1 6 NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA

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1.6 NOÇÕES BÁSICAS DE TRIGONOMETRIA 
 
Do grego trigono = triângulo e métron = medida, a trigonometria tem como 
objetivo principal a resolução de triângulos, determinando seus seis elementos que 
são três lados e três ângulos. O estudo é responsável pela relação entre os lados e 
os ângulos do triângulo. Suas abordagens envolvem em campos da geometria, 
como o estudo da esfera com a trigonometria esférica. A trigonometria pode ser 
usada para, por exemplo, estimar a distância das estrelas e a distância entre divisas, 
e os campos que usam a trigonometria envolvem a astronomia, a navegação, teoria 
musical, óptica, eletrônica, biologia, entre muitos outros. 
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo 
da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano 
onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também 
estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as 
funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A trigonometria tem 
aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na 
matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. O estudo da 
trigonometria tem suas origens nos primórdios das civilizações, particularmente nas 
aplicações arquitetônicas. Ainda hoje, os profissionais ligados à construção civil 
usam conceitos de trigonometria nos processos mais elementares. 
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, 
que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente 
construiu a primeira tabela de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram 
o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em 
três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente. 
Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações 
constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores 
constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos 
que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação 
entre os ângulos e os lados. 
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, 
sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Através da prática, conseguiram criar 
situações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C – 125 
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a.C) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio 
de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. O 
Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos 
trigonométricos, pois é através dele que desenvolvemos fórmulas teóricas 
comumente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois 
estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos 
correspondentes são organizados em uma tabela, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem 
ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen 
(seno), cos (cosseno) e tan (tangente). 
 
 
 
Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica, observe: 
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Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos 
utilizamos as seguintes definições: 
 
sen x = sen (180º – x) 
cos x = – cos (180º – x) 
 
Exemplo: Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º. 
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660 
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000 
 
Exemplo: No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x 
e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos 65° = y / 9 
 
0,42 * 9 = y 
 
y = 3,78 
 
sen 65° = x /9 
 
0,91 * 9 = x 
 
x = 8,19 
 
 
 
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Exemplo: Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as 
medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sen 60° = / a 
0,866 . a = 20,78 
a = 24 
cos 60° = b / 24 
0,5 * 24 = b 
b = 12 
 
 
Exemplo: Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, 
quais são os valores de tg  e tg Ê? 
 
 
 
 
 
 
 
Se sabemos que é um triângulo isósceles, então seus lados são iguais. 
Logo, tg  = 1 e tg Ê = 1. 
 
 
 
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Exemplo: Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
3 = 9 / x 
 
3x = 9 
 
x = 3 
 
(RA)² = 9² + 3² 
 
(RA)² = 90 
 
(RA) =