9-FISICA 3ro (1 - 16)

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CORPORACIÓN EDUCATIVA
For
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una
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tén
tica
 ed
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ció
n in
teg
ral Primero de Secundaria
School´s
Física
Tercero
Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los 
mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.
Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación 
personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros 
estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.
Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 se da tambien con el trabajo de 
los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr 
alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:
“Formar líderes con una auténtica 
educación integral”
DidácticoPresentaciónPresentación
 Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de 
uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando 
una enseñanza de alta calidad.
 En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad 
asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: 
desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.
 Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral 
y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios 
y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, 
impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.
 Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da 
también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que 
permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que 
es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:
“Formar líderes con una auténtica
educación integral”
Capítulo 1. Análisis Dimensional ........................................................ 9
Capítulo 2. Análisis Vectorial I ............................................................ 18
Capítulo 3. Análisis Vectorial II ........................................................... 27
Capítulo 4. Mov. Rectilíneo Uniforme ............................................... 37
Capítulo 5. Mov. Rectilíneo Uniforme Variado ................................ 45
Capítulo 6. Mov. Vertical de Caída Libre .......................................... 51
Capítulo 7. Mov. Parabólico ................................................................. 58
Capítulo 8. Movimiento Circunferencial Uniforme ......................... 65
Capítulo 9. Estática I .............................................................................. 73
Capítulo 10. Estática II ............................................................................ 81
Capítulo 11. Estática III .......................................................................... 87
Capítulo 12. Dinámica Lineal ................................................................ 95
Capítulo 13. Trabajo Mecánico .............................................................. 103 
Capítulo 14. Energía Mecánica .............................................................. 110
Capítulo 15. Potencia Mecánica ............................................................. 117
Capítulo 16. Eficiencia de una Máquina ............................................... 124 
9
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
1Análisis Dimensional
IntroduccIón
 Sabemos que la madre de la sabiduría es la curiosidad y 
todo aquel que se deleita con el mundo de la física, deberá 
observar para comprender los fenómenos que ocurren en 
su entorno.
	 Sin	embargo,	una	observación	científica,	por	lo	general,	
está incompleta si no se expresa de manera cuantitativa, así 
que para obtener tal información debe hacerse la medición 
de la cantidad física. Por tanto, las mediciones conforman 
buena parte de la rutina de un físico experimental.
 En el artículo único del Real Decreto 1317/1989, del 27 
de octubre de 1989 por el que se establecen las unidades 
legales de medida, publicada el 3 de noviembre, se dice que:
 El sistema legal de unidades de medida es el Sistema 
Métrico Decimal de siete unidades básicas, denominado 
Sistema Internacional de Unidades (S.I.) adoptado en la 
Conferencia General de Pesas y Medidas en la Comunidad 
Económica Europea.
La masa de 30 manzanas tiene 
una dimensión de ....................... 
(kilogramos).
La altura de un semáforo tiene una 
dimensión de .............. (metros).
Es todo aquello susceptible de ser medido, asignándole un 
número y una unidad.
Volumen, peso, tiempo, velocidad.
a Relacionar una magnitud física con otras magnitudes establecidas como fundamentales.
a Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas.
a Determinar fórmulas empíricas.
a Determinar las unidades de una magnitud.
La yarda, el pie y la pulgada son unidades de 
longitud que no pertenecen al S.I.
dImensIón
Nos indica el tipo de patrón que se ha usado para realizar 
una medición.
Ejemplos:
magnItud
Ejemplo:
OBJETIVOS:
10 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
 Son aquellas elegidas arbitrariamente para establecer las unidades de un sistema.
I) Por su origen
UnIdadMagnITUd SíMBOLO dIMEnSIón
 Son aquellas que son expresadas por las magnitudes 
fundamentales. 
 Observación:
 Toda magnitud se expresa en función de las magnitudes 
fundamentales.
magnitudes Fundamentales
magnitudes derivadas
Propiedades de las ecuaciones dimensionales
Los ángulos y razones trigonométricas, en general, son 
adimensionales y para los cálculos se consideran igual a 1.
rad
sr
MagnITUdES aUxILIarES UnIdad
nombre nombre Símbolo
1. Ángulo Plano
2. Ángulo Sólido
radián
estereorradián
clasIFIcacIón de las magnItudes
 • [40°] = 
 • [ 4 ] = 
 • [π] = 
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
=
 • [Área] = L2 
 • [Volumen] = L3 
 • [Velocidad] = 
 • [Aceleración] =
 • [Densidad] = 

 
Recorrido
Tiempo

 
L
T
= LT -1
=  
=  
 
 • [tg α] =
 • [Ln5] = 
 • [A.B] = 
magnItudes Fundamentales
UnIdadMagnITUd dIMEnSIón
Longitud
Masa
Tiempo 
Temperatura
magnItudes derIvadas
dIMEnSIónMagnITUd
Velocidad 
Aceleración
Fuerza
Densidad
PrIncIPIo de homogeneIdad
Realiza las siguientes operaciones:
• 1m + 1m =
• 2kg + 3kg =
• 5m + 3kg =
• 1s + 7kg =
• 3m - 1m =
Nos damos cuenta que para sumar o restar 2 magnitudes 
deben ser de la misma especie, es decir, deben ser 
___________________________.
En conclusión si: A + B + C = D
[ ] = [ ] = [ ] = [ ] 
11
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
1. En la siguiente expresión, halla [K] si: 
V : velocidad
d : distanciaK=
V2
2d
La dimensión de los términos de la ecuación.
→ [K] = (LT
-1)2
L
= (L
2T-2)
L
→ [K] = LT-2
2. Halla la dimensión de ‘‘E’’ si:
D : densidad
V : velocidad
g : aceleración
E=
DV2
g
 [E] = 
 
= 
[D][V]2
[g]
[DV2]
 g
Donde: [D] = ML-3 , [V] = LT-1
[g] = LT-2
→ [K] = (LT
-1)2
L
= (L
2T-2)
L
→ [E]= ML
-3. (LT-1)2
LT-2
= 
ML-1T-2
LT-2
∴ E = ML-2 
Resolución:
Resolución:
[K] = donde [V] = [LT-1]
 [d] = L
 [2] = 1
[V2]
 [2] [d]
;
EJERCICIOS RESUELTOS
3. Halla [T] en el siguiente caso:
m : masa
V : velocidad
F : fuerza
T= mV
2
F
 [T] = 
 
= [m][V]
2
[F]
[mV2]
 [F]
Donde: [m] = M , 
[V] = LT-1,[F] = MLT-2
 
 [T] = 
M.(LT-1)2
 MLT-2
ML2T-2
 MLT-2
= 
 [T] = L 
Resolución:
historia de la unidad: longitud (metro)
aunque la distancia podría determinarse aproximadamente 
por la duración de un día de viaje, el cuerpo humano fue 
la medida lineal más conveniente en los primeros tiempos.
La longitud de un paso o un pie, la anchura de un dedo o 
mano, la longitud del antebrazo, todo servía como referencia 
directa para las mediciones en la antigüedad. En las épocas 
de los grandes reinos de Egipto y Babilonia (unos 2500 a. 
C.), el codo que correspondía a la longitud del antebrazo 
de un hombre, desde el codo hasta la punta del dedo índice 
extendido, era la medida lineal más usual. Este tipo de 
concepción aceptada por la cual cuantificamos cualquier 
cosa física, se denomina unidad. Para asegurar algún grado de 
constancia para una medida ampliamente utilizada, pues es 
evidente que los antebrazos difieren, una sociedad avanzada 
debe desarrollar una materialización física invariabe de cada 
unidad que sirva como referencia primaria o patrón con el 
cual se comparaban y calibraban todas las varas de codo de 
Egipto.
desde el Medio y Próximo Oriente, a través del comercio, 
las antiguas nociones de medida se dezplazaron a Occidente 
hasta grecia y después hasta roma y, con la conquista, a la 
mayor parte de Europa. El pie, aunque su longitud variaba 
bastante, era de uso común entre los griegos y los romanos. 
Su historia va desde la longitud de una sandalia romana y de 
bota británica, hasta el familiar concepto contemporáneo.
Cuando las legiones romanas recorrían el mundo, medían 
sus avances en passus, o milios passuum que fue el precursor 
de la milla británica. Cuenta la leyenda que la yarda, o doble 
codo, fue fijada en el siglo XII por Enrique I de Inglaterra 
como la distancia desde su nariz a la punta de su dedo índice 
extendido.
de manera similar, el patrón original para el pie, adoptado 
por los franceses, fue la longitud del pie real de Luis xIV. 
Este patrón prevaleció hasta 1799, cuando el patrón legal de 
longitud en Francia vino a ser el metro, definido como un diez 
mil millonésimo de la distancia del Ecuador al Polo norte a 
lo largo de una línea longitudinal que atraviesa París y que 
prevaleció en todos los países y en los círculos científicos de 
todo el mundo.
En 1960, la longitud de un metro se definió como la distancia 
entre dos líneas sobre una barra de platino - iridio almacenada 
en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por 
varias razones; la principal fue el hecho de que la limitada 
precisión con la cual se puede determinar la separación entre 
las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de 
la ciencia y tecnología. Después el metro fue definido como 
1650763.73 longitudes de onda de la luz naranja - rojo 
emitida por una lámpara de Kriptón 86.
Sin embargo, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la 
distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 
1/ 299792458 segundos.
12 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: 
 P = x . Vx Dy
 Donde: P : presión
 V : velocidad
 D : densidad 
 Determina: x + y.
La dimensión de los términos de la ecuación.
[P] =[ x . Vx Dy] =[x] [V]x [D]y 
Donde: [P] =ML-1T-2 ; [V] =LT-1
 [D] =ML-3 ; [ x ] =1
Entonces:
ML-1T-2 = (LT-1)x(ML-3)y
ML-1T-2 = LxT-xMyL-3y
M L-1 T-2 = Lx-3y T-x My
De donde: y = 1 ; x -3y = -1
 x = 2
Entonces: x + y = 2+1= 3
 
Por el principio de homogeneidad:
[ SQJ ] =[4mD] = 21 
2. Si la ecuación 5Qt = 4mD + 2 es dimensionalmente 
correcta, determina [P]. (Q : caudal; t : tiempo; W : energía)
P
W
P
W

 

 
Resolución:
Resolución:
 Del principio de homogenidad:
3. Halla las dimensiones de ‘‘G’’, ‘‘H’’e ‘‘I’’ en la siguiente 
fórmula física.
 F = Ga + Hv + I
 Donde: F : fuerza
 a : aceleración
 v : velocidad
1
2
3
4. Determina la relación b/c, de la siguiente ecuación 
homogénea.
 Donde: W : trabajo
 e : longitud
 a : aceleración
W
e
= ba + b2c

 
W
e

 
 = [ ba ] = [b2c]
2
1
Donde:
[W] = ML2T-2 ; [e] = L ; [a] = LT-2
De → = [b] . LT-2 
 
 → [b] = M 
1 ML
2T-2
L
Donde:
[F] =MLT-2; [a] =LT-2 ; [v] =LT-1
Entonces:
De → MLT-2 = [G] . LT-2 
 → [G] = M 
De → MLT-2 = [H] .LT-1 
 → [H] = MT-1 
De → MLT-2 = I
Del principio de homogeneidad:
[ F ] = [Ga] = [Hv] = [ I ] ... (1)
 
1
2
3
Resolución:
Resolución:
De → = M2[c]
 
 → [c] = M-1LT-2
Entonces:
2
ML2T-2
L

 =

 
M
M-1LT-2
 = M2L-1T2
5. Si la siguiente fórmula D.a = cosφ. Vn es dimensionalmente 
correcta, determina ‘‘n’’, siendo:
 D : longitud ; a : aceleración
 V : velocidad
[D.a] =[cosφ . Vn]
[D] [a]=[cosφ] [V]n
Donde:
[D] =L ; [a] =LT-2 
[V] =LT-1 ; [cosφ] =1
Entonces:
L .LT-2 = (LT-1)n
L2 T-2 = (LT-1)n
(LT-1)2 = (LT-1)n
→ n = 2
b
c
Resolución:
→ [S] [Q] [t] = [21] [P] [W]-1 
De donde:
[S] =1 ; [Q] =L3T-1 ; [t] =T
 [21] =1 ; [W] =ML2T-2
Entonces:
L3T-1 . T = [P] . (ML2T-2)-1
L3 = [P] . M-1L-2T-2
→ [P] = ML5T2
13
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Determina la ecuación dimensional de R si: 
 R = Velocidad x Aceleración 
2) Determina la ecuación dimensional de Q si:
 
 Q = 
Fuerza
Densidad
1) Determina la ecuación dimensional de Z si:
 Z = trabajo x velocidad
2) La ley de gravitación universal de Newton tiene 
como expresión:
 
 Donde: F : fuerza
 m1 y m2 : masa de los cuerpos
 G : constante
 r : distancia
 Determina la dimensión de la constante.
F = 
G.m1.m2
r2
3) Halla	la	dimensión	del	calor	específico	(Ce)	si:
Ce = Calor
Temperatura . Masa
3) Halla la dimensión del calor latente (L) si:
 
 [calor] = ML2T-2
L = 
calor
masa
 4) Determina la ecuación dimensional de W si: 
 W = (fuerza)2 x (presión)3
 5) Determina la ecuación dimensional de R si: 
 R = (velocidad)2 x (presión)2
 6) Determina la ecuación dimensional de P si:
P = 
(energía)3 x (área)2
(velocidad)6
 4) Determina la ecuación dimensional de ‘‘S’’ si: 
 S = (trabajo)3 x (aceleración)2
 5) Determina la ecuación dimensional de H si:
 H = Área x Trabajo x Densidad 
 6) Determina la ecuación dimensional de Z si: 
 Z = Área x Aceleración
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
14 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 1
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 Si la ecuación D = 
 
 es dimensionalmente correcta, encuentra la 
unidad K en el sistema MKS; donde:
 D : densidad ; V : velocidad y A : Área
 
 a) kg m2s2 b) kg-1m2s-1 c) kg-1ms-1
 d) kg-2m2s-2 e) kg m2s-1
 Hallar la ecuación dimensional de A:
 
 Donde: h : altura ; P : presión ; V : volumen
 a)ML-3T-2 b)MLT-2 c)M2LT-2
 d)ML3 e)ML2T-1
 Encuentra la ecuación dimensional de ‘‘y’’ si se 
sabe que: 
 Donde: m : masa; W : trabajo; t : tiempo
 a : aceleración
 
 a) L-1T2 b) L-1T3 c) L-1T 
 d) L-1T-1 e) L2T-1
 Halla la ecuación dimensional de ‘‘N’’ si:
 Donde: T : trabajo ; V : velocidad ; D : densidad
 a)L-1T2 b)L4 c)L4T2
 d)L6T-3 e)L4T-2
ma
ty
W =
V
KA
A = h.P
V
N = 
T . V
D
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4 Sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente 
correcta, encuentra [x] en:
 
 Donde: V : velocidad; T : tiempo; a : aceleración
 m : masa ; A: área
 
 a) MT-3 b) MT-2 c) MT-1 
 d) M2T e) MLT
x . A + mv
2
t
= y.a
 En la siguiente fórmula física: 
 E = AV2 + BP
 donde: E : energía; V : velocidad ; P : presión
 halla [ A/B ].
 a) ML-3 b) ML-3T c) ML2
 d) ML-4 e) ML2T3
 Si V = A + BT + CT2,
 donde V: velocidad ; T : tiempo;
 halla [AC/B ].
 
 a) LT-1 b) LT-2 c) LT
 d) L e) T
 Sabiendo que el impulso es I = F . t
 Donde: F : fuerza; t : tiempo
 halla [Z], para que la siguiente ecuación sea 
 dimensionalmente correcta:
 Donde: W : trabajo; m : masa
 
 a) LT2 b) LT-1 c) LT-2
 d) LT-3 e) L2T-1
I= W
Z
+ mZ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
16 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Si la ecuación dimensional es correcta:
I = Mx+y+TyDz
Donde: F : fuerza; m : masa
 t : tiempo; d : densidad
halla x+y+z.
 
a) -2 b) 3 c) 1
d) -1 e) 0
 Halla ‘‘x+y’’ para que la siguiente ecuación sea 
dimensionalmente correcta:
 
 Donde: H : altura; a : velocidad
 b : radio ; c : aceleración
a) 1 b) -4 c) -2
d) 5 e) 3
Dada la ecuación de cierta ley física:
 
 
halla la ecuación dimensional de y.
a) L b) -1 c) L-1
d) 1 e) 2
Halla [x] si:
 
Donde: A : potencia ; W : periodo
a) ML2T-3 b) LT-2 c) ML
d) ML-2 e) ML -3T2 
 
2H= a
2bx
3cy
senθ
 x
2 + x
y = E = W A2 - x2 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Encuentra [ P ] en la ecuación: 
 
Donde: m : masa ; v : velocidad ; t : tiempo
 
a) ML b) ML2T-3 c) LT-3 
d) LT3 e) ML-2T3
Halla [x] si:
 
Siendo: a : aceleración ; v : densidad ; R : presión
 
a) ML b) ML-4 c) L2M-2
d) L2M-3 e) M-1L-1
La ecuación es dimensionalmente correcta:
 
Halla [Z]
Siendo: B : volumen; A : área ; C : velocidad
 
a) LT b) L-1T c) L2T-2
d) LT-1 e) L-2T
En la ecuación homogénea, halla [x] si:
 
Siendo: m : masa ; t : tiempo
 h : altura ; V : velocidad
 
a) M b) MT-1 c) MT-2
d) MT2 e) MT3
4P = m(v+k)
2
2t
x = 
(log18)av2
R
Z = 
Btgα
A2C(1+sen2θ)
h = 4K(x - m)
3
3t2
V 
y
+
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
18 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Capítulo
2Análisis Vectorial I
Introducción B) Magnitudes Vectoriales
Son aquellas magnitudes 
vectoriales que además 
de conocer su valor 
numérico y unidad, se 
necesita la dirección 
para que dicha magnitud 
quede perfectamente 
determinada.
Tengo	fiebre	de 40 ºC 
¡Qué fatal!
F = 5N
En el estudio de la física, nos encontraremos con algunas 
magnitudes	que	para	ser	definidas,	deberán	ser	asociadas	a	
otras características además de valor y unidad (módulo). Por 
ejemplo, si alguien aplica una fuerza de 60 N a un bloque, 
no sabremos hacia dónde está aplicada dicha fuerza o sea 
falta la dirección o sentido. Si la persona nos informa que la 
fuerza es hacia arriba, hacia la derecha, hacia la izquierda o 
en dirección tal que forma 45º con la horizontal, tendríamos 
una idea clara de cómo aplicar la fuerza, la velocidad, la 
aceleración, etc. Estas magnitudes se llaman vectoriales, las 
mismas que tienen en esencia dos características especiales.
a Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores.
a Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores.
Aquí clasificaremos a las magnitudes tomando en 
consideración otro aspecto.
I. Por su naturaleza
a) Magnitudes Escalares
Son aquellas magnitudes que están perfectamente 
determinadas con solo conocer su valor numérico y 
su respectiva unidad.
Ejemplos:
Sólo necesito 100mm3 
y estará terminado.
Son las 12:15 p.m. 
¡Ya es tarde!
El desplazamiento indica que mide 6 km y tiene una 
orientación N 60º E (tiene dirección y sentido), con 
lo cual es fácil llegar del punto “O” a la casa.
Sabemos que la fuerza que se está 
aplicando al bloque es de 5 newtons, 
pero	de	no	ser	por	la	flecha	(vector)	
que nos indica que la fuerza es 
vertical y hacia arriba; realmente 
no tendríamos idea si se aplica hacia 
arriba o hacia abajo. La fuerza es una 
magnitud vectorial.
Es un elemento matemático que sirve para representar 
las magnitudes vectoriales.
Representación	gráfica:
* vector
y
x
Direcciónθ
A
B
Línea de 
acción
Módulo
∆
OBJETIVOS:
19
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
	Elementos de un Vector
Todo vector tiene dos elementos:
	Módulo
Es el valor numérico con una determinada 
unidad que presenta el vector.
	dirección
Está dado por el ángulo θ.
	representación Matemática
Vector : V = V = AB
Módulo : V = AB = V
	Tipos de Vectores
1. Colineales.- Si se encuentran sobre la misma 
línea de acción.
 A, B y C son colineales.
BA
Línea de 
acción
C
2. Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren 
en un mismo punto.
 A, B y C son concurrentes.
3. Paralelos.- Cuando las líneas de acción son 
paralelas.
 A, B y C son paralelas.
4. Opuestos.- Son iguales en tamaño (módulo), 
pero con sentidos opuestos.
B
C
A
 A y (-A) son paralelos.
5. Iguales.- Si sus elementos son iguales (módulo, 
dirección y sentido).
-AA
 Si : A = B
 A = B 
 α = θ
 sentido de = sentido de
 A B
6. Coplanares.- Son aquellos que están contenidos 
en un mismo plano.
	Multiplicación de un vector por un número 
(escalar)
1. Si el número es positivo.
C
B
A
A = 8µ 2A = 16µ
 A = 4µ
1
2
2. Si el número es negativo.
B
α α α
-2B B
1
2
-
B = 4µ -2B =
- B =
1
2
α θ
BA
A
2A
1
2θ θ θ
A
B
C
Punto de 
concurrencia
A
Ejemplo:
Vector Nulo
Es aquel que tiene como 
módulo al cero. Si a es nulo, 
entonces: A = 0
20 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
	Suma de vectores o vector resultante
Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores 
por un único vector llamado resultante.
• Para números positivos:
a) Mayores que 1 : Crece y se mantiene el sentido.
b) Menores que 1 : Decrece y se mantiene el 
sentido.
• Para números negativos:
 Cambia de sentido
	Métodos para hallar el vector resultante
• Para vectores paralelos y/o colineales.
 
 En este caso se consideran como si fueran simples 
números reales.
 
 Halla el vector resultante en los siguientes casos:
A = 2µ B = 2µ
BA
A = 1, B = 3, C = 5, 
D = 1, E = 2
• Para vectores que forman un ángulo entre sí.
 
A) Método del polígono.- Consiste en colocar 
un vector a continuación del otro.
α α α
B
C
E
DA
La suma o resta de 2 ó 
más vectores da como 
resultado otro vector.
a + B = S
a - B = d
r = a + B
¿Podrás cerrar el polígono?
a B
A
C
B
r = 0
r = 
B
C
D
E
A
Ejemplo:
A
cierra el polígono
B
R
A
B C
r = a + B + C
C
B
cierra el polígono
A
R
21
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Simón Stevin
(1548 - 1620)
Nació en Bélgica, considerado 
como físico e ingeniero, 
deja como herencia a las 
ciencias físicas la Regla del 
Paralelogramo y del Triángulo. 
Lamentablemente no pudo ser 
difundido en aquella época 
debido a que éste escribía en 
flamenco, cuando la mayoría 
de los intelectuales utilizaba el 
latín. Su libertad de pensamiento, aun pasando sobre 
la autoridad científica, le permitió descubrir esta regla 
que se originó debido a las investigaciones que realizó 
sobre el equilibrio en el plano inclinado.
El aporte que dejó en las matemáticas es la inversión 
de las fracciones decimales.
1. Halla el vector resultante.
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + c + d
Pero:
a + b + c = d
 ⇒ R = d + d = 2d
b
a
c
d
2. Halla el vector resultante.
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + c + d
Pero:
a + b + d = c
 ⇒ R = c + c = 2c
a
b
c
d
3. Halla el vector resultante.a
c
d
b
f
e
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + d + e + f + c
Pero:
a + b + d = f
y
 e + c = f
 ⇒ R = f + f + f = 3f
Resolución:
4. Halla el vector resultante.
Tenemos que determinar la resultante:
R = a + b + c + d + e
Pero:
a + b = c y d + e = c
 ⇒ R = c + c + c = 3c
5. Halla el vector resultante.
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + c + d
Pero:
a + b + c + d = 0
 ⇒ R = 0
a
b
c
d
a
b
d
e
c
Resolución:
Resolución:
Resolución:
22 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
c
b
a
1) Halla a + b + c de:
c
a
b
a
c
b
2) Encuentra el vector 
resultante de:
a
d
c
b
1) Halla a + b + c de:
2) Encuentra el vector 
resultante de:
 
3) Encuentra el vector 
resultante de:
 
a
b
d
ce
f
3) Encuentra el vector 
resultante de: a
e
d
c
b
a
b
c
d
e
a
d
b
c
a
e
b
d
c
a
e
c
b f
d
 6) Encuentra el vector 
resultante de:
 5) Encuentra el vector 
resultante de:
 4) Encuentra el vector 
resultante de: a
b
c
df
e
 6) Encuentra el vector 
resultante de:
 5) Encuentra el vector 
resultante de:
 4) Encuentra el vector 
resultante de:
a
c
e
f
d
bRpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
23
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 2
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 
a) 3 cm b) 6 cm c) 9 cm
d) 0 e) 4 cm
Determina el módulo del vector resultante (V).
60º 60º
3c
m
 
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 7 cm e) 8 cm
60º 60º
4c
m
 
a) 24 cm b) 20 cm c) 16 cm
d) 32 cm e) 40 cm
37º20cm
 
a) 25 m b) 24 m c) 0
d) 14 m e) 50 m
7m
24m
Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
24 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 7 cm e) 8 cm
2cm
2cm
 
a) 1 cm b) 4 cm c) 2 cm
d) 0 e) 3 cm
1cm
4cm
a) 10 cm b) 15 cm c) 5 cm
d) 20 cm e) 8 cm
10cm
5cm
a) 8 m b) 16 m c) 17 m
d) 25 m e) 42 m
25m
17m
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
25
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
a) 4a b) 3a c) 2a
d) a e) a 2
a a a
 
a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm
d) 15 cm e) 25 cm
15cm
 
a) 8 µ b) 5 µ c) 20 µ 
d) 30 µ e) 10 µ 
37º
45º
8µ
a) 8 µ b) 9 µ c) 10 µ 
d) 5 µ e) 2 µ 
60º
3µ
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
26 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm
d) 20 cm e) 16 cm
53º
5c
m
a) 9 µ b) 4 µ c) 14 µ
d) 2 µ e) 8 µ
7µ
3µ
a) 6 b) 10 c) 5
d) 9 e) 8
3
4 2
a) 3 cm b) 3 3 cm c) 2 3 cm
d) 4 3 cm e) 5 3 cm
60º 60º
2cm
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
27
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
3Análisis Vectorial II
Para esto utilizaremos el siguiente método.
suma de vectores paralelos y colineales
En este caso la resultante se determina mediante la suma 
algebraica de los módulos de los vectores.
Halla el vector resultante para el sistema de vectores.
Si: A = 2µ B = 3µ C = 1µ
 D = 1µ E = 3µ F = 5µ
B Ca
d E F
En este caso procedemos del siguiente modo.
	Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:
 A, C y F : A+C+F=2+1+5 = 8 (→)
 B, D y E : B+D+E=3+1+3 = 7 (←)
	Luego R = 8 – 7 = 1 (→)
 (Sentidos opuestos se restan)
Resolución:
Ejemplo:
suma de vectores concurrentes y 
coplanares
método del Paralelogramo
Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo 
diferente de cero entre sí.
En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma 
paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.
Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los 
extremos	 (punto	final	 del	 vector)	 y	 la	 figura	 formada	 se	
llama: __________________
a Bθ
a
B
θ
a
B
θ
Ejemplo:
Resolución:
Halla el módulo del vector resultante, 
si cos 53° = .3
5
 |R| = 32 + 52 + 2.3.5 cos 53°
 |R| = 9 + 25 + 2 . 3 . 5 . 
 |R| = 52 ⇒ |R| = 2 13
3
5
Ejemplo:
Resolución:
53°
a=3
B=5
28 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
r = 15 + 15
rmáx = 30 n
Si Rmáx = 7 y Rmín = 1 para dos vectores, halla el 
módulo del vector resultante cuando dichos vectores son 
perpendiculares.
 7 = a + b 
 1 = a – b 
 a = 4 , b = 3
Por Pitágoras: R = 42 + 32 = 5
	Si θ = 90° (vectores perpendiculares)
r2 = a2 + B2
Teorema de Pitágoras.
B r
a
rmín = 15 – 15
rmín = 0
La barcaza se mueve 
po r a c c i ón d e l a 
resultante de las fuerzas 
F1 y F2. La dirección 
de la resultante es 
la de la diagonal del 
paralelogramo de lados 
F1 y F2.F2
F1
Ejemplo:
Resolución:
	Si dos vectores tienen módulos iguales:
	Si θ = 180° ⇒ 
 A la resultante obtenida se le conoce como: 
Resultante Mínima.
aB
Rmín = A – B
2θ
x
x
r
En este caso r divide al ángulo en dos iguales, es 
decir, es una bisectriz.
1
Halla el módulo de R en función de x.
a d
B
θ
d = a – B
|d| = a2 + B2 – 2aBcosθ
Ejemplo:
diferencia de vectores (d)
60°
x
x
r
|R| = 3x
r
x
x |r|= 2x
r
120°
x
x
|r| = x
29
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Ejemplos:
descomposición vectorial
Recordemos la suma de vectores por el método del polígono.
a
B
C
r
r = a + B + C
Ahora haremos el paso contrario. 
Dado un vector cualquiera, vamos a reemplazar al vector 
R, por otros llamados componentes y que tengan como 
resultante al vector inicial.
a
b
r
r = a + b
Dado un vector, se puede descomponer en otros vectores 
llamados componentes de dicho vector, de tal manera que 
estos en su conjunto sean capaces de reemplazar al vector 
dado:
r =
M, n, P y Q son componentes 
del vector r .
Como vemos, un vector puede descomponerse en dos o más 
vectores, todos en conjunto tendrán una misma resultante, 
el vector R.
x
x =
x =
x = 
eJercIcIos:
Halla el vector resultante en función de x.
 Solución:
Sabemos que: R = A + B + x ... (1)
a
B
x
1. Vamos a reemplazar al vector A por otros 2, de tal manera 
que uno de ellos pase por x. Así:
 Vemos que: A = x + C
a
C
x
n
P
Q
M
r
2. Hacemos lo mismo para B.
B = x + D
x B
d
3. Observa que C y D son colineales y del mismo módulo 
(tamaño). Luego C y D son vectores opuestos, es decir:
C = – D
 Reemplazando en (1):
 R = (x + C) + (x + D) + x
 R = x + C + x + D + x
 R = 3x + C + D 
( (
 Pero : C = – D
 ⇒ R = 3x + (–D) + D
 R = 3x – D + D
 R = 3x
30 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Preguntas
1. Si los niños que están en los columpios tienen el 
mismo peso, ¿cuál de los dos columpios tiene mayor 
probabilidad de romperse?
descomposición rectangular
Ahoravamos a reemplazar a un vector por otros 2 que sean 
perpendiculares, llamados __________________ .
ay
ax
y
a
x
θ
Donde :
Ax : Componente de A en el eje x
Ay : Componente de A en el eje y.
|r| = 5
|R| = 32 + 42
|R| = 9 + 16
|R| = 25
En forma práctica: Usa triángulos rectángulos.
y
x
ay
ax
θ
a
Además, en todo triángulo rectángulo se cumple:
a y b : catetos
c : hipotenusa
Teorema de Pitágoras
c
b
a
Ejemplos:
Halla las componentes de A sobre los ejes rectangulares.
a=25
y
x
37°
ax =
ay = 
r
a
|a|=3
b|b|=4
Ejemplos:
c2 = a2 + b2
2. Se cuelgan dos cuadros que pesan lo mismo, como se 
muestra	en	la	figura.	¿En	cuál	de	los	dos	casos	es	más	
probable que se rompa el hilo?
Física en la vida cotidiana
Física del surf. El deporte de la tabla hawaiana sirve 
muy bien para ilustrar el comportamiento de los 
vectores. (1) Cuando tu tabla está orientada en el 
sentido del oleaje su velocidad v1 es igual que la de 
la ola. (2) Si forma un ángulo con las olas aparece 
también una componente v2 paralela a éstas. Puedes 
hacer variar v2, que está determinada por varios 
factores, pero v1 permanece relativamente constante. 
Así pues, cuando te deslizas formando un ángulo con 
el oleaje, la velocidad resultante vR es siempre superior 
a v1. (3) Cuanto mayor sea el ángulo que puedas 
mantener, mayor será vR.
v1
(2)
v1 vr
v1
(3)
v2
vr
v2
(1)
31
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
4. Si el módulo de la máxima resultante de 2 vectores 
es 24µ y el módulo de la resultante mínima es 6µ, 
determina el módulo de cada vector.
 Tenemos Rmáx = A + B y
 Rmín = A – B
1. Determina el módulo y la dirección del vector resultante, 
para el sistema dado.
 Como los vectores son paralelos, entonces la resultante 
 R va a ser:
 |R|= 17 + 8 – 7 – 12
 |R|= 6µ, hacia la derecha ( → ).
7µ
12µ 8µ
17µ
2. Determine el módulo y la dirección de la resultante de 
los vectores mostrados.
 Como los vectores son paralelos, entonces la resultante 
 R va a ser:
 |R| = 15 + 10 – 8 – 12
 |R| = 5, hacia abajo ( ↓ ) 
15µ
10µ
12µ
8µ
3. Se tiene dos vectores del mismo tipo, cuyos módulos son 
15µ y 7µ, respectivamente. Determina el módulo de su 
máxima y mínima resultante.
 La máxima resultante se da cuando el ángulo entre los 
vectores es cero. Entonces el módulo de la resultante 
máxima es:
 Rmáx = 15 + 7 = 22µ
 La mínima resultante se da cuando el ángulo formado 
por los 2 vectores es 180°. Entonces el módulo de la 
resultante mínima es:
Rmín = 15 – 7 = 8µ
 Donde Rmáx = 24µ y Rmín = 6µ
 24 = A + B
 6 = A – B
 30 = 2A ⇒ A = 15µ
 B = 9µ
5.	 Del	gráfico,	determina	el	módulo	de	la	resultante.
50°
13°
12
10
37°
13°
12
10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Tenemos que el módulo de la resultante (R) es:
 R = 102+122 + 2(10)(12)cos37°
 R= 100 + 144 + 2(10)(12)( )
 R = 100 + 144 + 192
 R = 436 R = 2 109
4
5
Resolución:
6. Halla la componente del vector «A» sobre el eje «X».
 
 Tenemos que la componente del vector A en el eje X
 es:
 Ax = |A|cos53°
 donde cos 53° = 
⇒ Ax = 100 . ⇒ Ax = 60
3
5
20
|a|=100
y
x
53°
a
3
5
32 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 Dato : cos 60° = 1/2 ; cos 120° = –1/23) 
Halla el módulo del vector resultante en cada caso:
1) B Ca
a=4 b=2 c=1
B
C
a
1) 
 a = 5
 b = 3
 c = 2
a
B
C
d
E
2) 
 a = 5
 b = 4
 c = 2
 d= 3
 e = 1
2) A = 3
 B = 4
 C = 5
 D= 4
 E = 2
 F = 3
 G = 1
 H = 2
a
B
C
E H
g
F
d
60°
1=
|a
|
2=|B|
3) 
60°
2
4
4) 
60°
1
2
4) 
60°
1
2
 5) 
60° 60°
4
3
4
 5) 
60°
60°
3
6
6
 6) La resultante máxima de los vectores es 8 y 
la mínima es 2. ¿Cuál es el módulo de cada 
vector?
 6) Dos vectores tienen una resultante mínima que 
vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál 
es la resultante de estos vectores cuando forman 
60°?
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
33
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 3
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 
 a) 12
 b) 13
 c) 11
 d) 10
 e) 7
70°10°
1
3
 Halla |A – B|
 a) 3 3
 b) 2 3
 c) 4 2
 d) 5
 e) 4 3
30°60°
|a|=4
|B|=4
33° 87°
|B|=2
|a|=1
 Halla |A – B|
 a) 1
 b) 2
 c) 3
 d) 3
 e) 7
Halla el módulo del vector resultante de:
 a) 5
 b) 6
 c) 7
 d) 8
 e) 11
80° 20°
2
1
Halla el módulo del vector resultante de:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
34 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
442) El módulo del vector resultante es:
 a) 10
 b) 20
 c) 30
 d) 40
 e) 0
37°
5
4
3
44) Halla el módulo del vector |C – B|
 a) 10 3
 b) 10
 c) 20
 d) 20 4
 e) 5 7
B=10
C=15
75° 15°
46) Dados los vectores |a|=5N y |b|=6N, calcula 
|a – b|.
 a) 5 N
 b) 6 N
 c) 10 N
 d) 3 N
 e) 2 N
a
b
73° 20°
Halla el módulo de la resultante.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
13
10
45°
53°
5 2
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
35
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Halla el módulo de la resultante de los vectores 
mostrados.
 a) 10 6 
 d) 10 29
 b) 10 19
 e) 50
 c) 10 13
 Halla el módulo del vector «c» para que la 
resultante se ubique sobre el eje «y», sabiendo que 
 a = 10 2µ y b = 10 µ.
 a) 20 µ
 b) 15 µ
 c) 10 µ
 d) 5 µ
 e) 30 µ
 Halla la magnitud de la resultante.
 a) 40 cm
 b) 50 cm
 c) 55 cm
 d) 60 cm
 e) 75 cm
y
x
80 cm
28 cm 37°
37°45°
50 m
20 2m
y
x
x37°
37°
45°
y
a
c
b
 Si el vector resultante del conjunto de vectores 
mostrados está en el eje y, halla el ángulo θ.
 a) 30°
 b) 37°
 c) 45°
 d) 53°
 e) 60°
4µ
3µ
8µ
θ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
36 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Halla el módulo del vector resultante.
 a) 4 µ
 b) 4 2 µ
 c) 5 µ
 d) 7 µ
 e) 6 µ
 Halla x en función de A y B
 
 a) (A–2B)/3 
 b) (2A+3B)/4 
 c) (A+B)/2
 d) (A–B)/2
 e) (A+2B)/3
 Expresa x en función de A y B.
 a) A+B
 d) (A+B)/3
 b) (A+B)/2
 e) (A –B)/4
 c) (A+B)/4 L
a
B
x
L L L
37°37°
5µ
6µ
10µy
x
 Si la resultante del conjunto de vectores es 
horizontal, halla la medida del ángulo «θ».
 a) 30°
 b) 37°
 c) 45°
 d) 53°
 e) 60°
y
x
10T
10 2T
45°
θ
15T
a Bx
2m m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
37
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
4Movimiento Rectilíneo 
Uniforme (MRU) I
Introducción
El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda 
la historia de la humanidad. En la antigüedad, el hombre 
observaba el movimiento de los cuerpos celestes. En el siglo 
XVIII se estudia el movimiento de las moléculas en un gas. 
En el siglo XX ya se estudia el movimiento de los electrones 
alrededor del núcleo atómico. Y en la actualidad se estudia 
el movimiento existente en el interior del núcleo.
El movimiento es un fenómeno físico. En la vida diaria 
suceden muchas cosas, muchos fenómenos relacionados al 
movimiento, por ejemplo:
La luz posee una rapidez de 300000 km/s, ‘‘esto sí que es 
rápido’’; la rapidez del sonido es de 340 m/s esto explica por 
qué en las tormentas eléctricas percibimos primero la luz 
después el sonido. 
Así como éstas, veremos muchas otras en el transcurso de 
nuestro estudio que empieza a continuación.
1. sIstema de reFerencIa
 Constituido imaginario o realmente por un observador 
quese considera en estado de reposo y un sistema 
temporal (reloj).
Sistema
Temporal
(reloj)
∆r
y
x
Observador
trayectoria del 
proyectils
 Móvil .- 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
 Desplazamiento (∆r) 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
 Trayectoria.- 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
38 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
 Recorrido (s).- 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
VA = 4m/s(↑) ; rA = 4 m/s
VB = 4m/s(←) ; rB = 4 m/s
VC = 4m/s(↓) ; rC = 4 m/s
VD = 4m/s(→) ; rD = 4 m/s
C A
D
4 m/s
4 m/s
4 m/s
4 m/s
B
Es una cantidad vectorial que nos expresa la rapidez 
con que cambia de posición un móvil.
 rapidez .- Es el módulo de la velocidad.
ra = 3m/s 
Velocidad del 
móvil A
Rapidez del 
móvil A
VA = 3m/s (↑)
3m/s
A
Va = 2m/s (→)
ra = 2m/s
2m/s
A
2. velocIdad
a. velocidad media (vm)
Nos indica el desplazamiento realizado en un inter-
valo de tiempo.
Unidades
m
s
km
h;Vm = = 
∆r
t
b. rapidez Promedio (vp)
Nos indica el recorrido realizado por un móvil en un 
intervalo de tiempo.
Para convertir km/h a m/s se multiplica por:
Ejemplo :
Transforma a km
h
m
s
18 = km
h ( )
m
s
36 = km
h
( ) ms
Observación:
s
tVp = = 
3m/s
1 s 1 s 1 s
3m/s 3m/s 3m/s
MrU : _____________________________________
 _____________________________________
 _____________________________________
Fórmula:
d
v t
∨d = v . t
Unidades:
d
m
km
t v
39
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Nacido en Pisa en el seno de una 
familia noble, cursó estudios de 
medicina en la misma ciudad en 
1581 y de matemáticas en Florencia, 
s iendo catedrático en Padua 
entre 1592 y 1610. Construyó un 
telescopio de 30 aumentos con el 
que pudo observar los movimientos 
celestes, descritos en su obra El 
mensajero celeste. Seguidor del 
pensamiento de Copérnico, sostiene 
la teoría heliocéntrica, según la cual 
los astros no giran alrededor de la 
Tierra sino que ésta y otros planetas 
circulan cíclicamente en torno al 
Sol. La Iglesia emprende un proceso 
contra Galileo al considerar sus 
afirmaciones	contrarias	a	la	Biblia,	lo	
que le llevará a comparecer ante la 
Inquisición en 1633 al no retractarse 
de sus afirmaciones. La condena 
posterior	 le	 confina	 en	Arcetri,	 a	
pesar de mostrarse arrepentido, 
donde seguirá estudiando hasta su 
fallecimiento. Galileo preconiza 
la ciencia moderna, al establecer 
la observación y la experiencia 
como herramientas básicas del 
conocimiento y la formulación 
m a t e m á t i c a c o m o m é t o d o 
explicativo de la naturaleza. Sus 
trabajos astronómicos, de suma 
importancia, describen la Luna y 
muchos de sus rasgos, detallan la 
existencia de miles de estrellas y 
formulan un modelo explicativo de 
la Vía Láctea. En el terreno de la 
física, formula una teoría sobre la 
gravitación, elabora leyes sobre la 
relatividad del movimiento y describe 
la uniformidad del movimiento 
pendular independientemente de 
la amplitud del mismo.
Personaje de la semana
Galileo Galilei
La tierra por cada segundo se 
mueve 30 km., es decir, su rapidez 
de traslación es 30 km/s y nosotros 
no la sentimos.
1. tIemPo de encuentro (te)
te = 
te te
V1 V2
d
2. tIemPo de alcance (ta)
ta
V1
d
ta
V2
ta = 
 Donde :
 V1 > V2
 d : separación inicial (en m)
El Mag l ev e s uno de l o s 
t r e n e s m á s r á p i d o s d e l 
mundo, pues llega a alcanzar 
517 km/h.
40 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Halla “d” si:
2 s
1 m/s
d
 1) Halla “d” si:
4 s
d
5m/s
Velocidad Máxima
72 kph
Esto	significa	que	los	automóviles	pueden	moverse	a:
a) 20 metros en 1 segundo
b) 72 kilómetros en 1 segundo
c) 20 kilómetros en 1 hora
d) 10 metros en 1 hora
e) 72 metros en 1 hora
 2) Un motociclista recorre 250 m en 10 s. ¿Cuál es 
su velocidad ?
 2) Un automóvil se mueve con MRU y con una 
velocidad de 15 m/s. ¿Qué espacio recorrerá en 6 
segundos ?
 6) Una señal de tránsito en la “Vía Expresa” indica:
 4) Un tren se demora en pasar al lado de un hombre 15 
s. Si la longitud del tren es 300 m, halla la rapidez 
del tren.
 5) Una camioneta va de San Miguel hacia La Molina 
en un tiempo de 10 minutos. Si hay una distancia 
de 8 km, calcula la rapidez de la camioneta en km/h.
 4) Un tren se demora en pasar por un poste 30 s. Si 
la rapidez del tren es 5 m/s, halla la longitud del 
tren.
 5) Del problema anterior, s i se duplica la 
velocidad, ¿en qué tiempo iría de San Miguel a La 
Molina?
 6) Si un auto viaja a razón de 54 km/h, ¿qué rapidez 
tendrá en m/s?
 3) Determina la rapidez en m/s si:
t= 1000s
10 km
V
 3) Determina la rapidez en m/s, si t= 1500s.
t= 1500s
15 km
V
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
41
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 4
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 Halla el tiempo de encuentro.
3m/s
100 m
2m/sa) 10 s
b) 20 s 
c) 30 s
d) 40 s
e) 50 s
 Determina el tiempo de encuentro.
a) 10 s 
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
e) 30 s 120 m
3m/s 3m/s
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
 Indica el tiempo de alcance.
30 m
3m/s
6m/s
 Halla el tiempo de alcance.
60 m
5m/s
2m/sa) 5 s
b) 10 s 
c) 15 s
d) 20 s
e) 25 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
42 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
 Un muchacho quiere saber qué tan lejos está un 
cerro, para ello hace sonar fuertemente un pito y 
escucha el primer eco en 0,5 s. Halla la distancia 
que los separa (Vs= 340 m/s).
 a) 90 m d) 70 m
 b) 85 m e) 60 m
 c) 75 m
 Se produce una explosión a una distancia de 1020 
m. ¿Después de cuánto tiempo se oirá el ruido de 
la explosión? (Vs= 340 m/s)
 a) 2 s d) 4 s
 b) 1 s e) 5 s
 c) 3 s
 Una explosión ocurre dentro del agua, y después 
de 2s, un buzo logra escucharla. Determina la 
distancia entre el buzo y el lugar de la explosión. 
 (Vs(agua)= 1500 m/s)
 a) 2 km d) 5 km
 b) 3 km e) 6 km
 c) 4 km
 Un avión recorrió una distancia de 2800 km 
con una velocidad de 700 km/h. ¿En qué tiempo 
recorrió esta distancia?
 a) 2 horas d) 4 horas
 b) 3 horas e) 7 horas
 c) 6 horas
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
43
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 En	el	gráfico,	¿en	qué	tiempo	los	móviles	equidistarán	
del árbol?
100 m
a
Va= 3m/s VB= 2m/s
B
a) 10 s d) 25 s 
b) 15 s e) 30 s
c) 20 s
 Del	gráfico,	¿en	qué	tiempo	los	autos	equidistan	
del poste?
200 m
15m/s 20m/s
a) 5 s d) 8 s 
b) 6 s e) 9 s
c) 7 s
 Si un móvil A alcanzó al móvil B a las 3 p.m., ¿a 
qué hora partieron?
100 km
120 20 kmha B a B
km
h
a) 11:00 p.m. d) 2:00 p.m.
b) 12:00 p.m. e) 3:00 p.m.
c) 1:00 p.m.
 Si los móviles se encontraron a las 5:00 p.m., ¿a 
qué hora partieron?
50 km
20 km
h
70 km
h
a) 6:00 p.m. d) 9:00 p.m.
b) 7:00 p.m. e) 10:00 p.m.
c) 8:00 p.m.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
44 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Del	gráfico,	 ¿en	qué	 tiempo	 impactará	el	misilal	
avión?
200 m/s 100 m/s
500 m
a) 1 s d) 4 s
b) 2s e) 5 s
c) 3 s
3 m/s4 m/s
a) 10 s d) 4 s
b) 8 s e) 2 s
c) 6 s
 Del	 gráfico,	 ¿en	 qué	 tiempo	 los	móviles	 estarán	
separados 50 m?
 Del	 gráfico,	 ¿en	qué	 tiempo	 los	móviles	 estarán	
separados 250 m?
24 m/s
7 m/s
a) 5 s d) 20 s
b) 10 s e) 25 s
c) 15 s
 Determina el tiempo de impacto.
100 m/s 50 m/s
200 m
a) 1 s d) 4 s
b) 3 s e) 7 s
c) 5 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
45
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
5Movimiento Rectilíneo
Uniforme Variado
Fórmulas del m.r.u.v
Ejemplo :
2 m/s
1 s 1 s 1 s 1 s 1 s
A B C D E F
MRU MRUV
8 m/s2 m/s 6 m/s4 m/s2 m/s
♦ Tramo AC: 
 La velocidad se mantiene ______________________.
♦ Tramo CF: 
 En cada segundo la velocidad cambia de ___________
 a ________________ m/s.
♦ Entonces el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo 
se le conoce como aceleración que en todo momento 
permanece ________________________.
El MRUV es aquel movimiento donde la velocidad 
experimenta variaciones iguales en tiempos iguales.
concepto:
Vf : Velocidad Final (m/s)
Vo : Velocidad Inicial (m/s)
a : Aceleración (m/s2)
(+) : Movimiento Acelerado 
 (aumenta la velocidad)
( - ) : Movimiento Retardado 
 (disminuye la velocidad)
Vf
2 = Vi
2 + 2ad
Vf = Vi + at
Vi + Vf
2
d = t
d = Vit + 
at2
2




donde:
( )
Veamos dos autos que parten del reposo al encuentro.
pero vi = 0
d1 = vit + a1t
21
2
d1 = a1t
2 ... (1)1 2
Paso 1:
pero vi = 0
d2 = vit + a2t
21
2
d2 = a2t
2 ... (2)1 2
Paso 2:
Vi = 0
a2 Vi = 0 a1 
t t
d1 d2
d
Entonces sumamos (1) + (2):
¿y el tiempo de alcance?
Se obtiene:
d
a1 a2
Vi = 0Vi = 0
ta = 
2d
a1 - a2
a1 > a2 
d1 + d2 = + 
a1t
2
2
a2t
2
2
d = t2 (a1 + a2) ⇒ 
1 
2 te = 
2d
a1 + a2
46 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Completa los valores que faltan:
 1) Completa los valores que faltan:
I. Vf = Vi + at
II. d = Vit + 
a t2
2
Vf2 = Vi2 + 2 a dIII.
Vi + Vf
2
( )d = tIV.
 2)	 Clasifica	con	verdadero	(V)	o	falso	(F)	cada	una	de	
las proposiciones.
 
 I. En el MRUV la aceleración se
 mantiene constante. ( )
 II. Un auto puede tener velocidad
 y no tener aceleración. ( )
 III. Un auto puede tener velocidad
 cero y tener aceleración. ( )
 IV. En el MRUV no existe aceleración. ( )
 3) Un automóvil con una velocidad de 108 km/h frena 
a razón de 5m/s2. ¿Calcula después de qué tiempo 
se detiene?
 1) 
I. d = Vit + 
at2
2
II. Vf2 = Vi2 + 2 a d IV. Vf = Vi + at
III.
Vi + Vf
2
d = t( )
 2) Completa las siguientes oraciones:
 
	 I.	 MRUV	significa	__________________________
 _____________________________________. 
 II. En el MRUV la velocidad ________________en 
forma constante. 
 III. En todo M.R.U.V. los cuerpos viajan con _____
________________________________ . 
 3) Del problema anterior, ¿qué espacio recorrió el 
automóvil hasta que se detuvo?
 4) Dos móviles parten del reposo simultáneamente de 
un mismo punto acelerando sobre una recta y en el 
mismo sentido con 2 y 8 m/s2. ¿Qué tiempo después 
estarán separados 300 m?
 4)	 De	la	figura,	determina	el	tiempo	de	encuentro	si	
ambos cuerpos parten del reposo.
d = 200 m
a1 = 3m/s
2 a2 = 1m/s
2
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
 5) Dos móviles que parten del reposo con aceleraciones 
de 5 m/s2 y 3 m/s2 se encuentran distanciados 64 
m. Si viajan en la misma dirección, halla el tiempo 
de alcance.
 5)	 De	la	figura,	determina	el	tiempo	de	encuentro	si	
ambos cuerpos parten del reposo.
d = 192 m
a1 = 2m/s
2 a2 = 4m/s
2
 6) ¿En qué tiempo estarán seperados 15 m si parten 
del mismo origen?
15 m/s10 m/s 15 m/s 10 m/s
 6)	 De	la	figura,	calcula	su	aceleración.
3 m/s
200 km
9 m/s
A B
47
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N° 5
Un automóvil que realiza un MRUV emplea 5 s 
en aumentar su velocidad de 30 m/s a 60 m/s. 
Calcula el valor de la aceleración.
a) 2 m/s2 b) 8 m/s2 c) 4 m/s2 
d) 10 m/s2 e) 6 m/s2
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 
m/s en 10 s acelerando uniformemente. Calcula 
dicha aceleración.
a) 1 m/s2 b) 4 m/s2 c) 2 m/s2 
d) 5 m/s2 e) 3 m/s2
Una motocicleta se mueve con MRUV y lleva 
una velocidad de 20 m/s. Si empieza a frenar 
hasta que logra detenerse en 10 segundos, 
calcula el espacio que recorrió desde que empezó 
a frenar hasta que se detuvo.
V
i
 =
Vf =
t =
e =
Solución:
Fórmula Rpta.:
e=( )Vi + Vf
2
e = t
( )(Vi) + (Vf)
2e = t
Calcula el tiempo en el que se detuvo un 
automóvil, si su velocidad era de 20 m/s y 
recorrió 100 metros hasta detenerse.
Solución:
Vi =
Vf =
t =
e =
Fórmula Rpta.:
t =( )Vi + Vf
2
e = t
48 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
 En	la	figura,	halla	“V”.
a) 45 m/s b) 33 m/s c) 32 m/s
d) 23 m/s e) 43 m/s
d = 180 m
t = 8s
12m/s V
En	la	figura,	halla	la	velocidad	en	“B”.
a) 10 m/s b) 35 m/s c) 15 m/s 
d) 30 m/s e) 25 m/s
80 m
t = 4s
V 3V
A B
V VC3V
4 s 1 s
d 52 m
Del	gráfico,	halla	“V”.
a) 9 m/s b) 115 m/s c) 12 m/s 
d) 16 m/s e) 8 m/s
Del	gráfico,	halla	“d”.
a) 9 m b) 12 m c) 10 m 
d) 14 m e) 11 m
d1 d2
8m/s V 20 m/s
t 2t
49
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Si un móvil tiene una aceleración constante de 
10 m/s2, calcula su velocidad al cabo de 7 s de 
haber concluido su movimiento (el móvil partió 
del reposo).
a) 50 m/s b) 80 m/s c) 60 m/s 
d) 70 m/s e) N.A.
Un móvil se mueve con aceleración constante 
de 5 m/s2. Calcula la velocidad adquirida luego 
de los primeros 9 segundos (el móvil partió del 
reposo).
a) 30 m/s b) 60 m/s c) 45m/s 
d) 50 m/s e) N. A.
Del	gráfico,	calcula	la	velocidad	en	“A”
(tAB= 10 s).
a) 32 m/s b) 52 m/s c) 42 m/s 
d) 62 m/s e) N. A.
(A)
a= 2 m/s2
(B) 62 m/sVA
Del	gráfico,	calcula	la	velocidad	en	“B”
(tAB= 10 s).
a) 10 m/s b) 40 m/s c) 20 m/s 
d) 50 m/s e) 30 m/s
(A)
a= 3 m/s2
(B)
VB20 m/s
50 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
700 m
a1 = 5m/s
2
a2 = 3m/s
2
En	la	figura,	calcula	el	tiempo	en	el	cual	ambos	
móviles estarán separados 300 m si ambos par-
tieron del reposo.
a) 12 s b) 20 s c) 16 s 
d) 8 s e) 10 s
8 m
a1=3m/s
2v0=0 a2=2m/s
2v0=0
En	la	figura,	halla	el	tiempo	de	alcance.
a) 2 s b) 4 s c) 6 s 
d) 16 s e) 8 s
Dos autos separados a una distancia “L” entre 
sí parten del reposo en el mismo sentido, 
alcanzando el carro posterior al delantero 
después de que éste ha recorrido una distancia 
“x”. Halla la relación de sus aceleraciones.
a) x/L b) L2/x2 c) (x+L)/L
d) x/(x+L) e) L2/x
De	la	figura,	calcula	la	aceleración.
a) 5 m/s2 b) 12 m/s2 c) 4 m/s2 
d) 1 m/s2 e) 8 m/s2
V= 2 m/s V=18 m/s
t= 4 s
a
A B
51
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
6Movimiento Vertical
de Caída Libre
caída libre
Es el movimiento de aproximación de un cuerpo a la tierra 
por acción de la fuerza de la gravedad sin considerar la 
resistencia del aire.
Comoel movimiento de Caída 
Libre de un cuerpo se realiza 
con aceleración constante, 
entonces este movimiento 
es un caso particular de 
MRUV por tanto se usa las 
mismas fórmulas; donde 
la aceleración a = g y las 
distancias d = h (altura).
h = Vit + gt
2
Vf = Vi + gt
Vf
2 = Vi
2 + 2gh
1 
2
La aceleración debida a la gravedad (g) dirigida al centro de 
la tierra tiene un valor constante aproximado de: 
(latitud 45º)
g = 9,8 m/s2
Siendo:
(+) : Cuando el cuerpo baja.
( - ) : Cuando el cuerpo sube.
galileo galilei
(1564 - 1642)
Gran físico y astrónomo italiano que por primera vez 
empleó el método experimental de investigación en la 
ciencia. Estudió las Leyes de la Caída de los cuerpos y 
del movimiento de estos por un plano inclinado.
Interesante
52 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Todo cuerpo cerca de la 
superficie	de	 la	Tierra	cae	
al suelo desde que pierde 
su apoyo. La causa de este 
movimiento es la acción 
de la gravedad. La caída de 
los cuerpos, es un problema 
histórico desde tiempos 
remotos, muchos hombres 
han tratado de encontrar 
las leyes del movimiento de los cuerpos. Aristóteles, 
el	más	famoso	filósofo	griego	no	tuvo	éxito	en	su	em-
peño. En cambio Galileo Galilei, veinte siglos después, 
descubrió la Ley de la Caída de los Cuerpos, es esta 
ley la que conocemos actualmente y que estudiaremos 
en este capítulo.
♣ En la altura máxima, la velocidad es nula.
♣ La rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada en 
un mismo nivel horizontal.
♣ El tiempo de subida y de bajada son iguales para un 
mismo nivel horizontal.
característIcas:
h = 55 m
Va = 50m/s
d
Ca
VB =
VC =
TIEMPOAD =
V = 0
V = 10m/s
V = 20m/s
V = 30m/s
1s
1s
1s
1s
V = 50m/s
V = 60m/s
1s
1s
V = 40m/s
5 m
15 m
25 m
35 m
45 m
55 m
R
E
C
U
É
R
D
A
L
O
A partir de 4 g para un piloto sentado, aparecen 
los	desarreglos	fisiológicos,	que	se	manifiestan	por	
la presencia de un velo negro o rojo en los ojos, 
debido a la desaparición o acumulación de sangre 
en la cabeza.
53
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Un cuerpo se abandona desde cierta altura. Halla 
su velocidad luego de 3 segundos (g=10m/s2).
 2) Un cuerpo se deja caer desde un acantilado. Halla 
la velocidad de dicho cuerpo luego de 5 segundos.
 3) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con 
una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál fue el tiempo de 
subida?
 2) Un cuerpo se lanza hacia arriba con una velocidad 
de 40 m/s. ¿En qué tiempo regresa al punto de 
partida?
 3)	 Desde	lo	alto	de	un	edificio	se	deja	caer	un	cuerpo,	
llegando al suelo en 4 segundos. Halla la altura del 
edificio.
 6)	 Se	deja	caer	un	cuerpo	desde	lo	alto	de	un	edificio.	
Si demora 5 segundos en llegar al piso, calcula la 
altura	del	edificio.
 4) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con 
velocidad de 20 m/s. Calcula el tiempo que demora 
en alcanzar una velocidad de 60 m/s. (g= 10 m/s2).
 7) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con 
una velocidad de 40 m/s. Calcula su velocidad luego 
de 4 s.
 5) Un cuerpo es dejado caer desde 80 m de altura con 
respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá 35 m antes 
de impactar el piso? (g= 10 m/s2)
 8) Se deja caer un cuerpo de 2 kg en un lugar donde la 
resistencia del aire es nula, empleando 6 s en llegar 
al piso. Calcula desde qué altura se dejó caer.
 (g= 10 m/s2).
 6) Desde una torre de 45 m de altura se lanza hacia 
arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. 
Determina la rapidez con la que llega al piso.
 (g= 10 m/s2).
 9) Un cuerpo es dejado caer desde 125 m de altura 
con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el 
instante del impacto?
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____rpta: _____
54 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 6
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
De	la	figura,	halla	“h”.
a) 75 m
b) 105 m
c) 80 m
d) 90 m
e) 125 m
40m/s
3 sh
De	la	figura,	halla	“h”.
a) 35 m
b) 40 m
c) 105 m
d) 15 m
e) 80 m
De	 la	figura,	halla	 el	 tiempo	que	estuvo	en	el	
aire la esfera.
a) 6 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 4 s
e) 24 s
40m/s
60m/s
En	la	figura,	halla	el	tiempo	de	vuelo.
a) 5 s
b) 30 s
c) 15 s
d) 10 s
e) 50 s
50m/s
30m/s
2 sh
55
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Desde	 la	 azotea	 de	 un	 edificio	 se	 lanza	 hacia	
abajo un objeto “A” con V= 10 m/s y simultá-
neamente desde el piso, se lanza hacia arriba otro 
objeto “B” con V= 40 m/s. Si luego de 4 s dichos 
objetos se encuentran, determina la altura del 
edificio	(g=10m/s2).
a) 150 m b) 230 m c) 200 m 
d) 240 m e) 220 m
Desde	un	edificio	de	150	m	de	altura	se	suelta	
un objeto “A” y simultáneamente desde el piso 
se lanza hacia arrriba un objeto “B” con cierta 
rapidez. Si luego de 3s están separados 60 m, 
determina con qué rapidez se lanzó “B”.
a) 30 m/s b) 15 m/s c) 25 m/s 
d) 10 m/s e) 20 m/s
Desde	la	azotea	de	un	edifio	se	lanza	hacia	arriba	
un objeto “A” con una rapidez de 30 m/s y simul-
táneamente se suelta otro objeto “B” del mismo 
punto. Determina la altura que están separados 
luego de 3 s. (g=10m/s2)
a) 45 m b) 90 m c) 60 m 
d) 100 m e) 80 m
Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	120	m	se	suelta	
una objeto “A” y simultáneamente desde el piso, 
se lanza otro objeto “B” hacia arriba con una 
rapidez de 30 m/s. Determina la altura que están 
separados luego de 3 s. (g=10m/s2)
a) 10 m b) 40 m c) 20 m 
d) 50 m e) 30 m
56 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:30 m
40 m
90 m
A
B
VA 
VB 
Los objetos “A” y “B” que se muestran son 
lanzados con 10 y 15 m/s, respectivamente. 
Determina la distancia que están separados 
cuando “A” llega al piso.
a) 30 m 
d) 60 m
b) 40 m 
e) 65 m
c) 50 m
40 m
90 m
A
B
VA=10 m/s
VB 
Los objetos “A” y “B” son lanzados como se 
muestra. Si los dos llegan al piso al mismo 
tiempo, determina rapidez con la que fue 
lanzado “B”.
a) 35 m/s
b) 50 m/s
c) 40 m/s
d) 55 m/s
e) 45 m/s
Desde lo alto de una torre se lanza un cuerpo 
verticalmente hacia arriba con una velocidad de 
20 m/s. Calcula la altura de la torre si el cuerpo 
llega a su base luego de 10 s de haberse lanzado.
a) 500 m b) 300 m c) 125 m 
d) 200 m e) 400 m
Un cuerpo se lanza hacia arriba desde una altura 
de 100 m. ¿Qué tiempo demora en llegar a tierra 
si su velocidad de lanzamiento fue de 40 m/s?
a) 10 s b) 5 s c) 7 s
d) 8 s e) 20 s
57
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
 Un niño lanza una pelota verticalmente hacia 
arriba, y después de 2 s impacta con el techo con 
una velocidad de 20 m/s. ¿Qué altura recorre la 
pelota hasta el impacto? (g=10m/s2)
a) 50 m b) 80 m c) 60 m
d) 90 m e) 70 m
Desde	lo	alto	de	un	edificio	se	lanza	verticale-
mente hacia abajo un objeto con una velocidad 
de 10 m/s. Si el objeto llega al piso con una 
velocidad	de	60	m/s,	¿qué	altura	tenía	el	edificio?
a) 105 m b) 150 m c) 45 m
d) 80 m e) 175 m
Un	globo	se	eleva	desde	la	superficie	terrestre	a	
una velocidad constante de 5 m/s, y cuando se 
encuentra a una altura de 360 m se deja caer 
una piedra. El tiempo en segundos, que tarda la 
piedra	en	llegar	a	la	superficie	terrestre	es:	
(g=10m/s2).
a) 6 s b) 16 s c) 8 s 
d) 18 s e) 12 s
Dos cuerpos A y B se encuentran en una línea 
vertical separados una distanciade 100 m, el 
cuerpo “A” (está arriba) se deja caer en el mismo 
instante en que “B” (está abajo) se lanza arriba 
con una velocidad de 50 m/s. ¿En qué tiempo se 
encontrarán dichos cuerpos? (g=10m/s2)
 
a) 1 s b) 2,5 s c) 1,5 s
d) 3 s e) 2 s
58 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Capítulo
7Movimiento 
Parabólico
OBJETIVOS:
a Estudiar el movimiento parabólico como la superposición de dos movimientos simultáneos.
a En el eje Horizontal: Movimiento Rectilíneo Uniforme.
a En el eje Vertical: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.
En la sección anterior vimos que ocurría cuando un cuerpo era lanzado verticalmente (o bien hacia arriba o bien hacia 
abajo); y observamos que la trayectoria descrita en cualquier caso era una recta.
Ahora se estudiará el lanzamiento de un proyectil ya no verticalmente sino de manera inclinada, y observaremos que aquí 
la trayectoria seguida para este caso es una curva que se conoce como parábola, es por ello el nombre de movimiento 
parabólico.Como dijimos antes, el movimiento parabólico se puede estudiar como la superposición de dos movimientos. 
Esto fue demostrado de manera experimental por Galileo Galilei. Y posteriormente demostrado también matemáticamente.
Lo que hizo fue lanzar una partícula de manera horizontal y simultáneamente dejo caer otra desde el reposo (tal como 
muestra	la	figura)	y	observó	que	ambos	cuerpos	descendían	recorriendo	las	mismas	distancias	verticales	en	los	mismos	
intervalos de tiempo, es decir siempre se encontrarán a la misma altura (mismo nivel).
Introducción
(1) (2)
Vx
59
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
30
40
37º
50
40
20
40
10 40
 40
 10
40
20 40
30
40
40
40
50
y
 x
g = 10m/s2
(todas las velocidades estan en m/s)
* Entre un instante y otro hay un 
 intervalo de 1 s.
Como sabemos, la causante de que un cuerpo tienda a caer es la gravedad que da origen a la fuerza gravitatoria, que es la que obliga 
al cuerpo a caer o acercarse a Tierra. También dijimos que la gravedad se considerará cerca de la Tierra como 10 m/s2 (siendo su valor 
real 9,8 m/s2).
A continuación, esquematizaremos lo que ocurre cuando una partícula es lanzada con una velocidad inclinada.
Eje Horizontal.- 
En este eje se observa que la componente de la velocidad 
(horizontal) no cambia y, esto se debe a que después del 
lanzamiento no existe fuerza horizontal en dicho eje.
Eje Vertical.- 
En este eje se observa que el componente de la 
velocidad (vertical) cambia de valor, y el cambio es 
de 10 m/s en cada segundo, este cambio se debe a que 
existe una fuerza vertical siempre dirigida hacia abajo, 
que es la causante de que el cuerpo al subir disminuya 
su rapidez y al bajar aumente su rapidez.
Las fórmulas a utilizar aquí son las mismas que en 
MRUV (en el eje vertical).
Y la mismas que en MRU (en el eje horizontal).
Sin embargo, es importante para facilitar las cosas 
trabajar los parámetros con signos según sea el caso.
Importante
En las competencias de salto largo, al realizar dicho 
salto en las proximidades del mar (costas) es menos 
ventajosa que hacerlo en zonas elevadas (sierra). 
Una tortuga se 
desplaza a una 
velocidad de 
4km/h.
60 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1)	 Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	45	m	de	altura	se	
lanza horizontalmente una pelota con una rapidez 
de	20	m/s.	Calcula	a	que	distancia	del	edificio	cae	
dicha pelota.
 1) Desde la azotea de un edif ic io se lanza 
horizontalmente un objeto y demora en llegar al 
piso 4 s. Si se lanzó con 30 m/s, calcula la altura del 
edificio.
 2) Se lanza un objeto con Vo =50 m/s y un ángulo 
de elevación de 53º. Determina la rapidez de dicho 
objeto luego de 4 s y 7 s del lanzamiento.
 2)	 Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	50	m	de	altura	se	
lanza un objeto con Vo =25 m/s y formando 37º 
con la horizontal. Determina el alcance horizontal 
de dicho objeto.
 3)	 Desde	 lo	 alto	 de	 un	 edificio	 se	 lanza	 un	 objeto	
horizontalmente con Vo =10 m/s y este cae a 50 m 
del	pie	del	edificio.	Determina	la	altura	del	edificio.
 3)	 Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	80	m	de	altura	se	
lanza horizontalmente un objeto con una rapidez de 
30	m/s.	Calcula	a	qué	distancia	del	pie	del	edificio	
cae.
 4) Desde lo alto de una torre de 105 m de altura se 
lanza un objeto con una rapidez de 25 m/s y un 
ángulo de 53º con la horizontal. Determina el 
tiempo que demora en caer y la distancia al pie del 
edificio	a	la	que		cae.
 4) Desde lo alto de una torre se lanza un objeto con una 
rapidez de 25 m/s y ángulo de 37º con la horizontal 
y demora 4 s en llegar al piso. Determina la altura 
de la torre y a que distancia del piso cae.
 5) En el gráfico, 
halla el alcance 
horizontal de la 
esferita.
45º
53º
d
60 2m/s
100 m/s
 5) En el siguiente 
gráf ico, halla 
e l a l c a n c e 
horizontal.
45º
53º
d
30 2m/s
50 m/s
 6) Para el siguiente 
l an zamiento , 
halla el alcance 
horizontal.
30 m/s
80 m
 6) Calcula “x”.
125 m
20 m/s
x
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____ rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
61
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 7
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
La	persona	que	se	muestra	en	la	figura	describe	
un MRU y logra agarrar al objeto “A” a tiempo. 
Determina	la	altura	del	edificio.
a) 40 m
b) 55 m
c) 45 m
d) 60 m
e) 50 m
15 m/s
5 m/s
100 m
A
EL avión que se muestra describe un MRU con 
Vo =30 m/s. Determina la rapidez del tanque si 
la bomba hace blanco en el tanque.
a) 15 m/s
b) 21 m/s
c) 18 m/s
d) 25 m/s
e) 20 m/s
V
h =4,5 m
45 m
Vo
Vo
a
100 m
En el instante en que el objeto es lanzado con 
“Vo”, la persona inicia su movimiento con 
MRUV con a = 2m/s2 y logra agarrar el objeto 
luego de 5 s. Determina la rapidez “Vo”.
a) 5 m/s
b) 20 m/s
c) 10 m/s
d) 25 m/s
e) 15 m/s
El	avión	que	se	muestra	en	la	figura	suelta	una	
cantidad de agua con la intención de apagar el 
fuego. Si describe un MRU con una rapidez de 
50 m/s, determina si logra su objetivo.
a) Sí 
b) No, cae a 10 m. 
c) No, cae a 20 m.
d) No, cae a 30 m.
e) No, cae a 35 m.
180 m
300 m
50 m/s
5 m
Fuego
62 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Un cuerpo se lanza desde 180 m de alto y ho-
rizontalmente. Halla el tiempo que permanece 
en el aire.
a) 5 s b) 8 s c) 6 s 
d) 9 s e) 7 s
Se lanza horizontalmente un cuerpo desde una 
altura de 125 m. ¿Qué tiempo demora en caer?
a) 1 s b) 4 s c) 2 s 
d) 5 s e) 3 s
Si el objeto es lanzado con Vo =50 m/s y θ =53º, 
determina a que distancia de la pared cae.
a) 40 m
b) 70 m
c) 50 m
d) 80 m
e) 60 m
Vo
θ
180 m
Un cuerpo se lanza desde tierra con 50 m/s y con 
una inclinación de 37º. Halla la altura máxima 
a la que asciende.
a) 45 m b) 10 m c) 125 m 
d) 15 m e) 5 m
63
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
En	el	gráfico,	se	sabe	que	el	tiempo	que	emplea	
la esferita en ir de A a B es 6 segundos. Halla la 
velocidad en A.
a) 15 m/s
b) 30 m/s
c) 20 m/s
d) 35 m/s
e) 25 m/s
A 37º
B
V
90m
A 45º
V
160m
La esferita tarda 8 segundos en llegar a tierra. 
Halla la velocidad de lanzamiento.
a) 20 m/s
b) 45 2 m/s
c) 45 m/s
d) 53 m/s
e) 20 2 m/s
Halla la velocidad en A, si luego de 8 segundos 
la esferita pasa por B.
a) 20 10 m/s 
d) 10 m/s
b) 10 10 m/s 
e) 20 m/s
c) 5 10 m/s
A
V
B
45º
60 2 m/s
45º
A
40 2 m/s
θ
B
Se sabe que la esferita tarda 7 segundosen ir 
desde A hasta B. Halla θ.
a) 30º
b) 53º
c) 37º
d) 60º
d) 45º
64 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Determina a qué distancia se encuentra la pared 
si la esfera choca perpendicularmente con ésta.
a) 120 m
b) 150 m
c) 130 m
d) 160 m
e) 140 m
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Con qué ángulo se debe lanzar un objeto para 
que “d” (alcance horizontal) sea 4 veces su “h” 
(altura máxima).
a) 15º b) 42º c) 30º 
d) 45º e) 37º
Con qué ángulo se debe lanzar un objeto para 
que “d” (alcance horizontal) sea 3 veces su “h” 
(altura máxima).
a) 15º b) 45º c) 30º 
d) 53º e) 37º
50 m/s
37º
60 m/s
30º
Determina a qué distancia se encuentra la pared 
si la esfera choca perpendicularmente con ésta.
a) 90 m
b) 90 5 m
c) 90 2 m
d) 120 3 m
e) 90 3 m
65
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
8Movimiento Circunferencial 
Uniforme
Introducción
‘‘Movimiento de rotación uniforme’’
ω = constante
O
θ θ
θ
t
t
t
θ
t
ω =
1. deFInIcIón de velocIdad angular 
constante
Recordando	que	los	movimientos	se	clasifican	en	función	
a determinados conceptos básicos, tenemos que por la 
forma de la trayectoria estos pueden ser rectilíneos o 
curvilíneos. Si la trayectoria es una circunferencia, entonces 
el movimiento se denomina: Movimiento Circunferencial. 
Cuando una partícula describe una circunferencia de 
manera que recorre arcos iguales en tiempos iguales, diremos 
que posee un movimiento circunferencial uniforme.
Se	define	como	velocidad	angular	constante	a	aquella	
que no cambia de módulo y de dirección a través del 
tiempo, y cuyo valor nos indica el ángulo que gira un 
cuerpo rígido en cada unidad de tiempo.
Si cambiamos “e” por “θ”; y “v” por “ω”, obtendremos 
un triángulo similar al visto en M.R.U.
En el S.I. esta velocidad se expresa en radianes por 
segundo: rad/s.
También puede expresarse en rev/s o rev/min = rpm, 
donde:
1 revolución (rev) = 2π rad = 360° 
regla mnemotécnica
2. leYes del movImIento de rotacIón 
unIForme
3. Período (t)
T =
2π
ω
En el S. I., el período se expresa 
en segundos (s).
4. FrecuencIa (f)
En vista de que el moviemiento de rotación uniforme 
posee velocidad angular constante (ω), tendremos que 
las leyes que lo describen son análogas a las del M. R. U.
Llamamos así al tiempo que emplea un cuerpo con 
movimiento de rotación uniforme para realizar un giro 
de 360°, es decir, una vuelta completa. Su valor resulta 
ser inversamente proporcional con la velocidad angular, 
pues a mayor velocidad, menor es el tiempo en dar una 
vuelta. Así, de la tercera ley del movimiento de rotación 
uniforme, tendremos:
Denominamos así a aquella magnitud física que nos 
indica el número de vueltas completas que realiza 
un cuerpo con movimiento de rotación uniforme, en 
cada	unidad	de	tiempo.	En	virtud	a	esta	definición,	la	
frecuencia se determina así:
f = Nt
ω = θ
t θ = ω. t 
t = θ
ω
θ 
ω T
f = número de vueltas
tiempo
66 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5. velocIdad tangencIal (vt)
Cuando una partícula se desplaza, se comprueba 
que cualquiera que sea su trayectoria, desarrolla una 
velocidad de tipo lineal la cual tendrá siempre una 
dirección tangente a la curva en todo punto de ella. 
Gracias a esta velocidad la partícula logra recorrer arcos 
(S) de la curva, en una forma tal que intenta escapar 
de ella viajando por la tangente. Así pues llamaremos 
celocidad tangencial a aquella que posee una partícula 
cuando desarrolla un movimiento curvilíneo. El 
módulo de la velocidad tangencial no es más que la 
rapidez con que la partícula recorre una curva. En 
el M.C.U. el módulo de esta velocidad se mantiene 
constante y se determina así:
Donde ω es la velocidad angular con que gira el radio 
vector (r) que sigue a la partícula, comprobándose 
además que los vectores que representan a Vt , r y ϖ 
son perpendiculares entre sí, tal como se puede observar 
en	la	figura.
Unidades S.I.: (ω )= rad/s, (r)=m, (Vt) = m/s
Si	ahora	nos	fijamos	en	el	valor	del	período	y	en	el	de	
la frecuencia, encontraremos que uno es el inverso del 
otro. Esto lo comprobamos con el siguiente ejemplo: 
supongamos que el período de un cuerpo es de 2 
segundos, es decir, en 2 s da una vuelta, luego, en 1 s 
dará 1 / 2 vuelta, o lo que es lo mismo; da 1 / 2 vuelta 
por segundo. Luego:
Cuando el período se expresa en segundos (s), la 
velocidad angular se expresa en rad/s, entonces, la 
frecuencia se expresa en: 
revoluciones / segundo = 1 / s 1
f = 1
T
f = ω2π
En base a las relaciones deducidas en el ítem anterior, 
podemos deducir el módulo de la velocidad tangencial 
en función del período T y la frecuencia f:
Vt = 2π f r = 2rπ / T
Eje de giro
O
V
t
s
ω 
r
t
Observaciones
VT = ω. t 
6. leYes del m.c.u.
Las leyes que permiten describir el movimiento de 
rotación uniforme y el movimiento circunferencial 
uniforme son realmente equivalentes, y se deducen de 
las relaciones:
 Vt =
S
t
S = Vt . t t =
S
Vt 
7. aceleracIon centríPeta (ac)
Como ya sabemos, la velocidad tangencial intenta 
llevar a la partícula por la tangente alejándola de la 
curva, sin embargo algo la obliga a continuar en ella 
como jalándola y evitando que se aleje. De este modo 
la dirección del movimiento se ve obligada a cambiar de 
manera continua a lo largo del movimiento curvilíneo. 
Recordemos	aquí	que	 la	única	razón	que	 justifica	 los	
cambios de velocidad es la existencia de una aceleración. 
Sin embargo, si sólo se trata de cambios en la dirección 
de la velocidad sin que se altere su módulo, ello sólo 
puede deberse a un tipo especial de aceleración a la 
que en adelante llamaremos aceleración centrípeda o 
central,	la	cual	se	manifiesta	en	el	grado	de	“brusquedad”	
con que un cuerpo o partícula toma una curva. Así pues, 
comprobaremos que en una curva muy cerrada el cambio 
de dirección es brusco, debido a que la aceleración 
centrípeda es grande. El vector aC es perpendicular a 
vt y se dirige siempre al centro de la curva, tal como lo 
muestra	la	figura.	El	módulo	de	esta	aceleración	viene	
dado por las siguientes relaciones:
Observación:
La relación para la aceleración centrípeta es válida 
no sólo para el M.C.U. sino en general para todo el 
movimiento curvilíneo.
|ac| = = ω2.rvt
r
2
ac ⊥ vt , ac ⊥ ω
O
ω 
Vt
ac
ac
ac
ac
Vt
Vt
Vt
67
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
s
V 
t =
V =
s
t 
s = V . t 
t = tiempo en dar una vueta
número de vueltas
tiempof =
ω = 2 π . ff → rps
ω = . ff → rpm
f = 1
f 
T=
ω2.Rac =p
v2
R 
ac = p
v.ωac =p
Fórmulas
ω =
θ
t 
θ
ω 
t =
θ = ω.t
velocidad angular
velocidad lineal
Periodo
Frecuencia
relación entre f y t
relación entre t y ω
aceleración centrípeta
1
T
π
20
Símbolo
S
θ
t
T
f
ω
V
ac
Magnitud
Arco
Ángulo barrido
Tiempo trancurrido
Período
Frecuencia
Velocidad angular
Velocidad lineal
Aceleración centrípeta
Unidades de medida
metro
radianes
segundo
segundo
revolución por segundo
radianes por segundo
metro por segundo
metro por segundo al 
cuadrado
m
rad
s
s
s-1
rad/s
m/s
m/s2
unIdades de medIda
Interesante
Cuando	nos	fijamos	en	el	movimiento	de	una	piedra	
atada a una cuerda, o en el que tiene un punto del 
aspa de un molino girando, o en el que desarrolla un 
punto en la Tierra respecto al eje terrestre, o en el 
que tiene la Tierra respecto al centro del Sol, estamos 
hablando de movimientos curvilíneos.
La Luna gira alrededor de su eje en 27 días y 11 
horas.
68 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de una 
partícula que gira a 180 rpm?
 1) ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de la hélice 
de un avión que gira a 200 rps?
 2)¿Cuál será la velocidad angular en rad/s del 
segundero de un reloj de aguja?
 2) ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s del 
minutero de un reloj de aguja?
 3) Se sabe que un ciclista está dando vueltas alrededor 
de una pista circular, dando 4 vueltas cada minuto. 
¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de dicho 
ciclista mientras realiza su movimiento circular?
 3) Se sabe que una partícula está girando a la misma 
velocidad dando 12 vueltas cada minuto. ¿Cuál 
será la velocidad angular en rad/s de dicha partícula 
mientras realiza su movimiento circular?
 4) Un ventilador gira dando 160 vueltas cada 4 
segundos.¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de 
dicho ventilador asumiendo que ésta es constante?
 4) Un ventilador gira dando 60 vueltas cada 3 
segundos.¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de 
dicho ventilador asumiendo que ésta es constante?
 5) Una partícula que está girando con MCU tiene una 
velocidad angular de 4 rad/s. ¿Qué ángulo habrá 
girado en un minuto?
 5) Una partícula que está girando con MCU tiene una 
velocidad angular de 3 rad/s. ¿Qué ángulo habrá 
girado en 2 minutos?
 6) Se sabe que una partícula giró 21rad en 3 segundos. 
¿Qué ángulo giraría dicha partícula en 10 segundos?
 6) Se sabe que una partícula giró 40 rad en 5 
segundos.¿Qué ángulo giraría dicha partícula en 10 
segundos?
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
69
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 8
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Una partícula está girando a 30 rpm. ¿Qué ángulo 
giraría dicha partícula en 4 segundos?
a) π rad b) 4π rad c) 2π rad 
d) 5π rad e) 3π rad
Una partícula con M.C.U. está girando a 2 rps. 
¿Qué ángulo giraría dicha partícula en un minuto?
a) 200 π rad b) 300 π rad c) 250 π rad
d) 320 π rad e) 240 π rad
El aspa de un ventilador giró 360 vueltas en un 
minuto. ¿Qué ángulo giraría dicha aspa en 5 
segundos?
a) 60 π rad b) 180 π rad c) 40 π rad
d) 360 π rad e) 50 π rad
¿Qué ángulo giraría una hélice en 2 minutos si su 
velocidad angular es 3 rad/s?
a) 300π rad b) 360π rad c) 320π rad 
d) 400π rad e) 340π rad
70 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
La partícula mostrada se encuentra girando a 10 
rad/s. Calcula su velocidad tangencial en m/s.
a) 10
b) 40
c) 20
d) 50
e) 30
R =4m
V
La partícula mostrada se encuentra girando a 8 
rad/s. Calcula su velocidad tangencial en m/s.
a) 24
b) 40 
c) 36
d) 42 
e) 32
R =4m
V
En	la	siguiente	figura,	halla	 la	diferencia	entre	
las velocidades tangenciales de “A” y “B” si se 
sabe que el disco al que pertenecen gira a una 
velocidad angular de 2 rad/s.
a) 2 m/s 
b) 4 m/s 
c) 6 m/s
b) 8 m/s
e) 10 m/s
A
r
B
2m
R
Halla la diferencia entre las velocidades 
tangenciales de los puntos a “A” y “B” que 
se encuentran girando sobre un disco cuya 
velocidad angular es 12 rad/s.
a) 24 m/s 
b) 36 m/s 
c) 32 m/s
d) 40 m/s
e) 48 m/s
1m
A
3m
B
71
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
En	la	siguiente	figura,	halla	 la	diferencia	entre	
las velocidades tangenciales de “A” y “B” si se 
sabe que el disco al que pertenecen gira a una 
velocidad angular de 6 rad/s.
a) 12 m/s 
b) 15 m/s 
c) 18 m/s
d) 21 m/s
e) 24 m/s
Aω
B
6m
9m
Halla la diferencia entre las velocidades tangen-
ciales de los puntos “A” y “B” que se encuentran 
girando sobre un disco cuya velocidad angular es 
12 rad/s.
a) 24 m/s 
b) 36 m/s 
c) 32 m/s
d) 40 m/s
e) 38 m/s
A
B
3m
1m
En	la	figura,	si	se	sabe	que	la	partícula	“A”	tiene	
una velocidad tangencial que es el triple de la 
velocidad tangencial en “B”, halla “r”.
a) 6 m 
b) 7 m 
c) 9 m
d) 12 m
e) 10 m
4m
A
r
B
ω
Halla la diferencia entre las velocidades 
tangenciales de los puntos “A” y “B” que se 
encuentran girando sobre un disco cuya velocidad 
es 7 rad/ s.
a) 14 m/s 
b) 20 m/s 
c) 21 m/s
d) 28 m/s
e) 30 m/s
A
B
7m
4m
72 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si el hemisferio mostrado gira a razón de 3 rad/s, 
halla la velocidad tangencial del punto “P”.
a) 15 m/s
b) 6 m/s 
c) 12 m/s
d) 3 m/s
e) 9 m/s
R = 5m
P
37º
ω
Del	gráfico,	halla	la	rapidez	lineal	de	los	discos:
a) 2 ; 4 m/s
b) 4 ; 8 m/s
c) 2 ; 6 m/s
d) 3 ; 5 m/s
e) 4 ; 6 m/s
ω = 2 rad/s
3m
1m
Si la VA= 3VB, determina el radio de la polea 
menor. Además el sistema gira con velocidad 
angular constante.
a) 2 cm
b) 8 cm
c) 4 cm
d) 10 cm
e) 6 cm
VB
VA
8 cm
Determina la velocidad del bloque si R=5 cm y 
además ω = 4 rad/s.
a) 10 cm/s 
b) 20 cm/s 
c) 30 cm/s
d) 40 cm/s
e) 15 cm/s
R
73
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
9Estática I
concePto
Es la parte de la Física qe estudia el equilibrio de las partícu-
las y de los cuerpos rígidos.
* Cuerpo rígido: Es aquel que no se deforma al someterse 
a la acción de una fuerza.
* Equilibrio: Se denomina así a la posición de reposo 
o de MRU que posee un cuerpo en el cual no posee 
aceleración alguna.
1. equIlIbrIo
Algunas cosas se derriban con mayor facilidad que otras. 
Las	figuras	muestran	lo	que	ocurre	cuando	una	caja	alta	
y estrecha es empujada hasta que comienzan a volcarse.
Si no hay inclinación no hay desequilibrio. Con una 
pequeña inclinación, la caja regresa su posición original.
Dibuja un cuerpo rígido.
Dibuja un cuerpo en equibalente..
Centro de 
gravedad
Base
Peso
Fuerza 
ascendente 
ejercida por 
el piso
(a)
(b)
(c)
74 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Con una inclinación grande, la caja ladea más hacia la 
derecha. Una caja que tenga una base más ancha y un 
centro de gravedad en un punto más bajo, puede inclinarse 
un ángulo mayor antes de volcarse.
Cuando la caja es empujada un poco y luego se suelta, re-
gresa a su posición original; la posición de la caja es estable. 
Si la caja se empuja mucho más lejos, entonces se vuelca. 
A partir de este punto, las fuerzas sobre la caja producen 
un par que la inclina todavía más.
Una caja que tenga una base más ancha y un centro de 
gravedad en un punto más bajo, es aún más estable. La caja 
puede inclinarse un ángulo mayor antes de que comience 
a volcarse.
Lo mismo que una caja antes de volcarse, los objetos 
que se muestran, están todos en estado de equilibrio.
El cono “A” esta en equilibrio estable, Si se perturba 
un poco el cono, su centro de gravedad permanece por 
encima	de	la	superficie	de	su	base.
El cono “B” está en equilibrio inestable. Está en 
equilibrio, pero es claro que no va a estar así por mucho 
tiempo. La “base” del cono ahora es tan pequeña que 
el centro de gravedad la sobrepasará inmediatamente.
La esfera “C” está en equilibrio neutro. Si no se toca 
la esfera, permanecerá en su lugar, y si se mueve, 
permanecerá en su nueva posición. Dondequiera que 
esté la esfera, su centro de gravedad permacene sobre 
el punto de contacto con la mesa.
Diferentes tipos de equilibrio:
a. equilibrio estable, inestable y neutro
Base
(a) (b) (c)
Base Base
Equilibrio
estable
Equilibrio
inestable
Equilibrio
nuetro
Los vehículos que han sido diseñados para llevar 
grandes cargas, a menudo son muy altos, lo cual tiene 
un efecto desfavorable sobre su estabilidad, ya que su 
centro de gravedad se encuentra en un punto muy alto. 
Los vehículos diseñados para lograr rapidez, como el 
automóvil de carreras, tienen un centro de gravedad 
en un puntomuy bajo.
b. diseño para lograr la estabilidad
Como se aprecia en la naturaleza, todos los objetos 
estan afectados por “fuerzas” y generalmente más de una 
donde se dice que un cuerpo estará en un “Equilibrio 
Mecánico”, si cumple con ciertas condiciones:
La primera condición del equilibrio asegura un 
equilibrio de traslación del cuerpo y dice así:
“La suma de las fuerzas que afectan al cuerpo será cero”.
Al utilizar este principio se obtiene las siguientes 
conclusiones:
c. Primera condición de equilibrio 
Para obtener una estabilidad alta, un automóvil de carreras posee un 
centro de gravedad bajo y una base de ruedas ancha.
ΣFX=0 ΣFy=0
Horizontal Vertical
caso I:
24 N
10 N F
W
ΣF=0
Horizontal: F=10N
Vertical: W=24N
caso II:
F2
F1
F3
Fuerzas
concurrentes:
F1
F2
F3
→
75
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
1.	 Del	gráfico,	halla	“F”.
18 N
7 N 10 N
5 N
F
 Aplicando la primera condición de equilibrio:
 ΣFX=0
 (10N+F+5N)-(7N+18N) = 0
 10N+F+5N = 7N+18N
 15N+F = 25N
 
 F = 25N-15N 
 F = 10N 
Resolución:
2.	 Del	gráfico,	halla	“T”.
27 N
6 N
14 N
T
 Aplicando la primera condición de equilibrio:
 ΣFy=0
 (T+6N+14N)-27N = 0
 T+6N+14N = 27N
 T+20N = 27N
 
 T = 27N - 20N 
 T = 7N 
Resolución:
3.	 Del	gráfico,	halla	la	reacción	del	suelo	sobre	el	bloque	
si la masa del bloque es 3kg (g=10m/s2).
F=25N
 * Realizando el D.C.L. del bloque.
Resolución:
F=25N
RN
mg=30 N
 * Aplicando la primera condición de equilibrio.
 F+mg = RN
 25+30 = RN
 55 N = RN
4.	 Del	gráfico,	halla	“T”	(g=10m/s2).
 Realizando el D.C.L. del bloque.
Resolución:
T T
50 N
 Aplicando la primera condición de equilibrio.
 T+T = 50 N
 2T = 50 N
 T = 25 N
5.	 Halla	“T”	del	gráfico.
180 n
T
Resolución:
2T T
180 N
 180 N = 2T+T
 180 N = 3T
 T = 60 N
m=5kg
T
T
76 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
 1)
En esta ocasión todos los objetos cumplen con la primera 
condición de equilibrio, para lo cual todas las fuerzas 
estan representadas por vectores. Se pide encontrar las 
fuerzas indicadas:
F 12 N
T 15 N
F=
T=
 1)
 2)
 3)
 3)
 4)
F 10 N
3T 30 N
F=
T=
 2) 50 N
W
32 N
P
W= P=
T
48 N
F
26N
T= F=
24N F
6N
42N 16N
F
F=
F=
T
10N10N
50N
TT
T= T=
12 F
4
F=
F 8 N
5 N
F=
En esta ocasión todos los objetos cumplen con la primera 
condición de equilibrio, para lo cual todas las fuerzas 
estan representadas por vectores. Se pide encontrar las 
fuerzas indicadas:
 5)	 En	el	siguiente	gráfico	el	bloque	es	comprimido	con	
una fuerza “F” igual a 20 N. Sabiendo que el bloque 
está en equilibrio, determina la reacción del suelo 
sobre el bloque si su masa es de 4kg (g=10m/s2).
 4)
F
g
 5) Halla el valor de “F” si se sabe que el bloque está en 
equilibrio y además ejerce una fuerza de 60N sobre el 
piso, además la masa del bloque es de 2kg (g=10m/s2).
F
g
 6)	 En	el	gráfico,	el	bloque	está	en	equilibrio	y	se	le	trata	
de levantar con una fuerza “F” igual a 40N. Si su 
masa es de 9 kg, determina la reacción normal del 
piso sobre el bloque (g=10m/s2).
 6) Halla el valor de”F” si se sabe que el bloque posee 
una masa de 8kg. Si además el bloque ejerce una 
fuerza sobre el piso de 55N. (g=10m/s2)
F
g
F
g
T
12N12N
T=
15N
20N20N
T
T=
77
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N° 9
 Si un bloque de 25 N se encuentra suspendido por 
un hilo al techo, determina la tensión que aparece 
en el hilo (g=10m/s2).
 a) 60 N
 b) 160 N
 c) 40 N
 d) 80 N
 e) N.A. 
 Resolución:
 Halla la reacción del techo sobre el bloque de 
masa 5kg si se le sostiene con una fuerza de 80N.
 (g=10m/s2).
 
 a) 10 N
 b) 50 N
 c) 20 N
 d) 30 N
 e) N.A.
 Resolución:
g
F
 Si el bloque de masa 7kg está siendo apoyado contra 
el techo al cual se le ejerce una fuerza de 35N, deter-
mina la fuerza aplicada sobre el bloque (g=10m/s2).
 
 a) 70 N
 b) 105 N
 c) 45 N
 d) 35 N
 e) N.A.
 Resolución:
g
F
 Si la esfera de 8kg se encuentra suspendida por 
un cable desde el techo, determina la tensión en 
el cable (g=10m/s2).
 
 a) 60 N
 b) 160 N
 c) 40 N
 d) 80 N
 e) N.A. 
 Resolución:
g T
g
78 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Halla la tensión “T” si el bloque está en equilibrio. 
Además el bloque pesa 250N.
 
 a) 10 N
 b) 40 N
 c) 20 N
 d) 50 N
 e) 30 N
 Resolución: 
 Determina la tensión “T” en el cable.
 
 a) 10 N
 b) 15 N
 c) 20 N
 d) 30 N
 e) 40 N
 Resolución: 
90 n
T
 Halla “T” si el sistema está en equilibrio.
 
 a) 60 N
 b) 30 N
 c) 50 N
 d) 20 N
 e) 40 N
 Resolución: 
120 n
T
T
 Halla la masa del bloque si la lectura del dina-
mómetro es de 15N y además el sistema está en 
equilibrio (g=10m/s2).
 a) 6 N
 b) 75 N
 c) 60 N
 d) 45 N
 e) N.A.
 Resolución: 
79
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Halla “T” si el sistema está en equilibrio.
 
 a) 10 N
 b) 50 N
 c) 20 N
 d) 100 N
 e) 40 N
 Resolución: 
 Halla “T” si el sistema está en equilibrio.
 a) 10 N
 b) 50 N
 c) 20 N
 d) 40 N
 e) N.A.
 Resolución: 
T
400 n
T
350 n
 Halla “T” si el sistema está en equilibrio.
 a) 32 N
 b) 48 N
 c) 16 N
 d) 96 N
 e) N.A.
 Resolución: 
T
320 n
 Halla “T”, en el siguiente sistema en equilibrio 
(W=160N).
 a) 5 N
 b) 20 N
 c) 10 N
 d) 15 N
 e) N.A.
 Resolución: 
T
W
80 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Halla la lectura del dinamómetro si el sistema está 
en equilibrio.
 a) 15 N
 b) 75 N
 c) 25 N
 d) N.A.
 c) 35 N
 Resolución: 
75 n
 Halla la tensión en el cable (1) si el sistema está 
en equilibrio.
 a) 5 N
 b) 20 N
 c) 10 N
 d) 40 N
 e) 15 N
 Resolución: 
 Halla el valor “T” si el sistema está en equilibrio.
 
 a) 10 N
 b) 14 N
 c) 12 N
 d) 16 N
 e) 13 N
 Resolución: 
70 n
 Halla la lectura del dinamómetro si el sistema está 
en equilibrio.
 
 a) 6 N
 b) 18 N
 c) 8 N
 d) 12 N
 e) 7 N
 Resolución: 
36 n90 n
(1)
81
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
10
3. Determina la tensión “T” si el bloque tiene una masa de 6 kg 
(g=10m/s2).
T
 * D.C.L.
Resolución:
T
mg=60N
 * Por la primera condición de equilibrio.
 T = mg
 60N = mg 
 T = 60N
Estática II
obJetIvo
* Conocer las condiciones para que un cuerpo se encuen-
tre en equilibrio.
1. Halla “T” si el sistema está en equilibrio:
200 n
T
 * D.C.L.
Resolución:
T T
2T
200 N
2T
 * Aplicamos la primera condición de equilibrio.
 2T = 200 N
 T = 100 N
2. Un muchacho jala un cable con una fuerza de 40 N. 
Determina el peso del bloque si sube con velocidad 
constante.
 Si el muchacho jala del cable con 40 N, luego:
Resolución:
mg
T=40N
 Por la primera condición de equilibrio.
 T = mg
 40 N = mg
82 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
80 n
T
T
120 n
T
T
M
g
g
g
 4) El hombre aplica una fuerza 
de 10N. Determina la masa 
del bloque si el sistema está 
en equilibrio.
 4) Determina la fuerza que 
debe aplicar el hombre a la 
cuerda si el sistema está en 
equilibrio. (M=20kg)
 5) Si la esfera está en equilibrio, 
determina la masa de la 
esfera sabiendo que la lectura 
del dinamómetro es de 50N.
 5) Si el bloque de 80N está 
en equilibrio, determina la 
fuerza que ejerce el hombre.
 6) Si el sistema se encuentra en 
equilibrio, determina la fuerza 
que aplica el hombre para 
sostener el bloque de 20 kg.
 6) Halla el WA si el sistema está 
en equilibrio.
A
70 N
T
100n
 3) Halla “T” si el sistema está en 
equilibrio.
 1) Si el bloque está en equilibrio, 
determina “T” (g=10m/s2).
 1) Si la barra está en equilibrio, 
determina el peso de la barra 
sabiendo que la tensión “T” es 
de 35N.
 2) Halla “T” si el bloque está en 
equilibrio.
 2) Determina el peso de la barra 
si la tensión es de 45 N.
 3) Halla la tensión “T” si el 
sistema está en equilibrio. 
(W=360N)
M
T
83
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N° 10
 Halla “M” si la barra está en equilibrio y además 
“T” es igual a 15 N.
 
 a) 10 kg 
 b) 20 kg 
 c) 60 kg
 d) 360 kg
 e) N.A.
 Resolución: M
T
 Halla el WB si el sistema está en equilibrio.
 a) 40 N
 d) 80 N
 b) 20 N
 e) 160 N
 c) 10 N
 Resolución: 
160 N
B
 El siguiente sistema está en equilibrio. Halla WB 
(WA=5N)
 
 a) 10 N
 d) 40 N
 b) 20 N
 e) 50 N
 c) 30 N
 Resolución: B
A
 En este sistema en equilibrio, determina la masa 
del bloque “B” si el bloque “A” posee una masa de 
80kg (g=10m/s2).
 
 a) 20 kg
 b) 2,5 kg
 c) 25 kg
 d) 1,5 kg
 e) 2 kg
 Resolución: 
B
A
84 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4 Un niño de 20 kg está parado en una balanza, 
tal como se muestra. Determina la lectura de la 
balanza en newton (g=10m/s2).
 a) 100 N
 b) 200 N
 c) 50 N
 d) N.A.
 e) 150 N
 Resolución: 
 Halla la fuerza que ejerce el bloque contra el piso, 
si la masa del bloque es de 4 kg y la lectura del 
dinamómetro es de 28 N.
 a) 40 N
 b) 12 N
 c) 68 N
 d) 28 N
 e) 22 N
 Resolución: 
Dinamómetrog
 Halla el peso del bloque si la reacción del piso 
sobre el bloque es de 36 N y además la lectura del 
dinamómetro es de 24 N.
 a) 12 N
 b) 60 N
 c) 36 N
 d) 48 N
 e) 24 N
 Resolución: 
Dinamómetrog
g
 Un joven de 55kg está parado en una balanza, 
tal como se muestra. Determina la lectura de la 
balanza en newton.
 a) 50 N
 b) 250 N
 c) 450 N
 d) 550 N
 e) 275 N
 Resolución: 
g
85
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Si la masa del bloque es de 24kg, determina la fuer-
za que utiliza el hombre para mantener el sistema 
en equilibrio.
 
 a) 10 N
 b) 40 N
 c) 20 N
 d) 30 N.
 e) N.A.
 Resolución: 
 Determina la lectura del dinamómetro (M=2,8kg).
 a) 10 N
 b) 7 N
 c) 8 N
 d) 21 N
 e) 14 N
 Resolución: 
M
 Halla la tensión (T), si el sistema está en 
equilibrio.
 a) 10 N
 b) 30 N
 c) 20 N
 d) 40 N
 e) 25 N
 Resolución: 
T
5kg
4kg
 La masa de “A” es de 1,2 kg. Determina la masa de 
“B” si se sabe que la tensión (1) es de 8N.
 
 a) 2,4 kg 
 b) 1,6 kg 
 c) 3,2 kg
 d) 4,8 kg
 e) N.A.
 Resolución: 
A
B
(1)
86 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Halla “T” si el sistema está en equilibrio W=360N.
 
 a) 45 N 
 b) 90 N 
 c) 180 N
 d) 360 N
 e) 22,5 N
 Resolución: 
W
 Halla el WB si el sistema está en equilibrio.
 
 a) 40 N
 b) 80 N
 c) 20 N
 d) 160 N
 e) 10 N
 Resolución: 
160n
B
 El siguiente sistema está en equilibrio. Halla WB. 
(WA=5N)
 
 
 a) 10 N
 b) 40 N
 c) 20 N
 d) 50 N
 e) 30 N
 Resolución: 
B
A
 En el siguiente sistema en equilibrio, determina 
la masa del bloque “B” si el bloque “A” posee una 
masa de 80kg (g=10m/s2).
 
 a) 20 kg
 b) 2,5 kg
 c) 25 kg
 d) 1,5 kg
 e) 2 kg
 Resolución: 
B
a
87
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
11Estática III
torque
Se denomina también Momento de una fuerza (MO), y viene 
a ser aquella magnitud física de tipo vectorial que mide la 
capacidad de una fuerza para producir rotación sobre un 
cuerpo rígido. La experiencia nos aconseja que el momento 
que se logra con una palanca, será mayor cuanto más intensa 
sea la fuerza aplicada y cuando mayor sea la longitud de la 
palanca. Esto nos conduce a asegurar que la intensidad del 
momento depende de dos factores: de la intensidad de la 
fuerza (F) y de la longitud del brazo de palanza (d).
a. dIreccIón
El vector que representa al momento tiene una dirección 
perpendicular	al	plano	de	rotación	definido	por	el	centro	
de giro y la recta de acción de la fuerza. Su orientación 
viene dada por la regla de la mano derecha.
Eje de giro
MO
F
P
d
Como toda magnitud vectorial, el momento de una fuerza 
tiene:
Antihorario Horario
(+)MO (-)MO
regla de los signos
b. módulo
El efecto de rotación es más intenso cuanto mayor es la 
fuerza aplicada y mayor es el brazo de la palanca. Por tal 
razón, el módulo de momento está dado por:
M = ±F.d
brazo de Palanca
Se	define	el	brazo	de	palanca	de	una	fuerza	como	la	distancia	
medida perpendicularmente desde el centro de rotación 
hasta la recta de acción de la fuerza. Esta distancia es siempre 
una longitud positiva.
casos esPecIales
a. momento mínimo
Si aplicamos una fuerza en una dirección, tal que la 
prolongación de esta pase por el centro de giro del cu-
erpo, se observará que no se provoca ninguna rotación. 
Esto se debe a que el brazo de palanca en dicho caso es 
nulo: d=0. Luego:
MOmín=0
b. momento máximo
Si una misma fuerza es aplicada en varias direcciones, 
notaremos que su brazo de palanca también cambiará. 
Así, cuando el brazo de palanca “d” adquiere su máxima 
longitud, el momento de fuerza habrá alcanzado su 
máximo	 valor.	 En	 la	 figura,	 el	momento	 es	máximo	
cuando la fuerza “F” es perpendicular a la barra, de 
modo que ésta se confunde con el brazo de palanca, 
verificándose	que:
MOmáx=+F.L
88 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Desde que las fuerzas se representan por vectores, debemos 
imaginar que al efectuar la operación de adición de fuerzas, 
ésta se realizará en base a las reglas vistas para los vectores. 
Cuando las fuerzas son de direcciones paralelas, la operación 
de adición nos conduce a una resultante que será paralela 
a las fuerzas componentes, para lo cual se empleará una 
adición algebraica, en el que los signos de las fuerzas se 
asumirán de acuerdo a la selección previa de una dirección 
positiva y otra negativa.
“El momento de la resultante de un sistema de fuerzas con 
relación a un punto ubicado en el plano de las mismas es 
igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas 
componentes con relación al mismo punto.”
1. Halla el momento de “F” con respecto al punto “O”.
 Sabemos:
 
 MO = F . d
 MO = 40 x 3
 MO = 120 N.m 
Resolución:
(a)
(b)
composición de fuerzas paralelas 
(teorema de varignon)
segunda condición de equilibrio
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si está en 
reposo o girando con velocidad angular constante, lo que 
en términos cinemáticos equivale a decir que el cuerpo 
presenta una aceleración angular nula. En la práctica, los 
cuerpo se encuentran en equilibrio de rotación cuando la 
suma de todos los momentos es nula.
equilibrio total
Percibimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuado 
manifiesta	 una	 estado	de	 reposo	 permanente.	Asimismo	
diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio total o 
simplemente en equilibrio cuando se satisfacen simultánea-
mente la primera y segunda condición de equilibrio; es decir, 
un cuerpo está en equilibrio si su aceleración, lineal (a) y 
angular (α), son nulas. En términos de fuerza y momentos, 
un cuerpo se encuentra en equilibrio total si:
1. ΣFX = 0 ∧ ΣFY = 0 
2. ΣM = 0
2. Halla el momento de “F” con respecto al punto “O”.
3m
F=40N
O
La notación: M0 se lee como: El momento de la fuerza“F” 
con respecto al punto “O”. (“O” es el centro de giro).
F
F1 F2 F3
F4 F5
A B
X
R
A
MR
MO = ΣM0 
F
Si: α = O → ΣM0 = 0 
F
F
F
F
2m
O
37º
F=50N
Centro de giro
FO
O
MF
d
L
F
P
89
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
 Descomponemos “F”:
Resolución:
2m
37º
F1=30N
F2=40N
O
3m
 * El momento de F1 es cero.
 * El momento de F2 es:
 
 MO = f . d
 MO = 40 x 2
 MO = -80 N.m 
3. Determina el momento de “F” respecto a “O”.
3m
O
30º
F=20N
 Descomponemos “F”:
Resolución:
O
30º
F1=10N
F2=10 3N
 * El momento de F2 es cero.
 * El momento de F1 es:
 
 MO = F . d
 MO = 10 . 3
 MO = 30 N.m 
4. La barra de m = 4kg está en equilibrio. Halla F.
2m
F
 Tenemos:
Resolución:
1m
2m
F
mg=40N
 Luego:
 
 MO
F = MO
mg
 F x 2 = 40 x 1
 F =
 F = 20 N 
40
2
5. Calcula el momento de “F” respecto de “O”.
F=25N
 La fuerza “F” no produce giro 
alguno, por tanto:
 MO = Cero
Resolución:
F2
F2
F2
El signo “menos” es debido a que F2 produce un momento 
en sentido horario.
F1
F1
F1
F
90 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
37º F C
1m3m
30º
F B
2m
g 3m
Q
2m
5m
g
53º
30º
5m
3m
F
P
3m
α
g
2m
F
P
 5) El momento de la fuerza F=50N con respecto al 
punto “P” es 120 N.m. Calcula “α”.
 1) Calcula el momento de la fuerza F=40 N con 
respecto al punto “B”.
 2) Calcula el momento de la fuerza F=50N con 
respecto al punto “C”.
 3) Calcula el momento de la fuerza F=70N con 
respecto al punto “Q”.
 4) El momento de la fuerza “F” con respecto al punto 
“P” es 250 N.m. Calcula “F”.
 6) Calcula el momento de la fuerza F=60N con 
respecto al punto “M”.
53º
F
M
2m
5m
4mF1=30N
F
 11) Determina el momento 
produc ido por una 
fuerza “F” en la barra 
con respecto a “B”.
Rpta: ________
37º
4m
10m
B
AF=12N
 13) Calcula el momento 
resultante con respecto 
al punto “A”.
 15) La barra uniforme y 
homogénea pesa 40N, 
calcula el peso “Q” 
para que permanezca 
horizontal. F=200N.
 7) Calcula el momento de 
la fuerza F=60N con 
respecto al centro de la 
barra.
 9) Determina el momento 
producido por una 
fuerza F=10N. En la 
barra con respecto al 
punto “A”.
 16) Una barra homogénea AB, 
de peso “W” y de longitud 5L, 
está articulada en el punto 
“A”. Halla la magnitud de la 
fuerza “F” para que la barra 
esté en equilibrio.
F
W
B
A
L
L
2
60º
F1=10N F2=50N
F3=20N
A
2m
4m
g
16ºA
5m
1m
F
F
1m 3m
Q
91
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N° 11
 Determina el momento resultante en la barra 
ingrávida con respecto al punto “O”.
 
 a) 45 N.m
 b) 75 N.m
 c) 120 N.m
 d) 85 N.m
 e) 165 N.m
 Resolución: 
 Calcula la tensión en la cuerda “B”, si la barra 
homogénea pesa 100N (g=10m/s2).
 
 a) 10 N
 b) 30 N
 c) 80 N
 d) 100 N
 e) 20 N
 Resolución: 
A B
3a 5a
 Determina el momento resultante sobre la barra 
ingrávida con respecto al punto “O”
 
 a) 10 N.m
 b) 120 N.m
 c) 20 N.m
 d) 220 N.m
 e) 30 N.m
 Resolución: 
16º
37º
2m6m
4m
25N
20N
 Calcula la tensión en la cuerda “A” si la barra es 
homogénea y de 180N de peso.
 
 a) 45 N
 b) 85 N
 c) 65 N
 d) 100 N
 e) 75 N
 Resolución: 
B A
6aa
30º
60º
2m5m
3m
15N
10 3N
O
92 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
 La barra homogénea de 10kg se mantiene en la 
posición mostrada. Determina la masa del bloque 
“M” (g=10m/s2)
 
 a) 4 kg
 b) 10 kg
 c) 6 kg
 d) 12 kg
 e) 8 kg
 Resolución: 
37º
53º
m=3kg M
 La barra homogénea de 10kg de peso se mantiene 
en la posición mostrada. Determina la masa del 
bloque “m”, si: M=9kg.
 
 a) 4 kg
 b) 3 kg
 c) 6 kg
 d) 7 kg
 e) 5 kg
 Resolución: 
53º
m
M
 Determina el valor de la reacción en la articula-
ción si la barra homogénea de 10kg se mantiene en 
la posición mostrada. (g=10m/s2; senθ=0,25)
 
 a) 15 N
 b) 35 N
 c) 20 N
 d) 50 N
 e) 25 N
 Resolución: 
 La barra homogénea de 10kg se encuentra en 
equilibrio. Determina el valor de “α” si la reacción 
en la articulación es de 60N.
 
 a) 45º
 b) 53º
 c) 30º
 d) 60º
 e) 37º
 Resolución: 
α
m
m
θ
a
a
93
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Determina el valor de “F” para que la placa me-
tálica de 80N de peso se mantenga en la posición 
mostrada.
 a) 20 N
 b) 50 N
 c) 30 N
 d) 60 N 
 e) 40 N
 Resolución: 
 Determina el valor de “F” para que la placa me-
tálica de 40N de peso se mantenga en la posición 
mostrada.
 a) 20 N
 b) 60 N
 c) 30 N
 d) 10 N
 e) 40 N
 Resolución: 
37º
10m
12m
F
37º
5a
3a F
2a
70N
 Si	todas	las	superficies	son	lisas	en	el	siguiente	sis-
tema en equilibrio, determina el valor de la fuerza 
con que la esfera de 2kg de masa presiona el piso 
(g=10m/s2; MBarra=4kg; α=30º).
 
 a) 25 N
 b) 37,5 N
 c) 32,5 N
 d) 30 N
 e) 42,5 N
 Resolución: 
α
α
8m
2m
 El siguiente sistema está en equilibrio. Determina 
el	valor	de	la	tensión	en	la	cuerda	si	las	superficies	
son lisas, R=3m, la masa de la esfera es 3kg y la 
barra pesa 100N.
 
 a) 20,5 N
 b) 22,5 N
 c) 18,5 N
 d) 10,5 N
 e) 21,5 N
 Resolución: 
α
α
4m
1m
A
B
R
94 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Una barra uniforme de 200N se muestra en la 
figura.	Dónde	estará	ubicado	el	 punto	de	apoyo	
para que la barra se mantenga en equilibrio. Halla 
“x”. (longitud de la barra “L”)
 
 a) 4/7 L
 b) 2/7 L
 c) 3/5 L
 d) L/7
 e) 2/5 L
 Resolución: 
 El esquema muestra una barra homogénea en 
equilibrio	apoyada	sobre	un	superficie	horizontal.	
Determina el ángulo “θ” para el cual la tensión en 
la cuerda, sea nula.
 
 a) 53º
 b) 45º
 c) 37º
 d) 30º
 e) Imposible
 Resolución: 
θ
2m
3m
200N 300N
x
 El siguiente sistema se encuentra en equilibrio. 
Calcula el valor de la masa “M”, si la barra de 7kg 
de masa se mantiene en esa posición.
 
 a) 200 kg
 b) 125 kg
 c) 100 kg
 d) 75 kg
 e) 150 kg
 Resolución: 
 Una barra homogénea de 8kg permanece en repo-
so, tal como se muestra. Determina lo que indica 
la balanza (M=3kg; g=10m/s2).
 a) 20 N
 b) 10 N
 c) 5 N
 d) 25 N
 e) 15 N
 Resolución: 
60º
M
7º
37º
53º
21º
M
95
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
12Dinámica Lineal
obJetIvos
Después de completar el estudio de este capítulo, el alumno:
* Describirá la relación entre fuerza, masa y aceleración, 
e indicará las unidades congruentes para cada una de 
esas variables en el sistema métrico y en los sistemas de 
unidades usuales de Estados Unidos.
*	 Definirá	las	unidades	newton	y	slug,	y	explicará	por	qué	
son unidades derivadas y no fundamentales.
*	 Demostrará	mediante	definiciones	y	ejemplos	su	comp-
rensión de la diferencia entre masa y peso.
* Determinará la masa a partir del peso y el peso a partir 
de la masa en un lugar donde se conozca la aceleración 
debida a la gravedad.
* Dibujará un diagrama de cuerpo libre para objetos en 
movimiento con acele-ración constante, estableciendo 
que la fuerza resultante es igual a la masa total multi-
plicada por la aceleración, y calculará los parámetros 
desconocidos.
De acuerdo con la Primera Ley de Newton sobre el mov-
imiento, un objeto sufrirá un cambio en su estado de mov-
imiento o de reposo únicamente cuando actúe sobre él una 
fuerza resultante, no equilibrada. Ahora sabemos que un 
cambio en el movimiento, por ejemplo, un cambio en la 
velocidad, da por resultado una aceleración. En múltiples 
aplicaciones industriales necesitamos ser capaces de predecirla aceleración que se producirá mediante una determinada 
fuerza. Por ejemplo, la fuerza hacia adelante que se requiere 
para acelerar un automóvil en reposo, hasta una velocidad 
de 60 km/h en 8 s es algo que interesa a la industria auto-
motriz. En este capítulo se estudiarán las relaciones entre 
fuerza, masa y aceleración.
masa Y Fuerza
La masa es una medida cuantitativa de la inercia. Cuanto 
mayor es la masa, más se “resiste” un cuerpo a ser acel-
erado. Es fácil relacionar el concepto con las experiencias 
cotidianas. Si golpeamos una pelota de ping - pong y un 
balón de baloncesto con la misma fuerza, el balón tendrá 
Un	newton	es	la	cantidad	de	fuerza	neta	que	confiere	una	
aceleración de un metro por segundo al cuadrado a un cuerpo 
con una masa de un kilogramo.
F
a
x
m
(a)
2a
2F x
m
(b)
(c)
a
2
x
m
F
2
una aceleración mucho menor porque su masa es mucho 
mayor. Si una fuerza causa una aceleración grande, la masa 
del cuerpo es pequeña; pero si la misma fuerza causa una 
aceleración pequeña, entonces la masa es grande.
La unidad de masa en el S.I. es el kilogramo. Dijimos que 
el	 kilogramo	 se	define	oficialmente	 como	 la	masa	de	un	
trozo de aleación platino - iridio mantenida en una cámara 
acorazada cerca de París. Podemos usar este kilogramo 
estándar,	para	definir	el	newton.
96 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
segunda leY de newton
Nos hemos cuidado de decir que la fuerza neta sobre un 
cuerpo hace que éste se acelere. Los experimentos muestran 
que si se aplica a un cuerpo una combinación de fuerzas F1, 
F2, F3,...etc, el cuerpo tendrá la misma aceleración (mag-
nitud y dirección) que si se aplicara una sola fuerza igual 
a la suma vectorial F1+F2+F3+... Es decir, el principio de 
superposición de las fuerzas también se cumple cuando la 
fuerza neta no es cero y el cuerpo está acelerando.
Existe relación entre la magnitud de la fuerza neta sobre 
un cuerpo con la magnitud de la aceleración que produce. 
También vimos que la dirección de la fuerza neta es la de la 
aceleración, independientemente de que la trayectoria del 
cuerpo sea recta o curva. Newton unió todas estas relaciones 
y resultados experimentales en un solo enunciado conciso 
que llamamos la Segunda Ley de Newton del Movimiento.
Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se 
acelera. La dirección de la aceleración es la misma que la 
de la fuerza neta. El vector fuerza neta es igual a la masa 
del cuerpo multiplicada por su aceleración.
En símbolos:
 Resultante = masa . aceleración
R = m . a
¿cómo aplicar la segunda ley de newton?
La relación vista antes es preferible aplicarla así: ma=R
Mnemotencia: la ecuación se lee como “mar”.
Dado que R = F, entonces cuando se tienen sistemas físicos 
que presentan un buen número de fuerzas componentes será 
preferible aplicar la segunda ley de Newton de la siguiente 
forma:
Fuerzas a 
favor de “a”
Fuerzas en 
contra de “a” = m . a-
Ejemplo:
Halla la aceleración con que avanza el bloque (m = 5kg).
F1=100N
W
a
F2=60N
N
Resolución:
Segunda ley de Newton:
FR = m.a → F1 - F2 =m . a
→ 100 - 60 = 5 . a → a = 8 m/s2
Las fuerzas que son perpendiculares al movimiento se 
anulan ∴W=N
PESO = MASA x GRAVEDAD
Cuidado!!!
Ejemplo:
 m = 4kg (g=10m/s2)
 → PESO = 40 N
masa Y Peso
El peso de un cuerpo es una fuerza que nos es familiar; es la fuerza 
con que laTierra atrae al cuerpo. Estudiaremos las atracciones 
gravitatorias con detalles más adelante, pero es preciso hacer 
aquí un tratamiento preliminar. Es común usar incorrectamente 
e intercambiar los términos masa y peso en la conversación co-
tidiana. Es indispensable que el alumno entienda claramente las 
diferencias entre estas dos cantidades físicas.
La masa caracteriza las propiedades inerciales de un cuerpo; es lo 
que mantiene la vajilla en la mesa cuando sacamos el mantel de 
un tirón. A mayor masa, más fuerza se necesita para causar una 
aceleración	dada;	esto	se	refleja	en	la	Segunda	Ley	de	Newton,	
ΣF=ma. El peso, en cambio, es una fuerza ejercida sobre un cuerpo 
por la atracción de la Tierra y otro cuerpo grande. La experiencia 
cotidiana nos muestra que los cuerpos con masa grande tienen 
un peso grande. Es difícil lanzar un peñasco por su gran masa y 
difícil levantarlo del suelo por su gran peso. En la luna el peñasco 
sería igualmente difícil de lanzar horizontalmente, pero sería más 
fácil de levantar. ¿Qué relación hay entonces entre masa y peso?
Ejemplo de dinámica con rozamiento
Observación:
El rozamiento es una fuerza de oposición al deslizamiento 
y por lo tanto se dibuja contrario a la dirección de éste.
Ejemplo:
Halla la aceleración del bloque de 5kg si es jalado por una 
fuerza F=40N y el rozamiento vale 15N.
F
a
97
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolución:
Representamos al rozamiento y las demás fuerzas.
F
aW
N
FK=15N
 m.a = R
 5 . a = 40 - 15
 a = 5 m/s2
1. Halla la aceleración del bloque. (m=2kg)
a
30N 70N
 Aplicamos la Segunda Ley de Newton.
 FR = m.a
 70 - 30 = 2a
 40 = 2a
 a = 20 m/s2
Resolución:
4. Halla la aceleración del sistema.
3 kg6 kg
T12N 30N
 Aplicando la Segunda Ley de Newton.
 FR = m.a
 
 30 - 12 = (6+3)a
 30 - 12 = 9a
 18 = 9a
 a = 2 m/s2
Resolución:
5. Halla la tensión en el problema anterior.
T
3 kg
Resolución:
30N
 FR = m.a
 
 30 - T = 3(2)
 30 - T = 6
 30 - 6 = T
 24N = T
2.	 Del	gráfico,	halla	la	aceleración	del	bloque.
a
15N
F=50N
5 kg 37º
Resolución:
15N 37º
30N
40N
 FR = m.a
 40 - 15 = 5a
 25 = 5a
 a = 5 m/s2
3. ¿Con qué aceleración de baja la esfera de 7kg?
a
42N
Resolución:
42N
mg=70N
 FR = m.a
 70 - 42 = 7a
 28 = 7a
 a = 4 m/s2
98 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
a
10N
5 kg
40N
a
20N
5 kg
40N
a
8 kg
20 2 N
45º20 N
a
5 kg
50 N
37º10 N
a
F
F
a
a=6m/s2
8 kg
F
45º40 N
 1) Halla la aceleración con qué es llevado el bloque 
sobre	la	superficie	lisa.
 1) Halla la aceleración con qué es llevado el bloque 
sobre	la	superficie	lisa.
 2) Halla la aceleración con qué es llevado el bloque 
sobre	la	superficie	lisa.
 2) Halla la aceleración con qué es llevado el bloque 
sobre	la	superficie	lisa.
 3) Halla "F" que lleva al bloque con la aceleración 
mostrada
 3) Halla "F" que lleva al bloque con la aceleración 
mostrada
a=4m/s2
10 kg
40N
37ºF
6kg
4kg
2kg
3kg
3kg
6kg
6kg
 4) Indica la aceleración del bloque 
de 5kg de masa si F=80N y 
g=10m/s2
 5) Halla la aceleración con qué se 
mueve el sistema y la tensión 
en la cuerda. (Considera que 
no hay rozamiento)
 6) Halla la aceleración con qué se 
mueve el sistema y la tensión 
en la cuerda. (Considera que 
no hay rozamiento)
 4) Halla con qué aceleración 
baja la esfera de 6kg cuando 
es jalado con la fuerza F=30N 
(g=10m/s2).
 6) Halla la aceleración con qué se 
muev e el sistema y la tensión 
en la cuerda. (Considera que 
no hay rozamiento)
 5) Halla la aceleración con qué se 
mueve el sistema y la tensión 
en la cuerda. (Considera que 
no hay rozamiento) 7kg
3kg
99
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 Halla la aceleración con qué se mueve el sistema 
y la tensión en la cuerda. (Considera que no hay 
rozamiento)
 Resolución: 
 Halla la aceleración con qué se mueve el sistema 
y la tensión en la cuerda. (Considera que no hay 
rozamiento)
 Resolución: 
PROBLEMAS PARA CLASE N° 12
 Halla con qué aceleración sube el bloque, en m/s2 
(m=5)
 a) 1
 b) 2
 c) 3
 d) 4
 e) 5
 Resolución: 
4 kg3 kg
F=28N
a
1 kg2 kg
F=18Na
37º
40
m
 Halla con qué aceleración baja el bloque, en m/s2 
(m=5 kg)
 a) 10
 b) 12
 c) 14
 d) 16
 e) 18
 Resolución: 
53º20N
100 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
 Se indica la masa del cuerpo y la fuerza que lo 
lleva. Calcula su aceleración.
 Resolución: 
37º
50N
5k
g
37º
 Se indica la masa del cuerpo y la fuerza que lo 
lleva. Calcula su aceleración.
 Resolución: 
30º
5k
g
10N
 Se indica la masa del cuerpo y la fuerza que lo 
lleva. Calcula su aceleración.
 Resolución: 
53º
60º
10kg
40N
 Se indica la masa del cuerpo y la aceleración con 
la que va. Halla la fuerza “F” que participó:
 Resolución: 
37º
5 kg
a=9m/s2
F
101
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Halla el valor del ángulo “θ”, para que el bloque de 
masa m=1kg se mueva con aceleración a=1m/s2 
en la dirección del eje “x”.
 
 a) 30º
 b) 53º
 c) 37º
 d) 60º
 e) 45º
 Resolución: 
 Halla la distancia que recorre el cuerpo de masa 
m=5kg, cuando sobre él actúa la fuerza constante 
de magnitud F=1N, durante 10s.
 
 a) 10 m
 b) 16 m
 c) 12 m
 d) 18 m
 e) 14 m
 Resolución: 
 Un ascensor desciende con aceleración constante 
de magnitud a=1m/s2. Una persona, cuyo peso es 
de 800N, se encuentra parado dentro del ascensor. 
Halla la magnitud de la fuerza que ejerce la perso-
na sobre el piso del asensor. (g=10m/s2)
 a) 720 N
 b) 780 N
 c) 740 N
 d) 800 N
 e) 760 N
 Resolución: 
 Un ascensor se mueve verticalmente hacia arriba 
con aceleración constante y recorre 1m en el 
primer segundo, partiendo del reposo. Además un 
bloque se encuentra sujeto de una cuerda dentro 
del ascensor. Si el peso del bloque es de 5N, halla 
la tensión de la cuerda. (g=10m/s2)
 a) 1 N
 b) 6 N
 c) 2 N
 d) 8 N
 e) 4 N
 Resolución: 
W
a
a
10N
θ5 N
10N
µ=0
F
VO=0 µ=0
d
aµ=0
102 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Un hombre de 50kg reposa sobre un carril de 40kg. 
Si el hombre tira de la cuerda con 450N, halla la 
aceleración del sistema.
 a) 12 m/s2
 b) 6 m/s2
 c) 8 m/s2
 d) 2 m/s2
 e) 10 m/s2
 Resolución: 
 Calcula la aceleración del sistema carente de fric-
ción para que la moneda no se mueva con respecto 
al carril.
 
 a) tanα
 b) senα 
 c) gsenα
 d) gtanα
 e) gcotα
 Resolución: 
g
2
g
2
α
 Sobre un carril se aplica una fuerza costante 
de 60N. Si M=5m=5kg, halla la deformación 
del muelle si tiene una constante de rigidez de 
10N/cm. Desprecia fricciones. (g=10m/s2)
 
 a) 5,2 cm
 b) 4 cm
 c) 4,8 cm
 d) 2 cm
 e) 3,6 cm
 Resolución: 
 Halla	la	fuerza	“F”	suficiente	para	que	el	bloquecito	
“m” no resbale con respecto a 4m.
 
 a) 
 b) 3mgµ
 c) 7mgµ
 d) 10mgµ 
 e) mgµ
 Resolución: 
5mg
µ
4m
F
µ
37º
F
mM
103
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
13Trabajo Mecánico
Por propia experiencia sabemos que necesitamos fuerza para 
alterar la rapidez de un objeto, para vencer el rozamiento, 
para comprimir un resorte, para moverse en contra de 
la gravedad; en cada caso debe realizarse trabajo. En tal 
sentido, el trabajo es vencer siempre una resistencia. 
Luego, entendemos por trabajo a la facultad que tienen las 
fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una 
resistencia, sea ésta una fuerza o bien la propia inercia de 
los cuerpos y sólo habrá trabajo sobre un cuerpo si éste se 
desplaza a lo largo de la línea de acción de la fuerza aplicada.
trabaJo realIzado Por una Fuerza 
constante
Si una fuerza mantiene siempre el mismo valor (módulo) y 
la misma orientación (dirección), se dice que es constante. 
Ahora, cuando el punto de aplicación de la fuerza se 
desplaza, se dice que la fuerza realiza trabajo, cuyo valor 
dependerá de la componente de la fuerza paralela a la 
dirección del movimiento y de la distancia recorrida. Así:
W = Ft.m.d
Ft.m. = Fuerza que transmite movimiento.
Unidades: En el S.I.
F=newton (n) d=metro (m) W=joule (J)
θ
F F
d
θ

d = 4.0 m
F
A

B
Fuerza F realiza un trabajo al desplazar al cuerpo
100 g
P = 1 N
1 N
1 m
W = 1 N • m = 1 J
Una persona, al desplazar 1 m el cuerpo ejerciendo una 
fuerza de 1N, realiza un trabajo de 1J.
trabaJo neto
Llamaremos trabajo neto o total a aquel que se consigue 
sumando los trabajos que varias fuerzas realizan sobre un 
mismo cuerpo para un desplazamiento determinado.Así 
por ejemplo, el trabajo neto vendrá dado así:
WNETO=Suma de todos los trabajos
O si no:
WNETO=FRESULTANTE.d
104 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
W =
casos esPecIales
θ = 0° (cos0° = 1)
d
F
θ = 90° (cos90° = 0)
Toda fuerza a favor del movimiento realiza trabajo 
_____________.
F
d
θ = 180° (cos180° = –1)
Toda fuerza en contra del movimiento realiza trabajo 
______________.
d
F
W =
W =
Las primeras noticias de los relojes 
mecánicos se hallan en los Libros del 
saber de Astronomía de Alfonso X el 
Sabio, compilados en 1267–1277.
El primer motor utilizado en los relojes 
mecánicos fue el de pesas: un peso se 
colocaba en el extremo de una cuerda, 
la	cual	se	fijaba	y	enrollaba	por	el	otro	
extremo a un tambor giratorio; el peso 
descendía y la cuerda, al desenrollarse, 
hacía girar el tambor.
En el siglo XV hubo dos invenciones: 
el motor de muelle y la conoide 
(descrita por Leonardo da Vinci en 
uno de sus bocetos).
Huygens en 1657 construyó un reloj 
mecánico con péndulo.
Galileo había realizado ya un boceto 
de un reloj de péndulo en 1641.
el reloJ mecánIco
Cuando una fuerza 
actúa en un cuerpo 
y no se desplaza, 
no realiza trabajo 
alguno.
105
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Halla el trabajo realizado por “F”.
F = 10N
d = 6m
 2) Halla el trabajo realizado por “F”.
F = 5N
d = 8m
V
 3) Halla el trabajo que desarrolla F=10N.
d = 5m
F 
 1) Calcula el trabajo que desarrolla F=20N al desplazar 
al bloque desde A hasta B.
F
Mov
BA
8 m
 2) Halla el trabajo realizado por F=50N.
F
d = 4m
 3) Determina el trabajo que desarrolla F=50N para 
desplazar al bloque una distancia de 10m.
10 m
F 
 4) Determina el valor de “F” si sobre el cuerpo se 
desarrolló 50 J de trabajo.
F
25m
 4) Halla F si el trabajo neto sobre el bloque para un 
desplazamiento de 5m es 30 J.
F=10N
F
 5) Si el bloque de 5kg sube a velocidad 
constante, halla el trabajo realizado 
por el peso.
F
6m
m
 5) Determina que trabajo desarrolla 
el peso de un cuerpo de 6kg si 
el movimiento es de A hasta B. 
Además, el joven deja caer al 
bloque inicialmente.
V=0
10m
 6) Halla el trabajo realizado por “F” si m=4kg.
d = 10m
F5N
m
a= 5m/s2
 6) Halla el trabajo realizado por “F” si m=6kg.
d = 8m
30NF
m
a= 4m/s2
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
106 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N° 13
Si el bloque de 4kg sube a velocidad constante, 
halla el trabajo realizado por “F”.
a) 200 J
b) 20 J
c) –200 J
d) –30 J
e) –20 J
F
d = 5m
Si el bloque se desplaza a velocidad constante, halla 
el trabajo por “F”.
a) 180 J
b) –180 J
c) –30 J
d) 200 J
e) –200 J
F
6 m
V
30N
Halla el trabajo resultante sobre el cuerpo de 5 kg.
a) 120 J
b) –120 J
c) 200 J
d) 80 J
e) –80 J
20N
d = 4m
mov
50N
Determina el trabajo desarrollado por “F” si:
m = 4 kg.
a) 200 J
b) 20 J
c) 100 J
d) 300 J
e) 250 J
F
5m/s2
5m
m
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:107
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Halla el trabajo realizado por “F” sobre el cuerpo 
de 8 kg.
a) 96 J
b) 350 J
c) 300 J
d) 180 J
e) 160 J
3m/s2
F
0,2
0,7{µ
d = 4m
Halla el trabajo realizado por “f” si m = 2kg.
a) –150 J
b) 320 J
c) 3 J
d) –320 J
e) 300 J
F=50N
f m
a= 5m/s2
8 m
En	 la	 figura,	 halla	 el	 trabajo	 realizado	 por	 “F”;	
m=6kg.
a) 1500 J
b) 1680 J
c) 800 J
d) 480 J
e) 250 J
2m/s
d
m m
5s
4N F
22m/s
4N F
En la figura, halla el trabajo que efectúa “F”; 
m=8kg.
a) –1600 J
b) 1600 J
c) –2400 J
d) –3200 J
e) 3200 J
6m/s
d
m m
4s
F 90N
26m/s
F 90N
A B
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
108 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
En	la	figura,	determina	el	trabajo	resultante,	si	el	
bloque	realiza	MRU.	Considera	superficie	rugosa.
a) 480 J
b) –150 J
c) –600 J
d) Cero
e) 250 J
8m/s
2 s
F=30N
Si el bloque realiza MRU, halla el trabajo 
desarrollado por “F”.
a) –60 J
b) 60 J
c) 120 J
d) –240 J
e) –120 J
2m/s
4 s
30NF
En	 la	 figura	 halla	 el	 trabajo	 resultante	 sobre	 el	
cuerpo de 8kg.
a) 36 J
d) 96 J
b) 24 J
e) –96 J
c) –36 J
d = 2m
2N F
6m/s2
Determina el trabajo resultante sobre el bloque 
de 6 kg.
a) 12 J
b) 6 J
c) 36 J
d) 24 J
e) 18 J
F
3m
2m/s2
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
109
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Halla el trabajo efectuado por la fuerza de 
rozamiento; m=4kg.
a) 144 J
b) -48 J
c) -144 J
d) 48 J
e) Cero
F
0,2
0,6 {µ
d = 6m
m
Halla el trabajo de la fuerza de fricción, para un 
tramo de 5m. (f=10N).
a) 500 J
b) –500 J
c) 50 J
d) 600 J
e) –550 J
F
¿Qué trabajo desarrolla el peso de una esferilla de 
2kg. para subir de A hasta B, la trayectoria es lisa.
a) –80 J
b) 80 J
c) 100 J
d) 50 J
e) –100 J
A
B
4m
Determina el trabajo que debe realizar un levantador 
de pesas para elevar desde el piso hasta una altura de 
2m. (La masa de las pesas es de 80 kg)
a) 160 J b) 10 J c) 1600 J
d) 1000 J e) 400 J
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
110 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Capítulo
14Energía Mecánica
eFemérIdes de algunos 
Inventos Y descubrImIentos
algunos PremIos nobel de FísIca
 1783 Charles Globo de hidrógeno
 1785 Blanchard Paracaídas
 1787 Bennet Electroscopio de 
 láminas de oro
1915
Wiliam Henry Bragg y su hijo William 
Lawrence Bragg de Inglaterra, por el análisis 
de la estructura del cristal mediante rayos X.
1916 No se concedió.
1917
Charles y Barkla (Inglaterra), por su 
descubrimiento de la radiación Roentgen 
de los elementos.
La energía es uno de esos conceptos fundamentales para los 
cuales	es	difícil	encontrar	una	definición	simple	y	precisa	
sin recurrir a la física. Así por ejemplo, mencionamos que 
en nuestros hogares “consumimos” la energía eléctrica. 
En realidad, no la consumimos, sino que la transformamos. 
Al utilizar la licuadora, convertimos la energía eléctrica 
parte en energía mecánica y parte en energía térmica.
Como	una	definición	simple	podemos	decir,	que	la	energía	
mide la cantidad de trabajo acumulado o es la __________ 
que se tiene para realizar ____________________________.
unidad
Como la energía es la capacidad para realizar trabajo, 
entonces tendrá la misma unidad que el trabajo, es decir, 
su unidad es el joule (J).
Veamos algunos ejemplos de energía.
Energía
química
Energía 
luminosa
y térmica
El concepto de energía le era desconocido a 
Newton y su existencia era aún tema de debate.
Sol
..................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
. ..............
.................
Energía Solar
Viento
Energía
Eólica
111
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
tIPos de energía
En la naturaleza se presentan diversas y complejas formas 
de movimiento que están asociadas a la energía que poseen. 
Así por ejemplo, energía mecánica, eléctrica, nuclear, eólica, 
etc. En nuestro estudio sólo veremos la energía mecánica y 
dentro de ésta citaremos a la energía potencial y cinética.
energía cInétIca (ec)
Es la energía asociada al movimiento de traslación de un 
cuerpo.
Donde: m : ____________ (kg)
 v : ____________ (m/s)
Ec = mv
21
2
m
V
Ejemplo :
Halla la energía para un cuerpo de 3 kg que viaje a razón 
de 4m/s.
Resolución:
En este caso 
identificamos	la	masa	y	
velocidad del cuerpo.
m = 3 kg V = 4 m/s ⇒ Ec =
V = 4 m/s
3(4)2
2
Ec = 24 J
energía PotencIal (eP)
Es la energía almacenada que posee un cuerpo debido a la 
altura a la cual se encuentre respecto a un nivel de referencia 
(N.R.) escogido arbitrariamente.
donde:
 m : ____________ (kg)
 g : ____________ (m/s2)
 h : ____________ (m)
EP = mghh
N.R.
m
m
g
observación
El nivel de referencia se puede asumir donde es más 
conveniente. Siempre debe ser una horizontal.
Ejemplo :
Halla la energía potencial para los distintos observadores 
A, B y C si m=4kg (g=10m/s2).
C
B
A
m
3 m
5 m
Resolución:
Obs. a: Ep = mgh
m = 4 kg g = 10 m/s2 hA = 5 m Ep = 200 J
Obs. B:
m = 4 kg g = 10 m/s2 hB = 0 Ep = 0
Obs. C:
m = 4 kg g = 10 m/s2 hC = –3 m Ep = –120 J
 Si v = 0, entonces la energía cinética será:
Ec = __________
energía mecánIca (em)
Es la suma de la energía cinética y la energía potencial de 
un cuerpo.
Donde:
 EC : ___________________
 Ep : ___________________
EM = Ec + Ep
112 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
 1) Halla la energía cinética del bloque de 4kg.
18 km/h
2 m N.R.
 1)	 En	la	figura	mostrada,	
h a l l a l a e n e r g í a 
cinética del cuerpo de 
2kg.
72 km/h
6 m
N.R.
 2) Halla la energía cinética de un cuerpo de 4 kg luego 
de 3 s si partió con una velocidad de 4 m/s.
2 m/s
4 m/s
 2) Si un móvil parte del reposo, determina la energía 
cinética luego de 4s, sabiendo que acelera a razón 
de 3 m/s2 y posee una masa de 8kg.
 3)	 En	la	figura	mostrada,	halla	la	energía	mecánica	del	
cuerpo de 2 kg al pasar por A y B, respectivamente.
4 m/s
6 m/s
N.R4 m
6 m
A
B
 3) H a l l a l a e n e r g í a 
mecánica del cuerpo 
de 5kg al pasar por A y 
B, (respectivamente).
8 m/s
4 m/s
N.R
37°
A
4 m 8 m
B
 4) En el esquema, se dispara un objeto de masa m=2kg 
con una velocidad de 50 m/s. ¿Cuál será su energía 
cinética en el punto de su altura máxima?
37°
N.R
 4) Del ejercicio anterior, calcula la energía mecánica 
en el punto de su altura máxima.
 5) Determina la energía mecánica para el proyectil de 
2kg cuando alcanza su punto más alto.
30°
40 m/s
 5)	 En	la	figura	mostrada,	determina	la	energía	cinética	
de la esfera de 4 kg luego de 3s.
53° N.R.
50 m/s
 6) ¿A qué altura se encuentra un cuerpo de 4kg si en 
el instante en que su velocidad es 2 m/s posee una 
energía de 88 J?
 6) Un cuerpo es soltado desde una altura de 80 m. 
Calcula su energía mecánica luego de 2 s (masa del 
cuerpo =1kg). Considera N.R. el piso.
113
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 14
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
Halla la energía mecánica para el cuerpo de 4 kg 
al pasar por “A” y respecto al suelo.
a) 3800 J
b) 1800 J
c) 3600 J
d) 4200J
e) 2000 J
A
95 m
Vi = 0
3 s
N.R
¿En qué relación se encuentran las energías 
potenciales para el cuerpo de 10 kg respecto a 
los puntos “A” y “B” luego de 5 s de iniciado el 
movimiento?
a) 7/3
b) 8/3
c) 5/3
d) 2/3
e) 1/3
B
A Vi= 0
200 m
5 s
Determina la energía mecánica de la piedra al pasar 
por “A” si su masa es 2 kg.
a) 2000 J
b) 3500 J
c) 1500 J
d) 3600 J
c) 800 J
60 m/s
2 s
A
Halla la energía mecánica del proyectil de 5 kg al 
pasar por “B”.
a) 2000 J
b) –2500 J
c) –1250 J
d) 4000 J
e) 3000 J
3 s40 m/s
B
114 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Un auto de 1000 kg se desplaza a una velocidad 
constante de 0,5 m/s. ¿Cuál es su energía cinética?
a) 625 J b) 3125 J c) 1300 J
d) 4125 J e) 200 J
Un cuerpo de 200 g se desplaza horizaontalmente 
con una velocidad de 20 m/s. Determina su energía 
cinética en Joule (J).
a) 400 J
b) 40 J
c) 100 J
d) 80 J
e) 20 J
Una pelota de 1 kg al ser lanzada en la posición 
mostrada tiene una rapidez de 6 m/s. Determina su 
energía mecánica respecto al nivel del piso
a) 68 J
b) 90 J
c) 78 J
d) 79 J
e) 18 J
6m
V
Halla la energía mecánica total del cuerpo del 6kg.
a) 720 J
b) 912 J
c) 784 J
d) 612 J
e) 812 J 12 m
8m/s
115
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula la energía mecánica de un cuerpo si su 
masa es de 6kg y se encuentra a 2 m con respecto 
al piso.
a) 420 J
b) 500 J
c) 300 J
d) 120 J
e) 720 J
2 m
36km/h
N.R
Halla la energía mecánica de la esfera en el punto 
“P” sabiendo que V=8m/s y m=4kg.
a) 300 J
b) 100 J
c) 200 J
d) 20 J
e) 368 J
6m
P
m
V
Calcula la energía mecánica del proyectil de 6 kg 
al pasar por “A”.
a) 6300 J
b) 1000 J
c) 1200 J
d) 7500 J
e) –600 J
B
50m/s
3 s
N.R.
1 s
A
Halla la energía mecánica para el cuerpo de 4kg al 
pasar por “A” y respecto al suelo.
a) 3800 J
b) 3600 J
c) 2000 J
d) 1800 J
e) 4200 J A
Vi= 0
95 m
3 s
N.R.
116 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Halla la energía mecánica luego de 2 s de iniciado 
su movimiento; m=2kg.
a) 1300 J
b) 1200 J
c) 100 J
d) –1100 J
e) –500 J
100 m 30m/s
N.R.
En	 la	 figura	mostrada,	 halla	 la	 energía	 cinética	
luego de 3 segundos de haber sido abandonado; 
m=2kg.
a) 600 J
b) 800 J
c) 60 J
d) 900 J
e) 500 J
Determina la energía mecánica de la piedra al 
pasar por “A” si su masa es 2kg.
a) 2000 J
b) 3500 J
c) 1500 J
d) 3600 J
e) 800 J
100 m/s
2 s
A
N.R.
37°
Halla la energía cinética del proyectil de 5 kg al 
pasar por “B”.
 
a) 2000 J
b) 2250 J
c) –1250 J
d) 4000 J
e) 3000 J
3 s40 m/s
B
N.R.
117
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
15Potencia Mecánica
PotencIa
En	la	definición	del	trabajo	no	se	especifica	cuánto	tiempo	
toma realizarlo. Cuando subes las escaleras con una carga 
haces el mismo trabajo ya sea que subas lentamente o 
corriendo. Entonces, ¿por qué te sientes más fatigado 
cuando corres por las escaleras durante unos cuantos 
segundos que cuando subes tranquilamente durante 
unos minutos? Para entender está diferencia es menester 
referirnos a la rapidez con que se hace trabajo, es decir, a 
la potencia. La potencia es la razón de cambio a la que se 
realiza trabajo. 
Es igual al cociente del trabajo realizado entre el intervalo 
de tiempo que toma realizarlo.
Es decir:
Trabajo realizado
Intervalo de tiempo
Potencia = Wt
=
Un motor de alta potencia realiza trabajo con cierta rapidez. 
Un motor de automóvil cuya potencia es el doble de la 
de otro no produce necesariamente el doble del trabajo 
o el doble de rapidez que el motor menos potente. Decir 
que	tiene	el	doble	de	potencia	significa	que	puede	realizar	
la misma cantidad de trabajo en la mitad de tiempo. La 
ventaja principal de un motor potente es la aceleración que 
produce. Un motor potente puede incrementar la rapidez de 
un auto hasta cierto valor en menos tiempo que un motor 
menos potente.
Podemos considerar la potencia de la siguiente manera: 
un litro de gasolina puede realizar una cantidad de trabajo 
dada pero la potencia que produce puede tener cualquier 
valor, dependiendo de qué tan aprisa se consuma. Un 
litro de gasolina puede producir 50 unidades de potencia 
durante media hora en un automóvil o 90000 unidades 
de potencia durante un segundo en un avión supersónico.
La unidad de potencia es el joule por segundo, también 
llamada watt (en honor a James Watt, quien desarrolló la 
máquina	de	vapor	a	fines	del	siglo	XVIII).	Se	gasta	un	watt	
(W) de potencia cuando se realiza un joule de trabajo en 
un segundo. Un kilowatt (kW) es igual a 1000 watts. Un 
megawatt (MW) es igual a un millón de watts.
concePto de PotencIa
Cuando se contrata un trabajo, sin importar el tiempo que 
tarde en hacerlo, se compra sólo trabajo. Por ejemplo, si 
contratamos a una persona para que lave nuestra ropa sin 
indicarle el tiempo, ella lo podrá realizar en una hora, en 
un día o en un año, con tal de que lo lave todo. Pero si se 
compra el trabajo de un día y se quiere hacer las cosas lo más 
rápido posible, éste es el lenguaje práctico de la industria. 
La potencia es justamente esto, la rapidez de hacer trabajo.
Las máquinas se seleccionan por la potencia que desarrollan. 
Si por ejemplo la máquina (A) tiene mayor potencia que la 
máquina (B), lo que queremos decir es que:
1. En el mismo tiempo, la máquina (A) desarrolla mayor 
trabajo que la máquina (B).
2. La máquina (A) realiza el mismo trabajo que la máquina 
(B) pero en menor tiempo.
Potencia
Es la rapidez con la que se realiza el trabajo.
La unidad del S.I. para la potencia es el joule por segundo 
y se denomina watt (W). Por lo tanto, un foco de 80 W 
consume energía a razón de 80 J/s. 
trabajo 
t
P =
1W = 1J/s
118 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
demostración
Trabajo Realizado
Tiempo empleado en hacerlo
Potencia =
PotencIa Instantánea
Es el tipo de potencia que nos informa de la rapidez con que 
se realiza trabajo en un intervalo de tiempo muy corto. Si la 
potencia es mecánica, su valor instantáneo se determina así:
F
t
d
θ = Ángulo entre “F” y “V”.
V F
θ
Pot = F.V.cosθ
caso especial
F
V
P = F.V.
unIdades de medIda
Símbolo Magnitud Unidades de medida
Trabajo mecánico
Tiempo transcurrido
joule J
Fuerza
segundo s
F newton N
V Velocidad Lineal metro x segundo m/s
W
t
Pot Potencia mecánica watt W
n Eficiencia	o	rendimiento adimensional
Personaje del tema
James Watt
Hijo de un escocés fabricante de instrumentos 
y máquinas, siguió la profesión de su padre, 
convirtiéndose en un técnico muy hábil y talentoso. 
En 1765, creó un nuevo modelo de máquina de vapor 
que contribuyó enormemente al desarrollo industrial 
en el siglo pasado. 
Su invento se empleó en la construcción de los 
primeros barcos y locomotoras a vapor, así como 
para accionar una gran variedad de máquinas en las 
fábricas que empezaban a surgir.
En un motor de pistones la capacidad de ejercer 
potencia, al igual que el torque, es limitada. 
Depende de la fuerza de expansión que logran 
los gases en el cilindro. La potencia máxima se 
consigue cuando el rendimiento volumétrico (% 
de llenado de cilindros) es máximo.
La potencia en términos generales, expresa la 
capacidad para ejecutar un trabajo en el menor 
tiempo posible. Una fuente de energía, que puede 
mover 1 kg de peso por una distancia de 1 metro 
en un sólo segundo de tiempo, se considera más 
potente que otra capaz de desplazar el mismo peso 
en 2 segundos.
119
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
rpta:__________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
 1) Si F=50N y lleva al bloque 
una distancia de 10m, halla 
la potencia desarrollada por 
“F”. Considera el tiempo 5s.
F
37°
 1) Si el bloque es llevado 
gracias a la fuerza F=10N 
durante 2s , ha l l a l a 
potencia desarrollada por 
“F”.
F
4m
 2) El bloque es lanzado 
sobre	 la	 superficie	 rugosa	
avanzado 10 m en 4s. 
Si el rozamiento que le 
afecta fue de 10N, halla la 
potencia desarrollada por 
dicho rozamiento.
V
d=10m
 2) Si el bloque avanzó a la 
derecha 7m en 4s, halla la 
potencia desarrollada por 
F=24N.
F
7m
 3) Si el bloque mostrado es 
llevado por F=100N a 
velocidad constante una 
distancia de 5m en 25s, 
calcula la potencia del 
rozamiento.
F
V Rugoso
 3) El bloque mostrado avanza 
a velocidad de 2m/s gracias 
a la fuerza F=10N, halla la 
potencia de F.
F
V=2m/s
 4) El bloque mostrado es de 
4kg y es levantado por “F” 
a la velocidad de 3m/s. ¿Qué 
potecia desarrolla “F”?
F
V
 4) El bloque mostrado es de 
1kg y es llevado por “F” a 
la velocidad de 3m/s. ¿Qué 
potencia desarrolla “F”?
F
V
 5) El bloque mostrado avanza 
a velocidad constante 
V=5m/s gracias a F=30N. 
¿Cuál es la potencia que 
desarrolla el rozamiento?
F
V
 5) El bloque mostrado avanza 
a velocidad de 2 m/s gracias 
a la fuerza F=200 N. Halla 
la potencia de “F”.
F
V=2m/s
 6) Si el bloque mostrado 
avanza a ve loc idad 
constante de 4 m/s, halla 
la potencia desarrollada 
por “F”. Se sabe que 
el rozamiento que le 
afecta en su base es 10N 
(m=6kg).
F
V=4m/s Rugoso
 6) Si el bloque mostrado avanza 
a velocidad constante de 
2m/s, halla la potencia 
desarrollada por “F”, si se 
sabe que el rozamiento que 
le afecta en su base es 20N.
F
V=2m/s
120 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 15
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Si el bloque mostrado es llevado a la velocidad de 
4m/s y si hay rozamiento, halla la potencia que 
desarrolla “F”.
a) 10 W
b) 40 W
c) 20 W
d) 50 W
e) 30 W
F
V
3kg
µ = 1
6
Si el bloque mostrado es llevado a la velocidad de 
6m/s y si hay rozamiento, halla la potencia que 
desarrolla “F”.
a) 90 W
b) 160 W
c) 120 W
d) 180 W
e) 140 W
F
V
9kg
µ = 13
El bloque mostrado avanza a velocidad constante 
V=5m/s gracias a F=20N. ¿Cuál es la potencia 
que desarrolla el rozamiento?
a) 80 W
b) –100 W
c) –80 W
d) 90 W
e) 100 W
F
V
El cohete mostrado avanza a la velocidad de 10m/s 
venciendo la resistencia del aire que vale 30N. ¿Cuál 
es la potencia que desarrollan sus propulsores?
a) 200 W
b) –300 W
c) –250 W
d) –200 W
e) 300 W
V
121
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Encuentra la potencia (en kW) de una grúa 
sabiendo que eleva 60 sacos de harina de 100 kg 
cada uno hasta una plataforma ubicada a 3 m de 
altura en 1 minuto. (g=10m/s2)
a) 9 kW
b) 3 kW
c) 4 kW
d) 5 kW
e) 7 kW
Una grúa es capaz de levantar una masa de 100kg a 
una altura de 15m en 5s. ¿Qué potencia expresada 
en watts suministra la máquina?
(g=9,8m/s2)
a) 5400 b) 1980 c) 2080
d) 2940 e) 3000
Un vendedor ambulante aplica una fuerza de 200N 
para empujar un carrito, una distancia de 120m. 
Halla la potencia desarrollada al cabo de 2 minutos 
que duró el recorrido.
a) 150 W
b) 140 W
c) 200 W
d) 280 W
e) 260 W
Un vendedor ambulante aplica una fuerza de 100N 
para empujar un carrito, una distancia de 60m. 
Halla la potencia desarrollada al cabo de 1 minuto 
que duró el recorrido.
a) 50 W
b) 40 W
c) 100 W
d) 80 W
e) 60 W
122 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Un persona de 70 kg sube 30 m por las escaleras 
de	un	edificio	en	5	min.	¿Qué	potencia	en	watts	
desarrolló? (g=10m/s2)
a) 52 W b) 60 W c) 70 W
d) 80 W e) 38 W
Una persona de 60 kg sube 20 m por las escaleras 
de	un	edificio	en	4	min.	¿Qué	potencia	en	watts	
desarrolló? (g=10m/s2)
a) 42 b) 50 c) 150
d) 180 e) 30
Si F=100 N y lleva al bloque una distancia de 
20m, halla la potencia desarrollada por “F”. 
Considera el tiempo de 4s.
a) 200 W
b) 350 W
c) 400 W
d) 450 W
e) 100 W
F
37°
Halla la potencia que desarrolla el joven si jala 
el bloque con 1000N, y el bloque se mueve 
horizontalmente con una rapidez constante de 3 m/s
a) 1500 W
d) 150 W
b) 15 W
c) 1,5 W
e) N.A.
60º
123
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
H a l l a l a p o t e n c i a d e s a r r o l l a d a p o r 
“F” para que el bloque de 10 kg suba por el plano 
inclinado a velocidad 5 m/s constante. (g=10m/s2)
a) 200 W
b) 500 W
c) 300 W
d) 100 W
e) 400 W 37º
F
1
4
µ=
H a l l a l a p o t e n c i a d e s a r r o l l a d a p o r 
“F” para que el bloque de 10 kg suba por el plano 
inclinado a velocidad 5 m/s constante. (g=10m/s2)
a) 240 W
b) 250 W
c) 350 W
d) 200 W
e) 400 W
F
30º
1
4
µ=
Halla la potencia de la fuerza F si:
F = 100N, V = 5 m/s.
a) 200 W
b) 250 W
c) 300 W
d) 400 W
e) N. A.
60°
V
F
Determina la potencia de la fuerza F en el instante 
dado: F = 40N y V = 15 m/s.
a) 30 W
b) 20 W
c) 10 W
d) 0
e) 1 W
F
V
124 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Capítulo
16Eficiencia de una 
Máquina
El trabajo útil o salida de potencia de una máquina nunca es 
igual a la de entrada. Estas diferencias se deben en parte a 
la fricción, al enfriamiento, al desgaste, contaminación, etc.
La eficiencia nos expresa la razón entre lo útil y lo 
suministrado a una máquina.
Potútil
Pot suministrada
n =
n	=	eficiencia	o	rendimiento	de	la	máquina
PotPERDIDA
PotSUM
PotSUM=PotÚTIL+PotPERDIDA
PotÚTIL
F
V
esquema sImPlIFIcado
PaBSOrBIda
PÚTIL
MÁQUIna
PPErdIda
nota importante
PaBSOrBIda = PÚTIL + PPErdIda
Pútil =
Trabajo realizado
tiempo
PotencIa mecánIca
W →	trabajo desarrollado
t →	tiempo
Pot
W
t=
PotencIa Instantánea
F →	 fuerza
V →	 velocidad
Pot = F. V
eFIcIencIa o rendImIento
n
PÚTIL
PABSORBIDA
=
n
PÚTIL
PABSORBIDA
. 100%=
PÚTIL →	Potencia útil
P
ABSORBIDA
 →	Potencia absorbida
ó
125
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
rpta: __________
 1) Una máquina absorbe una potencia eléctrica de 
1000 watts y desarrolla una potencia útil de 400 
watts.	¿Cuál	es	su	eficiencia?
 2) Un motor absorbe una potencia de 400 watts, si 
su	eficiencia	es	3/4,	¿qué	potencia	útil	será	la	que	
desarrolle?
 3) Una máquina absorbe 48 watts de potencia y realiza 
un	trabajo	de	160	J	en	5s.	¿Cuál	es	la	eficiencia	de	
esta máquina?
 4) Un motor desarrolló una potencia útil de 4000 
watt,	si	su	eficiencia	es	1/5,	¿cuál	es	la	potencia	que	
absorbe?
 5) Una máquina pierde 1/4 de la potencia que entrega, 
entonces	su	eficiencia	es:
 6) Una máquina absorbe 40 watts de potencia y realiza 
un	trabajo	de	300	J	en	15s.	¿Cuál	es	la	eficiencia	de	
esta máquina?
 1) Una máquina absorbe una potencia eléctrica de 
100 watts y desarrolla una potencia útil de 40 watts. 
¿Cuál	es	su	eficiencia?
 2) Un motor absorbe una potencia de 500 watts, si 
su	eficiencia	es	3/4,	¿qué	potencia	útil	será	la	que	
desarrolla?
 3) Una máquina absorbe 120 watts de potencia y realiza 
un	trabajode	1800	J	en	20	s.	¿Cuál	es	la	eficiencia	
de está máquina?
 4)	 Una	máquina	de	eficiencia	1/3	absorbe	una	potencia	
de 3000 watts ¿Cuánto es la potencia que pierde?
 5) Una máquina pierde la mitad de la potencia que 
entrega,	entonces	su	eficiencia	es:
 6) Una máquina absorbe 30 watts de potencia y realiza 
un	trabajo	de	100	J	en	4s.	¿Cuál	es	la	eficiencia	de	
esta máquina?
126 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 16
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
El motor de una licuadora tiene una potencia útil 
de 400 W y la potencia perdida es de 200 W. Halla 
el rendimiento del motor de la licuadora.
a) 36 % b) 10 % c) 56 %
d) 66,66 % e) 12 % 
La eficiencia del motor de una máquina cuya 
potencia es de 100 kW es 30%. Calcula la potencia 
útil.
a) 36 kW b) 30 kW c) 56 kW
d) 10 kW e) 12 kW
El motor de una máquina tiene una potencia útil 
de 200W y la potencia perdida es de 120W. Halla 
el rendimiento del motor.
a) 36 % b) 40 % c) 56 %
d) 10 % e) 52 %
Halla	la	eficiencia	de	una	máquina,	sabiendo	que	
la potencia perdida equivale al 25% de la potencia 
útil.
a) 76 % b) 78 % c) 56 %
d) 80 % e) 62 %
127
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Un automóvil viaja con velocidad constante de 
72 km/h sobre una pista horizontal, experimentado 
una fuerza de rozamiento de 200N. Si la potencia 
que entrega el combustible es de 20 kW. ¿Cuál es 
la	eficiencia	del	motor?
a) 10 % b) 25 % c) 15 %
d) 5 % e) 20 % 
Un motor consume una potencia de 1,2 kW y es 
capaz de levantar cargas de 108 N de peso a razón 
de	10	m/s.	¿Cuál	es	la	eficiencia	del	motor?
a) 80 % b) 75 % c) 70 %
d) 85 % e) 90 %
Una máquina absorbe 48 watts de potencia 
y realiza un trabajo de 160J en 5s. ¿Cuál es la 
eficiencia	de	esta	máquina?
a) 4/5 b) 8/9 c) 2/3
d) 3/4 e) 5/8
Una máquina absorbe 96 watts de potencia y 
realiza un trabajo de 320 J en 10 s. ¿Cuál es la 
eficiencia	de	esta	máquina?
a) 1/3 b) 1/4 c) 5/9 
d) 2/5 e) 3/8
128 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
La grúa mostrada absorbe una potencia de 2000 
watts y está levantando el bloque de 100 N a 
velocidad	de	5	m/s	entonces	su	eficiencia	es:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
V
Una grúa absorbe una potencia de 1800 watts, y 
levanta un bloque de 800 N a la velocidad de 2m/s. 
Entonces	su	eficiencia	es:
a) 4/3 b) 8/9 c) 5/3
d) 3/4 e) 9/8
La	 eficiencia	 de	un	motor	 es	 de	 0,70,	 si	 se	 sabe	
que puede efectuar un trabajo útil de 280 J, ¿qué 
cantidad de trabajo se pierde en vencer ciertas 
resistencias?
a) 120 J b) 100 J c) 125 J
d) 400 J e) 200 J
La	eficiencia	de	un	motor	es	0,7	y	el	trabajo	útil	
que puede efectuar es de 280J. ¿Qué cantidad de 
trabajo pierde la máquina?
a) 120 J b) 200 J c) 12 J
d) 400 J e) –130 J
129
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Una máquina pierde 3/5 de la potencia que 
entrega,	entonces	su	eficiencia	es:
a) 30 % b) 48 % c) 35 %
d) 50 % e) 40 %
Una máquina absorbe el triple de la potencia que 
pierde,	entonces	su	eficiencia	es:
a) 1/3 b) 3/2 c) 4/5
d) 7/3 e) 2/3
De	la	máquina	mostrada,	calcula	su	eficiencia.
a) 2/5 
b) 6/5 
c) 3/5
d) 1/5
e) 4/7
P1 = 100W
MÁQUIna
PPERDIDA = 60W
De	la	pregunta	mostrada,	calcula	su	eficiencia.
a) 50,25 %
b) 52,50 %
c) 58,33 %
d) 60,50 %
e) 55,42%
Pútil = 35W
MÁQUIna
PPERDIDA = 25W
130 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
 El Sistema Internacional de Unidades (SI), surgió de la necesidad 
de	unificar	y	dar	coherencia	a	una	gran	variedad	de	subsistemas	de	
unidades	que		dificultaban	la	transferencia	de	resultado	de	mediciones	
en la comunidad internacional.
 El Sistema Internacional de Unidades (SI) proviene del Sistema 
Métrico Decimal, este último fue adoptado en la 1a Conferencia 
General	de	Pesas	 y	Medidas	 (CGPM)	y	 ratificado	en	1875	por	15	
naciones. Para ese entonces se organizó la Convención del Metro, a 
la que asistieron representantes de 8 países, y en la que se nombró un 
Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM). 
 Finalmente, en el año 1960 la Resolución 12 de la 11.a CGPM 
adoptó el nombre de Sistema Internacional de Unidades, cuya 
sIstema InternacIonal de unIdades (sI)
Departamento Internacional 
de Pesos y Medidas
abreviatura	 es	SI.	Además,	 se	 establecieron	 reglas	para	 los	prefijos,	
unidades derivadas y unidades suplementarias.
 A partir de entonces, a través de las reuniones del CGPM y CIPM se 
le	han	añadido	modificaciones	de	acuerdo	con	los	avances	de	la	ciencia	
y las necesidades de los usuarios.
 Las ventajas que ofrece el SI, sobre todos los demás sistemas de 
unidades, son múltiples. Por ejemplo:
- Es universal, porque abarca todos los campos de la ciencia, la técnica, 
la economía y el comercio.
-	 Es	coherente,	porque	no	necesita	de	coeficientes	de	conversión	y	
todas	sus		unidades	guardan	proporcionalidad	entre	sí,	simplificando	
la estructura de las unidades de medida y sus cálculos, lo que evita 
errores en su interpretación.
Prototipo internacional 
de kilogramo
Prototipo internacional de metro 
1889 -1960
- Al igual que el Sistema Métrico Decimal, utiliza prefijos para la 
determinación de los múltiplos y submúltiplos de la unidad básica de cada 
magnitud física; elimina así la multiplicidad de nombres muy diferentes 
para una misma magnitud física.
 También permite formar unidades derivadas con mayor facilidad.
- Establece una clara delimitación en los conceptos de masa y fuerza (peso).
- Integra en uno solo, varios subsistemas de medidas y facilita así el proceso 
de enseñanza – aprendizaje.