Calcul intégral by Gilles Charron Pierre Parent

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Calcul intégral
Gilles
CHARRON
Pierre
PARENT•
5e édition
Pythagore (e siècle av. J.-C.)
Aristote (384-322 av. J.-C.)
Euclide (e siècle av. J.-C.) et Archimède (287-212 av. J.-C.)
Calcul d’aires de gures courbes et de volumes de solides arrondis
Transmission du savoir grec aux Européens par les Arabes
Leonardo Fibonacci (vers 1175-vers 1240)
Numération indo-arabe, algèbre
Nicole Oresme (vers 1323-1382)
Espace parcouru comme aire sous le graphe de la vitesse
Invention de la machine à vapeur par Watt
Le calcul différentiel et intégral devient central dans la formation
des ingénieurs
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)
Rigueur et fondement du calcul intégral, séries
Électromagnétisme
Bernhard Riemann (1826-1866) Somme de Riemann
Georg Cantor (1845-1918) Il y a plusieurs innis
Nicolas Bourbaki (1935-)
Groupe de mathématiciens ayant grandement inuencé
les mathématiques modernes
Andrew Wiles (1953-) Démonstration du théorème de Fermat
Nicolas Copernic (1473-1543) Place le Soleil au centre de l’Univers
Galilée (1564-1642)
Introduction des mathématiques dans l’application des lois physiques
Johannes Kepler (1571-1630)
Astronomie et mesure du volume de tonneaux de vin
René Descartes (1596-1650) Géométrie analytique
Gilles Personne de Roberval (1602-1675)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Evangelista Torricelli (1608-1647)
Aire sous le graphe de fonctions spéciques
Algèbre : outil pour comprendre la mécanique
Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Leibniz (1646-1716)
Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
Guillaume de L’Hospital (1661-1704)
Premier manuel du calcul différentiel
Leonhard Euler (1707-1783) Mathématisation de la physique
Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) Séries innies
Le calcul intégral au fil du temps
Révolution industrielle
(1780-1880)
1789 Révolution française
1867 Confédération canadienne
1759 Bataille des plaines d’Abraham
Bas Moyen Âge
(1100-1453)
1163 Début de la construction de la
cathédrale Notre-Dame à Paris
1195-1270 Les Croisades
Après 1400 Usage du canon
Les grands explorateurs
1450 Imprimerie
1492 Découverte de l’Amérique
par Christophe Colomb
1534 Découverte du Canada
par Jacques Cartier
Révolution scientifique
(1543-1700)
1608 Fondation de Québec
1642 Fondation de Montréal
1661-1689 Construction du château
de Versailles
Antiquité
(800 av. J.-C.-500)
323 av. J.-C. Mort d’Alexandre le Grand
Calcul intégral
Gilles
CHARRON
Avec la collaboration de
Nadia Laamme
Cégep de Lévis-Lauzon
Pierre
PARENT•
5e édition
Calcul intégral
5e édition
Gilles Charron et Pierre Parent
© 2016 TC Média Livres Inc.
© 2009 Chenelière Éducation inc.
© 2004 Groupe Beauchemin, Éditeur Ltée
© 1997 Éditions Études Vivantes Groupe Éducalivres, inc.
© 1991 Éditions Études Vivantes
Conception éditoriale : Sophie Gagnon
Édition : Marie Victoire Martin
Coordination : Jean-Philippe Michaud
Révision linguistique et correction d’épreuves : Marie Le Toullec
Conception graphique : Josée Bégin
Adaptation de la conception graphique originale : Pige Communication
Conception de la couverture : Gianni Caccia
Impression : TC Imprimeries Transcontinental
Coordination éditoriale du matériel
complémentaire Web : Solange Lemaitre-Provost
Catalogage avant publication
de Bibliothèque et Archives nationales du Québec
et Bibliothèque et Archives Canada
Charron, Gilles, 1949 mars 26-
Calcul intégral
5e édition.
Comprend un index.
Pour les étudiants du niveau collégial.
ISBN 978-2-7650-4748-3
1. Calcul intégral. 2. Calcul intégral – Problèmes et exercices.
i. Parent, Pierre, 1944- . ii. Titre.
QA308.C534 2015 515’.4 C2015-941365-6
ISBN 978-2-7650-4748-3
Dépôt légal : 1er trimestre 2016
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
Bibliothèque et Archives Canada
Imprimé au Canada
1 2 3 4 5 ITIB 19 18 17 16 15
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l’entremise du Fonds du livre du Canada (FLC) pour nos activités d’édition.
Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de
livres – Gestion SODEC.
Des marques de commerce sont mentionnées ou illus-
trées dans cet ouvrage. L’Éditeur tient à préciser qu’il
n’a reçu aucun revenu ni avantage conséquemment
à la présence de ces marques. Celles-ci sont repro-
duites à la demande des auteurs en vue d’appuyer le
propos pédagogique ou scientifique de l’ouvrage.
Le matériel complémentaire mis en ligne dans notre
site Web est réservé aux résidants du Canada, et ce,
à des fins d’enseigne ment uniquement.
L’achat en ligne est réservé aux résidants du Canada.
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par tous les moyens présentement connus ou à être décou-
verts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média
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contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice
contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction
non autorisée.
Particularités de l’ouvrage
Plan du chapitre
Le plan du chapitre permet le repérage des contenus et des
apprentissages présentés. An de faciliter la consultation, les
numéros de pages des différentes sections sont indiqués.
Perspective historique
Une rubrique « Perspective historique » est présentée au début de
chaque chapitre. Elle vise à mettre en évidence les contextes de
découverte ou d’utilisation des contenus présentés. Les mathématiques
sont ainsi considérées dans le cadre d’un cheminement intellectuel
général, en relation avec les autres champs du savoir humain.
Introduction
L’introduction du chapitre permet de mettre en relation ses
contenus dans une séquence générale d’apprentissage. De plus,
la présentation d’un problème type du chapitre précise le genre
d’habileté à acquérir et son contexte d’utilisation.
Cette cinquième édition de Calcul intégral a été préparée en fonction des besoins exprimés
par le milieu collégial. Ainsi, lors de l’élaboration du présent ouvrage, qui se veut une suite
de Calcul différentiel, les auteurs ont tenu compte des commentaires et des suggestions d’un
grand nombre d’utilisatrices et d’utilisateurs. Notamment :
• La notion de différentielle est présentée dans le chapitre 1 plutôt que dans le chapitre 2.
• Des lois sur les probabilités (loi normale, loi exponentielle et loi de Poisson) ont été ajoutées.
• Les intégrales résolues à l’aide de substitutions trigonométriques sont présentées de façon
différente.
• Une nouvelle présentation des réseaux de concepts permettra aux étudiants de mieux perce-
voir les notions essentielles du chapitre.
L’approche programme se reète dans toutes les parties du livre. Tout d’abord, dans les
exemples, où l’on traite de sujets variés, puis dans les exercices, qui touchent plusieurs champs
d’études du domaine des sciences de la nature et des sciences humaines.
Exercices préliminaires
Les étudiants apprécient pouvoir évaluer leur
niveau de connaissances préalables avant de
poursuivre leur apprentissage.
Objectifs d’apprentissage
Les objectifs d’apprentissage constituent un
autre moyen, pour les étudiants, d’entrevoir les
notions qu’ils auront à maîtriser.
Ils établissent de façon claire et précise, pour
chaque section, les habiletés et les connaissances
que les étudiants devront acquérir.
Utilisation pédagogique de la couleur
La couleur est utilisée de façon pédagogique
pour mettre en relief les aspects importants
de la matière et guider les étudiants dans leur
cheminement. Les théorèmes, dénitions
et formules clés sont présentés sous forme
d’encadrés. Dans le même esprit, certains
passages du texte sont en couleur an de sou­
ligner une notion particulière. Les graphiques et
les illustrations, qui accompagnent plusieurs
exemples, ajoutent à la clarté de la présentation.
Particularités de l’ouvrageIV
Exemples
Toujours aussi présents, les exemples
préparent les étudiants à voler de leurs
propres ailes lorsqu’ils auront à faire
les séries d’exercices. Ande permettre
une transition vers l’utilisation d’outils
technologiques, le logiciel Maple est utilisé
dans la résolution de certains exemples.
Réseau de concepts
Avant les exercices récapitulatifs et les
problèmes de synthèse, les réseaux de
concepts permettent de schématiser
les contenus des chapitres et surtout
de les mettre en relation. Ainsi, ils
facilitent l’étude et la mémorisation des
connaissances.
Bulles historiques
Les bulles historiques permettent aux étudiants de faire
une incursion dans la vie des personnalités qui ont marqué
leur époque dans le domaine des mathématiques. Parfois,
ces bulles donnent un complément d’information sur un
concept présenté dans une section.
Particularités de l’ouvrage V
Exercices récapitulatifs et problèmes de synthèse
Fidèle à sa réputation d’ouvrage offrant le plus d’exercices, la
nouvelle édition propose à la n de chacun des chapitres une
séquence d’exercices récapitulatifs et de problèmes de synthèse.
En accord avec l’approche programme qui vise à intégrer les
acquis de plusieurs disciplines, certains exercices et problèmes
sont accompagnés d’un pictogramme qui les relie à une discipline
particulière :
Administration
Chimie
Physique
Sciences de la nature
Sciences humaines
Outil technologique
Les exercices qui se réalisent à l’aide du logiciel Maple sont
indiqués par un pictogramme.
Corrigé
Un corrigé détaillé des exercices des chapitres
se trouve à la n du manuel an de favoriser
l’autonomie des étudiants. Les réponses aux
exercices récapitulatifs et aux problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont
également fournies à la n du livre. De plus, les
enseignantes et enseignants qui utilisent le manuel
ont accès aux solutions détaillées de ces questions.
Les étudiants ont accès, sur la plate-forme i+ Interactif, au livre
numérique, aux solutions aux exercices à réaliser avec le logiciel
Maple, ainsi qu’à des questions d’histoire.
Particularités de l’ouvrageVI
REMERCIEMENTS
Nous tenons d’abord à remercier les nombreuses personnes-ressources qui ont collaboré à
l’élaboration des éditions précédentes :
Monique Beaudoin-Jacob, Cégep
de Sainte-Foy
Ginette Bourgeois, Cégep de Saint-Jérôme
Gilles Boutin, Cégep de Sainte-Foy
Christian Caouette, Collège d’Alma
Marie-Paule Dandurand,
Collège Gérald-Godin
Gilles Goulet, Cégep régional
de Lanaudière
Marthe Grenier, Cégep de Saint-Laurent
Suzanne Grenier, Cégep de Sainte-Foy
Daniel Lachance, Cégep de Sorel-Tracy
Christiane Lacroix, Collège Lionel-Groulx
René Maldonado, Collège
Édouard-Montpetit
Jean-Yves Morissette,
Collège Édouard-Montpetit
Paul Paquet, Cégep de Saint-Jérôme
Diane Paquin, Collège Édouard-Montpetit
Robert Paquin, Collège Édouard-Montpetit
Dominique Parent, Université de Sherbrooke
Suzanne Philips, Collège de Maisonneuve
Bibiane Plourde, Cégep
de l’Abitibi-Témiscamingue
Lise Primeau, Cégep Limoilou
Benoît Régis, Cégep de Thetford
Fannie Rémillard, Cégep de l’Outaouais
Caroline Samson, Cégep de Sainte-Foy
Victorien Sirois, Cégep de Rimouski
Lyne Soucy, Collège Lionel-Groulx
Jean Tellier, Cégep de Saint-Jérôme
Jocelyne Tétrault, Collège Ahuntsic
Suzanne Wildi, Collège
François-Xavier-Garneau
Nous témoignons également notre gratitude aux enseignantes et enseignants du département
de mathématiques du Cégep André-Laurendeau pour leurs commentaires et leurs suggestions.
Un merci particulier est adressé à Johanne Lafortune (enseignante d’économie au Cégep André-
Laurendeau) et à Alain Therrien (enseignant d’économie à HEC Montréal) pour leur contribution.
Nous soulignons l’excellent travail des consultantes et consultants du réseau collégial qui ont
permis, grâce à leurs commentaires éclairés, d’enrichir chacun des chapitres :
Melchior Basanze, Cégep de Saint-Hyacinthe
Robert Bradley, Collège Ahuntsic
Gérard Buzaglo, Polytechnique Montréal
Nancy Crosnier, Cégep de l’Outaouais
Émilie Gagnon, Collège de Valleyeld
Marie-Pier Lagassé, Cégep de Sainte-Foy
Jean-François Morissette, Cégep de Sainte-Foy
Sébastien Osborne, La Cité collégiale
Audrey Samson, Collège Lionel-Groulx
Maxime Savary, Collège Laèche
Matthieu Willems, Cégep André-Laurendeau
Finalement, nous remercions les personnes suivantes :
Nadia Laamme du Cégep de Lévis-Lauzon, qui a non seulement agi à titre de consultante,
mais qui a aussi procédé à la révision scientique des épreuves. De plus, elle a préparé cer-
taines composantes du matériel complémentaires : plans de cours, feuilles de route et rédac-
tion des questions d’histoire.
Dominique Parent, pour les nombreuses photographies qu’elle nous a fournies.
Louis Charbonneau, pour avoir rédigé les perspectives et les bulles historiques ainsi que la
ligne du temps.
Marie Le Toullec, pour sa grande rigueur.
Jean-Philippe Michaud, pour son travail vigilant au cours de la production du manuel.
Marie Victoire Martin, pour sa gestion efcace du projet.
Gilles Charron
Pierre Parent
Table des matières
CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse 1
Perspective historique                                                 2
Exercices préliminaires                                                 3
1.1 Dérivée, dérivation implicite et dérivation logarithmique              4
Dénition et interprétation graphique de la dérivée                           4
Formules de dérivation                                                 5
Dérivation implicite                                                   7
Dérivation logarithmique                                               11
1.2 Différentielles                                                     13
Dénitions et représentation graphique de la différentielle                      14
Approximation en utilisant la différentielle                                  15
1.3 Théorèmes sur les fonctions continues                              20
Théorème de la valeur intermédiaire et théorème des valeurs extrêmes           21
Théorème de Rolle                                                    23
Théorème de Lagrange et théorème de Cauchy                              26
1.4 Règle de L’Hospital                                                 33
Indéterminations de la forme 0
0
                                          34
Indéterminations de la forme ∞
∞
                                        39
Indéterminations de la forme (1∞ 2 ∞) ou (2∞ 1 ∞)                            42
Indéterminations de la forme 0 ? (∞)                                      43
Indéterminations de la forme 00, (1∞)0 et 1∞                                 44
Réseau de concepts                                                    48
Exercices récapitulatifs                                                49
Problèmes de synthèse                                                 53
CHAPITRE 2 Intégration 57
Perspective historique                                                 58
Exercices préliminaires                                                 59
2.1 Intégrale indénie et formules de base                              60
Intégrale indénie                                                   60
Formules de base pour l’intégrale indénie                                  61
Propriétés de l’intégrale indénie                                         63
Transformation de l’intégrande                                           66
2.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable                     69
Changement de variable                                                69
Intégration des fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante             74
Utilisation d’artices de calcul pour intégrer                                 77
2.3 Résolution d’équations différentielles                               80
Équations différentielles                                                81
Familles de courbes                                                   85
2.4 Applications de l’intégrale indénie                                 91
Position, vitesse et accélération                                          91
Croissance et décroissance exponentielles                                 95
Demi-vie                                                           98
Économie                                                           105
Réseau de concepts                                                    112
Exercices récapitulatifs                                                113
Problèmes de synthèse                                                120
CHAPITRE 3 Intégrale dénie 125
Perspective historique                                                 126
Exercices préliminaires                                                 127
3.1 Notions de sommations                                            128
Utilisation du symbole de sommation ∑, appelé « sigma »                       128
Théorèmes sur les sommations                                          129
Formules de sommation                                                130
3.2 Somme de Riemann et intégrale dénie                              133
Somme de Riemann                                                   134
Aires de rectangles inscrits et circonscrits sur [a, b]                           135
Intégrale dénie                                                      141
Propriétés de l’intégrale dénie                                          143
3.3 Théorème fondamental du calcul                                    145
Théorème fondamental du calcul                                         146
Changement de variable dans l’intégrale dénie                              150
3.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégrale dénie                           153
Aire de régions délimitées par une courbe et un axe                           153
Aire de régions fermées comprises entre deux courbes                        157
3.5 Applications de l’intégrale dénie                                   162
Applications de l’intégrale dénie en physique                               162
Applications de l’intégrale dénie en calcul des probabilités                     170
Applications de l’intégrale dénie en économie                              172
3.6 Évaluation d’intégrales dénies sans déterminer la primitive          181
Intégration de fonctions symétriques                                      181
Méthode des trapèzes                                                 183
Méthode de Simpson                                                  184
Calcul d’aires à l’aide d’outils technologiques                                186
Réseau de concepts                                                    188
Exercices récapitulatifs                                                189
Problèmes de synthèse                                                 194
Table des matières IX
CHAPITRE 4 Techniques d’intégration 199
Perspective historique                                                 200
Exercices préliminaires                                                201
4.1 Intégration par parties                                             202
Formule d’intégration par parties                                         202
Utilisations successives de la formule d’intégration par parties                  205
Cas où nous obtenons une intégrale identique à l’intégrale initiale                206
Formules de réduction                                                 207
Utilisation de la formule d’intégration par parties pour calculer
des intégrales dénies                                                 210
4.2 Intégration de fonctions trigonométriques                           212
Intégrales de la forme sinn ax dx ou cosn ax dx, où n ∈ {2, 3, 4, …}             213
Intégrales de la forme sinm ax cosn ax dx                                  214
Intégrales de la forme (sin ax cos bx) n dx, (sin ax sin bx)n dx
et (cos ax cos bx)n dx, où n ∈ {1, 2, 3, …}                                  216
Intégrales de la forme tann ax dx, où n ∈ {2, 3, 4, …}                         217
Intégrales de la forme secn ax dx, où n ∈ {3, 4, 5, …}                         218
Intégrales de la forme secn ax tanm ax dx                                  218
Autres formes d’intégrales de fonctions trigonométriques                      220
4.3 Intégration par substitution trigonométrique                        221
Construction de triangles rectangles correspondant
à une équation trigonométrique                                          222
Intégration de fonctions contenant une expression de la forme a2 2 x2           223
Intégration de fonctions contenant une expression de la forme a2 1 x2           225
Intégrationde fonctions contenant une expression de la forme x2 2 a2           226
Intégration de fonctions contenant une expression de
la forme a2 2 b2x2, a2 1 b2x2 ou b2x2 2 a2                                   228
Intégration de fonctions contenant une expression de la forme ax2 1 bx 1 c, où a ≠ 0    231
Substitution de Weierstrass                                             232
4.4 Intégration de fonctions rationnelles par décomposition
en une somme de fractions partielles                               235
Décomposition en une somme de fractions partielles et intégration
de fonctions rationnelles                                               236
Intégration de fonctions non rationnelles                                   242
Équation logistique et applications                                        243
Réseau de concepts                                                   249
Exercices récapitulatifs                                                250
Problèmes de synthèse                                                254
Table des matièresX
CHAPITRE 5 Applications de l’intégrale dénie
et intégrales impropres 259
Perspective historique                                                 260
Exercices préliminaires                                                 261
5.1 Volume de solides de révolution                                     262
Représentation graphique de solides de révolution                            262
Méthode du disque                                                   263
Méthode du tube                                                     268
5.2 Volume de solides de section connue                                274
5.3 Longueur de courbes planes                                        278
Longueur de courbes planes                                            279
Équations paramétriques                                               282
5.4 Aire de surfaces de révolution                                      286
Aire d’une surface de révolution                                          286
5.5 Intégrales impropres                                               290
Intégrales de fonctions tendant vers ∞, pour une ou plusieurs valeurs x
i
appartenant à l’intervalle d’intégration [a, b]                                 291
Intégrales de fonctions où au moins une des bornes d’intégration est innie        293
Test de comparaison pour les intégrales impropres                           297
Applications de l’intégrale impropre                                       299
Réseau de concepts                                                    304
Exercices récapitulatifs                                                305
Problèmes de synthèse                                                 307
CHAPITRE 6 Suites et séries 311
Perspective historique                                                 312
Exercices préliminaires                                                 313
6.1 Suites                                                             314
Dénitions et notations                                                314
Représentations graphiques d’une suite                                    319
Convergence et divergence d’une suite                                    319
Suites bornées et suites monotones                                       324
6.2 Séries innies                                                     328
Convergence et divergence d’une série                                    329
Série harmonique                                                     333
Série arithmétique                                                    335
Série géométrique                                                    337
Critère du terme général                                               344
6.3 Séries à termes positifs                                             347
Critère de l’intégrale                                                   348
Séries de Riemann (séries-p)                                             351
Table des matières XI
Critère des polynômes                                                 353
Critère de d’Alembert (critère du rapport)                                   354
Critère de Cauchy (critère de la racine ne)                                   356
Critère de comparaison                                                357
Critère de comparaison à l’aide d’une limite                                 359
6.4 Séries alternées, convergence absolue
et convergence conditionnelle                                      363
Séries alternées                                                      364
Convergence absolue et convergence conditionnelle                          369
6.5 Séries de puissances                                               372
Convergence et divergence de séries de puissances                           372
Dérivation et intégration de séries de puissances                             378
6.6 Séries de Taylor et de Maclaurin                                     382
Polynômes de Taylor et de Maclaurin                                      383
Formule de Taylor et formule de Maclaurin                                  386
Série de Taylor, série de Maclaurin et approximation                           387
Développement de fonctions en série à partir d’un développement connu approprié      393
Approximation d’intégrales dénies à l’aide des séries de Taylor ou de Maclaurin     396
Réseau de concepts                                                   398
Exercices récapitulatifs                                                 399
Problèmes de synthèse                                                 404
Corrigé 408
Sources iconographiques 484
Index 485
Aide-mémoire 488
Table des matièresXII
Dérivées et théorèmes
d’analyse
Nous consacrons le premier chapitre de cet ouvrage à l’étudede la dérivée et de la différentielle, car il est essentiel de bienposséder ces notions avant d’entreprendre l’étude de l’inté-
grale. Nous reverrons la dénition de la dérivée, les notations utili-
sées, l’interprétation graphique de la dérivée ainsi que des formules
de dérivation. Par la suite, nous calculerons des dérivées et des
différentielles.
L’étude de quelques théorèmes d’analyse nous permettra d’approfondir
nos connaissances sur les fonctions continues et dérivables. À l’aide
de ces théorèmes, nous démontrerons la règle de L’Hospital, un outil
indispensable pour lever des indéterminations de différents types.
En particulier, l’étudiant pourra résoudre le problème suivant.
On ensemence un lac avec des truites. Des écologistes estiment
que le nombre N de truites en fonction du temps t, en mois, est
donné par
N(t) 5
3t 1 2400e0,36t
5 1 t2 1 e0,36t
.
a) Déterminer le nombre de truites ense mencées.
b) Selon cette estimation, déterminer théori quement le nombre
de truites présentes dans ce lac après une très longue période de
temps.
(Voir les problèmes de synthèse, no 26, page 56)
Perspective historique 2
Exercices préliminaires 3
1.1 Dérivée, dérivation implicite
et dérivation logarithmique 4
1.2 Différentielles 13
1.3 Théorèmes sur les
fonctions continues 20
1.4 Règle de L’Hospital 33
Réseau de concepts 48
Exercices récapitulatifs 49
Problèmes de synthèse 53
1
PERSPECTIVE H I S T O R I Q U E
C omment déterminer l’aire d’une gure curvilignecomme le cercle ? On croit que les Égyptiens, quisavaient que l’aire du cercle est égale au produit du
rayon par la moitié de la circonférence, ont réussi à calculer
l’aire de cette gure en divisant le cercle en plusieurs sec-
teurs (pointes de tarte) et en les réarrangeant pour obtenir
une gure relativement proche d’un rectangle (voir la gure
ci-dessous). De cette façon, le rayon du cercle correspond à
la hauteur du rectangle alors que la base de ce dernier est la
demi-circonférence du cercle. Ce n’est toutefois là qu’une
justication approximative.
Les Grecs, toujours en quête de vérité, ne peuvent se satis-
faire de ces calculs approximatifs, d’autant plus que leur uni-
vers géométrique est beaucoup plus riche. Dans l’Antiquité,
déterminer l’aire d’une ellipse ou d’un secteur d’une conique
n’est vraiment pas évident. Archimède (287-212 av. J.-C.)
est l’un de ceux qui s’intéresse à cette question. Dans son
ouvrage La méthode relative aux théorèmes mécaniques,
perdu pendant plus de 2000 ans, mais redécouvert au début
du e siècle, il utilise des expériences de la pensée impli-
quant des balances et le calcul de centres de gravité pour
trouver des formules donnant précisément l’aire de secteur
de coniques. Cette façon de procéder repose sur une strati-
cation du secteur en une innité de segments et, bien sûr,
sur des considérations mécaniques, deux types de déduc-
tions inacceptables dans une démonstration géométrique,
pour les Grecs de l’Antiquité. Aussi, Archimède a-t-il dû
faire une démonstration selon les normes d’alors, démons-
tration reposant sur une méthode, dite d’exhaustion, qui
nécessite d’abord de connaître la formule à démontrer, puis
de montrer que si l’on suppose la formule fausse, cela mène
à une contradiction. Difcile de faire plus compliqué.
La recherche de l’aire prend une nouvelle importance au
Moyen Âge. Nicole Oresme (1320-1382), professeur à
l’Université de Paris, constate que si l’on trace le graphe de
la vitesse d’un corps en mouvement, alors la distance par-
courue par ce corps est précisément l’aire sous la courbe.
Il s’intéresse aussi aux sommes innies de nombres
décroissants qu’il analyse en associant à chaque terme un
rectangle d’aire égale à ce nombre et en réarrangeant ces
rectangles pour former un rectangle. C’est l’une des pre-
mières études de la sommation nie de séries innies.
Galilée (1564-1642), près de
trois siècles plus tard, s’ins-
pire des travaux d’Oresme.
Dans son Discours et dé -
mons trations mathématiques
concernant deux nouvelles
sciences (1638), il afrme,
en se basant sur la gure
ci-contre, que « le temps
pendant lequel un espace
quelconque est franchi par
un mobile, partant du repos
avec un mouvement unifor-
mément accéléré, est égal
au temps pendant lequel le
même espace serait franchi
par le même mobile avec un
mouvement uniforme, dont
le degré de vitesse serait la
moitié du plus grand et dernier degré de vitesse atteint
au cours du mouvement uniformément accéléré ».
Au cours du e siècle, le siècle de René Descartes
(1596-1650), le calcul de l’aire sous une courbe préoccupe
plusieurs mathématiciens. Ainsi en est-il de Bonaventura
Cavalieri (1598-1647), qui remarque que l’aire sous la
courbe y 5 xn, pour n entier, entre 0 et a, est
an1 1
n 1 1
. Puis
d’autres, comme Evangelista Torricelli (1608-1647) et
Pierre de Fermat (1601-1665), étendront ce résultat pour
des valeurs non entières positives de n. Par un tel résul-
tat, Fermat pressent déjà que le calcul de l’aire sous une
courbe peut être lié à la détermination de la tangente à
cette courbe. En effet, nan 2 1 est la pente de la tangente
à y 5 xn en x 5 a, ce que nous appelons « dérivée ». Le
mathématicien Isaac Barrow (1630-1677) reconnaît
qu’il y a effectivement un lien entre le calcul de l’aire
sous une courbe et le calcul de la pente de la tangente
à cette courbe. Toutefois, son approche, purement géo-
métrique, reste trop lourde et peu propice aux calculs.
Il faut attendre le génie de Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) et d’Isaac Newton (1642-1727) pour que ce
lien soit clairement énoncé et véritablement mis à prot
dans ce que nous appelons maintenant le « calcul diffé-
rentiel et intégral ».
Suggestion de lecture : « Qui a inventé le calcul intégral ? »,
Les cahiers de Science & Vie, n° 38, avril 1997, 96 p.
Aux origines du calcul intégral : de la mécanique d’Archimède
aux méthodes du siècle de Descartes
Les segments représentent
la vitesse à mesure que le
corps tombe, et l’aire du
triangle BCE (ou du rec-
tangle ABCD) représente la
distance parcourue entre
le début et la n de la
chute du corps.
2 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exercices préliminaires
1. Compléter les égalités suivantes.
a) sin2 x 1 cos2 x 5
b) 1 1 tan2 x 5
2. Écrire les fonctions suivantes en fonction de
sin u, de cos u ou en fonction de sin u et de cos u.
a) tan b) cot c) sec d) csc
3. Donner, si c’est possible, en degrés et en radians,
la valeur de l’angle u déni par :
a) 5 Arc sin 0,5 b) 5 Arc sin
c) 5 Arc cos 0 d) 5 Arc cos (-0,5)
e) 5 Arc tan 2 f ) 5 Arc tan (-1)
4. Utiliser les propriétés des logarithmes pour
compléter les égalités suivantes, où M et N ∈ IR1,
et a ∈ IR1 \ 1.
a) log
a
M 5 k ⇔ b) log
a
1 5
c) ln e 5 d) log
a
(MN) 5
e) log
a 1MN  5 f) loga (M k) 5
g) Si M 5 N, alors ln M 5 ln
h) Transformer en base e, log
a
M 5
5. Soit les droites D
1
et D
2
de pente respective
a
1
et a
2
. Compléter :
a) D
1
// D
2
si b) D
1
⊥ D
2
si
6. a) Soit g(x) 5 3x2 2 5x 1 1.
Déterminer l’équation de
i) la sécante S passant par les points
A(-1, g(-1)) et B(5, g(5)) ;
ii) la tangente T à la courbe de g qui est
parallèle à la sécante précédente ;
iii) la droite normale N à la courbe de g au
point de tangence trouvé en ii).
b) Déterminer l’équation de la sécante passant
par les points P(a, f(a)) et Q(b, f(b)), où f est
une fonction continue sur IR.
7. Évaluer les limites suivantes de façon algébrique.
a) lim
x→2
x3 2 4x
x2 1 4
b) lim
x→21
3x 1 2
(x 1 1)2
c) lim
x→41
3x 2 12
(4 2 x)2
d) lim
x→1∞
5x2 1 7x 2 1
x2 2 4
e) lim
x→1
x3 21
1
x
2 1
f) lim
x→3
x2 2 9
x2 3
8. Déterminer si les fonctions suivantes sont conti-
nues ou discontinues sur l’intervalle donné.
a) f(x) 5
1
x2 4
i) sur [-5, 3] ii) sur [3, 5]
b) g(x) 5 
x2 1 1 si 0  x  1
2 si x 5 1
x 1 2 si 1  x  2
i) sur [0, 2] ii) sur [0, 1] iii) sur [1, 2]
9. Soit f, g, r et s, quatre fonctions représentées par
les courbes suivantes.
Déterminer les fonctions
a) qui sont continues sur [a, b] ;
b) qui sont dérivables sur ]a, b[ ;
c) dont la dérivée s’annule en au moins une
valeur c, où c ∈ ]a, b[.
10. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→0
sin x b) lim
x→0
cos x c) lim
x→(2 )
2
tan x
d) lim
x→(2 )
1
tan x e) lim
x→(2)
2
sec x f) lim
x→02
csc x
g) lim
x→1∞
Arc tan x h) lim
x→1∞
e x i) lim
x→2∞
e x
j) lim
x→1∞
e2x k) lim
x→01
ln x l) lim
x→1∞
ln x
3Exercices préliminaires
1
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra calculer la dérivée
de fonctions algébriques, trigonométriques, exponentielles,
logarithmiques et trigonométriques inverses, calculer la
dérivée de fonctions implicites et utiliser les logarithmes
pour calculer certaines dérivées.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de donner la définition de la fonction dérivée ;
• d’interpréter graphiquement la dérivée d’une fonction
en un point ;
• d’appliquer différentes formules de dérivation ;
• de calculer la dérivée première de fonctions définies implicitement ;
• de calculer la pente de la tangente à des courbes définies implicitement ;
• de calculer la dérivée seconde de fonctions définies implicitement ;
• de calculer la dérivée de fonctions de la forme y 5 f (x)g(x), où f (x) . 0 ;
• d’utiliser certaines propriétés des logarithmes pour faciliter le calcul de la dérivée
de certaines expressions algébriques.
1.1 Dérivée, dérivation implicite et dérivation logarithmique
y 5 xx
dy
dx
5 xx (1 1 ln x)
y 5 f (x)g(x)
dy
dx
5 f (x)g(x) 1g9(x) ln f (x) 1 g(x) f 9(x)f (x) 2
Définition et interprétation graphique de la dérivée
DÉFINITION 1.1 D’une façon générale, la fonction dérivée f 9 d’une fonction f peut être dénie
de la façon suivante :
f 9(x) 5 lim
h→0
f (x 1h) 2 f (x)
h
, lorsque la limite existe.
Les notations suivantes sont utilisées pour désigner la fonction dérivée d’une fonction
y 5 f (x) :
f 9(x), y9,
dy
dx
,
d
dx
(y),
df
dx
,
d
dx
( f (x)) ou D
x
f
Les notations suivantes sont utilisées pour désigner la dérivée d’une fonction
y 5 f (x) au point P(a, f (a)) :
f 9(a), y9*
x 5 a
,
dy
dx
*
x5 a
,
d
dx
(y)*
x 5 a
,
df
dx
*
x5 a
,
d
dx
( f (x))*
x 5 a
ou D
x 5 a
f
Graphiquement, f 9(a) correspond à la pente de la tangente à la courbe de f au point
P(a, f (a)).
Tangente à la courbe
de f au point P(a, f(a))
dont la pente est
donnée par f 9(a)
y 5 f (x)
4 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Formules de dérivation
Nous trouvons dans les tableaux de cette section les principales formules de dériva-
tion étudiées dans le cours de calcul différentiel.
Type de fonction Équation Dérivée
Constante y 5k, où k ∈IR y9 50
Identité y 5x y9 51
Exposant réel y 5x r , où r ∈IR y9 5 rx r2 1
Produit d’une constante
par une fonction y 5kf (x), où k ∈IR y9 5kf 9(x)
Somme ou différence y5f
1
(x) 6 f
2
(x) 6…6 f
n
(x) y9 5f9
1
(x) 6 f9
2
(x)6…6 f9
n
(x)
Produit y 5 f (x) g(x) y9 5 f 9(x) g(x) 1 f (x) g9(x)
Quotient y5
f (x)
g(x)
y9 5
f 9(x) g(x) 2 f (x) g9(x)
g2(x)
Dérivation en chaîne
y 5g( f (x)) y9 5g9( f (x)) f 9(x)
y 5 [ f(x)]r, où r ∈IR y9 5 r [ f (x)]r2 1 f 9(x)
Exemple 1 Calculons la dérivée des fonctions suivantes.
a) Si y 5 5x 2 x 4 1 3
x2
1 7, alors
dy
dx
5 5
d
dx 1x
1
22 2 ddx (x4) 1 3
d
dx
(x22) 1
d
dx
(7)
5 5112x
21
2 2 2 4x3 1 3(-2x23) 1 0
5
5
2x
2 4x3 2
6
x3
b) Si y 5 u3 3 4 2 u5, alors
dy
du
5 (u3)93 4 2 u5 1 u31(4 2 u5)1329
5 3u23 4 2 u5 1 u3 1
3
(4 2 u5)
22
3 (4 2 u5)9
5 3u23 4 2 u5 1
u3
33 (4 2 u5)2
(-5u4)
5
3u2(4 2 u5) 2 5u7
3 (4 2 u5)2
5
4u2(3 2 2u5)
3 (4 2 u5)2
c) Si u 5
x2
4x7 1 3x
2
5
(4x 1 1)3
, alors
du
dx
5
(x2)9(4x7 1 3x) 2 x 2(4x7 1 3x)9
(4x7 1 3x)2
2 5[(4x 1 1)23]9
5
2x(4x7 1 3x) 2 x2(28x 6 1 3)
(4x7 1 3x)2
2 5[-3(4x 1 1)24(4x 1 1)9]
5
x2(3 2 20x 6)
(4x7 1 3x)2
1
60
(4x 1 1)4
d) Si H(t) 5 [(t 4 1 3t)5 1 t2]8, alors
H9(t) 5 8[(t 4 1 3t)5 1 t2]7 [(t4 1 3t)5 1 t 2]9
5 8[(t 4 1 3t)5 1 t2]7 [5(t4 1 3t)4(t4 1 3t)9 1 2t]
5 8[(t 4 1 3t)5 1 t2]7 [5(t4 1 3t)4(4t3 1 3) 1 2t]
Formules de dérivation
51.1 Dérivée, dérivation implicite et dérivation logarithmique
1
Exemple 2 Soit f (x) 5
4x2 25x 12
7
. Déterminons l’équation de la tan­
gente T à la courbe de f au point P(­2, 4) et de la droite
normale N à cette tangente au point P(­2, 4).
Puisque f 9(x) 5
8x 25
7
, nous avons m
tan (2, f (2))
5 f 9(­2) 5 ­3.
Équation de la tangente
Soit y 5 ax 1 b.
Ainsi, y 5 ­3x 1 b (a 5 f 9(­2) 5 ­3)
En remplaçant x par ­2 et y par 4,
nous obtenons
4 5 ­3(­2) 1 b, donc b 5 ­2
d’où T : y 5 ­3x 2 2
Équation de la droite normale
y 2 f (­2)
x 2 (­2)
5
­1
f 9(­2)
y 2 4
x12
5
1
3
( f 9(­2) 5 ­3)
d’où N : y 5
1
3
x 1
14
3T : y5 -3x22
N : y 5
1
3
x1
14
3
f (x)5
4x2 25x12
7
Équation d’une tangente
et d’une droite normale
Équation Dérivée Équation Dérivée
y 5 e f(x) y9 5 e f (x) f 9(x) y 5 ln f (x) y9 5
f 9(x)
f (x)
y 5 a f (x),
où a ∈ IR1 \ {1}
y9 5 [a f (x ) ln a] f 9(x) y 5 loga f (x),
où a ∈IR1 \ {1}
y9 5
f 9(x)
f (x) ln a
Exemple 3 Calculons la dérivée des fonctions suivantes.
a) Si f (x) 5 e3x
2
2 4x, alors
f 9(x) 5 e3x
2
2 4x (3x2 2 4x)9
5 (6x 2 4) e3x
2
2 4x
c) Si g(x) 5 ln4 (3 2 5x4), alors
g9(x) 5 [4 ln3 (3 2 5x4)][ln (3 2 5x4)]9
5 [4 ln3 (3 2 5x4)]
­20x3
(3 2 5x4)
5
­80x3 ln3 (3 2 5x4)
3 2 5x4
b) Si g(t) 5 9 t
5
2 3t, alors
g9(t) 5 [9 t
5
2 3t ln 9](t5 2 3t)9
5 [9 t
5
2 3t ln 9](5t4 2 3)
d) Si u 5 log (t3 2 2t) 1 log
2
t2 1 5, alors
du
dt
5
3t2 2 2
(t3 2 2t) ln 10
1
1
t2 1 5 ln 21
2t
2t21 52
5
3t2 2 2
(t3 2 2t) ln 10
1
t
(t2 1 5) ln 2
Équation Dérivée Équation Dérivée
y 5 sin f (x) y9 5 [cos f (x)] f 9(x) y 5 cos f (x) y9 5 [­sin f (x)] f 9(x)
y 5 tan f (x) y9 5 [sec2 f (x)] f 9(x) y 5 cot f (x) y9 5 [­csc2 f (x)] f 9(x)
y 5 sec f (x) y9 5 fsec f (x) tan f (x)] f 9(x) y 5 csc f (x) y9 5 [­csc f(x) cot f (x)] f9(x)
Dérivation
des fonctions
exponentielles
et logarithmiques
Dérivation
des fonctions
trigonométriques
6 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exemple 4 Calculons la dérivée des fonctions suivantes.
a) Si y 5 sin (e x 2 cos3 x 2), alors
dy
dx
5 [cos (e x 2 cos3 x 2)]
d
dx
(e x 2 cos3 x 2)
5 [cos (e x 2 cos3 x 2)](e x 1 6x cos2 x2 sin x2)
c) Si y 5 cot3 2 csc 3, alors
dy
d
5 -3 cot2 csc2 1 3 2 csc 3 cot 3
b) Si f (t) 5
tan t
sec t5
, alors
f 9(t) 5
(tan t)9 sec t5 2 tan t (sec t 5)9
(sec t5)2
5
sec2 t sec t5 2 tan t [sec t5 tan t5] 5t4
sec2 t5
5
sec t5 [sec2 t 2 5t4 tan t tan t5]
sec2 t5
5
sec2 t 25t4 tan t tan t5
sec t5
t
Équation Dérivée Équation Dérivée
y5Arc sin f (x)
dy
d
5
f 9(x)
1 2 [ f (x)]2
y5Arc cos f (x)
dy
d
5
-f 9(x)
1 2 [ f (x)]2
y5Arc tan f (x)
dy
d
5
f 9(x)
1 1 [ f (x)]2
y5Arc cot f (x)
dy
d
5
-f 9(x)
1 1 [ f (x)]2
y5Arc sec f (x)
dy
d
5
f 9(x)
f (x)[ f (x)]2 21 *
y5Arc csc f (x)
dy
d
5
-f 9(x)
f (x)[ f (x)]2 21
*
Exemple 5 Calculons la dérivée des fonctions suivantes.
a) Si f (t) 5 Arc sin (ln t), alors
f 9(t) 5
(ln t)9
1 2 [ln t]2
5
1
t1 2 ln2 t
b) Si y 5 Arc tan e2x, alors
dy
d
5
(e2x)9
1 1 (e2x)2
5
2e2x
1 1e4x
c) Si g(x) 5 Arc sec x, alors
g9(x) 5
x 29
x [x]2 21
5
1
2xx2 1
Dérivation
des fonctions
trigonométriques
inverses
Dérivation implicite
Dans les exemples présentés jusqu’à maintenant, la variable dépendante était expri-
mée en fonction de la variable indépendante, par exemple y 5 f (x). Chaque équation
où une des variables est isolée dénit une fonction sous forme explicite.
* Tirées du volume de G. Charron et P. Parent, Calcul différentiel, 8e édition, Montréal, Chenelière
Éducation, 2014, pages 407-410.
71.1 Dérivée, dérivation impliciteet dérivation logarithmique
1
Exemple 1 Les équations suivantes dénissent des fonctions explicites.
a) y 5
3x4 25x
x2 11
, où y est la variable dépendante et x, la variable indépendante.
b) u 5 et 1 sin 3t, où u est la variable dépendante et t, la variable indépendante.
Forme explicite
Par contre, les équations données sous la forme F(x, y) 5 G(x, y), où aucune des
variables n’est explicitée en fonction d’une autre variable, sont des équations de
forme implicite.
Exemple 2 Les équations suivantes sont de forme implicite.
a) Certaines équations peuvent dénir une ou plusieurs fonctions explicites
en isolant une des variables.
i) De l’équation de forme implicite xy 5 5, nous obtenons la fonction
explicite y 5
5
x .
ii) De l’équation de forme implicite x2 1 y2 5 4, nous obtenons les fonctions
explicites y
1
5 4 2 x2 et y
2
5 -4 2 x2.
b) Dans certains cas, il peut être difcile, voire impossible, d’isoler une variable :
par exemple x5y 1 x3y2 5 16y4x3 2 xy 1 3.
Forme implicite
y
1
5 4 2 x2
y
2
5 -4 2 x2
Il est toutefois possible de calculer
dy
dx
, sans isoler une des variables, par la méthode
appelée « dérivation implicite ».
Les étapes de la dérivation implicite sont données dans le tableau suivant.
Pour une équation de la forme F(x, y) 5 G(x, y), où y est dérivable par rapport à x,
nous pouvons déterminer
dy
dx
ou y9 en effectuant les étapes suivantes :
1) Calculer la dérivée, par rapport à x, des deux membres de l’équation
pourvu que chaque membre soit dérivable :
d
dx
(F(x, y)) 5
d
dx
(G(x, y))
2) Regrouper d’un même côté de l’équation les termes contenant
dy
dx
.
3) Mettre en évidence le facteur
dy
dx
et l’isoler.
Dérivation implicite
Remarque En général, lorsque y est une fonction de x, nous avons :
d
dx
(yr) 5
d(yr)
dy
dy
dx
5 ry r2 1
dy
dx
(r ∈IR) ou (yr)9 5 ry r2 1y9 (r ∈IR)Dérivation en chaîne
8 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exemple 3 Calculons
dy
dx
si x3 2 5x2y 5 y4 1 7.
1)
d
dx
(x3 2 5x2y) 5
d
dx
(y4 1 7)
d
dx
(x3) 2
d
dx
(5x2y) 5
d
dx
(y4) 1
d
dx
(7)
3x2 2 51y ddx (x2) 1 (x2)
d
dx
(y)2 5 ddy (y4)
dy
dx
1 0
3x2 2 51y(2x) 1 x2 dydx2 5 4y3
dy
dx
3x2 2 10yx 2 5x2
dy
dx
5 4y3
dy
dx
2) 4y3
dy
dx
1 5x2
dy
dx
5 3x2 2 10yx
3) (4y3 1 5x2)
dy
dx
5 3x2 2 10yx
d’où
dy
dx
5
3x2 2 10yx
4y3 15x2
Calculer la dérivée, par
rapport à x, des deux
membres de l’équation
Regrouper d’un même côté
de l’équation les termes
contenant
dy
dx
Mettre en évidence
le facteur
dy
dx
et l’isoler
Remarque Il est parfois préférable de transformer l’équation initiale de façon à
faciliter les calculs de la dérivée. Par contre, il faut s’assurer que les deux équations
ont le même domaine de dénition.
Exemple 4 Soit la courbe dénie par
x
y2
5
3x 12y
2x
, où x  0 et y  0.
a) Calculons y9.
Méthode 1
(en ne transformant pas l’équation initiale)
1) 1 xy22
9
5 13x 12y2x 2
9
(x)9y2 2x(y2)9
(y2)2
5
(3x 12y)92x 2 (3x 12y)(2x)9
(2x)2
y2 2x2yy9
y4
5
(3 12y9) 2x 2 (3x 12y)2
4x2
(y2 2 2xyy9)4x2 5 (6x 1 4xy9 2 6x 2 4y)y4
4x2y2 2 8x3yy9 5 4xy4y9 2 4y5
2) 4x2y2 1 4y5 5 4xy4y9 1 8x3yy9
3) 4x2y2 1 4y5 5 (4xy4 1 8x3y)y9
d’où y9 5
4x2y2 14y5
4xy4 1 8x3y
5
y(x2 1y3)
x(y3 1 2x2)
Méthode 2
(en transformant l’équation initiale)
De
x
y2
5
3x 12y
2x
, nous obtenons
2x2 5 y2 (3x 1 2y), où x  0 et y  0
2x2 5 3xy2 1 2y3 (distributivité)
1) (2x2)9 5 (3xy2 1 2y3)9
4x 5 3y2 1 3x(2yy9) 1 6y2y9
2) 4x 2 3y2 5 (6xy 1 6y2)y9
3) y95
4x 23y2
6xy 16y2
d’où y9 5
4x 23y2
6y(x1 y)
91.1 Dérivée, dérivation implicite et dérivation logarithmique
1
b) Calculons la pente de la tangente à cette courbe au point P(2, 1), c’est-à-dire y9
(2, 1)
.
y9
(2, 1)
5
1(22 1 13)
2(13 12(2)2)
5
5
18
y9
(2, 1)
5
4(2) 23(1)2
6(1)(211)
5
5
18
d’où m
tan (2, 1)
5
5
18
(en remplaçant x par 2 et y par 1)
Exemple 5 Soit les courbes dénies par xy
1
5 20 et x2 2 y
2
2 5 9.
Démontrons que les courbes sont orthogonales aux points
d’intersection R(-5, -4) et S(5, 4), c’est-à-dire que les tangentes
aux courbes sont perpendiculaires en ces points.
Courbe 1
xy
1
5 20
(xy
1
)9 5 (20)9
1y
1
1 xy
1
9 50
y
1
9 5
-y1
x
donc y
1
9*(25, 24) 5
-4
5
et y
1
9*(5, 4) 5
-4
5
Courbe 2
x2 2y
2
2 5 9
(x2 2y
2
2)9 5 (9)9
2x 22y
2
y
2
9 50
y
2
9 5
x
y
2
donc y
2
9*(25, 24) 5
5
4
et y
2
9*(5, 4) 5
5
4
Puisque, dans les deux cas, le produit des pentes est égal à -1, les tangentes aux
courbes sont perpendiculaires aux points d’intersection.
Courbes orthogonales
xy
1
520
x22y
2
259
1 -45 21
5
4 2 5 -1
Dans certains problèmes, il peut être utile de calculer la dérivée seconde pour déter-
miner la concavité d’une courbe en un point.
Exemple 6 Soit la courbe dénie par x4 1 y3 5 13y 1 4. Calculons y
au point P(-2, 3).
Calculons d’abord la dérivée des
deux membres de l’équation.
(x4 1 y3)9 5 (13y 1 4)9
4x3 1 3y2y9 5 13y9 (équation 1)
Isolons y9 de l’équation 1.
3y2y9 2 13y9 5 -4x3
y9(3y2 2 13) 5 -4x3
y9 5
-4x3
3y2 2 13
(équation 2)
Calculons ensuite y en utilisant deux méthodes différentes.
Méthode 1
En dérivant les deux membres
de l’équation 1.
(4x3 1 3y2y9)9 5 (13y9)9
Méthode 2
En dérivant les deux membres
de l’équation 2.
(y9)9 51 -4x
3
3y2 213 2
9
Concavité d’une courbe
10 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
12x2 1 (6yy9)y9 13y2y513y
3y2y213y5 -12x2 26yy9y9
y(3y2 213)5 -12x2 26y(y9)2
y  5
-12x226y(y9)2
3y2 213
y5
-12x2(3y2213)14x3(6yy9)
(3y2 213)2
y  5
-36x2y2 1156x2 124x3yy9
(3y2 213)2
Pour évaluer y  au point P(-2, 3), il faut d’abord évaluer y9 au point P(-2, 3), car
nous retrouvons y9 dans les deux expressions de y .
De y9 5
-4x3
3y2 213
, nous trouvons y9*(22, 3) 5
-4(-2)3
3(3)2 213
5
16
7
.
Remplaçons, dans y , x par -2, y par 3 et y9 par
16
7
.
Méthode 1
y5
-12x2 26y(y9)2
3y2 213
y*(22, 3) 5
-12(-2)2 26(3)1167 2
2
3(3)2 2 13
d’où y*(22, 3) 5
-3480
343
Méthode 2
y 5
-36x2y2 1 156x2 124x3yy9
(3y2 2 13)2
y*(22, 3) 5
-36(-2)2 32 1 156(-2)2 124(-2)3 31167 2
(3(3)2 213)2
d’où y*(22, 3) 5
-3480
343
Puisque y*(22, 3)  0, la courbe est concave vers le bas au point P(-2, 3).
with(plots) :
c :5 implicitplot(x4 1 y3 5
13  y 1 4, x 5 -3 ..3,
y 5 -5 ..5, color 5 orange) :
p :5 plot([[-2, 3]]
style 5 point, symbol 5
circle, color 5 orange) :
display(c, p) ;
x41y3 513y1 4
Dérivation logarithmique
Nous savons que si y 5 xa, alors y9 5 ax a 2 1, ∀ a ∈ IR.
Nous savons également que si y 5 ax, alors y9 5 ax ln a, ∀ a  0 et a  1.
Pour calculer la dérivée de fonctions de la forme y 5 f (x)g(x), où f (x)  0, par
exemple, y 5 xx, y 5 (sin 3x)e2x, etc., nous pouvons utiliser la méthode suivante,
appelée « dérivation logarithmique ».
La dérivation logarithmique pour y, une fonction de x, consiste à :
1) prendre le logarithme naturel de chaque membre de l’équation ;
2) appliquer certaines propriétés des logarithmes pour obtenir des expressions
possibles à dériver ;
3) calculer la dérivée des deux membres de l’équation par rapport à x ;
4) isoler y9 1ou dydx2 ;
5) exprimer la dérivée en fonction de x.
111.1 Dérivée, dérivation implicite et dérivation logarithmique
1
Exemple 1 Calculons les dérivées suivantes.
a) y 5 xx, où x  0
1) ln y 5 ln xx
2) ln y 5 x ln x (ln Mk 5 k ln M)
3) (ln y)9 5 (x ln x)9
y9
y
5 1 ln x 1 x 11x2
4) y9 5 y[1 1 ln x]
5) y9 5 xx (1 1 ln x) (car y 5 xx)
b) y 5 (sin 3x)ex, où (sin 3x)  0
1) ln y 5 ln (sin 3x)ex
2) ln y 5 ex ln (sin 3x) (ln Mk 5 k ln M)
3) (ln y)9 5 (ex ln (sin 3x))9
y9
y
5 -ex ln (sin 3x) 1
3ex cos 3x
sin 3x
4) y9 5 y -ex ln (sin 3x) 1 3ex cot 3x
5) y9 5 (sin 3x)ex -ex ln (sin 3x) 1 3ex cot 3x
(car y 5 (sin 3x)ex)
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) f (x) 5 5x4 2 110x 2 3x2 1
1
72
b) f (t) 5 (1 2 7t)6
c) g(x) 5 (x 2 2)5 (7x 1 3)
d) y 5
x2 2 3
4 2 x2
e) v(t) 5 5t34 2 t
f) f (x) 5  1 1 3x1 2 3x
g) H(u) 5 [(u2 2 5)8 1 u7]18
h) f (x) 5
ax2
(a 1 x2)3
2. Calculer
dy
dx
pour les fonctions suivantes.
a) y 5
ex 1 ex
ex 2 ex
b) y 5 log
3x3 1 3x4
c) y 5 ecos x ln sec x d) y 5 sin (ln x) 2 e ln x
e) y 5 ln (sec x 1 tan x) f) y 5 log (ln x)
3. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) x( ) 5 sin  1 cos
b) g(u) 5 tan4 (2u2 2 1)
c) v(t) 5 csc 1t 2 1t 2
d) y 5 sin 2x cos (x2 2 3x)
e) f (x) 5 3 sec (5x 2 4)
f) g(x) 5 cot (x3 1 sin x2)
g) f (x) 5 Arc sin (x3 2 3x)
h) g() 5 Arc cos 1 21 2 22
i) x( ) 5 Arc tan (sin )
j) H(x) 5 Arc csc (2x 2 1) 1 Arc sec x4
k) f (x) 5 (Arc sec x)3 Arc cot (x2 2 1)
l) v(t) 5 (Arc sin t)3 1 Arc sin t3
4. Soit la fonction f dénie par f (x) 5 x3 2 x2 2 6x.
a) Déterminer l’équation de la tangente à la
courbe de f et l’équation de la droite normale
à cette tangente au point Q(b, 0), où b  0.
b) Déterminer les coordonnées du point
P(a, f(a)), où a  0, si la pente de la tan-
gente en ce point est égale à 7,75.
5. Calculer y9 si :
a) 4x2 1 9y2 5 36
b) 3x2y 2 4xy2 5 9x 1 5y
c) etan x 1 sec ey 5 3x
d) x2 1 y2 5 5x 1 1
e) y cos x 5 7x2 2 3x cos y
f) ln (x2 1 y3) 5 yex
6. Soit x
y 5
y2
x
.
a) Calculer y9 de trois façons différentes.
b) Calculer y9
i) lorsque x 5 1; ii) lorsque y 5 4.
EXERCICES 1.1
12 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
7. Pour chacune des équations suivantes, déter­
miner la pente de la tangente à la courbe
au point donné de la courbe.
a) cos y 5 sin x, au point P16 ,

32
b) e2x 2 y 5 x2 2 3, au point P(2, 4)
c) y2 5
x 2 y
x 1 y
, au point P1 ­103 , 22
d) x2 1 y2 5 y 2 x, aux points d’abscisse x 5 0
8. Déterminer l’équation des tangentes à la
courbe dénie par x2 1 4 5
5x
y
aux points
d’ordonnée y 5 1.
9. Pour chacune des équations suivantes, évaluer y
au point donné de la courbe.
a) x3y 1 xy3 5 2, au point P(1, 1).
b) x 1 x sin y 5 3, au point P(3, 0).
c) ln (yex) 5 x2 1 1, au point P(1, e).
Interpréter le résultat.
10. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) y 5 xsin x b) f (x) 5 (3x 1 1)(1 2 2x)
c) v( ) 5 (sin )cos d) g(x) 5 xln x
e) x(t) 5 (ln t)t f) y 5 (x)ex
11. Calculer y9 si :
a) y 5 x(sec x)x b) xy 2 y x 5 0
c) y 5 x(xx) d) y 5 (xx)x
12. Soit les courbes dénies par
y
1
5 3x et 2x2 1 y
2
2 5 11.
Démontrer que les courbes sont orthogonales
au point d’intersection et représenter graphi­
quement les courbes et les tangentes.
13. Une usine emploie x ou vriers à temps complet
et y ouvriers à temps partiel pour une production
de 141 054 unités par semaine. Des études ont
démontré que cette quantité d’unités produites
est donnée par 3x3 1 5xy2 1 2y35141 054.
a) Déterminer dy
dx
et interpréter le résultat.
b) Calculer dy
dx
lorsque x 5 32 et y 5 15.
c) Représenter graphiquement la courbe.
14. L’équation suivante de Van der Waals
1P 1 an
2
V 2 2 (V 2 nb) 5 nRT,
où a, n, b et R sont constants, met en relation
la pression P, exprimée en pascals (Pa), le
vo lume V (en cm3) et la température T
(en Celsius) d’un gaz.
Si pour un certain gaz donné
1P 1 4V 22(V 2 0,02) 5 7,84
déterminer dV
dP
au point (4, 1).
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra calculer la diffé­
rentielle dy, la représenter graphiquement et l’utiliser dans
certains problèmes.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de donner la définition de dx et celle de dy, où y 5 f(x) ;
• de déterminer la différentielle de certaines fonctions ;
• de repérer sur un graphique dx, dy,  x et y ;
• de calculer approximativement certaines quantités
en utilisant la différentielle.
1.2 Différentielles
131.2 Différentielles
1
La différentielle peut être utilisée pour évaluer approximativement l’erreur absolue
et l’erreur relative lors de certains calculs.
Définitions et représentation graphique
de la différentielle
Soit la fonction f dénie par le graphique
ci-contre.
Nous avons déjà vu dans le
cours de calcul différentiel que
x, l’accroissement de x, est déni par
x 5 b 2 a.
De plus, pour une fonction continue y 5 f (x),
y, l’accroissement de y, est déni par
y 5 f (b) 2 f (a)
ou par
y 5 f (x
0
1 x) 2 f (x
0
) lorsque a 5 x
0
et b 5 x
0
1 x.
DÉFINITION 1.2 Soit y 5 f (x), une fonction dérivable.
1) La différentielle de x, notée dx, est dénie par dx 5 x, où x ∈IR.
2) La différentielle de y, notée dy, est dénie par
dy 5 f 9(x) dx, où f9(x) est la dérivée de f(x).
Pour déterminer la différentielle d’une fonction, il suft de multiplier la dérivée de la
fonction par la différentielle de la variable indépendante.
Exemple 1 Déterminons la différentielle des fonctions suivantes.
Fonction Dérivée Différentielle
f (x) 5 2x3 1 5x f 9(x) 5 6x2 1 5 dy 5 (6x2 1 5) dx
u (u) 5 sin2 u 1 cos 3u u9(u)5 2 sin u cos u 2 3 sin 3u du 5 (2 sin u cos u 2 3 sin 3u) du
Q 5 2 2
30
2t 1 15
Q9 5
60
(2t 1 15)2
dQ 5  60(2t 1 15)2 dt
P 5 64q2q2 275 P9 5
32
q
2 2q dP 5  32q 2 2q dq
L’exemple suivant expose des notions utiles à l’intégration par changement
de variable (voir la section 2.2, page 69) et à l’intégration par parties
(voir la section 4.1, page 202).
 (delta majuscule)
correspond à une
différence entre
deux quantités
y 5 f(b) 2 f(a)
 x 5 b 2 a
y
y 5 f (x)
14 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exemple 2
a) Soit u 5 e5x. Exprimons dx
en fonction de u et de du.
Si u 5 e5x, alors du 5 5e5x dx
(dénition de la différentielle)
Ainsi, dx 5
1
5e5x
du
d’où dx 5
1
5u
du (car u 5 e5x)
b) Calculons d(uv) où u et v sont des fonctions de x.
d(uv) 5 (uv)9dx (dénition de la différentielle)
5 (u9v 1 uv9) dx (dérivée d’un produit)
5 vu9dx 1 uv9dx
5 v du 1 u dv (car u9 dx 5 du et v9 dx 5 dv)
d’où d(uv) 5 v du 1 u dv
Approximation en utilisant la différentielle
Représentons d’abord graphiquement  x,
dx, y et dy pour une fonction f continue
et dérivable en x 5 x
0
.
Soit la tangente à la courbe de f au point
P(x
0
, f (x
0
)), dont la pente est donnée par
f 9(x
0
), et  x un accroissement donné à x
0
.
D’une part, m
tan (x0, f (x0))
5 f 9 (x
0
)
et d’autre part, m
tan (x0 , f (x0))
5
MN
x
(voir le graphique)
ainsi
MN
 x
5 f 9(x
0
)
MN 5 f 9(x
0
) x
MN 5 f 9(x
0
) dx (car dx 5 x)
MN 5 dy (car dy 5 f 9(x
0
) dx)
d’où dy 5 MN
Nous constatons graphiquement qu’en général, pour une fonction continue, plus x
est petit, plus dy est une bonne approximation de y.
Ainsi, y  dy lorsque  x  0
Puisque f (x
0
1  x) 2 f (x
0
) 5 y
f (x
0
1  x) 5 f (x
0
) 1 y
 f (x
0
) 1 dy (lorsque x  0)
d’où f (x
0
1  x)  f (x
0
) 1 f 9(x
0
) dx (car dy 5 f 9(x
0
) dx)
Cette approximation est une approximation
affine de la fonction f (x) en x5 x
0
.
En pratique, pour évaluer la fonction f à des
valeurs dans un voisinage de x
0
, nous pouvons
utiliser la tangente en P dont l’équation est
L(x) 5 f (x
0
) 1 f 9(x
0
)(x 2 x
0
),
où x 2 x
0
5 dx et f 9(x
0
)(x 2 x
0
) 5 dy.
y5 f (x)
Linéarisation de la fonction
f (x) en x 5 x
0
151.2 Différentielles
1
Exemple 1 Soit y 5 x2 1 1.
a) Déterminons et comparons y et dy.
y 5 f (x 1 x) 2 f (x)
5 (x 1  x)2 1 1 2 ((x)2 1 1)
5 x2 1 2x x 1 (x)2 1 1 2 x2 2 1
d’où y 5 2x x 1 (x)2
dy 5 f 9(x) dx (dénition 1.2 2))
5 (x2 1 1)9dx
d’où dy 5 2x dx (car f9(x) 5 2x)
d’où  y  dy, lorsque x → 0.
b) Calculons y et dy en x 5 1 pour les valeurs données de x, où x 5 dx.
x 5 dx y 5 2x x 1 (x)2 dy 5 2x dx
1 y 5 2(1)(1) 1 (1)2 5 3 dy 5 2(1)(1) 5 2
0,1 y 5 2(1)(0,1) 1 (0,1)2 5 0,21 dy 5 2(1)(0,1) 5 0, 2
0,01 y 5 2(1)(0,01) 1 (0,01)2 5 0,0201 dy 5 2(1)(0,01) 5 0,02
Des calculs précédents, nous constatons que plus x est petit, plus la valeur de
dy est une bonne approximation de y.
Représentation graphique
Quantité négligeable
lorsque Δx → 0
Quantités égales car x 5 dx
lorsque  x 5 1
y 5 x2 1 1
La différentielle et la linéarisation peuvent être utilisées pour calculer approximati-
vement certaines valeurs. Voici un résumé des étapes à suivre.
1) Déterminer une fonction appropriée.
2) Déterminer x
0
.
3) Calculer la différentielle ou déterminer l’équation de la tangente en x
0
(linéarisation).
4) Calculer approximativement la valeur cherchée.
Exemple 2
a) Calculonsapproximativement la valeur de 52, en utilisant la différentielle.
1) Déterminons une fonction appropriée.
Puisque nous voulons une valeur approximative de 52, choisissons f(x) 5 x.
2) Déterminons x
0
.
Nous choisissons x
0
5 49, la valeur la plus près de 52 dont nous pouvons
facilement calculer la racine carrée.
3) Calculons la différentielle de la fonction déterminée à l’étape 1.
Puisque f (x) 5 x
1
2, alors dy 5
1
2x
1
2
dx 5
1
2x
dx
16 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
4) Calculons approximativement la valeur cherchée.
Puisque f (x
0
1 x) 5 f (x
0
) 1 y (car f (x
0
1  x) 2 f (x
0
) 5 y)
f (x
0
1 x)  f (x
0
) 1 dy
x
0
1 x  x
0
1
1
2x
0
dx car f (x) 5 x et dy 5 1
2x
0
dx
52  49 1 1
249
(3) (car x
0
5 49 et dx 5 52 2 49 5 3)
52  7 1 0,214 286 car 314  0,214 286
d’où 52  7,214 286
b) Calculons approximativement la valeur de 52 en utilisant la linéarisation.
1) f(x) 5 x
2) x
0
5 49
3) Déterminons l’équation de la tangente en x 5 49.
L(x) 5 f(49) 1 f 9(49)(x 2 49)
5 7 1
1
249
(x 2 49) car f 9(x) 5 1
2x
d’où L(x) 5
1
14
x 1
7
2
4) f(52)  L(52)
52 
1
14
(52) 1
7
2
5 7,214 285 7…
d’où 52  7,214 286
f (x) 5 x
L (x) 5
1
14
x 1
7
2
f (x) 5 x
dx 5x 5 3
vww
Exemple 3 En mesurant le côté d’un carré à l’aide d’un instrument dont
la précision est de 0,3 cm, nous obtenons 18,5 cm.
a) Calculons approximativement, à l’aide de la différentielle, l’erreur absolue E
a
de la mesure de l’aire A, où
A(x) 5 x2, x
0
5 18,5, dx 5 0,3, où x ∈ [18,5 2 0,3 ; 18,5 1 0,3].
E
a
5 |A(x) 2 A(x0)|, où A(x) 5 valeur réelle et A(x0) 5 valeur approximative
Ainsi E
a
5 | A| (car A(x) 5 A(x0) 1  A)
E
a
 |dA| (car  A  dA)
 |2x0 dx| (car dA 5 A9(x0) 5 2 x0 dx)
 |2(18,5)(0,3)| (car x0 5 18,5 et dx 5 0,3)
d’où E
a
 11,1 cm2.
Erreur absolue
E
a
5 valeurréelle 2
valeur
app. 
171.2 Différentielles
1
b) Calculons approximativement, à l’aide de la différentielle, l’erreur
relative E
r
de la mesure de l’aire A, où
E
r
5
E
a
|A(18,5)|
E
r

11,1
342,25
(car E
a
 11,1 et A(18,5) 5 18,52)
d’où E
r
 0,03, c’est-à-dire environ 3 %.
c) Calculons approximativement, à l’aide de la différentielle, la précision
nécessaire dx de l’instrument de mesure pour avoir une erreur relative
d’environ 1,5 %.
E
r
 0,015
E
a
|A(18,5)|  0,015 car Er 5
E
a
|A(18,5)|
|2(18,5) dx|
(18,5)2
 0,015 (car E
a
5 2(x
0
) dx, où x
0
5 18,5)
|dx|  0,015(18,5)2 5 0,138 75
d’où dx  0,139 cm.
Erreur relative
E
r
5
E
a
|valeur réelle|
E
r

E
a
|valeur app.|
Rappelons quelques notions d’économie étudiées dans le cours de calcul différentiel.
Soit la fonction C représentant les coûts
en fonction de la quantité q.
Le coût réel de production de la
(q 1 1) ième unité, noté C
mar
(q),
est donné par
C
mar
(q) 5 C(q 1 1) 2 C(q)
Le coût marginal, noté C
m
(q),
est donné par
C
m
(q) 5 C(q)
y 5 C(q)
C
mar
(q)
C
m
(q) 5 pente
de la tangente
à la courbe
de C au point
(q, C(q))
C
m
(q) est une approximation de C
mar
(q).
C
mar
(q)  C
m
(q)
De plus, puisque
C
m
(q) 5 C(q) dq, où dq 5 1,
C
m
(q) est une différentielle, où dq 5 1.
Soit la fonction R représentant les reve-
nus totaux en fonction de la quantité q.
Le revenu réel pour la vente de la
(q 1 1) ième unité, noté R
mar
(q),
est donné par
R
mar
(q) 5 R(q 1 1) 2 R(q)
Le revenu marginal, noté R
m
(q),
est donné par
R
m
(q) 5 R(q)
R
mar
(q)
y 5 R(q)
R
m
(q) 5 pente
de la tangente
à la courbe
de R au point
(q, R(q))
R
m
(q) est une approximation de R
mar
(q).
R
mar
(q)  R
m
(q)
De plus, puisque
R
m
(q) 5 R(q) dq, où dq 5 1,
R
m
(q) est une différentielle, où dq 5 1.
Économie
18 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exemple 4 Soit une compagnie dont les coûts totaux de production C et les
revenus R en fonction de la quantité q sont donnés par
C(q) 5
q 2
4
1 ln (q 1 1) 1 7 et R(q) 5 30q,
où q ∈ [0, 25], et C et R sont exprimés en dollars.
a) Calculons, si c’est possible, la valeur décimale de C
mar
(9) et R
mar
(9) sans l’aide
d’un outil technologique.
C
mar
(9) 5 C(10) 2 C(9)
5
102
4
1 ln 11 1 7 2 19
2
4
1 ln 10 1 72
5
19
4
1 ln 111102
d’où nous ne pouvons pas calculer la valeur décimale de C
mar
(9) et R
mar
(9).
b) Calculons approximativement C
mar
(9) et R
mar
(9) à l’aide de la différentielle.
Calculons d’abord C(q) et R(q).
C(q) 5
q
2
1
1
q 1 1
C
mar
(9)  C(9)
 9
2
1
1
10
d’où C
mar
(9)  4,60 $
R(q) 5
15
q
R
mar
(9)  R(9)
 15
9
d’où R
mar
(9)  5,00 $
R
mar
(9) 5 R(10) 2 R(9)
5 3010 2 309
5 3010 2 90
1. Représenter x, y, dx et dy sur le graphique
d’une fonction continue y 5 f(x), croissante et
concave vers le bas.
2. Calculer la différentielle de chaque fonction.
a) y 5 x4 2 4x 1 44 b) y 5
sin u
u
c) z 5 Arc tan (t3 2 1) d) y 5 eu Arc sin u2
e) s 5 8 Arc sec (ln z) f ) v 5 log (t 4 1 1)
3. Exprimer les expressions suivantes en fonction
de u et de du ou seulement en fonction de du.
a) (6x2 2 3x) dx, si u 5 4x3 2 3x2
b) esin x cos x dx, si u 5 sin x
c) esin x cos x dx, si u 5 esin x
d)
e2x
1 2 e4x
dx, si u 5 e2x
e)
4t 1 8
t2 1 4t 1 5
dt, si u 5 t2 1 4t 1 5
f )
4t 1 8
t2 1 4t 1 5
dt, si u 5 t2 1 4t 1 5
4. Calculer y et dy si y est dénie par chacune des
fonctions suivantes.
a) f (x) 5 x 1 1, x
0
5 3 et dx 5 0,41
b) g(x) 5
1
x
, x
0
5 -2 et  x 5 -0,5
5. Calculer, d’une façon approximative, les valeurs
suivantes en utilisant la différentielle.
a) 5 31,5 b) ln 1,1
6. Soit une fonction f, telle que f (3) = -2 et
f(x) 5
1
x2 1 7
.
a) Déterminer l’équation L(x) de la droite don-
nant l’approximation affine de f en x 5 3.
b) Utiliser le résultat trouvé en a) pour
déterminer l’approximation affine de
i) f (2,8) ; ii) f (3,1).
EXERCICES 1.2
191.2 Différentielles
1
7. Sous l’effet de la chaleur, le diamètre d’un poêlon
cir culaire métallique croît de 28 cm à 28,03 cm.
Calculer, en utilisant la différentielle, la valeur
approximative de l’augmentation de l’aire A.
8. En mesurant le diamètre
d’une balle de tennis à
l’aide d’un calibre à
coulisse, dont la préci­
sion est de 0,050 cm,
nous obtenons 6,5 cm.
À l’aide de la différentielle,
a) déterminer approximati vement l’erreur
absolue E
a
de la mesure du volume V de
la balle ;
b) déterminer l’erreur relative E
r
correspondante ;
c) déterminer approximativement la précision
du calibre à coulisse pour obtenir une erreur
relative de 1 %.
9. Utiliser la différentielle pour déterminer
approximativement la précision dans la mesure
des arêtes d’un cube pour que le volume obtenu
soit de 125 3 cm3 ?
10. Soit une compagnie dont les coûts totaux de
production C et les revenus R en fonction
de la quantité q sont donnés par
C(q ) 5 3q 2 1 300q 1 36 et
R(q) 5 25003 q2, où q ∈ 0, 100.
Calculer à l’aide de la différentielle
a) C
mar
(64) ; b) R
mar
(64).
Dans cette section, nous allons énoncer et appliquer certains théorèmes relatifs aux
fonctions continues. Nous ne démontrerons pas tous ces théorèmes, car la démons­
tration de certains d’entre eux nécessite une connaissance approfondie des propriétés
des nombres réels. Toutefois, la justification graphique et intuitive de ces théorèmes
devrait nous convaincre de leur validité.
Énonçons d’abord le théorème de la valeur intermédiaire ainsi qu’un corollaire étudiés
dans le cours de calcul différentiel*.
Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette section, l’étudiant pourra appliquer certains théorèmes d’analyse à des fonctions continues.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• d’énoncer le théorème de la valeur intermédiaire ;
• d’énoncer le théorème des valeurs extrêmes ;
• d’énoncer le théorème de Rolle ;
• de démontrer le théorème de Rolle ;
• d’appliquer le théorème de Rolle ;
• d’énoncer le théorème de Lagrange ;
• de démontrer le théorème de Lagrange ;
• d’appliquer le théorème de Lagrange ;
• de démontrer la validité d’une inégalité à l’aide
du théorème de Lagrange ;
• d’énoncer les corollairesdu théorème de Lagrange ;
• de démontrer les corollaires du théorème de Lagrange ;
• d’appliquer les corollaires du théorème de Lagrange ;
• d’énoncer le théorème de Cauchy ;
• d’appliquer le théorème de Cauchy.
y 5 f (x)
f (b) 2 f (a)
b 2 a
5 f 9(c)
1.3 Théorèmes sur les fonctions continues
* Voir G. Charron et P. Parent, Calcul différentiel, 8e édition, Montréal, Chenelière Éducation, 2014,
pages 105­106.
20 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Théorème de la valeur intermédiaire
et théorème des valeurs extrêmes
Il y a environ 200 ans…
Le théorème suivant semble évident. Pourtant, une preuve rigoureuse n’a été donnée qu’après
qu’on eut déni précisément le sens de fonction continue. Il est intéressant aussi de remar-
quer que ce théorème est à la base des quatre démonstrations du théorème fondamental de
l’algèbre, proposées par le grand mathématicien Carl Friedrich Gauss entre 1799 et 1848.
Ce théorème dit que tout polynôme de degré n a précisément n racines (réelles ou complexes).
Énoncé pour la première fois par Albert Girard (1595-1632) en 1629, ce théorème a été démon-
tré plus de 150 ans plus tard.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
THÉORÈME 1.1
Théorème de la
valeur intermédiaire
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f (a) , L , f(b) (ou f(a)  L  f (b)),
alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a, b[ tel que f (c) 5 L.
f(c
1
) 5 f(c
2
) 5 f (c
3
) 5 Lf(c) 5 L
y 5 f (x)
y 5 f (x)
f(a)  L  f(b) f (a) , L , f (b)
Dans le cas où f(a) et f(b) sont de signes contraires, nous obtenons le corollaire suivant.
COROLLAIRE
du théorème de la
valeur intermédiaire
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f (a) et f (b) sont de signes contraires,
alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a, b[ tel que f (c) 5 0.
f(c) 5 0
y 5 f (x)
f(a) , 0 et f (b)  0
f(c
1
) 5 f(c
2
) 5 f(c
3
) 5 0
f (a)  0 et f (b) , 0
y 5 f (x)
Interprétation géométrique
du théorème de la valeur
intermédiaire
Interprétation géométrique
du corollaire de la valeur
intermédiaire
211.3 Théorèmes sur les fonctions continues
1
Exemple 1 Soit f la fonction dénie par f (x) 5 13 2 x5 2 5x2 2 4x sur 0, 2.
Vérions, à l’aide du corollaire précédent, que f admet au moins un zéro sur ]0, 2[.
1) f est continue sur [0, 2], car f est une fonction polynomiale,
2) f (0) 5 13 et f (2) 5 -47, donc f (0) et f (2) sont de signes contraires,
d’où il existe au moins un nombre c ∈ 0, 2 tel que f (c) 5 0.
f(x)5132x5 2 5x2 24x
f :5 x → 13 2 x5 2 5x2 2 4x :
fsolve( f(x) 5 0) ;
1.140695155
THÉORÈME 1.2
Théorème des
valeurs extrêmes
Si f est une fonction continue sur [a, b], alors il existe au moins
1) un c ∈ [a, b] tel que f(c) soit égale au maximum absolu de f sur [a, b] ;
2) un d ∈ [a, b] tel que f(d ) soit égale au minimum absolu de f sur [a, b].
Exemple 2 Voici deux exemples graphiques qui illustrent le théorème des valeurs extrêmes.
a) Soit la fonction f, continue sur [5, 30], dénie par le
graphique ci-contre.
c 5 30, car f(30) est le maximum absolu de f sur [5, 30],
d 5 5, car f(5) est le minimum absolu de f sur [5, 30].
b) Soit la fonction f, continue sur [-3, 5], dénie par le
graphique ci-contre.
c
1
5 0, c
2
5 4, car f(0) et f(4) égalent le maximum
absolu de f sur [-3, 5],
d 5 2, car f(2) est le minimum absolu de f sur [-3, 5].
y 5 f(x)
y 5 f(x)
THÉORÈME 1.3 Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]a, b[,
3) c ∈ ]a, b[, où (c, f(c)) est un point de maximum (ou un point de minimum)
absolu ou relatif de f,
alors f 9(c) 5 0.
Exemple 3 Soit la fonction f, continue sur [-4, 4] et dérivable sur ]-4, 4[,
dénie par le graphique ci-contre.
Puisque (-2, f(-2)) est un point de maximum
relatif de f, alors f 9(-2) 5 0. (théorème 1.3)
Puisque (1, f(1)) est un point de minimum
relatif de f, alors f 9(1) 5 0. (théorème 1.3)
Puisque (3, f(3)) est un point de maximum
absolu de f, alors f 9(3) 5 0. (théorème 1.3)
y 5 f(x)
22 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Théorème de Rolle
Il y a environ 300 ans…
Au début du e siècle, le mathématicien français Michel Rolle (1652-1719) se montre très
critique envers le calcul différentiel, qu’il voit comme une collection de recettes reposant
sur des principes douteux. La carrière de Rolle débute au moment où ce calcul commence
tout juste à être connu de la communauté mathématique. Comme lui, de nombreux mathé-
maticiens émettent des doutes sur les fondements du calcul dif férentiel, mais certains autres
n’apprécient guère ces commentaires négatifs. En 1691, Rolle publie le théorème qui porte
aujourd’hui son nom. Il est aussi connu comme l’inventeur du symbole n .
THÉORÈME 1.4
Théorème de Rolle
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]a, b[,
3) f(a) 5 f(b),
alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a, b[ tel que f 9(c) 5 0.
PREUVE Cas 1 f(x) 5 k, où k ∈ IR
Si f est une fonction constante sur [a, b], alors f 9(x ) 5 0 pour tout x ∈ ]a, b[,
d’où f 9(c ) 5 0 quel que soit c ∈ ]a, b[.
Cas 2 f(x)  k
D’après le théorème des valeurs extrêmes, f possède un minimum absolu et un
maximum absolu sur [a, b]. (théorème 1.2)
Puisque f n’est pas égale à une fonction constante et que f(a) 5 f(b), f possède donc
un maximum absolu ou un minimum absolu sur ]a, b[.
Soit c ∈ ]a, b[, tel que (c, f(c)) est un point de maximum (ou de minimum) ; ainsi,
f 9(c ) 5 0. (théorème 1.3)
Les graphiques suivants illustrent le théorème de Rolle.
Cas 1
f(x) 5 k
Cas 2
f9(c) 5 0
f9(c) 5 0
f9(c
1
) 5 0
y 5 f(x) y 5 f(x) y 5 f(x)
Ce théorème signie qu’il existe au moins un c ∈ ]a, b[ tel que la tangente à la
courbe de f au point (c, f(c)) est parallèle à l’axe des x.
f9(c
2
) 5 0
231.3 Théorèmes sur les fonctions continues
1
Nous utiliserons en particulier ce théorème dans la preuve du théorème 1.5 (unicité
d’un zéro) et dans la preuve du théorème 1.6 (théorème de Lagrange).
Exemple 1 Soit f (x ) 5 x3 2 3x2 1 1 sur [0, 3].
a) Vérions si les hypothèses du théorème de Rolle sont satisfaites.
1) f est continue sur [0, 3], car f est une fonction polynomiale.
2) f est dérivable sur ]0, 3[, car f 9(x ) 5 3x2 2 6x est dénie sur ]0, 3[.
3) f(0) 5 1 et f(3) 5 1, d’où f(0) 5 f (3).
Puisque les trois hypothèses sont vériées, nous pouvons conclure qu’il existe
au moins un nombre c ∈ ]0, 3[ tel que f 9(c) 5 0.
b) Trouvons cette valeur ou ces valeurs de c.
Puisque f (x) 5 x3 2 3x2 1 1, f 9(x) 5 3x2 2 6x 5 3x(x 2 2).
En posant f 9(c)5 0, nous avons
3c(c – 2) 5 0, donc c 5 0 ou c 5 2
d’où c 5 2 (car 2 ∈]0, 3[ et 0 est à rejeter, car 0 ∉]0, 3[)
with(plots) :
with(Student[Calculus1]) :
f :5 x → x3 2 3  x2 1 1 :
c :5 plot( f(x), x 5 0 ..3 :
t :5 Tangent( f(x), x 5 2,
output 5 plot) :
p :5 plot([[0, 1], [3, 1], [2,-3]],
style 5 point, symbol 5
circle, color 5 orange) :
display(c, t, p, scaling 5
constrained) :
f (x) 5 x3 2 3x2 1 1
f (2) 5 0
Exemple 2 Vérions si nous pouvons appliquer le théorème de Rolle aux
fonctions f et g suivantes.
a) Soit f (x) 5
1
(x 2 3)2 sur [1, 5] représentée
par le graphique ci-contre.
f n’est pas continue sur [1, 5], car f(3) n’est
pas dénie et 3 ∈ [1, 5].
Puisque la première hypothèse n’est pas vériée, le théorème de Rolle ne
s’applique pas et nous ne pouvons rien conclure.
De plus, nous observons à l’aide du graphique qu’il n’existe aucune valeur
de c ∈ ]1, 5[ où f 9(c) 5 0.
b) Soit g, dénie sur [0, 4] par le graphique
ci-contre, où g(0) 5 g(4).
Graphiquement, nous constatons que la
première et la troisième hypothèses sont
vériées ; par contre, cette fonction n’est
pas dérivable au point (2, g(2)), d’où g
n’est pas dérivable sur ]0, 4[ ; donc, le théorème
de Rolle ne s’applique pas et nous ne pouvons rien conclure.
De plus, nous observons à l’aide du graphique qu’il existe une valeur
de c ∈ 0 , 4 où g9(c) 5 0. En effet, g9(3) 5 0.
f(x) 5
1
(x 2 3)2
y 5 g (x)
24 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Remarque Même si une ou plusieursdes hypothèses ne sont pas vériées, il est
possible qu’il existe un nombre c ∈ ]a, b[ tel que f 9(c) 5 0.
Il y a environ 2500 ans...
En mathématiques, on peut démontrer un résultat en le déduisant logiquement d’un fait ou
d’un résultat connu (une preuve directe), ou encore en montrant que la négation du résultat
cherché en entraîne un autre qui se révèle impossible ou absurde. Selon la légende, au
ve siècle avant notre ère, le pythagoricien Hippase de Métaponte démontre l’irrationalité
de 2, constituant ainsi l’exemple le plus célèbre de la preuve par l’absurde. Grâce à elle,
on montre que si 2 est rationnel, alors il y a un nombre pair qui est égal à un nombre
impair… ce qui est absurde.
Nous pouvons utiliser la démonstration par l’absurde et le théorème de Rolle pour
démontrer le théorème suivant.
THÉORÈME 1.5
Unicité d’un zéro
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]a, b[,
3) f(a) et f(b) sont de signes contraires,
4) f 9(x)  0, ∀ x ∈ ]a, b[,
alors il existe un et un seul nombre z ∈ a, b tel que f (z) 5 0.
PREUVE Le théorème se démontre en deux parties.
a) Démontrons d’abord l’existence d’au moins un zéro.
Puisque
1) f est continue sur [a, b] et
2) f(a) et f(b) sont de signes contraires,
alors il existe au moins un z
1
∈ ]a, b[ tel que f(z
1
) 5 0.
b) Démontrons, par l’absurde, l’unicité de ce zéro.
Supposons qu’il existe dans ]a, b[ un second zéro z
2
différent de z
1
.
Soit z
2
∈ ]a, b[ tel que z
1
, z
2
et f(z
2
) 5 0.
Appliquons le théorème de Rolle à f sur [z
1
, z
2
], où [z
1
, z
2
]  ]a, b[.
1) f est continue sur [z
1
, z
2
], car f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]z
1
, z
2
[, car f est dérivable sur ]a, b[,
3) f(z
1
) 5 0 et f(z
2
) 5 0, d’où f(z
1
) 5 f(z
2
).
Alors ∃ c ∈ ]z
1
, z
2
[ tel que f 9(c) 5 0, ce qui contredit l’hypothèse 4 du théorème,
donc f(z
2
)  0.
D’où il existe un et un seul nombre z ∈ ]a, b[ tel que f(z) 5 0.
(corollaire du théorème
de la valeur intermédiaire)
Démonstration
par l’absurde
Utilisation du
théorème de Rolle
Dans le cas où z
2
∈ ]a, b[ tel que z
2
, z
1
et f (z
2
) 5 0, la preuve est analogue.
251.3 Théorèmes sur les fonctions continues
1
Exemple 3 Soit f (x) 5 x5 1 12x3 1 x 2 20 sur -1, 2.
Démontrons, à l’aide du théorème 1.5, que cette fonction a un
et un seul zéro sur [-1, 2].
Il suft de vérier les quatre hypothèses de ce théorème.
1) f est continue sur [-1, 2], car f est une fonction polynomiale,
2) f est dérivable sur ]-1, 2[, car f 9(x) 5 5x4 1 36x2 1 1 est dénie sur ]-1, 2[,
3) f (-1) 5 -34 et f (2) 5 110, donc f (-1) et f (2) sont de signes contraires,
4) f 9(x) 5 5x4 1 36x2 1 1  0, ∀ x ∈ -1, 2.
Puisque les quatre hypothèses du théorème 1.5 sont vériées, alors il existe
un et un seul nombre z ∈ ]-1, 2[ tel que f(z) 5 0.
f :5 x → x5 1 12  x3 1 x 2 20 :
z :5fsolve(f(x) 5 0) ;
1.124762274
with(plots) :
c :5 plot( f(x), x 5 -1 ..2, color 5 orange) :
p1 :5 plot([[-1, f(-1)], [2, f(2)]], style 5 point,
symbol 5 circle, color 5 orange) :
p2 :5 plot([[z, f(z)]], style 5 point, symbol 5
circle, color 5 orange) :
display(c, p1, p2) ;
Unicité d’un zéro
f (x) 5 x5 1 12x
3
1 x 2 20
z 5 1,124...
Théorème de Lagrange et théorème de Cauchy
Il y a environ 250 ans…
Italien de naissance, Joseph-Louis Lagrange obtient en 1766 le poste de directeur des
mathématiques de l’Académie des sciences de Berlin qu’il quitte en 1787 pour s’installer
à Paris. Il devient professeur à l’École polytechnique fondée dans la foulée des grandes
réformes du système d’éducation de la Révolution française. Pour la première fois dans une
grande institution d’enseignement supérieur, le calcul différentiel et intégral est à la base de
l’enseignement. Sensible aux nombreuses critiques des fondements de ce calcul, Lagrange
publie alors son ouvrage Théorie des fonctions analytiques (1797) dans lequel il tente de
baser ce calcul sur la notion de développement en série, sans y réussir totalement. La nota-
tion f ′ pour la dérivée vient de lui et a été largement utilisée dans ce livre.Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813)
Nous appelons également ce théorème le théorème des accroissements nis
ou le théorème de la moyenne.
THÉORÈME 1.6
Théorème
de Lagrange
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]a, b[,
alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a, b[ tel que
f (b) 2 f (a)
b 2 a
5 f 9(c).
26 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
PREUVE
Dénissons une nouvelle fonction H(x) dont la valeur absolue correspond à
la distance verticale entre la courbe de f et la sécante passant par (a, f(a)) et
(b, f(b)), dont l’équation est donnée par
g(x) 5
f (b) 2 f (a)
b 2 a
(x 2 a) 1 f (a)
(voir les exercices préliminaires, no 6 b), page 3).
Soit H(x) 5 f(x) 2 g(x), pour x ∈ [a, b], ainsi
H(x) 5 f (x) 2 3 f (b) 2 f (a)b 2 a (x 2 a) 1 f (a)4
Vérions si H satisfait les hypothèses du théorème de Rolle.
1) H est continue sur [a, b], car la somme de deux fonctions continues est continue.
2) H est dérivable sur ]a, b[, car la somme de fonctions dérivables est dérivable.
3) H(a) 5 0 et H(b) 5 0, d’où H(a) 5 H(b).
Puisque les trois hypothèses du théorème de Rolle sont vériées, il existe au moins
un nombre c ∈ ]a, b[ tel que H9(c) 5 0.
Or, H9(x) 5 f 9(x) 2
f (b) 2 f (a)
b 2 a
. En remplaçant x par c,
nous obtenons H9(c) 5 f 9(c) 2
f (b) 2 f (a)
b 2 a
. Ainsi,
0 5 f 9(c) 2
f (b) 2 f (a)
b 2 a
(car H9(c) 5 0)
d’où
f (b) 2 f (a)
b 2 a
5 f 9(c)
Les graphiques suivants illustrent le théorème de Lagrange.
f (b) 2 f (a)
b 2 a
5 f 9(c)
Pente de
la sécante
Pente de
la tangente
f (b) 2 f (a)
b 2 a
5 f 9(c
1
) 5 f 9(c
2
)
Pente de
la sécante
Pente de
la tangente
1
Pente de
la tangente
2
Le théorème signie qu’il existe au moins un c ∈ ]a, b[ tel que la tangente à la
courbe de f au point (c, f(c)) est parallèle à la sécante passant par (a, f(a)) et (b, f (b)).
Utilisation du
théorème de Rolle
271.3 Théorèmes sur les fonctions continues
1
Exemple 1 Soit f(x) 5 x2 2 4x 1 5 sur [1, 4].
a) Vérions si nous pouvons appliquer le théorème de Lagrange à cette fonction.
1) f est continue sur [1, 4], car f est une fonction polynomiale.
2) f est dérivable sur ]1, 4[, car f 9(x) 5 2x 2 4 est dénie sur ]1, 4[.
Puisque les deux hypothèses du théorème de Lagrange sont vériées,
nous pouvons conclure qu’il existe au moins un nombre c ∈ ]1, 4[ tel
que
f (4) 2 f (1)
4 2 1
5 f 9(c).
b) Déterminons la valeur de c.
f (4) 2 f (1)
4 2 1
5 f 9(c)
5 2 2
3
5 2c 2 4
1 5 2c 2 4
d’où c 5
5
2
f (4) 5 5, f (1) 5 2
f 9(c) 5 2c 2 4
f(x) 5 x2 2 4x 1 5
C152 , f 1
5
2 22
Le théorème de Lagrange peut être utilisé pour démontrer certaines inégalités.
Exemple 2 Utilisons le théorème de Lagrange pour démontrer
que (1 1 ln x)  x, ∀ x ∈ [1, 1∞[.
Dans le cas où x 5 1,
nous avons 1 1 ln 1 5 1, ainsi 1 1 ln x 5 x.
Dans le cas où x . 1,
appliquons le théorème de Lagrange à la fonction f dénie par f(x) 5 ln x sur [1, x],
où x ∈ ]1, 1∞[, après avoir vérié si les deux hypothèses du théorème sont satisfaites.
1) f est continue sur [1, x], car f est continue sur ]0, 1∞[,
2) f est dérivable sur ]1, x[, car f 9(x) 5
1
x
est définie ∀ x ∈ ]0, 1∞[,
alors il existe un nombre c ∈ ]1, x[ tel que
f (x) 2 f (1)
x 2 1
5 f 9(c)
Donc,
ln x 2 ln 1
x 2 1
5
1
c 1car f(x) 5 ln x et f9(x) 5
1
x2
ln x
x 2 1
5
1
c
(car ln 1 5 0)
ln x
x 2 1
 1 1car 1c  1, ∀ c ∈ 1, x2
ln x  (x 2 1) (car (x 2 1) . 0)
d’où (1 1 ln x)  x, ∀ x ∈ [1, 1∞[.
y
1
5 x
y
2
5 1 1 ln x
28 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Dans le cours de calcul différentiel, nous avons démontré que la dérivée d’une fonc-
tion constante est égale à 0.
Dans le corollaire suivant, nous allons démontrer que si une fonction a une dérivée
égale à 0, ∀ x ∈ ]a, b[, alors la fonction est une constante sur [a, b].
COROLLAIRE 1
du théorème
de Lagrange
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]a, b[,alors f(x) 5 C, ∀ x ∈ [a, b], où C est une constante réelle.
PREUVE Soit x
1
, x
2
, deux nombres quelconques de [a, b]. Appliquons le théorème
de Lagrange à f sur [x
1
, x
2
].
Puisque
1) f est continue sur [x
1
, x
2
], car f est continue sur [a, b] et [x
1
, x
2
]  [a, b],
2) f est dérivable sur ]x
1
, x
2
[, car f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]x
1
, x
2
[,
ainsi, il existe un nombre c ∈ ]x
1
, x
2
[ tel que
f (x
2
) 2 f (x
1
)
x
2
2 x
1
5 f 9(c)
f (x
2
) 2 f (x
1
)
x
2
2 x
1
5 0 (car f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]a, b[)
f (x
2
) 2 f (x
1
) 5 0
f (x
2
) 5 f (x
1
)
d’où f (x) 5 C, ∀ x ∈ [a, b] (car x
1
et x
2
sont quelconques)
f (x) 5 c
Exemple 3 Soit une fonction f continue sur [1, 5] telle que f (2) 5 8
et f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]1, 5[. Calculons f(3).
Puisque
1) f est continue sur [1, 5],
2) f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]1, 5[,
ainsi f (x) 5 C, ∀ x ∈ [1, 5]. (corollaire 1)
De plus, f (2) 5 8, donc f (x) 5 8, ∀ x ∈ [1, 5]
d’où f (3) 5 8
COROLLAIRE 2
du théorème
de Lagrange
Si f et g sont deux fonctions telles que
1) f et g sont continues sur [a, b],
2) f 9(x) 5 g9(x), ∀ x ∈ ]a, b[,
alors f (x) 5 g(x) 1 C, ∀ x ∈ [a, b], où C est une constante réelle.
Si f (x) 5 k,
alors f 9(x) 5 0
291.3 Théorèmes sur les fonctions continues
1
PREUVE Soit H(x) 5 f(x) 2 g(x).
Puisque
1) H est continue sur [a, b], car f et g sont continues sur [a, b],
2) H9(x) 5 0, ∀ x ∈]a, b[, car f 9(x) 5 g9(x), ∀ x ∈]a, b[,
ainsi, H(x) 5 C, ∀ x ∈ ]a, b[ (corollaire 1)
f (x) 2 g(x) 5 C (car H(x) 5 f(x) 2 g(x))
d’où f(x) 5 g(x) 1 C, ∀ x ∈[a, b].
Exemple 4 Soit f(x) 5 sin2 x et g(x) 5 -cos2 x, deux fonctions continues
et dérivables ∀ x ∈IR.
a) Démontrons que f(x) 5 g(x) 1 C.
En calculant f 9(x) et g9(x), nous obtenons f 9(x) 5 2 sin x cos x
et g9(x) 5 2 cos x sin x.
Puisque les hypothèses du corollaire 2 sont vériées, nous avons
f(x) 5 g(x) 1 C
c’est-à-dire sin2 x 5 -cos2 x 1 C
b) Déterminons la valeur de C.
Pour déterminer C, il suffit d’évaluer
l’expression pour une valeur quelconque de x.
Soit x 5 0, sin2 0 5 -cos2 0 1 C
0 5 -1 1 C
d’où C 5 1sin2 x 1 cos2 x 5 1
f(x) 5 sin2 x
g(x) 5 -cos2 x
Remarque Lorsque f(x) 5 g(x) 1 C, ∀ x ∈ [a, b], le graphique de f est une
translation verticale du graphique de g sur [a, b].
Énonçons maintenant le théorème de Cauchy, qui est une généralisation du théorème
de Lagrange.
Nous appelons également ce théorème le théorème des accroissements nis
généralisé ou le théorème de la moyenne généralisé.
Ce théorème nous permettra de démontrer la règle de L’Hospital.
THÉORÈME 1.7
Théorème
de Cauchy
Si f et g sont deux fonctions telles que
1) f et g sont continues sur [a, b],
2) f et g sont dérivables sur ]a, b[,
3) g9(x) ≠ 0, ∀ x ∈]a, b[,
alors il existe au moins un nombre c ∈]a, b[ tel que
f (b) 2 f (a)
g(b) 2 g(a)
5
f 9(c)
g9(c)
.
f(x) 5 g(x) 1 C
g(x)
30 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exemple 5 Soit f (x) 5 x2 2 5 et g(x) 5 x4 1 3 sur [0, 3].
Vérions si nous pouvons appliquer le théorème de Cauchy à ces
fonctions ; si oui, déterminons c.
1) f et g sont continues sur [0, 3], car f et g sont deux fonctions polynomiales.
2) f est dérivable sur ]0, 3[, car f 9(x) 5 2x est dénie sur ]0, 3[.
g est dérivable sur ]0, 3[, car g 9(x) 5 4x3 est dénie sur ]0, 3[.
3) Puisque g9(x) 5 4x3
g9(x) 5 0 seulement si 4x3 5 0, c’est-à-dire x 5 0, or 0 ∉]0, 3[
donc g9(x) ≠ 0, ∀ x ∈]0, 3[
Puisque les hypothèses sont satisfaites, il existe au moins un nombre c ∈]0, 3[
tel que
f (3) 2 f (0)
g(3) 2 g(0)
5
f 9(c)
g9(c)
.
4 2 (-5)
84 2 3
5
2c
4c3
9
81
5
1
2c2
c2 5 4,5,
donc c 5 4,5 ou c 5 -4,5 (à rejeter car -4,5 ∉ ]0, 3[)
d’où c 5 4,5
1. Utiliser le théorème de la valeur intermédiaire ou
son corollaire pour démontrer que :
a) si f (x) 5 1 1 x 1 x2x,
alors ∃ c ∈ ]1, 4[ tel que f (c) 5 10, et détermi-
ner c, à l’aide d’un outil technologique.
b) si f (x) 5 4x3 2 3x2 1 2x 2 1,
alors ∃ c ∈ ]0, 1[ tel que f (c) 5 0, et détermi-
ner c, à l’aide d’un outil technologique.
2. Pour chacune des fonctions suivantes, déter-
miner si les hypothèses du théorème de Rolle
sont vériées. Si oui, déterminer la valeur de c,
sinon donner une des hypothèses qui n’est pas
vériée.
a) f (x) 5 x2 1 3x 2 4 sur [-5, 2]
b) f (x) 5
x(x 2 2)
x2 2 2x 1 2
sur 0, 2
c) f (x) 5
x2 2 3x
x2 1 6x 2 7
sur 0, 3
d) g(x) 5 3 x2 1 5 sur -1, 1
e) v(t) 5 (t 2 3)8 1 (t 2 3)2 2 2 sur 2, 4
f) f (x) 5 x si 0  x  12 2 x si 1  x  2, sur 0, 2
g) h(x) 5 x3 2 3x2 1 2x sur [0, 2]
h) x(t) 5 t3 2 12t 1 1 sur 0, 23
3. Démontrer, à l’aide du théorème de l’unicité
d’un zéro, que les fonctions suivantes ont un et
un seul zéro sur l’intervalle donné et déterminer
ce zéro, à l’aide d’un outil technologique.
a) f (x) 5 -x3 1 3x 2 1 sur [-2, -1]
b) g(x) 5 Arc tan (x5 1 x 1 3) sur [-2, 2]
4. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la
valeur c du théorème de Lagrange après avoir vérié
si les hypothèses de ce théorème sont satisfaites.
a) f (x) 5 3x2 1 4x 2 3 sur [1, 4]
b) g(x) 5 x3 2 3x2 1 3x 1 2 sur [-3, 3]
c) f (t) 5 3t 1
4
t
sur 1, 4
EXERCICES 1.3
311.3 Théorèmes sur les fonctions continues
1
d) f (t) 5 3t 1
4
t
sur -1, 4
e) h(x) 5 x 2 1 sur 0, 4
f) f (x) 5 3 x 2 1 sur -2, 2
g) f (x) 5 ln x sur [1, e2]
h) g( ) 5 cos 2 sur 0, 
5. La position d’un mobile en fonction du temps t
est donnée par x (t) 5 5t 2 2 t 3 1 21, où x (t) est
en mètres et t ∈ [0 s, 4 s]. Déterminer à quel mo-
ment la vitesse instantanée du mobile est égale à
la vitesse moyenne du mobile sur [0, 4].
6. Soit f (x) 5 x5 2 5x4 1 3x3 1 10x2 2 14x 1 17,
où x ∈ [-2, 4].
a) Déterminer l’équation de la sécante S passant
par A(-2, f (-2)) et par B(4, f (4)).
b) Vérifier si les hypothèses du théorème de
Lagrange sont satisfaites.
c) Déterminer les valeurs c
i
du théorème de
Lagrange.
d) Représenter dans un même système d’axes la
courbe de f, la sécante S et les tangentes aux
points (c
i
, f (c
i
)).
7. Utiliser le théorème de Lagrange pour démontrer
que :
a) tan x  x pour 0  x 

2
;
b) ex  x 1 1, où x ∈ [0, 1∞[.
8. a) Soit une fonction f continue sur [-2, 3] telle
que f (-1) 5 7. Si f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]-2, 3[,
déterminer f (x).
b) Soit f (x) 5 Arc sinx 1 Arc cosx, une fonction
continue sur [-1, 1]. Démontrer que f(x) 5 C,
où C ∈ IR, et déterminer C.
9. Appliquer le corollaire 2 du théorème de
Lagrange aux deux fonctions continues et
dérivables sur l’intervalle donné et déterminer
la valeur de C.
a) f ( ) 5 2 cos2 et g( ) 5 cos 2 , où ∈ IR
b) f (x) 5 ln (3 sec x 1 3 tan x) et
g(x) 5 -ln (5 sec x 2 5 tan x), où x ∈ 30, 2 3
10. Pour chacune des fonctions suivantes, déter-
miner la valeur c du théorème de Cauchy, après
en avoir vérié les hypothèses.
a) f (x) 5 x 1 1 et g(x) 5 x2 1 4x 1 1 sur [0, 3]
b) x ( ) 5 sin et y( ) 5 cos sur 30, 24
11. Déterminer si les propositions suivantes sont
vraies ou fausses. Justier votre réponse.
a) Si f (x) 5 5 sur [1, 10], alors f 9(x) 5 0
sur ]1, 10[.
b) Soit f (x) 5
1
x
sur [-1, 1], alors il existe au
moins un nombre c ∈ ]-1, 1[ tel que
f (1) 2 f (-1)
1 2 (-1)
5 f 9(c).
c) Si une ou plusieurs hypothèses du théorème
de Rolle ne sont pas vérifiées sur [a, b], alors il
n’existe aucun c ∈]a, b[ tel que f9(c) 5 0.
d) Soit f continue sur [2, 7] et f (2) 5 10,
i) si f 9(3) 5 0, alors f (x) 5 10, ∀ x ∈ [2, 7] ;
ii) si f 9(3) 5 f 9(4) 5 f 9(5) 5 f 9(6) 5 0,
alors f (x) 5 10, ∀ x ∈ [2, 7] ;
iii) si f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]2, 7[, alors f (x) 5 10,
∀ x ∈ [2, 7] ;
iv) si f (7) 5 -5, alors il existe au moins un
nombre c ∈ ]2, 7[ tel que f (c) 5 0 ;
v) si f (7) 5 5, alors il existe au moins un
nombre c ∈ ]2, 7[ tel que f (c ) 5 0 ;
vi) si f (7) 5 5, alors il peut exister un
nombre c ∈ ]2, 7[ tel que f (c) 5 0.
12. a) Soit une fonction f qui vérie les hypothèses
du théorème de Lagrange sur [a, b] et telle
que f (a) 5 f (b). En appliquant le théorème
de Lagrange à cette fonction, quel théorème
obtenons-nous ?
b) Si, dans le théorème de Cauchy, g(x) 5 x,
quel théorème obtenons-nous ?
32 CHAPITRE 1 Dérivées etthéorèmes d’analyse
1
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra lever certaines indéterminations en utilisant la règle de L’Hospital.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de lever des indéterminations à l’aide de transformations
algébriques ;
• d’énoncer la règle de L’Hospital ;
• de démontrer la règle de L’Hospital dans des cas particuliers ;
• de lever des indéterminations de la forme 0
0
à l’aide de la règle de
L’Hospital ;
• de lever des indéterminations de la forme
∞
∞
à l’aide de la règle
de L’Hospital ;
• de lever des indéterminations de la forme (1∞ 2 ∞) ou (-∞ 1 ∞) à l’aide de la règle de L’Hospital ;
• de lever des indéterminations de la forme 0 ? (∞) à l’aide de la règle de L’Hospital ;
• de lever des indéterminations de la forme 00, (1∞)0 et 1∞ à l’aide de la règle de L’Hospital.
1.4 Règle de L’Hospital
Règle de L’Hospital
lim
x→a
f (x)
g(x)
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
si cette dernière limite existe
ou est innie.
Avant d’aborder le calcul de limites indéterminées, rappelons quelques résultats de
calculs de limites déjà étudiés dans un premier cours de calcul différentiel.
Dans un quotient, lorsqu’en évaluant la limite, le dénominateur tend vers 0 et le
numérateur tend vers une constante k différente de 0, alors le quotient tend vers 1∞
ou 2∞, selon le signe de la constante k et le signe du dénominateur.
Valeur
de k
Forme de
l’expression
Résultat
de la limite Exemples
Si k  0
k
02
2∞ lim
x→02
5
x
5 2∞ 1forme 5022
k
01
1∞ lim
x→2
x 1 5
(x 2 2)2
5 1∞ 1forme 7012
Si k  0
k
02
1∞ lim
x→41
1 2 x
4 2 x
5 1∞ 1forme -3
02
2
k
01
2∞ lim
x→211
x2 2 3
x 1 1
5 2∞ 1forme -2012
Dans un quotient, lorsqu’en évaluant la limite, le dénominateur tend vers 1∞ ou 2∞
et le numérateur tend vers une constante k, alors le quotient tend vers 0.
Forme de l’expression Résultatde la limite Exemples
k
1∞
0 lim
x→2∞
3
(x 2 2)2
5 0 1forme 31∞2
k
2∞
0 lim
x→1∞
-2
(4 2 x)3
5 0 1forme -22∞ 2
331.4 Règle de L’Hospital
1
Indéterminations de la forme 0
0
Nous avons déjà vu dans le cours de calcul différentiel que, pour certaines fonctions,
nous pouvions lever des indéterminations de la forme 0
0
, à l’aide de transformations
algébriques (factorisation, simplication, multiplication par un conjugué, etc.) dans
le but d’éliminer les facteurs causant l’indétermination (voir les exercices prélimi-
naires, no 7, page 3).
Nous allons maintenant énoncer et démontrer un théorème, appelé règle de L’Hospital,
qui nous permet de lever des indéterminations de la forme 0
0
.
Il y a environ 300 ans…
Guillaume de L’Hospital, marquis de Sainte-Mesme, publie en 1696 un traité, Analyse des
inniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes, qui connaît un succès immédiat.
Pour la première fois, sous une forme bien organisée, il expose les règles du calcul différen-
tiel conçues une vingtaine d’années auparavant par Leibniz, et jusqu’alors disséminées et
peu accessibles. Pour la rédaction de ce livre, Guillaume de L’Hospital puise abondamment
dans les notes de cours donnés par le mathématicien suisse Jean Bernoulli. Doit-on parler de
plagiat ? La règle de L’Hospital devrait-elle s’appeler la règle de Jean Bernoulli ? La question
reste ouverte encore aujourd’hui.
Guillaume de L’Hospital
(1661-1704)
THÉORÈME 1.8
Règle de
L’Hospital
Si f et g sont deux fonctions continues sur [b, d] telles que
1) lim
x→a
f (x) 5 0 et lim
x→a
g(x) 5 0, où a ∈ ]b, d[,
2) f 9 et g9 sont continues en x 5 a,
3) g9(x) ≠ 0, ∀ x ∈ ]b, d[ \ a,
alors lim
x→a
f(x)
g(x)
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
, si cette dernière limite existe ou est innie.
Nous allons démontrer la règle de L’Hospital dans le cas où g9(a) ≠ 0.
PREUVE 1
Puisque f est continue en x 5 a, alors
lim
x→a
f (x) 5 f (a), d’où f (a) 5 0.
De façon analogue, g(a) 5 0, ainsi
lim
x→a
f (x)
g(x)
5 lim
x→a
f (x) 2 f (a)
g(x) 2 g(a)
5 lim
x→a
( f (x) 2 f (a)x 2 a )
(g (x) 2 g(a)x 2 a )
PREUVE 2
Puisque les fonctions f et g satisfont les hypothèses
du théorème de Cauchy, appliquons ce théorème sur
[a, x], où x ∈ ]a, d[.
Alors il existe un nombre c ∈ ]a, x[ tel que
f (x) 2 f (a)
g(x) 2 g(a)
5
f 9(c)
g9(c)
Or, par hypothèse, f (a) 5 0 et g(a) 5 0
Donc
f (x)
g(x)
5
f 9(c)
g9(c)
(par 1))
(car f (a) 5 0 et g(a) 5 0)
(en divisant le numérateur
et le dénominateur par
(x 2 a), où (x 2 a) ≠ 0)
34 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
5
lim
x→a
f (x) 2 f (a)
x 2 a
lim
x→a
g(x) 2 g(a)
x 2 a
5
f 9(a)
g9(a)
5
lim
x→a
f 9(x)
lim
x→a
g9(x)
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
d’où lim
x→a
f (x)
g(x)
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
Ainsi, lim
x→a1
f(x)
g(x)
5 lim
x→a1
f 9(c)
g9(c)
lim
x→a1
f (x)
g(x)
5 lim
c→a1
f 9(c)
g9(c)
(car a  c  x)
lim
x→a1
f (x)
g(x)
5 lim
x→a1
f 9(x)
g9(x)
Nous avons déjà démontré la règle de L’Hospital sur
[a, x], c’est-à-dire x → a1.
Pour le cas où x → a2, il s’agit d’appliquer le théo-
rème de Cauchy sur [x, a], où x ∈ ]b,a[,
d’où lim
x→a
f (x)
g(x)
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
Remarque De façon générale, après avoir vérié l’hypothèse 1, c’est-à-dire
que nous avons une indétermination de la forme 0
0
, nous appliquons la règle de
L’Hospital sans nécessairement vérier les hypothèses 2 et 3, car ces hypothèses
sont vériées pour les problèmes de ce manuel.
Règle de L’Hospital
lim
x→a
f (x)
g(x)
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
ou lim
x→a
f (x)
g(x)
5 lim
x→a
d
dx
( f (x))
d
dx
(g(x))
forme 0
0
forme 0
0
si cette dernière limite existe ou est innie.
Exemple 1 Réévaluons, à l’aide de la règle de L’Hospital, les limites indéterminées de la forme 0
0
des exercices préliminaires no 7 c) et 7 f) (voir page 3).
a) lim
x→41
3x 2 12
(4 2 x)2 1ind. 002
lim
x→41
3x 2 12
(4 2 x)2
RH
5 lim
x→41
d
dx
(3x 2 12)
d
dx
((4 2 x)2)
5 lim
x→41
3
-2(4 2 x)
5 1∞
b) lim
x→3
x2 2 9
x 2 3 1ind. 002
lim
x→3
x2 2 9
x 2 3
RH
5 lim
x→3
(x2 2 9)9
(x 2 3)9
5 lim
x→3
2x
1
2x1 2
5 123 (en évaluant la limite)
(règle de
L’Hospital)
(en dérivant)
1forme 3012
(car la limite d’un quotient
égale le quotient des limites,
puisque g9(a)  0)
(par dénition de
la dérivée)
(car f 9 et g9 sont continues
en x 5 a)
351.4 Règle de L’Hospital
1
La règle de L’Hospital est particulièrement utile lorsque la fonction donnée ne peut
pas être transformée algébriquement de façon élémentaire.
Exemple 2 Évaluons les limites indéterminées suivantes.
a) lim
x→0
ex 2 e2x
sin x
est une indétermination de la forme
0
0
.
lim
x→0
ex 2 e2x
sin x
RH
5 lim
x→0
(ex 2 e2x)9
(sin x)9
5 lim
x→0
ex 1 e2x
cos x (en dérivant)
5 2 (en évaluant la limite)
En représentant dans un même système d’axes les courbes
f (x) 5 ex 2 e2x, g(x) 5 sin x et h(x) 5
ex 2 e2x
sin x
,
nous obtenons le graphique ci-contre.
f :5 x → ex 2 e2x :
g :5 x → sin (x) :
h :5 x →
f (x)
g(x)
:
plot 1[ f(x), g(x), h(x)], x 5 - 3 .. 3 ,
color 5 [blue, green, orange] ;
Nous constatons sur le graphique que les
courbes f et g passent par O(0, 0) et que
la courbe de h s’approche aussi près que nous
le voulons du point P(0, 2). Cependant, ce
point n’est pas un point de la courbe de h.
b) lim
u→(2)
1
cos u
sin u 2 1
est une indétermination de la forme 0
0
.
lim
u→(2)
1
cos u
sin u 2 1
RH
5 lim
u→(2)
1
d
du
(cos u)
d
du
(sin u 2 1)
5 lim
u→(2)
1
-sin u
cos u
5 1∞
(règle de L’Hospital)
e0 5 1 et cos 0 5 1
0 ∈dom f
0 ∈dom g
0 ∉dom h
h(x) 5
ex 2 e2x
sin x
lim
x 0
f (x)
g(x)
5 2
f (x) 5 ex 2 e2x
g(x) 5 sin x
lim
x 0
f (x) 5 0
lim
x 0
g(x) 5 0
-
3

3
g () 5 sin  2 1
f() 5 cos 
h() 5
cos 
sin  2 1
(règle de L’Hospital)
(en dérivant)
1forme -102
Remarque Dans le cas où f (a) 5 0, g(a) 5 0, f 9(a) 5 0 et g9(a) 5 0, et que les
fonctions f 9 et g9 satisfont également les hypothèses de la règle de L’Hospital, nous
pouvons de nouveau appliquer la règle de L’Hospital. Ainsi,
36 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
lim
x→a
f (x)
g(x)
RH
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
RH
5 lim
x→a
( f 9(x))9
(g9(x))9
forme
0
0
forme0
0
si cette dernière limite existe ou est innie.
Exemple 3
h(x) 5
x 1 1 2 ex
x2
lim
x 0
f (x)
g(x)
5
-1
2
lim
x 0
f (x) 5 0, lim
x 0
g(x) 5 0
f (x) 5 x 1 1 2 ex
g(x) 5 x2
Évaluons lim
x→0
x 1 1 2 ex
x2
, qui est une indétermination de la forme
0
0
.
lim
x→0
x 1 1 2 ex
x2
RH
5 lim
x→0
(x 1 1 2 ex)9
(x2)9
5 lim
x→0
1 2 ex
2x
RH
5 lim
x→0
(1 2 ex)9
(2x)9
5 lim
x→0
-ex
2
(en dérivant)
5
-1
2
(en évaluant la limite)
1en dérivant, nous obtenons une nouvelle
indétermination de la forme 0
0 2
(en appliquant de nouveau la règle
de L’Hospital)
Nous pouvons généraliser la règle de L’Hospital de la façon suivante lorsque les
hypothèses de la règle de L’Hospital sont vériées pour chaque nouvelle limite.
lim
x→a
f (x)
g(x)
RH
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
RH
5 lim
x→a
f (x)
g(x)
RH
5 …
RH
5 lim
x→a
f (n 2 1)(x)
g(n 2 1)(x)
RH
5 lim
x→a
f (n)(x)
g(n)(x)
forme 0
0
forme 0
0
forme 0
0
forme 0
0
si cette dernière limite existe ou est innie.
Exemple 4 Évaluons les limites suivantes, qui sont des indéterminations
de la forme 0
0
.
a) lim
x→2
x4 2 5x3 1 6x2 1 4x 2 8
x4 2 6x3 1 12x2 2 8x
RH
5 lim
x→2
4x3 2 15x2 1 12x 1 4
4x3 2 18x2 1 24x 2 8
RH
5 lim
x→2
12x2 2 30x 1 12
12x2 2 36x 1 24
RH
5 lim
x→2
24x 2 30
24x 2 36
5
3
2
(en évaluant la limite)
1ind. 002
1ind. 002
lim
x→2
24x 2 30
24x 2 36
5
18
12
5
3
2
371.4 Règle de L’Hospital
1
b) lim
x→0
x 1 (x 2 1) Arc tan x
x Arc tan x
RH
5 lim
x→0
1 1 Arc tan x 1 x 2 1
1 1 x2
Arc tan x 1
x
1 1 x2
Remarque Il peut être utile, ou même essentiel, de transformer et de simplier
l’expression avant d’appliquer la règle de L’Hospital.
5 lim
x→0
1 1 x2 1 (1 1 x2) Arc tan x 1 x 2 1
1 1 x2
(1 1 x2) Arc tan x 1 x
1 1 x2
5 lim
x→0
x2 1 x 1 (1 1 x2) Arc tan x
(1 1 x2) Arc tan x 1 x
RH
5 lim
x→0
2x 1 1 1 2x Arc tan x 1
1 1 x2
1 1 x2
2x Arc tan x 1
1 1 x2
1 1 x2
1 1
5 1 (en évaluant la limite)
Arc tan 0 5 0 1ind. 002
1ind. 002
Nous pouvons également appliquer la règle de L’Hospital dans le cas où lim
x→6∞
f (x) 5 0
et lim
x→6∞
g(x) 5 0. Ainsi, nous avons
lim
x→6∞
f (x)
g(x)
RH
5 lim
x→6∞
f 9(x)
g9(x)
,
forme
0
0
si cette dernière limite existe ou est innie.
Exemple 5 Évaluons la limite suivante, qui est une indétermination de la forme 0
0
.
lim
t→1∞
sin 1 5t 2
1 7t 2
RH
5 lim
t→1∞
1-5t2 2 cos 1
5
t 2
1-7t22
5 lim
t→1∞
5 cos 1 5t 2
7
(en simpliant)
5
5
7 f (t) 5
sin 1 5t 2
1 7t 2
A.H. : y 5
5
7
plot 1  sin 1
5
t 2
1 7t 2
, 5
7 , t 5 0 ..8,
color 5 [orange, blue], linestyle 5 [1, DOT]2 ;
1 limt→1∞ cos 15t 2 5 cos 0 5 12
38 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Indéterminations de la forme
6
6
Dans certains calculs de limite, il peut arriver que nous ayons à déterminer le résul-
tat d’opérations avec 6∞.
Ainsi, pour k ∈ IR et n ∈ IN*, nous avons
Forme de l’expression Résultat de la limite
1∞ 1 ∞ 1∞
2∞  ∞ 2∞
Si k ∈IR
1∞ 6 k 1∞
2∞ 6 k 2∞
Si k > 0
k(1∞) 1∞
k(2∞) 2∞
(1∞)k 1∞
Si k < 0
k(1∞) 2∞
k(2∞) 1∞
(1∞)k 0
Si n est pair (2∞)n 1∞
Si n est impair (2∞)n 2∞
Nous avons déjà vu dans le cours de calcul différentiel que, pour certaines fonc-
tions, nous pouvions lever des indéterminations de la forme
6∞
6∞
à l’aide de transfor-
mations algébriques (voir les exercices préliminaires, no 7, page 3).
Cependant, la règle de L’Hospital nous permet également de lever des indéterminations
de la forme
6∞
6∞
. Ainsi, nous avons
lim
x→a
f (x)
g(x)
RH
5 lim
x→a
f 9(x)
g9(x)
et lim
x→6∞
f (x)
g(x)
RH
5 lim
x→6∞
f 9(x)
g9(x)
forme
6∞
6∞
forme
6∞
6∞
si, dans chaque cas, la dernière limite existe ou est innie.
Nous ne démontrons pas ces résultats, car la preuve dépasse le cadre du cours.
391.4 Règle de L’Hospital
1
Exemple 1 Évaluons les limites indéterminées suivantes.
a) lim
x→∞
5x2 1 7x  1
x2  4 1ind.
∞
2∞2
lim
x→∞
5x2 1 7x  1
x2  4
RH
5 lim
x→∞
10x 1 7
2x 1ind.
∞
2∞2
RH
5 lim
x→∞
10
2
5 5 (en évaluant la limite)
b) lim
x→0
ln x
11x 2
1ind. 2∞∞2
lim
x→0
ln x
11x2
RH
5 lim
x→0
1 1x 2
1 -1x2 2
5 lim
x→0
(-x) (en simpliant)
5 0 (en évaluant la limite)
c) lim
x→2∞
x4 1 x2
e2x 1ind.
∞
∞2
lim
x→2∞
x4 1 x2
e2x
RH
5 lim
x→2∞
4x3 1 2x
-e2x 1ind.
2∞
2∞2
RH
5 lim
x→2∞
12x2 1 2
e2x 1ind.
∞
∞2
RH
5 lim
x→2∞
24x
-e2x 1ind.
2∞
2∞2
RH
5 lim
x→2∞
24
e2x
5 0 1forme 24∞ 2
d) lim
x→∞
e2x 1 5x
4ex 1 3x2 1ind.
∞
∞2
lim
x→∞
e2x 1 5x
4ex 1 3x2
RH
5 lim
x→∞
2e2x 1 5
4ex 1 6x 1ind.
∞
∞2
RH
5 lim
x→∞
4e2x
4ex 1 6 1ind.
∞
∞2
RH
5 lim
x→∞
8e2x
4ex 1ind.
∞
∞2
5 lim
x→∞
2ex (en simpliant)
5 ∞
Remarque La règle de L’Hospital ne permet pas de lever certaines indétermina-
tions, comme dans les exemples suivants.
Après avoir appliqué la règle de L’Hospital, nous obtenons une limite qui
n’existe pas.
Exemple 2 Évaluons lim
x→∞
3x 1 8 cos x
x
, qui est une indétermination de la
forme
∞
∞
.
lim
x→∞
3x 1 8 cos x
x
RH
5 lim
x→∞
3  8 sin x
1
Or lim
x→∞
(3  8 sin x) n’existe pas, car elle oscille entre -5 et 11 (car -1  sin x  1).
Ainsi, la règle de L’Hospital ne peut pas être utilisée.
lim
x→∞
f (x) 5 ∞
lim
x→∞
g (x) 5 ∞
f (x) 5 3x 1 8 cos x
g (x) 5 x
40 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Nous pouvons lever l’indétermination en utilisant le théorème « sandwich ».
Puisque
3x 2 8
x

3x 1 8 cos x
x

3x 1 8
x
(car -1  cos x  1)
lim
x→1∞
13 2 8x2 limx→1∞
3x 1 8 cos x
x
 lim
x→1∞
13 1 8x2
3  lim
x→1∞
3x 1 8 cos x
x
 3 (en évaluant les limites)
d’où lim
x→1∞
3x 1 8 cos x
x
5 3 (théorème sandwich)lim
x→1∞
f(x)
g(x)
5 3
h(x) 5
3x 1 8 cos x
x
y 5 3
Après avoir appliqué la règle de L’Hospital un certain nombre de fois, nous obtenons
une limite analogue à une limite rencontrée précédemment.
Exemple 3 Évaluons lim
x→2∞
16x2 2 5
3x 1 7
, qui est une indétermination de la
forme
1∞
2∞
.
lim
x→2∞
16x2 2 5
3x 1 7
RH
5 lim
x→2∞
1 16x16x2 2 52
3
5 lim
x→2∞
16x
316x2 2 5 1ind.
2∞
1∞ 2
RH
5 lim
x→2∞
16
1 3(16x)16x2 2 52
5 lim
x→2∞
16x2 2 5
3x 1en simpliant ; ind.
2∞
1∞ 2
Cette dernière limite est analogue à la limite initiale.
Nous pouvons vérier que, en continuant à appliquer la règle de L’Hospital, nous
obtiendrons des limites analogues aux précédentes. Ainsi, la règle de L’Hospital
ne permet pas de lever cette indétermination. Dans ce cas, nous devons lever
l’indétermination sans utiliser la règle de L’Hospital.
lim
x→2∞
16x2 2 5
3x 1 7
5 lim
x→2∞
x2 116 2 5x22
x 13 1 7x 2
5 lim
x→2∞
x216 2 5x2
x 13 1 7x 2
(en mettant en évidence
x2 au numérateur et
x au dénominateur)
411.4 Règle de L’Hospital
1
5 lim
x→2∞
-x 16 2 5x2
x 13 1 7x 2
(puisque x  0, x2 5 -x)
5 lim
x→2∞
(-1)16 2 5x2
13 1 7x 2
1-xx 5 -1, car x  02
5
-4
3
(en évaluant la limite)
Indéterminations de la forme ( ) ou ( )
Dans certaines indéterminations de la forme (1∞ 2 ∞) ou (2∞ 1 ∞), nous pouvons
appliquer la règle de L’Hospital lorsque, après avoir transformé la fonction initiale
sous la forme d’un quotient, nous obtenons une indétermination de la forme 0
0
ou
∞
∞
.
Exemple 1 Évaluons lim
u→01
(csc u 2 cot u), qui est une indétermination
de la forme (1∞ 2 ∞).
lim
u→01
(csc u 2 cot u) 5 lim
u→01 1 1sin u 2
cos u
sin u 2 (en transformant ; ind. (1∞ 2∞))
5 lim
u→01
1 2 cos u
sin u 1dénominateur commun ; ind.
0
02
RH
5 lim
u→01
sin u
cos u
5 0 (en évaluant la limite)
csc u 5
1
sin u
cot u 5
cos u
sin u
Exemple 2 Évaluons lim
x→12
3 xx 2 1 2
1
ln x 4, qui est une indétermination
de la forme (2∞ 2 (2∞)), c’est-à-dire (2∞ 1 ∞).
lim
x→12
3 xx 2 1 2
1
ln x 4 5 limx→12
x ln x 2 (x 2 1)
(x 2 1) ln x
RH
5 lim
x→12
ln x 1 1 2 1
ln x 1
x 2 1
x
5 lim
x→12
x ln x
x ln x 1 x 2 1 1ind.
0
02
RH
5 lim
x→12
ln x 1 1
ln x 1 1 1 1
5
1
2
(en évaluant la limite)
h(x) 5
x
x 2 1
2
1
ln x
lim
x 12
(f (x) 2 g(x)) 5
1
2
f (x) 5
x
x 2 1
g(x) 5
1
ln x
lim
x 12
f (x) 5 2∞
lim
x 12
g(x) 5 2∞
1dénominateur commun ; ind. 002
42 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse1
Indéterminations de la forme 0 ? ( )
Dans certaines indéterminations de la forme 0 ? (6∞), nous pouvons appliquer la
règle de L’Hospital si, après avoir transformé la fonction initiale sous la forme d’un
quotient, nous obtenons une indétermination de la forme 0
0
ou
6∞
6∞
.
Exemple 1 Évaluons lim
→14 2
2
[(1 2 tan ) csc 4], qui est une indétermination
de la forme 0 ? (1∞).
lim
→14 2
2
[(1 2 tan ) csc 4] 5 lim
→14 2
2
11 2 tan sin 4 2 1en transformant ; ind.
0
02
5 lim
→14 2
2
1 -sec2 4 cos 42
5
-2
-4
(en évaluant la limite)
5
1
2
csc 4 5
1
sin 4
RH
La transformation d’un produit en quotient peut également se faire comme suit :
f (x) g(x) 5
f (x)
1 1g(x)2
ou f (x) g(x) 5
g(x)
1 1f (x)2
Exemple 2 Évaluons lim
x→01
7x3 ln (5x), qui est une indétermination de la
forme 0 ? (2∞).
En transformant de deux façons 7x3 ln (5x) sous forme de quotient, nous obtenons
lim
x→01
7x3 ln (5x) 5 lim
x→01
7x3
1 1ln (5x)2
1ind. 002 lim
x→01
7x3 ln (5x) 5 lim
x→01
7 ln (5x)
1 1x3 2
1ind. 2∞1∞ 2
RH
5 lim
x→01
21x2
1 -1x (ln (5x))22
RH
5 lim
x→01
71 15x 25
1 -3x4 2
5 lim
x→01
7x3
-3
5 0 (en évaluant la limite)
5 lim
x→01
[-21x3 (ln (5x))2]
Cette dernière limite est plus complexe
que la limite initiale.
D’où lim
x→01
[7x3 ln (5x)] 5 0 (solution de droite)
7x3 ln (5x) 5
7x3
( 1ln (5x))
ou
7x3 ln (5x) 5
7 ln (5x)
( 1x3)
431.4 Règle de L’Hospital
1
Indéterminations de la forme 00, ( )0 et 16∞
Exemple 1 Voici des exemples de types d’indétermination de la
forme 00, (1∞)0 et 16∞.
a) lim
→01
(sin ) est une indétermination de la forme 00.
b) lim
x→1∞
x
1
x est une indétermination de la forme (1∞)0.
c) lim
x→0
(1 1 x)
2
x est une indétermination de la forme 1∞.
Avant d’appliquer la règle de L’Hospital pour lever ces indéterminations, il faut d’abord
utiliser la fonction logarithme naturel, certaines propriétés des logarithmes et des trans­
formations algébriques de façon à obtenir une indétermination de la forme 0
0
ou
6∞
6∞
.
Exemple 2 Évaluons lim
→01
(sin ), qui est une indétermination de la forme 00.
En posant A 5 lim
→01
(sin ) et en prenant le logarithme naturel de chaque membre
de l’équation, nous obtenons
ln A 5 ln 1lim→01 (sin )
2 (car si A . 0, B . 0 et A 5 B, alors ln A 5 ln B)
5 lim
→01
(ln (sin )) (car ln est une fonction continue)
5 lim
→01
( ln sin ) (ln (Mk) 5 k ln M)
5 lim
→01
ln sin 
1 1 2
1en transformant ; ind. ∞1∞2
RH
5 lim
→01
1 cos sin  2
1 ­12 2
5 lim
→01
­2 cos 
sin  1en transformant ; ind.
0
02
RH
5 lim
→01
­2 cos  1 2 sin 
cos 
5 0 (en évaluant la limite)
Puisque ln A 5 0, donc A 5 e0 5 1
d’où lim
→01
(sin ) 5 1
ln 1limx→a f(x)2 5 limx→a (ln ( f(x)))
f () 5 sin 
g() 5 
h() 5 (sin )
lim
→01
(sin ) 5 1
lim
→01
sin  5 0
lim
→01
 5 0
44 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
Exemple 3 Évaluons lim
x→02
(1 1 x)
2
x , qui est une indétermination de la forme 12∞.
En posant A 5 lim
x→02
(1 1 x)
2
x, nous obtenons
ln A 5 ln 1 lim
x→02
(1 1 x)
2
x2
5 lim
x→02
1ln (1 1 x)
2
x2 (car ln est une fonction continue)
5 lim
x→02
2 ln (1 1 x)
x 1ln (Mk) 5 k ln M ; ind.
0
02
RH
5 lim
x→02
1 21 1 x2
1
5 2 (en évaluant la limite)
Puisque ln A 5 2, donc A 5 e2
d’où lim
x→02
(1 1 x)
2
x 5 e2
lim
x→02
(1 1 x) 5 1
lim
x→02
2x  5 2∞
lim
x→02
(1 1 x)
2
x 5 e2
h(x) 5 (1 1 x)
2
x
f (x) 5 1 1 x
g(x) 5
2
x
Le tableau suivant présente un résumé des étapes à suivre pour lever des indétermi-
nations à l’aide de la règle de L’Hospital. Il faut se rappeler que, fréquemment, une
simplication de l’expression facilite le calcul de la limite.
Indéterminations
de la forme Étapes à suivre
0
0
et
∞
∞
Appliquer la règle de L’Hospital, lim
x→a
f(x)
g(x)
5 lim
x→a
f (x)
g(x)
.
0 ? (∞) 1) Transformer le produit ( f (x) g(x)) sous la forme d’un quotient pour obtenir une indé-
termination de la forme 0
0
ou
∞
∞
.
2) Appliquer la règle de L’Hospital.
1∞ 2 ∞
et
2∞ 1 ∞
1) Transformer la différence sous la forme d’un quotient, à l’aide de transformations
algébriques telles que : identités trigonométriques, dénominateur commun, conju-
gué, etc., pour obtenir une indétermination de la forme 0
0
ou
∞
∞
.
2) Appliquer la règle de L’Hospital.
00, (1∞)0 et 1∞ 1) a) Poser A égale à la limite à évaluer.
b) Prendre le logarithme naturel de chaque membre de l’équation.
c) Puisque ln est une fonction continue, ln 1 lim
x→a
f(x)2 5 lim
x→a
(ln ( f(x))).
d) Utiliser la propriété des logarithmes, ln (Mk) 5 k ln M.
e) Transformer la fonction k ln M, pour obtenir une indétermination de la forme 0
0
ou
∞
∞
.
2) Appliquer la règle de L’Hospital pour trouver ln A et déterminer A,
sachant que si ln A 5 L, alors A 5 eL.
451.4 Règle de L’Hospital
1
1. Parmi les limites suivantes, déterminer lesquelles
sont des indéterminations, en précisant la forme
d’indétermination dont il s’agit, et évaluer les
limites qui ne sont pas des indéterminations.
a) lim
x→ 2∞
(xe2x2) b) lim
x→2∞
(xe2x)
c) lim
t→1∞
ln t
t
d) lim
t→01
ln t
t
e) lim
x→1∞
1x 2 1x 2
1
x
f) lim
x→0
(1 1 sin x)
1
x2
g) lim
x→11
(x 2 1)
1
x 2 1 h) lim
y→0
Arc sin y
y
i) lim
x→0
(ex2 2 1)x j) lim
x→0
(cos 2x)x
k) lim
u→12
1u 2 12 2
1
ln u2 l) limx→01 1
1
x
1 ln x2
2. Répondre par vrai ou faux en expliquant votre
réponse.
a) lim
x→4
x2 2 16
x 2 4
RH
5 lim
x→4
2x
1 12x2
5 32 (en évaluant la limite)
b) lim
x→0
x2 1 2x 2 2 sin x
e2x 2 2ex
RH
5 lim
x→0
2x 1 2 2 2 cos x
2e2x 2 2ex
RH
5 lim
x→0
2 1 2 sin x
4e2x 2 2ex
5 1 (en évaluant la limite)
3. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→1
x2 1 4x 2 5
4x 2 3 2 x2
b) lim
x→22
x5 2 3x3 2 4x
x3 1 x2 2 4x 2 4
c) lim
x→4
3 2x 1 x 2 4
16 2 x2
d) lim
x→0
-4x3
x 1 sin 2x
e) lim
x→(

2)
1
x 2

2
1 cos x
2x 2 
f) lim
x→01
tan x
x2
g) lim
→0
3 sin (tan )
tan (sin 6)
h) lim
→0
ln (cos )
sin 2
i) lim
x→0
8x 2 5x
5x
j) lim
x→1∞
e
1
3x 2 1
1 4x 2
4. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→2
x3 2 4x2 1 4x
x3 2 3x2 1 4
b) lim
x→0
ex 2 e2x 2 2x
x 2 sin x
c) lim
x→0
x2 1 2x 2 sin 2x
e3x 2 3ex 1 2
d) lim
x→1
x5 2 10x3 1 20x2 2 15x 1 4
x4 2 3x3 1 3x2 2 x
e) lim
x→0
2 cos x 2 2x3 1 x2 2 2
x2 sin x
5. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→2∞
5x3 2 7
2 2 8x3
b) lim
t→1∞
7t 1 ln 5t
9t 1 ln 3t
c) lim
x→01
ln x
x
21
2
d) lim
x→1∞
5x2 1 7x 2 1
7x3 1 3x 1 7
e) lim
x→2∞
4x 2 e23x
x3 2 7x 1 2
f) lim
x→1∞
ln x2
ln (1 1 x)
g) lim
x→01
ln x
e
1
x
h) lim
→(4)
1
tan 2
1 1 sec 2
6. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→1∞
(xe2x)
b) lim
x→01
(x ln x)
c) lim
x→1∞
14x sin 1 15x22
d) lim
x→02
(e3x 2 1) csc 2x
e) lim
x→01
4x2 ln (ln2 x)
f) lim
x→1∞
e3x ln (e22x 1 1)
EXERCICES 1.4
46 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
7. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
s→21 3 1s 2 2 1
4
4 2 s24
b) lim
x→02
3 e
2x
sin 5x
2
1
tan 5x4
c) lim
x→11
3 11 2 x 2
1
ln (2 2 x)4
d) lim
x→01
3 1Arc tan x 2
1
x4
e) lim
→01
csc  2
cos 
sin 
f) lim
x→01
31x 2
1
1 2 cos x4
8. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→0
(1 1 x)
1
x
b) lim
x→1∞
11 1 1x 2
x
9. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→01
xsin x
b) lim
x→1∞
1 37e2x2
5
8x
c) lim
x→1∞
11 1 4x22
x2
d) lim
x→1∞
11 2 5x 2
3x
e) lim
x→01 11 1 5x 2
3x
f) lim
x→12
3ln 1 11 2 x24
12x
g) lim
x→1∞
(ln 2x)
1
(1 2 ln x)
h) lim
x→51
(x 2 5)ln (x 2 4)
10. Utiliser, si c’est possible, la règle de L’Hospital
pour lever les indéterminations suivantes. Si la
règle de L’Hospital ne peut s’appliquer, lever les
indé terminations en utilisant une autre méthode.
a) lim
x→1∞
x2 1 1
x
b) lim
x→0
3e2x 2 3e22x
2e2x 2 2e2x
c) lim
x→1∞
3e2x 2 3e22x
2e2x 2 2e2x
d) lim
x→01
1 2 cos x
sin x
11. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→1
2 2 x 1 3
x 2 1
b) lim
x→0
1 2 ex
x3
c) lim
y→1∞
5y2(y 1 1)2
4y4
d) lim
x→1∞
5
3x sin 1 12x2
e) lim
→0
2
1 2 tan 7 2 1
f) lim
x→0
x2 1 2x 2 2 sin x
e2x 2 2ex
g) lim
x→1∞
(ln 9x 1 2 2 ln 4x 15)
h) lim
→
2
(1 1 cos )tan 
i) lim
x→0
1 1x 2 2sin 2x2
j) lim
t→0
e3t 1 e22t 2 t 2 2 cos t
t sin t
k) lim
x→2∞
e3x (4e23x 1 1)
l) lim
x→1∞
(ex2 2 1)
2
x2
m) lim
x→2
16x 2 x4 2 23 4x
2 2 4 2x3
n) lim
x→1 32 2
1 3 12x 2 3 2
5x
2x 2 34
o) lim
x→01
(1 1 6x)
3
x
p) lim
x→1∞
(1 1 6x)
3
x
q) lim
x→1∞
18x 1 38x 2 52
2x
47
1
1.4 Règle de L’Hospital
Réseau de concepts
Formules de dérivation
Pages 5, 6, 7
Différentielle
Si y 5 f(x), alors dy 5
y  f(x)
Du graphique,
y 5
dy 5
y  , si x 
Théorème de Rolle
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]a, b[,
3) f (a) 5 f (b),
alors
Théorème de Lagrange
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f est dérivable sur ]a, b[,
alors
Corollaire 2
Si f et g sont deux fonctions telles que
1) f et g sont continues sur [a, b],
2) f 9(x) 5 g9(x), ∀ x ∈ ]a, b[,
alors
Corollaire 1
Si f est une fonction telle que
1) f est continue sur [a, b],
2) f 9(x) 5 0, ∀ x ∈ ]a, b[,
alors
Dérivation implicite
Page 8
Dérivation logarithmique
Page 11
Règle de L’Hospital
Si lim
x→a
f(x)
g(x)
est une indétermination de la forme ou ,
alors lim
x→a
f(x)
g(x)
5
Pour les indéterminations des formes suivantes :
Étape 1 : Transformer sous la forme
Étape 2 : Appliquer la règle de L’Hospital
RH
Théorème de Cauchy
Si f et g sont deux fonctions telles que
1) f et g sont continues sur [a, b],
2) f et g sont dérivables sur ]a, b[,
3) g9(x)  0, ∀ x ∈ ]a, b[,
alors
48 CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1
1. Calculer :
a)
dy
dx
si 2x4y
7
2 2 5x3y4 5 5
b)
d
d
si cos (2) 5 
c)
dy
dx (0, 0)
si sin (x2 1 y2) 5 2y 1 5x
d) y0
(0, 0)
si ey 2 ex 5 3xy2
e)
dy
dx (0, e)
si e2x ln y 1 sin 3x cos y 5 1
f)
d2y
dx2 x 5 3
si y2 2 2xy 5 6x 2 23
g)
dy
dx x 5 2
si 3x 1 y 5 x3 1 3y
2. Soit la courbe dénie par x2 1 y2 2 6x 2 8y 5 0.
a) Déterminer les points de la courbe où la
tangente à celle-ci est
i) horizontale ; ii) verticale.
b) Représenter graphiquement la courbe et les
tangentes précédentes.
3. Soit les courbes définies par y
1
4 2 2x2 5 14 et
1
y2
2
5
1
4
1 2 ln x. Démontrer que les courbes sont
orthogonales au point P(1, 2).
4. Utiliser la dérivation logarithmique pour calculer
dy
dx
.
a) y 5 (sin x2)cos 3x b) 1 2 x 5 yy
c) y 5 (ln x)ln x d) y 5 11 2 xx 2
x 2 1
5. Soit y 5 f (x)g(x). Déterminer dy
dx
.
6. Soit f (x) 5 3(2x)x.
a) Déterminer l’équation de la tangente T
à la courbe de f lorsque x 5 1.
b) Déterminer l’équation de la droite normale N
à la tangente à la courbe de f lorsque x 5 1.
c) Représenter graphiquement la courbe de f
ainsi que T et N.
7. Calculer d’une façon approximative les valeurs
suivantes en utilisant la différentielle.
a)
1
91
b) (1,98)8 c) 26 1 3 26
8. Un cube mesure 30 cm d’arête. On recouvre
ses faces d’une couche de peinture de 0,01 cm
d’épaisseur chacune.
a) Calculer dV, l’augmentation approxima-
tive du volume, et V, l’augmentation réelle
du volume de ce cube.
b) Calculer dA, l’augmentation approxima-
tive de l’aire des faces du cube, et A,
l’augmentation réelle de l’aire des faces.
9. La fabrication d’un cylindre droit fermé aux
extrémités nécessite moins de matériau lorsque
la hauteur du cylindre est égale à son diamètre.
En mesurant la hauteur d’un tel cylindre à
l’aide d’un instrument de mesure dont la préci-
sion est de ±0,02 cm, nous obtenons 14,3 cm.
Calculer approximativement, à l’aide de la
différentielle :
a) l’erreur absolue E
a
de la mesure de l’aire A ;
b) l’erreur relative E
r
;
c) l’erreur relative E
r
, en fonction de h et
de dh, si la mesure de la hauteur et de
la précision sont quelconques lorsque le
cylindre satisfait les conditions énoncées.
10. Soit f (x) 5 sin x, où x ∈3-p2 ,
p
2 4.
a) Déterminer l’équation L(x) de la droite don-
nant l’approximation affine de f en x 5 0.
b) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, la courbe de f et celle de L.
c) Utiliser le résultat de a) pour déterminer
l’approximation affine de
i) sin 1 -p4 2 ; ii) sin (0,1).
Les réponses des exercices récapitulatifs et des problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont fournies
à la n du manuel.
Chimie Physique
Exercices récapitulatifs
Administration
Outil
technologique
Sciences de
la nature
Sciences
humaines
Exercices récapitulatifs
1
49
1
11. La demande D d’un produit en fonction du prix
p en dollars est donnée par D( p) 5 324  p,
où 0  p  324. Utiliser la différentielle pour
déterminer approximativement la variation du
revenu lorsque le prix du produit passe de
99 $ à 100$.
12. Soit la fonction
f dénie par le
graphique
ci-contre.
Déterminer, parmi les intervalles [0, 1], [1, 2],
[2, 3], [3, 4] et [4, 5] :
a) les intervalles où les hypothèses du théorème
de Rolle sont satisfaites ;
b) les intervalles où la dérivée de la fonction s’an-
nule en au moins un point de l’intervalle donné.
13. Pour chacune des fonctions suivantes,
déterminer la valeur c du théorème de Rolle
après avoir vérifié les hypothèses de ce
théorème.
a) f (x) 5 x3  2x2  5x 1 6 sur [1, 3]
b) g(x) 5 5 1 x  3 sur [1, 5]
c) v(t) 5 t3 1
1
t3
sur 3-3, -13
d) f (x) 5
x4 1 1
x2
sur [-1, 1]
e) f (x) 5
x4 1 1
x2
sur 312, 2
f) h(x) 5 x sur [1, 9]
g) f (x) 5 3 (x 1 3) sur [-4, -2]
h) g() 5 tan  sur [0, ]
i) x(t) 5 t4  3t2 1 1 sur [-3, 3]
14. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer
la valeur c du théorème de Lagrange après avoir
vérifié les hypothèses de ce théorème.
a) f (x) 5 x3 sur [-2, 1]
b) f (x) 5 (x  1)
2
3 sur [-2, 2]
c) f (x) 5 3 x  1 sur [0, 8]
d) f (x) 5 Arc tan x sur [-1, 1]
e) f (x) 5 x 1
1
x
sur [-1, 1]
f) f (x) 5 (4  x)
3
2 sur [0, 16]
g) f (x) 5 cos x sur [0, ]
h) f (x) 5 3,8x5  38x3 sur [-3, 3]
15. Démontrer les égalités suivantes et déterminer
la valeur de C, où C ∈IR.
a) ln (csc x 1 cot x) 1 ln (csc x  cot x) 5 C,
où x ∈ ]0, [
b) (ln x2)(ln 2x)  (ln x)2 5 (ln 2x)2 1 C,
où x ∈ ]0, 1∞[
c) Arc tan 11  x
2
1 1 x225 Arc tan (-x2) 1 C, où x ∈IR
16. Utiliser le théorème de Lagrange pour
démontrer que :
a) sin x  x, où x ∈ ]2∞, 0]
b) sin2 x  2x, où x ∈ [0, 1∞[
c) 1 1 2x  1 1 x, où x ∈ [0, 1∞[
d) eax  ax 1 1, où x ∈ ]0, 1∞[ et a  0
e) (1 1 x)n  (1 1 nx), où n  1 et x  0
17. a) Soit f(x) 5 xm(x  1)n, où m et n sont des
entiers positifs et x ∈ [0, 1].
i) Après avoir vérifié les hypothèses
du théorème de Rolle, déterminer c
f
du
théorème de Rolle.
ii) Déterminer le rapport de la longueur
de 0 à c
f
sur la longueur de c
f
à l.
b) Soit g(x) 5 x3(x  1)2, h(x) 5 x4(x  1)2
et k(x) 5 x7(x  1)5, x ∈[0, 1], satisfaisant les
hypothèses du théorème de Rolle.
Déterminer les valeurs respectives c
g
, c
h
et
c
k
du théorème de Rolle pour les fonctions
g, h et k.
18. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer
la valeur c du théorème de Cauchy après avoir
vérifié les hypothèses de ce théorème.
a) f (x) 5 sin 2x, g(x) 5 cos 2x sur 34 ,

2 
b) f (x) 5 e3x 2  1, g(x) 5 e2x 2 1 1 sur [0, 1]
50
1
CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
19. Soit deux fonctions continues sur [0, 8] et déri­
vables sur ]0, 8[, dénies par f(x) 5 x2 1 4 et
g(x) 5 x3 1 1.
a) Déterminer la valeur c
1
du théorème
de Lagrange pour f.
b) Déterminer la valeur c
2
du théorème
de Lagrange pour g.
c) Déterminer la valeur c du théorème
de Cauchy pour ces deux fonctions.
20. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→0
sin x 2 x
x2
b) lim
x→0
x 2 tan x
x sin x
c) lim
x→1∞
(ex Arc tan e2x)
d) lim
x→1∞
e3x 1 4x 2 7
e2x 1 3x 2 1
e) lim
x→2
1 x 
tan 1 x2 
f) lim
x→0
x 2 Arc tan x
x 2 Arc sin x
g) lim
x→0 1
1
e
1
2x 
3x
h) lim
x→0
x ln 1ln 1 1x2 
i) lim
x→1

2
2
(2 sec x 2 4x2 tan x)
j) lim
x→1∞
13x 1 13x 2 1
x
k) lim
x→0 1
1
ex 2 1 2
2
e2x 2 1
l) lim
x→112 
2
2(tan x)(1 2 2x)
m) lim
x→0
x 1 x sin 2x
x 2 sin 2x
n) lim
x→0
1 1 x 1 1 2 x 2 2
x2
o) lim
x→1∞
x2(4
1
x
2 1)
p) lim
x→01
sin x
1 2 cos x
q) lim
x→01 11 1 e
x 2 e2x
2
1
2x
r) lim
x→1∞
1x2 2 x4 1 4x2 1 25
s) lim
x→2∞
2x 1 50
x2 2 5x
t) lim
x→01
e
21
x2
x
21. Soit f (x) 5 Arc tan 13x, où x ∈ ]0, 1∞[,
et A(x), l’aire du rectangle délimité par les axes
dont la base est x et la hauteur f (x). Déterminer
A lorsque la base du rectangle tend vers l’infini.
22. La vitesse, exprimée en m/s, d’un parachutiste
en chute libre, t secondes après sa sortie de
l’avion, est donnée par
v
m
(t) 5 mgk 1 e
 gk
m
t
2 e
2 gk
m
t
e
 gk
m
t
1 e
2 gk
m
t 
où m est la masse en
kilogrammes du parachu­
tiste, k, le coef cient de
la résistance de l’air et g,
l’accélération gravitation­
nelle égale à 9,8 m/s2.
a) Déterminer théoriquement la vitesse v
m
d’un parachutiste après un temps infini.
b) Déterminer cette vitesse en km/h si
k 5 0,1 et
i) m 5 75 kg ; ii) m 5 110 kg.
c) Lorsque k 5 0,1, représenter dans un même
système d’axes sur [0 s, 20 s] les courbes
v
75
(t), où m 5 75 kg, v
110
(t), où m 5 110 kg,
et v
g
(t) 5 9,8t, la fonction donnant la vitesse
théorique d’un objet en chute libre sans tenir
compte de la résistance de l’air.
23. a) Évaluer les limites suivantes.
i) lim
x→01 1 1x 2
1
sin x 
ii) lim
x→01 1 1x2 2
1
sin2 x
iii) lim
x→01 1 1x3 2
1
sin3 x
b) Déterminer lim
x→01 1
1
xn
2
1
sinn x selon la
valeur de n, où n ∈ IN*.
Exercices récapitulatifs
1
51
24. a) Évaluer les limites suivantes.
i) lim
x→01
xx ii) lim
x→01
x(x
x)
iii) lim
x→01
(xx)x
b) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, les fonctions f (x) 5 xx,
g(x) 5 x(xx) et h(x) 5 (xx)x, sur [0 ; 1,5].
25. Utiliser, si possible, la règle de L’Hospital pour
lever les indéterminations suivantes. Si la règle
de L’Hospital ne peut s’appliquer, lever les
indéterminations en utilisant une autre méthode.
a) lim
x→1∞
3x2 1 sin 2x
x2 1 cos 3x
b) lim
x→2∞
(3e2x 2 e23x)
c) lim
x→01
(x 1 e3x)csc x
d) lim
x→1∞
x2 1 ax 2 x
e) lim
x→0 3 1e2x 2 1 2
1
2x 
f) lim
x→2 
2
tan 5x
tan 3x
g) lim
x→1∞
(5 1 2 cos x) ln x
x
h) lim
x→0
sin (sin x) 2 x
x3
i) lim
x→1∞
(ln x 2 ex)
j) lim
x→0
x sin  1x 
k) lim
x→0
(cos 2x 2 1) sin 4x
x3 cos x
l) lim
x→01
sin (3x) ln x2 2 x ln (x2 1 5x)
x ln x2
m) lim
x→1∞
3 3x
2 2 x4
1 1 8x4
26. Évaluer les limites suivantes, où a  0 et b  0.
a) i) lim
x→01
(1 1 ax)
b
x ii) lim
x→1∞
(1 1 ax)
b
x
b) i) lim
x→01 1 1 ax 
bx
ii) lim
x→1∞ 1 1 ax 
bx
27. La valeur nale A
f
d’un capital initial A
0
est
donnée par A
f
5 A
0 1 1 jx 
xt
, où x est le
nombre de capitalisations annuelles, j, le taux
d’intérêt nominal et t, le nombre d’années.
a) Déterminer A
f
lorsque x → 1∞.
b) Déterminer A
f
lorsque x → 1∞ et lorsque
i) A
0
5 10 000 $, j 5 3,5 % et t 5 5 ans ;
ii) A
0
5 9000 $, j 5 4 % et t 5 7 ans.
28. Sachant qu’une fonction, dénie par
f(x) 5 px2 1 qx 1 s, où p, q et s ∈ IR, et p  0,
est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[,
démontrer que la valeur c du théorème de
Lagrange est la valeur située au milieu de [a, b].
29. Le nombre N de maisons vendues dépend
du taux d’intérêt i. Soit 3N2 1 iN 1 i3 5 383
la relation entre N et i, où N est le nombre
de maisons vendues (en milliers) et i, le taux
d’intérêt en pourcentage, i ∈ [2 ; 6,5].
a) Calculer le taux de variation de N par
rapport à i, lorsque N 5 9 et i 5 5 %,
et interpréter le résultat.
b) Si la Banque du Canada estime que le taux
di
dt
diminuera de 0,5 % durant la prochaine
année, calculer
dN
dt
lorsque N 5 9 et i 5 5 %,
et interpréter le résultat.
c) Représenter graphiquement la relation entre
N et i.
52
1
CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
1. Soit f(x) 5 4x 2 2 2 cos  p2 
1
2 2
x
22.
a) Compléter le tableau suivant.
x 1 10 20 30 100
f(x)
b) Évaluer, si c’est possible, à l’aide du tableau
précédent, lim
x→1∞
f(x).
c) Évaluer, en utilisant la règle de L’Hospital,
lim
x→1∞
f(x).
d) Déterminer laquelle des réponses de b) ou
de c) est exacte. Expliquer votre réponse.
2. Calculer dy
dx
si :
a) xsin y 5 ln (x2 1 1) b) y x 5 xy2
3
c) y 5 xsin x (cos x)x d) y 5 x2x 1 (3x 1 1)5x
e) ex2 cos (2y3) 5 x3 tan y2 f ) y 5 xtan x 1 (tan x)x
g) y 5
10x2 cos 3x
x sin4 x5
h ) y 55 (1 2 x
4)ex
(5x2 2 2x11)
3. Soit la courbe dénie par
Arc sin y 1 4 Arc tan x 5 2xy 1 p.
a) Déterminer l’équation de la tangente et de la
droite normale à cette tangente à la courbe au
point P(a, 0), aprés avoir déterminé la valeur de a.
b) Représenter graphiquement la courbe, la tan­
gente et la droite normale.
4. Soit la lemniscate de Jacques Bernoulli
(1654­1705) dénie par (x2 1 y2)2 5 x2 2 y2.
a) Déterminer algébriquement les coordonnées
des points P(x, y), où x  y, de la courbe où la
tangente à la courbe
i) est horizontale ;
ii) est verticale.
b) Représenter graphiquement la courbe et les
points trouvés en a).
5. Soit le folium de Descartes (1596­1650) déni
par x3 1 y3 5 3axy, où a . 0.
a) Déterminer algébrique ment les coordonnées
du point P(x, y), où x  y, de la courbe où la
tangente à la courbe
i) est horizontale ;
ii) est verticale.
b) Déterminer l’équation de la tangente à la
courbe au point d’intersection du folium de
Descartes et de la droite y 5 x lorsque x  0.
c) Pour a 5 1, représenter graphiquement
le folium de Descartes et les tangentes
trouvées en a) et en b).
6. Déterminer le point d’intersection R des droites
perpendiculaires à la courbe dénie par l’équa­
tion (xy3 1 y)2 5 x2 1 16 lorsque x 5 0.
7. Soit l’ellipse d’équation
x2 2 2x 2 xy 1 2y2 1 y 5 27.
a) Trouver le point de maximum A et le point
de minimum B de l’ellipse.
b) Déterminer l’équation des droites verticales
D
1
et D
2
qui sont tangentes à l’ellipse.
c) Représenter graphiquement l’ellipse, les
points A et B ainsi que les droites D
1
et D
2
.
8. Soit la courbe dénie par x 2 y2 1 4y 5 7.
a) Trouver l’angle aigu u entre les tangentes
à la courbe lorsque x 5 7.
b) Trouver les points A(x, a) et B(x, b) de
la courbe, de façon que l’angle entre
les tangentes soit de 90°.
9. Soit f (x) 5 xx, où x . 0. Construire le tableau
de variation relatif à f 9 et à f , et tracer
le graphique de cette fonction.
10. Soit g(x) 5 1 1 2 ln x, où x ∈ ]0, 2].
a) Déterminer l’équation L(x) de la droite
donnant l’approximation affine de g en x 5 1.
b) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, la courbe de g et celle de L.
c) Utiliser le résultat de a) pour déterminer
l’approximation affine de
i) 1 1 ln (0,64) ;
ii) ln (1,21).
Problèmes de synthèse
Problèmes de synthèse
1
53
11. La concentration C (en mg/ml) d’un médi­
cament dans le sang d’un patient, t heures après
l’injection, où t ∈ [0 h, 10 h], est donnée par
C(t) 5
5t2
9 1 t4
.
a) Utiliser la différentielle pour déterminer
approximativement la variation de la concen­
tration pour les intervalles de temps suivants :
i) 1 h et 1,5 h après l’injection ;
ii) 2 h et 2,25 h après l’injection.
b) Déterminer approximativement, à l’aide de
la différentielle, le temps nécessaire pour
avoir une variation de concentration du
médicament de ­0,056 mg/ml
i) 5 heures après l’injection ;
ii) 7 heures après l’injection.
c) Déterminer à quel instant la concentration
sera maximale et calculer cette concentration.
d) Déterminer l’intervalle de temps pendant
lequel la concentration du médicament est
supérieure à 0,1 mg/ml.
e) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, les courbes de C(t) et C(t).
12. Soit une compagnie dont les prots P, en
fonction de la quantité d’unités q d’objets
vendus, sont donnés par P(q) 5 50qe
2q
200,
où q ∈[0, 400].
a) Déterminer approximativement, en utili­
sant la différentielle, l’augmentation en
pourcentage du profit lorsque la quantité
d’objets vendus passe de
i) 100 à 105 ;
ii) 150 à 160 ;
iii) 250 à 254.
b) Déterminer à partir de quelle valeur de q
l’augmentation en pourcentage du profit sera
négative.
13. Soit l’équation tan x 5 1 2 x, où x ∈ ]0, 1[.
a) Démontrer qu’il existe une solution à
l’équation en utilisant le théorème de
la valeur intermédiaire.
b) Démontrer qu’il existe une solution à
l’équation en utilisant le théorème de Rolle
où f(x) 5 (x 2 1) sin x sur [0, 1].
c) Représenter graphiquement les fonctions
g(x) 5 tan x et h(x) 5 1 2 x, où x ∈ [0, 1], et
déterminer approximativement la valeur de
c ∈ ]0, 1[ telle que g(c) 5 h(c).
14. La position d’un mobile en fonction du temps
est donnée par x(t) 5 6t2 2 t3 1 4, où x(t) est en
mètres et t ∈ [0, 4] est en secondes.
a) Déterminer les temps où la vitesse instantanée
du mobile sera égale à la vitesse moyenne
de ce mobile sur [0, 4].
b) Déterminer le temps où la vitesse instantanée
du mobile est maximale et calculer cette
vitesse maximale.
c) Représenter dans un même graphique les
fonc tions position, vitesse et accélération
sur [0, 4].
15. Soit les courbes xy
1
5 c et x2 2 y
2
2 5 k, où c
et k ∈ IR+.
a) Trouver les points d’intersection P
1
(a
1
, b
1
)
et P
2
(a
2
, b
2
) des courbes précédentes en
fonction de c et de k.
b) Démontrer que les courbes précédentes se
rencontrent perpendiculairement.
16. Soit f (x) 5 3x5 2 20x3. Déterminer la valeur c
du théorème de Lagrange sur [x
1
, x
2
], où
P
1
(x
1
, f (x
1
)) est le point de maximum relatif
de f et P
2
(x
2
, f (x
2
)), le point de minimum re­
latif de f.
17. Utiliser le théorème de Lagrange pour
démontrer que :
a)
x
x 1 1
 ln (x 1 1)  x, où x ∈ [0, 1∞[
b) 1x 2 x36 2  sin x  x, où x ∈0,

2
18. On estime que la
fonc tion h donnant
la hau teur, en mètres,
entre un télésiège
et une droite
horizontale issue de
la base du premier
poteau, est donnée par
h(x) 5 0,006x2 2 0,1x 1 9, où x représente
la distance horizontale, en mètres, entre le
télésiège et le premier poteau, sachant que la
distance entre les deux premiers poteaux est de
100 mètres.
54
1
CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
a) Trouver la distance maximale D entre
la corde rectiligne reliant le sommet des
deux poteaux et le télésiège.
b) Trouver la distance minimale d entre
le télé siège et le sol.
c) Sachant que la vitesse horizontale du télésiège
est de 1,8 m/s, déterminer la vitesse verticale
du télésiège si celui-ci se trouve à une
distance de
i) 5 m du point de départ ;
ii) 5 m du point d’arrivée.
d) Représenter sur le graphique ci-dessus les
distances D et d.
19. Soit la courbe dénie
par x 1 y 5 C, où
C ∈ IR. La droite L est
une tangente quelconque
à la courbe. Démontrer
que r 1 s 5 k, où
k ∈ IR, et déterminer
la va leur de k.
20. Soit f(x) 5 e2x, où x ∈[0, 1∞[.
a) Déterminer le point P sur la courbe de f
où l’aire A du triangle rectangle délimité
par les axes et la tangente à la courbe de f
est maximale. Déterminer cette aire maximale.
b) Déterminer A lorsque la base du triangle
tend vers l’infini.
21. a) Démontrer l’égalité suivante et déterminer,
selon la valeur de x, la valeur de C, où C ∈IR.
Arc tan 11 1 x1 2 x2 5 Arc tan x 1 C
b) Représenter graphiquement la courbe de
Arc tan 11 1 x1 2 x2 et celle de Arc tan x.
22. Utiliser les propriétés des limites et la règle
de L’Hospital, si nécessaire, pour évaluer
les limites suivantes.
a) lim
→0
(52 1 7) sin 3
e
b) lim
x→01
3 tan xx 1 x ln x
c) lim
t→1∞
t 11 1 tet 2
(2t 1 ln t)
d) lim
s→1∞
1 s 1 ss 2 s 2
s
e) lim
x→1∞
ln x
x
1
e2x
1 2 2 Arc tan x 2
f) lim
x→1∞
31 cos 2xx 1 x sin 1
3
x 22e
25
x 
g) lim
x→1∞ 1x
5,831 1 1
x34 2
h) lim
x→1∞
x2 11 2 x sin 1 1x 22
i) lim
x→0
15 sin
4 3x
2x4 2
j) lim
x→1∞
1
ex 2 ln x
k) lim
x→a
2a3x 2 x4 2 a3 a2x
a 2 4 ax3
23. Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes
en justiant votre réponse.
a)
y
2
5 -2x 2 2
y
1
5 2x 1 2
lim
x→21
f (x)
g(x)
b)
lim
x→1
f (x)
g(x)
Problèmes de synthèse
1
55
c)
lim
x→2
f (x)
g(x)
24. Soit f (x) 5
sin (tan x) 2 tan (sin x)
Arc sin (Arc tan x) 2 Arc tan (Arc sin x)
.
Évaluer lim
x→0
f (x) et représenter graphiquement
la courbe de f.
25. Soit f (x) 5 (x2 2 4)2 (x
2
2 2x)
.
a) Trouver les valeurs de x telles que f (x) 5 1.
b) Si g(x) 5  (x2 2 4)2 (x
2 2 2x) si x  a
k si x 5 a
trouver la valeur de a et celle de k pour que
la fonction soit continue en x 5 a.
c) Représenter graphiquement la courbe de g.
26. On ensemence un lac avec des truites. Des
écologistes estiment que le nombre N de
truites en fonction du temps t, en mois,
est donné par N(t) 5
3t 1 2400e0,36t
5 1 t2 1 e0,36t
.
a) Déterminer le nombre
de truites ense mencées.
b) Selon cette estimation,
déterminer théori que­
ment le nombre de
truites présentes dans
ce lac après une très
longue période de temps.
c) Trouver l’équation de
l’asymptote horizontale correspondante
et représenter la courbe de N et l’asymptote
trouvée.
27. Déterminer algébriquement, s’il y a lieu,
l’équation des asymptotes verticales et
hori zontales pour chacune des fonctions
suivantes. Repré senter graphiquement
les fonctions et les asymptotes.
a) f (x) 5
2x3 1 x 2 3
x(x 2 1)2
b) f (x) 5 11 1 1x 2
x
sur ]0, 1∞[
c) f (x) 5
x
2ex 2 xex 2 x 2 2
28. Un lanceur de marteau doit idéalement laisser
partir le marteau de façon à ce que la trajec­
toire du marteau soit perpendiculaire à la ligne
arrière du terrain.
80 m
d
L(0, 0)
M
1
x2 1 y2  3,24
ligne
arrière
L : lanceur
Déterminer la distance ofcielle du lancer si le
marteau franchit 80 mètres à partir des points :
a) M
1
(1,7 ; b), où b . 0 ;
b) M
2
(1,75 ; b), où b  0.
29. Nous appelons a une valeur xe d’une fonction f,
si f(a) 5 a. Démontrer que si f est dérivable et que
f 9(c)  1, ∀c ∈IR, alors la fonction f possède au
plus une valeur xe.
30. Soit f une fonction continue et dérivable sur IR.
a) Démontrer que si f 9 a k zéros distincts, alors
f a au plus k 1 1 zéros distincts.
b) Si f 0 est définie et a k zéros distincts, déter­
mi ner le nombre maximal de zéros que f
possède.
c) Si f (n) est définie et a k zéros distincts, déter­
mi ner le nombre maximal de zéros que f
possède.
31. Énoncer et démontrer le théorème de Cauchy,
en appliquant le théorème de Rolle à la fonction
H(x) 5 [ f(b) – f(a)] g(x) – [g(b) – g(a)] f(x),
pour x ∈ [a, b].
32. Démontrer que si lim
x→1∞
f(x)
g(x)
est une indétermination
de la forme
0
0
, alors lim
x→1∞
f(x)
g(x)
5 lim
x→1∞
f 9(x)
g9(x)
, si cette
dernière limite existe ou est innie.
56
1
CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d’analyse
Intégration
D ans le cours précédent, nous avons vu qu’à partir d’unefonction f il était possible de trouver une nouvelle fonctionf 9 appelée « dérivée de f». Nous verrons maintenant com-
ment procéder de façon inverse, c’est-à-dire comment trouver une
fonction dont la dérivée est donnée ; c’est ce qu’on appelle « inté-
grer ». Nous donnerons la dénition de l’intégrale indénie ainsi
que ses propriétés. Quelques formules d’intégration de base et la
méthode du changement de variable nous permettront d’intégrer cer-
tains types de fonctions. D’autres méthodes d’intégration, vues au
chapitre 4, peuvent être étudiées immédiatement après la section 2.2.
Nous verrons également des applications de l’intégrale indénie
dans différents domaines, tels que la physique, l’économie, la démo-
graphie, etc.
En particulier, l’étudiant pourra résoudre le problème suivant.
Pour endormir un chat au cours d’une opération, on lui administre
un produit ayant une demi-vie de 3 heures. Une quantité mini-
male de 18 ml/kg du produit est nécessaire pour qu’un chat reste
endormi pendant une opération. Déterminer la dose à injecter à
un chat de 5,5 kg pour qu’il reste endormi durant 45 minutes,
sachant que le taux d’élimination de la quantité de médicament
est proportionnel à la quantité présente.
(Voir les problèmes de synthèse, no 12, page 121)
Perspective historique 58
Exercices préliminaires 59
2.1 Intégrale indénie
et formules de base 60
2.2 Intégration à l’aide d’un
changement de variable 69
2.3 Résolution d’équations
différentielles 80
2.4 Applications de l’intégrale
indénie 91
Réseau de concepts 112
Exercices récapitulatifs 113
Problèmes de synthèse 120
2
PERSPECTIVE H I S T O R I Q U E
D ans le cadre de la recherche de méthodes pourdéterminer l’aire d’une surface délimitée parune courbe etce que nous appelons aujourd’hui
l’« axe des abscisses », le mathématicien français Grégoire
de Saint-Vincent (1584-1667) remarque que l’aire A(z)
sous le graphe de l’hyperbole équilatère, y  1/x, entre
0 et z, a la propriété A(xy)  A(x)  A(y). Or, cette pro-
priété est caractéristique de la fonction logarithme. Dès
lors, le calcul de l’aire sous le graphe de la fonction
y  1/x devient un moyen de calculer des tables de loga-
rithmes. Toutefois, le calcul d’aire reste à l’époque une
question difcile. Evangelista Torricelli (1608-1647) le
montre clairement avec son paradoxe. Si on considère
qu’une surface est formée de la somme des segments qui
la composent, alors, dans un rectangle de hauteur 1 et de
longueur 2, les deux triangles déterminés par une diago-
nale devraient être d’aire différente.
En effet, le rapport des segments a et b étant toujours 1/2,
le triangle du haut devrait avoir une aire qui représente la
moitié de celle du triangle du bas. C’est en réaction à ce
genre de paradoxe que les mathématiciens du e siècle
ont commencé à considérer les surfaces comme étant
composées de rectangles dont la base est innitésimale.
Parallèlement, ils s’intéressent aussi au problème de la
détermination des tangentes à une courbe et à celui de
la détermination de la longueur d’une courbe en associant la
pente de la tangente à un minuscule triangle rectangle dont
les cathètes sont aussi des innitésimaux et l’hypoténuse
se confond avec la tangente. Peu à peu, on cherche à mettre
en place un genre d’arithmétique des innitésimaux. Il en
découle un usage de plus en plus répandu des séries pour
représenter, et calculer, les fonctions les plus courantes.
C’est dans ce contexte que, de passage à Paris en tant que
diplomate de 1672 à 1676, l’Allemand Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716) s’initie aux mathématiques de pointe
de son époque. Il remarque que, si on a une suite crois-
sante de nombres A, B, C,…, X, alors X 2 A est égal à
la somme des différences successives de ces nombres, ce
qui découle du fait que l’addition et la soustraction sont
des opérations inverses. Il constate que cette observation
s’apparente au fait que les sommes d’expressions inni-
tésimales qui sont utilisées dans les calculs d’aire ou de
longueur peuvent être calculées si on connaît les deux
« extrémités » d’une suite qui ont ces expressions comme
différences. Après avoir longtemps cherché un symbolisme
pouvant exprimer ce résultat, il
en vient à le noter par Edy  y,
d signiant différence et E sym-
bolisant somme, que nous appe-
lons maintenant « intégrale ». Ces
deux symboles apparaissent donc
comme des opérateurs inverses,
l’un annulant l’autre. Ce résultat
est ce qu’on appelle le « théorème
fondamental du calcul différentiel
et intégral » (voir le théo­
rème 3.8, page 147). Quelques
années auparavant, l’Anglais
Isaac Newton (1642-1727) était
arrivé à une conclusion semblable
par des chemins très différents et
plus complexes.
L’importance de ce résultat est
tout de suite reconnue par la
communauté mathématique du
temps. C’est pourquoi chacun des
deux mathématiciens veut être
reconnu comme le fondateur du
nouveau calcul. La vive contro-
verse qui s’ensuit envenime pendant une centaine d’années
les relations entre les mathématiciens anglais et les mathé-
maticiens de l’Europe continentale. Elle se manifeste entre
autres dans les notations utilisées. Même si Newton n’a
pas développé de notation vraiment efcace pour effectuer
les calculs, les Anglais restent dèles à la façon d’écrire
du grand physicien jusqu’au début du e siècle. De leur
côté, les Européens du continent adoptent plutôt la notation
de Leibniz, qui facilite grandement l’acquisition d’automa-
tismes dans les calculs. Les notations actuelles découlent
de celle de Leibniz.
Le calcul différentiel et intégral :
un calcul qui associe ce qui semble a priori sans lien
Isaac Newton
(1642-1727)
Gottfried Wilhelm
Leibniz
(1646-1716)
58 CHAPITRE 2 Intégration
2
Exercices préliminaires
1. Déterminer l’aire totale A et le volume V
a) d’un cube d’arête c ;
b) d’un cylindre de rayon r et de hauteur h ;
c) d’une sphère de rayon r ;
d) d’un cône de rayon r et de hauteur h.
2. Compléter les égalités.
a) cos2 u 1 sin2 u 5
b) 1 1 tan2 u 5
c) 1 1 cot2 u 5
d) sin (A 1 B) 5
e) sin (A 2 B) 5
f) cos (A 1 B) 5
g) cos (A 2 B) 5
3. a) Exprimer sin 2u en fonction de sin u
et cos u.
b) Exprimer cos 2u en fonction de sin u
et cos u.
c) Exprimer cos 2u en fonction de cos u.
d) Exprimer cos 2u en fonction de sin u.
e) Exprimer sin2 u en fonction de cos 2u.
f) Exprimer cos2 u en fonction de cos 2u.
4. Effectuer la multiplication des expressions
suivantes par un de leur conjugué et exprimer
le résultat à l’aide d’une seule fonction
trigonométrique.
a) 1 2 cos u
b) 1 1 sec t
5. Exprimer N en fonction de t, si :
a) ln N 5 5t
b) ln N 5 5t 1 3
c) ln  N100 5 -4t
d) ln (5N) 5 -4t 1 ln 100
6. Exprimer les expressions suivantes sous la
forme ab.
a) e
1
2
ln 2512 x
b) e
21
5
ln 34 x
7. Effectuer les divisions suivantes.
a)
2x3 2 3x2 2 7x 1 9
x2 1 1
b)
3x4 1 7x 1 5
3 1 x
8. Démontrer que ln  sec x  5 -ln  cos x .
9. Compléter.
a) [ f(x) 1 g(x)]9 5
b) [k f (x)]9 5
c) [ f (x) g(x)]9 5
d) [g( f (x))]9 5
10. Soit f (x) 5 -ln (csc x 1 cot x) et
g(x) 5 ln (csc x 2 cot x).
Démontrer que f 9(x) 5 g 9(x).
11. Déterminer la valeur de C dans les équations
suivantes.
a) y 5 23x2 1 C
1
3
, si y 5 4 lorsque x 5 3
b) y 5 3x2 1
ln x
2
1 C, si y 5 -3 lorsque x 5 1
c) y 5 C(e2x 1 5), si y 5 10 lorsque x 5 0
d) y 5 C sin 2u, si y 5 3 lorsque u 5
p
12
12. Compléter le corollaire 2 du théorème
de Lagrange.
Si f et g sont deux fonctions telles que
1) f et g sont continues sur [a, b],
2) f 9(x) 5 g9(x), ∀ x ∈ ]a, b[,
alors
59Exercices préliminaires
2
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra donner la dénition de l’intégrale indénie,
énoncer certaines de ses propriétés et déterminer l’intégrale indénie de certaines fonctions.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de donner la définition de primitive (ou d’antidérivée) ;
• d’utiliser la terminologie et la notation de l’intégrale indéfinie ;
• d’appliquer les formules d’intégration de base ;
• d’utiliser certaines propriétés de l’intégrale indéfinie ;
• de transformer la fonction à intégrer afin d’utiliser, si c’est possible, les formules de base.
2.1 Intégrale indéfinie et formules de base
E f (x) dx 5 F(x) 1 C,
si F9(x) 5 f (x)
Intégrale indéfinie
Dans le cours de calcul différentiel, nous avons calculé des dérivées de fonctions.
Nous amorçons maintenant l’étude du processus inverse, c’est-à-dire déterminer
une fonction dont la dérivée est donnée.
DÉFINITION 2.1 Une fonction F est appelée primitive (ou antidérivée) d’une fonction f si
F9(x) 5 f (x)
Exemple 1 Donnons quelques exemples de primitives.
F(x) est une primitive de… … f (x)… … car F9(x) 5 f (x)
a) F(x) 5 2x4 1 e5x f (x) 5 8x3 1 5e5x (2x4 1 e5x)9 5 8x3 1 5e5x
b) F(x) 5 7x 1 5 f (x) 5
7
2x
(7x 1 5)9 5 7
2x
c) F(x) 5 sin 3x  6 f (x) 5 3 cos 3x (sin 3x  6)9 5 3 cos 3x
Exemple 2y3 5 x
4 1 3
y
1
5 x4 2 4
y
2
5 x4
Vérions qu’une fonction f peut avoir une innité de primitives.
x4 est une primitive de 4x3, car (x4)9 5 4x3 ;
(x4 1 3) est une primitive de 4x3, car (x4 1 3)9 5 4x3 ;
(x4  4) est une primitive de 4x3, car (x4  4)9 5 4x3.
De façon générale, si C ∈ IR, alors
(x4 1 C) est une primitive de 4x3, car (x4 1 C)9 5 4x3.
Ainsi, 4x3 a une innité de primitives.
Remarque Soit F(x) et G(x), deux primitives d’une fonction f (x).
Puisque F9(x) 5 G9(x) (car F9(x) 5 f (x) et G9(x) 5 f (x))
d’après le corollaire 2 du théorème de Lagrange, nous avons
G(x) 5 F(x) 1 C, où C ∈ IR.
60 CHAPITRE 2 Intégration
2
DÉFINITION 2.2 Nous appelons intégrale indénie de la fonction f (x), notée  f (x) dx, toute
expression de la forme F(x) 1 C, où F(x) est une primitive de f (x) et C ∈ IR. Ainsi,
 f (x) dx 5 F(x) 1 C, si F9(x) 5 f (x)
Le symbole  est appelé signe d’intégration.La constante C s’appelle constante d’intégration.
La fonction f (x) est appelée intégrande.
Le x de la différentielle dx nous indique que x est la variable d’intégration.
Ainsi,  f (x) dx 5 F(x) 1 C
Intégrande Variable d’intégration Primitive Constante d’intégration
Remarque Nous pouvons également écrire :
 f 9(x) dx 5 f (x) 1 C  dQ
dt
dt 5  Q9(t) dt 5 Q(t) 1 C
Exemple 3 Identions l’intégrande, la variable d’intégration, la primitive et la
constante d’intégration dans les intégrales indénies suivantes.
 3x2 dx 5 x3 1 C (car (x3)9 5 3x2)
Intégrande Variable d’intégration Primitive Constante d’intégration
 sec2 u du 5 tan u 1 C (car (tan u)9 5 sec2 u)
 3x2 dx 5 x3 1 C
 sec2 u du 5 tan u 1 C
Formules de base pour l’intégrale indéfinie
Dans cette section, nous donnerons des formules d’intégration de base essentielles
pour calculer des intégrales indénies.
Puisque x
5
5
9
5
1
5
(x5)9 5
1
5
(5x4) 5 x4, nous avons  x4 dx 5 x55 1 C.
De façon générale, si r  -1,  x
r 1 1
r 1 1
9
5
1
r 1 1
(x r 1 1)9 5
r 1 1
r 1 1
x r 5 x r,
ainsi nous obtenons la formule d’intégration suivante.
FORMULE 1  xr dx 5 xr 1 1
r 1 1
1 C, où r ∈ IR et r  -1
 f(x) dx 5 F(x) 1 C (si F9(x) 5 f (x))
612.1 Intégrale indénie et formules de base
2
Exemple 1 Calculons les intégrales suivantes.
a)  x9 dx 5 x9 1 1
9 1 1
1 C 5
x10
10
1 C
b)  x dx 5 x 1 1
 1 1
1 C
Il faut parfois transformer l’intégrande avant de pouvoir utiliser la formule 1.
Exemple 2 Calculons les intégrales suivantes.
a)  dx 5  1 dx 5  x0 dx 5 x0 1 1
0 1 1
1 C 5 x 1 C
b)  u du 5  u12 du 5 u
1
2 1 1
1
2
1 1
1 C 5
u
3
2
32
1 C 5
2
3
u
3
2
1 C 5
2u3
3
1 C
c)  1
s4
ds 5  s4 ds 5 s4 1 1-4 1 1 1 C 5 s
3
-3
1 C 5
-1
3s3
1 C
d)  13t2 dt 5  t
2
3 dt 5
t
2
3 1 1
-2
3
1 1
1 C 5
t
1
3
13
1 C 5 3 3t 1 C
 dx 5 x 1 C
Dans le cas où l’exposant r 5 -1, nous avons à trouver  x1 dx, c’est-à-dire  1
x
dx.
En calculant la dérivée de ln  x  pour x  0, nous obtenons
si x  0, ln x  5 ln x, alors ln x 9 5 (ln x)9 5 1x
si x  0, ln x  5 ln (-x), alors ln  x 9 5 (ln (-x))9 5 -1-x 5
1
x
Donc, ln x 9 5 1x , ainsi nous obtenons la formule d’intégration suivante.
FORMULE 2  1
x
dx 5 ln  x  1 C
Le tableau suivant contient les formules de base 1 et 2 ainsi que les formules
d’intégration de base obtenues à partir des formules de dérivation des fonctions
trigonométriques (formules 3 à 8), exponentielles (formules 9 et 10) et trigonomé-
triques inverses (formules 11 à 13).
62 CHAPITRE 2 Intégration
2
Formules de dérivation Formules d’intégration de base
 xr 1 1r 1 1
9
5 xr, si r  -1 Formule 1 E xr dx 5 xr 1 1
r 1 1
1 C, si r  -1
ln  x 9 5 1
x
Formule 2 E 1
x
dx 5 ln  x  1 C
(sin x)9 5 cos x Formule 3 E cos x dx 5 sin x 1 C
(cos x)9 5 -sin x Formule 4 E sin x dx 5 -cos x 1 C
(tan x)9 5 sec2 x Formule 5 E sec2 x dx 5 tan x 1 C
(cot x)9 5 -csc2 x Formule 6 E csc2 x dx 5 -cot x 1 C
(sec x)9 5 sec x tan x Formule 7 E sec x tan x dx 5 sec x 1 C
(csc x)9 5 -csc x cot x Formule 8 E csc x cot x dx 5 -csc x 1 C
(ex)9 5 ex Formule 9 E ex dx 5 ex 1 C
(ax)9 5 ax ln a, a ∈ IR1{1} Formule 10 E ax dx 5 ax
ln a
1 C, a ∈ IR1{1}
(Arc sin x)9 5
1
1 2 x2
Formule 11 E 11 2 x2 dx 5 Arc sin x 1 C
(Arc tan x)9 5
1
1 1 x2
Formule 12 E 11 1 x2 dx 5 Arc tan x 1 C
(Arc sec x)9 5
1
xx2 2 1
Formule 13 E 1
xx2 2 1
dx 5 Arc sec x 1 C
Propriétés de l’intégrale indéfinie
Lorsque nous ne pouvons pas utiliser directement une des formules d’intégration de
base précédentes, les théorèmes suivants permettent de transformer l’intégrande an
de possiblement utiliser une ou plusieurs de ces formules de base.
Rappelons d’abord deux théorèmes, relatifs aux dérivées, étudiés dans le cours de
calcul différentiel.
(k f (x))9 5 k f 9(x) et ( f (x) 1 g(x))9 5 f 9(x) 1 g9(x)
632.1 Intégrale indénie et formules de base
2
THÉORÈME 2.1 Si E f (x) dx 5 F(x) 1 C1 et E g(x) dx 5 G(x) 1 C2, alors
a) E k f (x) dx 5 k E f (x) dx, où k ∈ IR
b) E [ f (x) 1 g(x)] dx 5 E f (x) dx 1 E g(x) dx
PREUVE a) F9(x) 5 f (x) car E f (x) dx 5 F(x) 1 C1, dénition 2.2
Ainsi [k F(x)]9 5 k F9(x) (propriété de la dérivée)
5 k f (x) (car F9(x) 5 f (x))
Nous avons alors
E k f (x) dx 5 k F(x) 1 C (car [k F(x)]9 5 k f (x))
5 k F(x) 1 kC
1
, où kC
1
5 C
5 k (F(x) 1 C
1
)
5 k E f (x) dx car E f (x) dx 5 F(x) 1 C1
b) F9(x) 5 f (x) et G9(x) 5 g(x) carE f(x) dx 5 F(x) 1 C1 etE g(x) dx 5 G(x) 1 C2
[F(x) 1 G(x)]9 5 F9(x) 1 G9(x) (propriété de la dérivée)
5 f (x) 1 g(x) (car F9(x) 5 f(x) et G9(x) 5 g(x))
Nous avons alors
E [ f (x) 1 g(x)] dx 5 F(x) 1 G(x) 1 C (car [F(x) 1 G(x)]9 5 f (x) 1 g(x))
5 F(x) 1 G(x) 1 C
1
1 C
2
, où C
1
1 C
2
5 C
5 (F(x) 1 C
1
) 1 (G(x) 1 C
2
)
5 E f (x) dx 1 E g(x) dx
carE f(x) dx 5 F(x) 1 C1 etE g(x) dx 5 G(x) 1 C2
Le théorème 2.1 a) signie que :
l’intégrale du produit d’une constante par une fonction est égale au produit
de la constante par l’intégrale de la fonction.
Le théorème 2.1 b) signie que :
l’intégrale d’une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales des
fonctions.
64 CHAPITRE 2 Intégration
2
Exemple 1 Calculons les intégrales suivantes.
a) E 3x7 dx 5 3 E x7 dx, ainsi nous pouvons utiliser la formule de base 1.
5 3x88 1 C1 (formule 1)
5
3x8
8
1 3C
1
5
3x8
8
1 C (où C 5 3C
1
)
b) E 1x 1 11 1 x2  dx 5 E 1x dx 1 E 11 1 x2 dx (intégrale d’une somme)
5 ln  x  1 C1 1 Arc tan x 1 C2 (formules 2 et 12)
5 ln  x  1 Arc tan x 1 C (où C 5 C1 1 C2)
Remarque Dans les intégrales indénies où plusieurs C
i
devraient appa-
raître, nous pouvons effectuer toutes les intégrales et ajouter la constante
d’intégration C à la n seulement.
c) E 3ex 1 sec2 x4  dx 5 E 3ex dx 1 E sec
2 x
4
dx (intégrale d’une somme)
5 3 E ex dx 1 1
4
E sec2 x dx Ek f(x) dx 5 kEf(x) dx
5 3ex 1
1
4
tan x 1 C (formules 9 et 5)
E[ f (x) 1 g(x)] dx 5
E f (x) dx 1 Eg(x) dx
Le théorème 2.1 peut être généralisé de la façon suivante.
THÉORÈME 2.2 Si E fi(x) dx 5 Fi(x) 1 Ci, pour i 5 1, 2, …, n, alors
E [k1 f1(x)  k2 f2(x)  …  kn fn(x)] dx 5 k1 E f1(x) dx  k2 E f2(x) dx  …  kn E fn(x) dx
La preuve est laissée à l’étudiant.
Exemple 2 Calculons les intégrales suivantes.
a) E  4x 2 45 7x3 2 57x dx 5 E x
1
4 dx 2
4
5
E x237 dx 2 5
7
E 1
x
dx (théorème 2.2)
5
x
5
4
 54 
2
4
5
x
4
7
47
2
5
7
ln x 1 C (formules 1 et 2)
5
4
4x5
5
2
7 7x4
5
2
5 ln x 
7
1 C
E3x7 dx 5 3 E x7 dx
652.1 Intégrale indénie et formules de base
2
b) E  75 2 5u2 1 2 sin u – 3 cos u du 5 75 E 11 2 u2 du 1 2E sin u du 23 Ecos u du (théorème 2.2)
5
7
5
Arc sin u 1 2 (-cos u) 2 3 sin u 1 C (formules 11, 4 et 3)
5
7
5
Arc sin u 2 2 cos u 2 3 sin u 1 C
c) E x3 2 3x 1 12x dx 5 E x 3 dx 2 E 3x dx 1 E 12
x
dx (théorème 2.2)
5
x 4
4
2
3x
ln 3
1
12
x
ln 12
1 C (formules 1 et 10)
d) E ex3 2 x
e
5
1 9
sec x tan x
7  dx 5
1
3
E ex dx 2 1
5
E xe dx 1 9
7
E sec x tan x dx (théorème 2.2)
5
1
3
ex 2
1
5
xe 1 1
e 1 1
1
9
7
sec x 1 C (formules 9, 1 et 7)
Transformation de l’intégrande
Lorsque l’utilisation des théorèmes 2.1 et 2.2 ne permet pas d’obtenir une formule de
base, nous pouvons transformer l’intégrande à l’aide d’artices de calcul an d’utili-
ser des formules de base.
Exemple 1 Calculons les intégrales suivantes.
a) E (x2 1 4)2 3x dx 5E (x4 1 8x2 1 16)x13 dx (en élevant au carré)
5 E x133 1 8x73 1 16x13 dx (en distribuant)
5 E x133 dx 1 8 E x73 dx 1 16 E x13 dx (théorème 2.2)
5
x
16
3
163 
1
8x
10
3
103 
1
16x
4
3
43
1 C (formule 1)
5
3
3x16
16
1
12
3x10
5
1 12
3x4 1 C
En élevant au carré
et en distribuant le
produit sur la somme,
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
66 CHAPITRE 2 Intégration
2
b) E 4x3 2 5x 1 1x2  dx 5 E 4x 2 5x 1 1x2  dx (en décomposantet en simplifiant)
5 4 E x dx 2 5 E 1
x
dx 1 E x2 dx (théorème 2.2)
5
4x2
2
2 5 ln  x  1 x
1
-1
1 C (formules 1 et 2)
5 2x2 2 5 ln  x  2 1
x
1 C
c) E x2 1 x 2 6
x 2 2
dx 5 E (x 1 3) dx
5 E x dx 1 3 E dx (théorème2.2)
5
x2
2
1 3x 1 C (formule 1)
En décomposant l’intégrande
en une somme de fractions,
A 2 B 1 C
D
5
A
D
2
B
D
1
C
D
En factorisant et en
simpliant l'intégrande,
x2 1x26
x 22
5
(x13)(x22)
(x 22)
5 x13
Exemple 2 Calculons les intégrales suivantes.
En utilisant une identité trigonométrique adéquate,
a) E tan2 u du 5 E (sec2 u 2 1) du
(tan2 u 5 sec2 u 2 1)
5 E sec2 u du 2 1 E du
(théorème 2.2)
5 tan u 2 u 1 C
(formules 5 et 1)
b) E cot u
cos u sin u
du 5E cos usin u cos u sin u du cot u 5 cos usin u 
5 E 1sin2 u du (en simplifiant)
5 E csc2 u du  1sin2 u 5 csc2 u
5 -cot u 1 C (formule 6)
Exemple 3 Calculons E 11 1 cos u du.
En multipliant le numérateur et le dénominateur par un conjugué d’une expression
que l’on retrouve dans l’intégrande,
E 11 1 cos u du 5 E  11 1 cos u 1 2 cos u1 2 cos u du
5 E 1 2 cos u1 2 cos2 u du
5 E 1 2 cos usin2 u du (1 2 cos2 u 5 sin2 u)
5 E  1sin2 u 2 cos usin2 u du (en décomposant)
5 E csc2 u 2 1sin u cos usin u du
5 E csc2 u du 2 E csc u cot u du
5 -cot u 1 csc u 1 C (formules 6 et 8)
Conjugué
sin2 u 1 cos2 u 5 1
A 2 B
C
5
A
C
2
B
C
1
sin u
5 csc u
cos u
sin u
5 cot u
672.1 Intégrale indénie et formules de base
2
Voici un résumé des étapes à suivre pour calculer des intégrales indénies.
1) Vérier d’abord si nous pouvons utiliser directement une formule de base.
Si oui, utiliser la formule de base adéquate pour intégrer.
Si non, passer à l’étape 2.
2) Transformer, si nécessaire, l’intégrande à l’aide d’artices de calcul.
a) Appliquer le théorème 2.2.
E [k1 f1(x)  k2 f2(x)  …  kn fn(x)] dx 5 k1 E f1(x) dx  k2 E f2(x) dx  …  knE fn(x) dx
b) Intégrer, si chaque intégrale obtenue permet d’utiliser une formule de base.
1. Déterminer si F est une primitive de f lorsque :
a) F(x) 5 ex 1 e2x 1 3 et f (x) 5 ex 1 e2x
b) F(u) 5 sec2 5u et f (u) 5 10 sec2 5u tan 5u
c) F(t) 5 Arc sin 2t et f (t) 5
2
4t221
d) F(x) 5 tan2 x 2  et f (x) 5 2 sec2 x tan x
2. Pour les fonctions F suivantes, trouver une
expression de la forme E f (x) dx 5 F(x) 1 C.
a) F(x) 5 x3 b) F(x) 5 Arc tan x
c) F(x) 5 ex d) F(x) 5 ln (x2 1 1)
3. Calculer les intégrales suivantes.
a) E x7 dx b) E 1
x7
dx
c) E 5  d d) E 15 u du
e) E du f) E  1x3 2 3x dx
4. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 5x5 2 5x5 1 5x 2 x5 1 15  dx
b) E 3 sin u 2 sec2 u3 1 13u du
c) E  xee 2 2ex 2 51 2 x2 dx
d) E 4 sec u tan u 2 81 1 u2 2 6 csc2 u du
e) E  5 cos u3 1 47uu2 21 du
f) E  75t 2 2 csc t cot t 1 13t2 dt
5. Calculer les intégrales suivantes.
a) E [(x 2 2)(3 2 4x)] dx
b) E 4x3 2 5x2 21
x3
dx
c) E x 2x 2 4x 1 53 x  dx
d) E x2 2 2xx  dx
e) E 1
x 4 2
7
x2 2 1 dx
f) E  34 1 4x2 1 57 2 7x2  dx
6. Calculer les intégrales suivantes.
a) E u 1 1u 
2
du b) E v2 2 4
v 2 2
dv
c) E (x 2 4)(x 1 1)
x
dx d) Et4 1 2t2 1 1 dt
e) E (x2 2 1)3x dx f) E 8x3 1 2x 1 2
2x 1 1
dx
g) E (cos2 u 1 sin2 u) du h) E tan sec  d
EXERCICES 2.1
68 CHAPITRE 2 Intégration
2
i)  31  sin2 x dx j)  sin tcos2 t dt
k)  csc x (sin x 1 cot x) dx l)  cot2 u du
m) sin 2usin u du n)  cos 2ucos2 u du
o)  (cos 2x  2 cos2 x) dx p)  5
1 1 sin 
d
Changement de variable
Dans la section précédente, nous avons utilisé des transformations algébriques pour
effectuer certaines intégrales.
Exemple 1 Calculons d’abord (x2  1)3x dx (voir les exercices 2.1, no 6 e),
page 68) à l’aide de transformations algébriques.
 (x2  1)3x dx 5  (x6  3x4 1 3x2  1)x dx (en élevant à la puissance 3)
5  (x7  3x5 1 3x3  x) dx (en effectuant)
5
x8
8

x6
2
1
3x4
4

x2
2
1 C (en intégrant)
(a  b)3 5
a3  3a2b 1 3ab2  b3
Cette façon de procéder peut s’avérer longue pour de grandes puissances, par
exemple pour  (x2  1)29x dx, et impossible pour certaines puissances fraction-
naires, par exemple pour  5x22x3 1 1 dx. Il serait à propos, dans de tels cas,
de recher cher une nouvelle façon d’intégrer. Cette méthode s’appelle changement
de variable ou intégration par substitution. L’objectif de cette méthode est de
transformer l’intégrande et la variable d’intégration de manière à pouvoir utiliser
les formules d’intégration de base (voir la section 2.1, page 63 ).
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra résoudre certaines
intégrales en utilisant la méthode du changement de variable.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de résoudre une intégrale à l’aide d’un changement
de variable ;
• de déterminer des formules d’intégration pour
les fonctions tan x et cot x, et de les appliquer ;
• de déterminer des formules d’intégration pour
les fonctions sec x et csc x, et de les appliquer ;
• de calculer des intégrales après avoir utilisé
certains artifices de calcul ou certaines identités
trigonométriques.
2.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
 tan x dx 5 -ln  cos x  1 C
 cot x dx 5 ln  sin x  1 C
 sec x dx 5 ln  sec x 1 tan x  1 C
 csc x dx 5 -ln csc x 1 cot x  1 C
692.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
2
THÉORÈME 2.3 Si G est une primitive de g, alors  g( f (x)) f 9(x) dx 5 G( f (x)) 1 C.
PREUVE En posant u 5 f (x), nous obtenons du 5 f 9(x) dx
d’où  g( f (x)) f 9(x) dx 5  g(u) du
5 G(u) 1 C (car G est une primitive de g)
5 G( f (x)) 1 C (car u 5 f (x))
Exemple 2 Recalculons  (x2 2 1)3x dx à l’aide d’un changement de variable.
Le tableau suivant présente les étapes à suivre pour calculer une intégrale à l’aide
d’un changement de variable.
 g( f(x)) f9(x) dx  (x2 − 1)3x dx
1) Choisir dans l’intégrande une fonction f(x) si
f '(x) multipliée par une constante se trouve dans
l’intégrande, et poser u 5 f(x).
u 5 x2 2 1
2) Calculer la différentielle de u.
du 5 f 9(x) dx
du 5 2x dx (car du 5 (x2 1 1)9 dx)
3) Exprimer l’intégrale initiale en fonction de la
variable u et de la différentielle du.
u du  g(f (x)) f 9(x) dx 5  g(u) du
Si  g(u) du ne permet pas d’utiliser une formule
de base, choisir u de façon différente.
Puisque du 5 2x dx, ainsi x dx 5
1
2
du
u3
1
2
du  (x2 2 1)3x dx 5 (x2 21)3x dx
5 u3 12 du (par substitution)
5
1
2 u3 du (théorème 2.1a)
4) Intégrer en fonction de la variable u en utilisant
une formule de base.
 g(u) du 5 G(u) 1 C
5
1
2 
u4
4
1 C (formule 1)
5
u4
8
1 C
1 où C1 5 12 C
5) Exprimer l’intégrale indénie précédente
en fonction de la variable initiale x.
 g(f (x)) f9(x) dx 5 G( f(x)) 1C (car u 5 f(x))
D’où  (x2 2 1)3x dx 5 (x2 2 1)48 1 C1
(car u 5 x2 2 1)
Nous pouvons vérier que x88 2
x6
2
1
3x4
4
2
x2
2
1 C et (x2 2 1)48 1 C1 sont égales, à
une constante près (corollaire 2 du théorème de Lagrange).
Exemples 1 et 2
70 CHAPITRE 2 Intégration
2
Le choix de u dépend en fait du type d’intégrale indénie que nous avons à effectuer.
Nous choisissons généralement de poser u 5 f (x) dans une intégrale donnée lorsque
nous retrouvons dans cette même intégrale la dérivée f 9(x) possiblement multipliée
par une constante non nulle.
Nous constaterons dans les prochains exemples que la méthode du changement de
variable facilite beaucoup les calculs nécessaires à la résolution de certaines intégrales
et permet même d’effectuer certaines intégrales impossibles à effectuer directement
avec les formules de base.
Exemple 3 Calculons les intégrales suivantes.
u
1
2
1
6
du
a) E 5x2 (2x3 1 1)12 dx 5 5E(2x3 1 1)12 x2 dx

5 5Eu12 16 du
5
5
6 E u
1
2 du
5
5
6
u
3
2
32
1 C (formule 1)
5
5
9
(2x3 1 1)
3
2
1 C
(u 5 2x3 1 1)
u
1
4
du
c) E sin (4x 1 3) dx 5E sin (4x 1 3) dx
5E (sin u) 1
4
du
5
1
4E sin u du
5
1
4
(-cos u) 1 C (formule 3)
5
-cos (4x 1 3)
4
1 C
(u 5 4x 1 3)
b) E 47x 1 2 dx 5 4 E 17x 1 2 dx
u
5
4
7 E 1u du
5
4
7
ln  u  1 C (formule 2)
5
4
7
ln 7x 1 2 1 C (u 5 7x 1 2)
d)E sec x tan xx dx5Esecx tan x 1x dx
5E (sec u tan u) 2 du
5 2E sec u tan u du
5 2 sec u 1 C (formule 7)
5 2 sec x 1 C u 5 x
u 5 2x3 1 1
du 5 6x2 dx
x2 dx 5
1
6
du
u 5 4x 1 3
du 5 4 dx
dx 5
1
4
du
 
u 5 7x 1 2
du 5 7 dx
dx 5
1
7
du
1
7
duu 5 x
du 5
1
2x
dx
1
x
dx 5 2 du
 u  u 2 du
712.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
2
u5
1
3
du
e) E sin5 3u cos 3u du 5 E (sin 3u)5 cos 3u du
5 E u5 1
3
du
5
1
3 E u5 du
5
1
3
u6
6
1 C (formule 1)
5
sin6 3u
18
1 C (u 5 sin 3u)
u 3 du
f) E sec2 3 etan 

3 d 5 E etan 3 sec2 3 d
5 E eu 3 du
5 3 E eu du
5 3eu 1 C (formule 9)
5 3e
tan 3 1 C u 5 tan3
dv
g) E 4
u ln u
du 5 4E 1(ln u) 1u du

5 4E 1
v
dv
5 4 ln  v  1 C (formule 2)
5 4 ln  ln u  1 C (v 5 ln u)
u du 
h) E 10Arc tan x
x2 1 1
dx 5 E 10Arc tan x 1
x2 1 1
dx
5 E 10u du
5
10u
ln 10
1 C
5
10Arc tan x
ln 10
1 C
 
u 5 sin 3u
du 5 3 cos 3u du
cos 3u du 5
1
3
du
 
u 5 tan3
du 5
sec2 3
3
d
sec2 3 d 5 3 du

v
v 5 ln u
dv 5
1
u
du
u 5 Arc tan x
du 5
1
1 1 x2
dx
(formule 10)
(u 5 Arc tan x)
Dans certains cas, il y a différents changements de variables possibles.
Exemple 4 Calculons les intégrales suivantes.
a) Eesin x cos x dx à l’aide de deux changements de variables différents.
Changement de variable 1
u 5 sin x
du 5 cos x dx
eu du
E esin x cos x dx 5 E esin x cos x dx
5 E eu du
5 eu 1 C
1
(formule 9)
5 esin x 1 C
1
(u 5 sin x)
Changement de variable 2
v 5 esin x
dv 5 esin x cos x dx
dv
E esin x cos x dx 5 E esin x cos x dx
5 E dv
5 v 1 C
2
(formule 1)
5 esin x 1 C
2
(v 5 esin x)
72 CHAPITRE 2 Intégration
2
b)  tan u sec2 u du à l’aide de deux changements de variables différents.
Changement de variable 1
u 5 tan u
du 5 sec2 u du
u du
 tan u sec2 u du 5  tan u sec2 u du
5 u du
5
u2
2
1 C
1
(formule 1)
5
tan2 u
2
1 C
1
(u 5 tan u)
Changement de variable 2
v 5 sec u
dv 5 sec u tan u du
v dv
tan u sec2 u du 5sec u sec u tan u du
5 v dv
5
v2
2
1 C
2
(formule 1)
5
sec2 u
2
1 C
2
(v 5 sec u)
Nous pouvons vérier que tan
2 u
2
1 C1 et
sec2 u
2
1 C2 sont égales, à une
constante près.
Nous aurons occasionnellement à transformer la fonction à intégrer avant
d’effectuer un changement de variable.
Exemple 5 Calculons  3x 4
1 1 x10
dx en transformant l’intégrande.
1
5
du
 3
1 1 x10
x4 dx 5 3  1
1 1 (x5)2
x4 dx

u2
(car x10 5 (x5)2)
5 3  11 1 u2 15 du
5
3
5
 1
1 1 u2
du
5
3
5
Arc tan u 1 C (formule 12)
5
3
5
Arc tan x5 1 C (u 5 x5)
u 5 x5
du 5 5x4 dx
x4 dx 5
1
5
du
Nous aurons parfois à utiliser plus d’un changement de variable pour calculer
certaines intégrales.
732.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
2
Exemple 6 Calculons  sin 3u (cos3 3u 1 sin 3u cos 3u 2 1) du, notée I.
I 5  (sin 3u cos3 3u 1 sin2 3u cos 3u 2 sin 3u) du
5  sin 3u cos3 3u du 1  sin2 3u cos 3u du 2  sin 3u du
5  (cos 3u)3 sin 3u du 1  (sin 3u)2 cos 3u du 2  sin 3u du
u3
-1
3
du v2
1
3
dv w
1
3
dw
5
-1
3
 u3 du 1 1
3
 v2 dv 2 1
3
 sin w dw
5
-1
3
u4
4
1
1
3
v3
3
1
1
3
cos w 1 C (formules 1 et 3)
5
-cos4 3u
12
1
sin3 3u
9
1
cos 3u
3
1 C (u 5 cos 3u, v 5 sin 3u et w 5 3u)
u 5 cos 3u
du 5 -3 sin 3u du
-1
3
du 5 sin 3u du
v 5 sin 3u
dv 5 3 cos 3u du
1
3
dv 5 cos 3u du
w 5 3u
dw 5 3 du
1
3
dw 5 du
Intégration des fonctions tangente, cotangente,
sécante et cosécante
FORMULE 14 tan x dx 5 -ln  cos x  1 C ou tan x dx 5 ln  sec x  1 C
Déterminons  tan x dx à l’aide de deux changements de variable différents.
Changement de variable 1
 tan x dx 5  sin xcos x dx
u 5 cos u
du 5 -sin x dx
sin x dx 5 -du
-du tan x dx 5  1cos x (sin x dx)
u
5 - 1u du
5 -ln  u  1 C (formule 2)
5 -ln  cos x  1 C
Changement de variable 2
 tan x dx 5  tan x sec xsec x dx
v 5 sec x
dv 5 sec x tan x dx
dv
 tan x dx 5  1sec x (sec x tan x dx)
v
5  1v dv
5 ln  v  1 C (formule 2)
5 ln  sec x  1 C
Nous pouvons vérier que
ln  sec x  5 -ln  cos x  (voir les exercices préliminaires, no 8, page 59).
tan x 5
sin x
cos x
tan x 5
tan x sec x
sec x
74 CHAPITRE 2 Intégration
2
Nous laissons en exercice (voir les exercices récapitulatifs, no 3 a), page 113)
la démonstration de la formule d’intégration suivante.
FORMULE 15 Ecot x dx 5 ln  sin x  1 C ou Ecot x dx 5 -ln  csc x  1 C
Exemple 1 Calculons les intégrales suivantes.
u
1
6
du
a) Etan 6u du 5 Etan 6u du 
5 E (tan u) 1
6
du
5
1
6
E tan u du
5
1
6
(-ln cos u ) 1 C (formule 14)
5
-1
6
ln  cos 6u  1 C (u 5 6u)
u 2 du
b) E ex cot (ex 1 1)
x
dx 5 E cot (ex 1 1) exx dx
5 E(cot u) 2 du
5 2 Ecot u du
5 2 ln  sin u  1 C
(formule 15)
5 2 ln  sin (ex 1 1)  1 C
(u 5 ex 1 1)
u 5 6u
du 5 6 du
du 5
1
6
du
u 5 ex 1 1
du 5
ex
2x
dx
ex
x
dx 5 2 du
FORMULE 16 Esec x dx 5 ln  sec x 1 tan x  1 C
Déterminons E sec x dx.
Esec x dx 5 E sec x (sec x 1 tan x)
(sec x 1 tan x)
dx car sec x 5 sec x (sec x 1 tan x)(sec x 1 tan x) 
du
5 E 1
(sec x 1 tan x)
sec x (sec x 1 tan x) dx
u
5 E 1
u
du
5 ln  u  1 C (formule 2)
5 ln  sec x 1 tan x  1 C (u 5 sec x 1 tan x)
u 5 sec x 1 tan x
du 5 (sec x tan x 1 sec2 x) dx
du 5 sec x (tan x 1 sec x) dx
sec x (sec x 1 tan x) dx 5 du
752.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
2
Exemple 2 Calculons E sec (1 2 3u) du.
u
-1
3
du
E sec (1 2 3u) du 5 E sec (1 2 3u) du
5 E (sec u) -13 du
5
-1
3 E sec u du
5
-1
3
ln  sec u  tan u   C (formule 16)
5
-1
3
ln  sec (1 2 3u)  tan (1 2 3u)   C (u 5 1 2 3u)
u 5 1 2 3u
du 5 -3 du
du 5
-1
3
du
Nous laissons en exercice (voir les exercices récapitulatifs, no 3 b), page 113)
la démonstration de la formule d’intégration suivante.
FORMULE 17 E csc x dx 5 -ln csc x  cot x   C ou E csc x dx 5 ln csc x 2 cot x   C
L’étudiant peut vérier que ln csc x 2 cot x  5 -ln csc x  cot x .
Exemple 3 Calculons E 3e2x
sin e2x
dx.
u
1
2
du
E 3e2x
sin e2x
dx 5 3 E csc e2x e2x dx car 1sin e2x 5 csc e2x
5 3 E (csc u) 12 du (par substitution)
5
3
2
E csc u du
5
3
2
-ln  csc u  cot u    C (formule 17)
5
-3
2
ln  csc e2x  cot e2x  C (u 5 e2x)
u 5 e2x
du 5 2e2x dx
e2x dx 5
1
2
du
76 CHAPITRE 2 Intégration
2
Utilisation d’artifices de calcul pour intégrer
Lorsque la fonction à intégrer est de la forme
f (x)
g(x)
, où f (x) et g(x) sont des polynômes
tels que le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur, nous
pouvons d’abord effectuer la division avant d’intégrer.
Exemple 1 Calculons  4x3  7x  5
x2  1
dx en effectuant d’abord la division.
 4x3  7x  5
x2  1
dx  4x  3x  5
x2  1
 dx
 4x  3x
x2  1

5
x2  1
 dx
 4  x dx  3  1
x2  1
1
2
du
x dx  5  1
x2  1
dx
u
 4  x dx  3  1
u
1
2
du  5  1
x2  1
dx
 2x2 
3
2
ln u   5 Arc tan x  C (formules 1, 2 et 12)
 2x2 
3
2
ln (x2  1)  5 Arc tan x  C (u  x2  1)
4x3 7x  5 x2  1
4x
 4x3  4x
3x  5
2 2
u  x2  1
du  2x dx
x dx 
1
2
du
Pour calculer l’intégrale de certaines fonctions, il peut être utile d’avoir recours à des
identités trigonométriques.
Exemple 2 Calculons  1
1  cos 2x
dx.
 1
1  cos 2x
dx   1
1  (cos2 x  sin2 x)
dx (car cos 2x  cos2 x  sin2 x)
  1
(1  cos2 x)  sin2 x
dx
  1
2 sin2 x
dx (car 1  cos2 x  sin2 x)

1
2
 csc2 x dx

-cot x
2
 C (formule 6)
cos (A  B) 
cos A cos B  sin A sin B
sin2 x  cos2 x  1
1
sin x
 csc x
Remarque Nous pouvons également calculer l’intégrale précédente à l’aide
d’un conjugué.
Division de polynômes
Identité trigonométrique
772.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
2
Exemple 3 Calculons  cos2 3x dx, en utilisant cos2   1  cos 22 .
 cos2 3x dx   1  cos 6x
2
dx car cos2 3x  1  cos 6x2 

1
2  (1  cos 6x) dx

1
2
 1 dx   cos 6x dx 

1
2
 dx  1
6
 cos u du

1
2
x  1
6
sin u  C (formules 1 et 4)

1
2
x  1
6
sin 6x  C (car u  6x)
cos2  
1  cos 2
2
u 1
6
du
u  6x
du  6 dx
dx 
1
6
du
Pour calculer l’intégrale de certaines fonctions, où nous avons posé u  f (x), il peut
être nécessaire d’exprimer x en fonction de u pour résoudre l’intégrale.
Exemple 4 Calculons  x2 8x  1 dx.
u
1
2
1
8
du
 x28x1 dx   x2(8x 1)12 dx
  x2 u12 1
8
du
Avant d’intégrer, il faut exprimer x en fonction de u, car on ne peut pas intégrer
avec plus d’une variable dans l’intégrale.
u  18 
2
  x2 u12 1
8
du
  (u  1)2
64
u
1
2 1
8
du

1
512
 (u2  2u  1) u12 du

1
512
 u52  2u32  u12 du

1
512 u
5
2 du  2  u32 du   u12 du
u  8x  1
du  8 dx
dx 
1
8
du
Puisque u  8x  1,
x 
u  1
8
Expression de x
en fonction de u
78 CHAPITRE 2 Intégration
2

1
512 
2
7
u
7
2
 225u
5
2

2
3
u
3
2  C (formule 1)

2
512 
1
7
(8x 1)
7
2

2
5
(8x  1)
5
2

1
3
(8x  1)
3
2  C
(car u  8x  1)

1
256 (8x  1)
7
7

2(8x  1)5
5

(8x  1)3
3  C
Dans les exercices 2.2, nous devons transformer, si nécessaire, l’intégrande en effec-
tuant des opérations algébriques et (ou) des changements de variable, de façon à obtenir
une des formules d’intégration de base (voir page 63 ) ou une des formules suivantes.
Formules d’intégration
Formule 14 E tan u du  -ln  cos u   C Formule 16 E sec u du  ln sec u  tan u  C
Formule 15 E cot u du  ln  sin u   C Formule 17 E csc u du  -ln  csc u  cot u   C
1. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 3  2x dx b) E 3 5  8t dt
c) E 4x(5  3x2)5 dx d) E (x3  4)x dx
e) E 3r
1 r2
dr f) E 6t3  12t
(3t4  12t2)6
dt
g) E 8
4x  3
dx h) E 1(4x  3)2 dx
i ) E 12h2(h3  8) dh j) E h3  812h2 dh
k) E 4  u7
u
du l) E 1
x x  5
dx
m)E -5x 1  7(4 x)2 dx n) E 3y  5y2  1 dy
2. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 5 cos 3u du b) E 4 sin (-) d
c) E 8 sec2  t8 dt d) E x sin (1  3x2) dx
EXERCICES 2.2
e) E sin x cos x dx f) E 3 sec2 4u
tan3 4u
du
g) E tan t sec3 t dt h) E 4 csc2 (1  40x) dx
i ) E csc2 
3  5 cot 
d j) E sec2 3  x
x
dx
k) E 1
t2
sec 1t tan 
1
t dt l) E cot x2 csc x2 dx
m)E sin 2x cos4 2x dx n) E sin6 u5 cos u5 du
o) Esin t2 1sin2 2t dt p) E cos x5  4 sin x dx
3. Calculer les intégrales suivantes.
a) E cos u esin u du b) E ex sin ex dx
c) E ex dx d) E (5ex  1)3 ex dx
e) E e4x1  e4x dx f) E ln t3t dt
g) E ln t
3t
dt h) E ex  cos x
ex  sin x
dx
792.2 Intégration à l’aide d’un changement de variable
2
i)  10tan 3u sec2 3u du j)  eArc sin x
1 2 x2
dx
k)  3cos 8
csc 8
d l)  ex
1 1 ex
dx
m) eu1 1 e2u du n)  1 1 e2xex dx
o)  5x
1 2 52x
dx p)   1e3x 1 152x dx
4. Calculer les intégrales suivantes.
a)  tan (5u 1 1) du b)  csc 1 2 t3  dt
c)  4ex sec (3ex) dx d)  cot (ln x)
x
dx
e)  sec2 utan (tan u) du f)  cos u sec
2 (sin u)
tan (sin u)
du
5. Calculer les intégrales suivantes.
a)  6x2 2 11x 1 5
3x 2 4
dx b)  2x3 2 3x2 1 x 11
x2 1 1
dx
c)  x 1 1
x2 1 2x 2 1
dx d)  x2 1 2x 2 1
x 1 1
dx
e)  x 1 1
x2 2 x 2 2
dx f)  2x 2 5
3 2 4x
dx
6. Calculer les intégrales suivantes.
a)  x2x 2 1 dx b)  x9(x5 1 1)20 dx
c)  1
x 1 1 x
dx d)  1
x (1 1 x)
dx
e)  x
1 1 x
dx f)  sin 2u cos 2u1 2 cos 2u du
7. Calculer les intégrales suivantes.
a)  sin2 u3 du b)  11 1 cos 3u du
c)  cos3 t1 2 sin t dt d)  125t2 1 100 dt
e)  e2x1 2 e2x dx f)  e
x
1 2 e2x
dx
g)  4e2x 2 1 dx h)  e
2x
(1 1 ex)2
dx
8. Démontrer les formules d’intégration suivantes
en utilisant un changement de variable approprié.
a)  1
a2 2 u2
du 5 Arc sin  ua  1 C
b)  u
a2 2 u2
du 5 -a2 2 u2 1 C
c)  1
a2 1 u2
du 5
1
a
Arc tan  ua  1 C
d)  u
a2 1 u2
du 5
1
2
ln (a2 1 u2) 1 C
e)  1
uu2 2 a2
du 5
1
a
Arc sec  ua  1 C
9. Utiliser les formules de l’exercice 8 pour calculer
les intégrales suivantes.
a)  1
9 2 x2
dx b)  7
4xx2 2 7
dx
c)  1
4 1 9x2
dx d)  3x
5 1 x2
dx
e)  -5x
78 2 3x2
dx f)  1
x9x2 2 5
dx
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra utiliser la notion d’intégrale
indénie pour résoudre des équations différentielles.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de donner la définition d’une équation différentielle ;
• de donner la définition de solution d’une équation différentielle ;
• de résoudre des équations différentielles ;
• d’identifier des familles de courbes ;
• de déterminer, parmi une famille de courbes, la courbe qui
satisfait certaines conditions.
2.3 Résolution d’équations différentielles
80 CHAPITRE 2 Intégration
2
Équations différentielles
DÉFINITION 2.3 Une équation différentielle, dite ordinaire, est une équation à deux variables
dans laquelle nous retrouvons soit
• une fonction inconnue ainsi qu’une ou plusieurs de ses dérivées successives,
• une ou plusieurs dérivées successives d’une fonction inconnue,
• des différentielles.
Exemple 1 Les équations suivantes sont des équations différentielles.
a) x 1
dy
dx
5 y b) y0 1 y9 5 0 c) y3 dy 5 x dx
DÉFINITION 2.4 L’ordre d’une équation différentielle est égal à l’ordre de la dérivée la plus élevée.
Exemple 2 Donnons l’ordre des équations différentielles suivantes.
a) xy 2
7x5
y4
1 7y6 1 5 5 0 est d’ordre 3.
c)
dT
dt
5 K(T 2 A) est d’ordre 1 ;
cette équation correspond à la loi
de refroidissement de Newton.
b) m
d2y
dx2
1 r
dy
dx
1 ky 5 0 est d’ordre 2 ;
cette équation correspond au déplacement
d’une masse m, accrochée à un ressort.
d) L
d2i
dt2
1 R
di
dt
1 11C2i 5 0 est d’ordre 2 ;
cette équation correspond à l’intensité i
du courant qui traverse un circuit.
DÉFINITION 2.5 Une solution d’une équation différentielle est une relation entre les variables,
dans laquelle il n’y a aucune dérivée et aucune différentielle, et qui satisfait cette
équation.
Exemple 3
a) Vérions que la fonction dénie par y 5 e2x est une solution de l’équation
différentielle
d2y
dx2
2 3
dy
dx
1 2y 5 0.
Puisque y 5 e2x,
dy
dx
5 2e2x et
dy2
d2x
5 4e2x
En remplaçant ces valeurs dans l’équation différentielle, nous obtenons
d2y
dx2
2 3
dy
dx
1 2y 5 4e2x 2 3(2e2x) 1 2e2x
5 4e2x 2 6e2x 1 2e2x 5 0
d’où y 5 e2x est une solution de l’équation différentielle
d2y
dx2
2 3
dy
dx
1 2y 5 0,
car elle satisfait cette équation.
812.3 Résolution d’équations différentielles
2
Nous pouvons vérier que les fonctions dénies par y 5 3e2x, y 5 -5e2x et
y 5 ke2x, où k ∈IR, sont également des solutions de l’équation différentielle
d2y
dx2
2 3
dy
dx
1 2y 5 0, car elles satisfont cette équation.
b) Vérions que les fonctions dénies par y 5 2 sin 3u et par y 5 -4 cos 3u sont
des solutions de l’équation différentielle y0 1 9y 5 0.
y 5 2 sin 3u y 5 -4 cos 3u
y9 5 6 cos 3u y9 5 12 sin 3u
y0 5 -18 sin 3u y0 5 36 cos 3u
En remplaçant ces valeurs dans l’équation différentielle y0 1 9y 5 0, nous
obtenons
y0 1 9y 5 -18 sin 3u 1 9(2 sin 3u) y0 1 9y 5 36 cos 3u 1 9(-4 cos 3u)
5 -18 sin 3u 1 18 sin 3u 5 36 cos 3u 2 36 cos 3u
5 0 5 0
d’où y 5 2 sin 3u et y 5 -4 cos 3u sont des solutions de l’équation
différentielle y0 1 9y 5 0, car elles satisfont cette équation.
De façon générale, puisque, au départ, nous ne connaissons pas les solutions d’une
équation différentielle, résoudre une telle équation consiste à trouver une fonction ou
une relation entre les variables qui satisfait cette équation.
DÉFINITION 2.6 Toute équation différentielle que nous pouvons écrire sous la forme
g(y) dy 5 f (x) dx
est appelée équation différentielle à variables séparables.
Exemple 4 Vérions que les équations différentielles suivantes sont des
équations différentielles à variables séparables, en regroupant les
termes de l’équation différentielle de façon à obtenir une équation
de la forme g(y) dy 5 f (x) dx.
a)
dy
dx
5 ex cos y
1
cos y
dy 5 ex dx (en regroupant)
b)
3x
y
y92
5 sin x
y2
5 0
3x
y
dy
dx
5
5 sin x
y2 car y9 5
dy
dx
3y dy 5
5 sin x
x
dx (en regroupant)
D’où les équations différentielles initiales sont des équations différentielles
à variables séparables.
Dans ce cours, nous nous limiterons à la résolution d’équations différentielles
à variables séparables.
82 CHAPITRE 2 Intégration
2
Exemple 5 Soit l’équation différentielle
dy
dx
5
x3
y2
à variables séparables.
a) Trouvons une solution à cette équation différentielle.En regroupant chaque variable avec sa différentielle, nous obtenons
y2 dy 5 x3 dx
Pour résoudre cette équation, il suft d’intégrer les deux membres de l’équation.
E y2 dy 5 E x3 dx
y3
3
1 C
1
5
x4
4
1 C
2
(en intégrant)
d’où
y3
3
5
x4
4
1 C, où C 5 C
2
2 C
1
Cette solution est appelée solution générale implicite.
Remarque Dans les intégrales indénies où plusieurs C
i
devraient apparaître,
nous pouvons effectuer toutes les intégrales et ajouter la constante d’intégra­
tion C à la n seulement.
b) Exprimons y en fonction de x, pour trouver une solution générale explicite.
De l’équation précédente, nous avons
y3 5 3 x
4
4
1 C
y3 5
3x4
4
1 C
3
(C
3
5 3C)
d’où y 5 3x
4
4
1 C
3
1
3
Cette solution est appelée solution générale explicite.
c) Déterminons la solution particulière implicite et la solution particulière
explicite, si y 5 ­2 lorsque x 5 ­1.
Il suft de remplacer y par ­2 et x par ­1 dans la solution implicite et dans
la solution explicite.
Solution particulière implicite
y3
3
5
x4
4
1 C
(­2)3
3
5
(­1)4
4
1 C
C 5
-35
12
d’où
y3
3
5
x4
4
2
35
12
Solution particulière explicite
y 5 3x
4
4
1 C
3
1
3
(­2) 5 3(­1)4
4
1 C
3
1
3
(­2)3 5
3
4
1 C
3
, ainsi C
3
5
­35
4
d’où y 5 3x4
4
2
35
4 
1
3
Solution générale
implicite
Solution générale
explicite
Condition initiale
Solution particulière
implicite explicite
832.3 Résolution d’équations différentielles
2
DÉFINITION 2.7 1) La solution F(x, y, C) 5 0, où C ∈ IR, est appelée solution générale implicite
de l’équation différentielle.
2) La solution y 5 f (x, C), où C ∈ IR, est appelée solution générale explicite
de l’équation différentielle.
3) La condition imposée y 5 y
0
lorsque x 5 x
0
est appelée condition initiale.
4) La solution satisfaisant la condition initiale précédente est appelée solution
particulière (implicite ou explicite).
Voici un résumé des étapes à suivre pour résoudre une équation différentielle
à variables séparables.
So
lu
ti
o
n
 p
ar
ti
cu
liè
re
So
lu
ti
on
 g
én
ér
al
e • Regrouper chaque variable avec sa différentielle dans un des mem­
bres de l’équation ; chaque différentielle doit être au numérateur.
• Intégrer chacun des membres de l’équation (solution implicite).
• Exprimer, s’il y a lieu, une variable en fonction de l’autre
(solution explicite).
Déterminer la constante d’intégration à l’aide de la condition initiale
et remplacer cette constante dans la solution générale implicite ou
explicite.
Exemple 6 Résolvons l’équation différentielle (4y2 2 3)x dy 2 (2 2 x)y dx 5 0,
où y 5 e3 lorsque x 5 ­4, et exprimons, si c’est possible, y en
fonction de x.
(4y2 2 3)x dy 5 (2 2 x)y dx
4y2 2 3
y
dy 5 2 2 xx  dx (en regroupant)
4y 2 3y dy 5 2x 2 1 dx
 4y 2 3y dy 5  2x 2 1 dx
2y2 2 3 ln y  5 2 ln  x  2 x 1 C (en intégrant)
Dans cette solution implicite, il est impossible d’exprimer y en fonction de x.
En remplaçant y par e3 et x par ­4, nous trouvons
2(e3)2 2 3 ln e3 5 2 ln  ­4  1 4 1 C, ainsi C 5 2e6 2 13 2 2 ln 4
d’où 2y2 2 3 ln  y  5 2 ln  x  2 x 1 2e6 2 13 2 2 ln 4
Solution générale
implicite
Solution particulière
implicite
84 CHAPITRE 2 Intégration
2
Familles de courbes
Exemple 1 Soit y9 2 2x 5 0.
a) Résolvons l’équation précédente.
dy
dx
2 2x 5 0 car y9 5 dydx, notation de Leibniz
dy
dx
5 2x
dy 5 2x dx (en regroupant)
E dy 5 E 2x dx
y 5 x2 1 C (en intégrant)
d’où y 5 x2 1 C est la solution générale explicite.
Remarque Une équation différentielle admet une innité de solutions, ces
solutions étant toutes dénies à la constante C près.
Toutes les solutions d’une équation différentielle sont donc distinctes, leurs
courbes représentatives n’ont aucun point d’intersection les unes avec les autres.
b) Représentons graphiquement des courbes dénies par y 5 x2 1 C en donnant
à C différentes valeurs.
Les courbes y
1
, y
2
, y
3
et y
4
ci-contre ont été obtenues en donnant à C les
valeurs -2, 0, 1 et 4.
Nous pouvons obtenir une innité d’autres courbes en donnant d’autres
valeurs à C.
Nous appelons l’ensemble de toutes les courbes dénies par y 5 x2 1 C
« famille de courbes ».
Remarque Il faut et il suft d’une condition, appelée condition initiale, pour
obtenir une courbe particulière de la famille de courbes.
c) Déterminons, parmi la famille de courbes précédente, celle qui passe par
le point P(-5, -7).
En remplaçant x par -5 et y par -7 dans l’équation y 5 x2 1 C, nous trouvons
-7 5 (-5)2 1 C, ainsi C 5 -32
d’où y 5 x2 2 32 est l’équation de la courbe cherchée.
y
1
5 x2 2 2
y
3
5 x2 1 1
y
2
5 x2
y
4
5 x2 1 4
DÉFINITION 2.8 Nous appelons famille de courbes l’ensemble de toutes les courbes que nous
pouvons écrire sous l’une des formes suivantes, où C ∈ IR.
F(x, y, C) 5 0 (forme implicite) ou y 5 f (x, C) (forme explicite)
852.3 Résolution d’équations différentielles
2
Exemple 2 Soit yy9 5 -x.
a) Résolvons cette équation différentielle.
yy9 5 -x
y
dy
dx
5 -x car y9 5 dydx
y dy 5 -x dx (en regroupant)
E y dy 5 E (-x) dx
y2
2
5
-x2
2
1C
1
(en intégrant)
y2 5 2C
1
2 x2
y2 5 C 2 x2 (où C 5 2C
1
)
d’où y
1
5 C 2 x2 et y
2
5 -C 2 x2
b) Représentons graphiquement quelques éléments de la famille de courbes dénie
par la solution implicite ou par les solutions explicites.
Dans ce cas, il est avantageux d’utiliser la solution implicite écrite sous la forme
x2 1 y2 5 C, car cette équation représente un cercle de centre O(0, 0) et
de rayon C.
Les courbes C
1
, C
2
, C
3
et C
4
ci-contre ont été obte nues en donnant à C les
valeurs 1, 4,
57
4
et 24.
Dans le cas particulier où C 5 0, nous obtenons le point O(0, 0).
Solution générale implicite
Solutions générales explicites
C
1
: x2 1 y2 5 1
C
2
: x2 1 y2 5 4
C
3
: x2 1 y2 5
57
4
C
4
: x2 1 y2 5 24
Exemple 3
a) Trouvons l’équation représentant la famille de courbes dont la pente de la tan-
gente à la courbe, en tout point P(x, y), est égale au triple du carré de l’abscisse.
Puisque la pente de la tangente est égale à 3x2, nous avons
dy
dx
5 3x2
dy 5 3x2 dx (en regroupant)
E dy 5 E 3x2 dx
y 5 x3 1 C (en intégrant)
d’où y 5 x3 1 C est l’équation représentant la famille de courbes.
b) Déterminons, parmi toutes les courbes de la famille, celle qui passe par Q(-1, 5).
Ainsi, la condition initiale est donnée par y 5 5 lorsque x 5 -1.
En remplaçant x par -1 et y par 5 dans l’équation y 5 x3 1 C, nous obtenons
5 5 (-1)3 1 C, ainsi C 5 6
d’où y 5 x3 1 6 est l’équation cherchée.
y 5 x3 1 6
y
1
5 x3 2 4
Q(-1, 5)
y
2
5 x3
y
3
5 x3 1 10
86 CHAPITRE 2 Intégration
2
Exemple 4 Déterminons la fonction f, où dom f 5 ]0, 1∞[ telle que
f 0(x) 5 4 1
2
x2
et telle que la pente de la tangente à la courbe
de f au point P(1, -2) est égale à 3.
Trouvons d’abord f 9(x), où f 9(x) est une primitive de f 0(x).
 f 0(x) dx 5  4 1 2x2  dx car f 99(x) 5 4 1 2x2
f9(x) 5 4x 2
2
x
1 C (en intégrant)
Avant d’intégrer une deuxième fois pour trouver f(x), il est préférable de détermi-
ner la valeur de la constante C.
Puisque la pente de la tangente à la courbe de f au point P(1, -2) est égale à 3,
nous avons
f 9(1) 5 3
4(1) 2
2
1
1 C 5 3
C 5 1
donc f9(x) 5 4x 2
2
x
1 1
Trouvons maintenant f (x), où f (x) est une primitive de f 9(x).
 f 9(x) dx 5  4x 2 2x 1 1 dx car f9(x) 5 4x 2 2x 1 1
f (x) 5 2x2 2 2 ln x  1 x 1 C1 (en intégrant)
f (x) 5 2x2 2 2 ln x 1 x 1 C
1
(car x ∈]0, 1∞[)
Puisque la courbe passe par P(1, -2), nous avons
f (1) 5 -2
2(1)2 2 2 ln 1 1 1 1 C
1
5 -2
C
1
5 -5
d’où f (x) 5 2x2 2 2 ln x 1 x 2 5
Représentation graphique
with(plots) :
with(Student[Calculus1]) :
t :5 Tangent(2 · x2 2 2 ·
ln(x) 1 x 2 5, x 5 1,
output 5 plot,
view 5 [0.25 .. 1.75,
-4 .. 4]) :
f :5 plot(2 · x2 2 2 · ln(x)
1 x 2 5, x 5 0 ..2,
color 5 orange) :
display( f, t) ;
f(x) 5 2x2 2 2 ln x 1 x 2 5
P(1, -2)
DÉFINITION 2.9 Deux courbes sont orthogonales en un point d’intersection des courbes si les
tangentes respectives à chaque courbe en ce point sont perpendiculaires.
Les courbes y
1et y
2
ci-contre sont orthogonales en leur
point d’intersection.
872.3 Résolution d’équations différentielles
2
Exemple 5 Soit y
1
5 x3 et y
2
5
9 2 ln (3x 2 2)
9
, où x 
2
3
. Vérions que
y
1
et y
2
sont orthogonales en leur point d’intersection P(1, 1), en
calculant la pente m
1
de la tangente T
1
à la courbe y
1
ainsi que la
pente m
2
de la tangente T
2
à la courbe y
2
au point P(1, 1).
dy
1
dx
5
d
dx
(x3) 5 3x2
m
1
5
dy
1
dx x 5 1 5 3
dy
2
dx
5
d
dx 1 2
ln (3x 2 2)
9  5
-1
3(3x 2 2)
m
2
5
dy
2
dx x 5 1 5
-1
3
Les tangentes respectives T
1
et T
2
à chaque courbe, au point d’intersection P(1, 1),
sont perpendiculaires, car le produit de leur pente 3 -13  est égal à -1.
D’où les courbes sont orthogonales en leur point d’intersection.
y
1
5 x3
y
2
5
9 2 ln (3x 2 2)
9
P(1, 1)
DÉFINITION 2.10 Deux familles de courbes sont orthogonales si chaque courbe de la première
famille est orthogonale à chaque courbe de la deuxième famille en leur(s) point(s)
d’intersection.
Les familles F 5 {f
1
, f
2
, f
3
, f
4
, …} et G 5 {g
1
, g
2
, …}
sont orthogonales.
Exemple 6 Soit la famille F de courbes dénie par y 5 kx, où k ∈ IR.
a) Déterminons la famille G de courbes orthogonales à F.
En un point quelconque P(x, y) de chaque courbe dénie par y 5 kx,
la pente m
1
de la tangente à la courbe est donnée par
m
1
5
dy
dx
5
k
2x car
d
dx
(kx) 5 k
2x
5
 yx
2x y 5 kx, donc k 5
y
x
5
y
2x
88 CHAPITRE 2 Intégration
2
1. Vérier que y est une solution de l’équation
différentielle donnée.
a) y 5 ex 1 sin x si y0 1 y 5 2ex
b) y 5 C 1 x2 si dy
dx
5
x
y
c) y 5 xex si xy9 5 y(1 2 x)
d) y 5 3e2x cos 4x 2 2e2x sin 4x
si y0 2 4y9 1 20y 5 0
EXERCICES 2.3
2. Résoudre les équations différentielles suivantes,
en donnant la solution générale implicite et, si
c’est possible, la solution générale explicite.
a) y
x
dy 5 5y2 1 4 dx
b) dy
dx
5
ey 1 1
3x2 ey
c) (y 2 8) dx 1 5x3 dy 5 0
d) 7x 3y 2 2 sec2  y5  dy 2 (x2 2 5) dx 5 0
e) x dy 5 (yx 2 4y) dx
La pente m
2
de la tangente à chaque courbe orthogonale y passant au même
point P(x, y) est
m
2 5
-1
m
1
(car m
1
(m
2
) 5 -1)
dy
dx
5
-1
 y2x
car m2 5 dydx et m1 5 y2x 
y dy 5 -2x dx (en regroupant)
 y dy 5  (-2x) dx
y2
2
5 -x2 1 C (en intégrant)
d’où x2 1
y2
2
5 C est la famille G de courbes cherchée.
b) Représentons graphiquement dans un
même système d’axes les courbes de la
famille F obtenues en remplaçant succes-
sivement k par -3, -2, 0, 1, 2, 3 et 4, ainsi
que les courbes (ellipses) de la famille G
obtenues en remplaçant successivement C
par 5, 10, 15 et 20.
c) Déterminons la courbe de chaque famille qui
passe par le point Q(3, 5).
En remplaçant x par 3 et y par 5 dans les équa-
tions suivantes, nous obtenons
y 5 kx (famille F)
5 5 k3, ainsi k 5 5
3
d’où y 5
53
3
x
x2 1
y2
2
5 C (famille G)
32 1
52
2
5 C, ainsi C 5
43
2
d’où x2 1
y2
2
5
43
2
F : y 5 kx
k 5 -3
k 5 -2
k 5 0
k 5 1
k 5 2
k 5 3
k 5 4
G: x2 1
y2
2
5 C
y 5
53
3
x
x2 1
y2
2
5
43
2
Q(3, 5)
892.3 Résolution d’équations différentielles
2
3. Déterminer la solution particulière explicite des
équations différentielles suivantes.
a)
dy
dx
5 x3 2 2x 1 4 et f (1) 5 4
b)
dx
dt
5 -9,8t 1 12 et x 5 10 lorsque t 5 0
c)
dy
dx
5
x2
y2
et la courbe passe par P(2, -1)
d) x2y9 5 y, où y  0 et y 5 4 lorsque x 5 -1
e) y9 5 2xy2 et la courbe passe par P(-3, 4)
f) dv
dt
5 vt, où v  0, t  0 et la courbe passe
par P(4, 9)
g)
dQ
dt
5 -5Q, où Q  0 et Q 5 22 lorsque t 5 0
h) y2 dx 5 x2 dy, la courbe passe par P(1, -1)
et x  0
i) sec u
dy
du
5 y4 et la courbe passe par P6 ,
1
2 
4. Pour chacune des équations différentielles
suivantes :
i) déterminer la solution générale ;
ii) déterminer la solution particulière ;
iii) représenter graphiquement certaines
courbes de la famille de courbes ainsi que la
courbe représentant la solution particulière.
a)
dy
dx
5 -2 et y 5 6 lorsque x 5 -2
b) 2x dx 1 8y dy 5 0 et y 5 -1 lorsque x 5 8
c) dy
dx
5
y
3
où y  0 et la courbe passe par P(0, 2)
d) dy 5 4y dx et y 5 4 lorsque x 5 3
5. Trouver l’équation de la courbe dénie par y 5 f(x) :
a) si f 0(x) 5 3, f9(2) 5 5 et la courbe passe par
le point P(-2, 3) ;
b) passant par le point Q(3, -2) et dont la pente
de la tangente en tout point P(x, y) est donnée
par 2x2 1 3 ;
c) passant par le point P(1, 6) et dont la tangente
à la courbe en ce point est parallèle à la droite
définie par g(x) 5 3x 1 1 et telle que y0 5
-1
x2
;
d) passant par le point P(0, -7) et dont la pente
de la tangente en tout point P(x, y) est égale
à l’ordonnée augmentée de 5 unités ;
e) si f 0(x) 5 12x 2 4 et la courbe passe par les
points P(0, 3) et Q(-2, -5).
6. a) Trouver l’équation de la famille de courbes
dont la pente de la tangente en tout point
P(x, y) est égale au carré de la fonction.
b) Déterminer l’équation de la courbe appartenant
à la famille de courbes précédente et passant
par le point
i) P
1 0, 12 , ii) P2 
1
2
, 2, iii) P3 2, -13 .
c) Représenter graphiquement dans un même
système d’axes les trois courbes trouvées
en b).
7. a) Trouver l’équation de la famille de courbes
orthogonales à la famille de courbes dénies
par f (x) 5 x2 1 k, où x  0 et k ∈ IR.
b) Des familles précédentes, trouver l’équation
des courbes passant par le point
i) P(1, 5), ii) Q(2, 3).
c) Représenter graphiquement dans un même
système d’axes les quatre courbes trouvées en b).
8. Soit F, la famille de courbes dénie par y 5 kx2,
où k ∈IR.
a) Déterminer la famille de courbes G orthogonales
à F.
b) Déterminer la courbe de chaque famille qui
passe par le point
i) P(3, -5), ii) Q(-2, 7).
c) Représenter graphiquement dans un même
système d’axes les quatre courbes
trouvées en b).
90 CHAPITRE 2 Intégration
2
De façon générale, pour résoudre une équation différentielle modélisant une
situation concrète, nous pouvons procéder comme suit :
• dénir l’équation différentielle correspondant à la situation ;
• résoudre l’équation différentielle, en séparant d’abord les variables, s’il
y a lieu, et en intégrant chaque membre de l’équation ;
• utiliser la condition initiale donnée pour évaluer la constante d’intégration,
ainsi que les autres conditions données pour évaluer, s’il y a lieu, la constante
de proportionnalité, an de déterminer la solution implicite et, si possible, la
solution explicite décrivant la situation donnée ;
• répondre aux différentes questions en utilisant l’équation adéquate, trouvée
précédemment.
Position, vitesse et accélération
Rappelons d’abord quelques notions de physique étudiées dans le cours de calcul
différen tiel, an de résoudre certains problèmes de physique, en particulier des pro-
blèmes de mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Soit les fonctions x, v et a, où
x représente la position d’un mobile en fonction du temps,
v représente la vitesse d’un mobile en fonction du temps et
a représente l’accélération d’un mobile en fonction du temps.
Ces fonctions sont reliées par les équations différentielles suivantes.
dx
dt
5 v et
dv
dt
5 a
Mouvement rectiligne uniformément accéléré
Dans ce type de mouvement, l’accélération a, où a  0, de la particule est
constante à tout instant t.
Physique
Physique
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l'étudiant pourra résoudre des problèmes à l’aide de l’intégrale indénie.
Plus précisément, l'étudiant sera en mesure :
• de résoudre des équations différentielles reliées à la physique ;
• de résoudre des équations différentielles reliées à des problèmes
de croissance et de décroissance ;
• de résoudre des équations différentielles reliées à l’économie.
Loi de refroidissement de Newton
dT
dt
5 K(T 2 A)
2.4 Applications de l’intégrale indéfinie
912.4 Applications de l’intégrale indénie
2
Exemple 1 De la terrasse d’observation, située à 342 mètres du sol, de la
Tour CN, nous lançons une balle verticalement vers le haut avec
une vitesse initiale de 25 m/s. Noussavons que l’accélération a
de la balle est constante et égale à 9,8 m/s2 vers le bas.
a) Déterminons la vitesse v de la balle en fonction du temps, et calculons sa
vitesse après 1 seconde et après 4 secondes.
Puisque
dv
dt
5 -9,8 (équation différentielle correspondante, où a 5 -9,8)
dv 5 -9,8 dt (en séparant les variables)
dv 5 -9,8 dt
v 5 -9,8t  C (en intégrant)
En remplaçant t par 0 et v par 25 (condition initiale)
dans l’équation précédente, nous obtenons
25 5 -9,8(0)  C, ainsi C 5 25
d’où v 5 -9,8t  25, exprimée en m/s, ainsi
v(1) 5 15,2 m/s et v(4) 5 -14,2 m/s.
b) Déterminons la hauteur h de la balle par rapport au sol en fonction du temps,
et calculons sa hauteur après 2 secondes et après 7 secondes.
Puisque
dh
dt
5 -9,8t  25 (équation différentielle correspondante,
où v 5 -9,8t  25)
dh 5 (-9,8t  25) dt (en regroupant)
dh 5  (-9,8t  25) dt
h 5 -4,9t2  25t  C
1
(en intégrant)
En remplaçant t par 0 et h par 342 (condition initiale)
dans l’équation précédente, nous obtenons
342 5 -4,9(0)2  25(0)  C
1
, ainsi C
1
5 342
d’où h 5 -4,9t2  25t  342, exprimée en mètres, ainsi
h(2) 5 372,4 m et h(7) 5 276,9 m.
c) Déterminons le temps t nécessaire pour que la balle atteigne sa hauteur
maximale ; déterminons cette hauteur ainsi que la distance totale parcourue
par la balle lorsqu’elle aura touché le sol.
À la hauteur maximale de la balle, v 5 0, ainsi -9,8t  25 5 0
d’où t 5 2,55… secondes,
donc h(2,55…) 5 -4,9(2,55…)2  25(2,55…)  342 5 373,887…
d’où sa hauteur maximale est d’environ 373,9 mètres.
Distance totale 5 373,887…  (373,887…  342)
d’où environ 405,8 mètres.
dv
dt
5 a
dv 5 a dt
dv 5 a dt
dh
dt
5 v
t 5 0 ; h 5 342
h(t) 5 0 si t 5 11,28...
h(t)  -4,9t2 1 25t 1 342
92 CHAPITRE 2 Intégration
2
Exemple 2 Supposons qu’au moment où un automobiliste lant à 108 km/h
freine, l’accélération de son automobile en fonction du temps est
donnée par a(t)  -6, où t est en secondes et a(t) en m/s2.
a) Déterminons la fonction v donnant la vitesse en fonction du temps t
et calculons sa vitesse après 2 secondes et après 3 secondes.
Puisque
dv
dt
 -6 (équation différentielle correspondante, où a  -6)
dv  -6 dt (en séparant les variables)
 dv   (-6) dt
v  -6t  C (en intégrant)
Nous savons qu’à l’instant où l’automobiliste freine, c’est-à-dire au temps
t  0, la vitesse de l’automobile est v  108 km/h, c’est-à-dire 30 m/s.
En remplaçant t par 0 et v par 30 (condition initiale)
dans l’équation v  -6t  C, nous obtenons
30  -6(0)  C ainsi C  30
d’où v(t)  -6t  30, exprimée en m/s, ainsi
v(2)  18, donc 18 m/s, c’est-à-dire 64,8 km/h,
v(3)  12, donc 12 m/s, c’est-à-dire 43,2 km/h.
b) Déterminons le temps nécessaire pour que l’automobile s’immobilise.
v(t)  0, c’est-à-dire -6t  30  0, ainsi t  5,
d’où l’automobile s’immobilise en 5 s.
c) Déterminons la distance D parcourue entre le moment où l’automobiliste
freine et l’instant précis où l’automobile s’immobilise.
Soit x la position à chaque instant t.
Puisque
dx
dt
 -6t  30  dxdt  v, où v  -6t  30
dx  (-6t  30) dt (en regroupant)
 dx   (-6t  30) dt
x  -3t2  30t  C
1
(en intégrant)
ainsi D  x(5)  x(0)  (75  C
1
)  (0  C
1
)  75
d’où D  75 mètres.
dv
dt
 a
108 (1000)
3600
 30
t  0 ; v  30
18 (3600)
1000
 64,8
12 (3600)
1000
 43,2
Représentation graphique
lorsque C
1
 0
a(t)  -6
x(t)  -3t2  30t
v(t)  -6t  30
De façon générale, l’accélération d’une particule peut être une fonction d’au moins
une des variables x, v ou t.
932.4 Applications de l’intégrale indénie
2
Exemple 3 Soit une particule dont l’accélération a est donnée par a 5
k
(x 1 3)2
,
où a est en m/s2, x est en mètres et k est une constante. Cette particule
part de l’origine avec une vitesse nulle et sa vitesse est de 10 m/s
lorsque x 5 5 m.
a) Déterminons la vitesse v de la particule en fonction de la position x et trou-
vons cette vitesse lorsque x 5 2 mètres.
dv
dt
5
k
(x 1 3)2 car a 5
k
(x 1 3)2
dv
dx
dx
dt
5
k
(x 1 3)2
(règle de dérivation en chaîne)
dv
dx
v 5
k
(x 1 3)2 car
dx
dt
5 v
v dv 5
k
(x 1 3)2
dx (en regroupant)
E v dv 5 E k
(x 1 3)2
dx
v2
2
5
-k
x 1 3
1 C (en intégrant)
En remplaçant x par 0 et v par 0, puis x par 5 et v par 10, nous trouvons
0 5
-k
3
1 C 3C 2 k 5 0 1
(10)2
2
5
-k
5 1 3
1 C 8C 2 k 5 400 2
En résolvant le système d’équations précédent, nous trouvons C 5 80 et k 5 240
ainsi
v2
2
5
-240
(x 1 3)
1 80 5
80x
x 1 3
, donc v2 5
160x
x 1 3
Puisque l’accélération a est positive et que v(0) 5 0, alors v est non négative,
d’où v 5  160xx 1 3, exprimée en m/s.
En remplaçant x par 2, nous obtenons v(2) 5 3205 5 8,
d’où v 5 8 m/s lorsque x 5 2 mètres.
b) Trouvons la position de la particule lorsque v 5 9 m/s.
9 5  160xx 1 3
81 5
160x
x 1 3
(en élevant au carré)
81x 1 243 5 160x
x 5 3,075…
d’où la particule est à environ 3,1 mètres de l’origine lorsque v 5 9 m/s.
dv
dt
5 a
dv
dt
5
dv
dx
dx
dt
Si x 5 0, alors v 5 0
c’est-à-dire
Si x 5 5, alors v 5 10
a 5
240
(x 1 3)2
 0
94 CHAPITRE 2 Intégration
2
c) Déterminons théoriquement la vitesse maximale v
max
de la particule.
De v(x) 5  160xx 1 3, nous obtenons v(x) 5
3
2(x 1 3)2 
x 1 3
160x
Puisque v(x)  0 sur ]0, 1∞[, v est croissante sur [0, 1∞[,
d’où la vitesse maximale théorique est obtenue lorsque x → 1∞.
v
max
5
x
l
→
im
1∞
v(x) 5
x
l
→
im
1∞ 160xx 1 3 car v(x) 5  160xx 1 3
5
x
l
→
im
1∞
160x
x 1 1 3x
5
x
l
→
im
1∞
160
1 1 3x
 xx 5 1, car x  0
5 160
d’où la vitesse maximale théorique est d’environ 12,65 m/s.
y 5 160
v(x) 5  160xx 1 3
Croissance et décroissance exponentielles
Il arrive fréquemment que le taux de croissance ou de décroissance d’une quantité
soit proportionnel à la quantité présente ; par exemple, la population d’un pays, le
nombre de bactéries, la radioactivité, certains types de placements, etc.
DÉFINITION 2.11 Soit les expressions A, B et C, et soit K ∈ IR \ {0}.
1) A est proportionnelle à B, si et seulement si A 5 KB
2) A est inversement proportionnelle à B, si et seulement si A 5
K
B
3) A est proportionnelle à B et à C, si et seulement si A 5 KBC
Dans les trois cas, K est appelée la constante de proportionnalité.
Lorsque
dQ
dt
, le taux de croissance (décroissance) par rapport au temps d’une
quantité Q, est proportionnel en tout temps à la quantité Q présente, l’équation
différentielle correspondante est de la forme
dQ
dt
5 KQ, où K est la constante de proportionnalité.
Exemple 1 Si la population P d’une ville augmente proportionnellement en
tout temps à la population présente à un taux continu de 5 % par
année, et qu’au début de 2010 elle était de 80 000 habitants,
a) déterminons la fonction P donnant la population en fonction du temps t,
où t est le nombre d’années écoulées depuis 2010.
Démographie
952.4 Applications de l’intégrale indénie
2
L’équation différentielle correspondante est
dP
dt
 0,05P (car K  0,05)
dP
P
 0,05 dt (en regroupant)
E 1
P
dP  E 0,05 dt
ln  P   0,05t  C (en intégrant)
ln P  0,05t  C (car P  0)
En remplaçant t par 0 (en 2010) et P par 80 000, nous obtenons
ln 80 000  0,05(0)  C, ainsi C  ln 80 000
d’où ln P  0,05t  ln 80 000 (équation 1)
Cette équation est la forme logarithmique de la solution.
Cette forme est utile lorsque nous cherchons t, la population P étant donnée.
De l’équation précédente, nous avons
P  e0,05t  ln 80 000 (car si ln P  A, alors P  eA)
 e0,05t eln 80 000
 80 000e0,05t (car eln A  A)
d’où P  80 000e0,05t (équation 2)
Cette équation est la forme exponentielle de la solution.
Cette forme est utile lorsque nous cherchons P, le temps t étant donné.
b) Déterminons la population de cette ville en l’an 2030.
Pour déterminer la population en 2030, il suft de remplacer t par 20 dans
l’équation 2, en considérant que l’année 2010 correspond à t  0.
P  80 000e0,05(20)  217 462,54…
d’où environ 217 463 habitants.
c) Déterminons en quelle année lapopulation de cette ville sera de
150 000 habitants.
Remplaçons P par 150 000 dans l’équation 1 et trouvons t.
ln 150 000  0,05t  ln 80 000
0,05t  ln 150 000 2 ln 80 000
t 
1
0,05
ln 158   12,57…
D’où environ au milieu de l’an 2022.
Solution générale implicite
Condition initiale
t  0 ; P  80 000
Solution particulière
implicite
Solution particulière
explicite
t  20
P  ?
P  150 000
t  ?
2010  12,57…
Remarque Dans certains problèmes, en plus d’évaluer la constante d’intégra-
tion C, nous devons évaluer la constante de proportionnalité K à l’aide des données
du problème.
96 CHAPITRE 2 Intégration
2
Exemple 2 Dans une culture, le nombre de bactéries s’accroît à un taux
proportionnel en tout temps au nombre de bactéries présentes.
Si au début de l’expérience nous comptons 3000 bactéries et,
2 jours après, 7000 bactéries,
a) déterminons après combien de jours le nombre de bactéries sera de 14 000.
Soit N, le nombre de bactéries présentes en tout temps. Nous avons
dN
dt
5 KN, où K est la constante de proportionnalité.
dN
N
5 K dt (en regroupant)
E 1
N
dN 5 E K dt
ln  N  5 Kt  C (en intégrant)
ln N 5 Kt  C (car N  0)
Déterminons les valeurs de C et de K à l’aide des données.
Nous savons que N 5 3000, lorsque t 5 0
ln 3000 5 K(0)  C, ainsi C 5 ln 3000
L’équation devient alors ln N 5 Kt  ln 3000
De plus, nous savons que N 5 7000, lorsque t 5 2
ln 7000 5 K(2)  ln 3000
ln 7000  ln 3000 5 K(2)
ln 73 5 K(2), ainsi K 5
1
2
ln 73 
d’où ln N 5
1
2
ln 73  t  ln 3000 (équation 1)
ainsi N 5 3000e
1
2 ln 73 t (équation 2)
Cette dernière équation peut être transformée de la façon suivante :
N 5 3000 e ln 
7
3
t
2
5 3000 73
t
2 car eln 73 5 73
donc N 5 3000 73
t
2
(équation 3)
En remplaçant N par 14 000 dans l’équation 1, nous obtenons
ln 14 000 5
1
2
ln 73  t  ln 3000, ainsi t 5
2
ln 73
ln 143  5 3,636…
d’où t  3,64 jours.
b) Déterminons la quantité de bactéries après 5 jours.
En remplaçant t par 5 dans l’équation 2 ou 3, nous obtenons N  24 950 bactéries.
Biologie
Condition initiale
t 5 0 ; N 5 3000
Deuxième condition
t 5 2 ; N 5 7000
Solution particulière
implicite sous forme
logarithmique
Solution particulière
explicite sous forme
exponentielle en base e
Solution particulière explicite
sous forme exponentielle en
base
7
3
N 5 14 000
t 5 ?
t 5 5
N 5 ?
972.4 Applications de l’intégrale indénie
2
Demi-vie
DÉFINITION 2.12 La demi-vie ou la période est le temps nécessaire pour qu’une quantité donnée
(masse, concentration, etc.) diminue de moitié.
De façon générale, pour une quantité initiale Q
0
, de demi-vie t
1
, nous avons
t t  0
1 période
t  t
1
2 périodes
t  2t
1
3 périodes
t  3t
1
… n périodes
t  nt
1
Q Q
0
1
2 Q0 5
Q
0
2
1
2 
Q
0
2  5
Q
0
22
1
2 
Q
0
22 5
Q
0
23
…
Q
0
2n
Le graphique ci-contre illustre la concentration de H
2
O
2
en
fonction du temps. La concentration initiale est de 0,02 mol/L,
et la période, de 650 minutes.
Exemple 3 Considérons une substance radioactive de masse initiale Q
0
, dont
la masse, après 10 ans, est de 99,5 % de Q
0
.
a) Déterminons la fonction Q donnant la quantité en fonction du temps, sachant
que le taux de désintégration de la masse est proportionnel à celle-ci.
Soit Q, la masse de la substance radioactive présente en tout temps, et K,
la constante de proportionnalité. Ainsi,
dQ
dt
5 KQ
dQ
Q
5 K dt (en regroupant)
E 1
Q
dQ 5 E K dt
ln Q 5 Kt  C (en intégrant)
ln Q 5 Kt  C (car Q  0)
Déterminons les valeurs de C et de K à l’aide des données.
Nous savons que Q 5 Q
0
lorsque t 5 0
ln Q
0
5 K(0)  C, ainsi C 5 ln Q
0
L’équation devient alors ln Q 5 Kt  ln Q
0
Radioactivité
Condition initiale
t 5 0 ; Q 5 Q
0
98 CHAPITRE 2 Intégration
2
De plus, nous savons que Q 5 0,995Q
0
lorsque t 5 10
ln (0,995Q
0
) 5 K(10)  ln Q
0
K(10) 5 ln (0,995Q
0
) 2 ln Q
0
5 ln 0,995Q0Q
0

ainsi K 5
ln (0,995)
10
d’où ln Q 5
ln 0,995
10
t  ln Q
0
(équation 1)
Q 5 Q
0
e
ln 0,995
10 t (équation 2)
Q 5 Q
0
(0,995)
t
10 (équation 3)
b) Calculons la demi-vie de cette substance.
Il suft de remplacer Q par
Q
0
2
dans l’équation 1 pour déterminer la demi-vie.
ln Q02  5
ln (0,995)
10
t  ln Q
0
ln Q02  2 ln Q0 5
ln (0,995)
10
t
t 5
10 ln (0,5)
ln (0,995) car ln 
Q
0
2  2 ln Q0 5 ln 
Q
0
2Q
0
 5 ln (0,5)
t 5 1382,825…
d’où la demi-vie est d’environ 1383 ans.
c) Déterminons la masse de la substance radioactive qu’il reste après 2766 ans.
En remplaçant t par 2766 dans l’équation 3, nous obtenons
Q 5 Q
0
(0,995)
2766
10
5 (0,249…) Q
0
d’où Q  0,25Q
0
Ce résultat était prévisible, car 2766 5 2(1383) ; donc la masse initiale a été
réduite de moitié deux fois.
d) Déterminons le nombre d’années pour que 90 % de la masse initiale soit
désintégrée.
En remplaçant Q par 0,1Q
0
dans l’équation 1, nous obtenons
ln (0,1Q
0
) 5
ln (0,995)
10
t  ln Q
0
ln (0,1Q
0
) 2 ln Q
0
5
ln (0,995)
10
t
t 5
10 ln (0,1)
ln (0,995) car ln (0,1Q0) 2 ln Q0 5 ln 
0,1Q
0
Q
0
5 ln (0,1)
t 5 4593,647…
d’où t  4594 ans.
Deuxième condition
t 5 10 ; Q 5 0,995Q
0
Q 5
Q
0
2
t 5 ?
t 5 2766
Q 5 ?
Q 5 0,1Q
0
t 5 ?
Q(t) 5 1(0,995)
t
10
Représentation graphique
lorsque Q
0
5 1
992.4 Applications de l’intégrale indénie
2
Certaines équations différentielles sont de la forme
dP
dt
5 K
1
P 1 K
2
, où P est une
fonction de t, K
1
est la constante de proportionnalité et K
2
est une constante.
Exemple 4 En 2014, la population P d’une ville était de 75 000 habitants. Selon
une étude, les démographes estiment que, pour les 50 prochaines
années, le taux continu de natalité sera de 2 % par année, le taux
continu de mortalité sera de 1,5 % par année et que, annuellement,
1000 personnes quitteront la ville.
a) Déterminons approximativement la population P de cette ville en l’an 2024.
Soit t, le nombre d’années écoulées depuis 2014.
L’équation différentielle correspondante est
dP
dt
5 (0,02 2 0,015)P 2 1000
dP
dt
5 0,005P 2 1000
dP
0,005P 2 1000
5 dt (en regroupant)
 10,005P 2 1000 dP 5  dt
 1
u 1
1
0,0052 du 5  dt
1
0,005
ln  u  5 t 1 C (en intégrant)
200 ln  0,005P 2 1000 5 t 1 C (car u 5 0,005P 2 1000)
En remplaçant t par 0 (en 2014) et P par 75 000, nous obtenons
200 ln  -625  5 0 1 C, ainsi C 5 200 ln 625
donc 200 ln  0,005P 2 1000  5 t 1 200 ln 625
ln  0,005P 2 1000  5 0,005t 1 ln 625
puisque (1000  0,005P), alors  0,005P 2 1000  5 1000 2 0,005P
ln (1000 2 0,005P) 5 0,005t 1 ln 625 (équation 1)
1000 2 0,005P 5 e0,005t 1 ln 625
0,005P 5 1000 2 eln 625 e0,005t
P 5
1000 2 625e0,005t
0,005
P 5 200 000 2 125 000e0,005t (équation 2)
En remplaçant t par 10 dans l’équation 2, nous obtenons
P  68 591 habitants.
u 5 0,005P 2 1000
du 5 0,005 dP
dP 5
1
0,005
du
t 5 0
P 5 75 000
Si B  A, alors
 A 2 B  5 B 2 A
t 5 10
P 5 ?
100 CHAPITRE 2 Intégration
2
b) Déterminons en quelle année la population de cette ville sera de
50 000 habitants.
En remplaçant P par 50 000 dans l’équation 1, nous avons
ln (1000  0,005(50 000))  0,005t  ln 625
t 
1
0,005
ln 750625
 36,464…
d’où environ au milieu de l’année 2050. (2014  36,464…)
P  50 000
t  ?
Nous savons qu’une tasse de café, dont la température est au-dessus de la tempéra-
ture ambiante, se refroidira. De même, un jus retiré d’un réfrigérateur se réchauffera
s’il est laissé à une température supérieure. Ces variations de température satisfont la
loi de refroidissement de Newton.
Il y a environ 300 ans…
Isaac Newton est né l’année même de la mort de Galilée. Il passe une partie importante de
sa vie d’adulte au Trinity College de Cambridge. Il y entre comme étudiant en 1661 et quitte
l’institution en 1696. Deux hommes ont joué un rôle important dans la carrière de Newton.
En 1669, le mathématicien Isaac Barrow (1630-1677) fait en sorte que Newton, alors âgé de
27 ans, lui succède à la chaire de mathématiques de l’Université de Cambridge, lui assurant
ainsi un revenu adéquat. L’astronomeEdmund Halley (1656-1742) pousse Newton à publier
son œuvre maîtresse Principia Mathematica (1687). Le coup de pouce de Halley est néces-
saire, car Newton, de nature timide, craint les critiques de façon presque maladive.
Isaac Newton
(1642-1727)
LOI DE
REFROIDISSEMENT
DE NEWTON
Soit T, la température d’un objet, et A, la température ambiante. Le taux de varia-
tion de la température T, par rapport au temps t, est proportionnel à la différence
entre la température de l’objet et la température ambiante, c’est-à-dire
dT
dt
 K(T  A)
où K est la constante de proportionnalité.
Exemple 5 Un thermomètre dans une pièce indique une température de 22 °C.
Un jus, dont la température est de 4 °C,
est sorti du réfrigérateur et, au bout de
20 mi nutes, il a atteint la température
de 7 °C.
Un café, dont la température est de
83 °C, est apporté dans la pièce et,
au bout de 15 mi nutes, il a atteint la
température de 60 °C.
P(t) 5 200 000  125 000e0,005t
1012.4 Applications de l’intégrale indénie
2
a) Déterminons la température T du jus
en fonction du temps t.
dT
dt
5 K
1
(T 2 22)
dT
T 2 22
5 K
1
dt
 1
T 2 22
dT 5  K1 dt
ln T 2 225 K1t  C1
Puisque T  22, T 2 22  5 (22 2 T)
Ainsi, ln (22 2 T) 5 K
1
t  C
1
a) Déterminons la température Z
du café en fonction du temps t.
dZ
dt
5 K
2
(Z 2 22)
dZ
Z 2 22
5 K
2
dt
 1
Z 2 22
dZ 5  K2 dt
ln Z 2 22  5 K2t  C2
Puisque Z  22, Z 2 22  5 (Z 2 22)
Ainsi, ln (Z 2 22) 5 K
2
t  C
2
Déterminons la valeur des constantes C
1
et C
2
à l’aide des données pertinentes.
Nous savons que T 5 4 lorsque t 5 0
donc ln (22 2 4) 5 K
1
(0)  C
1
ainsi C
1
5 ln 18
L’équation devient alors
ln (22 2 T) 5 K
1
t  ln 18
Nous savons que Z 5 83 lorsque t 5 0
donc ln (83 2 22) 5 K
2
(0)  C
2
ainsi C
2
5 ln 61
L’équation devient alors
ln (Z 2 22) 5 K
2
t  ln 61
Déterminons la valeur des constantes K
1
et K
2
à l’aide des données pertinentes.
Nous savons que T 5 7 lorsque t 5 20
donc ln (22 2 7) 5 K
1
(20)  ln 18
ln 15 2 ln 18 5 K
1
(20)
ainsi K1 5
1
20
ln 1518 5
1
20
ln 56
L’équation devient alors
ln (22 2 T ) 5
1
20
ln 56 t  ln 18
Nous savons que Z 5 60 lorsque t 5 15
donc ln (60 2 22) 5 K
2
(15)  ln 61
ln 38 5 K
2
(15)  ln 61
ainsi K
2
5
1
15
ln 3861
L’équation devient alors
ln (Z 2 22) 5
1
15
ln 3861 t  ln 61
Déterminons la température T du jus et Z du café en fonction du temps t.
T 5 22 2 18e
1
20 ln 56 t
T 5 22 2 18 56
t
20
Z 5 22  61e
1
15 ln 3861 t
Z 5 22  61 3861
t
15
b) Calculons la température du jus et du café après 35 minutes.
En remplaçant t par 35 dans l’équation 3,
T 5 22 2 18 56
35
20
5 8,917…
D’où T  8,92 °C.
En remplaçant t par 35 dans l’équation 3,
Z 5 22  61 3861
35
15
5 42,217…
D’où Z  42,22 °C.
(en regroupant)
(en intégrant)u 5 T 2 22 v 5 Z 2 22
du 5 dt dv 5 dz
Loi de refroidissement
de Newton
Conditions initiales
t 5 0 t 5 0
T 5 4 Z 5 83
(équation 1)
Deuxièmes conditions
t 5 20 t 5 15
T 5 7 Z 5 60
(équation 2)
(équation 3)
t 5 35 t 5 35
T 5 ? Z 5 ?
102 CHAPITRE 2 Intégration
2
c) Déterminons le temps nécessaire pour que…
… le jus atteigne une température
de 12 °C.
En remplaçant T par 12 dans
l’équation 1,
ln (22 2 12) 5
1
20
ln 56 t 1 ln 18
D’où t  64 minutes.
… le café atteigne une température
de 35 °C.
En remplaçant Z par 35 dans
l’équation 1,
ln (35 2 22) 5
1
15
ln 3861 t 1 ln 61
D’où t  49 minutes.
d) Déterminons théoriquement la température…
… maximale T
max
du jus.
T
max
5 lim
t→1∞ 22 2 18e
1
20 ln 56 t
5 22 2 0 car 120 ln 
5
6  t  0
D’où T
max
5 22 °C.
… minimale Z
min
du café.
Z
min
5 lim
t→1∞ 22 1 61e
1
15 ln 3861 t
5 22 1 0 car 115 ln 
38
61 t  0
D’où Z
min
5 22 °C.
T 5 12 Z 5 35
t 5 ? t 5 ?
T 5 22 2 18 5
6

t
20
Z 5 22 1 61 3861
t
15
Exemple 6 Un réservoir de 40 litres est rempli d’un mélange des substances A
et B. Le pourcentage de la substance A dans ce mélange est
de 20 %. Nous versons dans ce réservoir, au rythme de 3 litres
par minute, un nouveau mélange des substances A et B, où la
sub stance A est dans une proportion de 60 %. Le réservoir se
vide au même rythme qu’il se remplit. On suppose que le
mélange est tou jours homogène.
a) Déterminons l’équation différentielle correspondant à cette situation.
Soit Q la quantité de substance A présente à chaque instant dans le réservoir.
Calculons d’abord la quantité de la substance A ajoutée à chaque instant.
3 litres
minute
(0,60) 5 1,8 L/min
Calculons ensuite la quantité de la substance A retranchée à chaque instant.
3 litres
minute 
Q
40 5
3Q
40
L/min
Ainsi, le taux de variation de la quantité de la substance A par rapport au
temps t à chaque instant est donné par
dQ
dt
5 1,8 2
3Q
40
donc
dQ
dt
5
72 2 3Q
40
, exprimé en L/min.
Mélange de substances
1032.4 Applications de l’intégrale indénie
2
b) Déterminons Q en fonction de t.
Puisque dQ
72 2 3Q40 
5 dt (en regroupant)
40 172 2 3Q dQ 5  dt
-40
3
ln  72 2 3Q  5 t 1 C (en intégrant)
-40
3
ln (72 2 3Q) 5 t 1 C (car (72 2 3Q)  0)
Déterminons la valeur de la constante C.
Nous savons que Q 5 0,20(40) 5 8 litres lorsque t 5 0, ainsi
-40
3
ln (72 2 24) 5 0 1 C, donc C 5
-40
3
ln 48
-40
3
ln (72 2 3Q) 5 t 2
40
3
ln 48
d’où ln (72 2 3Q) 5
-3
40
t 1 ln (48) (équation 1)
Q 5 24 2 16e
3t
40
(équation 2)
c) Déterminons le pourcentage de la substance B après 5 minutes.
Déterminons d’abord la quantité de la substance A après 5 minutes.
En remplaÇant t par 5 dans l’équation 2, nous obtenons
Q 5 24 2 16e
3(5)
40 5 13,003…
Ainsi, la proportion de la substance A est
13,003…
40
5 0,325…
c’est-à-dire environ 32,5 %.
D’où le pourcentage de la substance B est d’environ 67,5 %.
d) Déterminons après combien de temps la proportion de la substance A dans
le mélange sera de 45 %.
En remplaçant Q par 40(45 %), c’est-à-dire 18 dans l’équation 1, nous obtenons
ln (72 2 3(18)) 5
-3
40
t 1 ln 48
t 5
40
3
ln 4818 5 13,077…
D’où t  13,08, donc environ 13 minutes et 5 secondes.
e) Déterminons théoriquement la quantité maximale Q
max
de la substance A.
Q
max
5 lim
t→∞
24 2 16e
3t
40 
5 24 2 0
D’où Q
max
est de 24 litres.
u 5 72 2 3Q
du 5 -3 dQ
dQ 5
-1
3 du
Condition initiale
t 5 0 ; Q 5 8
t 5 5
Q 5 ?
Q 5 40(45 %)
t 5 ?
Q(t) 5 24 2 16e
3t
40
Si k < 0, alors
t
l
→
im
∞
ekt 5 0
104 CHAPITRE 2 Intégration
2
Économie
Exemple 1 Nous estimons que le taux de variation instantané de la valeur V
d’une automobile neuve de 24 500 $ est donné par
-43 200t
(t 1 1)3 ,
exprimé en $/an, et t ∈ [0 an, 6 ans].
a) Exprimons la valeur V de cette automobile en fonction du temps.
L’équation différentielle correspondante est
dV
dt
5
-43 200t
(t 1 1)3
dV 5
-43 200t
(t 1 1)3
dt (en regroupant)
 dV 5 -43 200t(t 1 1)3 dt
V 5 -43 200  t(t 1 1)3 dt
5 -43 200  u 2 1
u3
du
5 -43 200   uu3 2 1u3 du
5 -43 200  (u2 2 u3) du
5 -43 200-1u 1
1
2u2 1 C (en intégrant)
5 -43 200 -1t 1 1 1
1
2(t 1 1)2 1 C (u 5 t 1 1)
5
21 600(2t 1 1)
(t 1 1)2
1 C (en effectuant)
En remplaçant t par 0 et V par 24 500, nous obtenons
24 500 5 21 600 1 C, ainsi C 5 2900
d’où V(t) 5 21 600(2t 1 1)
(t 1 1)2
1 2900, où t ∈ [0 an, 6 ans].
b) Déterminons la valeur de cette automobile après 2 ans.
En remplaçant t par 2 dans l’équation de V(t), nous obtenons
V(2) 5
21 600(5)
9
1 2900 5 14 900
d’où 14 900 $.
Dépréciation
u 5 t 1 1
du 5 dt
t 5 u 2 1
Condition initiale
t 5 0 ; V 5 24 500
t 5 2
V 5 ?
1052.4 Applications de l’intégrale indénie
2
c) Déterminons après combien de temps cette automobile vaudra la moitié de la
valeur initiale.
En remplaçant V(t) par 12 250 dans l’équation de V(t), nous obtenons
12 250 5
21 600(2t 1 1)
(t 1 1)2
1 2900
9350 5
21 600(2t 1 1)
(t 1 1)2
187(t 1 1)2 5 432(2t 1 1)
187t2  490t 245 5 0
t 5 3,049… (-0,429… à rejeter)
d’où environ 3 ans.
V 5
1
2
(24 500) 5 12 250
t 5 ?
V(t) 5
21 600(2t 1 1)
(t 1 1)2
1 2900
Dénissons quelques termes employés en mathématiques nancières.DÉFINITION 2.13 1) Le taux d’intérêt nominal, noté j, est le taux annuel qui est capitalisé une ou
plusieurs fois par année.
2) Le taux d’intérêt effectif ou taux d’intérêt réel, noté i, est le taux réellement
payé annuellement.
Le taux de variation d’un capital A, investi à un taux d’intérêt nominal j capitalisé
continuellement, est donné par l’équation différentielle suivante :
dA
dt
5 jA
Exemple 2 Soit un capital de 2500 $ investi pour 10 ans à un taux d’intérêt
nominal de 3 % capitalisé continuellement.
a) Déterminons la fonction A donnant le capital en fonction du nombre t
d’années écoulées.
dA
dt
5 0,03A (car j 5 0,03)
dA
A
5 0,03 dt (en regroupant)
 1
A
dA 5  0,03 dt
ln A 5 0,03t 1 C (en intégrant)
ln A 5 0,03t 1 C (car A  0)
En remplaçant t par 0 et A par 2500, nous obtenons
ln 2500 5 0,03(0) 1 C, ainsi C 5 ln 2500
d’où ln A 5 0,03t 1 ln 2500 (équation 1)
De l’équation précédente, nous avons A 5 e0,03t 1 ln 2500 5 e0,03t eln 2500
d’où A 5 2500e0,03t (équation 2)
Investissement
Condition initiale
t 5 0 ; A 5 2500
106 CHAPITRE 2 Intégration
2
b) Déterminons le capital A après 5 ans.
Pour déterminer ce capital, remplaçons t par 5 dans l’équation 2.
A  2500e0,03(5)  2904,585…
d’où environ 2904,59 $.
c) Déterminons le taux d’intérêt effectif i correspondant à cette situation.
En remplaçant t par 1 dans l’équation 2, nous obtenons
A  2500 e0,03(1)  2576,136…
Ainsi, i 
2576,136… 2 2500
2500
 0,030 45…
d’où i  3,05 %.
d) Déterminons, si c’est possible, le temps nécessaire pour que le capital initial double.
Pour déterminer ce temps, remplaçons A par 5000 dans l’équation 1.
ln 5000  0,03t  ln 2500
0,03t  ln 5000 2 ln 2500  ln 2
t 
ln 2
0,03

0,693…
0,03
 23,104…
D’où le capital initial de 2500 $ ne double pas pendant la période
d’investissement, car 23 ∉ [0 an, 10 ans].
t  5
A  ?
A  5000
t  ?
A(t)  2500e0,03t
Remarque De façon générale (voir d) de l’exemple précédent), le temps néces­
saire t
d
pour qu’une quantité double est donné par
t
d

ln 2
k

0,693…
k
, où k est le taux de croissance.
En particulier pour un placement investi à un taux d’intérêt constant j, exprimé
en %, on peut utiliser l’approximation suivante pour déterminer t
d
:
t
d

70
j %
Rappelons maintenant quelques notions d’économie étudiées dans un premier cours de
calcul différentiel an de résoudre certains problèmes relatifs aux revenus et aux coûts.
Soit les fonctions C, C
m
, R, R
m
et P, où
C représente les coûts totaux en fonction de la quantité,
C
m
représente le coût marginal en fonction de la quantité,
R représente les revenus totaux en fonction de la quantité,
R
m
représente le revenu marginal en fonction de la quantité et
P représente le prot en fonction de la quantité, où P  R 2 C.
Ces fonctions sont reliées par les équations différentielles suivantes :
C
m

dC
dq
et R
m

dR
dq
1072.4 Applications de l’intégrale indénie
2
Exemple 3 Les analystes d’une compagnie d’articles de plein air estiment que,
pour la fabrication de leurs bouteilles d’eau, le coût marginal C
m
et le revenu marginal R
m
sont donnés par les fonctions :
C
m
(q) 5
q
4
1
1
q 1 1
, exprimé en milliers de dollars, et R
m
(q) 5
6
q
,
exprimé en milliers de dollars, où q ∈ [0, 20] est le nombre d’unités
produites en milliers. Si les coûts xes sont de 15 000 dollars,
a) déterminons les fonctions revenu R et coût C.
dR
dq
5
6
q carRm 5
6
q
dR 5
6
q
dq (en regroupant)
E dR 5 E 6
q
dq
R 5 12 q 1 K
1
(en intégrant)
En remplaçant q par 0 et R par 0,
0 5 120 1 K
1
, ainsi K
1
5 0
d’où R 5 12q
dC
dq
5
q
4
1
1
q 1 1 car Cm 5
q
4
1
1
q 1 1
dC 5 q4 1
1
q 1 1 dq (en regroupant)
E dC 5 E q4 1 1q 1 1 dq
C 5
q2
8
1 ln  q 1 1  1 K2 (en intégrant)
En remplaçant q par 0 et C par 15,
15 5
02
8
1 ln 1 1 K
2
, ainsi K
2
5 15
d’où C 5
q2
8
1 ln (q 1 1) 1 15 (car q  0)
Conditions initiales
q 5 0 q 5 0
R 5 0 C 5 15
b) Déterminons la fonction P donnant le prot, et évaluons P(1), P(6) et P(16).
P(q) 5 12q 2 q
2
8
1 ln (q 1 1) 1 15 (car P(q) 5 R(q) 2 C(q))
P(1) 5 121 2 1
2
8
2 ln 2 2 15 5 -3,818 147…
donc une perte d’environ 3818 $ pour une production de 1000 bouteilles.
P(6) 5 126 2 6
2
8
2 ln 7 2 15 5 7,947 96…
donc un prot d’environ 7948 $ pour une production de 6000 bouteilles.
P(16) 5 1216 2 (16)
2
8
2 ln 17 2 15 5 -1,833 21…
donc une perte d’environ 1833 $ pour une production de 16 000 bouteilles.
c) Représentons, dans un même système d’axes, les courbes de C, R et P.
plot([12  q , q28 1 ln(q 1 1) 1 15,
12  q 2  q28 1 ln(q 1 1) 1 15],
color 5 [blue, green, orange] :
dC
dq
5 C
m
dR
dq
5 R
m
Coût marginal
Revenu marginal
Prot
C(q) 5
q2
8
1 ln (q 1 1) 1 15
R(q) 5 12q
P(q) 5 12q 2 q
2
8
1 ln (q 1 1) 1 15
108 CHAPITRE 2 Intégration
2
1. Nous laissons tomber un objet d’une mont­
golère, située à une altitude constante de
1225 mètres.
a) Déterminer la fonction donnant la vitesse
de l’objet en fonction du temps.
b) Déterminer la fonction donnant la position
de l’objet en fonction du temps.
c) Calculer la vitesse de l’objet à l’instant
où ce dernier touche le sol.
2. Un automobiliste roulant à 54 km/h freine. Si sa
décélération est de 2 m/s2,
a) déterminer la fonction v donnant la vitesse
de l’automobile en fonction du temps ;
b) déterminer la fonction x donnant la distance
parcourue par l’automobile en fonction du
temps ;
c) calculer la distance d parcourue entre le moment
où l’automobiliste freine et l’instant précis où
l’automobile s’immobilise.
3. Le conducteur d’un train
roulant à une vitesse de
90 km/h freine. La décélé­
ration du train en fonction
du temps est donnée par
a 5
­1296
(0,1t 1 12)3
m/s2.
a) Déterminer le temps que le train prendra
pour s’immobiliser.
b) Quelle distance aura­t­il franchie ?
c) Représenter graphiquement les fonctions a,
v et x sur l’intervalle approprié.
4. L’accélération d’une particule est donnée par
a 5 k 2 9t2, où k est une constante. À t 5 0, la
particule située à 7 mètres d’un point d’observa­
tion démarre, avec une vitesse nulle, et, après
2 secondes, sa vitesse est de 30 m/s.
a) Déterminer le temps où la vitesse sera de
nouveau nulle.
b) Calculer la distance totale d parcourue après
5 secondes.
5. En 2010, la population d’une ville était
approximativement de 60 000 habitants. Un
démographe estime que la population P de
cette ville augmentera proportionnellement à la
population présente à un taux continu de 1,2 %
par année, pour les 20 prochaines années.
a) Déterminer l’équation différentielle
correspondant à cette situation.
b) Exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous deux formes.
c) Déterminer la population de cette ville en l’an
2025 selon cette projection.
d) Déterminer en quelle année la population sera
de 80 000 habitants selon cette projection.
6. Dans une culture de bactéries, le nombre N de
bactéries s’accroît à un taux proportionnel en
tout temps au nombre de bactéries présentes.
Si au temps t 5 0 nous comptons 10 000 bac­
téries et, 2 heures après, 14 000 bactéries,
et si t ∈[0 h, 8 h],
a) déterminer l’équation différentielle
correspondant à cette situation ;
b) exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous trois formes ;
c) déterminer le nombre de bactéries présentes
après 5 heures ;
d) déterminer le temps nécessaire pour que le
nombre initial de bactéries double.
7. Soit une population P dont le taux continu de
natalité est de 4,2 % par année et le taux continu
de mortalité, de 3,5 % par année de la population
présente.
a) Déterminer l’équation différentielle
correspon dant à cette situation.
b) Exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous deux formes.
c) Déterminer en combien de temps cette
population doublera.
d) Si le taux de mortalité était plutôt de 2,4 %,
déterminer alors le temps nécessaire pour que
la population double.
8. En 2012, la population P d’une ville du Québec
était de 25000 habitants. Des études sur cette popu­
lation nous donnent un taux continu de natalité
de 2,8 % par année et un taux continu de mortalité de
1,5 % par année. Répondre aux questions suivantes,
selon les éventualités 1) ou 2) suivantes :
EXERCICES 2.4
1092.4 Applications de l’intégrale indénie
2
1) 1000 personnes par année quittent cette ville ;
2) 1000 personnes par année s’installent dans
cette ville.
a) Déterminer l’équation différentielle
correspondant à ces situations
i) selon l’éventualite 1) ;
ii) selon l’éventualite 2).
b) Exprimer la solution particulière des
équations différentielles de a) sous deux
formes
i) selon l’éventualité 1) ;
ii) selon l’éventualité 2).
c) Sous les mêmes conditions, quelle sera
la population de cette ville en 2019
i) selon l’éventualité 1) ?
ii) selon l’éventualité 2) ?
d) En quelle année la population de cette ville
deviendra-t-elle
i) inférieure à 10 000 habitants selon
l’éventualité 1) ?
ii) supérieure à 45 000 habitants selon
l’éventualité 2) ?
e) Déterminer théoriquement l’année où
la population de cette ville sera
i) nulle selon l’éventualité 1) ;
ii) de 50 000 habitants selon l’éventualité 2).
f) Représenter graphiquement dans un même
système d’axes les fonctions donnant la
population en fonction du temps.
9. Le carbone-14, utilisé pour
déterminer l’âge des fossiles,
est un élément radioactif
dont la demi-vie est approxi-
mativement de 5600 ans.
Sachant que le taux de désintégration de la
masse Q est proportionnel à celle-ci,
a) déterminer l’équation différentielle
correspondant à cette situation ;
b) exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous trois formes ;
c) déterminer la quantité restante de
carbone-14 au bout de 10 000 ans.
d) Au bout de combien d’années 90 % de la
quantité initiale sera-t-elle désintégrée ?
e) Représenter graphiquement Q en fonction de t.
10. D’après la loi de refroidissement de Newton,
nous savons que
dT
dt
5 K(T 2 A), où A est la
température ambiante et T, la température d’un
objet à un temps t déterminé. En 10 minutes, un
corps dans l’air à 20 °C passe de 65 °C à 30 °C.
a) Exprimer la solution particulière de cette
situation sous trois formes.
b) Déterminer le temps nécessaire pour que
l’objet atteigne une température de 45 °C.
c) Déterminer en combien de temps l’objet
passe de 50 °C à 35 °C.
d) Déterminer la température du corps après
40 minutes.
e) Déterminer théoriquement la température
minimale T
min
du corps.
f) Représenter graphiquement T en fonction
de t, ainsi que l’asymptote correspondante.
11. Une compagnie pharmaceutique estime qu’une
personne adulte élimine un médicament à un
taux de
50
1 1 t
millilitres par heure. Nous admi-
nistrons 100 millilitres de ce médicament à une
personne. Si Q est la quantité de ce médicament
présente à chaque instant,
a) trouver la quantité de médicament
i) présente après 2 heures ;
ii) éliminée après 4 heures ;
b) déterminer après combien d’heures le médi-
cament ne sera plus présent dans l’organisme.
c) Représenter graphiquement Q en fonction de t.
12. À la suite de l’ingestion d’une quantité Q
0
d’un
médicament, l’équation différentielle donnant
le taux de variation de la quantité Q restante de
médicament dans le système est donnée par
dQ
dt
5 k
4Q
0
(Q
0
2 Q)3 , où t est en heures.
Sachant qu’après 5 heures, le tiers du
médicament est éliminé,
a) déterminer Q en fonction de t ;
b) après combien de temps la quantité de médi-
cament dans le système sera-t-elle nulle ?
13. Dans un bassin contenant 4000 litres d’eau, on
dissout 160 kilogrammes d’une substance A.
On ajoute, au rythme de 200 litres par minute,
110 CHAPITRE 2 Intégration
2
de l’eau contenant 0,015 kilogramme par litre
de la substance A. Si le mélange du bassin est
homogène et que le bassin se vide au même
rythme qu’il se remplit,
a) déterminer l’équation différentielle corres­
pondant à cette situation, où Q est la quantité
de la substance A présente à chaque instant.
b) Exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous deux formes.
c) Après combien de temps ne restera­t­il que
100 kilogrammes de substance A dans le
mélange ?
d) Combien restera­t­il de substance A après
1 heure ?
e) Trouver théoriquement la quantité minimale
Q
min
de la substance A.
f) Représenter graphiquement Q en fonction
de t, ainsi que l’asymptote correspondante.
14. Un réservoir d’une capacité de 5000 litres contient
1000 litres d’eau dans laquelle sont dissous
50 kilogrammes de sel. Pour remplir ce réser voir,
nous ajoutons de l’eau pure au rythme de 2 litres
par minute. Si le réservoir se vide du mélange
uniforme au rythme de 1 litre par minute,
a) déterminer l’équation différentielle
correspondant à cette situation ;
b) exprimer la quantité de sel dissous dans
l’eau en fonction du temps ;
c) déterminer le temps nécessaire pour qu’il
reste 20 kilogrammes de sel dans le mélange ;
d) donner la concentration de sel présent dans
le mélange à ce moment ;
e) lorsque le réservoir est rempli, déterminer
la quantité de sel présent dans le mélange.
15. Un cylindre droit, dont le rayon est de 5 mètres,
a une hauteur de 12 mètres. Si ce réservoir, dont
la base circulaire est horizontale, est rempli d’une
substance qui se vide à un rythme proportionnel
à la hauteur de la substance présente et qu’après
5 heures il reste 80 % de la quantité initiale,
a) déterminer l’équation différentielle donnant
la variation de volume de la substance par
rapport au temps ;
b) exprimer le volume de cette substance en
fonction du temps ;
c) déterminer le volume de la substance après
8 heures ;
d) trouver le temps nécessaire pour que 60 %
de la substance initiale se soit vidée ;
e) déterminer la hauteur de la substance
présente dans le cylindre après 1 journée.
16. Un bateau de 31 250 $ se déprécie à un taux
de 100t 2 2500 $/an, où 0  t  12.
a) Trouver la valeur V de ce bateau après 3 ans.
b) Après combien d’années la valeur du bateau
sera­t­elle de 22 050 $ ?
17. Un certain capital A
0
est placé à un taux
d’intérêt nominal de 4,25 % capitalisé
continuel lement. Après 5 ans, le capital
accumulé est de 8243 $.
a) Déterminer l’équation différentielle
correspondant à cette situation.
b) Exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous deux formes.
c) Trouver le capital initial.
d) Déterminer le temps qu’il faudra placer ce
capital pour obtenir un capital de 13 000 $.
18. Une somme d’argent A
0
est investie à un taux
d’intérêt nominal j, capitalisé continuellement.
a) Déterminer l’équation différentielle
correspondant à cette situation.
b) Exprimer la solution particulière de cette
équation différentielle sous deux formes.
c) En combien d’années le montant initial
doublera­t­il si j  4 % ? si j  8 % ?
d) Calculer le capital final si j  5 % et
t  7 ans ; si j  7 % et t  5 ans.
19. Un administrateur estime que son coût margi­
nal C
m
et son revenu marginal R
m
sont donnés par
les fonctions suivantes : C
m
 16e0,08q, exprimé en
centaines de dollars ; R
m
 200e20,2q, exprimé
en centaines de dollars, où q ∈ [0, 22] est le
nombre d’unités produites en centaines. Les
coûts xes sont de 275 centaines de dollars.
a) Déterminer les fonctions revenu R, coût C
et profit P, exprimées en fonction de q.
b) Déterminer le profit si on produit 110 unités ;
1500 unités ; 2150 unités.
c) Représenter graphiquement les courbes R, C
et P dans un même système d’axes.
d) Déterminer le plus grand intervalle [a, b] tel
que P  0.
1112.4 Applications de l’intégrale indénie
2
Réseau de concepts
Formules d’intégration
de base
 xr dx 
 1x dx 
 cos x dx 
 sin x dx 
 sec2 x dx 
 csc2 x dx 
 sec x tan x dx 
 csc x cot x dx 
 ex dx 
 ax dx 
 11 2 x2 dx 
 11 1 x2 dx 
 1
xx2 2 1
dx 
Changement de variable
Si u  f (x), alors
du  . Ainsi
g(f (x)) f 9 (x) dx 
Propriétés de l’intégrale
indéfinie
 k f(x) dx 
 (f(x) ± g(x)) dx 
Intégrale indéfinie
 f(x) dx  , si
Équation différentielleUne équation différentielle est appelée
équation différentielle à variables
séparables si .
Solutions
d’équations
différentielles
à variables
séparables
Conditions initiales
Page 84
Physique
 a(t) dt 
 v(t) dt 
Économie
 Cm(q) dq 
 Rm(q) dq 
Croissance et décroissance
exponentielles
Démographie
Demi-vie
Loi de refroidissement de Newton
Familles de courbes
Page 85
Applications
Page 91
112 CHAPITRE 2 Intégration
2
1. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 15x2 1 x
2
5
2 3x52 dx
b) E 15 x3 1 4x 2 73 x52 dx
c) E 13 cos x 2 sin x5 2 dx
d) E 17x 1 x77 2 7x 1 7x 2 772 dx
e) E 1 81 2 t2 2 41 1 t2 1 73tt2 2 1 2 dt
f ) E sec  12 sec  2 tan 2 2 d
g) E (x 2 1)3x2 dx
h) E x2 2 x 2 6
x2 1 2x
dx
i) E 1 73u 2 45u2 2 271 2 u2 2 du
j) E 1 35t2 1 5 2 10t2 dt
k) E (3x 2 5)12x 1 x2 dx
l) E 11 2 1u2
2
du
m)E 13 x3 2 33 x 1 32
x
dx
n) E x2 2 4
x2 1 1
dx
o) E (tan  1 cot )2 d
p) E sin t 13t csc t 2 cot t3 1 52 dt
2. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 2x2(5 2 x3)8 dx
b) E sin3 2 cos 2 d
c) E 3x sin x2 dx
d) E 4u
u2 1 1
du
e) E (3t4 1 3) sec2 (t5 1 5t 2 3) dt
f ) E e
1
x
3x2
dx
g) E 1(1 1 x2) Arc tan x dx
h) E ln (5x)
2x
dx
i) E sec 4 tan 4 d
j) E sec4 1 t32 tan 1 t32 dt
k) E esin 3xsec 3x dx
l) E 811 1 1v223 v3 dv
m)E (4 1 csc2 4 cot2 4) d
n) E e5x 1 sin 5x
e5x 2 cos 5x
dx
o) E 2Arc sec t
tt2 2 1
dt
p) E (ax 1 b)r dx, si a  0
3. Démontrer les formules d’intégration suivantes
en utilisant un changement de variable approprié.
a) E cot x dx  ln sin x  1 C (formule 15)
b) Ecsc x dx  -ln csc x 1 cot x  1 C (formule 17)
Exercices récapitulatifs
Les réponses des exercices récapitulatifs et des problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont fournies
à la n du manuel.
Chimie Physique
Outil
technologique
Sciences de
la nature
Sciences
humaines
Administration
113Exercices récapitulatifs
2
4. Calculer les intégrales suivantes à l’aide de chan­
ge ments de variable.
a) E 1e12x3  1 36x dx
b) E 1sin 15 2 cos 4 d
c) E 18 2 t 1 3t9 1 t2 2 9t (1 1 t)5 dt
d) E 1sec2 xx 2 x3 csc2 x4 dx
e) E 1 1(3h 1 1)2 2 65h 1 6 dh
f) E 14 log xx 2 5ex 1 13x ln x dx
g) E 1ln xx 2 ln xx  dx
h) E 1 esin tsec t 2 sin tecos t dt
i) E 1sin (ln 3x)x 1 ln (sin 4x)tan 4x  dx
j) E 1tan (ln h)h 2 e
h
tan (eh)  dh
k) E1 1x2 sec 1 1x  1 1x sin x  dx
l) E 1 e2x1 1 e2x 2 e
x
1 1 e2x dx
5. Calculer les intégrales suivantes en utilisant, si
nécessaire, des identités trigonométriques et un
changement de variable.
a) E x
cos (3x2 1 4)
dx
b) E csc2 sin2 (cot ) d
c) E 3xcot (3x2) dx
d) E tan2 (5t 1 1) dt
e) E (sec 5 1 3 tan 5)2 d
f ) E 1 sin xcos2 x2 sin
2 x
cos x  dx
g) E cot3  sec2  d
h) E sin2 1x2 dx
i) E (sin t 1 cos t)2 dt
j) E 8sin (1 2 4x) dx
k) E 1
tan t csc t
dt
l) E tan 1 1 sec  d
m)E sin  cos 
sec (2)
d
n) E sin 2x
cos x
dx
6. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 4
1 1 x
dx b) E (t2 11)9 t dt
c) E (x2 1 1)9 x3 dx d) E x5
x3 2 16
dx
e) E (6x 1 5)3x 1 2 dx f) E e2x1 1 ex dx
g) E 4x 1 x
x(x 1 1)
dx h) E x2(4 1 3x)4 dx
7. Calculer les intégrales suivantes.
a) E 1
x 12x 1 7 2
5
x
1 ex dx
b) E 1t2 1 2t 1 1 dt
c) E sin4 (e2x) cos (e2x)
ex
dx
d) E 1 e2x2 1 e2x 1 2 1 e
2x
e2x  dx
e) E 13 x 2 2x 
2
dx
f) E 6u 1 53u 1 1 du
g) E x3
1 2 x
dx
h) E a2 1 b2 dt
i) E csc32 (1 2 x) cot (1 2 x) dx
114 CHAPITRE 2 Intégration
2
j) E sec2 u tan u (tan2 u  sec u) du
k) E 6
1  cos 2x
dx
l) E 17 2 y2 dy
m) E 1
t ln t ln2 t 2 1
dt
n) E 1 8x1 2 x2  8x1 2 x42 dx
o) E 3x2 (x2  (x3  1)12) dx
p) E ex4e2x  9 dx
q) E x3 1 2 x2 dx
r) E et
e4t 2 e2t
dt
s) E x  2
1 2 x2
dx
t) E 1
eu  e2u
du
u) E sec2 u tan u
1 2 tan u
du
v) E 3 ln (7x25)2x dx
w) E (x  2)2
x2  1
dx
x) E yy4 2 y4 ln2 y dy
y) E (9x2 2 6x) ex3
ex
2 dx
z) E esin 2u cos 2u(sin2 2u 2 cos2 2u) du
8. Donner une solution implicite et, si c’est
possible, une solution explicite des équations
différentielles suivantes.
a)
dy
dx
5 xy, où x  0 et y  0
b)
dy
dx
2 yx 5
y
x2
, où y  0
c)
dy
dx
5 xex
2  y
d) (1  x2)y9  xy 2 2x 5 0, où y  2
e) (4  y cos y) dy 5 (sec2 x 2 3x3)y dx
f) x cos y dy 5 1 1  x1  tan y2 dx
9. Résoudre les équations différentielles suivantes en
donnant, si c’est possible, une solution explicite.
a)
dy
dx
5
x
y
, y  0 ; y 5 -3 lorsque x 5 4
b)
ds
dt
5
s
t
, s  0, t  0 ; s 5 20 lorsque t 5 5
c)
dy
dx
5  xy , x  0, y  0; y 5 1 lorsque x 5 4
d) y(x  3) dx 5 (x 2 5)(1  y2ey2 2 1) dy ;
y 5 1 lorsque x 5 6
e)
dy
dx
5 e2x 2 y ; y 5 8 lorsque x 5 4
f)
dy
dx
5 (3 2 5y)x, y 
3
5
; y 5 0 lorsque x 5 0
g)
dx
dt
5 sin t cos2 x ; x 5

4
lorsque t 5 
h)
dv
dt
5 v2 t2t  3; v 5 5 lorsque t 5 3
i) (1  y2)(sin u  cos u) du 5 sin u (y  1) dy ;
y 5 0 lorsque u 5

2
10. Trouver l’équation de la courbe qui satisfait les
conditions suivantes.
a) f (x) 5 ex  e2x  cos x, f9(0) 5 1 et f(0) 5 2.
b) g(x) 5 12x 2 8 et l’équation de la tangente
à la courbe de g au point P(2, 7) est
y 5 11x 2 15.
c) k(x) 5
6
x2
, la pente de la droite normale
à cette courbe au point (3, k(3)) est 0,25
et la courbe passe par le point T(1, -5).
d) h(x) 5 6x et la courbe passe par les
points R(0, 5) et S(-3, -4).
11. a) Trouver l’équation de la famille de courbes
dont la pente de la tangente, en tout point
(x, y) où x  0 et y  0, est égale au produit
des coordonnées.
b) Déterminer l’équation de la courbe passant
par le point :
i) (2, e) ii) (-1, -e)
115Exercices récapitulatifs
2
12. a) Déterminer la famille F de courbes satisfai­
sant l’équation différentielle suivante :
(x 2 4) dx  y dy  0
b) Déterminer la famille G de courbes ortho­
gonales à F.
c) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, les deux familles de courbes.
d) Déterminer l’équation des courbes des
familles précédentes qui passent par le point
P(6, 3).
13. Soit la famille F de courbes dénie par :
F : (x, y) y  kx, où x  0 et k ∈ IR
a) Déterminer la famille G de courbes ortho­
gonales à F.
b) Déterminer la courbe de chaque famille qui
passe par le point :
i) P(4, 2) ii) Q(1,44 ; ­5)
c) Représenter graphiquement dans un même
système d’axes les quatre courbes trouvées.
14. Une entreprise dont le revenu R actuel est de R
0
,
exprimé en dollars, dépense P
0
, exprimé en
dollars, pour sa publicité. Le taux de varia­
tion de son revenu R en fonction du nombre x
de fois que la somme affectée à la publicité
double est donné par
dR
dx
 R
0
(1,1)x ln (1,1) 2 P
0
2x ln 2, où x ∈ [0, x
1
],
et R(x
1
)  0. De plus, lorsque x  0,
R  74 000 $, lorsque x  1, R  80 500 $
et lorsque x  2, R  86 750 $.
a) Exprimer R en fonction de x.
b) Déterminer R lorsque x  2,6.
c) Déterminer la valeur de x qui maximise son
revenu et calculer ce revenu maximal R
max
.
d) Déterminer x
1
et représenter la courbe
de R sur [0, x
1
].
15. Il y a quelques années, aux États­Unis, une
grande chaîne de restaurants a été obligée de
verser de fortes sommes d’argent à certains
clients parce que la température du café qu’elle
servait était trop élevée. Dans cette chaîne, l’eau
pour préparer le café était chauffée à 96 °C.
Nous savons que la température de l’eau passe
de 96 °C à 80 °C après 5 minutes lorsque la
température ambiante est de 23 °C.
a) Si la température idéale pour déguster un
café est de 66 °C, déterminer quel devrait
être le temps d’attente, dans cette chaîne
de restaurants, entre la préparation et la
vente du café.
b) Une dame a reçu une somme de 640 000 $
de la chaîne de restaurants parce que des
avocats ont démontré que la température du
café servi était d’environ 16 °C au­dessus de
la température idéale. Déterminer le temps
qui s’est écoulé entre la préparation de ce
café et sa vente.
c) Si on ajoute 30 ml de lait à une température
de 5 °C à une tasse de 250 ml de café
à 96 °C et que la température du nouveau
mélange baisse de 10 °C en 4 minutes,
déterminer la température du nouveau
mélange 7 minutes après l’ajout du lait.
16. Du haut d’unédice de
245 mètres, nous lançons
un objet verticalement vers
le haut avec une vitesse
initiale de 24,5 m/s.
a) Déterminer la fonction v
donnant la vitesse
de l’objet.
b) Déterminer la fonction h donnant la position
de l’objet par rapport au sol.
c) Déterminer la hauteur maximale que pourra
atteindre l’objet.
d) Calculer la vitesse de l’objet lorsqu’il heurte
le sol.
17. L’accélération d’un mobile en fonction du
temps est donnée par a 
100
(25 2 2t)2
, où t est en
secondes, 0  t  12 et a est en m/s2. Sachant
que sa vitesse initiale est de 4 m/s, calculer
la distance parcourue par le mobile entre la
3e et la 7e seconde.
18. L’accélération d’une particule est directement
proportionnelle au temps t. À t  0 s, la vitesse
de la particule est de 27 m/s. Sachant qu’à
t  2 s, sa vitesse est de 24 m/s et sa position
est de 55 m,
a) calculer la vitesse et la position de la particule
après
i) 4 s ; ii) 7 s ;
116 CHAPITRE 2 Intégration
2
b) calculer la distance totale parcourue après
i) 4 s ; ii) 7 s.
19. Une particule partant d’un point O avec une
vitesse nulle reçoit une accélération a, dénie
par a 5 2v 1 9, où a est en m/s2 et v en m/s.
Déterminer
a) la position de la particule, lorsque v 5 20 m/s ;
b) la vitesse de la particule, lorsque x 5 100 m.
20. Nous pouvons modéliser par l’équation
différentielle
dv
dt
5
-k
m
v 1 g la chute d’une
bille dans un uide (deuxième loi de Newton), où
k  0, m est la masse de la bille et g est l’attraction
terrestre. Déterminer v en fonction de t.
21. Une compagnie estime que, à la sortie d’un
nouveau livre, le taux de variation du nombre N
de livres vendus en fonction du temps t est
dN
dt
5 K(50 000 – N ), où t est en semaines.
De plus, elle estime que, après 3 semaines, elle
aura vendu 25 000 livres, soit la moitié de sa
production.
a) Déterminer le nombre de livres vendus après
i) 3 jours ; ii) 10 jours.
b) Déterminer après combien de jours le
nombre de livres vendus sera de
i) 10 000 ; ii) 30 000.
c) Déterminer le nombre moyen N
[2, 4]
de livres
vendus entre la fin de la deuxième semaine
et la fin de la quatrième semaine.
d) Représenter dans un même système d’axes
le graphique de N et celui de la fonction
donnant le taux de variation de N.
22. Les dernières études démographiques améri-
caines indiquent que, en 2013, la population
des États-Unis était d’environ 317 millions
d’habitants. Depuis 1990, la population P des
États-Unis augmente proportionnellement à la
population présente à un taux continu de 0,9 %
par année. De plus, les démographes estiment
que la croissance future se poursuivra au
même taux.
a) Exprimer P en fonction du temps t, en années.
b) Exprimer t en fonction de P.
c) Déterminer la population des États-Unis en
2025 selon cette projection.
d) Déterminer en quelle année la population
sera de 400 millions d’habitants.
e) Déterminer quelle était la population des
États-Unis en 2000.
23. En 1990, nous comptions 2000 bélougas
dans le euve Saint-Laurent, et 600 en 2000.
Si le nombre de bélougas diminue à un taux
proportionnel au nombre de bélougas présents,
a) trouver le nombre de bélougas en 2022.
b) En quelle année la population sera-t-elle
de 30 bélougas ?
c) Dans ces conditions, vers quelle année la
popu lation de bélougas disparaîtra-t-elle ?
d) Représenter graphiquement la population
de bélougas en fonction du temps t.
24. Pour les abeilles travailleuses d’une ruche, le
taux continu de décès de la population P est de
4 % par jour. Déterminer le nombre de jours
nécessaires pour que la population soit réduite
de moitié.
25. Le potassium-42 a un taux continu de désin-
tégration de 5,5 % par heure.
a) Déterminer la quantité restante après
3 heures.
b) Déterminer la quantité désintégrée après
1 journée.
c) Trouver la demi-vie de cette substance.
d) Déterminer le temps nécessaire pour que
99 % de la substance initiale soit désintégrée.
26. Lors de l’explosion, en 1986, des réacteurs de
la centrale nucléaire de Tchernobyl, en Ukraine,
une substance radioactive de césium-137 fut
trouvée près du lieu de l’explosion. Le taux
continu de désintégration de cette substance est
de 1,87 % par année. S’il faut 7 demi-vies avant
que le césium-137 ne soit plus considéré comme
dangereux,
a) trouver le nombre d’années nécessaires
pour que nous puissions considérer l’endroit
comme sécuritaire ;
b) déterminer le pourcentage de la quantité ini-
tiale de césium-137 qui restera à ce moment.
117Exercices récapitulatifs
2
27. En supposant que la température est constante
quelle que soit l’altitude, nous pouvons afrmer
que la variation de la pression atmosphérique P en
fonction de l’altitude h est proportionnelle à P.
Sachant qu’au niveau de la mer (altitude 0) la
pression est de 1 atm, et qu’elle est de 0,56 atm
à 5 km d’altitude,
a) déterminer la pression au sommet du mont
Everest (8850 m).
b) Si un adulte devient in commodé quand la
pression est de 0,5 atm, déterminer alors
l’altitude correspondante.
28. Soit une ville dont la population en 2010 était de
46 000 habitants. Les démographes obser vent à
l’aide d’études statistiques que le taux continu de
natalité est de 4 % par année, le taux continu de
mortalité, de 1 % par année, et qu’en moyenne
240 personnes quittent annuellement cette ville.
a) Trouver la population de cette ville en 2030.
b) En combien d’années la population de cette
ville doublera-t-elle ?
29. Dans un milieu donné, le nombre maximal
de bactéries est de 500 000 ; de plus, le taux de
croissance de cette population est proportion-
nel à la différence entre le nombre maximal
de bactéries et le nombre présent de bactéries.
Si au début de notre expérience nous comp-
tions 50 000 bactéries et, 2 heures plus tard,
80 000 bactéries,
a) trouver le nombre de bactéries présentes
après 1 jour.
b) Après combien de temps la population
de cette culture sera-t-elle de 450 000 ?
c) Représenter graphiquement la courbe
de N et son asymptote, s’il y a lieu.
30. Une baignoire d’une capacité de 225 litres
contient 150 litres d’eau à 55 °C. La tempé-
rature de la salle de bain étant de 22 °C,
la tempéra ture de l’eau diminuera de 10 °C
en 15 minutes.
a) Si Marylie ne veut pas entrer dans l’eau
avant que celle-ci ne soit à 40 °C, combien
de temps devra-t-elle attendre ?
b) Si Marylie parle au téléphone pendant
30 minutes avant d’entrer dans l’eau,
i) déterminer la température de l’eau au
moment où elle y entrera ;
ii) déterminer le nombre de litres d’eau, à
55 °C, qu’elle devra ajouter si elle veut
prendre son bain à 40 °C.
31. En arrivant à 17 h sur les lieux d’un meurtre,
les inspecteurs Pierre et Gilles notent que la
température du corps de la victime est de 35 °C
et que celle de la pièce est de 21 °C. Une heure
plus tard, la température de la pièce est encore
de 21 °C et celle du corps est de 33,5 °C.
D’après la loi de refroidissement de Newton,
nous savons que la température du corps varie
proportionnellement à la différence entre la
température du corps et la température am -
biante. Sachant que la température normale
du corps est de 37 °C, déterminer approxima-
tivement l’heure du décès.
32. Deux objets, situés dans une même pièce à
une température ambiante constante de 20 °C,
pas sent respectivement de 90 °C à 60 °C et
de 80 °C à 70 °C en 10 minutes.
a) Après combien de temps les objets seront-ils
à la même température ?
b) Trouver cette température.
c) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, les courbes représentant la
température des objets en fonction du temps
sur [0 min, 10 min].
33. On raconte qu’en 1626 un individu aurait déboursé
24 $ pour l’île de Manhattan. Nous estimons qu’en
1990 sa valeur était de 6(1011) $.
a) Calculer le taux
d’intérêt nominal j,
capitalisé conti-
nuellement, cor-
respon dant à cet
accroissement.
b) Quelle sera la valeur
de l’île en 2026 selon
cette projection ?
118 CHAPITRE 2 Intégration
2
34. Le propriétaire d’une galerie d’art estime
qu’une toile, dont la valeur initiale est de
2000 $, s’appréciera au cours des 10 prochaines
annéesà un taux de
45(1,5)t
t
$/an.
a) Déterminer la valeur de cette toile
après 10 ans.
b) Après combien d’années le prix de la toile
sera-t-il de 2377 $ ?
35. Nicole investit un capital de 10 000 $ à un
taux d’intérêt nominal de 5,75 % capitalisé
conti nuellement.
a) Déterminer la valeur V du capital accumulé
après 8 ans.
b) Déterminer en combien d’années son capital
doublera.
c) À quel taux d’intérêt nominal capitalisé
conti nuellement faudrait-il placer ce capital
pour obtenir la valeur V (trouvée en a))
en 7 ans ?
d) À un taux d’intérêt nominal de 6,25 % capita-
lisé continuellement, déterminer la valeur
du capital initial nécessaire pour obtenir la
même valeur V (trouvée en a)) en 8 ans.
e) Quelle somme Nicole devra-t-elle investir
si elle veut une somme de 30 000 $, 25 ans
plus tard, sachant que le taux d’intérêt nominal
est de 5 % capitalisé continuellement ?
36. Un réservoir cylindrique droit de 20 cm de
rayon et de 64 cm de hauteur est rempli d’un
liquide. Ce réservoir, dont la base circulaire est
horizontale, se vide par un orice à un rythme
proportionnel à la racine carrée de la hauteur
du liquide présent. Si après 5 minutes il reste
le quart du liquide initial,
a) exprimer la hauteur du liquide présent en
fonction du temps.
b) En combien de temps le réservoir se videra-
t-il du reste ?
37. Dans un réservoir, nous trouvons 900 litres
d’eau dans laquelle 100 kilogrammes de sel sont
dissous. Nous ajoutons dans le réservoir de l’eau
pure au rythme de 30 litres par minute ; il en sort
un mélange uniforme, au même rythme.
a) Exprimer la quantité Q de sel en fonction
du temps.
b) Quelle quantité de sel restera-t-il après
1 heure ?
c) Après combien de temps la quantité de sel
sera-t-elle de 50 grammes ?
38. Dans un réservoir, nous trouvons 700 litres
d’eau pure. Nous ajoutons, au rythme
de 20 litres par minute, de l’eau contenant
200 grammes de sel par litre. Si le mélange
du bassin est homogène et que le bassin se
vide au même rythme qu’il se remplit,
a) déterminer l’équation différentielle corres-
pondant à cette situation ;
b) exprimer la quantité de sel présente en
fonction du temps ;
c) déterminer la quantité de sel présente dans
le réservoir après 24 minutes.
d) Après combien de temps trouverons-nous
la moitié de la quantité maximale possible
de sel dans ce réservoir ?
e) Représenter graphiquement la courbe de
Q en fonction du temps t et l’asymptote
correspondante, s’il y a lieu.
39. Déterminer la solution générale explicite
de l’équation différentielle
dy
dx
5 ay 1 b,
où a ∈ IR \ {0}.
119Exercices récapitulatifs
22
1. Calculer les intégrales suivantes.
a)  4
7 1 5e3x
dx b) 1
ex 1 ex 1 2
dx
c)  1e4t 2 1 dt d) t
2
t 2 1
dt
e)  x11 x tan x dx f)  uu3 1 1 du
g)  1
v 1 v
dv h) x
1 1 x
dx
i)  3 x5 2 2x3 dx j)  3 x11 2 2x9 dx
k)  1 2 sin t dt l)  1sin2  cos2  d
m) 1sin x 2 cos x dx n)  sin (sec x) sin xcos2 (sec x) cos2 xdx
o)  ln (4x3)
x
dx p) sin  cos 
4 1 cos 
d
q)  [(x2 2 4)(x 1 2)]23 dx r)  sin 4xsec 4x dx
s)  1 1 x
1 1 x
dx t)  ex 2 1 dx
u)  x3 1 x 1 1
1 2 x2
dx v) 2 2 3 ln x
x1 2 ln2 x
dx
2. a) Soit l’équation différentielle
(x2 1 1)
dy
dx
5 4xy 1 y. Sachant que la courbe
passe par P -4 , 1, exprimer y en fonction de x.
b) Soit l’équation différentielle
dy
dx
5
x
y3
.
Déterminer l’ensemble des valeurs de x et de y
qui satisfont la solution particulière lorsque la
courbe passe par le point :
i) P(-1, 2) ii) Q(2, -1)
Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, les courbes trouvées en i)
et en ii).
3. a) Trouver l’équation de la famille F de courbes
dont la pente de la tangente, en tout point (x, y)
où x  0 et y  0, est égale à l’abs cisse élevée
à la puissance 2, divisée par l’ordonnée éle -
vée à la puissance 4.
Problèmes de synthèse
b) Trouver l’équation de la famille G de courbes
orthogonales à F.
c) Déterminer l’équation des courbes des deux
familles précédentes, qui passent par le point
P(3, 2).
d) Représenter graphiquement, dans un même
système d’axes, les deux courbes trouvées
en c) ainsi qu’une autre courbe des familles
trouvées en a) et en b).
4. Soit les familles de courbes dénies par
F
1
5 {(x, y) y 5 ex 1 k1, où x ∈IR et k1 ∈IR} et
F
2
5 {(x, z)  z 5 k2ex, où x ∈IR et k2 ∈IR}.
a) Déterminer les familles de courbes F
3
et F
4
respectivement orthogonales à F
1
et à F
2
.
b) Déterminer la courbe de chacune des familles
F
1
, F
2
, F
3
et F
4
qui passe par le point P(0, 3).
c) Soit y
1
5 ex 1 5 et y
2
5 ex 2 3, deux courbes
de F
1
. Trouver les courbes y
3
et y
4
de F
3
,
respectivement orthogonales à y
1
et à y
2
qui se rencontrent en x 5 2. Représenter
graphiquement dans un même système d’axes
les courbes y
1
, y
2
, y
3
et y
4
.
d) Soit z
1
5 5ex et z
2
5 -3ex, deux courbes
de F
2
. Trouver les courbes C
3
et C
4
de F
4
,
respectivement orthogonales à z
1
et à z
2
, qui
se rencontrent en x 5 2.
5. Soit la famille F de courbes dénie par
y 5 (x 2 k)3, où k ∈ IR.
a) Déterminer la famille G de courbes orthogo-
nales à la famille de courbes donnée.
b) Déterminer, si c’est possible, la courbe
de chaque famille qui passe par le point :
i) P(1, -1) ii) Q(0, 1) iii) R(1, 0)
c) Représenter graphiquement dans un même
système d’axes les courbes trouvées en b).
6. Un mobile se déplace à une vitesse v 5 cos2 x100,
où v est exprimée en mètres par seconde et x,
la distance parcourue, en mètres.
a) Trouver le temps nécessaire au mobile pour
parcourir 25 mètres.
120 CHAPITRE 2 Intégration
2
b) Déterminer la distance parcourue par
le mobile après
i) 1 heure ; ii) 1 journée.
c) Déterminer théoriquement le temps que
prendrait le mobile pour parcourir 50 mètres.
d) Déterminer la fonction donnant la vitesse
et celle donnant l’accélération du mobile
en fonction du temps.
7. Déterminer à quelle vitesse maximale en km/h
un automobiliste peut rouler s’il veut arrêter son
automobile en moins de 32 mètres, étant donné
que sa décélération constante est de 8 m/s2.
8. Un automobiliste passe de 0 km/h à 240 km/h
sur une piste d’accélération longue de 0,4 km.
En supposant que son accélération est constante,
déterminer la durée de sa course ainsi que
son accélération.
9. Une automobiliste roulant à 90 km/h freine et
s’arrête 50 mètres plus loin. Considérant sa
décélération constante,
a) calculer le temps requis pour s’arrêter ;
b) déterminer sa décélération.
10. Certains psychologues
estiment que, en général,
le taux de variation de la
capacité d’apprendre A
d’un enfant, âgé de
6 mois à 6 ans, en
fonction de son âge t,
est donné par dA
dt
5
25(2 2 3 ln t)
(3t ln t 2 5t 1 10)2
,
où t est en années. De plus les psychologues
estiment qu’en moyenne la capacité
d’apprendre, sur une échelle de 0 à 10, est
égale à 7 pour un enfant de un an.
a) Déterminer la capacité d’apprendre d’un
enfant de
i) 30 mois ; ii) 5 ans.
b) Déterminer l’âge auquel la capacité
d’apprendre d’un enfant est maximale et
calculer cette capacité maximale A
max
.
c) Représenter graphiquement la courbe de A.
11. Par une nuit claire et calme, au sommet
d’une montagne désertique, sans végétation,
le refroidissement de la terre suit approximati­
vement la loi de Stefan (physicien autrichien,
1835­1893), c’est­à­dire que le taux de décrois­
sance de la température est proportionnel à
la puissance quatrième
de la température
exprimée en kelvins.
La température obser­
vée à 22 heures est de
293 K et à minuit,
de 282 K.
a) Exprimer la température T en fonction du
temps.
b) Déterminer la température à 4 heures.
12. Pour endormir un chat au cours d’une opéra­
tion, on lui administre un produit ayant une
demi­vie de 3 heures. Une quantité minimale
de 18 ml/kg du produit est nécessaire pour
qu’un chat reste endormi pendant une opéra­
tion. Déterminer la dose à injecter à un chat
de 5,5 kg pour qu’il reste endormi durant
45 minutes, sachant que le taux d’élimination
de la quantité de médicament est proportionnel
à la quantité présente.
13. La valeur finale A d’uncapital initial A
0
est
don née par A 5 A
0 1 1 jx 
xt
, où j est le taux
d’intérêt nominal, x le nombre de capitalisations
annuelles et t, le nombre d’années. Si nous
plaçons 1000 $ à un taux nominal de 6 % pour
5 ans,
a) calculer A, si cette somme d’argent est
capitalisée
i) annuellement ; ii) semestriellement ;
iii) mensuellement ; iv) quotidiennement.
b) calculer A, si x → 1∞ ;
c) calculer A, si
dA
dt
5 0,06A pour A
0
5 1000
et t 5 5 ans.
d) Comparer les résultats obtenus en b) et c).
14. a) Si un montant d’argent A est capitalisé
continuellement à un taux nominal j,
exprimer le taux effectif i en fonction de j.
b) Déterminer le taux effectif i lorsque j 5 3,25 %
et que la capitalisation est continue.
121Problèmes de synthèse
2
15. Une compagnie estime que le taux de variation
du revenu R pour un produit est donné par
dR
dP
5 K(100 000  R), où P ∈ [0, 50 000]
représente la somme, en dollars, dépensée
pour la publicité du produit. Lorsque la compa­
gnie ne dépense aucun montant pour la publi­
cité, les revenus sont de 20 000 $, alors que
si elle dépense 4000 $ pour la publicité, les
revenus sont de 40 000 $.
a) Déterminer le revenu R, si la compagnie dépense
i) 10 000 $ en publicité ;
ii) 30 000 $ en publicité.
b) Déterminer combien la compagnie doit
dépenser en publicité pour que son revenu
soit de
i) 30 000 $ ; ii) 75 000 $.
c) Déterminer à partir de quelle somme P
1
investir dans la publicité n’est plus rentable ;
expliquer votre réponse.
d) Représenter graphiquement la fonction
R(P), où P ∈[0, 50 000], ainsi que le point
(P
1
, R (P
1
)).
e) Représenter graphiquement la fonction
R(P)  P, où P ∈[0, 50 000], ainsi que le
point (P
1
, R (P
1
)  P
1
).
16. Après avoir reçu un héritage, Sophie investit
100 000 $ à un taux d’intérêt nominal de 4 %
capitalisé continuellement.
a) i) Déterminer la valeur A du capital
accumulé après 15 ans.
ii) Déterminer après combien d’années le
capital initial doublera.
iii) Déterminer le taux d’intérêt nominal
nécessaire pour que le capital initial
double en 15 ans.
b) Le capital ayant doublé, Sophie réinvestit
200 000 $ à un taux d’intérêt nominal de 5%
capitalisé continuellement. Si Sophie retire
annuellement un montant de M $,
i) déterminer la valeur A du capital après
10 ans si M 5 8000 $ ;
ii) déterminer la valeur A du capital après
10 ans si M 5 12 000 $ ;
iii) déterminer M si elle veut que la valeur A
du capital soit nulle après 15 ans.
17. Un cube de glace de 27 cm3 fond à un rythme
proportionnel à la surface extérieure du cube.
Après 5 minutes, le volume du cube est
de 8 cm3.
a) Trouver le volume du cube de glace après
7 minutes.
b) Trouver le temps que prend le cube de glace
pour fondre entièrement.
18. D’après la loi de refroidissement de Newton,
nous savons que
dT
dt
5 K(T  A), où T est
la température de l’objet et A, la température
ambiante, qui est constante. Pour un objet dont
la température initiale est T
0
, exprimer, de façon
générale, T en fonction de t.
19. Dans un restaurant où la température est de
22 °C, Lyne et Johanne commandent toutes
les deux un café qu’elles reçoivent en même
temps. Lyne y ajoute 10 ml de lait et le laisse
refroidir. Six minutes plus tard, Johanne ajoute
la même quantité de lait à son café et toutes les
deux commencent à boire. Si les deux tasses
contenaient initialement 250 ml de café à 85 °C
et que la température du lait est de 4 °C dans
les deux cas, déterminer laquelle boira son café
le plus chaud au moment où elles commencent
à boire en donnant la température du café de
chacune et en utilisant la loi de refroidissement
de Newton,
dT
dt
5 K(T  A), où K 5 ­0,02.
20. Soit L la longueur d’un pendule et T sa période
pour de petits déplacements angulaires, lorsque
la seule force agissant sur le pendule est
l’attraction terrestre ; alors nous avons
dT
dL
5
T
2L
.
Exprimer T en fonction de L, sachant que si L est
égale à 1 mètre, T égale 2
g
.
21. L’équation des gaz de Van der Waals (physi­
cien hollandais, 1837­1923) est :
1P 1 an
2
V 2 2(V  nb) 5 nRT,
où a, b, R et n sont des constantes et P, V et T
désignent respectivement la pression, le volume
et la température.
a) Si la température T est maintenue constante,
trouver une approximation pour la variation
122 CHAPITRE 2 Intégration
2
de pression produite par une petite variation du
volume du gaz.
b) Si le volume V est maintenu constant, trouver
une approximation pour la variation de
pression produite par une petite variation
de la température du gaz.
c) Si la pression P est maintenue constante,
trouver une approximation pour la variation
de la température produite par une petite
variation du volume du gaz.
22. Supposons une fusée se déplaçant dans l’espace
où aucune force gravitationnelle n’est exercée.
Soit v
0
la vitesse initiale de cette fusée et m
0
, sa
masse initiale. Si nous éjectons du gaz de cette
fusée à une vitesse u
0
, la loi de conservation
du moment en physique dénit que le taux de
variation de la vitesse de cette fusée par rapport
à la masse de celle-ci est donné par
dv
dm
5
-u
0
m
.
a) Exprimer v en fonction de m.
b) Étudier le comportement de m lorsque v → 1∞.
23. Soit une cuisine de 120 m3, adjacente à un
garage. Une automobile située dans le garage
démarre. La concentration de monoxyde de
carbone produite par l’automobile se maintient
à 5 %. Si 0,8 m3/min d’air, contenant le mono-
xyde de carbone et provenant du garage, s’in-
ltre dans la cuisine et que la même quantité
d’air s’échappe de la pièce vers l’extérieur de
la maison,
a) déterminer la fonction donnant le volume V
de monoxyde de carbone en fonction du
temps t ;
b) si on considère qu’une concentration de
monoxyde de carbone peut être dangereuse
à 1,4 %, déterminer le nombre de minutes
pour atteindre cette concentration ;
c) représenter graphiquement la courbe de V.
24. On administre, de façon intraveineuse, un nouveau
médicament à un patient à un rythme constant m,
exprimé en mg/h. Ce médicament est éliminé à un
taux proportionnel à la quantité Q du médicament,
exprimée en milligrammes, présente en tout
temps t, exprimé en heures.
a) Exprimer Q en fonction de t.
b) Déterminer le niveau d’équilibre M du médi-
cament, défini par M 5
t
l
→
im
1∞
Q(t).
c) Afin de déterminer la constante de propor-
tionnalité K, qui dépend du méta bolisme du
patient, on lui administre une dose de 3 mg/h
de médicament. Un test révèle qu’après 1h,
on retrouve 2,45 mg de ce médicament dans
son sang.
i) Déterminer K ; ii) évaluer Q(2) ;
iii) évaluer Q(4).
d) Pour ce patient, utiliser la valeur de K
trouvée en c) pour déterminer le rythme m,
qui assu rera un niveau d’équilibre de
médicament égal à 5 mg.
25. L’accélération a, exprimée en cm/s2, d’une
particule qui oscille entre x 5 20 cm et
x 5 100 cm, est donnée par a 5 k(60  x), où
k ∈IR. La vitesse de la particule est de 10 cm/s,
lorsque x 5 40 cm.
a) Déterminer la vitesse de la particule lorsque
i) x 5 50 cm ; ii) x 5 90 cm.
b) Déterminer la vitesse maximale de la
particule.
26. On estime que la vitesse v d’un coureur est
donnée par v 5 9(1  0,03x)0,2, où v est en
km/h et x, en km.
a) Calculer la distance parcourue par le
coureur après
i) 1 heure ; ii) 2 heures.
b) Déterminer son accélération après 3 heures.
c) Sachant que la distance à parcourir pour
un marathon est de 42,195 km, déterminer
le temps nécessaire au coureur pour
parcourir un demi-marathon.
27. Les administrateurs d’une compagnie de
fabrication de bateaux estiment que le coût
marginal C
m
et le revenu marginal R
m
sont
donnés par les fonctions suivantes :
C
m
(q) 5
q2 1 q
67
, exprimé en milliers de dollars,
et R
m
(q) 5
31  q
36  q
, exprimé en milliers de
dollars, où q ∈ [0, 30] est le nombre d’unités
produites.
Si les coûts xes sont de 10 milliers de dollars,
a) déterminer les fonctions revenu R, coût C
et profit P, exprimées en fonction de q ;
b) déterminer P(1) ; P(10) et P(28) ;
123Problèmes de synthèse
2
c) représenter graphiquement les courbes C, R
etP dans un même système d’axes ;
d) déterminer le nombre de bateaux à produire
pour que P(q)  0 ;
e) déterminer q qui maximise le profit et
calculer le profit maximal.
28. Le directeur d’une usine de fabrication de valises
estime que le taux de variation du prix p, en
dollars, en fonction de la quantité q de valises
vendues, est donné par
dp
dq
5
-400q
(q2 1 16)3
, où
q est en centaines et q ∈ [0, 10]. De plus, il estime
en livrer 300 à un magasin si le prix demandé est
de 95 $.
a) Déterminer le prix p en fonction de la
quantité q.
b) Si un magasin fait une commande de
400 valises, déterminer le prix par valise
que devra payer ce magasin.
c) Si un magasin ne veut pas payer plus
de 70 $ par valise, déterminer la quantité
minimale à commander.
d) Représenter graphiquement la fonction p(q),
et donner l’interprétation du point R(0, 115)
de la courbe.
29. Par une journée d’hiver,
il commence à neiger
très tôt le matin, la
neige tombant à un taux
constant de 7 cm/h. Le
service de déneigement
d’une ville commence à
nettoyer les rues à 5 h.
À 7 h, le service a net-
toyé 14 km de route
et à 9 h, il a nettoyé 7 km supplémentaires.
Sachant que la vitesse à laquelle le service de
déneigement nettoie les rues est inversement
proportionnelle à la hauteur de neige accumu-
lée, déterminer à quelle heure il a commencé à
neiger.
30. La loi d’Ohm pour
un circuit conte nant
une inductance est
donnée par
E 5 L
dI
dt
1 RI, où R,
L et E sont des constantes. Exprimer I en fonc -
tion du temps, sachant que lorsque t 5 0, I 5 0.
31. Le problème suivant correspond à l’évolution
simultanée de deux populations, dans un habitat
fermé, dont l’une sert d’aliment à l’autre. Par
exemple, une zone québécoise constitue un
habitat fermé pour les chevreuils et les loups,
ces derniers se nourrissant à peu près
exclusivement des premiers.
Soit C et L, le nombre, en tout temps, de
chevreuils et de loups.
D’une part, le taux continu de natalité
des che vreuils est proportionnel au nombre de
chevreuils présents et le taux continu de morta-
lité de ces derniers, non dévorés par les loups, est
également proportionnel à leur nombre.
Soit n
1
et m
1
, les constantes de proportionnalité
respectives telles que n
1
 m
1
. De plus, le taux
continu de mortalité des chevreuils dévorés par
les loups est à la fois proportionnel au nombre
de chevreuils et au nombre de loups présents.
Soit p la constante de proportionnalité.
D’autre part, le taux continu de natalité des loups
est à la fois proportionnel au nombre de chevreuils
et au nombre de loups présents, et le taux continu
de mortalité de ces derniers est proportionnel
au nombre de loups présents. Soit h et m
2
, les
constantes de proportionnalité respectives.
a) Déterminer
dC
dt
et
dL
dt
.
b) Établir la relation entre C et L, et l’exprimer
sous la forme K 5 f(C) g(L), où K désigne
une constante.
c) Pour quelles valeurs de C la tangente à la
courbe est-elle parallèle à l’axe horizontal,
et pour quelles valeurs de L la tangente à la
courbe est-elle parallèle à l’axe vertical ?
d) Sachant que le
graphique ci-contre
représente l’évolution
des deux populations
dans le sens indiqué
par la flèche, donner
une interprétation de
l’évolution des populations.
124 CHAPITRE 2 Intégration
2
Intégrale définie
Archimède fut l’un des premiers à calculer l’aire d’une guregéométrique bornée, en découpant la surface intérieure de lagure en minces bandes parallèles, pour ensuite additionner
les aires de ces bandes.
Dans ce chapitre, nous calculerons d’abord l’aire de certaines régions
fermées en utilisant le même principe et en appliquant la notion de
limite pour évaluer l’aire exacte de la région.
Nous dénirons ensuite, à l’aide de sommes de Riemann, l’intégrale dé-
nie sur un intervalle donné. Nous énoncerons le théorème fondamental
du calcul intégral, dont la démonstration nous permettra ultérieure-
ment de constater les liens existant entre la différentiation, l’intégration
et l’intégrale dénie. Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Leibniz
(1646-1716) furent les premiers, alors qu’ils travaillaient séparément, à
établir les liens entre ces notions. L’utilisation du théorème fondamen-
tal nous permettra de résoudre des problèmes concrets dans différents
domaines d’application : physique, économie, etc.
En particulier, l’étudiant pourra résoudre le problème suivant.
La concentration d’un anti-inammatoire administré est donnée
approximativement par C(t)  38e20,02t, exprimée en mg/ml, où
t ∈ [0 h, 168 h] est le nombre d’heures après l’injection.
a) Déterminer la concentration initiale ; après 3 jours ; après 7 jours.
(Voir les exercices récapitulatifs, no 17, page 191 )
Perspective historique 126
Exercices préliminaires 127
3.1 Notions de sommations 128
3.2 Somme de Riemann
et intégrale dénie 133
3.3 Théorème fondamental
du calcul 145
3.4 Calcul d’aires à l’aide
de l’intégrale dénie 153
3.5 Applications de l’intégrale
dénie 162
3.6 Évaluation d’intégrales
dénies sans déterminer
la primitive 181
Réseau de concepts 188
Exercices récapitulatifs 189
Problèmes de synthèse 194
3
PERSPECTIVE H I S T O R I Q U E
L a découverte, par Newton et Leibniz, du théo-rème fondamental du calcul différentiel et inté-gral, établissant un lien entre les problèmes
de mouvement (dérivation) et ceux du calcul d’aire
(intégration), fournit aux physiciens et aux mathémati-
ciens un nouvel outil extrê mement puissant. À l’aide de
techniques purement sym bo liques qui correspondent à ce
qui a été expliqué au chapitre 2, le symbolisme de Leibniz
permet de résoudre des problèmes d’aire qui ont résisté à
la sagacité des mathématiciens depuis la Grèce antique.
Au e siècle, une certaine frénésie porte les mathéma-
ticiens à chercher à tout mathématiser symboliquement.
C’est ainsi que le grand mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707-1783) réussit à mathématiser un grand nombre
de domaines de la physique : la mécanique, l’astrono mie,
l’acoustique, la théorie ondulatoire de la lumière, l’hydrau-
lique, la construction navale, etc. Rien ne semble résister
à ce nouveau type de calcul par lequel tout se ramène à
des dérivations ou à des recherches de fonctions dont la
fonction dérivée est connue. Se mettent alors en place les
mathématiques qui servent aujourd’hui de base au travail
des ingénieurs.
Cependant, l’efcacité de ce calcul camoue une grave
faiblesse. À vouloir l’appliquer sans discernement, on en
arrive à calculer sans savoir si les calculs faits peuvent
se justier ou si on dépasse son domaine d’application.
Ce sont les étudiants ingénieurs de l’École polytech-
nique de Paris, fondée en 1794, qui remettent en cause
ce manque de rigueur. Leur programme d’étude repose
sur le calcul différentiel et intégral. Or, ils veulent com-
prendre pourquoi ce calcul fonctionne vraiment. L’un
de leurs professeurs, Augustin-Louis Cauchy (1789-
1857), lui-même un ancien de l’École polytechnique,
s’attelle à cette tâche. Il s’intéresse, au début des années
1820, à la notion d’aire sous la courbe d’une fonc-
tion n’ayant aucune discontinuité. Il démontre que l’on
peut voir l’aire de cette surface comme la limite d’une
somme des aires de rectangles dont les largeurs sont
arbitrairement petites et que cette limite, qu’il nomme
« intégrale dénie », satisfait le théorème fondamental du
calcul. En 1854, l’Allemand Bernhard Riemann (1826-
1866) va plus loin en cherchant à savoir ce qui se passe
s’il y a une innité de discontinuités. Par exemple, est-ce
possible de calculer la sur face sous la courbe de la fonc-
tion caractéristique des nombres irrationnels sur l’inter-
valle allant de 0 à 1, fonction dont la valeur est 1 pour un
nombre irrationnel et 0 pour un nombre rationnel ? Les
sommes de Riemann, abordées dans le présent chapitre,
forment la base de son travail.
Ces travaux et beaucoup d’autres effectués par les mathé-
maticiens de la seconde moitié du e siècle changent pro-
fondément le paysage mathématique. Par exemple, Georg
Cantor (1845-1918), après avoir étudié desfonctions dont
le graphe fait continuellement des sauts, aborde de front
la notion d’inni pour arriver à montrer, dans les années
1870, qu’il y a plusieurs niveaux d’inni. Par exemple, le
nombre inni de nombres naturels est strictement plus
petit que le nombre inni des nombres réels. C’est de là
aussi que prend sa source la théorie des ensembles qui
consti tue aujourd’hui l’une des bases des mathématiques.
Ces trois étudiants de l’École polytechnique de Paris
discutent-ils de calcul intégral ?
Calcul d’aire… ou comment une notion en apparence simple
transforme le paysage mathématique aux xviiie et xixe siècles
126 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
3
Exercices préliminaires
1. Soit A une fonction dérivable.
Compléter : lim
h→0
A(x 1 h) 2 A(x)
h
5
2. Évaluer les limites suivantes.
a) lim
x→1∞
16 2 3x 1
4
x2 
b) lim
x→1∞
3x2 2 4x 1 1
8x2 1 5
3. a) Compléter le théorème de la valeur
inter mé diaire.
Si f est une fonction telle que :
1) f est continue sur [a, b] ;
2) f(a)  K  f(b) ou f(a)  K  f(b),
où K ∈ IR, alors
b) Compléter le théorème de Lagrange.
Si f est une fonction telle que :
1) f est continue sur [a, b] ;
2) f est dérivable sur ]a, b[, alors
c) Compléter le corollaire 2 du théorème
de Lagrange.
Si f et g sont deux fonctions telles que :
1) f et g sont continues sur [a, b] ;
2) f9(x) 5 g9(x), ∀ x ∈ ]a, b[, alors
4. Déterminer l’équation de la parabole qui passe
par les points P(0, 7), Q(1, 6) et R(-2, 21).
5. Calculer les intégrales suivantes.
a)  15x2 2 7x 1 12x 2 1x2 dx
b)  1 31 1 t2 2 5t1 1 t2 dt
c)  sin3 2u cos 2u du
d)  6etan 3x sec2 3x dx
e) 1 11 2 x2 2 x1 2 x2 dx
f)  1 3sec u 1 sec u3  du
6. Calculer l’aire des régions ombrées suivantes.
a)
f(x) 5 x2 1 1
b)
f(x) 5 x2 1 1
c)
y 5 f(x)
d)
y 5 f(x)
e)
1
4
2
4
3
4
f(x) 5 x2 1 1
A
5
, où A
5
5 A(r
1
) 1 A(r
2
) 1 A(r
3
) 1 A(r
4
)
f)
1
4
2
4
3
4
f(x) 5 x2 1 1
A
6
, où A
6
5 A(R
1
) 1 A(R
2
) 1 A(R
3
) 1 A(R
4
)
3
127Exercices préliminaires
3
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra utiliser le symbole de sommation , appelé « sigma ».
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• d’expliciter une somme définie à l’aide du symbole  ;
• d’utiliser le symbole  pour représenter une somme ;
• de démontrer certains théorèmes sur les sommations ;
• d’appliquer ces théorèmes dans des calculs de sommation ;
• de démontrer certaines formules de sommation ;
• d’appliquer ces formules dans des calculs de sommation.
3.1 Notions de sommations
Utilisation du symbole de sommation , appelé « sigma »
Il y a environ 250 ans…
Dans son Institutiones calculi differentialis publié à Saint-Pétersbourg en 1755, le mathémati-
cien suisse Leonhard Euler utilise pour la première fois la lettre majuscule grecque sigma, .
Elle correspond à l’initiale de summa, qui signie « somme » en latin. Euler propose plusieurs
autres notations, par exemple f(x) pour une fonction f de la variable x (1734), e pour la base des
logarithmes népériens (1727), i pour la racine carrée de -1 (1777). Il popularise le symbole ,
en l’utilisant pour le rapport de la circonférence au diamètre d’un cercle. C’est seulement au
début du e siècle que l’usage du  se répand.Leonhard Euler
(1707-1783)
Dans cette section, il sera utile d’utiliser le symbole de sommation  pour représen-
ter des sommes de termes de forme semblable.
DÉFINITION 3.1 Dans la sommation
s
i 5 r
 ai, où
s
i 5 r
 ai 5 ar 1 ar 1 1 1 ar 1 2 1 … 1 as 2 2 1 as 2 1 1 as,
1) a
i
est le terme général de la sommation ;
2) l’indice i prend toutes les valeurs entières à partir de la borne inférieure r
jusqu’à la borne supérieure s inclusivement ;
3) a
r
, a
r 1 1
, a
r 1 2
, …, a
s 2 2
, a
s 2 1
et a
s
sont les termes de la sommation.
Exemple 1 Explicitons les termes des sommations suivantes.
a)
5
i 5 1
 i2 5 12 1 22 1 32 1 42 1 52 (i prend les valeurs entières de 1 à 5)
b)
6
k 5 3
 (2k 2 1)3 5 (2(3) 2 1)3 1 (2(4) 2 1)3 1 (2(5) 2 1)3 1 (2(6) 2 1)3 (k prend les valeurs entières de 3 à 6)
5 53 1 73 1 93 1 113
k
i 5 1
i 5 k(k 1 1)2
k
i 5 1
 i2 5 k(k 1 1)(2k 1 1)6
k
i 5 1
 i3 5 k
2(k 1 1)2
4
128 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
c)
29
j 5 4
 (-1)
j j
2( j 1 1)
5
(-1)4 4
24 1 1
1
(-1)5 5
25 1 1
1
(-1)6 6
26 1 1
1 … 1
(-1)28 28
228 1 1
1
(-1)2929
229 1 1
5
4
25
2
5
26
1
6
27
2 … 1
28
229
2
29
230
Le facteur (-1)j (ou (-1) j 1 1) a pour effet de faire alterner les signes des termes de la sommation.
d)
15
i 5 1
 3 5 3 1 3 1 3 1 … 1 3 1 3 5 15(3) 5 45 (en calculant)
15 termes
Exemple 2 Utilisons le symbole  pour représenter les sommes suivantes.
a)
1
4 
1
2
1
1
1
4 
1
2
2
1 … 1
1
4 
1
2
n
5
n
k 5 1
 14 
1
2
k
(k prend les valeurs entières de 1 à n )
b)
1
62
2
1
72
1
1
82
2
1
92
1 … 2
1
992
1
1
1002
5
1
62
1
(-1)
72
1
1
82
1
(-1)
92
1 … 1
(-1)
992
1
1
1002
5
100
j 5 6
 (-1)
j
j2
Théorèmes sur les sommations
THÉORÈME 3.1
k
i 5 1
 (cai  dbi) 5 c
k
i 5 1
 ai  d
k
i 5 1
 bi, où c et d ∈ IR
PREUVE
k
i 5 1
 (cai  dbi) 5 (ca1  db1) 1 (ca2  db2) 1 … 1 (cak  dbk) (en explicitant)
5 (ca
1
1 ca
2
1 … 1 ca
k
)  (db
1
1 db
2
1 … 1 db
k
) (en regroupant)
5 c(a
1
1 a
2
1 … 1 a
k
)  d(b
1
1 b
2
1 … 1 b
k
) (mise en évidence)
5 c
k
i 5 1
 ai  d
k
i 5 1
 bi (en utilisant le symbole )
THÉORÈME 3.2
n
i 5 1
 ai 5
k
i 5 1
 ai 1
n
i 5 k 1 1
 ai, où 1  k  n
PREUVE
n
i 5 1
 ai 5 (a1 1 a2 1 … 1 ak) 1 (ak 1 1 1 ak 1 2 1 … 1 an) (en explicitant et en regroupant)
5
k
i 5 1
 ai 1
n
i 5 k 1 1
 ai (en utilisant le symbole )
THÉORÈME 3.3
k
i 5 1
 c 5 kc, où c ∈ IR
PREUVE
k
i 5 1
 c 5 c 1 c 1 c 1 … 1 c 5 kc
k termes
3
1293.1 Notions de sommations
Formules de sommation
Il y a environ 250 ans…
La légende raconte qu’un instituteur demanda à ses élèves de calculer la somme des
nombres de 1 à 100. Carl Friedrich Gauss, alors âgé de 10 ans, se met à la tâche comme
les autres. Quelques secondes plus tard, il a terminé, et le résultat obtenu est juste. Gauss
avait remarqué que (1 1 100 5 101), (2 1 99 5 101), (3 1 98 5 101), donc la somme
devait être 50(101), soit 5050. Gauss est probablement le plus grand mathématicien de tous
les temps.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Sommation des k premiers entiers
SOMMATION 1
k
i 5 1
 i 5 1 1 2 1 3 1 … 1 k 5 k(k 1 1)2
PREUVE
k
i 5 1
 i 5 1 1 2 1 3 1 … 1 (k 2 1) 1 k , et
k
i 5 1
 i 5 k 1 (k 2 1) 1 (k 2 2) 1 … 1 2 1 1 (en inversant l’ordre des termes)
En additionnant respectivement les membres de gauche et les membres de droite
des deux équations précédentes, et en regroupant adéquatement les termes du
membre de droite, nous obtenons
k
i 5 1
 i 1
k
i 5 1
 i 5 [1 1 k] 1 [2 1 (k 2 1)] 1 [3 1 (k 2 2)] 1 … 1 [(k 2 1) 1 2] 1 [k 1 1]
2 
k
i 5 1
 i 5 [k 1 1] 1 [k 1 1] 1 [k 1 1] 1 … 1 [k 1 1] 1 [k 1 1]
k termes
2 
k
i 5 1
 i 5 k[k 1 1]
d’où
k
i 5 1
 i 5 k(k 1 1)2
Exemple 1 Évaluons les sommes suivantes.
a)
60
i 5 1
 i 5 1 1 2 1 3 1 … 1 59 1 60 (en explicitant les termes)
5
60(60 1 1)
2
(sommation 1, où k 5 60)
5 1830
b)
1
50
1
1
25
1
3
50
1
2
25
1
1
10
1 … 1
39
50
1
4
5
5
1
50
1
2
50
1
3
50
1
4
50
1
5
50
1 … 1
39
50
1
40
50
5
1
50
(1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 … 1 39 1 40)
130 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
5
1
50 (
40(40 1 1)
2 ) (sommation 1, où k 5 40)
5 16,4
c)
i 5 20
153
 i 5 
i 5 1
19
 i 1
153
i 5 20
 i 2
19
i 5 1
 i 5
i 5 1
153
 i 2
19
i 5 1
 i car
19
i 5 1
 i 1
153
i 5 20
 i 5
153
i 5 1
 i, théorème 3.2
5
153(153 1 1)
2
2
19(19 1 1)
2
(sommation 1, où k 5 153 et k 5 19)
5 11 591
Sommation des carrés des k premiers entiers
SOMMATION 2
k
i 5 1
 i2 5 12 1 22 1 32 1 … 1 (k 2 1)2 1 k2 5 k(k 1 1)(2k 1 1)6
PREUVE
k
i 5 1
 i3 5 13 1 23 1 33 1 … 1 (k 2 1)3 1 k3
k
i 5 1
 i3 5 [03 1 13 1 23 1 33 1 … 1 (k 2 1)3] 1 k3 (car 03 5 0)
k
i 5 1
 i3 5 
k
i 5 1
 (i 2 1)3 1 k3
k
i 5 1
 i3 5
k
i 5 1
 (i3 2 3i2 1 3i 2 1) 1 k3
k
i 5 1
 i3 5
k
i 5 1
 i3 2 3
k
i5 1
 i2 1 3
k
i 5 1
 i 2
k
i 5 1
 1 1 k3 (théorème 3.1)
3
k
i 5 1
 i2 5 3
k
i 5 1
 i 2
k
i 5 1
 1 1 k3 car
k
i 5 1
 i3 2
k
i 5 1
 i3 5 0
3
k
i 5 1
 i2 5 3k(k 1 1)2  2 k 1 k3 (sommation 1 et théorème 3.3)
k
i 5 1
 i2 5 k3 3k 1 32 2 1 1 k2 (mise en évidence de k)
5
k
3 2k
2 1 3k 1 1
2 
d’où
k
i 5 1
 i2 5 k(k 1 1)(2k 1 1)6 (car (2k2 1 3k 1 1) 5 (k 1 1)(2k 1 1))
Remarque Cette méthode de preuve peut également être utilisée pour déterminer
la formule correspondant à
k
i 5 1
 i,
k
i 5 1
 i3, etc.
3
1313.1 Notions de sommations
Exemple 2 Évaluons les sommes suivantes.
a)
60
i 5 1
 i2 5 12 1 22 1 32 1 … 1 592 1 602 5 60(60 1 1)(2(60) 1 1)6 5 73 810
b)
50
i 5 1
 f(i), où f(x) 5 (2x 1 3)2
50
i 5 1
 f(i) 5
50
i 5 1
 (2i 1 3)2 (car f(x) 5 (2x 1 3)2)
5
50
i 5 1
 (4i 2 1 12i 1 9) (car (2i 1 3)2 5 4i2 1 12i 1 9)
5 4
50
i 5 1
 i 2 1 12
50
i 5 1
 i 1
50
i 5 1
 9 (théorème 3.1)
5 4 (50(50 1 1)(2(50) 1 1)6 ) 1 12 (
50(50 1 1)
2 ) 1 50(9)
(sommations 2 et 1, où k 5 50, et théorème 3.3)
5 187 450
Sommation 2, où k 5 60
Sommation des cubes des k premiers entiers
SOMMATION 3
k
i 5 1
 i3 5 13 1 23 1 33 1 … 1 (k 2 1)3 1 k3 5 k
2(k 1 1)2
4
La démonstration est laissée à l’étudiant (voir les exercices récapitulatifs, no 2 a),
page 189).
Exemple 3 Évaluons
25
i 5 1
 (2i3 2 i2 1 4i 1 5).
25
i 5 1
 (2i3 2 i2 1 4i 1 5) 5 2
25
i 5 1
 i3 2
25
i 5 1
 i2 1 4
25
i 5 1
 i 1
25
i 5 1
 5 (théorème 3.1)
5 2  (25)
2 (26)2
4  2 
25(26)(51)
6  1 4 
25(26)
2  1 25(5)
5 207 150 (sommations 3, 2, 1 et théorème 3.3)
1. Expliciter les termes des sommations suivantes.
a)
9
k 5 3
 kk2 1 1 b)
5
j 5 2
 (4j3 2 1)
c)
58
i 5 4
 2(i 2 1) d)
30
k 5 0
 2k 2 12k 1 1
e)
7
j 5 3
 (-1)( j 1 1) (5 1 j) f)
4
k 5 1
 [(-2)k 2 2k]
g)
7
i 5 2
 (-3)i 2 4 h)
4
i 5 0
 15 f 1 1
i
5
EXERCICES 3.1
132 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
2. Utiliser le symbole  pour représenter les sommes
suivantes.
a) 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32
b) 8 1 27 1 64 1 … 1 13 824 1 15 625
c)
-1
2
1
4
3
2
9
4
1 … 2
81
10
1
100
11
d) 1 2 3 1 5 2 7 1 9 2 11 1 13 2 15
e) 2 2
2
3
1
2
9
2
2
27
1
2
81
f)
-1
3
1
1
6
2
1
12
1
1
24
2
1
48
3. Évaluer les sommes suivantes à l’aide des formules
et des théorèmes.
a) i) 1 1 2 1 3 1 … 1 99 1 100
ii) 1 1 23 1 33 1 … 1 293 1 303
iii)  145
2 1
45
1  245
2 1
45
1 … 1 4445
2 1
45
iv) 3 1 110 1 3 1
2
10 1 … 1 3 1
99
10
v) 3 1 9 1 15 1 21 1 … 1 291 1 297
b) i)
100
i 5 1
 i2 ii)
42
i 5 15
 6
iii)
90
i 5 10
 i iv)
20
i 5 1
 3i 2 52
v)
25
i 5 1
 (2i 2 3)2 vi)
15
i 5 1
 (i3 2 120i)
4. Utiliser les formules de sommation pour exprimer
les sommes suivantes en fonction de n.
a)
n 2 1
i 5 1
 i b)
n 2 1
i 5 1
 3i
2
5n
c)
n
i 5 1
 (5i3 1 6) d)
n 2 1
i 5 1
 (6i2 2 2i)
e)
n
i 5 1
 f  in, où f(x) 5 x 1 2
f)
n
i 5 1
 f 1 1 3in , où f(x) 5 x2 2 4x
5. Nous superposons des cubes de 4 cm d’arêtes
comme dans la gure suivante.
a) Déterminer, en fonction de n, le nombre N
de cubes sur la n-ième rangée.
b) Exprimer à l’aide du symbole  le nombre
total T de cubes si le montage est d’une
hauteur de 2 mètres.
c) Déterminer ce nombre total T.
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra calculer des sommes
de Riemann.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de donner la définition d’une partition d’un intervalle ;
• de donner la définition d’une somme de Riemann ;
• d’évaluer la somme des aires de rectangles inscrits
et circonscrits à une courbe donnée f sur [a, b] ;
• d’évaluer l’aire réelle d’une région à l’aide de limites ;
• de donner la définition de l’intégrale définie ;
• d’utiliser certaines propriétés de l’intégrale définie.
s
4
5 A(r
1
) 1 A(r
2
) 1 A(r
3
) 1 A(r
4
)

a
b
f(x) dx 5 lim
(max x
i
) → 0
n
i 5 1
 f(ci) x i
3.2 Somme de Riemann et intégrale définie
3
1333.2 Somme de Riemann et intégrale dénie
Dans cette section, nous expliquerons certaines méthodes pour calculer l’aire d’une
région fermée quelconque. Par la suite, nous donnerons la dénition de l’intégrale
dénie et certaines de ses propriétés.
Somme de Riemann
Il y a environ 200 ans…
Fils d’un pasteur protestant, Bernhard Riemann veut devenir professeur d’université. À
l’époque, pour enseigner dans une université allemande, il faut d’abord devenir Privadozent,
c’est-à-dire professeur non rémunéré, en soumettant un texte démontrant ses capacités et en
présentant un exposé. Dans son mémoire, il introduit les « sommes de Riemann ». Son exposé
porte sur les fondements de la géométrie, dont il révolutionne l’approche. Gauss, professeur à
Göttingen et l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, fait grand cas de cette pré-
sentation. Les travaux d’Einstein sur la relativité reposent sur ceux de Riemann en géométrie.
Bernhard Riemann
(1826-1866)
Dénissons d’abord la notion de partition d’un intervalle.
DÉFINITION 3.2 1) Une partition P de [a, b] est une suite de nombres réels x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
tels que
a 5 x
0
 x
1
 x
2
 …  x
n 2 1
 x
n
5 b
Nous la notons P 5 {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n 2 1
, x
n
}.
2) La longueur x
i
de chaque sous-intervalle de la partition P est dénie par :
x
i
5 x
i
2 x
i 2 1
, où i ∈ {1, 2, 3, …, n}
Une partition P de [a, b] peut être représentée de la façon suivante :
De plus, si P est une partition de [a, b], alors
n
i 5 1
 xi 5 b 2 a.
DÉFINITION 3.3 Une partition est dite régulière lorsque x
1
5 x
2
5 … 5 x
i
5 … 5 x
n
.
Dans le cas d’une partition régulière d’un intervalle [a, b], chaque sous-intervalle est
de même longueur et celle-ci est notée x.
Ainsi, x 5
b 2 a
n
, où n représente le nombre d’intervalles de même longueur.
x
1
5 x
1
2 x
0
x
2
5 x
2
2 x
1
x
3
5 x
3
2 x
2...
x
n
5 x
n
2 x
n 2 1
134 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Exemple 1 En séparant [0, 1] en n parties égales, nous obtenons x 5
1 2 0
n
5
1
n
.
Cette partition peut être représentée par
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
0 1
n
2
n
3
n
4
n
… n 2 2
n
n 2 1
n
1 5 n
n
…Représentation
de la partition
DÉFINITION 3.4 Soit une fonction f continue sur [a, b] et P une partition quelconque de [a, b].
Nous appelons somme de Riemann toute somme de la forme
n
i 5 1
 f(ci) x i, où ci ∈ [xi 2 1, xi]
Exemple 2 Illustrons la somme de Riemann pour une fonction non négative f
continue sur [a, b] et la partition P 5 {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n 2 1
, x
n
} de
[a, b], en choisissant c
1
∈ [x
0
, x
1
], c
2
∈ [x
1
, x
2
], …, c
i
∈ [x
i 2 1
, x
i
], …,
c
n
∈ [x
n 2 1
, x
n
].
Ainsi, la somme de Riemann,
notée SR
n
, correspondante est
SR
n
5
n
i 5 1
 f(ci) x i
5 f(c
1
) x
1
1 f(c
2
) x
2
1 … 1 f(c
i
) x
i
1 … 1 f(c
n
) x
n
, où
• f(c
i
) x
i
correspond à l’aire du i-ème rectangle de base x
i
et de hauteur f(c
i
) ;
• SR
n
correspond à la somme des aires des n rectangles.
y 5 f(x)
Aires de rectangles inscrits et circonscrits sur [a, b]
Donnons une première méthode utilisée par Archimède pour calculer l’aire
d’une région fermée quelconque. Cette méthode consiste à estimer l’aire de la
région fermée à l’aide de sommes d’aires de rectangles inscrits et circonscrits,
qui sont des sommes de Riemann, et à prendre la limite de ces sommes.
3
1353.2 Somme de Riemann et intégrale dénie
Il y a environ 2200 ans…
Archimède, mathématicien et physicien grec,
calcula l’aire de plusieurs surfaces courbes.
Ainsi, il fait l’approximation de l’aire d’un
cercle grâce à la mesure de polygones inscrits
dans le cercle. Il fait également l’approxima-
tion de  grâce à la mesure de polygones cir-
conscrits au cercle. Pour l’aire d’un secteur de
parabole, il imagine qu’il pèse cette surface
à l’aide d’une balance et qu’il l’équilibre par
un triangle dont il sait calculer facilement l’aire. Le livre décrivant cette dernière méthode est
resté inconnu pendant deux millénaires et n’a été découvert qu’au début du xxe siècle.
Archimède
(287-212 av.J.-C.)
Polygone inscrit Polygone circonscrit
DÉFINITION 3.5 Soit f une fonction continue telle que f(x)  0 sur [a, b].
1) Un rectangle inscrit est un
rectangle de base (b 2 a) et de
hauteur f(c), où f(c) est le minimum
de f sur [a, b].
A
rect. insc.
5 (b 2 a) f(c)
2) Un rectangle circonscrit est un
rec tangle de base (b 2 a) et de
hauteur f(d ), où f(d ) est le maximum
de f sur [a, b].
A
rect. circ.
5 (b 2 a) f(d)
Exemple 1 Soit la fonction f dénie par f(x) 5 x2 1 1 sur [0, 1].
Évaluons l’aire réelle, notée A1
0
, de la région ci-contre,
en calculant des sommes d’aires de n rectangles inscrits,
notées s
n
, des sommes d’aires de n rectangles
circonscrits, notées S
n
, et en calculant lim
n→1∞
s
n
et lim
n→1∞
S
n
.
1) Calculons premièrement s
4
et S
4
.
En séparant [0, 1] en quatre parties égales, nous avons
x 5
1 2 0
4
5
1
4
et nous obtenons la partition
P 5 0, 14,
2
4
,
3
4
, 1.
A1
0
f(x) 5 x2 1 1
A1
0
est l’aire de la région
délimitée par la courbe
de f, l’axe des x et les
droites d’équation x 5 0
et x 5 1.
136 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
s
4
= somme des aires des quatre rectangles
inscrits ci-dessous
1
4
2
4
3
4
f(x) 5 x2 1 1
s
4
5 A(r
1
) 1 A(r
2
) 1 A(r
3
) 1 A(r
4
)
5 f(0)
1
4
1 f 1142
1
4
1 f 1242
1
4
1 f 1342
1
4
5
1
4 f(0) 1 f 1
1
42 1 f 1
2
42 1 f 1
3
42
5
1
4 1 1
17
16
1
20
16
1
25
16
5
78
64
d’où s
4
5 1,218 75 u2
S
4
= somme des aires des quatre rectangles
circonscrits ci-dessous
1
4
2
4
3
4
f(x) 5 x2 1 1
S
4
5 A(R
1
) 1 A(R
2
) 1 A(R
3
) 1 A(R
4
)
5 f 1142
1
4
1 f 1242
1
4
1 f 1342
1
4
1 f(1)
1
4
5
1
4 f 1
1
42 1 f 1
2
42 1 f 1
3
42 1 f (1)
5
1
4 
17
16
1
20
16
1
25
16
1 2
5
94
64
d’où S
4
5 1,468 75 u2
L’aire réelle recherchée A1
0
est comprise entre s
4
et S
4
, c’est-à-dire
s
4
 A1
0
 S
4
1,218 75 1,468 75
2) Calculons maintenant s
10
et S
10
.
Pour obtenir une meilleure approximation de l’aire réelle A1
0
sous la courbe,
nous séparons [0, 1] en 10 parties égales, ainsi x 5
1 2 0
10
5
1
10
et P 5 0, 110,
2
10
, …,
9
10
, 1.
f(x) 5 x2 1 1
1
10
2
10
3
10
i
10
8
10
9
10
f(x) 5 x2 1 1
1
10
2
10
3
10
i
10
8
10
9
10
(A
rect.
5 (hauteur)(base))
(mise en évidence)
( f(x) 5 x2 1 1)
(S
4
2 s
4
) 5
94
64
2
78
64
d’où (S
4
2 s
4
) 5
1
4
u2
1
4
2
4
3
4
Représentation de (S
4
2 s
4
)
3
1373.2 Somme de Riemann et intégrale dénie
s
10
5 A(r
1
) 1 A(r
2
) 1 A(r
3
) 1 … 1 A(r
10
)
5 f(0) 1
10
1 f 1 110
1
10
1 f 1 210
1
10
1 … 1 f 1 910
1
10
5
1
10 f (0) 1 f 1
1
10 1 f 1
2
10 1 … 1 f 1
9
10
5
1
10111
1
10
2
1111 210
2
111…11 910
2
11
5
1
10 10(1) 1
1
102
(12 1 22 1 … 1 92)
5 1 1
1
103 1
(9)(10)(19)
6  (sommation 2, où k 5 9)
5
257
200
d’où s
10
5 1,285 u2
S
10
5
10
i 5 1
 A(Ri)
5
10
i 5 1
 f 1 i10 110
5
1
10
10
i 5 1
 11 i10
2
1 1 ( f(x) 5 x2 1 1)
5
1
10 1
10
i 5 1
 i
2
100
1
10
i 5 1
 1 (théorème 3.1)
5
1
10 1
1
100
10
i 5 1
 i2 1 10 (théorèmes 3.1 et 3.3)
5
1
10 1
1
100
(10)(11)(21)
6
1 10
5
277
200
d’où S
10
5 1,385 u2
Nous constatons que
s
4
 s
10
 A1
0
 S
10
 S
4
1,218 75 1,285 1,385 1,468 75
3) Représentons 20 rectangles inscrits et 20 rectangles circonscrits et calculons s
20
et S
20
.
with(Student[Calculus1]) :
RiemannSum(x2 1 1, x 5 0 ..1, method 5 left, output 5 plot,
boxoptions 5 [ lled 5 [color 5 green, transparency 5 0.8]],
partition 5 20) ;
1
20
19
i 5 0
 11 i20
2
1 1 ;
1047
800
d’où s
20
5 1,308 75 u2
with(Student[Calculus1]) :
RiemannSum(x2 1 1, x 5 0 ..1, method 5 right, output 5 plot,
boxoptions 5 [ lled 5 [color 5 blue, transparency 5 0.8]],
partition 5 20) ;
1
20
20
i 5 1
 11 i20
2
1 1 ;
1087
800
d’où S
20
5 1,358 75 u2
Les résultats obtenus jusqu’à maintenant nous révèlent que
s
4
 s
10
 s
20
 A1
0
 S
20
 S
10
 S
4
où (S
20
2 s
20
) 5
1087
800
2
1047
800
5
1
20
u2
(sommation 2,
où k 5 10)
où (S
10
2 s
10
) 5
277
200
2
257
200
5
1
10
u2
138 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
4) Déterminons maintenant une formule générale pour s
n
et S
n
.
En séparant [0, 1] en n parties égales, nous avons x 5
1 2 0
n
5
1
n
et P 5 0, 1n ,
2
n
, …,
n 2 1
n
, 1.
1
n
2
n
3
n
i
n n 2 1
n
(sous-estimation de A1
0
)
f(x)  x2  1
s
n
5
n
i 5 1
 A(ri)
5
n
i 5 1
 f 1i 2 1n 
1
n
5
1
n
n
i 5 1
 11i 2 1n 
2
1 1 ( f(x) 5 x2 1 1)
5
1
n 1
n
i 5 1

(i 2 1)2
n2
1
n
i 5 1
 1
5
1
n 1
1
n2
n
i 5 1
 (i 2 1)2 1 n
5
1
n 1
1
n2
(n 2 1) n(2n 2 1)
6
1n
5
2n2 2 3n 1 1
6n2
1 1
d’où s
n
5
4
3
2
1
2n
1
1
6n2
1
n
2
n
3
n
i
n n 2 1
n
1 5
n
n
(surestimation de A1
0
)
f(x)  x2  1
S
n
5 A(R
1
) 1 A(R
2
) 1 A(R
3
) 1 … 1 A(R
n
)
5 f 11n 1n 1 f 12n 1n 1 f 13n 1n 1 … 1 f 1nn 1n
5
1
n f 11n 1 f 12n 1 f 13n 1 … 1 f 1nn
5
1
n 11n
2
1 1112n
2
1 11 … 11nn
2
1 1
5
1
n  1n2 (12 1 22 1 32 1 … 1 n2) 1 n(1)
5
1
n  1n2 1
n(n 1 1)(2n 1 1)
6  1 n
5
2n2 1 3n 1 1
6n2
1 1
d’où S
n
5
4
3
1
1
2n
1
1
6n2
5) Calculons s  lim
n→1∞
s
n
, si la limite existe, et S  lim
n→1∞
S
n
, si la limite existe.
lim
n→1∞
s
n
5 lim
n→1∞
143 2
1
2n
1
1
6n2 5
4
3
d’où s 5
4
3
(car s 5 lim
n→1∞
s
n
)
lim
n→1∞
S
n
5 lim
n→1∞
143 1
1
2n
1
1
6n2 5
4
3
d’où S 5
4
3
(car S 5 lim
n→1∞
S
n
)
Puisque s
n
 A1
0
 S
n
, ∀ n ∈ IN* et que lim
n→1∞
s
n
5 lim
n→1∞
S
n
5
4
3
, nous avons A1
0
5
4
3
u2.
(sommation 2,
où k 5 n 2 1)
(sommation 2,
où k 5 n)
(en évaluant la limite)
De façon générale, pour une fonction continue f telle que f(x)  0 sur [a, b],
si lim
n→1∞
s
n
5 s et si lim
n→1∞
S
n
5 S, où s ∈ IR et S ∈ IR, nous avons s  Ab
a
 S.
De plus, si s 5 S, alors Ab
a
5 s 5 S
3
1393.2 Somme de Riemann et intégrale dénie
Exemple 2 Soit f(x) 5 -x2 1 2x 1 5 sur [1, 3].
Déterminons l’aire réelle A3
1
de la région délimitée
par la courbe de f, l’axe des x et les droites d’équation
x 5 1 et x 5 3, en calculant s et S.
En séparant [1, 3] et n parties égales, nous obtenons x 5
3 2 1
n
5
2
n
et P 5 1, 1 1 2n , 1 1
4
n
, …, 1 1
2(n 2 1)
n
, 3.
Aire s
n
des n rectangles inscrits :
11 1 2n2 11 1
4
n2 11 1
2i
n 2 3 5 11 1
2n
n 2
s
n
5 A(r
1
) 1 A(r
2
) 1 … 1 A(rn)
5 f 11 1 2n2
2
n
1 f 11 1 4n2
2
n
1 … 1 f 11 1 2nn 2
2
n
5
n
i 5 1
 f 11 1 2in 2
2
n
5
2
n
n
i 5 1
 1-11 1 2in 2
2
1 2 11 1 2in 2 1 52
5
2
n
n
i 5 1
 1-1 2 4in 2
4i2
n2
1 2 1
4i
n
1 52
5
2
n
n
i 5 1
 16 2 4i
2
n2 2
5
2
n 
n
i 5 1
 6 2 4n2
n
i 5 1
 i2
5
2
n 6n 2
4
n2
n
i 5 1
 i2 (théorème 3.3)
5
2
n 6n 2
4
n2
n(n 1 1)(2n 1 1)
6 
5
28n2 2 12n 2 4
3n2
d’où s
n
5
28
3
2
4
n
2
4
3n2
Aire S
n
des n rectangles circonscrits :
11 1 2n2 11 1
2(i 2 1)
n 2 11 1
2(n 2 1)
n 2
S
n
5 A(R
1
) 1 A(R
2
) 1 … 1 A(Rn)
5 f(1)
2
n
1 f 11 1 2n2
2
n
1 … 1 f 11 1 2(n 2 1)n 2
2
n
5
n 2 1
i 5 0
 f 11 1 2in 2
2
n
5
2
n
n 2 1
i 5 0
 1-11 1 2in 2
2
1 2 11 1 2in 21 52
5
2
n
n 2 1
i 5 0
 1-1 2 4in 2
4i2
n2
1 2 1
4i
n
1 52
5
2
n
n 2 1
i 5 0
 16 2 4i
2
n2 2
5
2
n 
n 2 1
i 5 0
 6 2 4n2
n 2 1
i 5 0
 i2
5
2
n 6n 2
4
n2
n 2 1
i 5 1
 i2 (théorème 3.3 ; 02 5 0)
5
2
n 6n 2
4
n2
(n 2 1) n(2n 2 1)
6 
5
28n2 1 12n 2 4
3n2
d’où S
n
5
28
3
1
4
n
2
4
3n2
f(x) 5 -x2 1 2x 1 5
f (x) 5 -x2 1 2x 1 5
(sommation 2,
où k 5 n)
f (x) 5 -x2 1 2x 1 5
(sommation 2,
où k 5 n 2 1)
140 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
En évaluant s et S, nous obtenons
s 5 lim
n→1∞
s
n
5 lim
n→1∞
283 2
4
n
2
4
3n2
5
28
3
(en évaluant la limite)
S 5 lim
n→1∞
S
n
5 lim
n→1∞
283 1
4
n
2
4
3n2
5
28
3
(en évaluant la limite)
d’où A3
1
5
28
3
u2. 1car s 5 S 5 283 2
Dans les exemples précédents, s
n
et S
n
étaient des sommes de Riemann, où tous les
x
i
étaient égaux.
• Dans le cas de s
n
, chaque c
i
était choisi tel que f(c
i
) donnait le minimum de la
fonction sur l’intervalle [x
i 2 1
, x
i
].
• Dans le cas de S
n
, chaque c
i
était choisi tel quef(c
i
) donnait le maximum de la
fonction sur l’intervalle [x
i 2 1
, x
i
].
De façon générale, il n’est pas nécessaire de partitionner l’intervalle [a, b] en des
segments de même longueur, et on peut évaluer la fonction f en n’importe quel
point de ces sous-intervalles.
Ainsi, lorsque f est continue et non négative sur [a, b], les sommes de Riemann
donnent une approximation de l’aire sous la courbe de f. Il suft d’augmenter indé-
ni ment le nombre de rectangles (n → 1∞), tout en s’assurant que la mesure de la
base de chaque rectangle tend vers zéro ((max x
i
) → 0), pour obtenir l’aire réelle
entre la courbe de f, l’axe des x et les droites d’équation x 5 a et x 5 b.
Intégrale définie
DÉFINITION 3.6 Soit f une fonction dénie sur [a, b] et P une partition {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
} quelconque
de [a, b].
Nous dénissons l’intégrale dénie de f sur [a, b], notée 
a
b
f (x) dx, comme suit :

a
b
f (x) dx 5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 f (ci) xi, où ci ∈ [xi 2 1, xi], si la limite existe.
Nous disons alors que f est intégrable, au sens de Riemann, sur [a, b] et nous appelons a
la borne inférieure de l’intégrale dénie et b la borne supérieure de l’intégrale dénie.
Remarque L’intégrale dénie 
a
b
f (x) dx est un nombre réel, c’est-à-dire :

a
b
f (x) dx 5 L, où L ∈ IR
alors que l’intégrale indénie f (x) dx est une famille de fonctions, c’est-à-dire :
 f (x) dx 5 F(x) 1 C, où F9(x) 5 f (x)
3
1413.2 Somme de Riemann et intégrale dénie
Nous énonçons maintenant un théorème que nous acceptons sans démonstration.
THÉORÈME 3.4 Si f est une fonction continue sur [a, b], alors f est une fonction intégrable sur [a, b].
De plus, si f est continue et non négative sur [a, b],
nous pouvons exprimer l’aire réelle, notée Ab
a
,
à l’aide de l’intégrale dénie de la façon suivante :
Ab
a
5 
a
b
f (x) dx
Exemple 1 Soit la région ci-contre dont
l’aire égale 20 unités2. Vérions,
en utilisant la dénition de
l’intégrale dénie, que
1
6
4 dx 5 20.
Soit P 5 {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n  1
, x
n
}, une partition
quelconque de [1, 6].
Dans chaque sous-intervalle [x
i  1
, x
i
],
choisissons un c
i
quelconque.

1
6
4 dx 5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 f (ci) xi (dénition 3.6)
5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 4 xi (car f (x) 5 4, ∀ x ∈ [1, 6])
5 lim
(max x
i
)→0
4
n
i 5 1
 xi (théorème 3.1)
5 lim
(max x
i
)→0
4(6  1) 1car
n
i 5 1
xi 5 6  1
5 20 (en évaluant la limite)
f (x) 5 4
Exemple 2 Évaluons
0
1
3 x dx à partir de la dénition de l’intégrale dénie en utilisant la partition
P 5 0, 11n
3
, 12n
3
, …, 1 in
3
, …, 1n  1n 
3
, 1.
En calculant x
i
, nous avons
x
i
5 1 in
3
 1i  1n 
3
5
1
n3
(i3  (i  1)3) 5
1
n3
(3i2  3i 1 1)
En choisissant c
i
à l’extrémité droite de chaque sous-intervalle, nous obtenons c
i
5 1 in
3
, ainsi

0
1
3 x dx 5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 f (ci) xi
5 lim
n→1∞
n
i 5 1
 31 in
3
1 1n3 (3i2  3i 1 1) 1xi 5 1n3 (3i2  3i 1 1) ; (max xi) → 0 ⇒ n → 1∞
f(x) 5 3 x
1i  1
n

3
1 i
n

3
f11 i
n

3

Ab
a
5 
a
b
f (x) dx
A
6
1 5 5(4) 5 20 u2
142 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
5 lim
n→1∞
n
i 5 1
 in 1
1
n3
(3i2 2 3i 1 1)2
5 lim
n→1∞
1
n4 13
n
i 5 1
 i3 2 3
n
i 5 1
 i2 1
n
i 5 1
 i2 (théorème 3.1)
5 lim
n→1∞
1
n4 1
3n2(n 1 1)2
4
2
3n(n 1 1)(2n 1 1)
6
1
n(n 1 1)
2 2 (sommations 1, 2 et 3, où k 5 n)
5 lim
n→1∞
13(n 1 1)
2
4n2
2
(n 1 1)(2n 1 1)
2n3
1
n 1 1
2n3 2
5 lim
n→1∞
1134 1
3
2n
1
3
4n22 2 1
1
n
1
3
2n2
1
1
2n32 1 1
1
2n2
1
1
2n322
5
3
4
(en évaluant la limite)
Puisque f est continue et non négative sur [0, 1], 3
4
correspond à A1
0
, ainsi A
0
1 5
3
4
u2.
Propriétés de l’intégrale définie
DÉFINITION 3.7 1) Pour toute fonction f intégrable, E
a
a
f(x) dx 5 0, pour tout a ∈ dom f.
2) Pour toute fonction f intégrable sur [a, b], E
b
a
f(x) dx 5 -E
a
b
f(x) dx.
Exemple 1
a) E
2
2
(x 1 4) dx 5 0 b) Si E
7
9
f (x) dx 5 10, alors E
9
7
f (x) dx 5 -10.
THÉORÈME 3.5 Si f est une fonction continue sur [a, b] et c ∈ ]a, b[, alors
E
a
b
f (x) dx 5 E
a
c
f (x) dx 1 E
c
b
f (x) dx
Nous admettons ce théorème sans démonstration ; cependant, l’exemple suivant
illustre le théorème dans le cas où f est continue et f (x)  0 sur [a, b].
Exemple 2 Soit une fonction f continue telle que f (x)  0 sur [a, b].
Ainsi, E
a
b
f (x) dx 5 Ab
a
5 Ac
a
1 Ab
c
5 E
a
c
f (x) dx 1 E
c
b
f (x) dx
3
1433.2 Somme de Riemann et intégrale dénie
THÉORÈME 3.6 Si f et g sont deux fonctions continues sur [a, b], alors
E
a
b
[c f (x)  d g(x)] dx 5 cE
a
b
f (x) dx  dE
a
b
g(x) dx, où c et d ∈ IR
PREUVE Soit P 5 {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n  1
, x
n
} une partition de [a, b].
E
a
b
[ c f (x) d g(x)] dx 5 lim
(max Dx
i
)→0
n
i 5 1
 [ c f (ci)  d g(ci)] Dxi (dénition 3.6)
5 lim
(max Dx
i
)→0
n
i 5 1
 [c f (ci) Dxi  d g(ci) Dxi]
5 lim
(max Dx
i
)→0 1c
n
i 5 1
 f (ci) Dxi  d
n
i 5 1
 g(ci) Dxi2 (théorème 3.1)
5 c 1 lim
(max Dx
i
)→0
n
i 5 1
 f (ci) Dxi2  d 1 lim(max Dx
i
)→0
n
i 5 1
 g(ci) Dxi2
(propriétés des limites)
5 cE
a
b
f (x) dx  dE
a
b
g(x) dx (dénition 3.6)
Exemple 3 Si E
1
4
f(x) dx 5 -7 et E
4
1
g(x) dx 5 2, alors
E
1
4
[3 f(x)  4 g(x)] dx 5 3 E
1
4
f(x) dx  4 E
1
4
g(x) dx (théorème 3.6)
5 3 E
1
4
f(x) dx  4 1-E
4
1
g(x) dx2 (dénition 3.7)
5 3(-7) 1 4(2) (en remplaçant)
5 -13
1. Pour chacun des intervalles suivants, évaluer
la longueur Dx de chaque sous-intervalle si
nous séparons l’intervalle en n parties égales,
et représenter cette partition pour a) et b).
a) [0, 1], n 5 5 b) [2, 7], n 5 51
c) -2, 32, n 5 10 d) [a, b], n 5 35
2. Soit f(x) 5 x2 1 2x  3 sur [0, 2] et la partition
P 5 {0 ; 0,6 ; 0,8 ; 1,2 ; 1,7 ; 2} de [0, 2]. Calculer
la somme de Riemann correspondante pour
c
i
∈ [x
i  1
, x
i
] tel que :
a) c
i
5 x
i  1
b) c
i
5 x
i
c) c
i
est le point milieu de [x
i  1
, x
i
]
3. Représenter graphiquement et évaluer.
a) s
4
si f (x) 5 x sur [0, 4]
b) s
4
si f (x) 5
1
x
sur [1, 3]
c) s
5
si f(x) 5 x2  4x 1 5 sur [0, 5]
d) S
5
si f(x) 5 x2  4x 1 5 sur [0, 5]
4. Soit f(x) 5 x2 1 3x 1 1 sur [0, 1].
a) Représenter graphiquement et évaluer s
n
.
b) Représenter graphiquement et évaluer S
n
,
en utilisant le symbole .
c) Évaluer s, S et A1
0
.
EXERCICES 3.2
144 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Dans la section précédente, nous avons calculé l’aire de différentes régions en faisant
la somme des aires des rectangles inscrits et circonscrits. Cela nous a permis d’obte-
nir la valeur de l’aire réelle en évaluant lim
n→1∞
s
n
et lim
n→1∞
S
n
.
5. Soit f(x) 5 x2 sur [1, 2].
a) Démontrer que s
n
5
7
3
2
3
2n
1
1
6n2
.
b) Démontrer que S
n
5
7
3
1
3
2n
1
1
6n2
.
c) Déterminer A2
1
.
6. Soit f(x) 5 sin x, où x ∈0, 2.
a) Représenter graphiquement et évaluer :
i) s
3
ii) S
3
b) Évaluer :
i) s
10
ii) S
10
iii) s
100
iv) S
100
c) Évaluer s, S et A

2
0
.
7. a) Si f(x) 5 c sur [a, b], où c ∈IR, évaluerE
a
b
c dx
à partir de la dénition de l’intégrale dénie.
b) Évaluer, à l’aide du résultat de a)
i) E
1
4
1
2
dx ii) E
10
1
(-3) dx
8. Soit f(x) 5 x sur [a, b] et la partition
P 5 {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n 2 1
, x
n
} où x
0
5 a et x
n
5 b.
a) Déterminer SR
n
en utilisant sur chaque
sous-intervalle le point milieu.
b) Évaluer E
a
b
x dx.
c) Évaluer, à l’aide du résultat de b) :
i) E
2
9
x dx ii) E
4
1
x dx iii) E
3
3
x dx
d) Interpréter E
a
b
x dx, où 0  a  b.
9. Évaluer E
0
2
(x 1 2x3) dx à partir de la dénition
de l’intégrale dénie.
10. Sachant que E
0
3
f(x) dx 5 5, E
3
5
f(x) dx 5 -6
et E
5
9
f(x) dx 5 8, utiliser les propriétés de
l’intégrale dénie pour évaluer :
a) E
3
9
f(x) dx b) E
9
3
f(x) dx
c) E
5
5
f(x) dx d) E
0
9
f(x) dx
11. Sachant queE
2
5
f(x) dx 5 4 etE
2
5
g(x) dx 5 3,
uti liser les propriétés de l’intégrale dénie
pour évaluer :
a) E
2
2
8 f(x) dx b) E5
2
[5 g(x) 2 2 f(x)] dx
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra calculer certaines inté-
grales dénies en utilisant le théorème fondamental du calcul.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• d’appliquer le théorème de la moyenne pour l’intégrale dénie ;
• de démontrer le théorème fondamental du calcul ;
• d’évaluer des intégrales dénies en utilisant le théorème fondamental du calcul ;
• d’évaluer des intégrales dénies par changement de variable sans changer les bornes d’intégration ;
• d’évaluer des intégrales dénies par changement de variable, en changeant les bornes d’intégration.
E
a
b
f(x) dx 5 F(x)
b
a
5 F(b) 2 F(a),
où F(x) est une primitive de f(x)
3.3 Théorème fondamental du calcul
3
1453.3 Théorème fondamental du calcul
Nous avons également évalué des intégrales dénies à partir de la dénition 3.6, c’est-à-dire :
E
a
b
f (x) dx 5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 f (ci) xi, où ci ∈ [xi 2 1, xi], si la limite existe.
Notons cependant que, dans nos exemples, nous avons limité l’utilisation de cette
méthode de calcul d’aires et d’intégrales dénies à des fonctions polynomiales de
degré inférieur à 5 et à la fonction 3 x.
Cependant, lorsqu’il s’agit d’évaluer des intégrales dénies de fonctions telles que
sin x, ex, ln x, etc., cette méthode devient impraticable.
Nous allons maintenant démontrer le théorème fondamental du calcul qui relie les
notions de dérivée, d’intégrale indénie et d’intégrale dénie. Nous pourrons alors
évaluer des intégrales dénies en utilisant ce théorème.
Théorème fondamental du calcul
Énonçons maintenant un théorème essentiel à la démonstration du théorème
fondamental du calcul.
THÉORÈME 3.7
Théorème de
la moyenne pour
l’intégrale définie
Si f est une fonction continue sur [a, b], alors il existe au moins un nombre
c ∈ [a, b] tel que
E
a
b
f(x) dx 5 f(c)(b 2 a)
PREUVE Nous allons démontrer ce théorème dans le cas particulier où f est une fonction
non négative sur [a, b].
Soit m le minimum et M le maximum de f sur [a, b] (ces valeurs existent
par le théorème des valeurs extrêmes).
À l’aide des représentations graphiques ci-dessus, nous constatons que
m(b 2 a)  E
a
b
f (x) dx  M(b 2 a)
Ainsi, en divisant chaque membre par (b 2 a), où (b 2 a)  0, nous obtenons
m 
1
(b 2 a) E
a
b
f (x) dx  M
Puisque
1
(b 2 a) E
a
b
f (x) dx est un nombre réel compris entre m et M, alors,
par le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un c ∈ [a, b] tel que
1
(b 2 a) E
a
b
f (x) dx 5 f (c)
d’où E
a
b
f(x) dx 5 f(c)(b 2 a)
146 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Le théorème de la moyenne pour l’intégrale définie nous indique qu’il existe une
droite parallèle à l’axe des x, formant le côté supérieur d’un rectangle dont les autres
côtés sont x 5 a, x 5 b et l’axe des x, et telle que l’aire de ce rectangle est égale à Ab
a
;
cette droite parallèle à l’axe des x rencontre au moins une fois la courbe de f sur [a, b].
L’abscisse d’un de ces points d’intersection est le nombre c du théorème de la
moyenne.
E
a
b
f(x) dx 5 f(c)(b  a)
Exemple 1 Soit f(x) 5 -x2 1 2x 1 5 sur [1, 3].
Nous avons déjà évalué que l’aire réelle A
1
3, entre la courbe de f,
l’axe des x, x 5 1 et x 5 3 est égale à
28
3
unités2 (voir l’exemple 2,
section 3.2, page 140).
Déterminons la valeur c du théorème de la moyenne pour
l’intégrale dénie.
E
1
3
f(x) dx 5 f(c)(3  1)
E
1
3
(-x2 1 2x 1 5) dx 5 (-c2 1 2c 1 5)(3  1)
28
3
5 -2c2 1 4c 1 10
6c2  12c  2 5 0
c
1
5 2,154… et c
2
5 -0,154… (à rejeter, car c
2
∉ [1, 3])
d’où c 5 2,154 …
(c, f(c))
2 f(c)
f(c)
c
i
5
12  144 1 48
12
5
3  23
3
THÉORÈME 3.8
Théorème
fondamental
du calcul
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I, et a ∈ I.
1re partie Si A(x) 5 E
a
x
f(t) dt, où x ∈ I, alors A(x) est une primitive de f(x),
c’est-à-dire A(x) 5
d
dx E
a
x
f (t) dt 5 f (x)
2e partie Si F(x) est une primitive quelconque de f(x), alors
E
a
b
f(t) dt 5 F(b)  F(a), où a et b ∈ I
PREUVE Nous allons démontrer ce théorème dans le cas particulier où f est une fonction
non négative sur I.
Interprétation géomé-
trique du théorème
de la moyenne pour
l’intégrale dénie
3
1473.3 Théorème fondamental du calcul
1re partie Soit a ∈ I et x ∈ I, tel que a  x. Ainsi,
A(x) 5 E
a
x
f(t) dt représente l’aire de la région ci-contre.
Soit h  0, tel que (x 1 h) ∈ I. Ainsi,
A(x 1 h) 5 E
a
x 1 h
f(t) dt
représente l’aire de la région ci-contre.
Nous avons que l’aire de la région ci-contre est donnée par
A(x 1 h)  A(x) 5 E
a
x 1 h
f(t) dt  E
a
x
f(t) dt
5 E
a
x
f(t) dt 1 E
x
x 1 h
f(t) dt  E
a
x
f(t) dt
(théorème 3.5)
5 E
x
x 1 h
f(t) dt
5 f(c) h, où c ∈ [x, x 1 h] (théorème 3.7)
Ainsi, A(x 1 h)  A(x) 5 f(c) h
A(x 1 h)  A(x)
h
5 f (c) (en divisant par h, où h > 0)
Dans le cas où h  0, nous procédons de façon analogue.
lim
h → 0
A(x 1 h)  A(x)
h
5 lim
h → 0
f(c)
(en prenant la limite de
chaque membre de l’équation)
A(x) 5 lim
h → 0
f (c) (par dénition de A(x))
A(x) 5 lim
c → x
f (c) (car si h → 0, alors c → x)
A(x) 5 f(x) (car f est continue)
d’où A(x) est une primitive de f(x).
2e partie Soit a ∈ I et b ∈ I, tel que a  b.
Puisque F(x) est également une primitive de f(x), alors
A(x) 5 F(x) 1 C (corollaire 2, chapitre 1)
En remplaçant x par a, nous obtenons
A(a) 5 F(a) 1 C
0 5 F(a) 1 C 1car A(a) 5E
a
a
f(t) dt 5 0
C 5 -F(a)
Puisque C 5 -F(a), nous obtenons A(x) 5 F(x)  F(a)
En remplaçant x par b, nous obtenons A(b) 5 F(b)  F(a)
d’où E
a
b
f(t) dt 5 F(b)  F(a) 1car A(b) 5 E
a
b
f(t) dt
148 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Exemple 2
a) Déterminons A9(x) si A(x) 5 
2
x
(t3  5t) dt.
A9(x) 5
d
dx 2
x
(t3  5t) dt  5 x3  5x (théorème 3.8, 1re partie)
b) Déterminons d
du u
5
Arc tan x dx.
d
du u
5
Arc tan x dx  5 ddu  -
5
u
Arc tan x dx  (dénition 3.7)
5 (-1)
d
du 
5
u
Arc tan x dx
5 -Arc tan u (théorème 3.8, 1re partie)
Exemple 3 Évaluons, à l’aide du théorème fondamental du calcul :
a) 
2
5
(3x2 1 4x) dx
Soit F(x) 5 x3 1 2x2 1 C, une primitive de (3x2 1 4x).
Ainsi 
2
5
(3x2 1 4x) dx 5 F(5)  F(2) (théorème 3.8, 2e partie)
5 ((5)3 1 2(5)2 1 C)  ((2)3 1 2(2)2 1 C )
5 (175 1 C)  (16 1 C)
5 159
b) 
0

(sin u 1 cos u) du
Soit F(u) 5 -cos u 1 sin u 1 C, une primitive de (sin u 1 cos u).
Ainsi 
0

(sin u 1 cos u) du 5 F()  F(0) (théorème 3.8, 2e partie)
5 (-cos  1 sin  1 C)  (-cos 0 1 sin 0 1 C)
5 2
F(x) 5 x3 1 2x2 1 C
F9(x) 5 3x2 1 4x
F(u) 5 -cos u 1 sin u
(F(u))9 5 sin u 1 cos u
Dorénavant, nous n’écrirons plus les constantes d’intégration dans le calcul des
intégrales dénies, car ces constantes s’annulent.
Nous utilisons la notation suivante pour calculer des intégrales dénies.

a
b
f(x) dx 5 F(x) 
a
b
5 F(b)  F(a), où F(x) est une primitive de f(x).Notation
Voici un résumé des étapes à suivre pour évaluer une intégrale dénie
de la forme 
a
b
f(x) dx, à l’aide du théorème fondamental du calcul.
3
1493.3 Théorème fondamental du calcul
1) Déterminer une primitive F(x) de f(x).
2) Utiliser la notation F(x)
a
b
.
3) i) Évaluer F à la borne supérieure b pour obtenir F(b) ;
ii) évaluer F à la borne inférieure a pour obtenir F(a) ;
iii) calculer F(b)  F(a) pour obtenir E
a
b
f(x) dx.
Exemple 4 Évaluons les intégrales dénies suivantes.
a) E
1
4
x  4x dx 5 E1
4
x
1
2  4x
1
2  dx
5 2x
3
2
3
 8x
1
2
1
4
(en intégrant)
5 23 (4)
3
2  8(4)
1
2  23 (1)
3
2  8(1)
1
2 5 -103
b) E
0
0,5 1
1  x2
dx 5 Arc sin x 
0
0,5
5 (Arc sin 0,5)  (Arc sin 0)
5
p
6
 0 5
p
6
c) E
0
2p
sin u du 5 -cos u 
0
2p
5 (-cos 2p)  (-cos 0)
5 -1 1 1 5 0
(en intégrant)
Changement de variable dans l’intégrale définie
Évaluons l’intégrale dénie suivante par changement de variable sans changer les
bornes d’intégration.
Exemple 1 Évaluons E
0
p
2
sin3 4u cos 4u du.
1) Déterminons Esin3 4u cos 4u du, à l’aide d’un changement de variable.
Esin3 4ucos 4u du 5Eu3 1
4
du 5
u4
16
1 C 5
sin4 4u
16
1 C (car u 5 sin 4u)
2) Évaluons l’intégrale dénie à l’aide du théorème fondamental du calcul.
E
0
p
2
sin3 4u cos 4u du 5
sin4 4u
16 0
p
2
5
sin4 2p
16

sin4 0
16
5 0
u 5 sin 4u
du 5 4 cos 4udu
cos 4udu 5
1
4
du
Nous pouvons également évaluer une intégrale dénie, où un changement de
variable est nécessaire, en changeant les bornes d’intégration en fonction de la
nouvelle variable, an d’éviter de revenir à la variable initiale.
150 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
THÉORÈME 3.9 Si g9 est une fonction continue sur [a, b] telle que g9(x)  0 sur ]a, b[ et si f est
une fonction continue sur un intervalle I contenant toutes les valeurs u, où u 5 g(x)
et x ∈ [a, b], alors
E
a
b
f(g(x)) g9(x) dx 5 E
g(a)
g(b)
f(u) du
PREUVE Pour F(x) une primitive de f(x), nous avons
E
a
b
f(g(x)) g9(x) dx 5 F(g(x)) ab (théorème fondamental du calcul)
5 F(g(b))  F(g(a))
5 F(u) g(a)g(b) (car u 5 g(x))
5 E
g(a)
g(b)
f(u) du (théorème fondamental du calcul)
Exemple 2 Évaluons E
3
4 4x
25  x2
dx de deux façons différentes.
Méthode 1
En ne changeant pas les bornes
d’intégration
1) Évaluons E 4x25  x2 dx.
E 4x25  x2 dx 5 4Eu
1
2 -12  du
5 -4u
1
2
1 C
5 -425  x2 1 C
2) Évaluons l’intégrale dénie.
E
3
4
4x
25  x2
dx 5 -425  x2 
3
4
5 -49 1 416
5 4
Méthode 2
En changeant les bornes d’intégration
Puisque u9(x) 5 -2x,
u9(x)  0 sur ]3, 4[.
x 3 4
u 5 25  x2 16 9
En utilisant le théorème 3.9,
E
3
4
4x
25  x2
dx 5 4 E
16
9
u
1
2 -12  du
5 -4u
1
2 
16
9
5 -49 1 416
5 4
u 5 25  x2
du 5 -2x dx
x dx 5
-1
2
du
EXERCICES 3.3
1. Utiliser le théorème fondamental du calcul pour
évaluer chacune des intégrales suivantes.
a) E
1
4
(1  x) dx b) E
p
2
p
2
2 sin u du
c) E
1
e
3
t
dt d) E
1
1
1
1 1 x2
dx
e) E
p
3
0
sec u tan u du f) E
1
2
4ex 1 1
2
dx
g) E
0
2
(x3 1 3x) dx h) E
p
5
p
5
sec2 u du
i) E
0
0,5 -2
1  x2
dx j) E
1
8
 2x3 
4
3 x  dx
3
1513.3 Théorème fondamental du calcul
2. Évaluer chacune des intégrales dénies suivantes
en utilisant un changement de variable
i) sans changer les bornes d’intégration ;
ii) en changeant les bornes d’intégration.
a) 
2
4 1
3 1 5x
dx b) 
0
1
x2(x3 2 1)4 dx
c) 
0
p
12
tan2 3 sec2 3 d d) 
e
e2 1
x ln x
dx
3. Évaluer les intégrales dénies suivantes.
a) 
1
2
x2(3 2 x4) dx
c) 
2
6 (x 1 1)2
x
dx
e) 
0
p
4
sec  d
g) 
p
2p cos 
2 1 sin 
d
i) 
1
2
1 Arc sin x
1 2 x2
dx
k) 
0
p
4
tan  d
b) 
p
2
p
cos 2t dt
d) 
p
3
p
4 sec2 
tan2 
d
f) 
p
2
p
2 cos 
1 1 sin2 
d
h) 
4
9 1
x (1 1 x)3
dx
j) 
0
p
12
sec2 3 etan 3 d
l) 
0
1 3x2 1 2x 1 4
x2 1 1
dx
4. Déterminer la valeur c du théorème de la moyenne
pour l’intégrale dénie, pour les fonctions
continues suivantes.
a) f (x) 5 x3, où x ∈ [2, 8]
b) f (x) 5
1
x
, où x ∈ [2, 6]
c) f (x) 5 3 x, où x ∈ [-8, 1]
5. Utiliser le théorème fondamental pour déterminer :
a) F9(x), si F(x) 5 
1
x
sec3 t dt
b) G9(x), si G(x) 5 
x
2
ln u du
c)
d
dx 1
x
d
dt
(tet) dt
6. Le tableau suivant donne des valeurs de deux
fonctions, f et g, et de leurs dérivées, f 9 et g9.
x f(x) g(x) f (x) g(x)
1 2 -1 4 -3
2 -2 3 -7 6
3 -4 5 -6 7
Déterminer :
a) 
1
3
(4 g9(x) 2 5 f 9(x) 1 3) dx
b) 
1
2
f (x)2 2
g (x)
3
2
2
x dx
c) 
3
2
(f 9(x) g(x) 1 f(x) g9(x)) dx
7. Déterminer F(x), puis trouver F9(x) si :
a) F(x) 5 
p
2
x
cos t dt b) F(x) 5 
1
x
e2t dt
c) F(x) 5 
1
x 1
t
dt, où x . 0
d) F(x) 5 
x
4
(3t2 2 4t 1 5) dt
8. Soit f(x) 5 x si x  1
x2 si x . 1
a) Évaluer 
2
3
f(x) dx.
b) Évaluer :
i) 
1
5
 x 2 3  dx ii) 
2
3
1 2 x2  dx
9. Soit f une fonction intégrable sur [a, b],
où a  c  b. Démontrer à l’aide du théorème
fondamental du calcul que :
a) 
a
a
f(x) dx 5 0
b) 
a
b
f(x) dx 5 -
b
a
f(x) dx
c) 
a
c
f(x) dx 1 
c
b
f(x) dx 5 
a
b
f(x) dx
d) 
a
b
k f(x) dx 5 k 
a
b
f(x) dx
152 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra calculer l’aire de régions fermées.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• de calculer l’aire d’une région comprise entre une courbe
et un axe ;
• de calculer l’aire d’une région située entre deux courbes.
3.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégrale définie
Nous avons d’abord déni à la section 3.2 l’intégrale dénie comme étant
E
a
b
f(x) dx 5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 f(ci) xi
Puis, à la section 3.3, le théorème fondamental du calcul nous a permis d’évaluer
cette intégrale dénie comme suit :
E
a
b
f(x) dx 5 F(x) ab 5 F(b)  F(a)
Dans cette section, nous relierons ces deux notions pour
calculer l’aire de régions fermées, sachant que, dans le cas
où f est continue et non négative sur [a, b],
E
a
b
f(x) dx correspond à l’aire entre la courbe de f,
l’axe des x et les droites d’équation x 5 a et x 5 b.
Aire de régions délimitées par une courbe et un axe
1er cas Sur un intervalle [a, b] donné
Exemple 1 Soit f(x) 5 -x2 1 2x 1 5 sur [1, 3]. Calculons l’aire de la région
comprise entre la courbe de f, l’axe des x et les droites d’équation
x 5 1 et x 5 3, à l’aide de l’intégrale dénie.
Remarque Nous avons déjà évalué A3
1
de cette fonction, à l’aide de lim
n→1∞
s
n
et de
lim
n→1∞
S
n
(voir l’exemple 2 de la section 3.2, page 140). Nous avions trouvé
que A3
1
5
28
3
u2.
y 5 f(x)
Ab
a
5 E
a
b
f(x) dx
y
1
5 f(x)
y
2
5 g(x)
Ab
a
5 E
a
b
( f (x)  g(x)) dx
3
1533.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégrale dénie
Représentons graphiquement la région.
y 5 -x2 1 2x 1 5
Représentons graphiquement un
élément (rec tangle) de l’aire totale
et calculons l’aire de cet élément.
y 5 -x2 1 2x 1 5
Aire du rectangle 5 f (c
i
) x
i
Calculons l’aire réelle A3
1
de la région en faisant la somme des aires des rectangles
et en utilisant la limite lorsque (max x
i
) tend vers zéro de cette somme pour
obtenir l’intégrale dénie que l’on évalue à l’aide du théorème fondamental du
calcul.
(aire de 1 rectangle)
A3
1
5 lim
(max x
i
)→0
n
i 5 1
 f(ci) xi
(aire de n rectangles)
5 
1
3
f(x) dx (dénition 3.6)
5 
1
3
(-x2 1 2x 1 5) dx (car f(x) 5 -x2 1 2x 1 5)
5 1-x
3
3
1 x2 1 5x
3
1
(théorème fondamental du calcul)
5 (-9 1 9 1 15) 2 1 -13 1 1 1 5 5
28
3
d’où A3
1
5 9,3 u2.
Calcul de A
1
3
Exemple 2 Calculons, à l’aide de l’intégrale dénie, l’aire de la région fermée
comprise entre la courbe dénie par x 5 y2 1 1 et l’axe des y,
y 5 -2 et y 5 3.
Représentons graphiquement la région.
x 5 y2 1 1
Représentons graphiquement un
élément (rectangle) de l’aire totale
et calculons l’aire de cet élément.
x 5 y2 1 1
Aire du rectangle 5 x
i
y
i
154 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
(aire de 1 rectangle)
A3
2
5 lim
(max y
i
)→0
n
i 5 1
 xi yi
(aire de n rectangles)
5 
2
3
x dy (dénition 3.6)
5 
2
3
(y2 1 1) dy (car x 5 y2 1 1)
5 1y
3
3
1 y 
3
2
(théorème fondamental du calcul)
5 (9 1 3) 2 1-83 2 2 5
50
3
d’où A3
2
5 16,6 u2.
Remarque Pour simplier l’écriture, nous écrirons sur les graphiques y (au lieu de
f(c
i
)), x (au lieu de x
i
), x (au lieu de x
i
) et y (au lieu de y
i
). Ensuite, nous passerons
directement à l’intégrale dénie, c’est-à-dire y dx (ou x dy), pour évaluer l’aire.
Exemple 3 Calculons l’aire de la région délimitée par
a) y 5 2 1 sin x, y 5 0, x 5

2
et x 5 2 ; b) y 5 ln x, x 5 0, y 5 1 et y 5 3.
Représentons sur le même graphique la région et un élément de l’aire totale.
y 5 2 1 sin x

2
x 2
A
rect.
5 y x
y 5 ln x, ainsi x 5 ey
A
rect.
5 x y
Calcul de l’aire
A
2
2
5 

2
2
y dx
5 2 (2 1 sin x) dx
5 (2x 2 cos x) 
2

2
5 (4 2 cos 2) 2 12 12  2 cos 1

2 
5 3 2 1
d’où A
2
2
 8,42 u2.
A3
1
5 
1
3
x dy
5 
1
3
ey dy (puisque y 5 ln x, x 5 ey)
5 ey 
3
1
5 e3 2 e1
d’où A3
1
 17,37 u2.

2
Calcul de A
2
3
3
1553.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégraledénie
2e cas Sur un intervalle [a, b] à déterminer
Si nous devons calculer l’aire d’une région et que la valeur de a et celle de b ne sont
pas données, il faut déterminer la région fermée qui nous permettra de connaître [a, b].
Exemple 4 Calculons l’aire de la région fermée délimitée par
a) y  -x2 2 2x 1 8 et l’axe des x ; b)
x
3
 1 2 y4 et l’axe des y.
Déterminons les points d’intersection de la courbe et de l’axe demandé en résolvant
y  0
-x2 2 2x 1 8  0
(-x 2 4)(x 2 2)  0, donc x  -4 ou x  2
Les points d’intersection sont (-4, 0) et (2, 0).
x  0
3(1 2 y4)  0
3(1 1 y2)(1 1 y)(1 2 y)  0, donc y  -1 ou y  1
Les points d’intersection sont (0, -1) et (0, 1).
Représentons sur le même graphique la région et un élément de l’aire totale.
A
rect.
 y x
y 5 -x2  2x 1 8
x 5 3(1  y4)
A
rect.
 x y
Calcul de l’aire
A2
4
 
4
2
y dx
 
4
2
(-x2 2 2x 1 8) dx (car y  -x2 2 2x 1 8)
 1-x
3
3
2 x2 1 8x2
2
4
 1-2
3
3
2 22 1 8(2)22 1-(-4)
3
3
2 (-4)2 1 8(-4)2
 36
d’où A2
4
 36 u2.
A1
1
 
1
1
x dy
 
1
1
(3 2 3y4) dy (car x  3 2 3y4)
 13y 2 3y
5
5 2
1
1
 13 2 352 2 1-3 1
3
52

24
5
d’où A1
1
 4,8 u2.
156 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Aire de régions fermées comprises entre deux courbes
1er cas Sur un intervalle [a, b] donné
Si y
1
5 f (x) et y
2
5 g(x), où y
1
 y
2
, sur [a, b], alors la position des fonctions f et g
relativement à l’axe des x n’est pas importante pour calculer l’aire de la région com-
prise entre ces courbes sur [a, b]. Par exemple, pour les trois cas suivants,
y
1
5 f(x)
y
2
5 g(x)
(y
1
 y
2
)
y
1
5 f(x)
(y
1
 y
2
)
y
2
5 g(x)
y
1
5 f(x)
(y
1
 y
2
)
y
2
5 g(x)
nous obtenons toujours que l’aire du rectangle est donnée par ( y
1
 y
2
) x,
d’où Ab
a
5 E
a
b
(y
1
 y
2
) dx 5 E
a
b
( f (x)  g(x)) dx
Exemple 1 Calculons l’aire de la région fermée délimitée par
a) y
1
5 x2  6x 1 8 et y
2
5 x  5, où x ∈ [1, 6] ; b) x
1
5 6y  y2 et x
2
5 -y, où y ∈ [1, 7].
Déterminons les points d’inter section des deux courbes en résolvant
y
1
5 y
2
x2  6x 1 8 5 x  5
x2  7x 1 13 5 0
x
1
5
7 1 -3
2
ou x
2
5
7  -3
2
(à rejeter)
Donc les courbes n’ont aucun point
d’intersection.
x
1
5 x
2
6y  y2 5 -y
y2  7y 5 0
y(y  7) 5 0
donc y 5 0 ou y 5 7
Puisque 0 ∉ [1, 7], 0 est à rejeter.
Le point d’intersection est (-7, 7).
Représentons sur le même graphique la région ainsi qu’un élément de l’aire totale.
A
rect.
5 (y
1
 y
2
) x
(y
1
 y
2
) y2 5 x  5
y
1
5 x2  6x 1 8
(x
1
 x
2
)
A
rect.
5 (x
1
 x
2
) y
x
2
5 -y
x
1
5 6y  y2
f (x)  g(x)
3
1573.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégrale dénie
Calcul de l’aire
A6
1
5 E
1
6
(y
1
 y
2
) dx (y
1
 y
2
, lorsque x ∈ [1, 6])
5 E
1
6
[(x2  6x 1 8)  (x  5)] dx
(y
1
5 x2  6x 1 8 et y
2
5 x  5)
5 E
1
6
(x2  7x 1 13) dx
5 1x
3
3

7x2
2
1 13x2
6
1
5
85
6
d’où A6
1
5 14,16 u2.
A7
1
5 E
1
7
(x
1
 x
2
) dy (x
1
 x
2
, lorsque y ∈ [1, 7])
5 E
1
7
[(6y  y2)  (-y)] dy (x
1
5 6y  y2 et x
2
5 -y)
5 E
1
4
(-y2 1 7y) dy
5 1-y
3
3
1
7y2
2 2
7
1
5
324
6
d’où A7
1
5 54 u2.
2e cas Sur un intervalle [a, b] à déterminer
Exemple 2 Calculons l’aire de la région fermée délimitée par
y
1
5 x2  4 et y
2
5 14  x2.
Déterminons d’abord les points d’inter-
section des deux courbes en résolvant
y
1
5 y
2
x2  4 5 14  x2
2x2  18 5 0
2(x 1 3)(x  3) 5 0
donc x 5 -3 ou x 5 3
Les points d’intersection sont (-3, 5)
et (3, 5).
Représentons sur le même graphique la
région ainsi qu’un élément de l’aire totale.
y
2
5 14  x2
y
1
5 x2  4
(y
2
 y
1
)
A
rect.
5 (y
2
 y
1
) x
A
3
3
5 E
3
3
(y
2
 y
1
) dx (car y
2
 y
1
, lorsque x ∈ [-3, 3])
5 E
3
3
[(14  x2)  (x2  4)] dx (car y
2
5 14  x2 et y
1
5 x2  4)
5 E
3
3
(-2x2 1 18) dx
5 1-2x
3
3
1 18x2
3
3
5 72
d’où A3
3
5 72 u2.
Calcul de A
3
3
Voici les étapes à suivre pour déterminer l’aire entre les courbes y
1
et y
2
ou x
1
et x
2
sur un intervalle donné ou à déterminer.
158 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Soit y
1
5 f(x) et y
2
5 g(x). Soit x
1
5 h(y) et x
2
5 k(y).
1) Déterminer, s’il y a lieu, les points d’intersection des deux courbes en résolvant l’équation
y
1
5 y
2
x
1
5 x
2
2) Représenter graphiquement les régions ainsi qu’un élément de l’aire (un rectangle)
sur chacune des régions.
(y
1
2 y
2
) y
1
5 f(x)
(y
2
2 y
1
)
y
2
5 g(x)
Sur [a, b]
A
rect.
5 (y
1
2 y
2
) x
Sur [b, c]
A
rect.
5 (y
2
2 y
1
) x
Sur [r, s]
A
rect.
5 (x
2
2 x
1
) y
x
2
5 k(y)
(x
1
2 x
2
)
(x
2
2 x
1
)
x
1
5 h(y)
Sur [s, t]
A
rect.
5 (x
1
2 x
2
) y
Cette représentation nous permet de déterminer, pour chaque rectangle,
• la base x,
• la hauteur (y
1
2 y
2
) ou (y
2
2 y
1
),
• les bornes de chaque région,
• la hauteur y,
• la base (x
1
2 x
2
) ou (x
2
2 x
1
),
• les bornes de chaque région,
sachant que la hauteur et la base doivent être non négatives.
3) Évaluer l’aire de chacune des régions à l’aide de l’intégrale dénie correspondante et additionner
ces intégrales pour trouver l’aire totale A.
A 5 Ab
a
 Ac
b
5 E
a
b
(f(x) 2 g(x)) dx  E
b
c
(g(x) 2 f(x)) dx
A 5 As
r
 At
s
5 E
r
s
(k(y) 2 h(y)) dy  E
s
t
(h(y) 2 k(y)) dy
Exemple 3 Évaluons l’aire A de la région fermée comprise entre la courbe
de f et l’axe des x si f(x) 5 x3 2 x2 2 6x.
1) Points d’inter section
y
1
5 y
2
x3 2 x2 2 6x 5 0
x(x2 2 x 2 6) 5 0
x(x 2 3)(x  2) 5 0
donc -2, 0 et 3 sont les zéros de f.
Les points d’intersection sont
(-2, 0), (0, 0) et (3, 0).
2) Représentation graphique
(y
1
20)
(0 2 y
1
)
y
1
5 x3  x2  6x
Sur [-2, 0],
A
rect.
5 (y
1
2 0) x
Sur [0, 3],
A
rect.
5 (0 2 y
1
) x
3) A 5 A0
2
 A3
0
5 E
2
0
(y
1
2 0) dx  E
0
3
(0 2 y
1
) dx
5 E
2
0
(x3 2 x2 2 6x) dx  E
0
3
(-x3  x2  6x) dx
y
1
5 x3 2 x2 2 6x
y
2
5 0
Calcul de A
y
1
2 0 5 x3 2 x2 2 6x
0 2 y
1
5 -x3  x2  6x
3
1593.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégrale dénie
5 1x
4
4
2
x3
3
2 3x22
0
2
1 1-x
4
4
1
x3
3
1 3x22
3
0
5
16
3
1
63
4
5
253
12
d’où A 5 21,083 u2.
Exemple 4 Évaluons l’aire A des régions fermées délimitées par la courbe
d’équation y
1
5 x3 et la courbe d’équation y
2
5 12x 2 x2.
1) Points d’intersection
y
1
5 y
2
x3 5 12x 2 x2
x3 1 x2 2 12x 5 0
x(x2 1 x 2 12) 5 0
x(x 1 4)(x 2 3) 5 0
donc x 5 0, x 5 -4 ou x 5 3
Les points d’intersection sont
(0, 0), (-4, -64) et (3, 27).
2) Représentation graphique
(y
1
2 y
2
)
y
2
5 12x  x2
( y
2
2 y
1
)
y
1
5 x3
Sur [-4, 0],
A
rect.
5 (y
1
2 y
2
) x
Sur [0, 3],
A
rect.
5 (y
2
2 y
1
) x
3) A 5 A0
4
1 A3
0
5 E
4
0
(y
1
2 y
2
) dx 1 E
0
3
(y
2
2 y
1
) dx
5 E
4
0
[x3 2 (12x 2 x2)] dx 1 E
0
3
[(12x 2 x2) 2 x3] dx
5 1x
4
4
2 6x2 1
x3
3 2
0
4
1 16x2 2 x
3
3
2
x4
42
3
0
5
160
3
1
99
4
5
937
12
d’où A 5 78,083 u2.
y
1
5 x3
y
2
5 12x 2 x2
Calcul de A
Exemple 5 Évaluons l’aire A des régions fermées comprises entre les courbes
définies par 2x
1
5 y2 et x
2
2 y 5 4 lorsque y ∈ [-3, 5].
1) Points d’intersection
x
1
5 x
2
y2
2
5 y 1 4
y2 5 2y 1 8
y2 2 2y 2 8 5 0
(y 2 4)(y 1 2) 5 0
donc y 5 4 ou y 5 -2
Les points d’intersection sont
(8, 4) et (2, -2).
2) Représentation graphique
x
2
5 y 1 4
(x
1
2 x
2
)
(x
2
2 x
1
)
x
1
5
y2
2
Sur [4, 5],
A
rect.
5 (x
1
2 x
2
) y
Sur [-2, 4],
A
rect.
5 (x
2
2 x
1
) y
Sur [-3, -2],
A
rect.
5 (x
1
2 x
2
) y
x
2
5 y 1 4
x
1
5
y2
2
160 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
3) A 5 A2
3
1 A4
2
1 A
5
4
5 
3
2
(x
1
 x
2
) dy 1 
2
4
(x
2
 x
1
) dy 1 
4
5
(x
1
 x
2
) dy
5 
3
2
y22  (y 1 4) dy 1 
2
4
(y 1 4)  y22  dy 1 
4
5
y22  (y 1 4) dy
5 1y
3
6

y2
2
 4y2


3
2
1 1y
2
2
1 4y 
y3
6 2
4
2
1 1y
3
6

y2
2
 4y2
5
4
5
5
3
1 18 1
5
3
5
64
3
d’où A 5 21,3 u2.
Calcul de A
1. Représenter graphiquement chacune des régions
fermées suivantesainsi qu’un élément de l’aire
totale, et calculer l’aire des régions.
a) y 5 x2 1 1, y 5 0, x 5 -1 et x 5 2
b) y 5 ex, y 5 0, x 5 0 et x 5 1
c) y 5 x, y 5 0 et x ∈ [0, 9]
d) y 5 x, x 5 0 et y ∈ [0, 3]
e) x 5 9  y2, x 5 0, y 5 -1 et y 5 2
f) y 5
1
1 1 x2
, y 5 0 et x ∈ [-1, 1]
2. Calculer l’aire de chacune des régions fer-
mées suivantes situées sous la courbe de f et
au-dessus de l’axe des x. Représenter gra phi-
quement pour chaque région un élément de
l’aire totale.
a) f(x) 5 6x  x2
b) f(x) 5 x3  6x2 1 8x
c) f(x) 5 cos x sur [-, ]
3. Calculer l’aire de chacune des régions délimitées
par la courbe et l’axe des y. Représenter pour
chaque région un élément de l’aire totale.
a) x 5 y2  2y  3
b) x 5 sin 1y22, où y ∈ [0, 2]
c) y 5 Arc tan x, où x ∈ [0, 1]
EXERCICES 3.4
4. Calculer l’aire de chacune des régions fermées
situées entre les courbes données. Représenter
pour chaque région un élément de l’aire totale.
a) y
1
5 x 1 1 et y
2
5 x2  2x  3
b) x
1
5
y2
2
et x
2
5 y 1 4
c) y
1
5 x2 et y
2
5 18  x2
d) x
1
5 4y2  2 et x
2
5 y2 1 1
e) y
1
5 x3  6x2 1 8x et y
2
5 0
f) x
1
5
y3
4
et x
2
5 y
5. Calculer l’aire de chacune des régions suivantes
situées entre les courbes sur l’intervalle [a, b]
donné. Représenter pour chaque région un
élément de l’aire totale.
a) x
1
5 2y et x
2
5 y2 1 y  2 et y ∈ [-3, 3]
b) y
1
5 ex et y
2
5 1 1 2x sur [-1, 1]
c) y
1
5 x2 et y
2
5
2
x2 1 1
sur [0, 2]
d) y
1
5 cos x, y
2
5 sin x, x 5 0 et x 5 
e) y
1
5 x2, y
2
5 2x sur [1, 3]
6. Calculer l’aire des régions ombrées suivantes.
a) y1 5 x2
y
2
5
1
x
b)
y
1
5 x
y
2
5 8 2 x
3
1613.4 Calcul d’aires à l’aide de l’intégrale dénie
c)
y
1
5 x
y
2
5 8 2 x
d)
y 5
1
x2
7. Soit f(x) 5 x3 et g(x) 5 3 x
sur [0, 1]. Déterminer la
valeur des aires A
1
, A
2
, A
3
et A
4
ci-contre.
8. Soit A
1
et A
2
, l’aire des
régions ombrées ci-contre,
où a  0. Exprimer A
1
en fonction de A
2
.
9. Soit A
1
et A
2
,
l’aire des régions
ombrées ci-contre. y 5 ax
Déterminer la valeur de a, telle que A
1
5 A
2
,
a) de façon algébrique ;
b) en utilisant le théorème fondamental du calcul.
10. Soit A
1
et A
2
, l’aire
des régions ombrées
ci-contre.
Déterminer la valeur
de a si A
1
5 A
2
.
11. Soit A
1
, A
2
et A
3
, l’aire des régions ombrées
suivantes.
y 5
1
xy 5
1
x
Déterminer la valeur de a si
a) 2A
1
1 A
2
5 A
3
b) A
3
5 A
2
c) 4A
3
5 2A
1
1 A
2
Objectif d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra résoudre certains problèmes à l’aide
de l’intégrale dénie.
Plus précisément, l’étudiant sera en mesure :
• d’utiliser l’intégrale définie pour résoudre certains problèmes,
entre autres, dans les domaines de la physique, du calcul des
probabilités et de l’économie.
3.5 Applications de l’intégrale définie
Donnons quelques exemples d’application de l’intégrale dénie dans divers domaines.
Applications de l’intégrale définie en physique
Accélération, vitesse et déplacement
Exemple 1 Soit un mobile dont la vitesse en fonction du temps est donnée
par v(t) 5 t2 1 5, où t ∈ [0 s, 6 s] et v(t) est en m/s.
a) Déterminons la distance D parcou-
rue par ce mobile entre 3 s et 6 s.
b) Relions la distance D parcourue à
la notion d’intégrale dénie et à
un calcul d’aire.
Vitesse et distance
y
1
5
x2
2
1 4
y
2
5 ax
162 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Puisque
dx
dt
5 v
dx 5 v dt (en regroupant)
dx 5 (t2  5) dt
dx 5 (t2  5) dt
x 5
t3
3
 5t  C
Puisque v(t)  0 sur [3 s, 6 s]
D 5 x(6)  x(3)
5 (102  C)  (24  C) 5 78

3
6
v(t) dt 5 x(t)
6
3
1car dxdt 5 v
5 x(6)  x(3)
5 D (car v(t)  0 sur [3 s, 6 s])
Puisque v  0 sur [3 s, 6 s],
nous avons
D 5 
3
6
v(t) dt et
D est égale à l’aire entre la courbe
de v et l’axe des t, t 5 3 et t 5 6.
d’où D 5 78 mètres.
(où x est la
position du mobile)
Exemple 2 La vitesse d’un objet se déplaçant sur une droite est dénie
par v(t) 5 -t2  t  6 où t ∈ [0 s, 4 s] et v(t) est en m/s.
a) Déterminons la distance totale D parcourue par cet objet entre 0 s et 4 s.
Puisque v(t)  0 sur [0 s, 3 s] et que v(t)  0 sur [3 s, 4 s]
D 5 A
1
 A
2
5 
0
3
(-t2  t  6) dt  
3
4
(0  (-t2  t  6) dt
5 1-t33 
t2
2
 6t
0
3
 1t33 
t2
2
 6t
3
4
5
27
2

17
6
5
98
6
d’où D 5 16,3 mètres.
b) Déterminons à quelle distance d se situe l’objet par rapport à sa position
initiale après 4 secondes.
Puisque v(t)  0 sur [0 s, 3 s], l’objet s’éloigne de sa position initiale
de 13,5 mètres.
Puisque v(t)  0 sur [3 s, 4 s], l’objet se rapproche de sa position initiale
de 2,83 mètres.
Ainsi d 5 13,5  2,83 5 10,6,
d’où d 5 10,6 mètres.
Vitesse et distance
v(t)  -t2  t  6
Exemple 3 Partant d’un arrêt, un automobiliste se déplace avec une
accélération a 5
t
2
, où a est en m/s2 et t est en secondes.
Si l’automobiliste accélère jusqu’au moment où il atteint une vitesse de 90 km/h
et s’il maintient cette vitesse par la suite pendant une minute, déterminons la
distance totale qu’il a parcourue pendant ce temps.
Accélération et distance
v(t)  t2  5
3
1633.5 Applications de l’intégrale dénie
De
dv
dt
5 a
dv 5
t
2
dt 1car a 5 t2
dv 5 12 t dt
v 5
t2
4
1 C
Au départ, la vitesse est nulle. En
remplaçant t par 0 et v par 0, nous
trouvons C 5 0.
Donc v(t) 5
t2
4
, si t ∈ [0 s, t
1
s]
Puisque t
1
est le temps nécessaire pour atteindre la vitesse de 90 km/h,
c’est-à-dire 25 m/s,
t
1
2
4
5 25, donc t
1
5 10 s, ainsi v(t) 5
t2
4
si 0  t  10
25 si 10  t  70
et D 5 A
1
1 A
2
5 
0
10
t2
4
dt 1 
10
70
25 dt
5
t3
12 0
10
1 25t 
10
70
5
103
12
1 (1750 2 250)  1583
d’où D  1583 m, c’est-à-dire environ 1,583 km.
90(1000)
3600
5 25
y  v(t)
Exemple 4 Un réservoir d’une capacité de 18 litres contient déjà 2 litres
d’eau et on y ajoute de l’eau à un rythme de
2
t 1 25
L/s.
a) Déterminons la quantité Q
1
d’eau ajoutée dans le réservoir au bout de
30 secondes.
Soit Q, la quantité d’eau ajoutée dans le réservoir au bout de t secondes.
Puisque
dQ
dt
5
2
t 1 25
dQ 5
2
t 1 25
dt
ainsi Q(t) 5  2t 1 25 dt
La quantité ajoutée est donnée par
Q(30) 2 Q(0) 5 
0
30 2
t 1 25
dt
5 4t 1 25 
0
30
5 455 2 20  9,66
d’où Q
1
 9,66 litres.
Débit
dQ
dt
(L/s)
dQ
dt

2
t 1 25
164 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
b) Déterminons la quantité d’eau totale dans le réservoir au bout de 50 secondes.
La quantité ajoutée est donnée par
Q(50) 2 Q(0) 5 4t 1 25 
0
50
5 475 2 20  14,64
d’où la quantité totale d’eau dans le réservoir est d’environ 16,64 litres.
c) Déterminons le temps b nécessaire pour remplir le réservoir.
Puisqu’il faut ajouter 16 litres d’eau pour remplir le réservoir,
Q(b) 2 Q(0) 5 16

0
b
2
t 1 25
dt 5 16
4t 1 25 
0
b
5 16
4b 1 25 2 20 5 16
b 1 25 5 9
b 5 56
d’où 56 secondes.
2 1 14,64 5 16,64
18 2 2 5 16
Travail effectué par une force variable
Considérons un objet qui se déplace de a à b sur l’axe des x sous l’action d’une force
variable. Si on imagine que l’objet effectue un très petit déplacement Dx
i
, alors la
composante en x de la force F
x
i
peut être considérée comme presque constante sur
cet intervalle et le travail effectué par la force sur le petit déplace ment est donné
par W
i
 F
x
i
Dx
i
, où Dx
i
est en mètres, F
x
i
en newtons (N) et W
i
en joules (J).
Ainsi, le travail total W effectué sur [a, b] est donné approximativement par
W 
n 2 1
i 5 0
 Fxi Dxi
Si (max Dx
i
) → 0, alors W 5 lim
(max Dx
i
) → 0
n 2 1
i 5 0
 Fxi Dxi
d’où W 5 
a
b
F(x) dx (dénition 3.6)
Ainsi, graphiquement, le travail est égal à l’aire située sous la courbe de la force F,
au-dessus de l’axe des x, où x ∈ [a, b].
Exemple 5 Une force agissant sur un objet varie selon l’équation
F(x) 5
20 2 x2
4
, où F est en newtons et x, en mètres.
Calculons le travail W effectué par la force lorsque l’objet se
déplace de 0 mètre à 4 mètres.
Force et travail
Aire 5 DA
i
5 F(x
i
) Dx
i
F(x)
3
1653.5 Applications de l’intégrale dénieW 5 
0
4
F(x) dx
5 
0
4 20 2 x2
4
dx
5 5x 2 x3120
4
5 20 2 4312 5 14,6
d’où W 5 14,6 J
F(x) 5
20 2 x2
4
Loi de Hooke
Soit une masse, placée sur une surface lisse hori­
zontale, reliée à un ressort. Si on allonge ou si
on comprime le ressort sur une petite distance à
partir de sa position d’équilibre, le ressort exerce
sur la masse une force F
r
donnée par la
loi de Hooke:
F
r
5 ­kx
où x est le déplacement de la masse à partir de la
position d’équilibre (x 5 0) et k est une constante
positive appelée constante de rappel du ressort
et est exprimée en N/m. La valeur de k consti­
tue une mesure de la rigidité du ressort. Elle est
grande pour les ressorts rigides et faible pour les
ressorts souples.
Exemple 6 Soit un ressort à l’horizontale obéissant à la loi de Hooke, où la
constante de rappel k 5 30 N/m. Une de ses extrémités est xée
et l’autre est soumise à l’action d’une force extérieure qui allonge
le ressort.
a) Déterminons le travail effectué par
le ressort s’il est allongé de 0 cm
à 5 cm.
b) Déterminons le travail effectué
par une force extérieure F pour
allonger le ressort de 5 cm à 8 cm.
F
r
(x) 5 -30x
W
1
5 
0
0,05
(­30x) dx (car F
r
5 ­30x)
5 ­15x2 
0
0,05
5 ­0,0375
d’où W
1
5 ­0,0375 J (rappel du ressort)
F(x) 5 30x
W
2
5 
0,05
0,08
(30x) dx (car F(x) 5 30x)
5 15x2 
0,05
0,08
5 0,0585
d’où W
2
5 0,0585 J
Travail
F
r
5 ­kx
166 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Centre de gravité
Nous allons restreindre le calcul de centre de gravité à des surfaces planes
de densité uniforme.
DÉFINITION 3.8 1) Le moment M
x
d’une surface plane, par rapport à l’axe des x, est égal
au produit de la distance y du centre de gravité C(x, y) de la surface plane
à l’axe des x, par l’aire A de la surface plane, c’est-à-dire
M
x
5 yA
2) Le moment M
y
d’une surface plane, par rapport à l’axe des y, est égal
au produit de la distance x du centre de gravité C(x, y) de la surface plane
à l’axe des y, par l’aire A de la surface plane, c’est-à-dire
M
y
5 xA
Exemple 7 Soit un rectangle de densité uniforme, dont les sommets sont
P(2, 1), Q(2, 3), R(8, 3) et S(8, 1), et dont le centre de gravité est
C(5, 2). Calculons les moments M
x
et M
y
.
Calculons l’aire A du rectangle : A 5 (8  2)(3  1) 5 12 u2.
Ainsi M
x
5 yA (dénition 3.8)
5 2(12) (car y 5 2)
5 24
M
y
5 xA (dénition 3.8)
5 5(12) (car x 5 5)
5 60
Moment
DÉFINITION 3.9 Le moment M d’une surface plane quelconque, par rapport à une droite D, est égal
à la somme des moments M
i
de chaque élément de surface, c’est-à-dire
M 5
n
i 5 1
 Mi
De façon générale, pour une surface plane quel conque dont nous voulons déterminer
le centre de gravité C(x, y), nous découpons cette surface en petits rectangles.
Soit la surface plane délimitée par y 5 f(x),
l’axe des x, où x ∈ [a, b].
Découpons cette région en petits rectangles
de base x, où x 5
b  a
n
, et de hauteur y
i
,
où y
i
5 f(x
i
), x
i
étant le point milieu de chaque
sous-intervalle.
y  f(x)
C1xi, 12 yi2
3
1673.5 Applications de l’intégrale dénie
Pour chaque élément de surface, le centre de gravité est C1xi, 12 yi2. Ainsi,
M
x
i
5 y
i
A
i
5 112 yi2 (yi x)
M
x

n
i 5 1
 112 yi2 (yi x)
M
x
5 lim
(max x
i
) → 0
n
i 5 1
 112 yi2 (yi x)
M
x
5
1
2 
a
b
y2 dx
Puisque x 5
1
A
M
y
d’où x 5
1
A

a
b
xy dx, car M
y
5 
a
b
xy dx
M
y
i
5 x
i
A
i
5 x
i
(y
i
x)
M
y

n
i 5 1
 xi (yi x)
M
y
5 lim
(max x
i
) → 0
n
i 5 1
 xi (yi x)
M
y
5 
a
b
xy dx
Puisque y 5
1
A
M
x
d’où y 5
1
2A

a
b
y2 dx, car M
x
5
1
2

a
b
y2 dx
où A est l’aire de la surface plane, donnée par A 5 
a
b
y dx
Exemple 8 Soit f(x) 5 9  x2, où x ∈ [0, 3]. Déterminons le centre de
gravité C(x, y) de la surface plane délimitée par la courbe de f,
y 5 0 et x ∈ [0, 3].
Calculons d’abord l’aire A de la surface plane
A 5 
0
3
y dx 5 
0
3
(9  x2) dx 5 19x  x
3
3 2
3
0
5 18 u2
Calculons x.
x 5
1
A

0
3
xy dx
5
1
18 
0
3
x(9  x 2) dx
5
1
18 
0
3
(9x  x3) dx
5
1
18 1
9
2
x2 
x
4
42
3
0
5
1
18 1
81
4 2
5 1,125
Calculons y.
y 5
1
2A

0
3
y2 dx
5
1
2(18)

0
3
(9  x2)2 dx
5
1
36

0
3
(81  18x2 1 x4) dx
5
1
36 181x  6x3 1
x5
5 2
3
0
5
1
36 1
648
5 2
5 3,6
d’où C(1,125 ; 3,6)
Centre de gravité
C(x, y)
f(x) 5 9 2 x2
A 5 18 (y 5 9  x2)
Dénition 3.8
Dénition 3.6
Dénition 3.8
168 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
De façon générale, le centre de gravité C(x, y), d’une surface plane fermée et délimi-
tée par deux courbes, est donné par
x 5
1
A

a
b
x(y
1
2 y
2
) dx et y 5
1
2A

a
b
(y
1
2 2 y
2
2) dx
où A est l’aire de la surface plane donnée par A 5 
a
b
(y
1
2 y
2
) dx
Exemple 9 Déterminons le centre de gravité de la surface plane délimitée par
les courbes de f(x) 5 x et g(x) 5 x 2 2 2x.
Déterminons d’abord les points
d’intersection des deux courbes.
f(x) 5 g(x)
x 5 x2 2 2x
0 5 x2 2 3x
0 5 x(x 2 3)
donc x 5 0 et x 5 3
Les points d’intersection sont
(0, 0) et (3, 3).
Calculons x.
x 5
1
A

0
3
x( f(x) 2 g(x)) dx
5
1
1922

0
3
x(x 2 (x2 2 2x)) dx
5
2
9

0
3
(3x2 2 x3) dx
5
2
9 1x3 2
x
4
42
3
0
5
2
9 1
27
4 2
5 1,5
Calculons l’aire A entre les deux courbes.
A 5 
0
3
( f(x) 2 g(x)) dx
5 
0
3
(x 2 (x2 2 2x)) dx
5 
0
3
(-x2 1 3x) dx
5 1 -x
3
3
1
3x2
2 2
2
0
5
9
2
u2
Calculons y.
y 5
1
2A

0
3
(( f(x))2 2 (g(x))2) dx
5
1
21922

0
3
(x2 2 (x2 2 2x)2) dx
5
1
9

0
3
(-x4 1 4x3 2 3x2) dx
5
1
9 1
-x
5
5
1 x4 2 x32
3
0
5
1
9 1
27
5 2
5 0,6
d’où C(1,5 ; 0,6)
A 5
9
2
f(x) 5 x
g(x) 5 x2 2 2x
f(x) 5 x
g(x) 5 x2 2 2x
C(x, y)
3
1693.5 Applications de l’intégrale dénie
Applications de l’intégrale définie en calcul
des probabilités
Supposons qu’un golfeur frappe régulièrement ses balles de golf sur des distances
variant de 80 à 200 mètres. Soit X, la distance parcourue par une balle de golf frap-
pée par ce golfeur, X pouvant prendre une innité de valeurs sur [80, 200].
Nous disons que X est une variable aléatoire continue qui peut prendre toutes
les valeurs entre 80 mètres et 200 mètres.
Quelle est la probabilité qu’une balle frappée par ce golfeur parcoure exactement
la distance de 123,45 mètres ? Il est très peu probable que cette distance exacte soit
atteinte. De fait, la probabilité d’atteindre n’importe quelle distance exacte est égale à 0.
Dans le cas des variables aléatoires continues sur [a, b], nous devons utiliser une
fonction f(x), appelée densité de probabilité, qui possède les propriétés suivantes :
1) f(x)  0, ∀ x ∈ [a, b]
2) E
a
b
f(x) dx 5 1
Lorsque nous connaissons la densité de probabilité f(x) d’une variable aléatoire X
continue, la probabilité que cette variable prenne une valeur comprise entre
c et d, est donnée par
P(c  X  d) 5E
c
d
f (x) dx, où [c, d]  [a, b]
DÉFINITION 3.10 L’espérance mathématique (ou moyenne), notée  ou E(X), d’une variable aléa-
toire continue X sur [a, b] dont la fonction de densité est f(x) est donnée par
 5 E(X) 5 E
a
b
x f (x) dx
Exemple 1 Soit f(x) 5 k 15 2 (x 2 130)21000 2, où k  0 et x ∈ [80 m, 200 m],
la fonction de densité de probabilité pour la variable aléatoire X
représentant la distance parcourue par la balle d’un golfeur.
a) Déterminons k, pour que f soit une fonction de densité de probabilité
sur [80, 200].
Il faut que E
a
b
f(x) dx 5 1, ainsi
E
80
200
k 15 2 (x 2 130)
2
1000 2 dx 5 1
170 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
k E
80
200
15 2 (x 2 130)
2
1000 2 dx  1
k 15x 2 (x 2 130)
3
3000 280
200
 1
k(444)  1
d’où k 
1
444
et, de plus, f(x) 
5
444
2
(x 2 130)2
444 000
, ∀ x ∈ [80, 200]
b) Calculons la probabilité que la distance parcourue par la balle de ce golfeur soit
i) entre 110 m et 130 m ;
P(110  X  130)  E
110
130
1 5444 2
(x 2 130)2
444 000 2 dx
 1 5x444 2
(x 2 130)3
1 332 000 2
130

110
 1,463 9… 2 1,244 7…
 0,219 2…
d’où P(110  X  130)  0,219
ii) plus loin que 140 m.
P(140  X  200)  E
140
200
1 54442
(x 2 130)2
444 000 2 dx
 1 5x444 2
(x 2 130)3
1 332 000 2140
200
 1,994 7… 2 1,575 8…
 0,418 9…
d’où P(140  X  200)  0,419
c) Déterminons l’espérance mathématique .
  E
80
200
x 1 5444 2
(x 2 130)2
444 000 2 dx
 E
80
200
1 5x444 2
x3 2 260x2 1 16 900x
444 000 2 dx
 1 5x
2
2(444)
2
x4
4(444 000)
1
260x3
3(444 000)
2
8450x2
444 000280
200
 133,513…
d’où   133,5 m
La valeur  correspond à la distance moyenne parcourue par les balles frappées
par ce golfeur si celui-ci en frappe une très grande quantité dans les mêmes
conditions.
E
80
200
f(x) dx  1
  E
a
b
x f(x) dx
3
1713.5 Applications de l’intégrale dénie
Applications de l’intégrale définie en économie
En tant que groupe, les acheteurs conditionnent la demande d’un produit, tandis que
les producteurs en conditionnent l’offre. Parmi l’ensemble des facteurs qui inuent
sur la consommation, les économistes mettent l’accent sur la relation entre le prix et
la quan tité demandée (ou offerte).
Demande
Pour les consommateurs, si le prix d’un bien
diminue, la quantité deman dée augmentera,
parce que la baisse de prix correspond dans
les faits à une augmentation du pouvoir
d’achat du consommateur. Le consomma-
teur qui était prêt à acheter une certaine
quantité d’un bien à un prix donné voudra
sans doute en acheter une plus grande quan-
tité à un prix un peu plus bas. En économie,
la demande établit une relation entre les
quan tités demandées d’un bien et le prix
de celui-ci. À différents prix correspondent
différentes quantités demandées : plus le
prix diminue, plus la quantité demandée
augmente et vice versa.
Offre
Plaçons-nous maintenant du côté
des producteurs. La quantité offerte
représente la quantité de biens que les
producteurs désirent mettre en mar-
ché. Quels sont les principaux fac-
teurs qui expliquent le compor tement
du producteur ? Un facteur important
est le prix : plus celui-ci sera élevé,
plus la quantité offerte sera grande.
C’est une relation entre le prix et la
quantité offerte. Un prix élevé signie
pour un producteur une possibilité de
prots plus élevés et, par conséquent,
un intérêt plus grand à produire.
Une courbe de demande illustre l’évolution
de la quantité de biens demandés lorsque
les prix varient, tous les autres déterminants
(revenu et goûts des consommateurs, prix
des biens substituts, etc.) de la demande
demeurant constants.
Lorsque les consommateurs achètent
Q
d1
unités à un prix p
1
, le montant total
des achats sera donné par (Q
d1
)(p
1
).
Graphiquement, ce montant correspond à
l’aire du rectangle de sommets (0, 0), (0, p
1
),
(Q
d1
, 0) et (Q
d1
, p
1
).
Une courbe d’offre illustre l’évolution
de la quantité de biens offerts lorsque
les prix varient, tous les autres déter-
minants (coûts de production, techno-
logie, nombre de producteurs, etc.) de
l’offre demeurant constants.
Lorsque les producteurs vendent Q
o2
unités à un prix p
2
, le montant total
des ventes sera donné par (Q
o2
)(p
2
).
Graphiquement, ce montant corres-
pond à l’aire du rectangle de sommets
(0, 0), (0, p
2
), (Q
o2
, 0) et (Q
o2
, p
2
).
172 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Surplus du consommateur et surplus du producteur
DÉFINITION 3.11
Le surplus du consommateur,
noté SC, représente l’économie que
l’ensemble des consommateurs ont pu
réaliser en achetant l’article au prix
courant p
c
plutôt qu’à un prix plus
élevé qu’ils étaient prêts à payer.
DÉFINITION 3.12
Le surplus du producteur, noté SP,
est le montant supplémentaire que l’en-
semble des producteurs ont pu amasser
en vendant le produit au prix courant p
p
plutôt qu’à un prix moindre qu’ils étaient
prêts à accepter.
Dorénavant, nous utilisons la variable q pour désigner les quantités Q
d
et Q
o
.
Supposons maintenant que tous les
consom mateurs qui ont acheté l’article
au prix p
c
auraient plutôt acheté l’article
à un prix entre D(0) et p
c
qu’ils étaient
prêts à payer.
Le montant total des ventes pourrait être
obtenu en évaluant l’aire entre la courbe
de D(q) et l’axe horizontal sur [0, q
c
],
c’est-à-dire l’intégrale dénie suivante :
E
0
qc
D(q) dq.
E
0
q
c
D(q) dq
Supposons maintenant que tous les
producteurs qui ont vendu l’article au
prix p
p
l’auraient plutôt vendu à un prix
entre O(0) et p
p
auquel ils étaient prêts
à consentir.
Le montant total des ventes pourrait être
obtenu en évaluant l’aire entre la courbe
de O(q) et l’axe horizontal sur [0, q
p
],
c’est-à-dire l’intégrale dénie suivante:
E
0
qp
O(q) dq.
E
0
q
p
O(q) dq
Le surplus du consommateur (SC) peut être
représenté par l’aire de la région suivante.
SC 5 E
0
qc
D(q) dq 2 (q
c
)(p
c
)
5 E
0
qc
D(q) dq 2 E
0
qc
p
c
dq
d’où SC 5 E
0
qc
(D(q) 2 p
c
) dq
Le surplus du producteur (SP) peut être
représenté par l’aire de la région suivante.
SP 5 (q
p
)(p
p
) 2 E
0
qp
O(q) dq
5 E
0
qp
p
p
dq 2 E
0
qp
O(q) dq
d’où SP 5 E
0
qp
(p
p
2 O(q)) dq
3
1733.5 Applications de l’intégrale dénie
Lorsque la courbe de la demande et celle de l’offre sont tracées sur un même
système d’axes, nous constatons qu’il y a un point d’intersection noté E(q
e
, p
e
).
DÉFINITION 3.13 1) Le point d’intersection E(q
e
, p
e
) des courbes
de demande et d’offre est appelé le
point d’équilibre.
2) Le prix p
e
pour lequel la demande est égale
à l’offre est appelé le prix d’équilibre.
3) La quantité q
e
pour laquelle la demande est égale
à l’offre est appelée quantité d’équilibre.
DÉFINITION 3.14 Soit E(q
e
, p
e
) le point d’équilibre entre la courbe de la demande et la courbe
de l’offre.
Le surplus total, noté ST, est déni comme étant l’aire entre la courbe de la
demande et la courbe de l’offre où q ∈ [0, q
e
].
D’où ST 5 SC  SP ou ST 5 E
0
qe
(D(q) 2 O(q)) dq
Exemple 1 La fonction « demande » pour des bâtons de hockey est donnée
par D(q) 5 0,01q2 2 1,8q  120, exprimée en dollars, et la
fonction « offre » pour le même produit est donnée par
O(q) 5 0,01q2  0,7q  45, exprimée en dollars.
a) Déterminons le surplus du consom mateur SC si q 5 40 et représentons
la région correspondante.
SC
q 5 40
5E
0
40
((0,01q2 2 1,8q  120) 2 64) dq
5 10,01q
3
3
2 0,9q2  56q2
0
40
5 1013,3
d’où SC
q 5 40
 1013,33 $
D(q)  0,01q2  1,8q  120
b) Déterminons le surplus du producteur SP si q 5 45 et représentons
la région correspondante.
SP
q 5 45
5 E
0
45
(96,75 2 (0,01q2  0,7q  45)) dq
5 151,75q 2 0,01q
3
3
2
0,7q2
2 20
45
5 1316,25
d’où SP
q 5 70
5 1316,25 $
O(q)  0,01q2  0,7q  45
Surplus du consommateur
SC 5 E
0
qc
(D(q) 2 p
c
) dq
où q
c
5 40 et p
c
5 64
Surplus du producteur
SP 5 E
0
qp
(p
p
2 O(q)) dq
où q
p
5 45 et p
p
5 96,75
174 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
c) Déterminons le point d’équilibre E(q
e
, p
e
).
En posant D(q)  O(q), nous obtenons
0,01q2  1,8q  120  0,01q2  0,7q  45
75  2,5q
ainsi q  30.
En calculant D(30), nous obtenons
D(30)  0,01(30)2  1,8(30)  120  75
d’où le point d’équilibre est E(30, 75).
d) Déterminons le surplus total ST de deux façons et représentons la région
correspondante.
1re façon
SC
q  30
 
0
30
(0,01q2  1,8q  120  75) dq
 10,01q
3
3
 0,9q2  45q2
0
30
 630
SP
q  30
 
0
30
(75  (0,01q2  0,7q  45)) dq
 130q  0,01q
3
3

0,7q2
2 20
30
 495
ST  SC
q  30
 SP
q  30
 630  495
d’où ST  1125 $
2e façon
ST  
0
30
(D(q)  O(q)) dq
 
0
30
((0,01q2  1,8q  120)  (0,01q2  0,7q  45)) dq
 1-2,5q
2
2
 75q2
0
30
 1125
d’où ST  1125 $
Point d’équilibre
ST  SC  SP
O(q)
D(q)
Surplus total
3
1753.5 Applications de l’intégrale dénie
Courbe de Lorenz et coefficient de Gini
Au e siècle av. J.-C., le philosophe Platon prévenait les Athéniens :
« Il ne faut pas que certains citoyens souffrent de la pauvreté, tandis que
d’autres sont riches, parce que ces deux états sont causes de dissensions. »
Plusieurs décisions politiques ou économiques sont prises en se basant sur la distri-
bution des revenus parmi les membres de lapopulation d’une région, d’une province,
d’un pays.
Cette distribution des revenus est-elle équitable ?
Cette distribution est-elle moins ou plus équitable qu’elle ne l’était il y a huit ans ?
Cette distribution est-elle moins ou plus équitable que celle d’un pays voisin ?
Pour pouvoir répondre à ce genre de questions, il nous faut une mesure de l’inégalité
de la distribution des revenus permettant de faire des comparaisons.
Le mathématicien et économiste américain Max Otto Lorenz (1880-1962) a introduit
vers 1905 une approche graphique permettant de mesurer l’inégalité dans la distribu-
tion des revenus d’une population.
Cette approche peut aussi servir à mesurer l’inégalité d’un actif ou d’autres
distributions.
Elle est connue sous le nom de courbe de Lorenz.
Courbe
de Lorenz
y  L(x)
y  x
Sur l’axe horizontal de cette courbe, nous retrouvons les pourcentages cumulés
des individus classés par revenu croissant. Ces individus se partagent un certain
pourcentage de l’ensemble de tous les revenus qui se retrouvent sur l’axe vertical.
Remarque Les pourcentages sont donnés sous la forme décimale. Par exemple :
20 % est noté 0,2 et 100 % est noté 1.
Sur la courbe de Lorenz précédente, nous pouvons voir que :
 10 % de la population se partage environ 2,5 % de l’ensemble des revenus ;
 20 % de la population se partage environ 8 % de l’ensemble des revenus ;
 40 % de la population se partage environ 20 % de l’ensemble des revenus ;
 80 % de la population se partage environ 60 % de l’ensemble des revenus ;
 Parmi les revenus les plus élevés, 10 % de la population se partage environ
(100 %  75 %), c’est-à-dire 25 % de l’ensemble des revenus.
Il s’agit d’une situation
courante pour un pays
industrialisé.
176 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Une courbe L de Lorenz possède les propriétés suivantes :
1) dom L  [0, 1] et ima L  [0, 1] ;
2) a) L(0)  0, car 0 % de la population se partage 0 % des revenus ;
b) L(1)  1, car 100 % de la population se partage 100 % des revenus ;
3) L est une fonction croissante sur [0, 1] ;
4) L est une fonction concave vers le haut sur ]0, 1[, lorsque L n’est pas
représentée par un ou des segments de droite ;
5) L(x)  x, où x ∈ [0, 1].
Dans une société, nous disons que la distribution des revenus est parfaitement éga-
litaire si tous les individus reçoivent le même revenu. Ainsi, 10 % de la population
se partage 10 % des revenus, 20 % de la population se partage 20 % des revenus, etc.
Une répartition égalitaire est donc représentée par l’équation y  x ; cette droite est
appelée la ligne de parfaite égalité.
Plus la courbe de Lorenz (courbe en orange) est éloignée de la courbe y  x, plus
la distribution des revenus parmi les membres de la population est inégale.
À l’inverse, on parlera de distribution parfaitement inégalitaire si, dans la société
considérée, un individu s’accapare le revenu total. Dans ce cas, la fonction associée
prend la valeur y  0 pour tout x ∈ [0, 1[ et y  1 quand x  1.
La courbe de Lorenz correspondant à cette situation est constituée de segments de
droite joignant les points (0, 0) à (1, 0) et (1, 0) à (1, 1) et est appelée la ligne
de parfaite inégalité.
L’aire A entre la droite y  x et la courbe de Lorenz est telle que 0  A  0,5.
Plus A est élevée, plus il y a inégalité dans la distribution des revenus.
Le statisticien et démographe italien Corrado Gini (1884-1965) a développé un outil
fréquemment utilisé, le coefcient de Gini, noté G, pour mesurer des inégalités, par
exemple de revenu, entre personnes d’une même population ou entre populations
distinctes.
Ce coefcient G se calcule en évaluant le rapport de l’aire A comprise entre la droite
y  x et la courbe de Lorenz et l’aire du triangle
rectangle de sommets O(0, 0), P(1, 0) et Q(1, 1).
G 
aire A
112

E
0
1
(x 2 L(x)) dx
112
d’où G  2 E
0
1
(x 2 L(x)) dx
Ainsi 0  G  1, et
• plus G est près de zéro, c’est-à-dire que A est près de zéro, plus la répartition
est égalitaire ;
• plus G est près de 1, c’est-à-dire que A est près de 0,5, plus la répartition est
inégalitaire.
y  x
y  L(x)
G 
A
A 1 B
, où
A 1 B 
1
2
Courbe
de Lorenz
y  L(x)
3
1773.5 Applications de l’intégrale dénie
Remarque Les deux pays les plus égalitaires en termes de revenu sont le Danemark
(G  0,247) et le Japon (G  0,249). De plus, 14 pays européens font partie des
15 pays les plus égalitaires. Le Canada (G  0,326) se situe au 24e rang. Parmi
les 15 pays les plus inégalitaires se trouvent 9 pays sud-américains et 6 pays africains,
dont la Namibie (G  0,743), le Lesotho et la Sierra Leone.
Exemple 1 Soit la courbe de Lorenz dénie par L(x)  0,4x2  0,6x.
a) Déterminons le coefcient de Gini G.
G  2 E
0
1
(x 2 L(x)) dx
 2 E
0
1
(x 2 (0,4x2  0,6x)) dx
 2 E
0
1
(0,4x 2 0,4x2) dx
 2 10,2x2 2 0,4x
3
3 20
1
 2(0,06)
d’où G  0,13
b) Interprétons le résultat précédent.
Puisque le coefcient de Gini est petit, nous pouvons afrmer que les inégali-
tés dans la population sont faibles.
Coefcient de Gini
L(x)  0,4x2  0,6x
y  x
Exemple 2 Statistique Canada a déterminé, à la suite de l’étude des revenus
d’une année donnée, que la distribution des revenus représentée
par les courbes de Lorenz L
1
(x) pour les dentistes et L
2
(x) pour
les médecins est donnée par :
L
1
(x)  x1,7 et L
2
(x)  0,9x2  0,1x
Déterminons laquelle des professions a une meilleure distribution de revenu.
En calculant respectivement le coefcient de Gini G
1
pour les dentistes et G
2
pour les médecins, nous obtenons
G
1
 2 E
0
1
(x 2 x1,7) dx
 2 1x
2
2
2
x2,7
2,720
1
 0,259...
G
2
 2E
0
1
(x 2 (0,9x2  0,1x)) dx
 2 1-0,9x
3
3

0,9x2
2 20
1
 0,3
Puisque le coefcient de Gini des dentistes est plus petit que celui des médecins
au Canada, les revenus des dentistes sont distribués plus uniformément que ceux
des médecins.
y  x
L
1
(x)  x1,7
L
2
(x)  0,9x2  0,1x
On ne peut pas déterminer
graphi quement laquelle des
professions a une meilleure
distribution des revenus.
178 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
1. a) Le graphique suivant représente la vitesse
relevée durant des essais d’accélération.
Déterminer la distance d parcourue par l’auto
si t ∈ [2 s, 6 s].
b) Le graphique suivant représente l’accélération
durant des essais de vitesse d’une voiture de
course. Sachant que la voiture est immobile
avant qu’elle démarre, déterminer approxi­
mativement la vitesse de la voiture à t  10 s.
2. D’une montgolère
située à 125 m du sol,
nous laissons tomber
une balle. Sachant que
l’accélération due à la
gravité est de 9,8 m/s2,
déterminer à l’aide de
l’intégrale dénie :
a) son changement de vitesse durant
i) les 3 pre mières secondes ;
ii) les 2 secondes suivantes ;
b) la distance parcourue durant
i) les 2 premières secondes ;
ii) les 3 secondes suivantes.
3. Un traîneau de 10 kg dont l’accélération est
donnée par a(x)  0,3x  1, où a est exprimée
en m/s2, se déplace sur une distance de 6 mètres
de son point de départ. Calculer le travail W
effectué sachant que F  ma.
EXERCICES 3.5
4. Partant d’un arrêt, un automobiliste se déplace
avec une accélération a
1

5t
8 m/s
2 jusqu’au
moment où sa vitesse atteint 72 km/h. Il
conserve cette vitesse pendant 28 secondes
pour ensuite ralentir avec une accélération
a
2

­10
345 2 t
m/s2 et nalement s’immo­
biliser. Déterminer la distance D parcourue
durant ce trajet.
5. L’accélération a, exprimée en m/s2, d’un
pendule oscillant en mouvement harmonique
simple est donnée par a(t) 
­p2
3 cos 1pt  p62,
où t est en secondes. Sachant que sa vitesse
initiale est de
­p
6 m/s, déterminer la distance D
parcourue par ce pendule si t ∈ [0 s, 1 s].
6. Un réservoir d’une capacité de 5000 litres con­
tient déjà 500 litres d’eau. On y ajoute de l’eau
au rythme de 135  1t2 L/min.
a) Déterminer la quantité d’eau dans le réser­
voir après 1 heure.
b) Après combien de temps le réservoir sera­t­il
rempli ?
7. Soit f(x) 
1
x2
, où x ∈ [1, 3]. Déterminer le
centrede gravité C(x, y) de la surface plane
délimitée par la courbe de f, y  0 et x ∈ [1, 3].
8. Soit y
1
 3 x et y
2
 x2. Déterminer le centre de
gravité C(x, y) de la région fermée délimitée par
ces deux courbes.
9. Le feu de signalisation
à une intersection
reste rouge pendant
50 secondes. Un auto­
mobiliste arrive à cette
intersection et le feu
est déjà rouge.
Soit f(x)  k,
où x ∈ [0 s, 50 s] et k  0.
3
1793.5 Applications de l’intégrale dénie
a) Déterminer k pour que f soit une fonction
de densité de probabilité, et trouver cette
fonction de densité.
b) Calculer la probabilité que l’automobiliste
arrive à l’intersection entre la 12e et la
34e seconde de la durée du feu rouge.
c) Calculer la probabilité qu’il reste moins de
15 secondes avant que le feu passe au vert.
d) Calculer la probabilité qu’il reste plus de
30 secondes avant que le feu passe au vert.
e) Calculer la probabilité qu’il reste exactement
20 secondes avant que le feu passe au vert.
f) Calculer le temps moyen d’arrêt pour
l’ensemble des automobilistes.
10. Soit f(x)  kx(18 2 x), où k  0 et x ∈ [0, 18],
la fonction de densité de probabilité de la va ­
riable aléatoire X donnant le temps d’attente
en minutes avant d’accéder au comptoir dans
une banque.
a) Déterminer la valeur de k.
b) Déterminer la probabilité que le temps d’attente
i) soit inférieur à 5 minutes ;
ii) soit supérieur ou égal à 10 minutes ;
iii) soit entre 4 minutes et 12 minutes.
c) Calculer E(X). Interpréter le résultat.
11. a) La fonction « demande » pour
une paire de skis est donnée par
D(q)  300 2 103q 1 4, exprimée
en dollars. Déter miner le surplus du
consommateur SC si q  84 et représenter
la région correspondante.
b) La fonction « offre » pour ce produit est
donnée par O(q)  (0,01q 1 4,6)3, exprimée
en dollars. Déterminer le surplus du produc­
teur SP si q  140 et représenter la région
correspondante.
12. La fonction « demande » pour un dictionnaire est
donnée par D(q)  ­0,01q2 1 81, exprimée en
dollars, et la fonction « offre » pour le même pro ­
duit est donnée par O(q)  0,01q2 1 0,02q 1 30,
exprimée en dollars. Déterminer le surplus
total ST et représenter la région correspondante.
13. La fonction « demande » pour une paire de patins
est donnée par D(q) 
5400
q 1 16
, exprimée en
dollars, et la fonction « offre » pour le même
produit est donnée par O(q)  35 1 20q 1 1,
exprimée en dollars.
a) Déterminer le point d’équilibre E(q
e
, p
e
).
b) Déterminer le surplus du consommateur SC
si q  q
e
.
c) Déterminer le surplus du producteur SP
si q  q
e
.
d) Déterminer le surplus total ST.
e) Représenter dans un même système d’axes
SC, SP et ST.
14. Soit les courbes de
Lorenz L
1
et L
2
associées
aux salaires des em ployés
de deux entreprises.
Déterminer dans quelle
entreprise la répartition des
salaires est la moins
inégalitaire.
15. Soit la courbe de Lorenz suivante.
a) Interpréter le point P
1
(0,2 ; 0,104).
b) Quel pourcentage des revenus de la population
se partagent les 40 % des ménages les plus
i) pauvres ? ii) riches ?
c) Quelle part des revenus les 20 % des ménages
les plus riches se partagent­ils ?
16. Soit les courbes de Lorenz suivantes.
L
1
(x)  0,61x2 1 0,39x et
L
2
(x)  0,59x2 1 0,41x
a) Peut­on déterminer graphiquement laquelle
des courbes est la plus égalitaire ?
b) Calculer le coefficient de Gini pour L
1
et L
2
et déterminer celle qui est la plus égalitaire.
180 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
f 1a 1 b2 
Objectifs d’apprentissage
À la n de cette section, l’étudiant pourra calculer de façon exacte
ou approximative des intégrales définies sans déterminer la
primitive.
Plus précisément l’étudiant sera en mesure :
• de calculer la valeur exacte d’intégrales définies de fonctions
symétriques par rapport à un point de la courbe ;
• de calculer approximativement des intégrales définies
à l’aide de la méthode des trapèzes ;
• de calculer approximativement des intégrales définies
à l’aide de la méthode de Simpson ;
• de calculer approximativement des intégrales définies
à l’aide d’outils technologiques.
3.6 Évaluation d’intégrales définies sans déterminer
la primitive
f 1a 1 b2 
y  f(x)
Nous avons d’abord calculé des intégrales dénies à l’aide de sommes de Riemann.
Par la suite, nous avons calculé des intégrales dénies en utilisant le théorème fon-
damental du calcul.
Cependant, pour certaines fonctions, il est difcile ou même impossible de trouver
une primitive, par exemple : Arc tan (ex), x3 1 1, ex2, cos (x2), …
Dans cette section,
• nous évaluerons des intégrales définies de fonctions symétriques par rapport
à un point, sans déterminer la primitive ;
• nous étudierons deux méthodes, la méthode des trapèzes et la méthode de
Simpson, pour calculer approximativement des intégrales définies ;
• nous utiliserons des outils technologiques pour calculer approximativement
des intégrales définies.
Intégration de fonctions symétriques
DÉFINITION 3.15 Une fonction f continue sur [a, b] est symétrique par rapport
au point S1a 1 b2 , f 1a 1 b2  si et seulement si
f (x) 1 f (a 1 b 2 x) 5 k, où k ∈IR, ∀ x ∈ [a, b].
THÉORÈME 3.10 Soit une fonction continue sur [a, b].
Si f(x) 1 f(a 1 b 2 x) 5 k, où k ∈ IR, ∀ x ∈ [a, b], alors

a
b
f(x) dx 5 (b 2 a) f 1a 1 b2 
y  f(x)
3
1813.6 Évaluation d’intégrales dénies sans déterminer la primitive
PREUVE Par le théorème de la moyenne pour l’intégrale dénie, il existe un c ∈ [a, b] tel que

a
b
f(x) dx 5 f (c) (b 2 a)
Puisque f est symétrique,
c 5
a 1 b
2
d’où 
a
b
f(x) dx 5 (b 2 a) f 1a 1 b2 2
Remarque Pour démontrer que f(x) 1 f(a 1 b 2 x) 5 k, ∀ x ∈ [a, b], il suft de
démontrer que
d
dx
( f(x) 1 f(a 1 b 2 x)) 5 0, ∀ x ∈ ]a, b[.
Exemple 1 Calculons
24
4
Arc tan (ex) dx, à l’aide du théorème 3.10.
Vérions d’abord que f (x) 1 f (-4 1 4 2 x) 5 k, ∀ x ∈ [-4, 4].
Il suft de démontrer que
d
dx
(Arc tan (ex) 1 Arc tan (e2x)) 5 0, ∀ x ∈]-4, 4[.
d
dx
(Arc tan (ex) 1 Arc tan (e2x)) 5
ex
1 1 e2x
1
(-e2x)
1 1 e22x
5
ex(1 1 e22x) 2 e2x(1 1 e2x)
(1 1 e2x)(1 1 e22x)
5
ex 1 e2x 2 e2x 2 ex
(1 1 e2x)(1 1 e22x)
5 0, ∀ x ∈]-4, 4[
donc Arc tan (ex) 1 Arc tan (e2x) 5 k, ∀ x ∈[-4, 4].
Ainsi,

24
4
Arc tan (ex) dx 5 (4 2 (-4)) f 1-4 1 42 2 (théorème 3.10)
5 8 f (0)
5 8 Arc tan (e0)
5 8 1p4 2
d’où 
24
4
Arc tan (ex) dx 5 2p
plot(arctan(ex), x 5 -4 ..4, color 5 orange,
lled 5 [color 5 “Blue”, transparency 5 0.8]) ;
2p correspond à l’aire de la région
ombrée ci-contre.
f (x)  Arc tan (ex)
Arc tan (e0) 5 Arc tan (1)
5
p
4
f 1a 1 b2 2
y  f(x)
a 1 b
2
182 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Méthode des trapèzes
Cette méthode diffère de celle des sommes de Riemann par le choix de la gure
géométrique utilisée pour calculer l’aire. Avec la somme de Riemann, on utilise
des rectangles, tandis qu’avec cette méthode on utilise des trapèzes.
Remarque L’utilisation de trapèzes, pour le calcul approximatif de l’aire d’une
région fermée, nous donne généralement une meilleure approximation que l’utilisa-
tion de rectangles inscrits ou circonscrits.
Soit y  f(x) sur [x
i  1
, x
i
], où x
i
 x
i
 x
i  1
A
1
 f(x
i  1
) x
i
A
2
 f(x
i
) x
i
A
3

f (x
i  1
) 1 f (x
i
)
2
x
i
THÉORÈME 3.11
Méthode
des trapèzes
Si f est une fonction continue et non négative sur [a, b] et
P  {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n  1
, x
n
} une partition régulière de [a, b], alors
E
a
b
f (x) dx  b  a
2n f (x0) 1 2f (x1) 1 2f (x2) 1 … 1 2f (xn  1) 1 f (xn)
PREUVE
Ab
a
 A(T
1
) 1 A(T
2
) 1 A(T
3
) 1 … 1 A(T
n  1
) 1 A(T
n
)
Ainsi,
Ab
a

f (x
0
) 1 f (x
1
)
2
x 1
f (x
1
) 1 f (x
2
)
2
x 1 … 1
f (x
n  2
) 1 f (x
n  1
)
2
x 1
f (x
n  1
) 1 f (x
n
)
2
x

x
2 f (x0) 1 f (x1) 1 f (x1) 1 f (x2) 1 … 1 f (xn  2) 1 f (xn  1) 1 f (xn  1) 1 f (xn)

x
2 f (x0) 1 2f (x1) 1 2f (x2) 1 … 1 2f (xn  1) 1 f (xn)

b  a
2n f (x0) 1 2f (x1) 1 2f (x2) 1 … 1 2f (xn  1) 1 f (xn) car x  b  an 
d’où E
a
b
f (x) dx 
b  a
2n f (x0) 1 2f (x1)1 2f (x2) 1 … 1 2f (xn  1) 1 f (xn)
A 
(b 1 B)
2
h
(x
i
 x
i  1
)  x
i
3
1833.6 Évaluation d’intégrales dénies sans déterminer la primitive
Il suft d’augmenter le nombre n de trapèzes pour obtenir une meilleure
approximation de E
a
b
f(x) dx.
Exemple 1 Calculons approximativement E
1
4
x2 dx à l’aide de la méthode des
trapèzes avec n  6.
Puisque
b 2 a
n

4 2 1
6

1
2
, nous avons
P  1, 32, 2,
5
2
, 3,
7
2
, 4 et b 2 a2n 
1
2 1
1
22 
1
4
Ainsi E
1
4
x2 dx 
1
4 f (1) 1 2f 1
3
22 1 2f (2) 1 2f 1
5
22 1 2f (3) 1 2f 1
7
22 1 f (4)

1
4 1 1 2 1
9
42 1 2(4) 1 2 1
25
4 2 1 2(9) 1 2 1
49
4 2 1 16 ( f(x)  x2)
 21,125
E
1
4
x2 dx 
x
3
3 41  21
erreur réelle  21 2 21,125 
 0,125
Exemple 2 Calculons approximativement E
0
2
1 1 x2 dx à l’aide de la
méthode des trapèzes avec n  5.
Puisque
b 2 a
n

2 2 0
5

2
5
, nous avons P  0, 25,
4
5
,
6
5
,
8
5
, 2
et
b 2 a
2n

1
2 1
2
52 
1
5
AinsiE
0
2
1 1 x2 dx 
1
5 f (0) 1 2f 1
2
52 1 2f 1
4
52 1 2f 1
6
52 1 2f 1
8
52 1 f (2)
 1
5 1 1 2 
29
25
1 2 4125 1 2 
61
25
1 2 8925 1 5 
 2,97
f(x)  1 1 x2
Méthode de Simpson
Il y a environ 250 ans…
L’Anglais Thomas Simpson (1710-1761) s’initie au calcul différentiel en lisant le livre du
marquis de L’Hospital. Il exerce comme tisserand et, en même temps, donne des cours privés,
souvent dans des cafés. Son grand intérêt pour les probabilités tire sans doute son origine de
ces curieuses « salles de cours ». En 1743, il publie une méthode d’approximation d’une inté-
grale dénie par une approximation parabolique. Toutefois, cette publication n’est pas vrai-
ment originale, car la démarche a déjà été décrite au e siècle. En toute justice, il faudrait
donc changer le nom de la « méthode de Simpson ».Thomas Simpson
(1710-1761)
184 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
Dans cette méthode d’approximation, nous utilisons des portions de parabole au lieu
de segments de droite pour calculer approximativement l’aire d’une région fermée.
Nous pouvons démontrer que
xi 1 1
xi 2 1
p(x) dx 5
x
3 yi 2 1 1 4yi 1 yi 1 1
Nous acceptons le théorème suivant sans démonstration.
THÉORÈME 3.12
Méthode
de Simpson
Si f est une fonction continue et non négative sur [a, b] et P une partition régulière
telle que P 5 {x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n 2 1
, x
n
}, où n est un nombre pair, alors

a
b
f (x) dx  b 2 a
3n f (x0) 1 4f (x1) 1 2f (x2) 1 4f (x3) 1 2f (x4) 1 … 1 2f (xn 2 2) 1 4f (xn 2 1) 1 f (xn)
Exemple 1 Calculons approximativement 
1
3
1
x
dx à l’aide de la méthode de
Simpson avec n 5 6.
Puisque
b 2 a
n
5
3 21
6
5
1
3
, nous avons P 5 1, 43,
5
3
, 2,
7
3
,
8
3
, 3 et b2 a3n 5
1
9
Ainsi 
1
3
1
x
dx 
1
9 f (1) 1 4f 1
4
32 1 2f 1
5
32 1 4f (2) 1 2f 1
7
32 1 4f 1
8
32 1 f (3)

1
9 1 1 41
3
421 21
3
521 41
1
221 21
3
721 41
3
821
1
3 1 f(x) 5 1x 2
 1,098 942

1
3 1
x
dx 5 ln  x 31
5 ln 3 2 ln 1
5 1,098 612...
Exemple 2 Calculons approximativement 
1
3
e
x2
2 dx à l’aide de la méthode
de Simpson avec n 5 4.
Soit P 5 {-1, 0, 1, 2, 3}.
Ainsi 
1
3
e
x2
2 dx 
3 2 (-1)
3(4) f (-1) 1 4 f (0) 1 2 f (1) 1 4 f (2) 1 f (3)

1
3 e
1
2 1 4 1 2e
1
2 1 4e2 1 e
9
2  1 f(x) 5 ex
2
2 2
 2,124
f(x) 5 e
x 2
2
A  2,124 u2
3
1853.6 Évaluation d’intégrales dénies sans déterminer la primitive
Calcul d’aires à l’aide d’outils technologiques
L’utilisation d’outils technologiques nous permet de calculer approximativement
l’aire de différentes régions.
Exemple 1 Calculons, à l’aide de Maple, l’aire de la région comprise entre la
courbe de f(x)  cos x2 et l’axe des x, où x ∈ [0, ].
Solution 1
Représentons graphiquement cos x2
sur [0, ].
plot(cos(x2), x  0 .., color  orange, filled 
[color  “Blue”, transparency  0.8], scaling 
constrained) ;
Déterminons les zéros de f sur [0, ].
x1 : fsolve( f(x)  0, x  1 ..1.5) ;
1.253314137
x2 : fsolve( f(x)  0, x  2 ..2.5) ;
2.170803764
x3 : fsolve( f(x)  0, x  2.5 ..3) ;
2.802495608
d’où A  2,19 u2
Solution 2
Représentons graphiquement  cos x 2 
sur [0, ].
plot(cos (x2) , x  0 .., color  orange, filled 
[color  “Blue”, transparency  0.8],
scaling  constrained) ;
Calculons l’aire de chaque région
ainsi que l’aire totale A.
A1 : 
0
x1
cos (x2) dx ;
0.9774514243
A2 : 
x1
x2
-cos (x2) dx ;
0.5750671670
A3 : 
x2
x3
cos (x2) dx ;
0.4007480151
A4 : 
x3

-cos (x2) dx ;
0.2374387588
A : A1  A2  A3  A4 ;
2.190705365
Calculons l’aire A de la région
ombrée ci-contre.
evalf 

0
 cos (x2)  dx ;
2.190705365
d’où A  2,19 u2
186 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
33
1. Calculer les intégrales dénies suivantes sans
déterminer la primitive.
a) i) 
0
4
1
4 1 2x
dx
ii) Déterminer à quoi correspond la valeur
trouvée en i) et représenter graphiquement.
b) 
21
1
(1 1 Arc sin x) dx
2. Soit f (x)  2x3 1 x, où x ∈ [1, 4].
a) Calculer approximativement 
1
4
f (x) dx à
l’aide de la méthode des trapèzes, avec n  6.
b) Calculer approximativement 
1
4
f (x) dx à
l’aide de la méthode de Simpson, avec n  6.
c) Calculer 
1
4
f (x) dx à l’aide du théorème
fondamental du calcul et déterminer l’erreur
réelle en utilisant
i) la méthode des trapèzes (voir a)) ;
ii) la méthode de Simpson (voir b)).
3. Soit f(x)  sin x, sur [0, ].
Déterminer entre la méthode des trapèzes et la
méthode de Simpson celle qui donne la meilleure
approximation lorsque n  4 en comparant avec
l’aire exacte.
4. Calculer approximativement les intégrales
dénies suivantes à l’aide de la méthode
des trapèzes avec le n donné en précisant si
l’approximation est inférieure ou supérieure
à l’intégrale dénie donnée.
a) 
0
4
x3 1 1 dx ; n  8
b) 
0
1
cos (x2) dx; n  4
5. Calculer approximativement les intégrales
dénies suivantes à l’aide de la méthode de
Simpson avec le n donné.
a) 
1
5
x4 1 1 dx; n  6
b) 
2
0
1
ex
2 dx ; n  4
6. a) Calculer approximativement 
1
3
ln x2 dx à
l’aide de la méthode des trapèzes, avec n  4.
b) Calculer approximativement 
1
6
ln x dx à
l’aide de la méthode de Simpson, avec n  4.
7. Soit f(x)  sin (sin x  3x) sur [0, ].
Utiliser un outil technologique pour calculer
l’aire entre la courbe de f donnée et l’axe des x
sur l’intervalle donné.
8. Soit f(x)  x3  x2  2x et g(x)  -1 1 2 sin x2.
Utiliser un outil technologique pour calculer
l’aire de la région fermée entre la courbe de f
et celle de g.
9. Soit f(x) 
ln 2x
x
, où x  0, représentée
sur le graphique suivant.
f(x) 
ln 2x
x
y 
2
e
P(p
1
, p
2
)
Q(a, 0) T(b, 0)
a) Calculer approxi mativement l’aire A de la
région ombrée ci-dessus à l’aide
i) de la méthode des trapèzes avec n  2 ;
ii) de la méthode de Simpson avec n  2 ;
iii) d’un outil technologique.
b) Calculer l’aire A à l’aide du théorème
fondamental du calcul.
EXERCICES 3.6
3
1873.6 Évaluation d’intégrales dénies sans déterminer la primitive
Réseau de concepts
Théorème de la moyenne
pour l’intégrale définie

a
b
f (x) dx 5
Théorème fondamental du calcul
Si F(x) est une primitive de f(x),
alors 
a
b
f (x) dx 5
Applications
Physique
• accélération
• vitesse
• déplacement
• travail
• centre de gravité
Probabilités
• densité
• espérance mathématique
Économie
• surplus du consommateur
• surplus du producteur
• surplus total
• courbe de Lorenz
• coefcient de Gini
Intégrale définie

a
b
f(x) dx 5
Propriétés

a
a
f(x) dx 5

a
c
f(x) dx 1
c
b
f(x) dx 5

b
a
f(x) dx 5

a
b
(c f(x) 1 d g(x)) dx 5
Méthode des trapèzes
Méthode de Simpson
Outils technologiques
Pages 183, 184 et 186
Approximation de
l’intégrale définie
Calcul d’aires
(y
1
2 y
2
) y
1
5 f(x)
(y
2
2 y
1
)
y
2
5 g(x)
Sur [a, b]
A
rect.
5
Sur [b, c]
A
rect.
5
A 5 Ab
a
1 Ac
b
A 5
x
2
5 k(y)
(x
1
2 x
2
)
(x
2
2 x
1
)
x
1
5 h(y)
Sur [s, t]
A
rect.
5
Sur [r, s]
A
rect.
5
A 5 As
r
5 At
s
A 5
Sommation
Page 128
Somme de Riemann
ni 5 1
 f(ci) xi
(page 134)
188 CHAPITRE 3 Intégrale dénie
3
Exercices récapitulatifs
ii) Combien de rangées peut-on fabriquer avec
50 jeux de cartes de 52 cartes ?
4. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer s
n
et S
n
, calculer s et S, et évaluer l’aire sous la courbe
sur l’intervalle donné.
a) f (x)  5x2  3 sur [0, 1]
b) f (x)  2x3  4 sur [0, 1]
c) f (x)  x2  4x  3 sur [1, 4]
5. Soit f une fonction continue sur IR. Utiliser les
propriétés de l’intégrale dénie pour déterminer
la valeur de a et de b dans les équations
suivantes.
a) 
0
3
f (x) dx  
3
7
f (x) dx 
a
b
f (x) dx
b) 
4
7
f (x) dx  -
a
b
f (x) dx
c) 5
2
f (x) dx 2 
7
5
f (x) dx  
a
b
f (x) dx
d) 
3
5
f (x) dx  
a
b
f (x) dx  
3
4
f (x) dx
e) 
p
2p
f (x) dx 2 
a
b
f (x) dx  
4p
2p
f (x) dx
f) 2
1
f (x) dx 2 
4
a
f (x) dx  b
1
f (x) dx
6. Évaluer les intégrales dénies suivantes.
a) 
1
4
1 1x 2 x2 dx b) 2
4
(t  1)2
t
dt
c) 1
1
[(x3  1)(x  4)] dx d) 
r
r
pr2 (y 2 y3) dy
e) 
8
5
x  2
x2  5x  6
dx f) 
0
3 6x  x2  5
1  x
dx
g) 
0
1
3u4  4u2  4
u2  1
du h) 
2
1 -10
9x2  6x  1
dx
i) 
0
1
1e
x
2
 2xe  e2 dx j) 1
1
(42x 2 ex) dx
1. Évaluer les sommes suivantes.
a)
100
i  1
 i3 b)
100
i  1
 (i  50)
c)
20
i  1
 (2i3 2 3i2 2 5i) d)
20
i  11
 (2i3 2 3i2 2 5i)
2. a) Démontrer que
k
i  1
 i3  k
2(k  1)2
4
b) Trouver une formule pour la somme des
carrés des entiers positifs impairs et évaluer
12  32  52  …  992.
c) Soit f(x)  x2. Exprimer les sommations
suivantes en fonction de n.
i)
n
k  1
 f 1 kn 2 ii)
n 2 1
k  0
 f 1 kn 2
3. a) Déterminer le nombre total
de carrés visibles sur un
échiquier.
b) Soit la pyramide de
nombres suivante :
1
3 5
7 9 11
13 15 … …
Déterminer la somme des termes
i) de la 26e ligne ;
ii) des 26 premières lignes.
c) Déterminer le nombre
de rectangles dans la
représentation ci-contre.
d) On construit un châ-
teau de cartes selon le
schéma ci-contre.
i) Si l’on fabrique un
château de 25 rangées,
déterminer le nombre de cartes nécessaires.
Les réponses des exercices récapitulatifs et des problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont fournies
à la n du manuel.
Chimie PhysiqueAdministration
Outil
technologique
Sciences de
la nature
Sciences
humaines
189Exercices récapitulatifs
3
7. Évaluer les intégrales dénies suivantes.
a) 
1
2
e
1
x
x2
dx
b) 
1
9
1
v 1 1 v 
dv
c) 
p
6
p
4
(sin  1 cos )2 d
d) 0
1
(x3 1 2x 1 1)3 (6x2 1 4) dx
e) 
p
p
3v2(v 1 sin v3) dv
f) 
1
4
11 2 1x221x 1
1
x2
2
dx
g) 
p
6
p
6 cos x
1 1 sin x
dx
h) 
0
p
4
sin2  d
i) 
p
0
(x sin2 x2 1 x cos2 x2) dx
j) 
0
p
(cos5 x 1 2 cos3 x sin2 x 1 cos x sin4 x) dx
8. Calculer l’aire des régions fermées délimitées
par les courbes suivantes.
a) y  x3, y  0, x  -2 et x  3
b) y  x3 2 x et y  0
c) y  x, y  x2, x  0 et x  3
d) y  6x 2 x2 et y  x2 2 2x
e) y  x3 2 x2 et y  3x2
f) y  x3 1 x et y  3x2 2 x
g) y  4 2 x et y 
3
x
h) y 
1
x
, y 
1
x2
, x  0,5 et x  2
i) x  y2 1 1 et x  5
j) y  sin x, y  0, x 
-p
3
et x 
p
4
k) y  cos x, y  1, x  0 et x 
p
2
l) y  x2 1 1, y  cos x, x 
-p
2
et x 
p
2
9. Calculer l’aire totale des régions fermées
délimitées par les courbes suivantes.
a) y 
x
(x2 1 1)2
, y  0 et x ∈ [1, 2]
b) y  cos px, y  0 et x ∈ [0, 1]
c) y  xex2, y  -1 et x ∈ [0, 1]
d) y  -x2, y  2x et x ∈ [-3, 3]
e) y  x2(x3 2 8)4 et y  0
f) y  x
1
3(1 2 x
4
3)
1
3 et y  0
g) y 
x 2 2
x2 2 4x 1 9
, y  0 et x  0
h) y 
1
x 1 1
, y 
x
x2 1 1
et x  0
i) y  2 1 cos 1x22, y  sin 2x et x ∈ [0, p]
j) y2  4x et x2  4y
k) y   x2 2 4 , y  0 et x ∈ [-3, 0]
l) y  x2, y  2x et x  0
10. Déterminer la valeur de k si
a) 
2
3
kx2 dx  -1
b) 
1
4
kx dx  2
c) 
1
k
1
x
dx  1, où k  1
d) 
3
k
1
x
dx  ln 3 1 ln 2, où k  3
e) A  1, où A est l’aire entre la courbe de
y  kx3, où k  0, et l’axe des x si x ∈ [-1, 2].
f) 
0
3
9x1 1 x2 dx  
0
k
(2x 1 4) dx
11. Calculer l’aire des régions ombrées suivantes.
a)
y
1
 x2 5x  4
y
2
 x  4
y
3

20  5x
3
190
3
CHAPITRE 3 Intégrale dénie
b) y
1
  x2  4 
y
2
 x  2
c)
f(x)  x2
g(x) 
1
x2
h(x)  4
d)
12. Déterminer la valeur c du théorème de
la moyenne pour l’intégrale dénie pour la
fonction f et représenter graphiquement.
a) f (x)  x2  14x  58 sur [2, 6]
b) f (x)  ex sur [0, 2]
c) f (x) 
ex
1  ex
sur [0, ln 2]
13. Soit f (x)  4x  6  x2
sur [0, 5]. Déterminer
les valeurs de c
1
et de c
2
du graphique ci-contre
telles que A
2
 A
1
 A
3
.
14. Soit T(t)  -6 sin 112 (t  98)2 14 
t
12
,
la fonction représentant la température, en degrés
Celsius, d’une journée donnée à partir de 0 h,
où t ∈ [0 h, 24 h].
a) Déterminer la température moyenne
de cette journée.
b) Déterminer la température moyenne
sur [12 h, 20 h].
15. Une secrétaire passe X heures au téléphone
pendant la journée, où X est une variable aléatoire.
a) Déterminer la valeur de k telle que
f(x)  k(10  x2), où 0  x  2, est
une fonction de densité de probabilité
de X sur [0, 2].
b) Calculer la probabilité que la secrétaire passe
i) moins d’une heure au téléphone ;
ii) plus d’une heure au téléphone ;
iii) entre 45 et 90 minutes au téléphone.
c) Déterminer E(X) et interpréter le résultat.
d) La médiane de X, notée m, est la valeur
de m telle que

0
m
f(x) dx 
1
2
, où 0 , m , 2.
Déterminer la valeur de m.
16. Après l’achat d’une photocopieuse, la probabi lité
que celle-ci soit défectueuse, durant les 60 pre-
miers mois de l’achat, est donnée par la fonction
de densité de probabilité f(x)  ke0,025x,
où x ∈ [0 mois, 60 mois].
a) Déterminer la valeur de k.
b) Calculer la probabilité qu’elle soit
défectueuse
i) durant la première année ;
ii) durant la cinquième année ;
iii) entre la première et la quatrième année.
17. La concentration d’un anti-inammatoire
administré est donnée approximativement
par C(t)  38e0,02t, exprimée en mg/ml,
où t ∈ [0 h, 168 h] est le nombre d’heures
après l’injection.
a) Déterminer la concentration initiale ;
après 3 jours ; après 7 jours.
b) Déterminer le nombre d’heures où
la concentration réelle est supérieure
à la concentration moyenne.
18. Soit a(t)  2t, l’équation de l’accélération en m/s2
d’un mobile où t ∈ [0 s, 6 s]. La vitesse initiale
du mobile est de 5 m/s.
a) Déterminer v(t), la fonction donnant la
vitesse du mobile en fonction du temps.
b) Calculer S
6
, la somme de 6 rectangles
circonscrits pour la fonction vitesse
et interpréter le résultat.
c) Calculer A6
0
pour la fonction vitesse
et interpréter le résultat.
f(x)  4x  6  x2
191
3
Exercices récapitulatifs
19. Une particule se déplace de 6 mètres sur une
droite à partir de x  2. L’équation de la
force F agissant sur cette particule est donnée
par F(x)  3x 1 2, où F est exprimée en
newtons et x, en mètres. Calculer le travail
effectué par cette force sur cette particule.
20. Une voiture de métro quitte la station A. Son
accélération durant les 6 premières secondes
est donnée par
2
3
t, exprimée en m/s2, et ensuite
par (10  t), exprimée en m/s2, jusqu’à ce que
la voiture atteigne la vitesse de 20 m/s. Elle
conserve cette vitesse pendant 76 secondes
et décélère ensuite à l’approche de la
station B. Sa décéléra tion est donnée
par
15
64
(t  86)2 
15
8
t 1
645
4
,
exprimée en m/s2.
a) Tracer les courbes a(t) et v(t).
b) Déterminer la distance entre les stations A et B.
21. En estimant que le taux de dépréciation d’une
automobile de 28 500 $ est donné, après
t années, par D(t) 
-9500(6)3
(t 1 6)3
,
où D est exprimé en $/an, et 0  t  6,
a) quel sera le montant approximatif de la
dépréciation de cette automobile durant
la troisième année ?
b) quel sera le montant approximatif de la
dépréciation de cette automobile durant
les 3 premières années ?
c) quelle sera la valeurde l’automobile après
5 ans ?
22. Une compagnie estime que l’achat d’un ordi-
nateur au coût initial de 5000 $ lui procure un
taux d’accroissement des revenus totaux
estimé par
dR
dt
 200 (45  2t  t2) et un taux
d’accroissement des coûts totaux estimé par
dC
dt
 200 (5 1 t), où t est en années et les taux
sont en dollars par année.
a) Déterminer le revenu total attribuable à cet
achat durant les trois premières années.
b) Déterminer le coût total attribuable à cet
achat durant les trois premières années.
c) Déterminer le profit P réalisé durant les trois
premières années.
d) Sachant que le profit est maximal lorsque
dR
dt

dC
dt
, déterminer le profit maximal réalisé
grâce à l’achat de cet ordinateur.
e) Représenter graphiquement
dR
dt
et
dC
dt
. Dire
à quoi correspond le profit maximal.
23. Déterminer le centre de gravité C(x, y) des
surfaces planes délimitées par les courbes
suivantes. Représenter graphiquement la région
et C(x, y).
a) f(x)  x, y  0, x  1 et x  9
b) f(x) 
6
x
, y  0, x  1 et x  6
c) f(x) 
-8
3 x
, y  0, x  1 et x  8
d) la courbe de f et y  0, où f(x)  9  x2
e) la courbe de f, y  0 et x  0, où
f(x)  9  x2
f) la courbe de g et celle de h, où
g(x)  4x  x2 et h(x)  x2  6x 1 8
24. Calculer le coefcient de Gini pour les courbes
de Lorenz suivantes.
a) L(x)  0,6x2 1 0,4x
b) L(x) 
4
7
x1,8 1
3
7
x
c) L(x)  1,14x3  0,3x2 1 0,16x
d) L(x) 
ex  1
e  1
e) L(x) 
3x  1
2
25. Des études statistiques ont déterminé que
la distribution des revenus représentée par
les courbes de Lorenz L
1
pour les pharmaciens
du Québec et L
2
pour les pharmaciens de l’Ontario
est donnée par L
1
(x)  0,85x1,75 1 0,15x0,85 et
L
2
(x)  0,78x2 1 0,22x. Déterminer si ce sont les
pharmaciens du Québec ou ceux de l’Ontario qui
ont une meilleure distribution de revenus.
192
3
CHAPITRE 3 Intégrale dénie
26. Le nombre de litres d’essence vendus chaque
jour varie aléatoirement entre 4000 et
10 000 litres. Soit X la variable aléatoire don­
nant le nombre, en milliers, de litres vendus
quotidiennement, où X ∈ [4, 10].
a) Déterminer la valeur de k telle que
f(x) 5 k(2x 1 3)2 est une fonction de
densité pour la variable aléatoire sur [4, 10].
b) Si le garagiste a une provision de 6500 litres
pour une journée, calculer la probabilité qu’il
manque d’essence pendant cette journée.
c) Calculer l’espérance mathématique de la
variable aléatoire X et interpréter le résultat.
27. Soit f(x) 5 16 2 x2, où x ∈ [0, 4] et P est une
partition régulière de [0, 4] avec n 5 4.
Calculer 
0
4
f (x) dx
a) à l’aide d’une somme de Riemann en utili­
sant sur chaque sous­intervalle le point milieu ;
b) à l’aide de la méthode des trapèzes avec n 5 4 ;
c) à l’aide de la méthode de Simpson avec n 5 4 ;
d) en calculant l’aire réelle A4
0
.
28. La fonction représentant la température moyenne,
en degrés Celsius, d’une ville à partir du mois
de janvier est
T(m) 5
1
9
(0,169m4 2 4,98m3 1 42,85m2 2 92m 1 57,5)
où m ∈ [0, 12] est le nombre de mois écoulés
depuis le 1er janvier. Déterminer la température
moyenne dans cette ville
a) pendant une année complète ;
b) de la fin du mois d’avril à la fin de septembre ;
c) pendant les mois de janvier, février,
novembre et décembre.
29. La fonction « demande » pour un produit est
donnée par D(q) 5
300
0,1q 1 1
1 20, exprimée
en dollars, et la fonction « offre » pour le même
produit est donnée par O(q) 5 0,05q2 1 50,
exprimée en dollars.
a) Déterminer le surplus du consomma­
teur SC si q 5 20, représenter la région
correspondante et interpréter le résultat.
b) Déterminer le surplus du producteur SP si
q 5 38, représenter la région correspondante
et interpréter le résultat.
c) Déterminer le surplus total ST et représenter
la région correspondante.
30. a) Calculer, à l’aide du théorème 3.10 (voir
page 181), l’intégrale dénie suivante sans
déterminer la primitive :

1
3
5 Arc cos (x 2 2)3 dx
b) Calculer, à l’aide du théorème 3.10 (voir
page 181), l’aire de la région fermée délimitée
par la courbe de f(x) 5
1
1 1 esin x
, l’axe des x,
x 5 0 et x 5 2. Représenter graphiquement.
31. a) Évaluer 
1
4
1
t
dt ; représenter graphiquement
et interpréter le résultat.
b) Définir ln 8 à l’aide d’une intégrale définie ;
représenter graphiquement et interpréter
le résultat.
c) Définir ln 12 à l’aide d’une intégrale
définie et interpréter le résultat.
d) Définir la fonction ln x, où x ∈ ]0, 1∞[,
à l’aide d’une intégrale définie.
32. Calculer approximativement les intégrales
dénies suivantes.
a) 
0
4
1
x2 1 1
dx ; méthode des trapèzes, n 5 4
b) 
0

sin x dx ; méthode des trapèzes, n 5 3
c) 
0
2
9 1 4x2 dx ; méthode de Simpson, n 5 4
d) 
1
3
e x
2
dx ; méthode de Simpson, n 5 6
193
3
Exercices récapitulatifs
33. Une agence envi ronnementale estime
que le taux de variation de la quan tité de
pollution (en tonnes métriques par an) qu’une
manu facture déverse dans une rivière est
donné par P(t)  0,1t3  15, où t représente
le temps en années ; t  0 correspond à
l’année 2008.
Calculer la quantité totale de pollution qui sera
déversée dans la rivière de 2008 à 2018,
a) de façon approximative en calculant
s
10
et S
10
;
b) de façon approximative en utilisant res­
pectivement la méthode des trapèzes et
la méthode de Simpson avec n  10 ;
c) à l’aide de l’intégrale définie.
34. Calculer approximativement l’aire entre la courbe
de f donnée et l’axe des x sur l’intervalle donné.
a) f (x)  cos (1  sin x), sur [0, 3]
b) f (x) 
1
2
e
x2
2
(loi normale)
i) sur [­1, 1] ; ii) sur [­3, 3].
c) f (x)  sin (1  sin x)
i) sur [0, a], où a > 0 et
a est le premier zéro de f ;
ii) sur [a, b], où b > 0 et
b est le deuxième zéro de f.
35. Soit f (x)  (x  1)2 et g(x)  2 sin x2. Calculer
approximativement l’aire de la région fermée
entre la courbe de f et celle de g.
d) Vérifier le résultat à l’aide du théorème
fondamental du calcul.
3. Évaluer les intégrales définies suivantes.
a) 
e
ee ­1
x ln x
dx
b) 
1
3
3
(2x  x1)2  8 dx
c) 
0
2
x3  1  x2 dx
d) 
0

4 sin x
1  sin x
dx
e) 
2
7
xx  2 dx
f) 
0

2 1
cos x  3 sin x
dx
4. Calculer l’aire des régions fermées délimitées
par les courbes suivantes.
a) y  (x  2)2  2, y  0, y  ­6x  30 et x  0
1. a) Déterminer les valeurs de a, b et c telles que
15253545… n5
n2(2n4 6n3  5n2  an  b)
c
.
b) Au moyen du résultat précédent, compléter :
n
i  1
 i5 
c) Évaluer
10
i  1
 i5 à l’aide de la formule précédente.
2. Soit f (x)  x, où x ∈ [0, 1] et
P  0, 11n2
2
, 12n2
2
,…, 1k  1n 2
2
, 1kn2
2
, …, 1n  1n 2
2
, 1
une partition de [0, 1].
a) Calculer x
k
et f(x
k
).
b) Exprimer en fonction de n la somme
de Riemann suivante :
n
k  1
 f (xk) xk.
c) Calculer 
0
1
x dx à l’aide de
lim
n→1∞
n
k  1
 f(xk) xk.
Problèmes de synthèse
194
3
CHAPITRE 3 Intégrale dénie
b) x 1 y 5 3, x 5 1 et y 5 1
c) xy2 5 1 et y 5 3 2 2x
d) y 5 ln x, x 5 0, y 5 0 et y 5 3
e) y 5 Arc sin x, y 5 0 et x ∈ [0, 1]
f) y 5 sin 1px2 2 et y 5 x2
g) y 5 cos x et y 5
4x2
p2
2
4x
p
1 1
h) y 5 cos x, y 5
2x2
p2
2
4x
p
1 1, où x ∈ [0, 2p]
5. Calculer l’aire des régions ombrées suivantes.
a)
y 5 4 2
x2
4
b)
c)
d)
y
3
5
x 1 2
3
e)
y
2
5
-x4 2 x2
2
y
1
5 4 2 x2
y
3
5
(x 1 2)2
2
6. Utiliser le théorème 3.10 (voir page 181) pour
a) i) calculer 
0
2
1
x 1 x2 2 2x 1 2
dx ;
ii) interpréter le résultat obtenu en i) et
représenter graphiquement.
b) Calculer l’aire de la région fermée comprise
entre les courbes de f(x) 5 2 1 x2 2 3x 1 3
et de g(x) 5 x2 2 5x 1 7, où x ∈ [1, 3].
7. La fonction de densité de probabilité f (x) d’une
variable aléatoire X est dénie sur l’intervalle
[0, b] par
f(x) 5
1
5
x si 0  x  2
8
5x2
si 2 , x  b
a) Déterminer la valeur de b.
b) Calculer les probabilités suivantes et
représenter graphiquement les aires
correspondantes.
i) P(0,5  X  1,5)
ii) P(3  X  6)
iii) P(1  X  5)
c) Déterminer