Calcul différentiel by Gilles Charron Pierre Parent

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7
e
édition
Calcul différentiel
Gilles
Charron
Pierre
Parent•
Dfnitins
IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
IN* = {1, 2, 3, 4, ...}
z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = a
b
a b b, , et 0∈ ≠






z,a
b
a b b, , et 0∈ ≠






=IR ensemble des nombres réels
Dcpsitin n actus
a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
a
2
− 2ab + b
2
= (a − b)
2
a
2
− b
2
= (a + b)(a − b)
a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
− ab + b
2
)
a
4
− b
4
= (a + b)(a − b)(a
2
+ b
2
)
Zs d l’quatin quadatiqu
ax
2
+ bx + c = 0, si
=
+ −
x
b b ac
a
- 4
2
2
ou =
− −
x
b b ac
a
- 4
2
2
Dvlppnts
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
(a − b)
3
= a
3
− 3a
2
b + 3ab
2
− b
3
Abviatins
centimètre cm mètre m
décimètre dm minute min
degré (d’arc) ° newton N
heure h radian rad
jour d seconde s
kilomètre km kelvin K
Thè d Pythag t tignti
a
2
+ b
2
= c
2
θ =
a
c
sin
θ =
b
c
cos
θ =
a
b
tan
Lis ds csinus t ds sinus
Loi des cosinus
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A
b
2
= a
2
+ c
2
− 2ac cos B
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos C
Loi des sinus
= =
A
a
B
b
C
c
sin sin sin
Idntits tigntiqus
sin
2
A + cos
2
A = 1
tan
2
A + 1 = sec
2
A
cot
2
A + 1 = csc
2
A
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
+ =
+
−
A B
A B
A B
tan ( )
tan tan
1 tan tan
sin (2A) = 2 sin A cos A
cos (2A) = cos
2
A − sin
2
A
=
−
A
A
A
tan (2 )
2 tan
1 tan
2
sin (-A) = -sin A
cos (-A) = cos A
=
−
A
A
sin
1 cos2
2
2
=
+
A
A
cos
1 cos2
2
2
A B A B A Bsin cos [sin ( ) sin ( )]
1
2
= − + +
A B A B A Bsin sin [cos( ) cos( )]
1
2
= − − +
A B A B A Bcos cos [cos( ) cos( )]
1
2
= − + +
Fnctins paticuliès
=
<
≥



x
x x
x x
- si 0
si 0
=
<
≥



x
x x
x x
- si 0
si 0
2
  =x k si k ≤ x < k + 1, où k ∈z
Factill
n! = n (n − 1) (n − 2)…(3)(2)(1), où n ∈IN*
0! = 1
θ
a
b
c
A
a
bc
B C
AIDe-mémoIre
7
e
édition
Calcul différentiel
Gilles
Charron
Pierre
Parent•
Calcul différentiel
7
e
édition
Gilles Charron et Pierre Parent
© 2013 Chenelière Éducation inc.
© 2007, 2003 Groupe Beauchemin, Éditeur Ltée
© 1995 Éditions Études Vivantes Groupe Éducalivres inc.
© 1989, 1987, 1982 Les Éditions HRW Ltée
Conception éditoriale : Sophie Gagnon
Édition : Marie Victoire Martin et Julie Prince
Coordination : Jean-Pascal Baillie
Recherche iconographique: Marc-André Brouillard
Révision linguistique et correction d’épreuves: Marie Le Toullec
Conception graphique: Josée Begin
Conception de la couverture : Gianni Caccia
Impression : TC Imprimeries Transcontinental
Coordination du matériel complémentaire Web: Sophie Jama
Catalogage avant publication
de Bibliothèque et Archives nationales du Québec
et Bibliothèque et Archives Canada
Charron, Gilles, 1949 26 mars-
Calcul différentiel
7
e
éd.
Comprend des réf. bibliogr. et un index.
ISBN 978-2-7650-4063-7
1. Calcul différentiel. 2. Calcul différentiel – Problèmes et exercices.
i. Parent, Pierre, 1944- . ii. Titre.
QA304.C534 2013 515’.33 C2012-941694-0
ISBN 978-2-7650-4063-7
Dépôt légal : 2
e
trimestre 2013
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
Bibliothèque et Archives Canada
Imprimé au Canada
1 2 3 4 5 ITIB 17 16 15 14 13
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Sources iconographiques
Couverture : © Xue Haifeng/Dreamstime.com ;
p. 1 : © Chris Nevins ;
p. 37, 78, 124, 158, 159, 167, 168 (tournesol), 216,
229, 237, 239, 244, 246, 247, 248, 303, 307, 308
(botte de foin), 321, 322, 324, 325, 326, 327,
328, 358 (enfant au piano), 362 (seringue et
poteaux électriques), 363, 364 (rayon lumineux),
384, 390, 393, 394, 395, 396 (grande roue), 416,
419, 420 : Dominique Parent ;
p. 61, 62 (foule) : Andreas Kermann/iStockphoto ;
p. 62 (joueur de baseball) : Getty Images ;
p. 64, 177, 366, 373, 376 : Wikipedia Commons ;
p. 84 : George Groutas/Wikipedia Commons ;
p. 88 : akg-images ;
p. 93 : Private Collection/Ken Welsh/The Bridgeman
Art Library ;
p. 105 : The Pushkin State Museum of Fine Arts,
Moscow/The Bridgeman Art Library ;
p. 119, 120 (laboratoire) : © Konrad Bąk/FreshStock ;
p. 120 (dessin de Descartes) : © J. Bedmar/
Iberfoto/The Image Works ;
p. 130 : National Maritime Museum, Greenwich,
London/Wikipedia Commons ;
p. 135 : © Adam Stoltman/Corbis ;
p. 149 : Herzog-Anton-Ulrich-Museum,
Braunschweig/Wikipedia Commons ;
p. 165 : Marc-André Brouillard ;
p. 168 (Maria Gaetana Agnesi) : Scala Museum,
Milan/Wikipedia Commons ;
p. 168 (Émilie du Châtelet) : Private Collection/
The Bridgeman Art Library ;
p. 172, 269 : Godfrey Kneller/Wikipedia Commons ;
p. 191, 341, 396 (Kepler), 398 : © Bettmann/CORBIS ;
p. 197 : CCI ARCHIVES/SCIENCE PHOTO LIBRARY ;
p. 211, 212 (radar) : David Lentz/iStockphoto ;
p. 212 (illustration de bateau) : polygraphus/
iStockphoto ;
p. 220 : Musée de la Ville de Paris, Musee
Carnavalet, Paris, France/Archives Charmet/
The Bridgeman Art Library ;
p. 230 : Cristi Matei/Shutterstock
p. 248 (dessin de Newton) : © Courtesy of the
Warden and Scholars of New College, Oxford/
The Bridgeman Art Library ;
p. 302 : © Iurii Brukvach/Dreamstime.com ;
p. 306, 362 (arche de Saint-Louis), 414 : Pierre
Parent ;
p. 308 (brachistochrone) : Museo Galileo, Florence
– Photo Franca Principe
p. 331, 332 (seringue) : Africa Studio/Shutterstock.com ;
p. 332 (pascaline) : © 2005 David Monniaux/
Wikipedia Commons ;
p. 358 (câbles) : iStockphoto/Thinkstock ;
p. 364 (scanner IRM) : © Marian Vejcik/
Dreamstime.com ;
p. 380 : SCIENCE PHOTO LIBRARY ;
p. 386 : Francine Parent.
Avant-propos
Cette septième édition de Calcul différentiel a été préparée en onction des besoins exprimés
par le milieu collégial. Ainsi, pour l’élaboration du présent ouvrage, qui amorce la trilogie
des volumes collégiaux de la série Charron et Parent, les auteurs ont tenu compte des commen­
taires et des suggestions d’un grand nombre d’utilisatrices et d’utilisateurs.
La structure du livre est modiée par rapport à l’édition précédente. Le chapitre 1 est consacré
à l’essentiel des notions préalables au cours de Calcul différentiel. Les notions d’asymptotes
verticales et horizontales sont déplacées du chapitre 6 au chapitre 2, ainsi que les notions de
limite innie et de limite à l’inni.
Cet ouvrage exploite la couleur de açon pédagogique. Elle sert, entre autres, à illustrer
les phénomènes mathématiques étudiés. Grâce à une utilisation judicieuse de la couleur,
l’élève est aussi en mesure de repérer les notions clés et les aspects importants de la matière.
L’approche programme se refète dans toutes les parties du livre. Tout d’abord dans
les exemples, où l’on traite de sujets variés, puis dans les exercices, qui touchent plu­
sieurs champs d’études du domaine des sciences naturelles et des sciences humaines.Les
auteurs ont utilisé la terminologie ainsi que les notations propres à la biologie, à la chimie,
à l’administration et à la physique. Les exercices se rapportant à une matière en particulier
sont accompagnés d’un pictogramme représentant cette matière.
Le présent ouvrage comporte toujours les caractéristiques appréciées des enseignants.
Chaque chapitre s’ouvre sur un problème type qui est repris plus loin dans le chapitre.
Ce problème sert de pont entre la matière théorique et l’application pratique du calcul
diérentiel.
Au début de chaque chapitre, nous retrouvons toujours une capsule «Perspective historique»
qui met en relation le contenu du chapitre et le contexte des découvertes en mathématiques.
De plus, des «bulles historiques» présentent divers mathématiciens et quelques rappels sur
l’origine ou l’utilisation de certains outils mathématiques.
Des exercices préliminaires en début de chaque chapitre permettent à l’étudiant de revoir
des notions étudiées au secondaire ainsi que des notions abordées dans les chapitres pré­
cédents, et qui sont essentielles à l’étude du nouveau chapitre.
Les auteurs proposent la résolution de problèmes à l’aide d’outils technologiques. La résolution
de certains exemples ait appel au logiciel Maple. Certains exercices et problèmes sont accom­
pagnés d’un pictogramme « outil technologique », suggérant ainsi une résolution à l’aide d’un
de ces outils technologiques.
La liste de vérifcation des apprentissages est oerte dans cet ouvrage. Située avant les
exercices de n de chapitre, elle permet à l’élève de compléter un résumé de notions étu­
diées dans ce chapitre, avant de résoudre les exercices récapitulatis et les problèmes de
synthèse. L’étudiant prend ainsi conscience de ses acquis et de ses lacunes avant d’entre­
prendre la partie pratique.
Un réseau de concepts permet de saisir les liens entre les notions étudiées dans chaque
chapitre.
Nous espérons que vous pourrez tirer le meilleur de cette 7
e
édition de Calcul différentiel,
et que cet ouvrage restera ou deviendra votre outil d’apprentissage privilégié.
Remerciements
Nous tenons d’abord à remercier les nombreuses personnes­ressources qui ont collaboré à
l’élaboration des éditions précédentes :
M. Michel Baril, Cégep de Chicoutimi
M. Jacques Carel, Cégep de Lévis­Lauzon
M
me
Suzanne Cayer, Cégep de la Gaspésie et des Îles
M. Alain Chevanelle, Cégep de Drummondville
M
me
Marie­Paule Dandurand, Collège Gérald­Godin
M. Gilles Devault, Cégep de Trois­Rivières
M. André Douville, Cégep de l’Abitibi­Témiscamingue
M. Webster Gaétant, Collège de Bois­de­Boulogne
M. Bernard Grenier, Centre d’études de Chibougamau
M
me
Marthe Grenier, Collège Montmorency
M
me
Suzanne Grenier, Cégep de Sainte­Foy
M. Rony Joseph, Cégep de Victoriaville
M
me
Christiane Lacroix, Collège Lionel­Groulx
M. Jacques Lapointe, Collège Maisonneuve
M. Michel Laramée, Collège Édouard­Montpetit
M
me
Chantal Leclerc, Collège Gérald­Godin
M. Luc Morin, Cégep de Trois­Rivières
M
me
Diane Paquin, Collège Édouard­Montpetit
M. Robert Paquin, Collège Édouard­Montpetit
M. Jacques Paradis, Cégep de Sainte­Foy
M
me
Bibiane Plourde, Cégep de l’Abitibi­Témiscamingue
M. Alain Raymond, Cégep de Saint­Jérôme
M. André Roy, Cégep de Victoriaville
M. André Sabourin, Collège de Bois­de­Boulogne
M. Marc Simard, Collège André­Laurendeau
M
me
Claudette Tabib, Collège Édouard­Montpetit
M. Alain Therrien, Collège André­Laurendeau et HEC
M. Normand Vanier, Cégep de Saint­Jérôme
Nous soulignons également l’excellent travail des consultants et des consultantes qui ont
permis, grâce à leurs commentaires éclairés, d’enrichir chacun des chapitres de cette nou­
velle édition :
M
me
Jennier Bélanger, Université de Sherbrooke
M. Abdessamad Benhsaien, Cégep de l’Outaouais
M. Robert Bradley, Collège Ahuntsic (et les éditions précédentes)
M
me
Nancy Corsnier, Cégep de l’Outaouais
M. Éric Desjardins, Cégep de Saint­Jérôme
M
me
Nadia Lafamme, Cégep Lévis­Lauzon (et les éditions précédentes)
M. François Hotte, Collège de Valleyeld
M
me
Audrey Lavoie, Cégep de Jonquière
M. Michel Milot, Collège Lionel­Groulx
M
me
Monique Robitaille, Collège Édouard­Montpetit
M. Daniel Tardi, Cégep Marie­Victorin
Nous témoignons aussi notre gratitude aux enseignants et aux enseignantes du département
de mathématiques du Cégep André­Laurendeau pour leurs commentaires et suggestions.
Finalement, nous remercions les personnes suivantes :
M. Louis Charbonneau, pour la rédaction des rubriques historiques ;
M
me
Dominique Parent, pour les nombreuses photographies qu’elle nous a ournies ;
M
me
Michèle Gingras, pour ses judicieux conseils ;
M. Jean­Pascal Baillie, pour son travail vigilant au cours de la production du volume ;
M
me
Sophie Gagnon, pour avoir permis la réalisation du projet ;
M
mes
Marie Victoire Martin et Julie Prince, pour leur gestion efcace du projet.
Gilles Charron
Pierre Parent
Remerciements V
Dans cette section, nous allons démontrer des ormules permettant de calculer la
dérivée de onctions contenant des onctions sinus et cosinus.
Ces ormules de dérivées seront utilisées dans la section 9.2 pour démontrer la dérivée
des autres onctions trigonométriques.
Fonction sinus
9.1 Dérivée des fonctions sinus et cosinus
Objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra calculer la dérivée de onctions conte-
nant des onctions sinus et cosinus.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de démontrer la règle de dérivation pour la fonction sinus ;
• de calculer la dérivée de fonctions contenant des expressions de la forme sin f (x) ;
• de démontrer la règle de dérivation pour la fonction cosinus ;
• de calculer la dérivée de fonctions contenant des expressions de la forme cos f (x).
(sin f (x))′ = (cos f (x)) f ′ (x)
(cos f (x))′ = (-sin f (x)) f ′ (x)
Il y a environ 1500 ans…
D’où vient le mot sinus? L’astronome indien Aryabhata employait le terme jya-ardha pour
désigner la demi-corde. Touteois, le plus souvent, il n’écrivait que jya ou jiva. Lorsqu’il ut
traduit en arabe, le mot ut transcrit phonétiquement, jiba, terme qui n’a pas de sens dans cette
langue. Comme l’arabe s’écrit sans nécessairement préciser les voyelles, le mot jb se lisait jaib,
qui signife « ouverture » ou « baie ». Or, en latin, une ouverture ou une baie se traduit par sinus.
D’ailleurs, la cavité qui se trouve derrière le nez ne s’appelle-t-elle pas aussi sinus?Aryabhata
(né en 476)
La représentation graphique ci-contre est une
esquisse du graphique de f (x) = sin x, où
dom =f IR et
ima f = [-1, 1].
Cette onction périodique de période 2π est
continue sur IR.
Remarque Les deux lemmes suivants de même que toutes les ormules des déri-
vées de onctions trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés en
radians. Ainsi, à moins d’indications contraires, la mesure des angles est en radians.
Avant de calculer la dérivée de la onction f (x) = sin x, à l’aide de la défnition de la
dérivée, il aut évaluer les deux limites suivantes :
→
h
h
lim
sin
h 0
et
−
→
h
h
lim
cos 1
h 0
y
x
1
2ππ-π 0
-1
f (x) = sin x
CHAPITRE 9 Fonctions trigonométriques366
9
Déinition de la dérivée
Perspective historique 120
Exercices préliminaires 121
3.1 Taux de variation moyen 122
3.2 Dérivée d’une fonction en
un point et taux de variation
instantané 135
3.3 Fonction dérivée 149
Réseau de concepts 156
Vérifcation des apprentissages 157
Exercices récapitulatis 158
Problèmes de synthèse 162
N
ous étudierons, dans ce chapitre, une partie importante du
calcul diérentiel, c’est-à-dire la notion de « dérivée » qui
correspond au taux de variation instantané d’une onction.
Nous utiliserons les calculs de limites, présentés au chapitre 2, pour
défnir la dérivée en un point ainsi que la onction dérivée.
Nous présenterons les notions de vitesse moyenne et de vitesse ins-
tantanée à l’aide du taux de variation moyen et du tauxde variation
instantané.
En particulier, l’élève pourra résoudre, à la fn de ce chapitre, le pro-
blème de chimie suivant.
De l’azote (N) et de l’hydrogène (H) réagissent pour ormer de
l’ammoniac (N
2
+ 3H
2
→ 2NH
3
). Toutes les quantités sont expri-
mées en grammes. La quantité d’ammoniac, en onction du temps
t, notée Q(t), est donnée par
Q(t) = 100 -
t
1000
10 +
, où t est en secondes et Q, en grammes.
L’élève aura à calculer divers taux de variation moyens et
instantanés.
(Voir le problème de synthèse n
o
12, page 164)
3
Particularités de l’ouvrage
Plan du chapitre
Le plan du chapitre permet le repérage des contenus et des
apprentissages présentés. Afn de aciliter la consultation, les
numéros de pages des diérentes sections sont indiqués.
Perspective historique
Une capsule « Perspective historique » est présentée au début de chaque
chapitre. Elle permet de mettre en évidence les contextes de découverte
ou d’utilisation des contenus présentés. Les mathématiques sont ainsi
considérées dans le cadre d’un cheminement intellectuel général, en
relation avec les autres champs du savoir humain.
Exercices préliminaires
Les élèves apprécient pouvoir évaluer leur
niveau de connaissances préalables avant de
poursuivre leur apprentissage.
Objectifs d’apprentissage
Les objectis d’apprentissage constituent un
autre moyen, pour les élèves, d’entrevoir les
notions qu’ils auront à maîtriser.
Ils sont en lien direct avec l’activité de
vérifcation des apprentissages, présentée
en fn de chapitre.
Introduction
L’introduction du chapitre permet de mettre en relation ses
contenus dans une séquence générale d’apprentissage. De plus,
la présentation d’un problème type du chapitre précise le genre
d’habileté à acquérir et son contexte d’utilisation.
J
usqu’à la fn du xvii
e
sècle, l est dfcle pour les
gens de se are une dée clare du noueau calcul de
Lebnz et de Newton. La stuaton s’amélore en 1696
aec la publcaton de l’Analyse des infniment petits pour
l’intelligence des lignes courbes de Gullaume Franços de
L’Hosptal, marqus de Sante-Mesme (1661-1704). Dans
cet ourage, le mathématcen ranças systématse pour la
premère os les règles du calcul dérentel. Au mleu du
xviii
e
sècle, deu emmes remarquables contrbueront à la
duson des dées de Lebnz et de Newton.
Le Instituzioni analitiche ad
uso della gioventu italiana
(Les bases de l’analyse à
l’usage de la jeunesse talenne)
de Maria Gaetana Agnesi
est publé en deu olumes en
1748 et en 1749. L’Académe
des scences de Pars qualfe
le second olume de melleur
ou rage sur le calcul déren-
tel et ntégral, qu’on appelle
alors « l’analyse nfntésmale ».
Cette opnon est largement
partagée pusque le lre sera
tradut dans pluseurs langues.
Mara Gaetana est l’aînée des 23 enants d’un rche mar-
chand de soe mlanas. Dès son jeune âge, elle maneste des
dons ntellectuels eceptonnels. À 11 ans, elle parle couram-
ment 7 langues et à 20 ans, elle puble un premer lre sur la
phlosophe et les scences naturelles. Elle eut deenr rel-
geuse et entrer au couent. Touteos, son père la conanc
de rester aec lu et de l’ader à s’occuper de sa nombreuse
amlle. C’est à cette époque qu’elle commence à s’nté-
resser séreusement au mathématques. Aec l’ade d’un
précepteur, le père Ramro Rampnell, elle at rapdement
des progrès. Son précepteur l’encourage à écrre un manuel
sur l’algèbre et l’analyse nfntésmale. Forte de l’epérence
qu’elle a acquse en ensegnant les mathématques à ses
jeunes rères, elle décde de are profter l’ensemble
des jeunes talens de son talent de pédagogue. Son lre
deendra un modèle de clarté. Sa notorété est telle que
le pape Benoît XIV la nomme à une chare de mathémat-
ques de l’Unersté de Bologne en 1750. Cependant, elle
n’ra jamas à Bologne. À la mort de son père en 1752, elle se
retre de la haute socété pour se consacrer entèrement à des
œures chartables auprès des emmes paures. Elle mourra,
elle-même paure, une quarantane d’années plus tard.
L’année 1749 marque un autre
éénement mportant relé à la
présence des emmes en mathé-
matques. Le 10 septembre, à
l’âge de 43 ans, Gabrielle Émilie
Le Tonnelier de Breteuil,
marquise du Châtelet décède
en donnant nassance à une flle.
Contrarement à Mara Agnes,
Émle a été toute sa e très
acte dans la haute socété
rançase. Elle est connue prn-
cpalement pour sa traducton
rançase commentée des Philoso­
phiae Naturalis Principia Mathe­
matica (Prncpes mathématques de la phlosophe naturelle)
de Newton, parue en 1759, d ans après sa mort. Cette
traducton arre à pont, car depus le début du sècle, une
e controerse oppose en France les tenants de la méca-
nque newtonenne, basée sur un prncpe d’acton à dstance,
à ceu de la mécanque cartésenne, basée sur une théore des
tourbllons d’une matère subtle qu, selon Descartes, remplt
l’Uners. Émle a probablement rencontré des mathémat-
cens et des saants dès sa prme jeunesse dans les grands
salons de l’appartement amlal au cœur de Pars. Elle ne les
quttera jamas rament. Marée au marqus Florent-Claude
du Châtelet en 1725, elle s’entoure des plus grands esprts de
son temps : d’abord Voltare (1694-1778), son plus proche am
jusqu’à la fn, mas auss Maupertus (1698-1759) et Clarault
(1713-1765), respectement physcen et mathématcen alors
au sommet de leur carrère. Émle du Châtelet est értable-
ment une emme de son sècle, le Sècle des Lumères, des
connassances et du saor.
Elle est auss une emme à la personnalté attachante,
comme l’écrt Voltare dans une lettre de jun 1734, peu
après l’aor rencontrée : « Son esprt est dgne de ous et de
M. de Maupertus, et son cœur est dgne de son esprt. Elle
rend de bons ofces à ses ams, aec la même acté qu’elle
a apprs les langues et la géométre ; et quand elle a rendu
tous les serces magnables, elle crot n'aor ren at ; elle
crot ne ren saor, gnore s elle a de l'esprt. »
La diffusion du calcul différentiel grâce
à une pédagogue et à une traductrice
PERSPECTIVE H I S T O R I Q U E
Maria Gaetana Agnesi
(1718-1799)
Émilie du Châtelet
(1706-1749)
168 Perspective historique
4
Exercices préliminaires
1. Écrire les expressions suivantes sous la orme x
r
, où
∈r IR.
a) x b) x
53
c)
x
1
3
4 d) x
75 −
e) x x )
x
x
3
7
2. Écrire les expressions suivantes sous la orme x ,
ba
où
∈ ∈a bIN et IN.
a) x
2/3
b) x
3/2−
c) x x
1/2 3/4
d)
x
x
4/5
5/4
3. Si f (x) = x
2
+ 4, g(x) = 2x + 3 et k x x( ) 3 1,= − cal-
culer les onctions composées suivantes. Simplifer les
réponses.
a) ( f
º
g) (x)
b) (g
º
f ) (x)
c) ( f
º
f ) (x)
d) ( f
º
k) (x)
e) (k
º
k) (x)
) ( f
º
g
º
k) (x)
4. Évaluer les expressions suivantes.
a) 0 ! b) 6 !
c)
13!
10!
d)
70!
69!
e)
83!
80!
)
200!
202!
5. Compléter les égalités suivantes.
a)
H x h H x
h
lim
( ) ( )
______
h 0
+ −
=
→
b)
g y k g y
k
lim
( ) ( )
______
k 0
+ −
=
→
6. Compléter l’énoncé suivant.
f ′(a) correspond graphiquement à la
7. Compléter les égalités suivantes si toutes les limites
existent.
a) k f xlim [ ( )] ______
x a
=
→
b) f x g xlim [ ( ) ( )] ______
x a
± =
→
c) f x g xlim [ ( ) ( )] ______
x a
=
→
169
44
Exercices préliminaires
Utilisation pédagogique
de la couleur
La couleur permet une
meilleure compréhension
des graphiques et acilite
le repérage des défnitions,
des théorèmes et des
exemples.
Dans le texte courant,
l’utilisation de la couleur
met en évidence les concepts
importants et aide l’élève
à aire des liens entre
certains éléments.
d) Évaluons, si c’est possible, la pente de la droite tangente à la courbe aux points
R(0, 3) et S(3, 0).
= = =






=m
dy
dx
0
3
0
dy
dx
x
y
car
-
tan (0, 3)(0, 3)
Cependant, m
)tan (3, 0
n’est pas défnie, car en remplaçant x par 3 et y par 0 dans
dy
dx
x
y
-
,= nous obtenons
-3
0
, quantité non défnie. Graphiquement, on constate
que la tangente à la courbe au point S(3, 0) est une droite verticale.
e) Évaluons
− −
d y
dx
d y
dx
et
2
2
(-2, 5)
2
2
( 2, 5)
.
=






=












=





 −
=
+






=
d y
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
x
y
d
dx
x y x
dy
dx
y
y x
x
y
y
-
(- ) (- )
(-1)
-
dy
dx
x
y
voircar
-
, a)
2
2
2
2
=
−
=
−
-
, donc
-
y
x
y
y
d y
dx
y x
y
2
2
2
2
2 2
3
=
−
=
−
-
, donc
-
y
x
y
y
d y
dx
y x
y
2
2
2
2
2 2
3
( )
( )
=
−
=
=
− −
− −
d y
dx
d y
dx
- - 5 (-2)
- 5
9
5 5
d’où
9 5
25
x y(en remplaçant par -2 et par - 5)
2
2
( 2, 5)
2
2
3
2
2
( 2, 5)
(en remplaçant par - et parx y
d y
dx
2 5
2
2
2 5
)
( , )−
=
-- -
-
d o
-
5 2
5
9
5 5
9 5
25
2
2
3
2
2
2 5
( ) −
( )
=
=
−
( )
( , )
’ ù
d y
dx
(en remplaçant par - et parx y
d y
dx
2 5
2
2
2 5
)
( , )−
=
-- -
-
d o
-
5 2
5
9
5 5
9 5
25
2
2
3
2
2
2 5
( ) −
( )
=
=
−
( )
( , )
’ ù
d y
dx
(en remplaçant par - et parx y
d y
dx
2 5
2
2
2 5
)
( , )−
=
-- -
-
d o
-
5 2
5
9
5 5
9 5
25
2
2
3
2
2
2 5
( ) −
( )
=
=
−
( )
( , )
’ ù
d y
dx
(en remplaçant par - et parx y
d y
dx
2 5
2
2
2 5
)
( , )−
=
-- -
-
d o
-
5 2
5
9
5 5
9 5
25
2
2
3
2
2
2 5
( ) −
( )
=
=
−
( )
( , )
’ ù
d y
dx
y
x
x
2
y
2
9
R(0, 3)
S(3, 0)
201
44
4.4 Dérivation implicite
Exemples
Toujours aussi présents, les exemples préparent les élèves
à voler de leurs propres ailes lorsqu’ils auront à aire les
séries d’exercices. Afn de permettre une transition vers
l’utilisation d’outils technologiques, le logiciel Maple est
utilisé dans la résolution de certains exemples.
Réseau de concepts
à l’aide de
tableaux de
valeurs
de açon
algébrique
à l’aide des
théorèmes
à partir de
graphiques
Calcul de
limites
Existence
d’une limite
Calcul de
limites
indéterminées
de la orme
0
0
Calcul de limites
indéterminées
des ormes
, ( ) et (- )
±∞
±∞
+∞ − ∞ ∞ + ∞
LIMITES ET
CONTINUITÉ
Limite à
gauche et à
droite
Théorèmes
sur les
limites
Limite Continuité
Infnie
Asymptote
verticale
Notion
intuitive et
graphique de
continuité
Asymptote
horizontale
Défnition
ormelle de
continuité
À l’infnie
Notion
intuitive de
limite
Fonction
Continue
théorèmes
sur un
intervalle
en un
point
109
2
Réseau de concepts
Réseau de concepts
Les réseaux de concepts permettent de
schématiser les contenus des chapitres et
surtout de les mettre en relation. Ainsi, ils
acilitent l’étude et la mémorisation des
connaissances.
Exemple 3 Soit un carré dont la mesure du côté est de x cm
où x ≥ 0 et dont l’aire A est donnée par A(x) = x
2
.
a) Calculons les taux de variation moyens de l’aire A sur les
intervalles [5 cm, (5 + h) cm] pour les valeurs de h suivantes.
Si h = 0,1 cm,
A A
TVM
(5,1) (5)
5,1 5
10,1 cm /cm
[5 cm, 5,1cm]
2
=
−
−
=
Si h = 0,001 cm,
A A
TVM
(5,001) (5)
5,001 5
10,001 cm /cm
[5cm, 5,001cm]
2
=
−
−
=
b) Calculons TVI
(5, A(5))
à partir de la défnition du taux de variation instantané.
A
A h A
h
h
h
h h
h
TVI (5)
lim
(5 ) (5)
lim
(5 ) 25
lim
25 10 25
a(définition 3.7, où 5)
ind.
0
0
h
h
h
0
0
0
A(5, (5))
2
2
= ′
=
+ −
=
+ − 



=
+ + −
=
→
→
→
h h
h
h h
h
h
lim
10
lim
(10 )
lim (10 )
10
h
(en simplifiant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
h
h
h
0
0
0
2
=
+
=
+
= +
=
≠
→
→
→
d’où TVI
(5, A(5))
= 10 cm
2
/cm.
Dérivée et continuité en un point
x cm
x cm
A(x) = x
2
Théorème 3.1
Si f est une onction dérivable en x = a, alors f est continue en x = a.
Pour démontrer qu’une onction est continue en x = a, il suft de démontrer que
=
→
f x f alim ( ) ( )
x a
, ce qui équivaut à démontrer que − =
→
f x f alim [ ( ) ( )] 0.
x a
( )
( )
( )
( )
− =
−
−
−




=
−
−
−
= ′
=
−
−
= ≠
−
−
= ′
→ →
→ →
→
f x f a
f x f a
x a
x a
f x f a
x a
x a
f a
lim [ ( ) ( )] lim
[ ( ) ( )]
( )
( )
lim
( ) ( )
lim ( )
( ( ))(0)
0
x a
x a
x a
f x f a
x a
f a
car 1,si
(théorème 2.3d))
car lim
( ) ( )
( )
x a x a
x a x a
x a
Preuve
143
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
Présentation intuitive de la notion de limite
2.1 Notion de limite
Objectis d’apprentissage
À la n de cette secton, l’élève pourra calculer des lmtes.
Plus précsément, l’élève sera en mesure :
• d’estimer des limites, en utilisant des tableaux de valeurs appropriées ;
• d’utiliser la notation de limite ;
• de représenter graphiquement le résultat du calcul d’une limite ;
• de donner les conditions de l’existence de la limite d’une fonction ;
• d’évaluer des limites à gauche et des limites à droite, à partir d’un
graphque ;
• d’énoncer des théorèmes relatifs aux limites ;
• de calculer des limites à l’aide des théorèmes sur les limites ;
• de déterminer des limites à l’aide du théorème « sandwich » ;
• de calculer, algébriquement, des limites à gauche et des limites à droite.
Avant d’évaluer des lmtes à l’ade de théorèmes, présentons d’abord de açon ntu-
tve la noton de lmte.
Défnition 2.1 Sot x ∈IR. Nous dsons que x est une valeur voisine de a s x a≠ , c’est-à-dre
x < a ou x > a et s x est auss près que nous le voulons de a.
y
x
L
c a d
h (x)
f (x)
g (x)
Théorème « sandwich »
Il y a environ 275 ans…
L’dée ntutve de lmte se maneste tout au long de l’hstore des mathématques.
Archimède s’en sert dans ses nombreu calculs d’are de suraces courbes. Elle commence
à prendre orme comme une noton ndépendante chez D’Alembert (1717-1783). Ce n’est
touteos qu’au début du xix
e
sècle, partculèrement chez Cauchy (voir la perspective
historique), qu’on la dént clarement, avec la notaton lim, mas sans la fèche en-dessous,
et que sa place dans le calcul dérentel se précse.
Archimède (-287 à -212)
Donnons d’abord deu eemples de onctons dénes sur IR \ {a}, où nous évaluerons
ces onctons pour des valeurs vosnes de a.
Exemple 1 =
−
−
=f x
x x
x
fSoit ( )
3
3
, où dom IR \ {3}.
3 2
a) Pusque f (3) est non déne, posons-nous la queston suvante.
Quelles valeurs prend f (x) lorsque les valeurs de x, où x ∈ dom f, sont vosnes de 3 ?
Par valeurs vosnes de 3, nous entendons des nombres réels plus petts ou plus grands que 3, donc x ≠ 3,
mas qu sont auss près que nous le voulons de 3.
64 CHAPITRE 2 Limites et continuité
2
Bulles historiques
Plus succinctes que les perspectives historiques,
les bulles historiques présentent un complément
d’inormation sur un concept aisant l’objet
d’une section du chapitre. Les élèves peuvent
ainsi comprendre les relations entre les
diérentes acettes de la découverte ou
de l’utilisation d’un objet d’étude.
Particularités de l’ouvrage VII
C
O
R
R
I
G
É
Chapitre 2
Exercices préliminaires (page XX)
1. a) 0,000 2 ; 0
b) 0,000 07 ; 0,000 000 15
c) 3 000 ; 8 000 000
d) -200 000 ; -70 000 000 000
2. a) A + B est positi et infniment grand.
b) A − B est impossible à déterminer.
c) AB est positi et infniment grand.
d)
A
B
est impossible à déterminer.
e)
-A
50
est négati et infniment grand.
) AB − A = A(B − 1), donc positi et infniment grand.
3. a)
ad
bc
b) 2 2x x( )+ c)
−x
1
( 3)
2
d) -x e)
1
2x
) -(x +3)
4. a) x x7 7 et - 7 7+ + + −
b) x x x x3 5 3 4 et - 3 5 3 4− + + − − +
5. a) ( )( )x x x− + = −5 5 25
b) ( )( )x x x+ − = −5 5 5
c) ( )( )x x x x x− − + − = −3 5 3 5 5 2
d) ( )( )a b c d a b c d a b c d+ + − + − − = + − +
6. a) x
2
+ 1 b) x
3
+ x − 2
7. a) a
2
− b
2
= (a − b) (a + b)
b) x
3
− 8 = (x − 2) (x
2
+ 2x + 4)
c) 27 + x
3
= (3+ x) (9 − 3x + x
2
)
d) (x + h)
3
− x
3
= h(3x
2
+ 3xh + h
2
)
8. a) IR b) IR \ , 3
-5
2
{ }
c) IR \ {-3, 4} d) ,
-7
3
+∞






e) ] - , 5]∞ ) [0, [+∞ \ {1}
g) IR \ {0, - 7, 7} h) [2, 5[
i) IR \ {-5, 5} j) [-1, 2]
k) IR l) IR \ {0, 5}
9. a) i) f (0) = 0 ii) f (1) est non défnie.
iii) f (1,5) = 2,25 iv) f (2) = 4
v) f (3) est non défnie. vi) f (4) = -1
b) y
x
1
1
dom f = IR \ {1, 3}
10. a) i) f (-5) est non défnie.
ii) f (-1) est non défnie.
iii) f (1) = 1
b) [-4, [+∞ \ {-3, -1, 0, 2, 5}
11. D
1
: y = 1 ; D
2
: x = -2 ; D
3
: y = x
1
2
+ 1
2
427CORRIGÉ DU CHAPITRE 2 Exercices préliminaires
Après l’étude de ce chapitre, je suis en mesure de compléter le résumé suivant avant de résoudre les exercices récapitulatis
et les problèmes de synthèse.
Taux de variation moyen et vitesse moyenne
Le taux de variation moyen d’une onction f est défni par
TVM
[a, b]
=
TVM
[x, x + ∆ x]
=
TVM
[x, x + h]
=
Graphiquement, le taux de variation moyen d’une onction f sur un intervalle [a, b] correspond à
Soit x, la position d’une particule à l’instant t.
La vitesse moyenne sur [t
i
, t
f
] est défnie par v
t t[ , ]
i f
=
Graphiquement, la vitesse moyenne correspond à
Dérivée d’une fonction en un point et vitesse instantanée
La dérivée d’une onction f au point P(a, f (a)), notée f ′(a), peut être obtenue d’une des açons suivantes.
′ =
′ =
′ =
→
∆ →
→
f a
f a
f a
( ) lim ______
( ) lim ______
( ) lim _______
h
x
x a
0
0
′ =
′ =
′ =
→
∆ →
→
f a
f a
f a
( ) lim ______
( ) lim ______
( ) lim _______
h
x
x a
0
0
′ =
′ =
′ =
→
∆ →
→
f a
f a
f a
( ) lim ______
( ) lim ______
( ) lim _______
h
x
x a
0
0
Graphiquement f ′(a) correspond à
Soit x, la position d’une particule à l’instant t.
La vitesse instantanée de cette particule au temps t = a, notée v
t = a
, est donnée par v
t = a
=
Graphiquement la vitesse instantanée correspond à
Fonction dérivée et taux de variation instantané
La fonction dérivée f ′ d’une onction f peut être défnie d’une des açons suivantes.
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
Le taux de variation instantané est défni par
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
Dérivée et continuité
Si f est une onction dérivable en x = a, alors f est
Si une onction f n’est pas continue en x = a, alors
Vérification des apprentissages
3
157Vérifcation des apprentissages
Exercices récapitulatifs
1. On laisse tomber un objet d’une
montgolfère en ascension.
La position x de cet objet par
rapport au sol est donnée par
x(t) = -4,9t
2
+ 4,9t + 225, où t est
en secondes et x(t), en mètres.
Déterminer :
a) la hauteur de l’objet au moment précis où on le laisse
tomber ;
b) les onctions donnant la vitesse et l’accélération de
l’objet ;
c) la vitesse initiale de l’objet, sa vitesse après
2 secondes et son accélération après 4,5 secondes ;
d) la hauteur maximale qu’atteindra l’objet ;
e) la vitesse de l’objet au moment où celui-ci touche le sol.
2. Un astronaute sur la lune lance une balle verticalement
vers le haut.
La hauteur x en mètres de la balle, après t secondes,
est donnée par l’équation x(t) = 0,5at
2
+ 40t + 1,8, où a
est une constante. La balle atteint sa hauteur maximale
après 25 secondes.
a) Déterminer la valeur de a et donner sa signifcation.
b) Comparer la valeur de a avec celle de g, la gravitation
terrestre, en eectuant le rapport
g
a
.
3. Un zoologiste soutient qu’à compter d’aujourd’hui, la
population d’une espèce, pour les 10 prochaines an-
nées, sera donnée par P t
t
t
( ) ,=
+
+
3600
2 1
3
où t désigne
le nombre d’années et P(t), le nombre d’individus de
l’espèce.
a) Déterminer l’augmentation de la population durant
les trois premières années.
b) Déterminer la croissance moyenne de cette popula-
tion entre la deuxième et la septième année.
c) Déterminer le rythme de croissance de cette popula-
tion dans sept ans.
d) Déterminer le rythme de croissance de cette popula-
tion lorsqu’elle est de 5 200 individus.
e) Déterminer la population de cette espèce lorsque le
rythme de croissance est de 720 individus par année.
PhysiqueAdministrationChimieBiologie
Exercices se réalisant à l’aide d’un outil technologique.
Les réponses des exercices récapitulatis et des problèmes
de synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont
ournies à la fn du manuel.
) Déterminer, théoriquement, le nombre maximal
d’individus de cette espèce. Ce nombre peut-il être
atteint ? Expliquer.
g) Représenter dans un même système d’axes les courbes
de P et du rythme de croissance de P.
4. Soit une compagnie dont les revenus, en dollars, sont
donnés par R(q) = -3q
2
+ 640q et les coûts, en dollars,
par C(q) = 5q
2
+ 5000, où q désigne le nombre d’unités
produites et q ∈ [0, 70].
a) Déterminer la onction R
m
donnant le revenu margi-
nal et la onction C
m
donnant le coût marginal.
b) Déterminer le proft maximal de cette compagnie.
c) Vérifer graphiquement que la valeur de q trouvée
correspond au seuil de production assurant un proft
maximal.
5. On a constaté que la onction T donnant la température
en degrés Celsius d’une personne, à qui on a donné un
médicament pour aire baisser la fèvre, est donnée par
T(t) = 37 +
12 1
2 10
2
( )
,
t
t t
+
+ +
où t ∈ [0 h, 48 h].
a) Trouver la température du patient
i) lorsqu’on lui donne le médicament ;
ii) après 1 h ; 4 h ; 1 journée.
b) Donner la onction f (t) donnant le taux de variation
instantané de la température en onction du temps.
c) Calculer les expressions suivantes et interpréter le
résultat :
i) f (1) ii) f (4) iii) f (24)
d) i) Déterminer à quel moment la température cesse
d’augmenter et donner la température à ce moment.
ii) Interpréter les réponses précédentes.
e) Donner une esquisse de la courbe de T et celle de f.
6. Soit un cylindre dont le volume en onction de son rayon
r et de sa hauteur h est donné par V(r, h) = πr
2
h, où r et
h sont en centimètres et V(r, h), en centimètres cubes.
a) Calculer la variation du volume d’un cylindre ayant un
rayon de 5 cm et une hauteur de 7 cm, si l’on augmente
i) seulement le rayon de 1 cm ;
ii) seulement la hauteur de 1 cm ;
iii) le rayon et la hauteur de 1 cm.
b) Répondre aux questions de a) pour un cylindre ayant
un rayon de 8 cm et une hauteur de 3 cm.
c) Si h est constant, déterminer le taux de variation ins-
tantané T
r
(r, h) du volume par rapport au rayon pour
une variation du rayon r lorsque r = 3 cm et h = 5 cm.
239
5
Exercices récapitulatis
Site Internet
Un complément théorique du chapitre 1 oert sur le site Internet permet aux
étudiants de revoir ou d’approondir certaines notions. De plus, plusieurs
problèmes du volume sont résolus à l’aide du logiciel Maple ou d’une
calculatrice à afchage graphique. Les étudiants y trouveront aussi des tests
récapitulatis leur permettant de s’entraîner à résoudre diérents problèmes.
Outils technologiques
Les exercices qui se réalisent à l’aide du
logiciel Maple ou de la calculatrice à afchage
graphique sont indiqués par un pictogramme.
Exercices
Fidèle à sa réputation d’ouvrage orant le plus
d’exercices, la nouvelle édition termine chacun
des chapitres par une séquence d’exercices
récapitulatis et de problèmes de synthèse.
En accord avec l’approche programme qui
cherche à intégrer les acquis de plusieurs
disciplines, certains exercices et problèmes
sont accompagnés d’un pictogramme qui les
relie à une discipline particulière : biologie,
chimie, administration ou physique.
Vérifcation des apprentissages
La vérifcation des apprentissages permet
à l’élève dedéterminer s’il a acquis ou non
les notions relatives à la réalisation des
exercices récapitulatis et des problèmes de
synthèse. L’élève est ainsi en mesure de
vérifer sa compréhension des notions
présentées dans le chapitre et de corriger
d’éventuelles aiblesses.
Corrigé
Le corrigé des exercices des chapitres se
trouve à la fn du livre afn de avoriser
l’autonomie des élèves. Les réponses aux
exercices récapitulatis et aux problèmes
de synthèse, à l’exception de ceux notés
en rouge, sont également ournies à la fn
du volume. Par contre, les enseignants et
les enseignantes qui utilisent le manuel
ont accès aux solutions détaillées de ces
questions.
VIII Particularités de l’ouvrage
ChAPItRE 1 Noions algébriques e oncions 1
1.1 Ensembles e inervalles                                            2
Les ensembles                                                         2
Opérations sur les ensembles                                            2
Ensembles de nombres                                                 3
Les intervalles                                                         3
1.2 Exposans, racines e exposans racionnaires                      4
Propriétés des exposants                                                5
Racines et exposants ractionnaires                                       5
1.3 Opéraions sur les polynômes e raionalisaion                     8
Addition et soustraction de polynômes                                     8
Multiplication de polynômes                                             8
Rationalisation d’un dénominateur                                        9
Division de polynômes                                                  10
1.4 Facorisaion e simplifcaion d’expressions algébriques            11
Mise en évidence simple et double                                        12
Factorisation de trinômes de la orme x² + bx + c                             13
Factorisation de trinômes de la orme ax² + bx + c, où a ≠ 0                    13
Factorisation d’une diérence de carrés                                    14
Factorisation d’une somme de cubes et d’une diérence de cubes              14
Simplifcation d’expressions algébriques                                    15
1.5 Opéraions sur les racions                                         16
Addition et soustraction de ractions                                      16
Multiplication et division de ractions                                      17
1.6 Résoluion d’équaions e d’inéquaions                             19
Résolution d’équations                                                  19
Résolution d’inéquations                                                21
Résolution d’équations contenant des racines                               23
1.7 Foncions algébriques e oncions défnies par paries              24
Les onctions                                                          24
Composition de onctions                                                26
Fonctions constantes                                                   26
Fonctions afnes                                                       27
Fonctions quadratiques                                                 29
Fonctions polynomiales                                                 31
Fonctions rationnelles                                                  31
Fonctions algébriques                                                   32
Fonctions défnies par parties                                            33
1.8 Foncions exponenielles e logarimiques                         37
Fonctions exponentielles                                                38
Représentation graphique d’une onction exponentielle                       38
Fonctions logarithmiques                                                39
Représentation graphique d’une onction logarithmique                       40
table des maières
1.9 trigonomérie                                                       44
Cercle trigonométrique                                                  45
Points remarquables et coordonnées de ces points sur
la circonérence du cercle trigonométrique                                 45
Fonctions sinus et cosinus                                               46
Fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante                        48
Quelques identités trigonométriques                                      49
Fonctions trigonométriques inverses                                      50
La trigonométrie du triangle rectangle                                     54
La trigonométrie d’un triangle quelconque                                  55
Exercices récapiulais                                                 57
ChAPItRE 2 Limies e coninuié 61
Perspecive isorique                                                   62
Exercices préliminaires                                                  63
2.1 Noion de limie                                                     64
Présentation intuitive de la notion de limite                                 64
Théorèmes sur les limites                                                69
Limites de onctions défnies par partie                                     75
2.2 Indéerminaion de la orme
0
0
                                      77
Évaluation de limites indéterminées de la orme
0
0
de açon algébrique           79
2.3 Limie infnie e asympoes vericales, limie à l’infni
e asympoes orizonales                                         83
Limiteinfnie et asymptote verticale                                       84
Limite à l’infni et asymptote horizontale                                    88
Indétermination de la orme
±∞
±∞
                                          93
Indétermination de la orme (+∞ − ∞) ou (-∞ + ∞)                             97
2.4 Coninuié                                                          101
Présentation intuitive de la notion de continuité                             101
Continuité d’une onction en un point                                      102
Continuité d’une onction sur un intervalle                                  104
Théorème de la valeur intermédiaire                                       105
Réseau de conceps                                                     109
Vérifcaion des apprenissages                                         110
Exercices récapiulais                                                 111
Problèmes de synèse                                                 116
ChAPItRE 3 Défniion de la dérivée 119
Perspecive isorique                                                  120
Exercices préliminaires                                                  121
3.1 taux de variaion moyen                                            122
Pente d’une sécante                                                    122
Taux de variation moyen d’une onction sur un intervalle                      123
Vitesse moyenne et pente de sécante                                      130
X table des maières
3.2 Dérivée d’une oncion en un poin e aux
de variaion insanané                                              135
Tangente à une courbe                                                  136
Pente de la tangente à la courbe d’une onction en un point                    137
Dérivée et taux de variation instantané                                     139
Dérivée et continuité en un point                                          143
Vitesse instantanée et pente de tangente                                   146
3.3 Foncion dérivée                                                    149
Défnition de la onction dérivée                                          149
Taux de variation instantané                                             153
Réseau de conceps                                                     156
Vérifcaion des apprenissages                                         157
Exercices récapiulais                                                 158
Problèmes de synèse                                                 162
ChAPItRE 4 Dérivée de oncions algébriques
e dérivaion implicie 167
Perspecive isorique                                                  168
Exercices préliminaires                                                  169
4.1 Dérivée de oncions consanes, de la oncion idenié
e de oncions de la orme x
r
, où r ∈ IR                               170
Dérivée de onctions constantes et de la onction identité                     170
Dérivée de onctions de la orme x
r
, où r ∈ IR                                172
4.2 Dérivée de produis, de sommes e de quoiens de oncions       176
Dérivée du produit d’une constante par une onction                         177
Dérivée de sommes et de diérences de onctions                           178
Dérivée de produits de onctions                                          181
Dérivée de quotients de onctions                                         184
4.3 Dérivée de oncions composées e dérivées
successives de oncions                                            188
Dérivée de onctions de la orme [f (x)]
r
, où r ∈ IR                             188
Règle de dérivation en chaîne et notation de Leibniz                          191
Dérivées successives                                                   193
4.4 Dérivaion implicie                                                 196
Forme explicite et orme implicite                                         197
Dérivation implicite                                                     198
Réseau de conceps                                                     203
Vérifcaion des apprenissages                                          204
Exercices récapiulais                                                 205
Problèmes de synèse                                                 207
ChAPItRE 5 taux de variaion 211
Perspecive isorique                                                  212
Exercices préliminaires                                                  213
5.1 taux de variaion insanané                                        214
Taux de variation instantané en physique                                   214
XItable des maières
Taux de variation instantané en chimie                                     220
Taux de variation instantané en géométrie                                  221
Taux de variation instantané en économie                                  222
5.2 taux de variaion liés                                                230
Réseau de conceps                                                     238
Véricaion des apprenissages                                         238
Exercices récapiulais                                                 239
Problèmes de synèse                                                243
ChAPItRE 6 Analyse de oncions algébriques 247
Perspecive isorique                                                  248
Exercices préliminaires                                                  249
6.1 Inervalles de croissance, inervalles de décroissance,
maximum e minimum                                              250
Fonction croissante, onction décroissante, maximum et minimum              251
Maximum et minimum aux extrémités d’un intervalle                         254
Croissance, décroissance et dérivée première                               254
Nombre critique de f                                                    255
Test de la dérivée première : maximum et minimum                          257
Tableau de variation relati à la dérivée première                             259
Relation entre le graphique de f et le graphique de f ′                          264
6.2 Inervalles de concavié vers le au, inervalles
de concavié vers le bas e poin d’infexion                       269
Concavité et point d’infexion                                             269
Concavité, dérivée seconde et point d’infexion                              271
Tableau de variation relati à la dérivée seconde                             274
Tests de la dérivée seconde : maximum et minimum                          276
6.3 Asympoes e analyse de oncions algébriques                   282
Tableau de variation relati aux dérivées première et seconde                  282
Asymptotes verticales et horizontales                                     286
Notion graphique d’asymptote oblique                                     287
Dénition d’asymptote oblique                                           288
Analyse de onctions algébriques                                         291
Réseau de conceps                                                     298
Véricaion des apprenissages                                         299
Exercices récapiulais                                                 300
Problèmes de synèse                                                 304
ChAPItRE 7 Problèmes d’opimisaion 307
Perspecive isorique                                                  308
Exercices préliminaires                                                  309
7.1 Résoluion de problèmes d’opimisaion                             310
Réseau de conceps                                                     323
Véricaion des apprenissages                                         323
Exercices récapiulais                                                 324
Problèmes de synèse                                                 327
XII table des maières
ChAPItRE 8 Foncions exponenielles e logarimiques 331
Perspecive isorique                                                  332
Exercices préliminaires                                                  333
8.1 Dérivée de oncions exponenielles e logarimiques               334
Graphiques de fonctions exponentielles                                    334
Dérivée de a
x
                                                         335
Dérivée de e
x
                                                         337
Graphiques de fonctions logarithmiques                                    340
Dérivée de ln x                                                         340
Dérivée de log
a
x                                                       343
Dérivation logarithmique                                                344
8.2 Applicaions de la dérivée à des oncions
exponenielles e logarimiques                                    347
Analyse de fonctions exponentielles et logarithmiques                        347
Problèmes d’optimisation                                                350
Problèmes de taux de variation liés                                        352
Réseau de conceps                                                     355
Vérifcaion des apprenissages                                         356
Exercices récapiulais                                                 357
Problèmes de synèse                                                 360
ChAPItRE 9 Foncions rigonomériques 363
Perspecive isorique                                                  364
Exercices préliminaires                                                  365
9.1 Dérivée des oncions sinus e cosinus                              366
Fonction sinus                                                         366
Dérivée de la fonction sinus                                              368
Dérivée de la fonction cosinus                                            370
9.2 Dérivée des oncions angene, coangene,
sécane e cosécane                                               373
Dérivée de la fonction tangente                                           373
Dérivée de la fonction cotangente                                         375
Dérivée de la fonction sécante                                            376
Dérivée de la fonction cosécante                                          378
9.3 Applicaions de la dérivée à des oncions rigonomériques         380
Analyse de fonctions trigonométriques                                     381
Problèmes d’optimisation                                                383Problèmes de taux de variation liés                                        384
Réseau de conceps                                                     387
Vérifcaion des apprenissages                                         387
Exercices récapiulais                                                 388
Problèmes de synèse                                                 391
XIIItable des maières
ChAPItRE 10 Foncions rigonomériques inverses 395
Perspecive isorique                                                  396
Exercices préliminaires                                                  397
10.1 Dérivée des oncions Arc sinus e Arc cosinus                     398
Dérivée de la fonction Arc sinus                                         398
Dérivée de la fonction Arc cosinus                                       401
10.2 Dérivée des oncions Arc angene e Arc coangene             403
Dérivée de la fonction Arc tangente                                      403
Dérivée de la fonction Arc cotangente                                    405
10.3 Dérivée des oncions Arc sécane e Arc cosécane               407
10.4 Applicaions de la dérivée à des oncions
rigonomériques inverses                                         411
Analyse de fonctions trigonométriques inverses                            411
Problèmes d’optimisation                                               414
Problèmes de taux de variation liés                                       415
Réseau de conceps                                                     417
Vérifcaion des apprenissages                                         417
Exercices récapiulais                                                 418
Problèmes de synèse                                                 419
Corrigé 421
Index 510
[tDM-tCh]Corrigé
XIV table des maières
Notions algébriques
et fonctions
1.1 Ensembles et intervalles 2
1.2 Exposants, racines et
exposants ractionnaires 4
1.3 Opérations sur les
polynômes et rationalisation 8
1.4 Factorisation et simplifcation
d’expressions algébriques 11
1.5 Opérations sur les ractions 16
1.6 Résolution d’équations
et d’inéquations 19
1.7 Fonctions algébriques et
onctions défnies par parties 24
1.8 Fonctions exponentielles
et logarithmiques 37
1.9 Trigonométrie 44
Exercices récapitulatifs 57
C
e chaptre est consacré à la réson de notons essentelles à
l’étude du calcul dérentel.
1
Dès la plus haute Antquté, l’algèbre a été nentée pour résoudre
des problèmes d’hértage, de calcul d’are, de surace et de olume,
d’arpentage, de géométre et d’astronome. Touteos, au xv
e
et
xvi
e
sècles, de noueau défs se présentent. Les canons réoluton-
nent l’art de la guerre. Les grandes eploratons egent de nouelles
technques de repérage en haute mer. La nouelle physque décou-
lant de ces noueau besons pousse les scentfques ers un nouel
horzon mathématque jusqu’alors neploré, sot la mathématsaton
du mouement. Heureusement, au xvii
e
sècle, la nouelle algèbre
symbolque s’ore comme outl. Dans un premer temps, au mleu
du sècle, Fermat étend les technques de calculs de l’algèbre sym-
bolque à un nouel objet mathématque, l’nfntésmal. Par la sute,
dans le trosème quart du sècle, Newton et Lebnz élaborent ce qu
s’appelle mantenant « le calcul dérentel et ntégral ». Lebnz en
partculer poursut le traal d’etenson du symbolsme algébrque
à ce noueau calcul. Après pluseurs essas, l propose une notaton
qu est essentellement celle utlsée dans ce manuel. C’est dans le
cadre du calcul dérentel et ntégral que la noton de oncton prend
orme. En at, les problèmes de mécanque, et plus généralement de
physque, se déclnent non plus en termes d’état d’une stuaton, mas
plutôt en termes de changements et de tau de changements d’une
stuaton. La recherche de açon d’écrre symbolquement une telle
oncton a mené les mathématcens de la fn du xix
e
sècle à dée-
lopper la théore des ensembles et à précser ce qu’l aut entendre
par nombres négats, nombres réels et nombres complees.
Les ensembles
1.1 Ensembles et intervalles
Objectis d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra se amiliariser à nouveau avec les
notions d’ensembles et d’intervalles.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• d’effectuer des opérations sur des ensembles ;
• de classier les nombres réels : naturels, entiers, rationnels et irrationnels ;
• d’exprimer, si c’est possible, un ensemble de nombres réels sous la forme d’un intervalle.
Défnition 1.1 Un ensemble est une collection bien défnie d’éléments.
Nous notons un ensemble en plaçant les éléments de celui-ci entre des accolades
{ } et en les séparant à l’aide de virgules.
Le symbole «∈» indique qu’un élément appartient à un ensemble donné.
Le symbole «∉» indique qu’un élément n’appartient pas à un ensemble donné.
Par exemple, 5 ∈{2, 3, 4, 5, 6, 7}, tandis que 8 ∉{2, 3, 4, 5, 6, 7}.
A est un sous-ensemble de B, si et seulement si tous les éléments de A sont dans B ;
nous disons aussi que A est inclus dans B. Nous écrivons alors A ⊆ B.
L’ensemble vide noté ∅ ou par { } est un ensemble ne contenant aucun élément.
Opérations sur les ensembles
Notation
∈
∉
Inclusion ⊆
∈ ≤ <x x|{ IR 2 5}
2 5[2, 5[
Défnition 1.2 1) L’union (ou la réunion) de deux ensembles A et B, notée A  B, est
l’ensemble des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux.
A B x x A x B{ | ou } = ∈ ∈
2) L’intersection de deux ensembles A et B, notée A  B, est l’ensemble des
éléments qui appartiennent à la ois à A et à B.
A B x x A x B{ | et } = ∈ ∈
3) La diérence de deux ensembles A et B, notée A \ B, est l’ensemble des
éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
= ∈ ∉A B x x A x B\ { | et }
Exemple 1 Soit A = {1, 3, 5, 6, 7, 8} et B = {3, 4, 6, 9}. Eectuons les opéra-
tions suivantes.
a) A  B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) A  B = {3, 6}
c) A \ B = {1, 5, 7, 8} d) B \ A = {4, 9}
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions2
1
Ensembles de nombres
Les nombres naturels : IN = {0, 1, 2, 3, ...}
Les nombres naturels positifs : IN* = {1, 2, 3, ...}
Les nombres entiers : z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Les nombres rationnels :  »= ∈ ≠






a
b
a b bet et 0z »= ∈ ≠






a
b
a b bet et 0
est l’ensemble des nombres qui peuvent s’exprimer sous la orme d’un quotient de
deux entiers. Ainsi, tout nombre rationnel possède une représentation décimale qui est
soit fnie, soit infnie périodique.
Par exemple : = -0,25
-1
4
et = 0,333...
1
3
noté 0 3, .
Les nombres irrationnels : ′
Comme ′ est l’ensemble des nombres dont la représentation décimale est infnie et
non périodique. Par exemple : π2, 5, , 1,11121314...
Les nombres irrationnels ne peuvent pas s’exprimer sous la orme d’un quotient de
deux entiers.
Les nombres réels : IR =  ′
Le diagramme ci-contre présente la relation entre
les ensembles de nombres et quelques éléments
de ces ensembles.
Les intervalles
Un intervalleest :
ermé, s’il inclut ses extrémités ;
ouvert, s’il n’inclut pas ses extrémités ;
semi-ouvert, s’il est ouvert d’un côté et ermé de l’autre.
Le tableau suivant contient diérents modes de représentation d’un intervalle.
IN* = IN \ {0}
IN z
z
IR =  ′
π
0,250, 6
-3
2
0
IR
IN
2
5
3
IN  z   IR
Notation Forme ensembliste Droite numérique
ermé



[a, b] {x ∈ IR | a ≤ x ≤ b}
a b
IR









]a, b[ {x ∈ IR | a < x < b}
a b
IR
ouvert
]-∞, b[ {x ∈ IR | x < b}
b
IR
]a, +∞[ {x ∈ IR | x > a} a
IR
]-∞, +∞[ {x ∈ IR | -∞ < x < +∞}
IR









]a, b] {x ∈ IR | a < x ≤ b}
a b
IR
semi-ouvert
[a, b[ {x ∈ IR | a ≤ x < b}
a b
IR
]-∞, b] {x ∈ IR | x ≤ b}
b
IR
[a, +∞[ {x ∈ IR | x ≥ a} a
IR
3
1
1.1 Ensembles et intervalles
ExErcicEs 1.1
1. Compléter le tableau suivant.
Forme ensembliste Intervalle Droite numérique
{x ∈ IR | 0 < x ≤ 3}
-1 0 1 2 3 4-2
]-1, +∞[
-1 0 1 2 3 4-2
-1 0 1 2 3 4-2
2. Soit les ensembles A = [2, 5], B = ]3, 7], C = IR \ {5} et
D = IR \ {3}. Déterminer :
a) A  B
b) A  B
c) C  D
d) C  D
e) A  C
) A  C
Eemple 1 Le tableau ci-dessous présente les modes de représentation qui permettent d’illustrer les
valeurs possibles d’une variable discrète ou continue.
En mots
Forme
ensembliste
Extension
ou intervalle Droite numérique
Les nombres entiers supérieurs ou égaux
à -1 et inérieurs à 4.
{x ∈ z | -1 ≤ x < 4} {-1, 0, 1, 2, 3}
-1 0 1 2 3 4 5-2-3
Les nombres réels supérieurs ou égaux
à -1 et inérieurs à 4.
{x ∈ IR | -1 ≤ x < 4} [-1, 4[
-1 4
Les nombres réels supérieurs à 1. {x ∈ IR | x > 1} ]1, +∞[
1
Les nombres réels diérents de 4. {x ∈ IR | x ≠ 4}
IR \ {4}
ou
]-∞, 4[ ∪ ]4, +∞[
0 4
1.2 Epoant, ane et epoant fatonnae
Objetf d’appentage
À la fn de cette section, l’élève pourra eectuer des opérations d’expressions contenant des exposants.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de multiplier deux puissances d’une même base ;
• de diviser deux puissances d’une même base ;
• d’élever une puissance à une autre puissance ;
• d’élever un produit à une puissance ;
• d’élever un quotient à une puissance ;
• de transformer des racines sous forme d’exposants ;
• de transformer des exposants sous forme de racines.
( )
= =
= =
= =




=





 = =
+ −
−
a a a
a
a
a
a a a
a
ab a b a
a
b
a
b
a a a
( )
1
( ) 1
m n m n
m
n
m n
m n mn m
m
m m m
m m
m
m n mn n
m
0
/
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions4
1
Popiétés des exposants
Le produit d’un nombre réel par lui-même n ois est représenté par a
n
et est appelé la
nième (n
e
) puissance de a ou a puissance n.
  
= ∈a a a a a a n( )( )( )...( )( ), où IN*
n
n fois
Le nombre a est la base et n est l’exposant de a.
De plus, si a ≠ 0, nous avons a
0
= 1 et a
–m
=
a
1
m
.
Les propriétés suivantes s’appliquent en autant que chaque expression soit défnie.
Propriétés Exemples numériques Exemples algébriques
a
m
a
n
= a
m + n
2
3
2
5
= 2
3 + 5
= 2
8
(-3)
4
(-3)
5
= (-3)
9
x
7
x
2
= x
7 + 2
= x
9
(x + 1)
3
(x + 1)
5
= (x + 1)
8
=
−
a
a
a
m
n
m n
= =
−
6
6
6 6
8
3
8 3 5 = =
−
y
y
y y
7
3
7 3 4
=
−
a
a
1
m
m
π
π
= π =
π
−
1
4
7
3
3
+
+
=
+
x
x x
(1 )
(1 )
1
(1 )
2
2 5 2 4
(a
m
)
n
= a
mn
(8
2
)
5
= 8
2(5)
= 8
10
(0,5
3
)
4
= 0,5
12
(t
–4
)
2
= t
–4(2)
= t
–8
=
t
1
8
((2x + 1)
2
)
7
= (2x + 1)
14
(ab)
m
= a
m
b
m
(7(6))
3
= 7
3
6
3












=





2
1
5
2
1
5
4
4
4
(3x)
4
= 3
4
x
4
(x
2
y
3
)
5
= (x
2
)
5
(y
3
)
5
= x
10
y
15





 =
a
b
a
b
m m
m





 =
5
4
5
4
3
3
3





 = =
− −
−
2
7
2
7
7
2
3
3
3
3
3
+





=
+x
y
x
y
1 ( 1)
3
4
4
3 4
16






= =
x
y
x
y
x
y
4 (4 ) 4
2 3
4
5
2 3 5
20
10 15
20
racines et exposants actionnaies
Défnition 1.3 Une racine nième (n
e
) du nombre réel a est un nombre réel b tel que
b
n
= a, où n ∈{2, 3, 4, ...}.
Exemple 1
a) -3 et 3 sont des racines quatrièmes de 81. (car (-3)
4
= 81 et 3
4
= 81)
b) -2 est une racine cinquième de -32. (car (-2)
5
= -32)
Si n est un entier impair et n ≥ 3, tout nombre réel a possède une seule racine n
e
dans IR.
On désigne cette racine par a ,
n
où est le radical, et n est l’indice du radical.
a
n
a le même signe que a.
5
1
1.2 Exposants, racines et exposants fractionnaires
Exemple 2
a) La racine troisième (appelée racine cubique) de 125 est 5, car 5
3
= 125.
b) =-32 -2,
5
car (-2)
5
= -32.
Si n est un entier pair et n ≥ 2, tout nombre réel positif a possède deux racines n
e
dans IR, l’une positive et l’autre négative.
La racine positive est désignée par a.
n
.
Un nombre réel négati n’a pas de racine n
e
dans IR, si n est pair.
Si n = 2, nous pouvons écrire a
2
ou a. C’est la racine carrée de a.
Exemple 3
a) Il existe deux nombres réels x tels que x
2
= 4. Ce sont x = 2 et x = -2. Mais seule
la racine positive est désignée par 4. Ainsi, 4 = 2.
b) L’expression 16
4
désigne toujours la racine positive, ainsi, 16
4
= 2.
c) -12
6
n’est pas défnie, car il n’existe aucun nombre réel x tel que x
6
= -12.
Nous pouvons utiliser un exposant ractionnaire pour identifer une racine.
Si n est un entier supérieur ou égal à 2 : a
n
= a
1/n
, si la racine existe.
Exemple 4 a) 5 5
3 1/3
= b) 20 20
1/4 4
=
Les propriétés énoncées pour les exposants entiers restent valides pour les exposants
ractionnaires, à la condition que toutes les expressions soient défnies.
Exemple 5 D’une part 6
4/5
= (6
4
)
1/5
= 6
45
et d’autre part, 6
4/5
= (6
1/5
)
4
= ( 6)
5 4
,
d’où 6
4/5
= ( 6)
5 4
= 6 .
45
De açon générale, si m et n sont des entiers positis (n ≥ 2) :
a
m/n
= =a a( ) ,
n m mn
si chaque racine n
e
existe.
Exemple 6 Calculons 8
2/3
et 16
5/2
.
8
2/3
= (8
1/3
)
2
= 2
2
= 4 ou 8
2/3
= (8
2
)
1/3
= 64
1/3
= 4 16
5/2
= (16
1/2
)
5
= 4
5
= 1024
=125 5
3
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions6
1
La multiplication ou la division d’expressions contenant des radicaux peut se aire en
transormant ces expressions à l’aide d’exposants ractionnaires.
Eemple 7 Simplifons en donnant la réponse sous la orme d’une racine.
a)
x x
x
x x
x
x x
x
x x
( ) ( )
1 1
4 38
6
2
4/2 3/8
1/6
2
2 3/8 1/6 2 53/24 2
106/24
53/12 5312





 =






= =
= = =
−
−
+ − − −
−
b) − =
−
=
−
−
x x
x
x
x
x
(3 8 ) (-16 )
-8
(3 8 )
-8
3 8
1
2
2 1/2
2 1/2 2
De açon générale, si chacune des racines n
e
existe :
= = ≠ab a b
a
b
a
b
b(et si 0)
n n n
n
n
n
Eemple 8 En appliquant les propriétés précédentes, nous avons :
a) 75 25 3 25 3 5 3= = =( ) b) + = + +x x x( 1) ( 1) 1
2 3 2 2
c) = = =
98
2
98
2
49 7 d) = =
8
27
8
27
2
3
3
3
3
1. Écrire les expressions suivantes en utilisant des expo-
sants positis.
a) -3y
–4
b)
−
x
2
5
3
c) −
−
x(3 7) (3)
1
2
1/2
d) − + −
−
x x x(3 4) (6 1)
2
3
2
1/3
2. Simplifer en donnant votre réponse à l’aide d’exposants
positis.
a)












−
7
9
7
9
2
4
3
2
b)






−
−
−
a b
b a
2 2
2 2
3
c) (a
6
b
2
c
–3
)
7
d) a
3
x
4
(a
2
x)
–4
e)
−
−
x y
xy
9 ( )
3 ( )
2 3 4 5
5 2 6
)






a b c
a b c
-4
3 4 5
2 6 8
3
g) y y y
4/3 7/8 1/2
h)
y
y
3/4
4/3
i)






−
a a
a
3 4/9
5/2
1
3. Transormer chacune des expressions ci-dessous sous
la orme d’un radical.
a) 5
1/4
b) 8
3/7
c) 3
–1/2
2
1/2
d) 10
–2/5
e) +
−
x x( 1) 5
1
2
5 1/2 4
)




+
−
a
ax b a
2
5
( )
2
3
1/3
ExErcicEs 1.2
7
1
1.2 Exposants, racines et exposants fractionnaires
1.3 Opérations sur les polynômes et rationalisation
Objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra eectuer des opérations sur
les polynômes.
Plus précisément, l’élève seraen mesure :
• d’additionner deux polynômes ;
• de multiplier deux polynômes ;
• de rationaliser des dénominateurs ;
• de diviser deux polynômes.
(x – y)(x + y) = x
2
– y
2
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1
a
a
a
=
( )( )a b a b a b− + = −
+
+
= − +
x
x
x x
1
1
1
3
2
4. Transormer chacune des expressions ci-dessous sous
la orme d’une puissance.
a) 5 b) 3
5
c) 2
53
5. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.
a) 64 b) 64
3
c)
4
25
d)
6
96
e) −25 9 ) 125
23
6. Simplifer en donnant la réponse à l’aide d’exposants
positis.
a)
x x
x
3 5
35
b)
a a
a
5
3
c)
b
b b
25
23 37
7. Écrire chacun des radicaux ci-dessous sous la orme
a b ou a b .
n
a) 68 b) 960 c) 54
3
d) 80
4
Addition et soustraction de polynômes
Pour additionner (ou soustraire) deux polynômes, il suft d’additionner (ou de sous-
traire) les coefcients de leurs termes semblables.
Exemple 1 Simplifons (3x
2
− 5x + 1) − (x
3
− 4x + 6).
(3x
2
– 5x + 1) – (x
3
– 4x + 6) = 3x
2
– 5x + 1 – x
3
+ 4x – 6 = -x
3
+ 3x
2
– x – 5
Multiplication de polynômes
Pour multiplier deux polynômes, il suft de multiplier chaque terme du premier
polynôme par chaque terme du second polynôme en utilisant la distributivité de la
multiplication sur l’addition.
a(b + c) = ab + ac (x + y)z = xz + yz
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions8
1
Exemple 1 Effectuons les multiplications suivantes.
a) + + + = + + +x x x x x x x x2 ( 1) ( 2)3 2 2 3 6
2 3 2 3 5 2
b) + = + +
= + + +
= + + +
= + +
x h x h x h
x x h h x h
xx xh hx hh
x xh h
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2 2
c) x h x h x h
x xh h x h
x x h xh x h h x h
x x h x h xh h x h
x x h xh h
( ) ( ) ( )
( 2 )( )
( ) 2 ( ) ( )
2 2
3 3
3 2
2 2
2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
+ = + +
= + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + +
rationalisation d’un dénominateu
Lorsqu’une expression comporte une racine carrée au dénominateur, on peut la transfor-
mer en une expression équivalente dont le dénominateur ne comprend plus de radical.
Cette procédure est appelée rationalisation du dénominateur.
Exemple 1 Rationalisons les dénominateurs des expressions suivantes.
a) = = =
-4
5 6
-4
5 6
6
6
-4 6
5(6)
-2 6
15
b)
2 3
4 5
2 3
4 5
5
5
2 15
4(5)
15
10
= = ==a a a
Défnition 1.4 Les conjugués du terme A + B sont A – B et -A + B.
Exemple 2 Les conjugués de :
a) − + −x y x y x ysont et - ; b) + − +2 3 4 sont 2 3 4 et -2 3 4.
Exemple 3 Effectuons les multiplications suivantes.
a)
  
+ − + + = + + + + − + − = + − =x h x x h x x h x h x h x x x h x x x h x h( )( )
0
b)
  
− − + − = + − − − − − − = − − = −x x x x x x x x(3 2 5)(3 2 5) 3(3) 3 2 5 3 2 5
0
2 5 2 5 9 (2 5) 14 2
Si le dénominateur d’une expression est la somme de deux termes dont au moins un
est une racine carrée, on peut le rationaliser en multipliant le numérateur et le déno-
minateur de la fraction par un conjugué du dénominateur, dans le but d’éliminer le ou
les radicaux au dénominateur, car, de façon générale,
( )( )a b a b a b− + = −
9
1
1.3 Opérations sur les polynômes et rationalisation
Exemple 1 Effectuons
+ −
−
x x
x
8 3 5
2
2
et
−
−
x
x
8
2
3
.
En ordonnant les puissances de x, nous avons
a) x x
x x
x
x
3 8 5
3 6
14 5
4 28
23
x
x
2
3 14
(reste)
2
2
+ −
− +
+ −
−
− +
+ −
−
+
d’où
+ −
−
= + +
−
x x
x
x
x
3 8 5
2
3 14
23
2
2
b) x x x
x x
x x
x x
x
x
0 0 8
2
2 0 8
2 4
4 8
4 8
0
x
x x
2
2 4
(reste)
3 2
3 2
2
2
2
+ + −
− +
+ −
+ −
− +
+ −
−
− +
+ −
−
+ +
d’où
−
−
= + + ≠
x
x
x x x
8
2
2 4, si 2.
3
2
Exemple 4 Rationalisons le dénominateur de
5
x h x+ −
et de
x
x
−
−
5
3 15
.
a)
+ −
=
+ −
+ +
+ +






=
+ −
+ −
=
+ −
x h x x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
h
5 5 5( ) 5( )
b)
−
−
=
−
−
+
+






=
− +
−
=
− +
−
=
+
≠
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
5
3 15
5
3 15
3 15
3 15
( 5)( 3 15)
3 15
( 5) ( 3 15)
3 ( 5)
3 15
3
x(si 5)
Division de polynômes
Effectuons d’abord la division d’un polynôme par un monôme, par exemple :
− + +
= − + + = − + +
x x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
6 5 2 8
2
6
2
5
2
2
2
8
2
3
5
2
1
4
4 3 2
2
4
2
3
2
2
2 2
2
2
La division d’un polynôme par un polynôme s’effectue de la façon suivante.
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions10
1
1. Eectuer les multiplications suivantes, puis simplifer.
a) 4(2x + 5)
b) x
3
(4 – 3x
2
)
c) (x + 4)(x – 7)
d) x x x(2 5 )
3
+
e) (3x – 4)(5x
2
– 3x + 4)
) (3x
2
+ 1)(x
2
– 1) – (x
3
+ x)2x
2. Eectuer puis simplifer.
a) (2x – 5)
2
b) (x + y)
3
c) (x – y)
3
d) 3(x + h)
2
– (x + h) – 3x
2
+ 2x
e) ( )( )x x+ −4 4
) ( )( )7 2 7 2− − + −x x
g) ( )( )3 4 3 4x x x x+ + + −
h) ( )( )( )x x x− + +3 3 3
3. Rationaliser le dénominateur des expressions suivantes.
a)
x
x
−
−
3
3
b)
4
2 1 2 1
h
x h x( )+ + − +
4. Eectuer les divisions suivantes.
a)
x x
x
10 2 3
5
3 2
− +
b)
2 3 5x x
x
− +
c)
−
+
x
x
1
1
4
d)
x x
x
4
2
3
2
−
+
e)
+ + +
+
x x x
x
1
1
3 2
)
+ + − −
+
x x x x
x
2
1
4 3 2
5. Eectuer les divisions suivantes.
a)
−
−
a b
a b
2 2
b)
+
+
x y
x y
3 3
c)
−
+ +
x y
x xy y
3 3
2 2
d)
+ +
+
x xy y
x y
2
2 2
e)
−
−
x y
x y
4 4
2 2
)
−
−
x y
x y
27 8
3 2
3 3
ExErcicEs 1.3
1.4 Fatoaton et mplfaton d’epeon
algébque
Objet d’appentage
À la fn de cette section, l’élève pourra actoriser des expres-
sions algébriques.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• d’effectuer des mises en évidence simple et double ;
• de factoriser des trinômes de la forme ax
2
+ bx + c ;
• de factoriser des différences de carrés ;
• de factoriser des sommes et des différences de cubes ;
• de simplier des expressions algébriques.
Mise en évidence simple
ax + ay = a(x + y)
a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a – b)
Différence de deux carrés
x
2
– a
2
= (x + a)(x – a)
Somme ou différence de deux cubes
x
3
+ a
3
= (x + a)(x
2
– ax + a
2
)
x
3
– a
3
= (x – a)(x
2
+ ax + a
2
)
La actorisation d’une expression algébrique (ou sa décomposition en facteurs)
consiste à l’exprimer sous la orme d’un produit de acteurs.
11
1
1.4 Factorisation et simplifcation d’expressions algébriques
Mise en évidence simple et double
Normalement, ce acteur mis en évidence est commun à tous les termes de l’expression.
Mise en évidence simple
ax + ay = a(x + y) a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a – b)
Exemple 2
a) Mettons en évidence la plus grande puissance de x dans l’expression 3x
2
– 2x + 4.
− + = − +





 = − +





x x x
x
x
x
x x
x
x x
3 2 4
3 2 4
3
2 4
2 2
2
2 2 2
2
2
b) Simplifons, si c’est possible, les expressions suivantes après avoir mis en évidence :
• au numérateur, la plus grande puissance de x, et
• au dénominateur, la plus grande puissance de x.
+ −
+ − +
=
+ −






+ − +






=
+ −






+ − +






≠
x x
x x x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x x x
x
3 8 4
4 5 7 1
3 8 4
4 5 7 1
3
8 4
4
5 7 1
, si 0
2
3 2
2
2
2 2 2
3
3
3
2
3 3 3
2
2 3
+
+
=
+






+






=
+
+






=
+
+






=
+
+
≠
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, si 0
4
2
4
4
2
2
4
4
2
2
2
4
2
2
4
2
Exemple 1 Eectuons les mises en évidence dans les polynômes suivants.
a) − + = − +






= − +
a ab a c a
a
a
ab
a
a c
a
a a b a c
3 9 12 3
3
3
9
3
12
3
3 ( 3 4 )
a
)
(3 est le facteur commun et chaque terme de l’expression
initiale est divisé par le terme mis en évidence
2 3
2 3
2
b) − − − + = − − − +
= − −
−x x x x x x
x x
3( 4) 5( 4)( 7) ( 4)[3( 4) 5( 7)]
( 4)(-2 47)
x( )( 4) est le facteur commun
2
c) − + + − − = − + − − −
= − + − −
= − −
x x x xx x x x
x x x
x x
(5 )(3 1) (2 10)(2 ) (5 )(3 1) 2(5 )(2 )
(5 )[(3 1) 2(2 )]
(5 )(5 3)
d) x x x x x x x x
x x x
3(2 7) (2)(3 5) 4(3 5) (3)(2 7) 6(2 7) (3 5) [(3 5) 2(2 7)]
6(2 1) (3 5) (7 19)
2 4 3 3 2 3
3 3
+ + + + + = + + + + +
= + + +
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions12
1
Double mise en évidence
ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by)
= a(x + y) + b(x + y)
= (x + y)(a + b)
Exemple 3 Factorisons les polynômes suivants à l’aide d’une double mise en évidence.
a) − + − = − + −
= − + −
= − +
x x x x x x
x x x
x x
2 6 5 15 (2 6 ) (5 15)
2 ( 3) 5( 3)
( 3)(2 5)
3 2 3 2
2
2
b) − + − = + + −
= + − +
= + −
x x x x x x
x x x
x x
5 6 3 10 (5 3 ) (-6 10 )
(5 3) 2(5 3)
(5 3)( 2)
4 3 4 3
3
3
Mise e n
évidence
double
Factorisation de trinômes de la forme x
2
+ bx + c
Exemple 1 Décomposons les trinômes suivants en facteurs.
a) x
2
– 10x – 24 = (x – 12)(x + 2)
c) x
2
+ 10x – 24 = (x + 12)(x – 2)
b) x
2
+ 10x + 24 = (x + 6)(x + 4)
d) x
2
– 10x + 24 = (x – 6)(x – 4)
Factorisation de trinômes de la forme ax
2
+ bx + c,
où a ≠ 0
Exemple 1 Factorisons les trinômes suivants.
a) 10x
2
+ 7x – 12 = (2x + 3)(5x − 4) b) 6x
2
– 7x – 3 = (2x − 3)(3x + 1)
Nous pouvons factoriser certains trinômes de la forme ax
2
+ bx + c, où a ≠ 0 à l’aide
de ses zéros. Un zéro, dans un polynôme, est une valeur qui annule ce dernier.
1) Si (b
2
– 4ac) > 0, alors le trinôme admet deux zéros distincts x
1
et x
2
, où
=
− −
=
+ −
x
b b ac
a
x
b b ac
a
- 4
2
et
- 4
2
1
2
2
2
=
− −
=
+ −
x
b b ac
a
x
b b ac
a
- 4
2
et
- 4
2
1
2
2
2
.
Ainsi, ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
) (x – x
2
).
2) Si (b
2
– 4ac) = 0, alors le trinôme admet un seul zéro =x x
b
a
où
-
2
1 1
.
Ainsi, ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)
2
.
3) Si (b
2
– 4ac) < 0, alors le trinôme n’admet aucun zéro réel et ne se factorise pas.
13
1
1.4 Factorisation et simplifcation d’expressions algébriques
Exemple 2 Factorisons, si c’est possible, les trinômes suivants.
a) x
2
+ x + 1.
En calculant (b
2
– 4ac), nous avons (1)
2
– 4(1)(1) = -3.
Puisque (b
2
– 4ac) < 0, le trinôme n’admet aucun zéro réel et ne se facto rise pas.
b) 6x
2
+ 13x – 8.
En calculant (b
2
– 4ac), nous avons (13)
2
– 4(6)(-8) = 361. Ainsi,
x
b b ac
a
x
- 4
2
-13 361
2(6)
-13 19
12
-8
3
et
-13 361
2(6)
-13 19
12
1
2
1
2
2
=
− −
=
−
=
−
= =
+
=
+
=
D’où, x x x x x x6 13 8 6
1
2
-8
3
= (2 1)(3 8)
2
+ − = −





 −





 − +
Factorisation d’une différence de carrés
La factorisation d’une différence de carrés est basée sur l’égalité suivante :
x
2
– y
2
= (x – y)(x + y)
Exemple 1 Factorisons les expressions suivantes.
25A
2
– 36B
2
= (5A)
2
– (6B)
2
= (5A – 6B)(5A + 6B)
8x
2
– 5 = −x( 8 ) ( 5)
2 2
= ( )( )8 5 8 5x x− +
− = − +
= − + +
x y x y x y
x y x y x y
( )( )
( )( )( )
4 4 2 2 2 2
2 2
Factorisation d’une somme de cubes
et d’une différence de cubes
En divisant (x
3
+ y
3
) par (x + y), nous
obtenons x
2
– xy + y
2
. Donc
x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
)
En divisant (x
3
– y
3
) par (x – y), nous
obtenons x
2
+ xy + y
2
. Donc
x
3
– y
3
= (x – y)(x
2
+ xy + y
2
)
Exemple 1 Factorisons les expressions suivantes.
a)
  
+ = + − +
+ +
x x x x1 ( 1) ( 1)
x x
3 2
obtenu en divisant
( 1) par ( 1)
3
b)
  
− = − + +
− −
x x x x1 ( 1) ( 1)
x x
3 2
obtenu en divisant
( 1) par ( 1)
3
c)
  
+ = + − +
+ +
y y y y125 ( 5)( 5 25)
y y
3 2
obtenu en divisant
( 125) par ( 5)
3
d)
  
− = − + +
− −
x x x x64 ( 4)( 4 16)
x x
3 2
obtenu en divisant
( 64) par ( 4)
3
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions14
1
smplfaton d’epeon algébque
Pour simplifer une expression algébrique, on peut eectuer certaines opérations
(addition, multiplication, conjugué, actorisation, etc.) au numérateur et au dénomina-
teur avant de simplifer en indiquant les restrictions, sachant qu’on ne peut pas diviser
par zéro.
Eemple 1 Simplifons les expressions suivantes.
a)
− −
+ +
=
− +
+ +
=
−
+
≠
x x
x x
x x
x x
x
x
x
4 5
8 7
( 5) ( 1)
( 7) ( 1)
5
7
, si -1
2
2
b)
+ − +
+
=
+ + −
+
=
−
+
x x x x x
x
x x x x
x
x x
x
3 ( 1) 2( 1)2
[( 1) ]
( 1)[3( 1) 4 ]
( 1)
(3 )
( 1)
2 2 2 3 2
2 2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
2 3
c)
−
−
=
−
−






+
+






=
− +
−
=
− + +
−
= + + ≠
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x x
x
x x x
9
3
3
3
3
3
( 9)( 3)
3
( 3)( 3)( 3)
( 3)
( 3)( 3), si 3
2 2 2
Factorisation
Diérence de carrés
+
+
=
+
x
x x
( 1)
( 1)
1
( 1)
2
2 4 2 3
Conjugué
ExErcicEs 1.4
1. Mettre en évidence le acteur commun.
a) 3x
2
+ 4x
b) 18x
5
y
4
– 15x
3
y
2
+ 21x
4
y
5
c) (3x + 1)(5 – 2x) + (4 – 2x) (2x – 5)
d) 5a
2
(x – 3)
2
– 7c
3
(x – 3)
4
2. Décomposer en acteurs au moyen de la double mise en
évidence.
a) a
2
+ ab + ac + bc
b) 6x
2
– 9ax + 4bx – 6ab
c) 14a
2
x + 4ay – 21ax
2
– 6xy
d) y
3
– y
2
+ y – 1
3. Décomposer en acteurs, si c’est possible.
a) x
2
– 3x + 2 b) x
2
– x – 6
c) x
2
+ 7x + 12 d) x
2
– 6x + 9
e) -x
2
– 7x + 30 ) x
2
– x + 1
g) x
2
+ 17x + 60 h) x
2
– 17x – 60
i) x
2
– 17x + 60 j) -x
2
– 17x + 60
4. Factoriser, si c’est possible, les trinômes suivants.
a) 2x
2
+ 5x + 3 b) 2x
2
+ 5x – 3
c) 2x
2
– 5x – 3 d) 2x
2
– 5x + 3
e) -3y
2
+ 19y – 20 ) 6x
4
+ 19x
3
– 36x
2
g) x
4
+ 5x
2
+ 4 h) x
4
– 5x
2
+ 4
5. Factoriser les expressions suivantes.
a) x
2
– y
2
b) a
2
– 9
c) x
3
– 25x d) -y
2
+ 10
e) 144a
2
c – 64b
2
c ) 25 – 81y
4
g) x
6
– 8x
3
h) 27a
2
– a
5
i) 64x
3
+ 8y
3
j) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1
6. Déterminer le terme entre parenthèses.
a) (5 – x) = ( ) ( )5 + x
b) x
3
– 3x
2
+ 4x + 5 = x
3
( ), si x ≠ 0
c) 4x
3
– 5x + 3 = x
4
( ), si x ≠ 0
d) + = ≠x x x)1 ( , si 0
2 2
7. Simplifer les expressions suivantes.
a)
−
− +
x x
x x
3
6 9
2
2
b)
− +
−
x x
x
12 36
36
2
2
c)
−
− +
x x
x x x3 6 3
7 4
6 4 2
d)
− + −
+ +
x x x
x x
2 2
3 6 3
3 2
4 2
8. Transormer le membre de gauche de manière à obtenir
le membre de droite en indiquant les valeurs de x pour
lesquelles l’égalité est vérifée.
a)
+ + − +
+
=
+ +
+
x x x x x
x
x x
x
(2 1)(4 10) 8 ( )
(4 10)
-4 20 10
(4 10)
2 2
2 2
2
2 2
15
1
1.4 Factorisation et simplifcation d’expressions algébriques
b)
− + − + + −
− +
=
+
−
x x x x x
x x
x
x
2( 1)( 1) 2 [( 1) ( 1)]
[( 1)( 1)]
-2( 1)
( 1)
2
2
2 2
c)
−






− +
−






=
− −
−
x
x
x x x
x
x x
x
-3
3
2 (3 )
(3 )
3( 6)(3 )
2
4
2
2
2
7
d)
−






− +
−






=
−
−
−
x
x
x x x
x
x
x x
-2
3 1
2 (1 )
(1 )
-2(2 )
3 (1 )
2
5/3
2
2 7/3 1/3
e) − + −





 = −x x x x x
x
x x4 ( ) 3
1
2
(7 4,5)
3 3 4 2 7/2 5/2
) − + − =
−
−
−
x x x x
x x
x
2 (3 4) (3 4)
(7 8)
(3 4)
1/3 2 2/3
2/3
g)
− +
− +
=
− +






− +






x x
x x x
x
x x
x x
3 5 1
2
3
5 1
1
2 1
4
3 2
3 4
5/2
9. Simplifer les expressions suivantes.
a)
− + + − + −x x x x x x
x
[( 2) ( 1)] 2 ( 1)( 2)
( )
2
2 2
b)
+ + − + −
+ +
y y y y
y y
(-1)(1 5 ) (1 10 )(1 )
(1 5 )
2
2 2
c)
− +x x x x
x
8 2 8 (2 1)
(2 )
3 4 3 4
4 2
d)
+
−






− − +
−
x
x
x x
x
3
1
1
( 1) ( 1)
( 1)
2
2
e)
− −
−
− −
nx x nx x
x
( 1)
( 1)
n n n n
n
1 1
2
)
−
+






+ − −
+






x
x
x x x x
x
5
2
2 7
3 (2 7) 6 ( 2)
(2 7)
3
3
4
2 3 2 3
3 2
10. Soit l’expression
+ − −
+ − −
x x x
x x x
2 2
5 20 16
3 2
4 3
.
Diviser le numérateur et le dénominateur par (x + 1) et
simplifer l’expression obtenue en actorisant le nou-
veau numérateur et le nouveau dénominateur.
1.5 Opérations sur les fractions
Objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra eectuer des opérations sur les ractions.
Plus précisément, l’élève sera en mesure:
• d’additionner des fractions ;
• de soustraire des fractions ;
• de multiplier des fractions ;
• de diviser des fractions.
A
B
C
D
AD BC
BD
P
Q
R
S
PR
QS
P
Q
R
S
PS
QR
+ =
+





 =
÷ =
Addition et soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des ractions, il aut
1. ramener les fractions au même dénominateur ;
2. additionner (ou soustraire) leurs nouveaux numérateurs. Le dénominateur du
résultat est le dénominateur commun ;
3. simplifer, si c’est possible.
Nous pouvons eectuer les opérations en autant que les expressions soient défnies.
Rappelons les restrictions suivantes :
• on ne peut jamais diviser par 0 ;
• on ne peut pas extraire une racine paire d’un nombre négati.
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions16
1
Exemple 1 Eectuons les opérations suivantes.
a)
5
2 3
7
2 3
1
2 3
5 7 1
2 3
7 4
2 3x
x
x x
x
x
x
x+
+
+
−
+
=
+ −
+
=
+
+
b)
−
−
+
=
−
−
+
=
−
−
+
=
− − +x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x x x
x
5 2
2
7 1
8
(5 2 )4
2 (4)
(7 1)
8 ( )
20 8
8
(7 )
8
-7 8 20
8
3 3
2
2 3
3 2
3
3 2
3
c)
+
− =
+
−
+
+
=
− +
+
=
− − −
+
=
−
+
=
−
+x h x
x
x h x
x h
x h x
x x h
x h x
x x xh h
x h x
xh h
x h x
h x h
x h x
1
( )
1 1( )
( )
1( )
( )
( )
( )
2
( )
-2
( )
(-2 )
( )
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
d) − −
−
=
− −
−
−
−
=
− −
−
=
−
−
=
−
−
x x
x
x
x x x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x x
x
2 3 1
3
3 1
2 3 1 3 1
3 1
3
3 1
2 (3 1) 3
3 1
3 2
3 1
(3 2)
3 1
2
3
2
2 2
2
3
2
2 3
2
3
2
2
2
Multiplication et division de fractions
Pour multiplier des fractions, on procède de la même façon que pour la multiplication
de deux ractions numériques, c’est-à-dire
P
Q
R
S
PR
QS
Q S( 0 et 0)





 = ≠ ≠
Il est préérable, si c’est possible, de actoriser le numérateur et le dénominateur avant
d’eectuer la multiplication, afn de simplifer, s’il y a lieu.
Exemple 1 Eectuons les multiplications suivantes et simplifons, s’il y a lieu.
a)
−
+
+
−





 =
− +
+ −
=
+
+
≠
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
2 2
3 4
2 5
1
2( 1)(2 5)
(3 4)( 1)
2(2 5)
(3 4)
, si 1
b)
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
7 12
3 10
2
20
( 3)( 4) ( 2)
( 5)( 2)( 5)( 4)
( 3)
( 5)( 5)
, si IR \ -2, 4
2
2
2
2
{ }
− +
− −
+
+ −






=
− − +
− + + −
=
−
− +
∈
Pour diviser deux ractions, il aut multiplier la première par l’inverse de la seconde,
c’est-à-dire
=





 ÷ = ≠ ≠ ≠
P
Q
R
S
P
Q
S
R
P
Q
R
S
PS
QR
ou Q R S( 0, 0 et 0)
17
1
1.5 Opérations sur les fractions
Eemple 2 Eectuons les opérations et simplifons, s’il y a lieu.
a)
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
1
2
4
1
2
4
2
4
2
4
( 2)
(2 )(2 )
2
x
x
x x
x x(
(en effectuant)
car , si 0
si -2 et 0)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+





−






=
+
− +






=
−
= ≠
≠ ≠
(dénominateur commun
au numérateur et
dénominateur)
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
1
2
4
1
2
4
2
4
2
4
( 2)
(2 )(2 )
2
x
x
x x
x x(
(en effectuant)
car , si 0
si -2 et 0)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+





−






=
+
− +






=
−
= ≠
≠ ≠
b)
+
−
=
+
−
+
+
=
+






=
+
≠
x h x
h
x
x h x
x h
x x h
h
h
x x h h
x x h
h
1 1
( ) ( )
-
( )
1
-1
( )
, si 0
1. Eectuer les opérations suivantes, puis simplifer.
a)
2
1 5
3
1 5
x
x x−
−
−
b)
−
−
+
−
x
x
x x
x
7
8
6 8
8
2 2
c)
3
4 3
5
7 2x x+
−
−
d)
7
4
2
3 1
x
x
x
x−
−
+
e)
-5
3 1 3 2
x
x
x
x−
−
−
)
5
3 1
5
3 1( )x h x+ +
−
−
2. Eectuer les opérations suivantes, puis simplifer.
a)
3
2 5 4
8
3 2 2 5( )( ) ( )( )x x x x+ −
+
− +
b)
x
x x x x( )( ) ( )( )7 2 3 1
5
3 1 1− −
−
+ +
c)
+ +
+
− −x x x x
3
5 4
5
2 3
2 2
d)
− −
−
− +
y
y y y y3 10
6
8 15
2 2
3. Simplifer les ractions algébriques suivantes.
a)
+
−
x
x
3
3
3
2
b)
+ +
−
+x h x
h
1
2( ) 3
1
2 3
c)
− +
−
−x h x
h
4
3 5( )
4
3 5
d)
+ +
−
+x h x
h
1
2( ) 1
1
2 1
4. Eectuer puis simplifer.
a)
+ +
−






− +
+






x x
x
x x
x
4 3
1
2 1
1
2
2
2
b)
−
− +






÷
+ +
− +






x
x x
x x
x x
16
5 4
5 4
2 1
2
2
2
2
ExErcicEs 1.5
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions18
1
résolution d’équations
Exemple 1 Déterminons x, si
a) + =
= =
x
x x
3 4 5
3 1, d’où .
1
3
b) − = +
= =
x x
x x
8 5 3 2
5 7, d’où .
7
5
Lorsque l’expression algébrique est donnée sous la orme de multiplication de acteurs
dont le résultat est zéro, nous posons chacun des acteurs égal à 0 et nous résolvons,
si c’est possible, chacune de ces nouvelles équations.
A
1
A
2
A
3
... A
n
= 0 ⇔ A
1
= 0 ou A
2
= 0 ou A
3
= 0 ou A
n
= 0
Exemple 2 Résolvons (3x – 4)(5 – 2x)(2x + 1) = 0.
(3x – 4)(5 – 2x)(2x + 1) = 0, si
3x – 4 = 0 ou 5 – 2x = 0 ou 2 1 0x + =
3x = 4 ou 5 = 2x ou 2x = -1
d’où x =
4
3
, x =
5
2
ou =x .
-1
2
1.6 résolution d’équations et d’inéquations
Objectifs d’appentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra résoudre des équations et
des inéquations.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de résoudre des équations de la forme ax + b = c ;
• de résoudre des équations de la forme AB = 0 ;
• de résoudre des équations de la forme ax
2
+ bx + c = 0 ;
• de résoudre des équations contenant des fractions rationnelles ;
• de résoudre des inéquations ;
• de construire des tableaux de signes.
x -∞ -11 15 +∞
x + 11 – 0 + + +
15 – x + + + 0 –
+
−
x
x
11
15
– 0 + ∄ –
19
1
1.6 Résolution d’équations et d’inéquations
Lorsque l’équation est du 2
e
degré, il aut d’abord transormer cette équation sous
la orme ax
2
+ bx + c = 0, où a ≠ 0. Ensuite, pour déterminer les zéros, s’il y a lieu,
nous pouvons décomposer en acteurs ou utiliser les ormules quadratiques.
=
− −
=
+ −
x
b b ac
a
x
b b ac
a
- 4
2
et
- 4
2
1
2
2
2
Exemple 3 Résolvons les équations suivantes.
a) = +
− − =
− + =
− = + =
= =
x x
x x
x x
x x
x x
20
20 0
( 5)( 4) 0
5 0 ou 4 0
d’où 5 ou -4.
(en factorisant)
2
2
− − =
− + =
− = + =
= =
x x
x x
x x
x x
20 0
( 5)( 4) 0
si 5 0 ou 4 0
d’où 5 ou -4.
(en factorisant)
2
b) − = −
− + =
− − =
− = − =
= =
x x x
x x
x x
x x
x x
11 5 6 6
6 17 5 0
(3 1)(2 5) 0
3 1 0 ou 2 5 0
d’où ou
1
3
5
2
.
2
2
− + =
− − =
− = − =
= =
x x
x x
x x
x x
6 17 5 0
(3 1)(2 5) 0
si 3 1 0 ou 2 5 0
d’où ou
1
3
5
2
.
2
c) x x x
x x
4 7 3 0. Ainsi
-7 7 4(4)(-3)
2(4)
d’où
-7 97
8
ou
-7 97
8
.
i
2
2
+ − = =
± −
=
+
=
−
Lorsqu’une équation contient des ractions ou des radicaux, il aut d’abord chercher
le domaine de chaque expression en se rappelant qu’on ne peut pas diviser par zéro
ni extraire une racine paire d’un nombre négati. Le domaine de l’équation est alors
l’intersection de ces domaines.
Après avoir résolu l’équation, on vérife si les solutions trouvées appartiennent au
domaine de l’équation.
Exemple 4 Résolvons les équations suivantes.
a)
+
+
+
=
x
x x2
4
6
1, où le domaine est IRIR \ {-6, -2}.
En multipliant les deux membres de l’équation par (x + 2)(x + 6), nous obtenons
+ +
+
+
+





 = + +
+ +
+
+
+ +
+
= + +
+ + + = + +
+ + = + +
=
≠ ≠
x x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x x x x x
x x x x
x
( 2)( 6)
2
4
6
1( 2)( 6)
( 2) ( 6)
2
( 2) ( 6) 4
6
( 2)( 6)
( 6) 4( 2) ( 2)( 6)
10 8 8 12
2 4
x x(car -2 et -6)
2 2
d’où x = 2 ∈(car 2 IR\ {-6, -2})
− − =
− + =
− = + =
= =
x x
x x
x x
x x
20 0
( 5)( 4) 0
si 5 0 ou 4 0
d’où 5 ou -4.
(en factorisant)
2
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions20
1
b)
−
−
= −
x
xx
4
2
3 2.
2
, où le domaine est IR \ {2}.
En multipliant les deux membres de l’équation par (x – 2), nous obtenons
−
−
−






= − −
− = − +
+ − =
− + =
− = = ∉
≠x
x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
( 2)
4
2
( 2)(3 2)
4 3 8 4
-2 8 8 0
-2( 4 4) 0
-2( 2) 0, donc 2, qui est à rejeter car 2 IR\ {2}.
x(car 2)
2
2 2
2
2
2
D’où l’équation n’a aucune solution.
résolution d’inéquations
On appelle solution d’une inéquation toute valeur par laquelle on peut remplacer la
variable pour obtenir une inégalité vraie.
L’ensemble de toutes les solutions d’une inéquation est son ensemble-solutions (E.-S.).
Propriété 1
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un même nombre réel aux deux membres
d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente si on conserve le sens
de l’inégalité.
Si A < B, alors ∀ C ∈ IR.
A + C < B + C et A – C < B – C
Si A > B, alors ∀ C ∈ IR.
A + C > B + C et A – C > B – C
Propriété 2
Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation
a) par un même nombre réel positif, on obtient une inéquation équivalente, si
on conserve le sens de l’inégalité.
∀ C > 0, si A < B, alors AC < BC et si A > B, alors AC > BC
b) par un même nombre réel négatif, on obtient une inéquation équivalente, si
on inverse le sens de l’inégalité.
∀ C < 0, si A < B, alors AC > BC et si A > B, alors AC < BC
21
1
1.6 Résolution d’équations et d’inéquations
Exemple 1 Résolvons les inéquations suivantes.
a) + >
+ − > −
>
>
>
∈ +∞




∈ >






x
x
x
x
x
x x x
5 4 7
5 4 4 7 4
5 3
(5 ) (3)
d’où , , c’est à dire IR .
(propriété1)
(propriété 2a))
1
5
1
5
3
5
3
5
3
5
+ >
+ − > −
>
>
>
∈ +∞




∈ >






x
x
x
x
x
x x x
5 4 7
5 4 4 7 4
5 3
(5 ) (3)
d’où , , c’est à dire IR .
(propriété1)
(propriété 2a))
1
5
1
5
3
5
3
5
3
5
b) + ≥ −
+ − ≥ − −
+ ≥
+ − ≥ −
≥
≤
≤
∈ ∞



∈ ≤
x x
x x x x
x
x
x
x
x
x x x
3 8 5 1
3 8 5 5 1 5
-2 8 -1
-2 8 8 -1 8
-2 -9
(-2 ) (-9)
4,5
d’où - ; 4,5 , c’est-à-dire { IR | 4, 5}.
(propriété1)
(propriété1)
(propriété 2b))
-1
2
-1
2
Soit A une expression algébrique qui dépend de la variable x.
Pour résoudre les inéquations de la forme A > 0, A ≥ 0, A < 0 et A ≤ 0, ou celles que
nous pouvons transformer sous cette forme, on doit trouver les valeurs de x pour les-
quelles chaque facteur de A aura une valeur positive (> 0), nulle (0) ou négative (< 0),
ce qui permettra d’inscrire (+), 0 ou (–) dans un tableau appelé « Tableau de signes » ,
qui nous permettra de trouver l’ensemble-solution.
Exemple 2 Déterminons les valeurs de x telles que
−
+ +
≤
x x
x x
3
-6 13 15
0
2
2
.
En factorisant, nous obtenons
( )( )
−
+ −
≤
x x
x x
( 3)
3 1 5 2
0.
En déterminant les zéros des facteurs, on trouve :
x – 3 = 0, donc x = 3 x = 0 3x + 1 = 0, donc x =
-1
3
5 – 2x = 0, donc x =
5
2
Zéros des facteurs
x -∞
-1
3
0
5
2
3 +∞
Facteurs
(x – 3) – – – – – – – 0 +
x – – – 0 + + + + +
(3x + 6) – 0 + + + + + + +
(5 – 2x) + + + + + 0 – – –
Expression
x x
x x
( 3)
(3 1)(5 2 )
−
+ −
– ∄ + 0 – ∄ + 0 –
D’où x - , 0, 3,
-1
3
5
2
 ∈ ∞








+∞



Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions22
1
1. Résoudre les équations suivantes.
a) 2x + 4 = 5x – 1 b) 5(2x + 7) = 0
c) (x + 1)(3 – x) = 0 d) (3y + 5)(3y – 5)(y – 3) = 0
e) x
2
+ x – 12 = 0 ) x
3
– x
2
– 12x = 0
g) 2x
2
+ x – 3 = 0 h) (15y
2
+ y – 28)(4 – y) = 0
i) 2x
2
= 7 – 5x j) x
5
– 16x = 0
2. Après avoir donné leur domaine, résoudre les équations
suivantes.
a)
12
5
6
2
8
x x
+ = + b)
+
− =
x x
9
2 1
1
2
7
8
c)
y
y −
=
3
2 d)
15
6
3
u
u +
= -
e)
14
2 1
10
2
56
4x x x+
+
+
=
−
)
15
2
12
3
10
7y y y+
−
+
=
+
3. Résoudre les inéquations suivantes.
a) 7 ≤ 3x b) -5x < 8
c) -4x + 3 > 11 d) 7 – 3x ≤ -5x + 4
e) (x – 2)(x + 2) ≥ 0 ) 9 – x
2
> 0
g) x
2
< 3x + 4 h) 4x + 3 ≥ -x
2
ExErcicEs 1.6
réoluton d’équaton ontenant de ane
On peut résoudre une équation contenant des racines carrées en élevant ses deux
membres au carré. Il aut parois eectuer des transormations avant d’élever au carré.
En élevant au carré les deux membres d’une équation, on n’obtient pas nécessaire-
ment une équation équivalente. En eet, on prend le risque d’introduire de ausses
solutions. Il aut donc toujours vérifer chacune des solutions possibles dans
l’équation initiale.
Eemple 1 Déterminons les valeurs de x telles que 2 15 5 2x x+ + = , où le
domaine est ∈ +∞x [-7,5; [.
En isolant le terme contenant la racine carrée, nous avons
+ = −
+ = −
+ = − +
− + =
− + =
− − = = =
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x x
2 15 2 5
2 15 (2 5)
2 15 4 20 25
4 22 10 0
2(2 11 5) 0
2(2 1)( 5) 0, donc ou 5.
(en élevant au carré)
1
2
2
2
2
2
Puisque
1
2
et ∈ +∞5 [-7,5; [, ce sont des solutions possibles. Il aut cependant véri-
fer ces valeurs dans l’équation initiale.
Vérifons les solutions possibles.
Pour x ,
1
2
= nous avons
2 15 5
9
2
1
(égalité fausse)
1
2
1
2
   




+ + =




D’où x = 5
Pour x = 5, nous avons
2 5 15 5
10
2 5
10
(égalité vraie)
   
( ) ( )+ + =
23
1
1.6 Résolution d’équations et d’inéquations
Défnition 1.5 Une fonction réelle f est une relation qui associe à chaque x ∈ IR, au plus un y ∈ IR.
i) 4x(x – 1)(x +2) > 0 j) 5x(x – 5)
2
(x
2
+ 1) ≤ 0
k)
( )( )
( )
x x
x
+ −
+
<
3 2 5
1
0 l)
( )
( )( )
2 5
7 3 1 2
0
x
x x
+
− +
≥
4. Après avoir donné le domaine, résoudre les équations
suivantes.
a) 3 7 3x − = b) 4 4 0− − =x
c) 3 2 1− =x - d)
x
x4
3
−
= -
e) − =x x1
2
) − =x x1
2
g) 3x + 2 + =x9 0
2
h) − =
−
x
x
x
16
16
2
2
2
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies
par parties
Objectis d’apprentissage :
À la fn de cette section, l’élève pourra aire l’étude de certaines onctions.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de donner la dénition d’une fonction ;
• de déterminer le domaine et l’image de certaines fonctions ;
• de déterminer la composée de fonctions ;
• de représenter graphiquement des fonctions constantes ;
• de représenter graphiquement des fonctions afnes ;
• de calculer la pente d’une droite ;
• de déterminer l’équation d’une droite ;
• de déterminer les zéros de certaines fonctions ;
• de représenter graphiquement des fonctions quadratiques ;
• de déterminer les coordonnées du sommet de paraboles ;
• de donner la dénition de fonctions rationnelles et de fonctions algébriques ;
• de représenter graphiquement des fonctions dénies par parties ;
• de donner la dénition de la fonction valeur absolue de x et de la onction partie entière de x.
1
y
g(x) = 3
x
1
= +f x x( )
-1
2
2
h x x x( )
-1
4
3
4
1
2
= − +
Les onctions
f est le nom de la onction.
x est la variable indépendante.
y est la variable dépendante : c’est l’image de x par la onction f.
On décrit la relation entre y et x par une équation de la orme y = f (x).
Le domaine d’une onction réelle est l’ensemble des éléments de IR auxquels la onc-
tion associe une image. Le domaine d’une onction f est désigné par dom f.
L’ensemble image d’une onction réelle est l’ensemble des éléments de IR, qui sont
l’image par la onction d’un élément du domaine. L’ensemble image d’une onction f
est désigné par ima f.
dom f ⊆ IR
ima f ⊆ IR
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions24
1
Un graphique cartésien est le graphique d’une onction si toute droite verticale ne le
rencontre jamais en plus d’un point.
x
y
x
y
Ces graphiques sont des graphiques de
onctions.
y
x
y
x
Ces graphiques ne sont pas des graphi-
ques de onctions.
Test de la droite verticale
Défnition 1.6 Les zéros d’une onction défnie par y = f (x), sont les valeurs de x, où x ∈ dom f
telles que f (x) = 0.
Graphiquement, les zéros d’une onction quelconque
correspondent aux valeurs de x pour lesquelles la
représentationgraphique de f rencontre l’axe des x.
Par exemple, les zéros de la onction f, représentée
ci-contre, sont -1, 2 et 5.
x
y
-1 1 2 5
y = f (x)
Exemple 1 Évaluer, si c’est possible, les onctions suivantes aux valeurs données de la variable indépen-
dante et déterminer leur domaine.
a) g (x) =
−
−
x
x
2 6
1
,
2
à x = 0, x = 3, x = 1 et x = -1
i) g (0) =
−
−
=
2(0) 6
0 1
6
2
ii) g (3) =
−
−
= =
2(3) 6
3 1
0
0
8
2
iii) g (1) =
−
−
2(1) 6
1 1
(division par 0, non définie)
2
donc g n’est pas défnie pour x = 1.
iv) g (-1) =
−
−
2(-1) 6
(-1) 1
(division par 0, non définie)
2
donc g n’est pas défnie pour x = -1.
Puisque x
2
– 1 = 0, si x = -1 ou x = 1,
dom g = IR \ {-1, 1}.
b) f (t) =
+t
4
1
, à t = 0, t = 3, t -3= et t = -1
i) =
+
=f (0)
4
0 1
4
ii) =
+
=f (3)
4
3 1
2
iii) f (-3)
4
-3 1
4
-2
( -2 IR, non définie)=
+
= ∉
donc f n’est pas défnie pour x = -3.
iv) f
f t
t t
f
(-1)
4
-1 1
donc n’est pas définie pour -1.
Puisque ( 1) 0, si -1,
dom -1, + .
(division par 0, non définie)=
+
=
+ > >
= ∞



f
f t
t t
f
(-1)
4
-1 1
donc n’est pas définie pour -1.
Puisque ( 1) 0, si -1,
dom -1, + .
(division par 0, non définie)=
+
=
+ > >
= ∞



f
f t
t t
f
(-1)
4
-1 1
donc n’est pas définie pour -1.
Puisque ( 1) 0, si -1,
dom -1, + .
(division par 0, non définie)=
+
=
+ > >
= ∞



25
1
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies par parties
composition de ontions
La composée g o f (lire g rnd f) de la fnctin g et de la fnctin f est dnnée par :
(g o f )(x) = g( f (x))
On peut représenter l’pératin de cmpsitin par le diagramme suivant.
x
f g
(g
˚
f )(x) = g( f (x))
g
˚
f
f(x)
Exemple 1 Sit f (x) = 2x + 3 et g (x) = x
2
– 5x.
a) Calculns (f o g)(4). b) Calculns (g o f)(4).
( f °g)(4) = f (g(4))
= f (-4) (car g (4) = 4
2
– 5(4) = -4)
= -5 (car f (-4) = 2(-4) + 3 = -5)
(g o f)(4) = g ( f (4))
= g (11) (car f (4) = 2(4) + 3 = 11)
= 66 (car g (11) 11
2
– 5(11) = 66)
c) Déterminns ( f o g)(x). d) Déterminns (g o f )(x).
 =
= −
= − +
= − +
= −
= +
f g x f g x
f x x
x x
x x
( )( ) ( ( ))
( 5 )
2( 5 ) 3
2 10 3
g x x x
f x x
(car ( ) 5 )
(car ( ) 2 3)
2
2
2
2
g f x g f x
g x
x x
x x x
x x
( )( ) ( ( ))
(2 3)
(2 3) 5(2 3)
4 12 9 10 15
4 2 6
f x x
g x x x
(car ( ) 2 3)
(car ( ) 5 )
2
2
2
2
 =
= +
= + − +
= + + − −
= + −
= +
= −
Nus cnstatns que (g o f )(x) ≠ ( f o g)(x), dnc l’pératin de cmpsitin n’est pas cmmutative.
Fontions onstantes
Défnition 1.7 Une fonction est dite constante lrsque, pur tutes les valeurs de la variable
indépendante, la variable dépendante conserve la même valeur.
En général, une fnctin cnstante est exprimée sus la frme
f (x) = k (u y = k), ù k ∈IR.
Exemple 1 Sit f (x) = 6.
Le graphique cartésien qui représente cette
fnctin est illustré ci-cntre.
Dans ce cas, dm f = IR et ima f = {6}.
x
y
f (x) = 6
3
3
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions26
1
Le graphique cartésien de f (x) = k, est une droite horizontale passant par le point (0, k).
Ainsi, dom f = IR et ima f = {k}.
Fonctions afnes
Défnition 1.8 Une onction afne est une onction que nous pouvons exprimer sous la orme
f (x) = ax + b (ou y = ax + b),
où a et b sont des constantes réelles et a ≠ 0.
Le graphique cartésien d’une onction afne f (x) = ax + b est une droite non horizontale.
Ainsi, dom f = IR et ima f = IR.
Si b = 0, alors f (x) = ax : cette onction afne s’appelle aussi onction linéaire.
Si a = 1 et b = 0, alors f (x) = x : cette onction afne s’appelle aussi onction identité.
Pour représenter la courbe de f (x) = ax + b, il suft de déterminer deux points de la
courbe.
Exemple 1 Représentons graphiquement les onctions afnes suivantes.
a) f (x) = 2x (onction linéaire)
Si x = 0, alors f (0) = 0 ;
si x = 1, alors f (1) = 2.
Ainsi, la droite passe par les
points A(0, 0) et B(1, 2).
x
y
21
1
2
A(0, 0)
B(1, 2)
f (x) = 2x
b) g (x) =
-1
2
x + 2
Si x = 0, alors g(0) = 2 ;
si x = 2, alors g(2) = 1.
Ainsi, la droite passe par les
points C(0, 2) et D(2, 1).
x
y
C(0, 2)
D(2, 1)
g (x) =
-1
2
x + 2
c) h (x) = x (onction identité)
Si x = 0, alors h (0) = 0 ;
si x = 1, alors h (1) = 1.
Ainsi, la droite passe par les
points O(0, -0) et (1, 1).
O(0, 0) F(1, 1)
h(x) = x
1
y
x
Défnition 1.9 Soit D, une droite non verticale.
Soit P
1
(x
1
, y
1
) et P
2
(x
2
, y
2
), deux points distincts de
cette droite.
La pente de la droite D, notée a, est défnie par le
rapport suivant :
=
−
−




=
∆
∆
a
y y
x x
a
y
x
ou
2 1
2 1
y
x
D
x
2
− x
1
x
1
y
2
y
1
x
2
y
2
− y
1
∆ y
∆ x
P
2
(x
2
, y
2
)
P
1
(x
1
, y
1
)
27
1
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies par parties
Exemple 2 Soit y = 2x + 1.
a) Représentons graphiquement cette onction.
Si x = 0, alors y = 2(0) + 1 = 1 ;
si x = 3, alors y = 2(3) + 1 = 7.
Ainsi la droite passe par les points P(0, 1) et Q(3, 7).
b) Calculons la pente de la droite y = 2x + 1 en uti-
lisant les points P(0, 1) et Q(3, 7) trouvés en a).
=
−
−
=
−
−
=a
y y
x x
7 1
3 0
2 (définition 1.9)
2 1
2 1
D’où la pente de la droite y = 2x + 1 est 2.
c) Déterminons le zéro de cette onction.
En posant 2x + 1 = 0, nous trouvons x = .
-1
2
D’où x =
-1
2
est le zéro de f.
d) Déterminons les points d’intersection de la droite D avec :
i) l’axe des y : P(0, 1) (voir a)) ii) l’axe des x :





Q , 0
-1
2
(voir c))
0
1
1
P(0, 1)
Q(3, 7)
dom f = IR
ima f = IR
y
x
De açon générale, pour une droite défnie par l’équation y = ax + b :
• a est à la pente de cette droite ;
• b est l’ordonnée à l’origine de cette droite. (la droite passe par le point (0, b))
La représentation graphique d’une droite de pente a et passant par le point (0, b) est :
(0, b)
∆x
∆y
y
x (0, b)
∆x
∆y
y
x
(0, b)
y
x
a
y
x
0=
∆
∆
> =
∆
∆
=
∆
=a
y
x x
0
0=
∆
∆
<a
y
x
0
(0, b)
∆x
∆y
y
x (0, b)
∆x
∆y
y
x
(0, b)
y
x(0, b)
∆x
∆y
y
x (0, b)
∆x
∆y
y
x
(0, b)
y
x
Lorsqu’une droite est verticale, son équation est donnée par
x = c, et sa pente n’est pas défnie.
Exemple 3 Déterminons l’équation de la droite qui passe par les points
P(-2, 5) et R(6, -4).
Calculons d’abord la pente a de cette droite à l’aide de la défnition 1.9.
=
−
−
=
−
−
=a
y y
x x
-4 5
6 (-2)
-9
8
2 1
2 1
, ainsi y = x b
-9
8
acar
-9
8
+




=
y
x
x = c
(c, 0)
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions28
1
Calculons ensuite b.
Puisque la droite passe par le point P(-2, 5), il suft de remplacer x par -2 et
y par 5 dans l’équation = +y x b
-9
8
pour déterminer la valeur de b.
= + =b b5 (-2) , donc .
-9
8
11
4
D’où = +y x
-9
8
11
4
est l’équation de la droite.
Remarque Soit les droites D
1
, D
2
et D
3
de pente respective a
1
, a
2
et a
3
.
D
1
// D
2
, si et seulement si a
1
= a
2
.
D
1
⊥ D
3
, si et seulement si a
1
a
3
= -1.
De plus, si D
4
est une droite horizontale et
D
5
une droite verticale, alors D
4
⊥ D
5
.
Fonctions quadratiques
y
D
4
D
1
: y = 2x + 2
D
2
: y = 2x - 1
D
3
1
D
2
D
1
D
5
x D
4
: y = -2
D
5
: x = -3
3
D
3
: = +y x 1
-1
2
Parallèle
Perpendiculaire
Défnition 1.10 Une fonction quadratique est une onction que nous pouvons exprimer sous
la orme
f (x) = ax
2
+ bx + c (ou y = ax
2
+ bx + c),
où a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0.
Le graphique cartésien d’une onction quadratique est une parabole.
Soit la parabole défnie par f (x) = ax
2
+ bx + c.
a) La parabole est ouverte vers le haut, si a > 0, et ouverte vers le bas, si a < 0.
b) S’ils existent, les zéros réels x
1
et x
2
de la onction sont donnés par
=
− −
x
b b ac
a
- 4
2
1
2
et =
+ −
x
b b ac
a
- 4
2
2
2
c) La parabole a comme axe de symétrie la droite verticale D d’équation
x =
-b
a2
.
d) Les coordonnées du sommet S sont = =





h kh
b
a
k f
b
a
( , ), où
-
2
et
-
2
.
= +
-
y x
9
8
11
4
y
P(-2, 5)
R(6, -4)
x1
1
29
1
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies par parties
Voici les différentes représentations possibles d’une parabole, où
=x h h k(D: et S , )
(b
2
– 4ac) > 0
2 zéros réels
(b
2
– 4ac) = 0
1 zéro réel
(b
2
– 4ac) < 0
aucun zéro réel
=
= +∞
f
f k
dom IR
ima [ , [ a 0>
y
D
xx2
S(h, k)
x
1
y
D
x
S(h, k)
x
1
y
D
x
S(h, k)
=
= ∞
f
f k
dom IR
ima ] - , ] a 0<
D
y
S(h, k)
xx
2
x
1
D
y
S(h, k)
xx
1
D
S(h, k) x
y
Exemple 1 Soit f (x) = 12x
2
– 36x + 7. Déterminons :
a) les zéros de f ;
=
+
=x
36 960
24
2,790...
1
=
−
=x
36 960
24
0,209...
2
D’où les zéros de f sont 2,790… et 0,209…
b) l’équation de l’axe de symétrie D ;
= = =x
b
a
-
2
-(-36)
24
3
2
D’où =x
3
2
est l’équation de D.
c) les coordonnées du sommet.
En calculant





f ,
3
2
nous obtenons -20.
D’où




S , -20 .
3
2
± −b b ac
a
- 4
2
2
f (x)
f (x) = 12x
2
– 36x + 7
x
1
x
2
D
dom f = IR
ima f = [-20, +∞[
1
10
(0, 7)
x
S , -20
3
2






Représentation graphique
f (0) = 7
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions30
1
Exemple 2 Soit f (x) = -x
2
– 3x + 10. Déterminons :
a) les zéros de f ;
f (x) = -x
2
– 3x + 10
= (-x + 2)(x + 5) (en actorisant)
D’où les zéros de f sont 2 et -5.
b) l’équation de l’axe de symétrie D et le som-
met S de cette parabole.
= = =




=x
b
a
f
-
2
-(-3)
2(-1)
et .
-3
2
-3
2
49
4
D’où x =
-3
2
est l’équation de l’axe de symétrie et le sommet est





S , .
-3
2
49
4
Fonctions polynomiales
f =ima - ,
49
4
∞






(0, 10)
f (x) = -x
2
– 3x + 10
dom f = IR
5
2
D
-5 x
f (x)




S ,
-3
2
49
4
Défnition 1.11 Une fonction polynomiale de degré n, où n ∈ IN est une onction que nous
pouvons exprimer sous la orme
f (x) = a
n
x
n
+ a
n − 1
x
n − 1
+ … + a
1
x + a
0
, où a
n
≠ 0 et
a
0
, a
1
, …, a
n
sont des constantes réelles, appelées « coefcients ».
Remarque Si f est une onction polynomiale, alors dom f = IR. De plus,
• les fonctions polynomiales de degré 0 sont des fonctions constantes ;
• les fonctions polynomiales de degré 1 sont des fonctions afnes ;
• les fonctions polynomiales de degré 2 sont des fonctions quadratiques.
Exemple 1 Déterminons le degré des onctions polynomiales suivantes.
a) = − −g x
x x
x( )
-2
3
5
7
4 5
3
5
est une onction polynomiale de degré 5.
b) h (x) = (x − 4)
5
(x
2
− 3x + 1)
2
est une onction polynomiale de degré 9.
c) k (x) = 7π est une onction polynomiale de degré 0.
Fonctions rationnelles
Degré d’une onction
polynomiale
Défnition 1.12 Une fonction rationnelle est une onction que nous pouvons exprimer sous la
orme
f x
P x
Q x
( )
( )
( )
= , où P (x) et Q (x) sont des onctions polynomiales et Q (x) ≠ 0.
31
1
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies par parties
Pour déterminer le domaine d’une onction rationnelle, il aut exclure de IR les valeurs
qui annulent le dénominateur de cette onction.
Ainsi, dom f x Q x{ IR| ( ) 0},= ∈ ≠ c’est-à-dire dom f x Q xIR \ { IR| ( ) 0}.= ∈ =
Exemple 1 Soit =
−
+ −
f x
x x
x x
( )
5
2 35
.
2
2
a) Déterminons le domaine de f.
Cherchons les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur égale 0.
Puisque x
2
+ 2x − 35 = (x + 7)(x − 5) = 0, lorsque x = -7 ou x = 5, ainsi
dom f IR\ {-7, 5}.=
b) Déterminons les zéros de f.
Cherchons les valeurs de x ∈ dom f telles que le numérateur égale 0.
Puisque x
2
– 5x = x (x − 5) = 0, lorsque x = 0 ou x = 5. (à rejeter, car 5 ∉ dom f)
Ainsi 0 est le zéro de f.
Exemple 2 Soit f x
x
x x
( )
7
6
5
.=
+
−
+
a) Déterminons le domaine de f.
x x x x f7 0 si -7 et 5 0 si -5, d’où dom IR\ {-7, -5}+ = = + = = =
b) Déterminons les zéros de f.
x x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
7
6
5
( 5) 6( 7)
( 7)( 5)
0
42
( 7)( 5)
0
( 6)( 7)
( 7)( 5)
0, si -6 ou 7
2
+
−
+
=
+ − +
+ +
=
− −
+ +
=
+ −
+ +
= = =
D’où -6 et 7 sont les zéros de f.
Fonctions algébriques
( )
( )
( )
=f x
P x
Q x
Domaine
Zéros
Domaine
Zéros
Défnition 1.13 Une fonction algébrique est une onction défnie en termes de polynômes et de
polynômes élevés à des puissances réelles.
Exemple 1 Les onctions suivantes sont des onctions algébriques.
f x x x x x t
t
t t
g x
x
x
x( ) 5 7 ( )
7
5 1
( )
4
1
2 3
3
24 2
2
= + + =
+
+ +
=
+
+
+
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions32
1
Lorsqu’on cherche le domaine d’une onction algébrique, il aut appliquer les prin-
cipes suivants :
• on ne peut pas diviser par 0 ;
• on ne peut pas extraire une racine paire d’un nombre négati.
Exemple 2 Déterminons le domaine des onctions suivantes.
a) f x x( ) = −7
7 0
7
− ≥
≥
x
x
f x x
f
dom { IR 7} ou
dom ]- , 7]
= ∈ ≤
= ∞
b) =
−
− >
>
= ∈ <
= ∞
g x
x
x
x
g x x
g
( )
5
7
7 0
7
dom { IR 7} ou
dom ]- , 7[
c) h x
x
( )
5
7
3
=
−
x7
3
− est défnie, x x xIR et 7 0 si 7∀ ∈ − = =
x x xIR et 7 0 si 7∀ ∈ − = =
=
= ∞ +∞
h
h
dom IR\ {7} ou
dom ]- , 7[ ]7, [
d) f (x) =
( )( )x x
x
− +
−
4 1
2
à l’aide d’un tableau de signes.
x -∞ -1 2 4 +∞
x – 4 – – – – – 0 +
x + 1 – 0 + + + + +
2 – x + + + 0 – – –
x x
x
( 4)( 1)
2
− +
−
+ 0 – ∄ + 0 –
D’où dom f = ]-∞, -1]  ]2, 4].
Fonctions défnies par parties
Défnition 1.14 Une onction défnie par parties est une onction dont la règle de
correspondance dière selon les valeurs de la variable indépendante.
Exemple 1 Soit la onction défnie par parties =
− ≤
+ >




f x
x x
x x
( )
4 si 0
1 si 1.
2
a) Déterminons le domaine de f.
dom f = ]-∞, 0]  ]1, +∞[.
b) Évaluons f (x) pour les valeurs de x suivantes : -2, 0, (1,1) et 2.
Lorsque x ≤ 0, f (x) = x – 4
f (-2) = -2 – 4 = -6
f (0) = 0 – 4 = -4
Lorsque x > 1, f (x) = x
2
+ 1
f (1,1) = (1,1)
2
+ 1 = 2,21
f (2) = 2
2
+ 1 = 5
33
1
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies par parties
Défnition 1.15 La fonction valeur absolue de x notée | x | est
défnie par | x | =
<
≥



x x
x x
- si 0
si 0.
y
x
f (x) = | x |
1
1
dom f = IR
ima f = [0, +∞[
c) Représentons graphiquement la courbe de cette onction.
x
y
1
Lorsque x > 1, f (x) = x
2
+ 1 ;
la représentation est donc
une partie de parabole.
Lorsque x ≤ 0, f (x) = x − 4 ;
la représentation est donc
une demi-droite.
1
(0, -4)


f
f
] ]
] ]
dom - , 0 ]1, [
ima - , -4 ]2, [
= ∞ +∞
= ∞ +∞
La onction valeur absolue est un exemple d’une onction défnie par parties.
En généralisant la défnition 1.15, nous obtenons :
=
<
≥





f x
f x f x
f x f x
( )
- ( ) si ( ) 0
( ) si ( ) 0
Exemple 2 Défnissons par parties = − −g x x( ) 2 2 3 .
Puisque − =
− − <
− − ≥



x
x x
x x
2 3
-(2 3) si 2 3 0
2 3 si 2 3 0
donc g (x) =
− − <
− − ≥





x x
x x
2 (-(2 3)) si
2 (2 3) si
3
2
3
2
D’où g (x) =
− <
+ ≥





x x
x x
2 1 si
-2 5 si
3
2
3
2
y
x
1
1
dom g = IR et ima g = ]-∞, 2]
g (x) = 2 – |2x – 3|
(0, -1)
Représentation graphique





, 0
1
2
, 2
3
2






, 0
5
2






2x – 3 ≥ 0
2x ≥ 3
x ≥
3
2
2x – 3 < 0
2x < 3
x <
3
2
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions34
1
Défnton 1.16 La fonction partie entière de x, notée x , correspond au plus grand entier plus
petit ou égal à x ; cette fonction est donc dénie par
x  = k si k ≤ x < k + 1, où k ∈z
Eemple 3 Soit f (x) = x , où dom f = IR.
Évaluons cette onction pour diérentes valeurs de x et
représentons graphiquement cette onction.
2 3,  = 2 (car 2 ≤ 2,3 < 3)
4  = 4 (car 4 ≤ 4 < 5)
0 5,  = 0 (car 0 ≤ 0,5 < 1)
-3 7,  = -4 (car -4 ≤ -3,7 < -3)
Remarque Une telle onction est aussi appelée onction en escalier.
1
1
f (x) = [[x]]
y
x
Représentation graphique
1. Parmi les graphiques cartésiens suivants, identifer ceux
qui représententune onction et, dans ce cas, déterminer
le domaine et l’image de la onction.
a)
1
1
y
x
b)
1
y
x
c)
1
1
y
x
d)
1
1
y
x
2. Soit f (x) = 3x
2
– 2x – 1, g (x) = 1 2− x et
h (x) =
+
+ +
x
x x
-2 4
3 2
.
3
2
Évaluer, si c’est possible, les onctions précédentes pour
les valeurs de x suivantes.
a) x = 1 b) x = -2
3. Déterminer l’équation de chacune des onctions
constantes suivantes, en donnant leur domaine et leur
image si
a) le graphique cartésien est :
5
15
3
y
x
b) le graphique cartésien de f (x) passe par P(1, 5) ;
c) f (2) = -4.
4. Déterminer, si c’est possible,
a) la pente a de chacune des droites D
1
, D
2
, D
3
et D
4
suivantes ;
b) donner l'équation de chaque droite.
1
1
D
4
(2, 3)
D
3
D
2
D
1
y
x
La onction partie entière est également un exemple d’une onction défnie par parties.
ExErcicEs 1.7
35
1
1.7 Fonctions algébriques et onctions défnies par parties
5. Déterminer l’équatin de chacune des drites défnies
par les dnnées suivantes :
a) pente = -7, passe par P(2, 3) ;
b) passe par P(-2, 7) et R(5, -2) ;
c) passe par P(1, 3) et est parallèle à D : y = -3x + 1
(représenter graphiquement les deux droites) ;
d) passe par P(-5, 2) et est perpendiculaire à
D : 6x − 3y = 1
(représenter graphiquement les deux drites).
6. Représenter graphiquement chacune des nctins sui-
vantes en indiquant, s’il y a lieu, les crdnnées des
pints d’intersectin avec les axes, les crdnnées du
smmet S, le dmaine, l’image, l’axe de symétrie D et
sn équatin.
a) f (x) = -x
2
+ 104x – 430, ù x ∈ [0, 105]
b) k(x) = x
2
− 8x + 5
7. Déterminer le dmaine et les zérs des nctins
suivantes.
a) =
− +
− +
f x
x x
x x
( )
(3 2 )(5 7)
(2 4)(5 3 )
b) =
−
+
g x
x x
x
( )
1
3
2
c) =
−
−
−
h x
x
x
x x
( )
5
3
5
5
2
d) =
− −
−
h x
x x
x
( )
(4 )( 6)
5
e) f t t
t
t
( ) = − −
−
4
4
) = − −k x x x( ) ( 2)
2 3/4
g) = − −d x x x( ) ( 2)
2 4/3
h) f (x) = x
4
– 3x
3
– 4x
2
+ 12x
i) =
+
−
g x
x x
x
( )
5
4 8
2
7
j) =
−
−
h x
x
x
( )
2 7
10 3
k) =
− +
−
a t
t t
t
( )
5 4
9
2
2
l) v(t) =
+
− −
t
t t
1
2
2
m) f (x) =
2 7
10 3
x
x
−
−
n) g (x) =
−
− −
x
x x
5
3 11 4
2
8. Sit f (x) = 4 – 5x et g(x) = x + 1. Déterminer :
a) ( f o g)(x) et dm (f o g)
b) (g o f )(x) et dm (g o f )
9. Déterminer le dmaine des nctins suivantes.
a) =
− < <
+ < ≤




h x
x x
x x
( )
3 4 si - 3 4
5 9 si 4 7
2
b) =
−
≤
−
−
>






g x
x
x
x
x
x
( )
1
5
si 0
3
4
si 2
c) =
− <
−
≥





s t
t t
t
t
( )
4 si 5
1
6
si 5
10. =
− ≤
+ < <
=
− > ≠







f x
x x
x x
x
x x x
Soit ( )
4 si -1
3 5 si -1 4
7 si 4
5 3 si 4 et 7.
2
2
a) Déterminer dm f.
b) Évaluer, si c’est pssible :
i) f (-5) ii) f (-1) iii) f (0)
iv) f (4) v) f (7) vi) f (10)
11. =
− <
+ < <
=
− >







f x
x x x
x x
x
x x
Soit ( )
- 4 si -1
2 si -1 2
1 si 2
( 4) si 2.
2
2
a) Déterminer dm f et les zérs de f.
b) Représenter graphiquement la curbe de f.
12. Défnir les nctins suivantes par parties, déterminer
leur dmaine, leur image et les représenter graphi-
quement.
a) g (x) = |3x + 5 | − 2 b) f (x) = 5 − |2x − 4 |
c) =h x x( )
2
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions36
1
13. Soit f (x) = x , g(x) = -x  et h(x) = x − x .
Évaluer chacune des onctions précédentes en :
a) x = 2 b) x = -2
c) x = 5,9 d) x = -5,9
14. Une entreprise débourse 900 $ pour produire 100 ar -
ticles et 1125 $ pour en produire 250. Le coût en onc-
tion du nombre d’articles produits est une onction
afne.
a) Déterminer l’équation qui représente les coûts C en
onction du nombre q d’articles produits.
b) Calculer le coût pour une production de 150 articles.
c) Déterminer le nombre d’articles produits si le coût
est de 1233 $.
d) Déterminer les coûts fxes (coûts qui ne dépen-
dent pas du nombre d’articles produits) de cette
entreprise.
15. Un démographe estime que la population d’une ville est
donnée par P t t( ) ,= +12000 40000 où t est en années
et 0 ≤ t ≤ 20.
a) Quelle sera la population de cette ville dans
i) quatre ans ? ii) huit ans ?
b) Quand la population de la ville sera-t-elle de
80 000 habitants ?
1.8 Fonctions exponentielles et logarithmiques
Objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra déterminer le domaine et l’image de onc-
tions exponentielles et logarithmiques, et il pourra les représenter graphiquement.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de déterminer le domaine et l’image de fonctions exponentielles ;
• de représenter graphiquement des fonctions exponentielles ;
• de donner la dénition de logarithme ;
• d’utiliser certaines propriétés des logarithmes ;
• de déterminer le domaine et l’image de fonctions logarithmiques ;
• de représenter graphiquement des fonctions logarithmiques.
y
y = x
1
f (x) = 2
x
g(x) = log
2
x
1
x
Voici un conte très ancien qui illustre un phénomène de type exponentiel.
Un jour, le roi indien Shiram décida d’exaucer, quel qu’il soit, le vœu du grand
vizir Sissa Ben Dahir, pour le récompenser d’avoir inventé le jeu d’échecs. Un
échiquier ayant 64 cases, Sissa ft la demande suivante au roi : « Majesté, donnez-
moi 1 grain de blé à placer sur la première case, 2 grains sur la deuxième case,
4 grains sur la troisième, 8 grains sur la quatrième, 16 grains sur la cinquième,
et ainsi de suite de façon à couvrir les 64 cases de l’échiquier selon le même
principe. » Le roi, étonné, s’exclama : « Est-ce là tout ce que vous désirez, Sissa,
sot que vous êtes ? » « Oh ! mon roi, répliqua Sissa, je vous ai demandé plus de
grains de blé que vous n’en possédez dans tout votre royaume, que dis-je, plus de grains de blé qu’il n’y en
a dans le monde entier ! »
37
1
1.8 Fonctions exponentielles et logarithmiques
Défnition 1.17 Une fonction exponentielle de base a, où a ∈ ]0, +∞[ et a ≠ 1, exprimée sous
sa orme la plus simple, est une onction de la orme :
f (x) = a
x
, où x ∈ IR
Dans ce type de onction, la variable indépendante apparaît en exposant et la base a
est une constante positive diérente de 1.
repésentation gaphique d’une onction
exponentielle
La comparaison des graphiques des onctions f (x) = 2
x
et g(x) =






1
2
x
permettra de
déterminer les caractéristiques du graphique d’une onction exponentielle.
Exemple 1 Esquissons le graphique des onctions f (x) = 2
x
et g(x) =






1
2
x
.
Dans le tableau de valeurs ci-contre, on attribue quelques valeurs à x et on calcule
les valeurs correspondantes de la onction f et de la onction g.
Esquisse du graphique de la onction f
y
2
1
(0, 1)
f(x) = 2
x
x
Esquisse du graphique de la onction g
y
2
(0, 1)
1
x
g x( )
1
2
x
=






Nous constatons graphiquement que les deux courbes :
• s’étendent sur toute la longueur de l’axe des x, ainsi
dom f = IR et dom g = IR ;
• sont situées au-dessus de l’axe des x, ainsi ces fonctions n’ont aucun zéro ;
• s’approchent aussi près que nous le voulons de l’axe des x, ainsi
ima f = ]0, +∞[ et ima g = ]0, +∞[ ;
• coupent l’axe des y au point (0, 1), puisque a
0
= 1 car a > 0 et a ≠ 1.
Fonctions exponentielles
De açon générale, la représentation graphique d’une onction exponentielle défnie
par y = a
x
dépend de la valeur de la base a, selon que 0 < a < 1 ou que a > 1.
x 2
x




1
2
x
-2
1
4
4
-1
1
2
2
0 1 1
1 2
1
2
2 4
1
4
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions38
1
Cas où 0 < a < 1
y
(0, 1)
1
f
3
f
2
f
1
x
=





f x( )
1
2
x
1
=





f x( )
1
4
x
3
=





f x( )
1
3
x
2
Cas où a > 1
(0, 1)
1
g
3
g
2
g
1
g
1
(x) = 2
x
g
2
(x) = 3
x
g
3
(x) = 4
x
y
x
Dans tous les cas, pour les onctions f (x) = a
x
, où a ∈ ]0, +∞[ et a ≠ 1,
dom f = IR et ima f = ]0, +∞[.
Parmi les nombres irrationnelsqui peuvent consti-
tuer la base d’une onction exponentielle, on
retrouve le nombre «e», où e = 2,71828..., dont la
partie décimale est infnie et non périodique.
Fonctions logarithmiques
Soit l’équation 2
x
= 300. Puisque x est en exposant, on ne peut pas l’isoler en utilisant
les opérations élémentaires (+, –, ×, ÷). Pourtant, cette équation possède une solution
comprise entre 8 et 9, car 2
8
= 256 et 2
9
= 512.
L’exposant x qu’il aut attribuer à 2 pour obtenir 300 est appelé « le logarithme en base
2 de 300 » et vaut approximativement 8,23.
e = 2,71828…
y
1
(0, 1)
f (x) = e
x
x
dom f = IR
ima f = ]0, +∞[
En d’autres termes, le logarithme log
a
M est égal à l’exposant qu’il aut donner à la
base a pour obtenir M.
Exemple 1 Déterminons la valeur de x dans les équations suivantes, sans
utiliser une calculatrice.
a) log
2
8 = x
log
2
8 = x ⇔ 2
x
= 8,
puisque 2
3
= 8, ainsi x = 3.
c) log
27
x =
4
3
log
27
x =
4
3
⇔ 27
4/3
= x,
ainsi x = (27
1/3
)
4
= 3
4
= 81.
b) log
x
25 = 2
log
x
25 = 2 ⇔ x
2
= 25,
puisque x > 0 et que 5
2
= 25,
ainsi x = 5.
d) log
10
=





 x
1
100
log
10
=





 x
1
100
⇔ 10
x
= ,
1
100
puisque 10
–2
= ,
1
100
ainsi x = -2.
Défnition 1.18 Le logarithme en base a de M, noté log
a
M, où a ∈ ]0, +∞[ et a ≠ 1, est défni
par l’équivalence suivante :
log
a
M = k si et seulement si a
k
= M.
39
1
1.8 Fonctions exponentielles et logarithmiques
Les bases des logarithmes les plus réquemment utilisées sont 10 et e. Nous
les notons respectivement log et ln et nous les retrouvons sur les touches des
calculatrices.
Ainsi, par la défnition 1.18, nous avons
log M = k ⇔ 10
k
= M
(log M = log
10
M)
Ce logarithme en base 10 est appelé
« logarithme décimal ».
ln M = k ⇔ e
k
= M
(ln M = log
e
M)
Ce logarithme en base e est appelé
« logarithme naturel » ou « népérien ».
Les propriétés suivantes s’appliquent en autant que chaque expression soit défnie.
Propriétés Exemples
a mlog
a
m
= mlog 7 5 log 10 1 (car 1)
7
5
10
= = =
log 1 0
a
= log1 0 ln1 0= =
MN M Nlog ( ) log log
a a a
= + x x x xln ( ( 1)) ln ln ( 1)
4 4
+ = + +
M
N
M Nlog log log
a a a





 = −
x
x xlog
2
1
log 2 log ( 1) 1 log ( 1)
2 2 2 2
2
2
2
+





 = − + = − +
=M k Mlog log
a
k
a
+ = + = +
1
2
2 2 1 2 2
x x xln ( 7) ln ( 7) ln ( 7)
/
M
M
a
log
log
log
a
b
b
= = = =log 17
ln17
ln 4
2,833...
1,386...
2,043...
4
a M
a
Mlog
= e x10 2
xlog2 ln
= =
repésentation gaphique d’une fonction
logaithmique
La comparaison des graphiques des onctions f (x) = log
2
x et g(x) = log
1/3
x permettra
de déterminer les caractéristiques du graphique d’une onction logarithmique.
Exemple 1 Esquissons le graphique de f (x) = log
2
x et g (x) = log
1/3
x.
Calculons d’abord certaines valeurs de f et de g à l’aide des tableaux de valeurs
suivants, après avoir écrit la onction logarithmique sous la orme exponentielle :
y = log
2
x ⇔ 2
y
= x (défnition 1.18) y = log
1/3
x ⇔ =





 x
1
3
y
(défnition 1.18)
Donnons à y certaines valeurs, puis calculons les valeurs de x correspondantes.
Formule de changement
de base
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions40
1
Esquisse du graphique de la onction f
f (x) g (x)
x
1
f(x) = log
2
x
(1, 0)
(1, 0)
1
1
1 x
Esquisse du graphique de la onction g
f (x) g (x)
x
1
f(x) = log
2
x
(1, 0)
(1, 0)
1
1
1 x
g(x) = log
1/3
x
Nous constatons graphiquement que les deux courbes :
• sont entièrement situées à droite de l’axe des y ;
• s’approchent aussi près que nous le voulons de l’axe des y, ainsi
dom f = ]0, +∞[ et dom g = ]0, +∞[ ;
• s’étendent sur toute la longueur de l’axe des y, ainsi
ima f = IR et ima g = IR ;
• coupent l’axe des x au point (1, 0), donc x = 1 est le zéro des onctions.
De açon générale, la représentation graphique d’une onction logarithmique défnie
par y = log
a
x dépend de la valeur de la base a, selon que 0 < a < 1 ou que a > 1.
Cas où 0 < a < 1
x
(1, 0)
f
2
f
1
y
f
1
(x) = log ½ x
f
2
(x) = log ¼ x
Cas où a > 1
y
x
(1, 0)
g
1
g
2
g
1
(x) = log
2
x
g
2
(x) = log
4
x
Dans tous les cas, pour les onctions f (x) = log
a
x, où a > 0 et a ≠ 1,
dom f = ]0, +∞[ et ima f = IR
Représentons les graphiques des onctions logarith-
miques les plus souvent utilisées, soit
f (x) = log x et g(x) = ln x.
y 2
y
1
3
y






-2
1
4
9
-1
1
2
3
0 1 1
1 2
1
3
2 4
1
9
y
x
(1, 0)
dom f = dom g = ]0, +∞[
ima f = ima g = IR
g (x) = ln x
f(x) = log x
41
1
1.8 Fonctions exponentielles et logarithmiques
De plus, les fonctions f (x) = a
x
et g(x) = log
a
x, où a > 0 et a ≠ 1, sont des fonctions réci-
proques dont les graphiques sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
y y
x x
Cas où a < 1 Cas où a > 1
f(x) = a
x
f(x) = a
x
g(x) = log
a
x g(x) = log
a
x
y = x y = x
1 1
1 1
dom f = IR
ima f = ]0, +∞[
dom g = ]0, +∞[
ima g = IR
dom f = IR
ima f = ]0, +∞[
dom g = ]0, +∞[
ima g = IR
y y
x x
Cas où a < 1 Cas où a > 1
f(x) = a
x
f (x) = a
x
g(x) = log
a
x g(x) = log
a
x
y = x y = x
1 1
1 1
dom f = IR
ima f = ]0, +∞[
dom g = ]0, +∞[
ima g = IR
dom f = IR
ima f = ]0, +∞[
dom g = ]0, +∞[
ima g = IR
Remarque De façon générale, si f (x) = log
a
g (x), alors dom f = {x ∈IR | g (x) > 0}.
Eemple 2 Déterminons le domaine des fonctions suivantes.
a) f (x) = log
2
(6 – 2x)
(6 – 2x) > 0, si x < 3.
D’où dom f = ]-∞, 3[.
b) g (x) = log
a
(9 – x
2
)
(9 – x
2
) > 0, si x ∈ ]-3, 3[.
D’où dom g = ]-3, 3[.
Pour résoudre une équation où l’inconnue est en exposant, nous pouvons utiliser les
propriétés des logarithmes.
y
x
y = 9 − x
2
9 − x
2
> 0 si x ∈ ]-3, 3[
-3
9
3
Eemple 3 Résolvons les équations suivantes.
3
x
= 100
= ⇔ =
=
=
x
x
x
3 100 log 100
ln 100
ln 3
d’où 4,1918...
(définition 1.18)
(changement de base)
x
3
(0,2)
(2 – 3x)
= 2
x
x
x
x
ln (0,2) ln 2
(2 3 ) ln (0,2) ln 2
2 ln (0,2) 3 ln (0,2) ln 2
2 ln (0,2) ln 2
3 ln (0,2)
d’où 0,810 2...
M N M N
M k M
(car si , alors ln ln )
(car log ( ) log )
x
a
k
a
(2 3 )
=
− =
− =
=
−
=
= =
=
−
1. Isoler la variable x dans les égalités suivantes.
a) m
x
= s b) log
b
x = p
c) y = 3
4x + 7
d) = +
−
y
x
2
ln (3 1)
5
2. Sans utiliser une calculatrice, déterminer la valeur de x
dans les équations suivantes.
a) log
x
25 = 2 b) log
144
12 = x
c) log
0,01
x =
1
2
d) 2 log
3
x = 4
e) log
3
x
2
= 4 f) log
27
B = log
1/9
B
x
g) 3 + 3log
3
(x
3
+ 1) = 3
2
h) x = ln (ln (ln e
e
))
3. Soit log
b
3 ≈ 0,565, log
b
4 ≈ 0,712 et log
b
5 ≈ 0,827. Éva-
luer approximativement les expressions suivantes à l’aide
des propriétés des logarithmes.
a) log
b
15 b) log
b
0,75 c) log
b
2
d) log
b
60 e) log
b
81 f) log
b
12
5
g) log
4
5
2
h) log
b
9
20
i) log
b
1
6
ExErcicEs 1.8
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions42
1
4. a) Démontrer que :
i) log
a
A log
b
B = log
a
B log
b
A
ii) log
a
b log
b
c = log
a
c
iii) log
a
b log
c
d log
e
f = log
c
b log
e
d log
a
f
b) Évaluer, sans utiliser une calculatrice.
i) log
3






1
5
log
25
27
ii) log
3
16 log
7
27 log
2






1
49
iii) log x log
x
100
iv) log
3
x log
x
81
5. Soit les onctions f (x) = 4
x
, g(x) = ,
1
4
x





 h(x) = log
4
(x)
et k(x) = log
1/4
x.
Tracer, dans un même système d’axes, une esquisse du
graphique en y indiquant le domaine, l’image ainsi que
le point d’intersection avec les axes,
a) des onctions f et g ; b) des fonctions h et k.
6. Soit les onctions suivantes.
a) y = 3
x
b) y = log
3
x
c) y = 1,5
x
+ 1 d) y = log
1/3
x
e) y =
1
3
x





 ) y = -5(3
x
)
g) y = log
5
x h) y = -
1
3
x






i) y = log
1/5
x j) y = -3
x
Associer à chacune des onctions précédentes le graphique
qui la représente le mieux.
y
x
(0, 1)
1 2
3 4
(1, 0)
(0, 2)
(0, -5)
y
x7
8
6
5
9
10
7. Déterminer le domaine des onctions suivantes.
a) f (x) = 3
4 – x
et g (x) = log
3
(4 – x)
b) f (x) = 10
x x 2
2
− −
et g (x) = log (x
2
– x – 2)
c) f (x) = e
x 1
2
+
et g (x) = ln (x
2
+ 1)
d) f (x) = e
ln x
et g (x) = ln e
x
8. Soit la onction f défnie par f (x) = ka
x
.
Déterminer, si c’est possible, les valeurs de k et de
a, sachant que le graphique de f passe par les points
suivants.
a) (0, 2) et





4,
2
81
b) (0, -1) et





-2
-
,
1
9
c)





, 5
1
4
et (-5, -4) d) (1, 2) et (4, 54)
9. Soit la onction f défnie par f (x) = log
a
x.
Déterminer, si c’est possible, la valeur de a, sachant
que le graphique de f passe par le point suivant.
a)





8,
3
2
b) (32, -5)
c) (5, ln 5) d)





-5,
1
32
10. Utiliser la onction pH = -log [H
+
], où [H
+
] est la
concentration en hydrogène de diérentes substances,
pour déterminer :
a) le pH
i) du lait, où [H
+
] = 4(10
–7
) mol/L ;
ii) de la bière, où [H
+
] = 3,16(10
–3
) mol/L.
b) la concentration [H
+
] en mol/L
i) du vinaigre, où pH = 3,1 ;
ii) d’une tomate, où pH = 4,2.
11. La population d’une culture de bactéries quintuple
toutes les 24 heures. Sachant que la population initiale
est de 400 bactéries, déterminer :
a) la onction P qui permet d’évaluer la population en
onction du temps t ;
b) la population
i) après cinq heures ; ii) après deux jours.
c) le temps nécessaire pour que la population de bac-
téries soit de 50 000.
43
1
1.8 Fonctions exponentielles et logarithmiques
12. À la suite d’un traitement biologique, le nombre N de
hannetons (vers blancs) vivants, en onction du temps
t, est donné par N(t) = 5000
1
3
t /2





 , où t est exprimé en
semaines.
a) Déterminer la population initiale de hannetons.
b) Que représente
1
3
dans la onction précédente ?
c) Après combien de semaines la population de han-
netons aura-t-elle diminué de moitié ?
d) Exprimer t en onction de N.
13. La valeur d’une auto de 16 000 $ se déprécie de 20 %
par année.
a) Déterminer la onction V qui permet de calculer la
valeur de cette auto en onction du temps t.
b) Exprimer t en onction de V.
c) Calculer la valeur de cette auto après deux ans.
d) Dans combien d’années la valeur de cette auto
équivaudra-t-elle à la moitié de sa valeur initiale ?
e) Esquisser le graphique de V en onction de t, où
t ∈ [0, 10].
14. La valeur fnale A d’un capital initial A
0
, placé pendant
un nombre d’années t à un taux d’intérêt i composé
continuellement, est donnée par A = A
0
e
it
.
a) Si le taux d’intérêt est de 10 % par année, déter-
miner le nombre d’années nécessaire pour que le
capital initial double.
b) Déterminer approximativement le taux d’intérêt qui
permettrait au capital de tripler en dix ans.
1.9 Trigonométrie
Objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra résoudre des problèmes aisant appel au cercle trigonométrique et aux
propriétés des triangles.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de transformer des degrés en radians et des radians en
degrés ;
• de déterminer les coordonnées des points trigonométri-
ques remarquables ;
• d’évaluer le cosinus et le sinus des angles remarquables ;
• de donner la dénition de tangente, de cotangente, de
sécante et de cosécante ;
• de représenter graphiquement les fonctions trigonométriques ;
• de donner quelques identités trigonométriques ;
• de donner la dénition des fonctions trigonométriques inverses ;
• de représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses ;
• de donner la dénition des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle ;
• d’utiliser la loi des sinus et la loi des cosinus pour trouver les mesures d’angles et de côtés d’un triangle quelconque.
Température réelle pour deux thermostats réglés à 20 °C
22 °C
21 °C
20 °C
19 °C
18 °C
Thermostat
ordinaire
Température
de confort
Thermostat
électronique
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions44
1
cerle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan cartésien.
Les axes partagent le cercle en quatre parties égales appelées quadrants. Les qua-
drants sont numérotés I, II, III et IV.
La mesure des angles, dont le sommet est situé au centre du cercle trigonométrique,
soit O(0, 0) dont l’un des côtés coïncide avec la partie positive de l’axe des x et l’autre
par la rotation de l’axe autour du sommet, est donnée en degrés ou en radians.
Lorsque la rotation est eectuée dans le sens :
• anti-horaire, la mesure de l’angle est positive ;
• horaire, la mesure de l’angle est négative.
Le degré est l’unité de mesure correspondant à un angle au centre,
qui intercepte un arc de longueur égale à
1
360
de la circonérence
du cercle. Un cercle est divisé en 360 degrés (360°).
Le radian est l’unité de mesure correspondant à un angle au
centre, qui intercepte sur la circonérence un arc de longueur égale
à celle du rayon r du cercle.
Le symbole rad est utilisé pour représenter les radians.
O
180°
π rad π rad = 180°
1 rad =
180°
π
180° = π rad
1° =
π
°180
rad
Exemple 1 Déterminons
6
π
rad en degrés et 135° en radians.
a) π = °
π
=
°
π
= °
rad 180 donc
6
rad
180
6
,
d’où
6
rad 30 .
b) ° =
π
° =
π





° = π
1
180
rad
donc135 135
180
rad,
d’où 135
3
4
rad.
Points remarquables et oordonnées de es points
sur la ironférene du erle trigonométrique
La fgure suivante indique les points P correspondant aux principales subdivisions de
la circonérence du cercle trigonométrique, qu’on appelle points remarquables, ainsi
que les coordonnées de ces points.
y
x
1
0 1-1
-1
III
III IV
rr
r
1 rad
O
Équivalence des
mesures d’angles
45
1
1.9 Trigonométrie
P
-1
2
,
3
2






P(0, 1)
P(1, 0)P(-1, 0)
P(0, -1)
90°
60°
45°
30°
360°
330°
315°
300°
270°
240°
225°
210°
180°
150°
135°
120°
0°
x
y
P
1
2
,
3
2






P
- 2
2
,
2
2






P
- 3
2
,
1
2






P
- 3
2
,
-1
2






P
- 2
2
,
- 2
2






P
-1
2
,
- 3
2






P
1
2
,
- 3
2






P
2
2
,
- 2
2












P
3
2
,
-1
2
P
3
2
,
1
2






P
2
2
,
2
2






π2
3
π
2
π
3
π
4 π
6
2π
0
π
π11
6π7
4
π5
3
π3
4
π4
3
π5
4
π7
6
π3
2
π5
6
Lorsque l’unité de mesure de l’angle n’est pas précisée, l’unité de mesure est le radian.
Fonctions sinus et cosinus
Exemple 1 Déterminons cos t et sin t pour les valeurs suivantes de t.
a) Si t = 0°, nous avons P(1, 0), donc cos 0° = 1 et sin 0° = 0.
b) Si t
6
=
π
, nous avons P
3
2
,
1
2






, donc cos
6
3
2
π
= et sin
6
1
2
π
= .
c) Si t = 90°, nous avons P(0, 1), donc cos 90° = 0 et sin 90° = 1.
d) Si t
5
4
=
π
, nous avons P
- 2
2
,
- 2
2






, donc cos
5
4
- 2
2
π
= et sin
5
4
- 2
2
π
= .
e) Si t = 5, nous avons cos 5 = 0,283... et sin 5 = -0,958...
f) Si t = 5°, nous avons cos 5° = 0,996 et sin 5° = 0,087...
Défnition 1.19 Soit P un point du cercle trigonométrique corres-
pondant à un angle t.
1) Le cosinus de t est égal à l’abscisse du point P.
2) Le sinus de t est égal à l’ordonnée du point P.
y
x
sin t
cos t
t
P(cos t, sin t)
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions46
1
y
x
-1
π-π
f (x) = cos x
1
y
x
1
2ππ-π 0
-1
f (x) = sin x
Remarque Pour tout t ∈ IR, nous avons -1 ≤ cos t ≤ 1 et -1 ≤ sin t ≤ 1.
Le graphique de la fonction y = sin x est obtenu en situant dans le plan cartésien les
points P(x, y) où
x, correspond à l’angle t, en radians, et y, correspond à l’ordonnée du point P.
P(0, 1)
P(1, 0)
P(0, -1)
y
x






P
1
2
,
3
2
P
2
2
,
2
2












P
3
2
,
1
2






P
3
2
,
-1
2
P
2
2
,
- 2
2











P
1
2
,
- 3
2
π
3
π
4
π
6
π-
6
π-
4
π-
3
π-
2
π
2
sin x = 0, si x ∈{..., -π, 0, π, 2 π, ...}, c’est-à-dire si x ∈ {x ∈ IR| x = kπ, où k ∈z}.
Le graphique de la fonction y = cos x est obtenu en situant dans le plan cartésien les
points P(x, y) où
x, correspond à l’angle t, en radians, et y, correspond à l’abscisse du point P.
cos x = 0 si x ∈
π π π π





...,
-
2
,
2
,
3
2
,
5
2
, ... , c’est-à-dire six ∈
π π π π





...,
-
2
,
2
,
3
2
,
5
2
, ...x ∈IR | x =
π
2
+ kπ, où k ∈z
π π π π





...,
-
2
,
2
,
3
2
,
5
2
, ... .
Une fonction f est périodique s’il existe un nombre réel p tel que f (x + p) = f (x),
∀x ∈ dom f. La plus petite valeur possible de p est la période de la fonction.
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques et de période 2π.
Périodique
Période
2π
y
P(1, 0)
0
P(0, -1)
x
f (x) = cos x
y
x
-1
π-π
1
P(0, -1)
π
2






P
1
2
,
3
2
π
3





P
2
2
,
2
2
π
4






P
3
2
,
1
2
π
6





P
3
2
,
-1
2
π-
6






P
2
2
,
- 2
2
π-
4






P
1
2
,
- 3
2
π-
3
π-
2
47
1
1.9 Trigonométrie
Fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante
Dans plusieurs situations où intervient la trigonométrie, il est utile de connaître les in-
verses multiplicatis ou les rapports des sinus et des cosinus.
Exemple 1 Déterminons tan
π
6
et csc 225°.
π
=
π
π
= =





 = =tan
6
sin
6
cos
6
1
2
3
2
1
2
2
3
1
3
3
3
° =
°
= = = =csc 225
1
sin 225
1
- 2
2
-2
2
-2 2
2
- 2
Défnition 1.20 Les onctions tangente, cotangente, sécante et cosécante sont défnies comme suit :
Fonction Domaine, image et zéro Représentation graphique
1) Tangente
=
π
x
x
x
tan
sin
cos
période :
La onction tan x est défnie si cos x ≠ 0.
dom (tan) = IR \ x x k kIR
2
,où ∈ =
π
+ π ∈






zx x k kIR
2
,où ∈ =
π
+ π ∈






ima (tan) = IR
tan x = 0, si x ∈ ∈ = π ∈






zx x k kIR , où
x
y
f (x) = tan x
-π π
2) Sécante
=
π
x
x
sec
1
cos
période : 2
La onction sec x est défnie si cos x ≠ 0.
dom (sec) = IR \ x x k kIR
2
, où ∈ =
π
+ π ∈






zx x k kIR
2
, où ∈ =
π
+ π ∈






ima (sec) =]-∞, -1]  [1, +∞[
sec(x) ≠ 0, ∀ x ∈ dom (sec)
y
x
-1
-π π
f (x) = sec x
g (x) = cos x
3) Cotangente
=
π
x
x
x
cot
cos
sin
période :
La onction cot x est défnie si sin x ≠ 0.
dom (cot) = IR \ x x k kIR ,où z∈ = π ∈






ima (cot) = IR
cot x = 0, si x ∈ x x k kIR
2
, où ∈ =
π
+ π ∈






zx x k kIR
2
, où ∈ =
π
+ π ∈






y
x
1
y = cot x
ππ
π
-
2
2
π
π
-
2
2
4) Cosécante
=
π
x
x
csc
1
sin
période : 2
La onction csc x est défnie si sin x ≠ 0.
dom (csc) = IR \ x x k kIR ,où z∈ = π ∈






ima (csc) = ]-∞, -1]  [1, +∞[
csc x ≠ 0, ∀ x ∈ dom (csc)
π
2
y
x
1
f (x) = csc x
g (x) = sin x
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions48
1
Quelques identités trigonométriques
Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs attribuées à ses variables.
Du cercle trigonométrique suivant, nous avons (cos θ )
2
+ (sin θ )
2
= 1. (Pythagore)
1
1
sin θ
cos θ
θ
P(cos θ, sin θ)
y
x
Puisque (cos θ)
2
= cos
2
θ et (sin θ)
2
= sin
2
θ,
nous avons
cos
2
θ + sin
2
θ = 1
En divisant les deux membres de l’identité cos
2
θ + sin
2
θ = 1
• par cos
2
θ, on obtient
θ
θ
θ
θ θ
+ =
cos
cos
sin
cos
1
cos
, ainsi
2
2
2
2 2
θ θ+ =1 tan sec
2 2
• par sin
2
θ, on obtient
θ
θ
θ
θ θ
+ =
cos
sin
sin
sin
1
sin
, ainsi
2
2
2
2 2
cot 1 csc
2 2
θ θ+ =
Identités d’une somme ou d’une différence d’angles.
1 sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
3 cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
5 tan (A + B) =
tan tan
tan tan
A B
A B
+
−1
2 sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
4 cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
6 tan (A – B) =
tan tan
tan tan
A B
A B
−
+1
En posant A = B, dans les identités 1 , 3 et 5 , nous obtenons les identités suivantes.
7 sin (2A) = 2sin A cos A 8 cos (2A) = cos
2
A – sin
2
A 9 tan (2A) =
2
1
2
tan
tan
A
A−
En utilisant les identités 1 , 2 , 3 et 4 , nous obtenons les identités suivantes.
Identités de l’opposé
cos (-x) = cos x
sin (-x) = -sin x
tan (-x) = -tan x
Identités du supplémentaire
cos (π – x) = -cos x
sin (π – x) = sin x
tan (π – x) = -tan x
Identités du complémentaire
cos sin
π
2
−





 =x x
sin cos
π
2
−





 =x x
tan cot
π
2
−





 =x x
49
1
1.9 Trigonométrie
Fonctions trigonométriques inverses
Ces onctions communément appelées « onctions trigonométriques inverses » sont les
réciproques des onctions trigonométriques.
Ces onctions nous permettent de déterminer un angle dont nous connaissons la valeur
d’une onction trigonométrique. Par exemple, nous pouvons déterminer l’angle θ, tel
que sin θ = 0,5.
Défnissons la onction Arc sinus, qui est la onction inverse de la onction sinus.
Soit le graphique de y = sin x.
1
f (x) = sin x
-1
y
x
π





-3
2
,1
π





2
, 1
π-
2
π





-
2
,1
π
2
π





3
2
, -1
π





5
2
,1
(π, 0)
2π
(-π, 0)
À partir du graphique ci-dessus, nous
obtenons le graphique ci-contre en aisant
une rotation de 180º autour de la droite
d’équation y = x, et en remplaçant x par
y et y par x.
1
(0, π)
-1
y
x
π




1,
5
2
π




-1,
3
2
π




1,
2
π
2
π-
2π




-1,
-
2 π




1,
-3
2
(0, -π)
Ce graphique n'est pas celui d’une onction.
Par contre, si pour x ∈ [-1, 1] nous choi-
sissons uniquement les valeurs de y qui
appartiennent à
π π





-
2
,
2
, nous obtenons
une onction appelée « Arc sinus ».
Défnition 1.21 La onction Arc sinus inverse de la onction sinus est défnie comme suit :
y = Arc sin x, si et seulement si x = sin y pour x ∈ [-1, 1] et y ∈
π π





-
2
,
2
.
La représentation ci-contre est une esquisse du graphique
de f (x) = Arc sin x, où
dom (Arc sin) = [-1, 1] et
ima (Arc sin) =
-π π
2 2
, .






1-1
f (x) = Arc sin x
y
x
π
2
π-
2
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions50
1
Exemple 1 Évaluons, si c’est possible, les expressions suivantes.
a) Arc sin






1
2
en radians et Arc sin
- 2
2






en degrés.
Soit Arcsin
1
2
, ainsi sin
1
2
.
D’où
6
.
(définition 1.21)
cercle trigonométrique où
-
2
,
2
θ θ
θ
=




=
=
π 








θ ∈
π π
Soit a = Arcsin
- 2
2
, ainsi sin
- 2
2
.
D’où -45 .
(définition 1.21)
(cercle trigonométrique, où [-90 , 90 ])
α
α






=
= ° α ∈ ° °
Arcsin
- 2
2
, ainsi sin
- 2
2
.
D’où -45 .
(définition 1.21)
(cercle trigonométrique, où [-90 , 90 ])
α
α






=
= ° α ∈ ° °
b) Arc sin (0,7) à l’aide d’une calculatrice.
En mode « radian », nous obtenons Arc sin (0,7) = 0,775 3... ;
en mode « degré », nous obtenons Arc sin (0,7) = 44,427...º.
c) Arc sin (1,2)
Arc sin (1,2) est non défnie, car 1,2 ∉ dom (Arc sin).
Défnissons de açon analogue la onction Arc cosinus, qui est la onction inverse de
la onction cosinus.
La représentation ci-contre est une esquisse du graphique
de f (x) = Arc cos x, où
dom (Arc cos) = [-1, 1] et
ima (Arc cos) = [0, π].
f (x) = Arc cos x
y
x
π
1-1
Exemple 2 Évaluons les expressions suivantes.
a)








Arc cos en radians et Arc cos
-1
2
1
2
en degrés.
Arc cos car cos et [0,
-1
2
2
3
2
3
-1
2
2
3




=
π 



= ∈ π]
π π
Arc cos 60º car cos 60º et 60º [0,180º
1
2
1
2




= = ∈ ]
b) Arc cos (-0,2), à l’aide d’une calculatrice.
En mode « radian », nous obtenons Arc cos (-0,2) = 1,772 1... ;
en mode « degré », nous obtenons Arc cos (-0,2) = 101,536...º.x
y
π2
3
60°






P ,
-1
2
3
2
P ,
1
2
3
2






Défnition 1.22 La onction Arc cosinus inverse de la onction cosinus est défnie comme suit :
y = Arc cos x, si et seulement si x = cos y pour x ∈ [-1, 1] et y ∈ [0, π].






P
3
2
,
1
2






P
2
2
,
- 2
2
α
θ
-45°
y
(0, 1)
x
π
6
51
1
1.9 Trigonométrie
Défnissons la onction Arc tangente, qui est la onction inverse de la onction tangente.
Soit le graphique de y = tan x.
y
x
f (x) = tan x
ππ-
2
π
2
À partir du graphique ci-dessus, nous
obtenons le graphique ci-contre, en ai-
sant une rotation de 180º autour de la
droite d’équation y = x, et en remplaçant
x par y et y par x.
y
x
π
π
2
π-
2
Ce graphique n’est pas celui d’une
onction.
Par contre, si pour x ∈ IR nous choisis-
sons uniquement les valeurs de y qui
appartiennent à
-π π
2 2
, ,






nous obtenons
une onction que nous appelons
« Arc tangente ».
Défnition 1.23 La onction Arc tangente inverse de la onction tangente est défnie comme suit :
y = Arc tan x, si et seulement si x = tan y pour x ∈ IR et y ∈
-π π
2 2
, .






La représentation ci-contre est une esquisse du graphique
de f (x) = Arc tan x, où
dom (Arc tan) = IR et
ima (Arc tan) =
-π π
2 2
, .






Exemple 3 Évaluons les expressions suivantes en degrés et en radians.
a) Arc tan 1, sans calculatrice.
En « degrés », nous obtenons Arc tan 1 = 45° ; (car tan 45° = 1)
en « radians », nous obtenons Arc tan 1 =
π
4
.
π
=





car tan
4
1
b) Arc tan 2500, avec une calculatrice.
En mode « radian », nous obtenons Arc tan 2500 = 1,570... ;
en mode « degré », nous obtenons Arc tan 2500 = 89,977...º.
On peut dénir de la même façon les fonctions Arc cotangente, Arc sécante et
Arc cosécante.
f (x) = Arc tan xπ
-π
y
x
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions52
1
Défnition 1.24 La onction Arc cotangente inverse de la onction cotangente est défnie
comme suit :
y = Arc cot x, si et seulement si x = cot y pour x ∈ IR et y ∈ ]0, π[.
Défnition 1.25 La onction Arc sécante inverse de la onction sécante est défnie comme suit :
y = Arc sec x, si et seulement si x = sec y
pour x ∈ ]-∞, -1]  [1, +∞[ et y ∈ 0
2
,
π





 π
π
, .
3
2






La représentation ci-contre est une esquisse du graphique
de f (x) = Arc cot x, où
dom (Arc cot) = IR et
ima (Arc cot) = ]0, π[.
2
f (x) = Arc cot x
π
y
x
π
2
Remarque Il aurait été également possible de choisir y ∈ 0
2
,
π






π
π
2
, .






La représentation ci-contre est une esquisse du graphique
de f (x) = Arc sec x, où
dom (Arc sec) = ]-∞, -1]  [1, +∞[ et
ima (Arc sec) = 0,
2
π





 ,
3
2
.π
π





f (x) = Arc sec x
1
π
-1
y
x
Défnition 1.26 La onction Arc cosécante inverse de la onction cosécante est défnie
comme suit :
y = Arc csc x si et seulement si x = csc y
pour x ∈ ]-∞, -1]  [1, +∞[ et y ∈ 0,
2
π





 ,
3
2
.π
π





Remarque Il aurait été également possible de choisir y ∈
-
2
, 0
π





 ,
2
π
π





.
La représentation ci-contre est une esquisse du
graphique de f (x) = Arc csc x, où
dom (Arc csc) = ]-∞, -1]  [1, +∞[ et
ima (Arc csc) = 0,
2
π





 ,
3
2
.π
π





f(x) = Arc csc x
y
x1-1
π
π
2
π3
2
53
1
1.9 Trigonométrie
La trigonométrie du triangle rectangle
Les rapports entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle
sont appelés « rapports trigonométriques ».
Les six rapports trigonométriques sont les suivants .
a
b
c
θ
sin θ =
a
c
côté opposé à l’angle
hypoténuse
sin
θ
θ =






cos θ =
b
c
côté adjacent à l’angle
hypoténuse
cos
θ
θ =






tan θ =
a
b
côté opposé à l’angle
côté adjacent à l’angle
tan
θ
θ
θ =






csc θ =
c
a
hypoténuse
côté opposé à l’angle
csc
θ
θ =






sec θ =
c
b
hypoténuse
côté opposé à l’angle
sec
θ
θ =






cot θ =
b
a
côté adjacent à l’angle
côté opposé à l’angle
cot
θ
θ
θ =






Exemple 1 Soit le triangle rectangle ci-contre.
Évaluons les six rapports trigonométriques.
sin θ =
3
5
cos θ =
4
5
tan θ =
3
4
csc θ =
5
3
sec θ =
5
4
cot θ =
4
3
Exemple 2
a) Déterminons la valeur de x dans le triangle rectangle suivant.
x
65°
4
Par rapport à l’angle de 65º, x est le côté adja-
cent et 4 est l’hypoténuse. Ainsi,
cos 65º =
x
4
° =






car cos 65
c. adj.
hyp.
d’où x = 4 cos 65º = 1,690...
b) Déterminons la valeur de x et de θ dans le triangle rectangle suivant.
x
4
5
θ
x
2
= 4
2
+ 5
2
(pythagore)
x = 16 25 41+ = , d’où x = 6,403...
tan θ =
4
5
, d’où θ = Arc tan






4
5
= 38,659...º
5
4
3
θ
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions54
1
La tgonométe d’un tangle quelonque
Dans un triangle quelconque (non rectangle), on ne peut pas utiliser les rapports tri-
gonométriques défnis dans le triangle rectangle. Il existe touteois des relations entre
les angles et les longueurs des côtés du triangle.
La loi des sinus et la loi des cosinus
Dans tout triangle ABC :
La loi des sinus
sin sin sinA
a
B
b
C
c
= =
On utilise la loi des sinus lorsqu’on
connaît :
• soit la longueur d’un côté et la
mesure de deux angles ;
• soit les longueurs de deux côtés
et la mesure de l’angle opposé à
l’un de ces côtés.
La loi des cosinus
a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cos A
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos B
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cos C
On utilise la loi des cosinus
lorsqu’on connaît :
• soit les longueurs de deux
côtés et la mesure de l’angle
compris entre ces côtés ;
• soit les longueurs des trois côtés.
a
b
c AB
C
1. Exprimer en radians chacun des angles suivants.
a) 60º b) -75º
c) 270º d) 600º
2. Exprimer en degrés chacun des angles suivants.
a) 3 rad b)
5
6
π
rad
c)
3
rad
π
4
d)
-
rad
π
12
3. Exprimer en onction de sin t, de cos t ou de sin t et
cos t.
a) tan t b) cot t
c) sec t d) csc t
4. Déterminer la valeur de t, où t ∈ [0, 2π[ correspondant
aux points suivants.
a) P
- 2
2
2
2
,






b) P
2
2
2
2
,
-





c) P(-1, 0) d) P






- 3
2
,
-1
2
5. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points tri-
gonométriques correspondants aux angles suivants et
représenter les sur un même cercle trigonométrique.
a)
-π
3
b)
-7
6
π
c)
23π
6
d)
21π
4
e)
3π
2
)
-11π
6
6. Déterminer sans l’aide d’une calculatrice la valeur
exacte de :
a) cot
3
4
π
b) sec 300º
c) tan
π
3
d) csc (-45º)
7. Exprimer cos 2A en onction de :
a) sin
2
A b) cos
2
A
ExErcicEs 1.9
55
1
1.9 Trigonométrie
8. Déterminer la valeur exacte de :
a) sin
π
12
b) cos 105º
9. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.
a) Arc sin 1
b) Arc sin
- 3
2






c) Arc cos 1
d) Arc cos (-1)
e) Arc tan (-1)
f) Arc sec 2
10. a) Évaluer :
i) sin (Arc sin 0)
ii) sin (Arc sin (-1))
iii) Arc sin sin
π
6






iv) Arc sin (sin 2π)
b) Répondre par vrai (V) ou faux (F).
i) sin (Arc sin x) = x, ∀ x ∈ dom (Arc sin)
ii) Arc sin (sin x) = x, ∀ x ∈ dom (sin)
11. Résoudre les équations suivantes, si x ∈ [0, 2π].
a) 1 + sin x = 0
b) cos
2
x – (sin x) cos x = 0
12. a) Déterminer la valeur de x et de θ.
i)
x
θ
15
26
ii)
x
θ 20
45°
b) Déterminer la valeur de ∠ B, de a et de b.
a
b
c = 10
A
B
C
50°
13. Déterminer la valeur de ∠ A, de ∠ C et de c.
b = 20
a = 12
c
A
B
52°
C
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions56
11
Exercices récapitulatifs
AdministrationChimieBiologie
Exercices se réalisant à l’aide d’un outil technologique.
Les réponses des exercices récapitulatis et des problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont ournies à la
fn du manuel.
Physique
1. Compléter le tableau suivant.
Ensemblistes Intervalles Droite numérique
{x ∈ IR | x > 4}[-2, 5[
-3
{x ∈IR | x < -1 ou x ≥ 2}
2. Simplifer en donnant votre réponse à l’aide d’exposants
positis.
a)
2
2
5
9
b)
(-9)
(-9)
4
5
−
−
c)
-9
-9
4
5
−
−
d)
x y
x y
64
24
2 4
4 2
−
−
e)
a b c
a b c
2 ( )
3 ( )
3 5 2 3 2
2 3 4 6
−
−
)
(2 3 )
(2 3)
5 2 4
3 2
−
−
3. En simplifant une raction dont le numérateur était x
4
y
3
,
nous avons obtenu
x
y
2
. Quel était son dénominateur ?
4. Écrire les expressions suivantes sous la orme x
r
, où r ∈IR.
a) x
3
b) x
5
c)
x
x
34
d) x
75 −
e) x x
2
)
x
x
37
73
5. Écrire les expressions suivantes sous la orme
x
x
a bou
1
, où IN
*
et IN
*
.
ba
ba
∈ ∈
a) x
2/5
b) x
–5/2
c) x
1/2
x
2
d)
x
x
5/4
4 /5
6. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.
a) 81 b) 81
4
c) 3 27 d) 169 144−
e)
32
4
3
3
)
1
(-2)
84
7. Simplifer en donnant votre réponse à l’aide d’un expo-
sant positi.
a)
x
x
3
23
b) x x x x
333
c)
x y
x y
( ) ( )
( )
3 6 5 4
7 4 4
d)
x y
x y
80( ) ( )
5( ) ( )
5 3 3 4
3 4 3
4
8. Déterminer la longueur de l’arête d’un cube :
a) si son volume est de 13 824 cm
3
;
b) si l’aire totale de ses aces est de 13 824 cm
2
.
9. Déterminer la valeur de x si :
a)
a
b
a
b
a
b
a
b
x





 =
b)
a
b
a
b
b
a
a
b
x





 =
c)
7
49
1
7
x
x
2
=
+
10. Eectuer puis simplifer.
a) 5(3x
2
– 4x) – (3x + 2)(7 – x) – (8 – 2x
2
)(7 – 3x
2
)
b) (2x + 3y – 4)(5 – 2y – 4x)
c)
3
2
7
4
5
6
2
3
x x
+





 −






d) (0,5x + 4,1)(7,2 – 3,7x)
e) x x x x2 3 4 4 (3 4 )
5 2 4/5
− − −
−
) ( ( ) )( ( ) )4 4 4 4x h x x h x+ − + +
11. Rationaliser le dénominateur des ractions suivantes.
a)
12
6
b)
9
7 3
c)
7
5 2−
d)
4 2 3
5 3 7 2
−
−
12. Eectuer.
a)
x x x x
x x
(8 4 )
(2 )
5 3 2
2
+ − −
−
b)
x x
x
(2 8 8)
( 3)
2
+ −
+
57
11
Exercices récapitulatis
13. Compléter les égalités suivantes.
a) 8ab
2
+ 12a
3
c
2
– 20a
5
d
4
= 4a ( )
b) 2x – 3x
1/2
+ 5x
7/2
= x
1/2
( )
c)
x x
x x
x
x
4 2
3
4
3
3 1
3 2 1
+ +
− −
=
(
(
)
)
14. Factoriser.
a) x
2
+ 13x + 30 b) x
2
+ 13x – 30
c) x
2
– 13x + 30 d) x
2
– 13x – 30
e) 4x(x – 5) – 3(5 – x)
) x
2
+ mxy – 4xy – 4my
2
g) 2x(9 – x
2
) – (x
3
+ 2x
2
– 3x)
h) 36x
2
– 65x – 36 i) 300x
2
+ 79x – 85
j) 25 – y
2
k) (2x – 5)
2
– (3 + x)
2
l) 8x
3
– 27y
3
m) 3(2x + 1)
1/2
(5 – 7x
2
)
3
– 42x (2x + 1)
3/2
(5 – 7x
2
)
2
15. Eectuer, puis simplifer.
a)
3
7 5
4
2 9
x
x x+
−
+
b)
x
x x
2
1
5
1
2
−
−
−
c) x x
x x
x
(4 5 )
4 3 1
2
2
− −
− +
d)
5
2
3
1
+
−
x
x
e)
5
3 2
5
3 2+ +
−
+( )x h x
h
)
x
x x
x
x
9
9
3
3
2
3
2
−
+






−



16. Résoudre les équations suivantes.
a) (x – 4)
2
= 9 b) 4x – x
3
= 0
c) 41x + 40 = 21x
2
d) 6 8 0
2
y y− − =
e) 1 1− − =x x ) ||x – 57 | – 38 | = 0
g) |||x – 2 | – 4 | – 5 | = 1 h) 2xe
–2x
(1 – x) = 0
i) log (log (log x)) = 0
j) log
7
(log
3
(log
2
(x))) = 0
k) 8 cos
3
x – 1 = 0, si x ∈ ]-π, π[
l) sin
2
x – 3 cos
2
x = 0, si x ∈






0
2
,
π
17. Déterminer l’ensemble-solution si :
a)
x x
x
( 2)(4 )
0
2
− +
≤
b)
x x
x x x x
(8 )
( 7 8)( 10 25)
0
3
2 2
−
− − − +
≥
c) (x – 1)(x + 2) < (x + 5)(x – 2)
18. Déterminer le domaine et les zéros des onctions
suivantes.
a) f x
x
x
( )
1
1
2
2
=
−
−
b) g x
x
x
( )
16 5
2
=
+ −
c) h x
x
x x
( )
9
4 5
2
2
=
−
− −
d) f x
x
x x
( )
9
4 5
2
2
=
−
− −
e) g x
x x
x
( )
5 6
4
2
2
=
− +
−
) h x
x x
x
( )
5 6
4
2
2
=
− +
−
g) f x
x
x x
( )
-2 3
4
3
=
+
−
h) g x
x
x
( )
4 4
4
2
2
=
−
+
i) h x
x
x x
( )
4 3
56
2
 


=
+
+ −
j) k x
x
x
( )
2 4 -5
=
 − − −  
k) f x
e
e
( )
1
x
x
2
4
=
−
−
l) g x
x
x
( )
1
2log 1
2
9
=
−
−
m) k x
x
( ) ln 4
1
1
2
= − −






n) f x
x
x
( )
sin
cos
=
−
+
1
2
o) g x
x x
x
( )
( )
( )
=
−
+
1
1
Arc sin
p) h x
e
x
( )
1
Arc tan
x2
=
−
− π
19. Soit les onctions f et g suivantes.
f x
x
x
x
x x
x
( )
4
5
si - 6 0
2 1
5 4
si 0 3
2
=
+
< <
+
− +
< ≤






g x
x x x
x
x
x
x
x
( )
- 5 6 si 0
1
2
si 0 2
1
3
si 2
2
2
2
=
+ + <
+
−
≤ ≤
−
>









a) Déterminer le domaine de f et de g.
b) Évaluer, si c’est possible :
i) f (-3) ii) f (0,5) iii) f (1)
iv) g(-1) v) g(0) vi) g(1)
20. Soit f (x) = 3x
2
– 2x + 3.
a) Évaluer f (x + h).
b) Déterminer
f x h f x
h
( ) ( )+ −
et simplifer.
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions58
1
21. a) Démontrer que, si z est un zéro de
f (x) = 7x
4
– 4x
3
+ 3x
2
– 4x + 7, alors
1
z
est aussi un
zéro de f (sans trouver z).
b) Déterminer la relation entre a et c, si les zéros de
l’équation ax
2
+ bx + c = 0 sont z et
1
z
.
22. Soit f (x) =
− x
1
1
et g(x) =
1
1 − x
.
a) Déterminer le domaine de f et de g.
b) Si f (c) = 2, déterminer f (1 – c).
c) Déterminer g(g(g(a))).
23. Soit la représentation graphique suivante.
y
1
1
B
A
(4, -3)
(9, 1)
D
3
D
2
D
5
D
4
D
1
x
1
2
a) Déterminer l’équation des droites ci-dessus.
b) Déterminer les coordonnées des points A et B.
c) Déterminer l’équation de la droite passant par
P(1, 2) et qui est parallèle à D
3
.
d) Déterminer l’équation de la droite passant par
P(9, 1) et qui est perpendiculaire à D
3
; donner votre
réponse sous la forme ax + by + c = 0,
où a, b et c ∈ z.
24. Une personne qui travaille pour une entreprise de
location d’automobiles ayant 40 voitures à louer reçoit
un salaire quotidien de 40 $ ; de plus, elle obtient une
commission de 6 $ pour chaque automobile qu’elle
loue.
a) Déterminer son salaire d’une journée, si elle loue
i) 10 automobiles ; ii) 22 automobiles.
b) Si n représente le nombre d’automobiles louées,
déterminer la fonction S qui donne le salaire quo-
tidien en fonction du nombre d’automobiles louées,
en précisant son domaine.
c) Combien d’automobiles doit-elle louer pour que son
salaire quotidien soit de 220 $ ?
d) Si, au cours d’une semaine, cette personne travaille
5 jours, combien d’automobiles doit-elle louer, en
moyenne par jour, pour que son salaire hebdoma-
daire soit de 680 $ ?
25. Soit f (x) = -6x
2
+ 45x – 75. Déterminer :
a) le dom f et ima f ;
b) les points d’intersection de la courbe de f avec
i) l’axe des x ; ii) l’axe des y.
c) l’équation de la sécante passant par les points
(1, f (1)) et (3, f (3)).
26. Le tableau suivant donne les tarifs domestiques, en
2012, applicables à la consommation d’électricité,
en fonction du nombre de kilowatt-heures (kWh)
consommés chaque jour.
La redevance
d’abonnement quotidienne
0,406 4 $
Les 30 premiers kWh
consommés chaque jour
(basés sur une moyenne
mensuelle)
0,053 9 $/kWh
Le reste de l’énergie
consommée
0,075 1 $/kWh
a) Calculer le coût avant les taxes, pour une consom-
mation de 850 kWh pendant le mois de septembre.
b) Calculer le coût avant les taxes, pour une consom-
mation de 1900 kWh pendant le mois de janvier.
c) Déterminer la fonction qui donne le coût avant les
taxes, de la consommation d’électricité en fonction
du nombre de kilowatt-heures consommés pendant
une période de 30 jours.
d) Représenter graphiquement cette fonction.
27. a) Exprimer les égalités logarithmiques suivantes
sous la forme exponentielle.
i) log
5
25 = 2 ii) log 1000 = 3
b) Exprimer les égalités exponentielles suivantes sous
la forme logarithmique.
i) 10
–4
= 0,000 1 ii)
3
4
16
9
2





 =
−
28. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.
a) log
6
216
b) log 1
c) ln e
4
d) log
216
6
e) log
2
81 log
3
8
f)











(log 16)(log 27) log
1
5
5 2 3
59
1
Exercices récapitulatifs
29. Déterminer la valeur exacte de x si :
a) 3(9
2x
) =
1
3
x1






−
b) (3
x
)(4
2x + 1
) = 6
x + 2
c) log
2
(5x
2
– x – 2) = 2 + 2 log
2
x
d) ex
+ 2 = e
2x
30. Représenter dans un même système d’axes les fonc-
tions suivantes.
f
1
(x) = e
x
f
2
(x) = 2
x
f
3
(x) = 3
x
f
4
(x) = e
–x
f
5
(x) = 2
–x
f
6
(x) = 3
–x
31. À la suite d’une recherche médicale, on a établi que le
nombre de cellules cancéreuses dans un certain type
de tissu est donné par N(t) = 300 (2
0,13t
), où t est en
jours.
a) Déterminer le nombre de cellules après
i) 1 semaine ; ii) 30 jours.
b) Déterminer le nombre de jours pour
i) doubler le nombre initial de cellules ;
ii) avoir 3000 cellules.
32. Une somme de 4000 $ est placée pendant 5 ans à un
taux nominal de 3 %.
a) Si les intérêts sont capitalisés annuellement,
déterminer
i) la valeur de ce placement à l’échéance ;
ii) le montant d’intérêt accumulé.
b) Déterminer la valeur de ce placement, si on capita-
lisait les intérêts tous les
i) 6 mois ; ii) 2 mois ;
iii) mois ; iv) jours.
33. a) Exprimer en radians.
i) 240º ii) 135º
iii) -30º
b) Exprimer en degrés.
i)
π
4
rad ii)
-
rad
π
6
iii)
2
3
π
rad
34. Sans l’aide d’une calculatrice, déterminer les valeurs
exactes des coordonnées des points trigonométriques
correspondants aux points suivants et donner, si c’est
possible, la valeur du sinus, du cosinus et de la tan-
gente de l’angle correspondant.
a)
π
3
b)
π
2
c)
-π
6
d) 180º
35. Donner, si c’est possible, et sans l’aide d’une calcula-
trice, la valeur exacte de :
a) cos 30º b) sin 90º
c) tan
π
2






d) csc
-π
4






e) cot
π
2





 f) Arc sin (0,5)
g) Arc cos 2 h) Arc tan (1)
36. a) Déterminer sur le graphique suivant la courbe
représentant la fonction sinus et celle représentant
la fonction Arc sinus.
π
2
y
Q
P
f(x)
g(x)
S
R
x
π
2
b) Déterminer les coordonnées des points P, Q, R et S.
37. Évaluer :
a) cos
2
1º + cos
2
2º + cos
2
3º + ... + cos
2
89º + cos
2
90º
b) sin
2
1º + sin
2
2º + sin
2
3º + ... + sin
2
89º + sin
2
90º
Chapitre 1 Notions algébriques et fonctions60
1
Limites et continuité
Perspective historique 62
Exercices préliminaires 63
2.1 Notion de limite 64
2.2 Indétermination
de la orme
0
0
77
2.3 Limite infnie et asymptotes
verticales, limite à l’infni
et asymptotes horizontales 83
2.4 Continuité 101
Réseau de concepts 109
Vérifcation des apprentissages 110
Exercices récapitulatis 111
Problèmes de synthèse 116
U
ne présentation ormelle et approondie de la notion de limite
alourdirait considérablement le présent manuel. En consé-
quence, considérant qu’une bonne compréhension intuitive
vaut mieux qu’une mau vaise connaissance ormelle, nous avons pré-
éré donner ici un exposé inormel de la notion de limite, laissant
l’enseignante ou l’enseignant libre de suppléer à cette démarche intui-
tive par des défnitions ormelles, si elle ou il le juge à propos.
Nous étudierons tout d’abord des indéterminations de la orme
0
0
. Par
la suite, nous erons l’étude des cas de limites dont le résultat est l’infni
et de limites à l’infni, ainsi que l’étude des indéterminations de
la orme
±∞
±∞
et +∞− ∞. Cette étude nous permettra de déterminer
l’équation des asymptotes verticales et horizontales de la courbe
d’une onction. Finalement, l’utilisation de la limite nous permettra
de déterminer si une onction est continue.
En particulier, l’élève pourra résoudre le problème suivant.
À la suite de l’étude d’une population, un démographe prévoit
que, dans t années à compter d’aujourd’hui, la population totale P
d’une ville dans une région, sera donnée par
( =
+
+
P t
t
t
t)
40 000 60
4 0,0025
, où est en années.
3
3
a) Calculer la population
i) initiale ; ii) après 5 années ; iii) après 10 années.
b) Après combien d’années la population initiale aura-t-elle
doublé ?
c) Évaluer
→ +∞
lim
t
P(t) et interpréter votre résultat.
d) Représenter graphiquement la courbe de P.
(Voir l’exercice récapitulatif n
o
26, page 116)
2
PersPective h i s t o R i q u E
L
a matère, nous dsent les physcens, se compose
d’atomes, eu-mêmes consttués de partcules élé-
mentares. L’Unvers n’est donc pas physquement
contnu. S l’être human avat la capacté de rapetsser
ndéfnment, jusqu’à devenr du même ordre de grandeur
qu’un atome, l n’aurat pas le cho, pour se déplacer, que
de sauter d’un atome à un autre. Mas, ntutvement, son
mouvement ne serat-l pas, lu, contnu ? Entre deu atomes,
son déplacement ne serat pas saccadé. Peut-on alors dre que
l’espace est contnu ? Y aurat-l des « atomes » d’espace ?
Y aurat-l des « atomes » de temps ?
Pour le grand phlosophe Arstote
(384-322 av. J.-C.), quelque chose
est contnu s on peut le subd-
vser à répétton, ndéfnment.
Mas alors, que répondre à Zénon
d’Élée qu remarquat, dans le
paradoe appelé « la dchoto-
me », que lorsqu’un marcheur se
déplace vers un mur, l dot d’abord
arrver à la moté de la dstance
qu le sépare du mur, pus, à nou-
veau, à la moté de la dstance qu
le sépare alors du mur, et ans de
sute. Supposant l’espace contnu, même s’l s’approche de plus
en plus du mur, l lu restera toujours une moté de dstance à
parcourr. Il n’attendra donc jamas le mur. Par contre, Zénon
ne le at pas, mas s le marcheur suppose que l’espace est non
contnu, en se déplaçant, l se trouvera à un moment donné à
une dstance du mur qu ne sera plus dvsble. Il parvendra
donc, à l’étape suvante, nécessarement au mur. Pusque, en
réalté, l attent le mur, cela ne voudrat-l pas dre que l’es-
pace est eectvement dscontnu ?
Ce genre d’arguments nourrra la controverse pendant plu-
seurs sècles. On montrera fnalement, au Moyen Âge, à
l’ade des séres nfnes, que, de at, pusque les temps
pour parcourr les « motés d’espaces restants » devennent
de plus en plus courts à mesure qu’on approche du mur, au
total, cela prend un temps fn pour y arrver.
En mathématques, nous tenons pour acqus que l’espace
géométrque est contnu et donc qu’l peut se subdvser à
l’nfn. Ans, lorsque vous tracez le graphe d’une oncton
y = f(x), on tent pour acqus que x prend successvement
toutes les valeurs sur l’ae des x. Votre epérence avec les
onctons vous porte sans doute à crore que, sau pour des
cas assez rares (comme y = f(x) = 1/x) et artfcels (comme les
onctons escalers), le graphe correspond à un tracé contnu.
De Descartes (1637) jusqu’au début du xix
e
sècle, les mathé-
matcens pensèrent de même. L’epresson symbolque,
même nfne, permettant de calculer la valeur de f(x) sem-
blat un garant du at que le graphe de la oncton pusse être
tracé d’un trat contnu, sau peut-être en quelques ponts. On
ne sentat donc pas vrament le beson de précser davantage
ce qu’état une oncton « contnue ». L’ntuton commença
alors à être prse en déaut (voir le problème ci-dessous).
C’est dans le contete de la recherche d’une plus grande rgu-
eur que le Franças Augustn Cauchy (1789-1857) défnra la
contnuté d’une oncton (1823) :
« Lorsque la oncton f(x) admettant une valeur unque et fne
pour toutes les valeurs de x comprses entre deu lmtes [com-
prendre c les bornes d’un ntervalle] données, la dérence
f (x + i) − f (x)
est toujours entre ces lmtes une quantté nfnment pette,
on dt que f(x) est oncton contnue de la varable entre les
lmtes dont l s’agt. [i est vu c comme un nombre dont la
valeur se rapproche nfnment près du zéro
1
.] »
PROBLÈME : La oncton correspondant à la somme nfne de
onctons contnues est-elle elle-même une oncton contnue ?
Cauchy a répondu d’abord ntutvement ou pour produre
par la sute une démonstraton. Le jeune mathématcen Niels
Abel (1802-1829) oppose touteos un contre-eemple à la
démonstraton de Cauchy. Vous pouvez vous rendre compte
vous-même du ben-ondé du contre-eemple en traçant, sur
votre calculatrce graphque ou, meu encore, sur untraceur
graphque d’un ordnateur, la oncton suvante :
y x
x x x
= − + − +sin( )
sin( ) sin( ) sin( )2
2
3
3
4
4

en ajoutant toujours davantage de termes. Vous remarque-
rez que, d’un graphque à l’autre, le graphque se rapproche
du graphque suvant.
y
2
-3π 3π-π π
π
x
Le graphque précédent représente une oncton non cont-
nue même s sn(x),x
x x
sin( ),
sin(2 )
2
,
sin(3 )
3
, … sont des onctons
contnues.
1. Cauchy, Augustn, 1899, Œuvres complètes d’Augustin Cauchy,
2
e
sére, t. 4, Pars : Gauther-Vllars, p. 19-20.
V de continu?
ChaPitRE 2 Perspective historique62
2
Exercices préliminaires
1. Calculer les expressions suivantes.
a)
0 001
5
0
7
,
; b)
7
10
;
15
10
5 8
c)
3
0 001
8
0 000 001, ,
; d)
−
-2
0,000 01
;
70
-10
9
2. Soit A et B, deux nombres positis infniment grands.
Préciser si le résultat des opérations suivantes est posi-
ti et infniment grand, négati et infniment grand ou
impossible à déterminer.
a) A + B b) A − B c) AB
d)
A
B
e)
-A
50
) AB − A
3. Simplifer les expressions suivantes.
a)
a
b
c
d
b)
−
−
x
x
x
4
5
2
10
2
c)
x
x
x x
3
3
2
−
−
d)
−
−
x
x
x
8
8
e)
x
x
1
2
1
2
−
−
)
x
x
x
3
3
1
3
1
−
−
4. Sachant que les conjugués de A + B sont A – B et -A + B,
déterminer les conjugués des expressions suivantes.
a) x + −7 7 b) 3 5 3 4x x− − +
5. Eectuer la multiplication des expressions suivantes
par un de leurs conjugués.
a) x − 5 b) x + 5
c) x x− −3 5 d) a b c d+ + −
6. Eectuer les divisions suivantes.
a)
+ + +
+
x x x
x
1
1
3 2
b)
+ + − −
+
x x x x
x
2
1
4 3 2
7. Compléter :
a) a
2
− b
2
= (a − b)
b) x
3
− 8 = (x − 2)
c) 27 + x
3
= (3 + x)
d) (x + h)
3
− x
3
= h
8. Déterminer le domaine des onctions suivantes.
a) f (x) = 3x
2
− 4x + 5 b) g x
x
x x
( )
( )
( )( )
=
+
− +
4
9 3 2 5
c) =
− −
h x
x x
( )
42
12
2
d) f u
u
( ) =
+
1
3 7
e) x t t( ) = −10 2 ) =
−
v t
t
t
( )
1
23
g) =
+
−
f x
x x
x x
( )
4 3
7
2
3
h) f t
t
t
( ) =
−
−
2
5
i) f x
x
x
( )
5
5
=
−
−
j) = + +g x x x( ) - 2
2
k) =
+ +
h z
z
z z
( )
1
2
l) =
+
+ −
x t
t
t t
( )
3
2 7 4
2
9. f x
x x
x x
x x
Soit ( )
si 1
si 1 2
-1 si 2 et 3.
2
=
<
< ≤
> ≠





a) Calculer, si c’est possible :
i) f (0) ii) f (1) iii) f (1,5)
iv) f (2) v) f (3) vi) f (4)
b) Tracer le graphique de f et déterminer dom f.
10. =
+
+
<
< ≤
−
> ≠









f x
x
x
x
x
x
x
x
x x
Soit ( )
4
3
si -1
1
si -1 1
2
4
si 1 et 5.
2
a) Calculer, si c’est possible :
i) f (-5) ii) f (-1) iii) f (1)
b) Déterminer le domaine de f.
11. Donner l’équation des droites D
1
, D
2
et D
3
suivantes.
y
x1-1
2
(-2, 0)
D
2
D
3
D
1
63
2
Exercices préliminaires
Présenttin intuitive de l ntin de limite
2.1 Ntin de limite
objectis d’pprentissge
À la n de cette secton, l’élève pourra calculer des lmtes.
Plus précsément, l’élève sera en mesure :
• d’estimer des limites, en utilisant des tableaux de valeurs appropriées ;
• d’utiliser la notation de limite ;
• de représenter graphiquement le résultat du calcul d’une limite ;
• de donner les conditions de l’existence de la limite d’une fonction ;
• d’évaluer des limites à gauche et des limites à droite, à partir d’un
graphque ;
• d’énoncer des théorèmes relatifs aux limites ;
• de calculer des limites à l’aide des théorèmes sur les limites ;
• de déterminer des limites à l’aide du théorème « sandwich » ;
• de calculer, algébriquement, des limites à gauche et des limites à droite.
Avant d’évaluer des lmtes à l’ade de théorèmes, présentons d’abord de açon ntu-
tve la noton de lmte.
Défnitin 2.1 Sot x ∈IR. Nous dsons que x est une valeur voisine de a s x a≠ , c’est-à-dre
x < a ou x > a et s x est auss près que nous le voulons de a.
y
x
L
c a d
h (x)
f (x)
g (x)
Théorème « sandwich »
Il y a environ 275 ans…
L’dée ntutve de lmte se maneste tout au long de l’hstore des mathématques.
Archimède s’en sert dans ses nombreu calculs d’are de suraces courbes. Elle commence
à prendre orme comme une noton ndépendante chez D’Alembert (1717-1783). Ce n’est
touteos qu’au début du xix
e
sècle, partculèrement chez Cauchy (voir la perspective
historique), qu’on la dént clarement, avec la notaton lim, mas sans la fèche en-dessous,
et que sa place dans le calcul dérentel se précse.
archimède (-287 à -212)
Donnons d’abord deu eemples de onctons dénes sur IR \ {a}, où nous évaluerons
ces onctons pour des valeurs vosnes de a.
Exemple 1 =
−
−
=f x
x x
x
fSoit ( )
3
3
, où dom IR \ {3}.
3 2
a) Pusque f (3) est non déne, posons-nous la queston suvante.
Quelles valeurs prend f (x) lorsque les valeurs de x, où x ∈ dom f, sont vosnes de 3 ?
Par valeurs vosnes de 3, nous entendons des nombres réels plus petts ou plus grands que 3, donc x ≠ 3,
mas qu sont auss près que nous le voulons de 3.
64 Chapitre 2 Limites et continuité
2
Établissons deux listes composées respectivement de valeurs
plus petites que 3 (x < 3) et de plus
en plus près de 3, notée x → 3
−
plus grandes que 3 (x > 3) et de plus
en plus près de 3, notée x → 3
+
Calculons les valeurs de f (x) correspondantes.
Nous constatons que f (x) semble s’approcher
aussi près que nous le voulons de 9, lorsque nous
donnons à x des valeurs de plus en plus près de 3,
par la gauche et nous écrivons
Nous constatons que f (x) semble s’approcher
aussi près que nous le voulons de 9, lorsque nous
donnons à x des valeurs de plus en plus près de 3,
par la droite et nous écrivons
x x
x
lim
3
3
9
x 3
3 2
−
−
=
→
−
−
−
=
→
+
x x
x
lim
3
3
9
x 3
3 2
Cette limite s’appelle la limite à gauche de f. Cette limite s’appelle la limite à droite de f.
f (x)
x
8,41
9
2,9 3
x → 3
–
f (x)
x
9
9,61
3 3,1
3
+
← x
Comme f(x) semble s’approcher aussi près que nous le voulons de 9, en donnant à x f∈dom des valeurs
de plus en plus près de 3, aussi bien par la gauche que par la droite, nous écrivons
=
→
f xlim ( ) 9
x 3
b) Simplifons f.
=
−
−
=
−
−
=
−
−
∉ − ≠f x
x x
x
x x
x
x x
x
( )
3
3
( 3)
3
( 3)
( 3)
f x(3 dom , donc ( 3) 0)
3 2 2 2
d’où f(x) = x
2
, si x ≠ 3.
c) Représentons graphiquement =
−
−
=f x
x x
x
g x x( )( )
3
3
et .
3 2
2
=
−
−
f x
x x
x
( )
3
3
3 2
x4-4 2-2
5
10
f (3) est non dénie
15
f (x)
3 x4-4 2-2
5
10
g (3) = 9
g (x) = x
2
15
g (x)
3
Ainsi, la représentation graphique de f est identique à celle de g(x) = x
2
, sau en x = 3.
x 2,9 2,99 2,999 2,999 9 … → 3
−
3 3
+
← … 3,000 1 3,001 3,01 3,1
f(x) 8,41 8,940 1 8,994 8,999 4 … → 9 ∄ 9 ← … 9,000 6 9,006 9,060 1 9,91
(notation)
(représentation
graphique)
x tend vers 3 par la gauche x tend vers 3 par la droite
f (x) semble s’approcher de 9 f (x) semble s’approcher de 9
65
2
2.1 Notion de limite
L’eemple précédent nous permet de constater qu’il n’est pas nécessaire qu’une onc-
tion soit défnie en x = a pour que la limite de cette onction eiste lorsque x → a.
La défnition suivante nous donne les conditions pour qu’une limite eiste.
Il y a environ 100 ans…
L’utilisation du symbole → sous la notation lim, pour indiquer de quelle valeur s’approche
la variable indépendante, date du début du xx
e
siècle. On voit ici que même une notation
aussi simple en apparence a pris plusieurs années pour atteindre sa orme défnitive.
Exemple 2 =
+ +
+
f x
x x
x
Soit ( )
2 5 2
2 1
.
2
, où dom =f IR \ {-0,5}.
Estimons
→
f xlim ( )
x -0,5
à l’aide de tableau de valeurs
x tend vers -0,5 par la gauche x tend vers -0,5 par la droite
x -0,6 -0,51 -0,501 -0,500 1 … → -0,5
−
-0,5 -0,5
+
← … -0,499 9 -0,499 -0,49 -0,4
f(x) -1,4 -1,49 -1,499 -1,499 9 … → -1,5 ∄ 1,5 ← … 1,500 1 1,501 1,51 1,6
f(x) semble s’approcher de -1,5 f (x) semble s’approcher de 1,5
Il semble doncque =
→
−
f xlim ( ) -1,5
x -0,5
. Il semble donc que =
→
+
f xlim ( ) 1,5
x -0,5
.
f (x)
-x
-1,5
x → -0,5
–
-0,5
f (x)
x
-0,5
1,5
-0,5
+
← x
f (x)
-x
-1,5
x → -0,5
–
-0,5
f (x)
x
-0,5
1,5
-0,5
+
← x
Puisque la limite à gauche n’est pas égale à la limite à droite, c’est-à-dire ≠
→ →
− +
f x f xlim ( ) lim ( ),
x x-0, 5 -0, 5
nous
disons que
→
f xlim ( )
x -0, 5
n’eiste pas.
Défnition 2.2 Existence de la limite
=
→
f x Llim ( )
x a
si et seulement si =
→
−
f x Llim ( )
x a
et =
→
+
f x Llim ( ) ,
x a
où a et L ∈IR.
Cela signife que la limite d’une onction eiste si et seulement si la limite à gauche de
cette onction et la limite à droite de cette condition eistent et sont égales.
Chapitre 2 Limites et continuité66
2
Dans les trois représentations graphiques suivantes, la limite de f existe lorsque x tend
vers a peu importe que a appartienne ou non au domaine de la onction et peu importe
la valeur de f (a) si a f∈dom .
Exemple 3 Soit =
−
−
f x
x
x
( )
3
9
, où dom = ∞f [0, + [ \ {9}.
Déterminons si
x
x
lim
3
9x 9
−
−→
existe en estimant
−
−→
−
x
x
lim
3
9x 9
et
−
−→
+
x
x
lim
3
9x 9
.
x → 9
−
x → 9
+
x =
−
−
f x
x
x
( )
3
9
x f x
x
x
( ) =
−
−
3
9
8,9 0,167 132… 9,1 0,162 062…
8,99 0,166 712… 9,01 0,166 620…
8,999 0,166 671… 9,001 0,166 662…
8,999 9 0,166 667… 9,000 1 0,166 666…
   
↓ ↓ ↓ ↓
9
−
0 16, 9
+
0 16,
Il semble donc que =
→
−
f xlim ( ) 0,16.
x 9
Il semble donc que =
→
+
f xlim ( ) 0,16.
x 9
D’où =
−
−
=
→
f x
x
x
lim ( )
3
9
0,16
x 9
(défnition 2.2)
Représentation graphique
x
9x x
f (x)
x → 9
–
9
+
← x
0,16
=
−
−
f x
x
x
( )
3
9
Remarque Les tableaux de valeurs peuvent réquemment nous donner une idée de la
valeur de la limite, mais dans certains de ceux-ci nous obtenons des résultats desquels
on ne peut rien conclure comme le montre l’exemple suivant.
y
a
y = f(x)
x → a
−
a
+
← x
L
x
y
a
y = f (x)
x → a
−
a
+
← x
L
x
y
a
y = f(x)
x → a
−
a
+
← x
L
x
a ∈ dom f a dom f
=
→
f x Llim ( )
x a
=
→
f x Llim ( )
x a
=
→
f x Llim ( )
x a
f (a) = L f (a) ≠ L f (a) non défnie
67
2
2.1 Notion de limite
Exemple 4 Soit f x( ) sin=








x
1
, où dom f = IR \ {0}.
Estimons
→
−
lim sin
x 0








x
1
,
→
+
et lim sin
x 0








x
1
, où x est exprimé en radians.
x tend vers 0 par la gauche x tend vers 0 par la droite
x -0,1 -0,01 -0,001 -0,000 1 … → 0
−
0 0
+
← … 0,000 1 0,001 0,01 0,1
f(x) 0,544… -0,506… -0,826… 0,305… … →? ∄ ? ← … -0,305… 0,826… -0,506… -0,544…
f (x) ne semble pas s’approcher d’une valeur f(x) ne semble pas s’approcher d’une valeur
Il semble donc que
→
−
lim
x 0
f (x) n’existe pas. Il semble donc que
→
+
lim
x 0
f (x) n’existe pas.
La représentation graphique suivante, obtenue à l’aide de Maple, illustre le comportement de la onction
sin
x
1







pour les valeurs voisines de zéro.
> plot(sin(1/x),x=-0,5...0,5) ;
-0,4 -0,2 0,2 0,4x
-1
-0,5
0,5
1
La courbe de la onction sin
x
1







oscille un nombre infni de ois entre -1 et 1.
Ainsi,
→
−
lim
x 0
sin
x
1







n’existe pas et
→
+
lim
x 0
sin
x
1







n’existe pas, d’où
→
lim
x 0
sin
x
1







n’existe pas.
Nous pouvons évaluer la limite d’une onction défnie à partir d’un graphique.
Exemple 5 Soit f, la onction défnie par le graphique ci-dessous.
Déterminons, si c’est possible,
→
f xlim ( )
x 5
ainsi que
→
f xlim ( ).
x 15
x
3
5
6
9
15
f (x)
D’où
→
f xlim ( )
x 5
n’existe pas. D’où =
→
f xlim ( ) 9.
x 15
(défnition 2.2)
=
→
−
f xlim ( ) 3
x 5
=
→
+
f xlim ( ) 6
x 5
=
→
−
f xlim ( ) 9
x 15
=
→
+
f xlim ( ) 9
x 15
Chapitre 2 Limites et continuité68
2
Exemple 6 Soit f, la onction défnie par le graphique suivant.
f (x)
x1 4 6-6
1
Du graphique précédent, nous avons :
a) f (-6) = 3 b) f (-2) non défnie c) f (0) = 1
d) f (1) = 2 e) f (4) non défnie ) f (6) = 4
g) f (8) = 0 h) =
→
−
f xlim ( ) -2
x -6
i) =
→
+
f xlim ( ) 1
x -6
j)
→
f xlim ( )
x -6
n’existe pas k) =
→
−
f xlim ( ) 4
x -2
l) =
→
+
f xlim ( ) 4
x -2
m) =
→
f xlim ( ) 4
x -2
n)
→
f xlim ( )
x 1
n’existe pas o)
→
f xlim ( )
x 4
n’existe pas
p) =
→
f xlim ( ) 2
x 6
q) =
→
f xlim ( ) 0
x 8
r)
→
f xlim ( )
x 9
n’existe pas
théorème 2.1 a) Limite d’une fonction constante
= ∈
→
k k klim , où IR
x a
La limite d’une onction constante est égale
à cette constante.
b) Limite de la fonction identité
=
→
x alim
x a
La limite de la onction identité lorsque x
s’approche de a est égale à a.
Exemple 1 Soit f (x) = 3 et g(x) = x.
a) = =
→ →
f xlim ( ) lim 3 3
x x2 2
1
2
f (x) = 3
y
x
b) = =
→ →
g x xlim ( ) lim 3
x x3 3
1
3
3
g (x) = x
y
x
théorèmes sur les limies
Énonçons quelques théorèmes sur les limites que nous admettons sans démonstration.
Ces théorèmes nous aideront à évaluer algébriquement des limites plutôt que de les
estimer à l’aide de tableaux de valeurs ou à partir de graphiques. De plus, ces théorèmes
nous serviront à démontrer certaines règles de dérivation dans les chapitres suivants.
69
2
2.1 Notion de limite
théorème 2.2
Si = = ∈ ∈
→ →
f x L g x M L Mlim ( ) et lim ( ) , où IR et IR,
x a x a
alors :
a) Limite d’une somme de fonctions
+ = +
= +
→ → →
f x g x f x g x
L M
lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
La limite d’une somme de fonctions
est égale à la somme des limites de
ces fonctions.
b) Limite du produit d’une fonction par une constante
= 


→ →
k f x k f xlim [ ( )] lim ( )
x a x a
La limite du produit d’une constante
et d’une fonction est égale à la
constante multipliée par la limite
de la fonction.
= ∈kL k, où IR
c) Limite d’une différence de fonctions
− = −
→ → →
f x g x f x g xlim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
La limite d’une différence de fonc-
tions est égale à la différence des
limites de ces fonctions.= L − M
d) Limite d’un produit de fonctions
=    → → →
f x g x f x g xlim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
La limite d’un produit de
fonctions est égale au produit
des limites de ces fonctions.= LM
e) Limite d’un quotient de fonctions
=
→
→
→
f x
g x
f x
g x
lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )x a
x a
x a
La limite d’un quotient de
fonctions est égale au quotient
des limites de ces fonctions, si la
limite du dénominateur n’est pas
égale à 0.= ≠
L
M
M, si 0
Remarque Dans le calcul de
→
f x
g x
lim
( )
( )
,
x a
où =
→
g xlim ( ) 0,
x a
il y a deux possibilités :
1. Lorsque =
→
f xlim ( ) 0,
x a
nous disons que la limite
→
f x
g x
lim
( )
( )x a
est une indétermination de la forme
0
0
,
par exemple
−
−→
x
x
lim
4
2
.
x 2
2
Nous étudierons ce cas à la section 2.2.
2. Lorsque = ≠
→
f x k klim ( ) où 0,
x a
nous disons que
→
f x
g x
lim
( )
( )x a
est de la forme
k
0
,
par exemple
+
−→
x
x
lim
4
2
.
x 2
2
Nous étudierons ce cas à la section 2.3.
Chapitre 2 Limites et continuité70
2
Exemple 2 Évaluons les limites suivantes à l’aide des théorèmes précédents.
a) + = +
= +
=
→ → →
x xlim ( 7) lim lim 7
4 7
11
x x x4 4 4
(limite d’une somme de onctions)
(limite de la onction identité et limite d’une onction constante)
b) − = −




= −




= −
=
→ →
→ →
x x
x
lim [5( 4)] 5 lim ( 4)
5 lim lim 4
5 [-2 (4)]
-30
x x
x x
-2 -2
-2 -2
(limite du produit d’une onction par une constante)
(limite d’une diérence de onctions)
(limite de la onction identité et limite d’une onction constante)
c) + − = +




−




= +




−




=




+










−






= −
=
→ → →
→ → → →
→ →
x x x x
x x
x x
lim [(3 1)(5 4)] lim (3 1) lim (5 4)
lim (3 ) lim 1 lim (5 ) lim 4
3 lim 1 5lim 4
[3(2) + 1][5(2) 4]
42
x x x
x x x x
x x
2 2 2
2 2 2 2
2 2
(limite d’un produit de onctions)
(limite d’une somme et d’une diérence de
onctions)
(limite du produit d’une onction par une
constante et limite d’une constante)
(limite de la onction d’identité)
d)
+→
x
x
lim
3
2 1x -1
Évaluons d’abord +
→
xlim (2 1),
x -1
pour vérifer si cette limite est diérente de 0.
Si elle est diérente de 0, nous pourrons alors appliquer le théorème 2.2 e).
( )
+ = +
= +
= +
=
→ → →
→
x x
x
lim (2 1) lim (2 ) lim 1
2 lim 1
2(-1) 1
-1
x x x
x
-1 -1 -1
-1
(limite d’une somme de onctions)
(limite du produit d’une onction par une constante et limite d’une
onction constante)
(limite de la onction identité)
Puisque la limite du dénominateur est diérente de 0, appliquons le théorème 2.2 e).
( )
+
=
+
=
=
=
→
→
→
→
x
x
x
x
x
lim
3
2 1
lim (3 )
lim (2 1)
3 lim
-1
3(-1)
-1
3
x
x
x
-1
-1
-1
x -1
(limite d’un quotient de onctions)
(limite du produit d’une onction par une constante et calcul précédent)
(limite de la onction identité)
71
2
2.1 Notion de limite
théorème 2.3 Si = ∈
→
f x L Llim ( ) , où IR ,
x a
i i i
, alors
a)  

± ± ± = ± ± ±
= ± ± ±
→ → → →
f x f x f x f x f x f x
L L L
lim [ ( ) ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a
n
x a x a x a
n
n
1 2 1 2
1 2
b)
 

=      
=
→ → → →
f x f x f x f x f x f x
L L L
lim [ ( ) ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a
n
x a x a x a
n
n
1 2 1 2
1 2
théorème 2.4
Limite d’une fonction
polynomiale
Si = + + +
−
−
P x c x c x c( ) ...
n
n
n
n
1
1
0
’
alors
= + + + =
→
−
−
P x c a c a c P alim ( ) ... ( )
x a
n
n
n
n
1
1
0
Le théorème 2.4 signife que pour évaluer la limite d’une onction polynomiale
P(x), lorsque x → a, il suft d’évaluer P(a).
Nous pouvons généraliser la limite d’une somme ou d’une diérence de onctions et
la limite d’un produit de onctions de la açon suivante :
Remarque En appliquant le théorème 2.3 b) dans le cas où f
i
(x) = x, nous obtenons
  
…
( )( ) ( )=
=
=
→ → → →
→
x x x x
n
a a a
x a
lim lim lim ... lim
facteurs
( )( ) ( )
d’ou lim
x a
n
x a x a x a
x a
n n
(théorème 2.3 b))
(théorème 2.1 b))
En appliquant les théorèmes 2.1, 2.2 et 2.3 à une onction polynomiale, nous obtenons
le théorème suivant.
Exemple 3 Évaluons les limites suivantes.
a) − + + = − + +
→
x x xlim ( 5 7 2) 4 5(4) 7(4) 2
= 14
x 4
3 2 3 2
(théorème 2.4)
b)
+ −
+→
x x
x
lim
2 1
1x -1
2
2
Évaluons d’abord, à l’aide du théorème 2.4, la limite du dénominateur.
+ = + =
→
xlim ( 1) (-1) 1 2
x -1
2 2
Chapitre 2 Limites et continuité72
2
Puisque la limite du dénominateur est diérente de 0,
+ +
+
=
+ +
+
=
+ +
=
=
→
→
→
x x
x
x x
x
lim
2 1
1
lim ( 2 1)
lim ( 1)
(-1) 2(-1) 1
2
0
(limite d’un quotient de fonctions)
(théorème 2.4 et calcul précédent)
0
2
x
x
x
-1
2
2
-1
2
-1
2
2
théorème 2.5 a) Si = ∈
→
f x L Llim ( ) , où IR, alors
x a
=  
= ∈
→ →
f x f x L nlim [ ( )] lim ( ) , où IN*.
x a
n
x a
n n
b) Si = ∈
→
f x L Llim ( ) , où IR,
x a
et si [f (x)]
r
, où r > 0, est défnie
pour x voisin de a, alors
=  
=
→
→
f x
f x
Llim [ ( )]
lim ( )
x a
r
x a
r
r
Exemple 4
a) Évaluons +
→
xlim ( 1) .
x -1
4 7
+ = +




= +
=
→ →
x xlim ( 1) lim ( 1)
[(-1) 1]
128
(théorème 2.5 a))
(théorème 2.4)
(car 2 = 128)
x -1
4 7 4
7
4 7
x -1
7
b) Soit f (x) = 3 2− x , où dom f = ∞




- , .
3
2
3
2
f = ∞




- , .
3
2
i) Évaluons, si c’est possible, −
→
xlim 3 2 .
x -3
Puisque - - ,3
3
2
∈ ∞




3
2
- - ,3
3
2
∈ ∞




, il existe des x ∈ dom f
tels que x est voisin de -3, à la gauche et à la droite de -3.
( )
− = −
= −
= −
=
=
→ →
→
→
x x
x
x
Ainsi, lim 3 2 lim (3 2 )
lim (3 2 )
lim (3 2 )
9
3
(théorème 2.5 b))
(théorème 2.4)
x x
x
x
-3 -3
1/2
-3
1/2
-3
x
x
x
(3 2 ) 0
-2 -3
3
2
− ≥
≥
≤
x3 2 est définie si−−
73
2
2.1 Notion de limite
ii) Évaluons, si c’est possible, −
→
xlim 3 2 .
x
3
2
Puisque dom f = ∞




- ,
3
2
3
2
- - ,3
3
2
∈ ∞




, il n’existe aucun x appartenant au dom f, tel
que x → ( )
+
3
2
. Ainsi, −
→
+
xlim 3 2
x
3
2
n’existe pas.
D’où −
→
xlim 3 2
x
3
2
n’existe pas.
c) Évaluons −
→
xlim 17.
x 3
25
Dans le cas particulier des radicaux, nous pouvons écrire :
=
→ →
f x f xlim ( ) lim ( ),
x a
n
x a
n f xsi ( )
n
est défnie pour x voisin de a et ∈n IN*.
− = −
=
→ →
x xAinsi, lim 17 lim ( 17)
-8
(remarque précédente)
(théorème 2.4)
x x3
25
3
2
5
5
1
-3 3
2
y
x
= −f x x( ) 3 2
=
→
f xlim ( ) 3
x -3
Énonçons un théorème qui nous permettra d’évaluer la limite d’une onction comprise
entre deux onctions qui tendent vers la même valeur L lorsque x → a.
théorème 2.6
Théorème
« sandwich »
Soit trois onctions telles que g(x) ≤ f (x) ≤ h (x), lorsque x ∈ ]c, d[ \ {a}, où c < a < d.
Si = = ∈
→ →
g x h x L Llim ( ) lim ( ) , où IR ,
x a x a
alors =
→
f x Llim ( ) .
x a
Le graphique ci-contre
illustre le théorème
« sandwich ».
L
c a d
h (x)
f (x)
g (x)
y
x
Exemple 5 Évaluons ( )



→
x
x
lim sin
1
,
x 0
2
où x est en radians et x ∈ IR \ {0}.
Puisque nous ne pouvons pas évaluer ( )
→ x
lim sin
1
x 0
(voir l’exemple 4 de la
page 68), nous ne pouvons pas évaluer ( )



→
x
x
lim sin
1
x 0
2
à l’aide du théorème 2.3 d).
Par contre, nous savons que :
( ) { }≤ ≤ ∀ ∈
x
x-1 sin
1
1, IR \ 0 (car - sin )1 1≤ ≤A
Ainsi, ( ) { }≤ ≤ ∀ ∈x x
x
x x- sin
1
, IR \ 0
2 2 2
(car x
2
> 0)
Chapitre 2 Limites et continuité74
2
Puisque =
→
xlim (- ) 0
x 0
2
et =
→
xlim ( ) 0
x 0
2
nous avons ( )




=
→
x
x
lim sin
1
0.
x 0
2
(théorème 2.6)
Représentons graphiquement sur [-0,2 ; 0,2] les onctions f(x), g(x) et h(x).
( )= = =f x x
x
g x x h x x( ) sin
1
, ( ) - et ( )
2 2 2
>plot([x^2*sin(1/x),-x^2,x^2],x=-0.2..0.2,
color=[orange,green,blue]) ;
Cette représentation graphique nous
permet de constater que la onction
f(x) = ( )x
x
sin
1
2
est « prise en sandwich » entre
les onctions g(x) = -x
2
et h (x) = x
2
.
h (x) = x
2
x0,1-0,1 0,2
0,02
-0,02
0,04
-0,04
0
y
g(x) = -x
2
( )=f x x
x
( ) sin
1
2
Limites de onctions défnies par partie
Complétons cette section en évaluant algébriquement des limites de onctions défnies
par parties aux valeurs de x, où l’image de la onction change.
Exemple 1 Soit f (x) =
− <
= 5
− > 5





x x
x
x x
3 si 5
1 si
9 si
=
<
− >




g x
x x
x x
et ( )
si 2
6 8 si 2.
a) Évaluons, si c’est possible
→
f xlim ( )
x 5
.
Le ait que f (5) = 1 n’a aucune importance dans l’évaluation de f lorsque x est
voisin de 5. En eet, x → 5 signife que x est voisin de 5, mais que x ≠ 5. Puisque
l’image de la onction est diérente selon que x < 5 ou que x > 5, nous devons
calculer
→ →
− +
f x f xlim ( ) et lim ( ).
x x5 5
limite à gauche Pour x < 5 et x → 5, nous avons
= −
=
= − <
→ →
− −
f x xlim ( ) lim ( 3)
2
f x x x(car ( ) 3, si 5)
(en évaluant la limite)
x x5 5
limite à droite Pour x > 5 et x → 5, nous avons
= −
=
= − >
→→
+ +
f x xlim ( ) lim (9 )
4
f x x x(car ( ) 9 , si 5)
(en évaluant la limite)
x 5x 5
Puisque ≠
→ →
− +
f x f xlim ( ) lim ( ),
x x5 5
alors
→
f xlim ( )
x 5
n’existe pas. (défnition 2.2)
f (x)
x5
1
Représentation graphique
= =
→
−
→
+
f x f xlim ( ) 2 lim ( ) 4
x x5 5
→
f xlim ( )
x 5
n’existe pas
75
2
2.1 Notion de limite
1. Écrire les énoncés suivants sous la orme =
→
lim ?? ???
x ?
Plus les valeurs données à x sont près
a) de -2 par la droite, plus les valeurs calculées pour f (x)
sont aussi près que nous le voulons de 3.
b) de -4 par la gauche, plus les valeurs calculées pour f(x)
sont aussi près que nous le voulons de -3.
c) de 4, plus les valeurscalculées pour f (x) sont aussi
près que nous le voulons de -2.
2. Traduire les expressions suivantes en énoncés littéraux.
a) =
→
+
f xlim ( ) 0
x 3
b) =
→
g xlim ( ) 8
x -5
3. Soit =
−
−
i
t
t
1
1
,
2
le courant i dans un circuit, où t ∈ ] 0 s, 3 s].
a) Estimer
→
ilim
t 1
à l’aide d’un tableau.
b) Représenter graphiquement cette onction.
4. Soit f x x x( ) .= −  
a) Estimer
→
−
f xlim ( )
x 2
à l’aide d’un tableau de valeurs.
b) Estimer
→
+
f xlim ( )
x 2
à l’aide d’un tableau de valeurs.
c) Estimer, si c’est possible,
→
f xlim ( ).
x 2
d) Représenter graphiquement f sur [0, 4].
5. Soit =
− −
+ −
f x
x x
x x
( )
3 2
( 3)( 1)
.
2
2
a) Déterminer dom f.
b) Estimer
→
f xlim ( )
x 1
à l’aide de tableaux de valeurs.
6. À l’aide du graphique ci-dessous, évaluer la limite à
gauche et la limite à droite de f aux valeurs données, et
déterminer si la limite existe en ces valeurs.
y
x
1
1
a) En x = -4 b) En x = 2 c) En x = 4
7. Soit f, la onction défnie par le graphique ci-dessous.
y
x
2
2
Évaluer, si c’est possible, les expressions suivantes.
a) f (-5) b) f (-2) c) f (2)
d) f (4) e)
→
−
f xlim ( )
x -2
)
→
+
f xlim ( )
x 2
g)
→
−
f xlim ( )
x 2
h)
→
f xlim ( )
x 2
i)
→
f xlim ( )
x -5
j)
→
f xlim ( )
x -4
k)
→
f xlim ( )
x 0
l)
→
f xlim ( )
x 4
ExERCiCEs 2.1
Représentation graphique
g (x)
x
2
2
= =
→ →
− +
g x g xlim ( ) 2 lim ( ) 2
x x2 2
= =
→ →
− +
g x g xlim ( ) 2 lim ( ) 2
x x2 2
b) Évaluons, si c’est possible
→
g xlim ( ).
x 2
=
=
= <
→ →
− −
g x xlim ( ) lim
2
g x x x(car ( ) , si 2)
(en évaluant la limite)
x x2 2
= −
= −
=
= − >
=
→ →
→
+ +
+
g x x
x
lim ( ) lim 6 8
lim (6 8)
2
g x x x(car ( ) 6 8, si 2)
(théorème 2.5 b))
(en évaluant la limite, car 4 2)
x x
x
2 2
2
Puisque = =
→ →
− +
g x g xlim ( ) lim ( ) 2,
x x2 2
alors =
→
g xlim ( ) 2.
x 2
(défnition 2.2)
=
→
g xlim ( ) 2
x 2
Chapitre 2 Limites et continuité76
2
8. Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes en indi-
quant les théorèmes utilisés.
a)
→
lim 5
x 3
b)
→
ylim
y 3
c) − +






→
x
x
lim 3
8
5
x 2
7
d) − +
→
z zlim (6 3 )
z -1
4 3 5
e) + −
→
t tlim (5 3) 3 2
t -2
2 3
)
+→
x
x
lim
(4 )x -1
3 3
g) −
→
x xlim 1
x 2
2
h) −
→
xlim 4
x 2
2
9. Soit = = =
→ → →
f x g x h xlim ( ) 9, lim ( ) -8, lim ( ) 0,
x a x a x a
f a g a( ) ( ) .= =3 4et
Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes en indi-
quant les théorèmes utilisés.
a) −
→
f x g xlim [ ( ) ( )]
x a
b) −
→
g x f x h xlim [2 ( ) ( ) 5 ( )]
x a
c)
→
g x
f x
lim
( )
( )x a
3
d)
−
−→
f x f a
g x g a
lim
( ) ( )
( ) ( )x a
10. Soit une onction g telle que
(x
2
− 6x + 13) ≤ g(x) ≤ (-x
2
+ 6x − 5), ∀ x ∈ ]0, 6[.
a) Évaluer, si c’est possible,
→
g xlim ( ).
x 3
b) Évaluer, si c’est possible,
→
g xlim ( ).
x 4
c) Représenter dans un même système d’axe
f (x) = x
2
− 6x + 13 et h(x) = -x
2
+ 6x − 5
et donner une représentation possible de g.
11. Évaluer la limite à gauche et la limite à droite de f aux
valeurs données, et déterminer si la limite existe en ces
valeurs. Représenter graphiquement.
a) =
<
>



f x
x x
x x
( )
si -2
si -2
2
en x = -2
b) =
− <
− < <
=
− >







f x
x x
x x
x
x x
( )
5 si 0
5 si 0 3
-5 si 3
2 2 si 3
2
i) en x = 0 ii) en x = 3
2.2 indétermnatn de la frme
0
0
objectfs d’apprentssage
À la fn de cette section, l’élève pourra lever certaines indéterminations de la orme
0
0
.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de reconnaître une indétermination de la forme
0
0
;
• d’estimer certaines limites de la forme
0
0
à l’aide de tableaux de valeurs ;
• de lever certaines indéterminations de la forme
0
0
de açon algébrique :
– en actorisant des expressions ;
– en développant des expressions ;
– en eectuant des simplifcations ;
– en eectuant des divisions ;
– en utilisant le conjugué.
− =
→
xlim ( 9) 0
x 3
2
−
−
=
→
x
x
lim
9
3x 3
2
− =
→
xlim ( 3) 0
x 3
77
2
2.2 Indétermination de la forme
0
0
Qu’arrive-t-il si l’on divise l’un par l’autre deux nombres qui sont très près de 0 ?
Exemple 2
Les limites suivantes sont des indéterminations de la orme
0
0
.
a)
−
−→
x x
x
lim
3
3x 3
3 2
x x
x
lim ( 3 ) 0
lim ( 3) 0
x
x
3
3
3
− =
− =
→
→
Ainsi,
−
−→
x x
x
lim
3
3x 3
3 2
est une indétermination de la orme
0
0
.
b)
−
−→
x
x
lim
9
3x 3
2
x
x
lim ( 9) 0
lim ( 3) 0
x
x
3
2
3
− =
− =
→
→
Ainsi,
−
−→
x
x
lim
9
3x 3
2
est une indétermination de la orme
0
0
.
c)
+ −
→
x h x
h
lim
( )
h 0
2 2
x h x
h
lim [( ) ] 0
lim 0
h
h
0
2 2
0
+ − =
=
→
→
Ainsi,
+ −
→
x h x
h
lim
( )
h 0
2 2
est une indétermination de la orme
0
0
.
Exemple 1 Eectuons la division de deux nombres réels qui sont près de zéro.
a)
0 004
0 000 08
,
,
= 50 b)
0 000 08
0 004
,
,
= 0,02
c)
-0 0001
0 000 00004
,
,
= -2500 d)
0 000 00004
0 0001
,
,-
= -0,000 4
Comme l’ordre de grandeur des résultats obtenus est diérent, nous ne pouvons pas
tirer une conclusion sur ce type de division.
Les théorèmes sur les limites de la section précédente nous révèlent que, pour évaluer
f xlim ( ),
x a→
il est parois sufsant de remplacer x par a dans la onction donnée.
Par contre, il existe plusieurs cas où cette méthode n’est pas appropriée.
Par exemple, lorsque dans un quotient la limite du numérateur est égale à 0 et
la limite du dénominateur est égale à 0, nous disons alors que nous avons une
indétermination de la forme
0
0
.
Nous étudierons, à la section suivante, le cas où la limite du numérateur n’est pas égale
à 0 et la limite du dénominateur est égale à 0.
Pour mesurer une vitesse, il aut prendre l’espace parcouru et le diviser par le temps
qu’il aut pour le parcourir. Or, si le temps en question est « un instant », donc essen-
tiellement zéro, l’espace parcouru sera aussi essentiellement zéro. C’est la difculté
que rencontrèrent les premiers mathématiciens qui se sont intéressés à cette question
de la mesure de la vitesse d’un corps à chaque instant de son déplacement. Voilà
pourquoi il est nécessaire de se pencher sur les indéterminations de la orme
0
0
.
Chapitre 2 Limites et continuité78
2
À la section précédente, nous avons estimé certaines limites à l’aide de tableaux de
valeurs. Par contre, il aurait été possible d’évaluer ces limites de açon algébrique.
Évaluation de limites indéterminées de la forme
0
0
de façon algébrique
Exemple 1 Évaluons algébriquement les limites de l’exemple précédent.
a)
−
−→
x x
x
lim
3
3x 3
3 2
est une indétermination de la orme
0
0
.
Levons cette indétermination en actorisant et en simplifant le acteur causant
l’indétermination.
−
−
=
−
−→ →
x x
x
x x
x
lim
3
3
lim
( 3)
( 3)x x3
3 2
1
2
(en actorisant)
=
−
−→
x x
x
lim
( 3)
3x 3
2
(puisque x → 3, x ≠ 3, ainsi (x − 3) ≠ 0, donc nous
pouvons simplifer)
=
=
→
xlim
9
x 3
2
(en évaluant la limite)
Remarque Ce résultat est identique à l’estimation obtenu à l’aide d’un tableau de
valeurs. (Voir l’exemple 1, page 65)
b)
−
−→
x
x
lim
9
3x 3
2
est une indétermination de la orme
0
0
.
Levons cette indétermination en utilisant un conjugué de −x( 3).
−
−
=
−
−






+
+











→ →
x
x
x
x
x
x
lim
9
3
lim
9
3
3
3
x x3
2
3
2
(en multipliant le numéra-
teur et le dénominateur de
l’expression initiale par un
conjugué du dénominateur)
=
− +
−






=
− + +
−






=
− + +
−






= + + 
=
−
− ≠
→
→
→
→
x x
x
x x x
x
x x x
x
x x
lim
( 9)( 3)
3
lim
( 3)( 3)( 3)
3
lim
( 3)( 3)( 3)
( 3)
lim ( 3)( 3
12 3
x
x
( )
( ) )
(en effectuant la multiplication
au dénominateur)
(en factorisant 9)
(en simplifiant, car 3 0
(en évaluantla limite)
x
x
x
x
3
2
3
3
3
2
Factorisation
(en simplifant)
Conjugué
Nous e ectuons
uniquement la multiplica-
tion des termes qui sont
conjugués l’un de l’autre
x4-4 2-2
5
10
15
y
3
f (3) est non défnie
=
−
−
f x
x x
x
( )
3
3
3 2
79
2
2.2 Indétermination de la forme
0
0
c)
+ −
→
x h x
h
lim
( )
h 0
2 2
est une indétermination de la forme
0
0
.
Levons cette indétermination, à l’aide des opérations algébriques suivantes.
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
=
+
= +
=
+
≠
→ →
→
→
→
→
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
h x h
h
x h
x
lim
( )
lim
2
lim
2
lim
(2 )
lim
(2 )
lim (2 )
2
x h
h
(en développant ( ) )
(en effectuant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
h h
h
h
h
h
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
0
2+ −
=
+ + −
=
+
=
+
=
+
= +
=
+
≠
→ →
→
→
→
→
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
h x h
h
x h
x
lim
( )
lim
2
lim
2
lim
(2 )
lim
(2 )
lim (2 )
2
x h
h
(en développant ( ) )
(en effectuant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
h h
h
h
h
h
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
0
2
Exemple 2 Évaluons algébriquement les limites suivantes.
a)
−
+
→
x
x
lim
9
1
3
1
.
x -3
2
est une indétermination de la forme
0
0
.
Levons cette indétermination en effectuant d’abord l’opération au dénominateur.
−
+
=
−
+→ →
x
x
x
x
x
lim
9
1
3
1
lim
9
3
3
x x-3
2
-3
2
(en additionnant les termes au dénominateur)
=
−
+→
x x
x
lim
3 ( 9)
3x -3
2
=
− +
+→
x x x
x
lim
3 ( 3)( 3)
3x -3
−x(en factorisant ( 9))
2
=
− +
+→
x x x
x
lim
3 ( 3)( 3)
( 3)x -3
= −
→
x xlim 3 ( 3)
x -3
+ ≠x )(en simplifiant, car ( 3) 0
= 54 (en évaluant la limite)
Dénominateur commun
=
a
b
c
ac
b
Chapitre 2 Limites et continuité80
2
b)
−
−→
x
x
lim
1 1
5
5
.
x 5
est une indétermination de la forme
0
0
.
Levons cette indétermination en effectuant d’abord l’opération au numérateur.
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−






+
+












→ →
→
→
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
lim
1 1
5
5
lim
5
5
5
lim
5
5( 5)
lim
5
5( 5)
5
5
(en additionnant les termes au numérateur)
(en multipliant le numérateur et le dénominateur
par un conjugué du numérateur)
x x
x
x
5 5
5
5
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−






+
+












→ →
→
→
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
lim
1 1
5
5
lim
5
5
5
lim
5
5( 5)
lim
5
5( 5)
5
5
(en additionnant les termes au numérateur)
(en multipliant le numérateur et le dénominateur
par un conjugué du numérateur)
x x
x
x
5 5
5
5
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
− +
=
−
− +
=
−
− +
=
+
=
− = −
− ≠
→
→
→
→
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x x
lim
5
5( 5) 5
lim
(-1)( 5)
5( 5) 5
lim
-1 ( 5)
5( 5) 5
lim
-1
5 5
-1
10 5
x x
x(
(en effectuant la
multiplication au numérateur)
(car (5 ) (-1)( 5))
(en simplifiant, car 5) 0)
(en évaluant la limite)
x
x
x
x
5
5
5
5
Exemple 3
+ + +
+ + − −→
x x x
x x x x
lim
1
2x -1
3 2
4 3 2
est une indétermination de la forme
0
0
.
Puisqu’en remplaçant x par -1, on obtient 0 au numérateur et 0 au dénominateur,
(x + 1) est un facteur du numérateur et également un facteur du dénominateur.
Ainsi, en divisant le numérateur et le dénominateur par (x + 1), nous obtenons
+ + +
+ + − −
=
+ + +
+
+ + − −
+
=
+
+ −
=
+ ≠
→ →
→
x x x
x x x x
x x x
x
x x x x
x
x
x x
lim
1
2
lim
1
1
2
1
lim
1
2
-1
2
x(en effectuant les divisions, car ( 1) 0)
(en évaluant la limite)
x x
x
-1
3 2
4 3 2
-1
3 2
4 3 2
-1
2
3
Dénominateur commun
=
a
b
c
a
bc
81
2
2.2 Indétermination de la forme
0
0
Nous tenons à souligner qu’il existe d’autres ormes d’indétermination et d’autres
méthodes pour lever des indéterminations. Certains de ces éléments seront étudiés
dans des sections ultérieures ainsi que dans un deuxième cours de calcul.
De açon générale, lorsque
→
f xlim ( )
x a
, où f(x) est une onction algébrique, est une
indétermination de la orme
0
0
, nous pouvons lever cette indétermination en
simplifant le ou les acteurs de la orme (x – a) ou (a – x) qui annulent le numé-
rateur et le dénominateur.
Ces simplifcations peuvent être aites après avoir eectué une ou plusieurs des
opérations suivantes :
1) actorisation ;
2) division de polynômes ;
3) mise au dénominateur commun ;
4) multiplication par un conjugué.
ExERCiCEs 2.2
1. Déterminer, parmi les limites suivantes, celles qui sont
une indétermination de la orme
0
0
.
a)
− −
+→
x x
x
lim
( 2)( 8)
( 2)x 2
3
b)
− −
+→
x x
x
lim
( 2)( 8)
( 2)x -2
3
c)
+
+→
t
t
lim
3
27t -3
3
d)
−
−→
x
x
lim
3 15
25x 5
2
e)
−
−→ y
lim
3 27
27y
y
3
3
)
+ +
→
x h x
h
lim
( )
h 0
3 3
2. Évaluer les limites suivantes de açon algébrique.
a)
+
→
x x
x
lim
3
5x 0
2
b)
+
−→
u
u
lim
5
25u -5
2
c)
−
−→
x
x
lim
3
9x 9
d)
− −
−→
t t
t
lim
3 4
1t -1
2
3
e)
−
−→
x x
x
lim
1x 1
5
)
− −→
x
x
lim
3
4 (2 )x 0
2
g)
−
+→
−
x
x
lim
1
1x -1
2
1
h)
−
−→
x
x
lim
8
4x 2
3
2
i)
+ −
→
x h x
h
lim
( )
h 0
3 3
j)
+ ∆ −
∆∆ →
x x x
x
lim
x 0
k)
+
−
→
x h x
x
lim
1 1
h 0
l)
−
−→
x
x
lim
2
8x 8
3
m)
− + − −
− + −→
x x x x
x x x
lim
2 2
- 2 10 4x 2
5 4 2
3 2
n)
+ − + − +
→
x h x h x x
h
lim
5( ) 7( ) 5 7
h 0
2 2
3. Évaluer les limites suivantes.
a)
+ −
→
h
h
lim
4 2
h 0
2
b)
−
− −→
x
x
x x
lim
1
3 2x 1
4
4
2
c)
−
−→
−
t
t
t
lim
3
27
3t 9
3/2
1/2
d)
− −
− +→
x
x
lim
11 3
2 2x 2
4. Soit =
−
−
<
>





f x
x
x
x
x x
( )
4
2
si 2
2 si 2
2
.
Évaluer les limites suivantes.
a)
→
f xlim ( );
x -2
b)
→
f xlim ( )
x 3
c)
→
f xlim ( )
x 2
Chapitre 2 Limites et continuité82
2
2.3 Limite infnie et asympttes verticales, limite
à l’infni et asympttes hrizntales
objectis d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra évaluer des limites
infnies et donner s’il y a lieu les équations des asymp-
totes verticales de la courbe d’une onction. De plus,
l’élève pourra évaluer des limites à l’infni et donner, le
cas échéant, les équations des asymptotes horizontales.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• d’évaluer les limites dont le résultat est -∞ ou +∞ ;
• de donner la dénition d’asymptote verticale ;
• de déterminer algébriquement les équations des
asymptotes verticales de la courbe d’une onction ;
• d’esquisser le graphique de la fonction près des
asymptotes verticales ;
• d’évaluer des limites lorsque x → ∞- et lorsque
x → +∞ ;
• de donner la dénition d’asymptote horizontale ;
• de déterminer algébriquement les équations des asymptotes horizontales de la courbe d’une fonction ;
• d’esquisser le graphique de la fonction près des asymptotes horizontales ;
• de repérer graphiquement les asymptotes de la courbe d’une fonction et en donner l’équation ;
• de lever des indéterminations de la forme
±∞
±∞
, (+∞ − ∞) et (-∞ + ∞).
y
x
D
1
4
-2
D
4
D
5
D
2
D
3
asymptotes verticales
D
1
: x = -4
D
2
: x = 2
D
3
: x = 5
asymptotes horizontales
D
4
: y = -1
D
5
: y = -4
Avant de défnir ormellement les diérents types d’asymptotes, c’est-à-dire asymp-
tote verticale, asymptote horizontale et asymptote oblique (que nous étudierons au
chapitre 6), nous les présentons graphiquement.
Graphiquement, une asymptote d’une onction est une droite telle que la courbe
de la onction devient presque parallèle à cette droite et telle que la distance
entre la courbe et la droite tend vers zéro.
Exemple 1 Soit la onction f défnie par le graphique ci-dessous.
La droite D
1
d’équation y = 3 est une asymptote
horizontale de la courbe de f.
Les droites D
2
d’équation x = -5 et D
3
d’équation
x = 4 sont des asymptotes verticalesde la courbe
de f.
La droite D
4
d’équation y = -0,5x + 2 est une
asymptote oblique de la courbe de f.
x1
5
y
D
3
D
2
D
1
D
4
83
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
Voici quatre représentations graphiques correspondant respectivement aux quatre
possibilités de la défnition précédente.
Remarque La courbe d’une onction peut avoir un ou plusieurs points de ren contre
avec une asymptote horizontale ou oblique ; il peut même y avoir un point de la courbe
situé sur une asymptote verticale.
Limite infnie et symptote verticle
Soit la onction f défnie par le graphique ci-dessous, où dom =f IR \{-4, 2, 7}.
Nous voyons que lorsque les valeurs de x sont près de -4 par la gauche,
la courbe de f devient presque parallèle à la droite D
1
et la distance entre
la droite et la courbe tend vers 0. De plus, la onction f prend des valeurs
négatives qui tendent vers l’infni négati, noté -∞.
Ainsi, nous écrivons = ∞
→
−−
f xlim ( ) - ,
x -4
et la droite D
1
, d’équation
x = -4, est une asymptote verticale de la courbe de f.
Lorsque les valeurs de x sont près de -4 par la droite, la courbe de f devient
presque parallèle à la droite D
1
et la distance entre la droite et la courbe
tend vers 0. De plus, la onction f prend des valeurs positives qui tendent
vers l’infni positi, noté +∞.
Ainsi, nous écrivons = +∞
→
+
f xlim ( ) .
x -4
De même, nous avons = +∞
→
−
f xlim ( )
x 2
et = +∞
→
+
f xlim ( ) ,
x 2
et la droite D
2
, d’équation x = 2, est une asymptote verticale de la courbe de f.
Nous avons également f (5) = -2 et = +∞
→
+
f xlim ( ) ,
x 5
et la droite D
3
, d’équation x = 5, est une asymptote verticale de la courbe de f.
Finalement, =
→
f xlim ( ) 1,
x 7
et nous n’avons aucune asymptote verticale à x = 7.
y
x-1-4 21 5 7
2
D
2
D
1
D
3
Défnition 2.3 La droite d’équation x = a, où ∈a IR, est une asymptote verticale de la courbe
de f si au moins une des conditions suivantes est vérifée.
= ∞ = +∞ = ∞ = +∞
→ → → →
− − + +
f x f x f x f xlim ( ) - ou lim ( ) ou lim ( ) - ou lim ( )
x a x a x a x a
Il y a environ 2200 ans…
Mathématicien, physicien et astronome grec, Apollonius est
l’auteur d’un traité de huit livres portant sur les coniques. Touteois,
il a attribué au mot asymptote un sens plus large que celui qu’on
lui donne aujourd’hui, puisque le mot asymptote désignait toute
ligne qui ne rencontre pas la courbe.
apollonius
(-262 à -190)
Chapitre 2 Limites et continuité84
2
Notons que les quatre limites précédentes n’existent pas, car le résultat de la limite
n’est pas un nombre réel (défnition 2.2).
Remarque Il suft que la limite à gauche ou la limite à droite évaluée en une valeur
a∈IR soit égale à -∞ ou à +∞ pour conclure que la droite d’équation x = a est une
asymptote verticale. Cependant, si nous voulons donner l’esquisse du graphique d’une
onction près d’une asymptote, il aut évaluer la limite à gauche et la limite à droite,
si c’est possible.
Exemple 1 Soit f x
x
x
( ) =
+
−
2 1
1
, où dom =f IR \ {1}.
Analysons le comportement de f près de 1 à l’aide du tableau de valeurs suivant, où →
−
x 1 et →
+
x 1 , et
esquissons le graphique de f pour des valeurs de x près de 1.
x tend vers 1 par la gauche x tend vers 1 par la droite
x 0,99 0,999 0,999 9 0,999 99 … → 1
−
1 1
+
← … 1,000 01 1,000 1 1,001 1,01
+
−
x
x
2 1
1
2 98
0 01
,
,-
2 998
0 001
,
,-
2 999 8
0 000 1
,
,-
2 999 98
0 000 01
,
,-
… →
3
0
−
∄
3
0
+
← …
3 000 02
0 000 01
,
,
3 000 2
0 000 1
,
,
3 002
0 001
,
,
3 02
0 01
,
,
f(x) -298 -2 998 -29 998 -299 998 … → -∞ ∄ +∞ ← … 300 002 30 002 3 002 302
f (x) semble tendre vers -∞ f (x) semble tendre vers +∞
Puisque f (x) semble tendre vers -∞ lorsque x → 1
−
,
nous écrivons
+
−
= ∞
→
−
x
x
lim
2 1
1
-
x 1





−
forme
3
0
même si cette limite n’existe pas.
Ainsi la droite d’équation
x = 1 est une asymptote verticale. (défnition 2.3)
= ∞
→
−
f xlim ( ) -
x 1
y
x
x = 1
2
Puisque f (x) semble tendre vers +∞ lorsque
x → 1
+
, nous écrivons
+
−
= +∞
→
+
x
x
lim
2 1
1x 1





+
forme
3
0
même si cette limite n’existe pas.
Ainsi, la droite d’équation
x = 1 est une asymptote verticale. (défnition 2.3)
= +∞
→
+
f xlim ( )
x 1
y
x
x = 1
2
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
= ∞
→
−
f xlim ( ) -
x a
= +∞
→
−
f xlim ( )
x a
= ∞
→
+
f xlim ( ) -
x a
= +∞
→
+
f xlim ( )
x a
85
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
1. Déterminer le domaine de la onction, car toutes les valeurs de x qui annu-
lent le dénominateur sont susceptibles de donner une asymptote verticale.
De plus, si une onction f est défnie sur ]a, b[, il est possible que les droites
d’équation x = a et x = b soient des asymptotes verticales.
2. Il aut vérifer si, à chacune de ces valeurs, la défnition 2.3 d’asymptote ver-
ticale est satisaite en évaluant les limites appropriées.
Forme de
l’expression
Résultat de
la limite Exemples
Équation
de A.V. Esquisse
si k > 0
k
0
−
-∞ ( )= ∞
→
− −
x
lim
5
- forme
5
0x 0
x = 0
si k > 0
k
0
+
+∞ ( )
+
−
= +∞
→
+
x
x
lim
5
( 2)
forme
7
0x 2
2 x = 2
si k < 0
k
0
−
+∞ ( )
−
−
= +∞
→
−+
x
x
lim
1
(4 )
forme
-3
0x 4
x = 4
si k < 0
k
0
+
-∞ ( )
−
+
= ∞
→
+ +
x
x
lim
3
( 1)
- forme
-2
0x -1
2
x = 1
Le résultat obtenu en évaluant la limite nous permet de déterminer l’équation d’une
asymptote sans construire un tableau de valeurs.
Ainsi, selon le signe du numérateur et du dénominateur, nous avons :
Remarque Pour une onction rationnelle
f x
g x
( )
( )
, si g(a) = 0 et f (a) = k, où k ≠ 0, alors la
droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe de cette onction.
Voici un résumé des étapes à suivre pour déterminer l’équation de chaque asymptote
verticale (A.V.) à la courbe d’une onction rationnelle et analyser le comportement de
la courbe de la onction près de ces asymptotes.
Exemple 2 =
−
−
f x
x
x
Soit ( )
3 6
4
.
2
a) Déterminons le domaine de f.
dom =f IR \ {-2, 2}
b) Évaluons les limites en x = -2 et x = 2 et déterminons, s’il y a lieu, l’équation des
asymptotes verticales.
i) Pour x = -2 :
−
−
= ∞
→
−
x
x
lim
3 6
4
-
x -2
2 ( )+forme
-12
0
−
−
= +∞
→
+
x
x
lim
3 6
4x -2
2 ( )−forme
-12
0
Donc, la droite d’équation x = -2 est une asymptote verticale.
Chapitre 2 Limites et continuité86
2
ii) Pour x = 2 :
−
−→
−
x
x
lim
3 6
4x 2
2
est une indétermination de la orme
0
0
.
Levons cette indétermination.
−
−
=
−
− +
=
−
− +
=
+
=
− ≠
→ →
→
→
− −
−
−
x
x
x
x x
x
x x
x
lim
3 6
4
lim
3( 2)
( 2)( 2)
lim
3( 2)
( 2)( 2)
lim
3
2
x
(en factorisant)
(en simplifiant, car ( 2) 0)
(en évaluant la limite)
3
4
x x
x
x
2
2
2
2
2
De açon analogue, nous avons
−
−
=
→
+
x
x
lim
3 6
4
3
4
.
x 2
2
−
−
=
→
x
x
Ainsi, lim
3 6
4
3
4x 2
2
(défnition 2.2)
Donc, la droite d’équation x = 2 n’est pas une asymptote verticale puisque la
défnition 2.3 n’est pas satisaite.
Exemple 3 Soit =
+ −
f x
x
x x
( )
2
( 3) ( 3)
2 2
, où dom f = IR \ {-3, 3} .
Évaluons les limites pour x = -3 et pour x = 3, puis déterminons, s’il y a lieu, l’équa-
tion des asymptotes verticales.
i) Pour x = -3 :
+ −
= ∞
→
−
x
x x
lim
2
( 3) ( 3)
-
x -3
2 2 ( )+forme
-6
0 + −
= ∞
→
+
x
x x
lim
2
( 3) ( 3)
-
x -3
2 2 ( )+forme
-6
0
Donc, la droite d’équation x = -3 est une asymptote verticale.
ii) Pour x = 3 :
+ −
= +∞
→
−
x
x x
lim
2
( 3) ( 3)x 3
2 2 ( )+forme
6
0 + −
= +∞
→
+
x
x x
lim
2
( 3) ( 3)x 3
2 2 ( )+forme
6
0
Donc, la droite d’équationx = 3 est une asymptote verticale.
y
x2-1
x = -2
3
4
= +∞
→
+
f xlim ( )
x -2
= ∞
→
−
f xlim ( ) -
x -2
=
→
f xlim ( )
x 2
3
4
= +∞
→
−
f xlim ( )
x 3
= +∞
→
+
f xlim ( )
x 3
= ∞
→
−
f xlim ( ) -
x -3
= ∞
→
+
f xlim ( ) -
x -3
y
x
x = -3
x = 3
1
87
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
Exemple 4 =
−
− +
f x
x
x x
Soit ( )
1
- 6
2
.
a) Déterminons le domaine de .
Puisque (-x
2
– x + 6) = (2 − x)(x + 3), nous obtenons
f x
x
x x
( )
( )( )
=
−
− +
1
2 3
, et dom  = ]-3, 2[.
b) Déterminons l’équation des asymptotes verticales.
i)
−
− +
= +∞
→
+
x
x x
lim
1
(2 )( 3)x -3
( )+forme
4
0
Donc, la droite d’équation x = -3 est une asymptote verticale.
ii)
−
− +
= ∞
→
−
x
x x
lim
1
(2 )( 3)
-
x -2
( )+forme
-1
0
Donc, la droite d’équation x = 2 est une asymptote verticale.
y
x
1
D
1
D
2
y = -1
y = 3
x
x = -3
x = 2
1
y
= ∞
→
+
f xlim ( ) -
x -3
= ∞
→
−
f xlim ( ) -
x 2
Il y a environ 2000 ans…
Parmi les courbes possédant une asymptote, l’hy-
perbole n’est pas la seule connue des Grecs. Ainsi,
Nicomède, voulant trouver un moyen de diviser
un angle en trois parties égales uniquement à
l’aide de la règle et du compas, ce qui s’est avéré
impossible, a défni la conchoïde (voir la fgure),
qui possède une asymptote horizontale.
Soit les points K et L, fxes sur la tige MF. La courbe est tracée
par la pointe M lorsque K glisse dans la rainure AB et que L glisse
dans la rainure ST.
Ncomède
(iii
e
sècle av. J.C.)
M
G H
K
F
L
S
T
La conchoïde de Nicomède
Lmte à l’nfn et asymptote horzontale
Soit la onction  défnie par le graphique ci-dessous, où dom  = IR.
En étudiant le comportement de , nous voyons que lorsque x tend vers
l’infni négati, noté x → -∞, les valeurs calculées pour (x) sont aussi près
que nous le voulons de -1, et la courbe de  devient presque parallèle à la
droite D
1
, d’équation y = -1, et la distance entre la courbe et la droite tend
vers 0.
Ainsi, nous écrivons =
→ ∞
f xlim ( ) -1
x -
et la droite D
2
d’équation
y = -1 est une asymptote horizontale de la courbe de .
Nous voyons aussi que lorsque x tend vers l’infni positi, noté x → +∞, les valeurs
calculées pour  (x) sont aussi près que nous le voulons de 3, et la courbe de  devient
presque parallèle à la droite D
1
, d’équation y = 3, et la distance entre la courbe et la
droite tend vers 0.
Ainsi, nous écrivons =
→ +∞
f xlim ( ) 3
x
et la droite D
1
d’équation
y = 3 est une asymptote horizontale de la courbe de .
Limite à l’infni
Chapitre 2 Limites et continuité88
2
Remarque Si =
→ ∞
f x blim ( )
x -
et =
→ +∞
f x clim ( )
x
, où b et c ∈ IR et b ≠ c, alors la courbe de f
admet deux asymptotes horizontales dont les équations sont y = b et y = c.
Voici quatre représentations graphiques correspondant à au moins une des deux pos-
sibilités de la défnition 2.4 et de la remarque précédente.
Défnition 2.4 La droite d’équation y = b, où b ∈ IR, est une asymptote horizontale de la courbe
de f si au moins une des conditions suivantes est vérifée.
= =
→ ∞ → +∞
f x b f x blim ( ) ou lim ( )
x x-
ou = =
→ ∞ → +∞
f x b f x blim ( ) ou lim ( )
x x-
Exemple 1 Soit où domf x
x
( ) ,=
7
f = IR \ {0}.
Analysons le comportement de f lorsque x → -∞ et lorsque x → +∞ à l’aide du tableau de valeurs suivant.
x tend vers -∞ x tend vers -∞
-∞ ← … -100 000 -10 000 -1 000 x 1 000 10 000 100 000 … → +∞
7
-∞
← …
7
-100 000
7
-10 000
7
1 000-
7
x
7
1 000
7
10 000
7
100 000
… →
∞
7
+
0 ← … -0,000 07 -0,000 7 -0,007 f (x) 0,007 0,000 7 0,000 07 … → 0
f (x) semble tendre vers 0 f (x) semble tendre vers 0
Il semble que ( )=
∞→ ∞ x
lim
7
0
-
forme
7
x -
Il semble que ( )=
+∞→ ∞ x
lim
7
0 forme
7
x +
y
x
y = b
b
x
y = bb
y y
x
y = b
b
y
x
y = c
y = b
c
b
y
x
y = b
b
x
y = bb
y y
x
y = b
b
y
x
y = c
y = b
c
b
y
x
y = b
b
x
y = bb
y y
x
y = b
b
y
x
y = c
y = b
c
b
y
x
y = b
b
x
y = bb
y y
x
y = b
b
y
x
y = c
y = b
c
b
=
→ ∞
f x blim ( )
x -
=
→ +∞
f x blim ( )
x
=
→ ∞
f x blim ( ) et
x -
=
→ +∞
f x blim ( )
x
=
→ ∞
f x blim ( ) et
x -
=
→ +∞
f x clim ( )
x
Pour déterminer les équations des asymptotes horizontales (A.H.) de la courbe d’une
onction f, il aut évaluer
→ ∞
f xlim ( )
x -
et
→ +∞
f xlim ( )
x
. Ainsi, la courbe d’une onction
admet au plus deux asymptotes horizontales.
89
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
Donc, la droite d’équation y = 0 est l’asymptote
horizontale lorsque x → -∞. (défnition 2.4)
Donc, la droite d’équation y = 0 est l’asymptote
horizontale lorsque x → +∞. (défnition 2.4)
De plus, lorsque x → -∞,
7
x








< 0, d’où la
courbe de f est située au-dessous de l’asymptote.
De plus, lorsque x → +∞,
7
x








> 0, d’où la
courbe de f est située au-dessus de l’asymptote.
=
→ ∞
f xlim ( ) 0
x -
y
x
=
→ ∞
f xlim ( ) 0
x +
y
x
Remarque Dans un quotient, lorsque le dénominateur tend vers ∞ + ∞- ou et que le
numérateur tend vers une constante k, alors le quotient tend vers 0.
Ainsi, nous avons :
Forme de l’expression
Résultat de
la limite Exemples
k
+∞
0 ( )
−
=
+∞→ ∞ x
lim
3
( 2)
0 forme
3
x -
2
k
-∞
0 ( )
−
=
∞→ +∞ x
lim
-2
(4 )
0 forme
-2
-x
3
Ce qui nous permet d’évaluer les limites à -∞ et à +∞ sans construire un tableau de
valeurs.
Exemple 2 Soit f x
x
( ) = −
−
7
3
2 1
, où dom f = IR \ { }
1
2
.
Analysons le comportement de f lorsque x → -∞ et x → +∞ et déterminons, s’il y a lieu pour cette fonction,
l’équation de l’asymptote horizontale lorsque x tend vers -∞ et l’équation de l’asymptote horizontale lorsque
x tend vers +∞.
x x
lim 7
3
2 1
lim 7 lim
3
2 1
0
7 0
7
forme
3
-
x x x- - -
  
( )
( )
−
−
= −
−
= −
=
∞
→ ∞ → ∞ → ∞ x x
lim 7
3
2 1
lim 7 lim
3
2 1
0
7 0
7
forme
3x x x
  
( )
( )
−
−
= −
−
= −
=
+∞
→ +∞ → +∞ → +∞
Donc, la droite d’équation y = 7 est une asymptote
horizontale lorsque x → -∞. De plus,
Donc, la droite d’équation y = 7 est une asymptote
horizontale lorsque x → +∞. De plus,
Chapitre 2 Limites et continuité90
2
Exemple 3 Soit f(x)f x
x
x
( )
sin
= , où x est en radians.
Analysons le comportement de f lorsque x → +∞.
→ +∞
x
x
lim
sin
x
→ +∞
xlim sin
x
n’existe pas (car la onction sin x oscille entre -1 et 1)
→ +∞
xlim
x
= +∞
Évaluons
→ +∞
x
x
lim
sin
x
à l’aide du théorème « sandwich ».
Puisque -1 ≤ sin x ≤ 1, ∀ ∈x IR
-1 1
x
x
x x
≤ ≤
sin
, ∀ >x 0
De plus, ( ) =
→ +∞ x
lim
-1
0
x
forme
-1
+∞
( ) et ( ) =
→ +∞ x
lim
1
0
x
forme
1
+∞
( )
d’où =
→ +∞
x
x
lim
sin
0
x
(théorème 2.6)
Donc, la droite d’équation y = 0 est une asymptote horizontale lorsque x → +∞
Représentons graphiquement les
onctions suivantes :
g x
x
( ) =
1
, où x > 0
h x
x
( ) =
-1
, où x > 0
f x
x
x
( )
sin
= , où x > 0
Nous constatons graphiquement que la courbe de f coupe l’asymptote horizontale
une infnité de ois.
y
x
=g x
x
( )
1
=h x
x
( )
-1
=f x
x
x
( )
sin
lorsque x
x
→ ∞
−
<- , ,
3
2 1
0 7
3
2 1
7−
−
( ) >
x
d’où la courbe de f est située au-dessus de y = 7.
lorsque x
x
→ +∞
−
>,
3
2 1
0, 7
3
2 1
7−
−
( ) <
x
d’où la courbe de f est située au-dessous de y = 7.
y
y = 7
x
=
→ ∞
f xlim ( ) 7
x -
=
→ ∞
f xlim ( ) 7
x +
y
x
-1
1
f(x) = sin x
91
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
Dans certains calculs de limite, il peut arriver que nous ayons à déterminer le résultat
d’opérations avec ±∞.
Ainsi, pour k ∈ IR et n ∈ {1, 2, 3,…},IN*, nous avons
Forme de l’expression Résultat de la limite
+∞ + ∞ +∞
-∞ − ∞ -∞
Si k ∈IR +∞ ± k +∞
Si k ∈IR -∞ ± k -∞
Si k > 0 k (+∞) +∞
Si k > 0 k (-∞) -∞Si k < 0 k (+∞) -∞
Si k < 0 k (-∞) +∞
Si k > 0 (+∞)
k
+∞
Si n est pair (-∞)
n +∞
Si n est impair (-∞)
n
-∞
Qu’arrive-t-il si on divise l’un par l’autre ou si on soustrait l’un de l’autre deux nom-
bres qui sont très grands négativement ou positivement ?
Exemple 4
a) Effectuons les divisions des grands nombres suivants :
i) =
(-99)
3(99 )
-33
103
102
ii) =
99
99
99
203
103
100
(très grand nombre positif)
iii) =
99
99
1
99
103
303 200
(nombre près de 0)
b) Effectuons les additions et les soustractions des grands nombres suivants :
i) (5 − 99
103
) + 99
103
= 5
ii) 99
203
− 99
103
= 99
103
(99
100
– 1) (très grand nombre positif)
iii) 4(99
103
) – 5(99
103
) = -99
103
(très grand nombre négatif)
Comme l’ordre de grandeur des résultats obtenus est différent, nous ne pouvons pas
tirer une conclusion sur ces types d’opérations.
Les formes
+∞
+∞
,
+∞
∞-
,
∞
+∞
-
,
∞
∞
-
-
, +∞ − ∞ ∞ + ∞( ) et (- ) sont des formes indéterminées.
Chapitre 2 Limites et continuité92
2
indétermnaton de la forme
±±∞∞
±±∞∞
Pour lever certanes ndétermnatons de la orme
±∞
±∞
nous pouvons
1. mettre en évdence :
• au numérateur la plus grande puissance de x fgurant au numérateur ;
• au dénominateur la plus grande puissance de x fgurant au dénomnateur ;
2. smplfer les pussances de x, ce qu permettra, possblement, d’évaluer la
lmte.
Il y a environ 250 ans…
On est toujours un peu troublé par les ndétermnatons mplquant une dérence ou un
quotent de quanttés qu tendent toutes deu vers zéro ou l’nfn. En 1734, le phlosophe et
évêque rlandas George Berkeley puble un lvre, The Analyst, or a discourse addressed to an
infdel mathematician, dans lequel il critique le calcul différentiel de Newton. Sa critique vise
prncpalement les manpulatons d’epressons contenant des sommes de quanttés nfn-
ment pettes. Reçus rodement par les mathématcens de l’époque, ses arguments oblgèrent
néanmons ces derners à se rendre compte de la ablesse des ondements du calcul dé-
rentel. Ce ne sera qu’au mleu du xix
e
sècle, que la défnton précse de la noton de lmte
apportera des réponses satsasantes au arguments de Berkeley.George Berkeley
(1685-1753)
Exemple 1 Sot =
−
+
f x
x
x
( )
2 3
7
2
2
, où dom  = IR.
a) Évaluons les lmtes de cette oncton lorsque x → -∞ et lorsque x → +∞ pour
détermner, s’l y a leu, les équatons des asymptotes horzontales.
−
+→ ∞
x
x
lim
2 3
7x -
2
2
− = +∞
→ ∞
xlim (2 3)
x -
2
+ = +∞
→ ∞
xlim ( 7)
x -
2
Ans,
−
+→ ∞
x
x
lim
2 3
7x -
2
2
est une ndétermnaton de la orme
+∞
+∞
.
( )
( )
−
+
=
−
+
→ ∞ → ∞
x
x
x
x
x
x
lim
2 3
7
lim
2
3
1
7
x(en mettant en évidence,
au numérateur et au dénominateur)
x x-
2
2
-
2
2
2
2
2
( )
( )
=
−
+
→ ∞
x
x
x
x
lim
2
3
1
7x -
2
2
2
2
93
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
( )( ) ( )
=
−
+
=
−
+
=
≠
=
+∞
=
+∞
→ ∞
→ ∞ → ∞
x
x
lim
2
3
1
7
2 0
1 0
2
x
x x
(en simplifiant, car 0)
car lim
3
0 forme
3
et lim
7
0 forme
7
x -
2
2
x x-
2
-
2
Donc, la droite d’équation y = 2 est une asymptote horizontale lorsque x → -∞.
De açon analogue, nous avons =
→ +∞
f xlim ( ) 2
x
.
Donc, la droite d’équation y = 2 est une asymptote horizontale lorsque x → +∞.
b) Donnons une esquisse du graphique de f lorsque x → -∞ et lorsque x → +∞.
Déterminons d’abord si la courbe de f rencontre l’asymptote horizontale d’équa-
tion y = 2.
En résolvant, si c’est possible, f (x) = 2, nous avons :
−
+
=
x
x
2 3
7
2
2
2
2x
2
– 3 = 2x
2
+ 14
Cette dernière équation n’admet aucune solution, car -3 ≠ 14, ainsi f (x) ≠ 2,
∀ x ∈ IR donc la courbe de f ne rencontre pas l’asymptote horizontale.
Puisque f est défnie, ∀ x ∈ IR, il
suft d’évaluer, par exemple, f (0)
pour déterminer si la courbe de f est
située au-dessous ou au-dessus de
y = 2 :
=f (0)
-3
7
< 2
d’où la courbe de f est située au-dessous de y = 2.
Au chapitre 6, nous pourrons également, à l’aide d’un tableau de variation, déterminer si
la courbe de la onction est située au-dessus ou au-dessous de l’asymptote horizontale.
Exemple 2 Soit =
+
+ +
f x
x
x x
( )
5
4 3 7
6
3
, où dom f = IR \ {-1}.
Déterminons, s’il y a lieu, les équations des asymptotes horizontales de f.
+
+ +→ ∞
x
x x
lim
5
4 3 7x -
6
3
est une indétermination de la orme
+∞
∞-
.
y
y = 2
x
1
=
→ ∞
f xlim ( ) 2
x -
=
→ +∞
f xlim ( ) 2
x
Chapitre 2 Limites et continuité94
2
Levons cette indétermination.
( )
( )
( )
( )
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +






= ∞
= ≠
∞
→ ∞ → ∞
→ ∞
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
lim
5
4 3 7
lim
1
5
4
3 7
lim
1
5
4
3 7
,
-
x
x
x
x
x x
(en mettant en évidence
au numérateur et
au dénominateur)
car 0
forme , c’est-à-dire (-∞)
-
4
1
4
x x-
6
3
-
6
6
3
2 3
3
6
2 3
x -
6
3
6
3
3
Puisque le résultat de l’évaluation de la limite, lorsque x → -∞, ne donne pas un
nombre réel, f n’a pas d’asymptote horizontale lorsque x → -∞.
+
+ +→ +∞
x
x x
lim
5
4 3 7x
6
3
est une indétermination de la forme
+∞
+∞
.
Levons cette indétermination.
( )
+
+ +
=
+
+ +
= +∞
→ +∞ → +∞
x
x x
x
x
x x
lim
5
4 3 7
lim
1
5
4
3 7x x
6
3
3
6
2 3
+∞( )
∞
forme c’est-à-dire ( )
+
4
,
1
4
Puisque le résultat de l’évaluation de la limite, lorsque x → -∞, ne donne pas un
nombre réel, f n’a pas d’asymptote horizontale lorsque x → +∞.
Exemple 3 Soit =
+
+ −
f x
x
x x
( )
7 1
2 2 20
3
, où dom f = IR \ {2}.
a) Déterminons, s’il y a lieu, les équations des asymptotes horizontales de f.
+
+ −→ ∞
x
x x
lim
7 1
2 2 20x -
3
est une indétermination de la forme
-
-
∞
∞
.
( )
( )
( )
( )
+
+ −
=
+
+ −
=
+
+ −
=
=
≠
→ ∞ → ∞
→ ∞
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
lim
7 1
2 2 20
lim
7
1
2
2 20
lim
7
1
2
2 20
1
,
0
x
x
x
x x
x
(en mettant en évidence
au numérateur et
au dénominateur)
car 0
x x
x
-
3
-
3
2 3
-
2
2 3
3
3 2
Donc, la droite d’équation y = 0 est une asymptote horizontale lorsque x → -∞.
+
+ −→ +∞
x
x x
lim
7 1
2 2 20x
3
est une indétermination de la forme
+∞
+∞
.
-
-
-
=
=
=
→ ∞
→ ∞
→ ∞
x
x
x
lim
5
0
lim
3
0
lim
7
0
x
x
x
6
2
3
(voir calculs précédents)
=
=
=
→ ∞
→ ∞
→ ∞
x
x
x
lim
1
0
lim
2
0
lim
20
0
x
x
x
-
-
2
-
3 ( )
+∞
forme
7
95
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
De façon analogue, =
→ +∞
f xlim ( ) 0
x
.
Donc, la droite d’équation y = 0 est une asymptote horizontale lorsque x → +∞.
b) Donnons une esquisse du graphique de f lorsque x → -∞ et lorsque x → +∞.
Si x est très grand négativement
7x + 1 < 0 et 2x
3
+ 2x – x < 0, donc
+
+ −
>
x
x x x
7 1
2 2
0
3
ainsi la courbe est située au-dessus de y = 0.
Si x est très grand positivement
7x + 1 > 0 et 2x
3
+ 2x – x > 0, donc
+
+ −
>
x
x x x
7 1
2 2
0
3
donc la courbe est située au-dessus de y = 0.
y
x
=
→ ∞
f xlim ( ) 0
x -
=
→ +∞
f xlim ( ) 0
x
Exemple 4 Soit =
+
−
f x
x
x
( )
9 4
1 2
2
, où dom f = IR \ { }
1
2
.
Déterminons les équations des asymptotes horizontales de cette fonction et donnons une esquisse du gra-
phique de f lorsque x → -∞ et lorsque x → +∞.
+
−→ ∞
x
x
lim
9 4
1 2x -
2
ind.
+∞
+∞
( )
+
−→ +∞
x
x
lim
9 4
1 2x
2
ind.
-
+∞
∞
( )
Levons ces indéterminations.
( )
( )
+
−
=
+
−
=
+






−
→ ∞ → ∞
→ ∞
x
x
x
x
x
x
x
x
x
lim
9 4
1 2
lim
9
4
1 2
lim
9
4
1
2
x x
x
-
2
-
2
2
-
2
2
( )
( )
+
−
=
+
−
=
+






−
→ +∞ → +∞
→ +∞
x
x
x
x
x
x
x
x
x
lim
9 4
1 2
lim
9
4
1 2
lim
9
4
1
2
x x
x
2
2
2
2
2
(en mettant x
2
en évidence au
numérateur)
(en mettant x
en évidence au
dénominateur)(en mettant x
2
en évidence au
numérateur)
(en mettant x
en évidence au
dénominateur)
De façon générale pour les fonctions rationnelles de la forme
=
+ + + + +
+ + + + +
−
−
−
−
−
−
−
−
Q x
a x a x a x a x a
b x b x b x b x b
( )
...
...
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
1
1
2
2
1 0
1
1
2
2
1 0
, où ≠ ≠ ∈ ∈a b n m0, 0, IN et IN
n m
si n < m si n = m si n > m
=
→ ±∞
Q xlim ( ) 0
x
=
→ ±∞
Q x
a
b
lim ( )
x
n
m
= ±∞
→ ±∞
Q xlim ( )
x
A.H. : y = 0 A.H. : =y
a
b
n
m
Aucune A.H.
Exemple 3 précédent Exemple 1 précédent Exemple 2 précédent
Chapitre 2 Limites et continuité96
2
( )
( )
( )
( )
( )
=
+






−
=
+






−
=
+
−
=
<
=
= ≠
+
→ ∞
→ ∞
x
x
x
x
x
x
lim
- 9
4
1
2
lim
(-1) 9
4
1
2
(-1) 9 0
(0 2)
3
2
x
x x
x
x
x
(puisque 0,
- )
-
-1, car 0
formes
4
∞
et
1
-∞
x
x
-
2
-
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
=
+






−
=
+






−
=
−
=
≥ =
= ≠
+∞ +∞
→ +∞
→ +∞
x
x
x
x
x
x
lim
9
4
1
2
lim
9
4
1
2
9 + 0
(0 2)
-3
2
x x x
x
x
x
(puisque 0, )
1, car 0
formes et
4 1
x
x
2
2
2
Donc, la droite d’équation =y
3
2
est une
asymptote horizontale lorsque x → -∞.
En résolvant
+
−
=
x
x
9 4
1 2
3
2
2
3
2
, nous trouvons =x
-7
36
.
Évaluons f (-100).
f (-100) = 1,492… <
3
2
, donc la courbe
est située au-dessous de =y
3
2
lorsque x → -∞.
Donc, la droite d’équation =y
-3
2
est une
asymptote horizontale lorsque x → +∞.
En résolvant
+
−
=
x
x
9 4
1 2
-3
2
2
, nous ne trouvons aucune
solution.
Évaluons f (100).
f (100) = -1,507… <
-3
2
, donc la courbe
est située au-dessous de =y
-3
2
lorsque x → +∞.
y
4
x2
Esquisse du graphique
=
→ ∞
f xlim ( )
3
2x -
( )A
-7
36
,
3
2
=y
3
2
=y
-3
2
=
→ +∞
f xlim ( )
-3
2x
indétermnaton de la forme (+∞ − ∞) ou (-∞ + ∞)
Pour lever certaines indéterminations de la forme (+∞ − ∞) ou de la forme (-∞ + ∞),
nous pouvons
mettre en évidence la plus grande puissance de x, ce qui permettra, possiblement,
d’évaluer la limite.
97
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
Exemple 1 Calculons − +
→ ∞
x xlim (2 1)
x -
3
et − +
→ +∞
x xlim (2 1)
x
3
.
Puisque = ∞
→ ∞
xlim 2 -
x -
3
et que + = +∞
→ ∞
xlim (- 1) ,
x -
Puisque = +∞
→ +∞
xlim 2
x
3
et que ( )+ = ∞
→ +∞
xlim - 1 - ,
x
− +
→ ∞
x xlim (2 1)
x -
3
est une
indétermination de la forme (-∞ + ∞).
− +
→ +∞
x xlim (2 1)
x
3
est une
indétermination de la forme (+∞ -∞).
Levons ces indéterminations en mettant x
3
en évidence.
( )− + = − +
∞ ∞
→ ∞ → ∞
x x x
x x
lim (2 1) lim 2
1 1
= - )(forme (- )(2)
x x-
3
-
3
2 3 ( )− + = − +
∞ +∞
→ +∞ → +∞
x x x
x x
lim (2 1) lim 2
1 1
= + (forme ( )(2))
x x
3 3
2 3
Exemple 2 Déterminons les équations des asymptotes horizontales de = + + −f x x x x( ) 6 16 .
4 2 2
( )+ + −
→ ∞
x x xlim 6 16
x -
4 2 2
est une indétermination de la forme (+∞ − ∞) ; levons cette indétermination.
( )+ + −
→ ∞
x x xlim 6 16
x -
4 2 2
=
( )( )
( )
+ + − + + +
+ + +
→ ∞
x x x x x x
x x x
lim
6 16 6 16
6 16
x -
4 2 2 4 2 2
4 2 2
(conjugué)
=
+ + −
+ + +
→ ∞
x x x
x x x
lim
6 16
6 16
x -
4 2 4
4 2 2
(en effectuant)
=
+
+ +





 +
→ ∞
x
x
x x
x
lim
6 16
1
6 16x -
2
4
2 4
2
( )
=
+
+ + +






→ ∞
x
x
x
x x
lim
6
16
1
6 16
1
x -
2
2
2
2 4
(car =x x
4 2
)
=
+






+ + +






= ≠
→ ∞
x
x x
lim
6
16
1
6 16
1
x
x
x1, car 0
x -
2
2 4
2
2
= 3 (en évaluant la limite)
De façon analogue, =
→ +∞
f xlim ( ) 3
x
.
De plus, puisque + + − ≠ ∀ ∈x x x x6 16 3, IR
4 2 2
,
et que f (0) = 4 > 3, la courbe de f est toujours
située au-dessus de la droite d’équation y = 3.
y
y = 3
1
x
=
→ ∞
f xlim ( ) 3
x -
=
→ +∞
f xlim ( ) 3
x
Chapitre 2 Limites et continuité98
2
Évaluons les limites en x = 0 et x = 4.
Pour x = 0
( ) ( )
( ) ( )
− +
−
= ∞
− +
−
= ∞
→ →
− − + −
x x
x x
x x
x x
lim
3 4 1
4
- lim
3 4 1
4
-forme forme
1
0
1
0x x0
3
2
0
3
2
Donc la droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale.
Pour x = 4
( ) ( )
( ) ( )
− +
−
= ∞
− +
−
= ∞
→ →
+− − +
x x
x x
x x
x x
lim
3 4 1
4
- lim
3 4 1
4
+forme forme
181
0
181
0x x4
3
2
4
3
2
Donc, la droite d’équation x = 4 est une asymptote verticale.
b) Déterminons l’équation des asymptotes horizontales de la courbe de f.
Premièrement, au numérateur, − +
→ ∞
x xlim (3 4 1)
x -
3
est une indétermination de la
forme (-∞ + ∞).
Levons cette indétermination.
( )− + = − + = ∞
→ ∞ → ∞
x x x
x x
lim (3 4 1) lim 3
4 1
-
x x-
3
-
3
2 3
(forme (-∞)(3))
De plus, − = ∞
→ ∞
x xlim ( 4 ) -
x -
3 2
(forme -∞ − ∞)
Ainsi,
− +
−→ ∞
x x
x x
lim
3 4 1
4x -
3
3 2
est une indétermination de la forme
-
-
∞
∞
.
( )
( )
( )
( )
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
=






=
≠
→ ∞ → ∞
→ ∞
x x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x
x
lim
3 4 1
4
lim
3
4 1
1
4
lim
3
4 1
1
4
1,
3
x
x
(en mettant en évidence
au numérateur et au dénominateur)
car 0
x x
x
-
3
3 2
-
3
2 3
3
-
2 3 3
3
3
Donc, la droite d’équation y = 3 est une asymptote horizontale lorsque x → -∞.
De façon analogue, nous avons =
→ +∞
f xlim ( ) 3
x
.
Donc, la droite d’équation y = 3 est une asymptote horizontale lorsque
x → +∞.
Exemple 3 Soit =
− +
−
f x
x x
x x
( )
3 4 1
4
3
3 2
.
a) Déterminons l’équation des asymptotes verticales de la courbe de f.
Trouvons d’abord le domaine de la fonction.
Puisque
( )
=
− +
−
f x
x x
x x
( )
3 4 1
4
,
3
2
dom f = IR \ {0, 4}.IR \ {0, 4}.
=
= ∞
= ∞
= ∞
= +∞
=
→ −∞
→
−
→
+
→
−
→
+
→ +∞
f x
f x
f x
f x
f x
f x
lim ( ) 3
lim ( ) -
lim ( ) -
lim ( ) -
lim ( )
lim ( ) 3
x
x
x
x
x
x
0
0
4
4
y
y = 3
x = 4
x = 0
x
5
2 6
Représentation graphique
99
2
2.3 Limite infnie et asymptotes verticales, limite à l’infni et asymptotes horizontales
ExERCiCEs 2.3
1. Compléter les défnitions suivantes.
a) La droite d’équation x = a, où a ∈IR, est une asymp-
tote verticale de la courbe de f si :
b) La droite d’équation y = b, où b ∈IR, est une asymp-
tote horizontale de la courbe de f si :
2. Soit f défnie par le graphique ci-dessous.
y
x
1
1
a) Évaluer les limites suivantes.
i)
→ ∞
f xlim ( )
x -
ii)
→
−
f xlim ( )
x -6
iii)
→
f xlim ( )
x -6
+
iv)
→
−
f xlim ( )
x -2
v)
→
+
f xlim ( )
x -2
vi)
→
−
f xlim ( )
x 0
vii)
→
f xlim ( )
x 0
+
viii)
→
−
f xlim ( )
x 1
ix)
→
f xlim ( )
x 1
+
x)
→ +∞
f xlim ( )
x
b) Donner l’équation de chacune des asymptotes verti-
cales et horizontales de la courbe de f.
3. Esquisser le graphique d’une onction f satisaisant toutes
les conditions suivantes en donnant l’équation de chaque
asymptote :
=
→ ∞
f xlim ( ) 2
x -
, = +∞
→
−
f xlim ( )
x -3
, = ∞
→
f xlim ( ) -
x -3
+
,
=
→
−
f xlim ( ) 2
x 2
, = +∞
→
f xlim ( ) et
x 2
+
=
→ +∞
f xlim ( ) -1
x
4. Déterminer, si c’est possible, les équations des asympto-
tes verticales des onctions suivantes et donner l’esquisse
du graphique de la onction près de ces asymptotes.
a) =
−
f x
x
x
( )
3
( 3)
2
b) =
+
f x
x
x
( )
-7
3
2
c) =
+ −
+ +
f x
x x
x x
( )
6
4 3
2
2
d) =
− +
f x
x
x x
( )
-
( 1) ( 3)
2
e) =
− +






f x
x
x x x
( )
4
3 2
3 2
2
) f x
x
x x
( )
( )( )
=
+
+ −
2
4 1
5. Déterminer si les limites suivantes sont indéterminées.
Évaluer ces limites.
a) − + −
→ ∞
t t tlim (7 4 7 1)
t -
3 2
b) − + −
→ +∞
t t tlim (7 4 7 1)
t
3 2
c) ( )+ +
→ ∞
x xlim 4
x -
2 3
d) ( )+ +
→ ∞
x xlim 4
x +
2 3
6. Déterminer, si c’est possible, les équations des asymp-
totes horizontales de chacune des onctions suivantes.
a) g x
x
( ) = −
+
7
3
1
b) =
−
+ +
h x
x
x x
( )
3 1
5 4 1
2
2
c) =
+
f x
x
x( )
4
7 1
3
2
d) =
+
+
k x
x
x
( )
4 1
9
2
7. Déterminer, si c’est possible, les équations des asymp-
totes horizontales des onctions suivantes et donner
l’esquisse du graphique de la onction près de ces
asymptotes.
a) =
−
g x
x
x x
( )
-3
2
4
b) υ =
−
−t
t
t
( )
1
3
2
c) = −
+
h x
x
x
( ) 5
4 1
2
d) k x
x
( ) =
−
7
5
e) =
+
+
f u
u u
u
( )
4
2/3
3/4
) =
−
f x
x
x
( )
5
3 2
g) k t t t( ) = − − +3 6 3 2
8. Déterminer les équations des asymptotes verticales et
horizontales des onctions suivantes.
a) =
+
− +
f x
x
x x
( )
2 1
( 5)(5 3 )
2
b) =
− +
−
f x
x x
x
( )
2 2 7
(1 )
3
2
9. Déterminer la valeur de k telle que :
a) la droite d’équation x = -1 soit une asymptote verti-
cale de =
+
+
f x
x
x k
( )
5 4
3
;
2
b) les droites d’équation x = -4 et x = 4 soient des
asymptotes verticales de =
+
+
g x
x
x k
( )
-5 7
( )
;
2
c) la droite d’équation y = 8 soit une asymptote hori-
zontale de h x
kx
x
( ) =
+
−
1
3 4
lorsque x → +∞.
Chapitre 2 Limites et continuité100
2
2.4 Cntinuité
objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra déterminer si une onction est continue en un point et sur un intervalle donné.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de donner une dénition intuitive de la notion de continuité ;
• de déterminer les points de discontinuité d’une fonction,
à l’aide de son graphique ;
• de déterminer divers types de discontinuité ;
• de donner la dénition formelle de continuité en un point ;
• de repérer les valeurs où f est susceptible d’être discontinue ;
• d’utiliser la dénition formelle de continuité en un point
pour déterminer si une onction est continue en ce point ;
• de donner la dénition de fonction continue sur un
intervalle ;
• de déterminer si une fonction est continue sur un intervalle donné ;
• d’énoncer le théorème de la valeur intermédiaire ;
• d’appliquer le théorème de la valeur intermédiaire ;
• d’énoncer le corollaire du théorème de la valeur intermédiaire ;
• d’appliquer le corollaire du théorème de la valeur intermédiaire.
f (x)
x
1
1 4 6-6
Présentatin intuitive de la ntin de cntinuité
Avant de défnir ormellement la continuité d’une onction en un point, nous allons
présenter la continuité de açon intuitive.
Une onction est dite « continue » lorsque la courbe qui la représente n’a pas de
coupure, c’est-à-dire lorsque nous pouvons la tracer sans lever le crayon.
En particulier, elle est continue en un point si nous pouvons tracer la courbe de
la gauche du point à la droite du point sans lever le crayon.
y
x
Voici diérents graphiques de onctions non continues en un point, également appe-
lées « onctions discontinues en un point ». Nous indiquons la raison pour laquelle ces
onctions sont discontinues ainsi que leur type de discontinuité.
101
2
2.4 Continuité
Exemple 1 Chacune des onctions suivantes est discontinue en x = 3.
a) Cas où la courbe de la onction n’a pas d’asymptote verticale.
y
x3
2
y
x3
2
4
y
x3
2
4
3 ∉dom f, donc
f (3) est non défnie,
=
→
f xlim ( ) 2
x 3
y
x3
2
y
x3
2
4
y
x3
2
4
3 ∈dom f et f (3) = 2
=
→
f xlim ( ) 4
x 3
≠
→
f x flim ( ) (3)
x 3
y
x3
2
y
x3
2
4
y
x3
2
4
3 ∈dom f et f (3) = 2
≠
→ →
− +
f x f xlim ( ) lim ( )
x x3 3
, donc
→
f xlim ( ) n’existe pas.
x 3
Discontinuité non essentielle,
car nous pouvons rendre f continue en x = 3 si
Discontinuité essentielle
on défnit f (3) = 2 ; on redéfnit f (3) = 4.
b) Cas où la courbe de la onction a une asymptote verticale.
y
1
2
x
y
1 x
A.V. : x = 3
3 ∉dom f , donc f (3) est non défnie
→
f xlim ( )
x 3
n’existe pas.
A.V. : x = 3
y
1
2
x
y
1 x
3 3 2∈ =dom f fet ( )
→
f xlim ( )
x 3
n’existe pas.
Discontinuité essentielle
Défnition 2.5 f est continue en x = a si et seulement si
1) f (a) est défnie, c’est-à-dire a ∈dom f ;
2)
→
f xlim ( )
x a
existe ;
3) =
→
f x f alim ( ) ( ).
x a
y
f (a)
xa
Continuité d’une onction en un point
La continuité d’une onction en un point se défnit de la açon suivante.
Chapitre 2 Limites et continuité102
2
Remarque Une onction est discontinue en x = a si au moins une des trois conditions
précédentes n’est pas satisaite.
Exemple 1 Donnons, s’il y a lieu, une des
trois conditions de continuité non
satisaite aux valeurs de x don-
nées, pour la onction f suivante.
a) En x = -2
1) f (-2) est non défnie.
D’où f est discontinue en x = -2.
b) En x = 2
1) f (2) = 2
2) =
=





→
→
−
+
f x
f x
lim ( ) 2
lim ( ) -1,5
,
x
x
2
2
donc
→
f xlim ( )
x 2
n’existe pas.
D’où f est discontinue en x = 2.
c) En x = 5
1) f (5) = 3
2) =
→
f xlim ( ) 2
x 5
3) ≠
→
f x flim ( ) (5),
x 5
(car = =
→
f x flim ( ) 2 et (5) 3)
x 5
D’où f est discontinue en x = 5.
d) En x = 0
1) f (0) = 1
2) =
→
f xlim ( ) 1
x 0
3) =
→
f x flim ( ) (0)
x 0
(car = =
→
f x flim ( ) 1 et (0) 1)
x 0
D’où f est continue en x = 0. (car les trois conditions sont satisaites)
Lorsqu’une onction est défnie par parties, il peut arriver qu’aux valeurs où l’image de
la onction change, la onction soit discontinue.
f(x)
x
2
1 2 5-2
Condition 1
non satisaite
Condition 2
non satisaite
Condition 3
non satisaite
f(x)
x
2
1
Condition
1
Condition
2
Condition
3
Exemple 2 Soit =
<
=
+ < <
− ≥







f x
x x
x
x x
x x
( )
2 si 1
3 si 1
1 si 1 2
7 si 2
2
. Vérifons si f est continue aux valeurs suivantes.
103
2
2.4 Continuité
a) En x = 1
1) f (1) = 3
2) calculons la limite à gauche et la limite à droite pour déterminer si la limite existe.
= =
= + =





→ →
→ →
− −
+ +
f x x
f x x
lim ( ) lim (2 ) 2
lim ( ) lim ( 1) 2
,
x x
x x
1 1
1 1
2
, donc =
→
f xlim ( ) 2
x 1
3) ≠
→
f x flim ( ) (1),
x 1
(car = =
→
f x flim ( ) 2 et (1) 3)
x 1
D’ou f est discontinue en x = 1. (car la troisième condition n’est pas satisaite)
b) En x = 2
1) f (2) = 7 − 2 = 5
2) = + =
= − =





→ →
→ →
− −
+ +
f x x
f x x
lim ( ) lim ( 1) 5
lim ( ) lim (7 ) 5
,
x x
x x
2 2
2
2 2
donc =
→
f xlim ( ) 5
x 2
3) =
→
f x flim ( ) (2),
x 2
(car = =
→
f x flim ( ) 5 et (2) 5)
x 2
D’ou f est continue en x = 2. (car les trois conditions sont satisaites)
f (x)
x
1
1 2
Représentation graphique
Continuité d’une onction sur un intervalle
La continuité d’une onction sur un intervalle se défnit de la açon suivante.
Défnition 2.6 Une onction f est continue
a) sur un intervalle ouvert I si elle est continue, ∀ x ∈ I.
b) sur [a, b] si
=
=







→
→
−
f a b
f x f a
f x f b
1) est continue sur ] , [;
2) lim ( ) ( );
3) lim ( ) ( ).
x a
x b
+
c) sur ]a, b] (sur ]-∞, b]) si
∞
=




 →
−
f a b
f x f b
1) est continue sur ] , [ (sur ] - , b]) ;
2) lim ( ) ( ).
x b
d) sur [a, b[ (sur [a, +∞[) si
+
=




 →
f a b a
f x f a
1) est continue sur ] , [ (sur [ , ∞[);
2) lim ( ) ( ).
x a
+
Chapitre 2 Limites et continuité104
2
Exemple 1 Soit la onction f défnie par le
graphique ci-contre.
Déterminons si f est continue sur [6, 9] et
sur [6, 9[.
1) f est continue sur ]6, 9[ (car f est continue, ∀ x ∈ ]6, 9[ )
2) =
→
+
f xlim ( ) 2
x 6
et f (6) = 2, donc =
→
+
f x flim ( ) (6)
x 6
3) =
→
−
f xlim ( ) 4
x 9
et f (9) = 2, donc ≠
→
−
f x flim ( ) (9)
x 9
D’où f est discontinue sur [6, 9] et f est continue sur [6, 9[.
(défnitions 2.6 b) et 2.6 d))
L’élève peut vérifer que f est également continue sur ]-∞, 1[, ]1, 6[, ]9, +∞[
et [9, +∞[.
f(x)
x
1
1 6 9
théorème 2.7 a) Les onctions polynomiales P sont continues sur ]-∞, +∞[.
b) Les onctions rationnelles Q sont continues, ∀ x ∈ dom Q.
théorème de la valeur inermédiaire
Énonçons maintenant le théorème de la valeur intermédiaire et un corollaire
de ce théorème que nous ne démontrerons pas, car la démonstration dépasse le
niveau du cours. Touteois,une justifcation graphique et intuitive de ce théorème
devrait nous convaincre de sa validité.
Il y a environ 200 ans…
Le théorème suivant semble évident. Pourtant, une preuve rigoureuse n’a été donnée qu’après
qu’on eut défni précisément le sens de onction continue. Il est intéressant aussi de remarquer
que ce théorème est à la base des quatre démonstrations du théorème ondamental de l’algèbre,
proposées par le grand mathématicien Carl Friedrich Gauss entre 1799 et 1848. Ce théorème
dit que tout polynôme de degré n a précisément n racines (réelles ou complexes). Énoncé pour
la première ois par Albert Girard (1595-1632) en 1629, ce théorème a été démontré plus de
150 ans plus tard.Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Exemple 2
a) f (x) = 3x
7
– 4x
3
+ 1 est continue sur ]-∞, +∞[. (car f est une onction polynomiale)
b) =
−
+
g x
x
x
( )
1
1
2
2
est continue sur ]-∞, +∞[ (car dom g = IR)
c) =
+
−
h x
x
x
( )
1
1
2
2
est continue sur ]-∞, -1[, sur ]-1, 1[ et sur ]1, +∞[ (car dom h = IR \ {-1, 1})
105
2
2.4 Continuité
xca b
yy
xc
2
c
1
c
3
ba
f(a) > 0 et f(b) < 0
f(c) = 0
f(a) < 0 et f(b) > 0
f(c
1
) = f(c
2
) = f(c
3
) = 0
Interprétation
géométrique d u
corollaire du théorème
de la valeur intermédiaire
Corollaire du
héorème
de la valeur
inermédiaire
Si f est une onction telle que :
1) f est continue sur [a, b] ;
2) f (a) et f (b) sont de signes contraires,
alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a, b[ tel que f (c) = 0.
Exemple 1 Soit f (x) = -x
5
+ 25x
2
+ 4x + 130, où x ∈ [0, 4].
Vérifons si les hypothèses du corollaire précédent sont satisaites.
1) Puisque f est une onction polynomiale, f est continue sur [0, 4].
2) f (0) = 130 et f (4) = -478, donc f (0) et f (4) sont des signes contraires.
D’où il existe au moins un c ∈ ]0, 4[ tel que f (c) = 0.
À l’aide d’un outil technologique, nous trouvons c ≈ 3,354.
y y
x
f (b)
f (a)
f (b)
f (a)
ca b
L
f (a) < L < f (b)
f (c) = L
xc
1
c
2
c
3
a b
L
f (a) > L > f (b)
f (c
1
) = f (c
2
) = f (c
3
) = L
Interprétation
géométrique d u
théorème de la valeur
intermédiaire
théorème 2.8
Théorème de la valeur
intermédiaire
Si f est une onction telle que :
1) f est continue sur [a, b] ;
2) f (a) < L < f (b) (ou f (a) > L > f (b)),
alors il existe au moins un nombre c ∈ ]a, b[ tel que f (c) = L.
Chapitre 2 Limites et continuité106
2
1. Soit la onction f défnie par le graphique ci-dessous.
f(x)
x3 6-5
a) Compléter le tableau en inscrivant V (vrai) ou F (aux).
En x = -5 -2 0 3 6
f est continue.
La 1
re
condition est satisaite.
La 2
e
condition est satisaite.
La 3
e
condition est satisaite.
b) Déterminer si la discontinuité est essentielle ou non
essentielle.
2. Déterminer si les onctions suivantes sont continues
aux valeurs de x données, et représenter graphiquement
les onctions en a), b) et c).
a) f x
x
x x
( )
4 si 0
3 4 si 0
2
=
=
− ≠




en x = 0.
b) =
+ <
=
>





f x
x x
x
x x
( )
6 si -1
3 si -1
5 si -1
2
en x = -1.
c) g x
x
x
x
x
( )
2 4
2
si -2
-2 si -2
=
+
+
≠
=







en x = -2.
d) =
+
<
− ≥







f x
x
x
x
x x
( )
7 1
4
si 1
3 1 si 1
2
2
i) en x = 0 ; ii) en x = 1.
3. Trouver les valeurs de x où la onction serait susceptible
d’être discontinue et déterminer si la onction est conti-
nue en ces valeurs.
a) =
− +
f x
x x
( )
3 4 5
6
2
b) =
−
− +
g x
x x
x x
( )
3
(3 27)(2 5 )
2
2
c) =
+ <
=
+ < ≤
− >







f x
x x
x
x x
x x
( )
2 6 si -1
4 si -1
3 si -1 2
7 3 si 2
2
d) k x
x
x x
x
x
( )
2
4
si -2
-1
8
si -2
3
=
+
−
≠
=







e) =
−
<
− ≥







g x
x
x
x x
( )
1
9
si 3
1 3 si 3
2
3
) =
−
− +
v x
x
x
( )
4
5 9
2
4. Soit la onction f défnie par le graphique ci-dessous.
f(x)
x1
1
Répondre par vrai (V) ou aux (F).
La onction f est continue sur :
a) [2, 6] b) ]2, 6[ c) ]-4, 2[
d) [-4, 2] e) ]-4, 2] ) ]-4, 6[
g) [-1, 1[ h) ]6, +∞[ i) ]-∞, -4]
ExERCiCEs 2.4
107
2
2.4 Continuité
5. Répondre par vrai (V) ou aux (F).
Les onctions f suivantes sont continues sur les intervalles
donnés.
a) =
−
f x
x
x
( )
3
sur
i) ]0, 3] ; ii) [0, 3[ ;
b) = +f x x( ) 2 4 sur
i) ]-2, 0] ; ii) [-2, +∞[.
c) =
+
−
f x
x
x
( )
3 2
4
2
sur
i) [-2, 2] ; ii) ]-2, 2[.
6. Soit f (x) = x
6
− x
4
+ 13x + 10, où x ∈ [-2, 2].
a) Déterminer un intervalle [a, b] de longueur 1, où
∈a b,  tel que c ∈ ]a, b[ et f (c) = 60.
b) Déterminer deux intervalles [m, n] et [r, s] de lon-
gueur 1 où m, n, r et s ∈∈a b,  tels que
c
1
∈ ]m, n[, c
2
∈ ]r, s[ et f (c
1
) = f (c
2
) = 0.
7. Dans le ormulaire d’impôt édéral, nous retrouvons
le tableau suivant indiquant le montant d’impôt Q(r) à
payer selon le revenu imposable r, où r ≥ 0.
revenu ne
dépasse
pas
41 544 $
revenu
dépasse
41 544 $
mais pas
83 088 $
revenu
dépasse
83 088 $
mais pas
128 800 $
revenu
dépasse
128 800 $
36
− 0 00 − 41 544 00 − 83 088 00 − 128 800 00 37
= = = = 38
× 15 % × 22 % × 26 % × 29 % 39
= = = = 40
+ 0 00 + 6 232 00 + 15 371 00 + 27 256 00 41
= = = = 42
a) Évaluer
i) Q(6324)
ii) Q(50 000)
iii) Q(93 088)
b) Déterminer les valeurs de r, où la onction Q serait
susceptible d’être discontinue.
c) Défnir par parties Q(r) et vérifer si cette onction est
continue aux valeurs trouvées en b).
d) Représenter graphiquement Q sur [41 540, 41 548].
Chapitre 2 Limites et continuité108
2
Réea de cncep
à l’aide de
tableaux de
valeurs
de açon
algébrique
à l’aide des
théorèmes
à partir de
graphiques
Calcul de
limites
Existence
d’une limite
Calcul de
limites
indéterminées
de la orme
0
0
Calcul de limites
indéterminées
des ormes
, ( ) et (- )
±∞
±∞
+∞ − ∞ ∞ + ∞
LimitEs Et
CoNtiNuitÉ
Limite à
gauche et à
droite
Théorèmes
sur les
limites
Limite Continuité
Infnie
Asymptote
verticale
Notion
intuitive et
graphique de
continuité
Asymptote
horizontale
Défnition
ormelle de
continuité
À l’infni
Notion
intuitive de
limite
Fonction
Continue
théorèmes
sur un
intervalle
en un
point
109
2
Réseau de concepts
Titre
Après l’étude de ce chapitre, je suis en mesure de compléter le résumé suivant avant de résoudre les exercices récapitulatifs
et les problèmes de synthèse.
Exisence de l limie
= ∈
→
f x L Llim ( ) où IR
x a
si et seulement si
théorèmes sur les limies
1) =
→
klim
x a
où k ∈IR 2) =
→
xlim
x a
3) Si = = ∈ ∈
→ →
f x L g x M L Mlim ( ) et lim ( ) , où IR et IR , alors :
x a x a
a) [ ]+ =
→
f x g xlim ( ) ( )
x a
b) [ ] =
→
k f xlim ( )
x a
où k ∈IR
c) [ ] =
→
f x g xlim ( ) ( )
x a
d) =
→
f x
g x
lim
( )
( )x a
, si
4) Théorème « sandwich » Soit trois fonctions telles que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), lorsque x ∈ ]c, d[ \ {a}, où c < a < d.
Si = = ∈
→ →
g x h x L Llim ( ) lim ( ) , où IR ,
x a x a
, alors =
→
f xlim ( )
x a
asympoes vericles
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
=
→
−
f xlim ( )
x a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
y
x
x = a
a
=
→
f xlim ( )
x a
+
y
x
y = c
y = b
c
b
x
y = bb
y
y
x
y = b
b
y
x
y = b
b
=
→ ∞
f xlim ( )
x -
et
f xlim ( )
x +
=
→ ∞
y
x
y = c
y = b
c
b
x
y = bb
y
y
x
y = b
b
y
x
y = b
b
=
→ ∞
f xlim ( )
x -
et
f xlim ( )
x +
=
→ ∞
Coninuié en un poin
f est continue en x = a si et seulement si
1)
2)
3)
f est continue sur [a, b] si
1)
2)
3)
Vérifcion des pprenissges
asympoes horizonles
Coninuié sur un inervlle
110 Chapitre 2 Limites et continuité
2
TitreExercices récapitulatifs
1. Estimer les limites suivantes en construisant les
tableaux de valeurs appropriées.
a)
+
+ +→
x
x x
lim
1
2x -1
3
b)
−
→ h
lim
5 1
h
h
0
c)
θ
θθ →
lim
sin
0
d)
θ
θ
−
θ →
lim
1 cos
0
2. Évaluer les limites suivantes à l’aide des théorèmes.
a) +
→xlim (7 4)
x 2
2
b)
− +
−






→
x x
x
lim
3 7 2
3 1
x 0
2
3
c) − −
→
x xlim [(7 3)(4 1)]
x 1
2
d)
− +
−
+ −





→
x x
x x
xlim
8 7 16
2
x -1
3 2
10 9
2
e)
+ + +
+→
x x x
x x
lim
2
x 2
6 4 2
2
f) ( )−
→
−
x
xlim
1
2
x 1/2
3
3
2
3. Soit f, g et h, trois fonctions telles que
= = =
= =
→ → →
f x g x h x
h a g a f a
lim ( ) 64, lim ( ) -1, lim ( ) 0,
( ) 2, ( ) -1 et ( ) non définie.
x a x a x a
a) Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes.
i) ( )− +
→
f x g x h xlim 0,5 ( ) 2 ( ) ( )
x a
ii) +
→
f x g x h x g xlim [ ( ) ( ) ( ) ( )]
x a
iii)
→
f x
g x
lim
( )
( )x a
3
iv)
−
−→
g x g a
h x h a
lim
( ) 2 ( )
( ) 2 ( )x a
v) + −
→
f x g x x alim [ ( ) ( ) ( )]
x a
vi)
→
f x
h a
lim
( )
( )x a
vii) [ ]−
→
x f x xg xlim ( ) ( ( ))
x a
2
viii)
−
→
g x g a
h x
lim
( ) ( )
( )x a
b) Déterminer si les égalités suivantes sont vraies (V)
ou fausses (F).
i) =
→
g x g alim ( ) ( )
x a
ii) =
→
h x h alim ( ) ( )
x a
iii) =
→
→
→
h x
g x
h x
g x
lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )x a
x a
x a
iv) =
→
→
→
g x
h x
g x
h x
lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )x a
x a
x a
v) =
→ →
g x g xlim ( ) lim ( )
x a x a
vi) =
→
h x
g x
h a
g a
lim
( )
( )
( )
( )x a
4. Évaluer les limites suivantes.
a)
+ −
+
+ −
+→ → ∞
x x
x x
x x
x x
lim
2
2
et lim
2
2x x-2
2
2
+
2
2
b)
− +
−
− +
−→ → ∞
u u
u
u u
u
lim
2 1
1
et lim
2 1
1u u1
2
2
-
2
2
c)
+
+
+
+→ →
h
h
h
h
lim
1 1
4
4
et lim
1 1
4
4h h-4 0
+
d)
+
−
−
+
−
−→ → ∞
h
h
h
h
h
h
lim
3 1
5 4
- 4
1
et lim
3 1
5 4
- 4
1h h1 +
e)
−
−
−
−→ →
y
y
y
y
y
y
lim
25
5
et lim
25
5y y5 0
-
f)
−
−
−
−→ → ∞
x
x
x
x
lim
2
4
et lim
2
4x x4 +
g)
−
−
−
−→ → ∞
t
t
t
t
lim
2 10
5
et lim
2 10
5t t5 +
h)
+ − + −
→ → ∞
x h x
h
x h x
h
lim
( )
et lim
( )
h h0
3 3
-
3 3
i)
−
−
−
−→ → ∞
x
x
x
x
lim
1
1
et lim
1
1x x1
4
-
4
j)
+ −
−
+ −
−→ → ∞
x x
x
x x
x
lim
- 5 6
8
et lim
- 5 6
8x x2
2
3
-
2
3
PhysiqueAdministrationChimieBiologie
Exercices se réalisant à l’aide d’un outil technologique.
Les réponses des exercices récapitulatis et des problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont ournies à
la fn du manuel.
111
2
Exercices récapitulatis
5. Évaluer les limites suivantes.
a)
−
−→
t t
t
lim
1 1
1t 1
3
b)
−
−→
x
x
lim
1 1
3
81x 9
2
c)
− − +
−→
t t t
t
lim
2 4 8
2t 2
3 2
d)
+
−
→
x h x
h
lim
1 1
h 0
e)
−
−→
x a x
x a
lim
x a
3 2
)
+ −
→
x h x
h
lim
h 0
g)
− +
− − +→
x x
x x x
lim
2 1
1x 1
2
3 2
h)
− + − −
− − −→
x x x x
x x x
lim
2 3 5 2
2x 2
4 3 2
3 2
i)
+ + + +
+ + −→
x x x x x
x x x
lim
6 10 6 9
5 3 9x -3
5 4 3 2
3 2
6. Pour chaque onction, évaluer, si c’est possible, les
limites aux valeurs données.
a) =
+ <
=
>





f x
x x
x
x x
( )
1 si 2
7 si 2
14 si 2
2
i) en x = -2 ii) en x = 2 iii) en x = 5
b) =
− <
− ≤ <
≤ ≤
− >







f x
x x
x x
x
x x
( )
1 si 1
1 si 1 2
3 si 2 4
2 15 si 4
2
i) en x = 1 ii) en x = 2 iii) en x = 4
c) =
− <
−
< ≤
− >







f x
x x
x
x
x
x x
( )
1 si -1
2
3
si -1 2
2 si 2
2
i) en x = -1 ii) en x = 2
d) =
−
−
f x
x
x
( )
25
5
2
i) en x = -3 ii) en x = 5
e) =
−
−
≤
−
−
>








f x
x
x
x
x
x
x
( )
1 1
4
( 4)
si 4
2
4 16
si 4
i) en x = -4 ii) en x = 4
7. Soit f défnie par le graphique suivant.
y
x
2
D
1
D
2
D
3
D
4
D
5
2
a) Évaluer les limites suivantes.
i)
→ ∞
f xlim ( )
x -
ii)
→
f xlim ( )
x -2
-
iii)
→
f xlim ( )
x -2
+
iv)
→
f xlim ( )
x 1
-
v)
→
f xlim ( )
x 1
+
vi)
→
f xlim ( )
x 3
-
vii)
→
f xlim ( )
x 3
+
viii)
→ ∞
f xlim ( )
x +
b) Donner l’équation de chaque asymptote verticale et
de chaque asymptote horizontale.
8. Soit =
−
−
=
−
−
=
−
−
f x
x
x
g x
x
x
h x
x
x
( )
3
2
, ( )
4
2
et ( )
5
2
.
2 2 2
Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes et repré-
senter graphiquement chaque onction sur [0, 4].
a)
→
f xlim ( )
x 2
b)
→
g xlim ( )
x 2
c)
→
h xlim ( )
x 2
9. Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes.
a)
−→ x
lim
1
( 3)x 3
2
b)
+→ x
lim
-4
2x -2
c)
x x
x x
lim
4x 0
2
3 2-
+
−→
d)
+ +
−→ ∞
x x
x x
lim
2 4 7
3 5x -
3 2
5 3
e)
x
x
lim
3 4
5 8
x +
2
33
+
−
→ ∞
)
− +
+→ ∞
x x
x x
lim
3 5 2
5x -
2 3
2
g)
x
x
lim
(2 3)
( 1)x +
2
2
+
−→ ∞
h)
x x
x x
lim
3 2 1
8 1
x +
53
53
− +
+ −
→ ∞
i) x xlim 1
x +
( )+ −
→ ∞
j) ( )+ −
→
+
x xlim 1
x 0
k) ( )− +
→ ∞
x x xlim 2
x -
2
l) x x xlim 2
x +
2
( )− +
→ ∞
Chapitre 2 Limites et continuité112
2
10. Compléter les énoncés suivants.
a) Si f xlim ( ) + ,
x 1
-
= ∞
→
alors la droite d’équation
est une asymptote
b) Si f xlim ( ) 7,
x +
=
→ ∞
alors la droite d’équation
est une asymptote
c) Si f xlim ( ) - ,
x 7
-
= ∞
→
alors la droite d’équation
est une asymptote
d) Si =
→ ∞
f xlim ( ) 5,
x -
alors la droite d’équation
est une asymptote
e) Si f xlim ( ) + ,
x 3
= ∞
→
alors =
→ f x
lim
1
( )x 3
) Si =
→
f xlim ( ) 0,
x 3
alors =
→ f x
lim
1
( )x 3
2
11. Déterminer, s’il y a lieu, les équations des asymptotes
verticales et des asymptotes horizontales. Représenter
graphiquement chaque onction près des asymptotes.
a) =
+
−
f x
x
x
( )
5 3
9
2
2
b) =
−
−
g x
x
x
( )
5 10
4
2
c) =
+ +
− −
f u
u u
u u
( )
3 1
3 4
4 2
2
d) =
−
+
v t
t t
t t
( )
4
3
3
e) =
−
−
h x
x
x
( )
3 2
4
) k x
x
x
x
x
( ) =
−
−
−
+
2
3
5 1
2
12. Soit f, la onction dénie par le graphique suivant.
f (x)
x
2
2
a) Évaluer, si c’est possible :
i) f (-5) ii) f (-1) iii) f (0)
iv) f (1) v) f (4) vi) f (5)
b) Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes :
i) f x f xlim ( ); lim ( )
x x- +→ ∞ → ∞
ii) f x f x f xlim ( ); lim ( ); lim ( )
x x x-5 -5 -5
- +
→ → →
iii) f x f x f xlim ( ); lim ( ); lim ( )
x x x1 1 1
- +
→ → →
iv)
→ →
f x f xlim ( ); lim ( )
x x-1 5
c) Déterminer les valeurs de x où la onction est dis-
continue, en indiquant une condition (diérente de
la 3
e
condition, si c’est possible) non satisaite.
d) Répondre par vrai (V) ou aux (F).
La onction f est continue sur :
i) ]-∞, -5[ ii) ]-5, -1] iii) [-1, 1]
iv) ]1, 5] v) ]5, 7[ vi) [5, +∞[
13. Au temps t = 0, un produit est déversé dans un petit
lac pollué pour augmenter le niveau d’oxygène. La
onction p(t) suivante donne le pourcentage d’oxygène
dans ce lac.
=
− +
+
p t
t t
t
( )
1
0,01 0,02
,
2
2
où t est en mois.
a) Déterminer le pourcentage après
i) 1 mois ; ii) 4 mois ; iii) 10 mois.
b) Déterminer le temps nécessaire pour que le niveau
d’oxygène atteigne 95%.
c) Déterminer théoriquement le temps nécessaire
pour que le pourcentage d’oxygène atteigne 100%.
d) Représenter graphiquement la onction p et
l’asymptote.
14. À la suite d’une étude, A. W. Phillips (1861-1957) a
établi la relation suivante entre le taux de chômage
c et le taux d’infation T, où c et T sont exprimés en
pourcentage.
= +T c
c
( )
10
1
75
a) Calculer le taux d’infation selon l’étude de Phillips,
si le taux de chômage est de :
i) 7% ii) 3%
b) Déterminer théoriquement ce qui arrive au taux
d’infation si le taux de chômage est de plus en plus
près de zéro.
c) Déterminer c si T(c) ≥ 5%.
d) Représenter graphiquement la courbe de T si
c ∈ ]0 %, 20 %[.
e) La droite d’équation y = 1 est-elle une asymptote
horizontale à la courbe de T? Expliquer votre
réponse.
113
2
Exercices récapitulatifs
15. Le graphique suivant représente, de façon générale, la
quantité de médicament restante en fonction du temps
t, où ∈t a b[ h, h[.
Q (t)
t(h)ba
a) Si, toutes les 8 heures, on administre à un patient
une dose de 10 ml d’un médicamentqui est élimi-
née en 8 heures,
i) représenter Q(t) si ∈t [0 h‚ 24 h];
ii) évaluer Q tlim ( )
t 8
+
→
et Q tlim ( )
t 16
-
→
.
b) Si, toutes les 6 heures, on administre à un patient
une dose de 8 ml d’un médicament dont la moitié
s’élimine en 6 heures,
i) représenter Q(t) si ∈t [0 h‚ 24 h] ;
ii) évaluer Q t Q t Q tlim ( )‚ lim ( )‚ lim ( )‚
t t t6 12 12
+ - +
→ → →
Q t Qlim ( ) et (24).
t 18
+
→
16. L’excitation nerveuse dépend de l’intensité de la sti-
mulation et de la durée de la stimulation. La loi de
Weiss, exprimant la relation entre l’intensité I en
micro-ampères et le temps t en micro-secondes, est
donnée par
I Rh
Cr
t
= +( )1 ,
où Rh est la rhéobase, intensité la plus basse qui peut
causer un potentiel d’action, et Cr est la chronaxie,
durée de phase nécessaire pour causer un potentiel
d’action lorsque l’intensité est deux fois celle de la
rhéobase.
a) Déterminer, si c’est possible, t si :
i) I = 2 Rh ii) I = 4 Rh iii) I = Rh
b) Déterminer s’il existe une valeur
i) maximale de I ; ii) minimale de I.
Expliquer vos réponses.
c) Représenter graphiquement la fonction I.
17. Donner un exemple graphique d’une fonction satisfai-
sant aux conditions suivantes :
a) f (-1) = 3, f (0) = 1, f (1) = 3 et
→
f xlim ( )
x 1
n’existe pas
b) g(x) = 3 si -2 ≤ x ≤ 1, g x g xlim ( ) 3 et lim ( ) 1
x x1 -2
+ -
= =
→ →
c) h(0) = 2, h x h xlim ( ) 2 et lim ( ) -2
x x0 0
- +
= =
→ →
d) =
→
k xlim ( ) -3,
x 0
k(0) = 2,
→
k xlim ( )
x 2
n’existe pas et
k (2) = 3
e) en x = -2 :
la première condition de continuité n’est pas satis-
faite, mais la deuxième condition de continuité est
satisfaite et
en x = 1 :
la deuxième condition de continuité n’est pas satis-
faite, mais la première condition de continuité est
satisfaite et
en x = 3 :
la troisième condition de continuité n’est pas satis-
faite, mais les deux premières conditions de conti-
nuité sont satisfaites et
en x = 5 :
ni la première ni la deuxième condition de conti-
nuité ne sont satisfaites.
18. Soit f (x) = -2x − 6, g(x) = x
2
+ 6x + 10 et h (x) telles que
≤ ≤ ∀ ∈f x h x g x x( ) ( ) ( ), IR.IR.
a) Tracer sur un même système d’axes la courbe de f
et de g ainsi qu’une représentation graphique pos-
sible de h.
b) Évaluer, si c’est possible,
→
h xlim ( ).
x -4
c) Évaluer, si c’est possible,
→
h xlim ( ).
x 0
19. Soit ≤ ≤ ∀ ∈f x h x g x x( ) ( ) ( ), IR.IR.
a) Si = = ∈
→ →
f x g x L Llim ( ) lim ( ) , où IR,
x a x a
f (x) = = = ∈
→ →
f x g x L Llim ( ) lim ( ) , où IR,
x a x a
g(x) = L, ou L ∈ IR, évaluer, si
c’est possible,
→
h xlim ( ).
x a
b) Si = = ∈
→ →
h x g x M Mlim ( ) lim ( ) , où IR,
x b x b-
h (x) == = ∈
→ →
h x g x M Mlim ( ) lim ( ) , où IR,
x b x b-
g(x) = M, ou M ∈ IR, évaluer, si
c’est possible,
→
f xlim ( ).
x b
c) Si 0 < ≤ ≤ ∀ ∈f x h x g x x( ) ( ) ( ), IRIR et si
=
→
f xlim ( )
x c
= = ∈
→
g x K Klim ( ) , où IR
x c
IR et K > 0,
évaluer, si c’est possible,
→ h x
lim
1
( )
.
x c
20. Soit f (x) =  x .
a) Évaluer, si c’est possible,
→
f xlim ( ).
x 2
b) Déterminer pour quelles valeurs de a
i)
→
f xlim ( )
x a
n’existe pas ; ii)
→
f xlim ( )
x a
existe.
c) Représenter graphiquement f sur [-2, 3].
Chapitre 2 Limites et continuité114
2
21. Selon la théorie de la relativité d’Einstein (1879-1955),
la masse m d’une particule à une vitesse v est donnée
par =
−
m
m
v
c
1
,
0
2
2
où m
0
est la masse de la particule
au repos, et la ormule de contraction de Lorentz
(1853-1928), soit la longueur L d’un objet, est donnée
par L = L
0
−
v
c
1
2
2
, où L
0
est la longueur de l’objet
au repos et c est la vitesse de la lumière.
a) Déterminer, si c’est possible, la valeur de v telle que :
i) m = 2 m
0
ii) L = 3 L
0
iii) m =
1
4
m
0
iv) L =
1
5
L
0
b) Évaluer
i) mlim ;
v c
-
→
ii) Llim
v c
-
→
.
22. Associer aux polynômes p
i
(x) suivants le graphique
qui le représente le mieux.
a) p
1
(x) = x
14
+ f
1
(x) où f
1
(x) est un polynôme de degré 13.
b) p
2
(x) = x
15
+ f
2
(x) où f
2
(x) est un polynôme de degré 14.
c) p
3
(x) = -x
16
+ f
3
(x) où f
3
(x) est un polynôme de degré 15.
d) p
4
(x) = -x
17
+ f
4
(x) où f
4
(x) est un polynôme de degré 16.
y
y y
y
x x x x
y
y y
y
x x x x
23. Déterminer si chaque onction est continue aux
valeurs x données.
a) =
− < <
=
− < <
+ ≥









f x
x
x
x
x x
x x
( )
4
1
si -3 -1
3 si -1
6 si -1 2
2 si 2
2
i) en x = -1 ; ii) en x = 2.
b) =
−
−
<
=
−
−
>









g x
x
x
x
x
x
x
x
( )
16
2 8
si 4
4 si 4
4
2
si 4
2
en x = 4.
c) =
−
−
<
+ ≥







h x
x
x
x
x x
( )
2 4
2
1
si 2
3 si 2
2
en x = 2.
d) =
<
=
+ < <
=
− > ≠









k x
x x
x
x x
x
x x x
( )
si 0
2 si 0
4 si 0 2
6 si 2
8 si 2 et 5
2
i) en x = 0 ; ii) en x = 2 ; iii) en x = 5.
24. Pour chaque onction, déterminer, si c’est possible, la
valeur de k qui rend la onction continue sur IR.
a) =
+ <
=
+ − >





f x
x x
k x
x x x
( )
2 si 1
si 1
3 1 si 1
2
b) =
− <
=
− >





g x
x x
k x
x x
( )
6 si -2
si -2
6 si -2
2
2
c) =
−
−
<
≥





f t
t
t
t
kt t
( )
25
5
si 5
si 5
2
d) =
+
+
≠
+ =





h x
x x
x x
x
kx x
( )
4 5
( 6)
si 0
1 si 0
2
2
2
e) =
+
−
<
≥




v t
kt t
t kt
t
t
( )
( ) si
si
2
2
2
3
) =
+



≤
>
f x
x
x
x k
x k
( )
6 si
si
2
25. Soit la onction H, d’Olivier Heaviside (1850-1925),
défnie par
=
<
≥




H t
t
t
( )
0 si 0
1 si 0
et la onction P(x) = H(x − a) – H(x – b), où 0 < a < b.
4
1 2
3
115
2
Exercices récapitulatifs
a) Représenter graphiquement la onction H(t).
b) Évaluer, si c’est possible :
i) P xlim ( )
x a
-
→
ii) P xlim ( )
x a
+
→
iii) P xlim ( )
x b
-
→
iv) P xlim ( )
x b
+
→
c) Représenter graphiquement la onction P(x).
26. À la suite de l’étude d’une population, un démographe
prévoit que, dans t années à compter d’aujourd’hui, la
population totale P d’une ville, dans une région, sera
donnée par
=
+
+
P t
t
t
( )
40 000 60
4 0,0025
3
3
, où t est en années.
a) Calculer la population
i) après 5 années ; ii) après 10 années.
b) Après combien d’années la population initiale aura-
t-elle doublée ?
c) Évaluer P tlim ( )
t +→ ∞
et interpréter votre résultat.
d) Représenter graphiquement la courbe de P.
27. Soit = − + − ≥h x x x x( ) 8 6 23, où 0
3 23
.
Déterminer un intervalle de la orme [n, n + 1], où
n∈ , tel qu’il existe au moins un nombre
c ∈ ]n, n + 1[ où h(c) = 0.
28. Soit =
− − + −
f x
x x x x
( )
1
27 45 93 185 50
4 3 2
.
À l’aide du théorème de la valeur intermédiaire,
a) démontrer que f n’est pas continue sur ]-1, 1[;
b) peut-on démontrer que f est continue sur ]1, 3[ ?
Problèmes de synthèse
1. Soit f et g, deux onctions polynomiales, et h, une
onction rationnelle.
Répondre par vrai (V) ou aux (F) et justifer.
a) =
→
f x f alim ( ) ( )
x a
b) =
→
f x
g x
f a
g a
lim
( )
( )
( )
( )x a
c) =
→
h x h alim ( ) ( )
x a
d) =
→
g x g alim ( ) ( )
x a
3 3
e) =
→
f x f alim ( ) ( )
x a
4 4
) Si h x
f x
g x
( )
( )
( )
= et si g(x) est de degré n, alors h(x)
n’est pas défnie pour n valeurs réelles.
2. Soit = = ≠
→ →
f x g x g xlim ( ) 0, lim ( ) 0, ( ) 0
x a x a
si x ≠ a,
f (x) ≠ 0 si x ≠ a et =
→
f x
g x
lim
( )
( )
3.
x a
Évaluer les limites suivantes.
a)
→
x f x
g x
lim
( )
( )x a
b)
→
f x
g x
lim
( )
( )x a
2
c)
+
→
f x g x
g x
lim
( ) ( )
( )x a
d)
+
→
f x g x f x
g x
lim
[ ( ) ( )] ( )
( )x a
2
e)
→
g x
f x
lim
( )
( )x a
)
−
−→
f x x a
g x x a
lim
( ) ( )
( ) ( )x a
2 2
3. Si =
→ →
f x
g x
g x
f x
lim
( )
( )
lim
( )
( )
,
x a x a
évaluer
→
f x
g x
lim
( )
( )
.
x a
4. Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes.
a)
−
−→
x
x
lim1
1x 1
3
b)
+ −
−→
x
x
lim
3 2
1x 1
3
3
c)
+ −
→
kt
t
lim
8 2
t 0
3
d)
− −
− −→
x
x
lim
12 3
4 1x 3
5. Évaluer, si c’est possible, les limites suivantes.
a)
→
x
x
lim
x 0
2
et
→ ∞
x
x
lim
x -
2
b)
− +
−→
x x
x
lim
2 8 6
3x 9
et
− +
−→ ∞
x x
x
lim
2 8 6
3x +
c)
( )
−
− −→
x
x x
lim
1
1 1x 1
+
2
et
( )
−
− −→ ∞
x
x x
lim
1
1 1x +
2
d)
−
+→
x x
x x
lim
2 3
x 0
3
2
3 2
et
−
+→ ∞
x x
x x
lim
2 3
x -
3
2
3 2
e)  
→
xlim -
x 2
2
et  
→ ∞
xlim -
x +
2
)    ( ) ( )− −
→ → ∞
x x x xlim et lim
x x-4 +
et   ( ) ( )− −
→ → ∞
x x x xlim et lim
x x-4 +
g)















→ → ∞x x
lim
-1
et lim
-1
x x2
2
-
2
et















→ → ∞x x
lim
-1
et lim
-1
x x2
2
-
2
h)
− + − +→ → ∞   
x
x x
x
x x
lim
1
et lim
1x x3 +
et
− + − +→ → ∞   
x
x x
x
x x
lim
1
et lim
1x x3 +
Chapitre 2 Limites et continuité116
2
6. Soit f x
x
x
( ) .=
−1  
a) Évaluer
→ →
f x f xlim ( ) et lim ( )
x a x a
- +
si :
i) a = -2 ii) a = -1
iii) a = 0 iv) a = 1
v) a = 2 vi) a = 0,5
b) Soit k ∈ IN*. Évaluer
i)
→ →
f x f xlim ( ) et lim ( )
x k x k
- +
;
ii)
→ →
f x f xlim ( ) et lim ( )
x k x k- -
- +
.
c) Évaluer, si c’est possible,
i)
→ ∞
f xlim ( );
x -
ii)
→ ∞
f xlim ( ).
x +
7. a) Déterminer les valeurs de a telles que les limites
suivantes existent et évaluer ces limites.
i)
− − +
− −→
x ax x a
x x
lim
12x 4
3 2
2
ii)
− − +
− −→
x ax x a
x x
lim
12x -3
3 2
2
b) Déterminer les valeurs de a et de b telles que
+ −
=
→
ax b
x
lim
3
5
x 0
.
8. Soit f x
ax b
cx d
( ) =
+
+
. Déterminer les valeurs de a, b, c
et d si le graphique de f est le suivant.
y = 5
(0, 4)
x = -2
y
x
9. Déterminer, si c’est possible, des fonctions f et g telles
que
a) = > ∀ ∈
→
f x f x xlim ( ) 9 et ( ) 9, IR ;
x 3
b) [ ]= =
→ →
f x f x g xlim ( ) 0 et lim ( ) ( ) 4 ;
x x5 5
c)
→
f xlim ( )
x 1
n’existe pas,
→
g xlim ( )
x 1
n’existe pas et
[ ]
→
f x g xlim ( ) ( )
x 1
existe ;
d) f soit discontinue en x = a, mais f soit continue en
x = a ;
e) f et g soient discontinues en a, mais ( f + g) soit
continue en a.
10. Soit =
−
−
<
=
−
−
>











g x
x
x
x
B x
x
x
x
( )
1
1
si 1
si 1
1
1
si 1.
3
Déterminer, si c’est possible, la valeur de B
telle que g soit continue
a) en x = 1 ;
b) sur [0, 1] ;
c) sur [1, 2].
11. Soit les fonctions
=
=
=
+ ≤
− − +
− − +
< <
+ ≥
+ + <
=
+ >
− + ≤
+ >


























f x
g x
h x
( )
( )
( )
x k x
x x x
x x x
x
x k x
ax bx x
x
bx a x
x k x k x
kx x
2 si 1
4 4
2 2
si 1 2
si 2.
3 si -2
1 si -2
2 13 si -2.
( ) ( ) si 2
1 si 2.
1
3 2
3 2
2
2
2
=
+ + −
+ −
≠
=







v x
x rx r
x x
s
x
x
( )
3 3
2 3
si
si
-3
-3
2
2
.
a) Déterminer la valeur de k
1
et la valeur de k
2
telles
que f soit continue en x = 1 et en x = 2.
b) Déterminer la valeur de a et la valeur de b telles
que g soit continue sur IR.
c) Déterminer, si c’est possible, les valeurs de k telles
que h soit continue en x = 2.
d) Déterminer les valeurs de r et de s telles que v soit
continue en x = -3.
117
2
Problèmes de synthèse
12. Une échelle d’une longueur de 5 m est appuyée contre
un mur vertical. Si le pied de l’échelle s’éloigne du bas
du mur à la vitesse constante de 1,5 m/s, alors le haut
de l’échelle se déplacera vers le bas à la vitesse de
H
5 m
B P
x
a) Déterminer la vitesse à laquelle se déplace le haut
de l’échelle lorsque
i) le pied de l’échelle est à 3 m du mur ;
ii) le haut de l’échelle est à 3 m du sol ;
iii) l’angle entre le sol et l’échelle est de 45°.
b) Évaluer
→
−
v xlim ( )
x 5
et interpréter votre résultat.
c) Représenter graphiquement la courbe de v.
13. Déterminer le plus grand intervalle de continuité des
onctions suivantes.
a) = − −f x x x( ) 9
2
b) = + − −f x x x( ) 1 9
2
c) f x x x x( ) = + − − + − +5 8 4 5 4 4 2 9
14. Soit un point Q(x, y) sur la courbe défnie par y = x
2
.
Soit A
1
(x) et P
1
(x), respectivement l’aire et le périmètre
du triangle dont les sommets sont O(0, 0), R(1, 0) et
Q(x, y), où x > 0 et soit A
2
(x) et P
2
(x), respectivement
l’aire et le périmètre du triangle dont les sommets sont
O(0, 0), S(0, 1) et Q(x, y).
Évaluer, si c’est possible :
a) i)
→
A x
A x
lim
( )
( )
1
2
x 0
+
ii)
→
A x
A x
lim
( )
( )x 0
2
1
+
b) i)
→ ∞
A x
A x
lim
( )
( )x +
1
2
ii)
→ ∞
A x
A x
lim
( )
( )x +
2
1
c) i)
→
P x
P x
lim
( )
( )x 0
1
2
+
ii)
→ ∞
P x
P x
lim
( )
( )x +
1
2
15. Soit = − = − −f x x g x x x( ) 2 1 et ( ) 23 .
3
a) À l’aide du théorème de la valeur intermédiaire,
démontrer que f (x) = g(x) en au moins une valeur
∈c IR.
b) Représenter les courbes de f et de g sur un intervalle
approprié pour déterminer une valeur approxima-
tive de c.
16. Soit une droite D
a
de pente a passant par le point
P(0, 5) et soit le point Q(3, 2).
a) Démontrer que la distance d entre le point Q et la
droite D
a
est donnée par =
+
+
d a
a
a
( )
3 1
1
.
2
b) Calculer la distance entre le point Q et chacune des
droites D
a
si
i) a = -1 ; ii) a = 0 ; iii) a = 1.
c) Représenter graphiquement dans un même système
d’axes les points P et Q ainsi que les trois droites
précédentes.
d) Évaluer les limites suivantes et interpréter le
résultat.
i)
→ ∞
d alim ( )
a -
ii)
→ ∞
d alim ( )
a +
e) Représenter la courbe de d sur ] -∞, +∞[.
17. Soit les onctions f et g défnies par le graphique suivant.
y
f (x)
g (x)
1
1 x
Évaluer, si c’est possible :
a) i) +
→ ∞
f x g xlim ( ( ) ( ))
x -
ii)
→ ∞
f x g xlim ( ( ) ( ))
x -
b) i) +
→
f x g xlim ( ( ) ( ))
x -1
ii)
→
f x
g x
lim
( )
( )x -1
c) i) −
→
−
f x g xlim ( ( ) ( ))
x 0
ii)
→
+
f x g xlim ( ( ) ( ))
x 0
d) i)
→
+
f x
g x
lim
( )
( )x 0
ii)
→
+
g x
f x
lim
( )
( )x 0
e) i)
→
f x
g x
lim
( )
( )x 1
ii)
→
g x
f x
lim
( )
( )x 1
) i) +
→ +∞
f x g xlim ( ( ) ( ))
x
ii)
→ +∞
f x g xlim ( ( ) ( ))
x
=
−
v x
x
x
( )
1,5
25
2
, où x ∈ ]0, 5[.
ChaPitRE 2 Limites et continuité118
2
Déinition de la dérivée
Perspective historique 120
Exercices préliminaires 121
3.1 Taux de variation moyen 122
3.2 Dérivée d’une fonction en
un point et taux de variation
instantané 135
3.3 Fonction dérivée 149
Réseau de concepts 156
Vérifcation des apprentissages 157
Exercices récapitulatis 158
Problèmes de synthèse 162
N
ous étudierons, dans ce chapitre, une partie importante du
calcul diérentiel, c’est-à-dire la notion de « dérivée » qui
correspond au taux de variation instantané d’une onction.
Nous utiliserons les calculs de limites, présentés au chapitre 2, pour
défnir la dérivée en un point ainsi que la onction dérivée.
Nous présenterons les notions de vitesse moyenne et de vitesse ins-
tantanée à l’aide du taux de variation moyen et du taux de variation
instantané.
En particulier, l’élève pourra résoudre, à la fn de ce chapitre, le pro-
blème de chimie suivant.
De l’azote (N) et de l’hydrogène (H) réagissent pour ormer de
l’ammoniac (N
2
+ 3H
2
→ 2NH
3
). Toutes les quantités sont expri-
mées en grammes. La quantité d’ammoniac, en onction du temps
t, notée Q(t), est donnée par
Q(t) = 100 -
t
1000
10 +
, où t est en secondes et Q, en grammes.
L’élève aura à calculer divers taux de variation moyens et
instantanés.
(Voir le problème de synthèse n
o
12, page 164)
3
B
entôt, après l’étude du présent chaptre, ous
pourrez détermner sans trop de dfculté la pente
de la tangente au graphques d’un très grand
nombre de onctons. Pourtant, au xvii
e
sècle, à l’époque
où d’Artagnan (. 1611-1673) combattat allamment pour
le ro de France, tracer une « touchante » (ans appelle-
t-on alorsla tangente) à une courbe à un pont donné se
réèle très dfcle. Pluseurs mathématcens s’y cassent
les dents. Ans, René Descartes tente de ramener ce pro-
blème à celu de trouer la tangente à un cercle, lu-même
tangent à la courbe à ce pont. Cette méthode ege la
résoluton d’équatons paros très complees. Perre de
Fermat (1601-1665) propose une autre méthode qu donne
leu à une e correspondance entre lu et Descartes. Dans
cette perspecte hstorque, nous errons une trosème
méthode, hstore d’apprécer notre chance de enr après
Lebnz (1646-1716) et Newton (1642-1727), les nenteurs
du calcul dérentel et ntégral.
Evangelista Torricelli (1608-1647), qu énonça une rela-
ton entre la presson et le olume des gaz à olume constant,
consdère qu’une courbe est la trace d’un pont qu se déplace
selon une certane règle. À tout moment, le pont se drge
dans une certane drecton ers laquelle l rat s, tout à
coup, l état lassé à lu-même. Or, remarque Torrcell, cette
drecton est auss celle de la tangente à la courbe que trace
le pont. Trouer la tangente se ramène de la sorte à trou-
er la drecton du mouement du pont. Glles Personne de
Roberal (1602-1675) utlse ce même prncpe.
Déterminer la touchante à une parabole, en s’inspirant
de Roberval
La parabole est le leu géométrque des ponts qu sont à
égales dstances d’un pont fe, le oyer, et d’une drote,
la drectrce. Le sommet de la parabole est le pont eac-
tement à m-chemn entre le oyer et la drectrce. Nous
allons tracer la tangente au pont P(2, 1) de la parabole de
oyer F(0, 1) et de drectrce y = -1.
a) Vérfer que le pont P(2, 1) appartent à cette parabole et
que l’équaton de celle-c est ben =y
x
4
.
2
b) Selon le prncpe énoncé par Torrcell, la tangente
au pont P(2, 1) a pour drecton celle ers laquelle se
drge le pont qu trace la parabole lorsqu’l arre à P.
Décomposons ce mouement relatement complee
en deu mouements plus smples. Supposons qu’un
pont de la parabole part du sommet et se drge ers P.
À chaque nstant, sa poston est détermnée par le at que
sa dstance au oyer dot être la même que sa dstance à
la drectrce D. Donc, au pont P(2, 1), comme en tout
autre pont de la parabole d’alleurs, l’augmentaton,
de la dstance à la drectrce, sera la même que l’aug-
mentaton de la dstance au oyer. Il en découle, s l’on
consdère que ces deu augmentatons sont égales, que
le pont se drgera dans la drecton détermnée par la
bssectrce de l’angle de sommet P(2, 1) ormé des deu
segments FP et PE. La drote bssectrce consttue donc
la tangente. Or, la bssectrce est la drote de pente 1
passant par P(2, 1).
F
x
y
1
2
1 2 3 4-1-2-3-4
P
D
E
Directrice y = -1
=y
x
4
2
Tracer de la même manère la tangente au pont
( )Q 1,
1
4
.
(Réponse : la drote de pente
1
2
passant par ce pont.)
Lorsque ous aurez termné le chaptre, reenez au problème
de la touchante de Roberal. Vous errez qu’en utlsant les
outls, les méthodes et les technques connus, ous troue-
rez aclement la pente de la tangente à la parabole, et ce, à
n’mporte quel pont.
Trver la tangente a xvii
e
ècle
PersPective h i s T o R i q u E
120 Perspective historique
3
Exercices préliminaires
1. Compléter les expressions suivantes.
a) a
2
− b
2
= (a − b)
b) a
3
− b
3
= (a − b)
c) a
4
− b
4
= (a − b)
d) − = −a b a b( )
1/ 2 1/2
e) − = −a b a b( )
2/3 2/3 1/3 1/3
) − = −a b a b( )
3/2 3/2 1/2 1/2
g) − = −a b a b( )
1/3 1/3
2. Calculer et simplifer :
a) f (a − b) si f (x) = 3 − 4x
b) g(b − 2a) si g(u) =
− u
u
4
2
c) f (x + h) si f (x) = 7x + 2
d) g (x + h) si g(x) = 5
e) s(2 + h) si s(t) = t
2
− 4t − 5
) f (-3 + ∆x) si f (x) = x
3
− 2x
g) g(x + ∆x) si g x x( ) = −3 2
h) v(t + ∆t) si v( )t
t
t
=
+
+
2 3
5
3. Simplifer :
a)
+ ∆ −
∆
x x x
x
( )
2 2
b)
+
−
x h x
h
1
( )
1
2 2
4. Déterminer la pente a de la droite :
a) d’équation y = -2x + 4 ;
b) d’équation 4x − 3y = 9 ;
c) perpendiculaire à la droite d’équation 4x − 3y = 9 ;
d) passant par les points P
3
4
,
-2
5
( ) et R
-
,
5
6
2
3
( ) ;
e) passant par les points P(-2, f (-2)) et Q(7, f (7)) si
f (x) = x
2
− 5x − 6.
5. Soit f (x) = x
2
.
a) Calculer la pente a
1
de la droite D
1
passant par les
points P(-1, f (-1)) et Q(2, f (2)).
b) Calculer la pente a
2
de la droite D
2
passant par
les points P(-4, f (-4)) et Q(1, f (1)).
c) Représenter graphiquement dans un même système
d’axes la courbe de f , ainsi que D
1
et D
2
.
6. Évaluer les limites suivantes.
a)
∆ + ∆
∆∆ →
x x x
x
lim
2 ( )
x 0
2
b)
−
−→
x a
x a
lim
x a
2 2
c)
+ −
→
x h x
h
lim
h 0
d)
+
−
→
x h x
h
lim
1 1
h 0
3
121Exercices préliminaires
On entend plus souvent parler d’un taux de croissance que d’un taux de variation.
Cependant, un taux de croissance ne veut pas dire qu’il y a nécessairement croissance,
puisqu’il peut aussi y avoir décroissance de la valeur de la variable en question. C’est
pourquoi il est plus approprié de parler d’un taux de variation, qui sera positi s’il
s’agit de croissance ou négati s’il s’agit de décroissance.
Les taux suivants sont des exemples de taux de variation par rapport au temps exprimés,
soit en secondes, en heures, en jours, en mois, etc.
• le taux de variation de la position appelé « vitesse » ;
• le taux de variation de la vitesse appelé « accélération » ;
• le taux d’ination ;
• le taux de chômage ;
• le taux d’investissement ;
• le taux de natalité ;
• le taux de propagation.
Pente d’une sécante
3.1 Taux de variatin myen
objectis d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra calculer le taux de variation moyen d’une onction.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de donner la dénition du taux de variation moyen d’une fonction sur
un intervalle ;
• de calculer le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle ;
• d’interpréter graphiquement le taux de variation moyen d’une fonction
sur un intervalle ;
• de calculer la vitesse moyenne d’une particule sur un intervalle de temps ;
• de relier la notion de vitesse moyenne à la notion de pente de sécante.
y
x
∆ x
P
Q
x x + ∆ x
f (x)
f(x + ∆ x)
∆ y
Défnitin 3.1 Une sécante est une droite qui coupe une courbe en un ou plusieurs points.
Exemple 1 Dans les représentations ci-dessous :
les droites D
1
et D
2
sont
des sécantes à la courbe de f ;
y
x
D
1
D
2
les droites D
3
et D
4
sont
des sécantes au cercle C.
D
3
D
4
C
Chapitre 3 Défnition de la dérivée122
3
Exemple 2 Soit f (x) = -x
2
+ 2x + 3.
Calculons la pente de la sécante à la courbe qui
passe par les points P(-1, f (-1)) et Q(2, f (2)),
notée m
sec (P, Q)
.
=
−
−
=
−
=
= =
,
m
f f(2) (-1)
2 (-1)
3 0
3
1
f f
(définition 1.9)
(car (2) 3 et (-1) 0)
sec (P Q)
Taux de variation moyen d’une onction
sur un intervalle
Défnition 3.2 Le taux de variation moyen d’une onction f sur un intervalle [x
1
, x
2
],
où [x
1
, x
2
] ⊆ dom f et x
1
< x
2
, noté TVM
x x[ , ]
1 2
, est défni par
=
−
−
f x f x
x x
TVM
( ) ( )
.
x x[ , ]
2 1
2 1
1 2
y
x
1
1
Q(2, f(2))
sec (P, Q)
f(x) = -x
2
+ 2x + 3
P(-1, f(-1))
Graphiquement, le taux de variation moyen d’une
onction f sur un intervalle [x
1
, x
2
] correspond à la
pente de la sécante à la courbe de f passant par les
points P(x
1
, f (x
1
)) et Q(x
2
, f (x
2
)).
Exemple 1 Soit f (x) = x
3
+ 3. Calculons TVM
[–2, 0]
.
=
−
−
=
−
=
= =
−
f f
TVM
(0) (-2)
0 (-2)
3 (-5)
2
4
f f(car (0) 3 et (-2) -5)
[ 2, 0]
Donc, la pente de la sécante à la courbe de f
passant par les points A(-2, f (-2)) et B(0, f (0))
est égale à 4.
=
[ ]
mTMV
x x, sec (P, Q)
1 2
y
x
1
1
B(0, f(0))
sec (A, B)
A(-2, f(-2))
f(x) = x
3
+ 3
=
−
−
f x f x
x x
TVM
( ) ( )
x x[ , ]
2 1
2 1
1 2
= mTVM
x x[ , ] sec (A, B)
1 2
yx
x
2
– x
1
P
Q
sec (P, Q)
f(x
2
) – f (x
1
)
y
2
= f(x
2
)
y
1
= f(x
1
)
x
1
x
2
123
3
3.1 Taux de variation moyen
Exemple 2 À la suite de l’étude d’une population, un zoologiste prévoit que, dans
t années à compter d’aujourd’hui, la population totale P d’une espèce,
dans une région, sera donnée par =
+
+
P t
t
t
( )
500 3000
4
.
a) Calculons la population initiale de cette espèce, c’est-à-dire la population à
t = 0, ainsi que la population de cette espèce après quatre années et neu
années.
=
+
+
= =P(0)
500(0) 3000
0 4
3000
4
750, donc 750 individus
=
+
+
= =P(4)
500(4) 3000
4 4
5000
8
625, donc 625 individus
= =P(9)
7500
13
576,923..., donc environ 577 individus
b) Calculons la variation de la population sur
i) [0 an, 4 ans], notée DP
[0 an, 4 ans]
.
DP
[0 an, 4 ans]
= P(4) − P(0) = 625 − 750 = -125, donc -125 individus.
ii) [0 an, 9 ans], notée DP
[0 an, 9 ans]
.
DP
[0 an, 9 ans]
= P(9) − P(0) = 576,923… − 750 = -173,076,
donc environ -173 individus.
c) Calculons le rythme moyen de la variation, c’est-à-dire le taux de variation
moyen de la population de cette espèce
i) durant les quatre premières années, noté TVM
[0 an, 4 ans]
.
=
−
−
=
−
=TVM
P(4) P(0)
4 0
625 750
4
-31,25
[0 an,4 ans]
Pour déterminer les unités d’un taux de variation moyen, il suft de prendre
les unités du numérateur divisées par les unités du dénominateur.
Donc, TVM
[0 an, 4 ans]
= -31,25 ind./an
D’où, le rythme moyen de la variation de la population durant les quatre
premières années correspond à une diminution moyenne de 31,25 indivi-
dus par année.
ii) entre la quatrième et la neuvième année, noté TVM
[4 ans, 9 ans]
.
=
9 −
−
=
−
≈ 9,62,
9,62 ./
, 9
TVM
P( ) P(4)
9 4
577,923... 625
5
-
Donc TVM ≈ - ind an
[4 ans ans]
[4 ans, 9 ans]
D’où, entre la quatrième et la neuvième année, il y a une diminution
moyenne d’environ 9,62 individus par année.
Chapitre 3 Défnition de la dérivée124
3
Exemple 3 Soit un cercle de rayon r, où r est en mètres.
a) Calculons le taux de variation moyen de l’aire A lorsque le rayon passe de
3 mètres à 6 mètres, noté TVM
[3 m, 6 m] de A
.
=
−
−
=
π − π
= π
A A
TVM
(6) (3)
6 3
(6) (3)
3
9
Ade
2 2
[3 m, 6 m]
D’où, le taux de variation moyen de l’aire A lorsque le rayon passe de 3 mètres
à 6 mètres est de 9p m2/m, c’est-à-dire une augmentation moyenne d’environ
28,3 m
2
/m.
b) Calculons le taux de variation moyen de la circonérence C lorsque le rayon
passe de 3 m à 6 m, noté TVM
[3 m, 6 m] de C
.
=
−
−
=
π − π
= π
C C
TVM
(6) (3)
6 3
2 (6) 2 (3)
3
2
C[3 m, 6m] de
D’où, le taux de variation moyen de la circonérence lorsque le rayon passe de
3 m à 6 m, est de 2p m/m, c’est-à-dire une augmentation moyenne d’environ
6,28 m/m.
Remarque De açon générale nous ne simplifons pas les unités, car celles-ci nous
permettent de reconnaître la variation du numérateur et celle du dénominateur.
Exprimons maintenant le taux de variation moyen d’une onction y = f (x) sur un inter-
valle de la orme [x, x + Δx], où Δx > 0.
En posant x
1
= x et x
2
= x + Δx, nous obtenons
Δx = x
2
− x
1
, où Δx correspond à la variation de x.
Ainsi, f (x
2
) − f (x
1
) = f (x + Δx) − f (x) que nous notons Δy.
Δy = f (x + Δx) − f (x), où Δy correspond à la variation de y.
Ainsi, le taux de variation moyen d’une onction f
sur un intervalle [x, x + Δx], où [x, x + Δx] ⊆ dom f
et Δx > 0, noté TVM
[x, x + Δx]
, est donné par
=
+ ∆ −
∆
+ ∆
f x x f x
x
TVM
( ) ( )
,
x x x[ , ]
=
∆
∆
∆ = + ∆ −
+ ∆
y
x
TVM y f x x f x(car ( ) ( ))
x x x[ , ]
y
x
∆x
P
Q
∆y
x (x + ∆x)
f(x)
f(x + ∆x)
=
−
−
f x f x
x x
TVM
( ) ( )
x x[ , ]
2 1
2 1
1 2
3
6
A r r( )
2
= π
3
6
C r r( ) 2= π
x
2
– x
1
x (x + ∆x)
x
1
x
2
∆x
125
3
3.1 Taux de variation moyen
Exemple 4 Soit f (x) = 3x
2
− 5.
a) Calculons Δy si x = 2 et Δx = 3.
∆ = + ∆ −
= + −
= −
= − =
= ∆ =
y f x x f x
f f
f f
( ) ( )
(2 3) (2)
(5) (2)
70 7 63
y
x x
(variation de )
(car 2et 3)
b) Calculons TVM
[2, 5]
.
=
−
−
= =
f f
TVM
(5) (2)
5 2
63
3
21
[2, 5]
De plus, 21 est égal à la pente de la sécante à la courbe de f passant par les points P(2, 7) et Q(5, 70).
c) Évaluons le taux de variation moyen de f sur [x, x + Δx].
=
+ ∆ −
∆
=
+ ∆ − − −
∆
=
+ ∆ + ∆ − − +
∆
=
+ ∆ + ∆ − − +
∆
= −
+ ∆
f x x f x
x
x x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x
TVM
( ) ( )
[3( ) 5] (3 5)
3( 2 ( ) ) 5 3 5
3 6 3( ) 5 3 5
f x x(car ( ) 3 5)
x x x[ , ]
2 2
2 2 2
2 2 2
2
=
∆ + ∆
∆
=
∆ + ∆
∆
= + ∆ ∆ ≠
x x x
x
x x x
x
x x
6 3( )
(6 3 )
6 3 x
(ensimplifiant)
(ensimplifiant,car 0)
2
d) Utilisons le résultat obtenu en c) pour calculer TVM
[–3, –1]
et TVM
[–3, 3]
.
Puisque TVM
[x, x + Δx]
= 6x + 3Δx (voir c))
= +
=
= ∆ = =
− −[ ]
TMV 6(-3) 3(2)
-12
x x( -3 et -1 – (-3) 2)
3, 1
= +
=
= ∆ = =
[ ]−
TMV 6(-3) 3(6)
0
x x( -3 et 3 – (-3) 6)
3, 3
x
10
A
B
sec (A, B)
2
f(x) = 3x
2
– 5 f(x) = 3x
2
– 5
y y
x
10
A C
sec (A, C)
2x
10
A
B
sec (A, B)
2
f (x) = 3x
2
– 5 f(x) = 3x
2
– 5
y y
x
10
A C
sec (A, C)
2
-12 correspond à la pente de la sécante à la courbe
de f passant par les points A(-3, 22) et B(-1, -2).
0 correspond à la pente de la sécante à la courbe
de f passant par les points A(-3, 22) et C(3, 22).
x
7
2 5
70
∆y = 63
∆ x = 3
P
Q
f(x) = 3x
2
– 5
y
Chapitre 3 Défnition de la dérivée126
3
Pour alléger l’écriture, nous pouvons remplacer Δx par h, où h > 0, dans TVM
[x, x + Δx]
.
Ainsi le taux de variation moyen d’une onction f sur un intervalle [x, x + h], où
[x, x + h] ⊆ dom f et h > 0, noté TVM
[x, x + h]
, est donné par
=
+ −
+
f x h f x
h
TVM
( ) ( )
x x h[ , ]
En résumé, nous avons donc :
Exemple 5 Soit f (x) = 2x
3
– 3x + 1.
a) Évaluons le taux de variation moyen de f sur [x, x + h].
f x h f x
h
x h x h x x
h
x x h xh h x h x x
h
TVM
( ) ( )
[2( ) 3( ) 1] (2 3 1)
2( 3 3 ) 3 3 1 2 3 1
x x h[ , ]
3 3
3 2 2 3 3
=
+ −
=
+ − + + − − +
=
+ + + − − + − + −
+
=
+ + + −
=
+ + −
=
+ + −
= + + − ≠
x x h xh h x
h
x h xh h h
h
h x xh h
h
x xh h
2 6 6 2 2
6 6 2 3
(6 6 2 3)
6 6 2 3 h
)(en simplifiant
(ensimplifiant)
(en factorisant)
(ensimplifiant,car 0)
3 2 2 3 3
2 2 3
2 2
2 2
b) Évaluons TVM
[3, 3 + h]
de deux açons.
1
re
façon En utilisant la défnition de TVM
x x h[ , ]+
où x = 3.
f h f
h
h h
h
h h h h
h
h h h h
h
h h h
h
h h h
h
h h
TVM
(3 ) (3)
[2(3 ) 3(3 ) 1] (2(3) 3(3) 1)
2(27 27 9 ) 9 3 1 46
54 54 18 2 3 54
51 18 2
(51 18 2 )
51 18 2 h
)
( )
(en simplifiant
en simplifiant
(en factorisant)
(ensimplifiant,car 0)
h[3, 3 ]
3 3
2 3
2 3
2 3
2
2
=
+ −
=
+ − + + − − +
=
+ + + − − + −
=
+ + + − −
=
+ +
=
+ +
= + + ≠
+
= − +f x x x( ) 2 3 1
3
=
+ −
+[ ]
f x h f x
h
TMV
( ) ( )
x x h,
Dans les trois cas précédents, le taux de variation moyen correspond à la pente de la
sécante à la courbe de f passant par les points P et Q.
y
x
x
2
– x
1
P
Q
f(x
2
) – f(x
1
)
f(x
2
)
f(x
1
)
x
1
x
2
y
x
∆x
P
Q
f(x + ∆x) – f(x)
x x + ∆x
f(x)
f(x + ∆x)
∆y
y
x
h
P
Q
f(x + h) – f(x)
x x + h
f(x)
f(x + h)
=
+ ∆ −
∆
+ ∆
f x x f x
x
TVM
( ) ( )
x x x[ , ]
=
+ −
+
f x h f x
h
TVM
( ) ( )
x x h[ , ]
=
−
−
f x f x
x x
TVM
( ) ( )
x x,
2 1
2 1
1 2
[ ]
127
3
3.1 Taux de variation moyen
f h f
h
h h
h
h h h h
h
h h h h
h
h h h
h
h h h
h
h h
TVM
(3 ) (3)
[2(3 ) 3(3 ) 1] (2(3) 3(3) 1)
2(27 27 9 ) 9 3 1 46
54 54 18 2 3 54
51 18 2
(51 18 2 )
51 18 2 h
)
( )
(en simplifiant
en simplifiant
(en factorisant)
(ensimplifiant,car 0)
h[3, 3 ]
3 3
2 3
2 3
2 3
2
2
=
+ −
=
+ − + + − − +
=
+ + + − − + −
=
+ + + − −
=
+ +
=
+ +
= + + ≠
+
2
e
façon En utilisant le résultat obtenu en a).
x xh h
h h
h h
TMV 6 6 2 3
TMV 6(3) 6(3) 2 3
51 18 2
voir
x
( a))
(car 3)
x x h
h
,
2 2
3, 3
2 2
2
= + + −
= + + −
= + +
=
+



+



c)Évaluons TVM
[3, 5]
en utilisant le résultat obtenu en b).
h hTMV 51 18 2
TMV 51 18(2) 2(2)
95
voir
h h
( b))
(car 3 5, donc 2)
h3, 3
2
3, 5
2
= + +
= + +
=
+ = =
[ ]
[ ]
+
d) Évaluons TVM
[–2, 5]
, en utilisant le résultat obtenu en a).
TVM
[x, x + h]
= 6x
2
+ 6xh + 2h
2
– 3
TMV 6(-2) 6(-2)7 2(7) 3
35
x h(car -2 et 5 (-2) = 7)
2, 5
2 2
= + + − −
=
= =
[ ]−
Le calcul de certains TVM
[x, x + h]
nécessite le recours à des artifces de calcul, sembla-
bles à ceux utilisés dans le calcul des limites.
Exemple 6 Soit f x
x
x
( ) .=
+
3
2 1
Calculons TVM
[x, x + h]
.
f x h f x
h
x h
x h
x
x
h
x h x x h x
x h x h
x x xh h x xh x
x h x h
h
x h x h
x h x
TVM
( ) ( )
3( )
2( ) 1
3
2 1
3( )(2 1) (2( ) 1)(3 )
(2( ) 1)(2 1)
1
6 3 6 3 6 6 3
(2( ) 1)(2 1)
1
3
(2( ) 1)(2 1)
1
3
(2( ) 1)(2 1)
f x
x
x
h
car ( )
3
2 1
(en simplifiant)
(en simplifiant, car 0)
x x h,
2 2
=
+ −
=
+
+ +
−
+ 



=
+ + − + +
+ + +






=
+ + + − − −
+ + +






=
+ + +






=
+ + +
=
+
≠
+



Dénominateur
commun
Chapitre 3 Défnition de la dérivée128
3
f x h f x
h
x h
x h
x
x
h
x h x x h x
x h x h
x x xh h x xh x
x h x h
h
x h x h
x h x
TVM
( ) ( )
3( )
2( ) 1
3
2 1
3( )(2 1) (2( ) 1)(3 )
(2( ) 1)(2 1)
1
6 3 6 3 6 6 3
(2( ) 1)(2 1)
1
3
(2( ) 1)(2 1)
1
3
(2( ) 1)(2 1)
f x
x
x
h
car ( )
3
2 1
(en simplifiant)
(en simplifiant, car 0)
x x h,
2 2
=
+ −
=
+
+ +
−
+ 



=
+ + − + +
+ + +






=
+ + + − − −
+ + +






=
+ + +






=
+ + +
=
+
≠
+



Exemple 7 Soit f x x( ) .= + +2 3 7
a) Calculons TVM
[x, x + h]
.
( )
=
+ −
=
+ + + − + +
+= +
[ ]+
f x h f x
h
x h x
h
TVM
( ) ( )
2( ) 3 7 2 3 7
f x x(car ( ) 2 3 7)
x x h,
x h x
h
x h x
h
x h x
x h x
x h x
h x h x
x h x
h x h x
h
h x h x
x h x
2( ) 3 2 3
2( ) 3 2 3 2( ) 3 2 3
2( ) 3 2 3
[2( ) 3] (2 3)
( 2( ) 3 2 3)
2 2 3 2 3
( 2( ) 3 2 3)
2
( 2( ) 3 2 3)
2
2( ) 3 2 3
h
(en simplifiant)
(en simplifiant,car 0)
=
+ + − +
=
+ + − + + + + +
+ + + +






=
+ + − +
+ + + +
=
+ + − −
+ + + +
=
+ + + +
=
+ + + +
≠
b) Calculons la pente de la sécante passant par les points R(-1, f (-1)) et S(5, f (5)),
notée m
sec (R, S)
.
=






=
+ + + +
=
+
=
+ + + +
= = − =
[ ]− +
m
m
TVM
2
2(-1 6) 3 2(-1) 3
d’où
2
13 1
x h x
x h
où TVM
2
2( ) 3 2 3
(car -1 et 5 (-1) 6)
( )
( )
sec R, S 1, 5
sec R, S
x h,[ 2 ]
Conjugué
129
3
3.1 Taux de variation moyen
Exemple 1 Sophe parcourt la dstance de 135 km entre Montréal et Tros-
Rères en 1,5 h et la dstance de 125 km entre Tros-Rères et
Québec en 75 mnutes.
a) Illustrons la stuaton à l’ade des représentatons suantes.
M
135 km 125 km
75 min Q1,5 h T-R
d
(km)
t
(h)
135
260
1,5 2,75
Q(2,75 ; 260)
T(1,5 ; 135)
b) Calculons les tesses scalares moyennes défnes par le rapport de la dstance
d parcourue sur Dt, le temps nécessare pour parcourr cette dstance.
) Entre Montréal et Tros-Rères.
v
135
1,5
90, d’où 90 km/h
scal[M, T-R]
= = .
) Entre Tros-Rères et Québec.
v
125
1,25
100, d’où 100 km/h
scal[T-R, Q]
= = .
) Entre Montréal et Québec.
v
135 125
1,5 1,25
94,54, d’où 94,54 km/h
scal[M, Q]
=
+
+
= .
v
d
t
scal
=
∆
Vitesse moyenne et pente de sécante
Il y a environ 400 ans…
La tesse nous semble aujourd’hu un concept relatement
smple. Pourtant, les Grecs ne croyaent pas qu’on pusse la
mesurer. C’est aec le déeloppement des notatons algébr-
ques et de la géométre analytque, dans la seconde moté du
xvii
e
sècle, que l’on en ent à or la tesse comme un tau
de araton. Auparaant, parler quanttatement de la tesse
egeat un détour par une proporton. Ans, lorsque Galilée
énonce sa lo de la chute des corps, que nous écrons v = kt
2
,
l écrt plutôt que s un corps tombe en chute lbre, alors le rap-
port des dstances parcourues est comme le rapport des carrés
des temps nécessares à les parcourr.
Galilée (1564-1642)
Chapitre 3 Défnition de la dérivée130
3
Remarque Notons par contre qu’en physique, on calcule la vitesse moyenne d’une par-
ticule en utilisant le changement de position au lieu de la distance parcourue par celle-ci.
Pour décrire complètement le mouvement d’une particule, il aut connaître à tout ins-
tant sa position.
Prenons l’exemple d’une particule se déplaçant de açon rec-
tiligne sur l’axe des x, du point P au point Q en passant par
le point R.
Appelons x
i
sa position au point P à l’instant t
i
et x
f
, sa position au point Q à l’instant t
f
.
Entre les instants t
i
et t
f
, la position de la particule peut varier
entre ces deux points.
Le diagramme représentant un tel déplacement (voir ci-
contre) est souvent appelé graphique position-temps. Dans
l’intervalle de temps Δt = t
f
− t
i
, le déplacement de la parti-
cule est Δx = x
f
− x
i
. Par défnition, le déplacement est la
variation de position de la particule.
x(t)
t
P
Q
R
t
i
t
f
x
i
x
f
P
Q
R
Défnition 3.3 Soit x, la position d’une particule à l’instant t.
La vitesse moyenne de cette particule sur un intervalle de temps [ t
i
, t
f
], notée
v ,
t t[ , ]
i f
est défnie de la açon suivante :
v
x x
t t
,
t t
f i
f i
[ , ]
i f
=
−
−
c’est-à-dire v
x
t
t t[ , ]
i f
=
∆
∆
.
Graphiquement, la vitesse moyenne correspond à
la pente de la sécante à la courbe de la onction
position passant par le point de départ P et le point
d’arrivée Q sur le graphique position-temps.
D’après cette défnition, nous constatons que la vitesse moyenne a la dimension d’une
longueur divisée par un temps, c’est-à-dire
x
t
∆
∆
, et qu’elle peut être exprimée, par exemple,
en m/s lorsque x est exprimée en mètres et t, en secondes.
La vitesse moyenne est indépendante de la açon
dont la particule se déplace entre les points P et Q
sur [t
i
, t
f
], puisqu’elle est proportionnelle au dépla-
cement Δx, dont la valeur dépend uniquement des
coordonnées initiales et fnales de la particule.
Remarque Il ne aut pas conondre le déplacement de la particule avec la distance
parcourue par celle-ci.
Notons enfn que la vitesse moyenne d’une particule suivant un mouvement rectiligne
peut être positive, négative ou nulle, sachant que l’intervalle de temps est toujours
positi.
Le taux de variation
moyen de la position par
rapport au temps corres-
pond à la vitesse moyenne.
x(t)
t
P(t
i
, x(t
i
))
Q(t
f
, x(t
f
))
t
i
t
f
x
i
x
f
∆t
∆x
x(t)
t
P
Q
t
i
t
f
x
i
x
f Trajectoire 2
Trajectoire 1
131
3
3.1 Taux de variation moyen
x(t)
tt
1
t
2
x
1
x
2
Q
P
> =
−
−
>x x v
x x
t t
Si , alors 0
t t2 1 [ , ]
2 1
2 1
1 2
x(t)
tt
2
t
3
x
2
x
3
R
Q
< =
−
−
<x x v
x x
t t
Si , alors 0
t t3 2 [ , ]
3 2
3 2
2 3
= =
−
−
=x x v
x x
t t
Si , alors 0
t t1 3 [ , ]
3 1
3 1
1 3
x(t)
P R
t
1
x
1
= x
3
t
3
t
Exemple 2 Une particule se déplace d’une
façon rectiligne en passant par
les points P, Q, S et R.
Si la position x en fonction du
temps t est donnée par le gra-
phique ci-contre,
calculons les vitesses moyennes sur les interval-
les [4 s, 8 s], [8 s, 12 s] et [4 s, 12 s], en donnant
l’interprétation géométrique de chacune et calculons les vitesses scalaires moyen-
nes sur les mêmes intervalles.
a) i) =
−
−
=
−
−
= 1,25
4 , 8
v
x x(8) (4)
8 4
10 5
8 4
5
4
, donc m/s.
[ s s]
Cette vitesse moyenne correspond à la pente de la sécante à la courbe de
la fonction position passant par le point P(4, 5) et le point Q(8, 10).
ii) =
−
−
=
−
=
4 , 8
v
x x(8) (4)
8 4
10 5
4
5
4
, donc1,25 m/s.
scal[ s s]
b) i) =
−
−
=
−
=
,
v
x x(12) (8)
12 8
5 10
4
-5
4
, donc -1,25 m/s
[8 s 12 s]
.
Cette vitesse moyenne correspond à la pente de la sécante à la courbe de
la fonction position passant par le point Q(8,10) et le point R(12, 5).
ii) =
− + −
−
=
− + −
=
+
=
v
x x x x(10) (8) (12) (10)
12 8
5 10 5 15
4
5 10
4
15
4
, donc 3,75 m/s.
scal[8 s, 12 s]
c) i) =
−
−
=
−
=v
x x(12) (4)
12 4
5 5
8
0,
[4 s, 12 s]
donc 0 m/s.
Cette vitesse moyenne correspond à la pente de la sécante à la courbe de
la fonction position passant par le point P(4, 5) et le point R(12, 5).
v
x
t
t t,
i f
=
∆
∆




v
d
t
scal
=
∆
x(t)
(m)
t
(s)
5
10
15
2 4 6 8 10 12 14
P
Q
R
Sx0 5 10 15
Q
R S
P S
Chapitre 3 Défnition de la dérivée132
3
ii) =
− + −
=
− + −
=
+
=
v
x x x x(10) (4) (12) (10)
8
15 5 5 15
8
10 10
8
20
8
, donc 2,5 m/s.
scal[4 s, 12 s]
Eemple 3 La position x, en onction du temps t, d’un objet lancé verti-
calement vers le haut, est donnée par x(t) = -4,9t
2
+ 14,7t + 22,
où t est en secondes et x, en mètres. Calculons les vitesses moyen-
nes suivantes.
a) =
−
−
=
−
=v
x x(2) (0)
2 0
31,8 22
2
4,9, donc 4,9 m/s.
[0 s, 2 s]
b) =
−
−
=
−
=v
x x(2) (1)
2 1
31,8 31,8
1
0, donc 0 m/s.
[1 s, 2 s]
c) =
−
−
=
−
=v
x x(3) (1,5)
3 1,5
22 33,025
1,5
-7,35, donc -7,35 m/s.
[1,5 s, 3 s]
1 2 3
10
a)
b)
c)
x(t)
(m)
t
(s)x(t) = -4,9t
2
+ 14,7t + 22
1. Soit y = f (x), une onction défnie sur IR.
a) Déterminer l’expression donnant le taux de variation
moyen de f sur [x, x + h].
b) Compléter la phrase. Le taux de variation moyen de
f sur [x, x + h] correspond à la pente de
c) Représenter graphiquement les éléments dont il est
question dans la phrase précédente.
2. Calculer Δy sur l’intervalle donné, si :
a) f (x) = 4x − 2 sur [-1, 5] ;
b) f x x( ) ,= −5 si x = -2 et Δx = 5 ;
c) f (x) = 7 sur [2, 5] ;
d) f (x) = x
2
− 3x sur [-1, -1 + h] ;
e) f (x) =
x
1
sur [x, x + h].
3. Calculer le taux de variation moyen de la onction sur
l’intervalle donné.
a) f (x) = -x
2
+ 8x + 2 sur [-5, -3]
b) = − − −h x x x x( ) 3 4
3 2
sur [-1, 1]
c) g(x) = -5 sur [x, x + Δx]
d) x t
t
( ) =
−
5
4 1
sur [t, t + Δt]
e) f x x( ) = −5 3 sur [x, x + h]
) g x
x
( ) =
1
sur [x, x + Δx]
4. Pour chaque onction, calculer :
a)
∆
∆
y
x
si f(x) = 2x
2
− 7x + 4 ;
b)
∆
∆
x
t
si x(t) =
−
t
t1 3
.
5. Calculer les taux de variation moyens suivants et utili-
ser le résultat obtenu en i) pour répondre à ii).
a) f (x) = x
3
− 1
i) TVM
[2, 2 + h]
ii) TVM
[2, 5]
b) x t t( ) = −3
i)
∆
TVM
t[0, ]
ii)
]
TVM
[0, 2
c) f (x) = 3x – x
2
i)
+ ∆
TVM
x[1,1 ]
ii) La pente de la sécante à la courbe de f passant
par les points P(1, f (1)) et Q(3, f (3)).
6. Soit f (x) = x
2
− 3x − 4.
a) Calculer TVM
[x, x + h]
.
b) Utiliser le résultat obtenu en a) pour évaluer :
i) TVM
[–2, –2 + h]
; ii) TVM
[–2, 1]
;
iii) TVM
[5, 7]
; iv)
− −



TVM .
5
4
,
1
3
ExERcicEs 3.1
133
3
3.1 Taux de variation moyen
c) Utiliser le résultat approprié obtenu en b) pour déter-
miner la pente de la sécante à la courbe de f passant
par les points :
i) P(-2, f (-2)) et Q(1, f (1)) ;
ii) R(5, f (5)) et S(7, f (7)).
iii) Représenter graphiquement f et les sécantes
précédentes.
7. Soit un cube dont la longueur de
l’arête est x, où x est en mètres.
Calculer le taux de variation moyen
a) du volume lorsque la longueur
de l’arête passe de
i) 1 m à 2 m ; ii) 1 m à 3 m ;
iii) 2 m à 3 m; iv) a m à b m.
b) de l’aire totale des faces du cube lorsque la longueur
de l’arête passe de
i) a m à b m; ii) 1 m à 2 m ;
iii) 1 m à 3 m; iv) 2 m à 3 m.
8. Soit un cylindre circulaire droit dont le volume V en
fonction de son rayon r et de sa hauteur h est donné par
V(r, h) = πr
2
h, où r et h sont en centimètres.
h
r
a) Calculer, pour h = 12 cm, le taux de variation moyen
du volume lorsque r passe de 5 cm à 6 cm.
b) Calculer, pour r = 12 cm, le taux de variation moyen
du volume lorsque h passe de 5 cm à 6 cm.
9. Les représentations suivantes donnent la valeur du
S&P/TSX pour différents intervalles de temps.
10 h
11 h
12 h
13 h
14 h
15 h
16 h
12 500
12 520
12 540
12 560
12 580
12 600
12 620
S&P/TSX (1 jour)
Représentation j
Lun. Mar. Mer. Jeu. Ven.
11 600
11 700
11 800
11 900
12 000
12 100
S&P/TSX (1 semaine)
Représentation 
10 500
11 000
11 500
12 000
12 500
13 000
13 500
S&P/TSX (1 an)
Janvier
Avril
Juillet
Octobre
Janvier
Représentation 
Déterminer approximativement, à partir de la repré-
sentation appropriée, la variation et le taux de varia-
tion moyen de l’indice boursier sur la période :
a) entre 10 h et 12 h ;
b) entre l’ouverture et 13 h ;
c) de la journée complète ;
d) entre mardi et jeudi ;
e) entre juillet et octobre.
f) Déterminer approximativement, à l’aide de la repré-
sentation j, le taux de variation moyen le plus petit.
g) Déterminer approximativement, à l’aide de la repré-
sentation , le taux de variation moyen le plus élevé.
10. Soit la représentation suivante.
5
10
15
20
25
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
95 000
e
n
 
m
i
l
l
i
a
r
d
s
 
$
ventes
exportations
emplois
2
0
0
3
2
0
0
4
2
0
0
5
2
0
0
6
2
0
0
7
2
0
0
8
2
0
0
9
2
0
1
0
2
0
1
1
n
o
m
b
r
e
 
d
’
e
m
p
l
o
i
s
x
x
x
Chapitre 3 Défnition de la dérivée134
3
Déterminer approximativement le taux de variation
moyen :
a) des ventes entre 2005 et 2010 ;
b) des exportations entre 2009 et 2011 ;
c) des emplois entre 2003 et 2011.
11. Le graphique ci-dessous donne l’altitude d’un avion en
onction du temps.
Alt. (t)
(km)
t
(min)
2
4
6
8
10 20 30 40 50 60
Pour les cinq segments de droite qui y fgurent :
a) calculer la pente, notée pente
[a, b]
;
b) calculer la vitesse moyenne d’ascension
(descente = ascension négative) ;
c) comparer dans chaque cas les réponses obtenues en
a) et en b).
12. Aux Jeux olympiques, l’une des compétitions consiste
à aire un aller-retour d’une piscine de 50 mètres en
nage papillon. Lors des Jeux olympiques de 2004
(Athènes) et 2008 (Pékin), Michael Phelps a parcouru
cette distance en respectivement 51,25 s et 50,58 s.
Calculer, pour chaque année :
a) v
moy (s)
b) v
scal moyenne
13. Un mobile se déplace de açon rectiligne. Sa position x
en onction du temps t est donnée par
x(t) = -4,9t
2
+ 19,6t + 24,5,
où t est en secondes et x(t), en mètres. Calculer les
vitesses moyennes suivantes et représenter graphique-
ment la courbe de x et les sécantes correspondantes.
a) v
[0 s, 2 s]
b) v
[0 s, 4 s]
c) v
[2 s, 4 s]
14. Un mobile se déplace de açon rectiligne. Sa position x
en onction du temps t est donnée par
x(t) =
t
81
4
+ 5, où t est en secondes et x(t), en mètres.
Pour chacune des valeurs de Δt données, détermi-
ner la vitesse moyenne du mobile sur [3 s, (3 + Δt) s].
Représenter graphiquement la courbe sur [2 s, 6 s] et
les sécantes correspondantes.
a) Δt = 3 s b) Δt = 2 s
c) Δt = 1 s d) Δt = 0,3 s
3.2 Dérivée d’une fnctin en un pint
et taux de variatin instantané
objectifs d’apprentissage
À la fn de cette section, l’élève pourra calculer la dérivée d’une
onction en un point.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de donner la dénition de la dérivée d’une fonction en un point ;
• de calculer la dérivée d’une fonction en un point ;
• de relier graphiquement la dérivée d’une fonction en un point à la
pente de la tangente à la courbe à ce point ;
• de relier le taux de variation instantané à la dérivée d’une fonction ;
• de relier la notion de vitesse instantanée à la notion de pente de tangente ;
• de relier la notion de vitesse instantanée à la notion de dérivée ;
• de démontrer un théorème relatif à la continuité d’une fonction dérivable.
P(2, f(2))
y
x2
Tangente à la courbe
de f au point P(2, f(2))
dont la pente
est donnée par f ′(2)
135
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
Tangente à une courbe
Dans cette secton, nous calculerons la pente de la tangente à la courbe d’une foncton
en un pont, à l’ade du calcul dfférentel.
Il y a environ 300 ans…
Au xviii
e
sècle, la tangente à une courbes’appelle une « touchante ». Aucune méthode géné-
rale n’este alors pour tracer une tangente à une courbe. Pour chaque type de courbe, l faut
donc déelopper une méthode qu lu est propre. La perspecte hstorque de la page 120
décrt l’une de ces méthodes, élaborée par Glles Personne de Roberal.
Défnition 3.4 La tangente à la courbe C en un pont P de la courbe est l’unque drote dont la
poston est la poston lmte des sécantes
• passant par P et Q

lorsque Q

s’approche de P par la gauche et
• passant par P et R

lorsque R

s’approche de P par la drote.
Donnons quelques eemples graphques llustrant le comportement des sécantes
lorsque celles-c tendent ers la drote T par la gauche et par la drote.
Exemple 1
a) Par la gauche,
les sécantes
Q
1
P, Q
2
P, Q
3
P,
… , Q

P, …
tendent ers
la drote T.
Par la drote,
les sécantes
R
1
P, R
2
P, R
3
P,
…, R

P, …
tendent ers
la drote T.
P
T
Q
1
Q
2
Q
3
R
2
R
1
R
3
C
La drote T est tangente à la courbe C au pont P.
b)
Par la gauche
P
C
T T
y
x
Par la droite
P
C
x
y
La drote T est tangente à la courbe C au pont P.
Chapitre 3 Défnition de la dérivée136
3
c) y
x
P
Q
2
Q
1C
T
R
2
R
1 Dans le cas où la courbe C est une droite, la
tangente T en tous points P de C est confon-
due avec la droite.
Lorsque la position limite par la gauche et par la droite des sécantes passant par P
ne donne pas la même droite, nous disons que la courbe n’admet pas de tangente au
point P.
Exemple 2 Puisque la position limite des
sécantes
• donne D
1
lorsque Q
i
s’approche de P par la
gauche et
• donne D
2
lorsque R
i
s’approche de P par la
droite,
la courbe C n’admet pas de tangente au point P.
Pente de la tangente à la courbe d’une fonction
en un point
Nous pouvons déterminer la pente de la tangente à la courbe d’une fonction f en un
point P(a, f (a)), en calculant successivement la pente de droites sécantes à
• la courbe passant par P et Q
i
lorsque Q
i
tend vers P par la gauche et
• la courbe passant par P et R
i
lorsque R
i
tend vers P par la droite.
x
f (a + h
1
)
y
f (a + h
2
)
f (a + h
3
)
f (a)
a (a + h
3
)(a + h
2
)(a + h
1
)
P
R
3 T
R
2
R
1
sec (P, R
1
)
sec (P, R
2
)
sec (P, R
3
)
h
1
h
2
h
3
Cas où R
i
(a + h
i
, f (a + h
i
)) tend vers P(a, f (a)) par la droite.
=
+ −
m
f a h f a
h
( ) ( )
sec (P, R )
1
1
1
=
+ −
m
f a h f a
h
( ) ( )
sec (P, R )
2
2
2
=
+ −
m
f a h f a
h
( ) ( )
sec (P, R )
3
3
3
Nous constatons graphiquement que lorsque h
i
→ 0
+
, les sécantes PR
i
se rapprochent
de la droite T.
Nous procédons de façon analogue lorsque Q
i
tend vers P par la gauche. Si les sécantes
correspondantes se rapprochent de la même droite T, alors cette droite T est tangente à
la courbe de f au point P(a, f (a)).
y
x
P
Q
1
D
1
D
2
Q
2
R
2
R
1
C
137
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
Défnition 3.5 La pente de la tangente à la courbe d’une onction f au point P(a, f (a)), notée
m
tan (a, f (a))
, est donnée par
=
+ −
→
m
f a h f a
h
lim
( ) ( )
a f a
h
tan( , ( ))
0
, lorsque la limite existe.
Par exemple, pour les valeurs de a suivantes, nous avons
si a = -4,
=
+ −
→
− −
m
f h f
h
lim
(-4 ) (-4)
f
h
tan( 4, ( 4))
0
lorsque la limite existe.
si a = 9,
=
+ −
→
m
f h f
h
lim
(9 ) (9)
ftan (9, (9))
h 0
lorsque la limite existe.
Exemple 1 Soit f (x) = -x
2
+ 4x + 1. Calculons, à m
tan (3, f (3))
.
( )
=
+ −
=
+ + + + − + +
=
→
→
m
f h f
h
h h
h
lim
(3 ) (3)
lim
[-(3 ) 4(3 ) 1] (-9 12 1)
a(définition3.5, où 3)
ind.
0
0
f
h
h
tan(3, (3))
0
0
2
=
− − + + + −
=
−
=
−
= −
=
≠
→
→
→
→
h h h
h
h h
h
h h
h
h
lim
(-9 6 12 4 1) 4
lim
- 2
lim
(- 2)
lim (- 2)
-2
h
(ensimplifiant)
(en factorisant)
(ensimplifiant,car 0)
(en évaluant la limite)
h
h
h
h
0
2
0
2
0
0
y
x1 2 3
Tangente à la courbe
de f au point P(3, f(3))
1
f(x) = -x
2
+ 4x + 1
d’où m
tan (3, f(3))
= -2
Remarque Lors de l’évaluation de
+ −
→
f a h f a
h
lim
( ) ( )
h 0
, où f est continue en x = a,
nous avons toujours une indétermination de la orme
0
0
, que nous devons lever à
l’aide des méthodes utilisées au chapitre 2.
Défnition 3.5
f x x x( ) - 4 1
2
= + +
Exemple 2 Soit =
≤
− >




f x
x x
x x
( )
si 2
8 si 2
2
2
, une onction continue en P(2, f(2)).
Vérifons si la courbe de f, admet une tangente au point P(2, f (2)) en évaluant
+ −
→
f h f
h
lim
(2 ) (2)
.
h 0
Chapitre 3 Défnition de la dérivée138
3
Cas où h < 0 (puisque (2 + h) < 2, f (x) = x
2
)
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
f h f
h
h
h
h h
h
h h
h
h h
h
h
lim
(2 ) (2)
lim
(2 ) 4
lim
4 4 4
lim
4
lim
(4 )
lim (4 )
= 4
h h
h
h
h
h
0 0
2
0
2
0
2
0
0
Cas où h > 0 (puisque (2 + h) > 2, f (x) = 8 − x2)
+ −
=
− + −
=
− − − −
=
−
=
−
= −
=
→ →
→
→
→
→
f h f
h
h
h
h h
h
h h
h
h h
h
h
lim
(2 ) (2)
lim
8 (2 ) 4
lim
8 4 4 4
lim
-4
lim
(-4 )
lim (-4 )
-4
h h
h
h
h
h
0
+
0
+
2
0
+
2
0
+
2
0
+
0
+
Puisque la limite à gauche n’est pas égale à la limite à droite,
+ −
→
f h f
h
lim
(2 ) (2)
h 0
n’existe pas.
D’où la courbe de f n’admet pas de tangente au point P(2, f (2)),
comme nous pouvons le constater sur le graphique ci-contre.
x
1
pente de D
1
= 4
pente de D
2
= -4
y
D
1
P(2, f(2))
D
2
1
Dérivée et taux de variation instantané
Pour aire l’étude de certains phénomènes défnis à l’aide d’une onction, par exemple
la vitesse v, le coût marginal c
m
, etc., il peut être nécessaire de connaître la dérivée de
cette onction en un point.
≠h
(en simplifiant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
≠h
(en simplifiant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
≠h
(en simplifiant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
≠h
(en simplifiant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
Défnition 3.6 La dérivée d’une onction f au point P(a, f (a)), notée f ′(a), peut être défnie
de la açon suivante :
′ =
+ −
→
f a
f a h f a
h
( ) lim
( ) ( )
,
h 0
lorsque la limite existe.
Si dans la défnition 3.6, on remplace h par Dx, nous obtenons
′ =
+ ∆ −
∆∆ →
f a
f a x f a
x
( ) lim
( ) ( )
,
x 0
lorsque la limite existe.
Si dans la défnition 3.6, on pose a + h = x, nous avons h = x – a.
Puisque h → 0, nous avons (x – a) → 0, donc, x → a et nous obtenons
′ =
−
−→
f a
f x f a
x a
( ) lim
( ) ( )
,
x a
lorsque la limite existe.
(x – a)
a
a
(a + h)
x
h
139
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
Des défnitions 3.5 et 3.6 nous avons
′ =f a m( )
a f atan ( , ( ))
Remarque Lorsque f ′(a) existe, nous disons
que f est une onction dérivable en x = a, et
f ′(a) est égale à la pente de la tangente à la
courbe de f au point P(a, f (a)).
De açon générale, f est une onction dérivable sur un intervalle ouvert I lorsque f est
dérivable ∀ ∈a I.
Exemple 1 Soit f x x( ) .= + 3
a) Calculons f ′(2).
f ′(2) =
+ −
=
+ + − + 



=
+ −
=
+ −





+ +
+ +












=
+ −
+ +
=
+ +
=
→
→
→
→
→
→
f h f
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h h
h
h h
lim
(2 ) (2)
lim
(2 ) 3 2 3
lim
5 5
lim
5 5 5 5
5 5
lim
(5 ) 5
( 5 5)
lim
( 5 5)
a(définition 3.6, où 2)
ind.
(en effectuant)
(en simplifiant)
0
0
h
h
h
h
h
h
0
0
0
0
0
0
=
+ +
=
+
=
≠
→ h
lim
1
5 5
1
5 5
1
2 5
h(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
h 0
d’où ′ =f ( )2
1
2 5
b) Calculons m
tan (2, f (2))
.
m f
ftan( , ( ))
( ) , ...
2 2
2
1
2 5
0 223= ′ = =
c) Déterminons l’équation de la tangente à la courbe de f au point
P(2, f(2)) et l’équation de la droite normale à la courbe de f au point
P(2, f (2)), sachant que cette droite est perpendiculaireà la tangente à la courbe
de f au même point.
= ′m f a( )
a f atan ( , ( ))
y
f(a)
f (x)
tan (a, f (a))
a x
Conjugué
= +f x x( ) 3
= ′m f a( )
a f atan ( , ( ))
D
1
de pente a
1
D
2
de pente a
2
Si D
1
⊥ D
2
alors
a
1
(a
2
) = -1
D
1
de pente a
1
D
2
de pente a
2
Si D
1
⊥ D
2
alors
a
1
(a
2
) = -1
Chapitre 3 Défnition de la dérivée140
3
Méthode 1 Méthode 2
Soit y = ax + b, l’équation de la droite tangente.
Ainsi
= +





= ′ =y x b
1
2 5
a f (2)
1
2 5
En remplaçant x par 2 et y par f (2), nous obtenons
( )= +
=
=b
b
5
1
2 5
(2)
4
5
f (2) 5
d’où y x= +
1
2 5
4
5
Soit
y y
x x
a
−
−
=
1
1
, ainsi
−
−
= ′
−
−
=






− = −
= − +
= +
′
= ′ =
y f
x
f
y
x
y x
y x
y x
(2)
2
(2)
5
2
1
2 5
5
1
2 5
( 2)
1
2 5
1
5
5
d’où
1
2 5
4
5
x y f a f
f f
( = 2, = (2) et = (2))
(2) 5 et (2)
1
2 5
1 1
−
−
= ′
−
−
=






− = −
= − +
= +
′
= ′ =
y f
x
f
y
x
y x
y x
y x
(2)
2
(2)
5
2
1
2 5
5
1
2 5
( 2)
1
2 5
1
5
5
d’où
1
2 5
4
5
x y f a f
f f
( = 2, = (2) et = (2))
(2) 5 et (2)
1
2 5
1 1
Méthode 1 Méthode 2
Soit y = ax + b, l’équation de la droite normale cherchée.
Ainsi
y x b-2 5 a
f
1
(2)
-2 5= +






=
′
=
En remplaçant x par 2 et y par f (2), nous obtenons
b
b
y x
5 -2 5(2)
5 5
d’où -2 5 5 5
f (2) 5( )= +
=
= +
=
Soit
y y
x x
a
−
−
=
1
1
, ainsi
−
−
=
′






−
−
=






− = −
= + +
= +
= ′ =
= = =
′
y f
x f
y
x
y x
y x
y x
(2)
2
-1
(2)
5
2
-2 5
5 -2 5( 2)
-2 5 4 5 5
d’où -2 5 5 5
f f(2) 5 et (2)
1
2 5
x y a
f
2, 5 et
-1
(2)
1 2
e) Représentons graphiquement la courbe
de f, la tangente à cette courbe au point
P(2, f (2)) et la droite normale à cette
courbe en ce point.
= +f x x( ) 3
21
1
P(2, f(2))
Tangente à la
courbe de f
au point P(2, f(2))
Droite normale
à la courbe de f
au point P(2, f(2))
y
x
Exemple 2 Soit f (x) =
x
1
.
a) Évaluons f ′(-2) à l’aide de l’expression f ′(a) =
−
−→
f x f a
x a
lim
( ) ( )
.
n a
′ =
−
−
=
→
f
f x f
x
(-2) lim
( ) (-2)
(-2)
a( -2)
x -2
141
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
Défnition 3.7 Le taux de variation instantané, ou taux de variation, d’une onction f en un
point P(a, f (a)), noté TVI
(a, f (a))
, est défni par
TVI
(a, f (a))
=
+ −
→
f a h f a
h
lim
( ) ( )
h 0
, lorsque la limite existe.
Méthode 1 Méthode 2
=f x( )
x
1
= −y x 1
-1
4
x2 40
y
2
4
-2-4-6
-2
-4
P(-2, f(-2))
Représentation graphique
Soit y = ax + b, ainsi
= +




= ′ =y x b a fcar (-2)
-1
4
-1
4
En remplaçant x par -2 et y par f (-2),
nous obtenons
= +




=
= −
=b
b
y x
(-2)
-1
d’où 1
fcar (-2)
-1
2
-1
4
-1
4
-1
2
= +




=
= −
=b
b
y x
(-2)
-1
d’où 1
fcar (-2)
-1
2
-1
4
-1
4
-1
2
−
−
=
−
−
= ′
−




+
=
+ = +
= −
y y
x x
a
y f
x
f
y
x
y x
y x
Soit , ainsi
(-2)
(-2)
(-2)
2
( 2)
d’où 1
-1
2 -1
4
1
2
-1
4
-1
4
1
1
−
−
=
−
−
= ′
−




+
=
+ = +
= −
y y
x x
a
y f
x
f
y
x
y x
y x
Soit , ainsi
(-2)
(-2)
(-2)
2
( 2)
d’où 1
-1
2 -1
4
1
2
-1
4
-1
4
1
1
−
−
=
−
−
= ′
−




+
=
+ = +
= −
y y
x x
a
y f
x
f
y
x
y x
y x
Soit , ainsi
(-2)
(-2)
(-2)
2
( 2)
d’où 1
-1
2 -1
4
1
2
-1
4
-1
4
1
1
x
x
x
x
x
x
x x
x
f
lim
1 -1
2
2
lim
2
2
2
lim
(2 )
2 ( 2)
lim
1
2
-
d’où (-2)
-
x
ind.
(en simplifiant, car -2)
(en évaluant la limite)
1
4
4
0
0x
x
x
x
-2
-2
-2
-2
( )
( )=
−
+
=
+
+
=
+
+
=
=
′ =
≠
1
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x x
x
f
lim
1 -1
2
2
lim
2
2
2
lim
(2 )
2 ( 2)
lim
1
2
-
d’où (-2)
-
x
ind.
(en simplifiant, car -2)
(en évaluant la limite)
1
4
4
0
0x
x
x
x
-2
-2
-2
-2
( )
( )=
−
+
=
+
+
=
+
+
=
=
′ =
≠
1
→
→
→
→
b) Déterminons l’équation de la tangente à la courbe de f au point P(-2, f (-2)).
=f x
x
( )
1
(même dénominateur)
Des défnitions 3.5, 3.6 et 3.7, nous avons
TVI
(a, f (a))
= m
tan (a, f (a))
= f ′(a)
Ainsi, lorsque nous calculons le taux de variation instantané d’une onction f en
un point P(a, f (a)), nous déterminons la pente de la tangente à la courbe de f au point
P(a, f (a)), c’est-à-dire la dérivée de la onction f en x = a.
Chapitre 3 Défnition de la dérivée142
3
Exemple 3 Soit un carré dont la mesure du côté est de x cm
où x ≥ 0 et dont l’aire A est donnée par A(x) = x
2
.
a) Calculons les taux de variation moyens de l’aire A sur les
intervalles [5 cm, (5 + h) cm] pour les valeurs de h suivantes.
Si h = 0,1 cm,
A A
TVM
(5,1) (5)
5,1 5
10,1 cm /cm
[5 cm, 5,1cm]
2
=
−
−
=
Si h = 0,001 cm,
A A
TVM
(5,001) (5)
5,001 5
10,001 cm /cm
[5cm, 5,001cm]
2
=
−
−
=
b) Calculons TVI
(5, A(5))
à partir de la défnition du taux de variation instantané.
A
A h A
h
h
h
h h
h
TVI (5)
lim
(5 ) (5)
lim
(5 ) 25
lim
25 10 25
a(définition 3.7, où 5)
ind.
0
0
h
h
h
0
0
0
A(5, (5))
2
2
= ′
=
+ −
=
+ − 



=
+ + −
=
→
→
→
h h
h
h h
h
h
lim
10
lim
(10 )
lim (10 )
10
h
(en simplifiant)
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
h
h
h
0
0
0
2
=
+
=
+
= +
=
≠
→
→
→
d’où TVI
(5, A(5))
= 10 cm
2
/cm.
Dérivée et continuité en un point
x cm
x cm
A(x) = x
2
Théorème 3.1
Si f est une onction dérivable en x = a, alors f est continue en x = a.
Pour démontrer qu’une onction est continue en x = a, il suft de démontrer que
=
→
f x f alim ( ) ( )
x a
, ce qui équivaut à démontrer que − =
→
f x f alim [ ( ) ( )] 0.
x a
( )
( )
( )
( )
− =
−
−
−




=
−
−
−
= ′
=
−
−
= ≠
−
−
= ′
→ →
→ →
→
f x f a
f x f a
x a
x a
f x f a
x a
x a
f a
lim [ ( ) ( )] lim
[ ( ) ( )]
( )
( )
lim
( ) ( )
lim ( )
( ( ))(0)
0
x a
x a
x a
f x f a
x a
f a
car 1,si
(théorème 2.3d))
car lim
( ) ( )
( )
x a x a
x a x a
x a
Preuve
143
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
corollaire
(théorème 3.1)
Si une onction f n’est pas continue en x = a, alors f n’est pas dérivable en x = a.
Nous acceptons, sans démonstration, le corollaire suivant qui est la contraposée du
théorème 3.1 précédent.
Exemple 1 Soit f, défnie par le
graphique ci-contre.
Puisque f n’est pas continue en x = 3, x = 6,
x = 8 et x = 10, f n’est pas dérivable en x = 3,
x = 6, x = 8 et x = 10.
Par conséquent, f ′(3), f ′(6), f ′(8) et f ′(10) ne
sont pas défnies.
y
x1 3 6 8 10
( )
( )
( )
( )
− =
−
−
−




=
−
−
−
= ′
=
−
−
= ≠
−
−
= ′
→ →
→ →
→
f x f a
f x f a
x a
x a
f x f a
x a
x a
f a
lim [ ( ) ( )] lim
[ ( ) ( )]
( )
( )
lim
( ) ( )
lim ( )
( ( ))(0)
0
x a
x a
x a
f x f a
x a
f a
car 1,si
(théorème 2.3d))
car lim
( ) ( )
( )
x a x a
x a x a
x a
Donc, − =
→
f x f alim [ ( ) ( )] 0.
x a
Ainsi, =
→
f x f alim ( ) ( ).
x a
D’où f est continue en x = a.
y
a a a
(a, f (a))
(a, f (a))
(a, f (a))
f (x)
f (x)
f (x)
D
1
D
2
x
y
x
y
x
y
a a a
(a, f (a))
(a, f (a))
(a, f (a))
f (x)
f (x)
f (x)
D
1
D
2
x
y
x
y
x
y
a a a
(a, f (a))
(a, f (a))
(a, f (a))
f (x)
f (x)
f (x)
D
1
D
2
x
y
x
y
x
+ −
= +∞
+ −
= ∞
→
→
−
+
f a h f a
h
f a h f a
h
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
-
h
h
0
0
+ −
= +∞
+ −
= +∞
→
→
−
+
f a h f a
h
f a h f a
h
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
h
h
0
0
+ −
=
+ −
=
≠
→
−
→
f a h f a
h
a
f a h f a
h
a
a a
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
où
h
h
0
1
0
+
2
1 2
+ −
=
+ −
=
≠
→
−
→
f a h f a
h
a
f a h f a
h
a
a a
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
où
h
h
0
1
0
+
2
1 2
Par contre, si une onction f est continue en x = a, cela n’implique pas qu’elle est déri-
vable en x = a.
Par exemple, les onctions suivantes sontcontinues en x = a, mais non dérivables en
=
+ −
→
x a,
f a h f a
h
car lim
( ) ( )
n’existe pas.
h 0
Chapitre 3 Défnition de la dérivée144
3
Une onction f continue sur [a, b] n’est pas dérivable aux extrémités de l’intervalle.
En eet,
+ −
→
−
f a h f a
h
lim
( ) ( )
h 0
n’existe pas, donc f ′(a) n’est pas défnie et
+ −
→
+
f b h f b
h
lim
( ) ( )
h 0
n’existe pas, donc f ′(b) n’est pas défnie.
Exemple 2 Soit f (x) = | x |, c’est-à-dire =
<
≥



f x
x x
x x
( )
- si 0
si 0.
Cette onction est continue en x = 0, car =
→
f x flim ( ) (0).
x 0
Vérifons si cette onction est dérivable en x = 0, en évaluant
+ −
→
f h f
h
lim
(0 ) (0)
h 0
, c’est-à-dire
−
→
f h f
h
lim
( ) (0)
h 0
.
Cas où h < 0 < =h f h h(puisque 0, ( ) - )
−
=
−
=
=
=
→
−
→
−
→
−
→
−
f h f
h
h
h
h
h
lim
( ) (0)
lim
- 0
lim
-
lim (-1)
-1
h h
h
h
0 0
0
0
Cas où h > 0 < =h f h h(puisque 0, ( ) )
−
=
−
=
=
=
→
+
→
+
→
+
→
+
f h f
h
h
h
h
h
lim
( ) (0)
lim
0
lim
lim 1
1
h h
h
h
0 0
0
0
−
=
−
=
=
=
→
+
→
+
→
+
→
+
f h f
h
h
h
h
h
lim
( ) (0)
lim
0
lim
lim 1
1
h h
h
h
0 0
0
0
−
=
−
=
=
=
→
+
→
+
→
+
→
+
f h f
h
h
h
h
h
lim
( ) (0)
lim
0
lim
lim 1
1
h h
h
h
0 0
0
0
−
=
−
=
=
=
→
+
→
+
→
+
→
+
f h f
h
h
h
h
h
lim
( ) (0)
lim
0
lim
lim 1
1
h h
h
h
0 0
0
0
Puisque la limite à gauche n’est pas égale à la
limite de droite,
+ −
→
f h f
h
lim
(0 ) (0)
h 0
n’existe pas.
D’où f est non dérivable en x = 0.
Exemple 3 Soit = −f x x( ) 1.
3
Cette onction est continue en x = 1, car =
→
f x flim ( ) (1).
x 1
Vérifons si cette onction est dérivable en x = 1, en évaluant
+ −
→
f h f
h
lim
(1 ) (1)
.
h 0
f h f
h
h
h
h
h
h
lim
(1 ) (1)
lim
1 1 0
lim
lim
1
h
ind.
(en simplifiant, car 0)
forme
1
0
0
0h h
h
h
0 0
0
0
3 3
3
2/3
( )
+ −
=
+ − −
=
=
= +∞






≠
→ →
→
→
+
Puisque nous obtenons +∞, cette limite n’est pas défnie dans IR.
y
ba





ind.
0
0
y
x1
1 f (x) = |x |
=
h
h h
1
1/3
2/3
= −f x x( ) 1
3
(en simplifant, car h ≠ 0)
145
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
Défnition 3.8 Soit x, la position d’une particule à l’instant t. La vitesse instantanée
de cette particule au temps t = a, notée v
t = a
, est donnée par
=
∆
∆
=
∆ →
v
x
t
lim ,
t a
t 0
lorsque la limite existe, où Δx = x(a + Δt) − x(a).
Cette onction n’est pas dérivable en x = 1.
En eet, au point P(1, f (1)) la tangente à la courbe
de f est verticale, d’où sa pente n’est pas défnie.
Vitesse instantanée et pente de tangente
La vitesse d’un mobile à un instant quelconque, ou en un certain point d’un diagramme
espace-temps, est sa vitesse instantanée. Cette notion est particulièrement importante
quand la vitesse moyenne sur divers intervalles de temps n’est pas constante.
Considérons le mouvement rectiligne d’une particule entre les deux points P et R
i
du
diagramme espace-temps de la fgure suivante.
À mesure que les point R
i
(R
1
, R
2
, R
3
, …) se rapprochent du point P, les intervalles de
temps Δt
i
(Δt
1
, Δt
2
, Δt
3
, …) deviennent de plus en plus petits.
Lorsque R
i
est aussi près que nous le
voulons de P, l’intervalle de temps Δt
i
tend vers zéro, de sorte que la pente de
la sécante passant par R
i
et P se rap-
proche de la pente de la tangente à la
courbe au point P, si cette tangente
existe.
La pente de la tangente à la courbe au
point P représente la vitesse instanta-
née de la particule à l’instant t = a.
x2
f (x)
1
P(1, 0)
= −f x x( ) 1
3
x
t
P
R
2
R
1
a
∆t
3
∆t
1
∆x
1
∆x
2
∆x
3
∆t
2
Cas où ∆t > 0
R
3
Puisque Δx = x(a + Δt) − x(a)
=
+ ∆ −
∆
=
∆ →
v
x a t x a
t
lim
( ) ( )
t a
t 0
, c’est-à-dire
v
t = a
= x′(a)
Ainsi, la vitesse instantanée au temps t = a est égale à la dérivée de la onction position
au point (a, x(a)).
La dérivée de la onction
position par rapport au
temps correspond à la
vitesse instantanée.
Chapitre 3 Défnition de la dérivée146
3
La vitesse instantanée peut être positive, négative
ou nulle.
Lorsque la pente de la tangente à la courbe espace-
temps est positive, comme au point P de la fgure,
la vitesse instantanée est positive.
Au point R, la vitesse instantanée est négative.
Enfn, la vitesse instantanée est nulle au point Q,
car la pente de la tangente à la courbe est nulle.
Exemple 1 La position x d’un mobile en onction du temps t est donnée par
x(t) = t
3
, où t est en secondes et x(t), en mètres.
a) Calculons la vitesse moyenne du mobile sur les intervalles [1 s, (1 + Δt) s] pour
les valeurs de Δt suivantes.
Si Δt = 0,1 s, =
−
−
=
−
=v
x x(1,1) (1)
1,1s 1s
1,331m 1m
0,1s
3,31m/s.
[1 s, 1, 1 s]
Si Δt = 0,01 s, =
−
−
=
−
=v
x x(1,01) (1)
1,01s 1s
1,030301m 1m
0,01s
3,030 1m/s.
[1 s,1,01 s]
b) Calculons la vitesse instantanée du mobile lorsque t = 1 s, c’est-à-dire v
t = 1 s
,
à partir de la défnition 3.8.
( )
=
∆
∆
=
+ ∆ −
∆
=
+ ∆ −
∆
=
+ ∆ + ∆ + ∆ −
∆
=
∆ + ∆ + ∆
∆
=
∆ + ∆ + ∆
∆
= + ∆ + ∆
=
∆ ≠
=
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
v
x
t
x t x
t
t
t
t t t
t
t t t
t
t t t
t
t t
lim
lim
(1 ) (1)
lim
(1 ) 1
lim
1 3 3( ) ( ) 1
lim
3 3( ) ( )
lim
(3 3 ( ) )
lim (3 3 ( ) )
3
t
(définition 3.8)
ind.
(en factorisant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
1 s
0
0
0
3 3
0
2 3
0
2 3
0
2
0
2
D’où la vitesse instantanée du mobile lorsque t = 1 est de 3 m/s.
x
t
P
Q
a b c
R
v
t = a
< 0 v
t = b
= 0 v
t = c
> 0
x(t) = t
3
t
(s)
1 20
x (t)
(m)
2
1
3
4
1
3
x (t) = t3
147
3
3.2 Dérivée d’une fonction en un point et taux de variation instantané
1. Parmi les droites suivantes, déterminer celles qui sont
tangentes à la courbe en un point.
y
x
D
1
D
2
y
x
D
3
D
5
D
4
2. Soit f (x) = x
2
– 4 et g(x) = 4 − 2x.
a) En utilisant ′ =
+ −
→
f a
f a h f a
h
( ) lim
( ) ( )
:
h 0
i) calculer f ′(0) et interpréter graphiquement votre
résultat ;
ii) calculer TVI
(3, f (3))
et interpréter graphiquement
votre résultat ;
iii) représenter graphiquement la courbe de f et les
tangentes à la courbe aux points A(0, f (0)) et
B(3, f (3)).
b) En utilisant ′ =
+ ∆ −
∆∆ →
g a
g a x g a
x
( ) lim
( ) ( )
:
x 0
i) calculer TVI
(–2, g (–2))
; ii) calculer g′(3) ;
iii) représenter graphiquement la courbe de g et les
tangentes à la courbe aux points A(-2, g(-2)) et
B(3, g(3)).
3. Soit f (x) = x
3
+ 1, g(x) = 5 et k(x) = -2.
Calculer les dérivées demandées et représenter graphi-
quement chaque courbe et la tangente correspondante.
a) i) f ′(-1) ii) f ′(0)
b) g ′(3)
c) k ′(-4)
4. Déterminer l’équation de la tangente illustrée et de la
droite normale à chacune des courbes aux points indi-
qués dans les fgures suivantes.
a)
y
x-2
1
P(-2, f (-2))
= +f x x( ) 4
b)
y
x2
g(x) = x
2
– 6x + 13
1
Q(2, g (2))
5. En utilisant la orme f a
f x f a
x a
( ) lim
( ) ( )
:′ =
−
−
a) calculer ′ = +h h x x(5), si ( ) 4 ;
b) calculer ′ =k k x x(-1)‚ si ( ) ;
4
c) calculer TVI
(2, f (2))
, si f x
x
( )
1
2 1
.=
+
6. a) Soit =
<
− ≥



f x
x x
x x
( )
si 2
4 4 si 2
,
2
une onction continue en x = 2.
i) Calculer, si c’est possible, f ′(2) et interpréter le
résultat.
ii) Représenter graphiquement la courbe de f.
b) Soit =
≤
− >




h x
x x
x x
( )
si 1
2 si 1
,
3
2
une onction continue en x = 1.
i) Calculer, si c’est possible, h′(1) et interpréter le
résultat.
ii) Représenter graphiquement la courbe de h.
7. Donner un exemple graphique d’une onction f, conti-
nue sur IR,
a) qui n’admet pas de tangente au point P(-2, f (-2)) et
dont la tangente est verticale au point Q(3, f (3)) ;
b) dont la pente de la tangente, aux points P(-2, f (-2)) et
Q(3, f (3)), est égale à zéro, où f (-2) > 0 et f (3) < 0 ;
c) telle que 0 <f (-2) < f (3), f ′(-2) < 0 et f ′(3) < 0 ;
d) telle que f ′(-2) et f ′(3) n’existe pas et f ′(x) > 0,
∀ x ∈ IR \ {-2, 3}.
8. Soit la onction f représentée par le graphique ci-dessous.
y
x-1 1 2 3
Compléter les expressions suivantes par < 0, par > 0,
par = 0 ou par n’existe pas.
a) f (-1) b) f ′(-1)
c) f (0) d) f ′(0)
ExERcicEs 3.2
Chapitre 3 Défnition de la dérivée148
3
e) f (1) ) f ′(1)
g) f (2) h) f ′(2)
) f (3) j) f ′(3)
9. Sot une partcule suant une trajectore rectlgne
dont la poston x en oncton du temps t est donnée par
x(t) = -4,9t
2
+ 30t + 20, où x(t) est en mètres et t, en
secondes.
a) Estmer la tesse de la partcule au temps t = 2 s, en
calculant v
[2 s, (2 + Δt) s]
pour dérentes aleurs appro-
prées de Δt.
b) À partr de la défnton de la dérée, calculer :
) v
t = 2 s
) v
t = 4 s
c) Représenter la courbe de x et les tangentes en t = 2 s
et t = 4 s.
10. Voc un graphque llustrant la poston x d’un moble
suant une trajectore rectlgne en oncton du temps
t, où t ∈ [0 h, 12 h].
x (t)
(km)
x (t)
t
(h)
2 4 6 8 10 12
a) Compléter les epressons suantes par < 0, par = 0
ou par > 0 en eplquant otre réponse.
) v
t = 3 h
) v
t = 6 h
) v
t = 9 h
b) Donner une esqusse possble du graphque de la
oncton tesse v(t), où t ∈ [0 h, 12 h].
3.3 Fnctin dérivée
objectis d’apprentissage
À la fn de cette secton, l’élèe pourra détermner la oncton dérée d’une oncton donnée.
Plus précsément, l’élèe sera en mesure :
• de donner la dénition de la fonction dérivée ;
• de calculer la fonction dérivée à partir de la dénition ;
• de donner la dénition du taux de variation instantané d’une fonction ;
• de déterminer la fonction donnant le taux de variation instantané d’une fonction ;
• de calculer la dérivée d’une fonction en un point en utilisant la fonction dérivée.
= ′ =
+ −
→
f x
f x h f x
h
TVI ( ) lim
( ) ( )
h 0
Défnitin de la nctin dérivée
Il y a environ 300 ans…
Leibniz (1646-1716)
La recherche de notatons efcaces pour représenter la dérée s’étale de la créaton du
calcul dérentel et ntégral à la fn du xvii
e
sècle jusqu’au mleu du xx
e
sècle. Leibniz,
l’un des ondateurs du calcul dérentel, en a créé des dzanes dans l’espor d’en trouer
une qu aclterat les manpulatons symbolques lors des calculs.
Nous lu deons la notaton
dy
dx
. La notaton f ′(x) a, pour sa part, été popularsée par un traté
de Lagrange (1736-1813) publé en 1797. L’utlsaton d’une barre ertcale,
=
dy
dx x a
, pour
spécfer à quelle aleur on éalue la dérée, date du mleu du xx
e
sècle.
Afn d’éter les calculs répétts de la dérée d’une oncton en ders ponts, nous
allons défnr la oncton dérée d’une oncton.
S dans la défnton 3.6 de f ′(a), c’est-à-dre f ′(a) =
+ −
→
f a h f a
h
lim
( ) ( )
,
h 0
nous remplaçons a par x, nous obtenons la oncton dérée f ′(x) défne comme sut.
149
3
3.3 Fonction dérivée
Si dans la défnition 3.9, on remplace h par ∆x, nous obtenons
′ =
+ ∆ −
∆∆ →
f x
f x x f x
x
( ) lim
( ) ( )
x 0
, lorsque la limite existe.
C’est-à-dire
′ =
∆
∆∆ →
f x
y
x
( ) lim
x 0
+ ∆ − = ∆f x x f x y( ) ( )
Si dans la défnition 3.9, on pose x + h = t, nous avons h = t – x.
Puisque h → 0, nous avons (t – x) → 0, donc t → x et nous obtenons
′ =
−
−→
f x
f t f x
t xt x
( ) lim
( ) ( )
, lorsque la limite existe.
La onction f ′(x) permet d’évaluer la pente de la tangente en tous points de f où la dérivée
existe.
De açon générale, pour obtenir la
dérivée d’une onction f en un point
donné P(a, f (a)), il suft de :
1) calculer f ′(x) ;
2) remplacer x par a dans f ′(x)
pour obtenir f ′(x), lorsque
f ′(x) est défnie.
P(a, f (a))
f (a)
y
xa
a
Tangente à la courbe
de f au point P(a, f (a))
dont la pente
est donnée par f ′(a).
Les notations suivantes peuvent être utilisées pour désigner la onction dérivée d’une
onction y = f (x) :
( ), , , ( ), , ( ( ))x y
dy
dx
d
dx
y
df
dx
d
dx
f x f
x
′ ou Df ′
Les notations suivantes peuvent être utilisées pour désigner la dérivée d’une onction
y = f (x) au point P(a, f (a)) :
′
= = = = =
=
a y
dy
dx
d
dx
y
df
dx
d
dx
f x f( ), , , ( ) , , ( ( )) ou D
x a x a x a x a x a
x a
f ′
Exemple 1 Soit f (x) = -x
2
+ 4x + 1.
a) Calculons f ′(x).
f ′(x)
( )
[ ]
=
+ −
=
+ + + + − + +
=
− − + + + + − −
=
− +
=
− +
=
− +
= − + ≠
= +
′ = +
→
→
→
→
→
→
→
f x h f x
h
x h x h x x
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
h x h
h
h x h
h
x h h
x
f x x
lim
( ) ( )
(définition 3.9)
lim
-( ) 4( ) 1 (- 4 1)
ind.
lim
- 2 4 4 1 4 1
(en développant)
lim
-2 4
(en simplifiant)
lim
(-2 4)
(en factorisant)
lim
(-2 4)
lim (-2 4) (en simplifiant, car 0)
-2 4 (en évaluant la limite)
d’où ( ) -2 4
0
0
h
h
h
h
h
h
h
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
0
(t – x)
x
x
(x + h)
t
h
Défnition 3.9 D’une açon générale, la fonction dérivée f ′ d’une onction f peut être défnie de
la açon suivante :
′ =
+ −
→
f x
f x h f x
h
( ) lim
( ) ( )
,
h 0
lorsque la limite existe.
Chapitre 3 Défnition de la dérivée150
3
( )
[ ]
=
+ −
=
+ + + + − + +
=
− − + + + + − −
=
− +
=
− +
=
− +
= − + ≠
= +
′ = +
→
→
→
→
→
→
→
f x h f x
h
x h x h x x
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
h x h
h
h x h
h
x h h
x
f x x
lim
( ) ( )
(définition 3.9)
lim
-( ) 4( ) 1 (- 4 1)
ind.
lim
- 2 4 4 1 4 1
(en développant)
lim
-2 4
(en simplifiant)
lim
(-2 4)
(en factorisant)
lim
(-2 4)
lim (-2 4) (en simplifiant, car 0)
-2 4 (en évaluant la limite)
d’où ( ) -2 4
0
0
h
h
h
h
h
h
h
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
0
b) Utilisons le résultat pour évaluer f ′(3) et f ′(0) et interprétons les résultats.
En remplaçant successivement x par 3 et 0 dans f ′(x) = -2x + 4, nous obtenons
f ′(3) = -2(3) + 4 = -2 ;
ainsi -2 est la pente de la tangente à la courbe de f au point A(3, f (3)).
f ′(0) = -2(0) + 4 = 4 ; ainsi 4 = m
tan (0, f (0))
.
c) Déterminons le point C de la courbe de f, où la pente de la tangente est nulle.
m
tan (x, f(x))
= 0
(car m
tan(x, f(x))
= f ′(x))f ′(x) = 0
-2x + 4 = 0 (car f ′(x) = -2x + 4)
x = 2
d’où C(2, f (2)), c’est-à-dire C(2, 5) est le point cherché.
Exemple 2 Soit y x= + 5.
a) Déterminons
dy
dx
.
( )
=
+ −
=
+ + − +
=
+ −
=
+ −





+ +
+ +












=
+ −
+ +
=
+ +
=
+ +
=
+
≠
→
→
→
→
→
→
→
dy
dx
f x x f x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
x x x
x x
lim
( ) ( )
lim
( 5) ( 5)
lim
lim
lim
( )
lim
( )
lim
1
1
x
ind.
(en simplifiant)
(en simplifiant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
0
0
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0
0
0
0
f (x) = -x
2
+ 4x + 1
Conjugué
f (x) = +x 5
y
x1
2
B
C
A
D
3
D
1
Pente de D
1
= -2
Pente de D
2
= 3
Pente de D
3
= 0
f (x) = -x
2
+ 4x + 1
D
2
151
3
3.3 Fonction dérivée
( )
=
+ ∆ −
∆
=
+ ∆ + − +
∆
=
+ ∆ −
∆
=
+ ∆ −
∆






+ ∆ +
+ ∆ +












=
+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
∆
∆ + ∆ +
=
+ ∆ +
=
+
∆ ≠
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
dy
dx
f x x f x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x x
x x x
x x
lim
( ) ( )
lim
( 5) ( 5)
lim
lim
lim
( )
lim
( )
lim
1
1
x
ind.
(en simplifiant)
(en simplifiant)
(en simplifiant, car 0)
(en évaluant la limite)
0
0
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0
0
0
0
d’où
dy
dx x
=
1
2
b) Calculons la pente de la tangente à la courbe de f au point P(9, f (9)) en utili-
sant le résultat précédent.
= =





 = =
= =
m
dy
dx x
1
2
1
2 9
1
6
f
x x
tan (9, (9))
9 9
Exemple 3 Soit f (x) = x
8
. Déterminons l’équation de la tangente D
1
ainsi que
l’équation de la droite normale D
2
à la courbe de f au point P(-1, 1).
Calculons d’abord
df
dx
, en utilisant
−
−→
f t f x
t x
lim( ) ( )
t x
.
=
−
−
=
−
−




=
− + + +
−
= + + +
=
=
≠
→
→
→
→
df
dx
f t f x
t x
t x
t x
t x t x t x t x
t x
t x t x t x
x x x
x
lim
( ) ( )
lim
lim
( )( )( )( )
lim [( )( )( )]
2 (2 )(2 )
8
t x
ind.
(en factorisant)
(en simplifiant, car )
(en évaluant la limite)
0
0
t x
t x
t x
t x
8 8
2 2 4 4
2 2 4 4
2 4
7
Ainsi, = =
= −
df
dx
8(-1) -8
x 1
7
f (x) = x
8
t
8
− x
8
= (t
4
− x
4
) (t
4
+ x
4
)
t
4
− x
4
= (t
2
− x
2
) (t
2
+ x
2
)
t
2
− x
2
= (t − x) (t + x)
Chapitre 3 Défnition de la dérivée152
3
Équation de la tangente
Sot y = ax + b, l’équaton de D
1
.
= =
= +
= −
a
df
dx
y x b
Puisque -8
Ainsi, -8
x 1
De plus, la drote passe par P(-1, 1).
En remplaçant x par -1 et y par 1,
nous obtenons
Donc,
= +
, =
b
b
1 -8(-1)
Donc -7
d’où D
1
: y = -8x − 7
Équation de la droite normale
Sot
−
−
=
-y y
x x a
1
, l’équation de D .
1
1
2
( )
−
−
=






−
+
=
− = +
= + +
=
=
= −
= −
y f
x
df
dx
y
x
y x
y x
(-1)
(-1)
-1
1
1
-1
-8
1
1
8
( 1)
1
8
1
8
1
a
df
dx
df
dx
car
car -8
x 1
x 1
d’où D
2
: y = x
1
8
9
8
+
Taux de variation instantané
Il y a environ 50 ans…
L’epresson « tau de araton nstantané » apparaît dans la seconde moté du xx
e
sècle. Son
utlsaton découle probablement de consdératons d’ordre plus pédagogque que mathéma-
tque. Auparaant, on parlat smplement de dérée, de tesse nstantanée, ou encore, comme
Newton à la fn du xvii
e
siècle, de fuxion. Pourtant, les mots « taux », « variation » et « ins-
tantané » estaent depus ort longtemps. Ans, le mot « tau » ent du latn tax déormé
au Moyen Âge, qu désgne alors une tae, un mpôt. Ce n’est qu’au xix
e
sècle qu’l prend le
sens de rapport, d’abord pour parler de tau de change ou de tau horare, pus, aec le dée-
loppement de la statstque, pour parler de tau de mortalté ou de tau de natalté. Le mot
« nstantané » est courant dès le xvii
e
sècle, le sècle de Descartes. Quant au mot « araton »,
l date de la fn du xviii
e
sècle ; l est utlsé dès le départ dans un contete mathématque, aec
un sens osn de son sens actuel.
Des défntons 3.9 et 3.10 nous aons
TVI
( , ( ))
( )
x f x
f x= ′
Défnition 3.10 La fonction donnant le taux de variation instantané ou taux de variation
d’une oncton f, notée TVI
(x, f (x))
, est défne par
TVI
(x, f (x))
=
+ −
→
f x h f x
h
lim
( ) ( )
,
h 0
lorsque la lmte este.
153
3
3.3 Fonction dérivée
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + + −
=
+ +
=
+ +
= + +
=
→
→
→
→
→
→
V x
V x h V x
h
x h x
h
x x h xh h x
h
x h xh h
h
h x xh h
h
x xh h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
3 3
lim
3 3
lim
(3 3 )
lim (3 3 )
3
x V x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
3 3
0
3 2 2 3 3
0
2 2 3
0
2 2
0
2 2
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
D’où TVI
(x, V(x))
= 3x
2
, exprimé en cm
3
/cm. D’où TVI
(x, A(x))
= 12x, exprimé en cm
2
/cm.
b) Utilisons les résultats trouvés en a) pour déterminer les taux de variations instantanés TVI
(x,
V(x))
et TVI
(x, A(x))
pour x = 1 cm, 2 cm et 3 cm.
TVI
(x, V(x))
= 3x
2
TVI
(x, A(x))
= 12x
TVI
(1, V(1))
= 3 cm
3
/cm
TVI
(2, V(2))
= 12 cm
3
/cm
TVI
(3, V(3))
= 27 cm
3
/cm
TVI
(1, A(1))
= 12 cm
2
/cm
TVI
(2, A(2))
= 24 cm
2
/cm
TVI
(3, A(3))
= 36 cm
2
/cm
Nous étudierons de açon plus détaillée les notions de taux de variation instantané et
de vitesse instantanée au chapitre 5.
(en simplifant, car h ≠ 0)
(en évaluant la limite)
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + + −
=
+ +
=
+ +
= + +
=
→
→
→
→
→
→
V x
V x h V x
h
x h x
h
x x h xh h x
h
x h xh h
h
h x xh h
h
x xh h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
( )
lim
3 3
lim
3 3
lim
(3 3 )
lim (3 3 )
3
x V x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
3 3
0
3 2 2 3 3
0
2 2 3
0
2 2
0
2 2
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
= ′
=
+ −
=
+ −
=
+ + −
=
+
=
+
= +
=
=
→
→
→
→
→
→
A x
A x h A x
h
x h x
h
x xh h x
h
xh h
h
h x h
h
x h
x
TVI ( )
lim
( ) ( )
lim
6( ) 6
lim
6 12 6 6
lim
12 6
lim
(12 6 )
lim (12 6 )
12
A x x(car ( ) 6 )
x A x
h
h
h
h
h
h
( , ( ))
0
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
2
(défnition 3.10)
(en simplifant)
(en actorisant)
Exemple 1 a) Déterminons la onction TVI
(x, V(x))
donnant le taux de variation ins-
tantané du volume V d’un cube par rapport à l’arête x et la onction
TVI
(x, A(x))
donnant le taux de variation instantané de l’aire totale A des
aces d’un cube par rapport à l’arête x, où x est exprimé en
centimètres.
x
x
x
(car V(x) = x
3
) ( )ind.
0
0
Chapitre 3 Défnition de la dérivée154
3
1. En utilisant ′ =
+ −
→
f x
f x h f x
h
( ) lim
( ) ( )
,
h 0
évaluer, si c’est
possible,
i) f ′(x) ii) f (0) et f ′(0)
iii) f (-1) et f ′(-1)
pour les fonctions suivantes.
a) f (x) = x b) f (x) = x
2
+ 2x − 3
c) = +f x x( ) 1
2. En utilisant =
+ ∆ −
∆∆ →
dy
dx
f x x f x
x
lim
( ) ( )
,
x 0
évaluer, si c’est
possible,
= −
dy
dx
dy
dx
et
x 1
pour les fonctions suivantes.
a) y = -2 b) y = 3x − 2 c) y = x
3
− 2x
3. En utilisant ′ =
−
−→
g x
g t g x
t x
( ) lim
( ) ( )
,
t x
évaluer, si c’est pos-
sible, g′(x), g(0) et g′(0) pour les fonctions suivantes.
a) g x
x
( )
3
= b) =g x x( )
3
c) g(x) = x
4
− 1
4. Calculer le taux de variation instantané pour chacune
des fonctions suivantes.
a) x(t) = 4 b) p(x) =
x3 2
5
−
c) = +g u
u
( )
7
3
5
2
d) = −f x x x( ) 2 8
3 2
ExERcicEs 3.3
5. Soit f x
x
( )
1
= .
a) Calculer
∆
∆∆ →
y
x
lim
x 0
.
b) Déterminer l’équation de la tangente D
1
à la courbe
de f au point ( )( )fP , .
1
4
1
4
c) Déterminer l’équation de la droite normale D
2
à la
courbe de f au point ( )( )fP , .
1
4
1
4
d)Représenter graphiquement la courbe de f, D
1
et D
2
.
6. Soit = − −f x
x
x( )
2
3
3
2
.
a) Trouver la dérivée de la fonction f.
b) Déterminer le point de la courbe de f où la tangente
à la courbe de f
i) est horizontale ;
ii) est parallèle à la droite d’équation y = -5x + 2 ;
iii) est perpendiculaire à la droite d’équation
y = -5x + 2.
c) Déterminer la pente des tangentes à la courbe de f
lorsque celle-ci coupe
i) l’axe des y ; ii) l’axe des x.
155
3
3.3 Fonction dérivée
Réseau de epts
Vitesse
instantanée
Pente de
tangente
Taux de
variation
instantané
Fonction
dérivée
Dérivée en
un point
FoncTion
Pente de
sécante
Vitesse
moyenne
Taux de
variation
moyen
Applications
Chapitre 3 Défnition de la dérivée156
3
Après l’étude de ce chapitre, je suis en mesure de compléter le résumé suivant avant de résoudre les exercices récapitulatis
et les problèmes de synthèse.
Taux de variation moyen et vitesse moyenne
Le taux de variation moyen d’une onction f est défni par
TVM
[a, b]
=
TVM
[x, x + Dx]
=
TVM
[x, x + h]
=
Graphiquement, le taux de variation moyen d’une onction f sur un intervalle [a, b] correspond à
Soit x, la position d’une particule à l’instant t.
La vitesse moyenne sur [t
i
, t
f
] est défnie par v
t t[ , ]
i f
=
Graphiquement, la vitesse moyenne correspond à
Dérivée d’une fonction en un point et vitesse instantanée
La dérivée d’une onction f au point P(a, f (a)), notée f ′(a), peut être obtenue d’une des açons suivantes.
′ =
′ =
′ =
→
∆ →
→
f a
f a
f a
( ) lim ______
( ) lim ______
( ) lim _______
h
x
x a
0
0
′ =
′ =
′ =
→
∆ →
→
f a
f a
f a
( ) lim ______
( ) lim ______
( ) lim _______
h
x
x a
0
0
′ =
′ =
′ =
→
∆ →
→
f a
f a
f a
( ) lim ______
( ) lim ______
( ) lim _______
h
x
x a
0
0
Graphiquement f ′(a) correspond à
Soit x, la position d’une particule à l’instant t.
La vitesse instantanée de cette particule au temps t = a, notée v
t = a
, est donnée par v
t = a
=
Graphiquement la vitesse instantanée correspond à
Fonction dérivée et taux de variation instantané
La fonction dérivée f ′d’une onction f peut être défnie d’une des açons suivantes.
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
Le taux de variation instantané est défni par
′ =
′ =
′ =
=
→
∆ →
→
f x
f x
f x
( ) lim
( ) lim
( ) lim
TVI
h
x
t x
x f x
0
0
( , ( ))
Dérivée et continuité
Si f est une onction dérivable en x = a, alors f est
Si une onction f n’est pas continue en x = a, alors
Vérification des apprentissages
3
157Vérifcation des apprentissages
Exeres réptultfs
1. Pour chaque fonction, calculer le taux de variation
moyen sur les intervalles donnés. Utiliser, s’il y a lieu,
le résultat de i) pour déterminer ii).
a) x(t) = 8 sur :
i) [2, 3] ii) [-1, 2]
b) g (u) = -3u + 4 sur :
i) [0, 2] ii) [-4, -4 + h]
c) f (x) = -x
3
− x
2
+ 1 sur :
i) [x, x + h] ii) [-2, -2 + h]
d) =v t
t
( )
1
sur :
2
i) +






h,
1
2
1
2
ii)






,
1
2
3
4
e) k x x( ) = −3 2 sur :
i) [x, x + Δx] ii) [4, 9]
2. Marc-Antoine, un jeune marcheur, est à 500 m de son
point de départ après 5 min ; après 10 min, il est à
600 m de son point de départ ; après 15 min de marche,
il est de retour à son point de départ.
Calculer la vitesse moyenne du marcheur sur chacun
des intervalles suivants.
a) [0 min, 5 min] b) [5 min, 10 min]
c) [10 min, 15 min] d) [0 min, 15 min]
3. La position x d’un mobile en fonction du temps t est
donnée par x(t) = t
3
− 3t + 2, où x(t) est en centimètres et
t, en secondes.
a) Déterminer
i) la position initiale du mobile ;
ii) la position du mobile après 3 s.
b) Calculer la vitesse moyenne du mobile sur
i) [0 s, 1 s] ; ii) [1 s, 2 s] ; iii) [0 s, 2 s].
4. Au départ, un mobile se déplace en suivant un mouve-
ment rectiligne.
Sa position x (en mètres) en fonction du temps t (en
secondes) est donnée par le graphique suivant.
2 3 4 5 61
x(t)
x(t)
(m)
t
(s)
h t
t
( ) =
−5 13
2
g t
t
( ) =
+-4 22
3
Déterminer :
a) v
[1 s, 4 s]
b) v
[3 s, 5 s]
c) v
[1 s, 3 s]
5. Le tableau suivant indique la concentration (en μg/ml)
d’un médicament dans le sang selon différents temps
(en minutes).
Temps (minutes) Concentration (μg/ml)
0 1
10 0,99
60 0,94
120 0,87
300 0,74
600 0,55
:
.
:
.
PhysiqueAdministrationChimieBiologie
Exercices se réalisant à l’aide d’un outil technologique.
Les réponses des exercices récapitulatis et des problèmes de
synthèse, à l’exception de ceux notés en rouge, sont ournies à la
fn du manuel.
...
...
chaPiTRE 3 Défnition de la dérivée158
3
a) Calculer le rythme moyen de la variation de la
concentration du médicament dans le sang sur les
intervalles de temps suivants.
i) [10 min, 60 min] ii) [1 h, 2 h]
iii) [1 h, 5 h]
b) Sachant que le taux de variation de la concentration
demeure constant à partir de 300 minutes,
i) déterminer l’équation de la droite représentant
ce phénomène ;
ii) déterminer après combien de temps le médica-
ment n’est plus présent dans le sang.
6. Soit le tableau suivant représentant les indicateurs éco-
nomiques de Montréal entre 2003 et 2012.
2
0
0
3
2
0
0
4
2
0
0
5
2
0
0
6
2
0
0
7
2
0
0
8
2
0
0
9
2
0
1
0
2
0
1
1
2
0
1
2
Taux de chômage (en %)
Indicateurs économiques de Montréal
1532
1497
1479
1468
1493
1516
1524
1558
1615
1656
Emploi (par milliers)
10,5
12,5
13,1
13,9
12,7
11,5
12,0
10,9
9,7
8,6
a) Déterminer le taux de variation moyen du nombre
d’emplois entre 2007 et 2012.
b) Déterminer le rythme de variation moyen du taux de
chômage entre 2003 et 2011.
c) Compléter : À une exception près, sur chaque
période de un an,
i) lorsque le nombre d’emplois augmente,
ii) lorsque le nombre d’emplois diminue,
7. Soit la rivière Portneuf dont le taux de réduction du
débit est donné par le graphique suivant.
1
6
8
1
3
8
1
3
1
1
1
8
1
0
3
8
9
6
9
5
9
3
0
1
0 4 0
10 %
20 %
30 %
40 %
50 %
60 %
70 %
%
 
d
e
 
r
é
d
u
c
t
i
o
n
 
d
e
 
d
é
b
i
t
Distance en kilomètres
Lac Portneuf
Lac Chailly
Lac Patien
Lac du Collier
Pourvoirie Domaine du lac
des Cœurs Inc.
Rivière aux Ours
Pourvoirie
La Rocheuse
Centrale PN-3
Centrale PN-2
Centrale PN-1
Fleuve
Déterminer approximativement le taux de la réduction
moyenne du débit de la rivière entre :
a) le lac Chailly et le lac du Collier ;
b) la centrale PN-2 et le euve ;
c) le lac Portneuf et le euve.
8. Pour chaque fonction, évaluer l’expression demandée.
a) f ′(-3) si f (x) = x
3
+ 2x − 3
b) ( )′ =g g x
x
si ( )
1
2
-1
2
2
c)
=
dx
dt
t 1,5
si x(t) = 4,9t
2
− 10t + 7
d) TVI
(−1, f (−1))
si f (x) = 3x
4
− 2
e)
=
df
du
u 0
si f u
u
u
( ) =
−
+
2 1
2 1
f) m
tan (5, f (5))
si f x
x
( ) =
3
5
9. Pour chaque fonction, calculer les expressions demandées.
Utiliser le résultat de i) pour déterminer ii).
a) f (x) = -3x + 7
i) f ′(x) ii) m
tan (–2, f (–2))
b) g(x) = (x + 1)(x − 2)
i) g ′(x) ii) g ′(0,5)
c) = +x t
t
( )
5
3
2
i)
dx
dt
ii)
=
dx
dt
t 2
3
Exercices récapitulatifs 159
d) v t t
t
( ) = +
1
i) v ′(t) ii) TVI
(2, v(2))
e) P t t( ) = +3 2
i)
dP
dt
ii)
=
dP
dt
t 10
f) f x
x
x
( ) =
−
−
3 2
1 5
i) f ′(x)
ii) m
tan (1, f (1))
iii) Déterminer l’équation de la tangente T à la
courbe de f au point (1, f (1)).
iv) Déterminer l’équation de la droite normale N à
la tangente trouvée en iii) au point (1, f(1)).
10. La position x d’un mobile en fonction du temps t est
donnée par =x t
t
( )
4
,
2
où x (t) est en mètres, t en se-
condes et t ∈ [1 s, 5 s].
a) Calculer v
[2 s, 4 s]
.
b) Déterminer la fonction v(t).
c) Calculer :
i) v
t = 2 s
ii) v
t = 4 s
d) Représentergraphiquement la courbe de la fonction
x et les droites associées à a), b) et c).
11. Soit un mobile dont la position x en fonction du temps
t est donnée par le graphique suivant, où x(t) est en
mètres et t est en secondes.
h(t) = -2t + 18
g
(
t
)
=
4
t
–
 
3
x(t)
x(t)
(m)
2 3 4 5 61 7 8 t
(s)
Déterminer :
a) v
t = 2 s
b) v
t = 5 s
c) v
t = 4 s
d) v
[2 s, 5 s]
12. Dans certaines conditions, le cyclobutane se décom-
pose en éthylène :
C
4
H
8
(g) → 2 C
2
H
4
(g)
Le graphique suivant représente la concentration du
cyclobutane en fonction du temps.
y
20 40 60 80
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24
Temps (s)
[
C
4
H
8
]
 
(
m
o
l
/
L
)
t
(s)
Déterminer approximativement :
a) la variation du C
4
H
8
entre la 20
e
seconde et la
60
e
seconde ;
b) la vitesse moyenne de réaction entre 10 s et 30 s ;
c) la vitesse instantanée de réaction à 40 s.
13. Soit f (x) = x
2
+ 3x − 18.
a) Déterminer l’équation de la sécante D passant par le
point A(-4, f (-4)) et le sommet S de la parabole.
b) Déterminer les coordonnées du point P(a, f (a))
pour que TVM
[a, 2]
= 2.
c) Déterminer l’équation de la droite T tangente à la
courbe de f au point P(2, f (2)).
d) Déterminer l’équation de la droite N normale à la
tangente précédente au point de tangence. Exprimer
la réponse sous la forme ax + by + c = 0, où a, b et
c ∈ IN*.
e) Représenter graphiquement la courbe de f, la
sécante, la tangente et la normale déterminées en a),
en c) et en d).
14. Soit une sphère de rayon r, où r est en centimètres.
L’aire A et le volume V de cette sphère sont donnés
respectivement par A(r) = 4πr
2
et V r r( ) .=
4
3
3
π
r
a) Déterminer l’augmentation de A et de V lorsque r
passe de 4 cm à 9 cm.
b) Calculer le rythme d’augmentation moyen de A et
de V lorsque r passe de 4 cm à 9 cm.
c) Calculer le taux de variation instantané de A et de V
lorsque r = 4 cm.
chaPiTRE 3 Défnition de la dérivée160
3
15. Soit un parallélépipède droit dont la mesure des arêtes
est de x cm, 2x cm et (x + 1) cm.
a) Déterminer, en fonction de x,
i) la fonction A donnant l’aire totale des faces du
parallélépipède ;
ii) la fonction V donnant le volume du parallé-
lépipède.
b) Lorsque x passe de 5 cm à 8 cm, calculer la variation
i) de A ; ii) de V.
c) Calculer le taux de variation moyen de l’aire
lorsque x passe
i) de 3 cm à 6 cm ; ii) de 6 cm à 9 cm.
d) Pour V, calculer
i) TVM
[3 cm, 6 cm]
; ii) TVM
[6 cm, 9 cm]
.
e) Déterminer, si c’est possible, pour A, la valeur de b
pour que TVM
[3 cm, b cm]
= 2 TVM
[3 cm, 5 cm]
.
f) Déterminer, si c’est possible, pour A, la valeur de a
pour que TVM
[1 cm, 2a cm]
= 2 TVM
[1 cm, a cm]
.
g) Calculer
i) TVI
[4 cm, A(4 cm)]
; ii) 2 TVI
[4 cm, V(4 cm)]
.
16. Soit un cercle de rayon r, tel que r(t) = 2t, où r(t) est en
centimètres et t, en secondes. Calculer :
a) la variation de l’aire A du cercle lorsque t passe de
1 s à 5 s ;
b) TVM
[2 s, 4 s]
de A ;
c) TVM
[2 cm, 4 cm]
de A.
17. Soit f x
x x
x x
x x x
( ) ,=
+ ≤ ≤
+ < <
− − ≤ ≤





4 1 0 1
2 3 1 2
23 4 2 5
2
2
si
si
si
une fonction continue sur [0, 5].
a) Calculer, si c’est possible, f ′(1), f ′(2) et f ′(3).
b) Représenter graphiquement la courbe de f.
18. Répondre par vrai (V) ou faux (F).
a) Si y = f (x), alors Δy = Δx.
b) Si f (x) = 2x, alors f (2) = f ′(2).
c) Si y = 3x, alors Δy = 3Δx.
d) Si f (3) = 0 et f ′(3) = 5, alors
+
=
→
f h
h
lim
(3 )
5.
h 0
e) Toute fonction continue en un point est dérivable en
ce point.
f) Toute fonction dérivable en un point est continue en
ce point.
g) Si f (a) = g(a), alors f ′(a) = g ′(a).
h) Si f ′(a) = g ′(a), alors f (a) = g(a).
19. Soit y = f (x), une fonction dérivable.
Déterminer l’équation
a) de la tangente à la courbe de f au point P(x
1
, y
1
) ;
b) de la droite normale à la courbe de f au point P(x
1
, y
1
).
20. Les courbes suivantes représentent l’évolution des
droits de scolarité de base dans les universités québé-
coises (en dollars) selon les droits exigés C
1
et selon les
droits qui auraient été indexés à l’infation C
2
.
Sources : Ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport et Ministère
des Finances du Québec.
Droits exigés
Droits de 1968 indexés à l’ination
700 $
(1969/70)
1969/70 1975/76 1981/82 1987/88 1993/94 1999/2000 2005/06 2011/12
C
2
3169 $
(2011/12)
2168 $
(2011/12)
C
1
a) Pour la courbe C
1
, déterminer l’augmentation an-
nuelle moyenne entre
i) 1969/70 et 1987/88 ;
ii) 1987/88 et 2011/12 ;
iii) 1969/70 et 2011/12.
b) Pour la courbe C
2
, déterminer l’augmentation an-
nuelle moyenne entre 1969/70 et 2011/12.
21. Soit les courbes x
1
(t), x
2
(t), x
3
(t) et x
4
(t) donnant la posi-
tion de quatre modèles en fonction du temps.
x
x
3
(t)
x
1
(t)
x
2
(t)
x
4
(t)
tt
f
t
i
3
161Exercices récapitulatifs
1. Soit f (x) = 3 − x
2
− 2x.
a) Calculer
i) TVM
[x, x + h]
; ii) TVM
[2, 2 + h]
;
iii) TVM
[–2, 0]
.
b) Calculer f ′(x).
c) Calculer la pente
i) de la sécante à la courbe de f, passant par les
points A(-4, f (-4)) et B(3, f (3)) ;
ii) de la tangente à la courbe de f aux points où
cette courbe coupe l’axe des x. Représenter
graphiquement.
d) Déterminer le point de la courbe de f où la tangente
à cette courbe est parallèle
i) à l’axe des x ;
ii) à la sécante passant par les points C(-5, f (-5)) et
D(1, f (1)). Représenter graphiquement.
e) Déterminer l’équation
i) de la tangente à la courbe de f en x = -2 ;
ii) de la droite normale à la courbe de f au point
E(-2, f (-2)). Exprimez votre réponse sous la
orme ax + by + c = 0, où a, b et z.
) Calculer l’aire du triangle délimité par l’axe des x,
la tangente et la droite normale à la courbe de f au
point E(-2, f (-2)).
g) La courbe de f admet deux tangentes qui passent par
le point R(-2, 12). Déterminer les points de tangence.
2. À partir de la défnition de la dérivée, évaluer la onc-
tion dérivée demandée, ainsi que l’expression donnée.
a) = + +
=
x t at bt c
dx
dt
dx
dt
( ) ; et
t
2
1,5
b) = +
= −
y x
dy
dx
dy
dx
1; et
x
2
1
c) = −g x
x x
( )
2
3
1
3
;
2
g′(x) et g′(1)
d) ( )= + ′ ′f x x x f x f( ) 3 ; ( ) et
1
4
3. Soit les courbes de f et de f ′représentées sur le gra-
phi que suivant.
x2 4 6-4 -2
-4
-2
2
4
6
0
y
f (x)
f ′(x)
Déterminer laquelle des courbes précédentes repré-
sente le mieux les situations suivantes.
a) La vitesse initiale est petite et la vitesse fnale est
grande.
b) La vitesse initiale est petite et la vitesse fnale est
petite.
c) La vitesse est constante.
d) La vitesse initiale est grande et la vitesse fnale est
grande.
Problèmes de synthèse
Chapitre 3 Défnition de la dérivée162
3
Tracer de façon précise, dans le système d’axes précé-
dent, la tangente à la courbe de f à chacun des points
suivants et donner l’équation de cette tangente.
a) P(0, f (0))
b) Q(2, f (2))
c) R(4, f (4))
4. La courbe x(t) suivante représente le déplacement d’une
rame de métro entre deux gares.
x (t)
(km)
x (t)
1
1 t
(min)
a) Déterminer (approximativement) le temps néces-
saire à la rame pour atteindre sa vitesse maximale.
b) Donner une esquisse possible du graphique de la
courbe donnant la vitesse de cette rame en fonction
du temps.
5. La courbe Q(t) suivante représente le nombre d’articles
vendus durant une année, où t est en mois.
Q(t)
Q(t)
1000
1
t
(mois)
2
a) Déterminer à quel mois la quantité du nombre d’arti-
cles vendus sera
i) maximale ;
ii) minimale.
b) Déterminer les périodes où le nombre d’articles
vendus
i) augmente ;
ii) diminue.
c) Déterminer approximativement à quel mois le
nombre d’articles vendus
i) augmente le plus rapidement ;
ii) diminue le plus rapidement.
d) Donner une esquisse possible de la courbe donnant
le taux de variation instantané de Q en fonction de t.
6. Soit f et g, deux fonctions représentées par les courbes
suivantes.
x1-1
-1
2-2 30
2
4
f (x)
g (x)
y
Évaluer approximativement, à partir du graphiquepré-
cédent, les expressions suivantes.
a) f (g(0))
b) g( f (0))
c) f (g(2))
d) g( f (2))
e) f (g ′(1))
f) g( f ′(1))
g) f (g ′(0))
h) g( f ′(0))
i) g ′(g(0))
j) g′(g′(-1))
3
163Problèmes de synthèse
7. Soit la onction f représentée par le graphique suivant.
y
x2 3 4 5 6-2 1-1
Compléter les expressions suivantes par < 0, par > 0,
par = 0 ou par non défnie.
a) f (-2) et f ′(-2)
b) f (0) et f ′(0)
c) f (2) et f ′(2)
d) f (3) et f ′(3)
e) f (4) et f ′(4)
) f (5) et f ′(5)
g) f (6) et f ′(6)
8. Un caé, dont la température est de 90 °C, est placé
dans une pièce où la température est de 20 °C. Au bout
de 15 minutes, la température du caé est de 60 °C
alors qu’elle est d’environ 43 °C après 30 minutes.
Représenter, sur un même système d’axes, une esquisse
possible du graphique représentant la température du
caé en onction du temps t et celle montrant le taux de
changement de la température du caé en onction du
temps t.
9. Soit f x
x x
x x x
x x
x x
( )
( ) .
=
+ ≤
− + < <
≤ <
− ≥







2
2
2
5 1
4 3 1 3
2 3 5
4 5
si
si
si
si
Déterminer si f est continue et dérivable aux points
suivants et, dans le cas où la onction est dérivable,
évaluer cette dérivée.
a) A(1, f (1))
b) B(2, f (2))
c) C(3, f (3))
d) D(5, f (5))
10. Soit f (x) = 4 − |2x − 6 | et g(x) = x |x |.
a) Écrire comme une onction défnie par parties
i) la onction f ; ii) la onction g.
b) En utilisant la défnition de la continuité, déterminer
i) si la onction f est continue en x = 3 ;
ii) si la onction g est continue en x = 0.
c) En utilisant la défnition de la dérivée, déterminer
i) si la onction f est dérivable en x = 3 ;
ii) si la onction g est dérivable en x = 0.
d) Représenter graphiquement, sur un même système
d’axes, les courbes de f et de g et trouver, s’il y a
lieu, les points d’intersection.
11. La quantité Q, en grammes, d’un produit chimique
varie en onction du temps t, en minutes. Cette quantité
est donnée par Q(t) =
t
t
39 18
3 2
+
+
, où t ∈ [0 min, 10 min].
a) Déterminer la quantité initiale de ce produit.
b) Déterminer la variation de la quantité sur
[3 min, 5 min].
c) Déterminer le taux de variation moyen de la quan-
tité sur [3 min, 5 min].
d) Calculer le taux de variation moyen de la quantité
lorsque celle-ci passe de 12 g à 12,75 g.
e) Déterminer la onction donnant le taux de variation
instantané de la quantité de produit.
) Évaluer TVI
t = 5 min
.
g) Déterminer la quantité lorsque le taux de variation
instantané de cette quantité est égal à 0,04 g/min.
h) Représenter graphiquement sur un même système
d’axes la courbe de Q et celle de son taux de varia-
tion instantané.
12. De l’azote (N) et de l’hydrogène (H) réagissent pour
ormer de l’ammoniac (N
2
+ 3H
2
→ 2NH
3
). Toutes
les quantités sont exprimées en grammes. La quantité
d’ammoniac, en onction du temps t, notée Q(t), est
donnée par Q(t) = 100 -
t
1000
10 +
, où t est en secondes
et Q, en grammes.
a) Calculer le taux de variation instantané
dQ
dt
.
b) Déterminer la quantité initiale d’ammoniac ainsi
que la quantité après 20 secondes.
chaPiTRE 3 Défnition de la dérivée164
3
c) Déterminer la variation de la quantité d’ammoniac
sur [10 s, 20 s].
d) Calculer le taux de variation moyen de la quantité
d’ammoniac sur [10 s, 20 s] ; [20 s, 30 s].
e) Repérer, sur le graphique suivant, la courbe repré-
sentant la concentration de N
2
, celle de H
2
et celle
de NH
3
.
Temps
C
o
n
c
e
n
t
r
a
t
i
o
n
Les variations de concentration
pendant la synthèse de l’ammoniac
f) Évaluer
+ −
→
+
Q h Q
h
lim
(0 ) (0)
;
h 0
interpréter votre
résultat.
g) Évaluer
= =
dQ
dt
dQ
dt
;
t s t10 1min
h) Lorsque t augmente, déterminer si la quantité
d’ammoniac augmente ou diminue et déterminer
si le taux de variation instantané de la quantité
d’ammoniac augmente ou diminue.
i) Déterminer
dQ
dt
lorsque Q = 70 g.
j) Déterminer Q lorsque =
dQ
dt
1,6g/s.
k) Représenter graphiquement les fonctions Q et
dQ
dt
.
13. Soit un bonbon casse-gueule (jawbreaker) de forme
sphérique dont le rayon initial est de 2 cm. En fondant,
le rayon du bonbon varie de façon linéaire passant de
2 cm à 1,5 cm en 10 minutes.
a) i) Exprimer le rayon r en fonction du temps t.
ii) Déterminer la variation moyenne du rayon
entre 5 min et 25 min.
iii) Déterminer le taux de variation instantané T
r
de la variation du rayon par rapport au temps ;
calculer T
r
lorsque le rayon est de 1 cm.
iv) Après combien de temps le bonbon sera-t-il
fondu ?
b) i) Exprimer l’aire A du bonbon en fonction du
temps t.
ii) Déterminer le rythme moyen de la variation de
l’aire lorsque t passe de 5 min à 25 min ; lors-
que r passe de 1,1 cm à 0,8 cm.
iii) Déterminer la fonction T
A
donnant le rythme
instantané de la variation de l’aire en fonction
du temps t.
iv) Déterminer ce rythme lorsque t = 20 min ;
déterminer ce rythme lorsque A est la moitié
de l’aire initiale.
c) i) Exprimer le volume V du bonbon en fonction
de t.
ii) Déterminer le rythme moyen de la variation du
volume lorsque t passe de 10 min à 20 min.
iii) Déterminer la fonction T
V
donnant le rythme
instantané de la variation du volume en fonc-
tion du temps t.
iv) Déterminer ce rythme lorsque t = 20 min ;
déterminer ce rythme lorsque V est la moitié
du volume initial.
d) Représenter graphiquement
i) la courbe de r en fonction de t ;
ii) les courbes A(t) et V(t) dans un même système
d’axes.
e) En observant les deux courbes sur [0 min, 40 min],
déterminer sans calcul le taux de variation moyen
le plus petit entre TVM
aire
et TVM
volume
.
14. Déterminer a et b telles que la droite d’équation
y = 4x + 1 soit tangente à la courbe de f, où
f (x) = ax
2
+ b, au point P(3, 13).
3
Problèmes de synthèse 165
15. Sachant que f ′(a) est défnie, exprimer les limites
suivantes en onction de f ′(a).
a)
−
−→
f t f a
a t
lim
( ) ( )
t a
b)
− −
→
f a f a h
h
lim
( ) ( )
h 0
c)
+ − −
→
f a h f a h
h
lim
( ) ( )
h 0
d)
−
−→
f x f a
x a
lim
( ) ( )
,
x a
où a > 0
e)
−
−→
t a
f t f a
lim
( ) ( )
,
t a
si f ′(a) ≠ 0
16. Soit une onction f, telle que f (x + h) = f (x) f (h) et telle
que
−
=
→
f h
h
lim
( ) 1
1.
h 0
Déterminer f ′(x) à partir de la défnition de la onction
dérivée.
17. Soit f (x) = |x | et g(x) = -|x | + 2.
a) Déterminer la onction s, où s(x) = f (x) + g(x).
b) Calculer, si c’est possible, s ′(0).
c) Peut-on conclure que s ′(0) = f ′(0) + g ′(0) ?
Donner une explication.
d) Représenter graphiquement dans un même système
d’axes les onctions f, g et s.
18. Soit f, une onction dérivable en x = a, et g, une onc-
tion telle que :
g x
f x f a
x a
x a
f a x a
( )
( ) ( )
( ) .
=
−
−
≠
′ =





si
si
Démontrer que g est continue en x = a.
chaPiTRE 3 Défnition de la dérivée166
3
Dérivée de onctions algébriques
et dérivation implicite
J
usqu’à maintenant, nous avons calculé la onction dérivée de f,
notée f ′, en utilisant la défnition 3.9.
Nous utiliserons cette défnition pour démontrer plusieurs règles
de dérivation qui abrègent les calculs et les rendent moins laborieux.
Elles permettent d’évaluer directement la dérivée des onctions algé-
briques et d’éviter ainsi les calculs difciles ondés sur la défnition.
Il est essentiel de savoir calculer la dérivée de onctions à l’aide des
règles de dérivation. Ces règles ont l’objet du présent chapitre.
Dans ce chapitre, nous verrons également des applications géométri-
ques de la dérivée telles que le calcul de la pente de la tangente à la
courbe d’une onction ainsi que l’équation de cette tangente.
En particulier, l’élève sera en mesure de calculer divers taux de
variation moyen et instantané dans le problème suivant.
L’hydrogène H et le monoxyde de carbone CO réagissent pour
ormer du méthanol :
2H
2
+ CO → CH
3
OH
Après t secondes, la quantité en grammes de méthanol est
donnée par
Q t
t
( )3
3
2 1
.= −
+
(Voir le problème de synthèse n° 15, page 209)
4
Perspective historique 168
Exercices préliminaires 169
4.1 Dérivée de fonctions
constantes, de la fonction
identité et de fonctions
de la forme x
r
, où r ∈ IR 170
4.2 Dérivée de produits,
de sommes et de quotients
de fonctions 176
4.3 Dérivée de fonctions
composées et dérivées
successives de fonctions 188
4.4 Dérivation implicite 196
Réseau de concepts 203
Vérifcation des apprentissages 204
Exercices récapitulatis 205
Problèmes de synthèse 207
J
usqu’à la fn du xvii
e
sècle, l est dfcle pour les
gens de se are une dée clare du noueau calcul de
Lebnz et de Newton. La stuaton s’amélore en 1696
aec la publcaton de l’Analyse des infniment petits pour
l’intelligence des lignes courbes de Gullaume Franços de
L’Hosptal, marqus de Sante-Mesme (1661-1704). Dans
cet ourage, le mathématcen ranças systématse pour la
premère os les règles du calcul dérentel. Au mleu du
xviii
e
sècle, deu emmes remarquables contrbueront à la
duson des dées de Lebnz et de Newton.
Le Instituzioni analitiche ad
uso della gioventu italiana
(Les bases de l’analyse à
l’usage de la jeunesse talenne)
de Maria Gaetana Agnesi
est publé en deu olumes en
1748 et en 1749. L’Académe
des scences de Pars qualfe
le second olume de melleur
ou rage sur le calcul déren-
tel et ntégral, qu’on appelle
alors « l’analyse nfntésmale ».
Cette opnon est largement
partagée pusque le lre sera
tradut dans pluseurs langues.
Mara Gaetana est l’aînée des 23 enants d’un rche mar-
chand de soe mlanas. Dès son jeune âge, elle maneste des
dons ntellectuels eceptonnels. À 11 ans, elle parle couram-
ment 7 langues et à 20 ans, elle puble un premer lre sur la
phlosophe et les scences naturelles. Elle eut deenr rel-
geuse et entrer au couent. Touteos, son père la conanc
de rester aec lu et de l’ader à s’occuper de sa nombreuse
amlle. C’est à cette époque qu’elle commence à s’nté-
resser séreusement au mathématques. Aec l’ade d’un
précepteur, le père Ramro Rampnell, elle at rapdement
des progrès. Son précepteur l’encourage à écrre un manuel
sur l’algèbre et l’analyse nfntésmale. Forte de l’epérence
qu’elle a acquse en ensegnant les mathématques à ses
jeunes rères, elle décde de are profter l’ensemble
des jeunes talens de son talent de pédagogue. Son lre
deendra un modèle de clarté. Sa notorété est telle que
le pape Benoît XIV la nomme à une chare de mathémat-
ques de l’Unersté de Bologne en 1750. Cependant, elle
n’ra jamas à Bologne. À la mort de son père en 1752, elle se
retre de la haute socété pour se consacrer entèrement à des
œures chartables auprès des emmes paures. Elle mourra,
elle-même paure, une quarantane d’années plus tard.
L’année 1749 marque un autre
éénement mportant relé à la
présence des emmes en mathé-
matques. Le 10 septembre, à
l’âge de 43 ans, Gabrielle Émilie
Le Tonnelier de Breteuil,
marquise du Châtelet décède
en donnant nassance à une flle.
Contrarement à Mara Agnes,
Émle a été toute sa e très
acte dans la haute socété
rançase. Elle est connue prn-
cpalement pour sa traducton
rançase commentée des Philoso­
phiae Naturalis Principia Mathe­
matica (Prncpes mathématques de la phlosophe naturelle)
de Newton, parue en 1759, d ans après sa mort. Cette
traducton arre à pont, car depus le début du sècle, une
e controerse oppose en France les tenants de la méca-
nque newtonenne, basée sur un prncpe d’acton à dstance,
à ceu de la mécanque cartésenne, basée sur une théore des
tourbllons d’une matère subtle qu, selon Descartes, remplt
l’Uners. Émle a probablement rencontré des mathémat-
cens et des saants dès sa prme jeunesse dans les grands
salons de l’appartement amlal au cœur de Pars. Elle ne les
quttera jamas rament. Marée au marqus Florent-Claude
du Châtelet en 1725, elle s’entoure des plus grands esprts de
son temps : d’abord Voltare (1694-1778), son plus proche am
jusqu’à la fn, mas auss Maupertus (1698-1759) et Clarault
(1713-1765), respectement physcen et mathématcen alors
au sommet de leur carrère. Émle du Châtelet est értable-
ment une emme de son sècle, le Sècle des Lumères, des
connassances et du saor.
Elle est auss une emme à la personnalté attachante,
comme l’écrt Voltare dans une lettre de jun 1734, peu
après l’aor rencontrée : « Son esprt est dgne de ous et de
M. de Maupertus, et son cœur est dgne de son esprt. Elle
rend de bons ofces à ses ams, aec la même acté qu’elle
a apprs les langues et la géométre ; et quand elle a rendu
tous les serces magnables, elle crot n'aor ren at ; elle
crot ne ren saor, gnore s elle a de l'esprt. »
La dffn d calcl dfférenel grâce
à ne pédagge e à ne radcrce
PersPective h i s t o R i q u E
Mara Gaeana Agne
(1718-1799)
Émle d Câele
(1706-1749)
168 Perspective historique
4
Exercices préliminaires
1. Écrire les expressions suivantes sous la orme x
r
, où
∈r IR.
a) x b) x
53
c)
x
1
3
4 d) x
75 −
e) x x )
x
x
3
7
2. Écrire les expressions suivantes sous la orme x ,
ba
où
∈ ∈a bIN et IN.
a) x
2/3
b) x
3/2−
c) x x
1/2 3/4
d)
x
x
4/5
5/4
3. Si f (x) = x
2
+ 4, g(x) = 2x + 3 et k x x( ) 3 1,= − cal-
culer les onctions composées suivantes. Simplifer les
réponses.
a) ( f
º
g) (x)
b) (g
º
f ) (x)
c) ( f
º
f ) (x)
d) ( f
º
k) (x)
e) (k
º
k) (x)
) ( f
º
g
º
k) (x)
4. Évaluer les expressions suivantes.
a) 0 ! b) 6 !
c)
13!
10!
d)
70!
69!
e)
83!
80!
)
200!
202!
5. Compléter les égalités suivantes.
a)
H x h H x
h
lim
( ) ( )
______
h 0
+ −
=
→
b)
g y k g y
k
lim
( ) ( )
______
k 0
+ −
=
→
6. Compléter l’énoncé suivant.
f ′(a) correspond graphiquement à la
7. Compléter les égalités suivantes si toutes les limites
existent.
a) k f xlim [ ( )] ______
x a
=
→
b) f x g xlim [ ( ) ( )] ______
x a
± =
→
c) f x g xlim [ ( ) ( )] ______
x a
=
→
169
44
Exercices préliminaires
Dans cette section, nous démontrerons des théorèmes qui permettent d’obtenir, sans
calcul de limites, la dérivée de onctions constantes, la dérivée de la onction identité
et la dérivée de onctions de la orme x
n
, où ∈n IN*.
Dérvée de fncns cnsanes
e de la fncn dené
4.1 Dérvée de fncns cnsanes, de la fncn
dené e de fncns de la frme x
r
, ù r iR
objecfs d’apprenssage
À la fn de cette section, l’élève pourra calculer la dérivée de onctions constantes, de
la onction identité et de onctions de la orme x
r
, où ∈r IR.
Plus précisément, l’élève sera en mesure :
• de démontrer que la dérivée d’une fonction constante est égale à 0 ;
• de calculer la pente de la tangente à la courbe de fonctions constantes ;
• de démontrer que la dérivée de la fonction identité est égale à 1 ;
• de calculer la pente de la tangente à la courbe de la fonction identité ;
• de démontrer la règle permettant de calculer la dérivée de fonctions de la forme x
n
, où ∈n IN ;
• de calculer la dérivée de fonctions de la forme x
r
, où ∈r IR ;
• de calculer la pente de la tangente à la courbe de fonctions de la forme x
r
, où ∈r IR.
d
dx
k
d
dx
x
d
dx
x rx
( ) 0
( ) 1
( )
r r 1
=
=
=
−
thérème 4.1
Dérivée d’une
fonction constante
Si f (x) = k, où ∈k IR, alors f ′(x) = 0.
f x
f x h f x
h
k k
h
h
( ) lim
( ) ( )
lim
lim
0
lim 0
0
f x k f x h k
k k
h
h
(
(définition 3.9)
(car ( ) et ( ) )
(car ) 0)
puisque 0,
0
0
(en évaluant la limite)
h
h
h
h
0
0
0
0
( )
′ =
+ −
=
−
=
=
=
= + =
− =
≠ =
→
→
→
→
Preuve
Le théorème 4.1 signife que la dérivée d’une onction constante est égale à 0.
Nous pouvons également écrire :
d
dx
k k( ) 0 ou ( ) 0= ′ =
Chapitre 4