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PROGRAMA DE
ACELERACIÓN
MATEMÁTICA
FREDY OCHOA
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TRIGONOMETRÍA-MATERIAL 1:
E N L A C E S
D E
S O L U C I O N E S
C E P R E U N I 2 0 2 1 - 2
FREDY OCHOA
https://t.me/aceleramate | (51) 986900920
L O N G I T U D D E A R C O - P R O B 1 9 - 3 8
H T T P S : / / Y O U T U . B E / 9 L J K O L Z O 2 L E
R U E D A S Y P O L E A S - P R O B 3 9 - 4 5
H T T P S : / / Y O U T U . B E / J Y Q I C 6 Z R 7 D U
H T T P S : / / Y O U T U . B E / G E E E H J G K M Q E
R T A G U D O S ( I ) - P R O B 4 6 - 5 6
R T A G U D O S ( I I ) - P R O B 5 7 - 6 9
R T A G U D O S ( I I I ) - P R O B 7 0 - 7 7
H T T P S : / / Y O U T U . B E / Q O 8 _ _ P Z U G Q E
H T T P S : / / Y O U T U . B E / B B Y U N 9 L F 0 M G
R T A G U D O S ( I V ) - P R O B 7 8 - 8 4
H T T P S : / / Y O U T U . B E / S H G J H B Z T D H O
R T A G U D O S ( V ) - P R O B 8 5 - 9 0
H T T P S : / / Y O U T U . B E / A R U Y O P K I J F E
https://youtu.be/9lJkOlZo2LE
https://youtu.be/jyQIc6Zr7DU
https://youtu.be/GEeEhJGkMQE
https://youtu.be/qo8__PZuGqE
https://youtu.be/bbyUN9lf0Mg
https://youtu.be/SHgJHBztDHo
https://youtu.be/aRuyopKIjfE
FREDY OCHOA
https://t.me/aceleramate | (51) 986900920
ÁLGEBRA-MATERIAL 1:
F A C T O R I Z A C I Ó N ( I ) - P R O B 1 8 1 - 1 8 8
HTTPS://YOUTU.BE/S3QOTC12KH8
F A C T O R I Z A C I Ó N ( I I ) - P R O B 1 8 9 - 1 9 5
HTTPS://YOUTU.BE/LGEO7GSCT6Y
R A C I O N A L I Z A C I Ó N ( I ) - P R O B 1 9 6 - 2 0 4
HTTPS://YOUTU.BE/LGEO7GSCT6Y
R A C I O N A L I Z A C I Ó N ( I I ) - P R O B 2 0 5 - 2 1 0
HTTPS://YOUTU.BE/QAZ2BPQYBEQ
GEOMETRÍA-MATERIAL 1:
C I R C U N F E R E N C I A ( I ) - P R O B 9 1 - 1 0 0
HTTPS://YOUTU.BE/DDSBQRBFU2K
C I R C U N F E R E N C I A ( I I ) - P R O B 1 0 1 - 1 0 6
HTTPS://YOUTU.BE/KA7TBE_CHDG
H T T P S : / / Y O U T U . B E / 1 5 8 0 V I H U - L 8
R T S E M I - Á N G U L O S D E L T R I Á N G U L O ( I ) - P R O B 9 9 - 1 0 2
R E S O L U C I Ó N D E T R I Á N G U L O O B L I C U Á N G U L O S 7 6 - 9 0
H T T P S : / / Y O U T U . B E / V M E 3 Y 4 Z W 3 K S
R T S E M I - Á N G U L O S D E L T R I Á N G U L O ( I ) - P R O B 1 0 3 - 1 0 7
H T T P S : / / Y O U T U . B E / O N D A W W Y O T C M
TRIGONOMETRÍA-MATERIAL 2:
https://youtu.be/s3qoTC12Kh8
https://youtu.be/lgeo7gScT6Y
https://youtu.be/lgeo7gScT6Y
https://youtu.be/Qaz2bpQybeQ
https://youtu.be/ddSBqrbFu2k
https://youtu.be/ka7TBe_chdg
https://youtu.be/1580viHu-L8
https://youtu.be/vMe3Y4zw3Ks
https://youtu.be/OndaWWYoTCM
- 1 -
GEOMETRÍA
NOCIONES BÁSICAS
SEGMENTOS-ANGULOS
CONJUNTOS CONVEXOS
01. Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. La distancia entre dos puntos
diferentes es un número real.
II. Alguna intersección de dos
semirrectas es un segmento sin los
extremos.
III. El axioma es una proposición que
se admite sin demostración.
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VVF E) VVV
02. Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. Alguna intersección de dos
segmentos contenidos en una
recta es el vacío.
II. La unión de dos rayos no
colineales con un punto en común
es un ángulo.
III. Para cada par de puntos distintos
de una recta, existen infinitos
puntos de la recta que están
entre dichos puntos.
A) FFV B) VFV C) VVF
D) FVV E) FVF
03. |Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. Si dos ángulos no se intersecan
entonces cada uno de ellos está
contenido en el exterior del otro.
II. Si una partición de un plano
consta de tres elementos los
cuales son conjuntos convexos,
entonces uno de ellos es una
recta.
III. Dos rectas paralelas determinan
en el plano que lo contiene alguna
partición de 5 elementos.
A) FVF B) FFF C) FVV
D) VVV E) VVF
04. Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. Sea S la unión de dos rectas
secantes contenidas en un plano P.
Entonces existe una partición de
P- S, formado por cuatro conjuntos
convexos.
II. Una colección de subconjuntos y
disjuntos de un conjunto dado es
una partición de dicho conjunto.
III. Alguna unión de dos conjuntos
convexos y disjuntos es un
conjunto convexo.
A) VFV B) FFV C) VVF
D) FVV E) FFF
05. Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. Si A – C – B entonces para todo
punto D, AB̅̅ ̅̅ ∩ CD⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es un conjunto
convexo.
II. BC̅̅ ̅̅ -{B,C} es un conjunto convexo
III. Si A, B y C son colineales,
entonces A – B – C.
A) VFV B) VVF C) VFF
D) FFV E) FFF
06. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C, D y E de modo
que:
BD + AC + BE + AD + CE = (AE)(BD)
Calcule:
1 1
AE BD
+
A)
1
3
B) 3 C)
1
2
D) 2 E)
1
6
https://cutt.ly/gf81FbV
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/8f81Sjf
- 2 -
07. Dados los puntos colineales y
consecutivos A, B, C, D, E y F.
Si
AC BD CE DF
m
BC CD DE EF
+ + + = , calcule
AB BC CD DE
.
BC CD DE EF
+ + +
A) m – 4 B) m + 2 C) m
D) m – 1 E) m – 3
08. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, de modo
que B es punto medio de AD̅̅ ̅̅ . Si se
cumple que (AC)(AD) = 32 y
2 1 1
,
AC AB CD
= + entonces CD es
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
09. Dados los puntos colineales y
consecutivos A, B, C, D, E y F tal que
AC = CE = EF y 2(BC)=3(DE).
Calcule
2 2
2 2
BE AB
.
DF CD
−
−
A)
3
4
B)
2
3
C)
9
4
D)
4
9
E)
3
2
10. Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. La intersección de dos ángulos
como máximo son cuatro puntos.
II. 5x es la medida de un ángulo agudo
entonces el máximo valor entero de
x es 17.
III. 6x es la medida de un ángulo obtuso
entonces el mínimo valor entero de
x es16.
A) FFF B) FVF C) VFV
D) FVV E) FFV
11. Sean AOB, BOC, COD y
DOE ángulos consecutivos y sus
medidas están en progresión
geométrica de razón 2 en ese orden
.Si mAOE = 120, calcule la medida
del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos BOC y
DOE.
A) 56 B) 76 C) 72
D) 74 E) 62
12. Se tienen los ángulos consecutivos
AOB, BOC y COD de modo que
la m∠BOC excede a la m∠AOB en
40 y la m∠COD excede a la m∠AOB
en 20, luego se trazan las
bisectrices OM, ON, OQ, OE y OF
de los ángulos AOB, BOC, COD,
MON y NOQ respectivamente.
Calcule (m∠BOE– m∠COF).
A) 15 B) 12 C) 10
D) 5 E) 1
13. Sean AOB, BOC y COD
ángulos consecutivos de modo que
mAOB = 24 y mCOD = 40. Halle
la medida del ángulo formado por
las bisectrices de los ángulos AOC y
BOD.
A) 36 B) 16 C) 22
D) 24 E) 32
14. Dos ángulos conjugados internos,
determinados entre dos rectas
paralelas, miden θ y nθ donde n es
entero y menor que 5. Calcular la
suma de valores de θ.
A) 213 B) 118 C) 112
D) 231 E) 233
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
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- 3 -
15. En el exterior de un AOB que mide
50 se trazan una recta L y las
semirrectas paralelas AT y BQ, tal
que mOAT= 2θ y mOBQ = 3θ.
Indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I. Si L es paralela a las semirrectas
entonces θ = 46.
II. Si L es secante a las semirrectas
entonces θ = 10.
III. Las semirrectas opuestas a las
semirrectas AT y BQ están
contenidas en el interior del ángulo.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) VFF E) VVF
TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES
16. En un triángulo ABC, A – D – C,
D – E – C, B – F – C y AB = BD = DF
= FE = EC. Calcule mABD, cuandomACB tome su máximo valor
entero impar.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
17. En un triángulo escaleno, el
perímetro es 25 cm. Calcule la suma
(en cm) de los valores enteros,
mínimo y máximo, de la longitud del
mayor lado.
A) 20 B) 22 C) 18
D) 19 E) 21
18. En un triángulo ABC, mC – mA =
k. Calcule la medida del menor
ángulo que determinan la mediatriz
del lado AC y la bisectriz del ángulo
exterior de vértice B.
A) 90 –
k
2
B)
k
4
C)
k
2
D) 90 –
k
4
E) 90 –
k
3
19. En el interior y en el exterior de un
cuadrado ABCD, se construyen los
triángulos equiláteros AED y CDF,
respectivamente. Demuestre que B,
E y F, son colineales.
20. En el interior de un triángulo ABC, se
ubica el punto D, tal que AD = BC,
mADC = 120, mDBC = 30 y
mBCD = 40. Calcule la mDAB.
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
21. En un triángulo ABC, AB = BC, el
perímetro es mayor que el triple de
la longitud del lado diferente. Indique
la relación correcta:
A) 2mBAC < mABC
B) 2mBCA < 3mBAC
C) mBAC > mABC
D) mABC > 2mBAC
E) mCAB < 3mACB
22. En un triángulo ABC, A – D – B;
A – C – E y C – A – F. El triángulo
DBC es isósceles de base BC̅̅ ̅̅ ,
mABC = 2mDCA y mBCE =
135. Calcule la mBAF.
A) 45 B) 55 C) 60
D) 65 E) 75
23. En un triángulo ABC, A – F – B,
mBAC = mFCA y mCFB > 90.
Si FA = 5 u y BF = 2 u, entonces el
valor entero (en u) de BC es
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
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- 4 -
24. En un triángulo acutángulo ABC,
exterior y relativos a los lados BC y
AC se ubican los puntos D y F. Los
segmentos AD y BC se intersecan
en E; A – C – M, C – A – N y A – B –
Q. Los rayos EF, CD y DF bisecan
AEC, BCM y ADC
respectivamente. Si mBAN = 240 -
mQBC, entonces la mEFD es
A) 10 B) 12 C) 18
D) 25 E) 30
25. Indique el valor de verdad de cada
proposición:
I. Si un punto equidista de los
vértices de un triángulo, entonces
el punto pertenece al interior.
II. Con tres segmentos siempre se
determina un triángulo.
III. La bisectriz de un ángulo exterior
de algún triángulo, es paralela a un
lado.
IV. En un triángulo, la suma de las
medidas de dos ángulos interiores
es igual a la medida de un ángulo
exterior.
A) VVFV B) FVFV C) FFVF
D) FFVV E) VVFF
26. Indique el valor de verdad de cada
proposición:
I. En todo triángulo escaleno, la
longitud de la altura siempre es
menor que la longitud de la
mediana relativa al mismo lado.
II. Si en un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, AB + BC = 20 u,
entonces la longitud entera mínima
de la hipotenusa es 11 u.
III. Toda línea notable de un triángulo
es un segmento.
A) FFV B) VVF C) VFF
D) FFF E) VVV
27. En un triángulo ABC, el punto P es
exterior y relativo al lado AC; A – B
– D y B – E – C; los segmentos DP
y AC se intersecan en G, los
segmentos PE y AC en el punto F.
Si AD = AG, EC = FC y mGPF =
40, entonces la medida del ángulo
exterior, relativo al vértice B es
A) 80 B) 70 C) 60
D) 50 E) 40
28. En un triángulo ABC, se traza la
ceviana BD̅̅ ̅̅ . Si (AB + BC) = y
AC = m ((n + m) y (n – m) son
pares),entonces la suma del mínimo
y máximo valor entero de BD es
A) 2n B)
2n
3
C) n
D)
3n
2
E)
4n
3
29. En un triángulo ABC, recto en B,
se traza la ceviana BD̅̅ ̅̅ , tal que
BAC ABD, AD = (2x – 3) u
y DC= (17 – 3x) u. Calcule (en u),
(AC + BD).
A) 10 B) 12 C) 13
D) 15 E) 21
30. ABC es un triángulo escaleno, D
punto interior, E y F puntos
exteriores relativos a los lados BC y
AC, respectivamente; B – C – T, B –
E – N y CBE ABD, BDE
BCA. Si mDEN = , los rayos BF
y CF son bisectrices de los ángulos
ABC y ACT, entonces mBFC es
A) 90 - 2 B)
3
2
C)
D) 90 -
2
E)
2
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- 5 -
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
31. Indique el valor de verdad de cada
una de las siguientes proposiciones:
I. Si dos triángulos son
congruentes, entonces los
ángulos correspon dientes son
congruentes.
II. Si dos triángulos son congruentes
a un tercer triángulo, entonces
dichos triángulos son
congruentes.
III. Si dos triángulos son equiláteros,
entonces los triángulos son
congruentes.
A) VFV B) FVF C) VVF
D) VVV E) FFF
32. Indique el valor de verdad de cada
una de las siguientes proposiciones.
I. Si dos triángulos tienen
congruentes dos ángulos y un
lado, entonces los triángulos son
congruentes.
II. Si dos triángulos tienen
congruentes dos lados y un
ángulo, entonces los triángulos
son congruentes.
III. Si dos triángulos obtusángulos
tienen dos lados congruentes y el
ángulo opuesto al mayor lado,
entonces los triángulos son
congruentes.
A) FFV B) FVF C) VVF
D) VVV E) FFF
33. En el interior de un triángulo
equilátero ABC se ubica el punto I,
se trazan los triángulos equiláteros
API y CQI tal que P I̅̅ ̅̅ y QI̅̅ ̅
intersecan a AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ . Si el ángulo
AIC mide , entonces la medida del
ángulo PBQ es
A) 90 + B) 90 + 2
C) 120 − 2 D) 180 − 2
E) 240 −
34. Dado un triángulo equilátero ABC,
en el exterior y relativo al lado se
ubica el punto P. Si AP+PB es
mínimo entonces la medida del
ángulo APC es
A) 30 B) 30 C) 45
D) 60 E) 90
35. En un triángulo ABC, recto en B, en
el lado BC̅̅ ̅̅ se ubica el punto D tal
que mDAC = 2mBAD . Si AC =
AD + 2(BD), entonces la medida del
ángulo BAD es
A) 15 B) 18 C) 20
D) 22,5 E) 26,5
36. En un triángulo QPC, en la
prolongación de CQ̅̅ ̅̅ ̅ y en el exterior
relativo a PQ̅̅ ̅̅̅ se ubican los puntos A
y B respectivamente tal que AB = PC
y AC = PQ. Si mQPC = mBAC y
mBQP = mPQC , entonces la
medida del ángulo PQB es
A) 18 B) 36 C) 24
D) 45 E) 12
37. En un triángulo rectángulo ACB,
recto en C, en AB̅̅ ̅̅ , AC̅̅ ̅̅ y en el
exterior relativo a AC̅̅ ̅̅ se ubican los
puntos L, Q y F respectivamente tal
que el triángulo QFC es equilátero.
Si AQ = CL , mABC = 64 y
mLCB = 30 , entonces la medida
del ángulo FLC es
A) 30 B) 34 C) 36
D) 40 E) 45
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/8f81Sjf
- 6 -
38. En un triángulo isósceles ABD de
base AD̅̅ ̅̅ , en el lado BD̅̅ ̅̅ se ubica el
punto Q y en la prolongación de AQ̅̅ ̅̅̅
se ubica el punto E de manera que
AD = DE y mBAE = mDBE =
2mBDE . Calcule la medida del
ángulo BDE.
A) 6 B) 9 C) 10
D) 12 E) 15
39. En un triángulo ABC, en el lado AC̅̅ ̅̅
se ubica el punto P y en el exterior el
punto Q tal que BQ̅̅ ̅̅̅ interseca a AC̅̅ ̅̅ ,
mBAQ = 90 , mPQA = 50 y
mACQ = mBCA = 2mBAC =
40 . Calcule la medida del ángulo
PBC.
A) 50 B) 40 C) 60
D) 30 E) 70
40. En un triángulo ABC, en el lado AC̅̅ ̅̅
se ubica el punto M y en el exterior
el punto N tal que AN̅̅ ̅̅ interseca a
BC̅̅ ̅̅ , AB̅̅ ̅̅ MN̅̅ ̅̅ ̅, mBNM = 35 , AB =
MC y mABC = mACN . Calcule
la medida del ángulo BAC.
A) 35 B) 55 C) 20
D) 45 E) 70
41. En un triángulo ABC, se trazan las
alturas BH̅̅ ̅̅ y AQ̅̅ ̅̅̅, en AQ̅̅ ̅̅̅ se ubica el
punto T tal que HT̅̅ ̅̅ ⊥ AQ̅̅ ̅̅̅ . Si HT = a,
BQ = b y BH̅̅ ̅̅ ≅ AC̅̅ ̅̅ , entonces la
longitud de AQ̅̅ ̅̅̅ es
A) a + b B) a + 2b C) 3a+b
D) 2a + b E) b – a
42. En el interior de un triángulo
equilátero ABC, se ubica el punto P
tal que mABP = 3 , mBCP = 2
y mPAC = . Calcule la medida el
ángulo BPC.
A) 110 B) 135 C) 140
D) 120 E) 105
43. En un triángulo ABC, se traza la
altura BH̅̅ ̅̅ y en HC̅̅ ̅̅̅ se ubica el punto
P, en la prolongación del lado BC̅̅ ̅̅ se
ubica el punto Q tal que BC ̅̅ ̅̅ ̅≅ CQ̅̅ ̅̅ ̅,
AB̅̅ ̅̅≅ PQ̅̅ ̅̅̅ y HC = 10 u . Calcule la
longitud (en u) de AP̅̅ ̅̅ .
A) 10 B) 15 C) 40
D) 20 E) 125
44. Se tiene un triángulo ABC recto en
B, se traza la altura BH̅̅ ̅̅ , en las
prolongaciones de los catetos AB̅̅ ̅̅ y
CB̅̅ ̅̅ se ubican los puntos F y E tal
que la prolongación de HB̅̅ ̅̅ interseca
a EF̅̅ ̅̅ en el punto M. Si BC̅̅ ̅̅ ≅ BF̅̅ ̅̅ ,
AB̅̅ ̅̅ ≅ BE̅̅ ̅̅ y MF = 3 u , entonces la
longitud (en u) de EM̅̅ ̅̅ ̅ es
A) 6 B) 3 C) 4
D) 1,5 E) 2
45. En un triángulo ABC, en el lado AC̅̅ ̅̅
y en el exterior relativo al lado AC̅̅ ̅̅ se
ubica el punto P tal que mADP=42,
mPDC=mBAC=24 , mACB=48
y mBAD=90. Calcule la medida del
ángulo ABP.
A) 24 B) 36 C) 42
D) 32 E) 21
APLICACIONES DE LA
CONGRUENCIA
46. En un triángulo isósceles de base
AC̅̅ ̅̅ , se ubican los puntos P, Q, T y S
en las prolongaciones de los lados
CA̅̅ ̅̅ , CB̅̅ ̅̅ , AB̅̅ ̅̅ y BA̅̅ ̅̅ respectivamente
tal que m∠PQC=m∠ATC=m∠ASP=
90 Si BQ = a y AS = b, entonces la
longitud de BT̅̅ ̅̅ es
A)
a b
2
−
B)
a b
3
−
C) a – b
D)
a 2b
2
−
E)
a b
3
+
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- 7 -
47. En un triángulo ABC, se ubica el
punto Q en BC̅̅ ̅̅ , las mediatrices de
BQ̅̅ ̅̅̅ y AC̅̅ ̅̅ se intersecan en R. Si
AB = CQ y m∠ACB = 20, entonces
la m∠CRQ es
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
48. En un triángulo isósceles ABC de
base BC̅̅ ̅̅ , se traza la altura BH̅̅ ̅̅ y la
ceviana AP̅̅ ̅̅ . Si m∠BAC = m∠APB
y AB = 12 u, entonces la distancia
(en u) de P a BH̅̅ ̅̅ es
A) 3 B) 4 C) 4√2
D) 6 E) 8
49. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se traza la ceviana BE̅̅ ̅̅ ,
tal que m ∠ EBC = 3m ∠ ACB. Si
CE=12 u, entonces el máximo valor
entero (en u) de AE es
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
50. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se ubica el punto E
exterior al lado AC̅̅ ̅̅ y el punto F está
contenido en BE̅̅ ̅̅ . Si m∠FAE = 90,
FE = AC y m∠ACB = 2(m∠AEB),
entonces la m∠ABE es
A) 15 B) 22,5 C) 30
D) 37 E) 45
51. En un triángulo ABC, se ubica en el
interior el punto P. Si BC = 2AP,
m∠PBC = 2m∠PAB, m∠BAC =
45, m ∠ APB = 90, entonces la
medida del ángulo PAB es
A) 15 B) 22,5 C) 26,5
D) 30 E) 37
52. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se ubican los puntos
P, Q y T sobre los lados AC̅̅ ̅̅ ,
AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ respectivamente. Si
m ∠ BAT = m ∠ ACB = 15, PC =
2(AT) y m ∠ AQP = m ∠ BQT,
entonces la medida del ángulo APQ
es
A) 10 B) 12 C) 15
D) 22,5 E) 30
53. En un triángulo ABC, obtuso en B,
se trazan las cevianas CE̅̅ ̅̅ y BF̅̅ ̅̅ . Si
el vértice C dista 4 u de BF̅̅ ̅̅ , AB =
BF, EC = 32 u y m∠ BEC = 30,
entonces la distancia (en u) del
vértice A hacia BF̅̅ ̅̅ es
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
54. En un triángulo acutángulo ABC, se
traza la altura CH̅̅ ̅̅̅, en AC̅̅ ̅̅ se ubica el
punto N. Si m∠NHC + m∠HCB =
m∠BAC = 60 y BC = 18 u, entonces
la longitud (en u) de HN̅̅ ̅̅̅ es
A) 6 B) 9 C) 6√2
D) 5√3 E) 9√2
55. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se trazan las cevianas
BD̅̅ ̅̅ y CE̅̅ ̅̅ que se intersecan en el
punto T. Si m∠ETD = 2(m∠BAC) y
CE = 2(BD), entonces la medida del
ángulo BAC es
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
56. En un triángulo ABC, obtuso en B,
en el lado AC̅̅ ̅̅ se ubica el punto M,
las mediatrices de AM̅̅ ̅̅ ̅ y
MC̅̅ ̅̅ ̅ intersecan a los lados AB y BC
en los puntos P y Q respectiva-
mente. Sí AP = 2 u y QC = 3 u,
entonces la longitud entera (en u) de
PQ̅̅ ̅̅̅ es M
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
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- 8 -
57. Indique los valores de verdad en las
siguientes proposiciones:
I. En todo triángulo, el segmento
que tiene por extremos los
puntos medios de dos lados es
paralelo al tercer lado.
II. En un triángulo, los extremos de
un segmento pertenecen a dos
lados del triángulo, si la longitud
del segmento es la mitad de la
longitud del tercer lado,
entonces los extremos del
segmento son puntos medios de
los dos lados del triángulo.
III. En un triángulo rectángulo, la
menor mediana puede ser
congruente con una ceviana
trazado hacia el mayor lado.
A) VVV B) VFV C) FVF
D) FFV E) VFF
58. Indique los valores de verdad en las
siguientes proposiciones:
I. Todos los puntos que
pertenecen a la bisectriz de un
ángulo están en el interior del
ángulo.
II. Si un rayo determina ángulos
congruentes con los lados de un
ángulo, entonces el rayo es
bisectriz del ángulo.
III. En un triángulo, el punto de
intersección de dos bisectrices
interiores, siempre equidistan de
los lados del triángulo.
A) VVV B) VFV C) FVF
D) FFV E) VFF
59. Indique los valores de verdad en las
siguientes proposiciones:
I. Todos los puntos de la mediatriz
de un segmento siempre
equidistan del segmento.
II. Si dos segmentos son
congruentes, entonces las
mediatrices de los segmentos
son también congruentes.
III. Si dos segmentos no colineales,
tienen en común un extremo,
entonces el punto de
intersección de la mediatriz de
cada segmento equidistan de los
extremos de ambos segmentos.
A) VFV B) FFV C) FVF
D) FFF E) VFF
60. En un triángulo rectángulo isósceles
ABC, recto en B, el punto P está en
el interior tal que BP = PC y la
medida del ángulo BPC es 150.
Calcule la medida del ángulo PAB
A) 10 B) 15 C) 22,5
D) 30 E) 45
POLÍGONOS
61. Si la suma de medidas de los
ángulos internos de un polígono
regular es 1080, entonces la medida
de un ángulo externo es
A) 30 B) 36 C) 40
D) 45 E) 60
62. Si en un polígono regular la medida
del ángulo interno es igual a cinco
veces la medida del ángulo central,
entonces el número total de
diagonales del polígono es
A) 14 B) 17 C) 20
D) 35 E) 54
63. En un polígono convexo desde tres
vértices consecutivos se han
trazado 20 diagonales. ¿Cuál es el
número de vértices del polígono?
A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 14
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- 9 -
64. En un trapecio isósceles, al unir los
puntos medios de sus cuatro lados
en forma consecutiva se determina
un polígono ….
A) regular
B) no convexo
C) equilátero
D) equiángulo
E) de cuatro diagonales
65. En la figura el polígono ABCDE …
es equiángulo, calcule el número de
lados
A) 28 B) 30 C) 32
D) 36 E) 40
66. En un hexágono equiángulo
convexo ABCDEF, la mediatriz de
EF interseca a BC en el punto M. Si
la diferencia entre las longitudes de
AB y CD es 4 u, entonces la
diferencia (en u) entre las longitudes
de MC y BM es
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 8
67. Indique el valor de verdad de cada
una de las siguientes proposiciones:
I. En todo polígono convexo las
diagonales están contenidas en
el interior del polígono.
II. Si una recta determina dos
puntos de intersección con un
polígono, entonces el polígono
es convexo.
III. El número de diagonales del
polígono cuyo número de lados
es numéricamente igual a la
diferencia del número de
diagonales del pentágono y
cuadrilátero es cero.
A) VVV B) FFF C) FFV
D) VFF E) VVF
68. Se tiene el pentadecágono regular
ABCDEFG…… y el polígono regular
QRDST …… tal que Q y R estan en
el interior del pentadecágono regular
y C – D – S. Si la medida del ángulo
QDG es 102, entonces el número de
diagonales del polígono QRDST….
es
A) 35 B) 54 C) 90
D) 135 E) 170
69. Si el número de diagonales de dos
polígonos regulares se diferencian
en 4, entonces la diferencia entre las
medidas de sus ángulos centrales
es
A) 18 B) 15 C) 12
D) 10 E) 6
70. En el interior de un pentágono
regular ABCDE se ubica el punto M.
Si AB = MC y la medida del ángulo
BMC es66, entonces la medida del
ángulo MEA es
A) 30 B) 36 C) 40
D) 42 E) 45
71. Indique el valor de verdad de cada
una de las siguientes proposiciones:
I. Algún polígono convexo es un
conjunto convexo.
II. El heptágono convexo tiene un
número de diagonales igual al
doble del número de lados.
III. Un polígono no puede tener dos
lados colineales.
IV. Los ángulos externos y centrales
de un polígono regular son
iguales.
A) FVFV B) FVFF C) VVFF
D) FFVV E) FVVF
A
B C
D
150
P
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- 10 -
72. En un polígono convexo de n lados
se trazan desde (n - 7) vértices
consecutivos (10n - 3) diagonales.
Calcule el número de diagonales
medias de dicho polígono.
A) 210 B) 231 C) 253
D) 276 E) 300
73. En un eneágono no convexo
equiángulo ABCDEFGHI donde las
medidas de los ángulos I, C y F se
consideran exteriores al polígono,
AB = DE = HG = 2(AI) y los demás
lados son congruentes con AI̅̅̅ .
Calcule la medida del mayor ángulo
determinado por las bisectrices de
los ángulos A y E al intersecarse.
A) 110 B) 115 C) 120
D) 135 E) 150
74. En el hexágono regular ABCDEF,
(CF)2 = (5 - 2√3) u2. Se construyen
exteriormente el cuadrado DMNE y
el triángulo equilátero AFP
entonces, en u, NP es
A) 2 3 B) 13 C) 14
D) 5 E) 4
75. El lado del hexágono regular
ABCDEF mide R. En la región
interior del polígono se construye el
cuadrado BCGH. Calcule la longitud
de HF en términos de R.
A) 2R 3 – R B) 3R 3 – 2R
C) R 3 – R D) 2R – R 3
E) 3R – R 3
CUADRILÁTEROS
76. Sea ABCD un trapecio con 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
tal que AB = AC = AD y m∠BCD =
105. La medida del ángulo DBC es
A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 90
77. Sea ABCD un trapecio isósceles con
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y DA = AB = BC = 1 y DC =
2. Dividir la figura en 3 piezas de
modo que se pueda armar con ellas,
sin superposiciones ni agujeros, un
triángulo equilátero. ¿Cuánto mide
el lado del triángulo equilátero?
A) 3 B)
1
1
2
C)
1
1
3
D)
2
1
3
E)
5
2
78. Sea ABC un triángulo con AB = c y
AC > AB. La paralela al lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ por
B interseca a la bisectriz exterior de
BAC en D. La paralela al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
por C interseca a dicha bisectriz
exterior de BAC en E. La mediatriz
del segmento DE interseca al lado
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en F. La longitud de es.
A) 0.75 c B) c C) 1.25c
D) 1.5 c E) 1.75 c
79. En un rombo ABCD se construye
exteriormente el cuadrado CDEF.
De modo que DB = EF. Se traza 𝐵𝐸̅̅ ̅̅
cuya medida es 18 u. La longitud del
segmento que une los centros del
cuadrado y del rombo es.
A) 7.5 B) 8 C) 8.5
D) 9 E) 9.5
80. Indique el valor de verdad de cada
una de las siguientes proposiciones:
I. Algún trapezoide tiene tres lados
congruentes.
II. Las diagonales de un
cuadrilátero son segmentos
secantes.
III. Las diagonales de un trapezoide
simétrico son congruentes y
perpendiculares.
A) VVV B) FVV C) VVF
D) FFV E) VFF
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- 11 -
81. ABCD y ABCQ son dos trapecios,
cuyas bases menores son BC̅̅ ̅̅ y CQ̅̅ ̅̅ ̅
respectivamente. Si el triángulo
BQC es equilátero y el ángulo BAQ
mide α, entonces la medida del
ángulo QAD es
A) 30 + B) 45 + C) 60 -
D) 75 - E) 90 -
82. En el trapecio ABCD, la base menor
es BC̅̅ ̅̅ , Q es un punto exterior tal que
Q-C-D y M es punto medio de AB̅̅ ̅̅ . Si
mMCQ = 90 y mMQD = mADC,
entonces la razón entre QC y CD es
A)
2
2
B)
1
2
C)
1
3
D)
2
3
E)
2
3
83. ABCD es un rectángulo cuyo lado
menor AB̅̅ ̅̅ mide n, la bisectriz del
ángulo BAC interseca a BC̅̅̅̅ en S y
en ella se ubica F de modo que FD̅̅̅̅ y
AC̅̅̅̅ sean perpendiculares. Si la
distancia de A a FD̅̅̅̅ es m, entonces
la distancia de S a FD̅̅̅̅ es
A) 2n – m B) 3n – 2m C) m – n
D)
m n
2
−
E)
m n
2
−
84. En un paralelogramo ABCD, P ∈ AD̅̅ ̅̅ ,
Q punto medio de CD̅̅ ̅̅̅, R ∈ BC̅̅̅̅ y S es
la intersección de las diagonales. Si
PQRS es un paralelogramo, AP=
11 u y DP = 7 u, entonces la longitud
( en u) de RC̅̅ ̅̅̅ es
A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0
D) 2,5 E) 3,5
85. En un trapezoide ABCD, 4AB=3BC,
3AD= 5AB+3CD y m ∠BAD = 53.
Calcule m∠BCD.
A) 127 B) 120 C) 115
D) 143 E) 137
86. En la región exterior y relativa a BC̅̅ ̅̅
de un paralelogramo ABCD, se
ubica el punto E, de modo que
m∠ AEC= 90; m∠EAD=2m∠BAE;
BC̅̅ ̅̅ ∩ AE̅̅ ̅̅ = {P} , BC̅̅ ̅̅ ∩ ED̅̅ ̅̅ = {M} ;
BP̅̅ ̅̅ =PM̅̅ ̅̅ ̅=MC̅̅ ̅̅ ̅ y MD̅̅ ̅̅ ̅=2EM̅̅ ̅̅ ̅ . Calcular
m∠BAE
A) 80 B) 50 C) 40
D) 30 E) 28
87. En un trapecio rectángulo ABCD,
AB̅̅ ̅̅ es la altura y M es punto medio
de CD̅̅ ̅̅̅ . Se prolonga BA̅̅ ̅̅ hasta el
punto P, tal que las distancias de P
y B a MA⃡⃗ ⃗⃗⃗⃗ sumen 24 u. Si m BPM=
m MAD, entonces la longitud (en u)
de MP̅̅ ̅̅ ̅ es
A) 24 B) 12 C) 18
D) 20 E) 26
88. Indique el valor de verdad de las
siguiente proposiciones
I. Todo trapecio de diagonales
congruentes es un trapecio
isósceles
II. En un trapezoide simétrico una
diagonal está contenida en la
mediatriz de la otra diagonal.
III. Si las diagonales de un
cuadrilátero se bisecan, el
cuadrilátero es un rectángulo
A) VFV B) FFV C) FVF
D) VVF E) VVV
89. Se tiene un paralelogramo ABCD
(AB<AD). En AD̅̅ ̅̅ se ubica el punto
H, tal que BH̅̅ ̅̅ ∩ AC̅̅ ̅̅ = {E}. Calcule
EC (en m), si m∢BAC=2m∢CAD, AB
= 12m BE̅̅ ̅̅ ⊥ BC̅̅ ̅̅ .
A) 27 B) 20 C) 24
D) 43 E) 37
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- 12 -
90. Exteriormente al triángulo ABC se
construye los cuadrados ABMN y
BCEF Si O y Q son los centros de
los cuadrados, Demuestre que
OQ =
MC
2
2 =
AF
2
2
.
CIRCUNFERENCIA
91. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. “Una circunferencia se designa
por la letra del centro. Así
diremos: circunferencia O”.
II. En una circunferencia, “La
palabra radio usamos aquí para
significar tanto un segmento
como la longitud de este”.
III. “Toda recta perpendicular a un
radio en su extremo exterior, es
tangente a la circunferencia”. Este
enunciado es un teorema.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
92. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. En una circunferencia O y radios
OA y OB, donde AO
aproximadamente es 57(AC). Se
puede afirmar como cierto que la
medida del ángulo AOB es 1.
II. En una circunferencia O, si el
diámetro AB pasa por el punto
medio de la cuerda CD, entonces
AB̅̅ ̅̅ es perpendicular a CD̅̅̅̅ .
III. “El interior de una circunferencia
es el conjunto de puntos del plano
cuya distancia al centro es menor
que el radio”.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
93. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si las circunferencias O, O1 y O2 de
radios respectivos r, r1 y r2 , son
tangentes exteriores O1 y O2 , y
además ellas son tangentes
interiores con O, entonces es cierto
que: r > r1 + r2
II. Si los rayos paralelos AB y CD están
en sentidos opuestos, y se ubica el
punto E en 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ , entonces los radios
de las circunferencias tangentes
exteriores en E que son tangentes
a dichos rayos en A y C son
proporcionales a AE y CE
III. Si las circunferencias O, O1 y O2 de
radios respectivos r, r1 y r2 , son
exteriores O1 y O2, y además ellas
son tangentes interiores con O,
entonces es cierto que: r > 2(r1 +
r2)
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
94. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. El radio de la circunferencia
exinscrita relativa a la hipotenusa
de un triangulo rectángulo, es igual
al semiperímetro de dicho
triangulo.
II. La suma de los exradios de las
circunferencias exinscritasrelativas a los catetos de un
triangulo rectángulo, es igual a la
longitud de la hipotenusa.
III. El radio de la circunferencia
exinscrita relativa a la hipotenusa
de un triangulo rectángulo, es igual
a la suma de los radios de las
circunferencias exinscritas
relativas a los catetos más el radio
de la circunferencia inscrita.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
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- 13 -
95. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Un cuadrilátero es
circunscriptible, si tres bisectrices
de sus ángulos interiores son
concurrentes.
II. Los lados de un cuadrilátero
convexo exinscrito a una
circunferencia, no son tangentes
a dicha circunferencia.
III. Si en un cuadrilátero la suma de
los lados opuestos es igual a la
suma de los otros dos, entonces
el cuadrilátero es circuncriptible.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
96. En la figura mostrada AD̅̅ ̅̅ ∥ MP̅̅ ̅̅ . Si
AB = 3 cm, CD = 4 cm y LP = 5 cm,
entonces la longitud(en cm) de MN̅̅ ̅̅̅
es
A) 0,5 B) 1 C) 2
D) 2,5 E) 3
97. Las longitudes de los diámetros de
dos circunferencias y la distancia
entre sus centros están en la razón
de 10, 6 y 7, respectivamente. Las
circunferencias son:
A) Tangentes interiores
B) Exteriores
C) Interiores
D) Tangentes exteriores
E) Secantes
98. En un cuadrado ABCD, el punto Q
es un punto de AD̅̅ ̅̅ y QC̅̅ ̅̅ es tangente
en T a una circunferencia de
diámetro DE̅̅ ̅̅ (E en QD̅̅ ̅̅ ). Si O es el
centro de la circunferencia tangente
a AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ y CQ̅̅̅̅ cuyo radio mide 3 m,
entonces OT (en m) es
A) 2 B) 3 C) 3 2
D) 2 2 E) 2 3
99. Los radios de dos circunferencias
exteriores miden 2 cm y 5 cm y la
longitud de la tangente común
interior es 24 cm. Calcule la
distancia (en cm) entre los centros
de las circunferencias.
A) 20 B) 22 C) 25
D) 30 E) 35
100. En un trapecio rectángulo ABCD (BC̅̅̅̅
∥ AD̅̅ ̅̅ ) circunscrito a una
circunferencia, m∠ACD = 90. Si la
suma de las longitudes de los radios
de las circunferencias inscritas en
los triángulos ABC y ACD es k,
entonces la longitud de la base
menor del trapecio es
A)
k
2
B)
3k
2
C) k
D)
4k
3
E) 2k
101. En un trapecio isósceles ABCD, AB
= CD = a, la mediana de trapecio
miden k. Una recta secante
intercepta a AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅̅̅ en P y Q
respectivamente, siendo los
cuadriláteros APQD y PBCQ
circunscriptibles. Calcule PQ.
A) a – k B) a – 2k
C) 3a – 2k D) 4a – k
E) 2a – k
102. En un cuadrilátero ABCD exinscrito
a una circunferencia, BC̅̅̅̅ ⋂AD̅̅ ̅̅ = {P},
AB̅̅ ̅̅ ⋂DC̅̅ ̅̅ = {Q}. Si el perímetro del
triángulo PAB es igual a 30 cm,
entonces el perímetro(en cm) del
triángulo DAQ es
A) 15 B) 20 C) 24
D) 30 E) 32
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- 14 -
103. La circunferencia inscrita en el
cuadrilátero ABCD, es tangente al
segmento AB en el punto E. Si
mBAD = 90, BE + CD = a y BC +
AD = b, entonces la longitud del
radio de la circunferencia es
A) 2b – a B) b – a C) b –2a
D) 3b – a E) 5b – 2a
104. En un cuadrilátero convexo ABCD,
el rayo AC es la bisectriz del ángulo
BAD. Si mCDA = 90 , mABC =
135, BC = 5√2 cm y AB = 7 cm,
entonces la longitud del radio (en
cm) de la circunferencia inscrita en
el triángulo ADC es
A) 0,5 B) 0,8 C) 1
D) 2 E) 2,5
105. En un cuadrilátero convexo ABCD,
en los lados BC̅̅̅̅ y AD̅̅ ̅̅ se ubican los
puntos M y N respectivamente, tal
que los cuadriláteros ABMN y
MNDC son circunscriptibles a una
circunferencia. Si AB + CD = 40cm
y BC + AD = 60cm, entonces la
longitud (en cm) del segmento MN
es
A) 8 B) 10 C) 12
D) 14 E) 16
El cuadrilátero ABCD, está
circunscrito a una circunferencia. Si
AB – BC = 8 cm, mADC = 90 y
2CD=AD, entonces la longitud (en
cm) del radio de la circunferencia
inscrita al triángulo ADC es
A) 2,8 B) 3,1 C) 3,5
D) 10 – 2√3 E) 12 – 4√5
ÁNGULOS EN CIRCUNFERENCIA Y
CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLE
106. Se tienen dos circunferencias C1 y
C2 secantes en H y E. Se trazan las
cuerdas EB en C1 y EC en C2 tal
que EB C2 = G, EC C1 = F
y B – H – C. GF interseca a C1 y C2
en los puntos A y D
respectivamente. Si BG AH =
Q, HD FC = P y mBQH =
88, entonces mFPD es
A) 88 B) 90 C) 92
D) 94 E) 96
107. Dos circunferencias exteriores de
diámetros AB y CD son tangentes
exteriores a una circunferencia en
los puntos B y C. Las rectas
tangentes a las circunferencias en
los puntos A y D se intersecan en P.
Si mAPD = 84, entonces la medida
del mayor ángulo exincrito
determinado por el arco BC es
A) 139 B) 131 C) 132
D) 120 E) 140
108. Sobre un mismo semiplano se
ubican dos semicircunferencias C1 y
C2, de diámetros AB y DB
respectivamente, tal que A – D – B.
En C1 se trazan las cuerdas EF y
EB , tangente y secante a C2 en los
puntos P y Q respectivamente. Si
EQ = QP, mEF = 100, entonces la
medida del menor ángulo formado
por DQ y EF es
A) 20 B) 40 C) 50
D) 55 E) 65
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109. En una circunferencia de centro O
se ubican los puntos A, P y B, tal que
P está en el menor arco AB . La
circunferencia C1 es tangente a OA
, OP y al arco AP en los puntos L,
M y N respectivamente y la
circunferencia C2 es tangente a OP
, OB y al arco PB en los puntos D, E
y F respectivamente. Si mLNM =
75 y mAOB = 100, entonces
mDFE es
A) 45 B) 50 C) 55
D) 60 E) 65
110. Dos circunferencias C1 y C2 son
secantes en los puntos P y Q. Por Q
se traza la recta L tangente a C2, tal
que L C1 = A, Q. La
circunferencia C3 interseca a C1 en
los puntos B y D y a C2 en los puntos
M y C. Si P es un punto del interior
de la circunferencia C3, B – C – Q,
M – D – Q y mCPM = 2 (mCQ ) =
120, entonces la medida del menor
arco AQ es
A) 120 B) 150 C) 160
D) 180 E) 135
111. Un cuadrilátero ABCD está inscrito
en la circunferencia de centro O. Si
la mABC = 110, entonces la
mACO.
A) 10 B) 15 C) 18
D) 20 E) 25
112. Dos circunferencias son tangentes
exteriores en un punto D, siendo una
mayor que la otra. La prolongación
de la cuerda AB de la circunferencia
mayor es tangente a la menor en el
punto C. La prolongación de la
cuerda AD interseca a la
circunferencia menor en el punto E.
Si medida del arco AB es 80,
entonces la medida del arco CE es
A) 130 B) 140 C) 145
D) 150 E) 180
113. Dos circunferencias son tangentes
interiores en el punto P; la cuerda
AC de la circunferencia mayor es
tangente a la circunferencia menor
en el punto B. Si la prolongación de
PB interseca a la circunferencia
mayor en Q, demuestre que los
arcos AQ y QC son congruentes.
114. Indique el valor de verdad para cada
una de las proposiciones:
I. Ningún paralelogramo es
exinscriptible.
II. Algún cuadrilátero de diagonales
perpendiculares es
exinscriptible.
III. Todo trapecio isósceles es
inscriptible.
A) VVF B) VFV C) VVV
D) FVV E) FFV
115. Determine el valor de verdad para
cada una de las proposiciones:
I. Si todos los lados de un
cuadrilátero son tangentes a una
circunferencia, entonces el
cuadrilátero está circunscrito a la
circunferencia.
II. En todo trapezoide simétrico se
puede inscribir una
circunferencia.
III. En todo cuadrilátero exinscrito a
una circunferencia, las
diferencias de las longitudes de
los lados opuestos son iguales.
A) VVF B) VFV C) VVV
D) FVV E) FFV
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- 16 -
116. Un cuadrilátero ABCD, está inscrito
en una circunferencia. Se traza la
cuerdaMN tal que M y N son
puntos medios de los arcos AB y
BC respectivamente. Si mABC –
mADC = 40, entonces la medida
del menor ángulo formado por MN y
BC es
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 35
117. En una semicircunferencia de
diámetro AC , por E punto medio del
arco AC , se traza EF // AC ; AF
interseca a la semicircunferencia en
B. Si O es el centro de la
semicircunferencia y OE interseca
a BC en D, entonces la mEDF es
A) 18 B) 25 C) 30
D) 37 E) 45
118. En un triángulo acutángulo ABC; se
trazan las alturas AF y CE las
cuales se intersecan en L. Si la
mBAC - mACB = 20 y BM es
perpendicular a EF (M EF ),
entonces mLBM es
A) 15 B) 20 C) 30
D) 40 E) 45
119. En un triángulo PQR se traza la
altura QH luego HA y HB
perpendiculares a PQ y QR (A
PQ , BQR ) respectivamente. Si la
mQPB = 34, entonces la mARB
es
A) 15 B) 17 C) 34
D) 37 E) 45
120. En un triángulo ABC, D es un punto
de la altura BH (H AC ). Si
mBAC = 30, mBCA = 50 y
mDAH = 10, entonces mACD es
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 30
PROPORCIONALIDAD
121. En un paralelogramo ABCD, E es el
punto medio de AD̅̅ ̅̅ , el punto H
pertenece a la prolongación de DC̅̅ ̅̅̅,
HE̅̅ ̅̅ intercepta a BD̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ en los
puntos F y G. Si FG = 5 u y EF = 3
u, entonces la longitud (en u) de GH̅̅ ̅̅ ̅
es
A) 2,5 B) 3,5 C) 4
D) 1,5 E) 3
122. En un hexágono regular ABCDEF, el
punto R pertenece a la prolongación
de DC̅̅ ̅̅̅, RF̅̅ ̅̅ intercepta a BE̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ en
los puntos P y Q respectivamente. Si
3(PQ) = 2(RQ) y PE = 8 u, entonces
la longitud (en u) de BP̅̅ ̅̅ es
A) 2,8 B) 3,2 C) 2,4
D) 3,6 E) 2,6
123. Dos circunferencias son tangentes
interiores en el punto A, en la
circunferencia mayor se trazan las
cuerdas AC̅̅ ̅̅ y AE̅̅ ̅̅ , las cuales
interceptan a la circunferencia
menor en los puntos B y D, en la
prolongación de AC̅̅ ̅̅ se ubica el
punto F, tal que FE̅̅ ̅̅ y CD̅̅ ̅̅̅ son
paralelos. Si AB = 5 u y BC = 3 u,
entonces la longitud (en u) de CF̅̅ ̅̅ es
A) 2,8 B) 3,5 C) 4,8
D) 3,6 E) 3,2
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124. En un trapecio ABCD, de bases BC̅̅ ̅̅
y AD̅̅ ̅̅ , E es el punto de intersección
de las diagonales, los puntos F y G
pertenecen a AD̅̅ ̅̅ , tal que EF̅̅ ̅̅ y EG̅̅ ̅̅̅
son paralelos a AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅ ̅̅̅
respectivamente. Si AF = 4 u,
entonces la longitud (en u) de GD̅̅ ̅̅ ̅ es
A) 1,2 B) 2 C) 3,6
D) 4 E) 4,8
125. En una circunferencia se ubican los
puntos A, B y C tal que el ángulo
ABC es obtuso y AB < BC. Por los
puntos A, B y C se trazan las rectas
tangentes L1, L2 y L3 tal que L1 y L3
intersecan a L2 en los puntos D y E,
y L2 interseca a la prolongación de
CA̅̅ ̅̅ en el punto F. Si AD = 3 u y CE
= 7 u, entonces la longitud (en u) de
FD̅̅ ̅̅ es
A) 6 B) 7,5 C) 7,2
D) 7,6 E) 6,8
126. Por el punto de intersección de las
bisectrices interiores de un triángulo
ABC, se trazan dos rectas paralelas
a los lados AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ . Dichas
paralelas interceptan al lado AC̅̅̅̅ en
los puntos M y N respectivamente.
Si AB = 10 cm, BC = 14 cm y AC =
12 cm, entonces la longitud (en cm)
de MN̅̅ ̅̅̅ es
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
127. En un triángulo ABC de perímetro
igual a 25 u, se traza la bisectriz
interior AD̅̅ ̅̅ . Si AD=10 u y BC=5 u.
Calcule la distancia (en u) desde el
vértice A hacia el punto de
intersección de las bisectrices
interiores del triángulo ABC.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
128. Un triángulo ABC está circunscrito a
una circunferencia de centro I, P es
el punto de tangencia con el lado
BC̅̅̅̅ ; Q pertenece al lado BC̅̅̅̅ , de tal
manera que AQ̅̅ ̅̅ es bisectriz del
ángulo BAC. Si AB = 15 u, BC = 14
u y AC = 13 u, entonces la longitud
(en u) de PQ̅̅̅̅ es
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
129. Por el incentro de un triángulo ABC,
se traza la recta que interseca a AB̅̅ ̅̅
en M y a AC̅̅̅̅ en N, tal que AC = 4CN,
AB = 7 u, BC = 5 u y AC = 6 u,
entonces la longitud de MB̅̅ ̅̅ es
A) 2 B) 2,15 C) 2,30
D) 2,75 E) 3
130. En un triángulo ABC, AB > BC, AB =
m y BC = n. Por el vértice B se traza
la bisectriz exterior BM̅̅ ̅̅ , siendo M el
punto de intersección con la
prolongación de AC⃗⃗⃗⃗ ⃗. Por el punto M
se traza una paralela MN̅̅ ̅̅̅ a BC̅̅̅̅ ,
siendo N el punto de intersección
con la prolongación de AB⃗⃗⃗⃗ ⃗. ¿Cuál es
la longitud de MN̅̅ ̅̅̅?.
A)
2mn
m n+
B)
mn
m n+
C)
( )
2mn
3 m n−
D)
mn
m n−
E)
2mn
m n−
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131. En los lados AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ de un
triángulo ABC, se ubican los puntos
Q y R respectivamente, en el lado
AC̅̅ ̅̅ se ubican los puntos P y S, tal
que PQRS es un rectángulo. AR̅̅ ̅̅
QP̅̅ ̅̅̅ = {N} y BN⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ AP̅̅ ̅̅ = {M} . Si
mBQR = mRQC y AM = k,
entonces la longitud de MP̅̅ ̅̅ ̅ es
A) k B)
k
2
C)
k
3
D)
k
4
E)
k
5
132. La circunferencia C1, está inscrita en
el triángulo ABC y es tangente a los
lados AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅ ̅̅ y AC̅̅ ̅̅ en los puntos T,
P y M respectivamente; la
circunferencia C2 es tangente a C1
en T y a la prolongación de CA̅̅ ̅̅ en el
punto N. Las prolongaciones de PT̅̅ ̅̅
y CN̅̅ ̅̅̅ se intersecan en Q. Si NM = 4
u y MC = 3 u, entonces la longitud
(en u) de QN̅̅ ̅̅ ̅ es
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 16
133. Las circunferencias C1 y C2 son
tangentes exteriores en el punto T;
AB̅̅ ̅̅ es tangente común exterior (A
C1 y B C2), la prolongación de AT̅̅ ̅̅
interseca a C2 en E. Por E se traza
la tangente a C2 que interseca a C1
en P y Q, tal que E – P – Q. QB̅̅ ̅̅̅
interseca al diámetro AD̅̅ ̅̅ y a AP̅̅ ̅̅ en
los puntos M y N respectivamente.
Si QM = a y MN = b, entonces la
longitud de NB̅̅ ̅̅ es
A)
( )b a b
a b
−
+
B)
( )b a b
a b
+
−
C)
( )a a b
a b
−
+
D)
( )b 1 b
a b
+
−
E)
( )b a 1
a b
+
−
134. En el lado BC̅̅ ̅̅ y en la prolongación
del lado AD̅̅ ̅̅ del rectángulo ABCD, se
ubican los puntos P y Q
respectivamente, tal que APQ es un
triángulo equilátero; PQ̅̅ ̅̅̅ CD̅̅ ̅̅̅ =
{N}, AN̅̅ ̅̅ PD̅̅ ̅̅ = {T} y QT⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ AP̅̅ ̅̅ =
{M}. Si la razón de BP y PC es k,
entonces la razón de AM y MP es
A) k + 1 B)
k
1
2
+ C)
k
1
3
+
D)
k
2
4
+ E)
k
5
135. Las circunferencias C1 y C2 son
tangentes interiores en T (C1 > C2),
las circunferencias C1 y C3 son
tangentes exteriores en T; la recta
MN es tangente común exterior de
C2 y C3 en M y N respectivamente y
secante a C1 en los puntos A y B, tal
que M-B-N. Si
k
AB
=
1
AM
+
1
AN
,
entonces el valor de k es
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 2 E) 2,5
136. En un triángulo ABC, de incentro I,
la prolongación de BI̅ interseca al
lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en el punto M, en AM̅̅̅̅̅ se
ubica el punto N tal que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // 𝑁𝐼̅̅̅̅ . Si
AB = 5 cm, BC = 7cm y AC = 6 cm,
entonces la longitud (en cm) del 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅
es.
A)
5
2
B)
5
3
C)
5
4
D)
5
6
E)
5
7
137. En un triángulo ABC, la
circunferencia inscrita es tangente a
los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en los puntos
E, F y T tal que, las prolongaciones
de 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ se intersecan en el
punto H. Si AT = 3 u y TC = 2 u,
entonces la longitud (en u) del 𝐶𝐻̅̅ ̅̅
es.
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- 19 -
A) 10 B) 12 C) 14
D) 15 E) 18
138. En un triángulo, al trazar tres
cevianas concurrentes, demostrar
que la razón de los segmentos que
determinan las intersecciones en
una ceviana es igual a la suma de
las razones de los segmentos
determinados en cada lado
adyacentes a la ceviana.
139. En un triángulo ABC,E es el
excentro y 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ es una bisectriz
exterior, siendo F un punto que
pertenece a 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ , demostrar
BE
EF
=
AB – BC
AC
.
140. En un triángulo acutángulo ABC, se
trazan la altura 𝐵𝐻 ̅̅ ̅̅ ̅ y las cevianas
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ y 𝐶𝑁̅̅ ̅̅ concurrentes en F. Calcule
la razón de las medidas de los
ángulos BHN y BHM.
A) 1:4 B) 1:3 C) 1:2
D) 1 E) 2:3
141. Se tiene el paralelogramo ABCD, se
traza la recta AR, donde R está en la
porlongación de DC̅̅̅̅ , AR⃡⃗⃗⃗ ⃗ interseca a
BD̅̅ ̅̅ y a BC̅̅̅̅ en P y Q
respectivamente. Halle AP
A) √(PQ)(PR) B) √2(PQ)(PR)
C) √3(PQ)(PR) D) 2√(PQ)(PR)
E) √5(PQ)(PR)
142. En una circunferencia O está inscrita
el cuadrado ABCD, en el arco AB se
ubica el punto P, las cuerdas PD y
PC intersecan a la cuerda AB en los
puntos Q y R respectivamente, si
AQ = a y QR = b. Halle RB.
A)
a b
a
a b
+
−
B)
a b
b
a b
−
+
C)
ab
a b+
D)
2a b
a
a b
+
−
E)
2a b
b
a b
−
+
143. Se tiene el triángulo ABC, en las
prolongaciones de los lados AB,CB
y AC se ubican los puntos
respectivos Q, P y R, de manera que
P-Q-R es una hilera si (AR)(BQ) =
k(AQ)(BP) Halle
RC
CP
A) k B) 2k C) 3k
D) 4k E) 5k + 1
144. Se tiene el triangulo ABC donde AB
= BC, se prolonga AC hasta P,
AC=CP,en la hilera A-E-F-B, AE =
2(EF) = 2 (FB), el lado BC interseca
en los puntos respectivos Q y R a las
cevianas PF y PE. Halle QR.
A) ( )
2
AB
13
B) ( )
3
AB
14
C) ( )
4
AB
15
D) ( )
5
AB
16
E) ( )
6
AB
17
145. Se tiene el triángulo ABC, se trazan
las cevianas AD, BE y CF
concurrentes en P, si 3(AD) = 4(AP),
BE = 2(BP). Halle
CP
CF
A)
1
6
B)
2
5
C)
3
4
D)
4
5
E)
5
6
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- 20 -
SEMEJANZA
146. Se tiene una semicircunferencia O
de diámetro AB de longitud 2R, en el
arco AB se ubican los puntos C y D,
y el diámetro se ubica el punto E, si
CE = a , DE = b y a + b es mínimo.
Halle EO
A) √R2 − ab B) √R2 + ab
C) √R2 − 2ab D) √R2 + 2ab
E) √2R2 − ab
147. Se tiene el pentágono convexo
ABCDE, donde B, D y E están en
una circunferencia de manera que
los lados CD y AE son tangentes a
la circunferencia en D y E, los
ángulos A y C son rectos, si AB = a,
BC = b. Halle la distancia de B al
lado DE.
A) √ab B) √2ab C) √3ab
D) 2√ab E) √5ab
148. Se tiene el cuadrilátero ABCD
inscrito en una semicircunferencia
de diámetro AB, se traza la
perpendicular BQ a DA̅̅ ̅̅ e interseca a
CA̅̅̅̅ en P, si AP = a, CP = b. Halle AB
𝐴) √a(a + b) B) √2ab C) √3ab
D) √b(a + b) E) √2b(a + b)
149. Se tiene el trapecio ABCD donde AD̅̅ ̅̅
es la altura, se traza una
circunferencia que pasa por B y C, y
es tangente al lado AD en E, si AB =
a, CD = b. Halle la distancia de E al
lado BC
A) √ab B) √2ab C) √3ab
D) 2√ab E) √5ab
150. Se tiene el pentágono ABCDE, los
ángulos AEB y DBC son rectos, AE
= EB y BC = BD, P y Q son puntos
medios de AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅̅̅
respectivamente. Halle la medida
del angulo entre PQ⃡⃗ ⃗⃗ y CE⃡⃗⃗⃗
A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 90
151. En el triángulo ABC recto en B
donde BC/AB = 2,4. Se traza la
altura BH̅̅ ̅̅ y se ubican los puntos
medios E y F de BH̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅
respectivamente tal que AE = 8m
entonces AF (en m) es
A) 13 B) 16,4 C) 18,2
D) 20,8 E) 24
152. En el triángulo equilátero ABC, se
ubica en BC̅̅̅̅ el punto D tal que
BD>DC y se construye
exteriormente el triángulo equilátero
BDE. Calcule (en m) la medida del
segmento que une los puntos
medios de AC̅̅̅̅ y DE̅̅ ̅̅ si AD = 12m.
A) 6 B) 4 2 C) 4 3
D) 6 2 E) 6 3
153. En el cuadrilátero ABCD las
diagonales se intersecan en P tal
que AB = 7m, BC = 3m, CD = 27m,
AD = 21m y AC = 9m. Calcule
BP/PD.
A)
1
9
B)
1
8
C)
1
6
D)
1
5
E)
1
4
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- 21 -
154. Se tienen dos circunferencias
tangentes interiores en T, se trazan:
la cuerda AB̅̅ ̅̅ que interseca a la
circunferencia menor en C y D (A-C-
D) y las perpendiculares AE̅̅̅̅ , CF̅̅̅̅ ,
DP̅̅ ̅̅ y BQ̅̅ ̅̅ a la tangente trazada por T
tal que AE.BQ = 72m2 y CF = 9m
entonces DP (en m) es
A) 6 B) 8 C) 9
D) 12 E) 15
155. En el triángulo ABC circunscrito a
una circunferencia cuyo radio mide
14m, se ubican los puntos: Q, M, N,
E, F y P de la siguiente forma A-Q-
M-B, B-N-E-C y C-F-P-A, además
MN̅̅ ̅̅̅ // AC̅̅̅̅ , EF̅̅̅̅ // AB̅̅ ̅̅ y PQ̅̅ ̅̅ // BC̅̅̅̅ . Si los
inradios de los triángulos MBN y
EFC miden 5m y 7m, el inradio del
triángulo AQP (en m) es
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
PUNTOS NOTABLES
156. En un triángulo ABC , E se el
excentro relativo a BC , AE ⋂ BC =
{R}, si m∠BEA = 28, m∠AEC = 34,
calcular la m∠ARC
A) 75 B) 82 C) 90
D) 96 E) 112
157. En un triangulo ABC en el interior se
ubica el punto P tal que m∠PBC=
m∠PAC= 33, m∠BAP= ∝ y m∠ PBA
= 57 – ∝, entonces el punto P es :
A) Baricentro B) Incentro
C) Ortocentro D) Circuncentro
E) Punto notable
158. En un triángulo ABC , m∠BCA = 30
y BC = 18 u, hallar la distancia del
baricentro al lado AC ( en u )
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 9
159. En un triángulo acutángulo ABC la
m∠ABC = 60 y AC = 12 √3 u, hallar
la longitud de la altura BH, si la
Recta de Euler es paralela a AC
A) 10 B) 12 C) 16
D) 18 E) 21
160. En un triángulo ABC recto en B, AC
= 6 √2.u Calcule las distancias entre
entre los excentros relativos a los
catetos (en u)
A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 E) 21
161. Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. En todo triángulo la distancia de
un vertice al punto medio de su
lado opuesto es tres veces la
distancia del baricentro a dicho
punto medio.
II. El ortocentro es interior al
triángulo.
III. El circuncentro puede ser
exterior a un triángulo.
IV. El segmento que une dos
excentros es perpendicular al
segmento que une el incentro
con el tercer excentro.
A) VVVV B) FFVV C) VVFF
D) FVVF E) VFVV
162. En un triángulo ABC de incentro I, se
traza la ceviana BE tal que la
prolongación de AI interseca a BE
en el punto D. Si BD = DE y
m EIC = 20, entonces la medida
del ángulo EBC es
A) 15 B) 20 C) 30
D) 37 E) 40
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- 22 -
163. En una semicircunferencia de
diámetro AB , se traza desde un
punto P exterior al arco AB, la recta
tangente PC (C punto de
tangencia), luego se traza CH
perpendicular a AB (A-H-B). Si
AP AC y HB = u . Calcule la
distancia (en u) del ortocentro del
triángulo APC a PC .
A)
3
B)
2
C)
D) 2 E) 3
164. En un triángulo ABC, el punto G es
el baricentro, tal que los ángulos
AGC y ABC son suplementarios. Si
AC = u, entonces la longitud de
BG es
A) 2 B)
2
2
C)
3
3
D) E) 2
165. En un triángulo ABC de circuncentro
O y de excentros 1E y 2E relativos
a los lados AB y BC
respectivamente, se conoce que m
ABC = 120, entonces la medida
del ángulo 1E O 2E es
A) 60 B) 75 C) 90
D) 120 E) 150
RECTA Y CIRCUNFERENCIA DE
EULER
166. En un triángulo ABC, mABC = 45,
la altura BQ mide 12 u y la recta de
Euler es paralela al lado AC,
entonces calcule la longitud (en u)
del radio de la circunferencia de
Euler del triángulo ABC.
A) 6 B) 2 2 C) 4
D) 2 E) 3
167. En un triángulo acutángulo ABC de
ortocentro H . Si BH = AC = 16 u,
entonces calcule la longitud (en u)
del radio de la circunferencia de
Euler del triángulo ABC.
A) 8 B) 3 C) 4
D) 8 3 E) 4 2
168. El punto H es el ortocentro del
triángulo acutángulo ABC. Los
puntos M, P, L y T son puntos
medios de loslados AB AC, BC y del
segmento BH respectivamente. Si
m MTP = 78, entonces la medida
del ángulo TLM es
A) 18 B) 9 C) 12
D) 24 E) 16
169. En un triángulo acutángulo ABC de
ortocentro H y altura BQ . Si BH +
2(HQ) = 16 u, entonces la distancia
(en u) del centro de la circunferencia
de Euler del triángulo ABC hacia el
lado AC es.
A) 2 B) 3 C) 8
D) 4 E) 5
170. En un triángulo ABC recto en B,
mACB = 15, la hipotenusa mide 8,
entonces la distancia (en u) del
vértice C hacia la recta de Euler es
A) 6 B) 2 C) 4
D) 2,5 E) 3
171. Se tiene un triángulo acutángulo
ABC de ortocentro H y circuncentro
O, la prolongación de 𝐴H interseca a
BC en el punto M, donde O es un
punto del interior del triángulo AMC.
Si m∠ABC = 2m∠OHM , halle la
m∠AHC.
A) 100 B) 110 C) 120
D) 130 E) 140
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- 23 -
172. Un triángulo acutángulo ABC de
ortocentro H , circuncentro O y radio
R, en OB y AC se ubican los puntos
Q y P respectivamente tal que Q-H-
P y QH=HP. Si la recta de Euler es
paralela a AC y HO = R/2, halle la
mayor suma de las medidas de los
ángulos ABO y BAC.
A) 90 B) 100 C) 105
D) 120 E) 135
173. La recta de Euler de un triángulo
ABC es perpendicular a BC e
interseca a la altura CQ en el punto
L. Si LQ = √3u y CL = 2 u, halle la
medida del ángulo BAC.
A) 20 B) 30 C) 37
D) 45 E) 60
174. En un triángulo acutángulo ABC, E
es el excentro relativo a AC . Si el
radio de la circunferencia de Euler
mide 2√2 u y AC = 8 u, halle la
medida del AEC.
A) 45,0 B) 60,0 C) 67,5
D) 72,0 E) 75,0
175. Se tiene un triángulo acutángulo
ABC de ortocentro H, los puntos F,
E y D son puntos medios de AH, AC
y BC respectivamente. Si m∠DEC =
40, entonces la medida del ángulo
FEA es
A) 80 B) 70 C) 60
D) 50 E) 40
RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
176. Se tienen dos circunferencias
congruentes y secantes, cuyos
radios miden 9 u. Si el segmento que
une los centros es congruente con el
radio, entonces la longitud del radio
(en u) de la circunferencia tangente
a las dos circunferencias y a la recta
tangente común exterior es
A)
9
16
B)
8
15
C)
7
16
D)
8
17
E)
9
17
177. En un cuadrado ABCD, se construye
interiormente una
semicircunferencia con diámetro
𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅y se ubica en ella el punto P. Se
traza PQ̅̅̅̅ perpendicular a BC̅̅̅̅ . Si BQ
= a y QC = b, entonces PQ es
A) a + b - ab B) b ab−
C) a ab+ D) ab
E) a ab−
178. En un triángulo ABC, se trazan las
bisectrices interiores AD̅̅ ̅̅ y CE̅̅̅̅ . Se
ubican los incentros I1 e I2 de los
triángulos AEC y ADC. Si mABC =
60, EI1 = a y DI2 = b, entonces la
longitud de 𝐼1̅𝐼2̅ es
A) ab B) 2 2a b+ C)
ab
a b+
D)
a b
2
+
E) 2 ab
179. En una semicircunferencia de centro
O y diámetro AB̅̅ ̅̅ se ubica el punto P,
la proyección de P sobre AB̅̅ ̅̅ es H
.Se traza el trapecio rectángulo
HPQT (H – B –T) de bases PH̅̅ ̅̅ y QT̅̅ ̅̅ ,
tal que P es punto de tangencia de
QP⃗⃗⃗⃗ ⃗ con la semicircunferen-cia y
m∠PQB = m∠BQT. Si PQ = a y QT
= b, entonces la longitud de HT̅̅ ̅̅ es
A) √(a − b)ab B) 2√(a + b)b
C) 2√(a − b)b D) 2√(a − b)a
E) √(a − b)b
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- 24 -
180. En un paralelogramo ABCD, el
punto P pertenece a AB̅̅ ̅̅ , el punto Q
pertence a AC ̅̅ ̅̅ , DQ̅̅ ̅̅ ̅ es
perpendicular a AC̅̅̅̅ y APQD es un
trapecio isósceles de bases AD̅̅ ̅̅ y
PQ̅̅̅̅ . Si AB = a y AQ = b , entonces
la longitud de PC̅̅̅̅ es
A) 2 2a b− B) 2 2a b+
C) 2 22a b+ D) 2 22 a b+
E) 2 23 a b−
181. En los lados AB y BC de un
triángulo ABC, recto en B se ubican
los puntos M y N respectivamente, la
proyección de MN en AC es PQ. Si
el cuadrilátero AMNC es inscriptible
y PQ = 6 u, entonces el valor de
1
(BM)
2 +
1
(BN)
2 es
A)
1
2
B)
1
4
C)
1
8
D)
1
9
E)
1
18
182. En la prolongación del radio BO de
un cuadrante COB, de dentro O se
ubica el punto A, tal que la
semicircunferencia de diámetro AB
interseca a AC y OC en los puntos
D y E respectivamente. Si
mAD 30= y OE = 6 u, entonces la
longitud (en u) de AC es
A) 9 B) 10 C) 12
D) 16 E) 18
183. En un triángulo rectángulo BCD,
recto en C, se traza la altura CE , en
el triángulo BEC se traza la altura
EM , en la prolongación de a altura
MT del triángulo BEM se ubica el
punto A. Si AB BC⊥ , AB = 4 u y DC
= 9 u, entonces la longitud (en u) de
BE es
A) 3 B) 4 C) 6
D) 7,5 E) 9
184. En una circunferencia se trazan los
radios perpendiculares OA y OB ,
en el menor arco AB se ubica el
punto P, se traza el rectángulo
PQMN tal que MQ es paralelo a
OB y tangente a la
semicircunferencia de diámetro OB
y centro I en el punto T (A – N – M ).
Si PQ = TQ = 1 u, entonces la
longitud (en u) de NI es
A) 5 B) 3 6 2+
C) 9 6 2+ D) 6
E) 7 3 2+
185. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se traza la altura BH , M
y N son los puntos medio de AH y
HC respectivamente, desde A se
traza la tangente AT a la
circunferencia de centro B y radio
BM , y desde C se traza la tangente
CQ a la circunferencia de centro B
y radio BN (T y Q son puntos de
tangencia). Si BH = 4 u y (AT)2 –
(QC)2 = 45 u2, entonces la longitud
(en u) de AC es
A) 7,5 B) 9 C) 10
D) 12 E) 15
RELACIONES METRICAS EN
TRIANGULOS OBLICUANGULOS
186. En un trapezoide ABCD, AB = 4 u,
BC = 5 u y mADC = 90. En el lado
AD se ubica el punto E, tal que
mDCE = mCAD. Se traza BH ⊥
AC (H AC ). Si mCEH = 90,
entonces la longitud (en u) de EC
es
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
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- 25 -
187. En un trapecio ABCD, en las bases
AD y BC se ubican los puntos M y
N respectivamente, tal que AM = MD
y 3(NC) = 10(BN). Si AB = 15, BC =
13 m, CD = 12 2 m y AD = 34 m,
entonces la longitud (en m) MN es
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
188. En el interior del cuadrilátero
convexo ABCD se ubica el punto E,
tal que BCDE es un rectángulo. Si
EC = 8 cm y (AB)2 + (BC)2 + (CD)2 +
(AD)2 = 338 cm2, entonces la
longitud (en cm) de segmento que
tiene por extremos el vértice A y el
centro del rectángulo es
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
189. En un triángulo ABC, se traza una
circunferencia tangente en los
puntos M y N al lado BC y a la
bisectriz interior BN
respectivamente (N AC ). Si AB =
3 u, MC = 5 u y (AN)(NC) = 11 u2,
entonces la longitud (en u) de AC
es
A)
33
3
B)
2 33
3
C)
4 33
3
D)
5 33
3
E)
7 33
3
190. En un triángulo ABC, se traza la
altura BH (H AC ); por el incentro
del triángulo BHC pasa la recta L,
paralela al lado AC e interseca al
lado BC en el punto M. Si AB = 17
u, BC = 25 u y AC = 28 u, entonces
la longitud (en u) de MC es
A)
25
3
B)
26
3
C)
28
3
D)
29
3
E)
31
3
191. Sean AB̅̅ ̅̅ y EF̅̅ ̅̅ los diámetros de dos
circunferencias concéntricas C1 y
C2, tales que A-E-F y E-F-B. En C1 y
C2 se ubican los puntos P y Q
respectivamente. Calcule la razón
entre la suma de los cuadrados de
EP y FP con AQ y QB.
A)
2
3
B)
1
1
2
C)
1
1
3
D) 1 E) 2
192. Sea ABCD un trapecio con AB̅̅ ̅̅ //
CD̅̅ ̅̅̅ tal que AB = AC = AD y m∠CAD
= 90. Si (BD)² + (BC)² - (BD)(BC)√2
= 4K², entonces la altura del trapecio
mide
A) K B) K√2 C) K√3
D) 2K E) 3K
193. En el triángulo acutángulo ABC, se
traza la altura BH̅̅ ̅̅ y en ella se ubica
el punto F tal que: m∠AFC = 90, AB
= √2 (AF) y AC = K. Calcule la
longitud de BC̅̅ ̅̅ .
A) K/2 B) K C) K√2
D) K√3 E) 2K
194. En un triángulo, las longitudes de
sus lados son tresnúmeros
consecutivos. Si la medida del
mayor ángulo es el doble de la
medida del menor ángulo, entonces
la medida del mayor ángulo es
A) arc cos(0,125)
B) arc cos(0,25)
C) arc cos(0,20)
D) arc cos(0,251)
E) arc cos(0,105)
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- 26 -
195. En un cuadrilátero convexo ABCD,
el ángulo ABC es recto y el
segmento que une los puntos
medios de AC̅̅ ̅̅ y BD̅̅ ̅̅ mide la mitad
de la longitud de CD̅̅ ̅̅̅ . Calcule la
razón entre AD y BD.
A) 0,75 B) 1 C) 1,5
D) 2 E) 2,5
196. En un triángulo rectángulo ABC
(recto en B), las proyecciones de la
mediana BM sobre los catetos
miden 18 u y 10 7 u. Hallar la
longitud (en u) de la proyección de
BM sobre la hipotenusa.
A) 11,25 B) 11,5 C) 11,75
D) 12 E) 12,25
197. El triángulo ABC rectángulo (recto
en B) tiene un ángulo agudo con
medida de 53/2, siendo el cateto
opuesto de 10 2 5+ u de longitud.
Si CD es una bisectriz interior,
calcule la longitud (en u).
A) 2 5 B) 5 C) 5 3
D) 3 5 E) 5 2
198. En un trapecio ABCD ( AB // CD ), la
suma de las longitudes de las bases
es 18 m. Si AC2 + BD2 = 522 m2,
halle la longitud del segmento que
une los puntos medios de las bases.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 6 5
199. Sea una semicircunferencia de
diámetro AB y centro en O. Con
centro en A y radio AO se traza un
arco que interseca a la
semicircunferencia en C. Si AB = 4
u, halle el radio de la circunferencia
inscrita en el triángulo mixtilíneo
OBC.
A)
3
3
B) 3 C) 2
D)
2
2
E)
3
2
200. Sean los puntos colineales A, B y C
siendo AB = 8 u y BC = 4 u, se trazan
las semicircunferencias de
diámetros AB , BC y AC en el
mismo semiplano con relación a la
recta AC . Halle el radio de la
circunferencia tangente a las tres
semicircunferencias trazadas.
A)
10
7
B)
11
7
C)
12
7
D)
14
7
E)
15
7
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
201. En un paralelogramo ABCD, de
diagonales AC = 10 𝑢 y BD = 8 𝑢
la circunferencia circunscrita al
triángulo ABD es secante a 𝐵𝐶 y
tangente a 𝐶𝐷 en D, entonces la
longitud (en 𝑢) de 𝐶𝐷 es:
A) 3√2 B) 4√2 C) 5√2
D) 6√2 E) 7√2
202. En un triángulo ABC, de
circuncentro O; M es punto medio de
𝐵𝐶 , L ϵ 𝐴𝐶 y 𝑀𝐿 ⊥ 𝑂𝐶 ; Si: AL = 5
𝑢 y LC = 4 𝑢, entonces la longitud
(en 𝑢) de 𝐵𝐶 es:
A) 2√2 B) 8√2 C) 4√2
D) 6√2 E) 9
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203. Con centro en el interior de un
cuadrante AOB cuyo radio mide 8 𝑢.
Se traza una circunferencia de radio
r, la cuál es tangente a los radios 𝑂𝐴
y 𝑂𝐵 e intersecta al arco 𝐴�̂� en M
y N. Si 𝑀𝑁 ∩ 𝑂𝐵 = {𝐶} y BC = 2 𝑢,
entonces r (en 𝑢) es:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
204. En un paralelogramo ABCD la
circunferencia circunscrita al
triángulo ABD intersecta a la
diagonal 𝐴𝐶 en F, Si: 𝐴𝐷 es
diámetro, AF = 17 𝑢 y FC = 9 𝑢 ,
entonces la longitud (en 𝑢) de FD es
A) 3√2 B) 4√2 C) 6
D) 8 E) 9
205. En una circunferencia de centro O
y diámetro 𝐴𝐶 cuya longitud es 12
cm, la cuerda 𝑀𝐹 corta a 𝐴𝑂 en E.
Si: AE = 1 cm y 𝑚𝑀�̂� = 3𝑚𝐴�̂� ,
entonces la longitud (en cm) de 𝐸𝑀
es
A) 1,1 B) 1,8 C) 2,2
D) 2,4 E) 3,2
206. ABCD es un rectángulo inscrito en
una circunferencia, la cuerda DQ
interseca a BC en P. Si BP = 3 m,
PC = 4 m y PQ = 2 m, halle (en m)
AB.
A) 3 B) 4 C) 2 2
D) 2 5 E) 2 3
207. En un triángulo ABC, una
circunferencia que contiene a B y C
es secante a los lados AB y AC en
M y N respectivamente. Por A se
traza la recta tangente a dicha
circunferencia en el punto T. Si mBM
= 2mBAC, BC = 6 m y AT = 8 m,
halle (en m) AB.
A) 9 B) 12 C) 8
D) 10 E) 2 5
208. Sean C1 y C2 dos circunferencias
secantes en A y D, TL es una recta
tangente común exterior a dichas
circunferencias ( D cerca a dicha
recta, T en C1 y L en C2), TL es
paralela a la cuerda DB de C2, AL
y DB se intersecan en N. Si AN =
3NL y TL = 4 cm, halle (en cm) AD.
A) 2 B) 3 C) 2 2
D) 2 3 E) 4
209. En un triángulo acutángulo ABC, de
circuncentro O, M es el punto medio
de BC y Q un punto de AC . Si MQ
y OC son perpendiculares, MC = 6
m y QC = 4 m , halle (en m) AQ.
A) 14 B) 12 C) 16
D) 10 E) 18
210. En un triángulo acutángulo ABC, P
es un punto de la prolongación del
lado CB y CT es una recta
tangente a la circunferencia que
contiene a P y B ( T punto de
tangencia). Si AB = PC , CT = 6 m y
la distancia de B a AC es 4 m , halle
(en m) la longitud del circunradio del
triángulo ABC.
A) 4,5 B) 5,4 C) 5,6
D) 4,8 E) 7,2
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- 28 -
211. En la figura, ABCD es un cuadrado
y 2AS=SN, entonces la longitud de
ON es:
A)
r 2
4
B)
r 2
2
C)
r 2
6
D)
r 2
8
E)
r 2
10
212. Desde un punto P exterior a una
circunferencia se trazan las
tangentes PA y PC (A y C son puntos
de tangencia) y la secante PBD, tal
que BD y AC se intersecan en el
punto M. Si 9(CM)=4(AM) entonces
CD/AD:
A)
1
3
B)
5
3
C)
2
3
D)
7
3
E)
4
3
213. En la siguiente figura O
1
y O
2
son los
centros, tales que: BE=25 m, ED=11
m. Calcular BC.
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
214. Se tiene dos circunferencias
tangentes interiores en el punto B, la
circunferencia menor pasa por el
centro de la circunferencia mayor, y
la cuerda AC de la circunferencia
mayor es tangente a la
circunferencia menor en el punto M.
Si AM=16u y MC=4u, entonces la
longitud (en u) de la cuerda BM es:
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 9
215. Desde un punto exterior P a una
circunferencia C se trazan las rectas
tangentes PA y PB (A y B en C), en
el arco mayor AB se ubica el punto F
tal que PF interseca al arco menor
AB y a la cuerda AB en los puntos C
y D, si PC=a y CD=b, entonces la
longitud de DF es:
A)
ba
)ba(a
+
−
B)
ba
)ba(b
+
−
C)
2
)ba)(ba( −+
D)
ba
)ba(a
−
+
E)
ba
)ba(b
−
+
TEOREMA DE PTOLOMEO Y
TEOREMA DE VIETTE
216. En un cuadrado ABCD, se ubica el
punto P en AC̅̅̅̅ y en AD̅̅ ̅̅ se ubica el
punto Q. Si el ángulo BPQ mide 90
y AQ + AD = 3√2 u, entonces la
longitud (en u) del AP̅̅̅̅ es.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 2 2
217. En un trapecio isósceles, el producto
de las longitudes de las bases es 75
u2 y las longitudes de los lados no
paralelos es 8 u. Calcule (en u) la
longitud de una diagonal.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
A
B C
D
S N
L
O
A B
C
D
E
F
O
2
O
1
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- 29 -
218. En un triángulo acutángulo ABC,
exteriormente se trazan los
triángulos equiláteros APB y BQC
respectivamente, AQ y CP se
intersecan en el punto F. Si BF = a y
AF + FC = b, entonces FP + FQ es.
A) a + b B) 2a + b
C) a + 2b D) 3a + b
E) 2a + 3b
219. En un triángulo acutángulo ABC, I es
el incentro. Si el perímetro es 2p, BI
= n y AC = m, entonces la longitud
del circunradio del triángulo AIC es.
A)
( )
mn
2 p m−
B)
( )
mn
2 p m+
C)
mn
p m+
D)
mn
2p m+
E)
2mn
p m+
220. En un triángulo ABC, se traza la
bisectriz interior BD̅̅ ̅̅ , en los lados AB̅̅ ̅̅
y BC̅̅̅̅ se ubican los puntos F y E
respectivamente, EF̅̅̅̅ // AC̅̅̅̅ y los
ángulos BAC y BDE son
congruentes. Si (BF)(BE) = 16 u2 y
DF = 3 u, entonces la longitud (en u)
del BD̅̅ ̅̅ es
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
221. Un cuadrilátero ABCD está inscrito
en una circunferencia, AC̅̅̅̅ intersecaa BD̅̅ ̅̅ en el punto E, por el vértice D
se traza una recta tangente paralela
a AC̅̅̅̅ . Si AB + BC = 21 u, AC = 7 u y
ED = 4 u, calcule CD (en u)
A)
80
7
B) 12 C)
50
3
D) 17 E) 20
222. En un triángulo acutángulo ABC, se
ubica el incentro P y su circuncentro
O. Si mAPO = 90, AC = 10 u, AP =
6 u y (AB)(BC) = 128 u2, entonces la
longitud de AB̅̅ ̅̅ es
A)
210
13
B)
370
27
C)
370
27
D)
600
27
E)
367
13
223. El cuadrado ABCD, está inscrito en
una circunferencia y P pertenece al
arco menor AB. Si AP = 9 u y PB =
12 √2 u, entonces la longitud del
lado del cuadrado es
A) 3√65 B) 23√2 C) 5√13
D) 3√2 E) √63
224. En un cuadrado ABCD, los puntos
T y P pertenecen a AC̅̅̅̅ y CD̅̅̅̅
respectivamente. Si mPTB = 90,
PC = √2 u y CB = √6 u, entonces la
relación de TB y TC es
A) 3√2 B) 4√6
C) 5√6 + √2 D) √6 - √2
E) 8√3
225. En una circunferencia, se inscribe
un triángulo ABC, la cuerda BP̅̅̅̅
interseca al lado AC̅̅̅̅ en el punto Q,
tal que PQ = 2(BQ). Si AP = PC; AB
= 9 u y BC = 3 u, entonces la longitud
de AC̅̅̅̅ .
A)
4 6
3
B)
6
3
C) 2 3
D) 4√3 E) 4√6
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- 30 -
POLÍGONOS REGULARES I
226. En un cuadrado ABCD cuyo lado
mide √2 − √3 , se trazan un arco
AC con centro en D y una
circunferencia de radio AD̅̅ ̅̅ con
centro en A que se intersecan en P.
La prolongación de CP̅̅ ̅̅ interseca a
la circunferencia en el punto M,
entonces la longitud (en u) de MC̅̅ ̅̅ ̅ es
A) √2 B) 1 C) √3
D) 2 E) √3 − √2
227. En una circunferencia de diámetro
AB̅̅ ̅̅ se traza la cuerda CD̅̅ ̅̅̅ de tal
manera que los puntos C y D están
en distintos semiplanos respecto
AB̅̅ ̅̅ , mCD̂ = 135.Si la diferencia de
las distancias de B y A sobre CD̅̅ ̅̅̅ es
4√2 − √2 u. Calcule el radio de la
circunferencia ( en u ).
A) 4 B) 2 C) 3
D) 6 E) 8
228. En un triángulo ABC con circunradio
R, AC = R√2 , BC= R√3 , y
entonces la longitud de AB̅̅ ̅̅ es.
A) R√2 + √3 B) R√2 − √3
C) 2R√2 + √3 D) 4R√2 − √3
E) 3R√2 + √3
229. En un triángulo ABC se ubica el
punto D en su interior, tal que
AB = BC = R, AD = R √2 − √3 .
Si m ∠ DAC = 2 m ∠ DAC y
m∠ACD = 15, entonces la medida
del ángulo BAD es
A) 10 B) 15 C) 20
D) 18 E) 12
230. En un cuadrado ABCD, con centro
en D radio DA̅̅ ̅̅ se traza un arco de
circunfe- rencia que interseca a
BD̅̅ ̅̅ en el punto P. La prolongación
de AP̅̅ ̅̅ interseca a BC̅̅ ̅̅ en el punto
M, luego se traza MN̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ PC̅̅ ̅̅ (N∈
PC̅̅ ̅̅ ). Si AD = √2 + √2 u entonces
la longitud (en u) de MN̅̅ ̅̅ ̅ es
A) √2 − 1 B) √2 +1
C) √3 −1 D) √3 +1
E) √3 − √2
231. En un triángulo ABC recto en B, el
ángulo ACB mide 7,5. Si AC =
4√2 + √3 cm, entonces la longitud
(en cm) de la altura relativa a la
hipotenusa es
A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5
D) 2,0 E) 2,5
232. En el interior de un triángulo ABC
recto en B, se ubica el punto Q tal
que m∠QCB = 22,5. Si m∠A = 51,
AC = 2√2 + √2 cm y QB = √2 cm,
entonces la medida del ángulo QBC
es
A) 18,5 B) 26,5 C) 22,5
D) 28,5 E) 37
233. El triángulo equilátero ABC está
inscrito en una circunferencia. M es
punto medio de BC̅̅ ̅̅ y N un punto del
arco BC, tal que MN̅̅ ̅̅ ̅//AC̅̅ ̅̅ . Si MN =
1 u y 2 = √5 + 1 entonces la
longitud de AB̅̅ ̅̅ , en u, es
A) B) 2 C) 2
D) 3 E) 3
234. ABCDE y AGDH son dos polígonos
regulares inscritos en una
circunferencia cuyo radio mide 1 u.
Calcule, en u2, (GE)2 – √3
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
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- 31 -
235. En una circunferencia cuyo radio
mide (2 + √2) u, se traza la cuerda
AB, tal que AB = ln, es la longitud
de un lado del polígono regular
inscrito de n lados y an es la longitud
del apotema del mismo polígono. Si
ln = 2(an), entonces la longitud del
radio de la mayor circunferencia
inscrita en el segmento circular AB,
en u, es
A)
1
4
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
4
E) 1
236. En una circunferencia C se inscribe
un triángulo ABC, tal que las
medidas de los arcos BC, y AB, es
360/7 y 720/7 respectivamente. Si
AB= c y AC= b ,entonces BC es
A)
cc bc bb
b
+ −
B)
cc bb bc
b
+ −
C)
cc bc bb
b
+ −
D)
cc bb bc
b
+ −
E)
cc bb bc
c
+ −
237. En un dodecágono regular
ABCEFGHIJKL, su lado mide l , BF̅̅̅̅
intersecta a DK̅̅ ̅̅ y a DI̅̅ ̅ en los puntos
M y N respectivamente, halle MN.
A) l√2 − √3 B)
l √2+√3
2
C)
l √2−√3
2
D)
l √2−√2
2
E)
l √2+√2
2
238. En un hexágono regular ABCDEF
inscrito en una circunferencia C se
ubica el punto M punto medio del
arco CD tal que FM=a, halle la
longitud del lado del hexágono.
A) a √2 − √3 B)
a √2+√3
2
C)
a √2−√3
2
D)
a √2−√2
2
E)
a √2+√2
2
239. En un Octágono regular
ABCDEFGH inscrito en una
circunferencia C se trazan HD̅̅ ̅̅ y BE̅̅̅̅
intersectándose en el punto I tal que
BI = a √2, halle la longitud del lado
del octágono.
A) a B)
a
2
C)
a √2−√3
2
D)
a √2−√2
2
E)
a √2+√2
2
240. En una circunferencia C se
inscriben un cuadrado ABCD,
dodecágono regular AIJBKLC…….
Y un octógono regular AEBFC… y
un Si AB= a entonces EJ es
A)
a
2
√4 − 2√2 + √3
B)
a
2
√4 − 2√1 + √3
C)
a √2−√3
2
D)
a √2−√2
2
E)
a √2+√2
2
POLÍGONOS REGULARES II
241. En un pentágono regular ABCDE, la
perpendicular a CD̅̅ ̅̅̅ trazada por C,
interseca a AB̅̅ ̅̅ en F. Si AE + AF =
k, entonces la longitud del BD̅̅ ̅̅ es
A) k√10-2√5 B) k (
√5 + 1
2
)
C) k√5 D) k√3
E) k
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- 32 -
242. Se tiene una circunferencia cuyo
radio mide √5u, entonces la longitud
del radio (en u) de las otras 10
circunferencias congruentes que
pueden rodear completamente a la
primera es
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 2 E) √5
243. Un segmento AB̅̅ ̅̅ es dividido en
media y extrema razón por un punto
P, si AP > PB y AB=( √5 + 3)u ,
entonces la longitud (en u) de PB̅̅ ̅̅ es
A) 4 B) 5 C) 6
D) 2 E) 3
244. En un triángulo rectángulo ABC,
recto en B, se traza la altura BH̅̅ ̅̅ , si
HC̅̅ ̅̅̅ es congruente a la sección
aurea de AC̅̅ ̅̅ entonces es cierto que:
A) AH > HC B) BH = HC
C) AH = BC D) AB = HC
E) AC = AH + BH
245. En un decágono regular
ABCDEFGHIJ cuyo circunradio
mide R. Calcular la longitud del
segmento que une los puntos
medios de AD̅̅ ̅̅ y BH̅̅ ̅̅ .
A) R√2 − √5 B)
R
2
√4 − √5
C)
R
2
√4 − 2√5 D)
R
2
√2 + √5
E)
R
2
√2 − √5
246. En un triángulo ABC; mA = mC =
72, se trazan AF (F en BC )
bisectriz del ángulo BAC; FJ
bisectriz del ángulo AFC. Hallar:
BJ
BF
A)
5 1
4
+
B)
5 1
2
−
C)
1
3
D)
1
2
E) 1
247. En una circunferencia de radio R, se
traza una cuerda que subtiende un
arco de 216 grados sexagesimales.
Hallar la distancia del centro a la
cuerda.
A)
R
4
B)
R
5 1
4
− C)
R 5
2
D)
R 3
2
E)
R
5 1
4
+
248. ABCDE es un pentágono regular y
las diagonales BD y CE se interse-
can en Q. Cuando QA2 – QC2 = 10,
halle la longitud del radio del
pentágono (en u).
A) ( )5 5 1− B) 3 5
2
C) 10
D) 3 E) 6
249. Un héxagono regular se encuentrainscrito en una circunferencia de
radio R. Halle la apotema del
polígono regular isoperímetro con el
hexágono regular y de doble número
de lados.
A)
R 3
2
B) ( )R 2 3
4
+
C)
R
2
D) ( )R 2 3
4
−
E)
2R
3
250. En un triángulo rectángulo ACB,
recto en C, se traza la altura CH , H
divide a AB en media y extrema
razón. El mayor de los segmentos
que determina H en AB mide 12 u.
Halle la longitud del cateto menor.
A) 6 B) ( )3 5 1−
C) ( )6 5 1− D) 12
E) 2 3
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- 33 -
SIMETRIA EN EL PLANO
251. Dado un triángulo ABC de incentro I,
el triángulo A B C es el simétrico de
ABC respecto de I. Indique el valor
de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
I. Los triángulos ABC y A B C
determinan un hexágono
circunscriptible a una
circunferencia.
II. Ninguna diagonal del hexágono
determinado en el ítem anterior
es perpendicular a BB .
III. Todas las diagonales del
hexágono determinado se
intersecan en I.
A) VVF B) VFV C) VVV
D) FVV E) FFV
252. En un triángulo ABC, recto en B, se
traza la altura BH y en los lados AB
y BC se ubican los puntos P y Q
simétricos respecto de un punto de
BH . Si la proyección ortogonal de
AC sobre PQ mide , entonces la
longitud de BH es
A)
3
B)
4
C)
2
D)
2
E)
2
3
253. En una circunferencia de centro O,
se ubican los puntos O y O tal
que O es el simétrico de O con
respecto de la recta secante L y
O es el simétrico de O respecto
de algún punto de L . ¿Cuál es la
medida del ángulo que determinan
la recta L y la cuerda O O ?
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
254. En un triángulo ABC se traza la
mediana BM , se traza el triángulo
A BC simétrico de ABC respecto de
BM . Si m BAC 120 = y AB = ,
entonces la longitud CC es
A)
3
2
B) 2 C) 3
D) 2 E) 3
255. En un triángulo acutángulo ABC, B y
B son simétricos respecto de la
recta de Euler del triángulo ABC y
simétricos respecto de la
circunferencia de Euler del triángulo
ABC. ¿Cuál es la medida del ángulo
ABC?
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
256. En un rectángulo ABCD, en los
lados AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ y CD̅̅ ̅̅ se ubican los
puntos P, Q y R, talque AP = PB = 4
cm , AD = 12 cm y CR = 6 cm. Si PQ
+ QR es mínimo, entonces la
longitud (en cm) de BQ̅̅ ̅̅ es
A) 4,5 B) 3,8 C) 4,8
D) 3,2 E) 3,6
257. En un rectángulo ABCD, los puntos
P y Q son los simétricos de los
puntos A y B con respecto a BD̅̅ ̅̅ y
AC̅̅ ̅̅ . Si AB = 3 cm y BC = 5 cm,
entonces la longitud (en cm) de PQ̅̅ ̅̅̅
es
A)
98
19
B)
99
17
C)
96
19
D)
97
17
E)
98
17
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258. En un triángulo ABC, AB = 10 cm,
BC = 15 cm y AC = 20 cm. Si el
triángulo A’BC’ es simétrico del
triángulo ABC con respecto a una
recta que contiene a la bisectriz
interior BD̅̅ ̅̅ , entonces la longitud (en
cm) de C’D̅̅ ̅̅ ̅ es
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
259. En un triángulo ABC, recto en B, se
traza la altura BH̅̅ ̅̅ , los puntos A y M
son simétricos con respecto de
BH⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ ; los puntos P y Q pertenecen
a BH̅̅ ̅̅ y BC̅̅ ̅̅ respectivamente. Si
MC = 2(AH) = 4 cm, entonces el
menor perímetro (en cm) del
triángulo MPQ es
A) 2√3 B) 4√3 C) 6√3
D) 2√6 E) 4√6
260. Los cuadrados ABCD y A’B’CD’ son
simétricos con respecto al punto C y
los puntos D’ y P son simétricos con
respecto a la recta DB’. Si AB = 2
cm, entonces la longitud (en cm) de
PB̅̅ ̅̅ es
A) 4√6 B) 2√10 C) 4√7
D) √13 E) √15
LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA
261. Dado un cuadrante AOB, desde A y
O se trazan rectas tangentes AT̅̅̅̅ y
OQ̅̅ ̅̅ a una circunferencia con centro
en el punto B (T y Q son puntos de
tangencia). Si OQ = 5 u y AT = 8 u,
entonces la longitud de la
circunferencia en (cm) es
A) 2√3π B) 2√13π
C) 2√14π D) √15𝜋
E) 139
262. En una circunferencia se inscribe un
hexágono regular ABCDEF y en el
arco BC se ubica el punto P tal que
PA = a u y PC = b u. Calcule la
longitud de la circunferencia cuyo
diámetro es PE̅̅̅̅ .
A) 2(a + b)π B) (a + b)π
C) 3(a+b)π D)
(a+b)π
2
E)
3(a+b)π
4
263. En una circunferencia se ubican los
puntos A, C y B, la longitud de AC̅̅̅̅ es
𝑙5 y CB = 𝑙10 . Si la distancia del
punto B a AC⃡⃗⃗⃗ es 2 u, entonces la
longitud del arco BC es
A)
2
5
B)
4
5
C)
3
5
D) √15π E) 3√2π
264. En un cuadrilátero convexo ABCD,
si AB = 2 u, m∠ABD = 90 y 6m∠BAC
= 6m∠BDC = 3m∠CAD = 2m∠BCA.
Calcule la longitud (en u) del arco
BC.
A)
√2π
6
B)
√3π
6
C)
√2−√3π
4
D)
√4−2√3π
6
E)
√4−√3π
4
265. Dos circunferencias C1 y C2 de
centros O1 y O2 respectivamente
son tangentes interiores en el punto
T, el radio O1N̅̅ ̅̅ ̅ es tangente a C2 en
el punto M, E pertenece al arco
menor TN̂ y la prolongación de
EO2̅̅ ̅̅ ̅ interseca a C1en el punto F. Si
O1M = MN = 4 u, entonces la
longitud de la circunferencia C2 es
A) 6π B) 3π C) 4π
D) π E) 5π
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- 35 -
266. En una circunferencia de centro O,
los radios OA y OB
perpendiculares miden R; con
centros en los puntos A y B y con
radios OA y OB se trazan los OP
y OQ (P y Q pertenecen al AB .
Calcule el perímetro de la región
limitada por los OP , OQ y PQ .
A)
2
R
3
B)
5
R
3
C) R
2
D)
2
R
5
E)
5
R
6
267. Se trazan dos semicircunferencias
C1 y C2, de diámetros AB̅̅ ̅̅ y DB̅̅ ̅̅
respectivamente, tal que A – D – B;
desde A se traza una recta tangente
a C2 en el punto T; con centro en B
se traza una circunferencia que
interseca a C2 en Q. Si AB = 16 cm,
BQ = 6 cm y mTAB = 37, entonces
la longitud aproximada (en cm) del
arco TQ̂ es
A)
67
10
B)
67
12
C)
67
20
D)
67
30
E)
67
15
268. En un cuadrado ABCD, AD =
√6 + 3√3 u. Calcule la longitud (en
u) de la circunferencia circunscrita al
menor triángulo curvilíneo
determinado por los arcos de
circunferencia de centros A, D, C y
radios congruentes con el lado del
cuadrado.
A) 1π B) 1,5π C) 2π
D) 2,5π E) 3π
269. Un triángulo equilátero ABC, está
inscrito en una circunferencia de
longitud de radio R. Calcule la
longitud de la circunferencia
máxima, tangente a un lado y a su
respectivo arco menor.
A)
𝜋
2
R B)
𝜋
4
R√3
C)
𝜋
2
R√3 D) 7𝜋
4
R
E)
9𝜋
4
R
270. En un cuadrado ABCD, con centros
en A y B se trazan los arcos BD y AC
respectivamente, BD̂ AĈ = T y
BD̅̅ ̅̅ AĈ = M. Si AB = 8 u,
entonces la longitud (en u) del arco
MT es
A)
3
4
B)
4
5
C)
5
6
D)
2
3
E)
3
5
ÁREAS DE REGIONES
POLIGONALES
271. Se tienen un cuadrado ABCD y una
circunferencia de centro D y radio
DA̅̅ ̅̅ . Se trazan el diámetro EF̅̅ ̅̅ y BH̅̅ ̅̅
perpendicular a EF̅̅ ̅̅ (H ∈ ED̅̅ ̅̅ ). Si
AC̅̅ ̅̅ ∩ BH̅̅ ̅̅ = {G} y (BH)(BG) = 24 u2,
entonces el área (en u2) de la región
triangular ABC es
A) 12 B) 18 C) 24
D) 20 E) 28
272. Sea el cuadrante AB de centro O
cuyo radio mide 5u, se traza la
circunferencia tangente al arco AB
en el punto P y a la prolongación del
radio OB en el punto C. Calcular (en
cm2) el área de la región
determinado por el rectángulo
ACDE, AP = CD.
A) 18 B) 20 C) 24
D) 50 E) 36
273. En un cuadrado ABCD, en las
prolongaciones de los lados
opuestos AB̅̅ ̅̅ y CD̅̅ ̅̅̅ se ubican los
puntos M y N respectivamente. Si
BM = 1 u, DN = 6 u y MN = 13 u,
entonces el área (en u2) de la región
cuadrada ABCD es
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 25
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- 36 -
274. En un cuadrado ABCD de centro O,
se ubican los puntos de M y N en AD̅̅ ̅̅
y CD̅̅ ̅̅̅ respectivamente tal que AN̅̅ ̅̅
es perpendicular a OM̅̅ ̅̅ ̅. Si MD = 4 u
y ND = 2 u, calcule el área (en u2)
de la región cuadrada ABCD.
A) 25 B) 36 C) 49
D) 100 E) 72
275. Exteriormente a un paralelogramo
ABCD se traza el rectángulo BCRQ,
tal que AR̅̅ ̅̅ interseca a BC̅̅ ̅̅ en M,
BM = MC, AM = 9, RC = 3 y m∠ARC
= 2(m∠BAR). Calcule el área de la
región rectangular BCPQ.
A) 12√3 B) 18√3 C) 12√5
D) 18√3 E) 14√5
276. En una circunferencia, una cuerda
que subtiende un arco que mide 120
tiene una longitud de 6 cm. Calcule
el área (en cm2) de la región
cuadrada inscrita en la
circunferencia.
A) 14 B) 18 C) 20
D) 24 E) 28
277. Se tiene una región cuadrada ABCD
de centro O, exterior al cuadrado y
relativo a los lados BC y CD se
ubican los puntos P y R tal que
OPQR es una región cuadrada y
BP // DR . Si BP 3 u= y DR 4 u= ,
entonces el área (en u2) de la región
cuadrada ABCD es
A) 12 B) 13 C) 20
D) 24 E) 25
278. En un cuadrante AOB, P es un punto
de OA , OPQB es un rectángulo y L
un punto de PQ . Si m ALO 90 = y
OL = 8 m, entonces el área (en m2)
de la región rectangular OPQB es
A) 48 B) 52 C) 64
D) 72 E) 80
279. En un paralelogramo ABCD, los
lados , y son tangentes
a una circunferencia C de longitud
de radio r, la circunferencia que
contiene al vértice C es concéntrica
a C y tangente al lado en el
punto B. Calcule el área de la región
paralelográmica ABCD.
A) B) C)
D) E)
280. En un rectángulo ABCD, el punto I
es el incentro del triángulo ABC, P y
Q son las proyecciones ortogonales
de I sobre y . Si el área de la
región rectangular ABCD es ,
entonces el área (en u2) de la región
cuadrangular ACPQ es
A) 6 B) 9 C) 12
D) 15 E) 18
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Y APLICACIONES
281. En un Triángulo ABC de incentro I.
Si AB =17 , BC=25 y AC=28,
entonces el área en (𝑢2) de la región
triángular AIC es.
A) 72 B) 84 C) 64
D) 75 E) 96
282. En un triángulo ABC escaleno, las
circunferencias inscrita y exinscrita
relativo al lado BC es tangente al
lado AC y a la prolongación de AC
en los puntos E y F
respectivamente. Si
( )( )( )( ) 4AE EC CF AF 200 u= ,
entonces el área (en u2) de la región
triangular ABC es
A) 5 2 B) 10
C) 10 2 D) 10 3
E) 20
BC CD AD
AB
2r 3 22r 2 2r 6
22r 3 24r 3
CD AD
248 u
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- 37 -
283. En un triángulo rectángulo, los
radios de las circunferencias inscrita
y circunscrita miden r y R. Calcule el
área de la región triangular
correspondiente.
A) ( )R r r+ B) ( )R r R−
C) ( )2R r R+ D) ( )2R r r+
E) 2Rr
284. En un triángulo ABC la
circunferencia inscrita al triángulo
determinan en el lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
segmentos de longitudes m y n.
Calcule el área de la región
triangular ABC.
A) mncotg(B) B) mn
C) mncotg(B/2) D) mn tang(B)
E) mntang(B/2)
285. En un triángulo ABC, los lados
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ miden 13u, 15u y 14u,
respectivamente y E es el excentro
relativo al lado 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅, calcule (en u2) el
área de la región triangular ACE.
A) 48 B) 64 C) 72
D) 84 E) 98
286. Dado un triángulo ABC, recto en B,
se traza la circunferencia tangente a
BC y a la prolongación de AC en
los puntos P y T, en la prolongación
de AT se ubica el punto H y por H
se traza la recta tangente a la
circunferencia en Q y perpendicular
a CT tal que A P Q− − . Si BT u=
, entonces el área (en u2) de la
región triangular BTP es
A)
2
4
B)
2
2
C)
2 3
2
D) 2 E) 22
287. En un triángulo equilátero ABC, en
el lado AC y en el exterior se ubican
los puntos P y Q tal que PQ
interseca a BC . Si AP u= ,
entonces el área (en u2) de la región
triangular APQ es
A)
2
4
B)
2
2
C)
2 3
2
D) 2 E) 22
288. En un triángulo ABC, en el lado AB
se ubican los puntos N y L, en el lado
BC los puntos P y Q, y en el lado
AC los puntos M y S tal que el
hexágono MNLPQS es circunscrito
a la circunferencia inscrita al
triángulo ABC. Los inradios de los
triángulos ANM, LBP, QCS y ABC
miden 1r , 2r , 3r y r, y las áreas de las
regiones triangulares ANM, LBP,
QCS y ABC son 1S , 2S , 3S y S.
Demuestre que:
31 2
1 2 3
SS S S
r r r r
+ + =
289. En el diámetro AB de una
circunferencia se ubica el punto L,
con centros en A y B se trazan los
arcos LM y LN tal que M pertenece
al arco AN, luego se traza la
circunferencia de centro O tangente
a los arcos LM, MN y LN cuyo radio
mide r, en el arco AB se ubica el
punto P tal que PL AB⊥ y PL h= .
¿Cuál es el área de la región
triangular AOB?
A) 2 2
h
2h 4r
2
+ B)
2 2h h r+
C) 2 2r h r+ D) 2 2
h
h r
2
+
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290. En un triángulo ABC, las
circunferencias exinscritas
correspondientes a los lados AB y
BC son tangentes a dichos lados en
los puntos P y Q. Si m ABC 60 = y
el área de la región triangular ABC
es igual a S, entonces el área de la
región triangular PBQ es
A)
S
4
B)
S
2
C)
3S
4
D)
S
3
E)
2S
3
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D. 413
