Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas - Parte 2

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
1. Cálculo de deslocamentos em 
estruturas isostáticas – Parte 2
1.4 Princípio dos Trabalhos Virtuais
Seja uma estrutura de material elástico linear em
equilíbrio:
Conservação de energia: 𝑊 = 𝑈
Como há conservação de energia:
𝑊 + ∆𝑊 = 𝑈 + ∆𝑈
∆𝑊 = ∆𝑈
∆𝑊 =෍
𝑖
𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 +
1
2
𝑑𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖
∆𝑈 = න
𝑉
∆𝑈∗𝑑𝑉 = න
𝑉
𝜎𝑑𝜀 +
1
2
𝑑𝜎𝑑𝜀 𝑑𝑉
∆𝑊 = ∆𝑈
෍
𝑖
𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 +
1
2
𝑑𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 = න
𝑉
𝜎𝑑𝜀 +
1
2
𝑑𝜎𝑑𝜀 𝑑𝑉
Desprezando os infinitésimos de ordem superior
(teoria de 1ª ordem):
෍
𝑖
𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 = න
𝑉
𝜎𝑑𝜀𝑑𝑉
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) tem o
seguinte enunciado: O trabalho virtual das forças
externas é igual ao trabalho virtual das forças
internas (energia de deformação virtual), para
quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com
os vínculos da estrutura, ou seja:
ഥ𝑊 = ഥ𝑈
෍
𝑖
𝑃𝑖 ഥ𝛿𝑖 = න𝑁𝑑ത𝑢 + න𝑀𝑑 ҧ𝜃 + න𝑄𝑑തℎ + න𝑇𝑑 ത𝜑
෍
𝑖
𝑃𝑖 ഥ𝛿𝑖 = න
𝑉
𝜎 ҧ𝜀𝑑𝑉
1.4.1 PTV: Deslocamentos devidos a 
carregamentos externos
Seja a estrutura representada na figura abaixo, sujeita
à atuação de um carregamento externo. Pretende-se
determinar o deslocamento d no ponto m na direção
.
Estrutura 
indeformada
Estrutura 
deformada
Sistema Real
Para determinação do deslocamento utilizando o
PTV é necessário utilizar um SistemaVirtual.
SistemaVirtual:
a) Mesma geometria, propriedades dos materiais e
apoios do Sistema Real;
b) Aplica-se uma carga virtual ത𝑃 unitária no ponto
(ponto m) e na direção (direção ) do deslocamento
que se deseja calcular (Método da Força Unitária);
c) A configuração da estrutura, após a aplicação da
carga virtual, coincide com o eixo da estrutura no
Sistema Real;
d) Aplica-se a todos os pontos da estrutura
deslocamentos virtuais exatamente iguais aos
provocados pelo carregamento real (deformada do
Sistema Real).
Estrutura 
indeformada
Estrutura 
deformada
Sistema Real
Estrutura 
indeformada
Estrutura 
deformada 
igual à 
deformada do 
Sistema Real
Sistema Virtual
Sistema Real Sistema Virtual
Esforços internos: 𝑁,𝑀 𝑒 𝑄
Reações de apoio: 𝑅𝐴 𝑒 𝑅𝐵
Deslocamentos relativos: 
𝑑𝑢, 𝑑𝜃 𝑒 𝑑ℎ
Esforços internos: ഥ𝑁, ഥ𝑀 𝑒 ത𝑄
Reações de apoio: ത𝑅𝐴 𝑒 ഥ𝑅𝐵
Deslocamentos relativos: 
𝑑ത𝑢 = 𝑑𝑢, 𝑑 ҧ𝜃 = 𝑑𝜃 𝑒 𝑑തℎ = 𝑑ℎ
A A
B B
Para cálculo do deslocamento aplicamos o PTV ao
SistemaVirtual.
PTV:
Sistema Virtual
Esforços internos: ഥ𝑁, ഥ𝑀 𝑒 ത𝑄
Reações de apoio: ത𝑅𝐴 𝑒 ഥ𝑅𝐵
Deslocamentos relativos: 
𝑑ത𝑢 = 𝑑𝑢, 𝑑 ҧ𝜃 = 𝑑𝜃 𝑒 𝑑തℎ = 𝑑ℎ
ഥ𝑊 = ഥ𝑈
ത𝑃𝛿 = න ഥ𝑁𝑑ത𝑢 + න ഥ𝑀𝑑 ҧ𝜃 + න ത𝑄𝑑തℎ
1 𝛿 = න ഥ𝑁𝑑𝑢 + න ഥ𝑀𝑑𝜃 +න ത𝑄𝑑ℎ
𝛿 = න ഥ𝑁𝑑𝑢 + න ഥ𝑀𝑑𝜃 +න ത𝑄𝑑ℎ
𝛿 = න ഥ𝑁
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න ഥ𝑀
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න ത𝑄𝜒
𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄 ത𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
Sistema Real
Sistema Virtual
Expressão geral do PTV para cálculo de
deslocamentos devidos a carregamento externo:
𝛿 = න
𝑁 ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄 ത𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑇 ത𝑇
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
Esforço 
Normal
Momento 
Fletor
Esforço 
Cortante
Momento 
Torçor
Considerações importantes:
a) A parcela devida ao cisalhamento pode ser,
usualmente, desprezada em presença das demais,
com erro mínimo. Mas, no caso de vãos muito
curtos e cargas muito elevadas, sua influência
apresenta valor considerável e esta parcela não
pode ser desprezada.
b) Também com erro tolerável, podemos desprezar
a parcela devida ao esforço normal para peças de
estruturas que não trabalhem fundamentalmente
ao esforço normal.
c) O uso destas simplificações deve ser feito com
muito critério.
d) Estamos estudando estruturas com
comportamento linear, ou seja, sujeitas a
pequenos deslocamentos.
a) Escolha do SistemaVirtual:
A escolha do sistema virtual depende somente do
deslocamento que se deseja calcular.
Fonte: 
Martha, 
2001.
Fonte: 
Martha, 
2001.
Exemplo 1:
Calcular a rotação ponto B da viga que tem rigidez EI
constante. Utilizar o Princípio dos Trabalhos Virtuais
e desprezar a parcela de deslocamento devido ao
cisalhamento.
Sistema Real
Sistema Virtual
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄 ത𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑇ത𝑇
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
ഥ𝑀1 = 1
𝑀 = −𝑃𝑥
𝜃𝐵 = න
0
𝐿𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Sistema Real
Sistema Virtual
ഥ𝑀1 = 1
ഥ𝑀 = −1
𝜃𝐵 = න
0
𝐿𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝜃𝐵 = න
0
𝐿 −𝑃𝑥 −1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
𝑃
𝐸𝐼
න
0
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝜃𝐵 =
𝑃
𝐸𝐼
𝑥2
2
0
𝐿
𝜃𝐵 =
𝑃𝐿2
2𝐸𝐼
b) Uso de tabelas:
Uso de tabelas para cálculo das integrais do PTV é
muito comum e é baseada na combinação dos
diagramas de esforços internos. Tabela de
combinação de diagramas de momento fletor para
cálculo de 0׬
𝐿
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 para barras retas com inércia
constante:
Fonte: 
Martha, 
2001.
𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
න
0
𝐿
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥
Sistema Real
Sistema Virtual
Exemplo 1:
𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
1
2
−1 −𝑃𝐿 𝐿
𝜃𝐵 =
𝑃𝐿2
2𝐸𝐼
Exemplo 2:
Calcular o valor da carga P que anula o
deslocamento vertical em C da viga que tem rigidez
EI constante. Utilizar o PTV e desprezar a parcela de
deslocamento devido ao cisalhamento.
Sistema Real:
Sistema Virtual:
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄 ത𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑇ത𝑇
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
Sistema Real:
Sistema Virtual:
𝛿 = න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿𝐶 =
1
𝐸𝐼
න
1
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 +න
2
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 + න
3
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥
Trecho 1:
න
1
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 =
1
3
ഥ𝑀𝐶𝑀𝐶𝐿 =
1
3
320 + 2𝑃 2 4
න
1
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 =
8
3
320 + 2𝑃 =
2560 + 16𝑃
3
Trecho 2:
න
2
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 =
L = 4 m
1
3
320 + 2𝑃 2 4 +
1
6
320 + 2𝑃 4 4
+
1
6
320 + 4𝑃 2 4 +
1
3
320 + 4𝑃 4 4 =
11520 + 112𝑃
3
න
3
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 =
1
3
320 + 4𝑃 4 8 +
Trecho 3:
+
1
3
80 4 8 =
12800 + 128𝑃
3
𝛿𝐶 =
1
𝐸𝐼
න
1
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 +න
2
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥 + න
3
𝑀 ഥ𝑀𝑑𝑥
𝛿𝐶 =
1
𝐸𝐼
2560 + 16𝑃
3
+
11520 + 112𝑃
3
+
12800 + 128𝑃
3
𝛿𝐶 =
1
𝐸𝐼
26880 + 256𝑃
3
= 0
26880 + 256𝑃 = 0
𝑃 = −105 𝑘𝑁
𝑃 = 105 𝑘𝑁
Exemplo 3:
Calcule o deslocamento horizontal do ponto D do
pórtico abaixo cujas barras possuem rigidez à flexão
EI = 2 x 105 kN.m2 e EA = 107 kN. Utilize o PTV e
despreze a parcela de deslocamento devido ao
cisalhamento.
Sistema Real: Sistema Virtual:
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄 ത𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑇ത𝑇
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿 = න
𝐴𝐵
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝐵𝐶
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝐶𝐷
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝐴𝐵
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝐵𝐶
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝐶𝐷
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Sistema Real:
Sistema Virtual:
න
𝐴𝐵
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
150 3 3 =
450
𝐸𝐼
න
𝐵𝐶
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
2
150 3 5 =
1125
𝐸𝐼
න
𝐶𝐷
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0
න
𝐴𝐵
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 = 0
න
𝐵𝐶
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 = 0
න
𝐶𝐷
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 = 0
𝛿𝐷 = න
𝐴𝐵
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝐵𝐶
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝐶𝐷
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝐴𝐵
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝐵𝐶
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝐶𝐷
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿𝐷 = 0 +
450
𝐸𝐼
+
1125
𝐸𝐼
+ 0
𝛿𝐷 =
1575
𝐸𝐼
𝛿𝐷 =
1575
2 105
= 0,007875 𝑚
𝛿𝐷 = 7,88 10
−3 𝑚 = 7,88 𝑚𝑚
Exemplo 4:
Calcule o deslocamento vertical do nó A da treliça
abaixo que tem EA = 105 kN para todas as barras.
Utilize o PTV.
Sistema Real: Sistema Virtual:
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄 ത𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑇ത𝑇
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿 = න
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥
𝛿 = න
1
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
2
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
3
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
4
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
5
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
6
𝑁ഥ𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥
1
6
2
3
45
Sistema Real:
1
6
2
3
45
Sistema Virtual:
1
6
2
3
45
Sistema Real: Sistema Virtual:
𝛿 =෍
𝑖=1
𝑛
න
𝑖
𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖
𝐸𝐴 𝑖
𝑑𝑥
1
6
2
3
45
𝛿 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖
𝐸𝐴 𝑖
න
0
𝐿𝑖
𝑑𝑥 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖
𝐸𝐴 𝑖
𝑥 0
𝐿𝑖
𝛿 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖𝐿𝑖
𝐸𝐴 𝑖
Sistema Real: Sistema Virtual:
𝛿 =
1𝐸𝐴
෍
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖𝐿𝑖
Barra (i) Ni (kN) ഥ𝑵i (kN) Li (m) Niഥ𝑵i Li
1 60 2 3 360
2 20 1 3 60
3 -20 -1 3 60
4 20 1 3 60
5 −40 2 − 2 3 2 240 2
6 −20 2 − 2 3 2 120 2
Niഥ𝑵i Li 𝟓𝟒𝟎 + 𝟑𝟔𝟎 𝟐
1 2
3
45 6
𝛿𝐴 =
1
𝐸𝐴
෍
𝑖=1
𝑛
𝑁𝑖 ഥ𝑁𝑖𝐿𝑖
𝛿𝐴 =
1
105
540 + 360 2
𝛿𝐴 = 0,01049 𝑚 = 10,49 𝑚𝑚