MATEMÁTICA_FINANCEIRA_COMERCIAL

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Matemática 
Financeira e 
Comercial 
Carlos Eduardo 
Epprecht; Roberto 
Minello 
 
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 Não dê crédito as pessoas que apenas copiam arquivos de outro site!!! Os créditos são de quem 
 realmente UPA o arquivo para FileWarez. Esse ebook foi upado por Murilo Bauer!!!
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Todos os direitos reservados. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
Matemática Financeira e Comercial 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
Conteúdo Programático 
 
 
Capítulo 1 - Razão 
1 - Introdução 
2 - Razão 
2.1 - Razões inversas. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 2 - Proporção 
1 - Introdução 
2 - Proporção 
2.1 - Definição 
2.2 - Propriedade fundamental das proporções 
2.3 - Outras propriedades das proporções 
2.4 - Quarta proporcional. 
2.5 - Proporção contínua 
2.6 - Terceira Proporcional. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional. 
1 - Introdução 
2 - Grandezas diretamente proporcionais. 
3 - Grandezas inversamente proporcionais. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 4 - Regra de Sociedade 
1 - Introdução 
2 - Casos de Regra de Sociedade. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
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ii
Capítulo 5 - Regra de três simples 
1 - Introdução 
2 - Tipos de grandezas 
2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 
2.2 - Grandezas inversamente proporcionais. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 6 - Regra de três composta 
1 - Introdução 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 7 - Médias 
1 - Introdução 
2 - Tipos de Médias. 
2.1 - Média Aritmética 
2.2 - Média Geométrica 
2.3 - Média ponderada 
2.4 - Média harmônica 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 8 - Porcentagem. 
1 - Introdução 
2 - Elementos de cálculo percentual. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias 
1 - Introdução 
2 - Vendas com lucro 
2.1 - Sobre o preço de custo 
2.2 - Sobre o preço de venda 
3 - Vendas com prejuízo 
3.1 - Sobre o preço de custo 
3.2 - Sobre o preço de venda. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 10 - Juros Simples. 
1 - Introdução 
2 - Regime de capitalização 
2.1 - Regime de capitalização simples. 
3 - Cálculo de juros simples e montante. 
4 - Taxas proporcionais 
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iii
5 - Taxas equivalentes 
6 - Prazo médio. 
7 -Taxa Média 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 11 - Descontos Simples 
1 - Introdução 
2 - Tipos de descontos 
2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora 
2.2 - Valor atual comercial 
2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 
2.4 - Valor atual racional 
2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional. 
3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 
3.1 - Taxa de juro simples 
3.2 - Taxa de desconto simples 
4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais. 
4.1 - Fluxo de caixa. 
4.2 - Equivalência de capitais. 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 12 - Logaritmos. 
1 - Introdução 
2 - Definição 
3 - Propriedades dos logaritmos 
4 - Mudança de base 
5 - Função logarítmica 
6 - Logaritmos decimais 
6.1 - Característica 
6.2 - Mantissa 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 13 - Juros compostos. 
1 - Introdução 
2 - Taxas equivalentes 
3 - taxa efetiva e nominal 
3.1 - Taxa nominal 
3.2 - Cálculo de taxa efetiva 
• Exercício de fixação 
• Exercício propostos. 
 
 
 
 
 
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iv
Capítulo 14 - Desconto Composto 
1 - Introdução 
2 - Desconto racional composto 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 15 - Capitalização e Amortização 
1 - Introdução 
2 - Capitalização Composta 
2.1 - Rendas imediatas 
2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata 
2.2 - Rendas antecipadas 
2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada. 
3 - Amortização Composta 
3.1 - Renda imediata 
3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata 
3.2 - Renda Antecipada 
3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 
3.3 - Rendas diferidas 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
 
Capítulo 16 - Empréstimos. 
1 - Introdução 
2 - Sistema Francês 
2.1 - Montagem de uma planilha de amortização 
2.1.1 - Tabela Price 
2.2 - Sistema de amortização constante 
2.2.1- Cálculo do saldo devedor 
2.3 - Sistema de amortização misto 
• Exercícios de fixação 
• Exercícios propostos. 
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
1. Razão 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos. 
 
Esporte No de alunos 
Judô 50 
Futebol 150 
Natação 200 
Handebol 50 
Basquete 60 
Nenhum esporte 90 
 
Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes: 
 
a) número de alunos que praticam natação 
número de alunos da escola 
Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação. 
 
b) número de alunos que praticam judô 
número de alunos que jogam futebol 
Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô. 
 
c) número de alunos que praticam esporte 
número de alunos da escola 
Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes. 
 
 
2. Razão 
 
Dados dois números racionais a e b, com b ≠ 0, chamamos de razão ao quociente de a para b. 
Indicamos razão por 
b
a ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente.2.1. Razões inversas 
 
Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um. 
3
1
600
200
=
3
1
150
50
=
20
17
600
510
=
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2
Exemplo: 1
2
1
1
2
2
1 e 
1
2
=•⇒ 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Estabeleça as razões entre os números abaixo: 
 
2 e 10; 0,1 e 0,01; 
4
3 e 
2
1 
 
Solução: 
 
A razão entre 2 e 10 é 
5
1
10
2
= 
 
A razão entre 0,1 e 0,01 é 10
01,0
1,0
= 
 
A razão entre 
3
2
6
4
3
4
2
1
4
3
2
1
 é 
4
3 e 
2
1
==•= 
 
2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h. 
 
Solução: 
 
Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo. 
 
 
hKmVm
t
Sm /40
3
120V ==⇒
∆
∆
=
 
 
Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km. 
 
4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. 
 
Escala Medida do desenho Medida real 
1:250 10cm 25m 
1:400 25cm x 
1:600 y 75m 
 
As medidas x e y são respectivamente: 
 
Solução: 
 
Escala = comprimento no desenho 
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3
 comprimento real 
 
 
 
x
25
400
1
= 
 
 
x = 25 • 400 
x = 10.000cm ou 
x = 100m 
 
75600
1 y
= 
 
600y = 75 
 
ou 125,0
600
75 myy =⇒= 
 
cmy 5,12= 
 
 
5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse 
estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica 
desse estado? 
 
Solução: 
 
densidade demográfica = número de habitantes 
 área 
 
densidade demográfica 2 76,11289.341
562.012.4
km
hab
== 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Calcule a razão entre os números: 
a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c) 
3
1 e 
2
1 
 
 
2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1. 
 
 
3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2. 
 
4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 
5
3 , a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça 
parte do segundo é igual a: 
a) 
9
1 b) 
3
1 c) 1 d) 9 e) n.r.a. 
 
 
5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente. 
 
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4
 
6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 
hab/km2. Qual é a sua superfície? 
a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a. 
 
 
7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala 
000.20
1 . O comprimento real 
dessa estrada é: 
a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam 
 
 
8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas 
condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância? 
 
 
9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a 
área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: 
 
10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000 
 
 
 
 
O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai 
gastar é igual a: 
 
a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Determine a razão entre os números. 
a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d) 
3
5 e 
3
1 
 
2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a. 
 
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5
3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número 
de reprovados e o número de candidatos é de: 
 
4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou: 
a) dividida por 2 d) multiplicada por 10 
b) multiplicada por 5 e) n.r.a. 
c) dividida por 10 
 
5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a 
área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua 
densidade demográfica for de 203 hab/km2, então o número de habitantes deverá ser: 
a) superior a 1,5 • 106 d) exatamente a 1,3 • 106 
b) inferior a 1,1 • 106 e) aproximadamente 1,2 • 106 
c) superior a 1,3 • 106 
 
6) (TTN) Num mapa, cuja escala é 
000.000.3
1 , a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a 
distância real. 
 
7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. 
Qual a sua velocidade média? 
 
8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A 
mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas 
cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura 
formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado: 
a) 
25
1 b) 
24
1 c) 
16
1 d) 
12
1 e) n.r.a. 
 
9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada 
qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta? 
a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a. 
 400 500 50 40 
 
10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor 
desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração: 
a) 
5
1 b) 
3
1 c) 
4
3 d) 
3
2 e) n.r.a. 
 
 
 
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) a) 
3
1
6
2
 ⇒ 
 
b) 60
2
10100
.
10
612
100
2
10
12
0,02
1,2
 ⇒⇒⇒ 
 
c) 
2
1
2
3
3
1
3
2
3
1
9
6
9
3
0,666...
0,333...
 ⇒
/
•
/
⇒⇒⇒ 
d) 
5
1
5
3
3
1
3
5
3
1
 ⇒•⇒ 
 
2) b 
 
3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será: 
6000 – 1200 = 4800, logo a razão será: 
 
5
4k
6000
4800k =⇒= 
 
 
4) 1025
2
5 .
b
ak
b
akb
ak
b
ak =⇒••=⇒•=⇒= a alternativa correta é a d 
 
5) 








=⇒•=⇒
⇒=⇒=
e a é corretaaalternativ a
1.177.400habitantes de 2035800habitantes de 
5800
habitantes de número203
área
habitantes de númeroademográfic densidade
oo nn 
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7
 
6) 





=→=⇒
⇒•=⇒=⇒=
km010.2xoucm000.000.201x
000.000.367x
x
67
000.000.3
1
real ocompriment
desenho no ocomprimentescala
 
 
 
7) 
h
km20,97mV15
2729
mV
2
15
729
mVt
s
mV =⇒
•
=⇒=⇒
∆
∆
= 
 
 
8) caminhão A: 3% de álcool e 97% de gasolina 
 caminhão B: 5% de álcool e 95% de gasolina 
 8% de álcool e 192% de gasolina 
 
24
1k
%192
%8k
b
ak =⇒=⇒= 
 a alternativa correta é a b 
 
 
9) 1000 m2 = 100.000 dm2 
500
1k
000.100
200k
000.100
504k =⇒=⇒•= 
 a alternativa correta é a b 
 
 
 
10) 









=⇒
/
/=⇒
+
=⇒
+
=
=⇒=
a a é correta aalternativ 
5
1
5
1
4
4
4
1
a
k
a
ak
aa
ak
ba
ak
abba
 
 
 
 
 
 
 
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2. Proporção 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
1. Introdução 
 
A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida. 
Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao 
aluno suas aplicações práticas. 
 
 
2. Proporção 
 
2.1. Definição 
 
Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões. 
Podemos representar as proporções das seguintes maneiras: 
 
 
 
 
com (a, b, c, d racionais, não nulos). 
Lê-se: “a está para b assim como c está para d ” 
 
 
2.2. Propriedade fundamental das proporções 
 
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa. 
 
d
c
b
a
= )0;;;( ≠•=•⇒ dcbadacb 
 
Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d 
são os extremos. 
 
Exemplo: 
6
4
3
2
= 3 • 4 = 2 • 6 
 produto produto 
 dos meios dos extremos 
 
ou a : b = c : d ou a : b :: c : d
d
c
b
a
=
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Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular o valor de x na proporção: 
10
12
5
=
x
 
Solução: 6
10
6012510 =⇒=⇒•=• xxx 
 
Resposta: 6=x 
 
2) Determinar o valor de y na igualdade: 
6
5
2
3 −
=
y 
Solução 14
2
28y822y10182y1810-2y635)-2(y : =⇒=⇒=⇒+=⇒=⇒•= y 
Resposta: 14=y 
 
3) Obter o valor de x na proporção:
x
2
3
1
2
1
3
=
+
 
 
Solução: 
9
5
18
10
3
1
6
10
1
3
6
10
6
103
6
5232
6
5
32
6
23
3
=⇒=⇒•=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒=+ xxxxxxxx
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) (ETAM-81) A proporção 
d
c
b
a
= pode também ser escrita: 
 
a) 
d
b
c
a
= b) 
c
d
b
a
= c) 
d
c
a
b
= d) 
b
a
c
d
= e) n.r.a. 
 
 
2) Calcule o valor de x na proporção: 
 
a) 
3
1
2
=
x b) 
x
1
2
5,0
= c) 
x
4
3
1
2
1
= d) 
4
12
3
1
2
1
x
=
+
 
3) O valor de x na proporção 
2
5
4
13
3
12
−
=
+
x é ? 
 
 
 
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10
Exercícios propostos 
 
1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira: 
 
a) 
c
dc
a
ba
d
c
b
a +
=
+
⇔= 
 
b) bdac
d
c
b
a
=⇔= 
 
c) dbca
d
c
b
a
+=+⇔= 
 
d) 
cd
dc
db
ca
d
c
b
a
−
−
=
+
+
⇔= 
 
2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo: 
a) 
25,25
1 x
= 
 
b) 
x
4
2
1
2
11 =÷




 + 
c) 
3
12
3
2
12 −
=
−
x
 
 
3) Determinar valor de M na proporção: 
 
 12 (0,25)1/2 
 M 0,666... 
 
 
 
= 
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11
2.3. Outras propriedades das proporções: 
 
P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos 
conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente. 
 







=
+
+
=
+
+
⇒=
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
a ou ( )0;;; ≠dcba 
 
 







=
−
−
=
−
−
⇒=
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
a ou ( )0;;; ≠dcba 
 
 
P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o, 
assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo. 
 
( )0;;;ou ≠







+
=
+
+
=
+
⇒= dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
( )0;;;ou ≠







−
=
−
−
=
−
⇒= dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim 
como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente. 
 
( )0;;;ou
2
2
2
2
≠








=
=
⇒= dcba
d
c
bd
ac
b
a
bd
ac
d
c
b
a 
 
 
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12
Proporções múltiplas: 
 
Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla. 
Consideremos a série de razões iguais: 
 
 ,Λ====
h
g
f
e
d
c
b
a então temos que: 
Λ
Λ
Λ
++++
++
+
+
=====
hfdb
geca
h
g
f
e
d
c
b
a 
 
 
Exemplo: 
 
9
6
6
4
3
2
== é uma proporção múltipla pois: 












=
++
++
9
6
6
4
3
2
963
642
ou
ou
 
 
De fato 












=
=
=
=
++
++
9
6
18
12
6
4
18
12
3
2
18
12
 e 
18
12
963
642
ou
ou
 
 
Generalizando, dada a série de razões iguais: 
 
f
e
d
c
b
a
== e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever: 
 
1)
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
===
++
++ 
 
2) 
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
===
−+
−+ 
 
3) 
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
===+−
+− 
 
4) 
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
===
−−
−− 
 
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13
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcule x e y na proporção 
32
yx
= , sabendo que x + y = 15. 
Solução: 
 
Aplicando a propriedade P1, temos: 
 






=⇒=⇒=⇒=
+
+
=⇒=⇒=⇒=
+
+
⇒=
9455
35
15
332
6305
25
15
232
32 yyyyyx
xxxxyx
yx 
 
Resposta: x = 6 e y = 9 
 
 
2) Calcule o valor de x e de y na proporção 
27
yx
= , onde x - y = 40. 
 
Solução: 
Pela propriedade P1, temos que: 
 
 






=⇒=⇒=⇒=
−
−
=⇒=⇒=⇒=
−
−
⇒=
16805
25
40
227
562805
75
40
727
27 yyyyyx
xxxxyx
yx 
 
Resposta: x = 56 e y = 16. 
 
3) Determine os valores de p e q na proporção 
3
8
=
q
p , onde p + q = 132. 
 
Solução: 
Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos 
exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2. 
 






=⇒=⇒=⇒
+
=
+
=⇒=⇒=⇒
+
=
+
⇒=
3639611
3
11132
3
38
96105611
8
11132
8
38
3
8
qq
qq
qp
pp
pp
qp
q
p 
Resposta: p = 96 e q = 36. 
 
4) Obter os valores de a e b na proporção 
4
5
=
b
a , sabendo que a - b = 12. 
 
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14
 
 
Solução: 
 
Aplicando a propriedade P2, temos: 
 
 






=⇒=⇒
−
=
−
=⇒=⇒
−
=
−
⇒=
48
4
112
4
45
60
5
112
5
45
4
5
b
bb
ba
a
aa
ba
b
a 
 
 
Resposta: a = 60 e b = 48. 
 
 
5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de 
ferro. 
Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários? 
 
Solução: 
Aplicando a propriedade P1, temos: 
 
30
 
32
=+
=
yx
e
yx






=⇒=⇒=⇒=
+
+
=⇒=⇒=⇒=
+
+
⇒
18905
35
30
332
12605
25
30
232
yyyyyx
xxxxyx
 
 
Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro. 
 
 
 
 
 
6) Calcule os valores desconhecidos. 
 




=+−
==
8
125
cba
cba
 
 
Solução: 
Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos: 
 
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15
8
 
125
=+−
==
cba
e
cba









=⇒=⇒=⇒=
+−
+−
=⇒=⇒=⇒=
+−
+−
=⇒=⇒=⇒=
+−
+−
⇒
284
14
8
1125
4164
24
8
2125
10404
54
8
5125
cccccba
bbbbcba
aaaacba
 
Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2. 
 
 
7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo: 
 
42
yx
= e xy = 96 
 
Solução: 
Aplicando a propriedade P3, teremos: 
 
96
 
42
=
=
xy
e
yx










=⇒•=
⇒•=⇒
•
=⇒•===⇒=
•
•
=⇒
=⇒=⇒
•
=⇒•=⇒=⇒=
•
•
⇒
381612
1612
8
169616968
168
96
442
34
4848
8
9649648
48
96
242
222
2
2
2
222
2
2
2
yy
yyyyyyx
x
xxxxxxyx
 
 
 
Resposta: 3834 == yx e 
 
Exercícios de fixação 
 
 
4) Encontre o valor de a e b, onde 2 e 
26
=−= baba 
 
5) Calcular x e y na proporção 
23
yx
= , sabendo-se que x + y = 30. 
 
6) Calcule o valor de x e y na proporção 
3
2
=
y
x , sabendo-se que x + y = 15. 
 
7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3. 
 
 
8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos, 
calcule a idade do filho. 
 
9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser 
ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será: 
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16
 
10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 
432
zyx
== , o valor de x é: 
 
11) Calcule o valor de x, y e z onde: 
125
zyx
== e x - y - z = 6. 
 
12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os 
termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a 
3
2 . Calcule o numerador da fração. 
 
 13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão 
8
5 . Se a área do terreno é de 1000m2, então 
sua maior dimensão, em metros, mede: 
 
14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de 
água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco 
concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos 
conseguido? 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
4) (TCF) Sendo 
52
ba
= , então : 
 
a) 
72
baa +
= b) 
25
bab +
= c) 
52
baa +
= d) 
105
bab +
= e) 
n.r.a 
 
5) Calcular x e y na proporção 
23
yx
= , sabendo que x - y = 5. 
 
6) Calcular x e y na proporção 
3
2
=
y
x , sabendo que x + y = 10. 
 
7) Se 189 e 
37
== xyyx , então x - y vale: 
 
8) Qual a fração equivalente a 
2
3 cuja diferença entre seus termos é 10? 
 
9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de 
litros de álcool na mistura é: 
 
10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é: 
 
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17
11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do 
ângulo. 
 
12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior 
deles é: 
 
13) Determinar os valores de a, b e c, onde 
257
cba
== e a + b - c = 60. 
 
14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que 
a parte da primeira corresponda aos 
5
2 da parte da segunda e aos 
4
3 da parte da terceira. Quanto 
tocará a cada uma das três pessoas? 
 
 
 
 
 
2.4. Quarta proporcional 
 
Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses 
números um número x, tal que: 
x
c
b
a
= 
 
Exemplo: 
Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8. 
 
Solução: 
 
Temos: 204028
5
2
=⇒=⇒= xx
x
 
 
 
 
 
2.5. Proporção contínua 
 
É toda proporção cujos meios são iguais. 
 
Exemplo: 
9
3
3
1
= 
 
 
 
 
2.6. Terceira proporcional 
 
É uma proporção contínua. 
Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números 
um número x tal que: 
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18
 
Exemplo:
x
b
b
a
= 
 
Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4. 
 
Solução: 
8
2
161624
4
2
=⇒=⇒=⇒= xxx
x
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9. 
 
Resolução: 
x
9
5
6
= ⇒ 6x = 5 ⋅ 9 ⇒ 6x = 45 ⇒ x = 7,5 
 
 
2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12: 
 
Solução: 
x
12
12
2
= ⇒ 2x = 12 • 12 ⇒ 2x = 144 ⇒ x = 72 
 
 
Exercícios de fixação 
 
15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75 e 8 ;12 
a) 20 b)
2
5 c) 
2
35 d) 320 e) 340 
 
 
16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é: 
 
a) 
3
49 b) 
2
49 c) 25,5 d) 26 e) n.r.a. 
 
 
17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é: 
 
a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a. 
 
 
 
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19
Exercícios propostos 
 
15) Calcule a quarta proporcional entre os números: 
 
a) 1; 2 e 5 b) 
4
1 e 
3
1;
2
1 c) 
2
1 e 2 ; 1,0 
 
16) Calcule a terceira proporcional entre os números: 
 
a) 2 e 3 b) 
2
1 e 2 c) 
5
1 e 
2
1 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
CAPÍTULO 2 – Proporções 
 
 
1) a 
 
2) a) 45,0x
5
25,2x25,2x5
25,2
x
5
1
=⇒=⇒=⇒= 
 
b) 
3
4x
3
22x
2
3
2x2x
2
3
2
14x
2
3
x
4
2
1
2
3
x
4
2
1:
2
11 =⇒•=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒=




 + 
 
c) 










=⇒=⇒•=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒
⇒
−
=
−
7,2x
10
27x
5
3
2
9x
3
5
2
9
x
2
9x
3
5
2
33x
3
5
3
5
3
2
3
x
3
12
3
2
12
x
 
 
 
3) 
( )









=⇒•=⇒=⇒=•⇒=•⇒•=•⇒
⇒=⇒=
16M28M
2
1
8M8M
2
1
9
7225,0M
9
61225,0M
9
6
25,0
M
12
666,0
2/125,0
M
12
Λ
 
4) a 
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20
5) 






=⇒=⇒=
−
−
=⇒=⇒=
−
−
10y
2
y
1
5
2
y
23
yx
15x
3
x
1
5
3
x
23
yx
 
6) 






=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒
+
=
+
=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒
+
=
+
6y
5
30y30y5310y5
3
5
y
10
3
32
y
yx
4x
5
20x20x5210x5
2
5
x
10
2
32
x
yx
 
7) 

















==
=⇒=⇒=⇒
⇒
•
=⇒•=•⇒=⇒=
•
•
=⇒=⇒=⇒
⇒
•
=⇒•=•⇒=⇒=
•
•
=•=
129-21y- xde valor O
9y812y812y
21
18992y18992y21
9
2y
21
189
23
2y
37
yx
21x4412x4412x
21
189492x189492x21
49
2x
21
189
27
2x
37
yx
189y xe 
3
y
7
x
 
 
8) 











=⇒=⇒
−
=
−
=⇒=⇒
−
=
−
==
20
30 é eequivalent fraçãoA :R
02b
2
1
b
10
2
23
b
ba
30a
3
1
a
10
3
23
a
ba
10b-a e 
2
3
b
a
 
9) 











=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒
+
=
+
=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=⇒
+
=
+
==+→→
litros. 560 de é álcool de litros de número O :R
200
19
800.3800.319576019
5
19
y
760
5
514
y
yx
560
19
640.10640.10191476019
14
19
x
760
14
514
x
yx
5
14
y
x 760y xy água x álcool
yyyy
xxxx
 
10) ( ) ( ) 23x185x5x65x518x61x53x6
6
5
1x
3x
=⇒+=−⇒+=−⇒+=−⇒=
+
− 
 
Esse arquivo que você acaba de pegar é da FileWarez. Visite o site na internet: http://www.filewarez.com. 
 Não dê crédito as pessoas que apenas copiam arquivos de outro site!!! Os créditos são de quem 
 realmente UPA o arquivo para FileWarez. Esse ebook foi upado por Murilo Bauer!!!
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21
11) 
















°=α⇒
°
=α⇒°=α⇒°−°=α+α−⇒
⇒α−°=α−°⇒



 α−°•=



 α−°•⇒=
α−°
α−°
α−°→
α−°→
α→
45
2
909021802703
32701809031801
3
1
180
90
180lementosup
90ocomplement
 ângulo um
 
12) 














=⇒=⇒•=⇒•=
=⇒=⇒=⇒=
+
⇒=•+⇒
⇒=•+⇒=⇒=••+⇒=+
•=⇒=
24 é númeromaior O :R
9
8
7224
8
3
8
3
24
7
1681687
4
168
4
34
1
42
4
3
1
42
8
64242
8
32422
8
3
8
3
aaaba
bbbbbbb
bbbbbab
ba
b
a
 
13) 









=⇒=⇒=⇒•=•⇒=⇒=
−+
−+
=⇒=⇒=⇒•=•⇒=⇒=
−+
−+
=⇒=⇒=⇒•=•⇒=⇒=
−+
−+
12
10
1201201026010
210
60
2257
30
10
3003001056010
510
60
5257
42
10
4204201076010
710
60
7257
cccccccba
bbbbbbcba
aaaaaacba
 
14) 




















=⇒•=⇒•=
=⇒•=⇒•=
=⇒=⇒=
⇒
•
=
++
⇒=++
•=⇒•=
•=⇒•=
=++
000.28000.21
3
4
3
4
500.52000.21
2
5
2
5
000.21
29
000.609000.60929
6
500.1016
6
8156500.101
3
4
2
5
3
4
4
3
2
5
5
2
500.101
zzxz
yyxy
xxx
xxxxxx
xzzx
xyyx
zyx
 
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22
15) a) 10x
x
5
2
1
=⇒= 
b) 
6
1x
1
2
12
1x
2
1
12
1
x
12
1x
2
1
4
1
3
1x
2
1
x
4
1
3
1
2
1
=⇒•=⇒=⇒=•⇒•=•⇒= 
c) 10
10
1
11
10
1
2
12102
1
2
10
=⇒=⇒=•⇒•=•⇒= xxxx,
x
, 
 
16) a) 
2
9x9x2
x
3
3
2
=⇒=⇒= 
 
b) 
8
1x
2
1
4
1x
2
4
1
x
4
1x2
2
1
2
1x2
x
2
1
2
1
2
=⇒•=⇒=⇒=⇒•=⇒= 
 
c) 
25
2x
1
2
25
1x
2
1
25
1
x
25
1x
2
1
5
1
5
1x
2
1
x
5
1
5
1
2
1
=⇒•=⇒=⇒=•⇒•=•⇒= 
 
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
1. Introdução 
 
Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade; 
pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas 
situações mencionadas acima chamamos de grandeza. 
Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do 
espaço a ser percorrido. 
As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. 
 
 
2. Grandezas diretamente proporcionais 
 
2.1. Definição 
 
Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os 
seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; 
b3;...; bn), então: 
 
n
n
3
3
2
2
1
1
b
a....
b
a
b
a
b
aK ==== 
 
K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade; 
 
 
Exemplo: 
 
Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12) 
 
2
1
6
3K == 
2
1
8
4K == 
2
1
10
5K == 
2
1
12
6K == 
 
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 
2
1 . 
 
 
 
 
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24
 
3. Grandezas inversamente proporcionais 
 
3.1. Definição 
 
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os 
elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e 
B = (b1; b2; b3;...; bn), então: 
 
K = a1 ⋅ b1 = a2 ⋅ b2 = ... = an ⋅ bn 
 
Exemplo: 
 
1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4): 
 
K = 1 ⋅ 20 = 20 
K = 2 ⋅ 10 = 20 
K = 4 ⋅ 5 = 20 
K = 5 ⋅ 4 = 20 
 
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15) 
 
Solução: 
Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante. 
 
3
1
15
5
12
4
6
2
====K 
Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 
3
1 . 
 
b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2) 
 
Solução: 
K = 1 ⋅ 20 = 4 ⋅ 5 = 10 ⋅ 2 = 20 
 
Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25
2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. 
 
Solução: 
 
32
60
yx
y
x
=
=+






=⇒=⇒=⇒=
+
+
=⇒=⇒=⇒=
+
+
⇒
361805
35
60
332
241205
25
60
232
yyyyyx
xxxxyx
 
 
 
3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 
 
Solução: 
 
3
1
2
1
20
yx
yx
=
=+









=⇒=⇒=⇒=
⋅
⇒=
+
⇒=
+
+
=⇒=⇒=
⋅
⇒=⇒=
+
⇒=
+
+
⇒
8
3
243243
5
620
3
1
6
23
20
3
1
3
1
2
1
122242
5
620
2
1
6
5
20
2
1
6
23
20
2
1
3
1
2
1
yyyyyyyx
xxxxxxyx
 
 
 
4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4. 
 
Solução: 
 
48
14
1256125614
1214
56
12122
8
14
11225614
214
56
2122
56
122
1243
212
=⇒
•
=⇒•=⇒=
=
+
+
=⇒=⇒•=⇒=
=
+
+
=+
=
=•⇒
=•⇒
yyyy
yyx
xxxx
xyx
yx
yx
x
x
 
 
5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 
4. 
 
Solução : 
Esse arquivo que você acaba de pegar é da FileWarez. Visite o site na internet: http://www.filewarez.com. 
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26
2
1
4
12
3
1
3
11
=•⇒
=•⇒
y
x
 
 
 
2
1
3
1
60
yx
yx
=
=+
 
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após 
sua fabricação: 
 
 Tempo após a fabricação (anos) 
 0 1 2 3 4 
Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500 
 
 
De acordo com a tabela, é verdade que: 
a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor; 
b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. 
c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais; 
d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a 
sua fabricação. 
e) n.r.a.; 
 
 
2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: 
a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. 
b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2 
 
 
3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela: 
 
Vm (m/s) 10 20 25 40 
t (s) 20 10 8 5 
 
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? 
b) Qual é a constante de proporcionalidade? 
c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo. 
 










=⇒=⇒=⇒=⇒=
•
⇒=
+
⇒=
+
+
=⇒=⇒=⇒=
•
⇒=⇒=
+
+
⇒
36
2
722722
5
3602
5
660
2
1
6
32
60
2
1
2
1
3
1
24
3
723723
5
660
3
1
6
5
60
3
1
2
1
3
1
yyyyyyyyx
xxxxxxyx
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27
 
4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3: 
a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. 
b) 45m e 105m d) 60m e 90m 
 
 
5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: 
a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. 
b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126 
6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 
 
 
7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números 
4
5 e 
4
3 . 
 
 
8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção 
de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-
se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios. 
 
 
9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira 
recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9 
e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? 
 
 
10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a 
primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular 
a parte de cada uma. 
 
 
11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo 
tempo diretamente proporcionais a 
3
2 e 
7
4 e inversamente a 
9
4 e 
21
2 . Quantas balinhas cada 
criança receberá? 
 
 
12) Dados os gráficos cartesianos: 
 
I) II) III) 
 
 
 
 
 
 
 
Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente 
proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são: 
 
a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a. 
b) II; III; I d) III; II; I 
y 
x x
y
x 
y 
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28
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se 
verifiquem a igualdade 
20
5
8
9
==
x
y
, os valores de x e y devem ser respectivamente: 
a) 2 e 36 b) 
5
1
4
1 e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a. 
 
 
 2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e 
a + m ⋅ b = 10, então m é igual a: 
a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0 
 
3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo: 
 
s (m) 40 60 80 100 
t (s) 2 3 4 5 
 
 
Responda as perguntas abaixo: 
 
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? 
b) Qual a constante de proporcionalidade? 
c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo. 
 
4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 
6
1
3
1,
2
1 e , obtém-se 
respectivamente: 
a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a. 
b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110 
 
5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um 
concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 
37, respectivamente.Determinar a importância que caberá a cada um. 
 
6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 
 
7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3. 
 
8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15 
bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a 
terceira. 
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29
 
9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, 
de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, 
se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5? 
 
10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 
e 5, respectivamente. 
 
 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) 











=⇒=⇒=•⇒•=•⇒=
=⇒•=⇒=⇒=
==
a é correta aalternativA 
2X
20
40x40x2058x20
20
5
8
x
36y49y
4
1
y
9
20
5
y
9
20
5
8
x
y
9
 
 
2) 












=⇒=⇒=⇒=+⇒=•+⇒=+
=⇒=
=⇒=⇒=
=•=
da écorreta a alternativA 
2
5
12
30301250122010
5
12410
5
12512
4
3
12123
5623
mmmmmmba
bb
aaa
ba
 
 
3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais 
b) 
h
km
t
s
mvk 205
100
4
80
3
60
2
40
=====
∆
∆
== 
c) 
 
 
 
 
 
 
60 
40 
2 3 
s(m)
t(s)
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30
4) 




















=⇒=⇒=
•
⇒=
++
⇒=
++
++
=⇒=⇒=⇒=
++
++
=⇒=⇒=
•
⇒=
++
⇒=
++
++
==
=++
d a é correta aalternativA 
zzzzzzyx
yyyyzyx
xxxxxzyx
zyx
zyx
110
6
6606
6
6660
6
1
6
123
660
6
1
6
1
3
1
2
1
220
3
6603
6
6
660
3
1
6
1
3
1
2
1
330
2
6602
6
66602
6
123
660
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
660
 
5) 


















=⇒
⇒
•
=⇒•=⇒=⇒=
++
++
=⇒
⇒
•
=⇒•=⇒=⇒=
++
++
=⇒
⇒
•
=⇒•=⇒=⇒=
++
++
==
=++
000.222z
130
000.78037z000.78037z13037
130
000.780
37
z
374350
zyx
000.258x
130
000.78043y000.78043y130
43
y
130
000.780
43
y
374350
zyx
000.300x
130
000.78050x000.78050x130
50
x
130
000.780
50
x
374350
zyx
37
z
43
y
50
x
000.780zyx
 
6) 















=⇒=⇒=⇒=•⇒=
•
⇒=
+
⇒=
+
+
=⇒=⇒=⇒=•⇒=
•
⇒=
+
⇒=
+
+
=
=+
16
3
484833683
5
6403
6
23
40
3
1
3
1
2
1
24
2
484822682
5
6402
6
23
40
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
40
yyyyyyyyx
xxxxxxxyx
yx
yx
 
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31
7) 















=⇒
•
=⇒=•⇒=
•
⇒=
+
⇒=
+
+
=⇒=
•
⇒=
+
⇒=
+
+
=⇒=
=+
20
13
102626
10
13
10
13
23
1346
10
13
13
1013
46
13
10
13
10
1
1
26
23
1346
1
13
1013
46
1
13
10
1
1
13
10
1
1
31
1
1
1
46
bbbbbbba
aaaaba
ba
,
ba
ba
 
8) 
( ) ( ) ( )

















=⇒+=⇒+=
=⇒+=⇒+=
=⇒+=⇒+=
==⇒=⇒−=⇒
⇒=+⇒=++++++
+=⇒++=⇒+=
+=⇒++=⇒+=
+=
=+++
bolas 63 bolas; 52 bolas; 46 bolas; 31 :menterespectiva receber vem crianças As:R
ddcd
ccbc
bbab
aaa
aaaaa
adadcd
acacbc
ab
dcba
63115211
526466
46153115
31
4
1241244681924
192684192322115
32112111
216156
15
192
 
 
 






























=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=
•
⇒
⇒=
++++
⇒=
++++
++++
====
=++++
00012000605
5
1
00020000603
3
1
00030000602
2
1
00030000602
2
1
00060
76
30000152
30
610151530
000152
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
000152
.e.eae
.d.dad
.c.cac
.b.bab
.aa.
a.aedcba
edcba
.edcba
 
 
9) 
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32
10) 
















=⇒
•
=⇒•=⇒•=
•
⇒•=
+
⇒=
+
+
=⇒=⇒=⇒=
•
⇒=
+
⇒=
+
+
=






=•→
=•→
=+
24
5
260
2
560
2
5
11
1544
2
5
15
65
44
5
2
5
2
3
1
20
3
603603
11
15443
15
65
44
3
1
5
2
3
1
5
2
3
1
5
2
5
12
3
1
3
11
44
bbbbbbba
aaaaaaba
ba
b
a
ba
 
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reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
4. Regra da Sociedade 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
 
1. Introdução 
 
Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital 
para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou 
prejuízos. 
Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em 
partes diretamente proporcionais. 
 
 
2. Casos de Regra de Sociedade 
 
1o ) Capitais iguais e tempos diferentes 
 
Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos 
tempos de permanência dos sócios. 
 
Exemplo: 
 
1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 
meses e o terceiro 6 meses. 
Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00? 
 
Solução: 
 
 a + b + c = 260.000 
6
c
8
b
12
a
== 
 
 
Aplicando a propriedade das proporções teremos: 
6
c
8
b
12
a
6812
cba
===
++
++ 
6
c
8
b
12
a
===
26
000.260 
120.000a
26
260.00012a260.0001226a
12
a
26
260.000
=⇒
⋅
=⇒⋅=⇒= 
80.000b
26
260.0008b260.0001226b
8
b
26
260.000
=⇒
⋅
=⇒⋅=⇒= 
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34
.0006c
26
260.0006c260.000626c
6
c
26
260.000 0=⇒⋅=⇒⋅=⇒= 
 
R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00. 
 
 
2o) Tempos iguais e capitais diferentes 
 
O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios: 
 
Exemplo: 
 
1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. 
No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio? 
 
Solução: 
 
 a + b + c + d = 840 
25
d
75
c
60
b
50
a
=== 
 
 
Aplicando a propriedade das proporções teremos: 
 
100d
210
21.000d21.000210d84025210d
25
d
210
840
300c
210
63.000c84075210c
75
c
210
840
240b
210
50.400b50.400210b84060210b
60
b
210
840
200a
210
42.000a42.000210a84050210a
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
25756050
dcba
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
=⇒=⇒•=⇒=
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
====
====
+++
+++
 
 
 
3o) Tempos diferentes e capitais diferentes 
 
Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo 
pelo capital respectivo de cada sócio. 
 
Exemplo: 
 
1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 
meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano. 
Qual foi o lucro de cada sócio? 
 
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35
Solução: 
 
 a + b + c = 22.200 
121.000
c
18800
b
151.200
a
⋅
=
⋅
=
⋅
 
 
 
Aplicando a propriedade das proporções teremos: 
 
6.000c
2
12.000c12.0002c
12.000
c
2
1
12.000
c
44.400
22.200
7.200b
2
14.400b14.4002b
14.400
b
2
1
14.400
b
44.400
22.200
9.000a
2
18.000a18.0002a
18.000
a
2
1
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
12.00014.40018.000
cba
=⇒=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=
===
===
++
++
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o 
segundo com R$800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o 
lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00. 
 
 
2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 
4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. 
Quanto recebeu cada sócio? 
 
 
3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o 
terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio. 
 
 
4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio 
“B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo 
que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um? 
 
 
5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 
85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do 
exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. 
Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C. 
 
 
 
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36
6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A 
entrou 
2
1 do capital, B entrou com 
3
1 do capital e C com o restante. 
 Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio 
entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a 
cada sócio? 
 
 
2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo 
com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois 
havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio. 
 
 
3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou 
R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses. 
 
 
4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 
28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 
15.000,00 durante 1 ano. 
 Calcule o lucro do sócio A. 
 
 
5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o 
dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu? 
 
 
6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. 
Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a 
sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
1) 















=⇒
=⇒=⇒•=⇒=
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
==
+
+
=
=+
200.1b
900
000.080.1b000.080.1b900800.1600b900
600
b
900
800.1
600a
900
000.540a000.540a900800.1300a900
300
a
900
800.1
600
b
300
a
600300
ba
600
b
300
a
800.1ba
 
 
 
 
2) 
















=⇒
•
=⇒•=⇒=
=⇒
•
=⇒•=⇒=
=⇒
•
=⇒•=⇒=
===
++
++
==
=++
195532
4700
60002000600020004700
20004700
6000
899141
4700
60001500600015004700
12004700
6000
915311
4700
60001200600012004700
12004700
6000
000250012001200015001200
000250012001
0006
,.accc
,.abbb
,.aaaa
.
c
.
b
.
acba
.
c
.
b
.
a
.cba
 
 
 
 
3) 










=⇒=⇒•=⇒=
=⇒=⇒•=⇒=⇒=
+
+
=⇒
•
=
•
=+
5004
8
36000600068
60008000
6000
5001
8
12000200068
20008000
6000
200060002000
600020004150021000
6000
.aabb
.aaaaaba
baba
ba
 
 
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38
4) 
















=⇒
•
=⇒•=⇒
⇒=⇒=
=⇒
•
=⇒•=⇒
⇒=⇒=⇒=
+
+
=⇒
•
=
•
=+
00016
315
0001802800018028315
000180315
28
000180000315
00028
00012
315
0001352800013528315
000135315
28
000135000315
00028
000135000180000135
0001800001351200015150009
00028
.a.a.b
.
b
.
b
.
.
.a.a.a
.
a
.
a
.
.
.
a
..
ba
.
b
.
a
.
b
.
a
.ba
 
 
 
 
5) 











=⇒•=⇒=
=⇒=⇒=⇒=++
=
=
=++
200,00 R$ recebeu pessoa segunda A :R
bbab
aaaaaa
ac
ab
cba
20010022
100
9
900900990062
6
2
900
 
 
 
 
6) 















=⇒−=⇒
⇒=+⇒=+
=⇒
•
=⇒
⇒=
•
⇒=
+•
⇒=
+
+
⇒=
=+
•=⇒=⇒=
506621161504371941003111
10031150437194110031121
5043719428
5100311
2
2
2
25
8
100311
2
2
225
3
100311
2
2
21
21
2
2
1
1
10031121
25
3
15
2
3
1
5
3
2
1
,.p,..p
.,.p.pp
,.p.p
c
p
c
.
c
p
cc
.
c
p
cc
pp
c
p
c
p
.pp
cccc
c
c
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
5. Regra de Três Simples 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 1. Introdução 
 
São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente 
proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita 
procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado. 
 
 
2. Tipos de grandezas. 
 
2.1. Grandezas diretamente proporcionais 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a 
outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão. 
 
Exemplo: 
 
1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel 
gastaria para percorrer 200Km? 
 
Distância litros de gasolina 
120 10 
200 x 
 
gasolina de litros 66,16x
120
2000x2000x12010200x120
x
10
200
120
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
 
 
 
2.2. Grandezas inversamente proporcionais 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra 
diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa. 
 
Exemplo: 
 
 1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo 
levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h? 
 
velocidade média tempo velocidade média tempo 
60 3 60 x 
90 X 90 3 
 
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40
h2x
90
180x180x90360x90
3
x
90
60
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários? 
 
Solução: 
Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática: 
 
no de operários metros de tecido 
4 200 
6 x 
 
Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros. 
Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na 
disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será: 
 
m300x
4
1200x1200x46200x4
x
200
6
4
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
 
 
Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido. 
 
 
2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo 
trabalho? 
 
no de operários dias 
6 12 
4 x 
 
É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra. 
Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários 
empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão 






64 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção: 
 
no de operários dias 
4 12 
6 x 
 
dias18x
4
72x72x4612x4
x
12
6
4
=⇒=⇒=⇒•=⇒=
 
 
 Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias 
 
 
 
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41
Exercícios de fixação 
 
1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá: 
a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a. 
 
 
2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo 
operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia? 
 
 
3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas 
dará a menor, enquanto a maior dá 10? 
 
 
4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de 
cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de 
comprimento e 2,72, de largura é? 
a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460 
 
 
5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página, 
o número de páginas do livro seria: 
a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128 
 
 
6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele 
levará em média: 
a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min. 
 
 
7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km 
a quantidade consumida em litros de combustível será de: 
a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400 
 
 
8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em 
quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório. 
 
 
9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias? 
 
 
10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais r 
homens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado? 
a) 
y
rd + dias b) 
ry
rd
+
− dias c) 
ry
dy
+
 dias d) 
yr
d
+
 dias e) 
yd
dy
+
− dias. 
 
 
 
 
 
 
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42
Exercícios propostos 
 
 
1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por 
minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h? 
 
 
2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições, 
executam em 10 dias? 
 
 
3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas 
condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma 
distância? 
 
 
4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda 
menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor? 
 
 
5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho. 
 Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2? 
a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a 
 
 
6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em 
quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15? 
 
 
7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos 
durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de 
“hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: 
a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350 
 
 
8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados 
3
2 de uma determinada estrada . Para se 
asfaltarem 
5
3 dessa mesma estrada, são necessários: 
a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias 
 
 
9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua 
velocidade fosse igual a 
5
2 da anterior, faria o mesmo percurso em? 
 
10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 
soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento? 
 
 
 
 
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43
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) n º de toques h 
42 2 
 x 6 
126
2
25225226422
6
242
=⇒=⇒=⇒•=⇒= xxxx
x
 
 
2) horas dias 
4 10 
2 x 
 
 4 x 
 2 10 
 
20
2
40402
102
4
=⇒=⇒=⇒= xxxx 
 
3) Vm h 
 80 2 
100 x 
 
 80 x 
 100 2 
 
36min hxh,xxx 1611610
2100
80
=⇒=⇒=⇒= 
 
4) Raio voltas 
 75 900 
 x 1500 
 
 x 900 
 75 1500 
 
45xxxx =⇒•=⇒•=⇒=
15
75975915
1500
900
75
 
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44
5) área hora 
 5100 3 
11900 x 
 
hxxxx
x.
. 7
51
357357511193513
90011
1005
=⇒=⇒=⇒•=⇒= 
 
 
6) coeficiente dias 
 de dificuldade 
 0,1 10 
 0,15 x 
 
diasx
,
,x,x,
x,
, 15
10
15010150101010
150
10
=⇒
•
=⇒•=⇒= 
 
 
7) alunos dias 
1800 15 
 x 20 
 
 x 15 
 1800 20 
 
d 4501350-1800
50xxxx
=
=⇒
•
=⇒•=⇒= 13
20
18001518001520
20
15
1800 
 
 
8) dias asfalto 
25 
3
2 
 x 
5
3 
d 12h e 22dias xou dias5,22x45x215x
3
2
5
325x
3
2
5
3
3
2
x
25
==⇒=⇒=⇒•=⇒= 
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45
9) h/km,VmVmVm
t
sVm 5768
35
2400
60
35
40
=⇒=⇒=⇒
∆
∆
= 
 Vm tempo 
68,57 
12
7 
27,42 x 
 
 68,57 x 
 27,42 
12
7 
36seg 27min hxh,x
.
.x
.x.xxx
,
,
1461
90432
77747
999479043276857274212
12
768572742
12
74227
5768
=⇒=⇒=⇒
⇒=⇒•=•⇒•=⇒=
 
 
 
10) n º de soldados tempo 
 10 3 
 30 x 
 
 10 x 
 30 3 
 
mês xxx 13030
330
10
=⇒=⇒= 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
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6. Regra de Três Composta 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
 Consideremos o problema abaixo 
1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar 
para fabricar 100 objetos em 4 dias? 
 
Solução: Temos a seguinte disposição prática 
 
(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 
2h 50 objetos 3 dias 
x 100 objetos 4 dias 
 
 
 Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em 
que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para 
servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o 
grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos. 
 
a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo 
 
Se 2h um operário faz 50 objetos 
 x 100 objetos 
 
 Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários 
mais horas. 
 Regra de três direta flechas com o mesmo sentido 
 
 
b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo 
 
Se 2h um operário faz em 3 dias 
 x 4 dias 
 
 Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar. 
 Regra de três inversa flechas com sentido contrários.Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e 
neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção: 
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47
 
 (1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 
2h 50 objetos 4 dias 
x 100 objetos 3 dias 
 
3x
2
6x6x23
2
x
2
3
24
2
1
x
2
3
4
100
50
x
2
=⇒=⇒=⇒=⇒•=⇒•=
 
 
 
2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30 
operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ? 
 
metros de profundidade no de operários dias 
160 40 21 
200 30 x 
 
 Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são 
diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de 
operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, 
portanto as flechas devem ter sentidos contrários. 
 
 Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo 
sentido. 
 
160 30 21 
200 40 x 
 
dias35x
3
105x105x3215x3x
21
5
3
x
21
4
3
5
4
x
21
40
30
200
160
=⇒=⇒=⇒•=⇒=⇒=•⇒=•
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas 
máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias? 
 
2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo 
empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m? 
 
3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão 
necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia? 
 
4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o 
mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em? 
 
5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia 
devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias? 
 
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48
6) Os 
5
2 de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em 
quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os 
restantes trabalham 6h por dia? 
7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários 
serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias? 
 
8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas 
famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia? 
 
9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze 
máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 
dias? 
 
10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. Quantos metros 20 
operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia? 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for 
aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão? 
 
2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h 
de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe? 
 
3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam 
produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia? 
 
4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor 
funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo? 
 
5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários 
serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia? 
 
6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo 
funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de 
um tempo correspondente a: 
a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min. 
 
7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia. 
Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em? 
 a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 
 
8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão 
necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia? 
 a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias 
 
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49
9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. 
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro 
de 225m? 
 
10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar 
por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro? 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) homens dias toneladas 
 15 30 3,6 
 20 x 5,6 
 
 10 x 3,6 
 30 3 5,6 
 
diasxxx
x,
,
x
35
72
8430843072
84
7230
65
63
15
2030
=⇒
•
=⇒•=⇒=⇒•= 
 
 
2) operários m3 hora 
 20 640 8 
 x 500 5 
 
 20 640 5 
 x 500 8 
 
25
2003
000800008032004000203200
4000
320020
8
5
500
64020
=⇒=⇒=⇒•=⇒=⇒•= x
.
.x.xx
xx
 
R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários. 
 
3) máquinas horas parafusos 
 3 8 4800 
 7 11 x 
 
40015
24
480077480077244800
77
244800
11
8
7
3 .xxx
xx
=⇒
•
=⇒•=⇒=⇒=• 
 
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50
 
4) litros de óleo rpm horas 
 20 1500 5 
 x 1800 3 
litros ,x
.
.x.xx
xx
414
5007
00010800010875005400207500
5400
750020
3
5
1800
150020
=⇒=⇒=⇒•=⇒=⇒•= 
5) n º de dias hora 
 operários 
 20 45 6 
 x 15 8 
 
 x 45 6 
 20 15 8 
 
45
120
5400540012027020120
120
270
208
6
15
45
20
=⇒=⇒=⇒•=⇒=⇒•= xxxxxx 
R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários. 
 
6) hora relatório dias 
 
 8 75 9 
 x 65 6 
 
 8 75 6 
 x 65 9 
 
24min 10h xou
h,xx.xx
xx
=
=⇒=⇒=⇒•=⇒=⇒•= 410
450
468068044505858450
585
4508
9
6
65
758
 
O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia. 
A alternativa correta é a e 
 
7) máquina dias hora 
 
 8 5 5 
 5 x 8 
 
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51
 8 x 5 
 5 5 8 
 
c a é correta aalternativ a 5x
8
5
5
8
5
x
=⇒•= 
 
8) distância dias horas 
 
 4320 5 8 
 2916 x 9 
 
 4320 5 9 
 2916 x 8 
 
b a é correta aalternativ a 
diasx
.
.x.x..x.
.
.
xx
3
88038
6401166401168803832823588038
32823
880385
8
9
2916
43205
=⇒=⇒=⇒•=⇒=⇒•= 
 
 
9) operários horas dias metros 
 
 20 8 18 300 
 16 9 x 225 
 
 16 9 18 300 
 20 8 x 225 
 
diasx
.
.xx.
.
.
xx
15
00036
0003618360001820043
00036
2004318
225
300
8
9
20
1618
=⇒
•
=⇒•=⇒=⇒••= 
 
 
10) pedreiros m2 dias hora 
 
 12 27 30 8 
 16 36 24 x 
 
 16 27 24 8 
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52
 12 36 30 x 
 
hx
.
.x.x.
.
.
xx
10
36810
96012896012836810
96012
368108
30
24
36
27
12
168
=⇒
•
=⇒•=⇒=⇒••= 
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53
 
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reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
7. Médias 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
 Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. 
Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como 
uma das medidas de tendência central. 
 
 
2. Tipos de Médias 
 
2.1. Média Aritmética 
 
A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número 
de parcelas. 
 
Exemplo: 
 
Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é: 
 
4
3
642
=
++
am 
 
 
2.1. Média Geométrica 
 
A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto 
desses números. 
 
Exemplo: 
 
Calcular a média geométrica dos números 4 e 25. 
 
10100254 ==•=gm 
 
 
2.3. Média Ponderada 
 
A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo 
peso, pela soma dos pesos. 
 
 
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54
Exemplo: 
 
Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2. 
 
2,4 
5
21 
5
1083 
221
 x25 2 x 4 1 x 3 pm ==
++
=
++
++
=
 
 
 
2.4. Média Harmônica 
 
A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses 
números. 
 
Exemplo: 
 
Calcular a média harmônica dos números 2 e 4. 
3
8
8
3
1
2
1
4
3
1
1
2
4
3
1
1
2
4
12
1
2
4
1
2
1
1
hm ==
•
==
+
=
+
=
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular a média aritmética dos números abaixo: 
 
a) 1; 2 e 3 b) 
3
1;
2
1 c) 0,1 e 2 
 
Solução: 
 
2
3
6
3
321) ==++=ama 
 
12
5
2
1
6
5
1
2
6
5
1
2
6
23
2
3
1
2
1
) =•==
+
=
+
=amb 
 
20
21
2
1
10
21
1
2
10
21
1
2
10
21
2
1
2
10
1
2
21,0) =•==
+
=
+
=
+
=amc 
 
 
2) Calcular a média ponderada dos números abaixo: 
 
2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2 
2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2 
 
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55
Solução: 
a) 
3
8
3
62
21
2312
=
+
=
+
•+•
=pm 
b) 
4
13
4
832
211
241312
=
++
=
++
•+•+•
=pm 
 
 
3) Calculando a média geométrica dos números abaixo: 
 
a) 0,01 e 4 
 
b) 25
4
1 e 
 
c) 1; 2 e 4 
 
 
Solução: 
 
2,0
10
2
100
404,0401,0) ====•=gma 
5,2
2
5
4
2525
4
1) ===•=gmb 
228421) 3 333 ===••=gmc 
 
 
4) Calcular a média harmônica dos números: 
 
a) 2 e 3 
 
b) 4; 5 e 6 
 
Solução: 
4,2
5
12
12
5
1
2
1
6
5
1
1
2
6
5
1
1
2
6
23
1
2
3
1
2
1
1) ===
•
==
+
=
+
=hma 
4,86===
•
==
++
=
++
=
37
180
180
37
1
3
1
60
37
1
1
3
60
37
1
1
3
60
101215
1
3
6
1
5
1
4
1
1) hmb 
 
5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto, 
qual será a nova média aritmética? 
 
 
 
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56
Solução 
 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Calcular a média aritmética dos números: 
 
a) 4; 6 e 8 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
2) Calcule a média ponderada dos seguintes números: 
 
a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2. 
 
b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4. 
 
c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3 
 
 
3) Calcule a média geométrica dos números: 
 
a) 4 e 100 
 
b) 0,45 e 0,05 
 
c) 
 
 
4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6. 
 
 
5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é: 
 
103,4 121,63 41,2 8,75 9,285 
 
a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853 
 
 
6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os 
respectivos pesos são 1; 2 e 7. 
8
208...21 =+++ aaa
160... 821 =+++ aaa
28,22
7
156
7
4160
==
−
2;1,0;
2
1
9
4;
5
2;
8
3
28
9
7
4 e
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57
ab
b
a
2
ba +
ba
ab
+
2
7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são 
retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é? 
 
a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra. 
 
 
 
8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos 
afirmar que: 
 
a) a e b são primos entre si. 
 
b) os dois números a e b são iguais. 
 
c) a e b são números compostos. 
 
d) a e b são números diferentes. 
 
e) n.r.a.. 
 
 
9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte: 
 
 
número de empregados salário 
12 R$ 600,00 
5 R$ 700,00 
3 R$ 1.000,00 
Qual o salário médio dos empregados dessa empresa? 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, 
sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se: 
 
 
I - média harmônica dos números a e b; a) 
 
 
II - Média ponderada dos números a e b; b) 
 
 
III - Média geométrica entre os números a e b; c) 
 
 
lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d) 
 
 
V - Média aritmética simples entre a e b; e) ba. 
 
 
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58
a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) 
b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) 
c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) 
d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) 
e) n.r.a. 
 
 
2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem, 
respectivamente 10 e pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a: 
 
 
 a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a. 
 
 
3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média 
harmônica dos números 6 e 12. 
 
 
4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova 
média? 
 
 
5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira 
prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que 
tinha peso 5. Qual é a média desse candidato? 
 
 
6) A média harmônica entre os números a; b e c; 
 
 
 
 
7) Calcule a média aritmética; 
 
a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12 
 
c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90 
 
 
8) Calcule a média geométrica. 
 
a) 8; 15; 10; 12 
 
b) 3; 4; 5; 6; 7; 8 
 
 
9) Encontre a média harmônica. 
 
a) 5; 7; 12; 15 
 
 
10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, 
calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, 
calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a: 
ba
abca
+
2)
ba
abcb
+
)
c
bac
2
) +
abacbc
abcd
++
3)
arne ..)
5
32
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59
 
a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a. 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) c 
 
2) 











==
=⇒=
==
+
=
=+⇒=
+
864
64
5
32
10
5
32
20
22
2010
2
gm
abab
ab
ba
ab
hm
baba
 
 
3) 










<<
==
••
=
+
=
===•=
=
+
=
amgmhm
ba
ab
hm
,gm
am
8
18
144
18
126224682672126
9
2
126
 
 
4) 







=−
=+++
=
+++
9
43010440
4401121
40
11
1121
aaa
aaa
Λ
Λ
 
 
5) 07
10
70
10
401812
523
582934 ,pm ==
++
=
++
•+•+•
= 
 
6) 









++
=
++
=
++
=
++
=
d a é correta aalternativ a
abacbc
abc3
abc3
abacbc
1
1
3
abc
abacbc
1
3
c
1
b
1
a
1
1
hm
 
 
7) a) 164
6
656143 ,am =
+++++
= 
 
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60
b) 9
5
1210887
=
++++
=am 
c) 962
5
754132750423 ,,,,,am =
++++
= 
 
d) 4279
7
90838280767570 ,am =
++++++
= 
 
 
8) a) 95,104 400.144 1210158gm ==•••= 
 
b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm ==••=•••••= 
 
 
9) 118
207
6801
6801
207
1
4
1
420
207
1
1
4
420
207
1
4
420
28356084
1
4
15
1
12
1
7
1
5
1
1 ,.
.
hm ===
•
==
+++
=
+++
= 
 
10) a alternativa correta é a e 
 
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61
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
8. Porcentagem 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões: 
 
• a cesta básica teve um reajuste de 2,1%; 
• os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%. 
• 10% da população brasileira são fumantes. 
 
Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de 
porcentagem. 
 
 
2. Elementos do cálculo percentual 
 
Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número 
sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que 
devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas. 
 
Exemplo: 
 
1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala? 
 
Principal (c) = 35 
 
 
 
taxa (i) = 20% 
 
 
 
 porcentagem (P) 
 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Calcular 
a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c)
3
1% de 30 
 
7
100
700
100
2035
100
==
•
=
•
=
P
P
icP
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62
Solução: 
 
a) 2 % de 120 
Principal = 120 
taxa = 2% 
Porcentagem = taxa x principal 
Porcentagem = 4,2
100
240120
100
2
==x 
 
Resposta: 2% de 120 é 2,4. 
 
 
b) 1,5 % de 150 
Principal = 150 
Taxa = 1,5 % 
Porcentagem = taxa x principal 
Porcentagem = 25,2150
100
5,1
=x 
 
Resposta: 1,5% de 150 é 2,25. 
 
 
c) 30%
3
1 de 
Principal = 30 
taxa 
3
1% 
Porcentagem = taxa x principal 
Porcentagem = 1,0
100
1030
100
3
1
==x 
Resposta: 
3
1 % de 30 é 0,1. 
 
 
2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o 
número total de candidatos inscritos? 
 
Solução: 
 
Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de 
comparecimento. 
 
 X 100 
1.500 80 
 
875.1
80
00.15000.15080
80
100
500.1
==⇒=⇒= xxx 
 
Resposta: O número de candidatos é 1.875. 
 
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63
3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto 
pagarei por ele? 
 
Solução: 
 
taxa = 100% - 8% = 92% 
Principal = 1.500 
Porcentagem = taxa x principal 
Porcentagem = 138000,500.1
100
92
=x 
 
Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00. 
 
 
4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 
2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido? 
 
Solução: 
 
No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula: 
i = 1 - (1 - i1) ⋅ (1 - i2) ⋅ (1 - i3) ... (1 - i n ) 
i = 1 - (1 - 0,02) ⋅ (1 - 0,03) 
i = 1 - (0,98) ⋅ (0,97) 
i = 1 - 0,9506 
i = 0,0494 
i = 4,94% 
 
 
5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois 
acréscimos? 
 
Solução: 
 
No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula: 
 
i = (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ (1 + i3) ..., (1 + i n ) - 1 
i = (1 + 0,1) ⋅ (1 + 0,1) - 1 
i = (1,1) ⋅ (1,1) - 1 
i = 1,21 - 1 
i = 0,21 
i = 21% 
 
 
6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos 
habitantes terá no final de dois anos? 
 
Solução: 
1º. ano: 60.000 . .600.60600000.60600
100
1 hab++⇒= 
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64
2º. ano: hab206.61606600.60606
100
1600.60 =+⇒= 
 
Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab. 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Quanto vale 
 
a) 1% de 200 ? 
b) 2,3% de 25? 
c) 0,1% de 1,04? 
d) 2% de 400? 
 
2) O número 1,35 corresponde a 15% de: 
 
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 
 
 
=2%)10()3 
 
a)100% b) 20% c) 5% d) 1% e) n.r.a 
 
 
4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a 
quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento 
mensal no seu salário de: 
 
a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00 
b) R$ 200,00 d) R$ 150,00 
 
 
5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, 
mais um de 5% é: 
 
a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00 
b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00 
 
 
6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%, 
respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, 
aproximadamente, 
 
a) 15,7% c) 47% e) 54,6% 
b) 45,2% d) 47,8% 
 
 
7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o 
imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d., 
o valor do imposto foi de: 
 
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65
8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um 
acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas 
prestações iguais, o valor de cada prestação será de: 
 
 
9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo 
A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote? 
 
 
10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de: 
 
a) 45% c) 96% e) n.r.a. 
b) 20% d) 82% 
 
 
11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do 
novo retângulo formado é: 
 
a) 1,04 A c) 1,02 A e) A 
b) 0,98 A d) 0,96 A 
 
12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da 
carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da 
ação dos roedores era: 
 
a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105 
 
13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o 
número de alunos aprovados sem recuperação. 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) O número 5,94 representa 18% de: 
 
a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32 
 
2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 = 
 
a) 25% b) 
4
1 % c) 10% d) 0,1% e) 0,001% 
 
 
3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50. 
A majoração sobre o preço antigo é de: 
 
a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a. 
 
 
4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelouque 22% das 
famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual 
dos que não têm casa própria nem automóvel é de: 
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66
 
a) 46% b) 54% c) 30% d) 40% e) 60% 
 
5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a: 
 
a)7,5% c) 0,75% e) nra 
b)15% d) 25% 
 
 
6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente, 
determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre: 
 
 
7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, 
o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 
20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de: 
 
a) R$ 26,00 c) R$ 31,00 e) n.r.a. 
b) R$ 28,00 d) R$ 34,00 
 
 
8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço 
de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro. 
 
 
9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era: 
 
a) R$ 170,00 c) R$ 160,00 e) n.r.a. 
b) R$ 144,00 d) R$ 150,00 
 
 
10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa. 
Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram 
não. Diante disso, conclui-se que votaram sim: 
 
a) 11.250 eleitores b) 45% dos eleitores c) 51% dos eleitores 
d) 55% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores 
 
 
11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse 
preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então 
passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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67
 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) x 100 
 5,94 18 
18
5945941894,5.10018
18
100
94,5
=⇒=⇒=⇒= xxxx 
33=x 
a alternativa correta é a d 
 
2) ( ) 0025,0
400
12
20
12
100
52%5 ==




=




= 
a alternativa correta é a b 
 
3) 12,50 100 
1,00 x 
%8
50,12
10050,12100
00,1
50,12
=⇒==⇒= xxx
x
 
a alternativa correta é a d 
 
4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A ∩ B) 
 n (AUB) = 22 + 30 - 12 
 n (AUB) = 40% 
R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%. 
a alternativa correta é a e 
 
5) 
 
 
 
a alternativa correta é a c 
 
6) i = (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ (1 + i3) - 1 
 i = (1 + 0,05) ⋅ (1 + 0,04) ⋅ (1 + 0,1) - 1 
 i = (1,05) ⋅ (1,04) ⋅ (1,1) - 1 
( ) ( )
%75,0%
4
3
400
14
400
1
100
1
20
1
10
1
100
5
100
10%5%10
2222
22
==
−
=−





−




=




−




=−
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68
 i = 0,2012 
 i = 20,12% 
7) 1,5 x 140 = 210 
 210 x 0,8 = 168 
R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial. 
a alternativa correta é a b 
 
8) V = C + L 
 21.516,30 = C + 3.126,30 
 C = 21.516,30 - 3.126,30 
 C = 18.390,00 
%1717,0
390.18
30,124.3 ou
C
L
== 
 
9) x 100 
 180 1,2 
150
2,1
1801802,1
2,1
1
180
=⇒=⇒= xxx 
a alternativa correta é a d 
 
10) eleitores faltosos ⇒ 22.500 x 0,1 = 2.250 
 votos brancos ou nulos ⇒ 22.500 x 0,15 = 3.375 
 votaram não ⇒ 
125.10
500.4
 
 
22.500 - 10.125 = 12.375 
 =
500.22
375.12
 0,55 ou 55% 
 a alternativa correta é a d 
 
11) K ⋅ (1,1) ⋅ (1,1) = 363 
 300
21,1
36336321,1 =⇒=⇒= KKK 
 
 M = 300 (1 - 0,1) ⋅ (1 - 0,1) ⇒ M = 300 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 ⇒ M = 243 
 
 K + M = 300 + 243 = 543 
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
9. Operações sobre Mercadorias 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
1. Introdução 
 
Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida 
comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de 
custo ou sobre o preço de venda. 
 
2. Vendas com lucro 
 
2.1. Sobre o preço de custo 
2.2. Sobre o preço de venda 
 
Exemplos: 
 
1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% 
sobre a compra? 
 
Solução: 
V = C+L 
V: preço de venda V = 1200+1200 ⋅ 0,3 
C: preço de custo V = 1200+360 
L: lucro V = 1.560 
 
R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00 
 
 
2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por 
quanto deverei vender esse quadro? 
 
Solução: 
 
C= R$ 4.500,00 V = C+L 
L= 0,1 V V = 4500+0,1V 
V ? 1V-0,1V= 4500 
 0,9V=4500 
 
9,0
4500
=V 
 V = 5000 
 
R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00 
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70
3. Vendas com prejuízo 
 
3.1. Sobre o preço de custo 
3.2. Sobre o preço de venda 
 
Exemplo: 
 
1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que 
essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda? 
 
Solução: 
V: preço de venda V=C-P 
C: preço de custo V= 200-0,15 ⋅ 200 
P: prejuízo V= 200-30 
 V= 170 
 
R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00. 
 
2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. 
Calcule o preço de venda. 
000.5
1,1
500.5
500.51,1
500.51,01
1,0500.5
=
=
=
=+
−=
−=
V
V
V
VV
VV
PCV
 
 
R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro 
equivalente a 2,5% do custo. 
 
2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra . 
Qual foi o preço de compra? 
 
3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale 
aumentar o preço original em: 
 
4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve 
vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo? 
 
5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 
36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo. 
 
6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto 
deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo? 
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71
7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço 
de venda. O preço de venda é: 
a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00 
b) R$ 320,00 d) R$ 350,00 
 
8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do 
preço de custo. Qual o preço de custo do objeto? 
 
9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10% 
do preço de compra. Qual foi o preço de compra? 
a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a 
b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00 
 
10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do 
seu prejuízo. 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O 
preço de custo dessa mercadoria é de : 
 
2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%.Calcule o valor 
líquido da fatura. 
 
3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para 
que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por: 
 
4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha 
comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de: 
 
5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por 
R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um 
percentual de: 
 
6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$ 
35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou 
perdeu? Quanto? 
 
7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00, 
que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o 
líquido da primeira redução. 
 
8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a 
porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo. 
 
9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o 
prejuízo? 
 
10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de 
compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por: 
 
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72
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
?
12,0
1560
=
=
=
C
CP
V
72,1772
88,0
1560
88,01560
12,01560
=⇒=
=
−=
−=
CC
C
CC
PCV
96,642
9,094,095,0800
)1,01()06,01()05,01( 800
)1()1()1( 321
=
•••=
−•−•−=
−•−•−=
L
L
L
iiiPL
CP
V
%5,3
00,650
=
=
57,673
965,0
00,650
965,000,650
035,000,650
=⇒=
=
−=
−=
CC
C
CC
PCV
98,713
41,4057,673
57,67306,057,673
=
+=
•+=
+=
V
V
V
LCV
?
00,650
 06,0
=
=
=
V
C
VP
20,613
06,1
00,650
00,65006,1
06,000,650
==
=
•−=
−=
C
V
VV
PCV
00,500.700,850.500,650.1
00,850.500,850.1400,700.20
850.1400,650.100,500.16
00,500.161,000,500.16
=+
=−
=−
•−
%50,505050,0
00,850.14
00,500.7
⇒==
C
L
50,759.4$ :
50,136.39115,100,100.35
00,896.4393,000,200.47
RGanhouR
Arroz
Tecido
=•
=•
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73
 
7) 
 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
40,654.1$94,088,000,2000
06,0112,01 00,2000
RL
L
=••=
−•−=
00,500.1
00,65000,150.2
00,65000,150.2
=
−=
+=
+=
C
C
C
LCV
%3,43ou 433,0
00,500.1
00,650
==
C
L
%15,46
650
000.30000.30650
100
00,300
00,650
00,300
10000,650
=⇒=⇒=
=
→
→
XXX
X
X
CL
C
CP
RV
1,0
?
12,0
00,650$
=
=
=
=
50,812
64,7381,064,738
64,738
88,0
00,65088,000,650
12,000,650
=
•+=
+=
=⇒=⇒=
−=
−=
V
V
LCV
CCC
CC
PCV
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74 
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
10. Juros Simples 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia 
emprestada mais uma quantia que denominamos de juros. 
 
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um 
período de tempo determinado (n). 
 
A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em 
porcentagem do capital. 
 
Exemplos: 
a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia. 
b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês. 
 
Capital (principal ou valor presente) 
É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo. 
 
Prazo (ou tempo) 
É o período de aplicação do capital. 
 
 
 
2. Regime de capitalização 
 
O regime de capitalização pode ser simples ou composto. 
 
2.1. Regime de capitalização simples 
 
No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de 
cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período. 
 
 
 
3. Cálculo do juros simples e montante. 
 
Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o 
regime de capitalização simples. 
 
Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos: 
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75 
 
0 1 2 3 n-1 n 
 
in CJJJJ ===== ....321 
 
O juro total dos n períodos será: 
in
iiii
n
CJ
CCCCJ
JJJJJ
=
+=++=
++++=
...
...321
 
 
Para o caso do Montante teremos: 
)1( inCM
CinCM
JCM
+=
+=
+=
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 
2 meses. 
 
Dados: 
J=? J=C. i. n 
C=R$ 2.000,00 J=2000⋅ 0,01 ⋅ 14 
i=1% a.m. J=280 
n=1 ano 2 meses = 14 meses 
R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00. 
 
2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa. 
 
Dados: 
C=R$ 4.000,00 
n= 1 mês 
i=? 
J=R$1.000,00 
 
 ..%2525,0000.4
000.1
4000000.1
1..4000000.1
..
maiouii
i
i
niCJ
==⇒=
=
=
=
 
 
3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de 
juros, sendo a taxa 1% a.m.? 
 
Solução: 
C= R$ 200,00 
J= R$ 80,00 
i= 1% a.m. 
n=? 
 
meseseanosoumesesnn
n
n
niCJ
4340
2
80
280
.01,0.20080
..
=⇒=
=
=
=
 
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76 
4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00. 
 
Solução: 
i=1% a.m. 
n=13 meses 
J= R$ 650,00 
 
 
 000.513,0
650
13,0.650
13.01,0.650
..
=⇒=
=
=
=
CC
C
C
niCJ
 
 
 
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 
0,5% a.m.. 
 
Solução: 
M=? 
C=R$ 1.200,00 
n= 2 anos e 6 meses = 30 meses 
i= 0,5% a.m. 
 
 
M=C(1+in) 
M=1200(1+0,005 ⋅ 30) 
M=1200(1+0,15) 
M=1200 ⋅ 1,15 
 M= 1.380 
 
 
 
4. Taxas proporcionais 
 
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção 
com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. 
 
Assim, sendo teremos: 
 
2
2
1
1
n
i
n
i
= 
 
 
Exemplos: 
 
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a. 
 
Solução: 
..%22412
12
24
1 11
1
2
2
1
1
maii
i
n
i
n
i
=⇒=⇒=
=
 
 
 
2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m. 
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77 
..%18
1
5,1
12 1
2
2
2
1
1
aai
i
n
i
n
i
=⇒=
=
 
 
 
5. Taxas equivalentes 
 
Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num 
mesmo período de tempo, produzem juros iguais. 
 
Exemplo: 
 
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00: 
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses. 
b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos. 
 
Solução: 
a) 
J=? 
C= R$ 1.000,00 
i= 2% a.m 
n= 3 meses 
J= C. i. n 
J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 
J= 60,00 
 
 
b) 
J=? 
C=R$ 1.000,00 
i=1,5% a.a. 
n=4 anos 
J=C. i. n 
J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4 
J=60,00 
 
 
Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a. 
 
 
 
6. Prazo médio 
 
Para o cálculo do prazo médio, mencionaremosquatro casos a saber: 
 
a) Capitais e taxas iguais. 
 
Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados. 
 
 
Exemplo: 
1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, 
durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação? 
 
Solução: 
)(3
2
6
2
42
médioprazomeses==
+
 
 
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78 
b) Capitais diferentes e taxas iguais 
 
Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média 
aritmética ponderada dos prazos pelos capitais. 
 
Exemplo: 
Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 
1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais? 
 
Solução: 
Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais. 
600.6
400.5
000.3
800.1.3
200.1200.1.1
=
=
 
 
Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos: 
ano2,2
000.3
600.6
= 
 
R: O prazo médio é de 2,2 anos. 
 
 
c) Capitais iguais e taxas diferentes. 
 
Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior. 
 
 
d) Capitais e taxas diferentes. 
 
 Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos 
dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do 
capital por essa referida taxa de aplicação. 
 
Exemplo: 
Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: 
R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias? 
 
Tempo Capital Taxas = Valor ponderado 
20 800 0,015 240 
30 1.000 0,02 600 
 = 840 
 
 
Prazo médio =
taxapelacapitaisdosprodutosdosSoma
ponderadosvaloresdosSoma
 
 
Prazo Médio = dias25,26
32
840
2012
840
)02,0.1000()015,0.800(
840
==
+
=
+
 
 
 
 
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79 
 
7. Taxa média 
 
Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn, aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo 
período de tempo. 
 
A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, 
obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais. 
 
n
nn
m CCC
iCiCiC
i
+++
•+•+•
=
ΛΛ
ΛΛ
21
2211 
 
Exemplo: 
1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira: 
 
R$ 1.500,00 a 2% a.m. 
R$ 2.000,00 a 1,5% a.m. 
R$ 3.500,00 a 2,5% a.m. 
 
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento? 
 
Solução: 
%1,2
0210,0
7000
5,87330
350020001500
025,0.3500015,0.200002,0.1500
=
=
+−+
=
++
++
=
i
i
i
 
 
 
Exercício de fixação 
 
1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 
anos. 
 
2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual. 
 
3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo 
esteve empregado? 
 
4) Se uma pessoa aplica somente 
5
2
 de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros 
simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa. 
 
5) Carlos aplicou 
4
1
 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o 
restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendo-
se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de: 
 
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80 
6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de 1% 
a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5% 
a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor. 
 
7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$ 
2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias. 
 
8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é: 
a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a. 
b) 15 meses d) 25 meses 
 
9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 
meses é: 
 
10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a 
aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada? 
 
11) Calcule a taxa anual proporcional a: 
a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m. 
b) 3% a.t. d) 3% a.s. 
 
12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a. 
 
13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.? 
 
14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$ 
2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento? 
 
15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40 
dias. 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. 
Determinar a taxa de juros cobrada. 
 
2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros 
simples de 0,5%a.m. 
 
3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 
5
2
do seu valor? 
 
4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. 
Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento? 
 
5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de: 
a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses 
b) 24 meses d) 48 meses 
 
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81 
6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante 
rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. 
Qual era o capital inicial? 
 
7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o 
capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. 
Qual é o capital? 
 
8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, 
produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: 
a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6% 
 
9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de: 
 
10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença 
entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa? 
 
11) Ache a taxa mensal proporcional a: 
a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c ) 2,4% a.d. d) 12% a.a. 
 
12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é 
equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de: 
a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a. 
 
 
13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar: 
a) Sempre se refere a juros exatos. 
b) Normalmente refere-se a juros compostos. 
c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos. 
d) Dá nome aos contratos. 
e) Refere-se a juros simples. 
 
 
14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo. 
Calcule a taxa média mensal destas operações: 
 
Principal(R$) Taxa mensal Prazo (meses) 
10.000,00 20% 2 
20.000,00 10% 4 
 
a) 10% a.m. b) 11% a.m. c) 12% a.m. d) 13,33% a.m. e) 15% a.m. 
 
 
15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses 
respectivamente. Qual o prazo médio? 
 
 
 
 
 
 
 
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82 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
?i
R$2.000,00J
me 2
00,000.6$
=
=
=
=
n
RC
a.m. %6,16
166,0
6
1
000.12
000.2
000.12000.2
2000.6000.2
=
=⇒=⇒=
=
••=
••=
i
iii
i
i
niCJ
.. %5,0
12 1
00,000.10$
mai
mesesanon
RC
=
==
=
00,600.10
000.10600
600
005,012000.10
=
+=
+=
=
••=
••=
M
M
CJM
J
J
niCJ
CJ
mai
C
4,0
. %4,0
?
=
=
=
mesesnn
nCC
niCJ
 100
004,0
4,0
004,04,0
=⇒=
••=
••=
( )
( )
000.4000.20000.24
000.24
000.20
012,0
240
240012,0
1240012,0
72048003,0018,0
48003,0720018,0
480103,0000.241018,0
480
480
000.24000.24
22
12
11
1
1
11
11
11
2211
21
1221
=⇒−=
−=
=⇒=
=
−−=−
−=−
=−+
=••−+••
=••+••
=+
−=⇒=+
CC
CC
CC
C
C
CC
CC
CC
niCniC
JJ
CCCC
?
200
400
.. %4
=
=
=
=
n
C
J
mai
mesesnn
n
niCJ
 50
8
400
04,0200400
=⇒=
••=
••=
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83 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
03,0
103,0
3
1
3
08,0
104,0
3
2
 1
.. %4
3
2
2
1
1
1
CC
J
CC
J
anon
mai
CC
=••=
=••=
=
=
=
500
 1
.. %3
3
1
21
2
2
=−
=
=
=
JJ
anon
aai
CC
000.30
05,0
1500
150005,0150003,008,0500
3
03,0
3
08,0
=⇒=
=⇒=−⇒=−
CC
CCC
CC
512.16
 18
=
=
M
mesesn ( )
i
C
iC
niCM
181
512.16
)181(512.16
1
+
=
+=
•+=
.. %4
04,0
7,5
23,0
23,07,5
123,13,1218
3,1223,1181
)101(23,1)181(1
1
23,1
101
181
440.13
512.16
101
181
181
512.16
101
440.13
mai
i
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
ii
=
==
=
−=−
+=+
+=+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
00,600.9
4,1
440.13
4,01
440.13
04,0101
440.13
101
440.13
=⇒=⇒
+
=⇒
•+
=
+
= CCC
i
C
440.13
10
=
=
M
mesesn ( )
i
C
iC
niCM
101
440.13
)101(440.13
1
+
=
+=
•+=
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84 
8) 
 
 
 
 
 
 
R: A alternativa correta é a 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
11) 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
a 
?
00,320.16
 4
00,000.15
=
=
=
=
i
M
mesesn
C ( )
( )
.. %2,2022,0
4
088,0
41088,1
41
00,000.15
00,320.16
411 00,000.1500,320.16
1
maiii
i
i
niCM
=⇒=⇒=
=−
+=
•+=
•+=
diasn
i
M
C
 200
360
01,0
?
00,000.3
=
=
=
=
66,016.3
180
181000.3
180
1
1000.3
360
213000
200
360
01,0
1000.3
)1(
=




=





 +=




 +=





 •+=
•+=
M
M
M
M
M
niCM
.. %505,0
2
1
400.1
700
700400.1
7001000 - 400.2
700
10005200
400.23800
21
2
1
maiiii
i
ii
JJ
iiJ
iiJ
=⇒=⇒=⇒=
=
=
=−
=••=
=••=
.. %2,1
3
6,36,33
3
6,3
1 111
1
2
2
1
1
maiiii
n
i
n
i
=⇒=⇒=⇒=
=
.. %2
6
12126
6
12
1 111
1
2
2
1
1
maiiii
n
i
n
i
=⇒=⇒=⇒=
=
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85 
 
 
 c) 
 
 
 
 d) 
 
 
 
12) 
 
 
 
 
 
 a alternativa correta é a 
 
13) a alternativa correta é a e 
 
14) 
 
 
 
 
a alternativa correta é a d 
 
 
15) Prazo médio 3
3
432
=
++
= meses. 
 
 
 
 
 
b
.. %7272,030024,0
1
024,0
30 111
1
2
2
1
1
maiiii
n
i
n
i
=⇒=⇒•=⇒=
=
.. %101,0
12
12,012,012
12
12,0
1 1111
1
2
2
1
1
maiiiii
n
i
n
i
=⇒=⇒=⇒=⇒=
=
... %3,3ou 033,0
15
5,0
155,0
15
5,01005,0
2
2
1
maiii
iCC
JJ
iCJ
CCJ
==⇒=
••=
=
••=
=••=
... %3,13ou 133,0
15
2
30
4
000.30
000.4
000.30
1,0000.202,0000.10
21
2211
maii
iiii
CC
ICiC
i
mm
mmmm
m
==⇒
⇒=⇒=⇒=⇒
•+•
=
+
•+•
=
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86
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
11. Desconto Simples 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
1. Introdução 
 
Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou 
negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo. 
Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro 
ou cheque no ato da mesma. 
No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma 
data futura. 
É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o 
mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de 
desconto. 
Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória. 
Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado 
antes do seu vencimento; 
Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento; 
Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento. 
 
Exemplo: 
Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes 
de seu vencimento por R$ 8.000,00. 
 
Valor nominal (N): R$ 10.000,00 
Valor atual (A): R$ 8.000,00 
Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 ⇒ d = R$ 2.000,00 
 
O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto: 
 
d = N – A ou A = N - d ou N = A + d 
 
 
 
 
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87
2. Tipos de desconto 
 
2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora 
 
O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e eqüivale ao juros simples onde o 
capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito. 
 
dc = N ⋅ i ⋅ n 
 
dc: Valor do desconto comercial; 
N: Valor nominal do título; 
i: taxa de desconto; 
n: tempo. 
 
 
2.2. Valor Atual Comercial 
 
A = N - d 
A = N - N in 
 
A = N (1- in) 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo 
resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento. 
 
Solução: 
 
dc = ? 
N = R$ 2.000,00 
damai .002,0
30
06,0.06,0 === 
n = 2 meses e 10 dias = 70 dias 
dc = N ⋅ in 
dc = 2.000 . 0,002 ⋅ 70 
dc = 280 
 
 
2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de 
desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação? 
 
N = R$ 6.000,00 
n= 120 dias = 
3
1 ano. 
dc = R$ 300,00 
i = ? 
dc = N ⋅ i ⋅ n 
 300 = 6000 ⋅ i ⋅ 
3
1 
 300 = 2.000 i ⇒ i =
2000
300 
 i = ⇒
20
3 i = 0,15 ou i = 15% a.a. 
 
 
3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um 
desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento. 
 
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88
A = N (1 - in) 
A = 1.000 (1 - 
30
03,0
⋅ 108) 
A = 1.000 (1 - 0,108) 
A = 1.000 (0,892) 
A = 892 
 
4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., 
somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores 
nominais desses títulos. 
 
dc1 = N1 ⋅ i ⋅ n 
dc1 = N1 ⋅ 0,03 ⋅ ⇒ dc1 = N1 ⋅ 
dc2 = N2 ⋅ i ⋅ n 
dc2 = N2 ⋅ 0,03 ⋅ ⇒4
1 dc2 = N2 ⋅ 4
03,0 
dc1 + dc2 = 200 ⇒ dc1 = 200 - dc2 
dc1 = dc2 + 50 
200 - dc2 = dc2 + 50 
200 - 50 = 2 dc2 
150 = 2 dc2 ⇒ dc2 = 2
150
⇒ dc2 = 75 
dc1 = 200 - dc2 
dc1 = 200 - 75 ⇒ dc1 = 125 
dc1 = N1 ⋅ 4
03,0 
125 = N1 ⋅ 4
03,0
⇒ 4 ⋅ 125 = 0,03 N1 ⇒ N1 = 03,0
125.4 
N1 = 16.666,67 
 
dc2 = N2 ⋅ 4
03,0 
75 = N2 ⋅ 4
03,0
⇒ 75 ⋅ 4 = N2 ⋅ 0,03 ⇒ 300 = N2 ⋅ 0,03 ⇒ N2 = 03,0
300 
N2 = 10.000,00 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Calcule o valor nominal de certa nota promissóriaque, descontada 2 meses antes do vencimento, à 
taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00. 
 
2) Uma nota promissória, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes 
de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial? 
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89
3) (CEF) Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento 
de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial simples, a taxa de 48% a.a., o valor pago foi: 
a)R$ 180.000,00 d) R$ 135.000,00 
b)R$ 175.000,00 e) R$ 120.000,00 
c)R$ 150.000,00 
 
4) Um título de crédito de R$ 1.200,00 tem valor líquido de R$ 1.000,00 quando descontada por fora 2 
meses antes de seu vencimento. Qual é a taxa de vencimento? 
 
5) (Banco do Brasil) Uma pessoa deseja obter um empréstimo de R$ 30.000,00 no prazo de 120 dias, a 
6% a.m., de desconto comercial simples. Qual o valor do título para produzir aquela importância 
líquida? 
a)R$ 39.473,68 c) R$ 35.432,20 
b)R$ 38.528,12 d) R$ 34.318,20 
 
6) (Receita Federal) O valor atual de uma duplicata é 5 vezes o valor de seu desconto comercial 
simples. Sabendo que a taxa de desconto adotada é de 60% a.a., o vencimento do título, expresso 
em dias, é: 
a)120 c) 130 e) 140 
c)100 d) 150 
 
 
2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro 
 
É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto 
racional por dr. 
 
niAd rr ••= 1 
 
Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal 
 
Ar = N - dr 2 
 
Substituindo 2 em 1, teremos: 
 
dr = (N - dr) ⋅ i ⋅ n 
dr = N ⋅ i ⋅ n - dr ⋅ i ⋅ n 
dr + dr ⋅ i ⋅ n = N ⋅ i ⋅ n 
dr (1 + in) = N ⋅ i ⋅ n 
 dr = 
ni
niN
.1
..
+
 
 
 
2.4. Valor Atual Racional 
 
Ar = N - dr 
 Ar = N 
ni
niN
.1
..
+
− 
Ar = 
ni
NAr
ni
niNniN
.1.1
..).1(
+
=⇒
+
−+ 
 
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90
2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional 
 
dc = N ⋅ i ⋅ n dr = ni
niN
.1
..
+
 
dr = i.n)(1ddi.n1
d
rc
c +=⇒
+
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 
1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual. 
 
Solução: 
N = R$ 1.600,00 
i = 1,5% a.m. 
n = 75 dias = 2,5 meses 
 
dr= ni
niN
.1
..
+
 
83,57
0375,1
60
0375,01
60
5,2.015,01
5,2.015,0.600.1
=⇒⇒
+
=
+
=
rr
r
dd
d
 
 
17,542.1rA0375,1
1600
rA5,2015,01
1600
rA5,2015,01
1600
rA
ni1
N
rA
=⇒=⇒
•+
=⇒
•+
=
•+
=
 
 
2) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito, é de R$ 60,00. O prazo 
é de 20 dias e a taxa de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título. 
 
Solução: 
 
60
3
0,02N
60
0,01.1
N.0,01.
3
2N.0,01.
60
i.n1
N.i.nN.i.n
60dd
a.m.0,01a.m.1%i
mês
3
2dias20n
?N
3
0,021
3
0,02N
3
2
3
2
rc
=−
=
+
−
=
+
−
=−
==
==
=
+
 
02,3.3
02,3.3.60
02,3.3
3.02,002,3.02,0
60
02,3
02,0
3
02,0
60
02,3
3.
3
02,0
3
02,0
60
3
02,0
60
3
02,0
3
02,0
3
02,0
3
02,01
3
02,0
=
−
=−
=−
=−
=− +
NN
NN
NN
N
N
N
N
 
 
 0,0604 N - 0,06 N = 543,60 ⇒ 0,0004 N = 543,60 ⇒ N = ⇒ N = 1.359.000,00 
 
 
 543,60 
0,0004
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91
 
 
3) quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,2. Qual será a taxa de juros se o prazo de 
antecipação é de 4 meses. 
 
..%55,0
4
2,042,0
412,1
412,1
.1
..
1..
.1
maiouiii
i
i
ni
d
d
niN
inniN
nid
d
r
c
Nin
Nin
r
c
==⇒=⇒=
=−
+=
+=
+
=
+
=
 
 
 
3. Taxa de juros simples e taxa de desconto simples 
 
 
3.1. Taxa de juro simples (ij) 
 
É a taxa que incide sobre o capital inicial. 
 
 
3.2. Taxa de desconto simples (id) 
 
É a taxa que incide sobre o valor nominal de um título de crédito. 
 
A taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial são equivalentes, quando o valor atual 
for igual ao capital e o montante como valor nominal. 
 
Ou seja M = N e A = C 
 
A = N ⋅ (1 - i ⋅ n) ⇒ C = N (1 - id ⋅ n) = N
C = 1 - 1d ⋅ n 1 
 
M = C (1 + i ⋅ n) ⇒ N = C (1 + ij ⋅ n) C
N
⇒ = 1 + ij ⋅ n niN
C
j .1
1
+
=⇒ 2 
 
Comparando 1 e 2 teremos: 
juro) de (taxa 
ndi1
dijinji1
1ndi1
desconto) de (taxa 
nji1
ji
dinji1
1ndi1
•−
=⇒
•+
=•−
•+
=⇒
•+
=•−
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
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92
1) Calcule a taxa de juro simples (mensal) equivalente a uma taxa de desconto comercial simples de 
1% a.d., num prazo de 2 meses? 
Solução: 
 
ij = ? 
id = 1% = 0,01 ⋅ a.d. 
n = 2 meses = 60 dias 
 
 
4,0
01,0
6,01
01,0
60.01,01
01,0
.1
=⇒
−
=⇒
−
=
−
=
jjj
d
d
j
iii
ni
i
i
 
ij = 0,025 ou 
ij = 2,5% a.d. 
 
 
2) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros simples de 6% a.m. para empréstimo de 30 dias. 
Calcule a taxa de desconto comercial simples equivalente? 
 
ij = 6% = 0,06 a.m. 
 
n = 30 dias = 1 mês 
id = ? 
ij = ni
i
j
j
.1+
 
maiii ddd .%66,50566,01.06,01
06,0
=⇒=⇒
+
= 
 
 
Exercícios de fixação 
 
7) Determine o valor atual racional e comercial de um título de R$ 6.500,00 resgatado 2 meses antes 
do vencimento a taxa de 2% a.m. 
 
8) O desconto comercial aplicado a uma letra de câmbio resgatada 5 meses antes do vencimento à taxa 
de 1% a.m. foi de R$ 10,00. Qual será o valor do desconto se fosse racional? 
 
9) O valor atual racional simples de um título é igual a metade do seu valor nominal. Calcular a taxa de 
desconto sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 2 meses. 
 
10) Uma duplicata foi submetida a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma 
taxa de 1% a.m., vencível em 90 dias com desconto comercial. No segundo caso, com desconto 
racional, mantendo as demais condições. Sabe-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, 
foi de R$ 450,00. O valor nominal do título era de: 
 
11) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial de uma dívida é de R$ 120,00. O 
valor nominal desse título, a 1% a.m., com antecipação de 1 mês é: 
 
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93
12) Um título de crédito foi resgatado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o valor nominal de R$ 
1.800,00. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 200,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro 
efetivo. 
 
13) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes do seu vencimento, a taxa de desconto comercial de 
6% a.a. Qual a taxa de juro efetiva anual dessa operação? 
 
14) Complete o quadro abaixo: 
 
 Taxa de desc. 
Com. 
Taxa de juro 
efetiva 
Prazo 
a) 3% a.m. 10 dias 
b) 10% a.m. 5 dias 
c) 2% a.d. 10% a.d. 
 
 
 
4. Fluxo de caixa e Equivalência de capitais 
 
4.1. Fluxo de caixa 
 
Chamamos de fluxo de caixa a sucessão de pagamentos ou recebimentos ao longo do tempo. 
 
Para uma melhor compreensão representaremos um diagrama de fluxo de caixa. 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 períodos 
 
Por Convenção: 
 
• o eixo horizontal, orientado para a direita indica o período de tempo; 
• as setas orientadas para cima indicam as saídas de caixa; 
• as setas orientadas para baixo indicam as entradas de caixa; 
 
Veja o exemplo de um diagrama de fluxo de caixa: 
 
1) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 5.000,00 e recebeu R$ 6.000,00 após 5 meses. 
 
5.000 
 
 
 
 1 2 3 4 5 meses 
 
 
 
 6.000 
 
 
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94
4.2. Equivalência de Capitais 
 
Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas, são chamados de equivalentes 
quando “transportados” para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzem valoresiguais. 
Exemplo 
 
1) Verificar se os capitais R$ 384,00, com vencimento para 1 mês e R$ 600,00 com vencimento para 5 
meses, são ou não equivalentes pelo critério do desconto comercial simples a 10% a.m., na data focal 3. 
 
 600 
 
 
 meses 
 
0 1 2 3 4 5 
 
 data focal 
 384 
 A= N(1-in) 
 A = 600(1-0,1.2) =480 
 N= 480
8,0
384
2.1,01
384
1
==
−
=
− in
A 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 45 dias é substituído por 
outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial 
simples é de 3% a.m. 
 
Solução: 
 
N1 = R$ 800,00 
n = 45 dias = 1,5 mês 
N = ? 
n = 60 dias = 2 meses 
i = 3% a.m. 
A1 = A 
N1 (1 - i ⋅ n) = N (1 - i ⋅ n) 
800 (1 - 0,03 ⋅ 1,5) = N (1 - 0,03 ⋅ 2) 
800 (1 - 0,045) = N (1 - 0,06) 
800 ⋅ 0,955 = N ⋅ 0,94 
764 = N ⋅ 0,94 
N= ⇒
94,0
764 N = 812,77 
 
 
2) Uma pessoa deve dois títulos de créditos: um no valor de R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mês e 
outro de R$1.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao 
credor substituí-los por um título único para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial 
simples é de 6% a.m., calcule o valor nominal do título único. 
 
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95
N1 = R$ 1.000,00 
n = 1 mês 
N2 = R$ 1.200,00 
n = 3 meses 
N = ? 
n = 5 meses 
i = 6% a.m. 
 
A1 + A2 = A 
N1 ⋅ (1 - in) + N2 ⋅ (1 - in) = N (1 - in) 
1.000 (1 - 0,06 ⋅ 1) + 1.200 (1 - 0,06 ⋅ 3) = N (1 - 0,06 ⋅ 5) 
1.000 ⋅ 0,94 + 1.200 ⋅ 0,82 = N ⋅ (1 - 0,30) 
940 + 984 = 0,7 N 
1.924 = 0,7 N 
N= ⇒
7,0
924.1 N = 2.748,57 
 
3) Um comerciante possui dois títulos de créditos, sendo um no valor R$ 1.000,00 com vencimento 
para 40 dias e o outro no valor de R$ 1.500,00 com vencimento para 60 dias. Necessitando de 
dinheiro, decide descontá-las hoje, em um banco que efetua a operação a taxa de desconto comercial 
de 6% a.m. Qual o valor recebido pelo comerciante pelos dois títulos? 
 
V = A1 + A2 
V = 1.000 (1 - 0,06 ⋅
30
40 )+ 1.500 (1 - 0,06 ⋅ 2) 
V = 1.000 (1 - 0,08) + 1.500 (1 - 0,12) 
V = 1.000 ⋅ 0,92 + 1.500 ⋅ 0,88 
V = 920 + 1.320 
V = 2.240 
 
 
4) Uma loja vende um eletrodoméstico por R$ 800,00. A prazo, pode-se pagar a mercadoria em 2 
pagamentos mensais iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses 
pagamentos, se foram adotados, na operação o desconto racional a taxa de 6% a.m. e a data focal a 
do ato da compra? 
 
A=A1+a2 
800= 
12,0106,01 +
+
+
xx 
800 = 
12,106,1
xx
+ 
800.1,06.1,12 = 1,12x + 1,06x 
949,76 = 2,18x 
x = ⇒
18,2
76,949 
x = 435,67 
 
 
Exercícios de fixação 
 
15) Um título de crédito no valor de R$ 800,00, com vencimento para 60 dias é substituído por outro 
com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de 
desconto comercial simples é de 1% a.m. 
 
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96
16) Uma empresa vende mercadorias por R$ 5.730,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, sendo o 
primeiro para 30 dias e o segundo para 60 dias. Qual o valor das parcelas que a empresa aplica, 
sendo a taxa de desconto comercial de 3% a.m. 
 
17) Um lojista possui 2 duplicatas: uma de R$ 1.200,00 para 30 dias e a outra de R$ 600,00 para 60 dias. 
Não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 5 
meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título 
único. 
18) Uma loja vende uma bicicleta por R$ 800,00 à vista ou 10% de entrada e o restante para 30 dias. 
Qual será o valor desse pagamento, se a loja opera, nas vendas à prazo, com taxa racional de 0,5% 
a.m. 
19) Uma papelaria vende R$ 350,00 em mercadorias. O pagamento pode ser a prazo em dois 
pagamentos mensais e iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses 
pagamentos, se forem adotados, na operação, o critério de desconto racional de 0,5% a.m. e a data 
focal do ato da compra? 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Uma empresa descontou três duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30; 60 
e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 4% a.m., o 
valor total do desconto, pelo regime de juros simples, em reais, foi de: 
 
2) Um título de crédito no valor nominal de R$ 1.500,00, em 3 meses, tem como desconto comercial 
R$ 300,00. Determine a sua taxa anual. 
 
3) Uma nota promissória foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo à taxa de 6% a.a. 
Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal? 
 
4) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui 
a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e desejo ganhar 36% a.a., é de: 
a)R$ 24.000,00 d) R$ 18.800,00 
b)R$ 25.000,00 e) R$ 24.190,00 
c)R$ 27.500,00 
 
5) quociente entre o desconto comercial e o desconto racional é de 1,2. Qual será o prazo de 
antecipação se a taxa de juros for de 5% a.a.? 
 
6) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título pagável em 120 dias, a 1% a.m. é 
igual à R$ 120,00. Determine o valor nominal, desconto comercial e o desconto racional. 
 
7) Complete o quadro abaixo: 
 
Taxa de desc. com. Taxa de juros Prazo 
6% a.m. 10 dias 
 60% a.m. 30 dias 
4% a.m. 20% a.m. 
 
8) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo e outra de R$ 
8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 
30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a., o valor nominal dessa 
dívida será de: 
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97
 
9) Resgatei um título em um banco que me pagou líquido de R$ 6.200,00. O resgate deu-se a 20 dias 
antes do vencimento, a taxa de 3% a.m. pelo desconto racional. Qual é o valor nominal desse título? 
 
10) Uma loja vende um guarda roupa à vista por R$ 3.000,00. A prazo, pode-se pagar em três 
pagamentos mensais e iguais, o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um dos 
pagamentos, se forem adotados, na operação, o desconto racional de 8% a.m. e como data focal a 
do ato da compra? 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. 
 
 
 
 R.: O valor total do desconto foi de R$ 960,00 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 A alternativa correta é a 
 
b 
.. %80 
8,0
375
300
375300
25,0500.1300
aai
ii
i
i
niNdc
=
=⇒=
=
••=
••=
( )
( )
08,808
99,0
800
99,0800
01,01800
6
106,01800
1
=⇒=
−=
−=





 •−=
•−=
NN
N
N
N
niNAc
000.25$500.4500.29
500.4
18,1
310.5
603,01
603,0500.29
1
R
ddd
ni
niNd
rrr
r
=−
=⇒=⇒
•+
••
=
•+
••
=
960
480304,0000.4
320204,0000.4
160104,0000.4
⇒
=⇒••=
=⇒••=
=⇒••=
••=
soma
dd
dd
dd
niNd
cc
cc
cc
c
 
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98
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
anosnn
n
n
n
ni
ni
ni
niN
niN
d
d
r
c
 4
05,0
2,0
05,02,0
05,012,1
05,012,1
12,1
1
1
=⇒=
=
=−
+=
•+=
•+=
•+
••
••
=
00,000.78
0016,0
80,124
80,1240016,0
80,12404,00416,0
04,112004,004,004,1
120
04,1
04,004,0
120
401,01
401,0401,0
120
1
120
=⇒=
=
=−
•=−•
=−
=
•+
••
−••
=
•+
••
−••
=−
NN
N
NN
NN
NN
NN
ni
niNniN
dd rc
.. %12,6ou 0612,0
98,0
06,0
02,01
06,0
3
106,01
06,0
1
maii
iii
ni
ii
jj
jjj
d
d
j
==
=⇒
−
=⇒
−
=
•−
=
.. %5,37375,0
6,1
6,0
16,01
6,0
1
maiiii
ni
i
i
dddd
j
j
d
=⇒=⇒=⇒
•+
=
•+=
000.3
04,1
120.3
401,01
401,0000.78
1
120.3401,0000.78
=⇒⇒
•+
••
=
•+
••
=
=••=
••=
rrr
c
c
dd
ni
niNd
d
niNd
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99
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
 
( )
.
 20
008,0
16,0
16,0008,0
04,02,0008,0
2,0008,004,0
2,02,0104,0
2,01
2,004,0
1
mesesnn
n
n
n
n
n
ni
i
i
j
j
d
=⇒=
=
−=
=+
=+
⇒
•+
=
•+
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
300.11
99,0
187.11
99,0232.8955.2
99,098,0400.8985,0000.3
)01,01()02,01(400.8015,01000.3
101,01201,01400.85,101,01000.3
111 21
21
=
=
•=+
•=•+•
−=−+−
•−=•−+•−
•−=−•+•−
=+
N
N
N
N
N
N
niNiNniN
AAA
n
324.6
200.602,1
02,01
200.6
3
203,01
200.6
1
=
•=
+
=
•+
=
•+
=
N
N
N
N
ni
NAr
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
32,156.1
0304,4
42,660.4
42,660.40304,4
42,660.42528,13392,14384,1
24,1)16,1(08,1
24,116,108,1000.3
24,116,108,1
16,108,124,108,124,116,1
000.3
24,116,108,1
000.3
308,01208,01108,01
=⇒=
=
=++
••
•••
=
••
••+••+••
=++
=
•+
+
•+
+
•+
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
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Todos os direitos reservados. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
12. Logaritmos 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
1. Introdução 
 
Os povos antigos indicavam quantidade através de pedrinhas ou faziam marcas em madeira ou 
osso. 
Os cálculos aritméticos nessa época eram complicados de se efetuar. 
Com o desenvolvimento do comércio, das navegações e da astronomia, no fim do século XVI, 
foi necessário criar novos métodos que tornassem os cálculos mais simples. 
Os logaritmos surgiram para facilitar os cálculos e graças aos matemáticos Henry Briggs e John 
Napier que elaboraram as primeiras tábuas de logaritmos. 
O logaritmo é utilizado em química para verificar se uma solução é ácida, básica ou neutra e em 
matemática financeira para estudar juros compostos. 
 
 
2. Definição 
 
Sendo a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a, o 
expoente que se deve dar a base a de modo que a potência obtida seja igual a b. 
 
Log ab = x ⇔ a
x = b 
 
(a; b ∈ R, b > 0; 0 < a ≠ 1) 
b - logaritmando 
a - base do logaritmo 
x - logaritmo 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: 
a) log 42 = b) log0,1 = c) log
5
5/1 = 
 
Solução: 
a) log 42 = x ⇔ 2
x = 4 
2x = 22 
x = 2 
 
CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 101 
 
b) log 1,010 = x ⇔ 10
x= 0,1 
10x =
10
1 
10x = 10-1 
x = -1 
 
c) log 5
5
1 = x ⇔ ( )5
1 x = 5 
 (5-1)x = 51/2 
 5-x = 51/2 
-x= 
2
1 
x = - 
2
1 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: 
 
a)log 12 = b) log 2
1
4 = c) log
5
5 = 
d) log 2,05 = e) log
2
16/1 f) log
100/1
10 = 
 
 
 
3. Propriedades 
 
a) Logaritmo do produto 
 
Sendo (a; b; c ∈ R; 0 < a ≠ 1; b > 0 e c > 0) 
 
Log a 
)( ca− = log ba + log
c
a 
 
b) Logaritmo do quociente 
 
Sendo (a; b; c ∈ R; 0 < a ≠ 1; b > 0 e c > 0) 
 
log
c
b
a = log
b
a - log
c
a 
 
c) Logaritmo da potência 
 
Sendo (0 < a ≠ 1; b > 0 e α ∈ R) 
 
log =
αb
a =α .log
b
a 
 
 
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d) Logaritmo da raiz n - ésima 
 
Sendo (0 < a ≠ 1; b > 0 e n ∈ N*) 
 
log
n b
a = log
nb
a
/1
= .1
n
log ba 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dados log2 ≅ 0,3010 e log3 ≅ 0,4771. Calcule: 
 
a) log6 = b) log =)
2
3( c) log4 = d) log 2 = 
 
Solução: 
 
a) log6 = log (2 ⋅ 3) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781 
 
b) log )
2
3( = log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761 
 
c) log4 = log22 = 2 ⋅ log2 = 2 ⋅ 0,3010 = 0,6020 
 
d)log 2 = log 2 2/1 =
2
1 ⋅ log2 = 0,5 ⋅ 0,3010 = 0,1505 
 
 
Exercícios de fixação 
 
2) Dados log2 ≅ 0,3010; log3 ≅ 0,4771 e log7 ≅ 0,8451 
 
Calcule: 
 
a) log9 = b) log5 = c) log6 = d) log12 = 
 
e) log 6 = f) log 22 g) log21 = 
 
 
 
4. Mudança de base 
 
As propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente para logaritmos que estão na 
mesma base. 
No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma 
base. 
 
 log ba = a
c
a
c
log
log onde: b > 0 ; 0< a ≠ 1 ; 0 < c ≠ 1 
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Exercícios resolvidos 
 
1) Sendo log2 ≠ 0,3010 e log3 ≠ 0,4771. Calcule o valor de log 62 
 
Solução: 
59,2
3010,0
4771,03010,0
2log
3log2log
2log
)3.2log(log62 ≅
+
=
+
== 
 
2) Dados log 3 = y . Calcular log 303 
Solução: 
 
y
y 1
3log
10log3log
3log
)10.3log(
3log
30loglog303
+
=
+
=== 
 
 
3) Simplificar: 
 
=)).(log(log 23
3
2 
 
Solução: 
 
1
3log
2log.
2log
3log
= 
 
b) =)).(log(log 512
4
5 
 
2
2log
5log1.
5log
2log2
2log
5log.1.
5log
2log
2log
5log.
5log
4log
2
1
−=
−
/
/
=
−
=
−
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
3) Sendo log2 = m e log3 = n, calcule: 
 
a) log 122 = b) log 
20
5 = c) log
4
3 = 
 
d) log 184 = e) log
6
3 = f) log
27
12 = 
 
4) Simplifique as expressões: 
 
a) (log 23 ) ⋅(log 
3
2 ) = b) (log 
5
3 ) ⋅ (log 
4
25 ) ⋅ (log 
9
2 ) = 
 
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5. Função logarítmica 
 
Denominamos de função logarítmica a toda função do tipo: 
f(x) = log xa ou y = log
x
a (0 < a ≠ 1 e x > 0) 
 
A função logarítmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a ≠ 1). 
 
Gráficos 
 
y = log x2 
 
x log x2 y 
 
4
1 log 4
1
2 -2 
2
1 log 2
1
2 -1 
1 log 12 0 
 
2 log 22 1 
 
4 log 42 2 
 
 
 
y = log x 21 
 
x log x2 
 
y 
4
1 log 4
1
2 -2 
2
1 log 2
1
2 -1 
1 log 12 0 
2 log 22 1 
4 log 42 2 
 
 
 
6. Logaritmos decimais 
 
Os sistemas de logaritmos são: 
 
a) sistema decimal 
 
 É aquele cuja base vale 10. 
 
Por volta de 1614, o matemático Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10. 
 
2
1
-1
-2
2 4 
¼ ½ 
1
2
1
-1
-2
¼ ½ 
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b) sistema neperiano 
É o sistema cuja base vale e. 
O número e é irracional e vale 2,71828... 
Os logaritmos na base e são denominados de neperianos ou naturais. 
 
Exemplo: 
log 7e = ln7 
 
 
6.1. Característica e Mantissa 
 
Característica de log y 
 
1º. Caso: y ≥ 1 
 
Quando o y for um número maior ou igual a 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de 
algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determine a característica de: 
 
a) log 300 b) log12,85 
 
Solução: 
 
a) log 300 → c = 3 - 1 = 2 
 
log12,85 → c = 2 - 1 = 1 
 
 
 
2º. Caso: 0 < y < 1 
 
Quando y é um número compreendido entre 0 e 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de 
zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determine a característica de: 
 
a)log 0,001 b) log 0,12 
 
 
Solução: 
 
a) 0,001 têm três zeros antes do primeiro algarismo significativo; então a característica é -3; 
 
b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, então a característica é -1. 
 
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6.2. Mantissa 
 
A mantissa é encontrada nas tábuas de logaritmos decimais. 
 
Encontramosmantissas dos logaritmos decimais dos números inteiros compreendidos entre 1 e 
1.000. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo: 
 
a) log 500 b) log 930 
 
Solução: 
 
a) log500 
 mantissa: 0,698970 
 
b) log930 
 mantissa: 0,968483 
 
 
Exercícios de fixação 
 
5) Determine a característica de cada logaritmo a seguir: 
 
a) log 100 c) log 231,6 e) log 
10
1 
 
b) log 0,001 d) log 5 f) log 32 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: 
 
a) log 1,10
o = b) log 33 c) log 25
11
2,0 = d)log
8
2 = e) log
2
8
1 = 
 
 
2) (Fuvest) O valor da expressão: 
 
:
log)53(
27)2(
4
2
0
32
é
−+−
−−−− a) –7 b) –1 c) 1 d)2 e) 7 
 
 
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3) Assinale a alternativa falsa: 
 
a) log1 = 0 b) log (
y
x )= logx – logy c) log ab
a
b log.αα = 
d) log (x ⋅ y) = log x + log y e) n.r.a. 
 
 
4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, então log375 é: 
 
a) y + 3x c) y - x + 3 e) 3 (x + y) 
 
b) y + 5x d) y - 3x + 3 
 
 
5) O produto: (log 29 ) ⋅ (log
5
2 ) ⋅ (log
3
5 ) é igual a: 
 
a)0 b) 1 c) 10 d) 30 e) 
2
1 
 
6) São dados: log = a e log = b. O valor de log é: 
a) 
ba
a
+−1
 b) 
ba
b
+−1
 c)
ba
b
−+1
 d)
ba
a
−+1
 e) 
a
b
2
 
 
 
7) Determine a característica de: 
 
a) log 2,61 c) log 
2
1 e) log 
5
12 
 
b) log 0,012 d) log 20 f) log 2,168 
 
 
8) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tábua de logaritmos: 
 
a) log13 c) log 0,2 e) log25 
 
b) log201 d) log 2,16 
 
 
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) 
a) log = x ⇔ 10x = 0,1 
 10x 1 
 10 
 10x = 10-1 
 x = -1 
 
b) log = x ⇔ 3x = √ 3 
 3x = 31/2 
 1 
 2 
 
c) log = log = log 
 
 
log x ⇔ 1 x 1 
 5 25 
 
 1 x 1 2 
 5 5 
 
x = 2 
 
d) log = x ⇔ (√2 )x = 8 
 (21/2)x = 23 
 1 x = 3 
 2 
 x = 6 
 
e) log = x ⇔ 1 x √ 2 
 8 
 1 x 21/2 
 2⋅3 
 2-3x = 21/2 
( 
= 
) 
) 
( 
( 
=
x =
( ( ) ) = 
0,1 
10
√3 
3
1/25 
0,2 1/25 
2/10
1/25 
1/5
1/25 
1/5
8 
√2
√2 
1/8 ) = 
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 -3x 
2
1
= 
6
1
− 
 
2) -4 + 3 -1 
 1 -2 -1 
 
a alternativa é a C 
 
3) C 
 
4) log2 = x; log3 = y 
 
log375 = log (3 ⋅ 53) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 = 
 
 10 
 2 
log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3 
 
a alternativa correta é a d 
 
5) (log ) ⋅ (log ) ⋅ (log ) = 
 
 log2 log5 log3 
 log9 log2 log5 
 
 log2 log5 log3 log2 log5 log3 1 
 log32 log2 log5 2.log3 log2 log5 2 
 
 a alternativa correta é a e 
 
6) log = a e log = b 
 
 log log log 
log log log 2 ⋅ log 
 
a alternativa correta é a e 
x = 
= = = 
( ) ] [ 
= = = =
=
=
⋅ 
⋅ ⋅
2 
9
5 
2
3 
5
1 
log3 + 3⋅ = log3 + 3 ⋅ (log10 - log2) = 
3 
15
2 
15
2 
9
2 
15
2
15 
3 
15 
2 
15 
9 
15 
32
15 
 b 
2a 
= 
⋅ 
⋅ ⋅ 
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7) 
 
a) log2,61 → c = 0 
 
b) log0,012 → c = -2 
 
c) log0,5 → c = -1 
 
d) log20 → c = 1 
 
e) log 12 log2,4 → c = 0 
 5 
f) log2,168 → c = 0 
 
 
8) 
 
a) log13 
 mantissa: 0,1139 
 
b) log201 
 mantissa: 0,3032 
 
c) log 0,2 
 mantissa: 0,30103 
 
d) log 2,16 
 mantissa: 0,33445 
 
e) log25 
 mantissa: 0,3979 
 
 
= 
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111
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
13. Juros Compostos 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte 
maneira: 
 
C = M0 M1 = M0 + J1 M2 = M1 + J2 M3 = M2 + J3 ... 
 
 1 2 3 
 J1 = M0.i J2 = M1.i J3 = M2.i... 
 
 
Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa 
época, tem-se no montante seguinte: 
 
M0 = C 
M1 = M0 + M0 ⋅ i = M0 (1 + i) = C (1 + i) 
M2 = M1 + M1 ⋅ i = M1 (1 + i) = C (1 + i) ⋅ (1 + i) = C (1 + i)2 
M3 = M2 + M2 ⋅ i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 ⋅ (1 + i) = C (1 + i)3 
 
Podemos escrever para a época n: 
 
Montante no final de n períodos: 
M = C (1 + i)n 
 
Os juros obtidos no final de n períodos serão dados por: 
 
J = M - C 
J = C (1 + i)n - C 
J = C [(1 + i)n - 1] 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o 
montante. 
 
1º. Processo (com o uso da tabela) 
C = R$ 2.000,00 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
n = 8 meses 
M = C (1 + i)n 
M = 2.000 (1 + 
0,02)8 
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112
M = ? 
 
M = 2.000 (1,02)8 
M = 2.000 ⋅ 1,17 
M = 2.343,32 
2º. Processo: com uso de logaritmos. 
 
M = C (1 + i)n 
M = 2.000 ⋅ (1 + 0,02)8 
M = 2.000 ⋅ (1,02)8 
log M = log [2.000 ⋅ (1,02)8] 
log M = log 2.000 + log (1,02)8 
log M = log 2.000 + 8 ⋅ log 1,02 
log M = 3,3010 + 8 ⋅ 0,0086 
log M = 3,3010 + 0,0688 
log M = 3,3698 ⇒ M = 10 3,3698= 2.343,15 
 
2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para 
produzir um montante de R$ 6.000,00. 
 
Solução: com uso de logaritmos: 
n = ? 
C = R$ 3.000,00 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
M = R$ 6.000,00 
 
M = C (1 + i)n 
6.000 = 3.000 (1 + 0,03)n 
log6= log [3 ⋅ (1,03)n] 
log6 = log3 + log (1,03)n 
log6 - log3 = n ⋅ log (1,03) 
mesesn
n
5,23
0128,0
47712,077815,0
03,1log
3log6log
=
−
=
=
−
 
 
3) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante 
de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação. 
 
Solução: 
C = R$ 2.000,00 n = 3 meses M = R$ 4.500,00 i = ? 
 
M = C (1+ i)n 
 4.500 = 2.000 ⋅ (1 + i)3 
 = (1 + i)3 
 
2,25 = (1 + i)3 
3√2,25 = 3√ (1+i)3 
2,25 3
1
 = 1 + i 
1,31 = 1+i 
i = 1,31-1 
i = 0,31 a. m. 
i = 31% a. m.
4500 
2000 
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113
 2º processo : ( com o uso de logarítimos) 
M= C.(1+i)n 
4500 = 2000 (1+i)3 
log 4500 = log [ 2000. (1+i)3] 
log 4500 = log 2000 + log (1+i)3 
log 4500 – log 2000 = log (1+i)3 
 
2000
4500
 
log 2,25 = log (1 + i)3 
 2,25 = (1 + i)3 
 3√ 2,25 = 3√ (1 + i)3 
 1 + i = 2,25 0,333... 
 1 + i = 1,31 
 i = 1,31 - 1 
 i = 0,31 a.m. ou 
 i = 31% a.m. 
 
4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% 
a.a. 
 
Solução: 
J = ? 
C = R$ 6.000,00 
n = 5 meses 
i = 6%a.a.= ..005,0
12
06,0 ma= 
J = C [(1 + i)n - 1] 
J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1] 
J = 6.000 [(1,005)5 - 1] 
J = 6.000 [1,025 - 1] 
J = 6.000⋅ 0,025 
J = 151,50 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados 
anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de: 
 
2) Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso: 
a) n = 15 meses e i = 24% a.a. 
b) n = 18 meses e i = 72% a.a. 
 
3) Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso: 
a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos. 
b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses. 
 
log = log (1+i)3 
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114
4) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples. 
Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria 
recebido R$ 2.633,36 a mais. 
Quanto recebeu de juros? 
 
5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalização anual, a taxa 
de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00? 
 
6) Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso: 
a) J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m. 
b) J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m. 
 
7) Uma geladeira custa R$ 720,00 à vista e pode ser paga em duas prestações mensais iguais, sendo 
paga a primeira prestação no ato da compra. Se os juros (compostos) são de 25% a.m., o valor de 
cada prestação é de: 
 
8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de 
capitalização composta. Após um período de 5 meses, os juros dessa aplicação serão de: 
 
9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu 
montante final é: 
a) 30% superior ao capital inicial; 
b) 130% do valor do capital inicial; 
c) aproximadamente 150% do capital inicial; 
d) aproximadamente 133% do capital inicial. 
 
10) Uma televisão foi adquirida através de um plano sem entrada em três prestações mensais e 
iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da 
celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalização composta, o valor 
desse bem na data do contrato é: 
 
 
 2. Taxas equivalentes 
 
Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um 
mesmo período de tempo, produzem montantes iguais. 
 
Exemplo 
Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes 
condições: 
 
a) 1% a.m. b) 13% a.a. 
 
a) M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130 
b) M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130 
 
As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação. 
 
(1 + id)360 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1 
 
id: taxa diária de juros compostos; 
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115
iM: taxa mensal de juros compostos; 
it: taxa trimestral de juros compostos; 
is: taxa semestral de juros compostos; 
iA: taxa anual de juros compostos. 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.? 
 
(1 + iA) = (1 + is)2 
1 + 0,06 = (1 + is)2 
2)1(06,1 si+= 
1 + is = 1,0295 
is = 1,0295 - 1 
is = 0,0295 ou 
is = 2,95% a.s. 
 
 
2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.? 
 
(1 + iA) = (1 + iM)12 
1 + iA = (1 + 0,04)12 
iA = (1,04)12 - 1 
iA = 1,60103-1 
iA = 0,60103 ou 
iA = 60,10% a.a. 
 
 
3. Taxa Nominal e Efetiva 
 
3.1. Taxa Nominal 
 
É a taxa em que o período de capitalização é diferente do período a que se refere a taxa. 
 
Exemplos 
• 10% a.a. capitalizados trimestralmente; 
• 15% a.a. capitalizados mensalmente; 
 
 
3.2. Cálculo da taxa efetiva 
i: taxa efetiva no período inteiro; 
sendo iK: taxa nominal correspondente a i; 
 K: número de capitalizações no período; 
 
k
i
i k 
 
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116
Exercícios resolvidos 
 
1) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente? 
 
005,0
12
06,0
===
k
i
i k 
i = 0,5% a.m. 
 
2) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal? 
 
01,0
12
12,0
==
k
i
i k 
i = 1% a.m. 
(1 + iM)12 = (1 + iA) 
(1 + 0,01)12 = 1 + iA 
iA = (1,01)12 - 1 
iA = 1,13 - 1 
iA = 0,13 ou 
iA = 13% a.a. 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
11) Se uma caderneta de poupança, em regime de capitalização composta, apresentou um 
rendimento de 12% num mês e 15% no mês seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de: 
 
12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas: 
a) 2% a.s. b) 3% a.m. 
 
13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.? 
 
14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.? 
15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a. 
Qual aplicação renderá mais? 
 
16) Uma instituição financeira realiza um empréstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos 
de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? 
b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente? 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o 
montante de: 
a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00 e) n.r.a. 
b) R$ 10.368,00 d) R$ 10.388,00 
 
2) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% 
a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano. 
 
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117
3) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 
meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros. 
 
 
4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral, durante 2 
anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido? 
 
5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante 
1 ano e meio. Calcule os juros obtidos. 
 
6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo período. O 
montante no fim de n períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expressão: 
a) M ⋅ (1 - i)n b) M ⋅ (1 + i)n c) ni
M
)1( −
 d) ni
M
)1+
 e) n.r.a. 
7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes 
taxas de juros: 
• 2% compostos trimestralmente; 
• 2% compostos bimestralmente; 
• 2% ao mês a juros simples. 
Qual é a melhor opção? 
 
8) Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a: 
a)10% a.s. b) 5% a.t. 
 
9) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m. 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)n 
 M = ? M = 5000 (1 + 0,2)4 
 i = 20% a.m. = 0,2 a.m. M = 5000 ⋅ (1,2)4 
 n = 4 meses M = 5000 ⋅ 2,07 
 M = 10.368,00 
a alternativa correta é a b 
 
2) C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)n 
 i = 6% a.a. M = 5000 (1 + 0,06)1 
J = ? M = 5000 ⋅ 1,06 
M = ? M = 5300 
n = 1 ano J = C ⋅ [(1 + i)n - 1] 
 J = 5000 [(1 + 0,06)1 - 1] 
 J = 5000 [1,06 - 1] 
 J = 5000 ⋅ 0,06 
 J = 300,00 
 
3) C = R$ 10.000,00 M = C (1 + i)n 
 n = 3 meses 15000 = 10.000 ⋅ (1 + i)3 
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118
( )333 15,1 i+=
 M = R$ 15.000,00 log15 = log [10 ⋅ (1 + i)3] 
 i = ? log15 = log10 + log (1 + i)3 
 log15 - log10 = log (1 + i)3 
 log15 log (1 + i)3 
 10 
 log1,5 = log (1 + i)3 
 1,5 = (1 + i)3 
 
 1 + i = (1,5)0,333... 
 1 + i = 1,14i = 1,14 - 1 
 i = 0,14 
 i = 14% a.m. 
 
4) 
2
12
=i = C [(1 + i)n - 1] 
26,0
2600
=C 
n = 4 sem. 2600 = C [(1 + 0,06)4 - 1] M = J + C 
 J = R$ 2.600,00 2600 = C [(1,06)4 - 1] M = 2.600 + 10.000 
 C = ? 2600 = C [1,26 - 1] M = 12.600 
 2600 = C ⋅ 0,26 
 
 
5) C = R$ 1.000, 00 J = C [(1 + i)n - 1] 
 J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1] 
 J = 1000 [(1,02)6 - 1] 
 J = 1000 [1,13 - 1] 
 J = 1000 ⋅ 0,13 
 J = 130 
 
 
6) d 
 
7) a) i = 2% a.t. J = C [(1 + i)n - 1] 
 n = 8 trimestres J = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1] 
 C = R$ 6.000,00 J = 6000 ⋅ [(1,02)8 - 1] 
 J = ? J = 6000 ⋅ [1,17 - 1] 
 J = 6000 ⋅ 0,17 
 J = 1.020 
 
 b) i = 2% a.b. J = C ⋅ [(1 + i)n - 1] 
 n = 12 bim J = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1] 
 C = R$ 6.000,00 J = 6000 [1,27 - 1] 
 J = ? J = 6000 ⋅ 0,27 
 J = 1.620 
 c) J = C ⋅ i ⋅ n 
 J = 6000 ⋅ 0,02 ⋅ 24 
 J = 2.880,00 
= 
= 2% a.t.
= 6% a.s. 
⇒ C = 10.000 
4
8
=i
trimestren 6
3
18
==
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119
R.: A melhor opção é 2% ao mês a juros simples. 
 
8) a) (1 + is)2 = 1 + iA b) (1 + it)4 = 1 + iA 
 (1 + 0,1)2 = 1 + iA (1 + 0,05)4 = 1 + iA 
 (1,1)2 = 1 + iA (1,05)4 = 1 + iA 
 1,21 = 1 + iA 1,22 = 1 + iA 
 1,21 - 1 = iA 1,22 -1 = iA 
 i = 0,21 iA = 0,22 
 i = 21% a.a. iA = 22% a.a. 
 
9) taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a. 
 (1 + iA) = (1 + im)12 
 (1 + iA) = (1 + 0,015)12 
 (1 + iA) = (1,015)12 
 1 + iA = 1,20 
 iA = 1,20 - 1 
 iA = 0,20 
iA = 20% a.a. 
 
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14. Desconto Composto 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
A idéia de desconto em juros compostos é igual ao regime de juros simples: corresponde ao 
abatimento que uma pessoa física ou jurídica ganha ao quitar um título de crédito antes de seu 
vencimento. 
Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial. 
Como o desconto comercial composto é pouco utilizado no sistema Financeiro Brasileiro, 
ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto. 
 
 
2. Desconto Racional Composto 
 
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dívida é 
quitada antes de seu vencimento. 
 
dr = N - A 
 
Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do 
montante composto. 
 
M = C (1 + i)n 
fazendo M = N e C = A, teremos: 
nr
n
i
NAouiAN
)1(
)1(
+
=+= 
[ ]nnr
r
iN
i
NNd
ANd
−+−=
+
−=
−=
)1(1
)1(
 
Simbologia utilizada em desconto composto: 
N: Valor nominal; 
Ar: Valor atual racional; 
i; Taxa de desconto composto. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu 
vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m. 
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Solução: 
mai
mesesn
RN
A
.%5,1
2
00,200,1$
?
=
=
=
=
 
05,165.1
03,1
200.1
)015,1(
200.1
)015,01(
200.1
)1(
2
2
=⇒⇒=
+
=
+
=
AA
A
i
NA n
 
 
2) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa 
de 2% a.a. 
 
Solução: 
..%2
2
00,000.6$
aai
anosn
RN
=
=
=
 
99,232
01,767.5000.6
0404,1
000.6000.6
)02,01(
000.6000.6
)1(
2
=
−=
−=
+
−=
+
−=
r
r
r
r
nr
d
d
d
d
i
NNd
 
 
3) desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 
200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do 
pagamento? 
 
Solução: 
 
?
.%5,1
00,200$
00,200.1$
=
=
=
=
n
mai
Rd
RN
r 
mesesn
n
i
Nnd
n
n
n
n
n
n
n
nr
18,12
0065,0
0792,0
015,1log
2,1log
2,1log)015,1log(
2,1log)015,1log(
2,1)015,1(
10
12)015,1(
12)015,1.(10
)015,1(
12001000
)015,1(
12001200200
)015,01(
12001200200
)1(
===
=
−
=
=
=
−=−
−=
+
−=
+
−
 
 
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4) Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, é substituído por outro 
com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., qual é o valor nominal 
do novo título? 
 
Solução: 
 
..%2
4
00,800$
mai
mesesn
RN
=
=
=
 
..%2
2
?'
mai
mesesn
N
=
=
=
 
 
'AA = 
 
96,768'
0824,1
32,832'
8000404,1'0824,1
0404,1
'
0824,1
800
)02,1(
'
)02,1(
800
)02,01(
'
)02,1(
800
)02,01(
'
)02,01(
800
24
24
24
=⇒=
⋅=
=
=
+
=
+
=
+
NN
N
N
N
N
N
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Um título de crédito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 é quitado 2 meses antes do vencimento, a 
taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do título. 
 
2) Calcule o desconto composto de um título de crédito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses 
antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.? 
 
3) Complete o quadro abaixo. 
 
Valor nominal 
(R$) 
Taxa 
(% a.m.) 
Período 
(meses) 
desconto composto 
(R$) 
500,00 1 2 
 10 1 600,00 
400,00 3 40,00 
800,00 0,5 200,00 
 
4) Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma 
credora do título propõe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto 
composto? 
 
5) Recebi R$ 300,00 de desconto composto pela antecipação de 1 ano, de um título de crédito no 
valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto? 
 
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6) Um título de crédito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 
1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% 
a.a., capitalizados anualmente. 
 
7) Uma pessoa, jurídica que deve um título de crédito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses, 
deseja substituí-lo por outro com vencimento para 4 meses. Supondo uma taxa de desconto 
composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo título. 
 
8) Uma loja tem 2 títulos de crédito de valores nominais iguais a um de R$ 1.000,00 e R$ 1.200,00 
com vencimentos para 1 mês e 2 meses respectivamente. Sabendo que o dono da loja não possui 
dinheiro, propõe a substituição desses dois títulos por um só, dentro de 3 meses, e a taxa de 
desconto composto de 2% a.m.. Qual é o valor nominal desse novo título? 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Desejo descontar um título de crédito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. 
Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.? 
 
2) Qual será o desconto composto que um credor dá pelo débito de R$ 1.600,00 com a antecipação de 
1 ano, a taxa de 1,5% a.m.? 
 
3) valor atual de um título é de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto composto é de 2,5% a.a., com a 
antecipação de 6 meses. Qual é o valor nominal do mesmo? 
 
4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo 
de antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto? 
 
5) Um título de crédito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano será substituído por outro para 2 
anos. Calcular o valor nominal do novo título, empregando a taxa de 2% a.a. com capitalizações 
semestrais. 
 
6) Uma moto está sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestação de R$ 250,00 
para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias. Encontre o valor da moto, considerando a taxa de 
juros de 2,5% a.m. 
 
6) (Receita Federal)Um equipamento que custa, a vista R$ 1.400.000,00 está sendo vendido com 
financiamento, nas seguintes condições: entrada igual a 30% do preço a vista e o saldo em duas 
parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias 
após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela 
deverá ser de: 
 
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) N = R$ 2.000,00 
 n = 2 meses = ano 
 A = ? 
i = 10% a.a. 
 
 
2) dr = ? 
 N = R$ 1.600,00 
n = 1 ano = 12 meses 
i = 1,5% a.m. 
 
 
 
 
 
3) A = R$ 1.300,00 
 i = 2,5% a.a. 
n = 6 meses = 0,5 ano 
 N = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) N = R$ 3.000,00 
 A = R$ 2.400,00 
n = 7 meses 
i = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = ni
N
)1( +
6
1
6
1)1,01(
2000
+
=A
( ) 17,.1,1
2000
78,1969
02,1
2000
=⇒= AA
67,266
33,1331600
20,1
600.11600
)015,01(
600.1600.1
)1(
12
=
−=
−=
+
−=
+
−=
r
r
r
r
nr
d
d
d
d
i
NNd
15,1316
1300.01.11300
01,1
1300
)025,1(
1300
)1
1300
)1(
5,0
=
=
=
=
+
=
+
=
N
N
N
i
N
i
NA
n
n
..%3
03,0
103,1
03,11
25,11
25,11
25,1)1(
2400
3000)1(
3000)1(240
)1(
3000240
)1(
14,0
77 7
7
7
7
7
1
mai
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
NA n
=
=
−=
=+
=+
=+
=+
=+
=++
+
=
+
=
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5) N = R$ 1.800,00 N’ = 
n = 2 sem. n = 4 sem. 
i = 1% a.s. 
A = A’ 
 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
..%1
2
2 sai ==
29,835.1
02,1
1800.04,1'
04,1
'
02,1
1800
)01,1(
'
)1,01(
1800
)01,01()01,01(
1800
)1(
'
)1(
42
42
'
==⇒=
=
+
+
=
+
+
=
+
NN
N
N
i
N
i
N
nn
61,129.271,28590,2431600
05,1
30090,2431600
)025,1(
300
025,1
2501600
)025,01(
300
)025,01(
2501600
2
21
=⇒++=
++=
++=
+
+
+
+=
xx
x
x
x
07.2
000.200.117.1
07,2000.200.117.1
07,2000.980.14,1
07,2)07,1(.000.980
)07,1(
107,1000.980
)07,1(07,1
000.420000.400.1
)07,01()07,01(
000.420000.400.1
2
2
2
21
x
x
x
x
xx
xx
xx
=
=
=
+
=
+=−
+
+
+
+=
⇒ x = 539.710,14 
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126
 
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
15. Capitalização e Amortização 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
1. Introdução 
 
Quando queremos constituir um capital, para aquisição de um bem qualquer, devemos 
depositar periodicamente uma quantia fixa, em uma instituição financeira. Este exemplo é de 
capitalização. 
Por amortização entendemos a ação de pagar uma dívida, em épocas distintas. 
A sucessão de pagamentos para constituir um capital ou para amortizar uma divida é 
denominada de renda. 
As rendas podem ser classificadas da seguinte forma: 
 
a) quanto ao prazo: 
As rendas são denominadas temporárias quando o número de termos ou parcelas é finito e 
perpétuas quando o número de termos é infinito. 
 
b) quanto a periodicidade: 
As rendas são denominadas periódicas quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos 
consecutivos são iguais e não periódicas quando esses intervalos são diferentes. 
 
c) quanto ao valor dos termos: 
As rendas são consideradas constantes quando todos os pagamentos são iguais. Em caso 
contrário, ou seja, quando os pagamentos são diferentes entre si, são chamadas de rendas variáveis. 
 
 
2. Capitalização composta 
 
2.1. Rendas imediatas 
 
As rendas imediatas estão classificadas em antecipadas e postecipadas. 
Uma renda é imediata postecipada quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada 
período. 
 
Um fluxo de caixa seria: 
 
 
 T1 T2 T3 Tn-1 Tn 
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127
 
 
 
 0 1 2 3.........n-1 n 
 
Considere o problema abaixo: 
 
Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00. 
Determine o montante da renda, sabendo que essa instituição financeira paga juros compostos de 1% 
a.m. capitalizados mensalmente. 
 
 
Calculando o montante teremos: 
 
M = 200 + 200 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01)3 + 200 (1 + 0,01)4 
 
M = 200 + [1 + (1 + 0,01) + (1 + 0,01)2 + (1 + 0,01)3 + (1 + 0,01)4] 
 
A soma dos termos entre colchetes é uma PG onde: a1 = 1 q = (1 + 0,01) e an = (1 +0,01)4 
 
Calculando a soma teremos: 
 
[ ] 5
01,0
05,0
01,0
105,1
01,1
1)01,1(
1)01,01(
1)01,01(.1
1
)1.(
55
1
=⇒=⇒
−
=⇒
−
⇒
−+
−=
=
−
−
=
nnnnn
n
n
SSSSS
q
qaS
 
Calculando o montante: 
 
M = C ⋅ Sn 
M = 200 ⋅ 5 
M = 1.000 
 
 
2.1.1. Fórmula do montante de uma renda imediata 
 
O montante M de uma renda certa é a soma dos montantes compostos de diversos pagamentos. 
 
Mn = C + C (1 + i)1 + C (1 + i)2 + ............+ C (1+ i)n 
 
Mn = C [1 + (1+ i) 2 + (1+ i)3 + ...............+ (1 + i)n] 
 
A soma dos termos acima formam uma PG, onde: 
 
a1 = 1 e q = 1 + i e an = (1 + i)n 
 
 [ ]
i
iS
i
iS
q
qaS
n
n
n
n
n
n
1)1(
11
1)1(.1
1
)1(1
−+
=⇒
−+
−+
=
−
−
=
 
 
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128
O montante será calculado pela fórmula: 





 −+
=
i
iCM
n 1)1(. 
 
1
1)1( −+ ni fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Indicamos i 
por S 
 n i 
 
Portanto a fórmula do montante vai ficar: 
 
M = C ⋅ S 
 n i 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de 
1% a.m., quanto possuirá no final de um ano e meio? 
 
Solução: 
C = R$ 600,00 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
n = 18 meses 
Mn = C ⋅ S 
 n i 
 
Mn = 600 ⋅ S 
18 0,01 
 
Mn = 600 ⋅ 19,6147 
 
Mn = 11.768,82 
 
2) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa 
de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito forme o capital 
de R$ 2.000,00? 
 
Solução: 
C = ? 
i = 5% a.s. = 0,05 a.s. 
Mn = R$ 2.000,00 
Mn = C ⋅ S 
 n i 
 
2000 = C ⋅ S 
6 0,05 
 
2.000 = C ⋅ 6,80191 
04,294
80191,6
000.2
=⇒= CC 
 
 
 
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129
3) Calcule a taxa em que uma pessoa efetuando depósitos mensais no valor de R$ 100,00 forma o 
montante de R$ 530,91, ao fazer o quinto depósito. 
 
Solução: 
C = R$ 100,00 
Mn = R$ 530,91 
n = 5 meses 
i = ? 
Mn = C.S 
 n i 
530,91 = 100 S 
5 i 
 
S = 
100
91,530 
5 i 
 
S =5,3091 
 5 i 
 
 
 
 
Consultando a tabela financeira, para n = 5, S = 5,3091, teremos i = 3% a.m. 
 5 i 
 
4) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 150,00 devem ser colocadas a taxa de 1% a.m., a fim 
de se formar um montante de R$ 922,80? 
 
Solução: 
C = R$ 150,00 
n = ? 
i = 1% a.m. 
Mn = R$ 922,80 
Mn = C ⋅ S 
 n i 
 
922,80 = 150 ⋅ S 
 n i 
S = 
150
80,922 
 n 0,01 
 
S = 6,1520 
 n 0,01 
 
 
Consultando a tabela financeira para S = 6,1520 e i = 1% a.m. teremos: 
 n i 
 
 
6,1520 n = 6 
 
Logo serão necessárias 6 prestações mensais. 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
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130
1) Determinar o valor da prestação que deverá ser capitalizada mensalmente, a 3% a.m. para que se 
tenha, no final de 12 meses, um montante de R$ 4.000,00. 
 
2) Qual o montante de 5 aplicações mensais de R$ 800,00 cada uma, a taxa mensal de 1,5%? 
 
3) Quantos pagamentos de R$ 1.224,31 serão necessários, considerando uma taxa de 3% a.m. para 
constituir um capital de R$ 6.500,00? 
 
4) Uma pessoa que faz uma aplicação de R$ 1.000,00 em 10 meses, gera um montante de R$ 
12.578,00. Calcular a respectiva taxa mensal. 
 
 
2.2. Rendas antecipadas 
 
Denominamos de rendas antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos dos termos 
ocorrem no início de cada mês respectivo. 
No caso de capitalização antecipada começa a ocorrer, a partir do contrato, como mostra o 
fluxo de caixa abaixo; 
 
T1 T2 T3 T4 ................ Tn 
 
 0 1 2 3 .................. n-1 n 
 
Considere o problema abaixo: 
 
Uma pessoa deposita em uma caderneta de poupança R$ 200,00, no início de cada mês, durante 
5 meses. Calcule o montante da renda, sabendo que essa instituição paga juros compostos de 1% a.m., 
capitalizados mensalmente. 
 
Solução: 
 
C = R$ 200,00 
 
n = 5 meses 
 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
__ 
Mn = ? 
__ 
Mn é o montante de uma renda antecipada. 
__ 
Mn = 200 (1+ 0,01)+ 200 (1+ 0,01)2 +200(1+ 0,01)3+200(1+ 0,01)4+200(1+ 0,01)5 
 
Somando 200 a ambos os membros: 
__ 
Mn+200=200+200(1+0,01)+200(1+0,01)2+200(1+0,01)3+200(1+0,01)4+200(1+0,01)5 
 
Observando o segundo membro da igualdade, teremos o montante de uma renda imediata de n + 1 
termos: 
__ 
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131
Mn + 200 = 200 ⋅ S 
 n+1 i 
 
__ 
Mn = 200 ⋅ S - 200 
 5+1 i 
 
__ 
Mn = 200 ⋅ (S - 1) 
 5+1 i 
__ 
Mn = 200 ⋅ (S - 1) 
 5+1 0,01 
__ 
Mn = 200 ⋅ (S - 1) 
 6 0,01 
__ 
Mn = 200 ⋅ (6,15202 - 1) 
__ 
Mn = 200 ⋅ 5,15202 
__ 
Mn = 1.030,40 
 
 
 
2.2.1. Fórmula de um montante de uma renda antecipada. 
__ 
Mn = C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... + C (1 + i)n 
 
Somando C a ambos os membros: 
__ 
Mn + C = C + C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... C (1 + i) n 
__ 
Mn + C = C [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ........... + (1 + i)n] 
 
Observando o segundo membro da igualdade temos o montante de uma renda imediata de n+1 
termos. 
__ 
Mn + C = C ⋅ S 
 n+1 i 
 
 Mn = C ⋅ S - C 
 n+1 i 
__ 
Mn = C (S - 1) 
 n+1 i 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de 
1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada. 
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132
 
 
 
Solução: 
C = R$ 500,00 
n = 8 
i = 1,5% a.m. 
__ 
Mn = C ⋅ (S - 1) 
__ n+1 i 
Mn = 500 ⋅ (S - 1) 
 8+1 0,015 
 
 
__ 
Mn = 500 ⋅ (S - 1) 
 9 0,015 
__ 
Mn = 500 ⋅ (9,5593 -1) 
__ 
Mn = 500 ⋅ 8,5593 
 __ 
Mn = 4.279,65 
 
 
 
2) Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 12% a.a. para 
constituir o montante de R$ 1.500,00 no fim de 1 ano sendo os juros capitalizados bimestralmente. 
 
Solução: 
C = ? 
500.1$RM n = 
n = 1 ano = 12 meses = 6 bim. 
i = 2% ao bimestre 
nM = C.(S -1) 
 n+1 i 
 
1.500= C.(S -1) 
 6+1 0,02 
 
1.500 = C.(S -1) 
 7 0,02 
1.500 = C.(7,43428 – 1) 
1.500 = C. 6,43428 
C= 13,233
43428,6
500.1
=⇒ C 
 
 
3) Uma empresa realizou 6 depósitos trimestrais antecipados de R$ 405,74 e obteve o montante de R$ 
3.000,00. Qual foi a taxa de juro? 
 
 Solução: 
n = 6 trimestres 
C = R$ 405,74 
Mn = R$ 3.000,00 
i = ? 
Mn = C ⋅ (S -1) 
 n+1 i 
 
3.000 = 405,74 . (S - 1) 
 6+1 i 
 
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133
 3.000 = 405,74 ⋅ (S - 1) 
 7 i 
 
=
74,405
3000 S -1 
 7 i 
 
7,39 = S - 1 
 7 i 
 
 
7,39 + 1 = S 
 7 i 
8,39 = S 
 7 i 
 
 Consultando a tabela financeira para S = 8,39 e n = 7, teremos i = 6% a.t. 
 7 i 
 
4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um montante 
de R$ 3.802,13 a taxa de 1,5% a.m. capitalizados mensalmente? 
 
Solução: 
n = ? 
C = R$ 350,00 
Mn = R$ 3.802,13 
i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m. 
__ 
Mn = C ⋅ (S - 1) 
 n+1 i 
 
3.802,13 = 350 (S - 1) 
 n+1 0,015 
 
=
350
13,802.3 S 
 n+1 0,015 -1 
 
10,86 = S 
 n+1 0,015 
 
 10,86 + 1 = S 
 n+1 0,015 
 
 11,86 = S 
 n+1 0,015 
 
 
Consultando a tabela financeira para S = 11,86 e i = 1,5% a.m., teremos n = 10. 
 
n + 1 = 11 
n = 11 - 1 
n = 10 
 
 
 
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134
 
 
Exercícios de fixação 
 
5) Uma pessoa deseja capitalizar de uma forma antecipada 5 prestações mensais de R$ 250,00 a 2% 
a.m. Qual o montante ao final da aplicação? 
 
 
6) Um montante de R$ 3.200,00 foi capitalizado em 6 parcelas mensais, a taxa de 2%a.m., sendo a 
primeira capitalizada antecipadamente. Calcule o valor da prestação. 
 
 
7) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de termo R$ 250,00, cujo montante, a 
taxa de 1% a.a. é de R$ 1.288,00. 
 
 
3. Amortização composta 
 
3.1. Renda imediata 
 
Considere o problema: 
 
Uma pessoa tem uma dívida e deseja amortizar em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo 1% a.m. a 
taxa de juros. Qual é o valor da dívida amortizada? 
 
Solução: 
 
N = R$ 200,00 
 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
 
n = 4 meses 
 
O problema pede para calcular o valor atual das prestações na época zero. (no ato da compra e 
assinatura de contrato). 
 ni
NA
)1( +
= 
 
O valor atual da primeira prestação é de: 
 
A1= 02,19801,1
200
)01,01(
200
)1( 11111
=⇒=⇒
+
=⇒
+
AAA
I
N 
 
A2= 08,19602,1
200
)01,1(
200
)01,01(
200
)1( 2222222
=⇒=⇒=⇒
+
=⇒
+
AAAA
I
N 
 
A3= 17,19403.1
200
)01,1(
200
)01,01(
200
)1( 3333333
=⇒=⇒=⇒
+
=⇒
+
AAAA
I
N 
 
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135
A4= 31,19204,1
200
)01,1(
200
)01,01(
200
)1( 4444444
=⇒=⇒=⇒
+
=⇒
+
AAAA
I
N 
O valor atual de uma renda é calculado pela soma dos valores atuais dos seus termos, assim sendo 
teremos; 
 
An = A1 + A2 + A3 + A4 
An = 198,02 + 196,08 + 194,17 + 192,31 
An = 780,58 
 
 
3.1.1. Fórmula do valor atual de uma renda imediata 
 
Seja An o valor atual de uma renda e A1; A2 ...... An valores atuais dos seus termos. Calculando a soma 
teremos: 
 
An = A1 + A2 + ........... + An 






+
++
+
+
+
=
+
++
+
+
+
=
nN
nn
iii
NA
i
N
i
N
i
NA
)1(
1.....
)1(
1
)1(
1
)1(
.....
)1()1(
21
21
 
Os termos entre os colchetes formam uma PG onde: a1 = i+1
1 ; q =
i+1
1 e an = ni)1(
1
+
 
 
Calculando a soma dos termos teremos: 
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )ni1i
1ni1
nSi
i1
ni1
ni11
i1
1 nS
 
i1
i
ni1
ni11
i1
1
nS 
i1
i11
ni1
ni11
i1
1
nS 
1 
i1
1
1
1 ni1
1
i1
1
nS
1q
1nq1a
nS
+•
−+
=⇒
−
+
•








+
+−
•
+
=⇒
⇒
+
−








+
+−
•
+
=⇒
+
−−








+
+−
•
+
=⇒
−
+








−
+
•
+
=
−



 −
=
 
 
ii
i
n
n
.)1(
1)1(
+
−+ é denominado de fator de amortização e indicamos por a 
 
 
An = N ⋅ a 
 
 
 
 
 
 
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136
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcule o valor de uma dívida que pode ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 cada 
uma, sendo 1% a.m. a taxa de juros? 
 
Solução: 
N = R$ 120,00 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
n = 6 meses 
An = N . a 
 n i 
An = 120 . a 
 6 0,01 
 An = 120 ⋅ 5,79548 
 
 An = 695,46 
 
 
 
2) Qual o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações, um empréstimo de R$ 3.000,00 a 
juros de 2% a.m.? 
 
Solução: 
 
An = R$ 3.000,00 
N = ? 
i = 2% a.m. 
n = 6 meses 
a = 5,60143 
 
An = N ⋅ a 
 n i 
 
3.000 = N ⋅ a 
 6 0,02 
 
3.000 = N ⋅ 5,60143 
 
N = 58,535
60143,5
000.3
=⇒ N 
 
3) Uma moto custa a vista, R$ 12.000,00. Para compra a prazo, é dado o seguinte plano de pagamento: 
10% de entrada e o restante em 5 prestações mensais de R$ 2.494,53. Calcule a taxa de 
financiamento. 
Solução: 
An = 12.000 ⋅ 0,9 = 10.800 
N = 2.494,53 
n = 5 meses 
i = ? 
An = N ⋅ a 
 n i 
10.800 = 2.494,53 ⋅ a 
 5 i 
a = 
53,494.2
800.10 
 5 i 
a = 4,33 
 5 i 
 
Consultando a tabela financeira para a = 4,33 e n = 5, teremos i = 5% a.m. 
 5 i 
 
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137
 
 
Exercícios de fixação 
 
8) Calcule o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.200,00, nos seguintes casos: 
 
taxa de juros prazo 
a)2% a.m. 18 meses 
b) 5% a.t. 6 trimestres 
 
9) Paguei 10 prestações de R$ 150,00 num financiamento feito a base de 1% a.m. Qual o valor da 
dívida amortizada? 
 
10) Comprei uma geladeira que à vista sairia por R$ 1.200,00, pagando em 6 prestações mensais de R$ 
221,52. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? 
 
11) Calcule o número de prestações mensais de R$ 245,32 pagarei uma dívida de R$ 1.500,00, se o 
financiamento foi feito a base de 3,5% a.m.? 
 
12) Uma chácara é colocada a venda por R$ 80.000,00 a vista ou a prazo nas seguintes condições: 20% 
de entrada e o restante em 15 meses com juros de 2% a.m. Qual é o valor da prestação? 
 
 
3.2. Renda Antecipada 
 
Considere o seguinte problema: 
 
Uma pessoa deseja amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00, sendo 
1% ao mês a taxa de juros? 
 
Solução: 
 
N = R$ 150,00 
 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
 
n = 4 meses 
 
A primeira prestação vai ser paga no ato da compra, portanto seu valor é igual a 150. 
 
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138
63,145
03,1
150
)01,1(
150
)01,01(
150
)1(
06,147
02,1
150
)01,1(
150
)01,01(
150
)1(
51,148
01,1
150
)01,01(
150
)1(
51,150
01,1
150
)01,01(
150
)1(
)1(
3334
2223
112
01
1
===
+
=
+
=
===
+
=
+
=
==
+
=
+
=
==
+
=
+
=
+
=
i
NA
i
NA
i
NA
i
NA
i
NA
n
n
 
=nA é o valor atual de uma renda antecipada assim sendo: 
20,591
63,14506,14751,148150
4321
=
+++=
+++=
n
n
n
A
A
AAAAA
 
 
 
3.2.1. Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 
 
nn i
N
i
N
i
NNA
)1(
...
)1()1( 21 +
+
+
+
+
+= 
 
Subtraindo (N) a ambos os membros: 






+
++
+
+
+
=−
+
++
+
+
+
=−
+
++
+
+
+
+−=−
nn
nn
nn
iii
NNA
i
N
i
N
i
NNA
ii
N
i
NNNNA
)1(
1...
)1(
1
)1(
1
)1(
...
)1()1(
)1(
1...
)1()1(
21
21
21
 
 
 
Os termos entre colchetes formam uma PG onde: 
i
qe
i
a
i
a nn +
=
+
=
+
=
1
1
)1(
1;
)1(
1
11 
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139
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )ni1i
1ni1
nSi
i1
ni1
ni11
i1
1 nS
 
i1
i
ni1
ni11
i1
1
nS 
i1
i11
ni1
ni11
i1
1
nS 
1 
i1
1
1
1 ni1
1
i1
1
nS
1q
1nq1a
nS
+•
−+
=⇒
−
+
•








+
+−
•
+
=⇒
⇒
+
−








+
+−
•
+
=⇒
+
−−








+
+−
•
+
=⇒
−
+








−
+
•
+
=
−



 −
=
 
 
a
ii
i
n
n
=
+
−+
.)1(
1)1( 
 n i 
 
Em renda antecipada ocorre um pagamento no ato da compra e teremos n-1 prestações, a pagar: 
__ 
An - N = N ⋅ a 
 n-1 i 
__ 
an = N + N ⋅ a 
 n-i i 
 
__ 
An = N (a + 1) 
 n-1 i 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
 
1) Determine o valor atual de uma anuidade antecipada de 8 termos mensais de R$ 150,00, sendo a 
taxa de 2% ao mês. 
 
Solução: 
..%2
8
00,150$
?
mai
mesesn
RN
An
=
=
=
=
 
 
nA = N . (a + 1 ) 
 n-1 i 
nA = 150.(a +1) 
 8-1 0,02 
nA = 150.(a +1) 
 7 0,02 
nA = 150.(6,47199+1) 
nA = 150.7,47199 
nA = 1.120,80 
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140
 
 
 
2) Calcule o valor da prestação mensal antecipada para amortizar, com 5 pagamentos, realizado numa 
compra de R$ 600,00 sendo a taxa de juros de 1,5% a.m. 
 
Solução 
 
?
..%5,1
5
00,600$
=
=
=
=
N
mai
mesesn
RAn
 
nA = N .(a +1) 
 n-1 i 
600= N.(a +1) 
5-1 0,015 
600 = N. (a +1) 
4 0,015 
600 = N . (3,85438+1) 
N = 60,123
854338,4
600
=⇒ N 
 
 
 
3) Quantas prestações semestrais antecipadas de R$ 120,00 serão necessárias para amortizar uma 
dívida no valor de R$ 857,35 com taxa de 10% ao semestre? 
 
Solução: 
n = ? 
i = 10% ao semestre 
N = R$ 120,00 
35,857$RAn = 
nA = N(a +1) 
 n-1 i 
857,35=120.(a +1) 
 n-1 0,1 
=
120
35,857 a +1 
 n-1 0,1 
7,14 = a +1 
 n-1 0,1 
a = 7,14 - 1 
n-1 0,1 
a = 6,14 
n-1 0,1 
 
 
Consultando a tabela financeira a = 6,14 e i = 10% teremos n-1 = 10 
 n-1 0,1 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
13) Calcule o valor atual de uma renda antecipada de 6 parcelas iguais de R$ 200,00 sendo a taxa de juro 
de 1% a.m. 
 
14) Uma pessoa realizou um financiamento de R$ 6.000,00 feito em 8 parcelas mensais iguais com taxa 
de 2% ao mês. Calcular a parcela antecipada do financiamento. 
N=11 
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141
 
15) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 1.000,00 são necessários para se amortizar uma 
dívida de R$ 6.795,50 sendo a taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? 
 
16) Uma televisão é vendida em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00, sendo a primeira paga como 
entrada. Se a taxa de juros do financiamento é de 8% ao mês, calcule o preço a vista? 
 
 
3.3. Rendas diferidas 
 
Em rendas diferidas o primeiro pagamento ocorre após um período de carência. O número de 
períodos que antecede o primeiro vencimento é denominado de diferimento de renda. 
Consideremos uma renda imediata de n termos e que apresenta um período de carência m, 
como mostra o esquema abaixo: 
 
T1 T2 T3...............Tn 
 
 
 
0 1 2 .............m m +1 m+2.......m+n-1 m+n 
 
 
O valor atual de uma renda diferida de n termos com m períodos de carência é igual ao valor atual de 
uma renda de m+n termos menos o valor atual da renda de m termos. 
 
m/An = N ⋅ (a - a ) 
 m+n i m i 
 
Considere o problema abaixo: 
 
1) Qual o valor de uma dívida amortizada em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo a taxa de 
juros de 1% a.m., com uma carência de 2 meses? 
 
Solução: 
 
Indicamos renda diferida por m/An 
 
Solução: 
N = R$ 200,00 
n = 4 meses 
m = 2 meses 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
m/An = ? 
m/An = N ⋅ (a - a ) 
 m+n i m i 
 
m/An = 200 ⋅ (a - a ) 
 4+2 0,01 2 0,01 
 
m/An = 200 ⋅ (a - a )4+2 0,01 2 0,01 
m/An = 200 ⋅ (5,79548 - 1,97040) 
 
m/An = 200 ⋅ 3,82508 
 
 
m/An = 765,02 
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142
Exercícios resolvidos 
 
1) Calcule o valor atual de uma renda de 6 termos mensais de R$ 180,00 com 2 meses de carência, 
sendo a taxa de juro de 2% a.m. 
 
Solução: 
m/An = ? 
N = R$ 180,00 
n = 6 meses 
m = 2 meses 
i = 2% a.m. = 0,02 
a.m. 
m/An = N ⋅ (a - a ) 
 m+n i m i 
 
m/An = 180 ⋅ (a - a ) 
 6+2 0,02 2 0,02 
 
m/An = 180 ⋅ (a - a ) 
 6+2 0,02 2 0,02 
 
m/An = 180 ⋅ (7,32548 - 1,94156) 
 
m/An = 180 ⋅ 5,38 
 m/An = 969,10
 
2) Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 com 5 prestações mensais. Qual o valor 
dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a carência de 2 meses? 
 
Solução: 
m/An = R$ 3.000,00 
N = ? 
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. 
n = 5 meses 
m = 2 meses 
m/An = N ⋅ (a - a ) 
 m+n i m i 
 3.000 = N . (a - a ) 
 5+2 0,01 2 0,01 
3.000 = N ⋅ (a - a ) 
 6+2 0,02 2 0,02 
 
3.000 = N (6,72819 - 1,97040) 
 
3.000 = N . 4,75779 
⇒=
75779.4
000.3N N = 630,54 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
17) Qual o valor de uma dívida assumida por uma empresa que pagou 8 prestações mensais de R$ 
850,00, a taxa de juros de 2% ao mês, com um período de carência de 3 meses? 
 
18) Qual o valor atual de uma dívida que deve ser amortizada em 5 prestações mensais de R$ 300,00, 
sendo de 3% ao mês a taxa de juros e pagando a primeira prestação 3 meses depois de realizado o 
empréstimo? 
 
19) Uma loja em promoção anuncia: “compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui 
a 2 meses”. Se a taxa de financiamento é de 1,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma 
secadora de roupa cujo preço a vista é de R$ 1.200,00? 
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143
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Uma empresa deposita em uma caderneta de poupança R$ 50.000,00, no início de cada bimestre. 
Sendo a taxa de 18% a.a., capitalizada bimestralmente, calcular o montante no fim de 1 ano. 
 
2) Uma pessoa deseja formar um fundo de provisões de forma que, depois do 8o depósito, possua o 
montante de R$ 1.500.000,00. Quanto deve depositar no fim de cada ano, em um banco que paga 
juros compostos de 9% a.a.? 
 
3) Determine o montante de uma renda trimestral, antecipada, de R$ 120,00 a taxa de 12% ao ano, 
durante 2 anos? 
 
4) Uma aplicação mensal de R$ 100,00 em 8 meses, gera um montante de R$ 958,00. Calcular a taxa 
mensal. 
 
5) preço de uma moto à vista é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 20% de entrada e o restante é 
financiado a uma taxa de juros de 2% ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mensal. 
 
6) Um terreno é vendido com R$ 3.500,00 de entrada e o restante em 14 prestações mensais de R$ 
300,00 cada. Calcular o valor à vista desse terreno, sendo usado a taxa de 24% ao ano, capitalizada 
mensalmente. 
 
7) Calcule o valor de 6 prestações mensais na compra de um eletrodoméstico cujo preço à vista é de 
R$ 900,00, sabendo-se que o juro cobrado é de 1% ao mês e as prestações são antecipadas? 
 
8) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 150,00 são necessários para uma dívida de R$ 
1.159,23, com taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? 
 
9) Uma televisão foi comprada com R$ 600,00 de entrada e 6 prestações mensais de R$ 100,00, 
diferidas de 3 meses. Sendo os juros de 2% a.m., qual o preço a vista da televisão? 
 
10) Determinar o valor atual de uma renda mensal de 7 termos iguais a R$ 200,00 com carência de 3 
meses, sendo de 3% a.m. a taxa de juros. 
 
11) Uma agência vende um automóvel por R$ 12.000,00 e oferece dois planos de pagamentos: 
 
Plano A: 10% de entrada e 10 prestações mensais iguais a R$ 1.140,29. 
 
Plano B: 20% de entrada e 8 prestações mensais iguais de R$ 1.310,49. 
 
Qual dos dois planos tem a menor taxa de juros mensais? 
 
12) Dois automóveis iguais são vendidos por agências diferentes, de acordo com os planos abaixo: 
 
Agência 1: R$ 5.000,00 de entrada e 20 prestações mensais de R$ 400,00; 
 
Agência 2: R$ 3.000,00 de entrada e 30 prestações mensais de R$ 500,00; 
 
Se a taxa de juros mensais de mercado for de 2%, qual das agências terá o menor preço à vista? 
 
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144
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) Mn = ? Mn = C ⋅ S 
 
 C = R$ 50.000,00 Mn = 50.000 ⋅ S 
 
 ..%3
6
18 bai == Mn = 50.000 ⋅ 6,46841 
 
 n = 6 bim. Mn = 323.420,50 
 
 
 
2) C = ? Mn = C ⋅ S 
 
 M = R$ 1.500.000,00 1.500.000 = C ⋅ S 
 
 n = 8 meses 1.500.000 = C ⋅ 11,02847 
 i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 
61,011,136
02847,11
000.500.1
=⇒= CN
 
 
 __ __ 
3) Mn = ? Mn = C ⋅ (S - 1) 
 __ 
 C = R$ 120,00 Mn = 120 ⋅ (S - 1) 
 __ 
 i = 
4
12
 = 3% a.a. Mn = 120⋅ (10,15911 -1) 
 __ 
 n = 8 trimestres Mn = 120 ⋅ 9,15911 
 __ 
 Mn = 1.099,09 
 
 
 
n i 
6 0,03 
n i 
8 0,09
n+1 i 
9 0,03
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145
 __ 
4) C = R$ 100,00 Mn = C ⋅ (S - 1) 
 __ 
 Mn = R$ 958,00 958 = 100 (S - 1 ) 
 
 i = ? 958 = S -1 
 100 
 n = 8 meses 9,58 + 1 = S 
 
 S = 10,58 
 
 
Consultando a tabela financeira p/ n = 9 e S = 10,58, teremos i = 4%. 
 
 
 
5) Solução: 
 
 An = 8.000 ⋅ 0,8 = 6.400 An = N ⋅ a 
 
 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 6.400 = N ⋅ a 
 
 n = 6 meses 6.400 = N ⋅ 5,60143 
 N = ? 
60143,5
400.6
 
 
 
6) Solução: 
 
 entrada: R$ 3.500,00 An = N ⋅ a 
 
 n = 14 An = 3.500 + 300 ⋅ a 
 
 N = R$ 300,00 An = 3.500 + 300 ⋅ 12,10625 
 
 i = 
12
24
 = 2% a.m. An = 7.131,87 
n i 
6 0,02
n i 
14 0,02 
n+1 i 
9 i 
9 i 
9 i 
9 i 
9 i 
 N = ⇒ N = 1.142,56 
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146
7) Solução: 
 __ __ 
 An = R$ 900,00 An = N ⋅ (a +1) 
 
 N = ? 900 = N ⋅ (a +1) 
 
 i = 1% a.m. 900 = N ⋅ (4,85343 +1) 
 n = 6 
85343,5
900
 
 
8) n = ? 
 __ __ 
 An = R$ 1.159,23 An = N ⋅ (a + 1) 
 
 N = R$ 150,00 1.159,23 = 150 ⋅ (a +1) 
 
 i = 
12
12
 = 1% a.m. 
150
23,159.1
= a + 1 
 150 
 7,73 = a + 1 
 
 a = 7,73 - 1 
 
 a = 6,73 
 
Consultando a tabela financeira a = 6,73 e i = 1%. 
 n - 1 = 7 
 n = 8 
 
9) 600 + 100 (a - a ) = 
 
 600 + 100 (a - a ) = 
 
 600 + 100 (8,16224 - 2,8839) = 
 600 + 100 ⋅ 5,2783 = 
 600 + 527,83 = 1.127,83 
 
n-1 0,01 
6+3 0,02 3 0,02 
9 0,02 3 0,02 
n-1 i 
5 0,01
n-1 i 
n-1 0,01 
n-1 0,01 
n-1 0,01 
n-1 0,01 
n-1 0,01 
 N = ⇒ N = 153,76 
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147
 
10) m/An = N ⋅ (a - a ) = 
 
 m/An = 200 ⋅ (a - a ) = 
 
 m/An = 200⋅ (a - a ) = 
 
 m/An = 200 ⋅ (8,53020 - 2,82861) = 
 
 m/An = 200 ⋅ 5,70159 = 
 
 m/An = 1.140,32 
 
 
11) Plano A: 
 
 12.000 ⋅ 0,9 = 10.800 
 An = N ⋅ a 
 
 10.800 = 1.140,29 ⋅ a 
 
 a =
29,140.1
800.10
 
 
 a = 9,47 
 
 i = 1% 
 
 
Plano B: 
 
 12.000 ⋅ 0,8 = 9,600 
 An = N ⋅ a 
 
 9.600 = 1.310,49 ⋅ aa =
49,310.1
600.9
 
 
 a = 7,325 
 
 i = 2% 
 
R.: O plano A tem a menor taxa. 
12) 
Agência 1 
 5.000 + 400 a = 
 
 5.000 + 400 ⋅ 16,351433 = 
 5.000 + 6.540,57 = 11.540,57 
Agência 2 
3.000 + 500 a = 
 
3.000 + 500 ⋅ 22,396456 = 
3.000 + 11.198,23 = 14.198,23 
R.: Comprar o carro na agência 1 é a melhor opção. 
20 0,02 30 0,02 
m+n i m i 
7+3 0,03 3 0,03 
10 0,03 3 0,03 
n i 
10 i 
10 i 
10 i 
n i 
8 i 
8 i 
8 i 
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reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
16. Empréstimos 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
1. Introdução: 
 
Quando uma pessoa física ou jurídica realiza um empréstimo para aquisição de um bem 
qualquer é esperada a devolução do capital acrescido de juros. 
Neste capítulo estudaremos as maneiras mais comuns de pagamento de uma dívida. São os 
sistemas de amortização. 
A distinção de um sistema de amortização do outro é a maneira de pagamento das prestações 
podendo ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo composta de duas partes: juros e amortização. 
 
 
2. Planos de amortização de empréstimos. 
 
Quando quitamos um empréstimo, podemos abater no imposto de renda, os juros cobrados. 
Denominaremos a amortização (A) e o juro (J) que estão compondo a prestação (R). 
 
 
 
Antes de estudarmos os principais sistemas de amortização, vamos definir alguns termos 
importantes: 
 
a) credor é o indivíduo que concede o empréstimo; 
b) devedor ou mutuário é a pessoa que recebe o empréstimo; 
c) IOF é o imposto sobre operações financeiras; 
d) Amortização (A) é o pagamento em prestações de um capital emprestado; 
e) Juros é a remuneração do capital; 
f) Prestação (R) é a composição da amortização com juros. 
 
Os principais sistemas de amortização são: sistema francês; sistema de amortização constante; 
sistema de amortização misto. 
 
 
 
2.1. Sistema Francês 
 
No sistema francês de amortização o devedor paga, periodicamente as prestações que 
compreendem os juros e a amortização da dívida, de modo que efetuado o último pagamento, a dívida 
está quitada. 
 
R = A + J 
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149
 
T T T ...... T T 
 
 
 
0 1 2 3 ...... n-1 n 
 
A dívida será dade pela seguinte relação; 
 
D = R ⋅ a 
 n i 
 onde: 
 
D - dívida inicial 
 
R - Prestação 
 
a - fator de amortização 
 n i 
Exemplo: 
 
1) Uma pessoa adquire uma dívida no valor de R$ 4.000,00, que deverá ser amortizada, pelo método 
francês, com 5 prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação. 
 
D = R$ 4.000,00 
n = 5 
i = 10% a.a. 
 
D = R ⋅ a 
 n i 
4.000 = R ⋅ a 
 5 0,1 
4.000 = R ⋅ 3,79079 
 
 19,055.1
79079,3
000.4
=⇒= RR 
 
 
2.1.1. Montagem de uma planilha de amortização 
 
 
Período 1 
 
O valor da primeira prestação é de R$ 1.055,19 com uma taxa de juro de 10% ao ano sobre o 
valor da dívida. 
 
J1 = 10% de 4.000 ⇒ J1 = 0,1 ⋅ 4.000 ⇒ J1 = 400 
 
A primeira amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros. 
 
A1 = 1.055,19 - 400 ⇒ A1 = 655,19 
 
O saldo devedor do período 1 (D1) 
 
D1 = 4.000 - 655,19 ⇒ D1 = 3.344,81 
 
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150
Período 2 
 
Após o pagamento da 1a. prestação o saldo devedor é de R$ 3.344,81. Os juros serão de: 
 
J2 = 10% de 3.344,81 ⇒ J2 = 0,1 ⋅ 3.344,81 ⇒ J2 334,48 
 
A segunda cota de amortização será calculada pela diferença entre a prestação e os juros do 
período 2. 
 
A2 = 1.055,19 - 334,48 ⇒ A2 = 720,71 
D2 = 3.344,81 - 720,71 ⇒ D2 = 2.624,10 
 
Período 3 
 
J3 = 10% de 2.624,10 ⇒ J3 = 0,1 ⋅ 2624,10 ⇒ J3 = 262,41 
A3 = 1.055,19 - 262,41 ⇒ A3 = 792,78 
D3 = 2.624,10 - 792,78 ⇒ D3 = 1.831,32 
 
Período 4 
 
J4 = 10% de 1.831,32 ⇒ J4 = 0,1 ⋅ 1.831,32 ⇒ J4 = 183,13 
A4 = 1,055,19 - 183,13 ⇒ A4 = 872,06 
D4 = 1.831,32 - 872,06 ⇒ D4 = 959,26 
 
Período 5 
 
J5 = 10% de 959,26 ⇒ J5 = 0,1 ⋅ 959,26 ⇒ J5 = 95,93 
A5 = 1.055,19 - 95,93 ⇒ A5 = 956,26 
D5 = 959,26 - 959,26 ⇒ D5 = 0 
 
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn) 
0 4.000 
1 1.055,19 400 655,19 3.344,81 
2 1.055,19 334,48 720,71 2.624,10 
3 1.055,19 262,41 792,78 1.831,32 
4 1.055,19 183,13 872,06 959,26 
5 1.055,19 95,93 959,26 __ 
 
 
 
2.1.2. Tabela Price 
 
O sistema Price de amortização é um caso particular do sistema de amortização francês e 
apresenta as seguintes características: 
 
a) os pagamentos das prestações são mensais; 
b) a taxa de juros compostos é anual; 
c) no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período considerado. 
 
 
 
 
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151
Representação gráfica: 
 
 
Prestação 
 
 
 
 
Juros 
 
 
 1º 2º 3º 4º 
 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga, pelo sistema francês, mediante 6 prestações, a taxa de 
juros de 3%. Calcular o valor da prestação. 
 
 
2) Um financiamento de R$ 12.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (tabela Price) e a liquidação em 5 
meses. Construa a planilha de amortização. 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$ 4.000,00 sabendo que a taxa de juros cobrada pela 
instituição é de 12% ao ano e que a dívida deve ser quitada em 5 meses. Calcule o valor das 
prestações pelo sistema Price. 
 
 
2) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de 
12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização. 
 
 
 
2.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas, 
englobando juros e amortização. 
A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos. 
A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em 
que deve ser quitado o financiamento. 
 
Exemplo: 
 
1) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a taxa 
de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização. 
 
Amortização
Período 
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152
Solução: 
D = R$ 6.000,00 
n = 4 
i = 3% ao ano 
 
Calculando o valor da amortização. 
⇒=⇒=
4
000.6A
n
DA 
 
Período 1 
J1 = D ⋅ i ⇒ J1 = 6.000 ⋅ 0,03 ⇒ J1 = 180 
R1 = J1 + A ⇒ R1 = 180 + 1.500 ⇒ R1 = 1.680 
D1 = D - A ⇒ D1 = 6.000 - 1.500 ⇒ D1 = 4.500 
 
Período 2 
J2 = D1 ⋅ i ⇒ J2 = 4.500 ⋅ 0,03 ⇒ J2 = 135 
R2 = J2 + A ⇒ R2 = 135 + 1.500 ⇒ R2 = 1.635 
D2 = D1 - A ⇒ D2 = 4.500 - 1.500 ⇒ D2 = 3.000 
 
Período 3 
J3 = D2 ⋅ i ⇒ J3 = 3.000 ⋅ 0,03 ⇒ J3 = 90 
R3 = J3 + A ⇒ R3 = 90 + 1.500 ⇒ R3 = 1.590 
D3 = D2 - A ⇒ D3 = 3.000 - 1.500 ⇒ D3 = 1.500 
 
Período 4 
J4 = D3 ⋅ i ⇒ J4 = 1.500 ⋅ 0,03 ⇒ J4 = 45 
R4 = J4 + A ⇒ R4 = 45 + 1.500 ⇒ R4 = 1.545 
D4 = D3 - A ⇒ D4 = 1.500 - 1.500 ⇒ D4 = 0 
 
 
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn) 
0 6.000 
1 1.680 180 1.500 4.500 
2 1.635 135 1.500 3.000 
3 1.590 90 1.500 1.500 
4 1.545 45 1.500 --- 
 
 
Baseado no exemplo acima podemos fazer a representação gráfica. 
 
 
Prestação 
 
 
 
Juro 
 
 Amortização 
 
 1º 2º 3º 4º nº 
 
A= 1.500 
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153
Pelo gráfico observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são 
decrescente, e os juros decrescem em função do saldo devedor. 
 
 
2.2.1. Cálculo do saldo devedor 
 
O saldo devedor do período será calculado pelo saldo devedor do período anterior menos a 
amortização. 
 
Dn = Dn-1 - A 
 
Logo para: 
n = 1 ⇒ D1 = D - A 
n = 2 ⇒ D2 = D1 - A ⇒ D2 = D - A - A ⇒ D2 = D - 2A 
n = 3 ⇒ D3 = D2 - A ⇒ D3 = D - 2A - A ⇒ D3 = D - 2A - A ⇒ D3 = D - 3A 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
1) Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 6.000,00 em um banco através do SAC em 10 prestações 
anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a sexta prestação. 
 
Solução: 
 
D = R$ 6.000,00 
n = 10 
i = 15% ao ano ⇒ i = 0,15 a.a. 
 
600
10
000.6
=⇒=⇒= AA
N
DA 
 
SDk = D - K ⋅ A 
SD6 = 6.000 - 6.600 
SD6 = 6.000 - 3.600 
SD6 = 2.400 
 
 
Exercícios de fixação 
 
3) Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de R$ 
10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais. 
 
4) Um financiamento de R$ 5.000,00 é amortizado pelo sistema de amortização constante em 8 
prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Calcule: 
a) a cota de amortização; 
b) a primeira parcela de juros; 
c) a primeira prestação; 
d) saldo devedor após o pagamento da 4a prestação. 
 
 
SDK = D - K ⋅ A 
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154
Exercícios propostos 
 
3) Na compra de uma casa, uma pessoa faz um empréstimo de R$ 60.000,00, a financeira utiliza a taxa 
de juros compostos de 3% a.m. Essa importância será amortizada através do sistema de 
amortização constante (SAC), em 6 prestações mensais. Construa a planilha de amortização. 
 
4) Um financiamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 8 prestações mensais e consecutivas, 
vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja 
feito pelo SAC a uma taxa mensal de 2% a.m. Pede-se: 
a) a cota de amortização; 
b) juro pago na primeira prestação; 
c) valor da primeira prestação; 
d) o saldo devedor após o pagamento da 6a prestação. 
 
 
2.3. Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 
O sistema de amortização misto é um sistema moderno, pois seus cálculos são feitos pela média 
aritmética do sistema francês e do sistema de amortização constante. 
 
Exemplo: 
 
1) João fez um empréstimo de R$ 5.000,00, em um banco pelo SAM em 4 prestações anuais, a taxa de 
10% ao ano. Construa a planilha para as seguintes situações: 
a) sistema francês; 
b) sistema de amortização constante; 
c) sistema de amortização misto. 
 
Solução: 
 
a) Sistema francês 
• as prestações são iguais e calculadas pela seguinte relação: R = 
a
D 
 n i 
• o juro é calculado sobre o saldo devedor anterior; 
• a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período 
correspondente. 
 
 
• o saldo devedor do período é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior e a 
amortização do período. 
 
Dados: 
D = R$ 5.000,00 
n = 4 
i = 10% ao ano = 0,1 ao ano 
⇒=⇒=
a
R
a
DR 000.5 
 n i 4 0,01 
35,577.1
16987,3
000.5
=⇒= RR 
 
 
 
A = R - J 
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155
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 5.000 
1 1.577,35 500 1.077,35 3.922,65 
2 1.577,35 392,27 1.185,08 2.737,57 
3 1.577,35 273,76 1.303,98 1.433,98 
4 1.577,38 143,40 1.433,98 --- 
 
b) Sistema de amortização constante 
 
• neste sistema as amortizações serão calculadas pelo quociente da dívida inicial pelo número de 
períodos. 
 
n
DA = 
• os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior. 
• a prestação (R) será dada pela expressão: 
 
• o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior 
(SDn-1) e a amortização do período (A). 
 
SDn = SDn-1 – A 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 5.000 
1 1.750 500 1.250 3.750 
2 1.650 375 1.250 2.500 
3 1.500 250 1.250 1.250 
4 1.350 125 1.250 --- 
 
c) Sistema de amortização mista 
 
• as amortizações serão obtidas pela média aritmética entre as amortizações do sistema francês e as do 
sistema de amortização constante; 
• os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior. 
• a prestação (R) será dada pela expressão: R = A + J 
• o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior 
(SDn-1) e a amortização (A). 
 
SDn = SDn-1 – A 
 
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn) 
0 5.000 
1 1.663,68 500 1.163,68 3.836,32 
2 1.601,17 383,63 1.217,54 2.618,78 
3 1.538,68 261,87 1.276,79 1.341,99 
4 1.476,19 134,20 1.341,99 --- 
 
 
R = A + J
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156
Exercícios de fixação 
 
5) Um financiamento de R$ 15.000,000 deve ser pago em 4 amortizações constantes mensais sem 
carência. A taxa de juros é de 2% a.m. Construa a planilha de financiamento. 
 
Exercício proposto 
 
5) Um equipamento foi adquirido por R$ 12.000,00 e será pago em 6 prestações mensais, a taxa 
de 2% a.m. Construa a planilha do SAM. 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) 
D = R ⋅ a 
 
 4.000 = R ⋅ 4,85343 
 
85343,4
000.4
 
 
2) 
 D = R$ 6.000,00 D = R ⋅ a 
 
12
12
 6.000 = R ⋅ a 
 n = 6 
 6.000 = R ⋅ 5,79548 
 
79548.5
000.6
 
 
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn) 
0 6.000 
1 1.035,29 60 975,29 5.024,71 
2 1.035,29 50,25 985,04 4.039,67 
3 1.035,29 40,40 994,89 3.044,78 
4 1.035,29 30,45 1.004,84 2.039,94 
5 1.035,29 20,40 1.014,89 1.025,05 
6 1.035,30 10,25 1.025,05 – 
 
 
5 0,01 
 ⇒ R = 824,16 R = 
n i
6 0,01 
= 1% a.m. i = 
⇒ R = 1.035,29 R = 
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157
 
3) Solução 
D = R$ 60.000,00 
i = 3% a.m. ⇒ i = 0,03 a.m. 
6
000.60
=
n
D
 
n = 6 
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn) 
0 60.000 
1 11.800 1.800 10.000 50.000 
2 11.500 1.500 10.000 40.000 
3 11.200 1.200 10.000 30.000 
4 10.900 900 10.000 20.000 
5 10.600 600 10.000 10.000 
6 10.300 300 10.000 __ 
 
4) D = R$ 4.000,00 
 
n = 8 
 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
K = 6 
A = ? 
 
a) 500
8
000.4
===
n
DA 
b) J1 = i ⋅ D ⇒ J1 = 0,02 ⋅ 4.000 ⇒ J1 = 80 
c) R1 = J1 + A ⇒ R1 = 80 + 500 ⇒ R1 = 580 
d) SDK = D - K ⋅ A 
 SD6 = 4.000 - 6. 500 
 SD6 = 4.000 - 3.000 
 SD6 = 1.000 
 
5) 
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 12.000 
1 2.191,16 240 1.951,16 10.048,84 
2 2.171,16 200,98 1.970,18 8.078,66 
3 2.151,15 161,57 1.989,58 6.089,08 
4 2.131,16 121,78 2.009,38 4.079,70 
5 2.111,16 81,59 2.029,57 2.050,13 
6 2.091,13 41 2.050,13 - 
 
 = 10.000 A = 
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reproduzida sem a autorização da Editora. 
Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
Tábuas e Tabelas 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS 
 
 
Meses 
Dias Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. 
01 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
02 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
03 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
04 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
05 5 36 64 95 125 156 186 217248 278 309 339 
 
06 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
07 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
08 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
09 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
 
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
 
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
 
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
 
31 31 90 151 212 243 304 365 
 
NOTA: 
Se o ano for bissexto aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de fevereiro esteja incluído na contagem. 
 
 
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159
 
TÁBUA DE LOGARITMOS 
 
 
 n log n Log n log n log n log 
 0 50 698970 100 000000 150 176091 200 301030 
 1 000000 51 707570 101 004321 151 178977 201 303196 
 2 301030 52 716003 102 008600 152 181844 202 305351 
 3 477121 53 724276 103 012837 153 184691 203 307496 
 4 602060 54 732394 104 017033 154 187521 204 309630 
 5 698970 55 740363 105 021189 155 190332 205 311754 
 6 778151 56 748188 106 025306 156 193125 206 313867 
 7 845098 57 755875 107 029384 157 195900 207 315970 
 8 903090 58 763428 108 033424 158 198657 208 318063 
 9 954243 59 770852 109 037426 159 202397 209 320146 
10 000000 60 778151 110 041393 160 204120 210 322219 
11 041393 61 785330 111 044323 161 206826 211 324282 
12 079181 62 792392 112 049218 162 209515 212 326336 
13 113943 63 799341 113 053078 163 212188 213 328380 
14 146128 64 806180 114 056905 164 214844 214 330414 
15 176091 65 812913 115 060698 165 217474 215 332438 
16 204120 66 819544 116 064458 166 220108 216 334454 
17 230449 67 826075 117 068186 167 222716 217 336460 
18 255273 68 822509 118 071882 168 225309 218 338456 
19 278754 69 838849 119 075547 169 227887 219 340444 
20 301030 70 845098 120 079181 170 230449 220 342423 
21 322219 71 851258 121 082785 171 232996 221 344392 
22 342423 72 857332 122 086360 172 235528 222 346353 
23 361728 73 863323 123 089905 173 238046 223 348305 
24 380211 74 869232 124 093422 174 240549 224 350248 
25 397940 75 875061 125 096910 175 243038 225 352183 
26 414973 76 880814 126 100371 176 245513 226 354108 
27 431364 77 886491 127 103804 177 247973 227 356026 
28 447158 78 892095 128 107210 178 250420 228 357935 
29 462398 79 897627 129 110590 179 252853 229 359835 
30 477121 80 903090 130 113943 180 255273 230 361728 
31 491362 81 908485 131 117271 181 257579 231 363612 
32 505150 82 913814 132 120574 182 260071 232 365488 
33 518514 83 919078 133 123852 183 262451 233 367356 
34 531479 84 924279 134 127105 184 254818 234 369216 
35 544068 85 929419 135 130334 185 267172 235 371068 
36 556303 86 934498 136 133539 186 269513 236 372912 
37 568202 87 939519 137 135721 187 271842 237 374748 
38 579784 88 944483 138 139879 188 274158 238 376577 
39 591065 89 949390 139 143015 189 276462 239 378398 
40 602060 90 954243 140 146128 190 278754 240 380211 
41 612784 91 959041 141 149219 191 281033 241 382017 
42 623249 92 963788 142 152288 192 283301 242 383815 
43 633468 93 968483 143 155336 193 285557 243 385606 
44 643453 94 973128 144 158362 194 287802 244 387390 
45 653213 95 977724 145 161368 195 290035 245 389166 
46 662758 96 982271 146 164353 196 292256 246 390935 
47 672098 97 986772 147 167317 197 294466 247 392697 
48 681241 98 991226 148 170262 198 296665 248 394452 
49 690196 99 995635 149 173186 199 298853 249 396199 
50 698970 100 000000 150 176091 200 301030 250 397940 
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160
 
 
 n log n Log n log n log n log 
250 397940 300 477121 350 544068 400 602060 450 653213 
251 399674 301 478566 351 545307 401 603144 451 645177 
252 401401 302 480007 352 546543 402 604226 452 655138 
253 403121 303 381443 353 547775 403 605305 453 656098 
254 404834 304 482874 354 549003 404 606381 454 657056 
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790 897627 840 924279 890 949390 940 973128 990 995635 
791 898176 841 924796 891 949878 941 973590 991 996074 
792 898725 842 925312 892 950365 942 974051 992 996512 
793 899273 843 925828 893 950851 943 974512 993 996949 
794 899821 844 926342 894 951338 944 974972 994 997386 
795 900367 845 926857 895 951823 945 975432 995 997823 
796 900913 846 927370 896 952308 946 975891 996 998259 
797 901458 847 927883 897 952792 947 976350 997 998695 
798 902003 848 928396 898 953276 948 976808 998 999131 
799 902547 849 928908 899 953760 949 977266 999 999565 
800 903090 850 929419 900 954243 950 977724 1000 000000 
 
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Título: Matemática Financeira e Comercial 
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
Editora: CopyMarket.com, 2000 
 
 
Tábuas e Tabelas 
Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
 
TÁBUA FINANCEIRA 
 
 
 
 r = 0,5% r = 1% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n A 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,00500 0,99502 0,99502 1,00000 1 1,01000 0,99010 0,99010 1,00000 
 2 1,01002 0,99007 1,98510 2,00500 2 1,02010 0,98030 1,97040 2,01000 
 3 1,01508 0,98515 2,97025 3,01502 3 1,03030 0,97059 2,94099 3,03010 
 4 1,02015 0,98025 3,95050 4,03010 4 1,04060 0,96098 3,90197 4,06040 
 5 1,02525 0,97537 4,92587 5,05025 5 1,05101 0,95147 4,85343 5,10101 
 
 6 1,03038 0,97052 5,89638 6,07550 6 1,06152 0,94205 5,79548 6,15202 
 7 1,03553 0,96569 6,86207 7,10588 7 1,07214 0,93272 6,72819 7,21354 
 8 1,04071 0,96089 7,82296 8,14141 8 1,08286 0,92348 7,65168 8,28567 
 9 1,04591 0,95610 8,77906 9,18212 9 1,09369 0,91434 8,56602 9,36853 
10 1,05114 0,95135 9,73041 10,22803 10 1,10462 0,90529 9,47130 10,46221 
 
11 1,05640 0,94661 10,67703 11,27917 11 1,11567 0,89632 10,36763 11,56683 
12 1,06168 0,94191 11,61893 12,33556 12 1,12683 0,88745 11,25508 12,68250 
13 1,06699 0,93722 12,55615 13,39724 13 1,13809 0,87866 12,13374 13,80933 
14 1,07232 0,93256 13,48871 14,46423 14 1,14947 0,86996 13,00370 14,94742 
15 1,07768 0,92792 14,41662 15,53655 15 1,16097 0,86135 13,86505 16,09690 
 
16 1,08307 0,92330 15,33993 16,61423 16 1,17258 0,85282 14,71787 17,25786 
17 1,08849 0,91871 16,25863 17,69730 17 1,18430 0,84438 15,56225 18,43044 
18 1,09393 0,91414 17,17277 18,78579 18 1,19615 0,83602 16,39827 19,61475 
19 1,09940 0,90959 18,08236 19,87972 19 1,20811 0,82774 17,22601 20,81090 
20 1,10490 0,90506 18,98742 20,97912 20 1,22019 0,81954 18,04555 22,01900 
 
21 1,11042 0,90056 19,88798 22,08401 21 1,23239 0,81143 18,85698 23,23919 
22 1,11597 0,89608 20,78406 23,19443 22 1,24472 0,80340 19,66038 24,47159 
23 1,12155 0,89162 21,67568 24,31040 23 1,25716 0,79544 20,45582 25,71630 
24 1,127160,88719 22,56287 25,43196 24 1,26973 0,78757 21,24339 26,97346 
25 1,13280 0,88277 23,44564 26,55912 25 1,28243 0,77977 22,02316 28,24320 
 
26 1,13846 0,87838 24,32402 27,69191 26 1,29526 0,77205 22,79520 29,52563 
27 1,14415 0,87401 25,19803 28,83037 27 1,30821 0,76440 23,55961 30,82089 
28 1,14987 0,86966 26,06769 29,97452 28 1,32129 0,75684 24,31644 32,12910 
29 1,15562 0,86533 26,93302 31,12439 29 1,33450 0,74934 25,06579 33,45039 
30 1,16140 0,86103 27,79405 32,28002 30 1,34785 0,74192 25,80771 34,78489 
n i n i n i n i 
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r = 1,5% r = 2% 
n (1 + i)n (1 + i)-n A 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,01500 0,98522 0,98522 1,00000 1 1,02000 0,98039 0,98039 1,00000 
 2 1,03022 0,97066 1,95588 2,01500 2 1,04040 0,96117 1,94156 2,02000 
 3 1,04568 0,95632 2,91220 3,04522 3 1,06121 0,94232 2,88388 3,06040 
 4 1,06136 0,94218 3,85438 4,09090 4 1,08243 0,92385 3,80773 4,12161 
 5 1,07728 0,92826 4,78264 5,15227 5 1,10408 0,90573 4,71346 5,20404 
 
 6 1,09344 0,91454 5,69719 6,22955 6 1,12616 0,88797 5,60143 6,30812 
 7 1,10984 0,90103 6,59821 7,32299 7 1,14869 0,87056 6,47199 7,43428 
 8 1,12649 0,88771 7,48593 8,43284 8 1,17166 0,85349 7,32548 8,58297 
 9 1,14339 0,87459 8,36052 9,55933 9 1,19509 0,83676 8,16224 9,75463 
10 1,16054 0,86167 9,22218 10,70272 10 1,21899 0,82035 8,98259 10,94972 
 
11 1,17795 0,84893 10,07112 11,86326 11 1,24337 0,80426 9,78685 12,16872 
12 1,19562 0,83639 10,90751 13,40121 12 1,26824 0,78849 10,57534 13,41209 
13 1,21355 0,82403 11,73153 14,23683 13 1,29361 0,77303 11,34837 14,68033 
14 1,23176 0,81185 12,54338 15,45038 14 1,31948 0,75788 12,10625 15,97394 
15 1,25023 0,79985 13,34323 16,68214 15 1,34587 0,74301 12,84926 17,29342 
 
16 1,26899 0,78803 14,13126 17,93237 16 1,37279 0,72845 13,57771 18,63929 
17 1,28802 0,77639 14,90765 19,20136 17 1,40024 0,71416 14,29187 20,01207 
18 1,30734 0,76491 15,67256 20,48938 18 1,42825 0,70016 14,99203 21,41231 
19 1,32695 0,75361 16,42617 21,79672 19 1,45681 0,68643 15,67846 22,84056 
20 1,34686 0,74247 17,16864 23,12367 20 1,48595 0,67297 16,35143 24,29737 
 
21 1,36706 0,73150 17,90014 24,47052 21 1,51567 0,65978 17,01121 25,78332 
22 1,38756 0,72069 18,62082 25,83758 22 1,54598 0,64684 17,65805 27,29898 
23 1,40838 0,71004 19,33086 27,22514 23 1,57690 0,63416 18,29220 28,84496 
24 1,42950 0,69954 20,03041 28,63352 24 1,60844 0,62172 18,91393 30,42186 
25 1,45095 0,68921 20,71961 30,06302 25 1,64061 0,60953 19,52346 32,03030 
 
26 1,47271 0,67902 21,39863 31,51397 26 1,67342 0,59758 20,12104 33,67091 
27 1,49480 0,66899 22,06762 32,98668 27 1,70689 0,58586 20,70690 35,34432 
28 1,51722 0,65910 22,72672 34,48148 28 1,74102 0,57437 21,28127 37,05121 
29 1,53998 0,64936 23,37608 35,99870 29 1,77584 0,56311 21,84438 38,79223 
30 1,56308 0,63976 24,01584 37,53868 30 1,81136 0,55207 22,39646 40,56808 
n i n i n i n i 
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r = 2,5% r = 3% 
n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,02500 0,97561 0,97561 1,00000 1 1,03000 0,97087 0,97087 1,00000 
 2 1,05062 0,95181 1,92742 2,02500 2 1,06090 0,94260 1,91347 2,03000 
 3 1,07689 0,92860 2,85602 3,07562 3 1,09273 0,91514 2,82861 3,09090 
 4 1,10381 0,90595 3,76197 4,15252 4 1,12551 0,88849 3,71710 4,18363 
 5 1,13141 0,88385 4,64583 5,25633 5 1,15927 0,86261 4,57971 5,30914 
 
 6 1,15969 0,86230 5,50813 6,38774 6 1,19405 0,83748 5,41719 6,46841 
 7 1,18869 0,84127 6,34939 7,54743 7 1,22987 0,81309 6,23028 7,66246 
 8 1,21840 0,82075 7,17014 8,73612 8 1,26677 0,78941 7,01969 8,89234 
 9 1,24886 0,80073 7,97087 9,95452 9 1,30477 0,76642 7,78611 10,15911 
10 1,28008 0,78120 8,75206 11,20338 10 1,34392 0,74409 8,53020 11,46388 
 
11 1,31209 0,76214 9,51421 12,48347 11 1,38423 0,72242 9,25262 12,80780 
12 1,34489 0,74356 10,25776 13,79555 12 1,42576 0,70138 9,95400 14,19203 
13 1,37851 0,72542 10,98318 15,14044 13 1,46853 0,68095 10,63496 15,61779 
14 1,41297 0,70773 11,69091 16,51895 14 1,51259 0,66112 11,29607 17,08632 
15 1,44830 0,69047 12,38138 17,93193 15 1,55797 0,64186 11,93794 18,59891 
 
16 1,48451 0,67362 13,05500 19,38022 16 1,60471 0,62317 12,56110 20,15688 
17 1,52162 0.65720 13,71220 20,86473 17 1,65285 0,60502 13,16612 21,76159 
18 1,55966 0,64117 14,35336 22,38635 18 1,70243 0,58739 13,75351 23,41444 
19 1,59865 0,62553 14,97889 23,94601 19 1,75351 0,57029 14,32380 25,11687 
20 1,63862 0,61027 15,58916 25,54466 20 1,80611 0,55368 14,87747 26,87037 
 
21 1,67958 0,59539 16,18455 27,18327 21 1,86029 0,53755 15,41502 28,67649 
22 1,72157 0,58086 16,76541 28,86286 22 1,91610 0,52189 15,93692 30,53678 
23 1,76461 0,56670 17,33211 30,58443 23 1,97359 0,50669 16,44361 32,45288 
24 1,80873 0,55288 17,88499 32,34904 24 2,03279 0,49193 16,93554 34,42647 
25 1,85394 0,53939 18,42438 34,15776 25 2,09378 0,47761 17,41315 36,45926 
 
26 1,90029 0,52623 18,95061 36,01171 26 2,15659 0,46369 17,87684 38,55304 
27 1,94780 0,51340 19,46401 37,91200 27 2,22129 0,45019 18,32703 40,70963 
28 1,99650 0,50088 19,96489 39,85980 28 2,28793 0,43708 18,76411 42,93092 
29 2,04641 0,48866 20,45355 41,85630 29 2,35657 0,42435 19,18845 45,21885 
30 2,09757 0,47674 20,93029 43,90270 30 2,42726 0,41199 19,60044 47,57542 
n i n i n i n i 
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166
 
 
 
 
 
 
r = 3,5% r = 4% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,03500 0,96618 0,96618 1,00000 1 1,04000 0,96154 0,96154 1,00000 
 2 1,07122 0,93351 1,89969 2,03500 2 1,08160 0,92456 1,88609 2,04000 
 3 1,10872 0,90194 2,80164 3,10622 3 1,12486 0,88900 2,77509 3,12160 
 4 1,14752 0,87144 3,67308 4,21494 4 1,16986 0,85480 3,62990 4,24646 
 5 1,18769 0,84197 4,51505 5,36247 5 1,21665 0,82193 4,45182 5,41632 
 
 6 1,22926 0,81350 5,32855 6,55015 6 1,26532 0,79031 5,24214 6,63298 
 7 1,27228 0,78599 6,11454 7,77941 7 1,31593 0,75992 6,00205 7,89829 
 8 1,31681 0,75941 6,87396 9,05169 8 1,36857 0,73069 6,73274 9,21423 
 9 1,36290 0,73373 7,60769 10,36850 9 1,42331 0,70259 7,43533 10,58280 
10 1,41060 0,70892 8,31661 11,73139 10 1,48024 0,67556 8,11090 12,00611 
 
11 1,45997 0,68495 9,00155 13,14199 11 1,53945 0,64958 8,76048 13,48635 
12 1,51107 0,66178 9,66333 14,60196 12 1,60103 0,62460 9,38507 15,02581 
13 1,56396 0,63940 10,30274 16,11303 13 1,66507 0,60057 9,98565 16,62684 
14 1,61869 0,61778 10,92052 17,67699 14 1,73168 0,57748 10,56312 18,29191 
15 1,67535 0,59689 11,51741 19,29568 15 1,80094 0,55526 11,11839 20,02359 
 
16 1,73399 0,57671 12,09412 20,97103 16 1,87298 0,53391 11,65230 21,82453 
17 1,79468 0,55720 12,65132 22,70502 17 1,94790 0,51337 12,16567 23,69751 
18 1,85749 0,53836 13,18968 24,49969 18 2,02582 0,49363 12,65930 25,64541 
19 1,92250 0,52016 13,70984 26,35718 19 2,10685 0,47464 13,13394 27,67123 
20 1,98979 0,50257 14,21240 28,27968 20 2,19112 0,45639 13,59033 29,77808 
 
21 2,05943 0,48557 14,69797 30,26947 21 2,27877 0,43883 14,02916 31,96920 
22 2,13151 0,46915 15,16712 32,32890 22 2,36992 0,42196 14,45112 34,24797 
23 2,20611 0,45329 15,62041 34,46041 23 2,46472 0,40573 14,85684 36,61789 
24 2,28333 0,4379616,05837 36,66653 24 2,56330 0,39012 15,24696 39,08260 
25 2,36324 0,42315 16,48151 38,94986 25 2,66584 0,37512 15,62208 41,64591 
 
26 2,44596 0,40884 16,89035 41,31310 26 2,77247 0,36069 15,98277 44,31174 
27 2,53157 0,39501 17,28536 43,75906 27 2,88337 0,34682 16,32959 47,08421 
28 2,62017 0,38165 17,66702 46,29063 28 2,99870 0,33348 16,66306 49,96758 
29 2,71188 0,36875 18,03577 48,91080 29 3,11865 0,32065 16,98371 52,96629 
30 2,80679 0,35628 18,39205 51,62268 30 3,24340 0,30832 17,29203 56,08494 
n i n i n i n i 
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167
 
 
 
 
 
 
r = 4,5% r = 5% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,04500 0,95694 0,95694 1,00000 1 1,05000 0,95238 0,95238 1,00000 
 2 1,09202 0,91573 1,87267 2,04500 2 1,10250 0,90703 1,85941 2,05000 
 3 1,14117 0,87630 2,74896 3,13702 3 1,15762 0,86384 2,72325 3,15250 
 4 1,19252 0,83856 3,58753 4,27819 4 1,21551 0,82270 3,54595 4,31012 
 5 1,24618 0,80245 4,38998 5,47071 5 1,27628 0,78353 4,32948 5,52563 
 
 6 1,30226 0,76790 5,15787 6,71689 6 1,34010 0,74622 5,07569 6,80191 
 7 1,36086 0,73483 5,89270 8,01915 7 1,40710 0,71068 5,78637 8,14201 
 8 1,42210 0,70319 6,59589 9,38001 8 1,47746 0,67684 6,46321 9,54911 
 9 1,48610 0,67290 7,26879 10,80211 9 1,55133 0,64461 7,10782 11,02656 
10 1,55297 0,64393 7,91272 12,28821 10 1,62889 0,61391 7,72173 12,57789 
 
11 1,62285 0,61620 8,52892 13,84118 11 1,71034 0,58468 8,30641 14,20679 
12 1,69588 0,58966 9,11858 15,46403 12 1,79586 0,55684 8,86325 15,91713 
13 1,77220 0,56427 9,68285 17,15991 13 1,88565 0,53032 9,39357 17,71298 
14 1,85194 0,53997 10,22283 18,93211 14 1,97993 0,50507 9,89864 19,59863 
15 1,93528 0,51672 10,73955 20,78405 15 2,07893 0,48102 10,37966 21,57856 
 
16 2,02237 0,49447 11,23402 22,71934 16 2,18287 0,45811 10,83777 23,65749 
17 2,11338 0,47318 11,70719 24,74171 17 2,29202 0,43630 11,27407 25,84037 
18 2,20848 0,45280 12,15999 26,85508 18 2,40662 0,41552 11,68959 28,13238 
19 2,30786 0,43330 12,59329 29,06356 19 2,52695 0,39573 12,08532 30,53900 
20 2,41171 0,41464 13,00794 31,37142 20 2,65330 0,37689 12,46221 33,06595 
 
21 2,52024 0,39679 13,40472 33,78314 21 2,78596 0,35894 12,82115 35,71925 
22 2,63365 0,37970 13,78442 36,30338 22 2,92526 0,34185 13,16300 38,50521 
23 2,75217 0,36335 14,14777 38,93703 23 3,07152 0,32557 13,48857 41,43048 
24 2,87601 0,34770 14,49548 41,68920 24 3,22510 0,31007 13,79864 44,50200 
25 3,00543 0,33273 14,82821 44,56521 25 3,38635 0,29530 14,09394 47,72710 
 
26 3,14068 0,31840 15,14661 47,57064 26 3,55567 0,28124 14,37519 51,11345 
27 3,28201 0,30469 15,45130 50,71132 27 3,73346 0,26785 14,64303 54,66913 
28 3,42970 0,29157 15,74287 53,99333 28 3,92013 0,25509 14,89813 58,40258 
29 3,58404 0,27902 16,02189 57,42303 29 4,11614 0,24295 15,14107 62,32271 
30 3,74532 0,26700 16,28889 61,00707 30 4,32194 0,23138 15,37245 66,43885 
n i n i n i n i 
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168
 
r = 5,5% r = 6% 
n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,05500 0,94787 0,94787 1,00000 1 1,06000 0,94340 0,94340 1,00000 
 2 1,11302 0,89845 1,84832 2,05500 2 1,12360 0,89000 1,83339 2,06000 
 3 1,17424 0,85161 2,69793 3,16802 3 1,19102 0,83962 2,67301 3,18360 
 4 1,23882 0,80722 3,50515 4,34227 4 1,26248 0,79209 3,46511 4,37462 
 5 1,30696 0,76513 4,27028 5,58109 5 1,33823 0,74726 4,21236 5,63709 
 
 6 1,37884 0,72525 4,99553 6,88805 6 1,41852 0,70496 4,91732 6,97532 
 7 1,45468 0,68744 5,68297 8,26689 7 1,50363 0,66506 5,58238 8,39384 
 8 1,53469 0,65160 6,33457 9,72157 8 1,59385 0,62741 6,20979 9,89747 
 9 1,61909 0,61763 6,95220 11,25626 9 1,68948 0,59190 6,80169 11,49132 
10 1,70814 0,58543 7,53763 12,87535 10 1,79085 0,55839 7,36009 13,18079 
 
11 1,80209 0,55491 8,09254 14,58350 11 1,89830 0,52679 7,88687 14,97164 
12 1,90121 0,52598 8,61852 16,38559 12 2,01220 0,49697 8,38384 16,86994 
13 2,00577 0,49856 9,11708 18,28680 13 2,13293 0,46884 8,85268 18,88214 
14 2,11609 0,47257 9,58965 20,29257 14 2,26090 0,44230 9,29498 21,01507 
15 2,23248 0,44793 10,03758 22,40866 15 2,39656 0,41727 9,71225 23,27597 
 
16 2,35526 0,42458 10,46216 24,64114 16 2,54035 0,39365 10,10590 25,67253 
17 2,48480 0,40245 10,86461 26,99640 17 2,69277 0,37136 10,47726 28,21288 
18 2,62147 0,38147 11,24607 29,48120 18 2,85434 0,35034 10,82760 30,90565 
19 2,76565 0,36158 11,60765 32,10267 19 3,02560 0,33051 11,15812 33,75999 
20 2,91776 0,34273 11,95038 34,86832 20 3,20714 0,31180 11,46992 36,78559 
 
21 3,07823 0,32486 12,27524 37,78608 21 3,39956 0,29416 11,76408 39,99273 
22 3,24754 0,30793 12,58317 40,86431 22 3,60354 0,27751 12,04158 43,39229 
23 3,42615 0,29187 12,87504 44,11185 23 3,81975 0,26180 12,30338 46,99583 
24 3,61459 0,27666 13,15170 47,53800 24 4,04893 0,24698 12,55036 50,81558 
25 3,81339 0,26223 13,41393 51,15259 25 4,29187 0,23300 12,78336 54,86451 
 
26 4,02313 0,24856 13,66250 54,96598 26 4,54938 0,21981 13,00317 59,15638 
27 4,24440 0,23560 13,89810 58,98911 27 4,82235 0,20737 13,21053 63,70577 
28 4,47784 0,22332 14,12142 63,23351 28 5,11169 0,19563 13,40616 68,52811 
29 4,72412 0,21168 14,33310 67,71135 29 5,41839 0,18456 13,59072 73,63980 
30 4,98395 0,20064 14,53375 72,43548 30 5,74349 0,17411 13,76483 79,05819 
 
 
r = 6,5% r = 7% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,06500 0,93897 0,93897 1,00000 1 1,07000 0,93458 0,93458 1,00000 
 2 1,13422 0,88166 1,82063 2,06500 2 1,14490 0,87344 1,80802 2,07000 
 3 1,20795 0,82785 2,64848 3,19922 3 1,22504 0,81630 2,62432 3,21490 
 4 1,28647 0,77732 3,42580 4,40717 4 1,31080 0,76290 3,38721 4,43994 
 5 1,37009 0,72988 4,15568 5,69364 5 1,40255 0,71299 4,10020 5,75074 
 
 6 1,45914 0,68533 4,84101 7,06373 6 1,50073 0,66634 4,76654 7,15329 
 7 1,55399 0,64351 5,48452 8,52287 7 1,60578 0,62275 5,38929 8,65402 
 8 1,65500 0,60423 6,08875 10,07686 8 1,71819 0,58201 5,97130 10,25980 
 9 1,76257 0,56735 6,65610 11,73185 9 1,83846 0,54393 6,51523 11,97799 
10 1,87714 0,53273 7,18883 13,49442 10 1,96715 0,50835 7,02358 13,81645 
 
11 1,99915 0,50021 7,68904 15,37156 11 2,10485 0,47509 7,49867 15,78360 
12 2,12910 0,46968 8,15873 17,37071 12 2,25219 0,44401 7,94269 17,88845 
13 2,26749 0,44102 8,59974 19,49981 13 2,40985 0,41496 8,35765 20,14064 
14 2,41487 0,41410 9,01384 21,76730 14 2,57853 0,38782 8,74547 22,55049 
15 2,57184 0,38883 9,40267 24,18217 15 2,75903 0,36245 9,10791 25,12902 
 
16 2,73901 0,36510 9,76776 26,75401 16 2,95216 0,33873 9,44665 27,88805 
17 2,91705 0,34281 10,11058 29,49302 17 3,15882 0,31657 9,76322 30,84022 
18 3,10665 0,32189 10,43247 32,41007 18 3,37993 0,29586 10,05909 33,99903 
19 3,30859 0,30224 10,73471 35,51672 19 3,61653 0,27651 10,33560 37,37896 
20 3,52365 0,28380 11,01851 38,82531 20 3,86968 0,25842 10,59401 40,99549 
n i n i n i n i 
n i n i n i n i 
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169
 
 
r = 7,5% r = 8% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,07500 0,93023 0,93023 1,00000 1 1,08000 0,92593 0,92593 1,000002 1,15562 0,86533 1,79557 2,07500 2 1,16640 0,85734 1,78326 2,08000 
 3 1,24230 0,80496 2,60053 3,23062 3 1,25971 0,79383 2,57710 3,24640 
 4 1,33547 0,74880 3,34933 4,47292 4 1,36049 0,73503 3,31213 4,50611 
 5 1,43563 0,69656 4,04588 5,80839 5 1,46933 0,68058 3,99271 5,86660 
 
 6 1,54330 0,64796 4,69385 7,24402 6 1,58687 0,63017 4,62288 7,33593 
 7 1,65905 0,60275 5,29660 8,78732 7 1,71382 0,58349 5,20637 8,92280 
 8 1,78348 0,56070 5,85730 10,44637 8 1,85093 0,54027 5,74664 10,63663 
 9 1,91724 0,52158 6,37889 12,22985 9 1,99900 0,50025 6,24689 12,48756 
10 2,06103 0,48519 6,86408 14,14709 10 2,15892 0,46319 6,71008 14,48656 
 
11 2,21561 0,45134 7,31542 16,20812 11 2,33164 0,42888 7,13896 16,64549 
12 2,38178 0,41985 7,73528 18,42373 12 2,51817 0,39711 7,53608 18,97713 
13 2,56041 0,39056 8,12584 20,80551 13 2,71962 0,36770 7,90378 21,49530 
14 2,75244 0,36331 8,48915 23,36592 14 2,93719 0,34046 8,24424 24,21492 
15 2,95888 0,33797 8,82712 26,11836 15 3,17217 0,31524 8,55948 27,15211 
 
16 3,18079 0,31439 9,14151 29,07724 16 3,42594 0,29189 8,85137 30,32428 
17 3,41935 0,29245 9,43396 32,25804 17 3,70002 0,27027 9,12164 33,75023 
18 3,67580 0,27205 9,70601 35,67739 18 3,99602 0,25025 9,37189 37,45024 
19 3,95149 0,25307 9,95908 39,35319 19 4,31570 0,23171 9,60360 41,44626 
20 4,24785 0,23541 10,19449 43,30468 20 4,66096 0,21455 9,81815 45,76196 
 
 
 
 
 
r = 8,5% r = 9% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,08500 0,92166 0,92166 1,00000 1 1,09000 0,91743 0,91743 1,00000 
 2 1,17722 0,84946 1,77111 2,08500 2 1,18810 0,84168 1,75911 2,09000 
 3 1,27729 0,78291 2,55402 3,26222 3 1,29503 0,77218 2,53129 3,27810 
 4 1,38586 0,72157 3,27560 4,53951 4 1,41158 0,70843 3,23972 4,57313 
 5 1,50366 0,66505 3,94064 5,92537 5 1,53862 0,64993 3,88965 5,98471 
 
 6 1,63147 0,61295 4,55359 7,42903 6 1,67710 0,59627 4,48592 7,52333 
 7 1,77014 0,56493 5,11851 9,06050 7 1,82804 0,54703 5,03295 9,20043 
 8 1,92060 0,52067 5,63918 10,83064 8 1,99256 0,50187 5,53482 11,02847 
 9 2,08386 0,47988 6,11906 12,75124 9 2,17189 0,46043 5,99525 13,02104 
10 2,26098 0,44229 6,56135 14,83510 10 2,36736 0,42241 6,41766 15,19293 
 
11 2,45317 0,40764 6,96898 17,09608 11 2,58043 0,38753 6,80519 17,56029 
12 2,66169 0,37570 7,34469 19,54925 12 2,81266 0,35553 7,16073 20,14072 
13 2,88793 0,34627 7,69095 22,21094 13 3,06580 0,32618 7,48690 22,95338 
14 3,13340 0,31914 8,01010 25,09887 14 3,34173 0,29925 7,78615 26,01919 
15 3,39974 0,29414 8,30424 28,23227 15 3,64248 0,27454 8,06069 29,36092 
 
16 3,68872 0,27110 8,57533 31,63201 16 3,97031 0,25187 8,31256 33,00340 
17 4,00226 0,24986 8,82519 35,32073 17 4,32763 0,23107 8,54363 36,97370 
18 4,34245 0,23028 9,05548 39,32300 18 4,71712 0,21199 8,75563 41,30134 
19 4,71156 0,21224 9,26772 43,66545 19 5,14166 0,19449 8,95011 46,01846 
20 5,11205 0,19562 9,46334 48,37701 20 5,60441 0,17843 9,12855 51,16012 
n i n i n i n i 
n i n i n i n i 
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170
 
 
 
r = 10% r = 11% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,10000 0,90909 0,90909 1,00000 1 1,11000 0,90090 0,90090 1,00000 
 2 1,21000 0,82645 1,73554 2,10000 2 1,23210 0,81162 1,71252 2,11000 
 3 1,33100 0,75131 2,48685 3,31000 3 1,36763 0,73119 2,44371 3,34210 
 4 1,46410 0,68301 3,16987 4,64100 4 1,51807 0,65873 3,10245 4,70973 
 5 1,61051 0,62092 3,79079 6,10510 5 1,68506 0,59345 3,69590 6,22780 
 
 6 1,77156 0,56447 4,35526 7,71561 6 1,87041 0,53464 4,23054 7,91286 
 7 1,94872 0,51316 4,86842 9,48717 7 2,07616 0,48166 4,71220 9,78327 
 8 2,14359 0,46651 5,33493 11,43589 8 2,30454 0,43393 5,14612 11,85943 
 9 2,35795 0,42410 5,75902 13,57948 9 2,55804 0,39092 5,53705 14,16397 
10 2,59374 0,38554 6,14457 15,93742 10 2,83942 0,35218 5,88923 16,72201 
 
11 2,85312 0,35049 6,49506 18,53117 11 3,15176 0,31728 6,20652 19,56143 
12 3,13843 0,31863 6,81369 21,38428 12 3,49845 0,28584 6,49236 22,71319 
13 3,45227 0,28966 7,10336 24,52271 13 3,88328 0,25751 6,74987 26,21164 
14 3,79750 0,26333 7,36669 27,97498 14 4,31044 0,23199 6,98187 30,09492 
15 4,17725 0,23939 7,60608 31,77248 15 4,78459 0,20900 7,19087 34,40536 
 
16 4,59497 0,21763 7,82371 35,94973 16 5,31089 0,18829 7,37916 39,18995 
17 5,05447 0,19784 8,02155 40,54470 17 5,89509 0,16963 7,54879 44,50084 
18 5,55992 0,17986 8,20141 45,59917 18 6,54355 0,15282 7,70162 50,39594 
19 6,11591 0,16351 8,36492 51,15909 19 7,26334 0,13768 7,83929 56,93949 
20 6,72750 0,14864 8,51356 57,27500 20 8,06231 0,12403 7,96333 64,20283 
 
 
 
 
 
r = 12% r = 15% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,12000 0,89286 0,89286 1,00000 1 1,15000 0,86957 0,86957 1,00000 
 2 1,25440 0,79719 1,69005 2,12000 2 1,32250 0,75614 1,62571 2,15000 
 3 1,40493 0,71178 2,40183 3,37440 3 1,52087 0,65752 2,28323 3,47250 
 4 1,57352 0,63552 3,03735 4,77933 4 1,74901 0,57175 2,85498 4,99337 
 5 1,76234 0,56743 3,60478 6,35285 5 2,01136 0,49718 3,35216 6,74238 
 
 6 1,97382 0,50663 4,11141 8,11519 6 2,31306 0,43233 3,78448 8,75374 
 7 2,21068 0,45235 4,56376 10,08901 7 2,66002 0,37594 4,16042 11,06680 
 8 2,47596 0,40388 4,96764 12,29969 8 3,05902 0,32690 4,48732 13,72682 
 9 2,77308 0,36061 5,32825 14,77566 9 3,51788 0,28426 4,77158 16,78584 
10 3,10585 0,32197 5,65022 17,54874 10 4,04556 0,24718 5,01877 20,30372 
 
11 3,47855 0,28748 5,93770 20,65458 11 4,65239 0,21494 5,23371 24,34928 
12 3,89598 0,25668 6,19437 24,13313 12 5,35025 0,18691 5,42062 29,00167 
13 4,36349 0,22917 6,42355 28,02911 13 6,15279 0,16253 5,58315 34,35192 
14 4,88711 0,20462 6,62817 32,39260 14 7,07571 0,14133 5,72448 40,50471 
15 5,47357 0,18270 6,81086 37,27971 15 8,13706 0,12289 5,84737 47,58041 
 
16 6,13039 0,16312 6,97399 42,75328 16 9,35762 0,10686 5,95423 55,71747 
17 6,86604 0,14564 7,11963 48,88367 17 10,76126 0,09293 6,04716 65,07509 
18 7,68997 0,13004 7,24967 55,74971 18 12,37545 0,08081 6,12797 75,83636 
19 8,61276 0,11611 7,36578 63,43968 19 14,23177 0,07027 6,19823 88,21181 
20 9,64629 0,10367 7,46944 72,05244 20 16,36654 0,06110 6,25933 102,44358 
n i n i n i n i 
n i n i n i n i 
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171
 
 
 
r = 18% r = 20% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,18000 0,84746 0,84746 1,00000 1 1,20000 0,83333 0,83333 1,00000 
 2 1,39240 0,71818 1,56564 2,18000 2 1,44000 0,69444 1,52778 2,20000 
 3 1,64303 0,60863 2,17427 3,57240 3 1,72800 0,57870 2,10648 3,64000 
 4 1,93878 0,51579 2,69006 5,21543 4 2,07360 0,48225 2,58873 5,36800 
 5 2,28776 0,43711 3,12717 7,15421 5 2,48832 0,40188 2,99061 7,44160 
 
 6 2,69955 0,37043 3,49760 9,44197 6 2,98598 0,33490 3,32551 9,92992 
 7 3,18547 0,31393 3,81153 12,14152 7 3,58318 0,27908 3,60459 12,91590 
 8 3,75886 0,26604 4,07757 15,32700 8 4,29982 0,23257 3,83716 16,49908 
 9 4,43545 0,22546 4,30302 19,08585 9 5,15978 0,19381 4,03097 20,79890 
10 5,23384 0,19106 4,49409 23,52131 10 6,19174 0,16151 4,19247 25,95868 
 
11 6,17593 0,16192 4,65601 28,7551411 7,43008 0,13459 4,32706 32,15042 
12 7,28759 0,13722 4,79322 34,93107 12 8,91610 0,11216 4,43922 39,58050 
13 8,59936 0,11629 4,90951 42,21866 13 10,69932 0,09346 4,53268 48,49660 
14 10,14724 0,09855 5,00806 50,81802 14 12,83918 0,07789 4,61057 59,19592 
15 11,97375 0,08352 5,09158 60,96527 15 15,40702 0,06491 4,67547 72,03511 
 
16 14,12902 0,07078 5,16235 72,93901 16 18,48843 0,05409 4,72956 87,44213 
17 16,67225 0,05998 5,22233 87,06804 17 22,18611 0,04507 4,77463 105,93056 
18 19,67325 0,05083 5,27316 103,74028 18 26,62333 0,03756 4,81219 128,11667 
19 23,21444 0,04308 5,31624 123,41353 19 31,94800 0,03130 4,84350 154,74000 
20 27,39303 0,03651 5,35275 146,62797 20 38,33760 0,02608 4,86958 186,68800 
 
 
 
 
 
r = 24% r = 25% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,24000 0,80645 0,80645 1,00000 1 1,25000 0,80000 0,80000 1,00000 
 2 1,53760 0,65036 1,45682 2,24000 2 1,56250 0,64000 1,44000 2,25000 
 3 1,90662 0,52449 1,98130 3,77760 3 1,95312 0,51200 1,95200 3,81250 
 4 2,36421 0,42297 2,40428 5,68422 4 2,44141 0,40960 2,36160 5,76562 
 5 2,93116 0,34111 2,74538 8,04838 5 3,05176 0,32768 2,68928 8,20703 
 
 6 3,63522 0,27509 3,02047 10,98006 6 3,81470 0,26214 2,95142 11,25879 
 7 4,50767 0,22184 3,24232 14,61528 7 4,76837 0,20972 3,16114 15,07349 
 8 5,58951 0,17891 3,42122 19,12294 8 5,96046 0,16777 3,32891 19,84186 
 9 6,93099 0,14428 3,56550 24,71245 9 7,45058 0,13422 3,46313 25,80232 
10 8,59443 0,11635 3,68186 31,64344 10 9,31323 0,10737 3,57050 33,25290 
 
11 10,65709 0,09383 3,77569 40,23787 11 11,64153 0,08590 3,65640 42,56613 
12 13,21479 0,07567 3,85136 50,89495 12 14,55192 0,06872 3,72512 54,20766 
13 16,38634 0,06103 3,91239 64,10974 13 18,18989 0,05498 3,78010 68,75958 
14 20,31906 0,04921 3,96160 80,49608 14 22,73737 0,04398 3,82408 86,94947 
15 26,19563 0,03969 4,00129 100,81514 15 28,42171 0,03518 3,85926 109,68684 
 
16 31,24259 0,03201 4,03330 126,01077 16 35,52714 0,02815 3,88741 138,10855 
17 38,74081 0,02581 4,05911 157,25336 17 44,40892 0,02252 3,90993 173,63568 
18 48,03860 0,02082 4,07993 195,99416 18 55,51115 0,01801 3,92794 218,04460 
19 59,56786 0,01679 4,09672 244,03276 19 69,38894 0,01441 3,94235 273,55576 
20 73,86415 0,01354 4,11026 303,60062 20 86,73617 0,01153 3,95388 342,94470 
n i n i n i n i 
n i n i n i n i 
CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 
 
 
172
 
 
 
r = 30% r = 35% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,30000 0,76923 0,76923 1,00000 1 1,35000 0,74074 0,74074 1,00000
 2 1,69000 0,59172 1,36095 2,30000 2 1,82250 0,54870 1,28944 2,35000
 3 2,19700 0,45517 1,81611 3,99000 3 2,46037 0,40644 1,69588 4,17250
 4 2,85610 0,35013 2,16624 6,18700 4 3,32151 0,30107 1,99695 6,63287
 5 3,71293 0,26933 2,43557 9,04310 5 4,48403 0,22301 2,21996 9,95438
 
 6 4,82681 0,20718 2,64275 12,75603 6 6,05345 0,16520 2,38516 14,43841
 7 6,27485 0,15937 2,80211 17,58284 7 8,17215 0,12237 2,50752 20,49186
 8 8,15731 0,12259 2,92470 23,85769 8 11,03240 0,09064 2,59817 28,66401
 9 10,60450 0,09430 3,01900 32,01500 9 14,89375 0,06714 2,66531 39,69641
10 13,78585 0,07254 3,09154 42,61950 10 20,10656 0,04974 2,71504 54,59016
 
11 17,92160 0,05580 3,14734 56,40535 11 27,14385 0,03684 2,75188 74,69672
12 23,29809 0,04292 3,19026 74,32695 12 36,64420 0,02729 2,77917 101,84057
13 30,28751 0,03302 3,22328 97,62504 13 49,46967 0,02021 2,79939 138,48476
14 39,37376 0,02540 3,24867 127,91255 14 66,78405 0,01497 2,81436 187,95443
15 51,18589 0,01954 3,26821 167,28631 15 90,15847 0,01109 2,82545 254,73848
 
16 66,54166 0,01503 3,28324 218,47220 16 121,71393 0,00822 2,83367 344,89695
17 86,50416 0,01156 3,29480 285,01386 17 164,31381 0,00609 2,83975 466,61088
18 112,45541 0,00889 3,30369 371,51802 18 221,82364 0,00451 2,84426 630,92469
19 146,19203 0,00684 3,31053 483,97343 19 299,46192 0,00334 2,84760 852,74834
20 190,04964 0,00526 3,31579 630,16546 20 404,27359 0,00247 2,85008 1152,21026
 
 
 
 
 
r = 36% r = 40% 
 n (1 + i)n (1 + i)-n a 
 
 S n (1 + i)n (1 + i)-n a S 
 1 1,36000 0,73529 0,73529 1,00000 1 1,40000 0,71429 0,71429 1,00000 
 2 1,84960 0,54066 1,27595 2,36000 2 1,96000 0,51020 1,22449 2,40000 
 3 2,51546 0,39754 1,67349 4,20960 3 2,74400 0,36443 1,58892 4,36000 
 4 3,42102 0,29231 1,96580 6,72506 4 3,84160 0,26031 1,84923 7,10400 
 5 4,65259 0,21493 2,18074 10,14608 5 5,37824 0,18593 2,03516 10,94560 
 
 6 6,32752 0,15804 2,33878 14,79866 6 7,52954 0,13281 2,16797 16,32384 
 7 8,60543 0,11621 2,45498 21,12618 7 10,54135 0,09486 2,26284 23,85338 
 8 11,70338 0,08545 2,54043 29,73161 8 14,75789 0,06776 2,33060 34,39473 
 9 15,91660 0,06283 2,60326 41,43499 9 20,66105 0,04840 2,37900 49,15262 
10 21,64657 0,04620 2,64945 57,35158 10 28,92547 0,03457 2,41357 69,81366 
 
11 29,43933 0,03397 2,68342 78,99815 11 40,49565 0,02469 2,43826 98,73913 
12 40,03750 0,02498 2,70840 108,43749 12 56,69391 0,01764 2,45590 139,23478 
13 54,45099 0,01837 2,72676 148,47498 13 79,37148 0,01260 2,46850 195,92869 
14 74,05335 0,01350 2,74027 202,92598 14 111,12007 0,00900 2,47750 275,30017 
15 100,71256 0,00993 2,75020 276,97933 15 155,56810 0,00643 2,48393 386,42024 
 
16 136,96908 0,00730 2,75750 377,69188 16 217,79533 0,00459 2,48852 541,98833 
17 186,27795 0,00537 2,76287 514,66096 17 304,91347 0,00328 2,49180 759,78367 
18 253,33801 0,00395 2,76681 700,93891 18 426,87885 0,00234 2,49414 1064,69713 
19 344,53969 0,00290 2,76972 954,27692 19 597,63040 0,00167 2,49582 1491,57600 
20 468,57398 0,00213 2,77185 1298,81661 20 836,68255 0,00120 2,49701 2091,70638 
 
n i n i n i n i 
n i n i n i n i