Aula 13 Conjuntos Numéricos

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Raciocínio Lógico e Matemática COMPLETÃO – do ZERO à APROVAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 13 – Conjuntos 
Numéricos 
Raciocínio Lógico e Matemática COMPLETÃO 
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Sumário 
SUMÁRIO ...........................................................................................................................................................2 
CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................................................. 3 
NÚMEROS NATURAIS ........................................................................................................................................ 3 
NÚMEROS INTEIROS ......................................................................................................................................... 4 
Operações com números inteiros ...................................................................................................................... 5 
NÚMEROS RACIONAIS..................................................................................................................................... 18 
Operações com números racionais .................................................................................................................. 20 
Frações e operações com frações .................................................................................................................... 26 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS .............................................................................................................................. 33 
NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................................................................................. 37 
NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................................. 40 
DIVISIBILIDADE ................................................................................................................................................ 41 
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO ................................................................................................................. 43 
MÚLTIPLOS E DIVISORES ................................................................................................................................ 45 
Mínimo múltiplo comum (MMC) ..................................................................................................................... 45 
Máximo divisor comum (MDC) ........................................................................................................................ 54 
POTENCIAÇÃO................................................................................................................................................. 59 
Noções básicas sobre potências ...................................................................................................................... 59 
Propriedades da potenciação ......................................................................................................................... 60 
Potências importantes ................................................................................................................................... 63 
RADICIAÇÃO .................................................................................................................................................... 66 
Propriedades da radiciação ............................................................................................................................ 67 
Técnicas para obtenção de raízes .................................................................................................................... 70 
Racionalização de denominadores ...................................................................................................................77 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ................................................................................................. 79 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...................................................................................................................... 132 
GABARITO ..................................................................................................................................................... 158 
RESUMO DIRECIONADO ................................................................................................................................ 159 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conjuntos Numéricos 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Frações. MMC e MDC. Divisibilidade. Radiciação e 
Potenciação (teoria e questões) 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
 
NÚMEROS NATURAIS 
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são 
aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os 
seus elementos entre chaves: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…} 
 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. 
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um 
número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor 
do número “n” é o número “n+1”. 
 
 Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o 
antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, 
pois é o primeiro número desse conjunto. 
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 Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém 
{2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
 Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. 
Por isso o zero também é par. A propósito, todos os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 são pares, 
ok? Os números pares podem ser representados sempre na forma 2.n, onde n é um número natural. 
Por exemplo, 10 é igual a 2.5, da mesma forma que 28 é igual a 2.14, e assim por diante. 
 
 Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Todos os números que 
terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 são ímpares, ok? Os números ímpares podem ser representados na forma 
2n+1, onde n é um número natural. Por exemplo, o 15 é igual a 2.7+1, já o 29 é igual a 2.14+1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar.Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6. 
 
NÚMEROS INTEIROS 
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são 
naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N 
e Z: 
 
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Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos 
subconjuntos são autoexplicativos: 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, 
pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. 
 
Operações com números inteiros 
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 
728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa 
das unidades): 
728 
+46 
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos 
colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima 
soma: 
1 
728 
+46 
4 
 
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Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma 
anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 
728 
+46 
74 
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui 
casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
728 
+46 
774 
Chegamos ao nosso resultado final. 
Vamos trabalhar uma questão de prova bem interessante? 
FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo da milhar do resultado da soma 
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 
 é igual a 
(A) 0. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 8. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
Temos a soma: 
 
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Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades (direita). Somando as casas das unidades, temos 9 
vezes o número 6, o que nos permite fazer rapidamente 9 x 6 = 54. Deixamos o 4 no resultado, e levamos o 5 
para a próxima soma: 
 
 5 
 
 4 
 
 Somando as casas das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação anterior, temos 48 + 5 = 
53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5 para a próxima operação. 
 
 5 
 
 34 
 
 Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 = 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior, 
ficamos com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima operação: 
 
 
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 4 
 
 734 
Somando as casas da milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4 
= 40. Portanto na casa da milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação: 
 4 
 
 0734 
Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa da milhar. 
Resposta: A 
 
Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. 
 
 propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros possui a propriedade comutativa, 
pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
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 propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a 
seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade 
está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14 
 
 elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a 
zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. 
 
 propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números inteiros SEMPRE 
gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros 2 e 5 gera o número inteiro 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto 
é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 
9 – 5 = 4 
 
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a 
operação 365 – 97: 
 
365 
- 97 
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. 
Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos 
subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “emprestar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor 
para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos 
subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma 
unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da 
casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
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Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, 
e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos 
este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. 
 
 propriedadecomutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, 
pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
 propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente 
de (C – B) – A 
 
 elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, 
este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
 propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros possui essa propriedade, pois a subtração 
de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. 
 
 elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. 
Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de 
A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0. 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 
15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... 
+ 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
57 
x 13 
 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 
x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a 
próxima operação: 
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 2 
57 
x 13 
 1 
Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do 
primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da 
operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
57 
x 13 
171 
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades 
do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo 
logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 
57 
x 13 
171 
 7 
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das 
dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 
57 
x 13 
171 
 57 
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
 x 13 
 171 
+570 
741 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos 
isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse 
do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: 
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SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. 
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos 
multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a 
ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). 
 
 propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, 
que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
 elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por 
qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
 
 propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de 
números inteiros SEMPRE gera um número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35). 
 
 propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos 
permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
Veja comigo essa questão: 
CONSULPLAN – Pref. Cascavel/PR – 2016) Considere a operação apresentada: 
 
Qual é o valor de J para que a operação seja verdadeira? 
A) 3. 
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B) 4. 
C) 5. 
D) 6. 
E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que nossa primeira multiplicação será J x J, e o resultado obtido deve terminar com o mesmo 
número J. Isto acontece com o 5 (pois 5x5 = 25) e 6 (pois 6x6 = 36), que são os dois valores possíveis para J. Veja 
como fica com cada um deles: 
15 x 5 = 75 
16 x 6 = 96 
 Fica evidente que o correto é considerar J = 6, pois o resultado deve começar com 9. 
Resposta: D 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, 
sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5  . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está 
dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda 
do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
715 |18 
 -54 3 
 175 
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado 
da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: 
 
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715 |18 
 -54 39 
 175 
 -162 
 13 
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o 
quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. 
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do 
resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
Use essa informação na próxima questão: 
VUNESP – CRO/SP – 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 15. 
Dividindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é correto afirmar que 
n(n + 2) é igual a 
(A) 440. 
(B) 420. 
(C) 400. 
(D) 380. 
(E) 340. 
RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto 
 
 Temos: 
Dividendo = 18 x n + 15 
Dividendo = 17 x (n+2) + 1 
 
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 Como em ambos os casos o número (dividendo) é o mesmo: 
18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1 
18n + 15 = 17n + 34 + 1 
18n – 17n = 35 – 15 
n = 20 
 
 Assim, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440. 
Resposta: A 
 
As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação:SINAIS NA DIVISÃO 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos 
dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
 propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. 
Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
 propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de 
(C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. 
 
 elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, 
o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. 
 
 propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros. A divisão de números 
inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados 
fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos 
números inteiros. 
 
Antes de prosseguirmos, veja mais essas questões: 
 
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FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos: 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e III. 
(D) II. 
(E) III. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos tratando apenas de números inteiros não 
negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais. 
 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor. 
 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto, 
Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever: 
Dividendo = divisor x divisor + resto 
88 = divisor x divisor + resto 
Veja que o divisor por igual a 8, teríamos: 
88 = 8 x 8 + resto 
88 = 64 + resto 
resto = 22, 
O que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor. 
Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com: 
88 = 9 x 9 + resto 
88 = 81 + resto 
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7 = resto 
Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO. 
 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número de 4 algarismos (9.999) pelo maior número 
de três algarismos (999): 
9.999 x 999 = 
9.999 x (1000 - 1) = 
9999x1000 - 9999x1 = 
9.999.000 - 9.999 = 
9.999.000 - 10.000 + 1 = 
9.989.000 + 1 = 
9.989.001 
Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a afirmação deste item. CORRETO. 
Resposta: C 
 
FCC – SABESP – 2012) Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No 
último ano, cada uma dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente 
distribuída entre os mercados consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu 
foi 
(A) 26.007 
(B) 26.070 
(C) 206.070 
(D) 260.007 
(E) 260.070 
RESOLUÇÃO: 
Como são 5 unidades produtivas, o total de automóveis produzidos será: 5 x 364.098 = 1.820.490 automóveis. 
Toda essa produção foi distribuída para 7 países. Vamos montar a divisão que resultará no número de 
automóveis que cada país recebeu: 
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Portanto, o total foi de 260.070 automóveis para cada país. 
Resposta: E 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números 
inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 
5
4
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. 
 
−
15
4
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. 
 
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora 
vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma 
𝐴
1
 (A dividido por 1, onde A é um número 
inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido 
para você: 
 
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O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, quando 
escrevemos um número racional na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a 
divisão de um número por zero é impossível (exceto 
0
0
, cujo valor é indeterminado). 
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: 
 Frações. Ex.: , , etc. 
 
 Números decimais. Ex.: 1,25 
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por 
isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como ou mesmo 
simplificá-lo para . 
 
 Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se 
indefinidamente). 
 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O 
número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual 
fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... 
ou . 
Guarde isso: 
 
A respeito disso, julgue as duas assertivas abaixo: 
FGV – CAERN – 2010) Julgue as afirmativas a seguir: 
I – 0,555... é um número racional 
II – Todo número inteiro tem antecessor 
RESOLUÇÃO: 
Números 
racionais
Frações
Decimais (finitos)
Dízimas
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Repare que o número 0,555... é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas são um tipo de 
número RACIONAL. A afirmativa I está CERTA. 
Seja qual for o número inteiro, sempre podemos subtrair 1 unidade dele, obtendo o seu antecessor. Por 
exemplo, o antecessor de 57 é o 56. O antecessor de 0 é -1. E o antecessor de -99 é o -100. A afirmativa II está 
CERTA também. 
Resposta: C C 
 
Veja comigo mais um exercício acerca dos números racionais: 
FCC – SABESP – 2018) Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em 
polegadas. Dentre as alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
 (A) 5/8. 
 (B) 1/2. 
 (C) 1 ¼. 
 (D) 3/4. 
 (E) 1 ½. 
RESOLUÇÃO: 
Quando queremos comparar números racionais, o ideal é deixar todos na forma decimal. Isto é, dividir o 
numerador pelo denominador da fração. Veja: 
5/8 = 0,4 
½ = 0,5 
1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 (repare que 1 ¼ significa 1 MAIS ¼) 
¾ = 0,75 
1 ½ = 1 + 0,5= 1,5 
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas, que corresponde a 1,5 polegadas. 
Resposta: E 
 
Operações com números racionais 
Além do que já vimos ao trabalhar com os números inteiros, precisamos aprender agora a trabalhar com 
os números decimais, isto é, aqueles números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é 
essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, 
multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas 
operações em detalhes. 
a) Adição de números decimais: 
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A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, 
e as casas correspondentes uma embaixo da outra; 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda; 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das 
casas logo à esquerda). 
 
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a 
vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 13,47 
+ 2,9 
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo 
número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do 
segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, 
basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando 
houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 
2). Com isso, temos: 
 13,47 
 + 2,9 
 16,37 
Vamos fazer uma questão juntos? 
FCC – DPE/RS – 2017) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e 
que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a 
(A) 6,111 . . . 
(B) 5,888 . . . 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 5,98 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver de forma aproximada, somando os números com 4 casas decimais: 
 0,8666 
 + 0,7111 
 + 0,4222 
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Veja que eu coloquei uma vírgula embaixo da outra, de modo que as casas decimais correspondentes também 
estão uma embaixo da outra. Começamos a soma pela direita, fazendo 6+1+2 = 9. Essa mesma soma se repete 
nas duas casas à esquerda. Na casa logo antes da vírgula, temos 8+7+4 = 19, de modo que devemos deixar o 9 
e passar o 1 para a próxima casa, isto é, após a vírgula, ficando com: 
 0,8666 
 + 0,7111 
 + 0,4222 
 1,9999 
Note que 1,9999 é aproximadamente 2. Se tivéssemos colocado mais casas decimais em nossos números, 
chegaríamos em algo com ainda mais casas decimais, como 1,9999999... Este número pode ser substituído por 
2, pois ele fica tão próximo de 2 quanto a gente queira, é só ir colocando mais casas decimais na soma. 
O TRIPLO da soma é 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C. 
Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma 
solução bem mais demorada e trabalhosa. 
Resposta: C 
 
b) Subtração de números decimais: 
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma 
vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a 
esquerda. Vejamos: 
 13,47 
 - 2,9 
 10,57 
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da 
casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 
9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” 
já havia sido utilizada. 
Pratique as subtrações de números decimais resolvendo esse exercício: 
FGV – CODEBA – 2016) Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das 
marés alta (A) e baixa (B), formando a tabela a seguir. 
 
A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi 
(A) 1,0. 
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(B) 1,1. 
(C) 1,2. 
(D) 1,3. 
(E) 1,4. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Basta subtrairmos valores consecutivos. Veja: 
 
0,3 – 1 = -0,7 
1,1 – 0,3 = 0,8 
0,2 – 1,1 = -0,9 
1,3 – 0,2 = 1,1 
0,4 – 1,3 = -0,9 
1,4 – 0,4 = 1 
0,5 – 1,4 = -0,9 
1,2 – 0,5 = 0,7 
0,4 – 1,2 = -0,8 
1,0 – 0,4 = 0,6 
Note que a maior diferença é 1,1. 
Resposta: B 
 
c) Multiplicação de números decimais: 
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de 
um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois 
números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. 
Vejamos o nosso exemplo: 
 13,47 
 x 2,9 
 12123 
+ 26940 
 39,063 
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Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha 
refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente 
do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos 
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que 
leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor 
e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o 
divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a 
retirar ambas as casas decimais: 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. 
Faça a próxima questão comigo: 
CESPE – CORREIOS – 2011) Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com 
uma nota de R$ 50,00 e receba R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa 
 a) mais de R$ 7,50. 
 b) menos de R$ 3,00. 
 c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50. 
 d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00. 
 e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50. 
RESOLUÇÃO: 
Pagando 50 e recebendo 15,50 de troco, o valor efetivamente pago foi: 
Pagamento = 50 – 15,50 = 34,50 reais 
Como foram adquiridas 5 unidades, então devemos dividir esse valor pago por 5. Para montar a divisão, vamos 
multiplicar 34,5 e 5por 10. Fica: 
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Portanto, cada unidade custa 6,90 reais. 
Resposta: E 
 
 
Trabalhe ainda os cálculos a seguir: 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes 
operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
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Frações e operações com frações 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais 
são que operações de divisão. Escrever 
2
5
 é equivalente a escrever 2 ÷ 5. As frações estão constantemente 
presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com 
elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com 
um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores 
das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos 
entender isto com o exemplo abaixo: 
1 3
6 8
 
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). 
Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, 
também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 
1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, 
também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 
3 9
8 24
 . 
Lembre-se disso: o mesmo número utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador! 
 
Agora sim podemos efetuar a soma, mantendo o denominador e somando apenas os numeradores: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24

     
 
Antes de avançarmos, pratique a soma de frações com essa questão: 
FGV – BANESTES – 2018) Na igualdade 
3
5
 + 
3
20
 + 
3
25
 = 
x
100
 o valor de x é: 
A) 59 
B) 65 
C) 77 
D) 83 
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E) 87 
RESOLUÇÃO: 
Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de 
5, 20 e 25. Logo: 
20 x 3
100
 + 
5 x 3
100
 + 
4 x 3
100
 = 
x
100
 
60
100
 + 
15
100
 + 
12
100
 = 
x
100
 
87
100
 = 
x
100
 
X = 87 
Resposta: E 
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o 
denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48

  

 
Pratique a multiplicação de frações: 
Resolva mais estes dois exercícios: 
FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C 
o quociente da divisão de 14 por 22. 
O produto A . B . C é igual a 
(A) 3,072072072 . . . 
(B) 3,636363 . . . 
(C) 3,121212 . . . 
(D) 3,252525 . . . 
(E) 3,111 . . . 
RESOLUÇÃO: 
Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22, que correspondem ao produto A x B x C: 
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8 15 14
3 7 22
8 15 2
3 1 22
8 5 1
1 1 11
40
11
3,63...
  
  
  

 
Logo, A x B x C = 3,6363.. que corresponde à letra B. 
Resposta: B 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso 
exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
     
 
 
Exercite mais um pouco as operações com frações: 
FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as expressões numéricas, abaixo. 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      e 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 1. 
(B) 2,5. 
(C) 1,5. 
(D) 2. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
Para resolver essa questão você deve lembrar que só podemos somar frações que estejam escritas com o 
mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas: 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      
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16 8 4 2 1 31
32 32 32 32 32 32
A       
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
81 27 9 3 1 121
243 243 243 243 243 243
B       
Portanto, 
31 121
32 243
A B   
Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1 (pois o numerador é praticamente o mesmo valor do 
denominador). E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de modo que 121/243 é 
aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 1 + 0,5 = 1,5. Com 
este cálculo aproximado, podemos marcar rapidamente a alternativa C. 
Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da 
soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um 
denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243. 
Resposta: C 
 
 É interessante aproveitar que estamos conversando sobre frações para falar sobre simplificação. 
Observe a fração 
8
18
 logo acima. Perceba que tanto o numerador como o denominador podem ser divididos por 
um MESMO número: 2. Se dividirmos tanto o 8 como o 18 por 2, ficamos com a fração 
4
9
. Essa fração é 
equivalente à anterior, porém tem números menores, o que geralmente facilita os cálculos. Portanto, guarde 
isso: 
Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número 
Será que podemos simplificar ainda mais a fração 
4
9
 ? Perceba que não é possível fazer essa simplificação, 
pois não existe um número natural capaz de dividir tanto o 4 como o 9. Dizemos que isso acontece porque os 
números 4 e 9 são primos entre si (isto é, não possuem nenhum divisor em comum). Por este motivo, dizemos 
que a fração 
4
9
 é uma fração irredutível, isto é, não pode ser mais simplificada / reduzida. 
 
Resolva as próximas questões utilizando a simplificação de frações: 
FGV – IBGE – 2016) A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de 
“1 unidade astronômica” (1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do 
Sol. A distância de Sírius ao Sol em UA é: 
(A) 5.400; 
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(B) 54.000; 
(C) 540.000; 
(D) 5.400.000; 
(E) 54.000.000. 
RESOLUÇÃO: 
Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. Veja que 150 milhões de quilômetros são 
150.000.000. Assim, o número de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é: 
N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000 
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 1.000.000 (um milhão). Basta 
“cortar” seis zeros de cada número, ficando: 
N = 81.000.000 / 150 
Podemos dividir numerador e denominador por 10, obtendo: 
N = 8.100.000 / 15 
Podemos dividir numerador e denominador por 3, obtendo: 
N = 2.700.000 / 5 
Está vendo que o denominador é 5? Neste caso, eu recomendo que você MULTIPLIQUE o numerador e o 
denominador por 2, pois assim o cálculo fica mais fácil. Veja: 
N = 5.400.000 / 10 
N = 540.000 quilômetros 
Resposta: C 
 
VUNESP - PM/SP - 2015) A representação fracionária do resultado da operação 0,21875 − 0,15625é 
a) 1/16 
b) 3/16 
c) 9/32 
d) 7/32 
e) 5/32 
RESOLUÇÃO: 
 Fazendo a subtração, temos: 
 0,21875 
- 0,15625 
 0,06250 
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 Como as respostas são frações, devemos escrever este número na forma de fração. Veja que: 
 
 
 Precisamos agora simplificar essa fração. Podemos começar dividindo numerador e denominador por 5, 
sucessivas vezes. Ficamos com: 
 
 Temos nosso gabarito na alternativa A. 
Resposta: A 
 
 A dica abaixo é muito útil para a interpretação do enunciado das questões, isto é, para sermos capazes de 
passar a informação escrita no enunciado em língua portuguesa para a “linguagem matemática”: 
DICA SOBRE FRAÇÕES 
Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1
1000
3
 ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2
25
7
 . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 
1
(700 600)
4
  . 
- quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 
5
( )
9
X Y  . 
 
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! Veja este, por 
exemplo: 
VUNESP – Câmara de São José do Rio Preto – 2015) Uma brincadeira antiga com números começava com a 
pergunta: 
“Quanto é a metade de dois mais dois?” 
E o interpelado quase sempre respondia com “2”, quando a resposta correta é “3”. Essa brincadeira usa a ordem 
de precedência dos operadores, que exige que a divisão venha antes da soma, quando não há parênteses 
envolvidos. 
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Usando a ordem de precedência dos operadores, e considerando que não há parênteses envolvidos, para a 
pergunta: 
“Quanto é a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”? 
A resposta correta é 
(A) –151. 
(B) –85. 
(C) 5. 
(D) 120. 
(E) 762 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos por partes: 
“décima segunda parte de mil duzentos e doze” = (
1
12
) x 1212 
 
“doze vezes nove” = 12x9 + 12 
 
 Juntando: 
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove” = (
1
12
)x1212 – 12x9 
 
 Com mais o final: 
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze” 
= (
1
12
)x1212 – 12x9 + 12 
= 101 – 108 + 12 
= 113 – 108 
= 5 
Resposta: C 
 
Agora veja como operações com frações podem aparecer em um problema de raciocínio matemático: 
FCC – DPE/RS – 2017) Carlos comeu a terça parte de uma pizza. Angelina chegou depois e comeu a metade do 
que Carlos havia deixado da pizza. Por último, Beatriz chegou e comeu o correspondente à metade do que 
Angelina havia comido. A fração que sobrou dessa pizza foi 
(A) 1/6 
(B) 3/8 
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(C) 2/9 
(D) 1/5 
(E) 1/12 
RESOLUÇÃO: 
Seja P o total da pizza. Como Carlos comeu 1/3 de P, a sobra foi: 
Sobra após Carlos = 𝑃 −
𝑃
3
=
3𝑃
3
−
𝑃
3
=
2𝑃
3
 
 
Angelina comeu metade disto, sobrando a outra metade, isto é: 
Sobra após Angelina = 
1
2
 𝑥 (
2𝑃
3
) =
2𝑃
6
=
𝑃
3
 
 
 Beatriz comeu metade do que Angelina havia comido. Isto é, 
Beatriz comeu = 
1
2
𝑥 [
1
2
𝑥 (
2𝑃
3
)] =
1
2
𝑥
𝑃
3
=
𝑃
6
 
 
Após Angelina comer, havia sobrado P/3 da pizza. Como Beatriz comeu P/6, sobrou ainda: 
Sobra após Beatriz = 
𝑃
3
−
𝑃
6
=
2𝑃
6
−
𝑃
6
=
𝑃
6
 
Portanto, da pizza de tamanho P sobrou apenas a fração P/6, ou seja, sobrou 1/6 da pizza. 
Resposta: A 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que 
indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: 
 ( 25 2) (9 3) 7 4        
 
A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver 
operações de soma ou subtração. 
 
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Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-
se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a 
primeira a ser resolvida: 
  (5 2) (9 3) 7 4      
A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: 
  7 6 7 4    
Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
 42 7 4   
Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4  
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 
35 4 8,75  
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver 
uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de 
divisão. 
Importante: se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em 
sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. Por exemplo, qual é o resultado correto da expressão: 
20 ÷ 20 ÷ 5 
O certo é resolver na ordem, ou seja, primeiramente dividir 20 por 20, obtendo 1, e então dividir o 1 por 5, 
obtendo 1/5 ou simplesmente 0,2. Isto é: 
20 ÷ 20 ÷ 5 = 1 ÷ 5 = 0,2 
 
 ATENÇÃO, pois se você primeiramente quiser dividir segundo número 20 por 5, vai obter o resultado 4. 
Dividindo o primeiro 20 por 4, você obteria 5, ERRANDO o cálculo: 
20 ÷ 20 ÷ 5 = 20 ÷ 4 = 5 
 
Veja comigo as questões a seguir: 
FGV – BANESTES – 2018) O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é: 
(A) 14. 
(B) 22. 
(C) 24. 
(D) 28. 
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(E) 52. 
RESOLUÇÃO: 
Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo: 
5 + 3 x 7 – 4 = 
5 + 21 – 4 
Agora, podemos fazer as operações na ordem que elas aparecem. Somando o 5 com o 21, e depois subtraindo 
4, temos: 
26 – 4 = 
22 
Resposta: B 
 
FCC – TRT/11 – 2017) O valor que corresponde ao resultado correto da expressão numérica 
(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) 
é 
a) 2/5 
b) 1/4 
c) 3/4 
d) 1/5 
e) 1/3 
RESOLUÇÃO: 
Devemos começar resolvendo as potências dentro de cada parênteses: 
(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) = 
(169 – 121) / (144 / 3) / (100 – 81 – 16) = 
Agora resolvemos as demais operações dentro dos parênteses 
48 / 48 / 3 = 
1 / 3 
Resposta: E 
 
FCC – CNMP – 2015) O resultado da expressão numérica 
     
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                    
         
 
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é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
RESOLUÇÃO: 
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                     
         
 
1 2 1 6 9
.7. .( 6). .10. .
3 5 4 7 9
         
              
         
 
 
1 2 1 6
.7. .( 6). .10. . 1
3 5 4 7
       
            
       
 
 
1 2 1 6
.7. .(6). .10. . 1
3 5 4 7
       
       
       
 
 
1 2 1 6
.1. .(2). .10. . 1
1 5 4 1
       
        
       
 
 
1 1 1 6
.1. .(1). .10. . 1
1 5 1 1
       
        
       
 
 
60
1
5
 
  
 
 
   12 . 1  
12 
Resposta: E 
 
VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a resolução da expressão numérica 
 
por uma aluna: 
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Analisando-se a resolução, é correto afirmar que 
(A) há erro na passagem da linha 1 para a linha 2, apenas. 
(B) há erro na passagem da linha 2 para a linha 3, apenas. 
(C) há erro na passagem da linha 3 para a linha 4, apenas. 
(D) há erro nas passagens da linha 1 para a 2 e da linha 2 para a 3, apenas. 
(E) não há erro em passagem alguma. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que o cálculo foi feito corretamente. A aluna optou por aplicar a propriedade distributiva da 
multiplicação, multiplicando por ½ cada um dos termos da equação. Repare que, ao multiplicar o termo −
8
2
 por 
1
2
, obteve-se o valor de −
8
4
, o que está correto. Feito isto, foi realizada primeiramente a operação de divisão, 
para só então serem realizadas as demais operações. 
Resposta: E 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
Os Números Irracionais são aqueles que não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não 
podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros), ao contrário dos números Racionais. Isto 
porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: 
 
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) 
A propósito, vale dizer que todas as raízes que não têm valor EXATO são números irracionais. Assim, 
outros números irracionais são: √3, √5, √7, √10, e assim por diante. 
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas 
decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
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Outro número irracional bastante conhecido é o número de Euler, representado pela letra e, cujo valor é 
aproximadamente: 
e = 2,718281828459050... 
A propósito, veja esse exercício: 
CESPE – SEDUC/AL – 2018) O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard 
Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos 
dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = ln x = 𝑙𝑜𝑔𝑒x tem inúmeras 
aplicações científicas. 
A respeito desse assunto, julgue os itens a seguir: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar cada item: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
 O número de Euler é irracional, com os 3 primeiros algarismos sendo por 2,71. Portanto, esse número é 
menor do que o número racional 2,72. Alternativa CORRETA. 
 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
 Toda dízima periódica é um número racional. Na subtração de um número racional por um número 
irracional, o resultado será um número irracional. Como o número irracional possui casas decimais que nunca 
se repetem, as subtrações também não vão se repetir, o que vai gerar um número no resultado cujas casas 
decimais não se repete, isto é, um número irracional. Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
 Guarde que: 
 a soma de números irracionais pode gerar um número racional; 
Isto ocorre quando somamos dois números irracionais opostos como, por exemplo: 
√7 + (−√7) = 0 
Veja que o resultado foi ZERO, que é um número racional. 
 
 a soma/subtração entre um número irracional e um número racional tem resultado irracional; 
Isso ocorre pois o número irracional tem infinitas casas decimais que não se repetem. Ao fazer a soma (ou 
subtração), cada uma dessas diferentes casas terá que ser somada à casa correspondente no número racional, 
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gerando somas diferentes que não terão um padrão de repetição. Portanto, a soma 2 + √2 certamente gera 
um resultado irracional. 
 
 a multiplicação entre um racional e um irracional pode ter resultado racional; 
 Lembre-se sempre que o ZERO é um número racional. Se multiplicarmos qualquer número por zero 
(inclusive um número irracional), o resultado é SEMPRE igual a zero. Portanto, 0 × √2 = 0, que é racional. 
 
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação dos números irracionais na reta 
numérica: 
 não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto porque esses números 
têm infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma 
A
B
e usar o 
mesmo método que vimos para localizar os números racionais. 
 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos 
que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede exatamente 2 , que é um número irracional. 
Portanto, basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a 
distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 
 
Vejamos uma questão sobre números irracionais: 
IADES – ELETROBRAS – 2015) Quanto aos números reais, assinale a alternativa correta. 
a) Os números √2 ≅ 1,4142 e √3 ≅ 1,732 são os únicos números irracionais entre 1 e 2. 
b) Entre dois números racionais distintos, existe um único número irracional. 
c) Entre dois números racionais distintos, existe apenas uma quantidade finita, maior do que 1, de números 
irracionais. 
d) Existem dois números racionais distintos, entre os quais não existe nenhum número irracional. 
e) Entre dois números racionais distintos, existem infinitos números irracionais. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar cada alternativa. 
Alternativa A: existem infinitos números irracionais entre 1 e 2. Mais do que isso, entre 2 números quaisquer 
sempre teremos infinitos números irracionais. Mesmo entre 1,001 e 1,002 nós temos infinitos números 
irracionais. 
 
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Alternativa B: existem infinitos números irracionais entre outros dois números irracionais, como afirmei 
anteriormente. 
 
Alternativa C: existem infinitos números irracionais entre dois números racionais distintos. 
 
Alternativa D: entre todos os números racionais distintos existem infinitos números irracionais. 
 
Alternativa E: correto, como dissemos anteriormente. 
RESPOSTA: E 
 
NÚMEROS REAIS 
O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, 
podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 
E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
Complementando o diagrama que desenhamos ao estudar os outros conjuntos, agora temos: 
 
No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R 
significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais. 
Veja a próxima questão comigo: 
IBFC – TCM/RJ – 2016) Dentre as alternativas, a única incorreta é: 
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a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional 
b) O conjunto dos reais é a união entre os números racionais e os números irracionais 
c) A subtração não é operação no conjunto dos naturais 
d) Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos racionais 
RESOLUÇÃO: 
A afirmação A está ERRADA. Se somarmos um número irracional com o seu oposto, o resultado é zero. Por 
exemplo, somando o número irracional √2 com o número irracional −√2, o resultado é zero – que é um número 
RACIONAL. 
 
A afirmação B está CERTA, pois os números reais de fato são compostos pela união entre racionais e irracionais. 
 
Na afirmação C, ao dizer que a subtração “não é operação no conjunto dos naturais”, o examinador está dizendo 
que a subtração não tem a propriedade do fechamento no conjunto dos naturais. Isto é verdade mesmo, pois 
se subtraimos 3 – 7, por exemplo, o resultado é -4, número que não faz parte dos naturais. Afirmação CERTA. 
 
A afirmação D está CERTA, pois realmente as dízimas pertencem ao conjunto dos racionais, uma vez que 
podem ser escritas na forma de fração. 
Resposta: A 
Para finalizar o estudo dos números reais, deixo algumas breves observações: 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais; 
Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns 
números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser 
localizados exatamente (os irracionais). 
 
DIVISIBILIDADE 
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas 
decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 
25 5 5  e o resto é ZERO, portanto 25 é divisível por 5. 
O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5. 
Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem 
os critérios de divisibilidade. Vamos passar por cada um deles rapidamente? 
Divisibilidade por 1 
Aqui é fácil: TODOS os números são divisíveis por 1. 
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Divisibilidade por 2 
Os números PARES são divisíveis por 2. Vale lembrar que pares são os números que terminam em 0, 2, 4, 
6 ou 8. Portanto, o número 365978 certamente é divisível por 2, afinal ele termina em 8, sendo um número par. 
Divisibilidade por 3 
Os números divisíveis por 3 são aqueles cuja SOMA DOS ALGARISMOS é divisível por 3. 
Por exemplo, 257 é divisível por 3? Podemos somar os seus algarismos, obtendo 2+5+7 = 14. Como 14 
NÃO é divisível por 3, podemos garantir que 257 também NÃO é divisível por 3. 
E 801, será que é divisível por 3? Somando os algarismos, temos 8+0+1 = 9. Como 9 É divisível por 3, 
podemos garantir que 801 também É divisível! 
Divisibilidade por 4 
Para checar se um número é divisível por 4, basta olhar para o número formado pelos DOIS ÚLTIMOS 
dígitos. 
Por exemplo, será que o ano de 2018 é divisível por 4? NÃO, pois o número formado pelos dois últimos 
dígitos é o 18, e sabemos que 18 não é divisível por 4. 
E será que 1980 é divisível por 4? SIM, pois os últimos dígitos são 80, e este número é divisível por 4. 
Divisibilidade por 5 
Este é bem simples: qualquer número terminado em 0 ou em 5 é divisível! Assim, certamente 930 e 935 
são divisíveis por 5, mas 934 não. 
Divisibilidade por 6 
Para saber se um número é divisível por 6, basta testar se ele é divisível por 2 e TAMBÉM é divisível por 3. 
Ou seja, os números pares divisíveis por 3 são também divisíveis por 6. Nenhum número ímpar é divisível por 6. 
Será que 801 é divisível por 6? Certamente NÃO, pois embora seja divisível por 3 (vimos acima), ele não é 
par, de modo que não é divisível por 2. 
Será que 642 é divisível por 6? Veja que este número é par, sendo divisível por 2. E é divisível por 3, afinal 
6+4+2=12, que é um número divisível por 3. Logo, 642 é divisível por 6. 
Divisibilidades por 7 e 8 
Quanto ao 7 e 8, eu recomendo que você faça o “arroz com feijão”. Isto é, caso você queira testar se 97 é 
divisível por 7, o melhor a fazer é realizar rapidamente a divisão, identificando se há resto ou não. O mesmo 
vale para o 8 (mas neste caso é bom notar que nenhum número ÍMPAR é divisível por 8, portanto podemos 
descartar o 97). 
Existem critérios de divisibilidade para 7 e 8, mas eles são muito trabalhosos, de modo que considero mais 
interessante você fazer a divisão. 
 
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Divisibilidade por 9 
Aqui temos uma situação parecida com a divisibilidade por 3. Basta SOMAR OS ALGARISMOS e checar 
se a soma é divisível por 9. Por exemplo, 729 é divisível por 9, afinal 7+2+9 = 18, que é um número divisível por 
9. 
Já 805 não é divisível por 9, pois 8+0+5 = 13. 
Divisibilidade por 10 
Essa é fácil! Qualquer número terminado em ZERO é divisível por 10. Assim, 790 certamente é divisível 
por 10, mas 791 não é. 
 
Tabelão – critérios de divisibilidade 
Veja na tabela abaixo a compilação dos critérios de divisibilidade que trabalhamos acima. 
Divisor* Critério Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for 
divisível por 4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 
9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados. 
 
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
 Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. 
Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por 1, tendo como resultado 7 e 
não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto 
diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um 
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número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, 
como os listados abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. O 1 não 
é considerado número primo, ok? O menor número primo é o 2 mesmo. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por 
exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto 
de números primos é chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo. 
Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 
6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir 
para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no 
resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 
2 x 3, ou simplesmente24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
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Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 
ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois 
números, como veremos a seguir. 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a 
rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo 
divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por 
outro (critérios de divisibilidade). 
Mínimo múltiplo comum (MMC) 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro 
número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser 
obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os 
múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar 
alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos 
em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) 
entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. 
 
Cálculo do MMC por fatoração simultânea 
Podemos obter rapidamente o MMC entre 2 ou mais números fazendo a fatoração simultânea dos dois 
números. O primeiro passo é montar uma tabela como esta abaixo, onde temos uma coluna para cada número 
(8 e 12) e uma coluna para os Fatores Primos: 
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Fatores Primos 8 12 
2 
 
 
 
 
Veja que eu já coloquei na tabela o fator primo 2, que é o menor de todos. Podemos dividir 8 e 12 por 2, obtendo 
4 e 6. Podemos novamente dividir ambos os números por 2, obtendo 2 e 3. Veja isso na tabela: 
 
Fatores Primos 8 12 
2 4 6 
2 2 3 
 
 
 Agora temos uma situação interessante: o 2 pode ser dividido por 2, mas o 3 não pode. Como proceder? 
Como o cálculo é de MMC, devemos dividir aquele número que é possível (2) e simplesmente copiar o outro. 
Atenção, pois essa é uma diferença importante em relação ao cálculo de MDC! Veja como ficamos: 
Fatores Primos 8 12 
2 4 6 
2 2 3 
2 1 3 
 
 A coluna do 8 já chegou no nosso “objetivo”, que é o valor 1. A coluna do 12 ainda precisa de mais uma 
divisão. Agora não dá mais para dividir ninguém por 2, motivo pelo qual tentamos o próximo fator primo, que 
é o 3. Ficamos com: 
Fatores Primos 8 12 
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2 4 6 
2 2 3 
2 1 3 
3 1 1 
Logo, MMC = 23x3 
 Veja que chegamos ao objetivo, que é o valor 1 em cada coluna. Com isso, basta multiplicar os fatores 
primos para obter o MMC, como fiz acima, obtendo MMC = 23x3 = 8x3 = 24. 
 Compreendeu? Em síntese, os passos são os seguintes: 
 
PASSOS PARA CALCULAR O MMC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 
1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números; 
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só ir aumentando quando NENHUM dos números puder 
ser dividido; 
LEMBRANDO QUE: 
a) Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha; 
b) O objetivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1; 
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados. 
 
 Esse método permite calcular o MMC de quantos números você quiser. Por exemplo, que tal calcularmos 
o MMC entre 30, 40 e 50? Veja a tabela: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
 
 
 
 Note que eu já preenchi a primeira linha, dividindo todos os números por 2. Vou continuar dividindo por 
2, pois é possível dividir o 20. O 15 e 0 25 precisam ser copiados, pois não é possível fazer a divisão: 
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Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
2 15 10 25 
 
 
 Podemos dividir por 2 mais uma vez, obtendo o 5 no lugar do 10. Então ficamos só com números ímpares 
(15, 5, 25). Precisamos partir agora para a divisão por 3, pois o 15 pode ser dividido por este número. Cuidado 
para não “pular” essa etapa e ir direto para a divisão por 5! 
 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
2 15 10 25 
2 15 5 25 
3 5 5 25 
 Podemos agora continuar dividindo todos os números por 5, obtendo 1, 1 e 5. Dividindo mais uma vez por 
5, teremos o nosso objetivo, e podemos multiplicar a coluna dos fatores primos: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
2 15 10 25 
2 15 5 25 
3 5 5 25 
5 1 1 5 
5 1 1 1 
Logo, MMC = 23x3x52 
 O mínimo múltiplo comum é 23x3x52 = 8x3x25 = 600. 
 Entendeu bem agora? Se você gostou deste método, nem precisa se preocupar com o próximo. 
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Cálculo do MMC por fatoração separada 
Por via das dúvidas, vou te apresentar uma outra fórmula de calcular o MMC. São os seguintes passos: 
CÁLCULO DO MMC – FATORAÇÃO SEPARADA DE CADA NÚMERO 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS E NÃO COMUNS dos dois números, de MAIOR expoente. 
Vamos calcular o MMC entre 8 e 12 usando este método? 
Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos 
que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente. O 2 aparece 
com um expoente 3 na fatoração do 8, então devemos pegar o 23. Já o 3 aparece com um expoente 1 na 
fatoração do 12, portanto devemos pegar o 31. O MMC será 23 x 31 = 24. 
 
E como fica o MMC entre 30, 40 e 50? Fatorando rapidamente os números, temos: 
30 = 2x3x5 
40 = 23x5 
50 = 2x52 
 
Para montar o MMC, devemos pegar os fatores que aparecem nessas multiplicações, que são o 2, o 3 e o 
5. O 2 com maior expoente é o 23. O 3 só aparece assim. Já o 5 de maior expoente é o 52. O MMC será, portanto: 
23 x 3 x 52 = 
8 x 3 x 25 = 
600 
 
Quando e como utilizar o MMC nos exercícios 
 Uma dúvida muito comum dos alunos é: quando devo usar o MMC nas minhas questões de prova? Como 
regra, eu digo que o MMC estará presente naquelas questões que nos apresentam “fenômenos” que ocorrem 
com frequências diferentes, e queremos saber quando eles ocorrerão juntos. Por exemplo, 2 pessoas que 
dão festas com regularidades diferentes (uma a cada 9 dias e a outra a cada 15 dias), e queremos saber quando 
teremos festas simultâneas. Ou então 3 funcionários de uma empresa tais que um folga a cada 5 dias, o outro 
a cada 7 dias e o outro a cada 9 dias, e queremos saber quando eles terão folga juntos. Vejamos um exemplo: 
 
Dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma 
realizar festas de 9 em 9 dias,enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve 
festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? 
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Veja que temos 2 fenômenos (festas do João e festas do José) que ocorrem com frequências diferentes – 
a cada 9 e 15 dias, respectivamente. Queremos saber quando os fenômenos coincidem. Questão clássica de 
MMC! 
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra 
daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. 
Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos 
comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 
9 e 15. Calculando rapidamente este MMC: 
 
Fatores Primos 9 15 
3 3 5 
3 1 5 
5 1 1 
MMC = 32x5 = 45 
Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. 
Veja comigo os exercícios a seguir: 
VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Uma caixa-forte tem 3 sistemas eletrônicos de segurança 
independentes, conectados a órgãos distintos. No momento de qualquer violação, os três sistemas enviam 
sinais codificados simultaneamente. A partir daí, um deles repete o envio da mensagem a cada 15 segundos, o 
outro a cada 25 segundos, e o terceiro, a cada 30 segundos. Caso ocorra qualquer violação, o menor intervalo 
de tempo decorrido entre dois envios simultâneos de mensagens pelos três sistemas será igual a 
(A) 3min 15s. 
(B) 2min 50s. 
(C) 2min 30s. 
(D) 2min 25s. 
(E) 1min 50s. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 3 fenômenos que ocorrem em frequências diferentes (a cada 15, 20 e 30 segundos, 
respectivamente) e queremos saber quando ocorrerão juntos. Questão CLÁSSICA de MMC! 
 Veja que os envios simultâneos ocorrerão nos múltiplos comuns entre 15, 25 e 30 segundos. Assim, 
podemos descobrir o menor tempo entre dois envios simultâneos calculando o MÍNIMO múltiplo comum, que 
é: 
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 Portanto, a cada 150 segundos teremos envios simultâneos pelos três sistemas. Veja que: 
150 segundos = 
120 + 30 = 
2x60 + 30 = 
2 minutos + 30 segundos 
Resposta: C 
 
FCC – TRT/PR – 2015) Para um evento promovido por uma determinada empresa, uma equipe de funcionários 
preparou uma apresentação de slides que deveria transcorrer durante um momento de confraternização. Tal 
apresentação é composta por 63 slides e cada um será projetado num telão por exatos 10 segundos. Foi ainda 
escolhida uma música de fundo, com duração de 4min40s para acompanhar a apresentação dos slides. Eles 
planejam que a música e a apresentação dos slides comecem simultaneamente e “rodem” ciclicamente, sem 
intervalos, até que ambas finalizem juntas. A fim de estudar a viabilidade desse plano, eles calcularam que a 
quantidade de vezes que a música teria de tocar até que seu final coincidisse, pela primeira vez depois do início, 
com final da apresentação seria 
(A) 35. 
(B) 9. 
(C) 5. 
(D) 42. 
(E) 12. 
RESOLUÇÃO: 
Temos 63 slides que ficarão por 10 segundos cada, totalizando 63 x 10 = 630 segundos para a apresentação. Já 
a música tem 4 minutos e 40 segundos, ou seja, 4x60 segundos + 40 segundos = 240 + 40 = 280 segundos. 
A apresentação finaliza nos múltiplos de 630 segundos (630, 1260 etc), e a música finaliza nos múltiplos de 280 
segundos (280, 560 etc). Para sabermos quando a música e a apresentação terminarão juntas, podemos obter 
o mínimo múltiplo comum entre 630 e 280: 
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O mínimo múltiplo comum é 8 x 9 x 5 x 7 = 2520. Portanto, a música e a apresentação vão terminar juntas após 
2520 segundos. Até este momento, a música terá tocado 2520 / 280 = 9 vezes. 
Resposta: B 
 
IBFC – PM/SE – 2018) Um comerciante vende balas em pacotinhos, sempre com a mesma quantidade. Ao fazer 
isso, percebeu que dentre as balas que possuía poderia colocar 8, 12 ou 20 balas em cada pacote. Nessas 
condições, assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de balas que o comerciante dispunha: 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 60 
RESOLUÇÃO: 
Observe que o número de balas que o comerciante tinha era um múltiplo de 8, pois seria possível colocar 8 balas 
por pacote. Este número de balas também é múltiplo de 12 e de 20, pois seria possível montar pacotes com 12 
e pacotes com 20 balas. Portanto, o número de balas é um MÚLTIPLO COMUM entre 8, 12 e 20. Podemos 
calcular o menor múltiplo comum entre esses números, que nos dará o MÍNIMO de balas que o comerciante 
dispunha: 
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Portanto, o comerciante tinha pelo menos 120 balas. Esse é o menor número, sendo o gabarito a alternativa A. 
Podemos aproveitar para calcular o MMC pela fatoração separada dos números. Veja: 
8 = 2³ 
12 = 2² x 3 
20 = 2² x 5 
O MMC será o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente. Logo: 
MMC (8, 12, 20) = 2³ x 3 x 5 = 8 x 15 = 120 balas 
Resposta: A 
 
CESPE – BNB – 2018) Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e 
menor que 700. Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo com 3 
revistas. O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em conjuntos de 20 
revistas: sempre sobrava um conjunto com 3 revistas. Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 
563 revistas. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que o número de revistas NÃO é múltiplo de 8, 14 nem de 20, pois ao dividir o número de revistas por esses 
divisores, obtemos o resto 3. Assim, o número de revistas deve ser 3 unidades maior do que um múltiplo 
COMUM entre 8, 14 e 20. Calculando o MMC entre esses três números: 
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 Portanto, o MMC é 280. Outro múltiplo comum entre 8, 14 e 20 seria 2x280 = 560. Somando 3 unidades, 
chegamos a 563. Portanto, de fato 563 é uma possibilidade para o número de revistas. Mas será que é a única 
possibilidade? SIM, pois se somarmos mais 280 unidades, passaremos de 700 (e a questão disse que o número 
de revistas está entre 500 e 700). 
 Item CERTO. Vale dizer que você poderia também resolver rapidamente dividindo 563 por 8, 14 e 20. Você 
notaria que o resto da divisão é 3 em todos os casos. 
Resposta: C 
 
Máximo divisor comum (MDC) 
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o maior número pelo qual tanto 
A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem deixar resto. 
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os divisores de cada um deles. 
Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
 
Cálculo do MDC por fatoração simultânea 
O método mais interessante para calcular o MDC entre 2 ou mais números é a fatoração simultânea. Para 
você compreender, vamos calcular o MDC entre 32 e 40. Podemos montar uma tabela com uma coluna para os 
Fatores Primos, e colunas para cada número. Veja: 
Fatores 
Primos 
32 40 
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 Agora podemos ir dividindo os números pelos fatores primos, começando pelo menor deles (2). Mas 
ATENÇÃO: no cálculo do MDC, só podemos dividir os números por fatores que sejam capazes de dividir OS 
DOIS NÚMEROS AO MESMO TEMPO! Veja isso abaixo: 
Fatores Primos 32 40 
2 16 20 
2 8 10 
2 4 5 
 Perceba que não há nenhum número que seja capaz de dividir o 4 e o 5 ao mesmo tempo! Portanto, 
devemos parar o cálculo por aqui. O MDC será a multiplicação dos fatores primos, ou seja, 2x2x2 = 23 = 8. 
 
Vamos praticar mais um pouco, agora calculando o MDC entre 3 números: 30, 40 e 50. Montei a tabela 
abaixo e comecei a divisão pelo 2, o menor fator primo: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
 
 
 Perceba que somente o 20 pode continuar sendo dividido por 2. Não podemos fazer isso no cálculo do 
MDC! Devemos buscar um fator primo capaz de dividir todos os números. Veja que o 3 é capaz de dividir 
somente o 15. E note que o 5 é capaz de dividir TODOS! Vamos utilizá-lo: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
5 3 4 5 
 
 Perceba que não há nenhum número capaz de dividir 3, 4 e 5 ao mesmo tempo. Devemos parar o cálculo 
por aqui. O MDC será a multiplicação dos fatores primos, ou seja, 2x5 = 10. 
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 Compreendeu? Vamos anotar esse procedimento: 
PASSOS PARA CALCULAR O MDC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 
1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números; 
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só utilizar fatores capazes de dividir TODOS os números; 
LEMBRANDO QUE: 
a) Se algum dos números não puder ser dividido, devemos passar para o próximo fator primo; 
b) Quando não houver um fator primo capaz de dividir todos os números, devemos parar o cálculo; 
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados. 
 
 
Cálculo do MDC por fatoração separada 
 Uma outra forma de calcular o MDC utiliza a fatoração de cada número separadamente. Os passos são os 
seguintes: 
1 - Decompor cada um dos números em fatores primos; 
2 - O MDC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS de MENOR expoente; 
 
Vamos utilizar este método para obter o MDC entre 32 e 40. Fatorando os números separadamente, 
temos: 
32 = 25 
40 = 23x5 
 O único fator COMUM nas duas fatorações é o 2. Ele aparece com MENOR expoente em 23. Logo, o MDC 
é igual a 23, ou seja, 8. 
 
Vamos agora calcular o MDC de 30, 40 e 50. Fatorando-os separadamente: 
30 = 21x31x51 
40 = 23x51 
50 = 21x52 
 Os fatores comuns nas 3 fatorações são o 2 e o 5. O 2 aparece com menor expoente em 21. E o 5 aparece 
com menor expoente em 51. Assim, o MDC é 21 x 51 = 2 x 5 = 10. 
 
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Quando e como utilizar o MDC nos exercícios 
O máximo divisor comum é útil em situações onde temos grupos de coisas diferentes e queremos DIVIDIR 
os elementos de cada grupo usando um mesmo fator. Veja este exemplo: 
 
Temos 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos 
devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? 
 
Perceba que nós temos grupos de “coisas” (animais) diferentes: cães e gatos. Queremos dividir os cães 
em grupo, e dividir os gatos em grupos. O nosso objetivo é que todos os grupos tenham o mesmo número de 
integrantes. Para isso, precisaremos encontrar um número “n” de integrantes para cada grupo que seja capaz 
de dividir tanto o 20 como o 30. Ou seja, o número de integrantes do grupo deve ser um Divisor Comum entre 
20 e 30. Se queremos o MENOR número de grupos possível, precisamos de grupos com a MAIOR quantidade 
de elementos cada. Ou seja, precisamos do MAIOR Divisor Comum que pudermos utilizar – o MDC! 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, 
MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. 
Repare que, formando grupos de 10 elementos, ficaremos com 2 grupos de cães e 3 grupos de gatos. 
Assim, o menor número de grupos possível é 5. 
Veja essas questões comigo: 
VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Dois grupos, um contendo 126 técnicos legislativos e outro contendo 72 
analistas legislativos, todos recém-contratados, serão divididos em grupos menores para participarem de 
cursos de formação, cada grupo contendo o mesmo número x de técnicos legislativos e y de analistas 
legislativos, sendo x e y os menores números possíveis. Sabendo que nenhum desses recém-contratados 
poderá ficar fora dos grupos menores, o valor de y corresponderá, do número total de recém-contratados em 
cada grupo menor, aproximadamente, a 
(A) 32% 
(B) 34% 
(C) 36% 
(D) 38% 
(E) 40% 
Resolução: 
 Perceba que temos 2 grupos (126 técnicos e 72 analistas) e queremos dividi-los de modo a ter x técnicos 
e y analistas em cada subgrupo, isto é, cada subgrupo terá número de grupos de técnicos e de analistas. Ou 
seja, o número de grupos que vamos dividir deve ser um DIVISOR COMUM entre 126 e 72. 
 Queremos que cada grupo seja composto pelo menor número possível de integrantes, de modo que 
precisamos ter o MAIOR número de grupos possível. Para isso, o número de grupos deve ser o MAIOR divisor 
comum entre 126 e 72. 
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 Podemos obter o MDC por meio da fatoração simultânea: 
 
 Serão 18 grupos de técnicos e analistas. Como temos 126 técnicos, teremos x = 126 / 18 = 7 técnicos em 
cada um dos 18 grupos. Como temos 72 analistas, teremos y = 72 / 18 = 4 analistas em cada um dos 18 grupos. 
 Cada grupo terá um total de 7 + 4 = 11 recém-contratados. Logo, o valor de y corresponde a, 
aproximadamente, 
4/11 = 0,36 = 36% 
Resposta: C 
 
VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Em um congresso, estão presentes 56 pessoas da região Norte, 84 pessoas 
da região Sul e 98 pessoas da região Centro-Oeste. A organização do congresso deseja dividir essas pessoas 
em grupos contendo representantes das três regiões, de modo que o número de representantes de cada região, 
por grupo, seja igual. Dessa maneira, o menor número de grupos que podem ser formados é 
(A) 13. 
(B) 14. 
(C) 15. 
(D) 16. 
(E) 17. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que devemos dividir 56, 84 e 98 pelo mesmo número, ou seja, devemos buscar um divisor COMUM. 
A ideia é pegar o MAIOR divisor comum, para formar o menor número de grupos possível. Calculando o MDC: 
 
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Cada grupo terá 14 elementos. O total de grupos é 4+6+7 = 17 (veja que basta somar a linha em negrito na 
tabela. 
Resposta: E 
 
FCC – TRT/20 – 2016) Uma entidade assistencial pretende montar kits com vestimentas de inverno para 
distribuir em creches da cidade. Para a montagem dos kits, a entidade dispõe de 60 cobertores idênticos, 72 
casacos idênticos e 108 calças idênticas. Se todos os kits são iguais e se todas as 240 vestimentas são utilizadas 
nos kits, o número máximo de kits que a entidade conseguirá montar é igual a 
(A) 24. 
 (B) 180. 
(C) 60. 
(D) 12. 
(E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
Precisamos achar um mesmo número que seja capaz de dividir os 60 cobertores, os 72 casacos e as 108 calças 
sem deixar resto. Estamos falando de um divisor comum desses números. Como queremos o maior número 
possível de kits, devemos buscar o MÁXIMO divisor comum entre eles. Fazemos isso assim: 
 
Como não há mais nenhum fator primo que divide 5, 6 e 9 simultaneamente, podemos parar por aqui. O MDC 
é 2x2x3 = 12. Este é o total de kits. 
Resposta:D 
 
POTENCIAÇÃO 
Noções básicas sobre potências 
Para lembrarmos as noções mais básicas sobre potências, observe o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125    
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”) 
 
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Pelo exemplo dado, você pode perceber que, para elevar o número 5 à potência 3 , basta multiplicar o 5 
por ele mesmo, três vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16     
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes”) 
 
Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base (número X) elevada a um 
expoente (“n”). 
 
Propriedades da potenciação 
Entendido o conceito básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades 
facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam potências. 
 
Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1

 

 
 
Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
30 0 0 0 0    
 
Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4 . Normalmente você faria assim: 
      2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências têm a mesma base 4: 
   2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
Divisão de potências de mesma base (X): 
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Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4
4 4 16
4 4 4 4
   
   
 
 
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o numerador e denominador da divisão 
tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4
4 4 16
4
   
Analogamente, observe que 3
3
1
4
4
 . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4
4 4
4 4
    
O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o denominador de uma divisão, 
ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 
3 54 4  . Temos duas formas: 
Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16      
Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34 para o denominador e, a seguir, fazendo a divisão 
de potências de mesma base: 
5
3 5 5 3 2
3
4
4 4 4 4 16
4
      
 
Potência de potência 
A questão agora é resolver 
2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao 
quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64  
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64   
 
Raiz de potência 
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Quando estudarmos radiciação, veremos que trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, 
obter a raiz quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 
1
2
, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo 
a 
1
3
, e assim por diante. 
Visto isso, vamos obter o valor de: 
62 . Veja que poderíamos fazer simplesmente assim: 
62 2 2 2 2 2 2 64 8        
Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 
1
2
, podemos fazer: 
 
11
6
6 6 3222 2 2 2 8

    
Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para resolver este caso. 
 
Potência de produto 
Se tivermos que resolver uma expressão como 
2(2 3) , podemos fazer de algumas formas: 
2 2(2 3) (6) 36   
2(2 3) (2 3) (2 3) 36      
2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36      
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado à uma potência “n” é igual ao produto das 
potências nA e nB . 
 
Potência de base 10 
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural “n”, fica bem fácil resolver. O 
resultado será formado pelo número 1 seguido de “n” zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000


 
 
Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos 
acima. Veja exemplos: 
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3
3
6
6
1 1
10 0,001
10 1000
1 1
10 0,000001
10 1000000


  
  
 
 
Potência de base negativa 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por 
ex.: 
3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. Se o expoente for ímpar, o 
resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor 
fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8      
Veja um exemplo com expoente par: 
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16      
 
Fração elevada a um expoente 
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e denominador estão elevados 
àquele expoente. Veja: 
3 3
3
2 2
3 3
 
 
 
 
Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
  
      
  
 
 
Potências importantes 
 Para que você ganhe tempo na resolução de exercícios, considero muito importante que você conheça 
algumas potências que estão frequentemente presentes nas questões de prova. Vejamos: 
 
POTÊNCIAS DE 2 
22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 
29 = 512 210 = 1024 
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PRINCIPAIS QUADRADOS PERFEITOS 
4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 36 = 62 49 = 72 64 = 82 
81 = 92 100 = 102 121 = 112 144 = 122 169 = 132 196 = 142 225 = 152 
256 = 162 289 = 172 324 = 182 361 = 192 400 = 202 625 = 252 900 = 302 
1600 = 402 2500 = 502 3600 = 602 
 
Aplique as propriedades das potências para resolver estes exercícios: 
CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) O número real a seguir tem como sua quinta parte 
6250,25 x (5³)20 x 56
2
 
(
1
54
)12
 
A) 58 
B) 597 
C) 5144 
D) 5145 
RESOLUÇÃO: 
Quando existe um expoente elevado a outro expoente, podemos escrevê-los como produtos. Em 56
2
, o 6 está 
elevado ao quadrado. Fica: 
(54)0,25 x 53 𝑥 20 x 536 
(5−4)12
 
Veja que 
1
54
 foi escrito na forma 5−4. Continuando: 
5¹ x 560 x 536 
5−48
 
Vamos somar os expoentes de mesma base que estão multiplicando e subtrair o expoente da base que está 
dividindo. Fica: 
51+60+36−(−48) = 
597+48 = 
5145 
O enunciado pede a quinta parte desse número. Logo: 
5145 
5
 = 5145−1 = 5144 
Resposta: C 
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CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2015) O número natural (2103 + 2102 + 2101 - 2100) é divisível por 
(A) 6 
(B) 10 
(C) 14 
(D) 22 
(E) 26 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
2103 + 2102 + 2101 - 2100 = 
2100+3 + 2100+2 + 2100+1 - 2100+0 = 
2100 x (23 + 22 + 21 - 20) = 
2100 x (8 + 4 + 2 - 1) = 
2100 x 13 = 
299 x 2 x 13 = 
299 x 26 
 Veja que esse número é divisível por 26, afinal: 
(299 x 26) / 26 = 299 
Resposta: E 
 
FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado dessa expressão numérica: 
 
22 2
2
2 2 2
2 2 22 2
2 (2 )
.
(2 )2 )
 
é igual a 
(A) 256. 
(B) 128. 
(C) 64. 
(D) 512. 
(E) 1. 
RESOLUÇÃO: 
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Vamos utilizar as propriedades das operações com potências para resolver essa questão. Acompanhe a seguir: 
 
22 2
2
2 2 2
2 2 22 2
2 (2 )
.
(2 )2 )

 
42 2 4
4 2 4 2
2 (2 )
.
(2 ) (2 )

 
16 8
8 8
2 2
.
2 2

 
16 8 12 .
1
 
 
82  256 
Resposta: A 
 
RADICIAÇÃO 
A radiciação é uma operação inversa à potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso 
significa que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o 
símbolo 
n
. Veja alguns exemplos: 
√27
3
= 3, pois 33 = 27 
(leia: a raiz cúbica de 27 é igual a 3) 
 
√16
2
= 4, pois 42 = 16 
(leia: a raiz quadrada de 16 é igual a 4) 
 
 Uma outra forma de representar uma raiz de ordem “n” é utilizar o expoente 
1
𝑛
 . Por exemplo: 
√27
3
= 27
1
3 
√16
2
= 16
1
2 
 Quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou simplesmente . Ou seja, 
√16
2
= √16 = 4 
 
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Para trabalharmos com as raízes, é fundamental conhecer bem as suas propriedades. Vamos verificar isso 
juntos? 
 
Propriedades da radiciação 
Qualquer raiz de zero é igual a zero 
Isto é, 0 0
n  . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta em zero. 
 
Qualquer raiz de 1 é igual a 1 
Ou seja, 1 1n  . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em 1 
 
Raiz de potência 
Podemos escrever que: 
a
b a bx x 
(leia: raiz “b” de x elevado a “a” é igual a x elevado a “a/b”) 
Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 
6
3 6 234 4 4 16   . 
 
Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n” 
Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B: 
n n nA B A B   
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo radical “n”. Ilustrando, temos que: 
25 16 25 16 5 4 20      
Raiz da divisão é igual à divisão das raízes 
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: 
n
n
n
A A
B B
 
Veja esse exemplo: 
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25 25 5
16 416
  
 
Raiz de raiz 
Por essa propriedade, temos que n m n mA A . Exemplificando: 
3 3 2 62 2 2  
 
Raiz de número negativo 
É bom lembrar que, no conjunto dos números reais, não existe raiz QUADRADA de números negativos. 
Por exemplo, não existe 
2 16 . Isso porque não existe nenhum número que, multiplicado por si mesmo, 
resulte em -16. Lembre-se que (-4) x (-4) = +16, afinal a multiplicação de dois números negativos tem resultado 
positivo. 
Por outro lado, existe raiz CÚBICA de números negativos. Por exemplo, √−27
3
= −3. Isso porque: 
(-3) x (-3) x (-3) = 
9 x (-3) = 
-27 
 
Raiz de número entre 0 e 1 
 É interessante você perceber o seguinte detalhe: 
 
1) a raiz quadrada de um número MAIOR QUE UM é sempre um número MENOR que o original 
 Por exemplo, a raiz quadrada de 25 é igual a 5: 
√25 = 5 
 Repare que, de fato, 5 é MENOR do que 25. 
 
2) a raiz quadrada de um número ENTRE ZERO E UM é sempre um número MAIOR que o original 
 Por exemplo, a raiz quadrada de 0,36 é igual a 0,60: 
√0,36 = 0,60 
 Veja agora que 0,60 é mesmo MAIOR do que 0,36. 
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 Aplique as propriedades da radiciação nestes exercícios: 
FEPESE – PREF. SÃO JOSÉ/SC – 2013) O número 
3
100000
1000 1000
 é igual a: 
a) 1 
b) 10 
c) 10 
d) 4 10 
e) 
10
10
 
RESOLUÇÃO: 
 Efetuando os cálculos, temos: 
3
100000
1000 1000
 
5
33 3
10
10 10
 
√104. 10
√102. 10 √103
3 = 
210 10
10 10 10


 
210
10 10


1 
RESPOSTA: A 
 
FUNDATEC – CREA/PR – 2013) Sabendo que a= 0,6835, b = (0,6835)² e c = 0,6835 , então: 
A) a<b<c 
B) b<a<c 
C) c<b<a 
D) a<c<b 
E) c<a<b 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que o número 0,6835 está entre 0 e 1. Assim, ao elevá-lo ao quadrado obtemos um número MENOR. 
Por exemplo, 0,5 é um número entre 0 e 1. Repare que 0,52 = 0,25, que é menor. Por outro lado, a raiz quadrada 
de um número entre 0 e 1 é maior do que o número original. Exemplificando, a raiz de 0,81 é o número 0,90, 
que é maior. 
 Com base nisso, podemos dizer que c é maior do que a, e que b é menor do que a. Ou seja, b < a < c. 
Resposta: B 
 
FCC – TRF/2ª – 2012) Julgue a afirmação: 
Efetuando-se (√6 + 2√5
4
) × (√6 − 2√5
4
), obtém-se um número maior que 5. 
RESOLUÇÃO: 
 Acompanhe comigo o passo-a-passo dessa resolução: 
   4 46 2 5 6 2 5    
√(6 + 2√5) × (6 − 2√5)
4
= 
 
2
24 6 6 ( 2 5) (2 5) 6 2 5       
 
2
24 6 2 5  
4 36 20  
4 16  
4 42  
2 
 A afirmação é FALSA. 
Resposta: FALSA 
 
Técnicas para obtenção de raízes 
 Em suas questões de prova, muitas vezes você precisará calcular manualmente alguma raiz. Precisamos 
conhecer, portanto, algumas técnicas que auxiliem neste processo. Vamos lá? 
 
Raízes exatas – quadrados perfeitos 
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Vamos relembrar quais são os principais QUADRADOS PERFEITOS, isto é, aqueles números naturais que 
possuem raiz quadrada EXATA. São eles: 
PRINCIPAIS QUADRADOS PERFEITOS 
4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 36 = 62 49 = 72 64 = 82 
81 = 92 100 = 102 121 = 112 144 = 122 169 = 132 196 = 142 225 = 152 
256 = 162 289 = 172 324 = 182 361 = 192 400 = 202 625 = 252 900 = 302 
1600 = 402 2500 = 502 3600 = 602 
 
Guarde essa tabela em um local acessível. Leia-a várias vezes, em especial quando estiver resolvendo 
exercícios. Quanto MAIS números você conseguir memorizar, melhor. Sabendo essa tabela, você rapidamente 
verá que √625 = 25, ou que √144 = 12. Esses quadrados perfeitos aparecem MUITO nas questões de prova, 
e você não pode perder tempo com eles. 
Os quadrados perfeitos são úteis também para encontrarmos outras raízes interessantes. Por exemplo, 
como obter a raiz quadrada de 1,69? Perceba que este número nos lembra o 169 que está na tabela acima. 
Podemos escrever que 1,69 é o mesmo que 169/100, ou seja, podemos escrever o 1,69 como uma divisão entre 
quadrados perfeitos. Fazendo isso, o cálculo fica bem fácil. Repare: 
√1,69 = √
169
100
=
√169
√100 
=
13
10
= 1,3 
 Veja que basta aplicar uma das propriedades que estudamos! Talvez você até se acostume a fazer estes 
cálculos de cabeça. Você consegue notar, por exemplo, que √2,25 = 1,5? Espero que sim! 
 
Raízes exatas – cubos perfeitos 
Assim como os quadrados perfeitos, recomendo que você memorize alguns CUBOS PERFEITOS, isto é, 
números naturais que possuem raíz cúbica EXATA. Não é preciso guardar muitos deles, mas recomendo ficar 
com os seguintes na cabeça: 
PRINCIPAIS CUBOS PERFEITOS 
8 = 23 27 = 33 64 = 43 125 = 53 216 = 63 1000 = 103 
 
Com a tabela acima, fica fácil calcular algumas raízes cúbicas: 
√64
3
= 4 
 
√0,125
3
= √
125
1000
3
=
√125
3
√1000
3 =
5
10
= 0,5 
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Raízes exatas – fatoração 
Em algumas situações pode ser mais complicado identificar qual é a raiz de determinado número. A 
fatoração pode auxiliar neste processo. Basicamente, você deve fazer o seguinte: 
CÁLCULO DE RAÍZES EXATAS POR FATORAÇÃO 
1 - Decomposição do número em fatores primos 
2 - Aplicação da propriedade 
a
b a bx x 
 
A título de exemplo, vamos calcular √216
3
 (imagine que você nãosabe o valor dela). Lembre-se que os 
números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. 
Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, passamos 
para o número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. Teremos: 
Número Fator primo 
216 2 
108 2 
54 2 
27 3 
9 3 
3 3 
1 Logo, 216 = 23 x 33 
 
Feito isso, podemos substituir 216 por 23x33 e aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: 
1 1 1
3 3
3 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6
 
         
 
Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores primos, temos: 
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Número Fator primo 
7056 2 
3528 2 
1764 2 
882 2 
441 3 
147 3 
49 7 
7 7 
1 Logo, 
4 2 27056 2 3 7   
Portanto: 
1 1 1
4 2 2
4 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84
  
          
 
Raízes não exatas – simplificação 
Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. Apesar disso, é possível 
simplificar o resultado. É importante que você saiba simplificar, pois muitas vezes as alternativas de resposta 
da sua questão vão utilizar essas notações simplificadas. 
Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32. Fazendo a decomposição em fatores primos, temos 
que: 
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 
Assim, 
532 2 
Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2  : 
5 4 432 2 2 2 2 2 4 2       ou, simplesmente, 4 2 
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Perceba que nós tentamos “tirar para fora da raiz” todos os fatores que possuem raiz exata (no caso, o 24, 
cuja raiz é 22, ou seja, 4). Só deixamos dentro da raiz um fator 2, pois este não tem raiz exata. 
Vamos treinar mais um pouco? Imagine que, ao final de uma questão, você se deparou com o número 
√405. Como podemos expressá-lo de forma mais elegante? Primeiramente, podemos fatorar 0 405: 
Número Fator primo 
405 3 
135 3 
45 3 
15 3 
5 5 
1 
 
 Logo, 405 = 34 x 5 
 
 Feito isso, podemos tentar tirar da raiz tudo o que for possível. Veja: 
√405 = √34𝑥5 = √34 𝑥 √5 = 32 𝑥 √5 = 9√5 
Compreendeu? Espero que sim! 
 
 A propósito, vale lembrar que as raízes não exatas são números IRRACIONAIS, ou seja, elas possuem 
infinitas casas decimais que não se repetem em um padrão contínuo. 
 
Raízes não exatas – cálculo aproximado 
De vez em quando precisaremos realizar o cálculo aproximado de algumas raízes não exatas. Para 
começar, gostaria que você memorizasse as aproximações para as raízes quadradas de 2, 3 e 5. Elas aparecem 
muito em prova: 
√2 = 1,41 √3 = 1,73 √5 = 2,23 √10 = 3,16 
 Vamos agora aprender duas formas de cálculo aproximado para raízes não exatas. Para ilustrar, 
imagine que precisamos obter o valor de √150. 
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 O primeiro método é o da tentativa e erro. Isto é, vamos chutar até chegarmos próximo da raiz de 150. 
Mas cuidado, o nosso chute pode ser bem calibrado. Para começar, perceba que 150 está entre dois quadrados 
perfeitos conhecidos, o 144 e o 169: 
144 < 150 < 169 
122 < 150 < 132 
 A expressão acima nos mostra que a raiz de 150 deve ser um número entre 12 e 13. Podemos testar o 
número 12,5. Como testar? Basta elevar este número ao quadrado e comparar com 150. Veja: 
12,52 = 12,5 x 12,5 = 156,25 
 
 Repare que chegamos em um número MAIOR que 150. Ou seja, 
144 < 150 < 156,25 
122 < 150 < 12,52 
 A raiz de 150 é um número entre 12 e 12,5. Já diminuímos bem o nosso intervalo, concorda? Podemos 
agora testar, por exemplo, o 12,3. Veja como fica: 
12,32 = 12,3 x 12,3 = 151,29 
 Já chegamos bem perto do 150. Para a grande maioria das questões, esta já é uma excelente 
aproximação. Podemos dizer que a raiz de 150 é aproximadamente 12,3. 
 Experimente este método na próxima questão: 
IBFC – TCM/RJ – 2016) O resultado da raíz cúbica do número quatro ao quadrado é um número entre: 
a) 1 e 2 
b) 3 e 4 
c) 2 e 3 
d) 1,5 e 2,3 
RESOLUÇÃO: 
Queremos a raiz cúbica de 4 ao quadrado, ou melhor, de 16. Para isso, podemos pensar o seguinte: 
2 ao cubo é igual a 8 (menor que 16) 
3 ao cubo é igual a 27 (maior que 16) 
Isto é: 
8 < 16 < 27 
23 < 16 < 33 
Logo, a raiz cúbica de 16 será um número que está entre 2 e 3. Já podemos marcar a alternativa C. 
Se quisermos chegar em um valor aproximado, podemos testar o 2,5. Veja que: 
2,53 = 2,5 x 2,5 x 2,5 = 15,62 
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Repare que 2,53 é aproximadamente igual a 16. Ou seja, uma boa aproximação para a raiz cúbica de 16 seria o 
número 2,5. 
Resposta: C 
 
 Existe um método para se obter raízes QUADRADAS não exatas de forma ainda mais rápida. Entretanto, 
muita atenção: ele só vale para obtenção de raízes quadradas, ok? Não tente usá-lo para obter raízes cúbicas. 
Os passos são os seguintes: 
1 – encontre o quadrado perfeito mais próximo do número cuja raiz você quer obter: 
 No caso do 150, o quadrado perfeito mais próximo é o 144, que corresponde a 122. 
2 – some o número cuja raiz você quer obter com o quadrado perfeito: 
 Devemos fazer 150 + 144. 
3 – divida pelo dobro da raiz do quadrado perfeito: 
 Isto é, devemos fazer 
150+144
2×12
. Isto é, 
150 + 144
2 × 12
= 12,25 
 Pronto, encontramos o número 12,25, que é uma excelente aproximação para √150. Para você ter uma 
ideia, o valor exato dessa raiz é algo como 12,247448... Ou seja, chegamos bem próximo do valor exato! 
 
 Vamos treinar com mais um exemplo? Suponha que o nosso objetivo é obter a raiz quadrada de 97. 
- Qual é o quadrado perfeito mais próximo? Ora, é o 100, afinal 100 = 102. 
- Vamos somar o nosso número (97) com o quadrado perfeito (100), obtendo 197. 
- Vamos dividir este valor pelo dobro de 10, que é a raiz do quadrado perfeito 100. Ficamos com: 
97 + 100
2 × 10
= 9,85 
 
 Portanto, √97 = 9,85. Só por curiosidade, fazendo na calculadora nós obteríamos 9,848857... Chegamos 
muito perto, não? 
 Vamos resumir esse procedimento: 
CÁLCULO APROXIMADO DE RAIZES QUADRADAS 
1 – encontre o quadrado perfeito mais próximo do número cuja raiz você quer obter; 
2 – some o número cuja raiz você quer obter com o quadrado perfeito; 
3 – divida tudo pelo dobro da raiz do quadrado perfeito. 
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Racionalização de denominadores 
 Quando temos uma raiz no denominador de uma fração, usualmente aplicamos um procedimento para 
retirar a raiz do denominador. Trata-se da “racionalização de denominadores”. Por exemplo, imagine que você 
está resolvendo um exercício e chega à seguinte resposta: 
2
√3
 
 Dificilmente você terá essa alternativa de resposta para marcar. Normalmente as bancas vão apresentar 
um resultado “mais elegante”, isto é, sem uma raiz no denominador. Neste caso, o procedimento para 
racionalizar o denominador é bem simples: basta você multiplicar o numerador e o denominador pela raiz 
quadrada que você quer eliminar. Veja o que acontece: 
2
√3
×
√3
√3
=
2√3
(√3)
2 =
2√3
3
 
 Assim, provavelmente a alternativa de resposta a ser marcada será 
2√3
3
. 
 
 Agora imagine que você está resolvendo outro exercício e chega à resposta: 
2 + √3
1 − √2
 
 Como falei, dificilmente essa será a alternativa a ser marcada na questão. Precisamos eliminar a raiz do 
denominador. Neste caso, quando temos algo como “a – b” no denominador, basta multiplicarmos o 
numerador e o denominadorpor “a + b”. Isto é, como temos 1 − √2 no denominador, devemos multiplicar o 
numerador e o denominador da fração por 1 + √2. Veja o que acontece: 
2 + √3
1 − √2
×
1 + √2
1 + √2 
= 
 Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação (regra do “chuveirinho”), temos: 
2.1 + 2. √2 + √3. 1 + √3. √2
1.1 + 1. √2 + (−√2). 1 + (−√2). √2
= 
 
2 + 2√2 + √3 + √6
1 + √2 − √2 − 2
= 
2 + 2√2 + √3 + √6
1 − 2
= 
 
2 + 2√2 + √3 + √6
−1
= 
−2 − 2√2 − √3 − √6 
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 Veja que a raiz “sumiu” do denominador. Ficamos com uma expressão grande, porém “mais elegante” 
pelo fato de não ter raízes no denominador. 
 Caso no denominador nós tivéssemos algo como “a + b”, o procedimento seria similar, porém desta vez 
nós multiplicaríamos o numerador e o denominador por “a – b”, ok? 
 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas pelo professor 
1. FCC – SABESP – 2018) 
Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em polegadas. Dentre as 
alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
 (A) 5/8. 
 (B) 1/2. 
 (C) 1 ¼. 
 (D) 3/4. 
 (E) 1 ½. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos colocar todas as alternativas em valores decimais para compará-los. Assim: 
5/8 = 0,4 
½ = 0,5 
1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 
¾ = 0,75 
1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5 
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas. 
Resposta: E 
 
2. FCC – SABESP – 2018) 
Dez amigos decidiram viajar por 5 dias e se reuniram para fazer o planejamento das despesas. Após pesquisar, 
optaram por alugar um chalé grande o suficiente para comportá-los, por um total de R$ 12.370,00 pelos 5 dias 
de estadia. Dois dias antes da viagem, porém, um dos amigos teve um imprevisto e comunicou que não poderia 
viajar. Como o chalé já estava alugado, os outros amigos tiveram de arcar com um custo adicional. A expressão 
numérica que melhor representa o custo adicional de estadia é 
(A) 
12370
9
 - 
12370
10
 
(B) 
12370
10
 - 
12370
9
 
(C) 
12370
10
 ÷ 5 
(D) 
12370
10
 
(E) 
12370
9
 
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RESOLUÇÃO: 
O valor que cada um dos amigos pagaria pelos 5 dias de viagem era de: 
12370
10
 reais. Porém, um dos amigos 
desistiu de viajar, e o aluguel passou a ser dividido por 9 amigos. Logo, cada um passou a pagar 
12370
9
 reais. 
O custo adicional é a diferença entre o que cada um passou a pagar e o que cada um pagaria antes do amigo 
desistir. Logo: 
Passou a pagar – Pagaria = 
12370
9
 - 
12370
10
 
Resposta: A 
 
3. FCC – ALESE – 2018) 
Cinco amigos disputaram um jogo composto de várias rodadas, cada uma com um único vencedor. Em todas 
as rodadas, com exceção da última, apenas o vencedor pontuava, recebendo 5 pontos. Na última rodada, o 
vencedor ganhava 8 pontos, o segundo colocado recebia 3 pontos e os demais jogadores não pontuavam. Ao 
final, cada jogador somou as pontuações recebidas por ele e anotou o resultado na tabela a seguir. 
 
Um único desses cinco jogadores errou a soma das pontuações que recebeu. Esse jogador foi 
(A) o Beto. 
(B) a Gabi. 
(C) a Flávia. 
(D) o Lucas. 
(E) a Manuela. 
RESOLUÇÃO: 
Perceba que a cada rodada o vencedor faz 5 pontos e os demais não pontuam. Assim, a quantidade de pontos 
deve ser sempre um múltiplo de 5 (números terminados em 0 ou 5). É o caso de Beto (10) e Gabi (15). Uma 
exceção ocorre para o vencedor da última rodada, que ganha mais 8 pontos, ficando com uma pontuação que 
seja um múltiplo de cinco adicionado de 8 unidades. É o caso da Manuela, que tem 28 = 20 + 8 pontos. Também 
é exceção o segundo colocado da última rodada, que ganha mais 3 pontos, ficando com uma pontuação que 
seja um múltiplo de cinco adicionado de 3 unidades. É o caso da Flávia, pois 18 = 15 + 3. 
Portanto, quem anotou incorretamente sua pontuação foi Lucas, pois 26 = 25 + 1 é uma pontuação que não 
poderia ser obtida neste jogo. 
Resposta: D 
 
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4. FCC – TRT/PE – 2018) 
O maior valor monetário, em reais, de três notas de valores diferentes e três moedas de valores diferentes é 
igual a 
(A) 81,75. 
(B) 171,75 
(C) 110,50. 
(D) 171,25. 
(E) 171,60. 
RESOLUÇÃO: 
As maiores notas são de 100 + 50 + 20 = 170 reais. Já as maiores moedas são 1,00 + 0,50 + 0,25 = 1,75 real. 
Somando tudo, temos 171,75 reais. 
Resposta: B 
 
5. FCC – TRT/PE – 2018) 
Exatamente ¼ das vagas de uma faculdade são destinadas aos cursos de humanas, e exatamente 1/8 das vagas 
destinadas aos cursos de humanas são do período noturno. Sabendo-se que o total de vagas dessa faculdade é 
um número inteiro positivo entre 420 e 470, então o número de vagas dessa faculdade destinadas aos cursos 
de humanas é igual a 
(A) 108. 
(B) 124. 
(C) 112 
(D) 120. 
(E) 104. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo V vagas ao todo, sabemos que V/4 são de humanas. 1/8 disto são vagas noturnas, ou seja, 
Vagas noturnas de humanas = (1/8) x (V/4) = V/32 
O número de vagas deve ser um número inteiro. Logo, V deve ser divisível por 32, e estar entre 420 e 470. Se 
dividirmos 470 por 32, teremos resto 22. Isto significa que o 470 é 22 unidades maior do que um múltiplo de 32. 
Ou seja, 470 – 22 = 448 é múltiplo de 32. Este é o número de vagas. O número de vagas de humanas é V/4 = 
448/4 = 112. 
Resposta: C 
 
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6. FCC – TRT/PE – 2018) 
Um Analista Judiciário precisa distribuir certo número de tarefas por 17 funcionários. Distribuindo-se 13 tarefas 
por funcionário irão sobrar 4 tarefas sem serem distribuídas entre os funcionários. Se a mesma quantidade de 
tarefas fosse distribuída igualmente por 24 funcionários, cada funcionário receberia 9 tarefas e sobrariam, sem 
serem distribuídas entre os funcionários, um total de tarefas igual a 
(A) 3. 
(B) 7. 
(C) 9 
(D) 6. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
Devemos lembrar que Dividendo = Divisor x Quociente + Resto. Se dividirmos as tarefas pelo divisor 17 
funcionários, temos resultado 13 e resto 4, ou seja, 
Tarefas = 17 x 13 + 4 = 225 
 Se dividirmos essas 225 tarefas por 24 funcionários, teremos resultado 9 tarefas por funcionário, e resto igual 
a 9 tarefas. Este é o gabarito. 
Resposta: C 
 
7. FCC – TRT/PE – 2018) 
O número natural x possui, ao todo, três divisores positivos distintos. O número natural y possui, ao todo, três 
divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior que 30 e menor que 40. A soma x + y é 
igual a 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 13 
(D) 16. 
(E) 19. 
RESOLUÇÃO: 
Números cuja fatoração resulta em algo como n2, em que n é um fator primo, possuem exatamente 3 divisores 
positivos distintos (o número de divisores é obtido somando 1 unidade ao expoente). Assim, números como 22, 
32, 52 etc. possuem exatamente 3 divisores positivos distintos. Como devemos escolher 2 números cuja 
multiplicação fica entre 30 e 40, podemos pensar em 22 . 32 = 4 . 9 = 36. Ou seja, x = 4 e y = 9, de modo que a 
soma dos dois é 13. 
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Resposta: C 
 
8. FCC – DETRAN/MA – 2018) 
Em cada ciclo, um semáforo permanece verde por 70 segundos, depois amarelo por 5 segundos e, finalmente, 
vermelho por 35 segundos. Enquanto o semáforo está vermelho, um orientadorde trânsito deve posicionar 
uma bandeira com a indicação “Pare” em frente à faixa de pedestres, voltada aos motoristas. Exatamente um 
segundo antes das 17 horas, o semáforo iniciou um novo ciclo, ficando verde. Dessa forma, o número de vezes 
que o orientador teve de posicionar sua bandeira em frente à faixa de pedestres no período das 17 às 17h30 foi 
igual a 
(A) 17. 
(B) 18. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos achar o tempo gasto para um ciclo, ou seja, do momento em que o semáforo ficou verde até ficar verde 
novamente. Temos: 
70s (verde) + 5s (amarelo) + 35s (vermelho) = 110s 
A questão pede quantas vezes a bandeira foi posicionada antes do semáforo ficar verde, no período de 17h às 
17h30. Ou seja, o número de ciclos num intervalo de 30 minutos. 
Sabemos que 30 minutos correspondem a 60 x 30 = 1800 segundos. Para achar o número de ciclos nesse 
intervalo, basta efetuar a divisão: 
1.800
110
 = 16,3636.. 
Portanto, foram 16 ciclos completos, das 17h às 17h30, em que a bandeira foi colocada em frente à faixa de 
pedestres. 
Resposta: E 
 
9. FCC – DPE/RS – 2017) 
Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H 
é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a 
(A) 6,111 . . . 
(B) 5,888 . . . 
(C) 6 
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(D) 3 
(E) 5,98 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver de forma aproximada, somando: 
0,8666 + 0,7111 + 0,4222 = 1,9999 (aproximadamente 2) 
A soma é aproximadamente 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C. 
Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma 
solução bem mais demorada e trabalhosa. 
Resposta: C 
 
10. FCC – PM/AP – 2017) 
Ao pagar a conta em uma padaria, Teodoro deu uma nota de 10 reais. O atendente do caixa pegou a nota e 
perguntou se ele teria 50 centavos para facilitar o troco, ao que Teodoro deu a ele os 50 centavos solicitados. 
Depois disso, Teodoro recebeu de troco uma nota de 2 reais. O valor da conta paga por Teodoro nessa padaria 
foi de 
(A) R$ 9,00. 
(B) R$ 8,50. 
(C) R$ 9,50. 
(D) R$ 7,00. 
(E) R$ 7,50. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que, ao todo, Teodoro deu 10 reais e mais 50 centavos para o atendente, ou seja, ele pagou 10,50 reais. 
Como o troco foi de 2 reais, isto significa que o preço da conta foi de 10,50 – 2,00 = 8,50 reais. 
Resposta: B 
 
11. FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um programa de ampliação do acervo das bibliotecas públicas de um município, foram comprados R$ 
960,00 de livros ao custo unitário de R$ 24,00 e, com o dobro desse dinheiro, foram comprados livros ao custo 
unitário de R$ 16,00. O custo médio unitário dos livros comprados nesse programa foi igual a 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 20,00. 
(C) R$ 22,00. 
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(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 17,00. 
RESOLUÇÃO: 
As quantidades de livros compradas podem ser obtidas dividindo-se o custo total pelo custo unitário: 
Livros do primeiro grupo = 960 / 24 = 40 
Livros do segundo grupo = 2×960 / 16 = 120 
Portanto, foram comprados 120 + 40 = 160 livros ao custo total de 960 + 2×960 = 2880 reais. O custo unitário 
médio é: 
Custo unitário médio = custo total / quantidade = 2880/160 = 18 reais 
Resposta: A 
 
12. FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um caminho há 21 caixas dispostas em uma linha reta. Cada caixa está a 10 metros de distância da caixa 
seguinte. Partindo de uma caixa em um dos extremos dessa linha reta, Roberto tem a tarefa de levar todas as 
caixas até a posição em que está a caixa do meio. Se Roberto transportar apenas uma caixa de cada vez, e evitar 
percursos desnecessários, a distância percorrida por ele ao concluir a tarefa, em metros, será igual a 
(A) 2.200. 
(B) 1.900. 
(C) 1.800. 
(D) 2.000. 
(E) 2.100. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que Roberto dele levar a 1ª caixa até a posição da 11ª caixa (que fica no meio das 21), caminhando com ela 
10×10 = 100 metros. Em seguida ele deve retornar 90 metros até a 2ª caixa, levá-la 90 metros até a 11ª, retornar 
80 metros até a 3ª caixa, levá-la 80 metros até a 11ª, e assim por diante. Temos a soma de distâncias: 
100 + 90×2 + 80×2 + 70×2 + 60×2 + 50×2 + 40×2 + 30×2 + 20×2 + 10×2 = 1000 m 
Feito isso, será preciso andar 100 metros para chegar até a 21ª caixa. Até aqui temos 1000 + 100 = 1100 m. 
A partir daqui recomeça um processo similar ao anterior, em que Roberto percorrerá 1000 metros. Ao todo, 
teremos 1000 + 1100 = 2100 m. 
Resposta: E 
 
13. FCC – TRT/20 – 2016) 
Manoel e Dolores precisavam classificar um grande número de processos. Manoel começou antes do que 
Dolores e ao final do dia havia classificado 3/8 do total de processos. Dolores trabalhou mais rápido do que 
Manoel e ao final do dia havia classificado 1/3 de processos a mais do que aqueles que Manoel havia classificado. 
Após esse dia de trabalho de Manoel e Dolores, é correto afirmar que 
(A) ainda faltam 1/4 dos processos para serem classificados. 
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(B) eles terminaram a tarefa. 
(C) ainda faltam 1/8 dos processos para serem classificados. 
(D) eles classificaram 17/24 dos processos. 
(E) eles classificaram apenas metade dos processos. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 1/3 do que Manoel fez é: 
1/3 de 3/8 = 
1/3 x 3/8 = 
1/8 
Portanto, Dolores fez 3/8 + 1/8 = 4/8. Somando isso com o que foi feito por Manoel, ficamos com 4/8 + 3/8 = 7/8. 
Deste modo, ficou faltando apenas 1/8 dos processos. 
Resposta: C 
 
14. FCC – TRF/3ª – 2016) 
A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número 
natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
RESOLUÇÃO: 
O menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos é 34 = 3x3x3x3 = 81. Os divisores são 1, 3, 
9, 27, 81. 
Vale lembrar que a quantidade de divisores pode ser obtida a partir da forma fatorada, que é 34, somando uma 
unidade ao expoente: (4+1) = 5. 
Já o menor número natural par com 5 divisores positivos distintos é 24 = 16, cujos divisores são 1, 2, 4, 8 e 16. 
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65. 
Resposta: D 
 
15. FCC – TRF/3ª – 2016) 
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Em uma empresa, um funcionário deve cumprir exatas 8 horas de trabalho em um dia. Certo dia, um funcionário 
trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 38 minutos. A fração da carga diária de 
tempo de trabalho que esse funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a 
(A) 
4
15
 
(B) 
1
4
 
(C) 
3
5
 
(D) 
3
8
 
(E) 
7
20
 
RESOLUÇÃO: 
Somando 2 horas e 14 min. com 3 horas e 38 min., temos 5 horas e 52 minutos. Para chegar a 8 horas, faltam 8 
minutos (para chegar a 6h) e mais 2 horas, ou seja, faltam 2h e 8 min. 
Portanto, note que a carga horária total era de 8 x 60 = 480 minutos, e a carga restante é de 2x60 + 8 = 128 
minutos. A fração que ainda deve ser cumprida é de: 
F = 128 / 480 = 64 / 240 = 32 / 120 = 16 / 60 = 8 / 30 = 4 / 15 
Resposta: A 
 
16. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Considere as expressões numéricas, abaixo. 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      e 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 1. 
(B) 2,5. 
(C) 1,5. 
(D) 2. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
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Para resolver essa questão você deve lembrarque só podemos somar frações que estejam escritas com o 
mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas: 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      
16 8 4 2 1 31
32 32 32 32 32 32
A       
 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
81 27 9 3 1 121
243 243 243 243 243 243
B       
Portanto, 
31 121
32 243
A B   
Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1. E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de 
modo que 121/243 é aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 
1 + 0,5 = 1,5. 
Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da 
soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um 
denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243. 
Resposta: C 
 
17. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor positivo de cada um de três números naturais diferentes são, 
respectivamente, 7; 3 e 11. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três 
números naturais já citados são, respectivamente, 11; 17 e 13. A soma desses três números naturais é igual a 
(A) 271. 
(B) 159. 
(C) 62. 
(D) 303. 
(E) 417. 
RESOLUÇÃO: 
Para você entender bem essa questão, vamos listar os divisores de um determinado número. Por exemplo, 
vamos trabalhar com o número 24. Os seus divisores são: 
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 
 Observe que a multiplicação do menor divisor com o maior divisor é igual ao próprio número 24: 1 x 24 = 24. 
Da mesma forma, se excluirmos o menor divisor (1) e também o maior divisor (que é o próprio número 24), 
podemos fazer novamente a multiplicação entre o maior divisor restante e o menor divisor restante, ficando 
com 2x12 = 24. Chegamos de novo no próprio número. Portanto, repare o seguinte: a multiplicação entre o 
menor divisor (já excluído o 1) e o maior divisor (já excluído o próprio número) tem como resultado o próprio 
número originário. Utilizando essa lógica nessa questão, podemos rapidamente obter 3 números: 
Primeiro número = 7 x 11 = 77 
Segundo número = 3 x 17 = 51 
Terceiro número = 11 x 13 = 143 
A soma desses três números é igual a 271. 
Resposta: A 
 
18. FCC – CNMP – 2015) 
Renato recebeu um lote de 6.325 peças idênticas que devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor 
número de peças que ele terá que descartar do lote para que consiga fazer o maior número possível de grupos 
é igual a 
(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
RESOLUÇÃO: 
Dividindo 6.325 por 73, você encontrará o resultado 86 e o resto 47. Isto significa que, se descartarmos este 
resto (47), será possível dividir o restante em 86 grupos de 73 peças. 
Resposta: A 
 
19. FCC – CNMP – 2015) 
Sendo F = 1 - {2 - [3 - (4 - 5) - 6] - 7} - 8 e G = 8 - {7 - [6 - (5 - 4) - 3] - 2} - 1, a diferença entre F e G, nessa ordem, é 
igual a 
(A) 8. 
(B) - 8. 
(C) - 4. 
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(D) 0. 
(E) 4. 
RESOLUÇÃO: 
F = 1 - {2 - [3 - (4 - 5) - 6] - 7} - 8 
F = 1 - {2 - [3 - (-1) - 6] - 7} - 8 
F = 1 - {2 - [3 + 1 - 6] - 7} - 8 
F = 1 - {2 - [-2] - 7} - 8 
F = 1 - {2 + 2 - 7} - 8 
F = 1 - {-3} - 8 
F = 1 + 3 - 8 
F = -4 
G = 8 - {7 - [6 - (5 - 4) - 3] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - [6 - (1) - 3] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - [6 - 1 - 3] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - [2] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - 2 - 2} - 1 
G = 8 - {3} - 1 
G = 8 - 3 - 1 
G = 4 
Logo, a diferença entre F e G, nesta ordem, é: 
F - G = 
(-4) - 4 = 
-4 - 4 = 
-8 
Resposta: B 
 
20. FCC – CNMP – 2015) 
Um livro foi impresso de modo que seu texto ocupou 420 páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para 
uma versão mais compacta foi planejado que em cada página seriam impressas 35 linhas. Desta maneira, a 
diferença entre o número de páginas da primeira versão e o número de páginas da versão compacta é igual a 
(A) 60. 
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(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
O total de linhas do livro é: 
Total de linhas = 420 páginas x 30 linhas por página 
Total de linhas = 420 x 30 = 12.600 linhas 
Caso cada página tenha 35 linhas, o total de páginas para acomodar as 12.600 linhas será igual a: 
Novo total de páginas = 12.600 / 35 = 360 páginas 
A diferença entre o número de páginas da primeira versão (420) e da versão compacta (360) é igual a 420 - 360 
= 60 páginas. 
Resposta: A 
 
21. FCC - TRT/PR – 2015) 
A companhia de abastecimento de água de certa região divulga, em seu website, a Tabela Tarifária vigente a 
partir de julho de 2015, na qual informa as tarifas mensais relativas ao consumo de água e ao tratamento de 
esgoto. A cobrança é sempre feita com base no consumo mensal de água e, se o imóvel for servido também 
por tratamento de esgoto, a companhia cobra por este último considerando que a água consumida retorna na 
forma de esgoto. 
 
O proprietário de uma residência na Capital, que é servida por água e esgoto, recebeu a conta de água (incluindo 
a cobrança de água e de esgoto) referente ao mês de outubro de 2015 com valor muito superior ao de costume: 
R$ 254,80. Desconfiado de algum vazamento, consultou os dados da tabela acima para calcular o volume de 
água consumida em sua residência no referido mês. De acordo com esses dados, tal consumo foi de, em m3, 
(A) 44. 
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(B) 55. 
(C) 20. 
(D) 28. 
(E) 32. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que, na capital, até 10m3 de água consumida corresponde a 56,50 reais. A partir daí, cada m3 adicional 
acresce em 8,47 reais por m3, até os 30m3. Portanto, para esses 20 metros cúbicos (de 10 a 30) temos um gasto 
de 20 x 8,47 = 2 x 84,7 = 169,4 reais. Somando aos 56,50 reais da primeira parte do consumo, temos 225,9 reais. 
Como a conta foi de 254,80 reais, temos mais um gasto de 254,80 – 225,9 = 28,90 reais. Este gasto se deu na 
faixa acima de 30m3, onde o custo é de 14,45 reais por metro cúbico, de modo que foram gastos 28,90 / 14,45 = 
2 m3 nesta faixa. 
Ao todo, portanto, foram gastos 32 metros cúbicos. 
Resposta: E 
 
22. FCC - TRT/4ª – 2015) 
Rafael quer criar uma senha de acesso para um arquivo de dados. Ele decidiu que a senha será um número de 
três algarismos, divisível por três, e com algarismo da centena igual a 5. Nessas condições, o total de senhas 
diferentes que Rafael pode criar é igual a 
(A) 33. 
(B) 27. 
(C) 34. 
(D) 28. 
(E) 41. 
RESOLUÇÃO: 
O primeiro número de três algarismos que é divisível por 3 e também começa com 5 é o 501. A partir daí basta 
ir somando 3 unidades: 504, 507, 510 etc. O último será o 597. Para saber quantos números temos, basta 
dividirmos essa diferença (597 - 501) por 3, obtendo 32, e em seguida somar mais 1 unidade, chegando a 33. 
Observação: por quê somar 1 unidade no final? Porque queremos incluir as DUAS extremidades da subtração, 
isto é, tanto o 501 como o 597 nos interessam. 
Resposta: A 
 
23. FCC - TRT/4ª – 2015) 
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As peças de um jogo estão numeradas com a sequência ordenada dos primeiros números inteiros não 
negativos. Nesse jogo, sabe-se que: 
− as dez primeiras peças ordenadas devem se submeter à regra A. 
− as cinco primeiras peças ordenadas de numeração par devem se submeter à regra B; 
− as cinco primeiras peças ordenadas de numeração ímpar devem se submeterà regra C; 
− as cinco primeiras peças ordenadas com numeração de número primo devem se submeter à regra D. 
De acordo com as regras, as peças do jogo submetidas à regra 
(A) A também estão submetidas à regra C. 
(B) A também estão submetidas à regra D. 
(C) A mas não submetidas à regra B são as mesmas que estão submetidas à regra C. 
(D) A e à regra B, simultaneamente, constituem um conjunto sem elementos. 
(E) B e à regra C, simultaneamente, constituem um conjunto de um único elemento. 
RESOLUÇÃO: 
Os 10 primeiros números inteiros não negativos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Assim: 
- Devem se submeter à regra A as peças 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
- Devem se submeter à regra B as peças 0, 2, 4, 6 e 8 (números pares) 
- Devem se submeter à regra C as peças 1, 3, 5, 7 e 9 (números ímpares) 
- Devem se submeter à regra D as peças 2, 3, 5, 7 e 11 (números primos) 
Portanto, analisando as alternativas de resposta, vemos que: 
- obedecem às regras A e B as peças 0, 2, 4, 6 e 8. 
- nenhuma peça obedece às regras B e C. 
- nem todas as peças de A obedecem a regra C, e nem a regra D. 
- as peças do conjunto A que não fazem parte do conjunto B são os números ímpares, que justamente compõem 
o conjunto C. Assim, temos nosso gabarito. 
Resposta: C 
 
Para responder às duas próximas questões, considere as informações abaixo. 
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. 
O tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, a 
dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento 
completo cumprindo rigorosamente as instruções de doses e horários. 
24. FCC – SABESP – 2014) 
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Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a: 
(A) 90. 
(B) 88. 
(C) 96. 
(D) 92. 
(E) 66. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos calcular o número total de horas desse tratamento: 
5 dias e meio = 5 x 24 + 12 = 120 + 12 = 132 horas 
O remédio X é tomado de 3 em 3 horas. Então, nessas 132 horas, serão: 132 ÷ 3 = 44 comprimidos. Como Luiz 
toma um comprimido logo no início da contagem, esse deve ser contabilizado também. Portanto, o total será 
de 45 comprimidos do remédio X. 
O remédio Y é tomado de 5 em 5 horas. Logo: 132 ÷ 5 = 26 comprimidos. Como são 2 por vez, serão 26 x 2 = 52 
comprimidos. Contabilizando os 2 tomados no início: 52 + 2 = 54 comprimidos do remédio Y. 
Assim, ao fim do tratamento, Luiz terá tomado: 
44 + 54 = 99 comprimidos 
Como não há essa alternativa, a questão deveria ter sido anulada. A FCC desconsiderou o que afirmou no 
enunciado: Luiz iniciou tomando, simultaneamente, a dose recomendada de cada remédio. Só contabilizou a 
partir das 3 horas (comprimido X) e das 5 horas (comprimido y). Aí, a resposta realmente daria: 99 – 3 = 96 
comprimidos. 
Resposta: C 
 
25. FCC – SABESP – 2014) 
Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, simultaneamente, as doses dos 
remédios X e Y foi no sábado às 
(A) 11 horas. 
(B) 8 horas. 
(C) 23 horas. 
(D) 13 horas. 
(E) 16 horas. 
RESOLUÇÃO: 
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Aqui, devemos achar o mínimo múltiplo comum de 3 horas e 5 horas, que é 15. Portanto, a cada 15 horas Luiz 
tomará os dois remédios simultaneamente. Como ele começa a tomar às 8 horas da segunda, os horários em 
que essa situação ocorre serão: 
2ª) 8h + 15h = 23h 
3ª) 23h + 15h = 14h 
4ª) 14h + 15h = 5h 
4ª) 5h + 15h = 20h 
5ª) 20h + 15h = 11h 
6ª) 11h + 15h = 2h 
6ª) 2h+ 15h = 17h 
Sábado) 17h + 15h = 8h 
Luiz tomou, simultaneamente, as doses dos remédios X e Y no sábado às 8 horas. 
Resposta: B 
 
26. FCC – SABESP – 2014) 
Para cada rua de um bairro, a companhia de saneamento vai trocar 120 metros de tubulações, e para cada 
avenida, desse mesmo bairro, a troca será de 180 metros de tubulações. Sabe-se que esse bairro tem 42 ruas a 
mais do que avenidas. Durante a realização do serviço verificou-se que 24% das ruas e 25% das avenidas do 
bairro não necessitaram de troca de tubulação. Se a troca total de tubulações no bairro foi de 5640 metros, 
então o bairro possui um total de ruas e avenidas igual a 
(A) 64. 
(B) 58. 
(C) 66. 
(D) 62. 
(E) 52. 
RESOLUÇÃO: 
Seja “a” o número de ruas e “b” o número de avenidas desse bairro. Existem 42 ruas a mais do que avenidas. 
Portanto: 
a = b + 42 (I) 
Como 24% das ruas e 25% das avenidas do bairro não necessitaram de troca de tubulação, então 100 – 24 = 
76% das ruas e 100 – 25 = 75% das avenidas tiveram suas tubulações trocadas. 
São 120 metros de tubulação para cada rua e 180 metros para cada avenida. O total gasto foi de 5640 metros. 
Portanto: 
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120 x 76% x a + 180 x 75% x b = 5640 
120 x 0,76a + 180 x 0,75b = 5640 
Vamos dividir toda equação por 60. Fica: 
2 x 0,76a + 3 x 0,75b = 94 
1,52a + 2,25b = 94 (II) 
Substituindo (I) em (II), temos: 
1,52 x (b + 42) + 2,25b = 94 
1,52b + 63,84 + 2,25b = 94 
3,77b = 94 – 63,84 
3,77b = 30,16 
b = 8 
a = 8 + 42 = 50 
Portanto, o bairro possui 8 + 50 = 58 ruas e avenidas. 
Resposta: B 
 
27. FCC – TRF/3ª – 2014) 
Um funcionário tem que executar 500 tarefas do tipo A, 150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, 
sendo necessário finalizar as tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente ao final do último dia. De acordo com 
as instruções que recebeu, ele tem que realizar, por dia, sempre o mesmo número de tarefas A, o mesmo 
número de tarefas B e o mesmo número de tarefas C, sendo que a soma diária da quantidade de tarefas A, B e 
C realizadas seja a maior possível. Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas 
diárias igual a 
(A) 19. 
(B) 25. 
(C) 10. 
(D) 21. 
(E) 15. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que é preciso realizar a cada dia o mesmo número de tarefas A, o mesmo de B, e o mesmo de C, e devem 
ser realizadas o máximo de tarefas possíveis por dia. Como temos números diferentes de tarefas (500, 150 e 
300), devemos buscar o máximo divisor comum (MDC) entre esses números, que é 50. Assim, a cada dia 
realizaremos 500/50 = 10 tarefas A, 150/50 = 3 tarefas B, e 300/50 = 6 tarefas C, totalizando 10 + 3 + 6 = 19 tarefas 
por dia. 
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Resposta: A 
 
28. FCC – CETAM – 2014) 
O número que corresponde ao resultado da expressão numérica: (3⋅0,1+ 4⋅0,01+ 5⋅0,001) ÷ (69 ÷ 100) é igual a 
(A) 50. 
(B) 5. 
(C) 0,05. 
(D) 2. 
(E) 0,5 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo essa expressão: 
(3⋅0,1+ 4⋅0,01+ 5⋅0,001) ÷ (69 ÷ 100) = 
(0,3+ 0,04+ 0,005) ÷ (0,69) = 
(0,345) ÷ (0,69) = 
345 / 690 = 
5 x 69 / 690 = 
5 x 1 / 10 = 
5 / 10 = 
0,5 
Resposta: E 
 
29. FCC – CETAM – 2014) 
Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos: 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e III. 
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(D) II. 
(E) III. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos tratandoapenas de números inteiros não 
negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais. 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor. 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto, 
Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever: 
Dividendo = divisor x divisor + resto 
88 = divisor x divisor + resto 
Veja que o divisor por igual a 8, teríamos: 
88 = 8 x 8 + resto 
88 = 64 + resto 
resto = 22, 
O que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor. 
Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com: 
88 = 9 x 9 + resto 
88 = 81 + resto 
7 = resto 
Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número de 4 algarismos (9.999) pelo maior número 
de três algarismos (999): 
9.999 x 999 = 
9.999 x (1000 - 1) = 
9999x1000 - 9999x1 = 
9.999.000 - 9.999 = 
9.999.000 - 10.000 + 1 = 
9.989.000 + 1 = 
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9.989.001 
Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a afirmação deste item. CORRETO. 
Resposta: C 
 
30. FCC – CETAM – 2014) 
O quociente entre a menor e a maior fração do conjunto C = 
1 2 3 5 1
, , , ,
2 5 4 6 3
 
 
 
 , nessa ordem, é igual 
(A) ao triplo de uma fração pertencente à C. 
(B) à metade de uma fração pertencente à C. 
(C) ao dobro de uma fração pertencente à C. 
(D) a uma fração pertencente à C. 
(E) à terça parte de uma fração pertencente à C. 
RESOLUÇÃO: 
A menor fração do conjunto é 1/3, e a maior é 5/6. O quociente é: 
(1/3) / (5/6) = 
(1/3) x (6/5) = 
6/15 = 
2/5 
Veja que 2/5 é uma fração que pertence ao conjunto C. 
Resposta: D 
 
31. FCC – CETAM – 2014) 
De 1 a 100 são 20 os múltiplos de x. De 1 a 50 são 7 os múltiplos de y. De 20 a 40 são z os múltiplos de 13. Sendo 
assim, o valor da expressão x . y − z é igual a 
(A) 14. 
(B) 25. 
(C) 22. 
(D) 33. 
(E) 37. 
RESOLUÇÃO: 
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De 1 a 100 são 20 os múltiplos de x. Dividindo 100 por 20 temos o resultado 5. Portanto, x = 5, pois temos 20 
múltiplos de 5 no intervalo de 1 a 100. 
De 1 a 50 são 7 os múltiplos de y. Dividindo 50 por 7 temos resultado 7 e resto 1. Portanto, y = 7, pois temos sete 
múltiplos de 7 entre 1 e 50. 
De 20 a 40 são z os múltiplos de 13. Veja que neste intervalo os múltiplos de 13 são 26 e 39, ou seja, z = 2 
múltiplos neste intervalo. 
Assim, 
x . y – z = 
5.7 – 2 = 
35 – 2 = 
33 
Resposta: D 
 
32. FCC – CETAM – 2014) 
Em uma década, o número de dias que são múltiplos de 7 é igual a 
(A) 521. 
(B) 520. 
(C) 600. 
(D) 480. 
(E) 602. 
RESOLUÇÃO: 
Em um mês os múltiplos de 7 são: 7, 14, 21 e 28. Isto é, a cada mês temos 4 múltiplos de 7 (veja que isso vale 
para meses de 28 a 31 dias). Em 10 anos, ou 120 meses, temos 120 x 4 = 480 dias que são múltiplos de 7. 
Resposta: D 
 
33. FCC – SABESP – 2014) 
No setor de arquivos de um escritório, existem 2.240 pastas arquivadas. Retirando-se certo número de pastas, 
as que sobram podem ser perfeitamente divididas entre 7 departamentos do escritório, ou entre 6 setores do 
escritório, o que é uma situação desejada. Nas condições dadas, o menor número de pastas que devem ser 
retiradas para que se atinja a situação desejada é igual a 
(A) 31. 
(B) 17. 
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(C) 23. 
(D) 14. 
(E) 9. 
RESOLUÇÃO: 
Ao dividir 2240 por 7 você vai encontrar o quociente 320 e nenhum resto. Ou seja, 2240 é divisível por 7. Para 
continuar obtendo números divisíveis por 7 basta irmos subtraindo 7 unidades de 2240. Assim temos as 
possibilidades: 
2240, 2233, 2226 etc. 
Ao dividir 2240 por 6 você vai encontrar o quociente 373 e o resto 2. Isso significa que 2240 não é divisível por 
6, entretanto se tirarmos 2 unidades chegaremos número 2238 que é divisível por 6. A partir desse número 
podemos continuar tirando de 6 em 6 unidades para continuar obtendo números divisíveis por 6: 
2238, 2232, 2226, etc. 
Note que o número 2226 é o maior número que aparece nas duas sequências, ou seja, divisível por 6 e por 7 ao 
mesmo tempo. Para chegar neste número basta tirarmos 2240 - 2226 = 14 pastas. 
Resposta: D 
 Obs.: uma forma mais rápida de resolver é percebendo que os múltiplos comuns de 6 e 7 são os números que 
são múltiplos de 6x7 = 42. Assim, basta dividir 2240 por 42, obtendo resto 14. Tirando este resto 14, é possível dividir 
o restante das pastas de maneira exata tanto por 6 como por 7. 
 
 
34. FCC – SABESP – 2014) 
Somando-se certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da 
fração 
2
3
 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 
52
25
 
(B) 
13
6
 
(C) 
7
3
 
(D) 
5
2
 
(E) 
47
23
 
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RESOLUÇÃO: 
Temos: 
2
5
3
x
x



 
2 + x = 5 . (3 – x) 
2 + x = 15 – 5x 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 13/6 
Resposta: B 
 
35. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
O investimento J gera um rendimento de 
1
4
 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K 
gera um rendimento de 
1
2
 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os 
rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um investidor aplica 
simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira dos investimentos os seus 
rendimentos obtidos. 
 Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J. Quando isso 
ocorre, essa superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a 
(A) 
11
32
 . 
(B) 
25
64
 . 
(C) 
5
8
 . 
(D) 
3
16
 . 
(E) 
23
256
 . 
RESOLUÇÃO: 
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Vamos trabalhar com números para ficar mais fácil você acompanhar o desenvolvimento dessa questão. 
Suponha que investimos 200 reais no investimento J, e metade dessa quantia (100 reais) no investimento K. 
Ao final do primeiro período x, primeiro investimento gera um rendimento de 1/4 x 200 = 50 reais, e o segundo 
investimento gera um rendimento de 1/2 x 100 = 50 reais. Dessa forma ficamos com 250 reais investidos em J 
e 150 reais investidos em K. Ao final do segundo período x, ficamos com: 
Montante em J = 250 + 1/4 x 250 = 312,50 reais 
Montante em K = 150 + 1/2 x 150 = 225 reais 
Seguindo esta mesma lógica, ao final do terceiro período x nós ficamos com: 
Montante em J = 312,50 + 1/4 x 312,50 = 390,625 reais 
Montante em K = 225 + 1/2 x 225 = 337,5 reais 
Ao final do quarto período x nós ficamos com: 
Montante em J = 390,625 + 1/4 x 390,625 = 488,281 reais 
Montante em K = 337,5 + 1/2 x 337,5 = 506,25 reais 
Veja que neste momento o montante no investimento K supera o montante no investimento J em 506,25 - 
488,281 = 17,968 reais. Em relação à quantia aplicada inicialmente no investimento J (200 reais), esse valor 
corresponde a: 
17,968 / 200 = 0,0898 
Comparando este número com as alternativas de resposta, veja que ele se aproxima daquele valor presente na 
alternativa E, pois 23/256 = 0,0898. Este éo nosso gabarito. Vale dizer que nós encontramos um resultado 
aproximado pois fomos fazendo cálculos a partir de um exemplo concreto, sem utilizar fórmulas de matemática 
financeira, apenas raciocínio matemático. Caso você saiba utilizá-las, é possível fazer uma resolução ainda mais 
rápida e direta. 
Resposta: E 
 
36. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao 
quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e 
do quociente deve ser subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser 
somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
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RESOLUÇÃO: 
Os números pares sorteados foram 40 e 66. Devemos dividir cada um deles por 2 e acrescentar 17 unidades no 
resultado, ficando com: 
40/2 + 17 = 37 
66/2 + 17 = 50 
 Os números ímpares sorteados foram 35 e 27. Os maiores divisores deles são eles mesmos, ou seja, 35 e 27. 
Assim, dividindo cada número por seu maior divisor e subtraindo 15 unidades do resultado, ficamos com: 
35 / 35 - 15 = -14 
27 / 27 - 15 = -14 
Assim, a soma obtida ao final é igual a: 
37 + 50 - 14 - 14 = 59 
Resposta: B 
 
37. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
Se P e Q são números distintos do conjunto 
9 2 3
, ,
20 3 5
 
   
 
, então o maior valor possível de P−Q é: 
(A) 
3
20
 . 
(B) 
13
60
 . 
(C) 
21
20
 . 
(D) 
19
15
 . 
(E) 
3
10
 . 
RESOLUÇÃO: 
Para que uma subtração do tipo P - Q tenha o maior valor possível, é preciso que P o maior número possível, 
e Q seja o menor número possível. Observe que o conjunto é formado apenas por números negativos. Assim, 
o maior deles é -9/20, que é o "menos negativo" (veja que ele é o único onde o numerador é menor do que a 
metade do denominador). Para saber qual o número é menor, -2/3 ou -3/5, podemos escrevê-los na forma 
decimal: 
-2/3 = - 0,666... 
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-3/5 = -0,6 
 Assim, observe que o menor desses números é -2/3 (ele é o "mais negativo"). Portanto, temos a subtração: 
P - Q = 
-9/20 - (-2/3) = 
-9/20 + 2/3 = 
-27/60 + 40/60 = 
13/60 
Resposta: B 
 
38. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
O algarismo da milhar do resultado da soma 
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 
 é igual a 
(A) 0. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 8. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
Temos a soma: 
6 
+66 
+666 
+6.666 
+66.666 
+666.666 
+6.666.666 
+66.666.666 
+666.666.666 
Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades (direita). Somando as casas das unidades, temos 9 
x 6 = 54. Deixamos o 4 no resultado, e levamos o 5 para a próxima soma. Somando as casas das dezenas, temos 
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8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação anterior, temos 48 + 5 = 53. Deixamos o 3 no resultado e levamos 
o 5 para a próxima operação. Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 = 42. Somando as 5 unidades que 
vieram da operação anterior, ficamos com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima 
operação. Somando as casas da milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando com o 4 que veio da operação anterior, 
temos 36 + 4 = 40. Portanto na casa da milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação. Podemos parar 
esta soma por aqui, pois chegamos na casa da milhar. 
Resposta: A 
 
39. FCC – TRT/9ª – 2013) 
Em uma loja de bijuterias, todos os produtos são vendidos por um dentre os seguintes preços: R$ 5,00, R$ 7,00 
ou R$ 10,00. Márcia gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos um produto de cada preço. 
Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de produtos que Márcia pode 
ter comprado são, respectivamente, iguais a 
(A) 9 e 10. 
(B) 8 e 11. 
(C) 8 e 10. 
(D) 9 e 13. 
(E) 7 e 13. 
RESOLUÇÃO: 
Como é necessário comprar pelo menos 1 produto de cada preço, temos que gastar 5 + 7 + 10 = 22 reais 
adquirindo 3 produtos, restando ainda 43 reais. 
Para calcular o número máximo de produtos que podem ser adquiridos com 43 reais, devemos priorizar os mais 
baratos, ou seja, os de 5 reais. Assim, seria possível adquirir 8 itens de 5 reais cada, totalizando 40 reais – porém 
assim há uma sobra de 3 reais. Para não haver sobra, dado que foram gastos exatamente 65 reais na loja, 
devemos combinar produtos de diferentes preços. Assim, podemos buscar uma combinação de N produtos de 
5 reais e M produtos de 7 reais que totalize 43 reais, isto é, que obedeça à equação: 
N x 5 + M x 7 = 43 
 Você verá que, para N = 3, temos M = 4, totalizando 3 + 4 = 7 produtos. Assim, além dos 3 produtos comprados 
inicialmente (para cumprir a regra de 1 produto de cada tipo), podemos comprar mais 7, totalizando 10 
produtos, e gastando exatamente 65 reais. Este é o número máximo. 
Para o mínimo, devemos priorizar os produtos mais caros. Assim, após gastar 22 reais comprando um produto 
de cada tipo, devemos distribuir os 43 reais restantes priorizando os produtos mais caros. Em relação ao caso 
anterior, onde usamos os 43 reais para comprar 3 produtos de 5 reais e 4 de 7 reais, podemos, no máximo, 
substituir 2 produtos de 5 reais por 1 de 10 reais. Assim, o número mínimo de produtos comprados cai para 9, 
sendo: 2 de 5 reais, 5 de 7 reais e 2 de 10 reais. 
Resposta: A 
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40. FCC – TRT/18ª – 2013) 
Para montar um tipo de enfeite de mesa para festas de casamento, uma empresa de eventos utiliza um 
pequeno vaso, quatro flores artificiais e uma vela colorida. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada 
vela R$ 1,20. O custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento, em reais, é igual a 
(A) 140,00. 
(B) 157,50. 
(C) 175,00. 
(D) 192,50. 
(E) 210,00. 
RESOLUÇÃO: 
Um enfeito é composto por 1 vaso, 4 flores e 1 vela. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada vela R$ 
1,20. Logo, o custo de um enfeite é: 
Enfeite = 1 x 0,80 + 4 x 0,25 + 1 x 1,20 = 3,00 reais 
Assim, o custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento é igual a 3,00 x 70 = 210 reais. 
Resposta: E 
 
41. FCC – TRT/12ª – 2013) 
Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da divisão de P por 5 é igual a 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 1 
RESOLUÇÃO: 
Vamos apenas começar a efetuar essa multiplicação, para descobrir o algarismo da casa das unidades do 
resultado: 
 8726617 
× 9827274 
Como 7 x 4 é igual a 28, deixaremos 8 unidades no resultado, levando as 2 dezenas para a próxima conta: 
 2 
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 8726617 
× 9827274 
 8 
Nem precisamos finalizar a conta. Sabemos que os números divisíveis por 5 são aqueles que terminam em 0 ou 
5. Logo, esse resultado (que termina em 8) não será divisível por 5, ou seja, deixará resto. Observe que os 
números que terminam em 8 deixam resto 3 ao serem divididos por 5. Teste isso dividindo 8 por 5, ou 18 por 5, 
ou 28 por 5, ou mesmo 105 por 5. Esse resto é justamente a subtração 8 – 5 = 3. 
Resposta: C 
 
42. FCC – TRT/12ª – 2013) 
Um viajante percorreu 420 km. Desse percurso, 3/4 ele fez de trem, e o restante de carro e de bicicleta. Se o 
percurso feito por ele de carro correspondeu a 4/15 do percurso feito de trem,então, o viajante percorreu, em 
km, de bicicleta 
(A) 63. 
(B) 21. 
(C) 15. 
(D) 14. 
(E) 49. 
RESOLUÇÃO: 
¾ dos 420km foram percorridos de trem, ou seja: 
Trem = (3/4) x 420 = 315km 
De carro foram percorridos 4/15 do percurso feito de trem, ou seja, 4/15 de 315km: 
Carro = (4/15) x 315 = 84km 
Para completar os 420km totais, falta o trecho de bicicleta: 
Bicicleta = 420 – 315 – 84 = 21km 
Resposta: B 
 
43. FCC – TRT/12ª – 2013) 
O plano de saúde de João custa R$ 160,08, o de sua esposa custa R$ 89,86, e cada um dos planos dos seus dois 
filhos custa R$ 54,28. João pagou no Banco o total das quatro mensalidades com sete notas, ao que recebeu 
corretamente de troco R$ 1,50. Nas condições descritas, das sete notas usadas por João no pagamento, eram 
de um mesmo valor apenas 
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(A) quatro. 
(B) cinco. 
(C) três. 
(D) seis. 
(E) duas. 
RESOLUÇÃO: 
O total pago por João é: 
Total pago = plano João + plano esposa + 2 x plano filho 
Total pago = 160,08 + 89,86 + 2 x 54,28 
Total pago = 358,50 reais 
Como ele recebeu 1,50 de troco, o valor total que ele entregou ao banco inicialmente foi de 358,50 + 1,50 = 
360,00 reais. Como João pagou com exatamente 7 notas, elas devem ter sido: 1 nota de 100, 5 de 50 reais e 1 
de 10 reais. Isto porque: 
100 + 5 x 50 + 1 x 10 = 360 
Assim, 5 notas eram do mesmo valor (50 reais). 
Resposta: B 
 
44. FCC – SABESP – 2012) 
Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No último ano, cada uma 
dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente distribuída entre os mercados 
consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu foi 
(A) 26.007 
(B) 26.070 
(C) 206.070 
(D) 260.007 
(E) 260.070 
RESOLUÇÃO: 
Como são 5 unidades produtivas, o total de automóveis produzidos será: 5 x 364.098 = 1.820.490 automóveis. 
Toda essa produção foi distribuída para 7 países. Vamos montar a divisão que resultará no número de 
automóveis que cada país recebeu: 
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Portanto, o total foi de 260.070 automóveis para cada país. 
Resposta: E 
 
45. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão 
de 14 por 22. 
O produto A . B . C é igual a 
(A) 3,072072072 . . . 
(B) 3,636363 . . . 
(C) 3,121212 . . . 
(D) 3,252525 . . . 
(E) 3,111 . . . 
RESOLUÇÃO: 
Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22, que correspondem ao produto A x B x C: 
8 15 14
3 7 22
8 15 2
3 1 22
8 5 1
1 1 11
40
11
3,63...
  
  
  

 
Logo, A x B x C = 3,6363.. que corresponde à letra B. 
Resposta: B 
 
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46. FCC – CNMP – 2015) 
O resultado da expressão numérica 
     
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                    
          
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
RESOLUÇÃO: 
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                     
          
1 2 1 6 9
.7. .( 6). .10. .
3 5 4 7 9
         
              
          
 
1 2 1 6
.7. .( 6). .10. . 1
3 5 4 7
       
            
        
 
1 2 1 6
.7. .(6). .10. . 1
3 5 4 7
       
        
        
 
1 2 1 6
.1. .(2). .10. . 1
1 5 4 1
       
        
        
 
1 1 1 6
.1. .(1). .10. . 1
1 5 1 1
       
        
        
 
60
1
5
 
  
  
   12 . 1 
 
12 
Resposta: E 
 
47. FCC – TCE/AP – 2012) 
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Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais 
dígitos aparecendo exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129 212 921 
são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891 para que se obtenha como resultado 
um número tricíclico é 
(A) 1 109. 
(B) 3 129. 
(C) 6 972. 
(D) 13 230. 
(E) 23 331. 
RESOLUÇÃO: 
O número 198 891 possui 6 dígitos. Precisamos que 2 dígitos apareçam exatamente 3 vezes. Vejamos o que 
acontece ao adicionarmos 1109 (alternativa A): 
198891 + 1109 = 200000  não temos um número tricíclico 
Agora vejamos o que acontece ao adicionarmos 3129 (alternativa B): 
198891 + 3129 = 202020  temos dois dígitos (2 e 0) aparecendo 3 vezes cada um, ou seja, obtivemos um 
número tricíclico. Esta é a resposta. 
Resposta: B 
 
48. FCC – SPPREV – 2012) 
Um fornecedor vende lápis em diferentes embalagens, conforme mostra a tabela: 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a economia na compra de uma caixa tipo 
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00. 
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00. 
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00. 
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00. 
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00. 
RESOLUÇÃO: 
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Multiplicando a quantidade de lápis pelo preço unitário do lápis em cada caixa, obtemos o preço total da caixa. 
Vejamos: 
Caixa I = 400 x 0,75 = 300 
Caixa II = 800 x 0,70 = 560 
Caixa III = 1200 x 0,65 = 780 
Caixa IV = 1600 x 0,60 = 960 
Caixa V = 2400 x 0,55 = 1320 
Com isso em mãos, vamos fazer as comparações do enunciado: 
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00. 
A caixa III custa 780 reais, e três caixas I custam 3x300 = 900 reais. Assim, a economia é de 900 – 780 = 120 reais, 
e não 150. ERRADO. 
 
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00. 
A caixa V custa 1320 reais, e seis caixas I custam 6x300 = 1800 reais. Assim, a economia é de 1800 – 1320 = 480 
reais, e não 450. ERRADO. 
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00. 
A caixa IV custa 960 reais, e quatro caixas I custam 4x300 = 1200 reais. Assim, a economia é de 1200 – 960 = 240 
reais, e não 250. ERRADO. 
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00. 
A caixa V custa 1320 reais, e duas caixas III custam 2x780 = 1560 reais. Assim, a economia é de 1560 – 1320 = 240 
reais, e não 200. ERRADO. 
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00. 
A caixa IV custa 960 reais, e duas caixas II custam 2x560 = 1120 reais. Assim, a economia é de 1120 – 960 = 160 
reais, como dito nesta alternativa. CORRETO. 
Resposta: E 
 
49. FCC – SPPREV – 2012) 
Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. 
Considerando que todos estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é 
(A) 9. 
(B) 16. 
(C) 24. 
(D) 36. 
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(E) 40. 
RESOLUÇÃO: 
Cada um de seus 4 filhos de Dona Arminda teve 3 filhos, de modo que ela possui 4 x 3 = 12 netos. Cada um dos 
12 netos teve 2 filhos, de modo que ela teve 9 x 2 = 24 bisnetos. 
Portanto, Dona Arminda tem 4 filhos, 12 netos e 24 bisnetos, totalizando 40 descendentes.Resposta: E 
 
50. FCC – METRÔ/SP – 2012) 
Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1 real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 
centavos. Se Ana pretende totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às 
que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 6. 
(D) 7. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
O valor total que Ana possui é: 
7 x 1,00 + 48 x 0,50 + 53 x 0,25 + 29 x 0,10 = 47,15 reais 
Para chegar a 50 reais, faltam 50 – 47,15 = 2,85 reais. Essa quantia pode ser obtida com 2 moedas de 1 real, 1 
moeda de 50 centavos, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos, totalizando 5 moedas. 
Resposta: B 
 
51. FCC – MPE/PE – 2012) 
Existem três caixas idênticas e separadas umas das outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas 
caixas menores, e dentro de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando-se 
todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a: 
(A) 108. 
(B) 45. 
(C) 39. 
(D) 36. 
(E) 72. 
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RESOLUÇÃO: 
Temos 3 caixas grandes, com 2 caixas menores em cada, ou seja, 3 x 2 = 6 caixas menores. Dentro de cada uma 
dessas 6 caixas menores, temos 6 caixas menores ainda, totalizando 6 x 6 = 36 caixas menores ainda. 
Portanto, ao todo temos 3 caixas grandes, 6 caixas menores e 36 caixas menores ainda, totalizando 45 caixas. 
Resposta: B 
 
52. FCC – MPE/PE – 2012) 
Quando volta a energia elétrica depois de um período sem energia, um rádio relógio elétrico reinicia a marcação 
do horário das 12:00. Plínio esteve ausente de sua casa por 10 horas e, ao retornar, notou que seu rádio relógio 
marcava 16:35, quando o horário correto deveria ser 19:40. Sabendo que a diferença de horário se deve à falta 
de luz em um intervalo de tempo do período em que Plínio esteve fora de casa, o horário em que se deu o início 
da falta de energia elétrica foi: 
(A) 16:05. 
(B) 15:05. 
(C) 14:05. 
(D) 16:35. 
(E) 18:35. 
RESOLUÇÃO: 
Como o relógio marcada 16:35, isto significa que a luz havia faltado exatamente 4 horas e 35 minutos antes de 
Plínio retornar para casa. Como o horário correto era 19:40, então “voltando” 4 horas e 35 minutos temos 15:05, 
que foi o horário onde houve a falta de energia. 
Resposta: B 
 
53. FCC – ISS/SP – 2012) 
Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dígito e o resultado é um número 
de 5 algarismos. 
 
A soma (S + O + M + A + R) é igual a: 
a) 33 
b) 31 
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c) 29 
d) 27 
e) 25 
RESOLUÇÃO: 
Vamos resolver esta questão de duas maneiras. 
RESOLUÇÃO 1: 
O número SOMAR é divisível por 9, afinal ele resulta da multiplicação de RAMOS por 9. A soma dos algarismos 
de um número divisível por 9 também deve ser divisível por 9. Ex.: 175 x 9 = 1575, cuja soma dos algarismos é 
1+5+7+5 = 18 (que é divisível por 9). 
Isto é, S+O+M+A+R deve resultar em um número divisível por 9. Dentre as opções de resposta, a única 
alternativa que apresenta um múltiplo de 9 é a letra D. 
RESOLUÇÃO 2: 
O enunciado diz que SOMAR é um número com 5 algarismos. Logo, o S não pode ser igual a zero. 
Analisando a partir da esquerda, temos que a multiplicação de R por 9 não pode levar número adicional para a 
próxima casa. Assim, R deve ser igual a 0 ou 1. Como o S não pode ser zero, então R = 1. Já o S será igual a 1 x 9 
= 9. Como a multiplicação de R por 9 não poder levar nenhum número para a próxima casa, o A também precisa 
ser igual a 0 ou 1. 
Analisando agora a partir da direita, como S = 9, então a primeira multiplicação é 9 x 9 = 81, deixando o 1 no 
lugar do R (como já vimos, R = 1) e levando 8 unidades para a próxima multiplicação. 
Vamos testar agora as duas possibilidades para o A. Se A = 1, a multiplicação de O por 9, adicionada de 8 
unidades, deveria gerar um número terminado em 1, o que exigiria que O = 7. Isto levaria mais 7 unidades para 
a multiplicação Mx9, de modo que fica impossível obter M no resultado. 
Já se A = 0, então O = 8, de modo que 8x9 + 8 = 80, levando 8 unidades para a multiplicação Mx9. Se M = 9, 
teremos 9x9 + 8 = 89, deixando 9 no resultado e levando 8 unidades para a multiplicação de A por 9. Como A = 
0, então O = 8, como já havíamos dito. 
Deste modo temos S = 9, O = 8, M = 9, A = 0 e R = 1, totalizando 27. 
Resposta: D 
 
54. FCC – TRT/4ª – 2011) 
Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, 
respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número: 
(A) Quadrado perfeito 
(B) Menor que 10 
(C) Primo 
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(D) Divisível por 6 
(E) Múltiplo de 4 
RESOLUÇÃO: 
Ora, se 
31692
76
1X Y
 , então 
31692
1
76
X Y . Fazendo a divisão, temos: 
417 1X Y 
Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que é um número primo. Alternativa C. 
Resposta: C. 
 
55. FCC – TRT/24ª – 2011) 
Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao 
copiar N, ele enganou-se, invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim, 
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condições, se q e r são, 
respectivamente, o quociente e o resto da divisão de N por 63, então: 
(A) q + r = 50. 
(B) r < 40. 
(C) q < 9. 
(D) r é múltiplo de 4. 
(E) q é um quadrado perfeito. 
RESOLUÇÃO: 
Se um número N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 
2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1, concorda? 
Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o número N com os dígitos extremos 
trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente 14 e resto 24. Logo, 
M = 63*14 + 24 
M = 882 + 24 = 906 
Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades). Dividindo N por 63, temos: 
609 63
42 9
 
Isto é, q = 9 e r = 42. Das respostas possíveis, vemos que apenas a letra E está correta, pois sabemos que 9 é um 
quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de 9 é um número inteiro, neste caso 3). 
Resposta: E. 
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56. FCC – TRT/1ª – 2011) 
Se X é um número inteiro positivo tal que 
1 1 1 1
2 3 7
E
x
    seja um número inteiro, então: 
(A) Existem infinitas possibilidades distintas para x 
(B) X é múltiplo de 12 
(C) X é maior que 84 
(D) X tem oito divisores 
(E) E pode ser maior que 2 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente, para somar as frações que compõem o número E, é preciso escrevê-las com o mesmo 
denominador. A multiplicação dos denominadores (237x, ou 42x) é sempre uma possibilidade de 
denominador comum. Portanto, vamos utilizar esse denominador. Assim, teríamos: 
21 14 6 42
42 42 42 42
21 14 6 42
42
41 42
42
x x x
E
x x x x
x x x
E
x
x
E
x
   
  



 
Feito isso, podemos manipular a equação acima para isolar a variável x: 
42 41 42
(42 41) 42
42
42 41
E x x
x E
x
E
  
 


 
Lembra que tanto x quanto E devem ser números inteiros? Veja que se E for igual a 1, x também será inteiro: 
42 42
42
42 1 41 1
x   
 
 
Veja ainda que se E for maior que 1, o denominador será maior que o numerador (portanto não obteremos 
nenhum número inteiro). Por exemplo, se E = 2, temos: 
42 42
42 2 41 43
x  
 
 
Ou seja, se E > 1, não é possível que x seja um número inteiro. Ainda, se E=0, x também não será inteiro: 
42 4242 0 41 41
x  
  
 
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E também, sabemos que E não pode ser menor que zero, pois o enunciado disse que ele é inteiro positivo. Dessa 
forma, a única possibilidade é E = 1 e x = 42. 
Como 42 tem 8 divisores (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), a alternativa correta é a letra D. 
Resposta: D. 
 
57. FCC – TRT/22ª – 2010) 
Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos 
das unidades, dezenas e centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a: 
(A) 6480 
(B) 6686 
(C) 6840 
(D) 5584 
(E) 5960 
RESOLUÇÃO: 
Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questão, todas relativamente simples. Recomendo entender as 
3, pois pode ser que em outra questão parecida seja possível usar apenas 1 dos métodos. Vamos começar 
entendendo a questão e estruturando o problema. 
Sabemos que N possui três dígitos, portanto vamos representá-lo como sendo o número xyz, onde x, y e z são 
os dígitos que representam as centenas, dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o número 
P termina com 364. 
Assim, temos que 
N*9 = P, 
ou seja, 
xyz * 9 = w364 
(w representa o algarismo da casa dos milhares do número P) 
Você reparou que eu assumi que P possui 4 dígitos? Fiz isso porque um número de 3 dígitos multiplicado por 9 
não pode dar um número maior que 4 dígitos. Afinal, mesmo o maior número de 3 dígitos (999) multiplicado 
por 9 tem 4 digítos. Ah, e pode ser que a gente descubra que w é igual a zero, isto é, que P tem apenas 3 dígitos. 
Primeira forma de resolver: 
Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N é igual a P dividido por 9, isso significa que P 
deve ser divisível por 9 (caso contrário N não seria um número inteiro, ou seja, teria casas decimais). 
Qual o critério de divisibilidade por 9? Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos também é 
divisível por 9. A soma dos algarismos de P é w + 3 + 6 + 4 = w + 13. Qual o único algarismo que, somado a 13, 
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chega a um número divisível por 9? Ora, w = 5, pois sabemos que 18 é divisível por 9, e 5 + 13 = 18. Portanto, P 
= 5364. Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso, 596. Logo, N + P = 5960. 
Segunda forma de resolver: (“solução braçal”) 
Digamos que você entendeu que P deve ser divisível por 9, mas não se recordou de critério de divisibilidade 
algum. Ora, não existem muitas opções para w (ele só pode ir de 0 a 9). Logo, você pode substituir w por cada 
algarismo e tentar dividir P por 9. Quando conseguir, terá encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, verá que 
5364/9 = 596, encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596). 
Terceira forma de resolver: 
Nesta resolução vamos detalhar cada passo da multiplicação de xyz*9=w364. Você sabe que nós devemos 
começar multiplicando a casa das unidades de xyz por 9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 resulta 
em um número terminado em 4. Ou seja, só há uma possibilidade para z: ele deve ser o algarismo 6, pois 
sabemos que 6 x 9 = 54. Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9, resulta em um número terminado 
em 4. Substituindo o valor de z na equação acima, temos: 
xy6 * 9 = w364 
 Vamos agora analisar o número y. Veja que y multiplicado por 9, e somado 5 (que vieram da multiplicação vista 
no parágrafo acima), resulta em um número terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da multiplicação 
anterior, temos um número terminado em 1. O único algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um número 
terminado em 1, é próprio 9 (9*9 = 81). Logo, y é 9. Até aqui, temos: 
x96 * 9 = w364 
 Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um número com final tal que, somado com os 
8 que vieram da multiplicação anterior, resulta em um número terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, pois 5*9 
= 45, e 45 + 8 = 53: 
596 * 9 = w364 
Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da multiplicação mostrada no parágrafo anterior. De fato, 
é verdade que: 
596 * 9 = 5364 
Assim, N é 596 e P é 5364, e a soma N+P = 5960 
Resposta: E. 
 
58. FCC – TRT/9ª – 2010) 
Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do 
Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: 
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em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, respectivamente. Sabendo que o total 
de participantes do curso era um número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
(A) h+m = 158 
(B) h-m = 68 
(C) 70 < h < 100 
(D) 50 < m < 70 
(E) m.h < 4000 
RESOLUÇÃO: 
Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os passos abaixo: 
1
3
1
3
1
3
3
1 1 1
3 3 3
1 1 3
3 3 3 1
9 1 8 8
3 3
1 1 1
3 3 3
3 24 3 21
3
8 8 8
8 8 63 8 55
3 1 3
21 21 21 21
h
m
h
m
h
m
h
m
 


     
   

     



      
 
Como 
55
21
h
m
 , podemos escrever que 
55
21
h m . E como o exercício diz que o total de participantes está 
entre 100 e 200 pessoas, temos que: 
100 200
55
100 200
21
76
100 200
21
h m
m m
m
  
  
 
 
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Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que 
76
21
m seja um número inteiro, m deve ser 
um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 63 etc.). Veja que se m = 21, então 
76
76
21
m  (abaixo de 100). Já se m = 2x21 = 
42, então 
76
152
21
m  (que está entre 100 e 200). Observe que se m = 63, 
76
21
m será maior que 200. Portanto, 
m = 42 e h = 152 – 42 = 110. 
Assim, h – m = 68, sendo B a alternativa correta. 
Resposta: B 
 
59. FCC – TRT/22ª – 2010) 
Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês 
seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam: 
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer” 
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5 do número de pareceres 
emitidos por Anabela”. 
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e que a soma das quantidades 
que cada um emitiu era um número compreendido entre 100 e 150, então: 
(F) X < 50 
(G) 50 < X < 100 
(H) 100 < X < 150 
(I) 150 < X < 200 
(J) X > 200 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitações (X), ou seja, o número de licitações em que ela 
deu parecer é 
6
X
11
. Já a quantidade de licitações com parecer de Benivaldo é 3/5 do total de Anabela, ou seja, 
3 6 18
X X
5 11 55
 
  
 
. 
Sabemos que tanto o número de licitações com parecer de Anabela quanto de Benivaldo devem ser números 
inteiros. Isto é, 
6
X
11
 e 
18
X
55
devem ser números inteiros. 
Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos: 
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6 18
X X
11 55
30 18
X+ X=
55 55
48
X
55
 
 
Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um número inteiro. E este número deve estar 
entre 100 e 150. Ou seja, 
48
100 X<150
55
 
Repare que não há como simplificar a fração 
48
55
, ou seja, 48 e 55 são primos entre si (não possuem um divisor 
em comum, além do número 1). Assim, não existem muitas opções de X que atendem a condição acima. X deve 
necessariamenteser divisível por 55, pois 48 não o é. Logo, devemos testar para X valores que sejam múltiplos 
de 55. Veja que, se X = 55, então 
48 48
X 55 = 48
55 55
  (inferior a 100). Já, caso X = 255 = 110, então 
48
X 96
55
 (ainda inferior a 100). Porém, se X = 355 = 165, então 
48
X 144
55
 , que está dentro do intervalo 
procurado. Veja que caso X seja maior (por ex., X = 210), 
48
X
55
 será maior que 150. 
Portanto, como X = 165 é o total de licitações a serem analisadas, a letra D é a correta. 
Resposta: D. 
 
60. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num dos pátios da escola. Na Espiral do 
Tempo, todos os anos da era cristã são representados segundo a lógica da figura a seguir, na qual só foram 
mostrados os anos de 1 a 9. 
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A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a mesma lógica dos 
anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral do Tempo em 2009 é igual a S, então, em 
2010, essa soma passará a ser igual a 
(A) S + 4040100 
(B) S + 4038090 
(C) S + 4036081 
(D) S + 2010 
(E) S + 2009 
RESOLUÇÃO: 
Observe que temos uma repetição do ano 1, duas repetições do ano 2, três repetições do ano 3, e assim 
sucessivamente. Em 2010, serão colocadas duas mil e dez repetições do número 2010, que somam 2010 x 2010 
= 4040100. Se até 2009 a soma dos números era S, e em 2010 foram acrescidos números que somam 4040100, 
a soma total será igual a S + 4040100. 
Resposta: A 
 
61. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Os dados da tabela a seguir referem-se às cinco escolas municipais de uma pequena cidade. 
 
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Sabe-se que nenhum professor leciona ao mesmo tempo em duas dessas escolas e que a proporção entre 
professores e alunos em cada uma delas é de 1 para 20. Serão sorteados n professores da rede municipal dessa 
cidade para realizar um curso. Para que entre os sorteados tenha-se, certamente, pelo menos um professor de 
cada escola, n deverá ser, no mínimo, 
(A) 5 
(B) 72 
(C) 73 
(D) 121 
(E) 122 
RESOLUÇÃO: 
Veja que na escola A temos 16 classes com 20 alunos cada, totalizando 320 alunos. Como a proporção entre 
alunos e professores é de 1 para 20, podemos usar a regra de três simples abaixo para obter o número de 
professores nessa escola: 
 
Professores Alunos 
1----------------------------------20 
X----------------------------------320 
Efetuando a multiplicação cruzada das diagonais, temos: 
1 x 320 = 20X 
X = 16 professores 
De forma análoga, podemos obter o total de professores em cada escola, conforme a tabela abaixo: 
Escola Total de alunos Total de professores 
A 320 16 
B 500 25 
C 120 6 
D 1440 72 
E 160 8 
Temos, ao todo, 127 professores. Queremos garantir que seja sorteado pelo menos um professor de cada 
escola. Para ter essa certeza, precisamos pensar no “pior caso”. Imagine que nos primeiros 72 sorteios sejam 
obtidos apenas professores da escola D. E, nos 25 sorteios seguintes, sejam obtidos apenas professores da 
escola B. A seguir, nos 16 sorteios seguintes, só sejam obtidos professores da escola A. E nos 8 sorteios 
seguintes, só professores de E. Se tudo isso ocorrer, podemos ter 121 sorteios e, mesmo assim, não ter nenhum 
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professor da escola C. Entretanto, ao realizar o 122º sorteio, certamente será obtido alguém da escola C, pois 
só restam esses professores. Só neste momento é que podemos ter certeza de que foram sorteados professores 
de todas as escolas. Portanto, n = 122 (letra E). 
Resposta: E 
 
Instruções: Para responder às duas questões seguintes, considere o texto e o quadro abaixo. 
O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 
6o ano. 
 
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve jogar um 
dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida no dado. O resto 
dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um 
jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está 
marcado o número 27. O jogador que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor. 
 
62. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados nas diversas casas 
do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alteração 
na dinâmica do jogo, pelo número 
(A) 77 
(B) 81 
(C) 84 
(D) 87 
(E) 96 
RESOLUÇÃO: 
Veja que o que importa para a dinâmica do jogo é o resto da divisão do número da casa pelos possíveis 
resultados do lançamento do dado (de 1 a 6). Portanto, o número que substituiria o 27 sem alterar o jogo é 
aquele que, dividido pelos números de 1 a 6, deixa o mesmo resto que o número 27 deixa. 
Das alternativas de resposta, podemos eliminar as alternativas C e E, que são números pares, portanto ao serem 
divididos por 2 deixam resto zero (enquanto 27 é ímpar, deixando resto 1). Da mesma forma, note que 27 
dividido por 3 tem resto zero. Das alternativas que sobraram, apenas 81 e 87 deixam resto zero ao serem 
divididos por 3, de modo que podemos excluir o 77. 
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Por fim, note que 27 dividido por 4 tem resto igual a 3. Já 81 dividido por 4 tem resto igual a 1, o que nos permite 
eliminar esta alternativa. Sobrou apenas a opção 87, que é a nossa resposta. 
Resposta: D 
 
63. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o jogo, pois não 
conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é chamada de “buraco negro”. Para 
que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, necessariamente, estar numa outra casa específica do 
tabuleiro e, ao jogar o dado, obter pontuação igual a 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado explica que o número de casas que o jogador anda é igual ao resto da divisão do número da casa 
pelo valor do dado. O “buraco negro” é aquela casa que, dividida por qualquer valor possível do dado (1 a 6), 
tem resto igual a zero, ou seja, o jogador não se movimenta. 
A casa de número 60 seria o buraco negro, pois o número 60 não deixa resto ao ser dividido por 1, 2, 3, 4, 5 ou 
6. 
Para cair na casa 60, é preciso estar na casa 41 e obter a pontuação 3 no dado, pois o resto da divisão de 41 por 
3 é 2, que é justamente o número de casas que devem ser percorridas para chegar ao 60 (letra B). 
Resposta: B 
 
64. FCC – SEFAZ/SP – 2006) 
Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, pode-se criar 4 números de dois 
algarismos. Por exemplo: de 34712, pode-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de cinco 
algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e ao 
lado de cada um deles a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o 
número procurado. 
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O número procurado é: 
a) 58746 
b) 46875 
c) 87456 
d) 68745 
e) 56874 
RESOLUÇÃO: 
Coloquei na primeira coluna da tabela abaixo os mesmos 4 números dados na tabela do enunciado. E coloqueina primeira linha da tabela as 5 alternativas de resposta deste exercício: 
 58746 46875 87456 68745 56874 
48765 
86547 
87465 
48675 
 
Vamos agora preencher as células vazias com a quantidade de números de dois algarismos em comum entre o 
número da linha e o número da coluna. Veja isso abaixo. Para você entender melhor, coloquei entre parênteses 
quais seriam esses números de dois algarismos em comum: 
 58746 46875 87456 68745 56874 
48765 1 (87) 1 (87) 1 (87) 1 (87) 1 (87) 
86547 0 0 0 0 0 
87465 3 (87, 74, 46) 2 (87,46) 2 (87, 74) 2 (87, 74) 2 (87, 74) 
48675 0 1 (75) 0 0 0 
Repare que o único caso onde temos 1, 0, 2 e 1 números de dois algarismos em comum é aquele do número 
46875 (alternativa B). 
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Resposta: B 
 
65. IBFC – TCM/RJ – 2016) 
Dentre as alternativas, a única incorreta é: 
a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional 
b) O conjunto dos reais é a união entre os números racionais e os números irracionais 
c) A subtração não é operação no conjunto dos naturais 
d) Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos racionais 
RESOLUÇÃO: 
A afirmação A está errada. Se somarmos um número irracional com o seu oposto, o resultado é zero. Por 
exemplo, somando raiz(2) com o número -raiz(2), o resultado é zero. 
Os números reais de fato são compostos pela união entre racionais e irracionais. 
A subtração não tem a propriedade do fechamento no conjunto dos naturais, pois se subtraimos 3 – 7, por 
exemplo, o resultado é -4, número que não faz parte dos naturais. 
As dízimas pertencem ao conjunto dos racionais pois podem ser escritas na forma de fração. 
Resposta: A 
 
66. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional 
denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a 
base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = ln x = 𝑙𝑜𝑔𝑒x tem inúmeras aplicações científicas. 
A respeito desse assunto, julgue os itens a seguir: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar cada item: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
 O número de Euler é irracional, com os 4 primeiros algarismos formados por 2,718. Veja que até a casa 
centesimal fica “2,71”. Portanto, esse número é menor do que o número racional 2,72. Alternativa CORRETA. 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
 Toda dízima periódica é um número racional. Na subtração de um número racional por um número 
irracional, o resultado será um número irracional. Item ERRADO. 
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Resposta: CE 
 
67. AOCP – PM/TO – 2018) 
É correto afirmar que 
(A) 13,5 é um número irracional. 
(B) 3 é um número racional. 
(C) o produto 3 27 não resulta em um número inteiro. 
(D)  
6
3 16 é um número inteiro. 
(E)    5 11 7 11   a soma resulta em um número irracional. 
RESOLUÇÃO: 
(A) O número 13,5 é racional, pois pode ser escrito como 135/10. 
 
(B) A raiz de 3 não é exata, sendo um número irracional. 
 
(C) O produto de raiz de 3 por raiz de 27 pode ser escrito assim: 
31/2 x 271/2 = (3.27)1/2 = (3.33)1/2 = (34)1/2 = 32 = 9 
Veja que temos um número INTEIRO. 
 
(D) A raiz cúbica de 16 elevada a 6 pode ser escrita como: 
(161/3)6 = 162 = 256. Este é um número inteiro. Este é o gabarito. 
 
(E) Ao fazer a soma (5 – raiz(11)) + (7 + raiz(11)), veja que as raízes se cancelam, ficando apenas 5 + 7 = 12, que é 
um número racional. 
Resposta: D 
 
68. IADES – ELETROBRAS – 2015) 
Quanto aos números reais, assinale a alternativa correta. 
a) Os números √2 ≅ 1,4142 e √3 ≅ 1,732 são os únicos números irracionais entre 1 e 2. 
b) Entre dois números racionais distintos, existe um único número irracional. 
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c) Entre dois números racionais distintos, existe apenas uma quantidade finita, maior do que 1, de números 
irracionais. 
d) Existem dois números racionais distintos, entre os quais não existe nenhum número irracional. 
e) Entre dois números racionais distintos, existem infinitos números irracionais. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar cada alternativa. 
Alternativa A: existem infinitos números irracionais entre 1 e 2. 
Alternativa B: existem infinitos números irracionais entre outros dois números irracionais. 
Alternativa C: existem infinitos números irracionais entre dois números racionais distintos. 
Alternativa D: entre todos os números racionais distintos existem infinitos números irracionais. 
Alternativa E: correto. 
Resposta: E 
Fim de aula. Até o próximo encontro! 
Saudações, 
Prof. Arthur Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Raciocínio Lógico e Matemática COMPLETÃO – do ZERO à APROVAÇÃO 
Lista de questões da aula 
1. FCC – SABESP – 2018) 
Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em polegadas. Dentre as 
alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
 (A) 5/8. 
 (B) 1/2. 
 (C) 1 ¼. 
 (D) 3/4. 
 (E) 1 ½. 
 
2. FCC – SABESP – 2018) 
Dez amigos decidiram viajar por 5 dias e se reuniram para fazer o planejamento das despesas. Após pesquisar, 
optaram por alugar um chalé grande o suficiente para comportá-los, por um total de R$ 12.370,00 pelos 5 dias 
de estadia. Dois dias antes da viagem, porém, um dos amigos teve um imprevisto e comunicou que não poderia 
viajar. Como o chalé já estava alugado, os outros amigos tiveram de arcar com um custo adicional. A expressão 
numérica que melhor representa o custo adicional de estadia é 
(A) 
12370
9
 - 
12370
10
 
(B) 
12370
10
 - 
12370
9
 
(C) 
12370
10
 ÷ 5 
(D) 
12370
10
 
(E) 
12370
9
 
 
3. FCC – ALESE – 2018) 
Cinco amigos disputaram um jogo composto de várias rodadas, cada uma com um único vencedor. Em todas 
as rodadas, com exceção da última, apenas o vencedor pontuava, recebendo 5 pontos. Na última rodada, o 
vencedor ganhava 8 pontos, o segundo colocado recebia 3 pontos e os demais jogadores não pontuavam. Ao 
final, cada jogador somou as pontuações recebidas por ele e anotou o resultado na tabela a seguir. 
 
Um único desses cinco jogadores errou a soma das pontuações que recebeu. Esse jogador foi 
(A) o Beto. 
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(B) a Gabi. 
(C) a Flávia. 
(D) o Lucas. 
(E) a Manuela. 
 
4. FCC – TRT/PE – 2018) 
O maior valor monetário, em reais, de três notas de valores diferentes e três moedas de valores diferentes é 
igual a 
(A) 81,75. 
(B) 171,75 
(C) 110,50. 
(D) 171,25. 
(E) 171,60. 
 
5. FCC – TRT/PE – 2018) 
Exatamente ¼ das vagas de uma faculdade são destinadas aos cursos de humanas, e exatamente 1/8 das vagas 
destinadas aos cursos de humanas são do período noturno. Sabendo-se que o total de vagas dessa faculdade é 
um número inteiro positivo entre 420 e 470, então o número de vagas dessa faculdade destinadas aos cursos 
de humanas é igual a 
(A) 108. 
(B) 124. 
(C) 112 
(D) 120. 
(E) 104. 
 
6. FCC – TRT/PE – 2018) 
Um Analista Judiciário precisa distribuir certo número de tarefas por 17 funcionários. Distribuindo-se 13 tarefas 
por funcionário irão sobrar 4 tarefas sem serem distribuídas entre os funcionários. Se a mesma quantidade de 
tarefas fosse distribuída igualmentepor 24 funcionários, cada funcionário receberia 9 tarefas e sobrariam, sem 
serem distribuídas entre os funcionários, um total de tarefas igual a 
(A) 3. 
(B) 7. 
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(C) 9 
(D) 6. 
(E) 8. 
 
7. FCC – TRT/PE – 2018) 
O número natural x possui, ao todo, três divisores positivos distintos. O número natural y possui, ao todo, três 
divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior que 30 e menor que 40. A soma x + y é 
igual a 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 13 
(D) 16. 
(E) 19. 
 
8. FCC – DETRAN/MA – 2018) 
Em cada ciclo, um semáforo permanece verde por 70 segundos, depois amarelo por 5 segundos e, finalmente, 
vermelho por 35 segundos. Enquanto o semáforo está vermelho, um orientador de trânsito deve posicionar 
uma bandeira com a indicação “Pare” em frente à faixa de pedestres, voltada aos motoristas. Exatamente um 
segundo antes das 17 horas, o semáforo iniciou um novo ciclo, ficando verde. Dessa forma, o número de vezes 
que o orientador teve de posicionar sua bandeira em frente à faixa de pedestres no período das 17 às 17h30 foi 
igual a 
(A) 17. 
(B) 18. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
9. FCC – DPE/RS – 2017) 
Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H 
é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a 
(A) 6,111 . . . 
(B) 5,888 . . . 
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(C) 6 
(D) 3 
(E) 5,98 
 
10. FCC – PM/AP – 2017) 
Ao pagar a conta em uma padaria, Teodoro deu uma nota de 10 reais. O atendente do caixa pegou a nota e 
perguntou se ele teria 50 centavos para facilitar o troco, ao que Teodoro deu a ele os 50 centavos solicitados. 
Depois disso, Teodoro recebeu de troco uma nota de 2 reais. O valor da conta paga por Teodoro nessa padaria 
foi de 
(A) R$ 9,00. 
(B) R$ 8,50. 
(C) R$ 9,50. 
(D) R$ 7,00. 
(E) R$ 7,50. 
 
11.FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um programa de ampliação do acervo das bibliotecas públicas de um município, foram comprados R$ 
960,00 de livros ao custo unitário de R$ 24,00 e, com o dobro desse dinheiro, foram comprados livros ao custo 
unitário de R$ 16,00. O custo médio unitário dos livros comprados nesse programa foi igual a 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 20,00. 
(C) R$ 22,00. 
(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 17,00. 
 
12. FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um caminho há 21 caixas dispostas em uma linha reta. Cada caixa está a 10 metros de distância da caixa 
seguinte. Partindo de uma caixa em um dos extremos dessa linha reta, Roberto tem a tarefa de levar todas as 
caixas até a posição em que está a caixa do meio. Se Roberto transportar apenas uma caixa de cada vez, e evitar 
percursos desnecessários, a distância percorrida por ele ao concluir a tarefa, em metros, será igual a 
(A) 2.200. 
(B) 1.900. 
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(C) 1.800. 
(D) 2.000. 
(E) 2.100. 
 
13. FCC – TRT/20 – 2016) 
Manoel e Dolores precisavam classificar um grande número de processos. Manoel começou antes do que 
Dolores e ao final do dia havia classificado 3/8 do total de processos. Dolores trabalhou mais rápido do que 
Manoel e ao final do dia havia classificado 1/3 de processos a mais do que aqueles que Manoel havia classificado. 
Após esse dia de trabalho de Manoel e Dolores, é correto afirmar que 
(A) ainda faltam 1/4 dos processos para serem classificados. 
(B) eles terminaram a tarefa. 
(C) ainda faltam 1/8 dos processos para serem classificados. 
(D) eles classificaram 17/24 dos processos. 
(E) eles classificaram apenas metade dos processos. 
 
14. FCC – TRF/3ª – 2016) 
A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número 
natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
 
15. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Em uma empresa, um funcionário deve cumprir exatas 8 horas de trabalho em um dia. Certo dia, um funcionário 
trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 38 minutos. A fração da carga diária de 
tempo de trabalho que esse funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a 
(F) 
4
15
 
(G) 
1
4
 
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(H) 
3
5
 
(I) 
3
8
 
(J) 
7
20
 
 
16. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Considere as expressões numéricas, abaixo. 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      e 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 1. 
(B) 2,5. 
(C) 1,5. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
17. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor positivo de cada um de três números naturais diferentes são, 
respectivamente, 7; 3 e 11. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três 
números naturais já citados são, respectivamente, 11; 17 e 13. A soma desses três números naturais é igual a 
(A) 271. 
(B) 159. 
(C) 62. 
(D) 303. 
(E) 417. 
 
18. FCC – CNMP – 2015) 
Renato recebeu um lote de 6.325 peças idênticas que devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor 
número de peças que ele terá que descartar do lote para que consiga fazer o maior número possível de grupos 
é igual a 
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(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
 
19. FCC – CNMP – 2015) 
Sendo F = 1 - {2 - [3 - (4 - 5) - 6] - 7} - 8 e G = 8 - {7 - [6 - (5 - 4) - 3] - 2} - 1, a diferença entre F e G, nessa ordem, é 
igual a 
(A) 8. 
(B) - 8. 
(C) - 4. 
(D) 0. 
(E) 4. 
 
20. FCC – CNMP – 2015) 
Um livro foi impresso de modo que seu texto ocupou 420 páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para 
uma versão mais compacta foi planejado que em cada página seriam impressas 35 linhas. Desta maneira, a 
diferença entre o número de páginas da primeira versão e o número de páginas da versão compacta é igual a 
(A) 60. 
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
 
21. FCC - TRT/PR – 2015) 
A companhia de abastecimento de água de certa região divulga, em seu website, a Tabela Tarifária vigente a 
partir de julho de 2015, na qual informa as tarifas mensais relativas ao consumo de água e ao tratamento de 
esgoto. A cobrança é sempre feita com base no consumo mensal de água e, se o imóvel for servido também 
por tratamento de esgoto, a companhia cobra por este último considerando que a água consumida retorna na 
forma de esgoto. 
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O proprietário de uma residência na Capital, que é servida por água e esgoto, recebeu a conta de água (incluindo 
a cobrança de água e de esgoto) referente ao mês de outubro de 2015 com valor muito superior ao de costume: 
R$ 254,80. Desconfiado de algum vazamento, consultou os dados da tabela acima para calcular o volume de 
água consumida em sua residência no referido mês. De acordo com esses dados, tal consumo foi de, em m3, 
(A) 44. 
(B) 55. 
(C) 20. 
(D) 28. 
(E) 32. 
 
22. FCC - TRT/4ª – 2015) 
Rafael quer criar uma senha de acesso para um arquivo de dados. Ele decidiu que a senha será um número de 
três algarismos, divisível por três, e com algarismo da centena igual a 5. Nessas condições, o total de senhas 
diferentes que Rafael pode criar é igual a 
(A) 33. 
(B) 27. 
(C) 34. 
(D) 28. 
(E) 41. 
 
23. FCC - TRT/4ª – 2015)As peças de um jogo estão numeradas com a sequência ordenada dos primeiros números inteiros não 
negativos. Nesse jogo, sabe-se que: 
− as dez primeiras peças ordenadas devem se submeter à regra A. 
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− as cinco primeiras peças ordenadas de numeração par devem se submeter à regra B; 
− as cinco primeiras peças ordenadas de numeração ímpar devem se submeter à regra C; 
− as cinco primeiras peças ordenadas com numeração de número primo devem se submeter à regra D. 
De acordo com as regras, as peças do jogo submetidas à regra 
(A) A também estão submetidas à regra C. 
(B) A também estão submetidas à regra D. 
(C) A mas não submetidas à regra B são as mesmas que estão submetidas à regra C. 
(D) A e à regra B, simultaneamente, constituem um conjunto sem elementos. 
(E) B e à regra C, simultaneamente, constituem um conjunto de um único elemento. 
 
Para responder às duas próximas questões, considere as informações abaixo. 
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. 
O tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, a 
dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento 
completo cumprindo rigorosamente as instruções de doses e horários. 
24. FCC – SABESP – 2014) 
Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a: 
(A) 90. 
(B) 88. 
(C) 96. 
(D) 92. 
(E) 66. 
 
25. FCC – SABESP – 2014) 
Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, simultaneamente, as doses dos 
remédios X e Y foi no sábado às 
(A) 11 horas. 
(B) 8 horas. 
(C) 23 horas. 
(D) 13 horas. 
(E) 16 horas. 
 
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26. FCC – SABESP – 2014) 
Para cada rua de um bairro, a companhia de saneamento vai trocar 120 metros de tubulações, e para cada 
avenida, desse mesmo bairro, a troca será de 180 metros de tubulações. Sabe-se que esse bairro tem 42 ruas a 
mais do que avenidas. Durante a realização do serviço verificou-se que 24% das ruas e 25% das avenidas do 
bairro não necessitaram de troca de tubulação. Se a troca total de tubulações no bairro foi de 5640 metros, 
então o bairro possui um total de ruas e avenidas igual a 
(A) 64. 
(B) 58. 
(C) 66. 
(D) 62. 
(E) 52. 
 
27. FCC – TRF/3ª – 2014) 
Um funcionário tem que executar 500 tarefas do tipo A, 150 do tipo B e 300 do tipo C no prazo de alguns dias, 
sendo necessário finalizar as tarefas dos tipos A, B, e C simultaneamente ao final do último dia. De acordo com 
as instruções que recebeu, ele tem que realizar, por dia, sempre o mesmo número de tarefas A, o mesmo 
número de tarefas B e o mesmo número de tarefas C, sendo que a soma diária da quantidade de tarefas A, B e 
C realizadas seja a maior possível. Em tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas 
diárias igual a 
(A) 19. 
(B) 25. 
(C) 10. 
(D) 21. 
(E) 15. 
 
28. FCC – CETAM – 2014) 
O número que corresponde ao resultado da expressão numérica: (3⋅0,1+ 4⋅0,01+ 5⋅0,001) ÷ (69 ÷ 100) é igual a 
(A) 50. 
(B) 5. 
(C) 0,05. 
(D) 2. 
(E) 0,5 
 
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29. FCC – CETAM – 2014) 
Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos: 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e III. 
(D) II. 
(E) III. 
 
30. FCC – CETAM – 2014) 
O quociente entre a menor e a maior fração do conjunto C = 
1 2 3 5 1
, , , ,
2 5 4 6 3
 
 
 
 , nessa ordem, é igual 
(A) ao triplo de uma fração pertencente à C. 
(B) à metade de uma fração pertencente à C. 
(C) ao dobro de uma fração pertencente à C. 
(D) a uma fração pertencente à C. 
(E) à terça parte de uma fração pertencente à C. 
 
31. FCC – CETAM – 2014) 
De 1 a 100 são 20 os múltiplos de x. De 1 a 50 são 7 os múltiplos de y. De 20 a 40 são z os múltiplos de 13. Sendo 
assim, o valor da expressão x . y − z é igual a 
(A) 14. 
(B) 25. 
(C) 22. 
(D) 33. 
(E) 37. 
 
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32. FCC – CETAM – 2014) 
Em uma década, o número de dias que são múltiplos de 7 é igual a 
(A) 521. 
(B) 520. 
(C) 600. 
(D) 480. 
(E) 602. 
 
33. FCC – SABESP – 2014) 
No setor de arquivos de um escritório, existem 2.240 pastas arquivadas. Retirando-se certo número de pastas, 
as que sobram podem ser perfeitamente divididas entre 7 departamentos do escritório, ou entre 6 setores do 
escritório, o que é uma situação desejada. Nas condições dadas, o menor número de pastas que devem ser 
retiradas para que se atinja a situação desejada é igual a 
(A) 31. 
(B) 17. 
(C) 23. 
(D) 14. 
(E) 9. 
 
34. FCC – SABESP – 2014) 
Somando-se certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da 
fração 
2
3
 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 
52
25
 
(B) 
13
6
 
(C) 
7
3
 
(D) 
5
2
 
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(E) 
47
23
 
 
35. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
O investimento J gera um rendimento de 
1
4
 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K 
gera um rendimento de 
1
2
 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os 
rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um investidor aplica 
simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira dos investimentos os seus 
rendimentos obtidos. 
 Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J. Quando isso 
ocorre, essa superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a 
(A) 
11
32
 . 
(B) 
25
64
 . 
(C) 
5
8
 . 
(D) 
3
16
 . 
(E) 
23
256
 . 
 
36. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao 
quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e 
do quociente deve ser subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser 
somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
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(E) 63. 
 
37. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
Se P e Q são números distintos do conjunto 
9 2 3
, ,
20 3 5
 
   
 
, então o maior valor possível de P−Q é: 
(A) 
3
20
 . 
(B) 
13
60
 . 
(C) 
21
20
 . 
(D) 
19
15
 . 
(E) 
3
10
 . 
 
38. FCC – METRÔ/SP – 2014) 
O algarismo da milhar do resultado da soma 
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 
 é igual a 
(A) 0. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 8. 
(E) 7. 
 
39. FCC – TRT/9ª – 2013) 
Em uma loja de bijuterias, todos os produtos são vendidos por um dentre os seguintes preços: R$ 5,00, R$ 7,00 
ou R$ 10,00. Márcia gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menosum produto de cada preço. 
Considerando apenas essas informações, o número mínimo e o número máximo de produtos que Márcia pode 
ter comprado são, respectivamente, iguais a 
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(A) 9 e 10. 
(B) 8 e 11. 
(C) 8 e 10. 
(D) 9 e 13. 
(E) 7 e 13. 
 
40. FCC – TRT/18ª – 2013) 
Para montar um tipo de enfeite de mesa para festas de casamento, uma empresa de eventos utiliza um 
pequeno vaso, quatro flores artificiais e uma vela colorida. Cada vaso custa R$ 0,80, cada flor R$ 0,25 e cada 
vela R$ 1,20. O custo de produzir 70 desses enfeites para uma festa de casamento, em reais, é igual a 
(A) 140,00. 
(B) 157,50. 
(C) 175,00. 
(D) 192,50. 
(E) 210,00. 
 
41. FCC – TRT/12ª – 2013) 
Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da divisão de P por 5 é igual a 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 1 
 
42. FCC – TRT/12ª – 2013) 
Um viajante percorreu 420 km. Desse percurso, 3/4 ele fez de trem, e o restante de carro e de bicicleta. Se o 
percurso feito por ele de carro correspondeu a 4/15 do percurso feito de trem, então, o viajante percorreu, em 
km, de bicicleta 
(A) 63. 
(B) 21. 
(C) 15. 
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(D) 14. 
(E) 49. 
 
43. FCC – TRT/12ª – 2013) 
O plano de saúde de João custa R$ 160,08, o de sua esposa custa R$ 89,86, e cada um dos planos dos seus dois 
filhos custa R$ 54,28. João pagou no Banco o total das quatro mensalidades com sete notas, ao que recebeu 
corretamente de troco R$ 1,50. Nas condições descritas, das sete notas usadas por João no pagamento, eram 
de um mesmo valor apenas 
(A) quatro. 
(B) cinco. 
(C) três. 
(D) seis. 
(E) duas. 
 
44. FCC – SABESP – 2012) 
Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No último ano, cada uma 
dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente distribuída entre os mercados 
consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu foi 
(A) 26.007 
(B) 26.070 
(C) 206.070 
(D) 260.007 
(E) 260.070 
 
45. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão 
de 14 por 22. 
O produto A . B . C é igual a 
(A) 3,072072072 . . . 
(B) 3,636363 . . . 
(C) 3,121212 . . . 
(D) 3,252525 . . . 
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(E) 3,111 . . . 
 
46. FCC – CNMP – 2015) 
O resultado da expressão numérica 
     
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                    
          
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
(D) 9. 
(E) - 12. 
 
47. FCC – TCE/AP – 2012) 
Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais 
dígitos aparecendo exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129 212 921 
são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891 para que se obtenha como resultado 
um número tricíclico é 
(A) 1 109. 
(B) 3 129. 
(C) 6 972. 
(D) 13 230. 
(E) 23 331. 
 
48. FCC – SPPREV – 2012) 
Um fornecedor vende lápis em diferentes embalagens, conforme mostra a tabela: 
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Nessas condições, é correto afirmar que a economia na compra de uma caixa tipo 
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00. 
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00. 
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00. 
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00. 
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00. 
 
49. FCC – SPPREV – 2012) 
Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. 
Considerando que todos estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é 
(A) 9. 
(B) 16. 
(C) 24. 
(D) 36. 
(E) 40. 
 
50. FCC – METRÔ/SP – 2012) 
Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1 real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 
centavos. Se Ana pretende totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas às 
que já tem, então a quantidade mínima de moedas que deverá usar é 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 6. 
(D) 7. 
(E) 8. 
 
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51. FCC – MPE/PE – 2012) 
Existem três caixas idênticas e separadas umas das outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas 
caixas menores, e dentro de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando-se 
todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a: 
(A) 108. 
(B) 45. 
(C) 39. 
(D) 36. 
(E) 72. 
 
52. FCC – MPE/PE – 2012) 
Quando volta a energia elétrica depois de um período sem energia, um rádio relógio elétrico reinicia a marcação 
do horário das 12:00. Plínio esteve ausente de sua casa por 10 horas e, ao retornar, notou que seu rádio relógio 
marcava 16:35, quando o horário correto deveria ser 19:40. Sabendo que a diferença de horário se deve à falta 
de luz em um intervalo de tempo do período em que Plínio esteve fora de casa, o horário em que se deu o início 
da falta de energia elétrica foi: 
(A) 16:05. 
(B) 15:05. 
(C) 14:05. 
(D) 16:35. 
(E) 18:35. 
 
53. FCC – ISS/SP – 2012) 
Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam o mesmo dígito e o resultado é um número 
de 5 algarismos. 
 
A soma (S + O + M + A + R) é igual a: 
a) 33 
b) 31 
c) 29 
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d) 27 
e) 25 
 
54. FCC – TRT/4ª – 2011) 
Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, 
respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número: 
(A) Quadrado perfeito 
(B) Menor que 10 
(C) Primo 
(D) Divisível por 6 
(E) Múltiplo de 4 
 
55. FCC – TRT/24ª – 2011) 
Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao 
copiar N, ele enganou-se, invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim, 
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condições, se q e r são, 
respectivamente, o quociente e o resto da divisão de N por 63, então: 
(A) q + r = 50. 
(B) r < 40. 
(C) q < 9. 
(D) r é múltiplo de 4. 
(E) q é um quadrado perfeito. 
 
56. FCC – TRT/1ª – 2011) 
Se X é um número inteiro positivo tal que 
1 1 1 1
2 3 7
E
x
    seja um número inteiro, então: 
(A) Existem infinitas possibilidades distintas para x 
(B) X é múltiplo de 12 
(C) X é maior que 84 
(D) X tem oito divisores 
(E) E pode ser maior que 2 
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57. FCC – TRT/22ª – 2010) 
Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos 
das unidades, dezenas e centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a: 
(A) 6480 
(B) 6686 
(C) 6840 
(D) 5584 
(E) 5960 
 
58. FCC – TRT/9ª – 2010) 
Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do 
Trabalho, que participaram de um curso sobreControle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: 
 
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, respectivamente. Sabendo que o total 
de participantes do curso era um número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
(A) h+m = 158 
(B) h-m = 68 
(C) 70 < h < 100 
(D) 50 < m < 70 
(E) m.h < 4000 
 
59. FCC – TRT/22ª – 2010) 
Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês 
seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam: 
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer” 
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5 do número de pareceres 
emitidos por Anabela”. 
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Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e que a soma das quantidades 
que cada um emitiu era um número compreendido entre 100 e 150, então: 
(A) X < 50 
(B) 50 < X < 100 
(C) 100 < X < 150 
(D) 150 < X < 200 
(E) X > 200 
 
60. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num dos pátios da escola. Na Espiral do 
Tempo, todos os anos da era cristã são representados segundo a lógica da figura a seguir, na qual só foram 
mostrados os anos de 1 a 9. 
 
A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a mesma lógica dos 
anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral do Tempo em 2009 é igual a S, então, em 
2010, essa soma passará a ser igual a 
(A) S + 4040100 
(B) S + 4038090 
(C) S + 4036081 
(D) S + 2010 
(E) S + 2009 
 
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61. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Os dados da tabela a seguir referem-se às cinco escolas municipais de uma pequena cidade. 
 
Sabe-se que nenhum professor leciona ao mesmo tempo em duas dessas escolas e que a proporção entre 
professores e alunos em cada uma delas é de 1 para 20. Serão sorteados n professores da rede municipal dessa 
cidade para realizar um curso. Para que entre os sorteados tenha-se, certamente, pelo menos um professor de 
cada escola, n deverá ser, no mínimo, 
(A) 5 
(B) 72 
(C) 73 
(D) 121 
(E) 122 
 
Instruções: Para responder às duas questões seguintes, considere o texto e o quadro abaixo. 
O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 
6o ano. 
 
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve jogar um 
dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida no dado. O resto 
dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um 
jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está 
marcado o número 27. O jogador que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor. 
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62. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados nas diversas casas 
do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alteração 
na dinâmica do jogo, pelo número 
(A) 77 
(B) 81 
(C) 84 
(D) 87 
(E) 96 
 
63. FCC – SEFAZ/SP – 2009) 
Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o jogo, pois não 
conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é chamada de “buraco negro”. Para 
que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, necessariamente, estar numa outra casa específica do 
tabuleiro e, ao jogar o dado, obter pontuação igual a 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
64. FCC – SEFAZ/SP – 2006) 
Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, pode-se criar 4 números de dois 
algarismos. Por exemplo: de 34712, pode-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de cinco 
algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e ao 
lado de cada um deles a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o 
número procurado. 
 
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O número procurado é: 
a) 58746 
b) 46875 
c) 87456 
d) 68745 
e) 56874 
65. IBFC – TCM/RJ – 2016) 
Dentre as alternativas, a única incorreta é: 
a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional 
b) O conjunto dos reais é a união entre os números racionais e os números irracionais 
c) A subtração não é operação no conjunto dos naturais 
d) Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos racionais 
 
66. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional 
denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a 
base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = ln x = 𝑙𝑜𝑔𝑒x tem inúmeras aplicações científicas. 
A respeito desse assunto, julgue os itens a seguir: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
 
67. AOCP – PM/TO – 2018) 
É correto afirmar que 
(A) 13,5 é um número irracional. 
(B) 3 é um número racional. 
(C) o produto 3 27 não resulta em um número inteiro. 
(D)  
6
3 16 é um número inteiro. 
(E)    5 11 7 11   a soma resulta em um número irracional. 
 
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68. IADES – ELETROBRAS – 2015) 
Quanto aos números reais, assinale a alternativa correta. 
a) Os números √2 ≅ 1,4142 e √3 ≅ 1,732 são os únicos números irracionais entre 1 e 2. 
b) Entre dois números racionais distintos, existe um único número irracional. 
c) Entre dois números racionais distintos, existe apenas uma quantidade finita, maior do que 1, de números 
irracionais. 
d) Existem dois números racionais distintos, entre os quais não existe nenhum número irracional. 
e) Entre dois números racionais distintos, existem infinitos números irracionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
1. E 
2. A 
3. D 
4. B 
5. C 
6. C 
7. C 
8. E 
9. C 
10. B 
11. A 
12. E 
13. C 
14. D 
15. A 
16. C 
17. A 
18. A 
19. B 
20. A 
21. E 
22. A 
23. C 
24. C 
25. B 
26. B 
27. A 
28. E 
29. C 
30. D 
31. D 
32. D 
33. D 
34. B 
35. E 
36. B 
37. B 
38. A 
39. A 
40. E 
41. C 
42. B 
43. B 
44. E 
45. B 
46. E 
47. B 
48. E 
49. E 
50. B 
51. B 
52. B 
53. D 
54. C 
55. E 
56. D 
57. E 
58. B 
59. D 
60. A 
61. E 
62. D 
63. B 
64. B 
65. A 
66. CE 
67. D 
68. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo direcionado 
CONJUNTO DEFINIÇÃO EXEMPLOS OBSERVAÇÕES 
Números Naturais 
(N) 
Números positivos 
construídos com os 
algarismos de 0 a 9, 
sem casas decimais 
N = {0, 1, 2, 3 …} 
Lembrar que o zero não é 
positivo nem negativo, mas está 
incluído aqui. 
Números Inteiros(Z) 
Números naturais 
positivos e negativos 
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} 
Subconjuntos: 
Não negativos: {0, 1, 2...} 
Não positivos: {..., -2, -1, 0} 
Positivos: {1, 2, 3...} 
Negativos: { …-3, -2, -1} 
Números 
Racionais (Q) 
Podem ser 
representados pela 
divisão de 2 números 
inteiros 
Frações: , ; 
Números decimais de 
representação finita. Ex.: 
1,25 (igual a ) 
As dízimas periódicas são 
números racionais. Ex.: 
0,333333... ou ou 
 
Números Naturais: 
 Sucessor: é o próximo número natural. 
 Antecessor: é o número natural anterior. 
 Números consecutivos: são números em sequência, como {n-1, n e n+1} 
 Números naturais pares: podem ser representados sempre na forma 2.n 
 Números naturais ímpares: podem ser representados na forma 2n+1 
Números Inteiros: 
 todos os números Naturais são também Inteiros; 
 zero não é positivo e nem negativo, e sim nulo; 
SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
- números de mesmo sinal: resultado positivo 
- números de sinais diferentes: resultado negativo 
 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 
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Números Racionais: 
 
 Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, 
com um denominador comum. Para mudar o denominador, lembre que o mesmo número 
utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador. Igualados 
os denominadores, devemos somar os numeradores e manter o denominador. 
 Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o 
denominador de uma pelo denominador da outra. 
 Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. 
Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número 
 Se o numerador e o denominador são primos entre si, a fração é irredutível 
 
Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação 
 
Expressões Numéricas: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver 
operações de soma ou subtração. 
 se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em 
sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. 
CONJUNTO DEFINIÇÃO EXEMPLOS OBSERVAÇÕES 
Números 
Irracionais (I) 
Não podem ser 
representados pela 
divisão de 2 números 
inteiros. Infinitas 
casas decimais sem 
repetição. 
Número “pi”: 
 
Número de Euler: 
e = 2,71828... 
 
Fazem parte dos Números Reais 
Números 
racionais
Frações
Decimais (finitos)
Dízimas
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Números Reais (R) 
Números Racionais e 
Irracionais juntos 
Todos os anteriores 
 
R Q Z N 
e 
R I 
 todas as raízes que não têm valor EXATO são números irracionais; 
 a soma de números irracionais pode gerar um número racional (ex.: somar números irracionais opostos); 
 a soma/subtração entre um número irracional e um número racional tem resultado irracional; 
 a multiplicação entre um racional e um irracional pode ter resultado racional (ex.: se o racional for ZERO); 
 não é possível localizar exatamente a posição de um número irracional na reta numérica;