Matemática - Livro 2-337-339

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E
N
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E
 3
337
12 Unesp Na figura a seguir têm-se as retas r e s, concor-
rentes no ponto (1, 3).
y
x
r
s
30°
105°
O
P
3
1
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas,
determine:
a) uma equação geral da reta r.
b) uma equação geral da reta s.
c) a área do triângulo formado pelas retas r, s e o eixo x.
Resolução:
a) Se r passa por (1, 3) e tem coeficiente angular
m tg 30°
3
3r
= = , sua equação geral é:
= ⇔ = ⇔
⇔ + =
y 3
3
3
(x 1) 3y 9 3x 3
3x – 3y 9 – 3 0
b) A inclinação da reta s é θ = + =30° 105° 135°, logo,
seu coeficiente angular é = =m tg 135° –1
s
. Como s
também passa pelo ponto (1, 3), sua equação é:
= ⇔ = + ⇔ + =y – 3 –1(x – 1) y – 3 –x 1 x y – 4 0
c) A reta r intersecta x em A, tal que y = 0:
+ = ⇒ = =3x 3 · 0 9 3 0 x
3 9
3
1 3 3
Portanto, A 1 – 3 3, 0( ).
A reta s intersecta x em B, tal que y = 0:
+ = ⇒ =x 0 – 4 0 x 4
Portanto, B(4, 0).
A distância entre A e B, base do triângulo, é igual a:
( )( ) = + = +4 – 1 – 3 3 3 3 3 3 1 3
Então, a área do triângulo ABP é:
( ) ( )
=
+
=
+
∆
S
3 1 3 · 3
2
9 1 3
2
 u.a.
ABP
13 Fuvest Uma reta de coeficiente angular m < 0 passa
pelo ponto P(1, 2).
a) Escreva a equação da reta para m = –1.
b) Calcule m de modo que a reta forme com os eixos
um triângulo de área 4.
Resolução:
a) A reta passa por P(1, 2) e tem m = –1:
= ⇒ = + ⇒ + =y 2 1(x 1) y 2 x 1 x y 3 0
b) Se a reta passa por P(1, 2) e tem coeficiente angular
m ≠(m 0), ela é da forma:
= ⇒ = ⇒
⇒ + =
y 2 m(x 1) y 2 mx m
mx – y 2 – m 0
Essa reta intersecta os eixos nos pontos:
= + = ⇒ = ⇒
⇒




= + = ⇒ = ⇒
⇒








x
y
eixo (y 0): mx 0 2 m 0 x
m – 2
m
m – 2
2
, 0
eixo (x 0): m · 0 – y 2 – m 0 y 2 – m
(0, 2 – m)
Sabendo que a área do triângulo que a reta forma
com os eixos é 4, então:
4
m – 2
m
 · 2 – m
2
m 2
m
 · (2 – m) 8
2m m 4 2m
m
8 –m 4m – 4 8m
m 4m 4 0
2
2
2
( )
=




⇒




= ⇒
⇒
+
= ⇒ + = ⇒
⇒ + + =
Resolvendo a equação, obtemos m = –2.
Posições relativas entre retas
Introdução
Sejam as retas r e s dadas por:
Equações gerais:
+ + = ≠
+ + = ≠



r: a x b y c 0, b 0
s: a x b y c 0, b 0
r r r r
s s s s
Equações reduzidas:
= +
= +



r: y m x n
s: y m x n
r r
s s
Os coeficientes angulares e lineares de r e s são, res
pectivamente:
= =m –
a
b
 e n –
c
b
r
r
r
r
r
r
= =m –
a
b
 e n –
c
b
s
s
s
s
s
s
A seguir, analisaremos suas posições relativas.
Retas coincidentes
Duas retas r e s serão coincidentes (ou paralelas coin-
cidentes) se, e somente se, tiverem o mesmo coeficiente
angular e o mesmo coeficiente linear. Assim:
=
=



m m
n n
r s
r s
Na forma geral:
= = ⇔ = =
a
b
a
b
 e 
c
b
c
b
a
a
b
b
c
c
r
r
s
s
r
r
s
s
r
s
r
s
r
s
Por exemplo, as retas r: 2x + y – 2 = 0 e s: 4x + 2y – 4 = 0
são coincidentes, pois = =
2
4
1
2
–2
4
.
MATEMÁTICA Capítulo 8 O estudo da reta338
Retas paralelas distintas
Duas retas r e s, paralelas distintas, têm o mesmo coe-
ficiente angular e coeficientes lineares diferentes. Observe
a figura:
y
x
r s
α β
O
n
s
n
r
⇔ α = β ⇒ = ≠r//s m m e n n
r s r s
Formalizando:
= ≠ ⇔ = ≠ ⇔m m e n n –
a
b
–
a
b
 e –
c
b
–
c
b
r s r s
r
r
s
s
r
r
s
s
⇔ = ≠
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
Como exemplos, temos:
a. As retas r: y = 3x 1 e s: y = 3x + 2 são paralelas distin-
tas, pois = =m m 3
r s
 e = ≠ =n 1 2 n
r s
.
b. As retas r: 2x + 3y 1 = 0 e s: 4x + 6y 2 = 0 são coin-
cidentes, pois = =
2
4
3
6
1
–2
.
c. As retas r: 3x y + 2 = 0 e s: 9x 3y 6 = 0 são para-
lelas distintas, pois = ≠
3
9
1
–3
2
–6
.
d. As retas r: y 1 = 0 e s: y + 2 = 0 são paralelas distintas,
pois ambas são paralelas ao eixo x.
e. As retas r: x 1 = 0 e s: x 3= 0 são paralelas distintas,
pois ambas são paralelas ao eixo y.
Retas concorrentes
As retas r e s são chamadas concorrentes quando se
intersectam em apenas um ponto. Isso ocorrerá se, e so-
mente se, tiverem inclinação diferente em relação ao eixo
Ox, ou seja, se seus coeficientes angulares forem diferentes
(quando estiverem definidos).
y
x
rs
θ
r
θ
s
O
P
θr ≠ θs⇒ mr ≠ ms
Assim:
e concorrentes m m –
a
b
–
a
b
a
a
b
b
r s
r
r
s
s
r
s
r
s
r s ⇔ ≠ ⇔ = ⇔ ≠
Como exemplo, temos:
a. As retas y = 2x – 1 e y = 3x + 1 são concorrentes, pois
= ≠ =m 2 3 m
r s
.
b. As retas 2x + 3y 1 = 0 e 4x + 5y 1 = 0 são concor
rentes, pois ≠
2
4
3
5
.
Retas perpendiculares
Duas retas r e s serão perpendiculares se, e somente
se, forem concorrentes e formarem um ângulo de 90°.
Se uma das retas for paralela a um dos eixos, ela será
perpendicular a qualquer outra reta paralela a outro eixo.
Assim, retas com equações na forma x = k1, ∈k1 R (paralelas
ao eixo y) são perpendiculares a retas com equações y=k2,
∈k
2
R (paralelas ao eixo x).
Teorema (condição de perpendicularidade)
Se r e s não forem paralelas aos eixos, elas serão per-
pendiculares se, e somente se, o produto dos coeficientes
angulares for igual a –1, ou seja, =m · m –1
r s
.
Demonstração:
Suponha que r e s são retas perpendiculares Analise
o gráfico a seguir
y
x
rs
α
r
α
s
O
Temos que, se = α =m tg
B
Ar r
, então m tg
s s
= α =
tg (180° )
A
B
1
ms
r
= α = = . Assim, =m · m 1
r s
.
Por outro lado, como ar e as são ângulos entre 0° e
180° e diferentes de 90°, temos:
m m = 1 tg tg 1 90º
r s r s s r
⇒ α α = ⇒ α = α +
Isso implica que r e s são perpendiculares.
Se r e s estiverem com suas equações na forma geral,
teremos:
= ⇔ = ⇔ = ⇔m m 1
a
b
 
–a
b
1 a a b b
r s
r
r
s
s
r s r s
⇔ + =a · a b · b 0
r s r s
Como exemplos, temos:
a. r: y = 3x 1 e s: = +y
1
3
x 1 são perpendiculares, pois




=m · m = 3 · 1
3
1
r s
.
b. r: 3x + 4y 2 = 0 e s: 4x 3y + 2 = 0 são perpendicu
lares, pois + = + =a · a b · b 3 · 4 4 · (–3) 0.
r s r s
c. r: x 1 = 0 e s: y + 2 = 0 são perpendiculares, pois
r//Oy e s // Ox.
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Dadas as retas r: y = mrx + nr e s: y = msx + ns, com mr≠0 e ms≠0,
suas posições relativas são:
y Paralelas coincidentes: mr= ms e nr= ns
y Paralelas distintas: mr= ms e nr≠ ns
y Concorrentes: mr≠ms
y Perpendiculares: mr ⋅ms= –1
Dadas as retas r: arx + bry + cr = 0 e s: asx + bsy + cs = 0, com
≠a 0
r
, ≠a 0
s
, ≠b 0
r
 e ≠b 0
s
, suas posições relativas são:
y Paralelas coincidentes: = =
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
y Paralelas distintas: = ≠
a
a
b
b
c
c
r
s
r
s
r
s
y Concorrentes: ≠
a
a
b
b
r
s
r
s
y Perpendiculares: =· ·a a + b b 0
r s r s
Atenção
Exercícios resolvidos
14 Dada a reta r: y = 2x e o ponto P(1, 4), determine a
equação:
a) reduzida da reta s que passa por P e é paralela à
reta r.
b) reduzida da reta t que passa por P e é perpendicu-
lar à reta r.
Resolução:
a) O ponto P(1, 4) não pertence à reta r, logo, r e s são
paralelas distintas. Assim, mr = ms = 2.
A equação fundamental da reta s é dada por:
=y – 4 2(x – 1)
Portanto, a equação reduzida é:
= + ⇒ = +y 2x 2 4 y 2x 2
b) Temos:
= ⇔ = ⇔ =m m 1 2 m 1 m
1
2
r t t t
A equação fundamental da reta t é dada por:
=y 4
1
2
(x 1)
Portanto, a equação reduzida é:
= + + ⇒ = +y
1
2
x
1
2
4 y
1
2
x
9
2
15 Dada a reta r: 3x + 4y = 0 e o ponto P(2, 4), determine
a equação:
a) geral da reta s que passa por P e é paralela à reta r.
b) geral da reta t que passa por P e é perpendicular à
reta r.
Resolução:
a) O ponto P não pertence à reta r, logo, r e s são retas
paralelas distintas A equação geral de s pode ser
escrita na forma 3x + 4y + c = 0, pois = ≠
3
3
4
4
0
c
Como P(2, 4) pertence à reta s, temos:
+ + = ⇒3 · 2 4 · 4 c 0 c = 22
Logo, uma equação geral da reta s é dada por:
3x + 4y 22 = 0
b) Uma equação geral da reta t é dada por:
4x 3y + d = 0, pois + =4 · 3 (–3) · 4 0
Como P(2, 4) pertence a t, temos:
+ + = ⇒ =4 · 2 (–3) · 4 d 0 d 4
Logo, uma equação geral da reta t é dada por:
4x 3y + 4 = 0
16 Considere no plano cartesiano as retas
=
= +




r:
x 2t
y 3t
1
2
 e + =s:(k 1)x – y –
k
2
0, em que ∈Rk .
Sobre as retas r e s é correto armar que nunca
serão
A concorrentes perpendiculares.
 concorrentes oblíquas.
C paralelas distintas.
 paralelas coincidentes.
Resolução:
=
= +




⇒
=
= + ⇒ = +





⇒r:
x 2t
y 3 t
1
2
r:
t
x
2
y 3 ·
x
2
1
2
2y 3x 1
⇒ + =r: 3x – 2y 1 0
Para testar se r e s podem ser paralelas, temos:
+
= ⇔
+
= ⇒ + = ⇒ =
3
k 1
2
–1
3
k 1
2 2k 2 3 k
1
2
Se =k
1
2
, temos: = = = ≠
1
–k
2
2
–k
2
–
1
2
–4 2.
Assim, não há como as retas r e s serem paralelas
coincidentes.
Se ≠k
1
2
, as retas serão concorrentes. Para que elas
sejam perpendiculares, devemos ter:
+ + = ⇒ + + = ⇒ =(k 1) · 3 ( 1) · ( 2) 0 3k 3 2 0 k
5
3
Portanto, de todas as posições relativas, as retas só
não podem ser paralelas coincidentes.
17 Encontre a interseção das retas r: 2x + 3y 7 = 0 e
s: x y 1 = 0.
Resolução:
As duas retas são concorrentes, pois ≠
2
1
3
–1
.
Assim, para encontrar a interseção, devemos resolver
o sistema formado por suas equações:
+ =
=



2x 3y 7
x – y 1
Resolvendo o sistema, encontramos x = 2 e y = 1, logo,
a interseção das retas é o ponto (2, 1).