Física 1-484-486

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Capítulo 24482
exercícios de reforço
47. (UF-BA) Considere os seguintes dados a respeito 
de três planetas do Sistema Solar:
Planeta
Raio médio da órbita 
(em milhões de km)
Massa 
(em kg)
Mercúrio 58 3,3 · 1023
Vênus 108 4,9 · 1024
Terra 150 6,0 · 1024
Considere a constante de gravitação universal 
como igual a 6,67 · 10–11 unidades do SI e ana-
lise as sentenças a seguir. Dê como resposta a 
soma dos números que antecedem as sentenças 
verdadeiras:
(01) A massa da Terra é cerca de 18 vezes maior 
que a massa de Mercúrio.
(02) O movimento dos planetas em torno do Sol 
obedece à trajetória que todos os corpos 
tendem a seguir por inércia.
(04) A constante de gravitação universal, expres-
sa em unidades do Sistema Internacional, é 
igual a 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2.
(08) O período de revolução da Terra é maior que 
o de Vênus.
(16) A aceleração da gravidade na superfície de 
Mercúrio é nula.
(32) O ponto de equilíbrio de um objeto entre a 
Terra e a Lua, sob a ação exclusiva de forças 
gravitacionais desses corpos, localiza-se 
mais próximo da Lua.
48. (UF-PR) Os astrônomos têm anunciado com fre-
quência a descoberta de novos sistemas plane-
tários. Observações preliminares em um desses 
sistemas constataram a existência de um planeta 
com massa 50 vezes maior que a massa da Terra 
e com diâmetro 5,0 vezes maior que o da Terra. 
Sabendo que o peso de uma pessoa é igual à 
força gravitacional exercida sobre ela, determine 
o valor da aceleração da gravidade a que uma 
pessoa estaria sujeita na superfície desse plane-
ta, em m/s2. (Dado: A aceleração da gravidade na 
superfície da Terra é 10 m/s2.)
49. (Vunesp-SP) Para demonstrar que a aceleração 
da gravidade na superfície de Marte é menor que 
na superfície terrestre, um jipe-robô lança um 
pequeno corpo verticalmente para cima, a partir 
do solo marciano. Em experimento idêntico na 
Terra, onde g = 10,0 m/s2, utilizando o mesmo 
corpo e a mesma velocidade de lançamento, a 
altura atingida foi 12,0 m. A aceleração da gra-
vidade na superfície de um planeta de raio R e 
massa M é dada por g = 
GM
R2
, sendo G a cons-
tante de gravitação universal. Adotando o raio de 
Marte igual à metade do raio da Terra e sua massa 
dez vezes menor que a da Terra, calcule, despre-
zando a atmosfera e a rotação dos planetas:
a) a aceleração da gravidade na superfície de 
Marte.
b) a altura máxima atingida pelo corpo no expe-
rimento em Marte.
50. (PUC-SP) O peso de um corpo:
a) medido ao longo de um meridiano e ao nível 
do mar permanece constante.
b) medido ao longo de um paralelo e ao nível do 
mar varia sensivelmente.
c) não varia com a altitude.
d) é maior no equador que nos polos.
e) varia com a latitude.
51. (UFF-RJ) Um corpo de massa m é pendurado em 
uma balança de mola, de alta precisão, de modo 
que seu peso aparente possa ser medido em duas 
posições de latitudes distintas L
1
 e L
2
, conforme 
ilustrado na figura.
Levando-se em conta os efeitos de rotação da Terra 
em torno do seu próprio eixo, o corpo terá, em 
princípio, acelerações diferentes: a
1
 em L
1
 e a
2
 em 
L
2
. Considerando que a Terra seja esférica e que P
1
 
e P
2
 sejam as duas medidas registradas, respectiva-
mente, na balança, é correto prever que:
a) P
1
 = P
2
 porque o peso aparentemente não 
depende da aceleração.
b) P
1
 > P
2
 porque a
1
 > a
2
.
c) P
1
 > P
2
 porque a
1
 < a
2
.
d) P
1
 < P
2
 porque a
1
 < a
2
.
e) P
1
 < P
2
 porque a
1
 > a
2
.
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Gravitação 483
52. (Fuvest-SP) O gráfico da figura representa a 
aceleração da gravidade g da Terra em função da 
distância d ao seu centro.
0
2
4
6
8
10
12
16
18
g (m/s2)
d (106 m)
14
2 4 6 8 101214161820
Considere uma situação hipotética em que o 
valor do raio R
T
 da Terra seja diminuído para 
R', sendo R' = 0,8R
T
, e em que seja mantida 
(uniformemente) sua massa total. Nessas condi-
ções, os valores aproximados das acelerações da 
gravidade g
1
 à distância R' e g
2
 a uma distância 
igual a R
T
 do centro da “Terra Hipotética” são, 
respectivamente:
g
1
 (m/s2) g
2
 (m/s2)
a) 10 10
b) 8 6,4
c) 6,4 4,1
d) 12,5 10
e) 15,6 10
6. energia potencial
No capítulo 19 vimos que a força peso é uma força conservativa e que, portanto, 
existe uma energia potencial correspondente a ela. Para calcular essa energia potencial, 
primeiramente escolhemos um plano de referência (fig. 27). Em seguida, a energia 
potencial de um corpo de massa m num ponto A (EPA) foi definida como o trabalho 
realizado pelo peso quando o corpo vai de A até o referencial.
A partir daí obtivemos: E
PA
 = mgh
A
. Porém, essa fórmula só é válida para uma re-
gião próxima da superfície da Terra, de modo que possamos considerar a aceleração 
da gravidade constante. Acontece que agora estamos tratando de situações nas quais 
a aceleração da gravidade não é mais constante e, assim, devemos procurar outra fór-
mula para a energia potencial.
Vamos considerar a situação em que temos um corpo S, de massa M muito grande, 
que possa ser considerado em repouso (e que seja esférico e com massa distribuída 
simetricamente). Um corpo T, de massa m muito menor que M, é colocado em uma po-
sição A, sendo d a distância entre os centros dos dois corpos (fig. 28). O corpo S exerce 
sobre o corpo T a força gravitacional F. Para obtermos a energia potencial do corpo T na 
posição A, devemos escolher um referencial e em seguida calcular o trabalho de F quan-
do o corpo T vai de A até o referencial. Porém a força F varia com a distância e, assim, 
esse cálculo tem de ser feito por meio do Cálculo Integral. Ao se fazer isso, percebe-se 
que a fórmula da energia potencial fica mais simples se escolhermos o referencial no 
infinito, isto é, no infinito a energia potencial é nula. A fórmula que se obtém é:
E
p
 = – 
GMm
d
 4
Observando a figura 28 é fácil entender por que a energia potencial é negativa: ao 
calcularmos o trabalho de F, da posição A até o infinito, o deslocamento teve sentido 
oposto ao da força.
Na figura 29 apresentamos o gráfico de E
P
 em função de d. 
Se a única força que atua no corpo T é a força gravitacional F, a energia mecânica 
(E
m
) de T é constante, isto é, a soma da energia cinética (E
C
) com a energia potencial 
(E
P
) é constante:
E
M
 = E
C
 + E
P
 = 
mv2
2
 – 
GMm
d2
 = constante 5
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
: 
C
O
N
C
EI
TO
G
r
A
f
Figura 28.
Figura 27.
Figura 29.
Capítulo 24484
∞
parábola
v
E
v
E
 = velocidade
 de escape
Velocidade de escape
Quando lançamos um corpo a partir da superfície de um planeta, com velocidade 
inicial v
0
, é possível que esse corpo não mais retorne ao planeta, desde que o valor de v
0
 
seja igual ou maior que uma velocidade v
E
, denominada velocidade de escape.
Para calcular o valor de v
E
 basta usar a conservação da energia mecânica e impor 
que a energia cinética do corpo se anule no infinito, onde também a energia potencial 
se anula. Sendo E
Ci
 e E
Pi
 as energias cinética e potencial no lançamento e E
C
∞
 e E
P
∞
 as 
energias cinética e potencial no infinito, teremos:
E
Ci
 + E
Pi
 = E
C
∞
 + E
P
∞
 ⇒ 
mv2
E
2
 – Gmm
r
 = 0 + 0 ⇒ v2
E
 = 2Gm
r
 ⇒ v
E
 = 2GM
R
 6
Vale a pena observar que o valor de v
E
 não depende da direção em que o corpo é 
lançado (figs. 30 e 31).
∞
hipérbole
v
3
v
3
 > v
E
elipse
v
1
 < v
r
v
1
R
v
r
v
r
 = 
M
GM
R
elipse
v
2
v
r
 < v
2
 < v
E
Figura 30. Figura 31.
Figura 32.
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
: 
C
O
N
C
EI
TO
G
r
A
f
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
PT
(a) (b) (c)
(d)
(e)
Observe também que, quando o corpo é lançado com a velocidade v
E
, sua energia 
mecânica E
m
 é nula:
E
m
 = E
C
 + E
P
 = 0
Suponhamos que um corpo seja lançado horizontalmente pouco acima da superfí-
cie de um planeta esférico cuja massa esteja distribuída de forma simétrica. No exercício 
32 vimos que, para voo rasante em torno do planeta (fig. 32a), a velocidadede lança-
mento é v
r
 = Gm
r
. Nas figuras de 32b a 32e mostramos as trajetórias para velocidades 
de lançamento diferentes de v
r
. É importante destacar que:
•	 nos casos a, b e c a energia mecânica é negativa (E
m
 < 0);
•	 no caso d a energia mecânica é nula (E
m
 = 0);
•	 no caso e a energia mecânica é positiva (E
m
 > 0).