matemática basica e conceitos basicos de conjuntos (2)

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MATERIAL ELABORADO PELO PROFESSOR MARCELO ACACIO SIQUEIRA 
Conjuntos conjunto não se define entende-se por conjunto como reunião ou coleção de elementos, 
essa definição é bem primitiva. 
 
Representação dos conjuntos 
 
Um conjunto pode ser representado de três maneiras: 
 Por enumeração de seus elementos 
Exemplo 1 
Condição: O conjunto dos números pares maiores que zero e menores que quinze. 
Representação através de seus elementos. 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
 
 Representação pela propriedade de seus elementos. 
A = {x / x é par e 0 < x < 15}, o símbolo da barra (/) significa “tal que”. 
x tal que x é par e x maior que zero e x menor que 15. 
 
 
 Através de uma representação gráfica (Diagrama de Venn) . 
 
A = {x / 2 < x ≤ 12} e B = {x / 4 < x < 8} 
 
 
 
 
 
 
 
Os conjuntos servem para representar qualquer situação envolvendo ou não elementos. Na 
Matemática, uma importante aplicação dos conjuntos é na representação de conjuntos numéricos. 
 
Conjunto dos números Naturais (N) 
Conjunto dos números Inteiros (Z) 
Conjunto dos números Racionais (Q) 
Conjunto dos números Irracionais (I) 
Conjunto dos números Reais (R) 
 
 Números Naturais (N) 
Os Números Naturais (N) surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, as 
ovelhas de um rebanho, temos como resultado um número do tipo. Obviamente não 
poderíamos ter um número negativo de ovelhas. Também não poderíamos imaginar alguém 
falando: “Tenho 2,4231 ovelhas no meu rebanho”. 
A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12...}. 
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Observação: 
Caso haja necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco 
sobrescrito a letra N*. 
 
ℕ∗ = {1,2,3,4…} Este conjunto e chamado conjunto dos números naturais não-nulos. 
 
 
 
 
 Números inteiros ℤ 
 
Os números inteiros são os números positivos e negativos, que não apresentam parte decimal. 
Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ. 
Não pertencem aos números inteiros: as frações, números decimais, os números irracionais e 
os complexos. 
O conjunto dos números inteiros é infinito e pode ser representado da seguinte maneira: 
ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} 
Observação: 
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo. 
 
 
 
Subconjuntos de ℤ 
O conjunto dos números naturais (ℕ) é um subconjunto de ℤ, pois está contido no conjunto dos números 
inteiros. Assim: 
 
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 Números Racionais ℚ 
 
Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Esses números 
podem também ter representação decimal finita ou decimal infinita e periódica. 
Observe que o conjunto dos números racionais, representado por Q contém o conjunto dos números 
inteiros, que por sua vez contém o conjunto dos números naturais, ou seja, 
 
 
 
 
O conjunto dos números racionais pode ser representado por: 
 
Exemplos de Números Racionais 
Números Inteiros 
Todo número inteiro pode ser escrito como uma divisão de outros dois números inteiros. 
 
 
Números decimais finitos 
Todo número decimal com um número finito de casas depois da vírgula, pode ser escrito como uma divisão 
entre dois números inteiros. 
 
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Números Periódicos (Dízimas periódicas) 
Todo número decimal com um número infinito de casas depois da vírgula, que se repetem periodicamente, 
pode ser escrito como uma divisão entre dois números inteiros. 
 
 
 
 Números Irracionais 
 
 
Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser 
representados por meio de frações irredutíveis. 
 
 
 
Exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1. 
 
 
A medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um 
número decimal infinito e não periódico. 
Por mais que tentemos encontrar um valor exato, só conseguimos aproximações deste valor. 
√2 = 1,414213562373.... 
 
 Números Reais 
 
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que 
inclui os: 
 Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
 Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...} 
 Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....} 
 
https://www.todamateria.com.br/dizima-periodica/
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Questões 
 
01-(UNISUL)Analise as assertivas abaixo e assinale V, se verdadeiras, ou F, se falsas., 
( ) 34 é sucessor de 35. 
( ) Todo número natural tem antecessor, menos o zero. 
( ) 3,5,7,9,11 é uma sequência de números naturais pares. 
A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: 
 
A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: 
 A) F – V – F. 
 B) V – F – V. 
 C) F – F – V. 
 D) V – V – F. 
 E) F – F – F. 
 
02- (UNISUL) Assinale a alternativa que representa a quantidade de números pares existentes na sequência 
{1, 3, 5, 8, 16, 20, 30, 50, 88, 100, 552, 663, 1000, 1114}. 
A) 10 
B) 20 
C) 30 
D) 40 
03- (UNISUL) Considerando os conjuntos numéricos, assinale a alternativa CORRETA: 
A) O número √2 ∈ ℕ 
B) O número 𝜋 ∈ ℚ 
C) O número √3 ∈ ℚ 
D) O número √36 ∈ ℚ 
Problemas envolvendo Conjuntos Numéricos 
 
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Soma 
Para a soma, devemos memorizar as seguintes propriedades: 
 A soma de números naturais é sempre um número natural; 
Exemplo: 
230 + 70 = 300 
 A soma de números inteiros é sempre um número inteiro 
-100 + 50 = - 50 
 A soma de números racionais é sempre um número racional 
2
5
+
3
5 
=
5
5
= 1 
 
 • A soma de números reais é sempre um número real. 
𝟐
𝟑
+ 𝟐 =
𝟐 + 𝟔
𝟑
=
𝟖
𝟑
 
 
 
 
 
Além disso, podemos ainda comentar a soma de números pares e ímpares. 
 • PAR ± PAR = PAR 
• ÍMPAR ± ÍMPAR = PAR 
 • ÍMPAR ± PAR = ÍMPA 
Questões 
04- (UNISUL) Considere as seguintes afirmações sobre os números naturais: 
I. A soma de dois números naturais pares é sempre um número par. 
II. A soma de dois números ímpares é sempre um número ímpar. 
Quais estão corretas? 
 A) apenas I. 
B) apenas II. 
 C) apenas I e II. 
 D) N.D.A. 
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Subtração 
• A subtração de números inteiros é um outro número inteiro. 
-100+50 = -50 
 • A subtração de números racionais é um outro número racional. 
5
2
−
3
2 
=
2
2
= 1 
 
 • A subtração de números reais é um outro número real. 
𝟐
𝟑
+ 𝟐 =
𝟐 + 𝟔
𝟑
=
𝟖
𝟑
 
Multiplicação 
 
 
 
• A multiplicação de dois números naturais é sempre um número natural. 
40x 20 = 800 
• A multiplicação de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
(-10) x ( -15) = 150 
• A multiplicação de dois números racionais é sempre um número racional. 
5
2
𝑥
4
5
=
20
10
= 2 
 • A multiplicação de dois números reais é sempre um número real. 
𝟐
𝟑
𝒙 𝟐 =
𝟒
𝟑
 
 
Questões 
05-(UNISUL) Assinale a alternativa INCORRETA: 
A) A diferença entre dois números naturais pode não ser um número natural. 
B) O produto entre dois números racionais é sempre um número racional. 
C) A soma entre dois números irracionais é sempre um número irracional. 
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D) 0,845 e 1,7454545 … são números racionais. 
E) √2,√3
4 e 𝜋 são números irracionais. 
06-(CEBRASPE)Acerca dos conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números 
racionais, de suas operações e de suas propriedades, julgue o item: o produto entre dois números naturais é 
sempre um número natural 
(CERTO) 
(ERRADO) 
07-O produto de dois números racionais é sempre um número racional. O mesmo é válido para números 
irracionais: o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional 
(CERTO) 
(ERRADO) 
Divisão 
 
 
 
• A divisão de dois números racionais será sempre um racional. 
3
2
= 1,5 
• A divisão de dois números reais será sempre um número real 
2
3
4
3
 =
2
3
 𝑋
3
4
= 
6
12
= 
1
2
 
 
08- (UNISUL) Com relação à operação com números reais, é correto afirmar que 
A) o produto de dois números racionais pode resultar em um número irracional. 
B) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
C) a soma de dois números racionais pode resultar em um número irracional. 
D) o quociente de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
E) a soma de dois números irracionais pode resultar e um número racional. 
 
Fração 
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A fração é uma maneira de representar uma divisão entre dois números. Uma interpretação interessante para 
fração é a de que o numerador representa as partes que possuímos de um todo, e o denominador representa 
em quantas partes esse todo foi dividido 
Representação de uma fração 
𝐴
𝐵
 
A → Numerador (parte que possuímos de um todo) 
B → Denominador (representa em quantas partes esse todo foi divido) 
Tipos de Fração 
Fração Própria 
São frações em que o numerador é menor que o denominador, ou seja, representa um número menor que um 
inteiro. Exemplo: 
2
5
 
Fração Imprópria 
São frações em que o numerador é maior, ou seja, representa um número maior que o inteiro. Exemplo: 
4
3
 
Fração Aparente 
São frações em que o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja, representa um número inteiro escrito 
em forma de fração. Exemplo: 
 
6
3 
= 2 
Fração Mista 
É constituída por uma parte inteira e uma fracionária representada por números mistos. Exemplo 
1
2
6
. (Um inteiro e dois sextos) 
 
COMO TRANSFORMAR UM NÚMERO MISTO NUMA FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
1° passo 3 
Multiplicamos a parte inteira pelo denominador da fração; 
2° passo 
Somamos o numerador ao resultado e assim obteremos o numerador da fração imprópria 
3° Passo 
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O denominador será o mesmo que tinha o número misto 
 
Exemplo 
6
7
9
= 
(6𝑥9) + 7
9
= 
61
9
 
 
Transformação de Dizima Periódica em Fração Geratriz 
A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica 
Dizima periódica simples 
As dízimas são chamadas de simples quando apresentam a parte inteira e após a vírgula apenas algarismos 
que se repetem. 
Método pratico 
Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no 
denominador 
Exemplo 1: 
0,3333... 
O período é 3 
3
9
=
1
3
 
Exemplo 2: 
0,313131... 
31
99
 
Exemplo 3: 
1,555... 
Nesse caso parte inteira é diferente de um, então essa fração será uma fração mista 
1
5
9
=
(1𝑥9) + 5
9
= 
14
9
 
 
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DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS 
Dízimas periódicas compostas possuem a parte inteira e depois da vírgula algarismos que não 
se repetem, além dos algarismos que se repetem. 
Método pratico 
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no 
denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no 
denominador. 
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
 (parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo) 
 
Exemplo: 
027777.... 
 
Exercício de fixação 
Transformar as dizimas em fração Geratriz 
a) 2,53030 ... =
2505
990
 
b) 7,38282... = 
7309
990
 
 
Números Primos 
 
Um número natural qualque P é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o 
número 1 e ele mesmo (P). 
Sendo assim, o número 1 não é primo, pois possui apenas um número divisor que é ele mesmo. O número 
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zero também não é primo, pois possui vários divisores naturais. Já os números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos, pois 
possuem apenas dois divisores naturais. 
Nota: o número 2 é o único número primo que é par. Os demais são números ímpares. 
 
Decomposição em fatores primos 
Para decompor um número natural em fatores primos é ne- cessário dividir o número pelo seu menor divisor 
primo, repe-tindo as divisões até chegar ao quociente 1. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
Determinação dos divisores de um número 
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por 
exemplo, os divisores de 90: 
1º) decompomos o número em fatores primos; 
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 
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3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de 
cada fator primo; 
 
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
 
COMO CALCULAR A QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
Veja em 3 passos simples como é feito o cálculo. 
 
OS TRÊS PASSOS 
1. Realizar a decomposição em fatores primos 
2. Adicionar uma unidade ao expoente de cada fator 
3. Multiplicar os resultados obtidos no passo 2. 
 
Exemplo 1. 
Calcular a quantidade de divisores do número 24. 
 Primeiro passo: fatorar o número 24 
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24 = 2³. 3¹ 
 Segundo passo: adicionar uma unidade a cada expoente. 
3 + 1 = 4 
1 + 1 = 2 
 
 Terceiro passo: Multiplicar os resultados 
4. 2 = 8 divisores 
 
MDC –MAXIMO DIVISOR COMUM 
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de todos 
os números dados. Consideremos: 
O número 24 e os seus divisores naturais: 
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }. + 
O número 36 e os seus divisores naturais: 
D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. + 
 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 24 e 
36: D (24) ⋂ D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. 
 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 24 e 36, ou 
seja MDC (24, 36) = 12 
Para obtermos o MDC de dois ou mais números por 
procedemos da seguinte maneira: 
 
MMC- MÍNIMO MULTIPLO COMUM 
Um Número inteiro é o mínimo multiplo comum entre dois ou mais números inteiros se, e somente se, ele for 
o for o menor múltiplo comum a todos os números envolvidos. 
 
Assim por exemplo, para obter o minimo múltiplo comum 48 e 84 
1-Faremos a fatoração 
2- Primeiramente realizamos divisões sucessivas para encontrar os fatores desses números e, em seguida, 
multiplicamos esses fatores. 
 
 
 
 
 
https://www.preparaenem.com/matematica/divisao.htm
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Método prático para calcular o MDC 
Decompomos cada número dado em fatores primos. O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles 
elevado ao seu menor expoente. 
Exemplo: 
 
Calcule o MDC ( 30, 36) 
 
 
Calcule o MDC ( 45,12) 
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Calcule o MDC ( 28, 70) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões 
09-O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre 90 e 48, são respectivamente, iguais a: 
a) 360 e 6 
b) 720 e 6 
c)360 e 12 
d) 12 e 360 
e) 6 e 720 
 
10-quantidade total de divisores do número 14 700 é: 
 
a) 27 
b) 54 
c) 72 
d) 108 
e) 144 
 
12- O mínimo múltiplo comum dos números X= 22.35.5 e Y= 2. 32.53 é igual a: 
a) 2.32.5 
b) 2.32.53 
c) 22.32.53 
d) 22.35.5 
e) 22.35.53 
 
 13-O mínimo múltiplo comum e o Máximo divisor comum dos números 36, 40 e 56 são respectivamente, 
iguais a: 
 
a) 2520 e 4 
b) 360 e 4 
c) 2500 e 8 
d) 360 e 8 
e) 2520 e 16 
 
14-O número natural n é o Maximo divisor comum dos números 756 e 2 205. Então a soma dos algarismos 
de n é igual a: 
 
a) 3 
b) 8 
c) 9 
d) 13 
e) 12 
 
Macetes para resolução de problemas de MMC 
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Iremos usar o MMC quando a questão tiver uma ideia de tempo, de coincidência ou quando alguma coisa 
vai acontecer novamente. 
15- Três vendedores encontraram-se num certo dia na cidade de medianeira- PR e jantaram juntos. O 
primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes 
três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no próximo encontro. Este devera acontecer após: 
 
a) 480 dias 
b) 120 dias 
c) 48 dias 
d) 80 dias 
e) 60 dias 
 
16-Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que podiam ser vistos bem 
próximos um do outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do 
Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em qual dos anos seguintes estiveram em 
conjunção no céu da Terra? 
 
a) 1840 
b) 1852 
c) 1864 
d) 1922 
e) 1960 
 
Macetes para resolução de problemas de MDC 
Podemos facilmente identificar esse tipo de questão pois o enunciado traz a ideia de divisão, repartição em 
partes iguais ou falará sobre dividir no maior tamanho possível. Pode trazer também a ideia de máximo. 
 
17-(Vunesp 2023) Um ajudante de uma loja de ferragens precisa distribuir, em saquinhos de plásticos, três tipos 
diferentes de parafusos, de agora em diante identificados com tipo A, B e C. Todos os saquinhos devem conter 
a mesma quantidade de parafusos e sempre parafusos de um mesmo tipo. Também foi pedido ao ajudante que 
cada saquinho tivesse a maior quantidade possível de parafusos. Sabendo que são 132 parafusos do t ipo A, 
180 parafusos do tipo B e 228 parafusos do tipo C, o número de saquinhos necessários para cumprir essa tarefa 
é 
 
a) 30 
b) 34 
c) 42 
d) 45 
e) 48 
 
18-( Instituto Consulplan) Andreia é chefe do setor financeiro de uma grande empresa e possui 72 
colaboradores sob seu comando, sendo 40 especialistas em demonstrativos financeiros e 32 especialistas em 
lançamentos fiscais. Ela precisa dividir os colaboradores em equipes de mesmo tamanho, sendo cada equipe 
formada por especialistas da mesma área. Para isso, decidiu fazer essa divisão de forma que se obtenha o 
menor número de equipes possível. De acordo com essa situação, quantas equipes Andreia irá formar no 
setor financeiro? 
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a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 12 
 
Operações com Frações 
 
Adição e Subtração 
1° caso denominadores iguais 
Para calcular uma soma ou subtração de fração com Denominadores iguais, basta somar ou 
subtrair os numeradores e repetir o numerador no resultado. 
Exemplo: 
3
5
+
1
5
= 
4
5
 
 
3
5
−
1
5
= 
2
5
 
 
2° caso denominadores diferentes 
o caso em que os denominadores são diferentes é um pouco mais trabalhoso. Na realidade, antes de 
somar esse tipo de fração, é necessário encontrar frações equivalentes a elas que possuam o mesmo 
denominador. O exemplo abaixo é de uma soma de frações feita dessa maneira: 
Exemplo: 
3
4
+
5
9 
=
27 + 20
36
= 
47
36
 
1
4
−
3
8
−
5
10
=
10 − 15 − 20
40
= −
25
40
= −
5
8
 
Multiplicação de Fração 
A multiplicação de frações consiste em multiplicar os termos da fração, ou seja, numerador 
multiplica numerador e denominador multiplica denominador. 
 
3
5
 𝑥
2
4
=
3𝑥2
5𝑥4
= 
6
20
=
3
10
 
https://escolakids.uol.com.br/fracoes-equivalentes.htm
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Divisão de Fração 
A divisão entre duas frações segue um procedimento simples que consiste em repetir a fração que 
é o dividendo e multiplicar pela fração inversa do divisor. 
 
3
4
 ÷
5
2
= 
3
4
 𝑥
2
5
=
6
20
=
3
10