Guia da disciplina

Prévia do material em texto

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
Me. Eng. Claudio Ferreira de Carvalho 
 
GUIA DA 
DISCIPLINA 
 
 
 
1 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
1. Interpretações e representações numéricas 
1.1. Objetivo 
Esta aula tem como objetivo apresentar alguns conceitos básicos de representações 
e manipulação numérica que serão necessários para o desenvolvimento deste curso de 
estatística. 
 
1.2. Introdução 
A interpretação correta dos dados assim como os conceitos de porcentagem1, ordem 
de grandeza, aproximação e representação numérica, são de fundamental importância para 
o entendimento e análises estatísticas, portando, este primeiro capítulo será dedicado ao 
entendimento destes conceitos que serão largamente utilizados nas demais aulas deste 
curso. 
 
1.3. Variações percentuais 
Valores numéricos para preços de mercadorias, podem variar ao longo do tempo. A 
título de introdução, vamos supor que a evolução do preço de um prato em um restaurante 
é apresentada a seguir: 
 
Analisando os dados é possível fazer algumas 
observações: 
Está certo falar que aumentou R$ 6,00 em seis 
meses. Sim esta conclusão está correta. 
Está certo falar que o aumento foi de R$ 1,00 por 
mês? Não, esta conclusão, não está correta. 
 
Estas observações mostram que não podemos 
tirar conclusões precipitadas. É possível concluir que: se aumentou R$ 6,00 em seis meses 
o aumento médio foi de R$ 1,00 por mês, porém, não está correto afirmar que a cada mês 
o valor aumentou de R$ 1,00. 
 
 
1 Tanto pode ser uti l izado o termo porcentagem como percentagem. 
 
 
2 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Este é um excelente exemplo de que “análises numéricas” devem ser feitas 
cuidadosamente. 
 
Observando os dados mais atentamente, é possível obter mais algumas conclusões: 
 O aumento não foi uniforme; 
 Entre janeiro e fevereiro e entre maio e junho o aumento foi de R$ 2,00; 
 Entre abril e maio, não houve aumento. 
 
Um gráfico também pode ajudar a visualizar como se comportaram os dados. 
Podemos, então acrescentar mais obsecrações tais como: 
 
 Entre os meses de janeiro e junho 
houve um aumento; 
 Entre os meses de janeiro e 
fevereiro o aumento foi maior que 
entre os meses de março e abril; 
 O preço entre dois meses nunca 
diminuiu; 
 Entre os meses de abril e maio, não 
houve aumento. 
 
Outras observações, mesmo que pareçam simples, podem ser feitas. Estas 
observações, sem dúvida ajudarão entender o mundo da “análise de dados”. 
 
1.4. Variação Percentual 
Um dado que pode nos ajudar a analisar valores é a variação percentual que pode 
resultar em um “Aumento Percentual” ou um “Desconto Percentual”. 
 
Um Aumento Percentual acontece quando o valor final é acrescido de uma parte 
do valor inicial, portanto, o valor final é maior que o inicial. 
 
Um Desconto Percentual acontece quando o valor final é decrescido de uma parte 
do valor inicial, portanto, o valor final é menor que o inicial. 
 
 
 
3 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Para obter a Variação Percentual utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
Aplicando-se a equação acima em alguns valores podemos entender os conceitos 
de Aumento percentual e Desconto percentual. 
 
1.5. Aumento percentual – Variações positivas 
Voltando a tabela apresentada no início desta aula, podemos calcular as variações 
percentuais mês a mês, e como os pratos sempre aumentaram, exceto entre os meses de 
abril e maio quando não houve aumento, notaremos que sempre tivemos Aumentos 
percentuais, consequentemente, os valores forma sempre positivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As variações percentuais foram as seguintes: 
 Janeiro e fevereiro foi 8,0%; 
 Fevereiro e março foi 3,7%; 
 Março e abril foi 3,6%; 
 Abril e maio foi 0; 
 Maio e junho foi 6,9% 
 
 
4 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
É importante observar que, todas das variações percentuais apresentadas forma 
aumentos percentuais visto que os valores dos “Aumentos percentuais” 8,0%. 3.7%, 3,6%, 
6,9% são valores positivos: 
 
Pode-se observar também, que é possível obter a “Variação Percentual” entre dois 
valores quaisquer como por exemplo a variação percentual entre os seis meses foi de 24%. 
 
A seguir, algumas observações que podemos fazer sobre os aumentos percentuais 
apresentados: 
 
 Os mesmos aumentos em moeda, não resultam obrigatoriamente nos mesmos 
aumentos percentuais, pois eles dependem não só da diferença entre o valor 
final e o valor inicial, mas também do valor inicial que é o denominador da 
equação chamado por alguns livros de “valor de base”. 
 O aumento de R$ 1,00 resultou em 3,7% entre fevereiro e março, mas somente 
3,6% entre março e abril. 
 O aumento de R$ 2,00 resultou em 8,0% entre janeiro e fevereiro, mas somente 
6,9% entre maio e junho. 
 
1.6. Desconto percentual – Variações negativas 
Os Descontos percentuais são muito comuns em lojas ou outros estabelecimentos 
comerciais, quando os valores são oferecidos com descontos. A seguir, são apresentados 
dois exemplos de mercadorias em lojas que possuíam um valor, mas estão sendo 
colocados em promoção com valores menores. 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando os valores podemos observar que como as variações percentuais são 
negativas o que está acontecendo é um desconto percentual. 
 
 
5 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Podemos também fazer outras observações como: O desconto de R$ 10,00, resultou 
em um desconto percentual de -8,3% sobre o valor de (R$120,00) mas em um desconto 
percentual de -5,0% sobre o valor (R$ 200,00) 
 
1.7. Estudo do aumento percentual 
Nos itens anteriores, foram calculados os aumentos percentuais (e descontos 
percentuais) entre dois valores, mas é também comum que se deseje saber, como ficará 
um determinado valor, por exemplo o preço da gasolina, o preço de um alimento etc. se ele 
sofrer um aumento de um determinado percentual. 
 
Para calcular qual será o valor acrescido de um aumento deve-se utilizar a equação: 
 
 
 
 
Alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.8. Estudo do desconto percentual 
 Pode acontecer também, que um determinado produto, esteja com um 
“desconto percentual”. Neste caso, o valor final, que será o valor com desconto, é calculado 
pela fórmula. 
 
 
 
Veja alguns exemplos: 
 
 
6 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.9. Casas decimais – casas após a vírgula 
Existem números inteiros e números fracionários. Números fracionários são aqueles 
compostos por uma parte inteira e uma parte decimal. 
 
Um número com casas decimais é interpretado conforme a seguir: 
 
 
 
 
Dependendo do número ou mesmo da grandeza que se está representando, o 
número de casas após a vírgula pode variar: 
 
Exemplos: 
 Valores monetários => duas casas após a vírgula => R$ 3,20 
 Altura de pessoas em metros => duas casas após a vírgula => 1,70 m 
 Altura de pessoas em centímetros => sem casas após a vírgula => 170 cm 
 Temperaturas ambientes => uma casa após a vírgula => 16,5ºC 
 Quantidade de líquido em garrafas de refrigerante => sem casas após a vírgula 
=> 350 ml 
 
1.10. Arredondamento 
Caso o número que se deseje representar esteja com mais casas do que é tradicional 
este deve ser arredondado: 
 
 
 
7 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
As regras de arredondamento são as seguintes: 
 
a) Determine com quantas casas decimais deseja apresentar o número 
b) Observe o primeiro número a partir do qual se deseja desprezar. 
c) Se o número a ser desprezado for maior ou igual a 5 ao último número que fica 
é aumentado uma unidade. 
d) Se o número aser desprezado for menor que 5 o último número que fica não é 
alterado. 
 
Exemplos: (Arredondando para 2 casas após a virgula: 
6,1247 ≈ 6,12 
6,1257 ≈ 6,13 
6,1287 ≈ 6,13 
 
1.10.1. Quando utilizar arredondamento 
Sempre que necessário os números devem ser arredondados, apenas como 
exemplo, basta lembrar que no cálculo (29-28).100/28 (variação de um prato apresentado 
entre os meses de março e abril no início desta aula), o resultado da conta foi 3,571428... 
(e o número continua...). 
 
Como para todos os demais cálculos de aumentos percentuais, estávamos utilizando 
somente uma casa após a vírgula (uma casa decimal), para manter o mesmo critério, o 
resultado desta conta foi apresentado como 3,6. 
 
Por que 3,6 e não 3,5? Porque o valor apresentado foi arredondado antes de ser 
apresentado, usando as regras acima ou seja, como o número que está sendo abandonado 
é 7, ao último algarismo que ficou (5), foi acrescentado uma unidade. 
 
Outros exemplos: 
6,1247 ≈ 6,12 => Como foi abandonado o 4 o valor 2 foi preservado 
6,1257 ≈ 6,13 => Como foi abandonado o 5 o valor 2 foi alterado para 3 
6,1287 ≈ 6,13 => Como foi abandonado o 8 o valor 2 foi alterado para 3 
 
 
 
 
8 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
1.10.2. Critério de arredondamento de médias da Universidade 
Um caso particular de arredondamento é o utilizado pelo “Sistema de notas da 
Universidade”. 
 
Neste sistema, as notas devem ser expressas com uma casa decimal, porém, 
esta casa decimal só pode ser 0 ou 5, então são aceitas as notas 0,0 – 0,5 – 1,0 – 1,5 – 
2,0 – 2,5 – 3,0 – 3,5 e assim sucessivamente até 9,5 – 10,0. 
 
Portanto os valores entre os decimais 0 e 5 precisam ser arredondados. Para 
entender esta regra de arredondamento, que deve ser dar para apenas uma casa 
decimal e ela só pode ser 0 ou 5 
 
Antes de efetuar o arredondamento, é sempre importante lembrar que um número 
pode possuir partes inteiras partes decimais, centesimais e milésimas, então: 
 
Quando se escreve um número como 4,3 devemos entendê-lo como: 4 inteiros 3 
décimos 
 
Quando se escreve um número como 4,32 devemos entendê-lo como 4 inteiros e 32 
centésimos. 
 
Quando se escreve um número como 4,324 devemos entendê-lo como 4 inteiros e 
324 milésimos. 
 
O arredondamento, feito pelo sistema da Universidade é executado sempre 
eliminando a casa centesimal e mantendo a casa decimal, com as seguintes regras: 
 
Frações centesimais entre 0,01 e 0,24 são arredondadas para 0,0 
Frações centesimais entre 0,25 e 0,74 são arredondadas para 0,5 
Frações centesimais entre 0,75 e 0,99 são arredondadas para 1,0 
 
Exemplo: 
Caso uma “Média da Disciplina” esteja entre 6,51 e 6,74, ela será arredondada para 
6,5 e caso ela esteja entre 6,75 e 6,99 ela será arredondada para 7,0 
 
 
9 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
1.11. Notação científica 
Imagine que houve um desvio de dinheiro e o valor foi de R$ 1.500.000.000,00. 
Olhando somente para o número, fica difícil imaginar o valor, mas se o número for lido 
como 1 Bilhão e meio de reais, já fica mais fácil visualizar a quantia. Por outro lado, se 
alguém falar que o tamanho de uma molécula de DNA é 0,0024 m você talvez tenha 
dificuldades de assimilar, mas se falarem que é 2,4 mm provavelmente seja mais fácil de 
imaginar o tamanho da molécula. 
 
Na verdade, o número de zeros após o 1 do valor monetário mostrado (R$ 
1.500.000.000,00) , assim como o número de zeros antes do 2 do tamanho da molécula de 
DNA (0,0024 m) dão ao número o que se convenciona chamar de “Ordem de grandeza” e 
os valores 1,5 (no caso do valor monetário) ou 2,4 (no caso do tamanho do DNA) são os 
valores. 
 
Para facilitar a escrita e a leitura de números grandes ou pequenos, muitas vezes 
eles são escritos na forma de potência de 10 que consiste em representar o número por 
dois fatores, sendo eles: 
 
Um número de 1 a 9 (com ou sem casas decimais). 
 
Multiplicado pelo número 10 elevado a um expoente. Conforme a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
Esta notação também é chamada de notação em potência de 10 ou notação de 
engenharia, por isso é normalmente obtido nas calculadoras a partir da tecla EE. 
 
Quando as calculadoras estão mostrando em seus displays números em potências 
de 10, o 10 é representado pela letra E e o expoente é representado por um valor após o 
sinal + (para potências positivas, números maiores que 10) ou o sinal – (para potências 
negativas, valores menores que 1. Ficando a notação conforme exemplo abaixo: 
 
 
10 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
160000 = 1,6 . 105 = 1,6 E+5 
0,000598 = 0,598 . 10-4 = 0,598 E-4 
1.11.1 Como representar um número para Potência de 10 
Para representar um número maior que 10 na forma de potência de 10 basta: 
 
 Colocar a vírgula após o primeiro algarismo significativo. 
 Multiplicar o número por 10 elevado ao número de casas que a vírgula foi 
movimentada para a esquerda. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Para representar um número menor que 1 na forma de potência de 10 basta: 
 Colocar a vírgula após o primeiro algarismo significativo. 
 Multiplicar o número por 10 elevado a menos o número de casas que a vírgula 
foi movimentada para a direita. 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
1.11.2. Prefixos e Notações 
Para facilitar a leitura e a representações de números muito grandes ou muito 
pequenos pode-se utilizar os prefixos conforme tabela a seguir: 
 
 
11 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
Veja alguns detalhes desta tabela 
Quilo (k = 103), que equivale a mil, é um prefixo muito utilizado no nosso dia a dia: 
Quilogramo (1000 gramos), Quilometro (1000 m). 
 
Mega (M = 106), que equivale a Milhão, também é muito utilizado: Moeda (R$ 1 
milhão de reais), Velocidade de conexão internet (100 Mbps - Megabits por segundo). 
 
Palavras como microcomputador, microprocessador de alimentos são modos 
figurativos para indicar coisas pequenas, como pequenos computadores 
(microcomputador), microprocessador de alimentos (aparelhos que cortam alimentos em 
tamanhos muito pequenos). Estes nomes derivam do símbolo micro, assim como 
nanotecnologia que é utilizada para se referir à fabricação de chips de computadores. 
 
 
 
 
 
 
 
12 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
2. Noções de Estatística – Coleta de Dados – Variáveis 
2.1. Objetivo: 
Apresentar os conceitos de Estatística Descritiva e Estatística Indutiva assim como 
as definições básicas necessárias para o desenvolvimento desta e das próximas aulas. 
 
2.2. Introdução: 
Sem dúvida, existem diversas definições para Estatística. Uma das que melhor se 
enquadra aos objetivos de nosso curso é a seguinte: 
 
Estatística é uma metodologia de análise de números dando a eles significados. 
 
Com a estatística, é possível dar sentido a conjuntos de dados, pois, muitas vezes 
diversos valores são observados, mas não se consegue estabelecer uma relação entre eles 
ou até, sem uma análise mais detalhada, pode-se vir a interpretar estes números 
erroneamente. 
 
Nos dias de hoje, existem diversos algoritmos computacionais que acabam sendo 
utilizados indiscriminadamente em técnicas de Ciências de Dados, sendo que, muitos 
acabam confiando cegamente nos resultados apresentados por estes algoritmos, sem, 
muitas vezes, uma perfeita compreensão do funcionamento e, o que pode ser mais grave, 
sem que os critérios para a obtenção dos dados tenham sido corretamente analisados e 
implementados. 
 
2.3. Estatística Descritiva x Estatística Indutiva 
Dependendo dos elementos aos quais são aplicados os estudos, sendo eles 
amostras ou população, conceitos estes que serão apresentados a seguir, a estatística, 
pode ser classificada como: 
 
Estatísticadescritiva é empregada para caracterizar a amostra evidenciando 
suas principais características e propriedades. 
Estatística indutiva, também chamada de inferencial, são métodos e técnicas 
utilizados para estudar uma população baseando-se em amostras destas populações. 
 
 
13 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Em resumo, podemos dizer que a estatística descritiva descreve dados e a indutiva 
toma decisões sobre a população, a partir de estudos em amostras. 
 
2.4. Dados 
 São informações obtidas a partir de medições de grandezas, resultados de 
pesquisas, respostas a questionários, contagens em geral e outros métodos. 
 
2.5. População estatística 
 São todos os elementos que possuem as características que desejamos 
estudar. 
 
2.6. Amostra 
 É um subconjunto finito de uma população estatística. Em outras palavras, 
uma parte da população, escolhida a partir de uma técnica de amostragem. 
 
2.7. Amostra significativa 
 Uma amostra significativa, deve representar em 
escala reduzida, todas as características qualitativas e 
quantitativas do universo que se pretende reproduzir. 
 
 
 
2.8. Amostragem 
Técnica utilizada para recolher amostras que garante, tanto quanto possível, o acaso 
na escolha. 
 
Para que uma amostragem seja correta, cada elemento da população deve ter a 
mesma chance de ser escolhida, e com isto, a amostra assume a característica de 
representatividade, de maneira que as conclusões sobre a amostra possam realmente 
representar a população. 
 
 
14 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
População estatística são todos os elementos que possuem a característica em 
estudo, enquanto, uma amostra é uma parte destes elementos da população, mas para que 
a amostra seja significativa, todos os elementos precisam ter as mesmas chances de serem 
sorteados, para isto, existem as técnicas de amostragem que garantem a 
representatividade da amostra. 
 
2.9. Técnicas de amostragem 
É sempre importante observar que durante uma amostragem deve-se tomar 
cuidados para evitar viés. Um viés pode ser ideológico como muitas vezes observamos por 
institutos de pesquisa tendenciosos, mas, pode ser também causado por descuidos ou falta 
de critérios no momento da amostragem (escolha da amostra). 
 
Uma amostragem pode ser basicamente: 
 Aleatória, também chamada de probabilística. 
 Não Aleatória (também chamada de não probabilística). Dentro destas duas 
categorias existem diversas subcategorias. Um estudo estatístico mais 
detalhado ficaria a cargo de profissionais da área, entretanto, para este estudo 
serão feitas, a seguir, algumas considerações importantes: 
 
2.9.1. Amostragem Aleatória 
Neste tipo de amostragem, todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem 
escolhidos. Exemplos típicos são sorteios entre os candidatos, tal como um bingo onde 
cada participante possui um número ou um conjunto de números 
 
2.9.2. Amostragem não aleatória 
Neste tipo de amostragem a escolha dos participantes é feita de forma seletiva. Esta 
escolha pode ser feita devido a particularidades do grupo em estudo, atendendo aos 
interesses do investigador. Este tipo de amostragem pode ser útil em alguns casos. Existem 
diversas maneiras de utilizar amostragens não aleatórias, dentre elas: 
 
Amostragem não aleatória voluntária. Este tipo de amostragem é aquele em que 
se disponibiliza uma pesquisa (por exemplo com um link em Internet) e se solicita que os 
interessados acessem a pesquisa e a respondam. Neste caso corremos o risco de 
 
 
15 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
resultados com viés, visto que, pode acontecer de interessados em determinados tópicos 
da pesquisa se mobilizem e consigam muito mais participantes que outros. Este é o caso 
de muitas pesquisas em redes sociais onde um grupo disponibiliza o link para seus 
seguidores ou mesmo é facilitado o acesso a estes seguidores e com isto se tem uma 
amostra de pessoas que tem afinidade com as ideias de seus mentores. Pesquisas que 
aparecem constantemente no Facebook solicitando a concordância ou não com uma 
determinada lei ou com a opinião de algum político, são exemplos de pesquisa voluntária. 
 
Amostragem não aleatória por conveniência. Este tipo de amostragem é aquele 
que o pesquisador disponibiliza a pesquisa somente para aqueles que ele deseja. Exemplos 
típicos são as pesquisas de satisfação criadas por lojas, atendimentos telefônicos etc. 
Nestas pesquisas somente os clientes ou alguns dos clientes são escolhidos. 
 
Os diagramas abaixo representam as amostragens citadas 
 
2.10. Coleta de dados 
São maneiras escolhidas para adquirir 
informações, que pode ser feita através de registros 
como: nascimentos; casamentos; etc., ou através 
de questionários coletados pelo pesquisador. 
 
 
 
16 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
2.11. Crítica de dados 
São considerações sobre os dados que devem ser feitas para evitar erros grosseiros. 
 
2.12. Variáveis 
 São conjuntos de resultados de uma possível ocorrência. Como exemplo 
podemos citar a cor de um objeto, que pode possui diversos resultados possíveis. 
 
2.12.1. Variáveis qualitativas 
São informações não numéricas, normalmente atributos classificados em 
categorias: 
 
Exemplos: Tipos sanguíneos (A, B, AB ou O) 
Cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos etc.) 
 
Variáveis qualitativas nominais 
Quando os valores são classificados em 
categorias ou classes, não ordenadas. 
Exemplo: Caso em uma pesquisa se deseje saber 
o tipo sanguíneo, ela será uma variável nominal, pois não 
pode ser ordenada, as respostas poderiam ser: A, B, AB 
ou O, e não existe uma ordem para afirmar que sangue 
tipo A é maior ou menor que B e assim sucessivamente. 
 
Variáveis qualitativas ordinais 
Quando os valores são ou podem ser ordenados. 
Exemplo: Caso em uma pesquisa, se deseje saber a escolaridade dos participantes, 
as respostas poderiam ser: sem escolaridade, com ensino fundamental, com ensino médio, 
com ensino superior ou pós-graduado. É importante observar, que neste caso uma pessoa 
com ensino médio tem mais escolaridade que uma com ensino fundamental, uma pessoa 
com ensino superior tem mais escolaridade que uma com ensino médio e assim 
sucessivamente. 
 
 
17 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
2.12.2. Variáveis quantitativas 
São informações que assumem valores numéricos, obtidos a partir de medições 
ou constatações. 
 
Variáveis quantitativas contínuas 
Podem assumir valores entre dois limites, normalmente são 
números fracionários, mas podem até ser números inteiros. 
Exemplos: Pesos, estaturas, renda, distância, 
comprimento etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variáveis quantitativas discretas 
Só podem assumir valores pertencentes a um conjunto específico de valores, não 
são números facionários. 
Exemplos: Alunos em uma sala, filhos de uma família, bolsas em um estoque etc. 
 
 
18 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Distribuição de frequência 
3.1. Objetivo: 
Apresentar elementos básicos para cálculos estatísticos a partir de elementos 
obtidos com as técnicas discutidas nas aulas anteriores. 
 
3.2. Introdução: 
Esta aula apresenta inicialmente, classes, intervalo de classes, que são os primeiros 
elementos necessários para criar tabelas de distribuição de frequência, em seguida discute 
a montagem de tabelas de distribuição de frequência para variáveis contínuas com seus 
principais itens. É também apresentado o conceito e a montagem de Histogramas 
 
3.3. Organização de dados 
Quando dados são obtidos através das amostragens discutidas anteriormente, eles 
não veem organizados poisestão misturados, portanto, não apresentam obrigatoriamente 
uma ordem ou sequência, motivo pelo qual, torna-se muito difícil a visualização assim como 
a obtenção de conclusões. Estes dados que classificados como dados brutos e se forem 
fornecidos em tabelas estas são chamadas de tabelas primitivas. 
 
 
 
19 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
3.3.1. Rol 
Normalmente para que dados possam ser analisados eles precisam ser ordenados, 
esta ordenação, colocando os dados em ordem (crescente, decrescente ou outra 
classificação), irá gerar uma tabela que recebe o nome de Rol. 
 
Para entender os conceitos de tabele primitiva e Rol, o exempla a seguir apresenta 
as notas obtidas por alunos em uma prova. Esta é uma tabela primitiva 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar o estudo o professor pode colocar as notas em ordem, obtendo assim 
o que chamamos de Rol 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4. Distribuição de Frequência 
O exemplo fornecido anteriormente representa variáveis contínuas, visto que a 
diversificação dos valores é grande, e os valores são fornecidos entre dois limites. Para 
analisar esta quantidade de valores, adota-se a Distribuição de Frequência que utiliza os 
conceitos definidos a seguir neste item. Estes valores normalmente são fracionários, mas 
podem também ser inteiros 
 
 
 
20 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
3.4.1. Classe 
Dados organizados em um Rol analisados através de uma técnica chamada de 
“Distribuição de Frequência”, que consiste em agrupar os dados em intervalos: 
 
Os intervalos de agrupamentos dão origem à Classes sendo que estas Classes 
possuem “intervalos de valores” (vão de um valor inicial a um final) e estes intervalos são 
chamados de Intervalos de Classe 
 
No exemplo da Ron apresentada no item anterior temos 50 valores, portanto n = 50. 
 
3.4.2. Número de Classes 
Para determinar o número de classes em uma distribuição utiliza-se a equação: 
𝑖 = √𝑛
2
 
Onde: 
𝑖 é o número de classes em um Rol 
 𝑛 é a quantidade de dados da amostra 
No exemplo da Ron anterior o intervalo de classes será: 
 
 
 
 
 
3.4.3. Amplitude do intervalo de classe 
É obtido pela equação: 
ℎ = 
𝐿𝑚á𝑥 − 𝐿𝑚𝑖𝑛
𝑖
 
 
Onde: 
ℎ é a amplitude do intervalo de classe 
𝐿𝑚á𝑥é o maior valor do Rol 
𝐿𝑚𝑖𝑛 é o menor valor do Rol 
𝑖 é o número de classes 
 
 
 
21 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
No exemplo da Ron anterior o intervalo de classes será: 
 
 
 
 
 
3.4.4. Frequência de classe 
 É o número de ocorrências de cada valor em um intervalo de classe. É 
representada por Fi 
 
Para obter o valor de Fi normalmente se monta a tabela com os valores do número 
de classes (i) e determina-se qual o valor inicial e final de cada uma das classes. Em 
seguida, conta-se quantos valores tem cada uma das classes, considerando a cada classe 
como iniciando no valor inicial e terminando uma unidade antes do valor final (Em 
matemática, esse procedimento é chamado de intervalo fechado no valor inicial e aberto no 
valor final). A tabela referente à Rol do item anterior, ficará conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.5. Ponto médio da classe 
É a média entre o valor máximo e o valor mínimo de um intervalo de classe 
𝑥𝑖 = 
𝐿𝑖 + 𝐿𝑠
2
 
Onde: 
𝑥𝑖 é o ponto médio da classe 
𝐿𝑖 é o limite inferior da classe 
 
 
22 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝐿𝑠 é o limite superior da classe 
 
A tabela com os Pontos Médios das classes referente à Rol do item anterior, ficará 
conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo para obter o ponto médio da primeira classe foi o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os demais pontos médios foram obtidos utilizando a mesma fórmula 
 
 
 
23 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
3.4.6. Frequência acumulada 
É a frequência total acumulada até determinada classe, na verdade a soma das 
frequências de todas as classes anteriores até a classe atual. É representada por Fa 
 
A tabela com as frequências acumuladas das classes referente à Rol do item 
anterior, ficará conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a primeira classe, a frequência acumulada é igual a frequência desta classe e 
para as demais classes foi obtida conforme apresentado abaixo para a segunda classe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
3.4.7. Frequência relativa 
É o quociente entre a frequência absoluta da classe em estudo e a soma das 
frequências absolutas (frequência de todas as classes): 
𝐹𝑟 = 
𝐹𝑖
∑ 𝐹𝑖
 
Onde: 
 𝐹𝑟 é a frequência acumulada 
𝐹𝑖 é a frequência da classe em estudo 
∑ 𝐹𝑖 é a somatória de todas as frequências 
 
A tabela com as frequências relativas das classes referente à Rol do item anterior, 
ficará conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A frequência relativa para a Rol fornecida no item anterior foi obtida conforme 
apresentado abaixo: 
 
 
25 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.8. Frequência relativa acumulada 
É a soma da frequência relativa da classe em estudo com as frequências 
acumuladas das classes anteriores. 
 
Esta frequência pode também ser representada em percentagem, bastando para isto 
multiplicar o valor por 100. 
 
 As frequências relativas acumuladas, assim como as frequências relativas 
acumuladas em percentagem para Rol fornecida anteriormente são representadas na 
tabela abaixo: 
Aa frequências relativas acumuladas para a Rol fornecida no item anterior foi obtida 
conforme apresentado abaixo: 
 
 
26 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter as frequências relativas acumuladas, basta multiplicar os valores das 
frequências acumuladas relativas por 100 e representar com o símbolo de percentagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
4. Gráficos 
4.1. Objetivo 
Apresentar os principais gráficos utilizados não só em estatística como no dia a dia 
de qualquer atividade empresarial, de pesquisa ou mesmo educacional 
 
4.2. Introdução 
Nesta aula, será discutido como visualizar e de como os dados são lançados em 
diferentes tipos de gráficos, assim como a utilização do gráfico correto para cada uma das 
atividades, sendo este tópico de fundamental importância na apresentação correta e clara 
dos resultados. 
 
4.3. O que é um gráfico 
É uma forma de apresentar dados, que tem dentre os seus objetivos visualizações 
alternativas para pesquisadores e para o público em geral. 
 
Muitas vezes, a utilização de gráficos apresenta-se como uma excelente alternativa 
a tabelas, ou mesmo à simples visualização de dados, por este motivo, sempre que 
possível, deve-se prever a construção de gráficos alternativamente a tabelas tanto em 
relatórios como em arquivo de dados. 
 
4.4. Algumas regras gerais 
4.4.1. Normas IBGE 
Segundo a nova revisão das normas IBGE, tabelas e gráficos devem ser formatados 
conforme o texto “Normas Editoriais e de Formatação de Trabalhos”, que podem ser 
obtidas em http://www.ibge.gov.br/confest_e_confege/normas.htm (acessado em 
21/01/2024), transcrito abaixo. 
 
Tabelas e Gráficos devem ser inseridos no texto como figura e com a seguinte 
formatação: 
 
Centralizados na página; 
http://www.ibge.gov.br/confest_e_confege/normas.htm
 
 
28 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
A fonte de letrana tabela deve ser no mínimo de tamanho 10 pt e no máximo de 12 
pt ; divida a tabela em duas ou mais, se não couber na página; 
 
Para títulos, utilize o estilo: Tabela # seguida do título da tabela/gráfico (centralizado 
e negrito); 
 
A fonte dos dados deve ser indicada, alinhando o texto descritivo com a margem 
esquerda da Tabela/Gráfico; 
 
Procure evitar grades laterais nas células das tabelas. 
 
4.4.2. Normas ABNT 
Estas normas também indicam que o título deve estar acima enquanto a fonte e 
outras citações devem ficar abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5. Tipos de gráficos mais comuns 
Muitos tipos de gráficos podem ser utilizados para representar os mais diversos 
conjuntos de dados e principalmente, com o advento de softwares como o Microsoft Excel, 
a diversidade destes gráficos é imensa. Neste item serão apresentados os principais e mais 
utilizado, portanto, os que devem ser escolhidos na grande maioria das utilizações. 
 
Entretanto, o mais importante das explicações a seguir está no fato de utilizar o 
gráfico correto para representar o fenômeno que pretendemos apresentar, portanto, é 
importante que seja observado atentamente como escolher o gráfico em cada condição de 
 
 
29 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
maneira que seu leitor possa aproveitar da melhor maneira possível o gráfico que foi fruto 
de seu trabalho. 
 
Os gráficos que serão apresentados são: 
 
 Gráfico de linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 Gráfico de dispersão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de setores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Histograma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6. Gráfico de linha ou em curva 
São compostos de dois eixos, um eixo vertical (convencionalmente nomeado de y), 
também chamado de eixo dos valores e um eixo horizontal (convencionalmente nomeado 
de x), também chamado de eixo das categorias. 
 
 
 
31 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Em aplicativos como o Excel, o eixo das categorias apresenta sempre um incremento 
constante, portanto, gráficos que cujos valores do eixo x não sofrem sempre o mesmo 
incremento, não devem ser construídos no Excel utilizando a opção de “Gráficos de linha”. 
 
Caso se deseje construir gráficos cujos valores do eixo x não tem um acréscimo 
uniforme, tais como gráficos de equações matemáticas, deve utilizar no Excel os “Gráficos 
de dispersão”. 
 
Os gráficos de linha, são normalmente utilizados para apresentar valores que variam 
a longo do tempo, tais como dias da semana, meses do ano, anos etc. Podem ser utilizados 
também para apresentar variações de valores entre estágios subsequentes como 
representados nas figuras a seguir: 
 
 
4.6.1. Exemplo 
Representar em um gráfico de linhas as estaturas de alunos em uma sala de aula, 
com distribuição de frequências conforme tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Lançando os valores de Fi no eixo y e os valores do ponto médio das classes no eixo 
x, teremos a gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7. Gráfico de colunas 
São montados com eixos da mesma maneira que explicados nos gráficos de linha. 
A diferença está somente na construção do conteúdo, que ao invés de ser uma linha 
contínua ligando os pontos, são colunas traçadas verticalmente desde o eixo x até os 
valores máximos determinados. 
 
Sua utilização também é semelhante ao dos gráficos de linha, portanto muito 
propícios para representar variações ao longo do tempo ou variações de valores entre 
estágios subsequentes, como representados a seguir. 
 
 
 
 
33 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
4.7.1. Exemplo 
Representar em um gráfico de colunas a frequência de alunos em um curso de 
acordo com os dias da semana: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lançando os valores de Fi no eixo y e os dias da semana no eixo x, teremos a gráfico 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.8. Gráfico de barras 
São compostos de dois eixos, um eixo horizontal (convencionalmente nomeado de 
x), também chamado de eixo dos valores e um eixo vertical (convencionalmente nomeado 
de y), também chamado de eixo das categorias. 
 
Observe que, as construções dos gráficos de barras são semelhantes às dos gráficos 
de colunas, entretanto os eixos x e y tem funções invertidas, ou seja, no gráfico de barras 
 
 
34 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
o eixo que recebe os valores é o eixo x e o eixo que recebe as categorias é o eixo y. Então, 
este tipo de gráfico deve receber no eixo y propriedades de elementos, enquanto que os 
valores destas propriedades serão lançados no eixo x. 
 
É importante que este tipo de gráfico não seja utilizado para representar variações 
ao longo do tempo. 
 
Em aplicativos como o Excel, o eixo das categorias apresenta sempre um incremento 
constante, portanto, gráficos que cujos valores do eixo y não sofrem sempre o mesmo 
incremento, não devem ser construídos no Excel utilizando a opção de “Gráficos de barras”. 
 
Os dois exemplos a seguir são gráficos que mostram times de futebol ou graus de 
instruções no eixo y, enquanto que seus valores estão no eixo x. 
 
4.8.1. Exemplo 
Representar em um gráfico de barras a distribuição de frequências da escolaridade 
de funcionários de uma instituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Lançando os valores de Fi no eixo x e os graus de instrução no eixo y, teremos a 
gráfico abaixo. 
4.9. Gráfico de dispersão 
São gráficos utilizados para representar curvas matemáticas. Normalmente 
utilizados em ciências como física e química. Estes gráficos diferenciam-se dos gráficos de 
linha pelo fato dos valores do eixo x não serem acrescidos de incrementos constante, 
motivo pelo qual podem representar curvas ou mesmo outros tipos de equações como 
exponenciais, logarítmicas etc. A figura abaixo apresenta o exemplo de uma curva de 
espaço em função do tempo para um MRUV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
4.9.1. Exemplo 
Elaborar o gráfico do logaritmo a função y = log (x) com x variando de 1 a 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.10. Gráfico de setores 
São utilizados para representar partes de um todo, ou seja, quando você tem um 
todo, por exemplo uma população e sabe que parte dela é formada por crianças, outra parte 
por jovens, outra por adultos e uma última por pessoas da terceira idade você pode utilizar 
um gráfico de setores para mostrar qual a parcela de cada uma destas categorias no total 
da população. 
 
Devido ao seu aspecto, muitos chamam estes gráficos de setores de gráficos de 
pizza. 
 
Os dois exemplos a seguir são excelentes para representar gráficos de setores. 
 
 
37 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
4.10.1. Exemplo 
O mesmo exemplo anterior, no caso graus de instruções de uma instituição pode 
muito bem ser representado por um gráfico de setores, conforme mostrado neste exemplo. 
 
 
 
 
 
38 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.11. Histograma 
Histograma, é um gráfico que tem o mesmo formato e modo de construção que um 
gráfico de colunas, a única diferença é que as colunas ficam justapostas. 
 
Histogramas são utilizados para representar diversos tipos de dados, inclusive dados 
estatísticos. Existem diversos tipos de histograma, taiscomo “histogramas de frequências”, 
“histogramas de frequências acumuladas” dentre outros. 
 
 
 
39 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
4.11.1. Construção de Histogramas 
Em Histogramas os valores do eixo vertical (eixo y) são as frequências, frequências 
acumuladas, frequências relativas etc. enquanto que no eixo horizontal (eixo x), são os 
pontos médios das classes quando se utilizam variáveis quantitativas contínuas 
(possuem intervalo de classe) ou os valores das classes quando se utiliza variáveis 
quantitativas discretas (sem intervalo de classe). 
 
O gráfico a seguir representa um histograma de frequências de alturas de pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
5. Média Aritmética 
5.1. Objetivo 
Nesta aula serão apresentados os conceitos de média, com exemplos de aplicações 
em dados agrupados e não agrupados. 
 
5.2. Introdução: 
Além dos cálculos apresentados no item anterior, é importante também obter valores 
de média, (que é o objetivo desta aula), moda e mediana (que serão vistos na próxima 
aula), que apresentam dados sobre a amostragem que podem ser utilizados com diversos 
objetivos. 
 
É importante observar que os tratamentos e as fórmulas são diferentes para: 
 Dados não agrupados. 
 Dados agrupados sem intervalo de classe. 
 Dados agrupados com intervalo de classe. 
 
5.3. Média Aritmética de dados não agrupados 
Quando os dados não são agrupados, a média é o quociente da divisão entre a soma 
dos valores das variáreis de uma distribuição, pelo número de variáveis que compõe esta 
distribuição. A média aritmética é considerada uma medida de tendência central, visto que, 
focaliza valores centrais entre conjuntos de valores. 
 
A média aritmética é obtida pela equação: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
 
 
 
41 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
A média aritmética é a medida de posição que possui maior estabilidade, deve ser 
utilizada quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior 
 
5.3.1. Exemplo de média aritmética de dados não agrupados 
Sabemos que as idades de 7 crianças que no momento estão em um parque são: 
10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 anos. Qual a idade média destas crianças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4. Média aritmética de dados agrupados 
Quando os dados são agrupados, as frequências de classe são indicadores de 
intensidade, ou seja, elas indicam a quantidade de vezes que cada um dos valores da 
distribuição acontece, portanto, elas funcionam como fatores de ponderação, então, a 
média aritmética é obtida pela equação: 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
Se os dados estiverem agrupados em intervalos de classe, para somatória dos 
valores, utiliza-se a somatória dos pontos médios das classes. 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑖
𝑛
 
�̅� = 
10+14+13+15+16+18+12
7
 
�̅� = 
98
7
 
�̅� = 14 
 
 
42 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
5.4.1. Exemplo de dados agrupados sem intervalo de classe 
Um professor construiu a tabela abaixo com a distribuição de frequência dos meninos 
em grupos de alunos para um trabalho. Qual a média de meninos por grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.2. Exemplo de dados agrupados com intervalo de classe 
Um treinador mediu a altura de seus jogadores e montou a tabela abaixo. Qual a 
estatura média dos jogadores? 
Observando a tabela temos: 
A resposta é 2 meninos por grupo 
Cálculo da média aritmética: 
 
 
43 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Para obter xi foi considerado o ponto médio de cada intervalo de classe dos 
valores das alturas dos alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a tabela temos: 
Cálculo da média aritmética: 
A resposta é a altura média dos alunos é 161 cm 
 
 
44 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6. Moda e Mediana 
6.1. Objetivo 
Nesta aula serão apresentados os conceitos de moda e mediana, com exemplos de 
aplicações em dados agrupados e não agrupados. 
 
6.2. Introdução: 
Moda e mediana também são elementos muito importantes nos cálculos estatísticos, 
portanto devem ser estudados cuidadosamente. É Importante lembrar que assim como a 
média estudada anteriormente, a Moda e a Mediana, são medidas de tendência central. 
 
É importante observar que, assim como nos cálculos da Média, Moda e Mediana 
tem diferentes tratamentos e as fórmulas para dados não agrupados e dados 
agrupados em intervalões de classe 
 
É importante salientar também que como no caso da média, tanto a Moda como 
a Mediana também tem interpretações e cálculos diferentes para: 
 
 Dados não agrupados. 
 Dados agrupados sem intervalo de classe. 
 Dados agrupados com intervalo de classe. 
 
6.3. Moda de dados não agrupados 
Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Se 
tomarmos como exemplo notas de uma prova ou de uma disciplina, a moda será a nota 
obtida pela maioria dos alunos. 
 
Podem existir grupos de valores nos quais nenhum valor aparece mais de uma vez, 
então, podemos afirmar que esta série de valores é amodal, assim como, podem existir 
grupos com mais de um valor sendo repetido o mesmo número de vezes, estas distribuições 
são chamadas de bimodais (duas modas), trimodais (3 modas) e assim por diante. 
 
 
45 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6.3.1. Exemplo de moda de dados não agrupados 
Em um jogo de basquete, anotou o número de cestas que cada jogador acertou em 
três turmas. Quais as modas de acertos dos alunos em cada uma das turmas. 
 
Turma A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 15. 
Turma B: 3, 5, 8, 10, 12, 13, 15. 
Turma C: 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 
 
Respostas: 
Turma A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 15 => Moda da Turma A: 10. 
Turma B: 3, 5, 8, 10, 12, 13, 15. => Turma B não tem moda é amodal. 
Turma C: 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. => Turma C é Bimodal: 4 e 7. 
 
6.4. Moda de dados agrupados 
Quando os dados estão agrupados a moda, corresponde ao valor de maior 
frequência. Caso os dados estejam agrupados com intervalo de classe, a moda será o 
ponto médio da classe de maior frequência. 
 
6.4.1. Exemplo: moda com dados agrupados sem intervalo de classe 
Utilizando o mesmo exemplo do professor que construiu uma tabela com a 
distribuição de frequência dos meninos em grupos de alunos para um trabalho. Qual a moda 
de meninos por grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Conforme definição, a moda é o valor da classe de maior frequência. Como a maior 
frequência é 12, a moda será 3. 
 
A resposta moda = 3 
 
 
46 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6.4.2. Exemplo: moda com dados agrupados com intervalo de classe 
No mesmo exemplo anterior, no qual o treinador montou a tabela com a estatura 
média dos jogadores, calcular a moda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Conforme definição, a moda será o ponto médio da classe com maior frequência. 
Como a classe com maior frequência é a classe 3 (frequência 11), podemos afirmar que a 
moda será o ponto central da classe 3 que é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5. Mediana de dados não agrupados 
Em um conjunto de valores ordenados, a mediana é o valor situado de tal forma que 
os subconjuntos antes e depois do valor da mediana são iguais. Caso a quantidade de 
valores do conjunto seja um número ímpar, a mediana será a média entre os dois valores 
centrais. 
 
6.5.1. Exemplo com número ímpar de valores 
Determine a mediana do seguinte conjunto de valores:2, 5, 6, 9,10,13,15,16,18. 
A resposta moda = 166 
 
 
47 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Solução: Como existem 9 valores, portanto um número ímpar de valores, basta 
separar 4 valores de cada lado e a mediana será o valor central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5.2. Exemplo com número par de valores 
Determine a mediana do seguinte conjunto de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 19. 
 
Solução: Como existem 8 valores, portanto um número par de valores, basta separar 
3 valores de cada lado e a mediana será a média dos dois valores centrais. 
 
 
 
 
 
 
A mediana será a média entre 10 e 12, portanto 
 
 
 
 
 
6.6. Mediana de dados agrupados sem intervalo de classe 
Quando os dados são agrupados sem intervalo de classe, o cálculo é feito da 
seguinte maneira: 
 
a) Calcula-se a frequência acumulada da distribuição: = ∑ 𝑓𝑖 
A resposta a mediana = 166 
A resposta a mediana = 11 
 
 
48 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
b) Divide-se o número total de elementos da distribuição por 2: = 
∑ 𝑓𝑖
2
 
c) Procura-se a menor frequência acumulada que supera o valor obtido anteriormente. 
d) A mediana será o valor desta classe: 
 
6.6.1. Exemplo: mediana com dados agrupados sem intervalo de classe 
Utilizando o mesmo exemplo do professor que construiu uma tabela com a 
distribuição de frequência dos meninos em grupos de alunos para um trabalho. Qual a 
mediana de meninos por grupo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Incluir na tabela a coluna de frequência acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividir o número total de elementos por 2 
 
 
 
Procurar o menor valor de frequência acumulada que supera 17, que é o valor 18. 
A mediana será o valor da classe de frequência acumulada 18 que é 2. 
 
A resposta a mediana = 2 
 
 
49 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6.7. Mediana de dados agrupados com intervalo de classe 
Quando os dados são agrupados com intervalo de classe, o cálculo é feito de 
maneira semelhante ao do item anterior, porém, o valor da mediana é obtido através de 
uma equação e não por simples observação de valor. O procedimento é o seguinte: 
 
a) Calcula-se a frequência acumulada da distribuição: = ∑ 𝑓𝑖 
b) Divide-se o número total de elementos da distribuição por 2: = 
∑ 𝑓𝑖
2
 
c) Procura-se a menor frequência acumulada que supera o valor obtido 
anteriormente. 
d) Calcular a mediana pela equação: 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 
 
 
 
 
 
6.7.1. Exemplo: mediana com dados agrupados com intervalo de classe 
No mesmo exemplo anterior, no qual o treinador montou a tabela com a estatura 
média dos jogadores, calcular a mediana. 
 
 
 
 
 
 
50 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Incluir na tabela a coluna de frequência acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividir o número total de elementos por 2 
 
 
 
 
Procurar o menor valor de frequência acumulada que supera 20, que é o valor 24 
Calcular a mediana utilizando a equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Onde: 
Li = Limite inferior da classe mediana =158 
 
Fi = Frequência da classe mediana =11 
Fa(ant) = Frequência acumulada anterior à mediana =13 
h= Intervalo de classe da classe mediana = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somatória de Fi dividido por 2 (já calculado) = 
20 
A resposta a mediana = 161 
 
 
52 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
7. Variância e Desvio Padrão 
7.1. Objetivo 
Estudar medidas de variância e desvio padrão com objetivo de medir o grau de 
concentração ou a dispersão dos dados em torno da média. 
 
7.2. Introdução 
Enquanto que os valores de Média, Moda e Mediana, são medidas de tendência 
central, ou sejam, medem para onde se concentram os elementos de medidas, a Variância 
e o Desvio padrão são medidas que procuram identificar, como que os valores se afastam 
ou se dispersam do centro da amostra. 
 
A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade 
dos valores da variável em estudo. 
 
7.3. Variância 
É a medida que mostra o quão distante está cada um dos elementos de um conjunto 
em relação à média que na verdade é o ponto central do conjunto. 
 
A variância é calculada por uma das duas expressões abaixo: 
 
𝜎2 = 
∑(𝑥𝑖− �̅� )
2
𝑛
 => se for o valor calculado toda a população (chamada de variância 
populacional) 
 
𝜎2 = 
∑(𝑥𝑖− �̅� )
2
𝑛−1
 => se for o valor calculado para uma amostra (chamada de variância 
amostral) 
 
𝜎2 = é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑥𝑖 = é 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
�̅� = é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
 
 
 
53 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 Quanto maior a variância, mas distantes estão os elementos da média, portanto a 
amostra ou a população será mais irregular 
 
Quanto menor a variância, mas próximo estão os elementos da média, portanto a 
amostra ou a população será mais regular 
 
7.3.1. Exemplo 
As notas de um aluno nos quatro bimestres foram 8; 5; 6; 10. Qual a variância destas 
notas? 
 
Cálculo da média: 
�̅� = 
9 + 5 + 4 + 10
4
 
�̅� = 
28
4
 
�̅� = 7 
 
Cálculo de cada um dos desvios (𝑥𝑖 − �̅� ) 
Nota 9 => (𝑥𝑖 − �̅� ) = 9 − 7 = 2 
Nota 5 => (𝑥𝑖 − �̅� ) = 5 − 7 = −2 
Nota 4 => (𝑥𝑖 − �̅� ) = 4 − 7 = −3 
Nota 10 => (𝑥𝑖 − �̅� ) = 10 − 7 = 3 
 
Como estas notas são todas as notas do aluno é a população e não uma amostra de 
notas do aluno, então: 
𝜎2 = 
∑(𝑥𝑖 − �̅� )
2
𝑛
 
 
𝜎2 = 
22 + (−2)2 + (−3)2 + 32 
4
 
𝜎2 = 
4 + 4 + 9 + 9 
4
 
𝜎2 = 
26 
4
= 6,5 
 
 
54 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
7.4. Desvio padrão 
Determina a variabilidade dos dados em torno da média. 
É definido como a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = √𝜎2 
𝜎 = é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 
𝜎2 = é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
Importante: Para expressar o quanto os dados estão variando em relação à média, 
é sempre aconselhável utilizar o desvio padrão, visto que para o cálculo da variância, os 
desvios são elevados ao quadrado, fazendo com que o resultado esteja em uma escala 
diferente das medidas 
 
7.4.1. Exemplo 
No exemplo anterior cuja variância é 6,5m qual o valor do desvio padrão? 
𝜎 = √𝜎2 
𝜎 = √6,5 
𝜎 = 2,5 
 
7.5. Variância x Desvio Padrão 
Os dois valores permitem calcular a dispersão dos valores de uma população ou 
amostra, em relação à média, entretanto, no cálculo da variância, os valores das diferenças 
em relação à média são elevados ao quadrada para executar os cálculos. Isto é necessário, 
pois, caso não fossem elevados ao quadrado o resultado em um conjunto de dados como 
os utilizados no exemplo anterior seria zero visto que os valores são 2, -2, -3 e 3, o que 
resultaria em uma variância igual a zero o que não é correto. 
 
Considerando o que foi explicado no parágrafo anterior, os resultados de uma 
dispersão são melhores expressos pelo “desvio padrão” do que pela “variância” visto que, 
ao extrair a raiz quadrada, os valores voltam a mesma escala que os obtidos com a variação 
de cada elemento em relação à média. 
 
Com relação à homogeneidade da amostra ou população, é importante observar 
que: 
 
 
55 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Quanto maior a variância ou o desvio padrão, maior será a irregularidade dos dados, 
ou seja, a amostra ou população é mais heterogênea.Quanto menor a variância ou o desvio padrão, menor será a irregularidade dos 
dados, ou seja, a amostra ou população é mais homogêneos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8. Análise Combinatória 
8.1. Objetivo 
Apresentar e discutir os conceitos de análise combinatória . 
 
8.2. Introdução 
Análise Combinatória, estuda eventos que levam em consideração a contagem da 
ocorrência de eventos, sem a necessidade de reproduzir todas as possibilidades. 
 
Para desenvolver estes estudos são necessários conhecimentos básicos de : 
 Fatorial 
 Princípio fundamental de contagem (diagrama de árvore) 
 
8.3. Fatorial 
Considerando n um número natural, maior que 1. 
É definido como fatorial de n o produto entre todos os números naturais desde n até 
1. 
Representação: n! 
Cálculo de n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)............ 1 
Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
É importante sempre lembrar que: 
0! = 1 
1! = 1 
 
8.4. Princípio fundamental de contagem 
Possibilita a definição de uma regra para determinar o número de possibilidades da 
ocorrência de um evento de maneira a não ser necessário reproduzir todas as 
possibilidades. 
𝑛 = 𝑒. 𝑚 
 
𝑛 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = (𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚) 
𝑒 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑚 = 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑟 
 
 
57 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Quando a quantidade de elementos não é grande é possível a elaboração do 
“Diagrama de árvores”, conforme será apresentado a seguir, entretanto quando existem 
muitos elementos torna-se necessário realizar a operação pelo produto entre os elementos 
e as maneiras como os eventos podem ser realizados conforme expressão acima. 
 
O Diagrama de Árvore representa as possibilidades de combinar elemento. Abaixo 
temos o diagrama de árvore para a combinação dos elementos M e N com A, B, C 
 
 
8.4.1. Exemplo: 
Está em promoção em uma concessionária três modelos de carros, Onix, Cobalt e 
Plus, todos eles em 3 cores Azul, Vermelho e Preto. Quantas possibilidades de escolha 
existem? 
 
 
 
58 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8.5. Permutação simples 
Uma permutação simples é um rearranjo de elementos distintos de um conjunto, 
onde a ordem dos elementos é importante. Em outras palavras, é uma maneira de 
organizar os elementos de um conjunto de forma que cada elemento seja usado 
exatamente uma vez e que a ordem em que esses elementos são organizados seja 
considerada (ou seja, os mesmos objetos podem ser colocados em ordem diferente). 
 
Como exemplo podemos observar que, se tivermos os elementos {A, B, C}, as 
permutações simples são: 
 
ABC 
CBA 
BCA 
ACB 
CAB 
BAC 
 
Cada uma dessas permutações é única porque a ordem dos elementos é diferente 
em cada uma delas. 
 
O resultado de uma permutação simples pode ser obtido pelo fatorial do número de 
elementos. 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
𝑃𝑛 = 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çã𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
𝑛! = 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛 
No caso: 
𝑃𝑛 = 3! 
𝑃𝑛 = 3.2.1 
𝑃𝑛 = 6 
 
 
 
59 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8.5.1. Exemplo 
Em um concurso com 3 pessoas (Claudia, Alessandra, Andressa), quantas 
possibilidades existem de resultados. Calcule e apresente todas as possibilidades 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
𝑃3 = 3! 
𝑃3 = 3.2.1 
𝑃3 = 6 
 
Claudia, Alessandra, Andressa 
Claudia, Andressa, Alessandra 
Alessandra, Claudia. Andressa 
Alessandra, Andressa, Claudia 
Andressa, Alessandra, Claudia 
Andressa, Claudia, Alessandra 
 
8.6. Permutação com repetição 
Uma permutação com repetição é um arranjo de elementos onde alguns elementos 
podem aparecer mais de uma vez e a ordem dos elementos ainda é considerada. (ou 
seja, os mesmos objetos podem ser colocados em ordem diferente). Em outras palavras, é 
uma maneira de organizar os elementos de um conjunto, permitindo que haja elementos 
repetidos e levando em consideração a ordem desses elementos. 
 
Por exemplo, se tivermos o conjunto {A, B, B}, uma permutação com repetição desse 
conjunto seria: 
 
ABB 
BAB 
BBA 
 
Neste caso, "B" é repetido duas vezes, e a ordem em que esses elementos são 
organizados importa. Cada permutação é única devido à ordem dos elementos. 
 
A permutação com repetição pode ser calculada pela equação 
 
 
60 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝑃𝑛 = 
𝑛!
𝑛1! . 𝑛2! . 𝑛3! … . . 𝑛𝑘! 
 
𝑃𝑛! => é 𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çã𝑜 
𝑛 => 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑛1 𝑛2 𝑛3 … .. 𝑛𝑘 => 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
 Neste caso, 𝑛 = 3; 𝑛1 = 2 𝑒 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑚 0 
𝑃𝑛 = 
𝑛!
𝑛1! . 𝑛2! . 𝑛3! … . . 𝑛𝑘! 
 
 
𝑃𝑛 = 
3!
 2! 
 
𝑃𝑛 = 
3.2.1
2.1 
 
𝑃𝑛 = 
6
 2 
= 3 
 
8.6.1. Exemplo 
Quantos anagramas existem para apalavra TERRA 
 
𝑛 = 5; 𝑛1 = 2 𝑒 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑚 0 
 
𝑃𝑛 = 
𝑛!
𝑛1! . 𝑛2! . 𝑛3! … . . 𝑛𝑘! 
 
𝑃𝑛 = 
5!
 2! 
 
𝑃𝑛 = 
5.4.3.2.1
2.1 
 
𝑃𝑛 = 
120
 2 
= 60 
8.7. Arranjo simples 
Um arranjo simples, também conhecido como arranjo sem repetição, é uma 
combinação ordenada de elementos distintos tomados de um conjunto. Em outras palavras, 
é um subconjunto ordenado de um conjunto onde cada elemento é escolhido uma única 
vez e a ordem dos elementos não é relevante. (ou seja, os mesmos objetos podem ser 
colocados em ordem diferente) 
 
 
61 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Um arranjo simples (sem repetição) pode ser calculado pela equação 
𝐴𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝐴𝑟𝑟𝑎𝑛𝑗𝑜 
n = total de elementos do evento 
k => total de agrupamentos ( k precisa ser menor ou igual a n) 
Para entender vamos propor arranjar as 3 letras (A, B, C) duas a duas, sem que haja 
repetição. 
 
AB 
BA 
AC 
CA 
BC 
CA 
 
𝑛 = 3 
𝑘 = 2 
𝐴𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
𝐴𝑛,𝑘 = 
3!
(3 − 2)!
 
𝐴𝑛,𝑘 = 
3!
(1)!
 
𝐴𝑛,𝑘 = 
3.2.1
1
= 6 
 
8.7.1. Exemplo 
Quantos arranjos de 3 números são possíveis de se obter com o conjunto de 
números 1,2,3,4,5 e 6, com cada elemento só podendo aparecer uma vez 
 
n = 6 
k = 3 
 
 
 
62 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝐴𝑛,𝑘 = 
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
𝐴6,3 = 
6!
(6 − 3)!
 
𝐴6,3 = 
6.5.4.3.2.1
(3)!
 
𝐴6,3 = 
6.5.4.3.2.1
3.2.1
 
𝐴6,3 = 120 
 
8.8. Arranjo com repetição 
Um arranjo com repetição é uma combinação de elementos onde cada elemento 
pode aparecer mais de uma vez na sequência. Isso é diferente de um arranjo sem repetição, 
onde cada elemento aparece no máximo uma vez na sequência. 
 
Um arranjo (com repetição) pode ser calculado pela equação. 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝑛
𝑘 
 
𝐴𝑛,𝑘 = é 𝑢𝑚 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çã𝑜 
𝑛 = é 𝑢𝑚 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çã𝑜 
𝑘 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
 Como exemplo consideramos o conjunto {A, B, C} e queremos formar arranjos de 2 
elementos com repetição permitida. Os arranjos possíveis seriam: 
 
AA 
AB 
AC 
BA 
BB 
BC 
CA 
CB 
CC 
 
 
63 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝑛 = 3 
𝑘 = 2 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝑛
𝑘 
𝐴𝑛,𝑘 = 3
2 
𝐴𝑛,𝑘 = 9 
 
8.8.1. Exemplo 
Quantos arranjos de 3 números são possíveis de se obter com o conjunto de 
números 1,2,3,4,5 e 6, podendo um número aparecer mais que uma vez. 
 
n = 6 
k= 3 
𝐴𝑛,𝑘 = 𝑛
𝑘 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 6
3 
 
𝐴𝑛,𝑘 = 216 
 
8.9. Combinação simples 
Uma combinação simples, refere-se a uma seleção de itens onde a ordem dos 
elementos não importa. Em combinaçõessimples cada elemento pode ser contado 
somente uma vez. 
 
A fórmula para calcular uma combinação simples é: 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
𝑘!. (𝑛 − 𝑘)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
𝑛 = é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑘 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 
Selecionar 3 letras no conjunto de A, B, C, D letras sem repetir 
𝑛 = 4 
𝑘 = 3 
 
 
64 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
𝑘!. (𝑛 − 𝑘)!
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
4!
3!. (4 − 3)!
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
4!
3!. (1)!
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
4.3.2.1
3.2.1.1
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
24
6
 
𝐶𝑛,𝑘 = 4 
 
8.9.1. Exemplo 
 Em um sorteio que irá premiar três pessoas com um SmarthPhone, do qual participam 10 
pessoas, Quantos são os resultados possíveis deste sorteio? 
 
𝑛 = 10 
𝑘 = 3 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
10!
3! (10 − 3)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
10!
3! (7)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
(3.2.1). (7.6.5.4.3.2.1)
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
10.9.8
6 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
720
6 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 120 
 
 
 
65 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8.10. Combinação com repetição 
Uma combinação com repetição, refere-se a uma seleção de itens onde a ordem dos 
elementos não importa. Em combinações com repetição os elementos podem ser contados 
mais que uma vez. 
 
A fórmula para calcular uma combinação simples é 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘!. (𝑛 − 1)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çã𝑜 
𝑛 = é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑘 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
Considerando o conjunto (A,B,C) se desejarmos selecionar duas letras com 
repetição quantas combinações teremos 
 
AA 
AB 
AC 
BB 
BC 
CC 
𝑛 = 3 
𝑘 = 2 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘!. (𝑛 − 1)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(3 + 2 − 1)!
2!. (3 − 1)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(4)!
2!. (2)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
4.3.2.1
. 2.1.2.1
 
 
 
 
66 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝐶𝑛,𝑘 = 
24
4
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
24
4
 
8.10.1. Exemplo 
Desejamos pintar 3 objetos com 3 cores (azul, verde e amarelo), quantas 
combinações são possíveis sabendo que é possível repetir as cores. 
 
𝑛 = 3 
𝑘 = 3 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(3 + 3 − 1)!
3!. (3 − 1)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(5)!
3!. (2)!
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(5.4.3.2.1)
(3.2.1). (2.1)
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(120)
(6). (2)
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 
(120)
(12)
 
 
𝐶𝑛,𝑘 = 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
9. Distribuição Normal – Curva de Gauss 
9.1. Objetivo 
Entender o conceito de distribuição normal e familiarizar-se com a Curva normal ou 
Curva de Gauss 
 
9.2. Introdução 
Uma distribuição de valores que possui média, (representada por µ) e desvio padrão, 
representado por (σ) é considerada normal se ela puder ser descrita pela equação abaixo, 
que representa a probabilidade em qualquer um elemento da amostra ou população 
 
𝑃𝑥 = 
𝑒
− 1
2
 (
𝑧− 𝜇
𝜎
)
2
𝜎√2𝜋
 
 
Onde: 𝑃𝑥 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑥 
 
Como a resolução desta equação é demasiadamente complexa, utilizamos a tabela 
de Distribuição normal apresentada abaixo, que pode ser obtida em diversos livros ou 
mesmo em sites de internet. 
 
 
68 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como exemplo, para obter o valor 1,52m deve-se 
Primeira coluna procurar => 1,4 
Quarta coluna procurar => 0,02 
valor de 𝑃𝑥 = 0,4257 
 
A expressão mencionada no item acima pode ser representada por uma curva 
chamada curva normal ou curva de Gauss ou curva de sino (devido ao seu formato), que é 
uma curva simétrica em torno de uma média 
 
 
69 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo uma distribuição simétrica a curva de Gauss possui sempre o mesmo formato, 
entretanto, se os valores da média e do desvio forem alterados a curva terá aspecto e 
posicionamento diferente, entretanto, manterá o formato de sino. 
 
A figura abaixo obtida da Wikipedia apresenta alguns exemplos 
Fonte Wikipedia: https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal 
 
 
9.3. Distribuição Normal padrão 
A representação gráfica da distribuição normal, como citado anteriormente, é uma 
curva em forma de sino, simétrica em torno da média (�̅� 𝑜𝑢 µ), que recebe o nome de curva 
normal ou de Gauss. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal
 
 
70 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1. 
Essa área corresponde à probabilidade da variável aleatória x assumir qualquer valor 
real. 
 
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se 
indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo, pois considera uma 
população infinita. 
 
Como a curva é simétrica em torno de (�̅�), a probabilidade de ocorrer valor maior do 
que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas 
as probabilidades são iguais a 0,5. Escrevemos: P(x > (�̅�)) = P(x < (�̅�)) = 0,5. 
 
9.3.1. Exemplo 
Uma variável z possui distribuição normal com média 0, (representada por �̅� 𝑜𝑢 𝜇) e 
desvio padrão 1 σ sendo, portanto, sua distribuição normal. Qual a probabilidade que o 
valor de Z seja menor que 1,82? 
 
Solução 
A curva de Gauss desta distribuição é normal visto que 𝜇 = 0 e σ = 1 será a da figura 
abaixo, e a probabilidade do valor ser menor que 1,82, é a área pintada. 
 
Considerando que os valores negativos de x representam 50% (em azul na imagem) 
precisamos somente calcular a área em vermelho na figura e este cálculo será feito com 
auxílio da tabela de probabilidades da distribuição normal para determinar. 
 
 
71 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pegando o valor 1,8 na primeira coluna da tabela e 2 (que corresponde a 0,02) na 
primeira linha teremos o valor de 
 
 
 
Portando a resposta será que a probabilidade de z ser menor que 1,82 é: 
Px = 0,5 + 0,4656 = 0,9656 ou 96,56% 
 
 
72 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
9.4. Distribuição normal reduzida 
A distribuição normal padrão, ou padronizada, admite média 0 e desvio padrão 1, é 
indicada pela letra Z Entretanto, pode ser necessário aplicar os conceitos da curva normal 
para outros valores cuja média não seja 0 e o desvio padrão não seja 1. 
 
Para que a Curva Normal seja aplicada é preciso reduzir estes valores de acordo 
com uma das expressões abaixo: 
 
Para amostras: 
𝑧 = 
𝑥 − 𝜇
𝜎2
 
 
Para população 
𝑧 = 
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
9.4.1. Exemplo 
A distribuição de QI (quociente intelectual) em uma instituição de ensino obteve como 
média 100 com um desvio padrão de 10. Qual a probabilidade de um desses alunos 
tomados ao acaso, apresentar o QI superior à 120 pontos. 
 
Solução: 
Estamos procurando qual a probabilidade de 𝑃𝑥 > 120 
Para que possamos utilizar a tabela da distribuição normal (média µ = 0 e desvio 
padrão σ = 1) e resolver a distribuição reduzida (média µ = 100 e desvio padrão σ = 10), é 
necessário passar os valores para a curva normal e calcular z 
 
𝑧 = 
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
 
𝑧 = 
120 − 100
10
 
 
𝑧 = 2 
 
 
 
73 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
A região da curva que estamos calculando é a indicada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educaçãoa Distância 
 
 
 
 
 
 
 
Pegando o valor 2,0 linha da tabela e o valor 0 (que corresponde a 0,00) na segunda 
coluna da tabela, o valor de 0,4772 
 
Resposta: 
A probabilidade do QI de um aluno retirado aleatoriamente é de 
𝑃𝑥 > 2 = 0,5 − 0,4772 = 0,023 = 2,3% 
 
Observação: O valor foi subtraído de 0,5 pois a possibilidade de ser maior que a 
média (100) é 50% e a possibilidade de ser até 120 é 47,72%, portanto a possibilidade de 
ser somente maior que 120% é 50 – 47,7 = 2,28% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
WALPOLE E. R, MYERS, R. H MYERS S. L. YE; K. Probabilidade e Estatística para 
Engenharia e Ciências 8ª ed. São Paulo. Pearson, 2008. (BV) 
 
LARSON. R. E. Estatística aplicada: retratando o mundo 8ª ed. São Paulo. 
Pearson, 2023. (BV) 
 
MORETTIN, L. G. Estatística Básica: probabilidades e inferência. São Paulo: 
Pearson, 2010. (BV) 
 
SILVA, R. S. Estatística Aplicada 1ª ed. São Paulo: Contentus, 2020. (BV) 
 
CASTANHEIRA. N. P. Estatística aplicada a todos os níveis 2ª ed. Curitiba, 
InterSaberes 2018. (BV) 
 
BANORA JUNIOR. D. Estatística Básica 1ª ed. São Paulo: Ícone 2019. (BV) 
 
QUINSLER. A. P. Probabilidade e estatística 1ª ed. Curitiba, InterSaberes, 2022. 
(BV) 
 
PIANEZZER. G. A. Modelagem Estatística 1ª ed. São Paulo, Contentus, 2020. 
(BV) 
 
 
	1. Interpretações e representações numéricas
	1.1. Objetivo
	1.2. Introdução
	1.3. Variações percentuais
	1.4. Variação Percentual
	1.5. Aumento percentual – Variações positivas
	1.6. Desconto percentual – Variações negativas
	1.7. Estudo do aumento percentual
	1.8. Estudo do desconto percentual
	1.9. Casas decimais – casas após a vírgula
	1.10. Arredondamento
	1.10.1. Quando utilizar arredondamento
	1.10.2. Critério de arredondamento de médias da Universidade
	1.11. Notação científica
	1.11.1 Como representar um número para Potência de 10
	1.11.2. Prefixos e Notações
	2. Noções de Estatística – Coleta de Dados – Variáveis
	2.1. Objetivo:
	2.2. Introdução:
	2.3. Estatística Descritiva x Estatística Indutiva
	2.4. Dados
	2.5. População estatística
	2.6. Amostra
	2.7. Amostra significativa
	2.8. Amostragem
	2.9. Técnicas de amostragem
	2.9.1. Amostragem Aleatória
	2.9.2. Amostragem não aleatória
	2.10. Coleta de dados
	2.11. Crítica de dados
	2.12. Variáveis
	2.12.1. Variáveis qualitativas
	2.12.2. Variáveis quantitativas
	3. Distribuição de frequência
	3.1. Objetivo:
	3.2. Introdução:
	3.3. Organização de dados
	3.3.1. Rol
	3.4. Distribuição de Frequência
	3.4.1. Classe
	3.4.2. Número de Classes
	3.4.3. Amplitude do intervalo de classe
	3.4.4. Frequência de classe
	3.4.5. Ponto médio da classe
	3.4.6. Frequência acumulada
	3.4.7. Frequência relativa
	3.4.8. Frequência relativa acumulada
	4. Gráficos
	4.1. Objetivo
	4.2. Introdução
	4.3. O que é um gráfico
	4.4. Algumas regras gerais
	4.4.1. Normas IBGE
	4.4.2. Normas ABNT
	4.5. Tipos de gráficos mais comuns
	4.6. Gráfico de linha ou em curva
	4.6.1. Exemplo
	4.7. Gráfico de colunas
	4.7.1. Exemplo
	4.8. Gráfico de barras
	4.8.1. Exemplo
	4.9. Gráfico de dispersão
	4.9.1. Exemplo
	4.10. Gráfico de setores
	4.10.1. Exemplo
	4.11. Histograma
	4.11.1. Construção de Histogramas
	5. Média Aritmética
	5.1. Objetivo
	5.2. Introdução:
	5.3. Média Aritmética de dados não agrupados
	5.3.1. Exemplo de média aritmética de dados não agrupados
	5.4. Média aritmética de dados agrupados
	5.4.1. Exemplo de dados agrupados sem intervalo de classe
	5.4.2. Exemplo de dados agrupados com intervalo de classe
	6. Moda e Mediana
	6.1. Objetivo
	6.2. Introdução:
	6.3. Moda de dados não agrupados
	6.3.1. Exemplo de moda de dados não agrupados
	6.4. Moda de dados agrupados
	6.4.1. Exemplo: moda com dados agrupados sem intervalo de classe
	6.4.2. Exemplo: moda com dados agrupados com intervalo de classe
	6.5. Mediana de dados não agrupados
	6.5.1. Exemplo com número ímpar de valores
	6.5.2. Exemplo com número par de valores
	6.6. Mediana de dados agrupados sem intervalo de classe
	6.6.1. Exemplo: mediana com dados agrupados sem intervalo de classe
	6.7. Mediana de dados agrupados com intervalo de classe
	6.7.1. Exemplo: mediana com dados agrupados com intervalo de classe
	7. Variância e Desvio Padrão
	7.1. Objetivo
	7.2. Introdução
	7.3. Variância
	7.3.1. Exemplo
	7.4. Desvio padrão
	7.4.1. Exemplo
	7.5. Variância x Desvio Padrão
	8. Análise Combinatória
	8.1. Objetivo
	8.2. Introdução
	8.3. Fatorial
	8.4. Princípio fundamental de contagem
	8.4.1. Exemplo:
	8.5. Permutação simples
	8.5.1. Exemplo
	8.6. Permutação com repetição
	8.6.1. Exemplo
	8.7. Arranjo simples
	8.7.1. Exemplo
	8.8. Arranjo com repetição
	8.8.1. Exemplo
	8.9. Combinação simples
	8.9.1. Exemplo
	8.10. Combinação com repetição
	8.10.1. Exemplo
	9. Distribuição Normal – Curva de Gauss
	9.1. Objetivo
	9.2. Introdução
	9.3. Distribuição Normal padrão
	9.3.1. Exemplo
	9.4. Distribuição normal reduzida
	9.4.1. Exemplo