Tópicos de Física 1 - Parte 2-157-159

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491TÓPICO 7 | ENERGIA MECÂNICA E SUA CONSERVAÇÃO
Velocidade de escape
Admita que uma partícula de massa m seja lançada sucessivas vezes para 
cima, a partir da superfície de um astro esférico e homogêneo, de massa M e raio 
R, isolado e estacionário no espaço. Despreze as influências atmosféricas.
Os lançamentos são verticais (radiais ao astro) e realizados com velocidades 
de intensidades crescentes. 
Inicialmente, a partícula sobe, atinge velocidade nula no ponto de altura má-
xima e volta ao solo, atraída gravitacionalmente pelo astro. Entretanto, haverá um 
lançamento em que a partícula subirá tanto que chegará ao “fim” do campo 
gravitacional (infinito). Ao chegar a esse ponto, ela apresentará velocidade nula e 
permanecerá em repouso, não mais retornando ao solo.
Diremos, então, que a partícula escapou da gravidade do astro e, nesse caso, 
chamaremos a velocidade de lançamento de velocidade de escape (v
e
).
Para calcularmos ve, consideremos os elementos da figura ao lado.
O sistema é conservativo, permitindo-nos aplicar o Princípio de Conservação 
da Energia Mecânica.
EmA 5 EmB
mv
2
G Mm
R
0e
2
2 5 ⇒ 5
v
2
G M
R
e
2
`
M
R
A m
B
v
B
 5 0
v
A
 5 v
e
v 2GM
Re
5
5v 2g Re 0
ve ≅ 11,2 ? 10
3 m/s 5 11,2 km/s
Multiplicando e dividindo a fração contida no radical acima por R, teremos:
v 2 GM
R
Re 25 (I)
Na Gravitação, vimos que a intensidade da aceleração da gravidade na super-
fície do astro (g0) pode ser expressa por:
g GM
R
0 2
5 (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos:
Se o astro for a Terra, teremos g0 ≅ 9,81 m/s
2 e R ≅ 6,38 ? 106 m. Calculemos, 
então, ve para a Terra:
ve ≅ 2 9,81 6,38 10
6
? ? ?
É claro que a partícula, se for lançada com velocidade maior que a de escape, 
chegará ao “fim” do campo gravitacional ainda em movimento e prosseguirá com 
velocidade constante, por inércia, livre da atração do astro de onde partiu, até 
entrar em zona de influência (campo gravitacional) de um outro astro.
Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno
Velocidade de 
escape (km/s)
4,3 10,4 11,2 5,0 59,5 35,5 21,3 23,5
NOTAS!
• A velocidade de escape 
de um buraco negro 
(estágio final de uma 
grande estrela que es-
gotou seu combustível 
nuclear) é maior que a 
velocidade da luz no 
vácuo (≅ 3,0 ? 105 km/s), 
o que justifica o fato de 
nem mesmo a luz con-
seguir escapar de sua 
excepcional influência 
gravitacional.
• A velocidade de escape 
da Lua é de 2,4 km/s e 
a do Sol é estimada em 
617,5 km/s.
B
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c
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m
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g
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o
ra
Fonte:<https://nssds.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet>. Acesso em: 3 ago. 2018.
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492 UNIDADE 2 | DINÂMICA
 90. Um corpo, lançado verticalmente da superfície 
da Terra (massa M e raio R), atinge uma altura 
máxima igual ao triplo do raio terrestre. Supon-
do a Terra estacionária no espaço, calcule a in-
tensidade da velocidade de lançamento do corpo. 
Considere conhecida a Constante da Gravitação 
G e admita que, durante o movimento, a única 
força que age no corpo seja a gravitacional exer-
cida pela Terra.
Exercícios
 89. Um artefato espacial sem propulsão, lançado 
verticalmente da superfície de um planeta de 
massa M e raio R, atinge uma altura máxima 
igual a R. Supondo que o planeta seja isolado, 
estacionário e sem atmosfera, calcule a in-
tensidade da velocidade de lançamento do 
artefato. Considere conhecida a Constante da 
Gravitação G.
Resolução:
Sistema conservativo:
M
R
A
d = 2R
B
v
B
 = 0
v
A
 = v
0
EmA 5 EmB
mv
2
G
Mm
R
G
Mm
2R
0
2
2 52
v
2
G
M
R
G
M
2R
0
2
5 2
Logo: v
GM
R0
5
E.R.
 91. (PUCC-SP) Calcular o módulo da velocidade que 
adquiriria um corpo se, partindo do repouso de 
um ponto B, infinitamente afastado, caísse livre-
mente na superfície da Terra, num ponto A.
Despreze todos os movimentos da Terra (raio 
igual a 6,4 ? 106 m), a influência do ar e adote a 
aceleração da gravidade na superfície do planeta 
igual a 10 m/s2.
 92. (UFG-GO) Um satélite, lançado da superfície da 
Terra, é destinado a permanecer em órbita ter-
restre a uma altura R. Supondo que a energia 
mecânica do satélite seja conservada, que R seja 
o raio da Terra e g a aceleração da gravidade em 
sua superfície, podemos afirmar que o módulo 
da velocidade de lançamento é:
a) 3
2
Rg
1
2





b) [2gR]
1
2
c) 
2
3
gR
1
2





d) [3gR]
1
2
e) 
1
2
gR
1
2





 93. Na figura, dois corpos celestes de massas iguais 
a M, com centros de massa separados por uma 
distância D, descrevem movimento circular e 
uniforme em torno do centro de massa (CM) do 
sistema. As únicas forças a serem consideradas 
são as de atração gravitacional trocadas entre 
os dois corpos.
M
D
M
CM
Sendo G a Constante da Gravitação, calcule:
a) a energia cinética de um dos corpos em relação 
ao centro de massa do sistema;
b) a energia de ligação entre os dois corpos. Con-
sidere nula a energia potencial gravitacional 
no caso de a distância entre os dois corpos ser 
infinita.
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493TÓPICO 8 | QUANTIDADE DE MOVIMENTO E SUA CONSERVAÇÃO
T î P I C O
Quantidade de movimento e 
sua conservação 8
Diariamente vivenciamos situações que envolvem a interação com outros 
corpos, desde um simples empurrão que impulsiona um objeto até colisões que 
podem representar perigo a nossa integridade física.
Neste tópico, apresentaremos os conceitos de impulso de uma força e de 
quantidade de movimento (ou momento linear). Salientamos desde já o caráter 
vetorial dessas duas grandezas. Veremos o Teorema do Impulso, que estabele‑
ce uma correlação entre impulso e variação de quantidade de movimento, e, em 
seguida, abordaremos os sistemas isolados de forças externas, em que se con‑
serva a quantidade de movimento total. Por último, trataremos, de forma espe‑
cífica, das colisões mecânicas. Encerraremos o tópico com um apêndice em que 
poderá ser estudada a noção de centro de massa, indispensável à compreensão 
da Mecânica dos corpos extensos.
 Ao empurrar a menina no balanço, a mulher exerce sobre ela uma força que, durante o 
intervalo de tempo do empurrão, produz um impulso.
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