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APREMUNI AMBO-2020
MUNICIPALIDAD PROVINCIAL DE AMBO
ALGEBRA
127
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO I
LEYES DE EXPONENTES
POTENCIACIÓN
I. Definiciones:
1. Exponente natural: sea b n
¡ ¢
factores
. . . .... ; 2n
n
b b b b b b n
2. Exponente nulo: sea b 0 0 1b
3. Exponente negativo: sea b 0
1 1
n
n
n
b
bb
Teoremas
Propiedad Ejemplo
.m n m nx x a 5 3 5 3 82 . 2 2 2
m
m n
n
x
x
x
6
6 4 2
4
7
7 7 49
7
.( ) ( )m n n m n mx x x 2 3 3 2 6(5 ) (5 ) 5
( . ) .n n nx y x y 2 2 2(3.7) 3 .7
n n
n
x x
y y
2 2
2
13 13
2 2
RADIACIÓN EN
;n a x x
Indice
Radical
Raíz
Exponente Fraccionario
m
mn m nnx x x
Teoremas
Propiedad Ejemplo
. .nn nx y x y
5 5 5243.32 243. 32
n
n
n
x x
y y
3
3
3
64 64 4
27 327
.m n m nx x
3 2 65 5
n n
n
x x
y y
2 2
2
13 13
2 2
ECUACIONES EXPONENCIALES
I. “A base iguales, exponentes iguales”
CONDICIÓN RESTRICCIONES
yxa a x y
a>0 a 1; x,y . ¡
II.“A exponentes iguales, bases iguales”
CONDICIÓN RESTRICCIONES
n nx y x y
¡n 0 x,y
III.“Igualdad por semejanza de construcción”
(Por analogía)
CONDICIÓN RESTRICCIONES
yxx y x y
1 1
x x
2 4
PRÁCTICA N.° 01
1. Reducir :
veces6
222
veces6
2.2.2.2
veces6
2.2.2.2
A. 64 B. 36 C. 192
D. 128 E. 5
2. Reducir :
2nx
1
6x
veces3n2
xx.x.x
veces2n4
xx.x.x
6n3x
A. x B. x2 C. x3
D. x4 E. x5
3. Halle el exponente final de x.
4423 2x4)2x()2(x1x
A. 9 B. 8 C. 3 D. 7 E. 4
4. Resolver:
45.133.1110
36.95.412.615
E
A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 E. 4
5. Reducir la expresión:
1x2x
sumandos3
33
6666
p
x
A. 1 B. 3x C. 2,3x
D. 3x+1 E. 3
6. Resolver:
5,0
33/123/1222/1E
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 99
7. Reducir:
1
12
2
416E
A. 1/2 B. 2 C. 4
D. 1/4 E. 1/8
8. Reducir:
4x3.3
)2x3(35x3
E
A. 2/3 B. 4/9 C. 8/9
D. 8/3 E. 1/3
9. Reducir: n
n32n8
n216n64
E
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 64
10. Calcular el valor de la expresión:
E =
1m27.1m2m27.5m2
m27.1m21m27.3m2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2m E. 7m
11. Simplificar: n
nnn
nnn
325
61510
E
A. 10 B. 20 C. 30
D. 40 E. 50
12. Si: 5xx
x
, Halla el valor de:
xx3xxx
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128
APREMUNI AMBO-2020
A. 55 B. 5125 C. 5 D. 575 E. 53
13. Reducir : 2n
2n52n2
2n22n5
A
A. 1/2 B. 1/10 C. 10
D. 5 E. 2
14. Si xx = 2, calcular el valor de:
x1x2xxE
A. 32 B. 16 C. 128
D. 256 E. 64
15. Si : 5xx Reducir :
14xxx
xxx
x
5x
x
x
A. 1 B. x C. x+1 D. x2 E. x5
16. Simplificar:
M =
4 4 4
7 7 7 444
radicx.x.x
radicxxx
A. x
B. x6 C.
6
x
D. x E.
3
x
17. Reducir :
E =
5,0
4x72x7x7
4x72x7x7
A. 1/7
B. 7
C. 343
D. 7 E. 49
18. Reducir :
5x
x515x57
5x75x15
M
A. 107 B. 103 C. 7
D. 95 E. 105
19. Se cumple 2xa y 3ax calcule el valor numérico de
1ax1xa axM
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 16
20. La edad de Elmer es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si
Carlos tiene en años.
2
3
5,0
2
64
4
42
Entonces dentro de dos años dichas edades sumarán:
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24
21. Simplificar :
x371x372x373x374x37
x371x372x373x374x37
A. 37
B. 372
C. 373
D. 374 E. 1
22. Reducir la expresión:
S =
x28x29x210x2
10x22x21x2x2
A. 64
B. 32
C. 128
D. 256 E. 1024
23. Indique Ud. El exponente final de (1/M.
Si:
120
5 2)
veces 10
3 x3 x3 x(
4 3
x2x3x
M
A. 27
B. 15
C. 57
D. 75
E. 37
24. Sabiendo que (a - b. es impar ; al efectuar :
ab ba)ab(
ba ab)ba(R
Se obtiene:
A.
ba
b.a
B.
ba
b.a
C. 0
D. 1
E. 2
25. Al reducir :
Radicales50Radicales50
3.........3.......333H
Se obtiene :
A. 1 B. 1/3 C. 3100 D. 350 E. 3
26. Simplifique la expresión
3x2x1x
3x2x1x
444
444
A
A. 4
B. 16
C. 32
D. 256 E. 512
27. Si:
x
x 4
Hallar:
1
x
2x
x
1
x
256E x
A. 1 B. 0 C. 3 D. 4 E. 16
28. Si: ,mn3nm entonces el valor de:
:es,
m n2
n m2
n8m8
E
A. 2
B. 1/2
C. 3
D. - 2
E. - 1/3
29. Identifica el valor de x : 144x10 33
A. 1 B. 4 C. 2 D. – 4 E. 0
30. Si: 51232
X8
, hallar “x”
A. 2 B. – 2 C. 3 D. 1/3 E. 0
31. En
1x2x 48123
, hallar “x”
A. 0 B. 1 C. 2 D. – 1 E. – 2
32. Hallar ”x”:
1Xx 48 42
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 3
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33. 2x
2x . Halla el valor de “x”
A. 2 B. 2 C.
3 2
D. 1/2 E. 1
34. Identificar el valor de x en:
3634x33x32x31x3x3
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 11
35. Hallar “x” en: 16y,64y 1x
1x
x
.
A. 2 B. –1 C. 5 D. 3 E. 4
36. Si:
n 2nn n729 xx , hallar “n”
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
37. Hallar “n” en: 78
374n7
n7157
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 E. 13
38. Resolver la ecuación:
81
x
3
2)3(
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 2/3 E. ¾
39. Calcular el valor de x.
2n
n32nx
nxn52
A. 16
B. 4
C. 2
D. 1
E. 8
40. Calcule x + y si:
0yx;3/2yyxx;3/8xyxy
A. 4/3 B. 4/9 C. 3/4
D. 2/4 E. 3/8
41. Hallar x en :
...
3 6x
3 6x
3 6
...x10x10x10 xx
A. 3 B. 32 C.
12 3
D.
12 2
E. 1
42. Identifica el valor de x.
66x6xx
A. 65 B. 64 C. 6 D. 1/6 E. 36
43. Resolver : 77x
x7
e indicar :
x 1xx xE
A. 50/7 B. 49/7 C. -7
D. 1/7 E. 0
44. Hallar “x” si: 81x/23/1
A. -2 B. -1/2 C. -1
D. -3 E. ½
45. Hallar el valor de “x” si:
3 a
4 1xa.
3 xa
2
A. 1 B. -1 C. 4/7
D. 7/4 E. -4/7
46. El valor de “x” si:
12x98125
= 5 5 es:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 0
47. Reducir siendo x > 0.
M =
2
3 3 3 ....2x2x2x
3
4 4 4 .......xxx
A. 1 B. -1 C. 3 D. 4 E. 0
48. Siendo: x = ...303030
calcular: E =
3 3 3 ....xxx
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 0
49. Calcular “x” en:
8
4 8
22x
2xx
A. 2 B. 4 2
C. 1/2
D.
2
2
E.
3 2
50. Resolver:
3x31x 55 22532
A. 0,5 B. 0,2 C. 1,2
D. 0,6 E. 1
51. Después de resolver:28
1x891x163 se
obtiene un número decimal de la forma: mnp,0 . Hallar p.
A. 1 B. 8 C. 5 D. 3 E. 6
52. Calcular:
x x xM x x x
Donde se tiene que:
1 x 1 x 1 x6 2 3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 16
53. Identificar el valor de a en:
a
2
2
1
222
A.
2
2
B.
2
2
1
C. 1/2
D. 2 E. 21
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APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO II
LOGARITMOS
I. Definición:
log
x
a b x a b
II. Antilogaritmo
log loga ab x b anti x
III. Consecuencias:
log
* log 1 0 * log 1
* a * log loga
a a
b
a a
a
b b c b c
IV. Propiedades:
* log ( . ) log log
* log log log
1
* og log log
* og log
1
* og
log
log
* og
log
* og . log log
a a a
a a a
a a a
c
a a
a
b
c
a
c
a b a
x y x y
x
x y
y
col b b
b
l b c b
l b
a
b
l b
a
l b c c
V. Ecuación logarítmica:
log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x
PRÁCTICA N.° 02
1. Determina el valor de “x” en:
2)1x(log3
A. 1 B. 4 C. 3
D. 10 E. 6
2. Determina el valor de “x” en:
2)4x5(logx
A. 2 B. 4 C. 3
D. 5 E. 6
3. Determina el valor de “x” en:
3x4logx2log
A. 2 B. 4 C. 3
D. 5 E. 6
4. Luego de resolver:
2)19x5(1Xlog ; la solución es:
A. 1 B. 3 C. 2
D. 5 E. 6
5. Si: log4(2x + 1. + log2(4x + 2. = 2; Halla el valor de
“x”.
A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3
D. 1/4 E. 3/4
6. Halla el valor de “x”:
log3(5x – 1) + colog3(3x – 5) = 2
A. 1 B. 2 C. 4
D. 8 E. 16
7. Simplifica la expresión:
243
32
log
81
50
log
16
75
log G
A. 1 B. 0 C. -1
D. 1/2 E. -1/2
8. Resuelve la siguiente ecuación e indica el producto de
soluciones:
log2x – 7logx = -12
A. 105 B. 102 C. 107
D. 108 E. 103
9. Resuelve la siguiente ecuación e indica la mayor solución:
log2x + 3logx + 2 = 0
A. 102 B. 10-2 C. 10
D. 10-1 E. 1
10. Efectúa:
3 2 1
M
log 45 3 log 40 2 log 72 1
2 3 5
A. log52 B. 1/5 C. log25
D. 1 E. 1/2
11. Si:
R log log (log 256)
2 23
Halla:
2
1R
A. 1 B. 1/2 C. 2
D. 0 E. 3/2
12. Calcula el valor de:
)]4
8
logAnti(8logCo[5logAntiM
A. 1/5 B. 2 C. 1/4
D. 1/25 E. –2
13. Identifica el valor de x en:
1x7
)1x(xlog2x
A. 2 B. 3 C. 4
D. 5 E. 6
14. Resolver:
47log3
)21X72x(7log2
Indica el mayor valor de x:
A. 2 B. 3 C. 4
D. 7 E. 10
15. Resolver: 273log2
)22x(xlog3 x
Indicar el valor de x:
A. 2 B. 3 C. 4
D. 5 E. 10
16. Si: log2 a , calcula 35log 300
A.
)a1(a
a3
B.
a1
a3
C.
a1
a2
D.
)a1(2
a2
E.
)a1(3
a3
17. Si se cumple: ablogx1a
2
b
log 1b1,a
Calcula:
blogalog
x3x
M
3
a
3
b
3
A. 1 B. 8 C. 12
D. – 1 E. 6
131
APREMUNI AMBO-2020
18. Si:
2
x
2
x
log
2
2
Halla:
1
2x
A.
2
2
B.
12
2
C.
2
2
D.
12
2
E. 2
19. Si: 4)1x2x8x(log 24
1x
Identifica el valor de x.
A. 3 B. 8 C. 12
D. – 1 E. 6
20. Si: 3x2
2
4x
log
40
396x4
x
Identifica el valor de x.
A. 3 B. 8 C. 12
D. – 1 E. 6
21. Al resolver la ecuación:
0
x2log
3log
log1
2log
1
x
2
2
x
22. Identifica el valor de X.
A. 20 B. 16 C. 9/2
D. 14 E. 2/9
23. Simplifica:
2 5
5 5 3 15 5
E log 5 log 5 log 4 2 3
A. 21/4 B. 3/4 C. 1/2
D. 29/4 E. 1
24. Si a + b > 0, entonces simplifique la fracción:
log log (a b)
.
1 log log (a b)
18
3 9
9 3
A. 2 B. 13/2 C. 8
D. 21/2 E. 101/4
25. Resolver:
x
log 2 1
279
3log
84 27
A. 1
2
B. 3 C. 3 2
D. 3 4 E. 6 3
26. Indica una solución de:
2
1
3x2Log
2xLogx2Log
A. 1 B. 4 C. 8
D. 16 E. 1/2
27. Calcula la suma de raíces de la ecuación
x x x
81 729
log 3.log 3 log 3
A. 36 B. 18 C. 46
D. 26 E. 16
28. Si
1 2log b
9
1 2colog b
a
b
ab
, 1 > a > b > 0.
Calcule:
ab b
a
a
E log colog (ab)
b
A. – 9/2 B. – 10/3 C. – 1/3
D. 5/2 E. 10/3
29. Hallar el valor de:
2 4 5E 1 co log antilog log 625
, es:
A. 7 B. 12 C. 10 D. 9 E. 8
30. Al efectuar:
2 1
4
3 1
3
log 4 log 4
log 243 log 81
, su valor es:
A. 2 B. - 2 C. 3 D. - 1 E. 1
31. Calcular el valor de “x”:
A. 10 B. 20 C. 30 D. 1 E. 15
32. Si:
2 x 1
2x 22 2
a b a b a b
El valor de “x”.
A.
log a b
log a
B.
log a b
log a b
C.
log a b
log a b
D.
log a b
log a
E.
log a
log b
33. El valor de "x" que satisface la ecuación:
4 4
2 2
x log 2 2 log 2 2
Es:
A. 2/8 B. 3/8 C. 1/2
D. 5/8
E. 3/4
34. Efectuar la siguiente adición:
75
5 7
1 log 51 log 7
1 log 7 1 log 5
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
35. Halle
2
64log x , luego de resolver la siguiente ecuación:
A. 0 B. 2/3 C. 1/2
D. 1/4 E. 1/3
36. Calcular:
5 8 8R=Antilog colog Antilog 4
A. 1 B. 0,02 C. 0,01
D. 0,04 E. 2
3 2 5log 2 log 3 log (x 15)27 8 5
x x
x 2
1
log 5 x log 6
log x
132
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CAPÍTULO III
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales
las variables están afectadas sólo de exponentes enteros
positivos.
Ejemplos: P(x;y. = 3xy7 (monomio.
R(x;z. = xz + 5z23 (binomio.
GRADO DE UN MONOMIO
I. Grado Relativo.- Está determinado por el exponente de
dicha variable.
II. Grado Absoluto.- Está determinado por la suma de los
exponentes de sus variables.
Ejemplo: Sea el monomio: “
b 4 5
a x y ”
GR x 4 ; GR y 5 ; GA 9
GRADO DE UN POLINOMIO
I. Grado Relativo (G.R...- El grado relativo de un polinomio
viene representado por el mayor exponente de la variable en
mención.
II. Grado Absoluto (G.A...- El grado absoluto de un polinomio
está representado por el monomio de mayor grado.
Dado el Polinomio:
6 2 3 7 5P x,y 3x y 9x y x y
- Grado Relativo con respecto a la variable “x” es: 6
- Grado Relativo con respecto a la variable “y” es: 7
- Grado Absoluto: G.A. = 10
VALOR NUMÉRICO (V.N..:
Es el valor que se obtiene al reemplazar las variables de una
expresión por valores numéricos determinados
POLINOMIOS ESPECIALES
1. POLINOMIOS HOMOGÉNEOS:
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado
absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
P(x,y. = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15
G.A= 15 = 15 = 15
2. POLINOMIOS IDÉNTICOS:
Dados: P(x. ax2 + bx +c Q(x. mx2+ nx +p. Si ellos son
idénticos se denota así: P(x. Q(x.. y cumple:
3. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:
Dado: P(x. ax2 + bx +c si: P(x. es idénticamente nulo, se
denota asi: P(x.0 y se cumple que:
4. POLINOMIO ORDENADO:
Presentan un orden ascendente o descendente en los
exponentes de sus variables.
Ejemplo:
9 2 7 8 4 10 2 14
P x,y x y 4x y 3x y x y5. POLINOMIO COMPLETO:
Es aquél que tiene desde su máximo exponente, en forma
consecutiva, hasta el grado cero (término independiente.
Ejemplo :
4 3 2
P x 2x 3x x 5x 8
PRÁCTICA N.° 03
01. Si: f(x. = 21x – 7 ; g(x. = 3x2 – 2
Hallar: f(-2. + g(4.
A. -3 B. 3 C. 9
D. -9 E. 49
02. Si: P(x. = 5x + 3 y Q(x. = 2x + 2
Hallar: ])5(Q)3(P[
P
A. 150 B. 151 C. 152
D. 153 E. 154
03. Si: P(x. = 2x + m y P(4. = 11. Hallar:P(-2.
A. -2 B. -1 C. 0
D. 1 E. 2
04. Si:
3 2P(x) 3x - 4x 6x+4
Determina: E = P(1. - [P(-1.+P(0.]
A. 32 B. 12 C . 22
D. 2 E. –2
05. Si: 21F 2x 36x 12x.
3
Calcular: F(0. +F(1.
A. 3 B. 4 C. 8
D. 6 E. 9
06. Hallar (a+b.10, si los términos:
ba5ab46)ba( yx13;yx17
2
son semejantes:
A. 32 B. 0 C. 64
D. 128 E. 1024
07. Dado el Monomio :
Si : GA(P. = 10 GR(x. = 7. Calcular su coeficiente.
A. 4 B. 64 C. 16
D. 8 E. 2
08. Calcular el valor de “a” si el monomio es de grado 3.
M(x. =
4a
2
2a21a
x
xx
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
09. Dado el polinomio :
Si : GR(x. + GR(y. + G.A. = 32. Entoces el valor de "m" es:
A. 4 B. 5 C. 6
D. 7 E. 8
10. En el polinomio de variables x,y:
m n 1 m+1 n m 2 n+2 m+3 n+1P(x;y)=2x y +3x y +7x y +6x y
El grado relativo a “x” es 12 y el grado absoluto es
18. Determina el grado relativo a “y”
A. 11 B. 3 C. 5
D. 7 E. 9
11. Indique el grado del polinomio dado:
A. 7 B. 8 C. 4
D. 6 E. 3
mn5n3m2n yxm4)y;x(P
2m65m44m53m2 yxyx3yx4yx7)y,x(P
a11
1
4
a
4a
1
2
a
5a
)y;x( xyxyxR
a = m b = n c = p
a = 0; b = 0 c = 0
133
APREMUNI AMBO-2020
12. Si el polinomio :
es homogéneo y con grado relativo respecto a "y"
igual a 3. Hallar el grado relativo de "x".
A. 3 B. 5 C. 7
D. 9 E. 11
13. En el polinomio homogéneo :
Calcular : a + b + c.
A. 3 B. 5 C. 7
D. 9 E. 15
14. Sabiendo que el polinomio:
a b b c c d d e e 2P(x) ax bx cx dx ex .
es completo y ordenado decrecientemente, calcula
a b c d e
A. 5 B. 3 C. 2
D. 4 E. 1
15. Determinar cuál es la suma de los coeficientes "m" y "n",
de modo que para cualquier valor de "x", se cumple:
A. -1 B. 1 C. -2
D. 0 E. 2
16. Dado el polinomio :
Si : P(x;y) 0 . Calcular :
A. 8 B. 18 C. 20
D. 14 E. 28
17. Clasificar el polinomio:
n 4 n 3 n 3 n-2 n-2 n-1 n 1 nP(x;y) (n 3)x y (n 2)x y (n 1)x y nx y
Si:
1
3
27
125
n 1024
A. Homogéneo B. Ordenado
C. completo D. Completo y Ordenado
E. Irracional
18. Dado el polinomio :
19.
Indique el coeficiente principal, si el término independiente
es 72.
A. 1024 B. 243 C. 624
D. 512 E. 64
20. Si :
es ordenado y completo. Hallar el número de términos.
A. 7 B. 9 C. 11
D. 5 C. 13
21. Milagros nació en Marzo del año 19( )(2 )m n m ,
mientras que Lupita nació en Febrero del año
19(2 3)(3 )n m ; donde m y n son valores de modo
que la expresión algebraica
3 6 51( 20) (3 6) ( )
3
n m n mnmn x n x x m n x
sea
un polinomio de cuatro términos con coeficientes enteros.
Halle la diferencia de edades de Milagros y Lupita.
A. 7 B. 6 C. 4
D. 5 E. 3
22. Un nutricionista pudo establecer que el peso ideal en
kilogramos de un niño se determina por el polinomio de
grado 5
6 2 4 3. ( ; ) 0,7 n n n np e t e t e t
donde e es la edad en años y t la estatura en metros si un
niño tiene 6 años de edad y una estatura de 1,0 mt,
¿Cuántos vale su peso ideal en kilogramos?
A. 49,3 kg B. 43,9 kg C. 43,5 kg
D. 36,7 kg E. 53,7 kg
23. Una inmobiliaria ha comprado 4 casas. La segunda ha
costado “x” soles más que la primera; la tercera “y” soles
más que la segunda; la cuarta “z” soles más que la
tercera. Si la primera ha costado a soles ¿Cuánto ha
gastado en total?
A. 4a+3x+2y+z B. 4a+3x+2y+z
C. 4a+3x+2y+z D. 4a+3x+2y+z
E. 4a+3x+2y+z
24. Después de dos años de casados Gregorio y Martha
tuvieron a su primogénito que hoy cumple (a+2(d+n..años,
cuyos valores de a , d y n se hallan del polinomio completo
ordenado.
2 8 2 2 4
( ) (12 ) ( 10 )
( ) 25
n n a n
n d
P x a x x d d x
d a x
A. 35 años B. 36 años C. 33 años
D. 23 años E. 25 años
25. Indicar cuales de los siguientes enunciados son correctos.
I. P(x;y. = xy es homogéneo.
II. P(x;y. = 0 es homogéneo
III. P(x;y. = es homogéneo
A. solo I B. I y II C. solo II
D. I, II y III E. solo III
26. Sea P(x. un polinomio mónico de grado 3; halle la suma de
coeficientes del término cuadrático y lineal, siendo su
término independiente igual a 5.
Además: P(x + 1. = P(x. + nx + 2
A. 1 B. 0 C. 2
D. 3 E. 4
27. Si el polinomio:
R(x. =(a+b–2.x2–(a+c–3.x+(b+c–5.
se anula para:
x = 2008; x = 2009; x = 2010; x = 2011
Halla. a–b+c.
A. –1 B. 2 C. 1
D. 0 E. 2009
28. Dados los polinomios:
f(x.=a(x–1.(x–2.+b(x–2.(x–3. +c(x–1.(x–3.
g(x. = x2 – 2x + 9
Si: f(x. = g(x..
Determine el valor de: a+b+c
A. –1 B. 0 C. 1
D. 2 E. ½
29. Si P es un polinomio idénticamente nulo, definido por:
P(x. = (x2 + x + 3.(a – b. + (x2 + x + 4.(b – c.
+ (x2 + x + 5.(c – a..
Entonces el valor de: b cT
a
es:
A. –2 B. 2 C. –1
D. 3 E. 1
30. Si P es un polinomio homogéneo, completo y ordenado
(con respecto a la variable x., definido por:
P(x,y. = xm+5 yn–3 + xm+4 yn–2 + xm+3 yn–1 + ..... tal que
el G.R. (x. = 10 y el G.R. (y. = 15, entonces el valor de T =
m.n, es:
A. 30 B. 45 C. 35
D. 50 E. 40
35m1rmn xmyyxynx)y;x(P
cbababa3 z2y)xy()z,y,x(P
)2x(n)1x(mx7
yaxyx)b20(xy)4a(P 222)y;x(
abba
3m55m4
)x( )mxx2()1mx()3x2(R
......yx)4n(
yx)3n(yx)2n(P
37n
28n9n
)x(
134
APREMUNI AMBO-2020
31. Si P es un polinomio completo definido por:
3 2 3 n 2P(x) (m 4)x 1 x 2mx x m
Con respecto al polinomio
Q(x;y. = nxmyn – nxmn–5 + x2n y.
Indicar los valores de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Q(x,y. es un polinomio homogéneo.
II. El grado de polinomio Q es un número par.
III. El valor de Q(1;1. = 0
A. VFV B. FVF C. FVV
D. VVV E. VVF
32. P es un polinomio completo definido por:
P(x. = (m – 2.xm–2 + (m – 4.xm–3 + (m–7.xm–4 + 4mxm–
5, entonces la suma de coeficiente del polinomio P, es:
A. 16 B. 24 C. 20
D. 28 E. 22
33. Sean P y Q dos polinomios con:
P(x. = (x + a.(b + cx. + ax + 4
Q(x. = (x + b.(x + 2. + x
Si P(x.+ Q(x. es un polinomio de grado cero,
entonces 4b2 + c2 es igual a
A. 1 B. 10 C. 4
D. 17 E. 5
34. El polinomio P(x. es ordenado y completo
P(x. = (n – 2.xn–9+(n–3.xn–8+(n–4.xn–7 + ...
Calcular M = grado(P. + (N° términos de P.
A. 7 B. 15 C. 12
D. 18 E. 13
35. Dado el polinomio:
si GR(y. = 48. Determine el GR(x., si el grado absoluto
de P(x. es 96.
A. 24 B. 96 C. 36
D. 108 E. 48
36. Sabiendo que:
S(x. = –x
2 + x + m y G(x. = x+3
Hallar el mayor valor de "m" tal que:
A. 0 B. –2 C. –1
D. 2 E. 1
37. Si el polinomio:
a 8 a b 15 c b 16P(x) 18x 32x 18x
Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular:
“a + b + c”
A. 18 B. 32
C. 36
D. 68 E. 92
38. Hallar: (m + n – 2p. en:
(m – n – 2.x8 + (m + n – 5.x4 + (p – 1. 0
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 7
39. Sea el polinomo: P(x;y. = 4x2n–5 y5 an–1 – 12xn+2 an–4
yn–4 + 6xn–5 yn–7 bn+1 + 2x9–n bn a y b constante no
nulas, cuál(es. de los siguientes enunciados son
correctos?
I. El mínimo valor de n es 8.
II. El máximo valor de n es 9.
III. El mínimo grado absoluto que puede tomar P(x;y. es
13.
A. solo I B. solo III C. II y III
D. I y III E. I y II
CAPÍTULO IV
PRODUCTOS NOTABLES
.
1. Trinomio Cuadrado Perfecto
ab b2
a2 ab
= a2
+
+
b
ab
ab
+ b2
a
a
b
222 b+ab2+a=)b+a(
2 2 2(a b) a 2ab b- = - +
2. Identidades de Legendre
)2b2a(22)ba(2)ba(
ab4)ba()ba(
22
3. Binomio al cubo
3b2ab3b2a33a3)ba(
3 3 3(a b) a b 3ab(a b)+ = + + +
3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b- = - + -
3 3 3(a b) a b 3ab(a b)- = - - -
4. Diferencia de Cuadrados
a(a-b)
b2
b(a-b) = a(a - b) +
b(a-b)
a-b b
a
a
a-b
b
22 b-a = b)+(ab)-a(=b)-a(b+)b-a(a
5. Suma y diferencia de cubos
3 3 2 2a b (a b)(a ab b )
3 3 2 2a b (a b)(a ab b )
6. Multiplicación de binomios con termino común
b.ax)ba(x)bx)(ax(
2
7. Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado
bc c2
a2
bc =
+
+
b c
ab
bc
b2b
2
ab
ac
ab
ac
a
a
b
c
a2
ac
ab
+
+
+
+
ac
bc
c2
bc2+ac2+ab2+c+b+a=)c+b+a( 2222
8. Trinomio al cubo
)cb)(ca)(ba(3cba)cba( 3333
abc3)bcacab)(cba(33c3b3a3)cba(
9. Identidad de Argan'd
2n n m 2m 2n n m 2m 4n 2n 2m 4m(a a b b )(a a b b ) a a b b+ + - + = + +
10. Identidad de Gauss
a3+b3+c3 – 3abc = (a+b+c. (a2+b2+c2 – ab – ac – bc.
11. Algunas Relaciones Condicionadas:
I. Si: a + b + c = 0, entonces se cumple:
2 2 2a b c 2(ab ac bc)
3 3 3a b c 3abc
4 4 4 2 2 2 21a b c (a b c )
2
5 5 5a b c 5abc(ab ac bc)
II. Si:
2 2 2a b c ab bc ac
, entonces:
, ; ;a b c a b c R
4
3
2
m n m–1 n 1 m 2 n–1P x;y 8x y – 2x y 4x y
G S 2
S –1
135
APREMUNI AMBO-2020
PRÁCTICA N.° 04
01. Reducir: 17a a 7 2a (a 6) (4 3a) .
A. 12a+3 B. 10a+ C.5a+3
D. 3a+7 E. 4a+3
02. Efectuar : 2 2 4 4( )( )( ) ( )a b a b a b b a
A. 2a2 B. 2b2 C. 2a4
D. 2b4 E. 0
03. Si: a – b = 4; ab = 2, Calcula
a b
.
b a
A. 12 B. 10 C. 8
D. 15 E. 14
04. Si: x2 + y2 = a + b ; 2xy = a – b
Halla Q = (x2 – y2.2
A. 4ab B. 3ab C. ab
D. 2ab E. 2a
05. Si,
1 2
2
E .
Halla el valor de E(E - 1.
A. 1 B. 2 C. 1 2
D. 2 E. ¼
06. Calcula el valor numérico de:
2 2M 3x 5xy 3y .
Si : x 2 1 ; y 2 1.
A. 2 B. 1 C. 0
D. 13 E. 6
07. Si: a + b = 1 , Hallar: G = 6(a2 + b2. – 4(a3 + b3.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
08. Si 5xyy25yx
4
Calcule
22
yxE Si x, y
R
A. 1 B. 5 C. 10
D. 2 E. 25
09. Si :
3 3 20 ; 5x y xy Calcular :
3( ) 15( ) 15M x y x y
A. 40 B. 35 C. 20
D. 30 E. 15
10. Si :
1
x 4
x
, Hallar :
2 2 3 3( )( )x x x x
A. 243 B. 240 C. 728
D. 120 E. 3
11. Si :
x y
167;x 0,y 0
y x
Calcular :
1 1
2 2x y
E
y x
A. 12 B. 13 C. 167
D. 3 E. 11
12. Si :
2 2 2( ) 2( )x y x y , el valor de :
es :
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6 E. 2
13. Si: m + n + p = 20 ; m2+n2+p2=300
Calcular: (m+n.2+(n+p.2+(m+p.2
A. 500 B. 600 C. 700
D. 800 E. 900
14. Si se cumple: 0)1xx(
2
, Halle:
1031
xx
A. 1 B. -1 C. 0
D. 2 E. 231
15. Si x+y+z=0, Reduce:
2 2 2 2 2 2
3 3 3
x y y z z x x z z y y x
L .
x y z
A. 1 B. 0 C. 2
D. -2 E. -1
16. Si se cumple: x2x2
1
Calcule el valor de:
3
36249
)1xx)(1xx(xE
A. 0 B. 1 C. 5
D. 4 E. 2
17. Si 4(a+b+c. = 24cba
333
Calcular (a+b.(b+c.(a+c.
A. 4 B. 16 C. 32
D. 64 E. 2
18. Hallar el valor de
3 3E (x y z) 3z(x y z)(x y) (x y)
A. x3 B. y3 C. 3z
D. 0 E. z3
19. Si:
2( 1) ( 3 2)x x . Calcular:
2 2
4
( 1)
1
x
E
x
A. 2 B. –2 C. 3
D. –3 E. 4
20. Para poder comprar un regalo para el cumpleaños de su
mamá, Carlitos ahorra cada día en una alcancía, lo
realiza de la siguiente manera. El primer día deposita
2 2 4 8 4
(x 5 1)(x 5 1)(x 2 5 6) x 12x
soles. A partir del segundo día, deposita en la alcancía
S/. 2,00. El registra cada día lo ahorrado. El día número
15 realizo su última anotación y dejo de hacerlo por ser
engorroso. Cuánto tiene ahorrado Rubén en la alcancía
luego de 30 días.
A. 66 soles B. 68 soles C. 64 soles
D. 74 soles E. 62 soles
21. Por la venta de chocotejas, Doris y Karim obtuvieron
entre las dos una ganancia de
4
2 3
3xy
x y
soles, si se
cumple que dos números reales que cumplen:
xy2x22y2x
22
¿Cuál es la ganancia
obtenida?
A. 13 soles B. 14 soles C. 15soles
D. 17 soles E. 16 soles
22. Juan ha decidido participar en un campeonato de
Natación, para lo cual su entrenador le sugirió empezar
con una distancia de 5
5
1
73x
x
metros y duplicar
su marca (en metros. cada semana durante las (2n.
semanas de su entrenamiento; donde
1
3n x
x
. Al final de su entrenamiento, ¿cuál será la marca que
alcanzará Juan?
A. 1000 m B. 560 m C. 1200 m
D. 1600 m E. 520 m
23. Siendo:
2 2 3x y 1 10 x
Calcular el valor de: (x – y.4 – (x + y.4
yx2
y6
x5
y2x3
yx
yx3
E
2
33
3 3xy 100 – 10 1
136
APREMUNI AMBO-2020
A. 44 B. –100 C. 88
D. –88 E. 50
24. Sophia, una bebe de 10 meses, es llevada por sus
padres a su pediatra por problemas en su vía
respiratoria.El médico después de auscultarla, le
prescribe cierto medicamento, el cual se le debe de
administrar 1 gota por cada kilo de peso, dos veces al
día y durante cinco días. Si Brunella 5mn pesa kilos;
donde m y n son tales que 7m n y
3 3
49m n .
¿Cuántas gotas en total le fueron administradas a
Brunella durante su tratamiento?
A. 70 B. 55 C. 90
D. 80 E. 75
25. Isabel es dueña de una panadería en la que elaboran tres
tipos de bocaditos. La información de la cantidad, en
kilogramos, de tres de los ingredientes que necesita para
elaborar un ciento de cada tipo de bocadito se da en la
siguiente tabla:
Ingredientes
Bocaditos
Tipo I
Bocaditos
Tipo II
Bocaditos Tipo
III
Harina a3 a 3a(3 - a.
Azúcar b3 b bc +2
Mantequilla c3 c bc ( b + c – 1.
Si para elaborar un ciento de los bocaditos tipo I y II se
necesita 6 Kg y 3 Kg respectivamente, del total de los
tres ingredientes, ¿cuántos kilogramos en total necesita
de los tres ingredientes para elaborar un ciento de los
bocaditos tipo III; siendo ? b+c>1
A. 5 B. 7 C. 6
D. 9 E. 3
26. Siendo:
calcular el valor de la expresión:
N = 2ab(3a2 + b2.(a2 + 3b2.
A. 9/4 B. 10/3 C. 7/3
D. 11 E. 5/2
27. Calcular:
si se cumple que:
m–1 + n–1 = 1–1
m2 + z2 = 2mw
n2 + w2 = 2nz
para todo número real.
A. 2 B. 1/2 C. –2
D. 4 E. –1
28. Siendo a, b, c , tal que:
Calcular :
A. 1 B. 4 C. 2
D. 4–1 E. 3
29. Si se cumple:
a2 = (b + 1.(a – b.
c2 = (d + 1.(c – d.
Calcular:
A. 1 B. 4 C. 2
D. 5 E. 3
CAPÍTULO V
DIVISION DE POLINOMIO
IDENTIDAD FUNDAMENTAL
)x(R)x(q).x(d)x(D
D: dividendo q: cociente
d : divisor R: residuo
MÉTODO DE GUILLERMO HORNER
Esquema de Horner:
4 3 2
0 1 2 3 4
2
0 1 2
a x a x a x a x aD(x)
d(x) b x b x b
MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
Esquema de Ruffini:
4 3 2
0 1 2 3 4
a x a x a x a x aD(x)
d(x) Ax B
Luego
3 2
0 1 2 3
q(x) q x q x q x q
R(x) R
TEOREMA DEL RESTO
Regla práctica
PASO 1: el residuo de ax + b = 0
PASO 2: Se despeja la varialbe x:
b
x
a
PASO 3: / b aR P
PRÁCTICA N.° 05
01. Dividir:
2x 3x 8x 9 entre x 16 4 2 2 y halla el
residuo
A. 7 B. 4 C. 5
D. 2 E. 3
02. Determina el residuo al efectuar la división del polinomio:
5 43x 2x 4 9x
2x 1
A. 3 B. -2 C. 4
D. -3 E. 2
03. Hallar el cociente y el residuo al dividir:
3 33 33 2 3 – 2
a ; b
2 2
2
4 4 2 2
3 3
m n – w – z
L ; xy 0
w n
a b 1 c
a – b 1 – c
2 2
–1 2 2
a b c
4 a b
3 3 3 3
2 2 2 2
a b c d
E
a – b c – d
137
APREMUNI AMBO-2020
4 3 2
2
12x 7x 74x 7x 16
3x 7x 4
A. Cociente 4x2+2x-3 y el residuo es 2
B. Cociente 4x2+5x-1 y el residuo es 4
C. Cociente 4x2+3x-3 y el residuo es 1
D. Cociente 4x2+7x-3 y el residuo es 4
E. Cociente 4x2+5x-3 y el residuo es 4
04. Sea el polinomio:
4 3 2P(x) 5x 18x 16x (8 m)x 12.
Determine qué valor debe tomar “m” para que la división
entre (x - 3. sea exacta.
A. 35 B. 28 C. 40
D. 21 E. -33
05. Halla el residuo de dividir:
78 75 41 40 44x +32x +6x +12x +5x +1
x+2
A. 81 B. 31 C. 35
D. 23 E. 43
06. Halla el resto de la siguiente división:
120 100 51
7
x 2x x 1
x 1
.
A. x – 1 B. x2– 2x+1 C. 1
D. x+1 E. 3x2 – x+1
07. Halla el valor de
“m” , sabiendo que:
4 2P(x) 3x (2m 1)x 31x 21.
Es divisible entre x-1
A. -3 B. -1 C. -7
D. -5 E. -9
08. Calcular “ab” si la siguiente división es exacta:
5x2x
baxx3x2x
2
234
A. 10 B. 30 C. 40
D. 50 E. 5
09. Determinar “mn” sabiendo que el polinomio: mx4 + nx3 –
7x2 + 16x + 15 es divisible por: x2 – 3x + 5
A. 2 B. 4 C. 6
D. 8 E. 10
10. Indicar una relación entre “a” y “b” si la siguiente división
es exacta: amx2x
baxm3x
2
23
A. a3 = b2 B. a2 = b3 C.
a = b
D. a2 = b E. a=b2
11. Calcular “n” si el residuo de dividir:
1x2xx
)3n(x)4n(x7x2x3
246
46810
es:
x2 + n + 3
A. 6 B. 9 C. 8
D. 10 E. 12
12. Calcular “a”.
2x3
a2ax9ax4x)2a4(x)3a(ax3 2345
Si:
(x)
coefQ 2resto.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
13. Calcular el valor de “a” para que la coeficientes del
cociente sea 161, tal que el resto es 16.
1x
ab2bx2ax51
A. 3 B. 4 C. 2
D. 1 E. 0
14. Calcular el resto de la siguiente división:
1x
1xx2x5x7
2
581231
A. 8x + 1 B. 8x + 2 C. 8x + 3
D. 8x + 5 E. 0
15. Calcular el resto de la siguiente división:
mm
nmnmmnnm
ba
bbabaa
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. a
16. Si la división:
3 2
2 2
(a b)x (b c)x (b c)x a b
x n
es exacta, calcular: 22
2
ca
b
A. 1 B. 2 C. 1/2
D. 3/2 E. 4/3
17. Sí. c 2a y la división: acx)ca(x
b6xa7x
2
323
es exacta.
Calcular: b
c2b5a6
A. 16 B. 17 D. 18
E. 20 E. 19
18. En el siguiente esquema de Horner:
1 a 3 -20 1 f
p -7 b
3 4 c
d e
7
- 4
5
-16
10
Determine: P = a + b + c + d + e + f
A. 20 B. 21 C. 22
D. 23 E. 25
19. Al dividir p(x. = x4 – x3 – 5x2 + mx + n por d(x. = x2 + 4 – 3x
se obtiene un residuo r(x. = – 13x + 14, tal que (m + n.
representa la edad de Jesús hace 5 años. ¿Cuál será la
edad de Jesús dentro de 6 años?
A. 15 años B. 17 años C. 16 años
D. 18 años E. 14 años
138
APREMUNI AMBO-2020
20. Un padre tiene distribuida su fortuna en 3 bancos de la
siguiente manera, en el banco de Crédito tiene
52x 3x 5 soles, en el banco Interbank
4x x 3 soles, y en el banco Continental
3x 3x 3 soles y desea repartir toda su fortuna entre
sus
2x x 1 hijos en partes iguales. Analiza cuanto
le toca a cada hijo
A.
3 22x x 1 B. 3 2x x 1
C.
3 22 1x x D. 2 1x E. 3 2 1x x
21. En una fiesta de cumpleaños de Sophia el payaso
“POPI” tiene
5 4 3 23 8 5 26x x x x mx n
golosinas para repartir entre
3 22 4 8x x x
niños invitados. ¿Cuál es el valor de m+n si quedaron -
5x + 2. golosinas?
A. – 2 B. 2 C. 3
D. – 7 E. 7
22. En la clase de Álgebra, dos alumnos resuelven los
ejercicios asignados por el profesor. El primero divide x10
+ x9 + x8 – x3 – x2 + 7 x – 6 por x2 + x + 1 encontrando un
resto R(x. y el segundo divide x6 – x4 + x3 + 2x2 + 3 x – 4
por x2 – 1 donde r(x. es el resto. El profesor revisa sus
resultados y ve que son correctos, finalmente les pide
encontrar el resto de dividir x R(x. – 8 r(x. por x + 1. ¿Cuál
es la respuesta correcta que deben dar los alumnos al
profesor?
A. 2 B. 62 C.– 12
D. – 18 E. 78
23. Por su aniversario la Municipalidad del Callao realiza un
evento, donde se reparte p(x. = 4x3 + (5 – 12b.x2 + (8 –
15b.x – 21 canastas entre sus d(x. = x – 3b asistentes,
sobrando 3 canastas; si la cantidad de canastas a
repartir fuese 4x3 – 6bx2 – 3bx – 21 – b entre la misma
cantidad de asistentes ¿cuántas canastas sobrarían?
A. 12 B. 22 C. 18
D. 4 E. 23
24. En el cumpleaños de Sonia se reparte x5 – 2x4 – nx + 5
golosinas entre sus x – 2 amigos, sobrando 19
golosinas. Halle el valor de n.
A. –14 B. 10 C. – 12
D. – 7 E. 6
25. Al dividir p(x. = x4 – x3 – 5x2 + mx + n por d(x. = x2 + 4 –
3x se obtiene un residuo r(x. = – 13x + 14, tal que (m +
n. representa la edad de Jesús hace 5 años. ¿Cuál será
la edad de Jesús dentro de 6 años?
A. 15 años B. 17 años C. 16 años
D. 18 años E. 14 años
26. Calcular (a + b + c., si el resto de la división:
es: 8x2 – cx – 5
A. 0 B. 3 C. 1
D. 4 E. 2
27. Hallar el resto en:
666
2
1
1
x x
x x
A. x B. x + 2 C. x + 1
D. x – 5 E. 2x – 1
28. Calcular el resto, luego de dividir:
4 4
2
( 1) 2
2 2 1
x x
x x
A. 1 B. 2x + 3 C. 2
D. x + 4 E. x + 1
CAPÍTULO VI
FACTORIZACIÓN
DEFINICIÓN.- Es la transformación de una expresión
algebraica racional entera en el producto de sus factores
racionales y enteros, primos entre si.
2 3 2 ( 1)( 2)
x x x x
Términos del polinomio Factores
FACTOR : Un polinomio no constante, es factor algebraico
de otro polinomio, cuando lo divide exactamente.
FACTOR PRIMO:
Es aquel que sólo acepta descomponerse en dos factores
(divisores.; la unidad y el propio factor.
Ejemplos:
x(x+2)(y +2y)
Factor Primo
Factor no primo
Factor Primo
CÁLCULO DEL NÚMERO DE FACTORES O DIVISORES:
Dado: x y z
NÚMERO DE DIV= ( +1. ( + 1.( + 1.
NÚMERO DE DIV. ALG.= ( +1.( + 1.( + 1. -1
NÚMERO DE FACT. PRIMOS = x; y; z
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN:
1. FACTOR COMÚN Y/O AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
El factor común se extrae de cada término, elevado a su
menor exponente
Ejemplo: Factorizar:
afactorizadExpresión
22325234 yxyxyxyx
2. FACTORIZACIÓN POR IDENTIDADES
Consiste en emplear adecuadamente los diferentes
casos enfocados en los productos notables.
)ba)(ba(ba 22
222 )ba(bab2a
)baba)(ba(ba 2233
)1aa)(1aa(1aa 2224
3. MÉTODO DE LAS ASPAS
a. Aspa simple:
Se emplea para factorizar polinomio de la forma:
n2nmm2
nn2
CyyBxAx)y;x(P
CBxAx)x(P
b. Aspa doble: Se emplea para factorizar polinomios de
la forma:
2m m n 2n m nP x;y Ax Bx y Cy Dx Ey F
c.
Aspa doble especial. Se emplea para factorizar
polinomios de la forma:
4 3 2
;
n n n n
P x y Ax Bx Cx Dx E
4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS.
Se utiliza para factorizar los polinomios en una variable y de
grado superior, siempre y cuando admita por lo menos un
factor lineal.
P(x.= 1 20 1 2 ...
n n n na x a x a x a
8 6 5
3
ax bx – 3x –1
x 1
139
APREMUNI AMBO-2020
PRÁCTICA .° 06
01. Identifica un factor primo:
baab)b;a(P 22
A. a + b B. a + 3b C. a+2
D. a - b E. a – 3b
02. Identifica un factor primo:
b12a4ab3a)b;a(E 2
A. a + b B. a + 3b C. ab
D. a12 + b12 E. a – 3b
03. Identifica un factor primo:
121212121313 bcacabbaba)b;a(E
A. a + b B. a + 3b C. ab
D. a - b E. a – 3b
04. Identifica un factor primo: 4x)x(G 2
A. x + 4 B. x + 2 C. 2x
D. x - 4 E. 4 – x
05. Factoriza: 2 2E a;b a 4 2ab b e indicar
un factor primo.
A. a + b + 2 B. b – 2 C. a +b – 4
D. a + 2 E. b + 2
06. Factoriza: 24x11x)x(P 2 e indicar un factor
primo.
A. x +11 B. x – 2 C. x – 4
D. x + 8 E. x + 2
07. Identifica un factor primo:
22 y3xy10x3)y;x(P
A. 3x + y B. x + 2 C. 2x
D. x - 4 E. 4 – x
08. Identifica un factor primo:
3yx9y2xyx6)y;x(A 22
A. 3x - 3y +2 B. 3x + 2y+1 C. x+y
D. 3x + 2y +3 E. 5x – 6y+1
09. Identifica un factor primo:
1y9x3y18xy3x10)y;x(A 22
A. 2x - 3y +1 B. 5x+6y+1 C. x+y
D. 2x + 3y +1 E. 5x – 6y+1
10. Identifica un factor primo:
3x10x10x5x2)x(A 234
A. 2x +1 B. 5x +1 C. x – 1
D. 2x + 3 E. 5x – 1
11. Factoriza: 6x11x6x)x(P 23 e indicar un
factor primo.
A. x +11 B. x + 2 C. x – 4
D. x – 3 E. x + 2
12. Factoriza: 1x7x14x7x)x(P 234 e
indicar un factor primo.
A. 1x4x2 B. x + 2 C. x – 4
D. 1x3x2 E. 1x4x
2
13. Al factoriza:(x – 5.(x – 7.(x+6.(x+4. – 504, uno de los
factores primos lineales es:
A. x+7 B. x+6 C. x – 2
D. x – 5 E. x + 3
14. Determina el número de factores primos que presenta el
siguiente polinomio.
33436 baa4ab4a)b;a(N
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
15. Factoriza el polinomio.
abccbacabcba1)c;b;a(T
E indique la suma de sus factores primos.
A. a+b+c B. c+b C. 3
D. a+b+3 E. a + b + c +3
16. Factoriza: xy4y2x10yx5E 22
Indica la suma de sus factores primos:
A. 6x + 2 B. 5x – y C. 19
D. 2x + 3 E. x + 7
17. Factoriza:
3)1x)(2x)(3x)(2x(E
e indica un factor primo.
A. x + y B. x + 2 C. x - 5
D. 2x + 3 E. )1xx(2 2
18. Indica un factor de:
1baba2aG 2
e indicar la suma de factores
A. a + b + 1 B. b + 1 C. a – 1
D. a + b E. a – 1
19. Si: x+2 es un factor primo del polinomio,
3P(x) x ax 4
Indica cual es el valor de a:
A. - 2 B. 1 C. 2
D. – 1 E. 3
20. Si: 1x2xxE 245 es un polinomio
factorizable, entonces la suma de coeficientes del factor
primo de grado 3 es:
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
21. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del
polinomio.
3 2H(x) x x 17x 33
A. -3 B. -6 C. -7
D. -5 E. -8
22. Si: ax)1a(axx)1a(axD 22324
es un polinomio factorizable, entonces la suma de
coeficientes de un factor primo es:
A. 2a + 12 B. a + 20 C. a + 16
D. 2a - 1 E. 8a – 1
23. SI P es un polinomio factorizable definido por
xz5xy17y3yzx10)z,y,x(P 22
Entonces un factor primo es:
A. y – x B. 2x +3y + z C. 5x – y
D. 2x – 3y – z E. 5x + y
24. SI
2222 )yx(xy4)xy6yx()y;x(P es
un polinomio factorizable,entonces un factor primo es:
A. x + y B. x2+ 14xy + y2
C. x – y D. 2x – 3y
E. x + 2y
140
APREMUNI AMBO-2020
25. Si: )yx(xy3y28x)y;x(M 33 es un
polinomio factorizable, entonces halla la suma de
coeficientes de uno de sus factores primos:
A. 5 B. 6 C. 10
D. 3 E. 9
26. Si el polinomio
333333 )ac(b)cb(a)ba(c)c,b,a(M es
factorizable, entonces determina un factor primo:
A. 2a – b B. c – 2a C. a – b
D. 3c – b E. 4a – 3b
27. Señala un factor primo, luego de Factorizar:
2 2P(x) x (b c 2d)x d (b c)d bc
A. x +b +d B. x +2d C. x+d+b+c
D. x+c E. x – 2c
28. Si abc 0 y
9111
111
c
b
a
c
b
a
Entonces el valor de la expresión:
1 1 1
T (a b c )(a b c) es :
A. 0 B. 5 C. 10
D. 15 E. 20
29. Se tienen las condiciones:
E (a b 4c)(a b 2c)
L (a 4b c)(a 2b c)
M (4a b c)( 2a b c)
Además E L M 0 entonces el valor de
2
(a b c)
R , es :
ab ac bc
A. - 3 B. 1 C. 2
D. 3 E. 9
30. Identifica un factor primo de:
3 3 2
Q(x) x (3x 1) (6x 1) 15
A. x 1
B. x – 1 C. 0
D. 3x 4 E.
2
3x x
31. Identifica el término de mayor grado de un factor primo
del polinomio:
7 5 4 2
P(x) x 2x 3x 3x 3x 1
A.
2
x B.
3
x C.
4
x
D.
5
x E.
6
x
32. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de
coeficientes, después de factorizar:
16x4x)x(M 24
A. 2xx
2 B. 4x2x
2
C. 8xx
2 D. 8x
3
E. 4x2x
2
33. ¿Cuántos divisores primos posee:
2222 )ba(ab4)ab6ba()b;a(T ?
A. 2 B. 5 C. 4
D. 3 E. 6
CAPÍTULO VII
TEORÍA DE ECUACIONES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA:
Sea:
b
ax b 0 x
a
Sí: a b y b = 0. La raíz es nula
Si: a = 0 y b 0. La raíz es infinita
Si a = 0 y b = 0. La raíz se hace indeterminada.
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:
Definición: Se llama ecuación de segundo grado a toda
ecuación que admita ser reducida a la siguiente forma:
0a ,0cbx2ax
Métodos de resolución de la ecuación
1. La factorización: Este método se aplica únicamente si el
trinomio
2
ax bc c es factorizable, para lo cual se debe
tener en cuenta la siguiente propiedad:
Si: 0n 0m0n.m
2. Por la fórmula general
Dada la ecuación:
2
ax bx c 0
a2
ac42bb
x
DISCRIMINANTE: ac42b
Si: 0 1 2x x son raíces reales y diferentes
Si: 0 1 2x x son reales e iguales
Si: 0 1 2x x no son reales
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:
Sea:
2
ax bx c 0 ; donde 1x y 2x son raíces. Luego
se cumple:
Suma de raíces (S. Producto de raíces (P.
1 2
b
x x
a
1 2
c
x x
a
Otras propiedades:
1. 1 2| x x |
a
2.
1 2
1 1 b
x x c
3.
2 2
1 2 1 2 1 2x x x x 4x x
4. Si las raíces son simétricas:
1 2
x x 0 b 0
5. Si las raíces son recíprocas:
1 2
x x 1 a c
Sean las ecuaciones:
2
ax bx c 0 I a 0
2
mx nx p 0 II m 0
Si estas ecuaciones poseen las mismas soluciones se
cumple:
a b c
m n p
141
APREMUNI AMBO-2020
RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
La ecuación cuadrática de raíces 1x y 2x se construye así:
0x.xx)xx(x 2121
2
0PSxx2
Ejemplo: La ecuación de raíces 3 y 5 es.
05.3x)53(x2
015x8x2
PRÁCTICA N.° 07 - 1
01. Calcule la suma de las raíces no comunes de las
ecuaciones:
23 2 5x x
29 4 0x
A. – 1/3 B. 2/3 C. – 2/3
D. 1/3 E. – 2
02. Determine la solución de
1 2 1 2
5
3 2 6
x x x
x
A. 2 B. {3} C. – 2
D. – 3 E. {2}
03. Resuelva:
12
2 6 12 20 5
x x x x
E indique la solución
aumentada en 2.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 5 E. 7
04. Una balanza tenía determinada cantidad de azúcar en su
plato izquierdo. Después de agregar a este plato 480g de
azúcar, la balanza alcanzó el equilibrio. Si en el plato de la
derecha quedaron 735g, ¿Cuánto azúcar había en el plato
izquierdo originalmente?
A. 220 B. 225 C. 228
D. 212 E. 227
05. A finales del 2010, una firma petrolera confirmo el hallazgo
de un nuevo pozo de petróleo a una profundidad de 3075
m en la selva peruana. Si en promedio cada día se
perforaban 123 m, ¿Cuántos días transcurrieron para
hallar el pozo?
A. 15 B. 16 C. 20
D 25 E. 28
06. Luis pregunto a su primo Carlos sobre su edad y este le
respondió así: “Si al triple de los años que tendré dentro
de tres años le restamos el triple de los años que tenía
hace tres años, obtendrías la edad que tengo ahora. ¿Cuál
es la edad actual de Carlos?
A. 18 B. 20 C. 22
D. 21 E. 15
07. En una feria de ciencias del colegio, Luis Enrique y sus dos
amigos compraron insumos para diseñar y montar su
experimento. Accidentalmente, en la boleta recibida, se
borró el costo de tres frascos de agua destilada. Se conoce
que en la compra de recipientes y otros insumos se gastó
s/42 y que el gasto total fue de s/60. ¿Cuánto costó un
frasco de agua destilada? Previamente, acordaron que
cada uno asumiría el gasto de un frasco.
A. 2 B. 4 C. 6
D. 8 E. 1
08. Ana es dos años mayor que su hermana Beatriz. Además,
la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años.
¿Cuántos años tiene Ana?
A. 10 B. 5 C. 3
D. 11 E. 9
09. María y Jorge pasean por las calles de la ciudad del
Cusco. Durante su recorrido, visitan el mercado San
Pedro. Allí, María compra 6kg de café orgánico y 3kg de
azúcar, por lo cual paga s/156, mientras que Jorge compra
1kg de café orgánico y 10kg de azúcar, por lo cual paga
s/83. ¿Cuál será el precio de un kilogramo de café
orgánico?
A. 18 B. 23 C. 22
D. 21 E. 15
10. En una tienda compré arroz por un valor de 7 soles
y pagué con un billete de 50 soles. Me dieron de vuelto
solamente monedas de 2 y 5 soles. Si recibí 4 monedas
de 2 soles, ¿Cuántas monedas de 5 soles recibí?
A. 11 B. 6 C. 7
D. 8 E. 9
11. José tiene dos hermanos llamados David y Carmen.
David tiene 4 años más que José y Carmen tiene 3
años menos que José. Resulta que la suma de edades de
los tres hermanos es igual a la edad de su padre que tiene
43 años. ¿Cuál es la edad de José?
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15
12. Juana y Rosa fueron a la misma tienda a hacer sus
compras. Juana compró 2 litros de leche y 1 kilogramo de
azúcar; Rosa compró 3 litros de leche y 4 kilogramos
de azúcar. Si Juana gastó 10 soles y Rosa gastó 22
soles, ¿Cuántos soles cuesta el litro de leche en dicha
tienda?
A. 1,8 B. 2,4 C. 3,6 D. 4,8 E. 6
13. Un tanque que almacena gasolina está completamente
lleno. Debido a un desperfecto, cada semana se evapora
la quinta parte de la gasolina que hay en el tanque.
Después de 3 semanas se evaporó 122 litros de gasolina.
¿Cuántos litros de gasolina había inicialmente en el
tanque?
A. 250 B. 200 C. 300 D. 244 E. 350
14. La suma de ocho números naturales consecutivos es
92. Sea P el producto de esos ocho números. ¿Cuál
es el menor entero positivo que no es divisor de P?
A. 9 B. 13 C. 23 D. 17 E. 18
15. Antes de una pelea de box, los organizadores pactaron
repartir cierto monto de la siguiente forma: La quinta
parte para el perdedor y el resto para el ganador. Si el
perdedor obtuvo 1000 soles, ¿Cuánto obtuvo el ganador?
A. 4000 soles B. 5000 soles C. 6000 soles
D. 3000 soles E. 4500 soles
16. Martin dispone de un pedazo de cartulina rectangular cuyo
largo es 4cm más que su ancho. Si quiere elaborar con
ella una caja en forma de paralelepípedo cuya altura sea
6cm. Determina una de sus dimensiones de la caja de
modo que su volumen sea 840cm2
A. 11 B. 12 C. 13
D. 20 E. 14
17. Una comisión de padres de familia compró ciertonúmero
de cuentos infantiles por s/360 para donarlos a la
institución educativa donde estudian sus hijos. Se sabe
que si hubieran comprado 4 cuentos menos con los s/360,
cada cuento les habría costado s/3 más. ¿Cuántos
cuentos donaron los padres de familia?
A. 14 B. 23 C. 33
D. 20 E. 24
18. Si la ecuación:
2 8 5 0x x tiene por raíces
1 2x y x . Halle el valor de 1 21 1x x
A. 14 B. 4 C. – 12
D. 0 E. – 8
142
APREMUNI AMBO-2020
19. Si las raíces de la siguiente ecuación son iguales, halle
n. 21 6 3 0n x x
A. – 2 B. – 3 C. – 1
D. 3 E. 4
20. Resolver la ecuación si se reduce al primer grado en
"x".
2 22 5 3 4 ;ax x a x ax a R
A. -1 B. -16 C. -15/17
D. -1/17 E. -1/9
21. Resolver: 1 1 1
a a b b
b x a x
A. a + b B. a - b C. a
D. b E. ab
22. Hallar "x" de la ecuación:
2 ba
a
x
bb a
a b
A.
1a
b
B. a C.
1ab
b
D.
1
b
a
E. b
23. Al resolver la ecuación:
2 2
2 2
2 5 17 2 17 15
2
2 17 15 2 5 17
x x x x
x x x x
A. Hay 2 valores para x. B. x es par.
C. x es negativo. D. x es positivo.
E. Hay 2 correctas.
24. Resuelva: x2 – 7x – 18 = 0, señalar la mayor solución.
A. 2 B. 11 C. 13
D. 9 E. 6
25. Resuelva: 3x2 – 6x – 1 = 0. Señalar la raíz.
A.
3 2 3
3
B.
3 3
3
C.
3 3
3
D.
2 3 3
3
E. 1
26. Resuelva e indica uma raiz:
2 22x 5x 4 7x x
A. 2 10 B. 2 2 10 C. 2 10
D. 6 2 10 E. 6 10
27. Si se tiene la ecuación: x2 + 8 – 5x = 5 + 3x; donde “x1”
y “x2” son raíces de la ecuación. Halla:
1 2
1 1
E
x x
A. – 8/3 B. 3/8 C. – 3/8
D. – 8 E. 8/3
28. Siendo “x1” “x2” las raíces de la ecuación:
5x2 +4x –2 = 0. Hallar: 1 2
2 1
x x
E
x x
A. – 3,5 B. – 2,5 C. – 3,6
D. – 1 E. 26
29. En la ecuación: 2 23k x 6kx (k 2) 0 , k 0 . Se
cumple que la suma de sus raíces es igual al doble de
su producto, luego el valor de k es:
A. 1 B. 0.5 C. – 0.5
D. 2 E. – 2
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN:
dentro del sistema de números reales el valor absoluto se
define por:
0
0 0 .
0
x si x
x si x
x si x
Ó
, 0
, 0
x si x
x
x si x
TEOREMAS:
TEOREMA CONDICIÓN
1. 0|| x
X IR
2. |||| xx
X IR
3. ||.|||.| yxyx
X,Y R
4.
||
||
y
x
y
x
0/ yRyx
5.
222 |||| xxx
X IR
6. |||| xxx
X IR
7. |||||| yxyx
X,Y R
8. |||||| yxyx
X.Y 0
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN:
en la resolución de ecuaciones con valor absoluto,
debemos tener en cuenta lo siguiente:
ECUACIÓN SE PLANTEA
CASO I X = 0 X = 0
CASO II X = B B 0 [ X = B X = - B]
CASO III X = B X = B X = - B
PRACTICA N.° 07 - 2
01. Calcular: 3 2 1 4
A. 2 B. 5 C. 7
D. 8 E. 9
02. Resuelva:
4 0 x
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
03. Resuelva:
2 5 24 0,x x e indicar una de sus
raíces.
A. 3 B. –8 C. –3
D. 5 E. 1
04. Resuelva:
2 2 3 0,x x e indicar una de sus
raíces.
A. 3, –1 C. –3, 1 E. 3, 2
B. 3, 1 D. –3, –1
05. Resuelva:
25 17 14 0,x x e indicar una de
sus raíces.
A. –2 B. –7/5 C. 7/5
D. –2/5 E. 2/5
06. Resuelva:
2 1 2 ,x x e indicar una de sus
raíces.
A. 1/3 B. – 1/3 C. – 3
D. –1 E. 2
143
APREMUNI AMBO-2020
07. Resuelva:
3 1 4 3 ,x x e indicar una de sus
raíces.
A. –7/4 B. 4/7 C. 3
D. –1 E. – 2
08. Resuelva:
2 5 7 ,x x e indicar una de sus
raíces.
A. –4 B. 7 C. 3
D. 4 E. 2
09. Resuelva: 2 6 ,x x e indica la suma de sus
raíces.
A. 0 B. 10 C. 6
D. 4 E. 2
10. Resuelva:
3 4,x e indica sus raíces.
A. {-1; -7} B. {-1; 7} C. {2; -7}
D. {1; -7} E. {1; -4}
11. Si a; b son soluciones de:
x 3
2 64
Halla: a +b
A. 6 B. 11 C. 12
D. 14 E. 15
12. Resolver:
2
3 x – 3 2 x – 3 9
Dar como respuesta la suma de las soluciones.
A. 6 B. 12 C. 18
D. –6 E. –12
13. Resolver: |2x – 4|=|x – 2| + 5
A. {–3} B. {–3;7} C. {–7;3}
D. {–7;–3} E. {3;7}
14. Resuelva:
2 3 6 4 8 24x x x e indica
sus raíces.
A. {- 1; 5} B. {-3; 9 C. {3; -9}
D. {1; -3} E. {1; -9}
15. Resuelva: 1 2 2 3 3 6 2 1x x x x e
indica sus raíces.
A. {3; 1} B. {-2; 0} C. {2; -1}
D. {0; -3} E. {1; -2}
16. Resuelva:
3 6 4 3 4 8x x x e indica sus
raíces.
A. {1; 2} B. {-2; 1} C. {- 5/3;- 1/5}
D. {1/2; -3/5} E. {1/5; -2/5}
17. Resuelva:
2 3 3x x e indica sus raíces.
A. {1; 3} B. {- 2; 1} C. {- 3; 1}
D. {4; 1} E. {- 4; 1}
18. Resuelva:
1 2 7x x e indica sus raíces.
A. {1; 3} B. {- 2; 1} C. {- 3; 4}
D. {4; 1} E. {- 4; 3}
19. Resuelva:
2 1 4 6x x e indica sus raíces.
A. {2; - 3} B. {2} C. {- 3}
D. {3; 1} E. {- 1; 1}
20. Resuelva: x 3 x 7 4
A. 5; 6 B. 3; 7 C. 3; 7
D. 1; 2 E. R
21. Determine la suma de soluciones de:
2x 6x 3 5 x 3
A. 1 B. 2 C. 3
D. 5 E. 6
22. Resolver: |x – 3|2 = |x – 3| + 6
A. {0} B. {1;5} C. {0,1,5,6}
D. {0,6} E. R
23. Reducir la expresión:
– 3 – 10 10 – 5
M
5 – 3 5 – 2
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
24. Si x 3;5 , reducir la expresión:
x 5 x 3 2x – 15
R
7x 2 3x – 20 4x – 24
A. 1 B. 1/2 C. 2
D. 1/3 E. 3
25. Si 2 6 2 1 0x y z , halla el
valor de Q x y z
A. 0 B. 6 C. 10
D. – 10 E. 2
26. Sea la ecuación: |x – 3|+|y + 4|+|z – 5|= 0
Hallar el valor de:
x z
y
A. 1 B. –2 C. 3
D. 4 E. 2
27. Resuelva 23 2 0x x x
A. 3;2 B. R C.
D. 3;2 E. 0;
28. Si: 1 2 8 3 0x y z
Halla: x + y + z.
A. 10 B. 8 C. 9
D. 12 E. 20
29. Si 4 8 3 2 4 0x y z , halla el
valor de E x y z
A. 0 B. 7 C. – 7
D. – 10 E. 2
30. Halle el conjunto solución de: 4x 3 2 3x
A. B. 1 C.
5
7
D.
5
1;
7
E. 0
31. Resuelva 1 3 0 x x x
A. 1;3 B. R C.
D. 0;3 E. 1;3
144
APREMUNI AMBO-2020
CAPÍTULO VIII
MATRICES – DETERMINANTES
MATRICES
Notación general:
Así: sea la matriz de m filas y n columnas cuyos
elementos son de la forma a i j que nos indica que
es un elemento de la fila i y columna j.
nm
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
jia
aaaa
aaaa
aaaa
A
y se lee: matriz de m filas por n columnas.
Igualdad de Matrices
Dos matrices del mismo orden son iguales si y solo si
sus elementos de la misma posición son
respectivamente iguales. Si: (x; y. = (m; n. x
= m; y = n
A = B a i j = b i j i j
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
La transpuesta de una matriz A, es el intercambiando
sus filas por sus respectivascolumnas; conservando
todos sus elementos.
Sí: mn]a[Anm]a[A ji
T
ij
TRAZA DE UNA MATRIZ
Es aquel resultado que se obtiene al sumar los
elementos de la diagonal principal de toda matriz
cuadrada.
MATRICES ESPECIALES
1. Matriz cuadrada.-
3
0
2
1
2
1
0
7
3
;
2
1
7
5
; )3(
2. Matriz diagonal.-
b
0
0
a
3. Matriz escalar.- 0
0
n
n
4. Matriz identidad.-
10
01
5. Matriz triangular superior.-
10
35
6. Matriz triangular inferior.-
34
02
7. Matriz nula.-
00
00
8. Matriz simétrica
Sí A = AT A es simétrica.
11
12
A
Pués:
11
12TA
9. Matriz antisimétrica
Sí A = AT A es antisimétrica.
10. Matriz involutiva IA2
11. Matriz nilpotente A2 = 0 A es Nilpotente
12. Matriz idenpotente: Sí A2 = A
OPERACIONES CON MATRICES
1. Adición.
nmnmnmnmnm
)BA()BA(B;A
2. Multiplicación de una matriz por un escalar
A a i j m n kA k ai j m n
3. Multiplicación de dos matrices
4. Potenciación de matrices:
veces"n"
n AAAA
PROPIEDADES:
Sean A, B, C matrices del mismo orden y ; escalares
1. ( )
2. ( ) ( )
3. ( )
4. 0 0 0
5.
6. en general
7. son conmutables
8. ( )
9. ( )
T T
T T T
A B A B
A BC AB C
A B C AB AC
AB no impilca que A B
AB AC no impilca que B C
AB BA
AB BA
A A
A B A B
DETERMINANTES
DEFINICIÓN: El determinante es una función que aplicada
a una matriz cuadrada la transforma en un escalar
NOTACIÓN: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de
la matriz A se representa por | A | ó det A
I. Matriz de orden dos
Sea:
2221
1211
aa
aa
A
Se define: 21122211 aaaaA
II. Matriz de orden tres
Sea:
a b c
A d e f
g h i
Regla de Sarrus:
Inversa de una matriz
1
a b d b1
A A
c d c aA
PROPIEDADES
I. Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el mismo
determinante. es decir, TA = A .
II. Sean las matrices cuadradas A y B; del mismo orden,
entonces:|A.B| = |A|.|B|
III. Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos filas o
dos columnas, respectivamente proporcionales el valor
del determinante es cero.
IV. El determinante no varía si a todos los elementos de
una fila (o columna. se le añade el múltiplo de otra fila
(o columna..
Ejemplo
nmnppm
CB.A
# de columnas de A = # de filas de B
a
d
g
a
d
b
e
h
b
e
e
f
i
c
f
a . e . i
d . h . c
g . b . f
c . e . g
f. h . a
i . b . d
+ +
+ = N + = M
| A| = M - N
145
APREMUNI AMBO-2020
3 4
A A 15 8 7
2 5
3 4 3k
B B 3(5 2k) 2(4 3k) 7
2 5 2k
Entonces A y B tienen el mismo determinante.
V. Cuando se permutan dos columnas (o filas. el determinante
cambia de signo.
Ejemplo
3 4
A A 15 8 7
2 5
4 3
B B 8 15 7
5 2
VI. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna.
del determinante por un escalar el mismo determinante
queda multiplicado por dicho escalar.
Ejemplo
3 4
A A 15 8 7
2 5
3x2 4
B B 30 16 14
2x2 5
VII. Si los elementos de una fila (o columna. son ceros el valor
del determinante es cero.
Ejemplo
4 4 5
B 0 0 0 B 0
8 7 6
VIII. Sea A una matriz de orden n; se cumple
nKA = K A ; k es un escalar.
Ejemplo 3 1A A 15 4 11
4 5
9 3
B 3A B
12 15
B 9.15 12.3 99
Utilizando la propiedad
2 2B 3A 3 A 3 .11 99
IX. Si los elementos de una fila o columna de un determinante
son la suma algebraica de varias cantidades, el
determinante se descompone en tantos determinantes
como términos tiene la suma.
para orden 3x3.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a m b c a b c m b c
a m b c a b c m b c
a m b c a b c m b c
PRACTICA N.° 08
1. Dada la matriz :
4 9 5
18 2
x y x
A
x y
, Donde se
cumple: 12 212a a y 22 0a . Calcular: x + y.
A. 5 B. 9 C. 8
D. 7 E. 6
2. Sea la matriz :
Donde se cumple: TRAZ(A. = 16 y
21 31 22 1a a a . Calcular : "x.y".
A. 6 B. 4 C. 5
D. 3 E. 7
3. Si A y B son iguales
Calcula el valor de a + b + c
A. 8 B. 9 C. 12
D. -1 E. 6
4. Dadas la matriz
1 1
3 2
m
A
n
y la matriz B de
orden 2x3 en donde 2ijb i j , hallar m + n si se
sabe que A y B son matrices iguales.
A. 1 B. 2 C. 12
D. -1 E. 3
5. Si:
3 2ij x
A a tal que
;
;
;
ij
i j i j
a ij i j
i j i j
. Entonces
el valor de la traza TAxA es:
A. 68 B. 24 C. 24
D. 49 E. 12
6. Calcula la suma de los elementos de la primera fila de la
matriz: A 2B 3C , donde:
1 4 2
A
1 4 2
,
1 2
B 1 3
5 2
y
2 2
C 1 1
1 3
A. –2 B. 58 C. –58
D. 0 E. 18
7. Sean las matrices:
2 3
A
1 0
,
1 2
B
0 1
;
Si TC A AB 3B . Halla la Traz( C .
A. 0 B. 2 C. 5
D. - 4 E. – 6
8. A partir de:
Calcular a + b + c + d
A. 15 B. 5 C. 10
D. 20 E. 25
9. La siguiente matriz:
Es la matriz identidad. Calcular: abc + mnp + qrs
A. 0 B. 1 C. 35
D. 36 E. 37
10. Proporciona la suma de los elementos de AB, si:
A. 18 B. 23 C. 43
D. 29 E. 36
146
APREMUNI AMBO-2020
11. Dada la matriz :
1 2 2
1 2 1
1 1 0
A
Hallar la traza de A2 .
A. 7 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
12. Sean las matrices:
Hallar : "x.y", si : A = B.
A. 6 B. 10 C. 8
D. 12 E. 14
13. Hallar la matriz "x", que cumpla:
Indicar : TRAZ(X..
A. 2 B. 5 C. -17
D. 10 E. -2
14. Si:
0 1 2 8
2 0 1 4
1 1 0 6
x
y
z
. Hallar : (x + y + z..
A. 11 B. 13 C. 6
D. 7 E. -4
15. Halla p q r m n , si se sabe que:
A .B C D Emxn20x5 px10 qx20 rx1
A. 56 B. 50 C. 40
D. 60 E. 20
16. Si: 2 3 2F x x x y
1 2
1 2
A
Hallar la suma de elementos de la diagonal principal de
F(A..
A. 2 B. 14 C. 16
D. 18 E. 11
17. Si A es una matriz triangular inferior :
33t2
2z3w6
4y2x9
A
Halla el valor de: x + y + z
A. 0 B. 9 C. 5
D. 7 E. –9
18. Sea:
3a3w4v
2z2a0
1y5x1a
D una matriz diagonal,
halla el valor de: x + y + z + w + v.
A. –1 B. 1 C. 15
D. 3 E. –2
19. Determine la traza de matriz simétrica:
3c 203c 2b
a3x 2b 1a
7 5 a
A
A. 11 B. 14 C. 15
D. 16 E. 18
20. Se definen las matrices
1 3
A
4 2
y
0 2
B
2 0
.
halle la matriz X que satisface la ecuación matricial.
3( ) 2( ) tX A X B A
A. 2 9
13 4
B. 9 2
4 4
C. 1 1
0 1
D. 92
13 13
E. 0 0
2 2
21. Dada la matriz simétrica
3 2 0
a 5x
b 2 1
A , determinar la
traz(A.At)
A. 20 B. 32 C. 51
D. 62 E. 73
22. Similarmente al caso de los números reales, se dice que
la matriz M es la raíz cuadrada de la matriz N si 2M N .
Entonces, el valor de x para el cual la
7 16
x 7
matriz
es la raíz cuadrada de,
1 0
0 1
es:
A. 0 B. 3 C. –16
D. 16 E. no existe
23. Sean las matrices
1 0 1 1
A y B
1 1 0 1
Determina la traza de A8.B9.
A. 71 B. 72 C. 73
D. 74 E. 75
24. Dada la matriz
0 1 0
A 0 0 1
1 1 1
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú- - -ê úë û
. Determinar : A25
A. – A B. 0 C. I
D. A E. A
25. Simplifica:
3 2 5 6
7 3 3 1
E
1 0
4 3
A. 6 B. – 6 C. 9
D. – 18 E. 18
26. Resuelva:
x 1 2
0
1 x 4
A. 2 y 3 B. 4 y 3 C. 5 y 3
D. – 1 y 3 E . – 2 y 3
27. Calcula el determinante:
11109
876
543
A. 16 B. 2 C. 3
D. 0 E. 5
28. Calcula el valor de:
452
026
014
A
A. 1 B. 8 C. 3
D. 0 E. -8
147
APREMUNI AMBO-2020
29. Si se tiene que:
11
12
A , la matriz inversa
1
A
viene a ser:
A.
1 1
3 3
1 2
3 3
B.
1 1
3 3
1 2
3 3
C.
1 1
3 3
2 2
3 3
D.
1 2
3 3
1 2
3 3
E.
1
0
3
1
0
3
30. Determine el valor del determinante:
log2 log4 log8
log8 log256 log512
log4 log16 log64
A. –log32 B. –21log32 C. 0
D. –32log32 E. –15log32
31. Sea la matriz:
4 3 2
A 2 1 3
5 5 1
Calcula: 3 1A
A. 7 B. 3 C. – 2
D. 4 E. – 7
32. Determina el valor x en la siguiente determinante:
1
x11
121
532
A. 4 B. 1 C. 5
D. 3 E. 0
33. A partir de la ecuación matricial:
1 2 4 1
.
3 7 0 2
X
Donde "X" es una matriz cuadrada de orden 2. Halla:
Det(X..
A. 6 B. 7 C. 11
D. 8 E. 19
34. Calcula:
2 7 2 3 3 6 1 2 3
3 6 3 2 2 4 0 1 2
4 5 4 1 4 2 0 0 0
A. 5 B. 7 C. 6
D. 9 E. 0
35. Calcula el valor de las determinantes:
4 7 9 2 1 6 11 -5 4
0 0 0 + 3 2 9 + 23 3 8
7 8 9 4 5 12 11 -5 4
A. 1 B. 2 C. 3
D. 0 E. 8
36. Calcula:
a b c a b c
c a b 3 0 b c
b c a 0 0 c
A. a3 +b3 + c3 B. 0 C. 3abc
D. a3 +b3 - c3 E. a3
37.
Si
:
a b
5
c d
. Calcular: 2a 2b 3a 5b+
4c 4d 3c 5d
A. 110 B. 115 C. 40
D. 75 E. 135
38. Calcula:
1 1 1 1
3 4 5 6
9 16 25 36
27 64 125 216
A. 18 B. 6 C. 12
D. 4 E. 24
39. Calcula:
1 1 1 1
2 3 5 7
4 9 25 49
9 28 126 344
A. 120 B. 240 C. 360
D. 300 E. 192
40. Halla el determinante de:
1 103 20
A= 2 108 40
3 109 60
A. 0 B. 1 C. 120
D. –1200 E. –37
41. Halla: -1A , si
1 1
A=
2 3
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 0,5
42. Dado la matriz:
5 1
A
10 2
, calcula A– 1.
A
5 1
10 4
B.
4 1
10 5
C.
2 1
10 5
D.
2 1
10 5
E. No existe inversa
43. Dado la matriz:
6 2
A
3 6
, calcula A– 1.
A.
1 1
5 15
1 1
10 5
B.
1 1
5 15
1 1
10 5
C.
1 1
5 15
1 1
10 5
D.
1 1
5 10
1 1
15 5
E. No existe inversa
44. Efectuar:
x – y – z 2x 2x
2y y – z – x 2y
2z 2z z – x – y
Si: x2 + y2 + z2 = 6
xy + xz + yz = 5
Además: x;y;z ¡
A. 4 B. 128 C. 16
D. 32 E. 64
148
APREMUNI AMBO-2020
45. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en
tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400
unidades en la terminación N, 200 unidades en la
terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce
del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100
unidades en la terminación L y 30 unidades en la
terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y
1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas
de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S
lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración .
A.
17650 705
11490 459
B.
5 0
0 5
C.
25 1
30 1.2
33 1.3
D.
17650 0
11490 0
E.
400 200 50
300 100 30
Enunciado (para pregunta 46 y 47.
Una firma de automóviles dispone de dos plantas de
fabricación una en España y otra en Inglaterra, en los que
fabrica dos modelos de coches M1 y M2, de tres colores x,
y, z. Su capacidad de producción diaria en cada planta
está dada por las siguientes matrices (A para España y B
para Inglaterra..
300 95 190 90
A 250 100 B 200 100
200 100 150 80
46. Determinar la representación matricial de la producción
total por día.
A.
450 200
350 180
B.
110 5
50 0
50 20
C.
25 1
30 1.2
33 1.3
D.
490 185
450 200
350 180
E.
531 195
410 210
375 192
47. Si se eleva la producción en España un 20% y se
disminuye en Inglaterra un 10% ¿qué matriz representa la
nueva producción total?
A.
450 200
350 180
B.
110 5
50 0
50 20
C.
25 1
30 1.2
33 1.3
D.
490 185
450 200
350 180
E.
531 195
410 210
375 192
48. Una fábrica de coches produce tres modelos: coupé,
ranchera y económico. Cada coche necesita las
cantidades de cada uno de los siguientes conceptos,
relacionados en la matriz C, en unidades
convenientemente elegidas: materiales, personal,
impuestos y transporte.
7 10 5 2
C 8 9 3 3
5 7 2 1
P 60 40 90
5
15
V
7
2
La matriz P indica la producción semanal y la matriz V el
valor de una unidad de cada concepto. Obtener el coste
total de la producción semanal.
A. 34660 B. 66340 C. 0
D. 43660 E. 34066
CAPITULO IX
INECUACIONES
1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Es aquella inecuación de primer miembro que admite alguna
de las siguientes formas:
0a0bax0bax;0bax;0bax
2. INECUACIÓN CUADRÁTICA
La inecuación cuadrática en una variable presenta alguna de
las siguientes formas:
2 2
2 2
ax bx c 0; ax bx c 0
ax bx c 0 ax bx c 0
Por medio de la naturaleza de las raíces primero se resuelve
la inecuación 0,02 acbxax y de acuerdo a lanaturaleza de las raíces se presentan tres casos
1° Caso: si
20 b 4ac 0
Entonces hay dos raíces reales y diferentes
Ejemplo:
Resolver:
2x 9x 22 0
Resolución:
2x 9x 22 0
x
x
11
2
(x 11)(x 2) 0
Método de los puntos críticos:
x 11 0 x 2 0
x 11 x 2
Ubicándolos en la recta numérica:
C.S. x ; 11 U 2;
2° Caso: si 0ac4b2
2
2
2
2
i) a x k 0 C.S R k .
ii) a x k 0 C.S R
iii) a x k 0 C.S
iv) a x k 0 C.S k
Ejemplo:
Resolver:
2x 6x 9 0
Resolución:
2
2
x 6x 9 0
(x 3) 0
x R 3
3° Caso: si 2b 4ac 0.
2 2
2 2
ax bx c 0 ax bx c 0
x R x
ax bx c 0 ax bx c 0
2
11
149
APREMUNI AMBO-2020
Ejemplo:
Resolver:
2x 2x 3 0
Resolución:
2
2
2
x 2x 3 0
( 2) 4(1)(3)
4 12
8
como 0 x 2x 3 0
C.S. x R
3. INECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO
SUPERIOR.
Forma general:
0 1 2
n n 1 n 2
na x a x a x ... a 0
0
a 0 n 3
Teorema 1
2n
(x)f (x) (x) (x) P 0 P 0 f 0
Teorema 2
2n
(x)f (x) (x) (x) P 0 P 0 f 0
Teorema 3
2n
(x)f (x) (x) (x) P 0 f P 0
Ejemplo:
Resolver:
2 7(x 3) (x 5) (x 7)(x 7) 0
Resolución:
Cancelamos:
2(x 3) por teorema 2
Cancelamos:
7(x 3) por teorema 3
Luego: x 3 0 por teorema 1
C.S. ; 7 U 5;7 U 3
Observación:
Para resolver una inecuación polinomial se debe
tener en cuenta lo siguiente.
1. Factorizar el polinomio.
2. Reducir la expresión utilizando los teoremas.
3. Utilizar el criterio de los puntos críticos.
4. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Presenta las siguientes formas:
P(x)
; 0 P(x).Q(x) ; 0; Q(x) 0
Q(x)
P(x)
; 0, P(x).Q(x) 0; Q(x) 0.
Q(x)
Nota: El denominador siempre es intervalo abierto.
5. INECUACIÓN IRRACIONAL
Es aquella inecuación en el cual en uno de sus
miembros aparece una expresión irracional.
)x(Q)x(P);x(Q)x(P
0)x(P;0)x(P
nn
nn
Teorema
Sean a y b números reales; n
2n 2n
2n 2n
2n 2n
2
2
2
2
2n
A. a b 0 a 0 b 0
B. a b 0 a 0 b 0
C. a b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
D. a b a 0 (b 0 a b )
E. a b a 0 (b 0 a b )
F. a b a 0 b 0 (b 0 a b )
G. a b a 0 b 0 (b 0 a b )
H. a b 0 (
2n
2n 1
2n 1
a 0) (a 0 b 0)
I. a b 0 (a 0 b 0)
J. a b 0 a b 0
K. a b 0 a b 0
Ejemplo:
Resolver:
4 2x 2 x x 3
Resolución:
2
2
x 2 x 0
x x 2 0
(x 2)(x 1) 0
x 1 ;2
Como
1 x 2 4 x 3 1
Luego:
4 2
negativo
x 2 x x 3
Conclusión:
par
f(x) ( ) CS CVA
x 1;2 Respuesta
PRACTICA N.° 09
01. Resolver
5x 2 7x 2 2 x x
3 4 4 6
A. 0; B. 1; C. –1;
D. 2; E. – ; 2
02. Resolver:
5x 1 3x 13 5x 1
4 10 3
A.
1
;
2
B. – ; 1 C. 0;
D. 2 ; E. 1;
03. Si M es el conjunto solución de la inecuación 2x – 5 < x
+ 3 < 3x – 7, entonces el conjunto M es:
5
7
7
150
APREMUNI AMBO-2020
A. 0; 5 B. 8; 14 C. – ; 1
D. 5; 8 E. 14; 52
04. Sea
43
5
12
10
192
;
x
x
/R
x
x
A .
Determine el cardinal de: A R; siendo N el conjunto
de los números naturales.
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
05. Si A, B y C son tres conjuntos definidos por:
A x
2 2 2
1 1 1
x x x 3x 2 2x x
B x 2(x 1)(2x 5)x 0
C x x (A B) x B ,
entonces el conjunto C es:
A. [– 1; 3 B. – 1; 2] C. 0; 3]
D. [– 2; 2] E. – 5; 2]
06. Determine el valor de m para que se cumpla:
mxx:Rx 422
A.
2
,
8
B.
1
,
4
C. , 2
D. , 3
E. , 5
07. Dados los conjuntos
P x R
x 1
2;3 1
2
Q x R 2x 1 ;9 3;9
Determine la suma de los elementos del conjunto (P \
Q. Z. (Z: conjunto números enteros.
A. 20 B. 21 C. 22
D. 25 E. 30
08. Halle el conjunto solución de la inecuación:
(x – 1.2 – 1 > (x – 2.2
A. 2; + B. [2; + C. 1; +
D. – ; 2 E. – ; 1
09. Al resolver la inecuación siguiente, se obtiene que: x
– ; m – {p, q}
2x 1 3x 1 x 7 10x 13
4
x 1 x 2 x 1 (x 1)(x 2)
Determine m2 + p2 + q2
A.
3
5
4
B.
4
5
5
C.
6
5
7
D.
8
5
9
E. 6
10. Sea A x N
4(3x 1) 2 3x
x
9 6
, determine el
cardinal de A.
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
11. Si m + n3> 1 y m4.n3<0, m, n R, resolver
x x m n
n m n m
A. m, n B. m + 1, 2n C. [m + n,
D. – m, E. – , m + n]
12. Si a < b; resolver:
ax b bx a
b a
2 2
A. – ; 3 B. 3; C. [3;
D. 2; E. 0;
13. Resolver – 2x + 5 < 3x + 8 < 6x – 10
A. 3; B. 6 ; C. – ; 3
D. – ; 6 E. 0;
14. Calcula el conjunto solución de:
4
4x 8 12x
A. ,21,
B. ,21,
C. 2,1 D. 2,1 E. 2,
15. Calcula el conjunto solución de:
)1x(411x8x3 2
A. B. Rx C. 3,
D. ,3 E. 4,
16. Determina la suma de valores enteros que verifican la
inecuación: )7x)(1x(x2 2
A. -9 B. 9 C. 0
D. 8 E. -8
17. ¿Qué condición debe satisfacer “a” para que cualquiera
que sea el valor real atribuido a “x” el trinomio x2 + 2x +
a sea superior a 10?
A. a 10 B. a < 10 C. a > 11
D. a 11 E. a 12
18. Luego de resolver:
0)12xx(2008)12xx)(x2x( 222
Indica la suma de los elementos enteros de su conjunto
solución.
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
19. Al resolver la inecuación: (x – 1.30(x + 2.51(x2 +
1.31< 0, obtenemos como solución S = –, a, dar el
valor de E = a3 + a + 10.
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
20. Determine el conjunto solución de la inecuación:
(x2 + 1.(x – 5.(x2 – 13x + 40. 0
A. [5; 8] B. 5; + C. – ; 5]
D. [5; + E. – ; 8]
21. Sea S = {a} [b, c] el conjunto solución de la
inecuación x(x–2.2(x–3.5 (x+1.6 0, determine el valor
de E = a + b + c.
151
APREMUNI AMBO-2020
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
22. Sea x [1/4; 5/4] y sean M el menor valor y m el mayor
valor que satisfacen
x 5
m M
x 2
. Entonces T
= Mm es:
A. 24 B. 20 C. 25/3
D. 25 E. – 25
23. Determine el conjunto A,
3 3(x 19) 2 (x 19) 4
A x R /
2 2(x 19) 1 (x 19) 2
A. x < 17 B. 0 < x < 17 C. 0 < x < 19
D. 7 < x < 19 E. x > 19
24. Determine el menor de los números reales M que
satisface la inecuación.
4 + 6x – 3x2M , x R
A. 6 B. 7 C. 8
D. 9 E. 10
25. Determine los valores de k para que la inecuación se
cumpla para cualquier valor de x en R.
x kx 1
2
x 12
2
A. 0; B. –1; 1 C. –3; 3
D. –2; 2 E. 2;
26. Resolver
x x 18
x 1 0
2 x
2
A. –3; 3 B. – 4; 2 C. – 5; 3
D. –1; 1 E. 0;
27. Resolver:
x 5 . 2x 1 .(x 2)
0
(2x 1) .(x 1)
3
72 10
4 3 5
A.
1
1; 2
2
B. –2; 2
C. 0;
D.
1
2; 2
2
E.
1
0; 2
2
28. Determine el conjunto solución de la inecuación
x x 6
0
x 1
4 2
2
A. –1; 1 B. [3; + C. – ; –2]
D. [– 3; 3 ] E. [– 3; 1 1; 3 ]
29. Resuelva la inecuación:
4x (x 9) (x 4x 4)(x 2)
0
(x 4) x 3x
3 2 2 2
2 3 2
e indique a + b + c + d
si el conjunto solución es , a b, c; d
A. – 3 B. – 2 C. 0
D. 2 E. 3
CAPÍTULO X
FUNCIÓNES
Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función
definida en A con valores en B, o simplemente función de A
en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x
A un único elemento, y B.
Notación: f: A B v A B
Se lee f es función de A en B.
Ejemplo:
G = {(2;3., (4; 7., (8; 9., (5; 0.} Función
L = {(3; 8., (5; 1., (3; 2., (7; -3.} relación
No es función
Teorema.- Si f es una función de R en R toda recta
paralela al eje “y” corta la grafica a los más en un punto.
DOMINIO
Es el conjunto de valores que puede tomar la 1ra componente
(abscisa. considerando las restricciones.
0D
N
;0n2
RANGO
Es el conjunto de valores que asume la 2da componente
(ordenada. de acuerdo al dominio.
Ejemplo:
F: {(2; 5., (3; 7., (8;4., (0; 4.}
Dom. F = {2; 3 ; 8; 0}
Ran. F = {5; 7 ; 4}
FUNCIONES ESPECIALES:
Función Identidad.- Se simboliza por “I”. Su regla de
correspondencia es: I x x es decir: F x x
Dom (I.=R
Ran(I.= R
Su gráfico es una recta que pasa por el origen y es bisectriz
del primer cuadrante (forma un de 45º con el eje “X”..
Función Constante.- Se simboliza por C. Su regla de
correspondencia es decir: F x k
Dom(f(x.. = R y Ran(f(x.. = k
Su gráfica siempre es una recta horizontal (paralela al eje X..
Función Valor Absoluto.- Se simboliza por . Su regla de
correspondencia F x y x es decir:
x ; x 0
y x 0 ; x 0
x ; x 0
, R)x(Dom
No es función
x
y
f
Es función
x
y
f
y
45º
y x
x
y
y k
x
152
APREMUNI AMBO-2020
Ran F y 0, , Su gráfica: y x es:
Función Cúbica.- Regla de correspondencia:
3F x y x , R)x(Dom R)x(Ran
Función Raíz Cuadrada.- Regla de correspondencia:
F x y x Dom F 0, Ran F 0,
Gráfica: y x
Función inverso multiplicativo.
1
f(x)
x
Función Cuadrática.- Está determinada por la regla de
correspondencia.
2
y F x ax bx c
Donde: a, b y c, son constantes, tal que: a 0
Además: R)x(Dom
2
2
4ac b
; ; a 0
4a
Ran F
4ac b
; ; a 0
4a
La concavidad será hacia arriba o hacia abajo dependiendo
del signo de “a”.
DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE LA GRÁFICA DE UNA
FUNCIÓN
Conociendo la gráfica de la función F, donde:
F : y = F(x.
y considerando un número positivo "h", tenemos :
1. Desplazamiento Horizontal
2. Desplazamiento Vertical
3. Giro con respecto al eje "x"
El eje "x" se comporta como si fuese un espejo.
4. Giro con respecto al eje "y"
El eje "y" se comporta como si fuese un espejo.
5. Giro producido por el valor absoluto
La parte de la gráfica debajo del eje "x", se refleja por encima
del mismo.
y
x
F
}0{RR}0{RD FF
y
x
y
x
F(x+ h)
y
x
F(x-h)
"h" u nidades hacia
la izquierda
"h" u nidades hacia
la d erech a
y
x
F(x)-h
y
x
F(x)+ h
"h" u nidades
hacia abajo
"h" u nidades
hacia a rriba
y
x
-F(x)
y
x
F(-x)
y
x
| F(x)|
y
y x
x
y
3
y x
x
y
y x
x
y
x
Vértice
2
F : y ax bx c I) a 0
Y
X
Vértice
2
F : y ax bx c
II) a 0
153
APREMUNI AMBO-2020
PRATICA N.° 10
01. Sea f una función tal que:
f = (1; 2a + b), (2; 10), (1; 8. (2; ab + 1)
Entonces, hallar: b 1.
a
A. 2 B. 1 C. 3/2
D. 1/2 E. 2/3
02. A partir de la función:
F =(b; a – 1),(9; b –3),(a+1;2a–7),(2a – 1; a),(a + 1; 3)
Calcular: E = F(a + 4. + F(b – 2.
A. 3 B. 9 C. 8
D. 6 E. 13
03. Si f es una función tal que:
f = (1; a2), (a; b), (1; 2 – a) (a; a + 2)
Entonces hallar la suma de todos los elementos del
rango
A. 4 B. 6 C. 2
D. 3 E. 0
04. Hallar: (a.b. si el conjunto de pares ordenados
representa una función:
F={(2,5);(-1,-3.;(2,2a-b.;(-1,b-a.;(a+b2,a.}
A. 2 B. – 2 C. –3
D. 3 E. 8
05. Si f es una función constante, determine:
T = a2 + b2
f = {(ab; a – b), (a + b; b), (a ; 1), (3b; a – 1.}
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 E. 5
06. Calcule el número de elementos de la función f = {(x, y.
g / x2 + y2< 15}, siendo g la siguiente función:
g = {(1; 4., (2; a + b – 1., (3; a., (2; – 2.,
(4; 6., (1; a2 – b2 + 1.}
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
07. ¿Cuál o cuáles de las siguientes gráficas representa a
una función?
A. Sólo I B. II y III C. Sólo I y IV
D. I, III y IV E. II y IV
08. Determine el dominio de la siguiente función:
A. }/;{ 532x
B. };/{ 253x
C. }/;/{ 5123x
D. };{ 14x
E. }{ 2x
09. Determinar el dominio de la función:
A. R –{1/2} B. R + {1/2} C. R–{–1/2}
D. R + {1/5} E. R + {2/5}
10. Dada la función:
4x 3
F(x)
2x 1
entonces no es verdad
que:
A. Dom(F. = R {1/2} B. Ran(F. = }{2R
C. (0; 3. F D. (1; 1. F
E. Ran(F. = R {1/2}
11. Determinar el dominio de la función:
A. R –{1} B. R + {1} C. R–{–1;2}
D. R – {2} E. R + {1;2}
12. Hallar el rango de la función:
A. yR – {–5} B. yR –{–6} C. yR–{5}
D. yR E. y
13. Hallar el rango de la función:
4 3x
f(x)
x 5
A. R –{3} B. R–{–3} C. R–{–5}
D.
;
3
4
E. ;; 55
14. Hallar el dominio de la función: F(x. = |x – 3|– 2
A. x R – {3} B. x R – {2}
C. x R – {1} D. x R – {2,3}
E. x R
15. Hallar el dominio de la función: f(x) x 4
A. x R+ B. x R C. x[4,+>
D. x [–4,+> E. x
16. Indicar el dominio de la función:
f(x) x 1 x 5 x
A. [1,5> B. <1,5] C. [1,5]
D. [0,5] E. <0,5>
17. Hallar el dominio de la siguiente función:
x 2 3
f(x)
x 5 x 3
A. x <-,–5> [2,+>– {3}
B. x <-,–4> [4,+>– {5}
C. x <-,–5> [3,+>
D. x <-,–5> [2,+>
E. x <-,–4> [5,+>– {3}
y
x
(I)
y
x
(II)
y
x
(III)
y
x
(IV)
4x 1 3x 2
g(x)
2x 3 5x 1
24x 1
f(x)
2x 1
4 3 2
2
x – x – 3x x 2
F x
x – x – 2
6x
3x5
G )x(
154
APREMUNI AMBO-2020
18. Hallar el rango de: F(x. = | x – 7| + 5
A. yR B. yR –{7} C. y[5,+∞>
D. y[– 5,+∞> E. yR+
19. Hallar el rango de: f(x. = 3 –|x| si:x<–2,3]
A. [0,6> B. <4,8] C. <3,9>
D. <0,10] E. <-2,5]
20. Dada la función: f(x) 2 x 3 .Calcular: Df∩ Rf
A. <-3,2] B. [–3,2> C.
D. < - 2,3> E. [–3,2]
21. Hallar el DomF(x. ∩ RanF(x. : F(x. = (x–7.2 + 8
A. yR – {7} B. y R – {8}
C. y [8,+> D. y [7,+>
E. y R – {1}
22. Hallar el rango de la función:
F(x. = 2x2 + 3x + 2
A. y R B. y R+ C. y [ 7/8,+>
D. y[ 1/4;+> E. y
23. Hallar el rango de la función definida:
F(x. = x2– 4x + 7; x [2,3]
A. y [7,+ > B. y [1,2] C. y [3,4]
D. y R E. y
24. Hallar el rango de la función:
2
2
x
f(x)
5x 64
A. [0;1/5> B. <-5/2] C. [0;5>
D. [1/5:+>E. E. [5/2;>
25. Determine el rango de la función f,
f(x) x 2( x 1) 7
2
.
A. R B. [6; C. [– 4;4]
D. [4; E. [– 8; 3
26. Determine el rango de la función
4
f(x) x ; x 0
x
.
A. [0, B. [1, C. [2,
D. [3, E. [4,
27. Determine el rango de la función f(x) x 1 3 x
A.
2; 2 2 B. [2; 2 2] C. 2; 2 2
D. [2; 3] E. [ 2 ; 2]
28. Hallar: (a+b. Siendo el dominio de la función
es:
x [-a,-b] [b,a]
A. 1/2 B. 3/2 C. 1
D. 2/3 E. 1/6
29. Si f es una función definida por:
x 1, si x x
f(x)
x, si x 0
Determine el rango de f.
A. [1, B. R C. – , 0
D. – , 1] E. R – [0, 1
30. Al determinar el dominio de la función f, definida por:
1 7 x
f(x) x 6
x 3 1 x 25
3
2
, se
obtuvo: Df= [a; 4b; 5c; d], calcule:
T = a + b + c + d
A. 16 B. 17 C. 18
D. 19 E. 20
31. Determine el dominio de la siguiente función:
1 4x x 9
f(x)
6 5 x x
5
2
A. – 6; 6 B. – 6; – 3/2] C. [3/2;6
D. 1; 3/2] E. 0 ; 6
32. Si f es una función definida por
x
f(x) x R
x 22
,
hallar el rango de f.
A. – 1;1 B. [0; 2 ]
C. 2 2;
4 4
D. 2; 0
E.
1 1
;
2 2
33. Si la gráfica de la función f, tal que f(x. = a
+ x b , x [3; , cuya gráfica es:
Determine M = a.b
A. – 9 B. – 6 C. 2
D. 6 E. 9
34. El área (en u2. de la región comprendida entre las
gráficas de las funciones f y g definidas por f(x.= |x – 3 |
y g(x.= 5 – |x –4|es:
A. 15 B. 18 C. 20
D. 16 E. 12
35. A partir de la gráfica: Hallar a + b + c
A. – 2 B. – 1 C. –1/2
D. 1 E. 2
1x4
x87x3
1x
F 2
2
2
)x(
3
3 1
x
y
6
1 x
g(x.= x2+bx+c
–2
y
155
APREMUNI AMBO-2020
36. Identifica la gráfica de:
A. B.
C. D.
E.
37. Hallar el área de la región sombreada:
A. 21 B. 42 C. 28
D. 14 E. 24
38. Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una
recta cuya pendiente (- 3..
A. 15 u2 B. 21 C. 24
D. 28 E. 32
39. En la región cerrada determinada por el eje x y la gráfica
de la función f(x. = 3 – x – 4, se inscribe un
rectángulo tal que una de sus bases esta sobre el eje x
y los otros dos vértices están sobre la gráfica de f. Hallar
en u2 el área máxima del rectángulo.
A. 3/2 B. 5/2 C. 7/2
D. 9/2 E. 11/2
CAPÍTULO XI
NÚMEROS COMPLEJOS
CANTIDAD IMAGINARIA:
Son aquellos números e la forma:
Ejemplo: ;
UNIDAD IMAGINARIA:
Está representada por la letra i, el cual matemáticamente
nos representa a ; es decir el complejo (0;1. es la
unidad imaginaria; se denota por:
Teorema:
POTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA:
CONCLUSIONES:
PROPIEDADES:
1.
2.
3.
4.
NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIÓN: se llama número complejo a todo par
ordenado (x;y. de componentes reales.
Notación:
Donde:
A : es la parte real
b : es la parte imaginaria
i : es la unidad imaginaria:
Z : es la variable compleja.
X + yi : es el número complejo.
z(x;y. : es el número o par complejo.
TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS:
1. Complejo imaginario puro: No tiene parte real.
Si; a = 0 Z = bi
2. Complejo real: No tiene parte imaginaria.
Si; b = 0 Z = a
3. Complejo nulo: No tiene ni parte real ni parte imaginaria
Si; a = 0 b = 0 Z = 0
2
2
x
x
x
x
Fy )x(
y
2
x
y
2
-2
x
y
x
2
y
2
-2
x
(-1; 15)
A
y
x
L
RbRn;bn2
16 4 25
1
i (0;1) i 1
2i 1
1i i
2i 1
3i i
4i 1
5i i
6i 1
7i i
8i 1
9i i
10i 1
11i i
12i 1
0
4i 1
0
4 k ki i ; k Z
k k ki ( 1) .i ; k Z
2 3 4i i i i 0
4k 4k 1 4k 2 4k 3i i i i 0 ; k Z
n n 1 n 2 n 3i i i i 0 ; n Z
z (x;y) z x yi
Re(z) x
Im(z) y
i 1
156
APREMUNI AMBO-2020
DEFINICIONES:
1. Conjugado de un Complejo ( .
Se cambia de signo la parte imaginaria.
Si: Z = a + bi = a – bi
2. Complejo Opuesto:
Se cambian ambos signos.
z = a+bi – z = – a – bi
3. Complejos iguales:
Z1 = a + bi es igual a Z2 = c + di a = c b = d
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS:
Adición:
(3+2i. + (5+4i. = (3+5.+(2+4.i = 8+6i
Sustracción:
(8+7i. - (3+4i. = (8 – 3.+(7 – 4.i = 5 + 3i
Multiplicación
(3+i.(3+2i. = 9+6i+3i+2i2 = 7+9i
División:
Raíz cuadrada:
Potenciación:
TEOREMAS:
1.
(1+i.2 = 2i 4.
2.
6.
3. (1-i.2= - 2i
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL NÚMERO COMPLEJO:
Si: Z = x + yi es un complejo, se definen:
1. Módulo de un número complejo:
2. Argumento de un complejo:
3. Representación geométrica:Sea: Z = x+yi ; x ; y ∈ R
4. Forma polar o trigonométrica de un complejo
5. Forma exponencial de un complejo
PRACTICA N.° 11
01. Calcula el valor de:
81164w
A. 11i B. 12i C. 13i
D. 14i E. 15i
02. Calcula el valor de: 180
8020
R
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
03. Determina el valor de:
742213012 iiiii
A. – i B. – 1 C. i
D. 1+i E. 1 – i
04. Halla el valor de:
z = 4i4043 – 3i1080 + 2i1050
A. 3i B. 2+3i C. 3– 2i
D. – 5 – 4i E. 5+3i
05. Simplifica:
93-72-
49637593
i i
i i i i
R
A. 1 B. i C. 1+i
D. 0 E. 2i
06. Siendo i la unidad imaginaria, calcula el valor de la
expresión:
32
10035432
iii2
i.......iiiii
A. – 1 B. 1 C. 1/2
D. –1/2 E. 2
07. Si nZ ;
Determina: S=i2+2i4+3i6+4i8+ ....+8ni16n
A. 2n B. n C. 16n
D. 4n E. 8n
08. Calcula:
11713754 6352 iiiM
A. i B. – i C. 1
D. 1 + i E. 2
09. Determina:
R = (1 + i. (2 + i. (1 – i. (2 – i.
A. –10 B. 10 C. –10 –1
D. 1/20 E. 1/30
10. Calcula el valor de:
84 i1i1W )()(
A. 20 B. –16 C. 12
D. 12i E. 16
11. Determina el equivalente de:
i1
i7
A. 3+4i B. 4 + 4i C. 4–i
D. 2+2i E. 1 + 4i
12. Sean los complejos Z = 2 + 3i y V = 3 + 2i si
Z
Z
2 3i (2 3i) (3 i) 6 2i 9i 3i 9 7i 9 7
. i
3 i (3 i) (3 i) 10 10 103 i
2
2 2
x y x x y x
x yi i
2 2
2 2 2 2
3 2i 9 12i 4i 5 12i2 2
1 i
i
1 i
1 i
i
1 i
1
i
i
2 2Z x y ; x;y Z 0
y
arctg ; x 0
x
Z Z .(Cos iSen ) Z .Cis
iZ = Z e
157
APREMUNI AMBO-2020
se cumple que 6
1w3z2
V
Determina : Re(W. + Im(W.A. 5 B. 2 C. 5i
D. 2i E. 7
13. Si se cumple que Z1. W = 3 + 4i entonces calcula W si Z1
= 2 + i
A. 2 – i B. i – 2 C. 2i
D. 2i + 1 E. Z1
14. Si: Z1 = (x + 2. + 8i) ; Z2 = 5 – (y - 2.i) ; son iguales,
halla el valor de x + y
A. 1 B. 2 C. 3
D. – 3 E. -2
15. Sea 5x + (4y – 8) i + 10, un complejo. Determina el valor
de x para que la expresión dada sea un número
imaginario puro.
A. 8 B. 4y – 8 C. 4
D. – 2 E. – 4y+8
16. Sea el complejo:
Z1 =
i
2
3
2
1
entonces calcula el valor de Z2
si: Z2 = 2--1Z1 + 3 (Z1 + 2)
A. 3 + 2i B. 3 + 4i C. 4 + 3i
D. 3 – 2i E. 2i + 3
17. Se tienen los complejos binomiales
z1=3a +(2b–5.i ; z2=(b+4.–2ai
los cuales verifican la igualdadz1+z2=19–7i
calcula el valor de (a+b.
A. 6 B. 9 C. 2
D. 7 E. 8
18. Dado el siguiente polinomio
P(x. = x4 – x3 +2x – 5, determina el valor de:
P(1 – i..
A. – 8 B. – 6 C. – 5
D. 2 E. 4
19. Calcula:
)W(
)W(
Im
Re
si: W = (2 + 3i) (3 + 2i. (2 + i)
A. 2 B. 1/2 C. –1/2
D. –2 E. 1
20. Halla el equivalente de:
1ii2i2W ;
A. 1+i B. 1 – i C. i – 1
D. 2i E. i
21. Halla: │Z │, siendo:
i
ii
Z
2
)2(
A. 0 B. 2 C. 5
D. 1 E. 4
22. Determina el complejo que hay multiplicar a (2 –3i) para
obtener (11 – 10i)
A. 2 + i B. 2 – i C. 4 + i
D. 8 + i E. 4 – i
23. Sabiendo que :
i3b
i2a
Z
; es un número real. y
bia
i8ab
W
)(
; es un número imaginario puro.
Determina: a - b.
A. -12 B. 10 C. 24
D. 8 E. -10
24. Determina el valor de m en la igualdad:
3m 2m m2i 2 2i 1 i 96i
A. - 1/5 B. 1/10 C. 1/5
D. 5 E. 10
25. Determina el módulo del número complejo
Z = (3 + 4i.(5 – 12i.(2 2 + i.(1 + 3 i .
A. 390 B. 400 C. 450
D. 560 E. 630
26. Calcula un valor de:
3 10 911 92 2 i 1 2 i
A. – i B. i C. 1 – i
D. 1 E. 1 + i
27. Calcula el módulo del número complejo z, si
A. 22 B. 23 C. 2
D. 22 / E. 25
28. Sea z un complejo que satisface las relaciones
Calcula el valor entero del módulo de dicho complejo.
A. 4 B. 14 C. 6
D. 10 E. 8
29. Sabiendo que: a; b; x; y ϵ Z; además: (a+bi)3=x+yi
calcula:
A. 2 B. 1 C. –2
D. –1 E. 0
30. Determina el valor natural de "n" que verifica:
A. 1 B. 5 C. 10
D. 12 E. 6
31. Denisse compra G kilos de manzana, siendo G la suma
de los valores enteros de k donde la ecuación
2
2x (k 1)x 1 k 0 no tiene raíces reales. Si el
precio de cada kilo de manzana es 2 z soles con
z 2 2i , determine cuánto pagó Denisse por los G
kilos de fruta.
A. 120 soles B. 132 soles C. 144 soles
D. 140 soles E. 156 soles
310(1 i) (3 2i)
z
3 4i(5 i)
z 12 5 z 4
; 1
z 8i 3 z 8
2 2
2 2
(a b )(bx ay)
(a b )(bx ay)
n n 4 n 1 nn
320
(1 i) i i 1 i
n
158
APREMUNI AMBO-2020
32. En su cumpleaños Luciana recibió un regalo que vino al
interior de una caja asegurada con clave abc . Sabiendo
que:
2
125 356 527
7 9
5 7
3 5
(1 i) (2 i)(1 i)
a
3 i
b i i i
c i i
¿Cuál es el número que digitó Luciana para ver su
regalo?
A. 201 B. 102 C. 210
D. 101 E. 202
33. Pedro busca un número complejo z que tenga módulo
igual a 10 y que sus partes real e imaginaria sean
positivas y proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Halle
el valor de n, si
28 n n z z
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6 E. 7
34. Francisco es un jugador que proviene de las divisiones
inferiores del club Universitario. Él recuerda que debutó
en el primer equipo en el año
10 ( 4010)
5 3
a a i
i
cuando tenía años
6 10 2(1 )
b a
i de edad,
anotando en ese campeonato
29935 bi goles. ¿a los
cuántos años Francisco debutó en el primer equipo del
club Universitario
A. 18 años B. 19 años C. 16 años
D. 17 años E. 20 años
35. Ana compra n libros de álgebra y m+1 libros de física a
(x y)5 soles cada libro. Si los valores enteros de m,
n, x e y satisfacen que: el número real n 2i
3 (n 1)i
sumado
con el imaginario puro
m 5i
5 (n 6)i
es igual a x yi
¿cuánto gastó Ana en la compra de los libros?
A. 175 soles B. 150 soles
C. 200 soles D. 210 soles
E. 245 soles
36. La edad de Luis en el año 2001 es b (a 5) i años.
Si
a 4i
b
2 i
es un número real, ¿cuál será la edad de
Luis en el año 20(b 2)(a 7) ?.
A. 16 años B. 18 años C. 23 años
D. 25 años E 28 años
37. Ana compra n libros de álgebra y m+1 libros de física a
(x y)5 soles cada libro. Si los valores enteros de m,
n, x e y satisfacen que: el número real
n 2i
3 (n 1)i
sumado con el imaginario puro
m 5i
5 (n 6)i
es igual a
x yi ¿cuánto gastó Ana en la compra de los libros?
A. 175 soles B. 150 soles C. 200 soles
D. 210 soles E. 245 soles
CAPÍTULO XII
LÍMITES
DEFINICIÓN:
El número real L se llama límite del función real de una
variable real F, en el punto xo (xo no pertenece
necesariamente al dominio de F., si para cada >0, es
posible calcular el valor de (delta. que depende de
(épsilon.
Tal que:
f 0x Dom 0 x x f x L
Se dice que L es el límite de F(x., cuando x tiende a xoy
se escribe como:
0x x
lim f x L
TEOREMAS SOBRE LÍMITES:
Sean f y g dos funciones reales de variable real y
además “a” un punto que no pertenece necesariamente
a:
f gDom Dom
Si:
x a x a
limf x L limg x M
Entonces se cumple:
1.
0x x
lim k k
2.
0 0x x .a x x
lim f x lim f a.x
3.
x a x a
lim kf x k lim f x K.L
4.
x a x a x a
lim f x g x limf x limg x L M
5.
x a x a x a
lim f x .g x lim f x .limg x L.M
6.
x a
x a
1 1 1
lim , M 0
f x lim f x M
7.
x a
x a
x a
lim f xf x L
lim , M 0
g x limg x M
8.
nn n
x a x a
lim f x lim f x L ,n N
9.
nn n
x a x a
lim f x limf x L
10.
x a x a
lim f x lim f x L
11.
x a h 0
limf x limf a h x a h
12.
x a
lim f(x)f x L
x a
limb b b ;b 0,b 1
LÍMITES AL INFINITO:
Si un número real b es el límite de f(x. cuando x tiende
al +∞ o cuando x crece ilimitadamente, escribimos:
x
lim f(x) b
Teoremas:
1.
nx
1
lim 0; n Z
X
2.
nx
1
lim 0; n Z
X
159
APREMUNI AMBO-2020
LÍMITES INFINITOS:
Si el límite de f(x. es +∞ (o que f(x. crece ilimitadamente. cuando
x tiende al punto a, escribimos:
x a
lim f(x)
Teoremas:
1.
x 0
1
lim
x
2. Si “n” es un entero positivo, entonces:
nx 0
1
lim
x
CÁLCULO DE LOS LÍMITES DE FORMA INDETERMINADA:
Formas indeterminadas:
3. 1. .erdetin
0
0
2. .erdetin
4. 3. .erdetin 4. .erdetin. 0
5. 5. .erdetin 00 6. .erdetin n
6. 7. .erdetin 1
Formas determinadas:
1.
0
0
n
= 2. 0
n 3. 0
0
4.
n
5.
0
6.
n
Donde: n = es un número mayor que cero
1. FORMA 0/0:
Si:
x a
f(x)
L lim
g(x)
tomala forma 0
0
se obtiene que:
f(a) 0 f(x) (x a)q(x)
g(a) 0 g(x) (x a)h(x)
Luego, se tendrá:
x a
f(x) (x a)q(x)
L lim
g(x) (x a)h(x)
q(a)
L
h(a)
Observación:
En caso de radicales se aplica el Criterio de Factor
Racionalizante para evitar la indeterminación.
2. FORMA
:
Si:
x
f(x)
L lim
g(x)
toma la forma
se obtiene dividiendo
a f(x. y a g(x. entre la variable de mayor exponente de
ambos.
Además recordemos que si k 0 :
En es caso recordemos que si k 0 :
1.
x
1
lim 0
x
2.
x
k
lim 0
x
3.
nx
1
lim 0
x
4.
x
k
lim 0
x
5.
x
lim x 6.
x
lim k.x
Teorema:
Sea:
n n 1
0 1 n
m m 1x
0 1 m
a x a x a
L lim
b x b x b
Entonces de acuerdo al valor de los grados “n” y “m” de los
polinomios, se tiene:
0
0
0 ; si: n < m
a
L ;si: n =m
b
; si: n >m
3. FORMAy 0. :
Estas formas y 0. indeterminadas se transforma a
la formas
. En caso de radicales se racionalizar
TEOREMA DE I´HÔSPITAL:
Aplicado a las formas:
0
y
0
x k x k x k x k
f(x) f (x) f (x) f (x)
lim lim lim lim ...
g(x) g (x) g (x) g (x)
PRACTICA N.° 12
01. Calcula el límite de
2f(x) 4x 5x 6. Cuando x
tiende a 2.
A. 2 B. 0 C. 1
D. – 2 E. – 1
02. Calcula:
3 2
x 1
lim x x 2 . 2x 5
A. 0 B. 1 C. – 1
D. – 2 E.
03. Calcula:
3x
2
lim 2014
x 1
A. -2014 B. 1 C. – 1
D. – 2 E.
04. Calcula:
3 2
3 2x 2
2x 5x 4x 12
lim
x 3x 4
A. 7/3 B. 1 C. 5/7
D. 2/3 E.
05. Calcula:
3 2
2x 1
x 2x 3x
lim
3x 4x 1
A. 0 B. 1 C. – 2
D. 2 E.
06. Calcula:
x 0
2 4 x
lim
2x
A. 0 B. C. – 1/8
D. 3/8 E. 1/8
07. Calcula:
4
3x 14
x 2 2
lim
x 6 2
A. 3/4 B. C. – 1/8
D. 3/8 E. 1/8
08. Calcula:
2
6 3x
3x 2x 1
lim
x x 3
A. 0 B. C. – 1
D. 1 E. 3
160
APREMUNI AMBO-2020
09. Calcula:
5 2
5x
7x 3x 4
lim
5x 3x 1
A. 0 B. C. 7/5
D. 1 E. 4/5
10. Calcula:
3 6
4x
x 2x 6
lim
x 5x 1
A. 0 B. C.
D. 1 E. 2
11. Calcula:
3
3
x 1
2
2x
2x
8x 1
lim
x
A. 0 B. 1 C. – 2
D. 2 E.
12. Calcula:
4 3
2 4
15x 2x 6
Log
3x 5x 1
x
lim 2
A. 0 B. C. 5
D. 15 E. 1
13. Calcula:
3
5x
4x 1 x 1
lim
9x 2 x 2
A. 1/2 B. 3/2 C. 2/3
D. 1 E. 1/3
14. Calcula:
x
lim x(x 2) x
A. 1/2 B. – 1 C.
D. 1 E. 0
15. Calcula:
2x 1
1 2
lim
x 1 x 1
A. 1/2 B. – 1 C.
D. 1 E. 0
16. Calcula:
2x 1
x
lim x 1
x 1
A. 2 B. -1 C.
D. E. 0
17. Calcula:
2
2x 0
x 6x 9
lim
x
A. B. 5 C. 6
D. - 5 E. -1
18. Calcula:
2
2x 5
x 25
lim
x 5x
A. 2 B. -3 C. 4
D. 5 E. -1
19. Calcula:
2
2x 2
x 2 x 4
lim
x 2x 4
A. -15/4 B. 15/4 C. 4/15
D. 15 E. 16/5
20. Encuentre el límite de:
0
4 2
x
x
lím
x
A. 0 B. 1/4 C. 1/3
D. - 1/4 E. 4
21. Calcular:
x 2 2
x
Lim
x 0
A. B. C.
D. 1
2 2
E. 1/2
22. Calcular:
x 4x 2014
x 20x 1987
2Lim
x 5
A. 1 B. C. 4
D. 0 E. ½
23. Calcular:
4x 3x x 2
x 4x 3
8 5Lim
x 7
A. 4 B. C. 3/4
D. 1/4 E. 0
24. Calcular:
10x 3x x 1
5x 2x 7
5 2Lim
x 5 2
A. 2 B. 1/4 C. 1
D. 0 E. ½
25. Calcula:
lim x x 1 x
2
x
A. -2 B. 1/2 C. 0
D. 1 E. -1
26. Calcular el siguiente limite
A. -2 B. 3 C. 4
D. 5 E. -1
27. Calcular el siguiente limite
A. 5 B. 1 C. -2
D. -1 E. 2
28. Calcular el siguiente limite
A. 0 B. 1 C. 4
D. 2 E. 2/3
29. Calcula:
2
4
2 3 4
lim
1x
x x
x
A. 2 B. 1/2 C. 1
D. 0 E. no existe
30. Calcular el siguiente limite
2lim ( 5 6 )
x
x x x
A. – 5/2 B. 0 C. 4
D. 5 E. -1
31. Calcular el siguiente limite
A. -2 B. 3 C. 4
D. 5 E. 1
32. Calcula:
x
x
lim
x x x
A. 0 B. C. 1
D. 3 E. 2
1
2
2 2 2
xxx
xxx
lim
x 63
36
2
2
3
32
lim
xx
x
x
11
11
lim
3
0
x
x
x
42
11
2
2
x
x
lim
x
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A. 447
B. 501
C. 257
D. 531
