Matematicas y Ajedrez (2017)

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Introducci6n 
Considerado a1 mismo tiempo un juego, un deporte, un arte y una 
ciencia. el ajedrez ha atravesado los siglos agrandando su popularidad y 
expandh�ndose en todo el mundo, a Ia vez que mejoraba Ia calidad de las 
partidas, el interes en su pnictica y su promoci6n, llegando hoy en dia hasta 
los lugares nuis remotes de nuestro planeta. Este desarrollo sin preced.entes 
de este juego milenario se debe sin duda al a vance cultural e informative del 
conjunto de Ia sociedad, pero tambiE!n en gran medida a los avances 
cientificos logrados porIa humanidad en las wtimas decadas. 
Desde los tiempos mas antiguos, en su bU.squeda natural de mejorar sus 
capacidades, el ser humano ha intentaclo establecer conjuntos de reglas para 
Ia pr8.ctica del ajedrez, tratando, de esta manera., de navegar mejor dentro de 
Ia enorme complejidad del juego. Tales reglas, inicialmente basadas en 
simples observaciones pr8.cticas, han adquirido con el tiempo un car8.cter 
sistemlitico y organizado, llevando a teorias y metodos propios de una 
ciencia (por ejemplo, Ia teoria de las aperturas en ajedrez o Ia de los finales 
de partida). Dichas teorias se han enriquecido con el paso del tiempo, yes 
aqui donde las matematicas hanjugado un papel muy significativo en los 
tiempos modemos: Ia posibilidad de una evaluacion sistemAtica y cada vez 
mas precisa de las posiciones de ajedrez, mediante algoribnos 
oomputacionales basados en una valoraci6n numerica de Ia posiciOn y de las 
nuevas posiciones que pueden surgir a continuaci6n, ha mejorado tanto Ia 
comprensi6n humana del juego-ciencia como tambit�n el conjunto de teorias 
anteriormente mencionadas (y sobre las cuales vamos a indagar en mayor 
detalle en los capitulos de esta obra). 
A partir de los comienzos del Renacimiento, y hasta Ia actualidad, un 
gran nllm.ero de cientiticos han sentido fascinaci6n por el ajedrez, atraidos 
por su belleza, profundidad de ideas y enorme complejidad, pero tambien por 
el reto de investigar sus posibilidades de una manera similar a Ia de 
cualquier ciencia establecida. Entre los grandes campeones de ajedrez, sobre 
todo antes de Ia •profesionalizaci6n absolut.a" de los illtimos 30 aiios, se 
encuentran muchos matem8ticos e ingenieros, entre los cuales algunos se 
han dedicado mas a Ia investigaci6n mediante metodos cientificos deljuego 
que a Ia propia competici6n 
Pero, como en cualquier desarrollo cientiftco, tambien en el aJedrez 
surgen algunos aspectos posiblemente negativos en relacion al control y el 
alcance del desarrollo. £n nuestro caso, el reves de Ia mejora de Ia teoria y Ia 
comprensi6n del o,jedrez, y sobre todo de Ia introducci6n de potentes 
m3quinas de c3.1culo en su estudio, consiste en el surgimiento de las 
siguientes preguntas naturales: ;.esta eljuego acabado?, ;.todavia hay 
suticiente campo para Ia creatividad?, t,esbi cerca Ia resoluci6n deljuego, es 
decir, Ia posibilidad de establecer, a traves de las heiTaiiiientas 
computacionales, una estrategia perfecta para ambos bandos desde el 
comienzo basta el final de Ia partida? 
Todas estas preguntas no son nada fliciles de responder.lncluso desde 
antes de Ia aparici6n y del perfeccionamiento de los m6dulos informaticos, 
bubo periodos en los que se creia que el ajedrez ya no escond:ia ideas nuevas 
y que todas las partidas acabarian en tablas. Esta idea, por ejemplo, habia 
cogido fuei-.a entre los ajedrecistas de los aiios veinte del siglo XX, pero Ia 
creatividad humana demostr6 al poco que se trataba de una creencia 
altamente equivocada, y nuevas escuelas de pensamiento su.rgieron 
rapidamente. En cambio, hoy en dia se necesitan argwnentos mas complejos 
para demostrar que eljuego sigue muy vivo e interesante, dado que el poder 
computacional de los ordenadores con m6dulos informaticos para el o,jedrez 
es cada vez mayor. 
Precisamente, el papel que hajugado el desarrollo cientillco, y sobre 
todo el de las matematicas, en Ia evoluci6n del ajedrez es lo que nos 
concieme en estas pciginas. AI empezar con un breve repaso de Ia historia del 
juego-ciencia, el libro esta enfocado desde Ia perspectiva de los avances en 
ajedrez y Ia influencia que han tenido los conocimientos materrnlticos -y las 
fonnas de pensamiento propias de las matetruiticas- en dichos avances. 
El libro esta dividido en cinco capitulos tem3.ticos, cubriendo aquellos 
aspectos del ajedrez en los cuales las ideas matetruiticas han desempeiiado 
un papel importante, desde los origenes del oJedrez basta hoy. 
En el primer capitulo, tras un repaso de Ia evoluci6n del ajedrez basta Ia 
forma actual, se presentan los primeros intentos de los jugadores de oJedrez 
de Ia "epoca romantica" (siglos XVIII y XIX) de establecer algunas reglas con 
bases materruiticas, sobre todo en los finales de partidas. Tam.bien se 
enuncian algunos problemas matenuiticos relacionados con eljuego de 
ajedrez que han suscitado un gnm interes entre las mentes m8s prodigiosas 
de su tiempo, como Euler, Gauss o Cantor, entre otros. 
Por su parte, en el capitulo 2, se indaga en las primeras ideas 
matem3.ticas para construir algoritmos que puedanjugar, a un cierto nivel, al 
oJedrez. A lo largo del siglo XX se han sucedido varias ideas d.iferentes tanto 
en el mundo occidental como en Ia UniOn Sovietica. aunque ya a partir del 
siglo XVIII existia Ia idea de construir nui.quinas capaces de tomar decisiones 
complejas y calcular jugadas con Ia mayor profund.idad posible, como las que 
se necesitan parajugar bien al aJedrez. Oescribiremos las ideas matemB.ticas 
que forman Ia base de los algoritmos, tal y como han sido propuestas por 
matemB.ticos de Ia talla de Shannon o Turing. Estas ideas se han convertido 
posterionnente en bases para Ia nueva rama de Ia inteligencia artificial. 
El tercer capitulo contintia Ia presentaci6n ya iniciada en el capitulo 
anterior y describe los programas actuales de ajedrez. Actualmente hay un 
alto nlimero de m6dulos infonruilicos muy potentes (por ejemplo. Houdini. 
Komodo, Stockfish. Rybka, etc.), cuya fuerza de juego en ajedrez ha superado 
ya desde hace unos aiios a Ia de los mejores jugadores humanos. Todos estos 
programas tienen como base ideas matem8.ticas similares, utilizando una 
estructura de arbol una construccion de Ia Uamada "funcion (materruitica) 
de evaluaci6n" -que asocia a cada posiciOn de aJedrez un nUmero, segtin 
unas ciertas reglas-. procedimientos de optimizacion de Ia blisqueda de 
jugadas implementadas como algoribnos heuristicos para recorrer el arbol 
de variantes y funciones recursivas para llegar a una mayor profundidad en 
su evaluaci6n numerica 
En el capitulo 4, tratare de explicar por que, en mi opinion, el ajedrez 
sigue teniendo un gran futuro por delante. La pregunta de si se puede o no 
"resolver el juego de ajedrez", es decir, encontrar una estrategia perfecta para 
las blancas y para las negras desde Ia primerajugada basta elfinal, es un 
problema abierto, pero Ia mayoria de los especialistas considera que Ia 
respuesta es negativa. al menos a corto y medio plazo. Este hecho se puede 
justificar indagando en Ia complejidad computacional (que se debe a Ia 
cantidad de posibilidades diferentes que surgen tras cada nuevajugada 
posible) del ajedrez y en el aspecto fundamental del valor diferente (y 
relativo) de las piezas. Tambien se hace mendon a que, a pesar de esta 
enorme fueml en el juego practico, dichos prognunas no pueden establecer 
un "juego perfecto'", con Ia excepci6n de algunas posiciones muy 
simplillcadas correspondientes a los finales de partidas. En mi opinion. a 
nuestro juego-ciencia le queda un largo y brillante futuro, yes esa Ia 
principal idea que me gustaria transmitir al lector. 
Por Ultimo, en el capitulo s. como una muestra mlis de las intimas 
conexiones entre IBS matemQ.ticas y el ajedrez, muchos destacados 
ajedrecistas (incluso entre los maestros actuales) han tenido una 
preparaci6n matenuitica y algunos (varios campeones del mundo de ojedrez 
entre ellos) han Uegado a ser a Iavez importantes investigadores en ciertas 
ramas de las matemO.ticas. En este capitulo se realiza una breve presentaci6n 
biognillca de algunos ftguras relevantes del mundo del ojedrez que han 
tenido tambiCn logros notables como cientift.cos, como por ejemplo E. Lasker, 
M. Euwe, M. Botvinnik o J. Nunn. 
A lo largo de Ia redacci6n asumire que el lector o lectora conoce las 
reglas del ojedrez, es decir, el movimiento de las piezas, el enroque,la 
captura al paso. pero nada nuis. Tambien, al tratarse de un libro de 
divulgaci6n y no de un tratado especiftco de ojedrez o de matenuiticas, he 
intentado evitar por completo Ia presentaci6n tanto de variantes concretas 
de ojedrez (jugada a jugada), como de demostraciones matenuiticas o 
descripciones tecnicamente detalladas de algoritmos. Espero que este 
trabojo resulte arne no, se disfrute su lectura y sirva para amp liar 
conocimientos. Si, tras Ia lectura. algUil lector o lectora se interesa en el 
ajedrez o en profundizar algunos aspectos dellibro, el presente ll'abajo 
habni. alcanzado entonces su meta. 
CAPITULO! 
Algunos aspectos historicos 
Los origenes del ajedrez se remontan muchos siglos atnis, cuando en Ia 
India antigua se practicaba un juego de tablero Uamado chaturanga. Este 
juego esta tod.avia envuelto en misterio debido a Ia falta de fuentes 
hist6ricas ftahles de aquella epoca: por ejemplo, aUn se desconoce el nUm.ero 
inicial de jugadores, es decir, si al principio se jugaba entre dos jugadores o 
entre cuatro. Las primeras menciones nos Degan de textos no cientiftcos, 
como el largo y famoso poema religioso indio Mahabharata. escrito en el siglo 
III a C.,y en un libro-crOnica sobre Ia vida del emperador indio Jarsha 
Vardhana (Dana Bhatta. siglo VII d. C.) en el que se describe un 
extraordinario period.o de paz y bonanza en su imperio donde "solo las 
abejas discutian (mientras extraian el nectar), los pies solo se cortaban en 
los versos, y el chaturanga se practicaba sobre el ashtapada". El ashtapada 
parece ser el tablero correspondiente a1 esquema para dos jugadores, con 
casillas del mismo color y con algunas marcas especiales. 
Lo que conocemos a ciencia cierta es que los dos esquemas (para dos y 
para cuatro jugadores) coexistieron durante un largo periodo de tiempo. 
Anteriormente se creia que el chaturanga se habia inventado en un formato 
para cuatro jugadores, y despues habia cambiado al esquema para dos 
jugadores que posteriormente origin6 el ajedrez mod.erno (Forbes,186o). Sin 
embargo, en Ia actualidad se cree que Ia variante para cuatro jugadores fue 
creada a partir del esquema inicial para dos. Tampoco se conocen de forma 
completa las reglas de los juegos, en lo que se reflere a1 movimiento de 
algunos de las piezas (por ejemplo, del elefante, precursor del allll en el 
ajedrez moderno) y a! final de Ia partida (si existia o no Ia regia del ahogado, 
si se podia o no capturar el rey de Ia misma manera que las dermis piezas o si 
Ia meta del juego era dar mate a! rey o capturar todas las dermis piezas del 
jugador rival). 
Figural 
PosiciOn inicial de las piezas en el chaturanga, esquemas para dos y 
cuatro jugadores. 
� � l't' Ill * 1"1' � � � R • � � 146. 
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l1r � � 1.!!'! 1_... l"<t � l!i �� I• • l «· 
Existen varias teorias sobre tales aspectos, pero gran parte de ellas 
surgieron extrapolando el movimiento de las piezas en otras variantes 
actuales del ajedrez (el ajedrez chino, el shogi o ojedrez japones, otras 
variantes tailandesas o birmanas, etc.). Tambien, algunos reglas aparecen en 
el tratado de shatranj del maestro linlbe AI-Adli, una obra que se ha perdido, 
donde el autor hace una paralela entre las reglas de juego de diversas 
variantes del ajedrez practicadas en su tiempo. Podemos ver en Ia figura 1la 
distribucion inicial de las piezas sobre Ia ashtapada. en Ia version del 
chaturanga rruis proxima a! ajedrez modemo, y tambien Ia disposicion inicial 
en el esquema para cuatro jugadores. 
AI Uegar a Persia, el esquema para dos jugadores del chaturanga indio se 
convirti6 en un nuevo juego que man tenia esencialmente las reglas del 
anterior, Uamado shatnmj. En esta versiOn, las piezas era.n esencialmente las 
mismas que en el ajedrez moderno, pero sus movimientos eran diferentes a 
las piezas actuales, sobre todo Ia pieza alferLa (el equivalente de Ia actual 
darna), que era muy debil, moviendose solo una casilla en diagonal. Por ello, 
el juego era muy poco dinlimico y las partidas muy largas. Por otro lado, de 
esa epoca (siglos VII-XII) tenemos las primeras clasiftcaciones de los 
jugadores seglin su fuei"La de juego, y, mas importante para nuestro lema, los 
primeros intentos de estudio del shatranj de una fonna metOdica y 
organizada similar a Ia investigaci6n cientiftca En su afin de llegar a una 
fuerza de juego mayor -teniendo en cuenta Ia importancia que tenia en Ia 
epoca Ia clasiftcaci6n de los jugadores-, los maestros lirabes desarrollaron 
las primeras teorias de las aperturas, es decir, estrategias para los comienzos 
de las partidas, Uamadas tabiyas, lo que se traduce por "disposici6n de 
combate'". Obviamente, las teorias entonces establecidas se alejan mucho de 
las del ajedrez modemo, dadas las diferencias fundarnentales en las reglas, 
pero nos queda Ia idea: analizar de forma sistematica las posibilidades 
existentes y tratar de establecer criterios para evaluar las posiciones 
resulta.ntes y decidir Ia mejor opci6n en cada paso. Es decir, exactamente Ia 
misma estrategia que emplean los maestros contemponineos y los potentes 
progra.mas infonn8.ticos de Ia actualidad, sobre los cuales volveremos rruis 
adelante. 
Comienzos del ajedrez modemo 
AI ser tan popular entre los ar..bes, que durante Ia Edad Media 
mantenian bajo su dominio amplios territorios, el ajedrez Ueg6 a Europa 
mediante varios caminos. Uno de ellos fue a b'aves del Imperio bizantino, 
desde donde se extendio a Rusia y a Ia actual Europa del Este, pero quizlis Ia 
via de entrada rrnis importante fue a traves de Ia conquista 8rabe de la mayor 
parte de Ia Peninsula iberica. por lo que el ajedrez llego a Espaiia en el siglo 
IX. Pronto, el juego (todavia en su version antigua. el shatranj) despert6 
mucho interes, en especial en Espafia e Italia.llegando incluso a las Cortes 
Reales. Como prueba de ello, esta el famoso tratado sobre los juegos de 
ajedrez, tablas reales (el conocido como backgammon) y dados, Uamado Libro 
de los juegos (en su transcripci6n original Juegos diversos de axedrez, dados, 
y tablas con sus explicaciones) ord.enado y compuesto en Ia corte del rey 
Alfonso X el Sabio entre 1251 y 1284- De este libro se mantiene un Unico 
original en Ia biblioteca del monasterio de El Escorial y una copia de 1334 en 
Ia Real Academia de Ia Historia. El Libro de los juegos tiene gran importancia 
para Ia investigacion de los juegos de mesa. y del ajedrez en particular, 
siendo probablemente el primer tratado con Ia voluntad de ofrecer una 
presentacion organizada deljuego de ajedrez. Sin embargo, las reglas del 
a,jedrez ba,jo las cuales se escribi6 el libro siguen siendo aquellas de Ia 
version persa, el shatranj. 
A partir del siglo JN,Ias reglas del ajedrez cambian de forma 
fundamental, transforrnandose en aquellas del a,jedrez modemo que 
conocemos hoy. Los principales cambios en las reglas han stdo las 
ampliaciones de los movimientos del pe6n, el alHI y Ia dama, las dos illtimas 
piezas muy dCbiles en el shatra.nj persa (solo se podian mover una casilla en 
diagonal, saltando en el caso del alHI), que se convierten en piezas muy 
dinlimicas y con un amplio espectro de acci6n segUn las nuevas reglas. En 
particular, Ia dama se convierte en Ia pieza mas poderosa dellablero, como Ia 
conocemos actualmente. E1 resultad.o de tales cambios ha sido un enonne 
aumento del dinamismo del juego y, consecuentemente, de su complejidad y 
espectacularidad. Tambien.debido a los cambios en las reglas.las teorias de 
aperturas ya eslablecidas anteriormente por los jugadores de shatranj se 
vuelven obsoletas y el nuevo juego requiere nuevas aperturas, nuevos 
estudios de los finales de partida y, en general, nuevas estrategias. 
Se considera que los cambios de las reglas que han Uevado a Ia 
introducci6n del ajedrez modemo surgieron por primera vez en Valencia, 
probablemente entre los aiios 1470-1490. Como muestra de ello, esta Ia 
primera partida publicada y conocida basta hoy con las nuevas reglas, 
disputada entre Francese de Castellvi (blancas) y Narcis Vinyoles (negras) en 
Valencia, en el aiio 1475, y acabada con Ia victoria de las blancast. Esta partida 
se presenta mediante un poema llamado "Scachs d'amor'" escrito por los dos 
jugadores junto con Bernat Fenollar, que en el poema tiene el papel de 
"arbitro", explicando las reglas, aunque el mismo era un fuerte jugador de Ia 
epoca Poco despues, Francesch Vicent de Segorbe publica el primer libro 
conocido sobre el ajedrez modemo, El Uibre dels Jochs Partits dels Schacs en 
nombre de 100 ord.enat e compost, del que no nos ha llegado ninglin ejemplar 
original basta hoy. Conocemos este libro a ra.iz de las investigaciones 
recientes del historiador y ajedrecista valenciano Jose Antonio GarzOn Roger, 
que ha podido reconstituir el antiguo libro de Francesch Vicent partiendo de 
unos manuscritos encontra.dos en ltalia, publicando sus conclusiones sobre 
el nacimiento del ajedrez modemo en Valencia (Garz6n Roger, zoos). 
Poco despues se publica el primer tratado de ajedrez en castellano, 
escrito por Luis Ramirez de Lucena (rruis conocido como Lucena), titulado 
Repeticion de amores y arte de oJedrez, con 150 juegos de partido, cuya 
primera edici6n apareci6 en Salamanca en 1497. Seglin las investigaciones de 
Jose Antonio Garz6n Roger, se trata de un desarrollo del libro de Francesch 
Vicent, pero Ia cantidad y riqueza de las ideas de ajedrez presentadas en el 
libro resultan impresionantes para aquella epoca. Lucena, considerado uno 
de los mejores jugadores de su tiempo, menciona brevemente en el libro una 
gran cantidad de planteamientos te6ricos de aperturas de ajedrez, muchos 
de los cuales se siguen utilizando hoy en d:ia. aunque, como es obvio, con 
muchas mejoras y nuevas ideas. Tambien en el libro de Lucena se incluyen 
nuevas ideas estrategicas -que todavia se conservan- del med.io juego, es 
decir, aquella parte que surge despues de una apertura, como el estudio de 
algunas estructuras de peones, Ia apertura de lineas y diagonales o Ia 
importancia del desam>llo de las piezas y de Ia lucha por el centro del 
tablero en el comienzo de una partida. Todas elias fueron ideas novedosas en 
su epoca.. y con el paso del tiempo se han convertido en elementales en Ia 
teoria del ajedrez actual. El libro constituye sin duda un enorme avance en Ia 
pnictica del ajedrez y sienta las bases de un estudio met6dico y sisterruitico 
deljuego, similar a los procedimientos de las investigaciones cientiftcas. 
Tambien se conocen partidas de a,jedrez posteriores al libro jugadas por el 
mismo Lucena., y una famosa posiciOn te6rica de los finales de torre, .. Ia 
posiciOn de Lucena", aunque no figura en el libro. 
A partir del libro de Lucena surgi6 un potente y rapido desarrollo del 
a,jedrez, adenuis de un gran crecimiento de su popularidad en el continente 
europeo. Los maestros de Ia epoca se preocuparon por ampliar Ia teoria del 
ajedrez con las nuevas reglas. tanto en las aperturas (comienzos de partida) 
como en los finales de partidas ( posiciones simplifi.cadas, con pocas piezas, 
que son mas f8ciles de estudiar de fonna sisterruitica y cientiftca debido a su 
menor complejidad). Algunos de eUos publicaron sus conclusiones en forma 
de nuevos tratados de ajedrez, siendo uno de los mas conocidos el de Ruy 
LOpez de Segura, Ubro de Ia invencion liberal y arte deljuego del axedrez 
(J.S6t), donde su autor, un espaiiol considerado el jugador mti.s fuerte de Ia 
epoca. fonnalizaba por primera vez las tlltimas dos reglas del e,jedrez 
modemo que aW. no estaban por escrito: el enroque y Ia captura al paso de 
los peones. A partir de Ia publicacion de su Hbro,las reglas del ajedrez 
alcanzan de6nitivamente su fonna actual. 
Figura2 
P;igina del tratado de Lucena, con un diagrama de ajedrez. 
Mlis tarde,la popularidad del '\iedrez se extiende por Europa y aparecen 
escuelas de pensamiento en varios paises, como por ejemplo Ia escuela 
italiana (representada por Gioachino Greco, Ponziano, Polerio, etc.), o 
posterionnente Ia fnmcesa (representada por los "chi.sicos" Philidory 
posterionnente Saint-Amant y La Bourdonnais),luego Ia inglesa, Ia alemana. 
etc. 
Un significative avance en Ia comprensi6n humana del ajedrez se 
alcanz6 a partir del famoso tratado (Philidor, 1749) escrito por Andre Danican 
Philidor (1726-1795), destacado mU.ico y ajedrecista frances, considerado el 
mejor jugador de su tiempo y fundador de Ia escuela francesa de ajedrez. En 
este se amplian las bases estrategicas del juego al introducirse un arnilisis 
sistematico de Ia importancia de las diferentes estructuras de peones y Ia 
movilidad de los mismos, cuesti6n fundamental hoy dia para cualquier 
jugador de competici6n. Su forma de pensar el ajedrez se puede resumir a 
traves de su fam.osa cita "los peones son el alma del ajedrez". Tambien se 
introd.ucen conceptos de estrategia y pensamiento tan presentes en el 
ajedrez modemo como el sacrificio posicional (y Ia compensaci6n), el 
pensamiento profilcictico, etc. Aderruis, Philidor fue el primero en intentar un 
estudio met.6d.ico de los finales de torres, en particular los de torre y peOn 
contra torre, o torrey alfil contra torre, demostrando algwtas tecnicas 
defensivas importantes para alcanzar las tablas, conocidas incluso hoy como 
posicion de Philidor o defensa de Philidor. 
carla una de las escuelas de pensamiento posteriores contribuy6 a Ia 
ampliaci6n de Ia teoria del ajedrez, de tal manera que se introducen muchas 
variantes de apertura y tam bien se empieza. un estudio sistematico de los 
finales de partida, cuyo an8.lisis era (al menos en apariencia) un trabajo m8s 
c6modo para los analistas de Ia epoca. Es verdad que, en Ia actualidad, 
muchos de los an8.lisis de los maestros de los siglos pasados han sido 
refutad.os, pero lo que aqui nos imports. es el estudio de estas dos fases del 
juego (las aperturas y los finales) de una forma met6dica propia de las 
ciencias. 
Ideas geometricas en los finales 
Uegamos asia una de las primeras facetas del ajedrez (por arden 
cronol6gico) donde pensamientos matemtiticos muy elementales 
relacionados con Ia geometria del tablero han tenido una gran importancia 
en el trabajo para establecer una teoria de los finales de partida. Debido al 
nlimero reducido de piezas que quedan en el tablero y, por tanto, al nlimero 
tam bien relativamente bajo de jugadas posibles, en las posiciones de finales 
de partidas Ia estructura geometrica del tablero (con sus lllas, columnas y 
diagonales) facilita Ia comprension de las posiciones y el ca!culo precise de 
las variantes posibles. Por ello, los maestros de Ia Edad Media y Ia Moderna 
trataron de descubrir sencillas reglas geometricas a traves de las cuaJes 
podian decidir de inmediato, con una simple mirada al tablero, el resultado 
precise (y Ia forma de Iograrlo en Ia prlictica) de aquellas posiciones 
simpliftcadas de ftnales. A continuaci6n vamos a presentar aJgunos sencillos 
ejemplos. 
La regia del cuadrado 
Esta trata sobre Ia rruis sencilla y elemental posiciOn de los finales de 
peones. y hoy en dia es algo que cualquier jugador principiante de ajedrez ve 
poco despues de aprender las reglas b8sicas. Se trata de decidir si el peOn 
blanco Uega a coronar (es decir, convertirse en una pieza m3.s fuerte, 
habitualmente dama, al llegar a Ia octava fila) o, por lo contrario, el rey negro 
alcanza el peOn antes de coronar y lo captura, acabando de tal man era en 
tablas.Para poner un ejemplo de cOmo nos puede ayudar un pensamiento 
geomCtrico, vCase Ia figura 3· Se fonna el cuadrado "imaginario" sobre el 
tablero, teniendo como dos vertices Ia casilla inicial del peOn y Ia casilla de 
coronaci6n (en Ia octava fila) del mismo. Si el rey negro se encuentra dentro 
del cuadrado generado (marcado en el diagrama con flechas y color distinto), 
el resultado es tablas, es decir, el rey llega a capturar el peOn en su camino 
bacia Ia casilla de coronaciOn. En el caso contrario, si el rey se encuentra 
fuera del mismo cuadrado, el peon II ega a coronar y su ban do gana Ia partida. 
Por ejemplo, figura 3. si en Ia posicion dada juegan las blancas, avanza el 
peOn una casilla y el rey negro se queda lejos del nuevo cuadrado generado, 
por lo que el peOn II ega a coronar y ganar. Sijuegan las negras, su rey move rei 
dentro del cuadrado marcado y Ia partida finalizara en tablas. 
Figura3 
llustracion de Ia regia del cuadrado en los finales de oJedrez. 
La importancia pnlctica, incluso en situaciones tan sencillas, de "reglas" 
como esta (y las que siguen) consiste en conocer el resultad.o de una posiciOn 
a simple vista. sin tener que calcular nada, y en el caso de una competici6n o 
situaci6n pnlctica de aJedrez ahoiTar de esta. fonna tiempo en Ia toma de 
decisiones. 
!A regia de Bhir 
Otra sencilla regia para decidir a simple vista el resultado de un final de 
peones muy elemental pero frecuente en las partidas pr8cticas es aquella 
conocida como .. regia de Bhiir", que representa una manera visual (basada de 
nuevo en Ia geometria del tablero de ajedrez) de conocer de antemano el 
resultado de un final de reyes y peones como los que se muestran en Ia ftgura 
4· 
La regia es de nuevo f;icil de entender: se traza una diagonal sabre el 
tablero, desde Ia casilla ocupada por el pe6n blanco hasta Ia columna del alftl 
m8s cercana a los peones bloqueados en la banda (en este cBSO, Ia columna 
c), y otra diagonal desde Ia casilla del peon negro bloqueado hasta Ia misma 
columna del alftl, tal y como se indica en Ia ftgura (mediante las flechas 
dibujadas sobre los diagramas). Si las dos diagonales "imaginarias" 
(marcadas con flechas) se intersectan en una casilla. o Ia que parte desde el 
peOn negro llega a una casilla posterior, entonces las blancas ganan la 
partida (y Ia variante ganadora comienza con una jugada de rey una casilla 
en diagonal hacia el peon negro). Es Ia situacion de Ia ftgura de Ia izquierda. 
En caso contrario, como ocwre por ejemplo en Ia posiciOn de Ia derecha, el 
resultad.o de Ia posiciOn es tablas, independientemente de los intentos de las 
blancas para ganar. El interes pnictico de reglas como esta. al tratarse esta 
vez de un final que requiere un ca.J.culo de variantes algo nuis largo, no solo 
consiste en conocer de antemano el resultad.o de un final de este tipo (una 
vez llegado ahi), sino tambien en decidir desde antes si pasar o no a un final 
semejante si durante una partida pnictica se tiene esta opciOn (por ejemplo, 
a !raves de cambios de las piezas que quedan). 
Figura4 
Ilustraci6n de ia regia de Bhir en los llnales de eJedrez. 
La teoria de las casillas conjugadas (o coiTespond.ientes) 
Muestnl. cOmo un pensamiento materruitico, en relacl6n con Ia geometria 
del tablero, se vuelve Util incluso en situaciones de final mucho rn.8s 
complejas, como ia que se presenta en ia llgunls. 
Figuras 
casillas conjugadas en los finales de ajedrez. 
En esta figura se muestra un escenario mucho m8s complejo de ftnales 
de reyes y peones, en donde, razonando solamente a traves del c8.1culo 
"bruto" de variantes es flicil equivocarse o , como minimo, perd.er mucho 
tiempo si estamos juga.ndo una partida de competicion -con control de 
tiempo-. Aderruis, noes nada flicil apreciar el resultado de esta posiciOn a 
simple vista,y asi decidir en las jugadas previas s� en un escenario pnictico, 
nos conviene o no tomar Ia decisiOn de transfonnar Ia posiciOn pan. alcanzar 
este final. En este caso, las matematicas del tablero nos ayudan de fonna 
esencial para poder conocer con antelaci6n el resultado de los 6nales. 
La idea matematica detnis de las casillas conjugadas es asociar a las 
casillas importantes del tablero un mimero, en funci6n de su posiciOn. Se 
comienza con las casillas '"clave", que son aquellas en donde si el rey del 
bando fuerte (en nuestro caso, el rey de las blancas, cuyo ejercito cuenta con 
un pe6n de ventaja y mayor espacio) consigue entrar, dicho bando gana Ia 
partida. Tales casillas, a veces Uamadas "casillas de entrada", se marcan en 
nuestra asociaci6n "imaginaria" con una tetra X. como en Ia figura s. y son las 
casillas que el rey blanco desea conquistar (y el rey negro quiere defender). 
Observamos en dicha figura que hay dos casillas de entrada 
correspondientes a los cuadros "114" y "bi' del tablero. El paso siguiente es 
asociar las derrui.s casillas con un ntimero que responde a Ia pregunta: 
lcwinlas jugadas de rey se necesitan, por el camino 6ptimo (el mas corto 
posible), para Uegar desde Ia casilla considerada a las casillas marcadas con 
Ia X? Podemos ver el resultado de esta operaci6n empezando con el ntimero 
o para las casillas contiguas a las marcadas por X (considerando solo 
aquellas casillas situadas cerca de Ia cadena de peones). 
La defensa precisa de las negras (en este caso el bando debil), una vez 
realizada Ia nwneraci6n del tablero explicada anteriormente, consiste en 
situar el rey en aquellas casillas marcadas con el mismo nUmero que Ia 
casilla en donde se halla en su momenta el rey blanco. Por su parte, el bando 
de las blancas intentani "romper" esta simetria (a veces llamada "oposici6n") 
para ganar Ia partida Como podemos observar, en este caso son las blancas 
las que ganan esta posicion, a! disponer de Ia posibilidad de situar su rey una 
vez en Ia casilla "b4" del tablero, numerada por 2.4. que es Unica (las negras 
no disponen de una casilla coJ1jugada a esa). En ese momento, cuando las 
blancas jueguen el rey a "b4", las negras tendnin que efectuar un movimiento 
alejlindose un tiempo mas de una de las dos casillas marcadas con X; por 
tanto, son las negras las que de esta manera perdenin Ia "oposici6n" y 
despues el rey blanco penetrara de fonna ganadora en una de las dos casillas 
marcadas con X (precisamente conquistani aqueUa casilla de Ia que el rey 
negro tuvo que alejarse un paso mas como efecto de Ia maniobra 
anteriormente explicada). Como podemos ver, mediante esta tlknica.la 
resoluci6n de una posiciOn como Ia que hemos visto, aparentemente no 
trivial, a traves del ccilculo de variantes, se convierte en Ia resoluci6n de un 
flicil problema de caminos geometricos2. 
Otros finales 'geometricos' 
No solo en los finales de peones Ia geometria del tablero juega un papel 
importante en su comprensi6n y juego coiTeCto. Los finales que involucran 
otras piezas con movimiento •lineal"' (sobre todo, torres o alftles, pero no los 
caballos) tambien se han estudiado empleando patrones geometricos para 
establecer las maniobras coiTeCtas. Como los ftnales de torre son muy 
frecuentes en las partidas practicas de ajedrez (tanto que se le suelen 
dedicar libros y tratados enteros), ceiTillllos este apartado presentando, solo 
a titulo infonnativo, dos posiciones de finales de torre. Estes, muy similares, 
pertenecen a un caso rruis general de defensa estudiado por el ajedrecista y 
escritor ruso Peter Romanovsky (•Bg•-•964), a partir de un metodo defensive 
establecido por el jugador y estudioso de ajedrez checo Josef Vancura (18g8-
1921) para los finales de torrey peOn contra torre cuando el peOn se 
encuentra en Ia banda. En ambas posiciones consideramos que son las 
negras las que tienen la jugada 
Sin entrar en un aruilisis deta.Uado (con jugadas yvariantes concretas de 
ajedrez) de las posiciones en los diagramas precedentes, Romanovsky 
establecio una interesante regia geometrica para predecir a simple vista el 
resultado de los finales. Como observamosen Ia ftgura 6, el rey de las blancas 
quiere acercarse a su propio peOn para liberar su torre de Ia defensa del 
pe6n, y el negro trata de impedir esta maniobra Por tanto,la jugada 
defensiva natural de las negras es cortar el camino del rey blanco (hacia 
adelante) con Ia torre a traves de Ia lila posterior a Ia posicion inicial del rey 
blanco. A partir de un ami.l.isis exhaustivo y sisterruitico de posiciones como 
las mostrad.as, Peter Romanovsky esta.bleci6 en 1950 una regia geometrica 
muy sencilla para predecir el resulta.do: si el rey blanco se halla fuera del 
cuadrado que tiene como dos vertices Ia esquina del tablero que se 
encuentra en Ia misma columna que el pe6n blanco y Ia posicion 6nal de Ia 
torre despues del primer movimiento natural para "cortar" el paso al rey 
blanco, entonces el resultado es tablas; si, por el contrario, el rey blanco se 
encuentra en el interior de dicho cuadrado, entonces las blancas ganan la 
partida. 
Figura6 
Posiciones de 6nal que utilizan Ia regia de Romanovsky. 
Como cualquier regia geometrica es muy visual (yes mucho mlis flicil de 
comprender sobre ejemplos que a tmvCs de explicaciones), volvamos a Ia 
ftgura 6. Los cuadrados "criticos" esbin marcados sobre los diagramas 
mediante ftechas; en ambas posiciones vemos que el rey blanco est& en el 
exterior de los cuadrados y. en cumplimiento de Ia regia de Romanovsky, 
ambas posiciones acaban en tab las con el juego correcto. Por supuesto, debe 
conocerse en Ia prlictica Ia maniobra para alcanzar dichas tablas3, pero es de 
gran ayuda saber de antemano el resultado de una posicion antes de tener 
que calcular cualquier variante. 
Este era el tipo de niZOnamientos matemliticos que los jugadores de 
aJedrez de epocas previas a Ia aparici6n de los programas de ordenador 
actuales hac ian para mejorar su juego y tratar de estudiar de forma cientiftca 
el aJedrez, en Ia medida de las posibilidades de aquel periodo (es decir, sin 
disponer de Ia ayuda de las potentes mliquinas de c8.1culo que tenemos en Ia 
actualidad). Muchas pequeilas "reglas geometricas" para resolver posiciones 
de finales de partida se han establecido en los siglos XVII y XVIII. 
Problemas matemliticos sobre el tablero 
Dejando por ahora de lado el uso elemental de Ia geometria del tablero 
que los maestros de aJedrez de los siglos XVII-XIX empleaban para analizar 
posiciones concretas, el auge de Ia popularidad del aJedrez en ese mismo 
periodo hist6rico motiv6 el interes de muchos intelectuales de Ia Cpoca 
(tanto matemliticos profesionales como aJedrecistas) de proponer y estudiar 
problemas matem3.ticos relacionados con el tablero de ajedrez y el 
movimiento de las piezas. Dos de estos problemas lograron suscitar el 
interes de los matetruiticos mas famosos de su tiempo y mantuvieron una 
cierta fama hasta Ia actualidad: el problema de las ocho damas y el problema 
del sal to de caballo, este Ultimo con una dificultad combinatoria mucho 
mayor. 
El problema de las ocho damas 
Se plan teO por el matematico y ajedrecista aleman Max Bezzel en 1848, y 
consiste en encontrar todas las posibilidades esenciaJmente distintas (es 
decir, que no se pueden transformar una en otra mediante simetrias o 
rotaciones del tablero) de situar ocho damas en las casillas de un tablero de 
ajedrez de tal manera que ninguna amenace a otra Durante el siglo XIX. los 
nuis destacados matemiiiticos, como Georg Cantor y Gauss, se interesaron por 
el problema y propusieron soluciones. Otros matenuiticos ale manes, como 
Franz Nauck. generalizaron el problema tambien a N damas en un tablero de 
ajedrez NxN, siendo N cualquier nUm.ero entero positivo. Un ejemplo de 
conliguracion correcta de las ocho damas se puede ver en Ia figura 7-
Figura7 
Una solucion particular del problema de las ocho damas. 
Como suele ocunir con los problemas matemiticos diliciles propuestos 
en los siglos anteriores, ha sido con la ayuda de las maquinas de ailculo 
contemporaneas cuando se ha podido dar una solucion completa al 
problema. Mas precisamente, este fue elegido en 1972 par el cientillco 
holandes E. Dijkstra para ilustrar el gran alcance de las nuevas tecnicas de la 
programacion estructurada Dijkstra publico un algoritmo mediante la 
tecnica de programaci6n backtracking, que resuelve el problema de forma 
completa; el nUmero de soluciones encontradas en el caso de ocho damas en 
un tablero de ajedrez estandar (BxB) es de 92 soluciones totales, de las cuales 
solo 12 son esencialmente diferentes entre si. El mismo programa puede 
emplearse para resolver el problema de los N damas (sobre un tablero NxN), 
y con Ia ayuda de ordenadores cada vez rruis potentes, desde el punto de 
vista computacional, se han Uegado a clasiflcar las soluciones del problema 
para nWneros enteros N suflcientemente grandes, a pesar de que el nUmero 
de soluciones crece de fonna exponencial (y tambien Ia complejidad del 
algoritmo). Como una curiosidad, para N=25 (es decir, situar 25 damas sobre 
un tablero 2SX25) hay 2.207.B93435-Bo8.352 soluciones, entre las cuales hay 
275-986.683.743·434 soluciones esencialmente distintas. 
El problema del salto de caballo 
En este problema se plantea Ia pregunta de como hallar el ntlmero de 
posibilidades de recorrer todas las casillas del tablero de ajedrez por parte 
de un caballo que empieza a moverse desde una casilla cualquiera.. y con Ia 
condici6n de pasar una sola vez por cada una de las casi.llas del tablero en su 
recorrido. Esencialmente, se trata de un problema de materrnitica discreta.. 
muy relacionado con el problema de Ia ruta hamiltoniana en Ia teoria de 
grafos, que es un camino que recorre tod.os los vertices de un grafo una sola 
vez. El problema aparece por primera vez en manuscritos B.rabes del siglo IX. 
incluyendo algunas soluciones particulares, pero alcanz6 un gran auge entre 
los matemliticos europeos mlis destacados del siglo XVIII debido a Ia gran 
cantidad de soluciones diferentes. 
Uno de los matetrniticos m8s destacados interesados en este problema 
fue L. Euler, quien, entre otras contribuciones, encontrO una de las 
soluciones rruis famosas a este problema matemlitico. En efecto, Euler 
comenz6 por asociar un nllmero a cada casilla del tablero de ajedrez, 
representando el momento cuando el caballo, en su recorrido por el tablero, 
pasaba por dicha casillll! por ejemplo,la casiUa de partida del caballo recibe 
el mimero t,la casilla siguiente donde salta Ia primera vez recibe el mlmero 2 
y asi basta Ia tlltima casilla del recorrido, que recibe el nU!nero 64- De esta 
manera, y usando su genialidad, Euler no solo fue capaz de encontra.r varias 
soluciones particulares del problema (presentadas en Ia Academia de 
Ciencias de Berlin en 1759), sino que entre elias descubri6 una que 
representa un .. cuadrad.o m8gico", es decir, un cuadrado de mlmeros donde Ia 
suma de carla una de las ftlas y las columnas es el mismo nU.mero (en nuestro 
caso, 260). Esta soluci6n particular muy especial y elegante se puede ver en Ia 
ftgura8. 
Figura8 
La soluci6n del'cuadrado mligico' de Euler para el problema del caballo. 
La estrategia utilizada por Euler para encontrar esta solucion y algunas 
otras (incluyendo recorridos cerrados del caballo, es decir, con Ia Uegada en 
una casilla desde donde se puede saltar a Ia casilla inicial) fue descomponer 
el tablero en pequeiias partes y tratar despues de •concatenar" recorridos 
separados del caballo en cada parte pequeiia para asi crear un recorrido 
completo. Un planteamiento que es Ia base de una tecnica de programaci6n 
de ord.enadores actual que se conoce como divide et impera. Sin embargo, 
hay muchas mlis soluciones, como por ejemplo Ia que se presenta en Ia Hgura 
g y que no tiene ninguna propiedad •magica". 
Figurag 
Otra soluci6n del problema del salto del caballo. 
Jl 58 5 00 45 24 43 48 
4 61 2 25 • 47 30 23 
57 20 59 .. 29 44 49 42 
02 3 20 15 lD 7 22 31 
27 58 u 8 21 32 41 "" 
18 63 14 53 18 9 38 35 
55 12 17 20 33 38 51 40 
.. 19 54 13 ..39 34 37 
Par tanto, es natural preguntarse cua.ntos recorridos diferentes hay. Y su 
nUmero, contrario a lo que puede parecer a simple vista, es 
sorprendentemente grande; tan grande, que todavia parece estar fuera de 
nuestro alcance, aunque hubo cientiftcos que emplearon los ordenadores 
mas potentes para hallar todas las posibilidades. En 1995,los programadores 
Martin LObbing e Ingo Wegener anunciaron, tras hacer trabajar a 20 potentes 
ordenadores durante cuatro meses, que el mimero total de recorridos (no 
cemulos) del caballo em de 33-439-123-484-294, es decir, mas de 33 billones de 
recorridos posibles. Adenuis. investigaciones m8s recientes han llegado a 
mimeros mayores, como por ejemplo un total (que parece definitive) de 
il9-59L828.t70.979-904 recorridos abiertos!4 Por otro lado, si nos restringimos 
solo a cuantificar los recorridos cerrados, es decir, aquellos que finalizan en 
una casilla desde donde el cabaUo podria saltar de nuevo a Ia casilla inicial, 
su mimero es menor que los nUmeros precedentes pero aun asi muy grande: 
1J.267-364-410-532 recorridos cemulos posibles. A primem vista. tales 
mimeros parecen imposibles, y. claro esta. todos estos mimeros se han 
lognulo con Ia ayuda de ordenadores de alta potencia computacional (o 
redes de ordenadores) y con algoritmos muy complejos que emplean redes 
neuronales o metodos heuristicos para tratar de optimizar el altisimo coste 
computacional5. 
CAPITUL02 
Las primeras maquinas y programas de ajedrez 
Desde los comienzos de Ia era industrial, y coincidiendo con el auge que 
experiment6 el aJedrez en los siglos XIX y XX. ha ido surgiendo entre los 
humanos Ia idea de automatizar el ajedrez, es decir, de construir aut6matas y 
mliquinas de cli.lculo cada vez mejores que puedanjugar una partida a un 
nivel cad.a vez rruis alto. Hoy en dia se pued.e considerar que los avances han 
sido mBs que exitosos: los mejores programas actuales tienen una fuerza de 
juego mayor que Ia de cualquier humano, incluido el campe6n mundial 
Magnus Carlsen. Pero ha hahido muchos pasos, avances, ideas diferentes 
(muchas de ellas con rigurosas bases matematicas) que han jugado su papel 
en esta carrera para alcanzar el nivel actual. En este capitulo repasamos, por 
orden cronol6gico, el desarrollo de dichas ideas te6ricas y su posterior 
aplicaci6n en forma de programas, mliquinas de ci.lculo, etc. 
lA historia de los aut6matas de ajedrez empieza con una famosa 
anecdota -aunque esbi demostrado que se trat6 de una farsa-: Ia del 
autOmata tun:o (tambien conocido simplemente como el Turco). Este 
autOmata fue construido por Wolfgang von Kempelen en 1769 y presentado 
en Ia corte de Ia emperatriz Maria Teresa de Austria en 1710. MBs tarde, sin 
revelar su secreta, Von Kempelen Uev6 a su autOmata de gira por Emopa e 
hizo exhibiciones de ajedrez contra los mejores jugadores del momento, en 
las cuales el autOmata casi siempre ganaba. Entre las "victimas" famosas del 
Turco est8.n Benjamin Franklin o el mismisimo emperador NapoleOn (que era 
un gran amante del ajedrez y tenia un nivel de juego bastante alto entre los 
jugadores de su tiempo). IA historia del autOmata sigui6 basta 1854, con giras 
de demostraci6n por lnglaterni, Estados Unidos y Cuba (donde sus 
propietarios sucesivos ganaban mucho dinero por sus "espect.Bculos" 
pliblicos). El Turco acab6 en el Museo Peale de Filadelfta, donde acab6 
destruido en un incendio. En Ia actualidad sahemos -y tambien se pensaba 
asi en su epoca- que el Turco era una estafa: un maestro ajedrecista lo 
manejalla desde dentro. Y el secreta de su alto porcentaje de victorias incluso 
contra otros jugadores fuertes era que el espectaculo que Von Kempel en y su 
siguiente propietario, Johann Maezel, montaban de cara al publico en las 
demostraciones hacia que el retador humano se pusiera nervioso, bajo una 
considerable presiOn psicol6gica. de forma que jugase a un nivel inferior a su 
destreza habitual. Estaba claro que, con las herramientas de su tiempo, 
construir una verdadera m&quina con estas capacidades era tarea imposible. 
Sin embargo, a pesar de Ia estafa. el Oxito de publico logrado por el Turco 
demostr6 que Ia idea de automatizar el ajedrez ya atraia a Ia comunidad. 
Volviendo a las verdaderas mliquinas. hubo que esperar un siglo para 
que un autOmata real apareciese. Fue precisamente un espaftol su inventor: 
el reconocido matenuitico. ingeniero e inventor Leonardo ToiTeS Quevedo 
(1852-1936). Entre sus numerosas invenciones, Leonardo Torres Quevedo 
diseii6 un autOmata capaz de jugar de fonna independiente (sin intervenci6n 
humana) unas posiciones sencillas de ajedrez. E1 autOmata. Uamado el 
Ajedrecista. fue construido en 1912 y presentado en Ia Feria de Paris en 1914 
donde gener6 una gran expectaci6n. El autOmata de Torres Quevedo era 
capaz de jugar posiciones muy sencillas (del tipo rey y torre contra rey) y 
siempre encontrar el mate. aunque no por el metodo mas directo y 6ptimo. El 
Ajedrecista es considerado por muchos especialistas como Ia primera 
mliquina parajugar ajedrez de Ia historia (Anonymous. 1915). E1 mecanismo 
del autOmata. revelado por Henri Vigneron (1914), utili2aba una tecnica 
electxomecanica para mover las piezas: un sistema elktrico situado debajo 
del tablero le pennitia "sentir• Ias piezas (posterionnente. en una versiOn 
mejorada. Leonardo Torres Quevedo us6 imanes debajo del tablero) y un 
brazo mecinico reaccionaba para mover las piezas. En general, Torres 
Quevedo no pensO en su invenci6n como de utilidad. para el ajedrez en si 
mismo, sino como una aplicaci6n mas (entre otros invent.os suyos) de las 
nuevas tecnicas de electromec8nica introducidas al comienzo del siglo XX. 
La investigacion sobre las m&quinas capaces de jugar al e,jedrez quedo 
parada por un tiempo, basta Ia publicacion de uno de los articulos de 
investigaci6n m8s fundamentales en este desarroUo: el de Claude Shannon, 
Programming a Computer for Playing Chess (1950). Shannon (1916-2001) fue 
un destacado matemAtico e ingeniero elktrico americana, considerado en Ia 
actualidad como el padre de Ia teoria de Ia informacion por sus varios 
descubrimientos en este campo, pero especialmente por asentar las bases 
materruiticas de los futuros desarrollos en esta teoria en su articulo A 
Mathematical Theory of Communication (1948). 
Shannon trabe,jo inicialmente en el celebre MIT (Massachusetts 
Institute of Technology). donde tambien obtuvo su titulo de doctor. y 
posterionnente paso a trabajar en los labonllorios Bell, donde desarrollo sus 
mejores trabe,jos de investigacion con Ia ayuda de un equipo fonnado por 
otros materrui.ticos e ingenieros destacados. OtnL contribuci6n esencial de 
Shannon para el futuro de las ciencias computacionales fue demostrar el uso 
del li.lgebra de Boole en el a.nli.lisis de Ia conmutacion y de los circuitos 
digitales. El li.lgebra booleana es una estructura algebraica (nombrada asi en 
honor al materruitico ingles del siglo XIX George Boole) que fonnaliza 
matematicamente las cuatro operaciones logicas fundamentales (AND, IF, 
OR, NOT) y las operaciones elementales de Ia teoria de conjuntos (union, 
intersecci6n de conjuntos y el complemento de un subconjunto). A partir del 
articulo de Shannon, el Blgebra de Doole se empez6 a utilizar de forma 
generalizada en Ia teoria de Ia infonnaci6n�. 
Adem8s de sus articulos te6ricos, que formalizan desde un punto de 
vista matem&tico Ia teoria de Ia infonnaci6n y ponen las bases de Ia creaci6n 
de algoritmos parajugar bien al ajedrez, Shannon tambien construy6 un 
pequeiio autOmata ehktrico (que solo podia trabajar con posiciones teniendo 
hasta un m8ximo de seis piezas) que usa.ba para veriftcar de forma 
experimental el resultad.o de varios metodos de programaci6n que et mismo 
disefiaba. Shannon construy6 su autOmata en 1949 y lo present6 al 
ajedrecista Edward Lasker (primo lejano del gran campe6n mundial y 
matem8.tico Emanuel Lasker, de quien hablaremos en el capitulo s) en 1950. 
El autOmata experimentalde Shannon fue programado de tal manera que 
tenia tam.biim una funci6n aleatoria de elecci6n entre varias posibilidades 
considera.das "jugables" y, por tanto, partiendo desde Ia misma posiciOn 
dada, no siempre respondia con Ia mismajugada, sino que podia efectuar 
jugadas distintas en ocasiones similares. Actualmente, eso es algo comUn a 
todos los programas modemos. 
Estrategias de bU.queda utilizadas por los programas 
En el articulo anteriormente mencionado (Shannon, 1950), trata de dar 
una estrategia para construir un programa que puedajugar a un nivel 
razonable al ajedrez. Esas directivas, aunque con algunas mejoras, se han 
mantenido hasta hoy como las ideas generales que estan detnis de los 
programas de ajedrez. En primer Iugar, Shannon establece en su articulo dos 
estrategias distintas (pero que tambien podrian mezclarse) para Ia blisqueda 
de jugadas y v ariantes posibles: 
L Los programas de Tipo A. considerados por Shannon como m8.s rudimentarios, 
emplean una btisqueda basada en Ia •fuerza bruta• de c8.lculo, es decir, tra.tan de 
calcular todas las posiciones que pueden ocurrir a partir de una posiciOn inicial 
Oa que queremos evaluar) basta una cierta profundidad (ntimero de jugadas en 
a vance que el programador o usuario quiere calcular a partir de Ia posiciOn 
dada). 
2. Los programas que Shannon llama de Tipo B son aquellos que emplean varios 
criterios de selecciOn de jugadas candidatas a partir de una posiciOn, y solo 
calculan y evaiUan las posiciones resultantes a partir de esasjugadas. De esta 
forma, se busca optimizar eljuego (es decir, reducir la complejidad 
computacional) restringiendo el proceso de elecci6n a aqueUas jugadas 
consideradas "interesantes" o •correctas" respecto a algUn criteria de seleccicin 
(lntroducido por el progra.mador), para asi reducir Ia carga computacional 
eHmlnando de antemano Ia mayoria de las jugadas posibles (ya que, con raz6n: 
en Ia mayo ria de las posiciones •nonnales· de ajedrez hay un nU.mero en torno a 
las 30 jugadas posibles, pero de las cuales solo 4 o 5 suelen ser de verdadero 
interes). Como siempre, en este tipo de consideraciones, el gran problema que 
surge es: i.CU8.1 es el criteria que usamos para seleccionar lasjugadas 
interesantes?, t.es este criteria universal (es decir, funeiona en eualquier 
posiciOn)? 
En su articulo, Shannon decide que Ia estrategia de Tipo A es inviable, dado 
que Ia complejidad computacional seria demasiado gnmde, algo imposible de 
caJcular para los ordenadores (muy rudimentarios) de los aiios cincuenta; 
incluso da un catculo aproximado del nUmero de posibles posiciones que 
deberian ser evaluad.as por parte de un programa funcionando con esa 
estrategia. Uegando a un nU.mero del orden de 1043, es decir, demasiado 
grande. 
Por otro !ado, poco antes de Ia publicacion del articulo de Shannon, el 
psicologo y maestro de ajedrez holandes Adrian de Groot (1914·2006) realize 
una serie de experimentos sobre los procesos cognitivos que OCWTen en el 
cerebro de un jugad.or de ajed.rez usando como base para sus conclusiones 
diversas pruebas y entrevistas conjugadores de todos los niveles, desde 
principiantes y aficionados hasta los grandes maestros del momento. Los 
resultados de los experimentos, publicados en su tesis doctoral en 1946 (De 
Groot, 1946), muestran que tanto los mejores maestros como los aficionados 
estudian en promed.io el mismo nU.mero de posiciones sobre el tablero antes 
de to mar una decisiOn. Pero lo que de verdad diferencia a los jugadores mas 
fuertes de aquellos de menor capacidad de juego es Ia habilidad de 
reconocimiento de mod.elos (que se adquiere y mejora con Ia experiencia). Es 
decir, se demuestra que los jugadores m8s fuertes "saben elegir" de 
antemano las jugadas que merece Ia pena estudiar y calcular, y asi ganan 
mucho tiempo y profundidad de cli.lculo respecto a los jugadores de men or 
nivel, que pierden mucho tiempo y energia en considerar y analizar jugadas 
peores. Usando Ia terminologia de Shannon: los experimentos de De Groot 
demuestran que Ia mente humana emplea una estrategia de Tipo B. 
A partir de esas razones, y de Ia demostraciOn de Ia inviabilidad 
computacional de las estrategias de Tipo A (a! menos, con las herramientas 
disponibles en Ia decada de los cincuenta), Shannon propane como tema de 
investigaciOn pam. el futuro construir y perfeccionar estrategias de Tipo B 
simulando Ia forma de pensary analiza.r de los grandes maestros. Pero nos 
queda Ia pregunta, independiente del tipo de estrategia que vamos a seguir: 
t.cOmo se implementa una evaluaciOn de una posiciOn concreta? 
FunciOn de evaluaciOn 
Shannon contesta a Ia pregunta formulada anteriormente a traves de Ia 
construcciOn de lo que llamamos una funciOn de evaluaciOn, es decir, una 
funciOn que asocia a cada posiciOn Pun valor numCrico f(P) acorde con unas 
reglas, y que deberia ser capaz de predecir, en ciertas situaciones al menos 
(si no en todas), el resultado que se obtiene en una partida a partir de Ia 
posiciOn P con el mejor juego posible. Obviamente, las cosas esttin muy lejos 
de esta situaciOn idealizada. Por ejemplo, si pudiCramos caJcular todas las 
jugadas y posiciones posibles hasta el llnal en ajedrez (es decir, si 
pudieramos resolver eljuego). una funcion de evaluacion muy trivial seria 
una que solo tomase 3 valores' f(P)=• si Ia posicion est& ganada por las 
blancas, f(P)=o si Ia posicion es tablas y f(P)·-• si Ia posicion Ia han ganado 
las negras. 
Pero, en Ia pnictica. las cosas estan muy lejos de esta situacion tan 
simple (de lo contrario, el ajedrez estaria completamente acabado y dejaria 
de ser interesante); por tanto, se deben buscar evaluaciones aproximativas 
de cada posiciOn y funciones de evaluaci6n realistas. £1 mismo Shannon 
propone en su articulo un ejemplo de funcion de evaluacion. Recordando 
que, habitualmente, el valor relativo de las piezas en ajedrez es 
pe6n=I punto, allil=caballo=3 puntos, torre=s puntas, dama=g puntos, 
Shannon propone Ia siguiente formula como funcion de evaluacion, 
teniendo en cuenta no solo las diferencias materiales, sino tambien aspectos 
posicionales o dimimicos de Ia posiciOn que se quiere evaluar: 
f(P)=2oo{K-K')+g(Q-Q')+S(T-T')+3(A-A'+C-C')+(P-P') 
-o,S(D-D'+S-S'+l-l')+o,I(M-M')+ ... 
donde por las letras consideradas entendemos que K. Q. T, A. C, P 
representan el nU!nero de reyes, danlas, torres, alftles, caballos, peones de 
color blanco existentes en el tablero (y las mismas notaciones con las primas 
corresponden a las negras). La explicacion del factor 200 delante de los 
nUmeros que corresponden a los reyes es que Ia desaparici6n de un rey 
(entendida en eljuego por eljaque mate) debe tener un peso mayor que Ia 
suma de todos los demli.s factores, ya que eljaque mate acaba Ia partida. 
D, 5, 1 (y sus respectivas notaciones con primas para las negras) 
corresponden al mimero de peones doblados, peones atrasa.dos y peones 
aislados en Ia posicion de las blancas (respectivamente de las negras). 
M y M', respectivamente, corresponden a una medida de Ia movilidad de 
las piezas blancas y negras. Shannon propane, por ejemplo, como medida de 
Ia movilidad, el mimero de jugadas legales, pero esta claro que esta med.ida 
dista mucho de ser Optima. 
Por tanto, en Ia funci6n de evaluaci6n considerada por Shannon 
aparecen tanto evaluaciones de las diferencias de material en Ia posiciOn 
(correspondientes a Ia primera y segunda linea de Ia funci6n, tal y como esta 
escrita arriba) como evaluaciones de varios factores posicionales y 
din8.micos. En efecto, como los aficionados al ajed.rez ya conocen, tener 
peones doblados, aislados o atrasados suele ser (en Ia mayoria de las 
posiciones) un importante defecto posicional para el hando que los tiene, 
pero, sin embargo, se considera que es menos grave tener una debilidad asi 
que tener un peOn entero de menos. Por lo tanto, Shannon da a estos 
factores un peso de o,s,y con el signo menos en frente (es decir, favorableal 
oponente del que tiene semejantes defectos). 
Por otro lado, es altamente cuestionable si Ia diferencia de movilidad de 
las piezas (factor diruimico que puede Uegar a ser completamente decisivo en 
mochas posiciones de a,jedrez, a pesar del material, por ejemplo, cuando se 
tiene un ataque ganador contra el rey contrario despues de haber sacrificado 
piezas, o cuando se tiene una compensaci6n posicional a largo plaza) se debe 
puntuar con un peso tan pequeiio como 0,1 o con uno mucho mas grande, 
pero Ia idea general es Ia misma. 
De Ia precision de Ia funci6n de evaluaci6n depende mucho Ia fue.-.a del 
programa de a,jedrez que se est& construyendo. De esta manera. se han 
propuesto funciones de evaluaci6n mucho nuis complejas y precisas a lo 
largo del ti.empo, teniendo en cuenta un mayor ntimero de factores 
posicionales o diruimicos. La mayoria de las funciones de evaluaci6n 
consideradas son lineales, es decir, una combinaci6n lineal (similar a Ia de 
Shannon) de aspectos posicionales con diferentes pesos, por ejemplo: 
N 
f(P)= • W:F, 
iol 
donde Fi es el factor a considerar (material, posicional, diruimico, etc.) y 
Wi su peso especillco en Ia evaluacion global. Tambien se han propuesto 
factores rruis sofisticados como interacciones entre piezas y peones o 
mod.elos concretos, y funciones de evaluaci6n no lineales que funcionan en 
varias fases (por ejemplo, primero evalllan el material, despues los factores 
dimimicos, y despues buscan si en Ia posiciOn dada existe alguno de los 
patrones especiftcos que le han sido implementados). Obviamos los detalles 
de estas construcciones, que superan los objetivos de este libro. 
Sin embargo, tener una funci6n de evaluaci6n buena no es suftciente 
para idear un programa de o,jedrez, ya que, por mucho que considere un gran 
nUmero de factores posicionales, la evaluaci6n que ella realiza no deja de ser 
una evaluaci6n esbitica. a partir de los elementos de Ia posiciOn que tenemos 
para analizar. Pero en el o,jedrez, con cada jugada Ia posicion cambia. a veces 
de forma fundamental, y es muy probable que Ia evaluacion tambien. asi que 
necesitamos una fonna de evaluar tanto Ia posiciOn de partida como 
tambien las posiciones que surgen despues de cadajugada considerada por 
parte de las blancas y luego de las negras (esto es, despues de cadajugada 
legal, si queremos emplear una estrategia de Tipo A, o despues de cada 
jugada candidata seleccionada porIa aplicacion de alguna condicion 
selectiva, si empleamos una estrategia de Tipo B), y todo este proceso 
repetido basta alcanzar Ia profundidad (n1llnero de jugadas en adelante) 
deseada. En Ia realizaci6n de esta tarea se utilizan algoritmos de tipo 
minimax. 
El minimax es un algoritmo para determinar el resultado en los juegos 
de swna cero. Por juegos de suma cero entendemos aquellos juegos (entre 
dos o roBs jugadores) don de, si uno de los jugadores gana. es obligatorio que 
al menos algW! otro jugador salga perdiendo, y si sumamos a lo largo del 
juego todas las ganancias de los jugadores que han ganado (suponiendo que 
son cantidades cuantiftcables matem8.ticamente, como por ejemplo, el dinero 
en procesos econ6micos) y restamos las perdidas de aquellos que han 
perdido, obtenemos en cualquier momento el resultado cero. Esta teoria es 
importante en economia, pero en el caso que nos concieme es muy fW:il de 
observar que el ajedrez es unjuego de suma cero con solo dos jugadores. 
Entre los te6ricos del algoritmo minimax se encuentran materruiticos de Ia 
fama de John von Neumann (quien demostr6 en 1928 el teorema minimax 
que representa lajustiftcaci6n matemlitica de que el algoritmo es correcto)7. 
En el caso del ajedrez y de los programas que nos interesan, Ia aplicaci6n 
del algoritmo minimax es bastante sencilla. Supongamos que queremos 
evaluar una posiciOn y que son las blancas las que deben jugar. En un primer 
paso, evaluamos (usando Ia funci6n de evaluaci6n que ya hemos construido) 
todas las posiciones posibles que surgen tras cadajugada legal de las 
blancas y buscamos el truix.imo. Pero en el siguiente turno, son las negras las 
que juegan, y elias tarnbien buscan lograr el rruiximo para sus intereses, es 
decir, la peor posibilidad para las blancas. Entonces, el algoritmo evalua el 
valor de cadajugada inicial blanca como el minimo en funci6n de todas las 
jugadas posibles del negro a partir de aquella primerajugada blanca, y luego 
maximiza entre las diferentes jugadas posibles de las blancas, es decir, 
realiza un mliximo entre varios minimos. Lo mismo sigue basta Ia 
profundidad computacional que queremos (o Ia que nuestra herramienta de 
c8lculo puede soportar). En Ia implementaci6n del algoritmo minimax se usa 
habitualmente una pequeiia variaci6n llamada negamax, es decir, una forma 
que pennite implementar solo rutinas computacionales para calcular val ores 
rruixim.os usando Ia sencilla relaci6n materrui.tica que convierte minimos en 
rruiximos: 
max(a.b)=-min( -a.-b) 
vlilida para dos nlimeros reales a y b cualesquiera. Finalmente, para 
pasar a profundidades mayo res, se usan rutinas recursivas, ya que en Ia 
aplicaci6n del algoritmo mirumax despues de N jugadas completas (por 
jugada completa se entiende unajugada de las blancas y Ia respuesta de las 
negras), se deben tener en cuenta como datos de partida los resultados 
alcanzados en Ia evaluaci6n efectuada basta el paso N-1, es decir, basta una 
jugada anterior. Para dar un ejemplo de c6mo funciona Ia blisqueda de Ia 
variante principal mediante el algoritmo minimax, tenemos el slgulente 
Brbol de evaluaclones: 
Figura 10 
Un ejemplo de apllcacion del algoritmo minimax, 
En el caso "dlcblctico" de nuestra flgunl, partimos de una posicion 
evaluada como +4: en el primer paso, elegimos lajugada que nuis puntas da 
(maximizamos). Por tanto, de las 3 posibilidades analizadas, vamos bacia el 
nodo del lirbol situado nuis a Ia derecha, evaluado con +4- En el segundo paso, 
es el bando rival el que juega, por tanto, en el segundo nivel del arbol 
tenemos que minimizar. Por fin. en el siguiente tumo, de nuevo nos toea a 
nosotros jugar, asi que tenemos que maximizar de nuevo el resultad.o, pero 
solo den1ro de Ia rama del arbol que contiene los nodos previamente 
encontnulos (en los pasos anteriores); las dellllis ramas del arbol se 
descartan una vez encontrad.a una mejor. 
Desarrollo de los programas. El prognuna de Alan Turing 
Poco despues de Ia publicaci6n del articulo de Shannon y su 
argumentaci6n a favor de las estrategias de Tipo B para construir programas 
de oJedrez, muchos de los materruUicos y especialistas en Ia teoria de Ia 
computaci6n de su tiempo se interesaron por el ajedrez y vieron Ia creaci6n 
de algoritmos cada vez mejores parajugar al ajedrez como un logro 
interesante en Ia investigaci6n del nuevo campo de Ia inteligencia artificial. 
Entre ellos, esta problem3.tica suscit6 el interes del famoso matelllitico 
ingles Alan Turing. uno de los mayores exponentes del siglo XX en el ambito 
de Ia infonruitica te6rica y el desarrollo de los ordenadores. 
Alan Mathison Turing (Igi2-I9S4) fue un matematico, l6gico y cientillco 
ingles de Ia computaci6n, considerado uno de los pioneros de Ia infonnitica 
Entre sus contribuciones esenciales para los desarrollos posteriores de Ia 
ciencia de Ia computaci6n se encuentra Ia nuiquina de Turing. que es un 
dispositivo abstracto (hipotetico) que representa una nuiquina de 
computaci6n capaz de resolver cualquier problema materruUico que se puede 
representor mediante un algoritmo. Hoy en dia las maquinas de Turing 
siguen siendo objetos centrales de estudio en Ia teoria de Ia computaci6n. 
Turing tambien es un pionero de Ia inteligencia artificial, por la introducci6n 
del test de Turing para comprobar Ia "inteligencia" de un sistema artificial; el 
test tiene Ia meta de comprobar Ia capacidad de una maquina de dar 
respuestas similares (o incluso indistinguibles) a las respuestas que da un 
hwnano. 
Entre muchas otras contribuciones,Turing tambien se interes6 por los 
programas de ajedrez y (junto con algunos colegas) desarrollo en 194B io que 
se considera como el primer programa de ajedrez, a! que llama Turochamp. 
El programa fue desarrollado de forma te6rica. dado que en ese tiempo no 
habia una rruiquina de c8.Iculo capaz de ejecutar las instrucciones del 
Turochamp. En cambio, para probar Ia fuerza de su programa, Turing actu6 
e1 mismo como si fuera una mliquina. siguiendo el algoritmo y requiriendo un 
tiempo de truis de media hora (a veces llegando basta Ia hora y media) por 
jugada. Se conocen asi dos partidas jugadas por Turochamp: una ganada, 
contra Ia mujer (jugadora con nivel de principiante) de su colaborador mas 
proximo en el trabajo para Turochamp, David Champemowne, y otra partida 
perdida contra otro compaiiero de trabajo, Alick Glennie, que tenia un nivel 
nuis avanzado. Pero quizais las mayores contribuciones de Twing y su 
Turochamp en este campo no son los resultados y Ia fuerza de juego en si, 
sino las nuevas ideas de mejora del algoritmo que Turing ha incorporado en 
el desarrollo computacional de Turochamp y ha publicado ulterionnente 
(Turing, publicaci6n p6stuma en 1953). 
Los investigadores que han trabajado en Ia elaboraci6n del programa 
Turochamp (Turing y su colaborador David Champemowne, tambien 
conocido matenuitico y economista) han incorporado a su programa una 
serie de nuevas habilidades, que Shannon no habia considerado en su 
articulo, y que se han convertido en esenciales para elabolliJ' un buen 
programa de ajedrez. En primer Iugar, su programa incorpora nuevos 
elementos en su funci6n de evaluaci6n que Shannon no considenlba (pero 
debemos precisar que Ia intenci6n de Shannon no fue crear un programa 
pr&ctico, sino solo poner las bases te6ricas de cOmo se debe traba.jar para 
lograrlo), y que Turing describe en Ia publicaci6n mencionada anteriormente. 
Voy a poner en detaUe los elementos de Ia funci6n de evaluaci6n que 
utilizaba Turochamp para dar un ejemplo (elemental) de un sistema de 
evaluaci6n realmente utilizado en Ia pnictica, recordando que Ia funci6n de 
evaluaci6n es Ia combinaci6n lineal de cada factor multiplicado por su peso 
especiftco: 
- El valor de las piezas ligeramente modiOcado respecto al de Shannon, dando 
10 puntas a la dama y 3.S puntos al alftl (que. de esta fonna, se evaluaba como 
llgeramente mejor que el caballo). Hoy en dia sabemos que eso no es realist&. 
- Movilidad: Turing evaluaba este factor como Ia raiz cuadrada del nUmero de 
jugadas posibles, con Ia excepci6n de Ia captura (que se contaba como dos 
jugadas en el catculo) y el enroque (que simplemente no contaba en este 
caJculo, pero sumaba un punto entero a Ia evaluaci6n final despues de extraer 
Ia raiz cuadrada mencionada). 
- Segu.ridad de las piezas: se sumaba 1 punto en Ia evaluaci6n si las piezas torre, 
al61, caballo estaban derendidas una vez (es decir, por una sola otra pieza 
propia) y 1.5 puntos si estaban derendidas dos veces. En el caso del rey, se 
restaban puntos segUn una regia algo mas complicada para evaluar Ia ratta de 
seguridad del rey: se restan k puntos, donde k es el nlimero de casillas desde 
donde una dama puede atacar al rey. Por 6n, la amenaza de mate sumaba un 
punto,y Ia amenaza de jaque o,s puntos. 
- PosiciOn de los peones: sumar 0,2 puntos para cualquier casilla que el peOn ha 
avanzado, y otros o,a si en esa casilla el peOn esta derendido por una o mas 
piezas. 
Claramente estas evaluaciones dejan fuera de su alcance muchas de las 
caracteristicas de una posicion de ajedrez; por ejemplo, un pe6n que ha 
avanzado demasiado se convierte en una debilidad para su bando (y acaba 
por ser capturado por el rival), pero las evaluaciones presentadas puntUan 
los avances de peones solo de forma positiva Tambien Ia seguridad del rey es 
un factor extremadamente relativo y dificil de cuantificar matematicamente, 
ya que su evaluacion real (en una partida concreta) depende mucho de Ia 
existencia de fuerzas atacantes del bando contrario en Ia zona o no. Pero 
para mejorar Ia fuerz.a de juego, aparte de las evaluaciones anterionnente 
mencionadas, el programa de Alan Turing introdujo unas rutinas que 
realizaban nuevas opemciones hoy en dia muy habituales y esenciales que 
no habian sido desarrolladas antes. Entre ellas, mencionamos: 
• La bllsqueda de posiciones estables (quiescence search) es uno de los 
grandes avances ideados por Turing y su equipo de colaboradores en Ia 
programaci6n del ajedrez. En efecto, uno de los mayores problemas con los 
que se encuentra un algoritmo de eJedrez, tanto a nivel pnictico como a nivel 
te6rico, es el llamado problema del horizonte, descrito en estos tenninos por 
Hans Berliner (1973) unos 20 o.fios despues de los avances realizados por 
Turing y su equipo. Se trata de Ia siguiente diftcultad especifica de los 
programas de ajedrez: al tener una busqueda y aruilisis de jugadas de 
profundidad limitada. el programa empieza a proponer jugadas intennedias 
malas, il6gicas o completament.e inU.tiles para posponer un desenlace 
inminente (que ha descubierto en su an81isis) para despues del umbra! de 
bU.queda (horizonte) que tiene. 
Para dar un ejemplo nuis concreto, supongamos que en una posiciOn 
dada hay una combinaci6n bictica que lleva a Ia perdida iruninente de Ia 
dama despues de 8 jugadas en Ia linea principal, y que tenemos un programa 
que tiene una profundidad m8xima de 8 jugadas completas (entendiendo, 
como es habituol, por jugada completa el conjunto de unajugada de las 
blancas y Ia respuesta de las negras). En este caso, Ill percibir Ia perdida de Ia 
dama como una desventaja mayor acorde con su funci6n de evaluaci6n (Ia 
dama suele valer muchos puntas), el programa encuentra algunas jugad.as 
completamente inU.tiles (como por ejemplo, entregar rmis piezas) con los que 
solo consigue posponer el desenlace inevitable (Ia perdida de Ia dama) mas 
alia de lajugada 8. Pero Ill no tener una profundidad sullcientemente grande, 
es decir, Ill parar su aruilisis en lajugada 8, donde todavia (debido a las 
jugadas intermedias) Ia dama no se ha perdido, Ia evaluacion del mOdulo 
infonnB.tico seni altamente equivocada (como si Ia dama ya no se perdiese 
despuCs, solo se ha perdido el material menos importante sacriftcad.o en esas 
jugadas intermedias, imaginemos que pasaria de +g puntos a +2 puntos). 
Otro ejemplo aUn mas impactante puede ser el siguiente: supongamos 
que tenemos una m;iquina que analiza una posiciOn con profundidad de 8 
jugadas,y Ia Ultimajugada que considera es una captura Por ejemplo, Ia 
dama captum una torre en Ia Ultimajugada analizad.a. Entonces, un 
programa que no tiene implementada Ia bUsqueda de posiciones estahles va 
a decidir que esta es su variante principal, ya que aJ Hnal de su variante nos 
estani diciendo que ha ganado una torre (evaluaci6n +s). Pero si Ia torre esta 
defendida por otra pieza, en Ia siguiente jugada (que esta fuera de su umbra! 
de clilculo) el bando que el programa evolua como ganador perdera Ia dama. 
es decir, la verdad "absoluta" de Ia variante seleccionada por Ia m8.quina seria 
que hemos perdido Ia dama a cambio de una torre (evaluacion -4. desventaja 
material perdedora), mientras que, como hemos explicado, nuestra mB.quina 
nos estli diciendo que hemos ganado una torre entera (es decir ventaja 
material ganadora, +5 puntas). 
AI tener un horizonte de bllsqueda limitado, todos los prograrnas tienen, 
en men or o mayor grad.o, esta dificultad, y el problema es encontrar formas 
de atenuar el posible efecto negative. Como respuesta a este problema, Ia 
comunidad (empezando par Turing y Champernowne) ha propuesto Ia idea 
de Ia bU.squeda de posiciones estables. Eso signiftca que a los prograrnas se 
les implementa una rutina para que reaJicen una bUsqueda aftadida de unas 
pocas jugadas al final de su bU.queda con profundidad flja, para a.segurarse 
de que al final de Ia bUsqueda solo se analizan posiciones estables, es decir, 
aquellas posicionesdonde no existenjugadas bicticas decisivas por hacer. En 
principio,las jugadas de captura, los jaques y las amenazas decisivas (por 
ejemplo, de mate o de coronaci6n de un peOn) enti1lll en estA categoria de 
jugadas llicticas, y cuando dichas posibilidades se encuentran al final de Ia 
bUsqueda se debe continuar el aruilisis (solo en aquellas variantes 
particulares que empiezan con lajugada llictica) unas pocasjugadas mas, 
basta que tales jugadas con canlcter forzado desaparezcan. Esta idea surgi6 
ya en el trabe,jo de Turing para Ia maquina Turochamp, como su colaborador 
David Champernowne describe (Turing y Copeland, 2004). Hoy en dia, todos 
los programas utilizan tecnicas (variadas) de busqueda de posiciones 
estahles, a traves de las llamadas extensiones. Volveremos a este tema m8s 
adelante en el libro, ya que hay muchas propuestas de como realizar una 
bU.queda de posiciones estables {panl poner dos ejemplos te6ricos, Kaindl, 
1983; Beal, lggo). 
• La selectividad es una capacidad de los programas de ajedrez 
relacionada con Ia anterior. Su idea es tratar de descubrir aquellas lineas de 
juego "interesantes" o forz.adas que tienen mayores posibilidades de 
convertirse en Ia variante principal, pero a Ia vez, tener un metodo para 
eliminar aquellas jugadas que no van a pertenecer a ninguna variante 
principal. Por variante principal entendemos Ia sucesi6n de jugadas que el 
programa considera como Ia mejor posible, y que por tanto espera que se 
jueguen en Ia partida que se est& analizando. Una manera de descartar 
jugadas o lineas obviamente irrelevantes es esencial en Ia programaci6n 
para limitar Ia carga computacional. Una de las formas de seleccionar solo 
las variantes mas relevantes es Ia bU.queda con profundidad variable (en 
funci6n de Ia variante que se esbi analizando), lo que nos lleva a las mismas 
ideas de bU.squeda de posiciones estables y de Ia teoria de las extensiones (es 
decir, aquellas subrutinas que incrementan Ia profundidad. en determinad.as 
situaciones consideradas "interesantes" para Ia evaluaci6n). 
• El aprendizaje (machine learning) es el proceso de adquisicion 
automlitica de nuevos conocimientos a traves de Ia experiencia previa. 
similar a Ia forma en Ia que asimilamos nuevos conocimientos los humanos. 
En el caso de los programas de ajedrez. se trata de implementar algoritmos 
que permiten aJ programa cambiar su actuaci6n y toma de decisiones a base 
de asimilar Ia experiencia de las partidas jugadas o analizadas 
anteriormente. Ocurre. por ejemplo. cuando se prueba el programajugando 
contra varios adversarios, tanto humanos como otras m&quinas. 
Tambif�n es import.ante a Ia hom de implementar en el algoritmo un 
libro de aperturas, porque Ia teoria de aperturas est& en continuo cambio y 
es necesario que el prognuna pueda asimilar e introducir en sus B.rboles de 
variantes las novedades mBs recientes. Turing introdujo esta idea en el 
diseiio de su programa de ajedrez (Turing, 1953) al proponer que Ia rrniquina 
intentase variaciones en sus datos, como, por ejemplo, variar ligeramente los 
valores numericos asignados a distintos aspectos incluidos en Ia funci6n de 
evaluacion, y adoptar aquellos que dan los mejores resultados. Esta idea hace 
que Ia rrniquina de ajedrez de Turing sea un primer ejemplo de lo que hoy en 
dia se conoce como algoritmo genetico. En Ia actualidad, todos los programas 
tienen incorponldos algoritmos pam el aprendizaJe. 
Metodos de selecci6n 
La poda alfa-beta Como hemos dicho anterionnente, volvemos al tema 
de Ia selectividad, es decir, aquellos procedimientos que permiten a los 
programas de ojedrez evitar una carga computacional excesiva, al eliminar 
varias de las lineas consideradas "no interesantes" sin investigarlas en 
proli.mdidad. Dichas tecnicas se Uaman "podas" (en ingles, pruning) y han 
sido un tema importante de investigaci6n entre los te6ricos y programadores 
de ojedrez. Hay muchas variantes de "podas" que se han propuesto como 
resultado de esta proliftca investigaci6n, pero prohahlemente Ia tecnica de 
selecci6n y descarte mas conocida y con mayor valor hist6rico (y de 
comprensi6n de las ideas para el lector) es Ia Uamada poda alfa-beta 
(tambien conocida como "el algoritmo alfa-beta" o bien "Ia heuristica alfa­
beta" -alpha-beta pruning-). Vamos a explicar, usando esta tecnica, cuales 
son las ideas que Connan Ia base de estas "podas". 
La poda alfa-beta parece haber sido introducida por John McCarthy en 
1956 en Ia Conferencia de Dartmouth, aunque ideas similares existian ya 
debido a su naturalidad. Sin embargo, sus bases te6ricas han sido 
organizadas en un articulo posterior escrito por Newell, Clark and Simon 
(1958). Tras este articulo, ha habido reftnamientos y mejoras del algoritmo, de 
los cuales mencionamos aquellos realizados por Knuth y Moore (Knuth y 
Moore, 1975) o Judea Pearl, que ha probado materruiticamente Ia eftcacia del 
algoritmo (Pearl, 1982)8. 
La idea del algoritmo es eliminar grandes partes del lirbol de blisqueda 
en el aruilisis de una posiciOn de ajedrez (que sigue usando el algoritmo 
minimax como base) a traves de trahajar con una cota superior y una cota 
inferior para Ia evaluaci6n realizada basta un detenninado momenta, y 
eliminando aqueUas nunas cuya evaluaci6n dista mucho de mejora.r las 
acotaciones ya existentes. Concretamente, el algoritmo define y mantiene 
dos valores numCricos (de forma din3.mica., ya que pueden cambiar en carla 
paso si se encuentra una variante Optima): 
· a (alfa). Representa el valor maximo alcanzado basta el momento actual 
(en Ia ejecucion del algoritmo para analizar una posicion) para el bando que. 
en el minimax. aspira a maximizar su evaluaci6n (tipicamente el bando de las 
blancas); es decir, funciona como una acotaci6n superior de Ia evaluaci6n 
que. a lo largo del camino. se esta considerando dentro del arbol de blisqueda 
con el algoritmo minimax. 
• p (beta). Representa el valor de Ia mejor opcion para el bando que. en Ia 
ejecuci6n del algoritmo minimax, aspira a minimizar Ia evaluaci6n 
(tipicamente el bando de las negras). 
La bUsqueda elimina ramas enteras del Brbol cuando el valor que se esta 
examinando no mejora las dos acota.ciones a y p v8.1idas en el momento 
considerado (usando una tecnica de programaciOn mas general. conocida 
como branch-and-bound). Pero todas estas explicaciones generales tienen 
un car.icter bastante abstracto. Para ver cOmo funciona el algoritmo. vamos a 
presentar unos ejemplos sencillos. 
SUpongamos primero que nos enconb'amos delante de una posiciOn de 
ajedrez donde es el tumo de las blancas pamjugar, y queremos evaluar solo 
con profund.idad 2 (es decir, la primerajugada de las blancas y Ia respuesta 
de las negras): tan solo 2jugadas o unajugada completa, en Ia tenninologia 
utilizada en ajedrez. Tomamos unajugada blanca y Ia evaluamos,junto con 
todas las respuestas de las negras. Supongamos que nuestra conclusiOn es 
que las blancas logran una ligera venta,ja contra Ia mejor respuesta de las 
negras (evaluaciOn positiva en tenninos matem&ticos). Tomamos ahora otra 
jugada blanca diferente a partir de Ia posiciOn inicial y empezamos a analizar 
las respuestas de las negras a esta Si en una de ellas nos enconb'amos que 
ya las negras logran ventaja o ganan material (evaluaciOn negativa en 
tenninos materruiticos si se usa Ia variante negamax). descartamos por 
completo tanto esajugada blanca como todas las respuestas negras posibles 
sin anali.arlas, ya que esta claro que por esta rama del &rbol de blisqueda no 
vamos a mejorar Ia evaluacion que ya tenemos a partir de Ia primerajugada 
blanca analizada La evaluacion de Ia primerajugada blanca considerada 
actUa de esta manera como una acotaciOn inferior para Ia evaluaci6n global: 
sabemos que al menos esa ventaja Ia tenemos asegurada. por tanto, tiene 
sentido buscar solo aquellas jugadas que mejoren esta evaluaciOn. 
Pasemos ahora a una btisqueda mas profunda. pero siguiendo el mismo 
plan para descartar nunas del:irbol de blisqueda similares a las que hemos 
explicado en el caso mas sencillo de profundidad 2. En este caso, Ia 
evaluaciOn se hace de forma recursiva. manteniendo en los valores 
numericos a y p los mciximos y minimos alcanzados en el paso anterior. Si 
unajugada blanca es tan mala que tiene una respuesta en que Ia evaluaciOn 
de Ia nueva posiciOn ya esta. por debajo del valor a existente, entonces esa 
jugada. y todas las sucesivas a partir de Ia posiciOn resultante, se eliminan de 
Ia bllsqueda (porque en esa variante estamos empeorando nuestro juego y 
no nos interesa). Pero tambien hace falta una acotaci6n superior (Ia p), dado 
que, si una respuesta del bando rival en una determinada variante es 
"demasiado buena", entonces seguramente esa posibilidad se podia haber 
evita.do buscando en un nivel anterior del Brbol unajugada que no 
permitiera que el rival tuviera una posibilidad tan buena; por tanto, esa 
variante donde el oponente tiene una respuesta que supere Ia acotaciOn 
superior tampoco es optima desde el punto de vista de Ia "verdad absoluta" 
del juego (figwa u). 
Figwa u 
Ejemplo de aplicaci6n de Ia poda alfa-beta. 
En el ejemplo de Ia figura. vamos a explicar por que se podan los 
sub8rboles indicados como '"cortad.os". Comenzamos con Ia bUsqueda en 
profundidad y psrtimos de los dos nodos a Ia izquierda, etiquetados 5 y 6. AI 
encontrarse en un nivel"min" (es decir,jugada deljugador que pretende 
minirnizar en el minimax), el padre de estos nodos debe escoger el valor 
minima de ellos (el s) como valor provisional de p. Seguimos expandiendo el 
lirbol de blisqueda y encontramos, por Ia misma raz6n, que el padre de los 
nodos (que aparecen como tenninales en Ia ftgura) etiquetados con 7 y 4 
debe tomar el valor 4 para minimizar p. Por tanto, pasamos a P·4· En este 
caso, el padre de los dos nodos que ya hemos etiqueta.do a su vez como 
padres de los "terminales" (4 y 5), al hallarse en un nivel "max" 
(correspondiendo a unajugada deljugador que pretende maximizar Ia 
evaluaci6n), tiene que tomar el valor m8x.imo entre 4 y s. es decir: a•s. Por 
tanto, si seguimos expandiendo y buscando otros sucesores del nodo 
etiquetad.o con 4 (el p), o bien esos nodos sucesores tienen valores mayores 
de 4 (como el etiquetado con 5 en Ia flgu111, y "cortado"), o bien podrian tener 
valores menores de 4o de esta fonna minimizaria aiin mas el p. 
Pero en todos estos casos, al tener yael nodo "padre" etiquetado con 5 en 
Ia izquierda, dentro deljuego, la decision correcta del que juega a maxi mizar 
la evaluaci6n es siempre escoger lajugada correspondiente al camino bacia 
Ia izquierda (es decir, al nodo de valor 5), sean cuales sean los sucesores del 
"sucesor de Ia derecha", etiquetado con 4. Por tanto, todos esos sucesores 
pueden ser podad.os: es inU.til analizar esas posiciones. Por ella, en el ejemplo 
"'did8.ctico" encontra.m.os cortado el camino entre el nodo 4 y su tercer 
sucesor etiquetado con s (pero como hemos dicho muchas veces, puede 
haber much as mas sucesores, y en tal caso podamos todas esas ramas). Una 
cosa similar ocurre con el subBrbol entero situado mas a Ia derecha, podad.o 
completamente: al recordar que en el algoritmo optimo de poda Ia busqueda 
se hace de izquierda a derecha. ya tenemos analizados los dos nodos 
etiquetados con 3 y 6 en el segundo nivel, y estamos con el nodo etiquetado 
con 5 en el segundo nivel (debajo del nodo raiz del arbol). 
Con el mismo razonamiento que en el caso anterior, se demuestra que se 
pueden podar tod.os los caminos partiendo desde el nodo etiquetado con 5 
(en particular el subarbol entero indicado como "cortado" en Ia parte derecha 
de Ia tigma). Ya que, o bien hay un sucesor del nodo 5 que tiene valor menor 
que 5 0J en tal caso, se cambiar;i el valor de su padre a este nuevo rninimo), o 
bien todos los sucesores tienen valores mayores que 5 (como en Ia figura. 
donde el nodo sucesor a Ia derecha tiene valor 8) yen este caso, al 
encontrarse el nodo etiquetado con 5 en un nivel "min", no se cambia su 
valor. En ambos casos, ya conocemos que hay un nodo en el segundo nivel 
etiquetado con 6, y como el primer nivel (Ia raiz) se encuentra en un nivel 
"max", Ia decisiOn correcta que tomari. el primer jugador senijugar hacia Ia 
posiciOn correspondiente a ese nod.o etiquetado con 6 Oa conexiOn vertical): 
por tanto, el cirbol entero situado mcis a Ia derecha se descarta. 
Se puede demostrar (Pearl. 1982) que Ia poda alfa-beta es un algoritmo 
Optimo, pero al menos es fcicil ver que mejora sustancialmente al algoritmo 
minimax "bruto". Por ejemplo, en un caso sencillo, supongamos que 
queremos analizar una posicion hasta una profundidad de N jugadas y que, 
en un caso ideal, Ia media de posibilidades distintas de jugadas legales en el 
tablero en cada paso es k (es decir, que en Ia estructura de cirbol. cada nodo 
va a tener en promedio k hijos). Aplicando el algoritmo minimax "fuerza 
bruta" y examinando todas las posibilidades, el nlimero de operaciones 
efectuadas por el algoritmo de btisqueda y evaluaci6n es del orden O(kN), es 
decir, analizando por separado cada nodo (el arbol tiene un nlimero de nodos 
del orden kN en total, como es fiicil averiguar, por ejemplo, en el caso ideal en 
el que cada nodo tiene exactamente k sucesores y bajamos basta el nivel N). 
Si usamos el algoritrno de Ia poda alfa-beta en Ia mejor forma en Ia que se 
puede implementar -es decir, analizando las mejores jugadas como 
primeras- entonces el ord.en del mimero de posiciones analizadas baja de 
forma esencial. En efecto, en cada paso de aruilisis (cada nivel del arbol de 
btisqueda) se tienen que buscar todas las jugadas del primer jugador para 
encontrar cwil es Ia mejor posible, pero, en cambio, es suficiente analizar una 
sola posicion (resultado de lajugada rruis fuerte del segundo jugador como 
respuesta a lajugada efectuada por el primer jugador) para refutar todas las 
jugadas secundarias del primer jugador excepto una (Ia mejor posible). Por 
tanto, en cada "bucle" de este tipo Uugada completa, es decir, pareja de 
jugadas sucesivas de los dos jugadores) es necesario un nU.mero de 
operaciones del orden de .., k opciones para la jugada del primer jugador, 
pero una opci6n del segundo jugador para cada una de las k. Por tanto, el 
nlimero de posiciones que se analizarcin de esta manera basta llegar a una 
profundidad N deseada sera del orden de O(k(N/2)], es decir, la rajz cuadrada 
del orden obtenido por Ia aplicaci6n del algoritmo minimax sin ninguna 
mejora Por tanto, con Ia misma herramienta computacional disponible, 
podemos investigar basta el doble de profundidad usando Ia poda alfa-beta 
Tambit�n es verdad que hemos utilizado una situaci6n muy favorable de 
Ia implementaci6n de Ia poda alfa-beta en Ia que los nodos del arbol estan 
ordenad.os en funci6n de Ia fuerza de lajugada correspondiente; si los nodos 
no estan ordenados, entonces Ia efectividad baja (o incluso puede dejar de 
existir). Por ello,junto con Ia implementaci6n del algoritmo, se deben aplicar 
rutinas que ordenen las jugadas en funci6n de su posible valor, eligiendo 
como primeras para estudiar a aquellas que tienen mayor probabilidad. de 
ser las mejores. Eso se realiza bastante f8.cil en ajedrez, considerando en 
primer Iugar en el orden de jugadas que se van a considerar aquellas de 
captura de material (y en el caso de tener mas posibilidad.es de captura, 
como primera opci6n a analizar, considerar Ia captura de Ia Ultima pieza 
movida por eljugad.or rival y con Ia pieza atacante de menor valor), despues 
las jugadas de jaque o arnenazas inmediatas, despues (en W1 tercer turno de 
anlilisis) las jugadas "tranquilas" efectuadas bacia delante y, ftnalmente, las 
jugadas efectuadas en lateral o bacia atnis. 
Como ya sabemos, el ajedrez no es una ciencia exacta y es obvio que no 
siempre vamos a dar con Ia mejor jugada en el primer intento usando esta 
manera de ordenar; pero estadisticamente, en una mayoria de situaciones si, 
y eso es suficientepara acercarnos a Ia carga computacional Optima 
O[k(N/2)). Investigadores mas recientes tambien han propuesto nuevas 
pasibles mejoras del algoribno alfa-beta, u otras tecnicas de "poda" de los 
arboles de anBiisis. 
DesarroUo de los programas 
Partiendo desde los avances logrados par Shannon, Turing y sus 
colaboradores, las investigaciones para desarroUar programas de ojedrez 
capaces de jugar cada vez mejor han estado en auge, sobre todo porque los 
investigadores en inteligencia artilicial de aquel tiempa usaban el ojedrez y 
los avances en su programaci6n como forma de comprobar sus ideas, que 
luego buscaban extender a maquinas inteligentes nuis complejas o con 
aplicaciones tambien en otros ambitos. Por otro lado, tam bien surgi6 1a 
curiosidad hwnana de ver basta que punta se puede Uegar a unjuego 
perfecto. Como comentaremos en el capitulo s. esa investigaci6n tuvo a 
varios grandes jugadores involucrados, entre ellos los cam peones mundiales 
Euwe y Botvinnik. Tambien hay que decir que los creadores de los primeros 
algoribnos, es decir, tanto Shannon como Turing, tenian una aftci6n probada 
par el ojedrez (sin Uegar a ser grandes maestros). 
Los avances anterionnente presenta.dos a nivel de ideas y descripciones 
encontraron su aplicaci6n pnictica en Ia creaci6n del programa Kotok­
McCarthy, desarroUado a partir de 1959. cuya implementaci6n realizaron 
varies alumnos de McCarthy (el mismo inventor de Ia pada alfa-beta) 
basB.ndose en sus ideas. Se considera que este programa. realizado en el MIT, 
ha sido el primer programa implementado de forma pnictica que pudo jugar 
ajedrez a un nivel aceptable. Despues de varios tests, se llego a considerar 
que el programa Kotok-McCarthy tenia Ia fue= de un principiante con Ia 
experiencia de 100 partidas jugadas (A. Kotok, MIT Artificial Intelligence 
Memo 41. 2004). El programa. de Tipo B. usaba muchas heuristicas para 
seleccionar las jugadas. Entre ellas, implementaha ya Ia poda alfa-beta. En 
panllelo, en Ia Union Sovietica y siguiendo bases matematicas parecidas a las 
expuestas anteriormente, se desarrollo a partir del aiio •9&.1 el programa del 
ITEP (siglas en ingles del Instituto de Fisica Te6rica y Experimental). El 
equipo de desarrolladores comprendia al famoso te6rico ruso Alexander 
Kronrod y sus alwnnos, entre los cuales encontramos a Alexander Brudno 
(que "redescubrio" de forma independiente en el mundo sovietico el 
algoritmo alfa-beta); y tambien el campe6n mundial Botvinnik (que ya habia 
perdido su titulo). El programa del ITEP tenia implementada una estrategia 
de Tipo A ("fuerza bruta"), con Ia Unica herramienta de seleccion el algoritmo 
alfa-beta. 
En 1965. cuando John McCarthy visit6 Moscu, Kronrod ret6 su programa 
Kotok-McCarthy a un match contra el programa del ITEP. Ese match se 
produjo ftnalmente entre •g66-•967 y dur6 9 meses, siendo el primer match 
de ajedrez entre dos ordenadores -sin duda. un enonne avance para aquel 
periodo-. El programa sovietico, de implementacion mas reciente y sabre 
una miquina con mayor palencia de caiculo, gano este match por 3-L Entre 
los asesores del programa del ITEP para el match estuvo el mismo Mikhail 
Botvinnik. 
El desarrollo de los programas siguio a gran velocidad y muy pronto se 
pudo construir el primer programa de ajedrez que logr6 veneer ajugadores 
humanos en partidas oficiales de tomeo. Se trata del programa Mac Hack. 
escrito por Richard Greenblatt y desarrollado tambien en el MIT a partir del 
aiio 1965. El programa Mac Hack fue probado en tomeos oficiales de 
jugadores humanos como un "jugador de tomeo" muy activo entre 1967 y 
196g -particip6 en nada menos que 18 tomeos (y jugo rruis de 100 partidas 
oficiales)-. En 1967, en el Gampeonato del Estado de Massachusetts, el 
programa consigui6 denotar a unjugador humano con rating ofi.cial. 
Ulterionnente, el programa lagrO mas victorias (aunque su fuer-z.a de juego se 
mantuvo siempre similar a Ia de un aficionado no muy fuerte). 
La respuesta sovietica no se hizo esperar y. poco despues, en el Instituto 
de Control de Moscoi, un grupo de investigadores en tomo a Mikhail Donskoy 
y Georgy Adelson-Velsky empez6 a desarrollar el programa Kaissa Era muy 
sofisticado para su tiempo, pues implementaba una estrategia de Tipo A pero 
con tecnicas de selectividad muy novedosas, como Ia poda de Ia "jugada nula" 
(null-move pruning), que se usan de forma constante a partir de este 
memento y basta Ia actualidad. De esta forma. el programa Kaissa se 
convirti6 en un gran avance en Ia programaci6n del aJedrez. CUando se 
organiz6 (como otro signa del gran auge e interes que habia logrado Ia 
investigaci6n en este campo) el primer campeonato mundial de e,jedrez para 
programas de ordenador en Estocolmo, 1974. Kaissa gan6 holgadamente y se 
convirti6 en el Unico programa que consigui6 ganar todas los partidos 
(aunque en mas de una lleg6 a defender posiciones tecnicamente perdidas 
cuya victoria por el ad.versario suponia combinaciones con entregas de 
material, cosa que los programas todavia no "'sabian• considerar en los aiios 
setenta). El Kaissa particip6 de nuevo en los campeonatos mundiales para 
ordenadores en los aftos 1ffrl y 1g8o y se mantuvo entre los primeros, pero Ia 
falta de capacidad computacional de los ordenadores en los cuales el 
programa se implementaba (causada por un cierto atraso tecnol6gico que en 
los sitos ochenta la UniOn Sovietica empezaba a tener frente a sus 
competidores americanos) hizo que el programa no participase mas en las 
competiciones intemacionales. Finalmente, en 1990, el programa Kaissa fue 
reescrito para implementaci6n en los nuevos ordenadores PC y particip6 en 
Ia Olimpiada de Ajedrez para Ordenadores (Londres. 1990), donde qued6 
cuarto. Ya en aquel momenta, como vamos a ver en el siguiente capitulo, 
habia programos de ordenador capaces de ganar tomeos contra grandes 
maestros de e,jedrez, por tanto el "viejo" Kaissa estaba en cierta medida 
anticuado. 
A partir de los aftos ochenta del siglo pasado, y sabre todo despues de los 
noventa. se clio una verdadera explosion de los programas de e,jedrez. Se 
inventaron nuevas ideas para mejorar tanto Ia velocidad como Ia correcta 
bUs(jueda de jugadas (en Ire las cuales, nuevas tecnicas de poda de lirboles y 
nuevas extensiones a partir de Ia proli.mdidad esmblecida}. La fuena de los 
programas (y de las herramientas de c3lculo en las cuales se ejecumban} 
creci6 mucho y empez6 a competir. y en los aiios mas recientes a superar. a 
los mejores jugadores humanos. 
CAPITUL03 
Superando a los maestros: los programas actuales 
En este capitulo hablaremos sobre los programas de ajedrez 
contemponineos, entendiendo portales los desarrollados desde de Ia decada 
de los ochenta basta hoy. Vamos a ver cOmo, empezando con el fin de aquella 
decada, los programas empiezan a tener una fue= de juego tan grande que 
ya son capaces de ganar tomeos a grandes maestros y, posterionnente, 
desaftar a los campeones mundiales de ajedrez. M8s aUn, se considera que a 
partir de los aiios 2oo6-2007 los mejores programas de ordenador Degan a 
superar a los mejores jugadores humanos, y Ia estimaci6n de su capacidad de 
juego hoy en dia supera los a.ooo puntas Elo (ranking que mide Ia fuer2a de 
juego en el ajedrez), mientras que el actual campe6n mundial y jugador 
humano rruis fuerte del momento, el noruego Magnus Carlsen, "solo"lleg6 a 
una puntuaci6n de 2.882 puntos Elo en su mejor memento (siendo esta Ia 
mejor puntuaci6n alcanzada por unjugador hwnano en Ia historia del 
ajedrez). 
Esta verdadera explosion de Ia fuerza de juego de los programas. 
comparada con Ia que tenian sus predecesores, los viejos programas de los 
que hablamos en el capitulo anterior, se debe a varios factores, entre los 
cuales, probablemente, el de mayor importancia es Ia mejora de Ia potencia 
computacional de los ordenadores actuales (los que implementan los 
programas en consideraci6n). Pero tambien bubo algunas significativas 
mejoras en Ia concepciOnde los algoribnos. los investigadores introduciendo 
algunas nuevas tecnicas de selecci6n de lasjugadas "interesantes" como Ia 
poda de Ia "jugada nula", o mejoras en el sistema de bU.queda como las 
diferentes formas de extensiones de Ia profundidad. Hablaremos de estas 
nuevas ideas matenuiticas y computacionales. El motivo por el que he 
decidido poner estos desarrollos aqui (en vez seguir Ia 16gica de dedicar un 
capitulo especial a las ideas y tecnicas que forman Ia base de los algoritmos) 
es. por un lado, respetar el orden cronol6gico de los avances en este campo y. 
por otro, no abunir a! lector o complicar de forma exagerada Ia lectura a! 
hablar exclusivamente de aspectos tecnicos. 
Uno de los primeros aspectos de todos los programas liilis fuertes a 
partir de Ia decada de los ochenta es el hecho de que implementan unas 
esttategias liilis cercanas a las de Tipo A (en Ia clasi.6caci6n ideada por 
Shannon), pero con tecnicas avanzadas de selectividad para mejorar el 
rendimiento computacional, tecnicas de las que hemos hablad.o en el 
capitulo 2 y que vamos a seguir describiendo en el presente capitulo. Los 
programas con estrategias de Tipo By rruis heuristicas se dejaron de 
programar a partir de los alios setenta, cuando Ia Universidad Northwestern 
(Estados Unidos), encargada de programarlos, se pss6 al bando de los 
programas de Tipo A (desarrollo, de hecho, el programa Chess 4-0 con 
esll"ategia de Tipo A. que se convirti6 en el principal rival de Kaissa entre 
1974-1977}. U.S razones del cambia de esll"ategia tienen que ver con Ia falta de 
predictibilidad de los programas de Tipo 8: a veces, en las psrtidas de 
prueba, estos programas efectuabanjugadas inesperadas (no 
necesariamente buenas. rruis bienjugadas imprecisas o errores garrafales), y 
era imposible pred.ecir cuando ocuniria tal fen6meno o por que. En los 
programas de Tipo A era rruis facil enconll"ar los fallos o las razones de los 
eiTOres y, acto seguido, intervenir para conegirlos. Tambien tuvo cierta 
importancia el hecho de que los programas sovieticos, con esll"ategias de 
Tipo A. ganasen en los alios setenta a los programas estadounidenses (con 
esll"ategias de Tipo B). 
Usando las nuevas tecnicas de programaci6n y mejores ord.enadores, a 
psrtir del final de Ia decada de los ochenta se conslruyeron muchos 
programas que ya desplegaban una fuel"2a de juego muy alta. Quizlis el 
pionero entre ellos es el programa HiTech, construido en Ia Universidad de 
carnegie Mellon (Estados Unidos} por un equipo dirigido por Hans Berliner. 
E1 mismo era un fuerte ajedrecista (campe6n del mundo de ajedrez por 
correspondencia entre 1965-1968 y maestro internacional de ajedrez clasico) 
e investigador de ciencia de Ia computaci6n en esa universidad. Este 
programa, aparte de haber ganado en varias ocasiones el Campeonato 
Norteamericano de Ajedrez por Ordenador (North American Computer Chess 
Championship). fue el primer programa en derrotar a un gran maestro de 
oJedrez al ganar en 1988 de forma contundente (3.s-o.s) un match contra el 
gran maestro Arnold Denker (aunque Denker estaba en un momenta de 
declive de su carrera). 
El testigo fue tornado por otro programa desarrollado inicialmente en Ia 
misma Universidad de Carnegie Mellon, y mas tarde en Ia compaiiia IBM. el 
mucho mas conocido Deep Thought y su sucesor Deep Blue. Estos programas 
fueron desarrollados por un equipo liderado por el investigador de origen 
taiwanes, Feng-hsiung Hsu, que plasm6 su experiencia desde 1g88 en un 
reconocido libro (Hsu, 2002). Deep Thought particip6 regularmente a partir 
de 1988 en tomeos de ajedrezjunto ajugadores humanos, y obtuvo el Premio 
Fredkin al aiio siguiente (Berliner, 1989) por una actuacion al nivel de un 
gran maestro (todo un Iogro para un ordenador en aquel momenta). Deep 
Thought participaba en un tomeo que mezclaba participantes humanos y 
ordenadores, el Campeonato de Herramientas Software (Software Toolworks 
Open) en Los Angeles (1988). En el participaban grandes maestros, 
incluyendo al excampe6n mundial Mikhail Tal y a los maestros de elite 
Walter Browne, Tony Miles o Bent Ulnien. entre otros. Deep Thought logr6 un 
inesperado segundo puesto, solo por detnis de Tony Miles, pero por delante 
de Mikhail Tal. venciendo en partida directa a Bent Ulnien para lograr una 
perfonnance que en puntos Elo equivale a un nivel de 2.761 puntos, toda una 
proeza para aquel tiempo. Poco despues, en 1g8g, Deep Thoughtjugo dos 
partidas contra el campeon mundial del momento, Garry Kasparov, 
perdiendo ambas partidas. ;AUn no habia llegado el momento en que la 
nuiquina superase al ser humano! 
Pero lo cierto es que ese momento no est.aba tan lejos: Ia misma 
compa.fi.ia IBM. con un equipo compuesto esencialmente por los m.ismos 
investigadores y desarrolladores del Deep Thought. desarrollo 
posteriormente el programa Deep Blue. Este nuevo programa. que podia 
buscar jugadas analizando con una profundidad mucho mayor que su 
predecesor Deep Thought. no particip6 en ning1in tomeo de ajedre2 abierto, 
sino que fue probado en el match que jug6 contra el campe6n mundial Garry 
Kasparov entre el 1o y el 17 de febrero de 1gg6. El match empez6 con una gran 
victoria por parte del ordenador en la primera partida. pero en las restantes 
s. Kasparov dio la welta aJ marcador ganando 3 de elias y empatando las 2 
restantes, lo que dio un resultado de 4-2. Sin embargo, quedo para la historia 
Ia primera victoria de un ord.enador sobre el campe6n mundial de ajedrez 
vigente. En el aiio siguiente (1997). una version mejorada de Deep Blue, 
Hamada Deeper Blue, que tenia el doble de capacidad computacional que su 
predecesor,jug6 un match revancha contra Kasplirov y lo gan6 por un 
resultado de 3.5-2,5- Seria Ia primera vez que una mliquina venciera a1 
vigente campe6n mundial en un match. Sin embargo, bubo controversia 
respecto a Ia segunda partida del match, donde Kasplirov, tras realizar un 
delicado sacrificio posicional de pe6n a cambia de contra,juego, qued6 
sorprendido por el hecho de que su adversario no humano no acept6 el 
sacrificio (alga que las mliquinas no habian hecho nunca antes) y reclam6 
que un maestro humano intervino a petici6n de IBM (por razones 
comerciales, imaginemos Ia fama que iba a lograr el programa si ganaba el 
match) para sugerir a Ia mliquina estajugada, lo que representaba una 
trampa. Kasplirov ret6 a IBM a apuntar a Deeper Blue en un torneo de 
grandes maestros (donde no hay posibilidad de intervenir de ninguna forma), 
cosa que no ha ocurrido. De una fonna u otra. estos dos matches quedan 
para Ia historia como el momento en el que Ia mliquina a1 menos fue capaz 
de jugar de igual a igual con el campe6n del mundo de ajedrez y con el 
jugador al que muchos consideran el mejor de Ia historia de nuestro juego­
ciencia. 
Ideas nuevas en los algoritmos 
Con los avances en Ia comprensi6n de los errores previos y de las 
dificultades que conlleva el diseiio de un algoritmo que tenga en cuenta 
todos los (a veces delicados) aspectos deljuego de ajedrez, han surgido 
nuevas ideas y tecnicas usadas en Ia programaci6n de pnicticamente todos 
los nuevas mOdules infomuiticos. Las tecnicas usadas en los programas nuis 
viejos seguian siendo Utiles, pero se necesitaban algunas mejoras para evitar 
los errores tipicos (a veces garmfales, del nivel que unjugador hwnano que 
ha superado el nivel de un principiante ya no comete) que aquellos 
programas efectuaban en detenninadas situaciones deljuego. Describiremos 
aqui algunas de estas tecnicas c:aracteristicas de Ia nueva generaciOn de 
programas. 
Uso de las tablas de transposicion 
Por transposicion (de jugadas) en ajedrez entendemos llegar a una 
misma posiciOn, ya conocida de antemano, a traves de una sucesiOn de 
jugadas diferente de aquella que llevO a esa rnisma posiciOn Ia primera vez 
que Ia encontramos. Esta situaciOn ocurre mucho en el ajedrez, sabre todo en 
posiciones de aperturas y finales de partida; es mas, incluso en Ia rnisma 
teoria modema de las aperturas se incluyen muchos detalles o •trucos" de 
Ordenes de jugadas, es decir, de prescribir cua.J. es Ia me jar sucesiOn de 
jugadas para Uegar a una determinada posicion teO rica (deseada por uno de 
los dos bandos) entre las varias posibilidades de transposiciones existentes, 
eligiendo aquella sucesiOn que pennite el nUm.ero mas pequeflo de posibles 
desviaciones de Ia linea principal por el banda contrario. Los programadores 
han descubierto que, en su intento de mejora.r las capacidad.es de un 
programa de ajedrez. seria un enonne gasto innecesario de recursos 
computacionales pedir al programa que rep ita una y otra vez el mismo 
anB.Iisis, cada vez que llega a una misma posiciOn a traves de una 
transposici6n (sucesi6n de jugadas distinta). 
Los investigad.ores han encontra.d.o Ia forma de tratar este problema 
deftniendo las Uamadas tablas de transposici6n. Estas tablas son unas 
grandes tablas hash, estructuras de datos que guardan cada posicion 
previamente investigadajunto con algunas de sus caracteristicas de su 
anB.Iisis: por ejemplo, la profundidad con Ia que se ana.liz6 la primera vez 
aquella posiciOn y Ia evaluaci6n encontrada. Tambien se establece Wla 
funci6n sobreyectiva que asocia a cada posiciOn sus datos en Ia tabla. Por 
tanto, cuando el programa encuentra (por un orden de jugadas diferente) 
una posiciOn que ya habia analizado, en vez de rehacer el amilisis busca Ia 
posiciOn en Ia tabla de transposiciones y devuelve Ia evaluaci6n previamente 
encontrada (o continUa el aruilisis teniendo en cuenta este dato). Como 
podemos observar, estas tablas son Wla forma en Ia que Ia mQquina aprende 
por su experiencia previa, de Ia misma forma que hacemos los humanos. Esta 
estrategia tampoco es perfecta, ya que algunos errores pueden ocurrir a 
causa del fen6meno de colisi6n: a1 ser Ia funci6n que asocia a Ia posiciOn 
estudiada sus caracteristicas en Ia tabla de transposiciones, una funci6n 
sobreyectiva pero no necesariamente biyectiva. puede darse el caso de dos 
posiciones esencialmente distintas pero con exactamente los mismos 
valores en Ia tabla, lo que hace que el programa no sepa con cua.t de ellas 
tiene que tra.bajar cuando "invierte" esa funci6n. Pero no ocurre demasiadas 
veces. Las tablas de transposici6n fueron introducidas por primera vez en el 
prognuna Mac Hack de Richard Greenblatt (Greenblatt. Eastlake y Crocker, 
1967), pero su uso se volvi6 habitual a partir de los ailos ochenta. 
Heuristica de Ia jugada asesina' 
Es una forma de ordenar lasjugadas para Ia blisqueda. con Ia idea de 
establecer como primera en el orden de bUsqueda unajugada con mayor 
probabilidad de ser Ia mejor. IA idea de esta estrategia de bU.queda parte de 
las dos siguientes observaciones en relaci6n con eljuego de ajedrez: 
- En muchas posiciones, hay solo un nUmero muy pequel'i.o de jugadas que, o 
bien crean una amenaza concreta (por ejemplo, ataque ala dama, o mate, o 
captura de una pieza etc.). o bien dellenden contra una amenaza concreta de 
nuestro oponente (por ejemplo, si nos esbin atacando un alB I con un peOn. 
solo aqueUas jugadas que eliminan esta amenaza -es decir, mover el alftl, 
capturar el peOn atacante, si es poslble, o contraatacar una pieza contraria de 
lgual o mayor valor- tienen sentido). Por tanto, un gran nUmero de jugadas 
legales serian refutadas ("matadas") con una mlsmajugada (Ia ejecuciOn de Ia 
amenaza planteada). 
- Se parte tambif:n de Ia consideraci6n de que dos poslciones donde solo varia 
Ia posiciOn de una detenninada pieza (es declr, muy similares en cuanto a 
conftguraciOn) tienen evaluaciones muy parecldas (o alternativamente, que Ia 
gran mayoria de jugadas legales existentes a partir de una posiciOn, sabre 
todo si es •estable", no cambian demasiad.o Ia evaluaciOn). Eso es 
estadisticamente verdad en una mayoria de posiciones. peru no siempre, y se 
trata precisamente de descubrir aquellas posiciones donde una diferencia en 
apariencia muy pequeiia detennina un cambio esencial en Ia evaluaciOn. 
Pero i,C6mo funciona en la pnictica? Vamos a empezar por un ejemplo: 
supongamos que estamos analizando desde Ia perspectiva de las blancas 
una posicion donde las negras tienen un caballo en Ia casilla 1!4 del tablero, y 
las blancas disponen de lajugada de pe6n h2-h3 para atacar ese caballo. En 
este caso, se parte de Ia premisa de que, independientemente de lajugada de 
las negras en otro sector del tablero (es decir, si hayajugado el pe6n a c6, o 
un alfil a a6, etc.), lajugada siguiente de las blancas h2-h3 tiene una 
valoraci6n similar (con muy poca variaci6n). Si contra una detenninada 
jugada negra observamos que lajugada h•-h:! se convierte en "demasiado 
buena", entonces es posible (o incluso probable) que dichajugada funcione 
contra muchas mli.sjugadas de las negras. Por tanto, volviendo a los aspectos 
computacionales, si el programa descubre un caso asi (que en tenninos del 
programa se reconoce como un nodo dentro del lirbol de btlsqueda del 
algoritmo alfa-beta donde se realiza una variacion del valor p), introduce Ia 
jugada h2-h3 en una lista de jugadas asesinas (killer moves) y le da una 
prioridad alta (normalmente, similar a las capturas o justo detrli.s de ellas) en 
el orden de btlsqueda que efectUa contra otras posibilidades de las negras en 
Ia misma posiciOn.ya que tiene una ciert.a probahilidad de mejorar Ia 
evaluaciOn. 
Para seguir con el ejemplo pnictico, supongamos que el programa 
encontr6 una variaciOn de p (una situaciOn "demasiado buena" para el primer 
jugador) al analizar el avance de pe<in lu·hJ contra Ia illtima jugada del 
segundo jugador Ac8-e6 (jugar el allll desde Ia casilla c8 a Ia casilla e6). En 
este caso, al analizar las posiciones resultantes contra otras jugadas negras 
relativamente similares (como. por ejemplo. mover ese mismo alfll a una 
casilla diferente), el programa estudiani Ia misma jugada h2-h3 como 
prioritaria. dado que las condiciones de Ia posiciOn "no han cambiad.o 
demasiado". Y si se encuentra que lajugada h2-h3 es "demasiad.o buena" 
contra tod.as las jugadas negras. entonces signiftca que las negras han 
efectuad.o una jugada no Optima ( .. error" en tenninos prB.cticos) en su turno 
anterior. pennitiendo a las blancas Uegar en aquella situaciOn "demasiad.o 
buena": en consecuencia. el anB.lisis decide que esa posiciOn no deberia 
ocunir nunca y descarta ("poda" el arbol de bU.queda) todas las posiciones 
que penni ten Ia "jugada asesina" h•·hJ, con Ia subsiguiente ganancia 
computacional. Por ello, en Ia lista de "jugadas asesinas" se guardan tambhln 
aquellas ocurridas un turno (entero) dejugadas anteriormente. Esta idea 
parece que habia surgido desde antes (Huberman, 1967; Akl y Newborn. •m). 
pero se empez6 a implementar de forma regular en los programas solo a 
partir de los finales de Ia decada de los ochenta. 
Uso generalizado de las extensiones 
Por el term.ino extensiOn entendemos una prolongaciOn de Ia bUsqueda 
en un cirbol de a.n8.lisis en una o dos jugadas rruis, a partir del momenta en 
que el progr.una alcama su profundidad de btisqueda. establecida de 
antemano. Las extensiones tienen como objetivo verificar si, en efecto, la 
profundidad considerada en el amilisis ha sido suficiente para alc:anzar una 
posiciOn estable (es decir, una posiciOn donde no hay lineas,jugadas 
forudas o ganadoras de irunediato). De esta forma se intenta solucionar uno 
de los problemas rruis complejos en Ia progr.unaci6n de progr.unas para el 
ajedrez (y para otros juegos). el Uamado efecto horizonte' Ia tendencia de Ia 
nuiquina de posponer un desenlace inevitable (pero que puede ser retrasado 
conjugadas •artiftciales" o il6gicas, sin cambiar nada en Ia valora.ciOn o, en Ia 
mayoria de los cases, empeorandola) fuera de su umbra! de btisqueda y 
despues de dar una evaluaciOn fuertemente equivocada por no ver el 
desenlace inevitable. Claro esta. que las extensiones se tienen que ejecutar 
solo en detenninadas posiciones y partiendo desde detenninadostipos de 
jugadas. de ob'a manera. el coste computacional seria demasiado grande y 
los efectos negativos dominarian sabre los efectos positivos de esta tecnica 
En una explicaciOn mas sencilla: supongamos que estamos construyendo un 
progr.una que analiza posiciones con una profundidad de 10 jugadas; al 
aplicar una extensiOn, estaremos pnicticamente pidiendo que el programa 
investigue solo algunos cases especiales con una profundidad, por ejemplo, 
de 12jugadas en vez de 10. Saber definir bien cwiles son aquellos "casos 
especiales" cuando queremos profundizar IIllis es fundamental, ya que de Ia 
otra manera empleariamos muchos recursos computacionales de fonna 
innecesaria. 
SegUn el enfoque de las extensiones, estas se pueden clasificar en tres 
categorias que, adenuis, se parecen mucho a Ia forma en Ia que los jugadores 
de ajedrez humanos analizan las posiciones sobre el tablero durante una 
partido: 
- Extensiones que buscanjugadas ganadoras (win-seeking extensions): son 
aquellas que ocurren en posiciones donde tenemos motivos para pensar que, 
poco despues de la profundidad inicial de aruilisis, podemos tener algo muy 
favorable que cambie de fonna nipida Ia evaluaciOn. 
- Extensiones que buscan Ia derrota Ooss-seeking extensions): son aquellas que 
ejecutamos cuando tenemos motivos para pensar que nuestra posiciOn es 
mucho peor de lo que nos da Ia evaluaciOn con Ia profundidad "regular•. 
- Extensiones neutrales: estamos en el media de una linea forzada (o 
descubrimos alguna). pero no tenemos idea de cOmo tennina y consideramos 
que es necesario analizar esa linea forzada hasta el ftnal. 
Un buen consejo para losjugadores de ajedrez que quieran perfeccionar su 
juego es que profundicen IIllis en sus aruilisis durante una partida en estas 
tres situaciones indicadas. En particular, una linea formda se debe calcular 
siempre como primera en nuestro aruilisis basta llegar a una "posiciOn 
tranquila", independientemente de Ia profundidad que eso requiera (consejo 
Vlilido tanto para los jugadores humanos como para los programas 
infonruiticos). Para una mejor comprension por parte del lector, listamos 
algunos ejemplos sencillos de extensiones. 
- Check extensions: son aqueUas que siguen Ia bUsqueda cuando se tienen a 
disposiciOnjugadas de jaque a1 rey contrario; en este caso, se analizan todas 
aqueUas jugadas que danjaque, partiendo de Ia premisa que las respuestas a 
unjaque son limitadas y el coste computacional es pequefio. Es una extensiOn 
neutral (no sabemos el resultado al que lleva el simple jaque). 
- Single-answer extensions: son aquellas extensiones que se inician cuando 
estamos enjaque y tenemos una solajugada legal posible; en este caso, se 
expande y se analiza Ia linea que empieza desde ahi. Tambien se pueden 
incluir aqui las extensiones de amenazas de mate,ya que Ia amenaza de mate 
es un cond.icionante muy serio en una posiciOn de ajedrez y Ia respuesta a ella 
suele ser muy limitada.. 
- Recapture extensions: si al ftnal de Ia btisqueda •regular· acabamos por 
captwar material precisamente con Ia Wtimajugada. no hay que parar el 
aruilisis. sino buscar si el bando contnuio tiene alguna posibilidad de 
recapturar Ia pieza con Ia que acabamos de ca.pturar material nosotros, y, en 
caso de que sea posible una recaptum, seguir buscando si atin podemos 
capturar una vez mas hasta acabar con todas las posibles capturas (y evaluar 
el resultado de Ia posiciOn "estable" obtenida). Es una de las extensiones m&s 
imponantes. su falta generaria evaluaciones incorrectas muy graves. Por 
ejemplo, si nuestra Ultimajugada comprendlda en Ia profundldad de 
bdsqueda prevista inicialmente ha sido DxC (dama captura caballo). nuestro 
programa, en Ia ausencia de Ia extensiOn. eval.uani. que hemos ganado un 
caballo cuando. si es posible Ia reca.ptunL de Ia dama, la verdad de Ia posiciOn 
es que hemos perdido Ia dama a cambia de un caballo. 
, Singular extensions: son aqueUas extenslones que se ejecutan cuando, en Ia 
posiciOn obtenida aJ ftnal de Ia btisqueda. hay unajugada que es claramente 
mejor que las demlis. Si se da este caso, se expande el an8Jisls de estajugada y 
Ia posiciOn que ocurre despues de ella. Ha sJdo la principal extensiOn utilizada 
por programas como Deep Thought y Deep Blue. 
, Paased pawn extensions: son aquellas extenslones que se apliean cuando un 
peOn Uega a Ia &eptima. o a veces a Ia sexta 8la, con el prop6sito de ver si no 
exlste una promoc:idn inminente del peOn en las slgulentesjugades a una 
pleza superior (habitualmente dama), lo que produce un cambio brutal de 
valoraciOn de Ia posiciOn. Estas extensiones tamblen evaiUan si Ia casilla de 
coronaciOn del peOn (o Ia de delante, en el caso de un peOn en Ia sexta ftla. que 
alin tiene que recorrer dos casillas mlis para coronar) est8 bloquea.da, 
controlada o defendida de forma su.liciente por el bando que se opone aJ peOn 
pasado avanzado. Por ejemplo, supongamos que estamos en una posiciOn con 
material igualado. pero con un bando teniendo un peOn en Ia &eptima flla y 
que va a coronar de fonna imparable en Ia slgulente jugada. Si panunos 
nuestro aniliais aqui y no habilitamos esta extensiOn,la evaluaciOn seria de 
una c:lerta venteJa par el peOn avanzado, pero perderemos de vista que el 
bando con el peOn se prepara para tener una dama entera de ventaja desde Ia 
siguiente jugada, es decir, la verdad de Ia posiciOn es venta.ja decisiva. Si 
habilitamos Ia extensiOn, nuestro programa sera capaz de descubrir Ia 
inminente dama de ventaja y evaluar de forma correcta Ia posiciOn. 
Hay extensiones cuyos supuestos de ejecuci6n son mucho mas complejos, 
pero espero que los ejemplos sencillos de arriba sean suficientes para que el 
lector se haga una idea de su importancia 
La heuristica de lajugada nula 
Es una tCcnica novedosa utiliza.da para mejorar la velocidad. de ejecuci6n 
y blisqueda del algoritmo alfa-beta. La idea apareci6 por primera vez a finales 
de los alios sesent.a como tecnica para detectar amenazas de mate (Baylor y 
Simon, 1962), y fue despues usada por el programa Kaissa ideado por Mikhail 
Donskoy y su equipo en Moscli (y don de Mikhail Botvinnik tambien tuvo un 
papel importante) (Adelson-Velsky, Arla.arov y Donskoy, 1975).A partir de los 
aiios noventa aparecen muchos mas estudios (Beal, 1ggo) y se convierte en 
una tecnica comU.n, presente en todos los programas modernos. 
La idea que forma la base de esta tecnica de optimizaci6n de la 
blisqueda parte de Ia premisa de que Ia mayo ria de las jugadas ra2onables 
Uevan a una mejora de la posiciOn del banda que efectUa lajugada En este 
caso, el programa introduce como modo de verificaci6n unajugada nula, es 
decir, que el bando que tiene lajugada no efectlia ninguna y pasa el tumo a! 
bando contrario (algo que esta prohibido en el ajedrez, donde el bando que 
tiene el turno de juego esta obligado a efectuar unajugada legal). A pesar de 
que se estan infringiendo aside fonna intencionada las reglas del ajedrez, 
esta idea tiene relevancia como procedimiento de veriftcaci6n y optimizaci6n 
en los programas de ajedrez. Supongamos que el bando que tiene lajugada 
logra incrementar el valor de P ( es decir, tener una posiciOn "'demasiado 
buena", por encima de las expectativas anteriores) sin hacer ningunajugada; 
en este caso se supone que Ia posiciOn inicial seria aUn mejor que esa 
evaluacion si tuviera que efectuar unajugada. por tanto, Ia posicion de 
partida (donde se aplic6 lajugada nula) se puede descartar o "podar" 
confonne con las reglas del algoritmo alfa-beta, dado que esa posicion inicial, 
tan buena que el bando que juega se puede pennitir no mover y dejar que su 
rival mueva dos veces. no puede haber surgido a traves del mejor juego 
posible de su rival. Algunos perfeccionamientos ulteriores de esta idea 
permitieron su uso de forma recursiva, para emplear esta tecnica nuis de una 
vez a lo largo de una sucesion de jugadas. Por ejemplo, el programa Fritz y 
sus sucesores (de los cualesvamos a hablar m8s adelante) emplean esta 
forma recursiva de Ia heuristica de lajugada nula. Como hemos dicho en el 
apartado anterior, tambien se ha usado esta tecnica en Ia forma de una 
extension para detectar amenazas de mate al final del 8rbol de blisqueda; en 
efecto, si nuestro rival nos amenaza mate y no movemos nada, en el siguiente 
turno recibiremos el mate. En Ia actualidad, como hemos especiflcado arriba, 
hay extensiones que realizan esta tarea (de detectar las amenazas de mate al 
final de las lineas analizadas). 
En cambio, esta tecnica de la jugada nula tiene tarnbiCn una limitaci6n 
muy importante. En efecto, se dan en ajedrez con cierta frecuencia 
(especialmente en las posiciones de finales de partida) algunas posiciones 
donde el bando que tiene la jugada solo tiene opciones que empeoran su 
posicion; si fuera legal en ajedrez, la jugada nula (no mover nada y pasar el 
turno a su oponente) seria su mejor opci6n posible. Dichas posiciones tienen 
un nombre en ajedrez -se Uaman posiciones de zugzwang, del alemcin, 
"obligacion de mover"- y son tan frecuentes en los finales de partida que en 
un gran mi.mero de finales te6ricos o tecnicos Ia fonna de ganar pasa por 
obligar al rival a entrar en una posiciOn de zugzwang. Por ejemplo, incluso los 
finales rruis sencillos de rey y peOn contra rey se ganan (cuando eso es 
posible) usando este procedimiento. En los finales de piezas menores 
tambiCn ocurre con frecuencia y es una estrategia muy importante para 
intentar ganar un final. 
Es obvio que si estarnos en una posiciOn de zugzwang Ia heuristica de Ia 
jugada nula falla de forma garrafal. Si Ia hipoteticajugada nula es Ia mejor 
opci6n posible para el bando que tiene que jugar, entonces el "'axioma" de que 
Ia posicion resultante al pasar el tumo de jugada al bando opuesto es peor 
de Ia que podria haber ocurrido si el primer bando efectivamente jugaba algo 
es completamente falso. 
Ha habido varias investigaciones sobre este problema y cOmo detectar 
que nos encontramos ante una posiciOn de zugzwang para evita.r el uso de 
esta tecnica. Entre las versiones propuestas, ha habido varias ideas, como Ia 
del investigador holandes Vincent Diepeveen (1997) de utilizar una tecnica de 
doble jugada nula precisamente para detectar una posicion de zugzwang; 
otros investigadores que han propuesto mejoras de esta heuristica han sido 
S. Plenker (1995) o David-Tabibi y Netanyahu (2002). pero las nuevas ideas no 
han demostnu:lo demasiada efectividad en luchar frente al problema del 
zugzwang. En el presente. se considera como Ia mejor estrategia (y Ia que Ia 
mayoria de los programas emplea) imponer una serie de restricciones en el 
uso de Ia heuristica de lajugada nula, como por ejemplo no emplear esta 
estrategia en posiciones de finales de partida (es decir. cuando el bando que 
tiene lajugada solo tiene el rey y peones o muy pocas piezas). Otro caso obvio 
cuando esta tecnica no se puede usar es cuando e l rey del bando que tiene Ia 
jugada se encuentra enjaque (y aplicar una "jugada nula" Uevaria a una 
posicion ilegal). Pero esta situaci6n particular se puede resolver facilmente 
con Ia ayuda de las extensiones, como hemos explicado anterionnente. 
Uso de las tablas de finales 
En muchos de los casos que hemos comentado. a1gunas de las tecnicas 
de blisqueda utilizadas por los programas de ejedrez no producen efecto. o 
incluso Callan de forma grave en los finales de partida, en aquellas posiciones 
con pocas piezas que se dan despues de que Ia mayoria de las piezas y 
peones se han cambiado a lo largo de Ia partida. Esto parece un poco 
paradojico: iComo es posible que las tan potentes maquinas de cOlculo, con 
una capacidad tan profunda de anOlisis, fallen precisamente en los finales, 
que en o.pariencia son tan f8.ciles de calcular? 
La respuesta a esta pregunta es natuni.J una vez que recordamos que el 
sistema de bliaqueda de los programas hace hincapie en calcular con Ia 
mayor profundidad posible las jugadas y variantes forzadas, parando su 
aruilisis cuando se encuentra con .. posiciones estahles" o ""tranquilas". Pero 
precisamente, Ia gran mayoria de los finales de partida son "posiciones 
estables" ya desde el principia. Las tecnicas para ganar en los finales tipicos 
de partida se basan en largas maniobras, a veces casi repetitivas, de jugadas 
que modiftcan de forma casi imperceptible Ia posicion, yen el uso extensivo 
de posiciones de zugzwang como metodo ganador. Pero los ordenadores 
tienen precisamente sus mayores diftcultades de aruilisis en estas dos 
situaciones: analizar una '"posiciOn estable" o detectar una posiciOn de 
zugzwang. 
En las siguientes lineas vamos a poner un ejemplo muy sencillo de 
posicion de final que ilustra muy bien los problemas comentados arriba y se 
convierte en un ejemplo de efecto horizonte. Supongamos que queremos 
analizar con Ia ayuda de un programa infomuitico el siguiente final te6rico 
(vease Ia ftgura 12). 
Figuno 12 
Un final teOrico de tablas a pesar de Ia desventaja material. 
A pesar de los dos peones de ventaja de las blancas, este es un final 
te6rico de tablas, yen muchos manuales de finales de partida se indica el 
esquema optimo de defensa de las negras psra lograr las tablas. Supongamos 
ahora que tenemos a disposici6n un programa infonrnitico con todas las 
tecn.icas expuestas arriba implementadas, y queremos analizar esta posiciOn 
con su ayuda. Como es una posiciOn estable (no hay capturas ni lineas 
forzadas inmediatas), el programa evaluani. la posiciOn como ventaja decisiva 
de las blancas (algo en tomo a Ia valoraci6n de +2 puntos debido a los dos 
peones enteros de ventaja) y propondni alguna "variante principal" que 
deberia Uevar a Ia victoria. Pero, si nos ponemos a recorrer esa '"vari.ante 
principal" que el ordenador sugiere,jugada trasjugada (;he hecho este 
experimento personalmente y os lo recom.iendo!), observamos que, al final de 
Ia secuencia sugerida como '"variante gana.dora", Ia posiciOn final no ha 
cambiado mucho (en tenninos humanos, las blancas no han hecho grandes 
progresos), pero obviamente Ia ventaja material de dos peones a favor de las 
blancas se ha mantenido. Por tanto, el proceso de aruilisis del programa es el 
siguiente: si se da una profund.idad de N jugadas, el programa analiza hasta 
alcanzar esta profundidad, maniobrando con Ia torre (y avanzando hasta 
cierto punto alguno de los peones), y al final concluye que Ia posicion sigue 
siendo ganadora debido a Ia ventaja material (constante a lo largo de Ia linea 
sugerida). De hecho, si nos ftjamos en las posiciones intenned.ias a lo largo 
del'"cam.ino" indicado, parece que Ia evaluaciOn es exactamente Ia misma. 
Eso ocurre porque el desenlace est& fuera de su horizonte de bUsqueda, es 
decir, al ftnal de su blisqueda mas profunda posible, el programa alin "cree· 
que se encuentra en una posiciOn ganadora y que solo necesitaria aUn mayor 
profundidad para encontrar Ia sucesi6n gana.dora. Es un ejemplo del efecto 
horizonte, ya que sabemos de fonna cierta que Ia posiciOn es tablas. 
Como soluci6n a esta diflcultad (encontra.da en muchos finales), los 
programas modemos (sobre todo a partir de los aiios 2000) implementan las 
tab las de finales: bases de datos que contienen el resultado exacto, y el 
camino para Uegar a dicho resultado, de los finales de partida con pocas 
pie2as. Las tablas de finales se han generado mediante el ajedrez 
retrospective, partiendo desde posiciones de jaque mate y trabajando bacia 
atr.is jugada ajugada En Ia actualidad, se han podido resolver 
completamente los finales con un nlimero m3.x.imo de 7 piezas (incluyendo 
los dos reyes y los peones entre las 7 piezas consideradas). Este es un avance 
muy reciente, de 2013, realiza.do en Ia Universidad Lomonosov de MoscU. 
lmplementando las bases de datos de tablas de finales en los programas de 
ajedrez, estos nos pueden devolver el resultado exacto de un final y asi 
podemos eliminar una gran mayoria de posiciones problem8.ticas,como Ia de 
arriba o las que se ganan a traves del metodo del zugzwang. Volveremos 
sobre las bases de finales en el siguiente capitulo. 
Los mejores programas actuales 
A partir del aiio 2000, al Uevar muchas mejoras tanto a nivel de los 
algoritmos (como las que hemos comentado en los apartados precedentes) 
como a nivel de las herram.ientas computacionales (ordenadores cada vez 
mas potentes, con mas procesadores),los progra.mas inform8.ticos han 
empeza.do a superar poco a poco a los mejores jugadores humanos. De hecho, 
en los primeros ados despues del aiio 2000, Ia chisica pregunta de .. c.quien es 
mas fuerte, el hombre o Ia m8.quina?" ha continuado debatiendose y se han 
organizado varios encuentros mas entre los mejores grandes maestros y 
algunos de los mejores programas de ordenador. A titulo de ejemplo, el 
programa Deep Fritzjugo varios matches contra Garri Kasparov y Vladimir 
Knimnik (indudablemente los jugadores mas fuertes entre 2000 y 2006), 
empatando primero contra Kr.imnik, en 2002 (matchjugado en Bahrain, 
resultado 4-4),y en 2003 contra Kasparov (2-2, con una victoria para cada 
jugador y dos tab las), para por lin, en 2006, to mar dellnitivamente Ia 
delantera. ganando en un match en sistema cl3.sico en Bonn (Alemania) a 
Knimni.k por 4-2, partida en la que Ia mciquina qued6 invicta (2 victorias de 
Deep Fritz y 4 tablas). Un aiio antes, bubo mas matches entre varios grandes 
maestros y varios programas (Hydra. Deep Junior), saliendo ganador casi 
siempre el programa. 
A partir de estos aiios y basta Ia actualidad, la fuena de juego de los 
programas se ha incrementado notahlemente, teniendo un rating Elo 
aproximado bastante por encima de los 3.000 puntos, sabiendo que la mejor 
puntuaci6n alcanzada alguna vez por un gran maestro humano es de 2.882 
(Magnus carisen en una lista Elo del aiio 2014). Como infonnacion 
complementaria para el lector, cerra.mos este capitulo con ejemplos de 
algunos de los programas de ajedrez mas fuertes de Ia actualidad, 
• Fritz, y su version multiprocesador Deep Fritz, es un programa de 
ajedrez ideado por los programadores alemanes Franz Morsch y Mathias 
Feisty esta promocionado por la compaiiia de ajedrez ChessBase con sede en 
Hamburgo, Alemania. El proyecto Fritz empez6 en 1990 yen 1994 fue el 
primer programa de ordenador que recibi6 el titulo de Maestro lntemacional 
por la FIDE. Ulteriormente, Fritz gan6 el Campeonato Mundial de Ajedrez 
para Ordenadores en Hong Kong. 1995. contra todo pron6stico y se convirti6 
en la imagen del ajedrez sobre ordenadores. Ya hemos podido ver que Fritz (o 
una de sus versiones mejoradas) tambien fue el primer programa que logr6 
primero empatar, luego imponerse a un campe6n del mundo de ajedrez 
(admitiendo Ia posible trampa en Ia victoria de Deeper Blue contra Kasplirov 
en 1997 como una duda). En 2009, Fritz ya habia superado los 3.000 puntos 
Elo en una clasiftcaci6n estimada. Actualmente, Fritz se retir6 de los 
campeonatos del mundo de ajedrez para programas de ordenador al no 
poder competir con algunos de sus competidores (que presentaremos a 
cont.inuaci6n). pero incorpora ciertas funciones adicionales de apoyo a Ia 
enseiian2a del ajedrez. Sigue siendo en el presente el mOdulo de aruilisis (la 
herramienta de apoyo en su entrenamiento, prepara.ci6n de clases, etc.) 
preferido por muchos maestros, aficionados y entrenadores de ajedrez. 
• Rybka es un programa de ajedrez desarroUado por el maestro 
intemacional checo (nacido en Estados Unidos) Vasik Rajlich (apoyado 
tambien en los periodos m8s recientes por su ml\jer Iweta Rajlich, tambien 
maestra internacional y jugadom activa en el circuito internacional). El 
nombre signillca, en Ia mayoria de las lenguas eslavas, "pececito". Rybka Ueg6 
a dominar claramente el circuito mundial de programas de ajedrez. siendo el 
campe6n mundial y claro dominador entre 2007 y 201o.A partir de 2011 fue 
eliminado de las competiciones oficiales debido a que sus desarrolladores 
fueron acusados de haber plagiado partes de c6digo de programas mas 
antiguos (como Crafty o Fruit), lo que no estalta pennitido p8l1l participar en 
los campeonatos mundiales. una decisiOn que ha Uevado a muchas 
contl'Oversias. Como motor de aruilisis, Rybka 3 (y las versiones posteriores) 
incorpora tres motores de juego independientes' Rybka 3, Rybka Human y 
Rybka Dynamic; el segundo estti programado p8l1l tomar decisiones sobre 
bases y formas de pensar mils similares al pensamiento humano, yen el 
tiltimo se da preferencia a un estilo de juego mas din3.mico, combinativo, 
propenso a sacriflcios de material por iniciativa o ataque, similar a los 
grandes maestros de estilo dirnimico. Hoy en dia, Rybka (y sus versiones 
mejoradas) sigue siendo el programa de aruilisis y asistente de 
entrenamiento preferido por muchos jugadores (sobre todo por ese aspecto 
·mas humano" en Ia toma de decisiones). Un pequefio secreto: jes el 
programa que el autor de este libro tambien preftere! 
• Shredder es un programa de ojedrez desarrollado a partir del aiio 1993 
par el programador aleman Stefan Mayer-Kahlen. LogrO muchos titulos de 
campe6n mundial de ojedrez para ordenadores en diversas categorias (sabre 
todo en oJedrez rapido), pero tambien dos titulos m8xim.os (en ojedrez 
clasico) en 1999 (en Paderbom, Alemania) y 2003 (en Graz,Austria). 
• Houdini es un programa de ojedrez desarrollado par el programador 
belga Robert Houdart a partir del aiio 2010 (cuando fue lanzada Ia primera 
versiOn). Ha sido considerado par muchos aiios el programa de ajedrez mas 
fuerte del mundo, hasta que han aparecido los nuevas programas Stockllsh y 
Komodo (que describiremos en breve m8s adelante) que en Ia actualidad 
estan considerados m8s fuertes, siendo Ia actual versiOn Houdini 4 la tercera 
en el mundo par fuerza de juego detras de ellos. Houdini s est& programado a 
salir con muchas mejoras a partir de octubre 2016. Houdini gan6 las primeras 
Ires ediciones (2010, 2011 y 2013) del torneo TCEC (Top Chess Engine 
Championship). organizado a partir de 2010 y considerado el tomeo mundial 
m8s fuerte de ajedrez cl&sico para ordenad.ores. Desde entonces, solo lleg6 a 
ser ftnalista en 2014, superado par los dos programas que presentaremos a 
continuaci6n. 
• Stockllsh es un programa abierto (de uso no comercial) desarrollado 
par un equipo de varios programadores, pero con muchas contribuciones por 
parte de Ia comunidad de los desarrolladores de prognunas "libres". Fue 
lanzado en 2oo8,y logr6 ganar dos veces el prestigioso tomeo TCEC (en los 
dos tomeos organizad.os en 2014). siendo flnalista en 4 ocasiones (incluso Ia 
rru\s reciente organizada, donde perdio la llnal por un margen muy estrecho 
en un match de ;too partidas! contra Komodo).Al igual que Rybka, Stockflsh 
tiene Ia particularidad de utilizar sistemas de "poda de llrboles" mucho rru\s 
agresivos y complejos que Ia poda alfa-beta. 
• Komodo es un programa de ajedre2 desarrollado a partir de 2010 por 
los programadores Don Dailey y Mark Lefler, con el apoyo del gran maestro 
de ajedre2 y escritor Larry Kaufman. Por fuel'28 de juego, es considerado en 
Ia actualidad el programa de ajedre2 rru\s fuerte, siendo el ganador de las dos 
wtimas ediciones del prestigioso tomeo para ordenadores TCEC. Tiene un 
estilo de juego altamente posicional, a diferencia de Rybka y Houdini, que 
son programas que han apostado por un estilo de juego mucho rru\s dirulmico 
y de ataque. Se considera como su pun to fuerte en las partidas contra los 
dermis programas su persistencia de buscar pequeiios desequilibrios en 
cualquier posicion, incluso en aquellas que parecen totalmente igualadas. 
En Ia actualidad, todos estos prognunas superan con gran diferencia Ia 
fuel'28 de juego de los mejores grandes maestros humanos. Este hecho dio 
Iugar (sobre todo entre los aficionados) a preguntas que surgen de forma 
16gica.: ,esta el ajedrez acabado cuando una m8.quina ya ha superado a los 
mejores humanos? c.Tiene sentido seguir organizando competicionesde 
ajedrez? c.Es Ia m;iquina capaz de encontrar eljuego perfecto desde una 
posicion dada hasta el final? Todas estas preguntas (y algunos mas) 
constituyen el tema de nuestro siguiente capitulo. Y Ia respuesta a ellas es 
mucho mas optimista de lo que alguien podria pensar a primera vista 
CAPfTUL04 
Una mirada bacia el futuro. l,Se puede resolver el 
ajedrez? 
Con mucha frecuencia. cuando Ia gente con la que tengo contacto me 
pregunta a que me dedico, a! responder que aparte de investigador en 
materruiticas soy un jugador activo de ajedrez en competiciones, me hacen 
(sobre todo los aficionados a1 eJedrez que no participan en competiciones o 
aquellos que nunca han jugado, pero han leido algo sobre ajedrez) una u otra 
de las siguientes preguntas: pero t.no esta el ajedrez ya resuelto?, ;.no hay ya 
m8.quinas que en cualquier momento pueden dar Ia mejor jugada?, l,que 
sentido tiene que haya competiciones en este caso? En este capitulo 
trataremos de dar una respuesta a estas preguntas, argumentando por que 
el ajedrez no solo no esta acabado, sino que goza de muy buena salud y tiene 
un gran futuro por delante. 
Por "resolver el ajedrez" entendemos establecer una eslr.ltegia optima 
parajugar Ia partida, es decir, encontrar el camino que contiene las mejores 
jugadas tanto para las blancas como para las negras, desde el principia (o 
desde cualquier posicion dada) basta el final. En un sentido rruis debil, 
podemos en tender por "resolver eljuego• tam bien el hecho de predecir el 
resultado optimo (con el mejor juego posible) de una partida. es decir, a 
partir de Ia posicion inicial cwil de los tres resultados posibles (victoria de 
las blancas, victoria de las negras o el resultado de tablas) es el resultado del 
juego optimo (de un encuentro entre dosjugadores perfectos) sin 
necesariamente exponer Ia estrategi.a Optima. 
La posibilidad de resolver el ajedrez es un problema abierto que ha 
surgido naturalmente a partir del desarrollo de los programas de ajedrez. 
Pero incluso desde antes, uno de los primeros investigadores en analizar este 
problema ha sido el mismo Claude Shannon (1950). En su famoso articulo, 
Shannon analiza Ia complejidad de Ia tarea de una maquina analizando 
todas las variantes posibles de jugadas en ajedrez y concluye que "una 
rruiquina operando con una tasa de una variante por microsegundo 
necesitaria un tiempo de 1090 aiios para calcular todas las posibilidades 
desde Ia primerajugada". Shannon argumenta asi que, a traves de tan solo 
fuerza bruta de caiculo, ninguna maquina razonable podr.i completar esta 
tarea. Mas tarde, el matematico H. J. Bremmerman (1965) sostiene que 
ninglin ordenador, construido o por construir, seni capaz de analizar el 8.rbol 
completo de variantes del ajedrez, dado que, segtin Bremmennan, la 
velocidad y Ia capacidad de procesa.miento de una nui.quina tienen ciertas 
limitaciones fisicas imposibles de superar. Sin embargo, en ese mismo 
articulo, Bremmerman dice que una muy remota posibilidad. de alcanza.r esta 
meta (resolver el ajed.rez) solo podria ocunir si tenemos a disposici6n 
heuristicas muy potentes para descartar antes de efectuar boisqueda alguna 
una mayoria de las variantes posibles. Es una forma de estimular tambien Ia 
investigaci6n en el desarrollo de tecnicas altemativas a Ia "fuerza bruta" de 
c8Jculo. No olvidemos que Bremmennan argumentaba asi incluso antes de Ia 
apa.rici6n de muchas de las tecnicas de '"poda de arboles" modernas 
comenta.das en los capitulos precedentes. 
M8s recientemente, en 2.007, se ha podido resolver eljuego de las damas. 
unjuego empa.rentad.o con el ajedrez, pero con una complejidad mucho 
men or, sobre tod.o porque en este juego todas las piezas son identicas (tienen 
el mismo valor), mientras que en ajedrez las piezas tienen valores y 
capacidades d.iferentes. Analizando Ia complejidad de estos dos juegos desde 
varios puntas de vista, se ha podido establecer que el nUn:lero total de 
posiciones de ajedrez que se pueden alcanzar es del orden de 1047, mientras 
que en damas el nllm.ero es mucho menor, del orden de 1023. Si miramos Ia 
complejidad del ajedrez en terminos de nUn:lero total de partidas posibles 
que se puedenjugar (lo que en tenninos de Ia teoria de juegos recibe el 
nombre de complejidad del arbol deljuego, game-tree complexity) 
alcanzamos un n\imero muy grande, del orden de 10123 (mejorando asi Ia 
estimaci6n inicial de Shannon que daba 10120). Esta estimaci6n se deduce 
usando un c8.lculo basado en dos aproximaciones: que el nWnero medio de 
jugadas (completas) de una partida es de 40 y que, en cada paso, el nlimero 
medio de jugadas legales disponibles es de :J5. 
Volviendo aljuego de las damas. este juego considerablemente menos 
complejo ha sido resuelto (en sentido debil, es decir, prediciendo el resultado, 
pero sin encontr.lr Ia estrategia perfecta) en 2007 por el equipo del 
investigador canadiense Jonathan Schaeffer. Despues de 18 aiios de trabajo, 
han podido comprobar que eljuego de damas siempre acaba en tablas, si no 
se comete ningUn error por parte de ninguno de los dos jugadores. El metodo 
para demostrar este hecho ha sido estudiar todos los finales posibles con 10 
o menos piezas (de damas) en el tablero, comprobando que todos estos 
finales posibles acaban en tab las con eljuego perfecto, y que cualquier 
partida de damas debe en algtin momenta llegar a uno de aquellos finales 
(cuando suficientes piezas han sido eliminadas del tablero). El esfuer20 
computacional para analizar de fonna exhaustiva todas estas posiciones ha 
tornado 18 aftos, utilizando en algunos periodos incluso 200 ordenadores 
conectados trabajando en paralelo y sin pausa para anali2ar un nlimero de 
posiciones del orden de 101.4- jTodo un esfuerzo! 
Pero es un esfuerzo que no es en absoluto extrapolable a1 ajedrez, ni en 
el aspecto de Ia capacidad computacionaJ necesaria ni en cuanto a metodo 
de demostraci6n. En primer Iugar, como ya analizamos,la complejidad del 
ajedrez es mucho mayor que Ia del juego de damas, y como el esfuerzo 
computacional necesario crece de forma exponencial con cada rama nueva 
del <irbol se necesitaria una potencia de ccilculo muchisimo mayor. El mismo 
Jonathan Schaeffer opina que solo despues del establecimiento de una 
nueva tecnologia de ccilculo -ordenadores cucinticos- tendria sentido 
siquiera intentar ponerse a Ia tarea de resolver el ajedrez. Por otro lado, el 
metodo de demostra.ci6n que ha funcionado en las damas falla 
completamente en el caso del ajedrez: debido a los vaJores y capacidades 
diferentes de las piezas en ajedrez, y tam bien porIa existencia de algunas 
piezas con caracteristicas especiales (el rey, cuyo mate acaba Ia partida en 
cualquier momento, incluso con todas las demcis piezas en el tablero; el peOn, 
cuya coronaci6n hace que reaparezcan en el tablero piezas mas fuertes que 
posiblemente habian desaparecido antes en el transcurso de una partida), no 
se puede establecer una base de finales de partidas (con, por ejemplo, un 
nUmero rruiximo de 10 piezas), de tal manera que cualquier partida tenga que 
pasar por una de esas posiciones. En efecto, unjaque mate puede ocurrir 
mucho antes de haber llegado a una situaci6n de menos de 10 piezas en el 
tablero. Este razonamiento senciUo demuestra que para resolver el ajedrez 
es necesario tener Ia capacidad de analizar tod.as las posiciones posibles, sin 
simplificaciones. 
Por todas estas n>ZOnes, aunque el problema de resolver(o no) el aJedrez 
queda abierto (no hay una demostracion materruitica 0 16gica rormal de que 
este hecho es imposible), la mayoria de los especialistas consideran que no 
hay nada que indique una posibilidad practica de resolver el juego de ajedrez 
(ni siquiera en el sentido debil, es decir, predecir el resultado sin decir las 
jugadas) a corto o medio plazo en el futuro. Por tanto, los maestros y 
aficionados al ajedrez pueden estar tranquilos: jel juego tiene todavia mucho 
futuro! 
Las tablas de finales de partida 
Hemosvisto que el metodo para resolver eljuego de las damas tuvo 
como base poder resolver de forma completa tod.as las posiciones posibles 
con menos de 10 piezas (damas) sobre el ta.blero. En efecto, una idea similar 
no nos Ueva a poder resolver eljuego de ajedrez, por razones ya mencionadas 
brevemente en los apartados precedentes. Pero tiene bastante interes que 
sepamos valorar a ciencia cierta cualquier posiciOn de finales de partida (con 
un mimero de piezas suficientemente bajo para que el esfuerzo 
computacional necesario sea posible con las herramientas actuales). 
Las tablas de finales son bases de datos que asocian a cada posiciOn 
posible de final con un mimero suflcientemente pequeiio de piezas sobre el 
tablero, su valoraciOn objetiva (es decir, si Ia posiciOn es tablas, ganadora 
para las blancas o ganadora para las negras con un juego perfecto) y Ia forma 
(Ia sucesi6n precisa de jugadas) en Ia que el resultado se obtiene (es decir, las 
mejores jugadas de ambos bandos). Normalmente las tab las de finales se 
usan por los programas mod.ernos de ajedrez, que las tienen implementa.das, 
de tal manera que cuando llegan a un final "conocido", en Iugar de seguir 
anaJizando Ia posiciOn a traves de las tecnicas habituales (poda alfa-beta. 
extensiones, etc.), el programa busca el final coiTespondiente en su tabla de 
finales y devuelve de forma irunediata el resultado. La implementaci6n de 
estas bases, que contienen mucha mas informaciOn de Ia que un humano 
podria memorizar y luego reproducir en una partida prlictica. supone una 
enorme ventaja del ordenador en el juego pnictico: el ord.enador es capaz de 
seguir Ia tabla. una vez reconocido un ftnal, y jugar las "jugadas perfectas", 
mientras que el gran maestro humano no. Mi:is alln, el programa puede 
reconocer un final cuyo resultado es conveniente para sus intereses antes de 
que el final se produzca y, por ejemplo, sabiendo que ese final es ganador 
para el (acorde con las tablas), en una partida practica puede jugar una 
variante que (aunque no Ia evaiU.a como Optima a priori) obligue a Ia entrada 
en el final desead.o. 
Las bases de finales han sido elaborad.as a traves de un largo trabajo, 
usando un an8lisis retrospective, es decir, tomando como posiciones de 
partidas posiciones de mate y trabajando jugada a jugada hacia atr8s. En 
ningU.n caso un programa de ordenador podria haber sido Util en esta tarea: 
recordemos que los finales son precisamente aquellas posiciones 
•excepcionales" donde los ordenadores (sin tener implementadas las bases 
de finales) fallan mucho, debido a aspectos como posiciones de zugzwang. 
efecto horizonte (es decir, largas maniobras ganadoras o para alcanzar las 
tablas, que salen de Ia profundidad de aruilisis que tiene el programa), etc. El 
lector interesado puede encontrar un ejemplo asi hacia elllnal del capitulo 
precedente. En cambio. hay varias etapas para Ia conllguracion de una base 
de llnales. 
Un aspecto muy interesante de las bases de finales de partido es el 
hecho de que, al no tener en cuenta Ia regia de las so jugadas, se han 
descubierto finales que con eljuego perfecto son ganadores, pero que con las 
reglas actuates del ojedrez serian tablas. En efecto, una de las reglas que 
hace que el ojedrez sea unjuego ftnito es aquella que dice que si en una 
partido de ojedrez se han efectuado (por ambos bandos) so jugadas sin que 
se haya movtdo ningUn pe6n, ni capturado ninguna pieza, Ia partido se 
declara tablas. Pero con el avance de las bases de finales, se han encontrado 
posiciones cuyo desenlace optimo es Ia victoria de uno de los dos bandos, 
pero incluyendo en el "juego perfecto" (Ia variante ganadora exacta indicada 
porIa tabla) una sucesion de jugadas sin capturas ni movimientos de pe6n, 
m8s larga que las so jugadas pennitidas. Por tanto, si ese detenninado llnal 
se do en una partido de competicion y los dosjugadores juegan las mejores 
jugadas acorde a la tabla, Ia partido acabaria con el resultado de tablas, 
aunque es sabido que Ia posiciOn es ganad.ora. Para ejempliftcar este aspecto, 
observemos Ia ftgura 13· 
Figura 13 
Dos finales ganadores donde no se cumple Ia regia de las so jugadas. 
En Ia primera posiciOn, las tablas nos dicen que Ia posiciOn esbi ganada 
por las blancas (es decir, con el juego perfecto, el resultado es victoria de las 
blancas), pero Ia variante Optima de juego tiene nada menos que j262 
jugadas! Al no existir peones en el tablero, es imposible que en esta sucesiOn 
de jugadas haya avances de pe6n. Por otro lado, pam que las blancas queden 
con el material minimo necesario para dar mate y ganar Ia posiciOn, como 
mucho se pueden dar ajugadas de captura (capturar en un momenta dado 
los 3 caballos existentes en el tablero). Pero si Ia sucesiOn ganad.ora Optima 
(contra Ia mejor defensa de las negras) tiene 262jugadas, una simple 
aplicaciOn del principia de Dirichlet (conocido tarnbien como el principia del 
palomar) nos dice que debe haber necesariamente en esa sucesiOn una 
subsucesi6n de so jugadas sin capturas. Pero eso llevaria de inmediato al 
resultado de tablas en una partida pnictica. En Ia segunda posicion, las 
negras juegan y ganan, contra Ia mejor defensa de las blancas, en 154jugadas. 
Es verdad que en esta posicion hay jugadas de pe6n y capturas posibles. pero 
al reproducir Ia sucesi6n de jugadas considerada "perfecta" en las tab las. Ia 
primerajugada de pe6n (el avance cs-c6) surge exactamente en lajugada 5L 
Por tanto, esta partida tambien seria tablas con las leyes que rigen en una 
competiciOn oficial. 
Estos descubrimientos de finales ganadores que no se pueden ganar en 
una partida pnictica han llevado al debate de si se debe ampliar este nlimero 
de jugadas sin captw'as o avances de peOn desde so a otro mimero antes de 
declarar una partida como tab las. De momento, la regia de las so jugadas 
sigue vigente y no parece que haya una corriente muy favorable al cambio. Al 
fin y al cabo, una partida pnictica se juega sobre el tablero, con Ia inspiraci6n, 
tecnica y creatividad de los dos jugadores, ninguno de los cuales seria 
normalmente capaz de encontrar Ia estrategia perfecta en un final de estas 
caracteristicas. Por tanto, una partida pnictica poco tiene que ver, en estas 
situaciones especiales. con Ia verdad te6rica. 
Las bases de finales han avanzado de fonna lenta, como resultado del 
trabajo de muchos especialistas, primero resolviendo completamente las 
posiciones con un total de nuiximo 4 piezas (incluyendo los dos reyes), 
despues 5 piezas y despues 6 piezas. Las tablas que incluyen Ia resolucion 
completa de los finales con 6 piezas se publicaron en 2005 y se conocen como 
las tablas de Nalimov, en honor al programador ruso alincado en Estados 
Unidos Evgeny (Eugene) Nalimov (Novosibirsk. •g6s). quien en 1gg8 escribio 
un prognuna generador de bases de datos de finales. Nalimov ha recibido 
tambien un premio de honor de Ia compaiiia ChessBase por su programa. El 
lector eurioso puede entrar en Ia p8gina de Internet 
JillP-,f/www.k4it.de(index.I!h(illQI!i£=l:C!l!.Para "jugar" con las tablas de 
Nalimov' sobre el tablero vacio que aparece, el lector puede poner cualquier 
combinacion legalmente posible de 6 o menos piezas (incluyendo los dos 
reyes) y encontrar el juego "perfecto" del final resultante, indicado por las 
bases. Mucho rruis recientemente, en 2013, se han logrado publicar las bases 
completas de finales con un maximo de 7 piezas, despues de un enonne 
esfuerw computacional reali2ado por los programadores ruses Vladimir 
Makhnychev yV"lktor Zakharov en Ia Universidad Lomonosov de MoscU. Por 
ello. estas nuevas tablas se conocen con el nombre de tablas de Lomonosov. 
Se consident que pano generar las tablas de finales con 8 piezas se requiere 
un esfueno computacional muchisimo mayor e imposible con Ia tecnologia 
actual. por tanto. no se espera su publicaciOn en un futuro prOximo. 
Con las tablas de finales, Ia comprensi6n humana deljuego en las 
posiciones de finales departida (en apariencia simplificadas. pero que a 
veces requieren de mayor precisiOn prictica que una posiciOn de media 
juego) se ha incrementado mucho. Por otro lado, desde un punto de vista 
te6rico.las bases de finales pueden verse como soluciones parciales al 
problema de Ia resoluciOn del ajedrez: en efecto. no podemos resolver el 
ajedrez, estamos muy lejos de ello (y aUn no se sabe si sera posible alguna 
vez o es algo imposible por completo), pero si podemos resolver de forma 
completa una categoria de posiciones ya muy simplificadas. con un m.;iximo 
de 7 piezas (no olvidemos que eljuego comienza con 32 piezas sobre el 
tablero). 
El1uego perfecto' 
En este pun to, y antes de acabar, queria tambien aclarar que, a pesar de 
su fuerza de juego, ni siquientlos mejores programas de Ia actualidad son 
capaces de establecer un "juego perfecto" a partir de una posicion cualquiera. 
con la excepciOn de las posiciones de final mencionadas en las tablas y de 
algunas posiciones donde se da alguna variante forzada decisiva Para dar un 
ejemplo. pongamos a analizar una "'posiciOn estable" (sin variantes forzadas 
inmediatas) en el mediojuego (con muchas piezas en el tablero). Si dejamos 
que cualquieno de los prognomas mencionados en el capitulo 3 analice hasta 
una determinada profundidad, observamos que (en Ia mayoria de los casos) 
hay un ntimero de variantes con evaluaci6n parecida (por ejemplo, 0,15, 0,2J, 
o,28 y o.a6). Ocurre tambit�n muchas veces que, en casos de posiciones 
"tranquil as", entre un prognoma y otro de potencia computacional y fue= de 
juego parecidas haya diferencias de evaluaci6n. oosa que al lector no avisado 
puede parecerle sorprendente a primeno vista. 
La explicaci6n para estos dos fen6menos es bastante sencilla con Ia 
comprensi6n que los lectores ya deben tener a partir de los capitulos 
anteriores. Como hemos explicado,los prognomas buscan variantes hasta 
una cierta profundidad, dando preferencias a las variantes fo=das. Por 
tanto, en posiciones "estables" o "tranquilas" de medio juego, donde no hay 
variantes fo=das a Ia vista y eljuego debe transcurrir a base de largas 
maniobnos posicionales y conllgunoci6n de planes de juego a largo plazo, el 
progr.una. al Uegar a su profundidad rrnixirna. tampoco encontrar:i al llnal de 
sus variantes una posiciOn deftnida, y varios de los •nodos tenninales" de su 
bU.queda tendr.in evaluaciones parecidas (o con diferencias muy pequeiias). 
Por el conb'ario, la diferencia en la evaluaci6n de una misma posiciOn por 
parte de varios prognomas de fuerz.a parecida se debe solamente a que las 
funciones matem8.ticas de evaluaci6n difieren entre dos prognomas 
distintos' por tanto, algtin prognoma puede pondenor un determinado factor 
presente en la posiciOn mas, y otro en la posiciOn menos (recordando aqui 
que la funciOn de evaluaciOn es una media ponderada entre la puntuaciOn de 
varios factores materiales, posicionales o dimi.rnicos con su peso especiftco). 
En tenninos del ajedrez pr.ictico, todas las posiciones con diferencias 
pequeftas de evaluaciOn sonjugables, incluso se consideran de una 
valoraciOn equivalente yes cuestiOn de comprensiOn, estilo o simplemente 
gusto deljugador humano culil de elias elegir en un anlilisis o una partida. 
Como bien decia V. Allis en su tesis doctoral (1994), "muchos conceptos 
estrategicos conocidos por los grandes maestros hwnanos se basan en 
ganancias obtenidas despues de un nlimero muy grande de jugadas", y dicho 
nlimero de jugadas excede en muchos casos Ia pro fundi dad de bUsqueda de 
los prograrnas. Es por eso que un "juego perfecto" en Ia actualidad no se 
puede deflnir, y no seni posible deflnirlo en un futuro cercano. 
CAP!TUL0 5 
Matematicos y ajedrecistas destacados 
Pam ilustrar &Un rruis Ia estrecha relacion que hay entre las 
matem3.ticas y el ajedrez, sobre todo en referenda a las fonnas de pensar y 
enfocar los problemas, se presentan en este capitulo algunas breves 
biografias de aquellos jugadores que han estado en Ia elite del ajedrez a nivel 
intemacional y que, a Ia vez, han tenido contribuciones signitlcativas en 
algunas ramas de las matemliticas. Esta lista de personalidades dista mucho 
de ser exhaustiva, ya que a lo largo del tiempo ha habido muchos 
ajedrecistas que han sido tambien matematicos y al reves, materruiticos 
excelentes que tambh�n han practicado activamente y han llegado a un nivel 
suficientemente alto en ajedrez. pero nos limitaremos a hablar de los mas 
conocidos, tomando el ajedrez como area de referenda. Como vamos a ver, 
hobo varios campeones del mundo de ajedrez cuya actividad en el campo de 
las matematicas es igualmente destacable; mentes privilegiadas que 
reconieron el tortuoso camino basta Ia cima del ajedrez mundial, con el 
enorme gasto de tiempo, esfuerzo y recursos que se requieren para lograr 
tales metas, y. a Ia vez, pudieron dedi car una parte de su trabajo a descubrir 
nuevas ideas y nuevos resultados en las matemliticas. La presentaci6n 
seguini un orden cronol6gico. 
Adotr Anderssen. el primer campe6n del mundo 
Adolr Anderssen (1818-1879) fue el primer campe6n del mundo (no 
oficial) de ajedrez, que recibi6 dicho reconocimiento por parte de Ia 
comunidad ajedrecistica. Su reinad.o como campe6n "no oficial" comenz6 en 
1851. tras ganar de rorma contundente el tomeo de Londres (el mas 
importante de su tiempo).y prosigui6, con un breve intennedio (1858-1859. 
como resultad.o de Ia derrota en el match contra el mete6rico jugad.or 
estadounidense Paul Morphy). basta 1866, cuando Anderssen cay6 derrotado 
ante el austriaco Wilhelm Steinitz en un match a 14 partidas (resultado 6-8). 
A pesar de esta derrota. sigui6 participando en tomeos internacionales de 
gran envergadura y cosech6 quiz8s su mayor exito unos aiios despues de 
perder el titulo, al ganar el tomeo de Baden-Baden (Alemania. 187o), donde 
participaron los mejores jugadores de Ia epoca. incluso el campe6n mundial 
del momenta, Steinitz. Anderssen sigui6 compitiendo basta el final de su vida 
y cosechando buenos resultados. Ademlis de sus resultados, Anderssen ha 
dejado dos de las mas ramosas partidas de ajedrez de Ia historia. por el 
brillante juego de ataque y los sacriflcios realizados: Ia "partida inmortal" (A. 
Anderssen-L Kieseritsky 1-o, Londres, 1851) y Ia "partida siempreviva" (A. 
Anderssen-J. Dufresne, 1-o, Berlin, 1852). Tambien introdujo una original 
(pero secundaria) apertura Uamada hoy Ia •apertura Anderssen", usada en el 
match contra su gran rival Paul Morphy (A. Anderssen-P. Morphy, varias 
partidas del match en Paris, 1858) y fue un prolillco creador de problemas 
artisticos de ajedrez. 
Es menos conocido el hecho de que Anderssen lagrO ser el mejor jugador 
del mundo de su period.o (o al menos uno de los mejores) sin ser un 
profesional del ajedrez. sino un materruitico de profesi6n. Como ei mismo 
decia, enseiiar matemAticas fue siempre su profesi6n y el ajedrez su gran 
aftci6n. Estudi6 la carrera de Matemi:iticas en Ia Universidad de Breslavia. 
donde se gradu6 en 1847, y despues recibi6 un doctorado honoris causa en 
1865. Sus cualidades docentes eran muy reconocidas y apreciadas en su 
ciudad y su tiempo. A pesar de ella, nunca estuvo involucrado en Ia 
investigaci6n matemitica., como hicieron los ilustres sucesores de nuestra 
lista. 
Emanuel wker, el campe6n del mundo mas longevo 
Emanuel wker (1868-1941) fue el campe6n del mundo de ajedreo que 
mantuvo durante el mayor mlmero de aftos Ia corona de campe6n, 27 aftos 
consecutivos, desde 1894 basta 1921, y fue tambien uno de los jugadores mBs 
longevos en mantenerse en Ia elite del ajedrez mundial, pnicticamente basta 
poco antes de su muerte. Por otro lado, en opiniOn de muchos especialistas, 
fue tambien el matemiitico m8.s destacado entre los grandes ajedrecistas. 
Como ajedrecista, comenz6 su carrera a una edad bastante corta para 
aqueUa epoca. a los 20 aiios, en el mismo aiio en el que empez6 su carrera de 
Matematicas en Ia Universiclad de Berlin. Trasuna progresi6n rlipida, logr6 
ganar el derecho de enfrentarse en un match con el campe6n munctial W. 
Steinitz, que tuvo Iugar en 1894 entre las ciudades norteamericanas de 
Nueva York, Filadelfia y Montreal,y que el aspirante Lasker gan6 con 
contundencia (12-7), aprovechando tambien Ia ctiferencia de edad y de 
energia a su favor respecto a Ia edad mcis elevada de su contrincante. Poco 
despues, tambien gan6 un match revancha contra Steinitz, en MoscU (1896-
1897) y varios otros grandes tomeos (San Petersburgo, 1895-1896: Nliremberg. 
1896), iniciando asi un largo dominio en el mundo del ajedrez. Tuvo tiempo 
de completar sus estudios de Matematicas e incluso de obtener el doctorado 
(1900), a Ia vez que ganaba todos los tomeos en los que competia Sin 
embargo, aprovechando que en aqueUa epoca no habia un sistema claro de 
reglas con relaci6n a los matches por el titulo de campe6n del mundo, puso 
en juego relativamente tarde su corona mundial y. en algunas ocasiones, 
evitando al canctidato considerado quizas el mas peligroso (en su primer 
periodo, A. Rubinstein, y mas tarde, J. R Capablanca). Final mente, sali6 de su 
relativo "aislamiento ajeclrecistico" a partir del aiio 1907, poniendo asi tin a 
un periodo Ueno de logros en su actividad de investigaci6n en el campo del 
8Jgebra. y volvi6 a dominar el ajedrez intemacional ganando varios matches 
por el titulo de campe6n mundial (contra F. Marshall en varias ciudades 
esta.dounidenses en 1907: contra S. Tarrasch en Diisseldorfy MUnich en 19o8; 
contra D. Janowsky en dos ocasiones, en Paris en 1909 yen Berlin en 1910) y 
varios tomeos (de los cuales, el mas desta.cad.o fue el de San Petersburgo de 
1914, que reuni6 a toda Ia elite mundial del ajedrez y que Lasker gan6 de 
fonna clara). Sin embargo, en 1910 estuvo a punto de perder el titulo de 
campe6n contra C. Schlechter en un match a 10 partidas desarrollado en 
Viena y Berlin, y que el campe6n consigui6 empatar (s-s) en Ia Ultima partida. 
Tras el fin de Ia Primera Guerra Mundial, period.o en que los torneos 
importa.ntes de ajedrez fueron escasos, y al encontrarse en una mala 
situaci6n econ6mica, Lasker tuvo que poner enjuego su corona mundial 
contra el candidato rruis fuerte del momento, eljugad.or cuban a Jose RaUl 
capablanca, yen las condiciones que este impuso. El match, disputa.d.o en La 
Hahana en 1921. supuso Ia derrota de Lasker por s-9 y el ftn de su largo -y 
basta ahara no igualado- reinado como campe6n mundial de ajedrez. A 
pesar de Ia perdida del titulo, Lasker sigui6 jugando activamente en los 
mejores tomeos del periodo de entreguerras y se mantuvo en Ia elite del 
ajedrez, logra.ndo, entre otros exitos, ganar los tomeos de Mihrisch Ostrau 
(1923), Nueva York (1924) o quedar en los puestos de cabeza en los de Moscu 
(1925 y 1935) y Nottingham (1936). El heche de que tanto Lasker como su 
mujer, Martha Cohen, fuesenjudios le afect6 negativamente, porIa que tuvo 
que vivir en el exilio (primero en MoscU. despues en Nueva York) en 
condiciones muy precarias, despues del alzamiento de Adolf Hitler en 
Alemania 
Como legado, nos queda Ia brillante caJTera ajedrecistica de Lasker y el 
enfasis que ponia en los aspectos psicol6gicos deljuego' mucbas veces 
Lasker buscaba en sus partidas no necesariamente Ia mejor jugada (desde 
un punto de vista objetivo), sino aquella que opondria mayores problemas y 
complicaba mas Ia tarea de sus rivales (acorde con los puntas debiles de 
aquellos, que Lasker estudiaba cuidadosamente). Tambien rue un excelente 
defensor en posiciones inferiores.logrando un perfeccionamiento antes 
desconocido del juego defensivo (todavia hoy hay analistas, como el famoso 
entrenad.or ruso Mark Ovoretsky, que consideran a Lasker el mejor defensor 
de todos los tiempos). 
Como los logros de Lasker como jugador de ajedrez son ampliamente 
conocidos, volvamos ahora. nuestra atenci6n sobre sus contribuciones 
matenuiticas, que son igualmente numerosas e importantes. Basta decir que 
entre sus articulos cientifi.cos se encuentran pubUcaciones en revistas tan 
prestigiosas como Nature, Mathematische Annalen o American Journal of 
Mathematics, consideradas unas de las revistas cientificas uuis exigentes y 
relevantes a nivel internacional, y hay al menos un teorema matematico (en 
el campo del algebra abstracta) que Ueva su nombre. 
Lasker estudi6 Filosofia y Matem3.ticas en las universidades alemanas 
de Berlin. Gotinga y Heidelberg, donde entro en contacto con destacados 
matem3.ticos y fisicos. Poco despues de graduarse, y a Ia vez que conquist6 el 
titulo de campe6n mundial de e,jedrez, Lasker publica sus primeros articulos 
de investigaci6n en Nature (Lasker, Illgs) o Proceedings of the London 
Mathematical Society (Lasker, 18g6). Todas estas primeras publicaciones 
versan sobre cuestiones de geometria euclidea y proyectiva en el espacio n­
dimensional, introduciendo algunos formalismos de c8.lculo geomcHrico 
novedosos para su tiempo. 
Posterionnente, su actividad investigadora se dirigi6 bacia problemas de 
!ilgebra abstracta, un campo en activo desarrollo por el grupo de 
matematicos de Ia Universidad de Erlangen-Nuremberg, formado alrededor 
del famoso materruitico David Hilbert, con el que Lasker Ueg6 a mantener 
una comunicaci6n cientifica activa Tambien los resultados de a.J.gebra 
abstra.cta podian conducir a nuevos fonnalismos matem3.ticos en geometria. 
es decir, influir sobre los problemas que interesaron a Lasker al comienzo de 
su carrera investigadom. En esa direcci6n escribi6 su tesis doctoral con el 
titulo Uber Reihen auf der Convergenzgrenze, realizada bajo Ia direcci6n de 
Max Noether. La tesis fue presentada en 1900 y publicada en 1901 en 
Phylosophical Transactions of the Royal Society A. ilustrando asi su valor 
cientifico_g. 
A partir de su tesis, y tomindose una relativa pausa en Ia competici6n 
entre 1900-1907 (con participaciones rruis bien escasas en los grandes 
tomeos intemacionales), pudo desarrollar sus contribuciones mas 
importantes en el campo del lilgebra abstracts, publicando, entre 1904-1905, 
una serie de articulos en Ia revista alemana Mathematische Annalen, entre 
los que destaca "Zur Theorie der modulo und Ideate" ("Sobre Ia teoria de los 
m6dulos e ideates") (Lasker, 1905) con una breve adenda posterior 
conigiendo errores del articulo principal. 
En estos trabajos Lasker demuestra. en el caso particular de los anillos 
de polinomios y de series de potencias, una primera versiOn de lo que 
actualmente se conoce como el teorema de Lasker-Noether en aJ.gebra. Este 
teorema se puede ver como una generalizaci6n abstracta del muy elemental 
Teorema Fundamental de Ia aritmetica que postula que cualquier mimero 
entero no primo tiene una descomposici6n Unica como producto de nUmeros 
(factores) primos. El teorema tiene grandes aplicaciones en el campo de Ia 
geometria atgebraica 
El conjunto de avances en lilgebra abstracta logrados por el grupo de 
matematicos atrededor de Ia Hgura de David Hilbert ha tenido tambien una 
gran influencia en el establecimiento de Ia teoria de Ia relatividad de 
Einstein en 1905, cuyo desarrollo Lasker sigui6 con gran interes. MB.s aUn, 
Lasker conoci6 a Einstein en Ia casa del escritor Alexander Moszkowski y 
establecieron una larga amistad, compartiendo muchas ideas cientiflcas a 
tmves de los largos paseos que daban, como el mismo Einstein reconoci6 en 
el prologo de una biograf"lll de Wker (Hannank, 1952). Mas tarde, Wker 
volvi6 a sus trabajos en el campo de Ia geometria. pero utilizando sus 
resultados previos de 8lgebra. ya conocidos, y obteniendo resultados en lo 
que hoy se conoce como Ia teoria de los espacios de moduli en geometria 
algebraica (wker, 1908). Aunque mantuvo contacto permanente con el 
mundo cientiflco, parece que despues de los aiios 1907-1908 decidi6 
dedican;e plenamente al ajedrez. Sin embargo, mantuvo algunas actividades 
academicas (sobre todo en el periodo 1925-1934. cuando redujo sus 
participaciones en eventos de ajedrez) y desarroU6 nuevasaftciones para los 
juegos de mesa como Bridge y Go. w contribuciones de Usker a las 
matenuiticas ban sido fundamentales en los avances posteriores en 81gebra. 
geometria y fisica te6rica. 
Max Euwe, un matenuitico campe6n mundial de ajedre2 
Max (Machgielis) Euwe (1901-1g81) fue un ajedrecist.a y materruitico 
holandes, quinto campe6n mundial "oficial" de ajedre2, con un cort.o reinado 
entre 1935-1937. Tuvo una larga carrer.o ajedrecistica, pero nunca abandon6 
su trabajo academico como profesor en distintos institutos y universidades. 
En el ;imbito matem&tico, sus investigaciones se dirigieron hacia aspectos 
mas ligados a Ia ciencia de Ia computaci6n. un campo muy de moda a 
mediados del siglo XX. 
Euwe comenz6 su carrera en el ajedrez desde muy joven, al aprenderlo 
con sus padres y participar en su primer torneo con 10 aftos (algo de lo mas 
comtin en nuestros dias, pero no muy habitual a comienzos del siglo XX). 
Tras Ia Primera Guerra Mundial, empez6 a participar en torneos 
intemacionales de envergadura (Hastings, 1919-1920, donde qued6 cuarto) y 
poco despues gan6 su primer titulo de campe6n de Paises Bajos (1921). 
Ostenta el record absoluto de campeonatos de su pais, gan6 todos los 
tomeos nacionales en los que particip6 entre 1921-1952 y otro mas en 1955. 
convirtiendose en el mejor jugador holandes de su tiempo. Sin embargo, sus 
participaciones en competiciones internacionales en los a.iios 1920-1930 
fueron mas bien escasas, ya que estaba cursando Ia carrera y despues su 
doctorad.o en Matem8.ticas en Ia Universidad de Amsterdam. 
En vez de jugar tomeos intemacionales que requerian desplazarse 
largos periodos de tiempo, Euwe tuvo suficiente apoyo ftnanciero para 
organizar matches en su pais (que podia compaginar f3.cilmente con su 
actividad docente y academica) contra los mejores jugad.ores de su periodo: 
A. Alekhine, J. R Capablanca, E. Bogoliubov, S. Flohr, R Spielmann, etc., 
logrando buenos resultados contra ellos, aunque muchas veces perdiera por 
Ia minima Asi acabaron sus matches contra los dos mejores jugadores de 
aquel periodo, Alekhine (derrota por 4.s-s.s en 1927) y capablanca (derrota 
por 4-6 en 1931), pero tambien gan6 a Bogoliubov (tambien candidato al titulo 
mundial en aquellos aiios) en dos ocasiones, a Spielmarm en una y empat6 
un match contra S. Flohr (1932). 
La constante progresi6n de sujuego, demostrada por sus victorias en los 
pocos tomeos que pudo disputar (el mas importante fue el de Hastings, en 
1930), hicieron que el mundo del aJedrez lo considerase uno de los 
principales aspirantes al titulo de campe6n mundial que ostentaba Alekhine 
(desde 1927) y se pudiera organizar un match oftcial por el titulo en octubre 
de 1935 en varias ciudades holandesas. Euwe gano aquel largo y drarrnitico 
match, con muchas altemancias en el marcador, por 15.s-14.5 (en 30 partidas 
jugadas en 13 ciudades diferentes, a lo largo de 8o dias) y fue proclamado 
campe6n del mundo,lo que para Ia mayoria de Ia gente fue una sorpresa. Sin 
embargo, Euwe pudo mantener su titulo por poco tiempo, ya que el match 
revancha (pactado de antemano como condici6n para el primer match) 
contra un Alekhine mucho mejor preparado esta vez tuvo Iugar en 1937 
tambien en Paises BeJos y Euwe fue derrotado de forma bastante clara (J.S.s-
9.5). a pesar de haber empe2ado ganando Ia primera partida. 
Despues de Ia perdida de Ia corona, Euwe sigui6 siendo un granjugador, 
con buenas actuaciones en los mejores tomeos del mundo (AVRO 
Amsterdam, 1938: Olimpiada de 1939; match contra Keres en 1940, y en 
Groninga, 1946, posiblemente el mejor resultado de su carrera), perc Ia 
Segunda Guerra Mundial y Ia dominacion absoluta en aJedrez de Ia nueva 
escuela sovietica lo apartaron de Ia lucha por el titulo mundial. Tuvo dos 
intentos mas en el tom eo por el titulo de campe6n mundial en lA Haya y 
Mosc1i (1948) y tambien el tomeo de candidatos en Ztirich (1953), pero sin 
resultados notables. Posterionnente, sigui6 participando en tomeos de 
menor envergadura y tambif�n en todas las olimpiadas de ajedrez con el 
equipo holandes hasta 1962, logrando una medalla individual de plata en 
MUnich (1958) como su Ultimo gran Cxito en competici6n. En conjunto, gan6 
102 tomeos - un record para su tiempo. sobre todo al tratarse de unjugador 
fonnalmente no profesional-. Mlis tarde, una vez retirad.o del ajedrez activo, 
Euwe ostent6 el cargo de presidente de Ia Federaci6n Internacional de 
A,jedrez (FIDE) entre 1f!IO y 1ff18, un periodo muy convulso y con muchos 
problemas (el famoso "match del siglo" de Fischer y Spassky, en Reikiavik. en 
1ff12; Ia incomparecencia (forfait) de Fischer contra Karpov en 1ff15; Ia 
deserci6n del candidato Korchn6i saliendo del bloque sovietico en 1ffl6, etc., 
ocurrieron durante su presidencia). 
Volvarnos ahara nuestra atenci6n sabre los logros de Euwe como 
matetruitico. Se gradu6 en Materruiticas por Ia Universidad de Amsterdam en 
1923 y tambiCn en la m.isma universidad obtuvo su doctorado en 1926. Su 
tesis doctoral fue dirigida por dos materruiticos muy conocidos, Roland 
WeitzenbOck y Hendrik de Vries, y obtuvo el titulo de doctor con Ia tesis 
Differential invariants of two covariance vector fields with four variables, 
resultado de sus investigaciones en el campo de Ia geometria diferencial 
sobre variedades de dimensiOn 4· Seglin De Vries, fue Euwe, y no Bartel van 
der Waerden (matemB.tico famoso por sus contribuciones en B.lgebra y 
geometria algebraica cuya tesis Hendrik de Vries dirigi6 al mismo tiempo 
que Ia de Euwe) el mejor alumno doctoral que tuvo. 
Poco despues. en 1929, Euwe publico en forma de articulo de 
investigaci6n un e.n8lisis matematico del juego de a,jedre2 (Euwe, 1929), con el 
prop6sito de demostrar que las reglas que regian en aquel memento eljuego 
podian permitir, te6ricamente, partidas de longitud inllnita. una cosa que Ia 
recien creada Federaci6n lnternacional intentaba evitar (trntando de hacer 
del a,jedre2 unjuego flnito desde el pun to de vista de Ia teoria de juegos). Mlis 
concretamente, Euwe "redescubre" una sucesiOn binaria ya conocida, Ia 
sucesiOn de Thue-Morse, que tiene varias formas de definiciOn, pero que 
todas Devan a Ia misma sucesiOn_1o. 
Se trnta de una sucesi6n binaria (formada por secuencias de o y 1), que, 
segUn Ia demostraciOn de Euwe, se genera de forma recursiva (es decir, un 
elemento de Ia sucesiOn se construye a traves de una fOrmula que involucra 
los elementos anteriores de Ia m.isma sucesiOn) de Ia siguiente manera.: el 
elemento inicial d(o)=o, el siguiente elemento es 01 y, en general, Ia cifra 
binaria de Ia sucesiOn correspond.iente a Ia posiciOn 2k+i se define como el 
complemento binario (es decir, o si Ia cifra anterior era 1 y al reves) de Ia cifra 
binaria correspondiente a Ia posiciOn i, para todo ind.ice i tal que 0<= i<2k y 
para todo mimero entero positivo k. Por ejemplo, las primeras 4 posiciones 
de Ia sucesiOn son ouo; las primeras 8, ouo1oo1; las primeras 16 se forman 
concatenando primero las primeras 8 y despues sus "negaciones", es decir, 
on0100110010llO, etc. Con esa construcci6n, Euwe consiguiO demostrar que 
Ia sucesiOn asi construida no tenia triples repeticiones, es decir, no existia 
una subsucesiOn de Ia forma XXX, donde X fuese una secuencia binaria finita 
dentro de Ia sucesiOn. Por tanto, codificando una sucesi6n de jugadas de 
ajedrez que al final deja Ia posiciOn inicial sin cambiar con o y otra sucesiOn 
con 1, repitiendo esas secuencias acorde con las cifr'8S binarias de Ia 
sucesiOn de Thue-Morse y usando Ia propiedad mencionada de no existencia 
de las triples repeticiones, Euwe demostr6 que podia haber partidas de 
ajedrez infinitas sin triples repeticiones consecutivas de Ia misma posiciOn 
Qa regia del ajedrez que en su memento signiftcaba un resultado de tablas 
por decision arbitral). 
Esta demostra.ciOn tuvo en su memento impacto sobre el ajedrez, por lo 
que Ia FIDE modific6 las reglas segUn las cuales una partida se declara de 
fonna automliticaen tablas, introduciendo ademi:is Ia siguiente (vilida hoy 
en dia): "Una partida de ajedrez es tablas si se han efectuado sojugadas 
completas sucesivas sin ningU.n movimiento de peOn y sin ninguna captura 
de pieza". Con esta regia se evitan las partidas inftnitas, ya que tanto los 
movimientos de peOn como las capturas de piezas son movimientos 
irreversibles y el mimero de tales movimientos es ftnito. 
Despues de Ia Segunda Guerra Mundial, Euwe empezO a interesarse en 
Ia nueva tecnologia emergente: las rruiquinas de clilculo y Ia ciencia de Ia 
computaci6n relacionad.a Sus estudios en esta direcci6n le valieron una 
plaza de profesor de Cibemetica en Amsterdam (1954), despues una visita 
como director cientifico al departamento de infonruitica de Ia empresa 
Remington (en Estados Unidos). DW'a.Ilte su estancia en Estados Unidos, a! 
no haber abandonado del todo el ajedrez,jug6 dos partidas amistosas con Ia 
nueva estrella emergente, Robert James Fischer (el futuro campe6n 
mundial), logrando ganar una de ellas. De vuelta a Europa, Euwe fue 
nombrado director del centro holandes de investigaci6n en el procesamiento 
de datos (desde 1959) y rruis tarde (1g61-19&.1) presidente de una comisi6n 
europea que tenia como objetivo estudiar en que medida los ordenadores 
podianjugar ajedrez. De esta manera, Euwe se convierte en uno de los 
pioneros en esa investigaci6n sobre los progra.mas de ajedrez. Finalmente, 
Euwe es nombrad.o ca.tednitico de procesamiento automatico de datos 
(infonruitica te6rica) en las universidades de Mterdam (primero) y Til burg 
(rruis tarde), desde donde se retira en 197L 
El legado que nos dej6 Euwe tambien comprende un gran nfunero de 
libros de ajedrez, de los cuales algunos han sido verdaderos clasicos que han 
servido como libros de texto para el entrenamiento de generaciones 
posteriores de jugadores, como Dictamen y plan en ajedrez, Maestro contra 
amateur (con Walter Meiden) o Ajedrez, el camino hacia Ia maestria. En total, 
escribi6 mas de 70 libros, siendo uno de los autores de ajedrez m8s prolificos 
de Ia historia. 
Mikhail Botvinnik. el patriarca del ajedrez sovietico 
Mikhail Botvinnik (1911-1995) fue uno de los mas gran des jugadores de 
ajedrez de todos los tiempos, campe6n mundial en varias ocasiones, 
entrenad.or y fun dad or de una escuela de entrenamiento y pensamiento, 
aderruis de renombrado analista. No fue matem3.tico de profesi6n. sino 
ingeniero elect:rico, pero sus actividades de investigaci6n en el campo de Ia 
ciencia de Ia computaci6n tienen bases materruiticas y lo convierten en uno 
de los pioneros de los programas computacionales de ajedrez. 
Botvinnik empez6 ajugar ajedrez a los 12 afios y su progresion fue tan 
nipida que tuvo que ftngir su edad para entrar en el club de Leningrado, hoy 
San Petersburgo (ya que Ia edad minima en aquel tiempo, segUn las reglas 
del club, era de 16), logrando poco despues veneer al campe6n del mundo 
Jose RaW ca.pablanca en una sesi6n de partidas simultaneas en MoscO 
(1925). Su progresi6n sigui6 de forma bastante nipida (sobre todo si tenemos 
en cuenta que, a1 mismo tiempo. Botvinnik estaha estudiando Ia carrera de 
lngenieria Electrica en el Politecnico de Leningrado) y los exitos comenzaro� 
primeros titulos de campe6n de Leningrado (1931) y de inmediato sus 
primeros titulos de campe6n de Ia Union Sovietica (1931 y 1933), un titulo muy 
prestigioso dado que Ia UniOn Sovietica ya empezaba a ser una potencia 
mundial en ajedrez. Tambien Uegaron los Oxitos en los mas grandes tomeos 
intemacionales de Ia epoca. ganando en Mosci (1935,junto con S. Flohr) yen 
Nottingham (1936,junto con J. ll Capablanca) y quedando segundo (detras de 
Capablanca) en Moscu, en 1936. Todos estos resultados, junto con Ia 
enemistad que existia entre el cam peOn mundial Alekhine y el anterior 
campe6n Capablanca. hicieron a Botvinnik uno de los favoritos para ser 
candidato al titulo de campe6n mundial ostentado por Alekhine y. en efecto, 
bubo varias negociaciones sobre Ia idea de un match en 1939 o 1940, pero 
fueron interrumpidas por el estallido de Ia Primera Guerra Mundial justo 
cuando estaban a punto de linalizarse (Botvinnik y Cafferty, 19B1; Winter, 
2003-2004). 
Fue despues de Ia Segunda Guerra Mundial cuando retorno y amplio su 
dominio sobre el ajedre2 mundial. Durante Ia guerra, se dedico a seguir 
entrenando con intensidad y jugar en los pocos tomeos sovieticos que se 
organizaban detras del frente de batalla. garnindolos todos (campe6n de Ia 
URSS en 1939. 1944, 1945; "campe6n absoluto" de Ia URSS en 1940; ganador del 
tomeo de Sverdlovsk en 1943). Poco despues de Ia guerra, se empezaron a 
organizar de nuevo tomeos intemacionales y Botvinnik gan6 1os dos mcis 
importantes en Groninga (1946) y Moscu (1947), siendo considerado, despues 
de Ia muerte del campe6n Alekhine en 1946, el ajedrecista nuis fuerte del 
mundo. Y lo volvi6 a mostrar de forma categ6rica a1 ganar, en 1948, el tomeo 
por el titulo de campe6n mundial organi2ado porIa FIDE en La Haya y MoscU. 
con tres puntos de ventaja sobre el segundo clasificado (el tambien futuro 
campeon mundial V. Smyslov) y proclarruindose asi campeon mundial de 
ajedre2. Su reinado, con algunos breves intermedios, se prolongo hasta 1963. 
Una vez que se proclam6 campe6n del mundo, Botvinnik se jug6 su 
corona varias veces, tal como dictaban las nuevas leyes de Ia FIDE, que 
estipulaban que se debia organizar un campeonato del mundo ca.da tres 
aiios, y que, aderrnis, en caso de perdida del titulo, el campe6n tenia derecho 
a un match revancha al aiio siguiente (norma que lleg6 a ser apodada "regia 
de Botvinnik", dado que fue este precisamente quien hizo mayor uso de ella). 
En 1951 puso por primera vez el titulo enjuego contra D. Bronstein, 
empatando el match (12-12) con grandes dificultades y manteniendo el titulo. 
Posterionnente, disput6 tres matches seguidos contra el ruso V. Smyslov. En 
el primero de ellos (Mosc•i. 1954) mantuvo su titulo de campe6n mundial (12-
12); en el segundo (Mosc•i. 1957) perdi6 el match y el titulo por 9.5-12,5, pero 
usando Ia regia del match revancha pudo jugar otro mas (Mosc•i. 1958), que 
gan6 por 12,5-10,5 y recuperO su corona. En el nuevo ciclo de candidatos tuvo 
que enfrentarse contra el joven sovii!tico Mikhail Tal, que tenia solo 23 afios 
en aquel momento (y que fue apodado el "Mago de Riga" por su estilo 
tacticamente brillante y combinativo). Tambien perdi6 el primer match 
(Moscti, 1g6o) por B,S-12,5, mostrando muchas carencias en su preparaci6n, 
pero utili2ando por segunda vez el derecho del match revancha logr6 veneer 
a Tal en el segundo match (Mosc•i. 1g61) por 13-8, y recuperar una vez rrnis el 
titulo de campe6n mundial. El mismo Botvinnik comentaba que el secrete de 
sus victorias en el segundo match era su sistema de prepara.ci6n organizado 
y met6d.ico, tras conocer a sus rivales. En 1963 perdi6 de nuevo (y por Ultima 
vez) su titulo conb"a Ia nueva estrella Tigran Petrosian, por 9.5-12,5- Entre 
tanto, Ia Federacion habia cambiado el sistema de ciclos del campeonato del 
mundo, quitando el derecho al match revancha tan ansiado por Botvinnik. 
Por tanto, esta vez Botvinnik no pudo volver ajugar conb"a Petrosian y 
abandono su lucha por recuperar el titulo. Siguio jugando en tomeos (con 
resultados notables) basta 1970, aunque, desde 1948, sus participaciones en 
tomeos intemacionales fueron mas bien escasas en toda su carrera. En 
cuanto a Olimpiadas,jugo en todas las que se organizaron entre 1954 y 1964. 
ganando medallas individuales (tres de oro) en todas excepto en Ia de 1962. 
Se retir6 en 1970 para dedicarse a entrenar y a su actividad. en el cirea de Ia 
creacion y estudio teO rico de los programas de ordenador para el ajedrez. 
Fue uno de los entrenadores de ajedre2 rrnis renombrados y fundo 
posteriormente Ia escuela Botvinnik de ajedre2, donde tuvo como alwnnos, 
entre otros. a los futuros campeones del mundo y leyendas vivas del ajedre2 
Anatoly Karpov, Garri Kasparov y Vladimir Knimnik.La escuela y el club de 
ajedre2 Botvinnik de Moscli siguen existiendo, en memoria del que ha sido el 
gran patriarca del ajedre2 sovietico. 
Volvamos ahora a las contribuciones de Botvinnik a Ia ciencia de Ia 
computaci6n. Todos sus desarrollos infonruiticos (sobre todo en relaci6n con 
Ia intetigencia artificial) tienen s61idas bases matematicas. Botvinnik no era 
matematico, sino ingeniero electrico. SU b"abajo (pnictico) en esta 
especialidad tambien es destacable, sobre todo el establecimiento y 
desarroUo de las estaciones de potencia electrica en los Urales durante Ia 
Segunda Guem1. Mundial (que ayudaron al ejercito sovietico en su lucha 
contra los alemanes). En 1951. cuando se doctor6, ya em campe6n del mundo 
de aJedrez. Pero tambien en ese mismo periodo creci6 su interes por los 
ordenadores, una tecnologia (:f ciencia subyacente) en desarroUo en aquel 
peliodo. Tratando de unir sus dos grandes pasiones se dedioo (despues de 
retirarse de la competici6n ajedrecistica) a trabajar en Ia consb"ucci6n y 
perfeccionamiento de algolitmos (:f luego programas de ordenador que los 
implementasen) par.o Ia toma de decisiones complejas necesalias par.ojugar 
bien al ajedrez. 
Botvinnik empez6 a interesarse por los ord.enadores a partir de los aftos 
cincuenta del siglo XX. sobre todo en los programas de ordenador par.ojugar 
al ajedrez. Sus plimer.os ideas favorecian los algolitmos basados en Ia 
Uamada estrategia de tipo B, lo que significaba algolitmos selectivos que 
buscaban reducir Ia complejidad computacional a traves de Ia selecci6n 
previa de un nU!nero reducido de jugadas consider.odas plausibles y 
partiendo el ci.lculo de valiantes desde ahi. En Ia decada de los cincuenta, 
esta estrategia selectiva, cuya introducci6n te61ica parte de las ideas de 
Claude Shannon (1950), em Ia corliente dominante entre las estrategias par.o 
concebir programas infonnaticos de ajedrez, debido a Ia baja capacidad de 
c81culo de las rruiquinas existentes en ese peliodo. Es evidente que una 
estrategia selectiva limita las posibilidades computacionales y reduce Ia 
complejidad, pero a Ia vez no considera muchas jugadas candidatas que no 
son tan directas como dicha estrategia requiere. Sobre esta estrategia. 
Botvinnik Ueg6 a tener un debate publico en Ia television holandesa en •958 
con Max Euwe, el otro gran campe6n y pionero de los ordenadores. 
Sin embargo, a partir de 1g6o, Botvirmik empezo a tener sus propias 
ideas sobre como crear un programa de ordenador que jugase al ajedrez 
imitando los procesos mentales de un gran maestro de ajedrez. De esta 
forma. introd'lio y publico (Botvinnik, 1970) nuevas ideas sobre los mapas de 
ataque y defensa. y las trayectorias. Los mapas de ataque y defensa son 
estructuras de datos (especialmente en forma de vectores) que contienen 
infonnaci6n sobre si en un detenninad.o memento una pieza sobre el tablero 
esta atacada o defendida. y lo mismo para las casillas lib res (considerando Ia 
posibilidad de mover alli una pieza o no en Ia siguiente jugada). Estos mapas 
(uno con relacion a cada casilla del tablero) se implementan en forma de 
matrices con entradas o y 1. siendo 1 la posiciOn de un at.acante o defensor 
directo de Ia casilla considerada. por lo que resulta fiicil para el programa 
evaluar (de forma estatica) si dicha casilla (o pieza que se encuentra en ella 
en un momento dado) se puede conquistar (o capturar). Las trayectorias 
representan la codiflcaci6n materruitica y computacional de los posibles 
caminos (sobre el tablero) de una determinada pieza para Uegar desde su 
casilla momentinea a su casilla ideal, acorde con un detenninado plan. Asi, 
Botvinnik formula su proyecci6n materruitica del ajedrez como un sistema 
complejo, partiendo desde las trayectorias como base de esta proyeccion (las 
estructuras mas sencillas); definiendo mas tarde zonas como redes de 
tmyectorias confonnes con el plan de ataque/defensa establecido y teniendo 
en cuenta las trayectorias negativas, es decir, aquellas del oponente que 
pueden bloquear las nuestras, y tambien implementando, en el 8rbol de 
variantes (tmyectorias) posibles, una funcion que bloquea aquellas que no 
Uegan a Ia meta en el tiempo (nUIIlero de jugadas) dado. 
Toda esta teo ria de bUsqueda de jugadas y planes fue ideada por 
Botvinnik en los alios sesenta y setenta, plasmada desde el pun to de vista 
te6rico en su libro Computers, Chess and Long-range Planning. Despues, y de 
forma progresiva,lo implement6 en el programa de ajedrez Pioneer, creado 
por un equipo liderado por Botvinnik en los alios setenta, y cuya primem 
participacion fue en el campeonato del mundo de o,jedrez pam progmmas de 
ordenad.or de 1971. Posterionnente, las conclusiones de este trabajo han sido 
publicad.as de forma sucesiva en una serie de articulos escritos tanto por el 
mismo Botvinnik como por colaboradores suyos dentro del equipo de 
investigacion que el lidenlba (Botvinnik et al., tg8o; Botvinnik, lg82 y 1983) y 
luego desarrolladas en un nuevo libro (Botvinnik, 1984). 
Ademas de su inlluencia en el desarrollo de programas de ajedrez, las 
estructuras y sistemas creados por Botvinnik han tenido influencia tambien 
en otros ;imbitos como Ia inteligencia artificial o Ia nueva disciplina de 
geometria linguistica, creada por Boris Stilman (un colaborador de Botvinnik 
en el equipo del proyecto Pioneer). Tambien. los detalles te6ricos del 
prognuna Pioneer han sido publicados en Ia revista ICCA por dos de los 
colaboradores de Botvinnik (Reznitskiy y Chudakov. 1990). 
Hacia el final de su vida (1990-1995) Botvinnik construy6 un nuevo 
equipo para trabajar el proyecto CC Sapiens (Chess Computer Sapiens), con 
Ia idea de mejorar los logros del Pioneer y tambien desarrollar aplicaciones 
no solo en ajedrez, sino en Ia plani6caci6n econ6mica.junto al reconocido 
mat.ematico V. Vladimirov. Sin embargo, pa.rece que estas investigaciones 
(finalizadas tras Ia muerte de Botvinnik en 1995) no tuvieron los resultados 
esperados, ya que Ia Unica publicae ion (Botvinnik, 1993) donde se 
demuesb'an las virtudes del nuevo programa para resolver tres posiciones 
concretas de ajedrez ha sido duramente criticada por Ia forma de elegir las 
posiciones "para que Ia cosa funcione". En efecto,la principal critica sabre los 
prognunas ideados por Botvinnik ha sido el hecho de que, aunque 
funcionaban bien en posiciones experimentales, nunca fueron capaces de 
jugar una partida entera en una demostraci6n pUblica 
John Nunn, el precoz doctor en Oxford 
John Denis Martin Nunn (1955) es un oJedrecista y matetruitico ingles. 
Entre sus mayores logros se cuenta ser tres veces ca.mpeOn del mundo en Ia 
disciplina de Ia resolucion de problemas artisticos de oJedrez, estar entre los 
primeros 10 ajedrecistas del mundo (1g85), ganar dos medallas de oro 
individuales en las Olimpiadas de oJedrez, adetruis de ser el graduado en 
Materruiticas rruis joven de Ia Universidad de Oxford desde 1520 y uno de los 
doc to res mas j6venes de Ia misma. 
Nwm ha sido un prodigio del ajedrez, ganando numerosos campeonatos 
juveniles, fue campe6n britanico sub-14 (con tan solo 12 aiios, en 1967) y sub-
1.8; posteriormente, campe6njuvenil de EW"Opa en Groninga, 1975. Obtuvo el 
titulo de gran maestro en 19'78, y entrO en el top 10 mundial en 1985- Durante 
su carrera. ha ganado muchos tomeos intemacionales, como el de Wijk aan 
Zee (Paises Bajos) en tres ocasiones' 1982, 1990 y 1991. No tuvo tanta suerte 
en sus intentos de clasificarse para el tomeo de candidates al titulo de 
campe6n mundial, solo en 1987 cuando fue eliminado por el maestro htingaro 
Lajos Portisch. Tambien destacan las dos medallas de oro individuates en la 
Olimpiada de Sal6nica (1984). Despues de los aiios noventa. Nunn se retir6 
del ajedrez en activo, aunque recientemente volvi6 a los tomeos para 
veteranos Uugadores mayores de so aiios) obteniendo buenos resultados. 
Nwm ha destacado tambien en Ia disciplina de resoluci6n de problemas 
artisticos de ajedrez, a Ia vezque ha compuesto sus propios problemas 
artisticos. En esta especialidad ha tenido un dominic absolute, ganando en 
tres ocasiones el campeonato del mundo de resoluci6n de problemas en 
Halkidiki en 2004. en Rodos en 2007 yen Hersonissos en 2010. 
A Ia vez es un prolifico escritor de ajedrez, con mas de 25 1ibros, varios de 
ellos premiados por editoriales y federaciones (nacionales o intemacionales) 
de ajedre2. Sus libros abarcan casi todas las facetas del ajedrez, desde libros 
de entrenamiento y consejos para los jugadores en progresi6n hasta otros de 
estudios y problemas artisticos de ajedrez. Tambien practica Ia mineria de 
datos sabre las tablas de finales, con varias publicaciones en las que propane 
una colecci6n de estrategias que los jugadores humanos pueden utilizar, 
descubiertas a traves de un profunda estudio y experimentaci6n con las 
tablas de finales. A partir del aiio 2013, Nwm sigui6 hacienda mineria de 
datos para finales con siete pie>as a partir de las tablas de finales 
recientemente publicadas.Iogrando contradecir varios anaJisis anteriores 
(pero reali2ados antes de Ia aparici6n de los ordenadores actuales) (Nwm, 
20J.3). 
Como ya se ha mencionado, Nurm fue tambiCn un materruitico 
profesional. Con tan solo 15 aiios fue admitido en Ia Universidad de Oxford. 
Se gradu6 en Materruiticas en 1973 y defendi6 tambiCn en Oxford su tesis 
doctoral con el titulo Some Problems in Algebraic Topology en •978 (con tan 
solo 23 aiios, tambien una edad poco habitual para un doctorado), publicando 
despues los resultados de sus investigaciones en un articulo independiente 
(Nunn, 1979). La tesis y el articulo presentan los resultados de sus 
investigaciones en el campo de Ia topologia algebraica 
AI finali2a.r su tesis doctoral, Nwm mantuvo su plaza de profesor en 
Oxford hasta 1g81, cuando decidi6 dedicarse plenamente al ajedre2 de 
competici6n y, en paralelo, como ya comentamos arriba. a Ia mineria de datos 
para los finales de partido. publicando un articulo te6rico sobre su metodo, 
presentandolo en una conferencia intemacional (Nunn, 1993 y 1994). Mas 
recientemente, Nunn ha comenzado a interesarse porIa astronomia. una 
ciencia de Ia que se considera un simple aftcionado, pero sus conocimientos 
parecen ser sullcientes para publicar varios articulos de diwlgacion en 
Chessbase News. La afici6n "'seria" por Ia astronomia Ia comparte con un otro 
granjugador de ajedrez. el campe6n mundial indio VJSWanathan Anand 
0tros ajedrecistas y materruiticos actuales 
En Ia actualidad resulta dificil encontrar aJedrecistas fuertes y que a Ia 
vez sean materruiticos profesionales, debido a Ia fuerte profesionalizaci6n de 
ambas disciplinas, lo que dificulta encontrar el tiempo de trabajo necesario 
para ejercer ambas actividad.es a Ia vez. Sin embargo, todavia existen. como 
se muestra a continuaci6IL Se tra.ta de gra.ndes maestros de ajedrez y 
matem8.ticos que en Ia actualidad siguen en activo en alguno de los dos 
campos. 
Andrew Jonathan Mestel (1957) 
Destacado ajedrecista ingles, ha sido el primer jugador en recibir los 
titulos de gran maestro tanto en el ajedrez practico como en el li.mbito de Ia 
resoluci6n de problemas artisticos. Sus exitos fueron muchos en las decadas 
setenta y ochenta del siglo XX. Tambien es un materruitico muy activo, 
profesor de MaterruiticaAplicada en el lmperial CoUege de Londres yes un 
reconocido especialista en el campo de Ia diruimica de ftuidos con 
aplicaciones tambien en biologia. 
Se dio a conocer como ajedrecista cuando se proclam6 campe6n mundial 
de cadetes (edad sub-18 aiios) en el campeonato de Pont-Saint-Maxence 
(Francia), en 1974. y al aiio siguiente lagro Ia medal Ia de bronce en el 
campeonato mundialjuvenil en Tjentiste, antigua Yugoslavia, en 1975. 
Durante los 15 aiios siguientes gan6 medallas (individuales a de equipa) en 
las grandes citas del ajedrez par naciones, como las olimpiadas a los 
campeonatos ew-opeos. Particip6 con el equipo inglCs en varias olimpiadas 
entre 1!)76 y 1988, destacando su excepcional resultado individual en Ia de 
Sal6nica (1984). donde consigui6 una medalla de oro individual. Tambien 
obtuvo varias medallas con el equipa ingles (bronce en 1976 y plata en 1984 y 
1988), una de las patencias en ajedrez en Ia decada de los ochenta 
Posiblemente, su mejor resultad.o vino tambiCn en una competici6n por 
equipas. el Campeonato Europeo par Naciones de Plovdiv, Bulgaria. en 1983, 
donde obtuvo Ia medalla de oro individual absoluta par Ia mejor actuaci6n 
individual (6 puntas de 7). Mestel tambien obtuvo buenos resultados en 
tomeos individuales, como los tres titulos de campe6n britanico en 1976, 
1983 y 1988. Tambien gan6 el tomeo zonal de Marbella (1982), empatado en el 
primer puesto con otros grandes maestros. Siguiendo Ia estela de John Nunn, 
tambien se interes6 porIa resoluci6n de problemas artisticos, especialidad 
en Ia que fue campe6n mundial en 1997 y gan6 varias veces las competiciones 
por equipos con el equipo brit8.nico. Tuvo tambien otras ocupaciones en 
relaci6n con los juegos, creando Uunto a su colaborador Peter Killwortb) el 
juego Brand X, renombrado como Philosopher's Quest, y tambien particip6 
en oompeticiones de bridge. 
Mestel es un materruitico muy activo. Es doctor en Matenuiticas por la 
Universidad de Cambridge, con una tesis doctoral, Magnetic Levitation of 
Liquid Metals, cuyos principales resultados han sido publicados tambien en 
un articulo cientffico (Mestel, 1g82). Adenuis, a lo largo de su can-era 
investigadora ha publicado numerosos articulos de investigaci6n en revistas 
prestigiosas de matematica aplicada, como Journal of Fluid Mechanics, 
Proceedings of the Royal Society of London, Journal of Plasma Physics y 
otras. SUs principales 8reas de investigaci6n son Ia din&mica de ftuidos con 
aplica.ciones en biologia y medicina (en pa.rticular, la investigaci6n de 
modelos matematicos en el ftujo arterial de Ia sangre), y Ia 
electrohidrodiruimica y magnetohidrodinS.mica, areas de las matematicas 
aplicadas que estudian Ia diruimica de los fluidos conductores de Ia 
electricidad (como el plasma, los metales liquidos y el agua salada) en 
presencia de campos electri.cos o magneticos. Las herramientas matenuiticas 
utilizadas en su modelizaci6n son sistemas bastante complejos de 
ecuaciones en derivadas parciales, combinando las ecuaciones de Navier­
Stokes o Euler (propias de Ia diruimica de Ouidos) con las ecuaciones de 
MaxweU del electromagnetismo. Mantiene una p8gina academica oficial 
ligada a Ia p8gina del Imperial CoUege de Londres, donde se pueden 
consultar sus resultados matemci.ticos y sus areas de interes. 
Karsten Miiller (1970) 
1\iedrecista y matematico aleman, gran experto internacional en los 
finales de partida (como ya pudimos ver, no es sorprendente para alguien con 
una preparaci6n materruitica como base que tenga un especial interes por 
los finales de partida). Tambien es un prolifico autor de libros de ajedrez y 
colwnnista. 
Karsten Miiller fue unjugador muy activo en las competiciones 
internacionales de ajedrez entre Ig86 y 2oo6, epoca en Ia que obtuvo varios 
logros tanto en tomeos individuales (dos veces medallista en el campeonato 
nacional de Alemania) como en ligas y campeonatos por equipos,jugando 
Iigas nacionales en varios paises. Adenuis, se dedic6 mucho mas a su 
actividad como publicista y escritor de ajedrez, siendo mundialmente 
reconocido en Ia actualidad como una autoridad en los finales de partida En 
este campo, es el au tor de dos tratad.os de finales muy reconocidos tanto por 
los jugadores expertos como por los aficionados al ajedrez, Fundamental 
Chess Endings (2001) y How to Play Chess Endgames (2008). En el primero, se 
estudian los llamad.os finales te6ricos (con menos piezas, donde se puede 
establecer el mejor juego posible y se estudian maniobras tipicas), mientras 
que el segundo trata sabre los finales complejos o estrategicos, con mayor 
nUmero de piezas en el tablero, donde el pensamiento esquemAticoy Ia 
planiflcaci6n cobran un papel fundamental. Tiene otras publicaciones sabre 
varias facetas deljuego (aperturas, ejercicios de estrategia y tactica, tecnicas 
de entrenamiento), y es columnista en paginas de ajedrez o revistas como 
Chesscafe.com, Chessbase.com o ChessBase Magazine, donde realiza ana.Jisis 
detallados y muy instructivos de los finales de partida mas interesantes que 
se han dado en Ia competici6n. 
Como materruitico, Karsten Miiller defendi6 su tesis doctoral en 2002 en 
Ia Universidad de Hamburgo bajo Ia direccion de Johannes Michalicek, 
aunque su actividad investigadora en matem3.ticas no ha sido muy activa. En 
cambio, se ha interesado por el ajedrez de los ordenadores, publicando 
articulos en Ia revista especializada ICGAJournal (Miiller. 2002, 2003) y rruis 
recientemente hizo mineria de datos sobre las bases de finales de torre 
contra alfll. Tam bien se ha interesado en los juegos materruiticos. 
Colin Anderson McNab (1g61) 
Es un gran maestro de ajedrez y matematico escoces. Como jugador de 
a,jedrez, es el segundo gran maestro de Escocia. y ha participado en nada 
menos que 17 olimpiadas con su equipo nacional entre 198o y 2014, 
obteniendo su mejor resultado individual en 1988, pero bastante lejos de las 
medallas. Ha sido campe6n de Escocia en cuatro ocasiones: 1983, 1991, 1993 y 
1995, y posiblemente su mejor resultado individual sea el titulo de campe6n 
de Ia Commonwealth en 1992 en el torneo disputa.do en Kuala LwnpW' 
(Malasia), siendo el Unico escoces basta Ia fecha en lograr esta distinci6n. 
Tambien participa en competiciones de ajedrez por correspondencia y de 
resoluci6n de problemas artisticos de ajedrez, disciplina en Ia que logr6 
proclamarse campe6n mundial en 2007 en Ia prueba por equipos como 
componente del equipo britanico Uunto a John Nunn y Jonathan Mestel). 
En su faceta de materruitico, Colin McNab defendi6 su tesis doctoral en 
Ia Universidad de Oxford en 1987, teniendo como director a1 reconocido 
especialista en teoria de grupos, Peter Michael Neumann. Su tesis, con el 
titulo Some Problems on Permutation Groups, versa sobre algunas 
investigaciones relativas a los grupos (ftnitos) de permutaciones, que son 
subgrupos (es decir, subcof\iuntos especiales, invariantes a travCs de Ia 
operaci6n de composici6n de permutaciones) del grupo simCtrico. Es una 
rama particular en Ia teoria de los grupos ftnitos, muy de moda en los aiios 
ochenta y noventa del siglo pasado. 
Thomas Ernst (196o) 
Es un gran maestro de ajedrez sueco y un materruitico profesional en 
actividad y profesor en Ia Universidad de Upsala Como jugador activo de 
ajedrez, sus principales Cxitos se remontan a los aiios noventa del siglo 
pasado, logrando su titulo de gran maestro de ajedrez en 1990 tra.s varios 
Cxitos consecutivos, entre otros, en los tomeos en Gausdal y Londres. Pronto 
despuCs, entr6 en el top 100 mundial en ajedrez, alcanzando el puesto 78. 
Logr6 ganar una vez el campeonato de Suecia (en Lindenberg. 1993), a pesar 
de haber participado en un gran mimero de ediciones. TambiCn tom6 parte 
en las olimpiadas de ajedrez con el equipo sueco en Sal6nica 1984, Sal6nica 
1988 y Manila 1992. 
Thomas Ernst obtuvo su doctorado en Materruiticas porIa Universidad 
de Uppsala en 2002, con una tesis sobre q-arui.lisis (q viene de quantum), es 
decir, el anlilisis de detenninadas funciones especiales (llamadas q­
funciones) que tienen aplicaciones en Ia mec8.nica cwintica. la geometria no 
conmutativa.la teo ria analitica de mimeros. etc. Su principal descubrimiento 
ha sido un nuevo metodo de clilculo y de clasiftcacion de las funciones q­
especiales. que pennite recuperar de forma rruis sencilla toda Ia teoria 
desarroUada con anterioridad y lograr nuevos avances (Ernst. 2001 y 2003). 
Despues de su tesis, Thomas Ernst ha seguido �ando activamente en 
esta direccion. desarroUando su metodo de q-clilculo para �ar tambien 
con varios tipos de potinomios especiales. publicando rruis de 35 articulos de 
investigaci6n. 
Hay todavia muchos ajedrecistas destacados que han sido tambien 
matenuiticos con resultados rruis o menos importantes en el mundo de Ia 
ciencia. Por ejemplo, el gran maestro ingles Jonathan (Jon) Speelman 
(Londres. 1956), que ascendio hasta el nlimero 4 en Ia clasiftcacion mundial 
en 1g8g, ganando al mismisimo campe6n mundial Kasp<irov en un match 
rapido, y jugando una semifinal de campeonato mundial de ajedre2 (1990). 
Tambien estudio Materruiticas en el Worcester College de Ia Universidad de 
Oxford. Tambien. volviendo rruis atnis en el tiempo. al gran maestro y te6rico 
hlingaro Gedeon Barcza (1gn-1g86), cuya carrera como jugador ha sido muy 
larga (casi hasta su muerte, y consiguiendo sus primeros logros importantes 
antes de Ia Segunda Guerra Mundial) y que ha tenido tambien importantes 
contribuciones teOricas en las aperturas. Barcza tambh�n fue doctor en 
Materruiticas y, basta 1951, profesor de Matem&ticas en diversas escuelas1L 
Toda esta galeria de personalidades 1:1 algunas de sus investigaciones) 
demuestran la intima conexi6n que existe entre el ajedrez y las matem&ticas, 
tanto a nivel de los procesos cogniti.vos involucrad.os como a traves del 
razonamiento 16gico y de las formas de enfocar ambas disciplinas para 
alcanzar un nivel superior: organizaci6n del trabajo, pnictica constante y 
metOdica y pensamiento creativo. 
Consideraciones finales 
AI llegar basta aqui en Ia lectura del libro ya nos hemos dado cuenta de 
que hay muchas mas conexiones entre las matematicas y el ajedrez, y que el 
desanollo de las matenuiticas ha tenido una signiftcativa inlluencia en este 
juego, a traves de los algoribnos que fonnan Ia base de los programas de 
ajedrez y que, como hemos visto, se construyen a base de ideas matematicas. 
A pesar de Ia creencia bastante extendida de que los avances tecno16gicos 
van a acabar con el ajedrez (creencia en mi opinion completamente falsa, y 
que he intentado desmontar de fonna argumentada en este libro), el 
desanollo cientiftco y tecnol6gico ha tenido solo inlluencias positivas. 
En efecto, con Ia aparicion y despues perfeccionamiento de las nuevas 
tecnologias, Ia fue...a general de juego en ajedrez se ha incrementado 
notablemente y Ia calidad de las partidas tambien. Se puede argumentar que 
algunas de las mas antiguas tenian dosis mas alias de creatividad sobre el 
tablero (precisamente porque las posibilidades de preparacion eran mas 
reducidas), pero en los tiempos anteriores al incremento de los ordenadores 
se cometian regularmente muchos errores, los anlilisis (incluso aquellos que 
se publicaban) no eran del todo correctos y habia un nWnero bastante 
reducido de jugadores que pod ian alcanzar cierto nivel. En el presente,la 
inJiuencia de los prograrnas de ordenador (y de los materiales de 
entrenamiento fB.ciles de encontrar en Ia web) ha llevad.o a una verdadera 
explosion del ajedrez: hay muchos rruis jugadores, es mucho rruis facil 
entrenarse usando los mismos materiales y programas de ordenador que los 
gran des maestros, y Ia fuerza de juego ha incrementado en todos los niveles. 
Ya no hay diferencias abismales entre los jugadores profesionales y los 
aficionados, y muchos rruis jugadores que han querido dar el sal to (y 
trabajado con seriedad en ello) han logrado titulos intemacionales. En 
cuanto a las partidas de los jugadores top, en mi opinion estamos 
alcanzando niveles de calidad y precisiOn excepcionales, sin que por ello Ia 
creatividad se vea perjudicada. En efecto, con Ia explosiOn de los 
ordenadores,la preparaciOn de las aperturas desde casa alcanza un mayor 
peso que antaii.o, pero eso tambien supone mucho trabajo creative: ya 
sabemos que los prograrnas de ordenador no nos dan el juego perfecto, y por 
tanto tenemos que "saber conducirlos" juntando nuestras ideas basadas en 
Ia comprensiOn estrategica y dimimica con su frio anlilisis de variantes. Y 
este es un trabajo similar al de cualquier investigador en una ciencia. Por 
tanto, considero queel desarrollo de los prognunas infonruiticos de ajedrez 
ha tenido Unicamente inftuencias positivas sobre nuestro milenario juego. 
En Iugar de conclusion, espero que a! lector le haya parecido este libro 
interesante y divertido, y que tambien haya encontrado algunas respuestas 
argumentadas a sus preguntas sobre las estrechas conexiones entre el 
ajedrez, las matenuiticas y Ia ciencia de Ia computaci6n. 
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Notas 
-�· La partida se puede encontrar en 
httns:Uwww.chess.com/article/view/chess-in-M75 
2. Pam una amplia presentacion de las casiUas conjugadas y su utilidad, 
y !lUis "reglas de finales" con sustrato matematico, recomiendo 
encarecidamente at lector interesado el excelente tratado de ajedre2 
Fundamental Chess Endings, de K. Miiller y F. Iamprecht (2001). 
3· El lector interesado puede encontrarla con facilidad y buenas 
explicaciones en casteUano en el blog Ajedre2 solo finales, deljugador y 
profesor de ajedre2 madrileiio Gonzalo Tevar Sanz. 
�- Este nU!nero ha sido publicado en The Online Encyclopedia of Integer 
Sequences. secuencia Al.6sJ34. 
>- Hay muchos mas problemas matenuiticos relacionados con el tablero y 
las pie28S de ajedrez. En este libro solo hemos hablado sobre los dos 
problemas quiz8s mas famosos. pero el lector que desee conocer mas 
detaUes sobre los mismos, u otros problemas, puede consul tar el trabajo 
publicado porIa Universidad de Princeton de John J. Watkins (2004). 
Tambien es interesa.nte leer, en relaci6n con el problema del caballo, una 
presentaci6n realizada en el marco del proyecto de investigaci6n espaiiol 
Estalmat (2009). 
6. Para el lector interesado en estos desarrollos, recomiendo los libros 
Boolean Algebra and its Applications, por J. Eldon Whitesitt en Courier Dover 
Publications (1995), y desde una perspectiva mas hist6rica, From Boolean 
Logic to Switching Circuits and Automata: Towards Modem Information 
Theory, por Radomir S. Stankovic y Jaakko Astola. publicado en Springer, vol. 
335 en Ia serie Studies in Computational Intelligence (2011). 
7· Para una demostraci6n actualizada yen ingles. vease Ia pcigi.na 
web http:Umath.ucsb.eduf .. crandall/math2otb/vnrninimax.p_Qf, o el trabajo 
de Norbert Wiener, de quien nos Uegan las ideas mlis pr6ximas a Ia fonna en 
Ia que el algoritmo minimax se utiliza en el ajedre2 (Wiener, 1946) . 
. a. Para mas detalles y otras aplicaciones del algoritmo, recomiendo ai 
lector interesado el reconocido libro de texto escrito por Stuari J. Russell y 
Peter Norvig, Artificial Intelligence: a Modem Approach, Upper Saddle River, 
New Jersey, Pearson Education (2010). 
9· La tesis se puede consultar en 
Jillpjjrstaroyalsocietypublishing&rg/contenth9§b.7�::a§§L4 3!l!!!LP-df+html 
10. El lector interesado puede consultar detalles en Ia pligina de 
problemas matematicos de Manfred Borgens, en Jillp:l/homep_ag§: 
lb.thm.de/boergens/eng!W!L��sge...!)ol.htm 
l_L Bajando el nivel de competencia y resultados (es decir, sin pedir que 
sean a Ia vez grandes maestros de ajedrez y doctores en matenuiticas, lo que 
son los titulos lllliximos en las dos disciplinas) hay muchos mas llllltelruiticos 
que practican de forma constante el ajedrez y tambien muchos mas 
ajedrecistas que se han interesado de forma especial y han Uegado a un nivel 
superior en materruiticas. vease 
h..t!;g:Uwww.chessmaniac.com/mathematicians-who-plaY.-Chess/ 
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