Ejercicios_resueltos_Tema6_Significacion_Estadistica

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Estadística Social (Grado en Criminología) Ejercicios resueltos Tema 6 
 
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EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 6: Pruebas de significación estadística 
Primera parte: contraste de hipótesis para una muestra 
Ejercicio 1 
Una asociación de hosteleros rurales desea conocer la edad media de los turistas que optan por 
los alojamientos rurales durante el período estival. Un estudio realizado tres años antes indicaba 
que esta edad se situaba en los 39 años. Sin embargo, para planificar la campaña turística de este 
año, se realiza un nuevo estudio seleccionando una muestra de 850 individuos que desean viajar 
durante sus vacaciones, resultando que la edad media de los que planean pernoctar en 
alojamientos rurales es de 40,7 años. Sabiendo que la desviación típica de ese estudio fue de 4,8 
años, y con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede concluir que la edad media de los 
visitantes ha aumentado en los tres últimos años? 
Solución 
Estamos ante un problema de contraste de hipótesis para una media, pues solo tenemos una 
muestra. Planteamos las hipótesis que someteremos a contraste: 
Ho: µ =39 
H1: µ >39 
Tenemos un contraste unilateral en el sentido “mayor que”. La hipótesis nula (Ho) plantea que la 
edad media de los turistas no ha cambiado respecto al estudio anterior de hace unos años, por 
eso establece la igualdad respecto a la edad que indicaba aquel estudio. Como queremos 
comprobar si hay evidencias significativas para afirmar que esa edad ha aumentado (el último 
estudio ha obtenido una edad media de 40,7), la hipótesis alternativa (H1) plantea entonces que 
la edad media es mayor a 39 años. 
Para usar el error típico y el estadístico de prueba adecuados, debemos comprobar si tenemos 
una muestra grande o pequeña. Como tenemos una muestra grande (n=850 y, por tanto, n > 
30), seleccionamos el estadístico Z: 
Z = �̅�𝑥 − µo
𝜎𝜎𝑥𝑥�
 donde 𝜎𝜎�̅�𝑥 =
𝜎𝜎𝑥𝑥
√𝑛𝑛
 
Para aplicar estas fórmulas, debemos saber qué datos tenemos: 
• Tamaño de la muestra: n=850 
• Nivel de significación: 95%. Para el cálculo necesitaremos realmente el nivel de 
significación, pero sabemos que al nivel de confianza NC=0,95 le corresponde: α = 
0,05 (sabemos que α = 1- NC) 
• Desviación típica de la población (𝜎𝜎𝑥𝑥): la desconocemos, no la ofrece el planteamiento 
del problema. Este es el caso más frecuente con el que nos encontraremos, pero esta 
dificultad se puede solventar estimándola con la desviación típica muestral (𝑠𝑠𝑥𝑥), que sí 
conocemos: 𝑠𝑠𝑥𝑥 = 4,8 
• Media muestral �̅�𝑥 = 40,7 
Con estos datos, ya podemos resolver el contraste: 
𝜎𝜎�̅�𝑥 = 
𝑠𝑠𝑥𝑥
√𝑛𝑛
 = 4,8
√850
 = 0,1646 
 
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Ze = 
�̅�𝑥 − µo
𝜎𝜎𝑥𝑥�
 = 40,7 − 39
0,1646
 =10,328 
Debemos ahora comprobar en las tablas para la curva normal el valor de Z que corresponde al 
nivel de significación 0,05 y compararlo con el Z empírico (Ze) que hemos obtenido de la 
prueba. 
El valor Z que corresponde a α = 0,05 es 1,645. Como 10,328> 1,645 el Z empírico es mayor 
que el valor crítico (𝑍𝑍𝛼𝛼), de tal forma que cae en la región de rechazo de H0: 
 
 
Concluimos que existen evidencias estadísticamente significativas para afirmar, con un nivel de 
confianza del 95% que la edad media de las personas que optan por los alojamientos rurales ha 
aumentado en el período considerado. 
 
Ejercicio 2 
En la red de centros de menores de determinada región se quiere comprobar si para determinado 
colectivo el promedio de intentos de fuga por interno es mayor a 3. Se selecciona aleatoriamente 
a 20 menores, obteniendo que el nº medio de intentos es 3,5, con una deviación típica de 2,7. 
Para un nivel de confianza del 99%, ¿puede considerarse que efectivamente el promedio de 
intentos de fuga es mayor al valor que se planteaba inicialmente? 
 
 
 
Solución 
 
Se trata de un contraste de hipótesis para una media, pues solo hay una muestra. Planteamos las 
hipótesis: 
0
α =0,05
Región de 
rechazo de H0
Ze =10,328
 
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3 
 
Ho: µ = 3 
H1: µ > 3 
La hipótesis nula mantiene que el promedio de intentos se mantiene en 3, mientras que la 
hipótesis alternativa plantea, tal como se sospecha, que esa cantidad ha aumentado. Tenemos 
entonces un contraste de hipótesis unilateral. 
 
Antes de seleccionar la prueba, observamos los datos relativos al estudio realizado mediante 
muestreo: 
 
n = 20 
�̅�𝑥 = 3,5 
𝑠𝑠𝑥𝑥 = 2,7 
Nc = 0,99 por lo que el nivel de significación es α = 0,01 
 
Como el tamaño muestral es n ≤ 30, debemos usar para la prueba el estadístico t-Student con n-
1 grados de libertad. 
 
 
 
 𝜎𝜎�̅�𝑥 = 2,7√20−1 = 0,6194224 
 
 
 te = 
3,5−3
0,6194224
 = 0,807 
 
Este es el valor empírico del contraste mediante t-Student que debemos comparar con el valor 
crítico (tα). Siendo α = 0,01 y un contraste unilateral, debemos localizar en la tabla de la 
distribución t-Student el valor de t correspondiente a n-1 grados de libertad, es decir, a 19 
grados de libertad. 
 
En la tabla vemos que para esos datos el valor crítico de t es 2,539. Al comparar el t empírico 
(te) con el t crítico (tα) vemos que 0,807 < 2,539: 
 
t = 
𝑥𝑥̅ − µo
𝜎𝜎𝑥𝑥� 
 donde 𝜎𝜎𝑥𝑥̅ = 
𝑠𝑠𝑥𝑥
√𝑛𝑛−1
 
0
= 2,539= 0,807
Región de 
rechazo de H0
 
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Vemos que el valor empírico resultado de la prueba te no está en la región de rechazo de H0, por 
lo que no existen evidencias estadísticamente significativas que nos permitan rechazarla. No 
podemos afirmar que el promedio de intentos de fuga por menor en la red de centros de menores 
de esa ciudad sea superior a 3 intentos por menor. 
 
Ejercicio 3 
En una encuesta del CIS (diciembre de 2014) se observa que la proporción de españoles que 
leen semanal o diariamente es del 45,4%, una proporción menor a la que señalaba en 2012 la 
Federación de Gremios de Editores de España (47,2%). Sabiendo que la encuesta ha sido 
respondida por 2.477 individuos, ¿se puede considerar significativo este descenso en la 
proporción de lectores habituales para un nivel de significación de 0,01? 
Solución 
Estamos ante un problema de contraste de hipótesis para una proporción, pues solo tenemos 
una muestra. Nuestros datos son: 
• Proporción empírica (obtenida de la muestra): p = 0,454 
• Proporción teórica poblacional (procedente de estudios o datos anteriores): 
P = 0,472 
• Tamaño de la muestra: n=2.477 
• Nivel de significación: α = 0,01 
Planteamos las hipótesis que someteremos a contraste: 
Ho: p=0,472 
H1: p<0,472 
 
Tenemos un contraste unilateral en el sentido “menor que”. Dado que la proporción obtenida en 
el estudio más reciente del CIS es de menor magnitud que el anterior dato de 2012, nuestro 
objetivo es comprobar si realmente se puede considerar significativo ese descenso en la cantidad 
de lectores diarios o semanales. Por eso, la hipótesis alternativa se plantea en el sentido “menor 
que” respecto al dato anterior. 
Para elegir el estadístico de contraste adecuado, es necesario observar la relación entre el 
tamaño de la muestra y el tamaño de la población. Como la población es suficientemente grande 
(N ≥20n) no hace falta introducir el factor de corrección de poblaciones finitas (cpf). 
Efectivamente, la población española (N), que es el colectivo al que va dirigida la encuesta del 
CIS, es mucho mayor que 20 veces el tamaño de la muestra utilizada (n). Por ello, el estadístico 
de prueba que debemos usar para resolver el contraste es: 
 Z = 𝑝𝑝−𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑝𝑝�
 donde 𝜎𝜎𝑝𝑝� = �
𝑃𝑃·𝑄𝑄
𝑛𝑛
 
Sabemos que Q = 1-P = 1 - 0,472 = 0,528 
𝜎𝜎𝑝𝑝� = �
𝑃𝑃·𝑄𝑄
𝑛𝑛
= �0,472·0,528
2477
= 0,01 
 
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Ze = 
0,454−0,472
0,01
 = -1,8 
Debemos ahora comprobar en las tablas para la curva normalel valor de Z que corresponde al 
nivel de significación 0,01 y compararlo con el Z empírico (Ze) que hemos obtenido de la 
prueba. 
El Z crítico paraα = 0,01 es -2,33. Hay que recordar que tenemos un contraste unilateral en el 
sentido “menor que” y, aunque los Z tengan signo negativo, lo que nos interesa comparar es el 
valor absoluto. Como|𝑍𝑍𝑒𝑒|<|𝑍𝑍𝛼𝛼|, esdecir|−1,8|<|−2,33|, Ze cae en la región de “aceptación” de 
H0 (recordemos que, en sentido estricto no podemos “aceptar” la hipótesis nula; solo podemos 
concluir que no la podemos rechazar): 
 
 
Para un nivel de confianza del 99% concluimos que no hay evidencias estadísticamente 
significativas para rechazar la hipótesis nula (H0). No podemos afirmar que para ese nivel de 
confianza haya disminuido significativamente la proporción de españoles que leen diaria o 
semanalmente. 
Sin embargo, esta es la conclusión con un nivel de confianza del 99%, pero ¿qué pasaría si 
bajamos un poco el nivel de exigencia y consideramos un nivel de confianza del 95%? La 
respuesta es sencilla, no hay más que comparar el valor Z obtenido en la prueba con el 
correspondiente en las tablas para un nivel de significación de 0,05. Dejamos que el estudiante 
saque sus conclusiones… 
 
 
 
 
0
= -2,33 = -1,8
Región de 
rechazo de H0
 
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Ejercicio 4 
Según una encuesta sobre consumo de drogas realizada en 2015, el 9,1% de la población 
española había consumido cocaína alguna vez en su vida. En un estudio realizado en 2013, 
dicha proporción era del 10,3%. Suponiendo que la encuesta se realizó a 2.200 individuos, se 
desea saber: 
 
a) Para un nivel de confianza del 95% si el descenso en el consumo de cocaína es significativo. 
b) ¿Cuál es y qué significa el p-valor del contraste? 
Solución 
Tenemos un contraste de hipótesis para una proporción, pues está referida a una única 
población y, por tanto, a una sola muestra. Nuestros datos son: 
• Proporción empírica (obtenida en la muestra de 2015): p = 0,091 
• Proporción teórica poblacional (procedente del estudio anterior): P = 0,103 
• Tamaño de la muestra: n=2.200 
• Nivel de significación: α = 0,05 
a) Queremos ver si la proporción ha descendido respecto al dato de 2013. Planteamos las 
hipótesis que someteremos a contraste: 
Ho: p=0,103 
H1: p<0,103 
Se trata de un contraste unilateral pues este plantea una dirección en el sentido “menor que”. 
Dado que la población referencia del estudio es la “población española” consideramos N 
infinita. Para calcular la prueba utilizaremos el estadístico Z, sin necesidad de incluir el cpf. 
Z = 𝑝𝑝−𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑝𝑝�
 donde 𝜎𝜎𝑝𝑝� = �
𝑃𝑃·𝑄𝑄
𝑛𝑛
 
Q = 1-P = 1 – 0,103 = 0,897 
𝜎𝜎𝑝𝑝� = �
𝑃𝑃·𝑄𝑄
𝑛𝑛
 = �0,103·0,897
2200
 = 0,0064804 
 
Z = 0,091−0,103
0,0064804
 = -1,85 
Debemos ahora comprobar en las tablas para la curva normal el valor de Z que corresponde al 
nivel de significación 0,05 y compararlo con el Z empírico (Ze) que hemos obtenido de la 
prueba. 
El Z crítico para α = 0,05 es -1,645. Como tenemos un contraste unilateral en el sentido “menor 
que” tanto el Z crítico como el Z empírico tendrán valores negativos y se situarán en la cola 
izquierda de la curva normal estándar: 
 
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Aunque los Z tengan signo negativo, lo que nos interesa comparar es el valor absoluto. 
Como|𝑍𝑍𝑒𝑒|>|𝑍𝑍𝛼𝛼|, es decir, 1,85 > 1,645, Ze cae en la región de rechazo de H0. Esto nos lleva a 
rechazar la hipótesis nula y a aceptar la hipótesis alternativa. Podemos afirmar para un nivel de 
confianza del 95% que la cantidad de españoles que han consumido cocaína alguna vez en su 
vida ha descendido respecto al 2013. 
b) El p-valor es la probabilidad asociada al estadístico de contraste (en este caso a 𝑍𝑍𝑒𝑒= -1,85) 
suponiendo que la hipótesis nula es verdadera. Viendo el gráfico anterior, el p-valor viene 
delimitado por el área bajo la curva normal que se encuentra a la izquierda de 𝑍𝑍𝑒𝑒= -1,85. Es por 
tanto, una probabilidad muy pequeña, la probabilidad más pequeña posible de equivocarnos al 
rechazar la hipótesis nula con el contraste realizado. Si el p-valor es menor al área delimitada 
por la región crítica (sabemos que la región crítica es la delimitada por el nivel de significación 
y, por tanto, es la región de rechazo de H0) eso quiere decir que con el Z empírico que hemos 
obtenido en la prueba, la probabilidad de equivocarnos al rechazar la hipótesis nula es todavía 
más pequeña que la marcada por el nivel de significación. 
Gráficamente lo vemos con claridad, pero podemos también hallar el valor concreto del p-valor: 
sabiendo que cada celda de la tabla de la normal estándar (pág. 172 del libro) nos ofrece la 
probabilidad desde la media = 0 hasta una de las colas de la distribución, para hallar el p-valor 
solo tendremos que ver qué probabilidad (o área) corresponde a Z=1,85 (recordemos que la 
distribución normal es totalmente simétrica, por lo que es equivalente buscar números positivos 
o negativos) y restar esa cantidad a 0,5 que es el área total desde la media hasta una de las colas 
de la distribución: 
La probabilidad asociada a Z=1,85 es 0,4678, por tanto el p-valor será: 
P-valor = 0,5 - 0,4678 =0,0322 
El p-valor nos indica que hay exactamente una probabilidad del 3,22% de equivocarnos al 
rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa. Al tratarse de una probabilidad 
(0,0322) menor al nivel de significación (0,05) aceptamos H1: 
0
= -1,645
= -1,85
Región de 
rechazo de H0
 
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 p-valor < α rechazamos H0 y aceptamos H1 
Pero, ¿qué pasaría si en lugar de fijar el Nc=95% lo hubiéramos fijado en el 99%? Con un 
Nc=99% tendríamos un nivel de significación α = 0,01. Ahora las cosas cambian, pues la 
probabilidad que marca el p-valor (0,0322) es mayor a la del nivel de significación (0,01). No 
podríamos, para un nivel de confianza del 99% llegar a la misma conclusión que en el caso 
anterior, concluyendo que no tenemos evidencias estadísticamente significativas para rechazar 
H0 y aceptar H1 para un nivel de confianza del 99% 
 p-valor > α no podemos rechazar H0 
Como vemos, el nivel de confianza con el que trabajamos y su traducción al nivel de 
significación (que, como sabemos, es la máxima probabilidad de equivocarnos al rechazar la 
hipótesis nula que estamos dispuestos a aceptar) es determinante al realizar inferencia 
estadística. La elección de uno u otro nivel de confianza dependerá de determinados 
condicionantes a los que se enfrenta el investigador, como la importancia de los temas 
analizados, la seguridad con la que desee tomar decisiones, la gravedad o relevancia de las 
consecuencias de tomar la decisión o la urgencia de la misma. 
 
Ejercicio 5 
En un estudio sobre consumo de drogas en la población penitenciaria realizado en 2006 se 
obtuvo que el 63% de los internos habían consumido alcohol un mes antes de ingresar en 
prisión. En una nueva encuesta realizada en 2011 a 4.985 internos, 3.227 señalaron haber 
consumido alcohol en los 30 días previos a su ingreso. Sabiendo que la población penitenciaria 
en 2011 era de 71.387 individuos, se desea saber, con un nivel de confianza del 98% si ese 
porcentaje de internos ha sufrido diferencias durante el período considerado. Calcule el p-valor 
e interprete el valor obtenido. 
Solución 
Se trata de un contraste de hipótesis para una proporción. Los datos que nos proporciona el 
enunciado son: 
 N= 71.387 por tanto, es una población finita. 
 n = 4.985 
 P = 0,63 (es la proporción teórica del estudio anterior de 2006) 
 p: proporción de la encuesta realizada en 2011. El enunciado no la ofrece directamente 
 pero es de fácil cálculo, pues solo hay que dividir el número de individuos de la muestra 
 que señalaron haber consumido alcohol enlos 30 días previos al ingreso, entre el 
 número total de individuos de la muestra: 
 p = 3227
4985
 = 0,647342 
 Nc = 98% por lo que α = 0,02 
Planteamos las hipótesis. Al no señalarse nada sobre la dirección de la diferencia, tenemos un 
contraste bilateral: 
 
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Ho: p = 0,63 
H1: p ≠ 0,63 
 
Ahora podemos realizar el test de significación. Hemos de tener en cuenta que el tamaño de la 
población es N<20n, por lo que hay que incorporar el factor de corrección de poblaciones 
finitas (cpf) en el cálculo del estadístico Z: 
 
 Z = 𝑝𝑝−𝑃𝑃
𝜎𝜎𝑝𝑝�
 donde 𝜎𝜎𝑝𝑝� = �
𝑃𝑃·𝑄𝑄
𝑛𝑛
 · �𝑁𝑁−𝑛𝑛
𝑁𝑁−1
 
Para hallar el error típico de la proporción (𝜎𝜎𝑝𝑝�) necesitamos conocer el valor de Q, que es igual 
1-P: 
 𝜎𝜎𝑝𝑝� = �
0,63·0,37
4985
 · �71387−4985
71386
 = 0,006595 
 Z = 0,647342−0,63
0,006595
 = 2,63 
Una vez hallado el Z empírico vamos a compararlo con el Z crítico, que buscaremos en la tabla 
de la distribución normal estándar teniendo en cuenta que el contraste es bilaterial y, por tanto, 
el nivel de significación α = 0,02 debe “repartirse” entre las dos colas de la normal. Debemos 
entonces buscar el valor Z que corresponde a α
2
 = 0,01. 
El Z crítico correspondiente a α
2
 = 0,01 es Z = ± 2,33 
 
Dado que el Z empírico se encuentra en la región de rechazo de H0 (en este caso, en la 
correspondiente a la cola derecha), podemos rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis 
alternativa, confirmando que, efectivamente, para un nivel de confianza del 98% hay diferencias 
significativas en la proporción internos en centros penitenciarios que han consumido alcohol en 
los 30 días anteriores a su ingreso en los dos momentos considerados. 
Calculamos ahora el p-valor, siendo este la probabilidad de equivocarnos al rechazar la hipótesis 
nula asociada al estadístico de contraste, es decir, al Z empírico. Debemos tener en cuenta que, 
0
Región de 
rechazo de H0
= 0.01
Región de 
rechazo de H0
= 0.01
Ze = +2,63
 
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en este caso, estamos ante un contraste bilateral, de tal forma que para calcular el p-valor 
tenemos que tener en cuenta las dos colas de la distribución, puesto que la región de rechazo 
de H0 se distribuye entre las dos colas. En la tabla de la normal estándar, la casilla 
correspondiente a Z= 2,63 marca una probabilidad del 0,4957, por lo que el p-valor para solo 
una de las colas será 0,5-0,4957 = 0,0043. Como tenemos regiones de rechazo en ambas colas 
de la distribución normal, y siendo esta totalmente simétrica, el p-valor del contraste resultará de 
multiplicar por 2 el valor para una sola cola. Por tanto: 
 P-valor = 2 · 0,0043 = 0,0086 p-valor < α rechazamos H0 y aceptamos H1 
La probabilidad asociada a Z= ± 2,63 suponiendo que H0 fuese verdadera es 0,0086. Es decir, el 
p-valor nos dice lo verosímil que sería encontrar una muestra como la que hemos obtenido si la 
hipótesis nula es cierta. Vemos que es una probabilidad muy baja (por debajo del nivel de 
significación) y por tanto, es muy poco verosímil obtener una muestra como esta siendo cierta la 
hipótesis nula. La muestra está muy alejada de la hipótesis nula, y por eso podemos rechazarla. 
Un p-valor de 0,0086 nos está indicando que, para esta muestra concreta, con el estadístico de 
contraste hallado, hay una probabilidad de 0,0086 de equivocarnos al rechazar la hipótesis nula 
y aceptar la hipótesis alternativa. 
 
Segunda parte: contraste de hipótesis para dos muestras independientes 
Ejercicio 6 
En una encuesta del CIS de 2015 se pidió a los entrevistados que señalaran en una escala del 0 
al 10, qué puntuación otorgaban al “terrorismo como amenaza para nuestra seguridad”. La 
puntuación media de los 1.179 hombres entrevistados fue de 7,89, mientras que la puntuación 
media otorgada por las 1.230 entrevistadas fue de 8,16. Sabiendo que la desviación típica fue 
para los hombres de 2,44 y para las mujeres de 2,22, se desea saber, con un 97,5% de confianza 
si, por término medio, las mujeres consideran el terrorismo como una amenaza 
significativamente más importante de lo que lo consideran los hombres. Calcule el p-valor del 
contraste. 
Solución 
Se trata de un contraste de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones 
diferenciadas (hombre y mujeres) de las que se han obtenido dos muestras independientes. Las 
medias a comparar son las valoraciones medias del “terrorismo” como amenaza para la 
seguridad en una escala del 0 al 10. 
Nuestros datos son los siguientes: 
Muestra 1 (Hombres) Muestra 2 (Mujeres) 
 
n1= 1.179 n2= 1.230 
�̅�𝑥1= 7,89 �̅�𝑥2= 8,16 
𝑠𝑠𝑥𝑥1= 2,44 𝑠𝑠𝑥𝑥2= 2,22 
Nc = 97,5% por lo que α = 0,025 
Planteamos las hipótesis a contrastar. Tal como hemos definido los grupos, la formulación de 
las hipótesis queda del siguiente modo: 
 
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Ho: µ1 = µ2 
H1: µ1 < µ2 
 
Se trata de comprobar si la media de las mujeres es superior a la de los hombres o, de forma 
equivalente, si la media de los hombres es inferior a la de las mujeres. Si hubiéramos definido 
los grupos como 1 (mujeres) y 2 (hombres), la hipótesis alternativa se formularía en sentido 
contrario: H1: µ1 > µ2. Siempre que definamos correctamente los grupos y planteemos las 
hipótesis de forma coherente con esa definición, el resultado del contraste será equivalente. 
 
Elegimos en este caso mantener la definición inicial teniendo un contraste unilateral en el 
sentido “menor que”. Sabiendo que el tamaño de ambas muestras es suficientemente grande, 
resolvemos el contraste hallando el Z empírico para dos muestras independientes. Para ello 
necesitamos, en primer lugar, calcular el error típico de las medias para ambas muestras: 
 
𝜎𝜎�̅�𝑥1= 
𝑠𝑠𝑥𝑥1
√𝑛𝑛1
 = 2,44
√1179
 = 0,071 
 
𝜎𝜎�̅�𝑥2= 
𝑠𝑠𝑥𝑥2
√𝑛𝑛2
 = 2,22
√1230
= 0,063 
Ahora calculamos el error típico de la diferencia de medias: 
𝜎𝜎(�̅�𝑥1− �̅�𝑥2) = �𝜎𝜎�̅�𝑥1
2 + 𝜎𝜎�̅�𝑥2
2 = √0,00901 = 0,095 
 
Ya podemos calcular el valor de Z empírico para resolver el contraste: 
 
Z = �̅�𝑥1− �̅�𝑥2
𝜎𝜎(𝑥𝑥�1− 𝑥𝑥�2)
 = 7,89−8,16
0,095
 = -2,84 
Debemos ahora localizar el Z crítico. Teniendo en cuenta que α = 0,025 para un contraste 
unilateral, buscamos en las tabla de la normal estándar la celda que indica el área 
correspondiente a 0,5 – 0,025 = 0,475. Para ese área, Z = 1,96 y, tratándose de un contraste 
unilateral en el sentido “menor que”, tendrá signo negativo. Por tanto, Z crítico = -1,96. 
 
 
0
= -1,96= -2,84
Región de 
rechazo de H0
 
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Comparando los valores absolutos |𝑍𝑍𝑒𝑒|>|𝑍𝑍𝛼𝛼| podemos rechazar la hipótesis nula y aceptar la 
alternativa para un nivel de confianza del 97,5%. Veamos si el p-valor avala nuestra conclusión. 
Sabemos que el p-valor es la probabilidad del Z empírico obtenido en la prueba suponiendo que 
es cierta la hipótesis nula. Calculamos su valor consultando en la tabla de la normal estándar la 
probabilidad que hay entre la media=0 y el Z empírico. Esta probabilidad es 0,4977. Por tanto: 
p-valor = 0,5-0,4977 = =0,0023 
Comprobamos si el p-valor es < al nivel de significación: efectivamente 0,0023 < 0,025 
Esto corrobora la decisión de rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa. Es 
decir, existen evidencias estadísticamente significativas para afirmar que la preocupación 
(expresada como puntuación media en la escala) de las mujeres respecto al “terrorismo como 
amenaza para la seguridad” es superior a la de los hombres. 
 
Ejercicio 7 
En una localidad se desea conocer si existen diferencias significativas entre las calificaciones 
medias obtenidas en Selectividad por los alumnos que han estudiadoen dos institutos de 
enseñanza secundaria. Para ello, se selecciona una muestra de 20 alumnos del Instituto “Sur”, 
obteniendo una calificación media de 6,3 y una desviación típica de 0,6, y otra muestra de 23 
alumnos del Instituto “Norte”, resultando una calificación media de 5,7 con una desviación 
típica de 1,2. Para un nivel de significación de α = 0,05: 
a) ¿Se puede afirmar que existen diferencias significativas entre las calificaciones medias de 
ambos institutos? 
b) Calcule el p-valor 
Solución 
a) Estamos ante un problema de contraste de hipótesis con dos muestras independientes, cada 
una de ellas formadas por los alumnos de cada instituto, y nuestro objetivo es comparar las 
calificaciones medias mediante un estadístico que permita concluir si existen o no diferencias 
significativas entre ellas. Dado que no se especifica la dirección de las diferencias en la pregunta 
(no se indica nada respecto a si una de las medias es “mayor” o “menor” que la otra), el 
contraste es bilateral: 
Ho: µ1=µ2 
H1: µ1≠µ2 
La hipótesis nula (Ho) señala que no hay diferencias entre las calificaciones de ambos institutos, 
mientras que la hipótesis alternativa (H1) indica que sí hay diferencias entre ellas, sin señalar el 
sentido de esa diferencia (por eso es un contraste bilateral). 
Nuestros datos son los siguientes: 
Muestra 1 (Instituto “Sur”) Muestra 2 (Instituto “Norte”) 
 
n1= 20 n2= 23 
�̅�𝑥1= 6,3 �̅�𝑥2= 5,7 
𝑠𝑠𝑥𝑥1= 0,6 𝑠𝑠𝑥𝑥2= 1,2 
 
 Estadística Social (Grado en Criminología) Ejercicios resueltos Tema 6 
 
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α = 0,05 (bilateral): para realizar el contraste debemos considerar las dos colas de la 
distribución y, por tanto, el área correspondiente al nivel de significación (α) debe “repartirse” 
entre ellas. En cada cola se considerará un área de 0,05 / 2 = 0,025 para demarcar las 2 
“regiones de rechazo de H0”. 
Antes de utilizar el estadístico de contraste, debemos comprobar el tamaño de las muestras. 
Dado que en ambos casos n ≤ 30, las muestras son pequeñas y debemos utilizar el estadístico 
t-Student para resolver el contraste. Calculamos el error típico de la diferencia de medias: 
𝜎𝜎�̅�𝑥1= 
𝑠𝑠𝑥𝑥1
�𝑛𝑛1−1
 = 0,6
√20−1
 = 0,1376494 
𝜎𝜎�̅�𝑥2= 
𝑠𝑠𝑥𝑥2
�𝑛𝑛2−1
 = 1,2
√23−1
 = 0,2558408 
𝜎𝜎(�̅�𝑥1− �̅�𝑥2) = �𝜎𝜎�̅�𝑥1
2 + 𝜎𝜎�̅�𝑥2
2 = �(0,1376494)2+(0,2558408)2 = 0,29052 
te = 
�̅�𝑥1− �̅�𝑥2
𝜎𝜎(𝑥𝑥�1− 𝑥𝑥�2)
= 6,3− 5,7
0,29052
 = 2,065 
Para un α = 0,05 bilateral con (𝑛𝑛1-1 + 𝑛𝑛2-1) = 19 + 22 = 41 grados de libertad, el valor crítico 
de t es 𝑡𝑡α
2�
= ± 2,021. 
En la tabla t-Student no aparece exactamente gl=41, pero sí está disponible gl=40, 
que utilizaremos por encontrarse muy próximo a los grados de libertad del problema. 
Por tanto, consideraremos como t crítico el valor 𝑡𝑡α
2�
= ± 2,021. 
 
 
¿A qué conclusión podemos llegar con este contraste? Obsérvese que para un nivel de confianza 
del 95%, el valor absoluto del t empírico es mayor al valor absoluto del t crítico pero solo en 
una magitud muy pequeña: |+2,065| > |±2,021| Esta pequeña diferencia es, no obstante, 
suficiente para rechazar H0 y aceptar H1. Sin embargo, si aumentamos nuestro nivel de 
confianza y, por tanto, reducimos la región crítica (nivel de significación α más pequeño), el t 
empírico no estará en la región de rechazo de H0 y, consecuentemente no habría evidencias para 
0
Región de 
rechazo de H0
= 0.025
Región de 
rechazo de H0
= 0.025
= -2,021 = +2,065= +2,021
 
 Estadística Social (Grado en Criminología) Ejercicios resueltos Tema 6 
 
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rechazarla. Invitamos al estudiante a que compruebe esta cuestión utilizando niveles de 
confianza 98% y del 99%. 
b) Para calcular el p-valor en un contraste bilateral con un nivel de confianza del 95%, debemos 
tener en cuenta las dos colas de la distribución: el p-valor es la probabilidad determinada por la 
región a la izquierda del -t empírico (en la cola izquierda) más la región a la derecha del +t 
empírico (en la cola derecha). Buscamos en la tabla de la distribución t-Student el valor de t más 
próximo al t empírico hallado en la prueba según los grados de libertad. Dado que nuestro te es 
2,065, el valor más próximo en la tabla, para gl=40, es t = 2,021 (recordemos que seleccionamos 
gl=40 porque en la tabla no aparece gl=41). Observamos la probabilidad correspondiente a ese t 
para un contraste bilateral mirando en la fila superior de la tabla (la que indica los niveles de 
significación), y para un contraste bilateral corresponde a 0,05. Es decir, el p-valor es entonces 
una probabilidad muy próxima al nivel de significación pero, efectivamente, algo más pequeña 
que α = 0,05, porque t empírico = 2,065 deja hacia los extremos de la curva una probabilidad 
más pequeña que t crítico = 2,021. El valor exacto del p-valor para 41 grados de libertad solo 
podemos saberlo con exactitud en programas estadísticos. Con la tabla T-Student solo podemos 
comprobar que efectivamente supone un área de la curva más pequeña que el nivel de 
significación. 
 
Ejercicio 8 
En una encuesta del CIS realizada en 2012 se preguntó a los entrevistados sobre la influencia 
que la última Ley del Tabaco ha tenido en su hábito de fumar. A esta encuesta respondieron 
1.259 hombres, de los que 198 señalaron que a partir de la aplicación de esta Ley “habían 
dejado de fumar o fumaban menos que antes”. De las 1.319 mujeres entrevistadas, 147 
respondieron lo mismo. Para un nivel de significación de 0,01, se desea conocer si la proporción 
de personas de un sexo que “ha dejado de fumar o fuma menos” es significativamente superior a 
la del otro sexo. 
Solución 
En primer lugar debemos conocer las proporciones de respuesta para ambos sexos para saber 
cuál es mayor: 
• Proporción de hombres que “han dejado de fumar o fuman menos”: 
 p1 = 198/1259 = 0,1573 
• Proporción de mujeres que “han dejado de fumar o fuman menos”: 
 p2 = 147/1319 = 0,1114 
El objetivo del contraste es comprobar si la proporción de hombres que “ha dejado de fumar o 
fuma menos” es significativamente superior a la de mujeres que han respondido lo mismo. Por 
tanto, tenemos un contraste unilateral en el sentido “mayor que”: 
 Ho: p1=p2 
 H1: p1>p2 
donde: 
n = 1.259+1319= 2.578 α = 0,01 (unilateral) 
 
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uestra 1 (Hombres) Muestra 2 (Mujeres) 
 
n1= 1.259 n2= 1.319 
p1 = 0,1573 p2 = 0,1114 
Las dos muestras son lo suficientemente grandes (que es lo más habitual al trabajar con datos 
estadísticos en la investigación sociológica) y podemos utilizar el estadístico Z para el contraste. 
Para ello debemos calcular previamente la proporción conjunta (p) y el error típico de la 
diferencia de proporciones: 
 
p =
𝑛𝑛1·𝑝𝑝1+ 𝑛𝑛2·𝑝𝑝2
𝑛𝑛1+ 𝑛𝑛2
 = 1259 · 0,1573+ 1319 · 0,1114
1259+ 1319 
 = 344,9773
2578
 = 0,1338 
 
Sabemos que 𝑞𝑞 = 1 − 𝑝𝑝 = 1- 0,1338 = 0,8662 
𝜎𝜎(𝑝𝑝1−𝑝𝑝2) = �𝑝𝑝 · 𝑞𝑞 �
1
𝑛𝑛1
+ 1
𝑛𝑛2
� = �0,1338 · 0,8662 � 1
1259
+ 1
1319
� = 0,0134 
 
Calculamos el valor Z de la prueba: 
Ze = 
𝑝𝑝1− 𝑝𝑝2
𝜎𝜎(𝑝𝑝1−𝑝𝑝2)
 = 0,1573−0,1114
0,0134
 = 3,43 
 
Para un contraste unilateral con un nivel de significación α = 0,01, el valor crítico de Z es 2,33: 
 
 
Región de 
rechazo de H0
α =0,01
0
Ze = 3,43
 
 Estadística Social (Grado en Criminología) Ejercicios resueltos Tema 6 
 
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Vemos que el valor Z de la prueba es mayor al valor crítico para un nivel de confianza del 99% 
(un nivel de significación de 0,01) y, por tanto, cae en la región de rechazo de H0. Esto nos lleva 
a concluir que efectivamente la proporción de hombres que “han dejado de fumar o fuman 
menos” tras la aplicación de la Ley del Tabaco es significativamente superior a la proporción de 
mujeres que “han dejado de fumar o fuman menos”. 
El p-valor del contraste, para Ze=3,43 es 0,5-0,4997=0,0003. Se trata de una probabilidad muy 
pordebajo del nivel de significación que permite rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis 
alternativa. 
 
Ejercicio 9 
Una encuesta del CIS realizada en 2015 obtuvo que el 9,45% la población joven (18-29 años) 
consideraba que el terrorismo era una amenaza “poco o nada importante”, mientras que esa 
opinión fue sostenida por el 6,59% de la población mayor de 65 años. En este estudio se 
entrevistó a 370 individuos entre 18-29 años, y a 576 mayores de 65 años. Para un nivel de 
confianza del 99% ¿podemos realmente afirmar que en la población española la proporción de 
jóvenes es superior a la de los mayores respecto a la percepción de que que el terrorismo es una 
amenaza “poco o nada importante? 
Solución 
La encuesta se ha realizado a dos subpoblaciones, “jóvenes” y “mayores de 65 años”. Por tanto, 
tenemos un contraste para comparar dos proporciones obtenidas de dos muestras 
independientes. Los datos son los siguientes: 
Muestra 1 (Jóvenes) Muestra 2 (Mayores) 
 
n1= 370 n2= 576 
p1 = 0,0945 p2 = 0,0659 
Nc=99% α = 0,01 
Planteamos las hipótesis: 
 Ho: p1=p2 
 H1: p1>p2 
Tenemos un contraste unilateral en el sentido “mayor que”. Como las muestras son 
suficientemente grandes (n>30) podemos utilizar la prueba del estadístico Z para hacer el 
contraste. Para ello, debemos hallar en primer lugar la proporción conjunta (p) y su 
complementaria q: 
p = 
𝑛𝑛1·𝑝𝑝1+ 𝑛𝑛2·𝑝𝑝2
𝑛𝑛1+ 𝑛𝑛2 
 = 370 · 0,0945 + 576 · 0,0659
370+576 
 = 0,077086 
 
q = 1- 0,077086 = 0,922914 
 
Ahora incorporamos ambas en el cálculo del error típico de la diferencia de proporciones: 
 
 
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𝜎𝜎(𝑝𝑝1−𝑝𝑝2) = �𝑝𝑝 · 𝑞𝑞 �
1
𝑛𝑛1
+ 1
𝑛𝑛2
� = �0,077086 · 0,922914 � 1
370
+ 1
576
� = 0,01777 
 
 
Y calculamos el Z empírico: 
 
 
Z = 
𝑝𝑝1− 𝑝𝑝2
𝜎𝜎(𝑝𝑝1−𝑝𝑝2) 
 = 0,0945−0,0659
0,01777
 = +1,609 ~ +1,61 
Sabiendo que el Z crítico para un contraste unilateral con α = 0,01 es Zα = +2,33, resolvemos el 
contraste: 
 
Ze no se encuentra en la región de rechazo de la hipótesis nula, pues su valor absoluto es inferior 
al de Z crítico. El p-valor asociado a Ze es 0,0537 (obtenido de la tabla de la curva normal 
localizando el Z=1,61 y restando 0,5-0,4463). Como p-valor > al nivel de significación: 
0,0537 > 0,01 
no podemos rechazar la hipótesis nula de igualdad entre las proporciones de jóvenes y mayores 
de 65 años que opinan que “el terrorismo es una amenaza poco o nada importante” para un nivel 
de confianza del 99%. Si hubiéramos utilizado un nivel de confianza del 95% (α = 0,05) 
tampoco podríamos rechazar con rotundidad la hipótesis nula, aunque el p-valor realmente sería 
solo unas centésimas superior al nivel de significación. 
 
 
Región de 
rechazo de H0
= +2,33
α =0,01
0
Ze = +1,61
 
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Internacional. 
La autoría de este trabajo corresponde a los siguientes profesores del Departamento de 
Sociología I de la UNED: Beatriz Mañas Ramírez y Alejandro Almazán Llorente. 
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ca.pdf 
 
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	EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 6: Pruebas de significación estadística