Aula_10_-_Polinômios_-_VESTIBULARES_2024 (2)_enemconcursosgaucheallfree

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
AULA 10 – POLINÔMIOS 1
VESTIBULARES 
Exasiu
Prof. Marçal Ferreira 
Aula 10 – Polinômios. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
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AULA 10 – POLINÔMIOS 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. POLINÔMIOS 5 
1.1. O que é um “nômio” 5 
1.2. Monômios, binômios, trinômios e polinômios 5 
1.3. Grau de um polinômio 7 
2. EQUAÇÃO POLINOMIAL 8 
2.1. Igualdade entre polinômios 8 
2.2. Identidade entre polinômios 9 
2.3. Equações binômias 10 
2.4. Equações trinômias 12 
3. AS QUATRO OPERAÇÕES COM OS POLINÔMIOS 15 
3.1. Adição e Subtração 16 
3.2. Multiplicação 17 
3.3. Divisão 18 
3.4. Divisão numérica 18 
3.5. Divisão tradicional entre polinômios 19 
3.6. Divisão por coeficientes 24 
3.7. Divisão simplificada, sintética ou Briot Ruffini 25 
4. TEOREMAS 28 
4.1. Briot-Ruffini para cálculo de 𝒑𝒙 28 
4.2. Teorema do Fator 29 
4.3. Teorema do resto de D’Alembert 31 
CAI NA PROVA 31 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 3 
5. RAÍZES DE UM POLINÔMIO 32 
5.1. Raízes Reais de um polinômio 32 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 32 
5.2. Raízes complexas conjugadas 33 
CAI NA PROVA 34 
5.3. Teorema da decomposição de um polinômio 34 
5.4. Multiplicidade de raízes de um polinômio 36 
5.5. Relações de Girard 37 
5.6. Teorema das Raízes Racionais 39 
CAI NA PROVA 40 
5.7. Teorema do valor intermediário 42 
5.8. Teorema de Bolzano 42 
6. FUNÇÃO POLINOMIAL 43 
7. FÓRMULAS, DEMONSTRAÇÕES E COMENTÁRIOS 51 
7.1. Solução da equação 𝒙𝟒 = −𝟖 + 𝟖𝟑 ⋅ 𝒊 51 
7.2. Solução da equação 𝒙𝟒 = −𝟖 − 𝟖𝟑 ⋅ 𝒊 56 
7.3. Divisão de 10 em duas parcelas cujo produto seja 40. 62 
7.4. Fatoração de D’Alembert 65 
8. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 67 
9. GABARITO DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 75 
10. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES RESOLVIDAS E COMENTADAS 76 
11. CONSIDERAÇÕES FINAIS 112 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 4 
Introdução 
Nesta aula, estudaremos mais a fundo os polinômios. 
Digo mais a fundo porque já temos trabalhando com eles há algum tempo, mas não 
definimos suas propriedades específicas. 
Quando estudamos as funções do primeiro e do segundo graus, já estávamos 
caminhando no campo dos polinômios... 
Você verá, a partir de agora, muitos teoremas. Foque mais no entendimento do que cada 
um versa e menos em decorar o nome do teorema, ok? É extremamente improvável que uma 
banca de vestibular peça a você para relacionar o nome de um teorema ao seu teor. Caso você 
tenha facilidade com a nomenclatura, saber os nomes também não fará mal ao aprendizado... 
No mais, é uma aula extensa e cheia de detalhes, então, não se apresse e pratique 
bastante. 
Dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. 
Estamos aqui para auxiliá-lo. 
Boa aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 5 
1. Polinômios 
1.1. O que é um “nômio” 
Já tratamos desse assunto de maneira superficial ao longo do curso, agora chegou a hora 
de aprofundarmos nossos conhecimentos. 
O sufixo “nômio” vem de “nome” e o usamos quando nomeamos um valor desconhecido, 
uma variável. Usamos também a expressão termo, como sinônimo de “nômio”. 
Um “nômio”, ou termo, contém os seguintes elementos: sinal (±), coeficiente (em geral, 
um número), signo (em geral, uma letra) e potência (um número natural). 
 
Assim, são termos: 
3𝑥2; 2𝑦; −7𝑎5; 𝜋𝑏; 8; √2𝑧; log(5) 𝑥; (5 + 2𝑖)𝑥8… 
Professor, faltou a incógnita do 8. 
Pois é, faltou não. 
Podemos entender que 8 = 8 ⋅ 1 = 8 ⋅ 𝑥0. Assim, 8 pode ser considerado como um termo. 
Por outro lado, não são termos: 
7𝑥−1;
2
𝑎
;−𝑥𝑥; 3𝑥; 𝑥
1
3; √𝑧 … 
Perceba que as potências das expressões anteriores não são números naturais, portanto, 
apesar de ainda serem expressões válidas, não serão considerados “nômios”, ou termos. 
1.2. Monômios, binômios, trinômios e polinômios 
Você está lembrado que estudamos as funções nas primeiras aulas? 
Agora voltaremos a elas. 
Monômios, binômios, trinômios e polinômios são todas funções, mas não são funções 
quaisquer, são especiais, pois apresentam apenas os “nômios”, ou termos, em sua composição. 
"nômio" ou termo
sinal
coeficiente
signo
potência
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AULA 10 – POLINÔMIOS 6 
Para fins didáticos, essas funções recebem nomes diferentes conforme o número de 
termos que apresentam. 
Funções que apresentam apenas um termo são chamadas de monômios e são do tipo 
𝑓(𝑥) = ±𝑎 ⋅ 𝑥𝑛. 
São exemplos de monômios: 
𝑝(𝑥) = 3𝑥3 
𝑓(𝑥) = −𝑥8 
𝑄(𝑥) = 7 
 
Funções com dois termos são chamadas de binômios: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑝(𝑦) = 8𝑦2 − 3𝑦 
𝑄(𝑎) = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎2 
𝑅(𝑥) = 𝑥5 − 8𝑥2 
Expressões com três termos são chamadas de trinômios: 
𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑝(𝑥) = 4𝑥 − 2 
𝑆(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 + 5𝑥3 
𝑇(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 
Embora nada impeça cunharmos termos como tetranômio, pentanômio e hexanômio, 
utilizamos o termo polinômio (poly do grego = muitos) para funções com quatro ou mais termos: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥² − 5𝑥 + 6 
𝑔(𝑦) = 𝑎𝑦4 + 𝑏𝑦³ + 𝑐𝑦² − 𝑑𝑦 + 𝑖 
ℎ(𝑤) = 𝑤6 − 3𝑤5 − 𝑤2 + 𝑤 − log(3) 
𝑃(𝑥) = 𝑥7 − 8𝑥6 + 𝑥5 − 𝑥4 − (3 + 𝑖)𝑥3 − 2𝑥2 + (5 − 𝑖)𝑥 − (8 − 2𝑖) 
Nada impede de escrevermos os termos de um polinômio em qualquer ordem. No entanto, 
para maior clareza, é comum escrevermos os polinômios em ordem decrescente das potências 
da variável. 
 
Podemos ter polinômios de mais de uma variável, como 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 7 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦² 
Caso você faça um curso superior na área de exatas, usará bastante esses polinômios de 
várias variáveis, por exemplo, ao ver os Polinômios de Taylor. 
Por ora, focaremos apenas nos polinômios de uma variável, pois os de duas variáveis 
normalmente não são cobrados nos vestibulares. 
 
De forma geral, consideraremos como polinômio uma função escrita da forma 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0 
1.3. Grau de um polinômio 
 
O grau de um polinômio é a maior potência da variável de um polinômio. 
 
Polinômio Grau 
2𝑥 + 5 → 2𝑥1 + 5 
1 
3 → 3𝑥0 
0 
3𝑥3 − 2𝑥² − 5𝑥 + 6 
3 
𝑥7 − 8𝑥6 + 𝑥5 − 𝑥4 − (3 + 𝑖)𝑥3 − 2𝑥2 
7 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 
2 
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎2 
2 
𝑎𝑦4 + 𝑏𝑦³ + 𝑐𝑦² − 𝑑𝑦 + 𝑖 
4 
 
 
Você percebeu algo estranho na grafia dos polinômios da tabela anterior? 
Em nenhum deles foi explicitada a parte da função, o início, 𝑓(𝑥) = ⋯. 
A rigor, teríamos que a escrever em todos os polinômios. 
No entanto, é muito comum os livros e até as provas de vestibular suprimirem essa parte ao 
dizerem que a expressão dada se trata, na verdade, de um polinômio, de uma função. 
Assim, não fique brigando com a banca. Se ela falou que é um polinômio, é um polinômio, 
independente de ela ter escrito ou não 𝑓(𝑥) = ⋯, de acordo? 
Além disso, podemos tanto escrever 𝑓(𝑥) = ⋯ quanto 𝑓 = ⋯, exatamente como fazemos nas 
funções. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 8 
2. Equação polinomial 
Nós já estudamos os fundamentos para se resolver uma equação e todos eles continuam 
valendo. 
Vejamos, a seguir, alguns caminhos mais comuns para tratamento com polinômios. 
2.1. Igualdade entre polinômios 
Podemos escrever uma igualdade entre dois polinômios, basta que os coloquemos na 
forma de equação: um polinômio no primeiro membroe outro, no segundo. 
Tomemos o exemplo: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 
𝑄(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
A igualdade entre os polinômios 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) é dada por 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) 
𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
A partir desse ponto, podemos resolver a equação como temos feito até agora, sem 
novidades. 
Lembre-se: uma equação é uma pergunta sobre o valor da incógnita principal. Tomando 
𝑥 como a incógnita da equação anterior, um desenvolvimento possível é 
𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
𝑎𝑥2 − 3𝑥2 + 𝑏𝑥 − 3𝑥 − 5 + 5 = 0 
(𝑎 − 3)𝑥2 + (𝑏 − 3)𝑥 = 0 
Podemos, nesse ponto, utilizar Bhaskara ou fatoração. Optaremos, dessa vez, pela 
fatoração. 
(𝑎 − 3)𝑥2 + (𝑏 − 3)𝑥 = 0 
𝑥[(𝑎 − 3)𝑥 + 𝑏 − 3] = 0 
Assim, temos duas opções de resolução. 
𝒙 = 𝟎 (𝒂 − 𝟑)𝒙 + 𝒃 − 𝟑 = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 
(𝑎 − 3)𝑥 = 3 − 𝑏 
 𝒙 =
𝟑 − 𝒃
𝒂 − 𝟑
 
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2.2. Identidade entre polinômios 
O que há de novo quando falamos em equação polinomial é que, para que dois polinômios 
sejam idênticos, ou seja, para que haja identidade entre eles, precisamos que sejam de mesmo 
grau e que todos os seus coeficientes, um a um, sejam iguais. 
Vejamos como isso se dá com os mesmos polinômios do exemplo anterior. 
Dados os polinômios 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
Resolvamos a identidade polinomial 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) 
𝑎𝑥2 − 3𝑥 + 5 ≡ 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
Como vimos, para que esses polinômios sejam iguais, precisamos que tenham o mesmo 
grau (neste caso, ambos são de grau 2, então tudo bem até aqui) e que seus coeficientes sejam 
iguais. 
Assim, temos que 
𝑎𝑥2 − 4𝑥 + 5 ≡ 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 5 
O que nos leva ao seguinte sistema de equações 
{ 
𝑎 = 3
 
−4 = −𝑏
→ { 
𝑎 = 3
 
𝑏 = 4
 
Dessa forma, para que os polinômios 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) sejam idênticos, é necessário que 𝑎 =
3 e 𝑏 = 4. 
Perceba que não descobrimos o valor de 𝑥, como na igualdade. Na verdade, se 𝑃(𝑥) ≡
𝑄(𝑥), a igualdade entre eles perderia o sentido, pois teríamos algo como 
3𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 5 
3𝑥2 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑥 + 5 − 5 = 0 
 3𝑥2 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑥 + 5 − 5 = 0 
0 = 0 
e não conseguiríamos determinar para 𝑥, pois, para todo 𝑥, 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). 
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2.3. Equações binômias 
Uma equação binômia é uma equação do tipo 
𝑎. 𝑥𝑛 + 𝑏 = 0 
A técnica para resolvê-la não é diferente do que já vimos, inclusive no que tange aos 
números complexos. 
Façamos um exemplo. 
𝑥3 − 𝑖 = 0 
Somando 𝑖 a ambos os membros da equação. 
𝑥3 − 𝑖 + 𝑖 = 0 + 𝑖 
𝑥3 − 𝑖 + 𝑖 = 𝑖 
𝑥3 = 𝑖 
Extraindo a raiz cúbica dos dois membros da equação. 
√𝑥3
3
= √𝑖
3
 
𝑥 = √𝑖
3
 
Para calcular a raiz cúbica de um número, utilizaremos, sempre que estivermos no 
conjunto dos complexos, a segunda fórmula de Moivre. 
O número 𝑖 está no eixo vertical, sua distância até a origem é de 1 unidade e seu 
argumento é de 90°. 
Dados 𝑃 𝑥 e 𝑄 𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑄 𝑥
Equação
Pergunta o valor de uma 
incógnita paa que a equação 
seja verdadeira
𝑃 𝑥 ≡ 𝑄 𝑥
Identidade
Afirma que os coeficientes 
de 𝑃 𝑥 e de 𝑄 𝑥 são 
idênticos.
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Assim, vamos aplicar a fórmula de Moivre para calcularmos as raízes cúbicas de 𝑖. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
3
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2. 
Para 𝑘 = 0. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30°) + 𝑖 ⋅ sen(30°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (
√3
2
+ 𝑖 ⋅
1
2
) 
√𝑖
3
=
√3
2
+
1
2
⋅ 𝑖 
Para 𝑘 = 1. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30° + 120°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 120°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (cos(150°) + 𝑖 ⋅ sen(150°)) 
√𝑖
3
= −
√3
2
+ 𝑖 ⋅ (
1
2
) 
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√𝑖
3
= −
√3
2
+
1
2
𝑖 
Para 𝑘 = 2. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30° + 240°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 240°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (cos(270°) + 𝑖 ⋅ sen(270°)) 
√𝑖
3
= 0 + 𝑖 ⋅ (−1) 
√𝑖
3
= −𝑖 
 
Portanto, temos três raízes cúbicas para 𝑖 e, assim, os valores que satisfazem nossa 
equação, são: 
𝑥 =
√3
2
+
1
2
⋅ 𝑖 , 𝑥 = −
√3
2
+
1
2
𝑖 𝑒 𝑥 = −𝑖. 
 
2.4. Equações trinômias 
Equações trinômias são equações do tipo 
𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = 0 
Note a semelhança entre uma equação trinômia e uma equação do segundo grau. 
Podemos evidenciar essa semelhança reescrevendo a potência mais alta como 
𝑎(𝑥𝑛)2 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = 0 
Para resolvermos uma equação trinômia, usaremos a seguinte sequência. 
 
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Vejamos todas essas etapas, resolvendo a seguinte equação. 
𝑥8 + 16𝑥4 + 256 = 0 
Perceba que a potência de 𝑥8 é o dobro da potência de 𝑥4, ou seja, temos em mãos uma 
equação trinômia. 
Identificada a equação como trinômia, vamos reescrevê-la na forma de uma equação 
quadrática. 
(𝑥4)2 + 16(𝑥4) + 256 = 0 
 
Dica: nas equações trinômias, coloque o termo de grau intermediário (nem o termo de maior 
grau, nem o independente) para ser usado na mudança de variável. 
Neste caso, 𝑥4. 
 
Façamos a mudança de variável 𝑦 = 𝑥4. 
(𝑥4)2 + 16(𝑥4) + 256 = 0 
(𝑦)2 + 16(𝑦) + 256 = 0 
𝑦2 + 16𝑦 + 256 = 0 
Equação trinômia Renomeamos 𝑥𝑛 = 𝑦
Reescrevemos a 
equação com a 
mudança de variável
Resolvemos a equação 
do segundo grau 
resultante
Com os dois resultados 
da equação do 
segundo grau, 
montamos duas 
equações binômias
Resolvemos as 
equações binômias 
normalmente
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Resolvamos, então, a equação de segundo grau normalmente, usando Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 162 − 4 ∙ 1 ∙ 256 = 256 − 1024 = −768 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−16 ± √−768
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑦′ =
−16 + √768 ⋅ √−1
2
=
−16 + 16√3 ⋅ 𝑖
2
= −8 + 8√3 ⋅ 𝑖
 
𝑦′′ =
−16 − √768 ⋅ √−1
2
=
−16 − 16√3 ⋅ 𝑖
2
= −8 − 8√3 ⋅ 𝑖
 
 
 
Perceba que 𝑦′ e 𝑦′′ são números complexos conjugados. 
Voltaremos a esse assunto mais à frente na aula. 
 
Essas ainda não são nossas respostas, pois fizemos a mudança de variável 𝑦 = 𝑥4, está 
lembrado? 
Precisamos desfazer essa mudança de variável para descobrir, efetivamente, quais são 
os valores de 𝑥 que tornam verdadeira a equação trinômia original: 𝑥8 + 16𝑥4 + 112 = 0. 
Se já encontramos os valores 
𝑦′ = −8 + 8√3 ⋅ 𝑖 𝑒 𝑦′′ = −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 
Temos, então, que resolver essas duas equações, desfazendo a mudança de variável, ou 
seja, 𝑦 = 𝑥4. 
𝑥4 = −8 + 8√3 ⋅ 𝑖 𝑒 𝑥4 = −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 
E como resolvemos isso? 
Simples, segunda fórmula de Moivre. 
Para não perdermos o foco teórico, deixarei o cálculo dessas raízes na parte de Fórmulas, 
demonstrações e comentários, ok? 
Utilizando a segunda fórmula de Moivre para resolvermos a primeira equação 
𝑥4 = −8 + 8√3 ⋅ 𝑖, 
encontramos as quatro raízes: 
𝑥 = √3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 + √3𝑖 , 𝑥 = −√3 − 𝑖 𝑒 𝑥 = 1 − √3𝑖 
Repetindo o processo para a equação 
𝑥4 = −8 − 8√3 ⋅ 𝑖, 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 15 
encontramos as outras quatro raízes: 
Portanto, temos quatro raízes quartas para −8 − 8√3 ⋅ 𝑖: 
𝑥 = 1 + √3 ⋅ 𝑖 , 𝑥 = −√3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 − √3𝑖 𝑒 𝑥 = √3 − 𝑖 
 
Resolvemos, então, a equação 
𝑥8 + 16𝑥4 + 256 = 0 
Cujasoito raízes são: 
𝑥 = √3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 + √3𝑖 , 𝑥 = −√3 − 𝑖 𝑒 𝑥 = 1 − √3𝑖 
𝑥 = 1 + √3 ⋅ 𝑖 , 𝑥 = −√3 + 𝑖 , 𝑥 = −1 − √3𝑖 𝑒 𝑥 = √3 − 𝑖 
 
 
Perceba que as raízes complexas da equação 
𝑥8 + 16𝑥4 + 256 = 0 
apresentam-se aos pares conjugados: 
√3 + 𝑖
↓
√3 − 𝑖
 
−1 + √3𝑖
↓
−1 − √3𝑖
 
−√3 − 𝑖
↓
−√3 + 𝑖
 
1 − √3𝑖
↓
1 + √3 ⋅ 𝑖
 
3. As quatro operações com os polinômios 
Já passamos por esse momento algumas vezes durante o curso: ao sermos apresentados 
a um conjunto novo, precisamos entender como efetuar as operações básicas com seus 
elementos. 
Aqui não será diferente. 
Já entendemos o que é um polinômio (uma função formada por monômios). Precisamos, 
agora, entender com se dão as quatro operações com esses polinômios. 
Daremos ênfase à parte algébrica. O estudo aprofundado da parte gráfica fica mesmo a 
cargo do ensino superior. 
Vamos começar. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 16 
3.1. Adição e Subtração 
Podemos somar e subtrair polinômios simplesmente relacionando seus termos de mesma 
ordem (potência). 
Vejamos um exemplo. Dados os polinômios: 
𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥² − 5𝑥 + 6 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Façamos a adição: 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) + (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
Como os parênteses não guardam função alguma na equação acima, podemos eliminá-
los. 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Precisamos, então, relacionar os termos de mesma potência. 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Perceba que há apenas um termo de grau 3, portanto, ele será conservado, uma vez que 
ele não tem com quem se relacionar. Todos os outros termos têm, assim, temos. 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) =
{
 
 
 
 
3𝑥3
 
−2𝑥2 + 𝑥2
 
−5𝑥 − 3𝑥
 
+6 + 5
→
{
 
 
 
 
3𝑥3
 
−𝑥2
 
−8𝑥
 
+11
 
 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 11 
 
Com os mesmos polinômios, façamos, agora, a subtração: 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) − (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
Aqui para eliminar nossos parênteses, precisamos distribuir o sinal de negativo na 
segunda parcela. 
 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) − (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥2 + 3𝑥 − 5 
E, então, procedemos como no caso da soma, agrupando os termos de mesmo grau. 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥2 + 3𝑥 − 5 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 17 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) =
{
 
 
 
 
3𝑥3
 
−2𝑥2 − 𝑥2
 
−5𝑥 + 3𝑥
 
+6 − 5
→
{
 
 
 
 
3𝑥3
 
−3𝑥2
 
−2𝑥
 
+1
 
 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 
3.2. Multiplicação 
Para multiplicarmos dois polinômios, utilizamos a propriedade distributiva, que já tivemos 
contato anteriormente. 
Com os mesmos polinômios 
𝑅(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥³ + 6 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Calculemos o produto: 
𝑅(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = (2𝑥4 − 5𝑥³ + 6) ⋅ (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
 
Aplicando a distributiva, temos. 
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = (2𝑥4 − 5𝑥³ + 6) ⋅ (𝑥2 − 3𝑥 + 5) 
 
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) =
{
 
 
 
 
2𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 2𝑥4 ⋅ (−3𝑥) + 2𝑥4 ⋅ 5
 
−5𝑥³ ⋅ 𝑥2 − 5𝑥³ ⋅ (−3𝑥) − 5𝑥³ ⋅ 5
 
+6 ⋅ 𝑥2 + 6 ⋅ (−3𝑥) + 6 ⋅ 5
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) =
{
 
 
 
 
2𝑥6 − 6𝑥5 + 10𝑥4
 
−5𝑥5 + 15𝑥4 − 25𝑥³
 
+6𝑥2 + 18𝑥 + 30
 
Nesse ponto, fazemos como na soma ou na subtração, agrupamos os termos de mesma 
ordem. 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = 2𝑥6 − 6𝑥5 + 10𝑥4 − 5𝑥5 + 15𝑥4 − 25𝑥³ + 6𝑥2 + 18𝑥 + 30 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = 2𝑥6 − 6𝑥5 + 10𝑥4 − 5𝑥5 + 15𝑥4 − 25𝑥³ + 6𝑥2 + 18𝑥 + 30 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 18 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) = 2𝑥6 − 11𝑥5 + 25𝑥4 − 25𝑥³ + 6𝑥2 + 18𝑥 + 30 
E temos aqui, nossa resposta. 
Já estávamos acostumados a esse processo desde o início do curso, então, até agora, 
nada de novo. 
3.3. Divisão 
Embora já tenhamos pensado na divisão entre dois polinômios em outros momentos (por 
exemplo, quando estudamos os produtos notáveis), a divisão entre dois polinômios aparece, 
agora, explicitamente. 
Estudaremos dois tipos de algoritmo para a divisão entre polinômios: a divisão tradicional 
e a divisão sintética. 
A divisão tradicional é um pouco mais trabalhosa, mas tem a vantagem de maior poder de 
fogo, resolve problemas de maior complexidade e serve para polinômios de qualquer grau. 
A divisão sintética é mais prática, mas tem a desvantagem da limitação de graus, pois, 
nela, o divisor deve ser de primeiro grau. 
Vejamos como operar por ambos os algoritmos. 
3.4. Divisão numérica 
Antes de trabalharmos com a divisão entre polinômios, vamos relembrar o algoritmo da 
divisão numérica. 
Dividamos, por exemplo, 16 por 3. 
Primeiro, montamos nosso algoritmo. 
16 3 
No lugar do quociente, colocamos o menor inteiro possível que, ao multiplicado por 3, não 
supere 16. Nesse caso, 5. 
16 3 
 
5 
Multiplicamos o quociente (5) pelo divisor (3) e colocamos o resultado (15) logo abaixo 
do dividendo (16). 
16 3 
15 5 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 19 
Como temos que subtrair (15) do dividendo (16), vamos simbolizar essa operação 
alternando o sinal do (15) para (−15). 
16 3 
−15 5 
E, agora, fazemos a subtração. 
16 3 
−15 5 
1 
 
Assim, dizemos que 16 dividido por 3 dá 5 com resto 1. 
Alternativamente, podemos escrever a igualdade: 
16 = 5 ⋅ 3 + 1 
3.5. Divisão tradicional entre polinômios 
Para fazermos a divisão tradicional entre polinômios, vamos utilizar exatamente a ordem 
utilizada na divisão numérica. 
Acompanhe um exemplo prático. 
Dados os polinômios 
𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥³ + 6 
𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Façamos a divisão 
𝑃(𝑥)
𝐷(𝑥)
. 
De modo análogo ao que fazemos com os números, montemos nosso algoritmo. 
𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) 
Que é o mesmo que 
2𝑥4 −5𝑥3 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
O próximo passo não é obrigatório, mas é muito útil para não cometermos erros por 
desatenção. Em polinômios com algum termo faltando, completamos com o coeficiente zero. 
Isso reduz muito o índice de erro, portanto, aconselho veementemente que você execute esse 
passo por segurança. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 20 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
Tudo preparado. 
Agora, dividimos o primeiro termo do dividendo (2𝑥4) pelo primeiro termo do divisor (𝑥2). 
 
 
Para não errar, toda vez que for multiplicar ou dividir termos de um polinômio, faça em três 
partes: 
 
 
Dessa forma, vamos dividir 2𝑥4 por 𝑥2: 
2𝑥4 ÷ 𝑥2 →
{
 
 
 
 
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙: + ÷ += +
 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎: 2 ÷ 1 = 2
 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝑥4 ÷ 𝑥2 = 𝑥2 }
 
 
 
 
→ +2𝑥² 
 
 
Monômios
sinal com sinal
parte numérica
com
parte numérica
parte literal
com
parte literal
multiplicação
ou
divisão
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AULA 10 – POLINÔMIOS 21 
Colocamos, então, esse resultado no lugar do quociente na divisão. 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
 
2𝑥² 
Multiplicamos o quociente (2𝑥²) por todo o divisor (𝑥2 − 3𝑥 + 5) e colocamos o resultado 
(2𝑥4 − 6𝑥³ + 10𝑥2) logo abaixo do dividendo (2𝑥4 − 5𝑥³ + 6). 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
2𝑥4 −6𝑥3 +10𝑥2 
2𝑥² 
 
 
Nesse passo, é extremamente importante colocarmos as colunas sempre com a mesma 
ordem, para não corrermos o risco de agruparmos termos de ordens diferentes. 
 
Como fizemos com a parte numérica, precisamos fazer a subtração dessa linha recém 
escrita. Para simbolizar essa subtração, vamos mudar o sinal de todos seus termos. 
2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥² 
E, finalmente, somamosessas duas linhas. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥² 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
Nesse momento, é como se tivéssemos um novo dividendo (𝑥3 − 10𝑥2 + 0𝑥 + 6). 
Continuaremos esse processo até que o novo dividendo tenha grau menor que o grau do 
divisor. 
Como o grau do nosso novo dividendo é 3 e nosso divisor tem grau 2, continuamos no 
processo de divisão. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 22 
Dividimos o termo de maior grau do novo dividendo pelo termo de maior grau do divisor e 
escrevemos no quociente. 
Lembre-se: sinal com sinal, parte numérica com parte numérica e parte literal com parte 
literal. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
Multiplicamos o resultado (+𝑥) por todo o divisor (𝑥2 − 3𝑥 + 5) e anotamos o resultado 
dessa multiplicação logo abaixo do novo quociente. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 𝑥3 −3𝑥2 +5𝑥 
 
Para simbolizar a subtração, mudamos o sinal de toda a linha recém escrita. 
 
E somamos as duas linhas. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 
Perceba que nosso novo dividendo ainda não tem grau menor que o grau do divisor, 
portanto, continuamos com nosso algoritmo. Dividindo o termo de maior grau do novo dividendo 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 23 
(−7𝑥2) pelo termo de maior grau do divisor (𝑥2) e colocando o resultado no quociente. Não me 
cansarei de dizer: sinal com sinal, número com número, letra com letra, ok? 
 
 
 
 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 
Multiplicamos (−7) pelo divisor (𝑥2 − 3𝑥 + 5) e escrevemos o resultado logo abaixo do 
novo dividendo (−7𝑥2 − 5𝑥 + 6). 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 
 −7𝑥2 +21𝑥 −35 
 
Mudamos o sinal de toda a última linha. 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 
 +7𝑥2 −21𝑥 +35 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 24 
E somamos as duas últimas linhas. 
 
 2𝑥4 −5𝑥3 +0𝑥2 +0𝑥 +6 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
−2𝑥4 +6𝑥3 −10𝑥2 
2𝑥2 + 𝑥 − 7 
 𝑥3 −10𝑥2 +0𝑥 +6 
 
 −𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 
 
 −7𝑥2 −5𝑥 +6 
 
 +7𝑥2 −21𝑥 +35 
 
 −26𝑥 +41 
 
Agora sim, nosso novo dividendo tem grau menor que grau do divisor, então, esse 
dividendo restante passa a ser considerado como o resto da divisão. 
Assim, podemos dizer que a divisão de 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥³ + 6 por 𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 tem 
quociente 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 7 e resto 𝑅(𝑥) = −26𝑥 + 41. 
Podemos, alternativamente, dizer que: 
2𝑥4 − 5𝑥3 + 6 = (2𝑥2 + 𝑥 − 7) ⋅ (𝑥2 − 3𝑥 + 5) + (−26𝑥 + 41) 
Ou seja, 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥). 
3.6. Divisão por coeficientes 
Se você estiver já bem confiante no algoritmo da divisão tradicional, pode trabalhar apenas 
com os coeficientes do polinômio. 
O processo é o mesmo, mas um pouco mais prático por não precisarmos ficar dividindo a 
parte literal. 
No entanto, tome muito cuidado, não podemos esquecer aqui de completar os termos 
faltantes com coeficiente zero. Se esse passo era facultativo na divisão tradicional, aqui é 
obrigatório. 
Veja como fica a mesma divisão que fizemos anteriormente, mas escrevendo somente os 
coeficientes. 
 2 −5 +0 +0 +6 1 −3 +5 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 25 
−2 +6 −10 2 +1 −7
 
 1 −10 +0𝑥 +6 
 
 −1 +3 −5 
 
 −7 −5 +6 
 
 +7 −21 +35 
 
 −26 +41 
 
Após fazermos a divisão pelos coeficientes, é só reescrevermos os polinômios resultantes, 
lembrando que o termo da direita é sempre o termo independente e, a cada termo para a 
esquerda, aumentamos um grau na variável. 
Assim, temos: 
2 +1 −7 → 2𝑥2 + 𝑥 − 7 
−26 +41 → −26𝑥 + 41 
3.7. Divisão simplificada, sintética ou Briot Ruffini 
É muito comum, durante os exercícios, precisarmos dividir um polinômio por um binômio 
do primeiro grau. 
Especificamente para essa condição, temos um algoritmo muito prático: a divisão 
simplificada. 
 
A divisão simplificada só pode ser feita se o divisor for do tipo 
𝑥 ± 𝑏 
Note que o coeficiente de 𝑥 é 1 e essa é uma condição de uso do dispositivo. 
 
Vejamos em um exemplo prático como aplicar o dispositivo da divisão simplificada, 
também chamada de divisão sintética, ou ainda, de dispositivo prático de Briot Ruffini. 
Dados os polinômios 
𝑆(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 + 15 
𝑇(𝑥) = 𝑥 − 3 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 26 
x 
Efetuemos a divisão 
𝑆(𝑥)
𝑇(𝑥)
. 
Já que 𝑇(𝑥) satisfaz a condição para usarmos a divisão simplificada (𝑥 ± 𝑏) , vamos, 
então, dividir 𝑆(𝑥) por 𝑇(𝑥) por esse método. 
Primeiro, o dispositivo em si, onde efetuaremos todo o processo. 
 
 
 
 
No dispositivo, escrevemos o oposto do termo independente do divisor 𝑇(𝑥) = 𝑥 − 3. 
Como o termo independente é −3, escrevemos o oposto, ou seja, 3. 
3 
 
 
 
 
Em seguida, os coeficientes do dividendo 𝑆(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 + 15. 
3 
 1 −5 7 −8 15 
 
 
E copiamos o primeiro coeficiente de 𝑆(𝑥) para a última linha. 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 
 1 
Agora, estamos prontos para iniciar nossa divisão pelo dispositivo prático. 
 
Processo para a divisão simplificada 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 
 1 
 
 
3 1 −5 7 −8 15 
multiplicar o 
último 
coeficiente da 
terceira linha 
pela raiz
escrever o 
resultado na 
primeira vaga 
da segunda 
linha
Somar os 
elementos da 
coluna
escrever o 
resultado na 
terceira linha
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AULA 10 – POLINÔMIOS 27 
↓ 3 
 1 −2 
 
Repetimos o processo até que não tenhamos mais colunas disponíveis. 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 
 1 −2 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 
 1 −2 1 
 
Como ainda temos colunas disponíveis, repetimos o processo. 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 
 1 −2 1 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 
 1 −2 1 −5 
 
Ainda temos uma coluna livre à direita, então, vamos repetir o processo mais uma vez, 
mas, agora, com uma diferença: vamos deixar esse último resultado separado dos demais. 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 −15 
 1 −2 1 −5 
 
 
3 
 1 −5 7 −8 15 
↓ 3 −6 3 −15 
 1 −2 1 −5 0 
 
Esse último resultado, separado, é oresto da divisão. Um resto zero, como no caso, indica 
que nossa divisão é exata. 
 
x 
+ 
x 
+ 
+ 
x 
+ 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 28 
Cada elemento da última linha representa um termo do quociente da divisão de 𝑃(𝑥) por 
(𝑥 − 1). Como nosso 𝑃(𝑥) tem grau 3, nosso quociente começa com um grau a menos, ou seja, 
grau 2. 
O último elemento da terceira linha representa o resto da divisão. Como já sabíamos que 
1 é 
raiz de 𝑃(𝑥), era de se esperar resto 0 na divisão, ou seja, uma divisão exata. 
 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 5 
 1 −2 5 0 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 1 ⋅ 𝑥² −2 ⋅ 𝑥1 5 ⋅ 𝑥0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 
 
 
Adição e multiplicação de polinômios são operações comutativas, ou seja: 
 
𝑃(𝑥) + 𝐷(𝑥) = 𝐷(𝑥) + 𝑃(𝑥) 
 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) = 𝐷(𝑥) ⋅ 𝑃(𝑥) 
 
Subtração e divisão, não são comutativas. 
 
𝑃(𝑥) − 𝐷(𝑥) ≠ 𝐷(𝑥) − 𝑃(𝑥) 
 
𝑃(𝑥)
𝐷(𝑥)
 ≠ 
𝐷(𝑥)
𝑃(𝑥)
 
4. Teoremas 
4.1. Briot-Ruffini para cálculo de 𝒑(𝒙) 
Vejamos o que acontece quando tentamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para um 
valor 𝑥 genérico. 
Como exercício, tomemos o polinômio 𝑝(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 5 como base. 
𝑥 
−3 −2 5 
↓ −3𝑥 𝑥(−2 − 3𝑥) 
 −3 −2 − 3𝑥 5 + 𝑥(−2 − 3𝑥) 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 29 
Ao aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini para fazer a divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥, chegamos à 
expressão 5 + 𝑥(−2 − 3𝑥). 
Vamos simplificar a expressão e reescrevê-la em ordem decrescente das potências de 𝑥.- 
5 + 𝑥(−2 − 3𝑥) 
5 − 2𝑥 − 3𝑥² 
−3𝑥2 − 2𝑥 + 5 
Percebeu que nosso resultado é, exatamente, nosso 𝑝(𝑥) inicial? 
Isso indica que podemos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini também para calcularmos o 
valor do polinômio em um 𝑥 qualquer. 
Vamos fazer um teste. 
Para o mesmo polinômio 𝑝(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 5, calculemos o valor de 𝑝(8) por ambos os 
métodos. 
Por substituição: 
𝑝(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 5 
𝑝(8) = −3 ⋅ 82 − 2 ⋅ 8 + 5 
𝑝(8) = −3 ⋅ 64 − 16 + 5 
𝑝(8) = −192 − 16 + 5 
𝑝(8) = −203 
Por Briot-Ruffini 
 
8 
−3 −2 5 
↓ −24 −208 
 −3 −26 −203 
 
Dessa forma, você tem uma ferramenta a mais para calcular 𝑝(𝑥) para um valor de 𝑥 
qualquer. 
4.2. Teorema do Fator 
Se fatorarmos o polinômio 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 12, encontraremos (𝑥 − 3) como um 
de seus fatores? 
Uma saída seria, obviamente, fatorar o polinômio e verificar diretamente. 
Outra saída, muito interessante por sinal, vem do que chamamos de Teorema do Resto, 
acompanhe. 
Já vimos nesta aula que podemos escrever um polinômio 𝑝(𝑥) como 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 30 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
Se considerarmos que 𝐷(𝑥) = (𝑥 − 3) como um fator de 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 −
12, seria o mesmo que escrever 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ (𝑥 − 3) + 0 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ (𝑥 − 3) 
Ou seja, para que (𝑥 − 3) seja um fator de 𝑃(𝑥), o resto precisa ser zero. 
Para saber o resto da divisão, podemos voltar ao dispositivo prático de Briot-Ruffini, veja. 
3 
2 −11 15 4 −12 
↓ 6 −15 0 12 
 2 −5 0 4 0 
Perceba que, ao fazer a divisão, conseguimos resto zero, ou seja, 𝑅(𝑥) = 0, indicando 
que (𝑥 − 3) é realmente um fator de 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 12. 
Você pode estar se perguntando sobre o quociente da divisão, 𝑄(𝑥). Pois bem, o 
dispositivo nos forneceu os coeficientes 2,−5, 0, 4, que são, justamente, os coeficientes de 𝑄(𝑥). 
 
 
Lembre-se: no dispositivo de Briot-Ruffini, 
o polinômio 𝑄(𝑥) tem sempre um grau a menos que 𝑃(𝑥). 
𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 11𝑥3 + 15𝑥2 + 4𝑥 − 12 
𝑄(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 0𝑥 + 4. 
 
Assim, voltamos à pergunta inicial: 𝑄(𝑥) é um fator de 𝑃(𝑥)? 
Sim, pois, ao dividirmos 𝑃(𝑥) por 𝑄(𝑥), obtivemos 𝑅(𝑥) = 0. 
𝑄(𝒙) é fator de 𝑷(𝒙)? 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 31 
 
 
4.3. Teorema do resto de D’Alembert 
O teorema do resto de D’Alembert é uma consequência da divisão que acabamos de ver. 
Voltemos à equação polinomial da divisão. 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
O Teorema do resto de D’Alembert trata da situação em que 𝑘 é raiz de 𝐷(𝑥), ou seja, 
quando 𝐷(𝑘) = 0. 
Desse modo, temos 
𝑃(𝑘) = 𝑄(𝑘) ⋅ 𝐷(𝑘) + 𝑅(𝑘). 
Como 𝐷(𝑘) = 0, 
𝑃(𝑘) = 𝑄(𝑘) ⋅ 0 + 𝑅(𝑘) 
𝑃(𝑘) = 0 + 𝑅(𝑘) 
𝑃(𝑘) = 𝑅(𝑘). 
Caso tenhamos o caso de 𝐷(𝑥) ser um polinômio do primeiro grau, temos que o resto 
sempre será um grau menor que 𝐷(𝑥), ou seja, 𝑅(𝑘) será um número real. 
Vejamos uma aplicação direta desse teorema em uma situação de prova. 
 
 CAI NA PROVA 
1. (UPF/2019) O resto da divisão do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒙 + 𝟐 pelo polinômio 
𝒒(𝒙) = 𝒙 − 𝟏 é 
a) 𝟐 
b) 𝟎 
c) 𝟒 
d) −𝟏 
Dividir
𝑃 𝑥 por 𝑄 𝑥
𝑅 𝑥 = 0 𝑄 𝑥 é fator de 𝑃 𝑥
𝑅 𝑥 ≠ 0 𝑄 𝑥 não é fator de 𝑃 𝑥
Divisão tradicional 
ou Briot-Ruffini
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AULA 10 – POLINÔMIOS 32 
e) −𝟐 
Comentários 
Se queremos o resto da divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), podemos utilizar o Teorema do Resto de 
D’Alembert. 
Para isso, calculemos, primeiro, a raiz de 𝑞(𝑥). 
𝑞(𝑥) = 0 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
Agora, para calcular o resto de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥), sem efetuar a divisão propriamente dita, 
calculemos 𝑝(1). 
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥 + 2 
𝑝(1) = 1𝑛 + 1 + 2 
𝑝(1) = 1 + 1 + 2 
𝑝(1) = 4 
Gabarito: c) 
 
5. Raízes de um polinômio 
5.1. Raízes Reais de um polinômio 
Nós já passamos pelo conceito de raízes quando estudamos as funções. Como um 
polinômio é um tipo especial de função (formado pela soma de “nômios”), a aplicação não é 
diferente. 
Recapitulando: consideramos um valor de 𝑥 como raiz de uma função 𝑓(𝑥), ou um de um 
polinômio 𝑓(𝑥), quando o valor de 𝑥 é tal que 𝑓(𝑥) = 0. 
Para calcular a raiz de um polinômio, podemos utilizar todas as ferramentas que 
construímos até aqui: somas, subtrações, radiciação, exponenciação, logaritmos, Bhaskara, 
fatoração, para citar somente algumas... 
Acompanhe o exemplo. 
 Exercício de fixação 
2. (Inédita) O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 tem 
a) apenas uma raiz real 
b) duas raízes reais e iguais 
c) duas raízes reais, positivas e distintas 
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d) duas raízes reais, negativas e distintas 
e) duas raízes reais e de sinais opostos 
Comentários 
Calcular as raízes de 𝑝(𝑥) é o mesmo que resolver a equação 
𝑝(𝑥) = 0 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
Equação do segundo grau: Bhaskara. Você pode, alternativamente, utilizar fatoração, o 
método de completar quadrados, soma e produto, entre outros. No entanto, a ferramenta de 
Bhaskara é muito útil e razoavelmente prática. Assim, mesmo que você tenha preferência por 
outros métodos, saiba como aplicar esse método de maneira eficiente, ok? 
Continuando... 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 = 25 − 24 = 1 
Nesse ponto, já sabemos que a equação tem duas raízes distintas, mas ainda não sabemos 
seus sinais. Vamos seguir na resolução para encontrar mais esse dado. 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−5) ± √1
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
5 + 1
2
=
6
2
= 3
 
𝑥′′ =
5 − 1
2
=
4
2
= 2
 
Dessa forma, podemos dizer que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 tem duas raízes reais, 
positivas e distintas. 
Gabarito: c) 
 
Note que, nesse exercício, encontramos duas raízes reais para o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
ao aplicar Bhaskara à equação 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0. 
5.2. Raízes complexas conjugadas 
Note que, na seção anterior, encontramos duas raízes reais para o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
ao aplicar Bhaskara à equação 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0. 
No entanto, nada obriga que, ao resolvermos equações polinomiais, encontremos,sempre, raízes reais. Acompanhe o exemplo a seguir. 
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3. (Eear/2019) A parte real das raízes complexas da equação 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎 é igual 
a 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟒 
Comentários 
Como no caso anterior, vamos resolver a equação. 
𝑥2 − 4𝑥 + 13 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 13 = 16 − 52 = −36 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−4) ± √−36
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
4 + 6𝑖
2
= 2 + 3𝑖
 
𝑥′′ =
4 − 6𝑖
2
= 2 − 3𝑖
 
Assim, a parte real de ambas as raízes (2 + 3𝑖 ; 2 − 3𝑖 ) é igual a 2. 
Gabarito: b) 
 
Você percebeu que as raízes que encontramos são dois números complexos conjugados? 
E o mais interessante: isso acontece sempre! 
Se um polinômio tem uma raiz complexa 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, é certo que o conjugado de 𝑧, 
simbolizado por 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, também é raiz do polinômio. 
Exatamente por isso, o exercício anterior pediu “A parte real das raízes complexas...”, ou 
seja, uma parte real coincidente para ambas as raízes complexas. 
O fato de as raízes complexas sempre estarem presentes aos pares recebe o nome de 
Teorema da Raiz Complexa Conjugada. 
Assim, se 𝑧 é raiz de um polinômio 𝑝(𝑥), 𝑧̅ também é. 
... número de raízes complexas, grau ímpar tem uma raiz real... 
5.3. Teorema da decomposição de um polinômio 
Vimos em tópicos anteriores que um polinômio é uma função expressa da forma 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0. 
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 Pelo teorema do resto, se 𝑥1 é uma raiz de 𝑃(𝑥), 𝑃(𝑥1) = 0. Além disso, a divisão de 𝑃(𝑥) 
por (𝑥 − 𝑥1) não deixa resto, ou seja, 𝑅(𝑥) = 0. 
Vamos escrever essas informações na forma de equação. 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ 𝐷1(𝑥) + 0 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ 𝐷1(𝑥) 
Dessa forma, 𝑃(𝑥) foi decomposto em dois fatores: (𝑥 − 𝑥1) e 𝐷1(𝑥). 
 Perceba que podemos fazer exatamente o mesmo raciocínio com o polinômio 
𝐷1(𝑥), utilizando 𝑥2 como raiz, gerando mais um fator, veja. 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ 𝐷1(𝑥) 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ (𝑥 − 𝑥2) ⋅ 𝐷2(𝑥) 
 Podemos fazer isso novamente? 
 Pois bem, depende. Se o grau de 𝐷2(𝑥) não for zero, podemos sim, o que geraria 
mais um fator com a raiz. 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ 𝐷(𝑥) 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ (𝑥 − 𝑥2) ⋅ 𝐷2(𝑥) 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ⋅ (𝑥 − 𝑥2) ⋅ (𝑥 − 𝑥3) ⋅ 𝐷3(𝑥) 
E isso se daria indefinidamente? 
 Negativo. Só podemos fazer isso enquanto o grau do polinômio 𝐷𝑛(𝑥), que sobra 
após o processo, for maior ou igual a 1. Ao final, o último 𝐷𝑛(𝑥) será uma constante e não poderá 
ser mais dividido por um polinômio do primeiro grau do tipo (𝑥 − 𝑥𝑛). 
Assim, um polinômio de grau 𝑛 pode gerar 𝑛 fatores de primeiro grau, além de um fator 
constante igual a 𝐷𝑛. 
Mas e quanto valeria essa constante? 
Essa é fácil. 
Lembra o método de divisão simplificada de Briot-Ruffini? 
Pois bem, nele, ao fazer a divisão de 𝑃(𝑥) por um binômio do tipo (𝑥 − 𝑥𝑛), o primeiro 
coeficiente é sempre repetido na linha de baixo. 
Se fizermos sucessivas divisões, o primeiro coeficiente será repetido até que seja o último 
número restante e a divisão não possa ser mais executada. 
Podemos concluir, então, que nossa constante final, após fatorar 𝑛 vezes o polinômio 
𝑃(𝑥), é exatamente nosso coeficiente do maior grau do polinômio original. 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0 
𝐷𝑛 = 𝑎𝑛 
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Terminemos, então, nossa fatoração: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ (𝑥 − 𝑥1) ⋅ (𝑥 − 𝑥2) ⋅ (𝑥 − 𝑥3)… 
 
Podemos fatorar um polinômio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 em exatamente 𝑛 fatores binomiais e um fator 
constante e igual a 𝑎𝑛. As raízes de cada fator resultante são as mesmas raízes de 𝑃(𝑥). 
5.4. Multiplicidade de raízes de um polinômio 
Ao fatorarmos um polinômio em monômios, é possível que dois ou mais binômios 
apresentem uma mesma raiz. 
Quando isso acontece, dizemos que a raiz repetida apresenta multiplicidade igual ao 
número de polinômios que a apresentam. 
Vejamos um exemplo prático. 
Tomemos o polinômio 
𝑃(𝑥) = 𝑥6 − 4𝑥5 − 2𝑥4 + 16𝑥3 + 5𝑥2 − 20𝑥 − 12 
que, escrito da forma fatorada, fica 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)2 ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 1)3. 
A rigor, temos seis binômios na fatoração, mas escrevemos apenas três, indicando suas 
repetições por meio da potenciação. Sem esse recurso teríamos 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 1) 
Note que o polinômio (𝑥 − 2) aparece duas vezes na fatoração; e (𝑥 + 1), três. 
Assim as raízes desses polinômios, 𝑥 = 2 e 𝑥 = −1, apresentam multiplicidades dois e 
três, respectivamente. 
Fator Raiz Multiplicidade 
(𝑥 + 1)3 
−1 3 
(𝑥 − 2)2 
2 2 
(𝑥 − 3) 3 1 
Perceba que toda raiz tem sua multiplicidade. Quando a raiz aparece uma vez só, a 
multiplicidade é considerada 1. 
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No gráfico, quando uma raiz tem multiplicidade ímpar, o valor do polinômio troca de sinal 
ao passar por ela. Se a multiplicidade da raiz for par, a linha do gráfico apenas “toca” o eixo e 
retorna sem ter seu sinal invertido. 
Veja no gráfico de 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)2 ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 1)3 como isso acontece. 
 
 
Fator Raiz Multiplicidade Cruza o eixo x na 
raiz? 
(𝑥 + 1)3 −1 3 Sim 
(𝑥 − 2)2 2 2 Não 
(𝑥 − 3) 3 1 Sim 
5.5. Relações de Girard 
Para estudar as Relações de Girard, partiremos de um caso específico para chegar ao 
caso geral. 
Tomemos, como ponto de partida, o polinômio do segundo grau, de raízes 𝑘1 e 𝑘2, na sua 
forma fatorada 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑘1)(𝑥 − 𝑘2). 
Como exercício, vamos partir da forma fatorada para a forma expandida e verificar o que 
acontece com as raízes 𝑘1 e 𝑘2 nesse processo. 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑘1)(𝑥 − 𝑘2) 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 𝑘2 ⋅ 𝑥 − 𝑘1 ⋅ 𝑥 + 𝑘1 ⋅ 𝑘2) 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥2 − 𝑥 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) + 𝑘1 ⋅ 𝑘2) 
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𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑘1 ⋅ 𝑘2 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑘1 ⋅ 𝑘2 
Reescrevendo o polinômio na forma 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐, 
temos 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑃(𝑥) 
𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑘1 ⋅ 𝑘2 ≡ 𝑎 ⋅ 𝑥
2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐. 
Assim, temos uma identidade nas mãos, o que nos permite montar o seguinte sistema: 
{
 
 
 
 
𝑎 = 𝑎
 
−𝑎 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) = 𝑏
 
𝑎 ⋅ 𝑘1 ⋅ 𝑘2 = 𝑐
→
{
 
 
 
 
1 = 1
 
𝑘1 + 𝑘2 =
𝑏
−𝑎
 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 =
𝑐
𝑎
→
{
 
 𝑘1 + 𝑘2 = −
𝑏
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 =
𝑐
𝑎
 
Que traz, exatamente, as Relações de Girard para um polinômio de segundo grau 
{
 
 𝑘1 + 𝑘2 = −
𝑏
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 =
𝑐
𝑎
 
 
Se nomearmos a soma 𝑆 das raízes como 𝑆 = 𝑘1 + 𝑘2 e o produto 𝑃 como 𝑃 = 𝑘1 ⋅ 𝑘2 e 
reescrevermos o polinômio 𝑃(𝑥), em sua forma estendida, com essa nomenclatura, teremos 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ (𝑘1 + 𝑘2) ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑘1 ⋅ 𝑘2 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥2 − 𝑎 ⋅ 𝑆 ⋅ 𝑥 + 𝑎 ⋅ 𝑃 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ (𝑥2 − 𝑆 ⋅ 𝑥 + 𝑃), 
que é a forma conhecida como Soma e Produto de um polinômio do segundo grau. 
 
Podemos fazer o mesmo processo para um polinômio do terceiro grau, chegando às 
Relações de Girard próprias ao caso: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑘1)(𝑥 − 𝑘2)(𝑥 − 𝑘3) 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥3 + 𝑏 ⋅ 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
↓ 
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{
 
 
 
 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = −
𝑏
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 + 𝑘1 ⋅ 𝑘3 + 𝑘2 ⋅ 𝑘3 =
𝑐
𝑎 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 ⋅ 𝑘3 = −
𝑑
𝑎
 
A rigor, podemos fazer isso com qualquer polinômio e o grau 𝑛 do polinômiogerará 
exatamente 𝑛 equações no sistema. 
Assim, um polinômio do segundo grau tem duas equações no sistema; um polinômio do 
terceiro grau, três equações no sistema e assim por diante. 
5.6. Teorema das Raízes Racionais 
Foquemos, agora, nossa atenção à relação de Girard que traz o produto das raízes de um 
polinômio: 
𝑘1 ⋅ 𝑘2 ⋅ 𝑘3 = −
𝑑
𝑎
. 
Já vimos que um polinômio pode apresentar raízes complexas, o que inclui os números 
Reais, Racionais, Irracionais, Inteiros e assim por diante. 
Não é obrigatório que um polinômio apresente raízes deste ou daquele conjunto em 
específico. No entanto, quando essas raízes pertencerem ao conjunto dos Números Racionais, 
teremos o seguinte desdobramento. 
Como o produto das raízes é igual à fração 
±
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎
, 
algumas das raízes terão, obrigatoriamente, os fatores do termo independente e os fatores 
do coeficiente 𝑎 em suas fatorações. 
Na prática, isso significa que, caso haja raízes racionais em um polinômio, elas serão do 
tipo: 
𝑘 = ±
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 40 
O Teorema das Raízes Racionais, que vimos até agora, não garante que o polinômio tenha 
raízes racionais. Todavia, se houver alguma raiz racional, ela terá a característica citada, ok? 
Vamos fazer um exercício para aplicar isso? 
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4. (Inédita) Encontre todas as raízes racionais do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 +
𝟔. 
Comentários 
Para encontrar as raízes racionais, vamos aplicar o Teorema das Raízes Racionais que 
acabamos de ver. Nele, as raízes 𝑘 devem ser do tipo 
𝑘 = ±
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
. 
Do polinômio 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 6 
podemos tirar que 
os divisores do termo independente são 𝐷(6) = {1; 2; 3; 6} 
os divisores do coeficiente 𝑎 são 𝐷(2) = {1; 2} 
Assim, as raízes racionais de 𝑝(𝑥), caso existam, estarão entre as opções: 
𝑘 = ±
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
= ±
𝐷(6)
𝐷(2)
= ±
{1; 2; 3; 6}
{1; 2}
 
Mas, professor, como eu vou descobrir quais frações são realmente raízes do polinômio? 
Simples, testando todas elas. 
Eu sei, eu sei, parece muito trabalho. No entanto, por esse método, temos finitas opções 
para testar. De outro modo, sem diretriz alguma, teríamos infinitas opções e, por teste, seria 
impraticável testarmos até encontrar uma solução. 
Vamos, então, testar essas possibilidades? 
Temos quatro opções no numerador, duas no denominador e duas de sinal, totalizando 16 
opções. Para ficar mais prático, vamos organizá-las em uma tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fração a ser testada 
(𝒌) 
𝒑(𝒌) = 𝟐𝒌𝟑 − 𝟔𝒌𝟐 − 𝟐𝒌 + 𝟔 𝒌 é raiz de 𝒑(𝒙)? 
𝑘 =
1
1
= 1 
2(1)3 − 6(1)2 − 2(1) + 6 = 0 Sim 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 41 
𝑘 = −
1
1
= −1 
2(−1)3 − 6(−1)2 − 2(−1) + 6 = 0 Sim 
𝑘 =
1
2
 2 (
1
2
)
3
− 6(
1
2
)
2
− 2(
1
2
) + 6 =
15
4
 
Não 
𝑘 = −
1
2
 2 (−
1
2
)
3
− 6(−
1
2
)
2
− 2 (−
1
2
) + 6 =
21
4
 
Não 
𝑘 =
2
1
= 2 
2(2)3 − 6(2)2 − 2(2) + 6 = −6 Não 
𝑘 = −
2
1
= −2 
2(−2)3 − 6(−2)2 − 2(−2) + 6 = −30 Não 
𝑘 =
2
2
= 1 
Já calculada Não 
𝑘 = −
2
2
= −1 
Já calculada Não 
𝑘 =
3
1
= 3 
2(3)3 − 6(3)2 − 2(3) + 6 = 0 Sim 
𝑘 = −
3
1
= −3 
2(−3)3 − 6(−3)2 − 2(−3) + 6 = −96 Não 
𝑘 =
3
2
 2 (
3
2
)
3
− 6(
3
2
)
2
− 2(
3
2
) + 6 = −
15
4
 
Não 
𝑘 = −
3
2
 2 (−
3
2
)
3
− 6(−
3
2
)
2
− 2(−
3
2
) + 6 = −
45
4
 
Não 
𝑘 =
6
1
= 6 
2(6)3 − 6(6)2 − 2(6) + 6 = 210 Não 
𝑘 = −
6
1
= −6 
2(−6)3 − 6(−6)2 − 2(−6) + 6 = −630 Não 
𝑘 =
6
2
= 3 
Já calculada Não 
𝑘 = −
6
2
= −3 
Já calculada Não 
Dessa forma, conseguimos descobrir todas as três raízes de 𝒑(𝒙): {−𝟏; 𝟏; 𝟑}. 
 
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5.7. Teorema do valor intermediário 
Tomemos uma função 𝑓(𝑥) qualquer definida em um intervalo fechado [𝑎; 𝑏] de tal forma 
que, 𝑎 ≤ 𝑥0 ≤ 𝑏, 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑏), ou ainda o contrário, 𝑓(𝑏) ≤ 𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑎). 
Para maior clareza, vamos simbolizar a situação graficamente. 
 
Trocando em miúdos: se 𝑓(𝑥0) estiver entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), 𝑏, então existirá pelo menos um 
𝑥0 estará entre 𝑎 e 𝑏. Simples assim. 
5.8. Teorema de Bolzano 
Peguemos, agora, o mesmo caso utilizado no teorema do valor intermediário, porém, com 
a diferença de termos 𝑓(𝑥0) = 0. 
Veja o que acontece graficamente: 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 43 
 
 Perceba que, nesses termos, 𝑥0 é uma das raízes de 𝑓(𝑥). 
A consequência disso tudo é o próprio Teorema de Bolzano: se temos dois pontos no eixo 
das abcissas (representados aqui por 𝑎 e 𝑏) cujas imagens (representadas aqui por 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏)) 
são de sinais opostos (uma acima do eixo 𝑥 e outra, abaixo), podemos dizer, com certeza, que 
𝑓(𝑥) apresenta pelo menos uma raiz real no intervalo [𝑎, 𝑏] (representada por 𝑥0). 
6. Função polinomial 
Vimos que polinômios, na verdade, são funções. 
Inclusive, já vimos os gráficos de algumas dessas funções, como: 
Gráfico de uma função constante: 
𝑓(𝑥) = 1 = 1 ⋅ 𝑥0 
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Gráfico de uma função de primeiro grau: 
𝑓(𝑥) = 𝑥1 = 𝑥 
 
 
Gráfico de uma função de segundo grau: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 45 
 
 
Gráfico de uma função de terceiro grau: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 46 
 
Todas elas são, também, funções polinomiais. 
Podemos, ainda, ter funções polinomiais de graus maiores, quarto, quinto, sexto... 
Já vimos isso também, está lembrado? 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 47 
𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥𝑛; 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥𝑛; 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 48 
 
 
O que precisamos guardar, aqui, é que, quando nossa função polinomial tem grau par, 
suas duas “pernas”, estarão para um lado só. Podem ser ambas para cima ou ambas para baixo. 
Isso acontece porque, com potências pares, valores de módulo muito grande, sejam 
positivos ou negativos, resultam em positivo. 
Já as funções polinomiais de grau ímpar, acontece justamente o contrário: as duas 
“pernas” da função são opostas, uma para cima e a outra para baixo. 
O motivo é o mesmo, a potência ímpar conserva o sinal dos valores de 𝑥. 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 49 
Exercício de fixação 
No plano cartesiano a seguir, temos o esboço das quatro funções: 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2 − 2 𝑔(𝑥) = −
1
5
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 4) 
ℎ(𝑥) =
1
10
(𝑥2 − 4𝑥 + 4)(𝑥2 + 4𝑥 + 4) 𝑝(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 + 1 
 
Relacione cada curva ao seu respectivo polinômio. 
Comentários 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2 − 2 
Uma parábola com concavidade positiva (boca para cima). A única curva que poderia 
representar 𝑓(𝑥) é a que está representada em verde. 
𝑔(𝑥) = −
1
5
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 4) 
Como temos um produto de um fator do primeirograu (𝑥 + 2) por um do segundo (𝑥2 − 4), 
nosso polinômio 𝑔(𝑥) é do terceiro grau. O sinal de negativo antes da fração indica inversão com 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 50 
relação ao eixo 𝑥 e a fração indica uma aproximação com relação ao mesmo eixo horizontal. A 
única curva com essas características é que está representada em vermelho. 
ℎ(𝑥) =
1
10
(𝑥2 − 4𝑥 + 4)(𝑥2 + 4𝑥 + 4) 
Aqui temos um produto de dois trinômios do segundo grau, o que resulta em um polinômio 
do quarto grau. Não há inversão de sinais e há uma aproximação com relação ao eixo horizontal 
por causa da fração. A única curva que pode representar um polinômio do quarto grau, dentre 
as apresentadas, é a que está em azul. 
𝑝(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 + 1 
Um polinômio do primeiro grau (portanto, um binômio) elevado ao quadrado, resultando 
em um polinômio do segundo grau, ou seja, outra parábola. O sinal de negativo indica inversão 
com relação ao eixo horizontal e a soma a 1, uma translação vertical para cima. Dentre as opções 
disponíveis, a curva que melhor se encaixa é a que está em laranja. 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 51 
7. Fórmulas, demonstrações e comentários 
7.1. Solução da equação 𝒙𝟒 = −𝟖 + 𝟖√𝟑 ⋅ 𝒊 
𝑥4 = −8 + 8√3 ⋅ 𝑖 
Extraindo a raiz quarta de ambos os membros da equação. 
 
√𝑥4
4
= √−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
 
 
𝑥 = √−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
 
 
 
Como estamos no conjunto dos números complexos e vamos aplicar a segunda fórmula de 
Moivre, não colocamos o módulo de 𝑥 ao elevarmos a uma potência par e extrairmos sua raiz, 
conforme discutimos na aula sobre números complexos. 
 
Precisamos, então, calcular a raiz quarta de um número complexo e a ferramenta 
adequada para isso é a segunda fórmula de Moivre. 
Para aplicar a segunda fórmula de Moivre 
 
√𝑧
𝑛
= √|𝑧|
𝑛
⋅ (𝑐𝑜𝑠 (
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1 
 
precisamos escrever −8 + 8√3 ⋅ 𝑖 na forma trigonométrica. 
Para isso, vamos colocar esse número no plano complexo, anotar seu afixo e determinar 
seu módulo e seu argumento. (Afixos, módulos e argumentos são conceitos que já devem estar 
claros aqui. Se não estão, é hora da revisão.) 
Como nota, temos que 
−8 + 4√3 ⋅ 𝑖 → { 
𝑎 = −8
 
𝑏 = 8√3
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 52 
Calculemos o módulo do nosso número complexo. 
|−8 + 8√3 ⋅ 𝑖| = √(−8)2 + (8√3)² 
|−8 + 8√3 ⋅ 𝑖| = √64 + 64 ⋅ 3 
|−8 + 8√3 ⋅ 𝑖| = √64 + 192 
|−8 + 8√3 ⋅ 𝑖| = √256 
|−8 + 8√3 ⋅ 𝑖| = 16 
Expressando essas informações no plano complexo, temos. 
 
Além disso, precisamos tanto do cosseno quanto do seno do argumento 𝜃 de −8 + 4√3 ⋅
𝑖. 
Assim, para o cosseno, temos. 
cos(𝜃) =
𝑎
|𝑧|
 
 
cos(𝜃) =
−8
16
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 53 
cos(𝜃) = −
1
2
 
E para o seno, temos. 
sen(𝜃) =
𝑏
|𝑧|
 
 
sen(𝜃) =
8√3
16
 
 
sen(𝜃) =
 8 √3
 16 
2 
 
sen(𝜃) =
√3
2
 
Aqui, precisamos usar uma associação de conhecimentos entre a tabela ade senos e 
cossenos e a redução ao primeiro quadrante. 
Vamos resgatar isso. 
Arco em 
radianos 
0 𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 
𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 0 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
1 0 -1 0 
cosseno 1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
0 -1 0 1 
Podemos perceber que o ângulo 𝜃, reduzido ao primeiro quadrante, guarda alguma 
relação com o ângulo de 60°. 
Vamos fazer uma visita ao ciclo trigonométrico para entender essa relação. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 54 
 
Vimos, então, que para ter o seno positivo, cosseno negativo e relação com 60°, nosso 𝜃 
só pode ser 𝜃 = 120°. 
Agora, conseguimos escrever nosso número complexo −8 + 8√3 ⋅ 𝑖 na forma 
trigonométrica. 
−8 + 8√3 ⋅ 𝑖 = |−8 + 8√3 ⋅ 𝑖| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 
−8 + 8√3 ⋅ 𝑖 = 16 ⋅ (cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°)) 
Assim, estamos prontos para aplicar a segunda fórmula de Moivre para calcular a raiz 
quarta de −8 + 8√3 ⋅ 𝑖. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
4
)) 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 55 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3. 
Para 𝑘 = 0. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 0) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 0)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(30°) + 𝑖 ⋅ sen(30°)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (
√3
2
+ 𝑖 ⋅
1
2
) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅
√3
 2 
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
1
 2 
 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √3 + 𝑖 ⋅ 1 
Para 𝑘 = 1. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 90°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 90°)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (− cos(60°) + 𝑖 ⋅ sen(60°)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (−
1
2
+ 𝑖 ⋅
√3
2
) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= − 2 ⋅
1
 2 
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
 2 
 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= −1 + √3𝑖 
Para 𝑘 = 2. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 180°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 180°)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(210°) + 𝑖 ⋅ sen(210°)) 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 56 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (− cos(30°) + 𝑖 ⋅ (−sen(30°))) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (−
√3
2
+ 𝑖 ⋅ (−
1
2
)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= − 2 ⋅
√3
 2 
− 2 ⋅ 𝑖 ⋅
1
 2 
 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= −√3 − 𝑖 
Para 𝑘 = 3. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 3 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 3 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 270°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 270°)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(300°) + 𝑖 ⋅ sen(300°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(60°) + 𝑖 ⋅ (−sen(60°))) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (
1
2
+ 𝑖 ⋅ (−
√3
2
)) 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅
1
 2 
− 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
 2 
 
√−8 + 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 1 − √3𝑖 
 
Portanto, temos quatro raízes quartas para −8 + 8√3 ⋅ 𝑖: 
√3 + 𝑖 , − 1 + √3𝑖 , − √3 − 𝑖 𝑒 1 − √3𝑖 
 
7.2. Solução da equação 𝒙𝟒 = −𝟖 − 𝟖√𝟑 ⋅ 𝒊 
Com o mesmo processo que utilizamos no item anterior, temos a equação. 
𝑥4 = −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 
Extraindo a raiz quarta de ambos os membros da equação. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 57 
 
√𝑥4
4
= √−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
 
 
𝑥 = √−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
 
 
Aplicando a segunda fórmula de Moivre 
 
√𝑧
𝑛
= √|𝑧|
𝑛
⋅ (𝑐𝑜𝑠 (
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1 
 
precisamos escrever −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 na forma trigonométrica. 
Colocando −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 no plano complexo, anotando seu afixo e determinando seu 
módulo e seu argumento. 
Como nota, temos que 
−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 → { 
𝑎 = −8
 
𝑏 = −8√3
 
Calculemos o módulo do nosso número complexo. 
|−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 | = √(−8)2 + (8√3)² 
|−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 | = √64 + 64 ⋅ 3 
|−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 | = √64 + 192 
|−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 | = √256 
|−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 | = 16 
Expressando essas informações no plano complexo, temos. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 58 
 
Além disso, precisamos tanto do cosseno quanto do seno do argumento 𝜃 de −8 − 8√3 ⋅
𝑖. 
Assim,para o cosseno, temos. 
cos(𝜃) =
𝑎
|𝑧|
 
 
cos(𝜃) =
−8
16
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 59 
cos(𝜃) = −
1
2
 
E para o seno, temos. 
sen(𝜃) =
𝑏
|𝑧|
 
 
sen(𝜃) =
−8√3
16
 
 
sen(𝜃) = −
 8 √3
 16 
2 
 
sen(𝜃) = −
√3
2
 
Aqui, precisamos usar uma associação de conhecimentos entre a tabela ade senos e 
cossenos e a redução ao primeiro quadrante. 
Vamos resgatar isso. 
Arco em 
radianos 
0 𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 
𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 
0 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
1 0 -
1 
0 
cosseno 
1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
0 -
1 
0 1 
Podemos perceber que o ângulo 𝜃, reduzido ao primeiro quadrante, também guarda 
alguma relação com o ângulo de 60°. 
Novamente, visitemos o ciclo trigonométrico para entender essa relação. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 60 
 
Vimos, então, que, para ter o seno e cosseno negativos e relação com 60°, nosso 𝜃 só 
pode ser 𝜃 = 240°. 
Agora, conseguimos escrever nosso número complexo −8 − 8√3 ⋅ 𝑖 na forma 
trigonométrica. 
−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 = |−8 − 8√3 ⋅ 𝑖| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)) 
−8 − 8√3 ⋅ 𝑖 = 16 ⋅ (cos(240°) + 𝑖 ⋅ sen(240°)) 
Assim, estamos prontos para aplicar a segunda fórmula de Moivre para calcular a raiz 
quarta de −8 − 8√3 ⋅ 𝑖. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
240°
4
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
240°
4
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
4
)) 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 61 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3. 
Para 𝑘 = 0. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
240°
4
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
240°
4
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(60° + 0) + 𝑖 ⋅ sen(60° + 0)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(60°) + 𝑖 ⋅ sen(60°)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (
1
2
+ 𝑖 ⋅
√3
2
) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅
1
 2 
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
 2 
 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 1 + 𝑖 ⋅ √3 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 1 + √3 ⋅ 𝑖 
Para 𝑘 = 1. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
240°
4
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
240°
4
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(60° + 90°) + 𝑖 ⋅ sen(60° + 90°)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(150°) + 𝑖 ⋅ sen(150°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (− cos(30°) + 𝑖 ⋅ sen(30°)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (−
√3
2
+ 𝑖 ⋅
1
2
) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= − 2 ⋅
√3
 2 
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
1
 2 
 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= −√3 + 𝑖 
Para 𝑘 = 2. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
240°
4
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
240°
4
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(60° + 180°) + 𝑖 ⋅ sen(60° + 180°)) 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 62 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(240°) + 𝑖 ⋅ sen(240°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (− cos(60°) + 𝑖 ⋅ (−sen(60°))) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (−
1
2
− 𝑖 ⋅
√3
2
) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= − 2 ⋅
1
 2 
− 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
 2 
 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= −1 − √3𝑖 
Para 𝑘 = 3. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √16
4
⋅ (cos (
240°
4
+
2 ⋅ 3 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
240°
4
+
2 ⋅ 3 ⋅ 180°
4
)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(60° + 270°) + 𝑖 ⋅ sen(60° + 270°)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(330°) + 𝑖 ⋅ sen(330°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (cos(30°) + 𝑖 ⋅ (−sen(30°))) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅ (
√3
2
+ 𝑖 ⋅ (−
1
2
)) 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= 2 ⋅
√3
 2 
− 2 ⋅ 𝑖 ⋅
1
 2 
 
√−8 − 8√3 ⋅ 𝑖
4
= √3 − 𝑖 
Portanto, temos quatro raízes quartas para −8 − 8√3 ⋅ 𝑖: 
1 + √3 ⋅ 𝑖 , − √3 + 𝑖 , − 1 − √3𝑖 𝑒 √3 − 𝑖 
 
7.3. Divisão de 10 em duas parcelas cujo produto seja 40. 
Gerônimo Cardano (1501 − 1576) foi médico na cidade de Milão e tinha como hobbie a 
matemática. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 63 
Cardano também publicou um livro específico sobre as regras da Álgebra, o Ars Magna 
(A grande arte). 
Nesse livro, um problema de enunciado simples trouxe à tona uma discussão que ajudou 
a desenvolver o conjunto dos números complexos que estudamos. 
O problema era: dividir 10 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 40. 
Vamos resolver esse problema. 
Chamemos essas duas parcelas, sem criatividade alguma, de 𝑥 e 𝑦. 
Como a soma dessas parcelas deve ser 10, temos nossa primeira equação: 
𝑥 + 𝑦 = 10. 
Além disso, o produto deve ser igual a 40, então: 
𝑥 ⋅ 𝑦 = 40. 
Assim, conseguimos montar o seguinte sistema de equações. 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
 
𝑥 ⋅ 𝑦 = 40 
 
Isolando 𝑥 na primeira equação. 
{
𝑥 = 10 − 𝑦
 
𝑥 ⋅ 𝑦 = 40 
 
Substituindo 𝑥 = 10 − 𝑦 na segunda equação. 
{
𝑥 = 10 − 𝑦
 
𝑥 ⋅ 𝑦 = 40 
→ {
𝑥 = 10 − 𝑦
 
(10 − 𝑦) ⋅ 𝑦 = 40 
→ {
𝑥 = 10 − 𝑦
 
10𝑦 − 𝑦² = 40 
→ {
𝑥 = 10 − 𝑦
 
𝑦2 − 10𝑦 + 40 = 0 
 
Resolvendo a equação quadrática, com Bhaskara. 
 
𝑦2 − 10𝑦 + 40 = 0 
 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−10)2 − 4 ∙ 1 ∙ 40 = 100 − 160 = −60 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−10) ± √−60
2 ⋅ 1
⇒
{
 
 
 
 𝑦′ =
10 + 2√−15
2
= 5 + √−15
 
𝑦′′ =
10 − 2√−15
2
= 5 − √−15
 
 
Como temos duas possibilidades para 𝑦, vamos substituir ambas no lugar de 𝑥 e obter, 
também, duas possibilidades para 𝑥. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 64 
 
Primeira substituição: 𝑦′ = 5 + √−15 
 
{
𝑥′ = 10 − 𝑦′
 
𝑦′ = 5 + √−15 
→ {
𝑥′ = 10 − (5 + √−15)
 
𝑦′ = 5 + √−15 
→ {
𝑥′ = 10 − 5 − √−15
 
𝑦′ = 5 + √−15 
→ {
𝑥′ = 5 − √−15
 
𝑦′ = 5 + √−15 
 
 
Segunda substituição: 𝑦′′ = 5 − √−15 
 
{
𝑥′′ = 10 − 𝑦′′
 
𝑦′′ = 5 − √−15 
→ {
𝑥′′ = 10 − (5 − √−15)
 
𝑦′′ = 5 − √−15 
→ {
𝑥′′ = 10 − 5 + √−15
 
𝑦′′ = 5 − √−15 
→ {
𝑥′′ = 5 + √−15
 
𝑦′′ = 5 − √−15 
 
 
Assim, podemos perceber que, independente da substituição que fizermos, as duas 
parcelas que dividem 10 e apresentam produto 40 são 5 + √−15 e 5 − √−15. 
Note que não utilizamos aqui o símbolo 𝑖, pois essa notação ainda não estava presente à 
época. 
A notação 𝑖 só foi apresentada formalmente para representar os “números imaginários” 
em 1777, pelo matemático suíço Leonhard Euler e a representação gráfica só apareceu alguns 
anos depois, apresentada por Caspar Wessel. 
Muito bem. Nós encontramos as duas parcelas solicitadas, mas elas realmente 
apresentam soma 10 e produto 40? 
Vamos testar. 
Vejamos se as duas parcelas apresentam mesmo soma 10. 
5 + √−15 + 5 − √−15 
5 + √−15 + 5 − √−15 
5 + 5 
10 
Ok, teste realizado com sucesso. Vejamos, então, sobre o produto ser 40. 
(5 + √−15) ⋅ (5 − √−15) 
Muito bem, temos aqui um produto notável: produto da soma pela diferença. 
5² − (√−15)² 
Como estamos em fase de verificação, vamos utilizar um pouco mais de rigor e utilizar a 
notação 𝑖, mesmo que não fosse vigente à época, ok? 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 65 
5² − (√15 ⋅ √−1)² 
52 − (√15)² ⋅ (√−1)² 
52 − |15| ⋅ 𝑖² 
Lembremos que 𝑖2 = −1. 
52 − 15 ⋅ (−1) 
25 + 15 
40 
 Ou seja, Cardano realmente estava certo e as parcelas 5 + √−15 e 5 − √−15, apesar da 
estranheza dos matemáticos da época, realmente apresentam soma 10 e produto 40. 
7.4. Fatoração de D’Alembert 
Consideremos, agora, um polinômio genérico, de grau 𝑛 e de coeficientes 
𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, … , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0. 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0 
Se tomarmos 𝑘 como uma raiz de 𝑃(𝑥), podemos dizer que 
𝑃(𝑘) = 0 
𝑎𝑛 ⋅ 𝑘
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑘
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑘
𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 ⋅ 𝑘
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑘
1 + 𝑎0 = 0. 
Como 𝑃(𝑘) = 0, também podemos dizer que 
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑥) − 0 
𝑃(𝑥)= 𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑘) 
Vamos esquematizar a subtração do segundo membro de nossa equação. 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑥
𝑛−2 + … + 𝑎2 ⋅ 𝑥
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥
1 + 𝑎0 
𝑃(𝑘) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑘
𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑘
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 ⋅ 𝑘
𝑛−2 + … + 𝑎2 ⋅ 𝑘
2 + 𝑎1 ⋅ 𝑘
1 + 𝑎0 
𝑎𝑛 ⋅ (𝑥
𝑛 − 𝑘𝑛) + 𝑎𝑛−1(𝑥
𝑛−1 − 𝑘𝑛−1) + 𝑎𝑛−2(𝑥
𝑛−2 − 𝑘𝑛−2) + ⋯+ 𝑎2(𝑥
2 − 𝑘2) + 𝑎1(𝑥
1 − 𝑘1) 
 
Perceba que, ao colocarmos os coeficientes 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, … , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 em evidência, 
geramos vários fatores do tipo (𝑥𝑎 − 𝑘𝑎), com 𝑛 ≤ 𝑎 ≤ 1. 
Para cada um desses fatores, podemos generalizar uma fatoração por (𝑥 − 𝑘). Vamos 
explicitar esse processo dividindo (𝑥𝑎 − 𝑘𝑎) por (𝑥 − 𝑘), utilizando o dispositivo prático de Briot-
Ruffini. 
𝑘 
 1 0 0 0 … −𝑘
𝑎 
↓ 𝑘 𝑘² 𝑘³ 𝑘
… 𝑘𝑎 
− 
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1 𝑘 𝑘² 𝑘³ … 0 
Como temos resto 𝑅(𝑥) = 0, podemos dizer que (𝑥 − 𝑘) é um fator de (𝑥𝑎 − 𝑘𝑎), para 𝑛 ≤
𝑎 ≤ 1. 
Dessa forma, cada um dos fatores do tipo (𝑥𝑎 − 𝑘𝑎) de nossa expressão 𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑘) pode 
ser fatorado para 
(𝑥𝑎 − 𝑘𝑎) = (𝑥 − 𝑘) ⋅ 𝑞(𝑥). 
Se colocarmos cada um dos (𝑥 − 𝑘) presentes nos fatores de 𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑘), teremos uma 
expressão do tipo 
𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑘) = (𝑥 − 𝑘) ⋅ (𝑞𝑛(𝑥) + 𝑞𝑛−1(𝑥) + 𝑞𝑞−2(𝑥) + ⋯+ 𝑞2(𝑥) + 𝑞1(𝑥)) 
Para simplificar, vamos fazer as seguintes substituições: 
𝑃(𝑘) = 0 
𝑄(𝑥) = (𝑞𝑛(𝑥) + 𝑞𝑛−1(𝑥) + 𝑞𝑞−2(𝑥) + ⋯+ 𝑞2(𝑥) + 𝑞1(𝑥)) 
↓ 
𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑘) = (𝑥 − 𝑘) ⋅ (𝑞𝑛(𝑥) + 𝑞𝑛−1(𝑥) + 𝑞𝑞−2(𝑥) + ⋯+ 𝑞2(𝑥) + 𝑞1(𝑥)) 
𝑃(𝑥) − 0 = (𝑥 − 𝑘) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑘) ⋅ 𝑄(𝑥) 
Note que fizemos isso com 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 e nada nos impede de fazermos novamente 
com 𝑄(𝑥), e com o resultado da fatoração de 𝑄(𝑥) e assim por diante. 
Se assim o fizermos, chegaremos a uma expressão do tipo 
𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑘𝑛) ⋅ (𝑥 − 𝑘𝑛−1) ⋅ (𝑥 − 𝑘𝑛−2) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑘2) ⋅ (𝑥 − 𝑘1) , 
onde 𝑘𝑛, 𝑘𝑛−1, 𝑘𝑛−2, … 𝑘2, 𝑘1 são as 𝑛 raízes de 𝑃(𝑥) de grau 𝑛. 
Caso alguma das raízes ocorra mais de uma vez, dizemos que essa raiz apresenta 
multiplicidade. Se aparece duas vezes, multiplicidade dois; se três, multiplicidade três; e assim 
por diante. 
 
 
Para um polinômio de grau dois, temos 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑘1) ⋅ (𝑥 − 𝑘2), 
onde 𝑘1 e 𝑘2 são raízes de 𝑃(𝑥). 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 67 
Perceba que já usamos essa fatoração diversas vezes no curso, 
mas chamávamos as raízes de 𝑥′ e 𝑥′′ em vez de 𝑘1 e 𝑘2, veja: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑘1) ⋅ (𝑥 − 𝑘2) 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥′) ⋅ (𝑥 − 𝑥′′ ). 
 
8. Questões de vestibulares anteriores 
1. (UECE/2019) Considerando o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏, é correto afirmar 
que o valor da soma 𝑷(−𝟏) + 𝑷(−
𝟏
𝟑
) é um número localizado entre 
a) 𝟓, 𝟎 e 𝟓, 𝟓. 
b) 𝟒, 𝟎 e 𝟒, 𝟓. 
c) 𝟒, 𝟓 e 𝟓, 𝟎. 
d) 𝟓, 𝟓 e 𝟔, 𝟎. 
 
2. (UFRGS/2019) A soma dos coeficientes do polinômio 𝑷(𝒙) = (𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 +
𝒙𝟒)𝟏𝟎𝟎𝟎 é 
a) 𝟏. 
b) 𝟓. 
c) 𝟏𝟎𝟎. 
d) 𝟓𝟎𝟎. 
e) 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 
 
3. (UPF/2019) O resto da divisão do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒙 + 𝟐 pelo polinômio 𝒒(𝒙) =
𝒙 − 𝟏 é 
a) 𝟐 
b) 𝟎 
c) 𝟒 
d) −𝟏 
e) −𝟐 
 
4. (Unesp/2018) Sendo 𝒙 um número real maior que 
𝟐
𝟑
, a área de um retângulo é dada 
pelo polinômio 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟏𝟒. Se a base desse retângulo é dada pelo polinômio 𝒙 + 𝟕, o 
quadrado da diagonal do retângulo é expresso pelo polinômio 
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a) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟐𝟗. 
b) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟑. 
c) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟓 
d) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
e) 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
 
5. (FGV/2018/ANULADA) O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒌𝟐, em que 𝒌 é uma constante 
real, tem 𝟑𝒙 − 𝟒 como um de seus fatores. Assim, necessariamente, 𝒌 será um número 
a) imaginário puro. 
b) racional não inteiro. 
c) irracional. 
d) inteiro. 
e) positivo. 
 
6. (Fuvest/2017) O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟓 possui uma raiz complexa 𝝃 
cuja parte imaginária é positiva. A parte real de 𝝃³ é igual a 
a) −𝟏𝟏 
b) −𝟕 
c) 𝟗 
d) 𝟏𝟎 
e) 𝟏𝟐 
 
7. (Unicamp/2017) Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒙𝒎 + 𝟏, em que 𝒏 > 𝒎 ≥ 𝟏. Se o 
resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 + 𝟏 é igual a 𝟑, então 
a) 𝒏 é par e 𝒎 é par. 
b) 𝒏 é ímpar e 𝒎 é ímpar. 
c) 𝒏 é par e 𝒎 é ímpar. 
d) 𝒏 é ímpar e 𝒎 é par. 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 69 
8. (Unesp/2017) No universo dos números reais, a equação 
(𝒙𝟐−𝟏𝟑𝒙+𝟒𝟎)(𝒙𝟐−𝟏𝟑𝒙+𝟒𝟐)
√𝒙𝟐−𝟏𝟐𝒙+𝟑𝟓
 = 𝟎 é 
satisfeita por apenas 
a) três números. 
b) dois números. 
c) um número. 
d) quatro números. 
e) cinco números. 
 
9. (Unicamp/2016) Considere o polinômio cúbico 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 − 𝟑, onde 𝒂 é um 
número real. Sabendo que 𝒓 e −𝒓 são raízes reais de 𝒑(𝒙), podemos afirmar que 𝒑(𝟏) é 
igual a 
a) 𝟑. 
b) 𝟏. 
c) −𝟐. 
d) −𝟒. 
 
10. (Unesp/2014) O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒂 ⋅ 𝒙𝟑 + 𝟐 ⋅ 𝒙 + 𝒃 é divisível por 𝒙 − 𝟐 e, quando 
divisível por 𝒙 + 𝟑, deixa resto −𝟒𝟓. Nessas condições, os valores de 𝒂 e 𝒃, 
respectivamente, são 
a) 𝟏 e 𝟒. 
b) 𝟏 e 𝟏𝟐. 
c) −𝟏 e 𝟏𝟐. 
d) 𝟐 e 𝟏𝟔. 
e) 𝟏 e −𝟏𝟐. 
 
11. (Unesp/2014) Sabe-se que, na equação 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎, uma das raizes é igual 
à soma das outras duas. O conjunto solução (𝑺) desta equação é 
a) 𝑺 = {−𝟑,−𝟐,−𝟏} 
b) 𝑺 = {−𝟑,−𝟐,+𝟏} 
c) 𝑺 = {+𝟏,+𝟐,+𝟑} 
d) 𝑺 = {−𝟏,+𝟐,+𝟑} 
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e) 𝑺 = {−𝟐,+𝟏,+𝟑} 
 
12. (ITA/2011) Se 𝟏 é uma raiz de multiplicidade 𝟐 da equação 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, com 
𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹, então, 𝒂𝟐 − 𝒃𝟑 é igual a 
a) −𝟔𝟒 
b) −𝟑𝟔 
c) −𝟐𝟖 
d) 𝟏𝟖 
e) 𝟐𝟕 
 
13. (Fuvest/2009) O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙, em que 𝒂 e 𝒃 são números reais, 
tem restos 𝟐 e 𝟒 quando dividido por 𝒙 − 𝟐 e 𝒙 − 𝟏, respectivamente. Assim, o valor de 𝒂 é 
a) −𝟔 
b) −𝟕 
c) −𝟖 
d) −𝟗 
e) −𝟏𝟎 
 
14. (Unesp/2006) Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, onde 𝒃, 𝒄 e 𝒅 são 
constantes reais. A derivada de 𝒑(𝒙) é, por definição, o polinómio 𝒑′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄. 
Se 𝒑′(𝟏) = 𝟎, 𝒑′(−𝟏) = 𝟒 e o resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é 𝟐, então o polinômio 𝒑(𝒙) 
é: 
a) 𝒙³ − 𝒙² + 𝒙 + 𝟏. 
b) 𝒙³ − 𝒙² − 𝒙 + 𝟑. 
c) 𝒙³ − 𝒙² − 𝒙 − 𝟑. 
d) 𝒙³ − 𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟒. 
e) 𝒙³ − 𝒙² − 𝒙 + 𝟐. 
 
15. (Fuvest/2002) Dado o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟒), o gráfico da função 𝒚 =
𝒑(𝒙 − 𝟐) é melhor representado por 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 71 
 
 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 72 
 
 
16. (Fuvest/2001) O polinômio 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔 admite 𝟏 + 𝒊 como raiz, onde 𝒊𝟐 = −𝟏. O 
número de raízes reais desse polinômio é: 
a) 𝟎 
b) 𝟏 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
e) 𝟒 
 
17. (Fuvest/2000) O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐 é divisível por 𝒙𝟐 + 𝒂, para 
um certo número real 𝒂. Pode-se, pois, afirmar que o polinômio 𝒑 
a) não tem raízes reais. 
b) tem uma única raiz real. 
c) tem exatamente duas raízes reais distintas. 
d) tem exatamente três raízes reais distintas. 
e) tem quatro raízes reais distintas. 
 
18. (Fuvest/2000) Os gráficos de duas funções polinomiais 𝑷 e 𝑸 estão representados 
na figuraseguinte. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 73 
 
Então, no intervalo [−𝟒, 𝟖], 𝑷(𝒙) ⋅ 𝑸(𝒙) < 𝟎 para: 
a) −𝟐 < 𝒙 < 𝟒 
b) −𝟐 < 𝒙 ← 𝟏 ou 𝟓 < 𝒙 < 𝟖 
c) −𝟒 ≤ 𝒙 ← 𝟐 ou 𝟐 < 𝒙 < 𝟒 
d) −𝟒 ≤ 𝒙 ← 𝟐 ou 𝟓 < 𝒙 ≤ 𝟖 
e) −𝟏 < 𝒙 < 𝟓 
 
19. (Fuvest/1999) Dividindo-se o polinômio 𝒑(𝒙) por 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏, obtém-se quociente 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 e resto −𝒙 + 𝟐. Nessas condições, o resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é: 
a) 𝟐 
b) 𝟏 
c) 𝟎 
d) −𝟏 
e) −𝟐 
 
20. (Unesp/1997) Indicando por 𝒎, 𝒏 e 𝒑, respectivamente, o número de raizes racionais, 
raízes irracionais e raízes não reais do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐, temos: 
a) 𝒎 = −𝟏, 𝒏 = 𝟏 e 𝒑 = 𝟑. 
b) 𝒎 = 𝟏, 𝒏 = 𝟐 e 𝒑 = 𝟐. 
c) 𝒎 = 𝟐, 𝒏 = 𝟏 e 𝒑 = 𝟐. 
d) 𝒎 = 𝟐, 𝒏 = 𝟐 e 𝒑 = 𝟏. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 74 
e) 𝒎 = 𝟏, 𝒏 = 𝟑 e 𝒑 = 𝟏. 
 
21. (Unesp/1992) O gráfico da figura adiante representa o polinômio real 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙³ +
𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄. Se o produto das raízes de 𝒇(𝒙) = 𝟎 é igual a soma dessas raízes, então 𝒂 +
 𝒃 + 𝒄 é igual a: 
 
a) 𝟒 
b) 𝟓 
c) 𝟔 
d) 𝟑 
e) 𝟗/𝟐 
 
 
 
 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 75 
9. Gabarito das questões de vestibulares anteriores 
1. a) 
2. a) 
3. c) 
4. e) 
5. anulada. 
6. a) 
7. a) 
8. c) 
9. d) 
10. e) 
11. b) 
12. c) 
13. a) 
14. b) 
15. a) 
16. a) 
17. c) 
18. c) 
19. b) 
20. c) 
21. a) 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 76 
10. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e 
comentadas 
1. (UECE/2019) Considerando o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏, é correto afirmar 
que o valor da soma 𝑷(−𝟏) + 𝑷(−
𝟏
𝟑
) é um número localizado entre 
a) 𝟓, 𝟎 e 𝟓, 𝟓. 
b) 𝟒, 𝟎 e 𝟒, 𝟓. 
c) 𝟒, 𝟓 e 𝟓, 𝟎. 
d) 𝟓, 𝟓 e 𝟔, 𝟎. 
Comentários 
O exercício pede uma substituição direta. Calculemos, então, o valor da expressão solicitada. 
𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 1 
𝑃(−1) + 𝑃 (−
1
3
) 
4(−1)3 + 8(−1)2 + (−1) + 1 + 4 (−
1
3
)
3
+ 8(−
1
3
)
2
+ (−
1
3
) + 1 
−4 + 8 −1 +1 + 4 (−
1
27
) + 8 (+
1
9
) −
1
3
+ 1 
7 −
4
27
+
8
9
−
1
3
+ 1 
4 ⋅ 27 − 4 + 8 ⋅ 3 − 1 ⋅ 9 + 27
27
 
108 − 4 + 24 − 9 + 27
27
 
146
27
 
5,407… 
Gabarito: a) 
2. (UFRGS/2019) A soma dos coeficientes do polinômio 𝑷(𝒙) = (𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 +
𝒙𝟒)𝟏𝟎𝟎𝟎 é 
a) 𝟏. 
b) 𝟓. 
c) 𝟏𝟎𝟎. 
d) 𝟓𝟎𝟎. 
e) 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 77 
Comentários 
Para saber a soma dos coeficientes de um polinômio, não precisamos fazer o desenvolvimento 
da potência, o que seria impraticável no caso apresentado. 
Como queremos apenas a soma dos coeficientes, podemos fazer apenas 𝑃(1), pois isso 
deixaria o produto dos coeficientes pelos valores assumidos de 𝑥 como apenas o valor de cada 
coeficiente, pois 1 é o elemento neutro da multiplicação. 
Quando fazemos, por exemplo, −4𝑥2 e calculamos o valor do monômio para 𝑥 = 1, temos 
−4(1)2 = −4, ou seja, apenas o valor do coeficiente. 
Para o polinômio dado, temos: 
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4)1000 
𝑃(1) = (1 − 1 + 12 − 13 + 14)1000 
𝑃(1) = ( 1 − 1 + 1 − 1 + 1)1000 
𝑃(1) = (1)1000 
𝑃(1) = 1 
Assim, a soma dos coeficientes do polinômio 𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4)1000 é igual a 1. 
Gabarito: a) 
3. (UPF/2019) O resto da divisão do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒙 + 𝟐 pelo polinômio 𝒒(𝒙) =
𝒙 − 𝟏 é 
a) 𝟐 
b) 𝟎 
c) 𝟒 
d) −𝟏 
e) −𝟐 
Comentários 
Independentemente da ordem 𝑛 do polinômio, podemos utilizar o teorema do resto. Para isso, 
precisaremos da raiz de 𝑞(𝑥). Resolvamos, então, a equação 𝑞(𝑥) = 0. 
𝑞(𝑥) = 0 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
Assim, o resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥) será 𝑝(1). 
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥 + 2 
𝑝(1) = 1𝑛 + 1 + 2 
𝑝(1) = 1 + 1 + 2 = 4 
O ponto chave deste exercício é que o grau 𝑛 do polinômio não foi definido no enunciado. No 
entanto, como a base da potência 𝑛 acabou sendo 1, o valor de 𝑛 não interferiu no cálculo do 
resto de que precisávamos. 
Gabarito: c) 
4. (Unesp/2018) Sendo 𝒙 um número real maior que 
𝟐
𝟑
, a área de um retângulo é dada 
pelo polinômio 𝟑𝒙² + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟏𝟒. Se a base desse retângulo é dada pelo polinômio 𝒙 + 𝟕, o 
quadrado da diagonal do retângulo é expresso pelo polinômio 
a) 𝟏𝟎𝒙² + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟐𝟗. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 78 
b) 𝟏𝟎𝒙² + 𝟓𝟑. 
c) 𝟏𝟎𝒙² + 𝟔𝟓. 
d) 𝟒𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
e) 𝟏𝟎𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟓𝟑. 
Comentários 
O enunciado nos disse que a área do retângulo de base 𝑥 + 7 é dada por 𝐴(𝑥) = 3𝑥² + 19𝑥 −
14. Se temos a área e a base do retângulo, podemos descobrir o outro lado pela própria 
fórmula da área, veja. 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
3𝑥² + 19𝑥 − 14 = (𝑥 + 7) ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
Dividindo ambos os membros da equação por 𝑥 + 7. 
3𝑥² + 19𝑥 − 14
𝑥 + 7
=
 (𝑥 + 7) ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
 𝑥 + 7 
 
3𝑥² + 19𝑥 − 14
𝑥 + 7
= 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
Vamos, então, fazer a divisão polinomial entre 3𝑥² + 19𝑥 − 14 e 𝑥 + 7. 
 3𝑥² +19𝑥 −14 𝑥 + 7 
 −3𝑥² −21𝑥 3𝑥 −2 
 −2𝑥 −14 
 +2𝑥 +14 
 0 
Portanto, podemos dizer que o polinômio que representa a área pode ser reescrito como: 
𝐴(𝑥) = 3𝑥2 + 19𝑥 − 14 = (𝑥 + 7) ⋅ (3𝑥 − 2) 
Como o enunciado já nos disse que a base é 𝑥 + 7, podemos concluir que a altura do retângulo 
é dada por 3𝑥 − 2. 
 
Retomemos a pergunta feita: 
“...o quadrado da diagonal do retângulo é expresso pelo polinômio...” 
Assim, precisamos encontrar o valor do quadrado da diagonal, ou seja, 𝑑² pela indicação em 
nossa figura. 
Aplicando Pitágoras à diagonal do retângulo como hipotenusa e considerando os catetos como 
a base e a altura, temos: 
𝑑2 = (𝑥 + 7)2 + (3𝑥 − 2)² 
𝑑2 = 𝑥2 + 14𝑥 + 49 + 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 79 
𝑑2 = 10𝑥2 + 2𝑥 + 53 
Muito cuidado, o problema nos pediu o quadrado da diagonal e não a diagonal em si, ok? 
Gabarito: e) 
5. (FGV/2018/ANULADA) O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒌𝟐, em que 𝒌 é uma constante 
real, tem 𝟑𝒙 − 𝟒 como um de seus fatores. Assim, necessariamente, 𝒌 será um número 
a) imaginário puro. 
b) racional não inteiro. 
c) irracional. 
d) inteiro. 
e) positivo. 
Comentários 
Mesmo a questão tendo sido anulada, podemos utilizá-la para construção de conhecimento. 
Vamos resolvê-la e, então, entender o motivo de sua anulação. 
Se o polinômio 𝑃(𝑥) tem 3𝑥 − 4 como um fator, esperamos resto zero quando fizermos a 
divisão de um pelo outro. Para utilizar a divisão simplificada, precisamos da raiz do binômio 
3𝑥 − 4, portanto, vamos calculá-la. 
3𝑥 − 4 = 0 
3𝑥 = 4 
𝑥 =
4
3
 
Com essa raiz, mais os coeficientes de 𝑃(𝑥) = 6𝑥2 − 5𝑥 + 𝑘2, vamos montar o dispositivo 
prático de Briot-Ruffini. 
4
3
 
6 −5 𝑘² 
↓ 8 4 
 6 3 4 + 𝑘² 
Veja que, pelo que o enunciado nos disse, 𝑃(𝑥) é divisível por 3𝑥 − 4, então, esperamos resto 
zero na divisão. 
Dessa forma, para que sejam atendidas as condições do enunciado, é necessário que 
4 + 𝑘2 = 0 
𝑘2 = −4 
𝑘 = ±2𝑖 
Podemos, então, entender que, para que seja atendida a condição do enunciado, 𝑘 deve ser 
um número imaginário puro, o que está de acordo com a alternativa 𝑎). 
Oras, se há uma alternativa correta, por que raios a questão foi anulada? 
Simples, o enunciado disse que 𝑘 é uma constante real e isso não é verdade. 
Apesar de ser um detalhe, é importante no contexto, e, se 𝑘 = ±2𝑖 , não pode ser uma 
constantereal. 
Gabarito: anulada. 
6. (Fuvest/2017) O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟓 possui uma raiz complexa 𝝃 cuja 
parte imaginária é positiva. A parte real de 𝝃³ é igual a 
a) −𝟏𝟏 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 80 
b) −𝟕 
c) 𝟗 
d) 𝟏𝟎 
e) 𝟏𝟐 
Comentários 
Antes de começar, essa letra esquisita que apareceu no enunciado é a letra grega CSI, 𝜉. 
A bem da verdade, você pode utilizar qualquer signo para simbolizar uma incógnita: uma letra 
do alfabeto romano, grego, arábico ou até um símbolo que você queira criar. 
Só não vá criar símbolos em uma prova discursiva, o corretor pode não entender, ok? 
 
Vamos encontrar todas as 3 raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 5. 
Para polinômios de grau maior que 2, vamos, primeiro, verificar se 𝑃(𝑥) apresenta alguma raiz 
racional, testando as possíveis frações entre os divisores do termo independente e os divisores 
do coeficiente de maior termo do polinômio. 
𝑃(𝑥) = 1 ⋅ 𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 5 
𝐷(5) = (1,5) 
𝐷(1) = (1) 
Nossas frações candidatas a raiz de 𝑃(𝑥) são do tipo 
±
𝐷(5)
𝐷(1)
→ ±(
1
1
;
5
1
) 
Simplificando. 
±
𝐷(5)
𝐷(1)
→ ±(1; 5) 
Testando as quatro candidatas a raiz de 𝑃(𝑥). 
𝑃(1) = 13 − 3 ⋅ 12 + 7 ⋅ 1 − 5 
𝑃(1) = 1 − 3 + 7 − 5 
𝑃(1) = 0 
∴ 1 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 
O enunciado nos informou que há uma raiz complexa 𝜉, ou seja, se há uma, há duas, pois o 
conjugado de 𝜉, 𝜉 também é raiz de 𝑃(𝑥). Como encontramos o 1 também como raiz, já são 
nossas 3 raízes e, com certeza, as outras candidatas a raiz podem ser descartadas. 
No entanto, caso você não veja isso nesse momento, faça o teste com todas que chegará à 
mesma conclusão, veja. 
𝑃(−1) = (−1)3 − 3 ⋅ (−1)2 + 7 ⋅ (−1) − 5 
𝑃(−1) = −1 − 3 − 7 − 5 
𝑃(−1) = −16 ≠ 0 
−1 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 
Mais uma. 
𝑃(5) = 53 − 3 ⋅ 52 + 7 ⋅ 5 − 5 
𝑃(5) = 125 − 75 + 36 − 5 
𝑃(5) = 81 ≠ 0 
∴ 5 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 
A última. 
𝑃(−5) = (−5)3 − 3 ⋅ (−5)2 + 7 ⋅ (−5) − 5 
𝑃(−5) = −125 − 75 − 35 − 5 
𝑃(−5) = −240 ≠ 0 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 81 
x 
−5 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 
Sabemos, até aqui, que 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 5 apresenta 3 raízes: 1, 𝜉 e 𝜉. 
Como 1 é uma das raízes de 𝑃(𝑥), podemos dividir 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 1) a fim de fatorá-lo em 
binômios do primeiro grau. 
 
 
Ao fatorarmos 𝑃(𝑥) em 𝑛 binômios do primeiro grau, as raízes de 𝑃(𝑥) são exatamente as 
raízes de cada um dos binômios. 
Veja o exemplo com um polinômio do terceiro grau. 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′)(𝑥 − 𝑥′′′) 
𝑥′, 𝑥′′, 𝑥′′′ → 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 
 
Façamos a divisão pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
Primeiro, escrevemos a raiz de 𝑃(𝑥), que também é raiz de (𝑥 − 1) do lado esquerdo do 
dispositivo. Neste caso, 1. 
1 
 
 
 
Em seguida, os coeficientes do polinômio 𝑃(𝑥) = 1 ⋅ 𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 5 
1 
 1 −3 7 −5 
 
 
E copiamos o primeiro coeficiente de 𝑃(𝑥) para a última linha. 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 
 1 
Agora, estamos prontos para iniciar nossa divisão pelo dispositivo prático. 
Está lembrado do procedimento? Multiplicamos o último coeficiente da terceira linha pela raiz, 
escrevemos o resultado na primeira vaga da segunda linha. Somamos os elementos da coluna 
e escrevemos o resultado na terceira linha. 
1 1 −3 7 −5 
↓ 1 
 1 
 
 
+ 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 82 
 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 
 1 −2 
Repetimos o procedimento até que não tenhamos mais colunas disponíveis. 
 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 
 1 −2 
 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 
 1 −2 5 
Próximo. 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 5 
 1 −2 5 
 
 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 5 
 1 −2 5 0 
 
Cada elemento da última linha representa um termo do quociente da divisão de 𝑃(𝑥) por 
(𝑥 − 1). Como nosso 𝑃(𝑥) tem grau 3, nosso quociente começa com um grau a menos, ou 
seja, grau 2. 
O último elemento da terceira linha representa o resto da divisão. Como já sabíamos que 
1 é 
raiz de 𝑃(𝑥), era de se esperar resto 0 na divisão, ou seja, uma divisão exata. 
1 
1 −3 7 −5 
↓ 1 −2 5 
 1 −2 5 0 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 1 ⋅ 𝑥² −2 ⋅ 𝑥1 5 ⋅ 𝑥0 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 
Dessa forma, podemos reescrever o polinômio 𝑃(𝑥) como 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 5 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥2 − 2𝑥 + 5) 
Não se perca, estamos procurando as raízes de 𝑃(𝑥), ou seja, os valores que tornam 
𝑃(𝑥) = 0. 
𝑃(𝑥) = 0 
𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 5 = 0 
(𝑥 − 1) ⋅ (𝑥2 − 2𝑥 + 5) = 0 
Se uma multiplicação tem produto zero, um de seus fatores deve, obrigatoriamente, ser zero. 
Assim, 
(𝑥 − 1) = 0 
𝑥 − 1 = 0 
Somando 1 a ambos os membros. 
+ x 
x 
+ 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 83 
𝑥 − 1 + 1 = 1 
𝑥 − 1 + 1 = 1 
𝑥 = 1 
𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛ó𝑠 𝑗á 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐í𝑎𝑚𝑜𝑠. 
Ou, ainda, 
(𝑥2 − 2𝑥 + 5) = 0 
𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0 
Para equações do segundo grau, Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5 = 4 − 20 = −16 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−2) ± √−16
2 ⋅ 1
⇒ {
𝑥′ =
2 + 4𝑖
2
= 1 + 2𝑖
𝑥′′ =
2 − 4𝑖
2
= 1 − 2𝑖
 
Agora, estamos de posse das 3 raízes de 𝑃(𝑥), 1,1 + 2𝑖 e 1 − 2𝑖, podemos voltar ao enunciado. 
“O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟓 possui uma raiz complexa 𝝃 cuja parte imaginária é 
positiva.” 
Na linguagem do enunciado, podemos perceber que a raiz 𝜉 só pode ser 𝜉 = 1 + 2𝑖, pois, das 3 
raízes, apenas 1 + 2𝑖 é complexa com a parte imaginária positiva. 
Dessa forma, sigamos para a pergunta. 
“A parte real de 𝝃³ é igual a...” 
Dessa forma, façamos 𝜉³. 
𝜉 = 1 + 2𝑖 
Elevando ambos os membros da equação ao cubo. 
𝜉³ = (1 + 2𝑖)³ 
 
Está lembrado do triângulo de Pascal? 
Terceira linha, desenvolvimento dos binômios... 
Se a memória não ajudar, é uma boa hora para voltar lá e revisar, ok? Vamos acumulando 
conhecimento, mas é importante reforçar o que já aprendemos... 
 
𝜉³ = (1 + 2𝑖)³ 
𝜉3 = 13 + 3 ⋅ 12 ⋅ 2𝑖 + 3 ⋅ 1 ⋅ (2𝑖)2 + (2𝑖)³ 
𝜉3 = 1 + 6𝑖 + 12𝑖² + 8𝑖³ 
Das potências de 𝑖, tiramos que 𝑖2 = −1 e que 𝑖3 = −𝑖, então 
𝜉3 = 1 + 6𝑖 + 12(−1) + 8(−𝑖) 
𝜉3 = 1 + 6𝑖 − 12 − 8𝑖 
𝜉3 = −11 − 2𝑖 
Assim, podemos responder que a parte real de 𝜉³ é igual a −11. 
Gabarito: a) 
7. (Unicamp/2017) Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝒏 + 𝒙𝒎 + 𝟏, em que 𝒏 > 𝒎 ≥ 𝟏. Se o 
resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 + 𝟏 é igual a 𝟑, então 
a) 𝒏 é par e 𝒎 é par. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 84 
b) 𝒏 é ímpar e 𝒎 é ímpar. 
c) 𝒏 é par e 𝒎 é ímpar. 
d) 𝒏 é ímpar e 𝒎 é par. 
Comentário 
Como o resto de 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1 é 3, temos que, pelo teorema do resto, 𝑝(−1) = 3. 
Dessa forma, podemos escrever a seguinte equação: 
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑚 + 1 
𝑝(−1) = (−1)𝑛 + (−1)𝑚 + 1 
3 = (−1)𝑛 + (−1)𝑚 + 1 
o máximo valor para a potência (−1)𝑠 é 1 quando o expoente 𝑠 é par. Como temos uma soma 
de três parcelas, cujo limite de cada parcela é 1 e cuja soma é 3, temos, necessariamente, que 
cada parcela deva admitir seu valor máximo. 
Sendo assim, tanto 𝑚 quanto 𝑛 devem ser números pares. 
Gabarito: a) 
8. (Unesp/2017) No universo dos números reais, a equação 
(𝒙𝟐−𝟏𝟑𝒙+𝟒𝟎)(𝒙𝟐−𝟏𝟑𝒙+𝟒𝟐)
√𝒙𝟐−𝟏𝟐𝒙+𝟑𝟓
 = 𝟎 é 
satisfeita por apenas 
a) três números. 
b) dois números. 
c) um número. 
d) quatro números. 
e) cinco números. 
Comentários 
Fatoremos os três trinômios para a forma 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) 
𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟓 
∆= 132 − 4 ⋅ 1 ⋅ 40 = 9 ∆= 132 − 4 ⋅ 1 ⋅ 42 = 1 ∆= 122 − 4 ⋅ 1 ⋅ 35 = 4 
𝑥 =
13 ± √9
2 ⋅ 1
=
13 ± 3
2
 𝑥 =
13 ± √1
2 ⋅ 1
=
13 ± 1
2
 𝑥 =
12 ± √4
2 ⋅ 1
=
12 ± 2
2
 
𝑥 =
{
 
 
 
 𝑥′ =
13 + 3
2
= 8𝑥′′ =
13 − 3
2
= 5
 𝑥 =
{
 
 
 
 𝑥′ =
13 + 1
2
= 7
 
𝑥′′ =
13 − 1
2
= 6
 𝑥 =
{
 
 
 
 𝑥′ =
12 + 2
2
= 7
 
𝑥′′ =
12 − 2
2
= 5
 
1 ⋅ (𝑥 − 8)(𝑥 − 5) 1 ⋅ (𝑥 − 7)(𝑥 − 6) 1 ⋅ (𝑥 − 7)(𝑥 − 5) 
Reescrevendo a equação. 
(𝑥2 − 13𝑥 + 40)(𝑥2 − 13𝑥 + 42)
√𝑥2 − 12𝑥 + 35
= 0 
1 ⋅ (𝑥 − 8)(𝑥 − 5) ⋅ 1 ⋅ (𝑥 − 7)(𝑥 − 6)
√1 ⋅ (𝑥 − 7)(𝑥 − 5)
= 0 
Condição de existência (CE). 
(𝒙 − 𝟕) ≠ 𝟎 (𝒙 − 𝟓) ≠ 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟓 ≥ 𝟎 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 85 
𝑥 ≠ 7 𝑥 ≠ 5 𝑥 ≤ 5 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 7 
𝑥 < 5 𝑜𝑢 𝑥 > 7 
Igualando os fatores do numerador a zero. 
(𝒙 − 𝟖) = 𝟎 (𝒙 − 𝟓) = 𝟎 (𝒙 − 𝟕) = 𝟎 (𝒙 − 𝟔) = 𝟎 
𝑥 = 8 𝑥 = 5 𝑥 = 7 𝑥 = 6 
𝑂𝑘 Não permitido, CE. Não permitido, CE. Não permitido, CE. 
Gabarito: c) 
9. (Unicamp/2016) Considere o polinômio cúbico 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 − 𝟑, onde 𝒂 é um 
número real. Sabendo que 𝒓 e −𝒓 são raízes reais de 𝒑(𝒙), podemos afirmar que 𝒑(𝟏) é 
igual a 
a) 𝟑. 
b) 𝟏. 
c) −𝟐. 
d) −𝟒. 
Comentários 
Como sabemos que 𝑟 e −𝑟 são raízes de 𝑝(𝑥), podemos dizer que 𝑝(𝑟) = 0 e 𝑝(−𝑟) = 0. 
Vamos desenvolver essas duas equações. 
𝑝(𝑟) = 𝑟3 + 𝑟2 − 𝑎𝑟 − 3 
𝑟3 + 𝑟2 − 𝑎𝑟 − 3 = 0 
Não há muito o que desenvolvermos nessa equação, portanto, vamos para a próxima. 
𝑝(−𝑟) = (−𝑟)3 + (−𝑟)2 − 𝑎(−𝑟) − 3 
(−𝑟)3 + (−𝑟)2 − 𝑎(−𝑟) − 3 = 0 
−𝑟3 + 𝑟2 + 𝑎𝑟 − 3 = 0 
Ambas as equações devem ser verdadeiras, simultaneamente, o que nos permite construir o 
seguinte sistema de equações. 
{
𝑟3 + 𝑟2 − 𝑎𝑟 − 3 = 0
 
−𝑟3 + 𝑟2 + 𝑎𝑟 − 3 = 0
 
Perceba que as equações apresentam alguns termos alternados. Essa alternância facilita a 
resolução pela soma, pois, assim, alguns termos se anularão. 
Vamos, então, somar as duas equações para formar uma nova equação. 
{
 𝑟3 + 𝑟2 −𝑎𝑟 − 3 = 0
 
 −𝑟3 + 𝑟2 +𝑎𝑟 − 3 = 0
2𝑟2 − 6 = 0
 
2𝑟2 = 6 
𝑟2 = 3 
√𝑟2 = √3 
|𝑟| = √3 
𝑟 = ±√3 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 86 
Muito bem, conseguimos encontrar os valores de 𝑟. 
Para prosseguir e calcular 𝑝(1), é necessário que saibamos, também, o valor de 𝑎. Para isso, 
vamos substituir o valor de uma das raízes 𝑟 no polinômio e descobrir 𝑎. Peguemos, 
arbitrariamente, a primeira equação de nosso sistema e o valor positivo de 𝑟. 
𝑟 = +√3 
𝑟3 + 𝑟2 − 𝑎𝑟 − 3 = 0 
√3
3
+ √3
2
− 𝑎√3 − 3 = 0 
|3|√3 + |3| − 𝑎√3 − 3 = 0 
3√3 +3 − 𝑎√3 −3 = 0 
3√3 − 𝑎√3 = 0 
3√3 = 𝑎√3 
3 √3 
 √3 
= 𝑎 
3 = 𝑎 
Apesar de termos 3 na alternativa 𝑎), tome muito cuidado, pois o exercício não nos pediu o 
valor de 𝑎 e sim o valor de 𝑝(1). 
Agora, de posse de 𝑎 = 3, podemos, finalmente, escrever completamente 𝑝(𝑥) e, também, 
calcular 𝑝(1). 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑎𝑥 − 3 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 
𝑝(1) = 13 + 12 − 3 ⋅ 1 − 3 
𝑝(1) = 1 + 1 − 3 − 3 
𝑝(1) = −4 
Gabarito: d) 
10. (Unesp/2014) O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒂 ⋅ 𝒙𝟑 + 𝟐 ⋅ 𝒙 + 𝒃 é divisível por 𝒙 − 𝟐 e, quando 
divisível por 𝒙 + 𝟑, deixa resto −𝟒𝟓. Nessas condições, os valores de 𝒂 e 𝒃, 
respectivamente, são 
a) 𝟏 e 𝟒. 
b) 𝟏 e 𝟏𝟐. 
c) −𝟏 e 𝟏𝟐. 
d) 𝟐 e 𝟏𝟔. 
e) 𝟏 e −𝟏𝟐. 
Comentários 
Nosso enunciado apresentou duas situações de divisibilidade: uma com resto zero e outra com 
resto −45. 
Embora possamos fazer a divisão efetivamente, a utilização do teorema do resto pode vir a 
calhar nesse tipo de exercício, veja. 
Se 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 2, significa que, nessa divisão, o resto é nulo. Pelo teorema do 
resto, temos: 
𝑃(2) = 0 
𝑎 ⋅ 23 + 2 ⋅ 2 + 𝑏 = 0 
8𝑎 + 4 + 𝑏 = 0 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 87 
8𝑎 + 𝑏 = −4 
Com apenas uma equação e duas incógnitas, não conseguimos prosseguir, então, partamos 
para a próxima informação. 
Se 𝑃(𝑥) deixa resto −45 ao ser dividido por 𝑥 + 3, pelo teorema do resto, temos: 
𝑃(−3) = −45 
𝑎 ⋅ (−3)3 + 2 ⋅ (−3) + 𝑏 = −45 
−27𝑎 − 6 + 𝑏 = −45 
−27𝑎 + 𝑏 = −39 
Com essas duas informações, conseguimos estabelecer um sistema linear, veja. 
{
8𝑎 + 𝑏 = −4
 
−27𝑎 + 𝑏 = −39
 
Isolando 𝑏 na primeira equação e substituindo na segunda, temos. 
{
8𝑎 + 𝑏 = −4
 
−27𝑎 + 𝑏 = −39
→ {
𝑏 = −8𝑎 − 4
 
−27𝑎 + 𝑏 = −39
→ {
𝑏 = −8𝑎 − 4
 
−27𝑎 − 8𝑎 − 4 = −39
→ {
𝑏 = −8𝑎 − 4
 
−35𝑎 = −35
→ 
 
→ {
𝑏 = −8𝑎 − 4
 
𝑎 = 1
→ {
𝑏 = −8 ⋅ 1 − 4
 
𝑎 = 1
→ {
𝑏 = −8 − 4
 
𝑎 = 1
→ {
𝑏 = −12
 
𝑎 = 1
 
Gabarito: e) 
11. (Unesp/2014) Sabe-se que, na equação 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎, uma das raízes é igual 
à soma das outras duas. O conjunto solução (𝑺) desta equação é 
a) 𝑺 = {−𝟑,−𝟐,−𝟏} 
b) 𝑺 = {−𝟑,−𝟐,+𝟏} 
c) 𝑺 = {+𝟏,+𝟐,+𝟑} 
d) 𝑺 = {−𝟏,+𝟐,+𝟑} 
e) 𝑺 = {−𝟐,+𝟏,+𝟑} 
Comentários 
Pelas relações de Girard, considerando 𝑟, 𝑠 e 𝑡 as raízes da equação, temos o seguinte 
sistema: 
{
 
 
 
 𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = −
−6
1 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 =
1
1 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −
4
1
 
A esse sistema, podemos somar a seguinte informação do enunciado: 
... uma das raízes é igual à soma das outras duas... 
Sem perda de generalidade, podemos eleger uma das raízes, 𝑟, 𝑠 ou 𝑡, para ser a soma das 
outras duas. Tomemos o caso de 𝑟 = 𝑠 + 𝑡 e acrescentemos essa informação ao sistema que 
já temos. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 88 
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = −
−6
1
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 =
1
1 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −
4
1
 
𝑟 = 𝑠 + 𝑡
 
Agora, vamos resolver o sistema. 
Como o sistema não é linear, vamos resolvê-lo por substituição, acompanhe. 
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −4
 
𝑟 = 𝑠 + 𝑡
→
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 + 𝑟 = −4
 
𝑟 = 𝑠 + 𝑡
→
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
2𝑟 = −4
 
𝑟 = 𝑠 + 𝑡
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
𝑟 = 𝑠 + 𝑡
→
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 = 𝑠 + 𝑡
→
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 − 𝑠 = 𝑡
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 − 𝑠 = 𝑡
→
{
 
 
 
 
(−2) ⋅ 𝑠 ⋅ (−2 − 𝑠) = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 − 𝑠 = 𝑡
→
{
 
 
 
 
4𝑠 + 2𝑠² = 6
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 − 𝑠 = 𝑡
→ 
 
→
{
 
 
 
 
2𝑠2 + 4𝑠 − 6 = 0
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 − 𝑠 = 𝑡
 
÷ 2
 
 
 
 
 
 
 →
{
 
 
 
 
𝑠2 + 2𝑠 − 3 = 0
 
𝑟 ⋅ 𝑠 + 𝑟 ⋅ 𝑡 + 𝑠 ⋅ 𝑡 = 1
 
𝑟 = −2
 
−2 − 𝑠 = 𝑡
 
Por praticidade, vamos resolver a primeira equação do sistema separadamente. 
𝑠2 + 2𝑠 − 3 = 0 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 22 − 4 ∙ 1 ∙ (−3) = 4 + 12 = 16 
𝑡 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−2 ± √16
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑡′ =
−2 + 4
2
= 1
 
𝑡′′ =
−2 − 4
2
= −3
 
Como temos duas possibilidades para a raiz 𝑡, vamos substituir ambas na quarta equação do 
nosso sistema para ver as duas opções correspondentes geradas para a raiz 𝑠. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 89 
𝒕′ = 𝟏 𝒕′′ = −𝟑 
−2 − 𝑠 = 𝑡 −2 − 𝑠 = 𝑡 
−2 − 𝑠 = 1 −2 − 𝑠 = −3 
−2 − 1 = 𝑠 −2 + 3 = 𝑠 
−3 = 𝑠 1 = 𝑠 
Perceba que se 𝑡 = 1, 𝑠 = −3 e vice-versa, se 𝑡 = −3, 𝑠 = 1, indicando que já encontramos as 
três raízes possíveis para nossa equação. 
Assim, temos 𝑟 = −2, 𝑠 = −3 e 𝑡 = 1 ou ainda 𝑟 = −2, 𝑠 = 1 e 𝑡 = −3. De todo modo, as raízes 
são {−3,−2,1}. 
Gabarito: b) 
12. (ITA/2011) Se 𝟏 é uma raiz de multiplicidade 𝟐 da equação 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, com 
𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹, então, 𝒂𝟐 − 𝒃𝟑 é igual a 
a) −𝟔𝟒 
b) −𝟑𝟔 
c) −𝟐𝟖d) 𝟏𝟖 
e) 𝟐𝟕 
Comentários 
Como o enunciado informou que 1 é uma raiz de multiplicidade 2, vamos dividir o polinômio, 
utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, duas vezes consecutivas. 
Muito cuidado nesse passo, pois há um coeficiente nulo, o de 𝑥³, que não foi explícito no 
enunciado. 
Os coeficientes, para efeito no dispositivo prático de Briot-Ruffini, são: 
𝑥4 + 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑥4 + 0𝑥3 + 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 
1 + 0 + 1 + 𝑎 + 𝑏 
Façamos, então, a primeira divisão com a raiz 1. 
1 
1 0 1 a b 
↓ 1 1 2 2 + 𝑎 
 1 1 2 2 + 𝑎 2 + 𝑎 + 𝑏 
Com o resultado da primeira divisão, façamos uma segunda divisão, ainda pela mesma raiz 1, 
pois o enunciado a informou como de duplicidade 2. Lembre-se de que o resto não participa da 
nova divisão. 
1 
1 1 2 2 + 𝑎 
↓ 1 2 4 
 1 2 4 6 + 𝑎 
Como sabemos que 1 é raiz de multiplicidade 2, os restos dessas duas divisões devem ser 
iguais a zero. Podemos, então, fazer um sistema com essas informações. 
{
2 + 𝑎 + 𝑏 = 0
 
6 + 𝑎 = 0
→ {
2 + 𝑎 + 𝑏 = 0
 
𝑎 = −6
→ {
2 − 6 + 𝑏 = 0
 
𝑎 = −6
→ {
𝑏 = 4
 
𝑎 = −6
 
De posse dos valores de 𝑎 = −6 e 𝑏 = 4, podemos responder a questão do enunciado, que 
pede o valor da expressão 𝑎2 − 𝑏3. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 90 
𝑎2 − 𝑏3 = (−6)2 − (4)3 = 36 − 64 = −28 
Gabarito: c) 
13. (Fuvest/2009) O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙, em que 𝒂 e 𝒃 são números reais, 
tem restos 𝟐 e 𝟒 quando dividido por 𝒙 − 𝟐 e 𝒙 − 𝟏, respectivamente. Assim, o valor de 𝒂 é 
a) −𝟔 
b) −𝟕 
c) −𝟖 
d) −𝟗 
e) −𝟏𝟎 
Comentários 
Como o exercício mencionou os restos, vamos trabalhar com o teorema do resto, onde 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)(𝑥 − 𝑎) + 𝑅(𝑥) 
Aplicando o teorema do resto para (𝑥 − 2) e resto 2. 
𝑃(2) = 𝑄(2)(2 − 2) + 𝑅(2) 
23 + 𝑎 ⋅ 22 + 𝑏 ⋅ 2 = 𝑄(2) ⋅ 0 + 2 
8 + 4𝑎 + 2𝑏 = 0 + 2 
Subtraindo 8 de ambos os membros da equação. 
8 + 4𝑎 + 2𝑏 − 8 = 2 − 8 
 8 + 4𝑎 + 2𝑏 − 8 = 2 − 8 
4𝑎 + 2𝑏 = −6 
Dividindo toda a equação por 2. 
4𝑎
2
+
2𝑏
2
=
−6
2
 
 
 4 
2 𝑎
 2 
+
 2 𝑏
 2 
=
− 6 
3
 2 
 
 
2𝑎 + 𝑏 = −3 
Como temos duas incógnitas e apenas uma equação, vamos guardar essa equação e trabalhar 
com a outra informação dada pelo exercício. 
Aplicando o teorema do resto para (𝑥 − 1) e resto 4. 
𝑃(1) = 𝑄(1)(1 − 1) + 𝑅(1) 
13 + 𝑎 ⋅ 12 + 𝑏 ⋅ 1 = 𝑄(1) ⋅ 0 + 4 
1 + 𝑎 + 𝑏 = 0 + 4 
Subtraindo 1 de ambos os membros da equação. 
1 + 𝑎 + 𝑏 − 1 = 4 − 1 
 1 + 𝑎 + 𝑏 − 1 = 4 − 1 
𝑎 + 𝑏 = 3 
Muito bem, duas equações e duas incógnitas. Podemos fazer um sistema. 
{
2𝑎 + 𝑏 = −3
 
𝑎 + 𝑏 = 3
 
Multiplicando a segunda linha por −1 e somando à primeira. 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 91 
{
2𝑎 + 𝑏 = −3
 
𝑎 + 𝑏 = 3
+
 
 
 
 
⋅ (−1)
→ {
2𝑎 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = −3 − 3
 
𝑎 + 𝑏 = 3
→ {
𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = −6
 
𝑎 + 𝑏 = 3
→ {
𝑎 = −6
 
𝑎 + 𝑏 = 3
 
Aqui já resolvemos o exercício. 
Na prova, assinale a alternativa correta, a) neste caso, e vá para a próxima questão. 
Enquanto estudo, vamos descobrir, também, o valor de 𝑏. 
Substituindo 𝑎 = −6 na segunda equação. 
 
{
𝑎 = −6
 
𝑎 + 𝑏 = 3
→ {
𝑎 = −6
 
−6 + 𝑏 = 3
→ {
𝑎 = −6
 
−6 + 𝑏 + 6 = 3 + 6
→ {
𝑎 = −6
 
− 6 + 𝑏 + 6 = 9
→ {
𝑎 = −6
 
𝑏 = 9
 
 
Ou seja, nosso polinômio, agora completo, é 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 
Gabarito: a) 
14. (Unesp/2006) Considere o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, onde 𝒃, 𝒄 e 𝒅 são 
constantes reais. A derivada de 𝒑(𝒙) é, por definição, o polinómio 𝒑′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄. 
Se 𝒑′(𝟏) = 𝟎, 𝒑′(−𝟏) = 𝟒 e o resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é 𝟐, então o polinômio 𝒑(𝒙) 
é: 
a) 𝒙³ − 𝒙² + 𝒙 + 𝟏. 
b) 𝒙³ − 𝒙² − 𝒙 + 𝟑. 
c) 𝒙³ − 𝒙² − 𝒙 − 𝟑. 
d) 𝒙³ − 𝒙² − 𝟐𝒙 + 𝟒. 
e) 𝒙³ − 𝒙² − 𝒙 + 𝟐. 
Comentários 
Apesar de ser de leitura um pouco indigesta, o problema nos dá muitas informações acerca do 
polinômio 𝑝(𝑥). 
Vamos por partes. 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
𝑝′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 
Perceba que não é necessário dominar o processo de derivar um polinômio, pois a derivada de 
𝑝(𝑥) foi dado. 
Além disso, o enunciado nos deu duas informações acerca da derivada do polinômio. 
𝑝′(1) = 0 
𝑝′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑝′(1) = 3 ⋅ 12 + 2𝑏 ⋅ 1 + 𝑐 = 0 
3 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 
2𝑏 + 𝑐 = −3 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 92 
e 
𝑝′(−1) = 4 
𝑝′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑝′(−1) = 3 ⋅ (−1)2 + 2𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 = 4 
3 − 2𝑏 + 𝑐 = 4 
−2𝑏 + 𝑐 = 1 
Para encerrar as informações que o enunciado nos fornece, temos: 
.. o resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é 𝟐… 
que, pelo teorema do resto, é o mesmo que dizer que 𝑝(1) = 2. 
𝑝(1) = 2 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
𝑝(1) = 13 + 𝑏 ⋅ 12 + 𝑐 ⋅ 1 + 𝑑 = 2 
1 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 2 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 
Note que, até agora, só pegamos as informações do enunciado e aplicamos diretamente nas 
definições tanto de 𝑝(𝑥) quanto de 𝑝′(𝑥). 
Com as equações a que chegamos com as informações do enunciado, podemos montar um 
sistema de equações. 
{
 
 
 
 
2𝑏 + 𝑐 = −3
 
−2𝑏 + 𝑐 = 1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
 
Para que tenhamos condições de escrever corretamente nosso polinômio, precisamos 
encontrar os valores para as incógnitas 𝑏, 𝑐 e 𝑑, todas contidas em nosso sistema. Assim, 
vamos resolvê-lo. 
{
 
 
 
 
2𝑏 + 𝑐 = −3
 
−2𝑏 + 𝑐 = 1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −3 − 2𝑏
 
−2𝑏 + 𝑐 = 1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −3 − 2𝑏
 
−2𝑏 + −3 − 2𝑏 = 1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −3 − 2𝑏
 
−4𝑏 = 4
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −3 − 2𝑏
 
𝑏 = −1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −3 − 2 ⋅ (−1)
 
𝑏 = −1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −1
 
𝑏 = −1
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −1
 
𝑏 = −1
 
−1 − 1 + 𝑑 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑐 = −1
 
𝑏 = −1
 
𝑑 = 3
 
Voltando ao nosso polinômio, temos: 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 1 ⋅ 𝑥2 − 1 ⋅ 𝑥 + 3 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 3 
Gabarito: b) 
15. (Fuvest/2002) Dado o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐(𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟒), o gráfico da função 𝒚 =
𝒑(𝒙 − 𝟐) é melhor representado por 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 93 
 
 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 94 
 
Comentários 
Essa questão requer muito cuidado. 
Perceba que o enunciado forneceu 𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥2 − 4), mas não pediu o gráfico referente 
a 𝑝(𝑥) e sim a 𝑦 = 𝑝(𝑥 − 2). 
Podemos abordar essa questão de, pelo menos, duas maneiras interessantes. 
A primeira é esboçarmos o gráfico de 𝑝(𝑥) e entendermos 𝑝(𝑥 − 2) como um deslocamento do 
gráfico de 𝑝(𝑥) em duas unidades para a direita. 
 
 
Vimos esse conteúdo quando estudamos as translações de funções no plano cartesiano, está 
lembrado? 
Se não está, é hora de uma revisadinha rápida... 
 
A segunda é calcularmos 𝑦 = 𝑝(𝑥 − 2) e fazermos o esboço de 𝑦 diretamente. 
Como estamos estudando, vamos resolver das duas maneiras. 
Claro que, na prova, você resolverá pela maneira que vier à mente, não há uma preferência 
entre elas, ok? 
Primeira maneira: entender 𝑝(𝑥 − 2) como deslocamento de 𝑝(𝑥) duas unidades à direita. 
𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥2 − 4) 
Como 𝑝(𝑥) já está quase completamente fatorado, vamos dar uma forcinha e fatorar o último 
binômio. 
Podemos ver que 𝑥2 − 4 é um caso de diferença de dois quadrados, dos produtos notáveis, 
assim: 
𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥2 − 4) 
𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 
Assim, podemos calcular as raízes de 𝑝(𝑥) igualando-o a zero. 
𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 
Quando temos um produto igual a zero, um de seus fatores deve, obrigatoriamente,ser nulo, 
assim: 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 95 
𝑥2 = 0
√𝑥2 = √0
|𝑥| = 0
𝑥 = ±0
𝑥 = 0
 
𝑥 − 1 = 0
𝑥 − 1 + 1 = 0 + 1
𝑥 − 1 + 1 = 0 + 1
𝑥 = 1
 
 
𝑥 + 2 = 0
𝑥 + 2 − 2 = 0 − 2
x + 2 − 2 = −2
𝑥 = −2
 
 
𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 + 2 = 0 + 2
x − 2 + 2 = 2
𝑥 = 2
 
 
Temos, então, todas as raízes de 𝑝(𝑥), com destaque para a raiz 𝑥 = 0 que, por ter vindo de 
𝑥2 é uma raiz de multiplicidade 2, ou seja, não há mudança de sinal no gráfico quando ele toca 
𝑥 = 0. 
Assim, o gráfico de 𝑝(𝑥) apenas toca 𝑥 = 0 , sem mudança de sinal, e passa por 𝑥 = −1 , 
𝑥 = −2 e 𝑥 = 2 . 
As raízes de 𝑝(𝑥) em ordem crescente: −2,0,1,2. 
 
 
Estamos procurando o gráfico de 𝑦 = 𝑝(𝑥 − 2), ou seja, 
o gráfico de 𝑝(𝑥) deslocado em 2 unidades para a direita. 
 
Dessa forma, podemos inferir que as raízes de 𝑝(𝑥 − 2) são as raízes de 𝑝(𝑥), duas unidades 
para a direita, portanto as raízes de 𝑝(𝑥 − 2) são: 
−2 + 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 
 0 2 3 4 
Lembrando que, agora, a raiz 𝑥 = 2 é dupla, pois herdou o comportamento da raiz de 𝑝(𝑥), 
𝑥 = 0 , que era dupla. 
Assim, o gráfico de 𝑦 = 𝑝(𝑥 − 2) cruza o eixo 𝑥 no ponto zero, somente encosta no ponto 𝑥 = 2 
e o cruza, novamente, em 𝑥 = 3 e 𝑥 = 4. 
Olhando para as opções apresentadas nas alternativas, vimos que há duas possibilidades para 
nosso 𝑦 = 𝑝(𝑥 − 2) que apresentam o comportamento descrito anteriormente. 
 
Resta sabermos se a função, após 𝑥 = 4, admite valores positivos ou negativos. 
Lembre-se, estamos trabalhando com um gráfico deslocado em duas unidades para a direita. 
Para que não haja dúvidas na hora da prova, escolha um valor maior que 𝑥 = 4, digamos, 𝑥 =
10. Assim você garante que o deslocamento não causará interferência na sua conclusão. 
Assim, temos. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 96 
𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥2 − 4) 
𝑝(10) = 102(10 − 1)(102 − 4) 
𝑝(10) = 100 ⋅ 9 ⋅ 96 
Perceba que não há necessidade de resolver esse produto, pois estávamos preocupados 
apenas com o sinal, se 𝑝(10) é positivo ou negativo. Percebemos pelos cálculos que é positivo, 
assim, só temos um gráfico com todas as condições satisfeitas. 
 
 Segunda maneira: calcular 𝑦 = 𝑝(𝑥 − 2) e fazer o esboço de 𝑦 diretamente. 
Aplicando (𝑥 − 2) a 𝑝(𝑥), temos. 
𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥2 − 4) 
𝑝(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2(𝑥 − 2 − 1)((𝑥 − 2)2 − 4) 
𝑝(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥2 − 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 2 + 2² − 4) 
𝑝(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4) 
𝑝(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4) 
𝑝(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥2 − 4𝑥) 
Colocando o 𝑥 em evidência no último fator. 
𝑝(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)𝑥(𝑥 − 4) 
Reorganizando, temos. 
𝑝(𝑥 − 2) = 𝑥(𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) 
Para calcularmos as raízes de 𝑝(𝑥 − 2), basta fazermos 𝑝(𝑥 − 2) = 0. 
𝑝(𝑥 − 2) = 𝑥(𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0 
Quando um produto é igual a zero, já sabe, algum dos fatores deve ser nulo. 
𝑥 = 0 
(𝑥 − 2)² = 0
√(𝑥 − 2)² = √0
|𝑥 − 2| = 0
𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 + 2 = 0 + 2
𝑥 − 2 + 2 = 0 + 2
𝑥 = 2
 
𝑥 − 3 = 0
𝑥 − 3 + 3 = 0 + 3
𝑥 − 3 + 3 = 0 + 3
𝑥 = 3
 
𝑥 − 4 = 0
𝑥 − 4 + 4 = 0 + 4
𝑥 − 4 + 4 = 0 + 4
𝑥 = 4
 
Destaque para a raiz 𝑥 = 2 que, por derivar de uma equação quadrática, é dupla, ou seja, o 
gráfico de 𝑝(𝑥 − 2) não muda de sinal ao tocar o eixo 𝑥 em 𝑥 = 2 . 
Nesse ponto, temos as raízes de 𝑝(𝑥 − 2): 0,2,3,4, sendo 2 uma raiz dupla. 
Assim, ficamos entre os dois gráficos a seguir, únicos a apresentar exatamente essas raízes. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 97 
 
Enfrentamos exatamente o mesmo problema quando resolvemos por translação de função. 
Para dar maior repertório a você, faremos uma análise diferente da anterior. 
Perceba que as duas propostas gráficas apresentam sinais opostos em todos os intervalos. 
Podemos pegar, por exemplo, o valor 𝑥 = 1, e verificar se em 𝑝(𝑥 − 2), 𝑦 é positivo ou 
negativo. 
Assim, temos. 
𝑦(𝑥) = 𝑝(𝑥 − 2) = 𝑥(𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) 
𝑦(1) = 1(1 − 2)2(1 − 3)(1 − 4) 
𝑦(1) = 1(−1)2(−2)(−3) 
𝑦(1) = 1 ⋅ 1 ⋅ 6 
𝑦(1) = 6 
Assim, como 𝑦(1) = 6 > 0, temos apenas um gráfico que atende a todos esses requisitos. 
 
Ok, já encontramos nossa alternativa correta. 
Mas por que as outras alternativas estão erradas? 
Vejamos isso agora. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 98 
 
Não condiz à informação 𝑦(1) = 6 > 0, como vimos nos cálculos. Neste gráfico, 𝑦(1) < 0. 
 
As raízes de 𝑦(𝑥) são 0,2,3 e 4. Essas raízes não estão representadas no gráfico. O gráfico 
apresenta apenas 3 raízes, uma logo à esquerda de −2 e duas entre 1 e 2. 
 
Essa é, a meu ver, a mais perigosa dentre as erradas, pois apresenta as raízes certas. A 
sutiliza que torna essa alternativa errada é o fato de 𝑥 = 2 ser uma raiz dupla, então o gráfico 
de 𝑦(𝑥) não cruza o eixo, não muda de sinal, só toca o eixo. Como, nessa alternativa, o gráfico 
cruza o eixo em 𝑥 = 2, não pode representar nossa função 𝑦(𝑥). 
 
As raízes de 𝑦(𝑥) são 0,2,3 e 4. Essas raízes não estão representadas no gráfico. O gráfico 
apresenta as raízes 4, −2,−1 e 0. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 99 
Gabarito: a) 
16. (Fuvest/2001) O polinômio 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔 admite 𝟏 + 𝒊 como raiz, onde 𝒊𝟐 = −𝟏. O 
número de raízes reais desse polinômio é: 
a) 𝟎 
b) 𝟏 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
e) 𝟒 
Comentários 
Muito bem, sabemos que, se 1 + 𝑖 é raiz do polinômio, seu conjugado, 1 − 𝑖 também é. 
Assim, nosso polinômio pode ser fatorado da seguinte maneira. 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) ⋅ 𝑄(𝑥) 
 
Ainda não sabemos 𝑄(𝑥), mas já conhecemos 𝑥′ e 𝑥′′: 
𝑥′ = 1 + 𝑖 
𝑥′′ = 1 − 𝑖 
Desse modo, podemos reescrever nosso polinômio. 
 
 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥 − (1 + 𝑖))(𝑥 − (1 − 𝑖)) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥 − 1 − 𝑖)(𝑥 − 1 + 𝑖) ⋅ 𝑄(𝑥) 
Fazendo a distributiva para os dois primeiros fatores. 
 
 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥 − 1 − 𝑖)(𝑥 − 1 + 𝑖) ⋅ 𝑄(𝑥) 
 
 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 𝑥 + 𝑥𝑖 − 𝑥 + 1 − 𝑖 − 𝑥𝑖 + 𝑖 − 𝑖²) ⋅ 𝑄(𝑥) 
Simplificando, temos. 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 𝑥 + 𝑥𝑖 − 𝑥 + 1 − 𝑖 − 𝑥𝑖 + 𝑖 − 𝑖²) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 + 1 − 𝑖²) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 𝑖²) ⋅ 𝑄(𝑥) 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 100 
Substituindo 𝑖² por −1. 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 2𝑥 + 1 − (−1)) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 1) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⋅ 𝑄(𝑥) 
Perceba que reescrevemos nosso polinômio como um produto, baseados no fato de que 1 + 𝑖 e 
1 − 𝑖 são duas de suas raízes. 
O enunciado nos pergunta acerca de todas as suas raízes, ou seja, precisaremos achar as outras 
duas. 
 
 
Por que outras duas? 
Porque o polinômio é de quarto grau e, de acordo com o Princípio Fundamental da Álgebra, 
deve apresentar 4 raízes. Já sabemos duas, então faltam as outras duas. 
 
Para isso, precisamos continuar decompondo o polinômio em fatores, pois, assim, 
conseguimos facilmente encontrar suas raízes. 
Sendo assim, vamos encontrar 𝑄(𝑥) e dar seguimento à fatoração. 
Para encontrarmos 𝑄(𝑥), vamos dividir nossa equação, em ambos os membros, por 
(𝑥2 − 2𝑥 + 2). 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6
𝑥2 − 2𝑥 + 2
=
(𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⋅ 𝑄(𝑥)
𝑥2 − 2𝑥 + 2
 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6
𝑥2 − 2𝑥 + 2
=
 (𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⋅ 𝑄(𝑥)
 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6
𝑥2 − 2𝑥 + 2
= 𝑄(𝑥) 
Para descobrir 𝑄(𝑥), precisamos fazer a divisãoentre esses polinômios. A divisão sintética não 
é a melhor opção aqui, visto que o denominador não é do primeiro grau. 
Assim, faremos a divisão comum. 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥) 
Como nosso primeiro passo, completamos com coeficiente zero as potências de 𝑥 que não 
aparecem no polinômio. Em nosso caso, 0𝑥³. 
𝑥4 +0𝑥³ +𝑥² −2𝑥 +6 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
Agora, dividimos o primeiro termo do polinômio pelo primeiro termo do divisor e colocamos o 
resultado no lugar do que virá a ser o quociente. 
𝑥4 +0𝑥³ +𝑥² −2𝑥 +6 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
 𝑥² 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 101 
Em seguida, multiplicamos o quociente por todo o divisor e colocamos o oposto do resultado 
embaixo do polinômio. 
 
É muito importante colocarmos o oposto do resultado embaixo do polinômio. 
Esse é um ponto crítico e demanda muita atenção, pois estamos acostumados a fazer a regra 
de sinais e colocar o resultado diretamente. 
Inverter o resultado não é comum e é exatamente por isso que muitos erros 
são cometidos nesse passo. Fique ligado. 
 
𝑥4 +0𝑥³ +𝑥² −2𝑥 +6 +𝑥2 − 2𝑥 + 2 
−𝑥4 +2𝑥³ −2𝑥² +𝑥² 
Somamos, então, o polinômio com a linha que acabamos de escrever. 
 𝑥4 +0𝑥³ +𝑥² −2𝑥 +6 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
 −𝑥4 +2𝑥³ −2𝑥² −2𝑥 +6 𝑥² 
 +2𝑥³ −𝑥² −2𝑥 +6 
Repetimos todo o processo até que, na posição do resto 𝑅(𝑥) tenhamos um polinômio de grau 
menor que nosso divisor. 
𝑥4 +0𝑥³ +𝑥² −2𝑥 +6 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
−𝑥4 +2𝑥³ −2𝑥² −2𝑥 +6 𝑥² +2𝑥 
 +2𝑥³ −𝑥² −2𝑥 +6 
 −2𝑥³ +4𝑥² −4𝑥 
 3𝑥² −6𝑥 +6 
Como ainda temos, no lugar do resto 𝑅(𝑥), um polinômio de grau não menor que o grau do 
polinômio do divisor, continuamos a divisão. 
Dividimos o termo de maior grau, colocamos na linha inferior com o sinal trocado e somamos. 
Sempre assim. 
𝑥4 +0𝑥³ +𝑥² −2𝑥 +6 𝑥2 − 2𝑥 + 2 
−𝑥4 +2𝑥³ −2𝑥² −2𝑥 +6 𝑥² +2𝑥 +3 
+2𝑥³ −𝑥² −2𝑥 +6 
−2𝑥³ +4𝑥² −4𝑥 
 +3𝑥² −6𝑥 +6 
 −3𝑥² +6𝑥 −6 
 0 
Nossa divisão deu resto zero, ou seja, temos nosso 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 3 e podemos retornar à 
equação de origem. 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⋅ 𝑄(𝑥) 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = (𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⋅ (𝑥2 + 2𝑥 + 3) 
Perceba que estamos procurando as raízes do polinômio 𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6, ou seja, os valores 
de 𝑥 que transformam o polinômio em zero. 
Assim, precisamos resolver a equação 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = 0 
Como conseguimos fatorar nosso polinômio, podemos reescrever a equação com o polinômio 
na forma fatorada. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 102 
𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = 0 
(𝑥2 − 2𝑥 + 2) ⋅ (𝑥2 + 2𝑥 + 3) = 0 
Só podemos ter um produto igual a zero se um de seus fatores for nulo. 
Ademais, do primeiro fator, (𝑥2 − 2𝑥 + 2), derivaram das duas raízes complexas: 1 + 𝑖 e 1 − 𝑖. 
Caso resolvêssemos a equação 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0, teríamos, exatamente, essas respostas. 
Assim, precisamos resolver a equação envolvendo o segundo fator igual a zero para descobrir 
as outras duas raízes, visto que nosso polinômio é de quarto grau e possui exatamente quatro 
raízes. 
𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0 
Equação do segundo grau. Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 22 − 4 ∙ 1 ∙ 3 = 4 − 12 = −8 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−2 ± √−8
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−2 + 2√2 ⋅ 𝑖
2 ⋅ 1
= −1 + √2 ⋅ 𝑖
 
𝑥′′ =
−2 − 2√2 ⋅ 𝑖
2 ⋅ 1
= −1 − √2 ⋅ 𝑖
 
Assim, as quatro raízes do polinômio 𝑥4 + 𝑥2 − 2𝑥 + 6 são: 
1 + 𝑖 1 − 𝑖 − 1 + √2 ⋅ 𝑖 − 1 − √2 ⋅ 𝑖. 
Como podemos ver, nenhuma dessas raízes é um número real. Como o enunciado pede 
exatamente o número de raízes reais do polinômio, nossa resposta é zero. 
Gabarito: a) 
17. (Fuvest/2000) O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐 é divisível por 𝒙𝟐 + 𝒂, para 
um certo número real 𝒂. Pode-se, pois, afirmar que o polinômio 𝒑 
a) não tem raízes reais. 
b) tem uma única raiz real. 
c) tem exatamente duas raízes reais distintas. 
d) tem exatamente três raízes reais distintas. 
e) tem quatro raízes reais distintas. 
Comentários 
Como o enunciado diz que 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥2 + 𝑎, esperamos que, ao efetuar a divisão de 
𝑝(𝑥) por 𝑥2 + 𝑎, obtenhamos resto zero. 
Sendo assim, façamos a divisão. 
 
 𝑥4 +𝑥³ −𝑥² −2𝑥 −2 𝑥2 + 𝑎 
 −𝑥4 −𝑎𝑥² 𝑥² +𝑥 −(𝑎 + 1) 
 𝑥³ −(𝑎 + 1)𝑥² −2𝑥 −2 
 −𝑥³ −𝑎𝑥 
 −(𝑎 + 1)𝑥² −(𝑎 + 2)𝑥 −2 
 +(𝑎 + 1)𝑥² a(𝑎 + 1) 
 −(𝑎 + 2)𝑥 + 𝑎(𝑎 + 1) − 2 
Já que nosso resto precisa ser zero para atender às condições do problema, façamos 
exatamente isso, calcular para quais condições −(𝑎 + 2)𝑥 + 𝑎(𝑎 + 1) − 2 = 0. 
−(𝑎 + 2)𝑥 + 𝑎(𝑎 + 1) − 2 = 0 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 103 
−(𝑎 + 2)𝑥 + 𝑎(𝑎 + 1) − 2 = 0𝑥 + 0 
Na equação polinomial, podemos pensar na igualdade dos coeficientes, o que, neste caso, 
gera duas equações distintas. 
 
−(𝒂 + 𝟐) = 𝟎 𝒂(𝒂 + 𝟏) − 𝟐 = 𝟎 
−𝑎 − 2 = 0 𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0 
−2 = 𝑎 ∆= 12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) = 1 + 8 = 9 
 
𝑎 =
−1 ± √9
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−1 + 3
2
=
2
2
= 1
 
𝑥′′ =
−1 − 3
2
=
−4
2
= −2
 
Como as duas equações devem ser satisfeitas simultaneamente, podemos dizer que 𝑎 = −2 e 
a solução 𝑎 = 1 é descartada, pois é solução da segunda parte. Voltando à divisão polinomial: 
𝑥4 +𝑥³ −𝑥² −2𝑥 −2 𝑥2 + 𝑎 
0 𝑥² +𝑥 −(𝑎 + 1) 
O que nos permite fatorar o polinômio 𝑝(𝑥). 
𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = (𝑥2 + 𝑎)(𝑥2 + 𝑥 − (𝑎 + 1)) 
𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = (𝑥2 − 2)(𝑥2 + 𝑥 − (−2 + 1)) 
𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = (𝑥2 − 2)(𝑥2 + 𝑥 − (−1)) 
𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = (𝑥2 − 2)(𝑥2 + 𝑥 + 1) 
Voltando à pergunta, o enunciado faz referência às raízes do polinômio 𝑝(𝑥). Sendo assim, já 
que temos o polinômio na forma fatorada, vamos calcular suas raízes. 
𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 0 
(𝑥2 − 2)(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 0 
Produto igual a zero, um dos fatores deve ser nulo. 
𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
𝑥2 = 2 ∆= 12 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = −3 
√𝑥2 = √2 
𝑥 =
−1 ± √−3
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−1 + √3 ⋅ 𝑖
2
 
𝑥′′ =
−1 − √3 ⋅ 𝑖
2
 
|𝑥| = √2 → 𝑥 = ±√2 
Assim, nosso polinômio 𝑝(𝑥) apresenta duas raízes reais e duas raízes complexas. 
Gabarito: c) 
18. (Fuvest/2000) Os gráficos de duas funções polinomiais 𝑷 e 𝑸 estão representados 
na figura seguinte. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 104 
 
Então, no intervalo [−𝟒, 𝟖], 𝑷(𝒙) ⋅ 𝑸(𝒙) < 𝟎 para: 
a) −𝟐 < 𝒙 < 𝟒 
b) −𝟐 < 𝒙 < −𝟏𝟏 ou 𝟓 < 𝒙 < 𝟖 
c) −𝟒 ≤ 𝒙 < −𝟐 ou 𝟐 < 𝒙 < 𝟒 
d) −𝟒 ≤ 𝒙 < −𝟐 ou 𝟓 < 𝒙 ≤ 𝟖 
e) −𝟏 < 𝒙 < 𝟓 
Comentários 
O enunciado nos pede para analisar o sinal do produto 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) e retornar o(s) intervalo(s) 
em que o produto seja negativo, ou seja, 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0. 
Para fazer isso, vamos separar o gráfico em setores, faixas verticais em cada raiz de cada 
polinômio envolvido. 
 
Perceba que temos as raízes de 𝑄(𝑥), 𝑥 = −2 e 𝑥 = 4; e a raiz de 𝑃(𝑥), 𝑥 = 2. Além disso, 
nossa análise, a pedido do enunciado, está limitada ao intervalo fechado entre 𝑥 = −4 e 𝑥 = 8, 
ou seja, ambos podem ser incluídos em nossos intervalos, caso necessário. 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 105 
E lembre-se: nas raízes, os polinômios apresentam valor nulo. Como o enunciado nos pediu 
o(s) intervalo(s) em que o produto é negativo, as raízes não devem ser incluídas. 
Analisemos, então, todos os intervalos em questão, sempre tomando as raízes como 
delimitadores.Intervalo de análise: −4 ≤ 𝑥 < −2 
Neste intervalo, o polinômio 𝑃(𝑥) é positivo (+) e o polinômio 𝑄(𝑥), negativo (−). Assim, temos 
o produto: 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) 
(+) ⋅ (−) = − 
Como nosso produto, no intervalo −4 ≤ 𝑥 < −2, é negativo, podemos inclui-lo no conjunto 
solução da inequação 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0. 
Intervalo de análise: −2 < 𝑥 < 2 
Neste intervalo, o polinômio 𝑃(𝑥) continua sendo positivo (+) e o polinômio 𝑄(𝑥) passa a ser 
positivo (+) também. Assim, temos o produto: 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) 
(+) ⋅ (+) = + 
Como nosso produto, no intervalo −2 < 𝑥 < 2, é positivo, não pode ser incluído no conjunto 
solução da inequação 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0. 
Intervalo de análise: 2 < 𝑥 < 4 
Neste intervalo, o polinômio 𝑃(𝑥) passa a ser negativo (−), enquanto o polinômio 𝑄(𝑥) 
continua sendo positivo (+). Assim, temos o produto: 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) 
(−) ⋅ (+) = − 
Como nosso produto, no intervalo 2 < 𝑥 < 4, é negativo, podemos inclui-lo no conjunto solução 
da inequação 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0. 
 
Intervalo de análise: 4 < 𝑥 ≤ 8 
Neste intervalo, o polinômio 𝑃(𝑥) passa a ser negativo (−), enquanto o polinômio 𝑄(𝑥) 
continua negativo (−). Assim, temos o produto: 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) 
(−) ⋅ (−) = + 
Como nosso produto, no intervalo 4 < 𝑥 ≤ 8, é positivo, não pode ser incluído no conjunto 
solução da inequação 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0. 
Dessa forma, apenas dois intervalos foram considerados válidos como solução da inequação 
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0: −4 ≤ 𝑥 < −2 e 2 < 𝑥 < 4. 
Gabarito: c) 
19. (Fuvest/1999) Dividindo-se o polinômio 𝒑(𝒙) por 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏, obtém-se quociente 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟏 e resto −𝒙 + 𝟐. Nessas condições, o resto da divisão de 𝒑(𝒙) por 𝒙 − 𝟏 é: 
a) 𝟐 
b) 𝟏 
c) 𝟎 
d) −𝟏 
e) −𝟐 
Comentários 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 106 
O enunciado pediu o resto da divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 1. Pelo teorema do resto, podemos dizer 
que esse resto é exatamente 𝑝(1). 
Sendo assim, precisamos definir qual é o polinômio 𝑝(𝑥) para podermos, com ele, calcular (1). 
A informação que temos é que, ao dividir 𝑝(𝑥) por 2𝑥2 − 3𝑥 + 1, obtemos quociente 3𝑥2 + 1 e 
resto −𝑥 + 2. 
Vamos reescrever essa informação com o algoritmo da divisão (chave). 
𝑝(𝑥) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 
−𝑥 + 2 3𝑥2 + 1 
 
Podemos, então, definir o polinômio 𝑝(𝑥) como: 
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
𝑝(𝑥) = (3𝑥2 + 1) ⋅ (2𝑥2 − 3𝑥 + 1) + (−𝑥 + 2) 
Como precisamos encontrar 𝑝(1), não é necessário que simplifiquemos 𝑝(𝑥), basta 
substituirmos 𝑥 = 1 na equação. 
𝑝(𝑥) = (3𝑥2 + 1) ⋅ (2𝑥2 − 3𝑥 + 1) + (−𝑥 + 2) 
𝑝(1) = (3 ⋅ 12 + 1) ⋅ (2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 + 1) + (−1 + 2) 
𝑝(1) = (3 + 1) ⋅ (2 − 3 + 1) + (−1 + 2) 
𝑝(1) = 4 ⋅ 0 − 1 + 2 
𝑝(1) = 1 
Gabarito: b) 
20. (Unesp/1997) Indicando por 𝒎, 𝒏 e 𝒑, respectivamente, o número de raizes racionais, 
raízes irracionais e raízes não reais do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐, temos: 
a) 𝒎 = −𝟏, 𝒏 = 𝟏 e 𝒑 = 𝟑. 
b) 𝒎 = 𝟏, 𝒏 = 𝟐 e 𝒑 = 𝟐. 
c) 𝒎 = 𝟐, 𝒏 = 𝟏 e 𝒑 = 𝟐. 
d) 𝒎 = 𝟐, 𝒏 = 𝟐 e 𝒑 = 𝟏. 
e) 𝒎 = 𝟏, 𝒏 = 𝟑 e 𝒑 = 𝟏. 
Comentários 
De início, vamos fatorar nosso polinômio 𝑝(𝑥). 
𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3 + 2𝑥2 − 2 
Colocando 𝑥³ em evidência para os dois primeiros termos e 2 para os dois últimos. 
𝑝(𝑥) = 𝑥3(𝑥2 − 1) + 2(𝑥2 − 1) 
Colocando (𝑥2 − 1) em evidência. 
𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥3 + 2) 
Como estamos interessados nas raízes do polinômio, precisamos resolver a equação 𝑝(𝑥) = 0. 
𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥3 + 2) = 0 
Um produto só resulta zero se um de seus fatores for nulo, portanto: 
 
 
 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 107 
 
𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝒙𝟑 + 𝟐 = 𝟎 
𝑥2 − 1 = 0 𝑥3 = −2 
𝑥2 = 1 √𝑥3
3
= √−2
3
 
√𝑥2 = √1 𝑥 = √−2
3
= √2
3
⋅ [cos (
𝜋 + 2𝑘𝜋
3
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 + 2𝑘𝜋
3
)] 
para 𝑘 = 0,1,2. 
|𝑥| = 1 𝑥 = √2
3
⋅ [cos (
𝜋
3
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
)] → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎 
𝑥 = ±1 𝑥 = √2
3
⋅ [cos(𝜋) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜋)] → 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
𝑥 = √2
3
⋅ [cos (
5𝜋
3
) + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
3
)] → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎 
Duas raízes reais e racionais Uma raiz real e irracional 
Duas raízes complexas (não reais) 
𝑚 = 2 𝑛 = 1 
𝑝 = 2 
Para descobrirmos todas as raízes do polinômio 𝑝(𝑥), precisamos invadir o domínio dos 
números complexos e, para isso, utilizamos a fórmula de Moivre para calcular a raiz cúbica de 
−2. 
De posse de 𝑚 = 2, 𝑛 = 1 e 𝑝 = 2, podemos assinalar nossa resposta. 
Gabarito: c) 
21. (Unesp/1992) O gráfico da figura adiante representa o polinômio real 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙³ +
𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄. Se o produto das raízes de 𝒇(𝒙) = 𝟎 é igual a soma dessas raízes, então 𝒂 +
 𝒃 + 𝒄 é igual a: 
 
a) 𝟒 
b) 𝟓 
c) 𝟔 
d) 𝟑 
e) 𝟗/𝟐 
Comentários 
O enunciado, incluindo o gráfico, traz muitas informações. Vamos enunciá-las na forma 
algébrica. 
... o produto das raízes de 𝒇(𝒙) = 𝟎 é igual a soma dessas raízes... 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 108 
Se denotarmos as três raízes de nosso polinômio de terceiro grau como 𝑟, 𝑠 e 𝑡, podemos 
reescrever a informação anterior como: 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 
Do gráfico, podemos tirar dois pontos importantes: a raiz 𝑥 = 
3
2
 e o intercepto-y que vale 𝑦 = 3 
quando 𝑥 = 0 ou, em outra linguagem, 𝑓(0) = 3. 
Assim, temos as seguintes equações: 
𝑓 (
3
2
) = 0 
𝑓(0) = 3 
Perceba que, quando fizermos o polinômio referente aos valores de 𝑥 que acabamos de ver, 
teremos mais três incógnitas: 𝑎, 𝑏 e 𝑐. 
Assim, teremos 6 incógnitas (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑟, 𝑠, 𝑡) e, até agora, somente três equações. 
Para podermos resolver esse enrosco, precisamos de mais informações. Uma dica 
interessante, dada pelo enunciado, está na primeira equação que montamos, 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡. Note que, em ambos os membros da equação, temos alguma relação de 
Girard. Assim, vamos escrevê-las todas para agregar informação para nosso problema. 
Para o polinômio 𝑓(𝑥) = −2𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, temos as seguintes relações de Girard. 
{
 
 
 
 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −
𝑎
−2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 =
𝑏
−2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = −
𝑐
−2
 
Veja que, nas relações de Girard, apareceram os termos de que falamos anteriormente, 
presentes na primeira equação da nossa resolução. 
Pois bem. Até aqui, coletamos muita informação acerca do problema, mas não nos dedicamos, 
ainda, à resolução em si. 
O enunciado pediu para que encontremos o valor da soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 e, para isso, usaremos 
todas as informações que coletamos até agora acerca tanto dos coeficientes quanto das raízes 
do polinômio 𝑓(𝑥). 
Para deixar as coisas mais organizadas, vamos organizar todas essas equações na forma de 
um sistema único. 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡
 
𝑓 (
3
2
) = 0
 
𝑓(0) = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −
𝑎
−2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 =
𝑏
−2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = −
𝑐
−2
 
Nossa, professor. Agora temos até mais equações do que precisamos! 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 109 
É verdade. Como temos “apenas” seis variáveis, em tese, bastariam seis equações para 
resolvermos o sistema. No entanto, não sabemos se alguma dessas equações traz a mesma 
informação que outra, então, vamos levando o sistema com todas elas. 
 
 
Nós poderíamos resolver o problema fazendo as substituições equação a equação, explicitar o 
sistema não é obrigatório. Contudo, o sistema tem o potencial de organizar os dados para você 
e, consequentemente, ajudar você a evitar que algum erro de desatenção seja cometido em 
meio a tantas equações. 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡
 
𝑓 (
3
2
) = 0
 
𝑓(0) = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −
𝑎
−2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 =
𝑏
−2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = −𝑐
−2
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡
 
−2 (
3
2
)
3
+ 𝑎 (
3
2
)
2
+ 𝑏 (
3
2
) + 𝑐 = 0
 
−2(0)3 + 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
𝑐
2
→ 
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡
 
−
27
4
+
9
4
𝑎 +
3
2
𝑏 + 𝑐 = 0
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
𝑐
2
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡
 
−
27
4
+
9
4
𝑎 +
3
2
𝑏 + 3 = 0
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→ 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 10 – POLINÔMIOS 110 
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 = 𝑟 + 𝑠 + 𝑡
 
3𝑎 + 2𝑏 = 5
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
3
2
=
𝑎
2 
3𝑎 + 2𝑏 = 5
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→ 
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
3
2
=
𝑎
2 
3𝑎 + 2𝑏 = 5
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
3 = 𝑎
 
3𝑎 + 2𝑏 = 5
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
𝑎
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→ 
 
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
3 = 𝑎
 
3 ⋅ 3 + 2𝑏 = 5
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
3
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3
 
3 = 𝑎
 
𝑏 = −2
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
3
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
𝑏
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→ 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 111 
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 3
 
3 = 𝑎
 
𝑏 = −2
 
𝑐 = 3
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
3
2
 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = −
−2
2 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
→
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 3
 
3 = 𝑎
 
𝑏 = −2
 
𝑐 = 3 }
 
 
 
 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4
 
𝑟 + 𝑠 + 𝑡 =
3
2 
𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 = 1
 
𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 =
3
2
 
 
Poderíamos até continuar com a resolução do sistema para encontrar o valor de todas as 
raízes. No entanto, o problema nos pediu para encontrar a soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4, assim, 
podemos encerrar o uso do sistema por aqui. 
Ok, eu sei que você também não vai dormir se não resolver todo o sistema. Só não vá fazer 
isso durante a prova, tá? 
Se você resolver o sistema para encontrar as raízes de 𝑓(𝑥) encontrará: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 3
 
3 = 𝑎
 
𝑏 = −2
 
𝑐 = 3
 
𝑟 =
3
2
→ 𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑒𝑚 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 
𝑠 = 𝑖
 
𝑡 = −𝑖
 
Gabarito: a) 
 
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AULA 10 – POLINÔMIOS 112 
11. Considerações finais 
Quantos teoremas, não? 
Mas não fique incomodado. Você viu nos exercícios que o ponto forte é trabalhar com o 
conteúdo dos teoremas. Na maioria das vezes, não é necessário nomeá-los, muito menos 
demonstrá-los. 
Ainda assim, tenha o máximo de intimidade que puder com o conteúdo, pois ele estará 
presente em muitas outras áreas da matemática. 
Ah, não se esqueça. Se surgir aquela dúvida, é só perguntar no fórum, ok? 
Grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
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