GEOMETRIA SEM 13 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo 
 
GEOMETRÌA 
 Ciclo 2022 – III 
 
Tema: POLIEDROS REGULARES 
 
 
 
 
 
Semana Nº 13 
Ingeniería 
 
 
POLIEDROS REGULARES 
 
 
- Área Total = 𝒂𝟐√𝟑; Volumen = 
𝒂𝟑√𝟐 
 
𝟏𝟐 
Poliedro regular, es aquel polígono cuyas caras 
son todos polígonos regulares congruentes, 
comprobándose que en cada vértice concurren un 
número igual de aristas. 
 
• Todos sus ángulos diedros son iguales lo 
mismo que sus ángulos poliedros. 
 
• En todo poliedro regular se puede inscribir y 
circunscribir a esferas concéntricas, siendo el 
centro de estas esferas el centro del poliedro 
regular. 
 
• Teorema: sólo existen 5 poliedros regulares, 
los cuales son: tetraedro regular, hexaedro 
regular, octaedro regular, dodecaedro e 
icosaedro regular. 
 
1. Tetraedro Regular.- Esta limitado por 4 
triángulos equiláteros unidos de 3 en 3. 
 
- C = 4; V = 4; A = 6; Número de diagonales: 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Hexaedro Regular o Cubo.- Limitado por 6 
cuadrados unidos de 3 en 3. 
 
 
 
 
O 
a 
 
A 
 
a Donde: 
- Apotema (OH): OH = 
𝒂
 
H 𝟐 
O D - Diagonal (D): D = 𝒂√𝟑 
h 
a - Área total = 𝟔𝒂𝟐 
B 2 - Volumen = 𝒂𝟑 
G M 
- C = 6; V = 8; A = 12 
a a 
2 
C 
Donde: 
- Número de diagonales: 4 
 
 
- Altura (h): h = 
𝒂√𝟔
 
𝟑 
- Apotema (OH): OH =
 𝒂√𝟔
 
𝟏𝟐 
R 
O 
a 
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3. Octaedro Regular.- Limitado por 8 triángulos 
equiláteros unidos de 4 en 4. 
Donde: C = 12; V = 20; A = 30 
Número de diagonales: 100 
 
 
Dodecaedro Icosaedro 
5. Icosaedro Regular.- Limitado por 20 triángulos 
equiláteros unidos de 5 en 5. 
 
Donde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Apotema (OH): OH = h = 
 
 
 
 
𝒂√𝟔 
𝟔 
Donde: 
- Área total = 𝟓𝒂𝟐√𝟑 
- C = 20; V = 12; A = 20 
- Número de diagonales: 30 
 
POLIEDROS CONJUGADOS. 
- Diagonal (D): 𝒂√𝟐 ; Área total = 𝟐𝒂𝟐√𝟑 
𝒂𝟑√𝟐 
 
Dos poliedros son conjugados cuando “C” de uno 
de ellos es igual al “V” del otro. 
- Volumen = ; C = 8; V = 6; A = 12 
𝟑 
 
- Número de diagonales: 3 
 
4. Dodecaedro Regular.- Limitado por 12 
pentágonos regulares unidos de 3 en 3. 
 
 
A: centros de las 
caras (vértices) 
 
 
 
 
 
Poliedros Conjugados 
 
• Todo poliedro puede ser inscrito en su 
conjugado. 
• El tetraedro regular es conjugado consigo 
misma, es decir un tetraedro regular 
solamente se puede inscribir en una esfera y 
un tetraedro regular. 
• El exaedro regular y el octaedro regular son 
conjugados. 
• El dodecaedro regular y el icosaedro regular 
son conjugados 
O 
H 
a 
O 
H 
H 
O 
a 
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PROBLEMAS ILUSTRATIVOS 
 
01. ABCD es un tetraedro regular cuya arista 
mide 6 u, T es punto medio de AB, G 
baricentro de la cara BDC. Si la recta TG 
intercepta al plano ACD en el punto Q, 
determine la longitud de AQ. 
 
A. 3√3 B. 4√3 C. 5√3 
 
 
D. 6√3 E. 7√3 
02. Un tetraedro regular ABCD tiene a su cara 
BCD contenida en un plano Q. Si A’B’CD es 
el tetraedro simétrico con respecto a un 
plano P perpendicular a Q y la arista de los 
tetraedros miden “𝒂”; halle AB’. 
A. 
√2 
𝐿2 B. 
√2 
𝐿2 C. 
√2 
𝐿2 
2 3 4 
 
 
D. √2𝐿2 E. √3𝐿2 
07. En un dodecaedro regular de caras 
adyacentes ABCDN y ABEFG. Halle la 
medida del ángulo que determinan las rectas 
AD y GF. 
 
A. 30° B. 45° C. 60° 
D. 90° E. 120° 
 
08. Con una plancha metálica de forma 
triangular regular y de área 9√3 𝑢2 , se 
construye un tetraedro regular cuya altura 
mide: 
2𝑎 
A. 𝑎 B. 
3 
 
D. 𝑎√2 E. 
𝑎√6 
2 
 
 
C. 
𝑎√3 
2 
 
A. √2 𝑢 B. √3 𝑢 C. 2 𝑢 
D. √5 𝑢 E. √6 𝑢 
 
09. Calcular el área total de la superficie del 
poliedro que resulta de unir los puntos 
03. Si ABCD-EFGH es un cubo de arista 𝒂 , 
entonces la longitud de menor camino para ir 
medios de las aristas de un octaedro regular 
de arista “a”. 
de A a G recorriendo la superficie cúbica, es: 
𝑎2 
A. 
 
(3 + √3) B. 
𝑎2 (3 − √3) 
A. 
5𝑎√5 
B. 
2 
3𝑎√5 
C.
 
4 
3𝑎√5 
2 
2 
𝑎2 
C. 
2 
 
(3 + √3) D. 𝑎2(3 + 2√5) 
D. 𝑎√5 E. 2𝑎√5 
 
04. En el hexaedro regular ABCD-A’B’C’D’ de 
arista 𝑎, calcule la distancia del centro de la 
cara ADD’A’ a un punto de trisección de la 
diagonal BC’ en la cara opuesta. 
A. 𝑎 B. 𝑎√
19 
C. 𝑎√
18 
18 19 
3 
E. 𝑎2(3 − √3) 
10. ABCD es un tetraedro regular, M es el punto 
medio de la arista DB y “O” es el centro de la 
cara ABC, si OA = 4 u, entonces la longitud 
de OM, es: 
 
A. √3 𝑢 B. 2√3 𝑢 C. 3√3 𝑢 
D. 𝑎√
17
 
15 
E. 𝑎√
15
 
14 
D. 4√3 𝑢 E. 5√3 𝑢 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
05. En el octaedro regular A-BCDE-F cuyas 
aristas miden 𝒂 u. Calcular la distancia entre 
los puntos medios de AD y BC. 
 
 
 
11. Si la arista de un cubo de volumen 1 es la 
tercera parte del radio de una circunferencia 
inscrita en una de las caras de un icosaedro 
A. 
𝑎√3 
2 
 
 
D. 
𝑎√5 
2 
B. 
𝑎√2 
2 
 
 
E. 
𝑎√3 
3 
C. 
𝑎√5 
3 
regular. Hallar el producto del área de una 
 
 
de las caras del icosaedro con √3. 
A. 27 B. 36 C. 49 
D. 64 E. 81 
06. Se tiene un octaedro regular P-ABCD-Q, se 
ubican M y N puntos medios de DQ y PB. Si 
la arista del octaedro es L, entonces el área 
de la región ANCM, es: 
 
12. En el gráfico mostrado, calcule el área de la 
superficie del tetraedro P – ABC, si V-ABCD- 
P es un octaedro regular y sus aristas tienen 
2 cm de longitud. 
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B 
D 
2 2 2 
P A. 
𝐿 
(√17 + √10 + √5) B. 2𝐿(1 + √5) 
2 
C. 
3𝐿 
(1 + √5) D. 
𝐿 
(1 + √10) 
2 2 
E. 𝐿(√17 + √5) 
A C 
 
 
 
 
 
 
 
9√2 
A. cm B. 
2 
 
 
 
 
V 
 
7√2 
cm C. 16 cm 
3 
16. En un tetraedro regular A-BCD, M es punto 
medio de CD, AB = 2√3, en la prolongación 
de BM se ubica el punto N, tal que BM = MN. 
Calcule AN. 
 
A. √5 B. √6 C. √7 
 
 
D. 2√6 E. 2√7 
17. En el gráfico mostrado, ABCD-EGH es un 
hexaedro regular y O – FGM, un tetraedro 
D. 64 cm2 E. 2(1 + √3) cm2 
 
13. ¿Qué relación existe entre las áreas totales 
de dos hexaedros regulares, si se sabe que 
la arista de uno de ellos es igual a la 
diagonal del otro? 
 
A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 1 : 4 
D. 1 : 6 E. 1 : √3 
regular. Si CG = 2√6, calcule la distancia de 
O hacia la cara ABCD. 
 
B C 
 
 
A 
O D
 
 
14. En un hexaedro regular ABCD – EFGH, en 
la arista AE se ubica el punto M, tal que AM 
= ME y en MC se ubica el punto N (MN = F G 
NC). Si GN = √17, calcule la longitud de la 
arista de dicho hexaedro regular. M 
A. 3 B. 4 C. 5 E H 
D. 6 E. 7 
 
15. En el cubo ABCD- A’B’C’D’, M es punto 
medio de AA', P es punto medio de C’D’. 
Una hormiga está en el punto M y se dirige 
hacia el vértice C, luego al punto P y 
finalmente al punto M, si L es la longitud de 
la arista del cubo. ¿Cuál es la mínima 
longitud que camino la hormiga? 
 
D’ P C’ 
 
A’ 
 
 
M 
C 
 
A B 
A. 2(√6 + 2) B. 2(√6 − 2) C. 3(√6 + 1) 
D. 3(√6 − 1) E. 2√3 
 
 
18. Si el radio de una circunferencia circunscrita 
a una de las caras de un icosaedro regular 
es 2√3. Calcular la suma de las aristas del 
icosaedro. 
 
A. 60 B. 70 C. 90 
D. 120 E. 180 
 
19. En un octaedro regular O – ABCD – O’, se 
ubican los puntos medios M y N de OA y O’A 
respectivamente. Calcule la medida del 
ángulo diedro determinado por las regiones 
triangulares BND y BMD. 
 
A. 30º B. 37º C. 45º 
D. 60º E. 90º 
B’ 
D