Matemática - Livro 4-031-033

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F
R
E
N
T
E
 1
31
67 Uma moeda e um dado são lançados. Considere o
espaço amostral: E = {(K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5),
(K, 6), (C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6)}. Descreva
os eventos:
a) A: ocorre cara. e) B ∩ C
b) B: ocorre número par. f) A ∩ C
c) C: ocorre o número 3. g) A
d) A ∪ B h) C
68 De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso.
Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?
a) Ocorre dama de copas.
b) Ocorre dama.
c) Ocorre carta de naipe “paus”.
d) Ocorre dama ou rei ou valete.
e) Ocorre uma carta que não é um rei.
69 Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e
10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual a
probabilidade:
a) de a bola não ser amarela?
b) de a bola ser branca ou preta?
c) de a bola não ser branca nem amarela?
70 Em uma cidade, 30% dos homens são casados, 40%
são solteiros, 20% são desquitados e 10% são viúvos.
Um homem é escolhido ao acaso. Qual o probabili-
dade de ele ser:
a) solteiro?
b) não ser casado?
c) ser solteiro ou desquitado?
71 Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade
de observarmos:
a) 3 coroas?
b) exatamente uma coroa?
c) pelos menos uma cara?
d) nenhuma coroa?
e) no máximo 2 caras?
72 Oito pessoas (entre elas Pedro e Sílvia) são dispostas
ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de:
a) Pedro e Sílvia ficarem juntos?
b) Pedro e Sílvia ficarem separados?
73 Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 2 pre-
tas. Duas bolas são extraídas ao acaso e com reposição.
Qual a probabilidade de:
a) ambas serem vermelhas?
b) nenhuma ser branca?
c) nenhuma ser preta?
74 Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres.
Três pessoas são selecionadas ao acaso, sem repo-
sição. Qual a probabilidade de que ao menos duas
sejam homens?
75 Jogando-se 3 dados, qual a probabilidade de obter-
mos soma menor ou igual a 4?
A
1
36

1
2
C
5
27

1
18
E
1
54
76 Tirando-se, ao acaso, 5 cartas de um baralho de 52 car-
tas, a probabilidade de sair exatamente 3 valetes é:
A
4
52

4 48 2
52 5
⋅C
C
,
,
C
4 52 2
52 5
⋅C
C
,
,

3
52
E n.d.a.
77 Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam En-
genharia, 150 estudam Economia e 10 estudam
Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao
acaso, qual a probabilidade de que:
a) ele estude Engenharia e Economia?
b) ele estude somente Engenharia?
c) ele estude somente Economia?
d) ele não estude Engenharia nem Economia?
e) ele estude Engenharia ou Economia?
78 Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de
4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso.
Qual a probabilidade de ele ser:
a) par? b) ímpar?
79 Fuvest Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9.
Sorteiam-se, com reposição, duas bolas. A proba-
bilidade de que o número da segunda bola seja
estritamente maior do que a primeira é:
A
72
81

1
9
C
36
81

30
81
E
45
81
80 De um baralho de 52 cartas, três são extraídas ao aca-
so, sem reposição. Qual a probabilidade de que as
três sejam do mesmo naipe?
81 De um baralho de 52 cartas, duas são selecionadas
ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de
que seus naipes sejam diferentes?
82 De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 de-
feituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem
repetição. Qual a probabilidade de:
a) as 10 peças serem boas?
b) as 10 peças serem defeituosas?
c) 5 serem boas e 5 serem defeituosas?
83 Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 de-
feituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso,
sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) todas serem boas?
b) todas serem defeituosas?
c) 2 serem boas e 3 serem defeituosas?
d) pelo menos 1 ser defeituosa?
MATEMÁTICA Capítulo 14 Teoria das probabilidades32
Texto complementar
84 Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e
5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da urna. Qual
a probabilidade de a bola escolhida ser:
a) branca? b) vermelha? c) azul?
85 Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e
observados os números das faces de cima.
a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais?
b) Qual a probabilidade de ocorrerem números di-
ferentes?
c) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 7?
d) Qual a probabilidade de a soma dos números
ser 12?
e) Qual a probabilidade de a soma dos números ser
menor ou igual a 12?
f) Qual a probabilidade de aparecer o número 3 em
ao menos um dado?
86 Um colégio tem 1 000 alunos. Destes: 200 estudam
Matemática; 180 estudam Física; 200 estudam Química;
20 estudam as três matérias; 50 estudam Matemática
e Física; 50 estudam Física e Química; 70 estudam so-
mente Química. Um aluno do colégio é escolhido ao
acaso. Qual a probabilidade de:
a) ele estudar só Matemática?
b) ele estudar só Física?
c) ele estudar Matemática e Química?
87 Nove livros são colocados ao acaso em uma estante.
Qual a probabilidade de que 3 livros determinados fi-
quem juntos?
88 Entre 10 me ninos, 4 têm olhos azuis. Três meninas são
escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabili-
dade de pelo menos duas terem olhos azuis?
89 De um baralho de 52 cartas, 5 são extraídas ao acaso,
sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) saírem os 4 reis?
b) não sair nenhum rei?
c) sair ao menos um rei?
90 Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de
observarmos um número na face de cima é proporcio-
nal a esse número. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer número par.
b) ocorrer número maior ou igual a 5.
91 Um homem encontra-se na origem de um sistema
cartesiano ortogonal. Ele só pode andar uma unidade
de cada vez, para cima ou para direita. Se ele andar
10 unidades, qual a probabilidade de chegar no ponto
P(7, 3)?
Coincidência de aniversários
Seja E um conjunto de n pessoas e F o conjunto dos dias do ano, não
bissexto; ou seja, F = {1, 2, 3 ..., 364, 365}.
Vamos criar uma função que associa E a F, relacionando uma pessoa
com o dia do seu aniversário.
Seja B o conjunto das funções injetoras de E em F e A o conjunto das
funções não injetoras de E em F. O conjunto A representa as coincidên-
cias de aniversários e B as não coincidências. O número de funções de
E com F é (365)n. O número de elementos de B é o arranjo simples de
365, n a n:
n(B) = 365.364 · ... · (365 – n + 1)
n(A) = (365)n – n(B)
A probabilidade de B, sendo (365)n o conjunto Universo, é:
P(B)
n(B)
(365)
365 364 ... (365 n 1)
(365)
,
n n
= =
⋅ ⋅ ⋅ − +
que representa a probabilidade de não haver coincidência de
aniversários.
A probabilidade das coincidências é P(A) = 1 – P(B), assim:
P(A) 1
365 364 ... (365 n + 1)
(365)
n
=
⋅ ⋅ ⋅ −
Fazendo um gráfico, temos, aproximadamente:
23 41
1
0,9
0,5
P(A)
n
Com 23 alunos em uma sala, temos 50% de chance de coincidência de
aniversários, e 90% com 41 alunos.
Teremos 100% de chance para um grupo de 367 pessoas (contando com
a possibilidade de aniversário em 29 de fevereiro, em um ano bissexto).
F
R
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 1
33
Resumindo
A teoria das probabilidades desenvolve-se sobre algumas definições importantes. Além dessas definições, todos os
conhecimentos na área da análise combinatória podem ser aplicados.
Definição de probabilidade
Assim, a probabilidade de certo acontecimento A, associado a uma experiência aleatória, cujo espaço amostral é S,
com A ⊂ S, é dada por:
P(A)
n de casos favoráveis a A
n de casos possíveis
o
o
=
Sejam A e B acontecimentos quaisquer de S, então:
1. P(A) + P(A) = 1, A é o evento complementar de A.
2. A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, A ∩ B = ∅; então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. P(S) = 1
4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∩ B)
Quer saber mais?
Livro
• ROSS, Sheldon. Probabilidade: um curso moderno com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Artmed, 2010.
Site
• Trocar ou não de porta?
Disponível em: <https://cienciahoje.org.br/artigo/trocar-ou-nao-de-porta/>.
Filme
• Quero ficar com Polly. Direção: John Hamburg. EUA, 2004.
Exercícios complementares
1 UEG 2019 Em um programa de televisão, será sortea-
do um dos participantes para executar determinada
tarefa. Sabe-se que, entre os participantes, 4 são ho-
mens, 6 são mulherese uma mulher recebeu imunida-
de e não poderá participar do sorteio. Colocando-se
os nomes dos participantes que serão sorteados em
uma urna e retirando-se um deles ao acaso, a proba-
bilidade de que seja uma mulher é de:
A 1
2
 1
5
C 3
5

1
9
E 5
9
2 Unisa O número da chapa de um carro é par. A proba-
bilidade de o algarismo das unidades ser zero é:
A
1
10

1
2
C
4
9

5
9
E
1
5
3 Enem 2019 Em um determinado ano, os computado-
res da receita federal de um país identificaram como
inconsistentes 20% das declarações de imposto de
renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração
é classificada como inconsistente quando apresenta
algum tipo de erro ou conflito nas informações presta-
das. Essas declarações consideradas inconsistentes
foram analisadas pelos auditores, que constataram
que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda
que, dentre as declarações que não apresentaram in-
consistências, 6,25% eram fraudulentas.
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração
de um contribuinte ser considerada inconsistente,
dado que ela era fraudulenta?
A 0,0500
 0,1000
C 0,1125
 0,3125
E 0,5000