Matemática - Livro 3-088-090

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MATEMÁTICA Capítulo 7 Noções de Estatística88
15 UFPR 2016 Dado um conjunto X = {x1, x2, x3, ..., xn) com n elementos, definimos a média x e o desvio padrão d de X por:
( ) ( ) ( )
=
+ + +
=
+ + +
x
x x x
n
 d
x x x x ... x x
n
1 2 n 1
2
2
2
n
2
Uma informação útil para quem analisa um conjunto de dados como X é que a maioria desses dados pertence ao
intervalo [ ]= +C x 2d, x 2d Sendo = 




X
5
2
, 4,
7
2
, 3 um conjunto de dados:
a) Calcule a média x e o desvio padrão d.
b) Verifique quais dados do conjunto X pertencem ao intervalo C.
Resolução:
a) A média é igual a: =
+ + +
=
+ + +
= = =x
5
2
4
7
2
3
4
5 8 7 6
2
4
26
2
4
13
4
3,25 .
 O desvio padrão é:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
-




+ - + -




+ -
=
+ + + -
=
- + + + -
= + + +
= ≅
≅
d
5
2
3,25 4 3,25
7
2
3,25 3 3,25
4
d
2,5 3,25 0,75 3,5 3,25 0,25
4
d
0,75 0,75 0,25 0,25
4
d
0,5625 0,5625 0,0625 0,0625
4
d
1,25
4
1,12
2
d 0,56
2
2 2
2 2 2
2 2 2
b) O intervalo [ ]= +C x 2d, x 2d equivale ao intervalo real:
= - ⋅ + ⋅  =  C 3,25 2 0,56; 3,25 2 0,56 2,13; 4,37 .
 Logo, todos os elementos do conjunto X pertencem ao intervalo C.
Medidas de posição e dispersão para dados agrupados
Se a situação a ser analisada sobre uma variável quantitativa apresenta seus valores agrupados em intervalos de classes,
não há como saber a distribuição dos valores em cada faixa Assim, para associar e calcular as medidas até aqui estudadas,
devemos supor que, em cada intervalo, os valores foram distribuídos de forma simétrica ao redor do ponto médio de cada
um deles. De uma forma prática, deve-se admitir que todos os “n” valores do intervalo são o seu próprio ponto médio
Para entender como calcular essas medidas, atente-se aos exercícios resolvidos a seguir.
Exercícios resolvidos
16 A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências das estaturas, em centímetros, de uma amostra de estudantes
do Ensino Fundamental II.
Classe
(estatura em centímetros)
Frequência
(número de alunos)
150,5 156,5 4
156,5 160,5 5
160,5 168,5 8
168,5 178,5 3
(fonte ctícia)
a) Qual a estatura média dos estudantes dessa amostra?
b) Qual o desvio padrão dessa amostra?
F
R
E
N
T
E
 2
89
Resolução:
Classe é um subconjunto de um rol. Pode ser “unitária”, quando apresenta um único elemento do rol ou não, quando
apresenta vários elementos consecutivos de um rol no intervalo dado.
No exercício, a 1a classe 150,5 – 156,5 possui 4 elementos que podem ter alturas aleatórias, tais como 150,5, 152,7,
154,0 e 156,3, mas não sabemos exatamente quais são. O que sabemos é que:
1a classe: 150,5 ≤ (altura de 4 alunos < 156,5
2a classe: 156,5 ≤ (altura de 5 alunos) < 160,5
3a classe: 160,5 ≤ (altura de 8 alunos) < 168,5
4a classe: 168,5 ≤ (altura de 3 alunos) ≤ 156,5.
Para resolver qualquer exercício desse tipo, devemos obter uma classe unitária correspondente a cada classe. Para
isso, basta achar o ponto médio (média aritmética) das classes dadas e trabalhar com esses valores.
Classe
(estatura em centímetros)
Ponto médio
(média aritmética)
Frequência
(número de alunos)
150,5 156,5
150,5 156,5
2
307
2
153,5
+ = = 4
156,5 160,5
156,5 160,5
2
317
2
158,5
+ = = 5
160,5 168,5
160,5 168,5
2
329
2
164,5
+ = = 8
168,5 178,5
168,5 178,5
2
347
2
173,5
+ = = 3
(fonte ctícia)
a) A estatura média corresponde à média aritmética dos valores, assim:
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +
=
+ + +
= =X 4 153,5 5 158,5 8 164,5 3 173,5
4 5 8 3
614,0 792,5 1 316,0 520,5
20
3 243
20
162,15 cm
b) A variância é igual a:
s = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
s = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
s = + + +
s = =
4 (153,5 162,15) 5 (158,5 162,15) 8 (164,5 162,15) 3 (173,5 162,15)
20
4 ( 8,65) 5 ( 3,65) 8 (2,35) 3 (11,35)
20
299,29 66,6125 44,18 386,4675
20
796,55
20
39,8275
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
Logo, o desvio padrão dessa amostra é s = ≅39,8275 6,31 cm.
17 Um colégio fez, no final do ano letivo, uma pesquisa com os 90 alunos do 3o ano do Ensino Médio para avaliar o grau
de satisfação da turma Cada aluno atribuiu uma nota de 0 a 10, tendo a chance de recomendar o colégio a outra
pessoa
Os resultados estão apresentados na tabela a seguir:
Nota Frequência absoluta
0 2 4
2 4 14
4 6 29
6 8 37
8 10 6
(fonte ctícia)
De acordo com essas informações, determine o desvio padrão das notas e qual é a classe modal.
MATEMÁTICA Capítulo 7 Noções de Estatística90
Resolução:
Admitindo que as 4 notas do primeiro intervalo sejam 1 (ponto médio do intervalo 0 a 2), que as 14 notas do segundo
intervalo sejam 3 (ponto médio do intervalo 2 a 4) e assim por diante.
Dessa forma, considerando os pontos médios 1, 3, 5, 7 e 9 de cada intervalo, podemos calcular a nota média:
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + + +
= + + + + = =X 1 4 3 14 5 29 7 37 9 6
4 14 29 37 6
4 42 145 259 54
90
504
90
5,6
Para calcular os desvios, a variância e o desvio padrão, deve-se usar o mesmo critério
Desvios absolutos
d1 = |1 5,6| = 4,6
d2 = |3 – 5,6| = 2,6
d3 = |5 – 5,6| = 0,6
d4 = |7 5,6| = 1,4
d5 = |9 – 5,6| = 3,4
Desvio médio: d = + + + + = =4 6 2 6 0 6 1 4 3 4
5
12 6
5
2 52
, , , , , ,
,
Variância: s2
2 2 2 2 2
4 6 4 2 6 14 0 6 29 1 4 37 3 4 6
4 14
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,
229 37 6+ +
=
= + + + + = ≅84 64 94 64 10 44 72 52 69 36
90
331 6
90
3 685
, , , , , ,
,
Desvio padrão: s ≅ ≅3,685 1,92
Entendemos que a “classe modal” é o intervalo [6, 8], por ser o intervalo de maior frequência.
18 No histograma a seguir estão representados o “peso” de um lote de 200 bezerros antes e após o desmame.
"Peso" dos bezerros (em kg)
60
5
10
20
15
25
30
35
0
20%
35%
30%
15%
“peso” (kg)
Porcentagem
80 100 120 140
a) Quantos bezerros tinham menos de 120 kg?
b) Qual o “peso” médio de um bezerro?
c) Qual o “peso” modal de um bezerro?
d) Qual o desvio padrão dos “pesos” dessa distribuição?
Resolução:
Do gráco, temos:
“Peso” (kg) Ponto médio Frequência absoluta
60 80 70 20% de 200 = 40
80 100 90 35% de 200 = 70
100 120 110 30% de 200 = 60
120 140 130 15% de 200 = 30
(fonte ctícia)
a) Tinham menos de 120 kg: 40 + 70 + 60 = 170 bezerros.
b) O “peso” médio de um bezerro é:
X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +
=
+ + +70 40 90 70 110 60 130 30
40 70 60 30
2800 6300 6600 3900
2200
19600
200
98= = kg
c) O peso modal é 90 kg (ponto médio da classe de maior frequência)