Bougrov, Nikolski - Cours de Mathematiques Superieures - Tome 1 - Mir - 1983

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Éditions Mir Moscou 
Y. Bougrov, S. Nikolski
COURS DE
MATHÉMATIQUES
SUPÉRIEURES
To m e 1
H. C. B yrPO B . fi. >1.. HUKOJlbCKUH
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Y. BOUGROV, S. NIKOLSKI
COURS DE MATHÉMATIQUES 
SUPÉRIEURES
TOME I
CALCUL DIFFÉRENTIEL 
ET INTÉGRAL
ÉLÉMENTS D’ALGÊRRE LINÉAIRE 
ET DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
ÉDITIONS DE MOSCOU
Traduit du russe par 
Djilali EMBAREK
Ha $paH\ty3CK0M siawzc
© HaaaTejibCTBo «Hayica», 1980 
© Traduction française Editions Mir 1983
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos ................................................................................................. 9
Chapitre premier. INTRODUCTION.......................................................... 11
§ 1. Objet des mathématiques. Grandeurs variables et constantes,
en se m b le s ................................................................................. 11
§ 2. Opérations sur les ensem bles............................................. 12
§ 3. Symbolique de la logique m athém atique......................... 13
§ 4. Nombres r é e l s ........................................................................ 14
§ 5. Définition de l ’égalité et de l ’in ég alité ............................ 17
§ 6. Définition des opérations arithm étiques............................ 19
§ 7. Propriétés fondamentales des nombres r é e l s ...................... 23
§ 8. Approche axiomatique de la notion de nombre réel . . . 25
§ 9. Inégalités pour les valeurs abso lues................................. 26
§ 10. Intervalles, ensemble b o rn é ................................................. 27
§ 11. Ensemble dénombrable. Dénombrabilité de l ’ensemble des
rationnels. Non-dénombrabilité de l ’ensemble des réels 28
Chapitre 2. LIMITE D’UNE S U IT E .......................................................... 31
§ 1. Notion de limite d’une s u i t e .............................................. 31
§ 2. Opérations arithmétiques sur les suites convergentes . . . 37
§ 3. Infiniment petit et infiniment g ra n d ................................. 39
§ 4. Formes indéterminées ........................................................ 41
§ 5. Suites monotones................................................................... 42
§ 6. Le nombre e ........................................................................... 45
§ 7. Principe des segments em boîtés......................................... 46
§ 8. Bornes supérieure et inférieure d’un ensem ble.............. 47
§ 9. Théorème de Bolzano-W eierstrass..................................... 50
§ 10. Limites supérieure et inférieure......................................... 51
§ 11. Critère de Cauchy de convergence d’une s u i t e .............. 53
§ 12. Complétude et continuité d’un ensemble de nombres réels 55
Chapitre 3. FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION...................... 56
§ 1. F o n c tio n .................................................................................... 56
§ 2. Limite d’une fo n c tio n ............................................................. 63
§ 3. Continuité d’une f o n c t io n ..................................................... 70
§ 4. Discontinuités de première et de seconde espèces . . . . 76
§ 5. Fonctions continues sur un intervalle fe rm é ...................... 79
§ 6. Fonction réciproque co n tin u e ................................................. 83
§ 7. Continuité uniforme d’une fonction ...................................... 86
§ 8. Fonctions élém entaires............................................................. 88
§ 9. Limites rem arq u ab les ............................................................. 99
§10. Ordre d’une variable. Equivalence........................................... 101
6 TABLE DES MATIERES
Chapitre 4. CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE
VARIABLE .............................................................................. 105
§ 1. D é r iv é e .............................................................................. 105
§ 2. Signification géométrique de la d é r iv é e .................... 108
§ 3. Dérivées des fonctions élém entaires............................. 114
§ 4. Dérivée d’une fonction com posée................................ 117
§ 5. Dérivée de la réciproque d ’une fo n c tio n ..................... 118
§ 6. Dérivées des fonctions élémentaires ( s u ite ) ................. 119
§ 7. Différentielle d’une fonc tion ............................................ 121
§ 8. Autre définition de la tan g en te .................................... 124
§ 9. Dérivée d’ordre supérieu r................................................ 125
§ 10. Différentielle d ’ordre supérieur. Invariance de la diffé­
rentielle p rem ière...................................................................... 126
§ 11. Dérivation de fonctions données sous forme paramétrique 128
§ 12. Théorèmes de la m o y en n e ............................................... 128
§ 13. Levée des indéterm inations............................................ 134
§ 14. Formule de T a y lo r ........................................................... 137
§ 15. Série de T a y l o r ............................................................... 141
§ 16. Formules et séries de Taylor des fonctions élémentaires 143
§ 17. Extrémum local d’une fo n c tio n .................................... 146
§ 18. Bornes d’une fonction sur un in te rv a lle .................... 150
§ 19. Convexité d’une courbe. Point d’in flex ion ................. 152
§ 20. Asymptote d’une co u rb e .................................................... 155
§ 21. Courbe continue et l i s s e ............................................... 158
§ 22. Construction du graphe d’une fonc tion ..................... 159
§ 23. Fonction vectorielle. Vecteurs tangent et normal . . . 164
Chapitre 5. INTÉGRALES IN D ÉFIN IES.................................................. 169
§ 1. Intégrale indéfinie. Table des in té g ra le s .................... 169
§ 2. Méthodes d’in té g ra tio n ................................................... 173
§ 3. Nombres complexes .............................................................. 178
§ 4. Théorie du polynôme de degré n ................................ 182
§ 5. Polynôme reel de degré n ............................................ 184
§ 6. Intégration d’expressions ra tio n n e lle s ......................... 186
$ 7. Intégration de fonctions irra tio n n e lle s ......................... 188
Chapitre 6. INTÉGRALE D É F IN IE ................................................... 193
§ 1. Problèmes introduisant la notion d’intégrale définie.
Définition de l ’intégrale d é f in ie ........................................... 193
§ 2. Propriétés des intégrales d éfin ies .................................... 199
§ 3. Intégrale fonction de sa borne su p é rie u re ..................... 205
§ 4. Formule de Newton-Leibniz............................................ 208
§ 5. Reste de la formule de Taylor sous la forme intégrale . . . 213
§ 6. Sommes de Darboux. Conditions d’existence de l ’intégrale 214
§ 7. Intégrabilité des fonctions continues et monotones . . . 217
§ 8. Intégrales im p ro p re s ........................................................ 218
§ 9. Intégrales impropres de fonctions à valeurs réelles positives 222
§ 10. Intégration par parties d’intégrales im propres............. 226
§ 11. Intégrale impropre à singularités en plusieurs points 228
Chapitre 7. APPLICATIONS DES INTÉGRALES. MÉTHODES DES
APPROXIMATIONS .............................................................. 230
§ 1. Aire en coordonnées p o la ire s .................................................. 230
§ 2. Volume d’un solide de révo lu tion .......................................... 231
§ 3. Courbe gauche lisse. Longueur d’a r c .................................. 232TABLE DES MATIÈRES 7
§ 4. Courbure et rayon de courbure d’une courbe. Développée et
d év e lo p p an te ....................*....................................................... 238
§ 5. Aire d’une surface de révo lu tion ........................................... 243
§ 6. Formule d ’interpolation de L agrange................................... 245
§ 7. Calcul approché de l ’intégrale par la méthode des rectangles
et des t r a p è z e s .......................................................................... 247
§ 8. Formule de S im pson .................................................................. 251
Chapitre 8. CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS DE PLU­
SIEURS VARIABLES.............................................................. 255
§ 1. Notions prélim inaires............................................................. 255
§ 2. Ensemble o u v e r t ..................................................................... 257
§ 3. Limite d’une fonction ......................................................... 259
§ 4. Fonction continue . . . . ................................................. 262
§ 5. Dérivées partielles et dérivée suivant un vecteur . . . . 265
§ 6. Fonctions différentiables ..................................................... 268
§ 7. Plan tangent. Interprétation géométrique de la différentielle 271
§ 8. Dérivée d’une fonction composée. Dérivée suivant un
vecteur. Gradient. Fonctions homogènes.......................... 273
§ 9. Différentielle d ’une fonction. Différentielle d’ordre supé­
rieur ......................................................................................... 278
§ 10. Formule de T a y lo r ................................................................. 282
§ 11. Ensemble fermé ..................................................................... 284
§ 12. Fonction continue sur un fermé b o rn é .............................. 288
§ 13. Extrémums ............................................................................. 291
$ 14. Calcul du minimum et du maximum d’une fonction . . . 296
§ 15. Théorème d’existence des fonctions im p lic ites.................. 297
§ 16. Plan tangent et n o rm ale ..................................................... 301
§ 17. Systèmes de fonctions im p lic ites ......................................... 303
§ 18. A pplications............................................................................ 308
§ 19. Extrémum l i é ........................................................................ 309
Chapitre 9. S É R IE S .............................................................................. 316
§ 1. Notion de s é r ie ................................................................... 316
§ 2. Intégrale impropre et s é r ie ........................................... 318
§ 3. Opérations sur les s é r ie s ............................................... 320
§ 4. Séries à termes p o s itifs ................................................... 321
§ 5. Série de L e ib n iz .............................................................. 326
§ 6. Séries absolument co n v erg en tes .................................... 326
§ 7. Séries semi-convergentes et commutativement convergentes
à termes r é e l s ......................................................................... 328
§ 8. Suites et séries de fonctions. Convergence uniforme . . . 329
§ 9. Intégration et dérivation des séries uniformément conver­
gentes 335
§ 10. Produit de séries absolument convergentes................. 340
§ 11. Séries e n t iè r e s .................................................................. 343
§ 12. Dérivation et intégration des séries en tiè re s ............. 347
§ 13. Fonctions ezt sin z et cos z d ’une variable complexe . . . 351
§ 14. Séries dans les calculs approchés................................ 354
§ 15. Séries multiples .................................................................... 360
§ 16. Sommation des séries et suites par la méthode des moyennes
arithmétiques ......................................................................... 366
8 TABLE DES MATIERES
Chapitre 10. ELEMENTS D’ALGÈBRE LINEAIRE ET DE GEO­
METRIE ANALYTIQUE....................................................... 369
§ 1. Déterminants du second o rd r e .................................. 369
§ 2. Déterminants du troisième et du n-ième o rd r e ... 370
§ 3. M atrices......................................................................... 379
§ 4. Système d’équations linéaires. Théorie de Kronecker-
Capelli ...................................................................................... 380
§ 5. Espace à trois dimensions. Vecteurs. Système de coordonnées
cartésiennes .............................................................................. 393
§ 6. Espace euclidien à n dimensions. Produit scalaire . . . . 399
§ 7. Segment. Division d’un segment dans un rapport donné 403
§ 8. La d r o i t e ..................................................................... 405
§ 9. Equation du plan .................................................................. 412
§ 10. La droite dans l 'e sp a c e .......................................... 418
§ 11. Orientation des systèmes de coordonnées rectangulaires 421
§ 12. Produit v ec to rie l......................................................... 423
§ 13. Produit m i x t e ............................................................. 428
§ 14. Système de vecteurs linéairement indépendants . . . . 429
§ 15. Opérateurs linéaires .............................................................. 434
§ 16. Bases dans R n ............................................................. 439
§ 17. Bases orthogonales de Rn .......................................... 443
§ 18. Propriétés invariantes des produits scalaire et vectoriel 447
$ 19. Changement des systèmes de coordonnées rectangulaires
dans le p l a n .............................................................................. 450
§ 20. Sous-espaces vectoriels de Rn .................................. 452
§ 21. Théorèmes de type F redholm .................................. 457
§ 22. Opérateur autoadjoint. Forme quadratique........... 463
§ 23. Forme quadratique dans un espace à deux dimensions 470
§ 24. Coniques ................................................................................. 473
§ 25. Quadriques dans l'espace .......................................... 485
§ 26. Théorie générale des quadriques.............................. 499
In d e x ................................................................................................................. 504
AVANT-PROPOS
Le cours de mathématiques que nous proposons est composé de 
deux tomes.
Dans le premier tome, les trois premiers chapitres sont consacrés 
aux notions élémentaires d'analyse, quatre autres chapitres au 
calcul différentiel et intégral des fonctions d’une variable, un cha­
pitre au calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables, un 
chapitre aux séries et un chapitre enfin à l’algèbre linéaire (théorie 
des déterminants et des matrices, systèmes linéaires d’équations, 
opérateurs linéaires, opérateurs hermitiens, formes quadratiques) et 
à la géométrie analytique dans le plan et dans l’espace (droite, plan, 
coniques, quadriques).
Les auteurs ont conscience que le programme de mathématiques 
du second cycle est surchargé et qu’il n’est point besoin par consé­
quent de tout prouver. Ils espèrent que le professeur aidera les élèves 
à procéder aux coupes nécessaires.
Plusieurs paragraphes du chapitre premier traitent du nombre 
réel. Nous pensons que l’approche du nombre réel comme une forme 
décimale est intéressante. La lecture de la démonstration du lemme 2 
relatif à une suite de formes décimales bornée croissante est souhai­
table. Cependant dans l’étude de ces questions on peut se limiter au 
§ 7 où sont énumérées les propriétés du nombre réel et au § 8 qui 
traite de l’approcheaxiomatique de la notion de nombre.
Les propositions sont en règle générale démontrées. Cependant 
dans les cas où les démonstrations sont omises en dimension n, des 
explications détaillées indiquent la marche à suivre en dimension 
deux et trois.
Les auteurs attirent l’attention sur le fait que les neuf premiers 
chapitres et le chapitre 10 « Eléments d’algèbre linéaire et de géo­
métrie analytique » s’imbriquent étroitement et leur lecture doit 
être menée de pair. D’autre part avant d’aborder le chapitre 8 sur 
les fonctions de plusieurs variables, il est vivement conseillé de 
s’initier aux notions de base de l’espace à n dimensions.
10 AVANT-PROPOS
Par ailleurs l’étude de l’opérateur hermitien et des formes quadra­
tiques passe par celle des propriétés des fonctions continues sur un 
ensemble fermé (§ 12, chapitre 8).
Le paragraphe consacré à l’extrémum des fonctions de plusieurs 
variables implique la connaissance des formes quadratiques.
Les auteurs espèrent que cet ouvrage aidera les élèves des écoles 
techniques à parfaire leurs connaissances mathématiques.
CHAPITRE PREMIER
INTRODUCTION
§ 1. Objet des mathématiques.
Grandeurs variables et constantes, ensembles
Les mathématiques occupent une place particulière dans le con­
cert des sciences. Les mathématiques se définissent comme la science 
des formes de l’espace et des rapports quantitatifs du monde réel. 
Certes, si l’on tient compte de l’état actuel des mathématiques et de 
la diversité de ses structures, il faut comprendre ces formes et ces 
rapports dans leur acception la plus large.
Les mathématiques arment les autres sciences du langage des 
nombres et des symboles pour exprimer toute sorte de rapports entre 
les phénomènes de la nature. Mais avant de faire usage des mathé­
matiques le biologiste, le physicien ou l’économiste doit bien con­
cevoir le phénomène étudié et le décomposer en parties susceptibles 
d’être traitées par les mathématiques.
Les mathématiques étudient les modèles logiques conçus pour 
décrire les phénomènes naturels et sociaux ainsi que les rapports 
existant entre les éléments de ces modèles. Si le modèle mathéma­
tique décrit correctement le phénomène étudié, il permet de dévoiler 
les lois qui régissent ce phénomène, autrement dit les mathématiques 
sont capables de mettre à jour les aspects qualitatifs du phénomène 
étudié.
Vu son niveau élevé d’abstraction, un modèle mathématique est 
capable de simuler différents processus. Ainsi une même équation 
différentielle décrit la désintégration radioactive et les variations 
de température d’un corps.
Quand on étudie des phénomènes naturels et sociaux, on se 
heurte constamment à des variations de grandeurs, à des relations 
entre grandeurs. Donc, la notion de grandeur variable est fonda­
mentale en analyse mathématique.
Par grandeur variable on entendra une grandeur qui dans le 
processus étudié est susceptible de prendre au moins deux valeurs 
distinctes. La grandeur qui ne prend qu’une valeur sera dite cons- 
tante.
F. Engels a signalé que l’emploi de la variable cartésienne a 
introduit le mouvement et la dialectique en mathématiques.
Si l’on regroupe toutes les valeurs prises par une variable, on 
obtient 1 'ensemble des valeurs de cette variable.
12 INTRODUCTION [CH. 1
La notion d 'ensemble est aussi fondamentale en mathématiques. 
C’est une notion liminaire que nous n’essayerons même pas de défi­
nir par d’autres notions simples.
Par ensemble on entendra une collection d’objets de nature quel­
conque.
On peut parler de l’ensemble des étudiants d’une faculté, de 
l’ensemble des molécules d’un corps, de l’ensemble des T.V. couleurs 
dans une salle, etc. Les objets d’un ensemble s’appellent éléments 
de cet ensemble.
On désignera les ensembles par des lettres majuscules A, B, . . . 
. . ., X, y , . . . et leurs éléments par des lettres minuscules a, fe, . . .
• . x, . . .
Si un élément x appartient à un ensemble A , on note ceci par: 
x Ç A. Si x n’appartient pas à A, on écrit : x (£ A. Le symbole A c B 
(lire A compris* dans B) signifie que tout élément de A est élément 
de B .
L’ensemble A s’appelle alors sous-ensemble de B . On se sert 
encore de la notation équivalente : B z> A (lire l’ensemble B com­
prend l’ensemble 4̂). Les symboles c e t d sont les signescTinclusion.
Si un ensemble ne contient aucun élément, on dit qu’il est vide 
et on le note 0 . Il est évident que 0 c: A, où A est un ensemble 
quelconque.
Pour noter les ensembles on se sert d’accolades à l’intérieur des­
quelles on inscrit par des procédés divers les éléments qui les com­
posent. L’expression N={1, 2, 3 . . .} désigne Vensemble des entiers 
naturels; {0, 1, 2, . . .}, l’ensemble des entiers positifs; Z = 
= { . . . , —2, —1, 0, 1, 2, . . .}, Y ensemble des entiers relatifs. Par 
exemple, l’ensemble A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} est composé des
chiffres du système décimal. Il est évident que 2 Ç A et g £ A.
On dit que deux ensembles A et B sont égaux, et on note A = B, 
si A c f l et 5 en A. Il n’est pas toujours facile d’établir l’égalité 
de deux ensembles. Par exemple, si A = {6, 8, 10, . . .} et B = 
= {p + g} est l ’ensemble des sommes des nombres premiers p et q 
plus grands que 2, il est clair que B cz A. Cependant, à ce jour on ne 
sait pas encore si A a B, c’est-à-dire si tout nombre entier pair 
^ 6 se représente par une somme de nombres premiers > 2.
Dans cet ouvrage on aura principalement affaire aux ensembles 
numériques. §
§ 2. Opérations sur les ensembles
Les ensembles sont justiciables des opérations arithmétiques 
d’addition et de multiplication qui jouissent de propriétés en beau­
coup de points similaires à celles de l’addition et de la multiplica­
tion des nombres.
SYMBOLIQUE DE LA LOGIQUE MATHEMATIQUE 13
Soient donnés deux ensembles arbitraires A et B . On appelle 
somme ou réunion des ensembles A et B l'ensemble C composé des 
éléments des ensembles A et B , et on note: C = A + B ou C = 
= A U B (fig. 1). Il est immédiat que A + A = A.
On appelle produit ou intersection des ensembles A et B l'en­
semble C composé des éléments appartenant à la fois à A et à B,
Fig. 1 Fig. 2
et on note C = AB ou C = A fl B (fig. 2). Il est évident que A f) A = 
= A. Si AB = 0 , on dit que les ensembles A et B sont disjoints. 
En se servant de la notion d'égalité des ensembles on démontre que : 
1 ) A + B = B + A ;
2) (A + B ) C = AC + BC;
3) (AB) C = A (BC) ;
4) (-4 4- B) + C = A -f- (B + C).
Prouvons 2). Si x 6 (A + B) C, c’est que, par définition du produit, 
x Ç A + B et x 6 C. De la définition de la somme il s’ensuit que 
x Ç A ou i 6 B. Supposons pour fixer les idées que x Ç A. Alors 
x Ç AC et par suite x £ AC + BC. Donc, (A + B) C czAC + BC. 
Si à présent x 6 AC + BC, alors ou bien x 6 AC. ou bien x 6 BC. 
Supposons que x Ç AC. Alors x £ A + B et x Ç C, c’est-à-dire que 
x 6 (A + B) C. D’où AC + BC c: (4 + B) C. Ce qui prouve 2).
On appelle différence des ensembles A et B l’ensemble R = A \ B 
composé des éléments de A n’appartenant pas à B.
On remarquera que dans le cas général (A \f i) + B A (fig. 3). 
Mais si B a A, alors (A \B ) + B = A (fig. 4).
Les ensembles et les opérations d’addition et de multiplication 
que nous venons de voir forment une algèbre originale privée de 
coefficients et de puissances. §
§ 3. Symbolique de la logique mathématique
Pour abréger les notations on se servira dans la suite de quelques symboles 
élémentaires de la logique. Si une proposition nous intéresse non pas par son 
contenu mais par ses relations avec d’autres, on la désignera par a , P, . . . . 
La notation a =£ P signifie que la proposition a entraîne la proposition p, la 
notation a <=> P, que les propositions a et p sont équivalentes, c’est-à-dire 
que a entraîne p et P entraîne a.
La notation V x 6 À : a signifie que la proposition a a lieu pour tout x 6 A .
Le symbole V s’appelle quantificateur universel•
14 INTRODUCTION [CH. I
La notation 3 y6 B : P signifie qu’il existe un élément y £ B pour lequel 
la proposition P_a lieu. Le symbole 3 s’appelle quantificateur existentiel.
Le symbole a désigne la négation de la proposition a ou plus brièvement 
la proposition « non a ».
Construisons la négation de la proposition V x 6 A : a.
Si cette proposition n’a pas lieu, la proposition a n’est pas réalisée pour 
tous les x 6 A , en d’autres termes il existe un élément x Ç A pour lequel a
Fig. 3
(A\B) + B = A 
Fig. 4
n ’a pas lieu : V * € -4 : a<=£.3* 6 A : a . De façon analogue 3 y £ B : P<=>Vy 6
€ £ : P.
Donc, pour construire la négation d’une formule contenant les symboles 
V et 3. il faut remplacer V par 3 et 3 par V et surmonter de la barre de négation 
la propriété qui suit les deux points. Ainsi la négation de la proposition
3 M, V* € A : / (*) < M
est * * § *
3**, V* € A : / (x) .1/ M , 3* 6 a : / (x) ^
Jx 6 A : / (x) > A/.
§ 4. Nombres réels
La notion de nombre est liminaire et fondamentale en mathé­
matiques. Au cours des siècles, cette notion a pris des extensions 
successives. L’ensemble des entiers naturels
N = {1, 2, 3, . . ., n, • • •}
est apparu en raison du comptage des objets. Les besoins de la 
pratique et du développement des mathématiques ont poussé les 
mathématiciens à introduire les entiers relatifs
Z = { . . ., - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3f . . .} 
et les nombres rationnels
Q = {min}, où m, n 6 Z, n =j£ 0.
Pour représenter un nombre rationnel de manière unique, on 
admettra, sauf mention expresse du contraire, que la fraction min 
est irréductible.
L'introduction des nombres rationnels n'a toutefois pas entière­
ment résolu un important problème de mesure des segments. Il
NOMBRES REELS 15S 4]
existe en effet des segments dont la longueur n’est pas rationnelle. 
Exemple: la diagonale d’un carré de longueur 1.
D’où la nécessité de considérer d’autres nombres: les nombres 
irrationnels. L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels 
constitue l’ensemble R des réels. Il existe plusieurs procédés d’in­
troduction (de définition) des réels. Nous optons pour celui qui 
consiste à les représenter par des formes décimales illimitées
a — I Qqt ûjûoflj • • • t (1)
a0 étant un entier non négatif, ah des décimales. Donc, ak ne peut 
prendre que l’une des valeurs 0, 1, 2, . . ., 9. On omet souvent le 
signe + .
Le nombre 0 s’écrit sous l’une des formes suivantes:
0 = +0,00 . . . = 0,00 . . . = —0,00 . . .
Pour représenter un nombre rationnel non nul ±m /n (m > 0 , 
n > 0 ) par une forme décimale, on divise tout simplement m par n 
comme à l’école primaire:
m n
Ûq» • • • (2)
On remarquera que si l’on applique ce procédé à une autre repré­
sentation de la fraction ±mp!np = ±m ln (p > 0 ) , on obtient le 
même résultat.
On pose
± — = ± a0, aia2a3 . . . (3)
et on appelle le second membre de (3) symbole (ou forme ou dévelop­
pement) décimal du nombre ±m!n.
Si le dénominateur de la fraction est de la forme n = 2*5/, où s 
et l sont des entiers positifs, alors l’opération (2) s’achève au bout 
d’un nombre fini de pas et on obtient un symbole décimal limité
=b-~ = d t a 0, . . . aM = ± a 0, ax . . . a M00 . . . (aM> 0 ). (4)
On utilise encore une autre représentation de la fraction (4) : 
zfca0» ai • • • aM = ai • • • aM-l (aM — 1) 99 . . . =
= ifcflo* ai • • • aM-l (aM — 1) (9)» (3)
bien qu’elle ne provienne pas du processus (2). Le troisième membre 
de (5) est un symbole décimal illimité.
On dira qu’un symbole décimal
Po» P1P2 • • •
est illimité si pour tout entier naturel n on peut exhiber un entier 
naturel k > n tel que le chiffre décimal 0* soit > 0.
16 INTRODUCTION [CH. 1
Ainsi donc, tout symbole décimal limité peut être, grâce à (5), 
représenté par un symbole décimal illimité. Les formes décimales 
dont il sera question plus bas engendreront d’autres nombres.
Supposons maintenant que le dénominateur de la fraction étudiée 
n’est pas de la forme 2*5*. Alors l’opération (2) est illimitée : à chaque 
pas on obtient un reste positif. Chaque reste est inférieur à n, donc 
parmi les n premiers restes il en existe deux au moins qui sont égaux. 
A partir de là l’opération se reproduit et devient périodique. Donc, 
la représentation décimale d’un nombre rationnel est de la forme
di n — du Æq» ûj . . . • • • b8b i ••• •••
= d= a0, a, . . . aM (bt . . . b9) (s < n). (6)
Le nombre bx . . . b8 s’appelle période. La représentation (5) 
peut être considérée comme un cas particulier de (6).
E x e m p l e s .
-1 = 0,166 ...= 0 ,1 (6 ) , - l = °-(142857)’
-1 = 0 ,2 2 ------ 0,(2),
- 7 (7)— = 0,0707 . . . =0,(07),
9^5" 0,00707 ...= 0 ,0 (07).
La représentation (6) s’appelle forme (ou symbole ou développe­
ment) décimale illimitée périodique.
Ainsi, tout nombre rationnel non nul peut être représenté grâce à 
l’opération (2), ou grâce à (5) dans le cas d’un nombre décimal, par 
une forme décimale illimitée périodique. On démontre qu’à tout 
nombre rationnel correspond une forme décimale illimitée périodique 
et inversement que toute forme décimale illimitée périodique (6) 
est engendrée grâce à (2) et à (5) par un nombre rationnel donné par 
la formule:
± T = ± [ a °’ a l - • • a M + V . . . 9* 10~M] •
Par exemple
1,237(06) = 1,237 +0,000 (06) =1,237 + -^ 1 0 -3 = 1,237 + 5 ^ .
Il existe des formes décimales qui ne sont pas périodiques. 
Exemple: 0,1010010001 . . . ; 0,121122111222 . . .
DÉFINITION DE L’ÉGALITÉ ET DE L’INÉGALITÉ 17§ 5]
Autre exemple: si Ton extrait la racine carrée de 2 d'après la 
règle habituelle, on obtient la forme décimale illimitée non périodi­
que: |^2 = 1,41 . . . Cette forme est définie en ce sens qu’à tout 
entier naturel k correspond un chiffre ak occupant le rang k à droite 
de la virgule et se calculant de façon unique d’après la règle d’extrac­
tion de la racine carrée.
L’analyse mathématique nous offre plusieurs procédés de calcul 
du nombre a avec n’importe quelle précision. On obtient pour le 
nombre a une forme décimale illimitée bien déterminée qui n’est 
pas une forme décimale périodique mixte.
Donnons maintenant une définition purement formelle d’un 
nombre irrationnel. On appelle nombre irrationnel un nombre déter­
miné par une forme illimitée non périodique
a = ± a 0, (8)
où a0 est un entier positif, ak (k = 1, 2, . . .) des chiffres, le signe 
« = » veut dire que nous avons désigné le second membre de (8) par a.
Les nombres rationnels et irrationnels sont dits réels.
De ce qui précède il suit que tout nombre réel non nul peut être 
représenté par une forme décimale illimitée (8). Si cette forme est 
illimitée périodique, ce nombre est rationnel ; si elle est illimitée non 
périodique, il est irrationnel.
Une fraction décimale non nulle peut être représentée par une 
forme limitée, mais elle ne définit pas un nouveau nombre rationnel : 
en effet d’après la convention exprimée par l’égalité (5) elle peut 
être remplacée par une forme illimitée périodique.
Un nombre a dont les ah ne sont pas tous nuis est positif ou négatif 
selon qu’on aura le signe « + » ou le signe « — » dans (8) ; ceci 
étant on omettra comme toujours le signe « -(- ».
Les nombres réels ont été définis jusqu’ici d’une manière formelle. 
Il reste encore à définir les opérations arithmétiques sur eux, à in­
troduire la notion « > » et à vérifier que ces opérations et cette 
notion sont compatibles avec les opérations et la notion « ;>» res­
pectives, relatives aux nombres rationnels. De plus il faut s’assurer 
qu’ils sont doués des mêmes propriétés que les nombres rationnels.
§ 5. Définition de l’égalité et de l’inégalité
Soient deux nombres a = ± a 0, a xa 2 . . ., b = ± p 0i P1P2 • • • 
définis par des formes décimales illimitées. On dira que ces nombres 
sont égaux si et seulement s’ils ont même signe et
a* = Pu (* = 0, 1 , 2 , . . .)•
Soient a et b des nombres strictement positifs. Par définition, 
a < b ou, ce qui revient au même, 6 > a, si a 0 < po ou s’il existe 
un indice Z tel que ah = P* (k = 0,1, . . ., Z) et a z+1 < Pt+X-
2 -0 6 2 2
18 INTRODUCTION [CH. 1
Si les formes décimales illimitées représentant les nombres a et & 
ont pour expression
J a = a 0, a , . . . a ff99 . . . (aw< 9 ) ,
t & = Po, P i . . . p w , 9 9 . . . (P *,<9), (1)
on peut représenter ces nombres par les formes décimales limitées
f a = a„, a t . . . a ^ .^ a ^ + l),
l 6 = p0» Pi ••• P n ,-i(P n , + 1)-
11 est immédiat de voir que si a = b ou a < b au sens de la défi­
nition précédente (dans le langage des formes décimales illimitées
(1)), alors a = b ou respectivement a < b au sens de l’égalité 
(a = b) ou de l’inégalité (a < b) des formes décimales (1').
Par définition, a > 0 ou a < 0 selon que a est strictement positif 
ou négatif ; par ailleurs, par définition, a < b s i a < ; 0 e t & > - 0 
ou si a, b < 0 et | a | > | 6 |.
Si a = ± a 0, ai®* • • •* alors par définition —a = =Fa0, o^aj . . . 
et la valeur absolue | a | = + a 0, . . . = a 0, . . . Donc,
I - a
a
— a
(a>0),
(a<0).
On sait qu’entre les nombres réels et les points d’une droite on 
peut établir une correspondance biunivoque (•<-*■) d’après la règle
_ a 0 *a *b
A 0 A B
Fig. 5
suivante. Au nombre 0 on associe un point quelconque O sur la 
droite appelé point zéro et réciproquement. Pour unité de mesure 
on prend la longueur d’un intervalle quelconque. A chaque nombre 
réel ± a (a > 0) on associe le point de la droite situé à une distance a 
à droite de O pour + a , et à gauche de O, pour —a (fig. 5). Récipro­
quement, si A est un point arbitraire de la droite situé à une distance 
a à droite de O, on admet qu’il correspond au nombre réel + a . S’il 
est situé à gauche de O, on admet qu’il est associé au nombre —a. 
La droite considérée s’appelle droite numérique ou axe des réels. Dans 
la suite on ne fera pas de distinction entre les points de la droite 
numérique et les nombres réels correspondants. Signalons que la 
distance de deux points a et b est égale à | a — b \ (la définition de 
la différence est donnée au § 6).
DEFINITION DES OPERATIONS ARITHMETIQUES 19S 6]
§ 6. Définition des opérations arithmétiques
Supposons qu'à tout entier positif (un indicé) est associé un 
nombre xn d'après une loi. La collection
^0» ^2» • • • (1 )
s'appelle suite de nombres. Les nombres xn sont les éléments ou les 
termes de la suite (1). Les éléments xn et xm (m ^ n) sont distincts, 
même si éventuellement ils sont égaux.
On dit qu’une suite est croissante (resp. décroissante) si xk ^ xM 
(resp. xh ^ xfc+1) pour tout k = 0, 1, 2, . . .
On dit qu’une suite est majorée (resp. minorée) s’il existe un nombre 
M (resp. m) appelé majorant (resp. minorant) tel que xk ^ M (resp. 
xk ^ ra) pour tous les k = 0, 1, 2, . . .
Les termes de la suite (1) étant entiers, on dira que cette suite 
se stabilise à un nombre £ si l'on peut exhiber un k0 tel que xk = Ç 
pour tous les k > k0 et on notera xk £•
L e m m e 1. Si une suite d'entiers est croissante et majorée par un 
nombre M , elle se stabilise à un entier M.
D é m o n s t r a t i o n . La suite {xn} est majorée par le nombre M 
et est croissante, donc elle est minorée. Bien qu'elle comprenne un 
nombre infini de termes, cette suite ne parcourt qu’un nombre fini 
d’entre eux, car ils sont ^ M . Soit £ le plus grand de ces termes. 
On a £ ^ M et il existe un indice s tel que x8 = £. Or, la suite 
{xn} est croissante, donc xk = xs pour tous les k ^ s , autrement 
dit la suite se stabilise au nombre £ (xa ^ M).
Considérons maintenant une suite de formes décimales positives 
(simultanément limitées ou illimitées) :
(Zi = CCjQï &U&12&13 • • • »
&2 = a 20» a 21a 22a 23 ■ ■ * » 
a3 = t t 30» a 3ia 32a 33’ • • •
Les seconds membres de (2) forment un tableau (matrice infinie).
On dira que la suite (2) se stabilise au nombre a = Yo» Y1Y2 • • •» 
et on écrira
(3)
si la k-ième colonne du tableau (2) se stabilise à yh quel que soit k = 
= 0, 1, 2, . . c’est-à-dire que a ,h Zt Y* pour tout k fixe.
L e m m e 2. Si une suite croissante (2) de formes décimales (toutes 
limitées ou toutes illimitées) est majorée par un nombre M , elle se 
stabilise à fortiori à un nombre a tel que
On ^ a ^ M (n = 1, 2, . . .).
2*
(4)
20 INTRODUCTION [CH. i
En effet, dans les hypothèses du lemme, les entiers de la colonne 
zéro de la matrice (2)
« 1 0
« 2 0
«30
croissent aussi et sont majorés par le nombre M (cf. § 5), donc en 
vertu du lemme 1, ils se stabilisent à un entier positif y0 ^ M. Sup­
posons que cette stabilisation a lieu à partir d’un indice n0, c’est-à- 
dire que an = y0j a nla n2 . . . < M , n > n0.
Prouvons maintenant que la première colonne de (2)
«u
« 2 1
«31
se stabilise aussi à un chiffre Yi et que
Yo» Yi < M.
En effet, les représentations décimales des nombres étant 
pour n ^ n0 de la forme
Yo» «nl«n2«n3 • • • ^ M 
et la suite {an} étant croissante, les chiffres anl (^ 9 ) de la première 
colonne croissent pour n ^ n0 et par suite se stabilisent, en vertu 
du lemme 1, à un chiffre Yi- Supposons que la deuxième stabilisation 
a lieu à partir de l’indice nx > n0, autrement dit pour n ^ nlt
dn = Yo. Yl«n2«n3 - • • < M.
Ceci étant, il est manifeste que
(' Yo. Yl (»>»i)-
Raisonnons maintenant par récurrence. Supposons que les colon­
nes de la matrice (2) d’indices inférieurs à A: se stabilisent respective­
ment à Yo, Yi' • • -, Y* 9ue
Yo. Yi • • • Y* < M (Yi. • • •» Yft sont des chiffres). (5)
Prouvons que la (k + l)-ième colonne de (2) se stabilise aussi à un 
chiffre Yfe+i et que
Yo, Yi • • • YftYfc+i < M. (6)
. . En effet, puisque les représentations décimales des nombres 
sont, pour n ^ nk, de la forme
an = Yo, Yi • • • Yfc«n.h+i«n.k+ 2 • • • < M 
et de plus a„ croît, les chiffres a n-h+1 croissent pour n ^ nk et par
DEFINITION DES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES 21§ 6]
suite se stabilisent pour n ^ Hfe+i, où /ife+i est assez grand, à un 
chiffre y*+i- De plus il est évident que
Yo» Yi • ■ • Yfc+i < «n < M (n > n k+1),
c’est-à-dire qu’on retrouve l’inégalité (6). Nous avons donc prouvé 
par récurrence que (5) est vraie pour tout k et que a* Z t a = Yo» Y1Y2 • • •
Prouvons la première inégalité (4). Comparons les nombres
et
an an0» anian2an3 • • •
a = Yo» YiYaYs • • •
Si les composantes respectives des deux représentations sont égales (an8 = 
= ys, 5 = 0 , 1, 2, . . .)> alors an = a. Sinon, pour un certain « on a 
| * n j = y j 0=0, 1, .. . , f—1),
^ < Y«*
Ceci étant, si s = 0, les égalités n’ont pas de sens dans (7). Pour l’indice n 
considéré, les nombres a nj = yj (J = 0, 1, . . ., s — 1) sont déjà stabilisés, 
donc
< a n0» *nl • • • *71.8-1 (*J13 + 1) = Yo» Yl • • • Ys-l (*n* + *><
f , , , , < Yo» Yi • • • Y0 -1Y* *£ «»
ce qui prouve la première inégalité (4).
Reste à démontrer la deuxieme inégalité (4). Si a = v0» Yi • • • Yv es ̂
une forme décimale limitée, alors elle resuite de (5) pour k = N. Supposons 
maintenant que '
a = Yo» Y1Y2 • - • (8)
est une forme décimale illimitée. Représentons le nombre M par une forme 
décimale illimitée M = m0, mjmj . . . Si l’on admet que l’inégalité à démon­
trer est fausse, il existe alors un À* tel que
f y j = mj (; = 0, 1, . . . , k 1), ̂
' Yk > m h.
Si k = 0, les égalités n’ont pas de sens dans (9). La forme (8) étant illimitée» 
il existe un s tel que yk+s > 0. Donc
Yo» Y i • • • Yfc-iYfe • • • Yfe+s ^ Yo» Yi • • • Yfe-iYfe = m o i m \ • • • m h -îY ft ^
^ mc, m.i . . . _! (mk -f-1) = mo, 99 . . . ^ mg, mjma ... = M ,
ce qui contredit l’inégalité (5).
Nous sommes désormais en mesure de définir les opérations arith­
métiques sur les nombres réels.
Considérons un nombre quelconque a = a 0, axa2 . . . et intro­
duisons sa n-troncature a(n) = a 0, c^cu . . . a n. On admet que le 
lecteur connaît les opérations sur les formes décimales limitées.
Soient deux nombres strictement positifs a et b dont les formes 
décimales illimitées s’écrivent
a = <x0, axa2 . . b = p0» P1P2 • • •
Introduisons la suite de nombresa(n) + 6<n) = aQ, a , . . . a „+P o. P, • • • P„ = Xin>. M”’ • • • X(„n)
(n = 1, 2, . . .).
INTRODUCTION22 [CH. 1
Il est évident que cette suite est croissante et qu’elle est majorée:
a(n) + 6(n,< ( a 0+ l ) + (P0+ l ) (» = 1, 2, . . . ) .
Donc, en vertu du lemme 2, les représentations décimales de ses 
éléments se stabilisent à une forme décimale y„, YiV: • • • correspon­
dant à un nombre^réel. Ce nombre est par définition la somme des 
nombres a et b :
a + b = YcJhVî • • •
Ainsi nous définissons la somme a + b comme le nombre auquel 
se stabilise (a(n) + 6(n) }:
a(n) + 6(n)->a + è> (10)
Pour définir le produit des nombres positifs a et bt introduisons 
la troncature
(aw b(n))M = n£.n\ ^ . . . vlS°. (H )
La suite de ces troncatures est visiblement croissante (lorsque n croît ) 
et est majorée:
(a(n>6(n))(n)< ( a 0+ 1) (p0 + 1) (n = 1 , 2 , . . . ) .
Donc, le lemme 2 nous dit que cette suite se stabilise à un nombre que 
l'on appellera produit ab :
(û(n)6<n))<n| ab.
Signalons les inégalités 
a(n> = a 0, a j . . . o„ < a 0l ttx. . . ctn . . . < a 0, «x. . . 0*99 . . . = 3 
= a 0, Ox . . . a*.! (a* + 1) = a 0, a x . . . a* + 10-*,
i.e.
a<n> < a < a<n> + 10”n.
La quantité a(n> tend vers a (lorsque n croît) en croissant. Quant 
à la quantité a(n> + 10“n, elle tend vers a en décroissant:
a(n) + 10"n = a 0f a t . . . a n99 . . . ^ a 0, a, . . . a na n+199 . . . =
= a(n+1) + l(T (n+1).
Cette circonstance sera utilisée pour définir la différence et le 
quotient de nombres strictement positifs.
Si a > b > 0, la différénce a — 6 se définit comme une forme 
décimale à laquelle se stabilise une suite de formes décimales limi­
tées:
a(n) — (6<n) + 1 0 “”) Z Z { a -b ); (12)
si a, & > 0, alors le quotient a ! b se définit comme une forme décimale 
à laquelle se stabilise la suite des formes décimales limitées :
5 7] PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES NOMBRES RÉELS 23
A noter que lorsque n croît, a(n) croît et + 10 “n décroît, donc 
les premiers membres de (12) et (13) croissent et de plus ils sont 
majorés :
a(n) _ (&<"> + 10-nK o o + 1 ,
/ g<"> \W ^ tto + 1
\6(n) + 10“» / Pi ••• P**
où £ est tel que P, >-0. Donc, en vertu du lemme 2, ils se stabilisent.
Posons encore
0 + a = a ± 0 = a, a-0 = 0 = a —a = (a^O , 6 > 0 ) . (14)
Nous avons défini la somme, la différence, le produit et le quotient 
de nombres positifs a, b en admettant dans le cas de la différence 
que a ^ b et dans le cas du quotient que b > 0 . Ces définitions se 
généralisent par les procédés habituels aux nombres a et b de’ signe 
quelconque. Par exemple, si a, b ^ 0, on convient que a + b = 
= 6 + fl = —(| a | + | b |). Si a et b sont de signes contraires et 
| a | ^ | 6 |, on admet que a + b = b + a = db(| | — | b |), le 
signe retenu étant celui de a. En particulier
CL -f- (—CL) = 0
quel que soit a.
Les autres opérations sont justiciables de règles identiques que 
nous ne citerons pas, car elles sont bien connues du cours d'algèbre.
Au § 7, on énumère les propriétés des nombres réels découlant 
des définitions ci-dessus. Ces propriétés ne seront démontrées que dans 
certains cas x). Elles ont été réparties en cinq groupes (I à V). Les trois 
premiers groupes comprennent les propriétés élémentaires dont on 
se sert pour les calculs arithmétiques et la résolution des inégalités. 
Le groupe IV est composé d'une propriété (la propriété d’Archimède). 
Le groupe V enfin est constitué d’une propriété formulée en termes 
de limites qui sera prouvée au § 5, chap. 2.
§ 7. Propriétés fondamentales des nombres réels
I. R e l a t i o n d’ o r d r e .
Ij. Axiome de trichotomie. Pour tout couple de nombres réels a et 6, 
on a
a = b ou a > b ou a < &,
ces cas s'excluant.
I2. De a < b et b < c il s'ensuit que a < c (la relation est transi­
tive).
I s. Si a<Zb, il existe un nombre c tel que a < c < 6. *
L) La démonstration complète figure dans l'ouvrage de Nikolski « Analyse 
mathématique». Tome I, chap. 2.
24 INTRODUCTION [CH. I
II. P r o p r i é t é s d e T a d d i t i o n e t d e l a s o u s ­
t r a c t i o n .
Hj. a + 6 = 6 + a (<commutativité).
II2. (a + 6) + c = a -f (6 + c) (associativité).
I I8. a + 0 = a.
114. a + (—a) = 0.
115. De a < b il résulte que a -f- c < 6 + c pour tout c.
Le nombre a + (—6) s’appelle naturellement différence entre a 
et 6, c’est-à-dire que a — 6 = a + (—b), car si on ajoute cette 
différence à b, on obtient le nombre a:
la -f- (—6)] -f- b = a -f- [(—b) -f- 6] = a + 0 = a.
On voit sans peine à partir des propriétés précédentes que la 
différence est unique. On montre que la différence telle qu’elle vient 
d’être définie coïncide avec celle donnée par la formule (12), § 6.
III. P r o p r i é t é s d e l a m u l t i p l i c a t i o n e t d e 
l a d i v i s i o n .
IIIj ab = ba (commutativité).
1112. (ab) c = a (6c) (associativité).
1113. a-i = a.
1114. = 1 (a ^ O ) .
1115. (a + 6) c = ac + 6c (distributivité).
IIle- De a < 6 et c > 0 il s'ensuit que ac < 6c.
Il est naturel d’appeler le nombre a- - (6 =£ 0) quotient de a par 6 
[ ï= a ' 5 ) ’ car en par 6 on obtient a:
( a " r ) 6 = a ( T - &) =fl (&-t ) = û -1 = û -
Il résulte des propriétés précédentes que le quotient de a par 6 
est unique. On démontre que tel qu’il vient d’être défini le quotient 
coïncide avec celui donné par la formule (13), § 6.
IV. P r o p r i é t é d’ A r c h i m è d e .
Pour tout nombre c > 0 , il existe un entier naturel n > c . En 
effet, si c = a 0, a aa 2 . . ., on peut prendre n = a 0 + 2.
De la propriété d’Archimède et de certaines autres il s’ensuit que 
pour tout nombre strictement positif e on peut exhiber un entier
naturel n tel que - < e.
En effet, en vertu de IV on peut exhiber pour le nombre 1/e 
un entier naturel n tel que 1/e < n, ce qui d’après III6 entraîne 
l’inégalité désirée.
On remarquera que pour un nombre donné c ^ 0 il existe dans la 
suite des entiers positifs 0, 1, 2, . . . un seul nombre m tel que 
m ^ .c <Z m + 1.
9 8] APPROCHE AXIOMATIQUE DE LA NOTION DE NOMBRE REEL 25
P r o p r i é t é V. Si une suite de nombres réels a2, az . . . 
est croissante et majorée par un nombre M (an ^ M), il existe alors 
un nombre a ^ M qui est la limite de cette suite :
l iman =
n-*oo
Cela signifie que pour tout nombre e > 0 aussi petit que l’on 
veut on peut exhiber un entier naturel n0 tel que
\ a — \ = a — an < e
pour tous les n > n0.
Voir démonstration du théorème, § 5, chap. 2. Nous verrons que 
la propriété V est une conséquence immédiate du lemme 2, § 6t 
qui affirme, en particulier, qu’une suite de formes décimales illimi­
tées croissante majorée par un nombre M se stabilise à une forme 
décimale représentant un nombre a ^ M (an Zt a)-
En effet, dire que an se stabilise à a revient à dire que a est la 
limite de an.
§ 8. Approche axiomatique de
la notion de nombre réel x
Nous avons appelé nombres réels les formes décimales illimitées 
et avons introduit pour eux les notions de 0, 1, > , ==, les opérations 
arithmétiques. Nous avons formulé les propriétés I à V.
Signalons qu’à partir des propriétés I à V on peut déduire toutes 
les autres propriétés des nombres.
L’approche axiomatique consiste à définir les nombres réels 
comme des objets (êtres) a, b, c, . . . satisfaisant aux propriétés I 
à V. Dans cette approche les propriétés I à V s’appellent axiomes.
Les axiomes doivent être légèrement modifiés. L’axiome II s’énon­
ce dorénavant: à chaque couple de nombres est associé un nombre 
a + b appelé somme et vérifiant les axiomes II x à II5. L’axiome II s 
devient : il existe un nombre 0 (zéro) tel que a + 0 = a pour tous les a. 
L’axiome II4 prend la forme : pour tout nombre a il existe un nombre 
—a tel que a + (—a) = 0. Enfin, l’axiome II I3 se formule : il existe 
un nombre 1 (unité) distinct de 0 et tel que a-î = a pour tous les a.
Désignons par R l’ensemble de tous les nombres réels, c’est-à-dire 
de tous les êtres vérifiantles axiomes I à V. Donc, R contient les 
éléments 0 et 1. Les axiomes nous permettent de prouver que 0 < 1 
et que les nombres 2 = 1 + 1,3 = 2 + 1 , . . . , et —1, —2, —3,. . . 
ont un sens. On obtient en définitive l’ensemble des entiers relatifs 
(distincts entre eux!)
• • •, 2, —1, 0, 1, 2, . . .
En vertu de ces axiomes la division des réels est possible sauf 
par zéro. Donc, l’ensemble R comprend les nombres rationnels
26 INTRODUCTION [CH. !
± m ln = ztmplnp (n > 0, m 0, p #= 0). Il contient également 
les formes décimales limitées. Avec ces dernières on peut construire 
des suites majorées croissantes. L’axiome V nous dit que ces suites 
admettent des limites dans R. Certaines de ces limites ne sont pas 
des formes décimales limitées, mais des nombres distincts d’elles 
qu’il est commode de représenter par des formes décimales illimitées. 
En partant des axiomes on a abouti par des raisonnements logiques 
aux formes décimales illimitées. Nous avons esquissé la marche à 
suivre mais celle-ci ne prétend nullement à une démonstration.
De ce qui précède il s’ensuit que d’un point de vue formel peu 
importe que l’on définisse les nombres réels à partir des formes déci­
males illimitées ou axiomatiquement.
Du point de vue philosophique, la seconde approche est certes 
mieux appropriée dans la mesure où les nombres sont des êtres abs­
traits exprimant les rapports quantitatifs du monde réel, alors que 
les formes décimales ne sont que des symboles formels les représen­
tant.
§ 9. Inégalités pour les valeurs absolues
L’inégalité
| o 1 < e (1)
équivaut aux deux inégalités
—e < a < e. ( n
De là, l’inégalité
(2)| a — b | < e
équivaut aux inégalités
b — e < a < b + e. (20
De façon analogue, l’inégalité
| a — b | < e (3)
équivaut aux inégalités
On a de même
|a + i > | ^ | a | - | - | & | . (4)
. | a - b | > | | a | - | 6 ||. (5)
On établit l’inégalité (4) en distinguant quatre cas: 1) a, b^sQ , 
2) a, 6 ^ 0, 3) a ^ 0 ^ 6, 4) b ^ 0 ^ a. Dans le cas 2) par exemple
« + & < & < 0, | a + 6 | = —(a + b) — —a — b 
dans le cas 3) si l ’on admet que | b | ^ | a |
| a + b | = i> + a ^ | a | + | i > | .
M + \b |
INTERVALLES, ENSEMBLE BORNE 27
Le cas 3) pour | 6 | ^ | a |, de même que le cas 1) sont laissés au 
soin du lecteur. Le cas 4) se ramène au cas 3). D’autre part, en vertu 
de (4) on a
| a | ^ | 6 | + | a — 6 |, | 6 | < | a | + | a - 6 | , 
c’est-à-dire que
| a | - | a - 6 | < | 6 | < | a | + | * - M t
d’où (5).
5 10]
§ 10. Intervalles, ensemble borné
Soient a et 6 des nombres tels que a < 6.
L’ensemble des nombres x tels que a ^ x ^ 6 est un intervalle 
appelé intervalle fermé d’origine a et d’extrémité 6 et noté [a, 61.
L’ensemble des nombres x tels que a < x < 6 est un intervalle 
appelé intervalle ouvert d’origine a et d’extrémité 6 et noté la, 6[.
L’ensemble des nombres x tels que a ^ x <Z b (resp. a < x ^ 6) 
est un intervalle semi-ouvert à droite (resp. à gauche) d’origine a et 
d’extrémité 6 et noté [a, 6[ (resp. la, 61).
Les ensembles des nombres x tels que: 1) x ^ a ; 2) x < a ;
3) x ^ a ; 4) x > a sont des intervalles appelés respectivement
1) intervalle fermé illimité à gauche (ou section commençante fermée 
d’extrémité a) ; 2) intervalle ouvert illimité à gauche (ou section com­
mençante ouverte d’extrémité a) ; 3) intervalle fermé illimité à droite 
(ou section finissante fermée d’origine a) ; 4) intervalle ouvert illimité 
à droite (ou section finissante ouverte d’origine a), et notés
1) l—oo, al; 2) l—oo, a[, [a, oo[, la, oo[. L’ensemble R se note aussi 
l—oo, oo[. '
Les symboles —oo et -f-oo représentent les nombres infinis.
Signalons que les extrémités de l’intervalle fermé [a, 6] sont 
des nombres finis, alors que celles de l’intervalle ouvert la, 6[ peuvent 
être aussi bien finies qu’infinies. De même l’extrémité a (resp. 6) 
de l’intervalle [a, 6[ (resp. la, 61) est toujours un nombre fini, tandis 
que l’extrémité 6 (resp. a) peut aussi bien être finie qu’infinie.
Si a et 6 sont finis et a < 6, alors le nombre 6 — a s’appelle 
longueur de l’intervalle fermé la, 61, ou ouvert la, 6[, ou semi-ouvert 
à gauche la, 61, ou semi-ouvert à droite [a, 6[.
On appellera voisinage d'un point c tout intervalle ouvert la, 6[ 
contenant le point c (a < c < 6). En particulier, l’intervalle 
le — e, c + e[ (e > 0) est dit e-voisinage du point c.
Soit X = {x} un ensemble de nombres réels. On dit que l’ensem­
ble X est majoré s’il existe un nombre M tel que pour tout x Ç X 
l’on ait x < M ; minoré s’il existe un nombre m tel que pour tout 
x Ç X l ’on ait x ^5 m ; borné s’il est à la fois majoré et minoré.
De toute évidence, il revient au même de dire qu’un ensemble 
est borné si 3 ilf > 0, V i Ç X : | x | ^ JW, car l’inégalité | x | ^ M 
équivaut à la double inégalité —M ^ x ^ M.
28 INTRODUCTION [CH. 1
Si l’ensemble X n’est pas borné, on dit qu’il est non borné. On 
peut alors le définir comme suit: un ensemble X de nombres réels 
est non borné si V NI > 0, 3 x0 Ç X : | x0 | > M. On aurait pu 
accéder à cet énoncé par négation de la formule logique.
E x e m p l e s . L’intervalle [a , 61 est un ensemble borné. L’intervalle 
]a , 6 [ est un ensemble borné si a et 6 sont finis et non borné si a = —oo 
ou 6 = oo.
§ 11. Ensemble dénombrable.
Dénombrabilité de l’ensemble des rationnels.
Non-dénombrabilité de l’ensemble des réels
Nous avons défini plus haut la notion d’égalité d’ensembles. La 
notion d’équivalence est commode pour la caractérisation du degré 
de saturation des ensembles infinis. On dit qu’un ensemble X est 
infini si Vrc Ç N, le nombre des éléments de X est supérieur à n. 
Deux ensembles .4 et B sont dits équivalents (A ~ B) si l’on peut 
mettre leurs éléments en correspondance biuni- 
voque (-*-♦-), c’est-à-dire s’il existe une loi qui 
à tout a Ç A associe un élément 6 Ç B et un 
seul et inversement à tout 6 Ç B est associé 
un élément a Ç A et un seul.
Si par exemple A est l’ensemble des points 
d’un cercle de rayon rT B celui des points d’un 
cercle concentrique de rayon R > r . alors 
il est manifeste que A ~ B (fig. 6).
Il est évident que si A = 5 , alors .4 ~ B . 
On dit qu’un ensemble est dénombrable s’il 
est équivalent à l’ensemble des entiers naturels N. L’ensemble N 
est dénombrable (n +—n). L’ensemble Np = {2^} des entiers naturels 
pairs est équivalent à l’ensemble N tout entier (rc-*—* 2n). Signalons 
que Np ^ N, Np cz N. On voit donc qu’un ensemble est équivalent 
à l’une de ses parties. Cette propriété n’est caractéristique que des 
ensembles infinis (et peut être adoptée pour définition d’un en­
semble infini).
De la définition de la dénombrabilité d’un ensemble il résulte 
qu’on peut numéroter les éléments d’un ensemble dénombrable avec 
les entiers naturels, donc on représentera souvent un tel ensemble 
par la suite de ses éléments:
X = {xu x2, 
La somme dénombrable
E = U Ek = E* + E°- +
ENSEMBLE DENOMBRABLE 29S il]
d'ensembles dénombrables E k est un ensemble dénombrable. En effet, 
écrivons les éléments x) Ç Ek ( j = 1, 2, . . .) sous forme de tableau:
E^ = {xjj • • *}i
Ez = {x£, xï, xJ, . . .},
E3 = {xj, xJ, xJ, . . .},
Rangeons-les dans l’ordre suivant:
xj, X,, Xj, xJ, X̂ , Xj, x ,̂ . . .
Si des ensembles Ek et El présentent des éléments communs, on ne 
gardera qu’un seul d’entre eux. On obtient en définitive une suite 
infinie d’éléments qui épuise visiblement l’ensemble E . Ceci prouve 
que E est un ensemble dénombrable.
On démontre de façon analogue qu'une somme finie E = 
= E1 + . . . + Es d'ensembles finis et d'au moins un ensemble 
dénombrable est un ensemble dénombrable.
T hêoreme i. L'ensemblè Q des nombres rationnels est dénombrable.
D émonstration. Considérons d’abord l’ensemble Q+ = {p/g} des 
nombres rationnels strictement positifs. Appelons le nombre p + q 
hauteur du nombre rationnel plq. Soit A n l’ensemble de tous les 
nombres rationnels de hauteur n. Les ensembles A n sont composésd’un nombre fini d’éléments. Par exemple
A{ = 0 , A2 = {—} ? T } ’ ~ {'TT’ T * “ } ’ •**
oo
Il est aisé de voir que Q+ = U An.71=1
Renumérotons les nombres entre accolades à partir de la gauche 
en ne gardant que ceux qui apparaissent une seule fois. On obtient 
en définitive la suite
r i = li r2 = 4 “* r3==2’ r4 = 4 “> rs = 3, . . .
Donc, l’ensemble Q+ est dénombrable. Il est évident par ailleurs 
que Q_ = {—plq} est dénombrable. Donc, l’ensemble des nombres 
rationnels Q = Q+ U Q - U {0} est aussi dénombrable.
THEOREME 2. Vensemble R des nombres réels nest pas dénombrable.
D é m o n s t r a t io n . Il suffit de prouver que l'ensemble des nombres réels de 
l'intervalle ] 0, 1 ( est non dénombrable. Supposons par absurde que l'intervalle
30 INTRODUCTION [CH. 1
] 0 ,1 [ est un ensemble dénombrable, autrement dit qu’on peut numéroter 
tous ses points:
xx = 0,
*n = 0, a<»'aV" . .
Considérons le nombre réel z = 0, atat . . où 0 < < 9 et ^ ^ a^n>.
Il est clair que x € ] 0, 1 ( et qu’il n’est confondu avec aucun x^. Donc aucune 
suite X|, . . xn, . . . ne peut épuiser les nombres réels compris entre 0 et 1.
CHAPITRE 2
LIMITE D’UNE SUITE
§ 1. Notion de limite d’nne suite
Supposons qu’une loi associe à tout entier naturel n = 1,2, 3 , . . . 
un nombre réel ou complexe Xn.
On vient ainsi de définir une suite de nombres x lt x2, x,, . . . ou 
tout simplement la suite
{*!»} = { * 1 » *»* • • •} •
On dit encore que la variable xn parcourt les valeurs de lajsuite
Les nombres xn s appellent éléments ou termes de la suite {x*}. 
Si n=/±m, les éléments Xn et xm sont considérés comme distincts 
même s’ils sont égaux.
Dans ce chapitre on examinera les suites de nombres réels sans 
le spécifier expressément.
Voici quelques exemples de suites:
Exemple 1. { l. -J., - y - •
Exemple 2. {— , 2, i - , 2, . - .} = {2<_*>"}.
Exemple 3. | l , 2, -y , 4, — , . . = {n(~1)n}.
Exemple 4 4 , . . . } = { i = ± } .
Exemple 5. {2, 5, 10, . . .} = {n2 + 1}.
Exemple 6 . {—1, 2, —3, 4, . . .} = { (—l)n n}.
Dans l’exemple 2, la variable Xn prend la même valeur pour n
On considère cependant que les éléments xs, xt , . . . sont différents.
Si tous les termes d’une suite {xn} sont égaux à un même nombre 
a, on dit que cette suite est constante.
32 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
Il est immédiat de voir que les suites des exemples 1, 2 et 4 
sont bornées (voir § 6, chap. 1). On dit encore que les variables par­
courant ces suites sont bornées. Les suites des exemples 3, 5 et 6 
ne sont pas bornées. La suite de l’exemple 3 est minorée par 0, 
celle de l’exemple 5. par le nombre 2. La suite de l’exemple 6 n’est 
ni minorée ni majorée.
Introduisons la notion de limite d’une suite.
D éfinition . On dit qu'un nombre a est la limite d'une suite {x*} 
si pour tout e > 0 il existe un nombre n0 = n0 (e) dépendant de e 
tel que
I Xn — « I < e (1)
pour tous les n > n0.
On écrit
lim x n = lim xn = a ou x n-+a
n —oo
et on dit que la variable xn ou la suite {xa} a le nombre a pour limite 
ou tend vers a ou encore converge vers a.
Si xn = a , Vra 6 N, il est évident que lim xn = lim a = a .
•*^o
R e m a r q u e 1. Si lim xn = a , alors lim xn+i = a , et inversement. 
Ceci résulte du fait que si
| xn — a I < e, Vn > ra0,
alors
I *n+i — a I < e, Vra > ra0 — 1,
et inversement.
La variable de l’exemple 1 tend vers 0:
lim — = 0.fl ^ (2)
En effet, considérons un nombre arbitraire e > 0 et résolvons l’iné­
galité
1 AI 1 ^ 1 ^------ 0 = — < e ou — < n.n | n e
Donc, pour tout e > 0 on a trouvé un nombre n0 = n0 (e) = 1/e 
tel que l’inégalité
soit réalisée pour tous les n > n 0. Ceci prouve (2). 
E x e m p l e 7. La suite de l’exemple 4 tend vers 1:
lim 71 "~1 = 1.n (3)
NOTION DE LIMITE D’UNE SUITE 33S 1]
En effet, formons l’inégalité
»—11- ~ T < e‘
On a vu qu’elle était réalisée pour tout e > 0 si n > n 0 — 1 le. 
Ceci prouve (3).
Exemple 8. Si | q | < 1, alors
lim qn = 0.
n —oo
En effet, supposons que q ^ 0. L’inégalité 
I 3" - 0 | = | qn | < e
(4)
est vérifiée si 
c’est-à-dire si
n log | q | < log e, 
loge
» > i : no (®)«log I q
Nous avons prouvé (4) pour 0 < | g | < 1. Si g = 0, l’égalité (4) 
est triviale. Dans ce cas en effet, la variable gn est une constante 
nulle :
{0, 0, 0, . .
E x e m p le 9. Représentons un nombre a > 0 par sa forme décimale 
illimitée:
& — Q,-̂CL2̂ 3 • • •
Pour sa «-troncature
a<n> = « „ e , . . . a ,
on a
lim a(n) = o. (5)
En effet
| a — a(n) | = 0, 0 . . . Oon+iûn+ 2 . . . ^ 10-n.
n fols
Si Ton se donne e > 0 f on peut toujours exhiber un n0 tel que 
10~n < e, V n > n 0 
(voir exemple précédent dans lequel il faut poser q = 10”l). Donc 
| a — a<w> | < c, V n > n 0,
ce qui prouve (5).
Remarque 2. Les troncatures a(n> (n = 1, 2t . . .) sont des 
nombres rationnels. De (5) il s ’ensuit que tout nombre réel est la 
limite d’une suite de nombres rationnels.
Donc, tout nombre irrationnel peut être approché par un nombre 
rationnel avec n’importe quelle précision.
3-0622
34 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
Cette propriété nous fait dire de l’ensemble Q des nombres ration­
nels qu’il est partout dense dans l’ensemble R des réels. 
L’inégalité
I *71 — a I < e
est équivalente aux deux inégalités
—z < x n — a < e ou a — e < x n < a + e.
Elle exprime encore le fait que le point xn appartient à l’e-voisinage 
du point a :
Xn Çla — e, a + e[ (cf. § 10, chap. 1).
On peut encore définir la limite d’une suite de la manière sui­
vante : on dit qu’un nombre a est la limite d’une variable x n si pour
a— e a+c■o ■ ■■ 0—0—0 O ■ —»»c a d x
Fig. 7
c d e fO 0-0---- O—0-0— I —
a b x
Fig. 8
tout e > 0 on peut exhiber un nombre n0 tel que tous les points xn 
d’indice n > n 0 soient contenus dans un e-voisinage du point a:
Xn e ]a — e, a + e[ (n > n0).
Il est évident que, quel que soit le voisinage le, d[ du point a, il 
existe un e > 0 tel que l’intervalle ]a — e, a + e[ soit contenu dans 
le, d[, c’est-à-dire que ]a — e, a + e[ c le, d[ (fig. 7).
Donc, le fait que xn -> a s’exprime encore ainsi : tous les points 
xn à partir d’un certain indice n sont contenus dans un voisinage 
le, d[ donné à l’avance du point a, c’est-à-dire qu’il existe un nombre 
n0 tel que xn Ç ]c, d[ (n > n 0). S’agissant des points xn d’indice 
n ^ n0, ils peuvent appartenir ou non à ]c, dl. Donc, les points xn 
non contenus dans ]c, dl sont en nombre fini.
Par ailleurs, si l’on sait qu’en dehors de le, dl il n’existe qu’un 
nombre fini de points xni, Xn„ . . xns, alors en posant
k = maxJ/ij, rc2, • • •*
on peut dire que les points xn d’indice n > k appartiennent à l’in­
tervalle ]c, dl. Donc, on peut formuler la notion de limite de la 
manière suivante : on dit qu’une variable xn tend vers a si Vensemble 
des points xn situés en dehors de tout voisinage de a est fini ou vide.
E x e m p l e 10. La suite
{( l)n+i } = { 1 , - l f 1 , - 1 , . . .}
ne tend vers aucune limite.
(6)
NOTION DE LIMITE D’UNE SUITE 359 i]
Supposons que cette suite tend vers a. Considérons le voisinage 
suivant :
] a - y , a + y [ .
Il est de longueur 2/3. Il est évident que ce voisinage ne peut contenir 
à la fois le point 1 et le point —1 , car la distance de ces points est 
supérieure à 2/3 (2 > 2 /3 ). Supposons pour fixer les idées que le 
point 1 n’appartient pas au voisinage considéré. Or, xn = 1 pour 
n = 1, 3, 5, . . ., c’est-à-dire qu’un nombre infini d’éléments de 
cette suite sont extérieurs au voisinage considéré.
Donc, le point a ne peut être limite de la suite et, comme il est 
arbitraire, la suite (6) n’a pas de limite.
T h é o r è m e 1. Si une variable xn admet une limite, celle-ci est unique.
D é m o n s t r a t io n . Supposons par absurde que xn admet deux limites 
distinctes a et b. Considérons deux intervalles disjoints le, d[ et 
]e, /[ contenant respectivement les points a et b (fig. 8). Comme 
xn -*■ a, l’intervalle ]c, d[ contient tous les éléments xn à l’exception 
d’un nombre fini d’entreeux, donc l’intervalle le. /[ ne peut pas 
contenir une infinité d’éléments xn, et 6 ne peut être limite de xn. 
Cette contradiction prouve le théorème. 1
T h é o r è m e 2. Toute suite convergente est bornée.
D é m o n s t r a t io n . Soit lim xn = a. Prenons e = 1 et choisissons 
un entier naturel n0 = n0 (1) tel que
1 > I xn — a | (n > n 0); 
alors 1 > | xn | — | a | et l’on a
1 + | a | > | xn | 
pour tous les n > n0. Soit
M = max{1 + | a |, | ^ U | x2 |, . . ., | xno |}.
Il est évident que
M ^ | xn |, V n Ç N.
Ce que nous voulions.
R e m a r q u e 3. Le fait qu’une suite est bornée est une condition 
nécessaire mais non suffisante de convergence ainsi qu’il ressort de 
l’exemple 10.
T h é o r è m e 3. Si une variablexn admet une limite a non nulle, alors 
on peut exhiber un nQ tel que
| xn | > | a |/2 pour n > n0.
Bien plus, pour n > n0, xn > a/2 si a > 0 , et xn < a/2 si a < 0. 
Donc, xn est du signe de a à partir d'un certain indice.
3*
3 6 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
D é m o n s t r a t io n . Supposons que xn -*■ a. Pour e = | a |/2 il existe 
un indice n0 tel que
| a |/2 ij> | a — xn | > | a | — | xn | pour n > n0,
d’où Ixnl > | a | — ^ - = , ce qui prouve la première pro­
position du théorème. D’autre part, l’inégalité | a |/2 > | a — xn | 
est équivalente aux inégalités suivantes:
a — ( n > n 0).
Si a > 0 ,
xn > J = a — (n > n 0),
si a<Z 0 ,
_ . I a I a a , _ v
i n < a + Y = f l “ = 2 (n>i*o) ,
ce qui prouve la deuxième proposition du théorème.
T h é o r è m e 4. Si xn -*■ a, yn -*~ b et xn ^ yn pour tous les n = 
= 1 , 2 , . . . , alors a ^ .b .
D é m o n s t r a t io n . Supposons que b < a. Prenons 0 < e <
< (a — b)l2 et choisissons des nombres et N« tels que
a — e < xn (n > N J, yn < b + e (n > N J,
ce qui est possible puisque x* -►* a et yn b.
Si n0 = max{jVlt iV2}, il est alors évident que yn < b + e <
< a — e < xn (n > / i 0), ce qui est absurde puisque par hypothèse 
xn ^ yn pour tous les n.
C orollaire. Si les termes d'une suite convergente {xn}appartien­
nent à [a, b j il en est de même de la limite de cette suite.
D é m o n s t r a t io n . En effet, a ^ xn ^ b. Si lim xn = c, alors le 
théorème 4 nous dit que a ^ c ^ 6 , c.q.f.d.
R e m a r q u e 4. S’agissant de l’intervalle la, b[, on peut seulement 
affirmer que si xn Ç ]a, M, alors lim xn = c Ç [a, 61.
Donc, à la limite les inégalités se conservent ou se transforment 
en égalités. Par exemple, xn = l/(n + 1) Ç 10, 1[, mais c = 0 Ç 
6 [0 , 11.
T h é o r è m e 5. Si des variables xn et yn convergent vers un même 
nombre a et si xn ^ zn ^ yn (n = 1, 2, . . .), aZors iZ en est de même 
de la variable zn.
D é m o n s t r a t io n . En se donnant e > 0 on peut exhiber des nombres 
Nx et N 2 tels que
a — e < xn (n > N J, yn < a + e (n > iV2),
d’où pour n > n 0 = max{iV|, iV2}
a — e < x „ < z n < ÿ „ < a + e
et
| z„. — a | < 8 (n > n0)>
c.q.f.d.
T h e o r ê m e 6 . S t xn -*■ a, alors \ xn | -*■ | a |.
La démonstration résulte de l’inégalité ||x „ | — | a || ^ 
< I X n — a | .
s 2] OPERATIONS ARITHMETIQUES SUR LES SUITES CONVERGENTES 37
§ 2. Opérations arithmétiques sur 
les suites convergentes
Soient {xn} et {y„} des suites. On appelle somme, différence, 
produit et quotient des suites {x„} et {yn} respectivement les sqites 
{xn + y„}, {xn — y„>, {xnyn}, {xn/yn}. Dans le cas du quotient on 
admet que yn ^ 0 pour tous les n = 1 , 2 , . . .
Si xn = c pour n = 1, 2, . . on écrit {c ± yn), {cy„}, {c/yn} 
au lieu de {xn ± yn}, {x„yn}, { x jy n}.
On a les relations suivantes
lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn, 
üm (xnyn) = lim xn-lim yni 
xn lim xnlim
y n lim y n
si lim yn 0 .
(1)
(2)
(3)
Ces expressions traduisent le fait que si les suites {xn} et {yn} 
admettent des limites finies, il en est de même de leur somme, de leur 
différence, de leur produit et de leur quotient (avec la réserve indiquée) 
et Von a les relations (1) à (3).
D é m o n s t r a t io n . Supposons que xn a et yn 6 . Considérons 
e > 0 et choisissons n0 tel que
| xn — a I < e/2 , | yn — b | < e/2 (n > n0).
Alors
I (*» ± ÿn) — (a ± 6) K I xn — a I + I y„ ~ b \ < j + - - s (n > n0),
ce qui prouve (1).
Pour démontrer (2) on remarquera que
I xnyn — ab | = | xnyn — ayn + ayn — ab | < | xnyn — ayn | +
+ I aÿn — ab | = | yn | | x„ — a | + | a | | yn — b |. (4)
38 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
Comme yn admet une limite, le théorème 2 du paragraphe précédent 
affirme l’existence d’un nombre strictement positif M tel que
I Vn I < M (n = 1,2,...), (5)
| a | < M. (6)
Choisissons un nombre n0 tel que
I x n ~ a I C 2^7-, (ra>»o)- (7)
Alors de (4) à (7) il s ’ensuit que
l * n ÿ n - a & l < 2M + 2M = e (*>"<>)•
Ceci prouve (2).
Supposons maintenant que xn a, yn -*■ b et que de plus b ^ 0. 
On a alors
I * n a I | * n ft— ÿ n « | | (xn — *) b+(b— yn) a I ^
IV » b I I ÿ n b | I ÿn I I b |
^ I * n — q I ■ I b — y n I I a I
^ I ÿn I ^ I y» I I b I 
Le théorème 3 du paragraphe précédent nous dit que
(8)
| ÿ n | > | 6 | / 2 ( n > N i) (9)
pour N i assez grand. Donnons-nous e > 0 et choisissons et N s 
tels que
| xn — a | < s | b |/4 (n > ATS), (10)
| a | | yn — b | < ebV4 (n > N,). (11)
En posant n0 — m&x{Ni, N 2, N 3} on aura en vertu de (8) à (11)
ce qui prouve (3). J
Signalons que les limites des premiers membres dé (1), (2) et (3) 
peuvent exister sans que pour autant existent séparément les limites 
de xn et de yn. Par exemple, xn = (—l)n et yn = (—l )n+1 n’admet­
tent pas de limite, alors que lim (xn + yn) = 0 , lim xnyn = —1.
Les théorèmes des limites d’une somme, d’une différence, d’un 
produit et d’un quotient nous permettent d’apprendre si la limite 
d’une suite existe et de la calculer si cette suite est le résultat d’un 
nombre fini d’opérations arithmétiques sur d’autres suites dont on 
connaît les limites.
Cependant de nombreux cas échappent aux applications des 
théorèmes indiqués et seule l’intuition nous guide au résultat es­
compté.
INFINIMENT PETIT ET INFINIMENT GRAND 3 9§ 3]
E x e m p l e . Soit xn 
Montrer que
= 1 + q -h . . . + q11̂
lim x n =
n-»oo
1
1 -9 •
| g | < i .
On a
I _ ç n + 1 ___ 1 gn + 1
1 — 9 _ 1 — 9 ” 1 — 9 '
Comme lim gn+1 = 0 pour | q | < 1, les formules (1) et (2) nous 
donnent
lim x n = lim -, 1 
n —oo n —oo 1 9
1
1 — 9
lim qn+i = j —
n —oo 1 “
1
1 — 9
•0 = 1
1 - 9 ‘
Dans la suite par
00
! + ? + ••• + ? *+ • • • = 2 9*
71=0
71
on comprendra lim 2 ?*• Donc
n —oo fc= 0 
oo
2 gn= lim x n = -—- (I 9 I < 1).
71=0 n ~ ° °
§ 3. Infiniment petit et infiniment grand
On appelle infiniment petit une variable dont la limite est 
zéro.
Donc, une variable an est un infiniment petit si pour tout e > 0 
il existe un n0 tel que | an \ < e pour n > n 0.
Il est aisé de voir que pour qu une variable xn admette une limite a 
il est nécessaire et suffisant que xn = a + cca, ou an est un infiniment 
petit.
On dit qu’une variable pn est un infiniment grand si pour tout 
M > 0 on peut exhiber un n0 tel que | pn | pour n > n 0. On 
note
lim pn = oo ou pn oo (1)
et on dit que pa tend vers Vinfini.
Si un infiniment grand pn ne prend à partir d’un indice n0 que 
des valeurs positives ou des valeurs négatives, alors on écrit
lim p„ = +oo ou P„ +oo, (2)
lim P„ = —OO ou P„ —oo. (3)
Donc, de (2) de même que de (3) résulte (1). L’exemple de la 
variable {(—l)n n} montre qu’on peut avoir (1) mais ni (2) ni (3).
40 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
Signalons les propriétés évidentes suivantes:
1. Si une variable xn est bornée et yn un infiniment grand, alors
2 . Si la valeur absolue de xn est minorée par un nombre strictement 
positif et yn est un infiniment petit non nul, alors x j y n oo.
Prouvons la deuxième propriété seulement. Par hypothèse, il 
existe un nombre a > 0 tel que | xn | a (n = 1 , 2 , . . .), et pour 
tout e > 0 un nombre n0 tel que
I yn I < e (n > n0). (4)
Alors
Donnons-nousun nombre arbitraire M > 0 et choisissons e tel que 
M = a/e, et n0 (e), tel que l’on ait (4). Alors | x j y n \ > M (n > n Q), 
c.q.f.d.
Des deux propriétés ci-dessus on déduit les corollaires suivants:
l im = 0, l im — = oo 
vn-°° yn yn-o yn
( c ^ 0).
Signalons qu’une suite {xa} non bornée ne tend pas forcément 
vers l’infini. Citons à titre d’exemple la suite
{n<-1>n} = { l, 2, 4, . . . }
qui n’est pas bornée et ne tend pas vers l’infini, car elle contient 
des termes aussi petits que l’on veut, affectés d’indices (impairs) 
aussi grands que l’on veut.
R e m a r q u e . De toutes les constantes, seul zéro est un infiniment 
petit. Si l’on sait qu’une quantité est constante et que sa valeur 
absolue est inférieure à tout nombre e > 0 , alors elle est nulle.
T h ê o r ê m e . Le produit d'un infiniment petit par une quantité 
bornée est un infiniment petit, autrement dit si lim xn = 0 et | yn \ ^ 
^ M , V n Ç N, alors lim = 0.
En effet, donnons-nous e > 0 et choisissons n0 tel que
I X n I < &IM, V n > n , .
Alors
l * » y „ - 0 | = | * n | M = e, Vn> n0,
c.q.f.d.
FORMES INDETERMINEES 4 1§ 4]
§ 4. Formes^ indéterminées
1. Supposons que lim xn = lim yn = 0 (yn 0).
Considérons la suite {xn/yn}. On ne peut rien dire à priori sur la 
limite d'une telle suite, ainsi que le montrent les exemples suivants :
si *n = ->
SI X„=-
Si * n = -
SI X
n ~ 7i »
( - l ) n
n ’
yn = -£zi alors - = ^ -> 4-00 pourn-^oo;
yn = — » alors 0 Pour ^ ° o ;
yn =- ^ t alors ■—̂ == a a pour oo ;
vn= —f alors -S l= ( — l)n et cette suite 
* n n f Vn ' '
n ’a pas de limite.
Donc, pour calculer la limite de {£n/yn} la seule connaissance 
du fait que xn -*■ 0 et -*• 0 ne suffit pas. Il faut encore être fixé 
sur le caractère de variation de xn et de yn. On aura besoin de procédés 
spéciaux pour trouver cette limite dans chaque cas concret.
On dit que l'expression x j y n pour xn 0 et yn ->■ 0 est une
forme indéterminée de type
2. Si xn -*■ oo et ÿn ->oo, l’expression x j y n donne lieu à une 
indétermination de la forme
3. Si xn 0 et yn -► oo, l’expression xnyn donne lieu à une 
indétermination de la forme (O-oo).
4. Si xn -► +oo et yn —-oo, l’expression xn + yn donne lieu 
à une indétermination de la forme (oo — oo).
Lever l’indétermination c’est trouver la limite (si elle existe) 
de l’expression considérée, ce qui n’est pas toujours facile.
Exemple 1 . Si
^ = amnm + . . . + axn + a0,
yn = bt nl + . . . + bxn + b0 (am # 0 , bx # 0),
le quotient donne lieu à une indétermination de la forme
pour n —►* oo. Levons cette indétermination.
a) Si Z = wi, une division du numérateur et du dénominateur par 
nm nous donne
x n
ûm + flm-
_6m=L + ■+-I/n n
42 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
On voit maintenant que lim (x j y n) = am/bm, c’est-à-dire est
n —> oo
égale au quotient des coefficients supérieurs de xn et de yn.
b) On démontre de façon analogue que lim (xn/yn) = oo pour
n-»oo
m > Z, et lim (xn/yn) = 0 pour m <i l.
n —oo
Exemple 2. Si + 1 , yn = v n, le calcul de la limite
de l’expression xn — yn pour n-+ oo nous place dans le cas d’une 
indétermination de la forme (oo — oo).
Levons cette indétermination :
l ' j g - X ) ( y — i + v n ) -Vn+ t + v n
__ î
Maintenant lim + 1 — / ï ï ) = 0 .
§ 5. Suites monotones
D é f i n i t i o n . On dit qu’une suite { x a } est croissante (resp. décrois­
sante) si pour tout n Ç N on a
^ ^n+1 (resp. X n ^ 3?n+l)*
Si xn < xn+1 (resp. xn > x n+l), on dit que la suite {xn} est 
strictement croissante (resp. strictement décroissante). Les suites crois­
santes, décroissantes (resp. strictement croissantes, strictement dé­
croissantes) sont dites monotones (resp. strictement monotones).
Il est immédiat de voir que la suite croissante xx ^ x 2 ^ ^
^ xn ^ xn+1 ^ . . . et la suite décroissante xx ^ x2 ^ ^
^ xn ^ xn+1 ^ . . . sont respectivement minorée et majorée.
E x e m p l e 1 .
1) {1 , 1 , 1/2 , 1/2 , . . . 1 In, 1/n, . . .} est une suite décroissante.
2 ) {n2} est une suite strictement croissante.
On démontre plus bas un théorème important qui dit que toute 
suite monotone minorée ou majorée est convergente. Au § 7, chap. 1, 
ce théorème figurait comme une propriété fondamentale (la pro­
priété V) de l’ensemble R des réels.
T h ê o r ê m e . Si une suite de nombres réels
a i , a 2, a 3, . . . (1 )
est croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) par un 
nombre M (resp. m), alors cette suite converge vers un nombre a infé-
SUITES MONOTONES 43
rieur à M (resp. supérieur à m)
lim an = a ^ M (2)
71—oo
(resp. lim an = a ^ m ) .
n —oo
D é m o n s t r a t io n . Supposons que la suite (1) est croissante et que 
ax > 0 , donc que tous les a* > 0 (n = 1 , 2, . . .). Représentons cha­
que terme de la suite par une forme décimale illimitée
= &noi ® ni^n2® n3 . . . ( f l = 1 , 2 , . . . ) . (3 )
La suite {an} étant majorée par M est croissante, le lemme 2 du § 6 , 
cliap. 1 , nous dit que les formes décimales (3) se stabilisent à une 
forme correspondant à un nombre a M:
On Z t a = Yoi Y 1Y2 • • - ,
donc a est la limite de an :
lim an = a.
n —oo
En effet, pour tout e il existe un entier naturel m tel que 10"m < 
< e. Comme a* se stabilise à a, on a
&n = Yo» Y1Y2 • • • ï m fln ,m + l û n ,m + 2 • • • 
pour tous les n > n0, où n0 est assez grand. Mais alors
| a —an | = a — an< 0 , OVm+iVm+2 . . • < 10-* < b,
mfoU
c’est-à-dire que a* a pour n - ^ oo.
Si flj ^ 0, on lui ajoute un nombre c tel que a t + c > 0 et on pose b n = 
= Û71 "h e (n 1, 2, . . •).
La suite {&„} est croissante, majorée par le nombre M + c et tous ses 
termes sont strictement positifs. Donc, d'après le théorème que nous venons 
de prouver l'existence de lim 6n = b ^ M + c entraîne celle de lim a n =
n —oo n — oo
= lira (bn — c ) = b — c ^ M y ce qui prouve le théorème pour toute suite
n — oo
croissante.
Si maintenant la suite (an ) est décroissante et minorée par un nombre m, 
la suite de nombres {—an } est croissante et majorée par le nombre —m, et le 
théorème affirme l'existence de lim (—an) = —a < —m. Donc, il existe
n —oo
également lim a n = —lim (—an) = — (—a) = a ^ m. Ceci prouve le
n —oo n —oo
théorème.
R e m a r q u e . Si une suite de nombres réels {an } converge, les formes décima­
les de ses termes ne se stabilisent pas nécessairement. Si par exemple 
A2ft = l,0 . . . 011 . . . (* = 1, 2, . . . ) ,
44 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
la suite {an } converge vers 1 1), mais il est aisé de voir que cette suite
ne se stabilise pas.
Exemple 2. Voici une autre démonstration de l'égalité (ci. 
exemple 8 , § 1)
lim qn = 0, | q | < 1. (4)
n —oo
Supposons d’abord que q ^ O . La variable qn (n = 1, 2 , . . .) 
est décroissante et minorée par 0. Le théorème affirme l’existence 
d’un nombre A ^ O qui est la limite de qn :
lim qn = A.
n-*oo
On a par ailleurs
A = lim gn+1 = q lim qn = qA,
n —oo n - o o
d’où A (1 — g) = 0, et A = 0. car q < 1.
Si maintenant q < 0, alors d’après ce qui vient d’être démontré
I gn I = | ? r ^ 0 , n - ^ o o .
Ceci achève la démonstration de (4).
Cette démonstration est plus élégante que celle donnée au § 1 , 
exemple 8 , mais elle ne permet pas de juger de la vitesse de con­
vergence de qn vers 0 , c’est-à-dire qu’elle n’indique pas le nombre 
n0 = no (e) à partir duquel | qn | < e.
Exemple 3. On a l’égalité
Hm £ = 0. (5)
Tl — OO
où a est un nombre quelconque.
Pour | a | ^ 1 , cette relation est évidente. Supposons que 
a > 1 . Posons
Alors
“n-M _ «
un n + 1 0 (n oo).
D’où il suit que un+1 < un, V n > n 0, où n0 est assez grand.
Donc, la variable u„ décroît pour n > n0. De plus, elle est minorée 
par 0. Donc, il existe
lim un = A ^ 0.
Tl-* OO
On a aussi
A = l im « n+t = l im ( u n ^ ) = A l i m ^ = A . ° = ° t
H -^O O 7 1 ^ 0 0 ' 1 71-♦OO 171-* OO
LE NOMBRE e 45
ce qui prouve (5) pour tout a ^ 0. Or, elle est valable pour tout 
a < 0, car
I an I aln ^
I T T = i T 7 ------ * ° P ° u r n ^ c o .
§ 6. Le nombre e
Considérons la suite
w -{(* + in -
Montrons que cette suite est strictement croissante et majorée. En 
vertu de la formule du binôme de Newton
(o + 6)n = 2 n(n~ 1) an~hbh
on a
I - = ( 1 + r ) * - 1 + * T + -
, n(n— l ) . . . ( n — fc + 1) 1 , , n(n— 1) . . . (n — n+t) l' _
*1 nk + ‘ “ + "I 'n« —
On constate que xn ^ 2 pour tout n. Montrons que la suite {xn} 
est majorée. De (1) il vient
xn^ 2 + y p + . . . +-^y- ^ 2 + - J + •• • + ^ I T + • • • + "2ÏÏ^r^
-------p = 3.
* 2
Montrons que la suite {zn} est strictement croissante. Par analo­
gie avec (1) on a
* n + l = 2 + 2 T ( 1 _ 7 + 7 ) + * * *
••• f 1— +
+ (n+l) ! ( 1 _ 7 + t ) ( 1 _ T H " ) ’ ̂
46 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
En comparant (1) et (2) on voit que xn < xn+1, Vn 6 N (chaque 
terme de (2) est strictement supérieur au terme respectif de (1) 
et en outre (2) contient un terme positif de plus que (1)). Le théorème 
du § 5 nous dit que la suite {x„} converge. Désignons cette limite 
par e comme Fa proposé Euler:
lim ( l + — )n = e.
n-oo \ 1 n I
De ce qui précède il est clair que 2 < e < 3. Le nombre e est 
un nombre transcendant dont les premières décimales sont
2,718 281 828 459 . . .
Au § 16, chap. 4, on prouvera une formule d'où il résulte que
n
* - 2 t r b r r <n > 2 >’ <3>
fc= 0
où 6 est un nombre dépendant de n, tel que 0 < 6 < 1. On démontre facilement 
à l'aide de cette formule que e est un nombre irrationnel. Supposons que e = plq, 
où p et g sont des entiers naturels. En posant n = q dans (3), on obtient
k—0
En multipliant par g! on trouve
p (q — 1) ! — 1 = 0 , (4)
où l = g! 2jfeî est un en^ er naturel. Le premier membre de (4) est un entier, 
fc=0
tandis que le second, 6, est une fraction propre.
§ 7. Principe des segments emboîtés
T h é o r è m e d e s s e g m e n t s e m b o ît é s Soit donnée une suite d'inter­
valles fermés
On = fO'ni = 1 ? 2 , . . .)
emboîtés, c'est-à-dire tels que on+1 a on (n = 1 , 2 , . . .), dont les 
longueurs tendent vers 0 :
dn = bn — On -*■ 0 (n oo).
I l existe alors un point unique c intérieur à tous ces intervalles 
(c Ç on, n = 1 , 2 , . . .).
D é m o n s t r a t io n . Il est évident que
ûj, ^ ^ ^ ^ bm
pour tout m. La suite de nombres an est croissante et majorée par bm 
pour tout m, donc en vertu du théorème du § 5 il existe un nombre c 
vers lequel elle converge (lim an = c). De plus an ^ c ^ bm. Comme
BORNES SUPERIEURE ET INFERIEURE D’UN ENSEMBLE§ 8] 47
les nombres n et m sont arbitraires dans ces inégalités, on a en 
particulier an ^ c ^ bn (n = 1, 2, . . .). Donc, c £ on pour tout 
n e N.
Le point c est unique. Supposons qu’il existe un autre point 
ci 6 Gji pour tout n. On a alors an ^ c, cx ^ 6n, d’où
6n — a n ^ I c — Cl I > 0 pour tout rt,
ce qui contredit le fait que bn — an —̂ 0.
Signalons que lim bn = lim l(6n — an) + an\ = c.
Remarque. Dans le théorème ci-dessus, il est essentiel que les 
intervalles [aa, 6n] soient fermés, comme le montre l’exemple suivant. 
Les intervalles 10, Mn[ (n = 1, 2, . . .) sont emboîtés et leur longueur
d n = - — 0 = —— 0, mais ils ne contiennent aucun point com- 
n n
mun.
En effet, aucun de ces intervalles ne contient de points c ^ 0. 
Si c > 0, il existe un n tel que ^ < c et c ^ J 0 ,
§ 8. Bornes supérieure et inférieure d’un ensemble
Considérons un ensemble E de nombres réels x. Désignons par M 
le plus grand élément (s’il existe) de E :
M = max E = max x.
x£E
Désignons par m le plus petit élément (s’il existe) de E :
m = min E = min x.
x£E
Si l'ensemble E est fini, c’est-à-dire est composé d’un nombre 
fini d’éléments
^1? ^2» • • •!
il contient toujours un plus petit et un plus grand.
Cependant ce n’est pas toujours le cas si E est un ensemble infini. 
Exemples :
0, 1, 2, 3, . .Z - 3 , - 2 , - 1 ,
N = {1 ,2 , 3 ,. .
" * - 2 , - 1 },
1)
2)
3) N _ = {
4) la, 6],
5) la, M, 
(5) la, M.
L’ensemble Z ne possède ni d’élément maximum ni d’élément 
minimum. Il en est de même de l’intervalle la, 61, que les nombres 
a et b soient finis ou non. Pour tout nombre c 6 la, M, c’est-à-dire
LIMITE D’UNE SUITE48 [CH. 2
tel que a < c < 6 , on peut toujours trouver des nombres cx et c2 
tels que a < cx < c < c2 < 6.
L'ensemble N ne possède pas d'élément maximum, par contre 
son élément minimum est 1. L’ensemble N . possède un élément 
maximum x = —1 mais pas d’élément minimum.
Il est de même évident que min [a, 6] = a, max [a, b] = b, 
min [a, b[ = a et max [a, bl n’existe pas.
Nous allons introduire pour l’ensemble E des nombres susceptibles 
de remplacer éventuellement max E et min E. Ces nombres (finis 
ou infinis) sont la borne supérieure ou suprémum
sup E = sup x = M 
*6 e
e t la borne inférieure ou infimum
inf E = inf x = m.
*€E
Supposons que l ’ensemble E est majoré.
On dit qu’un nombre M (fini) est la borne supérieure de E si
1) x < Af, V i £ E ,
2) pour tout e > 0 il existe un nombre x1 Ç E tel que
M — 8 < xx ^ M .
Supposons maintenant que l’ensemble E est minoré.
On dit qu’un nombre m (fini) est la borne inférieure de E si
1) x, Vx Ç E ,
2) pour tout e > 0 il existe un nombre xx Ç E tel que
m ̂ xx < m + c.
Il est évident que si un ensemble E de nombres réels possède un 
élément maximum (resp. minimum), c’est-à-dire si existe max E 
(resp. min E), alors
sup E = max E (resp. inf E = min E ).
E x e m p l e 1. L’ensemble
M i -
possède un élément minimum (min E = 1/2) mais pas d’élément 
1 9 3
maximum car ^ ̂ ̂ < • • • Cet ensemble est majoré
par le nombre 1 ou par tout nombre supérieur à 1.
En effet:
1) T T T < 1 * VnÇN’
2) V e > 0 , 3n,ÇN: l _ e < —^ — < 1.
1̂ "T1
Nous avons défini la borne supérieure (resp. inférieure) d’un 
ensemble majoré (resp. minoré).
BORNES SUPERIEURE ET INFÉRIEURE D’UN ENSEMBLE 49
Si l’ensemble E n ’est pas majoré (resp. minoré), alors sup E = oo 
(resp. inf E = —oo).
E x e m p l e 2 . Pour les ensembles 1 ) à 6 ) examinés plus haut, on a 
sup Z = +°o» inf Z = —oo,
sup N = oo, inf N = min N = 1,
sup N_ = max N. = —1, inf N. = —oo,
sup ]a, 61 = b, inf ]a, b[ = a,
où a et b peuvent être finis ou infinis.
On peut donner une définition générale de la borne supérieure 
(resp. inférieure) qui convient pour tout ensemble (borné ou non).
Fig. 9
On dit qu’un nombre M (resp. m) fini ou infini est la borne supé­
rieure (resp. inférieure) d’un ensemble E (fig. 9 et 10) si
1) M (resp. m ^ x), Vx Ç E ;
2) pour tout nombre (fini 1) M x < M (resp. mx > m) il existe 
un z x Ç E tel que Mx < .x 1^ : M (resp. m ^ x l <C mx).
Dans cette formulation on ne se sert pas de la différence M — e 
(resp. la somme m + e) qui n’a pas de sens pour M = oo (resp. 
m = —oo).
Le théorème suivant est fondamental.
T h é o r è m e . Si un ensemble non vide E de nombres réels admet un 
majorant fini K (resp. un minorant fini A), il existe alors un nombre 
Af ̂ K (resp. m ^ k) qui est la borne supérieure (resp. inférieure) 
de E.
D é m o n s t r a t io n . L’ensemble £ n’étant pas vide, il contient au moins un 
point xQ. Considérons l’intervalle fermé a0 = [a, 6), où a < z xbl b = K.
Par hypothèse, il n’existe aucun point de £ à droite de o0. Partageons o0 
en deux parties égales (deux intervalles fermés) et désignons par ai la partie 
droite qui contient au moins un point de E. Si la partie de droite ne contient 
aucun point, on désignera celle de gauche par ax.
Soit maintenant x\ un point de E appartenant à ola A droite de o ,̂ il n’exis­
te donc aucun point de E. Partageons Gj en deux intervalles fermes égaux et 
désignons par ot l’intervalle le plus à droite contenant au moins un point de E.
En poursuivant ce processus on obtient une suite d’intervalles fermés em­
boîtés on = [a^ 6n] (orn zj an+1) dont les longueurs
, b—a Abn — an = ——----* 0 pour n oo.
Ceci étant, il n'existe aucun point de £ à droite de on quel que soit n £ N, 
maison contient au moins un point xn £ E.
4 -0 6 2 2
50 LIMITE D’UNE SUITE [CH. 2
D'après le théorème des segments emboîtés, il existe un point unique, que 
nous désignerons par Af, qui appartient à tous les intervalles crn.
Montrons que
M = sup E. (1)
En effet,
1) x ^ M , V* € E j car x ^ bn, Vn» et, en passant à la limite pour n oo, 
on obtient
x < lim bn = M ;
2) Ve > 0 , 3 x' eE:
M — e < x' < M. (2)
En effet, les points xn définis plus haut appartiennent à on «t à £ , c'est-à- 
dire que ^ xn ^ A/, et comme an M pour n oo, alors
Ve > 0, 3n0: M — E < anQ xnQ ^ M* 
et l'on obtient (2) si l'on pose x9 = xnQ.
Le théorème se démontre de façon analogue pour la borne inférieure. On 
considère un intervalle o0 = [a, 61 contenant un point x0 6 E, tel que a = k 
et x0 < bt et on le partage en deux parties égales. On désigne par ox la partie 
la plus à gauche contenant un point xx £ E et on poursuit ce processus.
Ce qui précède nous conduit à la proposition suivante: tout en­
semble E admet une borne supérieure et une borne inférieure. Si E est 
majoré, alors sup E < oo, sinon sup E = oo. De façon analogue% 
si E est minoré, alors inf E > —oo, sinon inf E = —oo.
Exebcices. 1. Soient donnés deux ensembles de nombres réels À” = {x}, 
Y = {y}. Par ensemble {x + y} on entendra l'ensemble de toutes les sommes 
des nombres x 6 X et y 6 Y. Montrer que
sup {x + y) = sup {x} + sup {y}, 
inf {x + y) = inf {x} + inf {y}.
2. {xy} étant l'ensemble de tous les produits des nombres positifs x £ X 
et y 6 Y, montrer que
sup {xy} = sup {x} sup {//}, 
inf {xy} = inf {x} inf {y} (x > 0, y > 0).
3. Montrer que
sup ( —x) = — inf x, inf ( — x) = — sup x.
xgA x£A x£A x£A
§ 9. Théorème de Bolzano-Weierstrassi)
Soit donnée une suite de nombres réels {?„}. Choisissons parmi 
cette suite une infinité d’éléments d’indices nx < n2 < . . . La 
suite {xn*} obtenue s’appelle sous-suite ou suite extraite de la suite 
{*„}. Toute suite contient une infinité de suites extraites.
Si une suite {xn} converge (vers un nombre fini ou infini), il 
est évident que chacune de ses suites extraites converge, et de plus 
vers le même nombre.
1) Bolzano Bemhard, mathématicien tchèque (1781-1848), Weierstrass 
Karl, mathématicien allemand (1815-1897).
LIMITES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE 51
La suite
{1 , - 1 , 1 , - 1 , ...} (1)
peut servir d’exemple de suite divergente. On remarque toutefois 
qu’elle contient une suite extraite
{1, 1 , 1------ }
qui converge vers 1. Il se pose la question de savoir si toute suite 
de nombres réels contient une suite extraite convergeant vers un 
nombre fini ou infini. Le théorème suivant répond à cette question.
Théorème 1. De toute suite de nombres réels {xn} on peut extraire 
une suite {xn/t} convergeant vers un nombre fini ou infini.
Si la suite {xa} n’est pas majorée (resp. minorée), elle contient 
visiblement une suite extraiie convergeant vers + o o (resp. — oo), 
ce qui prouve le théorème. Si la suite est bornée, le théorème 1 se 
ramène au suivant.
Théorème 2 (Bolzano-Weierstrass). De toute suite bornée {xn} 
on peut extraire une suite convergente {x^}.
Démonstration. La suite {xn} étant bornée, tous ses points 
appartiennent à un intervalle fermé [a, b\ que nous désignons par 
<j0. Partageons cr0 en deux intervalles fermés égaux et désignons 
par l’intervalle le plus à droite qui contfent une infinité d’élé­
ments xn. Soit xni un de ces éléments. A droite de al on ne peut 
avoir éventuellement qu’un nombre fini de points xn. Partageons 
l’intervalle o1 en deux intervalles fermés égaux et désignons par 
o2 l’intervalle le plus à droite contenant une infinité d’éléments xn. 
Soit xn2, n2 > «j, un de ces éléments. S’il existe des points xn à droite 
de a2. ils ne peuvent être qu’en nombre fini.
En poursuivant ce processus on obtient une suite d’intervalles 
emboîtés ok = [ah, bh 1, dont les longueurs bh — ah -*• 0 pour 
k -+■ oo, et une suite extraite de points tels que xnh Ç aft (nx < 
< 7ï2 < . . . ). Ceci étant, à droite de chaque intervalle fermé, les 
éléments xn sont au plus en nombre fini.
D’après le théorème des segments emboîtés, il existe un point c 
intérieur à tous les intervalles ah. Il est évident que la suite extraite 
{xn/t} tend vers c. Ce que nous voulions.
§ 10. Limites supérieure et inférieure
Etant donnée une suite de nombres réels {xn}, on peut, selon le théorème 1 
du § 9, en extraire une suite convergeant vers un nombre fini ou infini.
On appelle limite supérieure d'une suite {xn } (ou d'une variable xn) un nom­
bre M (fini ou infini) possédant les deux propriétés suivantes:
1) M est la limite d’une suite extraite {xnfe} de {xn}:
lim xh = Af.
k —oo *
§ 10]
52 LIMITE D'UNE SUITE [CH. 2
2) Pour toute suite extraite convergente {xylfe}:
lim xnfc ^ Mm
fc-*oo
On désigne la limite supérieure d’une suite {xn} par le symbole
M = lim sup s*.
n-oo h > n
Si la suite {xn} n’est pas majorée, il est évident que
lim sup xj| = +oo.
n-*oo h > n
EXEMPLES.
lim sup (—l)fe = 1 .
n-* oo /. >n
lim sup fcc1)* = +oo, car cette suite n’est pas majorée.
n—oo h > n
La limite supérieure M d’une suite {zn } majorée peut être définie de la 
manière suivante: un nombre M est limite supérieure d’une suite {xn}
si pour tout e > 0 l’ensemble des points situés à droite de M + e est fini et 
celui des points situés à droite de M — e, infini.
On remarquera que si une suite {xn} admet M pour limite, alors on sait 
que quel que soit e > 0, les inégalités jlf — e < xn < M + e sont réalisées 
pour tous les xn sauf pour un nombre fini d’entre eux. Donc, on a un nombre 
au plus fini d’éléments xn à droite de M + e et une infinité à droite de M — e.
Ceci montre que M = lim sup xu.
n—oo h > n
Donc, si M = lim xn, alors lim sup xk = lim xn = M .
n-»oo n—oo fc>n n-»oo
La différence entre la limite ordinaire et la limite supérieure réside dans 
le fait que pour la première l ’ensemble des points situés a gauche de M — e 
est au plus fini, tandis que pour la seconde, cet ensemble est éventuellement 
infini.
On appelle limite inférieure d'une suite {xrt} (ou d'une variable xn) un nombre 
m (fini ou infini) possédant les deux propriétés suivantes:
1) m est la limite d’une suite extraite {xnfe} de {xn}:
lim xn. =77i.
h-+ oo *
2) Pour toute suite extraite convergente {xnJl}:
lim xn. > /n.
Jt-oo *
La limite inférieure de la suite {xn} est désignée par le symbole
77i = lim inf x*.
n-*oo h > n
Si la suite {xn} n’est pas minorée, il est alors évident que
lim inf x*= —oo.
n-*oo h>n
On peut définir la limite inférieure d’une suite minorée de la manière 
suivante : un nombre m est limite inférieure d’une suite (xn } si pour tout e > 0 
l’ensemble des points x„ situés à gauche de m — e est fini et celui des points 
situés à gauche de tti + infini.
Il est manifeste que
lim inf x* ^ lim sup x*.
r»-*oo h > n n —oo h> n ( i)
CRITERE DE CAUCHY DE CONVERGENCE D’UNE SUITE 53
THÉORÈME. Pour qu'une suite {x*n} soit convergente il est nécessaire et 
suffisant que lim supx* = lim inf xj,. Ceci étant, lim xn = lim inf x* =
n —oo k > n n —oo fe>n n —oo n —oo fe>n
= lim sup Xfc.
n —oo &>n
On remarquera que si lim supxfe= — oo, alors en vertu de (1)
n—oo k>n
lim inf x* = — oo et le théorème nous dit que
n—oo h>n
lim xn = —«>.
n —oo
11 est évident par ailleurs que l'égalité lim inf x * = + o o entraîne que
n—oo k>n
lim sup x* = lim xn = + oo.
n —oo Jt>n n —oo
R e m a r q u e . On peut démontrer que le nombre c que nous avons obtenu dans 
la démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass est la limite supérieure 
de xn.
Ceci résulte du fait que l’ensemble des points situés à droite de chaque 
intervalle an est au plus fini.
D’autre part, si nous avions modifié le processus et retenu à chaque étape 
de la division de cn en deux intervalles égaux non pas l’intervalle le plus à droi­
te mais celui le plus à gaucho qui contient une infinité de points xn, nous aurions 
probablement obtenu un autre point c' intérieurà tous les on qui aurait été la 
limite inférieure de xn.
Si la suite {xn} ne possède pas de liiftite, alors c' < c, sinon ces deux proces­
sus nous conduiront à un même nombre c = c'.
9 11]
§ 11. Critère de Cauchy de convergence d’une suite
Soit donnée une suite de nombres réels {xn} convergeant vers 
un nombre fini a:
lim xn = a.
n —oo
Il revient au même de dire que pour tout e > 0 il existe un nombre 
n, = n0 (e) tel que
| xn — a | < e/2, V n > n0.
On a de même pour m > n 0:
| xm — a | < e/2, V m > n0.
Et
l * n — *ml = l * n — « + û — — o| + l * m - a | <
< - | - + T = e ’ Vra> m > n ® 
Nous avons obtenu la proposition suivante: si une suite {xn} 
converge vers un nombre fini, elle remplit la condition de Cauchy 1) :
l) Augustin Louis Cauchy, mathématicien français (1789-1857), le premier 
à avoir défini dans ses travaux les notions fondamentales de l ’analyse (limite, 
continuité, intégrale, ...) telles qu’elles sont en usage dans les mathématiques 
modernes.
54 LIMITE D'UNE SUITE [CH.
pour tout e > 0 il existe un n0 = n0 (e) tel que
I *rn — X n I < e, V n, m > n0.
Une suite de nombres vérifiant la condition de Cauchy est dite 
suite de Cauchy ou encore suite fondamentale.
La réciproque est vraie : si une suite de nombres réels {xn} est une 
suite de Cauchy, alors elle est convergente, autrement dit il existe un 
nombre a (fini) tel que xn — a, /t -*■ oo.
Démonstration. Commençons par prouver qu'une suite de Cauchy est 
bornée. Prenons e = 1 et choisissons le nombre n0 = nQ (1) de la condition de 
Cauchy tel que
I x n — x m I < L V». m > * o -
doù
1 > I x n x m I ^ I x n I I x m I
OU
1 + | JVn | > | xn |, Vn, m > n0. (1)
Figeons m > n0 et posons
M = max {1 + | xm |, | xn |). n<n0
En vertu de (1) on a alors
M > \ x n |, V"€N,
ce qui prouve que la suite {*„} est bornée.
Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous dit que de toute suite bornée 
{xn} on peut extraire une suite {xnfc} convergeant vers un nombre fini aT c’est- 
à-dire que
lira xnk = o.
k — OQ
Montrons que dans ce cas la suite {-tn } converge aussi vers a.
En effet la condition de Cauchy qui est remplie par la suite {:rn} dit que 
pour tout e > 0 il existe un n0 tel que
1 xn | <C £/ 2. V n, m > ng. (2)
D’autre part, puisque xn k -+ a, oo, on peut exhiber un k0 tel que 
| x n f c - a | < e / 2 , V*>*o- 
Comme nk -+ oo, pour k -► oo, on peut trouver kx > k0 tel que > n0. Donc
1*11^—« I < 8 /2 . (3)
En vertu de (2) où l ’on aura posé m = nhv on déduit à partir de (3)
lxn — n| — |*n— *11̂ + ^ \Xn — ̂ nj^l +
6 6+ I *71]̂ --Al ^ ~2-- I--2” = Vfl>Wg,
ce qui prouve que la suite {*,,} converge vers a.
Ainsi nous avons prouvé le
Théorème (critère de Cauchy). Pour qu une suite de nombres réels 
{Xn} soit convergente, il est nécessaire et suffisant qu'elle soit une 
suite de Cauchy.
COMPLÉTUDE D’UN ENSEMBLE DE NOMBRES RÉELS 55
§ 12. Complétude et continuité 
d’un ensemble de nombres réels
Dans les paragraphes précédents nous avons prouvé toute une 
série de propriétés des nombres réels dont les plus importantes sont :
1) La convergence de toute suite monotone bornée (théorème 
du § 5).
2) Le principe des segments emboîtés (théorème du § 7).
3) L’existence de la borne supérieure d’un ensemble borné (théo­
rème du § '8).
4) La convergence d’une suite de Cauchy (critère de Cauchy, 
théorème du § 11).
La disparité de ces propriétés n’est qu’apparente, car en fait 
elles sont étroitement liées. On démontre sans peine en se servant 
des propriétés I à IV des nombres que les propositions 1) à 4) sont 
équivalentes, c’est-à-dire que l’une quelconque d’entre elles entraîne 
les trois autres. On a montré que de 1) (ou ce qui revient au même 
de la propriété V, cf. § 6 , chap. 1) et des propriétés I à IV résultent
2) , 3) et 4).
Les. propriétés 1) à 4) s’appellent encore propriétés de continuité 
ou de complétude de l’ensemble R des réels.
Pour éclaircir leur rôle considérons l'ensemble Q des nombres rationnels. 
Les propriétés I à IV sont vérifiées pour les nombres rationnels. La propriété V 
et partant les propriétés 1) à 4) ne le sont pas en général.
Voyons ceci sur un exemple. Nous aurons besoin à cet effet de l’ensemble 
R des réels.
Considérons une forme décimale non périodique illimitée
a = <Zq, 0i&2a3 • • •
Donc, a est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il appartient à R mais pas 
a Q. La forme décimale de a engendre une suite de troncatures
a(n) = a0, axa2 . . . an (n = 1, 2. . . .)
(de nombres rationnels) croissante et majorée par le nombre entier a0 1. 
La suite (a(n)} de nombres rationnels ne converge pas vers un nombre rationnel. 
En effet, on sait que {a(n)} converge vers a (voir exemple 9 du § 1) qui est irra­
tionnel et que cette limite est unique.
Nous avons montré que la propriété 1) n’est en général pas véri­
fiée dans Q.
On démontre sans peine qu’il en est de même des propriétés 2),
3) et 4).
L’ensemble des nombres réels est complet, car il est justiciable 
de la propriété 4) qui dit que toute suite de Cauchy converge vers 
un nombre réel.
L’ensemble Q des rationnels n’est pas complet, car les suites 
de Cauchy de nombres rationnels ne convergent pas toutes vers des 
nombres rationnels. En ajoutant à Q l’ensemble des nombres irra­
tionnels, on obtient l’espace des réels qui, lui, est complet.
CHAPITRE 3
FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION
§ 1. Fonction
Soit E un ensemble de nombres. On dit que sur E est définie 
une fonction si à tout élément x Ç E est associé un nombre y Ç R, 
et on note
y = / (x) (* e E). (1)
Cette définition de la fonction a été proposée par N. Lobatchevski 
et D irichlet1). L’ensemble E s’appelle ensemble de définition de la 
fonction / (x). On dit aussi qu’est donnée une variable indépendante 
x. appelée argument, qui parcourt l’ensemble E et qu’à tout x Ç E 
est associée une valeur d’une autre variable y appelée fonction ou 
variable dépendante.
On se sert aussi du langage géométrique pour exprimer la notion 
de fonction. Une fonction est définie par la donnée d’un ensemble E 
de points x de la droite numérique — le domaine de définition — 
et par une loi qui à tout point associe un point y = f (x).
Si l’on interprète une fonction comme une loi associant à chaque 
nombre x £ E un nombre y, il suffit de la désigner par une seule 
lettre /. Le symbole / (x) représente le nombre y que la loi / associe 
à x Ç E. Si le nombre 1 appartient par exemple au domaine de défi­
nition E de la fonction /, alors / (1) est la valeur de la fonction f au 
point x = 1. Si 1 n’appartient pas à E , on dit que la fonction / n'est 
pas définie au point x = 1 .
L’ensemble E x des valeurs y = f (x), où x 6 E, s’appelle image 
de l’ensemble E par la fonction /. On écrit parfois E x = f (E). Cer­
taines précautions sont à prendre lors de l’usage de cette notation, 
afin d’éviter toute confusion avec la notation y = f (x), où x est 
un point de E et y son image par /. On dit encore que la fonction / 
applique l’ensemble E sur l’ensemble E x.
Si l’image Ex = / (E) c A, où A est un ensemble de nombres 
généralement distinct deEx, on dit alors que la fonction / applique E 
dans A .
x) Lobatchevski Nicolas, illustre mathématicien russe, fondateur de la 
géométrie non euclidienne (1792-1856). Dirichlet Gustav Lejeune, mathémati­
cien allemand (1805-1859).
FONCTION 5 7
Etant données deux fonctions* / et 9 définies sur un même en­
semble E , on appelle somme f + 9 » différence f — 9 , produit / 9 
et quotient /Ap les fonctions dont les valeurs sont exprimées respec­
tivement par les formules
/(*) + <p(z), /(*) — <p(*). /(*)<P(*)» (2)
dans le cas du quotient on admet que 9 (x) =7̂ 0 sur E .
On se sert aussi des lettres F, O t Y, . . . pour désigner des fonc­
tions, et des lettres z, u, v, . . . pour désigner des variables.
Si une fonction / applique un ensemble E dans Ex et une fonc­
tion F , l'ensemble E x dans un ensemble E 2, on dit que la fonction 
z = F (J (x)) est une fonctionde fonction, ou une fonction composée 
de f et de F. La composée est définie sur l’ensemble E et applique E 
dans E 2.
On définit par analogie la composée de n fonctions: z = 
= (F* ( F 3 (. . . (Fn (x)) . . .))).
Citons quelques exemples de fonctions. L’aire S d’un disque 
est une fonction du rayon r exprimée par la formule S = Jir2. Cette 
fonction est définie visiblement sur l’ensemble de tous les nombres 
r > 0 .
On peut faire abstraction de l’aire du disque et considérer la 
dépendance de S par rapport à r exprimée parla formule S = n r \ 
La fonction S = 9 (r) est définie sur l’axe des réels tout entier e t 
pas seulement pour les r > 0 .
Voici d’autres exemples de fonctions:
1) y = V 1 — x2y 2) x = lo g (l-f x), 3) y = x'— 1,
4) y = , 5) y = Arcsin x .
Il s’agit de fonctions prenant des valeurs réelles y pour des valeurs 
réelles de x. Il est immédiat de voir que ces fonctions sont définies 
respectivement sur:
1) l’intervalle fermé [—1 , 1 ];
2) l’intervalle 1—1 , +oo[;
3) l’axe numérique tout entier;
4) l’axe numérique tout entier privé du point x = 1 ;
5) l’intervalle fermé [—1, 1].
Les fonctions des exemples 1) et 2) peuvent être traitées comme 
des fonctions composées: 1) y = ]/ u, u = 1 — v, v = x2; 2) y = 
= log a, u = 1 + x.
Les graphes constituent un important procédé de définition des 
fonctions. Considérons un système de coordonnées rectangulaires 
xOy (fig. 11), un intervalle fermé [a, b] sur l’axe Ox, et traçons une 
courbe T jouissant de la propriété suivante : toute droite parallèle 
à l’axe Oy et passant par un point x 6 [a, 61 coupe la courbe T
58 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
en un point A. La courbe T s’appelle graphe. Ce graphe définit une 
fonction y = / (x) sur l’intervalle la, 61: si i Ç [ û , 61, la valeur 
y = f (x) se définit comme l’ordonnée du point A (fig. 11). Donc, le 
graphe établit bien une correspondance entre x et y = f (x).
Nous venons de définir une fonction par un graphe sur un en­
semble E qui est un intervalle fermé. Pour ensemble de définition E
on peut avoir un intervalle ouvert ou semi- 
ouvert, l’axe numérique tout entier, l’en­
semble des points rationnels compris dans 
un intervalle donné, etc.
Soient une fonction / (x) définie sur un 
intervalle la, 6[ et un nombre a =^0. On peut 
former plusieurs fonctions avec a et /:
1) a/ (x) ; 2) f (x) + a; 3) / ( x — a);
4) /(ax). Les fonctions 1) et 2) sont définies 
sur le même intervalle la, 6[. Les graphes 
des fonctions 1) à 4) se déduisent de celui 
de / (x) soit par une translation, soit par une homothétie.
On dit qu’une fonction est paire si / (—x) = / (x) et impaire 
si / (—x) = —/ (x).
Le graphe d’une fonction paire est de toute évidence symétrique 
par rapport à l’axe Oy, celui d’une fonction impaire, symétrique 
par rapport à l’origine des coordonnées. Les fonctions x2k (k est un 
entier naturel), cos x, log | x |, l / l + x2, / (| x [) sont paires, les 
fonctions x2*+1 (k ^ 0 est un entier), sin x, x ] /1 -f- x2, xf (| kx |), 
impaires.
Il est immédiat de voir que le produit de deux fonctions paires ou 
de deux fonctions impaires est une fonction paire et que le produit d'une 
fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire.
Il est entendu que la majorité des fonctions ne sont ni paires 
ni impaires.
On peut encore définir le graphe d’une fonction y = / (x), x 6 £\ 
comme l’ensemble des points (x. / (x)).
On dit qu’une fonction / est strictement croissante (resp. croissante) 
sur E si pour tous x1? x2 Ç E tels que xx < x2 on a / (xt) < / (x2) 
(resp. / (x i)< / (x2)).
On dit qu’une fonction / est strictement décroissante (resp. décrois­
sante) sur E si pour tous xx, x2 £ E tels que xx < x2, on a f (xx) > 
> / ( x 2) (resp. / ( x , ) > / ( x 2)).'
On dit qu’une fonction / est bornée (resp. non bornée) sur E si 
l’image E x == f (E) de E par / est un ensemble borné (resp. non 
borné).
Par exemple, la fonction y = 1/x est décroissante et bornée sur 
l’intervalle [1 , oo[, mais pas sur l’intervalle 10, oo[.
On dit qu’une fonction f définie sur un ensemble E est périodiaue 
de période T > 0 si / (x) = / (x -f- T), x, x + T 6 E.
FONCTION 59
Par exemple, la fonction sin x est de période 2ji, la fonction 
sin mi, où m Ç N, de période T = 2nlm.
E x e m p l e 6 . La fonction
1, z > 0 ,
0 , x — 0 ,
- 1, £ < 0
est définie sur l’intervalle ]—oo, oo[. Elle est impaire et prend trois 
valeurs: 1 , 0 , —1 .
E x e m p l e 7. La fonction
x2-f 1,
sin*, a: > 0
est représentée par le graphe de la figure 12. Elle décroît sur 1—oo, 0[ 
et est 2n-périodique sur l’intervalle ]0, oo[. Cette fonction est donnée 
par des formules différentes dans des régions différentes de son do­
maine de définition.
Une fonction peut être définie par un tableau. Si par exemple 
l’on mesure la température T de l’air toutes les heures et que l’on 
consigne les résultats obtenus dans un tableau:
t 0 1 . . . 24
T T* T, . . . ^24
on obtient une fonction T = / (0 définie sur l’ensemble des entiers 
naturels compris entre 0 et 24.
Si une fonction y = / (x) est définie sur un ensemble E par une 
formule, il lui correspond un graphe qui la représente géométrique­
ment. Mais si une fonction est définie 
par un graphe, peut-elle être exprimée 
par une formule? C’est un problème très 
épineux et avant de lui apporter une ré­
ponse il faut définir ce qu’on entend par 
formule. Quand nous avons dit qu’une 
fonction y = / (x) est exprimée par une 
formule, nous avons tacitement admis 
que y se déduit à partir de x par un 
nombre fini d’opérations telles que l’ad­
dition, la soustraction, la multiplication, 
la division, l’extraction d’une racine 
carrée ou autre, la prise d’un logarithme, les opérations sin, 
cos, Arcsin et autres opérations algébriques et trigonométriques.
L’analyse mathématique nous fournit des méthodes pour élargir
60 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
la notion de formule. L’une d’elles est le développement d’une fonc­
tion en une série de fonctions élémentaires.
La plupart ou voire même toutes les fonctions que l’on rencontre 
en pratique peuvent être représentées par une série illimitée dont les 
termes sont des fonctions élémentaires qui seront définies plus bas. 
Mais nous reviendrons sur ce problème.
Quoi qu’il en soit, qu’une fonction / (x) soit définie par une 
formule ou par un autre procédé, par exemple par un graphe, .elle 
peut être un objet d’étude par les méthodes de l’analyse mathémati­
que si elle satisfait à certaines conditions subsidiaires, telles la 
continuité, la monotonie, la convexité, la dérivabilité, etc. Mais 
n’anticipons pas.
La notion de limite qui est fondamentale en analyse est un 
important outil d ’étude d’une fonction. Ce chapitre lui sera con­
sacré.
Si à un nombre x d’un ensemble donné E une loi associe un 
ensemble ex de nombres y, on dit qu’est définie une correspondance 
y = / (x). Si pour chaque x l’ensemble ex est composé au plus d’un 
élément, alors y = / (x) est une fonction.
Comme exemples de correspondances citons Y x» arcsin x, 
arctg x, . . .
La correspondance V~x est définie pour x ^ 0. Elle est biva­
lente pour x > 0 , car à tout nombre x > 0 elle fait correspondre 
deux nombres opposés + / x e t — V"x. Dans la suite, par £ /x (A; = 
= 2, 3, . . .) on entendra, sauf mention expresse du contraire, la 
valeur arithmétique de la racine A-ième de x, c’est-à-dire un nombre 
positif dont la puissance k est égale à x (cf. § 8). La correspondance 
arcsin x est infinivalente. A toute valeur x 6 [—1, 1] elle associe 
une infinité de valeurs y définies par la formule
y = (—l )k Arcsin x + kn (k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .).
On définit de façon analogue des fonctions de deux, de trois et 
plus généralement de n variables.
Définissons une fonction de deux variables. Soit un ensemble E 
de couples (x, y). Si à tout couple (x, y) £ E une loi / associe un 
nombre z, on dit qu’est définie sur l’ensemble E une fonction z= 
= / (*» y) de deux variables.
Comme à chaque couple de nombres (x, y) est associé un point 
d’abscisse x et d’ordonnée y dans un plan rapporté à un système 
de coordonnées cartésiennes et inversement à chaque point est asso­
cié un couple (x, y), on peut dire que la fonction / (x, y) est définie 
sur l’ensemble E des points du plan.
Dans un espace à trois dimensions rapporté à un système de 
coordonnées rectangulaires (x, y , z) le graphe de la fonction z = 
= / (x, y) est le lieu géométrique des points (x, y, / (x, y)) dont 
les projections (x, y) appartiennent à l’ensemble de définition E de /.
FONCTION 61§ 1]
Par exemple, le lieu géométrique des points dont les coordonnées 
vérifient l’équation
z = V i - x 2- y 2f x2+ y 2< 1,
est la demi-sphère supérieure de rayon 1 et de centre 0 (voir § 25f 
chap. 10).
On peut définir une fonction de trois variables dans le même 
esprit. Le domaine de définition sera un ensemble de triplets (z, y, z), 
ou ce qui revient au même les points (z, y, z) d’un espace à trois 
dimensions rapporté à un système de coordonnées cartésiennes.
Si à chaque triplet de nombres (z, y, z) £ E une loi associe un 
nombre u , on dit alors que sur E est définie une fonction u = 
= F (z, y, z).
De façon analogue, on peut considérer un ensemble E de n-tuples 
(zlf . . ., zn), où n est un entier naturel donné. Si à chaque /i-tuple 
de E une loi associe un nombre z, on dit que z est une fonction des 
variables z1? . . ., zn, définie sur l’ensemble E et l’on note z = 
= F (Zi, . • •,
On appelle espace à n dimensions l’ensemble de tous les n-tuples 
(zlf . . ., xn). Cet espace n’existe pas dans la réalité pour n > 3 . 
Il n’empêche qu’il est aussi important que l’espace à trois dimen­
sions.
Si deux fonctions / et <p de n variables sont définies sur un même 
ensemble E de points (zx, . . ., z*) d’un espace à n dimensions, on 
peut définir la somme / + q>, la différence / — cp, le produit /q> et le 
quotient //cp comme des fonctions définies sur E à l’aide des égalités
(2), où il faut remplacer z par (zx, . . ., zn). On définit de façon 
naturelle les fonctions composées telles que / (<p (z, y), (z, y, z)) =
= F (z, y, z), où (z, y, z) est un triplet de nombres appartenant à 
un certain ensemble.
On cite plus bas quelques exemples de fonctions de plusieurs 
variables définies par des formules élémentaires.
EXEMPLE 8. u = Ax + By + Cz + D, où A, B, C et D sont des constan­
tes réelles, est une fonction linéaire de (x, y, z). Elle est définie sur l’espace 
tout entier. La forme générale d'une fonction linéaire de n variables (xj, . . . 
n
. . . » xn) est u = 2 a i z t + où fli, . . . » an, b sont des constantes données, 
i - t
Cette fonction est définie sur l'espace tout entier des points (xlt . . ., xn).
Exem ple 9.z = log — & — ^2 . c 'est une fonction réelle définie sur 
un disque de rayon 1 et de centre (0, 0) privé de ses points frontières, c’est-à- 
dire du cercle de rayon 1 et de centre (0, 0). La fonction z n'est pas définie 
pour ces points, car log 0 n'a pas de sens.
E x e m p l e 10. La fon ction
/ 0 pour y > 0 ,
FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION62 [CH. 3
se représente graphiquement par deux demi-plans parallèles dont la disposition 
par rapport au système de coordonnées (x, y, z) est évidente.
On peut définir une fonction d’une variable sous forme implicite
F (x, y) = 0 , (3)
où F est une fonction de x et de y.
Soit définie une fonction F sur un ensemble G de points (x, y). 
La relation (3) définit un sous-ensemble Q de G sur lequel s’annule 
la fonction F. L’ensemble Q peut éventuellement être vide. Sup­
posons que Q n’est pas vide et soit E un ensemble (visiblement non 
vide) de valeurs x auxquelles est associé au moins un y tel que 
(,x, y) 6 Q. L’ensemble E est donc l’ensemble de tous les points x à 
chacun desquels est associé un ensemble non vide ex de points y tels 
que (x, y) 6 Q ou ce qui revient au même tels que la relation (3) soit 
vérifiée pour le couple indiqué (x, y). On définit ainsi une fonction 
y = cp (x) sur l’ensemble E t qui en général est une correspondance. 
On dit alors que la fonction (p est implicitement définie par (3). On a 
de toute évidence
F (x, cp (x)) = 0, Vx 6 E .
On peut définir par analogie une fonction x = *i|) (y) de y implici­
tement par (3). On aura pour cette fonction :
F (♦ (y), y) = 0, Vy Ç El,
où Ei est un ensemble de nombres. On dit encore que la fonction 
y = (p (x) (ou x = i|) (y)) est solution de l’équation (3). La fonction 
x = if (y) s’appelle fonction réciproque de y = cp (x).
E x e m p l e 1 1 . La relation
o i oX- + y - =
où r > 0 , définit implicitement la correspondance
(4)
y = ± l / r s —x2 ( - r < x < r ) ;
pour x = ± r, c’est une fonction. On admet naturellement que cette 
correspondance se décompose en deux fonctions continues y = 
= + Y r~ — x2 et y = —l/V2 — x2 (— r). Leurs représen­
tations graphiques sont deux demi-cercles d’un cercle de rayon r et 
de centre Ô. Ce cercle est le lieu géométrique des points dont les 
coordonnées (x, y) vérifient l’équation (4). En se servant de la for­
mule (4) on peut former des fonctions (discontinues) vérifiant l’équa­
tion (4), par exemple
{
+ VV--x*-,
- y - ^ i r x5,
— r < x < 0 , 
O ^ x ^ r .
LIMITE D’UNE PONCTION €53
§ 2. Limite d9une fonction
On dit qu’un nombre A est la limite d'une fonction f en un point 
asi cette fonction est définie dans un voisinage de a, c’est-à-dire sur 
un intervalle ]c, d[, où c < a < cf, sauf éventuellement en a, et si 
pour tout e > 0 on peut exhiber un 6 > 0 dépendant de e et tel 
que pour tous les x vérifiant la relation 0 < | x — a | < 6 , l’on 
ait
| / (x) - A | < e.
On note ceci
lim f (x) = A ou f (x) -v A (x -v a).
x —a
On peut aussi définir la limite d’une fonction en termes de limite 
d’une suite.
On dit qu’un nombre A est la limite dune fonction f en un point a 
si cette fonction est définie dans un voisinage de a , sauf éventuelle­
ment en a, et si la suite {/ (xn)} converge vers le point A , quelle que 
soit la suite {xn} convergeant vers a et telle que xn a pour tous 
les n. Donc
lim /(x„) = A 
x n -* a xn*£a
Il est entendu que la variable xn tend vers a en prenant des 
valeurs pour lesquelles / (x) est définie.
Ces définitions sont équivalentes. Supposons en effet qu’une 
fonction ait une limite au sens de la première définition et soit 
donnée une variable xn tendant vers a sans jamais prendre la va­
leur a. Considérons un nombre e et choisissons 6 comme dans la 
première définition. Puis prenons un entier naturel n0 tel que 
| xn — a | < 6 pour n > n0. Alors
| f (xn) — A | < e pour n > n0l
ce qui exprime que la suite de nombres {/(xn)} converge vers A. 
Puisque cette propriété est vraie pour toute suite {xn} convergeant 
vers a, pourvu que xn =£ a et que tous les xn appartiennent au do­
maine de définition de /, on a démontré que la première définition 
entraîne la seconde.
Inversement, supposons que la fonction / (x) a une limite au 
sens de la deuxième définition, mais pas au sens de la première. 
Cela signifie qu’il existe un e au moins, que nous désignons par e0, 
pour lequel on ne peut exhiber le 6 nécessaire, c’est-à-dire que pour 
tout 6 il existe parmi les x, tels que 0 < | x — a | < 6 au moins 
un, noté x(ô> tel que | / (x<ô>) — A e0.
Pour ô nous prenons tous les nombres 8 = i/k (k = 1, 2, . . .) 
et pour chacun d’eux trouvons un point xk = x(ô> tel que
0 < | xh — a f < i/k (xk =£ a)
64 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
et
I f ( * k ) - A | > e 0 (* = 1 , 2 , . . . ) .
De ces relations on voit que xk — a (xk =?£= a), alors que / (xft) 
ne tend manifestement pas vers À. Donc, l’hypothèse que la se­
conde définition de la limite n’entraîne pas la première nous conduit 
à une contradiction.
Ceci achève la démonstration de l’équivalence des deux défi­
nitions.
L’expression limite d'une fonction en un point a est souvent rem­
placée par limite d'une fonction lorsque x tendvers a ou plus briève­
ment limite d'une fonction pour x->- a. Cette expression traduit 
mieux la notion de limite, car lim / (x) exprime le comportement
x-* a
de la fonction / (x) dans un petit voisinage du point a privé de a. 
Elle dit que si x tend vers a suivant une loi quelconque sans jamais 
égaler a, alors la valeur correspondante de / (x) tend à son tour 
vers A, c’est-à-dire est aussi proche que l’on veut de A.
E x e m p l e 1. Soit la fonction / (x) = (x2 — 4)/(x — 2). Elle est 
définie pour tous les x 2. Essayons de trouver sa limite pour
x* —4x — 2. Pour tout x =7̂ 2, on a — — = x + 2, et comme dans
X M
le calcul de la limite pour x 2 on ne tient nullement compte de 
la valeur de / en x = 2 , on obtient
lim x>~~9—= lim (x -f 2).
x —2 x —2
Cette relation traduit le fait que si l’une des limites existe, l’autre 
existe aussi et lui est égale.
Pour trouver cette limite on dispose généralement les calculs 
de la manière suivante:
lim x = l i m (x + 2) = lim x + 2 = 4.
x—2 x —2 x —2
Signalons que les fonctions / (x) = (x2 — 4)/(x — 2) et <p (x) = 
= x + 2 sont différentes. La première n’est pas définie pour x = 2, 
tandis que la seconde l’est pour toutes les valeurs de x. Cependant, 
lorsqu’on calcule la limite de ces fonctions pour x 2 , peu nous 
importe que ces fonctions soient définies ou non en x = 2 , et comme 
/ (x) = (p (x) pour x # 2 , il vient
lim / (x) = lim ç (x) = <p (2).
x-»2 x —2
E x e m p l e 2 . Il est manifeste que l imx2 = l , car si xn -*-l,
x - l
xn 1 , alors lim x£ = lim xn*lim xn = 1-1 = 1 . On peut établir 
ce fait en utilisant le langage de e et de 6 . Considérons un intervalle 
contenant le point 1 , par exemple ]l/2 t 3/2[. Pour tout x Ç 11/2, 3/2[
LIMITE D’UNE FONCTION t>5
il est évident que
| X*- — 1 I = | X + 1 I I X — 1 | < ! I X — 1 |.
Prenons maintenant un e > 0 quelconque et posons 6 =
{1 9 >^ , g e |. Alors pour tous les x tels | x — 1 | < ô, on aura
I x~
9
Exemple 3. La 'fonction sin (1/x) est définie pour toutes les 
valeurs x =£ 0 et est impaire (son graphe est représenté sur la figure 13 
pour x > 0 ) . Elle est donc définie au voisinage du point 0 mais 
pas en 0. Cette fonction n’admet pas 
de limite pour x->-0, car il existe 
une suite de valeurs non nulles 
xk = 2/ji (2k + 1) (k = 0, 1,2, . . .) 
tendant vers 0, pour laquelle 
/(**) = (—i)*
ne tend vers aucune limite pour k-*~ oo.
Introduisons la définition suivan­
te. On dit qu’un nombre A est la li­
mite d'une fonction f (x) pour x-*~ oo 
et on note
A = lim / (x)
si / est définie pour tous les x tels que | x | > K pour un certain 
K > 0 et si pour tout e > 0 on peut exhiber un nombre M > K 
tel que pour tous les x vérifiant | x | > M on ait | / (x) — A | < e.
On démontre que cette définition est équivalente à la suivante.
Un nombre A est la limite d'une fonction f (x) pour x ->• oo si la 
fonction / (x) est définie pour tous les x tels que | x | > M pour un 
certain M et
lim / (x„) = A
Xn—oo
pour toute suite {xn} convergeant vers oo.
La démonstration de l’équivalence de ces deux définitions se 
fait de la même manière que pour la limite de / en un point a ^ oo.
En fait, de nombreuses propriétés des limites de / (x) pour x-*- a 
(a est un nombre fini) et pour x oo sont identiques. On peut expo­
ser ces propriétés simultanément pour x-*~a et pour x->- oo. On 
comprendra alors par la lettre a soit un nombre fini, soit le symbole
oo. Si a est un nombre, par voisinage du point a on comprend tout 
intervalle le, d[ contenant le point a. Donc, un voisinage S un point 
a est l’ensemble de tous les points x Ç le, df .Sia = oo (+oo ou — oo), 
alors par voisinage de a on convient d’entendre l’ensemble de tous
5 -0622
66 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
les x tels que
| x | > M ( x > M y o u i < —~My M > 0).
On écrira
lim / (x) = A y
x —a
où a est un nombre fini ou infini, si la fonction f (x) est définie 
dans un voisinage de a, sauf éventuellement en a (cette restriction 
n’a de sens que si a est fini), et si pour tout e > 0 il existe un voi­
sinage du point a tel que pour tous les x =£ a de ce dernier, l’on ait
| f (x) - A | < e.
Cette définition combine visiblement les deux cas: le cas où x 
tend vers un nombre fini a et le cas où x tend vers - f oo ou —oo.
Une fonction / telle que lim / (x) = 0 s’appelle infiniment
x —a
petit pour x - * a.
Passons à l ’exposé des propriétés d’une fonction admettant 
une limite pour x a, où a est un nombre fini ou infini. On dé­
signera par V (a) un voisinage arbitraire de a. Il est immédiat de 
vérifier que Y intersection de deux voisinages Vx (a) et V2 (a) est encore 
un voisinage de a.
T h é o r è m e 1. Si lim f (x) = A, ou A est un nombre fin i, alors
x —a
la fonction f (x) est bornée dans un voisinage V (a), c'est-à-dire qu'il 
existe un nombre strictement positif M tel que
| / (x) | ̂ M pour tous les x Ç V (a), x^= a.
D é m o n s t r a t i o n . Par hypothèse, il existe un voisinage V (a) tel que 
1 > \ f ( x ) - A | > |/ ( x ) | — \ A | ( x e V ( a ) , x ^ a ) .
D’où
| / (x) | < 1 + | A | = M,
c.q.f.d.
T h é o r è m e 2. Si lim / (x) = A et A # 0 est un nombre fin i, il
x - a
existe alors un voisinage V (a) tel que
\ f { x ) \ > \ A \ ! 2 ( x £ V (a), x ^ a).
De plus, pour les x indiqués
f (x) > A/2 si A > 0,
et
f (x) < A/2 si A <Z 0.
LIM ITE D’UNE FONCTION 678 2]
Démonstration. Par hypothèse, il existe pour un e = | A |/2 
un voisinage V (a) tel que
\A |/2 > \A - / ( x ) | > \A | - | / (x ) | (1 6 V (a), x=j*=a),
d’où | / (x) | > | .4 |/2 pour les x indiqués. La première de ces 
inégalités équivaut aux suivantes :
A - \ A |/2 < / (x) < A + | A |/2.
D’où pour A > 0
4 = A - ^ L < f ( x ) , 
et pour A < 0 -58
/ ( x ) < ^ + J 4 L = 4 ,
c. q. f. d.
Théorème 3. Si
lim /,(x) = 4 „ lim f2 (x) = A2
x —a x —a
6t A (* )< / .(* )
dans un voisinage V (a), x a, alors
4 , < 4 2.
Démonstration. Supposons que x„ —- a, x„ a ; alors pour n0 
assez grand, on a
/ i W < / a W ( n > n 0) 
et après le passage à la limite, 4 i ^ A 2.
Théorème 4. Si
lim /j (x) = A, lim / 2 (x) = A (1)
x — a x — a
et
A (x )< <P (x) < / 2 (x) (2)
dans un voisinage V (a), i ^ o , alors
lim q> (x) = A. (3)
x — a
Démonstration. Supposons que xn a, xn a ; alors pour n0 
assez grand, on a
A (*n) < <p fo.) < /* (4.) (n > «o) 
et en vertu de (1) {q> (x„)} converge vers A. Comme la suite {xn} 
est une suite quelconque convergeant vers a, on a (3).
5*
68 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
Théorème 5 (critère de Cauchy). Pour qu'une fonction f (x) admet­
te une limite {finie) en un point a, il est nécessaire et suffisant qu'elle 
soit définie au voisinage de a, sauf éventuellement en a, et que pour 
tout e > 0 il existe un voisinage V (a) tel que
\ f ( x ' ) - f { x ) \ < z
quels que soient x \ xm Ç V (a), x 't x ” a.
DÉMONSTRATIPN. Condition nécessaire. Supposons que lim / (x) = A , où A
x—a
est un nombre fini ; il existe alors un voisinage de a dans lequel / (x) est définie 
sauf éventuellement en a. De plus pour tout e > 0 on peut exhiber un voisinage 
V (a) tel que pour x £ V (a), x a, Ton ait | f (x) — A | < e/2. Soient x 
xm 6 V (a)» x \ x” =£ a; alors
|/ (x ')—/(* ') | < \ f ( x ' ) - A \ + \ A - f ( x ’) \ < - L + -L = e ,
ce qui prouve la condition nécessaire.
C o n d i t i o n s u f f i s a n t e . Supposons que la fonction / (x) est définie au voisinage 
de a, sauf éventuellement en a et que pour tout e > 0 on peut exhiber un voisi­
nage V (a) de a tel que 1 / (x') — / (x”) | < e pour tous les x \ x* Ç V (a), x \ 
x" a. Considérons une suite quelconque {xnj, x„ ^ a, convergeant vers a. 
Alors le critère de Cauchy pour les suites nous dit qu'il existe un nombre n0 
tel que pour n, m > n 0 l ’on ait x„, xm £ V (a ) . Dans ce cas
I / (* n ) — / (*m ) I < * ( * t * > *o)
et la suite {/ (xn)} vérifie le critère de Cauchy, doncest convergente.
Nous venons de prouver la propriété suivante:lim / (xn) existe pour toute 
suite {xn } convergeant vers a (xn a). De cette propriété il s’ensuit immédia­
tement que les limites lim / (xn) correspondant a diverses suites convergeant 
vers a sont égales. En effet, soient xn a, x„ -► a ; xn, x'n =£ a (n = 1, 2, . . .). 
D’après ce que nous venons de démontrer il existe des nombres A et A' tels 
que / (xn) -► A et f(x n ) -+ A '. Formons une nouvelle suite: {xlT xi, x?, x2, 
xs> . . .}. Cette suite converge vers a. D’après ce qui a été démontré plus haut, 
la suite {/ (x,), / (x(), / (x2), f (x£), . . .} doit aussi converger vers un certain 
nombre. Or, ceci n’a lieu que si A = A \ c.q.f.d.
T h é o r è m e 6 . Si
lim / (x) = Aj lim <p (x) = /?,
X—a x—a
où A et B sont des nombres finis, alors
lim [/ (x) ± 9 (x)] = A ± B, lim [/ (x) 9 (x)] = AB
x-*a x—a
et
lim /(*> AB
sous réserve que B 0.
x — n
LIMITE D'UNE PONCTION 698 2]
Prouvons la deuxième égalitp à titre d’exemple. Soit x„->- a, 
Xn ^ a (n = 1 , 2 , . . .) ; alors
lim / (x„) = A, lim 9 (xn) = B.
Comme la limite d’un produit est égal au produit des limites, on 
obtient
lim [/ (x„) 9 (x„)] = lim / (xn) lim 9 (x„) = AB.
Cette égalité est valable pour toute suite x„ -*■ a, x„ # a, donc 
lim [/ (x) 9 (x)] = AB.
x—a
Par définition, lim / (x) = oo si la fonction / (x) est définie
x —a
dans un voisinage de a, sauf éventuellement en a, et si pour tout 
nombre strictement positif M il existe un voisinage V (a) de a 
tel que
I / (x) | > M (x Ç y (a), x # a).
On appelle infiniment grand pour x —- a une fonction / (x) telle 
que lim / (x) = 00.
x—a
Si lim / (x) = 00 et si dans un voisinage de a f ( x ) > 0 (resp.‘
x—a
/ (x) < 0), on écrit encore lim / (x) = +oo (resp. lim / (x) = — oo).
x - a x —a
Les théorèmes suivants sont immédiats.
Théorème 7. Si f (x) et y (x) sont deux fonctions telles que dans 
un voisinage dyun point a
et
alors
| / (x) | > M > 0 
lim q> (x) = 0 (<p (x) =7<é= 0 pour x a),
lim
x —a
/ ( X )
<P(X)
oo.
Thëorême 8 . Si lim /(x ) = ̂ 4 et lim 9 (x) = oo, alors
x»a x—a
lim
x - a
/ ( x )
<p(x). 0.
C orollaire. Si ç(x ) — 0, x-*~a ( 9 (x)=£0), alors
lim
x—a
1
9W «5,
70 PONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. :i
et si <p(x) oo, x a (<p(x)=£0), alors
lira
x—a
1
<P(*) = 0.
On peut encore définir la limite à droite et à gauche d’une fonc­
tion / en un point a.
On dit qu’un nombre A est la limite à droite (resp. à gauche) 
d'une fonction f en un point a si cette fonction est définie sur un 
intervalle semi-ouvert la, 6] (resp. U>, a[) et si
lim / (x„) = A (resp. lim / (xn) = 4)
* n - a * n —a* n > o * n < a
pour toute suite {«„}.
On désigne la limite à droite (resp. à gauche) d’une fonction / 
en a par:
/(® + 0) = lim /(x), (4)
x —a
xxi
/(a —0) = lim /(x). (5)
x —a
x < a
Si / est définie sur l’intervalle ouvert ]a, M, alors / (a + 0) n’a 
de sens qu’en a et / (6 — 0), qu’en b.
R e m a r q u e . La relation
f (a + 0) = / (a - 0) = A (6)
équivaut à l’existence de la limite
lim / (x) = A. (7)
x — a
En effet, on peut exprimer (6) comme suit: Ve > 0, 36 > 0: 
1 / (x) — A | < e, Vx : 0 < | x — a | < ô, x > a ; | / (x) — A | < 
•< e, Vx : 0 < | x — a | < ô, | x < a, ou de façon plus concise : 
Ve > 0, 36 > 0: | / (x) — A \ < e, Vx: 0 < | x — a 1 < ô, ce
qui est équivalent à (7).
§ 3. Continuité d’une fonction
La figure 14 représente le graphe d’une fonction y = f (x) (x Ç 
6 [a, bl). Soit un point x 6 il- Tout point x' Ç [a, bl proche de x 
peut être représenté par la somme x' = x - f - A x, où Ax est un nombre 
positif ou négatif appelé accroissement de x. La différence
A/ = Ay = f (x + Ax) — f (x)
CONTINUITE D’UNE FONCTION 71
s’appelle accroissement de la fonction f en x, correspondant à l ’ac­
croissement Ax. Observons que Ax est tel que x + Ax Ç [a, 61. 
Sur la figure 14 l’accroissement A y est égal à BC.
Faisons tendre Ax vers 0; il est évident que
Ay 0 (Ax -*• 0). (1)
Considérons maintenant la courbe de la figure 15. Elle présente 
un saut en x0. On dit alors que cette courbe est discontinue. Pour 
qu’un graphe représente une fonction y = F (x) en x0, on conviendra 
que F (x0) est égal à la longueur du segment ^4x0. Pour spécifier
ceci, le point A est représenté par un rond sur le graphe, alors que 
la flèche indique que le point Q n’appartient pas à ce graphe.
Donnons à x0 un accroissement Ax0 et définissons l’accroisse­
ment correspondant de la fonction:
AF = F (x. + Ax0) — F (x0).
Si Ax0 0, on ne peut pas affirmer que AF 0 : A F tend vers 0 ou
vers un nombre égal à la longueur du segment AQ selon que Ax0 
tend vers 0 par valeurs négatives ou positives.
On dit qu'une fonction f définie sur un intervalle [a, 6] est con­
tinue en un point x Ç [a, 6] si A/ 0 lorsque Ax —v 0 quel que soit 
le mode de tendance de Ax vers 0. La propriété de continuité est tra­
duite par l’expression (1) ou encore par la relation:
lim A y = 0. (2)Ax—0
qui se lit « la limite de A y est nulle îorsque Ax tend vers 0 suivant 
une loi quelconque ». Cependant on omet généralement l ’expression 
« suivant une loi quelconque ».
Si une fonction / définie sur [a, 6] n’est pas continue en un point 
x 6 [a, 6], c’est-à-dire si elle n’est pàs justiciable de la relation (2) 
pour au moins une méthode de tendance de Ax vers 0, on dit alors 
qu’elle est discontinue en x.
72 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
La fonction représentée sur la figure 14 est continue en tout 
point x 6 [a, 6], celle de la figure 15, l ’est visiblement en tout 
point x 6 [a, 6] sauf en x0, car en ce point la relation (2) est mise 
en défaut lorsque Ax tend vers 0 par valeurs positives.
Une fonction continue en tout point d’un intervalle est dite 
continue sur cet intervalle.
La continuité d’une fonction est une propriété à laquelle nous 
aurons souvent affaire en pratique, une propriété qui traduit le 
fait qu’à tout petit accroissement de la variable indépendante 
correspond un petit accroissement de la fonction. Un remarquable 
exemple de fonction continue nous est donné par les diverses lois 
de mouvement des corps s = f (t) qui expriment le chemin s parcouru 
en fonction du temps t. Le temps et l’espace sont continus et les 
diverses lois de mouvement 5 = f (t) établissent entre s et t une rela­
tion continue caractérisée par le fait qu’à tout petit accroissement 
du temps correspond un petit accroissement du chemin.
L’observation des milieux continus — solides, liquides ou ga­
zeux — a conduit l’homme à faire abstraction de la continuité. En 
effet, tout milieu physique est un amas de particules en mouvement. 
Ces particules et les distances qui les séparent sont si petites en 
regard des dimensions des milieux auxquels on a affaire en étudiant 
les phénomènes physiques macroscopiques que l’on peut considérer 
approximativement que la masse du milieu envisagé est continû­
ment distribuée dans l ’espace occupé. De nombreuses disciplines, 
telles la dynamique des fluides, l ’aérodynamique et la théorie de 
l’élasticité se servent de cette hypothèse. La notion mathématique 
de continuité joue naturellement un grand rôle dans ces disciplines, 
de même d’ailleurs que dans beaucoup d’autres.
Les fonctions continues constituent la plus importante classe 
de fonctions manipulées par l ’analyse mathématique.
Comme exemples de fonctions continues citons les fonctions 
élémentaires (voir § S) qui sont continues sur leurs intervalles de 
définition.
Les fonctions discontinues décrivent des processus naturels dis­
continus. La vitesse d’un corps varie discontinûment sous l ’effet 
d’un choc. De nombreuses transitions sont accompagnées de sauts. 
Ainsi, la relation Q = / (t) entre la température t d’un gramme d’eau 
(de glace) et le nombre de calories Ç, lorsque t varie entre —10° et 
+30°, si l ’on convient que Q = 0 pour t = —10°, s’exprime par
J 0,5*+ 5, —1 0 < * < 0 ,
f + 85, 0 < i <3 0 .
On admet que la capacité calorifique de la glace est égale à 0,5. Pour 
t = 0 , cette fonction est indéfinie (elle prend des valeurs distinctes) ; 
on peut par souci de commodité convenir que pour t = 0 elle prend
CONTINUITÉ D’UNE FONCTION 7 3
une valeur bien définie, par exemple / (0) = 45. La fonction Q = 
= / (£) est visiblement discontinue pour t = 0 (fig. 16).
Définissons la continuité d’une fonction / en un point.
On dit quune fonction f (x) est continue en un point x0 si elle est 
définie dans un voisinage de x0 de même qu'en x0 et si son accroissement 
en ce point tend vers 0 avec Ax :
lim A y = lim [/ (x0 -f- Ax) — /•(*<>)] = 0. (3)Ax-0 Ax—0
Si l’on pose x = x0 + Ax, on obtient la définition équivalente 
suivante : on dit qu'une fonction f est continue en un point x0 si elle
est définie dans un voisinage de x0, y compris en x0, et si
lim / (x) = / (x0) î (4)
X -X o
ou dans le langage de e et ô : si pour tout e > 0 on peut exhiber un 
6 > 0 tel que
| / (x) — / (x0) | < e, Vx: | x — x0 | < ô.
La relation (4) peut encore s’écrire :
lim / (x) = / / lim x \ (4')x -x 0 \ x - xq / ’
Cette relation montre qu’on peut passer à la limite sous le signe d'une 
fonction continue.
E x e m p l e 1 . La constante y = C est une fonction continue en 
tout point x. En effet, en x et x + Ax on a y = C. Donc A y = 
= y (x + Ax) — y (x) = C — C = 0 et
lim A y ̂ lim 0 = 0.Ax-0 Ax—0
74 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
E xemple 2. La fonction y = i est continue pour tout x, car A y = 
= Ai et par suite Ay 0 avec Ai.
E x e m p l e 3. La fonction y = sin i est continue pour tout i . 
En effet
] Ay | = |sin ( i + Ai) —sin i | = | 2 sin -^p-cos ( i + -4p-)
^ 2 |sin(A i/2)|. (5)
Or, pour tout a on a
| sin a | < | a |. (6)
Si 0 < a < j i / 2 , ceci résulte de la figure 17 (l’arc de longueur 2a 
est plus grand que la corde de longueur 2sina qui le sous-tend). 
Pour a = 0, l’inégalité (6) se transforme en égalité. Si 0 < | a | ■< 
< j i / 2 , alors | sin a | = sin | a | ^ | a |. Enfin, si | a | > j i /2 , 
alors | sin a 1 < j i /2 ^ | a |. De (5) et de (6) on déduit que
|Ay| < 2 I s i n | < 2 J ^ - = |A i|,
c ’est-à-dire que
Il est alors évident que
2 2
lim A y = 0.
A*—0
On peut encore dire que pour tout e > 0 il existe un ô > 0, en 
roccurrence 6 = e tel que
| Ay | < e, VAx: | Ax | < ô = e.
Signalons un théorème important.
Tüêorsmb 1. Si deux fonctions f et q> sont continues en un point 
x = a, il en est de même de leur somme, de leur différence, de leur 
produit et de leur quotient (<p (a) ^ 0).
Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème 6 , § 2, 
puisque
/ (a) = lim / (x), <p (a) = lim <p (x).
x —a x - a
Signalons un autre théorème important de continuité d’une 
fonction composée.
Théorème 2. Soient données une fonction f (a) continue en un 
point u = A et une fonction u = <p (x) continue en un point x = a, 
et admettons que <p (a) = A. Alors la fonction composée F (x) = 
= f [<p (x)] est continue au point x = a.
CONTINUITÉ D’UNE FONCTION 75
D é m o n s t r a t io n . On remarquera que de la définition de la con­
tinuité de la fonction / en A il s’ensuit qu’elle est définie dans un 
voisinage de A . Donc
üm F (x) = lim / [<p (x)] = lim f [u] = / (̂ 1) = / [cp (a)] = F (a).x—a x—a u—A
On a effectué la substitution u = (p (x) et utilisé la continuité de 
<p en x = a : <p (x) ->■ <p (a) = A .x—a
Exemple 4. La fonction
P (x) = a0xn + OjX*-1 + . . . + an>
où ak sont des coefficients constants, s’appelle polynôme de degré n . 
Cette fonction est continue pour tout x . En effet, P (x) s’obtient 
à partir des constantes a0, . . ., a* et de la fonction x par un nombre 
fini d’opérations arithmétiques: l’addition, la soustraction et la 
multiplication. Or, une constante est une fonction continue (voir 
exemple 1) et la fonction x est aussi continue (voir exemple 2), 
donc en vertu du théorème 1 la fonction P (x) est aussi continue.
Exemple 5. La fonction y = cos x est continue, car elle est 
la composée de deux fonctions continues : y = sin u, u = ji/2 — x.
Exemple 6 . La fonction
y = tgx = ^ n r , x ^ - Y + kn (& = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ,
est continue pour les x indiqués, car (cf. théorème 1) elle est égale 
au quotient d’une fonction continue par une fonction continue non 
nulle.
Exemple 7. La fonction
y = sin3 x4
est continue pour tout x, car elle est la composée de fonctions con­
tinues : y = u3, u = sin v, v = x8 (cf. théorème 2).
E xemple 8 . La fonction y = | x | est continue pour tout x, car
I Ay | = | | x + A x | — | x | | s ^ | x + A x — x | = |A x |-* -0
pour Ax 0.
Exemple 9. Si une fonction / (x) est continue en un point x0, 
il en est de même de la fonction | / (x) |.
Ceci résulte du théorème 2 et de l’exemple 8 , puisque la fonction 
| / (x) | est la composée de deux fonctions continues : y = | u |, 
u = f (x).
Signalons encore deux théorèmes qui résultent immédiatement 
des théorèmes 1 et 2 du § 2 , relatifs à la limite de fonctions.
Theorême 3. Si une fonction f est continue en un point a, il existe 
un voisinage V (a) dans lequel elle est bornée.
76 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
Thêoheme 4. Si une fonction f est continue en un point a e t f (a) =*£ 
0, il existe un voisinage V (a) dans lequel
I / (*) I > I / («) 1/2 .
Si en outre / (a) > 0, alors
/ (a)/2 < / (z) (x 6 V (a)), 
et si f (a) < 0, alors
1 (x) < / (a)/2 (x 6 7 (a)).
§ 4. Discontinuités de première 
et de seconde espèces
Par définition une fonction f est continue en un point x = a à 
droite (resp. à gauche) si
/ (a) = / (o + 0) (resp. / (a) = / (a — 0))
(cf. fin du § 2).
On peut encore définir la continuité d’une fonction / en un point 
a de la manière suivante : on dit quune fonction f est continue en un
y, y
o,\ ___
/
a x C> a *x '3 a x
Fig. 18 Fig. 19 Fig. 20
point x = a si elle est définie dans un voisinage de a, y compris en a, 
et si existent des limites f (a + 0 ) et f (a — 0) telles que
f (a) = f (a + 0) = / (a - 0). (1)
Si une fonction / est telle qu’elle admet les limites f (a + 0) 
et f (a — 0), et f (a + 0) ^ / (a — 0), alors elle est discontinue 
en a, et cette discontinuité est dite discontinuité de première espèce.
Les figures 18 à 23 représentent six graphes de fonctions, pré­
sentant une discontinuité de première espèce en a. La lettre A dé­
signe le point A = (a, f (a)). La pointe de la flèche n’appartient 
pas au graphe.
Les figures 18 à 21 représentent les graphes de fonctions pour 
lesquelles les nombres / (a), f (a + 0) et f {a — 0) ont un sens. Sur
DISCONTINUITÉS DE PREMIÈRE ET DE SECONDE ESPÈCES 77
le graphe de la figure 18 les nombres / (a), / (a + 0) et / (a — 0) 
sont deux à deux distincts : la fonction est discontinue en a à gauche 
et à droite. La figure 19 représente le graphe d’une fonction continue 
en a à gauche et discontinue à droite. Sur la figure 21 on a / (a + 0) = 
= / (a — 0) =5*= / (a). On dit alors que la fonction / présente en a 
une discontinuité artificielle: en effet on peut éliminer cette discon­
tinuité en a en posant / (a) = / (a + 0) = / (a — 0). La fonction
Fig. 21 Fig. 22 Fig. 23
représentée sur la figure 22 n’est pas définie en a. La fonction repré­
sentée sur la figure 23 n’est pas définie non plus en a, m ais/ (a 4 - Ô) = 
= f (a — 0), donc si l’on complète cette fonction en a en posant 
f (a) = f (a + 0) = f (a — 0), on rend la fonction / continue en a.
Dans les figures 22 et 23 la fonction / est définie au voisinage de 
a mais pas en a. On dit alors que la fonction / est discontinue en a, 
bien que l’idée de continuité et de discontinuité en a consiste a com­
parer / (a) et / (x) pour les valeurs de z proches de a.
On dit qu’une fonction / présente une discontinuité de seconde 
espece en un point a si elle ne possède pas de limite à droite ou àgauche en a, ou bien si elle ne possède de limite ni a droite ni à gau­
che en a, ou encore si elle possède des limites infinies à droite et 
à gauche.
E x e m p l e 1. La fonction
/(*) = {
X 0 , 
1 = 0,
ne possède pas de limite à droite et à gauche au point x = 0 (voir 
exemple 3, § 2,). Donc, elle présente une discontinuité de seconde 
espèce au point x = 0.
Exemple 2. La fonction
sgn x = <
1, x > 0 , 
0 , x = 0 , 
— 1, x < 0 ,
78 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
est continue pour x 0 et présente une discontinuité de première 
espèce au point x = 0. De plus, sgn (0 + 0) = 1, sgn (0 — 0) = 
= —1.
E xemple 3. La fonction [x ], ou partie entière de x, est repré­
sentée sur la figure 24 pour x ^ 0 . Elle est continue pour les x non
entiers. Si x est entier, alors [x + 0] = 
= x = [x] et [x — 0 ] = x — 1 , donc elle 
présente une discontinuité de première 
espèce.
E xemple 4. La fonction
f 1/* *, *¥= 0 ,
y ~~\ 2 , x = 0 ,
est continue pour x =/= 0. Les limites à 
droite et à gauche en x = 0 sont infi­
nies, donc cette fonction présente une 
discontinuité de seconde espèce en x = 0. On dit encore que cette 
fonction présente un saut infini en 0 .
T héorème 1. Si une fonction f est croissante sur un intervalle 
[a, 61, elle possède les limites f (a -f 0) ^ f (a) et f (b — 0) ^ / (6).
D émonstration. Par hypothèse,
/ (* )< /(& ) , V x£[a, &[,
autrement dit, / est majorée par f (b) sur [a, 6[. Donc, f admet une 
borne supérieure sur [a, 6[ :
sup f (x) = f (b).
*e [a. t>[
La propriété de la borne supérieure dit que pour tout e > 0 
on peut exhiber un x0 Ç [c, 6[ tel que
M - e < / (x0) < M , (2)
e t puisque f est une fonction croissante,
f (*o) < /(* )» Vx : x0 < x < 6. (3)
De (2) et (3) il résulte que
M — e < f (x) ̂ Af, Vx : x0 < x < 6, 
ce qui prouve que la fonction / admet une limite à gauche en 6 : 
lim f (x) = f (6 - 0) = / (6).
x —b
x < b
3 - 
2 - 
1 - [x J
1 2 3 4
F ig . 2 4
FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE FERMÉ 79
De façon analogue, en considérant l ’inégalité f ( a ) ^ f ( x ) pour 
x 6 ]a, 6], on prouve l’existence de
/(« + 0) = inf / ( * ) > / (a).*6]a, 6]
C o r o l l a ir e . S i u n e fonction f est croissante sur un intervalle [a , 6 ] , 
alors en tout point x 6 [a, 6[ elle possède la limite à droite f (x + 0) ^
(x) et en tout point x Ç la, 61, la limite à gauche f (x — 0) ^
< /(* ) .
En effet, cette proposition est prouvée dans le théorème 1 pour 
x = a et x = 6 . Supposons que £ Ç la, M- La fonction f est crois­
sante sur les intervalles [a, x] et [ar, 61, donc d’après le théorème 1 
elle possède les limites / (x — 0), f (x + 0), et f (x — 0) ^ /
^ / (x + 0).
Il est évident que, pour que la fonction / soit continue en x, 
il est nécessaire et suffisant que f (x — 0) = f (x + 0).
Si f (x — 0) < / (x -f 0), alors la fonction / présente une dis­
continuité de première espèce.
THÉORÈME 2. V ensemble des points de discontinuité d'une fonction f monotone 
sur un intervalle [a, b] est au plus dénombrable.
DÉMONSTRATION. Supposons que la fonction / possède plus d’un point de 
discontinuité et soient x* et x* (x < x") deux d’entre eux. Comme
/(x '+ 0)= inf J(y), / ( * '- 0)= sup /(y),
ve]*\*-[ ve]x'.x~t
alors
/(* ' + <>)</ (x‘ - 0 )
et les intervalles ] / (x — 0 ), / (x ' + 0 ) l ,1 / (x0 — 0 ), / (i* -}- 0 ) [ de l’axe O y 
sont disjoints.
A chaque point de discontinuité x' de la fonction / correspond un intervalle 
1 / (x' — 0), f (x* + 0) [. Choisissons un point rationnel a x ' dans cet intervalle. 
D’après ce qui vient d’être dit il est clair qu’à divers points de discontinuité 
x' correspondent divers points a x'. Or, l’ensemble des points rationnels est 
dénombrable. Donc, l’ensemble de tous les points a x', de même que l’ensemble 
des points x', est au plus dénombrable. C.q.f.d.
§ 5. Fonctions continues sur un intervalle fermé
On dit qu’une fonction / est continue sur un intervalle fermé 
[a, 6] si elle l ’est en tous les points de l ’intervalle ]a, &[, à droite 
au point a et à gauche au point 6 .
Les fonctions continues sur des intervalles fermés sont douées 
de propriétés remarquables que nous nous proposons d’exposer.
Commençons par formuler des théorèmes traduisant ces propriétés, 
puis illustrons-les sur des graphes et des exemples avant de les prouver 
formellement.
FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 380
T h é o r è m e 1 . Si une fonction f est continue sur un intervalle fermé 
la, 61, alors elle est bornée sur [a, 6], c'est-à-dire qu'il existe une 
constante K > 0 telle que
| / ( * ) |< IC, V z 6 [a, 61.
La figure 25 représente le graphe T d’une fonction / continue sur 
l ’intervalle [a, 61. Il est évident qu’il existe un nombre /C > 0
tel que T est situé au-dessous de la 
droite y = K, mais au-dessus de la 
droite y = —K. C’est ce qu’expri­
me le théorème 1 .
On remarquera que si une fonc­
tion est continue sur un intervalle 
ouvert ]a, 6[ ou sur un intervalle 
semi-ouvert [a, 6[ ou ]a, 6], elle n’est 
pas forcément bornée. Exemple : la 
fonction i/x est continue mais pas 
bornée sur l ’intervalle ]0 , 11.
Si l’on complète cette fonction 
en posant / (0) = 0 , elle sera finie 
en tout point de l’intervalle [0 , 1], .mais pas bornée sur cet 
intervalle.
T h é o r è m e 2 (W e i e r s t r a s s ) . Si une fonction f estcontinue sur [a, 61, 
alors elle atteint son minimum et son maximum sur [a, 61, cest-à-dire 
qu'il existe des points a , P Ç [a, 61 tels que f ( a ) ^ / (x )^ / (P) pour 
tous les x Ç [a, 61. Autrement dit,
min /(x) = /(a ), 
*€[«.
max /(*) = / ( P). 
*eK *>]
La fonction continue y = f (x) re­
présentée sur la figure 25 atteint son 
minimum sur [a, 61 au point x = a et 
son maximum au point x = p. Ici les 
points a et p appartiennent à l ’intervalle 
la, &[. La fonction continue y = f (x) 
dont le graphe est représenté sur la 
figure 26 atteint son minimum en l’origine de l’intervalle [a, 61 
et son maximum en un point intérieur P de [a, 6].
R e m a r q u e 1 . Le théorème 1 nous dit que la fonction / est bornée 
sur [a, 61, car continue. Donc, inf / (x) et sup / (x) existent dans 
[a, 61 et
inf / ( x ) ^ sup /(x).
*6[a, bJ xe[a, b]
Le théorème 2 affirme que ces bornes sont atteintes sur [a, 6], 
c’est-à-dire qu’on peut remplacer inf et sup respectivement par 
min et max.
FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE FERME 81
R e m a r q u e 2 . La fonction y =* x est continue et bornée sur l’in- 
tervalle 10, 1 [ ; elle n’atteint pas sa borne supérieure sup x = 1,x€]0.i[
c’est-à-dire qu’il n’existe pas un x0 Ç 10, 1[ tel que y = 1. Donc, 
dans le théorème 2 , la condition de continuité de / sur un intervalle 
fermé borné est essentielle.
Il est évident que sup Arctg x = J t /2 . Cependant, il n’existe
x^O
pas un 0 tel que Arctg x = Jt/2. Les hypothèses du théorème 
sont mises en défaut, car le domaine de définition de la fonction 
continue Arctg x est illimité.
Si une fonction / est discontinue sur [a, 61, elle n’atteint pas 
forcément son suprémum. Exemple, la fonction
( x f O ^ x < 1/2 ,
0 ,
T h é o r è m e 3. Si une fonction f est continue sur un intervalle [a , 61, 
et f (a) et f (6) sont différents de 0 et de signes contraires, alors il existe 
au moins un point c Ç la, 6[ en
lequel f (c) = 0.
La fonction dont le graphe T 
est représenté sur la figure 27 
remplit les conditions du théo­
rème 3. Elle est continue sur 
[a, 6], et / (a) < 0 , / (6) > 0 . 
Il est évident pour des raisons 
géométriques que le graphe T 
doit couper l’axe Ox au moins 
en un point c Ç la, 61.
C o r o l l a ir e 1. Si une fonction f est continue sur [a, 61, f (a) = A, 
/ (6) = B (A =7̂ B) et C est un nombre compris entre A et B, alors il 
existe au moins un point c Ç la, 6[ tel que f (c) = C.
Ce corollaire s’énonce encore : une fonction continue sur un inter­
valle [at 61 prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs aux 
extrémitésde Vintervalle [a, 61.
C o r o l l a ir e 2. Une f onction continue sur un intervalle [a, 61 prend 
toutes les valeurs intermédiaires entre son infimum et son suprémum.
D é m o n s t r a t io n d u c o r o l l a ir e 1. Définissons une nouvelle fonction 
F(x) — / (x) — C, où C est une constante comprise entre A et B. 
La fonction / étant continue sur [a, 61, il en est de même de la fonc­
tion F. De plus, F prend de toute évidence des valeurs de signes 
contraires aux extrémités de [a, 61. Donc, le théorème 3 affirme
6 -0 6 2 2
82 FONCTION. LIM ITE D’UNE FONCTION [CH. 3
l ’existence dans la, 6[ d’un point c tel que F (c) = 0 ou / (c) — C = 
= 0, d’où / (c) = C, c. q. f. d.
E xemple. L’équation x — cos x = 0 présente une racine dans 
l ’intervalle ]0 , jt[.
En effet, la fonction / (x) = x — cos x est continue sur l ’inter­
valle [0 , si] et prend aux extrémités de celui-ci des valeurs de signes 
contraires: / (0) = —1 , / (n) = ji + 1.
Les théorèmes 1, 2 et 3 seront démontrés formellement plus bas. 
D émonstration d u theoreme 1. Supposons que / n’est pas bornée 
sur la, 61. Pour tout entier naturel n il existe alors un point xn £ 
6 [a, 61 tel que
I f (*n) I > n (n = 1, 2 , . . .)• (1)
La suite {xn}est bornée (car a et 6 sont finis) et on peut en extrai­
re une suite {£nA} convergeant vers un nombre a £ [a, 6] (voir 
corollaire du théorème 4, § 1, chap. 2). Or, la fonction / est conti­
nue en a (si a = a (resp. a = 6), la fonction / est continue à droite 
(resp. à gauche)), donc
lim / (xnk) = / (a). (2)
La relation (2) contredit la relation (1), donc / ne peut être que 
bornée sur [a, 6J.
D émonstration d u theoreme 2. Le théorème précédent dit qu’une 
fonction continue sur [a, 61 est bornée, c’est-à-dire que
f ( x ) ^ K (,x e l a , 61).
La fonction / admet donc une borne supérieure sur la, 6] :
sup / (x) = .V/. (3)
xe[a. 6]
Le nombre M jouit de la propriété suivante : pour tout entier natu­
rel n il existe dans [a, 6] un point xn tel que
M - - £ - < / ( * „ ) < A/ (n = 1 , 2 , . . .) •
La suite {xn} est bornée, car appartenant à [a, 6], donc on peut en 
extraire une suite {*nA} convergeant vers un nombre p 6 [a, 6]. 
Or, la fonction / est continue en p, donc
lim /(x nfc) = /(p).
fc—oo
D’autre part, M — - < / (xnh)s^M (& = 1, 2, . . . ) et lim f ( x nk)=M.
n h k —oo
Mais comme / (xnA) ne peut tendre que vers une seule limite, on a 
M = f (P). Donc, la fonction f atteint son maximum en un point
M] FONCTION RÉCIPROQUE CONTINUE 83
P 6 [a, 61. Nous avons prouvé qu’il existait un point 
tel que
max / ( * ) = / (p).
*e[o,6]
P € (a, b]
La partie du théorème relative au minimum se démontre de 
façon analogue. Cependant, il est possible de ramener cette démons­
tration à celle de la première partie en tenant compte du fait que
min /(x) = — max {— /(x)}.
*€[«• à] *É(a. 6]
D é m o n s t r a t io n d u t h é o r è m e 3. Désignons l’intervalle [a, 61 par 
cr0. Divisons a0 en deux parties égales. Si la fonction s’annule au 
milieu de o0, le théorème est démontré ; sinon, l’une des deux par­
ties de o0 est telle que la fonction / prend en ses extrémités des 
valeurs de signes contraires. Désignons cette partie par ox et divi- 
sons-la en deux parties égales. Si la fonction s’annule au milieu de 
a,, le théorème est démontré; sinon, désignons par o2 celle des 
deux parties de o1 aux extrémités de laquelle la fonction prend des 
valeurs de signes contraires. En poursuivant cette procédure, soit 
on trouve un point c 6 ]a, 6[ tel que / (c) = 0 et le théorème sera 
prouvé, soit on obtient une suite illimitée d’intervalles emboîtés 
<j0 >̂ diiD a 2=) . . . aux extrémités de chacun desquels la fonc­
tion prend des valeurs de signes contraires. Il existe alors un point 
c appartenant à tous les on, donc à [a, 61. De toute évidence, / (c) = 
= 0 , car si l’on admet par exemple que / (c) > 0 il existerait alors 
un voisinage V (c) du point c tel que pour tous les x Ç V (c) la fonc­
tion / (x) serait positive. Or, ceci est impossible, car pour n assez, 
grand an cz V (c), et / change de signe sur crn. Ce qui prouve le théo­
rème.
§ 6. Fonction réciproque continue
Considérons une fonction continue y = / (x) strictement crois­
sante sur [a, 6] (fig. 28). Soit
1 ( a ) = a , / (6 ) = p .
Le graphe de cette fonction est une courbe continue. L’on voit sur 
ce graphe que si x croît continûment de a à 6, alors y croît continû­
ment de a à P en parcourant une fois toutes les valeurs de l’inter­
valle [a, pj. Mais alors à chaque valeur y correspond une valeur 
unique x 6 [a, 61 telle que y = / (x). Ceci définit sur [a, pi une 
fonction
* = g (y)»
appelée fonction réciproque de la fonction y = / (x).
Il est évident que la fonction x = g (y) est strictement croissante 
sur l ’intervalle [a, pl et applique cet intervalle sur l’intervalle
6*
84 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
[a, 61 : on a les identités
/ te (y)l = y, Vy Ç [a, pi, 
g 1/ (*)1 = * , Vx Ç [a, 6].
On déduit le graphe de la fonction x = g (y) à partir de celui de 
la fonction / (x) par une rotation de 2ji autour de la bissectrice du
premier quadrant. Comme la rotation ne
yn modifie pas la continuité du graphe, la
fonction x = g (y) est continue sur [a, pj.
-------------- Donc, on a établi, par des considérations
/ purement géométriques, le théorème suivant.
T h é o r è m e 1. Supposons qu'une fonction
a ~ J / es* continue et strictement croissante sur
.--------1________ ____ _ un intervalle [a, 6] et que a = / (a), P = / (6).
0 a b x Alors: 1) Vimage de l'intervalle la, 61
par f est Vintervalle [a, pi, 2) il existe une 
Fig. 28 fonction x = g (y) réciproque de /, strictement
croissante et continue sur [a, p].
La démonstration formelle de ce théorème repose sur le lemme 
suivant.
Lemme 1. Supposons qu'une fonction strictement croissante y = 
= / (x) applique un intervalle [a, 6] sur un intervalle [a, pj, c'est-à­
-dire que f ([a, 6]) = [a, p]. Alors f est continue sur [a, 61.
D émonstration. Considérons un point quelconque x0 Ç la, 6i 
Comme la fonction f est strictement croissante, le point correspon­
dant y0 = / (x0) appartiendra à l’intervalle la, pî.
Prenons un e > 0 assez petit pour que a < y0 — e < y0 < 
< ?o + 8 < P- Par hypothèse, on peut exhiber des points xx et x2 
de la, 6[ (x1 < x0 < x2) tels que y0 — e = / (xx), y0 + e = / (x2).
L'intervalle ]xx, x2l peut être traité comme un voisinage du 
point x0.
La fonction f étant strictement croissante, pour x Ç ]x1? x2[ 
on aura y0 — 8 < / (*) < I/o + 8 ou | / (x) — y0 | < e, c’est-à-dire 
que
| / (x) — / (xq) | < e,
ce qui exprime que la fonction / (x) est continue en x0.
Si x0 = a ou x0 = 6 , on démontre par analogie la continuité à 
gauche et à droite de la fonction /.
D ém on stration du th éorèm e 1. Supposons que Y = f (la, 61) 
est l’image de ta, 6] par /. Comme a = / (a), p = / (6) et / est stricte­
ment croissante, o n a a < / ( x ) < p , Vx £ [a, 61, d’où il s’ensuit que
y c i a , pl. (1)
PONCTION RÉCIPROQUE CONTINUE 85§ 6]
D’autre part, si / est un point .quelconque de l ’intervalle [a, p], 
il appartient à 7 en vertu du théorème 3 du § 5 des valeurs inter­
médiaires d’une fonction continue, c’est-à-dire que
[a, P i c y . (2)
De (1) et de (2) on déduit la proposition 1) :
y = la, pi.
La proposition 2) dérive maintenant du lemme 1. En effet, la 
fonction f étant strictement croissante, elle admet sur Y = [a, p] 
une fonction réciproque g (y) strictement croissante qui applique l’in­
tervalle [a, pl sur [a, 61. Donc, cette fonction est continue d’après 
le lemme 1. Ceci prouve le théorème.
En modifiant légèrement les raisonnements ci-dessus, on démontre 
l'analogue suivant du théorème 1 .
Théorème 1'. Supposons qu'une fonction f est continue et stricte­
ment croissante sur ]a, 6[ (ou sur la, 6[ ou encore sur la, 6]) et que
a = inf /(x), p = sup f (x).
*6]a. b{ *£]«. b[
Alors l'image del'intervalle la, 6[ (resp. [a, 6[, la, 61) est l'inter­
valle la, p[ (resp. [a, p[, la, pi) et la fonction x = g (y) réciproque 
de f est univalente, strictement croissante et continue sur la, pl (resp. 
la, pl, la, pl).
R emarque. La réciproque d’une fonction f (x) strictement dé­
croissante et continue sur [a, 61 (resp. la, 6[) est une fonction con­
tinue strictement décroissante sur l(J, al, où a = / (a), p = f (6). 
On établit ceci sans peine en considérant la fonction —/ (x) ou la 
fonction / (—x).
Si une fonction f (x) est continue mais non strictement monotone 
sur [a, 61, sa réciproque est une correspondance qui à certains y 
associe plusieurs valeurs de x.
E xemple. La fonction
y = sin x, x 6 1—oo, oo[,
est continue mais pas monotone. Son domaine de valeurs est l’inter­
valle [— 1, 11. A chaque y de cet intervalle correspond une infinité 
de valeurs de x telles que y = sin x.
Du reste, sur l ’intervalle [—jt/2, ji/2] la fonction y = sin x est 
continue et strictement croissante, et sa réciproque est une fonction 
continue qui, nous le savons, se désigne par:
x = Arcsin y , y Ç (—1, 1],
PONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
§ 7. Continuité uniforme d’une fonction
Soit une fonction / continue sur un intervalle fermé [a, bl (resp. 
ouvert ou semi-ouvert). Alors pour chaque point x0 de cet intervalle
on peut exhiber pour un 8 > 0 donné 
un 6 > 0 tel que
I / ( * ) - / (*o) I <
dès que
| x — x0 | < ô, re 6 [a, 6]
(resp. la, b[, [a, b[, la, bl).
Le nombre ô varie en général avec 
x0, à e constant: il dépend en effet 
Fig. 29 de e et de x0. Sur la figure 29 on voit
que le nombre 6 peut convenir pour 
une partie en pente douce du graphe et être trop grand pour une 
partie raide.
Il semble donc naturel de distinguer les fonctions continues pour 
lesquelles on peut exhiber pour un e > 0 un 6 > 0 qui convienne 
à la fois pour tous les x de l’ensemble de définition.
Commençons par une définition.
D é f i n i t i o n . On dit qu'une fonction f définie sur un ensemble X est 
uniformément continue sur X si pour tout e > 0 on peut exhiber un 
ô > 0 dépendant uniquement de e, tel que
| / (x') - f {x) | < e 
pour tous les x \ x* Ç X tels que \ x' — x” | < 6 .
Il est aisé de voir que si une fonction est uniformément conti­
nue sur un ensemble X, elle l ’est à fortiori sur l’une quelconque 
des parties de X. La réciproque n’est pas toujours vraie.
T h ê o r ê m e . Si une fonction f est définie et continue sur [a , b ], 
alors elle est uniformément continue sur [a , b l.
D é m o n s t r a t io n . Supposons par absurde que le théorème est faux. 
Il existe alors un e > 0 tel que pour tout 6 > 0 on peut exhiber 
un couple de points x ' et x* de [a , bl tels que | x' — x” | < ô et que
| / (* ')- /(*•) |> e .
Considérons une suite de nombres strictement positifs ôn (n = 
= 1 , 2, . . .) convergeant vers 0. Pour chaque Ôn il existe des points 
s i, & 6 [a, bl tels que
I — xZ | < ôn, mais | / (a^) — / (x”) \ > e. (1)
c o N TiN ur r a u n if o r m e d ’ü n e f o n c t io n 87• 7]
La suite {z»} est bornée, car ses points appartiennent à [a, 61. 
Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous dit qu’on peut en extraire 
une suite {x^h} convergeant vers un point x0 Ç [a, 6]. La suite 
extraite {a£h} converge aussi vers 0 , puisque x^h — x^k~*~ 0 , 
k-*- oo. Par hypothèse, la fonction / est continue sur [a, 6], donc 
en x0. Si x0 = a (resp. x0 = b), on admettra que / est continue 
en x0 à droite (resp. à gauche). Donc
lim / (x; ) = lim / (x; ) = / (x0).
k-00 * fe-OO
Dans (1), en passant à la limite pour k-*- oo, on obtient
lim | / (x^) - / ( * y | = | / (*.) - / (*0) I = 0 , (2)
ce qui est absurde, puisque e > 0 .
Signalons que dans (2) on s’est servi de la continuité de la fonc­
tion | u | (cf. § 3, exemple 8). Ceci achève la démonstration du théo­
rème.
E xemple. La fonction
y = sin (1/x)
est continue sur l’intervalle [6 , 11, Vô > 0, donc elle est uniformé­
ment continue sur cet intervalle en vertu du théorème ci-dessus.
On remarquera que cette fonction est continue sur l ’intervalle 
]0, 1) mais pas uniformément. Ceci montre qu’il est essentiel que 
dans le théorème la fonction soit donnée sur un intervalle fermé et 
non sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert.
Assurons-nous que la fonction y = sin (1/x) n’est pas uniformé-
ment continue sur l’intervalle 10, 11. Les points x* = «TST+TÏ ̂ = 
= 0 , 1 , 2 , . . .) appartiennent visiblement à l’intervalle 10, Il et.
, . / . I . n ( 2 f c + 3 ) . n ( 2 * + l ) I
1/ (*k+i) — / (*k) | = | sin —v- -2~ — sin ̂ |=
= l ( - l ) k+,- ( - l ) hl = 2 . 
Si l ’on prend e = 1, alors pour tout 6 > 0 il existe un k tel que
l * k + j— * k | = n (2fc+3)(2fc + l) <
alors que
| / (xk+1) - / (x*) | = 2 > e = 1 .
De ce qui vient d’être dit il s’ensuit que la fonction y = sin (1/x) 
ne peut être prolongée en continuité à l ’intervalle fermé [0 , 1], car, 
en vertu du théorème démontré, elle serait uniformément continue 
sur cet intervalle, donc sur l’intervalle 10, 1], ce qui est impossible.
88 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
§ 8 . Fonctions élémentaires
On appelle ainsi les fonctions C (constante), x71, ax, logax, sin x, 
cos x, tg x, Arcsin x, Arccos x, Arctg x.
En appliquant à ces fonctions les opérations arithmétiques et 
l ’opération de superposition un nombre fini de fois, on obtiendrait 
des fonctions plus complexes que nous appellerons aussi fonctions élé­
mentaires.
Par exemple, y = ln (é* + sin2x + 1) est une fonction élémen­
taire.
Etudions les propriétés de ces fonctions.
a) F o n c t i o n c o n s t a n t e C. Cette fonction associe 
à chaque nombre réel le nombre C. Son graphe est une droite parallèle 
à l ’axe Ox et située à une distance | C | au-dessus de Ox si C > 0 et 
au-dessous si C < 0. Cette fonction est continue sur l ’axe des xtout 
entier (voir § 3, exemple 1).
b) F o n c t i o n p u i s s a n c e x71 (rc est une constante). Pour 
n Ç N, cette fonction est définie sur l ’axe des x tout entier. Pour la 
calculer (théoriquement!) on représente x par sa forme décimale 
(x = ± cc0, a j ,a 2 . . .) et on multiplie cette forme n fois par elle- 
même suivant la règle de multiplication des formes décimales (cf. § 6 , 
(11), chap. 1) et la règle des signes.
La fonction xn est continue en tant que produit fini de fonctions 
continues (y = x). Elle est strictement croissante sur [0, oo[, puisque
x î - x » = (x2—Xi) (x j-1 + X j-2̂ + . . . + X f-1) > 0
pour Xj < x2. De plus, elle tend vers +oo avec x. En effet, si x ^ 1, 
alors x71 = xn-1x ^ x (n > 1) et xn—>- oo avec x.
Ainsi, la fonction <p (x) = x71, pour n Ç N, est continue, stricte­
ment croissante sur [0 , oo[ et telle que <p (0) = 0 , sup <p (x) = +<»•
* € [ 0 .o o [
Donc, le théorème 1' du § 6 nous dit que la fonction y = x71 
applique l’intervalle semi-ouvert X = [0, oo[ sur l’intervalle semi- 
ouvert Y = [0, oo[ et admet une fonction réciproque continue, stric­
tement croissante. Cette fonction se note
x = yV* = 1 / y (y > 0)
et s’appelle valeur arithmétique de la racine n~ième de y.
Signalons que pour y > 1 ( n ^ 1)
y ÿ { > y \ = i . (i)
Notons que si a est un nombre positif arbitraire (a £ [0, oo[), 
d'après ce qui précède on peut exhiber un nombre positif unique b = 
= a1/71 tel que bn = a.
Nous venons de prouver l'existence de la racine n-ième de a ^ 0.
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES8 8]
Observons que si n est impair, c’est-à-dire n = 2k + 1 (k = 0t 
1 ,2 , . . . ) , la fonction y = xn est impaire ((—x)n = — s*1). Elle est 
continue, strictement croissante sur ]— oo, oo[ et telle que
inf xn= —oo, sup xn= + oo.
*€]—°°# °°[ *€] — oo, oo[
Donc, en vertu du théorème 1' du § 6 , la fonction y = s 2**1 applique 
l’intervalle ]—oo, oo[ sur lui-même et admet sur ]—oo, os[ une
fonction réciproque continue, strictement croissante 
x = y ry , i/6 ] — oo, oo[, n = 2k + i.
L’expression ÿ*y, avec y > 0, désigne ici la valeurarithmétique de 
la racine n-ième de y , c’est-à-dire le nombre positiÇdont la puissance 
rt-ième est y. Si y < 0, alors
V H = - V W -
Pour n = 2k (k = 1, 2, . . .) la fonction y = æ” est paire et 
continue. Elle applique l’intervalle ]—oo, oo[ sur l ’intervalle semi- 
ouvert [0, oo[. Elle n’est pas monotone sur ]—oo, oo[ et sa réciproque 
est une correspondance bivalente
x = ± y / ry (y > 0).
La réciproque ne sera une fonction que pour y = 0.
Les graphes des figures 30 et 31 représentent les fonctions x" et 
x1/" pour différents n.
La fonction xn se définit aussi pour n rationnel. Soient p, g 6 N. 
On pose
xp!i = j /x ^ ( x > 0)
90 PONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
et on démontre que
XP/1 = x̂ p/i? = (9 /x)v (x>0).
On pose aussi
* -p/,= 7 7 = r ( * > 0),
VP
x ° = l .
Ceci étant, on démontre pour tout n rationnel la propriété caractéris­
tique de la fonction puissance :
(xy)n = x^yn (x, y > 0).
On établit sans peine que la fonction y = a?/q (p, q 6 N) est 
continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 , oo[, et applique 
l'intervalle [0 , oo[ sur lui-même, donc elle admet une inverse conti­
nue, strictement croissante, définie visiblement par
x = y 6 [0, oo[.
S’agissant de la fonction y = x~p!q (p, q 6 N), elle est stricte­
ment décroissante, continue sur l’intervalle 10, oo[ et applique 
l ’intervalle 10, oo[ sur lui-même. Sa réciproque sur 10, oo[ est donc 
une fonction continue, strictement décroissante, définie par
x = y - V P ( y > 0 ) .
Il est évident que
lim x~Pfo mm 4 - oo, lim y-VPwm + oo 
x —0 y—0
x > 0 y>0
On peut définir la fonction puissance x71 (pour x > 0, et pour 
z = 0 si 0) pour n irrationnel, mais il vaut mieux le faire à l'ai­
de de la fonction exponentielle a* (cf. c) plus bas).
On ne s’est intéressé qu’aux racines réelles de l’équation y = s71. 
Si l ’on avait cherché les racines complexes, on aurait trouvé n racines 
distinctes pour chaque y ^ 0 (cf. § 3, chap. 5).
E xemple. Montrons que
lim î / n = 1. (2)
71— OO
En effet, la formule du binôme de Newton nous donne pour X > Oî 
(1 + X)» = 1 + wlt + X» + . . . > 1 + n \ 1)
Si l ’on admet que k = y /rn —1 ( > 0 pour n ^ 2 , voir (1)), on obtient
FONCTIONS ELEMENT AIRES 91
OU
7 > ( " A - 1)2 > 0 ( n > 2).ft
La fonction Y~x étant strictement monotone, on obtient 
V~2/n > — 1 > 0
ou
Vr2 ^ + I > ï / ^ > 1 (n>2). (3)
Enfin, la fonction V~x étant continue en x = 0, on obtient la 
relation (2) en passant à la limite pour n-* oo dans (3) (cf. théorè­
me 5 du § 1, chap. 2).
c) F o n c t i o n e x p o n e n t i e l l e a* (a > 0 , a =#= 1) .Dans 
la suite on désignera les nombres rationnels par les lettres grecques 
a, 0, Y, . . . Soit a > 1.
On sait du cours du secondaire ce que c’est que a* pour x ra­
tionnel (voir encore b)).
On sait aussi que :
li) ^ > 0 .
2X) aPaP = aa+0#
3i) & (a < P, a > 1),
4J (a?)* = aP 3,
5i) aPn~+ + oo, a n-> + oo, a > 1 .
Prouvons la propriété 5X). Mettons a sous la forme a = 1 + 
+ X (X > 0 !). Alors
an = (1 + X)n = 1 + /ri. + . . . > 1 + rîk.
Le second membre de cette inégalité tend vers l ’infini avec n, donc 
il en est de même du premier. Si l ’on désigne par [a*] la partie entiè­
re de a n, on aura
attn> a [<Xnl,
et si an + oo, alors [an] -► + oo, donc a1®*1-*- + oo. Alors 
aŒjl -*• + oo.
Soit x un nombre rationnel quelconque. Montrons qu’o/i peut 
définir le nombre ax comme la borne supérieure des nombres aa étendue 
à tous les nombres rationnels a < x :
sup aa = ax. (4)
a < x
En effet, d’après 3,) on a
aa < ax. Va < x, (5)
92 PONCTION. LIMITE D’UNE PONCTION [CH. 3
c’est-à-dire la première propriété delà borne supérieure. Construisons 
une suite strictement croissante de nombres rationnels a c o n v e r ­
geant vers x. On a pour cette suite : aan-*- ax, n —>~ oo. On prouve 
cette propriété plus bas (voir (8)). Donc, pour tout e > 0 on peut 
exhiber un n tel que
a* — e < aan < a*, (6)
c’est-à-dire qu’on obtient la deuxième propriété de la borne supé­
rieure. De (5) et (6) on déduit (4).
Soient maintenant un nombre irrationnel x et un entier naturel m 
supérieur à î ( m > x). On a l’inégalité évidente
a® < aTO,a< *
c’est-à-dire que l’ensemble des nombres aa tel que a < x est majoré. 
Il admet donc une borne supérieure
sup aa.
a<x
Cette borne est un nombre bien déterminé que nous désignerons 
par a*:
ax = sup a®. (7)a<x
Ceci définit la fonction a* pour tous les x réels. On l’appelle fonction 
exponentielle.
Donc, la fonction ax se définit comme la borne supérieure des nom­
bres aa, étendue à tous les nombres rationnels a < x.
Si x est un nombre rationnel, cette définition coïncide avec l’an­
cienne (elle donne le même nombre); si x est irrationnel, elle donne 
de nouveaux nombres ax.
On démontre que la fonction a* définie à l’aide de (7) possède 
les propriétés importantes suivantes:
1) a* > 0 ,
2) a* av = dx+v,
3) a* < av (x < y, a > 1),
4) a* -*■ 1, x-*- 0,
5) a*-*- oo, x-*- oo (a > 1)
6) a*-»- 0 , x-> — oo ( a > 'l ) ,
7) a*y = (a*)*.
Signalons que les propriétés 2) et 4) entraînent la continuité de 
la fonction a* pour tout x0 Ç 1—oo, oo[:
|a*—ax*| = |ax®(ax-x« —1)| =a*« |a*~x° —1|-*-0
pour x — x0-+- 0.
Dans la suite on admettra que a > 1.
3)
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 93
Démonstration de i). Pour tout**- il existe a 0 < x, donc
0 < aa° < sup a® = a*, i.e. 0 < a*.
CKP
Démonstration de 2). Soient a < x et p <c y, alors a + p < x + y. 
Soit par ailleurs y un nombre rationnel tel que
y < x + y. (9)
Montrons que y peut se mettre sous la forme
y = a + P, où a < xf P < y. (1 0 )
De (9) il résulte que
V — y < *•
Choisissons un nombre rationnel a tel que
y — y < a < x, (1 1 )
P = 7 “ a- (12)
De la première inégalité (11) il s’ensuit alors
P < y. (13)
Donc, l’ensemble de toutes les sommes a + P, où a < x, P < y, est égal à celui 
de tous les v < x + y :
et posons
Donc
{«+P}= (?) •
C K * V < * + V
3<V
ax*y= sup aY = sup aa+ ̂= sup (aaa^) = sup ûa sup a^ = ax*ûV V<x+y a< x a<x a<x 3<y
3<V 3<v
(cf. chap. 2 , § 8 , exercice 2 ).
Démonstration de 3 ). Soient x < y et pi et p2 des nombres rationnels tels 
que x < pi < P2 < y. Alors
ax = sup aa ^ sup a® = aPx < a^* ̂ sup cfi = a^f a< x a<3» 3<y
et nous avons prouvé que
a* < aV.
D ém onstra tion d e 4). Pour n > a (n 6 N, a > 1 !)
l < a l/» < » 1/*----- ► 1n̂ oo
(voir exemple de b)), et pour l ’instant on a démontré que
lim a1/* = 1. (14)n-*oo
Considérons maintenant une suite quelconque de nombres strictement posi­
tifs xn < 1 convergeant vers 0. Soit kn = [1 fxn]. Alors 0 < xn < l/kn et
1 = « ° < a*"* < a ' t k» .
94 PONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
Donc, en vertu de (14)
lim a** = 1.
La suite (xn ) étant arbitraire, on a prouvé l'existence de la limite à droite
lim «* = 1 , (15)
x-0
x > 0
et par suite celle de la limite à gauche
lim a* = lim 
x -* 0 —x —0
x < 0 - * > 0
fl“3 lim au 1
u —0
u > 0
(16)
De (15) et de (16) il résulte que
lim ax = 1 x-0
(voir § 2, (6 ), (7)). Ceci achève la démonstration de 4).
D émonstration DES). Soit un nombre Af > 0 arbitrairement grand. II 
existe un nombre rationnel a tel que a® > A/, donc
M <Z aa < a*, Vx > a .
Donc, a* —► + o o avec x.
Démonstration de 6)
U — + O O
D émonstration de 7). Notons que pour m naturel, on a en vertu de 2 )
gsm ( I |m — —= û* . . . û* = (a*)TO; [ a m J = a m . . . a m =
= a = a* ;
Pour le nombre rationnel — > 09
(a*)
JL J_
<xm =(û*)m.
Par ailleurs, si y est un nombre strictement positif arbitraire et a* -► y, où an 
sont des nombres rationnels, alors la continuité de la fonction exponentielle 
nous donne
a*v= lim fl*®»= «lim (fl*)®n = (<x*)v.
n-»oo n-*oo
Ceci prouve 7) pour y > 0 .
Si y < 0 , alors (y = — |y |)
1
a*l»l (b*)!»1
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 95
Si a 6 ]0, 1[, on pose
.V 1
(1!a)x •
Les propriétés 1), 2) et 4) restent valables. La propriété 3) devient : 
<?> av (x < y).La propriété 5) : ax->* 0, + oo.
La propriété 6): ax + oo, x - ^ — oo.
d) F o n c t i o n logax. On admettra que a > 1. Etant conti­
nue, strictement croissante sur]—oo, oo[ et appliquant ]—oo, oo[ 
sur ]0 , oo[, la fonction y = ax admet une fonction réciproque conti­
nue et strictement croissante sur ]0, oo[. On l'appelle logarithme de 
y à base a et on la note
x = log^, y Ç 10, oo[.
De ce qui précède il s’ensuit que
lim loga x = + oo , lim logax = — oo.
*—4-oo x-0
*>0
Pour a < 1 , les raisonnements sont analogues. La fonction a* 
transforme aussi l ’intervalle 1—oo, oo[ en ]0 , oo[, mais elle est stric­
tement décroissante. La fonction réciproque log^x définie sur 
]0, oo[ sera aussi strictement décroissante et telle que
lim logax — —oo, lim loga x = + oo.
*-4-oo x - 0
*>0
On a (cf. §6)
alog"* = x, xÇ]0 , + oo[, 
log0 a* = x, x Ç ] — oo, + oo[, a ^ l . (17)
D’où l’on déduit, en vertu des propriétés de la fonction a1, pour x, 
y > 0 que
a Io*„ <*v) s=xy = g}ogaxo}°eav = a logax+logaw
et
l0go (*ÿ) = l°ga X + l0go ÿ- 
En remplaçant x par x/y , on obtient
logâ C — logaÿ = loga (x/ÿ). ,
Par ailleurs (voir 7))
al0«a ** = xi/ = (a‘°«a *)!/ = av l0R<*x ( x > 0),
donc
loga*1' = ylog«x (a 1, x > 0). (18)
9 6 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
Notons enfin que pour des nombres strictement positifs a et 6 
non égaux à 1 , on a
a}°*a b9l0*b a = (al0*a bf°Sb a = bloe b a = a,
et par suite
logab-log6a = 1.
Le logarithme du nombre a à base e s'appelle logarithme naturel 
ou népérien de a et se note : logca = ln a.
e) Revenons à la fonction puissance
y = s71, x 6 10f oo[.
On vient de voir que cette fonction a un sens pour les n rationnels 
et irrationnels. On peut encore l’écrire sous la forme (cf. (17) et (18)):
xn = e!*1**, (19)
d ’où il ressort qu’elle est continue en tant que composée de deux 
fonctions continues.
Pour n > 0, elle est strictement croissante et telle que
lim xn = 0 , lim xn= +oo.
X — 0 X - + 0 0x>0
Si l’on admet que 0n = 0 pour n > 0, alors cette fonction est 
continue à droite au point x = 0 .
Pour n < 0, la fonction xn est continue, strictement décroissante 
sur [0 , oo[ et telle que
lim xn — + oo, lim xn = 0.
X —0 x — + oox>0
De la formule (19) on déduit une propriété caractéristique de la 
fonction puissance
(xy)n — en ln = en 1,1 xen ln v = xnyn (x, y > 0).
f) F o n c t i o n y = u (x)ü<x>. Soient u (x) et v (x) des fonctions 
définies au voisinage d’un point a, sauf éventuellement en a. et 
supposons que u (x) > 0, lim u (x) = A > 0 et lim v (x) = B
x-*a x—a
(A et B sont des nombres finis). Alors
lim u (x)°(X) = Ab. (20)
En effet (voir (17), (18))
l im [ v (x ) ln u (x )]
lim u (xyw = lim é° <*>ln u <*> = «*-•
x —a x —a
lim r (x ) l im ln u (x)
— gx-»a x - a — gB ln A = ^
FONCTIONS ELEMENTAIRES 97
Dans la deuxième égalité on s’est servi de la continuité de la fonction 
r , dans la quatrième, de celle de la fonction ln z.
Si u (x) et u (x) sont continues en x = a et u (a) > 0, alors 
u (x) > 0 dans un voisinage de ce point (voir théorème 4 du § 3) et 
A = u (a), B = v (a). Donc, en vertu de (20) 
lim u (x)vm = u (a)vta}.
x —a
Signalons les cas intéressants, non envisagés par l’égalité (20), 
où (x-*- a, u > 0) u-*- + oo, 0 ; u-*- oo, a->* 1; 0 , 0 .
Le théorème de la limite de v ln u est mis en défaut dans ces cas. 
Si l’on ne dispose pas à priori d’une information plus exacte sur 
le caractère de la tendance de u et de v vers ces limites, on ne peut 
définir lim uv. Au voisinage de a on obtient alors les formes indé-
• x —a
terminées oo°, 1°°, 0°.
g) F o n c t i o n s t r i g o n o m é t r i q u e s . Les fonctions 
sin x, cos x, tg x et autres sont connues du cours de trigonométrie où 
elles ont été définies à partir de considérations géométriques. On se 
basera aussi sur ces définitions.
On aurait pu donner une définition purement analytique des 
fonctions trigonométriques, mais on ne le fera pas.
Signalons que la fonction y = sin x est continue (voir § 3, exem­
ple 3), strictement croissante sur [—jt/2 , jc/2] qu’elle transforme 
en [—1 , 11. Elle admet donc une fonction réciproque continue
x = Arcsin y, y £ [—1, 1].
Cependant, sur l ’axe des x tout entier ]—oo, oo[ la réciproque de la 
fonction y = sin x est la correspondance infinivalente arcsin y dont 
les valeurs se calculent par la formule
x = arcsin y = (—l)hArcsin y + kn (k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .), (21)
c’est-à-dire qu’à chaque y Ç [—1 , Il est associé d’ensemble ey des 
valeurs de x définies par la formule (21).
De façon identique, les réciproques des fonctions 
y = cos x, x Ç [0 , Jtl, 
y = tg x, x 6 1—Jt/2 , Jl/2 [,
sont les fonctions
x = Arccos yy y Ç [—1, 11, 
x = Arctg y, y 6 1—«5» oo[.
Si l’on considère les fonctions y = cos x et y = tg x sur l’axe desx 
tout entier, leurs réciproques respectives seront les correspondances
x = arccos y = ± Arccos y + 2ht% 
x = arctg y = Arctg y + h t 
(k = 0 , ± 1, ± 2 , . . .)•
§ 3]
7-0 8 2 2
FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
f) F o n c t i o n s h y p e r b o l i q u e s . Les fonctions
sh * = £ = ^ , c h * ~ £ ± ^ f t h x = - ^ L , c o th x = - ^ -
sont dites respectivement sinus hyperbolique, cosinus hyperboliquet 
tangente hyperbolique et cotangente hyperbolique. Leurs graphes sont 
représentés sur les figures 32 et 33. Les fonctions sh x, ch x et th x
sont définies sur ]—oo, oo[, la fonction coth x est définie sur le même 
intervalle privé du point 0.
Il est immédiat de vérifier que ces fonctions sont justiciables de 
formules similaires (mais pas toujours identiques) à celles de la 
trigonométrie. Par exemple
sh (x + y) = sh x ch y + sh y ch xy
ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y .
En faisant y = — x dans la dernière relation, on obtient
ch2 x — sh2 x = 1.
Les fonctions hyperboliques envisagées sont toutes continues dans 
leur domaine de définition. Les fonctions réciproques de sh x et 
th x s’appellent argument sinus hyperbolique et argument tangente 
hyperbolique et se notent Arg sh y et Arg th y. Pour x ̂ 0, la réci­
proque de ch x est aussi une fonction.
LIMITES REMARQUABLES 9 9
§ 9. Limites, remarquables
Théorème 1.
sinx A l im ------ = 1
x —0
D é m o n s t r a t io n . Etant continue, la fonction y = sin x tend vers 0
avec x. Donc on obtient un cas d’indétermination de la forme .
Levons cette indétermination. Par définition des fonctions trigo- 
nométriques et par des considérations 
géométriques on a (fig. 34) yn
0 < sin x < x < tg x
pour 0 < x < ji/2 (MN = sin x, AM JL 
J_0Af, AM = tg x, OM = 1). En divisant 
par sin x > 0, on obtient
1 < sin x cos x
4 ^ sin x ^ ou 1 > — - — > cos X.
( 1 )
a
Les inégalités (1 ) sont valables pour x Ç ]—j i / 2 , 0 [ , puisque les 
fonctions cos x e t—̂ s o n t paires. Par ailleurs, la fonction cos x 
étant continue, on a
lim cos x — cos 0 = 1,
x —0
donc, en passant à la limite dans (1) et compte tenu du théorème 4 
du § 2, il vient que
i • sinx «l im ------ = 1 .
x -» 0 x
, 2sin*-î-
Exemple 1. lim ---- ±?sx = lim ----- ;-----
= 4 - 1 lim
x - 0
T h ê o r ê m e 2 .
X “ x-0
- l i m
^ x - 0
= ± .1 = ±2 2 *
S s O + t ) ' - *
sin ■
7*
x —oo (2)
100 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
Démonstration. Par définition de la limite d’une fonction, on 
doit prouver que
( l + “ •)** -+e> (3)
Si x„ est un entier naturel, ceci a déjà été prouvé (voir § 6, 
chap. 2). Assurons-nous maintenant que la relation (2) est vraie 
lorsque xn -*- + oo et xn-*- — oo par valeurs non nécessairement 
entières (voir remarque à la fin du § 2).
Soit xn une variable tendant vers +oo et posons [x„l = k„. On 
a alors -f 1 < + 1 < + 2 et
l a . 1 \ * n + l / . 1 \ x n + l / . 1 \ f en+2 / . 1 \ 2
( n - i ^ p r ) < ( 1+ t t ) < ( 1 + i d
Xorsque xn + oo, la partie entière [xn] = kn-+ + oo, donc le 
premier et le dernier membre tendent vers e. Par suite
■e,
et comme 1 + — -> 1, ona prouvé (3) pour xn-*~ + oo.xn
Si maintenant xn-*■ — oo, alors xn = — + oo et.
ce qui prouve (2). 
Exemple 2.
lim (l -f u){/u = e. 
u-*0
Ce résultat se déduit à partir de (2) par la substitution 1/x = u. 
Exemple 3.
lim f l + — )* = e*, lim (1 4-au),/u = e®, Va.
*-►00 ' x ' u-+Q
Pour a = 0, on a lim l x = 1 = e°, car par définition l x = 1. 
*-►00
Supposons maintenant que a=^0. Si x->-oo, a lo rs ----->-oo et
(‘+ * r -t( ‘+ * r r —
puisque la fonction puissance u® est continue au point u — e (cf. 
§ 8, e)).
10] ORDRE D’UNE VARIABLE. EQUIVALENCE
E x e m pl e 4.
lim i£ ( i± £ L = l, iim i2£«ii±£L= ioga , =
S?
103
x —0 x —0 ma
La fonction ln[u étant continue sur l'intervalle ]0, oo[, on a 
(voir exemple 2)
lim J .° (1+ XI = iim in (1 + x)^*= ln lim (l+ a :)1/x= ln e = l.
x - 0 x—0 x —0
E x e m pl e 5.
lim a -j ■■*■ = ln a ( a > 0), lim ——- = 1.
x —0 x —0
Posons en effet a* — 1 = u. La fonction puissance étant conti­
nue, u 0 avec x . D’autre part, x ln a = ln (1 + u), donc (voir 
exemple 4)
lim Q ~~1 = lim t - /4u,—r ln a = ln a • lim /4U,—r = ln a.
x—0 x u-0 l n (1 + “) u - 0 ln (1+ “)
§ 10. Ordre d'une variable. Equivalence
Considérons deux fonctions q> (x) et \p (x) définies dans un voisi­
nage V (a) d’un point a, sauf éventuellement en a, qui peut être fini 
ou infini. On admettra de plus que tp (x) 0 sur V (a). Si
lim 4 ^ = U , ( 1 )x - a ’M 1)
on note ce fait par:
ç (x) = o (tp (x)), x-*~ a, (1')
et on dit que <p (x) est égal à petit o de 9 (x) pour x-*- a. On dit 
encore que 9 (x) est négligeable devant 9 (x) ou que \p(x) est prépondé­
rante sur tp (x).
Par exemple :
X2 = 0 (x). x 0;
x" = 0 (xm), x 0 pour m < n ;
x" = 0 (x™), x —► 00 pour m > n;
(x—a)i = o ((x — a)3). x -*■ a;
— cos x = o(x), x -*■ 0, 1—COScar lim --------r • = 0.x - 0
L’expression o (1), x a, représente un infiniment petit pour 
x a, c’est-à-dire une fonction 9 (x) qui tend vers 0 pour x-*- a.
Par exemple, 9 (x) = = 0 (1), x - j - 00.
102 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
La relation (1) exprime visiblement le fait que la fonction <p (x) 
peut s’écrire sous la forme : q> (x) = e (x) tp (x), où e (x)->-Ô 
pour x -*■ a.
Si les fonctions <p et tp de (1) (ou de (1')) sont des infiniment petits 
pour z-*- a, on dit, suivant une terminologie plus ancienne, que 
<p (x) pour x -*■ a est un infiniment petit d'ordre supérieur à ip (x).
Si <p et \p sont des infiniment grands pour x ->• a, on dit alors que 
<p (x) est un infiniment grand d'ordre inférieur à ip (x) ou encore que 
-ip (x) est un infiniment grand d'ordre supérieur à <p (x).
On écrira encore
(p (x) « ip (x), x — u, (2)
et on dira que les fonctions (p (x) etop (x) sont équivalentes (asymptoti 
quement égales) pour x -*• a si
Par exemple
lim
x - * a
<p(»)
y{x)
sin x ta x, x 0,
ou encore (voir exemples 1, 4, 5 du § 9)
1 — cos x fa x2/2, x
ln (1 + x) « x, x
e* — 1 » x, x
a* — 1 « x ln a, x
Signalons que
lim / (x) = A # 0
x-<t
équivaut à
lim -U â_ = l,
* - a A
0,
0,
0.
0.
(2')
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
ce que nous avons convenu de noter aussi :
/ (x) « A y z a (A =£ 0). (8)
La terminologie introduite nous permettra d'alléger les cal­
culs et l'écriture des formules. Il importe pour cela d’assimiler quel­
ques propriétés simples des fonctions équivalentes, propriétés qui 
sont exprimées dans les théorèmes qui suivent.
T h é o r è m e 1. Si
«P (x) « ^ (*)>
alors
Ÿ (x) « <p (x).
x a, (9)
x — a. (10)
ORDRE D’UNE VARIABLE. EQUIVALENCE 103§ 10]
D ém onstratio n . Si op (x) (Ksur V (a) et la relation (9) a lieu, 
alors il est évident que <p (x) ^ 0 éventuellement dans un voisinage 
moindre. Mais alors
lim
x—a
'H*)
<p(z) liinX —a
9(*)
T h êo rem e 2 . Pour que la relation (9) ait lieu, il est nécessaire et 
suffisant que
9 (*) = 9 (x) -f o (9 (x)), x a. (11)
L’égalité (11) doit être lue de la manière suivante : le terme ajou­
té à (x) pour obtenir <p (a;) est tel que son quotient par 9 (x) tend 
vers 0 pour x-*- a.
D ém onstratio n . Supposons que la relation (9) est vérifiée. Alors 
^ ^ = 1 -i- £ (x), où e(x) - * - 0 pour x a.
Donc,
<p (x) = 9 (x)+ e (x) 9 (x) = 9 (x) + o (9 (x)), x a,
ce qui prouve (11).
Réciproquement, si (11) est réalisée, alors
<p (x) = i|) (x) + o (9 (x)) = 9 (x) + e (x) 9 (x),
où e (x) 0 pour x a. Donc,
et l’on obtient (9).
Tbeoreme 3. Si
9 (x) w ifj (x), x-»- a,
alors
lim [ 9 (x) 9 (x)J = lim [ 9 (x) 9 , (x)],
x - a x —a
lim
x —a
9 («) 
9(*) = lim.-X —O t
<P(*) 
9i (*) ’
(12)
(13)
Ces égalités doivent être comprises au sens que l'existence de l'une 
des limites entraîne celle de l'autre et ces limites sont égales.
D’où il s’ensuit que si l ’une de ces limites n’existe pas, il en est 
de même de l ’autre.
104 FONCTION. LIMITE D’UNE FONCTION [CH. 3
D émonstration. Prouvons la première relation. Supposons que la 
limite à droite existe dans (12). Alors
lim [<p (z) ij) (z)] = lim [<p (z) (z) ] =
= lim [<p (z) ih (z)] lim ^ - ^ - = lim [<p (z) ijj, (z)] • i =
x —a x —a “ i \*f x —a
= lim [<p(z) % (z)j.
E xemple 1. tg z « z , z 0 , car
l i m i ü = lim (- ÏÎH i . — =
x —0 x x-*0 ' x C0SX '
E xemple 2.
lim
x - 0
tg3x 
x 3 + x
= lim 
x —0
X 3
X3f x
D éfinition . Etant donné une fonction <p (x), si Von peut choisir 
des nombres A et m, où. A ^ 0, tels que
cp (x) « A (x — a)m, x -*■ a,
on dit que la fonction A (x — a)m est le terme principal de la fonction 
<p (x) au voisinage de a.
Les seconds membres des relations (3) à (7) sont de toute évidence 
des termes principaux pour x — 0.
On dira qu’une fonction / est du même ordre qu’une fonction <p 
sur un ensemble E , ou encore que / est dominée par (p, si
\ f ( x ) |< C | cp (x) |f
C étant une constante strictement positive ne dépendant pas de x, 
et l ’on notera
/ (z) = O (q> (z)). (14)
Le symbole O (<p (z)) se lit naturellement: grand O de <p.
En particulier, la relation
/ (z) = O (1) sur E
signifie que / est bornée sur E.
Exemples :
1) sin z = O (1), sin z = O (z), sur ]—oo, oo[ ;
2) z = O (z2) sur [1, oo[ ;
3) z2 = O (z) sur [0, 1).
CHAPITRE 4
CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS 
D’UNE VARIABLE
§ 1. Dérivée
La notion de dérivée est primordiale en analyse mathématique. 
On appelle dérivée d'une fonction f en un point x la limite du rap­
port de son accroissement A y en ce point à V accroissement correspon­
dant Ax lorsque ce dernier tend vers 0.
La dérivée se note:
f (x)= lim -||- = lira
A x - 0 A*—0
/ ( s + A * ) - / ( g ) 
A x ( 1 )
On se sert aussi des notations: y \ , ■— . La commodité
de ces notations apparaîtra plus loin.
Pour x fixe, la quantité est une fonction de Ax:
* ( A* )a=-Er (A**fc0).
Une condition nécessaire d’existence de la dérivée de / eu un 
point x est que la fonction / soit définie dans un voisinage de x , 
y compris en x. Alors la fonction (Ax) est définie pour les Ax assez 
petits non nuis, c’est-à-dire pour les Ax vérifiant les inégalités 
0 < | Ax | < ô, où fi est assez petit.
La limite (1) n’existe pas pour toute fonction / définie au voisi­
nage d’un point x. En général, quand on dit qu’une fonction / admet 
en un point x une dérivée f(x)> on sous-entend que cette dérivée est 
finie, c’est-à-dire que la limite (1) est finie. Cependant, il est fort 
possible que la limite (1) soit égale à ±oo. Dans ces cas on dit que 
la fonction / admet une dérivée infinie en x.
Si dans la formule (1) on admet que Ax tend vers 0 par valeurs 
positives, alors la limite correspondante (si elle existe) s’appelle 
dérivée à droite de f en x et se vote /i(x).
De façon analogue, lorsque Ax tend vers 0 par valeurs négatives, 
la limite (1) s’appelle dérivée à gauche de la fonction f en x et se no-
te fg (*)•
106 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. k
Pour calculer /£ (x) (resp. /g (x)) il est nécessaire que la fonction 
/ soit donnée en x et dans un voisinage à droite (resp. à gauche) 
de x .
Un cas typique est celui où / est définiesur un intervalle [a, 6] 
et admet une dérivée en tous les points intérieurs de [a, 6], c’est-à- 
dire en tous les points de ] a, b[, une dérivée à droite en a et une 
dérivée à gauche en b. Dans ce cas, on dit que la fonction f admet une 
dérivée sur l'intervalle la, 6] sans spécifier qu’en a c’est une dérivée
à droite et en 6, une dérivée à gauche.
Il est aisé de voir que si une fonction / 
admet une dérivée à droite et une dérivée 
à gauche en x égales, alors elle-admet 
une dérivée en x:
/ i (*) = /g w = r (x).
Si une fonction / admet une dérivée à 
droite et une dérivée à gauche en x tel­
les que / i (x) =5<é= /g (x), alors elle n’admet 
pas de dérivée en x.
E x e m p l e . Soit la fonction y = | x | (fig. 35). On a
Ay _ | x + Ax | — | x |
Ax Ax
Si x > 0, alors x + Ax > 0 pour Ax assez petits et
A y x+A x—x Ax ^
Ax Ax Ax
Si x < 0, alors x + Ax < 0 pour Ax assez petits et
Donc
A y —(x -f- Ax) — ( ~~ x) Ax
Ax Ax* Ax
*1 l i m ^ -A*-0 Az
pour x > 0, 
pour x < 0.
Supposons maintenant que x = 0. Alors
Aÿ
Ax
1 Ax | 
Ax = sg n Ax = sgn Ax = j pour A x > 0 , pour A x < 0 .
UmAx-0 AxAx>0
limAx—0Ax<0
A y 
Ax — 1 .
Donc
§1] DÉRIVÉE 107
Ainsi, la fonction | x | admet en-x = 0 une dérivée à droite égale 
à 1 et une dérivée à gauche égale à —1, donc elle n’admet pas de 
dérivée en x = 0.
Nous savons (voir chap. 3, § 3, exemple 8) que la fonction | x | 
est continue pour toutes les valeurs de x , y compris pour x = 0. 
Donc, elle peut servir d’exemple de fonction partout continue n’admet­
tant pas de dérivée en un point. Il existe d’autres exemples de fonc­
tions continues sur l’axe des réels tout entier et non dérivables sur 
cet axe. C'est le cas notamment de la fonction de VVeierstrass
oo
H (x) = 2 2-n sin 2nnx.
71=0
Passons sur les détails de cette question.
D’autre part, toute fonction admettant une dérivée {finie!) en un 
point x est continue en ce point.
En effet, supposons que la limite (1) existe en un point x et est 
finie. Ce fait se note :
- |L = / '( s ) + e(A*), (2)
où e (As) 0 pour Ax 0, c’est-à-dire que e (Ax) est un 
infiniment petit pour A x 0. De (2) il s’ensuit que:
A y = f (x) Ax + Ax- s (Ax).
En passant à la limite lorsque Ax 0, on obtient
lim Az/ = 0,
ce qui montre que / est continue en x.
Voici quelques applications importantes de la dérivée. 
V i t e s s e i n s t a n t a n é e . Supposons que la fonction 
s = / (t) décrit le mouvement d’un point sur une droite assimilée 
à l’axe des s; s représente donc l’abscisse du point mobile à l’ins­
tant t. Le chemin parcouru entre t et t + A t est
As = / ( * + A*)- / ( * ) •
La vitesse moyenne est alors
La vitesse instantanée à l’instant t se définit naturellement comme 
la limite
As
108 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
I n t e n s i t é d u c o u r a n t . Soit Q = f (t) la quantité 
de courant traversant un fil pendant une durée de temps t. Alors
A <?_ /« + * * ) - / ( < )
A t ~ A<
est l ’intensité moyenne du courant pendant l ’intervalle U, t + A*]. 
Quant à la limite
lim - ? = <?' = / ,
elle représente Y intensité du courant à V instant t.
D e n s i t é d e r é p a r t i t i o n d ’ u n e m a s s e . Sup­
posons qu’une masse est répartie de façon non uniforme sur un
intervalle [a, 61 de l ’axe Ox (fig. 36) 
et de telle sorte que la quantité de 
masse affectée à lay x1 soit égale à
M = F (x) (a^. 6).
Cette quantité est proportionnelle à 
l’aire de la figure aABx. Donc, M est 
une fonction de x (M = F (s)). La 
quantité de masse affectée à l’inter­
valle [x, x As] est visiblement égale à
Fig. 36 AF = F (x -f Ax) - F (x).
A FLa densité moyenne sur cet intervalle est égale à - j j -* la limite
lim 4 f =/vAx- 0 ax
est la densité réelle de répartition de la masse en x.
§ 2. Signification géométrique de la dérivée
Soit donnée une fonction y = f (x) continue sur un intervalle 
la, 6[. Son graphe s’appelle courbe continue. Désignons-le par T. 
Repérons un point A = (x, f (x)) de T (fig. 37 et 38) et définissons 
la tangente à T en A. Considérons à cet effet un autre point B = 
= (x + Ax, / (x + Ax)) de T, où Ax 0 (la figure 37 correspond au 
cas où Ax > 0, la figure 38, au cas où Ax < 0). Appelons sécante 
et désignons-la par S la droite passant par A et B et orientée dans le 
sens des x croissants. Soit P l’angle de S avec Ox. On admet que 
—n/2 < P < it/2. Sur la figure 37, on a Ax = AC, A y = CB, sur 
la figure 38, Ax = — AC, Ay = — CB. Dans les deux cas Ay/Ax = 
= tg p.
SIGNIFICATION GEOMETRIQUE DE LA DERIVEE 109
Si Ax ->■ 0, alors Ay -*■ 0 et le point B tend vers A le long de T. 
Ceci étant, si l'angle P tend vers une valeur a distincte de j i / 2 et de 
—jx/2, alors existe la limite
lim - £ - = lim tgP = tg a , (1)A*-0 3—a
dans laquelle on reconnaît la dérivée de / en x:
f (*) = tg a. (2)
Inversement, si existe la dérivée (finie) f (x), alors P a = 
- arctg f (x).
Lorsque P tend vers a , la sécante S tend vers la droite orientée T 
qui passe par A et fait un angle a avec Taxe Ox.
La droite orientée T s'appelle tangente à la courbe T au point A .
D é f in it io n . On appelle tangente à une courbe T (y = / (x)) en un 
point A = (x, / (x)) la droite orientée T vers laquelle tend la sécante S 
(orientée dans le sens des x croissants) qui passe par A et par un point 
B = (x -f Ax, / (x + Ax)) 6 T, lorsque Ax-*- 0.
On vient de prouver que si une fonction continue y = / (x) admet 
une dérivée finie f (x) en un point x, alors sa courbe représentative pré- 
sente en x une tangente de coefficient angulaire tg a = / ' (x) (—ji/2 C 
< a < j i /2 ).
Réciproquement, l’existence de la limite
lim P = a , a Ç ] — xc/2, ji/2[
entraîne celle de la dérivée finie f (x) et les égalités (1) et (2).
Il n'est pas exclu que f admette en x une dérivée à droite et une 
dérivée à gauche distinctes:
fg (x) * Ü (x).
110 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
On dit alors que le point A est anguleux. Dans ce cas la courbe T ne 
présente pas de tangente en A . Par contre, elle admet une demi-
0
T*
Fig. M
x
tangente à droite et une autre à gauche avec des coefficients angulai­
res différents (fig. 39) :
tg a ,= Hm 4 f = / * (*)> t&«2= lim 4 f - = /d ( x)
A x - 0 
A x < 0
A x - 0 A x 
A x > 0
Supposons maintenant que la dérivée de / est infinie en un 
point x:
/ '( * ) = lim — = ° ° -
A x - 0
Distinguons quatre cas importants:
1) / ' W= Hm — + 00, p - ^ y (fig. 40).
A x - 0 M ù
2) / '( * )= lim - | - = - o o , p — 4 (fig. 41).
A x - 0
3) /g W = lim 4 § -= — 00» P
A x - 0
A x < 0
/d (x)= lim + P
A x - 0 "
A x > 0
Jl
n 
2 *
La demi-tangente à gauche est perpendiculaire à l’axe Ox et 
dirigée vers le bas. La demi-tangente à droite est perpendiculaiie
8 2] SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE DE LA DÉRIVÉE H t
à l’axe Ox et dirigée vers le haut (fig. 42).
4) / i ( x )= l im - g - = + oo, P - , — ,
A*-0 aX ù
Ax<0
/d (x )= lim - | j = - o o , p -* -—
A x -0
Ax>0
Les demi-tangentes à gauche et à droite sont parallèles à Taxe 
Oy, la première est dirigée vers le haut, la seconde vers le bas 
(fig. 43).
R e m a r q u e . D’ordinaire on définit la tangente à une courbe de la 
manière suivante: on appelle tangente T à une courbe T en un 
point A la droite vers laquelle tend une sécante S passant par A et par 
un point B Ç I \ lorsque ce dernier tend vers A le long de I\
Cette définition n’implique pas que S et T soient des droites 
orientées. Elle est correcte si la tangente n’est pas parallèle à l’axe 
Oy. Si on applique cette définition au cas 4) par exemple (fig. 43, 
où A est un point anguleux), on obtient que la courbe considérée 
admet une tangente unique en A.
La définition citée nous donne au point A deux demi-tangentes 
de sens contraires.
Du cours de géométrie analytique on sait que l’équation d’une 
droite (dans le plan) passant par un point (x0, y0) et faisant un angle 
a (—ji/2 < a < ji/2) avec l’axeOx est y — y0 = m (x — :r0), m = 
= tg a (voir chap. 10, § 8). Donc, l ’équation de la tangente à la 
courbe y = / (x) en (a:0, y0) s’écrit
y — y 0 = y'0 (x — *o),
où yn = / (x0), y'0 = f (x0).
(3)
112 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
On appelle normale à une courbe T en un point A la droite perpen­
diculaire en il à la tangente à F en A . Son équation est visiblement 
de la forme
y - y 0= — - L ( X- X 0). (4)1/0
E x e m p l e 1 *). Trouver l’équation de la tangente à la courbe
- § - - f - f r = l ( * € l - a . aJ) (5)
en un point (x0, y0).
La courbe (5) est une ellipse. Les variables x et y figurant par 
leurs carrés dans (5), l’ellipse est symétrique par rapport aux axes de 
coordonnées. Pour former l’équation de la tangente, on admettra 
que — a, 0 ^ b. De (5) il vient
i/ = ± |^ a s - x 2 . (5')
D’où
, — bx
y = — 7 = = .a \ fa * — x*
Calculons la fonction y et la dérivée y ' en x0 :
y0 = y (xo) - —V a ^—xl, y ' (x0) = ~ 6gt 7 ,
a a l / f l 2- ! 5
y 0y ' ( * < > ) = — (6)
L’équation de la tangente à l ’ellipse en (x0, y0) est :
Y - y0 = y' (*.) (X - x t). (7)
En multipliant (7) par y jb 2, on obtient en vertu de (6)
Yyp y\ / - \ / Xy0 x9y„ \ Yyt ___ y; _ X t0 ■ x\
6* 6* y ' °' \ b3 b3 ) ’ 6* 6* a3 ' a3 ’
x2 «2
Comme-̂ §- + -^ -= 1 , l ’équation de la tangente s ’écrit:
Xx.a j - Y. ?.». — i /si
Donc, pour former l ’équation de la tangente à l ’ellipse en un point 
(x0, y0) il suffit de substituer dans (5) X x 0 à x2 et Y y0 à y2.
On raisonne de même pour les valeurs négatives de y (—b ̂ j / < 
< 0) et l’on établit finalement que (8) est l’équation de la tangente
1) Les exemples 1, 2 et 3 peuvent être traités au § 8 après l’assimilation 
des techniques de dérivation.
SIGNIFICATION GEOMETRIQUE DE LA DERIVEE 113
en tout point (x0, y0) de l’ellipse. De (8) on voit que la tangente à l ’el­
lipse en (x0, y0) coupe l’axe Ox au point d’abscisse a2/x0, point situé 
à droite de l’ellipse pour x0 > 0 et à gauche pour x„ < 0 (fig. 44).
E x e m p l e 2. Trouver l’équation de la tangente à la courbe
4 — TT = 1 ( l* l> « ) (9)
en un point (x0, y0)-
La courbe (9) est une hyperbole. Elle est aussi symétrique par 
rapport aux axes de coordonnées.
En raisonnant comme dans l'exemple 1 on obtient pour la tangen­
te à l ’hyperbole l’équation
4 r L- J ÿ L = 1 (l*ol ><*).
Cette tangente coupe l’axe Ox au point d’abscisse aVx0 (0 <
< j^-j , point qui appartient à l ’intervalle ]0, a] pour x0^ a
et à l ’intervalle [—a, 0[ pour x0^ — a (fig* 45).
E xemple 3. Trouver l’équation de la tangente à la courbe
y2 = 2px (x > 0, p > 0) (10)
en un point (x0, y0).
Cette courbe est une parabole symétrique par rapport à l ’axe Ox. 
Il suffit donc d’étudier la moitié supérieure (y > 0). De (10) on 
déduit que
y = K 2px . (10')
D’où
8 -0 6 2 2
y ' = pVW *
y0= V 2 p x 0, V' (Xo) = T r= = = •V 2p*» y»
114 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
L'équation de la tangente à la parabole en (x0, y0) est: 
Y - y 0 = y' (x0) (X - x0)
ou
Y — y9 = j ^ ( x - x 0)t Yy0-y*0 = pX — px0.
Comme y\ = 2pxot il vient
Y y0 = p (X + x0). ( H )
Donc, pour former l ’équation de la tangente à la parabole en un 
point (x0, ÿo)» 11 faut substituer Y y0 àÿ*e t X + x0 à 2x dans l’équa­
tion (10).
La tangente (11) à la parabole (10') en (x0, y0) coupe l’axe Ox 
au point d’abscisse (—x0) (fig. 46) indépendamment de p, autrement
dit les tangentes aux paraboles y2 = 2px en (x0f Y 2px0) coupent, 
toutes, l ’axe Ox au point (—x0).
La constante C. A toute valeur de x est associée la valeur y = C. 
Donc, à la valeur x + Ax correspond la valeur y + ày = C. Par 
suite •
x
Fig. 46
§ 3. Dérivées des fonctions élémentaires
C '= lim - £ = £ = lim -? -= lim 0 = 0.Ax—0 . Ax—0 A* Ax—0 (1 )
La fonction puissance x” (n = 1 , 2 , . . . ) .
(x*)' = nx"-1, (2)
J3 ] DERIVEES DES FONCTIONS ELEMENTAIRES l t 5
car
•j j Kx + Ax)"—arn] =
^Jn + nxn~ lAx -f- ■n ^ xn~2Axt + . . . Ax"— xBJ =
nxn_1.= nx"-1 + ^ xn_2Ax + . . . + Axn_1
A x -0
On a les formules
(u ± vY = u ' ± v'»
( u v ) ' = u v ’ - \ - u ' v ,
( - ) = — ^ ( ^ 0 ) .
(3)
(4)
(5)
On admet que les fonctions u = u (x), v = v (x) sont dérivables 
en tout point x. Dans (5) on admet de plus que v (x) ^ 0. On affir­
me que les premiers membres des égalités (3), (4) et (5) sont dériva­
bles en tout point x et que ces égalités sont réalisées.
En effet, à la valeur x + Ax de l’argument sont associées les 
valeurs u + Au et v -+• Av des fonctions u et v et
A (u ± v) = [(“ + Au) ± (v -f Au)] — (u ± v) = Au ± Au,
(u ± v)' = lim _AiiL±£l__ u m Au ^ v,
V A i- 0 A s A i - 0 A* A i—0 Ax
D’autre part,
A (uu) = (u + Au) (u + Av) — uv = u Au -}- v Au -f- Au Au,
(uv)' = lim
Ax-*0
A (ui>) 
Ax : limAx-*0
u A u + v Au + Ab Ab 
Ax
= u lim -^ --fv lim ^~-+ lim Au lim - ^ - =
A i—0 Ax A i—0 Ax A l_ „ a i - 0 Ax
= uv' + vu' + Ou' = uv' + vu'.
Il faut tenir compte du fait que la fonction u est continue, car déri­
vable, et par suite Au-»- 0 pour Ax-»- 0.
Enfin
(—V = lim (Ji+Au _ J L ) 1 iim
\ 0 / A l—0 v » + Al> V ) AX ^ 5
V & U — b A b
£ 7 0 (b + A b) b Ax ‘
— lim
Ax —0
Ab < Abu----—u -----Ax Ax u 'v — uvr
Ici aussi A/;-i 
le est dérivable.
(t’rA y) v • v*. **
0 avec Ax, car la fonction v est continue, puisqu’e l-
8*
116 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
Considérons la fonction sin x. On a
(sin x)' = cos x , (6)
-car
(sin x)' = lim s in (x + A s ) - s in x = lim 
Ax- 0 Ax Ax- 0
. Ax s.n —
_ . Ar / . A* \2s‘n — c o s ^ + ^ J
Ax
= l im — 2 lim cos ( x + ) = 1 • cos x = cos x
Ax-0 Ax Ax-0 ' & •
(la fonction cos x étant continue).
On démontre de façon analogue que
(cos 3 ) '= —sinx,
(tg*)' = s e c * * » ^ L - ,
(cotg x)' — — cosec2 x —
Par exemple.
sinx \ 
cosx )
cos x (sinx)' — sinx (cosx)' _
cos2 x
__ cosax + s in 2x
cos2 x
(7)
(8)
(9)
1
COS* X
= sec2x.
Pour la fonction y = logax (x > 0 ) , on a
A. !« . ( .+ & * )-!« ■ . '< « .(i + -T-) 1 ■ * ( < + “ )
Ax Ax Ax x Ax
x
Comme
l i m = l o g B e ,
u—0 “
il vient
(log, X)' - ± loga e = ̂ 7 • (10)
En particulier, .
( I n ï ) ' = - (10')
DBRIYÊE D’UNE FONCTION COMPOSEE 117§4)
§ 4. Dérivée d’une fonction composée
Thêorême. Si une fonction x = <p (t) est dérivable en un point t et 
une fonction y — f (x) en un point x , alors il en est de même de la fonc­
tion composée (par rapport à t)
y = F( t ) = f Up (01 (1)
et de plus
F'(t) = /'(x) «p'(Q (2)
OU
y't = y'xx't- (3)
Démonstration. A un accroissement A*=j£0 de t correspond l’ac­
croissement Ax = <p (t + Af) — <p (f) de x. Si Ax 0, alors
Ay __ Ay Ax ...
At ~ Ax At “ 1 '
Ax tend vers 0 avec A t, car la fonction x = (p (J) est continue en t 
(puisqu’elle est dérivable). Donc
y t = lim 4 t-= lim lim ■ =A*-0-0 Ax—0-0 At —0 I/x*t (5)
et la formule (3) est démontrée sous réserve que Ax ^ 0. Plus exacte­
ment sous réserve qu’existe un 6 > 0 tel que | Ax | > 0 pour tous 
les A t tels que 0 < | A* | < ô.
Si cette condition n’est pas remplie, on démontre la formule (3) de 
la manière suivante. Si la condition indiquée n’est pas réalisée, il 
existe une suite {Ai*} convergeant vers 0, telle que Axft = 0 pour 
tous les k = 1, 2, . . ., et alors
Àxfe _ 0lim A*
At»—0
= lim
Atft-0
= 0. (6)
Ceci montre que x\ = 0, car la limite de f ^ n e dépend pas du modeAtfi
de tendance de At* vers 0. (En effet; on a admis l’existence de xi.) 
Considérons deux sortes de suites {Afft} convergeant vers 0. La pre­
mière sorte est composée de suites telles que Axk 0 pour tous les 
k = 1, 2, . . . Pour ces suites on a par analogie avec (5):
Atlim 4 r - = lim -TT" lim 4 7 L = y ^ :=0*!k-0 At* Al.A*fe- 0 A<h-0 (?)
Les suites
(k = 1, 2,
{At*} de la deuxième sorte sont telles que àxk = 0 
. . .)• Alors
Ay* = F (t + Ath) — F (t) = f (x +• Ax*) — f(x) = f ( x ) —f (x) = 0
(k = 1, 2, . . .)
et
lim àyk
Atk-o
= lim • = 0 . (8)118 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. t
Si maintenant est donnée une suite {Affe} convergeant vers 0( 
on en extrait les Ath pour lesquels Azk 0. Si ces Atk sont en nombre
infini, ils forment une suite de la première sorte pour laquelle (7) 
a été démontrée. Les Af* restants peuvent former une suite, mais ce 
sera une suite de la deuxième sorte pour laquelle (8) a été démontrée. 
Donc, pour toute suite {Atk) telle que Ath-*- 0, on a
lim Atfc = 0 = y'x -x't.
ce qui prouve entièrement le théorème.
La formule (1) peut prendre une forme plus compliquée. Si par 
exemple z = f (y), y = <p (z), z = ip (£) sont dérivables 'aux points 
correspondants, alors z{ = z!,y*c{.
E x e m p l e 1. y = ln sinaz (z hn).
Posons y = ln u, u = u2, v = sin z. Il vient
, , , , 1 0 2 sin * cos * „ .yx = yuuvvx —— 2o cos z = — — = 2 cotg z.
E x e m p l e 2. y = sin (z2 4- 2z — 1).
Posons u = z2 + 2z — 1. Alors
y'x = yû’Ux = cos u-(2x -}- 2) = 2 (z +• 1} cos (z® -{- 2z — 1).
Dans les calculs, les variables auxiliaires u, v, . . . ne sont pas 
généralement introduites mais seulement sous-entendues.
Dans le cas de l'exemple 1, les calculs sont conduits de la maniè­
re suivante :
y* = üîï*T (sin2 * ) '= n i i 2 sin x (sin *)'
2
sin z cosz = 2cotgz.
Ou de façon plus concise
y'x = 2 sin z cos z = 2 cotg z.
§ 5. Dérivée de la réciproque d’une fonction
T h é o r è m e . Soit y = f (x) une fonction strictement croissante, conti­
nue sur un intervalle ]a, M et admettant une dérivée f (x) non nulle en 
un point x Ç ]a, M. Alors la fonction x = f - 1 (y) = g (y) réciproque 
de f admet aussi une dérivée au point correspondant, définie par
t ( ÿ ) = ~p~(x) M
ou
(!')
§6] DERIVEES DBS FONCTIONS BLBMENTAIRES (SUITE) 119
Démonstration. On sait que la fonction réciproque x = g (y) est 
strictement croissante et continue sur l'intervalle ]A, B[, où
A = inf f(z), B = sup f(x)
*61 a. 6[ *€]a. b{
(voir théorème 1 \ § 6, chap. 3).
Donnons à y un accroissement Ay # 0. A A y correspond un accrois­
sement Ax de la fonction réciproque, un accroissement non nul puis­
que / est strictement croissante. Donc
A *__ 1
A y ~~ A y '
Ax
Si maintenant A y-*- 0, alors Ax- 
nue ; mais ^ -> / ' (x) =#= 0 pour Ai h
.. Ai 1
« - » A, lta AJ.
A*-*0 Ax
0, puisque g (y) est contl
0, donc existe la limite
_ 1 
“ V (x) *
Ceci prouve (1).
Remarque. Si f (x) ^ 0 est continue sur ]a, 6[, il en est de même 
de g' (y) sur ]A, Bl.
Ceci résulte de (1), où l’on peut poser x = g (y) :
e iff(»)i * yei i4, B '̂
En effet, la fonction f [g](y)l est continue, car elle.est la composée de 
fonctions continues / ' et g.
§ 6. Dérivées des fonctions élémentaires (suite)
1. y = a*. Sa réciproque est la fonction x = log„ y. Donc
y'x — -V = —J—= y ln a = ax ln a, i.e. (ûx)' = a1 ln a.
xu _1__y ln a
En particulier
(e*)' = e*, (e~xY = - e”*.
2. y = Arcsinx (| x | < 1, —n/2 < y < n/2). x = sin y étant 
la fonction réciproque, on a
1 _ i _ i
* *'y cos y V i ~ sin*y l/"l—** *
c’est-à-dire que
(Arc sin x)' = 1 .
’ V i —**
120 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
La racine carrée est prise avec le signe + , car cos y > 0 sur 
J -n /2 , n/2[.
3.
(Arc cos x)' = (4p — Arc sin x ) = — . .
4. y = Arc tg x. Sa réciproque est x = tg y (—oo < x < oo, 
—îi/2 < y < ji/2). Donc
(Arc tg x) =(t£"£j7=cos" y = l + tg2 y = 1+ 1= »
i.e.
(Arc tg x j '^ - jq — .
5* On démontre de façon analogue que 
(Arccotg x)' =
6. Dérivée de la fonction puissance af1 (x > 0, a réel). On a
xa = eal1ï *.
Les fonctions eu et a l n x étant dérivables, le théorème de la dérivée 
d'une fonction composée nous donne
(x®)' = (e®:1 n *)' = «»>»*. -^-=cc -Ç-=OX®-*.
Donc
(x*)' = axa-1.
Ce résultat est en accord avec la formule (2) du § 3 de la dérivée 
de la fonction x” (x Ç ]—oo, oo[), où n est un entier naturel.
7. La fonction y = u (x)r(x) (u > 0). Si u (x) et v (x) sont déri­
vables, il en est de même de la fonction
U® = e»lnu (J)
et
(uc)' = e®ln “ (v ln u)' = uB (-L u ' + t/ l n u ) . (2)
L’expression
i lQf w = J m - (3)
s’appelle dérivée logarithmique de la fonction f.
Comme
ln u° = v In u,
on a en vertu de (3)
■ ̂ = (y lnu)' = n' lnu-}--^j-f
d’où (2).
§7] DIFFÉRENTIELLE D’UNE FONCTION 121
8. Les fonctions hyperboliques t
(sh i) = ( ---- 5-----) = -----2---- = c h x -
e*—-e~*
2
ch2 x —sh2x 1
(ch x)' = ( ** '2* * ) = —- j —— = s h i , 
< t h * > ' = ( ! £ ) ’
(cothx)' = ( ^ i ) =
ch2 x ch2 x 9
chx \ ' sh2x —ch2x —1
sh2 x — sh2 x
9. y = Arg sh x. Sa réciproque étant x = sh y, on a 
1 1 1 l(Arg sh x)' ■■
(sh y)’ ch y ]/ i + sh2 y j / l - f i 2
(voir plus bas l’exemple 2 du § 12).
§ 7. Différentielle d’une fonction
Supposons qu’une fonction / admet une dérivée (finie) en un 
point x:
lim -5 7 = / ' (*)•Ax-0
Alors pour As assez petit, on peut mettre ^ sous la forme^d’une
somme de f (x ) et d’une fonction, que l’on désignera par e (Ax)-qui 
tend vers 0 avec As:
■j7 = / ' (x) + e (Ax) (e (Ax) 0, Ax 0).
L’accroissement de / en x s’écrit
Ai/ = / ' (x) Ax + Ax • e (Ax) (e (Ax) 0, Ax 0)
ou
A y = / ' (x) Ax + o (Ax). (1)
Ax-0
Rappelons que l’expression o (Ax) doit être comprise comme
Ax-0
une fonction de Ax, dont le quotient par Ax tend vers 0 avec Ax.
D éfinition . On dit qu une fonction f est différentiable en un point x 
si son accroissement A y en x peut être mis sous la forme
Ay = i4-Ax-f o(Ax),
Ax—0
où A dépend de x mais pas de Ax.
(2)
122 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
T h e o r e m e . Pour qu'une fonction f soit différentiable en un point x il 
est nécessaire et suffisant qu'elle admette une dérivée finie en ce point. 
Ceci étant, A = / ' (x).
Donc, dire que / admet une dérivée en un point x revient à dire 
que / est différentiable en x .
D é m o n s t r a t io n . La condition suffisante a été démontrée plus 
haut : l’existence de la dérivée finie f (x) nous a permis de représen­
ter A y sous la forme (1). Reste à poser f (x) = A.
Nécessité. Supposons que la fonction / est différentiable en x. 
Alors de (2) et en admettant que Ax 0, on obtient
o(A x)
Ax 
Ax—0
-4 + 0(1).Ax-0
Le second membre converge vers A pour Ax-*- 0. Donc
ou encore
lim - ^ = . 4
A i—0 A*
/ ' (x) = A.
Soit y = f (x) une fonction différentiable en un point x. Son 
accroissement A y est la somme de deux termes. Le premier, A Ax,
est proportionnel à Ax; on dit encore 
que c’est une fonction homogène linéaire 
de Ax. Le second, o (Ax), est un infi-
A x -0
niment petit d’ordre supérieur à Ax. Si 
A ^ 0, le second terme tend vers 0 plus 
vite que le premier pour Ax->- 0. C’est 
pourquoi le premier terme A Ax = 
= / ' (x) Ax s’appelle terme principal de 
l'accroissement A y (pour Ax->- 0. Voir 
définition de la fin du § 10, chap. 3). On 
l ’appelle aussi différentielle de la fonc­
tion y et on le note dy :
dy = df = f (x) Ax.
La figure 47 représente le graphe T d’une fonction y = / (x) : T est 
la tangente à T en un point A d’abscisse x; f (x) = tg a , où a est 
l ’angle de la tangente T avec l ’axe Ox :
dy = f (x)Ax = tg aAx = CD, DB = A y — dy = o(Ax).
Ax—0
Donc, la différentielle de la fonction y en x est l'accroissement de 
Vordonnée <Tun point situé sur la tangente (dy = CD).
§7] DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION 123
En général, dy Ay, car Ay = dy o ( Ax ) et le second
A*—0
membre n'est pas toujours nul. Seule la fonction linéaire y = Ax + 
+ B est telle que Ay = AAx = dy pour tout x. En particulier, pour 
y — x, dy = dx = Ax, c’est-à-dire que la différentielle et l'accroisse­
ment de la variable indépendante sont égaux (dx = Ax). C’est la 
raison pour laquelle la différentielle d'une fonction / se note habi­
tuellement :
dy = f (x) dxg
d’où
/ ' « - ■ g ,
c’est-à-dire que la dérivée de la fonction f en un point x est égale au 
quotient de la différentielle de la fonction en ce point par la différentielle 
de la variable indépendante x.
Ceci explique que l ’on désigne la dérivée par dy/dx.
Signalons que la différentielle dx de la variable indépendante ne 
dépend pas de x , elle est égale à Vaccroissement Ax de x. Au contraire, 
la différentielle dy d'une fonction y (différente de x) dépend de x et 
de dx.
On a les formules
d (u ± v) = du ± dp, (3)
d (u-v) = u dv + vdu, (4)
d (eu) = c du (c est une constante), (5)
d ^ = vdu-udv {v¥z0h (6)
I
où Ton admet que u et v sont des fonctions différentiables en x .
La formule (6) se démontre comme suit:
i f u \ / # V j vu.'dx—uv'dx vdu— udv
< * ( t ) = ( t ) d x = ------- Si--------= — Si— -
Si une fonction y = f (x) est différentiable en un point x, en 
vertu de la formule (1) on peut mettre son accroissement A y sous 
la forme:
Ay = dy + o(Ax).
A x -0
De là il s'ensuit que la différentielle d'une fonction peut servir, pour 
Ax assez petit, de bonne approximation de l'accroissement deeette 
fonction. On a alors l'égalité approchée
Ay æ dy = f (x) dx,
qui est d'un usage très courant.
(7)
124 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
E x e m p l e . Si l’on admet que
y m r » ^ r = 2 ,
alors l ’erreur est approximativement égale à la différentielle de la 
fonction y = x1/3 au point x = 8 pour Ax = 0,001:
dy = -j x-2/3A* = - 8-2/3 -0,001 = 1/12 000.
Les méthodes qui seront exposées au § 14 nous permettront de 
juger de l’exactitude de nos calculs.
§ 8. Autre définition de la tangente
Si la dérivée / ' (x0) est finie, on peut la définir d’une autre manière équi­
valente.
Soient T la courbe représentative d’une fonction y = f (x), A = (xç, / (x0)) 
un point de I \ Considérons une droite L passant par A . Elle a pour équation
y — yo = m (x — x0). Soit B = (x, / fx)) 
un point de t non confondu avec A . La dis­
tance de B à L dans la direction de l’axe 
Oy est égale à
p (x) = | / (x) — yQ — m (x — x0) |. (1)
Sur la figure 48, p (x) = BD.
On dit que l a d r o i t e L e s t t a n g e n t e a 
T e n A s i
p (x) = o (x — x0). (2 )
X -X o
Si la droite L est tangente à T en A au 
sens de la première définition, alors m = 
= / ' (xq). Comme / est dérivable, il vient
f (x) — f (*o) = / ' (*o) ( * — *«) + " (•* — *o). * — *0 .
d’où
P (x) = 1 / (x) - / (x,) — / ' (x„) (x — X0) | = O (x - X,), X Xo,
autrement dit, la droite L est tangente à la courbe au sens de la deuxième défi- 
nition.
Réciproquement, si L est tangente au sens de la deuxième définition, alors 
(voir (1 ) et (2 ))
p (x) = I / (x) — / (x0) — m (x — x0) I = o (x— x0), x -► x0,
ou ce qui revient au même
/ (x) — / (x0) = m (x — x0) + o (x — x0) pour x -+• x0.
Ceci montre que la fonction / est dérivable en x0 et m = j' (xa). Donc, 
L est tangente au sens de la première définition et a pour équation
y — U t = /' (*o) (* — *o)>
DERIVEE D’ORDRE SUPERIEUR 125
R e m a r q u e . De ce qui précède il s'ensuit que la courbe d'équation y = f (x) 
admet une tangente en un point (x0, / (*o)) si et seulement si la fonction / est 
dérivable en x0.
§ 9. Dérivée d9ordre supérieur
Soit donnée une fonction / sur un intervalle la, bl. Si elle est 
dérivable sur ]a, M, sa dérivée f (x) sera dite dérivée première. Si la 
dérivée première est à son tour dérivable sur ]a, M, sa dérivée est 
dite dérivée seconde ou d'ordre deux de f et se note :
f m (*) = / (2> (*> = {f (x))9 ou y* = ( y j .
D’une façon généralea on appelle dérivée d'ordre n d'une fonction f 
la dérivée première de la dérivée d'ordre n — 1 de f et l’on note :
fm (x) = (/ <n J > (x))' ou encore = (y*71-1*)'.
Si le point x est fixé, le symbole / (n> (x) désigne la dérivée d’ofdre 
n de / en x. Son existence implique celle de la dérivée /f7*-1) en x et 
dans un voisinage de x.
E x e m p l e s .
1. (**)<"> = **•
2 . (a * )' = a* In a , ( a ? ) ” = a* l n 2 a , . . (a*)<n> = a* l n n a.
3. (x”1)' = mx™"1, /x»)' = m (m — l)xro- 2, . . (x")<n> =
= m (m — 1). . . (m — n + l)***”11.
Si m est un entier naturel, il est évident que
(xm)(m) = ml et (x"1)**) = 0 (n > m).
4. (sinx)'=.cosx = sin (x + *y) ,
(sin x)' = [ s i n ( * 4 - y ) ] = s in(x + 2 - j ) ,
(sin x)<B> = sin ( x n -y) .
5. (cosx)<n) = cos (x + n-y ) •
A noter toutefois qu’il n’est pas toujours possible d’exprimer les 
dérivées d’une fonction quelconque par une formule générale.
E x e r c i c e . Etablir par récurrence la formule (de Leibniz) de la 
dérivée d’ordre n du produit de deux fonctions:
où u et v sont des fonctions dérivables jusqu'à l'ordre n compris 
et
126 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
r>h 1) ••• (»—* + ! ) _ »!
Un~~ k 1 — & ! (n—A) J ’ U * - 1-
§ 10. Différentielle d'ordre supérieur.
Invariance de la différentielle première
Etant donné une fonction y = f (x) sur un intervalle la, M, on 
peut de toute évidence la représenter d’une infinité de manières com­
me une fonction composée :
y = <P (z), z = (x).
Donc, y peut être traitée comme une fonction de x (y = f (x)) et 
comme une fonction de z (y = <p (z)), où z est à son tour une fonction 
de x (z = if (x)).‘
La variable x sera dite indépendante, car elle ne dépendra d’aucu­
ne autre. La variable z sera dite dépendante (de x).
La différentielle de la fonction y = / (x) en un point x est, nous 
le savons, le produit de la dérivée de / en ce point par la différentielle 
de la variable indépendante :
dy = f (x) dx.
Ici dx est un nombre arbitraire qui ne dépend pas de x. Donc
(dx)' = 0.
La différentielle d'une fonction s’appelle encore différentielle 
première.
Par définition, la différentielle seconde d'une fonction y = / (x) 
en un point x est la différentielle de la différentielle première en ce point 
et se note:
dry = d (dy).
Pour calculer la différentielle seconde, il faut dériver le produit 
f (x) dx = dy par rapport à x en traitant dx comme une constante 
(ne dépendant pas de x) et multiplier le résultat par dx:
dry = d [f (x) dx\ = dxd [f (x)] = f (x) dx2.
D’une façon générale, on appelle différentielle d'ordre n dune 
fonction y = f (x) la différentielle première de la différentielle d'ordre 
(n — 1) de cette fonction et on note :
cPy = d (d1 ~*y) •
d*y = fW (x) dx*.
Il est évident que
(1 )
DIFFERENTIELLE D'ORDRE SUPERIEUR 127t 10]
En effet, cette formule étant vraie pour n = 1, si l ’on admet qu’elle 
l’est pour n — 1, on obtient
<Py = d [/<"-» (*) <&»-»] = [/<«—« (*)] = /(») (i) dx".
II est évident que l’existence de la différentielle d’ordre n de la 
fonction y = f (x) en un point x implique nécessairement celle de la 
dérivée / (n) (x) d’ordre n en ce point.
On a en vertu de (1)
= /<">(x)= -g ., (2)
autrement dit, la dérivée d'ordre n de la fonction y par rapport à x 
est égale au quotient de la différentielle d'ordre n de y par dxn = 
= (dx)n.
Nous verrons dans la suite que la formule (2) est inexacte si on 
y remplace la variable indépendante x par la variable dépendante z 
(voir formule (4) plus bas).
Nous avons défini les différentielles d’une fonction y = / (x), 
où x est une variable indépendante. Or, nous avons vu que la fonction 
y peut encore s’écrire sous la forme
y = <p (*)>
où z est une fonction de x (z = yp (x), / (x) = <p [yp (x)]). Comment 
dans ce cas exprimer les différentielles dans le langage de la variable 
(dépendante) z.
Pour la différentielle première on a
dy = yKdx = j/z^x dx = yz (zxdx) = yzdz.
Nous remarquons que la différentielle de la fonction y est égale au 
produit de sa dérivée yz par dz :
dy = yz dz, (3)
c’est-à-dire que la différentielle première de la fonction y s'exprime par 
la même formule, qu'elle soit traitée comme une fonction de la variable 
indépendante x ou de la variable dépendante z .
La forme de la différentielle première étant préservée (voir (3)) 
on dit qu’elle est invariante.
La situation est différente pour les différentielles d’ordre supé­
rieur. En effet, si l’on considère que y est une fonction de 
z (y = T (z))t onobtient (cf. § 7, (6))
:dry = d (dy) = d [y' (z) dz] = dz d (<p' (z)) + <p' (z) d (dz) =
= <p* (z) dz2 + <p' (z) drz., ^4)
128 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
Dans la dernière égalité on s’est servi de l ’invariance de la diffé­
rentielle première en vertu de laquelle d (<p' (z)) = (p* (z) dz, ainsi 
que du fait que d (dz) = <Pz. Il ne faut pas négliger la quantité 
drz = \p” (x) dx2. En effet, elle n’est nulle (pour tous les x) que si 
yp (x) est une fonction linéaire (ip (x) = Ax + B).
Nous constatons qu’exprimée en fonction de z, la différentielle 
seconde change de forme : au nombre <p* (z) dz2 s’est ajouté le terme 
<p' (z) dr z qui n’est pas nul en général.
§11. Dérivation de fonctions données 
sous forme paramétrique
Supposons que la dépendance de y par rapport à x est exprimée 
au moyen d’un paramètre t :
£ = <p(0>
y = 'Hth
tÇi]a, b[. ( 1 )
Cela signifie que la fonction x = <p (f) admet une fonction réciproque 
et qu’on peut représenter explicitement y en fonction de x:
y = $ [<p-1 (*)]. (2)
On cherchera la dérivée de y par rapport à x en fonction des 
dérivées de x et de y par rapport à t. La différentielle première étant 
invariante, on a y'x = dy/dx. Or, dy = y[dt, dx = x[dt. Donc
yx = — =5̂= 0). (3)xt
Pour la dérivée seconde, on obtient
, • _ d , _ d t y't d ( y't \ d t _
U* dx y* dx \ x\ ) dt l x\ ) dx (rj)3 (4)
On obtiendrait par analogie les dérivées yin> d’ordre n > 2 en 
fonction des dérivées de x et de y par rapport à t .
§ 12. Théorèmes de la moyenne
Par définition, une fonction f a un maximum (resp. minimum) 
local en un point x = c s'il existe un voisinage V (c) = ]c — ô, c + 
+ ô[ dans lequel
/ ( * » / ( * ) . Vx6 V(c) (1)
(resp. / ( x ) > m VxÇ V (c)). (lf)
On appelle extrémum local un maximum ou un minimum local.
R e m a r q u e 1. Si une fonction / est continue sur un intervalle 
fermé fa, 6] et a son maximum (resp. minimum) en un point c Ç ]a, &[,
THEOREMES DE LA MOYENNE 129
il est évident qu'elle a en même temps un maximum (resp. mini­
mum) local en c. Si par contre / a son maximum (resp. minimum) en 
une extrémité de T intervalle la, b], alors elle n'a pas un maximum 
(resp. minimum) local en cette extrémi­
té, car elle n'est pas définie à droite ou 
à gauche de cette extrémité.
La figure 49 représente le graphe d’une 
fonction y = / (x) continue sur [a, 61. La 
fonction / a un minimum local aux points 
x2 et x4 et un maximum local aux points 
x l et x3. A noter qu’en a et en 6 la 
fonction / a respectivement un mini­
mum et un maximum locaux unilaté­
raux.
T héorème 1 (Fermât 1)). Si une fonction f est dérivable en un point 
c et a en ce point un extrémum local, alors f (c) = 0.
D émonstration. Pour fixer les idées on admettra que / a un maxi­
mum local en c. Par définition de la dérivée on a
f (c) = lim
Ax—0
/(c + Ax) — f(c) 
Ax
Comme f ( c ) ^ f (x), Vx Ç V (c), on a pour les Ax > 0 assez petits
/ (c +A x)—/ (c) < Q ^
Ax ’
d’où en passant à la limite pour Ax— 0
/ ' ( * * )< 0. (2)
Si Ax < 0, alors
/ ( c + A x ) - / ( c ) ^ ft
Zi = ^ ’
donc, en passant à la limite pour Ax— 0, on obtient
f ' ( c ) > 0. (3)
Des relations (2) et (3) il s’ensuit que / ' (c) = 0.
T h é o r è m e 2 (R olle 2)). Si une jonction y = f (x) est continue sur 
[a, b], dérivable sur ]a, b( et f (a) = / (b), il existe alors un point | £ 
6 la. b[ tel que f (£) = 0.
D émonstration-. Si f est constante sur [a, b], alors / ' ( |) = 0 pour 
tous les | 6 la . b[.
Supposons maintenant que / n ’est pas constante sur [a, b]. Com­
me / est continue sur [a, b], il existe un point x l Ç [a, b] en lequel / 
a un maximum (cf. chap. .3, § 5, théorème 2) et un point x. Ç [a, b] en
l) Pierre de Fermât, mathématicien ■ français (1601-1665).
*) Michel Rolle, mathématicien français (1652-1719), à qui l'on doit la 
démonstration de ce théorème pour les polynômes.
9 -0622
130 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
lequel elle a un minimum. Ces points ne sont pas confondus avec les 
extrémités a et & de [a, 6], sinon on aurait
max /(x) = min /(x) = f(a) = f (b)
*G[a, b] *€[«. b]
et / serait constante sur [a, 61. Donc, T un des points x1 et x2 est 
compris dans l’intervalle la, &[. Désignons-le par £. La fonction / 
a un extrémum local en £, de plus elle est dérivable en ce point, 
puisqu’on a admis qu’elle l’était sur ]a, 6[. Donc, d’après le théorè­
me de Fermât, on a / ' (|) = 0.
R emarque 2. Le théorème de Rolle est valable même pour un 
intervalle ouvert la, 6[, pourvu que
lim /(x) = lim f(x).
x —a x-*b
x x x * < b •
R emarque 3. Le théorème de Rolle est mis en défaut si / ' (x) 
n’existe pas en un point au moins de ]a, 6[. Exemple : y = | x | sur
[—1, 1]. Dans l’énoncé du théorème on 
ne peut pas non plus remplacer la conti­
nuité sur [a, 6] par la continuité sur 
la, b[. Exemple:
f 1» * = 0,
- ÿ l xy O C x ^ l tx
pour laquelle le point x = 0 est un point 
Fig* 50 de discontinuité.
R emarque 4. Le théorème de Rolle 
admet une interprétation géométrique simple. Si les conditions 
du théorème sont remplies, alors le graphe de la fonction y = f (x) 
(fig. 50) présente un point en lequel la tangente est parallèle à 
l’axe Ox.
T h eo rem e 3 (C a u c h y ). Si des fonctions f (x) et g (x) sont continues 
sur [a, 61, dérivables sur ]a, &[ et g' (x) =5̂ 0 sur ]a, 6[, il existe alors un 
point £ Ç la, 6[ tel que
//v
S (b) — g (<*) g ’ ( l ) • W
D émonstration. On remarquera que g (b) — g (a) 9*= 0, sinon il 
existerait d’après le théorème de Rolle un point £ tel que g' (£) = 0, 
ce qui est contraire à l’hypothèse. Considérons la fonction auxiliaire
F (x) = f {x) - f ( a ) - fg $ Z f V l *<*)-*(«)]•
La fonction F est par hypothèse continue sur [a, 6], dérivable 
sur la, &[ et F (a) = 0, F (b) = 0. Le théorème de Rolle nous dit
THÉORÈMES DE LA MOYENNE 1 3 1
qu’il existe alors un point £ Ç 1a, 6[ tel que F ' (£) = 0. Or,
donc, en substituant £ à x on retrouve la relation (4). C.q.f.d.
R e m a r q u e 5. Dans la formule (4) de Cauchy on voit qu’il n’est 
pas nécessaire que a < 6.
Une conséquence du théorème de Cauchy pour g (x) = x est le 
théorème de Lagrange.
T héorème 4 (de la moyenne de Lagrange 1)). Supposons qu'une 
fonction f (x) est continue sur un intervalle [a, 61 et a une dérivée sur 
]a, 6[. I l existe alors un point c Ç la, 6[ en 
lequel
f ( b ) - f (a) = (6 - a)/' (c). (5)
Le théorème de Lagrange admet une 
interprétation géométrique simple. En 
effet, si l’on écrit la relation (5) sous 
la forme
t ^ m = n c ) ( .< „ < » > ,
on constate que le premier membre est la pente de la corde passant 
par les points (a, / (a)) et (6, / (6)) du graphe de la fonction y ~ 
= / (x), et le second membre, la pente de la tangente à cette courbe 
en un point d’abscisse c 6 la, 6[. Le théorème de Lagrange dit que 
si une courbe (fig. 51) est le graphe d’une fonction continue sur [a, 61 
et dérivable sur la, 6[, alors cette courbe présente un point d’abscisse 
c 6 la, 6[ en lequel la tangente est parallèle à la corde passant par les 
points (a, / (a)) et (6, / (6)).
La relation (5) s’appelle formule {de Lagrange) des accroissements 
finis. Si l’on représente la valeur intermédiaire c par
c = a + 0 (6 — a),
où 6 est un nombre tel que 8 6 10, 1[, alors la formule de Lagrange 
devient
/ (6) - / (a) = (6 - a) /' (a + 0 (6 - a)). (6)
Cette formule est valable visiblement pour 6.
T héorème 5 .U ne fonction continue sur un intervalle [a, 6] et 
ayant une dérivée positive (resp. strictement positive) sur la, 6[ est 
croissante {resp. strictement croissante) sur [a, 61.
s*
J) Louis de Lagrange, mathématicien français (1736-1813).
132 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. «
Soit en effet Les hypothèses du théorème de
Lagrange étant remplies sur [xlt x2], il existe un point c £ ] xlt x2[, 
tel que
f ( x s) - f ( x l) = ( x , - x l) f ( c ) .
Si / '^ s 0 sur ]a, M, alors / ' (c)^ 0 et
/ ( x 2) - / ( x 1) > 0 ; (7)
si f > 0 sur la, M, alors / ' (c) > 0 et
/ ( * . ) - / ( * i ) > 0 . (8)
Gomme les inégalités (7) et (8) ont lieu pour tous Xi et xs, tels que 
Xj < x2 ̂ b, la fonction / est croissante sur [a, h] dans le pre­
mier cas et strictement croissante dans le second.
E x e m p l e 1. Revenons à l’exemple du § 7, où il fallait évaluer la 
quantité X = ÿ 8,001 —y ^ 8. En appliquant la formule des accroisse­
ments finis à la fonction i|> (x) = x1/3, on obtient
X = if (8,001) - 1)1 (8) = 0,001 -i)/ (c) = 0,001 x-*/« 1 ^ =
C“2/3 1
3000 8~2/3
1
12 000 #
Le résultat est le même, mais ici il est entièrement justifié.
E x e m p l e 2. La fonction y = shx=-g-(e* — er*) a une dérivée con­
tinue
4 (shx)' = y (e*-f-e~*) = ch x > 0, VxÇ] —oo, oo [,
et est telle que
lim shx = —oo, lim sh x = + oo.
X — -O O X — + OO
Donc, elle est strictement croissante, continûment dérivable sur 
l—oo, oo[ et applique 1—oo, oo[ sur lui-même. Elle admet par suite 
une fonction réciproque continûment dérivable:
x = Arg sh y, y Ç l—oo, oo[.
T h é o r è m e 6 . Si une fonction admet une dérivée nulle sur un inter­
valle la, &[, elle est constante sur cet intervalle.
, En effet, en vertu du théorème de Lagrange, on a
f (x) — f (xx) = (x — xx) / ' (c),
où xx est un point fixe de l’intervalle la, &[, x un point quelconque 
de la, b[ (situé à gauche ou à droite de xx) et c un point compris entre 
xx et x et dépendant d’eux. Comme / ' (x) = 0 sur la, b[ par hypothèse, 
pn a f (c) = 0 et / (x) = / (x\) = C pour tous les x Ç la, M.
4 Signalons que si les hypothèses des théorèmes ci-dessus sont 
affaiblies, ces derniers peuvent être mis en défaut (voir remarques 1, 
2 suivant le théorème de Rolle).
THÉORÈMES DE LA MOYENNE 138§ 12]
D é f i n it i o n . On dira qu'une fonction y = / (x ) est strictement 
croissante (resp. strictement décroissante) en un point x0 s'il existe un 
nombre 6 > 0 tel que
^ - > 0 ( r e s p . - f j - c o ) , 0 < |A x |< ô .
T h é o r è m e 7. Si / ' (x0) > 0 (resp. < 0 ) , la fonction f (x ) est strie- 
tement croissante (resp. strictement décroissante) en x0.
D é m o n s t r a t io n . Comme / ' (x0) = lim alors pour e > 0
A x -0
on peut exhiber un 6 > 0 tel que / ' (x0) — e < f (xo) + s* 
pourvu que | Ax | < ô. Supposons que f (x0) > 0. En prenant 
e < f (x0), on obtient pour | Ax | < 8, c’est-à-dire que la
fonction f est strictement croissante en x0.
R e m a r q u e 6 . Si une fonction / a une dérivée et croît sur la, 6[, 
alors / ' (x )^ 0 sur la, b[. En effet, il est impossible dans les condi­
tions indiquées que la dérivée de / soit négative en un point x Ç la, b[, 
car cela contredirait le théorème 7.
Si la seule information dont on dispose sur une fonction / est 
qu’elle a une dérivée et croît strictement sur un intervalle la, M, 
on doit tout de même conclure que / ' (x) ^ 0 sur ]a, M, car une 
fonction strictement croissante peut éventuellement avoir une déri­
vée nulle en certains points de la, M- C’est le cas notamment de la 
fonction x3 qui est strictement croissante sur ]— oo, oo[, et dont la 
dérivée est nulle en x = 0.
R e m a r q u e 7 . Si une fonction est strictement croissante en un point x0l 
elle ne Test pas automatiquement en un voisinage de x0.
Citons pour exemple la fonction
0,
F(■ * - ! . . <' \ —— x2 sin —l 2
x = 0 , 
x 0 .
Il est évident que
F9 (0) = lim rx-0
x
2
, • 1 — x2sin — x
X
1
2
et F (x) est strictement croissante en x = 0. Cette fonction n est pourtant pas
1 1 1 monotone, car la dérivée F' (x) = ^ — 2x sin - + cos - est tantôt positive,
tantôt négative en tout voisinage de 0 (voir théorème 5). Pour x* = 1/Aji 
(k = 1, 2, . . .) elle est égale à 3/2 si k est pair et à —1/2 s’il est impair.
T héorèm e 8 . Si une fonction f (x) est paire (resp. impaire) et déri­
vable sur [—a, a], alors sa dérivée f (x) est impaire (resp. paire).
134 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. t
D émonstration. Comme/ ( x) = f (—x) sur [—a, a], on a f (x) s 
=s — f (—x), ce qui exprime que la dérivée / ' (x) est impaire. (On 
démontre ce fait en se servant aussi de la définition de la dérivée.)
§ 13. Levée des indéterminations
On dira que l ’expression \x} donne lieu à une indétermina-É \X)
tion de la forme pour x-*-a, si lim / (x) = lim g (x) = 0. Lever cette
^ x - * a x -*a
indétermination, c’est trouver lim - si elle existe.
* -» o e { x )
Theoreme 1. Supposons que f (x) et g (x) sont définies et dérivables 
au voisinage d'un point x = a, sauf éventuellement en a, et que
lim / (x) = lim g (x) = 0, g(x)^= 0 et g’ (x) 0
x-*a x —o
f (x)dans ce voisinage. Sous ces conditions, l'existence de l i m , ; :
x-»o 8 (* )
entraîne celle de lim ̂ et
x~a e(*)
l i m I M - = l i m m .
x - a S ( * ) x - + a & (x ) ( 1 )
D ém onstration . On admettra que a est un nombre fini. (Si a = 
= oo, voir remarque 3 plus bas.) Prolongeons les fonctions f et g 
au point x = a en posant / (a) = g (a) = 0. Ces fonctions seront 
continues en a. Considérons l ’intervalle [a, x], où x > a ou x < a 
(voir remarque 5 du § 12). Les fonctions f et g sont continues sur 
[a, x] et dérivables sur ]a, x[, donc en vertu du théorème de Cauchy 
il existe un point £ tel que
ü ( x ) — e ( a ) a ’ Vb t J x \>) OU /(*) _ n i )
Si x
S(x) — g(*) *#©
il en est de même de et
„ K») Ï Z 2' <9 limx - » a
e(x) g'( |)
r (*>
g' (*) (2)
sous réserve que ces limites existent. C.q.f.d.
R e m a r q u e 1. lim - f f i - peut exister même si lim - 4 4 - r n ’existe
" - a 8 (*)x -» a 8 ( * )
pas.
Exemple 1. Comme sin x «
lim
x - 0
x - s in
x, il vient 
lim x sin — = 0,
x - 0 *s i n x
8 13]
tandis que
LEVEE DES INDETERMINATIONS 135
/ , . 1 V . 1 1I r* s m — I 2 x s in ------ cos —
lim * — *— = lim --
i —o (sin*) *-o cosx
n’existe pas.
R e m a r q u e 2. Si l ’expression ^ donne lieu à une indéter­
mination de la forme et que les fonctions / ' (x) et g’ (x) satis­
fassent aux hypothèses du théorème 1, alors
lim - ^ 4 = lim
x-*a % W x-+a
r («)
g9 w
lim
x-+a r w •
Ces égalités expriment que Texistence de la troisième limite en­
traîne celle de la seconde et de la première.
T h é o r è m e 2 ( —“ ) • Supposons que f et g sont définies et déri­
vables au voisinage d'un point x = a, que lim / (x) = lim g (x) = oo
x —a x —a
et que g(x)^fc 0 et g’ (x) 0 dans ce voisinage. Alors l'existence de
lim-4 4 -r- entraîne celle de lim — et
x - a 8 (*) * - a 8 (*)
lim
x-*a
/(*)
$(*) = limx —a
/'(X)
«' (I) •
Nous glisserons sur la démonstration de ce théorème.
R emarque 3 . Si a = oo, la substitution x = Ht nous ramène au
cas a = 0 :
lim -̂ -7-7 = lim 
x . » 8 (*) <-.0
/(«/O
(1/0 lim t—o
(/ (1/0)’ 
(s (1/0)' lim<-o
r ( i /o ( - î / * 3)
g' (i/o ( - l / t ‘) limX — o o
r (j ) 
s 'w •
La règle exprimée par les théorèmes 1 et 2 et qui dit que la li­
mite du rapport de deux fonctions est égale à la limite du rapport 
de leurs dérivées s’appelle règle de VHospital du nom du mathémati­
cien qui la formula le premier pour des cas élémentaires. Du reste 
cette règle était connue de Bernoulli avant l ’H ospital1).
E xemple 2.
lim = 0 , V a > 0 , a > 1.
l) Guillaume de l’Hospital, mathématicien français (1661-1704), Jean 
Bernoulli, mathématicien suisse (1667-1748).
136 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
Nous avons une forme indéterminée de type . En appliquant k 
fois la règle de l'Hospital (k ^ a ; si a est entier, k = a), on obtient
E x e m p l e 3.
xalim —=~ = lima*
X - * o o ** X -» 0 O
cx®“ ft 
ax ( ln a)* = 0.
lim - = 0, Va > 0.
1-00 X*
Les fonctions x® et ln x satisfont à toutes les conditions du théorè­
me 2, donc
lim ■In i ■ = lim ■ = l i m— = 0.
* - . 0 0 X x-ooOX®-1 *-oo a i “
On rencontre aussi des formes indéterminées de type 0-oo, 0°,
0 OOoo°, oo — oo. 1°°. Ces formes se ramènent à celles de type - ou —• ■ * r 0 oo
pardes transformations algébriques.
a. Forme indéterminée de type 0-oo (j (x) g (x), / (x) -*■ 0, g (x) ->■ 
oo pour x a). Il est clair que
/(* )> (* )— jL .( £ ) ou = ) .
E x e m p l e 4.
lim xa ln x = 0, Va > 0 ;
x - 0
lim x® ln x = lim
x —0 x - 0
lim
x-0
1 /x
— a x - a - 1 — — lim x® = 0.« x—0
b. Les formes indéterminées de type 1®, 0°, oo# se ramènent à 
celle de type 0*oo. En effet, fs = (J > 0).
Si
alors
lim g ln / = k,
x —a
lim f8 = ek.
x —a
c. Forme indéterminée de type oo — oo (/ (x) — g (x), / 
g-+. -foo pour x-*-a). Il est immédiat de voir que
+ o o .
FORMULE DE TAYLOR 137S «]
§ 14. Formule de Taylor ')
Soit un polynôme de degré n :
n
Pn (*) = &o + btx + . . . + bnxn = 2 àkx \h=0
En posant x = (x — x0) + x0, où x0 est un nombre fixe, on obtient
= 2 *fc[(x —x0) + x0lh- (1)fe=0
En réduisant les termes semblables par rapport aux puissances de 
x — xQy on obtient l'expression suivante :
n
/ >n (x )= a 0 + a1(x — x0) + •••+ «!»(a: — *o)n= S ak (x— x0)k, (2)h=0
appelée développement du polynôme Pn (x) en série entière de x — x0 
ou encore au voisinage de x0. Les coefficients <z0, a1, . . an dépen­
dent de bi et de x0. Par exemple, a0 = b0 + bxx0 + • • • + bnXu. 
Sur (1) on voit de toute évidence que Pn (x) ne dépend pas de x0. 
Calculons les dérivées successives de Pn (x) :
P n ( x ) ^ a i + 2a2(x — x0) + . . . + nan (x — x0)n‘\
P~n (x) = 1 • 2az + 2 • 3as (x — x0) + . . . + n (n — 1) an (x — x0)n*2,
- Fi«(*) = 1.2 . . . Aah+ . . . + n ( n —1) . . . (» -fc + l ) x (3)
X an (x — x0)n~h.
. Pnn)(z) = 1-2 . . . nan.
Les dérivées d’ordre supérieur à n sont nulles. En faisant x = x0 
dans les formules (2) et (3), on obtient
Pn (xo) == ®oi Pn (x0) = ®i»
P"n (x0) = l-2 a„ . . . . P<*> (x0) = A! ak, . . ., P%> (x0) = n'.c^
ou
(*ë> 
afe— A! (k — 0* 1» ...» n)» (4)
où l’on convient que 0! = 1, P („0) (x) = Pn (x).
Les formules (4) montrent qu’un polynôme Pn (x) admet un dé­
veloppement unique suivant les puissances de x — x0, c’est-à-dire 
que si
P » (Æ) = S Pft ( x - x 0)fc = 2 P i ( x - x 0)h,k—0 k=Q
*) Brook Taylor, mathématicien anglais (1685-1731).
138 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
où et Pi sont des constantes, alors pfc = p* (k = 0, 1, . . ., h). 
En effet, les nombres pft et Pi se calculent avec la même formule (4). 
Compte tenu de (4), la formule (2) peut encore s’écrire :
i>„ (2) = Pn (x0) + (*—*<>)+•••
Kn) (*.)
n !
n p W (x«)
( x - x 0)n= 2 - T T ^ (*“ *•)*•
0
(2')
La formule (2') s’appelle formule de Taylor pour le polynôme 
Pn (x). On remarquera que le second membre de (2') ne dépend pas 
de 2 0.
E x e m p l e 1. Soient Pn (x) = (a + x)n et x0 = 0. En vertu de 
(2'), on a
* » (* > - Al
0
ou
/>Sf) (x) = n (n - 1) . . . (n - * + 1) (a + x)n-*, 
P(h) (0) = n (n — 1) . . . (n — k + 1) a " - \ 
et l’on obtient la formule du binôme de Newton
(a + x)n = 2 M" ~ 1) - (w- * +1) a"-*x*. (5)
h=0
Considérons maintenant une fonction quelconque / (x) possédant 
des dérivées jusqu’à l ’ordre n + 1 compris continues dans un voi­
sinage d’un point x0. L’expression
£»(*)= 2 (6)
0
s’appelle développement de Taylor d'ordre n de la fonction f en série 
entière de x — x0 ou au voisinage de x0.
Le polynôme Qn (x) est confondu avec la fonction / (x) au point 
x0 seulement ; pour tous les autres x on a Qn (x) / (x) (sauf si
/ (x) est un polynôme de degré n). De plus
Qn (x„) = f (*o)-------- Q?' (*0) = /<"> (*0). (7)
Posons
/ (x) = Qn (x) + r„ (2 ). (8)
La formule (8) s’appelle formule de Taylor pour la fonction f (x) ; 
rn (2) est le reste de la formule de Taylor. La fonction r„ (2 ) mesure 
l’erreur commise en remplaçant f (2) par le polynôme (6). 
Exprimons r„ (2) en fonction de la dérivée /<n+1) (2).
FORMULE DE TAYLOR 139§ U]
En vertu de (7) et de (8), on a rn (x0) = r'n (x0) = . . . = (x o) = 
= 0. Posons <p (x) = (x — x0)n+1. Il est évident que <p (x0) = 
= «P* (x o) = . . . = q>(n) (x0) = 0. En appliquant le théorème de 
Cauchy aux fonctions rn (x) et <p (x), on aura
rn(j) _ rn (z) — rw (*o) _ rn (*0 __ rn fo) — rh (x0) _ rn(.r2) =
<P (* ) < P W - q > (* o ) <P' ( * i ) <P' ( x i ) — 9 * (*o) 9 * (* * )
r n >) (J n) # > ( » „ ) - , -< ," > (*0) r<,n + 1 > (» „ + ,)
jp(n) (*n) <p(n> (*n) — <P(n) (*o) <p<n+1)(ln,i)
(xj 6 lx0, x[ et Zft+i 6 lx0, xh[, & = 1, 2, . . n).
Or
<p<n+1> (x) = (n + 1)!, r<nn+1> (x) = /<n+1> (x) - 0 = /<n+1> (x).
Donc
r" <*> = (I(7+1)T <̂n+1)(c)’ (g)
où c = xn+1 est un point compris entre x0 et x.
La formule (8) peut encore s’écrire
/(* )= 2 - ^ ^ ( x - X o )h + Ç £ $ - ( x - xo)n+1- (8')
fc=0
Dans la formule (8') le reste est mis sous la forme de Lagrange. 
Nous avons prouvé un théorème important.
T h é o r è m e 1. Si une fonction f admet une dérivée /<n+1> (x) conti­
nue au voisinage d'un point x0, alors pour tout point x de ce voisinage 
il existe un point c Ç ]x0, x[ tel que f (x) se représente par la formu­
le (8').
Le point c dépend de x et de n .
Si x0 = 0, la formule (8) s’appelle formule de Maclaurin.
Le reste de la formule de Taylor se représente sous plusieurs 
formes. Signalons l’importante forme de Cauchy
rn (* )= (i-* ° )n; ; ( l- 6)n /<»+»> (*0+ e ( x - *„)), (io)
où 6 6 10, 1( dépend de n et de x. Cette formule sera établie au § 5 
du chap. 6.
En réduisant le voisinage du point x0, on obtient un intervalle 
fermé [x0 — ô, x0 + 61 sur lequel est continue la dérivée /<n+1> (x). 
Elle est donc bornée sur cet intervalle par un nombre strictement 
positif M n dépendant de n mais pas de x:
I / (n+1) (x) | < Mn, x0 — 6 < x < x0 + 6 (11)
140 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
(voir chap. 3, § 5, théorème 1). Alors
< **&r 3 ‘i1**1’ lI —T* i < 6- <12)
L’inégalité (12) peut servir à deux fins: d’une part à étudier le 
comportement de r„ (x) pour n fixe au voisinage de x0, de l’autre à 
étudier le comportement de r„ (x) pour n-*- oo.
De (12) il s’ensuit par exemple que pour n fixe
rn (x) = o ((x — x0)n), x x0, (13)
relation qui indique que le quotient de rn (x) par (x — x0)n converge 
vers 0 pour x x0.
De (8') et compte tenu de (13), il vient
/ (*) - S ^ T T - <* - x»)h + ° « x - xo)n)- (14)
k=o *■**•
Cette formule s’appelle formule de Taylor avec un reste de Peano 1). 
Elle est favorable à l ’étude de la fonction / au voisinage du point x0.
THEOREME 2 (D’UNICITÉ). Si une fonction f se représente au voisinage d'un 
point x0 par les formules
( /(x) = a„ + a1 ( * - * 0) + . . . + a „ (x -* ,)» + o ( (* -* 0)»),
i *“X° (15)
| /(x) = 60 + 61( x - * e) + . . . + 6 „ ( x - * , ) » + a ( ( * - * , n ,
V *o
alors
ak = bk (k = 0 , 1 » - • -» n). (16)
D ém onstra tion . En égalant les seconds membres de (15) et en passant 
à la limite pour x -*» x0, on obtient a0 = b0. Si maintenant on divise les deux 
membres de l'égalité obtenue par x — x0 ( i ^ x0) et que Ton passe ensuite 
à la limite pour x-+ x0, on obtient at= 6 la En poursuivant cette procédure, 
on obtient en définitive an = bn.
Exemple 2. On sait que
n
fc=0
Donc
A-0
= 2 **+»(*“)• ^ x-0 (17)
*) Giuseppe Peano, mathématicien italien (1858-1932).
SÉRIE DE TAYLOR 141
La fonction if ayant des dérivées de tout ordre au voisinage du point x = 0, 
elle est justiciable de la formule de Taylor avec un reste de Peano
't w = S **+•(**>• (l8)
#t=o x"*°
En comparant les formules (17) et (18), on obtient en vertu du théorème d’uni­
cité que
1 = W 0 ) (fc = o, 1, (19)
Dans le paragraphe suivant on étudie le comportement du reste 
de la formule de Taylor pour n oo.
§ 15. Série de Taylor
On appelle série une expression de la forme
a0 + + • • • (1)
ou encore
2 «a. <*')
où ak sont des nombres dépendant de l'indice k. Les sommes finies
n
S n — S «k (» = 0, 1, 2, . . . )
ft=0
s’appellent sommes partielles de la série (1) (ou (1')). Si existe la limi­
te finie
lim S n = 5, (2)
n —oo
on dit que la série (1) converge vers le nombre5, et S s’appelle somme 
de la série. On note
oo
S = 2 a#i= ”4" ai -f* a2 • • •
#k-0
On dit que la série (1) est divergente si la limite des sommes par­
tielles Sn (n->- oo) n’existe pas ou est égale à oo.
Supposons maintenant que la fonction / a des dérivées de tout 
ordre au voisinage d’un point x0. La série
+ (x -x ,) + ^ ( x - x 0)2+ . . . (3)
ou de façon plus concise
S ^ T r - ( x - xo)h (3')
- #i=0
s’appelle série de Taylor de x — x0 associée à la fonction /. Si x0 = 0. 
cette série s’appelle série de Maclaurin.
S 15]
142 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. V
Un cas particulièrement intéressant est celui où la série de Taylor 
de x — x0 de la fonction / converge au voisinage de x0 vers la fonc­
tion / (x). Si ceci a lieu, alors
/(* )= 2 (x ~ J o)N *€l*o — ô, *o + 6l,
0
c’est-à-dire que la fonction / (x) est la somme de sa série de Taylor 
au voisinage de x0. On dit alors que la fonction f (x) se développe au 
voisinage de x0 en une série de Taylor convergeant vers f (x).
Theoreme 1. Si une fonction f possède des dérivées de tout ordre sur 
un intervalle [x0 — 6, x0 + 6] et si le reste de sa formule de Taylor 
tend vers 0 pour n -+ o o , i.e.
lim rn (x) = 0, x Ç [x0 — 6, x0 + 6], (4)
n-*oo
alors f se développe en une série de Taylor convergeant vers elle sur cet 
intervalle.
Démonstration. Supposons que f possède des dérivées de tout 
ordre sur [x0 — 6, x0 + 8]. Ces dérivées sont continues sur [x0 — 6t 
x0 + 81, car si f possède une dérivée /<*> sur [x0 — 8, x0 + ô], 
alors /<*-'> est continue sur [x0 — 6, x0 + 6].
Donc, la fonction f est justiciable de la formule de Taylor
n
/ ( * ) = 2 ~ x*)k + r " (J )’ Vn* *€[*o — 6, ar0 + 6].
k=0
En vertu de (4)
Tl
lim 2 - ^ r r ^ - ( * —*o)k== lim t/(*) —rn(*)l =
Tl OO T l-* OOk=0
= /(*) —lim rn (x) — f (x),
n-*oo
c’est-à-dire que le développement de Taylor de la fonction / (x) 
converge pour n oo vers f (x) :
Tl
Hm 2 ( * ~ * o )* = / ( * ) , * € I * o — 6, *o + 6]. (5)
T l- * 0 ° *
Or, cela signifie que la série de Taylor de la fonction f (x) converge 
sur [x0 — 8, x0 + 6] et sa somme est / (x) :
oo
/ ( * ) = 2 f(V f a'~ (x ~ J o)k> * € f* o — 6, * o + ô ] . 
k—o
Ce que nous voulions.
FORMULES DE TAYLOR DES FONCTIONS ELEMENTAIRES 143S 18]
Le théorème suivant exprime une condition suffisante simple de 
convergence du reste de la formule de Taylor vers 0.
Théorèm e 2. Si une fonction f possède sur un intervalle [x0 — 6 , 
Xq + 61 des dérivées de tout ordre, bornées par le même nombre M 
(I / (n) (*) I ^ M, n = 0, 1, 2, . . .), alors le reste de sa formule de 
Taylor converge vers 0 pour n-*~ oo sur cet intervalle :
lim rn (x) = 0. (6)
D é m o n s t r a t io n . On se servira du reste de Lagrange. On a
|r»(x)| Ix-xol"*1 l/<n+1)( c ) |< M- ô»+»(r» + i)l ■' (n + 1)! ’
où c Ç ]z0, x [, M > | / (n+1> (x) |, Vu Ç N et | x — x0 | < 
Comme le second membre de (7) tend vers 0 pour n-* 
chap. 2, § 5, (5)), on obtient (6).
Ô.
OO
(7)
(voir
§ 16. Formules et séries de Taylor 
des fonctions élémentaires
1. / (x) = e*. Cette fonction est indéfiniment dérivable sur 
]— oo, oo[. De plus
/<*>(x) = e*, /<*>(0)=1 (& = 0, 1, . . . ) , /<n+1>(c) = ec.
La formule de Taylor avec un reste de Lagrange s’écrit
n
«, = 2 t y + r n(z). r n (*)= (n+i)i » c €]0. *[, (1)
A=0
où x est positif ou négatif. Sur l ’intervalle [ — A, il], 4 > 0 , on a
k n (* )K (n+”)1l ~*~Q’ (2)
Ceci montre (voir théorème 1 du § 15) que la fonction e* se développe 
sur [—A, A] en une série de Taylor de x (ou série de Maclaurin) 
convergeant vers c*:
A=0
Or, A > 0 est un nombre arbitraire, donc cette relation est valable 
sur l ’axe numérique tout entier (x £ ] — oo, oo[). Ici | / (ft) (x) | = 
= | £* | ^ eA (k = 0, 1, 2, . . .) sur [—A , A], et pour déduire (3) 
on aurait pu faire intervenir le théorème 2 du § 15.
Calculons le nombre e à 0,001 près. On a (voir (1))
n
« = 2 T r + r * (1>'fe«=0
(4)
144 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
OÙ
r^ 1)= T T T ïT r’ ° < c < 1* (5)
Il faut choisir n assez grand pour que
r» (1)= - ô îT ïjT <0,001 <0 < c < 1>-
Comme 6e < 3, il suffit seulement de résoudre l'inégalité 3 /(n + 1)1 ̂ 
^ 0,001. Celle-ci est réalisée pour n = 6. Donc,
e ~ 2 + - j y - g - p + 0 | 2,718
à 0,001 près.
REMARQUE. Comme 1 < e« < 3 pour 0 < e < 1, alors pour n :> 2 on 
a ee/(n + 1) = 0, où 0 < 0 < 1. On peut donc mettre l ’égalité (4) sous la forme
n
Jt-0
Ou s'est servi de cette formule (formule (3), § 6 , chap. 2) pour prouver que e 
est irrationnel.
2. y = sin x. Cette fonction est indéfiniment dérivable et
|(sinx)<*)| = |sin [x + k -—-) |^ 1 , VftÇN.
Donc, la fonction sin x se développe d'après le théorème 2 du paragra­
phe précédent en une série de Taylor de x convergeant vers elle sur 
1— oo, oo[:
sin x = x- 3! ^ 5! 
On tiendra compte du fait que
TT-----S
k=0
(—l)k**k« 
(2 * + l)!
/ • vm, . n* f 0 P°ur n = 2k,(sm x)<n> _ 0 = sm - ^ - = \ . . .h OJ , .2 [ ( — 1)* pour n = 2 k + 1.
La formule de Taylor de sin x s’écrit
sinx = x — gy + • • • + ( — l)v+1 z2V(2 v —1 ) 1 ■ rz\ faO*
ou
r2v ( ^ ) = (2y+ >j)| sin (0 x + (2\ + l)-f-) , O < 0 < 1 .
On remarque que
Tv, (x) = o (x2v)
3C-»0
(6)
145S 10) FORMULES DE TAYLOR DES FONCTIONS ELEMENTAIRES
et par suite
sin x - - x X33 + • •. + ( - i)v+17H = ïjT + 0 j f 02v)-
3. y = cosx. On obtient par analogie 
cosx = l - ^ r + — = 2
h—0
E x e m p l e 1. Trouver
„2v- 1
(2*)1
lim
X —0
sin x — t
On a
sinx = x- 3 !
donc
S I Q 2 — X 0 (x*)
c’est-à-dire que
3!
lim
x —0
X»
x - 0
sin x —x
■oix3), 
T T +
6 *
(7)
0 (J) — T T ’x—0 1
En fait, le reste est de la forme o (x4) dans (7). Or, il suffit qu il soit
x-0
de la forme o (x3). Il est classique que o (x4) entraîne automatique-
x—0 ̂ x-0
ment o (x3) (la réciproque n’est pas vraie).
x —0
4. / (x) = ln (1 + x). Cette fonction est définie et indéfiniment 
dérivable pour x > — 1. Donc, elle est justiciable de la formule de 
Taylor pour tout n = 1, 2, . . . Comme
/<">(*) = (~ 1)"^(; ~ 1)l . /<">(0) = ( - i r ‘ ( n - l ) l ,
la formule de Taylor s ’écrit
ln (1 -J- x) = x - - Ç l)n+1 —- + r n (x).
En se servant des formes de Lagrange et de Cauchy du reste on dé­
montre que
lim r„ (x) = 0 pour —1 < x ^ 1.
n —oo
Donc, la série de Taylor de la fonction In (1 -f- x) est
l n ( l + x ) = 2 ( - l ) fc+l T - ( - ! < * < ! ) .
/<=i
1 0 -0 6 2 2
146 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
5. / (x ) = (1 + x)m. On a
/<n) (x) = m (m — 1) . . . (m - n + 1) (1 T x)” -7*, 
/(n) (0) = m (m — 1) . . . (m — n + 1).
La série de Taylor s’écrit
I A I - A f f l A I TU { f î t — 1 ) „(1 + X) — 1 ~r mx -)------Y\---- x' + • • •
On démontre que pour tout m 
lim r n (x) = 0
m(m—1 ) . . . (m — n-t-l) 
n !
x" + r n (x).
(—! < * < 1).
Donc, pour tout m réel, la série de Taylor de la fonction (l-fx )m 
est
(l + j )m=:l + 2 ( — 1 < x < 1). (8)
k=i
Si m est un entier naturel, la fonction (1 + x)7n est un polynô­
me. Dans ce cas rn (x) = 0 pour n > m et la série de droite de (8) 
est un développement limité de Taylor (voir § 14).
Exemple 2. Calculer la limite (m^=n, m-^z 0, n=^0)
■. - n —— H —— -f o (jt) — ( 1 -f- — -fo (x))
1 + g— > I t J = m \ n 'J __
m
lim —
3C—0 * *-0 *
= lim — -----" ) h° (r! ^ lirn T f-!------L ) _ 0 ( i ) |= _L
I —o 1 x - 0 I ^ n > J "*
Exemple 3.
n *
lim
x —0
ln (l + x) — x (1 -\-x)a 
x2
X
lim -
x —0
f 0 (*-) — x (1 + OLT + O (x))
X 2
— lim 
*-o
- ( - 1 + a )x*-+o(**)
X3
1-y —a .
§ 17. Extrémum local d’une fonction
On a déjà défini l ’extrémum local au début du paragraphe 12. 
On peut énoncer cette définition sous la forme:
On dit quune jonction y = / (x) a un maximum (resp. minimum) 
local en un point c si Von peut exhiber un ô > 0 tel que Vaccroissement
147§ 17] EXTRÉMUM LOCAL D’UNE PONCTION
A y en c vérifie V inégalité
Aÿ = / (x) —- / (c) <6 , Vx Ç] c — 6, c + ô[
(resp. Ay = / (x) — / (c) ^ 0, Vx £ ] c — ô, c + ô[).
Le théorème de Fermât (voir § 12) nous dit que si une fonction f 
a un extrémum local en un point x0 et si la dérivée / ' (x0) existe, 
alors
f (*o) = 0.
Par définition, un point x0 est un point stationnaire d'une fonc­
tion f si f (x0) = 0.
Etant donnée une fonction / sur un intervalle ]a, M, si l ’on a à 
déterminer les points en lesquels elle présente un extrémum local, 
il faudra de toute évidence les chercher d’abord parmi les points 
stationnaires, c’est-à-dire parmi les points en lesquels la dérivée / ' 
est nulle et ensuite parmi les points (s’ils existent) en lesquels / 
n’est pas dérivable. Les points stationnaires se déduisent à partir de 
l’équation
f (*) = 0. (1)
Signalons que la fonction f n’a pas un extrémum local en tout point 
stationnaire.
La condition (1) est une condition nécessaire mais pas suffisante 
pour qu’une fonction dérivable / ait un extrémum local en x . Par 
exemple, bien que x = 0 soit un point stationnaire pour la fonction 
x3, celle-ci n’y présente pas d’extrémum local, car strictement crois­
sante.
Il est évident aussi qu’une fonction / n’a pas d’extrémum local en 
tout point où elle n’est pas dérivable.
De toute façon, si l’on sait qu’un point x0 est stationnaire ou 
bien est un point en lequel la fonction / n’admet pas de dérivée, il 
nous faut un critère nous permettant de dire si / a bien un extrémum 
local en ce point et de déterminer la nature de cet extrémum.
On cite plus bas des conditions suffisantes d’extrémum local.
T h é o r è m e 1. Supposons que x0 est un point stationnaire éCune 
fonction f (i.e. f (x0) = 0) et que f a une dérivée seconde continue dans 
un voisinage de x0. Dans ces conditions
si f" (x0) < 0, alors f a un maximum local en x0 ;
si f ” (x0) > 0, alors f a un minimum local en x0.
D é m o n s t r a t io n . Développons la fonction / en série de Taylor au 
voisinage de x0 pour n = 1. Comme / ' (x0) = 0, la formule de Tay­
lor de f s’écrit
/ (x) = / (x0) + r (c), c 6 ]x0, xf.
Dans cette formule x > x0 ou x < x0.
10*
(2)
148 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
Supposons que j ” (x0) < 0. La dérivée f ” étant continue au voisi­
nage de x0 par hypothèse, il existe un ô > 0 tel que
f* (x) < 0, Vx Ç] x0 — ô, x0 + fil.
Donc, dans la formule (2)
(x~ To)î r ( c ) < 0 , VxÇ]x0-Ô , Xo-rôl,
ce qui montre que
Aÿ = / (x) — / (x0) < 0, Vx Ç] x0 — ô, x0 + ô[,
c’est-à-dire que / a un maximum local en x0.
De façon analogue, si f (x0) > 0, alors f (x) > 0 dans un voisi­
nage de x0 et f (c) > 0. Donc, le reste de la formule (2) est positif 
au voisinage de x0 et A y = / (x) — / (x0) ^ 0, c’est-à-dire que / 
a un minimum local en x0.
Exemple 1. y = x2 -f 5, y' = 2x, x = 0 est un point stationnai­
re ; y" = 2 > 0 pour tous les x, donc en x = 0. Par conséquent, 
y a un minimum local en x = 0.
Remarque 1 . Si
/ ' (x0) = 0 et f (x„) = 0, (3)
la fonction / peut avoir ou non un extrémum en x0. Ainsi, les fonc­
tions x® et x4 satisfont aux conditions (3) au point x0 = 0, cepen­
dant la première n’a pas d’extrémum en 0, alors que la deuxième a 
un minimum.
Thêoreme 2. Supposons que f (x0) = /* (x0) = . . . = /<"> (x„) = 
= 0 et que /<n+1) (x0) est différente de 0 en x0 et continue dans un 
voisinage de x0. Sous ces conditions
si n -j-1 est pair et / (n+1) (x0) < 0, alors f a un maximum local
en Xq ,
si n + 1 est pair et /<n+1> (x0) > 0, alors f a un minimum local 
en x0 ;
si n -f- 1 est impair, alors f n'a pas <ïextrémum local en x0.
La démonstration de ce théorème repose de nouveau sur la for­
mule de Taylor. On a
/ ( * ) - / (*o) = /(ntl) (g), c Ç ]x0, x[. (4)
Si n 1 est pair, on raisonne comme pour le cas de la formule (2). 
Supposons maintenant que n + 1 est impair. Par hypothèse, 
/<'l+1> (x0) # 0. Etant continue au voisinage de x„, la dérivée /<n+1> (x) 
conserve le signe de /<n+1> (x0) dans un intervalle ]x0 — ô, x0 + ô[. 
Si x croît au voisinage de x0, alors (x — x0)'l+1 change de signe pour 
x > x0 et /<ri+1) (c) conservera son signe. Ceci montre que le second 
membre de (4) et partant A y = / (x) — / (x0) change de signe pour 
x > x0 et la fonction / n’a pas d’extrémum en x0.
EXTRÉMUM LOCAL D'UNE FONCTION 149
Théorème 3. Supposonsqiïune fonction f est continue sur un inter­
valle [x0 — 6, x0 -f- 6] et dérivable sur les intervalles ]x0 — 6, x0[ et 
] x 0j x 0 + ô[. Ceci étant,
f (x) ^ 0 (resp. ^ 0) sur ]x0 — 6, x0[, (5)
f (x) ^ 0 (resp. ^ 0) sur ]x0, x0 + 61. (6)
Alors la fonction f a un maximum (resp. minimum) local en x0.
Ici l’existence de f (x0) n’est pas indispensable. .
Démonstration. De la continuité de / sur l ’intervalle [x0 — ôf 
x01 et de la propriété (5) il s’ensuit (voir théorème 5 du § 12) que /
est croissante (resp. décroissante) sur cet intervalle et par suite
/ (*o) — / (x) > 0 (resp. <0) pour x 6 [x0 — 6, x0\. (7)
De la continuité de / sur [x0. x0 + 61 et de la propriété (6) il s’en­
suit (voir théorème 5 du § 12) que
/ (x) — / (x0) < 0 (resp. > 0) pour x £ (x0, x0 -f 61. (8)
Il résulte alors de (7) et de (8) que :
/ ( * ) < / (x0) (resp. / ( * ) > / (x0)) Vx 6 (*o — ô, *o + à]
ce qui prouve le théorème 3.
Le théorème 3 affirme que si la dérivée première de la fonction f 
change de signe en x0, alors f a un minimum en x0 (fig. 52) si f passe 
du signe — au signe x , et un maximum (fig. 53) si elle passe du 
signe -4- au signe —. L’existence de f (a:0) n’est pas nécessaire, par 
contre la fonction / doit être continue en x0.
Etudier la fonction
f I T ^ i
. . .
Exemple 2. Soit la fonction ÿ = . Sa dérivée est y' =
x < 0 ,
x> 0 .
- 2 x
(! + **)* •
150 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
Ou voit que y' > 0 pour x < 0t et y9 < 0 pour x > 0, et de plus 
que y est continue en x = 0. Donc, d’après le théorème 3 la fonction 
y a un maximum local en x = 0. La fonction y n’a pas d’autres 
extrémums locaux.
EXEMPLE 3. La fonction y = 2 — x2 fl — sin 1.x) (x 0 ). y (0) = 2. est 
continue en x = 0 et a un maximum local e u x = 0: y (x) 2 = y (0 ). Cepen­
dant o n n e p e u t e x h i b e r u n v o i s i n a g e d u p o i n t x = 0 dans lequel elle croît pour 
x < 0 et décroît pour x > 0. En effet.
j»' = —2* ( l —sin A ) —cos-i" ( * # 0 ) -\ X / I
2 —x2 ̂1 —sin -i* J — 2 i .
y' (0 )= lim - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = — lim x ( 1 —sin — ) — 0.
x-*0 x x -0 v x 1
Pour x petit, le terme 2x 1 1 — sin est aussi petit que l’on veut, donc le
signe de la dérivée \j dépend de cos 1 /x. Lorsque x -*■ 0 . cos t/x prend les va­
leurs ±1 une infinité de fois. Donc, la fonction oscille dans tout voisinage du 
point x = 0.
Théorème 4. Si une fonction f est telle que f (x0) = 0 et f ” (x0) > 0 
(resp. < 0), alors elle a un minimum (resp. maximum) local en x0.
D ÊMONSTRATiON. Comme
/"(* o) = lim
X - X 0
r (* )-/' c-gp)
x—*0 lim f ' ix) > 0 x-x0 x—*o
alors > 0 dans un voisinage assez petit de x0, c’est-à-dire que 
x xo
f (x) < 0 pour x < x0 et f (x) > 0 pour x > x0. Le théorème 3 nous 
dit que / a un minimum local en x0. Le cas j" (x0) < 0 se traite de 
la même manière.
R e m a r q u e 2. Le théorème 4 généralise le théorème 1, car il ne 
postule pas la continuité de f" (x) au voisinage de x0 mais seulement 
l ’existence de f ” (x0).
§ 18. Bornes d'une fonction sur un intervalle
Supposons qu’on ait à chercher le maximum (resp. minimum) 
d’une fonction / continue sur un intervalle [a, 6]. Que f ait un maxi­
mum (resp. minimum) en un point x0 Ç [a, 6] a été prouvé dans le 
théorème 2 du § 5, chap. 3.
Trois cas seulement sont possibles: 1) x0 = a, 2) x0 = b, 3) x0 £
€ la- M.
Si x0 Ç ]a, M. alors d’après ce qui a été dit au § 17, la fonction / 
a un extrémum local en x0 qui est soit un point stationnaire, soit un 
point en lequel la dérivée n’existe pas.
BORNES D’UNE FONCTION SUR UNINTERVALLE 151§ 18]
Si de tels points forment un ensemble fini {xx, . . xm}, alors 
max f (x) = max{ /(a), /(6), /(x,), f ( x m)}
*c[a, b]
(resp. min f(x) = min {/(a), /(&), /(x,), . . . . /(^ ra)»- 
*.[a. *>]
Signalons qu’il n’est pas nécessaire de connaître la nature des 
points stationnaires si l’on cherche seulement le maximum (resp. 
minimum) d’une fonction / sur [a, 6],
E xemple 1. Trouver le maximum et 
le minimum de la fonction
if (x) = sin x + cos x sur [0, ji].
Calculons la dérivée: if' (x) = cosx—
— sin x . Egalons-la à zéro :
cos x — sin x = 0.
Cette équation possède une seule racine 
x = n/4 sur l’intervalle [0, j i ]. Comme
(0) = 1. 1|5 (jt/4) = y 2, Tp (it) = —1,
on a
max (x) — Y 2, min if (x) = — 1.
. x £ [ ü . n l * € [ 0 . j i ]
E xemple 2. A quelle hauteur h faut-il suspendre une lampe élec­
trique pour obtenir le meilleur éclairement en un point A du plan 
non situé à la verticale de la lampe (fig. 54).
Solution . Plaçons la lampe en B et soient AB = r, 'OB = A,
OA = ay ÔAB = <p. On sait que l’éclairement I en A est donné par 
la formule: / = c S1̂ T où c est une constante. Traitons h comme la
variable. Comme r2 = h2 -f- a2, sin , il vient
1 (*) ~ C + #
Dans la position du problème h £ [0, oo]. Calculons le maximum 
de cette fonction. / (0) = / (oo) = 0 1). D’autre part
I '(h) = c = 0 pour h = alV 2.
Comme / (ai]/2) = 2c/3l/3"a2 > 0, la fonction I (h) a son ma­
ximum au point h -- a!\/2.
Si la lampe est suspendue à une hauteur h arbitraire, on aura le 
meilleur éclairement en un point A tel que a = \ 2 h.
*) Ici / (oo) = lim J (h)./j —+ 30
152 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
§ 19. Convexité d’une courbe. Point d’inflexion
On dit qu'une courbe y = f (x) a sa convexité tournée vers le haut 
(resp. le bas) en x0 si au voisinage de ce point elle est située au-des­
sous (resp. au-dessus) de la tangente en x0 (sur la figure 55 la courbe 
a sa convexité tournée vers le bas en xi et vers le haut en x2). Signa­
lons qu’il y a équivalence entre convexité 
vers le haut (resp. le bas) et concavité vers 
le bas (resp. le haut).
On dit qu’un point x0 est un point d'in­
flexion de la courbe y = f (x) si cette courbe 
traverse sa tangente en x0 (sur la figure 55 
le point x3 est un point d’inflexion). Autre­
ment dit, il existe un 6 > 0 assez petit 
pour que la courbe se trouve d’un côté de la 
tangente pour tous les x Ç ]x0 — 6, x0[ et de 
l’autre côté pour tous les x Ç ]x0, x0 + ôL 
Signalons que ces définitions n’épuisent 
pas toutes les dispositions de la courbe et de sa tangente en un 
voisinage assez petit du point de contact.
Par exemple, l ’axe Ox traverse et est tangent en x = 0 à la 
courbe
r 0, x = 0,
/ (*) — | x 2 s in JL f x 0,
et x = 0 n’est pas un point d’inflexion.
Theorême 1. Si une fonction f possède une dérivée seconde continue et 
f" (x0) > 0 (resp. < 0), alors la courbe y = f (x) a sa convexité tour­
née vers le bas (resp. le haut) en x0.
Démonstration. Développons / au voisinage de x = x0 suivant 
la formule de Taylor
f (x) = f (x0) + f (x0) (x — x0) -f rx (x),
r i (x )= -£= g£-r(*o -rB (* -*o )) (0 < 6 < 4).
Formons l’équation de la tangente à la courbe y = f (x) au point 
d’abscisse x0:
Y = f (x0) + f (x0) (x — x0).
Le dépassement de la tangente en xQ par la courbe / est égal à
f (x) - Y = r, (x).
La dérivée/'' étant continue, si f ” (*o)>0, alors/" (x0+ 0 (x—x0) ) > 
> 0 pour les x appartenant à un voisinage assez petit de x0, et par 
suite il est évident que rx (x) > 0 pour tout x x0 de ce voisinage. 
Donc, le graphe de la fonction est situé au-dessus de la tangente et la 
courbe a sa convexité tournée vers le bas en x0.
CONVEXITÉ D’UNE COURBE. POINT D’INFLEXION 153
De façon analogue, si f ” (*<>)*< 0, alors rx (a:) < 0 pour tout 
x ^ x 0 d’un voisinage de x0, c’est-à-dire que la courbe est située 
au-dessous de la tangente en x0 et a sa convexité tournée vers le 
haut en x0.
Corollaire. Si x0 est un point d'inflexion d'une courbe y = / (x) 
et si la dérivée seconde f ” existe en x0, alors on a nécessairement f" (x0) = 
= 0.
On cherchera donc les points d ’inflexion d ’une courbe y=f(x) 
deux fois dérivable parmi les racines de l’équation f ” (x) = 0.
La condition suffisante d’existence d’un point d’inflexion est 
donnée par le théorème suivant.
Théorème 2. Si une fonction f est telle que sa dérivée f m est continue 
en x0 et f 0 (x0) = 0 et f m (x0) 0, alors la courbe y -- / (x) a un point
d'inflexion en x0.
Démonstration. Dans ce cas
/ (x) = / (x0) + / ' (x0) (x — x0) + r2 (x),
r2(*) = .(* - J°)8 r ( x + Q ( x - x0)).
De la continuité de f ”’ en x0 et du fait que f ”' (x0) =£ 0, il s’ensuit 
que f*' (x0 -f- 0 (x — x0)) conserve son signe dans un voisinage de 
x0; ce signe est le même à gauche et à droite de x0. D’autre part, le 
facteur (x — x0)3 change de signe en x0 et avec lui r2 (x). C.q.f.d.
Voici un théorème plus général.
Théorème 3. Soit une fonction f telle que :
r (*o) = . . . = /<n> (x0) = 0 ,
/(n+l) (x) est continue en xn et /<n+1> (x0) ^ 0.
Si n est impair, alors la courbe y = f (x) a sa convexité tournée 
vers le haut ou vers le bas selon que /<n+1> (x0) est < 0 ou > 0 .
Si n est pair, alors x0 est un point d'inflexion.
La démonstration repose sur le fait que sous les conditions indi­
quées on a le développement suivant:
/ (x) = / (x0) + (x- x0) / ' (x0) + (I- ;° 1))7 /<»♦*> (x0 + 0 (x- x0)).
Signalons en conclusion qu’on dit également qu’une courbe 
y = f (x) a un point d’inflexion en un point x où la dérivée / ' est 
infinie (fig. 40 et 41).
Par définitiçn, une courbe y = / (x) est convexe vers le haut (resp. 
le bas) sur un intervalle [a, b] si tout arc de cette courbe d’extrémités 
(Xj, f (xx)) et (x2, / (x2)) (a ^ xl < x2 ^ b) est situé au-dessus (resp. 
au-dessous) de la corde qui le sous-tend (fig. 56 et 57).
§ 19]
1 5 4 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
R e m a r q u e . Si / est dérivable sur [a , b], alors la définition de la 
convexité sur un intervalle est équivalente à la suivante : on dit 
qu’une courbe y = / (,x) est convexe vers le haut (resp. le bas) sur un 
intervalle [a, b] si elle l’est en chaque point x de l’intervalle la. M.
T h é o r è m e 4. Supposons qu une fonction f est continue sur [a, 61 et 
possède une dérivée seconde sur ]a, b[.
Pour que la courbe y = f (x) soit convexe vers le haut (resp. le bas) 
sur [a . 6], il est nécessaire et suffisant que f ” (x) ^ 0 (resp. f ” (x) ^ 0)
pour tous les x Ç ]a. M.
Nous glisserons sur la démonstration de ce théorème.
E x e m p l e 1. La fonction y = sin x possède une dérivée première 
et une dérivée seconde continues: (sin x)" = — sin x ^ 0 sur [0,
a/2]. Donc, la corde OA sous-tendant l’arc de courbe y = sin x 
sur [0, jx/21 est située au-dessous de la sinusoïde (fig. 58). L’équation 
de la corde étant y = (2/ji) x, on obtient l’inégalité
2
— x ^ s in x, 0 ^ x< ji/2, 
qui est d’un usage courant en analyse.
ASYMPTOTE D’UXE COURBE 155§ 20]
E x e m p l e 2. y = x3 + 3xr = x2 (x + 3) ; y' = 3x2 -f 6x, y' = 0 
pour x = 0, x = —2 ; y" = 6x -f 6, y* (0) = 6 > 0, y0 (—2) = 
= —6 < 0, y0 = 0 pour x = —1 ; y" = 6 # 0. Comme y0’ (x) = 
= 6 # 0, le point x = —1 est un point d’inflexion. D’autre part, 
y0 (x) > 0 pour x > —1, y0 (x) <C 0 pour x < —1. Donc, la courbe 
(fig. 59) est convexe vers le haut sur 1— oo, —1[ et vers le bas sur 
1—1, oo[ ; en x = 0 on a un minimum et en x = —2, un maximum.
§ 20. Asymptote d’une courbe
On dit qu’une droite x = a est une asymptote verticale d’une 
courbe continue y = / (x) si l’une au moins des limites
lim /(x), lim /(x)
X —n x—a
x>« x ca
est infinie.
Si une fonction y = / (x) est définie pour x > M (resp. x < il/), 
on dit alors que la droite Y = kx -f- b est une asymptote oblique de
la courbe continue y = / (x) pour x —► r oo (resp. x — — oo) si 
/ (x) =kx + b -f a (x), où lim ct(x) — 0
X-»+oo
(resp. x --o c )
(autrement dit | / (x) — A:x — b | est un infiniment petit pour 
x —► -poo (resp. x —► — oo)).
E x e m p l e 1. y = l/x (fig. 60); x = 0 est une asymptote verti­
cale, car
lim — = -fo o , lim — = — oo.
x -0 x x -0 x
x>0 x<0
156 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
E x e m p l e 2. y = x + —LP — (x^O ).
Comme lim SIPX = 0 , la droite Y = x (fig. 61) est une asyrap-
X — o o X
tote oblique pour x -*■ + oo (et pour x — — oo).
Exemple 3. y = ]/:r (x ^ 0). Il est clair que V"* — kx — b ne 
tend pas vers 0 pour x -[-oo quels que soient k et b, donc la courbe 
y = Y x ne possède pas d’asymptote oblique.
T h é o r è m e . U ne condition nécessaire et suffisante pour qu'une courbe 
y = f (x) admette une asymptote oblique pour x -foo (x — — oo) 
est l'existence des limites finies
lim — lim [/(x) — kx] = 6, (1)
X — + O0 X x — + o o
l'équation de cette asymptote étant Y = kx + 6.
D é m o n s t r a t io n . 1) Supposons que la courbe y = / (p) admet une 
asymptote oblique d’équation y = kx -f- b pour x~*~ +oo. Alors 
f (x) = kx + b + a (x), où a (x) -*■ 0, x — +oo. D’où
lim
X — - f CO
/(*) __ lim
X — + 00
lim [/(x) —À*x) = lim [6 + a (x)] = 6.
X — + o o X — + a o
2) Supposons que les limites indiquées dans le théorème existent. 
De la deuxj(j§6ae relation on obtient par définition de la limite
f (x) s* kx —- b = a (x), où a (x) 0 pour x -*• +oo,
c’est-à-dire que f (x) = kx + b + a (x). Donc, la droite Y = kx + b 
est une asymptote oblique pour x -*■ +oo. On raisonne de façon 
analogue pour x — —oo.
Si k = 0, Y asymptote est dite horizontale.
R e m a r q u e . L’existence des limites finies (1 ) est essentielle. 
En effet, pour la courbe y = \ / x (j:>0) on a lim ^ 1 = 0 = À: et
X - + QO X
lim flAr — 0*x] = oo, c’est-à-dire que b = oo
X — - f OO
et cette courbe n’a pas d’asymptote.
Voici une définition équivalente de l'asymptote oblique.
O n d i t q u u n e d r o i t e y = kx - f b e s / u n e a s y m p t o t e o b l i q u e d ' u n e c o u r b e 
y = / (x ) p o u r x Hboo s i l a d i s t a n c e p (x ) d ' u n p o i n t A ( x , / (x ) ) d e l a c o u r b e 
à l a d r o i t e t e n d v e r s 0 pour x -► dr°°.
En effet, on sait que la distance d’un point (x, / (x)) à la droite y = kx -f- b 
s’exprime par la formule
P ( * ) = I / ( l ) - * X - b I / l / Ï T Â A
ASYMPTOTE D'UNE COURBE 157
<1*011 il s’ensuit, puisque 1 / {x) — kx — b 1 U, que p (jt) -► 0, et réciproque­
ment.
Exemple 4. Etablir l’existence des asymptotes de l’hyperbole
- J T - - P T - 1 a > b > 0 ) .
En résolvant cette équation par rapport à y , on obtient
D’où
lim —
X - + 00 x = ± - j lim a *-+»
\ /x - -a -
X
= db — lim \ Y x2 — a2 — x] = ± — lima "x-*4-oo “ x—+ oo \ f x~— a- x
Donc, le théorème prouvé nous dit que les droites
:0.
y x
sont les asymptotes de l’hyperbole, le signe + correspondant à la 
demi-branche supérieure de droite, le signe — à la demi-branche in­
férieure de droite.
Pour des raisons de symétrie, il est évident que ces droites sont 
asymptotes pour x — —oo. Dans ce cas le signe -f- correspond à 
la demi-branche inférieure de gauche, le signe —, à la demi-branche 
supérieure de gauche (fig. 62).
158 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
§ 21. Courbe continue et lisse
Les équations
f X = (D (t),
( l >
où <p et \p sont des fonctions continues sur ]a, 6[, définissent une 
courbe continue à Vaide d'un paramètre t ou encore le lieu géométri­
que des points de coordonnées (<p (t), \\> (t)), t Ç ]a, M.
La courbe continue (1) est par défini­
tion lisse si <p (t) et rp (t) ont des dérivées 
continues sur ]a, M et
(<P' (t))* + W (0)2> 0 , V« 6 K bl. (2)
Désignons la courbe (1) par T. Soit 
t0 6 la, 6[. D’après (2), l ’un des nom­
bres <p' (t0) et ip' (t0) est différent de 0. 
Supposons pour fixer les idées que 
<p' (t0) 0. La dérivée (p' (t) étant con­
tinue, il existe un intervalle ]t0 — 6, t0 + à[ sur lequel <p' (t) est du 
signe de <p' fo). Donc, q> (t) est strictement monotone sur U0 — 6, 
+ fil- Oa sait d’autre part qu’elle est continûment dérivable. 
Donc, la fonction x = <p (t) admet une réciproque
t = qr1 (x) = g (x), (3)
strictement-monotone et continûment dérivable sur un intervalle 
Je, d[ qui est un voisinage du point x0 = <p (t0).
En portant l ’expression de t dans la deuxième équation (1), on 
obtient une fonction continûment dérivable (voir théorème du § 4)
y = F (x) = ip [(p-1 (x)], x Ç ]c, d[, (4)
représentée par une portion y de la courbe T correspondant à l’in­
tervalle ]t0 — ô, t0 -f- ô[. Donc, y admet en tout point une tangente 
non parallèle à l ’axe Oy. Il est évident que les points de y se projet­
tent de façon unique sur l ’axe Ox.
Si maintenant tp' (t0) ^ 0, on obtient par des raisonnements ana­
logues une fonction continûment dérivable
x = <1* (y) = <p t r 1 y € k i, d,[, (5)
représentée graphiquement par une portion Yi de la courbe T corres­
pondant à l’intervalle ]f0 — 6, t0 -f- ô[. D’où il résulte que y, admet 
en tout point une tangente qui n ’est pas parallèle à l ’axe Ox.
§ 22] CONSTRUCTION DU GRAPH E D ’U N E FONCTION 159
Donc, la courbe lisse T possède en chacun de ses points une tan­
gente qui est susceptible d’être parallèle à l’un des axes de coordon­
nées.
E x e m p l e . Les équations
( x = acosf, 
t/ = 6sin t , *61 —°°i 00 1»
sont les équations paramétriques d’une ellipse d’axes 2a et 2b (fig. 63).
C’est une courbe lisse, car les fonctions x = a cos t et y = b sin t 
possèdent des dérivées continues non simultanément nulles:
(x' (t))2 + (y' (O)2 = (a sin O8 + (b cos t)2 >
> b2 (sin2 t + cos2 0 = b2 > 0 (0 < b < a).
Les points A, B. C et D partagent l’ellipse en quatre portions 
lisses se projetant chacune de façon unique sur l’axe Ox ou sur l’axe Oy.
§ 22. Construction du graphe d’une fonction
Pour construire le graphe d’une fonction y = / (x), on doit pro­
céder de la manière suivante.
1. Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité.
2. Chercher les symétries et les périodes afin de limiter l’ensem­
ble où l’on étudie la fonction.
3. Déterminer le sens de variation. Pour cela chercher les points 
où la dérivée f (x) est nulle ou n’existe pas ou est égale à oo. Cal­
culer les valeurs de / en ces points (si elles existent), puis s’assurer 
de l’existence d’un extrémum en points.
4. Etudier la fonction aux bornes des intervalles où elle est dé­
finie et continue : si l’intervalle de définition est fermé en une extré­
mité a, on calcule / (a) ; si cet intervalle est ouvert en une extrémi­
té 6, où 4- oo ou — oo, on cherche si / (x) possède une limite quand 
x tend vers cette extrémité.
Les renseignements obtenus permettent de dresser le tableau de 
variation. Pour obtenir la courbe représentative :
5. On détermine les asymptotes en calculant les limites
lim — = k et lim [/ (x) — kx] = b
X—±0O X *-±30
si elles existent.
G. On cherche les points remarquables de la courbe et éventuelle­
ment leurs tangentes: points où la tangente est parallèle à l ’axe Ox 
(ces points sont obtenus en cherchant les valeurs qui annulent la 
dérivée), points d’arrêt, points anguleux, points d’intersection avec 
les asymptotes ou les axes de coordonnées. On cherchera aussi les 
points en lesquels f 0 (x) = 0. Ces points peuvent être des points 
d’inflexion. On étudie le signe de f 0 (x) pour déterminer la convexité 
de la courbe.
1 6 0 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D'UNE VARIABLE [CH. 4
Consigner enfin toutes ces données dans un tableau de la forme 
suivante :
X
i
—oc 0 — 1 oo
y '
1 1 1 
- f 0 _ - 1 _ 0 + 
1 1 1
y / (
pas d'asymptote
D \ — •;
i
L v -
i *
l
1 /
asymptote 
y = j t — 3
y ’ — — (
1
) - i -
l
+
y convexité 
vers le haut
nu
convexité 
vers le haut 
ix infh
l
convexité 
vers le bas 
îxion m
l
convexité 
vers le bas
in
1
Lacourbe de la fonction étudiée dans le tableau précédent est 
représentée sur la figure 64.
Ce graphe ne nous donne certes les valeurs exactes de la fonction 
qu’aux points z = 0t 1^2, 1, les autres valeurs étant prises au jugé; 
néanmoins son mérite est de nous donner une idée sur l’allure géné*
§ 22] CONSTRUCTION DU GRAPHE D’UNE FONCTION 161
raie de la fonction. Si on veut la. tabuler sur un certain intervalle 
pour des valeurs de x distantes de 0,001 par exemple, il faudrait 
alors recourir à d’autres instruments de calcul (calculette, calcula­
trice ou autre). Dans tous les cas, il est profitable de connaître l ’al­
lure générale de la courbe.
E x e m p l e . Tracer la courbe définie paramétriquement par les 
équations
( X = T - < * 6 1 - 0 0 , 00 [. (1)l y = te \
S o l u t i o n . Traçons d’abord la courbe représentative de la fonc­
tion x = te1.
Ensemble de définition: x est définie et continue dans l’inter­
valle ]— oo, oo[.
Sens de variation : x = é te1 = (1 + t) el . L’équation 
x' (t) = 0 possède une racine unique t = —1. Il est évident que 
x' > 0 pour t > —1 et x < 0 pour t < —1. Donc, la fonction 
x (t) est strictement croissante pour t > —1 et strictement décrois­
sante pour t < —1.
Etude aux bornes: lorsque t — —oo, i - ^ O , 
lorsque t oo, x — oo.
Tableau de variation
t — oo — 1 oo
x ' - !> + 
1
X 0 \ i — e - 1 oo 
1
Asymptotes :
lim -—y— = 0, lim [te* —0] = 0,
t-* - oo * t -•> -OO
donc x = 0 est une asymptote horizontale.
Points remarquables. Le tableau de variation met en évidence 
l’existence d’un minimum local au point (—1, —e-1).
Point à tangente parallèle à Ot: (—1, —e-1).
Point d’inflexion: x" — (2 + t) el. Donc,
x ’ > 0 pour t > —2, 
x" < 0 pour t < —2, 
x ' ( -2 ) = 0.
La courbe x (t) présente une inflexion en t = —2, est convexe vers
11-0622
le haut sur ]— oo, —2[, convexe vers le bas sur J—2, oo[. Le graphe 
est représenté sur la figure 65.
Construisons maintenant le graphe de la fonction y = te‘l. 
Ensemble de définition : y est définie et continue sur ]— oo, oo[. 
Sens de variation: y' = (1 — t) e~l. L’équation y ' (t) = 0 pos­
sède une racine unique t = + 1 . Il est évident que y' > 0 pour t < 1 
et y' < 0 pour t > 1. Donc, la fonction y (t) est strictement crois­
sante pour t < 1 et strictement décroissante pour t < 1.
Etude aux bornes: lorsque t oo, y (t) ->■ 0,
lorsque t — — oo, y (t) — oo.
162 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
Tableau de variation
t — oo 1 oo
y '
1
+ o — 
1
y — oo / «-1 \ 0 
1
Asymptotes :
lim — ü, lim [te~l — 0] = 0,< -»oo ̂ f — oo
donc y = 0 est une asymptote horizontale.
Points remarquables. Le tableau met en évidence l ’existence 
d’un maximum local en t = 1.
Point à tangente parallèle à Ot: (1. e-1).
Point d’inflexion: y” = (t — 2) e lionc,
y” > 0 pour t > 2, 
y" < 0 pour t < 2, 
y* = 0 pour t = 2.
Donc, y (f) présente une inflexion en t = 2, est convexe vers le haut 
pour t Ç] — oo, 2[ et vers le bas pour t Çl2, oo[. Le graphe est repré­
senté sur la figure 66.
Passons maintenant à un problème plus compliqué, au tracé de
CONSTRUCTION DU GRAPHE D’UNE FONCTION 163
la courbe (1). Désignons-la par IV Les fonctions qui la définissent 
sont continûment dérivables autant de fois qu’on le veut. Nous uti­
liserons seulement le fait qu’elles sont bicontinûment dérivables. 
Signalons que T est une courbe lisse, car les dérivées de x = (p (J) =■ 
= te* et de y = (t) = te“* ne sont pas simultanément nulles.
Soient Tx et T2 les branches respectives de T sur lesquelles x\ < 0 
et x\ > 0. Donc (voir fig. 65 et 66),
Tx correspond aux variations de t sur ]— oo, —1[, 
r 2, aux variations de t sur 1—1, oo[.
La fonction x = q> (t) représentée graphiquement par est stricte­
ment décroissante de <p (— oo) = 0 à cp (—1) = —e-1. Elle admet
Fiç. 67
donc une réciproque. La fonction y = (t) croît strictement de
op (— oo) = — oo à ip (—1) = —e. Il s’ensuit que Tx est la courbe 
représentative de la fonction explicite
y = yp [qr1 (*)], x 6 ]— er1, OL
Tx est représentée sur la figure 67 en-dessous du point A. Lorsque t 
passe de — oo à —1, l’abscisse x du point courant de Tx passe de 0 à 
—e“\ et l ’ordonnée y, de —oo à — e. Comme x ' (—1) = 0 et y' (1)
=#= 0, la tangente en A est parallèle à Oy. Les points de T sont tous 
situés à droite de la tangente, car x ^ — er1 (voir fig. 65).
En tout point de T autre que A , c’est-à-dire tel que t —1, la 
dérivée x'(t) =̂= 0 et
164 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE
D ’où
y l - <>y'xd x
( t = M
0 + 0 et
- 2 t- — 2(HO* e
- 3 f
*/* l|i, ± >'5 = 0.
Etudions le signe de y~x :
(3)
(4)
t — oo — 1 / 2 — 1 y 2 oo
yx
1
— 0 
1
1
— 0 - j- 
1
Donc, r x aune inflexion au point B (—]/ 2e~y2, —|/ 2 e ^ ) , est 
convexe vers le haut pour t < — ]/ 2 et vers le bas pour t £
6 1 - 1 / 2 , - 1 [ .
Passons maintenant à T* (—1 < t < oo). On voit sur les figures 65 
et 66 que les fonctions x = cp (t) et y = if (/) sont strictement crois­
santes sur l’intervalle 1—1, 1[, donc il en est de même de la fonction
y = tp [cp"1 (*)]
sur l ’intervalle 1— e"1, e[. Sur cet intervalle la courbe a sa convexité 
tournée vers le haut (en vertu de (3)). Au point C, on a y'x = 0
(yi (e) = pjyj = = 0) . donc la fonction y (x) présente un ma­
ximum local en C, car convexe vers le haut. Lorsque x > e (i.e. 
t > 1), x (0 tend vers oo et y (t), vers 0, c’est-à-dire que y (x) 0
X - * o o
par valeurs décroissantes. On voit sur (3) que le deuxième point 
d’inflexion de y (x) est le point de coordonnées ( j / 2 j / 2 e"V2). 
A gauche de ce point, la courbe est convexe vers le haut, à droite, 
vers le bas.
§ 23. Fonction vectorielle. 
Vecteurs tangent et normal
Soit un plan rapporté à un système de coordonnées rectangulaires 
(Ox, Oy). Les équations
x = x(t),
t £]a, 6 [, (1)
où x (t) et y (t) sont des fonctions continues sur la, M, définissent une 
courbe continue T, lieu géométrique des points dont les coordonnées 
x et y vérifient (1). L’équation de T peut être représentée sous la
4 6 5
forme vectorielle
r (0 = x (t) i + y (t) y, t 6 ]a, M, (1')
où * et y sont les vecteurs unités de Ox et de Oy respectivement, r =- 
= r (t) le rayon vecteur du point de T correspondant à la valeur t 
du paramètre (fig. 68).
Le vecteur r (0 s’appelle fonction vectorielle (définie sur la, 6[). 
On dit de ce fait que la courbe T est Yhodographe de la fonction
§ 23] FONCTION VECTORIELLE. VECTEURS TANGENT ET NORM AL
vectorielle r (i), c’est-à-dire le lieu géométrique des extrémités des 
vecteurs r (t) issus de O.
On dit que la courbe T est lisse sur ]a, M si les fonctions x (t) et 
y (t) ont des dérivées continues sur la, 6[ non simultanément nulles. 
A un accroissement A t de t correspond l’accroissement Ar (fig. 69) :
Ar = r (t + AO — r (t) = [x (t -f A/) — x (01 i +
+ [y (t -f AO — y (0) J = Axi + Ayy\
d’où, en divisant scalairement par A£, on obtient
Ar_ Ax . , A y •
At A/ ^ “ÂT ]m
Pour toute courbe lisse on a
A tAf-*0 A 1 - 0
Le vecteur x 'i + y 'j s’appelle dérivée de r en t et se note
r = x’i + y'j.
On peut définir encore la dérivée r comme un vecteur tel que
4 f _ r | - ( 4 f _ -r ,) ’ + (‘t f - t f ' ) " - * '0’
En effet
1 6 6 CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. 4
On dit que le vecteur r est la limite du vecteur Ar/At pour Af-*0 
et on note
• j . A rr = lim —
At-0 At
Sur la figure 69, on voit que le vecteur r est dirigé suivant la tangen­
te à T en £ et orienté dans le sens des t croissants.
Le vecteur r s’appelle vecteur tangent à T. Son module est
| r | = V x '- + y’K 
Le vecteur unité tangent est
r m
t = — —̂ = cos a i - j - sin a / ( | r | > 0 ) ,
I r |
x' . y'cos oc = ■ - . ■ -- , sin ce = —/. ■ ,V*'2 + y'2 \f*’* + y§2 (2)
où a est l’angle que fait x avec Ox.
Le vecteur unité normal à I \ c’est-à-dire le vecteur unité orthogo­
nal à x, est défini par
V - (V i, v2), 
vx = sin a , v2 =± cos a (3)
ou
Vi = T 1/r*'î +y'î v2 = : V *’•+«’*
Le déterminant
(3')
*1 t2 cos a sin a
Vl V2 sin a ± cos a
Les signes supérieurs correspondent au cas où le couple de vecteurs 
(t , v) est orienté comme le couple (i, j) (fig. 70), les signes inférieurs, 
au cas où le couple (t , v) est orienté dans le sens contraire (fig. 71).
La dérivée seconde de la fonction vectorielle r (t) (voir (1')) se 
définit comme la limite
r (t) = lim r 0 + At> r «> = x" (*) j + y- (*) y.
A*-0
La figure 72 représente une courbe T ; le point A correspond à 
une valeur t , le point B , à la valeur t + AJ. En ces points on a tra­
cé les vecteurs tangents r (t) et r (J + AJ), puis on a transporté le 
vecteur r {t + AJ) parallèlement en A. On a construit le vecteur
§ 23] FONCTION VECTORIELLE. VECTEURS TANGENT ET NORM AL 167
Ar = r (t Ai) — r (t) et le vecteur ArlAt de même sens que Ar.
• • • # • •
On a enfin porté le vecteur limite r = r (t). Le vecteur r est orienté
• •
dans le sens de la concavité de T. De façon plus précise : le vecteur r
fait un angle aigu avec le vecteur normal v û T qui est orienté dans le 
sens de la concavité de T.
E x e m p l e . L’équation vectorielle de l’ellipse (voir § 21) est
r = ia cos t -f jb sin t 6 1— oo, oo[).
Le vecteur tangent est
r = — ia sin t + jb cos t%
le vecteur normal
n = =F ib cos t ja sin t.
Ici n n’est pas en général un vecteur unité.
La fonction vectorielle r = r ( 0 peut être développée au voisinage d'un 
point t0 en une série vectorielle de Taylor. Soit
r (!) = x (t) i + y ( 0
168 CALCUL DIFFERENTIEL POUR FONCTIONS D’UNE VARIABLE [CH. t
où x (t) et y ( 0 sont dérivables autant de fois qu'on le veut au voisinage de <0. 
En développant ces fonctions d’après la formule de Taylor, on obtient
= + (<-<„)" + * n (0 . (4)
ÿ ( 0 = ÿ(<«) + J ^ f 2Î- ( < - < o ) + - - - + ' ÿ<n^ (<B) ( t - t 0 ) * + R n ( t ) , (5)
où Rn (0 et Rn (0 sont les restes (de Lagrange ou de Cauchy ou dans une autre 
forme). En multipliant (4) par i et (5) par / et en ajoutant, on obtient la formu­
le de Taylor de la fonction vectorielle r (/) :
r ( 0 = r ( / 0) + r (*~“ * o )+ • - ■ + — (<•— ô)n + r n (0*
où le reste
r n (0 = R n (0 * + Rn (0 7-
Signalons que si les restes Rn (t) et Rn (<) sont écrits sous la forme de La­
grange ou de Cauchy, les dérivées x(n+1)(/) et y<n+1)(0 se calculent généralement 
en aes points différents.
CHAPITRE 5
INTÉGRALES INDÉFINIES
§ 1. Intégrale indéfinie.
Table des intégrales
Dans le chapitre précédent nous avons présenté la notion de dé­
rivée et appris à calculer les dérivées des fonctions élémentaires. 
Nous nous proposons maintenant de résoudre le problème inverset 
c’est-à-dire trouver une fonction / (x) dont on connaît la dérivée
r (*)■
En mécanique par exemple cela revient à déterminer la loi du 
mouvement d’un point matériel dont on connaît la vitesse.
Définition. On dit qu'une jonction F (x) est une primitive d'une 
jonction f (x) sur un intervalle ]a, M si F (x) est dérivable sur ]a, 6 [ et 
F* (x) = / (x).
On définit de façon analogue la notion de primitive sur un inter­
valle la. b] en considérant les dérivées unilatérales en a et en b.
E xemple 1. F (x )= Y x est une primitive de la fonction /(.*) —
= —îrr- sur ]0, oo [, puisque (Y x ) = —
2 ] /x 2 l/x
E x e m p l e 2. F (x) = sin 2x est une primitive de la fonction / (x) = 
= 2 cos 2x sur 1— oo, oo[, car (sin 2x)' = 2 cos 2x.
Théorème 1. Si F (x) est une primitive de la fonction f (x) sur la, 6 [r 
alors F (x) + C, où C est une constante, Vest également.
Démonstration. On a (F (x) r C)f = F' (x) = / (x).
Théorème 2. Si F1(x) et F2(x) sont des primitives de f (x) sur 
la, M» alors Fx (x) — F 2 (x) = C, où C est une constante.
Démonstration. Par hypothèse F[ (x) = F'2 (x) = / (x). Formons 
la fonction O (x) = Fx (x) —■ F2 (x). Il est évident que
O' (x) = F[ (x) - F ’t (x) = / (x) - / (x) = 0, V x Ç la, b l
De là, on déduit en vertu du théorème 6 (chap. 4, § 12) que cl) (x) = 
= C, autrement dit Fx (x) — F2 (x) = C, c.q.f.d.
170 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. 5
Donc, des théorèmes 1 et 2 il résulte que si F (x) est une primitive 
de / (x) sur la, M, toute autre primitive <D (x) de / (x) sur la, M est 
de la forme
O (x) = F (x) + C, (1)
où C est une constante (fig. 73).
Définition . On appelle intégrale indéfinie d'une fonction f (x) 
et on note
j / (*) dx (2)
toute primitive de f (x) sur ]a, 61. Le signe j s'appelle intégralet
f (x) dx est l'intégrant, / (x), la fonction à intégrer.
Si F (x) est une primitive de f (x), alors d’après ce qui précède
j f(x )d x = F(x) + C, (3)
où C est une constante dûment choisie.
L’opération qui consiste à trouver 
l’intégrale indéfinie d’une fonction 
/ (x) s’appelle intégration de / (x).
Signalons que si F (x) est une pri­
mitive de f (x), alors l’intégrant 
f (x)dx = F ' (x) dx = dF (x) est la diffé­
rentielle de F(x).
On montrera plus bas (chap. 6, §3) 
que si f (x) est continue sur ]a, M, alors 
elle admet une primitive sur ]a, M, 
donc, une intégrale indéfinie.
Voici quelques propriétés de ~l’in- 
tégrale indéfinie, résultant immédiatement de la définition.
1° d j / (x) dx = / (x) dx. En effet, [ f(x )dx = F(x)-\-C , d*où 
d j / (x) dx = d(F (x) + C) = dF (x) = F’ (x) dx = f (x) dx.
2° \ dF (x) = F(x) + C, c’est-à-dire que ( et ci se simplifientJ *
mais il faut ajouter une constante C à F{x). En effet, j dF{x) — 
= f F' (x)dx= (par définition) = F (x) + C.J
3° j Af(x)dx = A j f(x )d x + C, où A et C sont des constantes.
4° ̂ [/(*) + ?(*)] d x = j /(x )d x -t- j g(x)dr + C, où C est une 
constante.
INTEGRALE INDEFINIE 1 7 1S «]
En effet
( j f(x )d x + j g(x)dx) = ( j / ( x ) d x ) + ( jg ( x ) d x ) ' =
= (par définition) = / (x) g (x).
D’autre part,
( j 1/ (*) + g (*)] dx'j = (par définition) = / (x) + g (x).
Donc, les fonctions dx + | g dx et j [/ + g] dx sont les pri­
mitives d’une même fonction / + g. Par suite, elles diffèrent entre 
elles d’une constante C.
5° Si F (x) est une primitive de / (x), alors
En effet,
j / (ax + 6) dx = - j F (ax ~ b) + C.
^ • j / ’(ax+fc)J = ^ -a F ' (ax + b) = f (ax-^r b).
Formons le tableau suivant en se servant des principales formules 
du calcul différentiel.
1. ̂0-dx = C.
f x a + l2. J xa dx = g _|_̂ ~ + C, V a ^ —1.
3. ^x-1dx = [ ln |x | + C, sur un intervalle ne contenant
pas x = 0.
4. j ax dx = + C (0 < a , a^= 1), j e* dx = e1 -i- C.
5. js in x d x = —cosx-t-C, j cos x dx = sin x -f C.
6- ts x + c ' î
dx
c o s2 x ~° 1 ' J s in - x
où la fonction à intégrer est continue.
— cotgx + C sur un intervalle
M v ê H -
»■ Jt$ H _
Arcsin x -J- C, 
Arccos x + C 
Arctgx + C, 
Arccotgx-p C.
( - 1 < X < 1 ) .
172 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. !>
10. \ $ h ~ l h x + c ' î i f e = - c o lh lT c
11. j
!/*• + !
— In \x-~-Yx'1Jr 1 | + C = A rgshx-f C»
j . 4^-j- = in k + V ' i ! - ' l + C = A r g c tn - C ( |* !> i) .
12. î - ^ r ^ l - l i i i l + c ( |x |# l ) .
Prouvons la formule 3. Comme |x |' = sgnx et xsgnx = |x| pour 
x^£0, on a
(ln|*| + c y = ± (|x |) ' = ^ — = 4 (*¥=0 ),
ce qu’on voulait.
Prouvons maintenant la formule 11 :
0 - ! - 1 i ^ T H i " ) ' - sgn(*+v I t V T il"/ \ x + ] / x 2 + l | V
c.q.f.d.
Par ailleurs
\ f x2- f l
_(x ~r \ f x~ 4~ 1 ) sgn (x 4- \ f x~ -j- 1 ) __
]/ x~ 4“ 1 I * + V *2 -H 1 I
Arg shx4-C,
■ )=
l/x î+ l *
dx
J l /x -+ l 
donc, en vertu du théorème 2,
A rgshx —ln | x-f* | / x 2-i-1 | + C.
Or, ArgshO — 0, donc
ln | x -i- y x2 + 1 | — Arg sh x (cf. chap. 4, § 6, n° 9).
En se servant de la propriété 5°, on peut obtenir les intégrales 
de fonctions plus compliquées. Exemple :
j sin (ax -\-b)dx = — ^ cos (ax -f b) -}■C.
Signalons que si la dérivation d’une fonction élémentaire nous 
donne nécessairement une fonction élémentaire, l ’intégration d’une 
fonction élémentaire peut nous conduire à une fonctionnon élémen­
taire, c’est-à-dire une fonction que l’on ne peut obtenir ni par su­
perposition de fonctions élémentaires ni par un nombre fini d’opé­
rations arithmétiques sur des fonctions élémentaires.
MÉTHODES D’INTEGRATION 173$ 2|
On a prouvé par exemple que les intégrales suivantes n’étaient 
pas des fonctions élémentaires:
^e”x tdx intégrale de Poisson,
^cos.r2d.r, js in .r2d.r intégrales de Fresnel,
^-j-—- logarithme intégral.
) Jf"dx cosinus intégral, 
sinus intégral.
Ces intégrales existent mais ne sont pas des fonctions élémentai­
res. Il existe d’autres méthodes pour les calculer. Le sinus intégral, 
par exemple, peut être représenté par une série entière illimitée (cf. 
chap. 4, § 16)
sin x 
x d x - C + x
X3
in iï +
X*
5*5! “*“ • • •
§ 2 . Méthodes d'intégration
La formule d’intégration par changement de variable
= î / ( v (0 )« p '(0 * + c = j/(<p(/))d<p(/) + C (1)
est essentielle dans le calcul intégral. Dans cette formule on admet 
que x = tp (/) est une fonction continûment dérivable (c’est-à-dire 
possédant une dérivée continue) sur un intervalle de variation de £, 
} (x). une fonction continue sur l’intervalle correspondant de l’axe 
Ox. La première égalité (1) affirme que le premier membre est iden­
tiquement égal au second si (après intégration! ) on fait la substi­
tution x = (p (t) et'que l’on choisisse convenablement la constante 
C. Prouvons ceci. Au premier membre de (1) figure une fonction qui 
est une primitive de / (z). Sa dérivée par rapport à t est
é - i / M dx = é ( 5 ' (x) dx ) w = / (<P (0) «P' (<).
Donc, si l’on fait la substitution x = (p (t) dans cette fonction, 
on obtient une primitive de la fonction / (q> (t)) (p' (t). L’intégrale 
du second membre est par définition une primitive de / (cp (t)) (p' (/). 
Or, deux primitives d’une fonction diffèrent entre elles d’une cons­
tante C. C’est ce qui est exprimé dans la première égalité (1). Quant 
à la deuxième, elle revêt un caractère purement formel : on con­
viendra d’écrire simplement
J i ' W (t)dt=jf(t)dq>(t). (2)
174 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. S
Exemple:
j e*’x dx = y j e*‘2x dx + C = - je** dx2 + C =
= 4 j e udu + C1 = | e “^ C 2 = |e * * -f C2 (u = x2). (3)
La première égalité résulte de 3° du § 1, la seconde, de (2), la troisiè­
me de (1) (avec une autre constante), la quatrième, de la formule 4 
du tableau. L'omission de la constante C dans les étapes intermé­
diaires simplifie les calculs. Ainsi, dans l’exemple précédent:
j e*2x dx — ^ j e*’2x dx = 4* je*2 dx2 = ^ - e x ’ + C.
Voici'un autre exemple: / = ̂Y a2 — x2 dx, a > 0. Cette inté­
grale ne figure pas au tableau. En posant x = a sin t, on obtient 
Y a * -3 * = a V i - sin2 t = a cos f et dx — a cos t dt. Donc,
1 = j a cos t a cos td t = a2 j cos2 td t = a2 J ~ dt =
a2t . a 2 . , n= - j - -f- -j- sin 21 ~r C. 
Or, t = Arcsin — , donc "a
I = -tt Arcsin — + sin t cos t + C = 4?- Arcsin — +
Z CL £, £, CL
+ T - r Ÿ r l - ( - f ) ! + C = 4 A r c s l n i + | > ^ = ^ + C .
En définitive
j Y a2—x2dx = ~ Y a2—x2 + ̂ Arcsin + C.
Citons d'autres exemples qui nous seront utiles dans l'intégration 
des fonctions rationnelles:
f dx _ f d ( s —a) _ 1 | § mmmt_/ ii \ «
J ( X — fl)m — J (x-a)™ “ ( X — (1 — m ) + °
î*— i +f t
(4)
(5)
î dl=
= ^ - ( l n | x - a | - l n | x + a |) + C = - l - ln i x+a + C;
METHODES D’INTEGRATION 1 7 59 2]
dxc dx = r.___________
J *2-rPx-rq } (x + ^p^))2
_ f d(x+(p/2)) _ 1 , „ /_ P- A\ .
— J (*+(P/2))* — x + (p /2 ) + U 4 - " J »
P dx _P dx __
J x* + px + q — ) (r + (p/2 ))ï + (9 -(p2/4)) ~
x-HP/2) j
f d(x+(p/2)) 1 f
J (*+(P/2))* + «* « J t
!(-
— = (
J x ' + p x + q J
+( ^ r
= ~ ^ r c tg *+ <p/2) C ( g - - ^ = a2, a > 0 ) ; (6)
d (x-HP/2))
(x + (p /2 ))--a -
= tt- ln * + ( P / 2 ) — a
(2x 4- p) dx 
ï !t P ï + î
i t-(P/2)-|- a
f d (x2 + px 4- 9) , __ , , n .
] ~ x* + Px+ q - I n l x - r ^ x - r g l T - C ,
h c ( î - x = - û!> fl> o ) ;
(2x4-p)dx 
x* + px + q
dx
(?)
f
+ T 1 f q^ + g dx - T ln I*8* P * + g» + ■D 1 i H-px+g »
( ^ # 0 , D = ± ( ^ - p ) ) (voir (6)).
Le fait important ici, c’est que les intégrales de type (4) à (7), où 
a, A , B, p et q sont des constantes, sont des fonctions élémentaires 
(rationnelles, ln et Arctg).
Passons maintenant à la formule d?intégration par parties:
ju v 'd x s s u v —j vu' dx-\-C (8)
ou ce qui revient au même
 ̂u dv — uv — j vdu + C.
On omet généralement la constante C, car le second membre de 
(8) est une intégrale indéfinie.
Dans cette formule, on admet que u (x) et v (x) sont des fonctions 
continûment dérivables. La validité de la formule (8) résulte du 
fait que les dérivées du premier et du second membre sont égales:
uv’ = (uv)' — vu' .
INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. 5A l G
La formule (8) ramène le calcul de l ’intégrale j u dv à celui
<le j vdu. La méthode d’intégration par la formule (8) s’appelle 
méthode d'intégration par parties.
E x e m p l e 1. Calculer Ix lnx tfx . Posons
Alors
u (i) = ln j , =
x dx =- dv, v — ^ d ü - - ^ x d x = ^ .
jx Jnxdx — -^j-lnx — ̂ lnx — -f-C.
Exemple 2. Calculer les intégrales / = j eix sin bx dx, / t =
= ̂eflx cos bx dx, où a et b sont des constantes. L’intégrant peut
être mis de deux manières sous forme d’un produit: u = elnx, du = 
= sin bx dx ou u = sin bx, dv = enx dx.
Supposons que
u = eaa\ 
sin bx dx-- dv,
du = aeax dx, 
cos bx
Une intégration par parties nous donne 
/ = — -j- eax cos bx + y ̂eax cos bxdx — — y eax cos bx -r y / t. (9)
Intégrons / j par parties en posant a = e*1*, di; = cos bx dx. On 
obtient
/ , = l é s i n é * - - 1 / . (10)
De (9) et de (10), on déduit le système
| / - - / , = - - ^ e axcosbx,
\ y / + / l = -j-eoxsin6x, 
dont la résolution nous donne
r a sin ftr—bcosbx nx \ n r 6 sin 6x + a cos bx nx r
1 ----------------- r, , . , --------------£ t v , i I „ ; t . ; ------------C t C .a- -f- b2 1 a2 + b1
E x e m p l e 3. Calculer l ’intégrale / = ^Arcsinxdx.
MÉTHODES D’INTÉGRATION 1775 2]
En posant u = Arcsinx, dv=^dx, on obtient
/ = x Arcsin x — [ — xdx ■ - = x Arcsin x + V ^ —x- + C.J i / l - * *
E xemple 4. Citons un exemple qui nous servira dans T intégration
C d xdes fonctions rationnelles. Soit à calculer / = \ r-rr— r» ou k 
est un entier naturel > 1 et a > 0. On a
x • 2 x d x
( x 2 - } - a 2) ft
2 x d xEn posant u = x et dv — , on obtient
d x
+ a-)h
d’où
« r dx 
a i (x“ "T
(x- -f- a2)*
t / x 1 f r/x 1
‘ 2 \ ( 1 — Ar)(** + a 2)'*"1 1 — A* J ( x ~ - t a ‘ ) ' < ~ i j ’
x , 2Ar— 3 f dx
!(*— l)(x*Tfl*)A-i ^ 2 (fc— l) J (x2t a2)*-1 ’
On peut maintenant (si k > 2) reprendre cette procédure pour 
Tintégrale du second membre et abaisser ainsi d’une unité l’exposant 
du dénominateur de l’intégrant. On arrive en définitive a une intégrale
de la fonction (x2 + û“)“1 qui, on le sait, est égale à ̂ Arctg ̂~r C.
Donc, pour q — (p2/4) = a2 > 0 et k entier naturel, l’intégrale
J (x- + px-rq)K = J (U’ + a-)* + C (U=X + t ) (11)
se compose de fonctions élémentaires. 
E xemple 5 . Calculer les intégrales
où Pn (x) = anxn 4- . . . + -p a0 est un polynôme de degré n.
On calcule ces intégrales par n intégrations par parties en posant 
successivement u = Pn (x), u = Pr[ (x), . . . Les intégrales obte­
nues se simplifieront, car la dérivée d’un polynôme algébrique Pn (x) 
de degré n est un polynôme algébrique de degré n. — 1.
Les intégrales de ce type se calculent par la méthode des coeffi­
cients indéterminés.
Par exemple, ^ Pn (x) ê x dx est une fonction de la forme 
Qn (x) ebx + C, où Qn (x) = bnxn + . . . + bxx -f- b0. Les coeffi-
1 2 -0 6 2 2
178 INTEGRALES INDEFINIES [CH. b
cients inconnus b0, . . bn se déterminent à partir de la condition 
(Qn (x) eb* + C)' = Pn (x) eb* ou Q (x) + bQn (x) = Pn (x).
L’identification des coefficients nous donne b0, . . ., bn. On 
s’est servi du fait que deux polynômes sont égaux si et seulement sileurs coefficients en les puissances respectives de x sont égaux (cf. 
chap. 4, § 14, théorème 2).
Illustrons ceci sur un exemple suivant:
[ (x~ -f* 1) ex dx = {clx“ -f- bx c) €X -f- C.
•/
On a ici
Po (x) = x2 + 1, Q2 (x ) = axr + bx + c,
les coefficients a, b, c étant à déterminer. On a
(<Q2 (x) e*)' = [ax1 + (2a + b) x + b + c] e* = (x2 -f- 1) e*,
d’ou û x ~ 4" (2fl = Donc a = 1 , 2 a - f i =
= 0, b + c = 1. On obtient en définitive
j (*2+ i)e*dx= (x*--2x + 3)ex + C.
§ 3. Nombres complexes t
On appelle nombre complexe un nombre de la forme
z = a + bi = a + ib,
où a et b sont des nombres réels, i un symbole spécial. Les nombres 
complexes sont justiciables de la notion d’égalité et des opérations 
arithmétiques. Soient deux nombres complexes zx = ax + ibx, z2 = 
= a2 ib2.
1) zx = z2 si et seulement si a1 = a2 et bx = b2; a + Oi = a, 
0 + bi = bi, 1-î = i.
2) zi ± 2o— (flj db fl2) + i (&i ± &*)•
3) zx-22 = (flxfl2 — bxb2) + * (&la2 + flib2).
q z\ _ ala2Jrb^b2
4-rbî *— 2 k l las-r 05
De 1) et 3) il s’ensuit que
r = - 1 .
(a ̂+ b j^O ).
Donc, les opérations d’addition et de multiplication introduites 
sont commutatives (zx -j- z2 = z2 + = z2Zi), associatives
((zx + z2) + 23 = 2X + (z2 + 23), (̂ xz2) z3 = zx (z2z3)), distributives 
((zx 4 “ Z2) Z3 = Z|Z2 "4” 2 2Z3) .
De la propriété a + Oi = a il résulte que l ’ensemble des nom-
NOMBRES COMPLEXES 179
bres complexes contient celui des,réels. Il est immédiat de voir en 
outre que l’application des opérations arithmétiques 2), 3) et 4) 
aux nombres zx = ax -f- 0 t\ z2 = a2 + 0 i nous donne respectivement
ax ± a + Oi = a, ± a*, axa* + Oi = axa.,, — -r Oi = —(a-, 0).a2 a2
Le nombre z = a — ib est le conjugué complexe de z. Le nombre 
réel | 2 | = Y a1 + b2 s’appelle module du nombre complexe z. Il est
évident que z-z = | z |2.
Si l’on interprète le nombre complexe z = a + ib comme un 
point M (<a, b) du plan xOy, alors | z | est égal à la distance de M à 
l’origine des coordonnées O (fig. 74).
En introduisant les coordonnées po­
laires (p, cp), on obtient
a = p cos (p = | z | cos cp,
6 = p sin cp = | z || sin cp (1)
(| z | > 0).
Le nombre complexe z s’écrit alors 
z = p (cos cp p i sin cp), (2)
où p est le module du nombre z, cp, l ’angle (en radians) du vecteur
OAI avec Ox. Cet angle s’appelle encore argument principal du nom­
bre complexe z et se note : cp = Arg z (0 ^ cp < 2 j i ) .
Il est évident que cp = Arg z est une fonction de z, s ^ 0. O ïl 
introduit encore la correspondance
cp = arg z = Arg z + 2A-ji (k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .)
qui donne toutes les valeurs de cp vérifiant (1) pour z =5̂ 0 donné- 
Le nombre z = 0 est le seul à ne pas avoir d’argument, par contre- 
on peut le définir comme un nombre dont le module est nul (| z | = 
= 0 ).
Arg z s’appelle encore argument sous la forme réduite. Il y a par­
fois intérêt à admettre que Arg z appartient à un autre intervalle- 
semi-ouvert [a, a + 2 j i [ , par exemple à [—ox, j i [.
Le nombre a s’appelle partie réelle de z et se note a = Re z, 1er 
nombre b, partie imaginaire de z et se note b = Im z. Donc
z = Re z + i Im z.
Par définition
e'v = cos cp + i sin cp ( — 00 < cp < 00 ) . (3 )
Il est évident que e** est une fonction complexe (c’est-a-rfire à 
valeurs complexes) de l’argument réel cp. La fonction é'v es! visible­
ment 2ji-périodique : = e»<p.
12*
1 8 0 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. 5
Comme | e | = j^cos2 q> -f- sin2 (p = 1, le point e'v décrit con­
tinûment un cercle de rayon 1 centré en z = 0, lorsque <p varie con­
tinûment sur l ’intervalle semi-ouvert [0, 2 j i [.
On a les relations
e*(<ri+Ç2) = eivie'Vz, e-iq 1
e* (4)
En effet
^»(çi+<p2) = cos (<pj + (p2) + x sin (<pt + cp2) =
= (cos (p! cos <p2 — sin <pt sin <p2) +
4- i (sin cos <p2 + sin <p2 cos <pt) =
= (cos <pt 4- i sin <pj) (cos <p2 -f- i sin q )̂ =
1 1
cos qi + i sin <f = cos <p — x sin cp — cos ( — cp) -f i sin ( — cp) —e~i(f>.
La fonction e2, où z = x -f* iy est une variable complexe arbi­
traire. se définit par
e: = exe'u , z 0.
En vertu de (3) on a
e; = e* (cos y -f- i sin y). (5)
En tenant compte de (2) et de (3) on peut représenter tout nombre 
complexe z par
z = p e ^ (p > 0), (6)
où p = | z | est unique et
<p = arg z = Arg z -f- 2kn (k = 0t ±1» ± 2 , . . .)•
Les expressions (2) et (6) s’appellent respectivement formes tri- 
gonométrique et exponentielle du nombre complexe z.
Voici quelques exemples de nombres complexes écrits sous la 
forme exponentielle (on admet que <p = Arg z) :
i — 0 + 1 • x = ein/2t
Des relations (3) et (4) on déduit immédiatement la formule de 
Moiure
(cos (p + i sin (p)n = einv = cos /np -f- i sin ncp. (7)
On a aussi
z,s.> = I zt I I z2 I ei(9i+V2> ,
NOMBRES COMPLEXES 18f
c’est-à-dire que lorsqu’on multiplie des nombres complexes, leurs 
modules se multiplient et leurs arguments s’ajoutent.
La conjugaison des nombres complexes jouit des propriétés sui­
vantes :
Z{ ± = d t Zo, 2 ^ 2 = 2 ^ 2 , ( (^2=7^0)- (8 )V ~2 ' S2
En effet
(a, -j- b{i) ± (^ 2 -r &2O ~ (ai ifc **2) ~r (^1 ± “
= (a, ± a2) — * (*i ± 62) — (a i — &i0 ± («2 — ^2*) =
= («i + 6i0 ± ( fl2+ ft20;
d’autre part, comme
pe1* = p (cos (p -J- i sin cp) — p (cos cp— i sin cp) = pe-1^,
il vient
zxz2 = Pi*‘v,P2*iV8 = Pip2**(<fl4fp2) = PiP2tf“i(Vl+q>â) =
— p^-^poe-**2 = Pi îVl*P2tf' 2̂ ~ 2i ‘s2-
Oii procède de même pour le quotient.
On considère maintenant le problème suivant. Trouver les raci­
nes n-ièmes d’un nombre a = pe‘° (p > 0), c’est-à-dire tous les 
nombres b = re'v tels que bn = a. On a alors rneinv = pei0 (r, p > 0)t 
et par suite de l’unicité de la représentation d’un nombre complexe 
sous la forme exponentielle, il vient p = rn, mp = 0 + 2A*Jt, k = 
= 0. ± 1 , ± 2 . . . . De la première égalité il s’ensuit que r = %/ p 
(r est la valeur arithmétique de la racine n-ième du nombre stricte­
ment positif p). On déduit de la deuxième égalité que (p = -f-
+ — (* - 0 , ± 1, . . .)•H
Les valeurs de (p qui nous donnent des racines n-ièmes de a dis­
tinctes correspondent aux n premières valeurs de k:
(Pft= 4 + J ? - (*=s0’ 1, . . . , B - i ) . (9)
Pour les autres k on obtient des valeurs de (p qui diffèrent de l’une 
des valeurs ( 9 ) d’un multiple de 2 j i .
Nous avons ainsi montré qu’un nombre complexe a 0 possède n 
(et seulement n) racines n-ièmes exprimées par la formule
y a = y / peie = y f pe"th (k - 0, 1, .. ., n — 1), 
où (p* sont définis par (9).
1 8 2 INTÉGRALES INDÉFINIES
E x e m p l e s :
[CH. 5
§ 4. Théorie du polynôme de degré n
On appelle polynôme de degré n une fonction de la forme
n
Qn (z) = fl0 + a.\Z + . . . + O nZn — y akzk, (1)h 0
où ah sont des coefficients réels ou complexes, z, une variable géné­
ralement complexe, qui peut prendre n’importe quelle valeur com­
plexe (z = x -f- iy) ou, dans le langage géométrique, être un point 
quelconque du plan complexe.
A tout point z du plan complexe la formule (1) associe un nombre 
Qn (z) généralement complexe. On admettra dans la suite que an ^ 0. 
Si Qn (a) = 0, le nombre a s’appelle racine ou zéro du polynôme
En raisonnant exactement comme au début du § 14 du chap. 4 
pour le cas d’un polynôme d’une variable réelle, on démontre que 
quel que soit le nombre complexe z0, le polynôme Qn (z) se développe 
en une série entière de z — z0 et ce de façon unique, c’est-à-dire que
o ùbk sont des coefficients généralement complexes. Il est évident que 
Qn (z0) = b0. Il s’ensuit qu’une condition nécessaire et suffisante 
pour que z0 soit racine de Qn est que le terme constant du développe­
ment de Qn en série entière de z — z0 soit nul. Si b0 = 0, on peut 
mettre Qn sous la forme
où Qn_i est un polynôme de degré n — 1. Réciproquement, si Qn (z) 
se met sous la forme (2), autrement dit si Qn (z) est divisible par 
z — z0, alors z0 est de toute évidence un zéro de Qn- 
Nous avons prouvé le
T h ê o r ê m e d e B ê z o ut . Pour qu un polynôme Qn (z ) possède une 
racine (complexé) z0 il est nécessaire et suffisant qu'il soit divisible par 
z — z 0. cest-à-dire qu'il se représente sous la forme ( 2 ) , où Qn~\ est 
un polynôme de degré n — 1.
Qn (S)-
Çn(z)= 2 &A (* —
Qn (Z) = (Z — Z0) Qn-l (Z), V Z, (2)
THEORIE DU POLYNOME DE DEGRE n 183
Supposons que z0 est un zéro*de Qn, donc que Qn se représente 
par (2). Si Çn-1 (z0) 0, le théorème de Bézout appliqué à Çn-1 nous
dit que Qn_x \z) n’est pas divisible par z — z0. On dit alors que z0 
est une racine (ou un zéro) simple de Qn. Supposons maintenant que 
Çn-i (So) = 0- Le théorème de Bézout appliqué à Qn_x (s) nous dit 
que ce dernier est divisible par z — z0. On obtient donc : Qn (z) = 
= (z — s0)2Çn-2 (s)» où Çn-2 (z) est un polynôme de degré n — 2. 
Si Çn_2 (z0) 6, on dit alors que z0 est une racm* (ou un zéro) double
ou de multiplicité 2 de Qn. D’une façon plus générale, si
Q n ( z ) = ( Z — Z o Y Q n -s ( z ) t Q n - z (z o) ^ 0 * S ^ n ,
on dit alors que z0 est une racine (un zéro) de multiplicité s.
On a le théorème d’existence d’une racine complexe d’un poly­
nôme.
T h é o r è m e f o n d a m e n t a l . Tbut polynôme de degré n possède une ra­
cine complexe au moins.
Nous glisserons sur la démonstration de ce théorème.
Voici un corollaire important.
C o r o l l a ir e . Un polynôme Qn de degré n, dont le coefficient domi­
nant an 0, possède n racines complexes compte tenu de leur multipli­
cité, autrement dit
Q n (z) = an (z — zt)pi (z — z2)p* . . . (z — z,)p', (3)
Pi + P2 + • • • H" Pi =: ni 
où Zt, . . ., Z/ sont des racines distinctes de multiplicités respectives
px, . . ., pt.
DEMONSTRATION. D’après le théorème fondamental, le polynôme Qn admet 
au moins une racine. Soient zx cette racine et px sa multiplicité. On a
Qn (z) = (z - r1)p‘Çn. pi (z), Qn_Vi (z^ # 0 .
Si n — Pi = 0, c’est-à-dire que px = n, alors nécessairement Qn-px (z) — 
= an et le théorème est prouvé. Dans ce cas, Qn (z) = an (2 — Zj)n.
Si pi < n, alors Çn-Pl (r) est un polynôme de degré n — px non divisible 
par 2 — zx, dont le coefficient dominant est différent de zéro. On peut lui ap­
pliquer le théorème fondamental qui dit que Çn-pj (s) possède une racine com­
plexe. Désignons cette racine par z2 et sa multiplicité par p2. On obtient en 
définitive
Qn (-) = ( - - =l)P* (* - ■-i )PtQ n .p l -V i (*)
(Qn-Pi~]>2 ^ / = 2).
Si n — Pi — p2 = 0, alors (s) = an. Sinon, on poursuit le pro­
cessus. Celui-ci s’achève au bout d’un nombre fini ( ^ n ) de pas et l’on obtient 
la formule (3). Si dans le second membre de (3) on substitue à z un nombre 
différent de zx, . . on constate qu’il ne s’annule pas. Ceci montre qu’il 
n ’existe pas de racines autres que celles trouvées et la représentation (3 ) est 
unique.
184 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. .S
§ 5. Polynôme réel de degré n 
On dit qu’un polynôme
( > n W = 2 M ‘ (ûn^O ) (1)k=0
est réel si ses coefficients ak sont réels.
Lemme. Pour tout polynôme réel Qn (:z) on a
Va.
D émonstration. Pour prouver ce lemme on se servira des égali­
tés (8) du § 3 et du fait que ah = âk si ak est réel.
On a
Qn (2) = S °hZk = S akzh = S akzh = S ahzh = Qn (z), (2)
*---■« U k—0 k = 0
c.q.f.d.
T iiêoreme . Si z0 = a -{- ip (P ^ O ) est une racine complexe de mul­
tiplicité v d'un polynôme réel Qn, aZors ZZ en est de meme de z0 = a — 
— zp eZ
(s) = \(z - a)2 - p-lvDŽ_2v (2), ' (3)
où Çn_2v (2) est un polynôme réel de degré n — 2v ne s'annulant pas 
pour z = z0 et z = z0.
D é m o n stra tio n . Supposons que z0 — a + zp (P =7^ 0) est une 
racine de Qn. Alors il en est de même de z0 = a — zp. car en vertu 
de (2) Qn (z0) = Qn (z0) = 0 = 0. Les nombres z0 et z0 ne sont pas 
égaux et Qn (z) est divisible par
(s — a — Z p) (z — a 4- Z p) = (z — a)2 + P2. (4)
Donc
Qn (z) = [(z - a)2 + P21 Qn_, (z),
où ^„_2 (z) est un polynôme de degré n — 2 qui est évidemment réel. 
En effet, le quotient de deux polynômes réels est un polynôme réel.
Si z0 est une racine de Qn de multiplicité v, et v > 1, alors z0 est 
une racine de Çn-2 de multiplicité v — 1. Donc on peut, en repre­
nant les raisonnements précédents, représenter Çn-2 (z) par le produit 
de (4) par un polynôme réel Qn _4 de degré n — 4. Ën effectuant cette 
opération v fois on obtient la représentation (3), où Çn_2v (z) est un 
polynôme réel de degré n — 2v ne s’annulant pas en z0. Alors 
Çn-2v (z0) ¥= 0- En effet, si z0 était racine de Qn~2v, il en serait de 
même de zQ.
§ J»] POLYNOME REEL DE DEGRÉ n 185
Théorème 2. Tout polynôme réel Qn (s), dont le coefficient domi­
nant an ^ 0, peut être représenté par un produit de la forme
Qn (*)=: an (z — Cl)111. . . (a —cr)|lr[(a_ a ,)* + pj]v‘ . . .
. . . ((z— as)- + P;]v* — an JJ (s — c}Ÿ i [] [(z — (5)
1 j= l
OU > 0, (Llj + . . . + pr + 2 (v2 + • . • + v*) = w, cly cr
sont les racines réelles de Qn de multiplicités respectives . . ., pr, et 
a! ± . . ., as ± P,i les racines conjuguées complexes de Qn de
multiplicités respectives Vj, . . ., \ \.
R e m a r q u e . Les polynômes réels du second degré de (5) peuvent 
être mis sous la forme :
(z — a-j)1 -r Pj = z2 — 2ajZ + (aj -f Pj) = s2 + PjZ -f qj.
Pi = — 2a,-, q} = a) r P5- 
Donc, la formule (5) peut s’écrire encore
Qn (z) = an II (2 — ci f } .1 ] (2- + PjZ + <7;)v'\ (5'>J=\ J=1
où z2 + + grj sont des polynômes réels du second degré de racines
complexes aj ± ip; (py > 0, p) — 4*̂ = —4pj < 0).
D é m o n s t r a t io n . D’après la formule (3) du § 4
$»(*) = fl ( Z - C j f j Q m ( z ) ,
1
où Qm (s) est un polynôme réel de degré m = n — pj — . . . — |ir. 
Si m = 0, alors de toute évidence Qm (z) = au ; dans le cas général, 
on applique successivement le théorème 1 aux racines complexes de 
Qm.
Signalons que le théorème fondamental n affirme que l’existence 
d’une racine (généralement complexe) d’un polynôme de degré n, 
il n’indique aucune méthode pour trouver cette racine dans le cas 
général. Ce théorème se démontre par les méthodes de l’analyse mathé­
matique. Nous passerons sur cette démonstration, car elle est inti­
mement liée à la théorie des fonctions d’une variable complexe.
Il existe des formules pour la résolution des équations générales 
du second, du troisième et du quatrième degré. Abel *) a démontré 
qu’il n’existait pas de formule générale pour la résolution d'une 
équation de degré n > 4, c’est-à-dire que les racines de l’équation 
anxn axx + a0 = 0 (an ^ 0) ne s’expriment pas en
fonction des coefficients ah.
*) Miels’-Henrik Abel, illustre mathématicien norvégien (1802-182U).
186 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. 5
§ 6. Intégration d'expressions rationnelles
On appelle fonction ou fraction rationnelle le quotient de deux 
polynômes algébriques
(1)
Pm (^) = b0 4" b\X *4” • . • 4" bmx ,
Çn (^) = a0 4“ Q\X 4“ • • • 4” ,
i>m, an ^ 0, m ^ 0, n > 1.
On conviendra que la fonction rationnelle f est réelle, c’est-à-dire 
que P m et Qn sont des polynômes réels. On admettra de plus que x 
est une variable réelle.
Les fractions rationnelles de la forme
{
A
x — a ’
A
U — <*)k (fr>2).
Ax-r- B 
i - - r p x - 7 ’
Ax-L- B 
( x - r px -f- q)k (A->2),
(2)
où A . /i, a, p, ç sont des nombres réels, k un entier naturel, et le 
trinôme du second degré x2 4- px 4- q ne possède pas de racines 
réelles, s’appellent éléments ou fractions simples.
Au § 2 on a montré comment on calcule les intégrales de frac­
tions simples (voir (4), (5), (6), (7), (11) du § 2).
Soit à calculer l’intégrale indéfinie d’une fraction rationnelle 
j (x) (voir (1)). Si m ^ n, une division ordinaire nous donne la partie 
■entière de / :
Pm (x)
/(x) = un polynôme+ -<ÿn1'j) - (mt<n).
L’intégration du polynôme ne posant pas de difficultés, le pro­
blème se ramène à l’intégration d’une fraction rationnelle dont 
l ’exposant du numérateur est inférieur à celui du dénominateur.
On admettra de ce fait que la fraction rationnelle f (x) est propre, 
•c’est-à-dire que l’exposant dunumérateur est inférieur à celui du 
•dénominateur (m < n).
T h é o r è m e . Supposons que le dénominateur d'une fraction ration- 
nelle réelle propre se représente par la formule (5') du § 5:
<?n (* ) = an ( x — C l) * l . . . (X — CT)* r (x2 + Pi* + f c ) Vl • • •
• • • "t” H-
INTÉGRATION D’EXPRESSIONS RATIONNELLES 187
Alors la fraction (1) se représente d'une façon unique par une somme 
de fractions simples:
Pm (J) _ ^ 1.1___ j____Au ~____|_ | ^ i. Hi |
Qn{x) (y— Cl)Hl (x— x — ci
Ay. 1 
(* -C rfr
Ar.
(* — Cr)
i___ |____ B\. ix 4-C\. a
( * 2 + P\x + 9i)Vl ( * 2 4- Pix-v <hfl “ 1
^1. vtg+ g l. Vi . 
*a + Pi* + 9i
& 3 . 1 | ^ 5 . 2X 4~ C < . 2
(x2 -j* Ri* -h ?«)** (*2 -f P** + Rs)* " 1 *2 + P5* + 4Ta ’
(3)
oh A, B et C (affectés de leurs indices respectifs) sont des constantes.
Ce théorème affirme que pour toute fraction rationnelle réelle 
propre il existe des constantes A , B et C (affectées de leurs indices 
respectifs) telles que Ton ait (3) pour tous les x sauf pour les valeurs 
x = c,, . . cr pour lesquelles les deux membres de (3) ne sont 
pas définis. Nous passerons sur la démonstration.
Illustrons ce théorème sur un exemple. Le théorème nous dit que
2xM-jrS + * + 2 _ A} A, Mx-i X (/)
(x — 1 )2 (x2 4* x “| ' 1 ) * — t ^ ( x - 1 ) 2 “1" x- ~r x -1 ’ V '
où i4j, Ao, M et N sont des constantes bien définies. Pour les 
trouver on réduit (4) au dénominateur commun, puis on égale les 
numérateurs du premier et du second membre:
2X3 4 - or 4 - x 4 “ 2 = A x (x — 1) (x2 + x + 1) 4 -
4- A 2 (x2 4- x 4- 1) + (Mx + N ) ( x - l)2. (5)
En chassant les parenthèses dans le second membre de (5) et en 
réduisant les termes semblables (voir chap. 4, § 14, théorème 2), 
on obtient:
2 = Ax + Af, 
i= A z + N ~-2M ,
i = A2 + A f - 2 N , ( )
2 - - A x + Az + N.
On a un système de quatre équations linéaires à quatre inconnues 
A x. A 2, M , N. D’après le théorème ci-dessus ce système admet
188 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. b>
une solution unique: A x = 1, A» = 2, M = N = 1. Donc
2 x* + x2 4 -x-J- 2 _ 1 , 2 , x-f- 1
(x— l)2 ( * 2 + ;r-i-l) — x— 1 • (x— l)-~~ c H - f r l '
Et
(7>
f 2x3 + x2-Lx + 2 , r dx
J U - l)2 (x H x -(- l) J X - l
*+ 1
** + *+ ! dx =
= ln | x — 1 I------—[• ln ^ x ^ - fx - f 1 H-------U- Arctg ** J -f- C.
i l X — i ^ Y 1 / 3 1 / 3
Remarque 1. L’égalité (5) est vérifiée pour tout x ^ 1. Elle est 
donc aussi vraie pour x — 1, car les fonctions du premier et du 
second membre sont des fonctions continues de x . En faisant x = 1, 
on obtient 6 = 3A2, d’où A 2 = 2. Si l’on fait x - 0, on a 2 = 
= —Ai -4- ;42 + AT, d’où iV = >1,. Ces résultats simplifient beau­
coup la résolution du système (6). Si une telle situation se présente 
en pratique, il faut en tirer parti.
Remarque 2. En principe, l'intégrale de toute fraction rationnelle 
peut être exprimée par des fonctions élémentaires. En pratique on 
ne peut intégrer entièrement (1) que si l’on connaît toutes les racines 
de Qn et leurs multiplicités. On a signalé au § 5 que cela n’était pas 
toujours facile. Aussi aurons-nous besoin de divers artifices pour sim­
plifier l’intégration de la fraction rationnelle (1).
De ce point de vue la méthode d’Ostrogradski !) présente un 
intérêt indéniable.
§ 7. Intégration de fonctions irrationnelles
L’intégration de fonctions simples non rationnelles soulève de 
gros problèmes même si les intégrales de ces fonctions existent.
Nous allons traiter des cas où un changement de variable permet 
de ramener l’intégration d’une fonction irrationnelle à celle d’une 
fonction rationnelle.
Soit R (x, y) une fonction rationnelle de x et de y, c'est-à-dire 
une fonction que l’on obtient par des opérations arithmétiques sur 
x et y. Par exemple
R (x , y) = est une fonction rationnelle,
/ (*, y) = V J + y + * 2 est irrationnelle.
J / ^ CL £ i ^ \R (x, y 'cx i j ) dx, où a, b, c et d sont des
constantes, m, un entier naturel, ad — 0, R (x, y), une fonc­
tion rationnelle.
*)■ V; Ostrogradski, illustre mathématicien russe M80l-18(>I).
INTÉGRATION DE FONCTIONS IRRATIONNELLES 189
Une fonction de la forme R*[x, j s ’appelle fonction
homographique irrationnelle.
Montrons qu’on peut ramener son intégration à celle d ’une fonc-
wi f-** | ^
lion rationnelle par le changement t= J / . En effet, Jm =
b — dtm( i x -f- b , , ,= ---- r-r* d ou x •
c x - r d 7
D’autre part,
Donc
c / m — a est une fonction rationnelle de t.
d x = m,7 ' } ad~ bc] dt.( c / m — a ) -
W '-v-Sr î- )* -
= $ « ( - £ & ’ • ) * T . - y ■" -= î
«ù /?,(/) est une fonction rationnelle de / que nous savons inté­
grer. ____
E x e m p l e 1. Calculer j y dx. Ici
R (x, y) =
En posant
on obtient
Donc
KsF-«.
/3-fl 
/3—1 dX :
—G/2 d*
( /3 — 1)2 » x — 1 /3—1 *
— | i ‘ + c — | ( { / 4 ± f ) ‘ + c .
Exemple 2.
J V x + ï x J W x Y + \ v *)
= j - ^ = 6 J ( P - t + l ) d t - l a | 1-r t | =
= 2t3 — 3t2+ 6 t —ln 11 + * | + C.
190 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. 5
II. C a l c u l e r j R (x, Y ax~ 4- bx + c) dx, où a, b et c
sont des constantes.
Si le trinôme ax2 + bx + c possède des racines réelles xx et x2, 
alors ax2 + bx + c = a (x — x,) (x — x2) et l’intégration de
R (x , Yax- + bx + c) -= R (x, (x — x j y ^ *~** <*) =
= « • ( * • / ü ÿ )
se ramène au cas I.
On admettra donc que ax2 4- &x -f- c ne possède pas de racines 
réelles et a > 0. On ramène l’intégration a celle d’une fonction 
rationnelle au moyen de la substitution d’Euler *) :
D’où
t = Y ax- + bx + c -h x Y a .
ax- + bx + c = t2 — 2x]/ a t-r ax2,
c’est-à-dire que
_ t-—c
est une fonction rationnelle de t . Donc, il en est de même de
Y ax- 4- bx 4- c = t —x Y cl = £---- * V a
2 / 1/ a 4 - 6
et
j R (x, Y ax“ 4- bx + c) dx = j R x (£) dt.
R e m a r q u e . Si a < 0 et c> 0 (ax2+ bx+ c^O ), on fait la substitution 
ax2 4- 6x 4- c = xJ+V" c.
E x e m p l e 3. Calculer j Y a2 + x ~ d x .
Le binôme ne possède pas de racines réelles. Donc on pose 
t = Y^x“ 4~ cl- 4" x , x- —f- û“ = t- — 2£x 4“ x~i x —— — ^—
_______ j*» I — O
Vx*- + a* = t - x = .
1) On peut utiliser cette substitution dans le cas de racines réelles pour 
a > 0 sur l ’intervalle où ax2 4 “ bx + c > U.
D’où
§ 7 ] INTÉGRATION DE FONCTIONS IRRATIONNELLES 191
x Y x- + a r : 41* » dx
*2-fa2
2 t -
Ainsi donc,
J -2 ± £ ~ !£ i « tt- l j [< + -^ -+ 4 ]a -
==— ln 1t | -J--g— gj7 + C = — ln 11 1H— ÿjj— h C =
— — ln \x + y x--\ ar | + ~ Y x- + a1 + C.
III. I n t é g r a t i o n d’e x p r e s s i o n s d e l a f o r me * 
R (cos x , sin x).
On ramène l’intégration à celle d’une fonction rationnelle par 
la substitution t = tg (x!2) (x Ç ]—jx, j iI) dite substitution univer­
selle. En effet,
sin x
donc
2 1? ( x / 2 ) _ 2 t
l + tç8(*/2) l-M 2 ’
x — 2 Arc tg J,
cosx 1 —tgg (jt/2) l 4 tg“ (r/2 )
dx= 2 d t1-H* ’
j /? (cos x, sin x) tfx= j Æ (t + F » 2/ \ 2 <J<l + <2 J l + <*
1 —i2 
l + i* ’
dt.
Si la fonction R (x , y) est paire ou impaire en x ou en y , on peut 
se servir d’autres substitutions.
Soit
Æ(«* t’)= ^ ((“' ^ (u = cosx, n = sinx),
où P et Q sont des polynômes de u et de v.
1) Si l ’un des polynômes P et Q est pair en v et l’autre impair 
en v, on fait la substitution t = cos x.
2) Si l ’un des polynômes P et Q est pair en u et l ’autre impair 
en u, on utilise la substitution t = sin x .
3) Si P et Q : a) ne changent pas quand on remplace u et v res­
pectivement par — u et —vy ou b) changent tous deux de signe, on 
se sert alors de la substitution t = tg x (ou t = cotg x).
E x e m p l e s :
*• î i ê r = ( f:=ts f ) = î 4 = lnlf l + c=lnltST| + c-
2. f sJ ïL L dx = - \ = __ C d(çosx) =J COS4 X J COS4 X J COS4 X v 7
= (t = cosx)= — ̂ dt.
COS4 X
192 INTÉGRALES INDÉFINIES [CH. 5
r3 r3On a R (u, r) = — — , c’est-à-dire que le numérateur est 
impair en v et le dénominateur, pair en i\ On a affaire au cas 1).
 ̂ r ______dx_______ f _____dx_______
J a- cos- r. 6" s in- x J (a--f- />- tg- r) cos3 x
= (t = tg t) = j jqTpjs •
On a P (u, v) = 1 et Q (u. v) = cru- -}- b2i~. On se trouve dans 
le cas 3a), car P et Q ne changent pas quand on remplace u et v 
respectivement par —u et —1\
CHAPITRE 6
INTÉGRALE DÉFINIE
§ 1. Problèmes introduisant la notion d’intégrale définie. 
Définition de l’intégrale définie
a) Soit donnée sur un intervalle [a, 6] (a et b sont finis) une fonc­
tion / (x) continue positive, dont le graphe est représenté sur la 
figure 75. Posons le problème suivant: définir la notion d’aire de la
Fi*. 75
figure limitée par la courbe y = / (x), l’axe Ox et les droites x = a 
et x = by et calculer cette aire. Ce problème se résout de la manière 
suivante. Divisons [a , b] en n parties par les points
a = Xq ^ Xj ^ ^ = (1)
choisissons dans chaque intervalle partiel
[x; , xj+i 1 (j = 0, 1, . . ., n — 1) (2)
un point arbitraire calculons les valeurs de / aux points et 
formons la somme:
s n = 2 / (?;) A*i (AX] = xi+i - X}) (3)
J = 0
que nous appellerons somme de Riemann. Cette somme est de toute 
évidence égale à celle de tous les rectangles hachurés (cf. fig. 75).
1 3 - 0 6 2 2
1 9 4 INTEGRALE DEFINIE [CH. 6
Faisons tendre tous les Axj vers 0 de telle sorte que le plus grand 
AXj tende aussi vers 0. Si la quantité S n tend vers une limite S ne 
dépendant pas de la subdivision (1) et du choix des points gj, il 
est naturel d’appeler la quantité S aire de la figure mixtiligne. Donc,
5 = lim nj ] f ( l j ) A x } (4)
m a x A x j -+ Q j * 0
Nous avons ainsi défini l’aire de la figure mixtiligne. Il se pose 
aussitôt la question de savoir si une telle figure possède une aire, 
autrement dit de savoir si la somme de Riemann Sn tend vers une 
limite finie pour Axj -*■ 0. On montrera dans la suite que la réponse 
est positive : toute figure mixtiligne correspondant à une fonction 
continue f (x) possède bien une aire au sens défini plus haut, exprimée 
par un nombre S dépendant de cette figure.
La deuxième question concerne l’adéquation d’une telle défi­
nition de l’aire. Disons que la pratique a complètement justifié 
cette définition et nous aurons d’ailleurs maintes occasions de nous 
en convaincre.
b) On demande la masse d’une tige non homogène portée par 
un axe Ox et dont une extrémité se trouve au point d’abscisse a 
et l ’autre au point d’abscisse b (b > a).
Supposons que la densité de répartition de la masse le long de la 
tige est une fonction continue de x: p (x). Soit une subdivision de 
l ’intervalle [a, b]: a = x0 < xt < . . . < xn = b. Choisissons un 
point £{ quelconque dans chaque intervalle partiel [x*, xf+1].
La fonction p (x) variant peu sur l ’intervalle [xj, Xj+1l, on peut 
admettre que la masse de la portion [xz-, xi+1] de la tige est approxi­
mativement égale à p (|j) Ax*, où Ax; = x i+1 — x*.
La masse totale m de la tige est approximativement égale à
n - 1
p(io)A*o+p(£,)Ax, + . . . "hP(in-i)Axn_, = S P(à)Ax,.
i= 0
La masse exacte est de toute évidence la limite de cette expres­
sion lorsque le plus grand intervalle partiel tend vers zéro, soit
n - 1
m — lim 2 p(ii)Axj. (4')
maxAXf-»0 i*=0
Les deux problèmes envisagés nous ont conduits à une même 
opération mathématique sur des fonctions d’origine différente défi­
nies sur un intervalle [a, b]. Nous rencontrerons beaucoup d’autres 
problèmes concrets dont la résolution se ramènera à une opération 
identique sur une fonction définie sur un intervalle fermé. Cette opé­
ration s’appelle intégration d'une fonction sur un intervalle fermé. 
Le nombre ainsi obtenu s’appelle intégrale définie d'une fonction sur 
un intervalle fermé.
§1] DEFINITION DE L’INTEGRALE DEFINIE 195
D é f in it io n 1. Soit donnée une fonction f sur un intervalle [a , 6 h . 
Partageons [a, 6] en intervalles partiels avec les points arbitraires
a = x0 < xx < x2 < . . . < xn = b.
On dira qu'on a effectué une subdivision R de Vintervalle [a, 6 ] . Pre­
nons un point arbitraire Ç [xj, Xj+X 1 et formons la somme
n—1
Or=Or (/) = S / (Ij) Ax) (AxJ = xi+1 - *i).
7=*0
appelée somme de Riemann de la fonction f attachée à la subdivision R . 
Désignons par
\ R = max As*
e* appelons pas ou module de R le plus grand des intervalles partiels
\xji
La limite (si elle existe) de la Somme de Riemann c R quand XR 0 
s'appelle intégrale définie de la fonction f sur V intervalle [a, 6] et 
se note
n - 1 b
lim lim 2 /(?/)Axy = \ f ( x)dx (aCb). (5)
XR -° mazA«r 0 i=() J
Le nombre a s’appelle borrco inférieure, le nombre 6, borne supé­
rieure de l ’intégrale définie.
La définition 1 est équivalente à la suivante.
D é f in it io n 1 ' . On appelle intégrale définie d'une fonction f sur 
un intervalle [a, 61 le nombre I possédant la propriété suivante : pour 
tout e > 0 on peut exhiber un nombre 6 > 0 tel que pour toute subdi­
vision R de [a, 6] de pas
on ait
XR = max Axj<i 6
Or - I | =
7=0 < F
quel que soit Ç [Xj, X;+l].
La notion d’intégrale définie telle que nous venons de la défi­
nir a été introduite pour les fonctions continues par Cauchy et dans 
le cas général, c’est-à-dire pour les fonctions non nécessairement 
continues, par Riemann 1). La limite (5) s’appelle intégrale de Rie-
x) Georg Friedrich Bemhard Riemann, éminent mathématicien allemand 
(1826-1866).
13*
INTÉGRALE DÉFINIE196 [CH. 6
marin et la fonction pour laquelle cette limite existe jonction inté­
grât le-R iemann.
Si une fonction / est continue sur [a, b], on verra que la limite 
(5) existe toujours pour elle.
On dit aussi qu’une fonction continue sur [a, b] est intégrable- 
Cauchy sur [a, 6].
En a) nous avons défini (cf. fig. 75) l’aire d’une figure mixtiligne 
limitée par le graphe d’une fonction continue y = / (x) ^ 0, l’axe 
Ox et les droites z = a et x = 6. Nous pouvons dire maintenant que 
l’aire de celte figure est égale à l’intégrale définie de / sur [a, 6]:
b
S = j / (x) dx.
a
Nous pouvons dire encore que la masse de la tige étudiée en 
b) est égale à l ’intégrale définie de la densité linéaire p (x) sur [a, 61:
b
m= j p (x) dx.
a
Ainsi, Vintégrale définie d'une fonction f sur un intervalle [a, 6] 
est par définition la limite de la somme de Riemann (5) lorsque le pas 
de la subdivision R tend vers zéro.
Dans cette définition qui désormais n’est plus liée à la recherche 
d’une aire, la fonction / n’est pas nécessairement continue et positive 
sur [a, 61. Signalons que cette définition n’affirme pas l’existence de 
l’intégrale définie de toute fonction / définie sur [a, 6], c’est-à-dire 
l ’existence de la limite (5). Elle dit seulement que si cette limite 
existe pour une fonction donnée sur la, 61, elle s’appelle intégrale 
de f sur la. 61.
A noter encore que lorsqu’on dit que la limite T existe, on sous- 
entend qu’elle ne dépend pas du pas de la subdivision de [a, 61 et 
des points $j.
Le calcul direct d’une intégrale définie à l ’aide de la formule (5) 
soulève de grosses difficultés dans la mesure où les sommes de Rie­
mann de fonctions parfois peu complexes prennent des proportions 
démesurées qui compliquent la détermination de ces limites. En tous 
les cas on n’a pas encore réussi à mettre au point des méthodes 
générales de calcul dans ce domaine. Il est intéressant de noter que 
c’est Archimède qui le premier a résolu des problèmes de cette 
nature. Il a en effet calculé l’aire d’un segment de parabole par des 
raisonnements qui rappellent vaguement la méthode actuelle des 
limites. Au fil des siècles de nombreux mathématiciens se sont pen­
chés sur le calcul d’aires et de volumes de figures. Au XVIIe siècle
DÉFINITION DE L’INTEGRALE DEFINIE 197
encore la position de ces problèmes et les méthodes de leur résolution 
revêtaient un caractère particulier. Il faut attendre Newton et 
Leibniz *) pour voir enfin se dessiner une méthode générale de réso­
lution. Ils ont montré que le calcul de l’intégrale définie d’une fonc­
tion pouvait se ramener à la recherche d’une primitive de cette 
fonction.
On a indiquéplus haut qu’une fonction continue sur [a, 6] était 
intégrable sur [a, b]. Ce fait sera justifié au § 7.
On démontrera de même qu’une fonction monotone sur [a, b] 
est intégrable sur [a, 61. On rappelle qu’une fonction monotone peut
§1]
Fig. 76
posséder des discontinuités en nombre fini ou dénombrable (voir 
théorème 2 du § 4, chap. 3).
La figure 76 représente le graphe d’une fonction y = / (x) définie 
sur un intervalle [0, a]. Cette fonction est continue sur [0, xJ, 
décroissante sur [xx, x2] et croissante sur [x2, al. Elle est donc inté­
grable sur chacun de ces intervalles et par suite sur l’intervalle 
[0, al tout entier en vertu de l’additivité de l’intégrale (voir § 2, 
théorème 3).
Donc, si un intervalle [a, 6] de définition d’une fonction y = 
= / (x) peut être partagé en un nombre fini d’intervalles partiels 
sur chacun desquels cette fonction est continue ou monotone, alors 
elle est intégrable sur [a, 6J.
Newton et Leibniz ont prouvé un théorème liant deux notions 
fondamentales de l’analyse mathématique: l’intégrale et la dérivée. 
Ce théorème s’exprime par la relation (dite formule de Newton- 
Leibniz)
b
F (b) —F (a) = j f (x) dx, (6)
1) Isaac Newton, génial mathématicien et physicien anglais (1643-1727). 
Gottfried Wilhelm Leibniz, illustre mathématicien allemand (1646-1716). ’
INTEGRALE DEFINIE198 [CH. 6
où / (x) est une fonction continue sur [a, 61, F (x), une primitive 
de / (x) sur [a, b].
En résumé, pour calculer V intégrale définie d'une fonction con­
tinue sur un intervalle [a, 6], il faut connaître une primitive F (x) 
de f et calculer la différence F (b) — F (a) des valeurs prises par F (x) 
aux extrémités de l'intervalle \a, 6].
On déduit sans peine la formule (6) si Ton sait qu’une fonction 
/ (x) continue sur [a, 61 est intégrable sur [a, 61 et qu’elle possède 
une primitive F (x).
Soit R une subdivision quelconque
a = x0 < xx < . . . < xn = 6
de l’intervalle [a, 6]. Alors (voir justifications plus bas)
F ( b ) - F (a) = F (xn) - F (x0) = F(xn) — F (xn_.) + F (*„_,)
■■■-F (x,) + ̂ (x,) - F (x0) = S [F (xh+t) - F (xfe)] =
k~0
n - i n - 1
= 2 ^ (g») (**+,-**) = 2
«o ft=0
h
}(îh) Axft-—> f / (x) dx, (7)
d’où la formule (6).
Dans la quatrième égalité (7) on s’est servi du théorème des 
accroissements finis
F (xk+l) - F (xk) = F ' (g*) (xfc+1 - x0.
où 6k 6 Ix*, xft+1l. La dernière relation résulte du fait que la fonc­
tion / étant continue sur [a, 6] est intégrable sur [a, 6] et par suite 
l’une quelconque de ses sommes de Riemann, et en particulier celle 
obtenue en appliquant le théorème des accroissements finis, tend 
vers l’intégrale définie de / sur [a, 61 lorsque XR 0.
On a le
THÉORÈM E. Une fonction non bornée sur un intervalle [a , 6] n est pas intégrable 
sur cet intervalle.
Donc, pour qu une fonction f soit intégrable sur un intervalle [a, b] il est 
nécessaire qu elle soit bornée sur cet intervalle.
Cependant, cette condition n'est pas suffisante.
E x e m p l e . La fonction
r 1 si x e s t r a t io n n e l, 
v W — ^ — 1 si x e st ir r a t io n n e l
est bornée: | (-r) | = 1 , mais pas intégrable sur tout intervalle [a, 6 ].
En effet, si les points 6 / figurant dans la somme de Riemann de (x) 
sont rationnels, alors
n - i n - i
OR= S 'Hl])tej= S l-h*j = b—«.
£ o J-0
Si les points sont irrationnels, alors
n - 1
aB= 2 (-l)A x j’---- (&-«)•
9 2] PROPRIÉTÉS DBS INTEGRALES DEFINIES 199
La somme <jr n’étant pas la même dans les deux cas, la fonction n’est pas 
intégrable sur [a, b].
DEM ONSTRATION DU THÉORÈME, Soit
n - 1
Or = 2 /(£l) (*«♦! —*l)
i= 0
une somme de Riemann de le fonction / Attachée à la subdivision fî: » = 
= x0 < *! < . . . < xn = 6 . Si l’on admet que la fonction / n’est pas bornée 
sur [a, b], elle le sera nécessairement sur un intervalle partiel, pour fixer les 
idées, [x(o, xio+1). Figeons h € l* i , *i+il pour tous les i =£ ia et supposons 
provisoirement que §j0 est variable. Le terme / (Ijj) (*i0+i — x if) n’est pas 
borné sur [xj0, xjj+i], quant à la somme des autres termes, ellB est égale à un 
nombre bien défini. Donc, | oB | peut être rendue arbitrairement grande par 
un choix convenable du point et la fonction/ ne sera pas intégrable sur [a, 6 ]. 
En effet, si une fonction est intégrable sur [a, b], ses sommes de Riemann sont 
bornées quel que soit | j .
Dans la suite, on introduira la notion d’intégrale impropre et 
l’on verra que certaines fonctions non bornées sur un intervalle fermé 
borné admettent des intégrales impropres.
§ 2. Propriétés des intégrales définies
On étudie dans ce paragraphe les propriétés des fonctions inté­
grables. On a signalé plus haut que les fonctions continues et mono­
tones sur un intervalle [a, h] étaient intégrables sur cet intervalle. 
Ce fait sera prouvé au § 7.
T h é o r è m e 1 S i M est une constante, alors
b
dx = M (b — o). ( 1)
200 INTEGRALE DEFINIE [CH. 6
En effet, quelle que soit la subdivision R de [a, 61, la somme de 
Riemann de la fonction / (x) = M est égaletà
D’où
n —1 n - 1
oR = S M Ax, = Af 'S Ax, = Af (b—a). 
j=o j~o
l i m aR = M ( b — a).
*r-°
Théorème 2. Pour Za fonction
0, [a, 6|, l i - c ,
U
j H'c (*) ày = 0.
En effet, considérons une [subdivision R de [a, 6 |: 
a = x0 < xj < . . . < arn = 6 .
L’un des intervalles semi-ouverts, disons [jrm, jrm + 1 [. contient le point c. Donc 
n -l
Or ( t e ) = 2 A s* = ^ c (^m-1) &xm- 1 "i~ t e (?m) &xm
A=*Q
(les autres termes sont manifestement nuis). Comme | tc(*) I ^ M |, alors 
Il or (te) K M I (Ajm-i 4- At„,) 0
pour 0 , c.q.f.d.
T hêorême 3. Si une fonction / est intégrable sur chacun des inter­
valles [a, cl, [c, 61 (a < c < 6), elle le sera sur [a, 6] et
b C b
j / (x )d x = j / (x )d x + j / (x )d x (2)
a n •:
(iadditivité de V intégrale définie).
D émons trati on . Soit une subdivision R de [a, b] :
R . a Xq ^ Xj ^ . . . ^ X|| b.
On admettra que c est confondu avec un point de R : xm = c. Alors 
R induit sur [a, cl et [c, b] les subdivisions R t et R s :
R i : a =£x0 < Xj < . . . < xm = c,
R 2: c — xm < xm+1 < . . . < xn = b,
et
8 2 ] PROPRIETES DES INTEGRALES DEFINIES 201
n - 1 m - 1 n - 1
* * = 2 f ( h ) AxJ= 2 /(S /)A * y + 2 / (iy) A*,=ofll+ o ,<2;=*0 J=o
Supposons que
XR= max | A i. | ->-0.
0 < i s £ n - l
A fortiori XKt-*~0 et XRl-*■ 0. Et par suite
c b
lim oR = lim oBl 4- lim Ofl2 = \ / (a:) d x + \ / (x) dx. 
XD-*0 -0 -0 J JKl «2
Cette relation a été établie pour des R contenant le point c. 
Elle est alors valable pour toute R (voir lemme plus bas). Donc,
b
l’intégrale (x) dx existe et l ’on a (2).
a
Par définition, ’
a
j / (x) dx = 0.
a
b
j / (x) dx = — j / (x) dx.
(3>
(4)
où / est intégrable sur [a, 61.
Il est immédiat de voir que, eu égard à (3) et à (4), la relation (2) 
est valable quels que soient a, b et c, pourvu que / soit intégrable 
sur le plus grand des intervalles [a, 6], [a, c], [c, 6].
Si par exemple c < a < 6, le théorème 3 nous dit que
U U U
j / dx= j / cta: + j / (x) dx
ou
^ f d x = ^ f dx— ^ f dx = ^ f dx + ^ f dx,
a c c a c
et l’on obtient (2).
T h é o r è m e 4. Si des fonctions f x et / 2 sont intégrables sur [a, 61 
et A et B sont des nombres arbitraires, alors
b b b
j (Afi + Bfz) dx = A ^ f i dx + B ^ f z dx. (5)
202 INTEGRALE DEFINIE [CH. 6
En particulier, pour B = 0, on obtient
b b
^Afi dx = A ^ f i dx, (6)
a a
relation qui exprime qu'on peut sortir un facteur constant du signe 
d'intégration.
Pour A = 1 et B = ± 1 , on obtient
b b b
^ ( f i ± f ^ d x = s l f i ^ à z ^ f 2dx. (7)
a a a
D é m o n s t r a t i o n . Pour une subdivision R arbitraire, on a
jS M/, (tj) + BU fo) ] A Xj = A y;1 U (lj) A*, + B nÿ f ( y Axf. 
j—0 1=0 1=0
De là, en passant à la limite pour k R -*• 0, on déduit l’égalité (5) 
qui, de toute évidence, est valable pour 6 ^ a aussi.
Theorême h. Une fonction fêtant intégrable sur [a, b], si Von pose 
f l (*) = /(*)+ te (*). OÙ c 6 la, b1 et
0 pour iÇ [a , 6], x ^ c ,
A pour x = c (A est un nombre quelconque), 
alors
b b
j Zi (x) dx = j / (x) dx.
a a
DEMONSTRATION. Le théorème 2 nous dit que
b
te (*) = {
j t e (x)dx= 0.
Donc* en vertu du théorème 4,
b b b b
j /,(*) j / (*) dx+ j t e (*) àx = j / (*) dx,
a a a a
«.q.f.d.
R emarque 1. Le théorème 5 nous dit que l’intégrabilité d’une 
fonction / ne dépend pas des valeurs qu’elle prend en un point déter­
miné.
Ainsi, la fonction t (x) = (sin x)/x est définie sur l’intervalle 
[0, 1]. Si l’on pose t (0) = 1, elle sera continue et par suite inté­
grable sur l’intervalle [0, 1]. Cependant, que l’on pose t (0) = 1 ou
203
t|? (0) = A j où A est un nombre quelconque, la fonction (x) restera
intégrable et son intégrale j i|> (x) dx prendra la même valeur.
o
Theoreme 6. Si des fonctions f et q> intégrables sur un intervalle 
[a, 6] sont telles que
§ 2] PROPRIETES DES INTEGRALES DEFINIES
alors
/(*)<<P(x)f
b
j / (x)[dx ̂ j <p (x) dx (a ̂ 6). (8)
a a
D é m o n s t r a t io n . Pour toute subdivision R, on a
J ï f ( h ) * * <p £ j )o j—o
car A z^>0. En passant à la limite pour on obtient (8)»
Tbëorêmb 7. On a
b b
| j / ( x ) d z |< j |/(z ) |d x (a< 6) (9)
a a
ou si b < a
O O
| j / ( x ) d x |< |J | / ( x ) |d x (9')
pourvu que f et | / | soient intégrables sur [a, 6], 
D é m o n s t r a t i o n . U est évident que
- | / ( * ) K / ( * K I / ( * ) I . VxÇ [a, 6]. 
En vertu du théorème 6
b b b
J ( — | / ( x ) | ) d x < j / d x < j \ f \dx (a < b )
OU
O O O
- j | / | d x < j / d i < j |/ | dx.
204 INTEGRALE DEFINIE [CH. ft
ou encore
b b
| j / d x | < j | / | d x (a < b ),
a a
c.q.f.d.
Si a < b , les seconds membres de (9) et (9') sont égaux. 
Si b<Za, alors en vertu de (4), on a
o a a o
| j /< & |= j i/ i rf*= | j i/ i «**|,
c’est-à-dire (9').
Enfin, le cas a = b se ramène à la relation évidente 0 ^ 0. Ce 
qui prouve (9).
R e m a r q u e 2. L’intégrabilité de / sur [a, b j entraîne celle de 
| / | sur [a, 6] (voir plus bas § 7, remarque 2). Ceci est toujours évi­
dent pour des fonctions concrètes. Si par exemple / est une fonction 
continue par morceaux sur [a, b] (on démontrera qu’elle est inté­
grable), alors | / | l ’est aussi.
La réciproque n’est pas généralement vraie. L’intégrabilité de 
| / (x) | n’implique pas nécessairement celle de / (x) sur la, b].
Ainsi, la fonction if (x) de l’exemple du § 1 :
pour x rationnel, 
pour x irrationnel,
n ’est pas intégrable sur [a, b], cependant que | i|' (x) | = 1 l’est sur 
la, b].
THEOREME g . Etant donnée une fonction f intégrable et positive sur [a , 6], 
s'il existe un point c € la . 61 en lequel ] est continue et tel que / (c) > 0 , alors
b
\ f ( x ) d x > 0 . (1 0 )
J
a
D é m o n s t r a t i o n . On admettra que c 6 ] a , 6 [. Comme / est continue en 
c et / (c) > 0 , il existe un intervalle [c — ô, c + ô] tel que (voir chap. 3 , § 3 , 
théorème 4)
f ( x ) > Æ - = t ]> 0 , V * € [ c - 6 , c+6].
Alors
b e - 6 c+ô b
j f ( r ) d x - j f ( x ) d x + j f ( * ) d x + j f ( t ) d x > 0 , 
a a c - ô c+ô
INTÉGRALE FONCTION DE SA BORNE SUPERIEURE 205S 3] 
car
c-ô b
J /(*) dx > 0 , j /(x)d*>0,
a c-f-ô
c+ô c+fi
 ̂ / (x) dx > ̂ T) dx — 2ÔT1 > 0. 
c-ô c-ô
Si c = a ou c = b, on considérera respectivement les intervalles [a, a + 6] 
et [b — ôf &1 au lieu de [c — ô, c + oj.
LeMMB. Soit R+ une subdivision de [a, 6] dont un point est confondu avec c. 
Si une fonction f est bornée sur [a, b] et ses sommes de Riemann attachées aux 
subdivisions de la forme R0 sont telles que
lim cfi, = 7,
».jj -o
alors f est intégrable sur [a, 6] et
b
Î f (x)dx = I = l i m Or .
DEMONSTRATION. Soit R une subdivision quelconque de [a , 6] :
R l a = x g < Xi < • • • < ^ Jm+i ^
telle que ^ < c < xm+1.
En ajoutant le point c à R on obtient une subdivision Rm. Si kr -► 0, 
il en est de même ae
Si de Or on élimine le terme / (£m) ( * m + 1 — xm) et que l’on ajoute / (g«) X 
X (c — xm) + f (§£,) (xm + 1 — c), on obtient la somme de Riemann oR$. Ceci
étant
oH = ° r* + I*.
OÙ
M- = / (5m) (^m+l x m) / (5m) (c z m) / (?m) (J m +l c)*
^ 5 m ^ c» c ^ 5m ^ % + !•
Il est évident que
(*m+i— xm) 4" M {c—xm) + A7 (zm+i— c) = 2Af (xm+1— xm) —--------> 0.
Donc
lim O r = lim O r a + lim u — 7 + 0 = 7.
XR-°
XR - 0 XR.-°
§ 3. Intégrale fonction de sa borne supérieure 
On remarquera que
b b
j f ( x ) d x = j / ( u ) du.
206 INTEGRALE DEFINIE [CH. S
c’est-à-dire que l’intégration peut s’effectuer aussi bien par rapport 
à x qu’à u sur la, b]. En effet, dans les deux cas toute somme de 
Riemann de / s’écrit
<7* = 2* n h ) tej -J—0
Soit donnée une fonction / intégrable sur un intervalle [a, 6]. 
La fonction / est également intégrable sur la, x1 quel que soit x Ç 
€ la, 61.
Cette proposition est à démontrer, mais nous ne le ferons pas. 
En règle générale, elle est évidente. Par exemple, une fonction (mono­
tone) continue sur un intervalle 
la, b] l’est sur la, x] et par suite est 
intégrable sur la, x ].
Soit x Ç la, 61. Etudions l’inté­
grale définie de / sur l’intervalle 
[a, x1. Ce sera une fonction de x que 
nous désignerons par F (x) :
F(x) = \ f ( u )du . (1)
Fig. 77 °
La variable d’intégration est u pour éviter toute confusion avec 
la borne supérieure x.
La figure 77 représente le graphe d’une fonction / bornée, continue 
par morceaux, discontinue en c. Le nombre F (x) est égal à l’aire de 
la figure ABxa. Il varie avec x.
T h é o r è m e 1. Si une fonction f est intégrable sur un intervalle 
[a, 6], la fonction F définie par la formule (1) est continue en tout point 
x 6 [a, 61.
D é m o n s t r a t io n . Prenons un point x quelconque et donnons-lui 
un accroissement h (fig. 77). On a
x+A m x+ /i
\F(x + h)—F (i) | = | j f (u)du — j / ( u )< fu |= | j /(u )d u |< A /|A |,
a a m
où M ^ | / (u) |, V u ç [a, 61.
L’inégalité obtenue
implique que
lim [F (x + h) - F (*)] = 0,
A-.0
c’est-à-dire que F est continue en x.
§3] INTÉGRALE FONCTION DE SA BORNE SUPERIEURE 207
Signalons que F (x) est continue en tout point x qu'il soit point 
de continuité ou de discontinuité de /.
T h é o r è m e 2. Si une jonction f intégrable sur [a, 61 est continue en 
un point x 6 [a, 61, alors la fonction F est dérivable en x (voir (1)) :
F ' { x ) = f ( x ) . (2)
D é m o n s t r a t io n . Soit x un point de continuité de /. On a
X + h X x+ h
f ( a + ^ - ' F(Z)= | [ J f ( u ) d u - ] f ( u ) d u ] = ± j / ( u ) d u =
a a x
x+ h
= T 5 {/<*) + ! / ( “>-/(*)!><*“ =
x
m+h
= ± - f ( x ) h + ± j [ / ( « ) - / ( * ) ] du =
x + h
= / (* )+ 4 " î [/ («) — /(*)]du- (3)
X
Pour obtenir (3) on s’est servi des propriétés de l’intégrale définie* 
Dans la quatrième égalité on a utilisé le fait que / (x) ne dépendant 
pas de u est considérée comme un facteur constant dans l’intégration 
par rapport à u (voir théorème 1 du § 2). Prouvons que
x+ /l
4* J ! / («)—/(*)!<*“ (4)
X
La fonction / est continue en x, donc pour tout e > 0 on peut exhiber 
un 6 > 0 tel que
I / ( “) — /(*) I < e, V u 6 [*, x + W, 
pourvu que | h | < fi. Donc
x + h x + h
| 4 j l / ( « ) - / ( * ) l * * | < | 4 J | / ( u ) - / ( x ) | d u |<
X x
x + h
< 1 4 - 5 e H H 4 - H = 8’
ce qui prouve la 'propriété (4).
208 INTÉGRALE DÉFINIE [GH. 6
En passant maintenant à la limite pour h 0 dans (3), on établit 
l'existence de la dérivée F ' (x) :
F' (x) = (x).
/i-0 n
Ceci prouve le théorème 2.
Signalons que dans le théorème 2 la fonction / peut présenter des 
points de discontinuité sur la, 6], mais au point x , où Ton affirme 
l’existence de la dérivée de F, la fonction / doit nécessairement être 
continue, sinon le théorème 2 n’aurait pas de sens.
Le théorème 2 affirme en particulier que si une fonction / (x) 
est continue sur un intervalle [a, 61, alors F (x) possède sur cet inter­
valle une dérivée égale à / (x).
Donc, si une fonction f estcontinue sur un intervalle [a, 61, elle 
possède une primitive sur cet intervalle. Pour primitive on peut prendre 
V intégrale (1).
Il s’ensuit que Vintégrale indéfinie d'une fonction f continue sur 
la, 6] est égale à
X
j / (x) dx = ̂/ (u) du + C, x Ç [a, 6],
ou C est une constante.
§ 4. Formule de Newton-Leibniz
Cette formule s’écrit
b
j / ( u )d u = ®(6) —<D(a) = Q ( x ) |^ , (1)
a
f(u) étant une fonction continue sur [a, 61, <D (a), une primitive de / 
sur [a, 61.
La formule de Newton-Leibniz a déjà été prouvée au § 1. On 
avait alors admis qu’une fonction continue sur [a, 6] était intégrable 
et possédait une primitive sur [a, 61.
On sait maintenant (voir § 3) que l’intégrabilité d’une fonction 
continue sur [a, 61 implique l’existence d’une primitive de cette fonc­
tion sur [a, 6].
Voici une autre démonstration de la formule de Newton-Leibniz. 
Revenons à la fonction
F(x) = ^ f (u)du . (2)
9 4] FORMULE DE NEWTON-LEIBNIZ
On remarquera que
209
a b
F(a) = j f (u) du = 0 et F(b) = j f ( u ) du. (3)
a a
On sait par ailleurs que F (x) est une primitive de / sur [a, &]. Donc,
si O (x) est une autre primitive de /, il existe une constante C telle 
que
<D (x) = F (x) + C, V x Ç la, 61. (4)
De (2), (3) et (4) il s’ensuit
b
(P (b) — <D (a) = F (b) — F (a) = j / (u) du,
a
ce qui prouve la formule (1).
Exemple 1.
j x * d x = 4 - | ^ = 4 -.
o
Ceci montre que l'aire de la figure hachurée (fig. 78) est égale à 1/3. 
Exemple 2.
«
j sin x dx = —cos x| J = 1 + 1 = 2. 
o
Donc, l’aire de la figure (fig. 79) limitée par l ’arc de sinusoïde 
y = sin x et l’axe Ox est égale à 2.
Exemple 3. La fonction
r - i , - i < x < o ,
cp (x) = sgn x — < 0, x = 0,
y i , o < x ^ i ,
14—0622
210 INTEGRALE DEFINIE [CH. $
est continue sur l’intervalle [—1, 1] sauf en x = 0. L’intervalle 
[—1 , 11 peut être partagé en deux intervalles [—1, 0] et [0 , 11 sur 
lesquels <p est monotone, donc intégrable. On a la formule
X
F(x) = j sgnudu = —l-H ^ I ( — l ^ x ^ l ) . (5)
- i
En effet, la fonction 9 (x) étant continue sur [—1, 0[, sa primitive 
est égale à —x. En appliquant la formule de Newton-Leibniz, on 
obtient
X X
j sgnudu = j ( — ï ) d u — — u| *t ~ —1 —x ( — l ^ x < 0 ) (6)
- i - i
Le théorème 1 du § 3 nous dit que la fonction F (x) est continue, 
notamment en x = 0. Donc
F (0) = lim (—1 — x) = —1. (7)
*-o
Pour x > 0
x 0 x
F (x) = C sgnudu — Jsgn u du + j 1 -du = —l + u|o = —1+ x. (8)
-1 -1 o
De (6), (7) et (8) on déduit (5).
On obtient une formule plus élégante en intégrant à partir de 
de x = 0 :
X
j s g n n d u = |x |. (9)
o
L'intégrant de (9) est une fonction bornée, discontinue en x = 0. 
L'intégrale F (x) = | x \ comme fonction de sa borne supérieure est 
continue même en x = 0 , ce qui est en accord avec le théorème 1 
du § 3. Cependant, la dérivée F' (0) n’existe pas, ce qui ne contredit 
pas le théorème 2 du § 3 qui affirme que F' (x) existe si seulement / 
est continue en x .
T h é o r è m e 1 ( d e c h a n g e m e n t de l a v a r i a b l e ) . On a
b d
j / (x )d x = j / [ 9 (t)](p'(«)d<, (10)
a c
où la jonction 9 (t) est continûment dérivable sur [c, d], a = 9 (c), 
b = 9 (d) et f (x) continue sur [A, B], image de Vintervalle [c, dl 
par 9 .
D é m o n s t r a t io n . Soient F (x) et C» (t) des primitives respectives 
de / (x) et de / [9 (<)] 9 ' (t). On a alors (voir chap. 5, § 2, (1) et plus
**] FORMULE DE NEWTON-LEIBNIZ 211
bas) O (t) = F lep (f)] + C, c ^ t ^ d, où C est une constante. 
Donc,
F ( b ) - F (a) = F [cp (d)] - F [<p (c)] = <D (d) - <D (c). (11)
En vertu de la formule de Newton-Leibniz, le premier membre de
(11) est égal au premier membre de (10) et le second membre de 
(11), au second membre de (10), ce qui prouve la formule (10).
Exemple 4.
n/2
j Y a*—x*dx = (x = asin i) = j Y a- — a2 sin* ta cos tdt = 
o o
n/2 n/2
„ f « . , f 1 + cos 2t a* r , . sin 2* l 2 *«*= “- ] cos-tdt = a- J - 4 -----= — .
R e m a r q u e . On peut prendre la borne supérieure dvintégration
 ̂ i % 5 égalé a ji.
Exemple 5.
4» kn
j sin3 t d t = — j (1 — cos21) d (cos t) — (x = cos t) = 
o o
1
car les bornes supérieure et inférieure sont égales.
Exemple 6. Si / est une fonction paire (/ (—u) = / (a)), alors
a a
j / (u) du — 2 j / (u) du,
- a 0
car
U 0 a
j f (u) du = (u= —x) = — j / ( — x)dx= j / (—x)dx =
- a a 0
a a
= j / (x) dx = j / (u) du. 
o o
Exemple 7. Si / est une fonction impaire (/ (—u) = —/ (u))f 
alors
J / (x) dx = 0.
14*
212 INTÉGRALE DÉFINIE [CH. 6
E x em ple ' 8 . Si / est une fonction 2n:-périodique (J (x + 2 j i) = 
= / (x)), alors
a+2n 2a
j f ( x )d x = j f (x)dx.
à 0
En effet.
2Ji+a
j / (x) dx = (x = t + 2n) = j / (* + 2ji) df = j / (t) dt = — j / (J) dt 
2a 0 0 a
et par suite
2 « + a
a a
E x e m p l e 9 .
;n+a 0 2a 2 n+a 2a
j / (x) dx = j / (x dx + j / (x) dx + j / (x) dx — j / (x) dx.
2a
j sin3f <ff = (x = cost )= — j (1 — x-)dx= j (1 — xz)dx = 
o 1 - i
= 2 j ( i - x = ) * - 2 ( x - 4 ) | ; = 4 .
E x em ple 10. Calculons l’intégrale de l’exemple 5 en se servant 
des résultats des exemples 8 et 7 :
Aa 2 a Aa a
j sinsfd f= j sin3tdf + j sin3fdf = 2 j sin3tdf = 0,
0 0 2a - a
puisque la fonction sin3 t est impaire.
T h é o r è m e 2. On a la formule d'intégration par parties pour une 
intégrale définie :
b b
j u ' (x) v (x) dx = u (x) u (x)| J — j u (x) v' (x) dx, (12)
a a
où u et v sont des jonctions continûment dérivables sur [a, 6].
D é m o n s t r a t io n . Le produit u (x) v (x) possède une dérivée con­
tinue sur [a, &]:
(u (x) v (x))' = u (x) v' (x) + u' (x) v (x).
§ 5] RESTE DE LA FORMULE DE TAYLOR SOUS LA FORME INTEGRALE 213
Donc, en vertu du théorème de Newton-Leibniz
b
“ (*) » (x)|£= j [U (x) v’ (x) + u' (x) V (x)] dx =
a
b b
= j u (x) v' (x) dx + j u ' (x) v (x) dx,
d’où l’on déduit (12).
E x e m p l e - 11.
j ln (1 + x ) dx = (u = In (1 + x), dv = dx) =
0
0 0 0
= l n 2 - l + ln ( l + x ) |;= - 1 + 2 ln 2.
T h é o r è m e 3 ( d e l à m o y e n n e p o u r u n e i n t é g r a l e d é f i n i e ) . Pour 
toute fonction f continue sur un intervalle [a, b] il existe un point
1 6 la, b[ tel que
b
j f (x)dx = f { t ) ( b - a ) . (13)
a
D é m o n s t r a t io n . La fonction / étant continue, elle possède une 
primitive O et par suite
b
| /(x)dx = <D(t) — <D(a) = 0 ' ( |) (è—a) = / ( | ) ( i —a), |6 ) a , b[.
(14)
La première égalité de (14) est la formule de Newton-Leibniz 
pour une fonction / continue sur [a, 6]. La seconde est la formule des 
accroissements finis pour <I>. La troisième enfin résulte de ce que 
<&' ( * ) = /(* ) . V x Ç la, 6].
§ 5. Reste de la formule de Taylor 
sous la forme intégrale
Supposons qu’une fonction / (x) est dérivable jusqu’à l’ordre 
n + 1 compris. Alors, en vertu de la formule de Newton-Leibniz, 
on a
/ (x) = / (a) + dv = dt
du = / ' (f) dt\ 
v = t —x /
214 INTEGRALE DEFINIE [CH. 6
= f(a) + ( t - x ) f ' (t) I Ê Ï - J ( t - x ) f ’ (t)dt =
= /(«) + / ' (a) (x — a) + j (x — t) f (t) dt =
■ c
» = n » )
(x — t)dt = dv
-J Uli \
( . - 0 * ) =
21 /
= f(a) + £ £ L ( x - a ) + £ £ L ( x - a)* + J f { t ) {± j f dt.
a
En poursuivant ce processus d’intégration par parties, on obtient
n
/ (*) = 2 n r r & ~ fl)‘ + r » (*)• (*)
OÙ
#1=0
a
La formule (1) s’appelle formule de Taylor avec un reste sous la 
forme intégrale (2).
En appliquant le théorème 3 de la moyenne (§ 4) à l’intégrale (2), 
on obtient
r» <*> = ■TT<x ~ ' (”+1)® ( * — a)» 1 61 a, * [.
En posant
I = a + 0 (x — a ) , 0 < 0 < 1,
on obtient
r (x) = i î l l f p ü (1 _ 0)» /<«*»> (a + 0 (x—a ) ) ,
c’est-à-dire le reste de Cauchy de la formule de Taylor en a (cf. 
chap. 4, § 14, (10)).
§ 6. Sommes de Darboux *).
Conditions d’existence de l’intégrale
Soit donnée une fonction / (x) bornée sur un intervalle [a, 6 ] : (| / (x) | <^ M ). Considérons une subdivision de [a, b]
R: a = x0 < Xj < . . . < xn = b
et posons
jn i= inf /(x), = sup /(x).
*€[x£.*|^] *i+il
x) Gaston Darboux, mathématicien français (1842-1917).
2159 6] CONDITIONS D'EXISTENCE DE L'INTEGRALE
Outre les sommes de Riemann
n - 1
° R = 2 / <£l) 
i= 0
considérons les sommes
n - i n - 1
* R = 2 S r = 2
i—0 i—0
dites sommes inférieure et supérieure de Darboux. Il est évident que sR ^ S R.
Les sommes de Darboux ne sont pas nécessairement des sommes de Rie­
mann. Mais si / (x) est une fonction continue, alors sR et S R sont respective­
ment la plus petite et la plus grande des sommes de Riemann attachées à une 
subdivision donnée, puisque le théorème de Weierstrass nous dit que la fonction 
/ (x) présente son minimum et son maximum dans chaque intervalle (x*, xj+1], 
donc on peut exhiber des points ëj, 6 U*, *i+il tels que / (£*) = mt et 
/ (Çp = AT|.
Comme ^ / (x) < Mt et que Axj > 0 , il vient
sr ^ aR < 0)
Si Ton fige la subdivision i?, les sommes sR et S R sont des nombres constants, 
mais aR est variable, car les g* sont arbitraires. Il est immédiat de voir qu’en 
choisissant convenablement les points on peut rendre la somme oR aussi 
proche que Ton veut de sR et S R, autrement dit sR et S R sont les bornes infé­
rieure et supérieure des sommes de Riemann attachées à la subdivision R :
n - i n - i
$ r = 2 = inf 2 /(S i)àx i,
i*»0 iaO
n - 1 n - 1
S R = 2 ^ < A x i = SUp 2 f ( t i ) & x i- 
i= 0 *1 i= 0
Soient Ru R 2 et R2 des subdivisions de [a, 6 ]. Si tous les points de /?x 
appartiennent à i?a, on dira que R 2 est un prolongement de Rt et on écrira 
Ri a R 2. Si R 8 est composée des points de Ri et des points de R 2, on écrira 
#3 = Ri + R 2»
Propriétés des sommes de Darboux:
1° Si Von afoute des points à une subdivision R , la somme supérieure de Dar­
boux décroîtra et la somme inférieure croîtrai
S R* ^ S Rt sR ^ sRmf Vü c Jî#.
Donc,
s r ' SR* ^ *$r sr-
D é m o n s t r a t io n . On peut de toute évidence se limiter au cas où Ton ajoute 
un seul point x* 6 1 xj, *£+i [. Soient et S R’ les sommes supérieures de 
Darboux correspondant respectivement à i? et a i?'. Alors la somme S R' se 
distingue de S R par le fait qu’à la place du terme Afj Ax t elle contient aeux 
termes :
M[ (x' — x t) et M\ (xi+ 1 — x ), 
où M[ = sup / (x) et M\ =» sup / (x). Les intervalles [x*, x'j
et [x', xj+1] étant des parties de [xj, xj+x), on a M[ ^ ^ Mi (lorsque
le domaine d’étude se rétrécit, sup ne peut que diminuer). Donc,
M\ (x — xt) + M\ (xf+l — x') < M t (x' — xt + xi+ 1 — x') = M t (xi+ 1 — xf) 
autrement dit S R• < S R. C.q.f.d.
216 INTÉGRALE DEFINIE [CH. 6
La démonstration est identique pour les sommes inférieures.
2° Toute somme inférieure de Darbouz est inférieure à toute somme supérieure 
de Darboux, même si elle correspond à une autre subdivision de Vintervalle: sRi < 
< 5 ,’R**
Démonstration. Soient R t = J?i + J?2. La propriété 1° nous donne sRl < 
< sRz < S R3 < S R2.
Nous avons ainsi démontré que l'ensemble {sR} des sommes inférieures 
de Darboux est majoré par une somme supérieure S R» (sR < S R*), donc cet 
ensemble possède une borne supérieure:
I m = sup sR < S R’.
R
Nous avons prouvé en même temps que toute somme supérieure S R* est 
supérieure à 7*. Ceci montre que l'ensemble des sommes supérieures admet une 
borne inférieure
7* = inf S R' > 7*.
R'
Ainsi, 7* ^ 7*. De plus, pour toute subdivision 7?
*r < 7* < 7* < S R. (2)
Les nombres 7* et 7♦ s’appellent respectivement intégrales inférieure et 
supérieure de Darboux.
T h é o r è m e (D'EXISTENCE DE L’INTÊGRALE). Pour que Vintégrale définie 
d'une fonction bornée f (x) existe, il est nécessaire et suffisant que
n —1
lim (SR — sR) = lim J) ©|Ax|=0, (3)
oà le nombre ©̂ = Mg — mt est Vétendue de variation de la fonction f (x) sur 
[a:*, x*+1].
DÉMONSTRATION. Condition nécessaire. Supposons que l ’intégrale définie 7 
de la fonction / (x) existe, c'est-à-dire que pour tout e > 0 on peut exhiber un 
ô > 0 tel que pour XR < ô on a 7 — e < oR < 7 + e, quel que soit h 6 
€ [x*, xi+1].
Nous avons vu plus haut que et 5d étaient les bornes inférieure et supé­
rieure des sommes de Riemann oR attachées à R. Donc
7 — e ^ sR ^ Or ^ S R ^ 7 -f* e, ^ ^ 6 ,
i.e.
et
lim sR = I j lim S r = 7
XR-° XR-*°
lim (S R — sR) — 0 .
XR-*o
Condition suffisante. Supposons que la condition (3) est réalisée. De l’iné­
galité (2) il s’ensuit alors que 7* = 7*. Posons 7 = 7* = 7*. Alors
sR ^ I ^ S R» (4)
De (3) il résulte que pour tout e > 0 il existe un ô > 0 tel que I S R — sR | < 8 
pour XR < 6 . De (1 ) et (4) on déduit alors que
| / — oR | < e pour XR < ô,
c’est-à-dire que 7 est la limite de aR et / (x) est intégrable.
§ 7] INTEGRABILITÊ DES FONCTIONS CONTINUES ET MONOTONES 217
R e m a r q u e . De la d ém o n stra tio n du th éo rèm e, i l r é su lte que s i la 
fo n ction / (x) e s t in tég ra b le su r [a, 6], a lo r s l im s r = l im S R =
xr-°b
= \ / (x) dx, et réciproquement si lim s R = lim S r = / , alors / = 
J xR-o XR^o
b
= j / (*) d x .
a
§ 7. Intégrabilité des fonctions continues et monotones
THEOREME 1. S i u n e j o n c t i o n f (x) e s t c o n t i n u e s u r u n i n t e r v a l l e [a , 6], a l o r s 
e l l e e s t i n t é g r a b l e s u r c e t i n t e r v a l l e .
D ém onstra tion . La fonction / (x) est continue sur [a, 6 ], donc uniformé­
ment continue, et par suite pour tout e > 0 il existe un 6 (e) > 0 tel que pour 
toutes les subdivisions de [a, b] de pas < 6 Ton ait ü)f < e. D’où
n —1 n - 1
2 û ) |A x * < e 2 A X j = e ( 6 — a), 
i-o o
n - 1
Comme e est arbitraire, on conclut que lim 2 <ûiAx£ = 0, et le théorème
xr - ° i-o
du § 6 nous dit que la fonction / (x) est intégrable.
THEOREME 2. U n e f o n c t i o n m o n o t o n e s u r u n i n t e r v a l l e f e r m é e s t i n t é g r a b l e 
s u r c e t i n t e r v a l l e .
DEMONSTRATION. Pour fixer les idées nous admettrons que la fonction / (x) 
est croissante. Nous admettrons de même que / (a) < / (6 ), sinon la fonction 
serait constante et le théorème trivial.
Comme / (a) ^ / (x) ^ / (b), V* € U» b], la fonction / est bornée sur 
[a, b]. Soit une subdivision R de la, b] telle que < 6 . Puisque <*>£ = / (xf+1)— 
—/(x |), on a
n - 1 n - 1
i - 0 i = 0
t - / (*i) + . • • + / (xn) — / (*n-i)] = 6 lf ( b ) - / (a)]t 
Xq = a, xn = b. Si maintenant l ’on prend ô = e/[/ (b) — / (a)], on obtient
n - i
2 < e,
i = 0
et le théorème d’existence (théorème du § 6 ) nous dit que / (x) est intégrable. 
C.q.f.d.
R e m a r q u e 1. Signalons qu’une fonction monotone peut présenter un en­
semble dénombrable de points de discontinuité. Par exemple, la fonction y =
= f x + - t t < x ^ , n = 1 , 2 , . . . \ est monotone croissante sur [0 , 11
l n n-f-l n J
et possède un ensemble dénombrable de points de discontinuité. Donc, elle 
est intégrable d’après le théorème 2 .
218 INTÉGRALE DEFINIE [CH. 6
R e m a r q u e 2. Si /(x)est intégrable sur [a , 6 ], il en est de même de | / (x) |. 
En effet, pour tous x et x* de [xj, xj+1] on a
| | / (*') | - | / (**) | | < | / (z') - / (x*) |. (1 )
Si ©* et Q)| sont les étendues de variation respectives de I / (x) | et de / (x) 
sur [xj, xi+1], alors de (1 ) il résulte que gh < ©j et
n - i n - 1
i= 0 i= 0
Comme / (x) est intégrable, on a
n — 1
2 cdjAx* -► 0 pour 
i - 0
donc
n - i
2 wfAxt -^ 0, 
i= 0
et par suite, I / (x) | est intégrable.
§ 8. Intégrales impropres
Soit donnée une fonction / sur un intervalle semi-ouvert borné 
la, b1. Supposons que cette fonction est intégrable (par exemple, est 
continue ou continue par morceaux) sur tout intervalle fermé [a, &'], 
où b' < b et qu’elle n’est pas bornée au voisinage de b. Son inté­
grale au sens de Riemann sur [a, 6], ou ce qui revient au même sur 
la, 6], n’existepas, car toute fonction intégrable-Riemann sur 
la, 6] est nécessairement bornée. Néanmoins, il est possible qu’existe 
la limite finie
b '
lim \ f (x )dx .
b'-*b J
a
Si tel est le cas, cette limite s’appelle intégrale impropre de f sur 
(a, 6] et se note
b b’
C / (x) dx — lim f f (x) dx. (1)
J b'—b J
a a
bp
On dit alors que l'intégrale j / ( x ) dx est convergente. Dans le
O
cas contraire, elle diverge ou n’existe pas en tant qu’intégrale im­
propre.
Supposons maintenant que la fonction / est définie sur la section 
{a, oo[ et intégrable sur tout intervalle fermé borné [a, b'], où
INTÉGRALES IMPROPRES 219
a < b' < oo. Si la limite
6'
lim 1 f (x)dx 
b '-o o Ja
existe, on l'appelle intégrale impropre de f sur [a, oo[ et on la note:
oo b*
j / (x) dx = lim j / (x) dx.
a ** ~*°° a
Convenons de la terminologie suivante. L’expression
b
j f (*) àx (2)
a
sera appelée intégrale de} à singularité unique en b si sont remplies les 
conditions suivantes: si b est un point fini, alors la fonction / est 
intégrable sur [a, 6'1, quel que soit b’ tel que a < b' < b, et de 
plus n’est pas bornée au voisinage de b. Si b = +oo, on admet seule­
ment que la fonction / est intégrable sur [a, b’\ pour tout b' > a 
fini. b
On définit de façon analogue l’intégrale j f (x) dx h singularité
a
unique en a. Supposons maintenant que b est un point fini. Si a < b 
est aussi un point fini, alors au voisinage de a la fonction / n’est 
pas bornée et est intégrable sur tout intervalle [a \ 6], où a < a' < b. 
Si a = —oo, on admet que la fonction / est intégrable sur [a \ b] 
pour tout a' < b.
Dans la suite, on étudiera, pour fixer les idées, une intégrale (2) 
à singularité unique en b fini ou infini. Tous les résultats peuvent 
être généralisés au cas d’une intégrale à singularité unique en a.
Thêohême. Soit donnée une intégrale (2) à singularité unique en b. 
Pour que cette intégrale converge il est nécessaire et suffisant que soit 
remplie la condition {de Cauchy): pour tout e > 0 il existe un b0 < b 
tel que
bm
| j / ( 0 * | < e , (3)
quels que soient b' et b9 tels que b0 < 6' < b9 < b•
D é m o n s t r a t io n . Considérons la fonction
X
F (x) = j f (t) dt (a < x < b).
220 INTÉGRALE DÉFINIE [CH. 6
Dire que T intégrale (2) converge revient à dire que la limite 
lim F (x) existe ou ce qui revient au même qu’est remplie la con-
x - b 
X < b
dition de Cauchy: pour tout e > 0 on peut exhiber un b0 6 la, 61 
tel que | F (b") — F (b') | < e pour tous les 6' et 6 ' vérifiant les 
inégalités 60 < 6' < 6 ' < b. Or,
b "
F (b") — F (b') = j / (f) dt,
b'
ce qui prouve le théorème.
E x e m p l e 1. L ’intégrale
i & »o
où a > 0 est une constante, présente une seule singularité en x = 0. 
Pour étudier sa convergence il faut calculer la limite
lim { ^ = l i m - ^ r * l i m - r î - [ l - e » - « l = l T= * ' a < 1 ,
e—0 J *“ e-0 i ~ a 1* e-0 1 _ «
e>0 c oo. a > 1.
Donc, l’intégrale (4) converge vers (1 — a )-1 pour a < 1 et diverge 
pour a > 1. Si a = 1, elle diverge:
i
lira [ — = — lim In e = + oo. 
e—0 J x e—0
E x e m p l e 2.
l
1—a lim x1-aJV-oo
N1
. a > l (converge), 
-J-oo, a < l (diverge),
Ç — = lim f — = lim ln N — + oo (diverge). 
* * W—oo J x W—oo
E x e m p l e 3. L ’intégrale j dx possède une seule singularité
o
au point x = + oo. Elle converge vers 1 :
INTÉGRALES IMPROPRES 221§ 8]
Considérons de nouveau l'intégrale
6
î n * )d z (5)
a
à singularité unique en b. Alors l ’intégrale
b
j f{x)dx, (6)
C
où a < c < b présente aussi une seule singularité en b. La con­
dition de Cauchy se formule de façon analogue pour les intégrales 
(5) et (6). Donc, ces dernières convergent ou divergent simultané­
ment. De plus pour a < c < b on a de toute évidence
O O C O
j / dx = lim j f dx = lim / dx + j / dx) =
a ^ a ̂ a c
c b* c b
= j/d x - t- lim j f d x = j /dx + j /dx , (7)
C
où j est une intégrale de Riemann ordinaire,
a
grales impropres.
Signalons la relation
des inté-
O O
f (Af 4- B<p) dx = lim f (Af + 5œ) dx =
J { ,'-.6 Jc a
b ' b* b b
= .4 lim Ç /d x + Ælim Ç mdx = A Ç fd x A-B C <p dx, (8)
b ' - b J b ' - b J J J
où A et B sont des constantes. Cette relation exprime le fait suivant : 
si les intégrales du second membre existent, il en est de même de l’inté­
grale du premier, et l’on a le signe d’égalité.
On dit que l’intégrale (5) est absolument convergente si l’intégrale
b
j \ f ( x ) \ d x (9)
a
converge.
Une intégrale absolument convergente est convergente. En effet, 
de la convergence de T intégrale (9) il s'ensuit que pour tout e > 0
222 INTEGRALE DEFINIE [CH. 6
on peut exhiber un point b0 6 ]&* M, tel que
bm bm
« > J \ f ( x) \d * > \ j / (* )< & !
b* 6'
pour b0 < b' < b" < b, autrement dit la condition de Cauchy est 
remplie pour l'intégrale (5). Comme
b•
j | / (æ) | dx.
a
par passage à la limite pour b'-*-b, on obtient
b b
| j / (*)<fa |< j | / ( x ) | d * .
a a
(10)
R e m a r q u e . L’inégalité (10) est valable également pour une inté­
grale non absolument convergente: dans ce cas au second membre 
figure oo. Ceci est largement utilisé dans les calculs. Si l’on a à étu-
b
dier la convergence de l'intégrale \ f dx, on écrit l’inégalité (10)
b
et on étudie la convergence de l’intégrale j | / \ dx. Si cette dernière
a
o
converge, c’est-à-dire si ^ | / | dx < oo, alors il en est de même de
a
b b
l ’intégrale J / dx. Si j \ f \ dx = oo, il faudra faire appel à des
a a
méthodes plus subtiles. Il est possible que cette intégrale converge, 
mais surtout pas absolument (voir exemples à la fin du § 9).
§ 9. Intégrales impropres de fonctions 
à valeurs réelles positives
Soit donnée l’intégrale
J f (*)dx (1)
INTÉGRALES IMPROPRES 22319]
à une seule singularité en b d’une fonction / (x) ^ 0 sur l’intervalle 
d’intégration la, 6[. Alors la fonction
h'
F(&')= j / (x )d x (a < 6' < b)
est de toute évidence, monotone croissante. Donc, si elle est^majorée 
par un nombre Af, alors l ’intégrale (1) converge et
b b'
[ f (x) dx = lim f / (x) d x ^ M .
J b'-~b J
a a
Si F n ’est pas majorée, alors l ’intégrale (1) diverge:
O n~
\ / (x) dx = lim \ / (x) dx <= + oo. 
J b’~b •>
Si / (x )^ 0 sur [a, 6 [, on écrit 
6 6 
J / (x) dx < oo ou ^ / (x) dx =
o a
selon que l'intégrale converge ou diverge. 
T héorème 1. Supposons que les intégrales
oo
o
j/(x )d x ,
a
b
j cp (x) dx
(1)
(2)
(3)
présentent une seule singularité en b et que
0 < / ( * ) < <p (x )
sur [a, M.
Si V intégrale (2) convergef tZ e/i esZ de même de Vintégrale (1), 
et Von a
b b
 ̂fd x ^ . j q>dx
a a
Si Vintégrale (1) diverge, il en est de même de Vintêgrale (2). 
D é m o n s t r a t io n . De (3) il s’ensuit que
b9 b9
j f d x ^ j cp dx9 (4)
224 INTÉGRALE DEFINIE [CH. 6
où b' 6 te, M. Si l'intégrale (2) converge, le second membre de (4) 
est majoré par un nombre égal à l'intégrale (2). Donc, le premier 
membre est aussi majoré par ce nombre. Le premier membre étant 
une fonction monotone croissante de b'y il converge vers l'intégrale:
O O O
| fd x — lim j <p dx.
Si l’intégrale (1) diverge, le premier membre de (4) tend vers oo 
pour b' b, donc le second tend aussi vers oo.
T h é o r è m e 2. Supposons que les intégrales (1) et (2) présentent une 
seule singularité en b, que les intégrants sont des fonctions positives et 
qu'existe la limite
lim /(*)-6 <P(*) = A > 0 . (5)
Sous ces conditions, ces intégrales divergent ou convergent toutes 
deux.
D é m o n s t r a t io n . De (5 ) il s’ensuit que pour tout nombre stricte­
ment positif e < A on peut exhiber un c 6 l«, ht tel que
A ~ e < ^ r < '4 + e (c < * < 6).
et comme <p(ar)>0, alors
(A—e) y ( z ) < f (z) < (A + e) <p (x), zÇ]c, b[. (6)
6 6
La convergence de l ’intégrale implique celle de j(pdx
a c
b
et de j (;4 + e)<pda; ; donc, le théorème précédent nous dit que
c b b
l ’intégrale j f d z converge aussi et avec elle j fdx. Réciproquement,c ab b
la convergence de j fdx entraîne celle de j q> dx, car, outre (5), on a
Ü S f & - T > *
R e m a r q u e . La relation (5 ) exprime que la fonction / est équiva­
lente à la fonction A<p pour x b.
INTÉGRALES IMPROPRES 225§ 9]
Exemple 1. Etudier la convergence de l’intégrale
j sin kxe~x dx. 
o
On a
oo oo oo
j é~* sin /ex dx | ̂ f | e~x sin kx | d x^ . j e"*dx = 1 < o o . 
o o o
On s’est servi de l’inégalité (10) du § 8 et de la remarque qui la 
suit.
Le signe ~ traduira le fait que les intégrales convergeront ou 
divergeront toutes deux en vertu du théorème 2.
E x e m p l e 2.
E x e m p l e 3.
E x e m p l e 4.
f dx f dx
\ — :------- ~ ! = OO.
J 3 1 I U J X
dxr dx r
J s i n l / Ï J Y ' x— <C oo.
oo oo
j e~x dx ~ j dx < oo. 
î î
Les intégrales des exemples 2 et 3 présentent une seule singu­
larité en x = 0. D’autre part, s in x æ x , s in l /x æ l^ x , x —>•(). 
L’intégrale de l ’exempe 4 présente une seule singularité en
X “ • 1x = oo. De plus, - j - e~x æ e~x, x —
o o
Exemple 5. j (x2 — 3x + 5)e~x dx converge, car 
o
00 o c
| j ( x s- 3 x + 5)e-x Æ c|< j |(x2- 3 x + 5)e-*/2|e-*/2dx«- 
0 0
o o
<JW J e-*/2tfx< O O . 
o
En effet, lim (x* — 3x + 5) e-*/2 = 0, donc il existe un N > 0 
tel que | (x* — 3x -f 5) e-*/2 | < 1, V x > N .
15-0622
226 INTEGRALE DEFINIE [CH. 6
Par ailleurs, étant continue sur [0. N] la fonction | (x2 — 3x + 
+ 5) *“x/21 est majorée par un nombre M x. Donc, elle est majorée 
sur 10, oo[ par le nombre M = max {1, jV/j}.
§ 10. Intégration par parties d'intégrales impropres 
Exemple 1. Les intégrales impropres
j - ï i j i d z („ > 0 ) (1)
a a
convergent. En effet, en intégrant par parties, on obtient
A Af sin x ^ cos x \ A r cos x ^
J x ~~ 7 |.t J x*
u a
pour tous les A > a finis. En passant à la limite pour 
on trouve
OO 30f sin x ^ cos a f cos x ^
J * X ~~ a J x- X’
a a
où l ’intégrale du second membre converge absolument:
a a a
OO
Exemple 2. L’intégrale j -sl” - - dx ne converge pas absolument
a
(est semi-convergente), car l ’intégrale
OOf I sin x | 7 .
J ------- a x = o o , a > 0 . (2)
En effet, en vertu de l ’inégalité sin2a ^ |s i n x | , l ’intégrale im­
propre :
oo oo oo
INTÉGRATION PAR PARTIES D’INTÉGRALES IMPROPRES 227S 10]
CO oo
Or, j u -1cosurfa converge et ^uT 'du diverge, donc l ’intégrale
2 o 2a
impropre (2) diverge.
R e m a r q u e . L’intégrale (1 ) converge, car la fonction sin x est 
périodique et prend des valeurs tour à tour positives et négatives 
qui se compensent.
Ce phénomène sera justifié dans la théorie des séries (voir série 
de Leibniz et séries semi-convergentes).
Les exemples cités montrent que l’intégration par parties est 
parfois un instrument efficace d’étude de la convergence des intégra­
les impropres.
Les considérations générales qui vont suivre nous permettront de mieux 
comprendre le mécanisme de cette méthode.
Soient <p (?) une fonction continue sur [a, oo [, O (x) une de ses primiti­
ves. On suppose d’autre part que g (x) est une fonction continûment dérivable 
sur [a, oo [. Alors 
A A
j <P (*) g (*) d* = g (*) O (*) |a — j O (*) S' (*)«** =
a a
A
= g (^) <P (>t)—g (a) O (a) — j ® (*) g' (*) dx. (3)
a
Si
1 ) lira g(i4)0>(i4) = 0 ,
A-*oo
2) l ’intégrale <D (x) g’ (x)dx est convergente, il est alors évident que
a
l ’intégrale impropre
o o A OO
j <p(z)g(*)<fcr=̂ lim j <P(*)g(*)d x = —g (a)<P(a)— j <t>(x)g'(x)dx (4>
est convergente.
De là il résulte notamment le
Cr i t è r e DE DlRICH LET DE CONVERGENCE DE L ’INTÉGRALE (4). Si une 
fonction O (x) est majorée par un nombre A/, et g (x) est décroissante et 
converge vers U pour x-*- oo, alors l ’intégrale (4) est convergente.
11 est immédiat que ces conditions entraînent la propriété 1 ). D’autre part
OO oo
| j <!»(*) g ' (*) àx | < j 
a a
oo
I <1* (x) g' (*) I dx < M j I g' (*) I dx— 
a
A
— M [ g' (x) dx = — M lim [ g' (x) dx= — A/ lim [g (A)—g (a)] = g ( a ) -A/ . 
J A—oo J A —oo
15*
228 INTÉGRALE DÉFINIE [GH. 6
EXEMPLE 3. L’intégrale
j — *’ ,« > 0 )
a
présente une seule singularité en x ■= o o , converge pour a > 0 . Ceci résulte 
du critère de Dirichlet dans lequel on pose g ( x ) = x “ ®, <p (x ) = sin x , <D (x ) = 
= — cos x (| <D (x ) | ^ 1 ) . La convergence absolue n ’a lieu que pour a > 1 
et se démontre comme dans l ’exemple 2 du § 9.
§ 11. Intégrale impropre à singularités en plusieurs points
Soit donnée l’intégrale
b
j /(*)<**. (i)
a
où / (z) est une fonction définie sur la, M, a et b pouvant être finis 
ou infinis.
Supposons que l’intervalle la, M peut être partagé en un nombre 
fini d’intervalles par les points a = c0<Zc1< . . . . < ^ c K = b 
de telle sorte que chaque intégrale
f(x )d x (fc = 0, 1..........AT-1) (2)
ck
présente une seule singularité soit en ck, soit en cft+1.
Si toutes les intégrales impropres (2) sont convergentes (resp. 
absolument convergentes), on dit que l’intégrale (1) est convergente 
(resp. absolument convergente) et on lui affecte le nombre
b N - l ek+i
j / (z) dz = 2 j i(x)dx .
a k—0
Si l’une au moins des intégrales (2) est divergente, on admet que 
l’intégrale (1) est divergente.
Si / (z) ^ 0, par analogie avec les intégrales à une singularité, 
on conviendra d’écrire
6
j / (z) dx < oo
a
si (1) est convergente, et
b
j / (z) dx=oo
*+i
si elle est divergente.
s 11] INTÉGRALE IMPROPRE A SINGULARITÉS EN PLUSIEURS POINTS 229
Exemple 1.
oo 0 oo
j e“*dx= j e~xdx+ j e"xdx = oo + l = oo.
Cette intégrale présente deux singularités, une en x = —oo, 
l’autre en x = +oo. Aussi l’avons-nous représentée par une somme 
de deux intégrales présentant chacune une singularité. De toute 
évidence
0 oo
j e~x dx = oo, j e~x dx = 1.
Nous avons admis que oo ± 1 = oo.
Exemple 2. (a > 0)
f est semi-convergente pour 0 < a ^ l ,sin x dx< absolument convergente pour l < a < 2 , (3)
x (.divergente pour a ^ 2 .
En effet, cette intégrale a deux singularités en x = 0 et x = oo,
donc on peut la représenter par la somme
^ sin x ^ __ r sin x ^ ^ sin x
0 X 0 X 1 X
dx.
L’intégrant de la première intégrale étant une fonction stricte­
ment positive, cette intégrale est soit divergente, soit absolument 
convergente. Pour l’étudier nous aurons besoin des inégalités sui­
vantes (cf. chap. 3, § 3, (6) et chap. 4, § 9, exemple 1)
d’où
1 ̂ 1
j S* g1 j x l ~a dx <z 00 pour a < 2 ,
0 1 0
1 1
j S'nttX j x i ~a dx = 00 pour a ^ 2 .
Donc
l *“ 1 dh
converge absolument pour a < 2 , 
j, diverge pour a ^ 2 .
D’autre part (cf. § 10, exemple 2)
converge pour a > 0 ,
converge absolument seulement pour a > l .
(4)
(5)
CHAPITRE 7
APPLICATIONS DES INTÉGRALES. 
MÉTHODES DES APPROXIMATIONS
§ 1. Aire en coordonnées polaires
L’aire S d ’une figure limitée par deux rayons vecteurs 0O et 0* 
issus du pôle O et par une courbe T d’équation p = / (0) peut être 
définie de la manière suivante (fig. 80). Considérons une subdivision 
de l’intervalle [0O, 0*1:
0o < 0i < • •• < Ô» = 6*.
L’élément d’aire de la figure limitée par T et par les rayons vecteurs 
0 = 0ft, 0 = 0ft+1 est égal approximativement à l ’aire du secteur
limité par ces deux rayons et par le cercle de rayon p * = / (0*), soit
A0* = 0fc+1 — 0*.
Il est naturel de poser par définition
‘S „ t s ' p î 49« = t Î p , 'w - t j r-m **- mmax A9ft-»0 ^ h=0 ^ J * eJ.
Nous avons obtenu la formule de l’aire d’une figure en coordon­
nées polaires. Si la fonction / (0) est continue, on sait que l’inté­
grale (1) existe et par suite est la limite de toute somme de Riemann.
VOLUME D’UN SOLIDE DE REVOLUTION 231
E x e m p l e . En coordonnées polaires, l’équation du cercle de la 
figure 81 est p = 2R cos 0. En vertu de (1) l’aire du disque est
Ji/2 n/2
5 = 2/?s j cos- e de = 4i?2 j 1+c209 20 de = nR-.
- n / 2 0
§ 2. Volume d’un solide de révolution
Soit T une courbe d’équation y = / (x). On suppose que / est 
une fonction continue strictement positive.Calculons le volume V 
d’un solide limité par la surface 
de révolution engendrée par T en 
tournant autour de Ox, et les plans 
x = a et x = b.
Considérons la subdivision sui­
vante de l’intervalle [a, 6]: a =
= Iq ^ Xj ^ . . . ^ xn = b j et 
supposons que l’élément AV de
volume limité par les plans x = xk 
et x = xh+x est approximative­
ment égal au volume du cylindre 
de hauteur Axfc = xk+x — xk et de rayon yh = f (xk):
à v h ~ nyl Axh = n f (xk) Axh.
Le volume V a pour valeur
n - 1 b
V = lim n 2 f2(Zh) Axh = n ( f*(x)dx. (1)
maxA*k- 0 fc=(| J
Nous avons ainsi établi la formule du volume d’un solide de révo­
lution autour de Ox (fig. 82).
E x e m p l e . L’ellipsoïde de révolution (autour de l’axe Ox)
£2
a-
y-+&
6* < 1
est engendré par la courbe
y = b ] / r 1 —— ( —a < x < a )
en tournant autour de l ’axe Ox, donc en vertu de (1) son volume 
a pour valeur
V = * » ] ( 1- - | - ) dÆ = ,l62(Æ- ' è ) l „ = T Ita62*
232 APPLICATIONS DES INTEGRALES [CH. 7
§ 3. Courbe gauche lisse. Longueur d’arc
Au § 21 du chap. 4, on a introduit la notion de courbe continue 
plane définie paramétriquement et notamment la notion de courbe 
lisse.
On se propose de compléter ces notions. Considérons une courbe 
plus générale dans Tespace. Les équations
ix = <p(f),» = + (*)» ( 1 ) z = X ( t ) ,
où les fonctions <p, et x sont continues sur [a, b], définissent une 
courbe gauche continue que nous désignerons par T (fig. 83). Si, de
plus, les fonctions <p, ÿ et x admettent 
des dérivées continues sur [a, b] et non 
toutes nulles, alors on dit que T est une 
courbe différentiable ou lisse.
On peut exprimer le fait que les dé­
rivées <p' (*), tp' (t) et %* (£) ne sont pas 
toutes nulles quel que soit t Ç [a, 61 au 
moyen de l’inégalité
(<p' (*))2 + (9' (O)2 + (x' (t ))2 > 0 ,
Vf e l a , 61. (2)
Considérons une valeur f = f0. En vertu de (2) l’un des termes 
<p'. (f0), 9* (<o) et X' (lo) n’est pas nul. Supposons qu’il s’agisse de 
cp' (f0). La fonction cp' étant continue, il existe un intervalle ]f0 — 
— ô, f0 + &[ sur lequel cp' (f) est du même signe que cp' (t0). Donc, 
la fonction x = <p (f) est strictement monotone sur cet intervalle et 
possède une fonction réciproque continûment dérivable t = cp-1 (x), 
x £ ]c, d[, où ]c, d[ est un voisinage du point x0 = <p (f0). On obtient 
ainsi une petite portion y de courbe T contenant le point A 0 = 
= (9 (*o)» 9 (h), X («•)) ©t définie par les équations
y = 9 19'1 (*)1 = 9 i (*).
2 = X l9“l (*)1 = Xi (*)>
où 9i ©t Xi sont des fonctions continûment dérivables de x (x, x0 £ 
6 le, dl, x0 = cp (f0)). Si 9 ' (f„) ^ 0 ou %' (f„) ^ 0, alors par des 
raisonnements analogues on trouve qu’une portion y cz T est définie 
par les équations
* = 9i ( y ) , 2 = Xi ( y )
( y , y 0 6 IX, p[, ÿ0 = 9 (*o))
ou respectivement
* = 91 (2), y = 9x (z)
(Z, Z0 £ ]p, ql, Z, = X (f0)).
COURBE GAUCHE LISSE. LONGUEUR D’ARC 2339 3]
Les équations (1) définissent non seulement la courbe T, mais 
aussi son orientation, c'est-à-dire le sens de croissance du paramètre t. 
La figure 83 représente une courbe lisse T correspondant aux varia­
tions de t sur [a, 61: A = (9 (a), ^ (a), % (a)) est l’originede I \ 
B = (cp (6), a|? (6), x (b)), l'extrémité, la flèche indique le sens de T.
Lorsque le paramètre t croît continûment de a à 6, le point 
(9 (*)» 9 (*)» X (*)) se déplace continûment sur T de l’origine A = 
= ( 9 (a), (a), % (a)) à l’extrémité B = (9 (6), i|> (6), x (&))• Le
point courant peut revenir à une ancienne position, c’est-à-dire que 
pour tx, t2 6 [a, 61, tx < *2, on aura 9 (tx) = 9 (*2), (tx) = 9 (*2), 
X (*1) = X (*2)- On dit alors que Za courbe Y présente un point double 
ou de self-intersection. La courbe T est dite fermée si les points A et B 
sont confondus.
Considérons une fonction t = X (t), t Ç [c, d], possédant une 
dérivée continue non nulle sur [c, d\ et appliquant [c, d] sur [a, 6]. 
Comme X' (t) garde son signe sur [c, d], deux cas seulement sont 
possibles :
1) X' (x) > 0 et alors X (c) = a, X (d) = 6 ,
2) X' (t) < 0 et alors X (c) = 6 , X (d) = a.
La courbe continue T peut être définie par les équations
r X=<p[X(x)] = tpt (x),
< ÿ = l |3 [X (T )]= - l |3 ,(T ) , T Ç [ c , d ] . ( 1 ' )
l Z=XlM *)]=Xl (*)’
On remarque donc qu’une courbe peut être définie paramétrique- 
ment au moyen de paramètres différents.
On remarquera aussi que les conditions (2) restent en vigueur, 
car, en vertu de la formule de dérivation d’une fonction composée, 
on a
(9 ; (T))2 + W'î (T))2 + (XÎ (T))2 =
= l(q>' (O)8 + (♦' (O)8 + (x' (*))8] (*' to)8 > 0. (3)
Cependant, l’introduction du paramètre x est susceptible de modifier 
l’orientation de T. Si X' (x) > 0 sur (c, d], la fonction t = X (x) 
est strictement croissante et X (c) = a, X (d) = b. Dans ce cas t croît 
avec x et passe de X (c) = a à X (d) = b, c’est-à-dire que l’orienta­
tion de T ne change pas : les équations (1) et (1 ') définissent la même 
courbe lisse avec la même orientation mais au moyen de paramètres 
différents. Si X' (x) < 0 sur [c, dl, alors X (c) = b et X (d) = a, 
et le paramètre t décroît lorsque x croît. Dans ce cas les équations (1') 
définissent la même courbe que les équations (1) mais avec une 
orientation contraire.
Dans les problèmes où l’on aura à tenir compte de l’orientation 
de la courbe, par T on comprendra non seulement la courbe mais
234 APPLICATIONS DES INTÉGRALES [CH. 7
aussi sou orientation. On se rappellera aussi que les équations (1) 
définissent aussi bien la courbe que son orientation (le mouvement 
du point courant dans le sens des t croissants). Si Ton remplace le 
paramètre t par un paramètre x (t = X ( t ) ) , on obtient la courbe avec 
la même orientation ou l'orientation contraire selon que X' ( t ) est 
> 0 o u < 0 . La courbe T orientée dans le sens contraire est désignée 
par r_.
Si une courbe orientée T est définie par les équations (1), la 
courbe peut être définie par les équations
{X = ( p ( - T ) ,— t), t £ [ - 6, —a].
3 = X ( — t) .
Introduisons la notion de longueur d’arc d’une courbe continue T. 
Soit donnée une courbe continue T d’équations (1). Considérons une
subdivision de l’intervalle [a, 61 : a = t0 < tx < t„ < . . . < t N = 
= 6. A chaque th correspond un point 6 F (4„ = j4, A n = B). 
En reliant successivement les points A * par des segments, on obtient 
une ligne polygonale r N = A qA x • A n inscrite dans T (fig. 84). 
La longueur de IV est égale à la somme des longueurs | AftAh+1 | :
| i \ v | - s ' i ' W J (*)k—Q
La limite (si elle existe)
lim |I \v | = | r | (5)
m a x V j Ml — t j ) + 0
s'appelle longueur de l'arc T. Nous l'avons désignée par |T |.
On démontre que pour toute courbe continue (1) la limite (5) 
existe. Si elle est finie, on dit que la courbe T est rectifiable.
COURBE GAUCHE LISSE. LONGUEUR D’ARC 235
T héorème. Toute courbe T définie par les équations (1) est recti­
fiable et sa longueur d'arc a pour valeur
b
I r | = J V l v ’ W - r W W + W W dt. (6)
fi
Dans cet énoncé, il est important que les équations de Y soient 
définies sur un intervalle fermé [a, 6]. Si les fonctions étaient conti­
nûment dérivables sur l’intervalle ouvert la, b[ et leurs dérivées 
non toutes nulles, nous aurions dit aussi que les équations (1) défi­
nissent une courbe lisse, mais sans pouvoir affirmer qu’elle est recti­
fiable. Cependant toute portion correspondant à un intervalle fermé 
le, d] a la. M est rectifiable.
D émonstration du théorème. Appliquons le théorème des accrois­
sements finis aux fonctions <p, et x- On a = th+1 — tk, XR = 
= max Atk)
h
A(p = cp (tk+1) — <p (tk) = 9 ' {tu) Atk,
A t = i (tk+i) — 'I- (h) = 4>' (t'h) Atk,
Ay. = Z (fh+i) — Z (tk) = Z' (**") Ath,
donc
.v-i ______________
| TiV | = 2 V A29 -r A-t|) + A-y =
k = 0
= Y V w O T + W (Q l2-Hz' (tk)V A*h =k=0
= Y V w w + 1 ^ ' w )is+ iz 'W )i4 a t k+k*=Q
b
+ T - ? ( V w w r + w ' w r + i x ' w i * ( ?)
a
(tk,tk, t'k£ ]tk, Ê/t+J sont des points distincts), c’est-à-dire que la 
formule (6) est valable.
En effet, l’intégrant de (6) étant une fonction continue, il vient
A’- l
lim 2 V l«P' «»)]*+[♦' W + f e ' (<«]* Ath =
}-R-° n
b
= j W c o f + w (oi2 + ix ' (t)\- d t.
a
236 APPLICATIONS DES INTEGRALES [CH. T
D’autre part,
N-1
|r„ | = | S [VW W)la + IV(t'uW + 17/(Ql2-
0
- f i ç 'w i p - M f w )]*+ ix ' (*;>]*] At* |<
N-l
< S ( « ) - * ' W)]2 + Ix' <«)--* ' W)]s
fc*=0
< ï î ^ i s ’" » < T = r*=ü
Les fonctions al}' et x' sont uniformément continues sur [a, b]r 
car continues. Donc, si alors
IV (Q - V (ti) I < ~ ô ’ I *' («) -*/.' «O I <575=7, •
Pour majorer | r N | on s’est servi de l’inégalité triangulaire
I V l i + + î i — Y Tir+ 'h ï+ ■ns I ^
< V ( I l - Tl,)2 + (h - Tfc)2 + (g, - îl3)2*
Appliquons la formule (6) au calcul de la longueur d’arc de T 
définie par les équations (1'). On a (voir (6))
d
! r, i = { y (<p; w r -+ h»; (t»*+ ex; w r- dx=
c
d
= j V (<P' (* (T)))4 + W (A. (x )))* + (X' (* (T)))* V (T) dx =
C
6
= J V w m + w («))*+(7/ (o)2 àt (V(T) > o ) .
a
Donc, I r*| = I r |.
Nous constatons que la formule (6̂ exprime intrinsèquement la 
longueur d’arc.
Considérons la fonction
s = p (t) = J Y («p' («))* + W (u))* + (X' (U))*dtt ( « < * < & ) . (8>
a
Elle exprime l a longueur de l’arc .4C, o ù C est le point variable de 
l’arc AB = T, correspondant à la valeur du paramètre t. L’inté-
COURBE GAUCHE LISSE. LONGUEUR D'ARC 237
grant de (8) est une fonction continue de u, car la dérivée de la lon­
gueur d’arc s par rapport à t est égale à
-S— V(«P' (*))* + (* ' (<))* + <X' (*))2- (9)
Comme <p' (t), i|>' (t) et %' (t) sont continues, ds/dt l ’est aussi et de 
plus elle est strictement positive (cf. (2)). Donc, s = \i (t) est stricte­
ment croissante sur [a, 6] et possède une fonction réciproque
t = fi-1 (s), o < s < i r i, (io)
continûment dérivable telle que
= K<p' ( * ) ) 2 + W (*))2+ (x ' M )21 ‘ 1 > o.- 1/2
{
ds
Donc, la variable « peut être prise pour paramètre et l’équation de T 
peut alors s’écrire
X = <p[(A-1 ($ )] = (p* (S) .
y = («)!=■-1|>* (s),
2 = x [ ^ 1 (s)] = x* WJ
les fonctions <p*, \|?* et x* étant continûment dérivables sur [0, | T |].
Si Von se place dans le plan, il faut poser z = % (J) = 0 dans les 
raisonnements précédents. La courbe plane différentiable T est définie 
alors par deux équations:
i ÿ = '»K0« a ’
où cp et i|> sont des fonctions continûment dérivables telles que 
(<P' (*))* + (¥'(«))* > 0 , t e la, 61.
La longueur de T a pour valeur
b
|r| = J/(q>'(<))* + (♦'«))**• (6')
La longueur d ’arc AC a T, où C est un point de T, corres­
pondant à la valeur, du paramètre 6], vaut
t
s-= j V V ^ + W M )2 du, (8')
et
d s ^ V t o ’ m M Ÿ i W d t . (9')
Si T est définie par une fonction continûment dérivable 
y = f (x), x e la, 61, 
on peut admettre que z est un paramètre et l’équation de T devient 
f x = x,
l V = /(*)> x e [a. &!•
238 APPLICATIONS DES INTÉGRALES [CH. 7
En vertu de (6')
ir i = 5 v ^ 1 + (■£■)'*'•
o
La différentielle d’arc de T s ’exprime par la formule
ds = V d xn- + dy-,
E x e m p l e i. Trouver la longueur d ’arc de la courbe T: y = c h x T
*€[0, 21.
On a
-
| T | = | V" 1 + (sh x)2dx = Ç chxdx = s h x |; = s h 2 :
0 0 
E x e m p l e 2. Trouver la longueur d’un cercle T de rayon R. Le 
cercle est défini paramétriquement par les équations:
{ x = R cos t,
„ . , f € [0. 2ji1. y= R sin t.
Alors
2ji 2;t
| T | = J Y s i n - 1 -t- R2 cos2 td t = R dt — 2nR. 
u b
E x e m p l e 3. Trouver la longueur d’arc de la courbe T: y =
X
= J Y 2 t + t2 dt, lorsque x varie entre 0 et 2.
o
On pourrait exprimer y en fonction de x en calculant l’intégrale 
par une substitution d’Euler ou par une substitution ramenant l’inté­
grant à une fonction rationnelle. Or, ici on peut se dispenser d’expli­
citer y . En effet, y' = V 2x + x2. Donc,
2 2
i n = j y i + 2 * + x * d x = | ( x + i ) d x = - ^ ± ^ î - | ^ = 4 .
0 o
§ 4. Courbure et rayon de courbure d’une courbe. 
Développée et développante
On appelle courbure d'un cercle de rayon R le nombre HR. Ce 
nombre peut encore être défini comme le rapport de l’angle formé 
par les tangentes aux extrémités d’un arc de cercle à la longueur de 
cet arc. L’angle formé par les tangentes au cercle en A et B est égal
à l’angle au centre a des rayons OA et OB. La longueur | AB | de
COURBURE ET RAYON DE COURBURE D'UNE COURBE 2395 4]
l’arc ÀB est Ra. Donc (fig. 85)
g _ g 1
\AB\ Ra R ‘
Cette définition de la courbure du cercle nous suggère de définir la 
courbure d’une courbe lisse quelconque Y de la manière suivante.
Soit une courbe lisse arbitraire Y.
Comme indiqué au § 3, elle est rectifia­
ble et l’on peut parler de la longueur de
l’un quelconque de ses arcs AB. L’angle 
a (0 ^ a ^ Jt) formé par les tangentes 
à T en A et B s’appelle angle de contin­
gence de Varc AB. Le rapport de l’angle
de contingence de l’arc AB à la longueur 
de ce dernier s’appelle courbure moyenne
de AB (fig. 86). Enfin, la courbure de la 
courbe Y en un de ses points A est par 
définition la limite (finie ou infinie) du rapport de l’angle de con­
tingence a de l’arc AB à sa longueur| AB | = | As | lorsque cette 
dernière tend vers 0:
K = \im
As-0 lA5l ( 1 )
Donc, K 6 [0, ooj. Par définition, R = MK est le rayon de courbure 
de T en A. Dans le calcul de R on convient que 0 = l/oo et oo = 1/0.
Le point Ox situé sur la normale 
à T en A à une distance R = MK 
de A dans le sens de la concavité 
de T s’appelle centre de courbure 
de T en A (fig. 87 et 88). Il est 
évident que le centre du cercle est 
confondu avec le centre de cour­
bure.
On appelle développée de T la 
courbe y. lieu géométrique des 
centres de courbure Ox de Y. La 
courbe Y s’appelle développante dey.
Soit une courbe Y d’équation 
y = / (x) (c ^ x d). On admet 
que / a une dérivée seconde continue. Trouvons la courbure de Y 
en A = (x, / (x)). Soient cpx et (p2 les angles formés par les tangentes
240 APPLICATIONS DES INTEGRALES [CH. 7
a T en A et B = (x + Ax, / (x + Ax)) avec l’axe Ox (fig. 86)
tg <Pi = Y (*), tg <p2 = Y (x + A*)t 
a = | Arctg Y (x) — Arctg / ' (x + Az) | . (2)
On a
x + A x
A s= \AB\ = j / ! + (/' (u))2 du. (3)
A partir de (1), on obtient en appliquant la règle de l ’Hospital
K = lim
A * -0
Arctg / ' (a) — Arctg / ' (x-f- Ai)
X + AX
j 1^ 1 + < / '( “))*<***
= lim
Ax—0
D’où la formule de la courbure
r (j=+ ax>
! + (/' (x+Ax))*
V" * + (/'<* + A*))3
!/'(*)!
(!+ (/' t*))2)3/2 *
K = ri*) (4 )(! + (/' i*))*)3/4
Si la courbe lisse T est définie paramétriquement par les équations 
( x = q>(Q,
y = 'K*).
où q> et tp sont des fonctions bicontinûment dérivables, on obtient 
(cf. chap. 4, § 11)
/ '( * > = ■ $ - . n * ) = x‘yL *iX‘ »
E =
(*i)J
* = t t - (5)y'txï - xty~t
Formons l’équation paramétrique de la développée y d ’une courbe 
T définie par y = f (x) (fig. 87, 88). On a (cf. (4))
J _ _ _ ___| f ' ( » ) | ______ 1" (X) s g n f (x)
R (6)(! + (/' (i))2)3/2 “ (! + (/' (ar))2)*/2 *
Soit Oi ( |, r|) le centre de courbure de T en A = (x, / (x)). Ce centre 
est défini par le vecteur
P = r + Rv, (7)
où r est le rayon vecteur de A £ I \ v, le vecteur unité normal orienté 
dans le sens de concavité de T. La courbe T a pour équation vec­
torielle
r = (x, y).
S *1 
D ’où
COURBURE ET RAYON DE COURBURE D’UNE COURBE 241
r x = (1, y'x), rx = (0,. yx). 
D’autre part (cf. chap. 4, § 23̂ (3')),
,= ± f _ z ? L - , ± ^ \
V M + « £ V i + y ? )
Il faut prendre le signe tel que le vecteur v soit orienté dans le sens 
de la concavité de I \ c’est-à-dire tel que le produit scalaire (v, rx)
soit positif:
(V, rx) = ± -—= = = - = yx (sgn y"x) (1 -f yi1) ' 1/2.
y i + yx-
Donc
v = sgn yx - V x
Î T t f ) '
(8)
En passant aux projections dans (7) et en tenant compte de (6) et 
de (8), on obtient
(1 + y?)*r- - y ' x sgn y" y'x (l + ÿ;=)
% -