não somente determinarmos a sua lei de formação, mas também o seu domínio e condição de existência. Com as funções analíticas não poderia ser diferente.
Então, podemos afirmar que a função
 
  
é válida para todos os pontos de , sendo:
·  e . Seu domínio é, portanto, 
·  e . Seu domínio é, portanto, 
·  e . Seu domínio é, portanto, 
·  e . Seu domínio é, portanto, 
d)   e . Seu domínio é, portanto, 
3. A integral de uma função de duas variáveis no plano também pode ser chamada de integral múltipla. O cálculo de uma integral pode ser dado por meio de função de variáveis reais, assim como de variáveis complexas. Neste último caso, abordaremos uma integração complexa.
 
Considere um dado círculo , cujo centro esteja na origem e seu raio seja 3. A partir da função , definida para todo  Assim, e considerando o conteúdo estudado, determine f(2i).
· .
· 0.
· .
· .
· i.
4. Cada conteúdo que aprendemos no campo da Matemática, funciona como uma “ferramenta” para solucionarmos os problemas. São nossos aliados como recursos essenciais, para facilitar o processo e oferecer resultados mais precisos. Uma dessas ferramentas é a transformada de Laplace, que possui muitas aplicações na engenharia, sendo capaz de transformar uma função, por exemplo, em outra.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação inversa de Laplace, calcule y - 5y = 0, sendo y(0) = 2.
· .
· s - 5.
· e.
· .
·  .
5. No âmbito da matemática aplicada, uma transformação ou transformada de Laplace consegue converter uma equação diferencial em uma equação algébrica, o que é muito conveniente na resolução de algumas situações problemas.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre transformação de Laplace,
calcule y’ - y = 0, sendo y = y(t) em que y(0) = 1.
· .
· .
· .
· 1.
· t.
6. Uma função é uma operação que transformará pontos de um plano complexo em outros pontos. As funções de variáveis complexas, assim como os números complexos, também podem ser compostas por uma parte real e uma parte imaginária.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine uma função f, em que a parte real seja dada por:
· 
· 
· 
· 
· 
7. No âmbito do cálculo avançado com números complexos, podemos dizer que as integrais que não obedecem às propriedades como o domínio da integração finito e que a imagem do integrando seja finita nesse domínio, são denominadas de integral imprópria.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre integral imprópria, determine o valor de .
· .
· .
· .
· .
· .
8. No cálculo avançado, entende-se que o estudo de uma sequência inclui a verificação de sua classificação quanto a sua convergência. Uma sequência convergente tende a um limite e sua representação poderá ser dada por um gráfico. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre convergência e divergência, podemos afirmar que a sequência é:
 
~A resposta está correta! Para todo .
Se , então , sendo a sequência divergente.
· divergente, pois seu limite é dado por 
· divergente, pois seu limite é dado por 
· convergente, pois seu limite é dado por .
· convergente, pois seu limite é dado por 
· indefinido, pois seu limite é dado por .
9. Os números complexos surgiram a partir da necessidade de resultados em casos em que não havia solução no campo dos números reais, e sua aplicação se estendeu às funções de variáveis complexas. O estudo de uma função de variável complexa nos permite determinar a parte real e a parte imaginária de uma função.
Denominando a parte real por u e a parte imaginária v, determine da função  
· 
· 
· 
· 
· 
10. O estudo das sequências em Cálculo avançado é necessário, pois sua aplicação na solução de situações que envolvem as séries é muito utilizada em problemas da ciência e engenharia, destacando a praticidade do conhecimento de seus teoremas.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre limites de sequências, encontre 
· 1.
· .
· 0.
· 3.
· .
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