Método dos deslocamentos parte 4

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
3. Método dos Deslocamentos –
Parte 4
3.5 Método dos Deslocamentos com 
redução de deslocabilidades
Vantagens do Método dos Deslocamentos em relação
ao Método das Forças:
1. Só existe uma opção para a escolha do sistema
hipergeométrico;
2. Cálculo dos coeficientes de rigidez é muito mais
simples (soma direta de coeficientes de rigidez de
barras).
Esses dois fatores justificam o fato de a maioria dos
programas de computador para análise de estruturas
adotar o método dos deslocamentos em suas
implementações.
Entretanto, a aplicação desse método (na forma
apresentada até agora) para a resolução manual de
uma estrutura é muito trabalhosa. Isso se deve ao
grande número de incógnitas (deslocabilidades) que
resulta da solução, mesmo para estruturas simples, e à
complexidade na consideração de barras inclinadas.
A forma até agora apresentada para o método dos
deslocamentos é adequada para uma solução por
computador.
Para a resolução manual de estruturas, sem auxílio de
computador, utilizando o Método dos Deslocamentos
procuramos diminuir ao máximo o número de
deslocabilidades.
São introduzidas simplificações no comportamento
das barras com respeito às suas deformações, isto é,
são adotadas restrições nas deformações das barras,
como, por exemplo, a hipótese de que as barras não
se deformam axialmente. Essa hipótese também é
comumente adotada na resolução manual pelo
Método das Forças.
Além disso, utilizamos alguns macetes de cálculo,
como eliminação de trechos em balanço, que também
reduzem o número de incógnitas, sem introduzir
nenhuma simplificação quanto ao comportamento das
estruturas.
Resumindo, este tópico apresenta o Método dos
Deslocamentos com algumas simplificações que têm
os seguintes objetivos:
a) reduzir o número de deslocabilidades da
estrutura, visando principalmente uma resolução
manual;
b) caracterizar o comportamento de pórticos
(quadros) com respeito aos efeitos de
deformações axiais e de deformações por flexão
das barras.
Pode-se classificar as simplificações adotadas para
diminuir o número de deslocabilidades na solução de
uma estrutura reticulada em quatro tipos:
a) “eliminação” de trechos em balanço;
b) consideração de barras inextensíveis;
c) eliminação de deslocabilidades do tipo rotação de
nós quando todas as barras adjacentes são
articuladas no nó;
d) consideração de barras infinitamente rígidas.
a) “Eliminação” de trechos em
balanço
Trechos em balanço de pórticos podem ter seus
esforços internos determinados isostaticamente
(basta calcular os esforços a partir das extremidades
livres do balanço).
Logo, a estrutura é dividida em duas partes: o trecho
em balanço e o restante. O balanço é calculado como
uma estrutura isostática engastada no ponto de
contato com o restante do pórtico. O pórtico, sem o
balanço, é calculado para uma força e um momento
obtidos pelo transporte da força que atua no balanço
para o ponto de contato.
Exemplo: Fonte: Martha (2017)
O cálculo de deslocamentos nos pontos do balanço depende
da resposta do restante da estrutura. Entretanto, esse cálculo
pode ser feito por superposição de efeitos, somando-se aos
deslocamentos do balanço, considerado engastado, o
movimento de corpo rígido associado aos deslocamentos e à
rotação do ponto de contato do restante do pórtico com o
balanço.
21 deslocabilidades 6 deslocabilidades
b) Consideração de barras
inextensíveis
Em algumas estruturas as deformações axiais são
pequenas em relação às deformações por flexão e
podem ser desprezadas.
Nestes casos deve-se considerar que as barras são
axialmente rígidas (inextensíveis), ou seja, não sofrem
alongamentos nem encurtamentos, somente
deformações por flexão. Logo, nós que estejam
ligados por barras axialmente rígidas a nós
indeslocáveis (apoios), permanecem indeslocáveis na
direção da barra. Estas considerações fazem com que
o número de deslocabilidades no SH seja reduzido.
Pode-se resumir a consequência da combinação da
hipótese de barras inextensíveis com a hipótese de
pequenos deslocamentos da seguinte maneira: os dois
nós extremos de uma barra só podem se deslocar
relativamente na direção transversal ao eixo da barra.
Dito de outra forma, o que se considera na hipótese
de barras inextensíveis (com pequenos
deslocamentos) é que a distância, na direção do eixo
indeformado, entre os dois nós extremos de uma
barra não se altera quando esta se deforma
transversalmente por flexão.
A consideração de barras inextensíveis não afeta as
deslocabilidades do tipo rotação. Essa hipótese apenas
reduz o número de deslocabilidades do tipo
translação.
Ao determinarmos os coeficientes de rigidez de
estruturas sem deformação axial devemos considerar
apenas a influência das barras sujeitas a flexão e não
utilizaremos os deslocamentos impostos axiais das
soluções básicas nas tabelas de coeficientes de rigidez.
Exemplo:
6 deslocabilidades 3 deslocabilidades
Terminologia: 
• deslocabilidades internas: são as deslocabilidades do tipo rotação;
• deslocabilidades externas: são as deslocabilidades do tipo translação;
A maneira mais simples de se determinarem as
deslocabilidades externas de um pórtico com barras
inextensíveis é introduzindo os apoios fictícios para a
criação do SH: a cada apoio necessário para fixar uma
translação nodal é identificada uma deslocabilidade
externa.
Conceito de contraventamento: um nó que estiver
ligado a dois nós fixos à translação por duas barras
inextensíveis não alinhadas (formando um triângulo)
também fica fixo à translação.
Regras de triangulação:
1. Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à
translação por duas barras inextensíveis não
alinhadas (formando um triângulo) também fica
fixo à translação.
2. Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas
em uma triangulação se comporta como um
corpo rígido. Portanto, deve-se procurar adicionar
apoios para impedir o movimento de corpo rígido
do conjunto.
c) Simplificação para articulações 
completas
No caso de um nó completamente articulado, Martha
(2017) mostra que alterando-se a consideração da
deslocabilidade o resultado final não se altera.
Por exemplo:
Nota-se que os valores de D1 e D3 são os
mesmos obtidos nas soluções (a) e (b). Os
momentos fletores (ou qualquer outro esforço
interno ou reações de apoio) também resultam
nos mesmos valores obtidos nas outras
soluções. Também se observa que, na
solução (c), a superposição envolve apenas três
casos:M =M0 +M1 ⋅ D1 +M3 ⋅ D3.
SH
Simplificação para articulações completas:
simplesmente desconsidera-se a deslocabilidade
interna de um nó completamente articulado. A
rotação do nó fica indeterminada.
Utilizam-se as soluções básicas de barras com
articulação do formulário.
Não permite simplificação na rótula.
Outro macete de cálculo pode ser feito no caso de
um apoio simples do 2o gênero no qual converge
apenas uma barra. O “truque” consiste em interpretar
a liberação da rotação como uma articulação da
barra, considerando o apoio como um engaste. Dessa
forma, elimina-se a deslocabilidade interna do nó do
apoio.
Nesse caso, a 
deslocabilidade
interna do nó do 
apoio deve ser 
considerada.
Exemplo 4:
Utilizando o Método dos Deslocamentos determine
o diagrama de momentos fletores do pórtico
hiperestático abaixo com rigidez à flexão EI.
Considere as barras inextensíveis (axialmente
rígidas).
SH
Caso 0:
𝛽10 =
10 62
8
= 45 𝑘𝑁.m
𝛽20 = −10 𝑘𝑁
Caso 1:
𝐾11 =
4𝐸𝐼
4
+
3𝐸𝐼
6
=
3𝐸𝐼
2
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
𝐾21 =
6𝐸𝐼
42
+ 0 =
3𝐸𝐼
8
𝑘𝑁
𝑟𝑎𝑑
Caso 2:
𝐾12 =
6𝐸𝐼
42
+ 0 =
3𝐸𝐼
8
𝑘𝑁.𝑚
𝑚
= 𝐾21
𝐾22 =
12𝐸𝐼
43
+
3𝐸𝐼
43
=
15𝐸𝐼
64
𝑘𝑁
𝑚
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 = 0
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 = 0
45 +
3𝐸𝐼
2
𝐷1 +
3𝐸𝐼
8
𝐷2 = 0
−10 +
3𝐸𝐼
8
𝐷1 +
15𝐸𝐼
64
𝐷2 = 0
45
−10
+ 𝐸𝐼
3
2
3
8
3
8
15
64
𝐷1
𝐷2
=
0
0
𝑑1 = −67,7778
𝑑2 = 151,111
𝑑𝑖 = 𝐸𝐼𝐷𝑖𝐷1 = −
67,78
𝐸𝐼
rad
𝐷2 =
151,11
𝐸𝐼
𝑚
45
−10
+
3
2
3
8
3
8
15
64
𝑑1
𝑑2
=
0
0
- Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais
do método: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝐷1 +𝑀2𝐷2
𝐷1 = −67,78/𝐸𝐼
𝐷2 = 151,11/𝐸𝐼
- Diagrama de momentos fletores final: