Funções do 1º Grau

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Lista de Recuperação 212 - GABARITO 
 
1) Dada a função f(x) = –2x + 3, determine f(1). 
 
Solução. Substituindo o valor de “x”, temos: ( ) 1323)1(21 =+−=+−=f . 
 
2) Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7. 
 
Solução. O valor procurado o elemento “x” do domínio que possui imagem y = 7. 
 
Temos: 
( )
2
1
4
2
24574754
7)(
54
===−==+



=
+=
xxxx
xf
xxf
. 
 
 
3) Escreva a função afim baxxf +=)( , sabendo que: 
 
a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4 
 
Solução. Cada par de valores pertence à lei da função afim (equação de uma reta). Temos: 
 
a) 
( )
( )
3252
4
8
84
73
1533
73
)3(5
)3(3
)1(1
=−====



−=+−
=+




−=+−
→=+




+−=−
+=
abb
ba
ba
ba
ba
baf
baf
. 
 
Logo, a função é: 23)( += xxf . 
 
b) 
( )
( )
2755
3
15
153
12
1422
12
)2(7
)2(2
)1(1
−=−====



=+
=+−




=+
→=+−




+=
+−=−
abb
ba
ba
ba
ba
baf
baf
. 
 
Logo, a função é: 52)( +−= xxf . 
 
c) 
( )
( )
3252
3
6
63
42
1022
42
)2(5
)2(2
)1(1
=−====



−=+−
=+




−=+−
→=+




+−=−
+=
abb
ba
ba
ba
ba
baf
baf
. 
 
Logo, a função é: 23)( += xxf . 
 
 
4) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau: 
 
a) f(x) = x + 5 b) f(x) = -3x + 9 c) f(x) = 2 – 3x d) f(x) = -2x + 10 e) f(x) = - 5x 
 
Solução. O gráfico da função afim ou linear (reta) intercepta o eixo X no ponto onde o gráfico se anula. Isto 
é, o ponto ( )0,0x . Se o coeficiente “a” de “x” for positivo, a função é positiva para valores maiores que a 
raiz x0 e negativa para valores menores. Caso “a” < 0 ocorre o contrário. Os gráficos foram construídos no 
software “wolframalpha” – www.wolframalpha.com.br. 
 
 
a) 
 
 




−→
−=→=
−→




=
→−==+=
5/0
50
5/0
01
)(5050)(
xIRxf
xf
xIRxf
a
raizxxxf
. 
 
 
 
b) 
 
 




→
=→=
→






−=
→=
−
−
==+−=
3/0
30
3/0
01
)(3
3
9
0930)(
xIRxf
xf
xIRxf
a
raizxxxf
. 
 
 
 
http://www.wolframalpha.com.br/
c) 















→
=→=






→






−=
→==−=
3
2
/0
3
2
0
3
2
/0
03
)(
3
2
0320)(
xIRxf
xf
xIRxf
a
raizxxxf
. 
 
 
d) 
 
 




→
=→=
→






−=
→=
−
−
==+−=
5/0
50
5/0
02
)(5
2
10
01020)(
xIRxf
xf
xIRxf
a
raizxxxf
. 
 
 
e) 
 
 




→
=→=
→




−=
→==−=
0/0
00
0/0
05
)(0050)(
xIRxf
xf
xIRxf
a
raizxxxf
. 
 
 
5) Considere a função f: IR → IR definida por f(x) = 5x – 3. 
 
a) Verifique se a função é crescente ou decrescente 
b) O zero da função; 
c) O ponto onde a função intersecta o eixo y; 
d) O gráfico da função; 
e) Faça o estudo do sinal; 
 
Solução. Analisando cada item de acordo com a caracterização da função afim, temos: 
 
a) Como a = 5 > 0, a função é crescente. 
b) O zero da função é o valor de “x” que anula a função: 
5
3
350350)( ===−= xxxxf . 
 
c) O gráfico intersecta o eixo Y no ponto onde x = 0: 33)0(5)0( −=−== fy . 
 
 
 
 
e) 















→
=→=






→
5
3
/0
5
3
0
5
3
/0
xIRxf
xf
xIRxf
. d) 
 
 
 
 
6) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa função e calcule f(16). 
 
Solução. Cada ponto (x,y) é da forma (x, f(x)). Utilizando o sistema, temos: 
 
( )
( )
45)9(5
9
7
63
637
05
632
05
)1(632
)5(5
)2(2
−=−=
===



=+
=−




=+
−→−=+−




+=
+−=−
b
aa
ba
ba
ba
ba
baf
baf
. 
 
Logo, a função é: 459)( −= xxf . O valor pedido é: 994514445)16(9)16( =−=−=f . 
 
 
7) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique: 
 
a) Se a função é crescente ou decrescente b) A raiz da função c) o gráfico da função d) Calcule f(-1). 
 
Solução. A lei pode ser encontrada da forma anterior pelo sistema. Outra forma de encontrá-la é através da 
equação da reta y = ax + b, que é a representação da função afim. Calculamos o coeficiente angular “a” e o 
linear “b”. Temos: 4
2
)(4)8(
2
1
0
)0,8(
2
1
2
1
8
4
)8(0
04
+===+−=





−
+===
−−
−
= x
xfybb
reta
bxya
. 
 
a) Como 0
2
1
=a , a função é crescente. 
b) A raiz da função é o valor de “x” tal que f(x) = 0: 84
2
04
2
−=−==+ x
xx
. 
 
 
 
c) d) 
2
7
2
81
4
2
)1(
)1( =
+−
=+
−
=−f . 
 
 
 
 
8) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas: 
 
a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3 
 
Solução. Os pontos de interseção podem ser encontrados igualando-se as duas equações em cada caso. Na 
interseção os valores de “x” das abscissas são os mesmos, assim como as ordenadas. 
 
a) 
5004
5252)()(
52)(
52)(
===
+=+−=



+=
+−=
yxx
xxxgxf
xxg
xxf
. 
 
Isto significa que o ponto (0, 5) é comum a ambas as retas. Atribuindo alguns 
valores a cada uma das funções podemos fazer um esboço do gráfico das duas. 
 
 
 
 
b) 
10263
625)()(
62)(
5)(
−=−=−=
−==



−=
=
yxx
xxxgxf
xxg
xxf
. 
 
 
Isto significa que o ponto (-2, -10) é comum a ambas as retas. Atribuindo alguns 
valores a cada uma das funções podemos fazer um esboço do gráfico das duas. 
 
 
 
c) 
4,2
5
12
6,0
5
3
35
34)()(
3)(
4)(
=====
+−==



+−=
=
yxx
xxxgxf
xxg
xxf
. 
 
Isto significa que o ponto (0.6, 2.4) é comum a ambas as retas. Atribuindo alguns 
valores a cada uma das funções podemos fazer um esboço do gráfico das duas. 
 
 
 
9) Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade 
por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda: 
 
a) Qual a lei dessa função f; 
b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? 
c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00? 
d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00? 
 
Solução. Só haverá lucro se o total arrecadado com venda for maior que o gasto com a compra. Este total 
será o produto do número “x” de peças pelo valor de cada peça (R$5,00): Lucro = Venda – Compra. 
 
a) L(x) = 5x - 230. 
 
b) L(x) < 0 negativo implica que a venda foi baixa: 46
5
230
2305023050)( =− xxxxL . 
Podemos interpretar que se forem vendidas menos que 46 peças haverá prejuízo. 
 
c) 109
5
545
23031553152305
2305)(
315)(
==+==−



−=
=
xxx
xxL
xL
. 
 
d) 102
5
510
28023052802305
2305)(
280)(
==+=−



−=

xxx
xxL
xL
. 
 
10) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine: 
a) f(1) b) f(0) c) 











3
1
ff d) 





−
2
1
f 
Solução. Encontramos as imagens substituindo os valores na lei de f(x): 
 
a) ( ) 1313)1(21 =+−=+−=f b) ( ) 33)0(20 =+−=f 
 
c) 
3
5
3
914
3
3
14
3
3
7
2
3
7
3
1
3
7
3
92
3
3
2
3
3
1
2
3
1
−=
+−
=+−=+





−=





=











=
+−
=+−=+





−=





fff
f
 d) 4313
2
1
2
2
1
=+=+





−−=





−f 
 
 
11) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que: 
 
a) f(x) = 1 b) f(x) = 0 c) f(x) = 
3
1 
Solução. Encontramos os elementos do domínio. 
 
a) 
( )
122132
32)(
1
−=−==+



+=
=
xxx
xxf
xf
 b) 
( )
2
3
32032
32)(
0
−=−==+


+=
=
xxx
xxf
xf
 
 
c) 
( )
3
4
6
8
3
8
2
3
19
2
3
1
32
3
1
32
32)(
3
1
−=−=−=
+−
=+−==+





+=
=
xxxxx
xxf
xf
 
 
 
12) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por 
unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: 
 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. 
b) calcule o custo para 100 peças. 
 
Solução. A situação apresenta a lei de uma função afim. Temos: 
 
a) C(x) = 0,5x + 8. 
 
b) O custo de 100 peças é o valor de C(100) = 0,5(100) + 8 = R$58,00. 
 
 
 
13) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se 
interceptem no ponto (1, 6). 
 
Solução. Se o ponto (1,6) satisfaz às duas leis, então f(1) = g(1) = 6. Substituindo nas leis, temos: 
 
( )



=−=
=−=




=+
=+




+=
+=
516
246
61
64
1)1()1(
4)1(1
b
a
b
a
bg
af
. 
 
 
14) Seja f a função afim definida por f(x) = – 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta 
correspondente passa por (1,– 1) e é paralela à reta r. 
 
Solução. Na lei da função afim f(x) = ax + b, o valor de “a” é o coeficiente angular da reta que representa o 
gráfico da função. Este valor “a” pode ser calculado como a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo X. 
Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. 
Na função definida por f(x) = -4x + 1, o coeficiente angular vale a = -4. Logo a função g(x) pedida, terá uma lei 
da forma g(x) = -4x + b’. Para calcular o coeficiente linear b’, utilizamos o fato de que (1,-1) está na reta s de 
g(x). Logo, 3'b14'b'b)1(41
s)1,1(
'bx4)x(g
=−=−+−=−



−
+−=
. Logo, 3x4)x(g +−= .