C1 Lista Semanal 2 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
 2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 2
Questão 1. Analise a expressão
f(x) = cos(x) sec(x) + sen(2x).
a) Qual o valor que f(x) assume quando x =
π
2
?
b) Qual o período de f(x)?
c) Esboce o gráfico de desta função.
Solução:
a) Veja que
π
2
não pertence ao domínio de f (pois não pertence ao domínio da
função sec). Logo, não está definido o valor f
(
π
2
)
.
Curiosidade: Perceba que sec(x) =
1
cos(x)
. Assim
cos(x) sec(x) + sen(2x) = 1 + sen(2x).
Tomando g(x) = 1 + sen(2x), temos que g e f assumem os mesmos valores
para x de seus domínios quando x ̸= π
2
. Além disso,
g
(
π
2
)
= 1 + sen
(
2 · π
2
)
= 1.
b) Perceba que para cada valor de x escolhido temos a imagem do seu dobro para
o seno, isto é,
sen(2 · 0) = sen(0) = 0.
sen
(
2 · π
4
)
= sen
(
π
2
)
= 1.
sen
(
2 · 3π
4
)
= sen
(
3π
2
)
= −1.
sen(2 · π) = sen(π) = 0.
A partir de x = π, os valores do seno passam a se repetir. Como o parâmetro 1
que está sendo somado à função seno não altera o período, então temos que o
período de f(x) é π.
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Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 2
c) Segue o gráfico de f(x).
Figure 1: Gráfico de f(x) = cos(x) sec(x) + sen(2x).
Questão 2. Resolva a equação exponencial 3x − 2 · 3−x − 1 = 0.
Solução: Podemos fazer a substituição y = 3x, o que nos leva à equação:
y − 2
y
− 1 = 0 .
Note que y > 00 para todo x ∈ R. Multiplicando ambos os lados da equação por y,
obtemos:
y2 − 2− y = 0 .
Podemos resolver esta equação de segundo grau usando a fórmula geral:
y =
(−(−1)±
√
(−1)2 − 4 · 1 · (−2))
2 · 1
y =
1±
√
9
2
y =
1± 3
2
y ∈ {2,−1} .
Como y = 3x, a solução y = 2 corresponde a:
3x = 2 .
Tomando o logaritmo base 3 em ambos os lados, temos:
x = log3(2) .
Já a solução y = −1 da equação de grau 2 não corresponde a uma solução x da
equação original, já que não é possível elevar 3 a uma potência e obter um número
negativo.
Questão 3. Calcule o valor de seno de 150 graus.
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Cálculo I Lista de Exercícios 2
Solução: Podemos usar a fórmula do seno para encontrar o valor de sen(150◦):
sen(150◦) = sen(180◦ − 30◦)
Sabemos que sen(30◦) =
1
2
, então podemos usar a identidade trigonométrica que
diz que sen(180◦ − x) = sen(x) para obter:
sen(150◦) = sen(180◦ − 30◦) = sen(30◦) = 1
2
.
Portanto, o valor de seno de 150 graus é
1
2
.
Questão 4. Uma cidade tem sua população estimada em 100 mil habitantes. Estudos
demográficos apontaram que o crescimento populacional desta cidade deve ser de 5%
a cada semestre. Sendo assim, responda
a) Qual será o número populacional daqui a dois anos?
b) Qual função expressa esse crescimento populacional em função dos anos?
Solução:
a) Escrevendo 5% em taxa unitária temos que o crescimento populacional desta
cidade é de 0, 05 por semestre. Assim, a quantidade n de moradores dessa
cidade a cada semestre nos próximos dois anos é
n1 = 100000 + 100000 · 0, 05 = 105000.
n2 = 105000 + 105000 · 0, 05 = 110250.
n3 = 110250 + 110250 · 0, 05 ≈ 115763.
n4 ≈ 115763 + 115763 · 0, 05 ≈ 121551.
b) Veja que
n1 = 100000 · (1 + 0, .5) = 100000 · (1, 05).
n2 = 105000 · (1 + 0, 05) = 100000 · (1, 05) · (1, 05).
n3 = 110250 · (1 + 0, 05) = 100000 · (1, 05) · (1, 05) · (1, 05).
n4 ≈ 115763 · (1 + 0, 05) = 100000 · (1, 05) · (1, 05) · (1, 05) · (1, 05).
Há um padrão entre os valores e eles dependem exclusivamente do tempo. Pondo
a expressão em função do tempo temos
n(t) = 100000 · (1, 05)t
onde t representa um semestre. No entanto, a expressão precisa contar com a
medida do tempo em anos, logo, podemos substituir t por 2t que representará
um ano. Assim
n(t) = 100000 · (1, 05)2t
expressa o crescimento populacional anual desta cidade.
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Cálculo I Lista de Exercícios 2
Questão 5. Em uma cidade litorânea, a prefeitura deseja construir uma ponte que
acompanhe o movimento das marés. A variação das marés durante um dia pode ser
modelada como uma função senoidal da forma y(t) = A sen(B(t − C)) + D, onde
A,B,C,D ∈ R são parâmetros constantes a serem ajustados. Se uma maré alta ocorre
às 6:00 da manhã e uma maré baixa ocorre ao meio-dia, e a amplitude da variação do
nível da água é de 4 metros, encontre a equação que representa essa variação ao longo
do dia. Em que horário o nível da água estará a 2 metros acima da média?
Solução: A função senoidal que representa a variação das marés pode ser escrita
como:
y(t) = A · sin(B(t− C)) +D,
onde:
• y(t) é o nível da água no tempo t;
• A é a amplitude da variação do nível da água (4 metros);
• B é a frequência angular;
• C é a fase horizontal;
• D é o deslocamento vertical (nível médio da água).
Como só estamos interessador na variação do nível de água em torno do seu valor
médio, podemos tomar o nível médio como sendo D = 0.
Sabemos que a maré alta ocorre às 6:00 da manhã e a maré baixa ao meio-dia.
Assim, o período da função senoidal é 12 horas, já que leva 12 horas para a maré ir da
maré alta até a próxima maré alta.
Calculamos a frequência angular B usando a fórmula B =
2π
período
, onde o período
é 12 horas. Portanto, B =
2 · π
12
=
π
6
.
A equação que representa a variação das marés é:
y(t) = 4 · sin
((π
6
)
· (t− C)
)
.
Para encontrar o valor de C, podemos observar que, na maré baixa, a variação é
de -4 metros. Isso ocorre ao meio-dia, então:
−4 = 4 · sin
((π
6
)
· (12− C)
)
−1 = sin
(
2π −
(
Cπ
6
))
−1 = sin
(
−
(
Cπ
6
))
1 = sin
(
Cπ
6
)
π
2
=
Cπ
6
C = 3.
Então, a equação final é:
y(t) = 4 · sin
((π
6
)
· (t− 3)
)
.
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Cálculo I Lista de Exercícios 2
Para descobrir quando o nível da água estará a 2 metros acima da média, resolve-
mos:
2 = 4 · sin
((π
6
)
· (t− 3)
)
1
2
= sin
((π
6
)
· (t− 3)
)
π
6
=
(π
6
)
· (t− 3)
1 = t− 3
t = 4.
Portanto, o nível da água estará 2 metros acima da média às 4 da manhã.
Questão extra: Determine o domínio e a imagem da função
f(x) =
sen(x)
cos(x) + 1
.
Sugestão: pesquise sobre as fórmulas dos arcos duplos.
Solução:
Veja que temos uma função definida por uma fração, logo, o denominador deve
ser diferente de 0. Os valores de x onde a expressão cos(x) + 1 é igual a zero são os
elementos do seguinte conjunto
{π, 3π, 5π, 7π, ..., (2k + 1)π, ...},
onde k ∈ Z. Assim, o domínio de f é R− {(2k + 1)π|k ∈ Z}.
Para saber a imagem, note que
sen(x)
cos(x) + 1
=
sen
(
2 · x
2
)
cos
(
2 · x
2
)
+ 1
.
Assim, podemos usar as fórmulas dos arcos duplos. Logo
sen
(
2 · x
2
)
cos
(
2 · x
2
)
+ 1
=
2 · sen
(
x
2
)
· cos
(
x
2
)
2 · cos2
(
x
2
)
− 1 + 1
=
sen
(
x
2
)
cos
(
x
2
) = tan(x
2
)
.
Com isso, concluímos que a imagem de f(x) é igual a imagem de tan
(
x
2
)
, isto
é, R.
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