10 03 - (Complexos e Polinomio)

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Prof. Hiroshi 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Complexos e Polinômios 
 
1.(Uepg-pss 3 2019) No plano complexo, se: 
 
𝐴 é o afixo do número 𝑧1 = √2 (𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
), 
𝐵 do número 𝑧2 = 4[𝑐𝑜𝑠( 2𝜋) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝜋)] e 
𝐶 do número 𝑧3 = 4 + 𝑖, 
 
assinale o que for correto. 
 
01) A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 tem medida menor que 2. 
02) A reta de equação 𝑦 = −3𝑥 + 12 passa pelos pontos 
𝐴 e 𝐵. 
04) O perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 tem medida maior que 
7. 
08) A circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 = 0 
tem centro no ponto 𝐴 e raio 1. 
 
 
2.(Unicamp 2018) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. 
Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma raiz da equação 
quadrática 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então 
 
a) |𝑧| =
1
√3
. 
b) |𝑧| =
1
√5
. 
c) |𝑧| = √3. 
d) |𝑧| = √5. 
 
3. (Efomm 2018) Resolvendo o sistema 
 
{
|𝑧 − 2| = |𝑧 + 4|
|𝑧 − 3| + |𝑧 + 3| = 10
, para 𝑧 complexo, encontramos 
como solução 
 
 
a) −1 +
8√6
5
𝑖; −1 −
8√6
5
𝑖 
b) +1 +
8√6
5
𝑖; +1 −
8√6
5
𝑖 
c) −1 +
6√8
5
𝑖; −1 −
6√8
5
𝑖 
d) +1 +
6√8
5
𝑖; +1 −
6√8
5
𝑖 
e) +1 −
8√6
5
𝑖; −1 −
8√6
5
𝑖 
 
4. (Pucsp 2018) Considere os números 
complexos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = −𝑏 + 𝑎𝑖 e 𝑧3 = −𝑏 + 3𝑖, com 
𝑎 e 𝑏 números inteiros. 
Sabendo que 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0, o valor de (
𝑧2
𝑧1
)
3
 é igual a 
 
a) 1. b) −1. c) −𝑖. d) 𝑖. 
 
5. (Uefs 2018) Dado um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 
com 𝑎 e 𝑏 reais, define-se afixo de 𝑧 como o ponto do 
plano complexo de coordenadas (𝑎,  𝑏). Sejam 𝐴,  𝐵 e 𝐶 
os afixos dos números complexos 𝑧𝐴 = 14 + 4𝑖, 𝑧𝐵 = 6 −
2𝑖 e 𝑧𝐶 = 16 − 2𝑖. A área do triângulo de vértices 𝐴,  𝐵 e 𝐶 
é 
 
a) 18. b) 24. c) 30. d) 36. e) 40. 
 
 
6. (Ufrgs 2018) Considere as seguintes afirmações sobre 
números complexos. 
 
I. (2 + 𝑖)(2 − 𝑖)(1 + 𝑖)(1 − 𝑖) = 10. 
II. (
7
2
+
1
3
𝑖) + (
3
2
+
2
3
𝑖) =
5
2
+
1
2
𝑖. 
III. Se o módulo do número complexo 𝑧 é 5, então o 
módulo de 2𝑧 é 10. 
 
Quais afirmações estão corretas? 
 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas I e III. 
e) I, II e III. 
 
 
7. (Uepg 2018) Considerando os números complexos 
𝑧1 = 1 − 2𝑖 e 𝑧2 = −3 + 𝑖, assinale o que for correto. 
 
01) |𝑧1𝑧2| = √50. 
 
02) 
𝑧1
𝑧2
=
1
2
(−1 + 𝑖). 
 
04) (�̄�2)
2 = 8 − 6𝑖. 
 
08) O módulo de 𝑧2 é √8. 
 
16) O afixo de �̄�1 ⋅ �̄�2 pertence ao 2º quadrante. 
 
8. (Ufsc 2018) É correto afirmar que: 
 
01) A forma trigonométrica do número complexo de afixo 
(−2, −2√3) é 𝑧 = 4 (𝑐𝑜𝑠
4𝜋
3
− 𝑖 𝑠𝑒𝑛
4𝜋
3
). 
 
02) Sejam 𝑖 a unidade imaginária e 𝑧 = (−𝑚2 − 𝑚 − 12) +
(𝑚2 − 16) ⋅ 𝑖. O único valor real de 𝑚 para que 𝑧 seja um 
número real não nulo é 𝑚 = 4. 
 
04) Se 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥2 − 4 > 0}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; −𝑥2 + 3𝑥 <
0} e 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ;  2 < 𝑥 < 4}, então 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵. 
 
08) João ofereceu a um amigo uma televisão por 
𝑅$ 1.500,00 à vista. A prazo, ele pediu 𝑅$ 1.800,00, sendo 
𝑅$ 200,00 de entrada e o restante após um ano. A taxa de 
juros cobrada por João, no regime de capitalização 
simples, é maior que 20% ao ano. 
 
16) Se 𝐴,  𝐵 e 𝐶 são subconjuntos do universo 𝑈, tais que 
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶, então 𝐵 = 𝐶. 
 
32) Se 𝑎 = (√2  √2
3
)
3
,  𝑏 = 22
3
 e 𝑐 = 8−
2
3, então 
𝑏
𝑎⋅𝑐
= 28. 
 
9. (Unigranrio - Medicina 2017) Sejam 𝑥1,  𝑥2 e 𝑥3 as 
raízes da equação 𝑥3 + 1 = 0, tomando como base o 
conjunto dos números complexos. Ao representarmos 
geometricamente essas raízes no plano de Argand-
Gauss, obtemos um triângulo, cujos vértices são os afixos 
de 𝑥1,  𝑥2 e 𝑥3. A área do triângulo é: 
 
a) 
√3
4
 b) 
3
4
 c) 
2√3
4
 d) 
3√3
4
 e) 
3
2
 
 
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10. (Pucsp 2017) Considere os números complexos 𝑧1 =
−1 − 𝑖, 𝑧2 = 𝑘 + 𝑖, com 𝑘 um número real positivo e 𝑧3 =
𝑧1 ⋅ 𝑧2 
 
Sabendo que |𝑧3| = √10, é correto afirmar que 
 
a) |𝑧1 + 𝑧2| = √7 
b) 
𝑧2
𝑧3
=
−1+𝑖
2
 
c) O argumento de 𝑧2 é 225°. 
d) 𝑧3 ⋅ 𝑧2 = −1 + 2𝑖 
 
11. (Mackenzie 2017) Se 
2+𝑖
𝛽+2𝑖
 tem parte imaginária igual 
a zero, então o número real 𝛽 é igual a 
 
a) 4 b) 2 c) 1 d) −2 e) −4 
 
12. (Uem 2017) Sejam os números complexos 𝑧 = 1 − 𝑖 e 
𝑤 = 2 + 𝑖. Denotam-se por �̄� e �̄� os conjugados de 𝑧 e 𝑤, 
respectivamente. 
 
Considerando esses dados, assinale o que for correto. 
 
01) 𝑧 ⋅ �̄� = 2 − 3𝑖. 
 
02) �̄� ⋅ | 𝑤 | = √3 + √3𝑖. 
 
04) 
𝑤
𝑧
=
1
2
+
3
2
𝑖. 
 
08) 𝑧 + 𝑤 é um número imaginário. 
 
16) Seja 𝑃( 𝑥) = 0 uma equação polinomial, com 
coeficientes reais, que tem 𝑧 e 𝑤 como raízes simples. 
Então o menor grau de 𝑃(𝑥) é 2. 
 
13. (Uece 2017) Se 𝑖 é o número complexo cujo quadrado 
é igual a −1, então, o valor de 5 ⋅ 𝑖227 + 𝑖6 − 𝑖13 é igual 
a 
 
a) 𝑖 + 1. b) 4𝑖 − 1. c) −6𝑖 − 1. d) −6𝑖. 
 
14. (Pucsp 2017) Em relação ao número complexo 𝑧 =
𝑖87 ⋅ (𝑖105 + √3) é correto afirmar que 
 
a) sua imagem pertence ao 3º quadrante do plano 
complexo. 
b) é imaginário puro. 
c) o módulo de 𝑧 é igual a 4. 
d) seu argumento é igual ao argumento do número 
complexo 𝑣 =
1
2
−
√3
2
𝑖. 
 
15. (Uece 2017) Para cada 𝑗 = 1,  3,  5,  7, considere o 
número complexo 𝑧𝑗 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋⋅𝑗
4
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜋⋅𝑗
4
, onde 𝑖 é o 
número completo tal que 𝑖2 = −1. Em relação aos 
números 𝑝 = 𝑧1 + 𝑧3 + 𝑧5 + 𝑧7 e 𝑞 = 𝑧1 ⋅ 𝑧3 ⋅ 𝑧5 ⋅ 𝑧7, é 
correto afirmar que 
 
a) 𝑝 = 0 e 𝑞 = 𝑖. 
b) 𝑝 = 1 e 𝑞 = 𝑖. 
c) 𝑝 = 0 e 𝑞 = 1. 
d) 𝑝 = 1 e 𝑞 = 1. 
 
 
16. (Eear 2017) Se 𝑖 é a unidade imaginária, então 2𝑖3 +
3𝑖2 + 3𝑖 + 2 é um número complexo que pode ser 
representado no plano de Argand-Gauss no __________ 
quadrante. 
 
a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto 
 
17. Resolva as equações em C: 
 
a) 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 
 
b) (𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 9) = 0 
 
c) 𝑥3 − 8 = 0 
 
18. (Mackenzie 2010) Se 𝑦 = 2𝑥, sendo i = √−1 e 𝑥 =
 
1+𝑖
1−𝑖
 , o valor de (𝑥 + 𝑦)2 é: 
 
a) 9𝑖 b) – 9 + 𝑖 c) – 9 d) 9 e) 9 – 𝑖 
 
 
19. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo 𝑧 =
i2014 − i1987 é igual a 
 
a) √2 b) 0 c) √3 d) 1 
 
20. (Uece 2014) Se x e y são números reais não nulos, 
pode-se afirmar corretamente que o módulo do número 
complexo z =
x − iy
x + iy
 é igual a 
 
a) 1 b) 2 c) x2 + y2 d) |x. y| 
 
21. Considere a função 𝑝(𝑥) = 𝑥4 – 81 e faça o que se 
pede em cada um dos itens a seguir. 
 
a) Decomponha 𝑝(𝑥) em fatores de primeiro grau. 
b) Resolva a equação 𝑝(𝑥) = 0, no universo dos 
números complexos. 
c) Represente, no plano complexo, cada uma das 
soluções encontradas, escreva suas coordenadas polares 
e suas respectivas formas trigonométricas. 
d) Calcule a área do polígono cujos vértices são os afixos 
das soluções da equação 𝑝(𝑥) = 0. 
 
22. (Uepg-pss 3 2019) Sabendo que a divisão do 
polinômio 𝑃(𝑥) por 𝐷(𝑥) = 2𝑥2 + 6𝑥 + 7 resulta no 
quociente 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 e resto nulo, assinale o 
que for correto. 
 
01) 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1. 
02) 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 2. 
04) 𝑃(𝑥) é um polinômio do quinto grau. 
08) 𝑃(0) = 0. 
 
23. (Uece 2019) Considerando o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 +
8𝑥2 + 𝑥 + 1, é correto afirmar que o valor da soma 
𝑃(−1) + 𝑃 (−
1
3
) é um número localizado entre 
 
a) 5,0 e 5,5. b) 4,0 e 4,5. c) 4,5 e 5,0. d) 5,5 e 6,0. 
 
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24. (Ufpr 2019) O processo de encontrar um polinômio 
cujo gráfico passa por um determinado conjunto de 
pontos é chamado interpolação polinomial, e o polinômio 
obtido nesse processo é conhecido como polinômio 
interpolador. 
 
a) Verifique se 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 é polinômio 
interpolador para os pontos 𝑃1(−2, −3), 𝑃2(0, −3) e 
𝑃3(1,  0). 
b) Encontre𝑎,  𝑏,  𝑐,  𝑑 ∈ ℝ tais que 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +
𝑐𝑥 + 𝑑 seja polinômio interpolador para os pontos 
𝑄1(−2,  8), 𝑄2(−1,  1), 𝑄3(1, −4) 𝑄4(2, −8). 
 
25. (Ufrgs 2019) A soma dos coeficientes do polinômio 
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4)1.000 é 
 
a) 1. b) 5. c) 100. d) 500. e) 1.000. 
 
 
26. (Ufjf-pism 3 2018) O resto da divisão do polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥10 − 1 pelo polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 20,2 é: 
 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
 
 
27. (Upf 2018) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 −
(5 + 𝑚)𝑥 + 3. Sabendo que o resto da divisão de 𝑃 pelo 
monômio 𝑥 + 2 é 7, determine o valor de 𝑚. 
 
a) 0 b) 15 c) 2 d) 7 e) 21 
 
 
28. (Eear 2017) Considere 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥, tal que 
𝑃(1) = −2 e 𝑃(2) = 6. Assim, os valores de 𝑏 e 𝑐 são, 
respectivamente, 
 
a) 1 e 2 b) 1 e −2 c) −1 e 3 d) −1 e −3 
 
29. (Acafe 2017) Seja 𝑃( 𝑥) um polinômio divisível por 
(𝑥 − 2). Se dividirmos o polinômio 𝑃( 𝑥) por (𝑥2 + 2 𝑥), 
obteremos como quociente o polinômio (𝑥2 − 2) e resto 
igual a 𝑅( 𝑥). Se 𝑅( 3) = 6, então, a soma de todos os 
coeficientes de 𝑃( 𝑥) é igual a: 
 
a) −38. b) −41. c) 91. d) 79. 
 
30. (Mackenzie 2017) Os valores de 𝑅,  𝑃 e 𝐴 para que a 
igualdade 
2𝑥2+5𝑥−1
𝑥3−𝑥
=
𝑅
𝑥
+
𝑃
𝑥+1
+
𝐴
𝑥−1
 seja uma identidade 
são, respectivamente, 
 
a) 3,  1 e −2 
b) 1, −2 e 3 
c) 3, −2 e 1 
d) 1,  3 e −2 
e) −2,  1 e 3 
 
 
 
31. (Ufu 2017) Considere os polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑎 +
𝑏 e ℎ(𝑥) = 𝑥4 + 𝑎 − 2𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são constantes reais 
e 𝑥 é uma variável real. Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 
para os quais esses polinômios sejam divisíveis por 𝑥 − 4. 
 
 
32. (Unicamp 2017) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números 
reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 1. 
 
a) Mostre que, se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 
1
𝑟
 é uma raiz 
do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1. 
b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a 
sequência (𝑝( − 1),  𝑝(0),  𝑝(1)) é uma progressão 
aritmética (PA), cuja razão é igual a 𝑝( 2). 
 
33. (Uece 2017) O termo independente de 𝑥 no 
desenvolvimento da expressão algébrica (𝑥2 − 1)3 ⋅
(𝑥2 + 𝑥 + 2)2 é 
 
a) 4. b) −4. c) 8. d) −8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
 
1. 05 2.b 3.a 4.c 
5.c 6.d 7. 03 8. 40 
9.d 10.b 11.a 12. 04 
13.c 14.d 15.c 16.b 
17.c 18.c 19.a 20.a 
 
21. 
a) p(x) = (x − 3)(x + 3)(x − 3i)(x + 3i) 
b) S = {3, −3, 3i, −3i} 
c) 
 
 
(3, 0º); (3, 90º); (3, 180º) e (3, 270º) 
 
x1 = 3 · [cos 0º + i · sen 0º] 
x2 = 3 · [cos 90º + i · sen 90º] 
x3 = 3 · [cos 180º + i · sen 180º] 
x4 = 3 · [cos 270º + i · sen 270º] 
 
d) A área é igual a 18 
 
22: 04 + 08 = 12. 
 
23: [A] 
24: a) 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 é polinômio interpolador dos pontos 
dados. 
b) 𝑎 = −
1
2
,  𝑏 =
1
2
,  𝑐 = −2 e 𝑑 = −2. 
 
25.a 26.d 27.b 28.d 
29.b 30.b 31. −
384
5
 e 
448
5
. 
33.b 
 
32: 
 a) Se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 𝑟3 + 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 1 = 0. Daí, 
temos 
3 2
3 2
3
1 1 1 1
p b a 1
r r r r
1
(r ar br 1)
r
0.
     
= + + +     
     
= + + +
=
 
 
Portanto, segue o resultado. 
 
b) Sendo 𝑝(−1) = 𝑎 − 𝑏, 𝑝(0) = 1, 𝑝(1) = 𝑎 + 𝑏 + 2 e 𝑝(2) =
4𝑎 + 2𝑏 + 9, temos 
{
𝑎 − 𝑏 + 4𝑎 + 2𝑏 + 9 = 1
1 + 4𝑎 + 2𝑏 + 9 = 𝑎 + 𝑏 + 2
∼ {
5𝑎 + 𝑏 = −8
−3𝑎 − 𝑏 = 8
 
 ∼ {
𝑎 = 0
𝑏 = −8
 .